Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie proces volgt (Engelse titel: Parisian Option Pricing When the Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process)

Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging

van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE

door

R.W.B. VAN DER WEIJST Delft, Nederland Juli 2013

c 2013 door R.W.B. van der Weijst. Alle rechten voorbehouden. Copyright

BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE

“Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie proces volgt” (Engelse titel: “Parisian Option Pricing When the Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process”)

R.W.B. VAN DER WEIJST

Technische Universiteit Delft

Begeleider Dr.ir. J.H.M. Anderluh Overige commissieleden Prof.dr.ir. A.W. Heemink

Dr. J.G. Spandaw

Juli, 2013

Delft

Samenvatting

Een Europese calloptie is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs, de uitoefenprijs, te kopen op de expiratiedatum. Een barrieroptie is een exotische optie waarbij de uitbetaling afhangt van het raken van koers van de onderliggende waarde van de barrière gedurende de looptijd. Bij Parijse barrieropties is het ook nog van belang hoe lang de excursie boven (of onder) de barrière is voor een knock-in dan wel een knock-out. De prijsbepaling van barrieropties, die van groot belang is in de financiële wereld, wordt dus bepaald door het prijsproces van de onderliggende waarde, waarbij niet enkel de prijs van de onderliggende waarde op het moment van expiratie, maar gedurende het hele prijsproces van belang is. Dit prijsproces kan worden gezien als een sprong-diffusieproces, waarbij het model gebruikmaakt van een aantal sprongen dat Poisson verdeeld is. In deze scriptie wordt de risiconeutrale prijs van opties bepaald met de Monte-Carlomethode die het gemiddelde neemt van de waarde van opties bij verschillende onafhankelijke prijsprocessen. Dit geeft een zuivere schatting van de optieprijs bij de sprong-diffusieprocessen. Bij de simulatie van een prijsproces voor het schatten van de prijs van een standaard barrieroptie kunnen effectprijzen worden berekend op verschillende tijdstippen en dan kan worden berekend of de barrière is geraakt gedurende een interval tussen twee tijdstippen. Voor de prijsbepaling van een Parijse optie zijn raaktijden van de barrière van belang. De exittijd op een bepaald moment, het laatste tijdstip voor dat moment waarop de barrière geraakt is evenals de raaktijden kunnen worden berekend voor een prijsproces zonder drift. Het aanpassen van de kansruimte zorgt ervoor dat het mogelijk is simulaties zonder drift te genereren die leiden tot een schatter, waarbij de koers van de onderliggende waarde wel drift heeft. Uit de resultaten blijkt dat stratificatie naar het aantal sprongen variantiereductie oplevert. Eveneens blijkt uit de resultaten dat het aantal sprongen van invloed is op de optieprijs en op de rekentijd.

v

Voorwoord

Een jaar of tien, elf moet ik zijn geweest toen ik de beurskoersen in de krant ging bijhouden. ’s Ochtends de krant openslaan, het nieuws lezen en de indices bijhouden was een standaard doordeweeks ochtendritueel. Aandelen waren de eerste financiële producten die me bezig hielden, later kwamen daar ook obligaties en opties bij. De passie voor het analyseren van patronen en structuren is een belangrijk aspect waarom ik Technische Wiskunde ben gaan studeren. Patronen en structuren zijn overal terug te vinden in de natuur en in de samenleving en wiskunde duidt verbanden aan en probeert inzicht te geven in structuren. De interesse voor de finaniciële markten, waar eveneens patronen en structuren in te herkennen zijn is nooit verdwenen en heeft er toe geleid deze scriptie te schrijven. Deze scriptie vormt het sluitstuk van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Hierbij dank ik mijn begeleider Dr.ir. J.H.M. Anderluh voor zijn ondersteuning bij het tot stand komen van deze publicatie. Verder rest mij niets dan u veel leesplezier toe te wensen. R.W.B. van der Weijst

vii

Inhoudsopgave

Samenvatting

v

Voorwoord

vii

Introductie

1

I

Opties I.0.1 I.0.2

Nomenclatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Barrieroptie en Parijse optie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Prijsproces van de onderliggende waarde II.1 Geometrische Brownse beweging . . . . . II.1.1 Sprongen . . . . . . . . . . . . . . II.1.2 Rente . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.3 Risico-neutraal . . . . . . . . . . .

3 4 5

. . . .

7 7 8 8 8

. . . . . .

9 9 9 11 11 12 14

IV Verandering van de kansmaat IV.1 Kansruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Radon-Nikodym afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Girsanov transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 15 16

V Eigenschappen van het prijsproces V.1 Raaktijd barrière . . . . . . . . . . V.2 Simulatie exittijd . . . . . . . . . . V.3 Acceptatie-Rejectie methode . . . . V.4 Soorten Parijse opties . . . . . . .

. . . .

18 18 20 20 21

Algoritme van een Parijse optie VI.1 Stratificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 27

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

III Algoritme van de standaard barrieroptie III.1 Monte-Carlomethode . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter . . III.3 Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out III.3.1 Geval 1, Geen sprongen . . . . . . . . . . . III.3.2 Geval 2, een m aantal sprongen . . . . . . . III.3.3 Geval 3, meer dan m sprongen . . . . . . .

VI

. . . .

. . . .

. . . .

VII Resultaten

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . barrieroptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

28

viii

VII.1 Variantie . . . . . . . . . . . . . VII.2 Down-and-In . . . . . . . . . . . VII.2.1 Gestratificeerde methode VII.3 Down-and-Out . . . . . . . . . . VII.4 Up-and-In . . . . . . . . . . . . . VII.5 Up-and-Out . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

28 29 31 32 33 34

Conclusie

36

Discussie

37

ix

Introductie

“ Derivatives are financial weapons of mass destruction ” Warren Buffet

Deze uitspraak van het Orakel van Omaha in zijn jaarlijkse brief aan aandeelhouders wees op de ’catastrofale’ risico’s die Buffet voor kopers, verkopers en voor de economie als geheel, in derivaten zag. De snelle groei van de handel in derivaten de laatste jaren, die de Amerikaan zorgen baarde, heeft het aantal wiskundigen dat bezig is met het bepalen van de waarde en de risico’s van opties flink doen toenemen. Opties zijn een type derivaten, financiële producten waarvan de waarde afgeleid is van een onderliggende waarde. Een onderliggende waarde is daarbij een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Er zijn vele speciale opties die in vakjargon bekend staan als exotische opties, barrieropties zijn er hier een van. Een voorbeeld van een type barrieroptie is een optie die zijn waarde verliest indien de koers van de onderliggende waarde de barrière raakt. Vele wiskundigen hebben zich bezig gehouden met de prijsbepaling van opties. Zo publiceerden Fischer Black en Myron Scholes de bekende naar hun vernoemde formule reeds in 1973 in ”The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Myron Scholes kreeg hiervoor in 1997 de ’Prijs van de Zweedse Bank voor economie ter nagedachtenis aan Alfred Nobel’, beter bekend als de Nobelprijs voor de Economie. Deze scriptie richt zich op de prijsbepaling van barrieropties in continue tijd, waarbij de koers van de onderliggende waarde een sprong-diffusie proces volgt. Behalve algoritmes voor de schatting van de prijs van standaard barrieropties wordt ook een algortime voor een speciaal type barrieroptie, de Parijse optie beschreven. De koers van de onderliggende waarde en de risicovrije rente zijn in dit model bepalend voor de uiteindelijke waarde van de optie op het tijdstip van uitgifte. Tenzij expliciet beschreven verwijst optie naar een calloptie. Waar in dit artikel over effectprijs of aandeelprijs gesproken wordt kan ook het algemenere onderliggende waarde worden gelezen. Schatting en (prijs)bepaling van de optieprijs worden als synoniemen gebruikt. In de financiële wereld waar derivaten op grote schaal worden verhandeld zijn accurate modellen voor de prijsbepaling van opties van groot belang. Het feit dat opties veelvuldig worden verhandeld en dat hier veel geld in omgaat maakt dat pragmatische modellen veelgevraagd zijn. Deze scriptie is opgebouwd uit een zeven tal hoofdstukken. In Hoofdstuk I bevat een algemene introductie in financiële opties, de standaard barrieroptie en de Parijse optie. Hoofdstuk II beschrijft hoe een prijsproces van een onderliggende waarde tot stand komt. In hoofdstuk III wordt beschreven hoe met de methode van Monte-Carlo een risico-neutrale prijs bepaald kan worden voor een optie aan de hand van de in het vorige hoofdstuk beschreven prijsproces. Vervolgens wordt een standaard en een gestratificeerd model van de prijsbepaling van een barrieroptie beschreven. Hoofdstuk IV verklaart de verandering van de kansmaat, zodat gerekend kan worden met een brownse beweging zonder drift. Genoemde verandering is nodig, daar uit een brownse 1

beweging zonder drift enkele eigenschappen afgeleid kunnen worden die gebruikt worden voor de prijsbepaling van een Parijse optie. Deze eigenschappen en de afleiding daarvan staan beschreven in hoofdstuk V. In Hoofdstuk VI wordt een algoritme beschreven om de prijs van een Parijse optie te bepalen. Het einde van dit hoofdstuk bevat een uitleg van een gestratificeerde schatter. Hoofdstuk VII beschrijft de gevonden resultaten van de methoden voor de prijsbepaling van de Parijse barrieroptie. Na deze hoofdstukken sluit het artikel af met de conclusie en de discussie. c (R2013a, Op de bijgevoegde cd zijn implementaties te vinden in de softwareomgeving Matlab The MathWorks, Natick, USA). De prijsbepaling van een Up-and-Out barrieroptie is hiermee mogelijk evenals de prijsbepaling van de vier soorten Parijse barrieropties beschreven in deze scriptie. Ook is de implementatie van de beschreven gestratificeerde Parijse optie schatter te vinden op de cd. In het README-bestand staat beschreven hoe de implementaties gebruikt kunnen worden voor de berekening van verschillende type opties met naar wens gekozen parameters.

2

I

Opties

De handel in financiële derivaten, producten die vaak tot doel hebben te speculeren of risico te dekken, heeft de laatste decennia een hoge vlucht genomen. Halverwege de zestiende eeuw ontstond in Amsterdam een systeem waarin particulieren schulden konden aangaan en deze schulden konden verhandelen. De eerste aandelen werden in Amsterdam verhandeld, deze waren van de Verenigde Oost-Indische Compagnie. De welvaart die in de Gouden Eeuw was ontstaan leidde tot de vraag naar luxe producten zoals tulpen, die rond 1550 in West Europa werden ge¨ıntroduceerd. Het aantal kopers oversteeg het aantal aanbieders waardoor de prijs van tulpen de pan uit rees. Speculanten begonnen met het sluiten van contracten, waarbij de verkoper van een contract de verplichting had om tulpenbollen te leveren in de volgende lente. Er waren ook contracten waarbij de koper verplicht werd tot afname van de bollen in de lente, deze vorm van zakendoen stond destijds bekend onder windhandel en noemt men nu optiehandel. De prijzen van tulpenbollen stegen tot recordhoogtes, zo werd èèn Viceroi, een paarswitte papegaaitulp, verhandeld voor 2.500 gulden. Deze tulpenmanie kwam aan zijn einde op 3 februari 1637 toen de prijzen enorm daalden. Dit moment wordt wel gezien als de eerste financiële zeepbel. De handel in opties nam pas echt zijn toevlucht, nadat opties in 1973 op de Chicago Board Options Exchange (CBOE) verhandeld werden. Voordat het begrip optie wordt gedefinieerd worden de volgende twee begrippen verklaard: • Onderliggende waarde - Een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Dit kunnen bijvoorbeeld aandelen in een bedrijf zijn, grondstoffen, valuta of onroerend goed. • Derivaat - Een derivaat is een financieel instrument dat is afgeleid van een onderliggende waarde id est de waarde van een derivaat is afhankelijk van de bijbehorende onderliggende waarde. Het begrip optie wordt nu als volgt gedefinieerd: Optie - Een optie is een derivaat. Het is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te kopen of verkopen op een specifieke datum of in een specifieke periode. Een summiere lijst van aanverwante begrippen wordt nu gegeven in de nomenclatuur.

3

I.0.1

Nomenclatuur

• Call-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te kopen op een eveneens vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde periode. • Put-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te verkopen op een vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde periode. • Uitoefenprijs - De vooraf bepaalde prijs waartegen de optiehouder een onderliggende waarde kan kopen (call) of verkopen (put). • Schrijver - De schrijver van de optie is de persoon die de optie verkoopt. • Houder - De houder ven een optie is de persoon die de optie koopt. • Uitoefenen - Het uitoefenen van de optie houdt in dat de houder van de optie de onderliggende waarde koopt of verkoopt van de schrijver. • Expiratiedatum - De expiratiedatum is de laatste datum, waarop een optie kan worden uitgeoefend. • Looptijd - Het tijdsinterval tussen het schrijven van de optie en de expiratiedatum. Het uitoefenen van opties kan binnen een bepaalde periode of enkel op één moment. Indien ze enkel uitgeoefend kan worden aan het eind van de looptijd op de expiratiedatum worden ze Europese optie genoemd. Wanneer het mogelijk is de optie uit te oefenen of elk moment voor de expiratiedatum, dan worden ze Amerikaanse optie genoemd. Er worden drie situaties onderscheiden bij opties met betrekking tot de koers van de onderliggende waarde in verhouding met de uitoefenprijs. Figuur I.1 geeft de opbrengst van een optie weer. Dit is de waarde van de optie min de prijs van de optie. • In-the-Money De koers van de onderliggende waarde is hoger (lager bij een put-optie) dan de uitoefenprijs van de call-optie. Het uitoefenen van deze optie levert geld op. • At-the-Money De koers van de onderliggende waarde is exact gelijk aan de uitoefenprijs van de call-optie (of put-optie). Het uitoefenen van deze optie levert geen geld op. In figuur I.1 is dit bij de uitoefenprijs K. • Out-of-the-Money De koers van de onderliggende waarde ligt lager (hoger bij een putoptie) dan de uitoefenrpijs, de call-optie heeft dan geen waarde. Het uitoefenen van deze optie zou geld kosten. Dat is niet verplicht, dus wordt de optie niet uitgeoefend en is hij waardeloos.

4

Figuur I.1: Winst/verlies van een optie met S de koers van de onderliggende waard en met K de uitoefenprijs

I.0.2

Barrieroptie en Parijse optie

Een Parijse optie is een exotische optie, een optie die complexe financiële structuren bevat in tegenstelling tot de ’standaard’ vanilla optie. Het is een type barrieroptie (van het Engelse ’barrier’ dat barrière betekent), een optie die pas kan worden uitgevoerd (of juist niet meer kan worden uitgevoerd) als de koers van de onderliggende waarde de vooraf vastgestelde barrière heeft aangeraakt. Er bestaan vier soorten barrieropties, de Up-and-Out, Up-and-In, Down-and-Out en Down-and-In optie. Bij een in-optie kan de optie alleen worden uitgevoerd na een knock-in. Een out-optie kan niet meer worden uitgevoerd na een knock out. Bij de Up-optie vindt er een knock-in of knock-out plaats, nadat er een excursie boven (up) de barrieère is geweest van een vooraf bepaalde lengte. En bij de Down-optie vindt er een knock-in of knock-out plaats, nadat er een excursie onder (down) de barrieère is geweest van een vooraf bepaalde lengte. Bij een standaard barrieroptie is deze lengte van de excursie niet van belang, het aanraken van de barrière is dan voldoende voor een knock-in dan wel een knock-out. Bij de Parijse optie moet de prijs van de onderliggende waarde wel boven of onder de barrière blijven voor een vooraf bepaalde periode, voordat de optie juist wel (of juist niet meer) uitgeoefend kan worden. Hierbij kan het vereist zijn dat de periode boven of onder de barrière aaneengesloten is voor de periode. 5

Het wel of niet meer kunnen uitoefenen van de optie na het raken of eronder/erboven blijven van de barrière wordt aangeduid met de volgende twee begrippen: • knock-in - De optie kan uitgevoerd worden na de knock-in (bij Up-and-In- en bij Downand-In-opties). • knock-out - De optie kan niet meer uitgevoerd worden na de knock-out (bij Up-and-Outen bij Down-and-Out-opties). Figuur I.2 laat zien wanneer een knock-out plaatsvindt bij een Up-and-Out barrieroptie en bij een Up-and-Out Parijse optie. In dit artikel zal enkel worden gekeken naar callopties. Bij de Parijse opties zullen de vier bovengenoemde typen worden beschreven, waarbij de periode boven of onder de barrière voor een knock-in of een knock-out aaneengesloten moet zijn.

Figuur I.2: Knock-out bij een Parijse en standaard barrieroptie

6

II II.1

Prijsproces van de onderliggende waarde

Geometrische Brownse beweging

De koers van een aandeel of andere onderliggende waarde kan worden beschreven met een wiskundig model dat bekend is onder de naam Brownse beweging. In dit hoofdstuk wordt deze beweging afgeleid en beschreven. Het is belangrijk op te merken dat een Brownse beweging een continue beweging is. Voor het vinden van een model voor een aandeelprijs S, moet rekening worden gehouden met het volgende: • Volatiliteit - De mate van bewegelijkheid van de koers van een onderliggende waarde. • (Stochastische) Drift - De gemiddelde verandering in de tijd in een stochastisch proces. De drift wordt als µ geschreven. De volatiliteit als σ. De prijs van de onderliggende waarde is hier weergegeven als S in formulevorm geeft dit de volgende stochastische differentiaalvergelijking: dS = Sµdt + SσdW (t))

(II.1)

Waarbij de stochast W (t) ∼N(0,t). Om te kijken naar de relatieve verandering van de koers van de onderliggende waarde wordt de formule herschreven als: dS = µdt + σdW (t) S

(II.2)

Dit staat bekend als de Brownse beweging. Het oplossen van deze stochastische differentiaalvergelijking geeft: S(t) = s0 eµt+σN (0,t)

(II.3)

Met het definiëren van N (t) ∼ N (µt, σt) kan dit worden geschreven als: S(t) = s0 eN (t) 7

(II.4)

II.1.1

Sprongen

Als we stellen dat er ook sprongen kunnen plaatsvinden is deze beweging niet meer continu. Tussen twee sprongen in is de beweging natuurlijk nog wel steeds continu. Het aantal sprongen in de modellen in deze scriptie wordt gesteld als Poisson verdeeld met parameter λ. In figuur II.1 is een prijsproces van een onderliggende waarde met sprongen weergegeven.

Figuur II.1: Enkele prijsprocessen met sprongen

II.1.2

Rente

In plaats van beleggen in opties kan men geld op de bank zetten. Voor het wiskundig model in deze scriptie wordt gesteld dat de bank een constante rente r geeft en er hierbij geen enkel risico is. Dus het plaatsen van een bedrag op de bank resulteert na verloop van tijd automatisch in een toename veroorzaakt door de rente. Het bedrag b0 op tijdstip t = 0 resulteert dus in het bedrag bt op tijdstip t. De samengestelde interest is in formulevorm gegeven door: ert d0 = dt

(II.5)

Nu geldt andersom dat indien de optieprijs aan het eind van de looptijd bekend is, dit verdisconteerd dient te worden om de prijs op het moment van schrijven van de optie te verkrijgen, aangezien men het ge¨ınvesteerde bedrag ook op de bank had kunnen zetten tegen de risicovrije rente. De waarde van de optie aan het begin van de looptijd moet dan ook worden vermenigvuldigd met de inverse van ert , die e−rt is.

II.1.3

Risico-neutraal

De verwachting van S(t) = s0 eN (t) is gegeven door: 1

s0 eµt+ 2 σ

2

(II.6)

Voor de risico-neutrale prijsbepaling van opties moet de verwachting gelijk zijn aan de risicovrije rente. Dit in combinatie met de sprongen geeft een uitdrukking voor de drift: 1 (II.7) µ = r − σ 2 + λ − λE[J] 2 8

III III.1

Algoritme van de standaard barrieroptie

Monte-Carlomethode

Voor het bepalen van de prijs van een optie wordt gebruik gemaakt van de Monte-Carlomethode. Deze bestaat eruit om aandeelpaden die onafhankelijk verdeeld zijn te simuleren, bij elk aandeelpad de waarde van de optie te berekenen en dan een gemiddelde nemen te van deze waarden om op een prijs uit te komen. De volgende formule geeft de methode weer voor het schatten van E[f (X)], waarbij X een aandeelpad is dat een Brownse beweging volgt met sprongen en waarbij f de functie is die de uitbetaling geeft bij een aandeelpad:

N 1 X f (xi ) N i=1

(III.1)

Uit de wet van de grote aantallen volgt dat deze schatter van E[f (xi )] zuiver is id est de formule convergeert naar E[f (xi )] voor N → ∞. De centrale limietstelling geeft dat de fout dan N ∼ σ2 0, N verdeeld is.

III.2

Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter

De waarde van een Up-and-Out barrier calloptie (UOC) kan worden berekend met de formule: UOC = e−rT E[(S(T ) − K)+ 1τB >T ] Waarbij • T = Expiratiedatum • r= rente • S(t)= De gesimuleerde prijs van de onderliggende waarde op tijdstip t 9

(III.2)

• K= Uitoefenprijs • τB = inf{t > 0 : S(t) ≥ B} Het eerste tijdstip waarop S(t) groter of gelijk is aan de barrière Indien de prijs van de onderliggende waarde op twee tijdstippen onder de barrière ligt, is de kans bekend dat de koers van de onderliggende waarde in de tussentijd de barrière heeft aangeraakt. [7] Als X(t) een Brownse beweging is met drift µ, volatiliteit σ en met max(a, b) < c met a, b, c, ∈ R dan:

P(u, c, a, b) ≡ P(sup(X(t) > c | X(0) = a, X(u) = b) = exp −2

(c − a)(c − b) uσ 2

(III.3)

Met X(t) de waarde van X op tijdstip t ∈ [0, u] [7] Indien de beginwaarde X(0) en de eindwaarde X(u) bekend zijn kan men dus de kans berekenen op dat X(t) het interval (0, u) boven de barrière is geweest. Het algoritme simuleert nu onafhankelijke prijsprocessen en geeft de bijbehorende uitbetaling. De Monte-Carlomethode geeft dan een schatting van de prijs van de optie gebaseerd op de verschillende prijsprocessen. Per prijsproces worden nu eerst het aantal sprongen en vervolgens de bijbehorende sprongtijden bepaald. Beginnend op tijdstip t = 0 met prijs van de onderliggende waarde S(0) = s0 kan nu de prijs van de onderliggende op het moment van de eerstvolgende sprong (of het einde van de looptijd) t = JT1 gesimuleerd worden met S(JT1 ) = s0 eN . Hierbij is N standaard normaal verdeeld met verwachting µJT1 en met variantie σ 2 JT1 . Als de nieuwe prijs S(JT1 ) boven de barrière ligt heeft er een knock-out plaatsgevonden en is de optie waardeloos geworden. Indien dat niet het geval is kan de kans worden bepaald dat de prijs van de onderliggende waarde toch de barrière heeft geraakt in tussenliggende tijd. Met een trekking uit de uniforme verdeling en deze kans wordt bepaald of de prijs van de onderliggende waarde inderdaad deze barrière heeft geraakt. Als dat het geval is, is de optie Out-of-the-Money. Indien dit niet zo is kan het algoritme worden herhaald tot aan het einde van de looptijd. Wanneer er tot op de expiratiedatum geen knock-out heeft plaatsgevonden wordt de optiewaarde behorend bij dit koersproces bepaald door: (S(T ) − K)+

(III.4)

Op de bijgevoegde cd is een implementatie van dit algoritme te vinden, de prijs van een Upand-Out barrieroptie met gekozen variabelen kan dan worden bepaald.

10

III.3

Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out barrieroptie

Het stratificieren van deze schatter naar het aantal sprongen is mogelijk en dit kan variantiereductie geven en/of de rekentijd verkorten voor het verkrijgen van een even nauwkeurige schatter. Een gestratificeerd algortime onderscheidt drie gevallen voor het aantal sprongen N (T ): • Geval 1, Geen sprongen • Geval 2, een m aantal sprongen • Geval 3, meer dan m sprongen De verwachte opbrengst van de optie is dan gegeven door: E[UOC] =

q X

= E[UOC|N (T ) = m]Pm + E[UOC|N (T ) > q]Pq

(III.5)

m=0

Met Pm = P(N (T ) = m) = e−λT

(λT )m m!

Pq = P(N (T ) > q) De q moet zo gekozen worden dat Pq klein genoeg is. Hier is q gekozen, zodat geldt: √ q ≥ λT + 3 λT

(III.6)

Het aantal onafhankelijke prijsprocessen dat gesimuleerd wordt voor de prijsbepaling van de optie is nu per sprongaantal (aantal·Pi ) afgerond op een geheel getal bij i sprongen. Waarbij aantal staat voor het totaal aantal runs voor de prijsbepaling van de optie. De Monte-Carlomethode geeft dan weer de uiteindelijke prijsbepaling gebaseerd op alle gesimuleerde onafhankelijke prijsprocessen. De simulatie bij de drie situaties die worden onderscheiden wordt nu nader verklaard.

III.3.1

Geval 1, Geen sprongen

In dit geval is de waarde van de optie analytisch te berekenen. Zoals beschreven door Rubinstein [10] geldt dan:

UOC = s exp ((µ + σ 2 /2 − r)T )((Φ(d1) − Φ(d2)) − (B/s)(2(1+µ/σ (2µ/σ 2 ))

(Φ(d3) − Φ(d4))) − K exp(−rT )(Φ(d5) − Φ(d6)) − (B/s)

√ • d5 = (ln(B/s0 ) − µT )/(σ T ) √ • d6 = (ln(K/s0 ) − µT )/(σ T ) √ • d1 = d5 − σ T

11

2 ))

·

(Φ(d7) − Φ(d8))

(III.7)

√ • d2 = d6 − σ T

√ • d3 = d5 − (2ln(B/s0 ) + σ 2 T )/(σ T ) √ • d4 = d6 − (2ln(B/s0 ) + σ 2 T )/(σ T ) √ • d7 = d5 − (2ln(B/s0 ))/(σ T ) √ • d8 = d6 − (2ln(B/s0 ))/(σ T ) Waarbij Φ de standaard normale distributie functie is.

III.3.2

Geval 2, een m aantal sprongen

Indien er wel sprongen zijn is de waarde niet analytisch te berekenen. De verwachting van UOC onder de voorwaarde dat er m sprongen zijn is hier:

Em [UOC] = E[UOC|N (T ) = m]

(III.8)

Bij de simulatie hiervan wordt eerst de grootte van de m-sprongen, genoteerd als Jm , gesimuleerd. Q Verder wordt J gedefinieerd als J = m n=1 Jn De intrinsieke waarde van de optie is enkel positief (UOC > 0) indien K < S(T ) < B. Er geldt daarom: E[UOC|J] = E[UOC|J, K < S(T ) < B]Pm (K < S(T ) < B|J) = E[UOC|J, K < S(T ) < B]P

K B < S(T ) < J J

) − µT ln( sB 0J √ = E[UOC|J, K < S(T ) < B] Φ σ T "

Het is nu uit te rekenen wat Φ

ln( sBJ )−µT 0√ σ T

−Φ

!

) − µT ln( sK 0J √ −Φ σ T

ln( sKJ )−µT 0√ σ T

(III.9)

!#

is. Voor het berekenen van

E[UOC|J, K < S(T ) < B], worden eerst de sprongtijden JT berekend. Met JTi is de tijd behorend bij sprong i. Dit wordt gedaan door m keer onafhankelijk uniform te trekken uit [0, T ]. Vervolgens worden de tijden geordend van laag naar hoog. Verder wordt JT0 = 0 en JTm+1 = T gegeven.

eXi =

S(JTi ) S(JTi−1 )

(III.10)

Dit geeft S(T ) Pm+1

S(T ) = s0 e

i=1

Xi

(III.11)

Alle Xi ’s zijn onafhankelijke random variabelen met verwachting µ(JTi −JTi−1 ) en met variantie σ 2 (JTi −JTi−1 ) Definieer Y =

m+1 P i=1

Xi , dan is de verwachting van Y gelijk aan µT en de variantie

σ 2 T Verder is Y geconditioneerd. Het moet aan de voorwaarde voldoen, zodat K J < S(T ) < B K B J . Dus Y moet tussen ln( s0 J ) en ln( s0 J ) liggen. Om dit te bewerkstelligen wordt eerst Y gegenereerd, waaruit vervolgens de Xi ’s worden bepaald. Het volgende lemma maakt duidelijk hoe de Xi ’s gekozen worden na het genereren van Y 12

Lemma 1. Laat Xi met i = 1, ..., n onafhankelijke normale random variabelen zijn. Met vern P ˜ 1 de verdeling van X1 hebben wachting µi en met variantie σi . Definieer Y = Xi . Laat X i=1

˜ i de verdeling van Xi hebben on de voorwaarde onder de voorwaarde Y = y. En laat voor i > 1, X ˜ i is een normale random variabele met verwachting X1 , ...Xi−1 , dan X µi +

σ 2 (Y −

Pi−1

en met variantie σi2

j=1 Xj − Pn 2 j=1 σj

σi2

1 − Pn

2 j=1 σi

Pn

j=1 µj )

!

Bewijs. De distributie van Xi onder de voorwaarde: n X

j=1

Xj = y −

i−1 X

Xj

j=1

Is gelijk aan de distributie van Xi onder de voorwaarde X1 = x1 , ..., Xi−1 = xi−1 , Y = y Het lemma geldt nu, omdat de joint distributie van Xi en van correlatie qPσni

j=1

σj2

.

n P

j=1

Xj bivariaat normaal is met

Als Y bepaald is met verwachting µT en met variantie σ 2 T conditioneel op het feit dat het tussen ln(K/s0 J) en ln(B/s0 J) ligt. Dan kan nu met behulp van dit lemma, gegeven Y , de X1 tot en met Xm gegenereerd worden. Noteer Si− = Si−1 eXi de waarde van S net voor de sprong en noteer Si = Si− Ji de prijs van de onderliggende waarde net na de sprong. Verder geldt S0 = s0 . Indien niet alle waarden van Si− en Si onder de barrière liggen is de waarde van de optie bij dit aandeelpad nul. Als deze waarden wel allen onder de barrière liggen moet nog worden gekeken of de barrière overschreden is tussen twee sprongen in. Dit is te berekenen met de formule gegeven bij III.3. Noteer met αn de conditionele kans dat de barrière niet is overschreden op het interval [JTi−1 , JTi ] dan is de uitbetaling van het bijbehorende prijsproces gegeven door:

−rT

e

+

(S(T ) − K)

"

B ln( sJ ) − µT √ Φ σ T

!

K ln( sJ ) − µT √ −Φ σ T

!# m+1 Y

αn

(III.12)

n=1

Merk hierbij op dat door term m+1 eén specifiek aandeelpad wordt gesimun=1 αnQer eigenlijk niet ´ m+1 leerd maar dat de optie met kans 1 − n=1 αn waardeloos is en dus met nul vermenigvuldigd Qm+1 −rT (S(T ) − K)+ heeft. De factor kan n=1 αn dat het de waarde e worden. En met de kans Q

Φ

B ln( sJ )−µT √ σ T

gesimuleerd is.

−Φ

K )−µT ln( sJ √ σ T

is tot slot de kans waaronder het aandeelpad conditioneel

13

III.3.3

Geval 3, meer dan m sprongen

Om E[UOC|N (T ) > q] te simuleren, wordt per prijsproces het aantal sprongen Z uit de verdeling van het aantal sprongen getrokken onder de voorwaarde dat Z > q geldt. Vervolgens wordt de methode Geval 2 gevolgd met een Z aantal sprongen. Zo wordt E[UOC|N (T ) > q] geschat op basis van verschillende UOC onder de voorwaarde dat N (T ) = Z voor Z die per prijsproces kan verschillen.

14

IV

Verandering van de kansmaat

Voor het berekenen van de raaktijd van de barrière evenals voor het berekenen van de exittijd, het moment waarop het prijsproces voor het laatst de waarde van de barrière heeft gehad, is het van belang dat de koers van de onderliggende waarde als een Brownse beweging zonder drift beschreven kan worden. Genoemde tijden zijn van belang voor het bepalen van de prijs van een Parijse optie. De hieronder beschreven verandering van de kansmaat zorgt ervoor dat de raaktijd en exittijd berekend kunnen worden aan de hand van een prijsproces zonder drift, hoewel het daadwerkelijke prijsproces wel drift vertoont.

IV.1

Kansruimte

Als (Ω, F, P) een kansruimte van een experiment is, dan is daar een kansmaat op te definiëren. Hierbij is Ω de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment. Verder is de filtratie F gedefinieerd als de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen, waarbij een gebeurtenis een deelverzameling van Ω is. Er geldt dat F de structuur van een σ-algebra heeft. Tot slot is P een functie P : F → [′, ∞] Als het onderstaande bovendien geldt is dit een kansmaat: • P(Ω) = 1 • P(∪∞ i=1 fi ) =

IV.2

P∞

i=1 P(fi )

voor elke disjuncte rij f1 , f2 , ... in F

Radon-Nikodym afgeleide

De verwachting van een continue functie h(Z) op de continue stochast Z gedefinieerd op kansruimte (Ω, F, Q) met kansdichtheidsfunctie g, geeft de volgende verwachting Rten opzichte van R∞ z g(x)dx voor kansmaat Q: EQ [h(Z)] = −∞ h(z)g(z)dz met verdelingsfunctie Q(Z ≤ z) = −∞ z ∈ R Een nieuwe kansmaat is nu te definiëren: P(A) = EQ

f (Z) = 1A g(Z)

15

Z

k∈A

f (Z(k)) dQ(k) g(Z(k))

(IV.1)

Waarbij moet gelden dat uit g(a) = 0 volgt f (a) = 0 Er kan nu worden nagegaan dat P een kansmaat op (Ω, F) is. Nu geldt: P(Z ≤ z) =

Z

k:Z(k)≤z

f (Z(k)) dQ(k) = g(Z(k))

Z

z

f (x)dx

(IV.2)

−∞

Dus heeft de stochast Z kansdichtheidsfunctie f onder deze kansmaat. Neem 2

• g(x) =

x √ 1 e− 2t 2πt

• f (x) =

√ 1 e− 2πt

(x−mt)2 2t

Dan geldt:

m2 t f (x) = emx− 2 g(x)

(IV.3) √ 1 e− 2πt

Nu geldt onder kansmaat Q : Z ∼ N (0, t) De functie f (x) = onder kansmaat P : Z ∼ N (mt, t) P(A) = EQ

(x−mt)2 2t

m2 t dP f (x) = emZ− 2 P(A) = EQ 1A 1A g(x) dQ

, geeft dat geldt

(IV.4)

= s0 eσ(mt+W (t)) = s0 eσZ(t)

(IV.5)

De Nikodym afgeleide is dan gedefinieerd als 1 2 dP |T = e− 2 m T +mZ(T ) dQ

r−1/2σ 2 . σ

Met m =

µ σ

IV.3

Girsanov transformatie

=

Het prijsproces is te schrijven onder kansmaat P als: S(t) = s0 e(r−1/2σ

2 )t+σW (t)

Met W (t) de standaard Brownse beweging onder kansmaat P en Z(t) = W (t) + mt is een standaard Brownse beweging onder kansmaat Q. Dit geeft voor het raken van de barrière: S(t) = s0 eσZ(t) ⇔ Z(t) <

1 ln(B/s0 ) σ

(IV.6)

De uitbetaling van een Parijse calloptie is dan gegeven door: e−rT EP [Ψ(s0 eσZ(t) )0≤t≤T )] = e−rT EQ

(IV.7)

dP Ψ((s0 eσZ(t) 0≤t≤T ) dQ|T

16

(IV.8)

1

2

= e−rT e− 2 m T EP [emZ(T ) Ψ((s0 eσZ(t) )0≤t≤T )]

(IV.9)

Met Ψ:(s0 eσZ(t) )0≤t≤T → R met R ≥ 0 de uitbetaling van een Parijse calloptie voor een aandelenpad (s0 eσZ(t) )0≤t≤T En met Z(t) de standaard Brownse beweging onder kansmaat Q en onder kansmaat P als Z(t) = mt + W (t) met W (t) een standaard Brownse beweging onder kansmaat P. Na de simulatie van het later gegeven algoritme zal er een waarde voor de Parijse optie gegeven zijn, die aan bovenstaande verdeling voldoet indien er geen sprongen zouden zijn geweest. Delen door het product van de sprongen geeft de verdeling. De bijbehorende Z(t) is dan uit te rekenen door

Z(T ) =

ln

(ST /SprongT otaal) s0

σ

17

(IV.10)

V V.1

Eigenschappen van het prijsproces

Raaktijd barri` ere

Voor het berekenen van de raaktijd is het reflectieprincipe [8] van belang. Dit principe bewijst het volgende: Laat Wt een Brownse beweging zijn met filtratie F Definieer voor een vaste 0 < b ∈ R τb = inf (t ≥ 0 : Wt = b)

(V.1)

Definieer het proces {B(t), t ≥ 0} door: B(t) =

(

2W (t) 2b − W (t)

als t ≤ τb als t > τb

Dan is {B(t), t ≥ 0} een Brownse beweging.

Figuur V.1: Het reflectieprincipe Definieer M (t) = sup (W (s)) Met W (t) een standaard Brownse beweging met 0 ≤ s ≤ t. Indien M (t) < b met b > 0 de barrière zoals eerder gedefinieerd, dan heeft de eerste raaktijd τb niet plaatsgevonden. Dan is de kansverdeling van de eerste raaktijd τB = inf{t : S(t) = B} van de barrière b indien er geen sprongen zijn onder kansmaat Q gegeven door: 18

Q(τb < t) = Q(M (t) > b)

(V.2)

= 1 − Q(M (t) ≤ b))

(V.3)

= 1 − Q(M (t) ≤ b, W (t) ≤ b)

(V.5)

= 1 − [Q(M (t) ≤ b, W (t) ≤ b) + Q(M (t) ≤ b, W (t) > b)] = 1 − Q(M (t) ≤ b|W (t) ≤ b)Q(W (t) ≤ b)

(V.4) (V.6)

= 1 − (1 − Q(M (t) > b|W (t) ≤ b))Q(W (t) ≤ b) Q(M (t) > b, W (t) ≤ b) Q(W (t) ≤ b) =1− 1− Q(W (t) ≤ b) = 1 − (Q(W (t) ≤ b) − Q(M (t) > b, W (t) ≤ b)) b = 1 − Q Z ≤ √ − Q(M (t) > b, W (t) ≤ b) t b = 1 − Q Z ≤ √ − Q(2b − B(t) ≤ b, M (t) > b) t b = 1 − Q Z ≤ √ − Q(B(t) ≥ b, M (t) > b) t b = 1 − Q Z ≤ √ − Q(B(t) ≥ b) t b b = 1 − Q Z ≤ √ − Q(Z ≥ √ ) t t b −b = 1 − Φ √ − Φ( √ ) t t b = 1 − 2Φ √ − 1 t b =2 1−Φ √ t b = 1 − Q |Z| < √ t b = Q |Z| ≥ √ t ! 2 b ≥t =Q Z2

(V.7) (V.8) (V.9) (V.10) (V.11) (V.12) (V.13) (V.14) (V.15) (V.16) (V.17) (V.18) (V.19) (V.20)

Waarbij Φ de cumulatieve distributiefunctie behorende bij de standaard normale verdeling is en met Z ∼ N (0, 1). Voor de barrieère geldt:

1

S(t) = s0 e(r− 2 σ

2 )t+σW (t)

bt :=

> B ⇐⇒ W (t) >

ln( sB0 ) − (r − 21 σ 2 )t

ln( sB0 ) − (r − 21 σ 2 )t σ

19

σ

(V.21)

(V.22)

Hierbij is bt gedefinieerd als nieuwe barrière voor W (t) De eerste raaktijd voor de barrière bt = en zet:

ln( sB )−(r− 21 σ 2 )t 0

σ

τb =

V.2

is nu te berekenen. Genereer Z ∼ N (0, 1)

b2 Z2

Simulatie exittijd

De exittijd, het laatste tijdstip voor t waarvoor de prijs van de onderliggende waarde gelijk is aan de barrière onder de voorwaarde dat t = 0 een raaktijd van de barrière was, is gedefinieerd als:

γ(t) = sup{s ≤ t : W (s) = b}

(V.23)

De afleiding die gemaakt moet worden om uit deze verdeling te trekken is beschreven een artikel van K.L. Chung [6]. γ kan dan als volgt berekend worden:

γ(t) = tR(t) Met R(t) =

V.3

Z2 Z 2 +u2

, Z ∼ N (0, 1) , u =

W√(t) t

(V.24)

, W (t) ∼ N (0, t)

Acceptatie-Rejectie methode

De simulatie van de prijs van de onderliggende waarde op de tijd van de sprong, onder de voorwaarde dat de eerste raaktijd groter is dan die sprongtijd, kan worden gegenereerd met de acceptatie-rejectie methode. [2] Als A de gebeurtenis is dat τB > JT , met JT de eerstvolgende sprongtijd, τB de eerstvolgende raaktijd van de barrière, Y een stochast met verdeling van de waarde van S(JT ) is en X de stochast met verdeling van de waarde van S(JT |τB > JT ) is dan: P(Y ∈ dx; A) P(A)

(V.25)

P(τB > JT |S(JT ) ∈ dx)P(S(JT ) ∈ dx) = P(S(JT ) ∈ dx|τB > JT ) P(τB > JT )

(V.26)

P(X ∈ dx) = P(Y ∈ dx|A) = =

Als P(u, c, a, b) gedefinieerd is zoals in III.3 dan = P(u, c, a, b) = P(τB > JT |S(JT ). [7] De methode is nu als volgt: Simuleer S(JT ) en accepteer dit met de kans P(τB > JT |S(JT ) ∈ dx) Indien niet geaccepteerd, wordt de methode herhaald totdat de waarde S(JT ) geaccepteerd wordt. 20

V.4

Soorten Parijse opties

De Up-and-Out, Up-and-In, Down-and-Out en Down-and-In hangen met elkaar samen [5] Met bescheiden aanpassingen is een algoritme voor de prijsbepaling van een Parijse optie voor een van deze typen te modificeren voor een prijsbepaling van de andere soorten. Indien de prijzen C van de Black-Scholes calloptie bekend zijn kunnen de Parijse callopties ook worden afgeleid uit een ander type Parijse opties. Noteer de prijs van een Parijse calloptie met: • Up-and-Out UOC • Up-and-In UIC • Down-and-Out DOC • Down-and-In DIC Dan volgt het verband tussen Up-and-Out en Up-and-In (Of Down) uit het feit dat een een standaard optie een optelling van de knock-in en van de knock-out Parijse optie is: C = UOC + UIC C = DOC +DIC

21

VI

Algoritme van een Parijse optie

Het algoritme om een Parijse Down-and-In optie te berekenen is beschreven in deze paragraaf. Met kleine aanpassingen kan dit algoritme worden aangepast om de waarde van een Parijse Down-and-Out, Up-and-In of Up-and-Out optieprijs te berekenen. Hoewel alleen het Downand-In algoritme beschreven is zijn ook de andere implementaties van het algoritme in de softc terug te vinden op de bijgeleverde cd. Resultaten van het algoritme wareomgeving Matlab behorend bij de vier verschillende Parijse opties zijn gegeven in het gelijkluidende hoofdstuk. Er zijn referentieprijzen bekend behorend bij een Down-and-In Parijse optie, derhalve is van die optie hieronder een algoritme beschreven. Gegeven dat het prijsproces van de onderliggende waarde een geometrische Brownse beweging volgt, wordt de waarde van één optie gesimuleerd bij een behorend koersverloop. Uit de MonteCarlomethode volgt de uiteindelijke schatting van de prijs van een optie gebaseerd op de verschillende prijsprocessen. De Girsanov transformatie maakt het mogelijk het prijsproces als een standaard Brownse beweging te simuleren, wat nodig is voor de berekening van de eerstvolgende raaktijd van de barrière. • Het aantal sprongen en de hierbij behorende tijden worden aan het begin van het algoritme bepaald. Het aantal sprongen m is Poisson verdeeld met verwachting λ, hieruit wordt een trekking gedaan. Vervolgens worden de tijden van de sprongen bepaald door m trekkingen uit U (0, T ) = T · U (0, 1), waarna deze waarden worden gesorteerd van klein naar groot. De grootte per sprong wordt per sprong bepaald door een trekking uit U ( 12 , 23 ). Het moment van de sprong i wordt aangegeven met JTi . De eerstvolgende sprong ten opzichte van de tijd waarin het prijsproces zich bevindt wordt genoteerd met JT . Indien er geen sprongen meer zijn tot aan de expiratiedatum, is de eerstvolgende sprong gelijk aan de expiratiedatum. Het algoritme kijkt enkel naar de prijsontwikkeling van de onderliggende waarde tot aan de eerstvolgende sprong. Het stopt wanneer t = T , de expiratiedatum is dan bereikt. Er zijn drie stadia te beschrijven van de koers van de onderliggende waarde ten opzichte van de barrière. • De prijs van de onderliggende waarde is kleiner dan de barrière, de prijs bevindt zich in deze situatie onder de barrière • De prijs van de onderliggende waarde is gelijk aan de barrière, de prijs bevindt zich in deze situatie op de barrière • De prijs van de onderliggende waarde is groter dan de barrière, de prijs bevindt zich in 22

deze situatie boven de barrière Het algoritme bepaalt in welk stadium de prijs van de onderliggende waarde zich bevindt en simuleert vanuit daar een prijs van de onderliggende waarde verder in de tijd. Ondertussen wordt er bijgehouden of de koers van de onderliggende waarde, langer dan of gelijk aan de vooraf gestelde periode, onder de barrière is geweest. Het stadium waarin de koers zich bevindt wordt bepaald door de Barrière te vergelijken met de koers van de onderliggende waarde. Het algoritme stopt wanneer de tijd gelijk is aan de expiratiedatum. In figuur VI.1 is het algoritme met de drie mogelijke situaties waarin de prijs van de onderliggende waarde zich kan bevinden, weergegeven. De pijlen vertegenwoordigen de mogelijkheden om van een stadium naar een ander stadium te gaan. Lengte staat voor de aaneengesloten lengte van de excursie onder de barrière tot dat moment.

lengte

Boven(lengte)

lengte =0

Op

Onder

Figuur VI.1: Model algoritme De drie situaties waarin de prijs onderliggende waarde ten opzichte van de barrière zich kan bevinden worden nader uitgelegd. • Onder de barri` ere - De prijs van de onderliggende waarde is nu kleiner dan de barrière. Het is nu mogelijk de eerstvolgende raaktijd van de barrière te simuleren. Hierna zijn er twee mogelijke situaties te onderscheiden: – (tijd + τ < JT ) De eerstvolgende raaktijd is voor de eerstvolgende sprong of voor de expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is weergegeven in figuur VI.2 De duur van de excursie onder de barrière dient nu uitgebreid te worden met τ , zodat voor de nieuwe lengte van de excursie geldt: (nieuwe)lengte = (bestaande)lengte+τ . Het algoritme houdt nu bij of er een knock-in heeft plaatsgevonden. Het stadium wordt veranderd naar Op de barrière en het algoritme gaat daar verder. – (tijd + τ ≥ JT ) De eerstvolgende raaktijd is na de eerstvolgende sprong of na de expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is weer23

Figuur VI.2: gegeven in figuur VI.3

Figuur VI.3: De kans op een eerstvolgende raaktijd na JT is gelijk aan de kans op een pad van de onderliggende waarde die de barrière niet raakt voor JT . Zoals eerder aangetoond kan dan met de acceptatie-rejectie methode een nieuwe prijs voor de onderliggende waarde worden bepaald op tijdstip JT . Een waarde voor S met deze verdeling kan nu worden gesimuleerd op het moment van de sprong. De oude lengte van de excursie onder de barrière wordt opgeteld bij het interval van de tijd tot aan JT . Het algoritme kijkt of er een knock-in heeft plaatsgevonden. Vervolgens wordt de sprong berekend die een nieuwe waarde van S net na de sprong oplevert. De eerstvolgende sprongtijd JT wordt nu aangepast aan de volgende sprongtijd (of expiratiedatum, bij afwezigheid van een volgende sprongtijd). Het stadium wordt opnieuw bepaald na de sprong en daar wordt verder gegaan met het algoritme. • Op de barri` ere - De prijs van de onderliggende waarde is gelijk aan de barrière, de prijs bevindt zich in deze situatie op de barrière. Er geldt nu S = barrière en de lengte van de huidige excursie onder de barrière is nul (lengte = 0). Twee situaties of er al dan niet voldoende tijd is voor een mogelijke knock-in voor JT , worden onderscheiden: – (JT − tijd) < D Er is geen mogelijkheid voor een knock-in voor JT . De waarde B wordt bepaald door B = (interval) · Z met interval = JT − tijd en Z ∼ N (0, 1). Nu wordt tijd = JT en wordt JT de nieuwe eerstvolgende sprongtijd (of expiratiedatum,

24

bij afwezigheid van volgende sprongtijd). Deze waarde van B is positief, dan wel negatief. ∗ B = interval · Z < 0 Zie figuur VI.4

Figuur VI.4: De duur van de excursie onder de barrière wordt nu bepaald door γ, die berekent hoeveel tijd voor het laatst berekend tijdstip het prijsproces constant onder de barrière is gebleven. Er geldt dan: lengte = γ. De waarde van S voor de sprong wordt nu berekend met de formule S = Barrière · eσB . Vervolgens wordt S na de sprong berekend en wordt het stadium aan de hand van de nieuwe S bepaald. ∗ B = interval · Z > 0 Zie figuur VI.5

Figuur VI.5: Er is geen lengte van de excursie onder de barrière opgebouwd die mogelijk zou kunnen leiden tot een knock-in. De waarde van S voor de sprong wordt nu berekend met de formule S = Barrière · eσB . Vervolgens wordt S na de sprong berekend en wordt het stadium aan de hand van de nieuwe S bepaald. – (JT − tijd) ≥ D Er is nu een mogelijkheid voor een knock-in voor JT . Er wordt vervolgens een nieuwe waarde gesimuleerd op tijdstip tijd+D. Deze waarde wordt bepaald door: B = D ·Z, waarbij Z ∼ N (0, 1). Deze waarde is positief, dan wel negatief. ∗ B = D · Z < 0 De lengte van de duur onder de excursie wordt nu bepaald door γ, die berekent hoeveel tijd voor tijdstip tijd + D het prijsproces constant onder de barrière is gebleven. Er geldt dan: lengte = γ. Het stadium wordt nu Onder de barrière. De waarde van S wordt nu berekend met de formule S = Barrière · eσB 25

∗ B = D ·Z > 0 Er heeft geen knock-in plaatsgevonden in dit interval. Het stadium wordt nu Boven de barrière. De waarde van S wordt nu berekend met de formule S = Barrière · eσB • Boven de barri` ere - De prijs van de onderliggende waarde is groter dan de barrière. De duur van de huidige excursie onder de barrière kan op nul worden gezet. De eerstvolgende raaktijd van de barrière kan nu worden gesimuleerd. Hierna zijn er twee mogelijke situaties te onderscheiden: – (tijd + τ ) < JT De eerstvolgende raaktijd is voor de eerstvolgende sprong of voor de expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is weergegeven in figuur VI.6

Figuur VI.6: Het stadium wordt veranderd naar Op de barrière en het algoritme gaat daar verder met de nieuwe tijd, die van de raaktijd tijd + τ . – (tijd + τ ) ≥ JT De eerstvolgende raaktijd is na de eerstvolgende sprong of na de expiratiedatum indien er geen sprongen meer volgen. Een voorbeeld hiervan is weergegeven in figuur VI.7

Figuur VI.7: De kans op een eerstvolgende raaktijd na JT is gelijk aan de kans op een pad van de onderliggende waarde die de barrière niet raakt voor JT , zoals eerder beschreven. S met deze verdeling, kan nu worden gesimuleerd op het moment van de sprong. Dan wordt de sprong berekend die een nieuwe waarde van S oplevert. De eerstvolgende sprongtijd JT wordt nu aangepast aan de volgende sprongtijd (of expiratiedatum, bij afwezigheid van volgende sprongtijd). Het stadium wordt opnieuw bepaald na de sprong en daar wordt verder gegaan met het algoritme.

26

Indien tijd = T , de tijd gelijk is aan de expiratiedatum kijkt het algoritme of er een knockin plaats heeft gevonden. Als die niet heeft plaatsgevonden is de optie waardeloos. Indien er wel een knock-in heeft plaatsgevonden kijkt men naar de opbrengst. Deze is dan gelijk aan max[(S(T )−K), 0]. De toepassing van de Girsanov transformatie zorgt voor een factor waarmee we deze opbrengst moeten vermenigvuldigen. Evenals vermenigvuldiging met de rentefactor e−rT . De factor behorende bij de Girsanov transformatie luidt dan: exp(QV − 0.5T Q2 )

(VI.1)

S(T ) met V = ln(( SprongT otaal )/s0)/σ

VI.1

Stratificatie

Stratificatie kan zorgen voor variantiereductie. Het aantal sprongen is Poisson verdeeld met parameter λ, hieruit kan de kans op een m aantal sprongen worden berekend. Door het totaal aantal onafhankelijke prijsprocessen te vermenigvuldigen met de kans op een m aantal sprongen en dit af te ronden op een geheel getal en vervolgens dit aantal prijsprocessen met m sprongen te simuleren wordt een stratificatie naar het aantal sprongen, die hier de strata vertegenwoordigen, verkregen. Concreet betekent dit voor het algoritme dat twee situaties onderscheiden worden: • Geval 1, een m aantal sprongen, m ≥ 0 • Geval 2, meer dan m sprongen De verwachte opbrengst van de optie is dan gegeven door: E[R] =

q X

= E[R|N (T ) = m]Pm + E[R|N (T ) > q]Pq

(VI.2)

m=0

Met Pm = P(N (T ) = m) = e−λT

(λT )m m!

Pq = P(N (T ) > q)

(VI.3)

(VI.4)

De q moet zo gekozen worden dat Pq klein genoeg is. Hier is q gekozen, zodat geldt: √ q ≥ λT + 3 λT De implementatie van deze gestratificeerde methode is te vinden op de cd. In het aankomende hoofdstuk wordt de variantiereductie die dit oplevert behandeld.

27

VII

Resultaten

In de literatuur zijn referentieprijzen behorend bij een Parijse Down-and-In optie bekend, wanneer het prijsproces zich gedraagt als een Brownse beweging met drift. In dit hoofdstuk worden door het algoritme gegenereerde prijzen in het geval λ = 0 en er dus geen sprongen zijn, vergeleken met de referentieprijzen. De standaard methode voor de prijsbepaling van een Parijse Down-and-In calloptie wordt eveneens vergeleken met de gestratificieerde methode. Verder worden resultaten van Down-and-Out, Up-and-In en Up-and-Out beschreven. De volgende parameters zijn gevariëerd en worden weergegeven in tabellen voorzien van commentaar: • aantal runs van het algoritme • sprongintensiteit λ behorend bij de Poissonverdeling van de sprongen • rente • drift • volatiliteit • duur van de excursie boven/onder de barrière voor een knock-in of knock-out • uitoefenprijs Bij de gegenereerde resultaten is het van belang om naar de variantie te kijken om een beeld van de betrouwbaarheid van de resultaten te krijgen. Begrippen hieromtrent staan in onderstaande paragraaf.

VII.1

Variantie

Een schatting van de steekproefvariantie is te maken met de formule:

s2 =

n 1 X (xi − µ)2 n − 1 i=1

28

(VII.1)

Waarbij xi een optieprijs bij één aandeelpad is en µ de geschatte optieprijs, waarbij n aandeelpaden gesimuleerd zijn, is. Stelling 1. Laat X1 , X2 , ... een rij van onafhankelijke willekeurige variabelen zijn met gemiddelde 0 en variantie σ 2 en gemeenschappelijke verdelingsfunctie. Definieer: Sn =

n X

Xi

i=1

Dan limn→∞ P verdeling.

S√n σ n

≤ x = Φ(x) Met Φ de cumulatieve distributie van een standaard normale

Uit deze stelling volgt dat het steekproefgemiddelde n1 Sn bij benadering normaal verdeeld is met verwachting µ en met standaardafwijking √σn Een 95% betrouwbaarheidsinterval is nu gegeven door: σ σ (µ + 1, 96 √ , µ + 1, 96 √ ) n n

(VII.2)

En een 99% betrouwbaarheidsinterval is dan gegeven door: σ σ (µ + 2, 58 √ , µ + 2, 58 √ ) n n

VII.2

(VII.3)

Down-and-In

Onderstaande tabellen bevatten gegenereerde waarden van een Parijse Down-and-In optie. De gegeven CPU (van het Engelse “Central Processing Unit”) is hierbij de benodigde rekentijd voor het schatten van de optieprijzen. Down-and-In, S=100, Aantal runs λ=0 103 6,7359 4 10 6,6629 105 6,5623 6 10 6,5409

Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365 CPU λ=1 CPU λ=10 CPU λ = 100 CPU 0,6 6,9138 0,6 6 6,6482 6 65 6,7818 55 16,2305 125 34,1049 1124 623 6,7786 560

In de literatuur zijn referentieprijzen bekend van een Down-and-In Parijse optie, waarbij het onderliggende prijsproces een Brownse beweging met drift volgt. In het geval dat er geen sprongen zijn (λ = 0) met dezelfde parameters als in de tabel, is de referentieprijs 6, 54. Dit komt overeen met de gevonden waarde bij 106 onafhankelijke prijsprocessen. Het verschil tussen de referentieprijs neemt af naar mate dat het aantal runs toeneemt. De geschatte variantie van een prijsbepaling gebaseerd op een enkele run bij λ = 0 is s2 = 195, 9218 Het 99% betrouwbaarheidsinterval is nu dus gegeven door: √ √ 195, 9218 195, 9218 √ √ (µ + 2, 58 , µ + 2, 58 ) n n

(VII.4)

Bij 106 runs geeft dit afgerond op hele centen dat in 99% van de gevallen de uitkomst tussen de 6, 50 en 6, 58 in ligt. Indien het aantal runs 108 is, is het 99% betrouwbaarheidsinterval een factor 10 kleiner en is meer dan 99% zeker dat de uitkomst op de cent nauwkeurig is. 29

Figuur VII.1: Optieprijs Down-and-In met verschillende λ’s met λ op de x-as

Figuur VII.1 laat zien dat bij een Parijse Down-and-In optie de optieprijs hoger ligt naar mate er meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Dit is te verklaren door het feit dat meer sprongen voor een toename van de beweeglijkheid van de prijs van de onderliggende waarde zorgt. De kans om onder een barrière te raken, startend vanuit een prijs die hoger ligt dan de barrière, is dan groter. Dit maakt de kans op een knock-in groter bij meer sprongen. Er valt hierbij op te merken dat hoe groter λ, hoe langer de rekentijd. De volgende tabellen bevatten eveneens Down-and-In callopties. De waarden gegeven in de tabel zijn de enige aanpassingen van de parameters. Variabelen die niet in de tabellen zijn weergegeven zijn gegeven door S=100, Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365. Aantal runs 104 105 106

Duur =200/365 Lambda=0 CPU Lambda=1 0,2575 2 0,2994 0,2642 21 0,2701 0,2578 209 0,2858

CPU 3 30 348

10 De duur voor een knock-in is in bovenstaande tabel verlengd van 365 naar 200 365 . Zoals af te lezen uit de tabel is de waarde van dit type optie dan aanzienlijk lager. Dit is te verklaren doordat de kans op een knock-in wordt verkleind.

Aantal runs 104 105

r=0,025 σ=0,4 Lambda=0 CPU Lambda=1 8,6005 5 8,9271 8,5050 53 8,7732

CPU 6 63

Bovenstaande tabel waarbij r = 0, 025 en σ = 0, 4 heeft een drift µ = r − 21 σ 2 die niet meer gelijk is aan 0 zoals in het geval van r = 0, 045 en σ = 0, 3. De Girsanov transformatie wordt voor deze waarden van r en σ dan ook toegepast in het algoritme. De referentieprijs hierbij behorend is 8, 53, dit ligt binnen het 99% betrouwbaarheidsinterval. Hierbij moet worden opgemerkt dat de variantie niet gelijk is in alle gevallen. Andere waarden voor de parameters geven andere variantie’s en dus ook andere betrouwbaarheidsintervallen.

30

Uitoefenprijs 90 100 110

Aantal runs 104 105 104 105 104 105

Lambda=0 3,8322 3,8354 2,2032 2,1984 1,2071 1,2154

CPU 5 49 5 50 5 49

Lambda=1 4,0008 4,1584 2,8570 2,5653 1,4348 1,5274

CPU 6 61 5 56 6 59

Er zijn ook referentieprijzen bekend (met λ = 0) bij de aanpassingen van de uitoefenprijs. De verschillen tussen de onderstaande referentieprijzen en de met het algoritme bepaalde prijzen bedragen bij 105 runs enkele centen. De verschillen tussen de referentieprijzen en de geschatte prijzen vallen allen binnen het 99% betrouwbaarheidsinterval behorend bij deze waarden voor de variabelen. verschillende wijzigingen Duur=200/365 0,26 Uitoefenprijs = 90 3,84 Uitoefenprijs = 100 2,18 Uitoefenprijs = 110 1,21

VII.2.1

Gestratificeerde methode

Het doel van de gestratificeerde methode ten opzichte van de standaard methode is om variantiereductie te verkrijgen. Bij λ = 0 heeft stratificatie van het aantal sprongen geen invloed. De schatting van de variantie is uitgevoerd bij 103 runs. De geschatte variantie van 103 runs is uitgevoerd met 102 runs. Dit geeft bij λ = 1, 102 keer 103 runs en 0, 2276 als geschatte variantie bij de standaard methode. De rekentijd voor de 105 berekeningen bedraagt 54 seconden, dit is gelijk aan de rekentijd bij de gestratificeerde methode. De variantie bij de gestratificieerde methode is met 0, 1708 echter beduidend lager. De efficiëntieverhoging van de gestratificeerde methode is nu:

0,2276−0,1708 0,2276

≈ 0, 2496

De gegenereerde waarden bij λ = 1 staan in onderstaande tabel. Aantal runs 103 104 105 106

6,7195 6,8159 6,7783 6,7896

CPU 0,5 5 54 542

Uit een vergelijking tussen de tabel en waarden bij de standaard methode volgt dat de spreiding tussen uitkomsten bij verschillende aantal runs kleiner is.

31

VII.3

Down-and-Out

Down-and-In, S=100, Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365 Aantal runs λ=0 CPU λ=1 CPU λ=10 CPU λ = 100 CPU 103 19,8600 0,5 19,9547 0,6 104 19,7737 5 19,9027 5 105 19,5904 49 20,7049 55 28,9325 137 38,1999 1219 6 10 19,6358 491 20,5800 544

Figuur VII.2: Optieprijs Down-and-Out met verschillende λ’s met λ op de x-as Figuur VII.2 laat zien dat bij een Parijse Down-and-Out optie de optieprijs licht hoger ligt naar mate er meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Hoewel de toename beduidend kleiner is dan bij de Down-and-In en Up-and-In opties. De verandering van het aantal sprongen veroorzaakt twee zaken die van invloed zijn op de optieprijs. De kans op een knock-out is groter, daar het onderliggend prijsproces sneller onder de barrière duikt, hierdoor wordt de optie minder waard als er meer sprongen voorkomen. Dat de waarde van de optie toch stijgt naarmate er meer sprongen zijn, is te verklaren door het feit dat in het geval er geen knock-out is de kans op een hogere prijs van de onderliggende waarde groter is. Dit komt doordat de sprongen er voor zorgen dat de kans dat de waarde van het onderliggende effect meer afwijkt van de beginprijs vermenigvuldigd met de rentefactor groter is. Duur =200/365 Aantal runs Lambda=1 104 27,3227 105 27,1925 6 10 27,1296

CPU 3 31 292

10 200 Het verlengen van de duur voor een knock-out van 365 naar 365 zorgt ervoor, zoals af te lezen uit de tabel, dat de waarde van dit type optie stijgt. Dit is te verklaren doordat de kans op een knock-out wordt verkleind.


Aantal runs 104 105 104 105 104 105 32

Lambda=1 16,5696 16,7915 13,5373 13,0069 10,1988 10,0433

CPU 6 61 6 67 6 61

Het verhogen van de uitoefenprijs zorgt voor een daling van de optieprijs. Deze daling is relatief klein en absoluut groot, ten opzichte van de daling bij de Down-and-In optie.

VII.4

Up-and-In

Down-and-In, S=100, Barrière=90, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365 Aantal runs λ=0 CPU λ=1 CPU λ=10 CPU λ = 100 CPU 3 10 23,0391 0,5 24,7107 0,6 104 23,7757 5 25,1095 6 5 10 23,4778 47 25,2758 54 44,8305 101 53,1048 1243 106 23,5394 470 25,0874 542

Figuur VII.3: Optieprijs Up-and-In met verschillende λ’s met λ op de x-as Figuur VII.3 laat zien dat bij een Parijse Up-and-In optie de optieprijs hoger ligt naar mate er meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Dit is te verklaren door het feit dat meer sprongen voor een toename van de beweeglijkheid van de prijs van de onderliggende waarde zorgt. De kans om boven de barrière te raken, startend vanuit een prijs die hoger ligt dan de barrière, is dan groter. Dit maakt de kans op een knock-in groter bij meer sprongen. Bovendien is dit te verklaren door het feit dat de kans op een hogere prijs van de onderliggende waarde groter is. Dit komt doordat de sprongen er voor zorgen dat de kans dat de waarde van het onderliggende effect meer afwijkt van de beginprijs vermenigvuldigd met de rentefactor groter is. De kans op een zeer lage prijs van de onderliggende waarde stijgt ook, maar wat de waarde onder de uitoefenprijs ook is, is niet van belang voor de optieprijs, de optie is altijd waardeloos in het geval van een waarde kleiner dan de uitoefenprijs. Duur =200/365 Aantal runs Lambda=1 104 12,1713 5 10 11,9529 106 12,0321

CPU 3 31 307

200 10 naar 365 , is zoals af te lezen uit de Wanneer de duur voor een knock-in wordt verlengd van 365 tabel de waarde van dit type optie aanzienlijk lager. Dit is te verklaren doordat de kans op een knock-in wordt verkleind.

33


Aantal runs 104 105 104 105 104 105

Lambda=1 4,2484 4,1575 2,6202 2,5461 1,4730 1,5633

CPU 6 63 6 60 6 63

De relatieve (en absolute) daling veroorzaakt door de hogere uitoefenprijzen lijkt erg op die bij de Parijse Down-and-In optie.

VII.5

Up-and-Out

Up-and-Out, Aantal runs 103 104 105 106

S=100, Barrière=110, Uitoefenprijs 80, R=0,045, σ=0,30, Duur=10/365 λ=0 CPU λ=1 CPU λ=10 CPU λ = 100 CPU 2,8656 0,5 2,1803 0,5 2,6145 5 2,2956 5 2,6646 47 2,2798 54 0,3700 121 0,0484 917 2,6591 472 2,2943 543

Figuur VII.4: Optieprijs Up-and-Out met verschillende λ’s met λ op de x-as Figuur VII.4 laat zien dat bij een Parijse Up-and-Out optie de optieprijs lager ligt naar mate er meer sprongen voorkomen in de prijs van de onderliggende waarde. Dit is te verklaren door het feit dat meer sprongen voor een toename van de beweeglijkheid van de prijs van de onderliggende waarde zorgt. De kans om boven een barrière te raken startend vanuit een prijs die lager ligt dan de barrière is dan groter. Dit maakt de kans op een knock-out groter bij meer sprongen. Duur =200/365 Aantal runs Lambda=1 104 15,5721 105 15,4125 6 10 15,4459

CPU 3 28 282

200 10 naar 365 , is zoals af te lezen uit Wanneer de duur voor een knock-out wordt verlengd van 365 de tabel de waarde van dit type optie aanzienlijk hoger. Dit is te verklaren doordat de kans op een knock-out wordt verkleind.

34


Aantal runs 104 105 104 105 104 105

Lambda=1 0,9486 0,9351 0,2569 0,2498 0,0267 0,0274

CPU 5 54 5 54 5 54

De bovenstaande tabel geeft het verband weer tussen de uitoefenprijs en de optiewaarde. Relatief dalen de waarden hier harder dan de resultaten bij de andere opties. Uit deze tabellen bij verschillende opties kan worden opgemerkt dat bij een hoge optiewaarde de daling relatief klein is bij een verhoging van de uitoefenprijzen en dat bij een lage optiewaarde de daling relatief erg groot is en absoluut klein.

35

Conclusie

Een Europese calloptie is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs, de uitoefenprijs, te kopen op de expiratiedatum. Een barrieroptie is een exotische optie waarbij de uitbetaling afhangt van het raken van koers van de onderliggende waarde van de barrière gedurende de looptijd. Bij Parijse barrieropties is het ook nog van belang hoe lang de excursie boven (of onder) de barrière is voor een knock-in dan wel een knock-out. De prijsbepaling van barrieropties, die van groot belang is in de financiële wereld, wordt dus bepaald door het prijsproces van de onderliggende waarde, waarbij niet enkel de prijs van de onderliggende waarde op het moment van expiratie, maar gedurende het hele prijsproces van belang is. Dit prijsproces kan worden gezien als een sprong-diffusieproces, waarbij het model gebruikmaakt van een aantal sprongen dat Poisson verdeeld is. In deze scriptie wordt de risiconeutrale prijs van opties bepaald met de Monte-Carlomethode die het gemiddelde neemt van de waarde van opties bij verschillende onafhankelijke prijsprocessen. Dit geeft een zuivere schatting van de optieprijs bij de sprong-diffusieprocessen. Bij de simulatie van een prijsproces voor het schatten van de prijs van een standaard barrieroptie kunnen effectprijzen worden berekend op verschillende tijdstippen en dan kan worden berekend of de barrière is geraakt gedurende een interval tussen twee tijdstippen. Voor de prijsbepaling van een Parijse optie zijn raaktijden van de barrière van belang. De exittijd op een bepaald moment, het laatste tijdstip voor dat moment waarop de barrière geraakt is evenals de raaktijden kunnen worden berekend voor een prijsproces zonder drift. Het aanpassen van de kansruimte zorgt ervoor dat het mogelijk is simulaties zonder drift te genereren die leiden tot een schatter, waarbij de koers van de onderliggende waarde wel drift heeft. De resultaten laten zien dat stratificiatie naar het aantal sprongen zorgt voor variantiereductie en dus een kleiner betrouwbaarheidsinterval geeft. Dit kan ook worden gezien als dat de rekentijd voor eenzelfde betrouwbaarheidsinterval omlaag gaat bij stratificatie. Een hogere sprongintensiteit zorgt voor een langere rekentijd en afhankelijk van het type Parijse optie voor een hogere (Down-and-In, Down-and-Out en Up-and-In) dan wel lagere prijs (Up-and-Out). Het verlengen van de vereiste duur van de excursie boven of onder de barrière voor een knock-in of knock-out zorgt voor een kleinere kans op een knock-in dan wel knock-out, dit zorgt voor een hogere prijs van de knock-in opties en een lagere prijs van de knock-out opties.

36

Discussie

“ Derivatives generate reported earnings that are often wildly overstated and based on estimates whose inaccuracy may not be exposed for many years ” - Warren Buffet

Uit de stellingname van ‘superbelegger’ Buffet blijkt dat hij weinig vertrouwen heeft in modellen die gebruikt worden voor de prijsbepaling van opties. Er zijn inderdaad kanttekeningen te plaatsen bij dit model. Zo zijn verscheidene aannames gedaan die bij vervolgonderzoek heroverwogen moeten worden, daarenboven zijn er factoren weggelaten die van marginale invloed lijken voor de prijsbepaling, hoewel ze niettemin de acturatesse kunnen verhogen. Een uitermate belangrijke aanname voor de prijsbepaling van opties is dat de prijs van de onderliggende waarde een Brownse beweging volgt met sprongen die op elk moment op elk tijdstip dezelfde kans hebben om voor te komen. Hier zijn enkele kanttekeningen bij te plaatsen. • Voorkomen sprongen - Het voorkomen van sprongen is in het beschreven model Poisson verdeeld met parameter λ en de grootte is uniform (0.5,1.5) verdeeld. Doch er is dikwijls meer informatie over het voorkomen van sprongen bekend. Hoewel dit afhankelijk is van de betreffende onderliggende waarde zouden extra sprongen toegevoegd kunnen worden. Zo is het mogelijk, indien de onderliggende waarde aandelen van de beurs zijn die op vooraf bekende tijdstippen hun kwartaal/jaarcijfers publiceren, (kleine) sprongen toe te voegen op die vaste momenten. Hetzelfde geldt voor de dagelijkse sprongen bij de opening van de beurs. • Dividend - De onderliggende waarde kan dividend uitkeren op vooraf vastgestelde data. Op de dag dat de onderliggende waarde ex divident gaat, noteert het bij de opening vaak beduidend lager met een bedrag dat de hoogte van het dividend benadert. Als de hoogte van het dividend en de datum voor het schrijven van de optie vastliggen, zou het meenemen van dit gegeven bij de prijsbepaling van de optie een meer realistische prijs kunnen geven. • Volatiliteit - De Black-Scholes aanname van constante volatiliteit houdt geen stand. Hoewel niet direct duidelijk is hoe de volatiliteit varieert, zijn er voorspellingen voor deze parameter, waarbij de waarde verandert in de tijd. • Rente - Er is aangenomen dat er een risicovrije rente bestaat die gedurende de gehele looptijd van de optie constant is. Buiten het gegeven dat deze rente risicovrij zou zijn, blijkt in de praktijk dat de rente niet constant is. Modellen die schattingen maken van de rente in de toekomst bestaan en kunnen, indien goede modellen, de prijsbepaling verbeteren. • Risiconeutraal - Het model bevat de aanname dat de verwachting van de de Brownse beweging gelijk is aan de rente bij de risiconeutrale prijsbepaling.

37

Variantie in de resultaten zouden verkleind kunnen worden door het toepassen van variantie reducerende methoden, wat mogelijkheden schept voor vervolgonderzoek. • Variantiereductie - Door te stratificeren (buiten stratificatie naar sprongaantallen) kan variantiereductie worden verkregen. Ook andere variantiereducerende methoden kunnen er voor zorgen dat het algoritme sneller convergeert naar een prijs, zodat er met een kleiner aantal prijsprocessen een even betrouwbare prijs gegenereerd kan worden en de rekentijd gereduceerd kan worden. Deze factoren kunnen worden aangewend in toekomstige modellen om een accuratere prijs te bepalen en/of de variantie verhogen. Ander vervolgonderzoek zou kunnen bestaan uit het verbeteren van de efficiëntie om zo de rekentijd te verlagen, daar een korte rekentijd van belang kan zijn voor snelle beslissingen op de financiële markten.

38

Literatuur

[1] Anderluh, J.H.M. (2007) Probabilistic methods in exotic option pricing, Thomas Stieltjes Institute for Mathematics. [2] Asmussen, S and Glynn, P.W. (2000) Stochastic Simulation. Springer Science and Business Media LCC. [3] http://bbc.co.uk Bezocht op 5 april 2013. [4] http://www.berkshirehathaway.com/ Bezocht op 10 april 2013. [5] Chesney, M. Jeanblanc-PicquÃľ, M. en Yor, M. (1997) Brownian Excursions and Parisian Barrier Options, Advances in Applied Probability, jrg. 29, nr 1, pp. 165-184. [6] Chung, K.L. (1976) Excursions in Brownian motion. Adv. Appl. Prob. 14. [7] Ghamami, S. and Ross, S.M. (2010) Efficient Monte Carlo Barrier Option Pricing When the Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process, The Journal of Derivatives, jrg. 17, nr. 3, pp. 45-52. [8] Karatzas, I. Shreve, E.S. (1991) Brownian Motion and Stochastic Calculus. 0387976558. [9] Rice, J.A. (2007) Mathematical Statistics and Data Analysis 3. ed. University of California, Berkely, Thomson Brooks/Cole. [10] Rubinstein, M. and Reiner, E. (1991) Breaking Down the Barriers, Risk Magazine, jrg. 4, nr. 8, pp. 28-35.

39

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Recommend Documents