Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují i ve výrazech pro některé dynamické veličiny a vdůsledku toho i vpříslušných pohybových rovnicích. Jsou funkcí geometrických a hmotnostních parametrů tělesa, říká se jim proto také geometricko-hmotnostní charakteristiky.
Základní definice Při řešení pohybu těles mají základní fyzikální význam osové momenty setrvačnosti. Uvažujme stělesem pevně spojený kartézský souřadnicový systém (O, x, y, z) – obr. 3.1. Vbodě tělesa o souřadnicích x, y, z, uvažujme bodové těleso o elementární hmotnosti dm. Osové momenty setrvačnosti kosám souřadnicového systému jsou pak definovány vztahy
kde rx, ry, rz představují vzdálenosti elementární hmotnosti od os x, y, a z.
Obr. 3.1 Při výpočtech osových momentů setrvačnosti svýhodou používáme pomocných veličin jako
které vyjadřují momenty setrvačnosti krovinám yz, zx, a xy. Přitom platí
a
Podobně po zavedení polárního momentu
platí
Někdy se moment setrvačnosti kurčité ose o vyjadřuje pomocí tzv. poloměru setrvačnosti i. Což je vzdálenost od osy o, ve které když soustředíme celou hmotnost tělesa dostaneme kpříslušné ose stejný osový moment setrvačnosti jako má těleso
Deviační momenty jsou definovány vztahy
Na rozdíl od momentů setrvačnosti, které jsou vždy kladné, deviační momenty mohou nabývat kladných i záporných hodnot. Momenty setrvačnosti a deviační momenty lze souhrnně vyjádřit maticí setrvačnosti
která je maticí symetrického tenzoru druhého řádu – tenzoru setrvačnosti.
Momenty setrvačnosti a deviační momenty při změně souřadnicového systému a) Transformace při posunutých souřadnicových systémech Pro souřadnicový systém (O1, x1 , y1 , z1 ) který vznikne posunutím souřadnicového systému (O, x, y, z) spočátkem ve středu hmotnosti S (cenrální s.s.) tělesa o hmotnosti m viz obr. 3.2 platí
kde
jsou souřadnice středu hmotnosti tělesa vs.s (O1 , x1 , y1 , z1). Další vztahy dostaneme cyklickou
záměnou.
Obr. 3.2 Vyjádříme-li tento transformační vztah pomocí matic setrvačnosti platí
kde
je matice setrvačnosti pro s.s (O1 , x1 , y1 , z1), matice setrvačnosti pro centrální s.s (O, x, y, z) a matice setrvačnosti hmotného bodu ve středu hmotnosti S, vněmž je soustředěna hmotnost celého tělesa m
je
Momenty setrvačnosti pro sytém (O1 , x1 , y1, z1) lze tedy určit zmomentů setrvačnosti kcentrálnímu s.s. přičtením momentu setrvačnosti hmoty tělesa soustředěné ve středu hmotnosti. Tuto skutečnost formulujeme ve tvaru
jako tzv. Steinerovu větu: Moment setrvačnosti kose rovnoběžné scentrální osou (osa jdoucí středem hmotnosti tělesa) je dán součtem momentu setrvačnosti kcentrální ose a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti obou os d. b)Transformace při vzájemně pootočených souřadnicových systémech
Jednotlivé vztahy plynou ztransformačních vztahů pro matice setrvačnosti
kde
je matice setrvačnosti odpovídající pootočenému s.s. (O1 , x1, y1 , z1 ) viz obr 3.3, je matice setrvačnosti je transformační matice tvořená směrovými kosiny obou s.s. Jestliže odpovídající původnímu s.s. (O, x, y, z) a označíme jednotkové vektory os x1 , y1, z1 ,směrové kosiny osy x1 jako , směrové kosiny osy y1 jako
atd.
Obr. 3.2 Jednotlivé momenty setrvačnosti a deviační momenty můžeme určit na základě transformačního vztahu (3.15) známe-li tyto veličiny vzhledem původnímu (nepootočenému) s.s (O, x, y, z) a směrové úhly pootočeného s.s. (O1 , x1 , y1 , z1 ), tedy např.
Po provedení této operace dostáváme
kde jsme pro zjednodušení označili
Obdobně
Hlavní osy setrvačnosti a hlavní momenty setrvačnosti Při natáčení s.s mění deviační momenty tělesa své hodnoty zkladných do záporných hodnot. Lze tedy najít i takový souřadnicový systém, ke kterému budou deviační momenty nulové. Osy souřadnicového systému, knimž jsou deviační momenty nulové se nazývají hlavní osy setrvačnosti. Pokud počátek tohoto souřadnicového systému leží ve středu hmotnosti tělesa, hovoříme o hlavních centrálních osách setrvačnosti. Momenty setrvačnosti khlavním osám setrvačnosti nabývají extrémních hodnot (minimum, maximum) a nazývají se hlavní momenty setrvačnosti. Matice setrvačnosti se vtomto případě zjednoduší na tvar
Pro těleso obecného tvaru lze polohu hlavních os setrvačnosti určit zpodmínky extrémní hodnoty momentu setrvačnosti kose o - vztah (3.17) pro různé proměnné (různé natočení osy) při vedlejší podmínce
. Hledáme tedy extrém funkce
. Musí platit
Úloha vede na řešení soustavy lineárních rovnic
tedy na podmínku
Rozpis tohoto determinantu veden a kubickou rovnici
kde
Kořeny této kubické rovnice jsou hlavní momenty setrvačnosti hlavních os setrvačnosti . Hodnoty
. Směrové kosiny jednotlivých
určíme zlibovolných dvou rovnic soustavy (3.21) a podmínky
pro
jsou vlastní hodnoty matice setrvačnosti a hledané směrové kosiny tvoří vlastní
vektory této matice. Protože matice setrvačnosti je symetrická pozitivně definitní obdržíme řešením rovnice (3.23) tři reálné kladné hlavní momenty setrvačnosti . Mohou nastat tyto případy: Hlavní momenty setrvačnosti jsou různé setrvačnosti vzájemně kolmé.
ˇ. Vtomto případě jsou směry hlavních os
Dva hlavní momenty setrvačnosti jsou stejné např. přísluší hlavní moment setrvačnosti hlavní osou setrvačnosti.
, pak hlavní osu setrvačnosti kníž
lze jednoznačně určit, ovšem každá osa na ní kolmá je
Všechny tři hlavní momenty setrvačnosti jsou stejné komé osy jsou hlavní osy setrvačnosti.
, potom libovolné tři navzájem
Polohu hlavních os setrvačnosti lze určit i na základě transformačního vztahu (3.14)
Úloha opět vede na podmínku nulového determinantu (3.22). Při určení hlavních os setrvačnosti strojních součástí můžeme využít toho že obvykle mají alespoň jednu rovinu symetrie. Má-li homogenní těleso rovinu symetrie xy, pak platí
a každá přímka kolmá na rovinu symetrie je hlavní osou setrvačnosti. Má-li těleso dvě roviny symetrie, pak jejich průsečnice je hlavní centrální osou setrvačnosti. Je-li těleso rotačně symetrické, tedy má-li osu souměrnosti, je tato osa hlavní centrální osou setrvačnosti a každé dvě přímky kní kolmé jsou hlavní osy setrvačnosti pro bod na ose symetrie.
Výpočet momentů setrvačnosti a deviačních momentů Při výpočtu vycházíme zdefiničních vztahů (3.1) až (3.8). Souřadnicový systém volíme tak, aby funkční závislosti byly co nejjednodušší. Např. vpřípadě kartézského s.s. a tělesa o hmotnosti m a objemu V platí pro výpočet vztahy
Jestliže je těleso homogenní můžeme hustotu vytknout před integrál. Tělesa jejichž části mají různou hustotu rozdělíme na časti s Pro tělesa, které můžeme chápat jako složená zi elementárních těles platí
atd. Tělesa sotvorem počítáme jako plná, zmenšená o moment setrvačnosti tělesa ve tvaru otvoru. Pokud to lze, snažíme se nahradit spřijatelnou přesností těleso soustavou elementárních těles, jejichž momenty setrvačnosti jsou buď známy nebo se dají snadno určit (kvádr, válec, koule apod.)
