Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Pairtrading een model gebaseerd op de Brownse brug (Engelse titel: Pairtrading, a model based on the Brownian bridge)

Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging

van de graad van

BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE

door

Dirk Hazenoot Delft, Nederland 9 oktober 2012

c 2012 door Dirk Hazenoot. Alle rechten voorbehouden. Copyright

BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE

Pairtrading een model gebaseerd op de Brownse brug (Engelse titel: Pairtrading, a model based on the Brownian bridge)

Dirk Hazenoot

Technische Universiteit Delft

Begeleiders Dr. E.A. Cator

Dr. J.H.M. Anderluh

Overige commissieleden Prof.dr.ir. A.W. Heemink

Dr.ir. M. Keijzer

9 oktober 2012

Delft

Voorwoord De media berichten met enige regelmaat over gorilla’s die met bananen en andere voorwerpen de beurzen verslaan. Die berichten fascineren mij. Want financieel deskundigen zouden toch in staat moeten zijn met hun kennis en ervaring gebruikmakend van de meest geavanceerde computerprogramma’s en databestanden het toeval in die mate uit te sluiten dan wel te beperken dat zij de gemiddelden van de AEX, de Dow Jones en andere indexen kunnen overtreffen. Die fascinatie heeft mij ertoe doen besluiten serieus na te denken over een succesvolle strategie voor beurshandelaren. Ik heb mij daarbij beperkt tot het zogenoemde pairtrading. Een financieel instrument waarvan beurshandelaren bij hun bedrijfsvoering gebruik kunnen maken. In mijn bacheloreindwerk doe ik verslag van mijn onderzoek en van mijn resultaten. Een woord van dank ben ik verschuldigd aan mijn begeleider Dr. E.A. Cator die mij op allerlei wijzen heeft geholpen bij het tot stand brengen van mijn bacheloreindwerk. Dr. J.H.M. Anderluh is zo vriendelijk geweest mij te helpen met het verkrijgen van de noodzakelijke beursdata. Ook hem ben ik dank verschuldigd. Tenslotte bedank ik ir. W.L. Reekers werkzaam als Manager Supply Chain Optimisation bij SHELL Global Solutions voor zijn kritische opmerkingen. Voor op- en aanmerkingen van eventuele lezers van dit eindwerk houd ik mij graag aanbevolen. Dirk Hazenoot Oostzaan/Delft oktober 2012

v

Inhoudsopgave Voorwoord

v

Samenvatting

viii

Lijst met gebruikte symbolen

ix

1 Inleiding

1

2 Introductie in pairtrading 2.1 Algemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geschiedenis van pairtrading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2

3 Eenvoudige strategie 3.1 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rekentijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 6

4 Model voor koersveranderingen 4.1 Normale verdeling . . . . . . . 4.2 Brownse beweging . . . . . . . 4.3 Brownse brug . . . . . . . . . . 4.4 Model . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

7 7 8 8 9

5 Strategie 5.1 Strategie positie openen . . . . . . 5.2 Strategie positie sluiten . . . . . . 5.3 Grafische weergave . . . . . . . . . 5.4 Aanvullende regel . . . . . . . . . . 5.5 Bepaling optimale aantal aandelen, 5.5.1 Algemeen . . . . . . . . . . 5.5.2 Situatie 2 . . . . . . . . . . 5.5.3 Situatie 1 . . . . . . . . . . 5.6 Voorbeeld bij bepalen N0 . . . . . 5.7 Invloed van t0 op N0 . . . . . . . . 5.8 σ1 < σ0 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . N0 . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

12 12 13 14 14 16 16 17 19 19 21 23

6 Testprogramma 6.1 Algemeen . . . . . . . 6.2 Toelichting variabelen 6.2.1 Verhouding . . 6.2.2 µ . . . . . . . . 6.2.3 σ0 . . . . . . . 6.2.4 σ1 . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

25 25 25 25 25 25 25

7 Verificatie en Validatie van het model. 7.1 Verificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Testcase 1: K wordt niet gehaald en σ1 > σ0 7.1.2 Testcase 2: K wordt gehaald en σ1 > σ0 . . . 7.1.3 Testcase 3: K wordt niet gehaald en σ1 < σ0 7.1.4 Testcase 4: K wordt gehaald en σ1 < σ0 . . . 7.1.5 Uitkomsten verificatieonderzoek . . . . . . . . 7.2 Validatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Uitkomsten van het paar TOTAL en SHELL 7.2.3 Uitkomsten van het paar ING en AEGON . . 7.3 Bespreking uitkomsten . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

27 27 27 28 28 29 29 31 31 32 33 33

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

vi

7.4 7.5

Opmerkingen bij de aannamen van het model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Slotopmerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 36

8 Conclusies en verbeterpunten

37

Bijlagen

38

Referenties

39

Appendix

40

Verklarende woordenlijst

43

Samenvatting Pairtrading is een financieel instrument waarvan beurshandelaren gebruik kunnen maken. Dit instrument kenmerkt zich door het openen of het sluiten van een aandelenpositie waarbij een tweetal aandelentransacties tegelijkertijd worden uitgevoerd. Deze transacties zijn tegengesteld in die zin dat het ene aandeel wordt gekocht en het (equivalent van het) andere aandeel wordt verkocht. In dit bacheloreindwerk doen we verslag van ons onderzoek naar de vraag of het mogelijk is om voor beurshandelaren een strategie te ontwikkelen waarmee zij met behulp van pairtrading winsten kunnen realiseren. Om deze vraag te beantwoorden hebben we een wiskundig model ontwikkeld. Dit model hebben we gebaseerd op de zogenoemde Brownse brug omdat deze brug bepaalde eigenschappen heeft die vergelijkbaar zijn met de verschilkoers van pairtrading. Vervolgens hebben we uit dit model een strategie afgeleid. Deze strategie hebben we tenslotte met beursdata getest. Bij de verificatietesten van ons model zijn we ervan uitgegaan dat de diverse essentiële aannamen geldig zijn. Deze testen wijzen uit dat ons model goed werkt. Dat betekent dat onze strategie kan worden toegepast. Bij de validatietesten van ons model echter mogen we er a priori niet vanuit gaan dat deze aannamen geldig zijn. Die geldigheid moeten we - middels verantwoorde testen - vaststellen. Daarin zijn we onvoldoende geslaagd. Daaruit mogen we echter niet de conclusie trekken dat deze aannamen niet geldig zijn. We hebben ze immers in overleg zorgvuldig en met overtuiging gekozen. Toch brengt die onzekerheid mee dat ons model en onze strategie nog niet succesvol door beurshandelaren kunnen worden ingezet. Daartoe zouden we methoden moeten ontwikkelen waarmee we onze aannamen kunnen testen op hun geldigheid. Daarnaast zouden we ook gebruik moeten kunnen maken van meer geco¨ıntegreerde paren. Tevens zouden we in staat moeten zijn over een langere periode testen uit te voeren. Tenslotte zouden we de schattingen van de variabelen a, µ, σ0 en σ1 , moeten verbeteren. Deze werkzaamheden vallen evenwel buiten het bestek van dit bacheloreindwerk.

viii

Lijst met gebruikte symbolen a a ˆ a(t) B(t)

Verhouding tussen aandeel A en aandeel B. Schatting voor a. Verhouding tussen p(t) en Z1 . Brownse brug.

C(t) E[Z1 |p(t)] γ(t)

Hoeveelheid geld in bezit op tijdstip t. Verwachting op t van de slot-verschilkoers. Het p(t)-onafhankelijke deel van Z1 .

K µ = E[Z1 ]

Maximaal toelaatbaar verlies op één handelsdag. Verwachting op t = 0 van de slot-verschilkoers.

µ ˆ N (t) N0 p(t)

Schatting voor µ. Hoeveelheid aandelen A in bezit op tijdstip t. Aantal aandelen voor optimale winst bij t0 . Relatieve verschilkoers.

σ0 σˆ0 σ1

Standaardafwijking van Z1 op t = 0. Schatting voor σ0 . Standaardafwijking van de Brownse brug.

σˆ1 t0

Schatting voor σ1 . Tijdstip waarop een positie wordt geopend.

W (t) W i(t) Z0 Z1

Waarde van de portfolio op tijdstip t. Wienerproces. Openings-verschilkoers (t = 0). Slot-verschilkoers (t = 1).

ix

1

Inleiding

In ons onderzoek staat de vraag centraal of het mogelijk is om voor beurshandelaren een strategie te ontwikkelen waarmee zij met behulp van pairtrading winsten kunnen realiseren. Om deze vraag te beantwoorden hebben we een wiskundig model ontwikkeld. Dit model hebben we gebaseerd op de zogenoemde Brownse brug omdat deze brug bepaalde eigenschappen heeft die vergelijkbaar zijn met de verschilkoers van pairtrading. Vervolgens hebben we uit dit model een strategie afgeleid. Deze strategie hebben we tenslotte met beursdata getest. In ons onderzoeksverslag besteden we in hoofdstuk 2 aandacht aan het financiële instrument pairtrading. In hoofdstuk 3 beschrijven we een eenvoudige handelsstrategie. In hoofdstuk 4 behandelen we ons wiskundig model. In hoofdstuk 5 zetten we onze strategie uiteen. In hoofdstuk 6 behandelen we het testprogramma en geven we een schatting voor een viertal variabelen gebaseerd op beursdata. In hoofdstuk 7 behandelen we de verificatie en de validatie van het model. In hoofdstuk 8 tenslotte zetten we onze conclusies uiteen.

1

2 2.1

Introductie in pairtrading Algemeen

Pairtrading is een financieel instrument dat zich kenmerkt door het openen of het sluiten van een aandelenpositie waarbij een tweetal aandelentransacties tegelijkertijd worden uitgevoerd. Deze transacties zijn tegengesteld in die zin dat het ene aandeel wordt gekocht en het andere wordt verkocht. Bij het handelen in aandelen wordt in de regel geprobeerd overgewaardeerde aandelen te verkopen en ondergewaardeerde aandelen te kopen. De verwachting is immers dat de aandelen later in de tijd hun ‘echte’ prijs krijgen. Om te weten wanneer een aandeel over- of ondergewaardeerd is zou je de echte waarde moeten kennen. Maar de echte waarde van een aandeel bepalen is (in de praktijk) vaak moeilijk. Pairtrading werkt daarom niet met absolute prijzen, maar met relatieve prijzen. We gaan ervan uit dat de relatieve prijzen van twee aandelen van vergelijkbare bedrijven (uit dezelfde branche) ongeveer gelijk zullen zijn. Als de relatieve prijzen verschillen en de waarde van aandeel A is groter dan de waarde van aandeel B onderscheiden we drie situaties, te weten: situatie 1. het ene aandeel A is overgewaardeerd en het andere aandeel B is goedgeprijsd; situatie 2. het ene aandeel B is ondergewaardeerd en het andere aandeel A is goedgeprijsd; situatie 3. het relatieve prijsverschil kan natuurlijk ook een combinatie zijn van situatie 1. en situatie 2.: beide aandelen (A en B) zijn niet goedgeprijsd en aandeel A is overgewaardeerd en aandeel B is ondergewaardeerd. Pairtrading bestaat uit het verkopen van het hooggeprijsde aandeel en het kopen van (het equivalent van) het laaggeprijsde aandeel. Immers we verwachten dat het verschil in prijs in de toekomst niet meer zal bestaan. Het verschil tussen de prijs van het ene aandeel A en (het equivalent van) het andere aandeel B wordt de spread genoemd. In het algemeen geldt dat hoe groter de spread des te meer winst een beurshandelaar met pairtrading kan realiseren. Pairtrading is marktneutraal. Dat wil zeggen dat de beweging van ‘de markt’ geen invloed heeft op de winsten van de beurshandelaar. Een stijging van de gehele markt (bijvoorbeeld de AEX stijgt) zal normaliter zorgen voor een prijsstijging van beide aandelen (A en B), maar zorgt niet voor een verandering van het relatieve prijsverschil tussen beide aandelen. Bij een opwaartse marktbeweging (alle aandelen worden meer waard) loopt een beurshandelaar in pairtrading dit marktvoordeel mis en bij een neerwaartse marktbeweging (alle aandelen worden minder waard) ontloopt hij het marktnadeel.

2.2

Geschiedenis van pairtrading

Pairtrading is eind jaren zeventig van de vorige eeuw door Gerry Bamberger - werkzaam als beurshandelaar bij de Amerikaanse bank Morgan Stanley - ontwikkeld. In het begin van de jaren tachtig ontstond de behoefte om de beurshandel volledig te automatiseren. Daartoe werd bij de bank Morgan Stanley een groep opgericht die bestond uit wiskundigen, natuurkundigen en computerwetenschappers. Deze groep - die geleid werd door Nunzio Tartaglia - slaagde erin een geautomatiseerd handelssysteem te ontwikkelen. Dit computersysteem was in staat zelf op de beurs te handelen. Tot die tijd werden alle beslissingen door een natuurlijk persoon genomen. Pairtrading was bij de bank Morgan Stanley bekend. De Tartagliagroep ontwikkelde een manier om pairtrading met dit computersysteem te kunnen gebruiken. Tevens ontwikkelde zij een techniek om twee aandelen te identificeren waarvan de prijzen waren gecorreleerd. Als er een niet verwachte afwijking tussen deze twee aandelen werd aangetroffen, werd er automatisch een transactie ge¨ınitieerd. Hierbij werden deze twee aandelen verhandeld. De verwachting was dat de afwijking na verloop van tijd zou verdwijnen. De Tartagliagroep begon in 1987 met pairtrading op de aandelenmarkt en had hiermee groot succes. Toch viel de groep in 1989 uit elkaar. Sommige leden gingen bij een ander bedrijf werken en zo werd pairtrading algemeen bekend. Vandaag de dag is pairtrading een veel gebruikt financieel instrument van partijen die op de beurs handelen.

2

3

Eenvoudige strategie

We willen een strategie ontwikkelen voor beurshandelaren zodat zij met pairtrading winsten kunnen maken. Daartoe bouwen we een wiskundig model. En we testen deze strategie met behulp van echte beursdata. Dit wiskundig model bouwen we stapsgewijs op. Daarmee maken we in dit hoofdstuk een begin door aan de hand van een eenvoudig voorbeeld een aantal ‘acties’ te formuleren. We maken daarbij gebruik van fictieve slotkoersen.

3.1

Voorbeeld

Met behulp van Matlab hebben we een stationaire reeks gegenereerd uit een stabiel AR(1)- model met verwachting nul. Hierbij hebben we het tijdstip t = 0 een bepaalde waarde gegeven. Omdat we dit eenvoudige voorbeeld op een heldere wijze willen illustreren hebben we een AR(1)- model zo gekozen dat de grafiek een aantal keer de boven- en de ondergrens (2 en -2) passeert. Vervolgens hebben we met behulp van dit stabiele AR(1)- model de fictieve slotkoersen van de aandelen A en B vastgesteld. Daartoe hebben we aandeel B op tijdstip t=0 een waarde van 5 toegekend en met behulp van een aandelenkoers genererende functie - die ook wordt gebruikt bij optiewaardering met Black en Scholes - de slotkoersen van B op 200 verschillende tijdstippen berekend. We gaan ervan uit dat de gemiddelde waarde van aandeel A twee keer zo hoog is als de gemiddelde waarde van aandeel B. We kunnen nu de fictieve slotkoers van aandeel A afleiden uit: A−2B = stabiele AR(1)-model, omdat B en de waarde van het stabiele AR(1)-model bekend zijn. In figuur 1 zijn deze slotkoersen A en B weergegeven.

Slotkoersen van twee aandelen 22 20 18

Waarde aandeel

16 14 12 10 8 6 4

0

50

100 tijd in dagen

150

200

Figuur 1: Slotkoersen Aandeel A is blauw en aandeel B is rood. Voor pairtrading hebben we de gemiddelde verhouding tussen de slotkoersen van de aandelen A en B nodig. Deze verhouding leiden we af uit de gegenereerde data. Daartoe maken we gebruik van de

3

kleinste kwadraten methode. We plaatsen de waarden van aandeel A in de kolomvector x en de waarden van aandeel B in de kolomvector y. De verhouding tussen A en B (variabele a) wordt dan gegeven door de formule: a = (xT x)−1 xT y = 2.05

(1)

Het aandeel A is dus gemiddeld 2.05 keer zoveel waard als het aandeel B. We gaan nu kijken naar het verschil tussen aandeel A en 2.05B. In figuur 2 hebben we A − 2.05B tegen de tijd in dagen uitgezet.

6

4

A−2.05*B

2

0

−2

−4

−6

0

50

100 tijd in dagen

150

200

Figuur 2: Verschil tussen aandeel A en aandeel B. Als A − 2.05B negatief is dan is het aandeel A ondergewaardeerd t.o.v. aandeel B en dan is aandeel B op zijn beurt overgewaardeerd t.o.v. aandeel A. We zullen daarom actie 1 toepassen. Actie 1: We kopen een aandeel A en verkopen het equivalent van aandeel B 1 . In dit geval kopen we dus één aandeel A en verkopen we 2.05 aandelen B. Als A − 2.05B positief is dan is A overgewaardeerd is t.o.v. B en B uiteraard ondergewaardeerd is t.o.v. A. We zullen daarom actie 2 toepassen. Actie 2: We verkopen een aandeel A en kopen het equivalent van aandeel B 2 . In dit geval verkopen we dus één aandeel A en kopen we 2.05 aandelen B. 1 Voor 2 Voor

een grafische weergave van deze actie verwijzen we naar de appendix: figuur 16 op pagina 40. een grafische weergave van deze actie verwijzen we naar de appendix: figuur 16 op pagina 40.

4

Vervolgens moeten we de handelsgrenzen vaststellen. Bij handelsgrenzen die dicht bij elkaar liggen zal je vaak handelen maar verdien je per actie weinig. Bij handelsgrenzen die ver uit elkaar liggen verdien je per actie veel meer, maar het gebeurt minder vaak. We kiezen daarom bij dit voorbeeld een bovengrens van twee en een ondergrens van min twee. Bij deze grenzen zijn de opbrengsten per actie en het aantal acties relatief groot. We voeren een actie uit op het moment dat de grafiek van figuur 2 de boven- of ondergrens (grijze stippellijnen) overschrijdt. We merken op dat een snijpunt van de grafiek in figuur 2 met een boven- of ondergrens niet per se samenvalt met het einde van een handelsdag. Op een aantal snijpunten hebben we nog geen slotkoers en moeten we onze actie uitstellen tot het einde van de handelsdag. De waarde van onze actie kan dus een flink stuk boven of onder een grens liggen. In figuur 2 snijdt de grafiek de boven- en ondergrens een aantal keren. Onze eerste actie voeren we uit aan het einde van dag 21 want op dat tijdstip gaat de verschilkoers voor de eerste keer door één van zijn grenzen. In dit geval de ondergrens. De waarde van de verschilkoers is −2.02. Deze waarde ligt onder de grens van −2.00. We kopen een aandeel A en verkopen het equivalent van aandeel B (actie 1). Nu moeten we wachten tot de grafiek de bovengrens overschrijdt. Dit doet zich voor aan het einde van de 37e dag. Op het einde van dag 37 is de verschilkoers 3.11. We verkopen een aandeel A en kopen het equivalent van aandeel B (actie 2). Nu moeten we weer wachten tot de grafiek de ondergrens overschrijdt (dag 63) enz, enz. Alle handelsmomenten (acties 1 en acties 2) hebben we in de onderstaande tabel weergegeven. Dag 21

Verschilkoers -2.02

Actie 1

37

3.11

2

63

-2.00

1

81

3.07

2

106

-2.32

1

125

3.22

2

149

-2.22

1

183

2.01

2

Openen/Sluiten Openen Totaal: Sluiten Totaal: Openen Totaal: Sluiten Totaal: Openen Totaal: Sluiten Totaal Openen Totaal Sluiten Totaal:

Prijs A 11.91 -11.91 13.63 13.63 16.82 -16.82 18.64 18.64 18.60 -18.60 15.38 15.38 12.90 -12.90 12.79 12.79

Prijs B 6.78 13.90 5.12 -10.50 9.16 18.79 7.58 -15.54 10.19 20.89 5.92 -12.14 7.36 15.09 5.25 -10.76 Totaal

Winst 1.99 3.13 1.97 3.10 2.29 3.24 2.19 2.03 19.94

Tabel 1: Handelsmomenten en opbrengsten We merken volledigheidshalve op dat we tussen de dagen 21 en 37 niet handelen. Onze positie wijzigt dus niet. Actie 3 Positie behouden, niets verkopen, niets kopen3 . We handelen niet in het geval de grafiek zich tussen de boven- en ondergrens (‘grensgebied’) bevindt. Maar buiten het grensgebied zien we ook af van handelen in het geval er al een actie heeft plaatsgevonden en de grafiek vervolgens onder of boven het grensgebied blijft. We behouden onze positie: we verkopen niets en kopen niets. We merken op dat in het geval we één keer actie 1 uitvoeren en vervolgens één keer actie 2 we per saldo geen aandelen meer in ons bezit hebben. We bezitten dan alleen nog geld. Kortom we hebben met 3 Voor

een grafische weergave van deze actie verwijzen we naar de appendix: figuur 16 op pagina 40.

5

deze strategie winst gemaakt4 . De opbrengst van alle acties bedraagt e19.94. In ons eenvoudige voorbeeld werken we steeds met 1 aandeel A en 2.05 aandelen B. Deze aantallen van 1 en 2.05 zijn (elk) te vermenigvuldigen met ieder (hetzelfde) reëel getal. De opbrengst (van e19.94) wordt in dat geval ook met dat reële getal vermenigvuldigd. Opbrengst * reëel getal = totale opbrengst. Voorbeeld: Stel reëel getal = 10,000; dan bedraagt de totale opbrengst e19.94 * 10,000 = e199,400. Zoals we hierboven hebben uiteen gezet moet actie 1 altijd worden gevolgd door actie 2 en actie 2 moet op zijn beurt weer worden gevolgd door actie 1 enz, enz. Aan het einde van de (gekozen) periode van 200 handeldagen zijn actie 1 en actie 2 in dit geval precies even vaak voorgekomen. We hebben op het einde dus geen enkel aandeel meer in ons bezit; we hebben namelijk alle posities gesloten. Kortom, als we aannemen dat we short5 kunnen gaan zonder kosten, dan hebben we dus zonder enige inleg (van vreemd of eigen vermogen) een winst gemaakt van e199,400. We hebben geen enkel aandeel in bezit dus we lopen geen enkel risico meer. We hebben een oneindig rendement op ons vermogen gerealiseerd. Een mooi resultaat! Helaas is pairtraden niet zonder risico’s. Als we naar figuur 2 kijken dan zien we dat de grafiek steeds rond 0 beweegt. Hierdoor kunnen we steeds op −2 en op 2 een positie innemen en op 2 en op −2 een positie verlaten. Het is dus van essentieel belang dat de grafiek steeds om 0 blijft bewegen. Want als de grafiek vanaf een bepaalde tijd steeds onder de −2 blijft ontstaat een situatie waarin we onze positie op een gegeven moment met verlies moeten sluiten. Datzelfde geldt ook als de grafiek steeds boven de 2 blijft bewegen. Kortom, de ontwikkelingen op de beurs kunnen ons ertoe doen besluiten om onze pairtradingstrategie los te laten.

3.2

Rekentijd

Aan pairtrading kleeft ook een ander belangrijk nadeel. We moeten immers gebruik maken van een tweetal aandelen (‘pair’) waarvan het koersverschil mean-reverting is. Mean-reverting wil zeggen dat een rij steeds om een vast punt beweegt. Stationaire reeksen bezitten de eigenschap dat ze mean-reverting zijn. We kunnen ze dus gebruiken om vast te stellen of het gewogen koersverschil van een pair stationair is. Als twee aandelen een stationair verschil hebben wordt dit pair geco¨ıntegreerd genoemd. Er bestaan verschillende manieren om op co¨ıntegratie te testen. Een manier is de Engle-Grangermethode. Deze methode vergt echter vrij veel rekentijd: Als je vier aandelen wilt testen moet je 3 + 2 + 1 paren testen. Als je n aandelen wilt testen moet je: (n − 1) + (n − 2) + . . . + 2 + 1 =

n2 − n 1 + (n − 1) ∗ (n − 1) = 2 2

paren

testen. Het aantal te testen paren is lineair met de rekentijd. De rekentijd loopt dus kwadratisch op. Bij 15 aandelen krijg je 105 paren. Het testen van 105 paren in Matlab kost ongeveer drie minuten. Het testen van 10, 000 aandelen (a-select gekozen) zal dus zo’n drie jaar duren. Maar na drie jaar zijn de uitkomsten totaal onbruikbaar geworden.

4 In de grafiek is het openen van een positie weergegeven met een groene bol. Het sluiten van een positie met een rode bol. Dus na iedere rode bol is geld het enige dat de handelaar bezit. 5 Zie verklarende woordenlijst.

6

4

Model voor koersveranderingen

Tot nog toe hebben we alleen gekeken naar de slotkoersen van twee aandelen over een bepaalde periode (van 200 dagen). Met behulp van deze gegevens besloten we of we een positie openden of - wanneer we al een positie hadden ingenomen - we deze positie sloten. Dat besluit namen we maar één keer per dag op basis van de slotkoers. Omdat de beurskoersen van aandelen voortdurend veranderen (volatiliteit) is het niet rationeel om de koersveranderingen tijdens die handelsdagen niet te gebruiken bij het ontwikkelen van onze strategie. Daarbij gaan we ervan uit dat de volatiliteit tijdens de handelsdag groter is dan de volatiliteit van de slot-verschilkoersen omdat we dit volatiliteitsverschil op de beurs lijken waar te nemen. In dit hoofdstuk zullen we een model voor de koersveranderingen afleiden uit de Brownse brug. In het volgende hoofdstuk bepalen we - aan de hand van dit model - onze strategie. Deze strategie testen we vervolgens met echte data.

4.1

Normale verdeling

De normale verdeling en de Brownse beweging vormen de basis van ons model. Daarom behandelen we deze begrippen op een beknopte wijze. De normale verdeling is een continue kansverdeling en noteren we als N (µ, σ 2 ). µ staat voor de verwachting en σ voor de standaardafwijking. Figuur 3 is een illustratie van een tweetal grafieken. 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −5

0

5

10

Figuur 3: Normale verdelingen: N (0, 4) is blauw en N (2, 16) is rood. Als geldt dat X en Y normaal verdeeld zijn en onafhankelijk dan geldt: X ∼ N (µx , σx2 ),

bX + cY ∼ N (bµx +

cµy , b2 σx2

+

Y ∼ N (µy , σy2 )

c2 σy2 )

b, c ∈ R

(2) (3)

Als X en Y beide normaal verdeeld zijn maar niet onafhankelijk dan geldt: X ∼ N (µx , σx2 ),

Y ∼ N (µy , σy2 )

X + Y ∼ N (µx + µy , σx2 + σy2 + 2Cov(X, Y ))

Cov(X, Y ) betekent de covariantie tussen X en Y . Covariantie geeft de mate aan van de samenhang tussen X en Y . De covariantie wordt op de volgende manier berekend: Cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ] Uit de definitie volgt dat Cov(X, X) = Var(X), Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) en Cov(aX, Y ) = aCov(X, Y ) met a een reëel getal. Verder is de covariantie bilineair. Dat houdt in dat: Cov(X + dZ, Y ) = Cov(X, Y ) + dCov(Z, Y ) 7

d∈R

(4)

De normale verdeling kan worden uitgebreid naar meer dan één dimensie. Neem µ ∈ Rk , k ∈ N en Σ ∈ Rk∗k . X ∈ Rk is nu multivariate normaal verdeeld met: X ∼ Nk (µ, Σ)

µ = [E[X1 ], E[X2 ], . . . , E[Xk ]] Σ = [Cov(Xi , Xj )] voor i, j = 1, 2, . . . , k Als de covariantie tussen Xi en Xj voor i 6= j gelijk is aan nul dan zijn Xi en Xj van elkaar onafhankelijk.

4.2

Brownse beweging

Een Brownse beweging wordt ook wel Wienerproces genoemd. Voor een Wienerproces, W i(t), gelden de volgende voorwaarden: W i(0) = 0 W i(t) − W i(s) ∼ N (0, t − s) t → W i(t) is continu

met

0≤s
Ieder increment W i(t) − W i(s) van een Wienerproces is onafhankelijk van het pad naar s. Dit proces kunnen we grafisch weergeven. Daarvoor hebben we 1000 onafhankelijke trekkingen ai uit Pt∗1000 de normale verdeling N (0, σ 2 ) genomen met σ 2 = 0.001. Vervolgens berekenen we W i(t) = i=1 ai . Zie figuur 4 links.

Brownse Beweging

Brownse Brug

0.6

1

0.4 0.5

0.2 0

0 −0.2 −0.4

−0.5

−0.6 −0.8

0

0.5 tijd

1

−1

0

0.5 tijd

1

Figuur 4: Brownse beweging en bijbehorende Brownse brug.

4.3

Brownse brug

Een Brownse brug is een Brownse beweging die begint en eindigt in nul. De begin- en eindwaarde van deze brug liggen dus vast. Een Brownse brug kan als volgt worden gemodelleerd uit een Brownse beweging: B(t) = W i(t) − tW i(1) waarin W i(t) staat voor een Brownse beweging en B(t) voor de Brownse brug. In figuur 4 zien we aan de rechterkant de bewerking van de Brownse beweging die aan de linkerkant van deze figuur staat. p In rood is (afgerond) twee maal de standaardafwijking V ar(B(t)) getekend. Als we nu een willekeurig punt van de Brownse brug nemen dan heeft dit punt 95% kans om binnen de rode lijnen te liggen. Een Brownse brug kan een weergave van het verloop van het koersverschil bij pairtrading zijn. Hierbij is op het begin (t = 0) en op het einde (t = 1) van de handelsdag het koersverschil gelijk aan nul. Als 8

een handelsdag begint met een koersverschil ongelijk aan nul (b ∈ R) en eindigt met een koersverschil ongelijk aan nul (c ∈ R) dan moeten we bij de Brownse brug nog de lineaire functie b + (c − b)x optellen. Dan begint de handelsdag op tijdstip t = 0 in b en eindigt deze dag op tijdstip t = 1 in c. We nemen aan dat het koersverschil over een handelsdag zich zal gedragen als een Brownse brug met lineaire trend. Een Brownse brug B(t) heeft de volgende eigenschappen. B(0) = B(1) = 0 E[B(t)] = 0 Var(B(t)) = t(1 − t) Cov(B(s), B(t)) = s(1 − t)

met s < t

Voor een uitwerking van de covariantie verwijzen we naar formule (26) die in de appendix is opgenomen (pagina 40).

4.4

Model

We hebben in het voorafgaande de basis van ons model behandeld, te weten: de normale verdeling, de Brownse beweging en de Brownse brug. We zijn nu in staat ons model te bouwen. Daartoe hebben we nu alleen nog de verschilgrafiek van een pair aandelen nodig. Deze grafiek stellen we samen gebruikmakend van de methode en van formule (1) die we in hoofdstuk 3 hebben gebruikt. Het begin van een handelsdag nemen we t = 0 en het einde van een handelsdag t = 1. Deze koersmomenten worden vaak gebruikt. We voeren daarom speciale notatie in: Verschilkoers Eergisteren Gisteren Vandaag

t=0 Z−4 Z−2 Z0

t=1 Z−3 Z−1 Z1

Tabel 2: Verschillende Z ′ s uitgelegd. Zoals uit de tabel blijkt geven we met Z1 de verschilkoers op eind van de handelsdag (t = 1) aan. Tijdens de handelsdag willen we een schatting voor Z1 hebben. Aan de hand van deze schatting zullen we handelen. Uit figuur 5 lezen we de slot-verschilkoersen van de afgelopen k dagen af: Z−2k+1 , Z−2k+3 , . . . , Z−1

(5)

Op t = 0 bepalen we een schatting van Z1 aan de hand van de voorgaande slot-verschilkoersen. We nemen aan dat Z1 normaal verdeeld is en krijgen dan: Z1 ∼ N (µ, σ02 )

(6)

µ en σ0 worden geschat uit (5). Voor de handelsdag hebben we aangenomen dat geldt: 0 ≤ t ≤ 1. Naarmate de dag vordert wordt t steeds groter en krijgen we meer informatie beschikbaar. De verschilkoers op t is bekend tot en met t en schrijven we als p(t).

9

8.4 8.3 8.2 8.1 8 7.9 7.8 7.7 7.6 7.5 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

Figuur 5: Z−11 ,Z−9 t/m Z−1 (blauw) met gegeven p(t) van Z0 tot p(0.5) (rood). In figuur 5 zien we de slot-verschilkoersen van de afgelopen 5 dagen. Verder zien we in figuur 5 dat we naarmate t groter wordt (op het interval [0,1]) over steeds meer informatie over de verwachte slot-verschilkoers Z1 beschikken. We willen weten wat de invloed van p(t) (verschilkoers) op de slotverschilkoers Z1 is. We modelleren p(t) op de volgende manier. p(t) = (1 − t)Z0 + tZ1 + σ1 B(t)

Z0 is de gegeven openings-verschilkoers (t = 0). Voor Z1 zie formule (6). B(t) is een Brownse brug. Z1 en B(t) zijn onafhankelijk. De covariantie tussen Z1 en B(t) is dus nul. Nu kunnen we met behulp van formule (2) een normale verdeling voor p(t) opstellen: p(t) ∼ N ((1 − t)Z0 + tµ, t2 σ02 + t(1 − t)σ12 ) De covariantie tussen p(t) en Z1 is: Cov(p(t), Z1 ) = Cov((1 − t)Z0 + tZ1 + σ1 B(t), Z1 )

gebruik formule (4)

= tCov(Z1 , Z1 ) + σ1 Cov(B(t), Z1 )

= tσ02 + 0 We delen Z1 op in twee delen. Een p(t)-afhankelijk deel te weten a(t)p(t) en een p(t)-onafhankelijk deel te weten γ(t). Z1 = a(t)p(t) + γ(t) = a(t)p(t) + (1 − a(t)) 10

Z1 p(t)

(= Z1 )

We willen dat (1 − a(t))

Z1 p(t)

onafhankelijk is van p(t). Er moet dus gelden: Cov(p(t), Z1 − a(t)p(t)) = 0

(7)

We weten Cov(p(t), Z1 ) en Cov(p(t), p(t)) =Var(p(t)). Invullen geeft: Cov(p(t), Z1 − a(t)p(t)) = Cov(p(t), Z1 ) − a(t)Var(p(t))

= tσ02 − at2 σ02 − a(t)t(1 − t)σ12 = 0

a(t) =

t2 σ02

tσ02 + t(1 − t)σ12

(8)

Omdat we er vanuit zijn gegaan dat de volatiliteit tijdens de handelsdag (σ1 ) groter is dan de volatiliteit van de slot-verschilkoersen (σ0 ) geldt: σ1 > σ0 . Daaruit volgt dat: a(t) ≤ 1. Voor een uitwerking verwijzen we naar paragraaf 4 van de appendix (pagina 34). Voor de a(t) uit (8) geldt dus dat p(t) en γ(t) onafhankelijk zijn. Voor γ(t) kunnen we nu de verwachting en de variantie berekenen. E[γ(t)] = E[Z1 − a(t)p(t)] = µ − a(t)((1 − t)Z0 + tµ) Var(γ(t)) = Cov(γ(t), γ(t)) = Cov(Z1 − a(t)p(t), Z1 − a(t)p(t))

uitschrijven geeft: 2

= Var(Z1 ) − 2a(t)Cov(Z1 , p(t)) + a (t)Var(p(t))

= σ02 − 2a(t)tσ02 + a2 (t)(t2 σ02 + t(1 − t)σ12 ) = σ02 −

t2 σ04 t2 σ02 + t(1 − t)σ12

De voorwaardelijke verwachting van Z1 gegeven p(t) is dus:

Z1 |p(t) ∼ N a(t) =

µ − a(t)((1 − t)Z0 + tµ) +

t2 σ02

a(t)p(t), σ02

tσ02 + t(1 − t)σ12

t2 σ04 − 2 2 t σ0 + t(1 − t)σ12

(9) (10)

E[Z1 |p(t)] = µ − a(t)((1 − t)Z0 + tµ) + a(t)p(t)

t2 σ04 V ar(Z1 |p(t)) = σ02 − 2 2 t σ0 + t(1 − t)σ12

(11) (12)

We merken op dat de standaardafwijking van Z1 dus niet afhankelijk is van de verschilkoers p(t). Maar je moet p(t) oftewel t wel weten om de standaardafwijking van Z1 te kunnen bepalen.

11

5

Strategie

In het voorgaande hebben we aan de hand van een voorbeeld drie acties beschreven, te weten: actie 1: Als het gewogen koersverschil p(t) onder de ondergrens komt dan kopen we het ondergewaardeerde aandeel A en verkopen we het equivalent van het overgewaardeerde aandeel B; actie 2: als het gewogen koersverschil boven de bovengrens komt dan verkopen we het overgewaardeerde aandeel A en kopen we het equivalent van het ondergewaardeerde aandeel B; actie 3: passen we toe in het gebied tussen de onder- en bovengrens. In dit gebied doen we niets. Daarbij geldt dat actie 1 altijd moet worden gevolgd door actie 2 (of 3). En actie 2 moet op zijn beurt weer worden gevolgd door actie 1 (of 3) enz, enz. In dit hoofdstuk zullen we onze acties verder uitwerken. Het eenvoudige voorbeeld dat we in hoofdstuk 2 hebben behandeld heeft plaatsgemaakt voor een complexer model. Een belangrijk verschil tussen beide betreft de periode en het aantal handelsmomenten. Bij het gekozen voorbeeld kunnen we gedurende een periode van 200 dagen slechts één keer per dag (aan het einde van die dag) handelen. Het model heeft daarentegen een periode van één dag. Maar tijdens die ene dag kunnen we op ieder moment (elke seconde) handelen. Daarbij komt dat we aan het begin en aan het einde van de handelsdag geen enkele positie hebben. De risico’s ‘buitenbeurs’ sluiten we met deze handelwijze uit. In het volgende hoofdstuk zullen we het model testen.

5.1

Strategie positie openen

Voor wat betreft het openen van een positie werken we onze acties als volgt uit: * 1. We openen een positie als op enig moment (openingsmoment) geldt dat de kans minimaal 95% is dat het gewogen koersverschil op het einde van de handelsdag groter is dan het gewogen koersverschil op het openingsmoment. Dit betekent dat we verwachten dat de koers van aandeel A stijgt en/of de koers van aandeel B daalt. Dat betekent dat op het openingsmoment aandeel A is ondergewaardeerd en het aandeel B is overgewaardeerd. Dus we openen met actie 1. En sluiten met actie 2. * 2. We openen een positie als op enig moment (openingsmoment) geldt dat de kans minimaal 95% is dat het gewogen koersverschil op het einde van de handeldag kleiner is dan het gewogen koersverschil op het openingsmoment. Dit betekent dat we verwachten dat de koers van aandeel A daalt en/of de koers van aandeel B stijgt. Dat betekent dat op het openingsmoment aandeel A is overgewaardeerd en het aandeel B is ondergewaardeerd. Dus we openen met actie 2. En sluiten met actie 1. * 3. We openen geen positie zolang geldt dat de kans kleiner is dan 95% dat het gewogen koersverschil op het einde van de handelsdag groter of kleiner is dan het gewogen koersverschil (op de andere momenten van de handelsdag). We doen dus niets. We openen een positie als op enig moment (openingsmoment) geldt dat de kans 95% is dat het gewogen koersverschil op het einde van de handelsdag groter is dan het gewogen koersverschil op het openingsmoment. We verwachten een stijging van de verschilkoers dus we zullen openen met actie 1. Als we een 95% kans op daling hebben zullen we openen met actie 2. Er geldt dus:

P (Z1 |p(t) > p(t))

(

≥ 0.95 ≤ 0.05

openen met actie 1. openen met actie 2.

0.05 < P (Z1 |p(t) > p(t)) < 0.95

niet openen.

Openen met actie 1. p p(t) ≤ E[Z1 |p(t)] − 1.645 Var(Z1 |p(t)) p(t) ≤ µ

σ02 1.645 p σ12 Var(Z1 |p(t)) + Z − 0 2 2 2 2 σ1 − σ0 σ0 − σ1 1 − a(t) 12

(13)

Voor een uitwerking verwijzen we naar formule (29) die in de appendix is opgenomen (pagina 41). Openen met actie 2. p p(t) ≥ E[Z1 |p(t)] + 1.645 Var(Z1 |p(t)) p(t) ≥ µ

σ12 σ02 1.645 p Var(Z1 |p(t)) + Z + 0 σ12 − σ02 σ02 − σ12 1 − a(t)

(14)

Voor een uitwerking verwijzen we naar formule (30) die in de appendix is opgenomen (pagina 42).

5.2

Strategie positie sluiten

In ons model sluiten we aan het einde van de handelsdag de positie volledig. Maar we kunnen natuurlijk ook tijdens deze dag de positie sluiten. De vraag komt op wanneer het financieel voordelig is om dit te doen. Bij het beantwoorden van deze vraag onderscheiden we twee situaties. Situatie 1 In het geval we de positie hebben geopend met actie 1 dan geldt: Als het gewogen koersverschil p(t) groter is dan de verwachte slot-verschilkoers E[Z1 |p(t)] sluiten we de positie. We verwachten immers een verschilkoersdaling en dat is in ons nadeel. p(t) > E[Z1 |p(t)]

p(t) > µ − a(t)((1 − t)Z0 + tµ) + a(t)p(t) p(t) − a(t)p(t) > µ − a(t)((1 − t)Z0 + tµ) µ − a(t)((1 − t)Z0 + tµ) 1 − a(t) 2 σ σ2 p(t) > µ 2 1 2 + Z0 2 0 2 σ1 − σ0 σ0 − σ1

p(t) >

p(t) > µ +

σ02 (µ − Z0 ) σ12 − σ02

(15)

We merken op dat het sluiten van de positie niet afhankelijk is van de tijd, maar alleen van het gewogen koersverschil. Dat betekent dat de ’sluitingsgrens’ een horizontale lijn is. Een opvallende uitkomst. Situatie 2 In het geval we de positie hebben geopend met actie 2 dan geldt: Als het gewogen koersverschil p(t) kleiner is dan de verwachte slot-verschilkoers E[Z1|p(t)] sluiten we de positie. We verwachten immers een verschilkoersstijging en dat is in ons nadeel. p(t) < E[Z1 |p(t)] p(t) < µ +

σ02 (µ − Z0 ) σ12 − σ02

σ02 en σ12 zijn groter dan nul (kwadraten).

13

(16)

5.3

Grafische weergave

We geven de bovenstaande formules (13), (14), (15) en (16) in figuur 6 grafisch weer. Boven de blauwe lijn verwachten we een verschilkoersdaling en onder p deze lijn verwachten we een verschilkoersstijging. Als 1.645 de afwijking van de blauwe lijn groter is dan 1−a(t) Var(Z1 |p(t)) is de kans op een verschilkoersstijging respectievelijk verschilkoersdaling zelfs meer dan 95%. In figuur 6 hebben we twee verschillende situaties getekend. In beide situaties geldt dat σ0 = 2 en σ1 = 6, maar zijn µ en Z0 verschillend. In de rechterfiguur zien we dat Z0 al in het ‘meer dan 95%’ gebied ligt. We openen dus direct een positie zoals omschreven in paragraaf 5.1. onder *2. µ=5 en Z0=10

µ=3 en Z0=1 15

15

10

10 ← Z0

Meer dan 95% kans op verschilkoersdaling Meer dan 95% kans op verschilkoersdaling

verschilkoers →

verschilkoers →

Meer dan 50% kans op verschilkoersdaling Meer dan 50% kans op verschilkoersdaling

5

µ→ ← Z0 Meer dan 50% kans op verschilkoersstijging 0

µ→

5

Meer dan 50% kans op verschilkoersstijging 0 Meer dan 95% kans op verschilkoersstijging

Meer dan 95% kans op verschilkoersstijging −5

−10

−5

0

0.2

0.4

tijd →

0.6

0.8

1

−10

0

0.2

0.4

tijd →

0.6

0.8

Figuur 6: Grafische weergave van het model

5.4

Aanvullende regel

Beurshandelaren willen hun risico’s beheersen. Ze willen immers hun verlies zoveel mogelijk beperken. Daarom moeten we aan ons model een regel toevoegen teneinde een te groot verlies te voorkomen. In het bovenstaande zijn we uitgegaan van een vaste verhouding tussen twee aandelen (A en B). Dat impliceert dat we slechts van één van de aandelen hoeven te registreren hoeveel we van dat aandeel in bezit hebben. Het aantal andere aandelen dat we in bezit hebben kunnen we met die vaste verhouding te allen tijde bepalen. N (t) is de hoeveelheid aandelen A. C(t) is hoeveelheid geld waarover we beschikken6 . W (t) is de waarde van de hoeveelheid aandelen A vermenigvuldigd met de verschilkoers vermeerderd met de hoeveelheid geld waarover we beschikken. p(t) is de relatieve verschilkoers tussen de twee aandelen. Eenvoudshalve nemen we aan dat de bank die ons financiert geen rente in rekening brengt. Er geldt dus: N (t) ∗ p(t) + C(t) = W (t)

(17)

We gaan er vanuit dat aan het begin van iedere dag geldt dat N , C en W gelijk zijn aan 0. Bij het openen van een positie op t0 zal W (t0 ) 0 blijven, want op dat moment geldt: N (t0 ) ∗ p(t0 ) = −C(t0 ) 6 Daarbij

geldt dat een bankschuld moet worden opgevat als een negatieve hoeveelheid geld.

14

1

Dat betekent dat bij het openen van een positie alleen N en C veranderen. Bij het sluiten van een positie op t1 ontvangen we een hoeveelheid geld die gelijk is aan het aantal aandelen A vermenigvuldigd met de relatieve verschilkoers. Dus N en C veranderen en W blijft gelijk. We merken op dat N en C alleen veranderen bij het openen en het sluiten van een positie en dat p(t) op die momenten vast is. Dat betekent dat W (t) dan gelijk blijft. Oftewel dat de waarde van de portfolio7 niet verandert. Na het sluiten van de positie geldt dat N = 0. Voor de hoeveelheid geld die we op dat sluitingsmoment hebben ontvangen als verkoopopbrengst van de aandelen geldt dan dat C = W . Het beeld kan ontstaan dat wijzigingen in de portfolio als gevolg van veranderingen van C en N niet van invloed zijn op de waarde van de portfolio. Immers deze veranderingen verlopen tegengesteld. Maar dat beeld is niet juist, want de relatieve verschilkoers p(t) verandert gedurende de handelsdag. Door fluctuaties van p(t) zal W (t) veranderen. Zie vergelijking (17). Wanneer de hoeveelheid aandelen N (t) stijgt heeft de verandering van p(t) meer invloed op W (t). Dus op momenten dat we verwachten dat p(t) zal toenemen willen we een positieve N (t) hebben en op momenten dat we verwachten dat p(t) zal dalen een negatieve N (t). Wanneer iedere verwachting ontbreekt kunnen we ervoor kiezen om de positie te sluiten: N = 0. We kunnen het risicoprofiel van de portfolio dus veranderen. We kunnen kiezen voor weinig risico. Dan stellen we de portfolio samen uit veel geld en weinig aandelen. Het deel van de portfolio dat afhankelijk is van p(t) is dan gering. Maar we kunnen ook kiezen voor veel risico. Dan stellen we de portfolio samen uit weinig geld en veel aandelen. Het deel van de portfolio dat afhankelijk is van p(t) is dan groot. We willen een risicoprofiel waarbij we een grens stellen aan de hoeveelheid verlies dat we op één handelsdag leiden. Deze grens geven we de waarde K. Wanneer de waarde van de portfolio W (t) deze grens bereikt sluiten we direct de positie. W (t) ≤ K

direct positie sluiten

(18)

Wanneer we een positie moeten sluiten moeten we ons verlies nemen. Want er bestaat een kans op een nog groter verlies. En dat risico willen we niet lopen. De begrenzing van de waarde van de portfolio heeft gevolgen voor de hoeveelheid aandelen N die we kunnen kopen. We illustreren dit aan de hand van een voorbeeld waarbij we gebruik maken van vergelijking (17). Stel op tijdstip t = 0.5 hebben we nog geen positie ingenomen. Dan geldt: t = 0.5 N (0.5) = 0 C(0.5) = 0 W (0.5) = 0 We nemen aan dat K = −100 en p(0.5) = 1.40 en we verwachten dat de verschilkoers zal stijgen. Daarom kopen we N (0.5) = 10, 000 aandelen A. We verkopen het equivalent van B. Deze transactie kost dus 10, 000 ∗ 1.40 =e14, 000. C(0.5) = −14, 000. Invullen geeft: N (t) ∗ p(t) + C(t) = W (t) N (0.5) ∗ p(0.5) + C(0.5) = W (0.5) 10, 000 ∗ 1.40 − 14, 000 = 0

We nemen vervolgens aan dat een kleine tijdstap (δ) later p(0.5 + δ) = 1.39. Deze daling heeft tot gevolg dat we onze positie - vanwege het bereiken van de grens K - met verlies moeten sluiten. N (0.5 + δ) 10, 000 7 Zie

∗p(0.5 + δ) ∗1.39

+C(0.5 + δ) = W (0.5 + δ) −14, 000 = −100

Verklarende woordenlijst.

15

In het bovenstaande hebben we uiteen gezet dat we meer geld kunnen verdienen naarmate N groter is. Dit voorbeeld maakt echter duidelijk dat N ook te groot kan zijn. Immers een hele kleine daling van de verschilkoers leidt ertoe dat we de positie met verlies moeten sluiten. Het is daarom van belang dat we een optimale N vaststellen.

5.5 5.5.1

Bepaling optimale aantal aandelen, N0 Algemeen

Het optimale aantal aandelen noteren we als N0 . We hebben in overleg besloten dat we geen analytische vergelijking van N0 afleiden omdat deze afleiding te complex en wellicht niet mogelijk is. In plaats daarvan stellen we N0 vast met behulp van een simulatie. Deze simulatie hebben we als volgt uitgevoerd: N0 is afhankelijk van verschillende variabelen, te weten: K, t0 , µ, σ0 en σ1 . De variabele K is afhankelijk van het verlies dat de beurshandelaar wil lopen. Dit verlies moet hij zelf vaststellen. De variabele t0 staat voor het tijdstip waarvan we N0 berekenen. De waarden van de variabelen µ, σ0 en σ1 schatten we met behulp van de beschikbare beursdata van de vorige beursdagen8 . Omdat we beschikken over de waarden van alle variabelen simuleren we paden. Deze paden beginnen allen op het openingsmoment t0 en eidigen op het einde van de handelsdag op het tijdstip t = 1. Voor één pad trekken we Z1 uit de conditionele verdeling N (E[Z1 |p(t)], V ar(Z1 |p(t))). Daarna genereren we met behulp van een Brownse brug met als standaardafwijking de geschatte waarde van σ1 een pad tussen de waarden (t0 , p(t0 )) en (1, Z1 ). Dat doen we op de volgende manier. We nemen een stapgrootte van δ. Daarna maken een Brownse beweging met: W i(t0 ) = 0 en W i(t + δ) = W i(t) + δ ∗ N (0, 1)

t0 ≤ t ≤ 1

Vervolgens maken we een Brownse beweging met de standaardafwijking σ1 door W i(t) = σ1 W i(t). Van deze Brownse beweging maken we een Brownse brug B(t) door bij deze Brownse beweging een lineaire trend op te tellen zodat geldt: B(t) = W i(t) + (f + gt) B(t0 ) = p(t0 ) B(1) = Z1

f, g ∈ R

(19) (20) (21)

We weten dat W i(t0 ) = 0; invullen van t = t0 in (19) geeft: B(t0 ) = W i(t0 ) + (f + gt0 ) = f + gt0 Uit (20) weten we nu dat geldt: f + gt0 = p(t0 )

(22)

Het combineren van (19) en (21) op t = 1 geeft: f + g = Z1 − W i(1) (23) minus (22) geeft: g − gt0 = Z1 − W i(1) − p(t0 ) g=

Z1 − W i(1) − p(t0 ) 1 − t0

Uit (22) weten we dat f = p(t0 ) − gt0 ; invullen van g geeft: f = p(t0 ) − t0 8 In

Z1 − W i(1) − p(t0 ) 1 − t0

hoofdstuk 6 zullen we deze schattingen bespreken.

16

(23)

We substitueren f en g in vergelijking (19) en krijgen: Z1 − W i(1) − p(t0 ) Z1 − W i(1) − p(t0 ) + t B(t) = W i(t) + p(t0 ) − t0 1 − t0 1 − t0 t − t0 B(t) = W i(t) + p(t0 ) + Z1 − W i(1) − p(t0 ) 1 − t0

We hebben nu een discreet pad van (t0 , p(t0 )) naar (1, Z1 ) geconstrueerd.

Vervolgens kunnen we voor de verschillende waarden van N de verschillende opbrengsten van dit pad berekenen. Daarvoor hebben we de sluitingsgrenzen van ons model nodig. In hoofdstuk 5.2 hebben we voor twee situaties de sluitingsgrens beschreven. In deze situaties sluiten we onze positie omdat we niet verwachten dat we nog meer opbrengsten zullen realiseren. Zie formules (15) en (16). Maar we kunnen onze positie ook sluiten wanneer we op enig moment teveel verlies hebben geleden; ongeacht de toekomstige verwachting. Deze sluiting kan zich voordoen in beide situaties die in hoofdstuk 5.2. zijn beschreven. We openen een positie op t0 . Er geldt voor W (t): W (t) = N (t0 )(p(t) − p(t0 ))

t ≥ t0

Er moet steeds gelden dat W (t) > K; invullen geeft: N (t0 )(p(t) − p(t0 )) > K 5.5.2

voor

t ≥ t0

(24)

Situatie 2

In paragraaf 5.2. hebben we de situatie beschreven waarbij we een positie openen omdat we een verschilkoersdaling verwachten (’situatie 2’). In die situatie geldt dat N (t0 ) < 0; dus (24) wordt: K N (t0 ) K p(t) < + p(t0 ) N (t0 ) K + p(t0 ) moeten we dus sluiten met K verlies. Bij p(t) ≥ N (t0 )

p(t) − p(t0 ) <

Een pad is geen continue functie maar een verzameling gegenereerde datapunten. Een Brownse brug zal tussen twee opvolgende punten altijd een maximum aannemen dat groter is dan het maximum van deze twee punten. Om vast te stellen wanneer we een positie met het verlies K moeten sluiten, bepalen we het maximum tussen twee opvolgende punten. We vergelijken daarna het berekende maximum met de waarde van de sluitingsgrens. De dichtheidsfunctie van het maximum van een Brownse brug met lineaire trend die op tijdstip t gelijk is aan b en op tijstip t + T gelijk is aan c wordt gegeven door9 : fb→c(T ) (y) =

2(2y − c − b) − 2 (y−b)(y−c) e T T

y ≥ max(b, c)

Om een trekking uit deze kansverdeling te doen voeren we eerst een transformatie uit en daarna berekenen we de verdelingsfunctie. Transformeer naar 0 op t en naar d = c − b op t + T . f0→d(T ) (y) = 9 Bron:

2(2y − d) − 2 y(y−d) e T T

Steven E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, 2004

17

y ≥ max(d, 0)

Voor de verdelingsfunctie geldt nu: F (x) =

Z

x max(d,0)

2 2 (2y − d)e− T y(y−d) dy T

2

= 1 − e− T x(x−d)

x ≥ max(d, 0)

We trekken u uit de uniforme verdeling [0, 1]. Dan geldt u = F (x). 2

u = 1 − e− T x(x−d) 2

1 − u = e− T x(x−d) T x(x − d) = − log(1 − u) > 0 2 1 2 T 1 2 (x − d) = d − log(1 − u) > 0 2 4 r2 1 1 2 T d − log(1 − u) x= d+ 2 4 2 r 1 1 2 T x(u, d) = d + d − log(u) 2 4 2 Het maximum tussen b en c is dus gelijk aan x(u, d) + b met u een trekking uit de uniforme kansverdeling [0,1]. max = x(u, d) + b r 1 2 T 1 d − log(u) + b = d+ 2 4 2 Het bovenstaande geldt voor Brownse bruggen met een standaardafwijking van 1. De Brownse brug naar d is eigenlijk een Brownse beweging W i(t) met de volgende eigenschappen: W i(0) = 0 W i(T ) = d Als we van deze Brownse beweging een Brownse beweging maken met standaardafwijking σ1 krijgen we W i(t) = σ1 W i(t) met de volgende eigenschappen: W i(0) = 0 d W i(T ) = σ1 Een vergelijking van het maximum tussen b en c met σ1 als standaardafwijking wordt dus gegeven door:   s 2 d 1 d d T max = σ1 x u, + b = σ1  + − log(u) + b σ1 2σ1 4 σ1 2 d = + 2

r

d2 T − σ12 log(u) + b 4 2

18

(25)

5.5.3

Situatie 1

In paragraaf 5.2. hebben we ook de situatie beschreven waarbij we een positie openen omdat we een verschilkoersstijging verwachten (’situatie 1’). In die situatie geldt dat N (t0 ) > 0; dus (24) wordt: K N (t0 ) K + p(t0 ) p(t) > N (t0 ) K Bij p(t) ≤ + p(t0 ) moeten we dus sluiten met K verlies. N (t0 )

p(t) − p(t0 ) >

Om vast te stellen wanneer we in situatie 1 een positie met het verlies K moeten sluiten, bepalen we het minimum tussen twee opvolgende punten. We vergelijken daarna het berekende minimum met de waarde van de sluitingsgrens.

−d min = −σ1 x u, + b zie formule (25) σ1 r d2 d T = − − σ12 log(u) + b 2 4 2

5.6

Voorbeeld bij bepalen N0

Nu we de sluitingsgrenzen hebben vastgesteld zullen we aan de hand van een voorbeeld van situatie 2 toelichten op welke manier we N0 kunnen bepalen. Op deze wijze krijgen we inzicht in de opbrengsten bij de verschillende waarden van N. We kiezen willekeurig de volgende waarden van de verschillende variabelen: K = −10, 000

t0 = 0.25

µ = 1 σ0 = 2

σ1 = 6

We nemen Z0 = 3 als beginpunt van de verschilkoers, omdat deze waarde ligt tussen de openingsgrenzen van ons model. We nemen aan dat het verloop van de verschilkoers tussen (0, Z0 ) en (0.25, p(0.25)) ook binnen de openingsgrenzen ligt. Dat betekent dat we niet openen als t ∈ [0, 0.25). We willen weten wat N0 is op t = 0.25. Dus we openen op t = 0.25. Dat impliceert dat p(0.25) gelijk is aan de openingsgrens. Vervolgens trekken we Z1 uit de conditionele verdeling N (E[Z1 |p(t)], V ar(Z1 |p(t))) en tenslotte genereren we een pad tussen (0.25, p(0.25)) en (1, Z1 ) als een Brownse brug met lineaire trend. Op dezelfde wijze trekken en genereren we in totaal 10, 000 koerspaden. Dit geeft de volgende figuur.

19

10,000 paden bij een verwachte daling geopend op t=0.25 15

10

Koersverschil→

5 ← Z0 0

−5

−10

−15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tijd→

Figuur 7: 10,000 Paden We openen een positie op t = 0.25. Er geldt voor W (t): W (t) = N (t)(p(t) − p(0.25))

t ≥ 0.25

Er moet steeds gelden dat W (t) > K; invullen geeft: N (0.25)(p(t) − p(0.25)) > K

voor t ≥ 0.25 K p(t) − p(0.25) < want N (0.25) < 0 N (0.25) K + p(0.25) = ǫ p(t) < N (0.25)

De sluitingsgrens is (zie formule (16)): β=µ

σ02 σ12 + Z ; 0 σ12 − σ02 σ02 − σ12

blauwe lijn in figuur 7

Dus voor alle paden geldt: * wanneer p(t) ≤ β bereikt dan sluiten we met een winst gelijk aan N (0.25) ∗ (β − p(0.25)). * wanneer p(t) ≥ ǫ bereikt dan sluiten we met een verlies gelijk aan K. * wanneer p(t) β en ǫ niet bereikt dan sluiten we aan het einde van de handelsdag. We modelleren in Matlab en krijgen de volgende grafieken.

20

Gemiddelde winst van alle paden bij verschillende waarden van N 6000

Paden met winst 100 90 Percentage paden met winst→

5000

Winst→

4000

3000

2000

80 70 60 50 40

1000 30 0

0

2000

4000

6000

8000

20

10000

0

−N→

2000

4000

6000

8000

10000

−N→

Figuur 8: Winsten bij verschillende waarden van N In de linkerfiguur (8) geeft de blauwe lijn de winst bij verschillende waarden van N aan. We merken op dat we bij verschillende waarden van N steeds dezelfde paden gebruiken; en dus niet voor iedere N nieuwe paden genereren. Uit de berekeningen die aan deze figuur ten grondslag liggen blijkt dat bij de gekozen variabelen: K = −10, 000

t = 0.25

µ=1

σ0 = 2 σ1 = 6

N0 gelijk is aan −2, 160 aandelen A. De bijbehorende winst van deze positie bedraagt e5, 252. In de rechterfiguur (8) geeft de rode lijn het percentage paden dat winst oplevert aan. Dit percentage neemt af naarmate N groter wordt af. We merken op dat 4% van de paden nooit winst oplevert.

5.7

Invloed van t0 op N0

In het bovenstaande hebben we N0 bepaald voor één tijdstip t0 . Maar een beurshandelaar wil het optimale aantal aandelen op zoveel mogelijk tijdstippen weten. Maar dat vergt teveel rekentijd. Dit probleem kunnen we oplossen door ons te beperken tot een tiental tijdstippen gelijk verdeeld over [0,1]. Dit tiental beschouwen we als representatief voor zoveel mogelijk tijdstippen. Voor verschillende waarden van t0 berekenen we bij verschillende N de winst. De uitkomsten hiervan kunnen grafisch alsvolgt worden weergegeven:

21

4

x 10

Gemiddelde winst van alle paden bij t0=0

4

1 Winst→

Winst→

1 0 −1

0

1

4

x 10

0 −1

0

1

4

x 10

3 4 5 4 −N→ x 10 Gemiddelde winst van alle paden bij t0=0.4

0

1

4

x 10

0



0

2

1

2

1

2

1

2


1

2

3

4

−N→

0 x 10

0 4

2

1 0

1

x 10


1 0

5


1 0

2

Winst→

x 10

0

4

2

1

4

2 Winst→

0

2

1 0


5000

Winst→

Winst→

2

2

10000

0 −1

x 10

1

0 −1

2

Winst→

Winst→

1

0 4

1 Winst→

Winst→

1


Gemiddelde winst van alle paden bij t0=0.1

0 −1

2

x 10

0

3 −N→

4

x 10

4

5 4

x 10

Figuur 9: Voor verschillende t0 de gemiddelde winst per N. Voor iedere t0 zetten we nu de optimale winst en de bijbehorende waarde van N , N0 , in een tabel. t0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99

N0 -1900 -2200 -2300 -14,000 -15,600 -15,800 -17,500 -17,100 -15,700 -15,400 -16,600

winst e4,689 e4,944 e5,151 e5,934 e7,749 e9,445 e10,789 e12,501 e12,844 e13,507 e12,532

Tabel 3: De N0 en de winst behorend bij iedere t0 .

22

N0 bij verschillende waarden van t0 0 −2000 −4000

−8000

0

N →

−6000

−10000 −12000 −14000 −16000 −18000

0

0.2

0.4

t0 →

0.6

0.8

1

Figuur 10: N0 bij t0 . In figuur 10 hebben we N0 tegen t0 uitgezet. De verschillende punten uit de tabel hebben we met elkaar verbonden met lineaire interpolatie. Voor iedere t0 kunnen we nu snel een waarde van N0 vaststellen.

5.8

σ1 < σ0

We zijn uitgegaan van de aanname dat de volatiliteit tijdens de handelsdag groter is dan de volatiliteit van de slot-verschilkoersen10 . Oftewel σ1 > σ0 . Deze aanname hebben we gebruikt om de openings- en sluitingsgrenzen te bepalen. Uit de validatietesten die we in hoofdstuk 7 behandelen blijkt evenwel dat er situaties zijn waarbij de standaardafwijking van de Brownse brug (σ1 ) kleiner is dan de standaardafwijking van de slot-verschilkoersen (σ0 ). Oftewel σ1 < σ0 . In deze paragraaf bepalen we de openings- en sluitingsgrenzen met de aanname σ1 < σ0 . In dit geval geldt dus dat a(t) ≥ 1. Er wordt geopend als: σ12 σ02 1.645 p Var(Z1 |p(t)) + Z − 0 2 2 2 2 σ1 − σ0 σ0 − σ1 1 − a(t) σ2 σ2 1.645 p p(t) ≤ µ 2 1 2 + Z0 2 0 2 + Var(Z1 |p(t)) σ1 − σ0 σ0 − σ1 1 − a(t)

p(t) ≥ µ

Zie Appendix 5. voor een uitwerking. We voeren nu een simulatie uit om N0 te bepalen. We genereren weer 10,000 paden. We nemen σ1 = 0.2 en σ0 = 1 zodat geldt: σ1 < σ0 . We bepalen N0 op dezelfde wijze als in de bovenstaande paragrafen is beschreven. Voor t0 = 0.25 en K = −10, 000 krijgen we figuur 11.

10 Zie

hoofdstuk 4 pagina 7 en 11

23

4 10,000 paden bij een verwachte stijging geopend op t=0.25 Gemiddelde x 10winst van alle paden bij verschillende waarden van N 2 14 100

Paden met winst

90 12 80 Percentage paden met winst→

1.5

1 Winst →

Koersverschil→

10

0.5

8

6

4 0 ← Z0

70 60 50 40 30 20

2 10 −0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0

1

Tijd→

2

N→

3

4

5 6

x 10

0

0

1

2

N→

3

4

5 6

x 10

Figuur 11: Simulatie voor het bepalen van N0 . Er geldt: a(t) ≥ 1. Als de verschilkoers de bovenste openingsgrens overschrijdt verwachten we een verschilkoersstijging met een kans van minimaal 95%. Bij de oorspronkelijke aanname σ1 > σ0 is er sprake van een verschilkoersdaling met een kans van minimaal 95%. Bij deze aanname is er sprake van het tegenovergestelde, namelijk een versckilkoersstijging van minimaal 95%. We zijn nu ook in staat voor de situatie σ1 < σ0 N0 te bepalen. We kunnen ons model met deze situatie uitbreiden. Ons model is gereed en onze strategie is ontwikkeld. We moeten nu het testprogramma schrijven. Dan kunnen we vervolgens onze strategie testen met behulp van beursdata. Dit testprogramma, de verificatie, de testen en hun uitkomsten beschrijven we in de volgende hoofdstukken.

24

6 6.1

Testprogramma Algemeen

Het testprogramma schrijven we om onze strategie te kunnen testen met beursdata. Daarom hebben we eerst de formules (1), (10), (11), (12), (13), (14), (15) en (16) in Matlab gezet. Omdat deze formules een viertal variabelen bevatten hebben we deze variabelen vervolgens berekend uit de beursdata. Voor iedere variabele hebben we een aparte methode gebruikt. Deze methoden worden in dit hoofdstuk beknopt toegelicht.

6.2 6.2.1

Toelichting variabelen Verhouding

De verhouding tussen de twee aandelen A en B hebben we met kleinste kwadraten methode geschat. Daarbij nemen we aan dat de verhouding tussen deze aandelen vandaag gelijk is aan die van gisteren. Omdat we over de beursdata van gisteren beschikken kunnen we de verhouding van vandaag schatten. De beurskoers van aandeel A slaan we op in vector A. De beurskoers van aandeel B slaan we op in vector B. Een schatting voor de verhouding tussen aandeel A en B, a ˆ, wordt nu gegeven door: T

T

a ˆ = (A A)−1 A B 6.2.2

µ

µ is de verwachting van de verschilkoers aan het einde van de dag (Z1 ). De schatting van µ, µ ˆ, bepalen we door het gemiddelde van de slot-verschilkoers van de afgelopen n dagen te nemen. µ ˆ=

6.2.3

−n 1 X Z2i+1 n i=−1

σ0

σ0 is de standaardafwijking van de slot-verschilkoersen. De schatting van σ0 , σˆ0 , wordt gegeven door: v u −n u 1 X (Z2i+1 − µ ˆ )2 σˆ0 = t n − 1 i=−1 6.2.4 σ1 p t(1 − t)σ12 is de standaardafwijking van de Brownse brug tussen Z0 en Z1 . In hoofdstuk 4 paragraaf 3 hebben we de Brownse brug behandeld. We hebben daarin vastgesteld dat de incrementen van de Brownse brug niet onafhankelijk zijn. Immers de Brownse brug moet terug komen in 0. De covariantie tussen B(s) en B(t) met s < t en B een Brownse brug wordt gegeven door Cov(B(s), B(t)) = s(1 − t). Omdat de waarden van de Brownse brug dus geen onafhankelijke trekking uit een normale verdeling zijn kunnen we de formule van σ0 niet direct toepassen. We hebben aangenomen dat de verschilkoersen p(t) bestaan uit een Brownse brug: B(t) èn uit een lineair deel: Z0 + (Z1 − Z0 )t. Dan geldt: p(t) = B(t) + Z0 + (Z1 − Z0 )t. De schatting van σ1 , σˆ1 , bepalen we door van de afhankelijke trekkingen uit N (0, σ12 t(1 − t)) onafhankelijke trekkingen uit N (0, σ12 ) te maken. Dat gebeurt op de volgende manier: We ordenen de m verschillende waarden van de Brownse brug per dag: (B(t1 ), B(t2 ), . . . , B(tm ))

met

0 < t1 < t2 < . . . < tm < 1

We gebruiken B(0) en B(1) niet, omdat deze waarden een standaardafwijking van 0 hebben.

25

We stellen vervolgens de covariantiematrix op. De covarianties tussen de verschillende tijdstippen in de Brownse brug zijn bekend11 . De covariantiematrix (Σij ) van de verschillende tijdstippen wordt gegeven door: Σij = ti (1 − tj ) Σii = ti (t − ti )

voor i < j voor i=1. . . m

We hebben nu de waarden op de diagonaal en de waarden van de rechterbovenhelft van de covariantiematrix. Omdat een covariantiematrix symmetrisch is kunnen we de waarden van de linkeronderhelft van deze matrix bepalen. Tenslotte bepalen we met behulp van dezelfde covariantiematrix de matrix H die aan de volgende eigenschap voldoet: HT H = Σ De matrix H is symmetrisch. Als een matrix symmetrisch is dan geldt volgens de definitie van een symmetrische matrix dat de getransponeerde matrix gelijk is aan zichzelf. Het omschrijven van de eis voor matrix H geeft dus: √ H= Σ Vervolgens nemen we de inverse van de matrix H. Als we deze inverse vermenigvuldigen met de originele afhankelijke trekkingen zijn de uitkomsten onafhankelijke trekkingen. H −1 (B(t1 ), B(t2 ), . . . , B(tm )) ∼ Nmxm (0, σ12 ∗ I) We hebben nu m onafhankelijke trekkingen uit N (0, σ12 ). Deze onafhankelijke trekkingen noemen we K(i). K(i)∼ N (0, σ12 ) voor i = 1 . . . m. Tenslotte geldt voor de schatting van σ1 , σˆ1 , dan dat: m

1 X K(i) m i=1 v u m u 1 X 2 σˆ1 = t (K(i) − ω) m − 1 i=1 ω=

11 Zie

hoofdstuk 4 paragraaf 3 en de appendix.

26

7

Verificatie en Validatie van het model.

7.1

Verificatie

Ons model steunt op vier essentiële aannamen, te weten: 1. De volatiliteit tijdens de handelsdag is ongelijk aan de volatiliteit van de slot-verschilkoers12 . 2. De verschilkoers volgt een Brownse brug met lineaire trend13 . 3. De aandelenparen zijn geco¨ıntegreerd14 . 4. Z1 is normaal verdeeld15 . Deze aannamen zijn in overleg zorgvuldig en met overtuiging gekozen. Bij de verificatie van ons model gebruiken we zelfgegenereerde data die voldoen aan deze vier aannamen. In het onderstaande beschrijven we vier testcases. Aan de hand van deze testcases onderzoeken we of ons model winst oplevert. 7.1.1

Testcase 1: K wordt niet gehaald en σ1 > σ0

We voeren een simulatie uit. Als verschilkoers genereren we een Brownse brug van Z0 = 0 naar Z1 ∼ N (0, 1). Aan de aannamen 2, 3 en 4 wordt dan voldaan. Verder nemen we σ1 = 5 en σ0 = 1 zodat ook de eerste aanname geldt. Met K = −10, 000 genereren we een verschilkoers en passen ons model toe. De resultaten van deze simulatie hebben we in figuur 12 grafisch weergegeven. 4

Verschilkoers 4

4

Waarde portfolio

x 10

10

2

9

3

Aandelen A in bezit

x 10

1.5

8 1

2 7

0.5

0

N(t) →

6 W(t) →

p(t) →

1

5 4

−1

0 −0.5

3 −2

−1 2

−3 −4

−1.5

1 0

0.2

0.4 0.6 tijd →

0.8

1

0

0

0.2

0.4 0.6 tijd →

0.8

1

−2

0

0.2

0.4 0.6 tijd →

0.8

1

Figuur 12: Testcase 1 verschilkoersverloop, waarde portfolio en aantal aandelen A in bezit. In figuur 12 zien we links de grafiek van de verschilkoers. De rode en de groene grens zijn de openingsgrenzen zoals beschreven in paragraaf 5.1. De blauwe stippellijn is de sluitingsgrens omschreven in paragraaf 5.2. Een rode ster geeft openen of sluiten met actie 2 aan. Een blauwe ster geeft openen of sluiten met actie 1 aan. De acties staan uitgebreid beschreven in hoofdstuk 5. De grafiek in het midden van figuur 12 geeft de waarde van de portfolio weer. Dit is W (t) uit paragraaf 5.4. Rechts zien we in figuur 12 de hoeveelheid aandelen A die we in bezit hebben. We werken met een vaste verhouding tussen aandelen A en B. We hoeven dan alleen het aantal aandelen A bij te houden. 12 Zie

hoofdstuk 4 pagina 7 en 11 en paragraaf 5.8. paragraaf 4.3 pagina 8 en 9. 14 Zie paragraaf 3.2 pagina 6. 15 Zie paragraaf 4.4 pagina 9. 13 Zie

27

In alle drie de grafieken loopt de tijd van t = 0 tot t = 1. Dit is één handelsdag. Als we naar de verschilkoers kijken zien we dat deze op t = 0.38 voor het eerst door één van de openingsgrenzen gaat. We verwachten op dat moment een verschilkoersstijging met een zekerheid van 95% en besluiten te openen met actie 1. Uit een simulatie zoals omschreven in paragraaf 5.6. volgt dat we 2.000 aandelen A moeten kopen. We hebben ingezet op een verschilkoersstijging en zien dat W (t) stijgt als p(t) stijgt en daalt als p(t) daalt. Op t = 0.45 snijdt de verschilkoers de sluitingsgrens. We sluiten de positie met actie 2. Voor de andere rode en blauw sterren geldt: Op t = 0.68 wordt geopend met actie 2. Op dat moment worden 17750 aandelen A verkocht. Op t = 0.73 wordt deze positie met actie 1 gesloten. Op t = 0.77 wordt geopend met actie 1. Op dat moment worden 19250 aandelen A gekocht. Op t = 1 wordt deze aandelenpositie gesloten met actie 2. Op dat moment sluiten we niet omdat de sluitingsgrens wordt geraakt maar omdat de handelsdag ten einde is. Voor de gehele handelsdag bedraagt de totale winst e92,133. (Zie middelste grafiek.) 7.1.2

Testcase 2: K wordt gehaald en σ1 > σ0

We voeren een simulatie uit. Als verschilkoers genereren we een Brownse brug van Z0 = 0 naar Z1 ∼ N (0, 1). Aan de aannamen 2, 3 en 4 wordt dan voldaan. Verder nemen we σ1 = 5 en σ0 = 1 zodat ook de eerste aanname geldt. Met K = −10, 000 genereren we een verschilkoers en passen ons model toe. De resultaten van deze simulatie hebben we in figuur 13 grafisch weergegeven. 4

Verschilkoers 4

2

x 10

4

Waarde portfolio 2

1.5

1.6

2

1.4

1

0 −1

1.2 N(t) →

W(t) →

1 p(t) →

Aandelen A in bezit

1.8

3

0.5

1 0.8

−2

0

0.6

−3

0.4

−0.5 −4 −5

x 10

0.2 0

0.5 tijd →

1

−1

0

0.5 tijd →

1

0

0

0.5 tijd →

1

Figuur 13: Testcase 2 verschilkoersverloop, waarde portfolio en aantal aandelen A in bezit. We zien dat W (t) op e-10,000 is geëindigd. En dat de sluitingsgrens K = −10, 000 is geraakt. Bij deze simulatie openen we een positie op t = 0.31, want we verwachten een verschilkoersstijging. Omdat we een positie hebben geopend met de verwachting op een verschilkoersstijging stijgt W (t) als p(t) stijgt. Op t = 0.48 is p(0.48) zover gedaald dat W (0.48) = −10, 000. Dit punt wordt aangegeven met een zwarte ster. Op t = 0.48 sluiten we met e10,000 verlies. (Zie middelste grafiek.) 7.1.3

Testcase 3: K wordt niet gehaald en σ1 < σ0

In de tweede paragraaf van dit hoofdstuk hebben we validatietesten uitgevoerd. Uit die testen blijkt dat ook de situatie σ1 < σ0 zich voordoet. We voeren een simulatie uit. We nemen σ1 = 0.2 en σ0 = 1. Als verschilkoers genereren we een Brownse brug van Z0 = 0 naar Z1 ∼ N (0, 1). Aan de aannamen 1, 2, 3 en 4 wordt dan voldaan. De verschilkoers die we dan krijgen kunnen we grafisch als volgt weergeven:

28

5

Verschilkoers 4

7

5

Waarde portfolio

x 10

5

Aandelen A in bezit

x 10

4.5

3

6 4

2 5

3.5

1

3

0

N(t)

W(t) →

p(t) →

4

2.5

3

2

−1

1.5

2 −2

1 1

−3

−4

0.5

0

0.2

0.4 0.6 tijd →

0.8

0

1

0

0.2

0.4 0.6 tijd →

0.8

0

1

0

0.2

0.4 0.6 tijd →

0.8

1

Figuur 14: Testcase 3 verschilkoersverloop, waarde portfolio en aantal aandelen A in bezit. Op t = 0.05 openen we met actie 1 omdat we een verschilkoersstijging verwachten. Uit de simulatie blijkt dat 500,000 aandelen A de grootste verwachte winst opleveren. Uiteindelijk eindigen we deze handelsdag met e625,037 winst. (Zie middelste grafiek.) 7.1.4

Testcase 4: K wordt gehaald en σ1 < σ0

We voeren een simulatie uit. Als verschilkoers genereren we een Brownse brug van Z0 = 0 naar Z1 ∼ N (0, 1). Aan de aannamen 2, 3 en 4 wordt dan voldaan. Verder nemen we σ1 = 0.2 en σ0 = 1 zodat ook de eerste aanname geldt. Met K = −10, 000 genereren we een verschilkoers en passen ons model toe. De resultaten van deze simulatie hebben we in figuur 15 grafisch weergegeven. 4

Verschilkoers 4

6

3

5

x 10

5

Waarde portfolio 0

x 10

Aandelen A in bezit

−0.5 −1

2

4 −1.5

0

3

N(t) →

W(t) →

p(t) →

1

2

−2 −2.5

−1 −3 1

−2

−3.5 0

−3 −4

0

0.5 Tijd →

1

−1

−4

0

0.5 Tijd →

1

−4.5

0

0.5 Tijd →

1

Figuur 15: Testcase 4 verschilkoersverloop, waarde portfolio en aantal aandelen A in bezit. In figuur 15 (linker grafiek) raakt de verschilkoers op t = 0.17 de onderste openingsgrens. We openen dan een positie die afhankelijk is van een verwachte verschilkoersdaling. Op t = 0.77 is de verschilkoers zoveel gestegen ten opzichte van de openingskoers dat we moeten sluiten met e10,000 verlies. (Zie middelste grafiek.) 7.1.5

Uitkomsten verificatieonderzoek

Aan de hand van vier testcases hebben we onderzocht of ons model winst oplevert. We stellen vast dat we bij twee testcases winst maken: testcase 1 e92,133 en testcase 3 e625,037. We stellen ook vast dat

29

we bij twee andere testcases de limiet K halen: testcase 2 e10,000 verlies en testcase 4 e10,000 verlies. De resultaten van deze vier testcases lijken uit te wijzen dat ons model winst oplevert. Immers de totale winst overschrijdt het totale verlies. Maar bij deze conclusie moeten we een aantal opmerkingen plaatsen. We hebben ons beperkt tot een klein aantal testcases. Die beperking brengt mee dat we over de winstgevendheid van het model geen algemene uitspraak kunnen doen. Maar uit de simulaties die we in paragraaf 5.6 en 5.8 hebben uitgevoerd blijkt daarentegen dat bij het nemen van 10,000 paden de totale winst van al die paden ook postief is. Deze uitkomst onderschrijft de positieve bevindingen van het verificatieonderzoek.

30

7.2 7.2.1

Validatie Testen

We hebben bij dit onderzoek gebruik gemaakt van twee paren, te weten het paar TOTAL en SHELL uit de oliebranche en het paar ING en AEGON uit de verzekeringsbranche. We moesten ons weliswaar tot deze paren beperken maar we hebben een slimme keuze gemaakt omdat ieder paar bestaat uit vergelijkbare bedrijven uit dezelfde branche. We zijn ervan uitgegaan dat ieder paar geco¨ıntegreerd is en hebben daarom geen co¨ıntegratietesten uitgevoerd. De beursdata hebben we ontvangen van dr Anderluh. SHELL, ING en AEGON zijn aan de Amsterdamse beurs genoteerd. TOTAL is genoteerd in Parijs. De beursdata bevatten de beurskoersen van alle handelsmomenten van de maand oktober 2011. Deze data zijn opgenomen in vier aparte bronbestanden. Deze bronbestanden bevatten ruim 17 miljoen regels, te weten: Het bestand TOTAL bestaat uit ca. 6.200.000 regels; Het bestand SHELL bestaat uit ca. 3.500.000 regels; Het bestand ING bestaat uit ca. 5.000.000 regels; en Het bestand AEGON bestaat uit ca. 2.500.000 regels. We hebben deze vier bestanden geschoond met behulp van Matlab zodat we kunnen beschikken over informatie over datum, tijd en prijs. Het Matlabprogramma en de bronbestanden staan op een aparte CD. Deze CD maakt onderdeel uit van dit onderzoeksverslag.

31

7.2.2

Uitkomsten van het paar TOTAL en SHELL

We hebben de verhouding tussen twee aandelen TOTAL en SHELL berekend. Deze verhouding bedraagt 1.385. Dit getal gebruiken we voor alle dagen van de maand. We hebben µ ˆ en σˆ0 berekend uit de slot-verschilkoersen van de voorgaande 19 handelsdagen. Aan het einde van iedere handelsdag berekenen we σ1 uit de beursdata. Aan het begin van iedere handelsdag hebben we σˆ1 nodig. We nemen σˆ1 gelijk aan het gemiddelde van de eerste drie σ1 ’s. Er geldt dan: σˆ1 = 0.494. Tijdens de eerste drie handelsdagen zijn deze σ1 ’s eigenlijk nog niet bekend maar we gebruiken σˆ1 wel omdat we maar één maand hebben om te testen. Verder geven we de Euclidische norm van het verschil tussen σ1 en σˆ1 om te zien hoe goed onze schatting is. Datum 03-10-2011 04-10-2011 05-10-2011 06-10-2011 07-10-2011 10-10-2011 11-10-2011 12-10-2011 13-10-2011 14-10-2011 17-10-2011 18-10-2011 19-10-2011 20-10-2011 21-10-2011 24-10-2011 25-10-2011 26-10-2011 27-10-2011 28-10-2011 31-10-2011

µ ˆ 0.0035 0.0064 0.0628 0.1023 0.1417 0.2483 0.3495 0.4863 0.6634 0.7762 0.9517 1.1644 1.2785 1.3998 1.5606 1.7245 1.8642 1.9546 2.0240 2.1653 2.2722

σˆ0 0.69 0.69 0.76 0.80 0.86 0.97 1.08 1.13 1.23 1.29 1.31 1.18 1.19 1.17 1.07 0.89 0.74 0.68 0.59 0.58 0.52

σ1 0.506 0.509 0.467 0.520 0.527 0.451 1.875 0.496 0.468 0.475 0.501 0.551 0.500 0.624 0.538 0.495 0.496 0.497 0.746 0.629 0.507

kσˆ1 − σ1 k 0.012 0.015 0.027 0.026 0.033 0.043 1.381 0.002 0.026 0.019 0.007 0.057 0.006 0.130 0.044 0.001 0.002 0.003 0.252 0.135 0.013 Saldo:

Winst 0 0 44,727 0 -10,000 -10,000 396,800 0 0 -10,000 -10,000 0 -10,000 0 0 0 0 0 0 -10,0000 0 e380,345

Tabel 4: Verschillende handelsdagen met het paar TOTAL en SHELL. Uit tabel 4 blijkt dat er op 8 van de 21 dagen wordt geopend en dat van deze acht dagen er slechts twee dagen met winst wordt afgesloten. De totale winst is echter positief omdat deze twee handelsdagen grote winsten genereren en het verlies van de overige zes dagen meer dan goed maken.

32

7.2.3

Uitkomsten van het paar ING en AEGON

We hebben de verhouding tussen twee aandelen ING en AEGON berekend. Deze verhouding bedraagt 1.718. Dit getal gebruiken we voor alle dagen van de maand. We hebben µ ˆ en σˆ0 berekend uit de slot-verschilkoersen van de voorgaande 19 handelsdagen. Aan het einde van iedere handelsdag berekenen we σ1 uit de beursdata. Aan het begin van iedere handelsdag hebben we σˆ1 nodig. We nemen σˆ1 gelijk aan het gemiddelde van de eerste drie σ1 ’s. Er geldt dan: σˆ1 = 0.129. Tijdens de eerste drie handelsdagen zijn deze σ1 ’s eigenlijk nog niet bekend maar we gebruiken σˆ1 wel omdat we maar één maand hebben om te testen. Verder geven we de Euclidische norm van het verschil tussen σ1 en σˆ1 om te zien hoe goed onze schatting is. Datum 03-10-2011 04-10-2011 05-10-2011 06-10-2011 07-10-2011 10-10-2011 11-10-2011 12-10-2011 13-10-2011 14-10-2011 17-10-2011 18-10-2011 19-10-2011 20-10-2011 21-10-2011 24-10-2011 25-10-2011 26-10-2011 27-10-2011 28-10-2011 31-10-2011

µ ˆ -0.0026 -0.0217 -0.0363 -0.0369 -0.0365 -0.0242 -0.0145 -0.0044 -0.0011 0.0024 0.0102 0.0139 0.0417 0.0758 0.1120 0.1329 0.1533 0.1811 0.1830 0.2156 0.2523

σˆ0 0.16 0.15 0.15 0.15 0.15 0.14 0.14 0.13 0.13 0.13 0.12 0.12 0.15 0.16 0.21 0.23 0.25 0.27 0.27 0.29 0.29

σ1 0.148 0.128 0.110 0.143 0.139 0.122 0.120 0.137 0.149 0.135 0.170 0.171 0.219 0.171 0.129 0.149 0.146 0.142 0.223 0.190 6.693

kσˆ1 − σ1 k 0.019 0.001 0.019 0.014 0.010 0.007 0.009 0.008 0.020 0.006 0.041 0.042 0.090 0.042 0.000 0.020 0.017 0.013 0.094 0.061 6.564 Saldo

Winst 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10,000 -10,000 -10,000 0 -10,000 171,161 0 -10,000 5,246,315 e5,367,476

Tabel 5: Verschillende handelsdagen met het paar ING en AEGON. We merken op dat we bij het paar ING en AEGON per saldo een winst hebben gemaakt van e5,367,476. Maar op 31 oktober 2011 is er het eerste uur geen koersdata van ING bekend. Het Matlab programma is hier niet op berekend en geeft een verkeerde verschilkoers. Hierdoor moet het saldo van de winst worden gecorrigeerd tot een bedrag van e121,161. Uit tabel 5 blijkt dat er op 6 van de 21 dagen wordt geopend en dat van deze zes dagen er slechts één dag met winst wordt afgesloten. Ook hier blijkt, evenals bij het paar TOTAL SHELL, dat de totale winst positief is omdat op die ene handelsdag een grote winst wordt gegenereerd die het verlies van de overige vijf handelsdagen meer dan goed maakt.

7.3

Bespreking uitkomsten

De uitkomsten van de verificatietesten tonen aan dat ons model goed werkt. De uitkomsten van de validatietesten lijken ook op een goede werking van ons model te wijzen. Immers de beide paren genereren in de maand oktober een winst van e380,345 respectievelijk e121,161. Maar het valt op dat het aantal dagen waarop wordt geopend relatief klein is. In slechts 38% (TOTAL en SHELL) respectievelijk 30% (ING en AEGON) van de dagen vindt een opening plaats. Het komt ons voor dat een beurshandelaar deze percentages te laag zou kunnen vinden. Hij zal namelijk op veel meer dagen willen handelen. Hij zou dan een een ander risicoprofiel kunnen nemen door de 95% kans (zie paragraaf 5.1) kleiner te kiezen. 33

De openingsgrenzen zullen dan dichter bij elkaar komen te liggen waardoor de verschilkoers één van die grenzen sneller zal kunnen raken. De verlaging van de 95% kans heeft dan tot gevolg dat eerder en vaker geopend zal worden. Een voorbeeld. Een beurshandelaar kiest voor een risicoprofiel met 80% kans op een koersstijging. Dat betekent dat de beurshandelaar nu opent als de kans op een koersstijging 80% is. Dat impliceert dat de kans op een koersdaling 20% is. Een koersdaling heeft verlies tot gevolg. De kans op verlies is dus verhoogd van 5% naar 20%. Kortom het aantal handelsdagen wordt groter maar hetzelfde geldt voor de kans op het leiden van verlies. De keuze is aan de beurshandelaar. Ook valt op dat beide paren bij opening een relatief grote kans op een verlies van e10,000 geven. Uit tabel 4 kan worden opgemaakt dat slechts op twee van de acht openingsdagen een winst wordt gegenereerd. De kans is dus 25%. Dit percentage wijkt sterk af van onze verwachting van 95%. Uit tabel 5 kan worden opgemaakt dat slechts op één van de zes openingsdagen een winst wordt gegenereerd. De kans is dus 17%. Dit percentage wijkt nog sterker af van onze verwachting van 95%. N0 en K hebben invloed op de kans dat een handelsdag winst oplevert. Dit komt omdat bij een grotere N de sluitingsgrens K sneller wordt bereikt. In paragraaf 5.6 en 5.8 hebben we gezien dat naarmate N groter wordt de kans op winst afneemt. We voeren een simulatie uit om te bepalen of de berekende N0 ’s ook een winstpercentage van 25% (TOTAL SHELL) respectievelijk 17% (ING AEGON) opleveren. In tabel 6 hebben voor het paar TOTAL SHELL de dagen waarin wordt geopend opgenomen. In de eerste kolom de data; in de tweede de openingstijd; de derde geeft N0 weer. Dit is het aantal aandelen TOTAL dat wordt gekocht. We hebben reeds berekend dat de verhouding tussen de aandelen TOTAL en SHELL altijd 1.385 is. Het bijbehorende aantal aandelen SHELL kunnen we met deze verhouding berekenen. In de vierde kolom hebben we dit aantal opgenomen. Voor ieder openingsmoment simuleren we 10,000 paden met t0 en N0 , uit tabel 6, samen met µ ˆ, σˆ0 en σˆ1 uit tabel 4. Tenslotte berekenen we welk percentage van de 10,000 paden winst oplevert. Dit percentage hebben we in de vijfde kolom vermeld.

Datum 05-10-2011 07-10-2011 10-10-2011 11-10-2011 14-10-2011 17-10-2011 19-10-2011 28-10-2011

t0 0 0 0 0 0 0 0 0

TOTAL N0 -177,500 -180,000 -182,500 -180,000 -215,000 -190,000 -177,500 -160,000

SHELL 245,837 249,300 252,763 249,300 297,775 263,150 245,838 221,600 gemiddeld:

percentage paden met winst 36% 39% 43% 45% 44% 49% 50% 35% 43%

Tabel 6: Paar TOTAL SHELL. Percentage paden dat winst oplevert bij de simulatie. In het geval van TOTAL en SHELL wijst de simulatie uit dat het percentage paden met winst 43% bedraagt. Uit tabel 4 blijkt dat we op twee van de acht dagen winst maken: 25%. Een verschil van 18%. We willen onderzoeken of dit verschil acceptabel is. Uit tabel 4 blijkt dat we op twee van de acht dagen winst maken. We nemen aan dat de kans op winst binomiaal verdeeld is met een kans op winst van p = 0.43 (zie tabel 6). De kans dat we van de acht dagen maximaal twee dagen winst maken wordt

34

dan gegeven door: P (0 keer winst) + P (1 keer winst) + P (2 keer winst) = 0.01 + 0.07 + 0.18 = 0.26 We nemen een betrouwbaarheidsinterval van 0.05. De berekende 0.26 is groter dan het betrouwbaarheidsinterval. Met een kans op winst van 43% is het mogelijk dat er op twee van de acht dagen winst is gemaakt. Dat wil zeggen dat niet blijkt dat de vier aannamen onjuist zijn. In tabel 7 hebben voor het paar ING AEGON de dagen waarin wordt geopend opgenomen. In de eerste kolom de data; in de tweede de openingstijd; de derde geeft N0 weer. Dit is het aantal aandelen ING dat wordt gekocht. We hebben reeds berekend dat de verhouding tussen de aandelen ING en AEGON altijd 1.718 is. Het bijbehorende aantal aandelen AEGON kunnen we met deze verhouding berekenen. In de vierde kolom hebben we dit aantal opgenomen. Voor ieder openingsmoment simuleren we 10,000 paden met t0 en N0 , uit tabel 7, samen met µ ˆ, σˆ0 en σˆ1 uit tabel 5. Tenslotte berekenen we welk percentage van de 10,000 paden winst oplevert. Dit percentage hebben we in de vijfde kolom vermeld. Datum 19-10-2011 20-10-2011 21-10-2011 25-10-2011 26-10-2011 28-10-2011

t0 0 0 0 0 0.0035 0

ING N0 -700,000 -800,000 -600,000 -700,000 -720,000 -700,000

AEGON 1,202,600 1,374,400 1,030,800 1,202,600 1,236,960 1,202,600 gemiddeld:

percentage paden met winst 33% 34% 38% 40% 42% 47% 39%

Tabel 7: Paar ING AEGON. Percentage paden dat winst oplevert bij de simulatie. In het geval van ING en AEGON wijst de simulatie uit dat het percentage paden met winst 39% bedraagt. Uit tabel 5 blijkt dat we op één van de zes dagen winst maken: 17%. Een verschil van 22%. We willen onderzoeken of dit verschil acceptabel is. Uit tabel 5 blijkt dat we op één van de zes dagen winst maken. We nemen aan dat de kans op winst binomiaal verdeeld is met een kans op winst van p = 0.39 (zie tabel 7). De kans dat we van de zes dagen maximaal één dag winst maken wordt dan gegeven door: P (0 keer winst) + P (1 keer winst) = 0.05 + 0.20 = 0.25 We nemen een betrouwbaarheidsinterval van 0.05. De berekende 0.25 is groter dan het betrouwbaarheidsinterval. Met een kans op winst van 39% is het mogelijk dat er op slechts één van de zes dagen winst is gemaaakt. Dat wil zeggen dat niet blijkt dat de vier aannamen onjuist zijn. Tenslotte merken we nogmaals op dat de beurshandelaar zijn risicoprofiel kan aanpassen. Hij kan ervoor kiezen om zijn N kleiner te nemen dan N0 om op die manier per opening een grotere kans op winst te verkrijgen. Maar de gemiddelde winst is bij N0 het grootst hetgeen betekent dat door de wijziging van zijn risicoprofiel de totale winst af zal nemen.

35

7.4

Opmerkingen bij de aannamen van het model

Bij het ontwikkelen van ons model hebben we gebruik gemaakt van een aantal aannamen. We hebben vastgesteld dat ons model goed werkt als aan de aannamen wordt voldaan. Maar we moeten bij deze aannamen een aantal opmerkingen plaatsen: • Voor aanname 1 (De volatiliteit tijdens de handelsdag is ongelijk aan de volatiliteit van de slotverschilkoers) geldt: σ0 6= σ1 . In het geval dat σ0 = σ1 kunnen we de slotkoers niet voorspellen, omdat de verschilkoers zich dan gedraagt als een Wienerproces in plaats van een Brownse brug. Ons model is in die situatie niet bruikbaar. Uit onze testen blijkt dat σ1 = σ0 niet voorkomt. Deze aanname lijkt dus geldig te zijn. • Voor aanname 2 (de verschilkoers volgt een Brownse brug met lineaire trend) geldt dat we deze aanname niet hebben kunnen testen. We kunnen dus geen uitspraak doen over de geldigheid ervan. We hebben voor deze aanname gekozen omdat de incrementen van een Brownse brug onafhankelijk zijn. Dit lijkt ons in het geval van de verschilkoers ook te gelden. De lineaire trend hebben we toegevoegd om aan het einde van de dag in Z1 te komen. • Voor aanname 3 (de aandelenparen zijn geco¨ıntegreerd) geldt dat we geen co¨ıntegratietesten van de paren (ING en AEGON) en (TOTAL en SHELL) hebben uitgevoerd, omdat we hebben aangenomen dat ze geco¨ıntegreerd zijn. We zijn dus niet zeker of deze aanname geldig is. Overigens geldt dat we een slimme keuze hebben gemaakt door aandelenparen van soortgelijke bedrijven uit dezelfde branches te kiezen. • Voor aanname 4 (Z1 is normaal verdeeld) geldt dat we niet weten of deze geldig is. We hebben deze aanname gekozen omdat een normaal verdeling veelvuldig wordt gebruikt in de wiskunde.

7.5

Slotopmerkingen

De diverse onzekerheden impliceren dat ons model en onze strategie nog niet succesvol door beurshandelaren kunnen worden ingezet. Daartoe zouden we methoden moeten ontwikkelen waarmee we onze aannamen kunnen testen op hun geldigheid. Daarnaast zouden we ook gebruik moeten kunnen maken van meer geco¨ıntegreerde paren. Tevens zouden we in staat moeten zijn over een langere periode testen uit te voeren. De paren TOTAL SHELL en ING AEGON kennen een testperiode van één maand. Een testperiode van langer dan een maand zou de testresultaten ongetwijfeld hebben verbeterd. Tenslotte zouden de schattingen van de variabelen a, µ, σ0 en σ1 , moeten worden verbeterd. Deze werkzaamheden vallen evenwel buiten het bestek van dit bacheloreindwerk.

36

8

Conclusies en verbeterpunten

Bij verificatietesten van ons model zijn we ervan uitgegaan dat de diverse essentiële aannamen geldig zijn. Deze testen wijzen uit dat ons model goed werkt. Dat betekent dat onze strategie kan worden toegepast. Bij de validatietesten van ons model echter mogen we er a priori niet vanuit gaan dat deze aannamen geldig zijn. Die geldigheid moeten we - middels verantwoorde testen - vaststellen. Daarin zijn we onvoldoende geslaagd. Daaruit mogen we echter niet de conclusie trekken dat deze aannamen niet geldig zijn. We hebben ze immers in overleg zorgvuldig en met overtuiging gekozen. Toch brengt die onzekerheid mee dat ons model en onze strategie nog niet succesvol door beurshandelaren kunnen worden ingezet. Daartoe zouden we methoden moeten ontwikkelen waarmee we onze aannamen kunnen testen op hun geldigheid. Daarnaast zouden we ook gebruik moeten kunnen maken van meer geco¨ıntegreerde paren. Tevens zouden we in staat moeten zijn over een langere periode testen uit te voeren. Tenslotte zouden we de schattingen van de variabelen a, µ, σ0 en σ1 , moeten verbeteren. Deze werkzaamheden vallen evenwel buiten het bestek van dit bacheloreindwerk.

37

Bijlagen Het Matlabprogramma en de bronbestanden staan op een aparte CD. Deze CD maakt onderdeel uit van dit onderzoeksverslag.

38

Referenties [1] Ganapathy Vidyamurthy, Pairs Trading: Quantitative Methods and Analysis. Wiley Finance, 2004. [2] James D. Hamilton, Time Series Analysis. Princeton University press, Princeton, 1st Edition, 1994. [3] Steven E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II. Springer-Verlag New York Inc., 2004.

39

Appendix 1. Grafische voorstelling van acties 1, 2 en 3

6

S2: Verkoop A en koop B.

Aandeel A − a*Aandeel B

4

2

S3: Houd positie vast.

0

−2

S1: Koop A en verkoop B.

−4

−6

0

2

4

6

8

10

Tijd Figuur 16: Een grafische weergave van het model uit hoofdstuk 3 op pagina 3.

2. Covariantie van de Brownse brug s < t geldt: Cov(B(s), B(t)) = = Cov(W i(s) − W i(1)s, W i(t) − W i(1)t)

= Cov(W i(s), W i(t)) − sCov(W i(1), W i(t)) − tCov(W i(1), W i(s)) + tsCov(W i(1), W i(1)) = s − st − ts + ts

= s(1 − t)

(26)

40

3. Eigenschappen van a(t) σ2 a(t)t − a = 2 0 2 1−a σ0 − σ1 σ2 1 − a(t)t = 2 1 2 1−a σ1 − σ0

4. Waardes van a(t) We nemen aan dat geldt: (27)

σ1 > σ0 a(t) =

tσ02 t2 σ02 + t(1 − t)σ12

0≤t≤1

(28)

Voor a(t) geldt nu: a(t) = a(t) =

tσ02

σ02 + (1 − t)σ12 1

Voor 0 < t < 1

σ2

t + (1 − t) σ12 0

σ12 >1 σ02 σ2 t + (1 − t) 12 > 1 σ0 a(t) < 1 lim a(t) = t↓0

a(1) =

σ02 σ12 σ02 σ02

dus invullen geeft: voor 0 < t < 1 <1 =1

In het geval dat geldt: σ1 < σ0 a(t) ≥ 1

5. Onder- en bovengrens bepalen p p(t) ≤ E[Z1 |p(t)] − 1.645 Var(Z1 |p(t))

p p(t) ≤ µ − a((1 − t)Z0 + tµ) + a(t)p(t) − 1.645 Var(Z1 |p(t)) p p(t) − a(t)p(t) ≤ µ − a((1 − t)Z0 + tµ) − 1.645 Var(Z1 |p(t)) a(t) ≤ 1

µ − a((1 − t)Z0 + tµ) 1.645 p Var(Z1 |p(t)) − 1 − a(t) 1 − a(t) a(t)t − a 1.645 p 1 − a(t)t + Z0 − p(t) ≤ µ Var(Z1 |p(t)) 1 − a(t) 1−a 1 − a(t) p(t) ≤

p(t) ≤ µ

σ02 1.645 p σ12 Var(Z1 |p(t)) + Z − 0 2 2 2 2 σ1 − σ0 σ0 − σ1 1 − a(t) 41

(29)

p p(t) ≥ E[Z1 |p(t)] + 1.645 Var(Z1 |p(t))

p p(t) ≥ µ − a((1 − t)Z0 + tµ) + a(t)p(t) + 1.645 Var(Z1 |p(t)) p p(t) − a(t)p(t) ≥ µ − a((1 − t)Z0 + tµ) + 1.645 Var(Z1 |p(t)) a(t) ≤ 1 µ − a((1 − t)Z0 + tµ) 1.645 p p(t) ≥ Var(Z1 |p(t)) + 1 − a(t) 1 − a(t) a(t)t − a 1.645 p 1 − a(t)t + Z0 + p(t) ≥ µ Var(Z1 |p(t)) 1 − a(t) 1−a 1 − a(t) p(t) ≥ µ

σ02 1.645 p σ12 Var(Z1 |p(t)) + Z + 0 2 2 2 2 σ1 − σ0 σ0 − σ1 1 − a(t)

In het geval dat σ1 < σ0 , dus a(t) ≥ 1 wordt er geopend als:

σ12 σ02 1.645 p Var(Z1 |p(t)) + Z − 0 2 2 2 2 σ1 − σ0 σ0 − σ1 1 − a(t) σ2 σ2 1.645 p p(t) ≤ µ 2 1 2 + Z0 2 0 2 + Var(Z1 |p(t)) σ1 − σ0 σ0 − σ1 1 − a(t) p(t) ≥ µ

6. Bepaling van aantal regels Bestand Bestand Bestand Bestand

AEGON ING TOTAL SHELL

: : : :

2.500.000 5.000.000 6.200.000 3.500.000

regels regels regels regels

(59 (59 (59 (59

regels regels regels regels

per per per per

42

blz blz blz blz

* * * *

42373) 85004) 104921) 60637)

(30)

Verklarende woordenlijst16 Long en short Long gaan betekent het kopen van aandelen. Short gaan betekent het verkopen van aandelen. Je kunt ook aandelen verkopen die je niet bezit. Positie Longpositie: effecten hebben waardoor men profiteert van een stijging van de koers. Shortpositie: effecten hebben waardoor men profiteert van een daling van de koers. Portfolio In de financiële en zakelijke wereld wordt de term portfolio gebruikt om een (al dan niet samenhangend) geheel van beleggingen aan te duiden (bijvoorbeeld: aandelenportfolio, effectenportfolio, onroerendgoedportfolio).

16 Bron:

Wikipedia

43

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Recommend Documents