Tartalom
Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák
2015
1
Tervezési célok
Szabályozó tervezés célja • Stabilitás biztosítása • Min˝oségi kritériumok biztosítása
2015
2
Tervezési célok
A szabályozási hatásvázlat: R(s)- fE(s)U(s)C(s) G(s) 6 −
2015
Yr (s) -
3
Tervezési célok
Stabilitás biztosítása a zárt rendszer pólusai alapján: A zárt rendszer átviteli függvénye: C(s)G(s) GH (s) Gz(s) = = , 1 +C(s)G(s) 1 + GH (s) ahol GH (s) a hurokátviteli függvény.
2015
4
Tervezési célok
A zárt rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, tehát az 1 + GH (s) = 0 egyenlet p1, . . . , pn gyökeire teljesül a Re pi < 0, i = 1, . . . , n feltétel, ahol n a GH (s) pólusainak száma.
2015
5
Tervezési célok
A stabilitás biztosítása a felnyitott hurok GH (iω) frekvenciafüggvényének Bode diagramja alapján: A fázistartalék kapcsolata a stabilitással: ϕt = 180◦ + ϕ(ωc) • Ha ϕt > 0 akkor a zárt rendszer stabil • Ha ϕt = 0 akkor a zárt rendszer a stabilitás határhelyzetében van • Ha ϕt < 0 a zárt rendszer instabil 2015
6
Tervezési célok
Min˝oségi kritériumok id˝otartományban: A rendszer átmeneti függvénye alapján: 1. beállási érték: a kimenet állandósult állapotbeli értéke (stabil rendszer esetén): y(∞) = lim y(t) t→∞
2. szabályozási id˝o: az a Ts id˝opillanat, ami után már a rendszer kimenete a beállási értékt˝ol ±5%-nál jobban nem tér el: 0, 95 ∗ y(∞) ≤ y(τ) ≤ 1, 05 ∗ y(∞) ∀τ ≥ Ts 2015
7
Tervezési célok
3. szabályozási eltérés: a megkívánt érték (referencia jel) és az állandósult állapotbeli érték különbsége: e(∞) = y(∞) − r(∞) 4. túllendülési id˝o: az a tm id˝opillanat, amikor a kimenet a maximális túllendülést eléri: max |y(t) − y(∞)| = |ym − y(∞)| ahol ym = y(tm) t
5. túllendülés mértéke: a túllendülés %-ban kifejezett értéke: maxt |y(t) − y(∞)| · 100% p = σ · 100% = |y(∞)| 2015
8
Tervezési célok
Idõtartományi minõségi jellemzõk 0.06
ym 0.05
1,05*y(∞)
y(t)
0.04
0,95*y(∞) y(∞)
0.03
0.02
0.01
Tsz
t 0 0
m 1
2
3
4
5
6
t [sec]
2015
9
Tervezési célok
Min˝oségi kritériumok frekvenciatartományban: A zárt rendszer Gz(iω) frekvenciafüggvényének Bode amplitúdó diagramja alapján: 1. rezonanciacsúcs: M p az amplitúdó diagram maximális értéke 2. rezonanica frekvencia: ω p a rezonanciacsúcs körfrekvenciája 3. sávszélesség: ωb az a körfrekvencia, ahol az amplitúdó diagram eléri a −3dB-es értéket 2015
10
Tervezési célok
Frekvenciatartományi minõségi jellemzõk 20
M
p
10
a(ω) [dB]
0
−10
−3 dB
−20
−30
−40
−50 −1 10
ωp 0
10
ωb 1
10
2
10
ω (lg) [rad/sec]
2015
11
Tervezés felnyitott hurokban
Soros kompenzátor tervezése a felnyitott hurok GH (iω) = C(iω)G(iω) frekvenciafüggvényének Bode diagramja alapján adott fázistartalék biztosítására történik. A leggyakrabban használt el˝oírt fázistartalék értékek: 30◦, 45◦, vagy 60◦. A cél a C(s) szabályozó blokk megtervezése 0 tárolós alaptagok párhuzamos kapcsolásaként: 2015
12
Tervezés felnyitott hurokban
2015
13
Tervezés felnyitott hurokban
Az alaptagok hatása a szabályozás min˝oségi jellemz˝oire: • 0TP arányos (A) tag: gyorsítja a rendszert, de nem biztosít zérus követési hibát (kivéve, ha a rendszer eleve integráló tulajdonságú). • 0TD (Ad s) differenciáló tag: jelent˝osen gyorsítja a rendszert, de a zajokat er˝osíti, ezért önmagában nem használják • 0TI ( AsI ) integráló tag: zérus követési hibát biztosít, de lassítja a rendszert A leggyakrabban használt kombinációk: PD, PI, PID 2015
14
Tervezés felnyitott hurokban
1. Példa Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: 5 G(s) = 3 s + 3s2 + 2s Tervezzünk soros, arányos kompenzátort ϕt = 30◦ fázistartalék biztosítására! Válasszuk a kompenzátort el˝oször A = 1 érték˝ure: 5 GH (s) = A · G(s) = 1 · 3 s + 3s2 + 2s 2015
15
Tervezés felnyitott hurokban
Az így kapott GH (iω) frekvenciafüggvény Bode diagramja: Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 6◦ ωc = 1, 27rad/sec κt = 1, 61dB ωk = 1, 42rad/sec 2015
16
Tervezés felnyitott hurokban
Változtassuk meg A értékét úgy, hogy ϕt = 30◦ → ϕ(ωc) = −150◦ legyen, kihasználva, hogy GH (iω) = A · G(iω) Bode diagramja az A és G(iω) tagok külön– külön ábrázolt Bode diagramjának összege, és A esetében a(ω) = 20 · log(A) és ϕ(ω) = 0◦! Így: Egy egységt˝ol eltér˝o arányos tag az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan eltolja, mégpedig A > 1 esetben felfelé, A < 1 esetben pedig lefelé, miközben a fázisdiagramot változatlanul hagyja. 2015
17
Tervezés felnyitott hurokban
Például A=10 esetben: Bode diagram a(ω) [dB]
100
0
−100 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = −44◦ ωc = 3, 48rad/sec κt = −18, 3dB ωk = 1, 42rad/sec 2015
18
Tervezés felnyitott hurokban
A=0,1 esetben pedig: Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 69◦ ωc = 0, 242rad/sec κt = 21, 7dB ωk = 1, 42rad/sec 2015
19
Tervezés felnyitott hurokban
A soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy ϕt = 30◦ → ϕ(ωc) = −150◦ adódjon. Ehhez le kell olvasni el˝ojelhelyesen a ϕ(ω) = −150◦hoz tartozó x amplitúdó értéket (a 0dB-es tengelyt˝ol mérve dB-ben).
2015
20
Tervezés felnyitott hurokban
Az A er˝osítést úgy kell megválasztani, hogy pontosan ezzel az értékkel ellentétesen tolja el az amplitúdó diagramot: 20 · log(A) = −x
Így a keresett er˝osítés értéke: x − 20
A = 10
2015
21
Tervezés felnyitott hurokban
Esetünkben A = 0, 438 érték oldja meg a feladatot: Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 30◦ ωc = 0, 791rad/sec κt = 8, 65dB ωk = 1, 42rad/sec 2015
22
Tervezés felnyitott hurokban
Összefoglalva, a soros kompenzátor tervezés lépései a következ˝ok: 1. Eldöntjük, hogy milyen kompenzátort és milyen fázistartalékkal kívánunk tervezni. 2. A tervezend˝o konstans (A, Ad , AI ) egység értékére felrajzoljuk a felnyitott hurok Bode diagramját.
2015
23
Tervezés felnyitott hurokban
3. Leolvassuk a kit˝uzött ϕt fázistartalékhoz tartozó x amplitúdó értéket és −x használatával meghatározzuk az A v. Ad v. AI konstans értékét. 4. Megvizsgáljuk a zárt (szabályozott) rendszer min˝oségi tulajdonságait.
2015
24
Tervezés felnyitott hurokban
2. Példa Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: 5 G(s) = 2 s + 3s + 2 Tervezzünk jelkövetést garantáló soros kompenzátort ϕt = 30◦ fázistartalék biztosítására!
2015
25
Tervezés felnyitott hurokban
Mivel G(s) nem integráló tulajdonságú, ezért C = AsI integráló kompenzátor alkalmazása szükséges. Így 5 5 GH (s) = AI · 2 = AI · 3 (s + 3s + 2)s s + 3s2 + 2s Innent˝ol a tervezés menete és eredménye is megegyezik az el˝oz˝o példával, csak éppen AI -t számoljuk A helyett.
2015
26
Elemzés zárt hurokban
A zárt rendszer átviteli függvénye: C(s)G(s) Gz(s) = 1 +C(s)G(s) Elemzés: 1. Id˝otartományban (pólusok, súly- és átmeneti függvény) 2. Frekvenciatartományban (Bode és Nyquist diagramok) 2015
27
Elemzés zárt hurokban
Az 1. példában a zárt (szabályozott) rendszer átviteli függvénye: 2, 19 Gz(s) = 3 s + 3s2 + 2s + 2, 19
2015
28
Elemzés zárt hurokban
A zárt rendszer pólusai: p1 = −2, 5526 p2,3 = −0, 2237±0, 8988i A zárt rendszer súlyfüggvénye 1 0.8
g(t)
0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 0
5
10
15
20
25
30
t [sec]
2015
29
Elemzés zárt hurokban
A zárt rendszer átmeneti függvénye 1.5
v(t)
1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
t [sec]
Pólusai, és súlyfüggvénye alapján a zárt rendszer stabil. 2015
30
Elemzés zárt hurokban
A zárt rendszer Bode diagramja: Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
ω (lg) [rad/sec]
M p = 6, 1dB ω p = 0, 87rad/sec ωb = 1, 326rad/sec 2015
31
Demonstrációs példák
3. Példa: Repül˝ogép d˝olésszögének (φ) szabályozása Válassza meg A1AI értékét, hogy a szabályzó biztosítsa a ϕt = 45◦ fázistartalékot!
2015
32
Demonstrációs példák
• φa(t): alapjel (referenciajel), a repül˝o d˝olésszöge • φe(t): hibajel, ami a referenciajel (φa(t)) és a szabályozott rendszer kimenetének (φc(t)) különbsége • φc(t): a szabályozott rendszer kimeneti jele 2015
33
Demonstrációs példák
Megoldás Válasszuk meg a következ˝o módon az A1 és AI értékeit: A1AI = 1 1 10 GH (s) = 10 · = 15 s(1+ 1 s)(1+ 1 s) s3+11.5s2+15s 10
2015
1.5
34
Demonstrációs példák
Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 64◦ ωc = 0, 617rad/sec κt = 24, 5dB ωk = 3, 83rad/sec
2015
35
Demonstrációs példák
Látható módon a megoldás a fázistartalék csökkentése. ϕ(ω) = −135◦ értéken x = −7dB. Így 20 · log(A) = 7dB → A = 2, 2387 22, 387 GH (s) = 3 s + 11.5s2 + 15s
2015
36
Demonstrációs példák Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 45◦ ωc = 1, 17rad/sec κt = 17dB ωk = 3, 83rad/sec 2015
37
Demonstrációs példák
Aszimptotikus jelkövetés φa(t) = 1(t), d(t) = 0 1 lim φe = lim s = t→∞ s→0 (1 + GH (s))s s(s + 10)(s + 1.5) = lim =0 s→0 s(s + 10)(s + 1.5) + 10A
2015
38
Demonstrációs példák
Aszimptotikus zavarelhárítás, ha d(t) a kimenetre hat: φa(t) = 0(t), d(t) = 1(t) 1 kimeneti = lim φd = lim s t→∞ s→0 (1 + GH (s))s s(s + 10)(s + 1.5) =0 = lim s→0 s(s + 10)(s + 1.5) + 10A
2015
39
Demonstrációs példák
Aszimptotikus zavarelhárítás, ha d(t) a bemenetre hat: φa(t) = 0(t), d(t) = 1(t) G(s) = = lim s s→0 (1 + GH (s))s 10s(s + 10) =0 = lim s→0 s(s + 10)(s + 1.5) + 10A lim φbemeneti d t→∞
2015
40
Demonstrációs példák
4. Példa: Villamos targonca irányításának tervezése Egy villamos targonca megfelel˝o pályán való automatikus vezetését 8 fototranzisztorral biztosítják:
2015
41
Demonstrációs példák
A motor és kocsi dinamikát a következ˝o átviteli függvény írja le: 30 G(s) = s 1 + 20 (s2 + s + 4) Tervezzünk olyan 30◦-os fázistartalékot biztosító stabilizáló soros kompenzátort, amelyik jelkövetést és minimális beállási id˝ot biztosít túllendülés nélkül.
2015
42
Demonstrációs példák
Stabilitás A=1 soros, arányos kompenzátorral: Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = −4◦ ωc = 5, 67rad/sec κt = −2, 91dB ωk = 4, 93rad/sec 2015
43
Demonstrációs példák
Stabilitás A=0,155 soros, arányos (P) kompenzátorral: Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 30◦ ωc = 2, 78rad/sec κt = 13, 3dB ωk = 4, 93rad/sec 2015
44
Demonstrációs példák
Elemzés id˝otartományban: A zárt rendszer súlyfüggvénye 1.5
1
g(t)
0.5
0
−0.5
−1 0
5
10
15
t [sec]
2015
45
Demonstrációs példák
A zárt rendszer átmeneti függvénye 0.9 0.8 0.7
v(t)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10
15
t [sec]
y(∞) = 0, 54 Tsz = 6, 9sec p = 64% tm = 1, 1sec 2015
46
Demonstrációs példák
Stabilitás C(s) = 0,1 s soros, integráló (I) kompenzátorral: Bode diagram a(ω) [dB]
200 0 −200 −400 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
fi(ω) [fok]
0
−200
−400 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 71◦ ωc = 0, 911rad/sec κt = 2, 27dB ωk = 1, 95rad/sec 2015
47
Demonstrációs példák
Elemzés id˝otartományban: A zárt rendszer súlyfüggvénye 1 0.8 0.6
g(t)
0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 0
10
20
30
40
50
60
t [sec]
2015
48
Demonstrációs példák
A zárt rendszer átmeneti függvénye 1.4 1.2
v(t)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
10
20
30
40
50
t [sec]
y(∞) = 1 Tsz = 20, 4sec p = 22% tm = 5, 6sec 2015
49
Demonstrációs példák
Stabilitás C(s) = 0,1s+0,05 soros, PI kompenzátorral: s Bode diagram a(ω) [dB]
100 0 −100 −200 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
fi(ω) [fok]
0 −100 −200 −300 −2 10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (lg) [rad/sec]
ϕt = 36◦ ωc = 2, 41rad/sec κt = 12, 5dB ωk = 3, 98rad/sec 2015
50
Demonstrációs példák
Elemzés id˝otartományban: A zárt rendszer súlyfüggvénye 1.2 1 0.8
g(t)
0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 0
5
10
15
20
t [sec]
2015
51
Demonstrációs példák
A zárt rendszer átmeneti függvénye 1 0.9 0.8 0.7
v(t)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10
15
20
25
t [sec]
y(∞) = 1 Tsz = 10, 6sec p = 0% tm = 2, 5sec 2015
52
