TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Elsz

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolyam II. kötetéhez

C M Y K

TEX 2014. június 2. –20:58 (1. lap/1. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K8-002)

Elsz Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az „Érdemes tankönyvíró” kitüntető címet

Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN

AP–080832 ISBN 978-963-464-698-3

A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva, 2009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18. Tel.: 95/525-000; fax: 95/525-014 E-mail: [email protected] Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 29,36 A/5 ív Tömeg: 598 g

C M Y K


Hozzrendels, fggvny FÜGGVÉNYEK 1. 2–3. 4–5. 6–7.

óra: óra: óra: óra:

8. óra: 9. 9–10. 11–12. 13–14. 15.

óra: óra: óra: óra: óra:

Hozzárendelések, függvények Lineáris függvény Abszolútérték-függvény Másodfokú függvény 1 x → függvény x Gyakorlás, illetve függvénytranszformációk Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Sorozatok, számtani sorozat Mértani sorozat fogalma Gyakorlás

Mire építünk? – – – – – – –

A koordináta-rendszerben való biztos eligazodásra A megfeleltetés fogalmára két halmaz között A függvény fogalmára (alaphalmaz, képhalmaz) A lineáris függvény ismeretére A függvény grafikonja és a koordináta-rendszer pontjai közötti kapcsolat ismeretére A sorozat fogalmára, grafikonjának ismeretére A számtani sorozat fogalmának ismeretére, összefüggésekre a számtani sorozat elemei között, az első néhány elem összegének meghatározására

Meddig jutunk el? – Tudatosítjuk, hogy a megfeleltetés és a hozzárendelés azonos fogalom, ezért használjuk felváltva a könyvben. A függvény egy speciális hozzárendelés. – Tovább mélyítjük a függvény fogalmát. Bevezetjük az értelmezési tartomány és az értékkészlet fogalmát. – Néhány nem lineáris függvény grafikonjával is megismerkednek a gyerekek: x → |x|; x → x 2 ; √ 1 x → x; x → x – A függvények grafikonjairól adatokat olvasunk le. – Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. – Ismerjék fel a számtani és a mértani sorozatokat, konkrét n-re an és sn számolása. – A függvénytranszformációval csak emelt óraszám esetén foglalkozzunk.

3

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 4. oldal

1. óra Tk.: 4–5. oldalon 1–9. feladatok Fgy.: 338–347.

Hozzárendelések, függvények Az óra célja: két halmaz közötti megfeleltetések közül el tudják dönteni a gyerekek, mely megfeleltetések egyértelműek. Így világossá válik a függvény fogalma, ami nem képlethez kötődik majd számukra. Érzékeltetjük, hogy a függvények a matematikának igen széles skáláján mozognak: grafikonok, geometriai transzformációk, geometriai összefüggések (tk. 5. oldal 3., 4., tk. 11. oldal 11., 12.), számelmélet (tk. 5. oldal 5., 6., fgy. 343., 344.). A tanult fogalmak megértésének lemérésére javasoljuk a fgy. 345. feladatát. Eszközök: érdekes grafikonok, festményekről készült fotók, albumok. Feladatok Az 1–4. és a fgy. 338–341. feladatok a függvény fogalmának kialakítását szolgálják. Beszéljük meg a gyerekekkel, hogy melyik megfeleltetés határoz meg függvényt. Az inverz függvény fogalmát előkészíthetjük azzal, hogy minden esetben megvizsgáljuk a megfeleltetések megfordítását is. 1. Melyik megfeleltetés határoz meg függvényt? a) hegedű ütős harsona vonós cselló fafúvós oboa rézfúvós xilofon a) függvény

2. a)

b)

hegedű ütős

harsona

vonós

cselló

fafúvós

oboa

rézfúvós

xilofon

b) az a)-nak a megfordítása, és a vonósok miatt nem függvény.

Melyik foglalkozáshoz melyik tárgy tartozhat? A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = {kocsikerék; csizma; szén; ködmön; kereskedés; hordó; lópatkó; korsó} A = {fazekas;

bognár;

szűcs;

kalmár;

kádár; kovács; varga; vájár}

K = { korsó; kocsikerék; ködmön; kereskedés; hordó; patkó; csizma; szén;} A tanulók által adott más megfeleltetés is elfogadható.

b) Függvényt határoz-e meg ez a megfeleltetés? A megfeleltetés mindkét irányban függvény.

4

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 4. oldal 3. A gyermekotthonokban élő gyerekek számáról készített kördiagram alapján adj meg egy alaphalmazt, egy képhalmazt, és írd le a hozzárendelési utasítást a két halmaz elemei között! Gyermek- Lakásotthon, otthon,

A=

K ={

5274;

Diákotthon,

Speciális intézmény,

Utógondozó

1432;

442;

358

2755;

}

4. Az ábrán látható oszlop-, illetve vonaldiagram alapján állapítsd meg a hozzárendelések alaphalmazát, képhalmazát, és írd le a hozzárendelési utasítást is! Felsőoktatási intézményekbe jelentkezők száma

164 219 150 000 fő

167 082 159 865 149 828

148 880

132 527

120 000 fő

108 903

109 562

106 024

102 959

98 021

93 898

90 000 fő

108 854 81 562

60 000 fő 2001

2002

2003

2005

2004

Jelentkezők

2006

2007

Felvételt nyertek

a) Vonaldiagramnál: A = {évszámok 2001 és 2007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} 2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

148 880 164 219 159 865 167 082 149 828 132 527 108 854 b) Oszlopdiagramnál: A = {évszámok 2001 és 2007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} 2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

98 201 108 903 106 024 109 562 102 959 93 898 81 562

Az 5–9. feladatok egy-egy régebben tanult ismeretet elevenítenek fel a matematika legkülönbözőbb területeiről. Nyolcadik osztályban különösen fontos, hogy ne csak az adott fejezet tananyagával foglalkozzanak a gyerekek!

5

C

M

Y

K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 5. oldal 5. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legnagyobb közös osztójukat! a) 12 és 18 b) 48 és 124 c) 22 · 3 · 53 és 2 · 32 · 5 (12; 18) = 6

2

3

d) 18 és 48 és 60

2

(2 · 3 · 5 ; 2 · 3 · 5) = 2 · 3 · 5

(48; 124) = 4

(18; 48; 60) = 6

6. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legkisebb közös többszörösüket! a) 12 és 18 [12; 18] = 36 b) 48 és 124 [48; 124] = 24 · 3 · 31 = 1488 2 3 2 c) 2 · 3 · 5 és 2 · 3 · 5 [22 · 3 · 53 ; 2 · 32 · 5] = 22 · 32 · 53 d) 18 és 48 és 60 [18; 48; 60] = 24 · 32 · 5 = 720 7. Minden számhoz rendeld hozzá 2 3 −4 1+ 3 5

a) az ellentettjét, 2 4 42 5 5

b) a reciprokát! 0

x

Célszerű értéktáblázatot készíteni: Számok a) ellentett b) reciprok

2 3 2 3 3 2

−

−4 4 −

1 4

3 8 1+ = 5 5 8 5 5 8

2 16 4 = 5 25

42 16 = 5 5 16 5 5 16

−

16 25 25 16

−

−

0

x

0

−x

nincs

1 ha x 0 x

8. n oldalú konvex sokszögekhez (3 5 n 5 10) rendeld hozzá a) belső szögeinek összegét, b) külső szögeinek összegét! Célszerű táblázatot készíteni: Konvex sokszög oldalainak száma 3 a) belső szögeinek összege 180 b) külső szögeinek összege 360

4 360 360

5 540 360

6 720 360

7 900 360

8 9 10 n 1080 1260 1440 (n − 2) · 180 360 360 360 360

9. Keresd a párját! A szakaszokat két végpontjukkal adtuk meg. Melyik hossz tartozik hozzájuk, ha rácsegységben számolunk? A Pitagorasz-tételt gyakoroltatjuk. Célszerű rajzoltatni a gyerekekkel. A) A(−3; 2) B(5; 2) c = 8

B) A(−2; −2) B(−2; −5) a = 3

C) A(0; 1) B(3; 5) b = 5

D) A(−1; −2) B(2; 7) d = 90 ≈ 9,49

a) 3

c) 8

b) 5

√

d)

√

90 ≈ 9,49

2–3. óra A lineáris függvény Tk.: 9–11. oldalon 1–15. feladatok Fgy.: 348–357. Az óra célja kettős. Egyrészt feladatokon keresztül elevenítsük fel a lineáris függvényről tavaly tanultakat, másrészt nyolcadikban az 5. példa kapcsán bevezetjük az értelmezési tartomány és az

6

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 9–10. oldal

értékkészlet fogalmát is. Már hetedikben is volt utalás arra, hogy a képhalmaz nem az összes tanult szám, de korainak éreztük volna a fogalmak bevezetését. Elvárható, hogy a hozzárendelési utasítás alapján a gyerekek felismerjék, hogy lineáris függvény grafikonját kell megrajzolni, és 2 pont segítségével fel is tudják azt rajzolni. (A jobb matematikusok a meredekséggel is szoktak dolgozni.) Követelmény, hogy a koordináta-rendszer pontjainak a grafikonhoz való viszonyát el tudja dönteni a gyerek (rajta van, alatta, ill. felette van). Egyszerűbb szöveges feladatokat tudjanak átírni matematikai jelölésekre, és az így értelmezett problémához tartozó függvénygrafikonokról tudják leolvasni a kérdésre a választ! Feladatok 1. Keresd a párját! a) Az automata mosógép vizet szivattyúz. b) A gép mos. c) Kiszivattyúzza az elhasznált vizet. Víz mennyisége

Víz mennyisége

idő

b) A gép mos.

Víz mennyisége

idő

a) Mosógép vizet szivattyúz.

idő

c) Kiszivattyúzza az elhasznált vizet.

2. Igaz-e, hogy ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszög a) befogóját kétszeresére, háromszorosára, . . . növeljük úgy, hogy közben ismét egyenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk, akkor az átfogó hossza is kétszeresére, háromszorosára, . . . növekszik? Hányszorosára változik a kerület, illetve a terület? Igaz a hasonlóság miatt. √ Ha derékszögű háromszög befogóját x-szel jelöljük, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az átfogó √ x → 2x a lineáris függvény, ami egy egyenes arányosság. ÉT = ÉK: {x > 0} A kerület is kétszeres, háromszoros lesz, míg a terület négyszeresére, illetve kilencszeresére nő.

2 · x, azaz

b) derékszögét megfelezzük, akkor az átfogó hosszát is megfeleztük? Mi történik, ha a derékszöget negyedeljük? Nem igaz, hogy a szög felezésével, illetve negyedelésével az átfogót is megfelezzük, illetve negyedeljük.

3. Az angol autók sebességmérő órája kétféle mértékegységben mért sebességet mutat. Az Angliában használatos km mérföld 25 megfelelője 40 . óra h Add meg hozzárendelési szabállyal a két sebesség közötti mérföld összefüggést, ha 1 mérföld ≈ 1,6 km! Először a -ban óra km mért sebességnek feleltesd meg a -ban mért sebességet, és a h km kapcsolatot ábrázold koordináta-rendszerben! Ezután a -ban mért sebességnek feleltesd meg h mérföld a -ban mért sebességet! Ennek a függvénynek is készítsd el a grafikonját! óra

7

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 10. oldal m h km h

a) x → 1,6x

20

40

60

80

100

32

64

96

128 160

km 20 40 60 80 100 h m 12,5 25 37,5 50 62,5 h

5 1 x= x b) x → 1,6 8

Az értéktáblázat adatait ellenőrizhetjük a fotón látható sebességmérő órán.

m km sebesség sebesség h h 150 50 120

40

90

30 x → 1,6x

60

x →

20

30

5 x 8

10 20

40

60

80

100 sebesség

20

m

40

60

80

h

100 km sebesség h

4. Juci a vasárnapi kosárlabda-mérkőzésen 23 pontot dobott. Ezt részben az 1 pontos büntetődobásból, részben a 2 pontos kosarakból gyűjtötte össze. Mennyit dobhatott az egyes kosárfajtákból? Ha x-szel jelölöd a 2 pontos kosarak számát, hogyan függ az x-től a büntető kosárdobások száma? Készíts grafikont erről a függvényről! y

x → 23 − 2x a büntetődobások száma. ÉT = {0; 1; 3; . . . ; 11}

20

ÉK = {1; 3; 5; . . . ; 23} A grafikon különálló pontokból áll, az x → 23 − 2x lineáris függvény grafikonján. Az x tengely a 2 pontos dobások száma. Az y tengely az 1 pontos dobások száma.

10 x 1

5

10 11

5. Melyik hozzárendelési szabály melyik grafikonhoz tartozik? a) x → 3x − 1

b) x → x − 3

c) x → 3 − x

d) x → −x + 3

e) x → 3(x − 1)

f) x → −3 + 3x

1.

2. 3

y

3. 3

3

x

y

4. 3

3

x

−1

5.

y

y

x

1 −3

b)

c), d)

a)

e), f)

8

C M Y K


y

x

x

−3 −3

x → −x − 3 Ez a „kakukktojás”.

Hozzrendels, fggvny Tk.: 10. oldal 6. Zoli szeretne venni egy 25 000 Ft-os kerékpárt. Már félretett 5000 Ft-ot, és nyáron elment dolgozni, hogy gyarapítsa pénzét. Naponta 1200 Ft-ot keresett egy vendéglőben 3 órai mosogatással. Készíts értéktáblázatot Zoli pénzének gyarapodásáról, és keress képletet is hozzá! Rajzold meg az összetartozó értékek (napok–pénz) grafikonját! Legalább hány napig kellett Zolinak dolgoznia? Az értéktáblázatot csak néhány napról készítettük: Napok száma 0 Pénz 5000

1 6200

A napok számát x-szel jelölve, Zoli pénze x → 5000 + 1200x lineáris függvénnyel fejezhető ki.

2 5 10 15 16 17 7400 11 000 17 000 23 000 24 200 25 400

pénz [Ft]

Zolinak legalább 17 napig kell dolgozni.

25 000 20 000 15 000 10 000 5000

napok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

7. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! a) x → x + 2

1 c) x → x + 2 2

b) x → 2x + 1

Jó feladat a tengelypont és a meredekség fogalmának átismétlésére. y y

1

1

x 1

x

y

y

1

1

x

1

−4

x → 3

x−

4

x 5

1

1

8. Ábrázold az x → 3x − 4 függvény grafikonját!

Határozd meg az A −6; , B 2; ,C ; 1 és D mait úgy, hogy a pontok a) a grafikonon, b) a grafikon alatt, y

d) x → 2x

A(−6; y)

B(2; y)

a) Grafikonon

y = −22

y=2

b) Grafikon alatt

y < −22

y<2

c) Grafikon fölött

y > −22

y>2

x 1

; −1 pontok hiányzó jelzőszác) a grafikon fölött legyenek! C(x; 1) 5 x= 3 5 x> 3 5 x< 3

D(x; −1) x=1 x>1 x<1

9

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 11. oldal 9. Gondoltam egy egyenesre. Mi lehet a hozzárendelési szabály, ha ez az egyenes áthalad a megadott pontokon? a)

x 0 1 x →? −2 −1

b)

x x →?

3 1

c)

4 3

d)

x −4 −6 x →? 11 13

x −2 2 x →? −5 3

Célszerű grafikont készíteni. a) x → x − 2

b) x → 2x − 5

c) x → −x + 7

d) x → 2x − 1

10. Keress szabályt a grafikonokhoz! Ne hagyjuk ki ezt a feladatot! y

b a

I. c

3 2 1

d

y b c

a

II.

3 2 1 1 2 3

x

a) x → −x + 3

a) x → −3x

b) x → −x + 2

b) x → 3x

c) x → −x − 1

c) x → 2x

d) x → −x − 3

d) x →

x

1 x 3

b a

3 2 1

d 1 2 3

y

c

III.

x d

1 2 3

a) x → 3 1 b) x → x + 2 2 c) Nem függvény. x = −

3 2

1 d) x → − x + 1 2

11–12.: Hasznos feladatok geometriai ismétlésre és az értelmezési tartomány fontosságának hangsúlyozására.

A háromszög egyik belső szögét x-szel jelöltük. Add meg a szöghöz tartozó külső szöget az x függvényében! Add meg a hozzárendelés értelmezési tartományát és értékkészletét! Készítsd el a kapott függvény grafikonját!

11.

x → 180◦ − x

y

ÉT = ÉK: {0◦ < x < 180◦ }

200

A grafikon egy mindkét végén nyílt szakasz.

100

x 100

200

10

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 11. oldal 12. Hogyan függ az egy csúcsból kiinduló átlók száma a konvex sokszög oldalainak számától? Töltsd ki a füzetben a táblázatot! Oldalak száma Átlók száma

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

...

n n−3

Határozd meg a kapott hozzárendelés értelmezési tartományát, értékkészletét, és készítsd el a függvény grafikonját! 6 5 4 3 2 1

ÉT: {A 3 és az annál nagyobb természetes számok}

á (átlók száma)

ÉK: {Természetes számok}

n (oldalszám) 1 2 3 4 5 6 7 8

13. Ábrázold az x → (3x − 1) − (x + 2) utasítással megadott függvény grafikonját! Hol metszi a grafikon a koordinátatengelyeket? A hozzárendelési utasítás a zárójelek felbontása és az összevonás után: x → 2x − 3 3 A grafikon ott metszi az x tengelyt, ahol 2x − 3 = 0, azaz x = . 2 Az y tengelyt a (0; −3) pontban metszi.

14. Ábrázold az x → grafikonját!

(x − 3)(x + 3) utasítással megadott függvény x−3

y 2 1 −2 −1 −1 −2 −3

x 1 2 3

y 6 5 4 3 2 1

A függvény értelmezési tartományába az x = 3 érték nem tartozik bele, mert ekkor a nevezőben 0 állna. Ha x 3, akkor x → x + 3 lineáris függvényről van szó. ÉT = {a tanult számok a 3 kivételével} ÉK = {a tanult számok a 6 kivételével} −3 −2 −1 −1 A függvény grafikonja egy „lyukas” egyenes. −2 −3

x 1 2 3 4

y

15. Rajzold meg a következő három függvény grafikonját! x → 2,5x + 5 ÉT = {−2 5 x 5 0}, x → 5 − 2,5x ÉT = {0 < x 5 2} és x → 2 ÉT = {−1,2; 1,2}. Milyen alakzatot kaptál?

6 5 4 3 2 1

A kapott alakzat az A betű.

−5 −4 −3 −2 −1 −1

x 1 2 3 4

11

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 4–5. óra Néhány nemlineáris függvény Tk.: 16. oldalon 1., 2. és 21–23. oldalon 1., 3., 8., 12., 13. feladatok Fgy.: 356–358., 365., 367–370.

Abszolútérték-függvény A számok abszolút értékének definícióját már ötödik osztályban megtanulták a gyerekek. Néhány √ 1 bevezető kérdés (pl.: Mennyi az abszolút értéke a következő számoknak 5; ; −5; (−5)2 ; 25; 5 2 3 2 3 0; ; − , és melyik számnak az abszolút értéke a 3; −3; 0; ; ) után önállóan is el tudják 5 2 3 2 készíteni a gyerekek az x → |x| függvény grafikonját. Néhány konkrét abszolút értéket tartalmazó függvény grafikonjának elkészítése után már a töréspontot előre megmondják a gyerekek, valamint a görbe „állását” is, azaz azt, hogy felfelé vagy lefelé nyitott.

6–7. óra Másodfokú függvény Tk.: 17–18. oldalon 3–9., 11. és 21–23. oldalon 2–4., 8., 12. feladatok Fgy.: 361–364., 368–372., 376. √ Az x → x 2 és az x → x függvényekkel már megismerkedtek a gyerekek a Pitagorasz-tétel c. fejezetben. Ebben a fejezetben a függvények egy-két gyakorlati alkalmazásán kívül azt is megmutatjuk, hogy nem csak „egyenes alakú” függvénygrafikonok vannak.

8. óra Törtfüggvény Tk.: 18. oldalon 10., 12. és 22. oldalon 5. feladatok Fgy.: 365., 373–375. a (a > 0) típusú x grafikonokat elkészíteni. Ismereteiket a görbe nevével: hiperbola és az ÉT meghatározásával bővítjük.

A fordított arányosság kapcsán már megtanulták a gyerekek az x →

12

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 16–17. oldal Feladatok Szoktassuk rá a gyerekeket, hogy a függvények grafikonjainak elkészítése előtt egy picit elmélkedjenek: – milyen lesz a görbe alakja, – a koordináta-rendszer mely részén helyezkedik el, – milyen egységeket érdemes felvenni a tengelyeken, – van-e kapcsolat egy feladat alkérdései között? 1. Keresd a párját! Minden számhoz hozzárendeltük A) az ellentettjét B) az abszolút értékét

C) az ellentettjének az abszolút értékét

D) az abszolút értékének az ellentettjét

F) a (−1)-szeresét

E) 1-et, ha x > 0, 0-t, ha x = 0, (−1)-et, ha x < 0 y

y

y b

1

1 −1 −1

1

−1 −1

x

a

1

y c

1

1

−1 −1

x

1

−1 −1

x

1

x d

a−A=F

b−E

c−B = C

d −D

2. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! a) x → |x| b) x → | − x| c) x → −|x| a = b, mert az abszolútérték-jelen belül álló kifejezések egymás ellentettjei. a), b) x → |x| = | − x| y

y

ÉT: {tanult számok} ÉK: {y 0} T (0; 0)

3 2 1 −2 −1

c) x → −|x|

=

−2 −1 −1 −2 −3

x 1 2

m sebességgel felfelé s hajítunk, akkor annak a mozgását az ábrán látható út-idő grafikonnal szemléltethetjük. A mozgást leíró függvény: t → 30t − 5t 2 , ahol t az eltelt időt jelenti másodpercben mérve. a) Mi a görbe neve? parabola b) Milyen maximális magasságot ért el a kő? 45 m c) Mikor volt a kő 30 m magasan? a 12. és

x

ÉT: {tanult számok} ÉK: {y 0} T (0; 0)

5

1 2

magasság [m]

3. Ha egy követ 30

50 40 30 20 10

a 48. másodpercben

d) Milyen hosszú ideig volt a kő 20 m fölött? 4,4 másodpercig

1

2

3

4

5

6

idő [s]

13

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 17. oldal e) Mikor esett vissza a földre? a 6. mp-ben Jó feladat a grafikonról való olvasásra, lehetőleg ne hagyjuk ki! A gyerekek egymásnak is feltehetnek hasonló kérdéseket.

4. Hány kis négyzetet látsz az ábrán? Ábrázold grafikusan az összetartozó értékeket! Lehetséges-e, hogy 256 vagy 1000 kis négyzet legyen valamelyik ábrán?

...

A négyzetek száma: 1, 4, 9, 16, . . . , n2 , azaz n → n2 ahol n a négyzet oldalának hosszát jelenti rácsegységben mérve. Ha 256 kis négyzet van az ábrán, akkor egy 16 oldalú négyzetet rajzoltak. 1000 kis négyzet nem lehetséges, a két hozzá legközelebb álló lehetséges szám a 961, illetve az 1024. (Okosabb gyerekek felfedezhetik, hogy kiskockákból viszont állhat egy 1000-es építmény. Ekkor a kocka élhossza 10.)

5. Keresd a párját! Melyik pont melyik függvény grafikonján van rajta? B) x → 2x

A) x → x 2 P (−1; 1)

Q (2; 4)

R (7; 9)

C) x → x + 2 S (−4; −8)

T (−4; 16)

P (−1; 1)

Q (2; 4)

P (−1; 1)

Q (2; 4)

S (−4; −8)

Q (2; 4)

T (−4,16) R (7; 9) A feladat kapcsán több kérdés is tisztázható: – A grafikonok megrajzolása nélkül hogyan tudjuk eldönteni, hogy pl.: P az A)-hoz és C)-hez is hozzátartozik?

6. Pogácsaszaggató készletünk legkisebb tagjának sugara 1 cm, és mindegyik szaggató 0,5 cm-rel nagyobb sugarú az előzőnél. A készlet 4 tagú. Készíts értéktáblázatot arról, hogy a különböző sugarú szaggatók mekkora alapterületű tésztát vágnak ki! Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! Milyen függvényt lehet felírni a sugár és a terület között? Sugár (r) [cm] 2

1 2

Tészta (r π) [cm ] 3,14

1,5

2

2,5

y 30 20

7,07 12,57 19,63

x → 3,14 · x 2 A grafikon egy parabolán elhelyezkedő 4 pont: x (sugár) [cm], y terület [cm2 ].

10 x 0,5

1,5 2 2,5 3

Az ejtőernyő a repülőgépből való kiugrás után 5 másodperccel nyílik ki. Hány métert zuhan az ugró ez idő alatt? (A megtett út és az eltelt idő közötti összefüggést az s = 5t 2 képlettel lehet számolni.) s(5) = 5 · 52 = 125 m

7.

8. A szabadon eső testek által megtett utat a Földön az s = 5t 2 képlettel, míg a Holdon az s = 0,8t 2 képlettel lehet kiszámítani. Közös koordináta-rendszerben ábrázold a két helyen érvényes útidő grafikonokat! Olvasd le a grafikonokról, hogy 2, 3, 4, 5 másodperc elteltével mennyivel tesz meg hosszabb utat a Föld felé zuhanó test! A leolvasott értékeket számolással is ellenőrizd! Mennyi idő alatt ér a Földre, illetve a Holdra egy 30 m magasról leejtett kő?

14

C M Y K



Idő

[sec]

1

2

3

4

5

Földi út

[m]

5

20

45

80

125

Holdi út

[m]

0,8

7,2 12,8

20

A két út különbsége

[m]

4,2 16,8 37,8 67,2

105

30 = 5t 2 30 = 0,8t

3,2

s [m]

s = 0,8t 2

√ 6 ≈ 2,5 sec egyenletből t = 37,5 ≈ 6,1 sec

1

egyenletből t = 2

s = 5t 2

x 1

2

3

4

Képzeld el, hogy egy szép, tiszta napon egy hegy tetejéről figyeled a tengeren tőled távolodó hajót. A hajó a Föld gömbölyű alakja miatt előbb-utóbb eltűnik a szemed elől. A távolság, ahol a hajó eltűnik a szemünk elől, attól függ, hogy milyen magasan állunk. a) Írd le képlettel az alábbi számolási eljárást! b) Készíts értéktáblázatot 20 m-enként zsebszámológép segítségével! c) Készítsd el a kapott függvény grafikonját!

9.

Az emberiség sokéves tapasztalatával felállítható összefüggésről szól ez a feladat. Ha x-szel jelöljük a szemlélődő magassá√ gát, akkor a látótávolságot az x → 3,57 x hozzárendelés határozza meg. A grafikon folytonos görbe.

y [m]

√ x → 3,57 x

40 30 20 10

x [m] 20

Magasság [m]

20

Látótávolság [m] 15,97

40

60

80

100

40

60

80

100

120

140

160

22,58

27,65

31,93

35,7

39,11

42,24

45,16

120

140

160

10. Készítsd el a 3 3 a) x → x 0, b) x → − x 0 x x függvények grafikonjait! Milyen kapcsolat van a két grafikon között? y

a)

b)

3 2 1 −3 −2 −1 −1 −2 −3

x 1 2 3 4

y 3 2 1 −3 −2 −1 −1 −2 −3

x

Az egyik grafikont tükrözve az x tengelyre, a másikhoz jutunk, hiszen minden függvényérték (−1)-szeresére változik.

1 2 3 4 ÉT = {A 0 kivételével a tanult számok} ÉK = {A 0 kivételével a tanult számok}

15

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 18. oldal A folyóparton sportpálya céljára téglalap alakú telket akarunk elkeríteni 400 m hosszú kerítéssel. (A vízparti részhez nem kell kerítés.)

11.

Mekkorának válasszuk a téglalap oldalait, ha azt akarjuk, hogy a sportpálya területe a lehető legnagyobb legyen? 400 − 2x

Az ábra jelöléseit használva a téglalap területe az x-szel jelölt oldal függvénye: x → x · (400 − 2x)

x

Meg kell keresni azt az x értéket, amelyre ez a másodfokú függvény a lehető legnagyobb értéket veszi fel. A feladat szövege miatt: x > 0 és 400 − 2x > 0, innen x < 200, azaz ÉT = {0 < x < 200}. t 20 000 15 000 10 000 5000

x 50

100

x x → x(400 − 2x)

150

20 7200

200

x folyó

Mivel az x · (400 − 2x) = 0 egyenletből x1 = 0 és x2 = 200 a függvény két zérushelye, ezért a legnagyobb értéket a kettő számtani közepénél, azaz x = 100-nál veszi fel, ekkor a terület: t = 100 · 200 = 20 000 m2 . Az értelmezési tartomány meghatározása után néhány függvényérték kiszámolásával is eljuthatnak a gyerekek a lefelé nyitott parabola grafikonjához, ahonnan leolvasható az x = 100 érték.

50 70 100 120 150 15 000 18 200 20 000 19 200 15 000

200 0

12. Hol vannak a síkon azok a P (x; y) koordinátájú pontok, amelyekre a) y =

1 , x

b) x · y = 1, y

c) x · y = 0? y

c)

3 2 1

a=b 1

x 1

x 1

x · y = 0 egyenletből vagy x = 0, vagy y = 0. Így a koordinátatengelyek pontjai alkotják a keresett ponthalmazt.

8. óra Függvénytranszformációk Tk.: 21–23. oldalon 1–12. feladatok Fgy.: 367–379. Kevésbé jó csoportnál ezt az órát az eddig tanultak gyakoroltatására fordíthatjuk, azaz ha kihagyjuk a függvények transzformációit, majd a középiskola pótolja ezt. Elégedjünk meg azzal,

16

C M Y K



hogy az elemi függvények grafikonjait el tudják készíteni a tanulók, és a sík pontjainak a görbéhez való viszonyát meg tudják határozni. Többnyire élvezni szokták ezt az anyagot a gyerekek. Gyorsan észreveszik, hogy a transzformációs lépések teljesen függetlenek a kiindulási függvénytől. Jó játék: függvénytranszformációk mutogatása. a) Mindenki mutasson a két tenyere felhasználásával egy x → |x| függvényt! Változtassa x → −|x|-re, vagy x → |x| + 3, vagy x → |x| − 3, vagy x → |x + 3|-ra! Ugyanezt a sorozatot az x → x 2 függvénnyel is el lehet játszani. b) Most a tanár mutatja a kiindulási függvény képét, és a gyerekek mondják az elmozdított kézhez tartozó hozzárendelési utasítást. (A kezünket szakaszosan emeljük, és megállapodunk abban, hogy egy szakasz 1-et ér.) Nagyon jó hangulatú a játék. Jobb csapatokban el lehet szórakozni a (−1) szorzótényezővel is, pl.: x → | − x|; x → −|x|; x → −x 2 ; x → (−x)2 ; . . . A 4. és 5. példát a versenyző gyerekeknek ajánljuk, mert az Arany Dániel középiskolás versenyen az abszolútérték-függvény legkülönbözőbb transzformáltjai szoktak szerepelni, és a verseny első fordulójáig a középiskola még nem jut el odáig. Így csak az általános iskolás tudásukra támaszkodhatnak a tanulók. Feladatok

2

1. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! Add meg a függvények értékkészletét! a) x → |x|, x → |x| + 2, x → |x| − 2 b) x → |x|, x → −|x| + 2, x → −|x| − 2 c) x → |x|, x → |x + 3|, x → |x − 3| + |x | 3|

|x −

→

|x →

1

x

x

1

−

1

−

→

→

x

x

|x

= 0} 5 2} 5 −2}

2

ÉK1 = {y ÉK2 = {y ÉK3 = {y

|−

= 0} = 2} = −2}

x x

|x

|+

2

x

x

ÉK1 = {y ÉK2 = {y ÉK3 = {y

x

1

→ x 1

→

| |x →

2 |x

|−

x

x 1

y

3|

c)

y

|

|+

b)

→

→

|x

y

|x

a)

ÉK1;2;3 = {y

= 0}

2. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! Add meg a függvények értékkészletét! a) x → x 2 , x → −x 2 , x → (−x)2 b) x → x 2 , x → x 2 + 3, x → x 2 − 1 c) x → x 2 , x → −x 2 + 2, x → −x 2 − 1 d) x → x 2 , x → (x + 1)2 , x → (x − 3)2

17

C M Y K


Hozzrendels, fggvny y

b)

−x 2 −

1

+2

−2 −3 −4

5 −1}

x2

ÉK3 = {y

= −1}

−3 −2 −1

(x − 2 3)

ÉK3 = {y

= 3}

x→

5 2}

ÉK2 = {y

x 1 2 3 4 ÉK1, 2, 3 = {y

= 0}

x→

x → − 2 x

ÉK2 = {y

x 1 2 3

2

= 0}

4 3 2 1

+ 1)

−3 −2 −1 −1

y

d)

ÉK1 = {y

= 0}

1 2 3 4

(x x →

4 3 2 1

x→ x2

y

c)

ÉK1 = {y

x

−2 −1

x→ x2

x → −

−1

x2

5 0}

2

x ÉK2 = {y

1 2 3

= 0}

x x →

−2 −1 −1 −2 −3

ÉK1, 3 = {y

5 4 3 2 1

x→

x→

x2=

4 3 2 1

(−x ) 2

y

a)

x→ x2 +3

Tk.: 21–22. oldal

3. Keresd a párját! Az abszolútérték-függvényekhez kell megkeresni a grafikonjuk töréspontját. b) x → |x + 3|

c) x → |2x + 3|

d) x → |4 − 2x|

A) T (−3; 0) a) → C)

B) T (2; 0)

3 D) T − ; 0 2

C) T (0; 0)

b) → A)

c) → D)

y 10

x → 9x 2 x → 4x 2 ÉT: {x > 0}

5 ÉK: {y > 0} x 1

18

C M Y K

E) T (−2; 0)

d) → B)

4. Az ábrákon látható síkidomokat x oldalhosszúságú négyzetekből állítottuk elő. Írd fel a síkidomok területét x függvényében, és készítsd el a kapott függvények grafikonját! Az első ábra: x → 9x 2 A második ábra: x → 4x 2

e) x → |2x + 4|


e) → E)

a) x → |x|

x

Hozzrendels, fggvny Tk.: 22. oldal 5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! Add meg a függvények értékkészletét! 1 5 a) x → , x 0 x 4 2 3 b) x → , x 0 x 2 2 x → 1 1 x c) x → − 2, x 0 1 −3 −2 −1 x → x x 1 2 3 4

ÉTa, b, c :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉKa, b :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉKc :{a (−2) kivételével a tanult számok}

x →

−2 −3 −4

1 −2 x

6. „Többet ésszel, mint erővel!” A függvények grafikonjának megrajzolása előtt keresd meg a grafikonok „töréspontjait”, és csak ezután jelöld ki az egységeket a koordináta-rendszerben! Érdemes azt is előre eldöntened, hogy felfelé vagy lefelé nyitott grafikont kapsz-e. a) x → |x − 50| b) x → −|x + 30| c) x → |x + 20| d) x → 2|x − 3| e) x → |x| − 100 f) x → |x + 100| + 5 A jobb matematikusoknak ajánlott feladat. Az „intelligens” koordináta-rendszer megtervezését is célozza a feladat – előbb gondolkozunk, és csak azután cselekszünk! y

y

= −100} ÉKf = {y = 5}

ÉKe = {y

150

f

30 100

d

20

c

a

10

50

e

x −30 −20 −10 −10

10 20 30 40 50 60 ÉTa, b, c, d, e, f = {tanult számok}

−20

ÉKa, c, d = {y b

Ta (50; 0)

ÉKb = {y

x −150 −100 −50

= 0}

100

150

−50

5 0}

Tb (−30; 0)

50

−100

Tc (−20; 0)

Te (0, − 100)

Td (3; 0)

Tf (−100,5)

7. Keresd a párját! y

c

d

5 4 3 2 1

a −5−4−3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5

1 2 3 4 5

x

A) x → |x − 2|

B) x → 2|x|

C) x → −|x|

D) x → 3 − |x + 3|

a → D,

b → C,

c → B,

d →A

b

19

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 22. oldal 8. Melyik a „kakukktojás”? b c

y

d

5 4 3 2 1 −5−4−3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5

A) x → 2(x − 1)2

B) x → (x + 2)2 − 2

C) x → (x − 2)2 − 2

D) x → −(x + 2)2

E) x → (x + 1)2 1 2 3 4 5

x

a → D, b → E, c → A, d → C Tehát a B hozzárendelés a kakukktojás.

a A 9–12. feladatokat a középiskolás matematikaversenyen indulni szándékozó gyerekeknek szántuk. A többieket ne gyötörjük az „öncélú” függvénytranszformációkkal.

9. Függvénytranszformációk segítségével készítsd el a függvények grafikonjait! Add meg a függvények értékkészletét is! a) x → 2|x| + 3 b) x → 2|x − 2| + 3 c) x → −|x − 1| + 2

a)

Célszerű először az abszolútérték-függvények töréspontját meghatározni, és eldönteni az állásukat. y y b) y c) T (1; 2) 2 ÉK: {y 2} 1 x 4 4 T (0; 3) T (2; 3) −1 1 2 3 4 5 3 3 −2 2 2 ÉK: {y 3} ÉK: {y 3} −3 1 1 x x 1 2 3 1 2 3 4

5

=

=

10. Mekkora a kerülete és a területe annak a háromszögnek, amelyet az x → 2 − |x| függvény grafikonja és az x tengely határol? y 3 C 2 1

A B O −3 −2 −1 1 2 3 −1 −2

A háromszög csúcspontjai: A (−2; 0), B (2; 0) és C (0; 2). A háromszög területét megkaphatjuk, ha az AB = 4 egység oldallal és a hozzá tartozó m = Cy = 2 egységgel számolunk. 4·2 T = = 4e2 x 2 A kerülethez szükségünk van az AC = BC szakaszok hosszára, amelyeket Pitagorasz-tétellel számolhatunk ki az AOC háromszögben: AC 2 = AO 2 + OC 2 , innen tehát

AC 2 = 22 + 22 = 8, √ AC = 8 ≈ 2,83e.

K = AB + 2AC = 4 + 2 · 2,83 = 9,66 egység.

20

C M Y K



11. Készítsd el annak a függvénynek a grafikonját, amely az egész számokhoz önmagukat rendeli, a nem egész számokhoz pedig a hozzájuk legközelebb eső, náluk kisebb egész számot! Ezzel a függvénnyel, az ún. egészrész függvénnyel a középiskolában még találkoznak a gyerekek. Jelölése: x → [x]. A pozitív számokra könnyű elkészíteni a függvény grafikonját, a negatív tartományban szoktak téveszteni a gyerekek.

y

ÉT: {a tanult számok}

2 1 −3 −2 −1

ÉK: {az egész számok} x 1 −1

2

3

−2

12. Julcsi néni egy 12 m hosszú kerítéssel egy téglalap alakú részt kerített körül az udvaron a tyúkoknak, hogy ezentúl csak ott kapirgáljanak. A terület a ház falához illeszkedik úgy, hogy ott nem kellett kerítést kihúzni. Írd fel, hogy az elkerített rész területe hogyan függ a téglalap szélességétől! Készítsd el a kapott függvény grafikonját! Milyen adatok esetén lesz a legnagyobb az elkerített rész területe? Ha a téglalap egyik oldalát az ábra szerint x-szel jelöljük, akkor a téglalap másik oldala (12 − 2x) lesz. A területet meghatározó függvény: x → x(12 − 2x). Ez egy másodfokú függvény, így a grafikonja a negatív előjel miatt egy lefelé nyitott parabola.

ház fala x

x

12 − 2x A görbe x tengellyel való metszéspontjait az

y

x(12 − 2x) = 0

20

egyenletből könnyen meg tudják határozni a gyerekek:

15

x1 = 0, x2 = 6.

10 5 x 1 2 3 ÉT: {0 < x < 6}

4

5

6

7

ÉK: {0 < y < 18}

Így a tengelypont x-es koordinátája a zérushelyek számtani közepéből Tx = 3. A tengelypont y koordinátáját behelyettesítéssel kapjuk: 3 → 3 · (12 − 2 · 3) = 18, T (3; 18). A terület akkor a legnagyobb, ha x = 3, ekkor 12 − 2x = 6. A 3 m széles 6 m hosszú téglalap alakú kert a legnagyobb területű: T = 18 m2 .

9–10. óra Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Tk.: 25–26. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 380–391. Hetedik osztályban a „Grafikonok gyakorlati alkalmazása” című fejezetben már meghatároztuk lineáris függvények metszéspontjait. Idén lényeges előrelépést teszünk, mert az egyenletek grafikus megoldásával egyidejűleg tárgyaljuk az egyenlőtlenségek megoldásait is. Ez jól fejleszti a gyerekek függvényszemléletét, hiszen a függvények egymáshoz való viszonyát kell vizsgálni.

21

C M Y K



Kevésbé jó csoportban elégedjünk meg azzal, ha a lineáris függvényekre vonatkozó feladatokat meg tudják oldani (tk. 1–7., fgy. 380–387.) és azokat, ahol a függvények grafikonjait lerajzoltuk (tk. 8., 10., 11. és fgy. 384., 386., 388., 391.). A grafikus megoldás nem ad pontos eredményt. A leolvasott értékeket behelyettesítéssel mindig ellenőrizni kell. Feladatok Az agár meglátja a tőle 100 m-re levő nyulat, és m 25 sebességgel üldözőbe veszi. A nyúl azonnal s menekülni kezd, de csak 15 m-t képes megtenni egy másodperc alatt. Mennyi ideig tart az üldözés? Oldd meg a feladatot grafikusan!

1.

Ha a mozgás idejét x-szel jelöljük, akkor a nyúl által megtett út: x → 100 + 15x az agár által megtett út: x → 25x Algebrai megoldás: az agár abban a pillanatban éri utol a nyulat, amikor

út [m] 300

ag

ár ny

250

úl

100 + 15x = 25x, 200

innen

x = 10.

A grafikonról is az olvasható le, hogy az üldözés 10 másodpercig tart, és az agár 250 m-t fut a nyúlig.

150 100 50 idő [s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2. Pista és Zoli két, egymástól 85 km-re levő faluban nyaralnak. Elhatározzák, hogy hétfőn reggel 6-kor kerékpárral elindulnak egymás felé, és útközben találkoznak. Pista óránként 14 km-t tesz meg. Zoli elaludt, és csak fél nyolckor indult, de ő óránként 18 km-t tekert. Mikor és hol találkoznak, és melyik fiú tesz meg hosszabb utat a találkozásig? Oldd meg a feladatot grafikusan! Ha a mozgás idejét x-szel jelöljük, akkor a Pista által megtett út: x → 14x Zoli 1,5 órával később indul a 85 km-re levő faluból, ezért az ő útját az x → 85 − 18(x − 1,5) lineáris függvény írja le. 9,5 órakor találkoznak, azaz Pista 3,5 órát volt úton, így 49 km-t tett meg, míg Zoli 2 órát volt úton, és 36 km-t kerékpározott. A találkozásig Pista 13 km-rel hosszabb utat tett meg, mint Zoli.

út [km] 90 80 70 60 50 40 30 20 10

ta Pis Zo li

idő [h] 7

8

22

C M Y K


9

10

11

Hozzrendels, fggvny Tk.: 25. oldal y

3.

Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket a számegyenesen! Ellenőrizz behelyettesítéssel!

4 3 2 1 −3 −2 −1

1 2 3 4

x

a) x − 4 = 2 − 2x

(Pirossal színezz!)

x=2

b) x − 4 > 2 − 2x

(Kékkel színezz!)

x>2

(Zölddel színezz!)

x

c) x − 4 5 2 − 2x zöld −2

−1

52

kék

P

x 0

1

2

3

4

4. Oldd meg grafikusan a következő feladatokat! 1 a) 3x − 1 < x + 3 x < 2 b) x − 2 = x − 6 x 5 6 c) x − 9 < x − 7 minden tanult szám 3 x+2 d) 4x − 2 5 x + 4 x 5 2 e) < −2x + 11 x < 4 f) 2x − 4 < x − 4 x < 0 2 A kézikönyvben a lineáris függvények grafikonjainak fölrajzolásától eltekintünk.

5. a) Melyik lehet az a két szám, amelyek összege 4? Az egyik szám függvényében írd fel a másik számot, és a kapott függvényt ábrázold koordináta-rendszerben! Jelöljük x-szel

y

−

1

4

−1 −1

→ x

és az egyik számot x-szel jelöltük, akkor a másikat az x → x − 1 lineáris függvény írja le. A keresett számok: x = 2,5 és y = 1,5

x

→ 4

0

x

1 1

2

3

4

x

2

−

b) Melyik lehet az a két szám, amelyek összege 4 és különbségük 1? A feladatot grafikusan oldd meg! Ha a két szám különbsége 1

x

3

az egyik számot, ekkor a másikat az x → 4 − x függvény írja le.

−2

6. Melyik az a két szám, amelyek összege −6 és különbsége 2? Az egyik számot x-szel jelölve a másik szám x → −x − 6, illetve → x − 2 lineáris függvényekkel kapható meg. Ezek metszéspontja a két szám: x = −2 és y = −4.

7. Lindáék családja egy DVD-kölcsönzőbe szeretne beiratkozni. Az egyik kölcsönzőben 1000 Ft az éves tagdíj, és a kölcsönzés díja 400 Ft lemezenként, míg a másikban 2000 Ft az éves tagdíj, de lemezenként csak 350 Ft-ot kell fizetni. Hány lemez kölcsönzésekor kell azonos díjat fizetni a két klubban? Hány lemez kölcsönzésekor y [Ft] célszerűbb az első, illetve a második DVD9000 kölcsönzőbe beiratkozni? 8000 7000

35

0x

6000

2000

0x 40

00

+

20 00

→

10 →

3000

x

4000

+

5000

x

Mindenképpen megoldásra javasolt feladat! Ha Lindáék x lemezt kölcsönöznek egy éven belül, akkor az első kölcsönzőben x → 1000 + 400x Ft-ot fizetnek, míg a másikban x → 2000 + 350x Ft-ot. 20 lemez esetén azonos összeget kell fizetni. 20-nál kevesebb lemezt az első, 20-nál többet a második kölcsönzőből célszerű kölcsönözni.

1000

x [lemezek száma] 5

10

15

20

23

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 26. oldal y

8.

4 3 2 1 −3 −2 −1

1 2 3 x

Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket a számegyenesen! 1 1 a) |x + 2| − 3 = x − (Pirossal színezz!) x1 = −3 és x2 = 1 2 2 1 1 b) |x + 2| − 3 > x − (Kékkel színezz!) x < −3 vagy x > 1 2 2 1 1 c) |x + 2| − 3 5 x − (Zölddel színezz!) −3 5 x 5 1 2 2

9. Keresd meg az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásait! 1 1 1 2 c) |x − 2| = x + és a) |x| = x + 3 és b) |x| − 2 = x − és 2 2 3 3 |x| < x + 3 1 1 1 2 |x| − 2 < x − |x − 2| > x + 2 2 3 3 y

y

3 2 1

3 2 1 −2 −1

y

−3 −2 −1

x 1 2 3

|x| = x + 3, ha x = −1,5 |x| < x + 3, ha x > −1,5

10. Olvasd le a grafikonról a számegyenesen! a) x 2 − 3 = 3 − x b) x 2 − 3 > 3 − x c) x 2 − 3 5 3 − x

3 2 1

x

1 2 3 4 −1 −2

−1

x 1 2 3 4

1 2 1 1 x − , ha x1 = −1 és x2 = 3 |x − 2| = x + , ha x1 = 1 és x2 = 4 2 2 3 3 1 1 1 2 |x| − 2 < x − , ha −1 < x < 3 |x − 2| > x + , ha x < 1 vagy x > 4 2 2 3 3 y |x| − 2 =

a feladatok megoldásait, és jelöld őket (Pirossal színezz!) x1 = −3, x2 = 2 (Kékkel színezz!) x < −3 vagy x > 2 (Zölddel színezz!) −3 5 x 5 2

4 3 2 1

11. Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket a számegyenesen! y

y

3 2 1 −3 −2 −1 −1 −2 −3

3 2 1 1 2 3

x

−3 −2 −1 −1

1 2 3

x

−2 −3

24

C M Y K


−3 −2 −1 −2

x 1 2 3

Hozzrendels, fggvny Tk.: 26. oldal a) |x| − 1 = −|x| + 1 x1 = −1 és x2 = 1 c) |x| − 1 > −|x| + 1 x < −1 vagy x > 1 e) −x 2 + 2 < |x| x < −1 vagy x > 1

b) |x| − 1 < −|x| + 1 −1 < x < 1 d) −x 2 + 2 = |x| x1 = −1 és x2 = 1 f) −x 2 + 2 > |x| −1 < x < 1

12. Határozd meg grafikus úton, hogy milyen x értékre vesznek fel a) nulla, b) pozitív, c) negatív értéket a következő függvények! Megoldásodat jelöld a számegyenesen a) pirossal, b) kékkel, c) zölddel! f (x) = 5 − 2x g(x) = |x − 3| h(x) = −|x + 1| + 2 i(x) = x 2 − 1 A függvény ott veszi fel a nulla értéket, ahol grafikonja metszi az x tengelyt. Ott pozitív, ahol a grafikonja az x tengely fölött van, és az x tengely alatti részeken pedig negatív. Az f (x) és a g(x) esetén egyszerűbb a választ algebrai úton megadni. y

y

5 4 3 2 1 −1

5 4 3 2 1

f (x) x −1

1 2 3 4

f (x) = 5 − 2x

y

g(x) x 1 2 3 4 5

y

3 2 1 −4 −3 −2 −1 −1 h(x) −2

i(x)

2 x

1 x

1 2

−1 −1

1

2

g(x) = |x − 3|

h(x) = −|x + 1| + 2

i(x) = x 2 − 1

a) nulla

x=

5 2

x=3

x1 = 1 x2 = −3

x1 = −1 x2 = 1

b) pozitív

x<

5 2

x 3

−3 < x < 1

x < −1 vagy x > 1

c) negatív

x>

5 2

–

x < −3 vagy x > 1

−1 < x < 1

13. Olvasd le a grafikonról a számegyenesen! a) 4 − x 2 = 2x + 1 b) 4 − x 2 > 2x + 1 c) 4 − x 2 5 2x + 1

y

a feladatok megoldásait, és jelöld őket (Pirossal színezz!) (Kékkel színezz!) (Zölddel színezz!)

5 4 3 2 1

x1 = −3 és x2 = 1 −3 < x < 1 x

5 −3 vagy x = 1

−4−3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5

x 1 2 3 4

25

C M Y K



11–12. óra Sorozatok, számtani sorozat Tk.: 31–33. oldalon 1–18. feladatok Fgy.: 392–412. Az óra célja a hetedik osztályban tanult fogalmak átismétlése, felelevenítése. Az 1–6. feladatok, valamint a fgy. 392–397. feladatai a jelöléseket, elnevezéseket kívánják feleleveníteni. A múlt tanévben tanultakon csak annyival mutat túl az ismétlési rész, hogy a sorozat elemeit „tartó függvények” köre kibővült. Ezt követően foglalkozunk a speciális sorozatok közül a számtani sorozatokkal. Ezt nagyon szokták élvezni a gyerekek, még az an és Sn képletét is ki szokták találni, és a „kis Gauss” meséje miatt el sem szokták felejteni. Feladatok A Titius–Bode-féle szabály a bolygók Naptól mért közelítő távolságát megadó összefüggés: an = 0,4 + 0,3 · 2n , ahol an a bolygó távolsága csillagászati egységben mérve. (149,6 millió km) Ezt a szabályt Titius (1729–1796) német matematikus állította fel, és Bode (1747–1826), a berlini csillagvizsgáló igazgatója népszerűsítette. Ez idő tájt jól megadta az ismert bolygók távolságát, de később a Neptunusz esetében már nagy eltérések jelentkeztek. Az n = 3 helyettesítéssel számolt érték miatt kezdték el a kisbolygókat keresni. Ma már pontosabb távolságtörvényekkel számolnak a csillagászok. Hasonlítsd össze a számított távolságokat a megfigyeltekkel!

1.

Vénusz Föld Mars Kisbolygók Jupiter Szaturnusz Uránusz Neptunusz n=0 n=1 n=2 n=3 n=5 n=6 n=7 n=4 Megfigyelt távolság

0,72

Számított távolság

0,7

1,00 1,52 1

1,6

2,9

5,20

9,55

19,20

30,09

2,8

5,2

10

19,6

38,8

2. Add meg a sorozatok első öt elemét és a századikat is! Az első néhány elemet ábrázold grafikonon is! Melyik képlet ad számtani sorozatot? an = 2 + 3n

bn = n − 1 2

1 cn = 2 n

dn =

(−1)n

26

C M Y K


n2 + n en = n


17 15 10 5

an

n

1 2 3 4 5 5, 8, 11, 14, 17 a100 = 302 számtani sorozat a1 = 5, d = 3 A pontok egy egyenesen vannak. 2 1

dn n 1 2 3 4 5

−1 −2

−1, 1, −1, 1, −1 d100 = 1

cn

bn 25 20 15 10 5

1

n n

1 2 3 4 5 0, 3, 8, 15, 24 b100 = 9 999 A pontok egy parabolán vannak. en 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 1 1 1 1 , 1, , , 4 9 16 25 1 c100 = 10 000

n

1 2 3 4 5 2, 3, 4, 5, 6 számtani sorozat a1 = 2, d = 1 e100 = 101 A pontok egy egyenesen vannak.

3. Képezd a pozitív egész számok 5-tel való osztási maradékát! Hány különböző eleme van ennek a sorozatnak? Készítsd el a sorozathoz tartozó grafikont! Határozd meg a következő értékeket: a7 , a1526 , an+5 − an ! 5 4 3 2 1

an = {1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, . . .}

an

Öt különböző elem ismétlődik. a7 = 2, 61526 = a1525+1 = 1, an+5 − an = 0 az ötös ismétlődés miatt. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4. Ábrázold grafikonon az an = |n−3| sorozat első hat elemét! Hányadik eleme ennek a sorozatnak a 122? Van-e ennek a sorozatnak legkisebb, illetve legnagyobb eleme? 5 4 3 2 1

2, 1, 0, 1, 2, 3

an

|n − 3| = 122 egyenletből n = 125, azaz a125 = 122. (n2 = −199 nem jöhet szóba.) A legkisebb elem a 0, legnagyobb elem pedig nincs. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

27

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 31–32. oldal 5. Egy vendéglő tulajdonosának négyzet, illetve téglalap alakú asztalai vannak. Nagyobb rendezvényekhez az asztalokat és a székeket az ábrákon láthatóan szokta elrendezni:

vagy

vagy

a) Az egyes elrendezéseknél hány vendéget tud leültetni 8 asztal mellé? b) Az egyes elrendezéseknél hány vendéget tud leültetni 20 asztal mellé? c) Keress képletet arra, hogy n asztal mellé hány vendéget lehet leültetni! A megtalált összefüggést ellenőrizd n = 8-ra és n = 20-ra! Aranyos feladat, ne hagyjuk ki! Asztalok száma

1

2

3

4

5

6

7

8

20

n

I. elrendezés

4

6

8

10

12

14

16

18

42

4 + (n − 1) · 2 = 2n + 2

II. elrendezés

6

8

10

12

14

16

18

20

44

6 + (n − 1) · 2 = 2n + 4

III. elrendezés

6

10

14

18

22

26

30

34

82

6 + (n − 1) · 4 = 4n + 2

6. Nagyapának 3 gyereke van, és minden gyerekénél 3-3 unokája. Az unokák között a legfiatalabb 1 éves, és 2-2 év korkülönbség van az unokák között. Hány szál gyertya kerül a legidősebbik unoka születésnapi tortájára? Hány szál gyertyát fújtak el egy év alatt összesen a gyerekek a születésnapi tortákon? Hányat fognak jövőre elfújni? Nagyapának 3 · 3 = 9 unokája van. A gyerekek életkora számtani sorozatot alkot: a1 = 1, d = 2, n = 9 paraméterekkel. A legidősebb gyerek a9 = a1 + 8d = 1 + 16 = 17 éves. 1 + 17 Egy év alatt összesen 1 + 3 + 5 + . . . + 13 + 15 + 17 = · 9 = 81 gyertyát fújtak el. 2 Mindenki eggyel több gyertyát kap 1 év múlva, ezért 81 + 9 = 90 gyertyát fújnak el.

7. Írd fel a számtani sorozat első öt tagját, és készítsd el a hozzájuk tartozó grafikonokat, ha a) az első elem 2, és a különbség −1,5, 1 1 c) a1 = és d = , 3 2 e) a3 = 4,8 és a4 = 5,

b) az első elem 3, és a második elem 4,5, d) a1 = 0,7 és a2 = 1,4, f) a3 = 9,2 és a5 = 8,4!

Mivel számtani sorozatról van szó, a grafikon pontjai egy-egy lineáris függvényen elhelyezkedő különálló pontokból állnak. Csak az első öt elemet soroljuk fel. 1 5 8 4 11 14 7 , = a) 2, 0,5, −1, −2,5, −4 b) 3, 4,5, 6, 7,5, 9 c) , , = , 3 6 6 3 6 6 3 d) 0,7, 1,4, 2,1, 2,8, 3,5

e) 4,4, 4,6, 4,8, 5, 5,2

f) 10, 9,6, 9,2, 8,8, 8,4

8. A következő sorozatok közül válaszd ki azokat, amelyeket lehet számtani sorozatként folytatni, és írd fel a kiválasztott sorozatok további három-három elemét is! a) 3, 5, 7, 9, 11, 13

b) −3, −3, −3, −3, −3, −3

c) 2, 4, 8, . . .

d) 0,3, 0,6, 0,9, 1,2, 1,5, 1,8

28

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 32. oldal e) 0,3, 0,3, 0,3, 0,3, 0,3, 0,3

1 1 1 , , , ... 2 3 6

f)

0,3

d = 128

g) −653, −525, −397, −269, −141, −13

4 7 17 20 , = 2, 2,3 , 1,1, , 5 5 10 10

h)

i) −1, 1, −1, . . .

1 1 9. Egy számtani sorozat harmadik eleme , hatodik eleme . Mennyi a sorozat differenciája és az 3 6 első eleme? 1 2 1 = + 3d, innen d = − . 6 6 18 1 1 4 a3 = a1 + 2d összefüggésből = a1 − , innen a1 = . A gyerekek az eredményhez „lépegetéssel” jutnak el. 3 9 9

a3 =

1 , 3

a6 =

1 , 6

a6 = a3 + 3d összefüggésből

10. Egy számtani sorozat második eleme 22, negyedik eleme 12. A sorozat differenciája: d = −5, az első eleme 27.

a) Mi a sorozat tizedik eleme? a10 = a1 + 9d = 27 + 9 · (−5) = −18 a1 + a5 27 + 7 = = 17 = a3 2 2 Vagy felsorolják a gyerekek az elemeket, vagy felírják az

b) Mennyi az első és az ötödik elem számtani közepe? c) Hány pozitív eleme van a sorozatnak?

d)

általános összefüggést: an = a1 + (n − 1) · d = 27 + (n − 1) · (−5) > 0, innen n < 6,4, azaz a sorozat első hat eleme pozitív. a +a 27 + (−18) Mennyi az első tíz elem összege? S10 = 1 10 · 10 = · 10 = 45 2 2

Hány kis háromszög van az ábra tizedik sorában? Hány kis háromszög van az első tíz sorban? Keress képletet, hogy hány kis háromszög van az ábra n-edik sorában és az első n sorban! A megtalált összefüggést ellenőrizd n = 10-re!

11. 1. 2. 3. .. . Sor száma (n)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n

Háromszögek száma (an )

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

2n − 1

Összes háromszög száma (Sn )

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

n2

Érdekes összefüggést fedezhetnek fel a gyerekek. Az első n páratlan szám összege éppen n2 . Ezt már a 6. feladatnál is megsejthették a gyerekek.

12. a) Add meg a kétjegyű számok összegét! b) Add meg a kétjegyű páros számok összegét! c) Add meg a kétjegyű páratlan számok összegét! Az adott tulajdonságú számok számtani sorozatot alkotnak. 10 + 99 10 + 98 a) 10 + 11 + 12 + . . . + 98 + 99 = · 90 = 4905 b) 10 + 12 + 14 + . . . + 96 + 98 = · 45 = 2430 2 2 11 + 99 c) 11 + 13 + 15 + . . . + 97 + 99 = · 45 = 2475 2 Ellenőrzés: b + c = a A gyerekek igen gyakran megfelezik az a -beli eredményt, és így kapják a b -t, és a páratlannal való kezdés miatt az 1 maradékot a c -hez biggyesztik.

13. Számítsd ki azoknak a a) legfeljebb kétjegyű, b) legfeljebb háromjegyű számoknak az összegét, amelyek 5-tel osztva 2-t adnak maradékul!

29

C

M

Y

K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 32–33. oldal Az adott tulajdonságú számok számtani sorozatot alkotnak. 2 + 97 2 + 997 a) 2 + 7 + 12 + . . . + 92 + 97 = · 20 = 990 b) 2 + 7 + 12 + . . . + 992 + 997 = · 200 = 99 900 2 2

14. Mekkorák a háromszög szögei, ha azok számtani sorozatot alkotnak, és a) a legkisebb szög 45◦ , 45 + (45 + d) + (45 + 2d) = 180, innen d = 15. A szögek: 45◦ , 60◦ , 75◦ . b) a legnagyobb szög 82◦ , 82 + (82 − d) + (82 − 2d) = 180, innen d = 22. A szögek: 82◦ , 60◦ , 38◦ . c) a legnagyobb és a legkisebb szög különbsége 120◦ , A legnagyobb és a legkisebb szög különbsége éppen 2d. Így 2d = 120◦ , azaz d = 60◦ , ami háromszögre nem lehetséges, mert így α + (α + d) + (α + 2d) = = 3α + 3d = 3α + 180◦ lenne, az α = 0 lenne. a +a d) a legnagyobb és a legkisebb szög összege 120◦ , Így a középső szög = 60◦ mert az a2 = 1 3 . 2 A feladatnak végtelen sok háromszög a megoldása pl.: 30◦ , 60◦ , 90◦ , vagy 42◦ , 60◦ , 78◦ . . . a +a e) a legnagyobb és a legkisebb szög összege 100◦ ? Így a középső szög = 50◦ , mert a2 = 1 3 . 2 A három szög összege 100◦ + 50◦ = 150◦ lenne, ami azt jelenti, hogy a feladatnak nincs megoldása. Nagyon alkalmas differenciált munkára ez a feladat.

15. Az an = (−1)n · n + 1 sorozatban szerepel-e elemként az 1000 vagy a −1000? Az adott számok akkor elemei a sorozatnak, ha van pozitív egész megoldása a (−1)n · n + 1 = 1000, illetve (−1)n · n + 1 = −1000 egyenletnek. (−1)n · n = 999, így n = 999 lehetne, de (−1)999 = −1, ezért az 1000 nem tartozik a sorozathoz, míg (−1)n · n = −1001 egyenletből n = 1001, azaz a −1000 a sorozat 1001edik tagja.

16. Hány olyan négyszög van, amelynek szögei pozitív egész számokból álló számtani sorozatot alkotnak? A négyszög szögei: α, α + d, α + 2d, α + 3d, és összegük 360◦ . 4α + 6d = 360◦

/:4

◦

α + 1,5d = 90 , mivel a négyszög szögei pozitív egészek, ezért d páros szám lesz. A lehetséges értékei: 0, 2, 4, 6, . . . , 58, mert 1,5 · 58 = 87. Összesen 30 ilyen szám van, vagyis 30 különböző szögű négyszög van. Pl.: d = 2-re α = 87◦ a négyszög szögei: 87◦ , 89◦ , 91◦ , 93◦ . (Ez például valójában végtelen sok négyszöget jelent, melyek egymáshoz még csak nem is hasonlóak.) d = 12-re α = 72◦ a négyszög szögei: 72◦ , 84◦ , 96◦ , 108◦ . d = 50-re α = 15◦ a négyszög szögei: 15◦ , 65◦ , 115◦ , 165◦ .

17. Egy sorozat képzési szabálya: a1 = 1, an = 2an−1 + 3. Írd fel a sorozat első öt elemét! a) A sorozat első 100 tagja között hány 3-mal osztható van? b) A sorozat első 100 tagja között hány 13-mal osztható van? a1 = 1, a2 = 2 · 1 + 3 = 5, a3 = 2 · 5 + 3 = 13, a4 = 2 · 13 + 3 = 29, a5 = 2 · 29 + 3 = 61 a) 3-mal osztható sorozatbeli elem nincsen, hiszen az an = 2 · an−1 + 3 összeg második tagja osztható 3-mal, így elég a 2 · an−1 tag 3-mal való osztási maradékait vizsgálni. Ezek 1, 2, 1, . . . periodikus sorozatot alkotnak. b) 13-mal osztható tag biztosan van a sorozatban, hiszen a3 = 13. Ismét elég az egyes tagok 13-mal való osztási maradékait vizsgálni és megkeresni az ismétlődő szakasz hosszát.

30

C M Y K



Sorozat eleme (an )

1

5

13

29

Innen kezdve már csak 61 a maradékkal célszerű számolni.

13-mal való osztási maradéka

1

5

0

3

9

8

6

2

7

4

11

12

1

Tehát 12 hosszúságú az ismétlődő szakasz. 100 = 8 · 12 + 4, így 8 darab 13-mal osztható sorozatbeli elem van, és a (+4) miatt még 1 a sorozat elején, azaz összesen 9.

18. Egy reggel az iskolában föl voltak írva a táblára az egymás után következő egész számok 1-től kezdve egy bizonyos számig. A hetes az egyik számot letörölte. Pár perc múlva vita támadt azon, hogy melyik számot is törölte le, de már csak arra emlékeztek, hogy a 45 volt. Melyik számot törölte le a hetes? megmaradt számok számtani közepe 4 (Bergengóc példatár 2.)

Legyenek az eredeti számok 1, 2, 3, . . . , n. Ha a legnagyobb számot töröljük le, akkor kapjuk a 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) = n−1 innen n

5

legkisebb átlagot: 1 + (n − 1) n · (n − 1) = 2 · (n − 1) 2 22,5.

Ha a legkisebb számot töröljük le, akkor a legnagyobb átlagot kapjuk: 2 + 3 + 4 + . . . + n (2 + n)(n − 1) 2 + n = = n−1 2(n − 1) 2 innen n 20,5.

=

5 454 ,

= 454 ,

Tehát n = 21 vagy n = 22 lehet. Ha n = 21, akkor a számok összege 1 + 2 + . . . + 21 = 20 ·

45 = 225, azaz a 6-ot töröltük le. 4

Ha n = 22, akkor a számok összege 1 + 2 + . . . + 22 =

1 + 21 · 21 = 231, míg a letörlés utáni 20 szám összege 2 1 + 22 · 22 = 253. 2

45 = 236,25. 4 Ez nem lehet, hiszen így a 16,75-ot kellett volna letörölni, ami nem természetes szám.

A megmaradt 21 szám összege 21 ·

13–14. óra Mértani sorozat Tk.: 39–41. oldalon az 1–21. feladatok Fgy.: 413–432.

1

1

1

A mértani sorozat fogalma nem ismeretlen a gyerekek számára. Az alsó tagozatban már több olyan feladat szerepelt, ahol a sorozatot úgy kellett folytatni, hogy minden tagnak valahányszorosát kellett venni, és a sorozatok hiányzó elemeit kellett megkeresni. A kezünkkel való játék is több alsó tagozatos matematikakönyvben megtalálható, ennek ellenére nagyon szokták élvezni a gyerekek még nyolcadikban is. A pénzes játéknál a padszomszédok összebeszélhetnek, és különböző trükkös szabályokban állapodhatnak meg. (Pl.: A pénzen szereplő 1-es különböző állásai mást és mást jelenthetnek.) 1=1 =2 =3 = 4 ugyanez vonatkozik a fejre is. Így a 4 + 4 + 1 = 9-es számrendszerrel

31

C M Y K



lehet számolni. Az egyik gyerek kirakja a pénzt a rekeszekbe, és felírja az eredményt egy cetlire. A másik gyerek a táblán kiszámolja, hogy mit lát. Ha a két eredmény megegyezik, akkor jó trükköt találtak ki (elszámolást nem feltételezünk). Meg szokta lepni a gyerekeket, hogy a kamatszámításos problémák is a mértani sorozat tárgykörébe tartoznak. A kitekintőben, amikor a végtelen szakaszos tizedes törteket tört alakba írjuk át, az alkalmazott eljárás (végtelen tagú összegek kivonása), nem egy korrekt matematikai eljárás. Végtelen tagú összeggel általában nem lehet úgy dolgozni, mint a véges sok tagúval. Ezért van szükség az ellenőrzésre.

Feladatok 1. Egy tavirózsa mindennap kétszeresére nő, így 50 nap alatt növi be az egész tavat. Hányadik napon fedi be a tó felét? Hány nap alatt fedi be a tavat 4 ilyen tavirózsa? A tó felét a 49. napon fedi be, hiszen a következő nap alatt a duplázás miatt az egész tavat virág borítja. Egy tavirózsa 49 nap alatt a tó felét, 48 nap alatt a negyedét fedi be. Ezért 4 tavirózsa 48 nap alatt beborítja a tavat.

2. Folytasd a következő sorozatokat úgy, hogy azok számtani sorozatok legyenek, majd úgy, hogy mértani sorozatot kapj! Mennyi az egyes esetekben az ötödik elemek különbsége? 1 1 a) 5; 10; . . . b) 4; 2; . . . c) 3; 5; . . . d) ; ; . . . 2 3 Számtani sorozat (sn )

5; 10; 15; 20; 25

Mértani sorozat (mn )

5; 10; 20; 40; 80

s5 − m5

−55

4; 2; 0; −2; −4 4; 2; 1; −4

1 1 ; 2 4

3; 5; 7; 9; 11 3; 5;

1 4

25 125 625 ; ; 3 9 27 −

328 27

1 1 1 1 ; ; ; 0; − 2 3 6 6 1 1 2 4 8 ; ; ; ; 2 3 9 27 81 −

43 162

3. A következő sorozatok közül melyik lehet számtani sorozat, és melyik lehet mértani sorozat? Írd fel a kiválasztott sorozat további három elemét is! a) −3; 2; 7; 12; 17; 22 Sz.

b) 4; −8; 16; −32; 64; −128 M. c) 5; 55; 555; . . .

d) 5; 50; 500; 5000; 50 000 M.

e) 5; 0,5; 0,05; 0,005; 0,0005; M. f) 5; 5,5; 55; 5; . . .

g) j)

1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 ; ; ; ; ; = 2; Sz. h) ; ; ; ; ; Sz-M. 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 4 2 1 1 1 1 ; − ; ; − ; ; − M. k) a; 2a; 3a; 4a; 5a; 6a Sz. 5 5 5 10 20 40

i)

4 2 1 1 1 1 ; ; ; ; ; M. 5 5 5 10 20 40

l) a; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; a 6 M.

(ha a 0; ha a = 0 vagy a = 1, akkor Sz. is)

32

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 39–40. oldal 4. A következő ábrákon a síkidomok területei mértani sorozatot alkotnak. Írd fel a sorozatok első öt elemét és a sorozat hányadosát, ha megadtuk a területegységet. a) 16 4

8

2

q=2

1

b)

c) 4

1 16

4

1 16

1 4 1

1 4

q=4

1

q=4

5. Írd fel a mértani sorozat első öt elemét, és add meg az összegüket is! a) Első elem 3, a hányados 4. 3; 12; 48; 192; 768 az összeg: 1023 2 4 8 16 32 422 b) Első elem 2, a hányados . 2; ; ; ; az összeg: 3 9 27 81 81 3 6. Egy mértani sorozat első eleme 5, harmadik eleme 125. Mi a sorozat második eleme? A sorozat második eleme 25 és (−25) is lehet, az utóbbiról el szoktak feledkezni a gyerekek.

7. Határozd meg a mértani sorozat első elemét, ha 3 1 3 a2 a) a második eleme 3, a harmadik eleme , q = : 3 = , így a1 = = 6. 2 2 q 2 b) az ötödik és a hetedik eleme is 7, A q = 1 esetben a1 = 7, de lehet q = −1 is, akkor a1 ismét 7. Nagy eséllyel a második esetre nem gondolnak a gyerekek, ezért mindenképpen egyeztessük a megoldás módját.

c) a negyedik és a hatodik eleme is 7, Az a5 = 7 esetben a1 = 7, de lehet a5 = −7, ekkor a1 = −7. Itt is d)

csak az első megoldásra szoktak gondolni a gyerekek. a nyolcadik eleme 256, a hányadosa 2! a8 = 256, ekkor a1 = 2.

8. Egy mértani sorozat első eleme 2, a második eleme 6. Tagja-e ennek a sorozatnak az 54, a 486 és a 729? Melyik a legkisebb 3 jegyű szám, ami tagja a sorozatnak? a1 = 2 és a2 = 6, innen q = 3. Az adott számok akkor elemei a sorozatnak, ha felírhatók 2 · 3n−1 alakban. 54 = 2 · 3n−1 egyenletből n = 4; 486 = 2 · 3n−1 egyenletből 243 = 3n−1 , innen n = 6. A 729 páratlan szám, ezért nem írható fel egy 3 hatvány kétszereseként. Tehát az 54 és a 486 eleme a sorozatnak. Lesznek gyerekek, akik sorban felírják a sorozat elemeit, és úgy jutnak el a helyes válaszhoz: a4 = 54, a6 = 486.

9. Egy 10 m mély kút kiásásához melyik kútásó ajánlatát fogadnád el? A: A kiszállási díj 10 E Ft, utána minden méterért 3000 Ft-ot kell fizetni. 10 000 + 10 · 3000 = = 40 000 Ft.

B: Az első méter 500 Ft, utána minden méterért 1000 Ft-tal kell többet fizetni az előzőnél. Egy

C:

számtani sorozat első 10 elemének összegét kell meghatározni. a1 = 500, d = 1000. a1 + a10 500 + 500 + 9 · 1000 S10 = · 10 = · 10 = 50 000 Ft. 2 2 Az első méter 2 Ft, utána minden méter ára 3-szorosa az előzőnek. Egy mértani sorozat első 10 elemének összege a fizetendő ár. a1 = 2, q = 3.

33

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 40. oldal S10 = 2 + 2 · 3 + 2 · 32 + 2 · 33 + . . . + 2 · 39 = 2 · (1 + 3 + 32 + . . . + 39 ) 3 · S10 = 2 · (3 + 32 + 33 + . . . + 310 ) A két egyenlet különbségét véve: 2 · S10 = 2 · (310 − 1), innen S10 = 310 − 1 = 59 048 Ft. A legkedvezőbb ajánlatot az A kútásó adta.

10. Írd fel a képletekkel megadott mértani sorozatok első három tagját, és add meg a hányadosukat! a) an = 2n 2; 4; 8 q = 2 n 1 1 1 1 1 c) cn = ; ; q= 2 4 8 2 2

b) bn = (−2)n (−2); 4; (−8) q = −2 1 n 1 1 1 1 d) dn = − − ; ;− q=− 2 4 8 2 2

A 11–14. feladatok a mértani sorozat szerint viselkedő, a gyakorlati életből vett problémák megoldását igénylik. Néhányat feltétlenül dolgozzunk ki közülük, ne használjunk képletet, inkább a táblázat kitöltésével újra és újra fedezzük fel a képzési szabályt!

le

1m

fel

11. Egy leejtett teniszlabda minden földet éréskor visszapattan az 9 ejtési magasság részéig. Mekkora magasságban fogja el az 10 ügyetlen teniszező az 1 m-ről leejtett labdát, ha az 4-szer pattant a földön? Összesen mekkora utat tett meg a labda?

1.

2.

3.

Pattogás száma

1.

Visszanyert magasság

9 9 9 81 81 9 729 729 9 6561 · = · = · = 10 10 10 100 100 10 1000 1000 10 10 000

4.

2.

3.

4.

A teniszező 65,6 cm magasságban fogja el a labdát. A megtett út: 9 81 729 6561 65 341 1+2· +2· +2· + = = 6,5341 méter. 10 100 1000 10 000 10 000 A ladba összesen ≈ 6,5 m utat tett meg.

12. Egy 100 kg-os ember 2 hónapos szigorú diétába kezd. Hetente tömegének 2%-át sikerül leadnia. Hány kg lesz a fogyókúra leteltével? Ha a tömeg 2%-át adja le, akkor 98%-a megmarad. Az ember 8 héten át gyötri magát. A törvényszerűséget 2-4 eset felírása után felfedezik a gyerekek. Hetek száma Tömeg

1.

2.

...

8.

100 · 0,98

(100 · 0,98) · 0,98

...

100 · 0,988

A fogyókúra végére 85 kg-os lesz az emberünk.

13. Pista tanévkezdéskor 10 000 Ft-ot tett be a bankba. Az éves kamatláb 12%, de ő havi kamatozást választott, azaz pénze minden hónap végén 1%-kal gyarapszik. Mennyi pénze van Pistának a bankban az őszi hónapokban? Szeptember vége 10 000 · 1,01 = 10 100 Ft

Október vége 10 100 · 1,01 = 10 201 Ft

November vége 10 201 · 1,01 = 10 303 Ft

34

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 41. oldal 14. A háztartási gépek éves értékcsökkenése (amortizációja) 25%. Mennyit ér 3 év múlva a) a 345 eurós mosógép, b) az 1250 eurós plazmatévé, c) a 112 eurós mikrohullámú sütő? Ha az éves amortizáció 25%, akkor a gép értéke az eredeti ár 75%-át éri az adott év végén. Eredeti ár a) 345 euró b) 1250 euró c) 112 euró

Első év végi ár 345 · 0,75 = 258,75 euró 1250 · 0,75 = 937,5 euró 112 · 0,75 = 84 euró

Második év végi ár 258,75 · 0,75 = 194,06 euró 937,5 · 0,75 = 703,13 euró 84 · 0,75 = 63 euró

Harmadik év végi ár 194,06 · 0,75 = 145,55 euró 703,13 · 0,75 = 527,34 euró 63 · 0,75 = 47,25 euró

Számítsd ki az ábrán látható négy egymásba rajzolt szabályos háromszög területének összegét, ha a „legbelső” kis háromszög területe 1!

15.

Minden háromszög területe éppen négyszerese a belerajzolható kis háromszög területének. Így a területösszeg T = 1 + 4 + 16 + 64 = 85 [e2 ].

16. Az egységnyi oldalú négyzet minden oldalát megfeleztük, majd a kapott osztópontokat összekötve újabb négyzetet kaptunk. Az eljárást folytatva határozd meg az ötödik négyzet területét! Az ábra képzési struktúrája állandó, ezért elég megnézni az első két négyzet területének arányát. 5 1 1 2 A belső négyzet területe fele a külső négyzet területének, ötszöri felezés után T = = e . 2 32

17. Egy mértani sorozat első eleme

1

5 4 , harmadik eleme . Mi a sorozat második 5 4

eleme? 4 5 a3 25 , a harmadik elem pedig , akkor q 2 = miatt q 2 = . Két lehetőség van. 5 4 a1 16 5 5 Ha q = , akkor a2 = 1, ha q = − , akkor a2 = −1. Többnyire a második sorozatról elfeledkeznek a gyerekek. 4 4 Ha az első elem

18. Mutasd meg, hogy a 2, 22 , 23 , 24 , . . . mértani sorozatban található két különböző olyan szám, amelyek különbsége osztható 100-zal! Egy szám akkor osztható 100-zal, ha az utolsó két számjegye 00. Két szám különbsége akkor végződik két 0ra, ha a két szám ugyanarra a kétjegyű számra végződik. Az utolsó két számjegy csak legfeljebb 100 szám esetében lehet különböző, ezért a 2101 -ig már biztosan lesz két szám, amelynek az utolsó két számjegye azonos. Észrevehetjük, hogy a hatványalaptól független a feladat. Azt is észrevehetjük, hogy a 2 hatványai páros számok, ezért legfeljebb 50 különböző lehetőség van, tehát 251 -ig már biztosan lesz két azonos végződés. Megjegyzés: Ennél egyébként jóval kevesebb hatvány is elég. Megfigyelhetjük, hogy a 2 hatványok (és általában a hatványok) utolsó két számjegye periodikusan ismétlődik: 02, 04, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 04. 221 utolsó két számjegye megegyezik 22 utolsó két számjegyével. 221+k utolsó két számjegye megegyezik 22+k utolsó két számjegyével. (k 0 egész szám.) Biztosan lesz olyan gyerek, aki végignézi.

=

35

C M Y K



19. Valaki egy négyzetet a következőképpen „díszített” ki. Először 9 egybevágó kis négyzetre osztotta, majd első lépésként beszínezte a középső négyzetet. Másodszor a megmaradó 8 kis négyzet mindegyikét 9 egybevágó, még kisebb négyzetre osztotta, és mindegyikben beszínezte a középső kis négyzetet. Ezt az eljárást végül is ötször hajtotta végre. Hányadrészét színezte be az eredeti négyzetnek? (Bergengóc példatár)

1. megoldás Az eredeti négyzet területéből (1 e2 ) vonjuk le a fehéren hagyott területeket. 8 Minden lépésben a fehér négyzetek része marad ismét fehér. 9 Lépésszám

1.

2.

2 8 8 8 · = 9 9 9

3. 4. 5. 2 3 3 4 4 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 · = · = · = 9 9 9 9 9 9 9 9 9

8 9 5 8 Fekete terület: 1 − ≈ 0,45 része lesz fekete az eredeti ábrának. 9 Fehér terület

2. megoldás 1 a beszínezett rész. 1. lépés: 9 1 1 1 1 2. lépés: · = egy kis beszínezett rész, és 8 darab van belőle, így 8 · részt színeztünk be. 9 9 81 81 3 3 1 1 1 1 3. lépés: · = egy kis beszínezett rész, és 8 · 8 = 82 darab van belőle, így 82 · részt 81 9 9 9 színeztünk be. 4 3 1 1 1 4 1 4. lépés: · = egy kis beszínezett rész, és 8 · 82 = 83 darab van belőle, így 83 · részt 9 9 9 9 színeztünk be. 5 5 1 1 4 4 egy kis beszínezett rész, és 8 darab van belőle, így 8 · részt színeztünk be. 5. lépés: 9 9 Az összes beszínezett terület: 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 8 64 512 4096 T = +8· + 82 · + 83 · + 84 · = + + + + . 9 9 9 9 9 9 81 729 6561 59 049 T =

6561 + 5832 + 5184 + 4608 + 4096 26 281 = ≈ 0,45 rész. 59 049 59 049

20. 20%-os hitel felvételekor hány év alatt fogjuk a felvett összeg dupláját visszafizetni? Érdemes megbecsültetni az eredményt! Lehet konkrét kiindulási összeggel, például 1000 Ft-tal is számolni, ekkor könnyebb rájönni a képzési struktúrára. Itt általános megoldást adunk. A felvett összeget jelöljük f -fel. A visszafizetendő összegek: Évek Visszafizetendő

1

2

3

4

1,2f

1,22 f = 1,44f

1,23 f = 1,728f

1,24 f > 2f

36

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 41. oldal 4 év múlva már több mint az összeg dupláját (2,0736-szorosát) kell visszafizetni. A gyerekek által becsült értékek 5-nél szoktak kezdődni.

21. Határozd meg a végtelen tizedes törtek tört alakját! a = 0,6˙

b = 12,4˙

c = 2,3˙ 5˙

d = 0,12˙ 3˙

A végtelen tizedes törtek struktúrájának jobb megértését célzó feladat. A számokat összeg alakba átírva észrevehetjük, hogy egy mértani sorozat „végtelen sok” tagjának összegét egy ügyes trükkel meg tudjuk határozni. Eredményünket az osztás elvégzésével mindig ellenőrizhetjük. A feladatot a matematika iránt nagyon fogékony tanulóknak ajánljuk. 6 6 6 + + + . . .. a = 0,6˙ = 10 100 1000 ⎫ 6 6 6 ⎪ + + + ...⎪ 10a = 6 + ⎬ 2 10 100 1000 A kivonás után 9a = 6, innen a = . ⎪ 6 6 6 3 ⎭ + + + ... ⎪ a= 10 100 1000 4 4 4 4 4 4 + + + . . .. Legyen B = + + + . . .. 10 100 1000 10 100 1000 ⎫ 4 4 4 ⎪ 10B = 4 + + + + ...⎪ ⎬ 4 10 100 1000 Kivonás után 9B = 4, innen B = ⎪ 4 4 4 9 ⎪ ⎭ + + + ... B= 10 100 1000

b = 12,4˙ = 12 + 0,4˙ = 12 +

b = 12 + B = 12

4 9

35 35 35 35 35 35 + + + . . .. Legyen C = + + + . . .. 100 10 000 1 000 000 100 10 000 1 000 000 ⎫ 35 35 35 ⎪ 100C = 35 + + + + ...⎪ ⎬ 35 100 10 000 1 000 000 Kivonás után 99C = 35, innen C = ⎪ 35 35 35 99 ⎪ ⎭ + + + ... C= 100 10 000 1 000 000

c = 2,3˙ 5˙ = 2 + 0,3˙ 5˙ = 2 +

c = 2+C =2

35 . 99

23 23 23 23 + + . . .. Legyen D = + + . . .. 1000 100 000 1000 100 000 ⎫ 23 23 23 ⎪ 100D = + + + ...⎪ ⎬ 23 23 10 1000 100 000 Kivonás után 99D = , innen D = . ⎪ 23 23 10 990 ⎪ ⎭ D= + + ... 1000 100 000

d = 0,12˙ 3˙ = 0,1 + 0,02˙ 3˙ = 0,1 +

d=

1 23 122 + = 10 990 990

37

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 42. oldal TOTÓ 1.

X

2.

1.

Az x → 2 − 3x lineáris függvény grafikonja az az A(2; 0) pontban y tengelyt metszi

2.

Az x → 2x − 3, x → 3x − 2 és x → 2(1 + x) lineáris függvények grafikonjai között

3

a B(0; 2) pontban a C(0; −3) pontban metszi metszi

nincs két párhuzamos egyenes

pontosan két párhuzamos egyenes van

3

mindhárom egyenes párhuzamos

3.

Az x → |x − 4| abszolútérték-függvény grafikonjának töréspontja

T (0; 4)

T (4; 0)

4.

Melyik függvényhez tartozik az x = 1 helyen a legnagyobb helyettesítési érték: 1 x → 4x − 2, x → 2x 2 − 1, x → + 3? x

Az elsőhöz

A másodikhoz

A harmadikhoz

felfelé nyitott parabola

lefelé nyitott parabola

hiperbola

C(2; 0)

C(0; 1)

4 A 3; 3

A (−2; −1)

mértani sorozat

számtani sorozat

5.

Az x → 2 − x 2 függvény grafikonja

6.

Az x → 2x 2 + 1 függvény tengelypontja

7.

Az x →

8.

Az an = 3n + 1 képlettel megadott sorozat

2 függvény grafikonja áthalad a megx adott ponton:

3

T (−4; 0)

3

3

3

C(0; 2)

3

A (4; 2)

3sem nem számtani, sem nem mértani sorozat

9.

10. 11.

Egy mértani sorozat második eleme 3, harmadik eleme (−6). A sorozat ötödik eleme n 1 Az an = mértani sorozat elemei 3

12 csökkennek

Az an = (−2)n mértani sorozat 4. eleme 16

12.

13.

Egy mértani sorozat második eleme 4, negyedik eleme 36. A sorozat harmadik eleme Ha egy háromszög oldalai mértani sorozatot alkotnak, akkor az oldalakhoz tartozó magasságok

13 + 1. Szerintem a válaszaim közül

3

3

−24

nőnek

nem dönthető el

−16

Ez a képlet nem határoz meg mértani sorozatot

−12

12

A harmadik elem abszolút értéke 12

3

szintén mértani sorozatot alkotnak

számtani sorozatot alkotnak

nem feltétlenül alkotnak számtani vagy mértani sorozatot

legalább 12 jó

legalább 10 jó

10-nél kevesebb jó, ezért még tanulnom kell

3

38

C M Y K

3

24



Megjegyzések a totóhoz 4. Ki kell számolni a helyettesítési értékeket:

9. q =

1 +3= 4 1 3 a5 = a1 · q 4 = − · (−2)4 = −24 2

1 → 2 · 12 − 1 = 1

1 → 4 · 1 − 2 = 2

a3 a2 3 =− = −2, ezért a1 = a2 q 2

12. Mivel a2 = 4 és a4 = 36, így q 2 =

1 →

a4 összefüggésből q 2 = 9, így q = 3 vagy q = −3. a2

13. A háromszög területe egy állandó érték. Ha az oldalak mértani sorozatot alkotnak, akkor a; aq; aq 2 formában am 1 2T 2T 2T írhatók fel. Így a T = összefüggés miatt a megfelelő magasságok: ; ; , azaz hányadosú mértani 2 2 a aq aq q sorozatot alkotnak.

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ 1. Készítsd el az x → x 2 − 4 függvény grafikonját! Add meg a függvény értékkészletét és tengelypontját! Határozd meg a pontok hiányzó koordinátáit úgy, hogy azok a grafikonon legyenek! A(1; ); B(−2; ); C(12; ); D( ; 5) ÉK: {y

y 2 1 −2 −1 −1 −2 −3

= −4}

T (0; −4) x

A(1; −3)

B(−2; 0)

C(12; 140)

D1 (3; 5) és D2 (−3; 5)

1 2

2. Válaszd ki a grafikonokhoz tartozó hozzárendelési utasításokat! y y a) b) 3 2 1 −3 −2 −1 −1

y

c)

3 2 1 1 2 3

−2 −3

x

−3 −2 −1 −1

3 2 1 1 2 3

x

−2 −1 −1

−2 −3

a) x → −3x + 2 x→ 2x − 3 x→ −2x + 3

b) x → x 2 + 3 x → −x 2 + 3 x → −x 2 − 3

x → 2x − 3

x → −x 2 + 3

1 2 3

x

−2

c) x → |2 + x| x→ |2 − x| x→ | − 2 − x| x → |x − 2| = |2 − x|

39

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Tk.: 43. oldal 3. A következő sorozatok közül melyik lehet számtani sorozat, és melyik lehet mértani sorozat? Írd fel a kiválasztott sorozat további három elemét is! a) −4; 1; 6; . . . −4; 1; 6; 11; 16; 21 számtani sorozat b) 3; 9; 12; . . . c) −7; −7; −7; . . . −7; −7; −7; −7; −7; −7 számtani és mértani sorozat 1 2 3 1 2 3 4 5 6 ; ; ; . . . ; ; ; ; ; számtani sorozat 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e) − ; ; − ; ... − ; ; − ; ; − ; mértani sorozat 5 10 20 40 80 160 5 10 20 3 4 5 f) ; ; ; ... 7 14 28 4. Oldd meg grafikusan az a) x 2 − 1 = x + 1 egyenletet, x 2 − 1 = x + 1, ha x1 = −1 és x2 = 2 d)

y 3 2 1

Ellenőrzés behelyettesítéssel.

b) x 2 − 1 5 x + 1 egyenlőtlenséget! x 2 − 1 5 x + 1, ha −1 5 x 5 2

x

5. Írd fel a mértani sorozatok első öt elemét! −2 −1 1 2 3 −1 a) Az első elem 1, a hányados 2. 1; 2; 4; 8; 16 4 2 4 8 16 32 2 b) Az első elem , a második elem − . ; − ; ; − ; 3 3 3 3 3 3 3 27 2 3 9 27 81 3 2 3 9 27 81 vagy − ; ; − ; ;− c) A második elem , a negyedik elem . ; ; ; ; 5 5 10 20 40 5 40 5 5 10 20 40 6. Mennyi pénzt kapunk vissza 3 év múlva a banktól, ha 100 000 Ft-ot helyezünk el évi 8%-os kamatlábra? Első év vége

Második év vége

100 000 · 1,08 = 108 000 Ft

108 000 · 1,08 = 116 640 Ft

Harmadik év vége 116 640 · 1,08 = 125 971 Ft

Minden év végén az év eleji érték 108%-át kapjuk vissza.

40

C M Y K


Hozzrendels, fggvny ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ A csoport 1. A) Készítsd el az x → |x| − 3 függvény grafikonját! Add meg a függvény értékkészletét és tengelypontját! B) Határozd meg az A(2; ), B(−4; ), C(20; ) és D( ; 4) pontok hiányzó koordinátáit úgy, hogy azok a) a grafikonon, b) a grafikon alatt legyenek! 2. Oldd meg az x 2 − 2 = 4 − x egyenletet és az x 2 − 2 5 4 − x egyenlőtlenséget! 3. Folytasd a következő sorozatokat úgy, hogy azok számtani sorozatok legyenek, majd úgy, hogy mértani sorozatot kapj! Mennyi az egyes esetekben az első négy elem összege? 1 1 a) 3; 6; . . . b) ; − ; . . . 2 4 4. a) Egy mértani sorozat első eleme 3, hányadosa −2. Sorold fel a sorozat első öt elemét! 4 4 b) Egy mértani sorozat második eleme , harmadik eleme . Mi a sorozat első és ötödik eleme? 3 9 c) Egy mértani sorozat harmadik eleme 3, ötödik eleme 48. Mi a sorozat negyedik eleme? 5. A november végén 250 Ft-ba kerülő leveszöldség minden téli hónapban 12%-kal drágul. Mennyit kell érte fizetni az egyes hónapokban? Hány százalékos az áremelkedés februárra?

41

C M Y K


Hozzrendels, fggvny ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ MEGOLDÁSA A csoport 1. A) Készítsd el az x → |x| − 3 függvény grafikonját! Add meg a függvény értékkészletét és tengelypontját! y 2 1

x

−3 −2 −1 −1 −2 −3

ÉK: {y

= −3}

T (0; −3)

értékkészlet, tengelypont 4 pont grafikon 5 pont

1 2 3

9 pont

B) Határozd meg az A(2; úgy, hogy azok

), B(−4;

), C(20;

a) a grafikonon,

) és D(

; 4) pontok hiányzó koordinátáit

b) a grafikon alatt legyenek! A(2; y) B(−4; y) C(20; y)

D(x; 4)

a) Grafikonon

y = −1

y=1

y = 17

x1 = 7; x2 = −7

8 pont

b) Grafikon alatt

y < −1

y<1

y < 17

x > 7 vagy x < −7

8 pont 25 pont

2. Oldd meg az x 2 − 2 = 4 − x egyenletet és az x 2 − 2 5 4 − x egyenlőtlenséget! y 8 7 6 5 4 3 2 1 −3 −2 −1 −1 −2

x 2 − 2 = 4 − x, ha x1 = −3 és x2 = 2

4 pont

x2 − 2

6 pont

5 4 − x, ha −3 5 x 5 2

Ellenőrzés behelyettesítéssel!

x 1 2 3 4 5 6 7 grafikon 8 pont 18 pont

3. Folytasd a következő sorozatokat úgy, hogy azok számtani sorozatok legyenek, majd úgy, hogy mértani sorozatot kapj! Mennyi az egyes esetekben az első négy elem összege? 1 1 a) 3; 6; . . . b) ; − ; . . . 2 4

42

C M Y K


Hozzrendels, fggvny b)

a) Számtani

3

6

9

12

Számtani

1 2

−

1 4

−1

−

Mértani

3

6

12

24

Mértani

1 2

−

1 4

1 8

−

s4 = −

s4 = 40, m4 = 45

10 5 = −2,5, m4 = 4 16

7 4

1 16 2 · 10 p = 20 pont

4. a) Egy mértani sorozat első eleme 3, hányadosa −2. Sorold fel a sorozat első öt elemét! 3; −6; 12; −24; 48

6 pont

4 4 b) Egy mértani sorozat második eleme , harmadik eleme . Mi a sorozat első és ötödik eleme? 3 9 q=

a3 1 = , így a1 = 4 a2 3

a5 = a1 · q 4 = 4 ·

1 3

4

=

4 81

8 pont

c) Egy mértani sorozat harmadik eleme 3, ötödik eleme 48. Mi a sorozat negyedik eleme? 48 = 16, így két szorzatot kapunk. 3 Ha q = 4, akkor a4 = 12. Ha q = −4, akkor a4 = −12. Mivel q 2 =

8 pont 22 pont

5. A november végén 250 Ft-ba kerülő leveszöldség minden téli hónapban 12%-kal drágul. Mennyit kell érte fizetni az egyes hónapokban? Hány százalékos az áremelkedés februárra? 1. megoldás: December 250 · 1,12 = 280 Ft

Január 280 · 1,12 ≈ 314 Ft

Február 314 · 1,12 ≈ 352 Ft

Az áremelkedés 102 Ft, ez 102 : 2,5 = 40,8%-os emelés. 2. megoldás: 1,123 = 1,405, így az áremelkedés 40,5%. Az eltérés a kerekítések miatt van.

15 pont

Összesen: 100 pont

43

C M Y K


Hozzrendels, fggvny ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ B csoport 1. A) Készítsd el az x → x 2 − 2 függvény grafikonját! Add meg a függvény értékkészletét és tengelypontját! B) Határozd meg az A(3; úgy, hogy azok a) a grafikonon,

), B(−2;

), C(9;

) és D(


b) a grafikon alatt legyenek!

1 1 1 1 2. Oldd meg az |x| − 3 = x − egyenletet és az |x| − 3 5 x − egyenlőtlenséget! 3 3 3 3 3. Folytasd a következő sorozatokat úgy, hogy azok számtani sorozatok legyenek, majd úgy, hogy mértani sorozatot kapj! Mennyi az egyes esetekben az első négy elem összege? 1 1 a) 2; 6; . . . b) ; − ; . . . 3 6 4. a) Egy mértani sorozat első eleme 4, hányadosa −2. Sorold fel a sorozat első öt elemét! b) Egy mértani sorozat harmadik eleme

3 3 , negyedik eleme . Mi a sorozat első és ötödik 25 125

eleme? c) Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, ötödik eleme 36. Mi a sorozat negyedik eleme? 5. A pincében termesztett gomba kilójáért 240 Ft-ot kellett májusban fizetni. Minden nyári hónapban 12%-kal drágul. Mennyit kell érte fizetni az egyes hónapokban? Hány százalékos az áremelkedés augusztusra?

44

C M Y K


Hozzrendels, fggvny ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ MEGOLDÁSA B csoport 1. A) Készítsd el az x → x 2 − 2 függvény grafikonját! Add meg a függvény értékkészletét és tengelypontját! y 3 2 1

ÉK: {y

= −2}

T (0; −2) értékkészlet, tengelypont 4 pont grafikon 5 pont

x

−3 −2 −1 −1 −2

1 2 3 9 pont

B) Határozd meg az A(3; úgy, hogy azok

), B(−2;

), C(9;

a) a grafikonon,

) és D(


b) a grafikon alatt legyenek! A(3; y) B(−2; y) C(9; y)

D(x; 7)

a) Grafikonon

y=7

y=2

y = 79

x1 = 3; x2 = −3

8 pont

b) Grafikon alatt

y<7

y<2

y < 79

x < −3 vagy x > 3

8 pont 25 pont

1 1 1 1 2. Oldd meg az |x| − 3 = x − egyenletet és az |x| − 3 5 x − egyenlőtlenséget! 3 3 3 3 y 5 4 3 2 1 −3 −2 −1 −1 −2 −3

x1 = −2 és x2 = 4

4 pont

Ellenőrzés helyettesítéssel!

6 pont

x 1 2 3 4 5 6 7 −2

5x54

grafikon 8 pont 18 pont

45

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 3. Folytasd a következő sorozatokat úgy, hogy azok számtani sorozatok legyenek, majd úgy, hogy mértani sorozatot kapj! Mennyi az egyes esetekben az első négy elem összege? 1 1 a) 2; 6; . . . b) ; − ; . . . 3 6 a)

b) Számtani

2

6

10

14

Számtani

1 3

−

1 6

−

2 3

−

Mértani

2

6

18

54

Mértani

1 3

−

1 6

1 12

−

s4 = −

s4 = 32, m4 = 80

10 5 5 = − , m4 = 6 3 24

7 6

1 24 2 · 10 p = 20 pont

4. a) Egy mértani sorozat első eleme 4, hányadosa −2. Sorold fel a sorozat első öt elemét! 4; −8; 16; −32; 64

6 pont

b) Egy mértani sorozat harmadik eleme

3 3 , negyedik eleme . Mi a sorozat első és ötödik 25 125

eleme? q=

a4 1 = a3 5

a1 =

a3 =3 q2

a5 = a4 · q =

3 625

8 pont

c) Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, ötödik eleme 36. Mi a sorozat negyedik eleme? 36 = 9, így két sorozatot kapunk. 4 Ha q = 3, akkor a4 = 12. Ha q = −3, akkor a4 = −12. Mivel q 2 =

8 pont 22 pont

5. A pincében termesztett gomba kilójáért 240 Ft-ot kellett májusban fizetni. Minden nyári hónapban 12%-kal drágul. Mennyit kell érte fizetni az egyes hónapokban? Hány százalékos az áremelkedés augusztusra? 1. megoldás: Június 240 · 1,12 ≈ 269 Ft

Július 269 · 1,12 ≈ 301 Ft

Augusztus 301 · 1,12 ≈ 337 Ft

Az áremelkedés 97 Ft, ez 97 : 2,4 = 40,4%-os emelés a májusi árhoz képest. 2. megoldás: 1,123 = 1,4049, így az áremelkedés 40,5%. Az eltérés a kerekítések miatt van.

15 pont

Összesen: 100 pont

46

C M Y K


Trgeometria TÉRGEOMETRIA 1–2. 3. 4–5. 6–8. 9–11. 12.

óra: óra: óra: óra: óra: óra:

A gúlák jellemzése A gúla felszíne A gúla térfogata A kúp felszíne és térfogata A gömb felszíne és térfogata Gyakorlás

Mire építünk? Ennél a témakörnél a korábbi évfolyamokban – ötödikben és hetedikben – tanult hasábok és hengerek tulajdonságainak ismerete szükséges. Mindehhez kapcsolódik természetesen a síkidomok területének és kerületének ismerete. Sokféle alakban alkalmazzuk a hosszúság, a felszín, a térfogat mértékegységeit és azok átváltásait. A nyolcadikos tanulóktól már elvárhatjuk a helyes valóságismeretet és becslési készséget. Ezeken kívül szükségünk lesz a zsebszámológép használatára is.

Milyen előrelépést teszünk? Megismerkedünk a gúlával, a kúppal és a gömbbel. Változatos feladatokon és problémamegoldásokon keresztül szeretnénk továbbfejleszteni a tanulók térszemléletét.

Meddig jutunk el? Minimumkövetelmény: ebben a témakörben a jelenleg érvényes tanterv csak a jártasság szintjét várja el. Mi azt tűztük ki célul, hogy minden általános iskolát végzett tanulónak legyen jól kialakított térszemlélete, ismerje a környező világ tárgyai és a mértani testek kapcsolatát, tudjon különbséget tenni az egy-, a két- és a háromdimenziós alakzatok között, tudjon kerületet, felszínt, térfogatot mérni és számolni. Mondhatjuk, hogy ebben az anyagrészben szintetizáljuk szinte mindazt, amit általános iskolában geometriából tanultunk, és széles körben alkalmazzuk azokat más tantárgyakhoz és a valósághoz kötődő feladatokban.

Hogyan folytatjuk? Középiskolában a 9., a 10. és a 12. évfolyamon foglalkoznak a tanulók térgeometriával, ahol átismételve az általános iskolában tanultakat, magasabb szinten, több elméleti kiegészítéssel haladnak tovább.

47

C M Y K


Trgeometria 1–2. óra A gúlák jellemzése Tk.: 47–48. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 433–436. Alapvető igény ebben a fejezetben a tanulók térszemléletének továbbfejlesztése. A mindennapi életünk tárgyait különböző geometriai testekként elemezzük. Például: háztető, sátor, gúla alakú gyertya stb. Készítsük el szívószálból vagy drótból, legalább tanári példányként néhány gúla modelljét, és ezeken mutassuk be az éleket, a csúcsokat és a lapokat. Az Euler-tételt a tapasztalatszerzés után fogalmazzuk meg és csak a jobb tanulócsoportokban. Ha van az iskolában Babilon építőjáték, akkor a gyerekek is építsenek testeket. Fontos lenne a két gúlából, valamint a hasábból és gúlából épített, összetett testek modelljének elkészítése polydron építővel vagy síklapokkal. Ezek hálóját írásvetítőn vagy táblán gyurmaragasztó segítségével ki tudjuk teríteni, és így mindenki számára láthatóvá tehetjük a síkidomok és a belőlük épített testek kapcsolatát. Erre szolgálnak a különböző „zsinóros modellek”, amelyek közül néhánynak a vázlatát a mellékletben elkészítettük. A 6. feladat gúláit is készítsük el, mert azokon nagyon jól látható a megépítéshez szükséges háromszögek száma. Jobb térlátású tanulók azt is észreveszik, hogy hány kis gúlából áll a nagyobb gúla. Ezzel tapasztalatot gyűjthetünk a hasonló testek felszínének és térfogatának arányához, amit akkor is megtehetünk, ha annak elméletét csak a középiskolában tanuljuk, hiszen ez a gyakorlati életben nagyon fontos ismeret. A bevezető órák valamelyikében, az alapvető tulajdonságok megismerése után – a hetedik osztályban megismert módon – az alábbi játékot játszhatjuk: Eszközök: szívószál, olló, cérna vagy damil, Babilon építőjáték. Egybevágó háromszöglapok, négyzet-, illetve téglalapok és cellux vagy polydron építő. Olyan használati tárgyak, amelyeknek megismerjük a geometriai modelljeit, valamint sokféle demonstrációs méretű mértani test.

Játék: Páros szóbridzs Ketten játsszák. Jó, ha először az egyik játékos maga a tanár, és a válaszadó egy vállalkozó tanuló. A játék bemutatója nyilvános. A kezdő játékos (a tanár) gondol valamilyen mértani testre, és arról minden lépésben közöl egy-egy információt. A másik játékos (a diák) mindegyik információ után azt válaszolja, ami arról neki eszébe jut. Az osztály tanulói közül, egymás utáni játékban több játékost is választhatunk. A játékban az nyeri a legtöbb pontot, aki a legkevesebb információból kitalálta, hogy a kezdő játékos milyen testre gondolt. Például, ha a kezdő játékos szabályos ötszög alapú, egyenlő oldalélű gúlára gondol. A tanár-diák játék után kettes, illetve négyes csoportban játszhatják a tanulók. Kezdő játékos mértani test oldallapjai egyenlő szárú háromszögek 6 csúcsa van az alaplap körbe írható

Válaszadó játékos kocka egyenlő oldalélű gúla ötszög alapú gúla szabályos ötszög alapú, egyenlő oldalélű gúla

48

C M Y K


Trgeometria Tk.: 47. oldal Feladatok 1. Keress a környezetedben gúla alakú tárgyakat, és jellemezd őket! A megoldás a tanulók által összegyűjtött testektől függ.

2. Műanyag elemekből építettük a testeket. a) Milyen síkidomok határolják a testet? Rajzold le a határolólapokat! b) Hány egybevágó síkidomot használtunk az egyes testek építésénél? I.

a)

I. II. III. IV. b) I. II. III. IV.

II.

1 1 4 1 3 4 4 5

db db db db db db db db

III.

IV.

szabályos és 3 db egyenlő szárú háromszög négyzet és 4 db egyenlő szárú háromszög szabályos háromszög szabályos ötszög és 5 db egyenlő szárú háromszög egybevágó háromszöget használtunk. egybevágó háromszöget használtunk. egybevágó háromszöget használtunk. egybevágó háromszöget használtunk.

3. Vágd ki a mellékletben szereplő háromszögeket, és a megfelelő élek összeillesztésével készíts belőlük gúlát! Lehetséges-e ez mindkét esetben? Ha igen, jellemezd a kapott testet! Mindkét esetben lehet gúlát építeni. a) A gúla egyik hálója:

Az elkészített gúla:

A gúlának mind a négy határolólapja egymással egybevágó, egyenlő szárú háromszög, 4 csúcsa és 6 éle van.

b) A gúla egyik hálója:

Az elkészült test:

A gúlának 4 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van. Az alaplap lehet bármelyik háromszög. Ha a világossárga háromszög az alaplap, akkor a színes, derékszögű háromszögek az oldallapok.

49

C M Y K


Trgeometria Tk.: 47–48. oldal 20 Megjegyzés: a) Érdemes elkészíteni az összes lehetőséget. Az előbb bemutatott hálón kívül lehet ilyen:

és lehet ilyen:

Ebből nem lehet gúlát építeni. Ebből lehet gúlát építeni.

b) Gúlát lehet építeni még például ezekből a hálókból.

Mutassunk példát arra is, hogy a háromszögek oldalai jól illeszkednek egymáshoz, mégsem lehet belőlük gúlát összeállítani, például:

4. Válaszd ki a testek közül a gúlákat!

e), f), h)

5. 24 cm hosszú, vékony drótból elkészítjük egy szabályos tetraéder élvázas modelljét. Hányszor annyi drótra lenne szükségünk, ha ennél háromszor nagyobb élhosszú szabályos tetraédert szeretnénk készíteni? Mennyivel hosszabb ez a drót az eredetinél? Egy szabályos tetraédernek 6 db egyenlő éle van. A 24 cm-es drót esetében egy él 4 cm. A háromszor nagyobb élhosszúságú tetraéder egy éle 12 cm. Ehhez 6 · 12 cm = 72 cm drót kell, ami háromszor akkora, mint a 24 cm. Az élváz hossza és az él hossza között egyenes arányosság van. A nagyobb tetraéderhez 48 cm-rel több drót kell.

50

C M Y K


Trgeometria Tk.: 48. oldal 6. Szabályos háromszögekből építettük a képen látható gúlákat. Hány darab háromszöget használtunk a kicsi, és hányat a nagy gúlához? A kis gúlát 4 db háromszögből építettük. A nagy gúla minden lapján négyszer annyi háromszöget használtunk, összesen 4 · 4 db = 16 db-ot. Jegyezzük meg, hogy a nagy gúla éle kétszer akkora, mint a kicsié, felszíne (vagyis a felhasznált háromszögek száma) pedig négyszer akkora.

7. Olyan konvex gúlák élvázát készítjük el, amelyeknek minden éle 5 cm hosszú. Hány oldala lehet az alaplapnak? Hány cm drót kell ehhez a gúlához, ha alaplapja a) háromszög, b) négyszög,

c) ötszög?

Melyik a legmagasabb közülük? Az a) b) c)

alaplapnak legalább három és legfeljebb öt oldala lehet. A háromszög alapú gúlához 6 · 5 cm = 30 cm drót kell. A négyszög alapú gúlához 8 · 5 cm = 40 cm drót kell. Az ötszög alapú gúlához 10 · 5 cm = 50 cm drót kell.

8. Igazak-e az állítások? Válaszaidat indokold! A) Van olyan háromszög alapú gúla, amelynek magassága egybeesik egyik oldalélével. Igaz. Pl.: B) Egy szabályos tetraéder minden határolólapja szabályos háromszög. Igaz. Ez a szabályos test definíciójának egyik feltétele.

C) Ha egy gúlának minden határolólapja egymással egybevágó háromszög, akkor az szabályos tetraéder. Hamis. Pl.: A gúla minden határolólapja egyenlő szárú háromszög.

D) Ha egy testet csak háromszögek határolnak, akkor az gúla. Hamis. Pl.: az oktaédert csak háromszögek határolják, és az nem gúla.

E) Ha egy testet csak háromszögek határolnak, akkor az konvex test. Hamis. Pl.:

F) Ha egy gúlának az oldalélei egyenlők, akkor alaplapja szabályos háromszög. Hamis. Az egyenlő oldalélű téglalap alapú gúla alapélei nem egyenlők. G) Ha egy gúla alaplapja szabályos sokszög, akkor oldalélei egyenlők. Hamis. Pl.:

H) Nincs olyan gúla, amelynek van testátlója. Igaz, mert a gúláknak nincs testátlója.

51

C M Y K


Trgeometria Tk.: 48. oldal 9. Van-e olyan gúla, amelynek a) 2-vel több éle van, mint csúcsa, Igen, a háromszög alapú gúlának 4 csúcsa és 6 éle van.

b) 2-szer annyi éle van, mint csúcsa, Ilyen gúla nincs, mert ismert, hogy e = 2n és c = n + 1, a szöveg alapján 2n = 2(n + 1), ami sohasem igaz.

c) 2-szer annyi éle van, mint az alapsokszög csúcsainak száma? Igen, minden gúla ilyen.

10. Szabályos hatszög alapú, egyenlő oldalélű, tömör fából készült gúlát kékre festünk, majd az alaplappal szemközti csúcsán áthaladó, az alaplapjára merőleges síkkal elmetsszük. Hány festetlen lap keletkezik a vágás után, ha a) egy síkkal,

b) két síkkal,

c) három síkkal metszünk?

a) A szabályos hatszög alapú gúlát a feltételeknek megfelelő sík bárhogyan is metszi, minden esetben két új gúla keletkezik, melyeket egy-egy, festetlen, egyenlő szárú háromszög határol. Összesen két festetlen lap keletkezik.

b) Ha a gúlát két – csúcsán áthaladó, alaplapjára merőleges – síkkal bárhogyan metsszük el, akkor 4 db új gúlát kapunk. Közülük mindegyiknek két-két derékszögű háromszög lapja festetlen, összesen tehát 8 festetlen lap keletkezik. c) Hasonlóan a b)-hez: három vágással 6 db új gúlát kapunk, ezeknek 12 db festetlen, derékszögű háromszög lapja van.

3. óra A gúla felszíne Tk.: 52–53. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 437–443. Készítsük el többféle gúla hálóját! Lehet úgy, hogy a rendelkezésükre álló demonstrációs gúlákat „bevonjuk” rajzlappal, azaz előre elkészítjük azok méretes hálóját, és azt néhány élnél celluxszal összeragasztjuk. Ezek mentén elvágva megkapjuk a testek hálóját. Innen leolvashatjuk, hogy milyen síkidomokból áll a test hálója, és hogy azoknak mennyi az területösszege. Egy adott gúláról, a szükséges méreteket megadva, érdemes különböző hálókat készíttetni otthon a

52

C M Y K


Trgeometria Tk.: 52. oldal

tanulókkal. Becsüljük meg előre, hogy az adatoknak megfelelően mekkora területű papírra lesz szükségünk! A háló területének kiszámítása után adjuk meg, hogy az eredeti papír területéhez képest hány százalék a hulladék területe. Használhatjuk a mellékletben található „zsinóros modelleket” is. Építsünk gúlákból összetett testeket, és azoknak is vizsgáljuk meg a hálóját! Készíthetünk gúlákat gyurmából is, majd azokat késsel elvágva megállapíthatjuk, hogy milyen síkidomok keletkeztek a vágásoknál. Ezekkel a modellekkel kiszámíthatjuk azt is, hogy hogyan változik meg a test felszíne a vágások után. Eszközök: egybevágó háromszöglapok, négyzet-, illetve téglalapok és cellux vagy polydron építő. Különböző alapú, demonstrációs méretű gúlák.

Feladatok 1. Szerkeszd meg annak a négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúlának a hálóját, amelynek alapéle 3 cm, oldallapjának magassága pedig 4 cm!

A háromszögek és a négyzet megfelelő áthelyezésével még sokféle háló készíthető. Érdemes megvizsgálni a lehetséges eseteket.

2. Vágd ki a mellékletben lerajzolt sokszögeket, és a megfelelő élek összeillesztésével készíts belőlük gúlát! Jellemezd a kapott testet! Hasonlítsd össze az a) és b) feladatban készíthető gúlákat! a) A gúla egyik hálója:


A test egy téglalap alapú egyenlő oldalélű gúla. Kétkét oldallapja páronként egymással egybevágó egyenlő szárú háromszög. A gúlának 5 lapja, 5 csúcsa és 8 éle van.

b) A gúla egyik hálója:


A test egy háromszög alapú gúla, amely az a)-ban megépített téglalap alapú gúlából úgy keletkezett, hogy egy a csúcsán és az alaplap átlóján áthaladó síkkal azt elmetszettük („félbevágtuk”). A gúlát egy derékszögű háromszög és 3 egyenlő szárú háromszög határolja. A két gúla magassága megegyezik. A b) esetben, ha a derékszögű háromszöget tekintjük a gúla alaplapjának, akkor a gúla magassága az egyik oldallap magasságával egyenlő.

53

C M Y K


Trgeometria Tk.: 52. oldal 3. Melyik hálóból lehet, és melyikből nem lehet négyzet alapú gúlát készíteni?

Az a), c), d) hálókból lehet, a b)-ből nem lehet gúlát építeni.

4. Egy tetraéder minden lapjának területe 12 dm2 . Mekkora a felszíne? A = 4t = 4 · 12 dm2 = 48 dm2 5. Két egybevágó, 4,5 dm2 lapterületű, szabályos tetraédert egyik lapjuknál összeillesztünk. Mekkora a kapott test felszíne? Rajzold le a test hálóját! A = 6t = 6 · 4,5 dm2 = 27 dm2

Egy lehetséges háló pl.:

Megjegyzés: Célszerű a testet megépíteni, és megmutatni, hogy milyen hálók esetén nem lehet 6 db háromszögből összeállítani azt.

6. Egy háromszög alapú gúla minden éle 6 cm. Szerkeszd meg a hálóját többféleképpen! A gúla szabályos tetraéder, minden határolólapja szabályos háromszög. A háló lehet: Az első kettőből lehet, a harmadikból nem lehet gúlát építeni.

7. Egy négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúla alapéle 5 dm. Számítsd ki a gúla felszínét, ha oldallapjának magassága a) 3 dm, mo = 3 dm b)

t =

3·5 = 7,5 [dm2 ] 2

Ta = 25 dm2

Aa = Ta + 4t =

= (25 + 30) dm2 = 55 dm2 2,5 dm, Ha a = 5 dm és mo = 2,5 dm, akkor P QR háromszögre nem teljesül a 2mo > a háromszög-egyenlőtlenség, ezért ilyen gúla nincs.

c) 2,6 dm! mo = 2,6 dm, t =

2,6 · 5 = 6,5 [dm2 ], Ac = (25 + 4 · 6,5) dm2 = 51 dm2 2

Két négyzet alapú, egyenlő oldalélű, egybevágó gúlát alaplapjuknál egymáshoz ragasztunk. Mekkora az így kapott test felszíne, ha a gúla alapéle 12,5 cm, oldallapjának magassága pedig az alapél 120%-a?

8.

mo = 12,5 cm · 1,2 = 15 cm Egy oldallap:

A testet 8 db egyenlő szárú háromszög határolja. Egy háromszög területe: 12,5 · 15 t = = 93,75 [cm2 ] 2 A nyolc háromszög területe: A = 8t = 93,75 cm2 · 8 = 750 cm2

54

C M Y K


Trgeometria Tk.: 52–53. oldal 9. Fedjük be az ábrán látható téglalap alapú, egyenlő oldalélű, gúla alakú tetőt palával! Hány darab palára van szükségünk, ha 1 m2 területre 9 darabot tudunk lerakni, és törésekre, hulladékra plusz 8%-ot számolunk? A tető 4 db egyenlő szárú háromszögből áll, közülük kettő-kettő egybevágó. Az oldallapok területösszege: To = 2 · ta + 2 · tb 10,48 · 5,2 ta = , 2ta = 10,48 · 5,2 = 54,596 [cm2 ] 2 6,2 · 6,7 tb = , 2tb = 6,2 · 6,7 = 41,54 [cm2 ] 2 To = 96,136 cm2 ≈ 96,1 cm2 Ekkora területre 96,1 · 9 = 864,9 ≈ 865 db palát használunk. Ha 8%-ot számítunk a hulladékra, akkor 8%-kal többet, tehát 1,08 · 865 = 934,2. Ezért 935 db pala szükséges a tetőhöz.

10. Egy légi bemutatón négy repülőgép száll kötelékben úgy, hogy mindegyik 100 m távolságra van a három másiktól. Milyen az a test, amelynek csúcsában szállnak ezek a repülők? Ez csak úgy lehetséges, ha A, B, C, D repülőgépek egy szabályos tetraéder egy-egy csúcsában repülnek.

11. Egy négyzet alapú, egyenlő oldalélű, fából készült gúla felületét pirosra festettük, majd a gúla alappal szemközti csúcsán áthaladó, az alaplapra merőleges síkkal két egybevágó, téglalap alapú gúlára vágtuk szét. A megfelelő részeket kiszínezve rajzold le a vágás után keletkezett új gúlák lapjait! Számítsd ki, mennyivel változott a gúla felszíne a vágások után, ha az eredeti alapéle 8 cm, magassága pedig 3 cm! Az új gúlák lapjai:

A gúla felszíne a vágásnál keletkezett két egyenlő szárú háromszög területével növekedett. (F EG) 8·3 TF EG = 2TF EG = 8 · 3 = 24 [cm2 ] A gúla felszíne 24 cm2 -rel növekedett. 2

55

C M Y K



12. Az ábrán látható hatalmas síremlékek a gízai piramisok. Közülük az egyik négyzet alapú gúla alapéle 230,4 m, testmagassága 138 m. Mekkora a kőóriás felülete?

AB T EF derékszögű háromszögben T F = . Pitagorasz tétele szerint 2 230,4 2 + 1382 − 115,22 + 1382 ≈ 179,8 [m] m0 = 2 230,4 · 179,8 A = Ta + 4t = 230,42 + 4 · ≈ 135 936 [m2 ]. A piramis felülete kb. 135 936 m2 . 2

13. Egy 9 cm élű, szabályos tetraéderből levágunk az egyik csúcsából kiinduló három él felezőpontján áthaladó síkkal egy kis gúlát. Ezt a vágást mind a négy csúcsánál elvégezzük. Milyen lapjai vannak a megmaradt testnek? Írd fel az eredeti és a kapott test felszínének arányát! A maradék testet 8 db 4,5 cm oldalú szabályos háromszög határolja. Ez egy 9 cm = 4,5 cm oldalú szabályos oktaéder. 2 √ 3 2 Atetraéder = 4 · · 9 ≈ 139,32 [cm2 ] 4 √ 3 Aoktaéder = 8 · · 4,52 ≈ 69,66 [cm2 ] 4 Az arány: Atetraéder 139,32 [cm2 ] = =2 Aoktaéder 69,66 [cm2 ] Megjegyzés: A tetraéder minden lapján negyedakkora területű háromszög keletkezik, és az oktaédert 8 db ilyen háromszög határolja. Ezért az oktaéder felszíne a negyedrész kétszerese, tehát fele a tetraéder felszínének.

4–5. óra A gúla térfogata Tk.: 56–57. oldalon 1–15. feladatok Fgy.: 442–448. A térfogat meghatározása előtt mindenképpen mutassuk be az öntögetést, amit el lehet végezni a folyadékon kívül homokkal, rizzsel vagy bármilyen apró szemcsés anyaggal. A térfogat fogalmával ugyanis mindenkinek tisztában kell lennie, a térfogat képletét viszont nem kell fejből tudni. A háromszögek területével analógiát mutató 2. és 3. példát mindenképpen beszéljük meg a tanulókkal! A két óra egyikét testek építésére, síkmetszetek készítésére vagy egyéb manipulációs

56

C M Y K



tevékenységre használhatjuk fel. Ebben a fejezetben – ahogyan azt a 7. osztályos térgeometriánál is elmondtuk – nem a számolási feladatokra helyezzük a hangsúlyt, hanem a térlátás fejlesztésére és a különböző tanulói eszközök elkészítésére. Eszközök: Átlátszó műanyagból készült, demonstrációs méretű kocka és ugyanolyan alapterületű és magasságú egyenlő oldalélű gúla. Feladatok 1. A képen látható berendezési tárgyak közül válaszd ki az általad ismert mértani testeket! Számítsd ki a lámpabura által elfoglalt térrész nagyságát, ha az egy olyan szabályos hatszög alapú, egyenlő oldalélű gúla, melynek alapterülete 580 cm2 , magassága pedig 50 cm! A gúla térfogata: V =

Ta · m 580 · 50 = = 9666,6 [cm3 ] ≈ 9,7 [dm3 ] 3 3

2. Számítsd ki annak a háromszög alapú gúlának a térfogatát, amelynek 20 · 15 = 150 [cm3 ] 3 30 · 10 V = = 100 [cm3 ] 3

a) alapterülete: Ta = 20 cm2 , magassága: m = 15 cm, V = b) alapterülete: Ta = 30 cm2 , magassága: m = 10 cm!

3. Számítsd ki a 2 cm alapélű, 3,6 cm magasságú, négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúla térfogatát! V =

22 · 3,6 = 4,8 [cm3 ] 3

4. Az előző feladatban szereplő gúlát a négyzet átlójára illeszkedő, a négyzetre merőleges síkkal elvágjuk. Rajzold le, milyen határolólapjai lesznek a két új testnek! Mekkora a térfogatuk? A metszés után keletkezett derékszögű háromszög alapú gúlának három egyenlő szárú háromszögű oldallapja van. Az alaplap: AC = 22 + 22 ≈ 2,8 [cm] Az oldallap háromszögek oldalainak nagysága: AF E derékszögű háromszögben AF = 1,4 cm; F E = m = 3,6 cm. 2 2 Így AE = 1,4 + 3,6 ≈ 3,9 [cm]. Mivel a gúla oldalélei egyenlők, ezért AE = BE = CE = 3,9 cm. Az oldallapok:

57

C M Y K


Trgeometria Tk.: 56–57. oldal 5. Két egybevágó, négyzet alapú gúlát alapjuknál összeragasztunk. A gúlák minden éle 10 cm. Milyen lapok határolják a testet? Mekkora a térfogata? A testet 8 db 10 cm-es oldalú szabályos háromszög határolja. A test két egybevágó négyzet alapú gúlából áll. ABCD négyzet alapú gúla OE magasságát Pitagorasztétellel határozzuk meg. Az ABC derékszögű háromszög átfogója: AC = 102 + 102 ≈ 14,14 [cm], innen OC = 7,07 cm AzOCE derékszögű háromszög OE befogója a gúla (m) magassága. OE = m = = 102 − 7,072 ≈ 7,07 [cm] Megjegyzés: Mivel a test egy szabályos oktaéder, ezért a szabályos test szimmetriatulajdonsága miatt AC = EF . Így OC = OE = 7,07 cm. 102 · 7,07 Tehát a második Pitagorasz-tételre nincs szükség. Vg = ≈ 236,6˙ [cm3 ] 3 V = 2Vg ≈ 471,3˙ [cm3 ]

6. Egy szabályos hatszög alapú, egyenlő oldalélű gúla magassága 11 cm, térfogata 176 cm3 . Mekkora az alapterülete? 176 =

Ta · 11 . Innen Ta = 48 cm2 3

7. Hány cm3 az ábrán látható „házikó” térfogata, ha a = m = 13 mm? V = Vk + Vg = 133 +

132 · 13 ≈ 2929,3 [mm3 ] = 2,9 [cm3 ] ≈ 3 [cm3 ] 3

A 12 cm élű kockából kivágunk egy, a kocka lapjával azonos alapterületű, 6 cm magas, egyenlő oldalélű gúlát. Végezzük el ezt a kivágást a kocka két, három, négy, öt, hat lapján! Add meg minden esetben a maradék test és az eredeti kocka térfogatának arányát!

8.

122 · 6 = 2 · 122 3 = 123 − 2 · 122 = 122 (12 − 2) = 10 · 122

Vg = Vmaradék

Vmaradék 10 · 122 10 5 = = = Vkocka 12 6 123 3Vg = 6 · 122

2Vg = 4 · 122 Vmaradék = 123 − 4 · 122 = 122 (12 − 4) = 8 · 122 4 2 Vmaradék 8 · 122 8 = = = = 3 Vkocka 12 6 3 12 4Vg = 8 · 122

Vmaradék = 123 − 6 · 122 = 122 (12 − 6) = 6 · 122 Vmaradék 6 · 122 6 3 1 = = = = 3 Vkocka 12 6 2 12 5Vg = 10 · 122

Vmaradék = 123 − 8 · 122 = 122 (12 − 8) = 4 · 122 Vmaradék 4 · 122 4 2 1 = = = = 3 Vkocka 12 6 3 12 6Vg = 12 · 123

Vmaradék = 123 − 10 · 122 = 122 (12 − 10) = 2 · 122

Vmaradék = 123 − 12 · 122 = 0

Vmaradék 2 · 122 2 1 = = = 3 Vkocka 12 6 12

0 0 Vmaradék = 3 = = (0) Vkocka 6 12

Megjegyzés: Érdemes felhívni a tanulók figyelmét a térfogatarányok csökkenő sorozatára: Így az is jól látható, hogy a kocka 6 db ilyen gúlából is felépíthető.

58

C M Y K


5 4 3 2 1 0 , , , , , . 6 6 6 6 6 6

Trgeometria Tk.: 57. oldal 9. Mennyi a tömege annak az ólomüvegből készült, négyzet alapú, gúla alakú dísztárgynak, kg melynek alapéle 9 cm, magassága 12,6 cm, ha az üveg sűrűsége 2600 3 ? m üveg = 2600 V =

kg g = 2,6 és m = · V m3 cm3

92 · 12,6 = 340,2 [cm3 ] 3

m = 2,6

g · 340,2 cm3 = 884,52 g ≈ 0,8 kg cm3

10. Egy 10 cm élű kocka minden lapjára kifelé olyan egyenlő oldalélű gúlákat illesztünk, amelyeknek magassága a kocka élének a fele. a) Milyen lapjai lesznek az így kapott testnek? b) Hány éle, hány lapja és hány csúcsa lesz az új testnek? c) Hányszorosa az új test térfogata a kocka térfogatának? a) A kocka egyik élére illeszkedő EF GH négyszöget jellemezzük. a miatt P RE ^ = 45◦ PE = PR = 2 a RQ = QG = miatt QRG^ = 45◦ 2 Mivel a P RQ^ = 90◦ az ERG^ = 180◦ , tehát az EF GH négyszög síknégyszög. A kocka lapjaira helyezett gúla egyenlő oldalélű, az EF GH négyszög a oldalai egyenlők, ezért ez a négyszög rombusz. Az RF = , az 2 a √ ER = · 2, ezért az REF ^ 45◦ , így az EF GH négyszög nem 2 négyzet. Mivel a kocka mind a 12 élére illeszkedik egy ilyen rombusz, az új testet 12 db egymással egybevágó rombusz határolja. (Ez az ún. rombdodekaéder.) b) A testet 12 db rombusz határolja, ezért a lapok száma 12, az élek száma 24, a csúcsok száma 14. c) A 8. feladatban láttuk, hogy hat ilyen gúlából éppen egy kockát lehet összerakni, ezért az új test térfogata kétszerese a kockáénak. V = 2 · 103 = 2000 [cm3 ]

11. Egy téglatestet lapátlóira fektetett síkkal kettévágunk az ábra szerint. Mekkora az így kapott két test térfogatának aránya? Oldd meg a feladatot általános esetben is, amikor a különböző élek hossza a, b, c hosszúságegység! A téglatest térfogata: Vt = 6 · 5 · 3 = 90 [cm3 ] A levágott test egy háromszög alapú gúla, amelynek magassága 3 cm. 6·5 ·3 Ta · m Vg = = 2 = 15 [cm3 ] 3 3 Vg 15 1 A maradék test térfogata: Vm = Vt − Vg = 90 − 15 = 75 [cm3 ] = = Vm 75 5 Általános esetben a téglatest oldalait a, b, c-vel jelöljük. a·b ·c a·b·c Vg 5 1 Vt = a · b · c Vg = 2 = Vm = a · b · c = 3 6 6 Vm 5

59

C M Y K



12. Egy 18 dm-es kocka minden csúcsánál, az oda futó élek felezőpontján átfektetett síkkal levágunk egy-egy gúlát. a) Milyen lapjai lesznek a maradék testnek? A maradék testet annyi négyzet határolja, ahány lapja van a kockának, és annyi szabályos háromszög határolja, ahány csúcsa van a kockának. Így a testet 6 db négyzet és 8 db szabályos háromszög határolja.

b) Hány éle, hány csúcsa és hány lapja lesz az új testnek? 24 éle, 12 csúcsa és 14 lapja.

c) Írd fel a maradék test és a kocka térfogatának arányát! A levágott gúlának a kocka csúcsa miatt három egymásra páronként merőleges éle van. Ezt a háromszög alapú gúlát az egyik derékszögű háromszögű lapjára állítjuk, így a gúla magassága éppen a harmadik merőleges él lesz. (Lásd tk. 55. oldal 3. példa.) AC = AB = AD = 9 dm Ta · m Vg = = 3

92 2

· 9 243 = = 121,5 [cm3 ] 3 2

8 db ilyen gúlát vágunk le: 8 · Vg = 8 · 121,5 = 972 [cm3 ] Vmaradék = Vkocka − 8Vg = 5832 − 972 = 4860 [cm3 ] Vmaradék 4860 5 ˙ Az arány: = ≈ 0,833˙ = 83,3% = Vkocka 5832 6 A levágott gúlák együttes térfogata a kocka térfogatának hatodával egyenlő.

13. Metsszünk el egy négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúlát a csúcsán áthaladó, alaplapjára merőleges síkokkal! Milyen síkidomok a síkmetszetek? Ezek közül melyiknek a legnagyobb a területe? Az E ponton áthaladó síkot t tengely körül forgatva kapjuk a kívánt síkmetszetet. A metszetháromszögek mindegyikének m a magassága. A legnagyobb területű közülük az lesz, amelynek a legnagyobb az alapja. Az ABCD négyzetet kettészelő egyeneseknek a négyzetbe eső szakasza közül az átló a legnagyobb. Tehát a kimetszett háromszögek közül az ACE háromszög a legnagyobb területű. Megjegyzés: A megoldásban szereplő állítást csak jobb osztályban bizonyítsuk. A sík által az alaplapból kivágott szakaszok mindegyike áthalad O ponton. Ha ez a szakasz párhuzamos √ valamelyik négyzetoldallal, akkor a szakasz hossza: P R = a, és AC = a · 2 miatt AC > a. Ha a párhuzamosság nem áll fenn, akkor LOC háromszögben L-nél tompaszög van, hiszen KL nem merőleges a négyzet oldalára. A másik két szög ebben a háromszögben hegyesszög, és mivel tompaszöggel szemben nagyobb oldal van, mint a hegyesszöggel szemben, ezért OC > OL, illetve AC > KL teljesül. Tehát a sík által az alapból kivágott szakaszok közül AC a legnagyobb.

60

C M Y K



14. Hogyan lehet a téglalapból egy négyzet alapú gúla határolólapjait „hulladékmentesen” kivágni? Rajzold be a vágások vonalát! A megoldás: 1 a gúla alaplapja, 4–5 két oldallap, 2–3 és 6–7-ből összeállítjuk a másik két oldallapot.

Így négy egybevágó egyenlő szárú háromszög lesz a gúla négy oldallapja. Nehezebb megoldást is bemutatunk: A gúla alaplapja a oldalú négyzet, oldallapjai derékszögű háromszögek, közülük kettő-kettő egybevágó. Az oldalélek illeszkedése miatt az ábrán jelölt szakaszok egyenlők. Szerkesztés:

∼ =

A vágások vonala:

Az összeillesztés miatt EH = H C, tehát F C szakaszból H pontot az EC szakasz felezőmerőlegese jelöli ki.

Számolással is meghatározhatjuk x és y nagyságát: x + y = 2a a2 + x2 = y2

A fenti hálóból ilyen négyzet alapú gúla készíthető. és az egyenletrendszer megoldása: x =

3 5 a, y = a 4 4

15. Egy gúla alaplapja olyan derékszögű háromszög, amelynek befogói 12 cm és 16 cm hosszúak. A gúla 32 cm-es magasságának talppontja az alapháromszög átfogójának felezőpontjában van. Számítsd ki a gúla felszínét és térfogatát!

61

C M Y K


Trgeometria Tk.: 57. oldal ABCD gúlát egy téglalap alapú, egyenlő oldalélű gúla alaplapjának átlójára és D csúcsára fektetett síkkal történő elmetszésével kapjuk. Az ilyen gúla határolólapjai szerepelnek az 53. oldal 2-es feladatához tartozó mellékletben. 12 · 16 · 32 2 = 1024 [cm3 ] A gúla térfogata: Vg = 3 AB-t az ABC derékszögű háromszögből Pitagorasz tételével kapjuk: AB = 20 cm, így EA = 10 cm. EAD derékszögű háromszögből számolható a gúla oldaléle: DA =

102 + 322 ≈ 33,53 [cm], és ez egyenlő CD és BD oldaléllel is.

Az ACD egyenlő szárú háromszögben: mb = 33,532 − 82 ≈ 32,56 [cm]

A BCD egyenlő szárú háromszögben: ma = 33,532 − 62 ≈ 32,98 [cm]

A felszínt a 4 háromszög területének összege adja: A = tABC + tABD + tCAD + tBCD 12 · 16 20 · 32 16 · 32,56 12 · 32,98 + + + = 874,36 [cm2 ] A= 2 2 2 2

6–8. óra A kúp felszíne és térfogata Tk.: 62–64. oldalon 1–16. feladatok Fgy.: 449–461. Új fogalom itt a kúp palástja. Tisztázzuk, hogy hasonlóan a hengerhez, a kúpnak nincsenek oldallapjai, ezért élei sincsenek. Hasonlóan a korábbi testek tanulmányozásához, itt is törekedjünk a modellezésre. Készítsünk hurkapálcikával összeragasztott, tengely körül forgatható síkidomokat, vagy különböző középponti szögű, azonos sugarú körcikkekből ragasszunk össze kúppalástot, és hasonlítsuk össze a keletkezett kúpok magasságát. Ezekbe a kúppalástokba öntsünk például homokot, így tapasztalatokat gyűjthetünk azok térfogatának nagyságáról is. Érdemes felidézni, hogy milyen összefüggés van a kúp sugara, magassága és a kiterített palást középponti szöge között, ha a kúp alkotója állandó.

62

C M Y K



Összefüggés α és r között: α 360◦ = arányból: 2rπ 2aπ a r = · α, vagyis r és α egyenesen 360◦ arányos, a mivel állandó. 360◦ Az α és az m közötti összefüggés ennél jóval bonyolultabb. r α Az előbbi arányból: = = sin β, innen α = 360◦ · sin β. ◦ a 360 Igaz továbbá, hogy m = a · cos β és sin2 α + cos2 α = 1. Ezek segítségével: m = a

· 1 −

α2 , amelyből megállapítható, hogy a kúp m magassága az (360◦ )2

α növelésével csökken. A körcikk területének meghatározásakor átismételhetjük az egyenes arányosságot. A kúp felszínét csak jobb képességű, zömmel gimnáziumban továbbtanuló osztályokban tanítsuk meg. A jelenlegi tanterv szerint ez ugyanis nem tartozik a követelmények közé. A kúp térfogatának meghatározásához számoljuk ki például egy-egy, ugyanabba a körbe írható négyzet és szabályos hatszög területét, majd állapítsuk meg, hogy a kör területéhez melyik sokszög területe van közelebb. Ugyanezt megtehetjük úgy is, hogy kivágunk a körből egy négyzetet, majd egy ugyanilyen körből egy hatszöget, és megtapasztaljuk, hogy melyik esetben kevesebb a hulladék. Így a közelítés módszere jobban elfogadható a tanulók számára. A tervezett három órában oldjunk meg olyan feladatokat, amelyekben vegyesen szerepelnek az eddig tanult mértani testek. Eszközök: olyan használati tárgyak, amelyeknek geometriai modellje kúp, illetve a korábban megismert testek és mellette sokféle demonstrációs méretű mértani test.

Feladatok 1. Vágjunk el egy kúpot a a) forgástengelyére illeszkedő síkkal, b) forgástengelyére merőleges síkkal! Rajzold le, milyen síkidomok a síkmetszetek!

a)

2. a) Mekkora egy 4,2 cm alapkör sugarú kúp magassága, ha alkotója 60 mm? a = 60 mm = 6 cm, r = 4,2 cm, m = 62 − 4,22 ≈ 4,3 cm b) Rajzold le a kúp tengelymetszetét! c) Mekkora a tengelymetszet területe? Ttengelymetszet =

b)

b)

2r · m = 4,2 · 4,3 = 18,06 [cm2 ] 2

63

C

M

Y

K


Trgeometria Tk.: 62–63. oldal 3. Egy kúp alapkörének átmérője 10 cm. Mekkora az alkotója, ha tengelymetszetének területe 25 cm2 ? d = 10 cm r = 5 cm tmetszet = 25 cm2 d ·m tm = 2 10 · m 25 = , innen m = 5 [cm] 2 a = 52 + 52 ≈ 7,07 [cm]

4. Egy tömör fából készült kúp felületét kékre festjük, majd a tengelyére illeszkedő két, egymásra merőleges síkkal négy részre vágjuk. Milyen határolólapjai lesznek ennek az új testnek? Rajzold le egy ilyen test hálóját, és színezd ki a festett részeket! A keletkezett négy test egymással egybevágó. Egynek ilyenek a határolólapjai.

5. Az előző feladatban szereplő kúp sugara 2 dm, magassága 50 cm. A feldarabolás után kapott négy test felszíne mennyivel lesz több az eredeti felszínnél? r = 2 dm m = 50 cm = 5 dm A felszín a vágásoknál keletkezett két-két egyenlő szárú háromszög területével növekszik. Mivel ezek mind egybevágó háromszögek, ezért ezek együttes területe: 4 · 2r · m 4·t = = 4 · 2 · 5 = 40 A felszín 4 dm2 -rel növekszik. 2

6. Egy kúp alakú pezsgőspohár 9 cm magas, fedőkörének átmérője 6,6 cm. Hány deciliter pezsgő fér bele? d = 6,6 cm r = 3,3 cm m = 9 cm 2 3,3 · π · 9 Vk = ≈ 102,64 [cm3 ] = 102,64 [ml] ≈ 1,03 [dl] 3

A pohárba kb. 1 dl pezsgő fér.

A vulkanikus hegy megközelítőleg kúp alakú. Alapkörének átmérője kb. 7 km, magassága 2400 m. Számítsd ki a hegy térfogatát; az eredményt add meg km3 -ben! Hány tonna lávakövet tartalmaz a vulkáni hegy, ha 1 m3 ilyen kő tömege 2,4 t? (Feltételezzük, hogy a teljes térfogat lávakőből áll.)

7.

Mayon (Fülöp-szigetek)

d = 7 km

r = 3,5 km

m = 2400 m = 2,4 km

· π · 2,4 ≈ 30,8 [km3 ] = 30,8 · 109 [m3 ], normálalakban: 3,08 · 1010 m3 3 Ez 3,08 · 1010 · 2,4 tonna ≈ 7,4 · 1010 tonna. V =

3,52

8. Egy henger és egy kúp alapterülete és térfogata megegyezik. Mennyi a magasságuk aránya? Vh = Vk

Ta · mh =

Ta · mk , 3

innen

mk =3 mh

64

C M Y K


Trgeometria Tk.: 63. oldal 9. Kétszer olyan magas, egyenlő alapterületű henger alakú pohárba kétszer annyi folyadék fér. Igaz-e ez kúp alakú pohár esetén is? Válaszodat indokold!

Kúp alakú pohár esetén is kétszer akkora a térfogat. Vkicsi =

Ta · m , 3

Vnagy =

Vkicsi

Vnagy

Ta · 2m Ta · m = 2· = 2Vkicsi 3 3

10. Az ábrán látható henger alakú és kúp alakú poharakat színültig töltjük vízzel. Kevesebb vagy több víz fér egy-egy kúp alakú pohárba, mint a henger alakúba? Válaszodat indokold!

A henger térfogata: Vh

Az első kúp térfogata: V1

Vh = 2,52 π · 8

V1 =

52 · π · 8 3 V1 = 66,6π [cm3 ]

Vh = 50π [cm3 ]

A második kúp térfogata: V2 2,52 · π · 16 3 V2 = 33,3π [cm3 ]

V2 =

Az első kúp alakú pohárba több, a másodikba kevesebb folyadék fér, mint a henger alakúba. Megjegyzés: A feladat további összehasonlítás lehetőségét is tartalmazza. Adjunk fel ilyen kérdéseket: Hányszorosára változik a térfogat, ha – az alapkör sugara nem változik, a magasság x-szeresére változik? – az alapkör sugara x-szeresére változik, a magasság változatlan? – az alapkör sugara és a magasság is változik? Stb.

11. Egy 6 cm átmérőjű, 10 cm magasságú kúpból a lehető legnagyobb négyzet alapú gúlát faragjuk ki. Mekkora a kúp és a gúla térfogatának aránya? Hány százalék hulladék keletkezik? Ez úgy lehetséges, ha a gúla és a kúp magassága egyenlő, és a gúla alaplapja éppen a kúp alapkörébe írt négyzet. d = 2r = 6 cm r = 3 cm m = 10 cm √ 6 a · 2 = 2r a = √ = 4,2 [cm] 2 32 · π · m 4,22 · m ≈ 94,2 [cm3 ] ≈ 58,8 [cm3 ] Vk = Vg = 3 3 Vk ≈ 1,6 Vmaradék = Vk − Vg = 35,4 [cm3 ] Vg A maradék test térfogata a hulladék, ez

Vmaradék 35,4 = ≈ 0,375 = 37,5%-a a kúp térfogatának. Vk 94,2

Megjegyzés: Az arány a hányados egyszerűsítésével a megfelelő térfogatok kiszámítása nélkül is megkapható.

65

C M Y K


Trgeometria Tk.: 63–64. oldal 12. Egy 6,4 cm magas kúpot helyezünk el egy olyan négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúlába, amelybe éppen belefér. A gúla alaplapéle 6 cm. Hányszor nagyobb a gúla térfogata, mint a kúp térfogata? a = 6 cm m = 6,4 cm 62 · 6,4 3 Vg ≈ 76,8 [cm3 ]

Vg =

a = 2r = 6 cm r = 3 cm 32 · π · 6,4 Vk = 3 Vk = 60,32 [cm3 ] Vg 76,8 = ≈ 1,3 Vk 60,32

Az arányt megadhatjuk a térfogat értékének kiszámítása nélkül is:

Vg 62 36 4 = (≈ 1,3) = 2 = Vk 3 π 9π π

A bugaci pásztormúzeum kúp alakú tetőszerkezetének magassága 5,6 m, alapkörének átmérője: 13 m. Hány m3 es a tetőtér? Ennek a kúpnak milyen síkidom a tengelymetszete?

13.

m = 5,6 m r = 6,5 m 6,52 · π · 5,6 Vk = ≈ 247,6 [m3 ] 3 Ennek a kúpnak egyenlő szárú derékszögű háromszög a tengelymetszete.

Pásztormúzeum (Bugac)

14. Az ábrán látható kiszombori templom kupolája olyan kúp, amelynek alkotója 8 m. A kúp tengelymetszete szabályos háromszög. Hány méter hosszú az a csatorna, amely a kupola alapját körbefogja? 8 = 4 m. 2 A csatorna hossza az alapkör kerületével egyenlő: Ka = 2 · 4 · π ≈ 25,1 m. A csatorna hossza kb. 25 méter. Alapkör sugara r =

Árpád-kori körtemplom (Kiszombor)

15. Egy derékszögű háromszög befogói 12 dm és 16 dm hosszúak. Forgassuk meg ezt a háromszöget valamelyik befogója körül! Számítsuk ki a forgás során látható test felszínét és térfogatát, ha a) 12 dm-es, a = 12 dm b = 16 dm A forgáskúp alapkörének sugara: r = b = 16 dm, magassága: m = a = 12 dm Vk =

162 · π · 12 ≈ 3216,9 [dm3 ] 3

66

C M Y K


Trgeometria Tk.: 64. oldal b) 16 dm-es befogó körül forgatunk! A forgáskúp alapkörének sugara: r = b = 16 dm, magassága: m = b = 16 dm 122 · π · 16 ≈ 2412,7 [dm3 ] 3 A felszín kiszámításához szükség van a kúp alkotójára, amely mindkét esetben ugyanakkora: c = a 2 + b2 = 20 A felszín: a) esetben: A = 16 · π · (16 + 20) ≈ 1809,5 [dm2 ] Vk =

b) esetben: A = 12 · π · (12 + 20) ≈ 1206,4 [dm2 ]

16. Forgassuk meg az ábrán látható húrtrapézt a) a nagyobbik, b) a kisebbik alapja körül! Mekkora a forgatás közben látható test térfogata? a)

r 2π · 3 = 3 = 4r 2 π + 2r 2 π = 6r 2 π

Va = r 2 π · 4 + 2 ·

b)

Va ≈ 301,6 [cm3 ]

Vb = r 2 π · 10 − 2 ·

r 2π · 3 = 10r 2 π − 2r 2 π 3

Vb ≈ 402,12 [cm3 ]

9–11. óra A gömb felszíne és térfogata Tk.: 70–71. oldalon 1–16. feladatok Fgy.: 462–473. Ezt a témakört inkább a szépsége miatt érdemes tárgyalni. A matematikatörténeti részek elolvasása után oldjunk meg olyan feladatokat, amelyek a közvetlen környezetünkről szólnak. Igen meglepő, hogy a gömb milyen gyakran megjelenik az életünkben. Az összefoglalást például az activity játék segítségével végezhetjük el. Ehhez készítsünk néhány kártyát. A játék szabályai szerint, mutogatással, körülírással, illetve rajzzal igen hatékonyan át tudjuk ismételni az általános iskolában tanult geometriai fogalmakat. Az értékelő felmérő a valószínűség-számítás, statisztika tananyag után következik, de megírathatjuk ennek a témának a végén is, mivel a valószínűség-számítás sok gyereknek nagyon nehezen megy, ezért ne rontsuk el az egész évi munkát egy év végi rosszul sikerült dolgozattal. Eszközök: olyan használati tárgyak, amelyeknek geometriai modellje gömb. Ezeken kívül sokféle demonstrációs méretű mértani testet mutassunk be a tanulóknak.

67

C M Y K


Trgeometria Tk.: 70. oldal Feladatok 1. Számítsd ki a gömb felszínét és térfogatát, ha sugara a) 1,2 m, b) 12 cm, c) 120 dm, d) 1,2 · 104 mm! Van-e közöttük olyan, amelynél a felszín és a térfogat mérőszáma megegyezik? Az a), b), c), d) különböző mértékegységekben megadott értékei között csak a c) és d) egyenlő. Ezért ezeknek egyenlő a felszíne és térfogata. 4 · 1,23 · π V = a) A = 4 · 1,22 · π ≈ 18,09 [m2 ] ≈ 7,238 [m3 ] 3 4 · 123 · π b) A = 4 · 122 · π ≈ 1809,5 [cm2 ] ≈ 7238,2 [m3 ] V = 3 4 · 123 · π c) = d) 120 dm = 12 m = 1,2 · 104 mm ≈ 7238,2 [m3 ] A = 4 · 122 · π ≈ 1809 [m2 ] V = 3 Nincs közöttük olyan, amelynél a felszín és a térfogat mérőszáma egyenlő.

2. Két 4 cm sugarú félgömb felszínének összege mennyivel nagyobb, mint egy 4 cm sugarú gömbé? A két félgömb felszíne a két főkör területével nagyobb a gömb felszínénél. Ez: 2 · Tfőkör = 2r 2 π = 2 · 42 · π ≈ 100,5 [cm2 ]

3. Mérd meg spárgával az otthoni labdád főkörének kerületét, és az általad választott mértékegységben számítsd ki a labda felszínét és térfogatát! A főkörből Kf = 2rπ segítségével meghatározzuk a gömb sugarát, amelyből a felszín és a térfogat is kiszámolható.

4. Egy gyermeknapi, gömb alakú léggömb átmérője 24 cm. Hány cm3 levegőt fújtak a léggömbbe? d = 24 cm, r = 12 cm

V =

4 · 123 π ≈ 7238,23 [cm3 ] ≈ 7,2 [dm3 ] 3

5. Egy gömbnek tekinthető görögdinnye főkörének kerülete 60 cm, héjának vastagsága mindenütt 0,8 cm. Mekkora térfogatú a dinnye ehető része? K = (2r + 2x) · π = 60 2r + 1,6 = 19,1 V =

és

x = 0,8 cm

innen r = 8,75 cm

4 · 8,753 · π ≈ 2806,2 [cm3 ] ≈ 2,8 [dm3 ] 3

6. Egy 1,5 mm átmérőjű szemcseppentővel 1 alkalommal 4 cseppet kell a gyógyszerből a szemünkbe csepegtetni. (A cseppeket gömb alakúnak tekintjük.) Hány ml-t használunk el, ha 5-ször kell csepegtetni naponta? d = 1,5 mm, 5 alkalom

r = 0,75 mm 20 csepp

V1csepp =

4 · 0,753 π ≈ 1,77 [mm3 ] 3

V20csepp = 20 · 1,77 = 35,4 [mm3 ] ≈ 0,4 [cm3 ] ≈ 0,4 [ml]

0,4 ml-t használunk naponta a szemcseppből.

68

C M Y K


Trgeometria Tk.: 70. oldal 7. Egy üvegből készült gyöngysor középső gömbjének átmérője 12 mm. A három különböző méretű, gömb alakú gyöngy sugarának aránya 3 : 2 : 1. Mekkora a gyöngysorban lévő 5 db gyöngy együttes tömege, ha az üveg g sűrűsége 2,2 ? (Az átfúrás miatti térfogatcsökkenést ne vegyük cm3 figyelembe!) 2r = 12 mm x = 6 mm = 3k

k: arányossági tényező

y = 4 mm = 2k z = 2 mm = 1k 4 · 63 π = 904,78 [mm3 ] 3 4 · 43 π Vy = = 268,08 [mm3 ] 3 Vx =

2Vy = 536,16 [mm3 ]

4 · 23 π = 33,51 [mm3 ] 3 A gyöngyök térfogata összesen:

2Vz = 67,02 [mm3 ]

Vz =

3 3 V = 904,78 + 536,16 + 67,02

=1507,96 [mm ] ≈ 1,5 [cm ] g g m = · V , ahol = 2,2 m = 2,2 · 1,5 [cm3 ] ≈ 3,3 [g] a gyöngysor tömege. cm3 cm3

8. A gyógyszeres kapszulát egy 10 mm magasságú hengerpalást és két 2,5 mm sugarú félgömb határolja. Becsüld meg, mekkora lehet egy kapszula térfogata, mekkora lehet a felszíne! Becslésedet számolással ellenőrizd! r = 2,5 mm

V = Vh + Vg

V = 2,52 π · 10 +

4 · 2,53 π ≈ 196,35 + 65,45 = 261,62 [mm3 ] 3

A = AP + Ag = 2 · 2,5 · π · 10 + 4 · 2,52 π ≈ 157,08 + 78,54 = 235,62 [mm2 ]

A pingponglabdákat négyzetes hasáb alakú dobozban árulják. A doboz mérete olyan, hogy a labdák pontosan egymás fölött éppen beleférnek. Hány labdát tehetünk ebbe a dobozba, ha a doboz alapja 2,8 cm oldalú négyzet, magassága 14 cm? A labdák a doboz térfogatának mekkora részét foglalják el, és ez hány százaléka a doboz térfogatának? A számolások előtt becsüld meg a várható eredményt!

9.

A doboz alapja:

2r = 2,8 cm

Oldallapja:

r = 1,4 cm

A 14 cm magasságú dobozba 5 db labda fér el. 4 · 1,43 π 1 labda térfogata: Vl = ≈ 11,5 [cm3 ] 3

5 labda térfogata: V5l = 57,5 [cm3 ]

A doboz térfogata: Vh = 2,82 · 14 = 109,76 [cm3 ] V5l 57,5 = = 0,52. Vh 109,76

A doboz 52%-át foglalják el a labdák.

69

C M Y K


Trgeometria Tk.: 70–71. oldal 10. Egy félgömb alakú merőkanál sugara 4 cm. Egy 7 dl-es, félgömb alakú tálkába hány kanál levest tudunk belemerni? Vkanál Vtál

4 · 43 · π 3 ≈ 134,04 [cm3 ] ≈ 134 [cm3 ] = 2 = 7 [dl] = 700 [cm3 ]

700 ≈ 5,22 134

A tálkába 5 merőkanál leves fér.

Egy 5 literes fazékban hány ilyen adag levest főzhetünk? 5 l = 50 dl. Ekkora fazékban

50 dl ≈ 7 adag levest főzhetünk meg. 7 dl

11. Naprendszerünk legnagyobb bolygójának, a Jupiternek 143 000 km az átmérője. A legkisebbé, a Merkúré 4900 km. Írd fel a a) felszínük, b) térfogatuk arányát! Normálalakban számolj! dj = 143 000 [km] ≈ 1,4 · 105 [km]

rj = 105 [km]

dm = 4900 [km] ≈ 4,9 · 103 [km] 5 2

rm = 2,45 · 103 [km]

Am = 4 · (2,45 · 103 )2 · π ≈ 75,4 · 106 [km2 ] = 7,54 · 107 [km2 ] Aj 1010 ≈ 0,82 · = 0,82 · 103 = 820 Am 107 4 · (0,7 · 105 )3 · π 4 · (2,45 · 103 )3 · π Vj = ≈ 1,4 · 1015 [km3 ] Vm = ≈ 61,6 · 109 [km3 ] = 6,16 · 1010 [km3 ] 3 3 Vj 1015 ≈ 0,23 · 10 = 0,23 · 105 = 2,3 · 104 = 23 000 Vm 10 Megjegyzés: A felszínnél a sugarak négyzetének aránya, a térfogatnál pedig a sugarak köbének aránya ugyanezeket az arányokat adja. Aj = 4 · (0,7 · 10 ) · π ≈ 6,16 · 10

10

2

[km ]

12. A hámozott narancs létartalma átlagosan 40%. A piacon vásárolt narancsok átmérője 6,6 cm, héjuk 0,3 cm vastag. Hány dl narancslé készíthető 10 ilyen narancsból? 2r = 6,6 − 2 · 0,3 = 6 r = 3 cm Egy narancs térfogata 1131 cm3 Ennek 40%-a lesz narancslé, ez 452,4 cm3 , 452,4 cm3 = 452,4 ml ≈ 4,5 dl. 10 db narancsból kb. 4,5 dl narancslé készíthető.

13. Egy henger alakú pohár három 1,2 cm sugarú jéggolyóval színültig van 9 vízzel. A golyók része merül el a vízben. 10 Mennyivel több víz fér a pohárba, ha az innivalót nem kívánjuk lehűteni? A pohárban annyival több víz lehetne, amennyi a három jéggolyó össztérfogatának a 9 része. 12 4 · 1,23 π 1 golyó térfogata: V = ≈ 7,24 [cm3 ] 3 golyó térfogata: 3V = 21,73 cm3 3 9 Ezek része 19,5 cm3 = 19,5 ml A pohárban kb. 19,5 ml-rel lehetne több víz. 10

70

C M Y K


Trgeometria Tk.: 71–72. oldal

14. a) Egy 9 cm élű kockából esztergálással a lehető legnagyobb gömböt készítették el. Mekkora a gömb felszíne és térfogata? A gömb főköre érinti a középvonalból alkotott négyzetet. a = 2r = 9 cm r = 4,5 cm

4 · 4,53 π ≈ 381,7 [cm3 ] 3 Ag = 4 · 4,52 π ≈ 254,5 [cm2 ]

Vg =

b) legnagyobb kockát készítették el. Mekkora a kocka felszíne és térfogata? A gömbbe írt kocka esetén a kocka testátlója egyenlő a gömb átmérőjével. √ A kocka testátlója Pitagorasz-tétel segítségével: d = 2r = a · 3 √ a ≈ 5,2 Ak = 6 · a 2 = 6 · 5,22 = 162,24 [cm2 ] 9=a 3 Vk = 5,23 ≈ 140,61 [cm3 ]

15. Egyetlen nagy gömb alakú cseppé alakul 8 db 1 mm átmérőjű, gömb alakú esőcsepp. Mekkora a nagy csepp és egy kis csepp felszínének aránya? 1 8 · 4 · 0,53 · π mm = 0,5 mm 8 db kis gömb térfogata: 8Vk = ≈ 4,2 [mm2 ] 2 3 4r 3 π A nagy gömb térfogata: Vn = n ≈ 4,2 innen: rn ≈ 1 [mm] 3 2 1 An 4·1 ·π =4 A felszínek aránya: = = 2 1 Ak 1 4· ·π 4 2 d = 1 mm

rk =

16. Egy gömböt három, egymásra merőleges, a középponton átmenő síkkal elvágunk. Mennyivel változik az így kapott testek együttes felszíne az eredeti gömb felszínéhez képest? Minden vágásnál 2 főkör területével növekszik az eredeti felszín. 3 vágás esetén éppen 6 főkör terület. Ez: 6r 2 π területegység. Megjegyzés: Egy almát négy részre vágva azonnal láthatók a keletkező új felületek.

12. óra

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ 1. Az ábrák és a képletek közül válaszd ki azokat, amelyek ugyanahhoz a mértani testhez tartoznak! Van-e az ábrák között olyan, amelyből nem lehet mértani testet készíteni? (1) (2) (3) (4)

71

C M Y K


Trgeometria (5) a)

Ta m

(1) kúp

Vkúp =

b) r 2π · m 3

r 2 πm 3

c)

Ta m 3

b) képlet

Ta · m c) képlet 3 (5) háromszög alapú hasáb Vhasáb = Ta · m a) képlet A (2)-esből nem lehet mértani testet készíteni. (3)–(4) ugyanaz a szabályos tetraéder Vtetr. =

2. Egyenlő hosszúságú pálcikákból, és azokat egymáshoz kötő golyókból olyan „házikót” építünk, amely egy kockából és egy négyzet alapú gúlából áll. Rajzold le a „házikót”! Hány éle, lapja, csúcsa és átlója van ennek a testnek? A testnek 16 éle, 9 csúcsa, 9 lapja van. Kétféle átló van: lapátló 10, testátló 4 + 4 + 2 = 10 A testnek összesen 20 átlója van.

3. Az ABCDEF GH négyzet alapú egyenes hasábból olyan négyzet alapú gúlát vágunk ki, melynek alaplapja azonos a hasábéval, oldalélei pedig a hasáb CG oldalának K felezőpontjában metszik egymást. A gúla térfogata mekkora része a 12 cm alapélű, 20 cm magasságú hasáb térfogatának? (A választ a számadatok felhasználása nélkül is megadhatod.) Vh = 122 · 20

Vg =

· 10 3

122

122 · 10 Vg 1 3 = = Vh 122 · 20 6

4. Egy kúp alakú tetőszerkezet alapkörének 12 méteres átmérője egyenlő a kúp alkotójával. Mekkora a tetőtér térfogata? m = 122 − 62 ≈ 10,4 [m] 62 π · 10,4 A kúp alakú tetőtér térfogata: V = ≈ 392,1 [m3 ] 3

2r = a = 12 [m]

5.

r = 6 [m]

A keljfeljancsi magassága 16 cm. Hasának és fejének átmérője úgy aránylik egymáshoz, mint 11 az 5-höz. Mekkora a bábu felszíne? 2R = 11x és 2r = 5x 11x + 5x = 16 innen x = 1 2R = 11 r = 5 R = 5,5 [cm] r = 2,5 [cm] A két gömb felszínének összege: A = 4R 2 π + 4r 2 π = 4π(5,52 + 2,52 ) ≈ 458,6 [cm2 ]

72

C M Y K


Statisztika, valsznsg

STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS 1. 2. 3. 4. 5–6. 7. 8. 9.

óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra:

Statisztikai módszerek, statisztikai alapfogalmak Diagramok Középértékek Gyakorlás A relatív gyakoriság és a valószínűség, feladatok A Galton-deszka matematikája Geometriai valószínűség Gyakorlás

Mire építünk? A statisztika témakörhöz rendelkezünk előtanulmányokkal. Ötödik osztálytól kezdve minden évben foglalkoztunk grafikonokkal, gyakran használtuk a számtani közepet is. Hatodik osztályban megismertük a pontdiagramot, a vonaldiagramot, az oszlopdiagramot és a kördiagramot. Az alsó tagozatos osztályoktól kezdve minden évben találkoztak a tanulók egyszerűbb valószínűségszámítási feladatokkal. Azok megoldásával szerzett tapasztalatokat kívánjuk felhasználni ebben a fejezetben. 5. osztályban a törtek fejezet után, 6. és 7. osztályban az év eleji gondolkodtató feladatok között szerepeltek ilyen jellegű problémák. Hasonlóan minden évben megoldottunk különféle kombinatorikai feladatokat is, hiszen a kombinatorikus gondolkodásmód folyamatos fejlesztése tantervi követelmény, így ezekre az ismeretekre is számíthatunk.

Milyen előrelépést teszünk? A statisztika részben megismerkedünk a statisztikusok alapvető kutatási módszereivel. Mutatunk példát jó és kevésbé jó mintavételre. Megtanuljuk a statisztika alapfogalmait. Sokféle grafikont készítünk, elemzünk. Megismerjük a medián és a módusz fogalmát, majd a különböző középértékeket felhasználjuk az adatsokaságok elemzésében. Elvégzett kísérletek és egyszerű feladatok elemzése után megfogalmazzuk a relatív gyakoriság fogalmát, és ennek segítségével empirikus módon meghatározzuk egyes események valószínűségét. Néhány egyszerű problémát megvizsgálunk a geometriai valószínűség témaköréből is, amelyeknél minden esetben feltételezzük, hogy az adott ponthalmazon a valószínűség-eloszlás egyenletes. Megoldunk összetettebb feladatokat is, melyek megoldásánál előtérbe kerül a kombinatorikus gondolkodásmód. Célunk, hogy ne képletek alapján oldjuk meg a problémákat, hanem elemző gondolkodás segítségével. Az „és”, illetve a „vagy” logikai műveletet használva tapasztalatokat gyűjtünk arra nézve is, hogy a feladatok megoldása során mikor szorozzuk össze, illetve mikor adjuk össze a valószínűség-értékeket. Érdemes megjegyezni, hogy a statisztika és a valószínűség-számítás milyen szoros kapcsolatban áll egymással. Ebben a kis szeletben, amit itt megmutatunk, mindössze annyi derül ki, hogy a megfigyelés és a kísérlet mindkettőnek alapköve. Ez nyilvánvalóan megjelenik a Galton-deszka fejezetben. Tanári irányítással tarthatnak tanulóink előadást e két tudományág összefüggéseiről, különbözőségéről, fejlődéséről. Sokat segíthet ez szemléletük formálásában, a mai világban való jobb eligazodásukban.

73

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 79. oldal

Minimumkövetelmény A statisztikában alapvető követelmény az oszlop- és a kördiagram ismerete. Készségszinten kell tudni az adatsokaság átlagának meghatározását. A tanulóknak ismerni kell a gyakoriság, a relatív gyakoriság fogalmát. Az egyszerű valószínűségértékeket ki kell tudniuk fejezni tört, tizedes tört és százalék alakban (pl.: dobókocka, pénzérme esetében).

Hogyan folytatjuk? A középiskolában szerepel majd a közepektől való abszolút és négyzetes eltérés, valamint a szórás. Megismerkedünk majd az osztályba sorolás módszerével is. Ezekkel a statisztikai mutatókkal pontosabb információkat tudunk majd adni egy-egy adatsokaságról. 2005-ben szerepelt először az érettségi vizsgán ez a témakör. Ezért is feltétlenül meg kell ismerkednünk a statisztikai alapfogalmakkal az általános iskolában.

STATISZTIKA 1. óra Statisztikai módszerek, statisztikai fogalmak Tk.: 79–80. oldalon 1–8. feladatok Fgy.: 474–477. Ebben a témakörben előforduló problémák és azok elemzése nagymértékben fejleszti a tanulók világról alkotott képét, hozzájárul a globális és a részletes elemzési készség kifejlődéséhez. Ezért feltétlenül adjunk olyan házi feladatokat, amelyekben maguk gyűjtenek adatokat, akár a környezetükből, akár folyóiratokból, akár az internetről. A tanulók készítsenek felméréseket a baráti körükben, az iskolában, a családban, a lakóhely környezetében stb. A tankönyv feladatai is ezt sugallják. Adjunk időt a gyűjtött anyagok értékelésére, azok megbeszélésére is. Használják, gyakorolják az elnevezéseket.

Feladatok 1. Keress napilapokban, folyóiratokban statisztikai adatok alapján készült vonal-, kör- és oszlopdiagramokat! Elemezd őket! Állapítsd meg, hogy az általad válaszott diagramokon a) mi a statisztikai sokaság, b) mik az egyedek, c) mi az ismérv, d) mik az adatsokaság elemei? A megoldás a tanulók által választott grafikonok alapján történik.

74

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 79–80. oldal 2. Az uniós csatlakozásra váró országokban 2002-ben készült felmérés a lakosság idegennyelvtudását mutatja: 25

Magyarország Románia

30 29

Szlovákia

29

Litvánia

30

Valamely idegen nyelv

80 92

33

Lengyelország

5 nyugati nyelv egyike

43

54

36

Észtország

76 45

Csehország

70 71

Szlovénia 0

10

20

30

40

50

60

70

91 80 90%

Forrás: OM-honlap

Ebben a felmérésben a) mi a statisztikai sokaság, A felsorolt országok lakossága. b) mik az egyedek, A felsorolt országok megkérdezett lakói. c) mi az ismérv, Hányan beszélnek idegen nyelven? d) mik az adatsokaság elemei? A felmérésben (grafikonon) szereplő számok. 3. Arról kell statisztikai vizsgálatot készítened, hogy lakóhelyeden és annak közvetlen környékén hogyan vélekednek az emberek a diszkóról. Feltételezzük, hogy a teljes sokaság több ezer emberből áll. Hogyan választanád ki a megfelelő mintát? Például: 6 éves korútól 86 éves korúig választanám az embereket. Nyolcévenként ugorva 10-10 alanyt, összesen 100-at. Az egyes korosztályokban más-más foglalkozású, más-más szociális körülmények közötti személyeket kérdeznék meg. Megjegyzés: Érdemes megbeszélni a tanulókkal, hogy milyen foglalkozásokat, milyen családi körülményeket ismernek.

4. Készíts legalább 10 kérdésből álló kérdőívet a következő témák valamelyikéről! a) Zenehallgatás, b) olvasás, c) sportolás, d) számítógép használata, e) általad választott téma. Például: kérdőív a sportolásról Neme: Életkora: 1. A felsorolt sportágak közül melyiket kedveled a legjobban? úszás, kerékpár, atlétika, labdarúgás 2. Aktív sportoló vagyok: igen / nem 3. Hetente . . . . . . . . . alkalommal megyek edzésre. 4. Hetente . . . . . . . . . órát töltök sportolással. 5. Kosárlabda, kézilabda, asztalitenisz edzésre járok. 6. Szeretnék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . edzésekre járni. 7. 8. 9. 10.

Szüleim tanácsára / saját elhatározásból járok edzésekre. Egyesületben / iskolában / sohasem sportolok. Szabadidőmben: kerékpározom / focizom / kocogok / egyéb sportágat űzök. Előfordul / nem fordul elő, hogy hétvégén kirándulok.

75

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 80. oldal 5. A 4-es feladatban felsorolt témák közül választva készíts interjút egy barátoddal vagy egy ismerősöddel! Az interjú kérdéseit egy választott témáról a kidolgozott példa segítségével el lehet készíteni.

6. Kis falu most megnyílt vegyesboltjának vagy az üzletvezetője. Készíts olyan felmérést (kérdőívvel, interjúval vagy az általad választott tetszőleges módszerrel), amely alapján le tudod adni az árurendelést! A falu minden családjával kitöltetek egy-egy kérdőívet, amelyben egyhavi fogyasztásuk tartalmára és mennyiségére kérek válaszokat. Ennek alapján rendelném meg az árukat.

7. A diákönkormányzat vezetőjeként a következő összejövetelen be kell számolnod arról, hogy a mostani nyolcadikosok közül ki hogyan folytatja tanulmányait a következő tanévben, vagy ha nem tanul tovább, mivel foglalkozik majd. Készítsd el ezt a statisztikát! A nyolcadikos osztályokban kell összegyűjteni az adatokat. Az adatokat pl. kördiagramon lehet szemléltetni.

8. a) Végezz nagy számú kísérletet egy általad választott szabályos test feldobásával. Készítsd el az egyes számok dobásának relatív gyakoriságának grafikonját! A tankönyv 94. oldalán látható szabályos testek megvásárolhatók a taneszközboltokban. Ha erre nincs lehetőség, akkor kartonpapírból elkészíthetők. (Legalább 500 kísérletet végeztessünk el!)

b) Figyeld meg egy héten keresztül, hogy a nap legforgalmasabb időszakában, negyed óra alatt hány ember halad el az ablakotok vagy a kaputok előtt! Az adatokat a megfigyelés után értékeljük ki együtt! Megjegyzés: Ehhez hasonló megfigyeléseket többfélét is készíthetünk. A településre jellemző érdekességekhez kapcsolódó adatok összegyűjtésével, azok értékelésével szélesíthetjük a tanulóknak a környező világról alkotott képét.

2. óra Diagramok Tk.: 83–84. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 478–484. A tankönyvi feladatokon kívül bármilyen, a tanulók által behozott, őket érdeklő adatsokaságot is elemezhetünk. Érdemes tanulmányozni a földrajzban, a történelemben tanult adatokat is, az atlaszokban található grafikonokat. Az adatsokaság elemzésekor mindig hívjuk fel a figyelmet arra, hogy az adatsokaság értékelésekor levont következtetések attól függenek, hogy milyen volt a mintavétel. Előfordul, hogy ugyanabból az adatsokaságból a statisztikusok nem azonos következtetést vonnak le. A statisztikai pontatlanság megenged ilyen eltéréseket. Ezért mondhatjuk, hogy a statisztika tudománya ilyen értelemben nem annyira egzakt, mint a matematika többi ága. A grafikonok készítésekor, ha erre lehetőségünk van, használjuk a számítógép excel programját, amely változatos formában kínálja fel a grafikonok megrajzolását. Ha színes nyomtatónk nincs, akkor is láthatjuk a pontosan megrajzolt diagramokat a monitoron vagy projektorral kivetítve a vetítővásznon. Eszközök: újságok, folyóiratok, statisztikai zsebkönyv, internetről letöltött adatok, grafikonok fólián.

76

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 83. oldal Feladatok 1. Olvasd le a grafikonról, hogy az egyes megyékben hány település található! Mit gondolsz, miért vannak ekkora eltérések? Bács-Kiskun Baranya Békés Borsod-Abaúj-Zemplén

120 300 70 360

Csongrád

55

Fejér Győr-Moson-Sopron Hajdú-Bihar Heves Jász-Nagykun-Szolnok Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Tolna Vas Veszprém Zala

105 175 75 120 75 70 125 180 240 225 105 220 225 255

Legtöbb település Borsod-Abaúj-Zemplén megyében van: 360 db, legkevesebb Csongrád megyében: 55 db. Ennek földrajzi és történelmi okai vannak. Sok apró település ott alakult ki, ahol tagolt, hegyes-dombos vidék van. Másrészt a török hódoltság idején lerombolták ezeket a településeket, ezért Csongrád megyében lecsökkent a számuk. Borsod-Abaúj-Zemplén megyében, ahol nem járt a török, ott nagyrészt megmaradtak a kora középkori települések.

2. A hatosztályos és a nyolcosztályos gimnáziumok számának 1991 és 2000 közötti alakulását tartalmazza a táblázat. Készíts az adatokból kettős oszlopdiagramot az általad választott formában! Hasonlítsd össze a két különböző iskolatípus számának növekedési ütemét! 1991–92 1992–93 1993–94 1994–95 1995–96 1996–97 1997–98 1998–99 1999–2000 6 oszt. 21 54 86 126 150 168 173 188 191 8 oszt. 45 47 68 88 97 99 103 106 106 Kettős oszlopdiagramot készítünk. 190

iskolák száma

A hatosztályos gimnáziumok száma 1991–2000-ig egyenletesen nő. A nyolcosztályos gimnáziumok száma 1991–92-ben nagyobb, mint a hatosztályosoké, de a következő tanévtől már elmarad a hatosztályosok számától, majd a növekedése egyre lassúbb lesz, végül az utolsó két évben már nem emelkedik.

6. osztályos 8. osztályos

150

100

50 Év

10 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

77

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 83. oldal 3. A táblázat adatai alapján készíts hármas Testmagasság [cm] 1 2 3 14 éves gyermek 165 155 186 Apa 170 167 187 Anya 160 158 171

oszlopdiagramot a 4 5 6 160 164 172 185 186 181 162 176 171

tanulókról és 7 8 165 172 175 189 160 173

szüleikről! 9 Saját adataim 165 173 161

Testmagasság [cm] 190 185 180 175 170 165 160 155 150 145 1 2 Gyermek

3

4 Apa

4. A háziállatok percenkénti átlagos légzésszámát olvashatjuk le az oszlopdiagramról. Foglald táblázatba a diagramról leolvasott adatokat, és értelmezd őket!

5

6

7 Anya

Légzés percenként

9

tyúk macska kutya sertés kecske juh ló borjú szarvasmarha 0

Állat

8

5

10

15

20

25

30

Szarvasmarha

Borjú

Ló

Juh

Kecske

Sertés

Kutya

Macska

Tyúk

14,5

18

12

14,5

14,5

20

14,5

22

30

5. a) Olvass le minél több információt a grafikonról! b) Foglald táblázatba az 1980-as év adatait! c) Melyik évben végeztek legtöbben az egyes intézményekben? d) Határozd meg az 1999-ben és az 1990ben általános iskolát végzett tanulók számának arányát! Mit gondolsz, miért ilyen nagy arányú a csökkenés? a) – Az általános iskolát 160 000-nél is többen végezték el 1990-ben, de 1999-ben csak 118 000 diák végzett, ami az 1980-as adatnál is kevesebb. – Felsőfokú intézményben 1999-ben kb. 29 000 diák végzett, ami majdnem a duplája az 1990-es és az 1980-as évinek. – Az érettségizettek száma kb. kétszer annyi 1999-ben, mint a szakmunkásvizsgát tett tanulóké.

78

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 83–84. oldal b) 1980-as évek adatai Felsőfokú oklevél

Érettségi

Szakmunkás szakiskola

Általános iskola

15 000

55 000

42 000

12 000

c) Az általános iskolát legtöbben 1990-ben, a szakmunkás iskolát legtöbben szintén 1990-ben végezték el. Legtöbben 1999-ben érettségiztek, és legtöbben szintén 1999-ben szereztek felsőfokú oklevelet. d) n1999 : n1990 = 118 000 : 160 000 = 59 : 80 ≈ 73,7% Az általános iskolát minden gyermeknek kötelező elvégezni, ezért ez a 26,3%-os csökkenés egyben megmutatja a 14 éves tanulók számának csökkenését is ebben az időszakban.

6. Egy 36 fős nyolcadikos osztály egész évi hiányzásának összesítését tartalmazza a táblázat. Határozd meg a mulasztott napok relatív gyakoriságát, és add meg ezeket az értékeket százalék alakban is! A mulasztott napok száma 0 A tanulók száma 2

1 3

5 7

8 6

9 10 15 4 13 1

A tanulók létszáma 36. Ugyanezt kapjuk a táblázat adataiból is: 2 + 3 + 7 + 6 + 4 + 13 + 1 = 36. Napok száma Relatív gyakoriság

0

1

5

8

9

10

15

tört alak

2 36

3 36

7 36

6 36

4 36

13 36

1 36

százalék alak

5,6

8,3

19,4

16,7

11,1

36,1

2,8

Megjegyzés: Érdemes kiszámítani az ún. súlyozott számtani középpel az egy tanulóra eső hiányzási átlagot is: 2 · 0 + 3 · 1 + 7 · 5 + 6 · 8 + 4 · 9 + 13 · 10 + 1 · 15 ≈ 7,42 [nap] 36 Ebből a törtből jól kiolvashatók a fenti relatív gyakoriság értékek is.

7. Magyarországon a földterület művelési ágak szerinti megoszlását mutatja a sávdiagram. Készíts a sávdiagramból kördiagramot! nádas, halastó mezőgazdasági terület

erdő

0

66,6 Százalék

Középponti szög

Mezőgazdasági terület

M

66,6

239,76◦

Erdő

E

19

68,4◦

Nádas, halastó

N

0,8

2,88◦

Nem művelt terület

P

13,6

48,96◦

mezőgazdasági művelés alól kivont terület

85,6 86,4

100 [%]

N

E P

M

M

E

N

P

A diagramot közelítő értékekkel rajzoljuk meg.

79

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 84. oldal 8. A táblázat a Föld lakóinak eloszlását tartalmazza. Készíts az adatokból sávdiagramot! Földrész

Európa

%-os arány

Ázsia

13

13%

Afrika

59

Amerika

13

59%

13%

Ausztrália és Óceánia 1

14 14%

1% 100%

0 Eu.

Ázsia

Afr.

Am.

Au. és Ó.

9. Készíts a kördiagramokból sávdiagramokat! A fiatal munkanélküliek megoszlása a munkanélküliség időtartama szerint, 1999

Ha 100%-nak 20 rácsegységet feleltetünk meg, akkor a megfelelő százaléklábak ötödével tudjuk a téglalap oldalának hosszát megadni. a) 15–24 éves korosztály 38,1%

9,7%

18,8%

15,5%

17,9% 100%

0 b) 25–34 éves korosztály 49,1%

5,4% 15,8%

13,9%

15,8% 100%

0 c) 34 év felett 55,4%

0

5,2%11,9% 11,8%

15,7% 100%

80

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 84. oldal 10. Olvass le minél több információt az ábrán látható piktogramról!

Forrás: Dr. Nádai Magda: Földanyai gondok

Európa

Észak- és KözépÁzsia

DélÁzsia

Délkelet Ázsia

Ausztrália

Afrika

Észak- és KözépAmerika

DélAmerika

Szántó

31%

10%

24%

17%

6%

6%

13%

7%

Legelő

18%

21%

21%

5%

55%

26%

16%

26%

Erdő

32%

32%

13%

59%

18%

25%

32%

55%

A piktogramon szereplő búzaszemek, virágszirmok, illetve levelek számával meghatározható, hogy a nevezett földrészen a teljes földterület hány százaléka szántó, hány legelő, és hány erdő. Földrészenként a fennmaradó földterület egyéb kultúrákat vagy műveletlen területeket jelent. Ezek: E. 19%

É.Á. 37%

D.Á. 42%

D.K.Á. 19%

A. 21%

Af. 43%

É.K.Am. 39%

D.Am. 12%

Ez utóbbi százaléklábak alapján a földrész legnagyobb részét D.Am.-ban foglalja el e három (szántó, legelő, erdő) művelési terület, a legkevesebb művelési terület pedig Afrikában található.

3–4. óra Középértékek Tk.: 86–88. oldalon 1–9. feladatok Fgy.: 485–487. A középértékekről vannak korábbi ismereteink. Már az alsó tagozatban is tanultunk a számtani középről, az adatok átlagáról, majd hatodik osztályban ismertük meg a módusz fogalmát. Mivel ez utóbbi, a statisztika tananyagra fordítható nagyon kevés idő miatt feledésbe merült, ezért mielőtt a medián fogalmát bevezetnénk, ismétléssel frissítsük fel a móduszt. Például érdemes néhány érdekes betűstatisztikát elkészíteni, mert annak egyik jellegzetes adata éppen a módusz, ugyanakkor abból a különböző szaknyelvek, a különböző stílusú irodalmi szövegek

81

C M Y K



jellegzetességeire is következtetni tudunk. Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy módusza mindenféle adatsokaságnak van, de átlaga és mediánja csak a számokból álló, nagyság szerint sorba rendezhetőeknek. Ha egy általunk és a tanulók által összegyűjtött sokaságnak olyan nagy számú eleme van, hogy annak értékelése túl sok időt venne igénybe, akkor azok rendezésére használjunk számítógépet. A statisztikusok e háromféle középérték meghatározásával hasonlítanak össze nagy elemszámú adatsokaságokat. Ezek a középértékek és a további statisztikai jellemzők, úgymint a terjedelem és a szórás részletesebb információkat adnak az adatsokaságokról. (Az adatsokaság terjedelméről tanultunk hatodik osztályban, a szórás pedig a középiskolában, a 9. osztályban szerepel.) Eszközök: újságok, folyóiratok, statisztikai zsebkönyv, internetről letöltött adatok.

Feladatok 1. Laci így számolt be egy másik osztályba járó barátjának történelemdolgozatának értékeléséről. „A 21 fős csoportból ugyanannyian írtak nálam rosszabb dolgozatot, mint ahányan jobbat.” Lehet-e Laci dolgozata 5-ös, 4-es, 3-as, 2-es vagy 1-es? 1,

Nem lehet:

2,

3,

4,

1, 2, 3,

5

nincs fölötte osztályzat

4 , 5 10 db

10 db

1, 2 ,

Lehet:

3,

10 db

1 ,

10 db

Nem lehet:

nincs alatta osztályzat

4, 5 10 db

2,

3, 4, 5 10 db

1 , 2,

3,

4,

5

2. Egy nyolcadikos tanuló tankönyveinek oldalszámai a táblázatban olvashatók. Számítsd ki, hogy összesen hány oldalnyi tananyagot kellene egy év alatt egy nyolcadikosnak megtanulni! Mennyi a könyvek átlagos oldalszáma? Hogyan alakul ez az átlag abban az iskolában, ahol nem tanulnak 8.-ban számítástechnikát? magyar magyar irodalom nyelvtan 345

152

történelem

angol

matematika

fizika

kémia

230

144

219

151

136

biológia földrajz 173

193

ének

számítástechnika

126

70

Összesen: 345 + 152 + 230 + 144 + 219 + 151 + 136 + 173 + 193 + 126 + 70 = 1939 oldalt kellene megtanulni egy évben. Az átlagos oldalszám: 176,3. Ha nincs számítástechnika, akkor a könyvek átlagos oldalszáma: 186,9.

3. Határozd meg az 1, 3, 3, 3, 3, 4, 7, 8, 12, 12, 15, 19, 20 adatsokaság számtani közepét, móduszát és mediánját! A számtani közép: 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 7 + 8 + 12 + 12 + 15 + 19 + 20 ≈ 8,46 13 A módusz: m = 3, a medián: M = 7. s=

82

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 87. oldal 4. Készíts olyan, 10 elemből álló sokaságot, amelynek a) nincs számtani közepe, Nincs számtani közepe pl. a kutyákból álló adatsokaságnak: A: agár, spániel, szetter, dog, vizsla, buldog, kopó, juhászkutya, malamut.

b) számtani közepe nincs, de módusza van, Számtani közepe nincs, módusza van: B: furulya, oboa, fagott, c) d)

trombita, hegedű, brácsa, brácsa, brácsa, zongora, gitár, gitár. m = brácsa. (brácsa: mélyhegedű) számtani közepe 4, módusza 5, s = 4, m=5 C: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7 számtani közepe is, módusza is 6! s = 6, m=6 D: 2, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 9, 9

5. Készíts olyan 15 elemből álló adatsokaságot, amelynek a) átlaga, módusza és mediánja egyaránt 7, m = 7, M = 7

A: 2, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 8, 11, 11, 11, 14, 15

b) mediánja és számtani közepe egyenlő, s = 8, M = 8

B: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

c) módusza van, de mediánja nincs, m1 = orgona, m2 = gerbera C: szegfű, rózsa, tulipán, liliom, orgona, orgona, frézia, nefelejcs, nárcisz, gerbera, gerbera, orchidea, krizantém, őszirózsa, ibolya

d) három különböző módusza van! D: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6

m1 = 1,

m2 = 4,

m3 = 6.

6. A matematikatanár megbetegedett, ezért a kijavított dolgozatokat nem tudta kiosztani. Telefonon lediktálta a táblázatban olvasható adatokat. A tanulóknak meg kell határozni a dolgozat osztályzatainak átlagát, móduszát és mediánját.

s=

ötös

négyes

hármas

kettes

egyes

4

7

6

5

1

4·5+7·4+6·3+5·2+1·1 ≈ 3,35 23

A relatív gyakoriságok

Adjuk meg ezeket a középértékeket, és ábrázoljuk az osztályzatok relatív gyakoriságát grafikonon!

m = 4,

M = 3.

Ötös

Négyes

Hármas

Kettes

Egyes

4 23

7 23

6 23

5 23

1 23

0,18

0,30

0,26

0,22

0,04

18%

30%

26%

22%

4%

Oszlopdiagram Rgy%

Kördiagram Relatív gyakoriság

30

ötös:

18% ←→ 64,8◦

négyes: 30% ←→

108◦

hármas: 26% ←→ 93,6◦

20

kettes:

22% ←→ 79,2◦

egyes:

4% ←→ 14,4◦

10 A kördiagramon könnyebb az összehasonlítás. 2

osztályzat 1

2

3

4

5

83

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 87–88. oldal 7. Az újkori nyári olimpiai játékokon a magyar versenyzők által megszerzett érmek számát foglalja össze a táblázat, 1896 és 1996 között, az 1920-as és az 1984-es év kihagyásával. Határozd meg az érmek számából álló adatsokaság átlagát, móduszát és mediánját! Vajon miért több az érmek száma a táblázat második részében? Év 1896 1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948

Hely Athén Párizs St. Louis London Stockholm Antwerpen Párizs Amszterdam Los Angeles Berlin London

Érmek száma 5 6 4 8 8 nem vettünk részt 10 10 16 16 28

Év 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996

Hely Helsinki Melbourne Róma Tokió Mexikó München Montreal Moszkva Los Angeles Szöul Barcelona Atlanta

Érmek száma 42 26 21 22 32 35 22 32 nem vettünk részt 23 30 21

Az adatsokaság – számtani közepe: s = 19,86, – módusza: m = {8, 10, 16, 21, 22, 32}, mivel ezek mindegyike kétszer fordul elő, – mediánja: M = 21. 1945 után nagyobb létszámban vettünk részt az olimpiákon. Ez látható a táblázat első oszlopának alsó sorából is 1984 kivételével, amikor politikai okok miatt nem vettünk részt.

A grafikon a Balaton vizében a klorofill mennyiségének havonkénti változását mutatja 2000-ben. a) Határozd meg a Balaton vizében előforduló klorofill mennyiségének éves átlagát Siófoknál! b) Állapítsd meg az adatok móduszát a Keszthelyi-öbölnél! c) Add meg az adatok mediánját mindkét helyen!

8.

III. III. IV. IV. V. 13. 20. 3. 17. 2. Keszthely 8 2 4 8 9 Siófok 4 3 3 3 4 a) sS = 4,2

V. 15. 3 –

V. 22. 9 4

b) mK = 12

VI. VI. VII. 5. 19. 3. 3 13 6 2 4 2

VII. 17. 20 9

VII. VIII. VIII. IX. IX. X. X. XI. XII. 31. 14. 28. 11. 25. 16. 30. 20. 9. 12 7 34 66 53 16 12 12 13 7 2 7 4 7 6 2 6 2

c) MK =

8 + 12 = 10,5 2

MS = 4

9. Táborozás előtt az osztályfőnök megkéri a 26 táborozót, hogy sorolják fel, milyen ételeket esznek szívesen. Ennek alapján állítja össze az étrendet. Szerinted mi lesz az ebéd a 6 napos táborozáson?

84

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 88. oldal Ételek

Rántott pulykamell Gyakoriság 10

Rakott burgonya 4

Milánói makaróni 8

Sajtfelfújt 8

Rakott kelkáposzta 2

Palacsinta

Csirkepörkölt

Spenót

Borsófőzelék

Rizses hús

18

12

0

6

5

A szavazatokat csökkenő sorrendbe állítva dönthető el a 6 napos menü. Természetesen ezek az ételek a táborozás 6 napján bármilyen sorrendben követhetik egymást. Palacsinta, csirkepörkölt, rántott pulykamell, milánói makaróni, sajtfelfújt, borsófőzelék. Az utóbbi eléggé kevés szavazatot kapott, ezért mellé valamilyen finom süteményt lehet adni.

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS 5–6. óra A relatív gyakoriság és a valószínűség Tk.: 93–95. oldalon 1–14. feladatok Fgy.: 488–502. Mindenképpen szánjunk időt játékra, tapasztalatszerzésre. A tk. 88–92. oldalán látunk erre néhány példát. A kísérletek elvégzése előtt a tanulók írják fel, hogy a kívánt eseménynek vajon mekkora lesz az esélye. Ha mindenki csak 10 kísérletet végez el, azok összesítését elvégezve a táblán, már olyan számú adat birtokában leszünk, amely alapján meg tudjuk sejteni a kívánt esemény valószínűségét is. Ne csak kockával dobjunk! Változatos megfigyeléseket végezhetünk például az oktaéderrel vagy a dodekaéderrel végzett kísérletekkel is. Jó, ha tudunk mutatni olyan eszközt is, amelynek feldobásakor nem egyenlően valószínűek a kimenetelek. Jó erre a tankönyvben szereplő négyzet alapú hasáb vagy olyan szabályos test, amelynek több oldalán szerepel ugyanaz a szám stb. Ezeket az eszközöket könnyen el lehet készíteni. A legegyszerűbb valószínűség-számítási feladatból kiindulva megfogalmazhatjuk a valószínűség klasszikus kiszámítási módját, de az itt szereplő feladatokat enélkül is meg tudjuk oldani. Fontos a megoldások előtt leszögezni, hogy a feladatban melyek az egyenlően valószínű események. Mondjunk példákat biztos és lehetetlen eseményekre, majd ennek segítségével állapítsuk meg, hogy az események valószínűségének értéke csak e két érték között mozoghat. Ha ezek a feladatok nehézséget okoznak a tanulóknak, akkor térjünk vissza az 5., a 6., illetve a 7. osztályos tankönyvben szereplő valószínűség-számítási feladatokhoz. Ebben a témakörben igen csekély a minimumkövetelmény, de szükségünk van az elemi valószínűségi problémák ismeretére, a kísérletek, a megfigyelések szerepére, a tapasztalatgyűjtések elemzésére. Eszközök: dobókockák, különböző dobótestek.

85

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 93–94. oldal Feladatok 1. Egy pénzérmével, egy tetraéderrel és egy kockával végeztünk dobássorozatokat. A pénzérme egyik oldala fej (F), a másik oldala írás (I), a tetraéder egy lapjára fej (F), három lapjára írás (I), a kocka egy lapjára fej (F), öt lapjára pedig írás (I) van írva. Mit gondolsz, hogy a három dobássorozat közül melyik tartozik az érméhez, melyik a tetraéderhez, és melyik a kockához? A) F F I I I F F F I I F I I I I F F I I I F F F I I I I F I I B) F F I I F F F I I F I I I I F F F F I F F I I F F I I I F F C) F F I I I I I I F I I F F F I I I I F I F I I I I I I F I I A) 12 F

18 I,

B) 16 F

Feltételezzük, hogy ez a 30 kísérlet jól modellezi a nagyszámú kísérletet, azaz a relatív gyakoriságok alapján meg lehet adni a választ.

14 I,

C) 9 F F 12 30 16 30 9 30

rgyA rgyB rgyC

I 18 30 14 30 21 30

21 I

Nagy valószínűséggel tetraéderrel dobtuk. érmével dobtuk. kockával dobtuk.

2. Végezd el a következő kísérletet! Egy dobozba 5 sárga és 3 zöld golyót tettünk. Ezekből húzz egyszerre két golyót, és minden húzás után tedd vissza a kihúzott golyókat. 20 húzás eredményét jegyezd le, és minden húzás után számítsd ki a felsorolt események relatív gyakoriságát! a) Sárga–sárga húzás, b) sárga–zöld húzás ebben a sorrendben, c) sárga–zöld húzás tetszőleges sorrendben. A relatív gyakoriság az elvégzett kísérlet eredményétől függ.

3. Egy szabályos dobókockával egyszer dobunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott szám 1 1 1 a) páros, P (páros) = b) páratlan, P (páratlan) = c) prím, P (prím) = 2

d) 3-mal osztható,

2

1 P (3-mal osztható) = 3

2

e) 7-tel osztható? P (7-tel osztható) = 0

4. Egy szabályos dobókockával egyszer dobva mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott szám 4 2 P (legalább 3) = = a) legalább 3, A dobott szám legalább 3: lehet 3 vagy 4, vagy 5, vagy 6 6

b) legfeljebb 2? A dobott szám legfeljebb 2: lehet 1 vagy 2 5. Milyen esemény valószínűsége lehet az

3

2 1 P (legfeljebb 2) = = 6 3

2 1 1 , a , illetve az érték, ha egy szabályos dobókoc2 3 3

kával egyszer dobunk? Pl.: P (páros) =

1 2 1 , P (legalább 3) = , P (legfeljebb 2) = . 2 3 3

6. Az A, U, K, P betűkből véletlenszerűen négybetűs betűsorokat készítünk úgy, hogy mindegyik betűt egyszer használjuk fel. Mekkora valószínűséggel kapunk értelmes magyar szót? A, U, K, P betűkből összesen 24 különböző betűsor készíthető. Közülük értelmes magyar szó: KUPA, KAPU és 3 1 APUK P (értelmes szó) = = = 12,5% 24 8

86

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 94. oldal 7. Az ábrán látható 4 lapú, 6 lapú, 8 lapú, 12 lapú és 20 lapú szabályos testek lapjaira ráírták sorban 1-től kezdve a természetes számokat. Melyik testet dobjuk fel, hogy legnagyobb legyen a valószínűsége a) a 2-es, b) legfeljebb 3-as, c) legalább 11-es, d) prímszám dobásának? n lapú test

4

6

8

12

20

Legnagyobb

P (2)

1 4

1 6

1 8

1 12

1 20

1 4

P (max. 3)

3 4

3 6

3 8

3 12

3 20

3 4

P (min. 11)

0

0

0

2 1 = 12 6

10 1 = 20 2

1 2

húszlapú

P (prím)

2 4

3 6

4 8

5 12

8 20

1 2

négy- vagy hat-, vagy nyolclapú

négylapú

8. Két szabályos dobókockával egyszerre dobj 20-szor! A dobások eredményét jegyezd le, majd 20 dobás után számítsd ki a felsorolt események relatív gyakoriságát! a) A dobott számok összege 5. b) A dobott számok összege 6. A relatív gyakoriság az elvégzett kísérlet eredményétől függ.

9. Két szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Foglald táblázatba a lehetséges elemi eseményeket, majd közülük válaszd ki azokat a párokat, ahol a) a dobott számok összege 3, b) a dobott számok összege 10, c) a dobott számok összege 9. Ezek közül melyiknek legnagyobb a valószínűsége?

1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

Az előforduló elemi események száma 6 · 6 = 36, amelyeket táblázatban foglalunk össze: A pontok összege lehet: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Ezek nem egyenlő valószínűséggel fordulnak elő. 2 1 a) Az összeg akkor lehet 3, ha egyik kockával másik kockával P (a) = = 36 18 1-et 2-t 2-t b) Az összeg akkor lehet 10, ha

egyik kockával 6-ot

c) Az összeg akkor lehet 9, ha

6 16 26 36 46 56 66

1-et dobunk. másik kockával

P (b) =

3 1 = 36 12

P (b) =

3 1 = 36 12

4-et

4-et

6-ot

5-öt

5-öt dobunk.

egyik kockával

5 15 25 35 45 55 65

másik kockával

5-öt

4-et

4-et

5-öt

6-ot

3-at

3-at

6-ot dobunk.

A c) esemény valószínűsége a legnagyobb.

87

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 94. oldal 10. A) Egy kocka két lapjára 1-est, három lapjára 2-est, Milyen eséllyel dobhatunk ezzel a kockával a) 1-est, b) 2-est, c) 2-est vagy 3-ast, B) Hat színes lapunk van, két piros, három sárga véletlenszerűen húzunk közülük egyet. Milyen eséllyel húzhatunk e) piros, f) sárga, g) sárga vagy kék, Milyen kapcsolat van az A) és a B) feladat között?

egy lapjára pedig 3-ast írunk. d) nem 1-est és nem 2-est? és egy kék. A lapokat összekeverjük, és

h) nem piros és nem sárga színű lapot?

3 1 4 2 2 1 = P (b) = P (f ) = = P (c) = P (g) = = 6 3 6 2 6 3 Az A) és B) feladat ugyanannak a problémának más modellel való megfogalmazása.

P (d) = P (h) =

P (a) = P (e) =

1 6

11. Egy biológia témazáró dolgozatban 10 kérdésből álló tesztet kaptak a tanulók. A kérdések után felsorolt három válaszból mindig egy helyes. Mekkora a hibátlan dolgozat megírásának esélye, ha a diák, aki semmit sem tanult, találomra jelöli meg a válaszok valamelyikét? 10 kérdésből álló 3 válaszos teszt összes lehetséges kitöltésének száma: 310 . Ezek közül csak 1 helyes van. 1 1 = 0,000 016 9 ≈ 1,7 · 10−5 P (hibátlan kitöltés) = 10 = 59 049 3

12. Két dobozban számkártyákat helyeztünk el. Az egyikben 3 db-ot, ezekre 1-től 3-ig, a másikban 4 db-ot, ezekre 4-től 7-ig írtunk számokat. Mindkét dobozból egy-egy kártyát húzunk, és belőlük a húzás sorrendjében egy kétjegyű számot készítünk. Írd fel az elemi eseményeket! Állapítsd meg a következő események valószínűségét! a) A számjegyek összege 8, b) a számjegyek összege 6, c) a szám osztható 9-cel, d) a szám nem osztható 3-mal. Ha az első dobozból húzott számkártyákhoz párosítjuk a második dobozból húzottakat, akkor 3·4 = 12 db kétjegyű számot kapunk. Ha a másodikból húzottakhoz párosítjuk az első dobozból húzottakat, akkor is 4 · 3 = 12 db számot kapunk. Így a két dobozból húzva összesen 24 különböző számot kaphatunk. 6 1 a) A számjegyek összege: 7+1 1+7 P (összeg 8) = = = 25%. 24 4 2+6 6+2

b) A számjegyek összege:

3+5

5 + 3 esetekben egyenlő 8-cal.

1+5

5+1

P (összeg 6) =

4 1 = = 16,6%. 24 6

2+4 4 + 2 esetekben egyenlő 6-tal. c) A 24 db kétjegyű szám közül a 27, a 72, a 36 és a 63 osztható 9-cel 1 4 = = 16,6% P (osztható 9-cel) = 24 6 d) A 24 db kétjegyű szám közül 3-mal oszthatók: 15, 51, 24, 42, 27, 72, 36, 63. 3-mal nem osztható 24 − 8 = 16 db szám. 16 2 P (3-mal nem osztható) = = = 66,6% 24 3 Az elemi események: vagy 4 5 6 7

1 4,1 5,1 6,1 7,1

2 4,2 5,2 6,2 7,2

3 4,3 5,3 6,3 7,3

1 2 3

4 1,4 2,4 3,4

5 1,5 2,5 3,5

88

C M Y K


6 1,6 2,6 3,6

7 1,7 2,7 3,7

Statisztika, valsznsg Tk.: 95. oldal 13. Karesz pénztárcájában 5 db 20 Ft-os van. Édesanyja betett a húszasok mellé néhány 10 Ft-ost is. Hány db tízest kapott Karesz, ha ezek után a pénztárcájából találomra kiválasztott érme 0,8 valószínűséggel 10 Ft-os? Feltéve, hogy Karesz egyenlő valószínűséggel választja ki a pénzérmét, az kell, hogy a pénzérmék 0,8 része 10 Ft-os legyen. A pénzérmék 0,2 része az 5 darab 20 Ft-os. Összesen tehát 25 pénzérme volt, amelyek közül 5 db 20 Ft-os. Eszerint Karesz 20 db 10 Ft-os pénzérmét kapott édesanyjától.

14. Kartonpapírból kivágunk három különböző háromszöget. Válasszunk ki találomra ezek közül két háromszöget! Mekkora az esélye annak, hogy a kiválasztott háromszögeket egy-egy oldaluknál összeillesztve négyszöget tudunk kirakni?

A három különböző háromszögből 3-féleképpen választhatunk ki párokat: s–k, s–z, k–z A párokból akkor tudunk négyszöget kirakni, ha a két háromszögnek legalább egy-egy ugyanakkora oldala van. s–k pár esetén:

s–z pár esetén:

k–z pár esetén: 4

5

4

5

5 √ 3 2

3

P (ki lehet rakni négyszöget) =

4

√ 3 2

3

4

3 3

4

5

3

Nem lehet egyetlen oldaluknál sem összeilleszteni a háromszögeket.

2 3

7. óra A Galton-deszka matematikája Tk.: 97–98. oldalon 1–6. feladatok Ha Galton-deszka nem áll rendelkezésünkre, akkor annak sematikus modelljét próbáljuk elkészíttetni az „iskolai barkácsműhelyben”. Előfordulhat, hogy számítógépes programmal tudjuk mindezt bemutatni. Ha ezek közül egyik sem lehetséges, akkor is érdemes elméletileg „eljátszani” a golyók gurítását, és azok lehetséges leérkezési módját. Nagyon sokat lehet tanulni ezzel az eszközzel. Tudunk nem egyenlően valószínű eseményeket, lehetetlen és biztos eseményeket vizsgálni. Találkozunk az „és”, a „vagy” logikai műveletekkel, továbbá tapasztalati úton meg tudjuk magyarázni, hogy mikor kell szorozni, és mikor összeadni a valószínűség-értékeket. További kitekintésre is lehetőségünk van, hiszen a Pascal-háromszög adatait, a teljes eseményrendszert és a binomiális eloszlást is megfigyelhetjük a számolások során. Eszközök: Galton-deszka.

89

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 97. oldal Feladatok 1. Inci egér elindul az ábra szerint, és minden elágazásnál döntenie kell, hogy merre folytatja útját. A járatokban mindenütt egyenletes sajtszag kering, de csak a megjelölt helyeken találhat sajtot. Mekkora az esélye annak, hogy Inci sajtot vacsorázik? S1 1 2

1 2

1 2 1 3

E 1 2

S2 1 3

1 3

2.

Inci egér sajtot vacsorázik, ha S1 vagy S2 , vagy S3 kijárathoz érkezik. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S1 -be: · = , S2 -be: · = , S3 -ba: · = valószínűséggel érkezhet. 2 2 4 2 3 6 2 3 6 1 1 1 7 P (sajt) = + + = 4 6 6 12

Blanka az ebéd utáni desszertet kétszeri kockadobással választotta ki. A dobások után az ábrán látható módon választ útvonalat. Számítsd ki, mekkora valószínűséggel választhatja

S3

a) a süteményt,

b) a mandarint,

tó osztha 3-mal 3-ma l nem os z

páros

prímsz páratla

SÜTEMÉNY

t ha tó

ám

MANDARIN

n nem pr ímsz

1. dobás

c) a csokoládét!

ám

CSOKOLÁDÉ

2. dobás

1 1 1 2 · = = 2 3 6 12 1 2 1 1 7 b) P (mandarin) = · + · = 2 3 2 2 12 1 1 1 3 c) P (csokoládé) = · = = 2 2 4 12

a) P (sütemény) =

Mutassuk meg a tanulóknak, hogy a valószínűség-értékek összege éppen hogy mikor használjuk az „és”, illetve mikor a „vagy” logikai műveletet!

12 = 1! Hívjuk fel a tanulók figyelmét, 12

90

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 98. oldal 3. Egy nyolcadikos osztály hétvégére bulit tervez. Mivel az összejövetel programjában nem tudnak megegyezni, a döntést valószínűségi játék segítségével hozzák meg.

s

pá

6 12

ro

ra tla n

DOBÁS

pá

DOBÁS

Videózás

prím

7 12 ím pr m e n

DOBÁS

5 12 3

4 ó 12 that z s o al -m

Teadélután

2 12

5-tel osztható

6 12

S 5- em tel 3 ne -ma m l, o se 6 szth m ató 12

Játék

Diszkó

Egy dodekaéder minden lapjára 1-től 12-ig ráírják az egész számokat. Minden dobás után az ábrán látható módon, a nyilakra írt feltételek szerint lehet továbbhaladni a programok felé. Végül azt a programot fogadják el, amelyhez a legnagyobb valószínűséggel lehet eljutni. Számítsd ki, melyik program a legvalószínűbb! 6 7 7 6 5 6 4 9 6 2 2 · = P (Teadélután) = · + · = P (Játék) = · = 12 12 24 12 12 12 12 24 12 12 24 6 6 6 P (Diszkó) = · = P (T) > P (V) > P (D) > P (J) A hétvégén teadélután lesz. 12 12 24 P (Videózás) =

4. A 7 folyosós Galton-deszka fölső nyílását jelölje O, a jobb oldali bemeneteleket rendre: B, E, I , N, V , a bal oldaliakat: A, C, F , J , Q. a) Honnan kell indítani a golyókat, hogy az 5ös, 6-os és a 7-es folyosóba ne jussanak el? 7 -esbe nem érkezhet golyó, ha azokat az A, C, F , J , Q nyílásokból, 6 -os és 7 -esbe nem érkezhet golyó, ha azokat a C, F , J , Q nyílásokból, 5 -ös, 6 -os és 7 -esbe nem érkezhet golyó, ha azokat az F , J , Q nyílásokból indítjuk.

b) Lehetséges-e olyan indítás, hogy se az 1-es, se a 7-es folyosóba ne érkezzen golyó? Hogy egyikbe se érkezzen, az lehetetlen.

5. Egy 7 folyosós Galton-deszka fölső nyílásán indítjuk a golyókat. Az indítás szintjét nulladiknak tekintjük. Határozd meg az ötödik szinten lévő elágazásokba való beérkezések valószínűségét! Az ötödik szinten a Q, R, S, T , U , V elágazási pontok vannak. A tananyagban kidolgozott 2. példában meghatároztuk a 4. sorba érkezés valószínűségeit: 1 4 6 4 1 P (J ) = , P (K) = , P (L) = , P (M) = , P (N) = . 16 16 16 16 16 1 5 10 10 5 1 Ennek alapján: P (Q) = , P (R) = , P (S) = , P (T ) = , P (U ) = , P (V ) = . 32 32 32 32 32 32

91

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 98–99. oldal

6. Határozd meg a fenti Galton-deszkán az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 folyosókba való beérkezés valószínűségét, ha a golyókat az a) A, A golyókat az A pontból indítjuk: P (1) = P (6) =

1 5 10 10 5 , P (2) = , P (3) = , P (4) = , P (5) = , 32 32 32 32 32

1 , P (7) = 0. 32

b) E, A golyókat az E pontból indítjuk: P (1) = 0, P (2) = 0, P (3) = P (7) =

1 4 6 4 , P (4) = , P (5) = , P (6) = , 16 16 16 16

1 . 16

c) V nyílásokról indítjuk! A golyókat a V pontból indítjuk: P (1) = 0, P (2) = 0, P (3) = 0, P (4) = 0, P (5) = 0, P (6) =

1 1 , P (7) = . 2 2

8. óra Geometriai valószínűség Tk.: 99–101. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 503–504. A problémák felvetése előtt szögezzük le, hogy az itt szereplő „valóságközeli” feladatok mindegyikénél feltételezzük, hogy a kívánt esemény bekövetkezik, valamint azt hogy, az adott geometriai alakzat minden pontjára nézve egyenlően valószínűnek tekintjük. Az itt felvetett problémák megoldása hasonló elvonatkoztatást, modellezést kíván, mint bármilyen geometriai vagy fizikai feladat. E téma azért is hasznos nyolcadik osztály vége felé, mert ezúttal átismételhetjük az alapvető síkidomok területét, a százalékszámítást és az arányokat is. Eszközök: céltáblák, különböző részekre osztott síkidomok. Feladatok 1. A Vízművektől érkezett számlán észrevehetően megnövekedett a vízfogyasztásunk. Mivel a családban változatlanul mindenki kb. ugyanannyi vizet használ havonta, a befizetendő összeg megnövekedése egyértelműen vízszivárgásra utal. A 27 m hosszúságú vízvezetékcsőből csak 6 m van szabadon. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a vízszerelő fal-, illetve földbontás nélkül megtalálja a szivárgást? (Feltételezzük, hogy a meghibásodás a 27 m-es vízvezetéken bárhol egyenlő valószínűséggel fordulhat elő.) P (hibás vezeték) =

6m 2 = 27 m 9

2. Egy 40 cm hosszúságú nyakláncra 5-féle színű gyöngyöt fűztek, mindegyikből négyet úgy, hogy a különböző színű gyöngyöket csomóval elválasztották. (A csomókon a gyöngy nem tud átbújni.) A nyaklánc a csomókon kívül véletlenül elszakad. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a sárga színű gyöngyök gurulnak szét? A kör alakú lánc öt egyenlő hosszúságú ívre bontható, ezért a keresett valószínű1 ség P (sárga) = = 20%. 5

92

C

M

Y

K


Statisztika, valsznsg Tk.: 100. oldal Megjegyzés: A nyaklánc hosszára itt nincs szükség. Ha a különböző színű gyöngyöket tartalmazó ívek hosszát 40 cm is kiszámítjuk, akkor a hosszúságok aránya is megadja a keresett valószínűséget. 1 ív hossza: = 8 cm. 5 1 8 cm = = 20%. P (sárga) = 40 cm 5

Két különböző céltáblánk van. Határozd meg, hogy az egyes mezőkbe mekkora valószínűséggel érkezik a „dobónyíl”! (A táblára véletlenszerűen dobunk, és a nyíl eltalálja a táblát.)

3.

I. 1 P (1) = P (2) = P (3) = 6 1 P (4) = P (5) = 4

II. P (1) = P (3) =

P (2) = P (4) = P (5) =

4. Egy négyzet alakú céltáblát egybevágó kis négyzetekre osztottunk fel, és ezeket az ábra szerint színeztük ki. Ha a táblára véletlenszerűen dobunk, és feltételezzük, hogy a dobás a 9 négyzet valamelyikére esik, akkor mekkora a valószínűsége annak, hogy a) piros, b) sárga, c) zöld mezőbe dobunk? Add meg a valószínűségeket százalék alakban is! 1 2 3 1 része piros, része sárga, = része zöld. 9 9 9 3 2 1 P (piros) = ≈ 11%; P (sárga) = ≈ 22%; 9 9

1 8 1 4

s

k

k

p

s

z

z

z

b

A négyzet területének

P (zöld) =

1 ≈ 33%. 3

5. Az iskola egyik falán, az udvar felé három egyenlő nagyságú ablak nyílik. Az udvaron hógolyózó gyerekek véletlenül eltalálják ezt a téglalap alakú felületet. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az ablaküveget dobják meg? (Az ablakkeret vastagságától most eltekintünk.) 1,2 m 1m

1,2 m 1m 9m

1,2 m 1m

3m

Az iskola oldalfalának területe: To = 9 m · 3 m = 27 m2 . Egy ablak területe: ta = 1 m · 1,2 m = 1,2 m2 . Három ablak területe: Ta = 2 · ta = 3,6 m2 . Ta 3,6 2 P (ablak) = = = ≈ 13,3%. To 27 15

6. Az ábrán egy zöldségeskert alaprajzát láthatod. Az ágyások közötti út 50 cm széles. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kert mellett futballozó gyerekek labdája véletlenül a kert felé pattanva valamelyik ágyásba esik?

A teljes kert területe: Tkert = 10 m · 15 m = 150 m2 Az utak területe: Tút = 0,5 · 10 + 0,5 · 15 − 0,52 = 12,25 [m2 ] A zöldséges ágyások területe: Tágyás = 150 − 12,25 = 137,75 [m2 ]

93

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 100–101. oldal 137,75 ≈ 92%. 150 Megjegyzés: A valószínűség kiszámítható az ábrán megadott 4 m-es és 5 m-es távolságok nélkül is, hiszen ahhoz csak az ágyások és a teljes kert területének arányát kell meghatározni. Természetesen a négy ágyás területét kiszámítva, azokat összeadva is ugyanehhez az eredményhez jutunk. P (a labda ágyásba esik) =

7. Éva becsukott szemmel pontot rajzol egy lapra. a) Ha ez a lap kör alakú, és megrajzoltuk a körbe írt négyzetet, akkor hány %-os valószínűséggel kerül a pont a négyzetbe? P (négyzetbe) =

tnégyzet 2r 2 2 = 2 = ≈ 63,7% tkör r π π

b) Ha ez a lap négyzet alakú, és megrajzoltuk a négyzetbe írt kört, akkor hány %-os valószínűséggel kerül a pont a körbe? P (körbe) =

tkör tnégyzet

=

r2 · π π ≈ 78,5% = 4 4r 2

8. Angliában a gyakori esőzés miatt a méhek nem találnak elegendő virágport a méz kitermelésére. A méhészgazdák ezért cukorral egyenletesen beszórnak különböző üveglapokat. Az egyik gazda az ábrán látható színes üveglapra szórta a cukrot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az arra repülő méhecske az üveglap a) sárga, P (sárga) =

tsárga 1 = tegész 6

c) zöld vagy kék részére száll? 9.

tzöld 1 = tegész 3 1 1 1 P (zöld vagy kék) = + = 3 6 2

b) zöld, P (zöld) =

Az előző feladatban szereplő méhészgazdának van egy másik üveglapja. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az arra repülő méhecske az üveglap a) sárga, tsárga =

a 3

· a2 tsárga a2 1 = P (sárga) = = 2 12 tegész 12

b) nem színes részére száll? tkék =

a2 6

10. Lali téglalap alapú szobájának méretei 4,2 m és 3,5 m. A mennyezetről belógó lámpa „fénykúpja” a padlón egy 80 cm sugarú kört világít meg. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Lali kisautójának elveszett, apró alkatrészét a padló világos részén találja meg?

tszoba = 14,7 m2 tkör = 2,01 m2 tkör 2,01 P = = ≈ 0,136 = 13,6% tszoba 14,7

94

C M Y K



9. óra

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ 10% 15% 35% 40%

1.

Az osztály farsangi rendezvényére a nyolcadikosok 80 db fánkot sütöttek. A vetélkedő végén a négy csapat a kördiagramon ábrázolt arányban ehetett a fánkokból. Hány db fánkot kapott egy-egy csapat? Ábrázold a kördiagram adatait sávdiagramon! I. II. III. IV.

I. 0

II. 10%

csapat 80 · 0,1 = 8 (db) csapat 80 · 0,15 = 12 (db) csapat 80 · 0,35 = 28 (db) csapat 80 · 0,4 = 32 (db)

Az ábrázolás egy lehetséges módja: 100% ←→ 10 cm 10% ←→ 1 cm 15% ←→ 1,5 cm 35% ←→ 3,5 cm 40% ←→ 4 cm

III.

IV.

25%

60%

100%

A Galton-deszka számítógépes modelljével 5000 kísérletet végeztünk úgy, hogy a golyót a felső nyíláson dobtuk be, majd az egyes folyosókba érkező golyók számát oszlopdiagramon ábrázoltuk. Készíts a diagram adataiból táblázatot! Elemezd a kísérlet eredményét! Az adatok alapján számítsd ki, hogy a golyók hányadrésze érkezett az 1 -es, a 4 -es, illetve a 7 -es folyosóba!

2.

A golyók a 4 -es folyosóra közelítőleg szimmetrikus számban érkeztek meg. A legtöbb: 1567, a középső 4 es folyosóba érkezett. Az 1 -es folyosóba a golyók folyosóba a golyók

Folyosó

1

Golyók száma 72

2

3

4

5

6

474 1170 1567 1161 470

7 86

72 1567 ≈ 0,014 = 1,4%-a, a 4 -es folyosóba a golyók ≈ 0,31 = 31%-a, a 7 -es 5000 5000

86 ≈ 0,017 = 1,7%-a érkezett. 5000

3. A 8. a osztályba járó tanulók az otthonuktól az iskoláig tartó utat az alábbi idők alatt teszik meg: (Az értékeket percekben adtuk meg.) 10, 9, 30, 41, 6, 2, 13, 10, 15, 21, 65, 4, 6, 10, 17, 17, 8, 9, 10, 40, 17, 25, 5, 13. Határozd meg az adatok átlagát, móduszát és mediánját! s = 16,8

m = 10

M=

10 + 13 = 11,5 2

95

C M Y K


Statisztika, valsznsg Tk.: 102. oldal 4. Készíts olyan 20 elemből álló adathalmazt, amelynek átlaga 15, módusza 14, mediánja 13! Egy ilyen halmaz például: A: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 100

s = 15

m = 14

M=

12 + 14 = 13 2

5. Egy szabályos oktaéder minden lapjára ráírtuk az egész számokat 1–8-ig. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az oktaédert egyszer feldobva a) 4-gyel osztható számot,

2 1 = 8 4

b) 6-tal osztható számot,

1 8

c) prímszámot kapunk?

4 1 = 8 2

6. Két dobozban számkártyákat helyeztünk el. Az egyikben 2 db-ot, ezekre 1-est és 2-est, a másikban 4 db-ot, ezekre 3-tól 6-ig írtunk egész számokat. Mindkét dobozból egy-egy kártyát húzunk, és belőlük a húzás sorrendjében egy kétjegyű számot készítünk. Sorold fel az elemi eseményeket! Állapítsd meg a következő események valószínűségét! a) A számjegyek összege 5, b) a számjegyeinek szorzata 4, c) a számjegyek szorzata 7, d) a szám osztható 2-vel. Az elemi események: Ha először az I. dobozból húzunk: 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26 Ha először az II. dobozból húzunk: 31, 41, 51, 61, 32, 42, 52, 62 1 4 = a) A számjegyek összege 5: 14, 23, 41, 32, P (a) = 16 4 2 1 b) A számjegyek szorzata 4: 14, 41, P (b) = = . 16 8 c) A számjegyek szorzata 7: ilyen nincs, P (c) = 0. d) A szám osztható 2-vel: 14, 16, 24, 26, 32, 42, 52, 62, P (d) =

I. 1

II. 2

1 8 = . 16 2

96

C M Y K


3

4

5

6


ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ A térgeometria és a valószínűség-számítás témakörből 1. Egy 12 cm oldalú, négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúla oldallapjainak magassága 10,4 cm. Rajzold le a gúla hálóját, és számítsd ki a felszínét! 2. Egy 16 cm hosszú, henger alakú színes ceruza kihegyezett kúp alakú részének magassága az egész ceruza hosszának 6,25%-a. Hány cm3 a ceruza térfogata, ha a henger alapkörének átmérője 6 mm? 3. Egy henger alakú vitaminos dobozba 20 db, 0,6 cm magasságú, 2,8 cm átmérőjű henger alakú tabletta fér. Ha 1,4 cm sugarú gömb alakú tablettákat készítenének, azokból mennyivel kevesebb férne el ugyanebben a dobozban? A doboz mekkora része maradna üresen? 4. A péntek délutáni programot sorsolással döntik el az osztály tanulói. A diszkó, a teázás, a játék és a vetélkedő közül egy húzással kétfélét választhatnak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a programon teázás és játék lesz?

Blanka

Andor

Zsolt

Tibi

Orsi

Lali

Miki

Éva Gyuri

Réka

Gergő

Kriszti

Andris

Huba

Ibolya

Ta

Csaba

5 30 24 9 18 18 41 9 11 15 17 15

Enikő

9

Dóri

Napok 10 15 21 8 20 15 9

nu

Zoli

Gyöngyi

lók

5. Egy 20 fős csoport az iskolai vetélkedőn jutalmul egy ACTIVITY társasjátékot nyert. A nyereményt „megőrzésre” mindig másvalaki vitte haza. Egy-egy tanulónál a táblázatban olvasható ideig volt a játék. a) Határozd meg, hogy egy tanulónál átlag hány napig volt a játék! b) Add meg az adatok mediánját és móduszát! c) A tanulók hány százalékánál volt az átlagnál több napig a játék?

97

C M Y K



ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ MEGOLDÁSA A térgeometria és a valószínűség-számítás témakörből 1. Egy 12 cm oldalú négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúla oldallapjainak magassága 10,4 cm. Rajzold le a gúla hálóját, és számítsd ki a felszínét! Az oldallapok szabályos háromszögek, ezért 12 · 10,4 To = 4 · t = 4 · ≈ 249,6 [cm2 ] 2 A = Ta + To = 144 + 249,6 = 393,6 [cm2 ] A gúla egyik hálója:

2. Egy 16 cm hosszú, henger alakú színes ceruza kihegyezett kúp alakú részének magassága az egész ceruza hosszának 6,25%-a. Hány cm3 a ceruza térfogata, ha a henger alapkörének átmérője 6 mm? A kihegyezett rész 16 · 0,0625 = 1 [cm] V = Vh + Vk = 0,32 · π · 15 +

d = 6 mm,

r = 3 mm = 0,3 cm

mh = 15 cm

mk = 1 cm

0,32 · π · 1 ≈ 4,24 + 0,09 = 4,33 [cm3 ] 3

3. Egy henger alakú vitaminos dobozba 20 db, 0,6 cm magasságú, 2,8 cm átmérőjű henger alakú tabletta fér. Ha 1,4 cm sugarú gömb alakú tablettákat készítenének, azokból mennyivel kevesebb férne el ugyanebben a dobozban? A doboz mekkora része maradna üresen? A doboz magassága: m = 20 · 0,6 = 12 [cm] Egy gömb 2,8 cm „magasságú”, ezért a dobozban csak 4 db férne el. 4 · 4 · 1,43 · π = 45,98 [cm3 ] 3 A doboz térfogata: Vh = 1,42 · π · 12 = 73,89 [cm3 ] 4 db gömb térfogata: 4 · Vg =

Üresen maradna 27,91 [cm3 ] térfogatú rész. Ez a doboznak kb. a 38%-a.

4. A péntek délutáni programot sorsolással döntik el az osztály tanulói. A diszkó, a teázás, a játék és a vetélkedő közül egy húzással kétfélét választhatnak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a programon teázás és játék lesz? D, T, J, V a lehetséges programok. A T és J kihúzásának valószínűsége:

A kihúzható párok: DT, DJ, DV, TJ, TV, JV, összesen 6. 1 P (T és J) = 6

5. Egy 20 fős csoport az iskolai vetélkedőn jutalmul egy ACTIVITY társasjátékot nyert. A nyereményt „megőrzésre” mindig másvalaki vitte haza. Egy-egy tanulónál a táblázatban olvasható ideig volt a játék. a) Határozd meg, hogy egy tanulónál átlag hány napig volt a játék! Egy tanulónál átlag 15,95 ≈ 16 napig volt a társasjáték.

b) Add meg az adatok mediánját és móduszát! M = 15

m1 = 9

m2 = 15

98

C M Y K



c) A tanulók hány százalékánál volt az átlagnál több napig a játék?

Blanka

Kriszti

Andor

Zsolt

Tibi

Orsi

Lali

Miki

5 30 24 9 18 18 41 9 11 15 17 15

Éva Gyuri

9

Réka

Gergő

Napok 10 15 21 8 20 15 9

Andris

Zoli

Gyöngyi

Huba

Ibolya

Csaba

Enikő

Dóri

Ta

nu

lók

8 tanulónál volt az átlagnál több napig a játék, ez a tanulók számának 40%-a.

99

C M Y K


Transzformcik GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 1. 2–3. 4. 5. 6. 7. 8–9. 10–11. 12.

óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra:

Eltolás, vektorok Az eltolás tulajdonságai Az eltolt kép szerkesztése Egybevágósági transzformációk összefoglalása Nem egybevágósági transzformációk A középpontos hasonlóság A középpontos hasonlóság tulajdonságai Középpontosan hasonló kép szerkesztése Hasonlóság

Mire építünk? A gyerekek korábban részletesen foglalkoztak a tengelyes és a középpontos tükrözéssel. Alakzatok tengelyes, illetve középpontos tükörképét meg tudják szerkeszteni, euklideszi szerkesztéssel (körzővel-vonalzóval is), illetve mozgatással (átlátszó papír segítségével is). Ismerik a szimmetria fogalmát, megismerkedtek a tengelyesen, illetve középpontosan szimmetrikus háromszögekkel és négyszögekkel. Képesek egyszerű következtetések levonására a szimmetriák alapján. 7. osztályban némi általános ismeretet is szereztek a geometriai transzformációkról. Találkoztak a távolságtartás, szögtartás, egyenestartás fogalmával. Erre építve megismerték az egybevágósági transzformáció fogalmát, emellett bevezettük a hasonlósági transzformáció és torzító transzformáció elnevezéseket. Járatosak egyszerű szerkesztési feladatok megoldásában, ezek közül különösen fontos számunkra ebben a fejezetben a párhuzamos egyenes szerkesztése. Találkoztak az egyállású és fordított állású szögek fogalmával. Tapasztalatokat szereztek háromszögek és négyszögek szögeinek összegével kapcsolatos feladatokról. Ismerik a háromszögek nevezetes vonalait. Képesek egyszerű síkbeli alakzatok területének kiszámítására.

Meddig jutunk el? Megismerkedünk az eltolásokkal. Bevezetjük a vektor fogalmát. Megtanítjuk az eltolás tulajdonságait, bőséges illusztrációt adunk arra, hogy a minket körülvevő világban hol mindenhol találkozhatunk velük. Felelevenítjük a párhuzamos szárú szögekről előző évben szerzett ismereteiket, megmutatjuk, milyen kapcsolatban vannak az eltolásokkal és a középpontos tükrözésekkel. Megtanulják átlátszó papír segítségével is és körzővel, vonalzóval is megszerkeszteni egy alakzat eltolt képét. Rövid, szemléletre alapozott összefoglalást adunk a sík egybevágósági transzformációiról. Itt, kitekintésként mutatunk egy-egy példát azokra az egybevágósági transzformációkra is, amelyek tárgyalása kimaradt a kerettantervből: a forgatásra és a csúszástükrözésre is. A képzőművészetből, díszítőművészetekből példákat mutatunk az egyes transzformációkhoz tartozó szimmetriákra, közöttük néhány térbeli szimmetriára is. Elkezdünk ismerkedni a hasonlóságokkal. Megismerkedünk az aránytartó transzformáció, illetve a hasonlóság fogalmakkal.

100

C M Y K


Transzformcik Bevezetjük a középpontos hasonlósági transzformáció fogalmát, és részletesen foglalkozunk annak tulajdonságaival. Megtanítjuk, hogyan lehet középpontosan hasonló képet szerkeszteni egyszerű esetekben. Megismertetjük a gyerekeket a szakasz egyenlő részekre való osztásának módszerével. Kitekintésként foglalkozunk a hasonlóság általános eseteivel, elsősorban a háromszögek hasonlóságával. Megismertetjük őket a háromszögek hasonlóságának legfontosabb elégséges feltételeivel.

Hogyan tovább? Elsődleges célnak ennek a fejezetnek a tanításakor azt tartjuk, hogy minél biztosabb alapokat adjunk a gyerekeknek további geometriai tanulmányaikhoz. Éppen ezért legfontosabb feladatnak a fogalmak megbízható megalapozását látjuk. Például lényegesebbnek tartjuk a középpontos hasonlóság tulajdonságainak megértését, mint azt, hogy készségszinten tudják a hasonlósággal kapcsolatos szerkesztési eljárásokat. Persze az is fontos, de az idő szűke miatt, ha választásra kényszerülünk, akkor érdemes a szemléletfejlesztést választanunk.

1. óra Eltolás, vektorok Tk.: 106–108. oldalon 1–9. feladatok Fgy.: 505–513. Az előző évben már találkoztak a gyerekek az eltolással akkor, amikor a transzformációk általános tulajdonságaival ismerkedtünk. Szerepelt a pontonkénti szabállyal és a mozgatással megadott transzformációk között is. Ezzel a transzformációval az őket körülvevő világban is nagyon sok helyen találkozhatnak. Éppen ezért azt reméljük, hogy tanítása nem okoz komoly gondot. Nehézséget ebben a témakörben inkább a vektor fogalma jelenthet. Nem könnyű világosan látni a különbséget az irányított szakaszok és a vektorok között. Éppen ezért fontos, hogy a gyerekek minél gazdagabb tapasztalatanyagot szerezzenek ehhez a fogalomkörhöz. Ebben segíthet – egyrészt az, hogy a gyerekek sok eltolásos példán megfigyelik a ponttól a képébe mutató irányított szakaszt. (Mivel az idő nagyon szűkös, érdemes négyzethálón dolgozni. A rácspontok segítenek a megfelelő pontok megkeresésében, és fontos tapasztalatanyagot nyújtanak az eltolás és a vektorok megértéséhez.) – másrészt az, hogy a tankönyv mintájára minél több különböző irányított szakaszról végigelemezzük, hogy különböző vektorok-e vagy sem, és ezt meg is indokoltatjuk a gyerekeinkkel. Eszközök: négyzetrácsos, esetleg háromszögrácsos papír, másolópapír. Feladatok Az 1–8. feladatok csupa egyszerű, gyakorló példák, könnyűek és nem nagyon „munkásak”. A 9. feladat kicsit érdekesebb, szorgalminak adható.

101

C M Y K


Transzformcik Tk.: 106. oldal 1. Egyetlen másolópapír segítségével végezd el a zászlókkal megadott eltolást! Add meg mindegyik esetben az eltolás vektorát! A képet a megfelelő zászlóval azonos színűre színezd! a)

b) b)

2. Rajzolj az adott irányított szakasszal egyenlő vektorokat úgy, hogy éppen a megadott pontokból induljanak ki! Hova viszi az eltolás a színes négyzetet?

3. Rajzolj a füzetedbe egy derékszögű háromszöget! Told el sorra a megadott irányított szakaszoknak megfelelően! Válaszd ki azokat az irányított szakaszokat, amelyek ugyanazt az eltolást adják meg! A narancsszínű és a fekete, valamint a barna és a piros vektorok ugyanazt az eltolást adják meg.

4. Ezek az alakzatok egymásból eltolással keletkeztek. Add meg az eltolás vektorát! Melyik alakzatpárhoz van több megoldás? (a és a háromszög, b és b egyenesek, c és c négyszögek, d és d szakaszok, e és e hegyesszögek.) Két egyenes esetén végtelen sok különböző eltolás adható meg.

102

C M Y K


a)

Transzformcik Tk.: 106–107. oldal 5. Adottak az a, b, c, d és e vektorok. a) Add meg annak a vektornak a betűjelét, amelyik a K pontot a K pontba viszi! c vektor

b) Add meg annak a vektornak a betűjelét, amelyik az f egyenest az f egyenesbe viszi! c vektor

c) Írd ide annak a vektornak a betűjelét, amelyik az ABCDEF hatszöget az A B C D E F hatszögbe viszi! a vektor 6. Egy ABC háromszög csúcsainak a koordinátái: A(2; 3), B(6; 3), C(6; 7). Rajzold meg a háromszöget! a) Told el a háromszöget úgy, hogy az A csúcsa az A1 (8; 1) pontba kerüljön! b) Végezd el azt az eltolást, amelynek eredményeképpen az ABC háromszög A csúcsa az A2 (14; −1) pontba kerül! c) Told el az ABC háromszöget úgy, hogy az A csúcsa az A3 (−4; 1) pontba menjen át! d) Melyik eltolás vektora a leghosszabb?

A b) feladatban megadott vektor a leghosszabb. Az a) és c) feladatban megadott vektorok egyenlő hosszúak.

103

C M Y K


Transzformcik Tk.: 108. oldal 7. Másolópapír segítségével végezd el az eltolásokat a megadott vektorokkal! Ekkor megkapod, mit ábrázoltak eredetileg az itt látható széttöredezett ábrák!

8. Az alábbi vektorok közül melyek azok, amelyek ugyanazt az eltolást határozzák meg? a) Az A(2; 5) pontból a B(6; 8) pontba mutató vektor, b) a C(1; 3) pontból a D(7; 5) pontba mutató vektor, c) az E(−3; 5) pontból az F (3; −3) pontba mutató vektor, d) a G(−3; −2) pontból a H (1; 1) pontba mutató vektor. −→ −→ Az a) eset AB vektora és a d) eset GH vektora egyenlőek.

9. Készíts mintát a megadott elemből csupa eltolással! a) b) c)

d)

Melyik elemmel tudod hézagmentesen és egyrétegűen lefedni az egész síkot csupa eltolást végezve? Mindegyik esetben sok minta készíthető, de csak az a) és c) elemmel lehet a síkot csupa eltolással hézagmentesen és átfedés nélkül kitölteni.

2–3. óra Az eltolás tulajdonságai Tk.: 110–113. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 514–520. Az eltolás tulajdonságai egyszerűen adódnak, hiszen az eltolások mozgatások. Ezért távolságtartó, szögtartó transzformációk, vagyis egybevágóságok. Az eltolás tulajdonságai nagyon sok mindenben hasonlítanak a középpontos tükrözés tulajdonságaira. Érdemes feleleveníteni azokat, és párhuzamba állítani őket az eltolás tulajdonságaival.

104

C M Y K


Transzformcik Tk.: 110. oldal

Eltolás

Középpontos tükrözés Bármely szakasz és képe egyenlő hosszú. Bármely szög egyenlő a képével. Bármely alakzat egybevágó a képével. Minden egyenes párhuzamos, vagy egy egyenesbe esik a képével. Minden félegyenes egyállású a képével. Minden félegyenes fordított állású a képével. Szög és eltolt képe egyállású szögek. Szög és eltolt képe fordított állású szögek. Az egyállású szögek egymásból eltolással keA fordított állású szögek egymásból középletkeznek. pontos tükrözéssel keletkeznek. Ez jó lehetőséget ad arra, hogy felelevenítsük újra a párhuzamos szárú szögekről tanultakat, és összekapcsoljuk a megfelelő transzformációkkal. Eszközök: átlátszó papír, körző, vonalzó, képeslapok, mintás csomagolópapírok. Feladatok Az 1–4. feladatok célja, hogy a gyerekeknek segítsünk az eltolások felismerésében. A szemléletük fejlesztése az elsődleges cél. A feladatok alkalmasak arra, hogy tanítványaink beszéljenek az eltolások tulajdonságairól. Az 5–13. feladatok a párhuzamos szárú szögekkel kapcsolatosak. Az 5–8. könnyű gyakorlófeladatok, a 9. és 10. feladatokban állítások igazságát kell eldönteni, ezeket mindenképpen beszéljük meg közösen, indokoljuk az egyes válaszokat! Kérhetjük a gyerekeket, hogy gyűjtsenek olyan képeket, tárgyakat, amelyeken az eltolás megfigyelhető. Különösen alkalmasak erre a mintás csomagolópapírok. 1. A következő ábrákon a vesszős betűkkel jelölt alakzat lehet-e eltolással kapott képe a sima betűkkel jelölt alakzatoknak? Ahol igen, ott rajzold meg az eltolás vektorát is!

105

C M Y K


Transzformcik Tk.: 110–111. oldal Egy eltolás a zöld lapocskát egy másik zöld lapocskába vitte át. Add meg az eltolás vektorát! Ugyanezzel az eltolással hová került a piros lap? Az a-val jelölt lap helyére. Melyik lap került a kék helyére? A b-vel jelölt lap. Hová került a piros szakasz? A c szakasz helyére. Melyik a zöld pont képe? D pont. Hová került a sárga szögtartomány? ε szög helyére.

2.

3. a) MNL eltolással az ábra másik háromszögébe került. Add meg, hová kerülhetett, és milyen eltolás vitte oda! Az eltolt kép lehet a KJ U , SQT és az OP R.

b) Az LNRU négyszög eltolással az ábra másik négyszögébe került. Add meg, hová kerülhetett, és milyen eltolás vitte oda! A J U T H , U RQT , T QDF , RP BQ négyszögek bármelyikébe kerülhetett.

c) Az RQ szakasz eltolással az ábrán egy másik szakaszba került. Hova kerülhetett, és milyen eltolás vitte oda? Ezekbe a szakaszokba lehet eltolni: P B, U T , J H , LU , NR, QD, T F . 4. Az eltolás milyen tulajdonságait tudod a képeken felfedezni?

Nemzeti Múzeum (Budapest)

Lágymányosi híd, Budapest

Budavári Sikló

Irodaház

Az eltolásnak a tankönyvben felsorolt összes tulajdonsága felfedezhető a képeken, legszembetűnőbben az egybevágóság és a párhuzamosság a kép és az eredeti alakzat között.

106

C M Y K


Transzformcik Tk.: 111–112. oldal 5. Keress olyan szögpárokat, amelyekben az egyik szög a másikból eltolással származtatható! (A megadott szögek szárai egymással mind párhuzamosak.)

1–9, 2–7, 3–6, 4–5

6. Párhuzamos szárú konvex szögpárokat rajzoltunk. A párhuzamos vagy egy egyenesbe eső szárakat azonosan színeztük. Válasszuk ki az egyenlő szögekből álló párokat, és mindegyiknél állapítsuk meg, hogy milyen transzformáció viszi az egyik szöget a másikba! eltolás

középpontos tükrözés

középpontos tükrözés

eltolás középpontos tükrözés

7. Keress a szabályos hatszögben a) egyállású szögeket, az ábrán ugyanolyan betűvel jelöltük, b) fordított állású szögeket, (β, γ ), (α, ε), (δ, ϕ) c) párhuzamos szárú, de nem egyenlő szögeket! Például: β + α és δ; ε + γ és ϕ. 8. Az alábbi négyszögekben jelölj meg olyan szögeket (ezek lehetnek akár belső, akár külső szögek), amelyek eltolással átvihetők egymásba!

107

C M Y K


Transzformcik Tk.: 112–113. oldal 9. Az α és β szögekről annyit tudunk, hogy párhuzamos szárú szögek. Az alábbi állítások erre a két szögre vonatkoznak. Döntsd el, melyik igaz, melyik hamis! a) Lehet, hogy a két szög középpontosan szimmetrikus. Igaz b) Biztos, hogy egymásba eltolással átvihetők. Hamis c) Az egyik szög hegyesszög, a másik pedig tompaszög. Hamis d) A két szög összege 180◦ -nál biztosan nagyobb. Hamis e) A két szög egyenlő. Hamis f) A két szög egyike lehet egy paralelogramma belső szöge, a másik pedig ugyanannak a paralelogrammának belső vagy külső szöge. Igaz g) A két szög lehet ugyanannak a háromszögnek egy-egy szöge. Hamis 10. Igaz vagy hamis a következő állítás? Ha két háromszög szögei páronként egyállásúak, akkor a két háromszög egybevágó. Hamis. Ez a feltétel csupán a szögek egyenlőségét biztosítja, de ez nem elég az egybevágósághoz.

11. A paralelogramma átellenes szögei egyenlők és párhuzamos szárúak. Átvihetők-e egymásba eltolással? Nem, az átellenes szögek egymás középpontos tükörképei, fordított állású szögek.

12. Két szög szárai páronként párhuzamosak egymással, és az egyik szög 90◦ -kal nagyobb a másiknál. Milyen fajta szögek lehetnek ezek? Nem lehetnek sem egyállású, sem fordított állású szögek, ezért csak úgy lehetnek párhuzamos szárúak, ha összegük 180◦ vagy 360◦ . Ha Ha

α + (α + 90◦ ) = 360◦ , (α + α + 90◦ ) = 180◦ ,

akkor akkor

α = 135◦ α = 45◦

α + 90◦ = 225◦ α + 90◦ = 135◦

13. Két szög szárai páronként párhuzamosak egymással, és az egyik szög háromszor akkora, mint a másik. Milyen fajta szögek lehetnek ezek? Az előző esethez hasonlóan az összegük 180◦ vagy 360◦ lehet. Ha Ha

α + 3α= 360◦ , α + 3α= 180◦ ,

akkor akkor

α = 90◦ α = 45◦

3α = 270◦ 3α = 135◦

4. óra Az eltolt kép szerkesztése Tk.: 114–115. oldalon 1–12. feladatok Fgy.: 521–537. A szerkesztés lényege, hogy a gyerekek adott szakasszal párhuzamos és egyenlő hosszúságú szakaszt tudjanak szerkeszteni. Ez pedig legegyszerűbben paralelogramma szerkesztésével oldható meg. Ez a szerkesztési eljárás viszonylag kényelmes és pontos. Gyorsabb és pontosabb, mint ha vonalzók csúsztatásával dolgoznának. Kicsit talán több gondolkodást és előrelátást igényel, de ez előny is, fejleszti a gondolkodásukat, és elmélyíti a paralelogrammáról való ismereteiket. A feladatokban az eltolást időnként rejtetten adjuk meg. Nem adjuk meg közvetlenül az eltolás vektorát, helyette megadunk egy pontot és a képét. Időnként ezeket sem mondjuk meg direkten, valamilyen szerkesztéssel kell megkapnunk. Például a 2. kidolgozott példában adott egy kör

108

C M Y K



három pontja, és a középpontjának a képe, ebből kell a kör eltolt képét megszerkeszteni. Ehhez először ismerni kell az eredeti kör középpontját, hogy megkapjuk az eltolás vektorát. Ilyen típusú feladatok alkalmasak lehetnek arra, hogy átismételjük a korábban megismert szerkesztési eljárásokat. Ezekből érdemes minél többet feldolgozni, de csak akkor és csak annyit, amennyit az osztály képessége és az időnk enged. A tankönyvi feladatsor és a feladatgyűjtemény bőséges lehetőséget ad a válogatáshoz. Eszközök: körző, vonalzó.

Feladatok A tankönyv 1–3. és a feladatgyűjtemény 521–526. feladatai jelentik a minimális szintet. Ezek egyszerű gyakorlófeladatok, amelyekben vagy közvetlenül adott az eltolás vektora, vagy nagyon egyszerűen meghatározható. Egy-két esetben a feladatnak több megoldása is van. Fontosnak tartjuk, hogy a gyengébbek is találkozzanak ilyen esetekkel. Ha keveselljük ezt a feladattípust, a tankönyvi példák mintájára könnyen gyárthatunk akárhányat belőlük. A tankönyv 4–7., illetve a feladatgyűjtemény 527–532. feladatai kicsit összetettebbek, bár még mindig könnyűek. Ezekben az eltolás vektora vagy egy kicsit elrejtettebben, vagy egyáltalán nincs megadva. Ilyenkor az eltolt kép szerkesztésénél azt kell felhasználni, hogy az egyenes párhuzamos a képével. A tankönyv 9–12. feladatai összetartoznak, egy fokozatosan nehezedő sorozatot alkotnak. Jó képességű osztályban, felvételi előkészítőn, szakkörön érdemes kitűzni őket. Ugyanez mondható el a feladatgyűjtemény 533–537. feladatairól. 1. Vegyél fel egy ABC háromszöget! Az ABC háromszög eltolásával az A pont a szemközti oldal felezőpontjába került. Add meg az eltolás vektorát, és szerkeszd meg a háromszög képét! −→ A BC oldal F felezőpontját megszerkesztjük, majd AF vektorral eltoljuk az ABC háromszöget.

2. Vegyél fel egy szakaszt és egy pontot! Told el a szakaszt úgy, hogy a) az egyik végpontja az adott pontra kerüljön; −→ −→ 2 megoldás van, eltolás AP -ral vagy eltolás BP -ral.

b) a képét az adott pont felezze; Megszerkesztjük AB szakasz F felezőpontját, majd eltoljuk −→ AB-t F P -vektorral.

109

C M Y K


Transzformcik Tk.: 114. oldal c) a képe haladjon át az adott ponton, és a pont a képszakaszt 3 : 1 arányban ossza fel! Az AB szakaszt négy egyenlő részre osztjuk, így kapjuk X és Y pontokat, melyek a szakaszt 3 : 1 arányban osztják. −→ −→ Ezután eltoljuk AB-t XP -ral, illetve Y P -ral. 2 megoldást kapunk.

3. Vegyél fel egy háromszöget és egy pontot! Told el úgy, hogy a háromszög valamelyik csúcsa az adott pontba kerüljön! Hány megoldás van? Három megoldás van.

4. Vegyél fel egy szöget és egy pontot! Told el a szöget úgy, hogy egyik szára áthaladjon a ponton, és a csúcs képe 2 cm távolságra legyen az adott ponttól! A szög szárain felvesszük a csúcstól 2 cm távolságra levő E és F pontokat. −→ −→ A szöget eltoljuk EP -ral, illetve F P -ral. 2 megoldást kapunk.

5. Vegyél fel egy szöget és egy pontot! Told el a szöget úgy, hogy a szögfelező áthaladjon az adott ponton, és a csúcs képe 3 cm távolságra legyen tőle! Megszerkesztjük a szögfelezőt, és a szög csúcsából kiindulva felmérünk rá 3 cm-t. Az így kapott K pont az előre adott P pont eredetije. Az eltolás −→ vektora tehát KP . Ezzel eltoljuk A pontot is, és párhuzamosok rajzolásával megszerkesztjük a szög képét.

110

C M Y K


Transzformcik Tk.: 114. oldal 6. Vegyél fel egy háromszöget és egy pontot! Told el a háromszöget úgy, hogy a magasságpontja az adott pontba kerüljön! Megszerkesztjük a háromszög magasságpontját, M-et. −→ Az eltolás vektora MP .

7. A piros egyenest az eltolás a zöld egyenesbe vitte át. Hová kerülhetett a piros egyenesen alvó cica az eltolás után? Bárhová a zöld egyenesen, ugyanis van olyan eltolás, amely a piros egyenes tetszőleges pontját a zöldnek tetszőleges pontjába viszi.

8. Vegyél fel egy szöget és egy pontot! Szerkeszd meg a szög eltolt képét úgy, hogy az egyik szárának egyenese ugyanaz az egyenes maradjon (önmagában mozduljon el), másik szára pedig áthaladjon az adott ponton! Legyen e a helyben maradó szögszár. Az f szögszár képe párhuzamos az f szárral, és átmegy a P ponton. Ezért a P -n átmenő f szárral párhuzamos egyenesnek az e szárral való metszéspontja adja az eltolt szög csúcsát.

Ha P pontot a szögtartományon kívül vesszük fel, akkor csak a szögszár meghosszabbítása halad át rajta. Másik megoldást kapunk, ha f a helyben maradó szögszár. Ekkor e szárat toljuk el úgy, hogy átmenjen P ponton.

9. Adott az AB szakasz és az e egyenes. Szerkessz legalább 10 db olyan szakaszt, amely párhuzamos AB-vel, ugyanolyan hosszú, és az egyik végpontja e egyenesre esik! Milyen alakzaton helyezkednek el az így megszerkesztett szakaszok csúcsai?

A 9., 10. és 11. feladatokat ilyen sorrendben érdemes megoldani, mivel a 10. és 11. feladatban felhasználjuk az előzőkben tapasztaltakat.

111

C M Y K


Transzformcik Tk.: 114–115. oldal

Az e egyenes bármelyik pontja lehet az A pont eltolt képe. A B AB és egyenlő hosszúak. A megszerkesztett szakaszok közül bármelyik kettő egy-egy paralelogramma szemközti oldalainak tekinthető. B pontok e egyenessel párhuzamos egyenesen vannak. Hasonlóan az egyenes bármely pontja lehet B eltolt képe. Ekkor a szakasz másik végpontja (A pont) az e egyenessel párhuzamos egyenesen van. Tehát a keresett alakzat egy párhuzamos egyenespár.

Adott az AB szakasz, valamint e és f egyenesek. Az A csúcs az e egyenesen van. Szerkessz ABvel párhuzamos és ugyanolyan hosszúságú szakaszt, melynek végpontjai az e, illetve az f egyenesen vannak!

10.

Ha az AB szakaszt úgy toljuk el, hogy képe rajta marad az e egyenesen, akkor B képe a B-n áthaladó, e-vel párhuzamos egyenesen lesz. −→ −→ BB = AA A B ponton át ezért párhuzamost húzhatunk e egyenessel, e , majd e és f egyenesek metszéspontján, B-n át párhuzamost szerkesztünk AB szakasszal. Ez e-ből kimetszi az A pontot.

Adott egy paralelogramma két csúcsa, A és B, továbbá e és f egyenesek. Szerkessz paralelogrammát úgy, hogy a másik két csúcs e és f egyenesekre essenek!

11.

Vázlat

Összefoglalás A paralelogramma hiányzó DC oldala a AB szakasz eltolt képe. Az előző két feladat alapján először eltoljuk az AB szakaszt úgy, hogy valamelyik végpontja az e egyenesre kerüljön, majd a másik pont képén át párhuzamost húzunk e-vel. Ennek a párhuzamosnak és f -nek a metszéspontja adja a keresett paralelogramma harmadik csúcsát. 2 megoldás van: ABC1 D1 és ABC2 D2 .

112

C M Y K



12. Vegyél fel egy szöget és 2 pontot! Told el a szöget úgy, hogy két szára áthaladjon a két adott ponton! Az eltolt szög szárai párhuzamosak az eredeti szög egy-egy szárával. Ezért úgy szerkeszthetünk, hogy vagy az X ponton át párhuzamost szerkesztünk e-vel és Y ponton át f -fel és így nyerjük az α szöget, ami α-val egyállású,

vagy pedig az X-en át húzunk f -fel és Y -on át e-vel párhuzamos egyenest, így kapjuk α -t, ami szintén egyállású α-val. E két szög közül legfeljebb az egyik lehet olyan, aminek szárai áthaladnak X és Y pontokon. A másik szögnél az adott pontok a szárak meghosszabbítására esnek. X és Y elhelyezkedhetnek úgy is, hogy egyetlen megoldás se legyen.

5. óra Egybevágósági transzformációk összefoglalása Tk.: 118–119. oldalon 1–6. feladatok Fgy.: 538–545. Az egybevágósági transzformációk közül az eddigiekben foglalkoztunk a tengelyes tükrözésekkel, középpontos tükrözésekkel és az eltolásokkal. A kerettanterv szerint a forgatások kimaradnak a tananyagból, a csúszástükrözések pedig sohasem szerepeltek benne. Pedig csak ezekkel együtt teljes a sík egybevágóságainak köre. Persze az óraszámcsökkentés miatt jó, hogy egy kicsit kisebb a tananyag, de mivel az átlátszó papír segítségével ezek a transzformációk is igen könnyen

113

C M Y K



taníthatók, úgy gondoltuk, hogy érdemes egy pici időt szakítanunk a gyerekek szemléletének a fejlesztésére. Erre való ez a fejezet. A bevezető példával érdemes először fejben megpróbálkozni. Az A) és F) esetekről könnyen fel lehet ismerni, hogy azok eltolások, a C)-ről pedig, hogy az egy tengelyes tükrözés. Az E) esetről talán nehezebben ismerik fel a gyerekek, hogy az egy középpontos tükrözés, lehet azonban, hogy a D) transzformációról minden előzetes ismeret nélkül látni fogják, hogy az egy forgatás. Mindenesetre ahol a legkisebb kétség is felmerül, ott vegyük elő a másolópapírt, és figyeljük meg, milyen képhez jutunk! A fejezet második fele egy gyönyörű képgyűjtemény, mely az eddig megismert transzformációk szimmetriáit illusztrálja – kiegészítve néhány térbeli példával.

Feladatok A feladatok közül annyit oldjunk meg, amennyit az időnk enged, mivel ez a témakör hivatalosan nem szerepel a tantervben. Ennek ellenére úgy érezzük, hogy az 1. és 3. feladatok nagyon alkalmasak arra, hogy az egybevágósági transzformációkról eddig szerzett ismereteik rögződjenek, és a megbeszélésük nem igényel sok időt. Ha azonban van időnk, érdemes ezzel a témakörrel többet is foglalkoznunk. A 2. és a 4. feladatok jó alkalmat teremtenek ehhez. Alkalmasak arra, hogy a feladatok ábráihoz kapcsolódva kérdések egész sorát tegyük fel. Még jobb, ha a gyerekek kapnak rá a kutatgatásra, ők tesznek fel kérdéseket maguknak vagy egymásnak.

Az 5. és 6. feladatok kevésbé munkaigényesek, érdemes feladni és megbeszélni őket, nagyon jó alapot adnak az egybevágósági transzformációk mélyebb megértéséhez. Mindegyik típushoz találunk még feladatokat a feladatgyűjteményben. Itt több olyan is van, ami a forgatás felismerését segíti. 1. Milyen transzformációt alkalmaztunk, és hova került a színes csempe, ha a) az 5 -ös 9 -esbe ment át, röviden: 5 → 9 középpontos tükrözés A-ra. → b) 2 → 14 eltolás − BC-ral. → c) 2 → 15 eltolás − BD-ral.

d) 5 → 15 középpontos tükrözés E-re. → e) 5 → 18 eltolás − BD-ral, ua., mint c). A színes csempe így mozdult: a) 6 alá, b) 19 -be, c) 20 -ba, d) 12 alá, e) 20 -ba.

114

C M Y K


Transzformcik Tk.: 118. oldal 2. Gondoltunk egy mozgatásra. Eláruljuk, hogy a mozgatás az egyik kék négyszöget egy feketébe juttatta. Hová került ekkor a koronás darab? Mi lehetett a transzformáció? Lehetett tengelyes tükrözés? Melyik tengelyre? Igen, bármelyik piros és sárga közös egyenesére.

Lehetett középpontos tükrözés? Melyik középpontra? Igen, bármelyik 60◦ -os vagy 90◦ -os csúcsra.

Lehetett eltolás? Nem. Melyik vektorral? – Lehetett csúszástükrözés? Milyen irányított szakasszal? Igen, bármelyik kék darab rövidebb átlójával. Lehetett forgatás? Melyik középpont körül, mekkora szöggel? Igen, bármelyik 60◦ -os csúcs körül 180◦ -kal. A gyerekektől ebben a feladatban természetesen nem szabad elvárnunk az összes lehetséges transzformáció hiánytalan felismerését, az nagyon nehéz feladat. Nem nehéz azonban arra válaszolni, hogy egyes esetekben hová kerülhet a koronás csempe, különösen akkor, ha átlátszó papírral dolgoznak. A feladatot érdemes közös órai munkában elkezdeni, otthoni továbbgondolásra kiadni, majd újra közösen összegezni. 3. Döntsd el, hogy az alábbi állítások melyik ábrára igazak, melyikre nem! Ahol igaz, ott add meg a tengelyt, a középpontot vagy az eltolás vektorát!

a) MNL eltolt képe SQT

−→ Mindhárom ábrára igaz, MS vektorral toljuk el.

c) MNL tengelyes tükörképe DEF Az első két ábrára igaz, AI tengelyre tükrözünk.

e) NLU R tengelyes tükörképe P BQR Az első ábrára igaz, OG egyenesre tükrözünk.

b) MNL középpontos tükörképe DEF Mindhárom ábrára igaz, S középpontra tükrözünk.

d) NLU R középpontos tükörképe P BQR Mindhárom ábrára igaz; R pontra tükrözünk.

f) NLU R eltolt képe P BQR

−→ Mindhárom ábrára igaz, NP vektorral toljuk el.

115

C M Y K


Transzformcik Tk.: 119. oldal 4. A rajzok mindegyikéhez – ha a színezéstől eltekintünk – található olyan transzformáció, amely az ábrát önmagába viszi át, vagyis amely szerint az ábra szimmetrikus. Mindegyik képhez keresd meg, melyik ez a transzformáció! a)

b)

c)

d)

e)

f)

A minták többségében többféle szimmetria is megjelenik. Beszélgessünk ezekről, buzdítsuk a gyerekeket további szép hímzésminták vagy más díszítőminták gyűjtésére!

5. a) Hányféle és milyen mozgatással kerülhet az AB szakasz a kék szakaszra?

A

B

a) A piros AB szakasz négyféleképpen kerülhet a kék szakaszra. Ezt könnyű belátni, ha megfigyeljük, hogy a cica négyféleképp ülhet a kék szakaszon.

A

b) Hányféle és milyen transzformáció viheti át a piros kört a kék körbe? Segít, ha elképzeled, hogy hova került a cica!

B

b) A piros kör végtelen sokféleképpen átvihető a kék körbe.

Vizsgáljuk meg, milyen transzformációval jutunk az egyes helyzetekbe!

116

C M Y K


Transzformcik Tk.: 119. oldal −→ 1 Eltolás AA vektorral.

2 Középpontos tükrözéssel (forgatás 180◦ -kal) AB és AB metszéspontjára.

3 Csúszástükrözéssel, az ábrák szerinti irányított szakaszokra. Kétféle csúszástükrözés van.

6. Hányféle és milyen mozgatással kerülhet az ABCD négyzet a kék négyzetre? Készíts rajzokat mindegyik esethez, és betűzd megfelelően a kék négyzetet! Segít a betűzésben, ha a kék négyzetre rárajzolod a cica képét.

a)

D

C

A

B c)

b)

−→ Eltolás v = AA vektorral.

Forgatás +90◦ -kal az O pont körül.

Középpontos tükrözés az O pontra.

117

C M Y K


Transzformcik Tk.: 120. oldal e)

d)

Forgatás −90◦ -kal az O pont körül. g)

f)

Tengelyes tükrözés t tengelyre.

h)

Eltolás v vektorral és tükrözés t tengelyre.

Eltolás v vektorral és tükrözés t tengelyre. g) és h) Eltolás v vektorral és tükrözés t tengelyre.

Eltolás v vektorral és tükrözés t tengelyre.

Könnyebb megadni az egyes transzformációkat két mozgatás egymásutánjaként. A b) és a d) megkapható az a)-ban szereplő eltolás, majd egy középpont körüli forgatás; az f), a g) és a h) pedig az e)-ben adott tengelyes tükrözés, majd középpont körüli forgatás egymásutánjaként. A feladatot érdemes elvégezni, ajánlatos másolópapírt használni hozzá. Nem nehéz, és nagyon jól fejleszthetjük vele a gyerekek szemléletét.

6. óra Nem egybevágósági transzformációk Tk.: 121–123. oldalon 1–6. feladatok Fgy.: 546–553. A hasonlóság nehéz témakör, feldolgozását nehezíti, hogy a ráfordítható időmennyiség kevés, a kerettanterv pedig nem eléggé csökkentette le az idetartozó anyagot. Ráadásul a hasonlóság témaköréből éppen a középpontos hasonlóság tanítását tartotta meg, ami az egészből a legnehezebb. Ezért azt a megoldást választottuk, hogy a hangsúlyt a fogalomépítésre helyezzük: egyrészt adunk egy szemléletes, de ugyanakkor matematikailag precíz hasonlóságfogalmat, amely a későbbi tanulmányaikhoz jó alap lehet – másrészt egyszerű feladatokon keresztül, de nagyon alaposan, részletesen körbejárjuk a középpontos hasonlóság fogalmát. A hasonlóság aránytartó transzformáció. Az aránytartás fogalmának tanítására ugyanazt az utat választottuk, mint amit az egybevágóság fogalmának tanításakor követtünk. Párhuzamosan négy különböző transzformáción megfigyeljük, hogyan változtatják meg az eredeti alakzatot. Az első kettő közülük a két jól ismert egybevágóság, a tengelyes és a középpontos tükrözés, a harmadik egy torzító transzformáció, a negyedik pedig egy kétszeres középpontos nagyítás. Mindegyikkel találkoztak már az előző évben a transzformációk tulajdonságainak tanításakor. Már ott is használtuk a távolságtartó, szögtartó, aránytartó, egyenestartó kifejezéseket. Ha ezt jól megértették,

118

C M Y K



nagy segítséget jelent a mostani anyag megértésében. Ez a feldolgozásmód arra is jó alkalmat ad, hogy az egybevágóság fogalmát átismételjük. A 2. példa megbeszélésekor hasznos lehet azt a feladatot adni, hogy keressenek egymásnak megfelelő szakaszokat az oldalakon kívül is a hasonló téglalapokban, és figyeljék meg azoknak az arányát is. Feladatok A tankönyv feladatai könnyűek és játékosak. Az 1. és 2. feladatokban megkérdezhetjük, hogy mennyi a hasonló alakzatok területének aránya. A 3. feladat könnyített formában megtalálható a feladatgyűjteményben is (555. feladat), javasoljuk, hogy először azt oldjuk meg. Az 5. és a 6. feladatokat mindenképpen oldjuk meg. A feladatgyűjtemény 550. és 551. feladata egyszerű térbeli esetekről szól. Az 552. feladat kicsit munkásabb, akkor oldjuk meg, ha van rá időnk. ·2

1. Egybevágó lapokból építettünk síkidomokat. Add meg a hasonló alakzatok betűjelét és a hasonlóság arányát! Például: a a

d ·

e c

b

d

1 2

h

f g o

·

·2 e

o ·

1 2

f ·2

1 2

p

j

p ·

·

·3

·2 i

q

n

m

l

k

j

i

j

1 2

m ·

3 2

p

1 3

·2 m

·

k

2 3

i

c ·

·3

·3

1 2

g ·

k

1 3

h ·

1 3

2. Egybevágó háromszögekből építettünk síkidomokat. Add meg a hasonló alakzatok betűjelét és a hasonlóság arányát! a

b

c

g

d

h

e

i

j

f ·

·2 a

e a

√ · 2

√ 2 j b

·3

·2 i c

f a

1 1 1 1 1 ·√ · ·√ · 3 2 2 2 2 Természetesen elég a racionális arányokat megtalálni. ·

√ 2 · 2 d e

j e 2 ·√ 2

√ 2 · 3

2 · 3

j b

d d ·

3 2

·2

3 ·√ 2

h ·

1 2

119

C M Y K


Transzformcik Tk.: 122. oldal 3. Rajzold meg ezt a paralelogrammát! Készítsd el a paralelogramma képét a következő szabályok szerint! Minden szabályhoz készíts új ábrát! Válaszd ki azokat az eseteket, amelyekben a képalakzat hasonló az eredetihez! a) (x; y) → (2x; 2y) d) (x; y) → (x − 1; y + 3) 1 1 e) (x; y) → (2x + 3; 2y + 3) b) (x; y) → (− x; − y) f) (x; y) → (|x|; |y|) 2 2 c) (x; y) → (x + 2; y) A feladat a feladatgyűjteménybe is bekerült, kibővített formában 555. számmal. A megoldást ott közöljük. Érdemes a gyerekeknek a feladatgyűjteménybeli változatot kitűzni, mert ott a megoldás lejegyzését megkönnyítettük.

4. A koordináta-rendszerben egy házikó pontjait adtuk meg jelzőszámaikkal: A(2; 6), B(4; 6), C(4; 8), D(3; 9), E(2; 8). Adj meg szabályokat, amelyek a házikót a fejezet elején levő a)–d) transzformációk szerint változtatják meg! Az a) transzformáció tükrözés az x tengelyre, (x; y) → (x; −y) y 1 A b) transzformáció valójában arányú merőleges affinitás, de ezt az elnevezést nem használjuk, (x; y) → x; 2 2 A c) transzformáció középpontos tükrözés az origóra, (x; y) → (−x; −y) A d) transzformáció kétszeres középpontos nagyítás az origóból, (x; y) → (2x; 2y). Ezzel a következő órákon részletesen foglalkozunk.

5. Mekkora a valóságban? A firenzei dómról és a vámosoroszi templomról készült fotókat látod. Az alaprajz mellett megadtuk azok léptékét is. Melyik a firenzei dóm alaprajza? Miért?

Vámosoroszi templom

Firenzei dóm

A kicsinyítés aránya: 12 mm : 30 m = 12 : 30 000 = 1 : 2500

A kicsinyítés aránya: 15 : 3000 = 1 : 200

120

C M Y K


Transzformcik Tk.: 123. oldal Írd mindkét rajz mellé a kicsinyítés arányát! Becsüld meg, milyen hosszú a firenzei dóm és a vámosoroszi templom! Mérd meg, hogy mekkora a rajzon, és számítsd ki, hogy mekkora a valóságban a) a dóm hossza és legnagyobb szélessége, 62 mm · 2500 = 155 000 mm = 155 m; 38 mm · 2500 = 95 m b) a templom hossza és legnagyobb szélessége! 111 mm · 200 = 22 200 mm = 22,2 m; 50 mm · 200 = 10 m 6. Mekkora a valóságban?

Körülbelül milyen messze van Vámosoroszi Mátészalkától a térképen és a valóságban? Képen kb.: 5 cm, valóságban kb.: 5 cm · 550 000 = = 27,5 km.

Körülbelül milyen messze van Firenze Rómától a térképen és a valóságban? Képen kb.: 7,5 cm, valóságban: 7,5 cm · 3 000 000 = = 225 km.

7. óra A középpontos hasonlóság Tk.: 125–126. oldalon 1–7. feladatok Fgy.: 554–565. A középpontos hasonlóság tanításakor az egyik legfőbb gond az, hogy a definíció nagyon nehéz. Hogyan tudunk ezen segíteni? – Sokat könnyít, ha csak konkrét arányszám esetén kérjük a meghatározást. A definíció pontos kimondásánál sokkal fontosabb, hogy világosan lássák a gyerekek, hogy egy pont és képe ugyanazon a vetítősugáron vannak, és a kép távolsága a középponttól -szorosa az eredeti pont és a középpont távolságának.

121

C M Y K



– A középpontos hasonlóságról amúgy sok tapasztalatuk van a gyerekeknek, segíthetünk azzal, ha ezekből valamennyit behozunk az osztályterembe. A tankönyvben szereplő fotó mintájára megfigyelhetjük az árnyékokat, elég egy zseblámpa hozzá. A zseblámpa kis izzója jól szemlélteti a hasonlóság középpontját, a fénysugarak pedig a vetítősugarakat. Feladatok Az 1–3. feladatok nagyon alapvetőek. A 4. feladatban a megfelelő pontok keresése a fő cél. Látszólag sok számolást kíván a feladat, de könnyű rájönni, hogy mindig 3 a hányados. A többi feladat sem kíván semmi mást, csak a definíció megértését. Oldjunk meg minél többet közülük. Ha ezek a feladatok könnyen mennek, és van egy kis időnk, a feladatgyűjteményben találunk változatosabb és nehezebb feladatokat is. 1.

Másold át az ábrát a füzetbe! Készítsd el kü1 lönböző színekkel a 2-szeres, a 3-szoros, az 2 szeres középpontosan hasonló képet! (O legyen a középpont!)

2. A színes betűk a fekete A betű középpontosan hasonló képei. Olvasd le az ábráról a hasonlóság arányát!

3. Másold át az ábrát a füzetbe! O legyen a hasonlóság középpontja. Rajzold meg a kutya középpontosan hasonló képét úgy, hogy a) az A pont a piros pontba kerüljön! Színezd pirosra! b) a B pont a zöld pontba kerüljön! Színezd zöldre!

122

C M Y K


Transzformcik Tk.: 125–127. oldal 4. Becsüld meg, hogy a nagyobb virág hányszoros nagyítása a kisebbnek! Méréssel ellenőrizd a becslésedet! Keress megfelelő pontokat, és betűzd meg őket (pl. P és P )! Mérd meg az O középponttól való távolságukat, és száOP mítsd ki az hányadost! OP Több megfelelő pontpárra is számítsd ki ezt az arányt! Minden arány 3-mal lesz egyenlő.

5. Az O középpontú középpontos hasonlóságnál az A pontnak a képe A pont. Határozd meg a középpontos hasonlóság arányát, ha a) OA = 12 cm és OA = 8 cm, = c) OA = 4 cm és OA = 3 cm, =

12 3 = 8 2

b) OA = 9,6 cm és OA = 12 cm, =

d) OA = 15 cm és OA = 18 cm!

3 4

9,6 = 0,8 12 18 6 = = = 1,2 15 5

6. Egy O középpontú középpontos hasonlóság B pontot B -be vitte át. Mekkora lehet a hasonlóság aránya, ha BB = 2 cm és BO = 6 cm? Rajzold meg O, B és B pontokat! Ekkor B O = 8 cm,

= B O : BO = 8 : 6 =

4 . 3

7. Az O középpontú középpontos hasonlóság A pontot A -be, B pontot B -be, C pontot C -be viszi.

Ha AO = 3 és AA = 5, akkor OA = 8, tehát

Szakasz A A Hosszúság [cm] 5

AO 3

A O 8

=

OA 8 = . OA 3

B O 12

B B

BO

7,5

4,5

CO 3,6

C C

C O

9,6

6

123

C M Y K



8–9. óra A középpontos hasonlóság tulajdonságai Tk.: 129–131. oldalon 1–9. feladatok Fgy.: 566–573. A téma feldolgozásában ugyanazt az utat követtük, mint a korábban megismert transzformációk tulajdonságainál. Megfigyeltük egyenes, félegyenes, szög, szakasz és kör képét. Miért érdemes ennyiféle alakzatot vizsgálni? Miért nem elég csak az egyenesekkel és a szakaszokkal foglalkozni? Elképzelésünk szerint ennek a megközelítésnek több haszna is van: – Az egyenesek vizsgálatakor felismerjük az egyenestartást, és azt, hogy minden egyenes képe önmagával párhuzamos, vagy egybeesik vele. A félegyenesek vizsgálatakor azt is észrevesszük, hogy az irányítást is megtartja a transzformációnk. A félegyenesek megfigyelése átvezet a szögekhez, segít annak a felismerésében, hogy a középpontos hasonlóság során egyállású szögek keletkeznek. A szakaszok vizsgálatakor már elég arra koncentrálnunk, hogyan változnak a méretek. – A másik haszon, hogy miközben ezt a sok alakzatot mind megvizsgáljuk, jobban rögződnek az ismétlődő tulajdonságok – nevezetesen a párhuzamosság és az aránytartás. A témakör egyik nehézsége, hogy az aránytartás kétarcú tulajdonság: – azt is jelenti, hogy egy tetszőleges szakasznak és képének az aránya ugyanazzal az egy arányszámmal egyezik meg, és – azt is jelenti, hogy bármely két szakasz aránya (vagyis a hosszúságaik hányadosa) megegyezik a képeik arányával. Érdemes beszélgetni a gyerekekkel arról, hogy ez éppen olyan, mint a bővítés. Háromszoros nagyításnál például, ha veszem két tetszőleges szakasz arányát, és ezt a hányadost 3-mal bővítem, akkor éppen a képeik arányát kapom meg. Feladatok Csupa egyszerű, a megértést segítő és ellenőrző feladatot találunk a tankönyvben. Különösen fontosnak gondoljuk a tankönyv 3–5. és a feladatgyűjtemény 566–569. feladatait. 1. A fotón és kinagyított képén megjelöltünk néhány egymásnak megfelelő részletet. Keress még más ilyen alakzatpárokat, és segítségükkel próbáld a középpontos hasonlóság minél több tulajdonságát felfedezni az ábrán!

124

C M Y K


Transzformcik Tk.: 129–130. oldal 2. Melyik középpontos hasonlóság a következő ábrák közül?

középpontos hasonlóság

O

középpontos hasonlóság O

középpontos hasonlóság O

nem O középpontos hasonlóság középpontos hasonlóság

3. Az egyik háromszög

1 -szoros kicsinyítése a másiknak. Az ABC háromszögben F felezőpont, 3

H harmadolópont. a) Keress a két háromszögben megfelelő pontokat! Fektess vonalzót az ábrára, és ellenőrizd, hogy valóban egy vetítősugárra esnek-e!

b) Keress egyenlő szögeket a két háromszögben!

CBA^ = GED^, ACB ^ = DGE ^, CT B ^ = GRE ^, F H B ^ = I J E ^

stb.

4. Az ABCD téglalapban F a CD oldal felezőpontját jelöli. O pontból = 2 arányban nagyítottuk.

Gyűjtsd össze az egyenlőket!

125

C M Y K


Transzformcik Tk.: 130–131. oldal 1 1

2

A B AB

3

3

2

AF A F

2 1

AF FD

1

2

1 2 A F F D

1

2

1

2

AC A C

FB F B

2

A D AD

FC F C

F B FB

Az egyenlőket azonos számmal jelöltük. Érdemes a gyerekekkel egyformán színeztetni az egyenlőket. Változatosabb és könnyebb megoldás, ha a táblára kirakjuk ezeket a cédulákat és együtt csoportosítjuk.

5. Az ábra 2 arányú, O centrumú középpontos hasonlósággal készült. Pótold a hiányokat! AB A B , AC A B = AB

A O

AO

A B C ^ =

A C O ^ = OCB

^=

,

C O CO

A C

,

= 2,

^, mert egyállásúak, ACO ^, mert egyállásúak, AC B ^, mert egyállásúak.

ABC

6. Igaz-e, hogy két szög egyenlő, ha a) száraik páronként párhuzamosak, nem b) egyállású szögek, igen c) egyik a másiknak középpontosan hasonló képe? igen 7. Az alábbi állítások közül melyik igaz? a) Ha két szög egyállású, akkor van olyan középpontos hasonlóság, amely az egyiket a másikba viszi át. igaz b) Ha két szög egyállású, akkor van olyan eltolás, amely az egyiket a másikba viszi át. igaz c) Ha két szög egyállású, akkor van olyan tengelyes tükrözés, amely az egyiket a másikba viszi át. hamis d) Ha két szög egyállású, akkor van olyan középpontos tükrözés, amely az egyiket a másikba viszi át. hamis 8. A középpontos hasonlóság centruma az adott O pont. Mekkora az aránya, ha a) az A pontnak B a képe,

OB 3 = OA 2

O

b) a B pontnak A a képe?

A

B

OA 2 = OB 3

9. Írd fel annak az ábrapárnak a betűjelét, amelynél a zöld a pirosnak középpontosan hasonló képe! A középpontosan hasonló ábrapárnál jelöld meg a középpontot!

Középpontosan hasonlóak az a), b), d), e) ábrapárok.

126

C M Y K



10–11. óra Középpontosan hasonló kép szerkesztése Tk.: 134–136. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 574–588. A korábban megismert transzformációk esetében mindig találtunk egy elég egyszerű eljárást egy pont képének a megszerkesztésére. A középpontos hasonlóság esetében nem ilyen egyszerű a helyzet. A szerkesztési eljárás ilyenkor attól függ, milyen arányú a transzformáció. Ha az arányt közvetlenül nem ismerjük, de adott egy pont a képével, akkor a szerkesztést a középpontos hasonlóság azon tulajdonsága alapján tudjuk elvégezni, hogy egyenest vele párhuzamos egyenesbe visz. Ezt a szerkesztést mutatjuk be az 1. kidolgozott mintapéldában. Ez az eljárás egy kicsit bonyolult, de érdemes nagyon alaposan megértetni és begyakoroltatni a gyerekekkel, mert a többi esetet erre fogjuk visszavezetni. Ha az arány egész szám, akkor könnyű dolgunk van, a centrum és a pont távolságát kell egész számszor felmérni. Ha azonban az arány törtszám, akkor arra van szükség, hogy egy szakaszt – a pont és a középpont távolságát – egyenlő részekre osszunk fel. (Ezt az eddigi tudásunk alapján pedig csak akkor tudjuk elvégezni, ha a nevező kettőhatvány.) A probléma megoldásához elég két dolgot észrevennünk: 1. Ha egy pontot a képébe például egy 1/3-szoros kicsinyítés visz, akkor a képet az eredetibe háromszoros nagyítás viszi vissza. Tehát a pontból a képet nehéz megszerkeszteni, de egy tetszőlegesen felvett képpontból az eredetit könnyen megkaphatjuk. 2. Ha pedig ismerjük a középpontot és egy pontot a képével együtt, akkor az 1. mintapélda alapján a szerkesztés könnyen elvégezhető. Ezt a gondolatmenetet járjuk körül a 3. mintapélda segítségével, és erre alapozzuk a szakasz egyenlő részekre osztásának módszerét.

Feladatok A feladatok szinte kivétel nélkül könnyen elvégezhetők, ha megértették a mintapéldákban adott megoldásokat. Bőséges választékot igyekeztünk adni ennek a nehéz témának a gyakorlásához, természetesen nem kell minden feladatot megoldani. A minőség itt fontosabb, mint a mennyiség. Inkább kevesebb példát oldjunk meg, de nagyon világosan értsék a gyerekek, mit miért szabad csinálniuk. 1. Vegyél fel egy szakaszt, rajta kívül egy O pontot! Szerkeszd meg a szakasz középpontosan hasonló képét, ha az arány 5 3 2 5 a) = , b) = , c) = , d) = ! 2 4 3 7 Minden esethez készíts új ábrát! a) OA szakaszt megfelezzük és a felét ötször rámérjük OA félegyenesre O-ból kiindulva. Ekkor A pont A képéhez jutunk. A -n át AB szakasszal párhuzamost húzunk. Ennek és OB félegyenesnek a metszéspontja lesz B pont B képe. b) OA és OB szakasznak megszerkesztjük a negyedelő pontját, O-tól a 3. negyedelőpontokat összekötjük.

127

C

M

Y

K


Transzformcik Tk.: 135. oldal c) Először elharmadoljuk az OB szakaszt, majd O-tól a 2. harmadolóponton át párhuzamost húzunk az AB szakasszal az OB félegyenesig. 5 d) Megszerkesztjük OA -ét, majd párhuzamost húzunk OB-ig. 7

2. A fekete négyszöget az O pontból nagyítottuk és kicsinyítettük különböző arányokban. Olvasd le, hogy melyik színhez milyen arány tartozik!

zöld

=

5 3

piros

=

1 3

kék

=2

nincs kép

=

8 3

3. Vegyél fel egy 2 cm sugarú félkört! Nagyítsd a) a félkör középpontjából, c) egy külső pontból, Minden esethez készíts új ábrát!

piros

=

5 7

zöld

=

2 7

nincs kép

=

5 arányban 3 b) az átmérő végpontjából, d) egy belső pontból!

Tudjuk, hogy kör képe kör. Ezért elég megszerkeszteni a sugár a)

b)

c)

d)

5 -szorosát és a középpont képét. 3

128

C M Y K

10 7


kék

=

4 7

Transzformcik Tk.: 135. oldal 4. Rajzolj egy négyszöget! Szerkeszd meg középpontosan hasonló képét, ha 1 a) a hasonlóság aránya , és a középpontja a négyszög egyik csúcsa, 3 4 b) a hasonlóság aránya , és a középpontja a négyszög átlóinak metszéspontja! 3

a) A keresett négyszög csúcsai az A-ból induló oldalak, illetve az A-ból induló átló meghosszabbításán vannak rajta. A csúcs maga helyben marad. A megfelelő oldalak egymással párhuzamosak. Ennek alapján szerkeszthetünk például a következőképpen: 1. Az A-ból induló egyik oldalt, pl. AB-t elharmadoljuk. A-hoz közelebbi harmadolópont lesz B . 2. B -n át húzott BC-vel párhuzamos egyenessel elmetsszük AC átlót, így kapjuk C -t. 3. C -n át CD-vel húzott párhuzamos AD szakaszból kimetszi D -t. 4. AB C D négyszög a keresett alakzat. b) A megszerkesztendő négyzet csúcsai az átlók meghosszabításain vannak, és oldalai párhuzamosak az eredeti négyzet oldalaival. Ennek alapján szerkeszthetünk például úgy, hogy az átlók M metszéspontjából valamelyik csúcshoz, pl. A-hoz vezető szakaszt elharmadoljuk, és ezt a harmadot négyszer felmérjük MA félegyenesre. Így megkapjuk A -t, majd az oldalakkal húzott párhuzamosokkal rendre kimetsszük az átlóegyenesekből a B , C , D pontokat.

Szerkeszd meg a füzetedben az ábrán látható 3 félkörből álló alakzatot két példányban! Nagyítsd egyiket a piros pontból, a másikat a zöld pontból a kétszeresére!

5.

6. Végy fel egy ABCD négyszöget, majd kicsinyítsd

2 arányban úgy, hogy a hasonlóság 3

középpontja a négyszög egyik csúcsa legyen! A 4. a) feladatban leírt módon oldjuk meg.

7. A „külső” ötszög az ABCDE ötszögnek nagyított képe. Hogyan kaphatnánk meg a középpontos hasonlóság középpontját? Mivel az egyik ötszög a másiknak középpontosan hasonló képe, ezért megfelelő csúcsaikat összekötő egyenesnek egyetlen ponton kell áthaladniuk. Ez a közös pont a nagyítás középpontja.

129

C M Y K


Transzformcik Tk.: 135–136. oldal Az O pontból középpontosan nagyítottuk az ABC háromszöget. Szerkeszd meg a nagyított háromszöget, ha tudjuk, hogy P pont az AC oldal valamelyik pontjának képe! Szerkeszd meg P eredetijét! Másold át az ábrát a füzetedbe, és szerkeszd meg a háromszög képét! P pont

8.

eredetije – P pont – rajta van az OP félegyenesen is és a feladat szerint AC oldalon is. P tehát az OP és az AC metszéspontja. A háromszög képét megkaphatjuk úgy, hogy OA, OB, OC félegyeneseket az oldalakkal párhuzamos egyenesekkel metsszük el, amelyeket egy-egy képponton át húzunk.

9. Az ábrák mindegyikén eredetileg egy kék háromszög állt a hozzá középpontosan hasonló piros képével együtt. A rajzokról azonban sok minden eltűnt. a) Megmaradtak a kék háromszög A, B, C csúcsai, és közülük kettőnek a képe is, ezek a piros B és C pontok. Szerkesszük meg mindkét háromszöget, és a középpontos hasonlóság középpontját is! C A CA és B A BA, ezért

b)

A -t megkaphatjuk a B -n át BA-val, illetve a C -n át AC-vel húzott párhuzamos egyenesek metszéspontjaként. O a megfelelő pontokat összekötő vetítősugarak metszéspontja. A kék háromszögből AB oldal, a pirosból pedig B C oldalak maradtak meg, továbbá B C oldalról egy P

pont és ennek eredetije, a kék P pont is. Szerkesszük meg mindkét háromszöget és a középpontos hasonlóság centrumát is! O-t a BB és P P vetítősugarak metszéspontjaként kaphatjuk. C pont az OC és BP metszéspontja. A -t a B -n át AB-vel és a C -n át AC-vel húzott párhuzamosok metszéspontja adja meg.

c) A kék háromszög A, B, C csúcsai közül csak A és C csúcsokat ismerjük, de megmaradt még AB oldal F felezőpontja is. A pirosból csupán C csúcsot ismerjük, de megmaradt a középpontos hasonlóság O centruma is. Szerkesszük meg mindkét háromszöget! Az A pont és az AB szakasz F felezőpontja ismeretében B csúcs könnyen szerkeszthető. Mivel ismerjük a középpontot és egy csúcs képét, a háromszög képe a szokásos módon, vetítősugarak és az oldalakkal párhuzamos egyenesek segítségével szerkeszthető.

130

C M Y K


Transzformcik Tk.: 136. oldal d) A kék háromszögből ismerjük az A és C csúcsokat, és tudjuk, hogy a C csúcsnál lévő szög 90◦ . A piros háromszögből csak B csúcs maradt meg, de ismerjük a középpontos hasonlóság O centrumát is. Szerkesszük meg mindkét háromszöget! B csúcs a CA-ra C-ben állított merőleges egyenesnek és OB vetítősugárnak a metszéspontja. Ezután az oldalakkal húzott párhuzamosok és a vetítősugarak metszéspontjaként kapjuk A és B pontokat.

10. Adott k kör, O és P pontok. Az O pontból középpontosan nagyítsd a k kört úgy, hogy a P pont a kör valamelyik pontjának a képe legyen!

O

P

P pont eredetije egyrészt az OP félegyenesen, másrészt a körvonalon K van. Két ilyen metszéspont is van rendszerint, nevezzük őket A1 -nek, illetve A2 -nek. a) Tegyük fel először, hogy A2 pont képe a P pont. Nevezzük a K pont képét K -nek. Ez azt jelenti, hogy KA2 sugár képe a K P sugár lesz, tehát K P KA2 . Ennek alapján K pont az OK félegyenes és a P -n át KA2 -vel húzott párhuzamos metszéspontja. A K körül P -n át húzott kör lesz az egyik megoldás.

b) A másik megoldást akkor kapjuk, ha P az A2 metszéspont képe. Legyen ekkor a középpont képe K . Ekkor P K sugár az A1 K sugár képe. Tehát K -t úgy kapjuk, hogy P -n át A1 K-val párhuzamost szerkesztünk, és ezzel elmetsszük OK-t. K körül P -n át húzott kör a második megoldás.

131

C M Y K


Transzformcik Tk.: 141–142. oldal

12. óra Hasonlóság Tk.: 141–142. oldal 1–13. feladatok Fgy.: 589–592. Ez egy kitekintő fejezet, amelyben példáról példára elvezetjük a gyerekeket a háromszögek hasonlóságának alapeseteihez. Ennek alapján néhány igazán érdekes feladat megoldására is sor kerülhet, amelyekben megmutatjuk, hogyan lehet a hasonlóságot nehezen mérhető távolságok kiszámítására felhasználni. Feladatok 1. Hasonló-e egymáshoz az egymás mellé rajzolt két-két négyszög? a) igen, 2-szeres nagyítás b) igen, 2-szeres nagyítás

c) nem

d) nem

2. Egy háromszög két szöge 26◦ és 79◦ . Mekkora a hozzá hasonló háromszögek harmadik szöge? 180◦ − 26◦ − 79◦ = 75◦ ;

75◦ -os.

3. Egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög 22◦ -os, egy másik derékszögű háromszögben 68◦ -os. Hasonló-e a két háromszög egymáshoz? 22◦ + 68◦ = 90◦ ; igen. 4. Két tükrös háromszög egyikében a szárak által bezárt szög 80◦ -os, a másikban az alapon lévő szögek 50◦ -osak. Hasonló-e a két háromszög? 2 · 50◦ + 80◦ = 180◦ ; igen. 5. Az egyik háromszögben a szögek aránya 3 : 4 : 5, a másikban a szögek 45, 60 és 75 fokosak. Hasonló-e a két háromszög? Igen, mert a szögeik egyenlőek, hisz 45 : 60 : 75 = 3 : 4 : 5 6. Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza 3 cm, 4 cm és 5 cm. a) Mekkora a kisebbik befogó és a nagyobbik befogó aránya? 3 : 4 b) Mekkora a kisebbik befogó és az átfogó aránya? 3 : 5 c) Mekkora a nagyobbik befogó és az átfogó aránya? 4 : 5 d) Mekkora az átfogó és a kerület aránya? 5 : 12

132

C M Y K


Transzformcik Tk.: 142. oldal e) Egy másik derékszögű háromszög minden oldala kétszer akkora, mint az előbbi háromszög megfelelő oldalai. Válaszolj ezzel a háromszöggel kapcsolatban az a)–d) kérdésekre! 6 : 8 = 3 : 4;

6 : 10 = 3 : 5;

8 : 10 = 4 : 5;

10 : 24 = 5 : 12

7. Rajzolj egy háromszöget, és oszd fel két-két oldalát 4-4 egyenlő részre! Az osztópontokon át húzz a másik két oldallal párhuzamos egyeneseket! Hányféle háromszöget határoznak meg a rajzokon látható szakaszok? 4-féle háromszöget kapunk, az eredetit és annak kicsinyített változatait. 1 1 3 -szeresből 16 db-ot; -szeresből 7 db-ot; -szeresből 3 db-ot. 4 2 4

8. Rajzolj egy háromszöget, és ennek oldalait hosszabbítsd meg mindkét irányban annyival, amekkora az oldal! Az újonnan keletkezett hat pontot kösd össze! Mekkora a kapott sokszög és a háromszög kerületének aránya? A hatszög oldalai az eredeti háromszög oldalainak kétszeres nagyításai, illetve az eredeti oldalakkal egyenlő hosszúságú szakaszok. A keresett arány 3 : 1.

9. Egy gyárkémény árnyékának hossza 64,5 m, ugyanakkor a mellé tűzött 1,6 m hosszú karó árnyéka 4,0 m. Mekkora a gyárkémény magassága? A beeső napsugarak párhuzamosak, ezért két

vázlat (nem arányos!):

hasonló háromszög keletkezett. A megfelelő arányokat felírva: 1,6 64,5 · 1,6 M = , ebből M= = 25,8 m. 64,5 4 4

10. Az egyik gyerek így állapította meg egy fa magasságát: a fától 16 méterre a vízszintes talajra egy síktükröt fektetett. Ezután eltávolodott a tükörtől addig, amíg egyenesen állva a tükörben megpillantotta a fa csúcsát. Ekkor a tükörtől Vázlat: való távolságát 1,2 m-nek találta. Tudta azt is, hogy a szemmagassága 1,5 m, és ezek után kiszámította a fa magasságát. Vázlatkészítés után számítsd ki te is, hány méter magas a fa! A két hasonló háromszögben a megfelelő arányok: M 1,5 = , innen M = 20 m. 16 1,2

11. Egy A hely a B helységtől 12 km távolságra van. Egy C település úgy helyezkedik el (az AB egyenesén kívül), hogy a BAC ^ = 70◦ és az ABC ^ = 60◦ . Készíts 1 : 100 000 arányú kicsinyített rajzot az A, B és C helyzetéről, majd mérés alapján számítsd ki, hogy milyen távol van a C az A, illetve a B településtől!

133

C M Y K


Transzformcik Tk.: 142. oldal 12 km = 12 · 100 000 cm, tehát 1 : 100 000 arányú kicsinyítésben a 12 km-nek 12 cm felel meg. CB = 15 cm AC = 13,7 cm C B-től 15 km távolságra van, A-tól pedig 13,7 km-re.

12. Rajzolj olyan derékszögű háromszöget, amelynek egyik szöge 45◦ ! Állapítsd meg az adott szöggel szemben fekvő befogó és a szög melletti befogó arányát! Ez a háromszög egyenlő szárú, hiszen mindkét hegyesszöge 45◦ , így a befogók aránya 1.

13. Egy derékszögű háromszöget egyetlen egyenessel két olyan háromszögre vágtunk, amelyek egymáshoz is és az eredetihez is hasonlóak. Hol lehet ez az egyenes? A derékszögű csúcshoz tartozó magassággal vághatjuk szét a háromszöget. A két kisebb háromszög szögei is α, β és 90◦ , ugyanúgy, mint az eredeti háromszög szögei.

134

C M Y K



TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ 1. Melyik vektor egyenlő a piros, melyik a kék vektorral?

c a

b g

d e

h

f

A piros vektorral egyenlő a h vektor. A kék vektorral egyenlő a d vektor.

2.

Told el a háromszöget az előző feladatban megadott a, illetve c vektorral!

C

Az a vektorral eltolt képet egyvesszős betűkkel jelöltük, a c vektorú eltolást pedig kétvesszős betűkkel.

C

a

A

C

B

y

A c

B

A

P (5; 4) B

3. Egy eltolás a P pontot a P pontba vitte át. Rajzold meg a négyszög eltolt képét, és add meg a kép csúcsainak koordinátáit! Add meg az eltolás vektorát!

(5; 2)

1

P (8; 3) (7; 1)

x 0

1 C

4. Az α szög szárait egy párhuzamos egyenespár metszi. Jelöld kékkel a β-val egyállású szögeket! Jelöld feketével a β-val fordított állású szögeket! Határozd meg a BED ^, EDC ^ és az ABE ^ nagyságát, ha β = 40◦ és α = 25◦ ! BED^ = 180◦ − β = 140◦

EDC ^ = β = 40◦

D

ABE ^ = 180◦ − α − β = 115◦

B β

E

α A

5. Adott az ABC háromszög és rajta kívül egy O pont. Az O pont az ABC háromszög köré írható köre középpontjának eltolással kapott képe. Szerkeszd meg a háromszög eltolt képét! Először megszerkesztjük az ABC köré írható körének középpontját, O pontot. −−→ Ezután OO vektorral eltoljuk ABC-et.

6. Szerkessz háromszöget a = 6 cm, b = 4,5 cm, c = 5 cm oldalakkal! Végy fel a háromszögön kívül egy O pontot! Szerkeszd meg a háromszög középpontosan hasonló képét, ha a hasonlóság 2 aránya , és a középpontja az O pont! 3 A középpontosan hasonló alakzat szerkesztése című fejezet 2. mintapéldája alapján szerkeszthetünk (tk. 132. oldal).

135

C M Y K


Feladatgyűjtemény

Hozzrendels, fggvny HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK 338. Melyik megfeleltetés határoz meg függvényt? A b) megfeleltetés. a)

b)

Csontváry Kosztka Tivadar

Magányos cédrus

Magányos cédrus

Csontváry Kosztka Tivadar

Csók István

Mária kútja Názáretben

Mária kútja Názáretben

Csók István

Búsuló betyár

Búsuló betyár

Munkácsy Mihály

Úrvacsora

Úrvacsora

Munkácsy Mihály

Út a fontainebleau-i erdőben

Út a fontainebleau-i erdőben

Egry József

Rőzsehordó nő

Rőzsehordó nő

Egry József

Paál László

Fények a Balatonon

Fények a Balatonon

Paál László

A

339. Az A alaphalmazba építészeti stílusok tartoznak, a K képhalmazba pedig az egyes stílusok jellegzetességei. Feleltesd meg őket egymásnak! Függvényt kaptále a megfeleltetés létrehozásával, és ha igen, akkor annak megfordítása is függvény-e?

gótika

K

román barokk

a) A megfordítás is függvény.

antik művészet továbbfejlesztése látványosságra törekvés

klasszicista

ünnepélyes homlokzat

reneszánsz

zömök falak

b) A megfordítás nem függvény.

1

!(

Bach

cseh

1 2 1 4 1 8 1 16

!

Händel

olasz

Liszt

német

!)

Verdi

"

Csajkovszkij

"

Smetana

orosz

Mahler

osztrák

138

C M Y K

külső támpillérek

copf

A megfeleltetés és annak megfordítása is függvény.

340. A megadott alaphalmazok és képhalmazok ismeretében létesíts megfeleltetést közöttük! Írd le a megfeleltetés szabályát is! Vizsgáld meg, hogy a megfeleltetés visszafelé is függvény-e!

füzérdíszítés

TEX 2014. június 3. –19:03 (1. lap/138. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K8-F6)

magyar

Hozzrendels, fggvny 341. A grafikonokkal megadott függvényeknél add meg a hozzárendelési utasítást! Elemezd a grafikonokat, olvass le minél több információt! a)

b)

Minél több szempont szerint elemezzék a gyerekek a grafikonokat! Szeretni szokták a „lánc kérdezést”: első gyerek kérdez, valakit megnevez a társai közül, az válaszol, és tovább kérdez egy harmadik társuktól. . . y

342.

B

4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1 C −2 −3 A −4

Az ABC háromszöget tükröztük az origóra. Az ábrán látható pontok felhasználásával rajzold meg pirossal az eredeti és kékkel a tükrözött háromszöget! Töltsd ki a táblázatot!

A C 1 2 3 4 x B

Eredeti pontok

A(1; 3)

B(−2; 1) C(3; 1)

Origóra tükrözött pontok

A (−1; −3)

B (2; −1) C (−3; −1) y 4 3 2

343. Minden szakaszhoz egyértelműen hozzátartozik a szakasz felezőpontja. Töltsd ki a táblázatot! Az egyik végpont A(−2; −3) A másik végpont B(1; 2)

Felezőpont

1 1 F − ;− 2 2

A(1; −2) B(−3; 3) 1 F −1; 2

A(3; 1)

A(5; 5)

B(−3; −1)

F (0; 0)

B(−1; 1)

−3 −2 −1

A

F (2; 3)

F

B 1 2 3 4 x −2 −3 −4

344. A megadott számokhoz rendeld hozzá a szám osztóinak számát! Töltsd ki a táblázatot! (A d) feladatban a p és q különböző prímszámok.) a) b) Szám 15 7 12 9 21 Szám 1 3 9 27 81 Osztók száma 4 2 6 3 4 Osztók száma 1 2 3 4 5 d)

c) Szám 23 35 2 · 3 23 · 3 23 · 35 Osztók száma 4 6 4 8 24

Szám p q 2 pq pq 2 p3 q 5 Osztók száma 2 3 4 6 24

139

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 345. Döntsd el, hogy melyik grafikon lehet függvény grafikonja! Add meg az alaphalmazt és a K képhalmazt! y

a)

y

b)

3

3

1 x

−3

5 x 5 4} 5 y 5 3}

1

x

f)

3

A = {−4 x 2} K = {0 y 4} y 3

1

1 x

1

−3

1 1

5 5 5 5

A = {−3 x 3} K = {0 y 1}

Nem függvény. hőmérséklet [◦ C]

3 x

−3

5 5 5 5

y

e)

3

346.

1

Nem függvény.

y

d)

3 1

1

A = {−4 K = {−1

y

c)

x

−3

3 x

Nem függvény.

Elemezd a csapvíz forrásáról készült grafikont! Mikor van csak víz, víz és gőz az edényben, és hány perc elteltével lesz csak gőz halmazállapotú anyag?

120 100 80 60 40 20

Az első 12 percben a víz 30 ◦ C-ról felmelegszik 100 ◦ C-ra. A következő 18 percben együtt van a víz a gőzével. 30 perc múlva csak gőz lesz az edényben. 10

20

30

40

idő [perc]

347. A 30 ◦ C-os üdítőspohárba beledobunk egy-két jégkockát. Rajzold le a hűtési folyamatot ábrázoló grafikont! y 30 20 10 x 2

4

6

A grafikon alakja ilyen, pontosabbat csak konkrét adatok ismeretében lehet rajzolni.

140

C M Y K


Hozzrendels, fggvny A lineáris függvény 348. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját! a) x → 2x − 3

b) x → 3x − 2

y 3 2 1 −1 −2 −3

c) x → −2x + 3

y 3 2 1

x 1 2 3

−1 −2 −3

d) x → −3x + 2

y

y

3 2 1

x 1 2 3

−1 −2 −3

3 2 1

x 1 2 3

−1 −2 −3

x 1 2 3

349. Ábrázold az x → 1 − 4x függvény grafikonját! Döntsd el, hogy az A(0; −4), B(0; 1), C(−1; 5), D(−12; 50), E(7; −27), F (3; −13) pontok hogyan helyezkednek el a grafikonhoz képest! y 3 2 1 −1 −2 −3

x 1 2 3

A grafikonon van:

B; C; E

(y = 1 − 4x)

A grafikon felett van:

D

(y > 1 − 4x)

A grafikon alatt van:

A; F

(y < 1 − 4x)

350. Ábrázold az x → x − 3 függvény grafikonját! Keresd meg a pontok hiányzó jelzőszámait úgy, hogy a pontok a) a grafikonon, b) a grafikon alatt, c) a grafikon fölött legyenek! 3 1 3 A 0; , B ; , C − ; , D ;1 , E ; −3 , F ; 5 2 5 y

3 2 1 −1 −2 −3

x 1 2 3

1 C − ;y 2

3 E(x; −3) F x; 5

A(0; y)

3 B ;y 5

Grafikonon

y = −3

y = −2,4

y = −3,5

x=4

x=0

x = 3,6

Grafikon alatt

y < −3 y < −2,4

y < −3,5

x>4

x>0

x > 3,6

Grafikon fölött

y > −3 y > −2,4

y > −3,5

x<4

x<0

x < 3,6

D(x; 1)

141

C M Y K



351. Keresd a párját!

a

egyenes arányosság grafikonja x → 0,5x

e

meredeksége (−1)

a a

x → −x + 3 x → x + 3

5 4 3 2 1

d

x → 3 − x

e

c

e

−3

a

1 2 3 4 5

x

c

x → 4

d

nem függvény

b

x=4 b

b y

352. a) Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását! x → 2x + 1

b) Milyen összefüggés van az ábrán beszínezett P (x; y) pontok koordinátái között? y < 2x + 1

3 2

353. Ábrázold az x → 2x és az x → x + 2 lineáris függvények grafikonját! a) Tükrözd az egyeneseket az x tengelyre, és írd fel a hozzárendelés szabályát! b) Tükrözd az egyeneseket az y tengelyre, és írd fel a hozzárendelés szabályát! c) Forgasd el az origó körül 90◦ -kal, és írd fel a hozzárendelés szabályát!

1 −2 −1

1

2

3

x

−2

y y x → 2x

2 1

x −1

1

−2

2

a: x → −2x b: x → −2x 1 c: x → − x 2

3

x → −2x

1 x → − x 2

x → x + 2 2

b: x → −x + 2 x → −x + 2 x c: x → −x − 2

1

−1 −2

a: x → −x − 2

1

2

3

x → −x − 2

354. Megadtunk egy-egy egyenest a koordináta-rendszerben. Mi lehet a hozzárendelés szabálya? a) x x →?

0 3

1 −4

b) x −2 2 x →? 4 12

c) Átmegy az A(−3; 2) ponton, és az x tengellyel 45◦ -os szöget zár be.

Célszerű ábrát készíteni, így a meredekséget azonnal le tudják „számlálni” a gyerekek. a) x → −7x + 3

b) x → 2x + 8

c) x → x + 5

142

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 355. Válaszd ki a lineáris függvények közül azokat, amelyek grafikonja csökkenő lesz, és készítsd el a grafikonjukat! A negatív meredekségű lineáris függvények grafikonja csökkenő. 1 a) x → x − 4 3 b) x → −2x + 3 c) x → 5 d) x → 3 − x

y

b) 4 3 2 1 −2 −1 −1

y

d) 4 3 2 1

x → −2x + 3 x

−2 −1 −1

1 2 3

x → 3 − x x 1 2 3

356. Rajzold be a koordináta-rendszer hiányzó tengelyeit! y

y

b)

x

x → 3

→

x

x

+

2

a)

1 x x → 4

1

1

x

x − 1 2 x+ 1 2 Az egyenesek metszéspontja 1 1 az x + 2 = − x + egyen2 2 letből adódik: M(−1; 1).

1

x →

1

Mindkét egyenes átmegy az origón.

1 x+2 3 lineáris függvény grafikonja, valamint a koordinátatengelyek határolnak? Készíts ábrát is!

357. Mekkora a kerülete és a területe annak a derékszögű háromszögnek, amelyet az x → y 3 2 1 −6

−1

1 x + 2 A derékszögű háromszög befogóit a lineáris függvény tengelymetszetei → 3 x adják. ab a = 2e b = |−6| = 6e T = = 6e2 . 2 √ √ Pitagorasz-tétel szerint c = a 2 + b2 = 4 + 36 = 40 ≈ 6,32(e) x K = a + b + c = 2 + 6 + 6,32 = 14,32(e) 1 2 3

Néhány nemlineáris függvény 358. Készítsd el a függvények grafikonját, és határozd meg az értékkészletüket! a) x → |x|, ha ÉT = {−2 5 x

5 4}

b) x → |x|, ha ÉT = {−4 5 x

y

y

4 3 2 1 −4 −3 −2 −1 −1

5 2}

ÉK = {0 x 1 2 3 4

5 y 5 4}

4 3 2 1 −4 −3 −2 −1 −1

ÉK = {0

5 y 5 4}

x 1 2 3 4

143

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 359. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! a) x → |x + 4| b) x → |x − 4| c) x → |4 − x| A koordináta-rendszer felvétele előtt célszerű meghatározni a függvények töréspontjait, hogy azok biztosan „ráessenek” a kijelölt koordináta-rendszerre. Vegyük észre, hogy a (b) és a (c) függvények azonosak. y

y

4 3 2 1

4 3 2 1

x → |x + 4| ÉK : {y 0}

=

x

−6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−1

1 2

x → |x − 4| = |4 − x| ÉK = {y 0}

=

x 1 2 3 4 5 6 7

360. Ábrázold az x → |3x − 2| függvény grafikonját! Döntsd el, hogy az adott pontok hogyan helyezkednek el a grafikonhoz képest! A(1; 1),

B(2; 0),

C(8; 2),

F (−50; 26), 2 A görbe töréspontja T ;0 . 3 y 2 1 x 1 2

1 11 , G ; 6 12

D(−12; 8),

E(7; −1),

4 H − ;1 3

A grafikonon van: A A grafikon fölött van: A grafikon alatt van: B, C, D, E, F , G, H

(y = |3x − 2|) (y > |3x − 2|) (y < |3x − 2|)

361. Ha egy golyót leejtünk, akkor a megtett út egyenesen arányos az eltelt idő négyzetével. Ez az arányossági tényező függ az esés helyétől (az időt másodpercben, a megtett utat méterben mérjük). Az arányossági tényező: a) a Földön ≈ 5, b) a Holdon ≈ 0,8, c) a Jupiteren ≈ 11,5. Készítsd el az út-idő grafikont egy szabadon eső test esetében a fenti égitestekre! s[m]

a

c

50

a) s = 5t 2

40

b) s = 0,8t 2

30

c) s = 11,5t 2 b

20 10

t[sec] 1

2

3

4

144

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 362.

m kezdősebességgel elhajított s kő út-idő grafikonja látható. a) Milyen magasra emelkedett fel a kő? 20 m b) Mikor ért földet? 4 s múlva. c) Mikor volt a földhöz 12 m-nél közelebb? Az ábrán egy 20

magasság [m] 20 15 10 5

0 < t < 0,8 1

2

3

t [s]

4

3,2 < t < 4

d) Milyen hosszú ideig volt a kő 15 m-es magasság fölött? 2 s-ig.

363. Ábrázold közös koordináta-rendszerben az

y

x → x 2 függvény grafikonját, ha ÉT = {0 5 x 5 4} és az √ x → x függvény grafikonját, ha ÉT = {0 5 x 5 16}!

15 x → x 2

Milyen kapcsolatot fedeztél fel a grafikonok között?

x →

5

A grafikonok szimmetrikusak az x → x egyenesre. Közös pontjuk: (0; 0) és (1; 1).

45

b) grafikonja alatt,

3

x →

√ x

2

Grafikonon

A(9; y)

4 B ;y 9

y=3

y=

1 x 1

Grafikon alatt Grafikon felett

y>

2 3

03

5 y 5 4}

10

15

;

7 , F 5

; −1

c) grafikonja felett legyenek!

y

ÉK = {0

, B

a) grafikonján,

√ x

5 y 5 16}

x

4 25 ; , C ; , D ;5 , E 9 16 √ pontok hiányzó jelzőszámait, hogy azok az x → x függvény

364. Határozd meg az A 9;

ÉK = {0

10

2 3

25 C ;y 16 y=

2 3

5 4

0

5 4

D(x; 5)

49 25 49 x > 25 x> 25 49 0 < x < 25 0 < x < 25 x = 25

5 4

7 E x; 5

F (x; −1)

x=

– x

=0 –

365. Készítsd el közös koordináta-rendszerben az 4 a) x → 4x, b) x → , x 0 függvények grafikonjait! x Van-e közös pontja a két görbének? y 4

x → 4x

3 x →

2 −4 −3 −2 −1

4 x

1 x 1 −1

2

3

Közös pontok: (1; 4), (−1, − 4)

4

−2 −3 −4

145

C M Y K


Hozzrendels, fggvny

366. A rendőrök az autó sebességére a fékútból tudnak következtetni. Erre például a v = 256·f ·s képletet használhatják, ahol s a fékút méterben mérve, f pedig az időjárástól és az útviszonyoktól függő szám a következő táblázat szerint: Betonút 1 0,5

Száraz út Nyirkos út

Kátrányos út 0,8 0,4

(A fékutat természetesen az út anyaga vagy minősége is erősen befolyásolja.) km -ban kapják. Töltsd ki a nyirkos, kátrányos útra vonatkozó értéktáblázah tot, és ennek alapján rajzold meg a fékút-sebesség grafikont! Ekkor a sebességet

A v = 256 · 0,4 · s képletből v 2 = 102,4 · s. s v = 102,4 · s

km v h 2

50 5120

100

150

200

250

10 240

15 360

20 480

25 600

72

101

124

143

160

km sebességgel haladó autó! h Ugyanebben a koordináta-rendszerben készítsd el a száraz, kátrányos útnak megfelelő grafikont is! Hasonlítsd össze az azonos sebességekhez tartozó fékutakat! Olvasd le a grafikonról, hogy mennyit csúszik egy 96

A száraz, kátrányos útra vonatkozó értéktáblázat: s 50 100 0,8 · 256 · s = 204,8 · s 10 240 20 480

km v 101 143 h

sebesség

150 30 720

200 40 960

250 51 200

175

202

226

km h

200 150 204,8x nyirkos út: x → 102,4x

100

száraz út: x →

50 fékút [m] 50

100

150

200

250 km Nagyon jól mutatja a két grafikon, hogy azonos sebességnél pl.: 96 esetén mennyivel hosszabb a fékút a h nyirkos úton (90 m), míg száraz úton már 45 m-en megáll az autó.

146

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Függvénytranszformációk 367. Függvénytranszformáció segítségével készítsd el a függvények grafikonjait! Add meg a függvények értékkészletét is! a) x → |x| + 1 b) x → 2 · |x| + 1 c) x → −|x| + 2 1 e) x → |x + 1| + 2 f) x → −2 · (|x + 1| − 1) d) x → − |x| + 4 3 y

y

a

b 3 2 1

= 1} b) ÉK = {y = 1}

5 2} d) ÉK = {y 5 4}

T (0; 1)

x

−2 −1

1 2 3

c) ÉK = {y

T (0; 1)

e

3 2 1

x

c

−2 −1

1 2 3

a) ÉK = {y

d

3 2 1

x

−2 −1

y

1 2 3 f 2} T (−1; 2)

= ÉK = {y 5 2}

T (0; 2)

e) ÉK = {y

T (0; 4)

f)

T (−1; 2)

368. Függvénytranszformáció segítségével készítsd el a függvények grafikonjait! Add meg a függvények értékkészletét is! a) x → x 2 + 2 b) x → 2 · x2 c) x → 2 · x 2 + 2 e) x → 2(x + 4)2 − 2 f) x → −(x − 3)2 + 4 d) x → −x 2 + 4 a

y

y c

b 1 −1

= 2} b) ÉK = {y = 0}

x

−2 −1

1 2

a) ÉK = {y

d

1

x

T (0; 2) T (0; 0)

e

−4 −3 −2 −1 −1 −2

1 2

= 2} d) ÉK = {y 5 4} c) ÉK = {y

y

4 3 2 1

= −2} ÉK = {y 5 4}

T (0; 2)

e) ÉK = {y

T (0; 4)

f)

f x 1 2 3 4 5

T (−4; −2) T (3; 4)

369. Függvénytranszformáció segítségével készítsd el a függvények grafikonjait! Add meg a függvények értékkészletét is! a) x → ||x − 3| − 3| b) x → |(x − 3)2 − 3| A transzformáció lépései: a) x → |x − 3| b) x → (x − 3)2 x → (x − 3)2 − 3

x → |x − 3| − 3 x → |(x − 3)2 − 3|

=

y

y (1) (3)

3 2 1 −2 −1 −1 −2 −3

x→ ||x − 3| − 3| ÉK = {y 0}

(2) x 1 2 3 4 5 6

Vegyük észre, hogy teljesen azonosak a transzformációs lépések!

ÉK = {y

(1)

= 0}

(3) (2)

4 3 2 1 −1 −2 −3

x 1 2 3 4 5

147

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 370. Keresd a párját! Melyik tengelypont melyik grafikonhoz tartozik? a) x → |x − 4| + 2

b) x → (x + 10)2 − 10

c) x → (x − 10)2 + 10

e) x → (x − 4)2 + 2

f) x → −(x − 4)2 + 2

d) x → |x − 10| + 10 A) T (−10; −10) A) → b),

B) T (−10; 10)

B) → „kakukktojás”,

C) T (10; 10)

C) → c) és C) → d),

D) T (−4; 2)

D) → „kakukktojás”,

E) T (4; 2)

E) → a) és E) → f).

371. Add meg a grafikonokhoz tartozó hozzárendelési utasításokat! y

a)

a

a

4 c 3 2 1

−5−4−3−2−1 b −2

a)

y

b)

d 1 2 3 4 5 6 7x

a: x → |x + 4| + 2

c

4 3 2 1 −4−3−2−1 −2

x

1 2 3 4

b

d

b: x → −2|x| + 2

c: x → 2 · |x − 2|

d: x → −|x − 3| + 4

1 b: x → − (x + 2)2 + 1 c: x → (x − 2)2 d: x → −2(x − 3)2 + 4 4 Ha leolvasták a gyerekek a tengelypontokat és felírtak egy hozzárendelési utasítást, feltétlenül ellenőrizzék le egykét rácspont segítségével! b)

a: x → 2(x + 3)2 + 1

372. Rajzold be a koordináta-rendszer tengelyeit, és a megfelelő egységeket is jelöld rajtuk! Először a tengelypontokat érdemes meghatározni.

a) x → |x − 3| + 2 T (3; 2) c) x → 2|x + 4| + 1 T (−4; 1) a)

1 2 3 4 5

c)

y

y

8 7 6 5 4 3 2 1

b)

y 6 5 4 3 2 1

b) x → −(x + 20)2 − 10 T (−20; −10) d) x → (x + 10)2 − 15 T (−10; −15)

−28 −20 −12 −4

x

x

−20 −40 −60 −80 −100 −6−5−4−3−2−1

y

d) −10

−5

x −5 −10 −15

x 1

373. Ábrázold a következő függvények grafikonjait! Add meg a függvények értelmezési tartományát és értékkészletét is! 3 1 1 a) x → b) x → − c) x → x x 3x

148

C M Y K



y

2 1 −2 −1 −1 −2

y

2 1

x

−2 −1 −1 −2

1 2

ÉT = ÉK = = {0-tól különböző számok}

2 1

x

−2 −1 −1 −2

1 2


x 1 2


374. Add meg a függvények értelmezési tartományát! 1 1 a) x → x −3 b) x → − x −3 x+3 x+3 1 2 d) x → +3x 2 e) x → −3 x −4 x−2 x+4

1 x 3 x −3 1 f) x → − −5 x −5 x+5

c) x →

375. Hogyan függ a szabályos sokszög külső szögének nagysága a sokszög oldalainak számától? Töltsd ki a táblázatot! Készítsd el a kapott függvény grafikonját! Oldalak száma Külső szög

3 120◦

4

5

90◦

y (külső szög: ◦ )

72◦

6 60◦

7 360◦ 7

8

...

n 360◦ n

45◦

A konvex sokszögek külső szögeinek összege 360◦ . Ha a szabályos sokszög oldalszámát x-szel jelöljük, akkor egy külső szöge 360◦ . x 360 x → ÉT = {A 3 és annál nagyobb természetes számok} x A grafikon egy hiperbolán elhelyezkedő ponthalmaz.

175 150 100 75 50 25

x (oldalszám) 1 2 3 4 5 6

376. Hogyan függ a konvex sokszög oldalainak számától átlóinak száma? Töltsd ki a táblázatot! Készítsd el a kapott függvény grafikonját! Célszerű értéktáblázatot készíteni.

Oldalak száma

3

4

5

6

7

8

9

10

Átlók száma

0

2

5

9

14

20

27

35

A konvex sokszög oldalainak számát x-szel jelölve az átlók x · (x − 3) száma: x → 2 ÉT = {A 3 és annál nagyobb természetes számok} ÉK = {Bizonyos természetes számok} A grafikon egy parabolán elhelyezkedő ponthalmaz.

...

n n(n − 3) 2

y (átlók száma) 40 30 20 10

x (oldalszám) 1 2 3 4 5 6 7 8

149

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 377. Készítsd el a következő függvények grafikonját! a) x → |x| + |x + 1|

b) x →

(x

− 3)

2

− 4

c) x →

1 x

a) A grafikont kétféleképpen szokták felrajzolni a gyerekek. Első módszer: Elkészítik az x → |x| és az x → |x + 1| grafikonját, és „pontonként összeadnak”.

Ha −1 Ha

5x<0 x=0

x →

4 3 2 1

−x + (x + 1) = 1

x →

x + (x + 1) = 2x + 1

ÉT = {tanult számok}

ÉK = {y

x → |x + 1| x → |x|

y

Második módszer: Meghatározzák az összeadandó abszolútérték-függvények töréspontjait és alkalmazzák az abszolút érték definícióját. Ha x < −1 x → −x + (−x − 1) = −2x − 1 −3 −2 −1

x 1 2 3

= 1}

b) A függvény grafikonját függvénytranszformációval célszerű elkészíteni: x → (x − 3)2 − 4 parabola tengelypontja (3; −4) y x → |(x − 3)2 − 4| x → |(x − 3)2 − 4| az abszolút érték definícióját 4 használjuk, azaz ahol a függvényértékek nem nega3 2 tívak, akkor azok értéke nem változik (az x tenge1 lyen és a fölötte levő pontok), ha a függvényértékek x negatívak, akkor azok ellentettjét vesszük (az x −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 tengely alatti pontokat az x tengelyre tükrözzük). −2 ÉT = {tanult számok} −3 x → (x − 3)2 − 4 −4 ÉK = {y 0}

=

c) A hiperbola pontjaira alkalmazzuk a b)-ben leírtakat. y 4 3 2 1 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3

1 x → x 1 2 3 4

x →

x

ÉT = {A 0 kivételével a tanult számok} ÉK = {y > 0}

1 x

378. Milyen síkidomot határoznak meg az x→ |x + 30| − 20, x → (x − 40)2 − 20, x → −|x − 50| + 10 és az x → (x + 20)2 + 10 függvények tengelypontjai? Mekkora ennek a síkidomnak a kerülete és a területe? A töréspontok: A(−30; −20)

B(40; −20)

C(50; 10) és D(−20; 10)

150

C M Y K


Hozzrendels, fggvny A kapott síkidom egy paralelogramma. Két oldala: a = 70e Pitagorasz tételét alkalmazzuk a BCC -re: C C = 30e BC = 10e √ b = 102 + 302 = 1000 ≈ 31,62e. A paralelogramma magassága CC = 30e. K = 2(a + b) ≈ 2(70 + 31,62) ≈ 203,24(e)

D

20 y 10

C 10

b

a

A

x

B

C

T = a · ma = 70 · 30 = 2100(e2 )

379. Az orvosi könyvek a gyógyszerek adagolását általában a felnőttekre adják meg. F +n képlettel lehet átszámolni a gyerekekre, ahol n a gyerek életkorát jelenti Ezt a Gy = n + 12 években kifejezve. (A képlet 1 évnél fiatalabb gyerekekre nem alkalmazható.) Számítsd ki a különböző korú gyerekeknek adandó gyógyszer mennyiségét, ha a felnőttek adagja 10 milligramm! Készíts értéktáblázatot, és rajzold meg az adott képlethez tartozó grafikont! n Gy =

10 + n n + 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,846

0,857

0,867

0,875

0,882

0,889

0,895

0,9

0,905

0,909 (Ezredekre kerekítve.)

Gy [mg] A grafikon egy hiperbolán elhelyezkedő ponthalmaz.

0,94 0,92 0,90 0,88 0,86 0,84 0,82

n [év] 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása 380. A csónakból kieső labdát a gyerekek kb. 1,5 perc múlva kezdték el „üldözni”. A fiúk egy perc alatt 250 m-t haladnak, míg a folyó ezen a szakaszán percenként 100 m-t tesz meg. Mennyi idő múlva érik utol a labdát, és milyen hosszú úton csurgott lefelé a labda a folyón? út [m]

csónak labda

300 200 100

A fiúk 1 perc alatt utolérik a labdát. Így a labda 2,5 percig ment lefelé a folyón, és 250 m-t tett meg. A fiúk 1 perc alatt pontosan 250 m-t tudnak megtenni. Labda t → 100t idő [perc]

1

2

3

4

Fiúk

t → 250(t − 1,5).

Behelyettesítéssel ellenőrizzük.

151

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 381. A nyári sátorozáskor Gyuri 2 dl teavizet akart melegíteni egy olyan merülőforralóval, amely az ilyen mennyiségű víz hőmérsékletét percenként 15 ◦ C-kal tudja melegíteni. Karcsinak ugyanilyen merülőforralója van, de ő csak 1 dl vizet tett fel kávénak, viszont 2 perccel később kezdett a forraláshoz, mint Gyuri. Hány perc múlva lesz kész a teavíz, illetve a kávéhoz melegített víz? Mikor lesz Karcsinak melegebb a vize, ha 22 ◦ C-os csapvizet kezdtek melegíteni Karcsi a fiúk? ◦ Gyuri A két fiúnak 4 perc múlva lesz azonos hőmérsékletű (82 ◦ C) a vize, ezután már Karcsié a melegebb. A teavíz 5,2 perc múlva lesz kész, míg a kávéhoz melegített víz 2,6 perc múlva lesz 100 ◦ C-os. Gyuri: t → 22 + t · 15

hőfok [ C]

100 80 60 40 20

idő [perc]

t → 22 + (t − 2) · 30

Karcsi:

1 2 3 4

382. Melyek azok a számok, amelyek összege 9? a) Az egyik szám függvényében írd fel a másik számot, és készítsd el a kapott függvény grafikonját! Az egyik számot

y

x → x + 3

10

x-szel jelölve a másik szám x → 9 − x.

b) Melyek azok a számok, amelyek összege 9, és különbsége 3? Ha a két szám különbsége 3, akkor ha az első szám x, akkor a második x → 3 + x. A megoldást a két grafikon metszéspontja adja. A számok a 3 és a 6.

6

5 x −5

10 x → 9 − x

5

3

383. A nyolcadikosok a ballagás utánra diszkót szerveznek. Az egyik amatőr együttes a kiszállásért 4000 Ft-ot kér, és óránként 8000 Ft-ot. Egy másik együttes óradíja csak 6000 Ft, de a kiszállásért 10 000 Ft-ot számolnak fel. Hány órás zenélésért kérnek azonos díjazást az együttesek? Hány órás buli esetén érdemesebb az első együttest meghívni, ha a szolgáltatott zene színvonalában nincs különbség? t → 4 + 8t

t → 10 + 6t

idő [h] 2

3

(Pirossal dolgozz!) x = 1

b) x + 2 > 5 − 2x

(Kékkel dolgozz!) x > 1

c) x + 2 5 5 − 2x

(Zölddel dolgozz!) x 5 1

zöld −2

−1

0

1

2

2

3

152

C M Y K


+

5 4 3 2 1

kék

P

5

y

384. Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket a számegyenesen! a) x + 2 = 5 − 2x

4

x

1

→

30 25 20 15 10 5

x

Ezer Ft-ban számolva az első együttes t → 4 + 8t, a második t → 10 + 6t Ft-ot kér. 3 óra zenélésért 28 E Ft-ot kér mindkét együttes. Az első együttest akkor érdemes meghívni, ha a buli legfeljebb 3 órás lesz.

ezer Ft

1 2 3 4 5

x

x → 5 − 2x

Hozzrendels, fggvny 385. Oldd meg grafikusan a következő feladatokat! a) 2x + 3 > x − 4 x > −7

b)

x−2 4

1 3 c) 2x − 3 > x − 4 x > − 5 3

d)

1 x − 1 5 x + 3 x = −8 2

5 13 − 2x

x

56

2x + 6 = x + 2 minden szám 2 386. Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket y a számegyenesen! 3 x−1 2 = −|x − 3| + 2 x = 1 és x = 4 a) 1 3 x−1 x b) < −|x − 3| + 2 1 < x < 4 1 2 3 4 3 x−1 c) = −|x − 3| + 2 x 5 1 vagy x = 4 3 387. Keresd meg az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldásait! x −1 x−1 a) |x| = 2 − x és |x| < 2 − x b) 2 − |x| = és 2 − |x| = 2 2 2x + 11 2x + 11 c) |x + 3| = és |x + 3| < 2 2 e) 4 − 5x < 5 − 5x minden szám

y

x−1 y x→ 2 2 1 x

x → |x|

1 −1

f)

−3 −2 −1 −1 −2

x 1 2

x → 2 − x

|x| = 2 − x ha x = 1

2 − |x| =

|x| < 2 − x ha x < 1

2 − |x|

=

x →

1 2 3

x−1 5 ha x = és x = −5 2 3 x−1 5 ha −5 x 2 3

5 5

b) x − 2 5 3x + 2

−1

c) x 2 − 2 > 3x + 2

−1 > x vagy x > 4

x

−4 −3 −2 −1

1

2x + 11 17 ha x = − 2 4 2x + 11 17 |x +3| < ha x > − 2 4 |x +3| =

388. Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket a számegyenesen! a) x 2 − 2 = 3x + 2 x = −1 és x = 4 2

4 3 2 1

x → |x + 3|

x → 2 − |x|

y

2x + 11 2

5x54

A grafikonról az x = 4 megoldás nem olvasható le, de sejtik a gyerekek, hogy van még egy metszéspontja a grafikonoknak. Ezért x = 4 behelyettesítésével azonnal meg is találják azt.

y

4 3 2 1 −1

1 2 3 4x

153

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 389. Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket a számegyenesen! a) x 2 = 2x − 1 és x 2 < 2x − 1 b) x 2 − 1 = 2 − 2x és x 2 − 1 = 2 − 2x y x → x 2

y

x 2 = 2x − 1, ha x = 1 x 2 < 2x − 1 Nincs ilyen szám.

4 3 2 1

Az egyenes érintője a parabolának.

x

2 1 x → 2x − 1

1 2 3

x 2 − 1 = 2 − 2x, ha x = −3 és x = 1

3 − x2 > x − 3

és

y

5

1 · (x + 2)2 2

x

1 2 3 x → 2 − 2x

5x+6 5 x + 6, 5 52

1 (x + 2)2 2 ha −4 x

y 8 7 6 5 4 3 2 1

3 − x 2 > x − 3, ha −3 < x < 2

1 2 x3 → x − 3

x → x + 6 −4 −3 −2 −1

x → 3 − x 2

=

x

3 − x 2 = x − 3, ha x = −3 és x = 2

3 2 1 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

d)

=

x 2 − 1 2 − 2x, ha x −3 vagy x 1

−3 −2 −1

c) 3 − x 2 = x − 3

x → x 2 − 1

8 7 6 5 4 3 2 1

x →

1 (x + 2)2 2 x

1 2

390. Határozd meg grafikus úton, hogy milyen értékekre vesznek fel a) nulla, b) pozitív, c) negatív értékeket a következő függvények! Megoldásodat jelöld a) pirossal, b) kékkel, illetve c) zölddel a számegyenesen! f (x) = 3x − 5 j (x) = |x − 3| − 4 y 4 3 2 1 −1 −2

f (x)

x 1 2 3 g(x)

g(x) = 4 − 3x

h(x) = |x| − 3

k(x) = −2|x + 2|

l(x) = (x − 2)2 − 1

y

2 1 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 k(x)

i(x) = x 2 − 4

3 2 1

x 1 2 3 4 5

j (x)

−3 −2 −1 −1 −2 −3

154

C M Y K

l(x)

y

i(x)


x 1 2 3 h(x)

Hozzrendels, fggvny f (x)

a) Nulla b) Pozitív c) Negatív

g(x)

3x − 5

4 − 3x

5 3 5 x> 3 5 x< 3

4 3 4 x< 3 4 x> 3

x=

x=

h(x)

i(x)

j (x)

k(x)

l(x)

|x − 3| − 4

−2|x + 2|

(x − 2)2 − 1

x = −3 és x = 3 x = −2; x = 2 x = −1 és x = 7

x = −2

x = 1; x = 3

x < −3; x > 3 x < −2; x > 2 x < −1; x > 7

–

x < 1; x > 3

Minden x, ha x −2

1<x<3

2

x −4

|x| − 3

−3 < x < 3

−2 < x < 2

−1 < x < 7

391. Olvasd le a grafikonról a feladatok megoldásait, és jelöld őket a számegyenesen! y y y 2

x → x 2 − 1

x

x →

−

1

x → x 2 −

− |x →

1 2

x

a) |x − 1| − 1 = x 2 − 2

{1; −1}

b) x 2 <

x < −2 vagy x > 1

c) x 2 − 1 = −x 2 + 1

c) |x − 1| − 1 = x 2 − 2

5 −1 vagy x = 1

−2

√

x

x = 0 és x = 1

b) |x − 1| − 1 < x 2 − 2

−1 < x < 1

x

a) x 2 =

{−2; 1}

b) x 2 − 1 < −x 2 + 1

x

1 2

x → −x 2 + 1

a) x 2 − 1 = −x 2 + 1

√ x

2 1

1|

2 1

x

2 1 1 2

x → x 2

5x51

√

x

0<x<1

= x=1

c) x 2

√

x

Sorozatok, számtani sorozat 392. Add meg a sorozatok első öt elemét, és az ötvenediket is! 1 2n − 1 an = 5n − 4 bn = 3 − n cn = n2 − 10 dn = 3 n+4 an = 5n − 4 1 bn = 3 − n 3

a1 = 1

cn = n2 − 10 2n − 1 dn = n+4 √ en = n

c1 = −9 1 d1 = 5

b1 = 2

e1 = 1

a2 = 6 2 3

b2 = 2

a3 = 11 1 3

c2 = −6 3 1 d2 = = 6 2 √ e2 = 2

b3 = 2 c3 = −1 5 d3 = 7 √ e3 = 3

en =

√

n

a4 = 16 5 b4 = 3

a5 = 21 4 b5 = 3

a50 = 246 50 41 b50 = 3 − = 3 3

c4 = 6 7 d4 = 8 √ e4 = 4 = 2

c5 = 15 9 d5 = = 1 9 √ e5 = 5

c50 = 2490 99 11 d50 = = 54 6 √ e50 = 50

393. Add meg a sorozatok első öt elemét, és az ötvenediket is! n an = 3 − 4n bn = 2 cn = (−1)n · (n + 1) n +1

dn = 3 +

1 n

en = 2n

155

C M Y K


Hozzrendels, fggvny an = 3 − 4n n bn = 2 n +1 cn = (−1)n · (n + 1) 1 dn = 3 + n n en = 2

a1 = −1 1 b1 = 2 c1 = −2 d1 = 4 e1 = 2

a2 = −5 2 b2 = 5 c2 = 3 1 d2 = 3 2 e2 = 4

a3 = −9 3 b3 = 10 c3 = −4 1 d3 = 3 3 e3 = 8

a4 = −13 4 b4 = 17 c4 = 5 1 d4 = 3 4 e4 = 16

a5 = −17 5 b5 = 26 c5 = −6 1 d5 = 3 5 e5 = 32

a50 = −197 50 b50 = 2501 c50 = 51 1 d50 = 3 50 50 e50 = 2

394. Melyik szám a „kakukktojás”? Melyik az a szám, amelyik egyik sorozathoz sem tartozik?

an = 7 + 8n

2,

b1 = 3

c1 = 2

bn = bn−1 + 7

cn = 3cn−1 + 2

5,

8,

15,

16,

17,

21,

24,

d1 = 1

26,

d2 = 1

dn = dn−1 + dn−2 80

Legrosszabb esetben fel kell sorolni az egyes sorozatok elemeit 80-ig és megnézni, hogy az adott számok közül melyik tartozik a sorozathoz. an = 7 + 8n

A sorozat elemei 8-cal osztva 7-et adnak maradékul, így az adott számok közül csak a 15 a sorozat eleme.

b1 = 3 bn = bn−1 + 7

A sorozat szomszédos elemei közötti különbség 7, azaz 7-tel osztva az elemeket a maradék 3. Ebbe a sorozatba a 17, a 24 és a 80 tartozik.

c1 = 2 cn = 3cn−1 + 2

A sorozat elemei cn = {2; 8; 26; 80; . . .}

d1 = 1 d2 = 1 dn = dn−1 + dn−2

A sorozat az ún.: Fibonacci-sorozat, mellyel érdemes szakkörön külön foglalkozni. dn = {1, 1, 2 , 3, 5, 8 , 13, 21 , 34, 55}

Tehát a 16 az a szám, amelyik egyik sorozathoz sem tartozik.

395. „Többet ésszel, mint erővel!” Hogyan folytatnád a következő sorozatokat? a) 100, 101, 103, 107, 115, 122, . . . b) 6, 7, 9, 12, 16, . . . c) 61, 52, 63, 94, 46, . . . Egy sorozatot néhány eleme NEM határozza meg, ezért végtelen sokféle javaslata lehet a gyerekeknek a folytatásra. Az én javaslatom: a) A számjegyek összegét hozzáadva a számhoz kapjuk a következő sorozatbeli elemet. 100 + 1 = 101 101 + 2 = 103 103 + 4 = 107 . . . Ezért: 127; 137; 148; . . . b) A szomszédos elemek különbsége 1, 2, 3, 4 . . . Így a sorozat folytatása: 16 + 5 = 21 21 + 6 = 27 27 + 7 = 34 34 + 8 = 42 . . . c) A négyzetszámok vannak „tükrözötten” felírva. A sorozat folytatása ezen szabály szerint: 18; 001; 121; 441; 961; . . .

396. Képezd a pozitív egész számok 7-tel való osztási maradékát! Hány különböző eleme van ennek a sorozatnak? Készítsd el a sorozathoz tartozó grafikont! Határozd meg a következő értékeket: a5 , a15 , a100 , a1948 , an+7 − an ! A 7-tel való osztási maradékok sorozata: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0 és ez a 7 elem ismétlődik.

156

C M Y K


Hozzrendels, fggvny an

A grafikon különálló pontokból áll, ezek a pontok az x → x egyenesen, illetve azzal párhuzamosan elhelyezkedő egyenesseregen lesznek.

7 6 5 4 3 2 1

a5 = 5

a15 = a14+1 = 1

a100 = a98+2 = 2

an+7 − an = 0

a1948 = a1946+2 = 2

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10 sorozat első öt elemét! Mi a sorozat huszadik eleme? n+2 5 Hányadik eleme a sorozatnak az ? Van-e a sorozatnak legnagyobb, illetve legkisebb eleme? 101

397. Ábrázold grafikonon az an =

10 5 5 10 a2 = a3 = 2 a5 = a4 = 3 2 3 7 10 5 5 5 10 a20 = = an = , így = egyenletből n = 200 22 11 101 101 n + 2 A sorozat elemei egyre csökkennek, hiszen a 10-et egyre nagyobb természetes számokkal osztjuk. 10 Így nincs legkisebb elem, a legnagyobb pedig az a1 = . 3 a1 =

an 3 2 1 n 1

2

3

4

5

398. Gyufaszálakból építettük a következő alakzatokat: a) b)

Hány gyufaszálra van szükség az egyes esetekben? Töltsd ki a táblázatot, és a kapott képletet ellenőrizd n = 5-re és n = 8-ra! Téglalapok száma

1

2

3

4

5

6

7

8

...

Gyufák száma: a

4

7

10

13

16

19

22

25

...

4 + 3(n − 1) = 3n + 1

Gyufák száma: b

6

11

16

21

26

31

36

41

...

6 + 5(n − 1) = 5n + 1

399. Négyzetes oszlopokat építünk. Hány egységnégyzet az oszlopok felszíne? Mennyi lesz a felszín, ha az oszlopokat egymás mellé tesszük az asztalra? Töltsd ki a táblázatot, és a kapott képletet ellenőrizd n = 4-re és n = 8-ra! Kockák száma Az oszlop felszíne A kapott test felszíne

1 6 6

2 10 14

3

4

5

7

8

22

6 26

14

18

30

34

24

36

50

66

84

104

n

1.

...

2.

3.

n 6 + 4(n − 1) = 4n + 2

bn = bn−1 + an − 2(n − 1) bn = bn−1 + 4n + 2 − 2(n − 1) bn = bn−1 + 2n + 4 ahol b1 = 6

157

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 400. Írd fel a számtani sorozatok első öt tagját, és készítsd el a hozzájuk tartozó grafikont, ha a) az első elem (−3) és a különbség 2, b) az első elem 4 és a második 1, c) a1 = 4,5 és d = 0,25, d) a1 = 2,3 és a2 = 5,3, 1 1 f) a2 = és a4 = ! e) a4 = 4,8 és a5 = 5,2, 8 16 A grafikonok minden számtani sorozatnál egy lineáris függvényen elhelyezkedő ponthalmazt alkotnak. a) {−3; −1; 1; 3; 5}

b) {4; 1; −2; −5; −8}

d) {2,3; 5,3; 8,3; 11,3; 14,3}

e) {3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2}

c) {4,5; 4,75; 5; 5,25; 5,5} 5 4 1 3 2 1 1 ; = ; ; = ; f) 32 32 8 32 32 16 32

2 3 401. Egy számtani sorozat negyedik eleme , hatodik eleme . Mennyi a sorozat differenciája, első 5 5 és tizedik eleme? a4 =

2 5

a6 =

3 5

d=

a6 − a4 1 = 2 10

402. Egy számtani sorozat első két eleme:

a1 = a4 − 3d =

2 3 1 − = 5 10 10

a10 = a1 + 9d = 1

8 4 124 , . Hányadik elem a ? 9 3 9

4 8 4 − = . 3 9 9 8 4 124 A sorozat n-edik eleme: an = a1 + (n − 1) · d = + (n − 1) · = egyenletből n = 30. 9 9 9 A sorozat differrenciája: d = a2 − a1 =

403. Egy számtani sorozatban a1 = −2 és a7 = 22. Mennyi a sorozat tizedik eleme? Mennyi az első három elem számtani közepe? a7 − a1 = 4 a10 = a1 + 9d = −2 + 9 · 4 = 34 6 2, ami éppen az a2 . d=

a1 = −2

a2 = 2

a3 = 6, ezen elemek számtani közepe a

404. Egy számtani sorozatban az első elem 8, az első három elem számtani közepe 12. Egy számtani sorozat első három elemének számtani közepe éppen a sorozat második eleme, így a1 = 8 és a2 = 12. a) Mennyi a sorozat differenciája? d = 4 a +a 8 + 36 b) Mennyi az első nyolc elem összege?a8 = a1 + 7d = 8 + 7 · 4 = 36 S8 = 1 8 · 8 = · 8 = 176 2 2 A gyerekek az elemek felsorolása után is összegezhetik azokat. c) Hány sorozatbeli elem van 100 és 200 között? Röviden felírva 100 an 200 egyenlőtlenséget kell megoldani. 100 8 + (n − 1) · 4 200 innen 24 n 49, azaz 26 ilyen elem van.

5

5

5 5

5

5

405. Egy számtani sorozat első eleme 7, ötödik eleme 55. Hányadik eleme a sorozatnak a 115 és az 1483? a5 − a1 55 − 7 a1 = 7 és a5 = 55, innen d = = = 12. 4 4 A sorozat tagjait az an = 7 + (n − 1) · 12 képlet határozza meg. A megoldandó egyenletek: 115 = 7 + (n − 1) · 12, illetve 1483 = 7 + (n − 1) · 12. Az elsőből n = 10, azaz a10 = 115. A másodikból n = 124, azaz a124 = 1483.

406. Számítsd ki azoknak a a) legfeljebb kétjegyű, b) legfeljebb háromjegyű számoknak az összegét, amelyek 5-tel osztva 3-at adnak maradékul! Az 5-tel osztva 3 maradékot adó számokat an = 3 + 5(n − 1) képlettel lehet kifejezni. a) 3; 8; 13; 28; . . . ; 98 számok számtani sorozatot alkotnak: a1 = 3 d = 5 és n = 20 a1 + a20 3 + 98 S20 = · 20 = · 20 = 1010 2 2

158

C M Y K


Hozzrendels, fggvny b) 3; 8; 13; . . . ; 998 számtani sorozatnál n = 200, így S200 =

a1 + a200 3 + 998 · 200 = · 200 = 100 100. 2 2

407. Egy négyszög szögei 12 differenciájú számtani sorozatot alkotnak. Mekkorák az egyes szögek? A négyszög szögei: α; α + 12; α + 24 és α + 36. Ennek a négy szögnek az összege 360◦ , így 4α + 12 + 24 + 36 = 360 egyenletből α = 72◦ . A szögek: 72◦ ; 84◦ ; 96◦ ; 108◦ .

408. Egy ötszög belső szögei számtani sorozatot alkotnak. A legkisebb szög 42◦ . Mekkorák az ötszög belső és külső szögei? Az ötszög belső szögei: 42◦ ; 42◦ + d; 42◦ + 2d; 42◦ + 3d és 42◦ + 4d. A konvex ötszög belső szögeinek összege 540◦ , így 5 · 42 + d + 2d + 3d + 4d = 540 egyenletből d = 33. A belső szögek: 42◦ , 75◦ , 108◦ , 141◦ , 174◦ . A külső szögek a mellettük fekvő belső szöget 180◦ -ra egészítik ki, így a külső szögek: 138◦ , 105◦ , 72◦ , 39◦ , 6◦ .

409. Számold ki az

1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100 + 101 tört értékét! 1 − 2 + 3 − . . . + 99 − 100 + 101

1 + 101 · 101 = 51 · 101 2 A tört nevezőjét kiszámolhatjuk többféleképpen is, például a szomszédos számok zárójelezésével: A tört számlálója:

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − . . . + 99 − 100 + 101 = (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + . . . + (99 − 100) + 101 = = (−1) · 50 + 101 = −50 + 101 = 51 51 · 101 = 101. A tört értéke: 51

410. Szét lehet-e osztani az 1, 2, 3, . . . , 2001, 2002 számokat két csoportba úgy, hogy a) mindkét csoportban egyenlő legyen a számok összege, Nem, mert ha kiszámoljuk az adott számok összegét, akkor páratlan számot kapunk, aminek a fele nem egész szám. 1 + 2002 2003 · 2002 1 + 2 + 3 + . . . + 2001 + 2002 = · 2002 = = 2003 · 1001 2 2

b) mindkét csoportban páratlan legyen a számok összege? Nem, mert ha mindkét csoportban levő számok összege páratlan, akkor az összes szám összege páros lenne, holott a fenti összeg páratlan.

411. Melyik számot töröltük le a 2, 4, 6, . . . , 98, 100 számok közül, ha a megmaradt számok számtani 2486 közepe a lett? 49 2 + 4 + 6 + . . . + 98 + 100 − x 2486 = egyenletet kapjuk. 49 49 2 + 100 2 + 4 + 6 + . . . + 98 + 100 = · 50 = 2550, tehát a letörölt szám a 64-es. 2 A letörölt számot x-szel jelölve

412. Melyik az a négyjegyű szám, amelyben a számjegyek 2 differenciájú számtani sorozatot alkotnak, és a számjegyek összege többszöröse a 3-nak? Mivel a számjegyek értéke 0 és 9 között van, így talán a legegyszerűbb felírni a lehetséges számokat és megnézni, hogy a számjegyek összege mikor osztható 3-mal. 1357 vagy 7531, vagy 2468, vagy 8642, vagy 3579, vagy 9753, vagy 8640. A keresett számok: 3579; 9753 és 8640.

159

C M Y K


Hozzrendels, fggvny Mértani sorozat 413. Töltsd ki a zongorán megjelölt billentyűkhöz tartozó frekvenciákat!

27,5 Hz

110 Hz

55 Hz

220 Hz

440 Hz

880 Hz

1760 Hz

3520 Hz

×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 Tudod-e? Az emberi fül 15 Hz-től 20 000 Hz-ig hallja a hangokat, de idősebb korban a felső határ értéke csökken. A kutyák és a macskák 60 000 Hz-ig, a denevérek 80 000 Hz-ig hallják a hangokat. 414. Válaszd ki azokat a sorozatokat, amelyek mértani sorozatot adhatnak meg! Határozd meg a mértani sorozatok ötödik elemét, és rendezd őket növekvő sorrendbe! a) 7; 14; 28; 56; 112

b) 7; 14; 21; . . .

d) 4; 40; 400; 4000; 40 000

e) 4; 42 ; 43 ; 44 ; 45

g)

5 5 5 ; ; ; ... 3 6 9

h) 5; −5; 5; −5; 5

c) 4; 44; 3 6 f) ; ; 5 5

444; . . . 9 ; ... 5

i) −42; −21; −10,5; −5,25; −2,625

−2,625 < 5 < 112 < 45 = 1024 < 40 000

415. Folytasd a következő sorozatokat úgy, hogy számtani sorozatok legyenek, majd úgy, hogy mértani sorozatokat kapj! Mennyi az egyes esetekben az ötödik elemek hányadosa? 7 5 a) 12; 6; . . . b) −9; 9; . . . c) 42; 42; . . . d) ; ; . . . 3 3 Számtani

12; 6; 0; −6; −12

−9; 9; 27; 45; 63

42; 42; 42; 42; 42

Mértani

3 3 12; 6; 3; ; 2 4

−9; 9; −9; 9; −9

42; 42; 42; 42; 42

63 : (−9) = −7

42 : 42 = 1

Számtani5 Mértani5

(−12) :

3 = −16 4

7 5 3 1 1 ; ; = 1; ; − 3 3 3 3 3 7 5 25 125 625 ; ; ; ; 3 3 21 147 1029 1 625 343 − : =− 3 1029 625

416. A következő ábrákon a síkidomok területei mértani sorozatot alkotnak. Írd fel a sorozatok első öt elemét és a sorozat hányadosát! a)

160

C M Y K


Hozzrendels, fggvny b)

c)

417. Egy mértani sorozat első eleme 2, hányadosa 3. Írd fel a sorozat első öt elemét, és add meg az összegüket is! 2; 6; 18; 54; 162 összeg = 242 418. Egy mértani sorozat első eleme −2, hányadosa az összegüket is!

2 2 2 2 −2; − ; − ; − ; − 3 9 27 81

1 . Írd fel a sorozat első öt elemét, és add meg 3 összeg = −

242 81

419. Töltsd ki a táblázatot, ha az adatok egy-egy mértani sorozatra vonatkoznak! a1

q

a2

a5

4

1 2

2

1 4

2

−3

−6

162

1 4

3

3 4

81 4

2 3

2

4 3

32 3

a1 · 24 =

32 2 innen a1 = 3 3

420. A következő mértani sorozatokban írd fel a kérdezett elemet! a) 2; 6; . . . c) 4; 0,4; . . .

1 125 3 4 112 a4 =? 0,004 d) ; ; . . . a3 =? 75 7 5 a2 =? Két megoldás van: a 22 és a (−22). Az utóbbit nem szokták észrevenni a gyerekek. 3 a1 =? 5

a6 =? 2 · 35 = 486

b) 5; −1; . . .

a5 =?

e) 44; a2 ; 11; . . . 3 3 f) a1 ; ; ; ... 10 20 421. Egy mértani sorozat első eleme (−2), hányadosa 3. Hányadik eleme a sorozatnak a −54, −162 és a −1458? Melyik a sorozat legnagyobb, illetve legkisebb eleme? Az elemek felsorolásával is megkapható a válasz: −2; −6; −18; −54 ; n−1

−162 ; −486;

−1458 ; . . . , vagy

n−1

(−2) · 3 = −54 összefüggésből 3 = 27, innen n = 4. Mivel a (−54) · 3 = −162, ezért n = 5 és (−2) · 3n−1 = n−1 = −1458 összefüggésből 3 = 729, innen n = 7. Tehát: a4 = 54 a5 = −162 és a7 = −1458

161

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 422. Ábrázold a sorozatok első öt elemét! Ha mértani sorozatot határoz meg a hozzárendelési utasítás, akkor add meg a sorozat hányadosát is! an = 4 + 3n bn = 4 · 3n cn = (−1)n dn = n3 en = 5 an = {7; 10; 13; 16; 19} számtani sorozat

bn = {12; 36; 108; 324; 972} mértani sorozat q = 3

cn = {−1; 1; −1; 1; −1} mértani sorozat q = −1

dn = {1,8; 27; 64; 125}

en = {5; 5; 5; 5; 5} mértani sorozat q = 1 A kézikönyvben nem rajzoljuk a grafikonokat, melyek 5-5 pontból állnak.

423. Az an = 2n és a bn = 3n mértani sorozatok megfelelő elemeit a) szorozd össze, b) képezd a hányadosukat! Milyen sorozatot kaptál az egyes esetekben? Válaszodat indokold! a) cn = 2n · 3n = 6n ismét mértani sorozat c1 = 6 q = 6 n 2n 2 2 2 b) dn = n = ismét mértani sorozat a1 = q= 3 3 3 3

424. Egy laboratóriumban 600 mg radioaktív anyag van, melynek mennyisége óránként megfeleződik. Mennyi lesz a radioaktív anyag mennyisége 6 óra múlva? Írjuk fel az egyes órák végén a radioaktív anyag mennyiségét: 600; 300; 150; 75; 37,5; 18,75; 9,375 mg lesz 6 óra múlva.

425. Mennyit ér 5 év múlva az 1,4 M Ft-os mezőgazdasági kisgép, ha az éves értékcsökkenése (amortizációja) 15%? Ha 15% az amortizáció, akkor a gép 0,85 részét éri a következő évben. 1,4 · 0,85 mFt = 1,19 mFt 1 év múlva a gép értéke; 1,4 · 0,852 mFt = 1,0115 mFt 2 év múlva . . . 1,4 · 0,855 mFt = 621 187 Ft-ot ér a gép 5 év múlva.

426. Egy erdő faállománya 8000 m3 . Mekkorára nő az erdő faállománya 5 év alatt, ha az évi gyarapodás átlagosan 3%? Ha 3% az éves gyarapodás, akkor minden évben a fa mennyisége az előző évi mennyiség 1,03-szorosa. 5 év alatt az erdő faállománya 8000 · 1,035 m3 ≈ 9274 m3 .

427. Kinek lesz több pénze a harmadik év végén? Pista 30 000 Ft-ot tesz be a bankba. Az éves kamatláb 10%. Józsi minden év elején 10 000 Ft-ot tesz be a bankba, de ő olyan bankot talált, ahol az egyenletes megtakarítást 12%-os kamattal jutalmazza a bank. 1. 1. 2. 2. 3. 3.

év év év év év év

eleje vége eleje vége eleje vége

Pista 30 000 Ft 30 000 · 1,1 = 33 000 Ft 33 000 Ft 33 000 · 1,1 = 36 300 Ft 36 300 Ft 36 300 · 1,1 = 39 930 Ft

Józsi 10 000 Ft 10 000 · 1,12 = 11 200 Ft 21 200 Ft 21 200 · 1,12 = 23 744 Ft 33 744 Ft 33 744 · 1,12 = 37 793 Ft

Pistának 2137 Ft-tal több pénze lesz a harmadik év végére.

428. Megvegyük-e azt a lovat, amelynél csak a patkószögekért kell fizetni? Az első patkószög 1 Ft, a következő 2 Ft, majd 4 Ft. . . Egy patkóban 6 szög van. Összesen 4 · 6 = 24 patkószög árát kell kifizetni egy a1 = 1 q = 2 mértani sorozat szabályainak megfelelően. S24 = 1 + 2 + 23 + 24 + 25 + . . . + 223 = 16 777 215 Ft. Megdöbbentően nagy ár egy lóért, pedig milyen kedvezőnek tűnik az árajánlat. Ez a „csalfaság” a mértani sorozatos feladatokban!

162

C M Y K


Hozzrendels, fggvny 429. A 12 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög oldalait 3 egyenlő részre osztottuk, és az osztópontokat az itt látható módon összekötöttük. Az eljárást addig ismételjük, amíg összesen 6 szabályos háromszög lesz az ábrán. a) Mekkorák ezen háromszögek oldalai? b) Mekkora a kerületük összege? c) Mekkora a területük összege? A háromszögek előállítási módja ismétlődik, ezért elég megtalálni az első két háromszög adatai közötti kapcsolatot. Az AP R-háromszögben α = 60◦ és 2AP = AR, ezért ez egy „fél szabályos” háromszög, tehát AP R

^ = 90◦.

Így P R m, és mivel az AP R ∼ AC C a szögek egyenlősége miatt, a hasonlóság aránya pedig

2 , így 3

2 ·m 3 √ √ ACC -re a Pitagorasz-tétel: m = 122 − 62 = 108 = 6 3 cm. √ 2 2 √ A P RQ oldala: a2 = m = 6 3 = 4 3 cm. 3 3 √ √ a2 4 3 3 Az ABC oldala: a1 = 12 cm, innen q = = = , azaz a következő háromszög oldala az előző oldalának a1 12 3 √ 3 -szorosa. 3 √ √ √ √ √ √ √ 3 4 3 4 3 3 4 4 3 a) Oldalak: 12 cm; 4 3 cm; 4 3 · = 4 cm; cm; · = cm; cm. 3 3 3 3 3 √ 9 √ 1 1 1 13 √ 1 52 3 1 Oldalak összege: 17 + 4 3 1 + + = 17 + · 4 3 = 17 + = 27,34 [cm]. 3 3 9 3 9 3 9 b) A kerületek összege a K = 3a miatt éppen háromszorosa az oldalak összegének: 82,01 cm. √ √ a · ma 12 · 6 3 c) Az ABC háromszög területe T1 = = = 36 3 [cm2 ] ≈ (62,35 cm2 ). 2 2 A következő háromszög területét megkapjuk, ha q 2 -tel szorozzuk az előző területet. √ √ 364 1456 √ 1 1 1 1 1 A területek összege: 36 3 1 + + + 3 ≈ 93,4 [cm2 ]. + + = 36 3 · = 3 9 27 81 243 243 27 a2 =

Egy egységnyi oldalú négyzet oldalait megfelezzük, és a felezőpontokat az ábrán látható módon összekötjük. Az eredeti négyzet mekkora része lesz beszínezve az ábrán, ha a) összesen 6 négyzet van az ábrán, b) a „csigavonal” készítését vég nélkül folytatjuk?

430.

1 -od része az eredeti négyzet területének, 16 1 2 mert az egynegyed négyzet (AP KQ) területének a fele. t1 = (e ) 16 Minden újabban megrajzolt háromszög területe éppen a fele az előzőleg megraj1 2 zolt háromszög területének. t2 = (e ) 32 a) Ha 6 négyzet van az ábrán, akkor öt háromszög keletkezik. 1 1 1 1 1 31 2 A beszínezett terület: T5 = + + + + = (e ) 16 32 64 128 256 256 b) Ha a négyzetek rajzolását képzeletben vég nélkül folytatjuk, akkor a keletkezett ábra 4 egybevágó „csigából” 1 1 épül fel, ezért a beszínezett rész e2 lesz. Már az első öt háromszög területösszege is igen közel van az -hez. 4 4 Az első levágott háromszög területe

163

C M Y K


Hozzrendels, fggvny András és Tamás nagyon jó testvérek, így mindig megosztják a kapott csokijukat egymással. Tamás kapott egy tábla csokit névnapjára, és a felét félretette bátyjának. András késő este se jött haza, így Tamás megette a maradék csoki felét, és ez így folytatódott a várakozási idő alatt. Mekkora részét ette meg Tamás a csokinak, a) ha összesen ötször evett belőle? b) ha képzeletben „a végtelenségig” majszolta a csokit?

431.

1 1 1 1 1 31 + + + + = részét ette meg Tamás, azaz mindössze a csoki 2 4 8 16 32 32 1 -ed része maradt meg Andrásnak. 32 b) Ha képzeletben „végtelenségig” majszolja Tamás a csokit, az egész el fog fogyni, annak ellenére, hogy mindig „marad még egy pici” a papíron. 1 1 1 1 1 Jelöljük x-szel az elfogyasztott csoki mennyiségét: x = + + + + + . . . képezzük mindkét oldalon 2 4 8 16 32 az ott álló kifejezések 2-szeresét: 1 1 1 1 1 + + + + + ... 2 4 8 16 32 1 1 1 1 1 + + ... x= + + + 2 4 8 16 32

a)

Kivonás után

2x = 1 +

x=1

432. Határozd meg a végtelen tizedes törtek tört alakját! a = 0,8˙ b = 4,2˙ c = 3,46˙

d = 2,35˙ 2˙

8 8 8 8 a = 0,8˙ = 0,888 . . . = + + + . . . végtelen sok tagú mértani sorozatbeli elemeket kell összeadni. a1 = 10 100 1000 10 1 és q = 10 ⎫ 8 8 8 10a = 8 + + + + ...⎪ ⎪ ⎬ 10 100 1000 8 Kivonás után 9a = 8, innen a = ⎪ 9 ⎪ 8 8 8 a= + + + ...⎭ 10 100 1000 2 2 2 ˙ b = 4,2 = 4 + + + + ... 10 100 1000 ⎫ 2 2 2 10b = 40 + 2 + + + + ...⎪ ⎪ ⎬ 10 100 1000 38 Kivonás után 9b = 38, innen b = ⎪ 9 ⎪ 2 2 2 b= 4+ + + + ...⎭ 10 100 1000 c = 3,46˙ egyszerűbb, ha csak a C = 0,06˙ értékét határozzuk meg. 6 6 6 C = 0,06˙ = + + + . . . Most ennek a kifejezésnek a 100-szorosát vesszük: 100 1000 10 000 ⎫ 6 6 6 100C = 6 + + + + ...⎪ ⎪ ⎬ 10 100 1000 6 66 33 1 Kivonás után 99C = 6 = = , innen C = ⎪ 10 10 5 15 ⎪ 6 6 C= + + ...⎭ 100 1000 1 34 1 17 1 52 c = 3,4 + = + = + = 15 10 15 5 15 15

164

C M Y K


Hozzrendels, fggvny d = 2,35˙ 2˙ egyszerűbb, ha csak a D = 0,05˙ 2˙ értékét határozzuk meg. 52 52 52 + + + . . . A kifejezés 100-szorosát vesszük: 1000 100 000 10 000 000 ⎫ 52 52 52 + + + ...⎪ 100D = ⎪ ⎬ 10 1000 100 000 52 26 26 Kivonás után 99D = = , innen D = ⎪ 10 5 495 ⎪ 52 52 D= + + ...⎭ 1000 100 000 26 23 26 2277 + 52 2329 d = 2,3 + = + = = 495 10 495 990 990 Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy mind a négy esetben jól számoltunk. D=

165

C M Y K


Trgeometria TÉRGEOMETRIA A gúla 433. Építs 6 db szabályos háromszögből testet! Mi a neve, és hány éle, lapja, csúcsa van ennek a testnek? A testet 6 db szabályos háromszög határolja. Nem szabályos test, mert lapszögei nem egyenlők, ezért külön neve nincs. Két háromszög alapú gúla, egy-egy lapjánál összeillesztve. A testnek 6 lapja, 5 csúcsa és 9 éle van.

434. Pálcikákból és golyókból (Babilon építőből) olyan szabályos tetraédert készítünk, amelynek egy éle 2 pálcika hosszúságú. Hány golyót és pálcikát használunk fel? 10 db golyót és 12 db pálcikát használtunk fel.

435. Először két, olyan ötszög alapú gúla élvázas modelljét készítjük el, amelyeknek minden éle 3 cm. Hány cm drótra van szükségünk? Másodszor olyan test élvázát készítjük el, amely az előző méretű, két ötszög alapú gúlából áll úgy, hogy alaplapjuk közös. Ehhez hány cm drót szükséges? Minden él 3 cm. (1) 30 cm drót kell. (2) 45 cm drót kell. (1)

(2)

436. Melyik az a gúla, amelynek a) 4 éle, ilyen nincs c) 8 éle, négyszög alapú gúla

b) 6 éle, háromszög alapú gúla d) 9 éle van? ilyen nincs

437. Válaszd ki a hálók közül azokat, amelyekből mértani testet lehet építeni! Nevezd meg ezeket a testeket! Van-e a hálók között olyan, amelyből ugyanazt a testet lehet felépíteni?

166

C

M

Y

K


Trgeometria Az a), b), d), e) hálókból lehet mértani testet építeni: a) rombusz alapú ferde hasáb, b) csonkakúp, d) téglalap alapú gúla, e) szabályos tetraéder. A c) és az f) hálókból nem lehet testet építeni. Nincsenek olyan hálók, amelyekből ugyanazt a testet lehet felépíteni.

438. Egy 54 cm2 felszínű kocka egyik lapjára kifelé ráragasztunk egy, a kocka élével azonos alapélű és megegyező magasságú, egyenlő oldalélű gúlát. Az így kapott testnek hány lapja, éle és csúcsa van? Szerkeszd meg a test hálóját! A kocka felszíne 54 = 6a 2 , innen a = 3 cm. Mivel m = a, a KOL derékszögű háromszögben: √ 2 2 3 a b = a2 + ≈ 1,2a, =a 2 2 tehát b = 1,2 · 3 = 3,6 [cm]. a és b ismeretében a háló megszerkeszthető. A testnek 9 lapja, 16 éle és 9 csúcsa van.

A test hálója például lehet ilyen:

439. Egy négyzet alapú, egyenlő oldalélű, fából készült gúla felületét pirosra festettük, majd a gúla csúcsán áthaladó, az alaplapra merőleges síkokkal négy egybevágó, négyzet alapú gúlára vágtuk szét. A megfelelő részeket kiszínezve rajzold le a vágás után keletkezett új gúlák lapjait! Számítsd ki, mennyivel változott a gúla felszíne a vágások után, ha az eredeti gúla alapéle 6,3 cm, magassága pedig 4 cm! A négy gúla egybevágó, közülük egynek az oldallapjai:

A vágások mentén 8 db

a oldalú és m magasságú derékszögű háromszög területével növekszik a felszín. 2 8 · 3,15 · 4 8t = = 50,4 [cm2 ] 2

440. Párizsban a Louvre udvarában álló üvegpiramis egy négyzet alapú, egyenlő oldalú gúla. A gúla alapéle 35,4 m, magassága pedig 21,6 m hosszú. Mekkora az üvegfelület nagysága?

T EF derékszögű háromszögben m0 = Aüvegfelület =

35,4 2

2

+ 21,62 ≈ 27,9 [m].

4 · 35,4 · 27,9 ≈ 1975,3 [m2 ]. 2

441. Egy 36 cm2 területű, négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúla egy oldallapjának területe az alaplap területének 75%-a. Mekkora a gúla felszíne? t = 36 · 0,75 = 27 [cm2 ]

To = 4 · 27 = 108 [cm2 ]

A = Ta + To = 36 + 108 = 144 [cm2 ]

167

C

M

Y

K


Trgeometria 442. Gyurmából olyan négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúlát formálunk, amelynek alapéle és magassága is 4 cm. Mekkora térfogatú gyurmát használunk el ehhez? V =

42 · 4 ≈ 21,3 [cm3 ] 3

443. Egy hatszög alapú, egyenlő oldalélű gúla felszíne 125 dm2 . Az alaplap és egy oldallap területének aránya 3 : 2. Mekkora az alaplap, és mekkora az oldallapok területe? t 2 2 = , t = Ta , Ta 3 3 Ta = 25 [dm2 ], és To = 6t = 4Ta = 100 [dm2 ]

A = Ta + To = Ta + 6t ,

mivel

6t = 4Ta ,

ezért

125 = Ta + 4Ta = 5Ta ,

innen

Az ábrán látható karácsonyfadíszt két 25 cm2 alapterületű, négyzet alapú, egyenlő oldalélű gúla összeillesztésével készítettük. a) Számítsd ki, hány cm2 papírt használtunk el! b) Ha a díszt marcipánból készítjük, akkor mekkora térfogatú masszát használunk el?

444.

a) A testet 2 × 4 db egyenlő szárú háromszög határolja. Az „alsó” gúla egy oldalának magassága: la

A „felső” gúla egy oldallapjának magassága: lf

lf =

2,52 + 6,52 ≈ 6,96 [cm]

la =

2,52 + 3,52 ≈ 4,3 [cm]

4 · a · lf 4 · a · la Aa = = 2 · 5 · 4,3 = 43 [cm2 ] = 2 · 5 · 6,96 ≈ 69,6 [cm2 ] 2 2 A = Aa + Af = 112,6 [cm2 ] Kb. 113 cm2 papírt használtunk el a karácsonyfadíszekhez. Af =

b) A négyzet oldala a = 5 cm. 52 · 6,5 Vf = ≈ 54,2 [cm3 ], 3 V = Va + Vf = 83,4 [cm3 ]. A dísz térfogata 83,4 cm3 .

Va =

52 · 3,5 ≈ 29,2 [cm3 ], 3

445. A torony teteje olyan szabályos nyolcszög alapú, egyenlő oldalélű gúla, melynek alapéle 3,8 m, oldallapjának magassága 8,6 m. A tető beborításához hány darab cserépre van szükség, ha 1 m2 területre 16 db-ot lehet felrakni, és a hulladékra plusz 15%-ot kell számítani? Az oldallap 8 db egyenlő szárú háromszögből áll. 3,8 · 8,6 To = 8t = 8 · = 130,72 [m2 ] 2 Erre a felületre 130,72 · 16 = 2091,52 [db] cserép kellene. Ha a hulladékra 15%-ot számítunk, akkor 1,15 · 2091,52 ≈ 2405,2 vagyis legalább 2406 db cserép kell.

168

C M Y K


Kapellbrücke és víztorony Svájc, Luzern

Trgeometria 446. Igazak-e az állítások? Válaszaidat indokold! A) Egy gúla határolólapjai sokszögek. Igaz, alaplap bármilyen sokszög lehet, az oldallapok pedig háromszögek.

B) A sokszöglapokkal határolt testek gúlák. Hamis, lehetnek hasábok is.

C) Két, hatszög alapú gúla egybevágó, ha a megfelelő oldalélei egyenlők. Hamis. A gúla magassága és az oldalélei egyértelműen meghatároznak egy-egy derékszögű háromszöget, melyekben a másik befogó a magasság talppontjának a gúla alapcsúcsaitól való távolsága. Ezek a megfelelő szakaszok, Pitagorasz tétele miatt páronként egyenlőek a két gúlában. Ugyanakkor viszont ezek a szakaszok bármilyen szöget is bezárhatnak egymással, ezért az alapszög a, b, c, d, e, f oldalai nem feltétlenül egyenlők. Tehát a két gúla alaplapja nem egybevágó. Megjegyzés: C) könnyíthető úgy, hogy az alaplap szabályos hatszög. Ilyenkor igaz az állítás.

D) A gúlának nem lehet páratlan számú éle. Igaz, a gúla éleinek száma az alapsokszög oldalszámának a kétszerese, emiatt mindig páros.

E) A gúlának csak páratlan számú lapja lehet. Hamis, mert pl. a háromszög alapú gúlának négy lapja van.

F) A háromszög alapú gúla minden lapja lehet alaplap. Igaz, mert a gúla alapja bármilyen sokszög lehet, így háromszög is.

447. Egy tetraéder egyik csúcsában összefutó 12 cm-es, 18 cm-es és 32 cm-es élek páronként merőlegesek egymásra. Mekkora a tetraéder térfogata? CB = 12 cm CD = 18 cm CA = 32 cm

12 · 32 V = · 18 : 3 = 1152 [cm3 ] 2

Egy húrtrapéz alapú, egyenlő oldalélű gúla magassága 56 mm. Alaprajzát az ábrán láthatod. a) Mekkora a test térfogata? b) Igazold, hogy a gúla magasságának talppontja a húrtrapéz köré írható körének középpontjába esik!

448.

a)

(48 + 32) · 28 = 1120 [mm2 ] 2 1120 · 56 V = ≈ 20 906,6 [mm3 ] 3

Ta =

b) A gúla minden oldaléle egyenlő: b. Ezért, ha a magasság és a négy oldalél által meghatározott négy derékszögű háromszögben alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, akkor r = OA = OB = OC = OD egyenlőséget kapjuk: r = b2 − m2 . Tehát O olyan pont, ami a trapéz mind a négy csúcsától egyenlő távolságra van, azaz O a trapéz köré írt kör középpontja.

169

C M Y K


Trgeometria A kúp felszíne és térfogata 449. Egy kúp alapkörének átmérője 12 cm, alkotója 6,2 cm. Mekkora a kúp tengelymetszetének területe? A tengelymetszet:

r = 6 cm m = 6,22 − 62 ≈ 1,56

2r · m = r · m = 6 · 1,56 ≈ 9,4 [cm2 ] 2 kúp alkotója 15 cm, tengelymetszetének szárszöge 60◦ . Mekkora a kúp alapkörének sugara? Tmetszet =

450. Egy

A tengelymetszet szabályos háromszög. Az alapkör sugara az alkotó fele. r = 7,5 cm

A tengelymetszet:

451. Egy fából készült kúp felületét befestjük sárgára, majd a tengelyére illeszkedő síkkal két részre vágjuk. Rajzold le az egész kúp és a két „félkúp” hálóját, és színezd ki a befestett részeket! A kúp hálója:

A két félkúp hálója egybevágó, az egyik hálója:

452. Egy 4 cm alkotójú kúp kiterített palástja negyedkör. Mekkora a kúp alapkörének kerülete és sugara? Az alapkör kerülete egyenlő a negyedkör ívének hosszával: Ka =

2·4·π = 2π ≈ 6,28 [cm] 4

453. Egy 1,5 cm alapkörsugarú, 2 cm magasságú kúpot alaplapjával párhuzamos síkkal a kúp alkotójának felénél elvágunk. Rajzold le a levágott és a maradék test hálóját! A levágott test hálója: Az alaplappal párhuzamosan az alkotót felező metsző sík felezi a test magasságát is. Ezért a levágott test alkotója 1,25 cm, magassága 1 cm, így alapkörének sugara r1 = 0,75 cm. A nagy kúp alkotója: a = 1,52 + 22 = 2,5 [cm]

170

C M Y K


Trgeometria A maradék test hálója:

A maradék test alapkörének sugara r2 = 1,5 cm, fedőkörének sugara r1 = 0,75 cm, A felezés miatt magassága m2 = 1 cm, alkotója a2 = 1,25 cm.

454. Úgy készítünk lámpaburát, hogy egy kúp kiterített körcikk alakú palástjából kivágunk egy feleakkora sugarú körcikket, majd a megmaradt körgyűrűdarabot alkotója mentén összeragasztjuk. Mennyi papírt használunk fel az ábrán látható bura elkészítésekor? A lámpaburához szükséges papír mennyiségét a kiterített palást területe adja, ami egyenlő a két 120◦ -os körcikk területének különbségével. 102 π 52 π π TP = − = · 75 = 25π ≈ 78,54 [cm2 ] 3 3 3

455. Két 4,3 cm alapkörsugarú, 5 cm magas kúpot alapjuknál összeragasztunk. Számítsd ki a kapott test térfogatát! Milyen síkidom a test tengelymetszete? A test tengelymetszete rombusz:

A test térfogata kétszerese egy kúp térfogatának. 4,32 · π · 5 Vt = 2 · Vk = 2 · ≈ 193,63 [cm3 ] 3

456. Egy kúp magassága háromszor akkora, mint az alapkörének a sugara, tengelymetszetének területe pedig 120 cm2 . Számítsd ki a kúp térfogatát! m = 3r

T = 120 cm2

2r · m =r ·m 2 120 = r · 3r T =

r 2 = 40 r = 6,32 [cm] m = 18,97 [cm]

V =

r 2 πm 6,322 · π · 18,97 ≈ ≈ 793,47 [cm3 ] 3 3

171

C M Y K


Trgeometria 457. Egy kúp alkotója 2,5 dm, alapkörének átmérője 4 dm. Hány cm3 a kúp térfogata? a = 2,5 dm = 25 cm 2r = 4 dm = 40 cm A kúp magassága Pitagorasz tételével: m2 = a 2 − r 2 = 252 − 202 = 225 V =

r = 20 cm

m = 15 cm

r 2 · π · m 202 · π · 15 = ≈ 6283,19 [cm3 ] ≈ 6,3 [dm3 ] 3 3

458. Igazak-e az állítások? Válaszaidat indokold! A) Azonos alapterületű kúpok térfogata 2-szer, 3-szor, . . . nagyobb, ha magasságuk 2-szer, 3szor, . . . nagyobb. Igaz, mert ha V =

Ta · m Ta · (k · m) és Vk = , akkor Vk = k · V 3 3

B) Azonos magasságú kúpok térfogata 2-szer, 3-szor, . . . nagyobb, ha alapkörük sugara 2-szer, 3-szor, . . . nagyobb. Hamis, mert ha V =

r2 · π · m (kr)2 · π · m k2 · r 2 · π · m és Vk = , Vk = , akkor Vk = k 2 V . 3 3 3

C) A hengernek és a kúpnak nincs éle. Igaz, mert az élek a határolólapok metszésénél keletkeznek, és a hengernek, kúpnak nincsenek határolólapjai.

D) A kúp térfogata fele az ugyanakkora alapterületű és magasságú henger térfogatának. Hamis, mert Vh = r 2 · π · m és Vk =

r2 · π · m Vh , ezért Vk = 3 3

E) Egy kúp tengelymetszete lehet derékszögű háromszög.

Igaz, pl.:

F) Egy negyed körcikkből magasabb kúpot lehet formálni, mint egy ugyanolyan sugarú harmad körcikkből.

Hamis, mert:

A kúpok alapkörének kerületével egyenlő a körcikk ívhossza: 2aπ = 2rn π 4 a = rn 4

2aπ = 2rh π 3 a = rh 3

Pitagorasz tételével meghatározható mn és mh . De a műveletek tulajdonságaiból is következik. Mivel a 2 a 2 a a < és m2n = a 2 − , illetve m2h = a 2 − műveletekben ugyanabból a számból először kisebbet, 4 3 4 3 másodszor nagyobbat vonunk le, ezért mn > mh .

172

C M Y K


Trgeometria 459. 12 cm sugarú körből kivágunk harmad, negyed és hatod körcikkeket, és ezekből egy-egy kúpot formálunk. Melyik lesz a legmagasabb? Számítsd ki mindhárom kúp magasságát! r = 12 cm

A kapott ívek az alapkör kerületével egyenlők: 2rπ rπ 2r1 π = 2r2 π = 3 2 12 r2 = 3 cm = 4 cm r1 = 3 A kúpok magassága Pitagorasz tételével:

Az

rπ 3 r3 = 2 cm

2r3 π =

m21 = 122 − 42 = 128

m22 = 122 − 32 = 135

m23 = 122 − 22 = 140

m1 = 11,31 cm

m2 = 11,62 cm

m3 = 11,83 cm

1 körcikk alapú kúp lesz a legmagasabb. 6

460. Egy a = 10 cm, b = 22 cm oldalú, téglalap alapú, egyenlő oldalélű gúlát behelyezünk egy olyan kúpba, amelyben éppen elfér. A gúla és a kúp magassága egyaránt 18 cm. Hányszor nagyobb a kúp térfogata, mint a gúla térfogata? A kúp alapkörének sugarát Pitagorasz tételével számítjuk ki: (2r)2 = a 2 + b2 = 102 + 222 = 584

a = 10 cm b = 22 cm

2r ≈ 24,17 [cm]

m = 18 cm

r ≈ 12,08 [cm]

r 2 πm 12,082 · π · 18 abm 10 · 22 · 18 Vgúla = ≈ ≈ 2750,65 [cm3 ] = = 1320 [cm3 ] 3 3 3 3 12,082 π 2750,65 ≈ ≈ ≈ 2,08-szor nagyobb a kúp térfogata. 10 · 22 1320

Vkúp = Vkúp Vgúla

461. Egy kúp magassága 70 mm, tengelymetszetének három szimmetriatengelye van. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Ha a tengelymetszetnek három szimmetriatengelye van, akkor az szabályos háromszög. Pitagorasz-tétel szerint: m2 3 A kúp felszíne: A = rπ(r + a) = rπ(r + 2r) = rπ · 3r = 3r 2 π = m2 π

(2r)2 − r 2 = 3r 2 = m2 , innen r 2 =

A kúp térfogata: V =

r2 · π · m = 3

m2 3

A = 49π ≈ 153,9 [cm2 ]

· π · m m3 · π 73 · π = = ≈ 119.73 [cm3 ] 3 9 9

173

C M Y K


Trgeometria A gömb felszíne és térfogata 462. Egy játéklabda sugara 10 cm. Mekkora a felszíne? r = 10 cm

A = 4r 2 π = 4 · 102 · π ≈ 1256,64 [cm3 ]

463. A lámpabura főkörének kerülete 54 cm. Hány dm2 a bura felszíne, és hány dm3 a térfogata? 2rπ = 54 cm r=

54 ≈ 8,6 m 2π

542 542 · π = ≈ 928,2 [cm2 ] ≈ 9,3 [dm2 ] π 4π 2 4r 3 π 4 543 543 V = = · · π = ≈ 2659,1 [cm3 ] ≈ 2,7 dm3 3 3 8π 3 6π 2 A = 4r 2 π = 4 ·

464. Egy labdát ajándékozunk barátunknak. A labdát főköre mentén átkötjük egy 98,5 cm hosszúságú szalaggal úgy, hogy ebből 42 cm-t használunk el a masnira. Hány köbcentiméter a labda térfogata? A szalag hossza a főkör kerületének és a masnira felhasznált hosszúságnak az összege. 56,5 2rπ = 56,5, r= , A főkör kerülete: K0 = 98,5 − 42 = 56,5 [cm], 2π V =

r3 =

56,53 8π 3

4r 3 π 4 56,53 56,53 = · · π = ≈ 3045,6 [cm3 ] 3 3 8π 3 6π 2

465. Egy gömb alakúra formált kötözött sonka átmérője 11 cm. Mekkora a térfogata? Hányszor több sonkát eszünk meg, ha 22 cm átmérőjűt vásárolunk? 4 · 5,53 · π ≈ 696,9 [cm3 ] 3 4 · 113 · π 4 · (2 · 5,5)3 · π 4 · 5,53 · π r2 = 11 cm V2 = = = · 8 = 8V1 2r2 = 22 cm, 3 3 3 V2 = 8V1 , tehát nyolcszor annyi sonkát eszünk meg a második esetben. 2r1 = 11 cm,

r1 = 5,5 cm

V1 =

466. Mekkora annak a félgömb alakú ejtőernyőnek a sugara, amelynek elkészítésekor kb. 36 m2 anyagot használtak fel? A = 36 m2

A félgömb felszíne: A = 2r 2 π 36 = 2r 2 π r 2 = 5,73 r = 2,39 m ≈ 2,4 m

467. Egy 3,5 cm sugarú, gömb alakú őszibarack belsejében egy megközelítőleg gömb alakú, 2 cm átmérőjű mag van. Mekkora az őszibarack ehető részének térfogata? Az ehető rész térfogata: Ve , az őszibarack és a mag térfogatának a különbsége: Ve =

4R 3 π 4r π 4π 3 − = (R − r 3 ) 3 3 3

Ve =

4π (3,53 − 13 ) = 175,41 [cm3 ] 3

174

C M Y K


R = 3,5 cm 2r = 2 cm r = 1 cm

Trgeometria 468. A kézművesboltban egy zacskóba 30 db, 6 mm átmérőjű, gömb alakú üveggyöngyöt csomagolg tak. Mekkora egy zacskó gyöngy tömege, ha az üveg sűrűsége 2,2 ? cm3 2r = 6 mm,

r = 3 mm = 0,3 cm,

sűrűség: = 2,2

g cm3

és

=

m V

4r 3 π 4 · 0,33 · π = = 0,11 [cm3 ] 3 3

Egy gyöngy térfogata:

V1 =

30 db gyöngy térfogata:

V30 = 30 · 0,11 = 3,3 [cm3 ],

tömege: m = · V = 2,2 · 3,3 = 7,26 [g]

Az ábrán egy csatorna keresztmetszetét látod. Külső átmérője 1,8 m, belső átmérője 1,5 m. Legfeljebb mennyi víz fér egy ilyen csőből épített, 20 m hosszúságú csatornába?

469.

A belső térfogathoz csak a belső átmérőre van szükség, d = 1,5 m, Vhenger = 0,752 · π · 20 ≈ 35,34 m3

r = 0,75 m

470. Egy teniszlabda sugara 3,5 cm. Mekkora sugarú és milyen magas az a henger alakú doboz, amelyben az 5 db teniszlabda az ábrán látható módon éppen elfér? Egy labda átmérője d = 2 · r = 7 cm A henger alapjának sugara ugyanakkora, mint a gömbbé: r = 3,5 cm. Magassága 5 db átmérő összegével egyenlő: m = 35 cm.

471. Egy félgömb térfogatának és felszínének egyenlő a mérőszáma. Mekkora a félgömb sugara? Af g = r 2 π + 2r 2 π = 3r 2 π A feltétel szerint

Vf g =

2r 3 π = 3r 2 π, 3

2r 3 π 3

innen r = 4,5

A félgömb sugara 4,5 hosszúságegység.

472. Mekkora annak a hengernek a felszíne és térfogata, amelyben egy 1,6 dm sugarú gömb éppen elfér? (Ez a henger beírt gömbje.) r = 1,6 dm, a henger magassága: 2r = 3,2 dm 2 A = 2r π + 2rπm = 2r 2 π + 2rπ · 2r = 2r 2 π + 4r 2 π = 6r 2 π A = 6 · 1,62 π = 48,25 [dm2 ] V = r 2 πm = r 2 π · 2r = 2r 3 π = 2 · 1,63 π = 25,74 [dm3 ]

A gömb alakú gyertya főköre mentén, az asztallapra merőlegesen körbevezetve ceruzánkat megrajzoljuk a gömb papírra eső „árnyékát”. Az így kapott kör átmérője 8,4 cm. Hány cm3 viaszból készült a gyertya, ha a) a ceruza méretét elhanyagoljuk, b) a henger alakú ceruza átmérője 0,6 cm?

473.

2R = 8,4 cm 4R 3 π 4 · 4,22 π a) V1 = = = 310,34 [cm3 ] 3 3 4r 3 π 4 · 3,93 π b) V2 = = = 248,47 [cm3 ] 3 3

R = 4,2 cm rc = 0,3 cm r = (4,2 − 0,3) [cm] r = 3,9 cm

175

C M Y K



STATISZTIKA 474. A régebbi időkben az emberek saját tapasztalataikból, szájról szájra terjedő néphagyományokból következtettek a időjárás várható alakulására. Ezek az időjóslatok sokéves megfigyelésen alapultak. A vonaldiagram a „népi meteorológia” megfigyeléseit ábrázolja. Olvasd le a hőmérséklet értékeit a megjelölt napokon! Nézz utána, hogy mit jelentenek pl. a Mátyás-, a Benedek-, a Katalin-, a Luca-naphoz kötődő népi időjóslatok! Bőséges választékot találunk a megfigyelésen alapuló időjóslásra a Néprajzi Lexikon 2. kötetének 618. oldalán az időjóslás szó alatt. időjóslás: A magyar parasztság természetismerete leginkább az időjárás pontos és részletes megfigyelésében nyilatkozott meg. Természetesen következik ez abból az életformából, amelyben évszázadokon át (különösen a pásztorkodó népesség) élt. Az időjósló tudás gyakran szentenciákká sűrűsödött. Szájhagyománybeli élete szoros kölcsönhatásban állt a kalendáriumokkal, azok lapjairól került vagy visszakerült a nép közé. Néhány jósló eljárás is ismert volt, főleg téli →naptári ünnepekhez kapcsolódva (pl. →hagymakalendárium), de általában →előjelekből jósolták meg az időjárást. Pl. egy bizonyos nap vagy időszak időjárásából következtettek más napok vagy időszakok időjárására: januári mennydörgés sok szelet hoz; ha →vízkeresztkor a kerékvágásban megindul a víz, akkor nem lesz hosszú a tél; ameddig Pál fordulásakor besüt a nap a pajtába, addig fog a hó beverni még →József napján is; ha →gyertyaszentelő napján süt a nap, akkor még kemény tél várható; ha Mátyás fagyot talál, elviszi, de ha nem talál, akkor hoz; ha Gergely megrázza a szakállát, akkor még áprilisban is hó lesz; „Sándor, József, Benedek zsákba’ hozza a meleget”; →Szent György napja előtti mennydörgés havat hoz; Benedek-napi dörgés szárazságot; ha a fagyosszentek napjai hidegek, hosszú ősz várható; ha Medárd napján esik, akkor negyven napig esni fog; „ha Katalin kopog, karácsony locsog” vagy fordítva. Általánosan elterjedt volt a lucakalendárium: →Luca napjától →karácsonyig minden nap feljegyezték az időjárást, mert a hit szerint e tizenkét nap időjárásának fog megfelelni a következő év tizenkét hónapjának időjárása. — Jósolnak ezenkívül természeti jelenségekből és bizonyos állatok viselkedéséből is: amelyik irányból először dördül az ég, abból az irányból jön abban az évben a legtöbb eső; ahány nappal Szent György előtt kijönnek a békák és kígyók, annyi napig lesz még hideg; ha a békák nagyon brekegnek, eső lesz; minél nagyobbat túr a vakond ősszel, annál hidegebb lesz télen; ha a fecskék későn jönnek, akkor még hideget éreznek; ha a verebek, tyúkok a porban fürödnek, akkor eső lesz; ha a tyúkok sokára ülnek el, esőt éreznek; ha a falevél ősszel korán lehull, azt jelzi, hogy korán jön a tél; ha ősszel sok a gomba, sok hó várható; ha a holdnak udvara van, akkor szél lesz; ha felhőben nyugszik le a nap, eső lesz; ha vörös az ég alja, szél lesz. Hoppál Mihály Természetesen más forrásokból is hozhatnak a tanulók ehhez kapcsolódó leírásokat, megfigyeléseket.

475. Egy kis településen új könyvtár nyílt, amelynek te lettél a vezetője. Szeretnéd, hogy az emberek többet és értékesebb műveket olvassanak, mint korábban. Készíts olyan felmérést, amelyből megtudod, milyen könyveket kell rendelned! Bemutatunk egy lehetséges kérdőívet, amelynek segítségével felmérhető a lakosság olvasási igénye.

176

C M Y K



Felmérés könyvtári beszerzéshez: A válaszoló adatai: (A megfelelő válasz aláhúzandó.) Férfi – nő – fiú – lány Életkora: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Milyen témájú könyveket olvas(ol) szívesen? (Több téma is megjelölhető.) Regények: – romantikus – történelmi – szerelmes – kalandos – háborús – tudományos-fantasztikus – bűnügyi – egyéb: (mi?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Novellák, rövidebb történetek: – klasszikus – mai témájú – mese(szerű) Versek: – klasszikus, régi költemények – vidám versek – verses mesék – egyéb: (mi?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ismeretterjesztő művek: – útleírás – hobbi (pl. barkácsolás, horgászat, modellezés) – háztartás (pl. szakácskönyv, kézimunka) – technika Újságok, folyóiratok: (felsorolás) Egyéb: (mi?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

476. Az iskoláskorú gyermekek leggyakrabban előforduló betegségeiről készült a táblázatban olvasható statisztika. Állapítsd meg, hogy a felmérésben mi a statisztikai sokaság, mik az egyedek, mik az ismérvek, mi az adatsokaság! Betegség

1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

Magas vérnyomás

756

733

551

461

478

Neurózisok

802

937

1 437

1 158

1 075

8 751

9 010

10 737

10 425

10 416

Lúdtalp

10 092

11 041

9 666

8 533

9 353

Asztma

696

719

760

738

700

Allergiás bőrbetegségek

492

466

427

509

469

Gombás bőrbetegségek

285

376

398

404

314

7 950

8 051

7 450

7 290

7 049

342

395

432

465

462

Mozgásszervi betegségek

Szemüvegesek száma Halláscsökkenés

ÁNTSZ iskolaorvosi vizsgálatok, 1993–1998

Statisztikai sokaság: az iskoláskorú gyermekek. Egyedek: a megkérdezett tanulók. Ismérv: a különböző betegségek száma. Az adatsokaság: a táblázatban szereplő számok összessége.

a) Számítsd ki, hogy az 1995/96-os tanévben a táblázatban feltüntetett tanulók hány %-a volt szemüveges! 1995/96-os tanévben a táblázatban szereplő tanulók száma: 31 858 A szemüvegesek száma ennek 23,8%-a.

177

C M Y K



b) Átlagosan hány magas vérnyomásos gyerek volt 1993-tól 1998-ig? A táblázatban feltüntetett adatok átlagát tudjuk meghatározni. smagas vérnyomás = 595,8 Tehát átlagosan tanévenként 596 magas vérnyomásos gyereket jegyeztek föl az iskoláskorúak között, ebben az időszakban.

477. Az 5–17 éves korú budapesti gyerekekről készült táblázatból állapítsd meg, hogy évenként hány százalékkal változott a túlsúlyos tanulók száma! 1993/94 1994/95 Túlsúlyosság [fő]

2511

2487

1995/96

1996/97

1997/98

2300

2299

2449

ÁNTSZ iskolaorvosi vizsgálatok, 1993–1998

(1) 1993/94 és 1994/95 között: 2511 − 2487 = 24-gyel csökkent a szám, ami (2) 1994/95 és 1995/96 között:

24 ≈ 0,009 = 0,9%-os csökkenés. 2511

187 ≈ 0,075 = 7,5%-os csökkenés. 2487 − 2300 = 187-tel csökkent a szám, ami 1487 (3) 1995/96 és 1996/97 között: 1 2300 − 229 = 1-gyel csökkent a szám, ami ≈ 0,0004 = 0,04%-os csökkenés. 2300 (4) 1997/98 és 1996/97 között: 150 2449 − 2299 = 150-nel emelkedett a szám, ami ≈ 0,065 = 6,5%-os növekedés. 2299

478. A grafikonról leolvashatjuk, hogy a negyedikes, hatodikos, nyolcadikos tanulók hány órát töltenek el különböző tevékenységekkel hetente. gimn. 8. évf. 3,7 30,8 4,2 7,9 2,8 utazás az iskolába és haza iskolai tanórák 29,3 3,9 7,6 2,1 ált. isk. 8. évf. 2,3 délutáni elfoglaltságok hétközi tanulás 26,6 4,4 6,9 1,8 ált. isk. 6. évf. 2,5 hétvégi tanulás 26,1

ált. isk. 4. évf. 2,5

3

7

1,7

a) Állapítsd meg, hogy a felméóra/hét 0 10 20 30 40 50 résben mi a statisztikai sokaForrás: OM-honlap, 2003 ság, és mi az ismérv! b) Készíts táblázatot a délutáni elfoglaltságok időtartamáról! c) Hány órát fordítanak a nyolcadikosok iskolai és iskolán kívüli tanulásra hetenként? d) Hány óra délutáni elfoglaltsága van átlagosan egy nyolcadikos tanulónak hetenként? a) Statisztikai sokaság: a negyedikes, a hatodikos és a nyolcadikos tanulók, ismérv: az egyes elfoglaltságok időtartama. b) Délutáni elfoglaltságok: Évfolyam Időtartam [óra]

4. évfolyam 6. évfolyam Általános iskola 8. évfolyam 3

4,4

Gimnázium 8. évfolyam

3,9

178

C M Y K


4,2


c)

8. évf. ált. isk.

8. évf. gimn.

Iskolai tanórák

29,3 óra

30,8 óra

Hétközi tanulás

7,6 óra

7,9 óra

Hétvégi tanulás

2,1 óra

2,8 óra

Összesen

39

óra

41,5 óra

d) Délutáni elfoglaltságok 8. évfolyamon: ált. isk. 3,9 óra, gimn. 4,2 óra. Átlag: s = 4,05 óra.

479. a) A grafikonról leolvasott értékekkel készíts táblázatot a nettó keresetek változásáról az 1990től 2000-ig terjedő időszakban! b) Határozd meg 1996-tól 2000-ig évenként a fogyasztói árak és a nettó bérek arányát! c) Olvasd le a grafikonról, hogy az 1996-tól 2000-ig terjedő időszakban a három változónak hány százalékos a növekedése!

Forrás: Magyar Statisztikai Zsebkönyv, 2000

A grafikonról csak közelítő értékeket tudunk leolvasni. a)

90–91 91–92 92–93 93–94 94–95 95–96 96–97 97–98 98–99 99–00 Változás évenként %

10

40

b)

30

40

30

50

80

1996

1997

1998

1999

2000

Ár/nettó bér

350 300

420 380

510 450

580 500

650 550

Arány értéke

1,17

1,11

1,13

1,16

1,18

c)

1996

2000

Növekedés

Fogyasztói árak %

350

610

260

Bruttó fizetés %

350

650

300

Nettó fizetés %

300

550

250

60

60

50

480. Egy 2003-ban készült felmérés eredményét mutatja a két sávdiagram. A felmérés tárgya: szükség van-e új oktatási és nevelési reformokra a közoktatásban? Hasonlítsd össze a pedagógusok és a szülők véleményét!

Szülők 4

15

14

40

nagyon komoly változásokra van szükség szükséges a változás, de átfogó reform nem kell

27

nem tudom eldönteni nincs szükség változásra

Pedagógusok

4

0%

8 10%

5

58 20%

30%

40%

50%

25 60%

70%

80%

90%

kifejezetten ellenzem a változásokat

100%

Forrás: OM-honlap, 2003

179

C M Y K



Ez a diagram jó példája annak, hogy egymásnak ellentmondó értékelést lehet belőle készíteni. 1

2

3

4

5

ellenzők

nincs szükség

nem tudom

Szülők

4%

14%

15%

40%

27%

Tanárok

4%

8%

5%

58%

25%

szükség van feltétlenül szükség van

Például kiolvasható a táblázatból, hogy a 2 -es oszlopban a szülők közül többen nem kívánják a változást, mint a tanárok, ugyanakkor az 5 -ös oszlopban többen tartják feltétlenül szükségesnek a változásokat a szülők közül, mint a tanárok közül. Hasonlóan ellentmondó következtetésre adnak lehetőséget a 4 -es és az 5 -ös oszlopban lévő adatok. A táblázat a megkérdezettek százalékos arányát mutatja, de azt nem tudni, hogy összesen hány tanárt és hány szülőt kérdeztek meg. Az sem derül ki, hogy mely régiókban és milyen szociális közegben élnek a megkérdezett emberek stb. Az értékelésben az adatok módusza ad egyértelmű információt. Szülők esetében 40%, tanárok esetében 58% kívánja a változásokat.

481. Az ábrán látható sávdiagramot alakítsd át kördiagrammá! A kördiagram középponti szögei Község:

21,6◦ 147,6◦ 129,6◦ 61,2◦

Város:

10,8◦ 104,4◦ 140,4◦ 104,4◦ Forrás: Helyitanterv-vizsgálat, 1998

Község

Város

41%

29%

6% 39%

3% 17% 36%

nem tanul tovább

szakmunkásképző

29%

szakközépiskola

gimnázium

482. Az ábrán látható kördiagramot alakítsd át sávdiagrammá! Az adatokat foglald táblázatba! A lakosság véleménye arról, hogy milyen középfokú iskolában érdemes a leginkább továbbtanulni

Forrás: Marián, 1999

180

C M Y K



A téglalapok szélességét a százaléklábak segítségével, arányos osztással végezzük el. 8%

10%

19%

44%

Gimnázium

Nem tudja

Nincs jelentősége

Szakközépiskola

100% Szakmunkásképző

0%

19%

483. a) 14 éves tanulók és szüleik adataival készült a táblázat. Készíts hármas oszlopdiagramot a tanulók és szüleik tömegéről! b) Számítsd ki a gyermekek, az apák és az anyák tömegének átlagát, és hasonlítsd össze saját családtagjaid tömegével! 1

2

3

4

5

6

7

8

14 éves gyermek tömege [kg]

50

50

45

62

40

45

65

47

45

Apa tömege [kg]

80

89

75

90

85

94

100

85

85

Anya tömege [kg]

50

67

51

70

58

79

60

55

65

100 90 80 70 60 50 40 30

1 2 gyermek tömege

sgy ≈ 49,9 kg

3

sapa = 87 kg

4 apa tömege

5

6 anya tömege

7

9 Saját adataim

8

9

sanya ≈ 61,7 kg

484. Osztályod valamelyik dolgozatának érdemjegyeiből készíts táblázatot, majd ábrázold az adatokat egy általad megválasztott formában! Számítsd ki a jegyek átlagát, add meg a móduszukat és a mediánjukat! Készítsd el az osztályzatok relatív gyakorisági sorát! Érdemes egy matematikadolgozat eredményét elemezni. A tankönyv 85. oldalán lévő kidolgozott példa alapján a feladat megoldható.

485. A nyolcadikosok kötelező olvasmányai között szerepel Tamási Áron Ábel a rengetegben című, 189 oldalas regénye. Ha ezt a tanulóknak 1 hónap (30 nap) alatt kell elolvasni, akkor egy napra hány oldal jut? Ha Juli az első tíz napon csak napi 3 oldalt tudott elolvasni, akkor a maradék húsz napban hány százalékkal kell növelnie napi teljesítményét, hogy a könyv elolvasásával 30 nap alatt végezzen? Naponta

189 = 6,3 oldalt kell elolvasni. 30

Juli 10 nap alatt 30 oldalt olvas el. A hátralévő 20 napra 159 oldal marad. Ezért naponta elolvasnia, ami

7,97 ≈ 1,26. Tehát 26%-kal több a tervezettnél. 6,3

159 = 7,95 oldalt kell 20

181

C M Y K



486. Egy nyolcadikos tanuló tankönyveinek tömegét olvashatjuk a táblázatban. Mekkora a kémiakönyv tömege, ha az összes könyv tömegének átlaga 29 dkg? Tankönyv

Irodalom Nyelvtan Történelem Tömeg [dkg] 45 18 32

Angol 40

Matematika 32

Fizika

Kémia

30

?

Biológia Földrajz 27

29

Ének 16

Számítástechnika 20

(45 + 18 + 32 + 40 + 32 + 30 + x + 27 + 29 + 16 + 20) : 11 = 29 289 + x = 11 · 29

x = 30

A kémiakönyv tömege 30 dkg.

487. Számítsd ki településenként külön-külön a derült és a borult napok számát jelző adatok átlagát, add meg a móduszukat és a mediánjukat is!

Debrecen Pécs

Debrecen Pécs

1990

1995

1996

1999

2000

Derült napok száma

59

43

43

37

58

Borult napok száma

100

142

130

120

83

Derült napok száma

70

51

50

34

85

Borult napok száma

99

113

131

139

78

Átlag

Módusz

Medián

Derült napok

48

43

43

Borult napok

115

–

120

Derült napok

58

–

51

Borult napok

112

–

113

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS 488. Egy szabályos dobókockát dobj fel 30-szor! Jegyezd fel a dobásokat, majd minden ötödik dobás után határozd meg a a) „legfeljebb 3-ast dobtam”, b) „legalább 3-ast dobtam” relatív gyakoriságát! A relatív gyakoriságokat a kísérletek elvégzése után lehet megállapítani.

489. Egy dobozba 3 fekete és 5 fehér golyót teszünk, majd bekötött szemmel egyet kihúzunk közülük. Hány százalék annak a valószínűsége, hogy a) fehér, b) fekete golyót húzunk? a) P (fehér golyót húzunk) =

5 8

b) P (fekete golyót húzunk) =

3 8

490. Egy italautomatában ugyanolyan áron narancslé, limonádé, kóla, tonik és szőlőlé közül választhatunk. Ha a pénz bedobása után találomra nyomunk meg egy gombot, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy kólát kapunk? P (kóla) =

1 5

182

C M Y K



491. Egy szabályos dodekaéder lapjaira ráírtuk a számokat 1-től 12-ig. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobás eredménye a) 4-gyel osztható, b) 9-cel osztható, c) 15-tel osztható, d) 3-mal nem osztható, e) legalább 7, f) legfeljebb 5, g) nagyobb 4-nél és kisebb 9-nél? a) P (4-gyel osztható) =

3 1 = 12 4

b) P (9-cel osztható) =

c) P (15-tel osztható) = 0 e) P (legalább 7) =

1 12

d) P (3-mal nem osztható) =

6 1 = 12 2

f) P (legfeljebb 5) =

g) P (nagyobb 4-nél és kisebb 9-nél) =

8 2 = 12 3

5 12

4 1 = 12 3

492. Két különböző pénzérmével dobunk egyszerre. Határozd meg a felsorolt események valószínűségét! A dobás eredménye a) két fej, P (két fej) =

1 4

b) két írás, P (két írás) =

1 4

c) egy írás, egy fej. P (egy írás, egy fej) =

1 2

493. Két szabályos dobókockával egyszer dobunk. Készítsd el az elemi események táblázatát! Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege a) prímszám, b) 2-nek valamilyen hatványa? Az előforduló elemi események száma 6 · 6 = 36, amelyeket táblázatban foglalunk össze: A dobott pontok összege lehet: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. a) Az összeg prímszám: 2, 3, 5, 7, 11 2 lehet: 1 + 1 3 lehet: 1 + 2 = 2 + 1 5 lehet: 1 + 4 = 4 + 1 = 2 + 3 = 3 + 2 7 lehet: 1 + 6 = 6 + 1 = 2 + 5 = 5 + 2 = 3 + 4 = 4 + 3 11 lehet: 5 + 6 = 6 + 5 összesen: 15 5 P (az összeg prímszám) = = 36 12

1 2 4 6 2 15

b) Az összeg 2 hatvány: 2, 4, 8 2 lehet: 1 + 1 4 lehet: 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2 8 lehet: 2 + 6 = 6 + 2 = 5 + 3 = 3 + 5 = 4 + 4 összesen:

1 2 3 4 5 6

eset eset eset eset eset eset

1 3 5 9

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66

eset eset eset eset

9 1 = P (az összeg 2 hatvány) = 36 4

494. Két szabályos dobókockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a dobott pontok szorzata 4 1 = 36 9 4 1 P (a dobott pontok szorzata 12) = = 36 9

2 1 = 36 18 2 1 P (a dobott pontok szorzata 18) = = 36 18

a) 6, P (a dobott pontok szorzata 6) =

b) 8, P (a dobott pontok szorzata 8) =

c) 12,

d) 18?

183

C M Y K



495. Az asztalra, számlapjával lefelé fordítva 20 db, 1-től 20-ig megszámozott számkártyát helyeztünk el, majd ezekből húzunk. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a) kétjegyű számot, b) 4-gyel osztható számot, A kapott valószínűség-értékeket fejezd ki százalék alakban is! a) P (kétjegyű szám) =

11 = 55% 20

b) P (4-gyel osztható szám) =

c) prímszámot választunk?

5 = 25% 20

c) P (prímszám) =

8 = 40% 20

496. A 495. feladatban szereplő 20 db számkártyából egyet húzva mekkora a valószínűsége annak, hogy a kihúzott kártyán a számjegyek összege: a) 5, b) legalább 5, c) legfeljebb 5? a) A számjegyek összege 5: az 5-ös és a 14-es számok esetén, tehát P (összeg 5) =

2 1 = 20 10

11 20 11 c) Az összeg legfeljebb 5: az 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 20 számok esetén, tehát P (összeg legfeljebb 5) = 20

b) A számjegyek összege legalább 5: az 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19 számok P (összeg legalább 5) =

497. A 495. feladatban szereplő számkártyákból egyet húzva mely események valószínűsége lehet 1 3 5 a) , b) , c) 20%, d) 0, e) 1, f) ? 2 10 2 Mindegyikre egy-egy példát adunk. a) P (páratlan) =

1 2

b) P (a szám 3-mal osztható) =

3 10

c) P (négyzetszám [1, 4, 9, 16]) = 20%

d) P (a számjegyek összege 11) = 0

e) P (a szám legfeljebb kétjegyű) = 1

f) ilyen nem lehetséges

498. Szabályos dobókockával dobunk. Mekkora az esélye annak, hogy az adott egyenlet megoldásával megegyező számot dobunk? a) (x − 3)(2 + x) = 0

x1 = 3 vagy x2 = −2 P (a) =

b) 2x − (5 + 3x) = 6

x = −11 P (b) = 0

c) (x − 5)(x − 4)(x − 1) = 0 d) 8x 2 + 40 = 8

1 6

x1 = 5 vagy x2 = 4 vagy x3 = 1 P (c) =

1 2

Az egyenletnek nincs megoldása. P (d) = 0

499. Jocónak 16 lány és 13 fiú osztálytársa van. Egy játék alkalmával bekötött szemmel kell közülük kettőt kiválasztania. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Jocó a) két lányt, b) két fiút, c) egy fiút és egy lányt választ, d) a két fiú barátját választja? 16 lány, 13 fiú, összesen 29 gyerek. 16 15 a) P (két lány) = · ≈ 0,29 29 28 c) P (egy fiú és egy lány) = 2 ·

13 16 · ≈ 0,51 29 28

b) P (két fiú) =

13 12 · ≈ 0,19 29 28

d) P (két barát) =

2 1 · ≈ 0,0024 29 28

184

C M Y K



500. A négy különböző hosszúságú szakaszból kiválasztunk hármat. Mekkora a valószínűsége annak, hogy belőlük háromszöget tudunk szerkeszteni? 5 cm

3 cm

6 cm

2 cm

Háromszög szerkeszthető, ha a szakaszok hossza vagy 3 cm, 5 cm, 6 cm, mert 3 + 5 > 6, 2 eset. vagy 2 cm, 5 cm, 6 cm, mert 2 + 5 > 6 Összesen 4 számhármast választhatok, mert a 4 közül egyet mindig ki kell hagyni, és ezt négyféleképpen tehetem 2 1 meg. P (szerkeszthető háromszög) = = 4 2

501. Egy dobozban hat piros és két sárga golyó van. Minimum hány darab golyót, és milyen színűt kell ezekhez hozzátenni, hogyha véletlenszerűen húzunk közülük, akkor a) a piros golyó húzásának valószínűsége 80%, b) a sárga golyó húzásának valószínűsége 50% legyen? (Egyszerre csak egyféle színű golyót tehetünk a dobozba.) a) 6 piros és 2 sárga; összesen 8 db golyó I. eset: hozzáteszünk x db pirosat, akkor a (6 + x) piros, 2 sárga; összesen: (8 + x) db golyó lesz. 6+x 4 P (pirosat húzunk) = = = (80%) Innen x = 2. Tehát 2 db piros golyót kell hozzátenni. 8+x 5 II. eset: hozzáteszünk y db sárgát (vagy bármilyen más színűt), akkor a 6 db piros, (2 + y) db sárga (vagy 2 db sárga és y db más színű); összesen (8 + y) db golyó lesz. 6 4 1 P (pirosat húzunk) = = , innen y = − , ami lehetetlen. 8+y 5 2 b) 6 piros és 2 sárga; összesen: 8 db golyó. I. eset: hozzáteszünk x db pirosat (vagy más színűt), akkor 2 db sárga, (6 + x) piros (vagy 2 db sárga, 6 db piros és x db más színű); összesen: (8 + x) db golyó lesz. 2 1 P (sárgát húzunk) = = , innen x = −4, ez lehetetlen. 8+x 2 II. eset: hozzáteszünk y db sárgát, akkor a 6 db piros, (2 + y) db sárga; összesen: (8 + y) db golyó lesz. 2+y 1 P (sárgát húzunk) = = Innen y = 4. Tehát 4 db sárgát kell hozzátenni. 8+y 2

502. Két dobozba helyezzük el az öt különböző feliratú cédulát, amelyekre négyszögekre vonatkozó állításokat írtunk. Az első dobozba az I., II., III.-at, a másik dobozba a IV., V.-et tesszük. Mindkét dobozból egy-egy cédulát húzunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy két olyan tulajdonságot húzunk, amelyek csak az általános paralelogrammára igazak? I.

Átlói merőlegesek egymásra.

III. Átlói felezik a szögeket.

II. Szemközti szögei egyenlők. IV. Szögeinek összege 360◦ .

V. Átlói felezik egymást. Ha az első dobozból választott cédulához párosítjuk a második dobozból húzottakat, akkor 3 · 2 = 6-féle pár készíthető, ha fordított sorrendben húzzuk a cédulákat, akkor is 6-féle pár keletkezik, de ezek ugyanazok, mint az előző esetben.

185

C M Y K



Például: az I–IV. húzásakor és a IV–I. húzásakor ugyanazt a két tulajdonságot tudjuk a cédulákról leolvasni. Ezért összesen 6-féle különböző pár húzható a két dobozban lévő 5 db cédulából. Ezek közül csak az általános paralelogrammára igaz tulajdonság a II–IV. és a II–V. párosok esetén olvasható. 2 1 P (mindkettő csak általános paralelogrammára igaz) = = 6 3

503. Nyár végén Lali a 20 méter hosszú horgászdamilját összegubancolódva tette el. A következő évben, amikor nekiállt kibogozni, azon tűnődött, vajon mekkora az esélye annak, hogy a damilon az egyik végétől számítva az első 40 cm-en keletkezik csomó. Számítsd ki, mekkora ennek a valószínűsége, ha feltételezhető, hogy a damilon bárhol ugyanakkora valószínűséggel keletkezhet csomó! P (csomó az első 40 cm-en belül) =

40 = 0,02 = 2% 2000

504. Az ábrán megrajzolt céltáblákra dobálunk. A dobás akkor értékes egy táblánál, ha annak π π 1 2 kiszínezett részébe találunk. A , , , és az értékes dobások valószínűségei egy-egy 4 4 2 π táblánál. Állítsd párba az ábrákat a megfelelő valószínűség-értékekkel! a) b) c) d)

π ←→ a) 4

π ←→ c) 4

1 ←→ b) 2

186

C M Y K


2 ←→ d) π

Transzformcik GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Eltolás, vektorok 505. A négy zászlópár mindegyike egy-egy eltolást határoz meg. Mindegyik fehér zászlóhoz keresd meg a párját, és végezd el a megfelelő mozgatást! Mindegyik eltoláshoz rajzold le újra a csillagot a hozzá tartozó zászlópárral együtt!

A mozgásokat a tanulók másolópapír segítségével végezzék el. A másolópapíron megrajzolják az eltolt csillagot az eredetivel együtt és a megfelelő zászlópárt is. A rajzokat ragasszák be a füzetükbe.

506. Hat mozgatást adtunk meg, ezek mindegyike ugyanazt a fehér zászlót más-más feketébe viszi át. Mifélék ezek a mozgások? Hová viszik az ABC háromszöget? Melyek eltolások közülük? Add meg az eltolás vektorát!

Dolgozzunk itt is másolópapíron! a) Egy tengelyes tükrözés és egy eltolás. Ez a mozgás a berajzolt t tengelyre történő csúszástükrözés. A tengelyen megadtuk az eltolás vektorát. b) eltolás, f) és c) középpontos tükrözés, d) eltolás, e) tengelyes tükrözés.

507. Rajzolj az adott a, b, c vektorokkal egyenlő vektorokat mindegyik pontból kiindulva! Hová viszik a vektorokhoz tartozó eltolások a színes ötszöget?

187

C M Y K


Transzformcik 508. Betűzd egyformán az egyenlő vektorokat!

509. Adottak az e, f, g, h, i és j vektorok. Add meg azoknak a vektoroknak a betűjeleit, amelyek az egyes alakzatokat a vesszős párjukba viszik!

188

C M Y K


Transzformcik 510. A mozgatógépek mindegyike eltolást végez. Mindegyik géphez válaszd ki azt a vektort, amelyik ugyanazt az eltolást adja meg! a) (x; y) → (x + 2; y) b b) (x; y) → (x; y − 6) nincs ilyen c) (x; y) → (x − 3; y − 8) f d) (x; y) → (x + 5; y + 5) d 511. Megrajzoltuk koordináta-rendszerben az ABC háromszöget. Készítsd el a háromszög képét az a)–d)-ben megadott szabályok szerint! Rajzold be az eltolás vektorát!

a) (x; y) → (x; y + 5) A(2; 5) → A ( 2 ; 10 ) B(6; 1) → B ( 6 ; 6 ) C(3; −2) → C ( 3 ; 3 )

b) (x; y) → (x + 3; y + 3) A(2; 5) → A ( 5 ; 8 ) B(6; 1) → B ( 9 ; 4 ) C(3; −2) → C ( 6 ; 1 )

c) (x; y) → (x − 1; y − 1) A(2; 5) → A ( 1 ; 4 ) B(6; 1) → B ( 5 ; 0 ) C(3; −2) → C ( 2 ; −3)

d) (x; y) → (x − 5; y − 1) A(2; 5) → A (−3; 4 ) B(6; 1) → B ( 1 ; 0 ) C(3; −2) → C (−2; −3)

512. Egy eltolás a kutyát úgy mozgatta el, hogy az A pont az A -be ment át. Rajzold meg az eltolt képet, és add meg az eltolás vektorát úgy, hogy a vektor kezdőpontja a (0; 0) pont legyen! Add meg a mozgatógép szabályát úgy, hogy a gép éppen az adott eltolást végezze el! a)

b)

(x; y) → (x ; y − 5)

c)

(x; y) → (x − 6; y )

d)

e)

(x; y) → (x − 7; y−1)

(x; y) → (x − 2; y − 5) f)

(x; y) → (x + 6; y )

(x; y) → (x − 2; y − 5)

189

C M Y K


Transzformcik 513. Told el a megadott alakzatokat úgy, hogy a P pont képe P legyen! −−→ a) Add meg minden esetben az eltolás vektorát! Az eltolást ne csak a P P vektorral adjuk meg! Mindegyik esetben megfogalmazhatjuk, hogy milyen mozgatógép végzi el ugyanezt az eltolást. Alkalmas a feladat a differenciált foglalkozásra.

1

2

(x; y) → (x + 4; y + 4)

4

(x; y) → (x + 5; y + 4)

5

(x; y) → (x + 4; y + 5)

b)

3

1

2

3

4

5

6

(x; y) → (x + 5; y − 4)

6

(x; y) → (x − 5; y + 4)

(x; y) → (x + 4; y + 4)

Kösd össze azoknak az eltolásoknak a számjelét, amelyeket ugyanaz a vektor jellemez!

Az eltolás tulajdonságai 514. Vera néhány alakzat eltolással kapott képét akarta megszerkeszteni, de több esetben is hibázott. Válaszd ki a hibás rajzokat, és találd ki, hogyan lehet a legkevesebb módosítással kijavítani őket! Rajzold le mindegyik rajzhoz az eltolás vektorát! a) b) c)

Betűzéssel javítható.

Vera itt nem hibázott. Végtelen sok megoldás van, bármelyik vektor megfelelő, amelyik e-vel párhuzamos.

190

C M Y K


Transzformcik d)

e)

Nem hibás a rajz.

f)

Az e vagy f egyenesek közül bármelyikre tükrözve az eltolt alakzatot kapjuk.

g)

Tükrözzük a vesszős alakzatot O B sugárra, és ekkor az eltolt kört kapjuk.

h)

i)

k)

l)

Tükrözzük a vesszős félkört az átmérőjére!

j)

Itt csak a CD szakasz képe van helyesen eltolva, az A , B csúcsok rossz helyen vannak.

515. A fekete háromszög eltolással a zöld háromszög helyére került. Jelöld az ábrán a) a zöld háromszög képét, b) az X pont képét, c) az XRP ^ képét, d) a P E szakasz képét, e) a CF P háromszög képét, f) az AGR háromszög képét! Keress olyan háromszögeket az ábrán, amelyekbe az AGR háromszög eltolással átvihető! Hány ilyen van?

Az A csúcsot eltolhatjuk C, R, P , illetve B, A , E pontokba. A hatféle eltolás mindegyike megfelel.

191

C M Y K


Transzformcik 516. Melyik félegyenesek kaphatók meg valamelyik másik félegyenes eltolásával? A párhuzamos és egyirányú egyenespárokat kell kiválasztani. Egymásból eltolással kaphatók: a, b, j ; c, d; e, f , g, k, i; g, k, h-nak nincs párja.

517. Melyik szögek kaphatók meg valamelyik másik szög eltolásával? Az egyállású szögeket kell kiválasztani. α

β

α

α

β β

A következő állításokban α és β párhuzamos szárú szögeket jelentenek. Keress minden állításhoz példákat az ábráról! a) α = β, például α = 1 , β = 17 . b) α + β = 180◦ . c) α eltolással β-ba vihető. d) α középpontos tükrözéssel β-ba vihető. e) α tengelyes tükrözéssel β-ba vihető. f) Az egyik hegyes-, a másik tompaszög.

518.

a) α = β

α

1

16

1

β

14

19

9

b) α + β = 180◦

stb.

c) α eltolással β-ba vihető, ha egyállású szögek:

α

1

20

13

β

17

9

24

d) α középpontos tükörképe β, ha fordított állású szögek:

α

4

2

20

β

5

14

21

stb.

stb.

α

6

2

16

β

9

13

19

stb.

e) Az ábrán lévő párhuzamos szárú szögek sohasem tengelyes tükörképei egymásnak. f) Az egyik hegyes-, a másik tompaszög:

α

1

12

1

β

13

13

24

stb.

519. A következő állításokban α és β párhuzamos szárú szögek. Tegyél + jelet a táblázat megfelelő oszlopába! A lehetséges esetekhez adj meg legalább egy-egy példát!

192

C M Y K


Transzformcik Biztos, hogy igaz α = 20◦ , β = 100◦ α = 80◦ , β = 80◦ α = 130◦ , β = 50◦ α = 3β α = 180◦ − β β = 2α α tompaszög és α < β α>β α hegyesszög és α > β α + 80◦ = β

Lehet, hogy igaz, de nem biztos

Lehetetlen +

pl. ha csúcsszögek pl. ha mellékszögek ha α = 45◦ és β = 135◦ pl. ha mellékszögek ha α = 60◦ és β = 120◦ ha β 360◦ -ra egészíti ki α-t + + ◦

α = 50 β = 130

◦

520. Keress az ábrában egyállású és fordított állású szögeket! Azokat a szögeket, amelyek a feketével a) egyállásúak, színezd kékkel, b) fordított állásúak, színezd zölddel, c) nem párhuzamos szárúak, színezd sárgára, d) se nem egyállásúak, se nem fordított állásúak, színezd pirosra! A színeket kezdőbetűikkel jelöltük.

Az eltolt kép szerkesztése 521. Egy eltolás az ABC háromszöget az A B C háromszögbe viszi. Szerkeszd meg az eltolás vektorát, és szerkeszd meg a félkör eltolt képét! Paralelogramma módszerrel megszerkesztjük Q pontot úgy, hogy A AQQ pontokat egy paralelogramma 4 csúcsának tekintjük. Párhuzamost szerkesztünk a félkör átmérőjével, majd megrajzoljuk a félkör képét. A párhuzamosok rajzolását végezhetjük vonalzócsúsztatással is.

522. Az ABC háromszög eltolásával az A pont az A pontba került. Add meg az eltolás vektorát, és szerkeszd meg az eltolással kapott A B C háromszöget! Itt is a paralelogramma módszer a legegyszerűbb. A paralelogramma 4 csúcsa: AA CC , illetve: AA BB

193

C M Y K


Transzformcik Az ABCD négyzetet eltolva a B pont a D pontba került. Add meg az eltolás vektorát, és az A, a C és a D pontnak megfelelő A , C és D pontokat!

523.

Dolgozzunk a paralelogramma módszerrel!

524. Adott az ABC szabályos háromszög, amelynek eltolásakor az A csúcs az A pontba jut. Add meg az eltolás vektorát, és szerkeszd meg az eltolással kapott A B C háromszöget! ABB A , illetve ACC A alkotnak paralelogrammát.

525. A fekete vektorral told el az α szöget! Rajzolhatunk vonalzócsúsztatással is.

526. A β szöget a fekete vektorral eltoltuk, és így kaptuk a β szöget. Szerkeszd meg a β szöget! A vektor kezdőpontján át párhuzamost szerkesztünk az egyik szárral, majd átmásoljuk β szöget. Más eljárás is követhető.

A feketével rajzolt α szöget eltoltuk, és a képét, α -t, színessel rajzoltuk meg. Mindkét szögnek eltűnt az egyik szára. Pótold a hiányzó szárakat!

527.

Párhuzamosokat kell húzni a megmaradó szárakkal.

528. Told el az egyenest úgy, hogy áthaladjon az F ponton! Az egyenes tetszőleges pontját összekötve F ponttal olyan vektort kapunk, amely eltolva az egyenest, át fog menni F ponton. Ez egy egyszerű alapszerkesztés, külső ponton át párhuzamost kell szerkeszteni. Legegyszerűbben a paralelogramma módszerrel dolgozhatunk.

529. Told el a szöget úgy, hogy képe illeszkedjen a B és C pontokra! B-n és C-n keresztül párhuzamosokat szerkesztünk az eredeti szárakkal. Csak akkor van megoldás, ha a kapott egyenesek a szög szárain tartalmazzák B és C pontokat.

194

C M Y K


Transzformcik 530. Told el a háromszöget úgy, hogy a képe illeszkedjen az X és Y pontokra! Lehet, hogy X ponton a BC oldal képe megy át, Y -on pedig AB oldal képe. Ekkor A B C háromszöget kapjuk. Más megoldáshoz jutunk, ha X ponton AC oldal képe megy át, Y ponton pedig AB oldal képe. Ekkor A B C háromszöget kapjuk.

531. Told el a téglalapot úgy, hogy a képe illeszkedjen a P és Q pontokra! Hány megoldás lehetséges? Húzzunk P és Q pontokon át párhuzamosokat a téglalap oldalaival, mivel az eltolt oldalak ezeken fekszenek. Ezután biztosítani kell, hogy az eltolt téglalapnak is ugyanolyan hosszú legyen az a oldala, mint az eredetinek. A két szélső helyzet között, amikor P pont A csúcs képe, illetve amikor Q pont C csúcs képe, tologathatjuk a téglalapot. Jó, ha a gyerekek először másolópapírral megnézik, milyen lesz a megoldás.

532. Told el a szakaszt úgy, hogy áthaladjon a P ponton! Hány megoldás lehetséges? Húzzunk párhuzamost P ponton át a szakasszal. Ezen fekszik majd a képszakasz. Két szélső helyzet van: A képe P , vagy B képe P pont. Közöttük végtelen sokféleképpen tolhatjuk el a szakaszt.

Told el a szakaszt úgy, hogy áthaladjon az R ponton, és egyik csúcsa az e egyenesre essen! Húzzunk R ponton

533.

át párhuzamost a szakasszal (a ).

a -nek az e egyenessel való metszéspontjából kiindulva mérjük fel a szakasz hosszát R irányába.

534. Told el a háromszöget úgy, hogy egyik csúcsa az f egyenesre essen, és egyik oldala áthaladjon az X ponton! Szerkesszünk X ponton át párhuzamost b oldallal (b). A b és f egyenesek metszéspontja lesz A pont képe (A ). A -ből kiindulva A X félegyenesre felmérjük b oldalt, majd felépítjük rá c és a szakaszokból az eltolt háromszöget. Más megoldást kapunk, ha X ponton át c oldallal, mást ha az a oldallal szerkesztünk párhuzamost. Ezekben az esetekben a szerkesztést hasonlóan kell elvégezni.

535.

Adott egy téglalap egyik átlóegyenese, e, egyik oldalegyenese, a, és egy másik oldalegyenesének az eltolt képe, b . Adott az eltolás vektora, v is. Szerkeszd meg a téglalapot és a képét! Toljuk el b egyenest v vektorral azonos nagyságú, de ellentétes irányú vektorral! Ekkor a téglalap egyik oldalegyenesét (b) kapjuk, és ennek e átlóval való metszéspontja a téglalap egyik csúcsa. Ennek ismeretében könnyű befejezni a szerkesztést.

195

C M Y K


Transzformcik 536. Adott egy téglalap egyik átlóegyenese, e, és rajta a téglalap középpontja, O. Adott a téglalap másik átlójának az eltolt képe is – az f szakasz. Szerkeszd meg a téglalapot! A téglalap átlói egyenlő hosszúak és kölcsönösen felezik egymást. Szerkesszük meg f felezőpontját, majd toljuk el f szakaszt úgy, hogy a felezőpontja O-ba kerüljön! Ezután az e egyenesen kijelölhetjük a hiányzó csúcsokat, hiszen ismerjük a félátló hosszát.

537. Egy eltolás a színes alakzatot a feketébe vitte át. A színes alakzatra sajnos pacák kerültek, és pacára rajzolni nem szabad, mert ragad. Meg tudod-e mégis adni az eltolás vektorát?

a) Az eredeti háromszögben és a képen is látszik egy-egy megfelelő csúcs. Ezek meghatározzák az eltolás vektorát. Ezzel a vektorral eltoljuk a háromszög oldalaiból a látható szakaszokat.

b)

Az eltolás vektora nem határozható meg egyértelműen. A pacák többféle, az eredetivel egyenlő hosszúságú szakaszt is lefedhetnek. Végtelen sok lehetséges eltolás van.

196

C M Y K


Transzformcik c) A szögek egymásba vitelét két lépésben oldjuk meg. Először eltoljuk a színes szöget úgy, hogy egyik száruk egy egyenesbe essen a fekete szög egyik szárával. Ezután a közös szár egyenesével párhuzamosan addig toljuk a szöget, amíg a másik száruk is egybeesik.

Vázlat:

Szerkesztés menete: 1. lépés A színes szög egyik szárának tetszőleges A pontját eltoljuk a fekete szög megfelelő szárának egyik A pontjába. Ez az eltolás a szög csúcsát a közös szár valamelyik pontjába viszi.

2. lépés −→ Az AA vektorral eltoljuk a másik szárat is például úgy, hogy két pontját a szárnak – P -t és R-et – eltoljuk, majd meghúzzuk a rajtuk áthaladó egyenest. Ez a közös szárból kimetszi a lepacázott csúcs O képét.

3. lépés

−−−→ Az A O P ^-et O -ből a fekete szög csúcsába mutató vektorral – O O -vel való eltolás a fekete szögbe viszi. −−→ −−−→ A pont – A -be kerül úgy, hogy A A = O O , tehát az O A száron, O O távolságra A -től helyezkedik el −−→ az A . A keresett vektor, ami a színes szöget a fekete szögbe viszi, megegyezik A A -vel. d) Ez a feladat pontosan úgy oldható meg, mint az előző. A háromszög három oldala közül kettőt kiválasztunk, és megszerkesztjük azt a vektort, ami ezeket a fekete megfelelőjükbe viszi.

Egybevágósági transzformációk összefoglalása 538. A fehér négyzetet egy mozgás a feketébe vitte. Hová kerülnek a megjelölt alakzatok, ha ez a mozgás a) eltolás, b) tengelyes tükrözés,

197

C M Y K


Transzformcik d) 90◦ -os forgatás?

c) középpontos tükrözés,

Fontos, hogy a gyerekek a megoldásaikat másolópapírral ellenőrizzék!

Színezd ki a pontrácsra rajzolt idomokat a megfelelő színnel! (P piros, K kék, Z zöld, S sárga.) Úgy egészítsd ki a rajzot, hogy a C pont körüli 90◦ -os elforgatás után se változzon meg a kép! Használj átlátszó papírt! Könnyű tévedni, fontos a másolópapírral

539.

történő ellenőrzés!

540. Másold át másolópapírra az alakzatok egyikét, majd szúrd be a ceruzád hegyét egy olyan pontba, amely körül a másolópapírt elforgatva az átmásolt alakzatot a képe helyére tudod forgatni! Határozd meg az elforgatás szögét! b) c) d) a)

e)

f)

g)

198

C

M

Y

K


h)

Transzformcik i)

j)

k)

l)

m)

m) Ha A pont képe A , akkor a forgatás középpontja rajta van AA felező merőlegesén. Hasonlóképpen rajta kell, hogy legyen BB felező merőlegesén is. A két felező merőlegest megszerkesztve ezek metszéspontja O pont, a forgásközéppont, AOA ^ a forgatás szöge. Más megoldást kapunk, ha a képszakasz végpontjait fordítva betűzzük, és a fentiekhez hasonló módon elvégezzük a szerkesztést.

Használjuk a következő rövidítéseket: tengelyes tükrözés: t, középpontos tükrözés: kpt, eltolás: elt, forgatás: f . Amire vonatkoztatjuk a transzformációt, azt a transzformáció jele mellé írjuk. Például tAB jelenti az AB egyenesre való tükrözést. fA,60◦ jelenti az A pont körüli 60◦ -os elforgatást. kptB jelenti a B pontra vonatkozó −→ tükrözést. elt−→ jelenti az AC vektorú eltolást. AC A következő táblázat első sora például azt jelenti, hogy az EU T a H F egyenesre tükrözve az XGY -be kerül. Töltsd ki a táblázat hiányzó mezőit! Ahol lehet, keress több megoldást is!

541.

Ezt az alakzatot

ez a transzformáció

ebbe az alakzatba viszi át

EU T

tH F

XGY

AJ V

elt−→ JI

T I M

AJ V

kptJ

U J N

AJ V

tH F

ZBK

V ZON négyszög

elfO ,90◦

NOP M négyszög

V E szakasz

fF ,190◦ vagy tH F

ZG szakasz

XY P QO ötszög

fQ,90◦ vagy tQB

V ZOQN ötszög

DI T

elt−−→ DY

XY G

MNG

elt−−→ MR

P LR

MNQ

elt−−→ PN

J U A

199

C M Y K


Transzformcik 542. Hová került a csillagos csempe? Hová kerülhetett a csillagos csempe, amikor a) a fekete a zöldbe jutott? Jelöld zöld pöttyel a csillagos csempe új helyét! b) a fekete a pirosba jutott? Jelöld piros pöttyel a csillagos csempe új helyét! c) a fekete a kékbe jutott? Jelöld kék pöttyel a csillagos csempe új helyét! d) a fekete a zöldbe jutott? Jelöld zöld pöttyel a csillagos csempe új helyét! A fekete alakzat háromféleképpen tehető bármelyik színes alakzatra. Ezen mozgások közül az egyik mindig eltolás, a másik kettő forgatás. Ennek megfelelően a csillaggal jelölt csempe minden esetben három helyre kerülhet. Ezek közül nem mindegyik fér rá erre a rácsra.

543. Ezeket a mintákat mindkét irányban vég nélkül lehet folytatni:

Mindegyikhez végtelen sokféle vektor adható meg.

A görögös sorminták mindegyike középpontosan szimmetrikus. Mindegyikben végtelen sok középpontot lehet berajzolni.

Tengelyesen szimmetrikusak. Néhány tengelyt berajzoltunk, végtelen sok tengely van. A legutolsó pillangósor is ilyen.

Ezek a minták eltolásszimmetrikusak. Ez azt jelenti, hogy van olyan vektor, amellyel eltolva a síkot az ábra önmagába megy át. a) Mindegyik képhez adj meg egy olyan vektort, amellyel a síkot eltolva az ábra önmagába megy át! Hány ilyen vektor van?

200

C M Y K


Transzformcik b) Keresd ki azokat a képeket, amelyek középpontosan is szimmetrikusak, és rajzolj be egy szimmetriacentrumot! Hány ilyen középpont van? c) Keresd ki azokat a képeket, amelyek tengelyesen is szimmetrikusak! Jelölj meg egy szimmetriatengelyt! Hány ilyen van? 544. a) Kaphattuk-e egyetlen tengelyes tükrözéssel a H hatszögből a H hatszöget? Ha igen, akkor szerkeszd meg a tükörtengelyt! Igen.

b)

Kaphattuk-e egyetlen középpontos tükrözéssel a H hatszögből a H hatszöget? Ha igen, akkor szerkeszd meg a középpontot! Igen.

c) Kaphattuk-e egyetlen eltolással a H hatszögből a H hatszöget? Ha igen, akkor szerkeszd meg az eltolás vektorát! Igen.

545. a) Színezéssel jelöld az ábrán az összes olyan háromszöget, amelyet az O pont körüli elforgatással kaphattunk meg a fekete háromszögből! Mindegyik mellé írd oda az elforgatás szögét! Itt is dolgozzanak a gyerekek másolópapírral, mert könnyen tévedhetnek.

b)

Színezéssel jelöld az ábrán az összes olyan háromszöget, amelyet tengelyes tükrözéssel kaphattunk meg a fekete háromszögből! Mindegyik esetben keresd meg a tükrözés tengelyét! A feladathoz további kérdések fűzhetők, pl.: A fekete háromszöget milyen transzformáció viszi át a kérdőjellel jelölt háromszögbe? Pl. t tengelyű v vektorú csúszástükrözés. Ugyanez a mozgás másféle transzformációkból is összerakható.

201

C M Y K


Transzformcik Nem egybevágósági transzformációk 546. Válaszd ki a hasonló háromszögeket! b∼m∼g a∼c∼i∼j ∼l e∼d ∼f ∼h k∼n

Válaszd ki a hasonló téglalapokat! Színezd őket egyforma színűre!

547.

Azok a hasonló téglalapok, amelyekben az oldalak aránya megegyezik. Az arányokat beírtuk a téglalapokba. Ez alapján színezhetünk.

548. Rajzolj a megadott háromszöghöz hasonló háromszögeket úgy, hogy a színes a oldal megfelelője éppen a legyen! A derékszögű háromszögek mindegyikében a hosszabbik befogó háromszorosa a rövidebbik befogónak.

202

C M Y K


Transzformcik 549. Rajzolj a megadott téglalaphoz hasonló téglalapokat úgy, hogy a színes a oldal megfelelője éppen a szakasz legyen! Mindegyik téglalapnál állapítsd meg, hogy b oldal hányszorosa b oldalnak! 550. Egységkockákból építettünk egy testet. Építsd meg a kétszeresére nagyított testet!

a

a

b

a b fele b b-nek

b 2-szerese b-nek

b b negyede b b-nek a

b b

3 -e b-nek 4 a

b

5 -e b-nek 4

a

b a

b

3 -e b-nek 2 b

551. Egységkockákból építettünk testeket. Vannak-e köztük hasonlók? Kösd össze a betűjelüket nyíllal! Írd a nyílra a hasonlóság arányát! A téglatestek mellé odaírtuk az oldalaik arányát.

203

C M Y K


Transzformcik

552. Másold át a tapétamintát a megadott hálókra! Jelöld meg az A, C, F , O pontok képét A , C , F , O -vel mindegyik esetben!

Keresd azt a hálót, amelyiken az eredetihez hasonló mintát kaptál! Mindegyik hálón színezd pirosra az AO-t, illetve a képeit, zölddel a CF -et, illetve annak képeit!

204

C M Y K


Transzformcik Az eredeti ábráról leolvashatod, hogy AO = 4 cm és CF = 4 cm. Állapítsd meg mindegyik hálón az AO képének és a CF képének a hosszát, és töltsd ki a táblázatot! A O

C F

A O AO

C F CF

A O C F

a)

4 cm

8 cm

1

2

1 2

b)

2 cm

2 cm

1 2

1 2

1

c)

4 cm

4 cm

1

1

1

d)

4 cm

3,2 cm

1

32 = 0,8 40

40 = 1,25 32

553. Mekkora a valóságban? Kertek kicsinyített rajzát látod a lapon. Mindegyik rajz mellé odaírtuk a hosszméretek kicsinyítésének mértékét. Mekkora a kertek kerülete és területe? a b

c

d

A kicsinyítés mértéke

Kerület a valóságban

Terület a valóságban

a kert b kert c kert

1 : 1000

(25 + 20) · 2 = 90 m

25 · 20 = 500 m2

1 : 500

2 · 15 + 2 · 10 + 2 · 5 = 60 m

15 · 15 − 5 · 5 = 200 m2

1 : 2000

4 · 40 = 160 m

d kert

1 : 750

(13,5 + 27) · 2 = 81 m

40 · 38 = 1520 m2 1 37,5 · 15 · = 281,25 m2 2

205

C M Y K


Transzformcik A középpontos hasonlóság 554. A sík pontjai az (x; y) → (3x; 3y) szabály szerint mozognak, vagyis bármely pont párját úgy kapjuk, hogy mindkét jelzőszámát megháromszorozzuk. Rajzold meg a koordináta-rendszerben az A(−1; 2), B(3; −1), C(1; 3) háromszöget, és a fenti szabály szerint elmozdított képét is! Mérd meg a háromszögek megfelelő adatait, majd határozd meg az alábbi értékeket! A B B C A C ma α β = 3 = 3 = 3 = 3 = 1 = 1 AB BC AC ma α β 555. Megrajzoltuk a koordináta-rendszerben az ABCD paralelogrammát. Készítsd el a paralelogramma képét az a)–h) szabályok szerint! Válaszd ki azokat az eseteket, amelyekben a képalakzat hasonló az eredetihez! a) (x; y) → (2x; 2y)

hasonló

A(0; −2) → A (0; −4) B(2; 2) → B (4; 4)

C(0; 4) → C (0; 8)

D(−2; 0) → D (−4; 0)

hasonló

hasonló

1 1 b) (x; y) → − x; − y 2 2

hasonló, sőt egybevágó

c) (x; y) → (−2x; 2y)

d) (x; y) → (x + 2; y)

A(0; −2) → A (0; 1)

A(0; −2) → A (0; −4)

A(0; −2) → A (2; −2)

B(2; 2) → B (−1; −1)

B(2; 2) → B (−4; 4)

B(2; 2) → B (4; 2)

C(0; 4) → C (0; −2)

C(0; 4) → C (0; 8)

C(0; 4) → C (2; 4)

D(−2; 0) → D (1; 0)

D(−2; 0) → D (4; 0)

D(−2; 0) → D (0; 0)

206

C M Y K


Transzformcik egybevágó

nem hasonlóak Vigyázat! Nem elég a csúcsok képeit összekötni!

e) (x; y) → (x − 1; y + 3)

f) (x; y) → (|x|; |y|)

hasonlóak

g) (x; y) → (2x + 3; 2y + 3)

A(0; −2) → A (−1; 1)

A(0; −2) → A (0; 2)

A(0; −2) → A (3; −1)

B(2; 2) → B (1; 5)

B(2; 2) → B (2; 2)

B(2; 2) → B (7; 7)

C(0; 4) → C (−1; 7)

C(0; 4) → C (0; 4)

C(0; 4) → C (3; 11)

D(−2; 0) → D (−3; 3)

D(−2; 0) → D (2; 0)

D(−2; 0) → D (−1; 3)

556. A rajzok mindegyikén a színes alakzatot középpontos hasonlóság vitte a fekete alakzatba. Határozd meg a középpontot! Végezz méréseket, és állapítsd meg a hasonlóság arányát!

207

C M Y K


Transzformcik 557. A fekete alakzat középpontosan hasonló képe a színes alakzat. Szerkeszd meg P pont képét, illetve Q pont eredetijét!

558. Adott egy B pont és a középpontosan hasonló képe: B . Hol van a hasonlóság középpontja, ha 3 B B B B a hasonlóság aránya ? Mekkora a következő arányok értéke: ; ? 2 BO B O

559.

Az O pont a B B meghosszabbításán, a B felőli oldalon, a B-től 2 · BB távolságra van. B B B B A értéke: 1 : 2, értéke: 1 : 3. BO BO Adott az A pont és a középpontosan hasonló képe: A . Határozd meg a hasonlóság középpontját, 7 A A A A

ha a hasonlóság aránya

560.

3

! Állapítsd meg a következő arányok értékét:

AO

Az O pont a B B meghosszabbításán, a B felőli oldalon, a B-től 2 · BB távolságra van. B B B B A értéke: 1 : 2, értéke: 1 : 3. BO BO Ismerjük a középpontos hasonlóság O középpontját. A pont képe A pont. A pontokat, és határozd meg, hogy mekkora a hasonlóság aránya, ha a) AA = 2 cm és OA = 8 cm, Ha A pont O és A között van,

=

b) OA = 7 cm és OA = 5 cm, c) OA = 5 cm és AA = 15 cm!

8 4 = . Ha A van O és A között, akkor 6 3 7 = 5 20 = =4 5

=

;

A O

!

Rajzold meg O, A,

4 8 = . 10 5

561. Vedd fel a füzetedben az O, A, B, C, D pontokat! A középpontos hasonlóság középpontja az O pont. Hol lehet a megadott A, B, C, D pontok képe, ha tudjuk, hogy a) 3 < < 4? Színezd pirosra a lehetséges helyeket! 1 b) 0 < < ? Színezd kékre! 2 3 c) < < 2? Színezd zöldre! 2

208

C M Y K


Transzformcik 562. Szerkeszd meg a téglalap lóság középpontja O!

1 arányban kicsinyített képét, ha a hason2

563. Nagyítsd a színes szakaszt a kétszeresére sorra az O1 , O2 , O3 , O4 , O5 pontokból! Figyeld meg, hogyan helyezkednek el a szakasz képei! a) A nagyított képszakaszok mind egy egyenesen vannak. A nagyított képszakaszok párhuzamosak, és megfelelő végpontjaik egyegy párhuzamos egyenesen vannak.

564. Hol lehet az A pontnak megfelelő A pont? A hozzárendelés középpontos hasonlóság, amelynek centruma O, és arányáról, a-ról azt tudod, amit az ábra alatti cédulán látsz.

565. a) Nagyítsd az Y, K, N, T, F betűket az O pontból = 2 arányban!

b) Az M betűk közül bármelyik kettő egymás középpontosan hasonló képe. Páronként állapítsd meg, hogy a sík melyik pontjából és milyen arányban nagyítottuk vagy kicsinyítettük az M betűt!

b) a → b

O1 1 : 6;

a→c

O2 1 : 4;

a→d

O3 1 : 12;

b→c

O4 2 : 1;

b→d

O5 1 : 2;

c→d

O6 1 : 3

209

C M Y K


Transzformcik A középpontos hasonlóság tulajdonságai 566. Döntsd el az alábbi alakzatokról, hogy az egyik alakzat lehet-e középpontosan hasonló képe a másiknak! Ha igen, mi lehet a középpont? Írd táblázatba a megfelelő alakzatpár betűjelét! a) b) c) d)

e)

f)

g)

h)

Nincs középpont

Pontosan egy középpont van

Több középpont is van

c), e), f)

a), b)

d), g), h)

567. A színes alakzatot középpontos hasonlóság vitte a feketébe. Hol lehet a középpont? Add meg a megjelölt pontok megfelelőjét!

210

C M Y K


Transzformcik 568. Az A pontot az O középpontú középpontos hasonlóság az A pontba vitte át. A megjelölt pontok közül melyik lehet A ?

569. Az α szöget a középpontos hasonlóság vitte át α szögbe. A megadott szögek közül melyik lehet α , és melyik nem lehet α ? Csak α-val egyállású szög lehet α .

570. Az O pontból = 3 arányú nagyítást végeztünk. Ez a transzformáció az α szöget önmagába vitte át, α = α . Hol lehetett az O középpont? Szerkeszd meg a megjelölt pontok képét! Szerkeszd meg a szög szögfelezőjét, és annak képét is! A nagyítás középpontja a szög csúcsa. A szögfelező képe önmaga.

571. Igaz-e, hogy két szög egyenlő, a) ha száraik páronként párhuzamosak, Nem, például: b) ha száraik páronként párhuzamosak és irányításuk azonos, Igen, egyállású szögek. c) ha száraik páronként fordított állású félegyenesek, Igen, fordított állású szögek. d) ha az egyiket a másikba egy = 3 arányú középpontos nagyítás vitte át, Igen, a középpontos hasonlóság szögtartó.

1 arányú kicsinyítéssel keletkezett, Igen. 5 f) ha az egyiket a másikba középpontos hasonlósági transzformáció vitte át, Igen. g) ha az egyiket a másikba középpontos tükrözés vitte át, Igen, fordított állású szögek. h) ha a két szögtartomány közös része paralelogramma, Igen, e) ha az egyik szög a másikból egy

=

a paralelogramma szemközti szögei egyenlőek.

i) ha a két szögtartomány közös része deltoid, Nem igaz, például: j) ha a két szög szárai ugyanazon a két egyenesen nyugszanak? Nem, például a mellékszögek általában nem egyenlőek.

211

C M Y K


Transzformcik 572. Írj a táblázatba „biztos”; „lehet (de nem biztos)” és „lehetetlen” szavakat! Párhuzamos szárú Egyállású szögek Fordított állású szögek szögpárt alkotnak Szög és középpontos tükörképe Szög és tengelyes tükörképe Szög és eltolással kapott képe

biztos

lehetetlen

biztos

lehet

lehet

lehet

biztos

biztos

lehetetlen

573. A B, C és D téglalapok közül melyik lehet az A téglalap nagyított vagy kicsinyített képe? 3 2 A D téglalap egyik oldala ugyanakkora, mint az A rövidebbik oldala, a másik oldala viszont hosszabb, mint az A téglalap hosszabbik oldala, tehát nem hasonlóak. Nagyított kép: B és C;

=

Középpontosan hasonló kép szerkesztése 574. Végy fel egy O hasonlósági középpontot és egy ABC háromszöget! Szerkeszd meg a háromszögnek középpontosan ha1 sonló képét, ha a hasonlóság aránya ! 4 OA és OB és OC szakaszok O-hoz közelebbi negyedelőpontjai az A , B és C csúcsok.

575. Adott a középpontos hasonlóság középpontja: O pont és a sík három pontja: A, B és C. Szerkeszd meg e három pont középpontosan hasonló képét: A , B és C pontot, ha a hasonlóság 1 aránya ! AO, BO és CO szakaszok felezőpontjai A , B és C pontok. 2 4 576. Az adott A és B pontokat az O centrumú és arányú középpontos hasonlósági transzformá3 cióval kaptuk A, illetve B pontból. a) Szerkeszd meg a sík A, illetve B pontját! OA , illetve OB szakasz negyedrészei az

b)

OA , illetve az 3

OB szakaszokat adják. Ezek 3-szorosa adja OA-t, illetve 3 OB-t. Hogyan aránylik az A B szakasz hossza az AB

szakasz hosszához?

A B 4 = AB 3

577. Egy háromszög oldalai 3,2 cm, 3,6 cm és 4 cm hosszúak. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek legrövidebb oldala 4 cm, és hasonló az eredeti háromszöghöz! Mekkora a két háromszög kerülete külön-külön? Mekkora a két háromszög kerületének aránya?

212

C M Y K


Transzformcik A 4 cm-es oldal a 3,2 cm-es oldal megfelelője, tehát a nagyítás aránya

5 = 4 cm 4 5 5 K = 10,8 cm → K = 10,8 · = 13,5 cm 3,6 cm → 3,6 · = 4,5 cm 4 4 5 4 cm → 4 · = 5 cm 4 Hasonló háromszögekben bármely 2 megfelelő hosszúság aránya megegyezik a hasonlóság arányával. Ezt K 13,5 135 5 tapasztaljuk a kerületek arányában is: = = = K 10,8 108 4 Adott az ABC háromszög, továbbá a középpontos hasonlóság O középpontja és az A pont A képe úgy, hogy A O = 5 cm és AO = 2 cm. Szerkeszd meg a háromszög képét! 3,2 cm → 3,2 ·

Így a megfelelő oldalak:

578.

4 40 5 = = 3,2 32 4

Felvesszük először az O, A, A pontokat, majd az ABC háromszöget. A -n át párhuzamosokat húzunk AB, illetve AC szakaszokkal. Ezek kimetszik OB félegyenesből a B , OC félegyenesből pedig a C pontot.

579. Egy O kezdőpontú félegyenesen vedd fel az A és A pontokat úgy, hogy A O = 5 cm és AO = 3 cm! Rajzolj derékszögű ABC háromszöget úgy, hogy a derékszög az A csúcsnál legyen! Az O centrumú középpontos hasonlósággal szerkeszd meg azt az A B C háromszöget, amelynek A csúcspontja az A pontnak a képe! Megoldása hasonló az előzőhöz. 580. Végy fel egy AB szakaszt, majd középpontosan hasonló képét, az A B szakaszt úgy, hogy A B 1 = legyen! AB 2 Szerkeszd meg a hasonlósági középpontot, O-t! Bárhol felveszünk két párhuzamos szakaszt úgy, hogy A B feleakkora legyen, mint AB. A A egyenes és B B egyenes metszéspontja lesz O pont.

581. Legyen az A B szakasz az AB-nek középpontosan hasonló képe, és a két szakasz hosszának A B 4 aránya = ! Vedd fel a két szakaszt, majd szerkeszd meg a középpontos hasonlóság AB 3 középpontját, O-t! Elég felvennünk 2 párhuzamos szakaszt, amelyek aránya 4 : 3. Például legyen A B = 4 cm és AB = 3 cm. A megfelelő pontokat összekötve kapjuk O pontot.

582. Rajzolj egy ABCD négyszöget és a CD oldalnál hosszabb és azzal párhuzamos C D szakaszt! Nagyítsd a négyszöget úgy, hogy a CD oldal megfelelője C D legyen! A középpontos hasonlóság mely tulajdonságát használtad fel a nagyításnál? DD és CC metszéspontjában van a kicsinyítés O középpontja. Ezután E , B , A pontokat a megfelelő oldalakkal húzott párhuzamosok metszik ki a vetítősugarakból.

583. Adva van az ABCDE ötszög és C D szakasz, CD C D . Szerkeszd meg az ötszög kicsinyített képét, ha C D szakasz a CD oldal képe! A megoldása azonos az előző feladat megoldásával.

213

C M Y K


Transzformcik 584. Melyik pontból nagyítottuk a ceruzát a négyszeresére, ha a hegye az A pontban volt? Szerkeszd meg az eredeti ceruza határvonalát! Az O pont az AA félegyenesen van. 4-szeresre nagyítottunk, ezért OA = 4 · OA, így AA = 3 · OA. Tehát OA az AA távolság harmadrésze. Ezért először elharmadoljuk az AA távolságot, majd egyharmadot rámérünk A A meghosszabbítására. Az így kapott O pontból negyedére kicsinyítjük a ceruza körvonalát.

585. Szerkeszd meg a háromszögek középpontosan hasonló képét az adott pontból az adott arányban!

586. Szerkeszd meg a félkörök középpontja!

=

4 arányú, középpontosan hasonló képét! O pont a hasonlóság 3

214

C M Y K


Transzformcik

587. Szerkessz egy ABC derékszögű háromszöget, és az AC befogóját oszd fel három egyenlő részre! Minden osztópontban (kivéve az A és C pontokat) állíts merőlegest a befogóra! Keress hasonló háromszögeket, és írd fel a hasonlóságok arányát!

588. A következő feladatok mindegyikében középpontosan nagyítottunk vagy kicsinyítettünk egy alakzatot. Nem adjuk meg a középpontot, csak az arányt és a képalakzat egy kis részletét. Ennek ismeretében kell megszerkeszteni a nagyított vagy kicsinyített képet! a) Az ABC háromszög másfélszeres nagyításával kaptuk az A B C háromszöget, amelyből csak B látszik. Szerkeszd meg az A B C háromszöget! Szerkesszük meg az O középpontot! Ez a BB egyeneOB 3 sen van úgy, hogy = , és a pontok sorrendje OB 2 O, B, B . A középpontból indított vetítősugarakból az eredeti oldalakkal párhuzamos egyenesek kimetszik a csúcsokat.

b)

Az ABCD négyszög felére kicsinyített képéből csak C látszik. Szerkeszd meg a kicsinyített négyszöget! Az a) feladatban leírtakhoz hasonlóan járunk el.

215

C M Y K


Transzformcik c)

Ennek a négyszögnek a kétszeresre nagyított képét kezdtük el rajzolni, de csak az A csúcs és belőle kiinduló átló egy része készült el. Fejezd be a nagyított képet! A C AC és

A C = 2AC. A nagyított átló A és C végpontjából párhuzamosokat húzunk az eredeti oldalakkal. Ezek éppen a csúcsokban metszik egymást.

d) Negyedére kicsinyítettük a trapézt, de a kicsinyített képből csak a trapéz egyik szárának felezőpontja látszik. Fejezd be a képet!

F eredetije az egyik szár feleF O 1 = zőpontja. FO 4 A megadott F pont lehet, hogy AD szár képén van, azaz F1 képe, de az is lehet, hogy BC szár felezőpontjának a képe. Így két megoldása van a feladatnak.

e)

Háromszorosára nagyítottuk a háromszöget, de a nagyított képből csak az oldalfelező merőlegesek metszéspontja látszik. Fejezd be a nagyított képet! A nagyított háromszög oldalfelező merőlegesei párhuzamosak az eredeti háromszög oldalfelező merőlegeseivel.

f) Kétszeresére nagyítottuk a félkört, de a nagyított képből csak az A pont látszik. Szerkeszd meg a nagyított képet! A félkör átmérője párhuzamos a

nagyított képével. O pont A A egyenesen van. A K = 2AK, így kapjuk K pontot. K K és A A egyenesek metszéspontja az O centrum.

g)

Felére kicsinyítettük a háromszöget, de a kicsinyített képből csak az egyik csúcs és a belőle induló szögfelező egy része látszik. Szerkeszd meg a kicsinyített képet! Csak a B-ből induló szögfelező képe lehet az adott f , mivel csak ezzel párhuzamos.

216

C M Y K


Transzformcik h) Háromszorosára nagyítottuk középpontosan a téglalapot, de a nagyított képből csak az átlók metszéspontjának a képe, K látszik. Szerkeszd meg a nagyított képet! Nem kell a nagyítás középpontját megszerkeszteni. Az eredeti átlókkal párhuzamost húzunk, és a hosszúságukat háromszorozzuk.

Hasonlóság 589. Egy ABC háromszög oldalai AB = 3,6 cm, BC = 6 cm és AC = 4,2 cm hosszúságúak. Egy másik, DEF háromszög oldalai 2,4, 4 és 2,8 cm hosszúak. a) Biztos-e, hogy a két háromszög megfeleltethető egymásnak középpontos hasonlósággal? Nem, mivel a megfelelő oldalak párhuzamossága nincs biztosítva. 2 3

b) Biztos-e, hogy a két háromszög hasonló? Igen, a megfelelő oldalak aránya . 590. Egy ABC egyenlő szárú háromszög oldalainak hossza AB = AC = 6,6 cm és BC = 9 cm. Egy másik, ugyancsak szimmetrikus, DEF háromszög két különböző oldalának hosszúsága 4,4 és 6 cm. a) Biztos-e, hogy a két háromszög megfeleltethető egymásnak középpontos hasonlósággal? Nem.

b) Biztos-e, hogy a két háromszög hasonló? Lehet, de nem biztos.

Ebben az esetben az ABC háromszög hasonló a DEF háromszög2 höz, a hasonlóság aránya . 3

Ebben az esetben az ABC háromszög nem hasonló a DEF háromszöghöz.

591. Egy téglatest élei 3, 4, illetve 5 cm hosszúak. Egy hozzá hasonló test leghosszabb éle 15 cm. a) Mekkora a nagyítás aránya? 3 : 1 b) Mekkorák a nagyobb téglatest élei? 15 cm, 12 cm, 9 cm c) Mennyi a két test felszínének aránya? 9 d) Mennyi a két test térfogatának aránya? 27 2 része. Bármely két megfelelő 3 oldalának különbsége 1 m. Mekkora a két háromszög oldalainak hossza? A megfelelő oldalak 3 m

592. Egy háromszög kerülete a hozzá hasonló háromszög kerületének

és 2 m hosszúak lehetnek, így két szabályos háromszögről van szó, az egyik oldalai 3 m-esek, a másikéi 2 m-esek.

217

C M Y K


C M Y K

Óraszám

16

1.

2.

3–4.

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK

Algebrai kifejezések

Egytagú, többtagú algebrai kifejezések, összevonás

Azonos átalakítások, egyenletek

GONDOLKODÁST 0 FEJLESZTŐ FELADATOK

Téma, tananyag

Kompetenciák (készségek, képességek)

Javasolt taneszközök és feladatok

218


Műveletek gyakorlása csoportmunkában számkártyákkal, feladatlapok kitöltésével

Az egyszerű azonosságok felfedezése, számolási feladatok Felfedezés, gyakorlás

Eljárásokra, módszerekre való emlékezés: a tanult algoritmusok felidézése, használata

Feladatlapok önálló kitöltése, ellenőrzése 28–30/1–16. Fgy. 20–24.

Analógiák alapján való mű- 20–22/1–9. veletvégzések, induktív, Fgy. 1–10. deduktív gondolkodás fejlesztése Feladatlapok önálló kitöltése, ellenőrzése 24–25/10–12. Fgy. 11–19.

A tanév folyamán folyama- Szövegesfeladat-megoldás, Logikai készlet, tosan fejlesztendő problémamegoldás, meprímtéglák, gyöntakogníció, rendszerezés, gyök, sakktábla kombinatorikus gondolko- 4–18. oldal dás

Ajánlott tevékenységformák, módszertani javaslatok

Heti 3 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 111 óra áll rendelkezésre. A tanmenetben beosztott órák száma 99.

Számolási trükkök készítése és bemutatása

Egyéb javaslatok a témakörhöz (projekt, játék, kutatómunka)

NYOLCADIKOS KOMPETENCIAALAPÚ TANMENET AZ APÁCZAI KIADÓ MATEMATIKATANKÖNYVÉHEZ

Elsz

C M Y K

15.

16.

Százalékszámítást tartalmazó feladatok

Keverési feladatok

Változatos szövegű és témájú, a gyakorlati életből merített szöveges feladatok Mozgásos feladatok 12. feldolgozása csoportmunkában. A feladatok megoldásának Munkavégzéssel kap- 13–14. ismertetése az osztály előtt csolatos feladatok

11.

9–10.

Összegből szorzat, kiemelés Szöveges feladatok Gondolatmenet kiépítése: „megoldási terv” készítése. A megértett probléma részletproblémákra bontása modell nélkül vagy modell segítségével. A részeredmények értelmezése, a végeredmény vonatkoztatása az eredeti problémára, válaszadás diszkusszió nélkül, illetve diszkusszióval

Analógiák alkalmazási képességének fejlesztése

Szemléltetés geometriai ábrák segítségével

8.

69/1–9.

66–67/1–9. Fgy. 146–155.

64–65/1–11. Fgy. 137–145.

Grafikonok 60–62/1–12. Fgy. 123–136.

53–57/1–40. Fgy. 89–122.

Memóriajáték, párkeresés, dominók 43–45/1–16., 48–50/1–10. Fgy. 57–88.

39–40/1–7. Fgy. 52–57.

A műveletfogalom elmélyí- Memóriajáték, párketése resés, dominók 33–35/1–10., 37–38/1–7. Fgy. 41–51.

Szorzatból összeg, beszorzás

Játékok csoportokban, párosan

A helyettesítési érték kiszá- Az értelmezhetőség fogalmolása, gyakorlás mának elmélyítése

5–6.

Egész és törtkifejezé- 7. sek

Hatványozás

Banki számlák, áruházi prospektusok értelmezése, poszterek készítése

Mérési feladatok elvégzése, ppt. bemutató készítése

Elsz

219


C M Y K

26.

27–28.

I. felmérő

A valóságos méretek becslése, a kapott eredmények összehasonlítása a becsült értékkel

Pitagorasz-tétel alkal- 22–25. Derékszögű háromszögek mazása keresése síkbeli és térbeli alakzatokon

Gyakorlás

Bizonyítási igény fejlesztése. Érvelés, cáfolás, bizonyítási módszerekkel való ismerkedés

20–21. A tétel felfedezése átdarabolással

Pitagorasz-tétel

Zsebszámológép, milliméterpapír 74–75/1–17. Fgy. 156–169.

Kiselőadás a pitagoraszi számhármasokról, a Pitagorasz-tétel többféle bizonyítása, keresés a neten

Zsebszámológép, cso- Pitagoraszról és a pimózott zsineg tagoreusokról kutató83–87/1–22. munka Fgy. 173–194.

Síkidomok területének A számok többféle alakjá- Demonstrációs mémeghatározása csoportmun- nak tudatosítása számdomi- retű négyzetháló kában nóval 76–77/1–6. Fgy. 170–172.

17–18. Műveletekkel megadott Becslési képesség fejleszszámok csoportosítása, el- tése helyezése Venn-diagramon, pármunkában

Hosszúság és terület 19. meghatározása rácson

A négyzetgyök

NÉGYZETGYÖK 10 FOGALMA, PITAGORASZTÉTEL A fejezet végén 2 óra I. felmérő

Elsz

220


C M Y K

Korábbi ismeretek új hely- A rendszerezési képesség zetekben való alkalmazása, fejlesztése a síkidomok tua háromszögek és négylajdonságainak ismeretében szögek tulajdonságainak felidézése. A háromszögegyenlőtlenség ismétlése 30–31. páros munkában

32.

33.

Sokszögek

Körök

93–95/1–13. Fgy. 221–236.

Síkgeometriai számí- 34–35. Számolási feladatok megol- A valóságos méretek becstások dása, ellenőrzés párban lése és a kapott eredmények összehasonlítása a Térgeometriai számí- 36–37. becsült értékkel tások

Körrel kapcsolatos fogalBecslés és a számolási mak elmélyítése pármunká- készség fejlesztése ban

Zsebszámológép, térgeometriai modellek 101–102/1–11. 104–105/1–17. Fgy. 253–266. Fgy. 267–287.

Dominó a körrel kapcsolatos fogalmakról 100–101/1–10. Fgy. 244–252.

π értékének meghatározása a különböző korokban, a kerék felfedezésének története – kutatómunka

Három hosszúságadat Korábbi ismeretek és a háromszögfajták felidézése, poszterek párosítása kártyákkal készítése 90–91/1–13. Fgy. 195–220.

Összefüggések a sokszöÁllítások, kérdések megfo- Kartonpapír, olló gek jellemző adatai között, galmazása képről, helyzet- 97–98/1–5. csoportmunka ről. Saját gondolatok meg- Fgy. 237–243. fogalmazása; elképzelések, definíciók és tételek alkotása, kimondása, leírása.

29.

Háromszögek

Négyszögek

9

GEOMETRIAI ISMÉTLŐ FELADATOK

Elsz

221


C M Y K

46–47.

Hozzárendelések, függvények

48.

HOZZÁRENDE15 LÉSEK, FÜGGVÉNYEK A fejezet végén 2 óra II. felmérő

Transzformációk

Mozgásos játék: megadott oszlopok és sorok az osztályban, meghatározott tárgyak keresése. Torpedó játék négyzetrácson. Borítékcímzés

115–116/16–20. Fgy. 333–337.

113–115/1–15. Fgy. 318–332.

111–113/1–10. Fgy. 308–317.

109–111/1–10. Fgy. 298–307.

107–109/1–10. Fgy. 288–297.

A rendezett számpár fogal- Memóriajáték a ren- Projektmunkában térmának tudatosítása dezett számpár fogal- kép készítése a körmának kialakítására. nyékről Boríték, színházjegy, mozijegy 4–5/1–9. Fgy. 336–345.

KÖZÉPISKOLÁBA 10 KÉSZÜLÜNK Számok 38–39. A témakörök elméleti tananyagának közös átismétlése után differenciált munkaformában javasoljuk a fejezet feldolgozását. A nem felvételiző tanulók az egyszerűbb gyaAlgebra 40–41. korlófeladatokat oldják meg csoportmunkában. A felvételizők önállóan dolgozzanak, és a korábbi évek felvételi Függvények, soroza- 42–43. feladatsorait házi feladatként oldják meg. A megoldások ellenőrzése tanári segítséggel történhet. Felvételi feladattok sorok 117–132. oldal Alakzatok 44–45.

Elsz

222


C M Y K

56–57. A szöveg alapján pontos grafikonok készítése. A koordinátatengelyeken az egység helyes megválasztása.

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása

A fogékonyabb tanulók számára javasolt

55.

54.

Gyakorlás

1 függvény x

52–53.

A másodfokú függvény

x →

50–51. Csoportmunka: adott függvények hozzárendelési utasításának, a grafikonjának, tengelypontjának, értékkészletének meghatározása, táblázatba foglalása

Abszolútérték-függvény

Elkészített táblázatba elhelyezhető kártyák 17–18/3–9., 11. 21–23/2., 4., 8., 12. Fgy. 361–364., 368–372., 376.

Elkészített táblázatba elhelyezhető kártyák 16/1–2. 21/1., 3., 5., 6., 9., 10. Fgy. 358–360., 367., 369–372.

Demonstrációs méretű négyzetrács, függvényrajzoló programok 9–11/1–15. Fgy. 348–357.

Becslési készség fejlesztése. Közelítő értékek szükségességének alakítása. Értő-elemző olvasás, problémamegoldó képesség fejlesztése, következtetési készség fejlesztése

Függvényrajzoló programok 25–26/1–13. Fgy. 380–391.

Növekedés és csökkenés 18/10., 12. fogalmának elmélyítése, az 22/5. aszimptota fogalma Fgy. 365., 373–375.

A rendszerezési képesség fejlesztése a függvények tulajdonságainak ismeretében

49–50. Különböző figurák megraj- Kétváltozós kapcsolatok zolása meghatározó pontfelfedezése és alkalmazása jainak koordinátáival pár- (Pl.: egyenes arányosság) munkában

Lineáris függvény

Azonosságra, ellentmondásra vezető egyenletek és egyenlőtlenségek gyűjtése

Egyenes és fordított arányosság gyűjtése a mindennapi életből

Csoportmunkával táblázatok, grafikonok, poszterek készítése

Elsz

223


C M Y K

63–64.

12

65–66. Testek építése csoportmun- Valóságmodellező képesség fejlesztése kában polydron építővel

67.

68–69. Feladatok megoldása páros A térfogat és a felszín fomunkában galmának megkülönböztetése és elmélyítése

II. felmérő

TÉRGEOMETRIA

A gúlák jellemzése

A gúla felszíne

A gúla térfogata

A síkba kiteríthető testek hálójának elkészítése

A térszemlélet fejlesztése

62.

Gyakorlás

Számtani, mértani és egyéb sorozatok szétválogatása csoportmunkában

60–61. A mértani sorozat képzési szabályának felfedezése, szöveges feladatok értelmezése és megoldása

A koncentrált figyelem képességének fejlesztése, a felfedezett szabály követésével

Mértani sorozat

Sorozat, számtani so- 58–59. Adatok, elemek, számok rozat sorba rendezése. A tanulók feladatokat adnak egymásnak pármunkában

Átlátszó műanyagból készült kocka és gúla a térfogat mérésére 56–57/1–15. Fgy. 442–448.

Kartonból készült mobilizálható testhálók 52–53/1–13. Fgy. 437–443.

Környezetünk tárgyai, mértani testek 47–48/1–10. Fgy. 433–436.

39–51/1–21. Fgy. 413–432.

A fejezetben bármikor: makettek készítése

Sorozatelemek gene- Nevezetes sorozatok rálása: dobókockával, kutatása és bemutaszámítógéppel stb. tása (pl.: Fibonacci) 31–33/1–18. Fgy. 392–412.

Elsz

224


C M Y K

77.

78.

79.

Statisztikai módszerek, alapfogalmak

Diagramok

Középértékek

STATISZTIKA, 9 VALÓSZÍNŰSÉG A fejezet végén 2 óra III. felmérő


Feladatküldés

Újságok, folyóiratok, statisztikai zsebkönyv, internet Szerkesztőeszközök 83–84/1–10. Fgy. 478–484.

Döntési képesség fejlesz86–88/1–9. tése a legjellemzőbb köFgy. 485–487. zépérték kiválasztásakor. A statisztikai szemlélet fejlesztése

Grafikonok és diagramok Hétköznapi életből vett készítése csoportmunkában grafikonok értő, elemző olvasása, azok bemutatása. Az előadási és az érvelési képesség fejlesztése

Adatok gyűjtése önállóan, azok értékelése párban

Narancs, káposzta, hagyma „hámozása” 70–71/1–16. Fgy. 462–473.

Poszterek készítése megadott vagy választott témában gyűjtött adatokról, és azok bemutatása az osztály előtt

Aktivity játék készítése a testek tulajdonságairól

Poszter készítése épületek, tárgyak fotóiból

Átlátszó műanyagból Forgástestek készíkészült henger és kúp tése a térfogat mérésére 62–64/1–16. Fgy. 449–461.

Táblázatok készítése. Meg- Galton-deszka figyelésben, számlálásban, 79–80/1–8. kísérletben gyűjtött adatpá- Fgy. 474–477. rok rendezése, a kapcsolatok vizsgálata

76.

Gyakorlás

Zsebszámológép használata

73–75. Feladatok megoldása páros Síkba kiteríthetőség fomunkában galma

A térszemlélet fejlesztése, a térfogat és a felszín fogalmának megkülönböztetése és elmélyítése

A gömb felszíne és térfogata

A kúp felszíne és tér- 70–72. A körcikk és a kúppalást fogata kapcsolatának felfedezése

Elsz

225

C M Y K

86–87.

12

88.

89–90. Transzformációk végrehajtása a sík mozgatásával. Másolópapírral való rajzolás

91.

III. felmérő

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

Eltolás, vektorok

Eltolás tulajdonságai

Eltolt kép szerkesztése

226


Szerkesztési feladatok elvégzése: adatok, vázlat, szerkesztés, indoklás, a szerkesztés lépéseinek leírása. (diszkusszió)

Adott alakzat eltolt képének megszerkesztése

85.

Diszkusszió. A lehetőségek számbavétele. A feltételekkel való összevetés során annak tudatosítása, hogy hogyan befolyásolják a feltételek a végeredményt

Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése

Vektorok használata a fizikában

Szerkesztőeszközök, Euklidesz program 114–115/1–12. Fgy. 521–537.

Másolópapír 110–113/1–13. Fgy. 514–520.

106–108/1–9. Fgy. 505–513.

99–101/1–10. Fgy. 503–504.

Gyakorlás

Absztrakciós készség fejlesztése

Önálló eljárások keresése

84.

Dobókocka, dobódodekaéder, pénzérmék 93–95/1–14. Fgy. 488–502.

Geometriai valószínűség

Arányérzék, számolási készség fejlesztése Valószínűségi szemlélet fejlesztése

Fadiagramok készítése cso- Becslés és a pontosan ki97–98/1–6. portmunkában számított érték összehasonlítása

81–82. Különféle valószínűségi kísérletek elvégzése csoportmunkában

A relatív gyakoriság és a valószínűség

A Galton-deszka ma- 83. tematikája

80.

Gyakorlás Kutatómunka: szerencsejátékok történetének, nyerési esélyeinek bemutatása

Elsz

C M Y K

94.

95–96. Megmaradó tulajdonságok keresése középpontosan hasonló alakzatokon, sejtések megfogalmazása

97–98. Szerkesztési feladatok elvégzése: adatok, vázlat, szerkesztés, indoklás, a szerkesztés lépéseinek leírása. (diszkusszió)

99.

A középpontos hasonlóság

A középpontos hasonlóság tulajdonságai

Középpontosan hasonló kép szerkesztése

Hasonlóság

Analizálás és szintetizálás képességének fejlesztése A hozzárendelés fogalmának elmélyítése


A hasonlóság és a középpontos hasonlóság viszonya: indukciós képesség fejlesztése

Diszkusszió. A lehetőségek számbavétele. A feltételekkel való összevetés során annak tudatosítása, hogy hogyan befolyásolják a feltételek a végeredményt

A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése

Készítette: Csatár Katalin és Széplaki Györgyné 2009. október

Több transzformáció egymás utáni elvégzésének modellezése pármunkában

Megfigyelés

Mérések, számítások térké- Geometriai transzformácipeken, alaprajzokon, maókban megfigyelt megmaketteken csoportmunkában radó és változó tulajdonságok tudatosítása

93.

Nem egybevágósági transzformációk

Minták színezése adott szimmetria szerint

92.

Egybevágósági transzformációk összefoglalása

141–142/1–13. Fgy. 589–592.

Szerkesztőeszközök, Euklidesz program 134–136/1–10. Fgy. 574–588.

129–131/1–9. Fgy. 566–573.

Diafilm, képek 125–126/1–7. Fgy. 554–565.

Térképek, alaprajzok 121–123/1–6. Fgy. 546–553.

Elkészített motívumok 118–119/1–6. Fgy. 538–545.

Makettek készítése és gyűjtése

Hasonlóság alkalmazása a környezetünkben. Gyűjtőmunka csoportokban

Egybevágósági és egyéb transzformációk alkalmazása a valóságban, gyűjtőmunka, ppt. bemutató készítése

Elsz

227

Tartalomjegyzék TK. FÜGGVÉNYEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Hozzárendelések, függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A lineáris függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Néhány nemlineáris függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Abszolútérték-függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Másodfokú függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Törtfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Függvénytranszformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sorozatok, számtani sorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Mértani sorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TÉRGEOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A gúlák jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 A gúla felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A gúla térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A kúp felszíne és térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 A gömb felszíne és térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 STATISZTIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Statisztikai módszerek, statisztikai fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Diagramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Középértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A relatív gyakoriság és a valószínűség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A Galton-deszka matematikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Geometriai valószínűség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Eltolás, vektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Az eltolás tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Az eltolt kép szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Egybevágósági transzformációk összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Nem egybevágósági transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A középpontos hasonlóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A középpontos hasonlóság tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Középpontosan hasonló kép szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Hasonlóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 TANMENET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

228

C M Y K


FGY. . . . . . . . . . 138 . . . . . . . . . 138 . . . . . . . . . 141 . . . . . . . . . 143

. . . . . . . . . 147 . . . . . . . . . 151 . . . . . . . . . 155 . . . . . . . . . 160

. . . . . . . . . 166 . . . . . . . . . 166

. . . . . . . . . 170 . . . . . . . . . 174

. . . . . . . . . 176

. . . . . . . . . 182

. . . . . . . . . 187 . . . . . . . . . 187 . . . . . . . . . 190 . . . . . . . . . 193 . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . 202 . . . . . . . . . 206 . . . . . . . . . 210 . . . . . . . . . 212 . . . . . . . . . 217

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Recommend Documents