TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Elsz

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolyam I. kötetéhez

C M Y K

TEX 2014. június 2. –20:48 (1. lap/1. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K8-01)

Elsz Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az „Érdemes tankönyvíró” kitüntető címet

Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Felelős szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN

AP–080831 ISBN 978-963-464-748-5

A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva, 2009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18. Tel.: 95/525-000; fax: 95/525-014 E-mail: [email protected] Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 30,39 A/5 ív Tömeg: 626 g

C M Y K


Elsz ELŐSZÓ „Ne vágd el azt, amit kibogozhatsz” (Joubert XIX. századi filozófus)

Kedves Kollégák! Matematikatankönyv-sorozatunk minden kötetét Joubert szellemében írtuk. Azt szeretnénk, hogy a tanulók gondolkodva tanulással, problémamegoldással jussanak el a valódi teljesítőképes tudáshoz, és az ehhez vezető úton ne adják fel a „küzdelmet”. Mi, szerzők több mint 20 éve tanítjuk ezt a korosztályt (is), és azt tapasztaltuk, hogy a játékos módszerek alkalmazásával, a valóság adta feladatok elemzésével nagyobb élmény a megoldás útjának felfedezése, hatékonyabb az ismeretátadás. Nagy hangsúlyt fektetünk a matematikai fogalmak pontos kialakítására, a szövegértelmezésre. A mindennapi életből vett szöveges feladatok, a tankönyv egyéb szöveges részei (pl.: a matematikatörténeti leírások) ehhez kívánnak segítséget nyújtani.

A tankönyv szerkezete Minden fejezet 1–3 órás kis egységekből áll, amelyeket feladatanyag követ. Itt a legfontosabb feladattípusokból írunk néhányat. A kevesebb gondolkodást igénylő feladatokból legalább kettő van, amelyekből az egyiket házi feladatnak adhatjuk. A feladatsor végén kicsit nehezebb feladatok következnek, amelyek a gyorsabban haladó, jobb képességű osztályok számára alkalmasak, illetve vegyes összetételű osztályoknál a differenciálást segítik. A fejtörőket a legügyesebb gyerekeknek ajánljuk. Ezt a feladatsort bővíti a könyv végén található feladatgyűjtemény.

A feladatgyűjtemény szerkezete A feladatgyűjtemény felépítése, címei pontosan követik a tankönyvét, feladatait nem kell – nem is lehet – végig feldolgozni. Sokaknak nem lesz szüksége a legegyszerűbb gyakorló feladatokra, másoknak pedig a nehezebb, összetettebb feladatokat nem kell megoldaniuk.

A kézikönyv szerkezete A kézikönyvben órabeosztás, didaktikai útmutató található és a tankönyv, valamint a feladatgyűjtemény feladatainak megoldásai – remélve, hogy ezzel időt takarítunk meg az órákra való felkészüléskor. A tankönyv fejezeteit Tájékozódó felmérők zárják (megoldásuk a kézikönyvben). Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt juttassa el az Apáczai Kiadónak.

3

C M Y K


Elsz Kiegészítő segédletek A tankönyvcsaládhoz készült tanterv letölthető a kiadó honlapjáról: www.apaczai.hu. A Matematika felmérőfüzet 8. évfolyam (AP–080840) című kiadvány minden témához röpdolgozatokat (A és B csoport), valamint értékelő felmérőket tartalmaz (A és B csoport a kétféle óraszámban tanulók részére). Az egyes fejezeteket TSZAM (továbbhaladáshoz szükséges alapismeretek mérése) előzi meg. Minden felmérő megoldása és pontozási útmutatója megtalálható a tanári példányban. Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők

4

C M Y K


Kerettanterv KERETTANTERV 2007. BEVEZETŐ A matematika kerettanterv az Oktatási és Kulturális Minisztérium által kiadott hivatalos Nemzeti alaptanterv (NAT) 2007. alapelvei szerint készült. A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakasz (1–6. évfolyam) keretén belül az 5–6. évfolyamon a nem szakrendszerű oktatás keretében a felzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban biztosítható a tanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tartják. Az óraszámok az Oktatási Törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak. Évfolyam Heti óraszám

5. 4

6. 3

7. 3

8. 3

Éves óraszám

148

111

111

111

Célok és feladatok Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességének folyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása. Az általános iskola 5–8. évfolyama egységes rendszert alkot, de – igazodva a gyermeki gondolkodás fejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz – két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódik. Az alapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzett tapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7–8. évfolyamon elkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is. Ez a tanterv a NAT 2007-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompetenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza a fejlesztésközpontúságot szem előtt tartva. A fejlesztő munkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvető fontosságú, hogy az alapozó szakaszban a tevékenységek részletesen legyenek kifejtve, így például a mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformációk tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket kiegészítik a tananyag feldolgozásában megjelenő munkaformák: a pár-, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást, a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk. A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú weblapokra az interneten. Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban; mások gondolatainak megértése, a vitákban érvek és ellenérvek logikus használata.

5

C M Y K


Kerettanterv Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, a döntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástól az absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet a tanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggések önálló felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatos módszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal, kis lépéseken keresztül, természetes módon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására. Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetni a szövegértő, elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is. Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását. Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet minden területén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen.

A fejlesztési célok és kompetenciák megjelenésének formái a matematika műveltségterületen 1. Tájékozódás • Tájékozódás a térben • Tájékozódás az időben • Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban 2. Megismerés • Tapasztalatszerzés • Képzelet • Emlékezés • Gondolkodás • Ismeretek rendszerezése • Ismerethordozók használata 3. Ismeretek alkalmazása 4. Problémakezelés és -megoldás 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek • Kommunikáció • Együttműködés • Motiváltság • Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás 7. A matematika épülésének elvei

6

C M Y K


Kerettanterv Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematika műveltségterület feladata • A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése: – számlálás, számolás – mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés – becslés, mérés – problémamegoldás, metakogníció – rendszerezés, kombinativitás – deduktív és induktív következtetés • A tanulók értelmi képességeinek – logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességek – folyamatos fejlesztése • A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése • A tanulók önellenőrzésének fejlesztése • A gyors és helyes döntés képességének kialakítása • A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása • A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése • A kreatív gondolkodás fejlesztése • A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása • A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben

A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása A tanulók – a számítások, mérések előtt becsléseket végezzenek, – a feladatmegoldások helyességét ellenőrizzék, – a feladatok megoldása előtt megoldási tervet készítsenek, – a geometriai szerkesztések elkészítése előtt vázlatrajzot készítsenek, – a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint az ellenőrzést szabatosan írják le! A tanulók – gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával tudják elmondani, – a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet, – szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat, – tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében, – ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket! A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló és diszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Kiemelt cél a matematikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet elősegíteni. Ilyenek például a csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka

7

C M Y K


Kerettanterv során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyének tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatban könnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben kialakul az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, ami elősegíti a hatékonyabb tanulást. „A matematikai kompetencia: az alapműveletek és arányképzés alkalmazásának képessége a mindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során. A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompetencia felöleli – eltérő fokban – a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és az erre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést (képletek, modellek, szerkezetek, grafikonok, táblázatok). A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek és szerkezetek, az alapműveletek, alapvető matematikai fogalmak, koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat. Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint hogy követni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikai úton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást és a matematika nyelvén kommunikáljon, valamint hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon. A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük.” (Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz – Európai referenciakeret anyagából)

8

C M Y K


Kerettanterv 8. ÉVFOLYAM Éves óraszám: 111 – Heti óraszám: 3 A szabadon hagyott órák száma: 16, amely felhasználható a középiskolára való felkészítésre Témakör Gondolkodási módszerek Számtan, algebra

Témakör feldolgozására javasolt óraszám Folyamatosan fejlesztendő 29 = 18 + 11

Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Valószínűség, statisztika

18 38 = 12 + 13 + 13 10

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Fejlesztési célok

Tananyag

Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok

A továbbhaladás feltételei

A matematika tanulásához szükséges nyelvi-logikai szerkezetek fokozatos megismerése. Állítások tagadásának megfogalmazása, A „ha. . . , akkor”, „csak akkor. . . , ha”; helyes használata. A köznyelv és a matematikai nyelv tudatos megkülönböztetése. Mások gondolatainak megértésére törekvés (példák és ellenpéldák keresése, kérdések megfogalmazása érvek ellenérvek mentén.) Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás elsajátítása.

Állítások megfogalmaAz egyes témazása és a megfogalmazott körökben konkállítások cáfolata. Csoretizálódnak. portmunkában elvégzett feladatmegoldások ismertetése az osztály előtt.

Saját gondolatok kifejezése, rögzítése matematikai szöveg írása, értelmezése, jegyzet készítése.

Kiselőadások megtartása. A matematikai jelölések tudatos alkalmazása.

9

C M Y K


Kerettanterv Fejlesztési célok

Tananyag



Szövegelemzés, értelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Az önellenőrzés igényének fejlesztése.

Szöveges feladatok Könyvtár és informatikai Szöveges felértelmezése, megoldási eszközök használata. adatok megolterv készítése, megoldása. dása és a szöveg alapján történő ellenőrzése.

Rendszerszemlélet fejlesztése. A tanult ismeretek közötti összefüggések felismerése, azok értő alkalmazása.

A geometriai transzformációk között fennálló kapcsolatok. Skatulyaelv.

Különböző sorrendben elvégzett többféle transzformáció eredményének elemzése pármunkában.

A halmazműveletek alkalmazása két halmazra a matematika különféle területein.

Kombinatorikus gondolkodás fejlesztése.

Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása változatos módszerekkel.

Fadiagram készítése. Különböző szövegek kiolvasási lehetőségeinek összeszámlálása különböző módszerekkel csoportmunkában.

Sorbarendezés, kiválasztás néhány elem esetén.

2. SZÁMTAN, ALGEBRA Fejlesztési célok

Eljárásokra, módszerekre való emlékezés: a tanult algoritmusok felidézése, használata, analógiák alapján való műveletvégzések. Induktív, deduktív gondolkodás fejlesztése.

Tananyag



Műveleti azonosságok rendszerező áttekintése. Algebrai egész kifejezések, képletek átalakításai (nevezetes azonosságok). Szorzattá alakítás kiemeléssel egyszerű esetekben. Algebrai egész kifejezések szorzása, osztása. A hatványozás azonosságainak előkészítése.

Az egyszerű azonosságok felfedezése számolási feladatok és geometriai ábrák segítségével. Eszköz: memóriajáték, párkeresés, dominók. Feladatlapok önálló kitöltése, ellenőrzés páros munkával.

Egyszerű algebrai egész kifejezések (képletek) átalakítása, helyettesítési értékek kiszámítása.

10

C M Y K


Kerettanterv Fejlesztési célok

Tananyag



Gondolatmenet kiépítése: „megoldási terv” szöveges feladathoz. Megértett probléma részletproblémákra bontása modell nélkül vagy modell segítségével; a részletproblémák sorrendbe állítása, tervkészítés. Az eltervezett megoldás lépéseinek végrehajtása; a részeredmények értelmezése, a végeredmény vonatkoztatása az eredeti problémára, válaszadás diszkusszió nélkül, illetve diszkusszióval.

Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai és grafikus megoldása. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Szövegértelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Különféle szöveges feladatok megoldása.

Változatos szövegű és témájú, a gyakorlati életből merített szöveges feladatok feldolgozása csoportmunkában. A feladatok megoldásának ismertetése az osztály előtt az előadókészség fejlesztése érdekében.

Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel, egyenlettel és a megoldás szöveg szerinti ellenőrzése.

A zsebszámológép használata. A becslés képességének fejlesztése és gyakoroltatása.

A racionális szám fogalma: véges, végtelen tizedes törtek. Példák nem racionális számra: végtelen, nem szakaszos tizedes törtek. A négyzetgyök fogalma.

Feladatlapok becslésre, pontos számításra. Zsebszámológéppel való számolás gyakorlása.

Az alapműveleteket helyes sorrendben elvégzi a racionális számkörben.

A rendszerezőképesség fejlesztése.

A természetes, az egész és a racionális számok halmazának kapcsolata. Kitekintés a racionális számkörből.

Műveletekkel megadott számok csoportosítása, elhelyezése Venndiagramon, pármunkában. A számok többféle alakjának tudatosítása számdominóval.

A racionális számok tulajdonságait ismeri, velük való számolási készsége megvan.

11

C M Y K


Kerettanterv

3. ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Fejlesztési célok

Tananyag



Célirányos, akaratlagos figyelem fejlesztése. Tudatos megfigyelés adott tulajdonságok szerint, és a tulajdonságok közötti kapcsolatteremtés képességének fejlesztése.

Lineáris függvények: elsőfokú és konstans függvények, az egyenes arányosság és grafikonjaik. Az x → |x|, 1 x → x 2 és az x → x függvények tulajdonságai és grafikonjainak ábrázolása. Egyismeretlenes egyenletek grafikus megoldása.

Egy adott összefüggésben az összetartozó elemek értéktáblázatának elkészítése. A számpároknak megfelelő pontok ábrázolása a koordinátarendszerben. Poszterek készítése különböző függvénykapcsolatok grafikonjairól, projektmunkában. Számítógépes programok alkalmazása a függvényábrázolásnál.

Az x → ax + b függvény grafikonját ábrázolja konkrét racionális együtthatók esetén.

Együttváltozó mennyiségek Sorozatok vizsgálata, összetartozó adatpárjainak mértani sorozat. lejegyzése, sorozatok alkotása, értelmezése matematikai modell keresése változások leírására. A szabályosság felismerése.

Adatok, elemek, száSorozatokat mok sorba rendezése. folytat adott szaA mértani sorozat képbály szerint. zési szabályának felfedezése, szöveges feladatok értelmezése és megoldása. Számtani, mértani és egyéb sorozatok szétválogatása csoportmunkában.

12

C M Y K


Kerettanterv

4. GEOMETRIA Fejlesztési célok

Tananyag



Állítások, kérdések megfogalmazása képről, helyzetről. Saját gondolatok megfogalmazása; elképzelések, definíciók és tételek alkotása, kimondása, leírása.

Pitagorasz-tétel. Háromszögek nevezetes vonalai és körei. A háromszög körülírt köre, beírt köre. Sokszögekre vonatkozó ismeretek. Kör és részei (ív, húr, átmérő, körcikk, körszelet, körgyűrű). A kör érintője és szelő egyenesei.

A Pitagorasz-tétel felfedezése tapasztalati úton csoportmunkában. Érvelés, cáfolás, bizonyítási módszerekkel való ismerkedés. Korábbi ismeretek új helyzetekben való alkalmazása a háromszögek és négyszögek esetén. Számolási feladatok megoldása, ellenőrzés párban.

A Pitagorasztételt felhasználja számítási feladatokban. Négyszögeket, sokszögeket csoportosít.

A hozzárendelés fogalmának elmélyítése. Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése. Diszkusszió. A lehetőségek számbavétele. A feltételekkel való összevetés során annak tudatosítása, hogy miben és hogyan befolyásolják a feltételek a végeredményt.

A vektor fogalma, két vektor összege és különbsége. Eltolás síkban. Párhuzamos szárú szögek. A tanult egybevágósági transzformációk rendszerezése. Középpontos hasonlóság és tulajdonságai.

Adott alakzat eltolt képének megszerkesztése. Transzformációk végrehajtása a sík mozgatásával. Másolópapírral való rajzolás. Hasonlóság alkalmazása a környezetünkben. Gyűjtőmunka csoportokban. Önállóan elvégzett szerkesztési feladatok, és azok diszkussziójának megvitatása osztály előtt.

Tud adott alakzatot eltolni adott vektorral. A kicsinyítést és nagyítást felismeri a valóság tárgyain és alkalmazza más tantárgyakban.

A térszemlélet fejlesztése. A térfogat és a felszín fogalmának elmélyítése. Algebrai műveletek alkalmazása geometriai feladatokban. Zsebszámológép használata. Együttműködés, önállóság fejlesztése.

A forgáskúp, a gúla, a gömb. A tanult testek rendszerezése. Számításos geometriai feladatok a geometria különböző területeiről.

Testek építése. A síkba kiteríthető testek hálójának elkészítése. Testek különböző nézeteinek lerajzolása, a nézetekből a test kitalálása csoportmunkában Activity-játék a testek tulajdonságairól. Geometriai feladatok (kerület, terület, felszín, térfogat számítás) megoldása páros munkában.

A hasábokat, hengereket, gúlákat, kúpokat felismeri. Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok felszínét és térfogatát ki tudja számítani.

13

C M Y K


Kerettanterv 5. VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Fejlesztési célok

Tananyag



Önálló eljárások keresése, megoldási kísérletek, tippelések szabad végzése, összevetése a kapott információkkal, valósággal. Valószínűségi szemlélet fejlesztése.

Valószínűségi kísérKülönféle valószínűségi A relatív gyaletek megfigyelése, kísérletek elvégzése cso- koriságot kiszálejegyzése. Biztos, portmunkában. mítja. lehetetlen események. A valószínűség előzetes becslése, szemléletes fogalma.

Táblázatok készítése. Megfigyelésben, számlálásban, kísérletben gyűjtött adatpárok, rendezése, kapcsolatok vizsgálata. A statisztikai szemlélet fejlesztése.

Adatsokaságok elemzése. Középértékek: átlag, medián, módusz fogalma. Diagramok fajtái.

Adatok gyűjtése, azok értékelése csoportmunkában. Poszterek készítése és azok bemutatása az osztály előtt. Grafikonok és diagramok készítése önállóan adott adatsokaság alapján. Hétköznapi életből (újságokból, internetről) vett grafikonok elemző olvasása.

14

C M Y K


A leggyakoribb és a középső adatot meghatározza konkrét adathalmazban. Tud grafikonokat készíteni, olvasni egyszerű esetekben.

Kerettanterv AJÁNLOTT SZEMPONTOK A TANULÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSÉHEZ A matematikában az értékelésnek különösen fontos szerepe van. A diagnosztizáló felmérők segítségével felmérhető, hogy a tanulók eljutottak-e arra a szintre, ahonnan tanulmányaikat tovább folytathatják. A mérés elvégzése után célszerű az adott anyagrészben a továbbiakban differenciáltan foglalkozni a tanulókkal. Az ellenőrzés, értékelés típusa függ az értékelni kívánt anyagrész tartalmától és nagyságától. Kisebb anyagrészek lezárásakor célszerű röpdolgozatot íratni, amelyet nem kell feltétlenül osztályozni. Visszacsatolást adhat a tanárnak és a diákoknak egyaránt a hiányosságok meglétéről, azok pótlása folyamatosan végezhető, vagy egy másik anyagrész tanítása után a nehéznek tűnő anyagrésszel való foglalkozást „pihentetve” később lehet rá visszatérni. A jelentősebb fejezetek lezárásakor témazáró felmérő íratása javasolt. Az egyes feladatok megoldását pontozással kell értékelni, ügyelve a helyes részeredmények pozitív értékelésére is. Az osztályzatot egyértelműen, a gyerekek, a szülők számára is érthető százalékos eredmények határozzák meg. A felmérő a továbbhaladáshoz szükséges ismereteket kérje számon! Célszerű külön foglalkozni azokkal a tanulókkal, akiknek a középiskolai felvételét a matematika írásbeli dolgozat határozza meg. Korábbi évek felvételi feladatsorai közül minél többet oldjanak meg a tanulók, nem feltétlenül értékelés céljából, hanem hiányosságaik kiderítése és azok pótlása miatt. Ennél a korosztálynál a szóbeli feleltetés nem jellemző matematikából. A tanulók kommunikációs képességét folyamatosan kell fejleszteni, részben a csoportmunkák folyamán a társakkal való viták kapcsán, részben a frontális óravezetésnél. A tanulók verbális megnyilvánulásait korrigáljuk, ha szükséges; dicsérjük őket, ha megérdemlik; de ne feleltessünk! Szóbeli megnyilvánulás a projektmunkák bemutatása, amely a tanári gyakorlatnak megfelelően értékelhető: jó pont, képecske, kisötös vagy hagyományos osztályzat. Itt fontos, hogy a csoport minden tagja ugyanazt az osztályzatot kapja.

15

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 4. oldal

GONDOLKODJUNK EGYÜTT! 1. 2. 3. 4. 5.

óra: óra: óra: óra: óra:

Logikai feladatok Halmazokkal kapcsolatos feladatok (logikai szita) Skatulyaelv Hányféleképpen? (kombinatorika) Játékok, híres fejtörők

Mire építünk? Az ilyen típusú feladatok többnyire már előfordultak a hét év során különböző témakörök anyagába beépítve vagy önálló anyagként (kombinatorika, halmazok).

Meddig jutunk el? A mintapéldákban felvetett problémák megoldásához a már tanult módszereket átismételjük, ahol szükséges, ott új módszereket mutatunk. Ennek a résznek az anyagát nem kérjük számon. A feladatanyag öt óra alatt nem dolgozható fel. A gazdag választékból tanulóink képességeihez mérten válogathatunk. A témakör feldolgozására a csoportos munkaformát ajánljuk.

1. óra Logikai feladatok Tk.: 4–5. oldalon 1–9. feladatok Az óra célja: A gyerekek rávezetése arra, hogy a feladatok egy részének megoldásához a kulcsot az egymásnak ellentmondó állítások megtalálása, és az azokból adódó következtetések levonása adja.

Feladatok 1. Julinak, Marinak, Norbinak és Ferinek is van egy-egy állatkája: egy cica, egy kutya, egy aranyhal és egy kanári. Mari állata szőrös, Ferié pedig négylábú. Norbi madarat tart. Juli és Mari nem tart cicát. Az alábbi állítások közül melyik nem igaz? a) Ferié a kutya. b) Norbié a kanári. c) Julié az aranyhal. d) Ferié a cica. e) Marié a kutya. A cica és a kutya is szőrös és négylábú. Ezért a két állat Marié és Ferié. A cicának fiú a gazdája, ez csak Ferié lehet, így a kutya Marié. Norbié a kanári, ezért az aranyhal csak Julié lehet. Az a) állítás hamis.

16

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 4–5. oldal 2. Négy testvér közül az egyik az esti „párnacsatában” eltörte a nagymama kedvenc padlóvázáját. Édesanyjuk megkérdezte tőlük, ki törte el. A fiúk ezeket a válaszokat adták: ANDRÁS: Nem én voltam. BÉLA: Én sem. DANI: Ervin törte össze. ERVIN: Béla volt. Kiderült, hogy az egyikük füllentett, a többiek igazat mondtak. Ki törte el a vázát? (Nemzetközi Kenguru verseny, 7–8. osztály)

Béla és Ervin állítása egymásnak ellentmondó, így közülük az egyik nem mondott igazat. Dani állítása alapján Ervin törte el a vázát, és csak ő füllentett.

3. Feri, Gyula, Jancsi és Karcsi meglátogatták egy barátjukat. A négy fiú családi neve – valamilyen sorrendben: Kiss, Nagy, Szabó és Molnár. Elsőnek Molnár érkezett, másodiknak Jancsi, ezután Kiss és végül Gyula. Mindenki hozott egy ajándékot: Molnár bűvös kockát, Feri golyóstollat, Gyula csokit, Szabó pedig könyvet. Mi a négy fiú teljes neve? (Imrecze Zoltánné, Reiman István, Urbán János: Fejtörő feladatok felsősöknek)

Készítsünk táblázatot! A táblázatban a „–” jel azt jelenti, hogy a sorához és oszlopához tartozó nevek nem tartoznak össze. Kiss Feri

Nagy

Szabó

Molnár

–

–

–

–

–

Gyula

–

+

Jancsi

–

–

Karcsi

–

–

– –

+

A táblázatból kiderül, hogy Molnár csak Karcsi lehet, Nagy csak Gyula. A táblázatból most kihúzzuk a Karcsit, és Nagy oszlopából a Ferit és a Jancsit. Az üresen maradó helyekből következtethetünk arra, hogy Kiss Feri és Szabó Jancsi a másik két fiú teljes neve.

4. Öt gyerek a következőt állítja egymásról: András: – A fiútestvérem teniszezik. Bea: – Pontosan két fiútestvérem van. Csaba: – Nincs fiútestvérem. Dóra: – A fiútestvérem hegedül. Erik: – A leánytestvérem szereti a matematikát. Ki lehet Csaba testvére, ha mindenki igazat mond? (Zrínyi Ilona Matematikaverseny 1994, 8. osztályosok versenye, megyei döntő) Csabának – állítása szerint – nincs fiútestvére, ezért csak Bea és Dóra jöhet szóba. Beának két fiútestvére van, ami azt jelentené, hogy Csabának mégiscsak van fiútestvére. Így a fentiek közül csak Dóra lehet a testvére.

5. Négy embert gyanúsítanak rablással. Tudjuk, hogy négyük közül az egyik rabló, három pedig ártatlan. Ezt vallják: A: C nem rabló. B: C vagy D rabló. C: D ártatlan. D: A vagy B rabló. Azt is tudjuk, hogy az ártatlanok mind igazat mondanak. Melyikük a rabló? B a rabló, mert csak így teljesül, hogy három állítás igaz, egy hamis.

17

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 5. oldal 6. Nóra és Sári ikertestvérek, külsejük alapján nem tudják őket megkülönböztetni. Az a különös szokásuk, hogy egyikük minden hétfőn, kedden és szerdán, a másikuk pedig minden csütörtökön, pénteken és szombaton hazudik, s a hét többi napján igazat mond. Egyik nap egyikük ezt állította: szombaton hazudok, vasárnap hazudok. Másikuk ezt állította: holnap hazudni fogok. Melyik nap állították ezt? Szerdán állíthatták ezt és máskor nem. Aki szombaton hazudik és vasárnap igazat mond, ugyanazon a napon nem mondhatja, hogy minkét napon hazudik. Ő ezért azt mondja, hogy holnap hazudni fogok. Ezt csak szerdán és szombaton mondhatja. Aki hétfőn, kedden és szerdán hazudik, az mondhatja csak azt, hogy szombaton és vasárnap is hazudik, de azt csak hazudós napján mondhatja. Így a szerda az egyetlen olyan nap, amikor ezt állíthatták.

7. Tizenöt fős társaság ül egy kerek asztalnál, és mindenki azt állítja, hogy mindkét szomszédja hazudós. Azt is tudjuk, hogy a hazudósok mindig hazudnak, az igazmondók mindig igazat mondanak. A társaság minden tagja tudja mindkét szomszédjáról, hogy igazmondó vagy hazudós. Legalább hány igazmondó ül az asztal körül? Két igazmondó, illetve három hazudós nem kerülhet egymás mellé. Legalább öt igazmondó ül az asztalnál.

H

I

H

H

H

I

I

H

H

H

H I

H H

I

8. Seholsincs-szigeten kétféle ember él: igazmondók, akik mindig igazat mondanak, és hazudósak, akik mindig hazudnak. Egy alkalommal meglátogattam ezt a szigetet. A tengerparton álldogált két szigetlakó: Alfa és Béta. „Te igazmondó vagy?” – kérdeztem Alfát. Alfa válaszát sajnos nem értettem az erős tengerzúgás miatt. Megkérdeztem Bétát, hogy mit válaszolt Alfa. Ő így válaszolt: Alfa azt mondta, hogy ő hazudós. Mi lehet Alfa, illetve Béta? A „Te igazmondó vagy?” kérdésre csak „igen” lehet a válasz. Ezért Béta hazudós. Alfáról nem lehet eldönteni, hogy milyen.

9. Egy teremben a falra 3 izzólámpát szereltek. Kapcsolójuk a termen kívüli folyosón van, de nem tudjuk, hogy melyik kapcsoló melyik lámpához tartozik. A terembe csak egyszer léphetünk be, de mielőtt bemegyünk, a kapcsolókat tetszés szerint kapcsolgathatjuk. Miután belépünk, meg kell állapítani, hogy melyik kapcsoló melyik izzóhoz tartozik. Hogyan csináljuk? Az első két kapcsolót felkapcsoljuk, rövidebb várakozás után az elsőt lekapcsoljuk. Ezután bemegyünk a terembe. A világító izzóhoz a második, a nem világító izzók közül a hideghez a harmadik, a meleghez az első kapcsoló tartozik.

2. óra Halmazokkal kapcsolatos feladatok Tk.: 7–8. oldalon 1–12. feladatok Az óra célja: A 7. osztályban tanított módszereket ismételjük át, és három halmazra is alkalmazzuk az eljárást. A feladatok a százalékszámítás és számelmélet alapfogalmainak ismétlését is szolgálják.

18

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 7–8. oldal Feladatok 1. Kanada kétnyelvű ország. Az emberek 85%-a beszél angolul, 75%-a pedig franciául. Az emberek hány %-a beszéli mindkét hivatalos nyelvet, ha legalább az egyiket minden lakos beszéli? Ha összeadjuk az angolul és a franciául beszélők százalékos arányát, 160%-ot kapunk. Ez azzal magyarázható, hogy az emberek 60%-át kétszer számoltuk. Ezért a lakosok 60%-a beszéli mindkét hivatalos nyelvet.

2. Egy osztályban 40 tanuló van. 14 tanuló kézilabdázik, 36 kosárlabdázik. Minden tanuló legalább az egyik sportágat űzi. Az osztály hány százalékát teszik ki azok a tanulók, akik csak kézilabdáznak? Ha a kézilabdázók és a kosarasok létszámát összeadjuk, akkor 10-zel nagyobb számot kapunk, mint az osztály létszáma. Ennek oka, hogy kétszer számoltuk azokat, akik mindkét sportágat űzik. Csak kézilabdázik 14 − 10 = = 4 fő, ők a tanulók 10%-át teszik ki.

3. Az iskolának foci- és kosárlabdacsapata van. Az egyik osztályban 7 fiú jár az iskolai focimeccsekre, 10 jár a kosárlabdameccsekre, 3 mind a két sportág meccseit látogatja, de 4 fiú egyáltalán nem jár meccsekre. Hány fiú jár az osztályba? 18 fiú jár az osztályba. F

4 k

f 3

4

7

4. Egy nyolcadikos osztály 35 tanulója közül 20 lány van, és 12 olyan gyerek, aki tud keringőzni. Az osztályba járó fiúk közül 7 tud keringőzni. Hány olyan lány van, aki tud keringőzni? Hány fiú nem tud keringőzni? O

8

L

Halmazábra segítségével oldjuk meg a feladatot. 5 lány tud keringőzni. 8 fiú nem tud keringőzni.

K

5 15

7

5. Egy versenyen az iskola tanulóinak 20%-a indult. Az indulók két feladatot kaptak. Az elsőt a versenyzők 60%-a, a másodikat 65%-a oldotta meg. Minden induló legalább egy feladatot megoldott. Csak a másodikat 80-an oldották meg. Hányan járnak az iskolába? (Varga Tamás Matematika Verseny, 7. osztály)

Mindkét feladatot a versenyzők 25%-a oldotta meg. A versenyzők 40%-a 80 fő. Az összes versenyző 200 fő. Az iskola tanulóinak 200 gyerek a 20%-a. Az iskolába 1000 gyerek jár.

6. Hány olyan kétjegyű szám van, amelyben az egyik számjegy nagyobb, mint a másik? Csak azok a számok nem jók, amelyekben megegyeznek a számjegyek. A 90 kétjegyű számból levonva a 9 olyat, amelyben megegyeznek a jegyek, 81-et kapunk. 81 olyan szám van, amelyben az egyik jegy nagyobb, mint a másik.

Ez a feladat készíti elő a 10. feladatot.

19

C M Y K



7. A 40-nél nagyobb, de 60-nál kisebb számok közül hány olyan van, amelyik 3-mal vagy 4-gyel osztható? Kilenc: 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 57, 56. 8. Hány olyan kétjegyű szám van, amely a) osztható 3-mal és 4-gyel, c) nem osztható sem 3-mal, sem 4-gyel?

b) osztható 3-mal vagy 4-gyel,

A 90 kétjegyűből 30 osztható 3-mal, 22 osztható 4-gyel, 8 osztható 12-vel (3-mal és 4-gyel is). a) Nyolc szám osztható 12-vel: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. b) 30 + 22 − 8 = 44 szám osztható 3-mal vagy 4-gyel. c) 90 − 44 = 46 szám nem osztható sem 3-mal, sem 4-gyel. Halmazábrával így oldhatjuk meg a feladatot: A: {3-mal osztható számok} B: {4-gyel osztható számok}

10

5 x 5 99 A B 30 − 8 = 22

8 22 − 8 = 14

90 − 44 = 46

9. Hány olyan pozitív egész van, amely 1000-nél kisebb és sem 5-tel, sem 7-tel nem osztható? 1

5 x 5 999 686

A B 171

28 114

Az 1000-nél kisebb pozitív egészek száma 999. Ezek közül (999 : 5 =) 199 osztható 5-tel, (999 : 7 =) 142 osztható 7-tel, (999 : 35 =) 28 osztható 35-tel (vagyis 7-tel és 5-tel). (999 − 199 − 142 + 28 =) 686 szám nem osztható sem 5-tel, sem 7-tel. Halmazábrával így oldhatjuk meg a feladatot: A : {5-tel osztható számok} B : {7-tel osztható számok}

10. Egy verseny után Pista örömmel újságolta barátainak, hogy megoldotta a feladatokat. Az egyik feladat így szólt: Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben van 3-as számjegy? Pista megoldása: A 3-as számjegy lehet bármelyik helyen. Ha az első helyen van: 3 , a másik két helyre 10–10 számjegy kerülhet, tehát ilyen számból 10 · 10 = 100 van. Ha a második vagy a harmadik helyen van a 3-as számjegy: 3 vagy 3, akkor az első helyre 0 nem kerülhet, ezért 2 · 9 · 10 = 180 ilyen szám van. Tehát az összes megoldás: 100 + 180 = 280. Sajnos Pista erre a megoldásra nem kapott pontot. Magyarázd meg, hol hibázott, és add meg a helyes választ! Pista így bizonyos számokat többször is megkapott, például a 333-at háromszor kapta meg, a 330-at kétszer stb. Célszerű az ilyen esetekben azokat a számokat megszámlálni, amelyekben nincsen 3-as számjegy, ezek száma (8 · 9 · 9 =) 648. Ezek számát levonva a 900 háromjegyűből, 252-t kapunk. 252 olyan háromjegyű szám van, amelyben nem szerepel a 3-as számjegy.

20

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 8. és 9. oldal

11. Hány olyan legfeljebb 3 jegyű pozitív egész szám van, amely nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel? 266 olyan egész szám van 1–999-ig, amely nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel. 999 legfeljebb háromjegyű szám van, ebből: 2-vel osztható: 499 szám, 3-mal osztható: 333 szám,

1

5 x 5 999

2-vel osztható

3-mal osztható 133 33

5-tel osztható: 199 szám, 6-tal osztható: 166 szám, 15-tel osztható:

66 szám,

10-zel osztható:

99 szám,

30-cal osztható:

33 szám.

267

134 33

66 5-tel osztható

266

12. Egy versenyen két feladatot kellett megoldani. Hatan voltak, akik mindkét feladatot megoldották, és hatan, akik az egyiket sem tudták megcsinálni. A legalább egy feladatot megoldók 75%-a oldotta meg az elsőt, 50%-a a másodikat. Hányan vettek részt a versenyen, és hányan voltak, akik az első feladatot megoldották, de a másodikat nem? Harmincan vettek részt a versenyen, tizenketten oldották meg csak az első feladatot. V 6 M E 12

6

6

Ha a legalább egy feladatot megoldók számát tekintjük 100%-nak, akkor a legalább egy feladatot megoldók 25%-át adja a mindkét feladatot megoldó 6 fő. Ebből a legalább egy feladatot megoldók számára 24-et kapunk. Ha ehhez hozzáadjuk azok számát, akik egy feladatot sem oldottak meg, megkapjuk az összes versenyző számát, azaz 30-at. A legfeljebb l feladatot megoldók számából levonva a második feladatot megoldók számát, 12-t kapunk a csak az első feladatot megoldók számára.

3. óra Skatulyaelv Tk.: 9–10. oldalon 1–11. feladatok Az óra célja: A 7. osztályban elindított gondolkodási módok elmélyítése. A feladatok között egyszerűbb számelméleti bizonyítások is szerepelnek.

Feladatok 1. A 24 fős osztályunkban az a szokás, hogy a hónap elején felköszöntjük az összes olyan gyereket, aki abban a hónapban született. a) Biztosan lesz-e olyan hónap, amikor legalább 2 gyereket köszöntünk fel? Igen. Tizenkét gyereknek lehet különböző hónapban a születésnapja, a tizenharmadik már az előzőek egyikével megegyező hónapban született.

21

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 9–10. oldal b) Lehet-e olyan hónap, hogy nincs kit felköszönteni? Igen, hiszen még az is előfordulhat, hogy mind a 24 gyerek ugyanabban a hónapban született.

2. Egy zacskóban 10 zselés és 10 mogyorós drazsé van, szemre egyformáknak látszanak. Hány darabot kell kivennie Áronnak, hogy biztosan legyen köztük egy mogyorós és egy zselés is? 11-et. Kiveheti az egyik fajtából mind a 10-et, a tizenegyedik drazsé már csak a másik fajta lehet.

3. Egy borosgazda pincéjében 13 palack édes, 9 palack félédes és 5 palack száraz tokaji bor van. A feleség, aki nem tud különbséget tenni a palackok között, hányat vigyen fel a vendégeknek, ha azok azt szeretnék, hogy biztosan legyen köztük a) édes, b) három palack édes, c) mindegyik fajtából legalább egy palack, d) az összes száraz, e) édes és félédes, f) valamelyik fajtából három palack? a) b) c) d) e) f)

9 félédes + 5 száraz + 1 édes = 15 palack 9 félédes + 5 száraz + 3 édes = 17 palack 13 édes + 9 félédes + 1 száraz = 23 palack Az összeset, hiszen kiválaszthatja az édeseket, illetve a félédeseket és csak azután a szárazakat. 19 palack. Kiválaszthat 5 palack száraz és 13 palack édes palackot. A 19. palack biztosan félédes bor lesz. 7 palack. Mindegyikből kiválaszt 2-t, a hetedik már csak olyan lehet, amilyenből már volt kettő.

4. Egy fedett kosárban 10 barna, 15 szürke és 20 fehér galamb van. Egyesével engedjük ki őket. Legalább hány galambnak kell kirepülnie, hogy biztosan legyen köztük a) barna vagy fehér, 15 szürke + 1 barna vagy fehér = 16 galamb b) barna és fehér, 15 szürke + 20 fehér + 1 barna = 36 galamb c) legalább 12 egyforma színű? 11 szürke + 11 fehér + 10 barna + 1 szürke vagy fehér = 33 galamb 5. Egy meglehetősen rendetlen műlovarnő az öltözőszekrényének fiókjában tartja kesztyűit igen nagy összevisszaságban: 3 pár sárgát, 3 pár kéket és 3 pár pirosat. Előadás előtt kialszik a villany az öltözőjében. Legalább hány darab kesztyűt kell találomra kivennie ahhoz, hogy biztosan legyen köztük egy pár ugyanolyan színű, ha a jobbos és balos kesztyű nem egyforma? Tízet. Legrosszabb esetben kiveszi minden színből, mondjuk a balkezeseket, ebből 9 van, a 10. kesztyű már csak a 9 kesztyű valamelyikének a jobbos párja lehet.

6. Egy tálon meggyes, lekváros és túrós bukta illatozik. Legkevesebb 6-ot kell venni ahhoz, hogy biztosan legyen köztük meggyes. Legkevesebb 7-et kell kivenni ahhoz, hogy biztosan legyen köztük lekváros, és 8-at, hogy biztosan legyen köztük túrós. Hány bukta van a tálon? Kilenc bukta van a tálon. A lekváros és túrós buktából 5 van, meggyesből és túrósból 6, meggyesből és lekvárosból 7. (lekváros + túrós) + (meggyes + túrós) + (meggyes + lekváros) = 5 + 6 + 7 = 18. Mindenfajta buktát kétszer számoltunk, ezért 9 bukta van a tálon.

7. Felírtunk a táblára hét különböző négyzetszámot. Igaz-e, hogy van közöttük két olyan, amelyik ugyanolyan számjegyre végződik? Igaz. A négyzetszámok utolsó jegye csak 0, 1, 4, 5, 6 és 9 lehet. Így a hét szám között lesz kettő, amelyik ugyanarra a számjegyre végződik.

8. Igaz-e, hogy hét négyzetszám között mindig van kettő olyan, melyek különbsége osztható 10-zel? Igaz. A négyzetszámok utolsó jegye csak 0, 1, 4, 5, 6 és 9 lehet. Így a hét szám között lesz kettő, amelyik ugyanarra a számjegyre végződik, ezek különbsége pedig nullára.

22

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 10. oldal 9. Bizonyítsuk be, hogy a) 3 egész szám között mindig van kettő, melyek összege osztható 2-vel, 3 egész szám között biztosan van vagy két páratlan, vagy két páros szám, melyek összege páros.

b) 5 egész szám között mindig van három, melyek összege osztható 3-mal, 3-mal osztva a számok

c)

0, 1 vagy 2 maradékot adhatnak. Két eset lehetséges: – ha az öt szám között háromnak ugyanaz a maradéka, akkor ezek összege osztható 3-mal, – ha nincs ilyen három szám, akkor az öt közül kiválasztható három olyan, melyek maradéka különböző, ezek összege osztható 3-mal. 7 egész szám között mindig van négy, melyek összege osztható 4-gyel! Három szám közül biztosan kiválasztható kettő olyan, melyek összege osztható 2-vel. A maradék öt közül is biztosan van két ilyen. Végül az így megmaradó három közül is kiválasztható két ilyen szám. Az így kapott három összeg páros, ezért mindegyik fele egész. Így ismét három egész számot kapunk, melyek közül kiválasztható kettő úgy, hogy azok összege is páros legyen. Ennek az összegnek a fele egész szám, amely megegyezik a hét számból kiválasztott négy összegének a negyedével. Mivel ez egész, ezért a négy szám összege osztható 4-gyel.

10. Legfeljebb hány számot lehet kiválasztani az 1, 2, 3, . . . , 25 számok közül úgy, hogy semelyik kettőnek az összege ne legyen osztható 3-mal? Tízet. Két 3-mal osztható szám nem lehet a számok között. Egy 1 maradékú és egy 2 maradékú sem. Az összes 1 maradékút beválogathatjuk, és ezekhez még egy nulla maradékút. Vagy az összes 2 maradékút és ezekhez még egy nulla maradékút. Az első esetben 10, a második esetben 9 számot választhatunk ki.

11. Igaz-e, ha az 1, 2, 3, . . . , 100 számokból kiválasztunk találomra 27 számot, akkor biztosan lesz ezek között kettő olyan, melyek nem relatív prímek? Igaz. 100-ig 25 prím van. Legjobb esetben a 25 prímet húzzuk ki és melléjük még az 1-et. Az 1-hez semmit sem választhatunk a többi számból. A 27 szám, amit kiválasztunk, már biztosan összetett szám, ezért valamelyik már szereplő két prím szorzata.

4. óra Hányféleképpen? Tk.: 14–16. oldalon 1–14. feladatok Az óra célja: Az eddig tanult módszerek, eljárások ismétlése, elmélyítése. A feladatok egy részében (például a 2. és a 3. feladat) egyszerű sorba állítások számát kell meghatározni. Jó lenne addig eljutni, hogy a gyerekek az összes eset felsorolása nélkül is meg tudják oldani az ilyen típusú feladatokat. Ehhez azt kell felismerniük, hogy például 5 fiú 5-ször annyi sorrendben állhat fel a sortánchoz, mint négy. Az n! képletet nem szükséges bevezetni, a permutáció elnevezést nem kell használnunk. A feladatok másik részében ciklikus permutációk számát kell meghatározni. Itt arra kell rávezetni a gyerekeket, hogy például 5 elem ciklikus permutációinak a száma megegyezik az 5 elemből képzett permutációk számának ötödrészével. Azaz 5 elem egyféle ciklikus permutációjából éppen 5 „sima” permutáció képezhető.

23

C M Y K



Például ebből az 12345 egyféle ciklikus permutációból éppen öt „sima” permutáció képezhető: Hangsúlyozzuk, hogy két ciklikus permutációt akkor tekintünk különbözőnek, ha van legalább egy olyan elem, amelynek a két permutációban vagy a bal, vagy a jobb oldali szomszédja különböző!

12345 23451 34512 45123 51234

1 5

2

4

3

Feladatok 1. A mi iskolánkban belső használatra ilyen telefonkészülékeket gyártottak. Hány különböző legfeljebb négyjegyű telefonszám hívható, ha a) a számjegyek nem ismétlődhetnek, 4 + 4 · 3 + 4 · 3 · 2 + 4 · 3 · 2 · 1 = 64 b) a számjegyek ismétlődhetnek? 4 + 42 + 43 + 44 = 340 2. a) Hányféle gyöngysor fűzhető ezekből a gyöngyökből? 6! = 720

b) Hányféle lesz a gyöngysorok száma, ha körbefuthatnak a szálon a gyöngyszemek? 5! = 120 A lerajzolt esetek nem tükrözik pontosan a valóságot, mert a rajzokat nem tudjuk átfordítani, legfeljebb csak akkor, ha celofánpapírra vagy fóliára rajzoljuk. A valóságos gyöngysorok igazából nem különböztethetők meg azoktól, amelyeket átfordításukkal (tükrözéssel) kapunk. Ezért kell osztani az esetek számát 2-vel. A valósághű eredmény 360, illetve 60. (Célszerű az órán nagy fagyöngyöket felfűzni, és azon megmutatni az átfordítással kapott megegyező gyöngysorokat.)

3. Milyen autórendszámból lehet több Magyarországon? Az olyanból, amelynek mind a három számjegye különböző, vagy az olyanból, amelynek számjegyei között vannak egyenlők is? Az olyan rendszámokból van több, amelyeknek mind a három számjegye különböző. A 000 rendszámot is megengedve 1000 rendszám van. Ebből olyan rendszám, amelyeknek jegyei mind különböznek, 10 · 9 · 8 = 720, ami a lehetségesnek több mint a felét teszi ki.

4. Gyermekkorunkban azt játszottuk, hogy a „Szép az icipici női cipő, női cipő. Benne takarosan lépked a nő, a nő” együgyű szövegű dalocskát énekeltük ugyanolyan magánhangzókkal. Például csupa ú-val: „Szúp uz ucupucu núu cupú. . . ” AC P „szó” hiányzó magánhangzói helyére a magyar abc magánhangzóit beírva, hány különböző „szót” kapunk? Ezek közül hány lesz értelmes? Mivel a magyar ábécében 14 magánhangzó van, ezért összesen 142 = 196 „szó” képezhető, ezek közül három értelmes: cápa, cipó, cipő.

24

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 14–15. oldal 5. Ismert magyar költők híres sorait adtuk meg magánhangzók, illetve mássalhangzók nélkül. Melyik esetben könnyebb kitalálni a verssorokat? (A kettős mássalhangzókat is egy -tel jelöljük.) a) T

LPR

M

b) T

Z

N S

S

GY

R, H

T L

H NY

Z

R

Talpra magyar, hí a haza (Petőfi: Nemzeti dal)

N

P S

G

A

A

R

Tüzesen süt le a nyári

nap sugára (Petőfi: János vitéz)

c)

Ú

A

É

I

O

Á

,

E

I

E

A

Zúg az éji bogár,

nekimegy a falnak (Arany: Családi kör)

d)

É

Í

A

A

Ö

E

A

E

I

I

Á

O

Még nyílnak

a völgyben a kerti virágok (Petőfi: Szeptember végén) A magánhangzók nélküli szövegeket általában könnyebb megfejteni.

6. A nyári hegymászótáborban húsz fiú vett részt. A tábor végén mindenki címet cserélt a többiekkel. Az állomáson mindenki kézfogással búcsúzott el a többiektől. Összesen hány címet írtak le a fiúk? Összesen hányszor fogtak kezet? Mindenki 19 címet írt le, összesen 20 · 19 = 380 címet írtak le a fiúk. Mindenki 19 társával fogott kezet, de csak 10 · 19 = 190-szer fogtak kezet, mert itt egy kézfogásnak számít az, ha például András kezet fog Bélával, illetve Béla kezet fog Andrással.

7. Az iskolánk kosárlabdacsapatának leányai a meccsek végén pacsit adnak egymásnak. Hány játékos vett részt a mi iskolánkból azon a mérkőzésen, ahol 105 pacsi csattant? Tizenöt játékos vett részt. Jelöljük a játékosok számát j -vel! Mindenki 1-gyel kevesebb pacsit ad, mint amennyi játékostársa van, és ezt még el kell osztani 2-vel, azaz j (j − 1) : 2 = 105. Ebből j (j − 1) = 210. Melyik az a két egymást követő szám, amelynek szorzata 210? A 210-et kéttényezős szorzatokra bontva megkapjuk, hogy ez a két szám a 15 és a 14; j = 15. Behelyettesítve a kapott számot a szövegbe, azt jónak találjuk.

8. Egy szabályos hatszög egyik csúcsát pirosra, a többit kék színűre színeztük. A hatszög csúcsaiból hármat kiválasztva háromszögeket kaptunk. Melyik fajta háromszögből van több: amelyiknek van piros csúcsa, vagy amelyiknek nincs? Rajzot is készíthetünk és megállapíthatjuk, hogy ugyanannyi van a kétfajta háromszögből. Úgy is ugyanerre az eredményre jutunk, ha észrevesszük, hogy minden piros csúcsú háromszög kiválasztásánál kimarad egy olyan háromszög, amelynek minden csúcsa kék.

9. Az ötödikesek olyan lottóval játszottak, amelyben az 1, 2, 3, 4, 5 számokból két számra kell tippelni. a) Hány szelvényt kell ahhoz kitölteniük, hogy biztosan legyen telitalálatuk (azaz 2 találatuk) ezen a lottón? Tízet. (5 · 4 : 2 = 10) b) Hány szelvény kitöltése esetén lesz biztosan 1 találatuk? Három. (Például: 1, 2; 3, 4; 5, bármi) 10. Régen az autóbuszjegyeket úgy érvényesítették az utasok, hogy egy készülékbe belehelyezték, és az néhány számot kilyukasztott a jegyen. a) Egy ilyen autóbuszjegyen hányféleképpen lehet 2 lyukat lyukasztani? 36 lyukasztás lehetséges. Az első lyuk 9 helyen lehet, a másodikat már azon a helyen nem lyukaszthatjuk, ahol az elsőt lyukasztottuk, ezért minden előző lyukasztáshoz még 8 lehetőség tartozik. De például az (1, 9) és a (9, 1) esetek között nem teszünk különbséget, ezért az összes esetek száma: (9 · 8) : 2 = 36.

b) Egy ilyen autóbuszjegyen 2 vagy 7 lyuk lyukasztásával lehet többféle lyukasztást elérni? Ugyanannyi lyukasztást lehet elérni mindkét esetben. Kilencből két lyukat lyukasztani ugyanannyiféleképpen lehet, mint kilencből két lyukat nem lyukasztani, azaz hetet kilyukasztani.

25

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 15–16. oldal 11. Hány különböző útvonalon juthatunk el A városból E városba, ha csak kelet felé haladhatunk? a) A

B

C

b) A

E

D

a) 4 · 5 · 2 · 1 = 40

B

C

E

D

b) 4 · 5 · 2 · 1 + 4 · 1 · 1 = 44

12. Hányféleképpen olvasható le az ábráról az ODA, BUDA, illetve a BUDAPEST szó? Csak az összekötő vonalak mentén, jobbra vagy lefelé szabad haladni. 1

1

1

1

a) O D A 1D A2 A

b) B 1U 1D 1A

1 1 + 2 + 1 = 22 = 4 1

e) B 1U 1D 1A 1P 1E 1S 1T

1

1

1

1

1

1

1

1

1

U D A 2 D A3 A3

1

1

1

c) O D 1D A2

1

d) B U 1U D2 1D A3

2

3 3

1+3+3+1= 2 =8 1

U D A P E S T 2 3 4 5 6 7 D A P E S T 3 6 10 15 21 A P E S T 4 10 20 36 P E S T 5 15 35 E S T 6 21 S T 7 T

1

f) B 1U 1D 1A 1P

1

1

1

U D A 2 3 4 D A P 3 6 10 A P E 4 10 20 P E S 5 15 35 E S T 35

1 + 7 + 21 + 35 + 36 + 21 + 7 + 1 = 27 = 128

13. Melyek azok a feladatok az alábbiak közül, amelyek mögött ugyanaz a matematikai probléma rejlik? Az f) és a d), illetve a c) és az e) feladatok mögött rejlik ugyanaz a matematikai probléma. a) Egy fogadáson hat diplomata találkozott. Mindegyik mindegyikkel kezet fogott. Hány kézfogás történt? 6 · 5 : 2 = 15 b) Hat számkártyánk van: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Hány kétjegyű számot lehet ezekből kirakni? 6 · 5 = 30

c) Hat számkártyánk van: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Hány hatjegyű számot lehet ezekből kirakni? 6! = 720

d) Elfelejtettem egy szentendrei telefonszámot. Csak arra emlékszem, hogy 4nél kisebb számjegy nem fordult elő benne. Hány telefonszám jöhet szóba? (A szentendrei telefonszámok hatjegyűek.) 66 = 46 656

e) Karácsonykor egy kisváros főterén hat ugyanolyan faházikót állítottak fel. A bölcs polgármester sorsolással döntötte el, hogy melyik házikóban ki árulhasson. Hatan pályáztak a házakra: a halas, a könyvárus, a bábos, a fazekas, a pecsenyesütő és a kürtőskalácsos. Hányféleképpen lehet a 6 faházat a hat árus között kisorsolni? 6! = 720

26

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 16. oldal f) Egy nagy fa törzséből hat nagyon vastag ág nő ki, mindegyikből hat vastag ág, ezek mindegyikéből hat vékony ág, ezek mindegyikéből hat görbe ág, ezek mindegyikéből hat göcsörtös ág nő ki. Ezek mindegyikén hat szép sárga virág van. Hány virág van a fán? 66 = 46 656

14. Melyek azok a feladatok az alábbiak közül, melyek mögött ugyanaz a matematikai probléma rejlik? Az a)-nak és a d)-nek, illetve az e)-nek és az f)-nek megegyezik a matematikai tartalma. A c)-ben és a d)-ben is ugyanaz a matematikai gondolat van, annak ellenére, hogy az eredmények különbözőek.

a) Egy körön megjelölünk 77 pontot. Hány olyan szakasz húzható, amelynek végpontjai csak megjelölt pontok lehetnek? 77 · 76 : 2 = 2926 b) Egy szabályos 77-szögnek hány átlója van? 77 · 74 : 2 = 2849 c) Összeadjuk a természetes számokat 1-től 77-ig. Mennyi az összeg? (1 + 77) · 77 : 2 = 3003 d) Összeadjuk a természetes számokat 1-től 76-ig. Mennyi az összeg? (1 + 76) · 76 : 2 = 2926 e) Egy szekrénysor polcaira nyolc helyen lehet választófalat rakni. Az egyik polcon két választófalat akarunk elhelyezni. Hányféle lehetőségünk van? A következőképpen is okoskodhatunk: ha az első választófalat az 1. beosztásra teszem, akkor a másodikat még 7-féleképpen helyezhetem el, ha az első választófalat a 2. beosztásra teszem, akkor a másodikat még 6-féleképpen helyezhetem el, ha az első választófalat a harmadik beosztásra teszem, akkor a másodikat még 5-féleképpen helyezhetem el stb. Ezért az összes lehetőségek száma: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 Másik megoldás: Nyolc helyre helyezhető el a két választófal. Annyi lehetőség van, ahányféleképpen 8-ból 2-t ki lehet választani. Ez éppen 28-féleképpen tehető meg.

f) Ilyen léceink vannak, mindegyikből 10 darab. Közülük a leghosszabb lécet hányféleképpen lehet három darabból összeragasztani? A feladat matematikai tartalma ugyanaz, mint az előző feladaté, hiszen 9-et kell 3 részre osztani. (Az előző feladatban a választófalak 3 részre osztották a polcot.) Ha a tagok sorrendje számít, akkor a megoldások száma itt is 28.

5. óra Játékok, híres fejtörők Tk.: 16–18. oldalon 1–8. feladatok Az óra célja: Ízelítőt adni a matematika népszerűbb fejezeteiből (gráfok, játékok, stratégiás játékok, híres sakkfeladványok). Egy óra alatt nem dolgozható fel, érdemes később is bele-bele kóstolgatni.

27

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 16–17. oldal Feladatok 1. Két rejtvényt tartalmaz ez a rajz, melyet időszámításunk előtt 1500 évvel egy Ahmed nevű egyiptomi pap eszelt ki. a) Hogyan lehet egy vonallal megrajzolni anélkül, hogy a rajz bármelyik kis részén kétszer haladnánk át? b) Hány háromszög van az ábrán? Összesen 27 db háromszög van az ábrán. Ilyen háromszögből

Ennyi darab

10

6

6

1

3

1

c) Te is találj ki a rajzhoz kapcsolódó feladatokat! 2. Társaddal játszhatod a következő, „Irány a másik sarok” nevű játékot. Egy nyolcszor nyolcas négyzeten, például egy sakktáblán helyezzetek el a bal alsó sarokban egy figurát, például egy gyalogot! Ezzel léphettek felváltva: egyszerre egy négyzettel arrébb: jobbra, vagy fölfelé, vagy rézsútosan jobbra, fölfelé. Az nyer, aki a jobb felső sarokba viszi a figurát. Üres karikával az első játékos húzását, tele karikával a második játékos húzását jelöltük. Ezen a rajzon az első játékos kezdett, és a második játékos nyert. Kinek van nyerő stratégiája? A kezdőnek van nyerő stratégiája, elsőnek az x-szel jelölt mezőre kell lépnie, majd a továbbiakban is a megjelölt mezőkre kell lépnie. Így az ellenfele biztosan nem fogja tudni elfoglalni a megjelölt (nyerő) mezők egyikét sem. A stratégia így is megfogalmazható: a helyes kezdő lépés után bármit lép is az ellenfél, én ugyanolyan irányban lépek a következő lépésemben. Így éppen a megjelölt mezők valamelyikét tudom elérni, tehát nyerő helyzetben maradok.

START

3. Társaddal játszhatod a következő, „Két kupac gyufa” nevű játékot. Tegyetek ki két halomba gyufát, akárhány szál lehet mindkét halomban. Az is lehet, hogy ugyanannyi szálból, de az is, hogy nem ugyanannyi szálból áll a két halom. Felváltva vegyetek el gyufákat a halmokból, egyszer egyikőtök, azután a másik. Egy húzásra egy gyufát mindenképpen el kell venni, de akármilyen sokat is szabad, egy húzáskor azonban csak az egyik halomból szabad húzni. Az nyer, aki az utolsó szál gyufát húzza. Belátjuk, hogy azok a nyerő helyzetek a kezdő játékos számára, amikor az egyik kupacban több gyufa van. Ezekben a helyzetekben úgy lehet nyerni, hogy a húzással egyenlővé tesszük a két kupacban lévő gyufák számát. Ha a két kupacban egyenlő a gyufák száma, akkor a kezdő veszít, a második nyer, mert ő tudja egyenlővé tenni a kupacokban lévő gyufák számát.

4. a) Lefedhető-e a sakktábla ilyen , 2 × 1-es lapocskákkal? (Az egész sakktáblát pontosan lefedjük, azaz egy mező sem marad fedetlen, de nem fedünk be egyet sem két papírral, és a papír nem kerül kívül a táblán.) Igen, lefedhető. b) Vágjuk le kétféleképpen a tábla két sarkát!

28

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 17–18. oldal a b c d e f g h 8 7 6 5 4 3 2 1

a b c d e f g h 8 7 6 5 4 3 2 1

a b c d e f g h Az a1-es és az a8-as mezőket vágjuk le.

8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1

a b c d e f g h A h1-es és az a8-as mezőket vágjuk le.

Melyik „csonkított” táblát nem lehet pontosan lefedni a 2 × 1-es téglalapokkal? Egy lapocskával egy fehér és egy sötét mezőt fedünk le. Az első esetben ezért lefedhető lesz a sakktábla a rajzon látható módon. A második esetben nem, mert a hiányos sakktáblán nem egyenlő a fekete és a fehér mezők száma, és a lapocskák ugyanannyi fehér és fekete mezőt fednek le.

5. a) Társaddal játszhatod a következő, „Nyolcból négyet” nevű játékot. Egyikőtök felír egy négyjegyű számot, a másiknak ezt kell majd kitalálnia. A négyjegyű számban csak az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyek fordulhatnak elő, de egy számjegy legfeljebb csak egyszer szerepelhet. A játékról sokat olvashatunk Berger György: Fejtörő játékok, játékos fejtörők c. könyvének 120–150. oldalán (Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár-Napoca, 1975).

Aki ki akarja találni a számot, szintén ilyen típusú négyjegyű számot kérdez, partnere megmondja, hogy hány számot talált el, és hogy közülük hány van a saját helyén. Legyen például a gondolt szám 3472! Legyen az első kérdés 2785! A válasz 2/0, mert két számot, a 2-t és a 7-et eltalálta, de ebből egyik sincs a helyén. A következő tipp: 2475. Erre a válasz 3/2, mert három számot eltalált, a 2-est, a 4-est és a 7-est, és ezek közül kettő, a 4-es és a 7-es a helyén van. A cél: minél kevesebb találgatással kitalálni a gondolt számot. b) „Nyolcból négyet” játékokról készültek az alábbi feljegy- 1. játék 2. játék zések. Próbáld meg kitalálni, hogy mi lehetett a gondolt 7652 2/0 2816 2/2 szám a két esetben! 8721 2/0 5817 3/2 1. játék: A feladott szám 1236. 4237 2/2 5876 2/0 A (0/0) tippválasz azt jelenti, hogy a 4, 5, 7, 8 számok egyike sem szerepel a feladott számban. Ezért a maradék négy szám (1, 2, 3, 6) 4587 0/0 mind jó. A 2 és a 3 jó helyen áll a 3. tippben. A második tipp szerint az 1 rossz helyen áll, ezért csak az első helyre kerülhet, a 6-os csak az utolsó helyre kerülhet. 2. játék: A feladott szám 2517. Az első és a 3. tippben az a közös, hogy mindkettőben két számjegy jó, és mindkettőben szerepel a 8 és a 6. A harmadik tipp eredménye miatt (2/0) sem a 8, sem a 6 nincs a helyén, emiatt az első tippben sincsenek a helyükön. Az első tipp (2/2) eredménye miatt ezek a számok kiesnek, ezért az első tippben jó helyen álló számjegyek az 1 és a 2. A harmadik tippből következtethetünk a két újabb jó számjegyre, ezek az 5 és a 7. A második tippből kiderül, hogy a 7-es csak az utolsó helyen állhat. Az 5-ös így csak a második helyen állhat.

6. Egy kalifa kertjébe három lépcső vezet a palotából. Melyiken induljon el, és merre menjen, hogy a kert minden útján csak egyszer menjen végig, és visszatérjen a palotába? (A kert a lépcsők alján kezdődik. Ha egy lépcsőhöz ér, még visszafordulhat a kertbe.) A 2. lépcsőtől indul, az elsőhöz érkezik.

29

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 18. oldal első lépcső

második lépcső

A

B

harmadik lépcső

(1) (8)

(9) (7)

(10)

(12) (6)

(3)

(11)

(2) (5)

(4)

A probléma egyszerűbben is megfogalmazható: megrajzolható-e az utak alkotta ábra oly módon, hogy az íróeszközt ne emeljük fel a papírról, és egy-egy vonalat csak egyszer rajzoljunk meg? Ezzel visszatértünk az 1. feladat egyik gondolatköréhez. Milyen esetben rajzolható meg valamilyen ábra ilyen feltételekkel? Minden metszésponthoz oda is kell húzni a vonalat és onnan el is kell vezetni. Ezt az ábrát is meg lehet rajzolni, de nem lehet akárhol kezdeni. A és B pontnál 3-3 egyenes találkozik. Ezért ha a B-ből elindulunk, akkor egyszer vissza kell jönnünk és még egyszer el kell mennünk. Viszont az A-ba egyszer mehetünk, és el is jöhetünk, de másodszor odaérve, ott is kell maradnunk. Az első lépcsőn indulhatunk el, s ekkor a másodikra érkezünk meg, vagy a másodikról indulunk, s akkor az elsőre érkezünk meg. Nem lenne megrajzolható az ábra, ha a vonalak páratlan találkozási pontjainak száma 2-nél több lenne.

7. 1850-ben egy újság sakkrovatában a következő feladat jea b c d e f g h lent meg: „Állítsunk fel a sakktáblára 8 vezért úgy, hogy 8 8 ezek ne üssék egymást!” A feladat nagy érdeklődést keltett. 7 7 Gauss, a világ egyik legnagyobb matematikusa (princeps 6 6 matematicorum – a matematikusok fejedelme – néven em5 5 legeti az utókor) is megemlékezett róla egy levelében, és 4 4 mindjárt 72 megoldást is adott rá, de megjegyezte, hogy 3 3 még több is lehetséges. A feladat megoldásához természe2 2 tesen tudni kell, hogy a sakkjátékban a vezér a saját sorában és az oszlopában álló bábukat ütheti ki, azonkívül a rézsút 1 1 vele egy sorban állókat is. Például az ábrán álló vezér a a b c d e f g h saját mezőjén kívül a megjelölt 27 mezőre üthet. Ha a nyolc vezér feladvány túl nehéz, próbáljatok 4×4-es, 5×5-ös sakktáblán 4, illetve 5 vezért elhelyezni úgy, hogy ne üssék egymást!

H

(dr. Mosonyi Kálmán: Játékos matematika)

Nyilvánvaló, hogy minden sorban és minden oszlopban pontosan egy vezér állhat. Ezeket úgy kell elhelyezni, hogy átlósan se üssék egymást. A feladat nem könnyű. A feladatnak 92 megoldását ismeri a szakirodalom. Egy-egy példát mutatunk 4, 5, illetve 8 vezér elhelyezésére.

30

C M Y K


Gondolkodjunk egytt! Tk.: 18. oldal 8. Euler svájci matematikustól egyszer megkérdezték: hogyan lehet egy lóval a sakkjátékból ismert lépésmóddal végigugrálni a sakktábla 64 mezőjét úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer lépjen a ló? Úgy látszik, Euler számára új volt akkor ez a feladat, bár Párizsban van egy XIV. századbeli kódex, amely említi. Mindenesetre Eulert érdekelte a feladat, és kidolgozta a megoldást. Próbáld meg te is! Tudnunk kell, hogy a sakkjátékban a ló úgy ugrik, hogy vagy kettőt vízszintes irányban halad, egyet függőlegesen; vagy megfordítva, kettőt függőlegesen, egyet vízszintesen (L alakban). Ha tehát a ló a középső mezőn áll, akkor 8 mezőre ugorhat (1. ábra). Ha a tábla szélén áll, akkor kevesebb mezőre mehet. A tábla sarkából pedig csak 2 mező lehet a 1. ábra 2. ábra következő (2. ábra).

L

L

(dr. Mosonyi Kálmán: Játékos matematika)

Sok gyerek napokig töri a fejét ezen a szép feladványon és rettentően boldog, ha sikerül megoldania. Más gyereknek is van haszna belőle, megtanulja a figurák lépési szabályait, és jó esetben kedvet kap a sakkozáshoz. Két megoldás a sok közül:

a

b

c

d

e

f

g

h

a

b

c

d

e

f

g

h

8 50 11 24 63 14 37 26 35 8

8 37 62 43 56 35 60 41 50 8

7 23 62 51 12 25 34 15 38 7

7 44 55 36 61 42 49 34 59 7

6 10 49 64 21 40 13 36 27 6

6 63 38 53 46 57 40 51 48 6

5 61 22

9

52 33 28 39 16

5

5 54 45 64 39 52 47 58 33 5

4 48

7

60

1

20 41 54 29

4

4 1

3 59

4

45

8

53 32 17 42

3

3 16 19

8

2 6

47

2

57 44 19 30 55

2

2 27

17 10 29

1 3 a

58

5

46 31 56 43 18

1

b

c

d

1 18 9 28 3 24 11 30 5 1 a b c d e f g h

e

f

g

h

26 15 20

2

7

32 13 22

25 14 21 4

4

31

3

23 12

2

6

A második megoldásban Euler a táblát középen egy egyenessel kettéosztotta, és előbb az egyik felét, aztán a másikat ugrálta végig.

31

C M Y K


Algebrai kifejezsek ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK Algebrai kifejezések fajtái I. 1. óra: 2. óra: 3–4. óra: 5–6. óra:

Algebrai kifejezések a nagyító alatt, behelyettesítés, összeg és szorzat Egytagú és többtagú algebrai kifejezések, összevonás Azonos átalakítások, egyenletek A hatványozás azonosságai

Algebrai kifejezések fajtái II. 7. óra: 8. óra: 9–10. óra:

Egész és törtkifejezések, oszthatóság Szorzatból összeg, beszorzás Összegből szorzat, kiemelés

Szöveges feladatok 11. 12. 13–14. 15. 16.


Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül Mozgásos feladatok Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok Százalékszámítással kapcsolatos feladatok Keveréses feladatok

Mire építünk? A gyerekek már az alsó tagozattól kezdve ismerkednek az alapműveletek tulajdonságaival. A betűk használata is korán elkezdődött az alsóbb osztályokban. 7. osztályban megismerkedtek az algebrai kifejezés fogalmával, tudnak behelyettesíteni, egynemű algebrai kifejezéseket összevonni. Ismerik az azonosság fogalmát, ismernek és alkalmaznak egy sor azonosságot, amelyek az alapműveletek tulajdonságairól szólnak, tudnak összeget kivonni, összeget egytagú kifejezéssel szorozni, összetett kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni. Mérlegelvvel képesek egyszerű törtes, zárójeles egyenleteket is megoldani. Ismerik a pozitív egész kitevős hatvány fogalmát, konkrét példákban találkoztak a hatványozás azonosságaival is.

Meddig jutunk el? Átismételjük, gyakoroljuk és elmélyítjük az algebrai kifejezésekről tanultakat, továbbfejlesztjük ezeket az ismereteket. – „Nagyító alá vesszük” az algebrai kifejezéseket, megfigyeljük a felépítésüket, bevezetjük az egytagú és a többtagú kifejezés fogalmát. – Szisztematikusan áttekintjük az algebrai kifejezések eddig megismert átalakítási lehetőségeit (zárójelfelbontás, bővítés, egyszerűsítés, összevonás). Bonyolultabb egyenletek megoldásában alkalmazzuk a tanultakat. – Megtanítjuk és algebrailag is megfogalmazzuk a hatványozás azonosságait. – Területszámítással, téglalapok szétvágásával szemléltetjük a szorzatok összeggé alakítását, többtagú kifejezésnek többtagú kifejezéssel való szorzásának szabályát. Téglalapok összeépítésével szemléltetjük az összeg szorzattá alakítását, a kiemelést.

32

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 20. oldal – Kidolgozott példákon keresztül mutatjuk be a legalapvetőbb módszereket szöveges feladatok megoldására. Ezen belül a legerősebb hangsúly azon van, hogyan fordíthatunk le egy problémát a matematika nyelvére. Néhány feladattípust külön is tárgyalunk, ilyenek a mozgásos, munkavégzéssel kapcsolatos, százalékszámításos, illetve keveréses feladatok.

1. óra Algebrai kifejezések fajtái I. Tk.: 20–22. oldalon 1–9. feladatok Fgy.: 1–10.

Algebrai kifejezések nagyító alatt, helyettesítés, összeg és szorzat Az óra célja: Ismétlés, melynek során a legegyszerűbb tudnivalókat is újra szemügyre vesszük, nehogy valami fogalomzavar akadályozza a későbbiek megértését. Ezért térünk ki részletesen a „láthatatlan szorzásjelek” kérdésére, a szorzat és összeg fogalmakra. A legfontosabb megértenivaló az, hogy az algebrai kifejezésekben a betűk számokat takarnak. Egy másik nagyon fontos feladata ennek az anyagrésznek az, hogy a gyerekek képesek legyenek arra, hogy szövegek alapján algebrai kifejezéseket készítsenek, vagyis gyakoroltassuk a „fordítást a matematika nyelvére”.

Feladatok Az 1., 2. és 7., továbbá a feladatgyűjtemény 1., 2. és 3. feladatai egyszerű feladatok, segítségükkel azt ellenőrizhetjük, hogy a gyerekek megértették-e az algebrai kifejezésekhez kapcsolódó legegyszerűbb fogalmakat, mint például: összeg, szorzat, behelyettesítés. . . A 3–6., illetve a fgy. 4–9. feladatai a matematika nyelvére történő fordítást gyakoroltatják. A tk. 3., illetve a fgy. 5–7. feladatai nagyon fontosak, ezekben a szöveggel megadott műveleteket kell algebrai formába öltöztetni. Sokat segíthetnek az összeg, szorzat fogalmak megértésében. Könnyen, gyorsan megoldhatók, közös megbeszélésre és otthoni munkára is alkalmasak. A többi feladatok a szöveges feladatok egyenletté való átírásának tanítását készítik elő. A szöveges feladatokkal szemben, ahol két algebrai kifejezést kell felírni és egy egyenlőségjellel vagy egyenlőtlenségjellel összekötni őket, ezekben a feladatokban csak egyetlen képlet felírása a cél, ami természetesen sokkal egyszerűbb. Ha nincs időnk arra, hogy mindegyiket megoldassuk, akkor érdemes a későbbiekben – óra elején vagy végén – egy-egy rövid időre visszatérni rájuk. Jó osztályokban ne hagyjuk ki a fgy. 10. feladatát! 1. Írd le a műveletsorokat úgy, hogy tedd ki pirossal a láthatatlan szorzásjeleket! 3·e a) 3 · (a + 2 · b) b) 4 · a + 8 · a · b c) d) (a + 5 · x) · (x − a · y) 4·f ·g

33

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 20–21. oldal 2. Számítsd ki a kifejezés helyettesítési értékét x megadott értékeinél! 4 a) 8 − 3x x = 2, x= 2, 4 3 3x + 15 15,3 153 1 , = b) x = −4, x = 0,1 3 4,9 49 5−x c) (x − 5) · (x + 6) x = −10, x = −106 60, 11 100 3 3 1 325 d) 2 · x + 4 · − +x x = −24, x = 2,5 − , 8 8 16 16

5,75

3. Írd fel az algebra nyelvén! A kapott kifejezésről döntsd el, hogy melyik összeg, melyik szorzat! a) a és b összegének a 3-szorosa. (a + b) · 3; szorzat b) a háromszorosának és b-nek az összege. 3a + b; összeg c) a és b szorzatának a hatszorosa. 6ab; szorzat 2 2 d) a és b összegének a -öd része. (a + b); szorzat 5 5 2 2 e) a -öd részének és b-nek a szorzata. ab; szorzat 5 5 2 2 f) a és b szorzatának a -öd része. ab; szorzat 5 5 g) a és b különbségének az abszolút értéke. |a − b|; összeg abszolút értéke h) b és a különbségének az abszolút értéke. |b − a|; összeg abszolút értéke i) a és b összegének és különbségének a szorzata. (a + b) · (a − b); szorzat j) a háromszorosának és b háromszorosának az összege. 3a + 3b; összeg k) a háromszorosának és b kétszeresének a szorzata. 3a · 2b; szorzat l) a kétszeresének és b háromszorosának a szorzata. 2a · 3b; szorzat m) a és b összegének 40%-a. (a + b) · 0,4; szorzat 2 2 n) a -részének és b 40%-ának összege. a · + b · 0,4; összeg 5 5 4. Írd fel az algebra nyelvén! Európa lakosainak számát jelöljük e-vel, területét t-vel! A 2000es adatok szerint Ázsiának megközelítőleg háromszor annyi lakosa és közel négyszer akkora területe volt, mint Európának. a) Hány lakosa volt Ázsiának? 3e b) Mennyivel több lakosa volt Ázsiának, mint Európának? 2e c) Hány lakosa volt Európának és Ázsiának összesen? 4e d) Mennyivel kevesebb lakosa volt Európának, mint Ázsiának? 2e e) Mekkora Ázsia területe? 4t e f) Mekkora Európa népsűrűsége? g) Mekkora Ázsia népsűrűsége?

t 3e 4t

h) Melyik földrésznek nagyobb a népsűrűsége? Európának 3 4

i) Körülbelül hányszorosa Ázsia népsűrűsége Európáénak? -szerese

34

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 21–22. oldal 5. Riska tehén c liter tejet ad naponta. A tej

2 részéből túrót csináltak, a többit eladták. Írj képletet, 5

amely megadja a következőket! 3 5

a) Hány liter tejet értékesítettek? c b) Hány forint bevételük volt, ha 1 liter tej ára b 3 5

forint? c · b 1 kg 4

c) Hány kg túrót csinált a gazda, ha 1 l tejből túró készült?

2 1 1 ·c· = c 5 4 10

d) Hány forintot kapott a gazda a túróért, ha a túró 1 c·d 10 3 1 cb + c · d 5 10

kilója d forintba került? e) Hány forint bevételt hoz a gazdának Riska tehén naponta?

6. Minden kérdésre egy képlettel válaszolj! Milyen értékeket vehetnek fel a képletben szereplő betűk? a) Egyik zsebemben valahány dió van. A másikban ennek a kétszeresénél öttel több. Mennyi dió van a két zsebemben együttvéve? Valahány = x x + 2 · x + 5 = 3x + 5, x pozitív egész szám lehet.

b) Februárban háromszor annyi ötöst kaptam, mint januárban. Márciusban feleannyit, mint januárban és februárban összesen. Áprilisban háromszor annyit, mint márciusban. Hány ötöst kaptam az év első négy hónapjában? x jelenti januárban az ötösök számát. Ez összesen 12x (x pozitív egész szám lehet).

c) A téglalap egyik oldala a, a másik oldala ennek a Mennyi a téglalap területe? K =

10 a, 3

T =

2 2 a , 3

2 része. Mennyi a téglalap kerülete? 3

a tetszőleges pozitív szám lehet.

d) A háromszög egyik szöge 5◦ -kal több a másik szög felénél. Mekkorák a háromszög szögei?

e)

Nevezzük a hászömszög szöveg szerinti „második szögét” α-nak. α α 3 Ekkor az „egyik” szög: + 5◦ , a harmadik szög pedig 180◦ − (α + + 5◦ ) = 175◦ − α. α bármilyen pozitív 2 2 2 szám lehet. Egy kétjegyű szám első jegye 6, a második x. Mennyi a kétjegyű szám értéke? 6 · 10 + x = = 60 + x, x minimum 1 és maximum 9 egész szám lehet.

f) Egy kétjegyű szám első jegye a, a második ennél 2-vel kevesebb. Mennyi a szám értéke? 10a + (a − 2) = 11a − 2,

a minimum 1 és maximum 9 egész szám lehet.

g) Kati x éves most. Anyukája 31 éves volt, amikor Kati született. Hány éves lesz Kati anyukája, amikor Kati a 18 éves születésnapját ünnepli? Hány éves lesz Kati anyukájának a 60 éves szülinapján? Hányszor annyi idős Kati anyukája most, mint Kati? 49, 29,

31 + x , x

x pozitív egész szám lehet.

7. Melyik összeg, melyik 2a + 3b összeg 12 ab szorzat 5 6a + b(c + 2) összeg

szorzat? 6nv szorzat

(x − 1)(x + 2) szorzat

a + b2 összeg

f 4 szorzat

(a + b)2 szorzat

x(2 − y) − x összeg

a(a − b)(a + b) szorzat

efg − 2e − f összeg

5ab + 7ab összeg

35

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 22. oldal 8. Színezd a számegyenest! Válassz egy számot! Helyettesítsd be a 2x − 7 + 3x kifejezésbe! Legyen a szám helye a számegyenesen piros, ha a helyettesítési érték pozitív! kék, ha a helyettesítési érték negatív! fekete, ha a helyettesítési érték 0! A számegyenesen néhány pontot bejelöltünk, néhányat ki is színeztünk! Színezd a többi pontot is! 7 fekete 5

kék

−10

−5

0

Milyen színű az x = 1223,5, piros

2

piros

5 8 x = , piros 5

x = −1,002, kék

10 x = −10 000? kék

9. Színezz ki egy-egy számegyenest az alábbi kifejezésekhez! Aszerint színezd a pontokat pirosra, kékre vagy feketére, hogy a hozzájuk tartozó helyettesítési érték pozitív, negatív vagy 0! Annál a számnál, amelyre a kifejezésnek nincs értelme, lyukaszd ki a számegyenest (rajzolj egy üres karikát)! 2 a) 2x − 11,3 + 7x + 1,3 b) (x − 2)(x + 10) c) 3(x − 2) d) x x−2 −2 5 f) 3x − 3000 g) h) i) (500 − x)(500 + x) e) x+1 x + 10 x+1 kék

a)

b)

fekete −1

piros

fekete

0

1 2 10 9

kék

−10 kék

c)

piros

fekete 0

2 piros

fekete 0

2

kék

d)

piros

piros 0

kék

e) f)

piros −1

kék

fekete 0

g)

piros

1000

piros

kék

fekete 0

piros

h) i)

2 kék

−1 kék

piros −500

kék 500

36

C M Y K

piros


Algebrai kifejezsek Tk.: 24. oldal

2. óra Egytagú és többtagú algebrai kifejezések, összevonás Tk.: 24–25. oldalon 10–15. feladatok Fgy.: 11–19. Az egytagú kifejezések felismerése nem nehéz, tulajdonképpen könnyen tanítható, mégis, amikor használni kell ezt az ismeretet, nagyon nagy a hibalehetőség. Középiskolások is gyakran bizonytalankodnak ezen a területen. Éppen ezért úgy érezzük, nem szabad ennek az anyagnak a tanítását elsietni, és a gyors sikerekkel megelégedni. A tartósabb és alaposabb megértést szolgálja az atomokkal, molekulákkal vont párhuzam a tankönyvben. A kémiai példákkal szemléletessé tehetjük a változókat tartalmazó rész és az együttható közötti különbséget. A változókat tartalmazó rész határozza meg a kifejezés fajtáját, típusát, az együttható pedig csak a mennyiségről szól. A képek segíthetnek a gyerekek képzeletét is bevonni a tanulásba.

Feladatok Az 1., 2. és 4. (fgy. 11. és 15.) alapvető gyakorló feladatok. Végezzük el őket! A 3., 5. és 6. (fgy. 12., 13.) feladatok kicsit több gondolkodást kívánnak, de nem nehezek. Az egynemű kifejezés definícióját „fordított irányban” kell alkalmazni, nem pusztán felismerni, de megépíteni kell őket. Az ilyen fordított feladatok sokat segíthetnek a mélyebb és tartósabb megértésben. 10. Írd le az alábbi kifejezések mindegyikének együtthatóját! Válaszd ki az egynemű kifejezéseket! a2 1 ab 1 a) 2a 2 b) c) −a −1 d) 3 3 2 2 2a 2 e) ab 1 f) a 2 · 3 3 g) 5a 2 5 h) 5 5 egyneműek: a)–c)–h); b)–f)–g); d)–e)

11. Írd le az alábbi kifejezések mindegyikének együtthatóját! Válaszd ki az egynemű kifejezéseket! −10xy 3 3 10 a) −2,5xy −2,5 b) − c) x 2 y · d) 3x · 4y 12 4 4 4 4 yx 2 1 5x · 2y 10 e) f) g) 2x · 3xy 6 h) −x 2 y 2 −1 2 3 2 3 Egyneműek: a)–b)–d)–f); c)–e)–g)

12. Építsünk egynemű kifejezéseket! Minden feladatban egynemű kifejezéseket adtunk meg többféle alakban. A kifejezések egy részét letakartuk egy színes folttal. Mi állhat a folt alatt? y a) 3x 2 y 2 , 5xy xy , 2x 2 · y 2 , · x 2y x ·y x · y · 3,7, b) −10xy, 5x y , 5

37

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 24–25. oldal c) 5x 2 · y 3 ,

1 2 2 x y y, 2

3x 2 y 3 ,

1 − x xy 3 5

Amikor nem a kitevő hiányzik, akkor szorzótényezőnek tetszőleges számot írhatunk. Mi csak a hiányzó ismeretleneket adtuk meg.

13. Végezd el a lehetséges összevonásokat! Mindegyik esetben állapítsd meg, hány tagú volt az eredeti kifejezés és hány tagú lett az összevonás után! a) 5x + 3 − 2x − 5 = 3x − 2 4 → 2 b) 2a − b + 1 − 11a + 3 = −9a − b + 4 5 → 3 2 2 2 c) 2x + 3x − 5x + x = 3x − 2x 4 → 2 d) −9a + 7bc − 18b − 21a − 9bc + 3b = −30a − 15b − 2bc 6 → 3 2 1 5 9 2 y 4 e) x 2 + y 2 − x 2 − y 2 + 6 → 3 + 3 = −4x 2 + y 2 + 3 3 2 3 2 3 3 1 3 f) k − k 2 − k 2 − 4k = 3k − k 2 4 → 2 2 2 g) ab + 2ab2 + 3ba = 4ab + 2ab2 3 → 2 3 h) 2,5x − x 2 − x + x 2 − x + 3 = 3 6 → 1 2 i) 5ab2 − 7ab2 + 10ab2 = 8ab2 3 → 1 3ab 23 j) 7abc + 4ab − 9abc − 11ab + − ab = −2abc − 17ab 6 → 2 2 2 k) k 2 l 2 − k 2 + l 2 − k · l 2 − k · l 2 · k = −k 2 + l 2 − k 2 l 2 5 → 3 2 2 2 l) bc − b + 3bc − 2b − 5bc = −bc − 3b 5 → 2 14. Pótold a hiányzó tagot! a) 5x + −7x = −2x 1 5 d) 6b − b + b = 4b 2 2

b) 3ab − −2ab = 5ab

c) 5y + −2y − 2z = 3y − 2z

e) 2a 2 b + 6a 2 b = 8a 2 b

f) −5x 3 + y 2 + −y 2 = −5x 3

15. TOTÓ A és B kifejezésekben egy-egy részletet letakartunk, ezért nem mindig lehet biztosan eldönteni, hogy a két kifejezés egynemű-e vagy sem. Írj a totóba 1-est, ha abban a sorban A és B biztosan egyneműek. 2-est, ha abban a sorban A és B biztosan nem egyneműek. x-et, ha abban a sorban A és B lehet, hogy egynemű, de nem biztos. A

B

Tipp

1.

2ab

b − ·a 3

1

2.

a

5a 3

x

3.

abc

−2a 2 b2 c2

2

4.

3x 2 y 2

5.

ab ·

xy ·

x

bc ·

x

38

C M Y K



A 6.

2x 2

7.

6c2 d 3

8.

3y 3

9.

a 2 b2

10. 11. 12. 13. 13 + 1.

B

Tipp

·y

2

2,5c d

2

x

y·

·2

ab

xy · 2 y · 2

x

z·

5a ·

x

·3

x

x 3

2

10a 2

x

5b

7b2 ·

2

aba 2

b·

x

3–4. óra Azonos átalakítások, egyenletek Tk.: 28–30. oldalon 1–16. feladatok Fgy.: 20–40. Az azonosság fogalma jól ismert mostanra már, a fontossága miatt ismételjük ilyen részletesen át. A régi szlogen előszedése – minden számnak sok neve van – azt hivatott szolgálni, hogy lássák a gyerekek, hogy az azonos kifejezések különböző alakjait szabadon kicserélhetjük egymásra. Összeg, különbség kivonása elvben nem igazán okozhat már gondot, miután ötödik osztálytól kezdve újra és újra megfogalmaztuk. Gyakorlatban azonban a zárójelfelbontás mínusz jel után egy nagyon gyakori hibaforrás, nem árt újra tudatosítanunk. Törtvonalas kifejezések átalakítása címszó alatt ismét csupa ismert átalakítást vettünk nagyító alá. Olyan átalakításokat, melyek ismeretét kimondatlanul szoktuk elvárni tanítványainktól, amelyeket nem igazán szoktunk megfogalmazni, természetesnek vesszük, hogy tudják őket. Azt reméljük, hogy ezeknek a szabályoknak a tudatosítása segít a megértésben és a sikeres alkalmazásban. A megismert átalakítások gyakorlását összekötjük összetettebb egyenletek megoldásával. Eszközök: a 2. és a 3. feladatban szereplő kifejezések írólapra vagy keményebb, de hasonló méretű lapra felírva, gyurmaragasztó.

39

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 28–29. oldal Feladatok A 4–7. feladatok a frissen átismételt azonosságokat gyakoroltatják. A 7. a legnehezebb, gyenge gyerekeknél ne erőltessük! Oldjuk végig őket! Az 1–3. feladatok szintén könnyűek, de igényelnek egy kis gondolkodást, elsősorban a megértést, szemléletfejlesztést szolgálják. Ilyenek a feladatgyűjtemény 20. és 21. feladatai. A 8–12. egyre nehezedő egyenletek. Középiskolai felvételire készülő gyerekeinkkel érdemes mindegyiket feldolgoztatni. 1. Melyik azonos az elsővel? a)

14xy 5

2 · 7xy 5

b)

3x + 2 11

3x +2 11

c) x −

d)

x+2 2

a b + 3 5

3xy · x

3x +

x−

a+b 15

2 11

x 2 + 2 2

3x 2 + 11 11 x−

3a 5b + 15 15

7·

12xy + 10xy

x −1 2

x · 2y 5

x+3+2 11 x −1 2

5a 3b + 15 15

3 (x + 2) 11 x +1 2

3b 15

5a + 3b 15

2a · 3b 6

22a ·

5a +

3 x+2 11

2. Válaszd ki az azonosakat! 1 · ab 2 ab 2

13a ·

1 · 4ab 22

2b 26

a · 3b 6

2a ·

6ab 3

11 44 4b ·a 2

b 11

2b · 4a 44

5 b · 14a · 7 10 26ab ·

1 13

3. Válaszd ki az azonosakat! 5xy 3 5 · (x + y) 3

5x + 5y 3 30xy − 15xy 9

5·

x ·y 3 x + 5y 3

1 xy · 5 3 10y ·

5x + y 3 x 6

5 y x+ 3 3

A 2. és a 3. példák a törtvonalas kifejezések sokféle lehetséges alakjáról szólnak. Ezeket érdemes közösen feldolgozni, az egyes kifejezéseket írólapra felírni és a táblára kiragasztani. Az a gyerek, aki talál azonos párt, kimehet, és egymás mellé mozgathatja őket. Ha „be is tudja bizonyítani”, hogy a talált kifejezések valóban azonosak, kaphat egy pontot. Lehet versenyezni, ki tud több pontot összegyűjteni.

40

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 29. oldal 4. Írj a kifejezéssel azonosat zárójelek nélkül, és végezd el az összevonásokat! a) a + (2a − b) = a + 2a − b = 3a − b b) a − (2a − b) = a − 2a + b = −a + b

c) (a + 3) · 2 = a · 2 + 3 · 2 = 2a + 6

d) 8a 2 − 2a 2 + 3a = 8a 2 − 2a 2 − 3a = 6a 2 − 3a

e) e · f − (e · f − 3) = ef − ef + 3 = 3

f)

g) 5a + b −(3a + 2a +b) = 5a + b − 3a − 2a − b = 0 b 1 b 1 h) a · − a + · ab = a · − a − a · b = −a 2 2 2 2 i) (2x + y) − (2x − y) = 2x + y − 2x + y = 2y

2g 2g 1 − (g + 1) = − g − 1 = − g − 1 3 3 3

5. Mi van a színes folt alatt? a) 2x − x + 17x = 18x

b)

6. Végezd el az összevonásokat! 2x x 4x 5x a) − + = b) 3 3 3 3 2x + 1 4 + 3x d) + =x+1 e) 5 5 2x 5x + 1 9x + 1 g) = h) + 6 3 6 7. Végezd el az összevonásokat! x + 1 2x − 1 = a) x − 3 3 4x + 6 −2x − 6 c) x − = = −x − 3 2 2 3x x − 3 2x + 3 e) − = 2 2 2

2x 4x 8x 2x −− + = 3 3 3 3 3a a 3 2a + 3 − + = 5 5 5 5 2x x x + = 5 10 2 1 0,3a − a + 0,25a = 0,35a 5

c)

2x + 1 1 − =x 2 2

2x + 1 3x −x + 1 − = 2 2 2 5a 3a 7a + 4 f) − +1= 4 2 4

c)

2x + 1 −x + 4 − (x − 1) = 3 3 2x + 3 5 − 3x 5x − 2 d) − = 4 4 4 x 2x + 7 −x − 7 f) − = 3 3 3 b)

8. Írd fel a bevonalkázott síkidom területét többféleképpen is! a) b) c) x x x x x x x x 2x x x x x x x 2

3x · 3x − x = 8x

2

x

x

x · x + x · 2x + x · 3x =

3x · 4x = 6x 2 2

2x · 2x +

d)

x

x

2x · x = 5x 2 2

1 x · x · · 4 = x2 2 2

9. Oldd meg az egyenleteket! a) 2x − x + 8 = 18 x = 10

b) 2x − x − 8 = 18

c) 2x − (x + 8) = 18 x = 26

d) 2x − (x − 8) = 18

e) 3 − (8 − 2x) = −13 x = −4

f) 13x − (8x + 1) + (2x − 19) = 22 x = 6

g) 2x − (x − 3) = 5x + 7 x = −1

h) 3x − (6x + 2) − (2x + 1) = x + 1 x = −

x = 26 x = 10 2 5

41

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 29–30. oldal 10. Oldd meg az egyenleteket! a) 0,1x − (5 − 2,32x) = 6,42x − 9 x = 1 c) 3 − (0,25x + 0,5) = 1 − 0,1x x = 10 e) 0,02x − (3,44x − 6,42x) = 3x x = 1

b) 3,8x − (2 − 1,2x + 5x) = −2 x = −5 d) 0,12x − (3 − 0,08x) = −0,3x + 6 x = 18 f) 10,5x − (2,1 + 0,5x) = 4,9 x =

9 10

11. Oldd meg az egyenleteket! x 7x x a) = 3 + x x = −6 b) = 25 − 3x x = 6 c) + 1 = x − 4 x = 10 2 6 2 x 2x x + 1 2x 4x 2 2x 3x x d) + = 35 x = 30 e) + = + x=3 f) + = + 5 x = 25 2 3 3 9 9 3 5 10 2 12 · (x + 1) g) 30 − 3x = 33 − x bármilyen szám lehet 4 h) 2 · (3x + 8) = 2x + 4 · (x + 4) x bármilyen szám lehet 21 i) 2 · (x − 3) = 3x − x + − 3 x bármilyen szám lehet 7 12. Oldd meg az egyenleteket! 3x − 5 5 − 2x 11 − (1 − 3x) = −3 x = − b) − (x − 2) = 2 x = −5 a) 7 3 4 3x + 2 − 5x 5 − 7x − x 5 c) − (1 + 2x) = −1 x = −1 d) − (2 − x) = x x = − 8 −2 5 5x + 3 10x + 2x + 1 23 8 e) − (3 − x) = 4 x = f) − (x − 1) = 0 x = − 6 5 7 7 5 24 15 g) x = x − 4x + x x = 0 3 9 5 5 18 2 h) x − 3 = x − x + x bármilyen szám lehet 7 7 6 6 · (x − 11) 15 i) (x − 11) · 3 − +5= x bármilyen szám lehet 2 3 13. Oldd meg az egyenleteket, ha az alaphalmaz az egész számok halmaza! x−1 x −1 x+2 a) 2 − = 2x x = 1 b) 2 + = 2x x = 1 c) 3 − =5−x x=6 2 2 2 x+2 3 − x 15 3 − x 15 2 12 d) 3 + =5−x x= e) 2x − = x=2 f) 2x + = x= 3 7 2 4 4 4 4 1−x 5x 3 − 3x 1 x+1 x−1 3 5 g) 3x − 1 − h) x= i) =0 x= − = − =2 x=4 8 8 5 4 4 2 2 6 14. Oldd meg az egyenleteket, ha az alaphalmaz a természetes számok halmaza! 4x − 2 4x + 2 4x − 2 a) + 18 = 5x x = 4 b) − 18 = 5x x = −4 c) − 18 = 5x x ≈ 4,13 7 7 7

42

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 30. oldal 5x + 3 2 − x = x + 1 egyenletnek 4 7 b) legyen megoldása!

15. Adj meg alaphalmazt úgy, hogy az a) ne legyen megoldása,

a) Az alaphalmaz a természetes számok halmaza. b) Az alaphalmaz az egész számok halmaza.

16. A következő sorozatok mindegyikében két szomszédos elem különbsége ugyanannyi, vagyis mindegyik számtani sorozat. Folytasd a sorozatokat! Mi lehet a 6. elem? Mi lehet a 15. elem? Mennyi a sorozat különbsége? a) x + 2 2x + 4 3x + 6 4x + 8 . . . 6. elem: 6x + 12, 15. elem: 15x + 30, különbség: x + 2 b) x − 100 2x − 99 3x − 98 4x − 97 . . . 6. elem: 6x − 95, 15. elem: 15x − 86, különbség: x +1

5. óra A hatványozás azonosságai Tk.: 33–35. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 41–45. Már az előző évben a hatványozás fogalmának bevezetésekor sok olyan feladattal találkoztak a gyerekek, amelyekben felfedezhették a hatványozás műveleti tulajdonságait. Itt ezeket az észrevételeket általánosítjuk, vagyis algebrai formába öntjük őket. Az egyes szabályok kimondásánál nagyjából ugyanazt az utat követjük: – konkrét feladat a megfelelő azonosság alkalmazására, – az azonosság igazolása tetszőleges alapra, de konkrét kitevőre, – a szabály kimondása tetszőleges alapra és tetszőleges kitevőre. Ez a gondolatmenet szép példa az „általánosítható példa (generic example)” alapján történő bizonyításra. Ez a bizonyítástípus azt jelenti, hogy a feladat állítását egy konkrét esetre igazoljuk, de a bizonyításban nem használjuk ki a konkrét adatok egyetlen tulajdonságát sem. Tehát, hogy a gondolatmenet tetszőleges konkrét értékek esetén ugyanúgy megismételhető. Sem a szabályok, sem a bizonyításukhoz szükséges gondolatmenetek nem nehezek, mégis – mint az algebrában több más területen is – az alkalmazásnál nagyon sokat hibáznak a gyerekek. A nehézség egyik forrása, hogy a tanulók megértés helyett a szabályok mechanikus alkalmazásával próbálnak boldogulni. Amíg kevés szabály van, addig ez a stratégia többé-kevésbé még működik is, de összetettebb feladatokkal csak akkor boldogulnak, ha a szabályok mögött szemlélet áll, vagyis a diákjaink a hatvány alakban (egész kitevős esetben) mindig ott látják a szorzat alakot is. Ahogyan már a prímfelbontás esetében is hasznos volt, hogy a számokat nem csak felbontották, de meg is építették, itt is segít a szemléletfejlesztésben, ha építkezünk. Erre szolgálnak a 4. és 5. feladatok, ahol betűkártyákból, szorzójeles kártyákból és kitevőkártyákból kell különböző feltételeknek megfelelően hatványkitevős kifejezéseket építeni. A hagyományos gyakorlófeladatok megoldásához elegendő az anyag „passzív megértése”, ezek a feladatok „aktivizálják” a hatványozásról szerzett ismereteiket. A nehézség másik forrása ebben az anyagrészben nyelvi természetű. Nem könnyűek a megfogalmazások, és könnyű összekeverni a bennük szereplő szavakat. Éppen ezen a nehézségen

43

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 33–34. oldal próbálnak a „szörnyikék” segíteni. A céljuk az, hogy segítségükkel felhívjuk a gyerekek figyelmét az „azonos alap” és az „azonos kitevő” fogalmakra, és hogy hangsúlyozzuk ezeknek a szavaknak a fontosságát. Érdemes a kapott képletek és a tréfás ábrák közötti analógiát végig elemeztetni a tanítványainkkal. Eszközök: számkártyák, szorzójeles kártyák, betűkártyák „a” és „b” betűkkel.

Feladatok 1. Írd fel hatvány alakban!

1 1 1 1 1 1 5 · · · · = 4 4 4 4 4 4 d) 5 · 2 · 5 · 5 · 5 · 2 · 2 · 2 = 54 · 24 = 104

a) 5 · 5 · 5 · 5 = 54

b)

c) 3 · 3 · 2 · 2 = 32 · 22 = 62 3 9 33 3 3 e) · = 3 = 2 2 4 2 g) (−4) · (−4) · (−4) = (−4)3 i) aaabbb = a 3 · b3 = (a · b)3 k) 2 · 2a · 2 · 2aaa = 24 · a 4 = (2a)4

f) 10 · 10 · 10 · 10 = 104 h) a · a · a · a · a · a = a 6 j) 3xx · 3 = 32 · x 2 = (3x)2 l) (x − 1)(x − 1)(x − 1) = (x − 1)3

2. Írd fel hatvány nélkül! Vannak-e közöttük egyenlők? 3

3

a) x = x · x · x 2

d)

x 5

1 5

b)

1 1 1 = · · 5 5 5

15a 3 15a · a · a e) = 3 3

x x = · 5 5

g) (5a)3 = 5a · 5a · 5a

h) (2y)2 = 2y · 2y

13 1 · 1 · 1 = 53 5 · 5 · 5 m) (−2)2 = (−2) · (−2) j)

k)

b) = i) = j),

c)

3 2

=

3 3 3 3 · · · 2 2 2 2

15a 3 15a 15a 15a f) = · · 3 3 3 3 1 1 i) 3 = 5·5·5 5 2 (ab) ab · ab l) = 2 2

(15a)3 15a · 15a · 15a = 3 3 n) −25 = |2 · 2 · 2 · 2 · 2|

o) (−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) q) a 4 = a · a · a · a f) = g),

4

p) (−a)4 = (−a) · (−a) · (−a) · (−a) r) −22 = −2 · 2

p) = q)

3. a 8 = a · a · a · a · a · a · a · a Helyezz el zárójelpárokat a műveletsorban! A zárójelben levő szorzatokat írd hatvány alakba! Például így: a 8 = (a · a) · (a · a · a · a · a) · a = a 2 · a 5 · a 1 Keress minél többféle megoldást! Például: a 8 = (a · a · a) · (a · a · a · a) · a = a 3 · a 4 · a = (a · a) · (a · a · a) · (a · a) · a = a 2 · a 3 · a 2 · a

4. Ilyen kártyáink vannak, mindegyikből több. a – ez az alap, ez egy 0-tól különböző szám. 3 , 4 , 5 , 7 – ezek kitevőkártyák, ezeket csak kitevőként használhatod. · – szorzójelkártya.

44

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 34. oldal Rakd ki az a 12 -t ezekből a kártyákból úgy, hogy a) csak az a és · kártyákat használhatod, a · a · a · a · a · a · a · a · a · a · a · a = a 12 b) csak az a , 3 és · kártyákat használhatod, a 3 · a 3 · a 3 · a 3 = a · a · a · a 3 · a 3 · a · a · a = . . . c) csak az a , 4 és · kártyákat használhatod, a 4 · a 4 · a 4 = a · a · a 4 · a · a 4 · a = . . . d) pontosan egyszer használhatod a · kártyát! a 5 · a 7 5. Rakd ki az a 7 -t! Megadjuk, milyen kártyákat használhatsz. Mindegyikből több van, de legalább egyet mindegyik fajtából fel kell használnod! a) a

·

a·a·a·a·a·a·a

b) a

2

·

a 2 · a 2 · a 2 · a; a 2 · a · a · a · a 2

c) a

3

·

a 3 · a 3 · a; a · a · a 3 · a · a

d) a

2

3

·

e) a

2

5

·

a2 · a2 · a3; a · a2 · a · a3

a2 · a5

6. Egymással azonos kifejezéseket gyűjtöttünk, de van közöttük egy kakukktojás. Keresd meg!

3

a) a 2 ,

a3a3,

b) b3 b2 + b3 b2 , c) 25c2 ,

2

a3 ,

5c · 5c,

Ezek a kifejezések csak c

b5 · b5 ,

2b5 , (5c)2 ,

a6,

2a 3 ,

aaaaaa

b3 · b2 + b2 ,

52 c 2 ,

52 c4 , c2

5c + 5c,

b3 · 2b2 (5c)4 25c2

0 esetén azonosak.

7. Írd fel hatvány alakban! a) 63 · 6 = 64 32 · 37 = 39 9 · 35 = 37 a 3 a 5 = a 8 xx 8 = x 9 p3 p2 = p5 z4 z3 · z = z8 c100 c5 = c105 63 = 62 6

b) 37 : 32 = 35 c) 2 · 5 = 10 3

3

46 = 26 26

3

a5 : a3 = a2 3 3

a b = (a · b)

3

x8 : x = x7 4

16b = (2b)

4

p5 = p4 p

c100 = c95 c5

p5 p 5 = q q5

m2 m 2 = n n2

p3 : p2 = p 6 6

x y = (xy)

6

8. Rakj kártyákat az üres helyekre úgy, hogy igaz legyen! Ezekből a kártyákból válogathatsz: a , b , a7 = a a3 =

1

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 . 4

a a

(ab)5 =

a

a) b) c) d)

= a2 · a5 = a3 · a4 = . . .

a

1

:

a 5

(ab)5 =

9. a , · ,

6

·

2

= a5 : a2 = a6 : a3 = a7 : a4 5

·

b

·

a

3

·

5

b

= b1 · a 5 · b4 = b2 · b3 · a 5 . . .

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8

kártyákból építsd meg az a 3 · a 5 -t

a lehető legkevesebb kártya felhasználásával, a 8 a lehető legtöbb kártya felhasználásával, a · a · a · a · a · a · a · a pontosan 4 db kártyával, a · a 7 pontosan 5 db kártyával! a 2 · a 6

45

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 35. oldal 10. Készíts szorzáscsaládokat! Három vagy több szám szorzáscsaládot alkot, ha közülük valamelyik a többinek a szorzata. Például 32 , 37 , 34 és 3 szorzáscsaládot alkotnak, mert 3 · 32 · 34 = 37 . a) Ezekből az azonos alapú hatványokból válogathatsz: 54 , 52 , 53 , 56 , 5, 57 , 59 . Pl.: 54 · 53 = 57 , 52 · 57 = 59 , 5 · 52 · 53 = 56 , 56 · 53 = 59 b) Ezekből az azonos kitevőjű hatványokból válogathatsz: 5 5 5 1 1 1 , 105 , , 45 , . 25 , 85 , 55 , 65 , 35 , 2 10 5 Például:

5 1 , 2

1 5 1 5 1 = , 5 10

5 1 · 105 = 55 , 2

25 · 55 = 105 ,

25 · 35 = 65 ,

25 · 45 = 85 ,

55 · 65 = 35 · 105 , . . .

c) Ezekből a hatványokból válogathatsz: 23 , 93 , 42 , 52 , 53 , 102 , 22 , 34 , 32 , 65 , 33 , 63 , 187 , 153 , 25 , 272 , 105 . 23 · 52 · 53 · 22 = 105 ,

42 · 52 = 102 · 22 ,

22 · 25 · 93 · 272 · 32 = 187 ,

272 = 93 ,

53 · 23 · 93 = 153 · 63 , . . .

Ezt a feladatot órán is kitűzhetjük. Lehet versenyt is csinálni belőle. Írjuk rá kártyákra a hatványokat! Aki talál egy családot, az kirakja a megfelelő kártyákból az egyenlőséget. Minden „család” egy bónuszpont! Jól lehet csapatban játszani, több szem többet lát alapon.

6. óra Szorzat és hányados hatványozása Tk.: 37–38. oldalon 1–7. feladatok Fgy.: 46–51. A szorzat és a hányados hatványozásáról szóló azonosságok valójában az azonos kitevőjű hatványok szorzásáról, illetve osztásáról szóló azonosságok fordítottjai. Nem jelentenek új anyagot, csak a korábbi anyag alaposabb megértését. A hatvány hatványozásáról szóló azonosság nehezebb, célszerű a hangsúlyt a megértésre, a szorzattá átírásra, kirakosgatásra helyezni. A 3. példa kapcsán beszélhetünk arról, hogy a hatványozás a szorzáshoz és az osztáshoz „áll közel”, azzal lehet jól átalakítgatni, az összeadással, kivonással azonban „nincsen jóban”, az ilyen helyzetekben nagyon óvatosnak kell lenni az átalakításokkal. Jó osztályokban, elegendő óraszám esetén elvégezhetjük a kitekintés anyagát, ami jó alap lehet tanítványainknak a középiskolai tanulmányaikhoz. Itt a negatív kitevős hatványokat a pozitív kitevős hatványok általánosításaként, ismételt osztásként vezetjük be. Ez az anyagrész szépen kiteljesíti mindazt, amit a korábbi években a szorzás és osztás analógiájáról megértettek a tanítványaink.

46

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 37–38. oldal Feladatok Az 1., 3., 4. feladatok egyszerűek, órai gyakoroltatásra, illetve házi feladatnak egyaránt alkalmasak. A 2. feladat az előző rész megfelelő feladataihoz hasonlóan szemléletfejlesztő feladat, közös órai munkára való. Az 5–7. feladatok gyengébb osztályokban, alacsony óraszám mellett elhagyhatóak. Az 5. feladat egy picit nehezebb, fordított irányú gondolkodást kíván, de megéri a fáradságot, mivel alaposabb megértéshez vezet. A 7. feladat az azonosságok gyakoroltatása mellett a számelméleti ismereteiket is feleleveníti. 1. Írd le csupa szorzással, majd írd le zárójel nélkül hatvány alakban!

Pl.: a 4

2

a) 253

4

3

3

c) x 2 e) z4

= a 4 · a 4 = (a · a · a · a) · (a · a · a · a) = a 8

2

5

b) 42

= 253 · 253 · 253 · 253 = 2512 = x2 · x2 · x2 = x · x · x · x · x · x = x6

d) y 3

= z4 · z4 · z4 = z12

f) 2x 2

= y 3 · y 3 · y 3 · y 3 · y 3 = y 15

5

= 25 · x 10

a , 2 , 3 , 4 , 5 , · , ( , )

2. Ezek a kártyáink vannak, mindegyikből több.

= 42 · 42 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44

4

Rakd ki az a 3 -t a következő feltételek esetén! a) Csak ilyen kártyákat használhatsz: a , ·

a·a·a·a·a·a·a·a·a·a·a·a

b) Csak ezeket a kártyákat használhatod: a , 3 , · c) Csak ezeket használhatod: a , 4 , ·

a3 · a3 · a3 · a3

Például: a 4 · a 4 · a 4

d) Csak ezeket használhatod, de a pirosból csak egyet: a , 5 , 2 , · 2 Például: a 5 · a 2 = a 5 · a 2 · a 2 · a 2 · a

e) Csak ezeket használhatod, de a pirosból csak egyet: a , 2 , 3 Például:

2 2 3 2 2 a3 = a2 · a2 = a3 · a2 ·a

3. Írj a kifejezéssel azonosat, zárójelek nélkül! a) (5a · 2b)7 = 57 · a 7 · 27 · b7 = 107 · a 7 · b7 4

4

d) (ab) = a · b

g)

10 2

4

3

3

3

e) (xyz) = x · y · z

b) 7 · 102 = 700

3

f)

4

5 =5

h) (p · 3q) = 3 · p · q 4

4

4

4

4

4. Írj a kifejezéssel azonosat, zárójelek nélkül! a) a(a 2 )3 = a 7 b) (32 )5 : 32 = 38 5 2

5 2x · y 2

3

e) (x ) : x = x

7

f) x · (y ) : y 2

3 5

10

: x =x·y

i) (x 3 )4 · (x 2 )2 = x 16 j) x · (x 2 · y)3 = x 7 · y 3

2 a

i)

c) (5 · 3)3 · 23 = 103 · 33

6

= 56 · x 6 · y 6

25 = 5 a

j)

c) (5 · 2)3 : 22 = 53 · 2

5

g)

x5 y

2

x 10 = 2 y

k) 75 : (72 )3 =

1 7

1 pq

3 =

p3

1 · q3

d) (x 2 · y)3 = x 6 · y 3

h)

1 3 · 15 2

3

=

33 53

l) (a 3 )7 : (2a)10 =

a 11 210

47

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 38. oldal 5. Az alábbi kifejezésekben egyes részleteket színes folttal letakartunk. Pótold a hiányzó részleteket úgy, hogy egy-egy feladatban egymással azonos kifejezések álljanak! a) x 6 y 4

b) 2a 4

x 2 y x 4y 3 3

x 3y

2

8a 4 a 8

8a 6 a 3

xy 2

y2

2

2

x4

a 9 (2a) 3

(xy)3 x x 2y

(xy) 4 x 2

2a 2 a 10 · 4

8 a3

4

x 3y y

2

aa 2 a 3 (2a 2)3

6. A kifejezések mindegyike azonos egymással, kivéve egyet. Keresd meg a kakukktojást!

2x 2 y 3

2

x2

4x 2 · y 6

2xy 3

2

2xy 2

3

: 2x

2x 2 y 6 + 2x 2 y 6

2x 2 y 6 · 2x 2 y 6

7. A betűk pozitív egész számokat jelentenek. Csoportosítsd a kifejezéseket aszerint, hogy az adott kifejezés biztosan négyzetszám-e; lehet hogy négyzetszám, de nem biztosan az; lehetetlen, hogy négyzetszám legyen. 33 · 6 · a 4 · 23 biztos 2a 2 b lehet

b3 · 33 · 23 lehet 12a 2 b5 lehet

c5 lehet

2a 2 lehetetlen

3e3 lehet

k 3 · 52 · k 5 · 24 biztos

3a 4 lehetetlen

c3 · 3b2 c

3

· 3 biztos

7. óra Algebrai kifejezések fajtái II. Egész és törtkifejezések, oszthatóság Minden kifejezésnek sok neve van Tk.: 39–40. oldalon 1–7. feladatok Fgy.: 52–57. A kiemelés az általános iskolai algebraanyag legnehezebb részei közé tartozik. A kiemelés tanításában nagy segítséget jelenthet, ha a gyerekek képesek egy egytagú kifejezést minél többféleképpen szorzattá bontani. Ezt a képességet kívánjuk fejleszteni ennek az órának az anyagával. Az egész kifejezés, törtkifejezés fogalmak meghatározását nem kell visszakérdeznünk a gyerekektől. Elég, ha felismerik őket. A tankönyv sem ad teljes meghatározásokat, inkább példákkal világítja meg ezeket a fogalmakat. A cél inkább az, hogy képesek legyenek „atomjaira szedni” egy-egy algebrai kifejezést. Ahogyan a számelméletben a prímtéglákból való építkezés segített sokféle feladat megoldásában, a kifejezések világában is érdemes kialakítanunk azt a szemléletet, hogy hogyan lehet szorzással építkezni. A legnehezebb gondolat itt az lehet, hogy a gyerekek az egész és tört fogalmakat eddig a számokhoz kötötték és itt meg kiderül, hogy az egész kifejezésben nyugodtan szerepelhetnek törtszámok. Jobb osztályokban érdemes lehet alaposabban is körbejárni ezt a gondolatot, itt azonban nem ez az elsődleges cél. Ezért a feladatanyagban nem is ennek a kérdésnek a tisztázására helyeztük a hangsúlyt.

48

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 39–40. oldal Feladatok Az 1–5. feladatok arra valók, hogy a számok mintájára egyszerű kifejezéseket is szorzattá alakítsanak, osztókat, közös osztókat keressenek hozzájuk. Azt gondoljuk, hogy a kiemelés tanításában nagyon sokat segíthet, ha ezeket a feladatokat feldolgozzuk a gyerekekkel. A 6. és 7. feladatok számelméleti csemegék. Nem nehezek, mégis nagyon alkalmasak a gondolkodás fejlesztésére. Ha van időnk, érdemes foglalkozni velük, de nem okoz gondot, ha kihagyjuk őket. 1. Melyik egész kifejezés, melyik törtkifejezés? 3 3x a) 5ab egész b) x egész c) + y egész 2 2 1 1 5 f) x 4 y · egész g) 5x + y + egész h) tört 3 2 2a

d) x + y egész i)

e) a +

x+3 tört y

j)

2 tört b

y tört x+3

2. Osztója-e az A számnak a B szám, a C kifejezésnek a D kifejezés? Ha igen, hányszorosa? A

B

2 · 52 · 3

3·2

23 · 11

igen, A 52 -szerese B-nek

22 · 3 · 11 nem

35 · 7 · 61

33 · 7

igen, A 32 · 61-szerese B-nek

5·5·3·7

5 ·5

nem

A

7

6ab

2a igen, A

20xy 40x igen, A 35h3 j 7h2 igen, A

D

53 · 7 · 2

70

igen, C 52 -szerese D-nek

53 · 11 · 2

110

igen, C 52 -szerese D-nek

25 · 8 · 9 5 · 2 · 3 igen, C 5 · 4 · 3-szorosa D-nek 35 · 63

B

3aac2 2ac2 igen, A

C

3 -szerese B-nek 2 3b-szerese B-nek 1 y-szerese B-nek 2 3549-szerese B-nek

49

C

D

28p4

2p

100x 3 y 3 25y 4 xy

3x

k5l 3m

igen, C 5 · 9-szerese D-nek

igen, C 14p3 -szöröse D-nek nem igen, C

1 y-szorosa D-nek 3

k 2 l 2 m2 nem

3. Add meg a hiányzó kifejezést úgy, hogy A · B = C igaz legyen! A B C

pu

2ab

bc3 3ab

2a 2 b

3ab2 c3

5ptu

a

4. Keress közös a) 32 · 5 c) 22 · 3 · 72 e) 10 · 4 g) 103 · 77

5t

6r 2

2rs 12r 2 s 2

2xy 2 3x 2 6x 3 y 2

5ef

7f 2 35ef 3

osztókat a számpárokhoz! Dolgozz prímtényezős alakkal! 3 · 53 3; 5; 3 · 5 b) 113 · 24 35 · 113 11; 112 ; 113 2·7·5 2; 7; 2 · 7 d) 5 · 32 · 2 53 · 3 5; 3; 5 · 3 2 2 3 2 2 7·8 2; 2 ; 2 f) 3 · 16 9 · 20 3; 3 ; 2; 2 ; 2 · 3; 22 · 3; 2 · 32 ; 22 · 32 33 · 25 11; 5; 52 ; 5 · 11; 52 · 11 h) 6 · 28 49 · 15 7; 3; 3 · 7

5. Keress közös osztókat a kifejezéspárokhoz! a) 3ab2 21a 3 b a; b; 3ab b) 6ab 212bc b; 2b 3 2 3 d) 30x 2xy x; 2x e) 120kl 100k 2 l k; l; k · l g) 6mn2 8m2 n3 m; n; n2 ; m · n2 h) 15 · bt 18tb t; b; 3b

c) b2 f) 17x 2 i) 21xy

25ab b 19y – 2 −35x x; 7x

49

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 40. oldal 6. Páros vagy páratlan? A betűk természetes számokat jelentenek. Írd alá: ps, ha páros szám! Írd alá: pt, ha páratlan szám! a) 123 53 52 · 32 1011 1110 63 · 57 ps

b)

pt

25 53 + 37

ps

pt

ps

(3 · 5)8 pt

pt

I

I

72 + 27

413 − 28

ps

pt

ps

ps

143 · 73

56 · 63

(5a + 3a)7

ps

ps

ps

7. Osztható 3-mal? Válaszolj I vagy N betűkkel! a) 35 62 67 53 124 103 I

35 + 53

N

I

(10a)3 : 22 (2x)5 : 42 +1 ps

pt

36 · 22 36 + 22 1 + 23 + 3 103 −1 107 −1

N

I

N

I

I

I

b) 5 · 107 − 2 33 · 172 − 1 (9 · 13)5 + a · 3 12a : 4 12a : 3 N

I

I

∗

8. óra Szorzatból összeg, beszorzás Tk.: 43–45. oldalon 1–16. feladatok Fgy.: 57–76. Az algebra nehéz. Elsősorban az elvontsága miatt. Annál könnyebb, minél több tartalmat tud egy gyerek társítani egy kifejezéshez. A képek sokat segíthetnek itt, érdemes ezt a lehetőséget mindkét irányban kihasználni: képekről kifejezéseket leolvasni, illetve kifejezésekhez ábrákat tervezni. Az olyan algebrai kifejezéseket, melyek legfeljebb másodfokú polinomok (azaz olyan összegek, melyek tagjaiban vagy két első hatványon szereplő változó szorzata szerepel, vagy egy változó legfeljebb a második hatványon), jól szemléltethetjük téglalapok segítségével. A változók a téglalapok oldalai, szorzatuk a téglalap területe, az egész kifejezés a téglalapok területének az összege. Szorzat összeggé alakításának, illetve az összeg szorzattá alakításának a tanításakor sokat segíthetnek az olyan téglalapok, amelyek kisebb téglalapokból épülnek fel. Ilyenkor a nagy téglalap oldalai összegek. Egy ilyen téglalap területe felírható összegként is és szorzatként is; az oldalak szorzataként vagy a kis téglalapok területének összegeként. Szorzatok összeggé alakításához régóta használatos ez a szemléltetés. Itt annyival lépünk tovább, hogy majd az összeg szorzattá alakításához is igénybe vesszük a téglalapokat. A 3. példában összeg szorzását összeggel úgy is próbáljuk szemléletesebbé tenni, hogy az egyes összegek tagjait színes kártyákra írtuk. Az egyik összeg tagjait piros, a másikat kék kártyákra. Ezzel a módszerrel a gyerekek vizuálisan is képet kapnak a „minden tagot minden taggal” szabályról.

50

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 43. oldal Feladatok Az 1–3. szemléletfejlesztő feladatok, gyorsan megbeszélhetők, órai feldolgozásra és házi feladatnak egyaránt alkalmasak. A 4., 6., 9–11. és a 14. gyakorló feladatok. A 4. feladatot érdemes az órán közösen elkezdeni, ez a feladat előkészíti a kiemelés tanítását is. A 6. feladatot is érdemes megoldani, ez a feladat azt is kéri, hogy az átalakítás helyességét ellenőrizzék egy-egy adott érték behelyettesítésével. A 9–11. feladatokban a beszorzásról tanultakat egyenletmegoldásban kell alkalmazni. A 15. feladat is a beszorzást gyakoroltatja, de egy nevezetes szorzatra „kihegyezve”. A feladatot követő számolási trükk is ezen a nevezetes szorzaton alapul. A számelméleti részben a maradékokkal való műveletvégzésről szerzett ismereteiket segítenek algebrai formába önteni a 12. és 13. feladatok. Nagyon fontos és hasznos, ha a frissen szerzett algebrai ismereteket fel tudjuk használni korábbi ismereteink igazolására. Sajnos, az idő rövidsége miatt ez a fontos feladat nem biztos, hogy belefér az időnkbe. 1. Melyik kifejezés melyik rajzhoz tartozhat? Mindegyik esetben állapítsd meg, mi a jelentése az ismeretleneknek! 1

5

7

6

4 2 3

10

8 9

11

a 2 , 4 területe

4a, 1 hossza, 4 kerülete 9 hossza x, 10 területe

a·x , 3 és 8 területe, 5 térfogata 2 a · 12, 6 területe

2x + a, 7 kerülete

2(a 2 + a), 11 kerülete

2x + 2, 10 kerülete a 3 , 2 térfogata, 11 területe 6a 2 . 2 felszíne

2. Írd fel a téglalapok területét többféleképpen! 2 a)

y · x = 2 · 2y + +3(x − 4) + +(x − 4)(y − 3)

b) 3

(3 + x)(2 + y) = = 6 + 2x + 3y + xy

y

3

x d)

x

7

x

x e)

2 2

x

c)

y

2

7

c) x 2 =

x

x

2 2 2 1 1 1 x· x+ x· x+3· x· x 3 3 3 3 3 3

y

d) (x + 2)2 = x 2 + 3 · 7x + 72

e) x · y = 2(y − 2) + 2 · 2 + (x − 2)(y − 2) + (x − 2) · 2

51

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 44. oldal u

3. Írd fel a síkidom területét többféleképpen! Számítsd ki a megadott értékek esetén! 2 4 1 1 u= , v= , x= , y= , z = 0,3. 3 3 5 2 (u + v)(x + y + z) = u · x + v · x + u · y + v · y + u · z + v · z

v x y

T =2

z

4. A következő feladat megoldásakor először készíts rajzot a szorzathoz! A rajz segítségével alakítsd a szorzatot összeggé! a) e · (f + g) b) a · (b + 3) c) (a + 3) · (b + 1) d) c · (x + y + z) e) (k + l) · (k + m) f) (x + y) · (x + z) g) (x + 1) · (x + 1) h) (a + b + c) · (d + 3) e

a

a)

b) f b g 3 a(b + 3) = ab + a3

e(f + g) = ef + eg a

3 c)

x

y

z

d) b

c

1 c · (x + y + z) = cx + cy + cz

(a + 3)(b + 1) = a · b + a · 1 + 3b + 3 m

k e)

f)

k

z

x x

y l

(k + l)(k + m) = k 2 + km + kl + lm 1 g)

(x + y) · (x + z) = x 2 + xz + xy + zy

x

a

1

h)

x

b

d

3

(x + 1)(x + 1) = x 2 + x + x + 1

(a + b + c)(d + 3) = ad + bd + cd + 3a + 3b + 3c

52

C M Y K

c


Algebrai kifejezsek Tk.: 44. oldal 5. Írd fel a szorzatot összeg alakban! a) (3a + 1) · (a + 2) = 3a 2 + 6a + a + 2

b) (3a − 1) · (a + 2) = 3a 2 + 6a − a − 2

c) (b + 5a) · (2b + 3) = 2b2 + 3b + 10ab + 15a

d) (x − 2y) · (5 − x) = 5x − 10y + 2xy − x 2

6. Írd fel a szorzatot összeg alakban! Számítsd ki mindkét alakból a kifejezés értékét a megadott helyettesítési érték mellett! a) (x + 1) · (2x + 3) 3 x=0 2x 2 + 2x + 3x + 3 b) (x − 1) · (2x + 3) −3 x=0 2x 2 − 2x + 3x − 3 c) (2a + 5) · (a + 2) 3 a = −1 2a 2 + 5a + 4a + 10 d) (2a − 5) · (a − 2) 21 a = −1 2a 2 − 5a − 4a + 10 7. A téglalap alakú virágágy oldalainak hossza x, illetve y méter. A virágágyat 1 méter szélességben körbevették füves sávval. Fejezd ki x-szel és y-nal a füves sáv területét! x+2

x y

T = (x + 2)(y + 2) − xy = = 2x + 2y + 4 y+2

8. Párosítsd össze az azonosakat! I. 5x − 5 A x(y − 5) A–V.

II. 5xy − 25x B 5x(5xy − 1)

III. 25xy − 5x C x(1 − 5y)

C–VI.

9. Oldd meg az egyenleteket! a) x(3 − x) + x 2 + 2 = 5 x = 1 c) (2x − 3) · (x + 1) + x + 3 = 32 x = 4, x = −4

IV. 5y − 25xy D 5(x − 5) E–II.

V. xy − 5x E 5x(y − 5)

VI. x − 5xy F 5y(1 − 5x)

F–IV.

b) (x − 11)x + 3 = 31 + (3 + x)x x = −2 d) (x + 3) · (x + 5) − x 2 = 31 x = 2

e) (2x + 1) · (2x − 2) = 6 − 2x x ≈ 1,4, x ≈ −1,4 f) x · (x − 3) + 6 = x 2 − 7x x = −

3 2

10. Oldd meg az egyenleteket! b) (x − 4) · (x + 4) + 16 = 100 x = 10, x = −10 a) (x − 1) · (x + 1) = x 2 + 1 nincs megoldás c) x · (2x − 5) + 8x = x · (3 + x) x = 0 d) (2x − 1) · (x + 4) + 4 = x · (7 + x) − 1 nincs megoldás 11. Oldd meg az egyenleteket! a) (x + 3)(x − 5) = 0 x = −3, x = 5 c) x(x + 2)(x − 7) = 0 x = 0, x = −2, x = 7

b) x · (x − 1) = 0 x = 0, x = 1 3 2

d) (2x − 3)(5 − x)(x − 1) = 0 x = , x = 5, x = 1

12. Két szám közül az egyik 15-tel osztva 3 maradékot ad, a másik 15-tel osztva 10 maradékot ad. Írd fel az algebra nyelvén a két szám szorzatát és az összegét is! Egyik szám: 15k + 3, másik szám: 15k + 10, összegük: 15k + 15l + 13, Szorzatuk: 225 · kl + 150k + 45l + 30.

13. a és b számok közül az a szám 12-vel osztva 4 maradékot ad. Találd ki, milyen maradékot ad a b szám 12-vel osztva, ha eláruljuk, hogy a) a + b 12-es maradéka nulla, 8 b) a · b 12-es maradéka nulla, 0, 3, 6, 9 lehet c) a + b 12-es maradéka 4, 0 d) a · b 12-es maradéka 4! 1, 4, 7, 10 lehet

53

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 45. oldal 14. Töltsd ki a szorzótáblák üres mezőit! a)

a + 2b

3a 2 b

a−b

3

3a + 6b

9a 2 b

3a − 3b

2b

2ab + 4b2

6a 2 b2

2ab − 2b2

b)

a + 2b

a2 + b

a−2

1 b 2

1 ab + b2 2

1 1 2 a b + b2 2 2

1 ab − b 2

a

a 2 + 2ab

a 3 + ab

a 2 − 2a

15. A szorzások mindegyikében két tag összegét szoroztuk meg ugyanannak a két tagnak a különbségével. Végezd el a szorzásokat, majd vond össze az egynemű tagokat! Figyeld meg az eredményeket! Mit veszel észre? a) (a + b) · (a − b) = a 2 + ab − ab − b2 = a 2 − b2 b) (2x + 1) · (2x − 1) = 4x 2 − 1 c) (x + 3) · (x − 3) = x 2 − 9 d) (2 + b) · (2 − b) = 4 − b2 e) (2a − 1) · (2a + 1) = 4a 2 − 1 f) (5 + x) · (5 − x) = 25 − x 2 g) (2a + 3b) · (2a − 3b) = 4a 2 − 9b2 h) (5x + 10) · (5x − 10) = 25x 2 − 100 Számolási trükk Figyeld meg a következő számolásokat! 52 · 48 = 502 − 22 401 · 399 = 4002 − 12 403 · 397 = 4002 − 32 305 · 295 = 3002 − 52

= 2500 − 4 = 2496 = 160 000 − 1 = 159 999 = 160 000 − 9 = 159 991 = 90 000 − 25 = 89 975

Ugyanezzel a trükkel számold ki fejben az alábbi szorzatokat is! 102 · 98 201 · 199 63 · 57 81 · 79 72 · 68 Fogalmazd meg az algebra nyelvén, mi a közös az előző szorzatokban! (a + b)(a − b) = a 2 − b2 Készíts magad is ilyen trükkös szorzatokat!

16. A 26 · 93 egy különleges szorzat. Ha a szorzótényezőkön belül a számjegyeket felcseréljük, akkor a 62·39 szorzatot kapjuk, ami meglepő módon megegyezik az eredetivel. 26 · 93 = 62 · 39 Keress más ilyen szorzatokat! Próbáld meg megfejteni a „titkát” ennek a furcsa viselkedésnek! Segíthet a „titok” megfejtésében, ha átírod a feladatot az algebra nyelvére, és a szorzatokat összeggé alakítod! A 26 · 93 = 62 · 39 egyenlőségben szereplő számok így írhatók fel: ab · cd = ba · dc. Az itt álló kétjegyű számok értékeit felírva kapjuk:

54

C M Y K


Algebrai kifejezsek (10a + b) · (10c + d) = (10b + a) · (19d + c) 100ac + 10ad + 10bc + bd = 100bd + 10bc + 10ad + ac 99ac = 99bd a·c=b·d Tehát az egyenlőséget igazzá tevő számokra (a, b, c, d egyjegyűek!) működik ez a különleges szorzás. Például: a = 1 b = 2 c = 4 d = 2 12 · 42 = 21 · 24 a = 1 b = 2 c = 6 d = 3 12 · 63 = 21 · 36 és 13 · 62 = 31 · 26 a = 1 b = 2 c = 8 d = 4 12 · 84 = 21 · 48 és 14 · 82 = 41 · 28 a = 1 b = 3 c = 9 d = 3 13 · 93 = 31 · 39 a = 2 b = 4 c = 8 d = 4 24 · 84 = 42 · 48

9–10. óra Összegből szorzat, kiemelés Tk.: 48–50. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 77–88.

A szorzattá alakítás nehéz, még a legegyszerűbb esete, a kiemelés is sok gyereknek okoz nehézséget. Nem igen lehet mechanikus szabályokat adni rá. Itt nem lehet a gondolkodást, a kombinatorikus képességet kikerülni, gépies gyakorlással helyettesíteni. Ezért igyekeztünk minél több olyan eszközt adni ennek a résznek a tanításához, amelyek segíthetnek a megértésben. Egyik ilyen eszköz az osztók keresése, a másik a geometriai szemléltetés. A kiemelés tanítását külön nehezíti az, hogy sok gyerek számára a formulák tartalmatlan absztrakciók. Ez növeli a bizonytalanságérzésüket és ezáltal megnehezíti számukra a gondolkodást. A geometriai szemléltetés azért nagyon hasznos itt, mert maga is fejleszti a gyerekek gondolkodását, és ugyanakkor egy kevésbé absztrakt fokozatot jelent a szorzattá alakítási feladatok megoldásában. Téglalapokat rakosgatni – akár képzeletben is – könnyebb, mint elvont formulákról gondolkodni. Még könnyebb, ha egy kezdeti fázisban nem csak képzeletben, hanem fizikailag is rakosgathatnak a tanítványaink. Ezért érdemes a tankönyv kidolgozott példáiban szereplő téglalapkészleteket (vagy azokhoz hasonlóan tervezett téglalapkészleteket) táblára erősíthető méretben elkészíteni és azokat nagyobb téglalappá összeépíteni. Az 1. példában elég a téglalapokat ügyesen összerakni, és az eredményről leolvasni a szorzat alakot és az összeg alakot is. A 2. példában még egy logikai lépésre szükség van, az összeg alakban adott kifejezéshez a kis téglalapokat magukat is el kell készíteni úgy, hogy belőlük nagyobb téglalapot lehessen összerakni. Ez nem egyszerű feladat, semmivel sem egyszerűbb magánál a kiemelésnél. Az előnye az, hogy egyrészt szemléletesebb, másrészt megkönnyíthető azzal, hogy adunk egy téglalapkészletet, amiből a gyerekek válogathatnak. Ilyen téglalapkészletet magunk is összeállíthatunk, de meg is adtunk egyet a mellékletben. Ezeket az elemeket nagyon sokféleképpen felhasználhatjuk ennek a résznek a tanításakor. Eszközök: a mellékletben megadott téglalapkészlet, lehetőleg demonstrációs változatban is.

55

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 48. oldal Feladatok Az 1–3. feladatokban a téglalapos szemléltetésre alapozva gyakoroltatjuk a kiemelést. A 4. feladatban a közös osztók keresésével végeztetjük a kiemelést. Az 5. és 7–9. gyakorló feladatok, melyek megoldásában mindenki maga választhatja meg a neki leginkább megfelelő módszert. A 8. és 9. feladatban a szorzattá alakítás segítségével egyszerűsíthetünk, ami a 9. feladatban nagyon megkönnyíti a számolást. A 6. egy kicsit nehezebb a többinél. 1. Írd be az ábrán látható téglalapokba a területüket! Az ábrán látható téga 7 lalapokat megtalálod 1 2 a tankönyv melléklea 7a a2 tei között. Vágd ki a mellékletből a tégla5 6 lapokat! A következő összegekben minden ab 7b b tag valamelyik téglalap területe. Minden összeghez keresd meg 8 a tagoknak megfelelő téglalapokat, és építs (a + 7)b b belőlük nagyobb téglalapot! Ha sikerült, olvasd le a kifejezés 14 15 3 3a 21 szorzat alakját!

b

a+b

3

4 ab

7 (a + b)2 b2

9

a

10 a2

12

a·(b−a)

b−a

(b − a)b

16

11 a(a + b) 13 17

3b

(b − a)(b + a) 3(a + b)

a Például: a 2 + ab + 3a Ez a kifejezés az 1 , 3 és 14 téglalapok területének összege. Ezekből nagyobb téglalap építhető például így: a

3

b

1

3

14

a

a) c) e) g)

Tehát: a 2 + ab + 3a = a · (a + b + 3)

7b + ab + b2 + 3b 3b + ab + a · 7 + 21 ab + a 2 + (a + b)2 ab + 7b + 3b + b2 + 3b

b) d) f) h)

(a + 7) · b + ab + b2 (a + b) · a + (a + b)2 7a + 7b + 21 ba + 7b + a(a + b) + (b − a)(a + b)

a)

6

5

7

16

7b + ab + b2 + 3b = b(7 + a + b + 3)

b)

8

5

c)

16

3

2

15

3b + ab + a · 7 + 21 = (7 + b) · (3 + a)

d)

11

4

e)

5

1

4

ab + a 2 + (a + b)2 = (a + b)(2a + b)

f)

2

6

g)

3

6

16

7

h)

5

6

11

13

16

7

(a + 7)b + ab + b2 = b(2a + 7 + b) (a + b) · a + (a + b)2 = (a + b)(2a + b)

15

7a + 7b + 21 = 7(a + b + 3)

2

ab + 7b + 3b + b + 3b = b(a + 7 + 3 + b + 3) = b · (a + b + 13) ba + 7b + a(a + b) + (b − a)(a + b) = b(a + 7) + b(a + b) = b(2a + b + 7)

56

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 49. oldal 2. Írd fel az egyforma színű téglalapok területének összegét! Építs belőlük nagyobb téglalapot! Olvass le a nagy téglalapról szorzat alakot! a) b) c) a x

3

3

0,8

a c

x

d)

x

e)

a

7

x

b

f)

m m

q

a a

m

k

q

p

2

q

l

q

g) x x

a

a

b

a

y

7

m

h) a

y

x

x

k

7

b

b

b

a) 3 · 0,8 + 3 · x = 3(0,8 + x)

b) a · b + a · c = a(b + c)

c) x 2 + x · 7 = x(x + 7)

d) a 2 + a · k = a · (a + k)

e) pq + q 2 + q · 2 = q(p + q + 2)

f) m2 + m · l + m · k = m(m + l + k)

g) x 2 + x · 7 + x · y + y · 7 = (x + 7)(x + y)

h) a 2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2

3. Készíts téglalapokat az összeg tagjaihoz úgy, hogy egy nagy téglalappá lehessen összeépíteni őket! Olvass le szorzat alakot a nagy téglalapról! a) 3a + 3b b) 7x + 14 c) 2a + 10a 2 d) 5ab + 3ab e) ab + a f) xy + x · 3 2 g) 5x + 20xy + 25x h) x + xy i) k 2 + k − kl a

a)

x

b

3

2

b)

3 3a + 3b = 3(a + b)

7

3 a

7x + 14 = 7(x + 2)

b 7

c)

2

x

2

2

a 10 10

2a + 10a = 12a

a a

57

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 49. oldal d) 5a

5a

3a b

b a

b

e) a

a

3a a

5ab + 3ab = 8ab b

b ab + a 2 = a(b + a)

a

x

f)

xy + x · 3 = x(y + 3)

3 y 5 x

20y

g) x

25x

x

x

5x

5x

h)

5x + 20xy + 25x 2 = x(5 + 20y + 25x)

4y 1

5x

5x

25x 2 + 20xy + 5x = 5x(5x + 4y + 1)

y

1 x

x

x + xy = x(1 + y)

i) k 2 + k − kl = k(k − l + 1) Ezt lefedéssel tudjuk megoldani. A k 2 területű téglalap egy részét letakarjuk a k · l területűvel. k

k 1

k kl

k2

l

l

k

k

k

k

1

k−l

k−l+1

4. Keress közös tényezőket a tagokban! Alakítsd az összeget szorzattá a közös tényező kiemelésével! Dolgozz a példa szerint! 121

+

99

ab + 3bc

11 · 11 + 11 · 9 = 11 · (11 + 9) a) b) c) d) e) f) g) h)

48 + 60 25 · 7 + 14 · 15 600 + 250 · 9 126 + 420 40 · 28 + 35 · 6 + 21 · 60 540 + 1076 + 924 2 · 2 · 7 · 11 · 3 + 2 · 3 · 23 · 11 + 3 · 7 · 11 · 41 84 + 666 + 34 · 33

b · a + b · 3c = b · (a + 3c) A) B) C) D) E) F) G) H)

x ·x ·y ·y +2·y ·x 15ab + 55 2·x ·y ·y +8·x ·y·y ·y a 2 b + ab2 8bc + 6ab 2xy − 14 · x 2 y a2b − a2 6xy + 2x 2 y + 10xy 2

58

C

M

Y

K


Algebrai kifejezsek Tk.: 49–50. oldal a)

48

+

60

12 · 4 + 12 · 5 = 12 · (4 + 5) b)

25 · 7 + 14

·

15

5 · 5 · 7 + 2 · 7 · 3 · 5 = 5 · 7 · (5 + 2 · 3) = 35 · (5 + 6) c)

600

+

·

250

9

2 · 3 · 2 · 5 · 2 · 5 + 5 · 5 · 2 · 5 · 3 · 3 = 2 · 3 · 5 · 5(2 · 2 + 5 · 3) d)

126

+

420

2 · 7 · 3 · 3 + 7 · 2 · 3 · 2 · 5 = 2 · 7 · 3(3 + 2 · 5) e)

·

40

28

+

35

·

6

+

21

·

60

2 · 2 · 2 · 5 · 2 · 2 · 7 + 7 · 5 · 2 · 3 + 7 · 3 · 2 · 3 · 2 · 5 = 2 · 5 · 7(24 + 3 + 32 · 2) f)

540

+

1076

+

924

4 · 135 + 4 · 269 + 4 · 231 = 4 · (135 + 269 + 231) g)

+

924

396

+

9471

2 · 2 · 7 · 11 · 3 + 2 · 3 · 2 · 3 · 11 + 3 · 7 · 11 · 41 = 3 · 11(22 · 7 + 22 · 3 + 7 · 41) h)

84

+

666

+

34

·

33

2 · 3 · 2 · 7 + 2 · 3 · 3 · 37 + 2 · 17 · 3 · 11 = 2 · 3(2 · 7 + 3 · 37 + 17 · 11)

Ezt a feladatot érdemes osztálymunkában feldolgoznunk. A megoldás során felelevenítjük a prímfelbontást, és bizonyára sok gyerek rájön, hogy a közös osztókat lehet kiemelni. Mi a megoldásban mindenütt a legnagyobb közös osztót emeltük ki, de ehhez nem kell az ábrához ragaszkodnunk. A) x · x · y · y + 2 · y · x = x · y · (xy + 2) B) 3 · 5 · a · b + 5 · 11 = 5 · (3ab + 11) C) 2 · 1 · x · y · y + 2 · 2 · 2 · x · y · y · y = 2xy 2 (1 + 22 · y) D) a · a · b + a · b · b = ab · (a + b) E) 2 · 2 · 2 · b · c + 2 · 3 · a · b = 2b(4c + 3a) F) 2 · 1 · x · y − 2 · 7 · x · x · y = 2xy(1 − 7x) G) a · a · b − 1 · a · a = a 2 · (b − 1) H) 2 · 3 · x · y + 2 · x · x · y + 2 · 5 · x · y · y = 3xy(3 + x + 5y)

5. Írd fel az összeget szorzat alakban! a) 5a + 10 = 5(a + 2) b) 2x + x 2 = x(2 + x) d) a + ab = a(1 + b)

e) x + xy + xz = x(1 + y + z)

c) 3x + 5xy = x(3 + 5y) 2 3 5 1 10 f) + + = (2 + 3 + 5) = x x x x x

59

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 50. oldal 6. Írd fel az összeget szorzat alakban! a) 3(x + y) + 5(x + y) = (x + y)(3 + 5) c) ab + 2b + 3a + 6 = b(a + 2) + 3(a + 2) = (a + 2)(b + 3)

b) a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) d) 2xy + 2xz + 4xy 2 = 2x(y + z + 2y 2 )

7. Írd fel az összeget szorzat alakban! a) 6x − 3 = 3(2x − 1) b) x 2 − 3x = x(x − 3) d) 2xy − y = y(2x − 1) e) a + ab − ac = a(1 + b − c)

c) 4ab − 8b = 4b(a − 2) f) x 4 − x 3 = x 3 (x − 1)

8. Egyszerűsítsd a kifejezéseket! 5a 2a + 4 2(a + 2) b(a + b) a + b 1 a) = b) = c) = 2 3b 10ab 2b 2 3b2 2 2 8a + 4a a+b 5b + b b(5b + 1) 5b + 1 4a(2 + a) a+b 1 d) = e) = = f) = = 2b 2 4a(2 + a) 4a(2 + a) 3a + 3b 3(a + b) 3 2b 2 5(a − 1) a+a 5(a − 1) 1 a(1 + a) 1+a = = g) = h) = (5a − 5) · 2 5 · 2(a − 1) 2 5a(1 + a 2 ) 5a(1 + a 2) 5(1 + a 2 ) 9. Többet ésszel, mint erővel! Számítsd ki a helyettesítési értékeket, legyen: a = −1,42, b = 3, c = −10! 5a 2a + 6a 2ab 1 1 8a 2 1 a) = b) = = − c) − 2a + c = 2a − 2a + c = c −10 4abc b · c 5 10ab 2b 6 4abc b 3ab 2a + 4 2(a + 2) d) e) + b c = (3b + b) · c = 4bc −120 −c = − c = 2 − c 12 a+2 a a+2 10. Párosítsd a kifejezéseket a szövegekkel! I. Két szám összegének és különbségének a szorzata. II. Két szám összege szorozva a két szám szorzatával. III. Két szám összegének a négyzete. IV. Két szám szorzatának és hányadosának az összege. V. Egy szám és a rákövetkező szám szorzata. VI. Két szám reciprokának a különbsége szorozva a két szám összegével. r +r ·s s

Z

b) x 2 + x

c) a 2 − b2

M

d)

e) p2 + 2pq + q 2

R

f) x 2 · y + xy 2

a)

g f − g f

S A O

A megfejtés egy Petőfi vers hőse. Mi a vers címe? Anyám tyúkja

60

C M Y K


c) M f) O e) R a) Z b) S d) A

Algebrai kifejezsek 11. óra Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül Tk.: 53–57. oldalon 1–40. feladatok Fgy.: 89–122. Ahogyan a mintapéldák is mutatják, a hangsúly itt a szövegnek a matematika nyelvére történő fordításán van. Érdemes rászoktatni a tanítványainkat arra, hogy ne csak a kész egyenletet írják le, de az egyes részletek fordításait is. Különösen fontos, hogy a változó jelentését szöveggel is megfogalmazzák az egyenlet felállítása előtt. Ehhez külön segítséget is adnak a feladatgyűjtemény bizonyos feladatai, amelyekben kiemeltük a szöveg lényeges elemeit, megneveztük a változókat, és a gyerekeknek csak ki kell egészíteni a sorokat a megfelelő algebrai formulával. Volt, ahol előre elkészített táblázatot adtunk a szövegekhez. Ezek a feladatok a kidolgozott példákkal együtt mintát is adnak egy-egy feladattípus megoldásához. Minden feladattípusnál szerepel legalább egy ilyen „előfőzött” feladat. Jó módszer lehet a „fordítás” megkönnyítésére, hogy egy önkényesen kiválasztott értékre kipróbálják, hogy teljesíti-e a szövegben előírt feltételeket, és ennek a számolásnak a menetét követve írják fel az egyenletet, mint a 4. példa mutatja. Sokszor segít a táblázatkészítés is. Nagyon fontos, hogy az ellenőrzés a szöveg alapján történjen. A szöveg megértése nagyon sokat jelent abban, hogy sikerül-e a feladatot egyenletté átfogalmazni. A megértést segítheti, ha előzetesen megbecsülik a választ a szöveges feladat kérdésére. Ezt nem nagyon kedvelik a gyerekek. A becslés népszerűségét növelhetjük a „becsülő játékkal”. Ez mindössze annyit jelent, hogy amikor belekezdünk egy feladat megoldásába – még mielőtt bárki bármit elkezdene írni –, mindenki megpróbálja „megsaccolni” a választ a feladat kérdésére. Tehát kitalál egy számot, ezt leírja a füzetébe, majd leírja egy kis, névvel ellátott cetlire is, amelyet összegyűjtünk. Megoldjuk a feladatot, majd kiválasztjuk azt a néhány gyereket – ez az osztály képességeitől függően lehet 1, 2 vagy akár 5 gyerek is –, akinek a tippje a legközelebb volt a valóságos eredményhez. Ezek a gyerekek jutalmat (pl. piros pontot, cukorkát) kapnak. A procedúra igényel egy kis időt, de a gyerekek becslési színvonala már néhány feladat megoldása után is meglepő mértékben javul.

Feladatok A fejezethez sokkal több feladatot közöltünk, mint amennyit a javasolt időkeretben el lehetne végezni. Mivel azonban kiemelten fontos témáról van szó, úgy gondoltuk, hogy jó, ha van elég feladat. Ezek felhasználhatók szorgalmi feladatnak, szakkörre, felvételi előkészítőre, vagy akár óra eleji bemelegítőnek más anyagrészek tanításakor. A feladatgyűjteménynek az ehhez a részhez tartozó segítő feladatai a 91., 96., 110. és a 119. feladatok. Az 1–23. feladatok nagyon elemi „fordítási gyakorlatok” könnyű számolásokkal, egyszerű egyenletekkel. Nagyon sok hasonló jellegű feladat van közöttük. A 4. és 5. feladatokban 3-3 egyenlet azonos, csak a szöveg különbözik.

61

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 53–54. oldal

A 24. feladat is erre a hasonlóságra utal. Ki kell választani a feladatok közül azokat, amelyekben a szöveg alapján két szám összegét, illetve különbségét ismerjük, és ennek alapján kell kitalálni a keresett értéket. Ez egy nehezebb feladat, kiadhatjuk nem kötelező kutatómunkának, és minden megtalált esetet jutalmazhatunk. A 29–37. feladatok váltakozó nehézségű, számjegyekkel kapcsolatos, a 25–28. pedig életkorokról szóló feladatok. Ilyenek a 38. és a 39. is, csak kicsit nehezebbek. A 40. feladat nehéz. Jó képességű osztályban vagy szakkörön nagyon alkalmas arra, hogy tanári irányítással közösen rakják össze a megoldást a tanulók. 2 része 3-mal több, mint 19? 33 3 2. Péter gondolt egy számot, hozzáadott 2,1-et, majd az összeg 5-szörösét vette. Eredményül 24,5et kapott. Melyik számra gondolt Péter? 2,8 1. Melyik az a szám, amelynek a

3. Melyik az a szám, amelynek 1 1 1 1 1 a) része, része és része összesen 65, 60 b) az része 2-vel kisebb az -ánál, 24 2 3 4 4 3 1 1 1 1 c) az -e 2-vel nagyobb az -ánál, −24 d) az része és az része megegyezik? 0 4 3 4 3 7 4. a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam -dal, majd hozzáadtam 1,5-et, és így az eredeti 8 számnál 4-gyel kisebb számot kaptam. Melyik számra gondoltam? A 44-re. b) – Hány lovad van? – kérdezték a gazdát. 7 – Ha a lovaim számát megszorzod -dal, és hozzáteszel 1,5-et, akkor a lovaim számánál 8 4-gyel kevesebbet kapsz – válaszolta a gazda. Hány lova van a gazdának? 44 lova van. c) Béla új munkahelyre ment. Amikor megkérdezték a kollégái, hogy hány éves, így válaszolt: 7 – Ha éveim számát megszorzod -dal, és az eredményhez hozzáadsz 1,5-et, akkor a 8 koromnál 4-gyel kisebb számot kapsz. Hány éves Béla? 44 éves. 5. a) Gondoltam két számra. Az egyik 15-tel nagyobb, mint a másik. Összegük 124. Melyik ez a két szám? Egyik szám 69,5, másik 54,5. b) Kelekótya Karcsi nyáron vízitúrán volt. Ezt mesélte: A túrán 15-tel több fiú volt, mint lány. Összesen 124-en voltunk. Hány fiú és hány lány vett részt a túrán?

Mivel

nincs megoldás.

1 gyerek nem túrázik, 2

c) Egy pékségben 124 kg lisztet két részre osztottak. Egyik részből kiflit, a másikból kenyeret sütöttek. A kenyérhez 15 kg-mal több lisztet használtak fel. Hány kilogram lisztből sütöttek kiflit? 54,5 kg-ból kenyeret, 69,5 kg-ból kiflit.

62

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 54–55. oldal 6. A borítékban két szám van elrejtve. A boríték külsején látod az összegüket és a különbségüket is. a) Melyik ez a két szám? Egyik szám 14, a másik szám 16. b) Készíts te is ilyen rejtvényt a társadnak! 7. Az osztályunkban 30-an vagyunk. Kettővel több a lány, mint a fiú. Hány fiú, hány lány jár az osztályunkba? 14 fiú, 16 lány. 8. a) Két borítékban korongok vannak, összesen 98 darab. Ha az egyikből áttennénk 7-et a másikba, ugyanannyi lenne bennük. Hány korong van a borítékokban? 42 és 56. b) Két polcon összesen 98 könyvünk van. Ha az egyik polcról 7 darabot áttennénk a másikra, akkor a két polcon ugyanannyi lenne a könyvek száma. Hány könyv van külön-külön a két polcon? 42 és 56. Hány könyv lenne külön-külön a két polcon, ha összesen 97 könyvünk volna a 98 helyett? Ez nem lehet, hacsak nem fél könyvek vannak a polcokon.

9. Az illatszerbolt három láda szappant kapott, összesen 414 darabot. Sárga szappan 20 darabbal, fehér szappan 34 darabbal volt több, mint rózsaszín. Hány darab szappan volt az egyes fajtákból? 120 db rózsaszín, 140 db sárga és 154 db fehér szappan. 10. Egy 2 m 60 cm-es szövetből szoknyát és blúzt varrnak. A blúzhoz 40 cm-rel több anyag kell, mint a szoknyához. Mennyi anyagra van szükség a blúzhoz, mennyire a szoknyához? 1 m 50 cm-re a blúzhoz, 1 m 10 cm-re a szoknyához.

11. Három könyvespolcon összesen 720 könyv van. Ha a harmadik polcról 35 darabot áttennénk az elsőre, akkor mindhárom polcon ugyanannyi könyv lenne. Hány könyv van az egyes polcokon? Első polcon 205 db, a másodikon 240 db, a harmadikon 275 db.

12. Az osztály kirándulni ment. Tíz perc híján 3 óráig tartott a kirándulás, 50 perccel többet mentek gyalog, mint villamossal, más járműre nem szálltak. Mennyi ideig gyalogoltak? 1 óra 50 percet. 13. Két krumpliföldön összesen 320 tonna burgonya termett. A két föld területe összesen 40 hektár, az egyik 6 hektárral nagyobb, mint a másik. Mennyi burgonya termett az egyik földön, mennyi a másikon, ha tudjuk, hogy a két területen a termésátlag azonos? Egy hektáron 320 : 40 = 8 t termett átlagosan. Egyik földdarab 17 ha, a másik 23 ha. Az egyik földön 8·17 = 136 t , a másikon 23·8 = 164 t termett.

14. Amikor én 5 éves voltam, a bátyám 9 éves volt. Most összesen 36 évesek vagyunk. Hány éves vagyok most? 16 éves. 15. Két szám összege 2, az egyik szám 1-gyel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám? 1,5 és 0,5.

16. A szörppel telt üveg 220 forintba kerül. A szörp 200 forinttal ér többet, mint az üveg. Hány forint az üres üveg? 10 Ft. 17. Egy 25 méter hosszú, 4 kg tömegű dróttekercset kétfelé vágtunk. Az egyik rész 800 grammal lett több, mint a másik. Milyen hosszú a két rész külön-külön? 1 kg drót (ha egyenletesen vastag) 25 25 25 m = 625 cm. Egyik darab 1,6 kg, a másik 2,4 kg. Az egyik darab hossza 1,6 · = 10 m, a másiké 2,4 · = 4 4 4 = 15 m hosszú.

18. Szerkeszd meg a téglalapot, ha kerülete 23 cm, és egyik oldala 1,5 cm-rel hosszabb a másiknál! A téglalap oldalai 5 cm és 6,5 cm.

63

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 55–56. oldal 19. Gergőnek és Zsuzsinak összesen 137 Ft-ja van. Ha Zsuzsi kapna még 23 Ft-ot, akkor mindkettőnek ugyanannyi pénze lenne. Hány forintja van Gergőnek, hány forintja van Zsuzsinak? Gergőnek 80 Ft-ja, Zsuzsinak 57 Ft-ja van.

20. Dininek, Marcinak és Panninak összesen 120 Ft-ja van. Ha Marci 10 Ft-ot, Dini pedig kétszer annyit adna Panninak, akkor mindhármuknak ugyanannyi pénzük lenne. Hány forintjuk van most a gyerekeknek? Dininek 60 Ft-ja, Marcinak 50 Ft-ja, Panninak 10 Ft-ja van. 21. Két raktárban összesen 385 500 tégla volt. Amikor az első raktárba még 26 400 tégla érkezett, a másikból pedig 85 700 téglát elszállítottak, akkor a két raktárban ugyanannyi tégla maradt. Hány tégla volt eredetileg a raktárakban? 136 700 db és 248 800 db volt. 22. Iskolánkban általános iskola és gimnázium is működik. A beiratkozáskor összesen 764 tanulót vettek fel. Később az általános iskolába még 26-an, a gimnáziumba 18-an iratkoztak be. Ezzel ugyanannyi lett az általános iskolások és a gimnazisták létszáma. Hány általános iskolás és hány gimnazista iratkozott be eredetileg hozzánk? 378 általános iskolás, 386 gimnazista. 23. Két könyvszekrényben együtt 1660 könyv volt. Amikor az egyik szekrényből kivettek 45 könyvet, és a másikból háromszor annyit, akkor mindegyik szekrényben ugyanannyi könyv maradt. Hány könyv volt eredetileg az egyes szekrényekben? 785 és 875 könyv. 24. Az előző feladatok között több olyan is van, amelyben két szám összegét és különbségét árulja el a szöveg, és ezek ismeretében lehet a kérdést megválaszolni. Mintha 2 borítékban elrejtenénk egy-egy számot, és elárulnánk az összegüket és a különbségüket is. Keresd meg, melyek ezek a feladatok! 5., 6., 7., 8., 10., 12., 13., 14., 15., 16., 17., 19. a+b a b a−b Amit nem ismerünk: amit ismerünk: 25. Viola és anyukája a mai napon együtt ünnepelték a születésnapjukat. Az anya éppen 31szer annyi idős, mint Viola. Két év múlva ugyanezen a napon az anya kora 11-szerese lesz Violáénak. Viola hányadik születésnapján lesz az anya 3-szor annyi idős, mint a lánya? A 15. szülinapján.

26. Bence 4 éves volt, amikor Máté született. Hány éves korukban lesznek ketten együttvéve 50 évesek? Máté 23, Bence 27 éves korában. 27. Egy 35 éves apának 10 és 6 évesek a fiai. Hány év múlva lesz a fiúk életkora együtt a) ugyanannyi, mint az apjuké, 19 év múlva b) feleannyi, mint az apjuké? 1 év múlva 28. Viola, Boglárka és Kata együtt 24 évesek. Azt is eláruljuk, hogy egyenlő időközökben születtek. a) Hány évesek lehetnek a gyerekek? Lehetnek 7, 8, 9;

6, 8, 10;

5, 8, 11;

4, 8, 12;

3, 8, 13;

2, 8, 14; 1, 8, 15;

0, 8, 16 évesek.

b) Találd ki, hogy a három lány közül a középső lány óvodás, alsó tagozatos, felső tagozatos vagy gimnazista! A középső lány mindenképpen 8 éves, tehát alsó tagozatos. c) Lehet-e a legidősebb gyerek óvodás, alsó tagozatos, felső tagozatos vagy gimnazista? A legidősebb nem lehet óvodás, de bármi más lehet.

29. A szövegek és a képletek is kétjegyű egész számokról szólnak. A kártyákon a szám számjegyei állnak. A képletek a számértékét adják meg, az a egyjegyű egész számot jelent ezekben a képletekben. Párosítsd össze az összetartozó szövegeket és képleteket!

64

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 56. oldal a) A kétjegyű szám első jegye a, a második jegye 2.

a 2

A)

10a + a + 2

b) A kétjegyű szám első jegye a, a második 2-vel több.

a

B)

10a + 2

C)

10a + 2a

D)

10 · 2 + a

c) A kétjegyű szám második jegye kétszer akkora, mint az a első. d) A kétjegyű számban 2-vel több tízes van, mint egyes. a e) A kétjegyű számban kétszer annyi tízes van, mint egyes.

E) 10 · (a + 2) + a

a

f) A kétjegyű szám első jegye 2, a második jegye a.

10 · 2a + a

F)

A párosok: a)–B), b)–A), c)–C), d)–E), e)–F), f)–D).

30. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 12. Ha a jegyeit felcseréljük, 18-cal nagyobb számot kapunk. Melyik az eredeti szám? 57 31. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 10. Ha a számjegyeket felcseréljük, az új szám kétszerese az eredeti számnál 1-gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? 73 32. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 9. Ha a számjegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti háromszorosánál 27-tel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? 18 33. Egy kétjegyű szám egyik jegye kettővel kisebb, mint a másik. Ha a jegyeit felcseréljük, a kétszeresénél 6-tal kisebb számot kapunk. Melyik az eredeti kétjegyű szám? 24 34. Egy kétjegyű szám egyik jegye kétszer akkora, mint a másik. Ha a számból kivonjuk a jegyei felcserélésével keletkezett számot, 27-et kapunk. Melyik az eredeti szám? 63 35. Egy kétjegyű szám egyik jegye 3-szor akkora, mint a másik. Ha a jegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti kétszeresénél 15-tel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? 39 36. Egy kétjegyű szám egyik jegye kétszerese a másik jegynek. Ha a jegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti felénél 3-mal nagyobb. Melyik ez a szám? 42 37. Egy kétjegyű szám jegyeinek az aránya 2 : 3. Ha a jegyeket felcseréljük, az így kapott szám fele 14-gyel kisebb az eredeti számnál. Melyik az eredeti szám? 46 38. Ádám születésekor édesanyja 30 éves volt. Ádám egy idő óta minden születésnapján kiszámolja, hogy anyukája életkora éppen hányszorosa az övének. Ha ez egész szám, akkor ezt külön megünnepelik. Hány ilyen születésnapot ünnepelhet meg Ádám? Ádám életkora

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

15

...

30

Anya életkora

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

45

60

Az arány

31

16

11

34 4

7

6

37 7

38 8

39 9

4

3

2

Ha Ádám kora x, akkor anya életkora 30 + x. 30 + x 30 = + 1 ez akkor egész, ha Ádám életkora 30-nak osztója. x x

39. Most kétszer olyan idős vagyok, mint te voltál akkor, amikor én annyi idős voltam, mint te most. Amikor pedig te leszel annyi, mint én most, akkor ketten együtt éppen 63 évesek leszünk. Hány éves vagyok? A feladat nehézsége a megértésben van. Ezt egyszerűsíti, ha táblázatot készítünk:

65

C M Y K



ÉN

TE

régen, amikor annyi idős voltam, mint te most

Ha a gyerekeket megkérjük, hogy tetszőlegesen választott ÉN most és TE most értékekkel töltsék ki a táblázatot, észrevehetik, hogy a szomszédos rubrikák különbsége mindenütt ugyanannyi, éppen a két életkor különbsége. ÉN most – TE most.

most

Válasszuk ezt x-nek.

majd, amikor annyi idős leszel, mint én most

Így ÉN most és TE régen között 2x a különbség.

De ÉN most az a TE régen 2-szerese, tehát éppen 4x. Ennek alapján a táblázat így tölthető ki: Az ÉN majd és TE majd összegéről tudjuk, hogy 63. Tehát

ÉN

TE

régen

3x

2x

ÉN most = 28, TE most = 21.

most

4x

3x

majd

5x

4x

Ellenőrzés: Mikor ÉN 21 éves voltam TE 14 éves voltál. Ennek 28 valóban kétszerese. Mikor TE 28 éves leszel, ÉN 35 leszek, ezek összege pedig 63.

5x + 4x = 63

x=7

40. Görögországi nyaraláskor egy 86 fős turistacsoport két részre oszlott aszerint, hogy ki melyik programot választotta. Az egyik csoport meglátogatta a híres Meteora kolostorokat, a másik csoport a tengerparti fürdőzést választotta. A Meteorákhoz ment a társaság nagyobbik fele. Az a)–g) állítások mindegyike igaz, de nem áruljuk el, hogy a fürdőzőkről vagy a kirándulókról szól-e. Írj melléjük F vagy K betűt aszerint, hogy melyik szól a fürdőzős csoportról, és melyik a kirándulós társaságról! a) Az ebben a társaságban lévő emberek negyedrésze több, mint a másik társaság létszáma. K b) Ebben a társaságban 6-szor annyi nő van, mint férfi. F c) Ebben a társaságban csak házaspárok vannak. K d) Ennek a csoportnak a létszáma osztható 4-gyel. K e) Ennek a társaságnak a létszáma 9-cel osztható szám. K f) Az ebben a társaságban lévők száma 7 többszöröse. F g) Ebben a társaságban 8-szor annyian vannak az 50 év alattiak, mint az 50 évnél idősebbek. K Tudod-e, hogy melyik társaságban hányan vannak? K = 72 F = 14 Tudjuk, hogy a kirándulók vannak többen. Ezért a) nyilván a kirándulókról szól. Mivel összesen 86-an vannak, a) feltételből az is következik, hogy a másik társaságban nem lehet 86 86 ötödrészénél több ember. Tehát F . Ebből következik, hogy (mivel emberekről van szó): F 17, és 5 akkor persze az is, hogy: K 69.

=

5

5

c) feltételből következik, hogy az egyik társaságban páros számú ember van, de mivel együtt 86-an vannak, ez igaz a másik társaságra is.

66

C M Y K


Algebrai kifejezsek f) szerint az egyik társaság létszáma 7-tel osztható. Mivel páros is, ez azt jelenti, hogy 14-gyel is osztható. Ez csak háromféleképpen lehetséges: vagy F = 14, akkor K = 72 vagy K = 90, akkor F = 16 vagy K = 84, akkor F = 2 e) feltétel szerint az egyik társaságban 9-cel osztható az emberek száma, ennek alapján csak az F = 14 K = 72 eset marad. Ebből következik, hogy b) és f) a fürdőzőkről szól és 12 nő, illetve 2 férfi tartozik ide. c) a kirándulókról szól, mert csak itt lehetnek csupa házaspárok, 36 nő és 36 férfi. d), e) és g) a kirándulókról szól, akik között 64 ember 50 év alatti és 8 ember 50 év feletti.

12. óra Mozgásos feladatok Tk.: 60–62. oldalon 1–12. feladatok Fgy.: 123–136.

A feladatok megoldásához elengedhetetlen, hogy a gyerekek biztonságosan értsék az egyenletesen mozgó test által megtett út, a mozgás ideje és a test sebessége közötti összefüggést. Azt, hogy az út és az idő, az út és a sebesség egyenesen, a sebesség és az idő pedig fordítottan arányosak. Gyengébb képességű osztályban inkább maradjunk a legegyszerűbb feladatoknál, de ne mondjunk le arról, hogy ezeket az alapvető összefüggéseket valóban megértsék a tanítványaink. Ennél a feladattípusnál jó segítség a táblázat. Egy jó ábra vagy egy grafikon is nagyon hasznos lehet. Ezek azonban eszközök itt és nem célok, ha a grafikus ábrázolás a tanítványainknak több nehézséget okoz, mint amennyi segítséget jelent, akkor nem érdemes erőltetni. A feladatgyűjteményben van néhány munkalap jellegű feladat, ami segítheti a megértést és mintát adhat arra, hogyan készíthetünk magunknak matematikai ábrát egy-egy ilyen feladathoz.

Feladatok Az 1. feladat az s = v · t összefüggést hivatott megvilágítani szemléletes és érdekes adatokon keresztül. Ne hagyjuk ki ezt a feladatot! A mértékegység-átváltások és a törtekkel való számolás is gyakoroltatható vele. A számok általában „jóindulatúak”. Elkezdhetjük közösen, órai munkában. A szöveg elképzelését, rajzos követését segítik a feladatgyűjtemény 123. és 124. feladatai. Gyenge osztályokban mindenképp oldjuk meg őket! A 2–8. szokványos feladatok. Felvételire készülő gyerekekkel végeztessük el mindegyiket! A 9. és a 10. nem igazán mozgásos feladatok, azért kerültek ide, mert ezekben is megjelenik a sebesség fogalma, méghozzá igen szemléletes formában. Gyengébb képességű gyerekek szemléletének fejlesztésére is alkalmasak ezek a problémák, és talán segíthetik őket a mozgásos feladatok megértésében is.

67

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 60. oldal 1. Az adatok egy-egy állat, illetve az ember csúcsteljesítményeiről szólnak. Futóversenyen vagy menekülés közben mért adatokat találsz a táblázatban. Töltsd ki a hiányzó adatokat! Kerti Házi Zsiráf csiga sertés Oroszlán Kenguru Egér Zebra Mókus Távolság 102 km 2m 3 km 60 km 4 km 2160 m 8 km 5 km 2h = 120

3

1h = 10 6

45

5

10

7,5

15

51

0,04

18

80

48

12,96

64

20

Fajta Távolság

Sólyom

Ember 25 m

Nyúl 7 km

Csirke 4,5 km

Óriás teknős 90 m

Idő

34 perc

Elefánt 10 km 1 óra 4

2s

7,5 perc

20 perc

20 perc

40

45

56

13,5

0,27

Idő [perc]

Sebesség

km

h

158 km

Sebesség

km

280

h

Állítsd sorba az élőlényeket sebességük szerint! kerti csiga < óriás teknős < egér < csirke < < házi sertés < mókus < elefánt < ember < kenguru < zsiráf < nyúl < zebra < oroszlán < sólyom

Látsz-e összefüggést az állatok sebessége és mérete között? Nincs összefüggés. 2. Kati és Éva 800 méterre laknak egymástól. Kati átlag 45 métert, Éva 55 métert tesz meg percenként. Hány perc múlva találkoznak, ha egyszerre indulnak el egymás felé? 8 perc múlva. 3. Két, egymástól 14 km távolságra fekvő faluból egy időben indul el egymással szemben két km km gyerek, az egyik gyalog 4,5 , a másik kerékpáron 16,5 sebességgel haladt. Az indulásuk h h után hány perc múlva találkoztak, és ekkor mekkora távolságra voltak a két falutól? 40 perc múlva találkoztak, 3 km és 11 km távolságra a két falutól.

4. Egy faluból két gyalogos ment a városba. Az egyik egy órával előbb indult, és egy órával később érkezett a városba, mint a másik. Az első óránként 4 km-t, a másik pedig óránként 6 km-t haladt. Milyen messze van a falu a várostól? 24 km-re. 5. Egy állomásról egymás után két óra különbséggel két vonat indul. Az első óránként 48, a második óránként 60 km-t halad. Hány óra múlva éri utol a második vonat az elsőt? 8 óra múlva.

6. A Sopron és Tatabánya közötti utat 72

km sebességgel 20 perccel több idő alatt lehet megtenni, h

km sebességgel. Milyen hosszú a két város közötti út? 168 km. h 7. Egy gyalogos és egy kerékpáros 8 órakor ugyanarról a helyről indult a 12 km-re fekvő városba: km km , a kerékpáros 18 sebességgel haladt. A kerékpáros húsz percet időzött a a gyalogos 6 h h városban, azután visszafordult, és ugyanazon az útvonalon haladt hazafelé, mialatt a gyalogos – megállás nélkül – a város felé közeledett. A várostól milyen távol, és mikor találkozott a kerékpáros a gyalogossal? 1h 15 múlva, az indulástól 7,5 km távolságban. mint 84

68

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 61. oldal 8. A motoroshajó távoli, tengeri útra indult. Amikor a parttól 180 mérföldre távolodott, sürgős postával utánaküldtek egy hidroplánt. A hidroplán sebessége tízszer akkora volt, mint a hajóé. A parttól milyen távol érte utol a hajót? 200 mérföldre. 9. Egy fél cm átmérőjű gyertya égését figyeltük. A megfigyelést akkor kezdtük, amikor egy 6 cmes darab volt a gyertyából. A gyertya egyenletesen, 12 perc alatt égett le. Percenként hány milliméterrel lett rövidebb?

Készíts a füzetedben rajzot a gyertya hosszának változásáról! a) Mikorra lett feleakkora a gyertya, mint a megfigyelés kezdetén (0 perckor) volt? 6 perc múlva. b) Mikorra lett a gyertyacsonk 2 cm-es? 8 perc múlva. c) Milyen magas volt a gyertya a megfigyelés előtt 5 perccel? 8 és fél cm-es. d) Mekkora lehetett eredetileg a gyertya, ha a megfigyelés előtt 10 perccel gyújtottuk meg? 11 cm-es.

10. Két gyertyánk van. Ha meggyújtjuk őket, egyenletes sebességgel fogynak. 1 Az egyik 15 cm hosszú és 2 óra alatt ég le. 2 A másik 25 cm hosszú és 50 perc alatt ég le. a) Mikor lesznek egyenlő hosszúak, ha egyszerre gyújtjuk meg a két gyertyát? 25 perc múlva. b) Mikor lesznek egyenlő hosszúak, ha a hosszabb gyertyát 1 órával később gyújtjuk meg? 100 perc múlva.

c) Mikor gyújtsuk meg a hosszabb gyertyát, ha azt akarjuk, hogy egyszerre égjenek le? Amikor a rövidebbik már 100 perce ég.

11. Két tengeri kikötőből – nevezzük azokat A-nak és B-nek – egy időben indult el egy-egy hajó. Az A-ból induló a B-be, a B-ből induló az A-ba tartott. Az egyik hajó 4 óra, a másik 6 óra múlva ért a céljához, miközben találkoztak. Amikor elindultak, felszállt egy helikopter is az A kikötőből, és ellenőrizte a két hajót. Ide-oda röpködött a két hajó között, óránként 300 kilométert tett meg. Az indulás után hány óra múlva találkozott a két hajó, és ezalatt mekkora utat tett meg a helikopter? Készítsünk táblázatot!

69

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 62. oldal Mivel ugyanazt a távolságot teszik meg tA · vA = tB · vB , azaz vA : vB = tB : tA = 6 : 4. Ebből következik, hogy a találkozási pont az AB távolságot 6 : 4 arányban osztja, tehát az út 0,6-énél van A-tól számítva. Ezt az A-ból induló hajó a 4h 0,6-része alatt teszi meg, tehát 2,4h múlva találkoznak. Ezalatt a helikopter 2,4 · 300 = 720 km-t tesz meg.

s

t

v

A-ból induló hajó

AB

tA = 4 h

vA

B-ből induló hajó

BA

tB = 6 h

vB

12. Két motorkerékpáros egy időben indult el kirándulni. Egyenlő távolságot tettek meg, és egy időben is érkeztek haza. Az úton mindketten megpihentek. Annyit tudunk, hogy az egyik kétszer annyi ideig volt úton, mint amennyit a másik pihent, a másik pedig háromszor annyit volt úton, mint amennyit az első pihent. Melyik haladt gyorsabban? (Korgyemszkij: Matematikai fejtörők)

A következő szakaszok az egyes motorosok kiinduló idejét, az úton töltött időt, és a pihenőidőt ábrázolják.

1. motoros

x

úton töltött idő

y

pihenő

y

x + 2y = 3x + y y x x 2. motoros y = 2x pihenő úton Az ábrából leolvasható, hogy a második motoros pihenőideje kétszerese az első motoros pihenőidejének. Tehát a második motoros kevesebb idő alatt teszi meg ugyanazt az utat, azaz ő a gyorsabb. x

13–14. óra Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok Tk.: 64–65. oldalon 1–11. feladatok Fgy.: 137–145. Ebben a részben az egyik nehézség a gyerekek számára, hogy az elvégzendő munka mennyiségét 1 egységnek érdemes választanunk. Jobb osztályokban megmutathatjuk, hogy ez nem szükségszerű, tetszőleges más mennyiség is ugyanolyan jó. A feladatok megoldása annál könnyebb, minél jobban értik a tanítványaink az arányosságokat. Segíthet nekik, ha hangsúlyozzuk, hogy az mindig segít, ha az egy időegység (óra, perc stb.) alatt elvégzett munkával okoskodnak. Ez valójában a teljesítmény, aminek a fogalmát fizikából ismerhetik, és sok szempontból analóg a mozgásos feladatok sebességfogalmával.

70

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 64. oldal Feladatok Az 1. és a 2., valamint a feladatgyűjteményben a 137. bevezető feladatok. A 2. feladat több részkérdésen át vezeti el a gyerekeket az összetett feladat megoldásához. Az 1. feladat közel van a gyerekek képzeletvilágához, azonkívül nagyon természetesen adódik benne a teljesítmény kiszámításának szükségessége. A feladatgyűjteményben szereplő 137. feladat grafikonnal szemlélteti a feladat szövegét. Ezeket a feladatokat érdemes alaposan megbeszélni az osztályban. A közös megbeszélés jó alapot adhat a további feladatmegoldáshoz. 1. A mindenízű drazsét gyártó vállalkozás kezdetben egyetlen géppel dolgozott. A termék annyira népszerű lett, hogy hamarosan egy második, modernebb, majd rövid idő múlva egy harmadik, csúcsszuper gépet is beindítottak. Mindegyik gépről közlünk egy-egy adatot. Találd ki, hogy melyik gép dolgozott először, melyik a modernebb, és melyik a csúcsszuper!

11 óra alatt 363 db-ot gyárt


csúcsszuper gép 1 óra alatt 33 db


első gép 1 óra alatt 28 db

modernebb gép 1 óra alatt 30 db

A három gép naponta 13 óra hosszat együtt dolgozik. Egy nap alatt hány szem drazsé készül? 1 óra alatt 33 + 30 + 28 = 91 db, 13 óra alatt 91 · 13 = 1183 db készül.

2. Gondos Géza, Ügyes Béla, Belevaló Józsi és Szorgos Ádám jó barátok. Ugyanakkora földet művelnek mind a négyen. Április 12-én is kinn voltak mindannyian a határban. 1 Gondos Géza 6 órát töltött munkával a földjén és így a föld -én végezte el a tavaszi talaj5 1 előkészítést. Ügyes Béla 5 órát töltött kinn és a földje -ével végzett. Belevaló Józsi 4 óra alatt 4 1 1 földje -ével készült el, Szorgos Ádám 8 órát dolgozott és a földje -át művelte meg ezalatt. 5 3 a) Melyikük művelte meg 1 óra alatt a legnagyobb földterületet? b) Hány óra alatt végeznek az egyes gazdák a földjükkel? c) Egy földdarabot a négy ember együtt mennyi idő alatt művelne meg? Gondos Géza

6 óra alatt

1 részt, 5

1 óra alatt

1 részt 30

Ügyes Béla

5 óra alatt

1 részt, 4

1 óra alatt

1 részt művelt meg. 20

71

C

M

Y

K


Algebrai kifejezsek Tk.: 64–65. oldal 1 1 részt, 1 óra alatt részt. 5 20 1 1 Szorgos Ádám 8 óra alatt részt, 1 óra alatt részt. 3 24 a) Béla és Józsi voltak a leggyorsabbak, ők egyforma tempóban dolgoztak. b) Gondos Géza 30 óra alatt, Ügyes Béla 20 óra alatt, Belevaló Józsi 20 óra alatt, Szorgos Ádám 24 óra alatt végez. 1 1 1 1 4+6+6+5 21 1 + + + = = ≈ -részt művelnek meg. c) Négyen együtt 1 óra alatt 30 20 20 24 120 120 6 120 Ezért egy egész földdarabot közel 6 óra alatt óra művelnek meg. 21 Belevaló Józsi

4 óra alatt

3. Két munkás üvegkancsókat fúj. Az első három óra alatt 8 kancsót készít, míg a másik 6 óra alatt végez ugyanennyivel. Hány óra alatt készítenek el 8 kancsót ketten együtt? 2 óra alatt. 4. A gazdaság gabonáját a nagyobb teljesítményű gép 32 nap alatt aratja le, a kisebbik 40 nap alatt. Hány nap alatt lesz készen az aratás a két géppel?

160 = 17,7 nap alatt. 9

5. A talpfákat három fűrésztelep szállítja. Az egyik 5, a másik 6, a harmadik 7 nap alatt tudná az összes talpfát leszállítani. Mennyi idő alatt szállítják le a talpfákat együtt? x =

210 ≈ 2 nap alatt. 107

6. Egy víztartályt két csövön át lehet megtölteni vízzel. Az egyik csövön négy óra alatt, a másik csövön öt óra alatt telik meg. Mennyi ideig kell nyitva tartani a két csövet, ha egyszerre mindkettőből folyik a víz?

20 2 = 2 h ≈ 2h 13 -ig. 9 9

7. A medencét az egyik cső 54 perc alatt, a másik 1 óra 48 perc alatt tölti meg. Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha mind a két cső nyitva van?

108 = 36 perc alatt. 3

8. Egy lakás parkettázásával az egyik munkás 40 óra alatt, a másik 48 óra alatt, a harmadik 60 óra alatt lenne készen. Hány óra alatt lesznek készen a munkával együtt? 16 óra alatt. 9. Egy tartályba 3 csapon át folyhat a víz. Ha egy-egy csap van nyitva, a tartály 1 óra, 2 óra, illetve 3 óra alatt telik meg. Mi történik, ha mindhárom csapot kinyitjuk? tartály.

1 16 ≈ óra alatt megtelik a 11 2

10. Feri a kertjüket 8 óra alatt tudja felásni, míg a bátyja 6 óra alatt végez ugyanezzel a munkával. Egy alkalommal ketten fogtak az ásáshoz, s két órát dolgoztak együtt, majd Feri egyedül folytatta a munkát, és be is fejezte. Hány órát ásott Feri? 1 1 -ét ássa fel. Bátyja 2 óra alatt a kert -át ássa fel. 4 3 7 7 5 1 1 1 , azaz a kert részét ássák fel, megmarad része. Feri egyedül 1 óra alatt Ketten együtt + = 3 4 12 12 12 8 5 1 10 résszel végez, a maradék felásásához tehát : = órára van szüksége. 12 8 3 10 = 2h 20 . Tehát Feri 4h 20 -et ásott. 3 Feri 2 óra alatt a kert

72

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 65. és 66. oldal

11. Egy tartályba egy kék, egy piros és egy zöld csapon át engedhetünk vizet. A piros csap egyedül 3 óra alatt tölti meg a tartályt. A piros és kék csap együtt 2 óra alatt, a három csap együttesen pedig 1 óra alatt tölti meg a tartályt. Külön-külön hány óra alatt töltik meg ezek a csapok a tartályt? 1 1 tartályt tölt meg. A piros és kék csap együtt 1 óra alatt tartályt tölt meg, 3 2 1 tehát a kék csap egyedül 1 óra alatt tartályt tölt meg. A piros, a kék és a zöld együtt 1 óra alatt tölti meg a 6 1 tartályt, tehát a zöld 1 óra alatt tartályt tölt meg. 2 A piros csap egyedül 1 óra alatt

Külön-külön:

piros kék zöld

3 óra 6 óra 2 óra

alatt tölti meg.

15. óra Százalékszámítással kapcsolatos feladatok Tk.: 66–67. oldalon 1–9. feladatok Fgy.: 146–155. A százalékszámítással foglalkozó feladatok nem igazán tartalmaznak új gondolatokat. A százalékszámítás kezdettől fogva gyakorlati problémák megoldásához kötődött, ez a fejezet tehát teljes egészében ismétlés, összefoglalás. Új gondolatot csak a százalékszámításnak a keveréses feladatokban való alkalmazása jelent.

Feladatok Az 1–4. feladatok a százalékszámítás legfontosabb gondolatait felelevenítő ismétlésként szolgálhatnak. – Az 1. feladatban meg kell keresni a 100%-ot jelentő mennyiséget a feladatok szövegében. Gyakori probléma a százalékszámítással kapcsolatban, hogy a nehézségekkel küszködő tanuló nem ismeri fel a százalékszámítás alapját, vagyis a 100%-ot. – A 2–4. feladatokban egy-egy szöveghez kell a megfelelő megoldásterveket kiválasztani. A 2. feladatban a keresett százalék értéke, a 3. feladatban a százalékláb, a 4. feladatban a százalék alapja az ismeretlen. 1. Melyik feladatban adták meg a 100%-ot, és melyikben kell azt neked kiszámítanod? a) Mennyi 225 -nek a 15 százaléka? b)

Melyik számnak

a 15%-a a

225 · 15 = x x ≈ 34 100 x 34,15? · 15 = 34,15 100

x ≈ 228

73

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 66–67. oldal 125 · x = 213 x ≈ 170% 100 130 Hány százaléka 52 a 130 -nak? · x = 52 x = 40% 100 85 · x = 13 x ≈ 63% A 13 hány százaléka a 85 -nek? 100 22 = 22% A 22 a 100 -nak hány százaléka? x = 100 22 A 22 -nek hány százaléka a 100? · x = 800 x ≈ 455% 100 x · 22 = 100 x ≈ 455 Melyik számnak a 22%-a a 100? 100

c) Hány százaléka 125 -nek a 213? d) e) f) g) h)

Az a)–e) feladatok mindegyikében jelöld x-szel az ismeretlent! Írj a feladatokról egy-egy egyenletet! Nem kell megoldanod, elég ha megbecsülöd! 2. Csizmás Kandúr csizmát vásárol szezonvégi kiárusításban, az eredeti árnál 42%-kal olcsóbban. Melyek azok az egyenletek, amelyek megadják, hogy mennyit kell fizetni a csizmáért? a) és e) Az eredeti ár 14 000 Ft volt. 58 42 a) 14 000 · = x jó b) 14 000 − = x nem jó 100 100 c) 14 000 · 0,42 = x nem jó

d) 14 000 : 100 · 42 = x nem jó

e) 14 000 − 14 000 · 0,42 = x jó

f) 14 000 − 14 000 · 0,58 = x nem jó

3. Hány százalékos volt az árleszállítás, ha 680 Ft helyett 430 Ft-ért vettünk 1 labdát? Válaszd ki azt az egyenletet, amelyben x a kérdésre válaszol! b) és f) x x a) 680 − x · 680 = 430 nem jó b) 680 − · 680 = 430 jó c) 680 · = 430 nem jó 100 100 x d) 430 · = 680 nem jó 100 g) x =

430 · 100 680

680 e) 430 : = x nem jó 100

100 − x f) 680 100

= 430 jó

nem jó

4. Mennyi volt Nóra fizetése januárban, ha a februári 30%-os fizetésemelés után 169 000 Ft lett? Válaszd ki azokat az egyenleteket, amelyek megadják Nóra januári fizetését! b), c), d), f) a) 169 000 ·

130 = x nem jó 100

d) x + 0,3x = 169 000 jó g) x ·

b)

x · 130 = 169 000 jó 100

e) x + 1,3x = 169 000 nem jó

c) 169 000 : 1,3 = x jó f) x · 1,3 = 169 000 jó

30 = 169 000 nem jó 100

5. A Semmiresejó Bt. háromféle terméket forgalmaz: kütyüt, ketyerét és mütyürt, 100, 200, illetve 300 petákért darabjukat. Gyereknap előtt minden termék árát 30%-kal felemelték. Egy hónap múlva minden cikket kiárusítottak 40%-kal olcsóbban. Az eredeti árhoz képest áremelést vagy árleszállítást jelentett ez? Hány százalékot? A ·

130 60 78 · = A· 22%-os az 100 100 100

árleszállítás.

74

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 67. oldal 6. Egy árucikk árán kétszer változtattak. Döntsd el, hogy ez végül áremelést vagy árcsökkentést eredményezett-e, és hány százalékost! Első árváltoztatás Második árváltoztatás Ennyi %-kal emelkedett vagy csökkent az eredeti ár 30%-os emelés

10%-os emelés

43%-os emelés

13 · 11 = 1,43

50%-os emelés

20%-os emelés

80%-os emelés

1,5 · 1,2 = 1,8

10%-os csökkentés 10%-os emelés

1%-os csökkentés

0,9 · 1,1 = 0,99

40%-os emelés

50%-os csökkentés

30%-os csökkentés

1,4 · 0,5 = 0,7

40%-os emelés

30%-os csökkentés

2%-os csökkentés

1,4 · 0,7 = 0,98

7. A téli vásár alkalmával egy család kétféle ingből összesen 8 darabot vásárolt. Az egyik fajtából 40%-os, a másik fajtából 28%-os volt az árkedvezmény. Az utóbbiból egy ingért 2592 Ft-ot, a másik fajta ing darabjáért 2040 Ft-ot, összesen 19 080 Ft-ot fizettek. Mennyit takarított meg a család azzal, hogy a téli vásárkor vette meg az ingeket? 2592 · x + 2040 · (8 − x) = 19 080

Az elsőből 3-at, a másodikból 5-öt vettek.

Eredeti ár

Új ár

Első ing

a

a · 0,6 = 2040

a=

2040 = 3400 Ft 0,6

Második ing

b

b · 0,72 = 2592

b=

2592 = 3600 Ft 0,72

3 · 3400 + 5 · 3600 − 19 080 = 9120 Ft a megtakarítás.

8. Egy textilüzem két műhelyében együttesen egy hónap alatt 12 400 m2 vásznat szőttek. A munka jobb megszervezésével az első műhelyben 12%-kal, a másikban 8%-kal növelték a termelésüket. Így a következő hónapban az első műhely dolgozói 798 m2 -rel több vásznat szőttek, mint a másik műhely dolgozói. Hány négyzetméter vásznat termelt ebben a hónapban a két műhely együtt és külön-külön? Legyen x az első műhely eredeti termelése. Így a második műhelyé 12 400 − x. Első műhely új termelése: 1,12x Második műhely új termelése: (12 400 − x) · 1,08 1,12x = 1,08 · (12 400 − x) + 798 x = 6450 12 400 − x = 5950 Az új termelés az első műhelyben 7224 m2 , a másodikban 6426 m2 , együtt 13 650 m2 vásznat termelt.

9. Egy gyár az egyik évben 50%-kal, a következő évben 20%-kal növelte a termelését. Így a második évben 15 300 darabot állított elő termékéből. Hány darab volt a termelés eredetileg, és hány darab a harmadik évben? Első évi termelés:

10 200

Harmadik évi termelés:

18 360

75

C M Y K



16. óra Keveréses feladatok Tk.: 69. oldalon 1–9. feladatok Feladatok 1. Kétféle kávéból 240 kg-ot kevernek össze: a jobb minőségűből 2330 Ft 1 kg ára, a másik fajtából Ft 1270 Ft. A keveréket 1800 -os áron akarják eladni. Hány kilogramm kávét használjanak fel kg a keverékhez az egyik, és mennyit a másik fajtából? Tömeg [kg]

Egységár [Ft/kg]

Ár [Ft]

x 240 − x

2330 1270

x · 2330 (240 − x) · 1270

240

1800

240 · 1800

Jobbik kávé Gyengébb kávé Keverék

x · 2330 + (240 − x) · 1270 = 240 · 1800 x = 120 A jobbik kávéból 120 kg, a gyengébb minőségűből is 120 kg-ot kell tenni a keverékbe.

2. Mennyi vizet kell öntenünk 30 liter 80◦ -os erősségű alkoholhoz, hogy 50◦ erősségű alkoholt kapjunk? Teljes térfogat [l]

Töménység [%]

Alkohol

30

80

Víz Keverék

x (30 + x)

0 50

Tömény anyag [l] 30 ·

80 = 24 100 0 24

(30 + x) ·

1 = 24 2

x = 18 l.

3. Mennyi vizet kell a 320 gramm 10%-os rézgálicoldathoz tölteni, hogy a keverék 4,5%-os legyen? 391,1 gramm vizet. 4. 110 gramm 80%-os alkoholhoz 90 gramm vizet adunk. Hány százalékos alkoholt kapunk? 80 = 88 g tiszta alkohol van. 100 Ehhez 90 g vizet adunk, így 200 g x%-os alkoholt kapunk, amiben 88 g tiszta alkohol van. x 200 · = 88 100 x = 44, tehát a keverék 44%-os lett. 110 g 80%-os alkoholban 110 ·

Keveréses feladatoknál célszerű az adatokat táblázatba foglalni. Vigyázni kell arra, hogy a tömegek (térfogatok) összeadódnak, de a százalékok nem! Teljes tömeg [g]

Töménység %-ban Tömény anyag tömege [g] 110 ·

80 = 88 100

Eredeti anyag

110

80%

Hozzáadott anyag

90

0%

0

Keverék anyag x 200 · = 88 100

200

x%

88

x = 44

Tehát a keverék 44%-os.

76

C M Y K


Algebrai kifejezsek Tk.: 69. oldal 5. 220 gramm 12%-os cukoroldathoz 80 gramm vizet öntünk. Hány százalékos oldatot kapunk? Teljes tömeg [g]

Töménység [%] Tömény anyag tömege [g]

Eredeti anyag

220

12

Hozzáadott anyag

80

0

12 − 26,4 100 0

Keverék

300

x

26,4

300 ·

x = 26,4 100

x = 8,8

220 ·

Tehát az oldat 8,8%-os.

6. Fél liter 70%-os gyümölcsszörpöt vásároltunk. a) Mennyi valódi gyümölcslét tartalmaz ez? b) Felhígítottuk vízzel úgy, hogy 20%-os töménységű legyen. Mennyi vizet töltöttünk hozzá? Teljes térfogat [l]

Töménység [%]

Gyümölcstartalom [l]

Eredeti szörp

0,5

70

0,5 · 0,7 = 0,35

Víz Hígított szörp

x 0,5 + x

0 20

0 0,35

(0,5 + x) ·

20 35 = 100 100

x = 1,25

1,25 l vizet kell hozzáöntenünk.

7. Hány kilogramm vizet kell elpárologtatni ahhoz, hogy 8 kg 30% sót tartalmazó oldatból 50%-os oldatot kapjunk? Teljes tömeg [kg]

Töménység [%]

Só tömege [kg]

Eredeti oldat

8

30

8 · 0,3 = 2,4

Víz Sűrített oldat

x 8−x

0 50

0 2,4

8−x = 2,4 2

x = 3,2

3,2 kg vizet kell elpárologtatni.

8. 100 gramm 15%-os töménységű oldathoz 25 gramm vizet öntünk. Hány százalékos oldatot kapunk? Teljes tömeg [g]

Töménység [%]

Oldat

100

15

Víz Hígított oldat

25 125

0 x

125 ·

x = 15 100

x = 12

Tömény anyag [g] 100 ·

15 = 15 100 0 15

12%-os lett az oldat.

9. Ugyanannak a savnak 8 liter 45%-os és 4 liter 60%-os oldatát összekeverjük, hány százalékos oldatot kapunk? Teljes térfogat [l]

Töménység [%]

Egyik savas oldat

8

45

Másik savas oldat

4

60

45 = 3,6 100 4 · 0,6 = 2,4

Keverék

12

x

6

x = 50

Tömény anyag [l] 8·

Tehát 50%-os a keverék.

77

C M Y K



TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ 1. 3 kg almát x Ft-ért vásárolunk. A körte kilója 20 Ft-tal drágább, mint az almáé. Írj képletet, ami megadja, hogy: x a) mennyibe kerül 10 kg alma, · 10 Ft b) mennyibe kerül 10 kg körte,

3 x

3

+ 20 · 10 Ft

c) mennyit kell fizetni, ha 12 kg almát és 9 kg körtét veszünk,

x x · 12 + + 20 · 9 Ft-ot. 3 3

d) 6 kg körtét és valamennyi almát vásároltunk! Összesen 1200 Ft-ot fizettünk. Írj képletet, ami x x megmondja azt, hogy hány kg almát vettünk! a kg almát vettünk, akkor · a + + 20 · 6 = 1200 3

3

2. Végezd el a lehetséges összevonásokat! a) a + a 2 − 5,5a = −4,5a + a 2 b) ab2 − 2ab + 5,1ab2 + a 2 b = 6,1ab2 − 2ab + a 2 b 1 5 2x y 7 9 7 3 c) x − y + + +2 = x− y+2= x− y+2 6 6 6 2 2 3 3 6 3. Bontsd fel a zárójeleket, és végezd el az összevonásokat! a) 5(2a − 3b) − (8a − b) = 2a − 14b b) 3x(x − y) − 2xy + (xy − y 2 ) = 3x 2 − 4xy − y 2 2x x − 2 3x + 1 5 5 c) = x− + + 3 6 3 2 6 4. Oldd meg az egyenleteket! a) 3(x − 4) − (5 − 2x) = 5(2x − 1) − 27 x = 3 c) 3x −

b) −2x +

3x − 9 =9 x=3 4

5. Írd fel hatvány alakban! a2 · a7 = a9 b · b3 = b4 x8 a 4 a 4 = x4 = 2 x4 16

23 · a 3 = (2a)3 x7 · x2 = x6 x3

6. Írj a kifejezéssel azonosat, zárójelek nélkül! 3

(2xy) = 4x 2 y 2

2

b2 = 9

y 3x z

7. Írd fel a szorzatot összeg alakban! (x − 3)(x + 5) = x 2 + 2x − 15 x y xy y −1 +2 = +x− −2 6 3 2 3

3

= 27x 3

(x 2 )3 = x 6 a8 · 8 = (2a)3 a5 6

1 x

2

(ab) = a 3 · b3 b 3

3 x−5 =x+ x = −1 4 2

1 x6

y3 z3

(a − b)(2a + 3) = 2a 2 + 3a − 3b − 2ab

78

C M Y K

=


Algebrai kifejezsek Tk.: 70. oldal 8. Írd fel az összegeket szorzat alakban! 2ab + 3b = b(2a + 3) 5x 2 y − 15xy = 5xy(x − 3)

12ab − 3b2 = 3b(a − b)

9. Egy áruházban egy kiárusítás alkalmával minden ruházati cikk árát 50%-kal leszállították. Két hét elteltével az árakat 50%-kal felemelték. a) Hogyan változott a hátizsák ára, ami eredetileg 5200 Ft-ba került? Először 2600 Ft lett, azután 3900 Ft lett.

b) A kétszeres árváltoztatás emelést vagy csökkentést jelent az eredeti árhoz képest? Hány százalékkal változott az eredeti ár? Csökkentést (A · 0,5 · 1,5 = A · 0,75) 25%-kal. c) A 40%-os árleszállítás után hány százalékos emelés lenne szükséges ahhoz, hogy visszakapjuk az eredeti árakat? A ·

60 x 10 000 · =A x= ≈ 166 ≈ 66%-os emelés. 100 100 60

10. Egy külföldi gyár Magyarországról műszereket rendelt. Ezek elkészítését az egyik gyár 4 hónapra, a másik 6 hónapra vállalta. A megrendelő kérésére a két gyár együttesen készítette el a műszereket. Hány hónap múlva készültek el így a munkával? 1 hónap alatt a két gyár együtt a munka 1 1 5 5 12 + = részével készül el. Az egész munkához 1 : = ≈ 2,4 hónapra van szükség. 4 6 12 12 5

79

C M Y K


Ngyzetgyk NÉGYZETGYÖK, PITAGORASZ-TÉTEL 1–2. 3. 4–5. 6–9. 10.


A négyzetgyök Hosszúság és terület meghatározása rácson Pitagorasz-tétel A Pitagorasz-tétel alkalmazása Tájékozódó felmérő

Mire építünk? Az előző fejezetben átismételték a gyerekek a racionális számkörben tanult összes műveletet, a műveletek sorrendjét, a hatványozás azonosságait. Az algebrai kifejezések tárgyalása során gyakorlatot szereztek összeg és különbség szorzásában. Téglalapok területét felírták algebrai kifejezésekkel. Az előző években rácson megadott síkidomok területét meghatározták méréssel és anélkül is (átdarabolással, kiegészítéssel).

Meddig jutunk el a 8. osztályban?

√ Bevezetjük a négyzetgyök fogalmát: a, az a területű négyzet oldala. Számok négyzetgyökét vagy azok közelítő értékét meghatározhatjuk a négyzettáblázat segítségével, szerkesztéssel, grafikon segítségével, zsebszámológéppel. Megismerkedünk a nem szakaszos végtelen tizedes törtekkel, ezekkel a nem racionális számokkal bővítve a racionális számok halmazát eljutunk a valós számok halmazáig. A Pitagorasz-tétel bizonyítását előkészítendő, területet és hosszúságot határozunk meg rácson, mérés nélkül. Kimondjuk a Pitagorasz-tételt, és bizonyítjuk azt. Megemlítjük a megfordítását is. Meghatározzuk alakzatok (derékszögű háromszög, egyenlő szárú háromszög, négyzet, téglalap, kocka, téglatest) egyes hiányzó adatait a tanult összefüggések alapján.

Hogyan folytatjuk? A geometria fejezetben alkalmazniuk kell a gyerekeknek az itt tanultakat az ebben a fejezetben nem tárgyalt alakzatok hiányzó adatainak a meghatározásában.

Minimális követelmény A négyzetgyök fogalmának ismerete, számok négyzetének, számok négyzetgyökének meghatározása zsebszámológép segítségével. A Pitagorasz-tétel ismerete (bizonyítás nélkül).

80

C M Y K


Ngyzetgyk

1–2. óra A négyzetgyök Tk.: 74–75. oldalon az 1–17. feladatok Fgy.: 156–169.

Megállapítjuk a nem teljes négyzet négyzetgyökét is. Tervszerű próbálgatással, táblázatból, illetve zsebszámológéppel állapíttatjuk meg a keresett négyzetgyököt. Megállapítjuk, hogy a négyzetgyökvonás eredményeképpen kaphatunk nem szakaszos végtelen tizedes törteket is (nem racionális, azaz irracionális számokat), melyekkel bővítve a racionális számok halmazát a valós számokhoz jutunk. Eszközök: négyzettáblázat fólián, milliméterpapír, zsebszámológép. A bevezető példában arra a kérdésre keressük a választ, hogy mekkora az oldala annak a négyzetnek, amelynek területe a rácsról leolvasható. Felvetődik a kérdés, hogy mekkora a négyzet oldala, ha a területe 2 területegység. Ezen a konkrét példán keresztül vezetjük be a négyzetgyök fogalmát. Megszerkesztjük az oldalt, és megmérjük. Majd egyre jobb közelítéssel adjuk meg. A tizedes tört alakból jól látják a gyerekek, hogy egyre közeledünk egy számhoz. Fontos állomáshoz érkeztünk a számfogalom kialakításának útján. Miközben azt a számot keressük, amelynek a négyzete 2, felfedezhetik a gyerekek, hogy ez a szám más, mint amilyeneket eddig megismertünk. Az eljárás során rájöhetnek, hogy ezt a számot szakaszos végtelen tizedes tört alakban nem tudjuk megadni. Megszerkeszthető, akármilyen pontosan megadható, de nem írható fel két egész szám hányadosaként. Talán úgy képzeltethető el a gyerekekkel legszemléletesebben, ha elmondjuk nekik, hogy ennek a négyzetnek az oldalát akárhányszor mérjük fel egymás után, az így kapott szakaszok hossza sohasem lesz egész szám. Ellenpéldaként vegyünk egy tetszőleges szakaszos tizedes törtet! Írjuk fel tört alakban! Ha ezt megszorozzuk a nevezőjének többszöröseivel, mindig egész számhoz jutunk. Annak belátása, hogy csak a racionális számok tizedes tört alakja szakaszos, nem várható el a gyerekektől, de talán az igen, hogy minden racionálisé az. Pálfalvi Józsefné Matematika didaktikusan c. könyvében (Typotex, 2000) részletesen foglalkozik ezzel a kérdéssel. Ebből idézünk részleteket. „Bármely racionális szám végtelen tizedes tört alakja szakaszos. Ha elosztunk egy n egész számot k (k 0) egész számmal, akkor előfordulhat, hogy az osztás befejeződik (ha nem osztható k-val, akkor csak egy vagy több tizedesjegy után): ekkor a szakasz 0, az ismétlődik a végtelenségig. A racionális számok között az egész számok és a véges tizedes törtek szakasza csupa 0-ból áll, és az egész számoké mindjárt a tizedesvessző után kezdődik. Minden egész számnak ilyen a szakasza és csak ezeké ilyen. Az is előfordulhat, hogy a szokásos osztási eljárás nem fejeződik be, vagyis az osztandóban túljutottunk az egész szám végén, és ezután sohasem lesz a maradék 0, mindig valami 0-tól különböző egész szám: 1 vagy 2, vagy 3, vagy . . . , vagy (k − 1). Ettől kezdve, ha egy maradék ismétlődik, akkor a hányados következő jegye is az, ami már volt, tehát a következő maradék is ugyanaz, ami egyszer már volt, és így tovább: az egész osztási folyamat ismétlődik változatlanul a végtelenségig. Így nemcsak azt tudjuk, hogy az n/k racionális szám végtelen tizedes tört alakja mindig szakaszos, hanem azt is, hogy a szakasz legfeljebb (k −1) jegyből áll.”

81

C M Y K


Ngyzetgyk Tk.: 74. oldal

Mondjuk el, hogy az irracionális számokkal bővítve a racionális számok halmazát, a valós számokat kapjuk! (Nem tantervi követelmény, √ de a felvételi feladatokban előfordul az elnevezés.) A négyzetgyök fogalmát így vezetjük be: a, az a területű négyzet oldala. Ez a bevezetés azért √ is célszerű, mert így természetes, hogy a = 0, és így a = 0. A√ 2. példa az x 2 = a típusú nyitott mondat megoldását kívánja, eközben rögtön kérdésessé válik a a egyértelműsége. Ne kívánjuk meg a gyerekektől, hogy ezeket az egyenleteket egyedül megoldják! A közös megoldás során tisztázzuk, hogy az x 2 √ = a egyenlet csak a = 0-ra oldható meg, és ilyen a √ értékekre ennek x = a az egyik, x = − a a másik megoldása. A 3. példában táblázat segítségével határozzuk meg számok négyzetgyökét. Az eljárás megtanítása mellett szólnak a következő érvek: – nincs minden gyereknek zsebszámológépe, – nagyon jó alkalom nyílik a hatványozás azonosságainak alkalmazására, – fejleszti a logikus gondolkodást, – kultúrtörténeti érdekesség is egyben. A 4. példa ennek kiterjesztése √ 100-nál nagyobb és 1-nél kisebb számokra. 2 Az 5. példában az x és a a függvény kapcsolatára hívjuk fel a figyelmet. Olvasunk a grafikonról, és a leolvasást a táblázat vagy a zsebszámológép segítségével ellenőrizzük.

Feladatok 1. Hány 100-nál kisebb négyzetszám van? 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, azaz tíz száznál kisebb négyzetszám van.

2. a) Természetes számok néhány első jegyét letakartuk. Melyik lehet ezek közül négyzetszám? 3,

4,

10,

600,

21,

5 000,

0 000

A négyzetszámok utolsó jegye csak 0, 1, 4, 5, 6 és 9 lehet. Ha nullára végződik, akkor csak páros számú nulla lehet a végén. A

3, a

10,

5 000 számok nem lehetnek négyzetszámok.

b) Prímtényezős alakban adtuk meg a számokat. Melyik nem négyzetszám? 24 · 54 , 22 · 32 , 54 · 74 , 22 · 36 , 28 , 2 · 34 · 52 nem négyzetszám, 3. Számítsd ki! a) 9 · 102 900 e) 0,042 · 105 4200 i) 465 : 104 0,0465

b) 0,09 · 102 9 c) 89,3 · 103 89 300 f) 3 : 102 0,03 g) 0,04 : 102 0,0004 j) 0,065 : 104 0,000 006 5

4. Add meg az ismeretlen számokat! a) a · 102 = 6,25 0,0625 b) b · 104 = 13 0,0013 d) d · 106 = 5 0,000 005 e) e : 102 = 35 3500 g) g : 102 = 7,14 714 h) h : 106 = 8 8 000 000

(2 · 5)4 · 32

d) 0,54 · 104 5400 h) 9608 : 103 9,608

c) c · 102 = 12,4 0,124 f) f : 104 = 4,1 41 000

5. Írd fel a számokat kéttényezős szorzatként úgy, hogy az egyik tényező 1 és 100 közé essen, a másik 10 páros kitevőjű hatványa legyen! a) 400, 4 · 102 1600, 16 · 102 16 900, 1,69 · 104 196 000, 19,6 · 104 722 500 72,25 · 104 b) 0,9, 90 : 102 0,04, 4 : 102 0,225, 22,5 : 102 0,0169, 1,69 : 102 0,003 025 30,25 : 104

82

C M Y K


Ngyzetgyk Tk.: 74–75. oldal 6. a) Határozd meg a négyzetek területét! A területmérés egysége: 1 . A területek rendre: 8, 10, 13, 16, 18, 25.

b) A területükből 1 tizedesjegy pontossággal határozd meg a négyzetek oldalainak hosszát!

c) d)

Az oldalak hosszának kiszámítására szerkesztést vagy közelítést javasolunk, az alábbi módon. „Melyik az a szám, amelynek négyzete 8?” A 2 kicsi, a 3 nagy. A 2,5 kicsi, mert 2,52 = 6,25. A 2,8 a jó, mert a 2,9 négyzete nagyobb, mint 8. A „túl kicsi, túl nagy” módszerrel egy tizedesjegy pontossággal 2,8-et, két tizedesjegy pontossággal 2,83-ot kapunk. Az oldalak rendre 2,8; 3,1; 3,6; 4; 4,2; 5. (1 tizedesjegy pontossággal) Milyen szabály szerint színezhettük a négyzeteket? A sárga négyzetek oldalának mérőszáma egész szám, mert területük mérőszáma négyzetszám. Számegyenesen jelöld a négyzetek oldalainak hosszát! Szakaszmásolással oldjuk meg a feladatot.

1 A

B

7. Számítsd ki! √ 2 a) 3 3 √ 2 e) 26 26

D

C

b)

√ 252 25

c)

f)

(−4)2 4

√ 81 9

g)

b) 3,012 9,060 g) 1702 28 900

√ 2

d)

−42 nincs értelmezve

8. Melyik igaz, melyik nem? A g), h), i) állítások hamisak, a többi igaz. √ √ √ √ √ √ a) 9 · 4 = 9 · 4 b) 25 · 16 = 25 · 16 √ √ √ √ 4 4 d) 100 · 100 = 100 · 100 e) √ = 64 64 √ √ √ √ √ √ g) 16 + 9 = 16 + 9 h) 100 − 64 = 100 − 64 9. Számítsd ki! a) 1,72 2,890 f) 172 289

F

E

9

9

√ 0 0

h)

√ √ √ 10 · 10 = 10 · 10 √ √ √ f) 125 : 25 = 125 : 25 √ √ √ i) 125 − 25 = 125 − 25

c)

c) 4,252 18,06 d) 5,092 25,91 e) 9,992 99,80 h) 0,172 0,0289 i) 4252 180 625 j) 0,00992 0,000 098 01

10. a) Keresd meg az egyenlőket! 4,9 · 103 ,

4900 : 102 ,

49 · 102 ,

0,49 · 102 ,

49 000 : 103

4,9 · 103 = 49 · 102 = 4900; 4900 : 102 = 0,49 · 102 = 49000 : 103 = 49

b) Melyiknek tudod könnyen kiszámítani a négyzetgyökét? 9 · 100, 16 · 10, 25 · 10 000, 2 64 · 1000,√ 2,25 · 102 , 81 : 10 , 36 : 10√3 , 6,25 : 104 , 81 : 105 , 1,44 : 106 √ √ √ √ = 3 · 10 = 30; 25 · 10000 = 25 ·√ 10000 = 5 · 100 = 500; 9 · 100 = 9· 100 2 2 2 : 10 = 81 : 102 = 9: 10 = 0,9; 2,25 · 10 = 2,25 · 10 = 1,5 · 10 = 15; 81 2 6,25 : 104 = 6,25 : 104 = 2,5 : 10 = 0,025; 1,44 : 106 = 1,44 : 106 = 1,2 : 103 = 0,0012.

11. Számítsd ki! a) 2,56 1,6 √ f) 361 19

b)

3,349 1,83 √ g) 28 900 170

c) h)

9,303 3,05

d)

0,1050 0,324 i)

12,67 3,56

e)

942,5 30,7

j)

82,63 9,09

0,0121 0,11

83

C M Y K


Ngyzetgyk Tk.: 75. oldal 12. Mennyi a négyzet területe, ha az oldala a) 1,45 m, 2,1025 b) 14,5 m, 210,25

c) 0,145 m, 0,021 025

d) 0,0145 m? 0,000 210 25

A mértékegység mindenütt m2 .

13. Mennyi a négyzet oldala, ha a területe a) 225 cm2 , 15 cm b) 22,5 cm2 , 4,74 cm

c) 2,25 cm2 , 1,5 cm

d) 0,225 cm2 ? 0,47 cm

Itt is érdemes beszélni a pontos és közelítő értékekről. A 15 és az 1,5 pontos értékek, a 4,74, illetve a 0,47 közelítő értékek. A két utóbbinak a kerekített értékét célszerű megadni, hiszen ilyen pontosságú adatokkal a valóságban nem számolunk.

14. Mennyi a kocka felszíne, ha az éle b) 58 dm, 20 184 a) 5,8 dm, 201,84

c) 580 dm, 2 018 400

d) 0,58 dm? 2,0184

15. Mekkora a kocka éle, ha a felszíne a) 150 cm2 , 5 cm b) 1500 cm2 , közel 15,8 cm

c) 15 000 cm2 , 50 cm

d) 1,5 cm2 ? 0,5 cm

16. Oldd meg az egyenleteket! a) x 2 = 16 4; −4 b) x 2 − 12 = 24 6; −6

c) (x − 2)2 = 0 2

2

A mértékegység mindenütt dm .

17.

√

1,41

2

5 3 4 9

0,1˙ 0 −2 √ 4

6 3

9,23˙

√

5

d) (x − 3)2 = 9 6; 0

Helyezd el a halmazábrában a számokat! √ √ √ 5 6 ˙ ˙ , −2, 0, 2, 4, 0,1, 5, − , 9,2˙ 3, 3 3 4 , 1,41 9

3. óra Hosszúság és terület meghatározása rácson Tk.: 76–77. oldalon 1–6. feladatok Fgy.: 170–172. A Pitagorasz-tétel tárgyalása előtt célszerű rácsnégyszögek területét meghatározni. (Rácssokszögön olyan sokszöget értünk, amelynek csúcsai egy négyzetrács pontjai.) Két megoldást elevenítünk fel a kidolgozott példában, az átdarabolást, valamint a rácssokszögnek egy olyan nagyobb idommá való kiegészítését, amelynek már könnyű kiszámítani a területét és a kiegészítő idomok területét is. A 2. példában szakaszok hosszát hasonlítjuk össze, mérés nélkül. A „Melyik szakasz hosszabb?”, „Egyenlő szárú-e a háromszög?” típusú kérdések nem a négyzetek területére kérdeznek rá, de a szakaszokra állított négyzetek területének meghatározása segít a megoldásban. A gyerekeknek át kell látniuk: ha két négyzet területe egyenlő, akkor az oldaluk is az; ha viszont valamelyiknek nagyobb a területe, akkor az oldalának hossza is az. Ennek alapján tudjuk eldönteni két, a rácsvonalakhoz képest ferde szakaszról, hogy melyik hosszabb. Ehhez nem kell sem Pitagorasz tételét tudni, sem a négyzetgyökvonást.

84

C M Y K


Ngyzetgyk Tk.: 76–77. oldal

Sok gyerek számára okoz gondot a rács vonalaihoz képest ferde szakaszra merőlegest állítani. Ennek a tudásnak a birtokában számlálással el lehet dönteni egy szögről, hogy derékszög-e vagy sem. (Ez a gyakorlat a 90◦ -os forgatást a koordináta-rendszerben és a koordinátageometriai ismereteket készíti elő.)

Feladatok E feladatok megoldásában ne használj vonalzót mérésre! Mekkora a rácssokszögek területe? A területmérés egysége 1 . (A rácssokszögek csúcsai a négyzetrács pontjai.)

1. 1 m=2 3 16

3

3

4

Az első alakzat területét számlálással, a másodikét átdarabolással, a harmadikét kiegészítéssel vagy számítással célszerű meghatározni. A területek: 35, 26, 16 területegység.

3 16 + 4 · 2,5 = 26

4 + 12 = 16

2. A megadott szakaszok négyzetek oldalai. Mekkora a négyzetek területe? A területmérés egysége 1 . Melyik négyzet oldala a legnagyobb? A területek rendre: 16; 18; 17; 20; 26. Az e) területe a legnagyobb, így az oldala is a leghosszabb.

a)

1

b)

c)

t = 16 t = 18

d) t = 17

t = 20

3. A piros vagy a kék négyzet oldala a hosszabb? a) A kéké (25; 26) 1

a)

t = 1 + 4 · 6 = 25

e)

t = 26

b) A kéké (50; 52).

b)

t = 16 + 4 · 2,5 = 26 t = 36 + 4 · 3,5 = 50

t = 4 + 4 · 12 = 52

85

C M Y K


Ngyzetgyk Tk.: 77. oldal 4. Melyik háromszög nem tükrös? B és C. 1 B

C

A

5. Hány fokos a rácsháromszög α szöge? α

A kérdezett szög 135◦ . C-ben állítsunk merőlegest AC szakaszra, és erre mérjük fel AC szakasz hosszát! AA C háromszög és A BC háromszög is egyenlő szárú. ACA szög és CA B szögek derékszögek. BCA ezért 45 fokos. ACB = 90◦ + 45◦ = 135◦ .

^

C A

B A

6. Egy hebehurgya, de agyafúrt inasnak egy 13 × 5-ös deszkát kellett volna lefűrészelnie egy drága fából. E helyett egy négyzet alakú deszkát váC gott le. Rájött a tévedésére, B s a négyzet alakú deszkát az D ábrán látható módon szétfűA részelte, és a kért téglalap alakú deszkává ragasztotta össze a rajzon látható módon. Az asztalosmester gyakorlott szeme azonban hamar észrevette a turpisságot. Mi a hiba? (Ignatyev: A találékonyság birodalmában)

A négyzet területe 64 egység, a téglalapé 65. A keletkezett alakzat nem téglalap. Ennek oka, hogy A, B, C és D pontok nem esnek egy egyenesbe. AB szakasz meredeksége nem egyezik meg az AD szakasz meredekségével, ezért keletkezik egy pici „rés”, melynek területe éppen 1 területegység.

86

C M Y K


Pitagorasz-ttel

4–5. óra Pitagorasz-tétel Tk.: 83–84. oldalon 1–4. feladatok Fgy.: 173.

Az óra célja: a Pitagorasz-tétel felfedeztetése, bizonyítása, alkalmazása, derékszögű háromszögek ismeretlen oldalának kiszámítása (síkban és térben). Miért tanítjuk már az általános iskolában e tételt? Több érv szól e tétel kiválasztása mellett, ezek közül csak néhányat sorolunk fel: – egy eléggé egyszerű bizonyításra látnak példát a gyerekek, – a tétel felhasználásával mérés nélkül is meg tudnak határozni hosszúságokat, – újabb példát látnak a képlet alkotására, illetve a megalkotott képlet használatának hasznosságára, – a számítások során becsléseket végeznek, megismerik a zsebszámológép eddig nem használt funkcióit, alkalmazniuk kell a műveleti azonosságokat. A tankönyvben leírt hindu bizonyítást nem kell kötelezően számon kérni. Elmesélhetjük, hogy a Pitagorasz-tételre sok bizonyítás született, emelt óraszámban dolgozó osztályban, illetve szakkörön érdemes egy-egy szép bizonyítást megbeszélni. Szakköri füzet foglalkozik a tétellel, abban találhatunk más bizonyításokat is. Ha a tételt a tankönyv 3., 4. vagy a feladatgyűjtemény 173. feladatán keresztül fedeztetjük fel, akkor az előző órán ellenőriznünk kell, hogy tudnak-e a gyerekek a rácshoz képest ferde szakaszra négyzetet emelni. Ez legalább olyan fontos képesség, mint körzővel és vonalzóval szerkeszteni négyzetet. A merőleges egyenesek rajzolása közben a gyerekeknek nagy segítség, ha mondják is, hogy mit csinálnak, például így: „itt 3 előre, 4 fölfelé, ott pedig 3 előre és 4 visszafelé”. A tankönyv 3., 4. és a feladatgyűjtemény 173. feladatainak feldolgozása közben a gyerekek a tétellel együtt egyszerre ismerhetik fel azt is, ha a két oldal által bezárt szög hegyesszög, akkor a szöggel szemközti oldal négyzete kisebb, mint a szöget bezáró két oldal négyzetének összege, tompaszög esetén pedig nagyobb. Ez a felismerés nagyon fontos, mert azt mutatja meg, hogy a Pitagorasz-tétel egy speciális eset, átmenet a másik két eset között. Ezt a folyamatosságot igyekszik sugallni a tankönyvi „körzős” rajz is. Másrészt ebből egyszerre következik a tétel megfordítása is. A gyerekeknek ezt a három összefüggést kell látniuk és tudniuk, és ezt nagyon biztosan. Ezért került a tankönyvi feladatok közé olyan feladat, amelyben az oldalak adottak, és ebből kell megállapítani a gyerekeknek, hogy szögei szerint milyen fajta a háromszög.

87

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 83–84. oldal Feladatok 1. Igaz-e, hogy bármely négyzet átdarabolható két egybevágó négyzetté? Igaz. A feladattal a 2. feladatot készítjük elő, ami ennek a gondolatnak a megfordítása.

2. Egy négyzet alakú halastó területét úgy szeretnék megkétszerezni, hogy négyzet alakú maradjon és a sarkain álló nyárfákat ne kelljen kivágni. Hogyan lehetséges ezt megvalósítani? 3. Igaz-e minden egyenlő szárú háromszögre, hogy az alapra emelt négyzet területe egyenlő a két szárra emelt négyzet területeinek összegével? Az alábbi háromszögeken vizsgálódj!

A

B

C

D

E

F

az alapra emelt négyzet területe

20

4

32

26

16

50

a szárakra emelt négyzetek területeinek összege

20

20

20

26

26

26

4. Mennyi a háromszögek oldalaira rajzolt négyzetek területe? Mely háromszögekre igaz, hogy a leghosszabb oldalukra állított négyzet területe egyenlő a másik két oldalukra állított négyzetek területeinek összegével? Csoportmunkára javasoljuk! I. II. III.

a 1 1 2 igaz

b 2 9 17 hamis

c 2 8 10 igaz

d 4 4 8 igaz

e 5 8 9 hamis

f 9 9 18 igaz

g 8 8 16 igaz

88

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 84. oldal

Ha a háromszög derékszögű, akkor a befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével. Ez az a), c), d), f), g) háromszögekre igaz.

6–10. óra A Pitagorasz-tétel alkalmazása Tk.: 84–87. oldalon 5–22. feladatok Fgy.: 174–194. Az óra célja: a Pitagorasz-tétel alkalmazása egyenlő szárú háromszög, kocka ismeretlen adatainak meghatározásában. Kerület, terület, felszín kiszámítása a Pitagorasz-tétel felhasználásával. Gyakorlati példák megoldása a tétel felhasználásával. A tétel megfordításának felhasználása annak eldöntésére, hogy szögei szerint milyen fajta egy háromszög. A Pitagorasz-tétel alkalmazására sokféle példát hoztunk. Ezekben eleinte olyan számhármasokkal találkoznak a gyerekek, amelyek mindegyike egész, azaz pitagoraszi számhármas. Kitekintőben beszélünk arról is, hogy ezeket pontos derékszögek kitűzésére használták az egyiptomiak. A Pitagorasz-tétel megfordítását kevés feladatban használjuk fel. Történeti érdekessége is van, hiszen a derékszög kitűzése a tétel megfordításán alapszik. Az egyiptomiak 3, 4, 5 egységnyi oldalú háromszöggel, a hinduk 5, 12, 15 egységnyi oldalú háromszöggel tűzték ki a derékszögű háromszöget. A megfordítás bizonyítását emelt szintű osztályban, illetve szakkörön megnézhetjük. A feltétel: a, b, c egy háromszög három oldala és a 2 + b2 = c2 . Ebből következik a tétel: a c-vel szemközti szög derékszög. Bizonyítás: a és b befogókkal szerkesszünk derékszögű háromszöget; ennek átfogója négyzetre emelve a két befogó négyzetének összegét adja. De a megadott háromszög harmadik oldalának négyzete: c2 is egyenlő a feltétel szerint a 2 + b2 -tel. A két háromszög egyezik három oldalban, tehát egybevágók.

5. Milyen messze vannak a koordináta-rendszer kezdőpontjától az alábbi pontok? A(3; 4) 5 B(−5; 12) 13 C(−6; −8) 10 D(12; −5) 13

89

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 84–85. oldal 6. Milyen messze van a koordináta-rendszer kezdőpontjától az a pont, amelynek az egyik tengelytől való távolsága 3, a másiktól pedig 4 hosszúságegység? Hány ilyen pont van? 5 egységnyire vannak az ilyen tulajdonságú pontok, 8 ilyen pont van.

7. Számítsd ki az átfogók hosszúságát! a)

b)

a) c = 10 cm

b) c =

c)

78,88 cm ≈ 8,9 cm

c) c =

2,8125 dm ≈ 1,68 dm

8. Számítsd ki a befogók hosszúságát! a)

a) a =

b)

√ 400 cm = 20 cm

b) a =

c)

1,48 dm ≈ 1,22 dm

c) b =

√ 2800 cm ≈ 52,9 cm

9. Milyen messze van egymástól az A és a B pont? a) A(3; 6), B(3; 11) 5

b) A(4; 9), B(11; 9) 7

c) A(2; 1), B(6; 4) 5

d) A(−1; −1), B(3; 2) 5

e) A(−3; −2), B(9; 3) 13

f) A(−5; −2), B(1; 4) 72 ≈ 8,5

10. Számítsd ki a tükrös háromszögek kérdezett hosszúságait! a) b)

a) b = 5 cm

b) m =

843,75 cm ≈ 29 cm

√

c)

c) a = 4 dm

90

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 85–86. oldal 11. Milyen hosszú utat kell megtennie az emelkedőn a tolókocsis férfinak, hogy eljusson a bankautomatáig?

h 1,2 m

h2 = 142 + 1,22 = 196 + 1,44 = 197,44 h = 197,44 m ≈ 14,05 m Az út hossza: 197,44 ≈ 14,05 [m].

13. Milyen hosszú a ház homlokzatán látható deszka, ha a tető 45◦ -os szöget zár be a vízszintessel?

12. Milyen magasan repül a sárkány, ha 12 m hosszú a zsineg?

8m 0,7 m

x

x 2 = 122 − 82 = 144 − 64 = 80 √ x = 80 m ≈ 8,9 m A teljes magasság 0,7 m + 8,9 m = 9,6 m. Közel 9,6 m magasan száll a sárkány.

45◦

d 45◦

d 2 = 2 · 3,52 = 24,5 d = 24,5 m ≈ 4,95 m

Közel 4,95 m egy deszka.

14. Az Andrássy úton kifeszítünk egy 2 km hosszúságú kötelet. Majd a kötél hosszát 1 m-rel növeljük. Az út közepén olyan magasra emeljük ezt a kötelet, amennyire csak lehet. Átfér-e a kifeszített kötél alatt egy egér, egy kutya, egy ember, egy zsiráf? Becsülj! Számolj! 1000

,5 m

1000 m

1000 m

?

,5 m

2 km

1000 m m2 = 1000,52 − 10002 m = 1000,2 ≈ 31,63 [m] Átfér alatta minden állat, hiszen körülbelül 31,63 m magasra emeljük fel a kötél közepét. Egy zsiráf is csak kb. 5 méter magas. (A kötél megemelése is problémát okozna.)

15.

Egy 15 cm sugarú körbe egy 18 cm-es húrt rajzolunk! Milyen távolságra van ez a húr a kör középpontjától? 9 cm

15 cm

t

t 2 = 152 − 92 = 225 − 81 = 144 √ t = 144 cm = 12 cm A húr 12 cm-re van a kör középpontjától.

91

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 86. oldal 16. Milyen hosszú az a húr, amely a 8 cm átmérőjű kör középpontjától 2 cm távolságra van? h 2

2 h = 42 − 22 = 16 − 4 = 12 2

2

4

h √ = 12 cm ≈ 3,5 cm 2

A húr hossza közel 7 cm.

17. Két egymást metsző kör közös húrja 24 cm. Mekkora a két kör középpontjának távolsága, ha sugaruk 13, illetve 18 cm? 132 − 122 k2 = 182 − 122 k1 =

13

k1 = 5 cm √ k2 = 180 ≈ 13,4 [cm]

12 k1

K1 K2 ≈ 5 cm + 13,4 cm = 18,4 cm

k2

12

A két kör középpontjának távolsága közel 18,4 cm.

18

18. Mekkora a velencei Rialto hídhoz hasonló híd két lábának távolsága, amelynek adatait a vázlatrajzon megadtuk?

60◦ 6 m 30◦ 30◦ ◦ 60 6 m 12 m

t 2 = 122 − 62 √ t = 108 m ≈ 10,4 m 2t ≈ 20,8 m A híd két lábának távolsága közel 20,8 m.

Velence, Rialto

19. Mekkora a területe az 1 dm élű kockába helyezett derékszögű háromszögnek? √ t=

a·m 1· 2 = ≈ 0,705 [dm2 ] 2 2

√ 2 A derékszögű háromszög területe t = dm2 ≈ 0,705 dm2 . 2

20. Döntsd el, hogy az a, b, illetve c oldalakkal megadott háromszögek közül melyek derékszögűek, melyek hegyesszögűek, melyek tompaszögűek! a b c

12 35 37

60 175 185

10 22 24

13 84 85

7 23 25

33 56 65

11 6 12

21 20 28

a2

144

3600

100

169

49

1089

121

441

2

1225

30 625

484

7056

529

3136

36

400

2

1369 dsz

34 225 dsz

576 hsz

7225 dsz

625 tsz

4225 dsz

144 hsz

784 hsz

b c

14 16 35

nincs ilyen

92

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 87. oldal 21. Hány olyan rácspont van, amelynek az origótól való távolsága 1, 2, 3, 4, 5, illetve 6 egység? Az origótól ennyi egységre levő A rácspontokat jelző számpárok

1

2

3

4

5

6

7

8

1;0 2;0 3;0 4;0 5;0 6;0 7;0 8;0 0;1 0;2 0;3 0;4 4;3 0;6 0;7 0;8 −1;0 −2;0 −3;0 −4;0 3;4 −6;0 0;−7 0;−8 0;−1 0;−2 0;−3 0;−4 −5;0 0;−6 −7;0 −8;0 0;5 −3;4 −4;3 −4;−3 −3;−4 0;−5 3;−4 4;−3

20. Atsarja Bháskara XII. századi hindu matematikus Li Lavati (Elbűvölő) című feladatgyűjteményéből való ez a feladat, amit a legenda szerint pártában maradt lánya szórakoztatására írt. „A szél letörte a 32 láb magas bambusznádat. A törés fölötti rész lehajlott, és a vége a talajt a nád tövétől 16 láb távolságra éri.” Milyen magasan tört el a nád?

(32 − x)2 − x 2 = 162 322 − 64x + x 2 − x 2 = 162 322 − 162 = 64x x = 768 : 64 = 12 Tizenkét láb magasan tört le a nád.

32 x

−

x

16

93

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 87. oldal

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ 1. Számítsd ki a kérdezett hosszúságokat! a) b) c =?

8 cm

c) 2,9 m

a =?

19,3 m

19,3 m m =?

15 cm

2,1 m

a) c2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289,

c = 17 cm

b) a 2 = 2,92 − 2,12 = 8,41 − 4,41 = 4,

a=2m

c) m2 = 19,32 − 16,82 = 372,49 − 282,24 = 90,25,

33,6 m

m = 9,5 m

2. Számítsd ki az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogóját, ha befogói 8 cm hosszúak! c2 = 82 + 82 = 128 √ c = 128 cm ≈ 11,3 cm

c

8 8

3. Mekkora a területe annak az egyenlő szárú háromszögnek, amelynek alapja 10 cm, szárai 13 cm hosszúak? m=

√ 132 − 52 = 169 − 25 = 12

m = 12 cm 13

t = a · m : 2 = 10 · 12 : 2 = 60 [cm2 ]

13

m

y

P

10

5

4. Milyen messze van az origótól a P (−2; 10) pont? √ (P O)2 = 22 + 102 = 104, P O =

104 ≈ 10,2

x −2

0

5. Egy 3,4 m hosszú létrát úgy támasztanak a falhoz, hogy a létra alja 1,6 m-re van a faltól. Milyen magasan van a létra teteje? m2 = 3,42 − 1,62 = 11,56 − 2,56 √ m= 9m=3m

m

3,4

3 méter magasan van a létra teteje. 1,6 m

94

C M Y K


Pitagorasz-ttel Tk.: 87. oldal 6. Milyen háromszöget határoznak meg legnagyobb szögük szerint a következő számhármasok? a) (11; 12; 13) 169 = 132 < 112 + 122 = 265, a háromszög hegyesszögű. b) (10; 20; 30) 10 + 20 = 30, ez nem háromszög. c) (21; 28; 35) 352 = 212 + 282 = 1225, a háromszög derékszögű. 7. Egy háromszög két oldala 5 és 12 cm. Mekkora lehet a harmadik oldal, ha a mérőszáma annak is egész? Mely esetben lesz a háromszög hegyes-, derék-, illetve tompaszögű? A c lehetséges értékei: 8

5 c 5 16.

a

5

b

12

c

8

9

10

11

12

13

14

15

16

tompa- tompa- tompa- hegyes- hegyes- derék- tompa- tompa- tompaszögű szögű szögű szögű szögű szögű szögű szögű szögű

95

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 90. oldal

GEOMETRIAI ISMÉTLŐ FELADATOK 1. óra (+1 óra): 2–3. óra: 4. óra (+1 óra): 5. óra: 6–7. óra: 8–9. óra:

Háromszögek Négyszögek Sokszögek Körök Síkgeometriai számítások Térgeometriai számítások

A fejezet célja: a geometriai ismeretek rendszerezése, számítási feladatok elvégzése a pozitív valós számok körében, Pitagorasz-tétel alkalmazása minél többféle probléma megoldásában. Ha hetedikben nem volt tananyag a kör kerületének és területének meghatározása, akkor itt sor kerülhet rá további órák beiktatása mellett. Ebben az esetben a hengerre vonatkozó feladatok is újak lesznek. Szükséges eszközök: szerkesztőeszközök, színes ceruza, négyzethálós papír (alkalmanként mmpapír is), „Számok négyzete” táblázat, zsebszámológép (a műveletek gyors elvégzéséhez), mértani testek modelljei (bemutatáshoz).

1. óra Háromszögek Tk.: 90–91. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 195–206. és 207–220. A bevezető feladatok ponthalmazokra vonatkoznak, megoldásukhoz szükséges a +1 óra felhasználása. Feladatok 1. Egy háromszög egyik szöge a másiknak kétszerese, a harmadik szöge a másodiknál 20◦ -kal nagyobb. Hány fokosak a háromszög szögei? 2β + β + (β + 20◦ ) = 180◦

⇒

β = 40◦ A háromszög szögei 80◦ , 40◦ , 60◦ .

2. Az ABC háromszögben a B csúcsnál levő külső szög háromszor akkora, mint az A csúcsnál levő belső szög. Ugyanakkor a B csúcsnál levő külső szög 40◦ -kal nagyobb, mint a C csúcsnál levő belső szög. Mekkorák a háromszög belső szögei? α + (3α − 40◦ ) = 3α

⇒

α = 40◦ A háromszög szögei 40◦ , 60◦ , 80◦ .

3. Mekkora lehet egy háromszög legnagyobb szögének legkisebb értéke? 60◦ 4. Hány olyan különböző háromszög van, amelynek két oldala 21 cm és 27 cm, a harmadik oldala pedig centiméterben mérve hárommal osztható egész szám? A háromszög oldalaira fennálló egyenlőtlenségek: c < 21 + 27 és 21 < c + 27 és 27 < c + 21 ⇒ 6 < c < 48 c ∈ {9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45}. Tizenhárom különböző háromszög a megoldás.

96

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 90–91. oldal 5. A következő számhármasok szakaszok hosszát adják meg azonos egységgel mérve. Melyik számhármas lehet hegyesszögű, derékszögű, illetve tompaszögű háromszög oldalainak mérőszáma? a) A: 8, 15, 16 B: 13, 84, 85 b) G: 24, 48, 73 H : 16, 63, 65 C: 7, 8, 15 D: 9, 40, 43 I : 7, 20, 25 J : 65, 72, 97 E: 15, 15, 28 F : 11, 60, 60 K: 33, 56, 65 L: 13, 13, 20 Hegyesszögű háromszög: A; F . Derékszögű háromszög: B. Tompaszögű háromszög: D; E. Nincs ilyen háromszög: C.

Derékszögű háromszög: B; H ; J ; K. Tompaszögű háromszög: I ; L. Nincs ilyen háromszög: G.

3 6. Az ABC háromszög kerülete 102 m. Az AB oldal hossza az AC oldal hosszának része, a 5 4 BC oldal pedig az AC-nek része. 5 Hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű-e a háromszög? Hány cm2 a háromszög területe? 3 4 x + x + x = 102 5 5

⇒

AC = x = 42,5 m; AB = 25,5 m; BC = 34 m.

Derékszögű a háromszög, mert 25,52 + 342 = 42,52 .

T =

25,5 · 34 = 433,5 m2 = 4 335 000 cm2 2

7. Az alábbi állítások közül melyek igazak? Igaz-e az állítások megfordítása? A: Ha két háromszög területe egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. Hamis

Példa

Megfordítása:

Igaz

B: Ha két háromszög szögei és legrövidebb oldala egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. Igaz

Megfordítása:

Igaz

C: Ha két háromszög két oldala és a hosszabbikhoz tartozó magassága egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. Hamis

Példa

Megfordítása:

Igaz

D: Ha két háromszög egybevágó, akkor szögeik és egy oldaluk egyenlő. Igaz

Megfordítása:

Hamis

8. Szerkeszd meg a hegyesszögű háromszög köré írható kört, a derékszögű háromszög beírt körét, a tompaszögű háromszög magasságait és magasságpontját! A háromszögek oldalai 56 mm, 90 mm, 106 mm vagy 3 cm, 5 cm, 7 cm, illetve 4,4 cm, 5,5 cm, 6,8 cm. Az első háromszög derékszögű: 562 + 902 = 1062 A második háromszög tompaszögű: 32 + 52 < 72 A harmadik háromszög hegyesszögű: 4,42 + 5,52 > 6,82

97

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 91. oldal 9. Egy háromszög 21 cm-es oldalát a hozzá tartozó 12 cm-es magasság 3 : 4 arányú szakaszokra osztja. Számítsd ki a háromszög kerületét! a 2 = 122 + 122

⇒

a=

√

288 ≈ 16,97 cm

b2 = 92 + 122

⇒ b = 15 cm √ K = 21 + 15 + 288 ≈ 52,97 cm

10. Egy kör középpontja O, a körvonal pontjai A, B, C. Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha az AOB szög 120◦ és a BOC szög 150◦ ! BAC ^ = 30◦ + 45◦ = 75◦ ABC ^ = 30◦ + 15◦ = 45◦ BCA^ = 15◦ + 45◦ = 60◦

11. Egy szabályos háromszög magassága 7 cm. Számítsd ki a középvonalainak hosszát! A középvonal hossza x. x 2 + 72 = (2x)2

⇒

7 x = √ ≈ 4,04 cm 3

12. Egy derékszögű háromszög kerülete 140 cm, befogóinak aránya 20 : 21. Számítsd ki a háromszög területét! A Pitagorasz-tétel szerint: (20x)2 + (21x)2 = c2 841x 2 = c2 29x = c A kerület adott: 20x + 21x + 29x = 140 x = 2 cm 40 · 42 = 840 cm2 A háromszög oldalai 40 cm, 42 cm, 58 cm. T = 2 Másik megoldás: a 20, 21 befogójú derékszögű háromszög átfogója 29, ennek a háromszögnek a kerülete 70. A keresett háromszög kerülete 140 cm, ezért az oldalai is kétszer ekkorák: 40 cm, 42 cm, 58 cm.

13. Egy derékszögű háromszög befogói 15 cm és 112 cm. Számítsd ki a súlyvonalainak hosszát! A Pitagorasz-tétel szerint: ABC-ben: c2 = 152 + 1122 ⇒ FBC-ben: sb2 = 7,52 + 1122 ⇒

c = 113 cm sb = 12 600,25 ≈ 112,25 cm √ sa = 3361 ≈ 58 cm

ECA-ben: sa2 = 562 + 152 ⇒ c Thalész-tétel szerint: sc = = 56,5 cm 2

98

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 93–94. oldal

2–3. óra Négyszögek Tk.: 93–95. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 221–236. A kidolgozott példához szükséges a kör kerületének ismerete. E fejezet a négyszögek tulajdonságainak ismétléséről, valamint kerületük és területük bonyolultabb esetekben történő kiszámításáról szól.

Feladatok 1. Az A, B, . . . , G halmazok közül melyiket határozza meg az a, b, . . . tulajdonság? A = {négyzetek} a: A négyszögnek van két párhuzamos oldala. B = {téglalapok} b: A négyszög 2-2 szomszédos oldala egyenlő. C = {rombuszok} c: A négyszög oldalai egyenlők. D = {deltoidok} d: A négyszög szögei egyenlők. E = {paralelogrammák} e: A négyszög szemközti oldalai egyenlők. F = {trapézok} f : A négyszög oldalai és szögei egyenlők. G = {húrtrapézok} g: A négyszög két-két szemközti oldala párhuzamos. h: A négyszög egyik átlója merőlegesen felezi a másik átlóját. i: A négyszögnek van a csúcsokon át nem menő szimmetriatengelye. a⇒F

b⇒D

c⇒C

d⇒B

e⇒E

f ⇒A

g⇒E

h⇒D

i⇒G

Megbeszélhetjük azt is, hogy az a, b, . . . tulajdonságok az A, B, . . . halmazok melyikére igazak. A ⇒ a, b, c, d, e, f , g, h, i B ⇒ a, d, e, g, i C ⇒ a, b, c, e, g, h D ⇒ b, h E ⇒ a, e, g F ⇒a G ⇒ a, i 2. Egy konvex négyszög belső szögeinek aránya 3 : 4 : 5 : 6. Mekkorák a belső és a külső szögei? 3x + 4x + 5x + 6x = 360◦ ⇒ x = 20◦ A belső szögek: 60◦ ; 80◦ ; 100◦ ; 120◦ . A külső szögek: 120◦ ; 100◦ ; 80◦ ; 60◦ .

További kérdések és válaszok: Lehet-e a négyszög paralelogramma? – Nem. Lehet-e a négyszög trapéz? – Igen. Biztosan trapéz-e? – Nem. 3. a) Hányféle négyszög szerkeszthető két 3 cm-es és két 4 cm-es szakaszból? Végtelen sokféle konvex vagy konkáv deltoid és végtelen sokféle paralelogramma szerkeszthető.

99

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 94. oldal b) Szerkessz olyan négyszöget, amelynek két 3 cm-es, két 4 cm-es oldala van, s az egyik szöge 45◦ ! Például:

4. Egy rombusz kerülete 36 cm, az egyik átlója két 28 cm kerületű háromszögre bontja. Számítsd ki a rombusz területét! K = 36 cm 9 + 9 + e = 28 2

2

5 +m =9 T =2·

2

⇒

a = 9 cm

⇒

e = 10 cm √ m = 56 ≈ 7,48 cm

⇒

√ 10 · m = 10 56 ≈ 74,8 cm2 2

5. Egy paralelogrammát az egyik átlója két derékszögű háromszögre bontja. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha oldalai 220 és 221 cm hosszúak! m2 + 2202 = 2212

⇒

m = 21 cm

T = 220 · 21 = 4620 cm2

6. Számítsd ki a húrtrapéz területét, ha a) alapjai 28 cm és 13 cm, szárai 23 cm hosszúak, b) három oldala 6 cm, a negyedik oldala pedig 8 cm, c) alapjai 6 cm és 16 cm hosszúak, és kör írható bele! a)

b)

m2 + 7,52 = 233 m = 472,75 ≈ 21,7 cm (28 + 13) · 21,7 T = = 444,85 cm2 2

c)

m2 + 12 = 62 √ m = 35 ≈ 5,92 cm (8 + 6) · 5,92 T = ≈ 41,44 cm2 2

m2 + 52 = 112 √ m = 96 ≈ 9,8 cm (16 + 6) · 9,8 T = ≈ 107,8 cm2 2

7. Bizonyítsd be, hogy ha egy trapéznak pontosan két derékszöge van, akkor nem lehet húrtrapéz! Ha húrtrapéz lenne, akkor szemközti szögei kiegészítő szögek lennének, és szomszédos szögei közül 2-2 egyenlő lenne. Vagyis, ha α = γ = 90◦ , akkor β = δ = 90◦ , azaz 4 derékszöge lenne. Ha α = β = 90◦ , akkor is γ = 180◦ − β = = δ = 90◦ , azaz 4 derékszöge lenne, ami ellentmond a feltételnek. Tehát igaz a feladat állítása.

100

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 94. oldal 8. Számítsd ki a trapézok kerületét és területét! a) b)

x 2 + 62 = 18,52

c)

a + c = 2 · 24 = 48 m 1 K = 80 m 12 T = 24 · 7 = 168 m2

x = 17,5 m K = 47 m

x 2 + 112 = 202 ⇒ x =

√ 279 ≈ 16,7 dm

y = 19 − x ≈ 2,3 dm z = 9 − y ≈ 6,7 dm 6,72 + 112 = b2 ⇒ b ≈ 12,9 dm

T = 67,5 m

K ≈ 60,9 dm (19 + 9) · 11 = 154 dm2 T = 2

9. Számítsd ki a deltoidok kerületét és területét! a) b)

K = 2(65 + 72) = 274 mm T =2·

x 2 + x 2 = 32

c)

⇒ x ≈ 2,12 cm

65 · 72 x 2 + (x + 8,5)2 = a 2 ⇒ a ≈ 10,8 cm = 4680 mm2 2 K ≈ 27,6 cm T =

4,24 · 8,5 = 18,02 cm2 2

K = 2(7 + 5,2) = 24,4 cm x 2 + m2 = 5,22

(10 − x)2 + m2 = 72 T =

x ≈ 3,9 cm m ≈ 3,44 cm

10 · 2m ≈ 34,4 cm2 2

10. Egy 12 elemű halmaz csak háromszögeket és négyszögeket tartalmaz. Ezen sokszögeknek összesen 41 csúcsa van. Az elemek hány százaléka háromszög? A tizenkét sokszögnek biztosan van 12 · 3 = 36 csúcsa. A fennmaradó 5 csúcs 1-1 négyszög további csúcsa. 7 1 5 négyszög és 7 háromszög van a halmazban. Az elemek része, azaz 58 százaléka háromszög. 12 3

11. Egy deltoid átlói 24 cm és 40 cm hosszúak. A rövidebb átló a hosszabbat annak nyolcadoló pontjában metszi. Számítsd ki a deltoid kerületét és területét! A nyolcadoló pont úgy osztja a 40-et, mint 35 : 5, a 24-et pedig felezi. √ √ Az oldalak hossza: 122 + 52 = 169 = 13, illetve 352 + 122 = 1369 = 37. A kerület: 2 · 13 + 2 · 37 = 100, a terület például 12 · 40 = 480

101

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 94–95. oldal

12. Igaz-e az állítás? Válaszodat indokold! A: Egy trapéz egyik szárának végpontjaiból induló belső szögfelezők merőlegesek egymásra. B: Ha egy húrtrapézba kör írható, akkor a szárának és a középvonalának hossza egyenlő. C: Ha egy paralelogramma oldalaira kifelé szabályos háromszögeket szerkesztünk az ábra szerint, akkor a keletkező új csúcsok is paralelogrammát határoznak meg.

R

S D

C

A

B

2 + 2^ = 180◦

A: Igaz

Q

+ ^ = 90◦ ϕ = 90◦

P A belső szögfelezők merőlegesek egymásra. B: Igaz

Egy külső pontból a körhöz húzott érintő szakaszok egyenlők, a c ezért a húrtrapéz szára + hosszú, ami egyenlő a középvonal 2 2 hosszával. C: Igaz

Ha a paralelogramma szögei 60◦ és 120◦ , akor SA + AP = SP = RQ = RC + CQ. Egyébként SAP ∼ = QCR , mert két oldaluk és azok közrezárt szöge egyenlő, így harmadik oldaluk is egyenlő. Tehát SP = RQ ekkor is. Hasonlóan SDR ∼ = QBP ⇒ SR = QP . Mivel P QRS négyszög szemközti oldalai egyenlők, a négyszög paralelogramma.

13. Milyen hosszú pánt szükséges az r sugarú csövek átkötéséhez?

2rπ + 4r

2rπ + 6r

2rπ + 8r

2rπ + 8r

2rπ + 8r

4. óra Sokszögek Tk.: 97–98. oldalon 1–6. feladatok Fgy.: 237–243. A feladatok megoldásához háromszögek és négyszögek területét kell kiszámítani.

102

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 97–98. oldal Feladatok 1. Számítsd ki a 8 cm sugarú körbe írt szabályos sokszög kerületét és területét, ha a sokszög a) négy oldalú, b) hat oldalú!

√ a 2 = 82 + 82 ⇒ a = 128 ≈ 11,3 cm K = 4a ≈ 45,2 cm e·f 16 · 16 = = 128 cm2 T = 2 2

√ a = 8 cm m2 + 42 = 82 ⇒ m = 48 ≈ 6,93 cm K = 6a = 48 cm √ a·m 8 · 48 T =6· =6· ≈ 166,32 cm2 2 2

2. Számítsd ki a 6 cm sugarú kör köré írt szabályos nyolcszög központi szögét, belső szögét, átlóinak számát, kerületét és területét! ϕ=

360◦ = 45◦ a középponti szöge, α = 180◦ − ϕ = 135◦ a belső szöge, 8

8·5 = 20 átlója van. 2 Mérés alapján a ≈ 5 cm egy oldala, K = 8a ≈ 40 cm a kerülete. 5·6 a·m T =8· ≈8· = 120 cm2 a területe. 2 2

3. Az ábrán szereplő adatok segítségével számítsd ki a sokszög területét! Az adatokat méterben mértük. a) b) c)

2 · 6 (8 + 6) · 6 8 · 3 + + = 60 m2 2 2 2 (8 + 5) · 2 5·4 (8 + 5) · 4 b) T = +8·5+ +5·3+ = 104 m2 2 2 2 11 · 2 11 · 10 c) T = + = 66 m2 2 2 a) T =

4. Számítsd ki a sokszög kerületét és területét, ha az adatok cm-ben értendők! A vázlatrajzon a szakaszhosszak nem arányosak. a) b) c)

103

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 98. oldal √ 768

a 2 = 2642 + 232 ⇒ a = 265

m2 +162 = 322 ⇒ m =

K = 4 · (23 + 265) = 1152 cm

K = 8 · 32 = 256 cm √ 32 · 768 T = 4· + 322 ≈ 2 ≈ 2796,8 cm2

(69 + 23) · 264 + 69 · 23 = 2 2 = 25 875 cm

T = 2·

152 + 362 = a 2

⇒

a = 39

352 + 842 = b2

⇒

b = 91

132 + 842 = c2

⇒

c = 85

⇒

d = 37

2

2

12 + 35 = d

2

K = 39 + 91 + 85 + 37 + 20 = 272 cm 36 · 15 35 · 84 13 · 84 12 · 35 T = + + + + 2 2 2 2 2 + 36 · 20 = 3216 cm

5. A szabályos sokszög területének hány százalékát jelöltük színessel az ábrán? a) b) c)

√ x = 108 √ 6 · 108 2 Tszínes = 12 − 4 · ≈ 19,3 2 Tegész = 12 · 12 = 144 x 2 + 62 = 122

⇒

Tszínes : Tegész ≈ 0,134 13,4%-a színes.

Tszínes : Tegész = 6 : 18 = 1 : 3 81 2 1 33 %-a színes. x ·x 3 2 Tegész = 9 + 4 · 9 · x + 4 = 2 81 = 162 + 36 ≈ 391 2 81 9·9 Tszínes = 162 + 36 −8· = 2 2 81 = 36 − 162 ≈ 67 2 2

2

x +x =9

2

⇒

x=

Tszínes : Tegész ≈ 0,171 17,1%-a színes.

6. Az ábrán látható szabályos nyolcszög területe hányszorosa a négyzet területének? (A budai Várban feltárt majolikacsempék között is látható ilyen mintázat.) √ x 2 = 102 + 102

⇒

x=

200

Tnégyzet = 202 = 400 cm2

√ x ·x = 800 + 80 200 ≈ 1931,4 cm2 2 ≈ 4,8. A nyolcszög területe 4,8-szerese a négyzet területének.

Tnyolcszög = 202 + 4 · 20 · x + 4 Tnyolcszög : Tnégyzet

104

C M Y K



5. óra Körök Tk.: 100–101. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 244–252. Amennyiben új tananyag ez a rész, használjunk föl még néhány órát! (A kör kerülete, területe a hetedikes könyv II. kötetében található a 65–70. oldalon.) Eszközök: hengerkerék, szíjáttétes tárcsák.

Feladatok 1. Az AB szakasz hossza 8 cm. Szerkessz az A és B ponton áthaladó 5 cm sugarú kört! Mekkora a kör középpontjának távolsága az AB húrtól? Két kör van. 42 + d 2 = 52

⇒

d = 3 cm a távolság.

2. a) Mekkora annak a körnek a sugara, amelybe beírható négyzet területe 3 cm2 ? 2r · 2r =3 2

⇒

r ≈ 1,22 cm

b) Mekkora annak a körnek a területe, amelybe beírható négyzet kerülete 12 cm? r 2 + r 2 = 32

⇒

r ≈ 2,12 cm

T = r 2 · π = 4,5 · π ≈ 14,13 cm2

c) Mekkora területen találhatók azok a pontok, amelyek egy adott 3 cm-es szakasztól legfeljebb 2 cm-re vannak? T = 22 · π + 4 · 3 ≈ 24,56 cm2

3. Az alábbi körcikkeket 11 cm sugarú körből vágtuk ki. a) Milyen hosszú körív határolja a körcikket? b) Mekkora a körcikk területe? A: B: C: D:

A: a) i ≈ b) T ≈

1 kör 3

23 cm 126,7 cm

2

B:

3 kör 4

C:

1 kör 2

E:

D:

1 kör 20

E:

3 kör 5

51,8 cm

34,5 cm

3,45 cm

41,47 cm

2

2

2

228 cm2

285 cm

190 cm

19 cm

105

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 100. oldal 4. Milyen magasra emelkedik fel a teher, ha a másfél méter átmérőjű kerék elfordulása a) 120◦ , b) 225◦ , c) 540◦ , d) 2880◦ ? a)

b)

c)

d)

elfordulás

1 kör 3

5 kör 8

3 kör 2

8 kör

emelkedés

1,57 m

2,95 m

7,07 m

37,7 m

5. A toronyóra nagymutatója 80 cm hosszú. Mekkora területet söpör a) negyedóra alatt,

b) 25 perc alatt,

1 kör, T = 5024 cm2 4

c) két és fél óra alatt?

5 5 kör, T = 8373 cm2 kör, T = 50 240 cm2 12 2 Megjegyzés: Ugyanazt a területet söpri többször.

6. A toronyóra kismutatója 65 cm hosszú. Mekkora ívet jár be a mutató végpontja a) 6 óra alatt,

b) 18 óra alatt,

1 körív, l ≈ 204,1 cm 2

c) 2 óra alatt,

3 körív, l ≈ 612,3 cm 2

1 körív, l ≈ 68 cm 6

d) fél óra alatt? 1 körív, l ≈ 17 cm 24

Mekkora a körgyűrű vastagsága, ha a belső kör kerülete 10 cm-rel kisebb a külső kör kerületénél? Számítsd ki a körgyűrű területét is!

7.

Kbelső = 2 · 25 · π = 50 · π Kkülső = 50 · π + 10 = 2Rπ

⇒

R = 25 +

5 ≈ 26,6 cm π

A gyűrű vastagsága R − r = 1,6 cm, területe 26,62 π − 252 π ≈ 259,24 cm2 .

8. a) Számítsd ki a P E érintőszakasz hosszát, ha a P pont 265 mm-re van a 23 mm sugarú kör középpontjától! b) Mekkora a kör sugara, ha a középpontjától 41 cm-re levő pontból 9 cm-es érintőszakasz húzható a körhöz? a)

b)

e2 + 232 = 2652

⇒

e = 264 mm

r 2 + 92 = 412

⇒

r = 40 cm

106

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 101. oldal 9. Számítsd ki a körszeletek területét! a) b)

T =

1 10 · 10 · 102 π − ≈ 28,5 cm2 4 2

√ x 2 + 22 = 42 ⇒ x = 12 2 2 · 2x T = · 42 π + ≈ 40,4 cm2 3 2

10. Két henger alakú csövet támasztottak a falhoz a keresztmetszeten látható módon. Az egyiknek 80 cm, a másiknak 20 cm az átmérője. Mekkora a felső cső legmagasabb pontjának távolsága a talajtól mérve? x 2 + 302 = 502 ⇒ x = 40 h = 40 + 40 + 10 = 90 cm a távolság. Megjegyzés: Ezekkel az adatokkal a kis kör középpontját a nagy kör legmagasabb pontjával összekötő egyenes párhuzamos a talajjal. Nincs mindig így.

6–7. óra Síkgeometriai számítások Tk.: 101–102. oldalon 1–11. feladatok Fgy.: 253–266.

Feladatok 1. A 80 cm széles, 190 cm magas kamraajtót az alsó és felső szélétől 10 cm-re keresztben és átlósan is megerősítették. Hány méter léc kellett a Z alakú merevítéshez? √ 802 + 1702 = x 2 ⇒ x = 35 300 ≈ 188 cm √ 2 · 80 + 35 300 ≈ 348 cm ≈ 3,5 m léc kell.

107

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 101–102. oldal Milyen magas az a fa, amelynek 32 m hosszú az árnyéka akkor, amikor egy 1,5 m magas oszlop árnyéka 2 m?

2.

x : 32 = 1,5 : 2 x = 24 m magas a fa.

3. Milyen magas sátortető alatt fér el az ábrán látható módon egy 120×200-as szekrény, ha a födém 6 m széles? h : 3 = 2 : 2,4 h = 25 m magas legalább a tető.

Az ábrán látható létra a vízszintes talajon 1 m-rel kijjebb csúszik. Mennyivel kerül alacsonyabbra a teteje?

4.

52 + 22 = l 2

⇒

x 2 + 32 = l 2

⇒

√ 29 ≈ 5,39 m √ x = 20 ≈ 4,47 m a létra teteje

l=

0,53 m-rel kerül alacsonyabbra.

5. A folyómederhez 7 m hosszú lánccal rögzítettek egy bóját. Mennyivel csökkent a víz szintje, ha a bóját 4 m-rel odébb sodorta a víz, bár a rögzítése nem változott? √ x 2 + 42 = 72 ⇒ x = 33 √ y = 7 − 33 ≈ 1,26 m-t csökkent a vízszint.

Milyen messzire láthatunk el egyenletes terepen 30 m magasságból, ha a Föld sugara körülbelül 6370 km?

6.

d 2 + 63702 = 6370,032 d = 382,2009 ≈ 19,5 km. Megjegyzés: Használjunk zsebszámológépet!

7. a) Két 10 cm átmérőjű henger tengelye egymástól 20 cm távolságra van, közöttük az ábra szerint egy feszes szíj biztosítja az áttételt. Milyen hosszú a szíj? √ x 2 + 52 = 102 ⇒ x = 75 √ 2 A hossza 2 · · 52 π + 4 75 ≈ 139,3 cm. 3

b) Két fél méter átmérőjű henger palástja egymástól 3 m távolságra van. Milyen hosszú a színessel jelölt feszes szíj? A hossza 2 · 0,5π + 2 · 4 ≈ 11,14 m.

108

C

M

Y

K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 102. és 104. oldal 8. a) Derékszögű koordináta-rendszerben a P (−1; 1), Q(7; −5), R(7; 7) pontok mekkora területű háromszöget alkotnak? Hány egység a háromszög kerülete? P Q = P R = 10

QR = 12

T = 48 e2

K = 32 e

b) Mekkora az ABC háromszög területe, ha csúcsai az A(−3; 8), B(2; −4), C(2; 0) pontok? √ AB = 13

BC = 4

AC =

89 ≈ 9,43

K ≈ 26,43 e

T = 10 e2

A színessel jelölt területek közül melyik a nagyobb?

9.

1 2 1 · 6 π − 2 · · 32 π = 9π 2 2 A két terület egyenlő. T1 =

T2 = 32 π = 9π

Derékszögű háromszög oldalaira mint alapokra egyenlő szárú derékszögű háromszögeket rajzolunk. Bizonyítsd be, hogy a két kisebb alakzat területeinek összege egyenlő az átfogó fölé rajzolt háromszög területével! T1 + T2 = T3 ?

10.

a · a2 b · b2 b2 c · 2c a2 c2 = T2 = = T3 = = 2 4 2 4 2 4 2 2 2 c a +b T1 + T2 = = A Pitagorasz-tétel szerint. T1 + T2 = T3 állítás igaz. 4 4 T1 =

11. A „kalózhajó” nevű szerkezet 16 m hosszú rúdon leng a Vidámparkban. Hány métert emelkedik, mialatt a rúd vége tíz méterre eltávolodik a kiinduló helyzettől? x 2 + 102 = 162

⇒

x=

√

h = 16 −

156

√ 156 ≈ 3,5 m

8–9. óra Térgeometriai számítások Tk.: 104–105. oldalon 1–17. feladatok Fgy.: 267–287. Eszközök: testek és hálójuk; kocka és síkmetszetei (modellek). Feladatok 1. Számítsd ki a téglatest testátlóinak hosszát, ha élei √

a) 2 m, 2 m, 5 m, t = 33 ≈ 5,7 m c) 24 dm, 45 dm, 68 dm, t = 85 dm

b) 3 m, 17 dm, 20 dm, d) 11 m, 11 m, 11 m!

t= t=

√ √

698 ≈ 26,4 dm 363 ≈ 19 m

109

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 104. oldal 2. a) Rendezd térfogat szerint növekvő sorrendbe a hengereket! b) Rendezd felszín szerint csökkenő sorrendbe a hengereket! A)

B)

felszín: A ≈ térfogat: V ≈

A 135,6 cm2 110 cm3

C)

B 150,7 cm2 100,48 cm3

a) C < B < D < A

D)

C 244,9 cm2 84,6 cm3

D 338,5 cm2 107,6 cm3

b) D > C > B > A

3. Hány m3 víz fér egy 1,2 m átmérőjű, 6 m magas henger alakú csatornába?

4. Hány liter víz fér egy 12 m hosszú, 11 cm sugarú félhenger alakú csatornába? 1 · 112 π · 120 ≈ 2 ≈ 22 796,4 cm3 ≈ 22,8 l víz

V = 0,62 π · 6 ≈ 6,78 m3 víz

V =

5. Az erdei táborban, a mosogatósátorban a képen látható módon rögzítettek egy viharlámpát. Ha azt szeretnék, hogy a lámpa 10 cmrel magasabbra kerüljön, mennyivel kell rövidebbre venni a 8,4 m hosszú függesztő kötél hosszát? Becsülj! Számolj! A 0,5 m

B 28 cm

C 2 cm

√ (l )2 = 2002 + 252 ⇒ l = 40 625 ≈ 201,6 cm 2l ≈ 403,2 cm Megjegyzés: A ferde rögzítőkötelek hossza (840 − 403,2) : 2 = 218,4 cm. Ezért az ábrán megadott magasság ennél kevesebb (pl.: 2 m). √ l 2 = 2002 + 152 ⇒ l = 40 225 ≈ 200,6 cm 2l ≈ 401,2 cm 2 cm-rel rövidebb kötél kell.

6. Mekkora a területe az 1 dm élű kockába helyezett síklapoknak?

t =1·

√ √ 2 = 2 ≈ 1,41 dm2

t = 10 ·

√ 125 ≈ 111,8 cm2

√ t = 10 50 ≈ 70,71 cm2

110

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 104–105. oldal 7. Egy kocka lapátlója 6 dm hosszú. Mekkora az éle? a 2 + a 2 = 62 8. Egy kocka testátlója 9 cm. Mekkorák az élei? a 2 + a 2 + a 2 = 92

⇒ ⇒

√ a = 18 ≈ 4,2 dm a kocka éle. √ a = 27 ≈ 5,2 cm a kocka éle.

9. Egy téglatest élei 5 cm, 7 cm és 9 cm hosszúak. a) Mekkora a területe a téglatestbe helyezett téglalapoknak? b) Melyik téglalap átlója a leghosszabb? Számítsd ki az átlók hosszát!

a) t = 5 ·

√ 130 ≈ 57 cm2

b) t 2 = 92 + 72 + 52 leghosszabb.

t = 9·

⇒

t =

√

74 ≈ 77,4 cm2

t =7·

√ 106 ≈ 72,1 cm2

√ 155 ≈ 12,45 cm, ami mindhárom téglalapnak átlója, tehát nincs köztük

10. Egy téglatest egymásra merőleges élei 10 cm, 12 cm és 15 cm hosszúak. Mekkora a testátlója? t 2 = 102 + 122 + 152

⇒

t=

√ 370 ≈ 19,2 cm a testátló hossza.

11. Milyen magas a 25 literes tank, ha az ábrán jelölt adatok r = 12 cm, l = 30 cm?

12. Hány m3 földet kell kiásni egy húrtrapéz keresztmetszetű egyenes árok készítésekor?

(122 π + 24 · 30) · h = 25 000 ⇒ h ≈ 21,3 cm. A hőtágulás miatt nem jó csordultig tölteni. m2 + 352 = 512 ⇒ m = 37 cm = 0,37 m (1,3 + 0,6) · 0,37 V = · 8 ≈ 2,812 m3 föld. 2

13. Mekkora a rombusz alapú egyenes hasáb felszíne, ha a rombusz átlói 6 cm és 8 cm, a hasáb

magassága 10 cm? A rombusz oldala 32 + 42 = 5 cm. A = 2 ·

6·8 + 4 · 5 · 10 = 248 cm2 2

14. Egy egyenes hasáb alapja az ábrán látható derékszögű trapéz. Hány liter a térfogata a 2,3 m magasságú hasábnak? V =

(3 + 1) · 2 · 2,3 = 9,2 m3 = 9200 dm3 = 9200 l a térfogata. 2

111

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 105. oldal 15. Milyen átmérőjű „gömbfát” kell venni, ha a kivágandó gerenda metszete 35 cm × 20 cm oldalú téglalap? A forgáshenger alakú fát a szakemberek gömbfának is nevezik.

d 2 = 202 + 352

⇒

d=

√ 1625 ≈ 40,3 cm.

Legalább 40,3 cm átmérőjű gömbfa kell.

16. Egy négyzetes oszlop térfogata 112 dm3 , az oldallapok területösszege 112 dm2 . Mekkora a testátló? a 2 · b = 112

⇒

4ab = 112 2

2

2

t =4 +4 +7

2

⇒

a · (a · b) = 112 a · b = 28

⇒

a · 28 = 112

⇒

a = 4 dm b = 7 dm

t = 9 dm a testátló hossza.

17. A kristályoktaéder hat darab 15 cm oldalú négyzetből készülhet.

a) Mekkora a test egy éle? a 2 = 7,52 + 7,52 a=

112,5 ≈ 10,6 cm a test éle.

b) Mekkora a két legtávolabbi csúcsának távolsága? 7,5 + 7,5 = 15 cm a két szemközti csúcs távolsága. c) Mekkora a test felszíne? A felszínt 24 db háromszög alkotja. 7,5 · 7,5 A = 24 · = 675 cm2 . 2 Megjegyzés: Ha az éleken át beburkoljuk a testet, akkor a keletkezett szabályos oktaéder felszíne nyolc darab szabályos háromszög területének összegével egyenlő. √ √ √ a2 · 3 A=8· = 2 · 112,5 · 3 = 225 3 ≈ 389,7 cm2 . 4

112

C M Y K



10. óra

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ 1. a) Egy rombusz átlóinak hossza 10 cm és 16 cm. Számítsd ki a kerületét és a területét! √ a 2 = 82 + 52 ⇒ a = 89 ≈ 9,4 cm √ K = 4a = 4 89 ≈ 37,6 cm a kerület.

T =

16 · 10 e·f = = 80 cm2 a terület. 2 2

b) Egy húrtrapéz alapjai 10 cm és 18 cm hosszúak, magassága 3 cm. Számítsd ki a kerületét és a területét! b 2 = 32 + 42

⇒

b = 5 cm

K = 18 + 2 · 5 + 10 = 38 cm a kerület. (18 + 10) · 3 T = = 42 cm2 a terület. 2

2. Egy konvex négyszög két szemközti szögét az átlója 30◦ -os és 80◦ -os, illetve 60◦ -os és 100◦ -os szögekre bontja. Mekkorák a négyszög belső és külső szögei? α = 180◦ − (100◦ + 30◦ ) = 50◦ γ = 180◦ − (80◦ + 60◦ ) = 40◦

Lehetetlen, mert α = 0◦ lenne.

A négyszög belső szögei: 50◦ ; 110◦ ; 40◦ ; 160◦ A négyszög külső szögei: 130◦ ; 70◦ ; 140◦ ; 20◦

3. a) Milyen hosszú körív határolja a 14 cm átmérőjű félkört? 2rπ = 7π ≈ 21,98 cm a félkörív hossza. 2 Mekkora a területe a 7 cm sugarú 40◦ -os l=

b)

T = r 2π ·

40◦ 360◦

=

középponti szögű körcikknek?

49π ≈ 17,1 cm2 a körcikk területe. 9

4. Az 1 m magas egyenes hasáb alaplapja egyenlő szárú háromszög. A háromszög alapja 12 dm és az alaphoz tartozó magassága 7 dm. Hány liter a hasáb térfogata? V =

12 · 7 · 10 = 420 dm3 = 420 l a térfogat. 2

5. Befér-e egy 1 dm élű kockába egy 18 cm hosszú pálca? t 2 = 102 + 102 + 102 kilóg a kockából.

⇒

t =

√

300 ≈ 17,32 cm a kocka testátlójának hossza. Mivel

√ 300 < 18 cm, a pálca

6. A téglatest három éle 2 cm, 3 cm és 6 cm. Milyen hosszú a testátlója? t 2 = 22 + 32 + 62

⇒

t = 7 cm a testátló hossza.

113

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok Tk.: 106. oldal 7. Igaz vagy hamis állítások-e az alábbiak? A : Ha egy paralelogramma egyik szöge derékszög, akkor az négyzet. Hamis. Például a téglalap derékszögű paralelogramma, mégsem négyzet.

B : Van tengelyesen szimmetrikus konkáv négyszög. Igaz. Például a konkáv deltoid.

C : Minden körszelet konvex alakzat. Igaz. D : A tízoldalú konvex sokszög átlóinak száma tízszerese az egy csúcsból induló átlók számának. Hamis. Egy csúcsból 10 − 3 = 7 átló húzható. 10 · 7 Az átlók száma összesen = 35. 2 Az összes átlóinak száma 5-szöröse az egy csúcsból induló átlók számának. Konvex húszszög esetén igaz az állítás, mert egy csúcsból 17 átló húzható, és összesen van.

114

C M Y K


20 · 17 = 170 átlója 2

Kzpiskolba kszlnk Tk.: 107. oldal

KÖZÉPISKOLÁBA KÉSZÜLÜNK 1–2. 3–4. 5–6. 7–8. 9–10.

Számok Algebra Függvények, sorozatok Alakzatok Transzformációk


A tanult ismereteket öt témára osztva feladatokon keresztül ismételjük át. A feladatok elméleti kérdéseket is tartalmaznak. Az egyes témakörökhöz tartozó feladatanyag párja a feladatgyűjteményben található. A fejezet jól használható a középiskolai felvételire készülőknek, valamint azoknak a 8. és 6. osztályos tanulóknak, akiknek a nyolcadik osztályban vizsgázniuk kell matematikából. Önálló, otthoni munkára javasoljuk a 2005–2008. központi felvételi feladatsorok, valamint különböző középiskolák felvételi feladatsorainak megoldását. A tematikus ismétlő feladatok mindegyikét nem lehet, és nem is kell 10 órában megoldani, a széles kínálattal a differenciálás lehetőségét szeretnénk biztosítani.

Számok 1. 6948 a) Írd le betűkkel! hatezer-kilencszáznegyvennyolc b) Írd le római számokkal! MMMMMMCMXLVIII c) Kerekítsd egyesekre, tízesekre, százasokra és ezresekre! egyesekre: 6948; tízesekre: 6950; százasokra: 6900; ezresekre: 7000.

d) Írd le a legnagyobb helyi értéken lévő számjegy ellentettjét! −6 e) Írd le a legkisebb alaki értékű számjegy reciprokát!

1 4

f) Melyik számnál kevesebb 1355-tel? 8303 g) Melyik számnak a 12-szerese? 579 h) Osztható-e 9-cel, 18-cal, 36-tal, 72-vel? 9-cel, 18-cal, 36-tal osztható, de 72-vel nem. 2. Helyezd el a számoknak megfelelő betűket a számegyenesre! Olvasd ki, hogy mit kaptál! 2 1 1 95 4 5 1 5 U = 25% = T =3 + = N = 1,2-nek a reciproka = Á = − : = 4 6 2 4 7 28 3 15 2 1 11 1 6 K = 3-nak a része = Ó = (−0,2)2 = 0,04 J = −0,22 = −0,04 M= · = 5 5 33 5 15 J ÓM U −0,5

0

N

K 1

Á 2

T 3

3. Hasonlítsd össze! Tedd ki a <, > vagy = jelet! 26 2 26 = a) 2 és 3 aránya = 39 3 39 3 3 b) 12-nek a része = 0,75-nak a 12-szerese 12 · = 0,75 · 12 = (9) 4 4

115

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 107–108. oldal 3 16 14 1 > 2 c) · · 7 5 5 3 3 e) -nak a 20%-a < 8 3 f) −1 reciproka < 7

2 7 2 2 96 7 6 < 2· d) : > · =2 25 3 7 6 5 5 3 1 3 1 3 3 1 3 < · = -nak az része · = 8 5 40 8 4 32 4 8 2 3 7 49 3 15 − · − =− <− =− 10 70 14 70 7 4

4 4 < 25 5

A b) és a d) feladatokat az ügyesebb tanulók számolás nélkül is megválaszolják.

4. „Többet ésszel, mint erővel!” 13 12 1 = a) · 24 65 10 2 7 4 2 1 7 4 1 c) : 17 · · · 17 = · · · · 17 = 3 17 8 14 6 3 8 14 2 34 35 17 17 35 35 17 e) 3 : − · = · − · =0 5 34 34 5 5 35 34 5

1 49 7 7 4 7 1 b) 3 : · = · · = 2 4 8 2 49 8 4 3 11 5 d) (−8) · − + ·0· =6 4 19 7 2

2 f) 5 · 3

2

−4·

2 3

=5·

4 4 4 −4· = 9 9 9

5. Keresd meg az egyenlőket! A 2 · 74

C 6,28 · 102

B (−1)5 + 15

4

G 0,14 − 0,0001

F 2 + 74 4

H 2 6 − 3

A = E, B = G, C = D, H = J

D 10 − 372

E (2 · 7)4

3

J 4 9

I

3

3

4 9

K 2 − 3

6

6. Végezd el a műveleteket! Minden eredménynek egy-egy betű felel meg. Ha jól számoltál, akkor egy közmondás első részét kapod, amelyet bizonyára be tudsz fejezni. 8 13 8 19 17 A = 18 Á = D = −90 G = − I = 74 J = 0 K = O=1 Ó = 12 R = − 29 15 9 28 10 3 S = −1 T = 0,0009 Ú = 2 20 (−60) · (−3) : 20 · 2 180 felének az ellentettje −328 + 476 : 2 (−328 + 476) : 2 1 4 2 + : − 3 5 3 2

A

(−60) · (−3) : (20 : 2)

D

2

D I G

2

2 2 − 3 9 5 3 reciproka 8 10 − reciproka 17

2 3

J

Á R

(−2)2 + 9

3 5 + 7 4 1 4 2 + : − 3 5 3

A K

O R

7 3 − ellentettje 4 5 14 10 9 · · 3 7 5

S

(−60) · (−3) : (20 : 2) 7 5 :2 3 8 2 4 18 · 3 16 (0,03)2 1 −4 + 2,5 5 3 30-nak a része 5

Ó

Addig jár a korsó a kútra, amíg el nem törik.

116

C M Y K


A K

Ú T R A

Kzpiskolba kszlnk Tk.: 108–109. oldal 7. Írd le matematikai jelekkel, és számítsd ki a) (−820) és 450 összegének az abszolút értékét, |(−820) + 450| = 370 b) (−820) és 450 abszolút értékeinek összegét, |(−820)| + |450| = 1270 5 5 c) 270 részének a felét, 270 · : 2 = 75 9 9 3 4 1 1 d) és különbségének a reciprokát, 3 4 = 1 = −20 4 5 − 20 4 − 5 3 4 4 5 1 és reciprokának a különbségét, − = 3 4 12 4 5 2 3 9 3 36 f) négyzetének százalékban kifejezett értékét, = = = 36% 5 25 100 5 g) 20-nak a 120%-át, 20 · 1,2 = 24 h) 120-nak a 20%-át, 120 · 0,2 = 24 e)

i) 0,14%-nak a tizedes tört és a tört értékét, 0,14% =

0,14 7 = 0,0014 = 100 5000

5 5 = 0,3125 = 31,25% tizedes tört és százalékos alakját, 16 16

j)

k) három és négy arányát, 3 : 4 =

3 4

l) 240-nek felosztását 2 és 3 arányában! 2 · 8.

Válassz az alábbi halmaz elemei közül! a) Páros szám 18 · 103 = 1,8 · 104 ; 25 · 35 ; 65 b) Öttel osztható szám 18 · 103 = 1,8 · 104 ; 51 ;

65 50 33 + 37 35 · 53

18 · 103

25 · 35

51

2 +3

35 · 53 ; 210 + 316 (a végződések egyes hatványoknál 4-es periódussal ismétlődnek, jelenleg 4 + 1 = 5); 25 + + 35 = 275 (most egyszerűbb kiszámolni) Prímszám 51

c) d) Se nem prímszám, se nem összetett szám

1,8 · 104 10

240 240 = 96, illetve 3 · = 144 2+3 2+3

16

25 + 35

g) A 18 pontosan 1000-szer van meg benne h) Osztható 33 -nal 65 ; 35 · 53 ; 25 · 35

50 = 1

e) Normál alakban felírt szám 1,8 · 104 f) Két egymással egyenlő szám 18 · 103 = 1,8 · 104 ; 65 = 25 · 35 18 · 103 = 1,8 · 104

9. Hány darab háromjegyű számot tudsz készíteni a 0 , 2 , 3 , 9 számkártyákból? Mi a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kirakott háromjegyű szám osztható lesz a) 2-vel, b) 4-gyel, c) 3-mal, d) 9-cel, e) 12-vel? a) A szám páros, ha 0-ra végződik, ez 3 · 2 = 6 lehetőség, vagy 2-re végződik, ekkor 2 · 2 = 4 lehetőség van. 10 5 Összesen 10 páros számot készíthetünk, így a valószínűség = . 18 9 b) A háromjegyű szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegye a 20, így 2 szám készíthető. Ha az 2+1 1 utolsó két számjegy a 32, akkor csak egy ilyen szám van. Ezért a valószínűség = . 18 6

117

C

M

Y

K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 109. oldal c)–d) A kiválasztott számkártyán levő számok összegét kell a 3-nak, illetve a 9-nek osztania. A lehetséges kártya választások: 0–2–3; 0–3–9; 2–3–9. Ezek közül csak a 0–3–9 jó. Ekkor 2 · 2 = 4 darab 3-mal osztható számot 4 2 készíthetünk, ennek valószínűsége = . 9-cel osztható szám nem készíthető, ezért ennek valószínűsége 0. 18 9 e) Egy szám akkor osztható 12-vel, ha 3-mal és 4-gyel is osztható. A kiválasztandó számkártyák között nincs ilyen lehetőség, hiszen a b) miatt szerepelnie kell a 2-es számkártyának, de ez nem szerepelhet a c) miatt. A valószínűség 0.

10. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek kétszerese négyzetszám, háromszorosa pedig köbszám? Ha a szám kétszerese négyzetszám és háromszorosa köbszám, akkor az eredeti szám többszöröse a 2-nek és a 3-nak is, azaz 6-nak a többszöröse. Így 6 többszörösét sorba felírva hamarosan eljutnak a gyerekek a legkisebb ilyen számhoz, a 72-höz. Ellenőrizve: 2 · 72 = 122 és 3 · 72 = 63 . Erősebb csoportban érdemes megbeszélni az általánosításra is alkalmas megoldást. Jelöljük x-szel a keresett számot! 2 · x = n2 és 3 · x = k 3 Így x prímtényezős felbontásában a 2-nek páratlan kitevőjű hatványon kell szerepelnie, hiszen 2-vel szorozva páros kitevőjű lesz. Ugyanakkor a második összefüggés miatt a 2 kitevője többszöröse a 3-nak is. A legkisebb ilyen szám a 23 . A második összefüggésből egy köbszám osztható 3-mal, akkor x prímtényezős felbontásában 3-nak (3k − 1)-dik hatványa kell, hogy szerepeljen, de az első összefüggés miatt a 3 prímtényezőnek páros kitevőjű hatványára van szükség. A két feltételnek a 2 felel meg először, így 32 van a keresett szám prímtényezős felbontásában. A keresett szám: 23 · 32 = 72. Ellenőrzés: (23 · 32 ) · 2 = 24 · 32 valóban négyzetszám és (23 · 32 ) · 3 = 23 · 33 valóban köbszám.

Algebra

1. Keresd a párját! A 8a − 7a + 12a + 3a

B 8a − (7a + 12a + 3a)

C 8a − (7a − 12a) + 3a

D 8 − 7a + 12a + 3a

E 8a − 7 + 12a + 3a

F 12a − (7a − 3a) + 8

b 23a − 7

a 16a a=A=C

b=E

c −14a

d 8(a + 1)

c=B

d=D=F

2. Milyen számok kerülnek az üresen hagyott helyekre? a)

b)

−3 3

6x − 5

0 4

1,6

19

−23

−5

13

1 5 3 · (2 −x)

2

2 7

27 5

118

C M Y K

36 7


0 1,2

Kzpiskolba kszlnk Tk.: 109–110. oldal 3. Írd le algebrai kifejezésekkel a mondatokat! a) Egy családban a férj 8 évvel idősebb a feleségénél. Ha a férj életkora f , akkor mennyi a feleségé és mennyi kettőjük életkorának az összege? Feleség: f − 8; összeg: 2f − 8. b) Öt szomszédos egész szám közül a középső k. Írd le a másik négy egészet is, és írd fel az összegüket! A számok: k − 2; k − 1; k; k + 1; k + 2; összeg: 5k. c) Két szám különbsége 4. A kisebbet k-val jelöljük. Írd fel a nagyobb számot és a két szám számtani közepét! A nagyobb szám: k + 4; számtani közép: k + 2. d) Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 14. A tizesek helyén t áll. Mi áll az egyesek helyén? Milyen értéket vehet fel a t? Egyesek helyén: 14 − t; t ∈ {5; 6; 7; 8; 9}. 4. Az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül melyikre kapsz az alábbi három állítás mindegyikére igaz, pontosan egy hamis, pontosan két hamis vagy csak hamis választ? 1 c) x 2 − 3x negatív egész szám a) x egész szám b) x + egész szám x Az a) állítás mindegyik számra igaz; a b) csak az 1-re igaz; a c) pedig az 1-re és a 2-re igaz. Tehát mindegyikre igaz az 1. A 2 pontosan egyszer hamis (b-nél). Pontosan kétszer hamis a 3, a 4 és az 5 (b-nél és c-nél). Csak hamis választ egyik számra se kapunk.

5. Melyik nem ugyanakkora részét adja a p-nek, mint az A? A p-nek a 125%-a a p-nek az

e

5 része 4

b

p · 125 100

5p 4

f p+

c 1 4

4p 5

3 g 2p − p 4

d p:

h

4 5

p · 100 125

A c), f) és h) nem ugyanakkora része a p-nek, a), b), d), e) és g) az A-val megegyező részét adja p-nek.

6. Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) 7x − 9 + 4x = 3x − 3 + 12 + 9x x = −18 3x − 4 + 8 = 12 x = 8 5 3x − 4 16 e) 8 − = 12 x = − 3 5 c)

b)

x 2x x 3x 1 66 + −5= − + x= = 2,64 25 4 3 3 2 2

d) 3x − 7(x − 1) = 7 − 4x azonosság f)

1 (x − 6) − 2(x + 5) = 6(x − 2) x = 0 3

7. Euler (1707–1783) svájci matematikus feladata: Egy apa 1600 koronát hagyott három fiára. A végrendeletében meghagyta, hogy a legidősebb fiú jussa 200 koronával több legyen a középsőénél, a középsőé pedig 100 koronával több, mint a legkisebbé. Számítsd ki a fiúk örökségét! Ha a legkisebb fiú öröksége x korona, akkor a középső fiú (x + 100) koronát kapott, míg a legidősebb (x + 100) + 200 = x + 300 koronát. x + (x + 100) + (x + 300) = 1600 egyenlet megoldása: x = 400 A fiúk örökségei: 700; 500; 400 korona. Ha a legidősebb fiú öröksége x korona, akkor az egyenlet: x + (x − 200) + (x − 300) = 1600. Innen x = 700.

119

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 110–111. oldal 8. Meg tudja-e venni Pista az 500 Ft-os telefonkártyát, ha pénzét összeszámolva ezt mondta barátjának: „Ha még két és félszer annyi pénzem lenne, mint most van, akkor 900 forintnál annyival lenne több pénzem, mint amennyivel most kevesebb van nálam.” Jelöljük x-szel Pista pénzét. A felírható egyenlet: x + 2,5x − 900 = 900 − x. Innen x = 400, azaz Pista nem veheti meg a telefonkártyát.

9. Egy üzletben hétfőn és kedden pontosan ugyanannyi narancsot adtak el. 3 Szerdán a hétfői mennyiség 125%-át, csütörtökön csak -szere5 8 sét a hétfőinek, és pénteken a hétfői mennyiség részét sikerült 5 eladni. A hét öt napján eladott narancs mennyisége hány %-a a hétfőn eladott narancsnak? Ha szerdán 10 kg híján 100 kg narancsot adtak el, akkor mennyit adtak el a hét első napján? Először az első kérdésre adjuk meg a választ, ne vegyük figyelembe a szerdán eladott 90 kg-ra való ismeretünket, hiszen ez egy független kérdés az elsőtől. Ha a hétfőn eladott narancs tömegét kg-ban mérve x-szel jelöljük, akkor hétfőn: x; kedden: x; szerdán: 1,25x; csütörtökön: 0,6x; pénteken: 1,6x narancsot adtak el. A héten eladott narancs tömegének összege: 5,45x. Ez 545%-a a hétfőinek. Ha 90 = 1,25x, akkor x = 72, azaz hétfőn 72 kg-t adtak el.

10. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) 5x + 3 = 4x − 8 c)

x

x+3 − 2 < 3(4 − x) 4

= −11

x<

53 13

b) 8(x − 2) + 4 < 3x − 9 d)

x+1 x −2· 3 5

=4

Függvények, sorozatok 1. Az erdők fontosságával mindnyájan tisztában vagyunk. Az Állami Erdészeti Szolgálat 2001-ben készült felmérése szerint gyarapodtak erdeink az előző évhez képest. Olvass ki minél több információt a diagramokról! Az első diagramon található adatokból készíts függvényt, azaz add meg az A alaphalmazt, a K képhalmazt és a hozzárendelési utasítást!

120

C M Y K


x< x

3 5

5 −66

Kzpiskolba kszlnk Tk.: 111–112. oldal Az ország erdőterülete megközelítőleg 1,8 millió hektár. Mekkora területen található a legelterjedtebb akác és a legkevésbé elterjedt bükk? Az élőfakészletünk 326,4 millió köbméter volt. Mennyit tett ki ebből a fenyő? A = {bükk, nyár, cser, fenyő, tölgy, akác, egyéb fajok}. K = {6,2; 9,7; 11,4; 14,2; 21; 21,6; 15,9}. Az egyes fajokhoz a százalékban kifejezett területeket rendeljük hozzá. Az akác 1,8 · 0,216 = 0,3888 millió hektáron, míg a bükk 1,8 · 0,062 = 0,1116 millió hektáron található. A fenyő 326,4 · 0,142 = 46,3488 millió köbméter.

2. Ábrázold koordináta-rendszerben az A(1; −3), B(5; 2) és a C(1; 2) pontokat és kösd össze azokat! a) A pontokat tükrözd az y tengelyre – pirossal rajzolj! b) Az a) feladatban kapott pontokhoz hozzárendeljük azoknak az x tengelyre tükrözött képét – kékkel rajzolj! c) Tetszőleges P (x; y) ponttal hajtjuk végre a két transzformációt! Van-e helyben maradó pont az egyes transzformációknál? Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Tudsz-e mondani olyan hozzárendelési utasítást, amely az eredeti pontokhoz a kék színűeket rendeli hozzá? Eredeti A(1; −3)

B(5; 2)

C(1; 2)

P (x; y)

a)

A(−1;−3 ) B(−5; 2 ) C(−1; 2 ) P (−x; y ) Az y tengely pontjai maradnak helyben.

b)

A(−1; 3 ) B(−5;−2 ) C(−1;−2 ) P (−x;−y ) Az x tengely pontjai maradnak helyben.

Az origóra való tükrözés a két egymás után végrehajtott tükrözés eredménye.

3. Édesanya rakott krumplit főz ebédre. A krumpli főzésének melyik szakaszát látod az egyes grafikonokon? a) Feltette a krumplit főni. b) Egyenletesen forr a víz. c) Vízcsap alá teszi a főtt krumplit, hogy hűljön. d) Elkezdte hámozni.

121

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 112–113. oldal 4. Keresd a párját! a) x → 4x + 3 d) x → 4 + 3x y 6 5 4 c 3 2 1 1 2 3 4

b) x → 3x + 4 e) x → 2 + x + 2 + 2x y 6 5 b, d, e 4 3 2 1

y 6 5 4 3 2 1

a

1 2 3 4

x

x

c) x → 3 f) x → 4 − 3x y 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4

x

1 2 3 4

x

5. Ábrázold az x → 2x − 3 függvény grafikonját! Határozd meg az A(1; ), B(−4; ), C(12; ), D( ; −3), E( ; 5), F ( ; 101) pontok hiányzó jelzőszámait úgy, hogy a pontok a) a grafikonon legyenek, b) a grafikon felett legyenek, c) a grafikon alatt legyenek! y

−2 −1 −1 −2 −3

3 2 1

B(−4; −11 ) C(12; 21 ) D( 0 ; −3)

a

A(1; −1 )

b

y > −1

y > −11

y > 21

x<0

x<4

x < 52

c

y < −1

y < −11

y < 21

x>0

x>4

x > 52

x

E( 4 ; 5) F ( 52 ; 101)

1 2 3

6. Melyik a kakukktojás? Azaz az alábbi egyenesek egyenletei közül egy nem párhuzamos a többivel, készítsd el annak a grafikonját! a) x − 2y = 0 b) 5x = 10y + 7 c) −3x + 18 + 6y = 0 d) y = 2x − 5 e) 3y = 1,5x − 2 f) −4y = 6 − 2x A d) y = 2x − 5 nem párhuzamos a többivel.

7. Írj fel függvénykapcsolatot a derékszögű háromszög két hegyesszöge között! Készítsd el a grafikonját ennek a függvénynek!

Ha az egyik hegyesszög x, akkor a másik szög 90◦ − x, azaz a függvénykapcsolat x −→ 90 − x, ahol 0 < x < 90 A grafikon egy mindkét végén nyílt szakasz.

y 100 80 60 40 20

x 20 40 60 80 100

8. Írd fel a számtani sorozatok első öt elemét és készítsd el a hozzájuk tartozó grafikonokat! a) −4, − 1, 2, . . . A sorozat differenciája 3. A sorozat elemei −4, −1, 2, 5, 8.

b) a1 = 7 d = −2 7, 5, 3, 1, −1 c) cn = −3 minden elem −3 d) a1 = 3 a2 =

7 7 5 3 1 3, , , = 1, 3 3 3 3 3

A grafikonok csak pontokból állnak.

9. Mennyi a számtani sorozat első nyolc elemének az összege, ha a) első eleme (−5) és differenciája 2, A sorozat elemei: −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, összegük: 16.

122

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 113. oldal b) első eleme 4 és harmadik eleme 12, a1 = 4 és a3 = 12. Innen d = 4, így a sorozat elemei 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32. Összegük

4 + 32 · 8 = 144. 2

c) első három elemének számtani közepe 21 és a negyedik eleme 7, Ha az első három elem számtani közepe 21, akkor a sorozat második eleme éppen 21. Mivel a4 = 7, a sorozat differenciája −7. A sorozat elemei: 28, 21, 14, 7, 0, −7, −14, −21. Összegük 28.

d) az ötödik és a második elemének különbsége (−9) és ugyanezen elemek összege (−14)? Mivel a5 −a2 = −9, ezért a sorozat differenciája −3. Ezen elemek összege: a5 +a2 = −14. Ebben az összegben kétszer szerepel az a1 és ötször a sorozat differenciája, ami 5 · (−3) = (−15). Innen 2 · a1 − 15 = −14, azaz: 0,5 − 20,5 ·8= a1 = 0,5. A sorozat elemei: 0,5, −2,5, −5,5, −8,5, −11,5, −14,5, −17,5, −20,5. Összegük: 2 = −80.

10. Zsolti ímmel-ámmal elkezdte olvasni a kötelező olvasmányt. Első nap 12 oldalon rágta át magát. Mivel nagyon érdekesnek találta, minden nap 3 oldallal növelte az előző napi adagját. Hány nap alatt olvasta el a 441 oldalas könyvet? A Zsolti által elolvasott oldalak száma számtani sorozatot alkot: a1 = 12 d = 3. 12 + 12 + (n − 1) · 3 · n = 441 2 (21 + 3n) · n = 882

Innen: 12 + 15 + 18 + . . . + 12 + (n − 1) · 3 = 441, azaz

A lehetséges megoldásokat felsorolva az egyenletet próbálgatással tudják megoldani a gyerekek. Felhasználjuk, hogy 882 = 2 · 32 · 72 n

2

3

6

7

9

14

18

21

1

21 + 3n

27

30

39

42

48

63

75

84

24

n · (21 + 3n)

54

90

234

294

432

882

1350

1764

24

Tehát 14 nap alatt olvassa el Zsolti a könyvet. Természetesen egyéb próbálgatással is megoldható a feladat. 12 + 39 Például behatároljuk a napok számát. Ha 10 napig olvas, akkor a10 = 39, így összesen · 10 = 255 oldalt 2 olvas el, ez kevés. 12 + 69 · 20 = 810 oldalt olvas el, ami már sok. Ha 20 napig olvas, akkor a20 = 69, így összesen 2 Érdemes a középső értéket megnézni, azaz 15 napi olvasás után az utolsó napon a15 = 54 oldalt olvas, és összesen 12 + 54 · 15 = 495 oldalt, ami éppen 54-gyel több a 441-nél, ezért 14 nap kell Zsoltinak. 2

Alakzatok 1. Melyik nagyobb? a) 10 km 5%-a vagy 3 000 000 mm

1 része, 6

Egyenlő, mert 10 km 5%-a 0,5 km; 3 000 000 mm

1 része 500 000 mm. 6

0,5 km = 500 m = 500 000 mm.

123

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 113–114. oldal b) 3,5 · 104 cm vagy 3,5 km, 3,5 km > 3,5 · 104 cm = 0,35 km 4 4 400 dm 3 c) 88 dm másfélszerese vagy 10 m -szorosa? 10 m · = = 133,3˙ dm > 88 dm · = 132 dm 3 3 2 3 2. Hány fokos szöget zár be két metsző egyenes, ha az általuk meghatározott négy szög közül a) két szög összege 130◦ , 65◦ b) három szög összege 237◦ , 57◦ c) az egyik szög háromszor akkora, mint a másik? 45◦ 3. Adj meg a lehető legkevesebb számú különböző fajta négyszögekből álló halmazt a feltételeknek megfelelően! a) Az elemek között pontosan egy négyzet van, az elemek kétharmad része téglalap, az elemek között van három paralelogramma. Például: {1 négyzet; 1 nem egyenlő oldalú téglalap; 1 nem derékszögű trapéz}

b) A halmaznak legalább két eleme van, az elemek mindegyikének van párhuzamos oldalpárja, az elemek tengelyesen szimmetrikusak. Például: {1 húrtrapéz, ami nem téglalap; 1 rombusz, ami nem négyzet}

4. a) Egy derékszögű háromszögnek van egy 32◦ -os szöge. Hány fokos szögekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság a derékszöget? ϕ = 90◦ − 32◦ = 48◦

ε = 90◦ − ϕ = 32◦

b) Egy derékszögű háromszög kerülete 180 cm, befogóinak aránya 12 : 5. Számítsd ki a háromszög területét! I. megoldás:

II. megoldás:

Az 5; 12; 13 egy pitagoraszi számhármas. K = 5x + 12x + 13x = 180 ⇒ x = 6, a befogók 30 cm és 72 cm. 30 · 72 T = = 1080 cm2 a háromszög területe. 2 (12x)2 + (5x)2 = z2 ⇒ z = 13x 12x + 5x + z = 180 ⇒ x = 6. Innen lásd az I. megoldást.

5. Az ABCD négyzetet az AF és az EB szakasz az ábra szerint három részre bontja. Az EAB szög 55◦ , az EB szakasz pedig a négyzet B csúcsnál levő szögét 2 : 7 arányban osztja. a) Mekkorák lehetnek az EBCF négyszög szögei? b) Igaz-e, hogy az A, E és C pont a B-től egyenlő távolságra van?

vagy

a) ε1 = 75◦

vagy

b) ϕ1 = 105◦ , AB = CB E1 B. Az állítás tehát hamis.

ε2 = 125◦ ϕ1 = 55◦ , AB = CB = E2 B. Az állítás igaz.

124

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 114. oldal 6. Egy húrtrapéz alapjainak aránya 1 : 2. Szárának hossza az alapok hosszának számtani közepével egyenlő, kerülete 4,2 m. a) Mekkora a rövidebb alap? b) Mekkora a trapéz területe?

K = 6x = 4,2

⇒

m2 + 0,352 = 1,052 ⇒ m ≈ 0,99 m (1,4 + 0,7) · 0,99 = 1,0395 m2 a terület. T = 2

x = 0,7 m

A rövidebb alap 0,7 m.

7. Számítsd ki a színessel jelölt sokszög és az ABCD négyszög területének arányát!

8. a) Egy szabályos hatszög egyik átlója 7 cm2 területű háromszöget metsz le a hatszögből. Hány dm2 a hatszög területe? T =

1 Thatszög 6

Thatszög = 6 · 7 = 42 cm2 = 0,42 dm2 .

b) Egy szabályos sokszög szomszédos csúcsai A, B és C, szimmetriaközéppontja O. Az AOC háromszögben az egyik szög 30◦ -kal nagyobb a másiknál. Hány oldalú a sokszög? Igaz-e, hogy háromszor annyi átlója van, mint oldala?

vagy

3x + 30◦ = 180◦

3x + 60◦ = 180◦

x = 50◦

AOB

x = 40◦

^ = 40◦

AOB

Kilencszög; 27 átló, 27 = 3 · 9 Csak a szabályos kilencszög a megoldás.

vagy

^ = 20◦

tizennyolcszög; 135 átló, 135

3 · 18

125

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 114–115. oldal 9. A kör sugara 82 m. Mekkora a színessel jelölt útvonalak hossza? a) b) c)

4r = 328 m

4r = 328 m

d)

4r = 328 m

4r = 328 m

10. Mekkora a fehér alakzat területe, ha az ábrában levő körívek középpontjai a szabályos sokszög, illetve a paralelogramma csúcsai? Az eredményt mm2 pontossággal add meg! a) b) c) d)

1 2 ·6 π + 2 1 45 + · 32 π = π 2 2 45 Tfehér = 92 − π 2 Tfehér ≈ 1035 mm2 Tkörök =

11.

R 2 + 62 =√122 ⇒ ⇒ R = 108 1 2 Tfehér = R π = 6 = 18π Tfehér ≈ 5652 mm2

1 Tkörök = 6· ·42 π = 32π 3 m2 + 42 = √ 82 ⇒ ⇒ m = 48 √ 8 · 48 Thatszög = 6 · = 2 √ = 24 · 48 √ Tfehér = 24 · 48 − 32π Tfehér ≈ 6584 mm2

Tparalelogramma = 9 · 4 = 36 3 3 Tkörök = · 32 π + · 22 π = 8 8 39 = π 8 39 Tfehér = 36 − π 8 Tfehér = 2069 mm2

A három hálózatból elkészítjük a három kockát, majd egymás tetejére rakva négyzetes oszlopot állítunk össze. Az oszlop négy oldalán felülről lefelé olvasva a számokat négy darab háromjegyű számot kapunk, majd a négy darab háromjegyű számot összeadjuk. Milyen sorrendben, hogyan helyezzük egymásra a három kockát úgy, hogy az előbbi összeg a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez az összeg? A legfelső kocka függőleges lapjaira írt számok kerülnek a százas helyi értékre, ezek összegét kell a legnagyobbnak választani. Az egyes kockákon elérhető összegek a következők. I. 5 + 2 + 6 + 4 = 17 1 + 6 + 3 + 5 = 15 1 + 2 + 3 + 4 = 10 egyesek lesznek II.

8 + 9 + 7 + 5 = 29

8 + 1 + 7 + 2 = 18

2 + 9 + 1 + 5 = 17

százasok lesznek

III. 7 + 8 + 6 + 4 = 25 9 + 6 + 2 + 7 = 24 9 + 8 + 2 + 4 = 23 tízesek lesznek A felső kocka a II., az alsó az I. jelű, középen van a III. jelű. Függőleges lapjaik: 8, 9, 7, 5, illetve 7, 8, 6, 4, illetve 5, 2, 6, 4. Egymáshoz képest függőleges tengely körül elforgathatók, az összeg mindenképpen 29 ·100+25·10+17 ·1 = 3167. Megjegyzés: Jó, ha megállapodunk abban, hogy a 6-os szám megfordítva sem olvasható 9-esnek.

126

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 115. oldal 12. Egy négyzetes oszlop magasságát felére csökkentve 27 cm3 térfogatú kockát kapunk. a) Milyen magas az oszlop? A kocka éle 3 cm, ezért az oszlop 6 cm magas. b) Hány cm2 az oszlop felszíne? A = 32 · 2 + 4 · 3 · 6 = 90 cm2 c) Hány liter a négyzetes oszlop térfogata? V = 3 · 3 · 6 = 54 cm3 = 0,054 dm3 = 0,054 l 13. Egy téglatest egyik lapjának területe 160 cm2 , e téglalap szomszédos oldalai hosszának aránya 5 : 8. A téglatest harmadik éle a rövidebb él 60%-a. Mekkora a téglatest felszíne? 5x · 8x = 160 ⇒ x 2 = 4 x=2 A téglatest élei 10 cm, 16 cm, és 6 cm. 2 A = 2 · (10 · 16 + 16 · 6 + 10 · 6) = 632 cm

14. Egy vasból készült négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm, a magassága 20 cm. Ebből a testből a lehető legnagyobb térfogatú hengert esztergálják. a) Hány dm3 a hulladék? Vhasáb = 8 · 8 · 20 = 1280 cm3 Vhenger = 42 · π · 20 = 320π ≈ 1004,8 cm3 Vhulladék = 1280 − 320π ≈ 275,2 cm3 = 0,2752 dm3

b) Hány kg a henger tömege, ha a vas sűrűsége = 7,6 Vhenger = 1,0048 dm3

kg ? dm3

mhenger = Vhenger · ≈ 1,0048 · 7,6 ≈ 7,64 kg a tömege.

15. Négy függvény grafikonját ábrázoltuk. Melyik függvény adja meg helyesen az ABCD paralelogramma kerületét az AB oldal függvényében, ha a paralelogramma BC oldala 1 egységgel hosszabb, mint az AB oldal hosszának kétszerese? K = 2(2x + 1 + x) = 2(3x + 1) = 6x + 2, ha x > 0. A helyes függvény: x → 6x + 2 és x > 0. Az f függvény tekinthető a kerület-függvénynek.

x → 6x + 2

x → 2x + 1

x → 6x − 12

x → 2x + 1

x>0

x

x>2

x>0

=0

127

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 115–116. oldal

Transzformációk 16. A képen egy kaput ábrázoltunk, ahogy az utca felől látszik. Rajzold le a kaput a kert felől nézve!

17. Legyen egy ABCD négyzet oldala 7 cm, BC oldalának felezőpontja F ! a) Szerkeszd meg a négyzetet, majd tükrözd az AF egyenesre! b) Számítsd ki az eredeti és a tükörkép négyzet közös részének területét! b) ABFB közös rész deltoid, a szimmetriatengelye két derékszögű háromszögre bontja. 1 T = 2 · · 7 · 3,5 = 24,5 cm2 a terület. 2

a)

18. Az ABCD deltoid átlói 8 cm és 4 cm hosszúak. A rövidebb átló 1 : 3 arányban osztja a hosszabb átlót. a) Szerkeszd meg a deltoidot, majd tükrözd az átlók metszéspontjára! A deltoid konvex, mert átlószakaszai metszik egymást.

b) Milyen alakzat az eredeti deltoid és a tükörkép egyesítése, illetve milyen alakzat az eredeti deltoid és a tükörkép közös része? Az ABCD deltoid területének hányszorosa az egyesítés, illetve a közös rész területe? Az egyesítés rombusz, a közös rész négyzet. 8·4 12 · 4 TABCD = = 16 cm2 Tegyesítés = = 24 cm2 2 2 4·4 3 Tközös rész = = 8 cm2 Tegyesítés = TABCD Tközös 2 2

rész

=

1 · TABCD 2

c) Számítsd ki mm pontossággal az ABCD deltoid kerületét! 22 + 22 = a 2

⇒

a=

√

8 √ ⇒ b = 40 √ √ K = 2(a + b) = 2( 8 + 40) ≈ 18,30 cm ≈ 183 mm 22 + 62 = b 2

128

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 116. oldal 19. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogója 13 cm, BC befogója 5 cm hosszú. Az A csúcsát tükrözzük a C csúcsra, C-t a B-re, végül B-t az A-ra, a tükörképeket rendre C1 , B1 , A1 jelöli. a) Számítsd ki az ABC és az A1 B1 C1 háromszögek területének arányát! TBB1 A

=

TCC1 B =

=

=

TAA1 C =

TABC =

TCC1 A1 TAA1 B1 TBB1 C1 TABC : TA1 B1 C1 = 1 : 7 Bármely háromszög esetén ez az arány 1 : 7.

b) Számítsd ki az ABC háromszög kerületét és területét! b2 + 52 = 132 ⇒ b = 12 cm KABC = 5 + 12 + 13 = 30 cm 12 · 5 = 30 cm2 TABC = 2

20. Döntsd el, hogy igaz vagy hamis állítások-e az alábbiak! A: A rombusz két szabályos háromszögből áll. Hamis. Például a négyzet nem ilyen. B: Minden deltoid tengelyesen szimmetrikus. Igaz. Ez a definíció. C: A paralelogramma átlói felezik a paralelogramma belső szögeit. Hamis. Például a téglalap átlói nem szögfelezők, ha nem egyenlők az oldalai.

D: A paralelogramma átlói felezik egymást. Igaz. A középpontos szimmetria miatt. E: Van olyan paralelogramma, ami deltoid. Igaz. Például a rombusz. F : Van olyan deltoid, aminek az átlói egyenlő hosszúak. Igaz. Például A négyzet is olyan deltoid, amelynek átlói egyenlő hosszúak.

G: A paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. Hamis. A nem derékszögű és nem egyenlő oldalú paralelogrammának nincs szimmetriatengelye.

H : Ha egy trapéz szárai egyenlők, akkor a trapéz húrtrapéz. Hamis. Például

I: J: K:

a paralelogramma szárai is egyenlők, de nem húrtrapéz, ha szárai nem merőlegesek az alapra. Van olyan négyzet, ami rombusz is. Igaz. Minden négyzet egyenlő oldalú négyszög. √ Nincs olyan négyzet, aminek a területe pontosan 2 cm2 . Hamis. Az a = 2 oldalú négyzet területe 2 cm2 . Ha egy négyszögnek van szimmetriatengelye, akkor van két egyenlő szöge. Igaz. A tengelyesen szimmetrikus négyszög vagy deltoid, vagy húrtrapéz, amiknek van két egyenlő szöge.

129

C M Y K



FELVÉTELI FELADATOK OM írásbeli felvételi, 2005–2008 1. feladatsor (2005) (Zsebszámológép nem használható!)

45 perc

1. Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyik eggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál. Keresd meg a hiányzó öt számot! −1

1

0

3

1 3

2

−

1 3

2. Egy műszaki áruház raktárában 120 darab televízió van. A készlet 15%-a 36 cm képátlójú készülék, 48 darab 72 cm képátlójú, a többi 55 cm képátlójú. a) A legkisebb képátlójú készülékből hány darab van a raktárban? 18 b) Az 55 cm képátlójú készülékből hány darab van a raktárban? 54 (= 120 − 18 − 48) c) Hány százalékkal változik a teljes raktárkészlet, ha 21 készüléket eladnak? 21 17,5%-kal = · 100 120

3. Az ábrákon látható táblázatokban többféle módon olvasható el a LOGIKA Például: L O G szó. A bal felső sarokból indulva csak jobbra vagy lefelé haladhatunk. O G I Rajzold be a táblázatokba az összes olyan különböző lehetőséget, amelyG I K ben nem lépünk kétszer közvetlenül egymás után jobbra! (Több ábra van, I K A mint ahány lehetőség.) L O G I

O G I K

G I K A

L O G I

O G I K

G I K A

L O G I

O G I K

G I K A

L O G I

O G I K

G I K A

L O G I

O G I K

G I K A

2 6

4. A következő ábra köreibe úgy kell beírni az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számokat, hogy a nyilak a kisebb számra mutassanak. Pótold a hiányzó számokat! 5. Tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba!

a)

3 km < 25 m + 5000 cm. 100 e) 0,25 óra = 30 perc − 300 másodperc.

4

1

∗ ∗ ∗

130

C M Y K

7

∗

c) Egy paralelogramma átlói felezik a belső szögeket. d)

5

Biztosan Lehet, Lehetetlen igaz hogy igaz

Ha egy természetes szám osztható néggyel is és tízzel is, akkor osztható negyvennel.

b) Az első tíz darab prímszám összege páratlan.

3


∗

Kzpiskolba kszlnk Tk.: 118. oldal 6. Egy cég vezetése az éves jutalomalapot legeredményesebb dolgozói között akarta szétosztani. A javaslat szerint Andrea, Béla, Csaba és Dénes kapott volna jutalmat, az egyes jutalmak aránya az előbbi sorrendnek megfelelően 1 : 2 : 3 : 4. Közben kiderült, hogy akinek a teljes jutalomalap ötödét szánták, súlyos hibát követett el. A vezetés úgy döntött, hogy a 16 000 forintot is szétosztják a másik három dolgozó között úgy, hogy az ő jutalmaik aránya ne változzon. a) Hány forint a jutalomalap? 80 000 b) Név szerint ki nem kap jutalmat a négy dolgozó közül? Béla c) A kiosztott jutalmak közül mennyi volt a legkevesebb? 10 000 Ft d) Mennyi volt a legnagyobb kiosztott jutalom? 40 000 Ft 7. Péter szeptember első hetében megmérte a levegő hőmérsékletét az erkélyen reggel 7 órakor és délután 2 órakor. Az eredményekről a következő grafikonokat készítette: napok

reggel 7 óra

Szo. P. Cs. Sze. K. H. 0

5

10

15

20

25

hőmérséklet [◦ C]

napok

délután 2 óra

Szo. P. Cs. Sze. K. H. 0 a) b) c) d)

5

10

15

20

25

hőmérséklet [◦ C]

Mekkora volt a legnagyobb különbség a reggeli hőmérsékletek között? 5 ◦ C Hány ◦ C volt a hat nap átlaghőmérséklete délután kettőkor? 24 Hétfőn mennyit emelkedett a hőmérséklet reggel hét óra és délután két óra között? 12 ◦ C-ot Mekkora volt a legnagyobb napi hőmérséklet-különbség a két mérési időpont között? 15 ◦ C

131

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 119. oldal 8. A birkózóverseny eredményhirdetéséhez három darab egyforma tömör fakockából az alábbi módon készítettünk dobogót: – két kocka egy-egy lapját összeragasztottuk, – a harmadik kockát az egyik lapjával párhuzamosan pontosan félbevágtuk, – a két félkockát a rajz szerint hozzáragasztottuk a két kockához.

a dobogó elölről

a dobogó alulról

a) A dobogó aljának (a földdel érintkező részének) a területe 108 dm2 . Hány dm élhosszúságú volt egy kocka? 6 b) A dobogó alját feketére, a többi részét fehérre festettük. Összesen hány négyzetlapnyi felületet festettünk fehérre? 12-t c) Hány dm2 a fehérre festett felület? 432 9. Egy desszertes dobozban háromfajta csokoládé van: – barna csomagolású, amiben két darab mogyoró van, – fehér csomagolású, amiben egy darab mogyoró van, – drapp csomagolású, amiben nincs mogyoró. A dobozban lévő 33 darab csokoládéban összesen 32 mogyoró van. A barna és a fehér csokoládék számának összege kétszerese a drapp csokoládék számának. a) Hány darab drapp csomagolású csokoládé van? 11 b) Hány darab barna csokoládé van? 10 c) Hány darab fehér csokoládé van? 12 ( = 22 − 10) Jegyezd le a megoldás gondolatmenetét! 10. Egy derékszögű háromszög derékszögű csúcsából induló magas- B β ság és szögfelező 15◦ -os szöget zár be egymással. Készíts ábrát! Jelöld az ismert szögeket! 15◦ Mekkorák ennek a derékszögű háromszögnek a hegyesszö- a gei? α = 30◦ , β = 60◦ A háromszög hosszabb befogójára négyzetet rajzolunk. (c = 4 cm) Hány cm2 ennek a négyzetnek a területe, ha a rövidebb befogó C hossza 2 cm? 12 cm2

c

α b

A

2. feladatsor (2006) (Zsebszámológép nem használható!) 1. Határozd meg x, y, z értékét, ha 1 2 11 x= : + x = 2 y = a legnagyobb egyjegyű prímszám y = 7 7 2 7 Számítsd ki a három szám átlagát! 4

45 perc

z = −3 − (5 − 11) z = 3

132

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 120. oldal 2. Erika (E), Gabi (G), Hilda (H) és Ibolya (I) népi táncot tanul. Az egyik táncban négyüknek egymás kezét fogva körtáncot kell járniuk. Két ilyen kör csak akkor különböző, ha forgatással nem vihetők egymásba. Például az alábbi két kör nem különböző: E

H

H

I

G

I

E

G

Keresd meg a megadott példától különböző összes lehetséges felállást! Írd be a táncosok betűjelét az alábbi ábrákba! (Több ábra van, mint ahány lehetőség.)

E

G

E

G

E

H

E

I

E

I

I

H

H

I

I

G

H

G

G

H

3. Az alábbi szabály alapján töltsd ki a táblázat hiányzó adatait! =2· −1 3,5

−5

4,5

−4

6

−11

8

−9

4. A 8. osztályosok két felmérőt írtak, mindkettőt 20 tanuló írta meg. Az eredményeket az alábbi diagramok mutatják. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

tanulók száma

elégséges 10%

jeles 15%

közepes

jó

jó 20%

jeles

elégséges közepes 55% Első felmérő

a) b) c) d)

Második felmérő

Hány közepes volt a második felmérőben? 11 Az első felmérőben hány százalék volt a jó osztályzatú? 25 Melyik felmérőben volt több jeles? az elsőben A második felmérőben hánnyal volt több közepes osztályzat, mint jeles? 8-cal

5. Tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba! a) A tompaszögű háromszögnek van két hegyesszöge.

Igaz

Hamis

∗

b) A háromszög külső szögeinek összege 180 fok.

∗

c) Az egyenlő oldalú háromszög középpontosan szimmetrikus alakzat.

∗

d) A háromszög mindegyik magasságvonala felezi a szemközti oldalt.

∗

e)

Van olyan egyenlő szárú háromszög, amelyiknek három szimmetriatengelye van.

∗

f)

Van olyan egyenlő szárú háromszög, melynek egyik szöge háromszor akkora, mint a másik.

∗

133

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 121. oldal 6.

α

β

Egy paralelogramma két belső szögének aránya 1 : 2. Hány fokosak a paralelogramma belső szögei? α = 60◦ , β = 120◦ Egy rombusz átlóinak hossza 6 és 8 egység. Mekkora a rombusz kerülete? Írd le a számolás menetét! a = 5 (egység), K = 20 (egység)

7. Éva az egyik 60 lapos füzetének mind a 120 oldalát megszámozta. a) Hány darab egyjegyű számot kellett leírnia? 9-et b) Hány darab kétjegyű számot kellett leírnia? 90-et c) Hány darab háromjegyű számot kellett leírnia? 21-et d) Összesen hány darab számjegyet kellett leírnia? 252-t 8. A szerelők 155 méter hosszú útvonalon vízvezetékcsövet fektettek le nyolc méteres és öt méteres darabokból. Összesen 25 darab csövet használtak fel. Hány db 8 m-es és hány db 5 m-es cső kellett? Írd le a megoldás gondolatmenetét! Pl.: A nyolc méteres csövek száma: x, az öt méteres csövek száma: 25 − x. A nyolc méteres csövek száma 10 db, az öt méteres csövek száma 15 db.

8x + 5 · (25 − x) = 155

9. Egy négyzetes oszlop éleinek mérete 3, 3 és 4 egység. Az oszlopot befestettük barnára. Ezután a lapokkal párhuzamos vágásokkal egységkockákra daraboltuk. Hány darab olyan kiskockát kaptunk, amelynek a) pontosan három lapja barna, 8-at b) pontosan két lapja barna, 16-ot c) pontosan egy lapja barna, 10-et d) nincs barna lapja? 2-t

x = 10

4

3

3

10. Mama pogácsát sütött, és egy üzenő levélben kérte gyermekeit, hogy igazságosan osztozzanak rajta. Anna elsőként ért haza, megette a pogácsák harmadát, majd szakkörre ment. Béla másodikként hazaérve megette a tálcán lévő pogácsák harmadát, és edzésre sietett. Ezután érkezett Cecil, aki szintén csak a tálcán lévő pogácsák egyharmadát fogyasztotta el, így 8 darabot hagyott. a) Hány pogácsát evett meg Cecil? 4-et b) Hány pogácsát evett meg Béla? 6-ot c) Hány pogácsát sütött a mama? 27-et d) Az összes pogácsának hányad részét ette meg Béla?

6 27

=

2 9

részét

3. feladatsor (2007) (Zsebszámológép nem használható!) 1. Határozd meg a p, q és r értékét, ha p = a legkisebb kétjegyű négyzetszám p = 16 4 5 r= − : 0,17 r = −10 5 2 2q + r Számítsd ki az s értékét, ha s = ! s=0 p

45 perc q = −2 − (−3) − (−4) q = 5

134

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 122. oldal 2. Két háromszög határvonalának különböző számú közös pontja lehet. Minden lehetséges esetet szemléltess egy-egy ábrával! A megadott három példához hasonlóan egészítsd ki az ábrákat a megfelelően elhelyezett háromszögekkel!

0 közös pont

1 közös pont

2 közös pont

3 közös pont

4 közös pont

5 közös pont

6 közös pont

végtelen sok közös pont

3. Az 1 : 500 000 méretarányú térképen Kecskemét és Szeged távolsága 15 cm hosszú szakasz. Hány kilométerre van a két város egymástól légvonalban? Írd le a megoldás menetét is! Legyen a valódi távolság x, akkor 16 · x = 1 : 500 000. x = 75 km

Ugyanezen a térképen hány cm-nek mérhető a Győr–Budapest közötti 105 km-es távolság? 21-nek

a beküldők száma

4. Egy levelező matematikaverseny első fordulóján 50 diák vett részt. Összesen hat feladatot kellett megoldaniuk. Az egyes feladatokra érkezett megoldások számát az alábbi grafikon mutatja. a) Melyik feladatra érkezett a harmadik legtöbb megoldás? a 6.-ra b) Az 1. feladatra hányan nem küldtek megoldást a résztvevők közül? 12 fő c) Mennyivel többen küldtek megoldást a 2. feladatra, mint az 5. feladatra? 16-tal d) Mennyi az utolsó három feladatra beküldött megoldások számának átlaga? 24

40

30

20

10

0 1.

2.

3.

4.

5.

6.

feladat

5. Zsófi gondolt egy számot. Levont belőle 22-t, és az eredményt leírta egy lapra, amit átadott Gábornak. Gábor elosztotta a lapon lévő számot hárommal, és az eredményt leírta egy új lapra, amit odaadott Líviának. Lívia hozzáadott a lapon lévő számhoz 15-öt, és az eredményt leírta egy újabb lapra, amit átadott Júliának. Júlia a kapott számot megszorozta kettővel, és éppen 100-at kapott eredményül. a) Lívia melyik számot írta a lapra? 50-et b) Gábor melyik számot írta a lapra? 35-öt c) Melyik számra gondolt Zsófi? 127-re

135

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 123. oldal 6. Az ábrán látható ABCD derékszögű trapézban a hosszabb szár és a hosszabb alap egyaránt 8 cm hosszú, a DAC szög 30◦ -os. Írd be az ismert adatokat az ábrába! Határozd meg a γ és a β szög nagyságát, valamint a DC oldal hosszát! ◦

C

D

8 cm

30◦

◦

γ = 60 , β = 60 , DC = 4 cm

γ A

7. Leírtuk egymás mellé a számjegyeket úgy, hogy minden számjegyet éppen annyiszor írtunk le, amennyi a számjegy értéke: 122333 88 . . . 8 99 . . . 9 .

β B

8 cm

8 darab 9 darab a) Hány számjegyet írtunk le összesen? 45-öt b) Melyik számjegy áll balról a 25. helyen? 7 c) Ha az összes leírt számjegyet összeszoroznánk, akkor a szorzat hány darab 0-ra végződne? 5

8. Tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba!

Igaz

Hamis ∗

a) Minden deltoid rombusz. b) A tíz legkisebb pozitív prímszám szorzata páros.

∗

c) Minden háromszögnek van olyan szöge, amelyik legfeljebb 60◦ -os.

∗

d)

Bármely két természetes számra teljesül, hogy ha az összegük páros, akkor a szorzatuk is páros.

∗

e)

Nincs olyan háromszög, amelyben a háromszög köré írható kör középpontja egyenlő távolságra van a háromszög oldalaitól.

∗

9. Egy 2 cm élhosszúságú tömör kockának az egyik sarkából kivágtunk egy 1 cm élhosszúságú kockát. a) A keletkezett testnek hány éle van? 21 b) A keletkezett testnek hány lapja van? 9 c) Hány cm3 a keletkezett test térfogata? 7 d) Hány cm2 a keletkezett test felszíne? 24 10. A festéküzletben színskála alapján keverik a festékeket. Egy alkalommal 40% fehér, 25% kék és 35% sárga festékből zöld színű festéket állítottak elő. a) Hány liter kék festék szükséges 16 liter zöld festék elkészítéséhez? 4 b) Hány liter zöld festék keverhető 8 liter fehér festék felhasználásával? 20 Egy másik alkalommal a fehér, a kék és a sárga festéket 9 : 6 : 5 arányban keverték. c) Hány százalék kék festéket tartalmaz ez a keverék? 30% d) Hány liter sárga festék van 32 liter ilyen arányú keverékben? 8

4. feladatsor (2008) (Zsebszámológép nem használható!)

45 perc

1. Határozd meg a p, q és r értékét, ha p = a legkisebb kétjegyű prímszám, p = 11 q = 5 − (−1,5) + (−4) · (−2), q = 14,5 2 1 5 3r + q −p 1 r= − : . r= Számítsd ki az s = értékét! s = 1 2 3 4 6 5

136

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 124. oldal 2. Sorold fel az összes olyan háromjegyű pozitív egész számot, amelyekben a tízesek helyén eggyel nagyobb számjegy van, mint az egyesek helyén, és a százasok helyén álló számjegy a másik két számjegy összege! 110 321 532 743 954 3. Egészítsd ki az alábbi egyenlőségeket! b) 4,2 liter + 3,7 dm3 = 7,9 liter

a) 6 kg 15 dkg = 615 dkg c)

1 óra + 50 perc = 1 óra 5 perc 4

d) 5800 cm2 − 17 dm2 = 41 dm2

e) 1,3 km + 485 m = 1785 m 4. Pisti tüdőgyulladást kapott, és kórházba került. A lázát reggel hat órától éjfélig három óránként mérték, és az alábbi lázlapon ábrázolták. Válaszolj a grafikon alapján az alábbi kérdésekre: a) Pistinek mekkora volt a legmagasabb láza? (A választ egy tizedesjegy pontossággal add meg!) 39,3 ◦ C b) Melyik mérési időpontokban volt legalább 38,1 ◦ C Pisti láza? (Minden ilyen időpontot sorolj fel!) 12,

Testhőmérséklet [◦ C] 40

39

38

37

18, 21

c) Hány ◦ C volt a legkisebb eltérés két egymást követő mérés között? 36 (A választ egy tizedesjegy pontossággal add meg!) 0,3 ◦ C 35 d) Melyik két egymást követő mérés között változott Pisti láza 0,9 ◦ Cot? A 18 órai és a 21 órai mérés között.

A mérések ideje [óra] 6

9

12

15

18

21

24

5. Gabi három nap alatt olvasott el egy könyvet. Hétfőn elolvasta a könyv negyed részét, kedden 49 oldalt, szerdán olvasta el a könyv megmaradt részét, ami a teljes könyv 40%-a. a) Hány oldalas volt a Gabi által elolvasott könyv? Írd le a megoldás menetét! I. megoldás:

1 x + 49 + 0,4x = x 4

x = 140 (oldal)

II. megoldás: Hétfőn és szerdán a könyv 65%-át (vagy

13 7 részét) olvasta el. A keddi 49 oldal a 35%-a ( 20 20

része) a könyvnek. A könyv 140 oldalas.

b) Hányszorosa a szerdán elolvasott oldalak száma a hétfőn elolvasott oldalak számának? 8 40 = 1,6 -szerese. = 5 25

137

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 124–125. oldal 6. Az ábrán látható ABCD szimmetrikus trapézban a szárak és a rövidebbik alap egyaránt 16 egység hosszú. A trapéz átlója a hosszabb alappal 30◦ -os szöget zár be. Határozd meg az ábrán látható ε, δ és γ szög nagyságát, valamint az AB oldal hosszát! (Az alábbi ábra csak segítségül szolgál, nem feltétlenül tükrözi a valódi méreteket!) ε = 30◦ , ◦

16

D δ

C ε γ

16

16 30◦

A

B

◦

δ = 120 , γ = 90 , AB = 32

7. Az alábbi számsorozatot úgy képezzük, hogy a harmadik tagjától kezdve a sorozat minden tagja az előtte lévő két tag szorzatának utolsó számjegye. a) Folytasd a sorozatot, írd fel a következő tíz tagját! 1; 2; 2; 4; 8; 2; 6; 2; 2; 4; 8; 2; 6; 2; 2 b) Keress szabályosságot a sorozat tagjai között! Írd le a szabályt! A második elemtől kezdve a 2; 2; 4; 8; 2; 6 számcsoport ismétlődik.

c) Melyik számjegy áll a sorozatban balról a 2008. helyen? (Írd le a megoldás menetét!) A keresett számjegy a 4. 2008 = 1 + 334 · 6 + 3, tehát az ismétlődő szakasz 3. tagja a keresett számjegy.

8. Az alábbi táblázatban négy állítást fogalmaztunk meg. Döntsd el minden állításról, hogy igaz-e, vagy hamis, és tegyél ∗ jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Igaz Hamis a) Minden paralelogramma trapéz.

∗

b) A konvex ötszög belső szögeinek összege 540◦ .

∗

c)

Bármely két természetes számra teljesül, hogy ha az összegük páratlan, akkor a szorzatuk páros.

∗

d) Nincs olyan háromszög, amelynek a magasságpontja a háromszögön kívülre esik.

∗

9. Egy üzem téglatest alakú beton falazóblokkokat gyárt. Az alábbi 15 cm 10 cm ábrán látható a falazóblokk külső méretezése. A jobb hőszigetelés érdekében a blokkok közepén két téglalap keresztmetszetű lyuk van. A blokk minden falának vastagsága 10 cm. Válaszolj az alábbi kérdésekre, és írd le a számolás menetét is! (Az alábbi ábra csak segítségül szolgál, nem feltétlenül tükrözi a valódi méreteket!) 50 cm a) Hány dm2 a szürkével jelölt felső lap területe? 14,5 b) Hány dm3 beton szükséges egy ilyen falazóblokk elkészítéséhez? 58

40 cm

35 cm

10. A nekeresdi iskola 8. évfolyamára összesen 60 diák jár. Közülük a szőke, a fekete, a barna és a vörös hajúak számának aránya ebben a sorrendben 4 : 2 : 5 : 1. (Más hajszín nem fordul elő 5 közöttük.) A nyolcadikosok 45%-a barnaszemű, a barnaszeműek részének a haja is barna. 9 Válaszolj az alábbi kérdésekre, és írd le a számolás menetét is! 5 rész = 25 diák 12 között? 60 · 0,45 = 27 fő

a) Hány diáknak van barna haja a nyolcadikosok között?

b) Hány diáknak van barna szeme a nyolcadikosok c) Hány olyan diák van a barnaszemű nyolcadikosok között, akinek nem barna a haja? 4 rész = 12 diák barnaszemű, de nem barna hajú. 9

138

C M Y K



Korábbi felvételi feladatok 1. feladatsor 45 perc

ELTE Apáczai Csere János Gyakorlógimnázium, Budapest 1. Oldd meg a következő egyenletet! 4 x −1 x +3 2−x − = + 5 6 10 4 48 − 10 · (x − 1) = 6 · (x + 3) + 15 · (2 − x) 58 − 10x = 48 − 9x x = 10

2. Péter pénzének 16%-a ugyanannyi, mint Lali pénzének 24%-a. Mennyi pénzük van külön-külön, ha összesen 1250 forintjuk van? Ha Péternek p Ft-ja van, akkor Lalinak (1250 − p). 0,16p = 0,24 · (1250 − p) Innen p = 750. Tehát Péternek 750 Ft-ja, Lalinak 500 Ft-ja van. Ellenőrizzük a megoldást!

3. Hogyan szerkesztheted meg egy olyan szög szögfelezőjét, amelynek csúcsa leszakadt a papírról? Eljárásod írd le, és indokold! f

A szögfelező pontjai egyenlő távolságra vannak a szögszártól. A szögfelező két pontját megszerkezthetjük a fenti tulajdonságok alapján. Pl.: A pont mindkét egyenestől 0,5 cm távolságra van, míg a B pont 1 cm-re. A és B egyenes a szögfelező.

B

A

e

km 4. Egy autó útjának harmadát 54 sebességgel haladva 48 perc alatt tette meg. A hátralévő h km részen 72 sebességgel haladt. Mekkora volt a teljes útra számított átlagsebesség? h km h

km h

54

72

2 út 3 48 perc = 0,8 h

1 út 3

Az út harmadának hossza: s1 = v1 · t1 = 54 · 0,8 = 43,2 km. 2 A második -rész hossza: s2 = 2 · 43,2 = 86,4 km. 3 s2 86,4 km A második részen a menetidő: t2 = = = 1,2 h v2 72 km h

teljes út 3 · 43,2 km = = 64,8 teljes menetidő 0,8 + 1,2 h 3s 324 A matematika iránt fogékonyabb tanulók így is számolhatnak: t = s = = 64,8 2s 5 54 + 72 Az átlagsebesség =

139

C M Y K



2. feladatsor 60 perc

Eötvös József Gimnázium, Tata 1. Számold ki a következő kifejezések helyettesítési értékét! 1 1 1 a) x = , y = 2 esetén x − y 2 = 2 2 2 1 b) a = −2, b = 6 esetén 3a + b = 2

1 1 1 2 1 7 · − ·2 = −2=− 2 2 2 4 4 3 · (−2) + 1 · 6 = |−6 + 3| = 3 2

c) a = 5, b = −2 esetén 0,5a − (2b)2 = 0,5 · 5 − (−4)2 = 2,5 − 16 = −13,5 2. Add meg a következő számokat! Ahol kell, tüntesd fel a mértékegységet is! 4 4 a) Hány cm 60 m része? 60 · m = 80 m = 8000 cm 3 3 b) Hány gramm 50 kg 120%-ának a 20%-a? 50 000 · 1,2 · 0,2 g = 12 000 g c) Melyik szám aránylik úgy a 6-hoz, mint a 19 a 36-hoz? d) Minek lehet az abszolút értéke 2,4?

19 6

x : 6 = 19 : 36 innen x =

2,4 és (−2,4)

3. Oldd meg az egyenletet az egész számok halmazán!

10 − (x − 6) x−6 =2− 3 2

16 − x 10 − x = 3 2 32 − 2x = 30 − 3x x = −2

a kapott gyök egész szám.

4. Gimnáziumunk három épületében összesen 38 tanterem van. A régi épületben 16-tal több, mint az új épületben. A kis épület termeinek száma az új épületben levők ötödrésze. Hány tanterem van az egyes épületekben? Az új épületben lévő tantermek száma: x A régi épületben lévő tantermek száma: x + 16 x A kis épületben lévő tantermek száma: 5 x x + (x + 16) + = 38 Innen: x = 10. 5 Az új épületben 10, a régiben 26, a kis épületben 2 tanterem van. Ezek összege valóban 38.

5. Egy derékszögű trapéz alapjai 7 cm, valamint 3 cm hosszúak. Rövidebb szára 4 cm. Mekkora a trapéz területe, illetve a rövidebb átlója? Mekkorák a szögei? a+c 7+3 ·m= · 4 = 20 cm2 2 2 Rövidebb átló: AC ACD háromszögben felírható a Pitagorasz-tétel: AC 2 = AD2 + DC 2 Innen AC = 5 cm, CC B derékszögű háromszög befogói 4 cm-esek, ezért β = 45◦ , γ = 135◦ , α = δ = 90◦ . T =

D

c

C

d

b

A

a

C

4

a = 7 cm c = 3 cm b = 4 cm

B

km átlagsebességgel 2 óra alatt teszi h meg. 30 km út megtétele után motorhiba miatt fél órára megszakítja az útját. Mekkora

6. Két helység közötti távolságot egy személygépkocsi 60

140

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 126–127. oldal átlagsebességgel kell a gépkocsinak az út hátralevő részén haladnia, hogy a tervezett időben érkezzen meg?

30 km

A teljes út 60 · 2 = 120 km. km 1 1 30 km megtételéhez 60 sebességnél óra kell. Még órát állt h 2 2 motorhiba miatt, ezért 1 óra alatt kell megtennie a hátralévő 90 km-t. km A szükséges átlagsebesség: 90 . h

90 km

1 óra 2

7. Egy négyzetes oszlop magasságát 20%-kal csökkentve olyan kockát kapunk, amelynek térfogata 64 cm3 . Mekkorák a négyzetes oszlop élei, a felszíne és a térfogata?

b

0,8b

a

A kocka élhossza 4 cm. Mivel a = 0,8b, innen b = 5 cm. A négyzetes oszlop élei: 4 cm; 4 cm; 5 cm A = 2a 2 + 4ab = 112 cm2 V = a 2 · b = 80 cm3

3. feladatsor Árpád Gimnázium, Tatabánya (Zsebszámológép nem használható!) 1. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3 2 2 3 8 6 14 8 : − − = − + =0 a) − · − + − 15 15 15 5 3 5 7 15 3 2 6 5 6 17 17 2 b) 7,12 − · 1 − = 7· − = 7· = =5 3 7 21 3 3 25 3 7 2. Melyik az a szám, 2 2 a) amelyet -del osztva 7-et kapunk? x : = 7 x = 2 7 7 17 17 26 b) amelyet -hoz adva −3-at kapunk? + x = −3 x = − 3 3 3 1 1 c) amelynek része −12? x · = −12 x = −60 5 5 3. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

3x − 5 2(x − 2) − =2 7 3

3 · (3x − 5) − 14 · (x − 2) = 42 −5x + 13 = 42 x=−

29 = −5,8 5

4. A piripócsi faluházán polgármestert választanak. A falu lakóinak 63%-a ment el szavazni, és 2 közülük 336-an, a szavazók -a választotta Bokor Benőt. Hányan laknak Piripócson? Visszafelé 3 okoskodva: a 336 fő a szavazók

2 része, tehát 504-en szavaztak. Az 504 fő a falu lakosságának a 63%-a, innen 3

800-an laknak Piripócson. Egyenlettel is megoldható a feladat. A faluban lakók számát jelöljük x-szel.

x · 0,63 ·

2 = 336 3

141

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 127. oldal 5. A négyzet alakú üvegablak díszítésében a satírozott részhez színes üveget használnak. Mekkora a színes üvegfelület nagysága, ha a kis kör sugara 2 dm? 1. megoldás: A kis kör átmérője a négyzet oldalának felével egyenlő hosszúságú. A négyzet oldala 8 dm. Tvonalkás = Tnégyzet − Tfélkör − Tkiskör Tnégyzet = a 2 = 64 [dm2 ] R 2 · π 42 · π = = 25,13 [cm2 ] 2 2 = r 2 · π = 22 · π = 12,57 [cm2 ]

Tfélkör = Tkiskör

Tvonalkás = 64 − (25,13 + 12,57) = 26,3 [cm2 ] 2. megoldás: Ha „érzik” a gyerekek a hasonlóság fogalmát, akkor könnyen meggondolható, hogy a félkör területe kétszerese a kiskör területének. Így Tvonalkás = 64 − 3 · T0 = 64 − 12 · π = 26,3 [cm2 ]

6. Számítsd ki annak az egyenes hasábnak a térfogatát, amelynek alapja szimmetrikus trapéz (húrtrapéz), a trapéz párhuzamos oldalai 20, illetve 12 cm hosszúak, hegyesszögei 45◦ -osak, és a test magassága 10 cm! a = 20 cm c = 12 cm α = 45◦ m = 10 cm

m D A

α

C

c

D

a

B

V =T ·m Az ADD derékszögű háromszög egyenlő szárú, mert α = 45◦ . Ezért a trapéz magassága megegyezik az AD szakasz hosszával. a−c Mivel a trapéz szimmetrikus, így AD = = 2 = 4 cm a+c 20 + 12 T = · mt = · 4 = 64 [cm2 ] 2 2 V = T · m = 64 · 10 = 640 [cm3 ]


Jedlik Ányos Gimnázium, Csepel 1. Oldd meg az alábbi egyenletet a racionális számok halmazán! 3 · (3x + 1) − 7 · (x − 5) = 6 · (2x − 11) + 2x

3x + 1 x − 5 2x − 11 x − = + 14 6 7 21

2x + 38 = 14x − 66 x=

26 2 =8 3 3

2. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a negatív valós számok halmazán! 3x − 2(3x − 5) 5 3(x + 5) − 2(2x − 1)

5 −x + 17 −7 5 2x −3,5 5 x A negatív valós számok halmazán a megoldás: −3,5 5 x < 0 −3x + 10

3. Az előírt munka 120%-áért 3456 Ft-ot kapott egy dolgozó. Hány forintot kapott volna, ha 110%ra teljesítette volna az előírást? Következtetéssel érdemes megoldani a feladatot. 3456 · 110 = 31 68 Ft-ot kapott volna a dolgozó. 120

142

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 127. oldal 4. Egy gyalogos és egy kerékpáros egyszerre indul egymással szembe egy 40 km-es út két végpontjából, és 2 és fél óra múlva találkoznak. Mekkora a gyalogos sebessége, ha a kerékpárosé km -val nagyobb, mint a gyalogosé? Hány km-t tett meg a kerékpáros a találkozásig? 8 h 1. megoldás: Jelölje x a gyalogos sebességét, ekkor a kerékpárosé x + 8. Ketten együtt 2,5 óra alatt megtették a 40 km-t: 2,5x + 2,5(x + 8) = 40

Gy.

K. Tal. 2,5 óra

x=4 km km Tehát a gyalogos sebessége 4 , a kerékpárosé pedig 12 . A kerékpáros a találkozásig 12 · 2,5 = 30 km-t tett h h meg. 2. megoldás: A kerékpáros 2,5 óra alatt 2,5 · 8 = 20 km-rel hosszabb utat tesz meg. Ezért a maradék 20 km-ből a felét, azaz 10 km-t tesz meg a gyalogos 2,5 óra alatt, azaz a sebessége 10 : 2,5 = km km , míg a kerékpáros sebessége 12 , és ő 30 km-t tesz meg. Az ő menetideje 30 : 12 = 2,5 óra valóban. =4 h h y

5. Mely függvények grafikonját adtuk meg az ábrán? Add meg a hozzárendelés szabályát! 3 f : x → − x + 3 2

g : x → |x + 2|

g

3 2 1 −2 −1

1

x

2

f

6. A táblázat egy valós számokon értelmezett lineáris függvény néhány értékpárját tartalmazza. Add meg a hozzárendelés szabályát, és ábrázold a függvény grafikonját! A lineáris függvény grafikonja áthalad például a (2; 5) és (3; 7) pontokon, azaz 1-et jobbra menve az x tengely mentén 2-t emelkedik a grafikon, így a meredeksége: 2. A tengelymetszet pontját megkapjuk, ha a (−1; −1) ponttól 1-t jobbra megyünk az x tengely mentén és 2-t emelkedünk. Ez a (0; 1) pont lesz. x → 2x + 1 a hozzárendelési utasítás, melyet a (−3; −5) eddig fel nem használt ponttal ellenőrizhetünk is.

x y

−3 −1 −5 −1

y 8 6 4 2 −6 −4 −2

2 5

3 7

2 4 6 8x −2 −4 −6

a = 4 cm

7. Egy 4 cm oldalú négyzetet 3 egyenlő területű részre osztottunk az alábbi ábra szerint. Milyen hosszú az ABC törött vonal? Szimmetria miatt ARQ ∼ = CP Q és a területük harmada a négyzet területének: 16 AR · RQ 8 TARQ = cm2 = , innen AR = cm 3 2 3 8 4 AB = BC = 4 − = cm 3 3 8 Tehát az ABC törtvonal hossza: AB + BC = cm. 3

4 cm A B

C

143

C M Y K




Veres Péter Gimnázium, Budapest

1. Egy iskolából a nyári tiszai táborba 60-nal többen jelentkeztek, mint a balatoniba. Senki sem volt, aki mindkettőbe elment volna. Ha a tiszai tábort választók közül 20-an inkább a Balatonhoz mentek volna, akkor a tiszai tábor létszáma a balatoninak 120%-a lett volna. Hányan jelentkeztek eredetileg a táborokba? Eredetileg a balatoni táborra jelentkezők száma B volt, akkor a tiszai táborba jelentkezőké B + 60. A második esetben B + 20, illetve B + 40 a táborozók létszáma. (B + 20) · 1,2 = B + 40 B = 80 Eredetileg 80-an jelentkeztek a balatoni, és 140-en a tiszai táborba.

2. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! (Ellenőrzést nem kérünk.) a) 3(8x − 4) − (3 − 2x) = 5(3x − 4) − 2(x + 3) 24x − 12 − 3 + 2x = 15x − 20 − 2x − 6 Innen x = − b)

3x − 1 2 − 7x 4x − 9 − =5− 3(3x − 1) − 5(2 − 7x) = 75 − (4x − 9) 5 3 15 9x − 3 − 10 + 35x = 75 − 4x + 9

Innen x =

11 . 13

97 . 48

3. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! Röviden indokolj is! a) Egy konvex 10-szög összes átlóinak a száma tízszerese az egy csúcsból induló átlók számának. (A konvex sokszög minden belső szöge kisebb 180◦ -nál.) Hamis, mert az egy csúcsból induló átlók számát ha megszorozzuk a csúcsok számával, a 10-zel, akkor minden átlót kétszer számolnánk.

b) Az első 100 prímszám szorzata páros. Igaz, mert 2 szerepel a szorzatban. c) Van olyan szám, amelyik ellentettje nem kisebb az abszolút értékénél.

Igaz, Pl. a −3 ilyen

szám, hiszen az ellentettje megeggyezik az abszolút értékével, ezért nem kisebb nála.

4. Egy négyzet alapú egyenes hasáb (más néven négyzetes oszlop) éleinek hossza cm-ben mérve egész szám. Egyik lapjának területe 36 cm2 , egy másiké 81 cm2 . Mekkora lehet a felszíne? Két ilyen test lehet. 1. A négyzet területe a 36 cm2 és az oldallapok területe 81 cm2 . A = 2 · 36 + 4 · 81 = 396 cm2 . 2. A négyzet területe a 81 cm2 és az oldallapok területe 36 cm2 . A = 2 · 81 + 4 · 36 = 306 cm2 .

5. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 65◦ . Mekkora szöget zár be az átfogóhoz tartozó A magasság a derékszögű csúcsból induló szögfelezővel? α = 65◦ AT C derékszögű és α = 65◦ , innen ACT = 25◦ ACP = 45◦ , mert a szögfelező felezi a 90◦ -t. Tehát a keresett T CP = ACP − ACT = 45◦ − 25◦ = 20◦ .

^

P

^

^

^

^

B

T

α

C

6. Adott két természetes szám: k = 495, m = 1275. Készítsd el k és m prímtényezős felbontását! Mit kapunk eredményül, ha a k számot elosztjuk k és m legnagyobb közös osztójával? k = 495 = 32 · 5 · 11 m = 1275 = 3 · 52 · 17 (k; m) = (495; 1275) = 3 · 5 = 15 k 32 · 5 · 11 = = 3 · 11 = 33 (k; m) 3·5

144

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 128–129. oldal 7. Hány számjegyből áll az a legkisebb természetes szám, amelyikben a számjegyek összege 105? A keresett szám 12 számjegyű. Akkor kapjuk a legkisebb természetes számot, ha a szám minél kevesebb számjegyből áll. Így az összegből a lehető legtöbb 9-est kell leválasztani. 105 = 11 · 9 + 6, tehát a keresett számban 11 db 9-es és 1 db 6-os van. A legkisebb számot akkor kapjuk, ha a 6-os áll elöl. Tehát a keresett szám 699 999 999 999.


Zrínyi Miklós Gimnázium, Zalaegerszeg (Számológép használható!) 1. Határozzuk meg A és B legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét!

25 − 254 A= 5 − 25

2

4 25 − 25 − 5 + 25

2

és

B=

3 3 12 − 2 13 −

3 2

1−

2 3

1 6

.

2 2 621 5 2 621 5 2 27 23 27 + 23 27 − 23 4 · · · = 10 · = 8 A= − = − = 25 23 25 27 5 5 5 5 5

7 7 3 1 7 1 B = 3· − − · ·6= 3· − · 6 = 18 2 3 2 3 6 2

(A; B) = (8; 18) = 2

[A; B] = [8; 18] = 72

2. Egy téglalap átlója a téglalap szögét 1 : 2 arányban osztja. a) Mekkora az átlók hajlásszöge?

C

D

α:β=1:2 90◦ -t kell felosztani 1 : 2 arányban. α = 30◦ és β = 60◦ Szimmetria miatt AKB háromszög egyenlő szárú. ε = 2α = 60◦ .

b) Mekkora a téglalap hosszabbik oldala, ha a rövidebbik 3 cm?

K ε

b

β α

A B a 2 2 2 ABC „fél szabályos” háromszög, ezért AC = 2BC = 6 cm. Pitagorasz-tétel: AB = AC − BC = 36 − 9 = 27, √ innen AB = 27 ∼ = 5,2 cm.

3. Oldjuk meg az |x − 4| =

x egyenletet! Ha x 3

feltételnek. Ha x < 4, akkor −x + 4 =

= 4, akkor x − 4 =

x . Innen x = 6, ami megfelel a 3

x . Innen x = 3, ami szintén megfelel a feltételnek. 3

4. Az abc háromjegyű számot kétszer leírjuk egymás mellé, így kapjuk az abcabc alakú hatjegyű számot. Mutassuk meg, hogy ha abc páros szám, akkor abcabc-nek legalább 4 különböző prímosztója van! Ha n-nel jelöljük az abc páros háromjegyű számot, akkor abcabc = 1001 · n = 7 · 11 · 13 · n, így az n párossága miatt a kapott hatjegyű szám biztos prím osztói: 2; 7; 11 és 13.

5. Egy ruha árának ötöde a kereskedő haszna. Ha megemelné az árat 200 Ft-tal, akkor már az ár harmada lenne a haszna. Mennyi a ruha ára? Jelöljük x-szel a ruha első eladási árát. Ekkor a tényleges 4x x 2 x + 200 és a haszon . A második eladási ár (x + 200), amelyben a tényleges ár · (x + 200) és a haszon . 5 5 3 3 4x 2 · (x + 200) A tényleges árak egyenlők egymással: = . Innen x = 1000. A ruha első eladási ára 1000 Ft, 5 3 amelyből a tényleges ár 800 Ft. Második esetben 1200 Ft-ért árusítja a ruhát, a tényleges ár továbbra is 800 Ft. ár

145

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 129. oldal 6. Az n oldalú szabályos sokszög O középpontja és két csúcsa (K és L) olyan OKL háromszöget határoz meg, amelynek egyik szöge kétszerese a másiknak. Hány oldalú a sokszög, ha a) K és L szomszédos csúcsok, b) K és L nem feltétlenül szomszédos csúcsok?

5

K β

L

β α O

k-val jelöljük, hogy hányadik szomszéd a K és az L csúcs (1 k < n) 360◦ 180◦ 180◦ − α A sokszög n oldalú. α = ·k β= = 90◦ − ·k n 2 n Két eset lehet: α = 2β vagy 2α = β Ha α = 2β, akkor 360k 360k = 180 − n n 720k = 180n

Ha 2α = β, akkor 720k 180k = 90 − n n 900k = 90n

4k = n 10k = n Ha k = 1, akkor n = 4. Ha k = 1, akkor n = 10. Nem szomszédos csúcsokra végtelen sok megoldás adódik, míg szomszédosokra csak a négyzet (90◦ ; 45◦ ; 45◦ ) és a szabályos tízszög (36◦ ; 72◦ ; 72◦ ) a megoldás.


Városmajori Gimnázium, Budapest I. Tesztlap

A megadott 5 válasz közül pontosan egy helyes. Az általad jónak vélt választ karikázd be! 1 1 1 1. Mennyi az [a − (b − c)] − [(a − b) − c] kifejezés értéke, ha a = , b = − és c = ? 2 3 6 A: −

2 3

C: −

B: 0

1 3

D:

1 3

E:

1 2

2. Az alábbi négy egyenletet a), b), c) és d) megoldottuk a valós számok halmazán. Azt tapasztaltuk, hogy pontosan két egyenletnek azonos a megoldáshalmaza. Melyik ez a két egyenlet?

1 3 = +1 x x

A: a) és b)

d) B: a) és c)

Az egyenletek gyökei: a) x = 2

x x b) 2 − 2 − 2x − (x − 2) + = 2 2

a) 3x − 5 = 7 − 3x c)

C: a) és d)

x + 1 4 − 3x − =x 3 2 D: b) és c)

E: b) és d)

c) x = −2

b) nincs megoldás.

d) x = 2

3. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 5,3 m. Az alapja 0,5 m-rel hosszabb a száránál. Mekkora a szár deciméterekben kifejezett mérőszámában a számjegyek összege? A: 9

B: 12

Legyen a szár hossza: x dm

C: 15 2x + (x + 5) = 53

D: 6 A szár 16 dm, így 1 + 6 = 7.

146

C M Y K


E: 7

Kzpiskolba kszlnk Tk.: 129–130. oldal 4. Hány állítás igaz a következők közül? 210 + 210 = 211 210 − 210 = 010 210 · 210 = 220 A: 0

B: 1

C: 2

210 : 210 = 100 D: 3

E: 4

5. Egy téglatest térfogata 30 cm3 , és minden élének hossza centiméterben mérve egész szám. Hány ilyen különböző téglatest van? A: 1

B: 2

C: 3

D: 4

E: 5

30 = a · b · c = 1 · 1 · 30 = 1 · 2 · 15 = 1 · 3 · 10 = 1 · 5 · 6 = 2 · 3 · 5.

6. A valós számok halmazán értelmezett x → 2x + 3 függvény grafikonját elforgatjuk 90◦ -kal a koordináta-rendszer origója körül az óramutató járásával megegyező irányban. Így melyik hozzárendelést kapjuk? A: x → −0,5x + 1,5

B: x → −0,5x − 1,5

D: x → −0,5x + 3

C: x → 2x − 1,5

E: x → 2x + 1,5

A: x → −0,5x + 1,5

7. Egy négyzet oldalát megnöveljük a 25%-ával. Ezek után a kapott négyzet oldalát csökkentjük a 10%-ával. Az így kapott négyzet területe hány százaléka az eredeti négyzet területének? A: 112,5%

B: 126,5625% E: Egyik eddigi válasz sem helyes.

C: 155,25%

D: 132,25%

Az új négyzet oldala: 1,25 · 0,9a = 1,125a, így területe T = 1,265 625a 2 , azaz 126,5625%.

8. Az A és B pontok 6 egység távolságra vannak egymástól. Egy, az A és B pontokat tartalmazó síkban hány olyan egyenes van, amely A-tól 2 és B-től 4 egységnyi távolságra van? A: 0

B: 1

C: 2

D: 3

E: Több, mint 3.

Az A középpontú 2 és a B középpontú 4 sugarú körök közös érintői. A

B

II. Kidolgozandó feladatok 1. Bizonyítsd be, hogy bármilyen derékszögű háromszögben, ha megrajzoljuk a két hegyesszög szögfelezőjét, akkor keletkezik a rajzon olyan szög, amelyik 45◦ -os! B

AP B háromszög külső szöge: ε

β 2

90◦

α β α+β ε= + = = = 45◦ 2 2 2 2 α + β = 90◦ , mert a háromszög derékszögű.

α 2

ε P

A

C

147

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 130–131. oldal 2. Mennyibe kerül a negyedik csokor virág?

400 Ft

340 Ft

480 Ft

? Ft

A rövidség kedvéért a virágokat t (tulipán), g (gerbera) és sz (szirmosnak) nevezve: A harmadik csokorból t + g = 240 Ft. A második csokorból 2sz = 340 − 240, innen sz = 50 Ft. Az első csokorból: sz + t + g +g = 400 Ft.

50 + 240 + g = 400, innen g = 110 Ft és t = 130 Ft. 240 A negyedik csokor: t + 3sz + 2g = 130 + 150 + 220 = 500 Ft.

3. Egy néptáncegyüttesben háromszor annyi a fiú, mint a lány. Egy előadáson közülük nyolc pár lép fel. A fel nem lépők között ötször annyi a fiú, mint a lány. Hány fiú és hány leány tagja van az együttesnek? A lányok száma L, a fiúk száma 3L. Nem lépett fel (L − 8) lány és (3L − 8) fiú. 3L − 8 = 5 · (L − 8). Innen L = 16. Az együttesnek 16 lány és 48 fiú tagja van. Ellenőrzés: ha 8 pár táncol, akkor 8 lány és 40 fiú nem táncol, és 40 = 5 · 8.

4. Három csövet az ábra szerint szeretnénk összekötni egy 72 cm hosszú madzaggal. Minden cső sugara 5 cm, s a csomózáshoz 10 cm-t számolunk. Sikerülhet-e az összekötés?

B A

Szimmetria miatt elég meghatározni az AB és BC körív hosszúságait, mert ezek háromszorosára és még 10 cm-re van szükség. AB = 2r = 10 cm (O1 ABO2 négyszög téglalap az érintés miatt) 2rπ BCkörív = (az ábrán jelölt szögek miatt) 3 Madzagszükséglet: 3AB + 2rπ + 10 = 30 + 31,42 + 10 = 71,42 cm. A 72 cm-es madzaggal sikerülhet az összekötés.

O1

60◦O2

C


Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc 1. A 0,8 hány százaléka a

4 4 4 3 -nak? : · 100 = · 100 = 60% 5 3 5 3

2. Mennyi a pozitív B szám értéke, ha B2 =

B2 =

453 · 204 · 182 ? 1805

(32 · 5)3 · (22 · 5)4 · (2 · 32 )2 36 · 53 · 28 · 54 · 22 · 34 = = 52 , innen B = 5 (22 · 32 · 5)5 210 · 310 · 55

3. Oldd meg az alábbi egyenletet:

x + 1 3 − 2x 1 x − 2 + = − ! 4 2 4 3

3(x + 1) + 6(3 − 2x) = 3 − 4(x − 2) 21 − 9x = 11 − 4x x=2

148

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 131. oldal 4. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget:

x+2 5

= 43 − 5 −6 x !

= 40 − 5(5 − x) 6x + 12 = 15 + 5x x=3

6(x + 2)

5. Milyen maradékot kapunk, ha az 1 + 2 + . . . + 2000 + 2001 összeget 2001-gyel elosztjuk? Az összeadandók egy számtani sorozat tagjai, ahol a1 = 1; d = 1; n = 2001, így az összeg: 1 + 2001 S= · 2001 = 1001 · 2001, azaz az összeg osztható 2001-gyel, a maradék 0. 2

6. Tíz egymást követő páros egész szám összege 50. Az összeadott számok közül melyik a legkisebb? A legkisebb páros számot jelöljük x-szel! A páros számok 2 differenciájú számtani sorozat tagjai. x + (x + 2) + (x + 4) + . . . + (x + 18) = 50 2 + 18 · 9 = 50 2 x = −4 A legkisebb szám a −4. Ellenőrzés: (−4) + (−2) + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50 10x +

7. Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelynek mindhárom számjegye különböző? Összesen 9 · 9 · 8 = 648 ilyen háromjegyű szám van, mert a százasok helyére 9 számjegy bármelyike választható (a 0 nem), a tizesek helyére is 9 számjegy kerülhet, mert ide már tehető a 0, de nem tehető az a számjegy, amit a százasoknál elhasználtunk. Az egyesekre a maradék 8 fel nem használt számjegy közül választhatunk. Az egyes helyi értékekre egymástól függetlenül választhatunk, ezért szorzunk.

8. Egy konvex sokszög belső és külső szögeinek összege 1800◦ . Hány átlója van ennek a sokszögnek? 1. megoldás: Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 360◦ , ezért a belső szögek összege: 1800◦ −360◦ = = 1440◦ . 7 · 10 A belső szögek összege: 1440◦ = (n − 2) · 180◦ . Innen n = 10. Az átlók száma: = 35. 2 2. megoldás: A belső és külső szög összege egy csúcsnál 180◦ . Így 10 csúcsnál 1800◦ , azaz a sokszög tízszög.

9.

Egy rombusz két átlója 10 és 24 cm hosszú. Mekkora a rombusz oldala?

C

D

A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. AzABM derékszögű háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt: AB 2 = AM 2 + MB 2 a = 52 + 122 = 13 cm.

M

A

a

B

10. Az ABCD négyzet belsejében úgy vettünk fel egy P pontot, hogy a BCP háromszög szabályos legyen. Az AP egyenes a DC-t Q-ban metszi. Hány fokos a P QC szög?

^

A BP C szabályos, ezért szögei 60◦ -ak, ezért P BA = 30◦ . A BP C szabályos, ezért P B = BC = AB a négyzet oldala, így az ABP 180◦ − 30◦ = 75◦ -osak. egyenlő szárú, és az AP alapon fekvő szögei 2 A BAP = AQD , mert váltószögek, így AQC = 180◦ − 75◦ = 105◦ , ami megegyezik a keresett P QC -gel.

^

^

^

Q ε

D

^

P

C 60◦

60◦ 60◦

30◦ A

B

149

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Tk.: 131–132. oldal

9. feladatsor Béri Balogh Ádám Gimnázium, Szakközépiskola és Szakiskola, Zalaszentgrót 1. Rendezd növekvő sorrendbe a következő valós számokat! √ 2 5 −1; ; 1; 2; − ; 3 2

4 5

˙ 0,6;

√ −5 2 4 < −1 < = 0,6˙ < < 1 < 2 2 3 5

8 része. 9 A második napon elfogyott a maradék 35%-a. Hány liter benzin maradt a tartályban a második

2. Egy autó tankjában 45 liter benzin volt. Az első napi utazás után megmaradt a 8 = 40 l maradt. 9 A második napon 35% fogyott, ezért 65%-a maradt meg a 40 l-nek: 40 · 0,65 = 26 l.

nap végén? Első napi utazás után 45 ·

3. Oldd meg a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget! 21 + 7x = x − 3 + 24 − 2(3 − x) 2 7(2x + 1) − 1 = 12(x + 2) + 2 12x + 0,5 5 13x − 1 a)

21 + 7x = x + 21 − 6 + 2x 2 21 + 7x = 6x + 30.

b) 14x + 6 = 12x + 26

c) x

= 1,5

Innen x = 10.

Innen x = 9.

4. Igaz – hamis? a) A deltoid összeállítható két egyenlő szárú háromszögből. Hamis a konkáv deltoidra. b) Van olyan trapéz, amelyik egyenlő szárú, de tengelyesen nem szimmetrikus. Igaz. A nem derékszögű paralelogramma ilyen.

c) Van olyan paralelogramma, amelynek minden szöge tompaszög. Hamis. A négyszög belső d)

szögeinek összege több lenne 360◦ -nál, ha mind a négy szöge nagyobb a 90◦ -nál. A rombusz átlói felezik a szögeket. Igaz. A rombusz átlói ugyanis szimmetriatengelyek is.

5. Táblázat készítése segítségével ábrázold az x → −x + 1 függvényt! y 3 2 1 −1 −1

x

0

1

x → −x + 1

1

0

x 1 2 3

10. feladatsor III. Béla Gimnázium, Baja 1. Hozd a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! 2 · 441 2 3 2 · 282 283 2 · 119 − 3 a) = 2 80 = 82 = 2 b) − 32 = 80 23 2 ·2 2 1132 4·2 11 11

150

C M Y K


50 perc

Kzpiskolba kszlnk Tk.: 132. oldal 2. Lehet-e egyszerűsíteni a következő törtet? 1122334400550044332211 180 A tört nevezője 180, amit 2-vel, 3-mal és 5-tel lehetne egyszerűsíteni a prímek köréből. A számláló 1-re végződik, így se 2-vel, se 5-tel nem osztható. 3-mal sem osztható a számláló. Ezt vagy a számjegyek összeadásával (50), vagy azok ügyes csoportosításával indokolhatjuk. Tehát a tört nem egyszerűsíthető.

3. Döntsd el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! (Röviden indokold is választásodat!) a) Van olyan négyzet, amelyik paralelogramma. Igaz. Minden négyzet paralelogramma, hiszen van két párhuzamos oldalpárja.

b) Minden prímszám páratlan. Hamis. A legkisebb prím a 2, ami páros szám. c) Nem minden téglalap rombusz. Igaz. Az általános téglalap szomszédos oldalai különböző hosszúak. 4. A következőkben Matematikaország bizonyos lakóiról lesz szó. Tudjuk, hogy minden LÜ egyben LE is, és minden LE egyben LI is. Ezek ismeretében másold át a következő állítások közül az igaz állításokat a négyzetrácsos lapra! (Kivételesen nem kell indokolnod!) a) Minden LÜ egyben LI is. LI b) Nem biztos, hogy minden LE egyben LÜ is. LE c) Lehet, hogy van olyan LI, amelyik nem LÜ. LÜ

Érdemes elkészíteni a feladat halmazábráját: a) Igaz b) Igaz c) Igaz

5. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! x−2 2x + 10 −2· =3 6 5 2x + 10 2x − 4 − =3 6 5 5(2x + 10) − 6(2x − 4) = 90 10x + 50 − 12x + 24 = 90 x = −8

6. Egy 3 dm élű, tömör fakockán – két szemközti lapra merőlegesen – átfúrunk egy vájatot. A vájat keresztmetszete egy 1 dm2 területű négyzet. Mennyi festékre van szükség a maradék üreges test teljes felületének befestéséhez, ha 1 kg festék 3,2 m2 felületre elegendő? A befestendő lapok területe: négy eredeti négyzet 4 · 32 = 36 dm2 két kilyukasztott négyzet 2 · (32 − 12 ) = 16 dm2 négy belső téglalap 4 · 1 · 3 = 12 dm2 A festendő felület 64 dm2 = 0,64 m2 1 · 0,64 A festékszükséglet = 0,2 kg. 3,2

151

C M Y K


Feladatgyűjtemény

Algebrai kifejezsek ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK Algebrai kifejezések fajtái I. 1. Írd le a kifejezéseket úgy, hogy tedd ki pirossal a láthatatlan szorzásjeleket! c) (5 · a − 2 · b) · (5 · a + 2 · b) a) z · (3 · x + 4 · y) b) 2 · x 2 + 5 · y 2 + 10 · x · y 2 2 2 d) e · f · g − 2 · g e) (8 · a · b − 10 · a) · (a − b) f) (a + b) · (2 · a − 1) 2. Mennyi a kifejezés értéke, ha a = 3, és mennyi, ha a = −3? b) a 3 · a 2 · a 7 312 c) 10a 3 − a 2 261; −279 a) 2a + a 2 15; 3 2a 4 9 4a 3 · a 5 4 · 38 4 · 38 2 3 d) e) (3a ) 27 · 36 = 39 f) = 2 · 37 ; = 37 2 2 2 6 12 4a a −a 3. Melyik összeg, melyik szorzat? b) 5a 2 b + 2 összeg a) 7xy − 8xz összeg d) 56 · l 2 szorzat e) (a + b)3 szorzat g) 5x + 3(4xy + 6) összeg h) fg(f + g) szorzat

c) (2x − 3)(5x + 4) szorzat f) 5x(2xy − 1) + 6 összeg i) 3pr + 7pr összeg

4. Károly fizetése f forint. Péter, Károly öccse, ennek 80%-át keresi. Írj képletet, ami megadja azt, hogy a) mennyi Péter fizetése, 0,8f b) mennyivel több Károly fizetése, mint Péteré, 0,2f c) hányszorosa Károly fizetése Péterének, 1 : 0,8 = 1,25 d) mennyi az együttes fizetésük, 1,8f 1 · 100 = 125% e) hány százaléka Károly fizetése Péterének! 0,8

5. A feladat kérdéseire egy-egy képlettel válaszolj! A 8. a osz2 tályba p gyerek jár. A tanulók része lány. A 8. b osztály 3 létszáma q. A b osztályba c-vel több fiú jár, mint az a osztályba. Hány fiú és hány lány jár ezekbe az osztályokba?

fiúk

lányok

8. a

1 p 3

8. b

1 p+c 3

2 p 3 1 q− p+c 3

6. Az x és az y tetszőleges racionális számok. Írd fel: a) négyzetük összegét, x 2 + y 2 b) összegük négyzetét, (x + y)2 c) az x négyzetének a reciprokát, e) négyzetük hányadosát!

x2 y2

1 x2

d) hányadosuk négyzetét,

2 x y

7. Az a és a b tetszőleges racionális számok. Írd fel: a 2 − b2 32 2 1 1 reciprok értékük négyzetének az összegét, + a b 2 1 az összegük reciprok értékének a négyzetét, a+b négyzetük ellentettjének az összegét, −a 2 + (−b2) = −a 2 − b2

a) négyzetük különbségének a harmadrészét, b) c)

d) e) az a négyzete reciprokának és a b ellentettje négyzetének összegét!

154

C M Y K

TEX 2014. június 3. –18:57 (1. lap/154. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K8-F2)

1 1 + (−b)2 = 2 + b2 a2 a

Algebrai kifejezsek 8. Minden kérdésre egy képlettel válaszolj! a) Múlt héten Éva x kg-ot fogyott. Ezen a héten 10 dkgmal többet. Mennyit fogyott két hét alatt összesen? 2x + 0,1 kilogrammot.

b) Éva a fogyókúra kezdetekor e kilogramm volt. A zöldségkúra végére 12%-kal könnyebb lett. Mennyit mutat a mérleg a kúra végén? 0,88 · e c) Andinak híznia kellett. Minden héten a dkg-ot sikerült felszednie. Hány hét alatt hízott 8 kg-ot? 800 dkg 800 = hét alatt hízott 8 kg-ot. a dkg a

9. Ha egy háromjegyű szám jegyei a, b és c, akkor a szám értékét így írhatjuk fel: abc = 100a + 10b + c. Fordítsd le az algebra nyelvére a következő szöveget, vagyis írd fel képlettel a szövegekben szereplő háromjegyű számok értékét! a) A háromjegyű számban az egyesek és a százasok helyén álló számjegyek összege éppen a tízesek számát adja. a + c = b. A szám értéke: 100a + 10(a + c) + c = 110a + 11c b) Ebben a háromjegyű számban a tízesek száma kétszerese a százasok számának, és 7-tel több az egyesek számánál. b = 2 · a és b = 7 + c, tehát c = 2a − 7. A szám értéke: 100a + 20a + (2a − 7) = = 122a − 7.

c) Egy háromjegyű szám középső jegye 5 és az első jegye éppen annyival több a középsőnél, mint amennyivel az utolsó jegye kevesebb a középsőnél. a − 5 = 5 − c; a = 10 − c. A szám értéke: 100 · (10 − c) + 50 + c = 1050 − 99c.

d) A háromjegyű szám első jegye a, a második jegye 8, a jegyeinek összege pedig összesen 2a. c = 2a − (a + 8) = a − 8, így a szám a8c = 100a + 80 + a − 8 = 101a + 72.

10. A rendszer egyensúlyban van. A csigákra felfüggesztett testek tömegét jelölik a betűk. a) Eláruljuk, hogy d = 5 kg. Hány kilogramm a többi test? a = 20 kg, b = 10 kg, c = 40 kg, e = 10 kg, f = 20 kg, g = 40 kg. Írd a tömegeket növekedő sorba! d < b = e < a = f < c = g

b) c) Igazak-e az alábbi állítások: e c = 4b =d f = 4d 2

a = 4d

2b = 2d + e

2d = b

igazak

d) Gyűjts igaz egyenlőségeket! pl.: a + 2b = c, a = 2b, g = 8d. e) Határozd meg egy-egy tömegről, mi a kapcsolata a többivel! a Például: a = 2b, b = , c = g, c = 4b. 2 Pótold a keretekből hiányzó számokat, és írj magad is újabb egyenlőségeket! b=

1 2

· f, b =

1 4

· g, b =

1

·e

155

C M Y K


Algebrai kifejezsek Egytagú és többtagú algebrai kifejezések 11. Írd le az alábbi kifejezések mindegyikének az együtthatóját! Válaszd ki az egynemű kifejezéseket! ab 5

1 5

a2 − 3

−a 2 b

a · 108 0,1

−1

(−a)(−2b) 2

1 − 3

5a · 2b · a

1080

b 5a · 7

1

7ab 2

10

7 2

b a · · 6a 2 3

5 7

0,6a

1

3a 2

2

b 3

0,2

9 4

12. Egynemű tagok összevonásával kaptuk az eredményt. A munkánkra sajnos tintapacák estek. Fejtsd meg, mi állhat a foltok alatt! A feladatnak többféle megoldása van. 10

pq

a) 6pq − 8 + 2pq + 10 = 8pq + 2 2

−3x

2

8

1 5

x+

2

3

b) 5(x + 1) − 3(x + 1) = 2(x − 1)

2

3a 2

x

b2

a 2b

7a

x c) 2x y + 3x − 5xy − = −3xy + 2,5x d) 3a 2 b2 + 2ab− a 2 b2 + a 2 b + 7a b = 2a 2 b2 + a 2 b + 9ab 2 13. Az azonosság mindkét oldalán egy vagy több tagot elrejtettünk. Pótold a hiányzó tagokat! Többféle megoldás is lehetséges. a) 2bc + 2b2 c2 + 3b2 c2 − 7bc = 5b2 c2 − 5bc b) 0,25tus 2 − 2tu + 0,25tus 2 + 4,1tu = 0,5tus 2 + 2,1tu c) 2a −3b + 5a 2 + −12a −2,8a 2 + 6,1b =

3,1b

+ 2,2a 2 −10a (Ez az egyik lehetséges megoldás.)

d) 12ab − a 2 + 2a 2 = 6ab + a 2 + 6ab 14. Színezd egyformán az azonos kifejezéseket! O

6 + 3a

6−

3 · (−2a) 2

Á

(−3) · (−2 − a)

É 2a − 2b 2(a − b)

3(b − a) − (b − a)

Ö 2b − 2a

B

2(b − a) Ő

2b − 2a

T

3a − 6

4a − (a + 6) 3a − 6

−2a + 2b

−2b + 2a − 4(a − b) Az egyforma színeket

−6 + 3a

−3 · (2 − a)

8b − (3b + a) · 2

3a + 6

T

N 2a − 2b

N 3a + 6

2b − 2a

T

−(2a − 8 + 2a) − (a + 2) + 8a

3a + 6

7a − 2b − (4a − b − 6) + b C

6 + 3a

10a − (−6 + 7a)

jelekkel jelöltük.

156

C M Y K

−2a + 2b

a + b − (3a − b) B

3(a + 2) M

J −2a + 2b

9a − 6(a + 1)

A 3a + 6

7a + 2 − (4a + 8) E

L

3a − 6

B

E 3a − 6

6 + 3a


S

6 + 3a

3 · (2a + 2) − 3a

Algebrai kifejezsek Plusz egy vicc Kinyilik a szülőszoba ajtaja és a nővér odaszól egy izgatottan várakozó férfinak. – Megszületett a fia! Három és fél kiló. Erre egy szintén ott ülő férfi idegesen felugrik. – BOCSÁNAT, ÉN JÖTTEM ELŐBB! A vicc poénját kitalálhatod, ha az azonos kifejezéseket egyformán színezed, majd az egyforma színű betűkből értelmes szavakat készítesz. 15. Végezd el a lehetséges összevonásokat! a) ab + 3 + a 2 b − ab − 8 = a 2 b − 5 b) xy 2 − y 2 + 5y 2 x + 2y 2 + 2xyx = 6xy 2 + y 2 + 2x 2 y c) 6(x + 3) − 8(x + 3) − 3(x + 3) = −5(x + 3) x2 x2 5x 2 2x 2 x 2 d) = = − + x2 − 6 3 2 3 6 y 6xy xy 2 − 3x + y e) xy + x + y + − 4x − = 5 3 5 3 f) 5abc + 4ab + 2ac − 7abc − ac − 5db = −2abc + 4ab + ac − 5db b 3b2 3 b b2 b + +2+ − + b = 4 + − b2 2 2 2 4 2 4 2 2 a a 3b 5a 5a 2 b2 5 1 h) a 2 − b2 + = − + + + + a− 4 2 2 2 4 2a 2 2 3 2 2 2 i) −3k · l + 6l · 2k · 2l − 3k · l + 2k · 5l = 21kl 3 + 7kl 2 nm m nm j) −6m3 + 4n2 + − n · 4n + 12m2 · = 5 5 2 4 3 2 4 2 3 4 k) e − 2e + e − 3e − 10e + 2e = −2e − 9e2 1 1 3 l) − cd + cdc + c2 d + 0,5cd = c2 d 2 2 2 a 16. Indulj ki az számból! Színezd egyformán azokat a műveletsorokat, amelyek ugyanarra az b eredményre vezetnek! g) 2 −

piros

kék

sárga

piros

zöld

sárga

piros

a 2 · b 3

a:2 b:2

a 3 · b 2

a 3 : b 2

a 3 : 2 b

a 2 : b 3

a·2 b·3

sárga

sárga

zöld

piros

piros

sárga

zöld

a ·3:2 b

a·3 b·2

a·b 6

a:3 b:2

a ·2:3 b

a 3 · 2 b

a 3 : 2 b

157

C M Y K


Algebrai kifejezsek 17. Kösd össze a bekeretezett kifejezéssel azokat, amelyek egyenlők vele! a 15 · -nek a 25%-a b a 4 · 15 b

a b : 4 15

a 15 -nek a része b 4 a -nek a 375%-a b

a 15 · b 4 1

a : b : 4 · 15

b 4 · a 15

18. Hozd egyszerűbb alakra! a) x 2 + (2 − 3x − 5x 2 ) − (x 2 − 7) = −5x 2 − 3x + 9 c) −(8 + 7x) − (−3 + 5x) = −5 − 12x

b) a − b − (a − b) − (2a − b) = b − 2a d) 5(x − 3) − (5x − 15) = 0

19. Hozd egyszerűbb alakra! 1 1 1 1 1 13 7 a) − x + − x− − x =− x+ 12 12 2 3 3 4 4

5 3 7 b) −0,5x − x − + + 1,5x − x = −2x + 4 2 4

c) 3 − (x − 1) + (−4 + 3 − 2x) = −3x + 3

d) (x + 2)2 − x(x + 4) = x 2 + 4x + 4 − x 2 − 4x = 4

20. A törteket egyszerűsítettük. A számlálót és a nevezőt is ugyanazzal az értékkel osztottuk. Eközben az itt felsorolt azonosságokat alkalmaztuk. (2) (a · b) : c = (a : c) · b = (b : c) · a Szorzatot úgy osztunk, hogy valamelyik tényezőjét osztjuk el.

(1) (a + b) : c = a : c + b : c Összeget úgy osztunk, hogy minden tagját elosztjuk.

Mindegyik esetben írd oda, melyik azonosságot alkalmaztuk! 2a + 3ab 2 + 3b 12x 2 y 3 3 · 5abb 3ab = (1) = 4xy 3 (2) = (2) 2 a a 3x 25b 5 3a 2 + 15a 2 b + 6a 4 b 1 + 5b + 2a 2 b 3a 3 · 15a 2 b (1) = = 3a 3 · 5 (2) 3a 2 b b 3a 2 b 21. A matematikadolgozatban a törtek egyszerűsítésekor a gyerekek sokszor hibáztak. Keresd meg a hibákat a dolgozatrészletekben, és javítsd is ki azokat! x +y 2 5+ b 1 + (ha a a

0)

24a

158

C M Y K


7 3

a2 · 5 (ha b b

0)

Algebrai kifejezsek 4 · 8 · 12

2 · 4 · 12

a · 6b · 9c

22. a és b pozitív számok. Műveleteket végeztünk velük. A dominókon levő, sokfélének látszó művelet mindössze négy különböző eredményre vezethet. A hagyományos dominóhoz hasonlóan készíts láncot! Azokat illesztheted össze, amelyek biztosan egyenlő értékűek! 1a

1

15 ·4 ab

1b

a 4 · b 15

3 · 2 10 · a b

7

ab 3

6

a b · 15 4

a · 15 b·4

a 15 · 2 2b 9

8

1 a ·b· 30 2

3 20 · b a

10

20 :

a · 15 b·4

a 4 : 15 b

5

15 b : a 4

3 a : b 5·4

ab 60

a 4 : b 15

4

a 15 : 4 b

3

2

a·

15 1 · 4 b

4a 15 4 · : 15b 4 15

11

5 · 3a b·4

a:

60 b

2a ·2 15

12

1 1 4 : · b a 15

4a : 15 b

a b · ·b b 60

A feladat akkor érdekes a gyerekeknek, ha a 12 dominólapocskát maguk is elkészítik. Elég persze páronként egy készlet. Többféle kirakás lehet, példát mutatunk egy hosszú láncra. A követhetőség érdekében 1–12-ig sorra beszámoztuk a dominólapokat, és a két oldalukat a, b jelöléssel különböztettük meg. Egy hosszú lánc: 5b–5a–7a– 7b–4a–4b–1a–1b–12a–12b–11a–11b–8b–8a–10a–10b–3b–3a–2b–2a–6a–6b–9a–9b.

159

C M Y K


Algebrai kifejezsek 23. A következő egyenlőségek között vannak olyanok, amelyek biztosan igazak a változó tetszőleges értéke mellett. Vannak olyan egyenlőségek is közöttük, amelyek lehet, hogy igazak, de általában nem teljesülnek. Tegyél + jelet a megfelelő oszlopba! biztos a) b) c) d) e) f)

(a + b) − (c − d) = a + b − c − d (a + b) − (c − d) = a + b − c + d a + bc = (a + b)c (a + b)c = ac + bc 2x 2 + 3x 2 = 5x 2 2x 2 · 3x 2 = 6x 2

lehet, de nem biztos +

+ + + + +

24. Színezd azonos színűre az egyenlőket! 15 + a 3

piros

zöld

15 · 3 + a · 3

1 1 3: +a : 5 3

piros

(15 + a) : 3 15 : 3 + a : 3

1 3

(15 + a) :

15 + a · 3

15 a piros + 3 3

kék

kék

piros

a barna 45 + 3

1 (15 + a) · 3

zöld

5+a :3

piros

piros

1 3: +3:a 5 sárga

piros

15 + a : 3

a 5+ 3 piros

15 :

lila

1 1 15 · + a · 3 3

1 +a·3 3

fekete

25. Oldd meg az egyenletet! a) −(6x + 22 − 8x) = −90 x = −34

b) (8 − 3x) − (3x + 20) = 12 x = −4

26. Mi az egyenlet gyöke? a) (8 + 7x) − (3 + 5x) = −15 x = −10

b) −(−66 + 4x) − (−88 − 2x) = −46 x = 100

27. Határozd meg a és b összegét és különbségét! a = 5x 2 − 2x − 1 és b = 3x 2 − 7x + 5 a + b = 8x 2 − 9x + 4 28. Írd fel −2a 2 + ab − 2,5 2

és

összeg: −6a + ab − 5b + 4,5

a − b = 2x 2 + 5x − 6

−4a 2 − 5b + 7 összegét és különbségét! különbség: 2a 2 + ab + 5b − 9,5

29. Az alábbi kifejezések közül melyek azok, amelyek a, b és c bármely 0-tól különböző értékére a) pozitívok,

b) negatívok,

c) 0-val egyenlők is lehetnek?

A) a 2 + b2 a)

B) a 2 − b2 c)

C) −a 2 b2 b)

D) a 2 + 1 a)

E) a 3 + 1 c)

F) −a 2 − 1 b)

G) a 2 + b2 + c2 a)

H) a 2 − a 4 c)

I) 2a 2 − 3a 2 b)

30. Egy négyszög kerülete 5a + b. Egyik oldala 6, a második ennél (6 − a)-val nagyobb, a harmadik a másodiknál 3a-val kisebb. Határozd meg a negyedik oldalt! 6 + (6 + 6 − a) + (6 + 6 − a − 3a) + x = 5a + b

x = 10a + b − 30

160

C M Y K


Algebrai kifejezsek 31. Oldd meg az egyenleteket! x a) + 25 = 3x − 12,5 x = 15 2 2x x x c) − = +1x=4 3 6 4 x x 4x e) 5 · − 12 · − = 3 − 2x x = 9 3 4 12 1 1 5 g) 3x − x − 5 = 5 − x − 5 x = 3 2 2 x x i) 2x + 2 − 3 + =x+1+ 3− x=5 3 3 32. Oldd meg az egyenleteket! x−2 5 a) =x+1x=− 2 3 2x + 1 = 2x − 6 x = 6,5 c) 2 2x + 1 e) 5 + = 2x x = 4 3 x −3 11 g) −x + =2x=− 3 4 33. Oldd meg az egyenleteket! 2x − 1 a) 12 − = x+1x=8 5

b) d) f) h) j)

2x x 4x 9 − 12 · − = 3 − 2x x = − 2 3 4 12 2x x x − = + 1 nincs megoldás 3 6 2 4x 1 7x 4 − · 3x + = x+2x=4 29 3 15 20 3 1 1 16 x+ x+ x =x−2x=− 3 4 8 2 x x = 2x + 3 x = −4 − 1− 2 2

x 2 = 5x − 3 x = 3 2 3x − 7 =x−3x=4 d) 5 3−x 12 f) −6 + = 2x − 3 x = − 11 5 5−x 17 h) 3 + = x+1x= 7 6 b)

b) 2x −

5 1 + 2x 2 = 6x − x = 5 2 2

5x − 4 9 − 2x x − 7 11x x − 1 x + 2 d) + − =8x=6 − − =5x=1 3 3 3 2 3 6 34. A négyzet oldalait n egyenlő részre osztottuk. A négyzet területének mekkora része a színes háromszög területe? Folytasd! Keress szabályt! c)

... n=2

n=3

n=4

n=5

a oldalú négyzet területének a felét, továbbá a két leeső egybevágó n a derékszögű háromszög területét. Ennek a befogói a, illetve (n−1) hosszúságúak. Adott n érték esetén a gyerekek n sorra kiszámíthatják a színes háromszög területét, így 3 részt, n=2 esetén 8 Az a oldalú négyzet területéből le kell vonni az

n=3

esetén

5 részt, 18

161

C M Y K


Algebrai kifejezsek n=4

7 részt, 32

esetén

9 részt kapnak. 50 Az n = 2 esetet mindenkitől elvárhatjuk, de a feladat általánosítását már csak a legjobbaktól: ha az a oldalú négyzet oldalát n részre osztottuk, akkor a színezett terület n=5

esetén

1 a 1 a 2 n−1 1 2n − 1 2 T = a − 2 · · a · (n − 1) − =a 1− − 2 = a2 2 n 2 n n 2n 2n2 2

A

2n − 1 hányados jelenti azt, hogy a négyzetnek mekkora része a színezett. 2n2

35. Oldd meg az egyenleteket! x−2 5 a) =x+1x=− 2 3 c)

2x + 2 13 − 5 = 3x x = − 7 3

x+2 = 5−x x =6 2 36. Oldd meg a következő egyenleteket! e) 3 −

a)

x x x + − = 7 x = 12 2 3 4

3x x 2x + − = 13 x = 9 2 6 9 37. Oldd meg a következő egyenleteket! c)

a)

x−2 = 8 x = 50 6

3x + 5 = 5 x = 10 7 38. Oldd meg a következő egyenleteket! c)

a)

x − 2 5 + 4x + =6x=5 3 5

b) 3 +

x + 1 2x = +2x=6 5 5

d) 2 −

x−1 5 =xx= 3 2

f)

2x + 1 − (x + 3) = 2 x = −8 5

b)

x 3x x + − = 21 x = 35 5 7 35

d) x +

2x 3x − = 11 x = 12 3 4

b)

2x + 5 =7x=8 3

d)

4x − 3 = 13 x = 17 5

b)

5x + 3 8 − 3x 18 x= −4= 13 2 4

5−y 1 − 3y y=1 d) 2 − =y y=7 2 4 39. Egy szám 12-vel nagyobb a másiknál. Ha a kisebbiket elosztjuk 3-mal, a nagyobbikat pedig 6-tal, akkor az első hányados a másodiknál 2-vel nagyobb lesz. Melyek ezek a számok? c) y + 1 =

Legyen a kisebb szám x.

x x + 12 = +2 3 6

x = 24. Tehát a kisebb szám 24, a nagyobb 36.

40. Két szám összege 112. Ha a kisebbiket elosztjuk 4-gyel, a nagyobbikat pedig 12-vel, a hányadosok összege 16 lesz. Melyik ez a két szám? A kisebb szám x, a nagyobb 112 − x.

x 112 − x + = 16 4 12

x = 40. A keresett számok 40 és 72.

162

C M Y K


Algebrai kifejezsek A hatványozás azonosságai 41. Írd fel hatvány alakban! a) b2 · b3 b5 b)

b5 3 b b2

28 · 25 213 c8 : c2 c6

a 4 · a 7 a 11

x · x2 · x3 x6

8 · 25 28

210 8 4 2 = 4 = 162 4

420 : 4 419

27 · 34 37

x2 · x5 : x6 x

x 10 · x 90 x 100

3105 5 3 3100

a 71 a a 70

c) a 4 · b4 (ab)4 25 · p5 (2p)5 64 · x 3 (4x)3 81k 4 (3k)4 81 · 25 · x 2 (9 · 5 · x)2 (2k)3 · 53 (10k)3 125 · 64 · 27 (5 · 4 · 3)3 d)

107 7 2 57 a

100

·b

100

16 2 4 c4 · d 4 c · d

a 8 a 8 b8 b

:3

100

a·b 3

(100a)3 103 103 · a 3

100

100 000 5 5 25

1 000 000 · a 6 6 5 (2 · a)6

42. Írd fel minél többféleképpen hatványok szorzataként vagy hányadosaként az adott kifejezést! a 18 Például: a 9 = a 3 · a · a 5 = a · a 8 = 9 = a 10 : a = . . . a 5 3 4 10 a a b a x2 (x − 5)2 4x 2 (4x)2 Mindegyik feladathoz sokféle felírást várunk. Lehet versenyben dolgozni. Aki tud újabb alakot, az felírja a táblára. a7 a8 Néhány megoldás: a 5 = a 2 · a 3 = 2 = a · a 4 = 3 = . . . a a (a · b)4 3 4 3 a ·b = = b · (a · b) = . . . a (4x)4 (2x)3 4x 2 = = 3 = ... 2x (2 · x)2 Dolgozhatunk úgy is, hogy az adott kifejezéshez mi írunk fel egy másikat, és megmondjuk, hogy az például a hányados számlálója, és a gyerekeknek kell megadni a nevezőt. Vagy megmondjuk a szorzat egyik tényezőjét, és a gyerekek mondják a többit. ? (a · b)10 Például: a 10 = 5 = a 3 · ? = = ... ? a

43. Írd fel hatvány alakban! a) 9 · 35 37

8 · 162 · 27 218

b) 10 · 23 · 53 104 c)

1010 10 59 · 29

25 · 125 55

4 · 4 · 7 · 7 282 3 · 15 · 5 15 a · (3 · 5) a

a 4 · 16 · 81 (2 · 3 · a)4

a 4 · b4 · 10 000 (10 ab)4

2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 (2 · 3 · 5)2

a · 3 · a 2 · 9 (3a)3

16a · a 3 4a 2 = (2a)2 (2a)2

125x 3 25x 2 = (5x)2 5x

(7x)2 2 x 49

44. Írj pozitív egész számokat a betűk helyére úgy, hogy igaz egyenlőségeket kapj! a) 105 = a 5 · 25 a = 5

a 9 = a k · a l k + l = 9 teljesüljön

7100 = 7x · 7y x + y = 100 teljesüljön

248 = 28 · a 8 · b8 a = 3, b = 4 65 = 35 · a 5 · b5 a = 2, b = 1 603 = a 3 · b3 · c3 pl.: a = 3, b = 4, c = 5 b) 79 = a 9 : 39 a = 21

2110 =

6310 a = 3, b = 10 ab

49 = 29 · 69 : x 9 x = 3

c) 85 = 8a · 8b a = 2, b = 3 610 = 6x · 6y x + y = 10 teljesüljön 1230 = 12a · 12b a + b = 30 teljesüljön

163

C M Y K


Algebrai kifejezsek 1520 = 159 · 311 · 5b b = 11

726 = a 4 · b2 · c4 a = 9, b = 72, c = 8

10011 = a 5 · b6 · c6 a = 10, b = 10, c = 1 45. Készíts szorzáscsaládokat! Három vagy több szám szorzáscsaládot alkot, ha közülük valamelyik a többinek a szorzata. a) Ezekből az azonos alapú hatványokból válogass: a, a 5 , a 6 , a 20 , a 9 , a 7 , a 21 , a 40 , a 22 , a 83 Sokféle szorzáscsalád készíthető, pl.: a 5 · a 6 · a 9 = a 20 Szorzáscsaládot alkotnak: a 5 , a,

a6,

a9,

a 20

a 20 , a 21

a 40 , a 22 , a 20 , a, a,

a6,

a 83

a7

a 9 , a 7 , a 6 , a 22 , stb. Ezt a feladatot is érdemes versenyszerűen feldolgozni.

x x

x

x

x

1 5

x

b) Ezekből az azonos kitevőjű hatványokból válogass: 2 , 7 , 35 , 14 , 5 ,

, 1x , 70x , 10x

Szorzáscsaládot alkotnak például: 2x , 7x , 14x x 1 x 2 , , 10x 5 2x , 5x ,

7x , 70x

c) Ezekből a hatványokból válogass: 25 , 1012 , 23 , 55 , 24 , 52 , 105 , 205 , 1005 , 107 Néhány szorzócsalád: 25 , 55 , 25 , 55 ,

105 105 , 1005

25 , 105 , 205

46. Mely szám négyzete: a) 4a 2 = (2a)2 4 4 2 2 2 2 d) x y = x y 3 9 g) 0,01a 10 = (0,1 · a 5 )2

b) 9a 4 b2 = (3a 2b)2

c) 81a 2 b2 = (9ab)2

e) 36x 6 y 4 = (6x 3 y 2 )2

f) 100x 8 y 2 = (10x 4y)2

h)

1 6 4 1 3 2 2 a b = a b 2 4

i) 0,0001x 2 y 2 = (0,01xy)2

47. Építs egynemű kifejezéseket! Minden feladatban egynemű kifejezéseket gyűjtöttünk össze, különféle alakokban. A kifejezések egy-egy részét letakartuk. Mi állhat a foltok alatt? a) 2p 3 q 4

3pq · p2 q 3

2 · p3 · q 4

c

1 b) bc2 2

bc ·

c) l 2 · k 5 l 5

−12 · k 4 · l 7 · k

d) 2a 2 b5 c 2 · a

a 3 b 5 c2

e) 3x 2 y

2x 2 y

2

b

·c

2

3,1 · k 3 · l 7 · k 2 c 2ab a 2 b4c 3 8x · xy

164

C M Y K


0,5 · p3 q · q 3 bc2 2 k4 · l6

· kl

a 3 b5 c 2

Algebrai kifejezsek 48. Írj a kifejezéssel azonosat úgy, hogy ne használj zárójeleket!

3

3

(3a) = 3 · a 5

e 5

j5 j2

e5 = 5 5

3 = j9

3

b2 2

2

2f g

b2 b2 · 2 2

= 4

24 · f 4 = g4

(klm)3 = k 3 · l 3 · m3

(c3 )2 = c6

(2d)3 = 23 · d 3

(2f )4 24 · f 4 = g g

(3h)5 = 32 · h2 (3h)3

(2no2 )2 = 4 · n2 · o4

(pq)2 = p2 q2

(2x 2 )3 = 23 · x 6

(5i + 3i) · 3 5 5 =i 24

49. Pótold a hiányzó számokat, vagy betűket úgy, hogy csupa azonos kifejezés álljon egy feladatban! a) x 6 y 4

x 2y x 4y 3

b) (2a 4 )3

8a 4 · a

(x 3 y)2 · y 2 8a 11 · a

8

(xy 2 )2 · x 4 8(a 3 )

(xy)3 · x x 2 y

2 · (2a)2 · a 10

4

(xy)

· x2

4

( x 3y

· y)2

2a 2 · 4a 10

50. Egészítsd ki a szorzótáblákat! A betűk egyike sem nulla. a)

·

53

22

32

23

1000

32

52 · 3

9375

·

b)

·

a2

ab

b3

72

a3

a5

a4b

a 3 b3

300

675

b

a2b

ab2

b4

5a

32

3ab

·

15

2xy 2

−z

2b2

10ab2

18b2

6ab3

3x 2 y

45x 2 y 6x 3 y 3 −3x 2 yz

5b

25ab

45b

15ab2

−5z

−75z −10xy 2x

·

3 2 x 2

30y −6xy

c)

e)

1 15 xy 6

1 2 x 10

2y

2 − xy 5

1 3 x y 4

5xy 2

−x 2 y 2

·

bc

1 a2c

a2c

a 2 bc2

1

g)

5c

5bc

2

5 a2

d)

f)

· 5 − z 3 1 2 x 3

h)

−18z 30z2

3 3 x 5

5z2

3xy

−x 3 z −5xyz

−6x 2 z

1 5 x 5

·

1 xy

x y

0

0

0

−x

1 − y

x2 − y

x 3y

tetszőlegesen kitölthető 0

165

C M Y K


Algebrai kifejezsek 51. Fűzd láncba az egyenlőket! Mindegyik láncból megadtunk egy láncszemet. A többit a felsorolt számokból válaszd ki! Folytasd! 2 ·5 :5 , 4

1000,

7

3

1 000 000, 1 , 2 2 ·2

25 · 2,

10 000, 5

1 2

2·2 ,

10

3

2 ·5

6

64

2

3

3

3

2 ·5 ·2

3

27 ,

5

2 ·2

104 10 000 24 · 57 : 53

2

28 , 2

22 , 27

5

1000

1 2

64,

103 ,

2 · 4,

4

, 3

1 , 32

3

13 , 23

2 ·5 , 3

22 · 53 · 2,

, (2 · 5)6 ,

1 , 100

104 , 106 (0,1)2

1 8

3 1 2

1 2 2 ·2

13 23

106 1 000 000 (103 )2 (2 · 5)6

1 25

5 1 2

1 32

22 27

128

1 102

0,12

104 106

28 2

27

25 · 4

1 100

Egyetlen kifejezés nem illik be semelyik láncba, a 2 · 24 .

Oszthatóság 52. A nyíl a többszörösre mutat. Írd a nyíl mellé, hogy hányszorosa a nyíl végén álló kifejezés a középsőnek!

53. Add meg a hiányzó kifejezést úgy, hogy A = B · C igaz legyen! B

y

10k 2 3

C

5xy

2,3k

A

5xy 2

23k 5

pq

0,1x 3

2xy

6b2

7 5 mn 3

0,1aa 3

4

3 x 2

5a 3 b2 3

3n4 7

100a 5 b

3x 2 y

10a 3 b4

m5 n5

10a 8 b

2

q r

100y

pq 3 r

10x 3 y 4

54. Színezd ki a cédulákat! 30ab3 c3

15a 3 c5

12a 4 b2

piros

sárga

kék

166

C M Y K


Algebrai kifejezsek A vaktérképen Magyarország megyéit látod. A megyékbe a színes cédulákon levő kifejezések osztóját írtuk.

Színezd az osztót (a megyét) azzal a cédulával azonos színűre, amelyiknek osztója. Ha kettőnek is osztója, akkor keverék színeket használj így: piros + kék = lila, piros + sárga = narancs, kék + + sárga = zöld, piros + sárga + kék = fehér. Írd a megyék neve mellé, milyen színű lett! Jász-Nagykun-Szolnok sárga Megyék nevei: Bács-Kiskun piros Baranya zöld Komárom-Esztergom zöld Békés kék Nógrád sárga Borsod-Abaúj-Zemplén lila Pest kék Budapest (megyei jogú város) narancs Somogy narancs Csongrád lila Szabolcs-Szatmár-Bereg kék Fejér lila Tolna fehér Győr-Moson-Sopron piros Vas kék Hajdú-Bihar piros Veszprém sárga Heves narancs Zala zöld 55. Írd fel a felsorolt számok közös osztóit! a) 22 · 32 és 2 · 3, 1, 2, 3, 2 · 3 2 c) 2 · 3 · 5 és 22 · 32 , 1, 2, 3, 2 · 3, 32 , 2 · 32 e) 72 · 11 · 13 és 32 · 5 · 7, 1, 7

b) 3 · 52 d) 2 · 52 · 11 f) 22 · 73 · 13

56. Ha lehet, egyszerűsítsd, majd számítsd ki! 22 − (33 + 5) 22 − 25 2 − 24 14 a) = = =− 2 · 3 3 3 2·3

484 b) = 24 = 16 244

és 2 · 3 · 5, 1, 3, 5, 3 · 5 és 3 · 5 · 7, 1, 5 és 33 · 52 · 11. 1 24 + 53 141 c) = (2 · 5)2 100

167

C M Y K


Algebrai kifejezsek 57. Egyszerűsíts, majd végezd el a műveleteket! 2 24 · 32 · 53 33 32 3 9 4 a) = 2 · 3 · 5 = 240 b) = 2 = = 2 2 5 25 5 3·5 3·5

363 36 3 3 3 27 c) = = = 48 4 64 483

Beszorzás, kiemelés 58. Válaszd ki az azonosságokat! (Az alaphalmazba minden ismert szám beletartozik.) 10a + 7 a) (a + 3) · 2 + 1 = 2a + 7 azonosság b) = 5a + 7 nem 2 8x − 6 c) d) (a + 2a) · a = 3a 2 azonosság = 4x − 3 azonosság 2 x x 5x e) + = azonosság f) a − (5 − a) = −5 nem 2 3 6 59. Kinek mi a kedvenc állata? Megtudod, ha a fiúk nevéből kiindulva mindig az ott álló kifejezéssel azonos mezőre lépsz. a és b egyike sem nulla. Jelöld a helyes útvonalat! TOMI

PALI

a b a·2

3 2

2 2

MIKLÓS

4a b

(2ab) b

2a 2 b2

a(2ab)2

(2ab)2 2

16(ab)3 4a

12(ab)3 3b

2(ab)3 ab

(a 2 b + 3a 2 b)b2

(ab2 + 3ab2 )a 2

(ab + ab)2 · 0,5

2a 4 b4 (ab)2

(3ab + ab)a 2 b

4a b

(a 2 b + ba 2 )b

2

2 3

2

(3ab + ab)ab2

a 2 bab2 ·4 b

(2ab)2 b

60. Írd fel a (2x + 1) · (x − 3) szorzatot összeg alakban! Számítsd ki az értékét, ha 1 c) x = 0,8! a) x = 3, b) x = − , 2 (2x + 1)(x − 3) = 2x 2 − 5x − 3 a) ha x = 3, az érték 0

1 b) ha x = − , az érték 0 2

c) ha x = 0,8, az érték −5,72

168

C M Y K


Algebrai kifejezsek 61. Add meg a téglalap területét a lehető legrövidebb alakban!

62. Fejezd ki a színes sokszög területét!

T = a 2 − b2

T = (x + y)(x − y) = x 2 − y 2

63. Mekkora a színes sokszög területe?

64.

T = (a − b)2

T = x 2 − 4y 2

65. Alakítsd összeggé! a) (x + y)(d − b) = dx − bx + dy − by b) (x − y)(c + d) = cx + dx − cy − dy 2 2 c) (5a − 10)(6a + 3) = 30a + 15a − 60a − 30 = 30a − 45a − 30 d) (2x − 1)(3x − 2) = 6x 2 − 4x − 3x + 2 = 6x 2 − 7x + 2 e) (x − 1)(−x − y) = −x 2 − xy + x + y f) (−5x 2 + 2)(2x − 3) = −10x 3 + 15x 2 + 4x − 6 66. Hozd egyszerűbb alakra! a) (x − 2)(x + 5) = x 2 + 3x − 10 c) (4x + y)(−x − y) = −4x 2 − 5xy − y 2 e) (x − y)(2x + 2y) = 2x 2 − 2y 2

b) (a + 3)(a − 2) = a 2 + a − 6 d) (7a − 6)(−2a + 5) = −14a 2 + 47a − 30 1 f) (a − 15) a − = a 2 − 15,2a + 3 5

67. Egy sportünnepélyen a sportolók téglalap alakba rendeződtek el szabályos sorokban. A sorok száma 5-tel osztva 4 maradékot adott, az oszlopok száma pedig 1 maradékot. Az ünnepek végén a sportolók 5-ös oszlopba fejlődve vonultak le a pályáról. Hányan álltak ekkor a legutolsó sorban? k sor és l oszlop volt. (5k + 4) · (5l + 1) = 25kl + 5k + 20l + 4

ennyien álltak az utolsó sorban.

68. Gondoltam két számra. Az egyik 25-tel osztva 7 maradékot ad, a másik 5-tel osztva 3 maradékot ad. Mennyi maradékot adhat 5-tel osztva a) az összegük, 0 maradékot b) a különbségük, 4 vagy 1 c) a szorzatuk? 1 d) a hányadosuk (ha egyik éppen osztója a másiknak)? 4, pl.: 32 : 8 = 4 69. Gondoltam két számra, az egyik 13-mal osztva 12 maradékot ad, a másik 13-mal osztva 5 maradékot ad. Írd fel az algebra nyelvén a szorzatukat és az összegüket is, és olvasd le, mennyi maradékot adnak ezek 13-mal osztva! (13a + 12)(13b + 5) = 132 ab + 12 · 13b + 5 · 13a + 60, tehát 8 a maradék. 13a + 12 + 13b + 5 = 13a + 13b + 17, tehát 4 a maradék.

169

C M Y K


Algebrai kifejezsek 70. Írd fel a szorzatot összeg alakban! a) (a + 3)(a + 3) = a 2 + 6a + 9

b) (x − 1)(x − 1) = x 2 − 2x + 1

c) (2x − 1)(2x − 1) = 4x 2 − 4x + 1

d)

2

1 a+2 2

=

1 2 a + 2a + 4 4

71. Az egyik oszlopba összegeket írtunk, a másikba a szorzat alakjukat. Válaszd ki az összetartozókat! a) (2a + 1)2

A) 4a 2 + 4a + 1

b) (a + 2)2

B) a 2 + 4a + 4

c) (a + 2)(a − 2)

C) a 2 + a − 2

d) (a − 1)(a − 2)

D) a 2 − 4

e) (a − 1)(a + 2)

E) a 2 − 3a + 2

72. Hozd egyszerűbb alakra! 2 3 − (x + y) = −1 a) x+y x+y

b)

3 1 + (a + 2b) = 4 a + 2b a + 2b

73. Oldd meg az egyenleteket! a) (2x − 5)(3 − x) + 2x 2 = 9x + 1 x = 8

b) 5(x − 1)(7 + x) = 5x 2 + 25x + 5 x = 8

c) x(x + 3) + x(5 − x) = −32 x = −4

d) 5(x + 3) + 2(x + 3) = 7x + 21 azonosság

e) (2 − x)(4x + 5) = (2 − x) · 4x + 7 − 2x x = 1

f) x(x + 5) + 7 = x 2 + 2x − 2 x = −3

74. Töltsd ki a szorzótáblák üres mezőit! ·

a+b

a−b

·

a

b

a−b

a 2 − b2

a 2 − 2ab + b2

a − 2b

a(a − 2b)

b(a − 2b)

1 a

1+

b a

1−

b a

−

1 a

−1

−

b a

·

x + 2y

x−1

·

4 y−1

x2

x 3 + 2x 2 y

x3 − x2

y−1 2

2

2x

2x 2 + 4xy

2x 2 − 2x

x2 − 1

4(x 2 − 1) y−1

tetszőlegesen kitölthető

170

C M Y K


Algebrai kifejezsek 75. Alakítsd összeggé! a) (−2a + 3)2 = 4a 2 − 12a + 9

b) (−4x + 5y)2 = 16x 2 − 40xy + 25y 2

c) (−0,5a + 2b)2 = 0,25a 2 − 2ab + 4b2 76. Írd fel összeg alakban! a) (x − y)(x + y) = x 2 − y 2

b) (2x + y)(2x − y) = 4x 2 − y 2 1 4

c) (a + 1)(a − 1) = a 2 − 1

d) (0,5a 2 − 2b)(0,5a 2 + 2b) = a 4 − 4b2

77. Mindegyik kifejezés a felette lévő téglalap területét adja meg. A téglalap oldalairól azonban részben vagy teljesen lemaradtak a megfelelő betűk, illetve számok. Pótold azokat! Írd az összegeket szorzat alakba! x x 5 3 8 5 x x 2 y

xy + 8y = (x + 8) · y 3

y

x

5x + 3x + 2x = 10x

2xy + 5y + xy = y(3x + 5) x

5

3

x

3

y

x

x

4

2

y x ·3+y ·3+(x +y)·5 = (x + y) · 8

x 2 + 5x + 6 = (x + 2) · (x + 3) xy + 3y + 4x + 12 = (y + 4) · (x + 3)

78. Mindegyik kifejezés egy téglalap területét adja meg. Készíts mindegyik kifejezéshez a példához hasonló módon téglalapot, és annak segítségével az összeget írd fel szorzat alakban, a szorzatot pedig összeg alakban!

T = x(x + 3) →

Például így:

T = xy + 2y →

vagy

a) T = (3a + b) · 2c = 6ac + 2bc a c c

a

a

x

y

x

3

x2

3x

x

2

xy

2y

T = x 2 + 3x

T = y(x + 2)

b) T = 3xy + 6x = 3x(y + 2) x

b

x

x

y 2

171

C M Y K


Algebrai kifejezsek c) T = 4x 2 + 2x = 2x(2x + 1) 2x

d) T = 5x(2y + 1) = 10xy + 5x 5x

1

2y

2x

1

e) T = 15k 2 + 3k = (5k + 1) · 3k 5k

f) T = 5pq + 2p2 + 3p = p(5q + 2p + 3) 1 p

5q

2p

3

3k

g) T = 25xy + 5x + 15xz = 5x(5y + 1 + 3z) y y y y y

1

x x x x x

z

z

h) T = 7pq + 2p2 + 3p = p(7q + 2p + 3) q q q q q q q

z

p

p

3

p

79. Mindegyik kifejezés egy téglalap területét adja meg. Készíts mindegyik kifejezéshez téglalapot (ahogy az előző feladatban láttad), és annak segítségével az összeget írd fel szorzat alakba, a szorzatot pedig összeg alakba! a) T = (x + 3)(y + 3) = xy + 3x + 3y + 9 b) T = ab + 5a + 3b + 15 = (a + 3)(b + 5) c) T = (2c + d)(a + 2b) = 2ac + 4cb + ad + 2db d) T = mn + 7m + 3n + 21 = (m + 3)(n + 7) e) T = 3x 2 + 6x + y(x + 2) = 3x(x + 2) + y(x + 2) = (x + 2)(3x + y) f) T = ab + 6a + c(b + 6) = (a + c)(b + 6) g) T = (b + 3)(b + 4) = b2 + 7b + 12 h) T = a 2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3) i) T = (x + y)2 = x 2 + y 2 + 2xy j) T = c2 + 2cd + d 2 = (c + d)2 80. Írd fel az összegeket szorzat alakban! a) 2a + a 2 = a(2 + a) b) 33b2 + 22ab = 11b(3b + 2a) c) 4a + 12ab = 4a(1 + 3b) d) xy − y 2 = y(x − y) e) xy + y = y(x + 1) f) 15x + 6xy + 12x 2 y 2 = 3x(5 + 2y + 4xy 2) x 1 2 g) −a + 8ab = a(−1 + 8b) h) −18l − l = −l(18 + 1) i) 3x − = x 3x − 2 2 81. Írd fel szorzat alakban! a) 2a + 2b = 2(a + b) d) 7x + 14y = 7(x + 2y)

b) 5x − 5y = 5(x − y) e) 8a − 16b = 8(a − 2b)

c) xy + x = x(y + 1) f) 15x 2 − 5x = 5x(3x − 1)

172

C M Y K


Algebrai kifejezsek 82. Írd fel szorzat alakban! a) ab − ac = a(b − c) d) 3xya − 3xyb = 3xy(a − b)

b) a 5 − a 4 = a 4 (a − 1) e) 7x 2 + 3x 3 = x 2 (7 + 3x)

c) 5ab − 10ac = 5a(b − 2c) f) 5ab − 10a 2 b2 = 5ab(1 − 2ab)

83. Összegből szorzatok, szorzatból összegek! a) (x + 2)(x 2 − 1) = x 3 + 2x 2 − x − 2

b b) a 2a − 2

= 2a 2 −

ab 2

c) ab2 c + a 2 b2 + b3 c2 = b2 (ac + a 2 + bc2) d) 5(x + y) − 3(x + y) = 2(x + y) e) (2a + 1)(2a − 1) = 4a 2 − 1 f) (a + 3)2 = a 2 + 6a + 9 g) 2xy − 10y + 3(x − 5) = 2y(x − 5) + 3(x − 5) = (x − 5)(2y + 3) h) 3 − 3x + 2(1 − x) = 3(1 − x) + 2(1 − x) = 5(1 − x) i) 5x + 10y + 4x + 8y = 5(x + 2y) + 4(x + 2y) = (x + 2y)(5 + 4) = 9(x + 2y) 84. Egyszerűsítsd a kifejezéseket! a 2 + ab a) =a+b a

b)

2x + 4 x + 2 = 3y 6y

c)

x + 3xy x = 5(1 + 3y) 5

d)

6b − 15 = 2b − 5 3

e)

9a + 6 + 12b 3a + 2 + 4b = ab 3ab

f)

5x + 10xy 5 + 10y = 2x 2x 2

g)

2x 2 + 18xy 2x = 5 5(x + 9y)

h)

3(a + 2b) 3 = 4 4a + 8b

i)

7(x + x 2 ) 7x = 3 3x + 3

85. Írd fel a lehető legkevesebb tag összegeként! a) (a 2 − 4)(a 2 + 4) = a 4 − 16

c)

1 a− 2

1 a+ 2

b) (4x + 2y)(4x − 2y) = 16x 2 − 4y 2

= a2 −

1 4

d) (a 2 − 2b)(a 2 + 2b) = a 4 − 4b2

86. Két szám összegét szoroztuk ugyanazon két szám különbségével, és az összevonás után az alábbi kifejezéseket kaptuk. Írd fel, mi volt az eredeti szorzat! a) x 2 − y 2 = (x + y)(x − y) b) 4x 2 − y 2 = (2x + y)(2x − y) c) a 2 −

1 1 1 = a+ a− 2 2 4

e) b2 − 25 = (b + 5)(b − 5)

d)

9 2 3 3 x − 4y 2 = x − 2y x + 2y 2 2 4

f) 1 − b2 = (1 − b)(1 + b)

87. Töltsd ki a kereteket úgy, hogy azonosságot kapj! a) (6 + x )(6 − x ) = 36 − x 2 b) ( 4x + y)( 4x − y) = 16x 2 − y 2

173

C M Y K


Algebrai kifejezsek 88. A szomszédos mezők közül arra gurítsd a labdát, amelyikben megtalálod az adott egyenlet gyökét!

6

1

0 −3 =1 x

x =1 5

INDULÁS −1

3 −1 = x 2

x =3 2 −6

4 1 1 = x−1 4

−1 8 =2 x−3

7 =2 x+2

−1

0 x−1 1 = x+3 3

1 +2=0 x+1 −1 1 2

3

1 1 x −2 − = x x −1 x(x −1) 8

2 − 3 = −1 x−1

GÓL

5 1 1 + =1 x x

−2 x+1 =1 2x

6 =2 x−2

2 =3 x 7

3−x =2 x

1 1 1 − = 2 x x

1 −2=0 2x − 1 4 5

−1

1

x x−1 1 − = x−1 x x

2 1 5 + = x 2 2x 10

1

−6

2

x =0 x−2

2 −2=0 x −2 3

6

4

9 3 =1 x+1

1 1 1 + = x 6 3

x =0 x−2

1 3 1 + = x x x

−6

1

nincsen gyöke

2 3 4 + + = 18 x x x

x =1 x−2

2 =1 x−2

1 +2=4 x

x−1 =2 x 0

1 3

−2 x+1 =2 x

2 3

4 3x =3 3−x

1 2

11 2

x+4 =1 x−4

6 4 1 −1= − x x 2

2 +3=5 x−1

1 1 = x−1 x+1

1 1 = x−1 x−1 −2

1

7

2

1 1 = x−1 4 −3

3 1 =x−1 2

5

9−x =1 x−7

5 1 −1= x x

174

C M Y K


3 =9 x

Algebrai kifejezsek Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül 89. Egy hegedű tokkal együtt 60 000 Ft. Mennyi ebből a hegedű ára, ha a hegedű 48 000 Ft-tal drágább, mint a tokja? 54 000 Ft a hegedű. 90. Egy istállóban annyi ló van, hogy a fele 5-tel több, mint a negyedrésze. Hány ló van az istállóban? 20 91. Nagyanyó vendégségbe várta unokáit. Sütött nekik süteményt. Megszámlálta és ezt gondolta: ha mindegyik unokámnak öt süteményt adok, akkor hárommal kevesebb van, ha azonban csak négyet adok, akkor három darab megmarad. Hány unokája volt, és hány süteményt sütött nagyanyó? Segítséget adunk az egyenlet felállításához. Kövesd a lépéseket! Nagyanyónak ennyi unokája van:

x 5-ösével kiosztva:

5x − 3

4-esével kiosztva:

4x + 3

A sütik darabszámát kétféleképpen is felírhatjuk: Az egyenlet: 5x − 3 = 4x + 3 x=6 Nagyanyónak 6 unokája van, akiknek 27 süteményt sütött.

92. A ballagó nyolcadikosoktól a hetedikesek virággal búcsúztak. A nagy csokor margarétát először hatosával akarták szétosztani, de akkor egy valakinek 4-gyel kevesebb szál virág jutott volna. Ezért ötösével kötötték csokorba a virágokat, és így 14 szál megmaradt. Ebből az osztályfőnöknek kötöttek egy szép csokrot. Hány nyolcadikos ballagott, és hány szál margaréta volt? A nyolcadikosok száma: x

6(x − 1) + 2 = 5x + 14 x = 18

A virágok száma: 5x + 14 = 104.

93. Ildi egy számot maradékosan osztott először 7-tel, majd 9-cel. Az első esetben 4-et, másodszor 8-at kapott maradékul. A két hányados különbsége 8 volt. Melyik számot osztotta el Ildi kétszer? A szám 7k + 4 alakú, hiszen 7-tel osztva 4 maradékot ad. Másrészt 9l + 8 alakú, hiszen 9-cel osztva 8 maradékot ad. Ha kisebb az osztó, akkor nagyobb a hányados, tehát k > l, az adott feltétel szerint k = l + 8. Így 7(l + 8) + 4 = 9l + 8 l = 26, a szám 9l + 8 = 242 k = 26 + 8 = 34, a szám 7k + 4 = 242, ezzel az ellenőrzést is elvégeztük.

94. A Zrínyi Ilona Matematika Versenyre az ötödikesek háromszor annyian jelentkeztek, mint a nyolcadikosok. A hatodik és a hetedik osztályból összesen annyian indultak, mint az ötödikesek. A felső tagozatból így összesen 80-nál több, de 90-nél kevesebb tanuló jelentkezett. Hány nyolcadikos indult a Zrínyi versenyen? 5. oszt. 6. 8. oszt.

oszt. 7. oszt. 3x + 3x + x = 7x 80 < 7x < 90, x = 12

95. Egy osztályban kétszer annyi lány van, mint fiú. Ha a lányok számából is, meg a fiúk számából is elveszünk ötöt, akkor háromszor annyi lány lesz, mint fiú. Hány lány, és hány fiú jár az osztályba? 20 lány, 10 fiú.

175

C M Y K


Algebrai kifejezsek 96. Két ládában krumpli van. A másodikban 65 kg-mal több, mint az elsőben. Miután a második ládából átraktunk valamennyit az elsőbe, már csak 25 kg-mal több krumpli volt a másodikban. Mennyi krumplit raktunk át? Jelöljük így a ládák tartalmát:

x kg-ot átraktunk a másik ládába. Ekkor ennyi lett az első ládában: L + x Ennyi lett a második ládában: L + 65 − x Írj egyenletet! L + x + 25 = L + 65 − x 2x = 40 x = 20

20 dkg-ot raktunk át.

97. A könyvállványon 65-tel több könyv volt, mint a szekrényben. Hány könyvet kell áttennünk az állványról a szekrénybe, ha azt akarjuk, hogy a szekrényben 15-tel több könyv legyen, mint az állványon? Könyvek áttétele előtt

Könyvek áttétele után

k k − 65

k−x k − 65 + x

Állványon (k darab) Szekrényben

k − 65 + x

15

k−x

k − 65 + x − 15 = k − x 2x = 80 x = 40

40 könyvet kell áttenni.

98. Három ládában összesen 205 kilogramm cukor volt. Ha az első ládából áttesznek a második ládába 20 kilogrammot, a harmadikba pedig 15 kilogrammot, akkor mindhárom ládában ugyanannyi cukor lesz. Mennyi cukor volt eredetileg egy-egy ládában? A ládákban a, b, c kg cukor volt. áttétel előtt:

a

b

c

áttétel után: a − 35 = b + 20 = c + 15 b = a − 55, c = a − 50 A három láda összege nem változott, továbbra is 205 kg. a − 35 + a − 55 + 20 + a − 50 + 15 = 205 3a − 105 = 205 3a = 310 a = 103 +

1 3

b = 48 +

1 3

c = 53 +

1 3

99. Egy turistaház két emeletén összesen 160 kirándulót helyeztek el. Amikor az első emeletről fölment a másodikra 36 ember, akkor a második emeleten háromszor annyian lettek, mint az elsőn. Hány kiránduló volt eredetileg egy-egy emeleten? 1. emeleten x, 2. emeleten 160 − x 3(x − 36) = 160 − x + 36 3x − 108 = 196 − x x = 76 76-an az első emeleten, 84-en a második emeleten.

176

C M Y K


Algebrai kifejezsek 100. Gábor és Jutka a tanév folyamán összesen 12 000 Ft-ot gyűjtött. Miután Gábor kapott még 3400 Ft-ot, és Jutka elköltött 2500 Ft-ot, akkor Gábornak kétszer annyi pénze lett, mint Jutkának. Mennyi pénzt gyűjtött Gábor, mennyit Jutka? Gábor 5200 Ft-ot, Jutka 6800 Ft-ot. 101. Két pénztárgépben összesen 36 616 Ft van. Amikor az első gépből áttettek a másikba 615 Ft-ot, akkor az elsőben még mindig 384 Ft-tal több maradt, mint a másodikban. Az elsőben eredetileg 19 115 Ft, a másodikban 17 501 Ft volt. 102. Katinak 1900 Ft-ja van, Évának 300 Ft-ja. Édesanyjuk ugyanannyi pénzt adott mindkettőnek, így Katinak háromszor annyi pénze lett, mint Évának. Hány forintot kaptak édesanyjuktól a gyerekek? 500 forintot kaptak. 103. Egy kisebb és egy nagyobb vagon együttes teherbíró képessége 21 tonna. A 16 kisebb és 22 nagyobb vagonból álló szerelvény együttes teherbíró képessége 408 tonna. Hány tonna áru fér a kisebb, és mennyi a nagyobb vagonba? 12 t a nagyobba, 9 t a kisebbe. 104. Egy párnahuzathoz és egy dunyhahuzathoz összesen 8,2 méter vászonra van szükség. 56 méter vászonból 6 párna és 7 dunyhahuzatot varrtak. Mennyi vásznat használtak fel egy párnahuzathoz? 1,4 m vásznat. 105. Két kosár körte ugyanolyan tömegű, mint három kosár alma. Hat kosár körte 27 kg. Mennyi a tömege egy kosár almának? 3 kg 106. 15 zsák dió és 25 zsák cukor együttesen 812,5 kg. Egy zsák dió tömege feleannyi, mint egy zsák cukoré. Melyik hány kilogramm? dió: 12,5 kg, cukor: 25 kg 107. Egy ketrecben nyulak és fácánok vannak. Hány nyúl és hány fácán van a ketrecben; ha az állatoknak összesen b) 31 fejük és 124 lábuk van, 31 nyúl, 0 fácán a) 53 fejük és 168 lábuk van, 31 nyúl, 22 fácán c) 12 fejük és 158 lábuk van? lehetetlen 108. Egy játéküzlet polcán játékautók és motorkerékpárok vannak. A játékoknak összesen 69 kormányuk és 186 kerekük van. Hány kisautó és hány motorkerékpár van a polcokon? 24 autó, 45 motor

109. András, Béla, Csaba és Dénes leültek kártyázni. Négy játszmát játszottak, minden játszma végén a vesztes megduplázta a többiek pénzét. Az első játszmában András, a másodikban Béla, a harmadikban Csaba, a negyedikben Dénes vesztett. A végén mindannyian egyformán 240 forinttal a zsebükben álltak fel az asztaltól. Kinek mennyi pénze volt a játék kezdetekor? A

B

C

D

A végén

240

240

240

240 forint volt a vagyonuk.

ez előtt

120

120

120

600

ez előtt

60

60

540

300

ez előtt

30

510

270

150

ez előtt

495

255

135

75 forint volt a kezdő vagyonuk.

177

C M Y K


Algebrai kifejezsek 110. Egy kétjegyű számban a jegyek összege 9. Ha a számjegyeket felcseréljük, az eredetinél 9-cel nagyobb számot kapunk. Mi az eredeti szám? Első jegy

Második jegy

Értéke

x

9−x

10x + (9 − x)

9−x

x

90 − 10x + x

Az eredeti szám: Új szám:

Az új szám 9-cel nagyobb, mint az eredeti szám: 90 − 9x = 9x + 18, x = 4

Eredeti szám 45.

111. Egy kétjegyű szám jegyeinek aránya 3 : 4. Ha a jegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti 3 -szeresénél 8-cal kisebb lesz. Melyik ez a szám? 2 Jegyei 3x, illetve 4x, értéke 30x + 4x = 34x Felcserélve: 40x + 3x = 43x 43x =

3 · 34x − 8 2

x = 1. A szám: 34.

112. Mónika felírt egy kétjegyű számot, majd a számjegyeket felcserélte, így egy 45-tel kisebb számot kapott, amelyben a számjegyek összege 9 volt. Melyik számot írta fel először Mónika? 72 113. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 7. Ha a számjegyeket fölcseréljük, 27-tel nagyobb számot kapunk. Melyik az eredeti kétjegyű szám? 25 114. Egy kétjegyű szám egyik jegye 5-tel nagyobb a másiknál. Ha a jegyeket felcseréljük, az új szám az eredeti háromszorosánál 9-cel kisebb lesz. Melyik ez a szám? 24 115. Egy kétjegyű szám egyik jegye 5-tel nagyobb a másiknál. Ha a jegyeket felcseréljük, az új 8 szám az eredetinek -szorosa lesz. Melyik ez a szám? 27 3 116. Két szám összege 53,515. Ha a nagyobbik számban a tizedesvesszőt egy hellyel balra visszük, a kisebbik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? 4,865 és 48,65 117. Két szám különbsége 3,87. Ha a kisebbik számban a tizedesvesszőt egy hellyel jobbra visszük, a nagyobbik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? 0,43 és 4,3 118. Egy háromjegyű szám jegyeinek az összege 21, a tízesek helyén álló számjegy a másik két számjegy számtani közepe. Ha a két szélső jegyet fölcseréljük, 198-cal nagyobb számot kapunk. Melyik volt az eredeti háromjegyű szám? 678 119. – Hány éves vagy bácsikám? – kérdezte Luca. A bácsi így válaszolt: 2 – A te éveid száma most -e az én éveim számának. 4 évvel ezelőtt viszont a te éveid száma 5 1 -a volt az én mostani koromnak. 3 Hány éves Luca és mennyi a bácsikája? Segíthet az egyenlet felállításában, ha kitöltöd a táblázatot:

178

C M Y K


Algebrai kifejezsek Luca most 4 évvel ezelőtt 2 x x = +4 5 3

bácsi

2 x 5 x 3

x

x = 60

120. – Hány éves a fiad? – kérdezte egy ember a barátját. Az meg így válaszolt: – Ha a fiam korához hozzáadod az évei számát és még a felét, akkor 10-et kapsz. Hány éves a fiú? 4 éves 121. Péter 12 éves, édesanyja háromszor annyi. Hány év múlva lesz Péter feleannyi idős, mint édesanyja? Péter 12 12 + x

Most x év múlva 24 + 2x = 36 + x

Mamája 36 36 + x

x = 12

122. Három fiútestvér közül a középső két évvel idősebb a legfiatalabbnál, a legidősebb fiú életkora pedig néggyel kevesebb, mint a másik kettő életkorának az összege. Hány évesek külön-külön, ha hármójuk életkora együtt 96 év? 46, 26, 24 évesek

Mozgásos feladatok 123. Péter a közeli boltba ment vásárolni. Mozgását az alábbi grafikon szemlélteti. Mit lehet leolvasni a grafikonról? Péter elmozdulása [m]

300 200 100

0

eltelt idő [perc]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a) Milyen távol van a bolt Péterék lakásától? b) Hány perc alatt ért el Péter a boltba? c) Hány percig volt a boltban? d) Mennyi idő alatt járta meg az egész utat? e) Átlagosan hány métert tett meg percenként?

179

C M Y K


Algebrai kifejezsek f) Péter mozgását ezen a rajzon is ábrázold! Péterék lakása

0

1

100

2

3

4

200

5

6

7

8

300

9 10 11 12

bolt [m]

idő [perc]

124. Péterék lakása és a bolt egy út mentén van. Az úton megjelölt helyekre írd fel, hány perc alatt ért oda Péter! Használd az előző feladat grafikonját! bolt Péter lakása 100 m 200 m 300 m 0 perc

4 perc 3

8 perc 3

4 perc

125. Déli 12 órakor A városból a tőle 300 km távolságra levő B városba indul egy autós, ahol őt km délután 5 órakor várják. Két órán keresztül 60 sebességgel haladt, amikor motorhiba miatt h egy órát állnia kellett. Milyen sebességgel kell haladnia, hogy a megadott időre B városba érjen? Az első két óra alatt 120 km-t tett meg. Öt órából két órája maradt a maradék 180 km megtételére. Sebessége:

180 km km = 90 . 2 óra óra

126. A faluból a tőle 12,5 km távolságra levő B falu felé elindult egy gyalogos, egy órával később pedig egy háromszor akkora sebességgel haladó kerékpáros. A kerékpáros 40 perccel előbb ért B-be, mint a gyalogos. Mekkora sebességgel haladtak? v: gyalogos sebessége, 12,5 12,5 5 = + v 3v 3 3v: kerékpáros sebessége, km km v=5 , 3v = 15 (a kerékpáros sebessége). ó ó

127. A Balaton két partjáról egy időben indul el egymással szemben egy csónak és egy vitorlás. Azonos útvonalon a csónak három óra, a vitorlás két óra alatt ér el az egyik parttól a szemben fekvő partra, miközben találkoznak. Indulásuk után hány perc múlva találkozik egymással a csónak és a vitorlás? v: a csónak sebessége,

3 v: a vitorlás sebessége, 2

t óra múlva találkoznak 5 6 (3v: össztávolság) v · t = 3v, t = h = 72 perc 2 5

3 v · t + v · t = 3v 2

128. Imre reggel 8 órakor kerékpáron elindult a szomszédos faluba, és 16

km átlagsebességgel h

km átlagsebességgel követte h Imrét. Mikor érte utol Imrét a motoros? Ekkor hány kilométerre voltak a falujuktól? haladt. Fél órával később motorkerékpárral utánament Béla, aki 40

16t = 40 t −

1 2

t=

5 80 h = 50 perc, azaz 8 : 50-kor érte utol Imrét. Ekkor km-re voltak a falutól. 6 6

180

C M Y K


Algebrai kifejezsek 129. Két szomszédos falu közti utat Gábor gyalog 1,2 óra alatt, Dénes kerékpárral 24 perc alatt km -val nagyobb átlagsebességgel haladt, mint Gábor. Milyen messze van tette meg. Dénes 8 h egymástól a két falu? 4,8 km-re van a két falu egymástól. (Gábor 4

km km -val, Dénes 12 -val haladt.) h h

130. Két város, A és B, 120 kilométerre fekszik egymástól. Reggel 8 órakor az A városból motorkerékpáros indult a B-be, fél órával később egy autó B-ből az A-ba. A két jármű 9 óra 30 perckor találkozott. Mekkora volt a sebességük, ha az autó óránként 15 km-rel többet tett meg, mint a motorkerékpáros? v = 42

km km a motorkerékpáros, 57 az autó sebessége. A motoros 42 · 1,5 = 63; az autós 57 km-t tett meg. h h

131. Kör alakú versenypályán két kerékpáros versenyez. Az egyik másodpercenként 12 méter, a másik 12,5 méter utat tesz meg. Az indításuk után hány perc múlva körözi le a második versenyző az elsőt, ha a pálya hossza 220 méter? Hány kört tett meg ezalatt a két versenyző? t idő múlva körözi le, 12t + 220 = 12,5t, t = 440 sec = 7 perc 20 sec Ezalatt 440 · 12 = 5280 és 440 · 12,5 = 5500 métert tesznek meg, azaz 24, illetve 25 kört.

132. Két falu, A és B, 20 kilométernyire van egymástól. Péter az A faluból indul a B felé, Pál a B faluból indul az A felé. Mindketten óránként 4 kilométert tesznek meg. Hány órával induljon később Pál, mint Péter, ha az A falutól 8 km-re akarnak találkozni? Péternek 12 kilométert kell megtennie, ezt 3 óra alatt teszi meg. Pál 8 kilométert 2 óra alatt tesz meg, azaz ráér 1 órával később indulni.

133. Egy kör alakú pálya 156 méter hosszú. Péter 6,5 métert tesz meg másodpercenként, Pál pedig 5,5 métert, és a pálya egy helyéről egyszerre indulnak el ellenkező irányban. Hány másodperc múlva találkoznak? 6,5t + 5,5t = 156 (t sec múlva talalkoznak), ebből t = 13 sec a találkozás ideje. 134. Egy gyalogos és egy kerékpáros 8 órakor ugyanarról a helyről elindultak a 12 km-re fekvő km km városba. A gyalogos 6 , a kerékpáros 18 sebességgel haladt. A kerékpáros húsz percet h h időzött a városban, aztán visszafordult, és ugyanazon az úton indult hazafelé, mialatt a gyalogos megállás nélkül a város felé haladt. A várostól milyen távol és mikor találkoztak? 915 -kor találkoztak a várostól 4,5 km-re.

135. Péter 8 órakor indult útnak gyalog, Pál 10 órakor indult utána kerékpáron. Pál 11 órakor érte utol Pétert. Milyen sebességgel ment Péter és milyen sebességgel ment Pál, ha Pál sebessége km km km 8 -val volt több Péterénél? Péter 4 , Pál 12 sebességgel ment. h h h 136. Egy utazó útjából hátra van még 252 km. Eddigi tapasztalatai alapján naponta legalább 12 km-t, legfeljebb 18 km-t tesz meg. Hány napot tervezzen ennek alapján a hátralevő 252 km megtételéhez? Legalább 14 és legfeljebb 21 napot.

181

C M Y K


Algebrai kifejezsek Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok 137. Egy medencében cserélik a vizet. Az egyik oldalon mérőbeosztás van. 10 percenként nézzük meg a víz szintjét! Miután a víz kifolyik, tiszta vizet engednek a medencébe. Ekkor is 10 percenként nézzük meg a víz állását! A víz szintje mindkét esetben egyenletesen változik. Fejezd be a rajzot! A víz magassága [m]

A víz magassága [m]

4

4

3

3

2

2

idő [perc] 0 10 20 30 40 50 60 70

1

idő [perc] 0 10 20 30 40 50 60 70

1

Mennyi idő alatt lett üres a medence? 40 perc Mennyi idő alatt telt meg a medence? 53 +

1 perc 3

Állapítsd meg a rajz alapján, hogy leeresztéskor vagy feltöltéskor változik-e gyorsabban a vízszint! Leeresztéskor. 138. A gazdaság kertjét 2 motoros szivattyúval öntözik. Ha csak a nagyobb szivattyú működik, 4 óra alatt lesznek készen, ha csak a kisebbik, 9 óra alatt. Mennyi idő alatt lennének készen, ha mind a két szivattyút használnák? Az egyik szivattyú 1 óra alatt a kert így

1 13 1 -ét, a másik -ét, a kettő együtt összesen -át öntözi. A kettővel együtt 4 9 36

36 óra alatt végzünk. 13

139. Egy munkát az első brigád 12 nap alatt, a második brigád 15 nap alatt végezne el. A két brigád együtt fogott hozzá ehhez a munkához, de néhány nap múlva az első brigád más munkát kapott, így a munka hátralevő részét a második brigád 6 nap alatt fejezte be. Hány napig tartott az egész munka elvégzése? n: napok száma. Első brigád: a munka

n = 10

n−6 n része, második brigád: a munka része. 12 15 n−6 n + =1 12 15

10 napig tartott a munka.

140. A fürdőmedencébe három csapon át tudunk vizet tölteni. Az első csap egyedül 10 óra alatt tölti meg a medencét. A második csap egyedül 6, a harmadik pedig 5 óra alatt tölti meg. Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha a) mindhárom csapból együtt töltjük, b) kezdetben mindhárom csap nyitva van, de 1 óra múlva az elsőt elzárjuk? t idő alatt telik meg. a)

t t t + + =1 10 6 5 3t + 5t + 6t = 30 t=

30 [óra] 14

b)

1 t t + + =1 10 6 5 11t = 27 t=

27 [óra] 11

182

C M Y K


Algebrai kifejezsek 141. Ímhol egy sakál, egy kutya és egy farkas. Megesznek együtt egy birkát. A sakál egyedül 1 óra alatt falná fel a birkát. A farkas 3 óra alatt. A kutya 6 óra alatt. Most az a kérdés, hogy ha mind a hárman együtt eszik a birkát, mennyi idő alatt falják fel azt? (Régi matematikakönyvből, 1489-ből)

t óra alatt

t t t + + =1 1 óra 3 óra 6 óra 6t + 2t + t = 6 óra 9t = 6 óra t=

2 óra = 40 perc 3

142. János a kertet 8 óra alatt ássa fel. Béla gyorsabban dolgozik, ő 6 óra alatt végez ugyanezzel a munkával. Idén tavasszal együtt láttak munkához. Hány óra alatt végeztek vele? 3 + ≈ 3 óra 26 perc

3 óra ≈ 7

143. Edisonnak – a szénszálas izzó feltalálójának – jó érzéke volt a szellemes megoldásokhoz. Nagyszámú vendégserege egyszer szóvá tette, hogy túl nehéz a ház előtti kertajtót kinyitni. Egyik barátja így szólt: – Egy ilyen technikai zseni, mint te, igazán megcsinálhatná a kertajtót, hogy rendesen működjön. Edison mosolyogva válaszolt: – Elhihetitek, hogy a kapumat értelmesen terveztem meg. Rákötöttem a ciszternára, és mindenki, aki hozzám jön, egy ajtónyitással 20 l vizet pumpál a víztárolómba. Amikor Edison 20 literes edényről 25 literes edényre tért át, 12 látogatóval kevesebb kellett a ciszterna megtöltéséhez. Hány liter víz fért a ciszternába? 1 nyitás 20 l víz. x nyitással megtelik a tartály. 1 nyitás 25 l víz. x − 12 nyitással telik meg a tartály. Mindkét esetben ugyanakkora a ciszterna térfogata 20x = 25(x − 12) x = 60 A ciszterna 60 · 20 = 1200 l térfogatú.

144. Két gyertyát gyújtunk meg egyszerre. Az egyik 10 cm magas. Ez percenként 5 mm-rel lesz rövidebb. A másik 8 cm magas. Ez 16 perc alatt ég le. Ábrázold, mikor milyen magasak a gyertyák! A második gyertya 80 mm leégéséhez 16 perc, 5 mm leégéséhez 1 perc, tehát azonos sebességgel égnek el, ezért párhuzamos a két grafikon.

183

C M Y K


Algebrai kifejezsek Olvasd le a rajzról a) mikor lesz ugyanolyan magas a két gyertya! Soha. b) mikor lesz a második gyertya kétszer olyan magas, mint az első! Soha. c) mikor lesz az első gyertya kétszer olyan magas, mint a második! A meggyújtás után 12 perccel. 145. Két gyertyánk van. Hosszuk és vastagságuk különböző. A hosszabbik 3,5 óra alatt ég csonkig, a rövidebbik 5 óra alatt. Egyszerre gyújtottuk meg őket és most, 2 óra múlva egyenlő hosszúak. Eredetileg hányszor akkora volt az egyik gyertya, mint a másik? Hosszabbik x, rövidebbik y cm. 2 4 4 3 x = x cm ég le. Jelenlegi magassága: x − x = x cm. 3,5 7 7 7 2 2 3 A másik gyertya 5 óra alatt y cm-t fogy, 2 óra alatt y cm-t fogy. Jelenlegi magassága: y − y = y cm. 5 5 5 3 3 Most egyenlő magasak: x= y 7 5 x y = 7 5 7 7 x = y, tehát eredetileg a hosszabbik gyertya -szöröse volt a rövidebbiknek. 5 5 3,5 óra alatt x cm ég le, 2 óra alatt

Százalékszámítással kapcsolatos feladatok 146. A matematikaverseny járási fordulóján kiesett a tanulók 95%-a. A döntőbe a megyei fordulóban részt vevők 2%-a jutott be. A döntőn 23 tanuló volt jelen. Hányan indultak a járási és a megyei fordulón? x tanuló indult. A járási versenyről továbbjutott x · x·

5 2 5 , a megyei fordulóról x · · jutott a döntőbe. 100 100 100

5 2 · = 23 100 100

x = 23 000 ennyien indultak a járási fordulóban. 5 A megyei fordulóban 23 000 · = 1150-en versenyeztek. 100

147. Egy könyv ára kötve 2400 Ft. A kötés ára a kötetlen könyvek árának 20%-a. Mennyibe kerül a kötetlen könyv? x + x ·

20 = 2400 100

x = 2000 Ft

148. Egy város lakóinak száma az év végén 78 000. A szaporulat az év folyamán 4% volt. Hány lakosa volt a városnak az év elején? x ·

104 = 78 000 100

x = 75 000

149. Háromnapos kerékpártúránk első napján megtettük a teljes útvonal 30%-át és még 5 kilométert. A második napon a hátralevő út 60%-át tettük meg. A harmadik napra 45 km maradt. Hány kilométeres volt a kerékpártúra? A teljes út x km. 1. nap 2. nap

megtett út

maradék út

0,3x + 5

0,7x − 5

(0,7x − 5) · 0,6 (0,7x − 5) · 0,4

184

C M Y K


Algebrai kifejezsek 3. nap:

(0,7x − 5) · 0,4 = 45 0,28x − 2 = 45 0,28x = 47

x ≈ 167,8 A kerékpártúra 167,8 km-es volt.

150. Két szám összege 2490. Az egyik szám 13%-a egyenlő a másik szám 17%-ával. Melyik ez a két szám? a + b = 2490

a·

b = 2490 − a

13 17 = (2490 − a) · 100 100

a = 1411, b = 1079

151. Két szám különbsége 420. Az egyik szám 3%-a egyenlő a másik szám 8%-ával. Melyik ez a két szám? a = b + 420, a ·

3 8 =b· 100 100

(b + 420) · 3 = 8b

a = 672, b = 252

152. Egy kaszásokból álló brigád az első napon lekaszálta egy rét felét és még két hektárt, a második napon a megmaradt terület 25%-át és a még hátralevő 6 hektárt. Mekkora volt a rét területe? t − 2 · 0,75 = 6 2

t = 10, t = 20 2

20 hektár volt a rét területe.

153. Két fiú sakkot szeretne venni. Az egyiknek hiányzik a pénzéből a sakk árának 10%-a, a 1 másiknak az ár része. Megveszik a sakkot közösen, kiderül, hogy a pénzük 44 Ft-tal volt 6 több, mint a sakk ára. Mennyibe kerül a sakk? x a sakk ára.

x·

1 100 − 10 +x· 1− = x + 44 100 6 9 5 x· + x · = x + 44 10 6 11 x· = 44 15 x = 60 Ft

154. Két kannában összesen 16 liter benzin volt. Mindegyikből kivettek egy litert, és így az első 1 kannában maradt benzin 25%-a a második kannában maradt benzin részével lett egyenlő. 3 Hány liter benzin volt eredetileg az egyes kannákban? b = 16 − a

Eredetileg a liter és b liter volt az egyes kannákban.

25 1 = (b − 1) · 100 3 1 1 (a − 1) · = (15 − a) · 4 3 a = 9 liter, b = 7 liter

(a − 1) ·

155. Egy város lakóinak száma 1950-től a következő népszámlálásig – 1960-ig – 8%-kal növekedett, és a következő 10 év elteltével 10%-kal növekedett a város lakóinak száma az előző népszámláláskor tapasztalt létszámhoz képest. 1970-ben a város lakóinak a száma 52 272 volt. Mennyi volt a város lakóinak száma 1950-ben? x: a lakosok száma 1950-ben.

x·

108 110 · = 52 272 100 100 x = 44 000

185

C M Y K


Ngyzetgyk NÉGYZETGYÖK, PITAGORASZ-TÉTEL 156. Sorold fel az összes háromjegyű négyzetszámot! 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961

157. Melyik szám négyzete? 1369 37 3136 56

6889 83

6561 81

35 721 189

94 864 308

158. Normálalakban adtuk meg a számokat. Melyik nem négyzetszám? Válaszodat indokold! 1,44 · 102 4 · 103 6,25 · 102 9 · 105 9,61 · 104 1,296 · 103 A 4 · 103 és a 9 · 105 végén páratlan sok nulla van, ezért egyik sem lehet négyzetszám. A többi szorzat felírható egy-egy pozitív egész szám négyzeteként.

159. Melyik állítás hamis? a) 1,232 = 1,512

b)

1,232 > 1,512

√ √ √

1,232 − 0,5 > 0,012

3 < 1,8 3 > 1,7

3−2>0 √ 2− 3>0

1,232 − 1,23 = 1,23 a) 1,232 1,512

b)

√

3 − 2 > 0

c)

1,232 − 1,23 1,23 A felsorolt állítások hamisak, a többi igaz.

160. Melyik hamis? √ √ √ a) 121 · 144 = 121 · 144 d)

√ 2 > 1,415 √ √ 2 − 2 = 0 √ √ 2+ 2=2 √ 2 2 =2

c)

b)

√

√ 2 > 1,415 √ √ 2 + 2 2.

√ 400 2 c) √ = 900 3 √ √ √ f) 256 + 324 = 580

√ 25 · 25 = 52

√ √ √ √ √ √ 625 : 125 = 625 : 125 e) 64 − 16 = 64 − 16

Az e), f) állítások hamisak.

161. Határozd meg a számok négyzetét! a) 4,26 → 18,15; 8,4 → 70,56

8,75 → 75,56;

2,9 → 8,410;

6,01 → 36,12;

b) 42,6 → 1815; 875 → 765 600; 0,29 → 0,0841; 0,00708 → 0,000 050 13; 8400 → 70 560 000.

5,99 → 35,88;

60,1 → 3612;

599 → 358 800;

162. Határozd meg a számok négyzetgyökét! a) 0 0 b) −196 nincs értelmezve c) 4,41 2,1 e) 43,56 6,6 f) 70 ≈ 8,37 g) 50,27 ≈ 7,09 i) 89,11 ≈ 9,44 j) 99,80 ≈ 9,99 163. Határozd meg a számok négyzetgyökét! a) 12,25 b) 122,5 c) 1225 3,5

f) 65,61 8,1

≈ 11,07

g) 656 100 810

35

h) 0,6561 0,81

d) 1,225 ≈ 1,107

d) 4,0804 2,02 h) 81,18 ≈ 9,01

e) 0,1225 0,35

i) 6,561

j) 656,1

≈ 2,56

≈ 25,6

186

C M Y K

7,08 → 50,13;


Ngyzetgyk 164. Mennyi a négyzet területe, ha oldala a) 1,51 m, 2,2801 m

b) 15,1 m, 2

228,01 m

c) 0,151 m, 2

165. Mennyi a négyzet oldala, ha területe a) 1296 cm2 , b) 129,6 cm2 ,

0,022 801 m

166. Mennyi a kocka felszíne, ha éle a) 6,3 m, b) 63 dm, 238,14 m2

c) 630 dm,

e) (x − 4) = 0

d) 630 m,

e) 0,63 m?

2 381 400 m2

2,3814 m2

e) 3840 cm2 ?

0,8 cm

≈ 0,25 cm

≈ 25,3 cm

f) x − 4 = 0 2

2; −2

4

≈ 0,36 cm

d) 0,384 cm2 ,

0,8; −0,8 2

≈ 1,14 cm

c) 3,84 cm2 ,

168. Oldd meg az egyenleteket! a) x 2 = 81 b) x 2 = 0,64 9; −9

2 280 100 m2

e) 0,1296 cm2 ?

2 381 400 dm2

≈ 2,5 cm

8 cm

e) 1510 m? 2

d) 1,296 cm2 ,

3,6 cm

23 814 dm2

167. Mekkora a kocka éle, ha felszíne a) 384 cm2 , b) 38,4 cm2 ,

0,000 228 m

c) 12,96 cm2 ,

≈ 11,4 cm

36 cm

d) 0,0151 m, 2

c) x 2 + 12 = 156

d) x 2 − 0,09 = 0,07

12; −12

0,4; −0,4

2

g) (x + 5) = 16

h) (x − 2)2 = −4

−1; −9 nincs megoldás, mert negatív szám négyzetgyökét nem értelmezzük

169. Az eljárást folytatva akármilyen pozitív egész szám négyzetgyökét meg lehetne szerkeszteni. Igazold az eljárás helyességét! √ Szerkeszd meg a 13 hosszúságú szakaszt! Mindig derékszögű háromszöget rajzolunk, melynek egyik befogója 1. √ 2 Általában: 12 + a = 1 + a = a következő átfogó négyzete ⇒ következő √ átfogó = 1 + a √ A 13-at egyszerűbben megkaphatjuk egy 2, illetve 3 egység befogójú derékszögű háromszög átfogójaként.

Hosszúság és terület meghatározása rácson 170. a) Mekkora az A, illetve a B négyzet területe? A területmérés egysége: 1 . tA = 18 területegység; tB = 20 területegység.

b) Mekkora része a nagy négyzet területének az A, illetve a B négyzet területe? tA a nagy négyzet

18 1 20 5 = része, tB a nagy négyzet = része. 36 2 36 9

c) Add meg az A, illetve a B négyzet oldalának hosszát egy tizedesjegy pontossággal! a

3 3

Az A négyzet oldala: a 2 = 2 · 32 = 18 √ a = 18 ≈ 4,2

b

4

A B négyzet oldala: b2 = 22 + 42 = 20 √ b = 20 ≈ 4,5

2

187

C M Y K


Ngyzetgyk d) Melyik színezett terület egyezik meg az A, illetve a B négyzet területével? C) D) E) F)

G)

H)

I)

tA = C, D, F , G

J)

tB = E, H , I , J

171. Melyik állítás igaz? a) A piros és a szürke négyzet egybevágó. Hamis, mert a piros négyzet területe 90 egység, a másiké kisebb, 85 egység.

B

b) A b szakasz hossza ugyanakkora, mint a B négyzet oldala. Hamis, mert a b

b

szakaszra állított négyzet területe 41 egység, kisebb, mint a B négyzet területe.

172. Melyik sokszög nem egyenlő oldalú? Mérésedet számítással ellenőrizd! A, B, C, E, G

C A

B F

D E G

188

C M Y K


Pitagorasz-ttel Pitagorasz-tétel 173. Mennyi a háromszögek oldalaira rajzolt négyzetek területe? Írd be a táblázatba! Melyik háromszögekre igaz, hogy tI. + tII. = tIII. ? I. II. III.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

1

2

4

5

4

1

8

2

4

5

9

5

5

2

10

8

5

5

13

10

5

5

10

10

A Pitagorasz-tétel alkalmazása 174. a) Milyen messze vannak a koordináta-rendszer kezdőpontjától az alábbi tükrös négyszögek csúcsai? b) Milyen hosszú az átlójuk? c) Mekkora a kerületük, illetve a területük? A hosszúságmérés egysége: 1 .

189

C M Y K


Pitagorasz-ttel

a) A B

1. (húrtrapéz)

2. (deltoid)

2

4 √

7 √

C

√

D b) az átlók hossza

45 ≈ 6,7

4 √

18 ≈ 4,2

√

5

c) kerület

√

32 ≈ 5,6 18 ≈ 4,2 32 ≈ 5,6

98 ≈ 9,9 √ 2( 58 + 4) ≈ 23,2 √ √ 32 · 98/2 = 28

14,4

terület

3. (téglalap) √ 29 ≈ 5,4 √ 17 ≈ 4,1 √ 8 ≈ 2,8 √ 20 ≈ 4,5 √ 65 ≈ 8,06

12

√ √ 2( 20 + 45) ≈ 22,4 √ √ √ 20 · 45= 900 = 30

175. Számítsd ki a kérdezett hosszúságokat! Számítsd ki a háromszögek területét! a)

b)

c)

√ √ a) c = 324 + 900 = 1224 ≈ 35 [cm] T = 270 cm2 √ √ b) b = 1225 − 576 = 649 ≈ 255 [cm] = 25,5 dm T ≈ 306 dm2 √ c) c = 50 ≈ 7,1 [cm] T = 12,5 cm2

176. A derékszögű háromszögek befogóit a-val, b-vel, átfogóját c-vel jelöltük. Számítsd ki a derékszögű háromszögek két oldalából a harmadikat! a b c

14 48

60 25

8 15

50

65

17

27

390

72

120 123

800

65 97

890

0,28 0,45

3,2 12,6

7,2 15,4

0,53

13

17

11

9,6 14,6

177. Határozd meg a derékszögű háromszögek hiányzó oldalát! Egy tizedesjegy pontossággal számolj! A derékszögű háromszögek befogóit a-val, b-vel, átfogóját c-vel jelöltük. a b c

4,7 5,2

14

224,4

28,7

7

32

205 304

0,4 0,9

3,6

1,7

7,1

1

8,0

1,0 2,0

178. Számítsd ki a kérdezett hosszúságokat! a) b)

c)

190

C

M

Y

K


Pitagorasz-ttel √ 242 − 122 = 432 ≈ 20,8 [cm] b) b = 6,882 − 3,442 = 35,5008 ≈ 5,958 [m] a) a =

c) 2a 2 = 502 502 2 502 2500 √ a= = = 1250 ≈ 35,36 [m] 2 2

a2 =

179. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszögek kérdezett hosszúságait! b)

a) b

b =?

c)

5 dm

m = 12 cm

5,2 m

5 dm m =? a = 96 cm

2m a =?

a = 10 cm 2

b = 122 + 52 = 169 √ b = 169 = 13 [cm]

m2 = 502 − 482 = 196 √ m = 196 = 14 [cm]

(a : 2)2 = 5,22 − 22 = 23,04 a : 2 = 23,04 = 4,8 [m] a = 9,6 m

180. Egy szabályos háromszög kerülete 19,2 cm. Mekkora a területe? a = 19,2 : 3 = 6,4 [cm] m2 = 6,42 − 3,22 = 30,72 m = 30,72 ≈ 5,5 [cm]

6,4 cm

m

t = a · m : 2 = 6,4 · 5,5 : 2 = 17,6 [cm2 ] 3,2 cm

181. Egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai pitagoraszi számhármast alkotnak. Mekkora a háromszög területe, ha a kerülete 120 cm? a = 30 cm, t=

b = 40 cm,

c = 50 cm

ab 30 · 40 = = 600 [cm2 ] 2 2

50 cm

b = 40 cm

182. Számítsd ki egy 28 cm oldalú négyzet átlójának hosszát! e2 = 2 · 282 = 1568 √ e = 1568 ≈ 39,6 [cm]

a = 30 cm 28 cm

e

28 cm

191

C M Y K


Pitagorasz-ttel 183. Egy téglalap kerülete 48 cm, oldalainak aránya 3 : 5. Mekkora a téglalap területe? Mekkora az átlója? a + b = 24 cm

e

a = 9 cm

a = 3 · 3 cm = 9 cm b = 5 · 3 cm = 15 cm t = ab = 135 cm2 √ e = 92 + 152 = 306 ≈ 17,5 [cm]

b = 15 cm

184. Milyen hosszú neoncsőből készültek az egyes betűk, ha a téglalap oldalai 12 cm és 24 cm hosszúak? V =2·

√ 612 ≈ 49,5 [cm]

A = 55,5 cm N = 2 · 24 +

122 + 242 ≈ 48 + 26,8 = 74,8 [cm]

E = 2 · 12 + 24 + 6 = 54 [cm] √ K = 24 + 6 + 720 ≈ 30 + 26,8 = 56,8 [cm]

185. Egy téglalap oldalainak aránya 1 : 3, az átlója 14,40 m. Mekkora a kerülete? (3x)2 + x 2 = 14,40 9x 2 + x 2 = 207,36

14,40 m

3x

10x 2 = 207,36 x = 20,736 ≈ 4,55 [m] x

a ≈ 4,55 m, b ≈ 13,65 m, k ≈ 32,6 m

186. Mekkora a 14,4 dm sugarú körbe írt négyzet oldala? 2

a

2

√ 2 a

2a = 28,8 a = 829,44 : 2 ≈ 414,72 ≈ 20,4 [dm]

a

187. Lehet-e egy 28 cm átmérőjű körbe 20 cm oldalú négyzetet szerkeszteni? Nem lehet, mert a négyzet átlója közel 28,3 cm, ami nagyobb, mint 28 cm.

188. Milyen távol van a 4 cm sugarú kör középpontjától az a húr, amelynek hossza 6 cm?

6 cm 4 cm

d

d 2 = 42 − 32 = 7 √ d = 7 ≈ 2,6 [cm]

189.

h 2 cm

3 cm

Milyen hosszú az a húr, amely egy 3 cm sugarú körben a középponttól 2 cm távolságban halad? (h : 2)2 = 32 − 22 = 5 √ h = 2 · 5 ≈ 4,5 [cm]

192

C M Y K


Pitagorasz-ttel 190. A Libegőt 1971. augusztus 20-án nyitották meg. A szintkülönbség 262 m, a vízszintesen mért hossza 1040 m. a) Milyen hosszú a pálya? h

262 m

1040 m h = 1040 + 2622 = 1 150 244 √ h = 1 150 244 ≈ 1072,5 [m] = 1,075 [km] Körülbelül 1,075 km hosszú a pálya. 2

2

b) Mennyi idő alatt érünk fel a pálya tetejére, ha az ülések sebessége 5,4 menetidő =

km ? h

út = 1,0725 : 5,4 ≈ 0,2 [h]. A menetidő körülbelül 12 perc. sebesség

191. Maximum milyen hosszú a lámpát tartó kifeszített huzal, ha a lámpa 8 m-nél lejjebb nem kerülhet? h2 = 92 + 22 = 85

9m 2m

h

h=

√ 85 ≈ 9,22 [m]

A kötél hossza legfeljebb 18,44 m (cm-re kerekítve) és legalább 18 méter.

192. Milyen hosszú a szívószál, ha 5 cm hosszú része lóg ki a pohárból? A szívószál hossza körülbelül 16,2 cm. 2

2

5

2

x = 10 + 5 = 100 + 25 = 125 √ x = 125 cm ≈ 11,2 cm x

10

5

193. Az a, b, c egy-egy háromszög oldalait jelölik. Döntsd el, hogy az alábbi adatokkal meghatározott háromszögek közül melyek hegyes-, derék-, illetve tompaszögűek! a b c

5 12 13

6 12 13

7 24 25

7 23 25

10 24 26

10 24 28

11 59 62

14 48 50

dsz

hsz

dsz

tsz

dsz

tsz

tsz

dsz

193

C M Y K


Pitagorasz-ttel 194. Milyen hosszú drótból készíthető el az ábrán látható gúla élváza, ha a gúla beírható egy 15 cm élű kockába? a)

b)

H G

F

E

c)

H F

E

C

D A 15 cm B

d)

E

A 15 cm B

G

E

C

D

H I

K

G

C

D A 15 cm B

C

D A 15 cm B

a) A testnek 8 éle = CD = DA = CG = 15 cm, mert a kocka oldalélei; van. AB = BC √ 2 2 BG = DG = 15 + 15 = 450 cm, mert a kocka lapátlói; √ 2 AG = 152 + 152 + 15 675 cm, mert a kocka testátlója. √ = √ Az élváz 5 · 15 + 2 · 450 + 675 ≈ 143,41 cm hosszú. b) A testnek 6 éle van.BF = F G = F E = 15 cm, mert a kocka oldalélei; √ BE = BG = EG = √152 + 152 = 450 cm, mert a kocka lapátlói. Az élváz 3 · 15 + 3 · 450 ≈ 108,64 cm hosszú.

√ 450 E 2

c) A testnek 8 éle van. AB = BC = CD = DA = 15 cm, mert a kocka oldalélei. Az AK szakasz az AEK derékszögű háromszög átfogója, a Pitagorasz-tétel alapján AK = 450 1350 2 = 15 + = cm = BK = CK = DK. 4 4 1350 ≈ 133,48 cm hosszú. Az élváz 4 · 15 + 4 · 4

K

15 A

d) A testnek 8 oldaléle van. AB = BC = CD = DA = 15 cm, mert a kocka oldalélei. A többi él hossza derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétel alkalmazásával kiszámítható az alábbiak szerint: H 5 H 5

I

I

10

G

15

15 D

C

152 + 52 = √ = 250 cm

DI =

Az élváz 4 · 15 +

152 + 102 = √ = 325 cm

CI =

I

√ 450

√ 325 A 450 + 52 = √ = 475 cm

AI =

√ √ √ √ 250 + 325 + 475 + 550 ≈ 139,09 cm hosszú.

194

C M Y K

I


B

15

C

325 + 152 = √ = 550 cm

BI =

Geometriai ismtl feladatok GEOMETRIAI ISMÉTLŐ FELADATOK 195. A távolság egységei Töltsd ki a táblázatot! 1 mm = 1 cm = 1 dm = 1m= 1 km = 1 μm =

mm 1 10 100 1000 1 000 000 0,001

cm 0,1

dm 0,01

m 0,001

km 0,000 001

μm 1000

1

0,1

0,01

0,000 01

10 000

10

1

0,1

0,0001

100 000

100

10

1

0,001

1 000 000

100 000

10 000

1000

1

109

0,0001

0,000 01

0,000 001

10−9

1

196. A terület egységei Töltsd ki a táblázatot! Normálalakban is írhatod a mérőszámokat. mm2

cm2

dm2

m2

km2

1 mm2 =

1

0,01

0,0001

0,000 001

10−12

1 cm2 =

100

1

0,01

0,0001

10−10

1 dm2 =

10 000

100

1

0,01

10−8

10 000

100

1

0,000 001

1010

108

1 000 000

1

1 m2 = 1 000 000 2

1 km =

1012

197. A térfogat egységei Töltsd ki a táblázatot! Normálalakban is írhatod a mérőszámokat. mm3

cm3 , ml

cl

dl

dm3 , l

m3

1

0,001

0,0001

0,000 01

0,000 001

10−9

1000

1

0,1

0,01

0,001

0,000 001

1 cl =

10 000

10

1

0,1

0,01

0,000 01

1 dl =

100 000

100

10

1

0,1

0,0001

1000

100

10

1

0,001

1 000 000

100 000

10 000

1000

1

1 mm3 = 1 cm3 = 1 ml =

1 dm3 = 1 l = 1 000 000 1 m3 =

109

198. A szög egységei, szögek fajtái Töltsd ki a táblázatot! nullszög hegyesszög derékszög tompaszög egyenesszög homorúszög teljesszög ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 0 0 < α < 90 180◦ < α < 360◦ 90 90 < α < 180 180◦ 360◦ π π π 0 0<α< <α<π π π < α < 2π 2π 2 2 2

195

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 199. a) Hány egyenest határozhat meg négy különböző pont? 1, 4, 6 b) Hány egyenest határozhat meg öt különböző pont? 1, 5, 6, 8, 10

200. a) Hány háromszöget határozhat meg négy különböző pont? 0, 3, 4

b) Hány háromszöget határozhat meg öt különböző pont? 0, 6, 8, 9, 10

201. Egy konvex szögtartományban jelölj ki nyolc olyan félegyenest, amelyeknek kezdőpontja a szög csúcsa! 10 · 9 = 45 2 félegyenes? 9

a) Hány szögtartományt határoznak meg a félegyenesek?

b) Hány „tiszta szögtartományt” határoz meg a nyolc (A „tiszta szögtartomány” nem tartalmaz belsejében egyetlen megjelölt félegyenest sem.) 202. Az alábbi hosszúságok közül melyikre illik az A, B, C, D, E, F , G állítás? A: A várhegyi alagút hosszának közelítőleg tízszerese. A millenniumi földalatti vasút pályahossza. B: 1 mm-nek látszik az 1 : 2 400 000 léptékű térképen. A Kheopsz-piramis alapéle. C: 109 dm nagyságrendű. A Föld–Hold távolság, 105 km = 109 dm nagyságrendű. D: 17 m-rel kevesebb, mint az 1 km kerületű négyzet oldala. A Kheopsz-piramis alapéle. E: Egy 900 m oldalú négyzet kerülete is ekkora. A millenniumi földalatti vasút pályahossza. F : Ha 25-szörösre nagyítanánk, a Kaszpi-tenger kerületét kapnánk. A Balaton kerülete. G: Ez a hosszúság úgy aránylik az Országház kupolacsarnokának magasságához, mint a Duna magyarországi szakaszának a hossza kétmillió egymásra helyezett papírlap vastagságához. A Tisza hossza x : 96 m = 400 km : 40 000 000 μm = 400 000 : 40

1 μm: 7 μm: 20 μm: 20–60 μm: 500 μm: 10 mm: 8–10 m:

gömbbaktérium vörösvértest papírlap vastagsága egy szem virágpor amőba záporcsepp vagon hossza

⇒

x = 960 000 m

2,4 km: 3,6 km: 28,8 240 400 960 2850

km: km: km: km: km:

az Andrássy út hossza a millenniumi földalatti vasút pályahossza a Velencei-tó kerülete a Balaton kerülete a Duna magyar szakasza a Tisza hossza a Duna teljes hossza

196

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 96 m: 233 m: 350 m:

az Országház kupolacsarnokának magassága a Kheopsz-piramis alapéle a várhegyi alagút hossza

6000 km:

a Kaszpi-tenger kerülete

363 500 km: 150 millió km:

Föld–Hold távolság Föld–Nap távolság

203. Adott egy K középpontú 4 cm sugarú körlap és a kör AB átmérője. Szerkeszd meg a körlap azon pontjait, amelyek A-tól és B-től egyenlő távolságra, a K-tól pedig legalább 2 cm-re vannak! Adott egy AB szakasz, hossza 5 cm. Szerkeszd meg azokat a pontokat, amelyek az A ponthoz közelebb vannak, mint B-hez, ugyanakkor a szakasztól legfeljebb 1,5 cm-re helyezkednek el!

204.

205. Az AB szakaszt a C pont 3 : 8 arányban, a D pont pedig 5 : 6 arányban osztja. A CD szakasz hossza 18 egység. Hány egység az AB szakasz hossza? AC=

3 5 AB és AD = AB 11 11

CD = AD − AC =

2 AB = 18 11

⇒

AB = 99 egység.

Ellenőrzés:

206. A P S szakaszt a Q pont 1 : 3 arányban, az R pont pedig 17 : 11 arányban osztja. A QR szakasz hossza 12 cm. Mekkora a P S szakasz? PQ =

1 17 P S és P R = PS 4 28

QR = P R − P Q =

5 P S = 12 cm 14

⇒

P S = 33,6 cm

Ellenőrzés:

Háromszögek 207. Töltsd ki a táblázatot! Írj fel igaz állításokat a táblázat alapján! Például: Ha a háromszögnek pontosan két oldala egyenlő, akkor a háromszög külső szögei közül kettő egyenlő tompaszög. A háromszög 3 oldala egyenlő pontosan 2 oldala egyenlő közül két hegyesszög egyenlő belső szögei 60◦ -osak

3 oldala különböző különbözők, közülük legalább kettő hegyesszög

külső szögei 120◦ -osak

különbözők, közülük legalább kettő tompaszög

közül kettő egyenlő tompaszög

208. Töltsd ki a táblázatot! Írj fel igaz állításokat a táblázat alapján! A háromszög

szögei hegyesszögek

egyik szöge derékszög

külső szögei

tompaszögek

1 derékszög, 2 tompaszög 1 hegyesszög, 2 tompaszög

a, b < c esetén c2 < a 2 + b2

c2 = a 2 + b2

egyik szöge tompaszög c2 > a 2 + b2

197

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 209. Egy háromszög első szöge a másodiknak kétszerese, a harmadik szöge pedig a második felénél 40◦ -kal nagyobb. Hány fokosak a szögek? x + 40◦ = 180◦ ⇒ x = 40◦ 2 A háromszög szögei 80◦ , 40◦ , 60◦ . x + 2x +

1 210. Egy háromszög egyik csúcsánál levő belső szöge derékszög. A másik két csúcsnál levő külső 6 szög aránya 4 : 9. a) Számítsd ki a háromszög szögeinek nagyságát! 4x + 9x = = 360◦ − 165◦ ⇒ x = 15◦ , a külső szögek 60◦ , 135◦ A háromszög szögei 120◦ , 45◦ , 15◦ .

b) Szerkeszd meg a háromszöget, ha leghosszabb oldala 7 cm! A 7 cm-es oldalon van a 45◦ -os és a 15◦ -os szög. 211. Hány különböző olyan háromszög van, amelynek kerülete 10 cm és oldalai centiméterben mérve egész számok? Két háromszög van. Számítsd ki e háromszögek területét! 10 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 I.

oldalai: 4 cm, 4 cm, 2 cm

II.

oldalai: 4 cm, 3 cm, 3 cm

m1 ≈ 3,87 cm 2 · m1 T1 = ≈ 3,87 cm2 2

m2 ≈ 2,24 cm 4 · m2 T2 = ≈ 4,48 cm2 2

212. Hány különböző olyan egyenlő szárú háromszög van, amelynek területe 5 cm2 és az alapja is, az alaphoz tartozó magassága is centiméterben mérve egész szám? Négy háromszög van. Számítsd ki e háromszögek kerületét! T =

a·m és T = 5 2

⇒

a · m = 10 = 1 · 10 = 2 · 5 = 5 · 2 = 10 · 1

b2 = m2 +

a 2 2

K = a + 2b

a [cm]

1

2

5

10

m [cm]

10

5

2

1

⇒

b[cm] ≈

10,01

5,1

3,2

5,1

⇒

K[cm] ≈

21,02

12,2

11,4

20,2

213. Egy háromszög két oldala 8 cm és 15 cm. a) Mekkora lehet a háromszög leghosszabb harmadik oldala, ha a háromszög tompaszögű? b) Mekkora lehet a háromszög leghosszabb harmadik oldala, ha a háromszög hegyesszögű? a)

c1 = 17 cm

b)

c1 = 17 cm

c2 = 23 cm

c3 = 15 cm

17 cm < c < 23 cm 15 cm < c < 17 cm

214. Egy háromszög két oldala 53 cm és 45 cm. a) Mekkora lehet a háromszög legrövidebb harmadik oldala, ha a háromszög tompaszögű? b) Mekkora lehet a háromszög legrövidebb harmadik oldala, ha a háromszög derékszögű?

198

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok c) Mekkora lehet a háromszög legrövidebb harmadik oldala, ha a háromszög hegyesszögű? c1 = 28 cm

a) Tompaszögű háromszög esetén: 8 cm < c < 28 cm

c2 = 8 cm

b) Derékszögű háromszög esetén: c = 28 cm c) Hegyesszögű háromszög esetén: 28 cm < c < 45 cm

215. Szerkeszd meg a hegyesszögű háromszög beírt körét, a derékszögű háromszög súlyvonalait és súlypontját, a tompaszögű háromszög köré írt kört! A háromszögek oldalai: 6,6 cm, 11,2 cm, 13 cm vagy 4 cm, 5 cm, 7 cm vagy 5,5 cm, 6 cm, 7 cm. Az első háromszög derékszögű, mert 6,62 + 11,22 = 132 . A második háromszög tompaszögű, mert 42 + 52 < 72 . A harmadik háromszög hegyesszögű, mert 5,52 + 62 > 72

216. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög legrövidebb magassága 7 cm. Számítsd ki a háromszög területét! T =

14 · 7 = 49 cm2 2

217. Határozd meg, hogy a háromszög köré írt kör középpontja a háromszögnek belső pontja-e, vagy a háromszög valamelyik oldalán van, vagy a háromszögön kívül levő pont, ha a háromszög oldalainak hossza a) 3 cm, 3 cm, 5 cm,

b) 4 cm, 7 cm, 7 cm,

c) 40 mm, 72 mm, 75 mm,

d) 30 mm, 72 mm, 78 mm,

e) 4 cm, 7,5 cm, 8,5 cm,

f) 4 cm, 8 cm, 9 cm!

Szerkesztéssel ellenőrizd a válaszodat! A köré írt kör középpontja – belső pont b, c hegyesszögű háromszög esetén, – az egyik oldalon van d, e derékszögű háromszög esetén, – külső pont a, f tompaszögű háromszög esetén.

218. Egy 10 cm kerületű egyenlő szárú háromszög alapjának és alaphoz tartozó magasságának aránya 16 : 15. Számítsd ki a háromszög területét! Pitagorasz-tétel ⇒ b2 = (8x)2 + (15x)2 = 289x 2 b = 17x K = 16x + 2 · 17x = 10 cm ⇒ x = 2 mm a = 16x = 32 mm és m = 15x = 30 mm 32 · 30 T = = 480 mm2 2

219. Egy derékszögű háromszög két befogója 288 cm-rel, illetve 1 cm-rel rövidebb az átfogójánál, a két befogó összege 337 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe?

199

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok A befogók összege adott: (c − 1) + (c − 228) = 337 ⇒ c = 313 cm c − 1 = 312 cm c − 228 = 25 cm K = 25 + 312 + 313 = 650 cm 25 · 312 = 3900 cm2 T = 2 Megjegyzés: az átfogó hossza a Pitagorasz-tétel alapján is kiszámítható. (c − 1)2 + (c − 288)2 = c2 ⇒ c = 313 cm.

220. Az ábrákon néhány hagyományos öltözék és azok szabásmintája látható. a) Melyik ruhához melyik szabásminta tartozik? b) Írj a szabásminták egyes részeihez méreteket, ha az öltözék hossza a vállvonaltól mérve 160 cm, az ujja kerülete 48 cm! A:

B:

bronzkori öltözék i. e. 1000 I.

a) A: III.

C:

inka poncsó II.

B: I.

C: IV.

D:

egyiptomi dzsellaba III.

török kaftán IV.

D: II.

Négyszögek 221. Egy konvex négyszög külső szögeinek aránya 2 : 5 : 6 : 7. Mekkorák a négyszög belső szögei? 2x + 5x + 6x + 7x = 360◦ ⇒ x = 18◦ A külső szögek: 36◦ , 90◦ , 108◦ , 126◦ . A belső szögek: 144◦ , 90◦ , 72◦ , 54◦ .

200

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 222. Egy négyszög első szögénél 19◦ -kal kisebb a második szöge, és az első szög kétszeresénél 73◦ -kal kisebb a harmadik szöge. A negyedik szög feleakkora, mint az első szögnél 23◦ -kal kisebb szög. Mekkorák a négyszög szögei? x − 23◦ = 360◦ 2 A belső szögek: 103◦ , 84◦ , 133◦ , 40◦ . x + (x − 19◦ ) + (2x − 73◦ ) +

⇒

x = 103◦

223. Válassz ki négy pontot úgy, hogy a) egy négyzet csúcsai legyenek! b) nem egyenlő oldalú téglalap csúcsai legyenek! c) nem derékszögű paralelogramma csúcsai legyenek! d) nem egyenlő oldalú deltoid csúcsai legyenek! Például a) QSU Z b) QRU V

α

b)

ε

C

V

S

Z

R

A

10

80◦

◦

0

c)

35◦ 45◦

β

α

T

c) ARSZ d) BU DV

224. Számítsd ki a paralelogramma szögeit! a)

U

D

10

ε = 27◦ 41 26

◦

0

Q

P

46◦

◦

4 13 23◦

23◦

B

13

◦

4

α = 62◦ 18 34 β = 117◦ 41 26

225. Egy ABCD paralelogramma kerülete 42 cm, AC átlója 11 cm hosszú. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét! KABC =

42 + 11 = 32 cm 2

226. A 8 cm oldalú ABCD négyzet AB oldalához az ABE szabályos háromszöget rajzoljuk. a) Számítsd ki az ED szakasz hosszát! b) Számítsd ki az AED háromszög területét!

vagy

Mindkét esetben x 2 + 42 = 82 ⇒ x ≈ 6,93 cm 8·4 = 16 cm2 TAED = 2 F E = 8 + x = 14,93 cm vagy DE 2 = 14,932 + 42 DE ≈ 15,5 cm

F E = 8 − x = 1,07 cm DE 2 = 1,072 + 42

vagy

DE ≈ 4,14 cm

201

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 227. a) Számítsd ki a húrtrapéz alapjainak hosszát! b) Számítsd ki a húrtrapéz kerületét, ha magassága 24 mm! a)

b)

Az alapok hossza 37 mm és 73 mm.

242 + 182 = b2 ⇒ b = 30 cm K = 73 + 2 · 30 + 37 = 170 mm

228. Igazold a következő állításokat! A: Ha egy konvex négyszög két szomszédos oldala egyenlő és átlói merőlegesek egymásra, akkor a négyszög másik két oldala is egyenlő. Az egyik átló egy egyenlő szárú háromszög alapja, a másik erre merőleges, tehát felezi az alapot. Így a másik háromszög is egyenlő szárú. Konkáv négyszögre is igaz az állítás.

B: Ha egy konvex négyszög két szemközti oldala egyenlő és átlói is egyenlők, akkor a négyszög másik két oldala párhuzamos. ACD oldalai és BCD oldalai páronként egyenlők, a két háromszög egybevágó. Tehát DC-hez tartozó magasságuk is egyenlő ⇒ DC AB.

Igazak-e az állítások nem konvex négyszögekre is? Konkáv négyszögre nem igaz az állítás, mert nem lehetnek párhuzamos oldalai.

229. Egy rombusz átlói 40 cm és 42 cm hosszúak. Számítsd ki a rombusz kerületét és területét! a 2 = 202 + 212

⇒

K = 4 · 29 = 116 cm

a = 29 cm 4 · 42 T = = 840 cm2 2

230. Mekkora a területe annak a téglalapnak, amelynek egyik oldala 24 cm, az átlója ennél 2 cm-rel hosszabb? 242 + b2 = 262

⇒

b = 10

T = 24 · 10 = 240 cm2

231. Ha egy téglalap rövidebb oldalát 2 cm-rel meghosszabbítjuk, olyan négyzetet kapunk, aminek területe 14 cm2 -rel nagyobb a téglalap területénél. Mekkora a négyzet oldala? a · 2 = 14

⇒

a = 7 cm a négyzet oldala.

232. Számítsd ki a paralelogramma területét! a) b)

a) T = 2 · 8 = 16 cm2

b) 62 + x 2 = 72 ⇒ x ≈ 3,61 m

c)

c) T = 100 cm2

d)

d) 242 + m2 = 1452 ⇒ m = 143 mm

T ≈ 6,61 · 6 = 39,66 m2

202

C M Y K


T = 24 · 143 = 3432 mm2

Geometriai ismtl feladatok 233. Számítsd ki a húrtrapéz kerületét és területét! a) b)

c)

62 + 82 = b2 ⇒ b = 10 dm

52 + m2 = 132 ⇒ m = 12 m

72 + m2 = 142 ⇒ m ≈ 12,12 m

K = 41 + 2 · 10 + 29 = 90 dm

K = 17 + 2 · 13 + 7 = 50 m

K = 28 + 3 · 14 = 70 m

T =

(41 + 29) · 8 = 280 dm2 2

T =

(17 + 7) · 12 = 144 m2 2

T ≈

234. Számítsd ki a trapéz kerületét és területét! a) b)

a) 72 + m2 = 13,252

⇒

m = 11,25 cm

K = 11 + 11,25 + 4 + 13,25 = 39,5 cm T =

(11 + 4) · 11,25 = 84,375 cm2 2

T =

6,7 · 8,6 = 28,81 cm2 2

(28 + 14) · 12,12 = 254,52 m2 2

c)

b) x 2 + 82 = 172

⇒

x = 15 m

y 2 + 82 = 102

⇒

y=6m

⇒

c = 11 m

K = 32 + 17 + 11 + 10 = 70 m (32 + 11) · 8 T = = 172 m2 2 c) A kerület kiszámításához kevés az adat. (Ha az ábráról leolvasható adatokat is felhasználjuk, akkor m = 8,6 cm; c = 2 · 6,7 − a; c2 + m2 = b2 ; a 2 + m2 = d 2 alapján a = 8,6 cm; c = 4,8 cm; b ≈ 9,85 cm; d ≈ 12,2 cm; K ≈ 35,45 cm.)

235. Számítsd ki a deltoid kerületét és területét! a) b)

c)

202 + 202 = a 2 ⇒ a = 28,3 cm

a 2 + a 2 = 8,62 ⇒ a ≈ 6,08 cm

22 + x 2 = 112 ⇒ x ≈ 10,8 m

202 + m21 = 402 ⇒ m1 ≈ 34,6 cm

4,32 + x 2 = 8,62 ⇒ x ≈ 7,45 cm

22 + y 2 = 62 ⇒ y ≈ 5,66 m

K = 2(a + b) ≈ 136,6 cm

e = x−4,3 ≈ 7,45−4,3 = 3,15 cm

f = x + y ≈ 16,46 m

K ≈ 29,36 cm

K = 34 m

T =

e·f 54,6 · 40 ≈ = 1092 cm2 2 2

T ≈ 32,92 m2

T ≈ 13,545 cm2

203

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 236. Mekkora a színes négyszögek területe az ötödik lépés után? Általánosítsd a megoldást!

T1 = 2, T2 = 5, T3 = 10, . . . Tn = (n + 1)2 − 4 ·

1 · 1 · n = (n + 1)2 − 2n = n2 + 1. 2

Sokszögek 237. Egy 28 elemű halmaz csak konvex négyszögeket és konvex ötszögeket tartalmaz. Ezen sokszögeknek összesen 71 átlójuk van. A halmaz elemei között hány ötszög van? A négyszögnek 2, az ötszögnek 5 átlója van. A 28 konvex sokszögnek legalább 56 átlója van. A maradék 15 átló 5 darab ötszög további három-három átlója. Tehát 5 db konvex ötszög és 23 konvex négyszög alkotja a halmazt. Ellenőrzés: 5 + 23 = 28 és 5 · 5 + 23 · 2 = 71

238. Egy 20 elemű halmaz csak háromszögeket, konvex négyszögeket és konvex ötszögeket tartalmaz. Ezen sokszögeknek összesen 51 átlójuk van. Melyik fajta sokszögből hány darab van a halmazban? Több lehetőség van:

Konvex ötszög

Konvex négyszög

Háromszög

I.

5 db

13 db

2 db

II.

7 db

8 db

5 db

III.

9 db

3 db

8 db

239. Hány egyenest határoznak meg a) egy konvex hétszög csúcsai,

7·6 = 21 2·1

b) egy szabályos kilencszög csúcsai?

9·8 = 36 2·1

240. Hány háromszöget határoznak meg 6·5·4 = 20 3·2·1 8·7·6 csúcsai? = 56 3·2·1

a) egy konvex hatszög csúcsai, b) egy szabályos nyolcszög

241. A szabályos hatszög csúcsai közül válassz ki négyet úgy, hogy a) egy deltoid csúcsai legyenek, Például: ACDE b) húrtrapéz csúcsai legyenek! Például: ABCD 242. Adj meg egy-egy olyan sokszöget, amelynek területe egyenlő az alábbi területekkel! 400 m2 : a visegrádi lakótorony alapterülete Például: 16 m és 25 m oldalú téglalap. 10 000 m2 = 1 ha: egy sportpálya területe Például: 50 m és 200 m oldalú téglalap. 86 ha: a budapesti Margitsziget területe Például: 500 m és 1720 m oldalú téglalap. 588 km2 : a Balaton vízfelülete Például: 21 km és 28 km oldalú téglalap. 2 2160 ezer km : Grönland területe Például: 864 km magasságú 5000 km oldalú háromszög. 2 510,22 millió km : a Föld felszíne Például: egy közelítőleg 22,6 millió km oldalú négyzet.

204

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 243. Számítsd ki a sokszög területét! a) b)

c)

d)

az átlók hossza 13 m a) T =

(8 + 4) · 4 (4 + 6) · 2 6·3 + +6·4+ = 67 m2 2 2 2

b) 512 + 682 = e2

⇒

e = 85 dm

T =

51 · 68 85 · 60 80 · 3 + + = 4404 dm2 2 2 2

13 · x 13 · (13 − x) 13 · 13 + = = 84,5 m2 2 2 2 8 · 15 9 · 12 d) x 2 + 152 = 172 ⇒ x = 8 cm T = + 20 · 15 − = 306 cm2 2 2 c) T =

Körök 244. Legyen az O1 középpontú kör sugara 7 cm, az O2 középpontú kör sugara 11 cm! Mekkora lehet az O1 O2 távolság, ha a) az egyik kör a másik kör belső tartományában van, 0 cm 5 O1 O2 < 4 cm b) a két kör belülről érinti egymást, O1 O2 = 4 cm c) a két kör metszi egymást, 4 cm < O1 O2 < 18 cm d) a két kör kívülről érinti egymást, O1 O2 = 18 cm e) az egyik kör a másik kör külső tartományában van? O1 O2 > 18 cm 245. Mekkora a kerülete és a területe annak a körcikknek, amelynek sugara 8 cm és középponti szöge b) 225◦ , c) 144◦ , d) 90◦ , e) α? a) 45◦ , 1 1 a) K = 2r + Kkör = 2r + · 2rπ ≈ 22,28 cm 8 8

T =

1 1 Tkör = · r 2 π ≈ 25,12 cm2 8 8

5 5 b) K = 2r + Kkör = 2r + · 2rπ ≈ 47,4 cm 8 8

T =

5 2 r π ≈ 125,6 cm2 8

2 2 c) K = 2r + Kkör = 2r + · 2rπ ≈ 36,096 cm 5 5

T =

2 2 · r π ≈ 80,384 cm2 5

1 1 d) K = 2r + Kkör = 2r + · 2rπ ≈ 28,56 cm 4 4

T =

1 2 · r π ≈ 50,24 cm2 4

T =

α · r 2π 360

e) K = 2r +

α · 2rπ 360

246. Milyen távolságra van egy 6 cm sugarú kör középpontjától az a húr, amelynek hossza a) 11 cm, b) 10 cm, c) 8 cm, d) 6 cm, e) 4 cm, f) 3 cm?

205

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 2 h + d 2 = 62 2

⇒

36 −

d=

2 h 2

a) 2,4 cm

b) 3,32 cm

c) 4,47 cm

d) 5,2 cm

e) 5,66 cm

f) 5,81 cm

247. Milyen távolságra van egymástól egy 7 cm sugarú körben az a két húr, amelyeknek hossza a) 12 cm és 8 cm, b) 10 cm és 6 cm, c) 10 cm és 3 cm? 2 h + d 2 = 72 2 2 k + e 2 = 72 2

⇒

2 h 49 − 2

d=

⇒

e=

49 −

2 k 2

A két húr távolsága d + e vagy |d − e|.

a) d ≈ 3,61 cm e ≈ 5,74 cm

A távolság 9,35 cm

b) d ≈ 4,9 cm

e ≈ 6,32 cm

A távolság 11,22 cm vagy 1,42 cm.

c) d ≈ 4,9 cm

e ≈ 6,84 cm

A távolság 11,74 cm vagy 1,94 cm.

vagy 2,13 cm.

248. Egy kör középpontja O, a körvonal pontjai A, B, C. Az AOB szög 90◦ , a BOC szög 120◦ . Húzz érintőket a körhöz az A, B, C pontokban! Mekkorák a szögei az érintők által meghatározott háromszögnek? ADB

^ = 90◦

BEC

^ = 60◦

CFA

^ = 30◦

249. Mekkora a két metsző kör középpontjának távolsága, ha a) a körök sugara 7 cm és 13 cm, a közös húr hossza 6 cm, b) a körök sugara 31 cm és 42 mm, a közös húr hossza 28 m? x 2 + m2 = r 2 y 2 + m2 = R 2 O1 O2 = x + y vagy O1 O2 = |x − y|

a) x 2 + 32 = 72

⇒ x ≈ 6,32 cm y 2 + 32 = 132 ⇒ y ≈ 12,6 cm O1 O2 = 18,92 cm vagy 6,28 cm

b) x 2 + 142 = 312 ⇒ x ≈ 27,7 cm y 2 + 142 = 422 ⇒ y ≈ 39,6 cm O1 O2 = 67,3 cm vagy 11,9 cm

250.

a) Számítsd ki a körgyűrű területét, ha sugarai 65 cm és 97 cm! b) Számítsd ki a belső kört érintő húr hosszát! a) Tgyűrű = 972 π − 652 π ≈ 16 277,76 cm2 b) x 2 + 652 = 972

⇒

x = 72. A húr hossza 144 cm.

206

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 251. Két kör kívülről érinti egymást. Mekkora a közös érintőszakaszuk hossza, ha a körök sugara 7 cm és 17 cm? (E1 E2 )2 + 102 = 242

⇒

E1 E2 ≈ 21,8 cm

252. Derékszögű háromszög oldalaira mint átmérőkre félköröket rajzolunk. Bizonyítsd be, hogy a két kisebb félkör területének összege egyenlő a harmadik félkör területével! a 2

a2π t1 = π= 2 4 2 b b2π t2 = π= 2 4 c 2 2 c π t3 = π= 2 4

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

a 2 + b2 = c2 a Pitagorasz-tétel szerint, így t1 + t2 = t3 igaz.

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Síkgeometriai számítások 253. a) Mekkora az ABC egyenlő szárú háromszög kerülete? h

1m

2m

b ≈ 4,12 m 4,47 m

3m

4m

5m

5m

5,66 m

6,4 m

6m

7m

8m

7,21 m 8,06 m 8,94 m

K 16,24 m 16,94 m 18 m 19,32 m 20,8 m 22,42 m 24,12 m 25,88 m

b) Ábrázold mm-papíron a kerületet a magasság függvényében! K = 8 + 2 16 + h2 254. a) Az AB szakasz hossza 10 cm, az ACB szög derékszög. Számítsd ki az AC befogó hosszát! (AC)2 + (BC)2 = 102 BC

3m

4m

5m

AC ≈ 9,54 m 9,16 m 8,66 m

6m

7m

8m

8m

7,14 m

6m

b) Szerkeszd meg a fenti C pontokat adott AB szakasz esetén! Az AB átmérőjű körön helyezkednek el a C pontok.

255. Az AB távolságnál 2 cm-rel hosszabb zsinórt rögzítünk A és B pontban, majd a felezőpontjánál megemelve kifeszítjük. Milyen magasan lesz a C pont az AB szakasz felett, ha a) AB = 168 cm? b) AB = 48 cm? c) AB = 80 cm? d) AB = 120 cm? e) AB = 24 cm? f) AB = 288 cm? g) AB = 528 cm? Számításaidat méréssel ellenőrizd! ⇒

AC + CB = AB + 2

AB 2

AC = CB =

2 2

+ h = (BC)

2

⇒

h=

AB +1 2

(BC)2

−

AB 2

2

207

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 852 − 842 = 13 cm d) h = 612 − 602 = 11 cm g) h = 2652 − 2642 = 23 cm

252 − 242 = 7 cm e) h = 132 − 122 = 5 cm

a) h =

b) h =

412 − 402 = 9 cm f) h = 1452 − 1442 = 17 cm

c) h =

256. Milyen hosszú lámpafüzérrel lehet megoldani a híd világítását a színessel jelölt vonal mentén? 52 + 11,52 = a 2

⇒

a ≈ 12,5 m

2

⇒

b ≈ 14,9 m

82 + 172 = c2

⇒

c ≈ 18,8 m

2

5 + 14

2

=b

A hossz: 2 · (12,5 + 11,5 + 14,9 + 14 + 18,8) ≈ 143,4 m

257. Elvileg milyen messziről lenne látható egy 1000 m magas hegy teteje, ha körülötte sehol nincs a felszínről kiemelkedő tárgy? A Föld sugara körülbelül 6370 km. x 2 + R 2 = (R + 1)2 x 2 + 63702 = 63712

⇒

x ≈ 113 km

258. Mennyivel nő meg a kör kerülete, ha sugarát 1 m-rel megnöveljük? a) r = 10 cm b) r = 50 cm c) r = 1 cm d) r = 10 m

e) r = 1 km

K2 − K1 = 2(r + 1)π − 2rπ = 2π Minden esetben 6,28 m-rel nő a kerület.

259. a) Mekkora a két kör középpontjának távolsága? b) Mekkora a színessel jelölt vonal hossza? c) Mekkora területet zár közre a színes vonal? Mivel a belső érintők derékszöget zárnak be, ezért O1 EME és O2 GMG is négyzet, azaz EM = 6 cm, GM = 4 cm. Így EG = O2 N = 10 cm. 3 3 a) (O1 O2 )2 = 102 + 102 ⇒ O1 O2 ≈ 14,1 cm b) · 2 · 6π + · 2 · 4π + 2 · 6 ≈ 67,1 cm 4 4 3 3 c) T = · 62 π + · 42 π + 62 + 42 ≈ 174,46 cm2 4 4

260. Számítsd ki a két pont távolságát! a) A(8; 3) B(5; 7) AB = 5 e

b) P (6; 4)

c) K(−5; 0)

Q(−3; 6) PQ =

√

85 ≈ 9,2 e

261. Számítsd ki a háromszög kerületét és területét! a) A(0; 5) b) A(−3; 2) B(7; 0) B(7; 2) C(0; 0) C(5; 9)

L(7; −1) √ KL = 145 ≈ 12 e

c) A(−6; −4) B(−2; 1) C(−6; 8)

208

C

M

Y

K


7 d) U ;2 3 1 V ;0 2 UV =

265 ≈ 2,71 e 36

d) A(9; 7) B(−11; 5) C(3; −8)

Geometriai ismtl feladatok a) AB =

√ 75

b) AB = 10 √ c) AB = 41 √ d) AB = 404

AC = 5 √ AC = 113 AC = 12 √ AC = 261

BC = 7 √ BC = 53 √ BC = 65 √ BC = 365

K ≈ 20,6 e

T = 17,5 e2

K ≈ 27,88 e

T = 35 e2

K ≈ 26,46 e

T = 24 e2

K ≈ 55,4 e

T = 144 e2

Az ABC derékszögű háromszög oldalai az ábrán látható félkörök átmérői. Bizonyítsd be, hogy a színessel jelölt részek együttes területe egyenlő a háromszög területével! (Hippokratész holdacskái) A feladat megoldása előtt bizonyítsd be a 252. feladat állítását!

262.

Lásd a 252. feladat ábráját is. ⎫ x + y = t1 + t2 − (t4 + t5 ) ⎪ ⎪ ⎬ Tehát x + y = t , igaz az állítás. t = t3 − (t4 + t5 ) ⎪ ⎪ ⎭ t3 = t1 + t2

263. Egy háromszög szögfelezőinek metszéspontját kösd össze a háromszög csúcsaival! Bizonyítsd be, hogy az így keletkezett három háromszög területének mérőszáma és a háromszög oldalainak hossza között egyenes arányosság van! Mi az állandó? A szokásos jelölésekkel TABK = TCAK =

c·r a·r TBCK = 2 2

b·r TABK : TBCK : TCAK = c : a : b. Tehát igaz az állítás. 2

264. a) Mekkora annak a körnek a sugara, amelyben egy 8 cm és egy 6 cm hosszú húr egymástól 7 cm-re párhuzamosan helyezkedik el úgy, hogy a kör középpontja a két húr közé esik? b) Mekkora annak a körnek a sugara, amelyben egy 30 cm és egy 16 cm hosszú húr egymástól 7 cm-re párhuzamosan helyezkedik el úgy, hogy a kör középpontja nincs a két húr között? a)

b) ⎫ x+y =7 ⎪ x=3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ x 2 + 42 = r 2 ⇒ y = 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2⎭ r = 5 cm y +3 =r

⎫ x=8 y−x =7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ x 2 + 152 = r 2 ⎪ ⇒ y = 15 ⎪ ⎪ ⎭ y2 + 82 = r 2 r = 17 cm

265. Milyen messze van a kocka A csúcsa a színessel rajzolt testátlótól? A kocka éle 1 dm. √ (AH )2 = 12 + 12 ⇒ AH = 2 dm √ √ BH 2 = 12 +√ ( 2)2 √ ⇒ BH = 3 dm 1· 2 3·m TABH = = ⇒ 2 2 2 m= ≈ 0,816 dm a távolság. 3

209

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 266. Számítsd ki a P Q szakasz hosszát! Ellenőrizz szerkesztéssel! O1 O2 = R + r = 11 cm (P O2 )2 + 92 = 112 2

2

(P Q) + 2 = (P O2 )

⇒ 2

P O2 = ⇒

√

40 ≈ 6,32 cm

P Q = 6 cm

Térgeometriai számítások 267. Hány m3 víz fér egy 80 cm átmérőjű, 110 cm magas körhenger alakú hordóba? r = 0,4 m

m = 1,1 m

V = r 2 πm = 0,42 π · 1,1 ≈ 0,553 m3

268. Hány liter víz fér egy 3 m hosszú, 40 cm átmérőjű félhenger alakú itatóvályúba? r = 2 dm

m = 30 dm

V = r 2 πm = 22 π · 30 = 376,8 dm3 = 376,8 l

269. Egy 80 cm magas henger alakú vízmelegítő tartály űrtartalma 300 liter. Mekkora a tartály átmérője? m = 8 dm

V = 300 l = 300 dm3

300 = r 2 π · 8

⇒

r ≈ 3,46 dm. Az átmérő körülbelül 6,92 dm.

270. Egy téglatest három élének aránya 4 : 7 : 11, tizenkét éle hosszának összege 264 cm. Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát! (4x + 7x + 11x) · 4 = 264

⇒

A = 2(ab + ac + bc) = 2682 cm

x=3 2

⇒

a = 12 cm

V = abc = 8316 cm

b = 21 cm

c = 33 cm

3

271. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb magassága 35 cm, oldallapjának átlója 37 cm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? a 2 + 352 = 372

⇒

a = 12 cm

m2a + 62 = 122

⇒

ma ≈ 10,4 cm

a · ma 12 · 10,4 + 3a · m ≈ 2 · + 3 · 12 · 35 = 1384,8 cm2 2 2 a · ma 12 · 10,4 V = ·m≈ · 35 = 2184 cm3 2 2 A=2·

272. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm, magassága ennek másfélszerese. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? a = 8 cm m = 12 cm m2a + 42 = 82 ⇒ ma ≈ 6,93 cm a · ma A=2·6· + 3 · a · m ≈ 620,64 cm2 2 a · ma V =6· · m ≈ 1995,84 cm3 2

210

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 273. Egy háromszög alapú egyenes hasáb magassága egyenlő az alaplap leghosszabb magasságával. Az alaplap oldalai 11 dm, 6 m, 61 dm. Milyen háromszög az alaplap? Számítsd ki a hasáb felszínét és térfogatát! Az alaplap derékszögű háromszög, mert 112 + 602 = 612 , ezért leghosszabb magassága a hosszabbik befogó, azaz 60 dm. A=2·

11 · 60 + (11 + 60 + 61) · 60 = 8580 dm2 2

V =

11 · 60 · 60 = 19 800 dm3 2

274. Egy rombusz alapú egyenes hasáb két legtávolabbi csúcsának távolsága 145 cm. A rombusz átlói 10 cm és 24 cm hosszúak. Számítsd ki a hasáb felszínét és térfogatát! 242 + m2 = 1452

⇒

m = 143 cm

52 + 122 = a 2

⇒

a = 13 cm

A=2· V =

10 · 24 + 4 · 13 · 143 = 7676 cm2 2

10 · 24 · 143 = 17 160 cm3 2

275. 3 mm vastag alumíniumlemezből deltoid keresztmetszetű hasábokat vágnak ki, amelyekből jelvények készülnek. A deltoid átlói 1 cm és 2 cm hosszúak. Mennyi a tömege 1000 darab kg jelvénynek, ha az alumínium sűrűsége 2700 3 , és az alumíniumból készült kitűző rész tömege m 10%-a a jelvény tömegének? A deltoid átlói 10 mm és 20 mm hosszúak. V =

10 · 20 e·f ·m = · 3 = 300 mm3 egy deltoid alapú hasáb 2 2

térfogata. 300 cm3 az 1000 hasáb térfogata. kg g = 2700 3 m dm3 tömegének.

m = V · = 0,3 · 2700 = 810 g az 1000 hasáb tömege, ami 90%-a a jelvény

= 2700

Tehát az 1000 jelvény tömege 900 g.

276. a) Milyen hosszúak a téglalap alapú egyenes hasáb lapátlói? b) Milyen hosszú a hasáb testátlója?

5 cm

10 cm

10 cm √ 52 + 52 = 50 ≈ 7,07 cm √ l2 = 102 + 52 = 125 ≈ 11,2 cm √ b) t = 102 + 52 + 52 = 150 ≈ 12,2 cm

I. test a) l1 =

5 cm

15 cm

5 cm

√ 102 + 152 = 325 ≈ 18 cm √ l2 = 52 + 152 = 250 ≈ 15,8 cm √ l3 = 102 + 52 = 125 ≈ 11,2 cm √ b) t = 152 + 102 + 52 = 350 ≈ 18,7 cm

II. test a) l1 =

211

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 277. A téglatest 2 éle és 2 lapátlója határozza meg a téglatest átlós metszetét. Számítsd ki a háromféle átlós metszet területét, ha a téglatest élei a) 2 m, 5 m, 7 m, b) 7 cm, 17 cm, 27 cm, c) 1,6 dm, 2,3 dm, 5 dm! √ a) T1 = 2 74 ≈ 17,2 m2 √ b) T1 = 7 1018 ≈ 223,3 cm2 √ c) T1 = 16 3029 ≈ 880 cm2

√ T2 = 5 53 ≈ 36,4 m2 √ T2 = 17 778 ≈ 474,3 cm2 √ T2 = 23 2756 ≈ 1207,5 cm2

√ T3 = 7 29 ≈ 37,73 m2 √ T3 = 27 338 ≈ 496,8 cm2 √ T3 = 50 785 ≈ 1400 cm2

278. A kocka éle 12 cm. a) Mekkora térfogatú részekre bontja a kockát az alappal 30◦ -os szöget bezáró síkmetszete? b) Számítsd ki a keletkezett derékszögű háromszög alapú hasáb felszínét! BCK derékszögű háromszögben BK = 2KC = 2x √ (2x)2 = 122 + x 2 ⇒ x = 48 ≈ 6,93 cm 6,93 · 12 a) VABCDKL = TBCK · AB ≈ · 12 = 498,96 cm3 2 VABKLEF GH = Vkocka − VABCDKL = 123 − 498,96 ≈ 1229,04 cm3 b) VABCDKL = 122 + 2 ·

6,93 · 12 + 12 · 6,93 + 12 · 13,86 = 476,64 cm3 2

279. Számítsd ki a 8 cm élű kocka alábbi síkmetszeteinek kerületét! P , Q, R a megfelelő oldal felezőpontja. a) b) c)

a) QG2 = 82 + 42

⇒

QG =

√ 80 ≈ 8,94 m

√ TP QGH = 8 · 80 ≈ 71,52 cm2 √ PQ 2 2 2 2 2 b) P E = 8 + 4 ⇒ P E = 80 ≈ 8,94 cm m + = P E2 ⇒ 2 √ P Q2 = 42 + 42 ⇒ P Q = 32 ≈ 5,66 cm √ √ √ √ 32 · 72 KP QE = 2 · 80 + 32 ≈ 23,54 cm TP QE = ≈ 24 cm2 2 √ c) P Q2 = 42 + 42 ⇒ P Q = QR = P R = 32 ≈ 5,66 cm √ PQ 2 m2 + = P R 2 ⇒ m = 24 ≈ 4,9 cm 2 √ √ √ 32 · 24 √ KP QR = 3 · 32 ≈ 16,98 cm TP QR = = 192 ≈ 13,86 cm2 2 KP QGH = 2 · 8 + 2 ·

√ 80 ≈ 33,88 cm

m=

212

C M Y K


√ 72 ≈ 8,49 cm

Geometriai ismtl feladatok 280. Számítsd ki a 14 cm élű kocka alábbi síkmetszeteinek területét! a) b) c)

P , Q felezőpontok

P felezőpont

a) P Q2 = 72 + 72 AC 2 = 142 + 142 AP 2 = 142 + 72 √ 2 √ 98 = ( 245)2 m2 + 2

b)

c) P G2 = 142 + 72 √

2 √ 392 2 m + = 245 2

√

⇒

PQ =

98 ≈ 9,9 cm √ ⇒ AC = 392 ≈ 19,8 cm √ ⇒ AP = 245 ≈ 15,65 cm √ 882 ≈ 14,85 cm ⇒ m= 2 √ √ √ ( 392 + 98) · 882 2 TACP Q = ≈ 220,5 cm2 2 √ BG2 = 142 + 142 ⇒ BG = GE = BE = 392 ≈ 19,8 cm √

2 √ √ 392 2 m + = ( 392)2 ⇒ m = 294 ≈ 17,15 cm 2 √ √ 392 · 294 TBGE = ≈ 169,74 cm2 2 ⇒

PG = PE =

⇒

m=

TP GE d)

d)

√ 245 ≈ 15,65 cm

√ 147 ≈ 12,12 cm

√ √ 392 · 147 = ≈ 120 cm2 2

A sík a kocka felső lapját metszi az ábra szerint. 14 x 2 + 142 = (2x)2 ⇒ x = √ 3 28 28 392 BP = √ ≈ 16,17 cm TABP Q = 14 · √ = √ ≈ 226,3 cm3 3 3 3

281. Egy kétajtós, akasztós ruhásszekrény szélessége 110 cm, mélysége 55 cm, magassága 165 cm. a) Mekkora a szekrény térfogata? V = a · b · c = 110 · 55 · 165 = 998 250 cm3 ≈ 1 m3 b) Elfér-e benne egy 2 m-es rúd? A testátló: e2 = 1102 + 552 + 1652 ⇒ e ≈ 206 cm. Elfér a rúd. 282. Egy 4 m átmérőjű henger alakú tartály 1,8 m magasságig van kőolajjal töltve. A feldolgozás előtt átszállítják a kőolajat egy 4 m alapélű négyzet alapú egyenes hasáb alakú tartályba. Milyen magasan lesz a kőolaj szintje a második tartályban? V = r 2 π · m1 = 22 · π · 1,8 ≈ 22,608 m3 az olaj térfogata a hengerben, V = a 2 · m2 , azaz 22,608 = 42 · m2 a hasábban. m2 ≈ 1,4 m a kőolaj szintje a második tartályban.

213

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok 283. Add meg egy téglatest és egy egyenes körhenger méreteit úgy, hogy térfogata egyenlő legyen az adottakkal! 50 mm3 : a méh mézgyomra 2205 m3 : a vár lakótornya Nagyvázsonyban 3 8 m : egy közepes olajtartály térfogata 40 000 m3 : a tihanyi Belső-tó térfogata 60 m3 : lakószoba 240 000 m3 : az Országház fűthető része 200 m3 : osztályterem 2 km3 : a Balaton vizének térfogata Sokféle megoldást várhatunk. Téglatestet keresve például a megadott mérőszám háromtényezős szorzat alakja alapján választhatjuk az élek hosszát. 50 mm3 egy 1; 5; 10 mm vagy 1; 2; 25 mm vagy 5; 5; 2 mm élű téglatest térfogata is. V Egyenes körhengert keresve például a sugarat tetszőlegesen megadva a 2 kifejezés megadja r ·π a magasságot. 50 mm3 közelítőleg egy 1 mm sugarú, 15,9 mm magasságú henger térfogata vagy egy 2 mm sugarú, 11,9 mm magasságú hengeré. 284. Egy kockát két síkkal metszettünk négy egyforma részre. Melyik esetben nagyobb a kapott négy test együttes felszíne? Legyen a kocka éle 2x. Az első esetben A = 4 · (2 · x 2 + 4 · x · 2x) = 40x 2 . A második esetben 2x · x A = 4 · (2 · + 2x · 2x + 2 · 2x 2 · 2x) = √ 2 √ = 4 · (6 + 4 2) · x 2 = (24 + 16 2) · x 2 ≈ 46,63x 2 A második esetben körülbelül 6,63x 2 területegységgel nagyobb a négy rész együttes felszíne. Másképpen: az első esetben a kocka felszínéhez 4 négyzet területe adódik, a második esetben pedig 4 átlós metszet területe, ami nagyobb a négyzet területénél. Tehát a második esetben nagyobb a felszín.

285. A pók és a légy problémája Dudeney egyik leghíresebb rejtvénye. 1905-ben figyeltek fel rá, miután a Daily Mail-ben megjelent. Egy téglatest alakú terem 30 láb hosszú, 12 láb széles és 12 láb magas. A pók a mennyezettől lefelé 1 lábnyira ül középen. A légy a szemközti lapon ül, a padló felett 1 lábnyira középen, a rémülettől kővé dermedve, mozdulatlanul. Mekkora a legrövidebb út, amit a pók a falon megtesz, hogy elkapja a legyet?

LP = 42 láb

LP =

372 + 172 ≈ 41,1 láb

214

C M Y K


Geometriai ismtl feladatok

LP = 322 + 242 = 40 láb. Ez a legrövidebb út.

LP =

372 + 312 ≈ 48,3 láb

286. A kocka felületén haladva induljunk el AB él felezőpontjából! A kocka minden lapján áthaladva vissza kell érnünk a kiindulási pontba, de a legrövidebb úton. a) Betűzd meg a megadott háló csúcsait! A K és K a háló összeillesztése után a kocka felületén egybeesik.

b) Rajzold meg a legrövidebb utat! c) Számítsd ki, milyen hosszú ez az út, ha a kocka éle 5 cm!

KK =

√ 152 + 152 = 450 ≈ 21,2 cm

287. Három doboz testátlója ugyanolyan hosszú: 42 cm.

Melyik doboz elkészítéséhez kell a legtöbb papír? t 2 = 3a 2

t 2 = b2 + b2 + (2b)2 = 6b2

t 2 = c2 + (2c)2 + (3c)2 = 14c2

422 = 3a 2

422 = 6b2

422 = 14c2

A = 6a 2 = 3528 cm2

A = 10b2 =

10 · 422 = 2940 cm2 6

A = 22c2 =

22 · 422 = 2772 cm2 14

A kocka elkészítéséhez kell a legtöbb papír.

215

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk KÖZÉPISKOLÁBA KÉSZÜLÜNK Számok 288.

Töltsd ki a keresztrejtvényt a vízszintes sorokra adott információkkal és a függőlegesekkel ellenőrizd megoldásodat! 7 8 9 0 0 2 7 4 Vízszintes: 10 11 12 13 1. A háromszög belső szögeinek összege. 0 3 5 7 6 14 15 4. Az 1848 számjegyeiből képzett halmaz elemei növekvő 3 6 2 3 7 sorrendben. 16 17 18 2 0 0 0 2 7. A 100-zal osztható számok végződései. 19 20 21 22 8. A legkisebb prímszám. 9 8 0 1 0 23 24 25 9. A 7104-nek a 96-od része. 9 9 7 1 4 8 10. Megegyezik saját maga ellentettjével. 11. Egymást követő három páratlan szám. 13. 5,5 egészekre kerekítve. 14. A 141 és a 257 szorzata. 16. Ennyi osztója van a prímeknek. 17. Az ezerrel osztható számok végződései. 18. A legkisebb alapszámú számrendszer alapszáma. 19. A 14 és a 49 legkisebb közös többszöröse. 21. Egy szám és ellentettjének összege. 22. Ennyi osztója van az 59 -nek. 23. Az 1000-hez legközelebb levő prímszám. 25. Egy háromszögben a 32◦ -os külső szöghöz tartozó belső szög nagysága. Függőleges: 1. A legkisebb háromjegyű szám. 1 2. A 240-nek az része. 3 3. A legkisebb természetes szám. 4. A legkisebb pozitív egész szám. 5. A (−47) ellentettje. 6. (−47) · (−18) 8. A legkisebb olyan számnak a tízszerese, amely osztható az összes egyjegyű számmal. 11. A konvex négyszög külső szögeinek összege. 12. A 10 és a 73 legkisebb közös többszöröse. 14. A legkisebb páratlan prímszám. 15. A legnagyobb egyjegyű prímszám. 16. A legkisebb olyan háromjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 20. 18. A legkisebb olyan háromjegyű szám, amelynek minden számjegye páros, és a számjegyeinek összege 10. 20. Eggyel kevesebb a derékszög nagyságának mértékszámánál. 22. A 192 osztóinak száma. 24. A 6742-ben a legnagyobb alaki értékű számjegy. 25. Az a szám, amelynek pontosan egy osztója van. 1

2

1

3

8

4

0

5

1

6

4

8

216

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk 289. Töltsd ki a táblázatot! a

−6

0

28

b

−12

19

5

a−b

6

−19

23

a b

1 2

0

28 = 5,6 5

1 3 1 4

7

2 9

5

2 3

1 12

2

−

4 3

7 5

1 3

4 9

290. Hasonlítsd össze! Tedd ki a <, > vagy = jelet! a) a 2 és az 5 aránya

>

25%

b) 35-nek a

3 része 5

=

35-nek a 60%-a

2 2 < (−2)2 1 7 21 c) − d) −2 reciproka > − : 3 3 3 5 10 e) az a legkisebb négyjegyű természetes szám, amelyben a számjegyek szorzata 100 a legkisebb természetes szám, amelyben a számjegyek összege 100. 2255 < 1 9 .. . 9

<

11 db

291. „Többet ésszel, mint erővel!” a) 47,3 − (−68,4) − 28,4 + 52,7 = 140 19 25 1 2 c) + − − − = 15 3 3 3 3

e)

1 14 5 6 5 14 1 − · −2 : =− − =− 10 6 15 12 25 3 5

b) (−23,8) + 104,6 + 53,4 − 46,2 = 88 47 1 5 d) 0,5 − − + = −15 6 6 2 2

2 f) 9 · 5

2

−7·

292. Színezd ki pirossal azt a kifejezést, amelynek értéke megegyezik a

2 5

=2·

8 4 = 25 25

2 4 : -del, és kékre azt, 3 5

amelyik nagyobb nála! 2 4 -nak a része 3 5

2 ·5 :4 p 3

2 5 -nak az része p 3 4

2 :4 ·5 p 3

5 1 · p 3 2

2 5 p · 3 4 3 4 · k 2 5

2 1 + 1 3 4

1 4 · 3· 2 5

k k

293. Írd le matematikai jelekkel és számítsd ki a) (−360) és (−240) különbségének az ellentettjét, −[(−360) − (−240)] = 120 b) (−360) és (−240) ellentettjének a különbségét, (−360) − [−(−240)] = (−360) − (240) = −600 2 2 c) 180-nak a részét, 180 · = 120 3 3 1 4 1 1 3 d) 1 és a hányadosának a reciprokát, 4 4 = 5 = 5 3 5 3 : 5 3 1 4 4 1 4 5 16 e) 1 és reciprokának a hányadosát, : 4 = : = 3 3 4 15 3 5 5

217

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk

f) g) h) i) j)

1 3 1 1 1

− harmadik hatványának abszolút értékét,

−

= −

=

3 27 27 3 68-nak a 30%-át, 68 · 0,3 = 20,4 30-nak a 68%-át, 30 · 0,68 = 20,4 3 tizedestört és százalék alakját! 0,375 = 37,5% 8 11 22%-nak a tizedestört és a tört értékét! 22% = 0,22 = 50

294. „Villámkérdések” a) Mennyi 26 · 56 ? = 106 1 1 5 9 10 11 b) Mondj az és az között számot! ; ; ; . . . 12 24 24 24 3 2 c) Mennyi két prímszám legnagyobb közös osztója? 1 d) Mennyi két prímszám legkisebb közös többszöröse? a két prímszám szorzata e) Mennyi egy szám és az ellentettjének az összege? 0 f) Mennyi egy szám és az ellentettjének a különbsége? a szám kétszerese: x − (−x) = 2x g) Melyik az a két szám, amelyek aránya 1 : 2 és összegük 3,6? 1,2 és 2,4 h) Melyik az a két szám, amelyek aránya 1 : 2 és különbsége 3,6? −3,6 és −7,2 i) Növeld a 640-et a 25%-ával, majd a kapott számot csökkentsd a 20%-ával! Melyik számot 5 4 = a. 4 5

kaptad? 640 · 1,25 = 800, majd 800 · 0,8 = 640. Minden esetben a · ·

j) Az 1 és 1000 közötti páratlan számok szorzata milyen számjegyre végződik? 5-re, mert a szorzótényezők között van 5, de csak páratlan számmal szorozzuk.

295. a) Egészítsd ki a hiányzó számjegyeket úgy, hogy A) 2-vel, B) 4-gyel, C) 3-mal, D) 6-tal, 354

53 a

354

4

3

E) 9-cel osztható számot kapjál! 54

5

34

2-vel

4-gyel

3-mal

6-tal

9-cel

0, 2, 4, 6, 8

0, 4, 8

0, 3, 6, 9

0, 6

6

53

4

0, 1, 2, . . . , 8, 9

0, 2, 4, 6, 8

0, 3, 6, 9

0, 3, 6, 9

6

3

54

0, 1, 2, . . . , 8, 9

−

0, 3, 6, 9

0, 3, 6, 9

6

5

34

0, 1, 2, . . . , 8, 9

−

0, 3, 6, 9

0, 3, 6, 9

6

b) Írd be a legkisebb pozitív egész számot úgy, hogy a kapott szám osztható legyen A) 2-vel, B) 3-mal, C) 6-tal, D) 18-cal, E) 45-tel! Az így kapott számnak hány osztója van? 3·5·4· b

2·7·

2 · 32 ·

2-vel

3-mal

3 · 5 · 11 ·

6-tal

18-cal

45-tel

3·5·4·

1

12

1

12

1

12

3

18

3

18

2·7·

1

4

3

8

3

8

9

12

45

24

2 · 32 ·

1

6

1

6

1

6

1

6

5

12

3 · 5 · 11 ·

2

16

1

8

2

16

6

24

3

12

218

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Az osztók számát a prímtényezős felbontásból lehet leolvasni. Pl.: 3 · 5 · 4 · 1 esetén. 3 · 5 · 4 = 3 · 5 · 22 , így 2 · 2 · 3 = 12 osztója van a számnak, ezt a táblázatban a sarokba írt számok mutatják.

296. Melyek azok a számok, amelyekről a következőket tudjuk: a) Tizenkétszeresük és ötszörösük különbsége 105. 12x − 5x = 105, innen x = 15 b) Arányuk 1 : 3 és összegük 88. x + 3x = 88, innen x = 22. A számok a 22 és 66. 3 1 3 1 21 c) és részének összege 3. x + x = 3, innen x = 7 7 4 7 7 d) Háromjegyűek, az egyesek helyén fele akkora szám van, mint a százasok helyén és a tizesek helyén levő számjegy 1-gyel több az egyesek helyén lévő számnál. A számnak nincsen azonos alaki értékű számjegye. A keresett háromjegyű szám 2e e + 1 e . Az egyesek helyén álló számjegy 1, 2, 3 és 4 lehet. A kapott számok közül a 221 nem jó, mert van azonos alaki értékű számjegye. A többi szám eleget tesz a feladat feltételeinek: 432, 643, 854.

297. Felsorakoztak a négyfejű és a hétfejű sárkányok. Az ügyeletes tiszt azt jelentette a parancsnoknak, hogy mind a 83 fej harcra kész, és többen jöttek el a hétfejűekből, mint a négyfejűekből. A bölcs parancsnok meg tudja-e mondani ebből a jelentésből, hogy melyik fajta sárkányból hány áll előtte? Legyen n négyfejű és h hétfejű sárkány. Ekkor a fejek számára felírható egyenlet 4n+7h = 83, innen 4n = 83 −7h, ahol 0 h < 11. Meg kell nézni, hogy a 83 − 7h kifejezés mikor ad 4-gyel osztható értéket. h 1 2 3 4 5 6 83 − 7h 76 69 62 55 48 41 n 19 − − − 12 −

5

7 34 −

8 27 −

9 20 5

10 13 −

11 6 −

A bölcs parancsnok nem lehet biztos a hadsereg összetételében. Lehetőségek: 1 hétfejű és 19 négyfejű sárkány, 5 hétfejű és 12 négyfejű sárkány, 9 hétfejű és 5 négyfejű sárkány az egyenlet megoldása.

Algebra 298. Színezd pirosra azokat a képleteket, amelyek az ötszög területére, és kékre azokat, amelyek a a a nyolcszögére vonatkoznak! 2 2 a 2 a a a a a 2 2 2 a a a a a Az ötszög terülte:

9a 2 (p). 4

A nyolcszög területe:

3a 2 (k). 2

219

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk

a · a a · a2 3a · a − + 2 2

a 2a · a − a · k 2 a2 a2 3a − + 2 4 2

a2 a2 3a − p − 2 4

11a 2 4

2a 2 −

p

a2 k 2

9a 2 p 4

2

3a 2 k 2

2· a − 2

2

a 2

k

299. Az egynemű tagok összevonásával írd egyszerűbb alakba! 1 5 a) 3a − 8a + 4,7a + 47a − 22,7a = 24a b) a − 2(5 − 3a) + a = 8a − 10 3 3 2 2 2 c) 7,5b − 4b + (2b) + 3b = 11,5b − b d) 0,8b − 3(0,4b − 2) + 6 = −0,4b + 12 1 7 2 25 2 + e) c − 2c(5 − 3 c) − 1,4c = −10c + 18c2 f) c + 0,3c − − c = 2,3c 5 3 7 21 300. Keresd az azonosságokat! Az azonosságokban szereplő betűkből egy értelmes szót állíthatsz össze! CITROM a+b 12i + 6 −4p · 2p a) =b b) = 4i + 2 c) = −2p · p b 3 2 m m 12 d) 7c − 3(c − 2) = 4c + 6 e) (5k − 4) · 2 = 10k − 4 f) + = m 5 7 35 3f · 3f 1 1 3r · 3r 3 2 g) 3(t − 4) + 12 = 3t h) i) = f· f = r 6 2 2 6 2 7o + 3o 4l + 10l 4s · 10s j) = 5o k) = 2l + 10l l) = 2s · 5s 2 2 2 301. Milyen számok kerülhetnek az üresen hagyott helyekre? a)

b)

6 9 −11 −1

1 3

9 2 − 7x −40

79 −61

2 −2 1 3 − 13

−3

2 9

2 · x2

18

8 2 9

Ügyeljünk, hogy a negatív eredményről se feledkezzenek meg a tanulók!

302. Írj egyenletet a feladatokhoz és oldd is meg azokat! a) Melyik számhoz kell hozzáadni a 3,24-ot, hogy (−5,72)-ot kapjunk? x +3,24 = −5,72 x = −8,96 7 7 b) Melyik számot kell elosztani 1,2-del, hogy legyen a hányados? x : 1,2 = x = 2,8 3 3 c) Egy szám a másik szám hatszorosa. Különbségük 19. Melyik ez a két szám? 6x − x = 19 x=

19 114 és 6x = 5 5

3 3 d) Két szám aránya 7 : 5, összegük 27 . Mennyi a számok szorzata? 7x + 5x = 27 x = 2,3 5 5 szorzatuk: 185,15.

e) Melyik számot szoroztam meg önmagával, majd 3-mal, ha a szorzat 432? x · x · 3 = 432 x = 12 vagy x = −12

220

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk f) Melyik számot szoroztam meg hárommal, majd a szorzatot önmagával, ha 225-öt kaptam? (3x) · (3x) = 225 x = 5 vagy x = −5

303. Oldd meg a következő egyenleteket! a) 8x − 13 − 5x = 4x + 28 − 3x − 15 x = 13 b) 5 − 2(3 − 4x) = 8x − 1 Azonosság, minden tanult szám megoldás. x 2x 3x 4x − 7 10 120 c) + −7 = −3 x=− d) −5= x=8 23 3 5 2 3 3 2x − 4 34 e) 3 − =x−3 x= 7 5 f) 4 − 3(x − 5) = 1 − 4(x − 6) + x − 8 Ellentmondásra vezet, nincs megoldása az egyenletnek. 304. Azonos márkájú karóráért, ébresztőóráért és stopperóráért összesen 18 600 Ft-ot kell fizetni. Az ébresztőóra 600 Ft-tal drágább a stoppernél, és éppen hatodrésze az ára, mint a karórának. Mennyibe kerülnek az egyes órák külön-külön? Jelöljük a stopper árát x-szel. Az ébresztőóra ára: x + 600, a karóra ára 6 · (x + 600). x + x + 600 + 6 · (x + 600) = 18 600 Innen x = 1800. A karóra 14 400 Ft, az ébresztőóra 2400 Ft és a stopperóra 1800 Ft. Ellenőrizzük a szövegbe visszaírva a kapott értékeket!

305. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) 7,5x − 3 < 4,3x + 0,2 x < 1 b) 4(12 − x) = 5x − 108,6 x 5 17,4 x−1 x+2 x 59 14 c) − 1 < 4(x − 5) x > d) − 3 · < 5 x > − = −2,8 11 5 3 4 2 306. Melyik az a két szám, amelyekről a következőket tudjuk: a) Összegük 100. Ha a nagyobb számot elosztjuk a kisebbel, a hányados 2 és a maradék 1. A számok: x és 100 − x. Legyen a nagyobb szám a 100 − x, ekkor kivonva belőle az 1 maradékot, a kisebb szám éppen 2-szer lesz meg benne: 100 − x − 1 = 2x. Innen x = 33. A számok 33 és 67. Ellenőrzés: 67 = 33 · 2 + 1.

b) Összegük 3927. Ha a kisebbik szám végére (az egyesek után) egy 0-t írunk, megkapjuk a nagyobb számot. Ha a kisebb szám egyese után 0-t írunk, akkor ez 10-zel való szorzást jelent. Ha a kisebb számot x-szel jelöljük, akkor a nagyobb szám 10x. Az egyenlet: x + 10x = 3927. Innen x = 357. A két szám 357 és 3570. Összegük valóban 3927.

307. A p = {0, 1, 2, 3, 4, 5} számok közül melyikre igaz, hogy a (p + 2) · x = 8 + x és (p − 2)x = p − 1 egyenleteknek a megoldása ugyanaz? Az adott p értékekre meg kell oldani az egyes egyenleteket. p =0 (p + 2) · x = 8 + x

2x = 8 + x x =8

(p − 2)x = p − 1

−2x = −1 1 x= 2

p =1 3x = 8 + x

p =2

−x = 0

4x = 8 + x 8 x= 3 0·x =1

x =0

nincs megoldás

x =4

p =3 5x = 8 + x x =2 x =2

p =4 6x = 8 + x 8 x= 5 2x = 3 3 x= 2

p =5 7x = 8 + x 4 x= 3 3x = 4 4 x= 3

Tehát p = {3; 5} esetén ugyanaz az egyenletek megoldása.

221

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk Függvények, sorozatok 308. Magyarországon 1976 óta kötelező a biztonsági öv használata az első üléseken, lakott területen kívül 1994-től a hátul ülőknek is be kell csatolniuk magukat. A hazai arány elöl 54 százalékos, hátul 6 százalékos. A németeknél a felnőttek 92 százaléka, a gyerekek 70 százaléka bekapcsolja magát. A biztonsági eszközök általános használata számos emberéletet menthetne meg évente. Ugye a te családodban mindenki használja a biztonsági övet? A vonalgrafikonon található adatokból készíts függvényt, azaz add meg az A alaphalmazt, a K képhalmazt és a hozzárendelési utasítást! Mely évek folyamán nőtt a biztonsági övet használók száma? Olvasd le a négyszög csúcspontjainak koordinátáit! a) Tükrözd a négyszöget az x tengelyre! b) Minden ponthoz azt a pontot rendeld hozzá, amelyik az x tengely másik oldalán van, de csak fele olyan távolságra az x tengelytől, mint az eredeti pont volt!

309.

Töltsd ki a táblázatot! Az alakzat neve Eredeti pontok

A(2; −4)

B(5; 3)

C(2; 6)

D(−1; 3)

Deltoid

a transz- formáció A (2; 4) B (5; −3) C (2; −6) D (−1; −3) Deltoid b transzformáció

2 A (2; 2) B 5; − 3

3 2 Deltoid C (2; −3) D −1; − 2

Kerület

Terület

√ √ 2( 18 + 58) ≈ ≈ 23,72 e

10 · 6 = 30 e2 2

23,72 e

30 e2

√ √ 58 45 + ≈ 5·6 = 15 e2 2 2 2 ≈ 15,93 e

310. Keresd a párját! x → 5 képe egy az x tengellyel párhuzamos egyenes, ami nem szerepel az ábrán. y =5+x

a:

3y = −2x + 9

d: b:

c:

x → 5x

b:

y = 5x x → 5

x=5 d:

2 x → − x + 3 3

222

C M Y K

x → x + 5

a:


Kzpiskolba kszlnk

311. Ábrázold az x → 3 − 2x függvény grafikonját! Határozd meg az A 0;

C −7; , D pontok a) a grafikonon;

;1 , E

;9 , F

, B 1;

,

; −47 pontok hiányzó jelzőszámait úgy, hogy a c) a grafikon alatt legyenek!

B 1; 1 C −7; 17 D 1 ; 1 E(−3 ; 9) F ( 25 ; −47) a A 0; 3

3− 2x

−2 −1 −1 −2

b) a grafikon felett;

x →

y 4 3 2 1

b

y>3

y>1

y > 17

x>1

x > −3

x > 25

c

y<3

y<1

y < 17

x<1

x < −3

x < 25

x

1 2 3 4

312. A városi autóbuszon egy vonaljegy ára 250 Ft. Julcsi néni a piacra ment őszibarackért, mindkét irányban autóbuszon utazott. Egy kg barack ára 300 Ft. Mariska néni közel lakik a piachoz, ő gyalog jár oda. Számítsd ki, hogy mennyit fizet Julcsi, illetve Mariska néni a vásárolt barack mennyiségétől függően! Írj fel függvénykapcsolatot, és rajzold meg az egyes függvények grafikonjait! Melyik határoz meg egyenes arányosságot a két függvénykapcsolat közül? 1750 1500 1250 1000 750 500 250

Pénz [Ft] A vásárolt barack x kg. Julcsi néni által fizetett pénz: x → 250 + 300x. Mariska néni által fizetett pénz: x → 300x, ez egyenes arányosság.

1 2 3 4 5

x [kg]

313. Melyik esetben lesz a legnagyobb a két koordináta-tengely és a lineáris függvény grafikonja által bezárt háromszög területe? 3 a) x → 5 − x b) x → x + 6 c) x → 3x − 8 2 A lineáris függvények tengelymetszeteit kell meghatározni. A kevésbé jó matematikusoknál elégedjünk meg a grafikonról való leolvasással, a jobbak pedig számolják ki a keresett metszéspontokat! Az x tengelynél a függvény értéke 0, míg az y tengelyen vett metszéspontnál az x = 0. 25 2 e = 12,5 e2 . a) x → 5 − x; A(5; 0) B(0; 5) T = 2 3 b) x → x + 6; A(−4; 0) B(0; 6) T = 12 e2 . 2 8 64 2 32 2 c) x → 3x − 8; A ;0 B(0; −8) T = e = e . 3 6 3 Az a) esetben lesz legnagyobb a terület.

223

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk 314. Az alsó sorban megadtuk egy sorozat különbségsorozatát. (A különbségsorozatot úgy kapjuk, hogy minden elemből – a másodiktól kezdve – kivonjuk a megelőzőt.) Írd be a sorozatok hiányzó elemeit! Találkoztál-e ismerős sorozattal? a) 0,5 0,8 1,6 2,3 7

0,3

1,5

b)

5 3

4 3

1

1 3

−5,4

4,7

7 3

2

1 3

1 3

1 3

számtani sorozat

c) 1

9

4

3

16

7

5

d) 4

−2

9 1 2

1

2

25

−1

−

1 2

négyzetszámok sorozata 1 4

−

1 4

315. Töltsd ki a számtani sorozatra vonatkozó táblázatot! a1

d

a2

a6

Az első hat elem összege

−3

7

4

32

87

1 2

−

1 4

−

1 4

3 4

−

3 4

20 3

1 3

7

8

1 3

45

8

−2

6

−2

18

316. Egy sorozat általános tagja 3(n − 1) + 2 képlettel írható le. a) Sorold fel a sorozat első tíz elemét és ábrázold azokat koordináta-rendszerben! Hogyan helyezkednek el a pontok? 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 b) Mit mondhatsz róluk 3-mal való oszthatóság szempontjából? A sorozat elemei 3-mal osztva 2-t adnak maradékul.

224

C

M

Y

K


Kzpiskolba kszlnk c) A sorozat hány tetszőleges elemét kell összeadni, hogy 3-mal osztható összeget kapjál? d) e)

Próbálkozzanak a gyerekek, míg rájönnek, hogy 3 tetszőleges elem összege többszöröse a 3-nak, hiszen 3szor lesz 2 a maradék. Tagja-e ennek a sorozatnak a 17; 117; 217; 317? A sorozat elemei 3-mal osztva 2-t adnak maradékul, és 2-től kezdve minden ilyen szám szerepel a sorozatban. Így a 17 eleme a sorozatnak, a6 = 17 és a 317 = a106 . A 117 osztható 3-mal, míg a 217 3k + 1 alakú szám, így ezek nem tartozhatnak a sorozathoz. Hányadik tagja a sorozatnak az 1541? 3(n − 1) + 2 = 1541 egyenletből n = 514, azaz a514 = 1541.

317. Az egytől kezdve hány egymás utáni pozitív egész számot kell összeadni, hogy az összeg olyan háromjegyű szám legyen, amelynek számjegyei egyenlőek? Az összeadandó számok: 1 + 2 + . . . + n =

n(n + 1) . 2

Első megoldás: A kapott háromjegyű szám a a a alakú, amelynek értéke 111 · a, ahol 1 a 9. (n + 1)n Innen = 111 · a 2 n(n + 1) = 2 · 3 · 37 · a. n és n + 1 egymás után következő számok, ezért olyan a-t kell keresni, hogy a 2 · 3 · 37 · a is két szomszédos szám szorzata legyen. Az a-ra adott feltétel miatt a 36 a keresett szomszédja a 37-nek, és más megoldás nem is jöhet szóba az a 9 miatt, ezt behelyettesítéssel is megkaphatják a gyerekek. Így n(n + 1) = 36 · 37, azaz a = 6. Tehát 36 számot adtunk össze. Ellenőrzés: 1 + 2 + . . . + 36 = 666.

5 5

5

Második megoldás: Az n(n + 1) = 2 · 3 · 37 · a = 37 · 6 · a kifejezésben vagy n, vagy n + 1 többszöröse 37-nek. Ha már 2-szerese lenne akár n, akár n+1, akkor az legalább 2 ·37−1 = 73 lenne. A másik szám viszont legfeljebb a · 3, azaz legfeljebb 27 lehetne, ami ellentmond annak, hogy n és n + 1 szomszédos számok. Eszerint vagy n, vagy n + 1 egyenlő 37-tel. Mivel n = 37 esetén n + 1 = 38 nem osztható 6-tal, csakis n + 1 = 37 jön szóba. Így n = 36 = 6 · 6 = 6 · a, vagyis a = 6. Megjegyzés: Ha nem kötjük ki, hogy a számjegy, akkor akárhány megoldás lehet. Csak egy példa: 74 · 75 = 2 · 37 · 3 · 25, a = 25.

Alakzatok 318. Melyik hibás? A: 2,8 · 105 m = 28 km B: 24 cm2 = 2,4 · 103 mm2 C: 634 dm2 = 6,34 m2

D: 3 m3 71 dm3 ≈ 3,1 millió cm3 E: 2645 l = 2,645 m3 F : Az A, B, C, D, E mindegyike helyes.

Helyes a B, C, D, E, hibás az A és az F . A : 2,8 · 105 m

28 km = 2,8 · 104 m

B : 24 cm2 = 2,4 · 103 mm2 = 2400 mm2

D : 3 m3 71 dm3 = 3 071 000 cm3 ≈ 3,1 millió cm3

E : 2645 l = 2,645 m3 2645 dm3

319. a) Milyen hosszú és milyen széles papírra fér el az ábra szerint egymás után rajzolt tíz szabályos háromszög? x 2 + 102 = (2x)2 3x 2 = 100 x ≈ 5,77 cm

A papír szélessége 2x ≈ 11,54 cm < 11,6 cm

225

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk b) Milyen hosszú és milyen széles papírra fér el az ábra szerint egymás mellé rajzolt tíz kör? A papír hossza 6 + 12 + 18 + . . . + 60 = 330 cm. A papír szélessége 60 cm.

c)

x

y

z

Az AD szakasz hossza 27 cm. Az AB és CD szakasz hosszának átlaga éppen a BC szakasz hossza. Az AC szakasz pedig kétszer olyan hosszú, mint a BD szakasz. Mekkora az AB, a BC és a CD szakasz hossza?

A B I.

C D

⎫ ⎪ ⎪ ⎬

x + y + z = 27

II.

x + z = 2y

III.

x + y = 2(y + z)

AB = 15 cm,

I.,II. 3y = 27

⎪ ⎪ ⎭

y=9

BC = 9 cm,

Ellenőrzés: 15 + 9 + 3 = 27;

II. III.

x + z = 18 x − 2z = 9

z=3

x = 15

CD = 3 cm 15 + 3 = 2 · 9;

15 + 9 =9+3 2

320. Egy háromszög két belső szögének aránya 3 : 4. A harmadik belső szöge

1 egyenesszöggel 18

nagyobb az elsőnél. Mekkorák a háromszög szögei? 3x + 4x + 3x + 10 = 180 x = 17 A háromszög szögei 51◦ , 68◦ és 61◦ .

321. Egy téglalap átlója 2 : 3 arányban osztja a téglalap szögét. a) Mekkora szöget zár be a két átló? b) Mekkora a hosszabb oldal, ha az átló hossza 10 cm, a rövidebb oldal hossza pedig 6 cm?

a)

a) Az átlók szöge ε = 2 · 36◦ = 72◦ . b) Pitagorasz-tétel alapján a másik oldal 8 cm hosszú. Ellenőrizni kell a szögeket. Megmutatható, hogy ez nem lehet az a) részben megadott téglalap, mert a 6 cm és 8 cm oldalú téglalap szögét az átló 36,87◦ -os és 53,13◦ os szögre bontja. Ha az a) és a b) feladatban szereplő téglalapok rajzát négyzetrácson elkészítjük, és azokat egymásra csúsztatjuk (pl. írásvetítőn vagy aktív táblán), szemléltethetjük, hogy a két téglalap nem egybevágó. a)

b)

54◦

a), b)

53,13◦ 36,87◦

36◦

322. a) Egy négyzetet az egyik oldalával párhuzamos egyenesekkel három egybevágó, 24 cm kerületű téglalapra bontunk. Számítsd ki a négyzet kerületét, területét! 8 a = 24 a = 9 3 Knégyzet = 36 cm

Tnégyzet = 81 cm2

226

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk b) Egy négyzet oldalait 10%-kal növelték, majd az így kapott négyzet oldalait azok ötödével csökkentették. A két változtatás után keletkezett négyzet területe hány százaléka az eredeti négyzet területének? 77,44%-a a terület.

323. Egy derékszögű trapéz alapjai 8 cm és 4 cm hosszúak, a hosszabbik szára pedig 5 cm. Mekkora a trapéz rövidebb átlója és a területe? m2 + 42 = 52

42 + 32 = e 2 (8 + 4) · 3 = 18 cm2 A rövidebb átló 5 cm. T = 2 ⇒

m=3

⇒

e=5

Egy 6 cm oldalú négyzet oldalain az ábra szerint megjelöltünk négy harmadoló pontot, az F pont pedig legyen az RS szakasz felezőpontja. a) Milyen fajta sokszög az SCR, a P QRS, az AQF P , a QF SP ?

324.

SCR: egyenlő szárú derékszögű háromszög AQF P : deltoid QF SP : paralelogramma

P QRS : húrtrapéz

b) Számítsd ki az SCR, a P QRS, az AQF P és a QF SP sokszög kerületét és területét! TSCR = 8 cm2

TP QRS = 18 cm2

TAQF P = 8 cm2

TQF SP = 12 cm2

c) Számítsd ki a P Q és RS szakaszok távolságát mm pontossággal! x 2 + x 2 = 22

P Q és RS távolsága 3x ≈ 4,23 cm ≈ 42 mm

x2 = 2 x ≈ 1,41 cm

325. Egy konvex sokszög külső és belső szögeinek összege 1260◦ . Hány oldalú a sokszög? Megrajzolható-e egy vonallal, a ceruza felemelése nélkül a sokszög összes oldala és átlója úgy, hogy semelyik szakaszt sem rajzoljuk meg kétszer? A sokszög 7 oldalú, mert (n − 2) · 180◦ = 1260◦ − 360◦

7 · 180◦ = 1260◦ .

Egy vonallal megrajzolható, mert minden csúcsban páros számú szakasz fut össze (2 oldal és 4 átló).

326. Egy szabályos sokszög szomszédos csúcsai A, B és C, középpontja pedig O. Az ABCO deltoid egyik szöge 45◦ -kal nagyobb a másiknál. Hány oldalú a sokszög?

vagy

vagy

x = 36◦

x = 63◦

AOB

^ = 85,5◦

lehetetlen

AOB

^ = 18◦

20 oldalú

x = 45◦

AOB

^ = 90◦

4 oldalú

227

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk

x = 90◦

AOB

^ = 45

x = 105◦

lehetetlen

◦

AOB

^ = 75

lehetetlen

◦

lehetetlen

9 oldalú

327. Mekkora a színessel jelölt rész területe, ha az ábrán egyenlő oldalú sokszög és körívek láthatók? a)

b)

a) T = 62 − 2 ·

c)

1 2 · 3 π + 2 · 1,52 π ≈ 21,87 cm2 2

b) Pitagorasz-tétel alapján: x 2 + 62 = 72 ; x ≈ 3,61 cm; AB ≈ 14,22 cm (AB + 7) · 6 T =2· − 2,52 π ≈ 107,7 cm2 2 Megjegyzés: A hatszög egyenlő oldalú, de nem szabályos hatszög. c) 60◦ m

Pitagorasz-tétel alapján: m2 + 102 = 202 ; m ≈ 17,3 cm 20

T = 2·

20 · m 2 2 − · 7 π ≈ 243,43 cm2 2 3

10

328. A kocka éle 1 cm. a) Számítsd ki a színessel jelölt hatszög kerületét, ha az élek felezőpontjai a hatszög csúcsai! b) Rajzold be a kocka hálójába a hatszög oldalait! √ √ a) A hatszög éle 5 2 mm ≈ 7,05 mm, K = 6 · 5 2 ≈ 42,3 mm b) Más hálózattal is megadhatjuk. Pl.:

228

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk 329. a) Egy téglatest élei méterben mérve egészek, térfogata 28 m3 . Mekkora lehet a téglatest felszíne? V = a · b · c = 28

1 · 1 · 28

1 · 2 · 14

1·4·7

2·2·7

A = 2(a · b + a · c + b · c)

114 m2

88 m2

78 m2

64 m2

b) Egy téglatest élei centiméterben mérve egészek, két lapjának területe 7 cm2 , illetve 9 cm2 . Mekkora lehet a téglatest felszíne? a·b =7

1·7

a·c =9

1·9

A = 2 · (a · b + a · c + b · c)

158 cm

1·7 3·3 2

lehetetlen

Egy négyzetes oszlop alakú csomagot az ábrán látható módon átkötöttek. Ehhez 210 cm szalagot használnak, amiből 10 cm kellett a csomózáshoz. A test magassága háromszor akkora, mint az alapéle. Hány centiméter az oszlop egy csúcsában összefutó három éle hosszának az összege?

330.

12a = 200 cm; a = A három él hossza 5a = 5 ·

50 cm 3

50 250 1 = cm = 83 cm 3 3 3

331. a) Számítsd ki a testek térfogatát! b) Hány kilogramm festék kell a testek befestéséhez, ha 1,3 kg festék elegendő 1 m2 felülethez? I. húrtrapéz alapú egyenes hasáb

II. egyenes henger, amelynek az alaplapja egy félkör és egy téglalap

x 2 = 12 + 0,52 x ≈ 1,12 m

(3 + 2) · 1 · 5 = 12,5 m3 2 (3 + 2) · 1 b) A = 2 · + (3 + 2 · 1,12 + 2) · 5 = 41,2 m2 2 m = 41,2 · 1,3 = 53,56 kg ≈ 54 kg festék kell a) V =

1 2 a) V = · 1 · π + 2 · 2,5 · 1 ≈ 6,57 m3 2 1 2 · 1 · π + 2 · 2,5 + b) A = 2 · 2 1 + · 2 · 1 · π + 2 + 2 · 2,5 · 1 ≈ 23,28 m2 2 m = 23,28 · 1,3 = 30,264 kg ≈ 31 kg festék kell

229

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk III. kockából készült

IV. a téglatestben henger alakú furat van

a) V = 2 · 4 · 9 − 12 · π · 2 ≈ 65,72 m3 a) V = 213 − 7 · 7 · 21 = 8232 m3 b) A = 4 · 212 + 2 · (212 − 72 ) = 2548 m2 m = 2548 · 1,3 = 3312,4 kg ≈ 3313 kg

b) A = 2(2·4+2·9+4·9−12 ·π)+2·2·1·π ≈ 130,28 m2 m = 130,28 · 1,3 = 169,364 kg ≈ 170 kg festék kell (A furat belül is festékes.)

332. Az ABC egyenlő szárú háromszög egyik szárának végpontjai A és B. Melyik pont nem lehet a háromszög harmadik csúcsa? a)

C(3; 8) D(−3; 0) E(4; 5) F (−1; 3) G(−5; 4)

b)

C(8; −6) D(0; 10) E(−5; 9) F (−10; 0) G(8; −2)

a) Csak az E nem lehet, mert AC = AD = AG = AB = BF = 5 egység. b) Az E és G nem lehet, mert AC = AD = AF = AB = 10 egység.

Transzformációk 333. Egy gombfoci pályán a hagyományos WM-rendszer szerint helyezték el az egyik csapat játékosait. Rajzold meg az ellenfél figuráit, ha mindegyik a középvonalra szimmetrikusan ugyanilyen rendszerben helyezkedik el!

230

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk 334. Legyen az ABCD téglalap AB oldala 6 cm, BC oldala 4 cm, CD oldalának felezőpontja E! a) Szerkeszd meg a téglalapot, majd tükrözd az AE egyenesre! b) Milyen négyszög az ABCD téglalap és a tükörkép közös része? Számítsd ki e négyszög átlóinak hosszát! A közös rész az ADED deltoid. Pitagorasz-tétel alapján AE = 5 cm. AE · DD 4·3 = 2· 2 2 DD = 4,8 cm

⇒

TADED = ⇒

c) Hány mm2 az ABCD téglalap és a tükörképének egyesítésével kapott sokszög területe, illetve hány dm2 az ABCD téglalap és a tükörkép közös részének területe? Az egyesítés az AB C ECB hatszög. 4·3 TADED = 2 · = 12 cm2 = 0,12 dm2 a közös rész területe. 2 TAB C ECB = 2 · TABCD − TADED = 2 · 6 · 4 − 12 = 36 cm2 = 3600 mm2 az egyesítés területe.

335. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapja 9 cm, az alaphoz tartozó magassága 6 cm hosszú. a) Szerkeszd meg a háromszöget, majd tükrözd a 6 cm-es magasság felezőpontjára! b) Számítsd ki az ABC háromszög és a tükörkép háromszög közös részének területét! c) Hány százaléka a közös rész kerülete az ABC háromszög kerületének? a) EF középvonal hossza 4,5 cm. A közös rész rombusz. 4,5 · 6 b) TCEC F = = 13,5 cm2 2 c) 2,252 + 32 = x 2 x ≈ 3,75 cm KABC = 4x + 9 ≈ 24 cm KCEC F = 4x ≈ 15 cm 15 A közös rész kerülete · 100 = 62,5%-a a háromszög kerületének. 24

336. Számítsd ki a szabályos sokszög belső szögeinek összegét, ha a) ugyanannyi szimmetriatengelye van, mint ahány átlója, n · (n − 3) ; n = 5; (n − 2) · 180◦ = 540◦ a belső szögek összege. 2 középpontosan szimmetrikus, és a középponti szöge 30◦ -nak n=

b)

Középpontosan szimmetrikus

⇒

Középponti szöge

30◦ ;

60◦ ;

90◦ ;

n=

12 ;

6 ;

4 ;

1800◦ ;

720◦ ;

360◦ ;

Belső szögek összege

egész számú többszöröse!

n páros. 120◦ (ennél több nem lehet) 3 180◦ lehet.

231

C M Y K


Kzpiskolba kszlnk 337. Döntsd el, hogy igazak vagy hamisak-e az alábbi állítások! A: Nem minden rombusz deltoid. Hamis. B: Ha a derékszögű trapéz középpontosan szimmetrikus, akkor négyzet. Hamis. Lehet nem egyenlő oldalú téglalap is.

C: Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus és átlói merőlegesek, akkor a négyszög téglalap. Hamis. A négyszög rombusz. D: Van olyan húrtrapéz, ami paralelogramma. Igaz. Ilyen pl.: a téglalap. E: A téglalap átlói szimmetriatengelyek. Hamis. Pl.: nem egyenlő oldalú téglalap. F : Ha egy húrtrapéz középpontosan szimmetrikus, akkor téglalap. Igaz. G: Minden rombusz középpontosan szimmetrikus. Igaz. H : A szabályos hatszög átlói szimmetriatengelyek. Hamis. Pl.:

I : A szabályos sokszög szimmetriatengelyei átlók. Hamis. Pl.:

J : A szabályos háromszög középpontosan szimmetrikus. Hamis. K: Ha egy négyszögnek van két egyenlő szöge, akkor van szimmetriatengelye. Hamis. Pl.: nem derékszögű, nem egyenlő oldalú paralelogramma.

232

C M Y K


C M Y K


Az azonosság fogalma

Azonos átalakítások, egyenletek

3–4

Zárójelfelbontás

Tankönyv, mágnestábla kártyákkal

Azonosságra vezető egyenletek

Egyenletek megoldásának előkészítése

Egyenletek megoldásának előkészítése

Egytagú, többtagú Egynemű, nem Összevonás, szor- Tankönyv, mágalgebrai kifejezé- egynemű kifejezés zás számokkal és nestábla kártyáksek betűkkel kal

Műveleti tulajdon- Tankönyv, mágságok (felcserélhe- nestábla kártyáktőség, csoportosít- kal hatóság)

2

Kitekintés

Algebrai kifejezé- A betűkifejezés sek összege, szor- értelmezése zata

Eszközök

1

Összefüggések

szeptember– október

Fogalmak

A kerettanterv 2003-as csökkentett változatában nem szerepel az algebrai kifejezések osztása.

+5

GONDOLKODJUNK EGYÜTT!

Tananyag

ALGEBRA 16 + 5 A témakör végén 2 óra felmérő dolgozat

Óraszám

Téma

Heti 3 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 111 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 99 óra beosztását tartalmazza. A fennmaradó 12 óra szabadon használható fel a tanár, illetve a tanulók igénye szerint. Heti 4 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ezt az egyes témaköröknél külön megjelöljük. (+ x óra) A tankönyv első fejezetének heti 3 óra esetén nincs külön óraszáma. Ezeket a feladatokat házi feladatként, versenyre készüléskor vagy szakköri foglalkozásokon adhatjuk fel. A 2003-ban érvénybe lépett tantervmódosítást az egyes témakörök megfelelő soraiban jelezzük dőlt betűvel.

TANMENETJAVASLAT

Kerettanterv

233

Téma

C M Y K Szöveges feladatok Mozgásos feladatok Munkavégzéssel Munka, teljesítkapcsolatos felada- mény tok Százalékszámítást A százalékszámítartalmazó és tás alapfogalmai keveréses feladatok

11

12

13–14

15–16

Út, idő, sebesség

A valóságból vett problémák matematikai leírása

Összegből szorzat, Kiemelés kiemelés

A helyettesítési érték fogalma, algebrai egész, algebrai tört fogalma

9–10

Egész és törtkifejezések, oszthatóság

7

Hatványalap, hatványkitevő, hatványérték

Szorzatból összeg, Zárójelfelbontás, beszorzás összeg, szorzat fogalma

Hatványozás azonosságai

5–6

Fogalmak

8

Tananyag

Óraszám



Eszközök

Tankönyv

Tankönyv

234


Tankönyv

Kamatoskamatszámítás

A becslés és az ellenőrzés

Egyenletek grafikus megoldása

Az ellenőrzés szerepe

Többtényezős kifejezések átalakítása, törtkifejezések közös nevezője

Függvényértékek megadása

Szorzatok egyszerűbb alakban való felírása, törtek egyszerűsítése

Kitekintés

Arányos következ- Tankönyv, banki Kamatoskamattetések számlakivonatok, számítás áruházi prospektusok

Egyenes és fordított arányosság

Az egyenesvonalú Tankönyv egyenletes mozgás

Szövegértés

Azonosságok alkalmazása

Az összeg és a Tankönyv, mágszorzat kapcsonestábla kártyáklata, a disztributív kal műveleti tulajdonság

Számolási feladatok, műveletek sorrendje

A hatványozás azonosságai, a szorzás és a hatványozás

Összefüggések

Kerettanterv

C M Y K I. felmérő

17–18

Eszközök

Pitagorasz-tétel

Pitagorasz-tétel alkalmazása

Síkgeometriai fela- Geometriai problé- Derékszögű Zsebszámológép datok mák leírása algeb- háromszögek a rai eszközökkel környezetünkben és a geometriában Számonkérés

22–23

24–25

26–27

28

A mértékegység önkényes megválasztása

Háromszögek szö- Oldalak és szögek szerinti osztá- gek kapcsolata a lyozása háromszögekben

Zsebszámológép, szerkesztőeszközök

Hosszúságok meghatározása valóságos tárgyakon

A görög matematika szerepe

Összefüggés a Zsebszámológép, Pitagoraszi számháromszög oldalai számok négyzeté- hármasok között nek táblázata

Hosszúság és terü- Síkidomok átdara- Téglalap és Négyzethálós let meghatározása bolása háromszög területe papír, szerkeszrácson tőeszközök Tétel és annak megfordítása

Kitekintés

√ A négyzetre eme- Milliméterpapír, Az x → x függlés és a gyökvonás zsebszámológép, vény grafikonja számok négyzetének táblázata

Összefüggések

21

október–november 19–20

Fogalmak

Négyzetgyökvonás Négyzetgyök fogalma

Tananyag

Óraszám

NÉGYZETGYÖK 10 + 3 FOGALMA PITAGORASZTÉTEL

Téma

Kerettanterv

235


Összefüggések

Eszközök

C M Y K Térgeometriai fel- Távolságok térbeli Hasábok élei, átlói Szerkesztőeszkö- Pitagorasz-tétel adatok alakzatokon zök, zsebszámoló- alkalmazása gép II. felmérő

36–37

38–39

A kör részeinek területe

Húrsokszögek, érintősokszögek

Síkgeometriai fela- Geometriai felaA síkgeometriai Szerkesztőeszkö- Pitagorasz-tétel datok datok megoldása alakzatokról tanul- zök, zsebszámoló- alkalmazása algebrai eszközök- tak összegezése gép kel

Szerkesztőeszközök


34–35

Körcikk, körszelet, A sokszögek és a körgyűrű kör

A szögek fajtái

A kör és részei

Konvex, konkáv sokszögek

33

Húrnégyszög, érintőnégyszög

Sokszögek


32

A négyszögek Venn-diagramja

Thalész-tétel előkészítése

Négyszögek

Speciális négyszögek kerülete, területe

A háromszögek Adott tulajdonságú Szerkesztőeszkönevezetes vonalai, pontok halmaza zök körei

Kitekintés

30–31

29

Háromszögek

Fogalmak

november

Tananyag A kerettanterv 2003-as csökkentett változatában nem szerepel ez a témakör.

Óraszám

SÍKGEOMETRIA 9 + 4 A témakör végén 2 óra felmérő dolgozat

Téma

Kerettanterv

236


Óraszám

C M Y K

december–január

Összefüggések

Eszközök

Függvények, soro- Függvények, soro- Függvény és grafi- Tankönyv, írásve- A függvények zatok zatok jellemző konja közötti kap- títő, függvények alkalmazása: adatai csolat grafikonjai fólián fizika, statisztika stb. Geometriai alakza- Síkgeometriai tok alapfogalmak

Geometriai számí- Egybevágósági tások, szerkeszté- transzformációk sek

46–47

48–49

A transzformációk Tankönyv, szerés a síkmozgások kesztőeszközök kapcsolata

Geometriai alapis- Tankönyv, szermeretek a három- kesztőeszközök szögekben. Területszámítás

Pontos, áttekinthető rajzolás fontossága

Geometriai számítások valósághoz kötődő szöveges feladatokban

Képletek helyes használata a fizikában és a kémiában

44–45

Képlet és helyet- Tankönyv tesítési értéke. Egyenletek, egyenlőtlenségek

Algebrai kifejezé- Algebrai alapfosek átalakítása galmak

Algoritmusok helyes használata

Kitekintés

42–43

Helyi, alaki érték, Műveletek sorTankönyv, prímellentett, abszolút rendje, prímténye- számtáblázat érték zős felbontás

Fogalmak

Műveletek racionális számokkal

Tananyag

40–41

KÖZÉPISKOLÁ- 10 + 4 BA KÉSZÜLÜNK

Téma

Kerettanterv

237


Kerettanterv Tartalomjegyzék TK. KERETTANTERV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 GONDOLKODJUNK EGYÜTT! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Logikai feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Halmazokkal kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Skatulyaelv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Hányféleképpen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Játékok, híres fejtörők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

FGY.

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Algebrai kifejezések fajtái I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Egytagú és többtagú algebrai kifejezések, összevonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Azonos átalakítások, egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 A hatványozás azonosságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Szorzat és hányados hatványozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Algebrai kifejezések fajtái II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Szorzatból összeg, beszorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Összegből szorzat, kiemelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Mozgásos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Százalékszámítással kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Keveréses feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 NÉGYZETGYÖK, PITAGORASZ-TÉTEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 A négyzetgyök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Hosszúság és terület meghatározása rácson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Pitagorasz-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A Pitagorasz-tétel alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 GEOMETRIAI ISMÉTLŐ FELADATOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Körök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Síkgeometriai számítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Térgeometriai számítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 KÖZÉPISKOLÁBA KÉSZÜLÜNK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Függvények, sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 FELVÉTELI FELADATOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 TANMENETJAVASLAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

. . . . . . . . . 154 . . . . . . . . . 154 . . . . . . . . . 156

238

C M Y K


. . . . . . . . . 163

. . . . . . . . . 175 . . . . . . . . . 179 . . . . . . . . . 182 . . . . . . . . . 184

. . . . . . . . . 186 . . . . . . . . . 187 . . . . . . . . . 189 . . . . . . . . . 189 . . . . . . . . . 195 . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . 204 . . . . . . . . . 205 . . . . . . . . . 207 . . . . . . . . . 210 . . . . . . . . . 216 . . . . . . . . . 216 . . . . . . . . . 219 . . . . . . . . . 222 . . . . . . . . . 225 . . . . . . . . . 230

Kerettanterv

a+b

a+b

b−a

a

a+b

a+b

3

b−a b

b

b

b

a a

7

b−a

a

b

7

3

7 a+7

a

a

3

a a

C M Y K

b

a b

b


3

Sz. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 Sz.

0 1,000 1,210 1,440 1,690 1,960 2,250 2,560 2,890 3,240 3,610 4,000 4,410 4,840 5,290 5,760 6,250 6,760 7,290 7,840 8,410 9,000 9,610 10,24 10,89 11,56 12,25 12,96 13,69 14,44 15,21 16,00 16,81 17,64 18,49 19,36 20,25 21,16 22,09 23,04 24,01 25,00 26,01 27,04 28,09 29,16 0

1 1,020 1,232 1,464 1,716 1,988 2,280 2,592 2,924 3,276 3,648 4,040 4,452 4,884 5,336 5,808 6,300 6,812 7,344 7,896 8,468 9,060 9,672 10,30 10,96 11,63 12,32 13,03 13,76 14,52 15,29 16,08 16,89 17,72 18,58 19,45 20,34 21,25 22,18 23,14 24,11 25,10 26,11 27,14 28,20 29,27 1

Számok négyzete (1,00 → 5,49) 2 3 4 5 6 1,040 1,061 1,082 1,102 1,124 1,254 1,277 1,300 1,322 1,346 1,488 1,513 1,538 1,563 1,588 1,742 1,769 1,796 1,823 1,850 2,016 2,045 2,074 2,103 2,132 2,310 2,341 2,372 2,403 2,434 2,624 2,657 2,690 2,723 2,756 2,958 2,993 3,028 3,063 3,098 3,312 3,349 3,386 3,423 3,460 3,686 3,725 3,764 3,803 3,842 4,080 4,121 4,162 4,203 4,244 4,494 4,537 4,580 4,623 4,666 4,928 4,973 5,018 5,063 5,108 5,382 5,429 5,476 5,522 5,570 5,856 5,905 5,954 6,002 6,052 6,350 6,401 6,452 6,502 6,554 6,864 6,917 6,970 7,022 7,076 7,398 7,453 7,508 7,562 7,618 7,952 8,009 8,066 8,122 8,180 8,526 8,585 8,644 8,702 8,762 9,120 9,181 9,242 9,302 9,364 9,734 9,797 9,860 9,922 9,986 10,37 10,43 10,50 10,56 10,63 11,02 11,09 11,16 11,22 11,29 11,70 11,76 11,83 11,90 11,97 12,39 12,46 12,53 12,60 12,67 13,10 13,18 13,25 13,32 13,40 13,84 13,91 13,99 14,06 14,14 14,59 14,67 14,75 14,82 14,90 15,37 15,44 15,52 15,60 15,68 16,16 16,24 16,32 16,40 16,48 16,97 17,06 17,14 17,22 17,31 17,81 17,89 17,98 18,06 18,15 18,66 18,75 18,84 18,92 19,01 19,54 19,62 19,71 19,80 19,89 20,43 20,52 20,61 20,70 20,79 21,34 21,44 21,53 21,62 21,72 22,28 22,37 22,47 22,56 22,66 23,23 23,33 23,43 23,52 23,62 24,21 24,30 24,40 24,50 24,60 25,20 25,30 25,40 25,50 25,60 26,21 26,32 26,42 26,52 26,63 27,25 27,35 27,46 27,56 27,67 28,30 28,41 28,52 28,62 28,73 29,38 29,48 29,59 29,70 29,81 2 3 4 5 6 7 1,145 1,369 1,613 1,877 2,161 2,465 2,789 3,133 3,497 3,881 4,285 4,709 5,153 5,617 6,101 6,605 7,129 7,673 8,237 8,821 9,425 10,05 10,69 11,36 12,04 12,74 13,47 14,21 14,98 15,76 16,56 17,39 18,23 19,10 19,98 20,88 21,81 22,75 23,72 24,70 25,70 26,73 27,77 28,84 29,92 7

8 1,166 1,392 1,638 1,904 2,190 2,496 2,822 3,168 3,534 3,920 4,326 4,752 5,198 5,664 6,150 6,656 7,182 7,728 8,294 8,880 9,486 10,11 10,76 11,42 12,11 12,82 13,54 14,29 15,05 15,84 16,65 17,47 18,32 19,18 20,07 20,98 21,90 22,85 23,81 24,80 25,81 26,83 27,88 28,94 30,03 8

9 1,188 1,416 1,664 1,932 2,220 2,528 2,856 3,204 3,572 3,960 4,368 4,796 5,244 5,712 6,200 6,708 7,236 7,784 8,352 8,940 9,548 10,18 10,82 11,49 12,18 12,89 13,62 14,36 15,13 15,92 16,73 17,56 18,40 19,27 20,16 21,07 22,00 22,94 23,91 24,90 25,91 26,94 27,98 29,05 30,14 9

Sz. 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 Sz.

0 30,25 31,36 32,49 33,64 34,81 36,00 37,21 38,44 39,69 40,96 42,25 43,56 44,89 46,24 47,61 49,00 50,41 51,84 53,29 54,76 56,25 57,76 59,29 60,84 62,41 64,00 65,61 67,24 68,89 70,56 72,25 73,96 75,69 77,44 79,21 81,00 82,81 84,64 86,49 88,36 90,25 92,16 94,09 96,04 98,01 0

1 30,36 31,47 32,60 33,76 34,93 36,12 37,33 38,56 39,82 41,09 42,38 43,69 45,02 46,38 47,75 49,14 50,55 51,98 53,44 54,91 56,40 57,91 59,44 61,00 62,57 64,16 65,77 67,40 69,06 70,73 72,42 74,13 75,86 77,62 79,39 81,18 82,99 84,82 86,68 88,55 90,44 92,35 94,28 96,24 98,21 1

Számok négyzete (5,50 → 9,99) 2 3 4 5 6 30,47 30,58 30,69 30,80 30,91 31,58 31,70 31,81 31,92 32,04 32,72 32,83 32,95 33,06 33,18 33,87 33,99 34,11 34,22 34,34 35,05 35,16 35,28 35,40 35,52 36,24 36,36 36,48 36,60 36,72 37,45 37,58 37,70 37,82 37,95 38,69 38,81 38,94 39,06 39,19 39,94 40,07 40,20 40,32 40,45 41,22 41,34 41,47 41,60 41,73 42,51 42,64 42,77 42,90 43,03 43,82 43,96 44,09 44,22 44,36 45,16 45,29 45,43 45,56 45,70 46,51 46,65 46,79 46,92 47,06 47,89 48,02 48,16 48,30 48,44 49,28 49,42 49,56 49,70 49,84 50,69 50,84 50,98 51,12 51,27 52,13 52,27 52,42 52,56 52,71 53,58 53,73 53,88 54,02 54,17 55,06 55,20 55,35 55,50 55,65 56,55 56,70 56,85 57,00 57,15 58,06 58,22 58,37 58,52 58,68 59,60 59,75 59,91 60,06 60,22 61,15 61,31 61,47 61,62 61,78 62,73 62,88 63,04 63,20 63,36 64,32 64,48 64,64 64,80 64,96 65,93 66,10 66,26 66,42 66,59 67,57 67,73 67,90 68,06 68,23 69,22 69,39 69,56 69,72 69,89 70,90 71,06 71,23 71,40 71,57 72,59 72,76 72,93 73,10 73,27 74,30 74,48 74,65 74,82 75,00 76,04 76,21 76,39 76,56 76,74 77,79 77,97 78,15 78,32 78,50 79,57 79,74 79,92 80,10 80,28 81,36 81,54 81,72 81,90 82,08 83,17 83,36 83,54 83,72 83,91 85,01 85,19 85,38 85,56 85,75 86,86 87,05 87,24 87,42 87,61 88,74 88,92 89,11 89,30 89,49 90,63 90,82 91,01 91,20 91,39 92,54 92,74 92,93 93,12 93,32 94,48 94,67 94,87 95,06 95,26 96,43 96,63 96,83 97,02 97,22 98,41 98,60 98,80 99,00 99,20 2 3 4 5 6 7 31,02 32,15 33,29 34,46 35,64 36,84 38,07 39,31 40,58 41,86 43,16 44,49 45,83 47,20 48,58 49,98 51,41 52,85 54,32 55,80 57,30 58,83 60,37 61,94 63,52 65,12 66,75 68,39 70,06 71,74 73,44 75,17 76,91 78,68 80,46 82,26 84,09 85,93 87,80 89,68 91,58 93,51 95,45 97,42 99,40 7

8 31,14 32,26 33,41 34,57 35,76 36,97 38,19 39,44 40,70 41,99 43,30 44,62 45,97 47,33 48,72 50,13 51,55 53,00 54,46 55,95 57,46 58,98 60,53 62,09 63,68 65,29 66,91 68,56 70,22 71,91 73,62 75,34 77,09 78,85 80,64 82,45 84,27 86,12 87,98 89,87 91,78 93,70 95,65 97,61 99,60 8

9 31,25 32,38 33,52 34,69 35,88 37,09 38,32 39,56 40,83 42,12 43,43 44,76 46,10 47,47 48,86 50,27 51,70 53,14 54,61 56,10 57,61 59,14 60,68 62,25 63,84 65,45 67,08 68,72 70,39 72,08 73,79 75,52 77,26 79,03 80,82 82,63 84,46 86,30 88,17 90,06 91,97 93,90 95,84 97,81 99,80 9

Kerettanterv

C M Y K


Melléklet

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Recommend Documents