Tartalom
1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
2015
1
Állapotgyenletek megoldása
Tekintsük az x(t) ˙ = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás függvény x(t) = eat alakú. Hasonló alakú megoldást kapunk akkor is ha x(t) ∈ Rn és A ∈ Rn×n. Az x˙ (t) = Ax(t), x(0) = x0 homogén diff. egyenlet megoldása: x(t) = eAt x0,
2015
2
Állapotgyenletek megoldása
ahol az eAt exponenciális mátrixfüggvényt a következ˝oképpen értelmezzük: 2 2 3 3 A t A t At e = I + At + + +..., 2! 3! az eat = 1 + at + a2t 2/2! + . . . hatványsorral való analógia alapján.
2015
3
Állapotgyenletek megoldása
Diagonál reprezentációknál eAd t alakja igen egyszer˝u. Legyen Ad ∈ R2×2, ekkor λ1t e 0 Ad t . e = 0 eλ2t
2015
4
Állapotgyenletek megoldása
Az inhomogén x˙ = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t) egyenlet megoldása a következ˝o: x(t) = eAt x0 +
Z
t
eA(t−τ)bu(τ)dτ
0
y(t) = cT x(t).
2015
5
Állapotgyenletek megoldása
Ebb˝ol a konvolúciós integrálból közvetlenül látható, hogy a rendszer súlyfüggvényét az állapottér reprezentáció ismeretében a következ˝oképp kapjuk: g(t) = cT eAt b.
2015
6
Tartalom
1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
2015
7
Állapot visszacsatolás
Adott egy rendszer n-dimenziós (A, b, cT ) állapottér reprezentációja: x˙ = Ax + bu y = cT x. A rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = det(sI − A) = sn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0. Cél: módosítsuk a rendszer dinamikáját az x(t) állapot visszacsatolásával, azaz legyen a bemen˝ojel u = −kT x + r, 2015
8
Állapot visszacsatolás
ahol: r(t) egy küls˝o referencia jel, T k a visszacsatolás er˝osítési tényez˝oinek sorvektora: h i kT = kn−1 . . . k0 .
2015
9
Állapot visszacsatolás
A visszacsatolt (zárt) rendszer blokkdiagramja:
2015
10
Állapot visszacsatolás
Behelyettesítve a bemen˝ojel alakját az állapotegyenletbe, a zárt rendszer állapotegyenlete a következ˝o lesz: x˙ = Ax + b(−kT x + r), T x˙ = A − bk x + br, y = cT x, amib˝ol a zárt rendszer karakterisztikus polinomjára azt kapjuk, hogy a(s) ¯ = det(sI −A+bkT ) = sn + a¯n−1sn−1 +. . .+ a¯1s+ a¯0. 2015
11
Állapot visszacsatolás
Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a k er˝osítés megfelel˝o megválasztásával a zárt rendszer karakterisztikus polinomja tetsz˝olegesen beállítható, ha az (A, b, cT ) rendszer irányítható. Mivel minden irányítható állapottér reprezentáció irányítható alakra hozható, tegyük fel, hogy a rendszert irányítható alakra hoztuk: x˙ c = Acxc + bcu y = cTc xc. 2015
12
Állapot visszacsatolás
Ekkor az x˙ c =
Ac − bckTc
xc + br egyenletben
−an−1 . . . −a1 −a0 1 1 0 h i 0 0 Ac − bckTc = − kcn−1 . . . kc0 = .. .. ... 0 0 ... 1 0 0 −(an−1 + kcn−1 ) . . . −(a1 + kc1 ) −(a0 + kc0 ) 1 0 0 = , . . .. 0 . 0 ... 1 0
2015
13
Állapot visszacsatolás
amib˝ol következik, hogy a(s) ¯ = det(sI − Ac + bckTc ) = sn + (an−1 + kcn−1 )sn−1 + . . . + (a1 + kc1 )s + (a0 + kc0 ), tehát a zárt rendszer karakterisztikus polinomjának a¯i, (i = 0, . . . , n − 1) együtthatóit el˝oírva ehhez a k vektor elemei meghatározhatók: a¯i = ai + kci =⇒ kci = a¯i − ai,
2015
i = 0, . . . , n − 1.
14
Állapot visszacsatolás
Ha a zárt rendszer pólusait el˝oírjuk, akkor rögzítjük a p¯1, . . . , p¯n pólusokat, amib˝ol az a(s) ¯ karakterisztikus polinomot a(s) ¯ = (s − p¯1) · . . . · (s − p¯n) alakban számítjuk.
2015
15
Állapot visszacsatolás
Ezzel az eljárással az irányíthatósági alakra vonatkozó kcT er˝osítés vektort tetsz˝olegesen el˝oírt a(s) ¯ karakterisztikus polinomhoz meg tudjuk határozni. Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy Tc nemszinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható.
2015
16
Állapot visszacsatolás
Az irányíthatósági alakban jelöljük Ac és bc-vel az állapotdinamikai egyenlet mátrixait. A tervezés ebben az irányíthatósági alakban történik. A tervezett kcT er˝osítést azonban vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére! A visszatranszformálás összefüggése: kT = kcT · Tc
2015
17
Állapot visszacsatolás
Az állapot visszacsatolás tervezési lépései: 1. A rendszer irányíthatóságának ellen˝orzése 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomjának számítása: a(s) = det (sI − A) 3. A Tc irányíthatósági alakba transzformáló mátrix meghatározása
2015
18
Állapot visszacsatolás
4. Az új p¯i pólusok el˝oírása, a szabályozott rendszer karakterisztikus polinomjának kiszámítása: a(s) ¯ = (s − p¯1) · . . . · (s − p¯n) 5. Az irányíthatósági alakra vonatkozó er˝osítések számítása: kci = a¯i − ai
2015
19
Állapot visszacsatolás
6. A kapott er˝osítés vektor visszatranszformálása az eredeti állapottérbe: kT = kcT · Tc 7. A zárt, szabályozott rendszer id˝otartományi viselkedésének elemzése
2015
20
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Inverz inga egyszerusített ˝ modellje
Az inverz inga egy M tömeg˝u kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, melynek m tömege a rúd középpontjába van redukálva.
2015
21
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Az inverz inga mint dinamikus rendszer súlyfüggvényének és átviteli függvényének levezetéséhez a Newton mozgásegyenletekb˝ol indulunk ki, amelyeket az M és m tömegekre írunk fel.
2015
22
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Példa: Inverz inga szabályozása pólusallokációval Az inverz inga u bemen˝ojele (horizontális er˝o) és θ kimen˝ojele (szögelfordulás) közötti átviteli függvény. −1/Ml θ(s) = 2 U(s), s − a0
(M + m)g g a0 = ≈ > 0, Ml l
ahol M – a kocsi tömege m – az inga tömege l – az inga hossza. √ A rendszer pólusai: p1,2 = ± a0. Az inverz inga instabil, de ha irányítható, akkor pólusallokációval stabilizálhatjuk.
2015
23
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Az inga irányíthatósági állapottér reprezentációja: 0 a0 1 , bc = , Ac = 1 0 0 irányíthatósági mátrixa:
C2(Ac, bc) =
1 0 0 1
,
tehát rangC2(Ac, bc) = 2, így az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. Megjegyzés: az a rendszer, aminek létezik irányíthatósági állapottér reprezentációja, eleve irányítható! 2015
24
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Legyen l = 9.81m, ekkor a(s) = s2 − ao = s2 − 1 és írjuk el˝o, hogy a zárt rendszernek két valós pólusa legyen, pl. p¯1 = −1 és p¯2 = −2! A a(s) ¯ = (s + 1)(s + 2) = s2 + 3s + 2, így a¯1 = 3, a¯0 = 2. Az állapot er˝osítés tehát: k1 = a¯1 − a1 = 3,
2015
k0 = a¯0 − a0 = 2 − (−1) = 3.
25
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Ellen˝orzésképpen a visszacsatolt rendszer karakterisztikus egyenlete: s −1 3 3 T + = det sI − Ac + bck = det −1 s 0 0 s+3 2 = s2 + 3s + 2, = det −1 s a zárt rendszer pólusai tehát valóban stabilak és p¯1 = −1, p¯2 = −2.
2015
26
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Az inverz inga összetett mechanikai modellje: m 1 z¨ = − · g · θ + u M M ¨θ = (M + m)g θ − 1 u M·l M·l Válasszuk meg az állapotvektort és a rendszer kimenetét a következ˝o módon: h iT x = z z˙ θ θ˙ y=z
2015
27
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Így az inverz inga állapotdinamikai és megfigyelési egyenletei: z 0 z˙ 0 1 0 0 z¨ 0 0 − m g 0 z˙ 1 M M = + u θ 0 θ˙ 0 0 0 1 1 ˙ 0 θ θ¨ 0 0 (M+m)g − Ml Ml z h i z˙ y= 1 0 0 0 θ θ˙ 2015
28
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Helyettesítsük be az M = 2kg, m = 0, 1kg és l = 0, 5m paramétereket! 0 0 A= 0 0
2015
1 0 0 0
0 0 0 0, 5 h i −0, 4903 0 T b= c = 1 0 0 0 0 0 1 −1 20, 594 0
29
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Az irányíthatósági mátrix: 0 0, 5 0 0, 4903 0, 5 0 0, 4903 0 C = 0 −1 0 −20, 594 −1 0 −20, 594 0
2015
30
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
1. det(C ) = 96, 1714 6= 0 tehát az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = s4 − 20, 594s2, pólusai pedig: 0, 0, 4.5381, −4.5381
2015
31
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
3. Az irányíthatósági alakba viv˝o transzformációs mátrix:
−1
Tc = (C · T )
0
1 0 T = 0 0 0
0 −20, 594 1
0
0
1
0
0
0
−1
0
−20, 594 0 1
0 0 −1 0 Tc = 0 −0, 102 0 −0, 051 −0, 102 0 −0, 051 0
2015
32
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
4. Tervezés kétféle pólus konfigurációra: p1 = [−5 − 5 − 2 + 3, 46i − 2 − 3, 46i] p2 = [−4, 5381 − 4, 5381 − 2 − 2] a¯1(s) =s4 + 14s3 + 80, 9716s2 + 259, 716s + 399, 29 a¯2(s) =s4 + 13, 0762s3 + 60, 8992s2 + 118, 6822s + 82, 3774
2015
33
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
5. Er˝osítések irányíthatósági alakban: kcT1 = [14
101, 5656
kcT2 = [13, 0762
259, 716
81, 4932
399, 29]
118, 6822
6. Er˝osítések visszatranszformált alakban: k1T = [−40, 7160 − 26, 4835 − 121, 9236 k2T = [−8, 4001
− 12, 1022
− 85, 6932
82, 3774]
− 27, 2418] − 19, 1273]
7. Elemzés id˝otartományban, az 1. másodpercben Dirac δ gerjesztést adva a rúd szögsebességére (”pöckölés”):
2015
34
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
A rúd θ szögelfordulása az els˝o esetben: 0.5 0.4
θ rúd szögelfordulás [fok]
0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Idõ [sec]
2015
35
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
A kocsi z elmozdulása az els˝o esetben: 10
z kocsi elmozdulás [mm]
8
6
4
2
0
−2
−4
−6 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Idõ [sec]
2015
36
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
A rendszer bemenetének alakulása az els˝o esetben: 30
25
Bemenet [N]
20
15
10
5
0
−5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Idõ [sec]
2015
37
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
A rúd θ szögelfordulása a második esetben: 0.6 0.5
θ rúd szögelfordulás [fok]
0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Idõ [sec]
2015
38
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
A kocsi z elmozdulása a második esetben: 8
z kocsi elmozdulás [mm]
6
4
2
0
−2
−4 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Idõ [sec]
2015
39
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
A rendszerbemenet alakulása a második esetben: 20
Bemenet [N]
15
10
5
0
−5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Idõ [sec]
2015
40
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Látható, hogy a második esetben kisebbek a túllendülések mind θ-t, mind z-t tekintve és a rendszer bemenetének maximális értéke is kisebb (ahogy a kT er˝osítés vektor elemei is kisebbek). Ez annak köszönhet˝o, hogy a komplex konjugált pár helyett csak a valós részeket használtuk a második esetben és a valós pólusokat is közelebb helyeztük el a 0-hoz.
2015
41
Állapot visszacsatolás inverz inga egyszer˝usített modelljére
Jól megfigyelhet˝o az is, hogy a komplex konjugált pár leng˝orendszert jelent. Az els˝o esetben minden jellemz˝o több lengésen keresztül áll csak be zérus érték˝ure. Ezzel szemben a második esetben a csak valós pólusok egyszeri lengés után aszimptotikus beállást eredményeznek.
2015
42
