Téma 10: Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Téma 10: Momenty setrvačnosti a deviační momenty • Centrální kvadratické momenty základních průřezů • Centrální kvadratické momenty složených průřezů • Kvadratické momenty k pootočeným osám • Polární moment setrvačnosti Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Průřezy prutových konstrukčních prvků Výpočet deformovatelných prutů vyžaduje tzv. geometrické charakteristiky průřezu: • Plocha A průřezu (Téma 9) • Statické momenty Sx a Sz průřezu k momentovým osám x a z (Téma 9) • Souřadnice xT, zT těžiště T průřezu (Téma 9) • Momenty setrvačnosti Ix, Iz k osám x, z • Deviační moment Dxz k osám x, z

Předpoklad: průřez tíhově homogenní, fiktivní měrná tíha γ = 1 (bez fyzikálního rozměru) Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců

2 / 43

Kvadratický moment rovinných obrazců Plocha elementárního obdélníkového dílku:

dA = dx.dz

V počátečním bodě dílku působí elementární dP = γ .dA = dA fiktivní sila kolmá k rovině průřezu:

γ = 1 → A = γ .A

Moment setrvačnosti (vždy kladné) a deviační moment (kladný či záporný) k osám x, z - osy setrvačnosti: I x = ∫∫ z 2 .dA I z = ∫∫ x 2 .dA A

A

Dxz = ∫∫ x.z.dA A

Poznámka: elementy plochy násobeny kvadráty souřadnic x2 a z2 nebo součinem souřadnic xz , proto kvadratické momenty průřezu, statické momenty – lineární

Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4

K výkladu kvadratických momentů

Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců

3 / 43

Obr. 5.1. / str. 57

Kvadratický moment rovinných obrazců Ve stavební mechanice kvadratické momenty k osám xt, zt procházejícím těžištěm T – centrální osy setrvačnosti, centrální kvadratické momenty průřezu, hlavní osy setrvačnosti (mohou být pootočené). Pravidlo o kvadratických momentech k rovnoběžně posunutým osám: c = z − zt = zT d = x − xt = xT

I x = ∫∫ ( zt + c ) .dA = ∫∫ z t2 .dA + 2c.∫∫ zt .dA + 2

A

A

A

+ c 2 .∫∫ dA = I xt + 2cS xt + c 2 A A

I z = ∫∫ ( xt + d ) .dA = ∫∫ x t2 .dA + 2d .∫∫ xt .dA + 2

A

A

A

+ d 2 .∫∫ dA = I zt + 2dS zt + d 2 A A

Dxz = ∫∫ (zt + c )( . xt + d )dA = ∫∫ xt .zt .dA + c.∫∫ xt .dA + A

A

A

+ d .∫∫ zt dA + c.d .∫∫ dA = Dxt zt + c.S zt + d .S xt + c.d . A A

A

Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců

K výkladu kvadratických momentů Obr. 5.1. / str. 57 4 / 43

Kvadratický moment rovinných obrazců Statické momenty průřezu k těžištním osám průřezu: S x = S z = 0 t

t

Výsledné tvary vztahů pro kvadratické momenty k osám x, z neprocházejícím těžištěm průřezu: I x = I xt + c 2 . A

Steinerova I z = I zt + d 2 . A věta

Dxz = Dxt zt + c.d . A

Jakob Steiner (1796-1863)

Po úpravě lze použít rovněž: I x t = I x − c 2 .A I zt = I z − d 2 . A Dxt zt = Dxz − c.d . A Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců

K výkladu kvadratických momentů Obr. 5.1. / str. 57 5 / 43

Centrální kvadratické momenty obdélníku Zvoleno: O ≡ T → x ≡ xt , z ≡ zt → Dxz = 0 Výpočet hlavních centrálních momentů setrvačnosti: b2 h2 ⎤ ⎡ I x = ∫∫ z 2 .dA = ∫ z 2 ⎢ ∫ dx ⎥ dz = b. ∫ z 2 dz = −h 2 −h 2 A ⎣⎢ −b 2 ⎦⎥ h2

h2

⎡ z3 ⎤ b ⎛ h3 h3 ⎞ 1 = .⎜⎜ + ⎟⎟ = .b.h 3 = b.⎢ ⎥ ⎣ 3 ⎦ − h 2 3 ⎝ 8 8 ⎠ 12

Obdobně: I z =

1 3 .b .h 12

Důkaz nulového deviačního momentu: ⎤ ⎡b2 Dxz = ∫∫ x.z.dA = ∫ z ⎢ ∫ x.dx ⎥ dz = ⎢ −b 2 −h 2 ⎣ A ⎦⎥ h2

h2

b2

h2

⎡ x2 ⎤ 1 ⎛ b2 b2 ⎞ = ∫ z.⎢ ⎥ dz = ∫ z. .⎜⎜ − ⎟⎟dz = 0 2 ⎦ −b 2 2⎝ 4 4⎠ −h 2 ⎣ −h 2 Centrální kvadratické momenty základních průřezů

Obdélník Obr. 5.2. / str. 59 6 / 43

Kvadratické momenty obdélníku ve složeném obrazci Zvoleno:

h b⎤ ⎡ O ≠ T → [xT , zT ] ≡ ⎢c = , d = ⎥ 2 2⎦ ⎣

Výpočet momentů setrvačnosti: Steinerova věta

1 h2 1 3 I x = I xt + c . A = .b.h + .b.h = .b.h 3 12 4 3 2

1 3 b2 1 I z = I zt + d . A = .b .h + .b.h = .b 3 .h 12 4 3 2

Dxz = Dxt zt

b h 1 2 2 + c.d . A = 0 + . .b.h = .b .h 2 2 4

Obdélník Obr. 5.2. / str. 59 Centrální kvadratické momenty základních průřezů

7 / 43

Kvadratické momenty čtverce Čtverec o straně a: b = h = a Výpočet hlavních centrálních momentů setrvačnosti: Ix = Iz =

1 4 .a 12

Kvadratické momenty čtverce k osám x, z procházejícím jeho stranami: 1 4 a2 2 1 4 I x = I xt + c . A = .a + .a = .a 3 12 4 2

1 I z = I x = .a 4 3 Dxz = Dxt zt

a a 2 1 4 + c.d . A = 0 + . .a = .a 2 2 4

Obdélník Obr. 5.2. / str. 59 Centrální kvadratické momenty základních průřezů

8 / 43

Centrální kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku Zvoleno: O ve vrcholu trojúhelníku Výpočet nejprve kvadratických momentů k vodorovné ose x a svislé ose z: ⎡bz h ⎤ I x = ∫∫ z .dx.dz = ∫ z ⎢ ∫ dx ⎥ dz = ⎢⎣ 0 ⎥⎦ A 0 h

2

2

h

b 1 = .∫ z 3 .dz = .b.h 3 4 h 0

(a)

(b)

⎡bz h 2 ⎤ I z = ∫∫ x .dx.dz = ∫ ⎢ ∫ x dx ⎥ dz = ⎥⎦ 0 ⎢ A ⎣ 0 h

2

b3 b3 h 4 1 3 3 = 3 .∫ z .dz = 3 . = .b .h 3h 0 3h 4 12 h

⎡b . z h ⎤ Dxz = ∫∫ x.z.dx.dz = ∫ z ⎢ ∫ x.dx ⎥ dz = ⎥⎦ A 0 ⎢ ⎣ 0 h

b2 b2 h4 1 2 2 3 = 2 ∫ z .dz = 2 . = .b .h 2h 0 2h 4 8 h

Centrální kvadratické momenty základních průřezů

Pravoúhlý trojúhelník Obr. 5.3. / str. 59 9 / 43

Centrální kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku Výpočet centrálních momentů setrvačnosti (nejsou ale hlavní momenty): Steinerova věta 2 c = .h 3

1 d = .b 3

I xt = I x − c 2 . A =

(a)

(b)

4 1 1 1 = .b.h 3 − .h 2 . .b.h = .b.h 3 4 9 2 36 I zt = I z − d 2 . A = =

1 3 1 1 1 .b .h − .b 2 . .b.h = .b 3 .h 2 36 12 9

Dxt zt = Dxz − c.d . A = 1 2 1 1 1 = .b 2 .h 2 − .h. .b. .b.h. = .b 2 .h 2 8 3 3 2 72

Pravoúhlý trojúhelník Obr. 5.3. / str. 59


10 / 43

Centrální kvadratické momenty rovnoramenného trojúhelníku Rovnoramenný trojúhelník – lze rozdělit na dva symetrické pravoúhlé ⎛ 1 b ⎞ 1 I x = 2.⎜ . .h 3 ⎟ = .b.h 3 ⎝ 36 2 ⎠ 36 ⎡ 1 ⎛ b ⎞3 ⎤ 1 3 I z = 2.⎢ .⎜ ⎟ .h⎥ = .b .h ⎢⎣12 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 48 Svislá osa symetrie – jsou zároveň hlavní momenty setrvačnosti a nulový deviační moment

Kvadratické momenty ve složeném obrazci – k vodorovným osám x, x : 1 b 1 1 b 1 I x = 2. . .h 3 = .b.h 3 I x = 2. . .h 3 = .b.h 3 4 2 4 12 2 12

Rovnostranný trojúhelník o straně b: 3 h= .b 2

Ix = Iz =

3 4 .b =& 0,01804.b 4 96


Rovnoramenný trojúhelník Obr. 5.4. / str. 60 11 / 43

Centrální kvadratické momenty čtvrtkruhu Platí: z = r. sin ϕ dz = r. cos ϕ .dϕ Moment setrvačnosti k vodorovné ose x: Zvoleno: O ≡ S

⎡ r .cosϕ ⎤ I x = ∫∫ z .dx.dz = ∫ z ⎢ ∫ dx ⎥ dz = 0 A ⎣⎢ 0 ⎦⎥ r

2

2

π 2

=

∫r

2

. sin 2 ϕ .r. cos ϕ .r. cos ϕ .dϕ =

0

π 2

π 2

1 ⎡ϕ sin 4ϕ ⎤ = r 4 . ∫ sin 2 ϕ . cos 2 ϕ .dϕ = r 4 .⎢ − = .π.r 4 ⎥ 32 ⎦ 0 16 ⎣8 0

Osa symetrie skloněná o 45o - I x = I z ⎡r .cosϕ ⎤ Dxz = ∫∫ x.z.dx.dz = ∫ z ⎢ ∫ x.dx ⎥ dz = ⎢ 0 0 ⎣ A ⎦⎥ r

π 2

=

∫ 0

1 r. sin ϕ . .r 2 . cos 2 ϕ .r. cos ϕ .dϕ = 2 π 2

[

]

π 2 r4 r4 1 3 = . ∫ sin ϕ . cos ϕ .dϕ = − . cos 4 ϕ 0 = .r 4 8 2 0 8


Čtvrtkruh Obr. 5.5. / str. 61 12 / 43

Centrální kvadratické momenty čtvrtkruhu Kvadratické momenty k netěžištním osám tedy: I x = I z = 1 .π.r 4 Dxz = 1 .r 4 16 8 Souřadnice těžiště: c = d = 4.r = 0,4244r & 3.π (Téma 9) π.r 2 A= 4

Plocha:

Centrální kvadratické momenty k těžištním osám rovnoběžným s x, z: 16.r 2 π.r 2 1 4 I xt = I zt = I x − c . A = .π.r − . = 2 4 16 9.π 4 ⎞ ⎛π = r 4 .⎜ − ⎟ =& 0,05488.r 4 ⎝ 16 9 π ⎠ 2

Dxt zt = Dxz − c.d . A = 1 4 16.r 2 π.r 2 4 ⎞ 4 ⎛1 4 r r . . = − 0 , 01647 . = .r − = − & ⎟ ⎜ 8 9.π 2 4 ⎝ 8 9π ⎠ Centrální kvadratické momenty základních průřezů

Čtvrtkruh Obr. 5.5. / str. 61 13 / 43

Centrální kvadratické momenty půlkruhu Složený obrazec ze dvou čtvrtkruhů, které mají k obou osám stejné momenty setrvačnosti, ale deviační momenty s opačným znaménkem: I x = I z = 2.

1 1 .π.r 4 = .π.r 4 Dxz = 0 8 16

Osa z – osa symetrie, hlavní centrální osa setrvačnosti z ≡ zt Hlavní centrální momenty setrvačnosti tedy: 4 ⎞ ⎛π ⎛π 8 ⎞ I xt = 2.r 4 .⎜ − ⎟ = r 4 .⎜ − ⎟ =& 0,10976.r 4 ⎝ 16 9 π ⎠ ⎝ 8 9π ⎠ 1 I zt = I z = .π.r 4 8

(a) Půlkruh Obr. 5.6.a. / str. 62 Centrální kvadratické momenty základních průřezů

14 / 43

Centrální kvadratické momenty kruhu a mezikruží Kruh: složený obrazec ze dvou půlkruhů, kterákoliv těžištní osa je osou symetrie, moment setrvačnosti ke kterékoliv těžištní ose je hlavní centrální moment setrvačnosti Mezikruží: složený obrazec z vnějšího kruhu o poloměru r1 a odečítaný vnitřní kruh o poloměru r0 1 1 I xt = I zt = 2. .π.r 4 = .π.r 4 4 8

(b)

(

1 I xt = I zt = .π. r14 − r04 4

)

(c) Kruh Obr. 5.6.b. / str. 62


Mezikruží Obr. 5.6.c. / str. 62 15 / 43

Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek


16 / 43



17 / 43



18 / 43



19 / 43



20 / 43



21 / 43



22 / 43



23 / 43



24 / 43

Centrální kvadratické momenty složených průřezů Průřezy složené z jednotlivých obrazců Postup výpočtu: a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu x, z b) rozdělit složený obrazec na n jednodušších prvků i=1, …, n c) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště xt , zt v pomocné souřadnicové soustavě (otvory mají plochu se znaménkem mínus) d) určit plochu A celého průřezu (součtem Ai) , určit souřadnice těžiště xT , zT celého obrazce, kterým proložit centrální osy setrvačnosti průřezu x ≡ xt , z ≡ zt rovnoběžné s osami x, z e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti ci = zi − zT d i = xi − xT f) vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce: n

(

I x = ∑ I xi + c . Ai i =1

2 i

)

n

(

I z = ∑ I zi + d . Ai i =1

2 i

)

n

(

Dxz = ∑ Dxi zi + ci .d i . Ai

)

i =1

(Otvory mají momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviační momenty s opačným znaménkem) Centrální kvadratické momenty složených průřezů

25 / 43

Příklad 10.1 Požadavek: Určit centrální kvadratické momenty setrvačnosti

(a)

Složený obrazec: ze tří jednoduchých prvků – pravoúhlý trojúhelník, obdélník a výřez tvaru půlkruhu

Zadání příkladu 10.1 Obr. 5.7.a. / str. 64 Centrální kvadratické momenty složených průřezů

26 / 43

Příklad 10.1 Postup výpočtu:

(b)

a) Rozdělení na prvky b) Určit plochy prvků a souřadnice jejich těžišť v pomocné souřadnicové soustavě c) Vypočítat plochu celého obrazce a souřadnice jeho těžiště

Řešení příkladu 10.1 Obr. 5.7.b. / str. 64 Centrální kvadratické momenty složených průřezů

27 / 43

Příklad 10.1 d) Kvadratické momenty prvků a ramena jejich těžišť

(c)

e) Centrální kvadratické momenty průřezu dle:

(

)

(

)

n

I x = ∑ I xi + ci2 . Ai = 0,006641m 4 i =1 n

I z = ∑ I zi + d i2 . Ai = 0,003921m 4 i =1

n

(

)

Dxz = ∑ Dxi zi + ci .d i . Ai = 0,001885m 4 i =1

Řešení příkladu 10.1 Obr. 5.7.b. / str. 64 Centrální kvadratické momenty složených průřezů

28 / 43

Průřezy složené z válcovaných tyčí

xT PU zi R T[xT,zY] PI

zU

zI

+z

Centrální kvadratické momenty složených průřezů

zT

+x

29 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám Geometrická transformace souřadnic při pootočení souřadnicových os: x′ = x. cos α − z. sin α z ′ = x. sin α + z. cos α Kvadratické momenty obrazce k pootočeným osám: I x′ = ∫∫ z ′2 .dA I z′ = ∫∫ x′2 .dA Dx′z′ = ∫∫ x′.z ′.dA A

A

A

I x′ = ∫∫ z ′2 .dA po dosazení:

1.

A

I x′ = ∫∫ (x. sin α + z. cos α ) .dA = 2

A

= sin 2 α .∫∫ x 2 .dA + A

+ 2 sin α cos α ∫∫ x.z.dA + cos 2 α .∫∫ z 2 .dA = A

A

= I z . sin 2 α + Dxz . sin 2α + I x . cos 2 α = = I x . cos 2 α + I z . sin 2 α + Dxz . sin 2α Kvadratické momenty k pootočeným osám

Geometrická transformace souřadnic při pootočení os Obr. 5.8. / str. 65 30 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám I z′ = ∫∫ x′2 .dA po dosazení:

2.

A

I z′ = ∫∫ ( x. cos α − z. sin α ) .dA = cos 2 α .∫∫ x 2 .dA − 2 sin α cos α ∫∫ x.z.dA + sin 2 α .∫∫ z 2 .dA = 2

A

A

A

A

= I z . cos 2 α − Dxz . sin 2α + I x . sin 2 α = I x . sin 2 α + I z . cos 2 α − Dxz . sin 2α

3. Dx′z′ = ∫∫ x′.z′.dA po dosazení: A

. x. sin α + z. cos α )dA = Dx′z′ = ∫∫ ( x. cos α − z. sin α )( A

(

)

= sin α . cos α .∫∫ x 2 .dA + sin 2 α . − cos 2 α .∫∫ x.z.dA − sin α .. cos α .∫∫ z 2 .dA = A

A

A

1 1 1 = I z . sin 2α + Dxz . cos 2α − I x . . sin 2α = (I z − I x ). . sin 2α + Dxz . cos 2α 2 2 2

Důležité pootočení α os setrvačnosti, při kterém nabudou oba momenty setrvačnosti extrémních hodnot (maximální a minimální). Kvadratické momenty k pootočeným osám

31 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám Derivace dle α obou momentů rovna nule: d I x′ = − I x .2. sin α . cos α + I z .2. sin α . cos α + Dxz .2. cos 2α = (I z − I x ). sin 2α + Dxz .2. cos 2α = dα = 2 Dx′z′ = 0 ⇒ Dx′z′ = 0

Závěr: Oba momenty setrvačnosti nabývají extrémní hodnoty, když je deviační moment nulový. Jeden z nich je maximální, druhý minimální. Hlavní osy setrvačnosti se sklonem α0:

(I z − I x ). sin 2α 0 + Dxz .2. cos 2α 0 = 0 ⇒ tg 2α 0 =

2 Dxz Ix − Iz

α 2 = α1 ± 900

Hlavní momenty setrvačnosti: 1 1 1 1 I x′ = I x . .(1 + cos 2α 0 ) + I z . .(1 − cos 2α 0 ) + Dxz . sin 2α 0 = .(I x + I z ) + .(I x − I z ). cos 2α 0 + 2 2 2 2 tg 2α 0 1 1 1 + Dxz . sin 2α 0 = .(I x + I z ) + .(I x − I z ). + Dxz . 2 2 1 + tg 2 2α 0 1 + tg 2 2α 0 Kvadratické momenty k pootočeným osám

32 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám Po úpravě:

1 1 2 I1, 2 = .(I x + I z ) ± . (I x − I z ) + 4.Dxz2 2 2

Znaménko před odmocninou:

+ I1 = I max

-

I 2 = I min

Hlavní osy setrvačnosti se sklonem α0: tgα1, 2 =

I1, 2 − I x

α1 → I max

Dxz

α 2 → I min

α 2 = α1 ± 900

Poučka: Součet momentů setrvačnosti ke dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti se při otáčení obou os kolem počátku nemění, zůstává konstantní (neměnný, invariantní). I x + I z = I x ′ + I z ′ = I1 + I 2 Kvadratické momenty k pootočeným osám

33 / 43

Příklad 10.2 Požadavek: Určit hlavní centrální momenty setrvačnosti a sklony jim příslušných hlavních os Postup: a) Centrální kvadratické momenty k vodorovné a svislé ose b) Hlavní centrální momenty setrvačnosti c) Sklon hlavních centrálních os setrvačnosti 1 1 2 I1, 2 = .(I x + I z ) ± . (I x − I z ) + 4.Dxz2 2 2 I1 = I max = 0,0008779m 4 tgα1, 2 =

I 2 = I min = 0,0002189m 4

I1, 2 − I x Dxz

Příklad 10.2 Obr. 5.9.a. / str. 68 Kvadratické momenty k pootočeným osám

34 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám α = −180o ÷ 180o

I x = 0,0007594m 4 I z = 0,0003375m 4 Dxz = 0,0002531m 4 0,00100000 0,00080000 0,00060000 0,00040000 0,00020000 0,00000000

Ix(alfa)

-0,00020000

Dxz(alfa) Iz(alfa)

Kvadratické momenty k pootočeným osám

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140

-160

-180

-0,00040000

35 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám I1 = 0,0008779 m 4

I x = 0,0007594m 4 I z = 0,0003375m 4 Dxz = 0,0002531m 4

α1 = +25,10o

0,00100000

Dx′z′ = 0,000000m 4

0,00080000 0,00060000 0,00040000 0,00020000 0,00000000 Ix(alfa)

-0,00020000

Dxz(alfa) Iz(alfa)


180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140

-160

-180

-0,00040000

36 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám I 2 = 0,0002189m 4

I x = 0,0007594m 4 I z = 0,0003375m 4 Dxz = 0,0002531m 4

α 2 = −64,90o

0,00100000

Dx′z′ = 0,000000m 4

0,00080000 0,00060000 0,00040000 0,00020000 0,00000000 Ix(alfa)

-0,00020000

Dxz(alfa) Iz(alfa)


180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140

-160

-180

-0,00040000

37 / 43

Příklad 10.3 Požadavek: Určit hlavní centrální momenty setrvačnosti a sklony jim příslušných hlavních os Postup: a) Centrální kvadratické momenty k vodorovné a svislé ose b) Hlavní centrální momenty setrvačnosti c) Sklon hlavních centrálních os setrvačnosti 1 1 2 I1, 2 = .(I x + I z ) ± . (I x − I z ) + 4.Dxz2 2 2 I1 = I max = 2,3672.108 mm 4 I 2 = I min = 1,2743.108 mm 4 tgα1, 2 =

I1, 2 − I x Dxz

Příklad 10.3 Obr. 5.9.b. / str. 68 Kvadratické momenty k pootočeným osám

38 / 43

Příklad 10.4 Požadavek: Určit hlavní centrální momenty setrvačnosti a sklony jim příslušných hlavních os Postup: a) Centrální kvadratické momenty k vodorovné a svislé ose b) Hlavní centrální momenty setrvačnosti c) Sklon hlavních centrálních os setrvačnosti 1 1 2 I1, 2 = .(I x + I z ) ± . (I x − I z ) + 4.Dxz2 2 2 I1 = I max = 0,007605m 4 I 2 = I min = 0,002957 m 4 tgα1, 2 =

I1, 2 − I x Dxz

Příklad 10.4 Obr. 5.9.c. / str. 68 Kvadratické momenty k pootočeným osám

39 / 43

Poloměr setrvačnosti Geometrická charakteristika průřezu:

ix =

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti: imax =

Ix A I max A

iz =

Iz A

imin =

I min A

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro obdélníkový průřez : (šířka b, výška h) imax

b.h 3 h2 1 = = = .h =& 0,2887.h imin =& 0,2887.b 12.b.h 12 12

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro čtvercový průřez (strana a): imax = imin =& 0,2887.a

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro kruhový průřez: imax = imin

π.r 4 r2 r = = = 4.π.r 2 4 2


40 / 43

Polární moment setrvačnosti Polární moment setrvačnosti: I p = ∫∫ p 2 .dA (p je vzdálenost od pólu) A Kvadratický moment, rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4 I p = ∫∫ (x 2 + z 2 ).dA = ∫∫ x 2 .dA + ∫∫ z 2 .dA = I z + I x = I x + I z A

A

A

Poučka: Polární moment setrvačnosti k pólu O je roven součtu axiálních momentů setrvačnosti k jakýmkoli dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti, které tímto pólem procházejí. Ve stavařské praxi – pólem je výhradně těžiště průřezu, centrální polární moment setrvačnosti, využití u rotačně symetrických průřezů.

K výkladu polárního momentu setrvačnosti Obr. 5.10. / str. 71

Polární moment setrvačnosti

41 / 43

Příklad 10.6 Požadavek: Určit centrální polární moment setrvačnosti ocelové trubky Řešení:

1 1 Centrální polární moment setrvačnosti pro kruh: I p = 2. .π.r 4 = .π.r 4 4 2 Centrální polární moment setrvačnosti pro mezikruží: 1 I p = .π.(r14 − r04 ) 2

Konkrétně: r1 = 30mm r0 = 24mm

(

)

1 I p = .π. 30 4 − 24 4 = 7,5119.105 mm 4 2

Zadání příkladu 10.6 Obr. 5.11. / str. 71 Polární moment setrvačnosti

42 / 43

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Centrální kvadratické momenty základních průřezů 2. Centrální kvadratické momenty složených průřezů 3. Kvadratické momenty k pootočeným osám 4. Polární moment setrvačnosti

Podklady ke zkoušce

43 / 43

Téma 10: Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Recommend Documents