Tanügyi és Kutatási Minisztérium Vidéki oktatásfejlesztési program ELEMI OKTATÁS. Matematika II. Mihail ROŞU. Fordította: Petru Petra

Tanügyi és Kutatási Minisztérium Vidéki oktatásfejlesztési program

ELEMI OKTATÁS Matematika II

Mihail ROŞU

Fordította: Petru Petra

2005

Nevelési és Kutatási Minisztérium Vidéki Oktatásfejlesztési Program A könyv szerzői jogi védelem alatt áll, arról másolat készítése, más formában való felhasználása a Nevelési és Kutatási Minisztérium előzetes írásbeli engedélye nélkül tilos Lektorálta: Marchis Julianna Támogatta az RMDSZ Ügyvezető Elnöksége.

ISBN 973-0-04237-3

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

Bevezető

IV

I. Pozitív racionális számok 1.1. A fejezet célkitűzései 1.2. A tört fogalma 1.2.1. Értelmezés 1.2.2. Ekvivalencia és rendezési relációk 1.3. Pozitív racionális szám 1.4. Műveletek racionális számokkal 1.5. Tizedes törtek 1.5.1. Értelmezés 1.5.2. Közönséges tört átalakítása tizedes törtté 1.5.3. Műveletek tizedes törtekkel 1.6. Megoldások 1.7. I. felmérő 1.8. Irodalomjegyzék

1 1 1 1 2 3 3 8 8 8 10 12 12 13

II. Arányok és aránypárok 2.1. A fejezet célkitűzései 2.2. Arányok 2.2.1. Értelmezés 2.2.2. Tulajdonságok 2.2.3. Műveletek arányokkal 2.2.4. Mennyiségek mértékének aránya 2.3. Aránypárok 2.3.1. Értelmezés 2.3.2. Az aránypár alaptulajdonsága 2.3.3. Az aránypár ismeretlen tagjának kiszámítása 2.3.4. Származtatott aránypárok 2.3.5. Mértani közép 2.4. Egyenlő arányok sorozata 2.5. Megoldások 2.6. II. felmérő 1.8. Irodalomjegyzék

14 14 14 14 15 15 16 18 18 18 18 18 20 22 24 25 26

Vidéki oktatásfejlesztési program

i

Tartalomjegyzék III. Arányos mennyiségek 3.1. A fejezet célkitűzései 3.2. Egyenes és fordított arányosság 3.2.1. Egyenes arányosság 3.2.2. Fordított arányosságok 3.3. Arányos mennyiségek 3.3.1. Egyenesen arányos mennyiségek 3.3.2. Fordítottan arányos mennyiségek 3.4. Az egyszerű hármasszabály 3.5. Az összetett hármasszabály 3.6. Megoldások 3.7. III. felmérő 3.8. Irodalomjegyzék

27 27 28 28 29 32 32 32 33 36 39 40 41

IV Százalékszámítás 4.1. A fejezet célkitűzései 4.2. Százalék 4.3. Tipikus százalékszámítási feladatok 4.3.1. Százalékérték meghatározása 4.3.2. Százalékalap meghatározása 4.3.3. Százalékláb meghatározása 4.4. Más százalékszámítási feladatok 4.4.1. p%-al való csökkentés/növelés 4.4.2. Egymást követő növekedés/csökkenés 4.4.3. Különböző százaléklábak azonos százalékalap esetén 4.5. A gyakorlatban alkalmazott más arányok 4.5.1. Ezrelékszámítás 4.5.2. Oldatok koncentrációja 4.5.3. Ötvözet finomsága 4.6. Megoldások 4.7. IV. felmérő 4.8. Irodalomjegyzék

42 42 42 43 44 44 45 45 45 46 47 50 50 50 50 52 53 53

V. Algoritmusok 5.1. A fejezet célkitűzései 5.2. Algoritmusok 5.2.1. Az algoritmus fogalma 5.2.2. Az algoritmusok tulajdonságai 5.2.3. Műveletek 5.3. Folyamatábrák 5.3.1. Grafikus szimbólumok

54 54 54 55 55 55 59 60

ii


Tartalomjegyzék 5.3.2. Elemi struktúrák 5.4. Megoldások 5.5. V. felmérő 5.6. Irodalomjegyzék

61 66 67 68

VI. Mennyiségek mérése 6.1. A fejezet célkitűzései 6.2. Fizikai mennyiségek 6.3. Mennyiségek mérése 6.4. Fizikai mennyiségek mértékegységei 6.4.1. Hosszmérés 6.4.2. A tömeg mérése 6.4.3. Az idő mérése 6.4.4. A mértékegységek többszörösei és törtrészei 6.5. Mértékegységek átalakítási algoritmusa 6.6. Megoldások 6.7. VI. felmérő 6.8. Irodalomjegyzék

69 69 69 70 71 71 71 72 73 73 77 77 78

VII. Az euklideszi geometria axiómarendszerei 7.1. A fejezet célkitűzései 7.2. A geometria fejlődésének rövid története 7.3. Euklidész axiomatikus rendszere 7.4. Az axiómarendszer fogalma 7.5. Axiomatikus elméletek 7.6. Megoldás 7.7. VII. felmérő 7.8. Irodalomjegyzék

79 79 79 82 83 85 89 89 90

Minimális irodalomjegyzék

91


iii

Bevezetés

Bevezetés

Könnyebben vagy nehezebben, de szerencsésen túljutottál az első jegyzeten; hogy milyen mértékben sikeresen, arra rájössz, ha önkritikusan átgondolod a tanultakat. Jogosan teszed fel a kérdést, mi célunk lehet ezzel a második jegyzettel, ugyanolyan nehéz (vagy még nehezebb?!) lesz-e mint az előző. Megpróbálunk válaszolni, körvonalazva fogalmi és metodikai elképzeléseink meghatározó gondolatait szakmai továbbképzésed ezen új szakaszán. Ennek a jegyzetnek a kiindulópontja az előzőben tanultak fokozása, elmélyítése, kibővítése újabb, eddig még nem érintett részekkel (pl. mértékegység rendszerek és mértani fogalmak). Jegyzetünk olyan tudományos elveket tartalmaz, amelyek megalapozzák a matematika oktatását a gimnázium első két évében. A továbbiakban is azt várjuk el tőled, hogy az egyes fejezeteket jól átgondolva tanulj, így fejlesztve képességedet valós eredmények elérésére a matematika oktatásában. Minden fejezet egy irányból közelíthető meg. Bemutatásra kerül a fejezet célkitűzése, a szükséges elméleti anyag, beleértve gyakorlati alkalmazásuk megoldásait, melyeket önértékelő tesztek követnek. Ha nehézségeid támadnak a tesztek megoldásakor, térj vissza a jegyzet megfelelő részéhez, és nézd át újra a szóban forgó elméleti részt és annak gyakorlati alkalmazásait. A fejezet végén levő magyarázatok és megoldások segítségedre lesznek eredményeid ellenőrzésére. Következik a felmérő dolgozat, melyet megoldása után, előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) továbbítasz vezető tanárodnak. A javasolt pontozás a dolgozat értékelésére a tételek felsorolása után következik. Ne felejtsd el, hogy ezek a felmérők a végső jegy 70%-át képezik. Ha készen állsz jelen jegyzetünk tanulmányozására SOK SIKERT kívánunk hozzá!

iv


Pozitív racionális számok

I. fejezet Pozitív racionális számok Tartalomjegyzék 1.1. A fejezet célkitűzései.......................................................................................................... 1 1.2. A tört fogalma..................................................................................................................... 1 1.2.1. Értelmezés ................................................................................................................... 1 1.2.2. Ekvivalencia és rendezési relációk .................................................................................. 2 1.3. Pozitív racionális szám ....................................................................................................... 3 1.4. Műveletek racionális számokkal ........................................................................................ 3 1.5. Tizedes törtek ..................................................................................................................... 8 1.5.1. Értelmezés ................................................................................................................... 8 1.5.2. Közönséges tört átalakítása tizedes törtté .................................................................... 8 1.5.3. Műveletek tizedes törtekkel....................................................................................... 10 1.6. Megoldások ...................................................................................................................... 12 1.7. I. felmérő .......................................................................................................................... 12 1.8. Irodalomjegyzék ............................................................................................................... 13

1.1. A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a diák képes lesz: • megérteni a törteket, mint racionális számok reprezentánsait; • műveleteket végezni a pozitív racionális számokkal; • felhasználni ismereteit és jártasságait a feladatok megoldása során.

1.2. A tört fogalma 1.2.1. Értelmezés Értelmezés

Jelölése

Egy természetes számokból alkotott (m, n ) rendezett számpárt törtnek nevezünk, ahol n ≠ 0 .

Többnyire egy törtet

m alakban írunk, ahol m, n ∈ N, n ≠ 0 . n

Az n számot nevezőnek, az m számot pedig számlálónak nevezzük. Vidéki oktatásfejlesztés programja

1


Jelentés

Osztályozás

m törtben az m megmutatja hány törtegységből áll az n egész, amit n egyenlő részre osztottunk. Az

Egy

m alakú tört lehet : n

- valódi tört ( ha m < n ) ; - egységnyi tört ( ha m = n ) ; - áltört ( ha m > n ) .

Áltört esetén kiemeljük az egészeket a törtből :

m n an + r = = a + r , r < n; n n n Példa

2 5 1⋅ 3 + 2 2 = 1+ = 1 . = 3 3 3 3

1.2.2. Ekvivalencia és rendezési relációk Ekvivalencia

Az

m p és törtek ekvivalensek, ha m ⋅ q = n ⋅ p (az első tört q n

számlálójának és a második tört nevezőjének szorzata egyenlő az első tört nevezőjének és a második tört számlálójának szorzatával). A törtek ekvivalenciájának tulajdonságai: -

m m m = bármely tört esetén ) ; n n n m p m p szimmetrikus ( ha = , akkor = ); q n q n m p r m r p = és = , akkor = ). tranzitív ( ha q n q s n s

reflexív ( ha

Ekvivalens törteket kaphatunk: • bővítéssel (egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozzuk) ; • egyszerűsítéssel (egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a számmal, közös osztójukkal, osztjuk) A tovább nem egyszerűsíthető törteket (melyek számlálója és nevezője relatív prím) irreducibilis törteknek nevezzük.

2

Vidéki oktatásfejlesztés programja


Rendezés

Az

⎛m p⎞ m p tört kisebb, mint a tört ⎜⎜ ≤ ⎟⎟ , ha mq ≤ np. q n ⎝n q⎠

A törtek rendezési relációja:

m m m ≤ bármely tört esetén ) ; n n n

-

reflexív (ha

-

antiszimmetrikus

m p m p m p ≤ és ≤ akkor és csakis akkor, ha = ); q n q n q n m p m r p r ≤ és ≤ , akkor ≤ ). tranzitív (ha q s n q n s

( -

Az általános iskolai és középiskolai matematikában a törteket először közös nevezőre hozzák (az eredeti törtekkel ekvivalens törteket képeznek) majd a számlálókat hasonlítják össze.

1.3. Pozitív racionális szám Értelmezés

Egy tört ekvivalenciaosztályát az ekvivalencia relációra nézve pozitív racionális számnak nevezzük. Az

m m racionális szám az törttel ekvivalens törtek halmaza, n n

ezt a racionális számot az osztály bármely eleme képviselheti. Példa

1 ⎧1 2 3 ⎫ = ⎨ , , ,Κ ⎬ 2 ⎩2 4 6 ⎭

1.4. Műveletek racionális számokkal A racionális számokkal végzett műveletek visszavezethetők a törtekkel végzett műveletekre. Összeadás

A racionális számok összeadása visszavezethető a törtek összeadására: a törteket közös nevezőre hozzuk (bővítéssel vagy egyszerűsítéssel), majd a kapott törtek számlálóit összeadjuk, a nevezőbe pedig a közös nevezőt írjuk. Az racionális számok (negatív számokat is beleértve) összeadása: asszociatív, kommutatív, létezik semleges eleme (0) és minden eleme invertálható. Tehát a racionális számok halmaza az összeadás művelettel kommutatív csoportot (Abel-féle csoportot) alkot.


3


Szorzás

Törtszámot törtszámmal úgy szorzunk, hogy a számlálók szorzatát osztjuk a nevezők szorzatával. Vegyes szám esetén az egészrészt bevezetjük a törtbe. A szorzás asszociatív, kommutatív, létezik semleges eleme és bármely nullától különböző

m racionális számnak létezik inverze n

n . A szorzás disztributív az összeadásra nézve. m Osztás

Példa

Törtszámot törtszámmal úgy osztunk, hogy az osztandót megszorozzuk az osztó inverzével. Az általános iskolában egy szám törtrészét úgy számítjuk ki, hogy megszorozzuk a számot a törttel. Ha ismerjük egy szám törtrészének értékét, akkor a számot úgy számítjuk ki, hogy elosztjuk a törtrész értékét az adott törttel.

1.

1 1 3 2 5 + = + = ; 2 3 6 6 6

2.

1 1 3 2 1 – = – = ; 2 3 6 6 6

3.

1 1 1⋅1 1 1 1 3 7 21 7 = ; 1 ⋅2 = ⋅ = = ; ⋅ = 2 3 2⋅3 6 2 3 2 3 6 2

4.

1 1 1 3 3 : = ⋅ = ; 2 3 2 1 2

5. 6 - nak az

1 1 - e = ⋅6 = 3; 2 2

6. Ha „ x ” számnak az

Megoldott feladatok

1 1 3 -da = 6, akkor x = 6 : = 6 ⋅ = 18 3 3 1

1. Írjuk le az összes olyan törtet, melyek nevezője 150 és

1 illetve 6

1 között helyezkedik el! Ezek közül melyek irreducibilisek ? 5 Megoldás: A kijelentés feltételét így írjuk :

1 n 1 < < , ahol n a lehetséges 6 150 5

számláló. Megállapítjuk, hogy a nevezők legkisebb közös többszöröse (l.k.k.t.) 150, majd közös nevezőre hozunk, az első törtet 25-tel, a másodikat pedig 30-cal bővítjük:

4



25 n 30 < < . 150 150 150 Ebből következik, hogy:

25 < n < 30 , tehát n ∈ {26, 27, 28, 29} . A keresett törtek a

26 13 27 9 28 14 29 , , , . = = = 150 75 150 50 150 75 150

Tehát ezek közül, csak a

2.

29 irreducibilis tört. 150

Határozzuk meg azt a számot, melyet ha

2 - dal szorzunk, 3

ugyanazt az eredményt kapjuk mintha 10 – et vontunk volna ki belőle. Megoldás:

2 - dal szorzunk, vagyis kiszámoljuk a keresett 3 2 2 1 szám - dát. Tudjuk, hogy a szám 1 − = része 10. Mivel a 3 3 3 1 része 10, következik hogy a keresett szám 3 • 10 = 30. szám 3

Egy számot

3. 3 munkás egy munkát 4 nap alatt fejez be. Az első ugyanazt a munkát egyedül 10 nap alatt, a második pedig 12 nap alatt tudná teljesíteni. Hány nap alatt fejezné be a munkát a harmadik munkás? Megoldás: Ha 3 munkás, egy munkát 4 nap alatt fejez be, akkor a munka

1 4

részét teljesítik egy nap. Az első munkás, aki 10 nap alatt végezne a munkával, naponta a munka

1 részét teljesíti, a 10

második munkás, aki 12 nap alatt végezne ugyanezzel a

1 részét teljesíti naponta. Ketten, együttes 12 1 1 11 + = részét teljesítik egy nap alatt. erővel, a munka 10 12 60 1 Mivel hárman együtt, egy nap alatt a munka -ét végzik el, 4 1 11 4 1 következik, hogy a harmadik munkás a munka = = 4 60 60 15

munkával, a munka

részét teljesíti. Tehát a harmadik munkás, egyedül 1 :

1 = 15 nap alatt fejezné be 15

a munkát. Vidéki oktatásfejlesztés programja

5


1. önértékelő teszt 1. Számítsátok ki: a)

3 6 1 1 ⋅ + 2 :1 4 5 2 9

b)

3⎛6 1 1⎞ ⎜ + 2 :1 ⎟ 4⎝5 2 9⎠

c)

3⎛6 1⎞ 1 ⎜ + 2 ⎟ :1 . 4⎝5 2⎠ 9

2. Határozzátok meg az összes

1 1 és közötti tört értékét, melyek nevezője 4 3

187, számlálójuk pedig osztható 6 – tal! 3. Határozzátok meg azt a számot melynek negyede 120 - szal kisebb, mint a fele! 4. Két munkás egy munkát 15 óra alatt tud befejezni. Az első egyedül 20 óra alatt fejezné be. Hány óra alatt végezne egyedül a második ?

Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni.

6




7


1.5. Tizedes törtek 1.5.1. Értelmezés Értelmezés Jelölése

Tizedes törtnek nevezzük azt a törtet, amelynek nevezője 10 valamely hatványa (10, 100, 1000 stb.). Tizedes törtet írhatunk :

3 ); 100

•

törtvonallal (pl.

•

tizedesvesszővel (pl. 0,03) .

Felépítése

A tizedes tört két részből áll: egy egészrészből, melyet a tizedesvesszőtől balra írunk, és egy törtrészből, melyet a tizedesvesszőtől jobbra írunk. A tizedes tört egészrésze az a legnagyobb egész szám, mely nem haladja meg a tört értékét.

Példa

3,14 esetén, [3, 14] = 3 az egészrész, {3, 14} = 0,14 pedig a törtrész (14 századnak vagy 1 tized és 4 századnak olvassuk).

1.5.2. Közönséges tört átalakítása tizedes törtté Tört tizedes törtté

Egy közönséges tört tizedes törtté alakítható a számlálójának a nevezőjével való osztása útján. Így kaphatunk : • véges tizedes törteket (véges számú tizedes jegyet tartalmaz); • tiszta szakaszos tizedes törteket (végtelen számú tizedes jegyet tartalmaz, melyben egy számjegy vagy számjegycsoport periodikusan ismétlődik közvetlenül a tizedes vessző után) ; • vegyes szakaszos tizedes törteket (tizedes jegyei végtelenek, de tartalmaz egy számcsoportot, mely nem ismétlődik és egy számcsoportot, mely periodikusan ismétlődik). Például:

3 7 1 = 0,5 ; = 0,6 ; = 0,35 (véges tizedes törtek) ; 5 20 2 1 = 0,333... = 0, (3) (tiszta szakaszos tizedes tört) ; 3 5 = 0,8333... = 0,8(3) (vegyes szakaszos tizedes tört) . 6

8



Figyelem: • ha a tört nevezőjében 2 vagy 5 hatványainak szorzata található, akkor véges tizedes törtet kapunk; • ha a tört nevezője nem 2 vagy 5 hatványainak szorzata, akkor tiszta szakaszos tizedes törtet kapunk; • ha a tört nevezője más prímtényezők mellett 2 vagy 5 hatványait is tartalmazza, akkor vegyes szakaszos tizedes törtet kapunk.

!

Tizedes tört

Megvalósítható a visszaalakítás is, tizedes tört átalakítása törtté.

→ törtté

Például: • 0,3 =

3 23 123 ; 0.23 = ; 0.123 = ; 10 100 1000

• 0.(4) =

4 45 456 ; 0.(45) = ; 0, (456) = ; 9 99 999

• 0,8(3) =

83 − 8 75 5 834 − 8 = = ; 0,8(34) = ; 90 90 6 990

• 0,83(4) =

!

834 − 83 834 − 83 ; 1,83(4) = 1 ; 900 900

Figyelem : • véges tizedes törtet úgy alakítunk közönséges törtté, hogy a számlálóba írjuk a törtrészt, a nevezőbe pedig 10 n (ahol n a tizedes tört tizedes jegyeinek számát jelöli); • tiszta szakaszos tizedes törtet úgy alakítunk közönséges törtté, hogy a számlálóba írjuk a tizedes tört szakaszát, a nevezőbe pedig m darab 9-t írunk (ahol m a szakasz számjegyeinek számát jelöli) ; • vegyes szakaszos tizedes törtet úgy alakítunk közönséges törtté, hogy a számlálóba a tizedes jegyekből alkotott természetes számból és a nem szakaszos rész számjegyeiből alkotott természetes szám különbségét írjuk, a nevezőbe pedig m számú 9-t és n számú 0-t írunk (ahol a m a szakasz számjegyeinek számát, n pedig a vegyes szakaszos tizedes tört nem ismétlődő tizedes jegyeinek a számát jelöli).


9


1.5.3. Műveletek tizedes törtekkel A tizedes törtekkel végzett műveletek számokhoz hasonló szabályok szerint történnek. Összeadás / Kivonás

Szorzás / Osztás

Példa

a

természetes

Két vagy több tizedes számot úgy adunk össze / vonunk ki egymásból, mint két természetes számot, vigyázva arra, hogy az azonos helyiértékű számjegyek és a tizedesvesszők egymás alá kerüljenek. Ha szükséges, kipótolhatjuk a tizedes számokat további nullákkal (ez mutatja az illető egység hiányát). Szorzásnál kiszámoljuk a részszorzatokat anélkül, hogy figyelembe vennénk a tizedes vesszőt, majd a végeredményben annyi tizedes jegyünk lesz, ahány a két szorzótényezőben összesen van. Az osztás során a következő esetek fordulhatnak elő: • az osztó természetes szám – a szokott módon végezzük az osztást, a tizedesvesszőt pedig akkor írjuk ki, amikor a tizedes vesszőhöz értünk; • az osztó tizedes tört – a tizedes vesszőt annyi számjeggyel visszük jobbra, az osztandóban és osztóban egyaránt, míg az osztóból természetes számot nem kapunk (előző esetre való visszavezetés). Maradékos osztás esetén a maradék meghatározásához szükséges a vesszőt balra vinni ugyanannyi számjeggyel, ahány számjeggyel az osztás során jobbra vittük. • 0,2 + 0,19 = 0,20 + 0,19 = 0,39 ; • 0,2 − 0,19 = 0,20 − 0,19 = 0,01 ; • 0,2 ⋅ 0,19 =

2 ⋅ 19 38 = = 0,038 ; 10 ⋅ 100 1000

• 0,2 : 0,19 = 20 : 19 = 1 maradék 0,01 (!) . ! Példa

Ha egy gyakorlatban közönséges tört és tizedes tört is található, akkor először elvégezzük a megfelelő átalakítást és azután a műveletet. • 0,4 +

1 4 1 2 1 6 + 5 11 = ; = + = + = 3 10 3 5 3 15 15

• 0,32 − • 0,24 ⋅

1 = 0,32 − 0,2 = 0,12 ; 5

1 24 1 4 = ⋅ = = 0,04 ; 6 100 6 100

• 0,01 : 4

10

1 1 101 1 25 1 . : = = ⋅ = 25 100 25 100 101 404



2. önértékelő teszt Számítsátok ki: a)

2 ⎛ 1⎞ : ⎜ 0,5 + 0,5 ⋅ ⎟ ; 3 ⎝ 3⎠ ⎡⎛ ⎣⎝

b) ⎢⎜ 0,75 +

⎛ ⎝

2⎞ 6 1⎤ ⎟ ⋅ + 0,1 : ⎥ : 0, (3) ; 3 ⎠ 17 5⎦

1⎞ 3⎠

c) ⎜1,5 + ⎟ : [0, (6 ) + 6, (6 )];

⎡ ⎣

d) ⎢0,1(26 ) :

25 ⎤ + 2⎥ : 0,2 . 198 ⎦



11


1.6. Megoldások

1. önértékelő teszt 63 207 999 ; b) ; c) . 20 80 400 48 54 60 , , . 187 187 187

1. a) 2.

3. 480 . 4. 60 óra.

2. önértékelő teszt a) 1 ; b) 3 ; c)

1 ; d) 15. 4

1.7. I. felmérő 1. Igazoljátok a törtek ekvivalencia relációjának tulajdonságait! 2. Számítsátok ki :

a)

1 1 ⎛ 3 7 2⎞ + ⋅ ⎜1 : − ⎟ ; 2 2 ⎝ 4 8 3⎠

1⎞ ⎛ ⎡1 4 ⎤ b) ⎜ 0,2 + ⎟ ⋅ 0,4 + ⎢ − ⋅ 0,01(6)⎥ : 0,2(3) . 4⎠ ⎝ ⎣5 5 ⎦ 3. Egy csap 5 óra alatt tölt meg egy medencét, egy másik pedig 3 óra alatt üríti ki. Az első csap megnyitása után 2 órával megnyitják a második csapot is (az első megállás nélkül folyik). A második csap megnyitása után, mennyi idő elteltével ürül ki a medence ? Megoldás után, az előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) továbbítsd vezető tanárodnak. Pontozási javaslat: − Hivatalból: 10 pont; − 1. gyakorlat: 20 pont; − 2. gyakorlat: 40 pont; − 3. gyakorlat: 30 pont. 12



1.8. Irodalomjegyzék 1) Aron, I, Herescu Gh, Aritmetică pentru învăţător, EDP, 1977; 2) Asaftei P. Chirila C., Asaftei D.C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru licee şi colegii pedagogice, Ed. Polirom, 1998; 3) Roşu, M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Ed. Meta Press, 2005; 4) Rusu, E. Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, 1974; 5) ***Manuale şcolare de matematica pentru clasa a V-a.

Távlatok, alkalmazások A pozitív racionális számokhoz kötődő feladatok az elemi osztályban tanító oktató eszköztárához tartoznak. A törtek bevezetése a tanulókat a számfogalom első kiterjesztéséhez vezeti. Ugyanakkor, körvonalazódnak és megalapozódnak új távlatok, mint a közelítések,

a

közelítő

értékekkel

való

számítások

és

a

valószínűségszámítás.


13

Arányok és aránypárok

II. fejezet Arányok és aránypárok Tartalomjegyzék 2.1. A fejezet célkitűzései...........................................................................................14 2.2. Arányok ...............................................................................................................14 2.2.1. Értelmezés....................................................................................................14 2.2.2. Tulajdonságok ..............................................................................................15 2.2.3. Műveletek arányokkal...................................................................................15 2.2.4. Mennyiségek mértékének aránya.................................................................16 2.3. Aránypárok..........................................................................................................18 2.3.1. Értelmezés....................................................................................................18 2.3.2. Az aránypár alaptulajdonsága ......................................................................18 2.3.3. Az aránypár ismeretlen tagjának kiszámítása ..............................................18 2.3.4. Származtatott aránypárok ................................................................................18 2.3.5. Mértani közép ...............................................................................................20 2.4. Egyenlő arányok sorozata...................................................................................22 2.5. Megoldások.........................................................................................................24 2.6. II. felmérő ............................................................................................................25 1.8. Irodalomjegyzék ..................................................................................................26

2.1. A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a diák képes lesz: • alkalmazni az arányokat és aránypárokat elméletben és gyakorlatban egyaránt • megfelelően eljárni az egyenlő arányok sorozatát illetően.

2.2. Arányok 2.2.1. Értelmezés Értelmezés

Egy rendezett pozitív racionális számokból alkotott számpárt aránynak nevezünk (a, b ) ∈ Q+ x Q+*. Alakját tekintve az arány hasonlít a törtre (ezért általánosított törtnek is nevezzük).

Jelölése Jelentése

14

Többnyire az arányt

a alakban írjuk, ahol a, b ∈ Q, b ≠ 0 . b

Az arány a és b , b ≠ 0 pozitív racionális reprezentánsainak elvégzetlen hányadosát jelenti.

számok



Szóhasználat

Az a és b racionális számok az arány tagjai (számláló, ill. nevező). Ha elvégezzük az osztást, a hányadost (r ) az arány értékének nevezzük:

a = r = r, ahol a = b ⋅ r . b

1 1 1 3 , az arány értéke pedig A 2 és 1 számok aránya 1 3 6 1 6 1 1 7 7 7 6 2 :1 = : = ⋅ = 2 . 3 6 3 6 3 7 2

Példa

2.2.2. Tulajdonságok Mivel az arányok általánosított törtek (tagjai racionális számok), érvényesek a törtek tulajdonságai: bővíthetők és egyszerűsíthetők. Bővítés

Ha egy arány mindkét tagját ugyanazzal a 0-tól különböző számmal szorozzuk, vele egyenértékű arányt kapunk:

a an = , ahol a, b ∈ Q+ , n ≠ 0 . b bn Egyszerűsítés

Ha egy arány mindkét tagját ugyanazzal a 0-tól különböző számmal osztjuk, vele egyenértékű arányt kapunk:

a a:n = , ahol a, b ∈ Q+ , n ≠ 0 . b b:n

2.2.3. Műveletek arányokkal Az arányokkal végzett négy alapművelet formailag megegyezik a természetes számokkal végzett négy alapművelettel. Összeadás

a c ad + cb + = , ahol a, b, c ∈ Q+ , b, d ≠ 0 . b d bd

Kivonás

a c ad − cb − = , ahol a, b, c, d ∈ Q+ , b, d ≠ 0 . b d bd

Szorzás

a c ac , ahol a, b, c, d ∈ Q+ , b, d ≠ 0 . ⋅ = b d bd

Osztás

a c a d : = ⋅ , ahol a, b, c, d ∈ Q+ , b, c, d ≠ 0 . b d b c


15


2.2.4. Mennyiségek mértékének aránya Adott mennyiség esetén két mérték arányáról beszélünk, ha • a két mérték összehasonlítható ; • a mennyiség homogén és additív . Értelmezés

Megoldott feladatok

Két ugyanazzal a mértékegységgel mért mennyiség arányán a mértékek értékének arányát értjük. Ez a szám megmutatja, hogy az egyik mennyiség hányszor nagyobb / kisebb a másiknál. 1. Két négyzet oldalhosszának aránya

2 . 3

Számítsuk ki a kerületek arányát! Megoldás. Ha a két négyzet oldalhosszát l1 illetve l2 –vel jelöljük, a

l1 2 = . Tudjuk, l2 3 4l l 2 = 1 = 1 = . 4l 2 l2 3

kerületet pedig K1 , illetve K2 – vel, akkor hogy K = 4l, ebből következik:

K1 K2

2. Egy téglalap szélessége ( l ) a hosszúság ( L )

3 - e. 5

Határozzuk meg a szélesség és hosszúság arányát ! Megoldás. l=

16

3 3 l L relációból következik, hogy = . 5 L 5



1. önértékelő teszt 1. Határozzátok meg a 3,7 és 1,2(3) számok arányának értékét! 2. Egy téglalap szélessége a kerületének

3 - a. Számítsátok ki a kerület 20

felének és a téglalap szélességének arányát!



17


2.3. Aránypárok 2.3.1. Értelmezés Értelmezés

Két egyenlő arányt aránypárnak nevezünk.

a c = , ahol a, b, c, d ∈ Q+ , b, d ≠ 0 . b d

Szóhasználat

Az aránypárt alkotó két aránypár tagjait a következőképpen nevezzük: • a és d az aránypár kültagjai; • b és c az aránypár beltagjai.

2.3.2. Az aránypár alaptulajdonsága Bármely aránypár esetén a kültagok szorzata egyenlő a beltagok szorzatával. Tehát, ha

a c = , akkor ad = bc . b d

2.3.3. Az aránypár ismeretlen tagjának kiszámítása Az aránypár alaptulajdonsága kimondja, hogy a kültagok szorzata egyenlő a beltagok szorzatával, ad = bc . Ebből következik, ha ismerjük az aránypár bármely három tagját, akkor kiszámíthatjuk az ismeretlen negyedik tagot. Így az ismeretlen kültag a beltagok szorzatának és az ismert kültag hányadosa, az ismeretlen beltag pedig a kültagok szorzatának és az ismert beltag hányadosa. Ha

x c bc = , akkor x = . b d d

2.3.4. Származtatott aránypárok Egy aránypárból képezhetünk azonos tagú vagy megváltoztatott tagú származtatott aránypárokat. Azonos tagú származtatott aránypárok

Az aránypár tagjaiból a kővetkező módon képezhetünk azonos tagú származtatott aránypárokat: • felcseréljük a beltagokat

a c a b = → = ; b d c d • felcseréljük a kültagokat

a c d c = → = ; b d b a • mindkét aránynak felírjuk az inverzét

a c b d = → = ; b d a c 18



Az aránypárok alaptulajdonságát eredmények ellenőrzésénél is.

Megváltoztatott tagú származtatott aránypárok

felhasználhatjuk

az

Ebben az esetben a származtatott aránypárok tagjai nem egyeznek meg az eredeti aránypár tagjaival. Megváltoztatott tagú származtatott aránypárokat a következő módon képezhetünk: • az arány mindkét tagját szorozzuk / osztjuk egy 0-tól különböző számmal (bővítés / egyszerűsítés):

a c an c a cn = → = ; = , ahol n ≠ 0 b d bn d b dn a:n c a c:n = ; = ; b:n d b d :n • mindkét számlálót szorozzuk / osztjuk egy 0-tól különböző számmal:

a c an cn a : n c : n ; = ; = → = b d b d b d • mindkét nevezőt szorozzuk / osztjuk egy 0-tól különböző számmal

a c a c a c ; = ; = → = b d bn dn b:n d :n • bármely aránypár esetén az arányok értéke egyenlő a számlálók összegének / különbségének, illetve a nevezők összegének / különbségének arányával

a c a a+c a a−c = → = ; ; = b d b b+d b b−d • mindegyik arány egyformán változik

a c a c a c ; ; = → = = b d a+b c+d a−b c−d a+b c+d a−b c−d a+b c+d = = → = ; ; b d b d a−b c−d ahol a > b,


c>d.

19


2.3.5. Mértani közép Ha egy aránypár esetén a kültagok egyenlők, akkor a kültagok értéke a beltagok mértani közepével egyenlő.

m c = → m 2 = bc ( m a b és c számok mértani közepe) b m Hasonlóan p az a és d számok mértani közepe, ha

Megoldott feladatok

1. Két szám összege 48, arányuk pedig

a p = . p d

3 . Határozzuk meg a 5

két szám értékét! Megoldás. Legyen a két keresett szám a és b , vagyis

a 3 = . b 5

Képezzük azt a származtatott aránypárt, melyben megjelenik az a + b ismert tag! Így

3 a a 3 , vagyis = , = a +b 3+5 48 8

48 ⋅ 3 = 18 . Az a + b = 48 és a = 18 relációkból 8 következik, hogy b = 30 (Találjatok más megoldásokat is!).

tehát a =

2. Tudjuk, hogy

3 x 2x + 5 y = . Számítsuk ki értékét! y 4 5y

1. megoldás.

x 3 2x 3 ⋅ 2 = aránypárból képezzük a származtatott = y 4 5y 4 ⋅ 5 2x 6 = , melyből következik, hogy aránypárt, így 5 y 20 2 x + 5 y 6 + 20 2 x + 5 y 26 13 = , illetve = = . 5y 20 5y 20 10 Az

2. megoldás.

2x + 5 y 2x 5 y 2x 2 x 2 3 13 = + = +1 = ⋅ +1 = ⋅ +1 = 5y 5y 5y 5y 5 y 5 4 10 3. megoldás.

3 x 3 = , tehát x = y , ebből következik , hogy y 4 4 ⎛3 ⎞ 3 2 ⋅ y + 5 y y⎜ + 5 ⎟ 2x + 5 y 2 ⎠ = 13 . = 4 = ⎝ 5y 5y 5y 10

Tudjuk, hogy

20



2. önértékelő teszt 1. Határozzátok meg x értékét!

x + 1 0, (3) + 0, (27 ) + 1, (23) = ⋅ 2607 . 2 x 4,5 : 0,09 + 2 3 x 2 2. Tudjuk, hogy = . Számítsátok ki : y 7 x+ y x y−x x 2x 2x + 3y 3x + 5 y ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; a) y x+ y y y−x 3y 3y 5y



21


2.4. Egyenlő arányok sorozata Értelmezés

Egyenlő arányok sorozata több egyenlő arányból áll. Az egymás után következő arányokat egyenlőség jel köti össze és közülük bármely kettő aránypárt alkot.

Tulajdonság

Egyenlő arányok sorozata esetén az arányok számlálóinak, illetve nevezőinek lineáris kombinációjának aránya egyenértékű a sorozat bármely tagjának értékével:

a c e ma + nc + pe = = = , ahol m, n, p ≠ 0 . b d f mb + nd + pf Sajátos esetben, ha m = n = p = 1 , akkor a c e a+c+e = = = . b d f b+d + f Megoldott feladatok

1. Ha

z x y z = 4 és = = , számítsuk ki: c a b c x + y + z 2x + 3 y + 4z x 2 + y 2 + z 2 , , . a + b + c 2a + 3b + 4c a 2 + b 2 + c 2

Megoldás. Tudjuk, hogy:

x+ y+z z = = 4, a+b+c c

x y z 2x 3y 4z 2x + 3y + 4z z = = → = = = = = 4; a b c 2a 3b 4c 2a + 3b + 4c c 2

x y z x2 y2 z2 x2 + y2 + z2 ⎛ z ⎞ = = → 2 = 2 = 2 = 2 = ⎜ ⎟ = 16 . a b c a b c a + b2 + c2 ⎝ c ⎠ 2. Tudjuk, hogy

2a 3b 5c és a + b + c = 1 , Határozzuk meg = = 3 5 4

az a , b és c értékét! Megoldás.

a b c a+b+c 1 30 2a 3b 5c = = ⇒ = = = = = 3 5 4 3 5 4 119 119 3 5 4 + + 2 3 5 2 3 5 30 a 30 3 30 45 = ⇒a= ⋅ = , 3 119 2 119 119 2 b 30 5 30 50 , = ⇒b= ⋅ = 5 119 3 119 119 3 c 30 4 30 24 . = ⇒c= ⋅ = 4 119 5 119 119 5

22



3. önértékelő teszt 1. Tudjuk, hogy

a = 3, b

a c e = = b d f

és

a + c + e = 30 . Számítsátok ki

b + d + f értékét. 2. Ha

a 1 a c e = , = = és 2a + 3c + 4e = 33 , számítsátok ki 2b + 3d + 4 f b 4 b d f

értékét.

a 2b b c = = , és 5a + 4b + 2c = 380 . Számítsátok ki k és p 5 3 3 7 a b c értékét, ha = = , továbbá az a, b, c számok értékét! 4 k p

3. Legyen



23


2.5. Megoldások

1. önértékelő teszt 1. 3 ; 2.

3 . 10

2. önértékelő teszt 1.

x=

2. a)

1 ; 90

9 2 5 2 4 25 41 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) . 7 9 7 5 21 21 35

3. önértékelő teszt 1. 3 = 24

a c e a+c+e 30 30 = = = = ⇒b+d + f = = 10 . b d f b+d + f b+d + f 3 Vidéki oktatásfejlesztési program


2.

3.

1 a c e 2a 3c 4e 2a + 3c + 4e 33 = = = = = = = = ⇒ 4 b d f 2b 3d 4 f 2b + 3d + 4 f 2b + 3d + 4 f ⇒ b + d + f = 33 ⋅ 4 = 132 . Tudjuk, hogy

a 2b b b = = . Ahhoz, hogy megkapjuk a arányt (ez 3 3 5 3 2

megtalálható a második összefüggésben is) 2 - vel szorozzuk a nevezőket. Így

a b a b = , vagyis = . Ekkor 3 2⋅5 10 3 2⋅ 2

a b c 5a 4b 2c 5a + 4b + 2c 380 = = = = = = = = 5. 10 3 7 50 12 14 50 + 12 + 14 76 Ebből következik, hogy a = 50 , c = 35 . Behelyettesítve következik, hogy

k=

6 14 és p = . 5 5

2.6. II. felmérő 1. Legyen a =

11 1 a c , b = 4,4 , c = 0, (3) és d = 1 . Írjátok fel az és arányokat 5 3 b d

és számítsátok ki az összegüket, különbségüket, szorzatukat és hányadosukat. Ellenőrizzétek eredményeiteket!

1 3 = x aránypárból! 2. Számítsátok ki x értékét a 7 2 2 x 4x + 5 y 3. Ha = , számítsátok ki (kétféleképpen) értékét! y 5y 3 x y z és 2 y + 5 z = 94 , számítsátok ki x , y és z értékét! 4. Ha = = 5 6 7 0,25 +

Megoldás után a már előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak. Pontozási javaslat: − Hivatalból: 10 pont; − 1. gyakorlat: 20 pont; − 2. gyakorlat: 20 pont; − 3. gyakorlat: 20 pont; − 4. gyakorlat: 30 pont.


25


1.8. Irodalomjegyzék 1) Aron I., Herescu Gh., “Aritmetica pentru învăţători”, EDP, 1997; 2) Asaftei P., Chirila C., Asaftei D.C., “Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru licee şi colegii pedagogice”, Ed. Polirom, 1998; 3) Roşu M., “Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar”, Ed.Meteor Press, 2005; 4) Rusu E., “Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice”, EDP, 1974.

Távlatok, alkalmazások Az arányok és aránypárok fejezetében szerzett ismeretek és jártasságok feltétlenül szükségesek az arányos mennyiségek megközelítéséhez, amelyek az alsó tagozat matematika könyveiben részletes és érthető formában találhatók. Felhasználásuk új lehetőségeket nyit különböző területeken, mint a mértan

(hasonlóságok

és

metrikus

összefüggések

a

derékszögű

háromszögben), a földrajz (térképek léptéke, két pont közti távolság meghatározása a térképen, az osztály alaprajza), valószínűségszámítás (egy esemény bekövetkezésének valószínűsége).

26


Arányos mennyiségek

III. fejezet Arányos mennyiségek

Tartalomjegyzék 3.1. A fejezet célkitűzései...........................................................................................27 3.2. Egyenes és fordított arányosság.........................................................................28 3.2.1. Egyenes arányosság ....................................................................................28 3.2.2. Fordított arányosságok.................................................................................29 3.3. Arányos mennyiségek.........................................................................................32 3.3.1. Egyenesen arányos mennyiségek................................................................32 3.3.2. Fordítottan arányos mennyiségek ................................................................32 3.4. Az egyszerű hármasszabály ...............................................................................33 3.5. Az összetett hármasszabály ...............................................................................36 3.6. Megoldások.........................................................................................................39 3.7. III. felmérő ...........................................................................................................40 3.8. Irodalomjegyzék ..................................................................................................41

3.1. A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a diák képes lesz: • az arányosság fogalmának megértésére és fogalomkörének kiterjesztésére; • egy szám más számokkal arányos részekre való felbontására; • arányos mennyiségekkel kapcsolatos feladatok megoldására.


27


3.2. Egyenes és fordított arányosság 3.2.1. Egyenes arányosság Értelmezés

Két véges számhalmaz között egyenes arányosság áll fenn, ha képezhető egy 0 – tól különböző, egyenlő arányok sorozata úgy, hogy az összes számláló az első, az összes nevező pedig a második halmazból származzon. Ha A = {a1 , a 2 ,..., a n }

B = {b1 , b2 ,..., bn }, a1 a2 a = = ... = n , b1 b2 bn

akkor az A és B halmazok között egyenes arányosság áll fenn.

Következmény

Egy 0 – tól különböző számokból álló véges számhalmaz elemeinek egy 0 – tól különböző számmal való szorzása által egy olyan halmazt kapunk, mely az eredeti halmazzal egyenesen arányos.

A = {a1 , a 2 ,..., a n } , K = {ka1 , ka 2 ,..., ka n }.

Egy szám felbontása több adott számmal egyenesen arányos részre

Példa

Az n szám felbontása adott a, b, c számokkal egyenesen arányos részekre azt jelenti, hogy meghatározzuk az x, y, z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek:

n = x + y + z és

x y z = = . a b c

A 2000 szám 2, 3 és 5 számokkal egyenesen arányos részekre való felbontása azt jelenti, hogy meghatározzuk az x, y, z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek:

x + y + z = 2000 és

Innen

x y z x + y + z 2000 = = = = = 200 . 2 3 5 2+3+5 10

x = 200 , tehát x = 2 ⋅ 200 = 400 . 2

Hasonlóan, y = 600 , z = 1000 .

28



3.2.2. Fordított arányosságok Értelmezés

Két 0 – tól különböző számból álló véges számhalmaz között fordított arányosság áll fenn, ha képezhető egy egyenlő arányok sorozata úgy, hogy minden szorzat esetében az első szorzótényező az első halmazból, míg a második szorzótényező a második halmazból származzon. Ha A = {a1 , a 2 , Κ , a n },

B = {b1 , b2 , Κ , bn } ,

a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = ... = a n ⋅ bn , akkor az A és B halmazok között fordított arányosság áll fenn. Következmény

Egy 0 – tól különböző számnak egy 0 – tól különböző számokból álló véges halmaz elemeivel való osztása által egy olyan halmazt kapunk, mely az eredeti halmazzal fordítottan arányos. A = {a1 , a 2 , Κ , a n },

⎧k k k ⎫ K/A=⎨ = = ... = ⎬. an ⎭ ⎩ a1 a 2 Tulajdonság

Egy szám felbontása több adott számmal fordítottan arányos részre Példa

Az a , b , c , ... számok fordítottan arányosak az a ′ , b ′ , c ′ , ... számokkal, ha az első sorozatban szereplő számok egyenesen arányosak a második sorozatban szereplő számok fordítottjaival. Az n szám felbontása az a, b, c adott számokkal fordítottan arányos részekre azt jelenti, hogy meghatározzuk az x , y , z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek: n = x + y + z és

x y z = = . 1 1 1 a b c

A 310 számot felbontani a 2, 3 és 5 számokkal fordítottan arányos részekre azt jelenti, hogy meghatározzuk az x , y , z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek:

x y z = = . 1 1 1 2 3 5 x y z x + y + z 310 310 • 30 = = = Ekkor = = = 300 . 31 1 1 1 1 1 1 31 + + 30 2 3 5 2 3 5 x 1 = 300 , tehát x = ⋅ 300 = 150 . Innen 1 2 2 Hasonlóan kapjuk, hogy y = 100 , z = 60 .

x + y + z = 310 és

Megoldott feladat

Öt szám számtani közepe 336. Határozzuk meg a számokat, ha az első, a második és a harmadik egyenesen arányos a 2, 7 és 12 számokkal; míg a harmadik, negyedik és ötödik fordítottan arányos a 3, 4 és 10 számokkal.


29


Megoldás: A feladat szövege alapján a következő relációk írhatók fel:

x+ y+ z +u+v = 336 5 x y z = = 2. 2 7 12 z u v . 3. = = 1 1 1 3 4 10 1.

Az 1) összefüggésből következik, hogy:

x + y + z + u + v = 5 ⋅ 336 .

A 2) és 3) összefüggésekben észrevesszük, hogy létezik egy olyan arány, amelynek ugyanaz a számlálója (az utolsó, illetve az első). Megkeressük, hogyan köthető össze a két sorozat. Ha az utolsó sorozatban a nevezőket 36 – tal szorozzuk, akkor az első arány nevezője 36 •

1 = 12 lesz, mely egyenlő a 2) összefüggés 3

utolsó arányának nevezőjével. Tehát:

z

=

u

1 1 36 ⋅ 36 ⋅ 3 4 z u v = = 4. 12 9 3,6

=

v

1 36 ⋅ 10

, vagyis

A 2) és 4) összefüggésekből következik:

x y z u v = = = = 2 7 12 9 3,6 Tehát:

x y z u v x+ y+ z+u+v 5 • 336 = = = = = = = 50 2 7 12 9 3,6 2 + 7 + 12 + 9 + 3,6 33,6

Így:

x = 50 , tehát x = 2 ⋅ 50 = 100 2 y = 50 , tehát y = 7 ⋅ 50 = 350 7 z = 50 , tehát z = 12 ⋅ 50 = 600 12 u = 50 , tehát u = 9 ⋅ 50 = 450 9 v = 50 , tehát v = 3,6 ⋅ 50 = 180 . 3,6

30



1. önértékelő teszt 1) Három kántáló életkorukkal fordítottan arányosan akarja elosztani a kapott 120 diót. Hány diót kap mindegyik külön – külön, ha 10, 12 és 15 évesek? 2) Az a, b, c 0–tól különböző számok egyenesen arányosak a 2, 3 és 5 számokkal; a c és d számok pedig fordítottan arányosak az

1 1 és számokkal. Ha 5 7

bc + cd = 25a , állapítsátok meg, hogy a számok prímszámok–e!



31


3.3. Arányos mennyiségek 3.3.1. Egyenesen arányos mennyiségek Értelmezés

Ha két mennyiség úgy függ egymástól, hogy az egyik valahányszoros növekedése maga után vonja a másik ugyanannyiszoros növekedését, akkor a két mennyiséget egyenesen arányos mennyiségeknek nevezzük .

Tulajdonság

Ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor az egyik mennyiség két értékének aránya egyenlő a másik mennyiség megfelelő értékei arányával. Ha m1, m2 az egyik egyenesen arányos mennyiség két értéke, és n1, n2 a második mennyiség megfelelő értékei, akkor:

m1 n1 = . m2 n2 Példák

Az állandó sebességű egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a megtett út és az idő egyenesen arányos mennyiségek. Ha az idő állandó, akkor a sebesség és a megtett út egyenesen arányosak. Az eladási – vásárlási feladatokban a mennyiség és a teljes ár egyenesen arányosak, ha az egységár állandó. Ha a mennyiség állandó, akkor az egységár és a teljes ár egyenesen arányosak. Tulajdonképpen bármely szorzással oldható feladat esetében a szorzat és az egyik szorzótényező által kifejezett mennyiségek egyenesen arányosak, ha a másik szorzótényező állandó marad.

Ellenpéldák

A négyzet oldalhossza és területe egymástól függő mennyiségek, de nem egyenesen arányosak (miért?); hasonlóképpen egy gyermek magassága és életkora (miért?).

3.3.2. Fordítottan arányos mennyiségek Értelmezés

Ha két mennyiség úgy függ egymástól, hogy az egyik valahányszoros növekedése maga után vonja a másik ugyanannyiszoros csökkenését, akkor a két mennyiséget fordítottan arányos mennyiségeknek nevezzük .

Tulajdonság

Ha két mennyiség fordítottan arányos, akkor az egyik mennyiség két értékének aránya egyenlő a másik mennyiség megfelelő értékei arányának fordítottjával. Ha m1, m2 az egyik mennyiség két értéke, amely fordítottan arányos egy másik mennyiséggel, és n1, n2 a második mennyiség megfelelő értékei, akkor:

m1 n2 = m2 n1 32



Ezt az összefüggést úgy is írhatjuk, hogy m1n1 = m2n2 (a megfelelő értékek szorzata állandó). Példák

Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén az idő és a sebesség fordítottan arányos mennyiségek, ha a megtett út állandó. Az eladási – vásárlási feladatokban az egységár és a megvásárolható mennyiség fordítottan arányosak, ha a teljes ár állandó. Tulajdonképpen bármely szorzással megoldható feladat esetében a két szorzótényező által kifejezett mennyiség fordítottan arányos, ha a szorzat állandó marad.

Ellenpélda

Egy autó tartályában megmaradó üzemanyag mennyiség és a megtett út hossza nem fordítottan arányosak (mivel magyarázható?).

3.4. Az egyszerű hármasszabály Az ilyen típusú feladatokban két arányos mennyiség szerepel. Ismerve az egyik mennyiség két értékét, valamint a másik mennyiség egy értékét, meg kell határozni a második mennyiség másik értékét. 1. Példa

50 füzet előállításához 4 kg papírt használtak fel. Hány kg papírra van szükség 70 ugyanilyen füzet előállításához? Megoldás. A feladatot két módszerrel lehet egységrehozatal módszerével és hármasszabállyal.

Egységrehozatal módszere

megoldani:

A feladatban szereplő két mennyiség: a füzetek száma és az elhasznált papírmennyiség egyenesen arányosak. A két mennyiség megadott értékeiből meghatározzuk, mennyi papírra van szükség egy füzet előállításához. Aztán kiszámítjuk a kérdéses füzetmennyiséghez szükséges papírmennyiséget. 50 füzet.................... 4 kg papír

4 kg papír 50 4 70 füzet.................... 70 ⋅ kg papír 50

1 füzet......................

A levezetés minden lépésénél figyelembe egyenesen arányos mennyiségek értelmezését.


vettük

az

33


Az egyszerű hármasszabály alkalmazásánál először megállapítjuk, milyen az arányosság a két mennyiség között (ebben az esetben az arányosság egyenes), majd alkalmazzuk az illető arányosság megfelelő tulajdonságát (ebben az esetben a két mennyiség megfelelő értékeinek aránya egyenlő)

Hármasszabály

e.a. 50 füzet ................... 4 kg 70 füzet ................... x kg

x 70 4 ⋅ 70 = , ahonnan x = = 5,6 . 4 50 50 (Az e.a. rövidítés egyenes arányosságot jelöl, míg a nyilak az arányok felírásának módját mutatják.) 2. Példa

4 vízcsap egy tartályt 6 óra alatt tölt meg. Mennyi idő alatt töltené meg ugyanazt a tartályt 3 ugyanolyan hozamú vízcsap? Megoldás:

Egységrehozatal módszere:

A két mennyiség fordítottan arányos. 4 vízcsap....................6 óra 1 vízcsap....................4 • 6 óra

1 3

3 vízcsap.................... • 4 • 6 = 8 óra

Hármasszabály

f.a. 4 vízcsap 3 vízcsap

....................6 óra ....................x óra

x 4 6⋅4 = , ahonnan x = =8 6 3 3

34



2. önértékelő teszt 1. 5 töltőtoll 30 lejbe kerül. Mennyibe kerül 7 ugyanolyan töltőtoll? 2. 3 traktor egy mezőgazdasági területet 100 óra alatt szánt fel. Mennyi idő alatt tudná felszántani ugyanazt a területet 15 ugyanolyan traktor ?



35


3.5. Az összetett hármasszabály Az ilyen típusú feladatokban három mennyiség jelenik meg, melyekből az egyik egyenesen vagy fordítottan arányos a másik kettővel. Ismerve az első mennyiség egy értékét és a másik két mennyiség értékpárjait, meg kell határozni az első mennyiség megfelelő értékét. Ezek a feladatok megoldhatók egységrehozatal módszerével, összetett hármasszabállyal vagy egy segédmennyiség bevezetésével. Egy étkezdében 15 napra, 25 személy számára 175 kg kenyér szükséges. Hány kg kenyér szükséges 32 személynek 6 napra (ha minden személy ugyanakkora kenyérmennyiséget fogyaszt el naponta)?

Példa

Megoldás: A feladatban szereplő mennyiségek: a személyek száma, az idő és az elfogyasztott kenyér mennyisége. Az egységrehozatal módszerével való megoldás az egyszerű hármasszabály egymásutáni felhasználásából áll, sorra állandónak tekintve az egyik mennyiség értékét. Megjegyezzük, hogy általában azt a mennyiséget tartjuk meg utolsó helyen, amely ismeretlen értékkel rendelkezik. A levezetés első lépéseként “egységre hozzuk” a személyek számát, változatlanul hagyva az idő értékét, és az egyszerű hármasszabályt alkalmazzuk a másik két mennyiségre. Ha 25 személy (14 nap alatt) 175 kg kenyeret fogyaszt, akkor 1 személy (ugyanannyi idő alatt) 25 – ször kisebb mennyiségű kenyeret fogyasztana (egyenesen arányos mennyiségek). 25 személy................14 nap....................175 kg kenyér

Egységrehozatal módszere

1 személy...................14 nap....................

175 kg kenyér 25

Egyetlen nap alatt ez a személy 14 – szer kisebb mennyiségű kenyeret fogyaszt (egyenesen arányos mennyiségek). Megfigyelhető, hogy most változatlanul hagyjuk a személyek számát, és alkalmazzuk az egyszerű hármasszabályt az idő és az elfogyasztott kenyér mennyiségére. 1 személy..............1 nap.................

175 175 : 14 = kg kenyér 25 25 ⋅ 14

Az első két mennyiséget egységre hoztuk. A következő lépésekben, figyelembe véve a feladat kérdését, meghatározzuk a 32 személy által 1 nap alatt, majd 6 nap alatt elfogyasztott kenyér mennyiségét.

175 175 ⋅ 32 ⋅ 32 = kg kenyér 25 ⋅ 14 25 ⋅ 14 175 ⋅ 32 175 ⋅ 32 ⋅ 6 32 személy..........6 nap....... ⋅6 = = 96 kg kenyér 25 ⋅ 14 25 ⋅ 14 32 személy..........1 nap............

Hasonlóan az egyszerű hármasszabályhoz, az összetett hármasszabály is az ismeretlen értéket tartalmazó mennyiségnek másik két mennyiséggel való arányosságának meghatározásában áll.

36



A személyek száma és az elfogyasztott kenyér mennyisége egyenesen arányosak, akárcsak a napok száma és az elfogyasztott kenyér mennyisége. e.a. e.a. 25 személy ..............14 nap ..................175 kg kenyér 32 személy ...............6 nap ....................x kg kenyér Mivel az arányosság egyenes, az arányokat ugyanabban az irányban írjuk fel (a nyilak által jelölt irány). Aránypárt képezünk, amelyben az első arány az ismeretlent tartalmazó mennyiség értékeiből áll, míg az egyenlőség jobb oldalán az első két mennyiség értékeinek arányaiból alkotott szorzat található.

Az összetett hármasszabály

Tehát:

32 6 x • , ahonnan = 175 5 14 175 • 32 • 16 x= = 96 (kg kenyér). 5 • 14

Paradoxonnak tűnhet: nincs elég mennyiség (3) a feladatban, vezessünk be még egyet? Ennek a módszernek van egy jó és egy rossz oldala. Kezdjük a rosszal (amit fentebb megfogalmaztunk): bonyolultnak tűnik (és időnként az is), hogy bevezessünk egy új mennyiséget anélkül, hogy valaki meghatározná, melyik legyen az, és hogyan használjuk a feladat megoldásában. A jó oldala: a segédmennyiség megfelelő megválasztása gyors és elegáns megoldáshoz vezethet. Rajtunk áll, hogy használjuk vagy sem ezt a módszert. Visszatérve a feladathoz, segédmennyiségnek tekintjük az egy személy által naponta elfogyasztott kenyér mennyiségét, és ezt rációnak nevezzük. Egy személy 14 nap alatt (175 : 25) kg kenyeret fogyaszt, vagyis

Segédmennyiség bevezetése

egy nap alatt (175:25) : 14 kilogrammot. Tehát a ráció

175 1 = 25 • 14 2

(kg kenyér naponta).

1 kg kenyér, akkor 32 személy naponta elfogyaszt 2 1 1 32 ⋅ kg kenyeret, 6 nap alatt pedig 32 ⋅ ⋅ 6 = 96 kg kenyeret. 2 2 Ha a ráció

Megoldott feladat

!

25 személy 175 kg kenyeret fogyaszt el 14 nap alatt. Hány nap alatt fogyaszt el 32 személy 96 kg kenyeret (ha minden személy naponta ugyanakkora kenyérmennyiséget fogyaszt) ? Bármely hasonlóság az előző feladattal nem a véletlen műve, de a két feladat nem azonos. Próbáld önállóan megoldani az alább fenntartott helyen, majd ellenőrizd a megoldásunk segítségével.


37


Megoldás: a) egységrehozatal módszere 25 személy...........175 kg.................14 nap 1 személy.............175 kg.................25 •14 nap 1 személy.................1 kg................(25 •·14) : 175 nap

25 • 14 : 32 nap 175 25 • 14 25 • 14 • 96 32 személy.............96 kg............ • 96 = = 6 nap 175 • 32 175 • 32 32 személy...............1 kg.................

b) hármasszabály 25 személy 32 személy

...............175 kg ...................14 nap .................96 kg ....................x nap

c) segédmennyiség bevezetése Legyen a ráció (r) az egy személy által naponta elfogyasztott kenyérmennyiség, r =

175 1 = . 25 ⋅ 14 2

32 személy naponta elfogyaszt 32 ⋅

1 = 16 kg kenyeret. A 96 kg 2

kenyér elfogyasztásához szükséges napok számát úgy határozzuk meg, hogy megvizsgáljuk, hányszor van meg a 16 kg a 98 kg – ban, vagyis 96 :16 = 6 (nap).

38



3. önértékelő teszt Oldjátok meg legalább két módszerrel: Egy 12 traktoristából álló munkacsoport egy területet 5 nap alatt szánt fel, naponta 8 órát dolgozva. Hány nap alatt szántja fel ugyanazt a területet egy 15 traktoristából álló munkacsoport, ha napi 4 órát dolgoznak (ugyanabban a munkaritmusban)?


3.6. Megoldások

1. önértékelő teszt x y z és x + y + z = 120 összefüggésekből következik, hogy = = 1 1 1 10 12 15 x = 48 , y = 40 , z = 32 . a b c c d 2. Az és összefüggésekből következik, hogy = = = 2 3 5 5 7 a b c d = = = . (1) 2 3 5 7 25a A bc + cd = 25a összefüggést c – vel osztva kapjuk: b + d = . (2) c 1. Az

Ha az (1) aránysorból csak azt a két arányt vesszük figyelembe, amely tartalmazza a b és d számokat, akkor

b d b + d 25a 5a = = = = . (3) 3 7 3 + 7 10c 2c

Ezután azokat az arányokat vesszük figyelembe, amelyeknek számlálója a és c :

a c a 2 = , ahonnan = . (4) c 5 2 5


39


Behelyettesítve a (4) – t a (3)-as összefüggésbe, kapjuk:

b 5 2 = • = 1. 3 2 5

Tehát az (1) aránysorban szereplő arányok közös értéke 1. Tehát a = 2, b = 3, c = 5, d = 7, vagyis mind prímszám.

2. önértékelő teszt 1. 42 lej 2. 20 óra

3. önértékelő teszt A traktoristák száma és a munkanapok száma fordítottan arányosak, akárcsak a napi munkaórák és munkanapok száma. Segédmennyiségnek tekinthető az egy traktoristának szükséges munkaórák száma ahhoz, hogy egyedül befejezze a munkálatot (órák / munkálat / traktorista). Szintén egy egyszerű hármasszabállyal oldható feladathoz juthatsz, ha összekapcsolod a két információt: a napi munkaórák és munkanapok számát, segédmennyiségként bevezetve a ledolgozott összóraszámot. A kapott eredmény: 8 nap.

3.7. III. felmérő x, y, z három 0–tól különböző természetes szám úgy, hogy x y z = = . 2 4 3

1. Legyen

a) Határozzátok meg a feltételeket teljesítő legkisebb számokat! b) Számítsátok ki

2 y − 3x értékét! 3x

2. Bontsátok fel a 234 számot a) a 4, 6 és 8 számokkal egyenesen arányos részekre! b) ugyanezekkel a számokkal fordítottan arányos részekre. 3. Oldjátok meg (legalább két módszerrel) : 250 m vászon elkészítéséhez 20 szövőnő 4 napot dolgozott. Hány nap alatt készít el 125 m vásznat 5 szövőnő (ha a szövőnők teljesítménye egyforma)?

Megoldás után a már előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak. Pontozási javaslat: − Hivatalból: 10 pont; − 1. gyakorlat: 20 pont; − 2. gyakorlat: 30 pont; − 3. gyakorlat: 40 pont.

40



3.8. Irodalomjegyzék 1)

Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977;

2)

Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Editura Meteor Press, 2005;

3)

Rusu E., Aritmetică. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, 1974;

4)

Manuale şcolare de matematică pentru clasa a VI – a.

Távlatok, alkalmazások Az

arányos

mennyiségekhez

kapcsolódó

feladatok,

melyek

a

klasszikus iskolai matematika oktatáshoz tartoznak, hozzájárulnak a jövő elemi

osztályaiban

tanító

tanárok

feladatmegoldó

képességeinek

kialakításához, tudatosítva és megalapozva a régi és új algoritmusokat. Ez egy olyan terület, mely átfogóan értékesíti az előző fejezetben (Arányok és aránypárok) szerzett ismereteket, jártasságokat és készségeket.


41

Százalékszámítás

IV. fejezet Százalékszámítás Tartalomjegyzék 4.1. A fejezet célkitűzései........................................................................................42 4.2. Százalék...........................................................................................................42 4.3. Tipikus százalékszámítási feladatok ................................................................43 4.3.1. Százalékérték meghatározása ..................................................................44 4.3.2. Százalékalap meghatározása ...................................................................44 4.3.3. Százalékláb meghatározása .....................................................................45 4.4. Más százalékszámítási feladatok.....................................................................45 4.4.1. p%-al való csökkentés/növelés .................................................................45 4.4.2. Egymást követő növekedés/csökkenés.....................................................46 4.4.3. Különböző százaléklábak azonos százalékalap esetén ............................47 4.5. A gyakorlatban alkalmazott más arányok ........................................................50 4.5.1. Ezrelékszámítás ........................................................................................50 4.5.2. Oldatok koncentrációja ..............................................................................50 4.5.3. Ötvözet finomsága.....................................................................................50 4.6. Megoldások......................................................................................................52 4.7. IV. felmérő........................................................................................................53 4.8. Irodalomjegyzék ...............................................................................................53

4.1. A fejezet célkitűzései A fejezet célkitűzései: • százalékszámítási feladatok gyakorlása; • a százalékok alkalmazása feladatok megoldásakor; • más arányok ismerete és alkalmazása százalékszámítás esetén.

4.2. Százalék Értelmezés

Azt az arányt, melynek nevezője 100, százaléknak nevezzük:

p = p % , ahol p ∈ Q. 100 A p % (p százalék) kifejezést két ugyanolyan mértékegységgel mérhető, egyenesen arányos mennyiség esetén alkalmazzuk. Egy mennyiségnek az egészhez viszonyított arányát a 100–hoz viszonyított aránnyal adjuk meg. Alkalmazása a gyakorlatban egyre inkább elterjedt (például kamatok, különböző adók százalékban vannak megadva). Egy részhalmaz halmazhoz viszonyított százalékos arányát táblázatok, diagramok és százalékos grafikonok segítségével ábrázolhatjuk. 42



Például: Az év végén egy egyetem első éves hallgatóinak 50%-a vizsgázott le sikeresen, 25%-ának van egy, 12,5%-ának két, 12,5%-ának pedig több mint két elmaradt vizsgája. Lényegesen egyszerűbb a fenti adatokat grafikonok diagramok segítségével szemléltetni:

vagy

0 1 2 3…m

60% 50%

0

%

40%

1

30%

2

20%

3…m

10% 0% 0

1

2

3…m

elmaradt vizsgák száma

!

Hogyan döntjük el, hogy hány hallgató kap ösztöndíjat, ha a hallgatók p % -a ösztöndíjas, illetve hány hallgató van, ha a hallgatók p % -a vizsgázott sikeresen? A választ az alábbiakban kapjuk meg!

4.3. Tipikus százalékszámítási feladatok A feladat megfogalmazása

Azt a mennyiséget, amelynek százalékát számítjuk százalékalapnak, 100 %-nak, az alapérték százalékát százalékértéknek nevezzük. A százalékláb pedig megmutatja, hogy egy mennyiség hány százalékát kell kiszámítani.

százalékérték százalékláb = százalékalap 100 Ha a érték p % -a b érték, vagyis a a százalékalap, b a százalékérték, p a százalékláb, akkor a feladatunk kettő ismeretében a harmadik meghatározása. I. megoldás

Tudjuk, hogy a érték p % -a = b , tehát

p ⋅ a = b , ahol az a, b, p 100

értékek közül kettő ismert, és meg kell határoznunk az ismeretlen harmadik értéket. Vidéki oktatásfejlesztési program

43


II. megoldás

Ha a százalékot egyenesen arányos értékekként fogjuk fel, akkor a következő kifejezést kapjuk:

b a = . p 100 p b = származtatott aránypárt, A fenti aránypárból képezhetjük a 100 a p ⋅ a = b egyenlet. amiből következik az I. megoldásban már felírt 100

4.3.1. Százalékérték meghatározása Megoldott feladat

Egy 25 fős osztály 68%-a lány. Hány lány van az osztályban? Megoldás. Tudjuk, hogy a lányok száma ( x ) az osztály tanulóinak 68%-a, vagyis

x= Általánosítás

Adott érték

68 ⋅ 25 = 17 . 100

p % -át kell meghatároznunk. A fenti esetben a

p ⋅ a = b egyenletből ismert a százalékalap ( a ) és a százalékláb 100 ( p ) értéke, ahonnan az összefüggés segítségével könnyen meghatározható a százalékérték ( b ): a x = a érték p % -a ⇒ x = p ⋅ . 100

4.3.2. Százalékalap meghatározása

Megoldott feladat

Hány tanuló van egy osztályban, ha az első három tanuló az összlétszám 12,5%-a? Megoldás. Legyen az osztály tanulóinak száma x . Ekkor x érték 12,5%-a 3. Ebből következik, hogy

Általánosítás

44

12,5 100 ⋅ x = 3 ⇒ x = 3⋅ = 24 . 100 12,5 Ha ismert a százalékláb ( p ) és a százalékérték ( b ), akkor a százalékalap ( a ): b 100 a= = b⋅ . p p 100



4.3.3. Százalékláb meghatározása

Megoldott feladat

Egy osztály 28 tanulója közül 21 diák ért a számítógépekhez. Az osztály hány százaléka ért a számítógépekhez? Megoldás.

28 Általánosítás

p % − a = 21 ⇒

100 p ⋅ 28 = 21 ⇒ p = 21 ⋅ = 75 . 100 28

Ebben az esetben ismert a százalékalap ( a ) és a százalékérték ( b ). Meg kell határoznunk a százalékláb értékét! Tudjuk, hogy a érték x % -a = b , ahonnan kapjuk, hogy

x 100 ⋅a = b ⇒ x = b⋅ . 100 a

!

Minden százalékszámítási feladat esetén fontos kikötni százalékalap értékét, hogy milyen mennyiség p% -át tekintjük.

a

4.4. Más százalékszámítási feladatok 4.4.1. p%-al való csökkentés/növelés 1. példa

Egy diák eldöntötte, hogy egy hét alatt 20 matematika feladatot old meg. 30%-al többet sikerült megoldania. Hány feladatot oldott meg? 1. megoldás. Kiszámíthatjuk a „nem tervezett” megoldott feladatok számát: 20-nak a 30%-a =

30 ⋅ 20 = 6 . 100

Tehát 20+6 = 26 feladatot oldott meg. 2. megoldás. Meghatározhatjuk a megoldott feladatok százaléklábát. Ha figyelembe vesszük, hogy a tervezett feladatok száma 100%, akkor a diák 100% + 30% = 130% feladatot oldott meg. Így 20 ⋅

130 = 26 100

feladatot oldott meg. 2. példa

Egy liter benzin ára 3,5 lej. Mennyi lesz a benzin ára10%-os árleszállítás után?


45


1. megoldás. Kiszámíthatjuk, hogy mennyivel csökkent a benzin ára, vagyis a százalékértéket: 3,5 lej 10%-a = 3,5 ⋅

10 = 0,35 100

Következésképpen egy liter benzin ára árleszállítás után: 3,5 – 0,35 = 3,15 (lej). 2. megoldás A százalékláb kiszámításával is meghatározhatjuk 1 liter benzin árleszállítás utáni értékét 100%-10% = 90% Így 1 liter benzin ára árleszállítás után: 3,5 lej 90%-a = 3,5 ⋅

90 = 3,15 (lej). 100

4.4.2. Egymást követő növekedés/csökkenés Egy számítógép 3000 lej. A számítástechnikai cég tulajdonosa először egy 15%, majd egy 10%-os árleszállítást tervez. Mennyit fog érni a számítógép az árleszállítások után?

Példa

Megoldás. Az első árleszállítás után a gép ára százalékláb segítségével kifejezve: 100% -15% = 85%. Tehát az új ár az eredeti ár 85%-a:

3000 ⋅

85 = 2550 az első árleszállítás után. 100

A második árleszállítás után a gép ára százalékláb segítségével kifejezve: 100% -10% = 90%-a az első árleszállítás utáni árnak, vagyis

2250 ⋅

90 = 2295 lej. 100

Megjegyzés.

!

Határozzuk meg, hogy a végső ár az eredeti ár hány százaléka:

p 100 = 2295 ⇒ p = 2295 ⋅ = 76,5 100 3000 összesen 100% − 76,5% = 23,5% -os

3000 p % - a = 2295 ⇒ 3000 ⋅

Következésképpen árleszállítás történt. Vigyázat, hajlanánk arra a kijelentésre, hogy összesen 15% + 10% = 25% -os árengedmény történt, ami hamis, mivel a 15%, illetve a 10% százaléklábak más-más százalékalapra vonatkoznak.

46



4.4.3. Különböző százaléklábak azonos százalékalap esetén

Példa

Egy kozmetikai krém összetevői között megtalálható 1,5% szén, 1,1% magnézium és 0,2% szilícium. Milyen mennyiségben találhatóak meg 200g krém esetén? 1. megoldás. Könnyen meghatározható segítségével:

a

különböző

százalékértékek

1,5 ⋅ 200 = 3 g (szén) 100 1,1 200g 1,1% - a = ⋅ 200 = 2,2 g (magnézium) 100 0,2 200g 0,2% - a = ⋅ 200 = 0,4 g (szilícium). 100 200g 1,5% - a =

!

2. megoldás A feladat visszavezethető egy szám százalékos felírására. Látható, hogy a három összetevőn kívül még más összetevői is vannak a krémnek. Tudjuk, hogy a szén, magnézium és szilícium a krém 1,5% + 1,1% + 0,2% = 2,8% -a . A hátramaradt részt más összetevők képezik (MÖ), vagyis 100% − 2,8% = 97,2% más összetevőkből áll. Tehát

C Mg Si MÖ C + Mg + Si + MÖ 200 = = = = = = 2, 1,5 1,1 0,2 97,2 1,5 + 1,1 + 0,2 + 97,2 100

ahonnan

C = 1,5 ⋅ 2 = 3 (g) Mg = 1,1 ⋅ 2 = 2,2 (g) Si = 0,2 ⋅ 2 = 0,4 (g).


47


1. önértékelő teszt 1. Egy 32 fős csoport 25%-a fiú. Hány lány van a csoportban? 2. Egy három éves, használt gépjármű ára eredeti árának 60%-a. Ha a kocsi jelenlegi értéke 168 000 lej, mennyi volt eredetileg az ára? 3. Egy 25 fős osztályból 8 diák választotta a „Szórakoztató matematika” tantárgyat. A tanulók hány százaléka választotta ezt a tantárgyat? 4. Egy diák a vakációban 60 feladatot oldott meg. Terv szerint 50 feladatot kellett volna megoldania. Hány százalékkal oldott többet? 5. A tej tömegének 21%-a tejföl. A tejföl tömegének 23%-a vaj. Határozzátok meg hány kg tej szükséges 96,6 kg vaj előállításához? 6. Egy személy 5000 lejt helyez el betétként a bankban. Mekkora lesz a nyeresége két hónap elteltével, ha a kamatot havonta tőkésítik, 24% éves kamatláb mellett?


48




49


4.5. A gyakorlatban alkalmazott más arányok A mindennapi életben a százalékon kívül még alkalmazunk más arányokat is.

4.5.1. Ezrelékszámítás A gyakorlatban többször nagy számok nagyon kicsi százalékaival dolgoznak, ezek használata nehézkes. Ilyen esetekben százalékszámítás helyett ezrelékszámítást alkalmaznak. Értelmezés

Azt az arányt, melynek nevezője 1000, ezreléknek nevezzük:

m = m% , ahol m ∈ Q 1000 Például, ha egy népesség esetén a lakosság születési aránya 3‰, akkor 3 újszülött jut 1000 lakosra. Így elkerülhetjük, az ugyancsak helyes, de annál furcsább kifejezést, miszerint a lakosság születési aránya 0,3%, ami azt jelenti, hogy 0,3 újszülött jut 100 lakosra. Az ezrelékszámítást a százalékszámítással hasonlóan végezzük el. Az ezrelékeket többek között oldatok koncentrációjának kifejezésére is alkalmazzák.

4.5.2. Oldatok koncentrációja Értelmezés

Egy oldatban levő só tömegének és az oldat tömegének arányát az oldat koncentrációjának nevezzük. Ha egy oldat koncentrációja 3‰, akkor 1000 g oldatban 3g oldott só van.

4.5.3. Ötvözet finomsága Értelmezés

Egy nemesfém (általában arany) tömegének és az ötvözet tömegének arányát az ötvözet finomságának nevezzük:

t= ahol

m , M

t = az ötvözet finomsága m = a nemesfém tömege M = az ötvözet tömege

Az összeolvasztott nemes, illetve nem-nemes kombinációjának minőségét az ötvözet finomsága jellemzi. Keverék

50

fémek

Két vagy több anyag/dolog összekeverhető anélkül, hogy összeolvasztanánk őket. Ekkor beszélhetünk a keverék jellemzőjéről, mely kifejezhető hőmérséklet segítségével (mikor különböző hőmérsékletű folyadékokat keverünk össze), töménységi fokban (mikor alkoholt vízzel vegyítünk), lejben (amikor egyforma, de különböző árú anyagokat keverünk), iskolai átlag segítségével (mikor különböző jegyeket „vegyítünk”), stb. Vidéki oktatásfejlesztési program


Innen ered az ilyen típusú feladatok elnevezése: keverék és ötvözet típusú feladatok. I. kategória

Ide sorolhatók azon feladatok, melyek esetén adottak a vegyítendő mennyiségek ( m1 , m2 ,..., mn ) és ezek jellemzői ( c1 , c 2 ,..., cn ), és meg kell határoznunk a keverék minőségét. A keverék minősége az összekevert anyagok minőségének súlyozott átlaga:

c= Példák

c1m1 + c2 m2 + ... + cn mn m1 + m2 + ... + mn

1. Egy üzletben összekevertek 5 kg cukorkát, melynek ára 6 lej/kg, és 3 kg 14 lej/kg értékű cukorkát. Mennyi lesz 1 kg kevert cukorka értéke? 1. megoldás. Az első fajta cukorka ára 5 × 6 = 30 lej, míg a másodiké 3 × 14 = 42 lej. Az összekevert mennyiség 5 + 3 = 8 (kg). Ha 8 kg kevert cukorka ára 72 lej, akkor 1 kg kevert cukorka ára

72 = 9 lej. 8 2. megoldás. Az Adottak az m1 (5 kg) és m2 (3 kg) vegyítendő mennyiségek és ezek jellemzői (ára) c1 (6 lej/kg) és c 2 (14 lej/kg). A keverék jellemzőjét (árát) a

c=

c1m1 + c 2 m2 m1 + m2

kifejezés segítségével határozhatjuk meg. Tehát 1 kg kevert cukorka ára

c=

6 ⋅ 5 + 14 ⋅ 3 = 9 lej. 5+3

Ha két mennyiséget keverünk össze, akkor a keverék jellemzője a két mennyiség jellemzője között fog elhelyezkedni: 6 < 9 < 14 . 2. Határozzuk meg egy 30 g aranyból és 120 g vörösrézből álló ötvözet finomságát! Megoldás. Az ötvözet finomsága egyenlő az arany tömegének és az ötvözet tömegének arányával:

t=

II. kategória

30 30 = = 0,200 . 120 + 30 150

(Az ötvözet finomságát általában három tizedes pontossággal fejezik ki.) Ebbe a kategóriába tartoznak azok a feladatok, melyek esetén adottak a keverendő mennyiségek jellemzői ( c1 , c 2 ,..., c n ), a keverék jellemzője ( c ) és keressük a kevert mennyiségeket ( m1 , m2 ,..., mn ). Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy két összetételű keveréket, a mennyiségek legyenek m1 , m2 , jellemzőik pedig c1 < c 2


51


A keverék jellemzője c1 < c < c 2 :

c=

c1m1 + c 2 m2 ⇒ cm1 + cm2 = c1m1 + c 2 m2 ⇒ m1 + m2

⇒ cm1 − c1m1 = c 2 m2 − cm2 ⇒ m1 (c − c1 ) = m2 (c 2 − c) ⇒ ⇒

m1 c 2 − c . = m2 c − c1

Vagyis a két tényező mennyiségének aránya fordítottan arányos a jellemzők különbségének arányával. Mivel ismert a kevert mennyiség értéke, képezzük a következő származtatott aránypárt:

m1 c2 − c = m1 + m2 c 2 − c + c − c1 ahonnan meghatározható m1 értéke. Innen pedig könnyen kiszámítható m2 értéke (ismert m1 + m2 és m1 értéke). 3. Ha 70 οC -os vizet összekeverünk 20 οC -os vízzel, 10 liter 40 οC os vizet kapunk. Hány liter 70 οC -os és hány liter 20 οC -os vizet öntöttünk össze? Megoldás. Adott: c1 = 20 οC , c 2 = 70 οC , c = 40 οC , m1 + m2 = 10 (liter)

m1 c −c 30 ⋅ 10 = 2 ⇒ m1 = = 6 (l) ⇒ m 2 = 4 (l). m1 + m2 c 2 − c1 50 Tehát 6 liter 70 οC -os vizet öntöttünk össze 4 liter 20 οC -os vízzel.

4.6. Megoldások

1. önértékelő teszt 1. 24 lány 2. 280 000 lej 3. 32% 4. 20%-kal többet 5. 2000 kg 6. Ha az éves kamatláb 24%, akkor a kamatláb egy hónapra

24 1 ⋅ . Tehát 100 12

24 1 ⋅ ⋅ 5000 = 100 . A második hónap elején a 100 12 24 1 tőkésített összeg már 5100. Erre a kamat értéke: ⋅ ⋅ 5100 = 102 . 100 12 egy hónap után a kamat:

Így a nyereség 100 + 102 = 202 lej. 52



4.7. IV. felmérő 1. Egy mezőgazdasági terület 20%-át aratták le, még maradt 36 hektárral több mint amennyit eddig arattak. Hány hektáros a terület? 2. A zöldségfélék első válogatásakor 6%-os volt a veszteség. Második válogatáskor a megmaradt zöldségek 2%-a minősült veszteségnek. Hány tonna zöldség volt összesen? 3. Két ugyanolyan összetételű ötvözetet olvasztottak. Az első finomsága 0,830, a másodiké pedig 0,750. A végeredmény 0,810 finomságú, 1260 g ötvözet lett. Milyen mennyiségekben voltak beolvasztva az egyes ötvözetek?

Megoldás után a már előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak. Pontozási javaslat: - hivatalból: 10 pont; - 1. gyakorlat: 20 pont; - 2. gyakorlat: 30 pont; - 3. gyakorlat: 30 pont.

4.8. Irodalomjegyzék 1. Aron I., Herescu Gh., Aritmetica pentru învăţători, EDP, 1977; 2. Asaftei P., Chirilă C., Asaftei D. C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru licee şi colegii pedagogice, Ed. Polirom, 1988; 3. Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Editura Meteor Press, 2005; 4. Rusu E., Aritmetica. Manualul pentru liceele pedagogice, EDP, 1974; 5.

***Manualele şcolare de matematică pentru clasele a VI-a.

Távlatok, alkalmazások A százalékok alkalmazása rég túllépte az iskola falait, a mindennapi élet szerves részévé válva. A százalékszámítás elengedhetetlen eszköze a hatékony gondolkodás kifejlesztésének, a matematikai továbbképzés elmaradhatatlan alappillére.


53

Algoritmusok

V. fejezet ALGORITMUSOK Tartalomjegyzék 5.1. A fejezet célkitűzései...........................................................................................54 5.2. Algoritmusok .......................................................................................................54 5.2.1. Az algoritmus fogalma ..................................................................................55 5.2.2. Az algoritmusok tulajdonságai......................................................................55 5.2.3. Műveletek .....................................................................................................55 5.3. Folyamatábrák ....................................................................................................59 5.3.1. Grafikus szimbólumok ..................................................................................60 5.3.2. Elemi struktúrák............................................................................................61 5.4. Megoldások.........................................................................................................66 5.5. V. felmérő............................................................................................................67 4.8. Irodalomjegyzék ..................................................................................................68

5.1. A fejezet célkitűzései A fejezet végén a diák képes lesz: • megérteni egy algoritmus lépéseit; • egy algoritmus felírására és egy folyamatábra szerkesztésére; • az I-IV. osztályos matematikai anyag problémáinak megoldási szerkezetének vázolására.

5.2. Algoritmusok A feladat megfogalmazása

54

Tekintsük a következő eljárást, melyet a következőkben a „fánk elkészítési algoritmusának” nevezünk: 1. Előkészítjük a hozzávalókat (liszt, tej, cukor, élesztő, stb.). 2. Összeállítjuk a masszát. 3. Meggyúrjuk a tésztát. 4. Hagyjuk kelni. 5. Meggyújtjuk a gáztűzhelyet, átforrósítjuk az olajat a serpenyőben. 6. Elhelyezzük a fánkokat a serpenyőben és hagyjuk őket pirulni. 7. Kivesszük a fánkokat. 8. Porcukorba megforgatjuk őket. 9. Tányérra helyezzük. 10. Ha még van sütnivaló fánk, akkor visszatérünk a 6. lépéshez, ha nincs, következik a 11. lépés. 11. Befejeztük a sütést, megállunk.


Algoritmusok

5.2.1. Az algoritmus fogalma

Az algoritmus fogalmát általában a számítógépekkel hozzák kapcsolatba, annak ellenére, hogy nem onnan ered. Az algoritmus abbeli igényünket tükrözi, hogy törekszünk a feladatok mechanikus megoldására (így azt egy gép is elvégezheti). Ebben az értelemben az algoritmus fogalma fontos szerepet játszik a matematikai logikában és az adatok számítógépes feldolgozásában, nem utolsó sorban az algoritmikában. Értelmezés

Az algoritmus olyan véges számú, egymást követő műveletekből álló eljárást jelent, amely a problémák egy adott osztályának megoldását adja. Egy algoritmus végrehajtása során a bemenetnek nevezett jól meghatározott, véges értékhalmazból egy kimenetnek nevezett, jól meghatározott, szintén véges értékhalmazt kapunk véges idő alatt.

5.2.2. Az algoritmusok tulajdonságai

A fenti értelmezésből látható, hogy az algoritmusnak három jellemzője van: jól meghatározott, a problémák egy adott osztályára vonatkozik és véges. Bármely algoritmus rendelkezik a következő három tulajdonsággal: általános

•

véges megvalósítható

• •

egy feladatosztály összes feladatának megoldására alkalmas; időben (mint végrehajtás) és térben (mint leírás) véges; megvalósítható, vagyis a végrehajtás minden pillanatában ismert az elvégzendő feladat.

5.2.3. Műveletek

Egy algoritmus egy vagy több lépésből áll. Az algoritmus lépéseit az utasítások írják le. Kétféle utasítást különböztetünk meg: számítási utasítások és döntési utasítások. Számítási utasítás

A számítási utasítás egy aritmetikai kifejezés kiszámítását jelenti, vagyis a benne szereplő változók aktuális értékükkel való helyettesítését, majd az így kapott kifejezés kiszámítását jelenti.


55

Algoritmusok

Döntési utasítás

A döntési utasítás egy kijelentés logikai értékét határozza meg (igaz/hamis). Általában kimondja, hogy egy tényező rendelkezik vagy sem egy bizonyos tulajdonsággal (például, az x változó értéke pozitív), vagy két tényező közötti összefüggésre vonatkozik (az x változó értéke kisebb, mint az y változó értéke). A döntési utasítás kimenetele „igaz” (igen) vagy „hamis” (nem) lesz a vizsgált kijelentés logikai értéke. Egy algoritmus leírásakor fontos pontosan meghatározni az utasítások sorrendjét. Ezt megtehetjük implicit vagy explicit módon.

Utasítások sorrendje

Implicit sorrendről beszélünk, ha a sorrend megegyezik az algoritmus lépéseinek sorrendjével. Explicit sorrendről beszélünk döntési utasítások esetén. Ekkor pontosan ki kell kötnünk, melyik lépés következik, ha a döntési utasítás eredménye „igaz”, és melyik lépés „hamis” eredmény esetén. Mivel ezen két lépés kötelezően különbözik egymástól, a döntési utasítások az algoritmus felépítésében elágazásokat eredményeznek.

1. példa

Két természetes szám összeadásának algoritmusa: 1. lépés 2. lépés 3. lépés

4. lépés 5. lépés

Algoritmus Első szám beolvasása Második szám beolvasása Legyen MEGOLDÁS = = ELSŐ SZÁM + +MÁSODIK SZÁM Megoldás kiíratása Stop

Működés Megadjuk az első szám értékét Megadjuk a második szám értékét Kiszámolja a két szám összegét Kiírja az eredményt Algoritmus vége

Legyen az ELSŐ SZÁM az A változó, a MÁSODIK SZÁM a B változó, továbbá a megoldás az M változó. Ekkor az algoritmus alakja a következő: 1. lépés 2. lépés 3. lépés 4. lépés 5. lépés

Olvasd A Olvasd B Legyen M:=A+B Írd M Stop

(A 3. lépésnél bevezettük az „:=” értékadás jelét. Az olvasási parancs alakja: Olvasd..., a kiírási parancs alakja: Írd...)

56


Algoritmusok

Két természetes szám kivonásának algoritmusa:

2. példa

Algoritmus 1. Olvasd D 2. Olvasd S 3. Ha D<S, 6. lépés 4. 5. 6. 7.

Működés A kisebbítendő beolvasása A kivonandó beolvasása Összehasonlítjuk D és S értékét: • D<S, következik a 6. lépés • D ≥ S, következik a 4. lépés Legyen M:= D - S A D-S különbség kiszámítása Írd M, majd 7. M kiíratása, majd ugrás a 7. lépésre lépés Írd „Értelmetlen „Értelmetlen N-ben” üzenet kiíratása N-ben” Stop Algoritmus vége

Az utasítások sorrendje a 3. lépésig implicit, ahol egy döntési utasítás következik. Ettől a ponttól a sorrend explicit lesz: ha a „D<S” kijelentés igaz, következik a 6. lépés, ha hamis, akkor következik, implicit sorrend szerint, a 4. lépés. Az 5. lépéstől újra explicitté válik a sorrend. Vegyük észre, hogy a 3. lépésben a döntési utasítás egy elágazást eredményez, két lehetséges ágon folytatódik az algoritmus (a döntési utasítás „igaz” vagy „hamis” voltától függően). 3. példa

Egész számok osztása: Az osztás — ismételt kivonás — értelmezését fogjuk alkalmazni. Ha O-t (osztandó) osztjuk A-val (osztó), az egyenértékű A-nak O-ból való ismételt kivonásával, míg a különbség kisebb nem lesz, mint A. A hányados egyenlő az elvégezhető (elvégzett) kivonások számával, míg a maradék az utolsó különbség értékével. Például, 13:6 osztás visszavezethető a következő ismételt kivonások sorozatára: 13 – 6 = 7 7–6=1 1 – 6 ∉ N. Két kivonást lehetett elvégezni (tehát a hányados értéke 2), továbbá az utolsó különbség értéke 1 (vagyis az osztási maradék 1). Bevezetjük a következő jelöléseket: O = osztandó, A = osztó, H = hányados, M = maradék. Az elvégezhető kivonások számának meghatározásához a H kiinduló értéke legyen 0 , majd minden elvégzett kivonás esetén értéke eggyel nő (az első lépés után értéke 0 + 1 = 1 lesz, a második után 1 + 1 = 2 , stb.). A maradék meghatározása: az M kiinduló értéke O (osztandó) értéke lesz, majd minden elvégezhető kivonás után az M értéke a kiszámolt különbség lesz (az első lépés után 13 − 6 = 7 , majd 7 − 6 = 1 lesz).


57

Algoritmusok

Az algoritmus: 1. Olvasd O 2. Olvasd A 3. Legyen H:= 0 4. Legyen M = O 5. Ha M
Algoritmus leírása

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Olvasd O Olvasd A Legyen H = 0 Legyen M = 13 Döntés: M
12. 13.

O

A

Írd H

13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

Írd M

13

6

H -

A döntési utasítás eredménye

M

1 1 1 2 2 2

13 13 7 7 7 1 1 1 1

Hamis Igaz Hamis -

2

1

-

0 0 0 0

Vegyük észre, hogy számítási utasítások esetén is meg lehet explicit módon határozni a sorrendet. Így a fenti algoritmus 8. lépése elhagyható, ha a 7. lépésnél kikötjük, hogy az 5. lépés következik. Az algoritmus alakja a következő lesz: 1. Olvasd O 2. Olvasd A 3. Legyen H:= 0 4. Legyen M = O 5. Ha M

Algoritmusok

Az algoritmus lépéseinek sorrendje 5 és 6 számok esetén: A döntési utasítás eredménye

Változók értéke Lépés

Algoritmus leírása

1. 2. 3. 4. 5.

Olvasd O Olvasd A Legyen H = 0 Legyen M = O Döntés: M
6. 7.

O

A

H

6 6 6 6 6

-

Írd H

5 5 5 5 5 5

Írd M

5

6

M

0

5 5 5

Igaz -

0

5

-

0 0 0

1. önértékelő teszt 1. Tekintsük a következő algoritmust: 1. Olvasd A, B 2. Legyen B:= B – 2 3. Ha B= 0 , 7. lépés 4. Legyen A:= A + B 5. Ha A >100, 7. lépés 6. Vissza 2. lépésre 7. Írd A 8. Stop. Határozzátok meg az A változó értékét az algoritmus végén, ha a beolvasott értékek: a) A= 12, B = 10; b) A= 82, B = 10. 2. Adott két szám. Írjatok algoritmust, mely kiíratja a kisebbik szám négyzetét! 3. Adottak az A, B, C számok. Írjatok algoritmust, mely eldönti, melyik a három közül a legnagyobb!

5.3. Folyamatábrák A folyamatábra (más nevén blokkdiagram) az algoritmust alkotó műveleteknek és ezek végrehajtási sorrendjének grafikus ábrázolása. A folyamatábra grafikus szimbólumokból (blokkokból) áll, melyek között irányított kapcsolat áll fenn.


59

Algoritmusok

5.3.1. Grafikus szimbólumok A grafikus szimbólumok (blokkok) alakja jelentéstől függően különbözik (lásd alábbi táblázat). Blokk elnevezése Terminál

Bemeneti—kimeneti

Alakja

Alkalmazása Az algoritmus végrehajtásának kezdetét, illetve végét jelöli, ennek megfelelően START vagy STOP üzenetet tüntetünk fel. Az adatok beolvasására vagy kiíratására szolgál.

Számítási (értékadó)

Egy kifejezés értékének kiszámítására szolgál.

Elágazási (döntési)

Döntési utasítások esetén alkalmazzuk, az eredmény függvényében különböző ágakon folytatódik a folyamatábra.

Eljárási

Több utasítás együttese, mely egy különálló algoritmust jelöl. Komplexebb algoritmusok esetén használjuk.

Nyíl

A blokkokat köti össze.

Kapcsolók

Ugyanazon oldalon köti össze a folyamatábra néhány pontját.

A folyamatábra különböző oldalakon elhelyezkedő pontjait köti össze.

60


Algoritmusok

Célszerű az érthető és követhető folyamatábra érdekében elkerülni a kapcsolások (nyilak) metszetét. Ha ezen metszetek elkerülhetetlenek, ajánlott a nyilak megszakítása és számmal vagy betűvel való jelölése (így elhagyható a két ugyanolyan jelzés — szám vagy betű— közötti vonal).

5.3.2. Elemi struktúrák

Lineáris

Az algoritmusok bemutatására három féle elemi struktúrát alkalmaznak: lineáris, elágazó és ismétlődő (ciklikus) struktúrákat. A lineáris struktúrák a következő alakúak: Bemeneti adatok

Algoritmus

Eredmény

A már bemutatott két természetes szám összeadásának algoritmusa is lineáris struktúrával rendelkezik:


61

Algoritmusok

Elágazó

Egy elágazó struktúra alakja a következő:

Az elágazó struktúra egy feltételes mondatnak felel meg: ha C, akkor A, különben B (ha a C kijelentés igaz, akkor következik az A algoritmus). A struktúra egy elágazási (döntési) szimbólummal (blokkal) kezdődik, melynek két kimenetele van: egyik, ha a C kijelentés igaz, másik, ha hamis. Ilyen struktúrájú két természetes szám kivonásának algoritmusa (Algoritmusok, 2. példa):

62


Algoritmusok

Ismétlődő

Az ismétlődő struktúra alakja a következő:

Az ismétlődő struktúrának megfelelő mondat: „ameddig C, hajtsuk végre A-t” (amíg a C kijelentés igaz, elvégezzük az A algoritmust). Ez a struktúra is egy elágazási szimbólummal (blokkal) kezdődik. A C kijelentés igaz volta az A algoritmushoz vezet, mely végén újra a C kijelentéshez jutunk, mindaddig folytatva a ciklust míg a C kijelentés hamissá nem válik. A maradékos osztás struktúrája is ismétlődő (Algoritmusok, 3. példa, 2. változat).


63

Algoritmusok

64


Algoritmusok

2. önértékelő teszt 1. Szerkesszétek meg annak az algoritmusnak a folyamatábráját, mely kiszámolja három szám algebrai átlagát! 2. Szerkesszetek folyamatábrát a következő feladat megoldására: Adott egy kert hosszúsága és szélessége. Ha a kert négyzet alakú, számoljátok ki területét, majd a kerthez szükséges kerítés hosszát, ha tudjuk, hogy a kapu 3 m széles.



65

Algoritmusok

5.4. Megoldások

1. önértékelő teszt 1. a) A = 32; b) A = 102. 2. 1. Olvasd A,B 2. Ha A ≥ B, 4. lépés 3. Legyen M:= A, majd 5. lépés 4. Legyen M:= B 5. Legyen P:= M*M 6. Írd P 7. Stop (A „*” a szorzás műveletet jelöli). 3. Az algoritmus: 1. Olvasd A, B, C 2. Ha A ≥ B, 4. lépés 3. Legyen MAX := B, majd 5. lépés 4. Legyen MAX:= A 5. Ha MAX ≥ C, 7. lépés 6. Legyen MAX:= C 7. Írd MAX 8. Stop

2. önértékelő teszt 1.

66


Algoritmusok

2.

G : = 2*(A+B)-3

5.5. V. felmérő 1. Szerkesszetek folyamatábrát és írjatok algoritmust egy ablak árának kiszámítására, ha tudjuk, hogy az ablak hosszúsága L, szélessége pedig M, továbbá 1 m 2 üveg ára P lej (a hosszúság és szélesség méterben van megadva)! 2. Írjatok algoritmust és szerkesszetek folyamatábrát a következő feladat megoldására: Egy szabó 18 méteres anyagából levág minden nap 3 métert. Hányadik nap vágja le az utolsó darabot? 3. Írjatok algoritmust és szerkesszetek folyamatábrát arra a feladatra, mely meghatároz két számot, ha ismert ezen számok összege és különbsége!


67

Algoritmusok

Megoldás után a már előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak. Pontozási javaslat: - hivatalból: 10 pont; - 1. gyakorlat: 30 pont; - 2. gyakorlat: 40 pont; - 3. gyakorlat: 20 pont.

5.6. Irodalomjegyzék 1. Niculescu S., Algoritmi, Editura Tehnică, 1981; 2. Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Editura Meteor Press, 2005.

Távlatok, alkalmazások Az algoritmikus gondolkodás minden szakmában tiszta és rendes munkát biztosít. Az elemi osztályok tanárainak is fontos a matematika tanítása-leadása során az algoritmikus gondolkodás alkalmazása, ennek továbbítása. Az algoritmusok és a folyamatábrák nem csak egy probléma megoldását jelentik, hanem egy teljes feladatosztály megoldását, továbbá a számítógépes programozás elmaradhatatlan alappillérét képezik.

68


Mennyiségek mérése

VI. fejezet MENNYISÉGEK MÉRÉSE Tartalomjegyzék 6.1. A fejezet célkitűzései.....................................................................................69 6.2. Fizikai mennyiségek......................................................................................69 6.3. Mennyiségek mérése ....................................................................................70 6.4. Fizikai mennyiségek mértékegységei ...........................................................71 6.4.1. Hosszmérés............................................................................................71 6.4.2. A tömeg mérése .....................................................................................71 6.4.3. Az idő mérése.........................................................................................72 6.4.4. A mértékegységek többszörösei és törtrészei ........................................73 6.5. Mértékegységek átalakítási algoritmusa .......................................................73 6.6. Megoldások...................................................................................................77 6.7. VI. felmérő.....................................................................................................77 6.8. Irodalomjegyzék ............................................................................................78

6.1. A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a hallgató: • megérti a fizikai mennyiség, a mennyiségek mérésének és a mértékegységek fogalmát; • fel tudja írni a fizikai mennyiségek mértékeit különböző mértékegységekben kifejezve; • képes lesz adott mértékegységek többszöröseinek, illetve törtrészeinek képzésére.

6.2. Fizikai mennyiségek

Értelmezés

Osztályozás Skalár- és vektormennyiségek

A mérés valamely dolog nagyságának, méretének meghatározása. Alapja az összehasonlítás. A mennyiség jelenség, tárgy vagy anyag megkülönböztethető és mennyiségileg meghatározható tulajdonsága. A fizikai mennyiség mindig egy mérés eredménye, mérőszámmal és mértékegységgel adjuk meg. Egy tárgy, anyag vagy jelenség bármely mérhető tulajdonsága fizikai mennyiséget határoz meg. A fizikai mennyiségek több kritérium szerint osztályozhatók. A meghatározó tényezők szerint (érték, irány, irányítás) beszélhetünk skalárés vektormennyiségekről. Egy skalármennyiséget numerikus értéke és mértékegysége határoz meg (például tömeg), míg egy vektormennyiséget értéke, iránya és irányítása (például sebesség).


69


Alapegységek

Származtatott egységek

Egy másik kritérium szerint beszélhetünk alapegységekről és származtatott egységekről. Az alapegységek egyezményesen választott mértékegységek, melyek a mértékegységrendszerek alapjául szolgálnak. Számuk nem korlátozott, de nem lehet végtelen nagy sem vagy 3-nál kisebb. Alapmennyiségként elsősorban a hosszúságot és az időt választják, mivel minden anyag térben és időben létezik. Az anyag ezen külső „jellemzői” mellé még választanak egy „belső” jellemzőt, mint például a tömeg. Például a CGM mértékegységrendszerben 3 alapmennyiséget választottak: hosszúság, tömeg és idő (alapegységek: centiméter, gramm és másodperc). A leggyakrabban használt mértékegységrendszer az SI rendszer, a Mértékegységek Nemzetközi Rendszere. A Nemzetközi Mértékegységrendszer hét alapmennyisége: hosszúság, tömeg, idő, áramerősség, hőmérséklet, anyagmennyiség, fényerősség (alapegységeik: méter, kilogramm, másodperc, amper, kelvin, mól, kandela). Az alapmennyiségek kiválasztása után minden olyan fizikai mennyiség, mely nem alapmennyiség, meghatározható az alapmennyiségek segítségével, ezért ezeket származtatott mennyiségeknek nevezzük. Az alapmennyiségek mértékegységei az alapegységek, a származtatott mennyiségek egységei pedig a származtatott egységek, melyek az alapegységek segítségével értelmezhetők.

6.3. Mennyiségek mérése

Mérés

A mérés során a mérendő mennyiséget az egységül választott mennyiséggel (etalonnal) hasonlítjuk össze, ennek az eredményét számokkal fejezzük ki.

Mérték

A mérték az a szám, mely megmutatja, hogy az etalon hányszorosa a mért mennyiség. Az etalon egy hiteles mérték, valamely mértékegység jól meghatározott, állandó, hiteles mintapéldánya. Egy fizikai mennyiség méréséhez a mértékegységen kívül szükségünk van mérési eljárásra és mérési eszközre. Például, egy tárgy hosszának mérése: a vonalzót (mérési eszköz) a tárgyra helyezzük (mérési eljárás) és leolvassuk a hosszát. Egy jelenség időtartamának meghatározása: a jelenség időtartamát összehasonlítjuk az óramutatók (mérési eszköz) mozgásának időtartamával. Egy fizikai mennyiség mérésének eredménye egy szám, melyet a mennyiséghez tartozó mértékegység követ.

70



6.4. Fizikai mennyiségek mértékegységei 6.4.1. Hosszmérés

Méter

A hosszmérés az első mérési alapműveletek egyike. A távolság mérésére mindig egy kiválasztott tárgy hosszával való összevetés szolgált. Kellő mérési eszközök hiányában a mértékegységek az emberi test méreteihez kapcsolódtak: hüvelyk, marok, arasz, láb, öl, rőf. Ezen mértékek egész számú többszörösei kötélen, bogok segítségével, vagy rúddarabokon könnyen megjelölhetőek voltak. A mértékek pontatlansága nagyban hátráltatta a kereskedelem fejlődését. Ezért született meg az igény egy egységesített, nemzetközi mértékegység bevezetésére, amit méternek nevezünk. Eredetileg (1795-ben) a Föld Párizson áthaladó délkörének negyvenmilliomod részeként definiálták és az akkori mérőeszközök segítségével elkészült az úgynevezett „levéltári méter”, platina - irídium ötvözetből az első etalon. Egy méternél nagyobb, illetve hosszúságok mérésére vezették be később a méter többszöröseit (dekaméter, hektóméter, kilométer) és törtrészeit (deciméter, centiméter, milliméter). 1960-ban a métert a 86-os tömegszámú kripton atom meghatározott energiaszintjei közötti átmenetkor kisugárzott narancssárga fény vákuumbeli hullámhosszának ( λ Kr )

1 650 763,73-szorosaként definiálták: 1 m = 1 650 763,73 ⋅ λ Kr .

A 10 −6 m-nél kisebb hosszúságok az atomfizika és a bakteriológia területén, 10 −6 és 10 m közötti hosszúságokkal a technika

(gépek,

műszerek),

a

10

m

és

10 7

közötti

hosszúságokkal a földméréstan, míg a 10 7 m-nél nagyobb hosszúságokkal az asztronómia területén foglalkoznak.

6.4.2. A tömeg mérése

Kilogramm

A tömeg mérése a kezdetekben a hosszúság mérésével hasonló módon alakult. Csak a hasznosság kritériumának megfelelve, különböző nem egységesített szabványegységeket használtak. Országunkban hosszú éveken keresztül a következő mértékeket használták a tömeg mérésére: véka, mérce, uncia, lat, stb. A XVIII. században miután Franciaországban bevezették a méter egységesített mértékegységet, bevezették a tömeg mértékegységét is, a kilogrammot. 1 köbdeciméter 4 οC hőmérsékletű desztillált víz tömegeként értelmezték. Az 1 kilogrammnál nagyobb, illetve kisebb tömegek mérésére bevezették a kilogramm többszöröseit (mázsa, tonna) és törtrészeit (hektógramm, dekagramm, gramm, decigramm, centigramm, milligramm).


71


A modern fizika a relativisztikus tömeget a fizikai rendszerek, inerciarendszerek (amiben Newton-féle tömegek érvényesek), egy tulajdonsága által meghatározott fizikai mennyiségként értelmezi. A test tömege függ a sebességtől, azaz a fénysebesség közelébe érve gyorsan nő és ott végtelenné válik.

6.4.3. Az idő mérése Az idő a mozgó anyag, tárgy másik fontos jellemzője. Az idő (időtartam) mérése szabályosan ismétlődő folyamatokkal történik. Méréséhez szükség van egy kiindulási pontra és egy mértékegységre. Eredetileg az időtartamok mérése a természetben megfigyelhető periodikus folyamatok segítségével történt: a Föld tengely körüli forgása, a Föld Nap körüli keringése, stb. Észrevették, hogy a Föld tengely körüli időtartama állandó, ezt nevezték napnak. A hónap újholdtól újholdig eltelt időtartam.

Nap Hónap Év

Óra Perc Másodperc

72

forgásának

Az egyiptomiak a Nílus két áradása között eltelt időtartamot tekintették évnek. Ma az év 365 nap 5 óra 48 perc és 46 másodpercből áll, az az idő mely alatt a Föld megkerüli a Napot. A finomabb időbeosztás párhuzamosan folyt a naptár fejlődésével. Az embereknek a nap jobb szervezése érdekében szükségük volt a nap időtartamának pontosabb felosztására is. Ma a másodperc SI-alapegység, az idő mértékegysége. A másodpercet régebben a Föld forgásából származtatták: eszerint a másodperc a szoláris középnap (két delelés között eltelt idő) 1/86400 része. Az Általános Súly- és Mértékügyi Értekezlet (CGPM) 1967ben hozott döntése értelmében: a másodperc az alapállapotú cézium – 133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama. A kereskedelem, közlekedés, kommunikáció rohamos fejlődése miatt szükségessé vált a világ időzónáinak megalkotása. A 24 általános zóna Greenwichtől kezdődően 15 fokonként haladva keletre és nyugatra a zónák középpontjaként lettek megjelölve. A Nemzetközi dátumválasztó vonalat a 180. foknál jelölték ki, az Atlanti Óceánon. Bizonyos országok nem akartak több időzónára oszlani, ezért az Észak - Dél irányú egyenes időhatárvonalak néha követik az ország vagy államhatárok változásait.



6.4.4. A mértékegységek többszörösei és törtrészei A mértékegységek (az idő mértékegységén kívül) többszöröseit és törtrészeit az egység neve elé illesztett egy-egy szorzót jelentő alább felsorol prefixumok egyikével kell képezni: Többszörös Jele deka da

Számérték

10

Törtrész deci -

Jele d

Számérték

10 −1

hekto -

h

10 2

centi -

c

10 −2

kilo -

k

10 3

milli -

m

mega -

M

10 6

mikro -

µ

10 −3 10 −6

giga -

G

10 9

mano -

n

10 −9

tera -

T

1012

pico -

p

10 −12

6.5. Mértékegységek átalakítási algoritmusa Eljárás

Egy mennyiség mértékegységének átalakításakor figyelembe kell vennünk, hogy az új mértékegység (átalakított) a régi mértékegységnél (adott) hányszor nagyobb/kisebb, annak többszöröse vagy törtrésze. Ha az adott egység többszörösét, illetve törtrészét szeretnénk képezni, akkor az értéket a megfelelő számértékkel kell beszoroznunk.

Példák

1) Határozzuk meg, hogy 12 m hány cm! Mivel az új mértékegység (cm) az alapegység (m) törtrésze (100 cm = 1 m), a 12 értéket meg kell szoroznunk 100-zal: 12 m = (12 ⋅ 100 ) cm =1200 cm. 2) Határozzuk meg, hogy 12 m hány dam! Az új mértékegység (dam) az alapegység többszöröse, 10szer nagyobb, ezért 12 értékét el kell osztanunk 10-zel: 12 m = (12 : 10) dam = 1,2 dam

Algoritmus

Az algoritmus leírásában a következő jelöléseket fogjuk használni:

N= r.m = u.m = r.m n= u.m

n′ =

1 u.m = n r.m R=


a mennyiség értéke alapegységben kifejezve; régi mértékegység (adott); új mértékegység (átalakított); a régi és új mértékegység aránya, mely kifejezi, hányszor nagyobb a régi az új mértékegységnél; az előbbi arány fordítottja, megmutatja, hogy hányszor kisebb a régi mértékegység az új mértékegységnél; átalakítás eredménye (új mértékegységben) 73


A mértékegységek átváltási algoritmusa: 1. lépés 2. lépés 3. lépés 4. lépés 5. lépés 6. lépés 7. lépés 8. lépés

Olvasd N , r.m és u.m Ha r.m > u.m , 5. lépés

u.m r.m Legyen E := N : n′ , majd 7. lépés r.m Legyen n := u.m Legyen E := N ⋅ n Írd E ( u.m -ban) Legyen n ′ =

Stop.

(Szerkesszétek meg az algoritmus folyamatábráját!) Megoldott feladatok

1. Írjuk fel tizedes törtek segítségével: a) 1m 2 cm; b) 12 kg 3 g; c) 1 m2 2 dm2. Megoldás. a) 1 m 2 cm-nek megfelel 1 m 0 dm 2 cm, tehát 1,02 m (a deciméter a tized-, a centiméter pedig a méter a századrészét jelöli). b) 12 kg 3 g-nak megfelel 12 kg 0 hg 0 dag 3 g, vagyis 12,003 kg (hg a tized-, dag a század-, g a kilogramm ezredrésze). c) 1 m2 2 dm2 pontosan 1,02 m2 (mivel a dm2 a m2 századrésze). 2. Írjuk fel a m2 többszöröseinek és törtrészeinek segítségével az alábbi mennyiségeket: a) 1234 cm2; b) 123,45 hm2; c) 0,1 dm2. Megoldás. a) Mivel a terület alapegységének többszöröseit/törtrészeit 100-zal való szorzás/osztás segítségével számoljuk ki, vagyis a váltószám 100, az adott értéket (1234) elosztjuk 100-zal: a hányados (12) a cm2 után következő nagyobb egységet (dm2) jelöli, míg a maradék (34) a cm2-t. Tehát 1234 cm2= 12 dm2 34 cm2. Gyakorlatilag a szám végétől indulva kettes csoportokat alkotunk (mivel 100-zal osztunk, 100 a váltószám). Az utolsó csoport az adott mértékegység értékét (cm2), a következő csoport ennek rákövetkező többszöröse (dm2). Vegyük észre, hogy az első csoport állhat egyetlen számjegyből is, ha az érték páratlan számjegyű. b)

74

Ha az adott érték tizedes tört formájában van megadva a kettes csoportokat a tizedes vesszőtől jobbra, illetve balra képezzük (a tizedes vessző előtti kettes csoport az adott mértékegységet jelöli, az ez előtti csoportok pedig ennek többszörösei, a tizedes vesszőtől balra pedig a kettős csoportok rendre a megadott egység törtrészeit jelölik). Így 123,45 hm2 =1 km2 23 hm2 45 dam2. Vidéki oktatásfejlesztési program


c)

2

2

2

2

0,1 dm =0,10 dm = 0 dm 10 cm = 10 cm2.

3. Végezzük el a megfelelő átalakításokat: a) 12 hm = ... m; b) 123,4 hl = ... kl; c) 123,4 dam3= ... m3. Megoldás. Alkalmazzuk a mértékegységek átváltási algoritmusát: a) 12 hm = 1200 m; b) 123,4 hl = 12,34 kl; c) 123,4 dam3 = 123400 m3.

Önértékelő teszt 1. Írjátok fel tizedes törtek segítségével: a) 1m 2mm; b) 12 dal 3 dl; c) 1 dm2 2 cm2. 2. Írjátok fel a megadott mértékegységek többszöröseinek és törtrészeinek segítségével: a) 123 cg; b) 123,4 cm2; c) 12,34 dm3. 3. Végezzétek el az alábbi átalakításokat: a) 12 m = ... hm; 123 dm = ... cm; 1234 dam= ... km; b) 12 dal = ... dl; 123 ml = ... l; 1234 hl = ... dl; c) 12 cg = ... dag; 123 hg = ... g; 1234 mg = ... dg; d) 12 dam2 = ...m2; 123 mm2 = ...dm2; 1234 hm2 = ...m2; e) 12 cm3 = ...dm3; 123 dam3 = ... m3; 1234 dam3 = ...hm3. 4. Ha most nappal van, mi lesz 60 óra múlva?


75



76



6.6. Megoldások 1. a) 1,002 m; b) 12,03 dal; c) 1,02 dm2. 2. a) 1 g 2 dg 3 cg; b) 1 dm2 23 cm2 40 mm2; c) 12 dm3 340 cm3. 3. a) b) c) d) e)

12 m = 0,12 hm; 123 dm = 1230 cm; 1234 dam = 12,34 km; 12 dal = 1200 dl; 123 ml = 0,123 l; 1234 hl = 1234000 dl; 12 cg = 0,012 dag; 123 hg = 12300 g; 1234 mg = 12,34 dg; 12 dam2 = 1200 m2; 123 mm2 = 0,0123 dm2; 1234 hm2 = 12340000 m2; 12 cm3 = 0,012 dm3; 123 dam3 = 123000 m3; 1234 dam3 = 1,234 hm3.

4. Éjjel.

6.7. VI. felmérő 1. Írjátok fel tizedes törtek segítségével: a) 1m 2mm; b) 1kg 23 g; c) 1 dal 234 ml; d) 1 dm2 234 cm2; e) 1m3 23 dm3; f) 1 h 12 min (!). 2. Írjátok fel a megadott mértékegységek többszöröseinek és törtrészeinek segítségével: 12 dg; 123 l; 1234 cm; 1,2 dm2; 12,3 cm3; 3723 másodperc (!). 3. Végezzétek el az alábbi átalakításokat: a) 123 km = ... dam; 123 mm = ... m; b) 1,23 cg = ... g; 1,23 kg = ... dg; c) 12,3 kl = ... l; 12,3 dl = ... dal; d) 0,123 mm2 = ... cm2; 0,123 dam2 = ...dm2; e) 12,03 hm3 = ...dam3; 12,03 cm3 = ... dm3; f) 1 h 23 min = ... sec; 1 h 2 min 3 sec = ... sec.

Megoldás után a már előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak.

Pontozási javaslat: - hivatalból: 10 pont; - 1. gyakorlat: 15 pont; - 2. gyakorlat: 15 pont; - 3. gyakorlat: 60 pont.


77


6.8. Irodalomjegyzék 1. Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Editura Meteor Press, 2005; 2. Rusu E., Aritmetica. Manualul pentru liceele pedagogice, EDP, 1974; 3. Stăncilă C., Predarea conceptului de mărime fizică la elevi. Pentru clasele I-IV, Editura Sitech, 2004.

Távlatok, alkalmazások A mennyiség, mértékegység, mérőszám, mérés megértése az I-IV. osztályos

matematika

összehasonlítás,

anyag

alappillére.

formafelismerés,

Fejleszti

azonosítás,

a

megfigyelés,

megkülönböztetés,

összefüggések felismerésének képességét. Rávilágít a matematika és valóság közötti kapcsolatra.

78


Az euklideszi geometria axiómarendszerei

VII. fejezet Az euklideszi geometria axiómarendszerei Tartalomjegyzék 7.1. A fejezet célkitűzései...........................................................................................79 7.2. A geometria fejlődésének rövid története............................................................79 7.3. Euklidész axiomatikus rendszere........................................................................82 7.4. Az axiómarendszer fogalma................................................................................83 7.5. Axiomatikus elméletek ........................................................................................85 7.6. Megoldás.............................................................................................................89 7.7. VII. felmérő..........................................................................................................89 7.8. Irodalomjegyzék ..................................................................................................90

7.1. A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a hallgató: • megismerkedik a geometria fejlődésének szakaszaival; • megérti az axiómarendszer fogalmát; • megismeri Euklidész axiómarendszerét.

7.2. A geometria fejlődésének rövid története

Empirikus

Preeuklideszi geometria

A geometria fejlődésének főbb szakaszai: Az empirikus geometria (i.e. 600-ig) főleg az egyiptomiaknál fejlődött ki. Az ókori egyiptomi geometria megszületésének feltételeit a gyakorlati célok teremtették meg. Mint eljárást, a geometriai igazságot tapasztalati kísérletek következményének tekintették. Mint filozófiai koncepció, a geometriai igazság az istenek által elárult, a papok körében generációról generációra megőrzött titok. A pre-euklideszi geometria (kb. i.e. 600-300) az antik görög iskolákban bontakozott ki (Thalész, Pitagorasz, Platón, stb. ). Mint tárgy, a geometria területén a gyakorlati célok fontossága csökkent, előtérbe került a „tiszta” geometriai igazság kutatása. Mint eljárás, az igazság érveléssel, logikus bizonyításokkal határozható meg, ami lényeges változást jelentett az empirikus geometriával szemben.


79


Euklideszi geometria

Stagnálás

Modern

80

Minden iskola filozófiai koncepciója más, Thalész munkásságában ötvöződik az egyiptomi és görög matematika. Élt benne a bizonyítási vágy és az általánosításra való igyekezet, gyakorlati példákból indult ki, vagy gyakorlati példákhoz jutott. Pitagorasz, a pythagoreusi iskola alapítója, a matematikai igazságnak misztikus jelentést tulajdonított. Platón, az objektív idealizmus legfontosabb képviselője, a geometriát a „makulátlan gondolatok” világának tekintette. A geometriai tevékenységek irányvonala a rejtett, elvont összefüggések felfedezése, mindenféle bizonyítási merevség nélkül. Számukra a nem nyilvánvaló, a nagy figyelmet igénybevevő dolgok voltak érdekesek. A kort az igazság szenvedélyes kutatása jellemezte. Az euklideszi geometria (i.e. 300 - 200) célja az előző kor geometriai igazságait logikus-deduktív rendszerbe foglalni. Különbséget tenni alapigazságok (axiómák) és következtetett igazságok között, így nem csak a rejtett, nehezen felismerhető igazságok kerültek előtérbe. Külön tanulmányozták és igazolták, hogy egy kijelentés az axiómák vagy tételek körébe sorolható. Módszerük a precíz bizonyítás, fogalmak logikus értelmezése, tételek rendszerezése, a lényeg tömör és világos ismertetése. Egy ilyen rendszerezési tevékenység nagy mértékű türelmet és kitartást igényelt. Ezáltal a geometria elméleti tudománnyá vált, megszabadulva bármiféle misztikus jellegtől. Ugyanebben az időszakban heurisztikus kutatások is zajlottak, új igazságok felfedezésére törekedtek. Kiemeljük Arkhimédész nevét, aki a mechanika, fizika, technika területén végzett geometriai kutatásokat. A gömb felszínére és térfogatára adott képletei, mint módszer és mint eszköz egyben az integrálszámítás előfutárai (mely fogalom csak a XVII. században jelenik meg). Euklidész után, i.sz. 600-ig több kutatás jelent meg, de mind csak Euklidész munkásságát egészítették ki. 600 után a geometriai fejlődés egy helyben topogott, a geometriai tevékenység Euklidész „Elemek” című művének tanítására és megértésére korlátozódik. Ez a periódus egészen 1500-ig tartott. A XVI. századtól kezdődik a modern korszak, mely a mai napig tart. Ezt a kort a feladatok, módszerek, nézetek gazdagsága, kapcsolat a matematika különböző ágai között jellemzi. A geometriából és az elemi algebrából fejlődött ki az analitikus mértan, melyben megjelentek olyan fogalmak, mint a koordinátarendszerek. A geometria és analízis kapcsolatából új problémák és módszerek, elméletek születtek, mint a görbék és felületek elmélete, a differenciálgeometria. A geometria és a modern algebra kapcsolatából nőtte ki magát a projektív, affin és metrikus topológiai geometria. Ezekkel egy időben fellendül az euklideszi geometria iránti érdeklődés, kezdve Galilei és Kepler mechanikai és csillagászati feladataival, folytatva Desargues perspektivitás elméletét megalapozó tanulmányaival, Monge-zsal, az ábrázoló geometria megalapítójával. Ez a fellendülés a XIX. században élte fénykorát. A geometria legújabb ágai közé tartozik a véges és diszkrét geometria. Vidéki oktatásfejlesztési program


1. önértékelő teszt Válasszátok ki az euklideszi geometriára érvényes kijelentéseket: a) Egyiptomban fejlődött ki; b) különbségtétel axiómák és tételek között; c) az igazság szenvedélyes kutatása; d) euklideszi „Elemek” fogalmainak mellőzése; e) a geometriai igazságok logikus-deduktív rendszerbe vannak foglalva; f) a geometriai igazságot titokként kezelik; g) nem csak a nehezen felismerhető igazságok kerülnek előtérbe; h) új kutatási területek jelennek meg (Analitikus mértan, Véges geometria, Diszkrét geometria).



81


7.3. Euklidész axiomatikus rendszere Elemek

Pozitív következmény

Euklidész (i.e. III. század) „Elemek” (Stoichea) című műve a matematika elemeinek első rendszeres összefoglalása. Néhány definícióból, axiómából és posztulátumból indul ki, amelyekből deduktív úton, a logikai szabályokra támaszkodó bizonyítások révén vezeti le az új állításokat, melyeket tételeknek nevezünk. Az „Elemek” összefoglaló írásmű. Rendszerezi, tökéletesíti az addig ismert geometriai anyagot és megcáfolhatatlan bizonyításokat ad olyan tételekre, melyeket elődei nem tudtak kifogástalanul bizonyítani. Euklidész művének teljessége, kifinomult deduktív módszerei minden előző tankönyvet a háttérbe szorított, így lett a geometriaoktatás kizárólagos tankönyve a XVIII. századig. Így lett a geometria az első axiomatizált tudományág. Euklidész ötödik posztulátuma: „Ha két egyenest úgy metsz egy harmadik, hogy ennek egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor a két egyenes a metszőnek ezen az oldalán találkozik.” Az ötödik posztulátum a nevezetes párhuzamossági posztulátum, mely szerint egy egyenesen kívüli ponton keresztül egyetlen párhuzamos húzható. Összevetve az első négy axiómával feltűnik az ötödik axióma tételszerű, komplikáltabb megfogalmazása, külön tudjuk választani a feltételt és a következtetést. Emiatt később nagyon sokan úgy vélték, hogy Euklidész itt tévedésből egy tételt sorolt az axiómák közé. A posztulátum bebizonyítására vonatkozó sikertelen próbálkozások kétféleképpen járultak hozzá a geometria fejlődéséhez: − Fejlődött a kutatók kritikai érzéke, megkérdőjeleződtek az addig elfogadott igazságok. Feltevődött egy újabb, precízebb tökéletesített axiómarendszer megalkotásának problémája, melyet Hilbert oldott meg. − Felvetődött más, az euklideszitől eltérő geometriák létezésének lehetősége. Az első lépéseket ezen a téren Lobacsevszkij és Bolyai tették, a hiperbolikus geometria megalkotásával.

Kritikák -

-

Euklidész „Elemek” című művének legfőbb kritikái: Az idomok egyenlőségét illesztéssel való egybeeséssel értelmezi, de az illesztés, egymásra helyezés nincs értelmezve sehol. Tehát az egyenlőség nem alapfogalom. Igazolható kijelentéseket axiómaként taglal (minden derékszög egyenlő). Bizonyítások folyamán alapigazságokat alkalmaz anélkül, hogy előtte axiómaként kijelentette volna őket.

Mindezen hiányosságok ellenére Euklidész „Elemek” című műve a geometria első axiómarendszere.

82



7.4. Az axiómarendszer fogalma Axióma Axiomatizálás

Feltételek Ellentmondásmentes Független

Teljes

A tudomány bármely ága alapfogalmakra, értelmezésekre és tulajdonságokra épül. Egy tudományág axiomatizálása a kijelentések halmazából véges kijelentésből álló részhalmaz kiválasztását feltételezi, ezeket kiindulási pontoknak tekintve. Ezen kijelentéseket axiómáknak nevezzük, rendszerüket pedig axiómarendszernek. Az axióma olyan kiindulási feltételt jelent, amit adottnak veszünk az érvelések során, egy megállapított alaptény. Kijelentésekor eleve elfogadott alapfogalmakat használunk. Tehát szükségtelen az alapfogalmak értelmezése, és az axiómák bizonyítása. Egy jó axiómarendszer ellentmondásmentes, független és teljes. Egy axiómarendszer ellentmondásmentes, ha egy kijelentés sem igazolható és cáfolható egyszerre. Egy axiómarendszer független, ha egyik axióma sem vezethető le a többiből, nincs „redundancia” az axiómák felsorolásában. Egy X axióma függetlensége a többi axiómától úgy igazolható, hogy egy új axiómarendszert képezünk, melyben az X axiómát annak tagadásával helyettesítjük. Ha az így képzett axiómarendszer ellentmondásmentes, az X axióma független az eredeti axiómarendszerben. Egy axiómarendszer teljes, ha minden kijelentés vagy igazolható vagy cáfolható, minden kijelentés igazsága eldönthető. Euklidész axiómarendszere ellentmondásmentes, de nem független és nem teljes. Az axiómarendszer segítségével Euklidész részlegesen feloldotta a deduktív geometria intuíciójellegét. Egy axiómarendszer következetesen elvont, minden intuíciótól mentes. Az axiómák elvont elemek közötti absztrakt kapcsolatokat jelentenek ki. Következésképpen a helyes axiómarendszer elvont. Mivel az axiómák a valóságnak intuíciónk vagy tapasztalásunk szempontjából valamiképp elsődleges, „legegyszerűbb” vagy „legnyilvánvalóbb” igazságait, összefüggéseit leíró állítások, alapigazságok, a belőlük levont következtetések is hitelesek maradnak a valóságban. Az intuíció már csak a sejtés szintjén van jelen, a nyitott problémák megtalálásában játszik szerepet. Az elemi geometria axiómarendszerének kell létezzen egy valós megfelelője a klasszikus geometriában, mely az axiómarendszer modelljét képezi. Egy modell konkrét elemek rendszere, melyek között konkrét, az axiómarendszerbeliekkel megegyező kapcsolatok érvényesek. Ebben az értelemben nem helyes az axiómarendszer kijelentéseit ábrázolni. Mégis érdemes az axiómák grafikus szemléltetése a fogalmak jobb megértése, de nem a következmények generálása érdekében.


83


2. önértékelő teszt Egészítsétek ki a következő kijelentéseket a megfelelő kifejezések/szavak segítségével: a) Egy tudományág axiomatizálása feltételezi .......................................................... b) Az axiómarendszer követelményei:....................................................................... c) Euklidész axiómarendszere ........................, de nem ........................................... d) Az euklideszi axiómarendszer részlegesen feloldotta a deduktív geometria ................ jellegét. e) Egy axiómarendszert ....................................ábrázolunk , de nem.......................


84



7.5. Axiomatikus elméletek Hilbert elődei

Hilbert

Alapfogalmak

Több próbálkozás született a XIX. század második felével kezdődően a geometria axiomatikus felépítésének tökéletesítésére. A teljes matematikai precizitásnak eleget tevő rendszereket csak a XIX. század végén sikerült megalkotni: Pasch (Vorlesungen über neuere Geometrie, Lipcs, Teubner, 1882 – 12 axiómát, 10 egybevágósági és 2 rendezési axiómát, fogalmaz meg ), Peano (1889, a természetes számok axiomatikája) és különösen Hilbert (1899, Grunlagen der Geometrie) voltak eredményesek. David Hilbert matematikával, elméleti fizikával, matematikai logikával foglalkozott behatóan. Fő munkája a Grunlagen der Geometrie (A geometria alapjai). Ebben a munkájában megvizsgálta az euklideszi axiómákat, megmutatja az axiomatikus felépítés tökéletesítésének útját és kidolgozza az euklideszi tér egyik általánosítását. Három alapfogalmat tekint: a pontot (jelölés: A, B, C, ...), az egyenest (jelölés: a, b, c,... ) és a síkot (jelölés: α , β , γ , Κ ).Ezek között alapvető relációk állnak fönn: illeszkedési, rendezési, egybevágósági, párhuzamossági, folytonossági. Az kapcsolatok természete szerint az axiómákat 5 csoportba rendezi: 8 illeszkedési, 4 rendezési, 5 egybevágósági, 1 párhuzamossági és 2 folytonossági axióma. A következőkben bemutatjuk Hilbert axiómáit. (A fogalmak megértése érdekében ajánljuk, hogy az axiómák után fenntartott helyen ábrázoljátok grafikusan a kijelentéseket. A szemléltetés csak didaktikai jellegű!)

Illeszkedési axiómák

Illeszkedési axiómák I1: Két különböző A, B ponthoz mindig tartozik egy egyenes, amely mindkettőhöz illeszkedik.

I2: Két különböző A, B ponthoz nem tartozik egynél több olyan egyenes, amely mindkettőhöz illeszkedik.


85


I3: Minden egyeneshez illeszkedik legalább két különböző pont; van három olyan pont, amelyek nem illeszkednek egy egyenesre.

I4: Bármely három, nem egy egyenesre illeszkedő A, B, C ponthoz tartozik legalább egy olyan α sík, amely mindhárom ponthoz illeszkedik; minden síknak van legalább három különböző pontja.

I5: Bármely három, nem egy egyenesre illeszkedő A, B, C ponthoz legfeljebb egy olyan sík tartozik, amely mindhárom ponthoz illeszkedik.

I6: Ha egy a egyenes A és B pontja illeszkedik egy α síkhoz, akkor az a egyenes minden pontja illeszkedik az α síkhoz.

I7: Ha két sík, α és β , illeszkedik egy közös A pontra, akkor legalább még egy B közös pontjuk van.

I8: Van legalább négy olyan pont, amelyek nem illeszkednek a síkhoz.

86



Rendezési axiómák

Rendezési axiómák O1: Ha a B pont az A és a C pontok között van, akkor az A, B, C egy egyenes különböző pontjai, és a B pont a C és az A pontok között is van.

O2: Bármely két A és C ponthoz létezik az AC egyenesnek legalább egy olyan B pontja, hogy C az A és B között van.

O3: Egy egyenes három pontja közül legfeljebb egyik van a másik kettő között.

O4: Legyen A, B, C három, nem egy egyenesen lévő pont, és e az ABC síkjának olyan egyenese, amely nem megy át az A, B, C pontokon; ha az e egyenes tartalmazza az AB szakasz egy pontját, akkor tartalmazza még a BC szakasznak vagy az AC szakasznak is egy pontját (Pasch-axióma: „ha egy egyenes belép egy háromszögbe, akkor ki is lép onnan”).

Egybevágósági axiómák

Egybevágósági axiómák E1: Ha A és B egy d egyenes két pontja és A‛ a d ′ egyenesnek egy pontja, akkor ezen az egyenesen az A‛ pont által adott két félegyenes bármelyikén van olyan B‛ pont, hogy az A‛B‛ szakasz egybevágó AB-vel (A‛B‛ ≡ AB).

E2: Ha két szakasz egybevágó egy harmadikkal, akkor egymással is: AB ≡ A‛B‛ (Ha AB ≡ A‛‛B‛‛ és A‛ B‛≡ A‛‛B‛‛, akkor AB ≡ A‛B‛).


87


E3: Ha egy d egyenesen az AB és a BC szakaszoknak nincs közös pontja, és ezen vagy egy d ′ egyenesen két hasonlóan közös pont nélküli A‛B‛ és B‛C‛ szakaszokra igaz, hogy AB ≡ A‛B‛ és BC ≡ B‛C‛, akkor AC ≡ A‛C‛ is teljesül.

E4: Adott a π sík (hk ) szöge, a π ′ sík d ′ egyenese. Legyen h ′ a d ′ egyenes egy félegyenese. Ekkor a π ′ síkban létezik egy és csakis egy k ′ félegyenes, melyre a (hk ) = (h ′k ′) . Minden szög esetén igaz a következő összefüggés: (hk ) = (kh ) .

E5: Ha két háromszögben teljesülnek az AB ≡ A‛B‛, AC ≡ A‛C‛ és BAC∠ ≡ B′A ′C′∠ egybevágóságok, akkor teljesül az ABC∠ ≡ A ′B′C′∠ egybevágóság is.

Folytonossági axiómák

Folytonossági axiómák F1: Legyen AB és CD két tetszőleges szakasz. Ekkor létezik az AB egyenes A1 , A2 ,..., An véges számú pontja (az A1 pont az

A és az A2 között helyezkedik el, az A2 pont az A1 és az A3 között, stb.) úgy, hogy az AA1 , A1 A2 ,..., An −1 An szakaszok kongruensek a CD szakasszal és a B pont az A pont és az An pont között helyezkedik el (Arkhimédész axiómája).

F2: Adott egy d egyenes A1 B1 , A2 B2 ,... egymásba skatulyázott szakaszainak sorozata, mindegyik szakasz (az elsőt kivéve) az előtte levő szakaszban helyezkedik el, vagyis A1 B1 ⊃ A2 B2 ⊃ Κ ⊃ An Bn ⊃ Κ . Ekkor létezik a d egyenes azon X pontja, mely minden szakasz belső pontja, vagyis X ∈ An Bn , ∀ n ∈ N esetén (Cantor-féle axióma).

88



Párhuzamossági axióma

Párhuzamossági axióma P1: Legyen d egy tetszőleges egyenes és A egy rajta kívül fekvő pont: az A pont és a d egyenes által meghatározott síkban az A ponton átmenő egyenesek közül legfeljebb egy olyan van, mely nem metszi az d egyenest.

7.6. Megoldás 1. önértékelő teszt b); e); g).

2. önértékelő teszt a) ... a kijelentések halmazából véges kijelentésből álló részhalmaz kiválasztását. b) ... ellentmondásmentes, független, teljes. c) ... ellentmondásmentes, de nem független és nem teljes. d) ... intuíció ... e) ... a fogalmak megértése érdekében ábrázolunk, nem a következmények generálása érdekében.

7.7. VII. felmérő

Jelöljétek meg a kijelentésekhez tartozó axiómákat: 1. Két pont meghatároz egy egyenest. 2. Egy egyenes két pontja között létezik legalább egy pont. 3. Három nem kollineáris pont meghatároz egy síkot. 4. Két szakasz, melyek rendre egy harmadikkal egyenlők, egymással is egyenlők. 5. Két párhuzamos kongruensek.

egyenes

szelővel

alkotott

megfelelő

szögei

6. Adott szöggel tudunk kongruens szöget szerkeszteni.


89


7. Egy szakasz hosszát egy másik szakasz hosszának segítségével meg tudjuk mérni. 8. Ha egy egyenes metszi egy háromszög oldalát, akkor metszi a másik két oldal egyikét is. 9. Ha két különböző síknak van egy közös pontja, akkor a két sík metszete egy egyenes. Megoldás után a már előre megbeszélt módon (e-mail, írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak.

Pontozási javaslat: - hivatalból: 10 pont; - minden tétel: 10 pont.

7.8. Irodalomjegyzék 1. Brânzei D., Onofraş E., Aniţa S., Isvoranu G., Bazele raţionamentului geometric, Editura Academiei, 1983; 2. Mihăileanu N. N., Neumann M., Fundamentele geometriei, EDP, 1973; 3. Miron R., Brânzei D., Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei, 1983; 4. Moise E., Geometrie elementară — dintr-un punct de vedere superior, EDP, 1980.

Távlatok, alkalmazások Az elemi geometria a matematika oktatásának egyik legfontosabb részét képezi. A geometria axiómarendszereinek bemutatása szélesíti minden leendő oktató látókörét, hozzásegíti az oktatót a rendszeres, logikus gondolkodás fejlesztéséhez az I-IV osztályos tanulók körében. A geometria fejlődésének története érdekes információként szolgálhat a matematika oktatásakor.

90


MINIMÁLIS IRODALOMJEGYZÉK

MINIMÁLIS IRODALOMJEGYZÉK

1) Asaftei P., Chirilă C., Asaftei D. C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru licee şi colegii pedagogice, Ed. Polirom, 1988; 2) Miron R., Brânzei D., Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura

Academiei, 1983; 3) Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar,

Editura Meteor Press, 2005; 4) ***Manualele şcolare de matematică pentru clasele a VI-a.


91

Tanügyi és Kutatási Minisztérium Vidéki oktatásfejlesztési program ELEMI OKTATÁS. Matematika II. Mihail ROŞU. Fordította: Petru Petra

Recommend Documents