TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Elsz

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 7. évfolyam II. kötetéhez

C M Y K

TEX 2014. június 2. –20:43 (1. lap/1. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K7-02)

Elsz Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az „Érdemes tankönyvíró” kitüntető címet

Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA, SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN

AP–070832 ISBN 978-963-464-694-5

c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva, 2009 A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18. Tel.: 95/525-000; fax: 95/525-014 E-mail: [email protected] Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 30,90 A/5 ív Tömeg: 627 g

C M Y K


Kerettanterv KERETTANTERV 2007. BEVEZETŐ A matematika kerettanterv az Oktatási és Kulturális Minisztérium által kiadott hivatalos Nemzeti alaptanterv (NAT) 2007 alapelvei szerint készült. A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakasz (1–6. évfolyam) keretén belül az 5–6. évfolyamokon a nem szakrendszerű oktatás keretében a felzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban biztosítható a tanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tartják. Az óraszámok az Oktatási Törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak. Évfolyam Heti óraszám

5. 4

6. 3

7. 3

8. 3

Éves óraszám

148

111

111

111

Célok és feladatok Az általános iskola 5–8. évfolyamain a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességének folyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása. Az általános iskola 5–8. évfolyamai egységes rendszert alkotnak, de – igazodva a gyermeki gondolkodás fejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz – két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódnak. Az alapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzett tapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7–8. évfolyamokon elkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is. Ez a tanterv a NAT 2007-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompetenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza, a fejlesztésközpontúságot szem előtt tartva. A fejlesztőmunkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvető fontosságú, hogy az alapozó szakaszban a tevékenységek részletesen legyenek kifejtve, így például a mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformációk tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket kiegészítik a tananyag feldolgozásában megjelenő munkaformák: a páros, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást, a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk. A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú weblapokra az interneten. Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban; mások gondolatainak megértése, a vitákban érvek és ellenérvek logikus használata.

3

C M Y K


Kerettanterv Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, a döntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástól az absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet a tanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggések önálló felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatos módszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal, kis lépéseken keresztül, természetes módon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására. Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetni a szövegértő, elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is. Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását. Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet minden területén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen.

A fejlesztési célok és kompetenciák megjelenésének formái a matematika műveltségterületen 1. Tájékozódás • Tájékozódás a térben • Tájékozódás az időben • Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban 2. Megismerés • Tapasztalatszerzés • Képzelet • Emlékezés • Gondolkodás • Ismeretek rendszerezése • Ismerethordozók használata 3. Ismeretek alkalmazása 4. Problémakezelés és -megoldás 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek • Kommunikáció • Együttműködés • Motiváltság • Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás 7. A matematika épülésének elvei

4

C M Y K


Kerettanterv Az általános iskola 5–8. évfolyamain a matematika műveltségterület feladata • A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése: – számlálás, számolás – mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés – becslés, mérés – problémamegoldás, metakogníció – rendszerezés, kombinativitás – deduktív és induktív következtetés • A tanulók értelmi képességeinek – logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességek – folyamatos fejlesztése • A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése • A tanulók önellenőrzésének fejlesztése • A gyors és helyes döntés képességének kialakítása • A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása • A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése • A kreatív gondolkodás fejlesztése • A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása • A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben

A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása A tanulók – a számítások, mérések előtt becsléseket végezzenek, – a feladatmegoldások helyességét ellenőrizzék, – a feladatok megoldása előtt megoldási tervet készítsenek, – a geometriai szerkesztések elkészítése előtt vázlatrajzot készítsenek, – a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint az ellenőrzést szabatosan írják le! A tanulók – gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával tudják elmondani, – a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet, – szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat, – tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében, – ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket! A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló és diszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Kiemelt cél a matematikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet elősegíteni. Ilyenek például a csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka

5

C M Y K


Kerettanterv során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyének tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatban könnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben kialakul az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, ami elősegíti a hatékonyabb tanulást. „A matematikai kompetencia: az alapműveletek és arányképzés alkalmazásának képessége a mindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során. A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompetencia felöleli – eltérő fokban – a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és az erre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést (képletek, modellek, szerkezetek, grafikonok, táblázatok). A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek és szerkezetek, az alapműveletek, alapvető matematikai fogalmak, koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat. Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint, hogy követni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikai úton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást és a matematika nyelvén kommunikáljon, valamint, hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon. A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük.” (Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz – Európai referenciakeret anyagából)

6

C M Y K


Kerettanterv 7. ÉVFOLYAM Ez a tanmenet a kézikönyv első kötetéből kimaradt, és a 7. évfolyam teljes anyagára vonatkozik.

Éves óraszám: 111 Heti óraszám: 3 A szabadon hagyott órák száma: 12 Témakör Témakör feldolgozására javasolt óraszám Gondolkodási módszerek Folyamatosan fejlesztendő Számtan, algebra 34 = 12 + 8 + 14 24 = 12 + 12 Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Valószínűség, statisztika

41 = 14 + 17 + 10 Folyamatosan fejlesztendő

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Fejlesztési célok

Összességek alkotása adott feltétel szerint; halmazalkotás; definiáló tulajdonság megalkotása; a tulajdonság tagadásának megalkotása a komplementer halmaz elemeinek közös, meghatározó ismérveként. A halmazszemlélet fejlesztése. Rendszeralkotás: elemek elrendezése különféle szempontok szerint; rendszerezést segítő eszközök használata, készítése. A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése.

Tananyag

Példák konkrét halmazokra. Unió, metszet, részhalmaz, kiegészítő halmaz megalkotása. Halmazok ábrázolása Venndiagram segítségével. Skatulyaelv.

Tapasztalatszerzés az összes eset rendszerezett felsorolására. Sorbarendezés, kiválasztás néhány elem esetén. Fadiagram, útdiagram, táblázatok használata, készítése. Sorbarendezés ismétlés nélkül és ismétléssel.

Ajánlott A továbbhaladás tevékenységformák feltételei Módszertani javaslatok Tárgyak, elemek, Halmazokba rendez számok halmazokba konkrét tárgyakat, rendezése. A kapott elemeket, számokat. halmazok közötti kapcsolatok felfedezése csoportmunkában. Unió, metszet, részhalmaz, kiegészítő halmaz megalkotása. Halmazok ábrázolása Venn-diagram segítségével. Tud sorbarendezni Az ismétléses és az ismétlés nélküli esetek legfeljebb négy elem különbségének felfede- esetén. zése pármunkában.

7

C M Y K


Kerettanterv Sejtések megfogalmazása; divergens gondolkodás. Megértett probléma „eredményének” elképzelése, előrevetítése; a sejtés megfogalmazása, lejegyzése, az ellenőrzés, önellenőrzés igényének alakítása. A szaknyelv logikai elemeinek helyes használata. A matematikai fogalmak egyértelmű körülírása korábban megismert fogalmak segítségével. A kommunikációs készség fejlesztése.

Különféle szöveges feladatok szövegének értelmezése a valóságban és a matematikai gondolkodásban, ábrák, jelölések alkalmazása a probléma lejegyzésére, megoldási terv készítése.

Önálló feladatmegoldás feladatlapok segítségével, párban vagy csoportban. Egymás munkájának ellenőrzése.

Az egyes témakörökben konkretizálódnak.

Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, „nem”, „van olyan”, „minden” kifejezések jelentése. Egyszerű állítások átfogalmazása, cáfolata konkrét példákkal. Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. Definíciók megfogalmazása.

Viták kezdeményezése. Érvek és ellenérvek megfogalmazása. A lényeges és a lényegtelen tulajdonságok megfogalmazása szóban.

Gondolatait világosan, érthetően közli szóban és írásban. El tudja dönteni egyszerű állítások igazságát.

2. SZÁMTAN, ALGEBRA Fejlesztési célok

Tananyag

Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A racionális számMűveletek a racionális Csoportmunkában körben a számolási számok körében. számkártyákkal, felakészség kialakítása. datlapok kitöltésével a Zsebszámológép műveletek gyakorlása. használata. Ellenőrzésként a zsebszámológép használata. Az egyszerű azonosKétváltozós műveletek Egynemű algebrai ságok felfedezése értelmezése és alkalkifejezések, és azok mazása. Az algebrai helyettesítési értékének számolási feladatok kifejezések fogalkiszámítása. Több tag és geometriai ábrák segítségével. Ezekről összevonása. Összeg mának előkészítése. poszterek készítése. Gyakorlati problémák szorzása egytagú kifejezéssel. Eszköz: memóriajáték, összefüggéseinek leírása a matematika dominók. nyelvén.

A továbbhaladás feltételei

Tudja a négy alapműveletet helyesen elvégezni törtek és tizedes törtek körében. A műveleti sorrendet biztosan alkalmazza.

8

C M Y K


Kerettanterv Pontos munkavégzésre nevelés. Algoritmusok helyes alkalmazása. Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának elmélyítése. Számolási készség fejlesztése.

Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel, mérlegelvvel, grafikusan algebrai és grafikus megoldással. Alaphalmaz, megoldáshalmaz, az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásainak az alaphalmazhoz való viszonya. Szöveges egyenletek Kérdés tartalmának megértése a megfogal- megoldása. Arány, aránypár, arányos mazott problémában. osztás. Egyenes és Adatok felfogása, lényegtelenek elhagyása, fordított arányosság. lényegesek kiemelése, Arányossági összerögzítése, kapcsolatuk függések gyakorlati esetekben. Százalékfeltárása, szerepük számítási feladatok. értése; adatokra és összefüggéseikre vonatkozó jelölések használata. A következtetési készség fejlesztése összetettebb feladatokban. A hatványozás fogalma Fogalmak alkotása, pozitív egész kitevőre. módosulása újabb A hatványozás tapasztalatok, ismeazonosságai konkrét retek szerint; egypéldákban. Normálalak. egy fogalom újabb fogalommá bővítése. Fogalmak alkotása specializálással, definíciók megfogalmazási igényének felkeltése. Prímtényezős felMatematikatörténeti bontás. Két szám érdekességek meglegnagyobb közös ismerése iránti igény felkeltése. osztója, legkisebb közös többszöröse. Oszthatósági szabályok (3-mal, 9-cel, 8-cal, 125-tel, 6-tal).

Tud elsőfokú egyenleÖnellenőrzésre alkalmas feladatlapok teket megoldani a mérlegelv alkalmazásával kitöltése. Próbálgatás az alaphalmaz elemeivel az egyenlőtlenségek megoldásánál.

A mindennapi élet problémáinak, összefüggéseinek leírása a matematika nyelvén. Csoportmunkában szöveges egyenletek értelmezése, különböző megoldási módszerek keresése, a megoldás szövegszerű ellenőrzése.

Tud egyszerűbb szöveges feladatokat megoldani. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, és alkalmazza konkrét feladatokban. Számol aránypárral. Egyszerű százalékszámítási feladatokat megold következtetéssel.

Egynemű kifejezések szorzásának elvégzése közben a hatványozás fogalmának előkészítése. A hatványértékek növekedési ütemének bemutatása érdekes példákon keresztül, kutatás szakirodalmakban és az interneten. Prímtéglákkal oszthatósági feladatok kirakása. Természetes számok csoportosítása, halmazokba sorolása oszthatósági szempontok szerint. Matematikatörténeti érdekességek feldolgozása csoportmunkában.

10 pozitív egész kitevőjű hatványait ismeri.

Osztó, többszörös, két szám közös osztóinak és néhány közös többszörösének megkeresése.

9

C M Y K


Kerettanterv 3. ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Fejlesztési célok

Tananyag

Ajánlott A továbbhaladás tevékenységformák feltételei Módszertani javaslatok Modell alkotása Egyértelmű hozzáren- Táblázatok, grafikonok Tud lineáris függfogalmakhoz, szöveges delések ábrázolása a készítése konkrét vényeket ábrázolni feladatokhoz, összederékszögű koordináta- összefüggések, képle- értéktáblázattal. függésekhez: reláció, rendszerben. Lineáris tek esetén. Grafikonok függvény. Együttválto- függvények. Példa gyakorlati alkalmazása zó mennyiségek össze- néhány nemlineáris csoportmunkában. tartozó adatpárjainak függvényre. lejegyzése: tapasztalati függvények készítése a változások leírására. Pármunkában adatok, Egyszerű sorozatokat Együttváltozó mennyi- Sorozatok vizsgálata, folytat adott szabály számtani sorozat. elemek, számok ségek összetartozó szerint. sorbarendezése. adatpárjainak leA számtani sorozat jegyzése, sorozatok képzési szabályának alkotása, értelmezése felfedezése, szöveges matematikai modell feladatok értelmezése keresése változások és megoldása. leírására. Számolási készség fejlesztése a racionális számkörben.

4. GEOMETRIA Fejlesztési célok

Tananyag

Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A matematika kapcso- A középpontos Művészeti alkotások lata a természettel és a szimmetria felismerése és a természetben előművészeti alkotásoka természetben és a forduló szimmetrikus kal. A térszemlélet művészetben. tárgyak vizsgálata fejlesztése térbeli manipulációval. Szimanalógiák keresésével. metrikus síkidomok Esztétikai érzék és testek keresése. fejlesztése. Poszterek készítése szimmetrikus alakzatok felhasználásával.


Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus alakzatokat megkülönböztet.

10

C M Y K


Kerettanterv A hozzárendelés fogalmának alkalmazása. Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése. A vitakészség fejlesztése, igaz és hamis állítások megfogalmazása.

A bizonyítási igény felkeltése.

A lényeges és a lényegtelen adatok megkülönböztetése. Algoritmikus gondolkodás fejlesztése. Esztétikai nevelés.

Térszemlélet fejlesztése. A valóság tárgyainak modellezése. Együttműködésre nevelés.

Fejlesztés a gyakorlati mérések, és mértékegységváltások helyes elvégzésében. Együttműködésre, önállóságra, önellenőrzésre nevelés.

A középpontos tükrözés. Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkban. A paralelogramma és tulajdonságai. Speciális négyszögek szerkesztése. Szögpárok (egyállású, váltó, kiegészítő szögek). Szabályos sokszögek. A háromszög magasságvonala. Paralelogramma, trapéz deltoid, kerületük és területük. A kör kerülete és területe.

Adott alakzat középpontos tükörképének megszerkesztése. Transzformációk végrehajtása a sík mozgatásával. Másolópapírral való rajzolás. Euklideszi szerkesztőprogram használata.

Szólánc a tulajdonságok felsorolására. Kártyákra írt állítások párjának megkeresése. Halmazábrák készítése a négyszögek tulajdonságai alapján. A háromszög belső A szögösszegek és külső szögeinek felfedezése parkettáösszege. A négyszögek zással, hajtogatással, belső szögeinek tépegetéssel. összege. Háromszög szerkesz- A szerkesztés létése alapesetekben. péseinek önálló A háromszögek egyvégrehajtása (adatok bevágósági alapesetei. kikeresése a szövegből, vázlatkészítés, a szerkesztés menetének megtervezése és végrehajtása). Egyenes hasábok, Makettek, modellek, testhálók készítése forgáshenger hálója, csoportmunkában. felszíne, térfogata. Projektmunkával fotóalbum készítése, amelyben olyan épületek fényképei vannak, amikről ebben a témakörben tanultak. Megoldási terv készí- Önellenőrzésre tése kerület, terület, alkalmas feladatlapok felszín és térfogat megoldása. Átváltások számítási feladatoknál. gyakorlása dominóval. Mértékegységek átváltása konkrét gyakorlati példák kapcsán.

Egyszerű alakzatok középpontos tükörképét megszerkeszti.

A tananyagban felsorolt négyszögeket felismeri. A háromszög területét kiszámítja.

Háromszögek és konvex négyszögek belső szögeinek összegét kiszámítja. Egyszerű háromszög szerkesztési feladatokat elvégez.

Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábokat, valamint a hengert felismeri, jellemzi.

Az alapvető mértékegységek biztosan ismeri (szög, hosszúság, terület, térfogat).

11

C M Y K


Kerettanterv 5. VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Fejlesztési célok

Valószínűségi és statisztikai szemlélet fejlesztése.

Tananyag

Ez a tananyag beépül a különböző témakörökbe.

Statisztikai adatok Adatok gyűjtése, elemzése, értelmezése. rendszerezése, adatsokaság szemléltetése, grafikonok készítése.

Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok


Gyakoriság, relatív gyakoriság fogalmát alkalmazza egyszerű kísérletekben. Adatok gyűjtése, értel- Egyszerű grafikonokat mezése. Adatsokaság értelmez, készít. szemléltetése oszlopés kördiagramon.

AJÁNLOTT SZEMPONTOK A TANULÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSÉHEZ A matematikában az értékelésnek különösen fontos szerepe van. A diagnosztizáló felmérők segítségével felmérhető, hogy a tanulók eljutottak-e arra a szintre, ahonnan tanulmányaikat tovább folytathatják. A mérés elvégzése után célszerű az adott anyagrészben a továbbiakban differenciáltan foglalkozni a tanulókkal. Az ellenőrzés, értékelés típusa függ az értékelni kívánt anyagrész tartalmától és nagyságától. Kisebb anyagrészek lezárásakor célszerű röpdolgozatot íratni, amelyet nem kell feltétlenül osztályozni. Visszacsatolást adhat a tanárnak és a diákoknak egyaránt a hiányosságok meglétéről, azok pótlása folyamatosan végezhető, esetleg később vissza lehet rá térni. A jelentősebb fejezetek lezárásakor témazáró felmérő íratása javasolt. Az egyes feladatok megoldását pontozással kell értékelni, ügyelve a helyes részeredmények pozitív értékelésére is. Az osztályzatot egyértelműen, a gyerekek, a szülők számára is érthető százalékos eredmények határozzák meg. A felmérő a továbbhaladáshoz szükséges ismereteket kérje számon! Ennél a korosztálynál a szóbeli feleltetés nem jellemző matematikából. A tanulók kommunikációs képességét folyamatosan kell fejleszteni, részben a csoportmunkák folyamán a társakkal való viták kapcsán, részben a frontális óravezetésnél. A tanulók verbális megnyilvánulásait korrigáljuk, ha szükséges; dicsérjük őket, ha megérdemlik; de ne feleltessünk! Szóbeli megnyilvánulás a projektmunkák bemutatása, amely a tanári gyakorlatnak megfelelően értékelhető: jó pont, képecske, kisötös vagy hagyományos osztályzat. Itt fontos, hogy a csoport minden tagja ugyanazt az osztályzatot kapja.

12

C M Y K


Szmelmlet SZÁMELMÉLET 1. 2. 3. 4. 5–6. 7–8.

óra: óra: óra: óra: óra: óra:

9. óra:

A maradékos osztás és az oszthatóság fogalmának ismétlése Oszthatósági szabályok a szám utolsó számjegyeiből Oszthatósági szabályok a szám számjegyeinek összegéből Összetett oszthatósági szabályok Prímszámok, összetett számok A legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös, az összetett számok prímtényezős felbontásának alkalmazása Számonkérés

Mire építünk? Hatodik osztályban a gyerekek már megismerték az oszthatóság fogalmát, számoltak a számok maradékaival. Konkrét számpéldák segítségével felfedeztek néhány oszthatósági szabályt: a) a 10, 100 és az 1000 osztóira vonatkozóakat, bár az utóbbit nem fogalmazták meg b) a 3-mal és a 9-cel való oszthatóság szabályát. A számokat osztóik száma szerint csoportosították: az 1, a pontosan két osztóval rendelkező prímszámok, a kettőnél több osztóval rendelkező összetett számok. Megismerkedtek a gyerekek a prímtényezős felbontással, és ezt alkalmazták osztók, közös osztók, többszörösök, közös többszörösök keresésekor. Tanulták a legnagyobb közös osztó fogalmát, és ezt alkalmazták törtek egyszerűsítésekor. A legkisebb közös többszörössel is megismerkedtek, melyet a törtek összehasonlításakor, összeadásakor, illetve kivonásakor, a közös nevező megkeresésekor tudtak használni.

Meddig jutunk el? Hatodik osztályban a Számelmélet c. fejezetre 12 órát lehetett fordítani. Ez lehetővé tette a fogalmak alapos előkészítését, így hetedik osztályban ezeket a tanult fogalmakat fogjuk elmélyíteni, bizonyos ismeretekkel kibővíteni. Az oszthatóság fogalmának ismétlésekor felírjuk a számok általános alakját az osztói segítségével, illetve a maradékos osztás algebrai írásmódját is megtanuljuk. A matematika iránt fogékonyabb tanulók meg szokták próbálni kiterjeszteni az oszthatóság fogalmát a pozitív egészek halmazánál tágabb halmazokra is. Ezt a kérdéskört számukra „kitekintőben” leírtuk. Az oszthatósági szabályoknál már összetett oszthatósági szabályokat is felfedezünk és azokkal feladatokat oldunk meg (oszthatóság 6-tal, 12-vel, 45-tel. . . ). A számok prímtényezős felbontásából következtetünk a számok osztóinak számára. Ugyancsak a számok prímtényezős felbontását használva keressük meg azok legnagyobb közös osztóit és legkisebb közös többszöröseit. Nagyobb nevezőjű törtekkel való műveletek elvégzésekor használjuk az előbbi eljárást. A fejezet során egyszerűbb számelméleti összefüggések felfedeztetésére és azok igazolására sarkalljuk a tanulókat. A matematikaversenyek egyik kedvelt feladattípusa a számelméleti feladatok, ezért a kollégák munkáját szerettük volna megkönnyíteni azzal, hogy a fejezetbe nagyon sok ilyen feladatot írtunk be, hogy ne kelljen versenyfeladatok után „vadászni”. Ezeket a tanév során folyamatosan célszerű feldolgozni, felfrissülést fog nyújtani például a geometria példák megoldásakor egy-egy ilyen feladat megbeszélése.

13

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 4. oldal

Hogyan tovább? A nyolcadik osztályban már nem lesz külön Számelmélet fejezet. Az eddig tanultakat kell alkalmazniuk a gyerekeknek a törtekkel való műveletek elvégzésekor, az arányok egyszerűsítésekor, és a matematika iránt fogékonyabb tanulóknak versenyfeladatok megoldásakor. A középiskolában a nevezetes azonosságok és a teljes indukció kapcsán (emelt szintű matematikaóra esetén) újabb típusú oszthatósági feladatok megoldásával is megismerkedhetnek a tanulók.

Minimumkövetelmény Az osztó és a többszörös fogalmának ismerete. A 2-vel, 5-tel, 10-zel, 4-gyel, 25-tel, 100-zal, valamint a 3-mal és 9-cel való oszthatósági szabályok alkalmazása. Számok prímtényezős alakjainak előállítása és ennek segítségével a szám osztóinak és többszöröseinek megkeresése. A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös előállítása és azok felhasználása törtes feladatokban.

1. óra Oszthatóság Tk.: 4–6. oldalon 1–24. feladatok Fgy.: 260–281. Az óra célja: Ebben a tanévben a Számelmélet fejezetre csak 9 óra jutott, ezért az első példában három fontos fogalmat is átismételtetünk: oszthatóságot, maradékos osztást és a maradékkal való műveleteket. Az oszthatóság definícióját már pontosabban adjuk meg, mint az előző évben, így lehetőség van a számok algebrai felírására az osztási maradékaik felhasználásával. Ezzel elő akarjuk készíteni az Algebra fejezetben használatos képletek könnyebb megértését. Kevésbé jó csoportban ne foglalkozzunk azzal, hogy a 0-nak minden természetes szám osztója, nehogy összekeverjék a gyerekek a 0-val való osztással! Feladatok 1. Julcsi néni a hétvégi házukban befőtteket készített a kertben termett gyümölcsökből. Ősszel behozta azokat, és most el szeretné helyezni a 25 meggy-, a 43 körte-, az 5 zölddióés a 4 birskompótot a három polcon a kamrában úgy, hogy mindegyik polcot azonosan terhelje. Hány üveget kell tennie az egyes polcokra? 25 + 43 + 5 + 4 77 = = 25 és marad 2, azaz Julcsi néni nem tudja egyen3 3 letesen elhelyezni a befőtteket. Célszerű a felső polcra 25-öt a két alsóra pedig 26–26-ot tenni. Egyszerűbb megoldás: csak a maradékok vizsgálata, 1 + 1 + 2 + 1 = 5 nem osztható 3-mal.

Az első feladatnál nem valószínű, hogy bárki is maradékokkal számolt volna. A második feladat viszont már szinte „megköveteli”, hogy azzal dolgozzunk, ezért célszerű egyszerre kiadni a két feladatot.

14

C M Y K



2. Az osztály klubdélutánján a gyerekek zsetonokkal fizettek. Az árakat a képek alatt láthatod. Mit vásárolhatott a) Zsuzsi, ha két dolgot vett, és a fizetett összeg osztható volt 3-mal, A 3-as maradékok az egyes áruknál: pogácsa 1, csiga 2, zsemle 2, süti 1, torta 0, kókusz 1, kis üdítő 0, nagy üdítő 1. A kéttagú összeg osztható hárommal, ha az összeadandó maradékok: 0 + 0 vagy 1 + 2. Maradékok összege 0+0 1+2 Vásárolt áruk torta + kis üdítő pogácsa + csiga vagy zsemle süti + csiga vagy zsemle kókusz + csiga vagy zsemle nagy üdítő + csiga vagy zsemle Lehetőség 1 8

b) Péter, ha három dolgot vett, és a fizetett összeg osztható volt 3-mal, A háromtagú összeg osztható hárommal, ha az összeadandó maradékok: 0 + 0 + 0, 0 + 1 + 2, 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2. Maradékok összege 0 + 0 + 0 0+1+2 2+2+2 Vásárolt áruk nincs az előző 8 esethez vagy a torta, vagy a kis üdítő csatlakozik Lehetőségek

0

16

1+1+1 pogácsa + süti + kókusz pogácsa + süti + nagy üdítő süti + kókusz + nagy üdítő 3

c) Luca, ha két dolgot vett, és a fizetett összeg osztható volt 6-tal? A 6-os maradékok az egyes áruknál: pogácsa 4, csiga 5, zsemle 2, süti 1, torta 0, kókusz 4, kis üdítő 0, nagy üdítő 4. Maradékok összege 1+5 2+4 3+3 0+0 Vásárolt áruk torta + kis üdítő süti + csiga zsemle + pogácsa nincs zsemle + kókusz zsemle + nagy üdítő Lehetőségek 1 1 3 0

3. Az előző feladat árukészletéből most csak egy dolgot vásároltak a gyerekek. Mi lehetett az, ha mindnyájan száz zsetonnal fizettek, és a) Zoli visszakapott zsetonjainak száma 3-mal osztható volt, Ez egy gondolkodtató feladat. Mivel a 100 = 99 + 1, azaz 3-mal osztva 1-et ad maradékul, így visszafelé okoskodva célszerű megoldani a feladatot. Természetesen próbálgatással is megoldható. A vásárolt áru ára 3-mal osztva 1-et ad maradékul: pogácsa, süti, kókusz, nagy üdítő.

b) Panni visszakapott zsetonjainak száma 3-mal osztva 1-et adott maradékul, A vásárolt áru árának most 3-mal oszthatónak kell lenni: torta, kis üdítő.

c) Klári visszakapott zsetonjainak száma 3-mal osztva 2-t adott maradékul? A vásárolt áru árának most 3-mal osztva 2-t kell maradékul adni: csiga, zsemle.

4. Egy papírt 4 részre tépünk, majd az egyik részt ismét 4 részre tépjük. Ezt folytatva hány parírdarabka lesz az asztalon a 10. lépés után? Elérhető-e ezzel az eljárással, hogy pontosan 1526, 1848, illetve 2002 papírdarabkánk legyen? Ezt a feladatot a sorozat témakörnél is kitűzzük. Most az oszthatósági megoldást adjuk meg.

15

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 5. oldal Minden lépéskor egy darab helyett 4 lesz, azaz a papírdarabkák száma 3-mal nő: 4, 7, 10, 13,. . . papírdarabkánk lesz. Ezek a számok 3-mal osztva 1-et adnak maradékul, azaz 3k + 1 alakúak. A felsorolt számok közül csak a 2002 ilyen.

5. Három szám közül egyik sem osztható 4-gyel. Melyik igaz, és melyik nem az alábbi állításokból? a) Lehet, hogy a három szám összege osztható 4-gyel. Igaz, pl.: 5 + 6 + 9 = 20. b) Lehet, hogy a három szám szorzata osztható 4-gyel. Igaz, pl.: 2 · 6 · 5 = 60. c) Biztos, hogy a három szám összege nem osztható 4-gyel. Nem, pl.: 5 + 6 + 9 = 20. d) Biztos, hogy a három szám szorzata nem osztható 4-gyel. Nem, pl.: 2 · 6 · 5 = 60. 6. Három szám összege osztható 4-gyel. Döntsd el, hogy melyik állítás biztosan igaz, melyik lehetetlen, vagy melyik lehetséges, de nem biztos! a) Mind a három szám osztható 4-gyel. Lehetséges (pl.: 4 + 8 + 12), de nem biztos (pl.: 4 + 6 + 10). b) Pontosan két szám osztható 4-gyel. Lehetetlen. c) Az egyik szám 4-gyel osztva 1 maradékot ad. Lehetséges (pl.: 1 + 4 + 7), de nem biztos (pl.: 4 + + 6 + 10).

d) Az egyik szám 4-gyel osztva 1 maradékot ad, a másik 2-t, a harmadik pedig 3-at. Lehetetlen, hiszen így az összeg 4-es maradéka 2.

e) Az egyik osztható 4-gyel, a másik 1 maradékot, a harmadik pedig 3 maradékot ad. Lehetséges (pl.: 4 + 5 + 7), de nem biztos (pl.: 4 + 6 + 10).

7. Mennyi maradékot ad a 2137 öttel osztva? Mi lesz az 5-ös maradéka a 2137 a) kétszeresének, b) háromszorosának, c) négyszeresének, d) ötszörösének? A maradék 2. a) 4, b) 1, c) 3, d) 0. Vezessük rá a gyerekeket, hogy elég a szám maradékával dolgozni és nem kell venni az eredeti szám többszörösét!

8. Egy szám 5-tel osztva 2-t ad maradékul. Mennyit ad maradékul 5-tel osztva a szám b) háromszorosa, 1 c) négyszerese, 3 d) ötszöröse? 0 a) kétszerese, 4 Ez a hetedik feladat általánosítása.

9. Egy szám 5-ös maradéka 2. Mennyi a szám 10-es maradéka? Mennyi a szám kétszeresének a 10-es maradéka? A 10-es maradék 2 vagy 7. A szám kétszeresének 10-es maradéka 4.

10. Egy számot 10-zel osztva 2-t kapunk maradékul. Mennyi a szám 5-ös maradéka? Mennyi a szám kétszeresének az 5-ös maradéka? Az 5-ös maradék is 2. A szám kétszeresének 5-ös maradéka 4.

11. Két természetes szám közül az egyik 6-tal osztva 4-et, a másik 3-at ad maradékul. Mi a 6-os maradéka a két szám a) összegének, b) különbségének, c) szorzatának? Célszerű felírni az összeadandó számokat: 6k + 4, illetve 6l + 3 alakban a) 1 b) 1 vagy 5 (sorrendtől függ: pl.: 10 − 9 = 1 vagy 15 − 10 = 5)

c) 0

12. Jelöljünk n-nel egy olyan természetes számot, amelynek 7-es maradéka 2, és m-mel egy olyat, amelynek 7-es maradéka 1. Mekkora a 7-es maradéka a) (n + m)-nek, 3 b) (n − m)-nek, 1 c) n · m-nek, 2 d) (m − n)-nek, 6 e) (2n + m)-nek? 5

16

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 6. oldal 13.

462 = ? Minden számnak sok neve van. Párosítsd össze a szám neveit annak tulajdonságaival! a) 400 + 60 + 2 b) 2 · 3 · 7 · 11 c) 460 + 2 e) 9 · 51 + 3 d) 21 · 22 A) Osztható 7-tel

B) Két szomszédos szám szorzata

C) 10-zel osztva 2-t ad maradékul

D) A 9-es maradéka 3

E) A 3-as maradéka 0

Az egyes tulajdonságokat a szám többféle felírásából is kiolvashatjuk. Pl.: a − C, b − A, b − E, c − C, d − A, d − B, d − E, e − D, e − E.

14. A 7 · 17 · 37 számban hányszor van meg a a) 7, 17 · 37 b) 17, 7 · 37 c) 7 · 17, 37

e) 7 · 17 · 37? 1

d) 37, 7 · 17

15. Az 5 · 7 · 13 számnak keress minél több osztóját! Igaz-e, hogy ez a szám a) nem osztható 2-vel, b) osztható 7-tel, c) osztható 35-tel, d) 3-as maradéka 2? A három különböző prímszám szorzatából álló számnak 8 osztója van: 1; 5; 7; 13; 5 · 7; 5 · 13; 7 · 13; 5 · 7 · 13. A prímtényezős alakból ragyogóan kiolvashatóak a szám oszthatósági tulajdonságai: a) igaz, b) igaz, c) igaz, d) igaz, elég a tényezők maradékaival számolni: 2 · 1 · 1 = 2.

16. A 307 · 509 számban megvan-e maradék nélkül, és ha igen, akkor hányszor a(z) a) 307, b) 509, c) 1, d) 15, e) 4, f) 12? Az Az a) d)

ilyen típusú példák meg szokták lepni a gyerekeket. Próbáljuk a számolás helyett gondolkodásra biztatni őket. oszthatóság definícióját kell alkalmazni az első két kérdésnél. Igen, és 509-szer. b) Igen, és 307-szer. c) Igen, és 307 · 509-szer. Nem, mert egyik tényező sem osztható 5-tel. e) Nem, mert két páratlan szám szorzata. f) Nem, az e) miatt.

17. Írj egy-egy számot a hiányzó helyekre, hogy a kapott szám a) a 6 többszöröse legyen, b) a 12 többszöröse legyen! 3·5·

·7

3·

·

·7

4·

·5·

4·

·5·9

A feladatoknak végtelen sok megoldása van. Az általunk megadott számok minden többszöröse eleget tesz a feladat követelményeinek.

3·5· a)

b)

·7

3·

=2

=4

·

·7

4·

·5·

=2

=1

=3

=1

=1

=2

=1

=3

=4

=1

=3

=1

=1

=4

=1

=3

18. Keresd a párját! (k, l, m, n, p és q pozitív egészek) a) 7 · k b) 3l + 2 c) 5n + 4 f) (5p + 1) + (5q + 4) A) Osztható 7-tel

g) 5n + 2n B) Osztható 3-mal

D) 5-tel osztható

4·

·5·9 =1

=1

d) 5m

e) 3k + 6l h) (3m + 1) + (3k + 2) C) A 3-as maradéka 2

E) 5-tel osztva 4 maradékot ad

a–A, b–C, c–E, d–D, e–B, f –D, g–A, h–B

17

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 6. oldal 19. Írd le képlettel a következő számok általános alakját! a) 4-gyel oszthatók 4a b) 4-gyel osztva 2-t adnak maradékul 4b + 2 c) 4-es maradéka 2 4c + 2 d) 11-gyel osztva 5-t kapunk maradékul 11d + 5 e) 11-es maradéka 5 11e + 5 20. Melyik az a szám? a) Egy szám 7-szeresének és 5-szörösének összege 1092. A szám legyen: a, 7a + 5a = 1092, innen 12a = 1092

a = 91.

b) Egy szám 7-szeresének és 5-szörösének különbsége 1406. A szám legyen: b, 7b − 5b = 1406, innen 2b = 1406

b = 703.

c) Egy szám 7-szeresének és 5-szörösének szorzata 140. A szám legyen: c, 7c · 5c = 140, innen 35c2 = 140, azaz c2 = 4; c = 2 vagy c = −2.

21. Egy 10-zel osztható szám utolsó számjegyét elhagyva egy újabb számot kapunk, melyet az eredeti számhoz hozzáadva az összeg 5016 lesz. Mi az eredeti szám? A kisebb számot x-szel jelölve a nagyobb szám 10x. Az összeg x + 10x = 5016, innen x = 456. Az eredeti szám 4560. Ellenőriztessük!

22. Egy számhoz hozzáadjuk annak 3-szorosát és a 9-szeresét is. Mutasd meg, hogy így biztosan 13-mal osztható számot kapunk! Mi lehetett a kiindulási szám, ha az összeg 1131? Jelöljük x-szel a kiindulási számot. Az összeg: x + 3x + 9x = 13x 13x = 1131 A kiindulási szám 87.

23. Írj le egymás után kétszer egy háromjegyű számot! Az így nyert hatjegyű számot osszad el 7-tel, majd a hányadost 11-gyel, és az így kapott hányadost 13-mal. Mi lett a harmadik hányados? Próbáld ki több számon is ezt a trükköt, és indokold a sejtésedet! Néhány konkrét példát írjanak fel előszőr a gyerekek, és csak azután érdemes próbálkozni az általános megoldással! Az eredeti háromjegyű szám: abc. Ezt a számot kétszer egymás után leírva abcabc hatjegyű számot kapjuk. Ennek a számnak az értéke: c + 10b + 100a + 1000c + 10 000b + 100 000a = 1001(c + 10b + 100a) = = 7 · 11 · 13 · (100a + 10b + c) = 7 · 11 · 13 · abc A hányados minden esetben az eredeti háromjegyű szám. Ha az eredeti háromjegyű számot k-val jelöljük, akkor a keletkezett hatjegyű szám 1000k + k = 1001k = 7 · 11 · 13 · k lesz. Ez egy nehezebb gondolat, így ezt először konkrét számon mutassuk meg!

24. Egy hegyesszögű háromszög három szöge közül az egyik 8-cal, a másik 9-cel, a harmadik 12-vel osztható. Hány fokosak a háromszög szögei?

(Bergengóc példatár)

A háromszög szögei legyenek 8x, 9y és 12z, ahol x, y, z pozitív egészek. Mivel a háromszög hegyesszögű, így x 11, y 9 és z 7. A háromszög belső szögeinek összege 180◦ :

5

5

5

8x + 9y + 12z = 180 Innen

9y = 180 − 4 · (2x + 3z)

A jobb oldalon álló kifejezés 4-gyel osztható, ezért 9y is osztható 4-gyel.

18

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 6. és 9. oldal Mivel a 4 és a 9 relatív prímek, ezért y osztható 4-gyel. Így y = 4 vagy y = 8. I. eset y = 4 8x + 12z = 144. Innen 2x + 3z = 36. 2x = 3(12 − z), vagyis x is osztható hárommal, azaz x = 3, vagy x = 6, vagy x = 9. Lehetőségek és azok ellenőrzése: y

x

z

4

3

10 > 7

Nem jó

4

6

8>7

Nem jó

4

9

6

A háromszög szögei: 72◦ ; 36◦ ; 72◦ megfelel a feladatnak

II. eset y = 8 8x + 72 + 12z = 180. Innen 8x + 12z = 108. Egyszerűsítve: 2x + 3z = 27. 2x = 27 − 3z vagyis 2x is osztható hárommal. Mivel 2 és 3 relatív prímek, ezért x is osztható 3-mal, azaz x = 3, vagy x = 6, vagy x = 9. Lehetőségek és azok ellenőrzése: y

x

z

A háromszög szögei

8

3

7

24◦ ; 72◦ ; 84◦ jó

8

6

5

48◦ ; 72◦ ; 60◦ jó

8

9

3

72◦ ; 72◦ ; 36◦ jó

A kapott háromszög közül kettőnek azonosak a szögei, azaz három megoldása van a feladatnak.

2–3. óra Oszthatósági szabályok Tk.: 9–10. oldalon 1–15. feladatok, kivéve: 7. Fgy.: 282–294. Az órák célja: Feleleveníteni a hatodik osztályban tanult oszthatósági szabályokat és továbbfejleszteni azokat. Az utolsó számjegyekből levonható oszthatósági szabályoknál már a konkrét számpéldákat egy „formalizálás” is követi, amely a bizonyítási igény felkeltését hivatott elősegíteni. Kevésbé fogékony csoportoknál megmaradhatunk a konkrét példáknál. Két játékot javaslunk 1. Bumm 7-es: A gyerekek egyesével számolva mondják a számokat, és akinek 7-tel osztható számot kellene mondania vagy olyan számot, amelyben a 7-es szerepel, „Bumm”-ot mond. Több 7-es számjegy esetén annyi bummot kell mondani, ahány 7-es van a számban. Aki tévesztett, az kiesik a játékból. Bumm 4-essel kicsit nehezebb a játék.

19

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 9. oldal 2. Minden padsort egy-egy gyerek képvisel, akinek van egy sorszáma (első padsorból jött, a másodikból jött. . . ) Mindenki gondol egy-egy számra, és a következőt kell tennie: az első gondolt szám · 9 + sorszáma = A a második gondolt szám · 18 + sorszáma = B a harmadik gondolt szám · 27 + sorszáma = C .. . A tanár kimegy, és minden gyerek felírja a kapott eredményét a táblára (A, B, C). A tanár visszajön és megmondja, hogy ki melyik számot írta fel a táblára. (A gyerekek száma 9-nél kevesebb kell, hogy legyen – ezért célszerű a padsori választás.) Aki rájön a „trükkre” (a táblára felírt szám 9-es maradéka a gyerek sorszáma, és mi tudjuk, hogy kinek mi a sorszáma), az lesz az új játékvezető.

4. óra Összetett oszthatósági szabályok Tk.: 11–12. oldalon 7. és 16–30. feladatok Fgy.: 295–304. Az óra célja: A gyerekek maguk fedezzék fel az egyszerűbb összetett számokkal való oszthatósági szabályokat (6, 15, 12, 45, . . . ). Legyen számukra világos, hogy ha egy szám osztható két számmal és azok nem relatív prímek, akkor nem biztos, hogy osztható a számok szorzatával. Ezt természetesen nem kell megfogalmazni (a jobbak mindig megteszik), csak jól kell alkalmazni a feladatok megoldásakor. Feladatok 1. Egészítsétek ki a következő számokat a keretekbe írt egy-egy számjeggyel, hogy a kapott számok oszthatók legyenek a) 2-vel, b) 4-gyel, c) 5-tel, d) 10-zel, e) 25-tel, f) 8-cal! 427

,

3 427

2-vel

4-gyel

0, 2, 4, 6, 8

2, 6

12,

54 3

12

0, 1, . . . , 8, 9

,

39 54 = 0, 1, . . . , 9

= 0, 1, . . . , 9

= 0, 2, 4, 6, 8

= 0, 2, 4, 6, 8

0, 1, . . . , 8, 9

= 0, 1, . . . , 9 0, 2, 4, 6, 8 1, 3, 5, 7, 9

5-tel

0, 5

39

nincs

0, 4, 8 2, 6

= 2, 6

= 0, 1, . . . , 9

= 0, 1, . . . , 9

= 0, 5

= 0, 5

20

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 9–10. oldal 427 10-zel

3

0

25-tel

12

54

nincs

5

39

= 0, 1, . . . , 9

= 0, 1, . . . , 9

=0

=0

nincs

nincs megoldás 0, 5 2, 7

8-cal

2

0 5

1, 3, 5, 7, 9

= 0, 1, . . . , 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0, 8 6 4 2 0, 8 6 4 2 0, 8 6

=2

2. Mennyi a felsorolt számok 5-ös, 10-es, 25-ös maradéka? 125, 312, 473, 1948, 6355, 13 475 Maradék

125

312

473

1948

6355

13 475

5-ös

0

2

3

3

0

0

10-es

5

2

3

8

5

5

25-ös

0

12

23

23

5

0

3. Csoportosítsd a számokat 1-től 50-ig a 4-gyel való osztási maradékuk szerint! Hány csoportot kaptál? A 4-gyel való oszthatóság szempontjából vizsgáld az egy csoportba tartozó számok különbségét! Mindig a nagyobb számból vond ki a kisebbet! 0 maradék

1 maradék

2 maradék

3 maradék

0, 4, 12, 16, 20,

1, 5, 9, 13, 17, 21,

2, 6, 10, 14, 18, 22,

3, 7, 11, 15, 19, 23,

24, 28, 32, 36, 40,

25, 29, 33, 37, 41,

26, 30, 34, 38, 42,

27, 31, 35, 39, 43,

44, 48

45, 49

46, 50

47

Vegyük észre, hogy a 0-tól kezdve a maradékosztályokon sorban lépkedve kell beírni a számokat. Az egy csoportba tartozó számok különbsége többszöröse a 4-nek. Jobb csoportban érdemes általánosítani is a feladatot, tetszőleges n esetén is n maradékosztály van, és a különbségre megállapított állítás igaz marad.

4. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, és melyik hamis! Válaszodat indokold! a) Egy szám osztható 2-vel, ha számjegyei oszthatók 2-vel. Igen, mert az utolsó számjegy páros. b) Egy szám osztható 4-gyel, ha számjegyei oszthatók 4-gyel. Igen, mert az utolsó két számjegyéből képzett szám a 0, 4, 8-ból áll össze.

c) Nincs olyan 4-gyel osztható szám, amelynek csak egy számjegye páros. Hamis, pl.: 72. d) Ha egy szám utolsó 4 helyén álló négyjegyű szám osztható 8-cal, akkor a szám is. Igaz, mert a számot felbonthatjuk egy kéttagú összegre. Az első tag 1000 többszöröse, ami osztható 8-cal és a második tag a szám végén álló háromjegyű szám. Ez a feladat szerint két 8-cal osztható szám különbsége.

21

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 10. oldal 2, 5 számkártyákból? 6 szám rakható ki. 5. Hány háromjegyű számot lehet kirakni a 3 , Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kirakott szám a) páros,

1 3

b) 5-tel osztható,

1 3

c) 4-gyel osztható,

6. Hány háromjegyű számot lehet kirakni a

0,

3,

2 1 = 6 3

4,

d) 8-cal osztható lesz?

1 6

7 számkártyákból?

18 szám rakható ki, mert a százasok helyére csak a 3 , 4 , 7 számkártyák közül választhatunk, a tízesek helyére ismét 3 számkártya közül választhatunk: a 0 és a két ki nem választott. Az egyesekre már csak két lehetőségünk maradt. 3 · 3 · 2 = 18

Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kirakott szám a) páros, b) 5-tel osztható, c) 4-gyel osztható, d) 8-cal osztható lesz? 4 10 5 6 + = = . 18 18 18 9 2+2 4 2 c) A szám 40-re vagy 04-re végződik: = = . 18 18 9

b) A szám 5-re végződik:

a) Kedvező végződés: 0 és a 4, ezért

0,

7. Hány négyjegyű számot lehet kirakni a

6 1 = . 18 3

d) A 304 és a 704 osztható 8-cal:

3,

4,

2 1 = . 18 9


18 az előző feladatban leírt logikai megfontolás szerint.

Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kirakott szám osztható lesz a) 4-gyel, b) 20-szal, c) 25-tel? a) lásd 6. c).

b) 4-gyel és 5-tel osztható szám, ezért 40-re végződik:

2 1 = . 18 9

c) Ilyen szám nincs: 0.

8. Hány olyan csupa 2-es számjegyből álló szám van, amely osztható 8-cal? 0, mert a szám végén álló háromjegyű szám 222, ami nem többszöröse a 8-nak.

9. Mennyi a felsorolt számok 9-es és 3-as maradéka? 246, 9351, 412, 5379, 4020,

13 579

Maradék

246

9351

412

5379

4020

13 579

9-es

3

0

7

6

6

7

3-as

0

0

1

0

0

1

10. Add meg a hiányzó számjegyeket úgy, hogy a) 3-mal, 32 , 7 2, 5 24, 3 4 Osztható

32

7

2

5

3-mal

1, 4, 7

0, 3, 6, 9

1, 4, 7

9-cel

4

0, 9

7

24

3

b) 9-cel osztható számot kapj!

4 + +

= 2, 5, 8, 11, 14, 17 = 2, 11

Ez 33 szám. Ez 11 szám.

11. A pozitív egész számok sorozatában melyik a) a századik 3-mal osztható szám, 300 b) a századik 9-cel osztható szám, 900 c) az ötvenedik 3-mal osztva 2 maradékot adó szám, Ezek a 3(k − 1) + 2 alakú számok: 149. d) az ötvenedik 9-cel osztva 5 maradékot adó szám? Ezek a 9(k − 1) + 5 alakú számok: 446.

22

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 10–11. oldal 12. A műveletek eredményének csak a 9-cel való osztási maradékát határozd meg! Arra a kártyára lépj, amelynek az elején a kapott maradékot látod! Ha jól oldottad meg a feladatot, egy világhírű magyar matematikus nevét kapod meg. Ki volt ő? Búvárkodj! START 612 + 708 B 3

845 − 31

A

0

1+2+3+4+5+6

LY

6

912 · 36

O

1

(43 + 813) · 5

J

5

4 · 103 + 3 · 102 + 10

Á

4

105

I

8

3415 + 101

N

6

(3453 − 92) · 14

O

2 7 · 104 − 5 · 102 S

Bolyai János: 1802–1860 magyar matematikus, aki Kolozsvárott született, és első matematikatanára édesapja, Bolyai Farkas volt. Legjelentősebb eredményeit a geometria terén érte el, fő művének címe: Appendix (1832). Az ő nevét viseli a magyar matematikusok 1947-ben alapított szervezete, valamint az egyik kolozsvári tudományegyetem is.

4, 5 számkártyákból? 6 13. Hány háromjegyű számot lehet kirakni a 3 , A számok közül hány lesz osztható a) 3-mal, Mivel a számkártyákon álló számok összege 12, osztható 3-mal: mind a 6. b) 9-cel, Mivel a számkártyákon álló számok összege nem osztható 9-cel: 0. c) 4-gyel? Egy sem. 0, 6, 8 számkártyákból? 18 14. Hány háromjegyű számot lehet kirakni a 4 , A számok közül hány lesz osztható a) 3-mal, b) 9-cel, c) 4-gyel? Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kirakva d) 3-mal, e) 9-cel, f) 4-gyel osztható számot kapunk? a) és d): Jó számkártyák 0, 4, 8, ezekből 4 háromjegyű szám képezhető, és jó a 4, 6, 8 is, amelyekből 6 háromjegyű 10 5 számot készíthetünk. Összesen 10 szám van, a valószínűség = . 18 9 6 1 b) és e): Csak a 4, 6, 8 számhármas jó. Így 6 szám lesz, a valószínűség: = . 18 3 c) és f): Jó végződések

40

48

04

08

64

68

84

80

Számok száma

2

1

2

2

1

1

1

2

A valószínűség

Összesen 12 szám.

12 2 = . 18 3

15. A 7053 szám végére írj még egy számjegyet úgy, hogy ne változzon a szám a) 3-as, b) 4-es, c) 5-ös, d) 9-es maradéka! Célszerű megállapítani az eredeti szám megfelelő maradékát, és azután lehet megoldani a feladatot.

7053 maradéka Hozzáírt számjegy

3-as

4-es

5-ös

9-es

0

1

3

6

0, 3, 6, 9

3, 7

3, 8

0, 9

1, 16. Hány négyjegyű számot lehet kirakni a 0 , A számok közül hány lesz osztható a) 3-mal,

3, 5 számkártyákból? 18 b) 4-gyel, c) 6-tal, d) 9-cel?

a) és d): A számkártyákon álló számjegyek összege 9, ezért az összes szám osztható 3-mal és 9-cel. b) Nincs ilyen szám. c) 6, mert ennyi páros végződésű szám van, és a 3-mal való oszthatóság biztosított.

23

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 11. oldal 17. Milyen számjegyet írhatsz a 274 végére, hogy az osztható legyen 45-tel? A keresett számot az 5 és a 9 is osztja. Így a szám 0-ra vagy 5-re végződhetne, de a számjegyek összege csak az 5 esetén lesz 9 többszöröse.

18. Pótold a hiányzó számjegyeket, hogy a 34 a) 6-tal, b) 12-vel, c) 15-tel,

, 92 5, 4 d) 18-cal!

2 számok oszthatók legyenek

Az oszthatóság érdekében a következő oszthatósági szabályokra kell figyelni: a) 6 = 2 · 3, b) 12 = 3 · 4 (nem jó a 2 · 6), c) 15 = 3 · 5, d) 18 = 2 · 9 (nem jó a 3 · 6) 34 6-tal

92

2, 8

5

nincs megoldás

12-vel

8

4 +

2 = 0, 3

6, 9, 12, 15, 18 Ez 34 szám.

nincs megoldás

15-tel

5

2, 5, 8

18-cal

2

nincs megoldás

2, 5, 8 0, 3, 6, 9 1, 4, 7 2, 5, 8 0, 3, 6, 9 nincs megoldás +

1 3 5 7 9

= 3, 12

Ez 11 szám.

19. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, és melyik hamis! a) Ha egy szám 6-nak többszöröse, akkor 3-nak is többszöröse. Igaz. b) Ha egy szám 3-nak többszöröse, akkor 6-nak is többszöröse. Hamis, pl.: 3. c) Ha egy szám 9-es maradéka 6, akkor a szám osztható 3-mal. Igaz. d) Ha egy szám 3-as maradéka 2, akkor a 9-es maradéka is 2. Hamis, pl.: 5. e) Ha egy szám 4-gyel és 8-cal is osztható, akkor osztható 16-tal is. Hamis, pl.: 8. f) Minden 3-mal osztható páros szám osztható 6-tal is. Igaz. 20. Töltsd ki a totót, azaz x-eld be a helyes választ! Biztos Lehetséges Lehetetlen 1. 2. 3. 4.

Ha egy szám osztható 3-mal, akkor a szám osztható 9-cel Egy 125-tel osztható szám osztható 50-nel A 47 287 szám 9-cel osztva 2-t ad maradékul Az 512 után csak egyféle számjegyet írhatunk, hogy a szám 9-cel osztható legyen

x x x x

5. 4 · 103 + 3 · 102 + 5 · 10 + 2 számnak azonos a 3-as és a 9-es maradéka

24

C M Y K


x

Szmelmlet Tk.: 11–12. oldal Biztos Lehetséges Lehetetlen 6. A 2 , 4 , 6 számkártyákból véletlenszerűen háromjegyű 1 számot kirakva valószínűséggel kapunk 4-gyel osztha3 tó számot

x

7. Az X, 4 , 6 számkártyákból háromjegyű számot vélet1 lenszerűen kirakva -nél kisebb valószínűséggel kapunk 2 4-gyel osztható számot 8. A 2 , 3 , 6 számkártyákból kirakott háromjegyű számok 5-tel való osztási maradékait növekvő sorrendbe rendezve egymást követő természetes számokat kapunk 168 252 9. A és a törtek egyszerűsített alakja megegyezik 198 294 17 10. A törtnek van 7222 nevezőjű bővített párja 23 17 11. A törtnek van 7222 számlálójú bővített párja 23 12. A pozitív egész számok sorozatában az ötvenedik 3-mal osztható szám kisebb 145-nél 13. Ha egy négyjegyű szám számjegyeit felcserélem, akkor az eredeti és az új szám 9-cel osztva ugyanazt adja maradékul 13+1 Ha egy négyjegyű szám számjegyeit felcserélem, akkor az eredeti és az új szám 4-gyel osztva ugyanazt adja maradékul

x

x

x x x x x

x

Megjegyzés a totóhoz: 6. Összesen 6 számot lehet kirakni, amelyekből a 264, 624 osztható 4-gyel. 7. A hatodik kérdés miatt lehetséges, de x = 8 esetén 648, 684 és 864, a valószínűség 9.

168 28 = 198 33

252 6 = 294 7

10.

17 314 · 17 5338 = = . 23 7222 7222

1 lesz. 2

21. Egyszerűsítsd a következő törteket! 124 31 333 1 725 29 3648 19 1485 33 14 260 731 = = = = = = 348 87 999 3 850 34 2496 13 2790 62 10 860 543 22. Képezd a sorozatok első hat elemét! Milyenfajta sorozatot alkotnak ezek a számok, és miért? an = 5n, bn = 5n + 2, cn = 5n + 4, ahol n = 1 pozitív egész szám. a = {5; 10; 15; 20; 25; 30} b = {7; 12; 17; 22; 27; 32} differencia mindhárom sorozatnál 5.

c = {9; 14; 19; 24; 29; 34}

Számtani sorozatok, a

Tagja lesz-e a harmadik sorozatnak a 104, illetve a 111? Ha igen, akkor hányadik? A harmadik sorozatba azok a számok tartoznak, amelyek 5-tel osztva 4-et adnak maradékul. Ezért a 104 tagja a sorozatnak (a huszadik), de a 111 nem.

23. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréled, egy újabb kétjegyű számot kapsz. A nagyobb számból vond ki a kisebbet! Vizsgáld meg a különbséget a 9-cel való oszthatóság szempontjából! Először konkrét példákkal próbálkozzanak a gyerekek: pl.: 27 → 72.

25

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 12. oldal A különbségük 45, ami osztható 9-cel. A különbségük mindig osztható 9-cel, hiszen az eredeti szám és a felcserélt szám számjegyeinek összege azonos, így különbségüknél a számjegyek összege 9-cel osztható lesz. Algebrai leírásuk: legyen (a > b) ekkor (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b), ez osztható 9-cel. Ha a = b, akkor az eredeti és a felcserélt szám azonos, így a különbség 0, ami minden pozitív egész számnak, így a 9-nek is többszöröse.

24. Rakj ki számkártyákból egy 9-cel nem osztható négyjegyű számot, majd írd le a szám 9-es maradékát! Keverd meg a számkártyákat, és ismét írd le az új szám 9-es maradékát! Mit veszel észre? Ha a nagyobb számból kivonod a kisebbet, mi lesz a különbség 9-es maradéka? Konkrét számmal érdemes eljunti a sejtéshez: a két szám kilences maradéka azonos, hiszen az csak a számjegyek összegétől függ, és független a számjegyek sorrendjétől. A különbség 9-es maradéka: 0.

25. Melyik az a csupa 0-ból és 1-ből álló legkisebb szám, amely osztható 36-tal? Melyik a legnagyobb ilyen szám? (Varga Tamás-verseny, 1997)

Egy szám osztható 36-tal, ha osztható 4-gyel és 9-cel. Mivel a szám csak 0-t és 1-t tartalmazhat, ezért a 4-gyel való oszthatóság miatt az utolsó két számjegy 0. A 9-cel való oszthatóság miatt a számjegyek összege osztható 9-cel, ezért az egyesek száma 9-nek többszöröse. A legkisebb szám: 111111111 00. (9 darab) Legnagyobb ilyen szám nincs. A feladatnak végtelen sok szám tesz eleget. A szám elején 9, 18, 27, . . . 1-es és a szám végén legalább 2 db 0 áll.

26. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely osztható mindegyik egyjegyű számmal? A számnak oszthatónak kell lenni: 9-cel, 8-cal, 7-tel, 5-tel. Ezekkel való oszthatóság már biztosítja a többi egyjegyű számmal való oszthatóságot is. A megoldás: 9 · 8 · 7 · 5 = 2520.

27. Egy virágos bokrot akartam lefotózni, de közeledtemre szétszaladtak alóla a pókok, és felröppentek a rajta levő lepkék. A fotón nagyítóval 110 lábat lehetett megszámlálni. Hány pókot, illetve lepkét lehet látni a fotón, ha egy póknak 8, egy lepkének pedig 6 lába van? Ha a pókok számát p-vel, a lepkékét l-lel jelöljük, akkor 8p + 6l = 110. Innen 4p + 3l = 55 egyenlethez jutunk, melyet próbálgatással oldhatunk meg. p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4p 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 3l 55 51 47 43 39 35 31 27 23 19 15 11 7 3 l Nem jó 17 Nem jó Nem jó 13 Nem jó Nem jó 9 Nem jó Nem jó 5 Nem jó Nem jó 1

28. Szét lehet-e osztani a száznál kisebb pozitív egész számokat két csoportba úgy, hogy a csoportokban ugyanannyi legyen a számok szorzata? Nem, mert az egyik csoportba bekerül pl. a 97, mint prím, így ebben a csoportban lévő számok szorzata osztható 97-tel, míg a másik csoportba kerülő számok egyike sem osztható 97-tel, így a szorzat sem.

26

C M Y K



29. Mutasd meg, hogy az 1 + 11 + 112 + 113 + 114 + 115 + 116 + 117 + 118 + 119 összeg osztható 10-zel! Az összeg minden tagja 10-zel osztva 1-et ad maradékul. Mivel 10 db egyes összege éppen 10, ezért az összeg valóban a 10 többszöröse.

30. Hét rabló a zsákmányolt aranyat úgy osztja el, hogy névsor szerint vesznek belőle annyit, amennyi az ott levő aranyak számának számjegyösszege (pl. ha 154 db arany van, akkor 1 + 5 + 4 = 10 aranyat vesz el). Miután mind a heten pontosan kétszer vettek az aranyból, az el is fogyott. Hatuknak egyformán jutott az aranyból, míg a rablók vezére többet kapott. Hányadik volt a vezér a névsorban, és hány aranyat kapott? Miután az első rabló kivette az aranyak számának számjegyösszegét, a maradék aranyak száma a 9 többszöröse, hiszen a szám és számjegyeinek összege azonos maradékot ad 9-cel osztva. (Pl.: 154 esetén 154 − (1 + 5 + 4) = 144, ami 9-cel osztható). Ettől kezdve már az aranyak száma a 9 többszöröse. Visszafelé lejátszva a történetet: Húzás sorszáma Maradék arany Kivett arany

14. 0 9

13. 18 9

12. 27 9

11. 36 9

10. 45 9

9. 54 9

8. 63 9

7. 72 9

6. 81 9

5. 99 18

4. 108 9

3. 117 9

2. 126 9

1. 135 9

Az ötödik rabló a vezér, mert neki 18 aranyat kell kivenni, hisz 81 arany marad utána. 90-ből nem vehetett el 9-et, mert 90 nem maradhatott, mert 108 előtt 99 van, ahol a számjegyek összege 18, és neki ezt kellett elvennie. Így minden rabló 2 · 9 = 18, a vezér pedig 18 + 9 aranyat kapott. A zsákmány 135 arany volt.

5–6. óra Törzsszámok (prímszámok), összetett számok Tk.: 17–18. oldalon 1–23. feladatok Fgy.: 305–321. Az órák célja: Felelevenítjük a prím- és az összetett számoknak a hatodik osztályban tanult meghatározását. A prímszámokra egy rendezett elrendezést adunk az eddig használatos prímtáblázatok helyett. Számokat építünk fel különböző, előre megadott tulajdonságoknak megfelelően a prímszámokból, és az összetett számokat lebontjuk prímtényezőik szorzatára bizonyos tulajdonságok megállapítása érdekében. Fontos, hogy mindkét irány hasznosságát érezzék a gyerekek. Élvezni szokták a „páros országba” kitekintésben a számok szokatlan tulajdonságait. Ők is kereshetnek érdekes számokat ebben a számkörben.

27

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 17. oldal Feladatok 1. Keresd ki a prímtáblázatból a) a 23-adik, 83 b) a 40-edik, 173

c) a 162-edik, 953

2. Hányadik prímszám?

b) 293 62

a) 53 16

c) 757 134

3. Melyek prímek a következő számhalmaz tagjai közül? 4. Hány olyan prímszám van, amely a) kisebb 200-nál, 46 b) kisebb 500-nál, 95

d) a 195-ödik prímszámot! 1187 d) 1051 177

{1; 11 ; 111; 1111}

c) 300 és 600 közé esik? 47

5. A szomszédos páratlan prímszámokat, mint például a 11-et és a 13-at; vagy a 29-et és a 31-et ikerprímeknek nevezzük. a) Hány ikerprímszám van 1000 és 1100 között? Ikerprímek: 1019–1021; 1031–1033; 1049–1051; 1061– 1063; 1091–1093, azaz 5 pár.

b) Mutasd meg, hogy az 1217-nek nincs ikerprím párja! A 1217 kisebb páratlan szomszédja az 1215, ami 5-tel osztható, így nem prím. A nagyobb szomszéd az 1219 = 23 · 53 miatt szintén nem prím. (Ennél a számnál az egyre nagyobb prímekkel való osztást sugalljuk és ne a vad próbálkozást!)

6. Építsd fel szorzással az adott prímtéglákból a lehető legnagyobb számot! Keresd meg a szám valódi osztóit! a)

2

3

5

b)

2

3

c)

3

2

2

5

5

a) 2 · 3 · 5 = 30 valódi osztók: 2; 3; 5; 2 · 3; 2 · 5; 3 · 5; b) 2 · 3 · 3 = 18 valódi osztók: 2; 3; 2 · 3; 3 · 3; c) 2 · 2 · 5 · 5 = 100 valódi osztók: 2; 5; 2 · 2; 2 · 5; 5 · 5; 2 · 2 · 5; 2 · 5 · 5

7. Építsd fel szorzással az adott prímtéglákból a lehető legnagyobb számot! Ezután ugyanezekből a prímtéglákból építs csak 2 téglát tartalmazó számokat! Az így kapott számok osztói-e az eredetinek? Ha igen, akkor hányszor vannak meg benne? a)

5

7

b)

19

71

73

79

c)

41

41

43

A legnagyobb felépíthető szám: minden prímet összeszorzunk. A két prímet tartalmazó számok mindig osztói az eredeti számnak, és éppen annyiszor vannak meg benne, mint a kihagyott prím.

8. Egy szám prímtényezős felbontása 2 · 32 · 17 · 19. A szorzás elvégzése nélkül döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások! A szám a) páros, b) osztható 9-cel, c) a 18-nak (17 · 19)-szerese, d) négyzetszám. a)–c) Mindhárom állítás igaz. d) Hamis.

9. Egy szám prímtényezős felbontása 22 · 52 · 13 · 23. A szorzás elvégzése nélkül döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások! a) A szám páratlan. Hamis, hiszen osztható 2-vel. b) A szám nullára végződik. Igaz, sőt két nullára végződik. c) A szám osztható 26-tal. Igaz, mert osztható 2-vel és 13-mal. E két szám relatív prím egymáshoz, ezért osztható 2 · 13 = 26-tal.

d) A számot 23-mal osztva a hányados páratlan szám. Hamis, mert a hányados 22 · 52 · 13. 10. Egy számból egy másik számot úgy kapunk, hogy megszorozzuk 2 · 3 · 3-mal. a) Írj két ilyen számot! Végtelen sok ilyen szám van. Éppen 2 · 3 · 3-szorosa a nagyobb szám a kisebbiknek. b) Írj két ilyen 5-tel osztható számpárt! 5 és 2 · 3 · 3 · 5. Végtelen sok megoldás van.

28

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 17–18. oldal c) Lehetséges-e, hogy csak a kisebb szám osztható 7-tel? Nem d) Lehetséges-e, hogy a nagyobb szám többszöröse a 12-nek? Lehet, de nem biztos. e) Melyik az a legkisebb szám, amelyre a nagyobb szám négyzetszám lesz? 2 11. Csak

2

leesett a 11 · a) páros, 2

3

5 5

·

11 5

·

prímtégláink vannak, viszont mindegyikből több is. Egy szorzat végéről. Tedd vissza a helyére úgy, hogy a szám

b) 15-tel osztható, 3

d) 6-tal osztható, nem megoldható

c) 11-nek többszöröse, bármelyik prímtégla odahelyezhető e) négyzetszám legyen! 11

12. Pótold a hiányzó prímtéglát úgy, hogy a

2

a) páros legyen, tetszőleges prímszám c) a 11 éppen 18-szor legyen meg benne, 11 e) többszöröse legyen a 10-nek, 5

·

3

·

3

·

szám

b) négyzetszám legyen, 2 d) 12-vel osztható legyen, 2 f) osztható legyen 283-mal! 283

13. Bontsd prímszámok szorzatára a számokat! a) 56 56 = 23 · 7 b) 64 64 = 26 c) 84 84 = 22 · 3 · 7 e) 1125 1125 = 32 · 53 f) 17 595 17 595 = 32 · 5 · 17 · 23

d) 269 269 (prím)

14. Hány osztójuk van a számoknak? Célszerű a számok prímtényezős alakjával dolgozni. a) 18 = 2 · 32 → 6 b) 30 = 2 · 3 · 5 → 8 c) 151 → 2 d) 2 · 32 · 5 → 12 e) 23 → 4 f) 103 = 23 · 53 → 16 15. Hány valódi osztójuk van a következő számoknak? A valódi osztók száma 2-vel kevesebb az összes osztók számánál, ezért most is célszerű a prímtényezős felbontással dolgozni.

a) 72 = 23 · 32 → 10 d) 1031 → 0

b) 225 = 32 · 52 → 7 e) 34 → 3

c) 1452 = 22 · 3 · 112 → 16 f) 103 = 23 · 53 → 14

16. Melyik az a szám, amelynek csak ezek a számok a valódi osztói? a) 3, 7 3 · 7 = 21 b) 2, 3, 6 nincs ilyen szám c) 2, 4, 8, 16 32 d) 2, 17, 34 nincs ilyen szám e) 2, 3, 6, 7, 14, 21 42 17. Ebben a feladatban csak négyzetszámok szerepelnek. Add meg, hogy hány osztójuk van! Milyen érdekességet figyelhetsz meg az osztók számában? a) 4 = 22 → 3 b) 25 = 52 → 3 c) 100 = 22 · 52 → 9 d) 22 · 32 → 9 e) 34 · 52 → 5 · 3 = 15 f) 104 = 24 · 54 → 5 · 5 = 25 A négyzetszámoknak (és csak azoknak) páratlan sok osztójuk van. Ez következik abból, hogy prímtényezős felbontásukban minden prímszám hatványkitevője páros, ezért páratlan sok osztója van. A páratlan számok szorzata pedig páratlan. Indokolhatjuk az osztópárokkal is. n2 esetén minden osztónak megvan a párja, kivéve az n-et. Így a párosan levő osztópárokhoz 1 adódik hozzá.

18. Hány 100-nál kisebb pozitív egész számnak van páratlan számú osztója? A négyzetszámoknak van páratlan számú osztója. A száznál kisebb négyzetszámok: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, azaz 9 szám.

29

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 18. oldal 19. Melyik állítás igaz, és melyik hamis? a) A 33 · 5 szám osztható 27-tel. Igaz. b) Ha egy szám osztható 3-mal és 12-vel, akkor osztható 36-tal is. Hamis, pl.: 24. c) Ha egy szám osztható 5-tel, 6-tal és 7-tel, akkor osztható 5 · 6 · 7-tel is. Igaz. d) Ha egy szám osztható 5-tel, 10-zel és 7-tel, akkor osztható 5 · 10 · 7-tel is. Hamis, pl.: 70. e) A 22 · 32 · 72 szám négyzetszám. Igaz. f) A 23 · 32 · 72 szám nem lehet sem négyzetszám, sem köbszám. Igaz. g) A 23 · 32 · 72 számot egy prímszámmal megszorozva kaphatunk négyzetszámot. Igen, p = 2. A 20. feladat fontos feladat arra, hogy rádöbbentse a gyerekeket, hogy néhány (10) eset kipróbálása még nem elég egy végső következtetés levonására: sikerült képletet találni a prímszámok előállítására.

20. Legyen n természetes szám! Töltsd ki a füzetedben a táblázatot! Milyen érdekes tulajdonsága van az első 10 számnak? n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n · (n − 1) + 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121 143 Az első tíz számra a képlettel prímszámokat kapunk, de a 11-dik tagja a sorozatnak már összetett szám.

21. Válassz egy olyan tetszőleges prímszámot, amelynek van kisebb és nagyobb szomszédja! Mivel osztható biztosan ennek a három szomszédos számnak a) az összege, b) a szorzata? A kiválasztott prím bármelyik prím lehet, hisz a legkisebb prím a 2, amelynek szintén van kisebb szomszédja (1) a pozitív egészek körében. Jelölje p a kiválasztott prímet. a) (p − 1) + p + (p + 1) = 3p osztható 3-mal és a kiválasztott prímmel (amely lehet a 3 is.) b) (p − 1) · p · (p + 1) Három egymást követő szám valamelyike osztható 3-mal, ezért a szorzat is. Ha p = 2, akkor a szorzat 6-tal osztható. Ha p > 2, akkor (p − 1) és (p + 1) két egymást követő páros szám, így az egyikük 4-nek is többszöröse, ezért a szorzat osztható 2 · 3 · 4 = 24-gyel.

22. Van-e a 7, 13, 19, 25. . . számtani sorozat tagjai között olyan szám, amely előállítható két prímszám különbségeként? A számtani sorozatnál a1 = 7, d = 6, így az általános tagja: an = 7 + (n − 1) · 6 = 6n + 1. Ezt kell két prímszám p és q különbségeként előállítani, azaz 6n + 1 = p − q. Mivel (6n + 1) páratlan szám, ezért a (p−q) különbség is páratlan szám lesz. Ez prímek esetében csak q = 2-nél teljesülhet, hiszen a többi prímszám páratlan és így különbségük páros szám lenne. 6n + 1 = p − 2, innen p = 6n + 3. Tehát p osztható 3-mal, ez csak p = 3 esetén lehetséges. 3 = 6n + 3 egyenlet megoldása n = 0, ami sorozatoknál nem lehet, hiszen n 1. Tehát a sorozat egyetlen tagja sem lesz két prímszám különbsége.

=

23. Vizsgáld meg, hogy milyen számmal osztható a) két, b) három, c) négy, d) öt egymást követő természetes szám szorzata! a) 2-vel

b) 6-tal

c) 12-vel

d) 60-nal

30

C M Y K



7–8. óra A legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös Tk.: 22–23. oldalon 1–21. feladatok Fgy.: 322–339. Az órák célja: Hatodik osztályban már két vagy több szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének fogalmát megismerték a gyerekek, valamint alkalmazták tudásukat a törtek egyszerűsítésekor, illetve a törtek közös nevezőinek megkeresésekor. Ekkor csak felírták a számok osztóit, illetve többszöröseit és boldogan bekarikázták közülük a legnagyobb közös osztót, illetve a legkisebb közös többszöröst. Idén nagy előrelépést teszünk, mert a számok prímtényezős felbontásának segítségével igen könnyen előállítható mindkét szám, sőt a kitekintőben utalunk arra is, hogy a · b = (a; b) · [a; b]. Természetesen lesznek olyan tanulók az osztályban, akik a törteket „lépésenként” fogják egyszerűsíteni és nem keresik meg prímtényezős felbontással a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját. Feladatok 1. Keresd meg a következő számpárok közös osztóit! Van-e relatív prím számpár a felsoroltak között? a) 18 = 2 · 32 és 48 = 24 · 3, o = {1, 2, 3, 2·3} b) 120 = 23 · 3 · 5 és 77 = 7 · 11, o = 1, azaz relatív prímek c) 35 = 5 · 7 és 49 = 72 , o = {1, 7} d) 315 = 32 · 5 · 7 és 150 = 2 · 3 · 52 , o = {1, 3, 5, 3 · 5} 2. Keresd meg a következő számpárok legnagyobb közös osztóját! a) (12; 24) 12 b) (60; 45) 15 c) (25; 200) 25 4 2 3 2 3 d) (64; 27) 1 e) (784; 504) (2 · 7 ; 2 · 3 · 7) = 2 · 7 = 56 3. Határozd meg a következő számhármasok legnagyobb közös osztóját! a) (12; 24; 36) 12 b) (60; 72; 81) (22 · 3 · 5; 23 · 32 ; 34 ) = 3 c) (60; 100; 540) (22 · 3 · 5; 22 · 52 ; 22 · 33 · 5) = 22 · 5 = 20 d) (21; 45; 105) (3 · 7; 32 · 5; 3 · 5 · 7) = 3 4. Egyszerűsítsd a törteket vagy a számláló és a nevező prímtényezős felbontásával, vagy a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójának megkeresésével! 45 1 323 17 · 19 19 252 22 · 32 · 7 a) = b) = = c) = =4 32 · 7 90 2 391 17 · 23 23 63 340 22 · 5 · 17 504 23 · 32 · 7 32 339 3 · 113 113 17 17 9 d) = 4 2 = 2 2 = e) = = = f) = = 4 2 36 2 · 7 14 2 ·7 720 2 · 3 · 5 2 · 3 784 669 3 · 223 223 5. Keresd meg a legnagyobb közös osztójukat a prímtényezős felbontásban megadott számoknak!

a) 23 ; 32 1

b) 2 · 32 · 7; 3 · 72 3 · 7 = 21

c) 17 · 23; 232 23

6. Egy téglalap oldalai 60 cm, illetve 18 cm hosszúak. Milyen egész oldalhosszúságú négyzetlapokkal lehet pontosan lefedni a téglalapot? Melyik négyzetlapból hány kell?

18 cm

d) 22 · 3 · 5 · 73 ; 2 · 3 · 5 · 7 2 · 3 · 5 · 7 = 210

60 cm

31

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 22. oldal A feladat megoldását a 18 és a 60 közös osztói adják. Négyzetlap oldalhossza cm-ben Darabszám

1 1080

2 270

3 120

6 30

Egy fából készült téglatest élei 72 cm, 64 cm és 48 cm hosszúak. Mekkora egész cm oldalhosszúságú kis fakockákra lehet szétfűrészelni? Hány kis kocka keletkezik?

7.

A feladat megoldását a 72, a 64 és a 48 közös osztói adják. Kis kockák élhossza cm-ben 1 Darabszám 221 184

2 27 648

4 3456

8 432

Érdemes becsültetni az eredményeket, mert a döbbenetesen nagy szám így jobban meglepi a gyerekeket (mindenki 500–1000 közöttire becsüli az első eredményt). Szintén érdemes észrevenni, hogy az élhossz duplázódik a darabszám pedig nyolcad akkora lesz.

8. Hány alsó tagozatos gyereknek készítettek Mikulásra ajándékcsomagokat a hetedikesek, ha minden csomag teljesen egyforma volt, és összesen 135 szaloncukrot, 81 csokiszeletet és 216 tejkaramellát osztottak szét? A feladat megoldását a 135, 81 és 216 közös osztói adják. Gyerekek száma Csomagban: szaloncukor csoki karamella

1 135 81 216

3 45 27 72

9 15 9 24

27 5 3 8

A feladat szövegének leginkább a 27 alsó tagozatos gyerek felel meg, hisz ez egy osztály létszáma, de a másik 3 megoldás is elképzelhető.

9. Számítsd ki a következő számpárok legkisebb közös többszörösét! a) 13 és 26 26 b) 24 és 60 [23 ·3; 22 ·3·5] = 23 ·3·5 = 120 c) 128 és 96 [27 ; 25 ·3] = 27 ·3 = 384 d) 135 és 225 [33 · 5; 32 · 52 ] = 33 · 52 = 675 e) 175 és 1250 [52 · 7; 2 · 54 ] = 2 · 54 · 7 = 8750 10. Határozd meg a következő számhármasok legkisebb közös többszörösét! a) [2; 7; 8] 7 · 8 = 56 b) [6; 7; 8] 3 · 7 · 8 = 168 3 2 2 3 2 c) [8; 45; 90] [2 ; 3 · 5; 2 · 3 · 5] = 2 · 3 · 5 = 360 d) [15; 16; 17] 15 · 16 · 17 = 4080 11. Végezd el a kijelölt műveleteket! 9 43 9 43 9 · 3 + 43 70 35 a) + = + = = = 2 · 17 2 · 3 · 17 2 · 3 · 17 2 · 3 · 17 51 34 102 29 16 29 16 29 − 16 · 2 3 1 b) − = − = =− =− 2 · 3 · 31 2 · 3 · 31 62 186 93 2 · 3 · 31 3 · 31 131 57 131 3 · 19 131 + 3 · 19 · 7 530 2 · 5 · 53 265 c) + = + = = = = 2 · 3 · 7 · 11 2 · 3 · 7 · 11 2 · 3 · 7 · 11 231 462 66 2 · 3 · 7 · 11 2 · 3 · 11 17 23 17 23 17 · 3 · 13 − 23 · 53 556 22 · 139 139 d) − = 3 − 3 = =− 3 =− 3 =− 3 4134 2 · 3 · 13 · 53 2 · 3 · 13 · 53 2 · 3 · 13 · 53 424 312 2 · 53 2 · 3 · 13 12. Keresd meg a legkisebb közös többszörösüket a prímtényezős felbontásban megadott számoknak! a) 22 · 3; 2 · 32 = 22 · 32 = 36 b) 33 · 5 · 7; 52 · 13 = 33 · 52 · 7 · 13 = 61 425

c) 22 · 32 · 52 ; 32 · 52 · 72 = 22 · 32 · 52 · 72 = 44 100

32

C M Y K



d) 13 · 172 ; 17 · 192 = 13 · 172 · 192 = 1 356 277 13. Keresd meg a két szám legnagyobb közös osztóját és a legkisebb közös többszörösét! Hasonlítsd össze a szorzatukat a két eredeti szám szorzatával! a) 12 és 36 b) 72 és 300 c) 23 · 3 és 22 · 32 d) 2 · 5 · 72 és 22 · 3 · 7 A számok

(a; b)

12 és 36 3

[a; b]

12 2

2

36

2

a·b 12 · 36 = 432

2 · 3 = 12

23 · 32 · 52 = 1800 12 · 1800 = 21 600 72 · 300 = 21 600

23 · 3 és 22 · 32

22 · 3 = 12

23 · 32 = 72

2 · 5 · 72 és 22 · 3 · 7

2 · 7 = 14

22 ·3·5·72 = 2940 14 · 2 940 = 41 160 (2 · 5 · 72 ) · (22 · 3 · 7) =

72 = 2 ·3 és 300 = 2 ·3·5

2

(a; b) · [a; b] 12 · 36 = 432

(23 · 3) · (22 · 32 ) = 864

12 · 72 = 864

= 23 · 3 · 5 · 73 = 41 160 (a; b) · [a; b] = a · b minden esetben.

14. Két űrhajó kering a Föld körül azonos irányban. Az egyik 90, a másik 120 perc alatt tesz meg egy teljes kört. Ha most mindketten a rajzon látható helyzetben vannak, akkor mennyi idő múlva lesznek ugyanebben a helyzetben ismét? [90; 120] = [2 · 32 · 5; 23 · 3 · 5] = 23 · 32 · 5 = 360 Tehát 360 perc, azaz 6 óra múlva lesznek ugyanebben a helyzetben.

15. Két relatív prím legkisebb közös többszöröse 24. Melyik lehet ez a két szám? [p; q] = 24 = 23 · 3 Két megoldás van: [1; 24] = 24, illetve [3; 8]. Általában az elsőről el szoktak feledkezni a gyerekek.

16. Két páros szám legkisebb közös többszöröse 2 · 33 · 5 · 7. Mi lehet ez a két szám? [a; b] = 2 · 33 · 5 · 7 Mivel mindkét szám páros, ezért a 2 szerepel mindkét szám prímtényezői között. A többi prímtényező legalább az egyik számban kell, hogy szerepeljen. A feladatnak sok megoldása van, csak néhányat írunk fel. a b

2 · 33 · 5 · 7 2

2 · 33 · 5 · 7 2·3

2 · 33 · 5 · 7 2·3

2

2·5·7 2·3

3

2·5

2·5 3

2·3 ·7

2 · 33 · 5 · 7

17. Milyen oldalhosszúságú négyzeteket lehet parkettázni 9 cm, illetve 12 cm oldalhosszúságú négyzetekkel is? Melyik a legrövidebb oldalhosszúságú ilyen négyzet? Van-e a négyzetek között olyan, amelynek oldalhossza 100 és 200 cm közé esik? [9; 12] = 36 cm a legrövidebb oldalhosszúságú négyzet és ennek minden többszöröse jó a parkettázáshoz. 100 < 36 · k < 200 egyenlőtlenség egész megoldásai: k = {3, 4, 5}. A keresett oldalhosszak: 108 cm, 144 cm és 180 cm.

18. Keresd meg a számok legnagyobb közös osztóját!

a) 33 · 17; 32 · 17 · 19; 3 · 19 3

b) 37 · 412 ; 41 · 432 ; 412 · 47 41

3 és 7 19. Ezek a számkártyáid vannak: 2 , Írd fel a belőlük készíthető összes háromjegyű számot (egy számhoz mind a három kártyát fel kell használnod)! Mennyi az így kapott számok legnagyobb közös osztója?

33

C M Y K


Szmelmlet Tk.: 23. oldal A számok: 237, 273, 327, 372, 723, 732. Mivel a számjegyek összege a 3 többszöröse, ezért mindegyik szám osztható 3-mal. Ez a legnagyobb közös osztója a számoknak, mert pl.: 237 = 3 · 79 és 79 már a 273-nak sem osztója.

20. Melyik az a két szám, amelyek legkisebb közös többszöröse 120, a számok szorzatának ötszöröse pedig négyzetszám? Egy szám csak akkor lehet négyzetszám, ha prímtényezői páros hatványkitevővel szerepelnek benne. Így az egyik szám tartalmazhat csak 5-ös prímtényezőt. A többi prímtényező valamelyike legalább az egyik számban kell, hogy szerepeljen a legkisebb közös többszörösből, a másik számhoz pedig úgy kell beírni az adott prímet, hogy szorzatuknál a kitevő páros legyen. a

23 · 3 · 5

2·3·5

23 · 3 · 5

b

2·3

23 · 3

23 · 3

21. Aladár és Benedek már évtizedek óta nem látták egymást. Mindketten nagyon okosak, és ezt tudják is egymásról. Most, hogy újra összefutottak, Aladár megkérdezte, hány gyereke van Benedeknek, és hány évesek. Benedek csak annyit árult el, hogy három gyereke van, mindegyikük életkora egész szám, és éveik számának szorzata 36. Aladár rövid gondolkodás után azt mondta, hogy ebből még nem tudja megállapítani, hány évesek a gyerekek. Ekkor Benedek még azt is elárulta, hogy a gyerekek évei számának összege annyi, mint a szemközti házon az ablakok száma. Aladár összeszámolta az ablakokat, gondolkodott még egy kicsit, majd azt felelte, hogy még mindig nem tudhatja, hány évesek a gyerekek. Ekkor Benedek hozzátette, hogy gyermekei közül a legidősebb vörös hajú, és szemüveget visel. – Most már tudom! – kiáltott fel Aladár, és megmondta a három gyerek életkorát. Hány évesek a gyerekek, és hány ablak van a szemközti házon? A 36-ot többféleképpen lehet felbontani 3 tényezős szorzatra, ezért kevés az első információ. A szemközti házon lévő ablakok számát Aladár leszámolta, és így legalább két olyan számhármasa volt, ahol az összeg azonos, ezért nem tud dönteni. Az ablakok száma 13. Mivel van legidősebb gyerek, ezért az azonos összegek között van olyan, ahol az egyik összeadandó több a másik kettőnél. Lehetőségek: Szorzat 1 · 1 · 36 1 · 2 · 18 1 · 3 · 12 38 21 16 Összeg

1·4·9 14

1·6·6 13

2·2·9 13

2·3·6 11

3·3·4 10

A gyerekek életkora: 2, 2 és 9 év.

34

C M Y K



TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ – megoldás 1. Írd le a 180 összes osztóját! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 a) Pirossal karikázd be a valódi osztóit! 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90 b) Kékkel karikázd be a prímosztóit! 2, 3, 5 2. Pótold a hiányzó számkártyákat, hogy a kapott számok oszthatók legyenek a táblázatban szereplő értékekkel! 4-gyel 8-cal 9-cel 12-vel 125-tel 715 63

2, 6

5 nincs

2

5

2

nincs

nincs

4

nincs

7

3. Töltsd ki a táblázatot! (A harmadik sorban a törtek tovább nem egyszerűsíthető alakját írd le!) (84; 96) = 22 · 3 = 12

(116; 261) = 29

(22 · 3 · 5; 32 · 5) = 3 · 5 = 15

[84; 96] = 25 · 3 · 7 = 672

[116; 261] = 22 · 32 · 29 = 1044

[22 · 3 · 5; 32 · 5] = 22 · 32 · 5 = 180

84 7 = 96 8

261 9 = 116 4

32 · 5 3 = 2 2 ·3·5 4

13 23 265 + = 84 96 672

61 29 433 − = 116 261 1044

22

84 = 22 · 3 · 7

96 = 25 · 3

116 = 22 · 29

7 11 13 + 2 = · 3 · 5 3 · 5 36

261 = 32 · 29

4. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, és melyik hamis! a) Ha egy szám nem osztható 6-tal, akkor 3-mal sem osztható. Hamis, pl.: 9. b) Ha egy szám nem osztható 3-mal, akkor 6-tal sem osztható. Igaz, mert 6 = 3 · 2. c) A 7-tel nem osztható számok 7-tel osztva hatféle maradékot adhatnak. Igaz: 1, 2, 3, 4, 5, 6 lehet a maradék.

d) Két relatív prím legkisebb közös többszöröse a számok szorzata. Igaz, mert nincs közös prímtényezőjük.

e) A négyzetszámok prímtényezős felbontásában a 2 hatványkitevője páros szám. Igaz. f) A 310 szám páros. Hamis, mert csak a 3 a prímtényezője. 5. Mi a valószínűsége, hogy a a) 2-vel, b) 4-gyel,

2, 3, 4 c) 3-mal,

számkártyákból kirakott háromjegyű szám osztható d) 5-tel, e) 6-tal?

Összesen 6-féle háromjegyű szám van. 4 2 = . 6 3 2 1 A 324 és a 432 osztható 4-gyel, ezért a valószínűség = . 6 3 A számjegyek összege osztható 3-mal a sorrendtől függetlenül, így mind a hat szám osztható 3-mal, ezért a valószínűség 1. Nincs 0, illetve 5 a számkártyák között, egyetlen szám sem osztható 5-tel, ezért a valószínűség 0. 2 Az a) és c) miatt . 3

a) 4 szám végződése lehet páros, ezért a valószínűség b) c) d) e)

35

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 28. oldal

A SOKSZÖGEK ÉS A KÖR 1–2. 3. 4. 5. 6–7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15–16.

óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra:

A háromszögszerkesztések egyértelműsége A háromszögek szögei és oldalai A háromszögek nevezetes vonalai A háromszögek nevezetes körei Trapéz szerkesztése háromszögszerkesztések alkalmazásával A sokszögek szögei. A sokszögek nevezetes vonalai A paralelogramma területe A trapéz területe A háromszög területe A sokszögek területének kiszámítása A kör kerülete. A kör területe Gyakorlás III. felmérő és értékelése

1–2. óra A háromszögszerkesztések egyértelműsége Tk.: 28–29. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 340–352. Az órák célja: Az ismétlés, rendszerezés során felelevenítjük – az eukleidészi szerkesztés alaplépéseit (6. oszt. II. kötet 25. old.), – az alapszerkesztéseket (5. oszt. II. kötet 5. oldal, 6. oszt. I. kötet 60. oldal, II. kötet). Az alapszerkesztések közül az első két órán a szakaszmásolást és a szögmásolást alkalmazzuk, a harmadik órán a párhuzamos szerkesztésére kerül sor, aminek előzménye a merőleges állítása. A negyedik-ötödik órán lesz szükség szakaszfelező merőleges és szögfelező szerkesztésére. Ezért az ismétlést részekre bontjuk. A háromszögek egybevágóságát vizsgálva feltehetjük azt a kérdést is, hogy ha két háromszög öt alapadata páronként megegyezik, egybevágó-e a két háromszög. Ha két oldaluk és három szögük páronként egyenlő, nem biztos, hogy egybevágók. Például a 4; 6; 9 és 6; 9; 13,5 oldalú háromszögek két oldala és három szöge megfelel a feltételnek, de a két háromszög csak hasonló, nem egybevágó. Ha három oldaluk és két szögük páronként egyenlő, akkor a két háromszög minden esetben egybevágó. Eszközök: szerkesztőeszközök, szögmérő, háromszögsablon az egybevágóság megfigyeléséhez. Feladatok A következő négy feladatban szerkessz háromszöget a megadott oldalak és szögek ismeretében! Hányféle háromszög szerkeszthető? A szerkesztéseket a vázlaton használt jelöléseknek megfelelő adatokkal végezd!

α

β

36

C M Y K

b

c


γ a

A sokszgek s a kr Tk.: 28. oldal 1. a) a = 6 cm b = 5 cm c = 3 cm

b) a = 6 cm b = 2 cm c = 3 cm

c)

A háromszögek oldalai adottak – egyértelmű a szerkesztés. A megadott három szakaszra a) és c) esetben teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, b) esetben nem. Ezért az a) és a c) esetben egy megoldás van, a b) esetben nincs megoldás.

2. a) a = 3 cm b = 5 cm γ = 60◦

b) b = 2 cm c = 3 cm α = 135◦

c)

d)

A háromszögek két oldala és azok közrezárt szöge adott – egyértelmű a szerkesztés. Az a), b), c) esetben egy megoldás van, a d) esetben nincs megoldás, mert γ > 180◦ .

3. a) a = 3,5 cm b = 5 cm β = 105◦

b) a = 4 cm c = 6 cm α = 120◦

c)

d)

A háromszögek két oldala és a hosszabbikkal szemközti szög adott – egyértelmű a szerkesztés az a) és a d) esetben. A b) esetben a háromszög két oldala és a rövidebbikkel szemközti szög adott – nincs megoldás. A c) esetben nem egyértelmű a szerkesztés.

4. a) a = 4 cm α = 30◦ β = 90◦

b) b = 3,5 cm α = 67,5◦ γ = 45◦

c)

d)

A háromszögek egy oldala és két szöge adott – egyértelmű a szerkesztés.

37

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 28–29. oldal

5. Egybevágó-e két derékszögű háromszög, ha páronként egyenlő a) a két befogójuk, Igen. A két háromszög két oldala és azok közrezárt szöge egyenlő. b) az egyik hegyesszögük, Nem. Az oldalaik nem feltétlenül egyenlők, végtelen sokféle lehet a háromszög. c) az átfogójuk és az egyik hegyesszögük, Igen. A két háromszög egy oldala és két szöge egyenlő. d) az átfogójuk és az egyik befogójuk? Igen. A két háromszög két oldala és a hosszabbikkal szemközti szög egyenlő.

6. Egybevágó-e két tükrös háromszög, ha páronként egyenlő a) az alapjuk és a száruk, Igen. A két háromszög három oldala páronként egyenlő. b) a száruk és az alapon fekvő szögük, Igen. A háromszögek két oldala és a nem rövidebbikkel szemközti szög egyenlő.

c) a száruk és az egyik szögük, Nem feltétlenül. Ha az adott szög derékszög vagy tompaszög, akkor egyféle d)

háromszög szerkeszthető. Ha az adott szög hegyesszög, akkor kétféle háromszög lehet. az alapjuk és a szárszögük? Igen. A két háromszög egy oldala és megfelelő szögeik egyenlők.

7. Hány adat szükséges az egyenlő szárú derékszögű háromszög szerkesztéséhez? Egy hosszúságadat kell.

8. Két háromszögben a megjelölt szögek és vonalak egyenlők. Egybevágó-e a két háromszög? b) a)

Nem. Végtelen sokféle lehet a háromszög.

Igen. Egyféle háromszög lehet.

9. Lehetséges-e, hogy két háromszögben a három oldal hossza és a három szög nagysága közül öt adat páronként egyenlő, de a hatodik különböző? Igen. Például:

A1 B1 C1 és A2 B2 C2 háromszögek 2 oldala és három szöge egyenlő, de nem egybevágó a két háromszög.

38

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 29. és 31. oldal

10. Keress egyenlő szögeket, egyenlő szakaszokat és egybevágó háromszögeket az ábrán! A háromszögek egybevágóságát igazold is! a)

b)

c)

d)

ADC ∼ = ADE ∼ = BDE

CDE ∼ = CBE ∼ BCD = BED

AC = BC AEF ∼ = BDF ∼ ABD = ABE

ACD ∼ = BCE

AB CD

AED ∼ = EF D ∼ = ∼ = CFB ∼ = = CF D ∼

AC = BC AF = BF

∼ = F EB

AF E ∼ = BF D AF C ∼ = BF C

EF C ∼ = DF C

3. óra A háromszögek szögei és oldalai Tk.: 31–33. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 353–365. Az óra célja: A korábbi tapasztalatokat összefoglaljuk, megfogalmazzuk a háromszög belső, illetve külső szögeire vonatkozó állításokat, a belső és külső szögek közötti összefüggéseket, bemutatjuk azok bizonyítását. Eszközök: szerkesztőeszközök, szögmérő, emlékeztető ábrák a hajtogatásról, parkettázásról. Feladatok 1. Rajzolj egy 2 cm-es szakaszt, végpontjait jelöld Bvel, C-vel! Szerkessz négy különböző háromszöget, amelyeknek egyik oldaluk a BC szakasz, az AB oldaluk pedig 3,5 cm hosszú! a) Hol helyezkedhet el a háromszög A csúcsa? A B középpontú 3,5 cm sugarú kör bármely pontja lehet az A csúcs, kivéve a BC egyenes és a kör két közös pontját (P -t, Q-t).

b) Jelöld meg azokat az A pontokat, amikor az AC oldal 3 cm! C középpontú 3 cm sugarú kör metszi ki az Ab -vel jelölt pontokat.

39

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 31–32. oldal c) Jelöld meg azokat az A pontokat, amikor az AC oldal 5 cm! C középpontú 5 cm sugarú kör metszi ki az Ac -vel jelölt pontokat.

2. Egy háromszög két oldalának hossza 6 cm és 8 cm. Lehet-e a harmadik oldal a) 1 cm, Nem, mert 1 + 6 < 8. b) 2 cm, Nem, mert 2 + 6 = 8. c) 4 cm, Igen, mert 4 + 6 > 8. d) 16 cm? Nem, mert 6 + 8 < 16. 3. Egy háromszög két oldalának hossza 4 cm és 6 cm. Mekkora lehet a harmadik oldal? Ábrázold számegyenesen a lehetséges oldalhosszakat! 2 cm < c < 10 cm

4. Egy sorozat első két tagja 1. A további tagokat úgy számíthatod ki, hogy az előző két tag összegét veszed: 1, 1, 2, 3, 5. . . a) Írd fel a sorozat első 15 tagját! 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. b) Van-e a sorozat tagjai között három olyan szám, amely egy háromszög három oldalának mérőszáma lehet, ha azonos egységekben mérjük az oldalakat? Nincs, mert bármely két kisebb szám összege kisebb vagy egyenlő, mint egy nagyobb szám.

5. Mekkorák az oldalai egy 18 cm kerületű háromszögnek, ha az oldalak aránya b) 2 : 2 : 5, (4 cm, 4 cm, 10 cm) nincs ilyen háromszög. a) 2 : 3 : 4, 4 cm, 6 cm, 8 cm. c) 4 : 7 : 7, 4 cm, 7 cm, 7 cm. d) 1 : 1 : 2? (4,5 cm, 4,5 cm, 9 cm) nincs ilyen háromszög. 6. a) Keress az ábrán egyállású szögeket, fordított állású szögeket, egymást 180◦ -ra kiegészítő szögeket! egyállású szögek: α és és ν, β és ω, γ és μ fordított állású szögek: α és ε, β és ϕ, ω és ϕ, μ és α, γ és δ, δ és μ, és ε kiegészítő szögek: β és δ + ν, és ϕ + γ

b) Szögpárokat keresve írd fel a CEB êt a CBE ^-et és a BCE ^-et α, β, γ szöggel kifejezve! CEB ^ = α

CBE ^ = γ

BCE ^ = β

7. Számítsd ki a tükrös háromszög belső szögeinek nagyságát! A háromszögek alapja az AB szakasz. a)

b)

c)

d)

e)

α = 52◦

α = 44◦

γ = 40◦

γ = 55◦

β = 20◦

γ = 76◦

β = 44◦

α = 70◦

α = 62,5◦

α = 20◦

γ = 92◦

β = 70◦

β = 62,5◦

γ = 140◦

40

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 32–33. oldal 8. Számítsd ki a háromszög belső szögeinek nagyságát! a) 37◦ , 70◦, 73◦

b) 50◦ , 60◦ , 70◦

d) 75◦ , 35◦, 70◦

e) 30◦ , 70◦ , 80◦

c) 45◦ , 60◦ , 75◦

9. Az ABC háromszög AB oldalának meghoszszabbítására mérd fel A-ból az AC szakaszt, illetve B-ből a BC szakaszt! Mekkorák a CDE háromszög belső szögei? 20◦ , 31◦ , 129◦ , mert BEC ^ = 40 : 2, CDA^ = 62 : 2, DCE ^ = 180◦ − (20◦ + 31◦ )

10. Mekkorák a háromszög szögei, ha belső szögeinek aránya b) 2 : 3 : 4, 40◦ , 60◦ , 80◦ a) 1 : 1 : 2, 45◦ , 45◦ , 90◦ c) 2 : 3 : 5, 36◦ , 54◦ , 90◦ d) 4 : 7 : 7? 40◦ , 70◦ , 70◦ 11. Bizonyítsd be, hogy derékszögű háromszögben az átfogó a leghosszabb oldal! Derékszögű háromszögben a derékszög a legnagyobb szög, ami az átfogóval szemközt van. Tehát az átfogó a leghosszabb oldal.

12. Rajzolj egy 4 cm-es szakaszt, végpontjait jelöld A-val és B-vel! Szerkessz négy különböző derékszögű háromszöget, amelyeknek az átfogója az AB szakasz! a) Hol helyezkedhet el a háromszögek C csúcsa? AB szakasz Thalész-köre a megoldás.

b) Jelöld meg azokat a C pontokat, amikor az AC oldal hossza 3 cm! Cb pontok. c) Jelöld meg azokat a C pontokat, amikor az ABC ^ = 60◦ ! Cc pontok.

41

C M Y K



13. Rajzolj egy 4 cm-es szakaszt, végpontjait jelöld A-val és B-vel! a) Jelöld zöld színnel a síknak azokat a pontjait, amelyeket C csúcsnak választva az ABC háromszög derékszögű lesz! A Thalész-kör és a1 , b1 , a2 , b2 félegyenes pontjai zöldek.

b) Jelöld kék színnel a síknak azokat a pontjait, amelyeket C csúcsnak választva az ABC háromszög hegyesszögű lesz! A kékkel jelölt pontok.

c) Igaz-e, hogy a sík be nem színezett pontjait C csúcsnak választva az ABC háromszög tompaszögű lesz? Nem, mert az AB egyenes pontjai nem lehetnek tompaszögű háromszög csúcsai.

4. óra A háromszögek nevezetes vonalai Tk.: 35–36. oldalon 1–12. feladatok Fgy.: 366–379. Az óra célja: Megismerjük a háromszög magasságvonalait, súlyvonalait, középvonalait. A magasságpont és a súlypont létezését nem bizonyítjuk. A középvonal és a súlyvonal tulajdonságait a későbbi területszámítási feladatokban alkalmazzuk. A magasság szerkesztését, mérését sokat kell gyakorolni, mert a terület meghatározásához szükség lesz azok biztos ismeretére. Több szakkönyv szóhasználatát követve a súlyvonal elnevezést a megfelelő szakaszra és annak egyenesére egyaránt alkalmazzuk. Szükség esetén hangsúlyozzuk a különbséget! Eszközök: szerkesztőeszközök, kartonból (deszkából) készült háromszögek, zsinór és nehezék a Fgy. 374. feladatához. Feladatok 1. Szerkeszd meg a háromszöget, ha oldalainak hossza a) 4,5 cm, 6 cm, 7 cm Hegyesszögű háromszög, magasságai: 5,9 cm, 4,5 cm, 3,8 cm, a magasságpont belső pont.

b) 4,5 cm, 6 cm, 7,5 cm Derékszögű háromszög, magasságai: 6 cm; 4,5 cm, 3,6 cm, a magasságpont a derékszögű csúcs.

c) 3 cm, 5 cm, 7 cm! Tompaszögű háromszög, magasságai: 4,3 cm, 2,6 cm, 1,9 cm, a magasságpont külső pont.

Szerkeszd meg a háromszög magasságait! Mérd meg a csúcsok és a szemközti oldalegyenesek távolságát!

42

C

M

Y

K


A sokszgek s a kr Tk.: 35. oldal 2. Szerkeszd meg a háromszöget és a magasságpontját! Hány megoldás van? a) a = 4,5 cm b) a = 3 cm c) d) β = 60◦ b = 5 cm ma = 3 cm ma = 4 cm a)

b)

1 megoldás

c)

2 megoldás

d)

nincs megoldás

1 megoldás

3. Mekkora szöget zár be a két magasságvonal?

ϕ = 48◦ ϕ = 75◦ Alkalmazzuk a háromszög belső és külső szögeire vonatkozó összefüggéseket!

ϕ = 45◦

4. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mindhárom háromszöget a leghosszabb oldalhoz tartozó magasságára! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai? Mindhárom esetben olyan nem egyszerű ötszöget határoznak meg a csúcsok, amelynek 4 csúcsa egy egyenesen van, és az erre nem illeszkedő oldalai egyenlők.

b) Tükrözd mindhárom háromszöget a legrövidebb oldalához tartozó magasságára! Igaz-e, hogy mindig háromszöget alkotnak az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai? Nem háromszög adódik tompaszögű háromszög tükrözésekor, bár az eredeti és a tükörképcsúcsok közül négy egy egyenesen van mindhárom esetben.

5. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! Szerkeszd meg mindhárom háromszög súlyvonalait! A súlyvonalak egy pontban metszik egymást. 6. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! Tükrözd mindhárom háromszöget egyik súlyvonalára! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai?

43

C M Y K



A csúcsok tengelyesen szimmetrikus ötszöget határoznak meg, ha a súlyvonal nem egyezik meg a magasságvonallal, vagyis nem egyenlő szárú a háromszög. Egyenlő szárú háromszög esetén, ha az alapot felező súlyvonalra tükrözünk, a tükörkép csúcsai az eredeti háromszög csúcsai lesznek.

7.

I. Keress egyenlő szögeket, illetve egyenlő szakaszokat az ábrán, ahol D, E, F oldalfelező pont! a), b), c) Pl.: DE = AF = FB, EF = DB = DC, DF = AE = CE.

II. Milyenfajta négyszögek láthatók az ábrán? a) Ha ABC egyenlő szárú: rombusz; paralelogramma, trapéz, húrtrapéz. b), c) Ha ABC derékszögű: téglalap; paralelogramma; trapéz; derékszögű trapéz.

III. Hányszorosa az ABC háromszög kerülete a DEF háromszög kerületének? a), b), c) Kétszerese.

8. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mindhárom háromszöget az egyik oldalfelező pontra! Milyen négyszöget alkot az eredeti és a tükörképháromszög? Rajzold meg az eredeti és a tükörképháromszögnek azt a súlyvonalát, amelyet ez a felezőpont határoz meg! Az eredeti és a tükörképháromszög paralelogrammát alkot, a két súlyvonal egy egyenesre illeszkedik. Derékszögű háromszöget az átfogó felezőpontjára tükrözve derékszögű paralelogramma, vagyis téglalap adódik.

b) Tükrözd mindhárom háromszöget az egyik oldalfelező pontra! Rajzold meg az eredeti és a tükörképháromszög középvonalait!

44

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 36. és 38. oldal 9. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! Tükrözd mindhárom háromszöget egyik középvonalára! Alkothatnak-e ötszöget az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai? Nem alkot ötszöget a hat, illetve négy eredeti és tükörképcsúcs.

10. Tükrözz egy háromszöget a magasságpontjára! 11. Tükrözz egy háromszöget a súlypontjára! 12. Tükrözz egy háromszöget mindhárom oldalfelező pontjára! Mit alkot az eredeti és a három tükörképháromszög együtt? A három tükörkép együtt olyan háromszöget alkot, amelynek oldalai az eredeti háromszög oldalainak kétszeresei. A kapott háromszög hasonló az eredetihez ( = 2).

5. óra A háromszögek nevezetes körei Tk.: 38–39. oldalon 1–12. feladatok Fgy.: 380–388. Az óra célja: Ismételjük az oldalfelező merőleges és a szögfelező szerkesztését. Definiáljuk a háromszög köré írt körét, beírt körét, és indokoljuk azok létezését. (Nem követelmény a bizonyítás ismerete.) Eszközök: szerkesztőeszközök. Feladatok 1. Szerkeszd meg a háromszög oldalfelező merőlegeseit, ha oldalainak hossza a) 4 cm, 6 cm, 7 cm Hegyesszögű háromszög, oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja a háromszög belső pontja.

b) 2,5 cm, 6 cm, 6,5 cm Derékszögű háromszög, oldalfelező merőlegesei a háromszögön kívül, egy pontban metszik egymást.

c) 4 cm, 6 cm, 9 cm! Tompaszögű háromszög, oldalfelező merőlegesei a háromszögön kívül, egy pontban metszik egymást.

45

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 38. oldal 2. Szerkeszd meg a háromszög csúcsain átmenő kört, ha a háromszög két oldala és az azok által közrezárt szög adott!

A kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, ami a) esetben belső pont, b) esetben az átfogó felezőpontja, c) esetben külső pont.

3. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mindhárom háromszöget a leghosszabb oldal felező merőlegesére! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai? Mindhárom esetben húrtrapézt alkot a háromszög és a tükörképe, ha nem egyenlő szárú a háromszög. Egyenlő szárú háromszög tükrözésekor a tükörképháromszög megegyezik az eredetivel, ha az alap felező merőlegesére tükröztük.

b) Milyen sokszöget alkotnak az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai, ha a legrövidebb oldal felező merőlegesére tükrözöd a háromszöget? A megoldás húrtrapéz, derékszögű háromszög esetén a húrtrapéz derékszögű, vagyis téglalap.

4. Szerkeszd meg a háromszög belső szögfelezőit, ha oldalainak hossza a) 5 cm, 6 cm, 7 cm, b) 6 cm, 8 cm, 10 cm, c) 5 cm, 7 cm, 10 cm! A szögfelezők metszéspontja belső pont a) hegyesszögű, b) derékszögű, c) tompaszögű háromszög esetén egyaránt.

5. Szerkeszd meg a háromszög oldalait érintő kört, ha a háromszög egy oldala és az azon lévő két szög adott!

A háromszög mindhárom oldalát érintő kör sugara a) ≈ 7 mm b) ≈ 8 mm (Lehet a = 6 cm-es oldallal szerkeszteni, akkor kétszer ekkorák a sugarak.)

c) ≈ 6,5 mm.

6. Mekkora szöget zár be a két megadott belső szögfelező? A háromszög külső szöge egyenlő a nem hozzá tartozó belső szögek összegével.

ϕ = 49◦

ϕ = 45◦

ϕ = 71,5◦

46

C M Y K



ϕ=

α+β 2

ϕ = 50◦

ϕ=

180◦ − β 2

7. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mindhárom háromszöget a legnagyobb szög belső szögfelezőjére! Milyen sokszöget alkotnak az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai? b) Tükrözz egy háromszöget a legkisebb szög belső szögfelezőjére! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörképháromszög csúcsai? a)

b)

8. Tükrözz egy derékszögű háromszöget az átfogó felezőpontjára! Szerkeszd meg az eredeti és a tükörképháromszög köré írt kört! Az eredeti és a tükörképháromszög köré írt köre azonos. 9. Szerkeszd meg egy háromszög köré írt körének középpontját, majd tükrözd erre a pontra a háromszöget! Szerkeszd meg a tükörképháromszög köré írt körét! Az eredeti és a tükörképháromszög köré írt köre azonos. 10. Szerkeszd meg egy háromszög beírt körének középpontját, majd tükrözd erre a pontra a háromszöget! Szerkeszd meg a tükörképháromszög beírt körét! Az eredeti és a tükörképháromszög beírt köre azonos.

11. Bizonyítsd be, hogy a derékszögű háromszög köré írt körének az átfogó az átmérője! Tükrözzük a derékszögű háromszöget az átfogó felezőpontjára! Téglalapot kapunk, amelynek átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást. Az átfogó felezőpontja egyenlő távolságra van a négy csúcstól, ezért az a háromszög köré írható kör középpontja.

12. Az ABC háromszög csúcsain át párhuzamosokat húztunk az ABC háromszög oldalaival, így kaptuk a DEF háromszöget. a) A DEF háromszög mely nevezetes pontjai és nevezetes vonalai láthatók az ábrán? Indokold a megállapításaidat! Az ABC háromszög oldalai a DEF háromszög középvonalai. Az ABC háromszög magasságvonalai a DEF háromszögnek oldalfelező merőlegesei.

47

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 39. és 42. oldal b) Az ábra segítségével bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást! Az ismert bizonyításban kihasználjuk, hogy DEF háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, így az ABC háromszög magasságvonalai is.

c) Bizonyítsd be, hogy az EDF háromszög súlyvonalai az ABC háromszögnek is nevezetes vonalai! A DEF háromszög súlyvonalai az ABC háromszögnek is súlyvonalai.

6–7. óra Trapéz szerkesztése háromszögszerkesztés alkalmazásával Tk.: 42–43. oldalon 1–10. feladatok Fgy.: 389–396. Az órák célja: A kidolgozott példákban hangsúlyoztuk a szerkesztési feladatok diszkusszióját. Az 1. példában bizonyított állítást alkamazzuk később a trapéz területének meghatározásakor. Eszközök: szerkesztőeszközök. Feladatok A nyolc trapéz közül melyikre érvényesek a következő tulajdonságok? a) Minden oldala egyenlő. E, F b) Van párhuzamos oldalpárja.

1.

A, B, C, D, E, F , G, H

c) Van csúcsain átmenő tükörtengelye. E, F d) Pontosan két tükörtengelye van. D, E

e) Középpontosan szimmetrikus. B, D, E, F

f) g) h) i)

Tengelyesen szimmetrikus. D, E, F Szemközti szögei egyenlők. B, D, E, F Van két egyenlő szöge. A, B, D, E, F Van két egyenlő oldala. A, B, D, E, F , H (Szárai nem egyenlők, de az egyik szára egyenlő a rövidebb alappal.)

j) Átlói egyenlők. D, F 2. a) Szerkeszd meg a trapézt! b) Tükrözd a hosszabb alap felezőpontjára! c) Milyen sokszöget alkotnak az eredeti és a tükörképcsúcsok? Olyan hatszöget alkotnak, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.

d) Tükrözd a trapézt a rövidebb szár felezőpontjára! e) Milyen sokszöget alkotnak az eredeti és a tükörképcsúcsok? Paralelogrammát alkotnak.

48

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 43. oldal 3. Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból! a) b) c) d) e)

a = 5 cm a = 4 cm e = 8 cm a = 4 cm a = 5 cm

ma = 3 cm ma = 2,5 cm f = 6 cm e = 6 cm e = 7 cm

e = 7 cm ε = 15◦ a = 5 cm ε = 30◦ ϕ = 60◦

Ha ϕ az átlók szöge, akkor lehet a könyv ábrájában jelölt szög külső szöge is ⇒ 2 megoldás.

4. Szerkessz rombuszt a következő adatokból!

49

C M Y K



5. Egy téglalap átlója 7 cm, az átlók által bezárt szög 45◦ . Szerkeszd meg a téglalapot! 6. Szerkessz olyan húrtrapézt, amelynek az egyik alapja 6 cm, magassága 2 cm, egyik szöge 45◦ ! Hány megoldás van? Számítsd ki a másik alap hosszát! Két megoldás van. Az alapok hossza 6 cm és 2 cm, vagy 6 cm és 10 cm.

7. Szerkessz olyan húrtrapézt, amelynek alapjai 7 cm és 4 cm, egyik szöge pedig 120◦ ! A trapéz szárai 3 cm hosszúak. 8. Szerkessz trapézt a következő adatokból! a) Az alapja 5 cm, az ezen levő két szöge 45◦ és 75◦ , a magassága 1,5 cm. b) Az alapjai 6 cm és 4 cm, a rövidebb alapon levő egyik szöge 60◦ , a magassága 2 cm. c) Az alapjai 52 mm és 70 mm, az alapon levő két szöge 67,5◦ és 105◦ . d) Az alapja 8 cm, az átlói 6 cm és 8 cm, a magassága 3,5 cm. e) Az alapja 4 cm, az átlói 3,5 cm és 6 cm, a magassága 3,5 cm.

50

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 43. és 46. oldal 9. Szerkessz trapézt, ha a) az alapjai 7 cm és 5 cm, az átlói 6 cm és 8 cm hosszúak, b) az alapjai 6 cm és 2 cm, az egyik átlója 5 cm hosszú, az átlók szöge 60◦ !

10. Szerkessz olyan paralelogrammát, amelyiknek az egyik oldala és az egyik átlója 4 cm hosszú, az egyik belső szöge pedig 75◦ ! a) Hány fokos szögekre bontja a 4 cm-es átló a belső szöget? b) Mekkora a paralelogramma 4 cm-es oldalhoz tartozó magassága? A 4 cm hosszú oldalhoz tartozó magasság 2 cm.

8. óra A sokszögek szögei Tk.: 46–47. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 397–416. Az óra célja: A négyszögek belső szögeinek és a konvex négyszögek külső szögeinek összegét korábban meghatároztuk (6. oszt. II. kötet). Ebben a részben az ismétlés után sokszögekre érvényes állításokat bizonyítunk. Eszközök: szerkesztőeszközök, szögmérő, papír, olló (szögek átrendezéséhez). Feladatok 1. Számítsd ki a trapéz belső szögeit!

48◦ , 48◦ , 132◦ , 132◦

65◦ , 115◦ , 115◦ , 65◦

30◦ , 130◦ , 50◦ , 150◦

25◦ , 155◦ , 115◦ , 65◦

51

C M Y K



90◦ , 90◦ , 116◦ , 64◦ 130◦ , 50◦ , 130◦ , 50◦ Megjegyzés: g) esetben a 28◦ felesleges adat.

108◦ , 72◦ , 95◦ , 85◦

82◦ , 98◦ , 120◦ , 60◦

2. Határozd meg a négyszögek belső szögeit! a)

b)

83◦ , 78◦ , 73◦ , 126◦

c)

72◦ , 55◦ , 81◦ , 152◦

30◦ , 270◦ , 20◦ , 40◦

3. Egy négyszög belső szögeinek aránya 2 : 7 : 2 : 7. Számítsd ki a szögeit! Milyen fajta négyszög lehet? 40◦ , 140◦ , 40◦ , 140◦ A négyszög paralelogramma, hiszen szemközti szögei egyenlők.

4. Egy trapéz belső szögeinek aránya 4 : 5 : 6 : 3. Számítsd ki a szögeit! Ellenőrizd, hogy trapéz-e a négyszög! 80◦ , 100◦ , 120◦ , 60◦ A négyszög trapéz, mert 2-2 szomszédos szög összege 180◦ .

5. a) Számítsd ki a rajzon látható ötszög belső szögeinek nagyságát és azok összegét! 120◦ + 88◦ + 86◦ + 118◦ + 128◦ = 540◦ b) Számítsd ki a külső szögek nagyságát és azok összegét! 60◦ + 92◦ + 94◦ + 62◦ + 52◦ = 360◦

6. Hány fok a belső szögek összege a) hatszög, 720◦ b) hétszög, 900◦

c) nyolcszög esetén? 1080◦

7. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a belső szögek összege a) 540◦ , 5

b) 900◦ , 7

c) 1980◦ , 13

d) 3780◦ ? 23

8. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a belső szögek összege az oldalak számának a) 60-szorosa, 3 b) 144-szerese, 10 c) 162-szerese? 20 9. Rajzold meg egy szabályos négyszög, hatszög és nyolcszög oldalfelező merőlegeseit! Milyen négyszögekre bontják a sokszöget? A négyzetet 4 négyzetre, a szabályos hatszöget 6 deltoidra, a szabályos nyolcszöget 8 deltoidra bontják az oldalfelező merőlegesei. (Általában a 2k oldalú szabályos sokszöget 2k darab 180◦ 180◦ deltoidra bontják az oldalfelező merőlegesei. A deltoid szögei 90◦ , , 90◦ , 180◦ − .) k k

10. Rajzold meg egy szabályos négyszög, hatszög és nyolcszög szögfelezőit! Milyen sokszögekre bontják a szabályos sokszöget? A négyzetet 4 egyenlő szárú derékszögű háromszögre, a szabályos hatszöget 6 szabályos háromszögre, a szabályos nyolcszöget 8 egyenlő szárú, 45◦ -os szárszögű háromszögre bontják a 180◦ szögfelezői. (Általában a 2k oldalú szabályos sokszöget 2k darab szárszögű tükrös háromszögre bontják k a szögfelezői.)

52

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 47. és 50. oldal 11. Igazold, hogy a szabályos sokszög középponti szöge egyenlő a külső szögével! Az n oldalú szabályos sokszög középponti szöge és külső szöge

360◦ . n

12. Vágj szét egy szabályos hatszöget hat deltoidra úgy, hogy azokból két szabályos háromszöget lehessen kirakni! Rajzold le a hatszöget és az egyik összerakott háromszöget! 13. A kocka betűvel jelölt pontjai határozzák meg az öt sokszöget. Nevezd meg a sokszögek csúcsait!

A sokszögek nevezetes vonalai Tk.: 50–51. oldalon 1–18. feladatok Fgy.: 417–435. Az óra célja: Vizsgáljuk a trapéz alapokkal párhuzamos középvonalát és annak tulajdonságait. (Szükséges a terület meghatározásakor.) Foglalkozunk a konvex sokszög átlóival, bebizonyítjuk az átlók számára vonatkozó képletet. Kiegészítő anyagban megemlítjük a húrnégyszögek és az érintőnégyszögek egy-egy tulajdonságát. Eszközök: szerkesztőeszközök, sokszöglapok (táblai méret), síkgeometriai modellezőkészlet lapjai. Feladatok 1. Rajzolj olyan trapézt, amelynek egyik átlója a trapéz magassága is egyben! Pl.:

2. Rajzolj olyan trapézt, amelynek egyik átlója tompaszöget zár be az alapokkal! Pl.:

53

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 50–51. oldal 3. Rajzolj olyan trapézt, amelynek átlói merőlegesek egymásra! Pl.:

4. Rajzolj olyan trapézt, amelynek átlói felezik egymást! A négyszög paralelogramma.

5. Ábrázold koordináta-rendszerben a következő négy pontot, és rajzold meg a trapézt! Rajzold meg a szárak felezőpontját és a trapéz középvonalát! Hogyan függ az alapok hosszától a középvonal hossza? a) A(1; 3) B(13; 3) C(13; 7) D(5; 7)

a) b) c) d) e)

b) A(4; 3) B(−6; 3) C(−2; −3) D(0; −3)

c) A(1; 1) B(−3; 1) C(−5; −3) D(−1; −3)

d) A(3; −2) B(3; 4) C(−1; 6) D(−1; −2)

A középvonal végpontjai Az alapok hossza A középvonal hossza 12 + 8 (3; 5) (13; 5) 12 és 8 egység = 10 egység 2 10 + 2 (−4; 0) (2; 0) 10 és 2 egység = 6 egység 2 4+4 (−4; −1) (0; −1) 4 és 4 egység = 4 egység 2 8+6 (1; 5) (1; −2) 8 és 6 egység = 7 egység 2 8+7 (−5,5; −5,5) (2; −5,5) 8 és 7 egység = 7,5 egység 2

e) A(−5; −4) B(−6; −7) C(1; −7) D(3; −4)

Az a) derékszögű trapéz. A b) húrtrapéz. A c) paralelogramma. A d) derékszögű trapéz.

6. Rajzold meg egy húrtrapéz, egy paralelogramma és egy nem szimmetrikus trapéz egyik átlóját! Van-e a keletkezett 2-2 háromszög között egybevágó? A derékszögű húrtrapéz (azaz téglalap) esetén egybevágó a két háromszög, más húrtrapéz esetén nem. A paralelogrammát két egybevágó háromszögre bontja egy átlója. A nem szimmetrikus trapéz (azaz nem húrtrapéz és nem paralelogramma) esetén nem egybevágó a két háromszög.

7. Rajzold meg egy húrtrapéz, egy paralelogramma és egy nem szimmetrikus trapéz mindkét átlóját! A keletkezett 4-4 háromszög között vannak-e egybevágóak? A húrtrapéz száraira illeszkedő két háromszög egybevágó, az alapjaira illeszkedő két háromszög csak téglalap esetén egybevágó. A paralelogrammát két-két egybevágó háromszögre bontja a két átlója, mind a négy háromszög egybevágó rombusz esetén. A nem szimmetrikus trapézt egybevágó háromszögekre bontja a két átlója.

8. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy az egyik átlója két egybevágó háromszögre bontja? Indokolj! A deltoidot és a paralelogrammát bontja két egybevágó háromszögre egy átlója a tengelyes, illetve a középpontos szimmetria miatt.

9. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy a két átlója két-két egybevágó háromszögre bontja? Indokolj! A paralelogrammát bontja két-két egybevágó háromszögre a két átlója a középpontos szimmetria miatt.

54

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 51. oldal 10. Hány átlója van egy konvex a) hatszögnek, 9 d) kilencszögnek, 27

b) hétszögnek, 14 e) tízszögnek, 35

c) nyolcszögnek, 20 f) tizenkétszögnek? 54

11. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben az átlók és az oldalak számának aránya 2 : 1? n(n − 3) n−3 A sokszög hét oldalú, mert : n = 2 : 1, azaz : 1 = 2 : 1. 2 2 Táblázatból is leolvasható a megoldás: Oldalak száma 3 Átlók száma 0 (Átlók száma) : (oldalak száma) 0 : 3

4 2 1:2

5 5 1:1

6 9 3:2

7 14 2:1

8 20 5:2

9 27 3:1

10 35 7:2

11 44 4:1

12 54 9:2

13 65 5:1

12. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek ötször annyi átlója van, mint ahány oldala? n(n − 3) n−3 A sokszög tizenhárom oldalú, mert = 5n, azaz = 5. 2 2 A fenti táblázatból is leolvasható a megoldás.

13. Hány oldalú sokszögnek van százszor annyi átlója, mint ahány oldala? n(n − 3) n−3 = 5n, azaz = 5. A sokszög tizenhárom oldalú, mert 2 2 A fenti táblázatból is leolvasható a megoldás.

14. Bizonyítsd be, hogy páros oldalszámú konvex sokszögben az átlók és az oldalak számának aránya nem egész szám! (átlók száma) : (oldalak száma) =

n(n − 3) n−3 n−3 :n= : 1 egész, ha egész. 2 2 2

n−3 csak akkor egész szám, ha n − 3 páros, vagyis n páratlan szám. 2

15. a) Húrsokszög-e a szabályos sokszög? Válaszodat indokold! A szabályos sokszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást a tengelyes szimmetria miatt. Ettől a ponttól egyenlő távolságra vannak a csúcsai, vagyis egy körre illeszkednek. Tehát húrsokszög a szabályos sokszög.

b) Érintőnégyszög-e a szabályos sokszög? Válaszodat indokold! A tengelyes szimmetria miatt a szögfelezők is egy pontban metszik egymást. Ettől a ponttól egyenlő távolságra van a sokszög minden oldala, vagyis az oldalak ugyanannak a körnek érintői. Tehát a szabályos sokszög érintősokszög.

16. Milyen négyszögekre igaz, hogy érintőnégyszögek és paralelogrammák is? Rombusz.

17. Melyik az a paralelogramma, amelynek mind a négy csúcsa egyenlő távol van a szimmetriaközépponttól? Az ilyen paralelogramma húrnégyszög is, vagyis téglalap.

18. Milyen négyszögekre igaz, hogy húrnégyszögek és paralelogrammák is? Az ilyen négyszögek téglalapok.

55

C M Y K



9. óra A paralelogramma területe Tk.: 53–55. oldalon 1–17. feladatok Fgy.: 436–450. A tankönyv 14. feladatában megszerkesztett paralelogrammák területét a magasság megszerkesztése, majd mérése után számíthatjuk ki. Időigényes, de érdemes mindkét magasságot meghatározni ellenőrzésképpen. Eszközök: szerkesztőeszközök, papír, olló az átdaraboláshoz. Feladatok 1. a) Darabold át téglalappá a paralelogrammát! Rajzolj négyzethálós lapra a megadott paralelogrammával egyenlő területű téglalapot!

b) Számítsd ki a paralelogramma területét, 1 rácsnégyzet területe legyen a területegység! A: 16

B: 16

C: 8

D: 8

E: 20

F : 12

G: 12

2. Rajzolj négyzethálós lapra olyan paralelogrammákat, amelyeknek területe 18 egység! Rajzolj ennek megfelelő téglalapot, rombuszt, négyzetet is! Például 6 és 3 egység oldalú téglalap, 9 és 4 egység átlójú rombusz, 6 egység átlójú négyzet lehet a megoldás.

3. Rajzolj négyzethálós lapra olyan paralelogrammákat, amelyeknek egyik oldala rácsvonalra illeszkedik, és a hossza 4 egység, a paralelogramma területe pedig 12 területegység! A paralelogrammák 4 egységnyi oldalához tartozó magassága 3 egység.

a) Lehet-e a paralelogrammák között 14 egység kerületű? Lehet-e a paralelogrammák között 18 egység kerületű? És 28 egység kerületű? Például:

56

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 53–54. oldal b) Van-e a paralelogrammák között legkisebb kerületű? Tudsz-e legnagyobb kerületűt rajzolni? A 4 egység oldalú, 12 négyzetegység területű paralelogrammák között legkisebb kerületű a 3 és 4 egység oldalú téglalap, legnagyobb kerületű nincs.

4. Melyik négyszög rajzolható le egy elég hosszú 3 cm széles papírcsíkra? a) 10 cm kerületű négyzet b) 9 cm2 területű négyzet d) 20 cm kerületű rombusz c) 10 cm2 területű négyzet 2 e) 12 cm területű rombusz f) 60 cm kerületű paralelogramma 2 h) 16 cm kerületű és 16 cm2 területű rombusz g) 60 cm területű paralelogramma 2 i) 3 cm területű és 30 cm kerületű paralelogramma Készíts vázlatrajzokat!

c) Nincs ilyen négyzet, mert a 3 cm széles csíkra rajzolható négyzet területe legfeljebb 9 cm2 . h) Nincs ilyen rombusz, mert a feltételek szerint 4 cm oldalú rombusz lenne jó, aminek a papírcsíkon 12 cm2 -nél kisebb a területe.

5. Számítsd ki a paralelogrammák területét! Az oldalakat a, b jelöli, a megfelelő magasságokat ma , mb . 2 a) a = 8 cm b) a = 2,5 cm c) a = m d) b = 29 cm 3 mb = 0,7 cm ma = 2 cm ma = 32 mm ma = 6 m T = 16 cm2

T = 8 cm2

T = 4 m2

T = 20,3 cm2

e) b = 2 dm 3 mm 5 mb = cm 2 T = 50,75 cm2

6. Számítsd ki a paralelogrammák területét!

ma = 3 cm T = 9 cm2

T = 8 cm2

T = 3 cm2

7. Számítsd ki a paralelogramma 6 cm-es oldalainak távolságát, ha a paralelogramma területe ma = T : 6

a) 24 cm2 , ma = 4 cm d) 4 cm2 , ma =

2 cm 3

b) 12 cm2 , ma = 2 cm

c) 3 cm2 , ma = 0,5 cm

e) 30,6 cm2 ! ma = 5,1 cm

57

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 54–55. oldal 8. Egy paralelogramma magasságai 7 mm és 14 mm, területe 35 mm2 . Mekkorák az oldalai? A paralelogramma oldalai 5 mm és 2,5 mm.

9. Különböző paralelogrammák oldalai egyaránt 5 cm és 8 cm hosszúak. Lehet-e köztük két egyenlő területű? Lehet-e köztük két egyenlő kerületű? A paralelogrammák kerülete 26 cm minden esetben, területük legalább 40 cm2 , de minden esetben különböző a terület.

10. Mekkora a középvonallal levágott négyszögek területe?

T = 6 cm2

T = 6 cm2

T = 1,5 cm2

11. Mekkora az átlók által levágott háromszögek területe? A háromszögek területe negyede a paralelogramma területének.

T = 7 cm2

T = 2,5 cm2

T =

1 cm2 4

T = 2 cm2

12. Egy paralelogramma szomszédos oldalai 4 cm és 6 cm, területe 20 cm2 . Szerkeszd meg a paralelogrammát! A paralelogramma 4 cm-es oldalához tartozó magassága 5 cm. 13. Egy paralelogramma szomszédos oldalainak aránya 3 : 2, kerülete 20 cm, területe 18 cm2 . Szerkeszd meg a paralelogrammát! A paralelogramma oldalai 6 cm és 4 cm, a 6 cm-es oldalához 3 cm-es magasság tartozik.

14. Szerkeszd meg a paralelogrammát! A szükséges adatokat szerkesztés után mérd meg, majd számítsd ki a paralelogramma területét! a) b) c) d)

Az oldalai 4 cm és 5 cm, az egyik szöge 22,5◦ . a = 4 cm, ma ≈ 1,9 cm, T ≈ 7,6 cm2 Az oldalai 2 cm és 7 cm, átlója 6 cm. a = 7 cm, ma ≈ 1,6 cm, T ≈ 11,2 cm2 A 4,5 cm-es oldalainak távolsága 3 cm, az egyik szöge 45◦ . a = 4,5 cm, ma = 3 cm, T = 13,5 cm2 Az átlói 6 cm és 9 cm, az átlói által bezárt szög 60◦ . a ≈ 6,5 cm, ma ≈ 3,6 cm, T ≈ 23,4 cm2 15. Mely paralelogrammák területét számíthatjuk ki így? a) A terület a két szomszédos oldal szorzata. Téglalap területe T = a · b. b) A terület a két átló szorzatának a fele. Rombusz területe T =

e·f . 2

c) A terület az egyik oldal és a hozzá tartozó magasság szorzata. Paralelogramma területe T = a · ma .

58

C M Y K



16. Milyen négyszöget határoznak meg a paralelogramma oldalfelező pontjai? Megállapításodat indokold!

A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt két-két szemközti szakasz párhuzamos és egyenlő, hiszen egymás tükörképei. A négy oldalfelező pont paralelogrammát határoz meg. A megadott esetekben a megoldás: a) rombusz, b) és c) paralelogramma, d) téglalap. Általánosítható a megállapítás tetszőleges négyszögre, mivel az oldalfelező pontok által meghatározott négyszög szemközti oldalai ugyanazzal az átlóval meghatározott két háromszög középvonalai, tehát párhuzamosak és egyenlők.

Bizonyítsd be, hogy az ABCD négyszög területe egyenlő az ADF E és az EF CB négyszögek területének összegével, ha az AD, BC és EF szakaszok párhuzamosak és egyenlők!

17.

TADF E = TADGH és TBCF E = TBCGH TADF E + TBCF E = TADGH + TBCGH = TABCD

10. óra A trapéz területe Tk.: 57–58. oldalon 1–16. feladatok Fgy.: 451–459. A bemutatott módszerek között nem szerepel a téglalappá átdarabolás, mivel az sok esetben nem alkalmazható, de a tankönyv 1. és a feladatgyűjtemény 446. feladatának megoldásakor kipróbálhatjuk. Eszközök: szerkesztőeszközök, papír, olló az átdaraboláshoz. Feladatok 1. Rajzolj négyzethálós lapra a megadott trapézzal egyenlő területű paralelogrammát! a) Darabold át paralelogrammává a trapézt! A paralelogramma egyik oldala lehet a trapéz középvonalával egyenlő, magassága pedig a trapéz magasságával egyenlő.

b) Rajzolj a megadott trapézzal egyenlő területű téglalapot! A téglalap oldalai például: A : 4; 6 B: 6; 2 C: 5; 6 D: 6; 6.

c) Számítsd ki a trapéz területét! (A területegység egy rácsnégyzet területe.) A : 24

B : 12

C : 30

D : 38.

√

d) Hány egység a trapéz középvonala? A: 4 B: 6 C: 5 D: 45 ≈ 6,7.

59

C M Y K



2. Rajzolj négyzethálós lapra 20 egység területű trapézokat! a) Lehet-e köztük téglalap? b) Lehet-e köztük derékszögű trapéz? c) Lehet-e köztük olyan húrtrapéz, amely nem téglalap? d) Lehet-e köztük paralelogramma?

3. Rajzolj négyzethálós lapra 12 egység területű, 4 egység magasságú trapézt! Végtelen sokféle trapéz a megoldás.

4. Számítsd ki a trapézok területét!

m = 2 cm

m = 3 cm

T = 10 cm2

c = 3 cm

T = 4 cm2

T = 13,5 mm2

5. Számítsd ki a trapéz területét, ha az alapjait a, c, a magasságát m jelöli! a) a = 1 cm b) a = 4 dm c) a = 3 dm d) a = 2,5 m c = 7 cm c = 3 dm c = 17 cm c = 0,8 m 3 m = 3 cm m = 2 dm m = 2,5 dm m= m 2 T = 12 cm2

T = 7 dm2

T = 587,5 cm2

T = 247,5 dm2

60

C M Y K


e) a = 2 dm 7 cm c = 8 cm 12 dm m= 5 T = 420 cm2

A sokszgek s a kr Tk.: 57–58. oldal 6. Egy trapéz alapjai 3,5 cm és 5,5 cm. Számítsd ki az alapok távolságát, ha a trapéz területe m = 2T : (a + c)

a) 18 cm2 , m = 4 cm d) 6 cm2 , m =

4 cm 3

b) 54 cm2 , m = 12 cm

c) 13,5 cm2 , m = 3 cm

e) 10,8 cm2 ! m = 2,4 cm

7. Mekkora a 20 cm2 területű trapéz magassága, ha az alapjainak hossza a) 3 cm és 7 cm, m = 4 cm b) 1,2 dm és 8 cm, m = 2 cm c) 2 cm és 3 cm? m = 8 cm 8. Különböző trapézok alapjai egyaránt 5 cm és 8 cm hosszúak. Lehet-e köztük két egyenlő területű? Lehet-e köztük két egyenlő kerületű? Lehet a trapézok között 2 egyenlő területű és 2 egyenlő kerületű is. Például:

9. Szerkeszd meg azt a trapézt, amelynek az alapjai 5 cm és 3 cm, az egyik szára 5 cm hosszú, a területe 16 cm2 ! Hány megoldás van? Két megoldás van.

10. Szerkeszd meg azt a trapézt, amelynek az egyik alapja 8 cm, az egyik szára 7 cm, a magassága 6 cm és a területe 36 cm2 ! Két megoldás van.

11. Számítsd ki a trapéz középvonalának hosszát és a trapéz területét! A vázlatrajzon nem arányosak a szakaszhosszak.

k = 6 cm T = 24 cm2

k = 5 cm T = 15 cm2

k T =k·m

k = 3,5 cm T = 7 cm2

61

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 58. oldal 12. Egy erdőterületet két párhuzamos út határol 180 m, illetve 540 m hosszan. Az utak távolsága 600 m. Hány hektár az erdő területe, ha a párhuzamos útszakaszok között is egyenes a határvonal? Az erdő trapéz alakú, alapjainak hossza 500 m és 180 m, magassága 600 m. T =

(a + c) · m = 2

= 204 000 m2 = 20,4 ha

13. Melyik trapéz területét számíthatjuk ki így? a) A terület két szomszédos oldal szorzata. Téglalap T = a · b b) A terület az alap és a hozzá tartozó magasság szorzata. Paralelogramma T = a · ma a+c ·m c) A terület az alapok átlagának és a magasságnak a szorzata. Trapéz T = 2

d) A terület az alapok összegének és a szár felének a szorzata. b d a+c·m = ab, derékszögű trapéz, ha m = d, T = (a + c) · = 2 2 2 magasság szorzata. Trapéz T = k · m

Két speciális trapéz van: téglalap T = 2a ·

e) A terület a középvonal és a

14. Melyik trapézra teljesül az állítás? a) Az átlói egyenlő területű háromszögekre bontják. Paralelogramma b) Az átlói egybevágó háromszögekre bontják. Rombusz c) Két szomszédos oldalból egyértelműen megszerkeszthető. Téglalap d) Az egyik szárának felezőpontjára tükrözve az eredeti és a tükörkép trapéz téglalapot alkot. Derékszögű trapéz

15. Bizonyítsd be, hogy a trapéz oldalfelező pontjai paralelogrammát határoznak meg! Visszavezethető paralelogramma vizsgálatára a feladat.

16. Melyik trapézt lehet egy vágással átdarabolni a) téglalappá, A paralelogrammát és a derékszögű trapézt lehet egy vágással téglalappá darabolni, a többi trapézt nem lehet.

b) háromszöggé? Minden trapéz 1 vágással háromszöggé darabolható.

62

C M Y K



11. óra A háromszög területe Tk.: 60–62. oldalon 1–15. feladatok Fgy.: 460–479. A téglalapba foglalás módszerét választva vizsgáljuk meg azt az esetet is, amikor egy tompaszögű háromszög valamelyik rövidebb oldalára illesztjük a téglalapot! Ekkor a téglalap területe nem kétszerese a háromszög területének, hanem két derékszögű háromszög területével több, mint a keresett terület. e·f Érdemes ismét felidézni a deltoid területének kiszámítását: T = , 2 amit most már a háromszög területének kiszámításától vezethetünk le. Eszközök: szerkesztőeszközök. Feladatok 1. Számítsd ki a háromszögek területét! Egy rácsnégyzet területe legyen a területegység!

A: 6

B: 8

C: 12

D: 10

E: 10

F: 4

G: 7

2. Rajzolj négyzethálós lapra 12 egység területű háromszögeket! a) Lehet-e a háromszögek között derékszögű háromszög? A 6 és 4 egység oldalú derékszögű háromszög területe 12 négyzetegység.

b) Lehet-e a háromszögek között egyenlő szárú háromszög? A 12 egység alapú, 2 cm magasságú egyenlő szárú háromszög területe 12 négyzetegység.

3. Rajzolj négyzethálós lapra olyan háromszögeket, amelyeknek 6 egység hosszúságú oldaluk rácsvonalra illeszkedik, területük 12 területegység! A háromszögek magassága 4 egység.

a) Lehet-e a háromszögek között 16 egység kerületű? 16 egység kerületű például a 6 egység alapú, 5 egység szárú tükrös háromszög.

b) Lehet-e a háromszögek között 20 egység kerületű? 20 egység kerületű például az a háromszög, amelynek oldalai 6, ≈ 4,7, ≈ 9,3 egység.

c) Lehet-e a háromszögek között legkisebb kerületű? Legkisebb kerületű háromszög a 6, 5, 5 egység oldalú.

63

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 61. oldal 4. Rajzold meg derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszöget, ha A(−2; −3), B(7; −3), C(0; 4) a háromszög csúcsai! Változtasd meg a C csúcs helyét úgy, hogy ABC háromszöggel egyenlő területű A C csúcs az x tengellyel párhuzamos, attól 4 egységre levő két párhuzamos egyenes tetszőleges pontja. a) derékszögű háromszöget, Pl.: C(−2; 4) b) tükrös háromszöget, Pl.: C(4,5; 4) c) egyenlő szárú tompaszögű háromszöget rajzolj! Pl.: C(≈ 11,1; 4)

5. a) Rajzold le, hol lehetnek a háromszögek C csúcsai, ha az adott AB oldaluk 5 cm, az ehhez tartozó magasságuk 4 cm! b)

Az AB-vel párhuzamos, attól 4 cm-re levő két párhuzamos egyenes pontjai a C csúcsok. Rajzolj az előzőeknek megfelelő egyenlő szárú háromszögeket! Hat megoldás van.

6. Számítsd ki a háromszög területét! a) a = 7 cm

b) b = 8 dm

2 dm 3 3 mc = dm 4

c) c =

ma = 2 cm

mb = 6 cm

T = 7 cm2

T = 240 cm2

T =

1 dm2 4

d) a = 5,3 cm

e) b = 1,06 m

ma = 0,7 cm

mb = 3,9 m

T = 1,855 cm2

T = 2,067 m2

7. Számítsd ki a háromszög 8 cm-es oldalához tartozó magasságát, ha területe ma = a) 24 cm2 , ma = 6 cm d) 1 cm2 , ma =

1 cm 4

b) 12 cm2 , ma = 3 cm

c) 8 cm2 , ma = 2 cm

e) 9,2 cm2 ! ma = 2,3 cm

8. 33 dm2 területű ABC háromszögek BC oldala a) 3 dm, ma = 22 dm b) 6 dm, ma = 11 dm d) 4 dm, ma = 16,5 dm

2T a

e) q dm. ma =

c) 11 dm, ma = 6 dm

66 dm q

Mekkora az A csúcs távolsága a BC egyenestől? Milyen arányosság van az oldalhosszak és a távolságok között? Fordított arányosság van az oldalhosszak és a távolságok között.

9. a) Számítsd ki a háromszög területét, ha az egyik magassága 10 cm, az erre merőleges középvonala 3 cm! T = 30 cm2 b) Keress összefüggést a háromszög egyik magassága, az erre merőleges középvonala és a területe között! T = ka · ma 10. a) Szerkeszd meg azt a háromszöget, amelynek 8 cm-es oldalához 7 cm hosszú súlyvonal tartozik, és egy másik oldala 5 cm hosszú! Először 4 cm, 7 cm, 5 cm oldalakkal háromszöget szerkesztünk.

b) A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a háromszög területét! a = 8 cm ma ≈ 4,9 cm T ≈ 19,6 cm2

11. Melyik háromszögre igaz? a) Magasságvonala két egyenlő területű háromszögre bontja. Tükrös háromszög. b) Szögfelezője két egyenlő magasságú háromszögre bontja. Bármely háromszög. c) Súlyvonala két egyenlő magasságú háromszögre bontja. Bármely háromszög.

64

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 61–62. oldal d) Szögfelezője két egyenlő területű háromszögre bontja. Tükrös háromszög. e) Súlyvonala két egybevágó háromszögre bontja. Tükrös háromszög. f) Oldalfelező merőlegese két egybevágó sokszögre bontja. Tükrös háromszög. 12. A háromszög oldalegyeneseire a csúcstól kezdve azonos irányban rámértük a megfelelő oldal hosszát. Hányszorosa az így kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének? a), b), c) Hétszeres a terület.

13. Bizonyítsd be, hogy a különböző színnel jelölt háromszögek területe egyenlő! A trapéz szárán megjelölt F pont felezőpont. a) b)

a) TABC = TABD , mert az AB és az AB-hez tartozó magasság egyenlő a két háromszögben. b) Egybevágó a két háromszög.

14. Bizonyítsd be, hogy a különböző színnel jelölt háromszögek területe egyenlő! Az oldalakon megjelölt F és G pont felezőpont. a)

b)

c)

a) TABC − TABE = TABD − TABE és TBCE = TADE b) TABG = TABF és TABG − TABE = TABF − TABE ⇒ TBGE = TAF E c) BF a BED háromszög súlyvonala, tehát felezi BED háromszög területét. TBDF = TBEF

65

C M Y K



15. Az AC és a CB szakasz két telek közös határát jelöli, ami azért törik meg C-nél, mert régen kút állt ott. Egyenesítsd ki a határt úgy, hogy a telkek területe ne változzon! Legyen CD AB! Ekkor TABC = TABD , ezért a telkek területe nem változik.

12. óra A sokszögek területének kiszámítása Tk.: 63–65. oldalon 1–13. feladatok Fgy.: 480–489. Az óra célja: A sokszögek területét háromszögek, négyszögek területének összegeként számítjuk ki. Eszközök: szerkesztőeszközök, sablonok a szabályos sokszögekhez, zsebszámológép. A szabályos sokszögek területének vizsgálata vezet majd el a kör területének meghatározásához. Bebizonyíthatjuk a következő állítást: Állítás: Egy a sugarú körbe írt szabályos tizenkétszög területe 3 · a 2 . Bizonyítás: Az OABCDE hatszög átdarabolható egy a oldalú négyzetté. AOB, BOC,. . . középponti szögek 30◦ -osak. AOB, BOC,. . . háromszögek szögei 30◦ ; 75◦ ; 75◦ . Az OABCDE hatszög területe egyenlő az ABCF OG konkáv hatszög területével, mert négy-négy 30◦ ; 75◦ ; 75◦ -os szögű a szárú háromszögből állnak. TABCF OG = TACF G , mert ABC háromszög és OF G háromszög egybevágó. TOABCDE = TACF G = a 2 A tizenkétszög területe 3 · TOABCDE = 3 · a 2 .

66

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 63–64. oldal Feladatok 1. Számítsd ki a sokszögek területét! Kicsinyített ábrát szerkesztve határozd meg a sokszögek kerületét! a) b) c) szabályos nyolcszög

a) T = 10 · 2 +

(10 + 4) · 3 = 41 cm2 2

b) T = 2 ·

(6 + 3) · 4 = 36 dm2 2

c) T = 8 ·

3 · 3,6 = 43,2 m2 2

2. I. Számítsd ki az ABD és a BCD háromszög területét! Írd fel a két terület arányát! II. Számítsd ki az ABCD trapéz területét!

I.

a) TABD : TBCD = b) TABD : TBCD = c) TABC : TBCD = d) TABD : TBCD = A két terület aránya

6 · 2,5 2 · 2,5 : =6:2=3:1 II. 2 2 4,5 · 2 1,5 · 2 : = 4,5 : 1,5 = 3 : 1 2 2 2·3 3·3 : =2:3 2 2 a·m c·m : =a:c 2 2 egyenlő a trapéz alapjainak arányával.

(6 + 2) · 2,5 = 10 cm2 2 (4,5 + 1,5) · 2 b) T = = 6 cm2 2 (2 + 3) · 3 c) T = = 7,5 cm2 2 a) T =

d) T =

(a + c) · m 2

3. Valamelyik csúcson átmenő egyenessel oszd két egyenlő területű részre a sokszöget!

67

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 64–65. oldal 4. Hányadrésze a színessel jelölt részek együttes területe a sokszög területének? A megadott pontok oldalfelező pontok az a–f) esetben, szimmetria-középpont a g) esetben. a) b) c) d)

paralelogramma

szabályos ötszög

e)

szabályos hatszög

f)

négyzet

szabályos hatszög

g)

trapéz

paralelogramma

A színessel jelölt rész területe a sokszög területének a), b), f), g) esetben fele, c) esetben hatoda, d), e) esetben harmada.

5. Számítsd ki a sokszög területét! b) Az AD átló hossza 8 m.

7m 8

5m

2m

m

B 2,5 m

m

9m

7m

10 m

F

A

4m

12

3m

a)

3

24 m 6

12 · 3 (3 + 4) · 5 9 · 4 24 · 10 + + + = 173,5 cm2 . 2 2 2 2 7 · 2,5 8 · 6 8 · 3 7 · 2 b) T = + + + = 51,75 m2 . (A 8 m az AD átló hossza!) 2 2 2 2 a) T =

m

m

C

D

6. Szerkessz 5 cm sugarú körbe szabályos hatszöget! Csúcsai sorban A, B, C, D, E és F . Mekkora része az ACDE négyszög területe az ABCDEF hatszög területének? ACDE négyszög deltoid. TACDE =

2 TABCDEF 3

7. Szerkessz 4 cm sugarú körbe szabályos nyolcszöget, csúcsai sorban A, B, C, D, E, F , G, H ! Számítsd ki az ACF G négyszög területét! A szükséges adatokat mérd meg! Az ACF G négyszöget a CG átmérő két derékszögű háromszögre bontja. T ≈

8 · 4 8 · 2,8 + = 27,6 cm2 2 2

8. Készíts méretarányos rajzot az ABCD húrtrapézról! CF ||AD és DE||BC, EF = AD = 3 cm, DC = 6 cm a) Milyen négyszög az AF CD, a BEDC és az EF CD négyszög? b)

AF CD paralelogramma, BEDC paralelogramma, EF CD húrtrapéz Mekkorák az EF CD négyszög szögei? 120◦ , 120◦ , 60◦ , 60◦

c) Mekkora az ABCD és az EF CD négyszög területének, illetve kerületének aránya? TABCD : TEF CD = 5 : 3, KABCD : KEF CD = 7 : 5

68

C M Y K


E

A sokszgek s a kr Tk.: 65. oldal 9. Mindegyik oldal meghosszabbítására a rajz szerint rámértük a sokszög oldalát. Mekkora a belső és a külső sokszög területének aránya? C

b) D

c) a) B

B

E C

D

A

F

C B

D

A E

B

A

C

1:3

C

A B

A

A

C

B F

1:5

B

C

D

A

1 : 19

10. Az A csúcson átmenő egyenessel oszd két egyenlő területű részre a négyszöget! Legyen DD AC! Ekkor TACD = TACD , vagyis TABCD = TABD . A háromszög területét felezi a súlyvonala, ezért F legyen BD felezőpontja. Az AF súlyvonal felezi ABD háromszög területét. TABF = TAF D = TAF CD

A trapéz területének hányadrésze a színessel jelölt háromszög területe? A szárakon felezőpontokat jelöltünk.

11.

Negyede.

12. Szerkessz egy 3 cm sugarú kört érintő szabályos hatszöget! Számítsd ki a csúcsai által meghatározott különböző négyszögek területét! Háromféle négyszög adódik: TABCD ≈ 15,6 cm2 , húrtrapéz, TABCE ≈ 20,8 cm2 , deltoid, TACOF ≈ 20,8 cm2 , téglalap.

13. Szerkessz egy 4 cm sugarú kört érintő szabályos hatszöget! Számítsd ki a csúcsai által meghatározott különböző négyszögek területét! Háromféle négyszög adódik: TABCD ≈ 20,8 cm2 , húrtrapéz, TABCE ≈ 27,7 cm2 , deltoid, TACDF ≈ 20,8 cm2 , téglalap.

13. óra A kör kerülete Tk.: 67–68. oldalon 1–11. feladatok Fgy.: 490–498. Fonallal minél több kör kerületét mérjük meg! A kör kerületét beírt és körülírt szabályos sokszögek kerületével közelítjük. Dolgozhatunk csoportokban, minden csoportnak csak egyféle sokszöggel kell foglalkoznia. Fontos annak a megfigyelése, hogy minél több oldalú a sokszög, annál kevésbé tér el a kerülete a kör kerületétől.

69

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 67–68. oldal Fizikaórákról már ismerhetik a tanulók a kör kerületének (és területének) képletét. Eszközök: szerkesztőeszközök, fonal, deszka, szögek, zsebszámológép, azonos sugarú körbe írható szabályos sokszöglapok. Feladatok 1. Rajzolj 5 cm, 10 cm és 15 cm sugarú kört egy-egy lapra! Fonalat rájuk illesztve mérd meg a körök kerületét! A kerületek ≈ 31 cm; 63 cm; 94 cm. 2. Szögmérővel, körzővel, vonalzóval szerkeszd Szár hossza Kerület (K) Terület (T ) meg az alábbi szabályos sokszöget! Mérés után a) Hatszög 3 cm 18 cm ≈ 23 cm2 számítsd ki a kerületét, területét! b) Hatszög 4 cm 24 cm ≈ 41 cm2 a) A szabályos hatszöget felépítő tükrös három- c) Ötszög 3 cm ≈ 17,6 cm ≈ 21 cm2 szögek szára 3 cm. d) Tízszög 3 cm ≈ 35 cm ≈ 42 cm2 b) A szabályos hatszöget felépítő tükrös háromszögek szára 4 cm. c) A szabályos ötszöget felépítő tükrös háromszögek szára 3 cm. d) A szabályos tízszöget felépítő tükrös háromszögek szára 3 cm. 3. Számítsd ki a kör kerületét, ha sugara a) 4 cm, K ≈ 25,12 cm b) 6 mm, K ≈ 37,68 mm c) 2,8 cm, K ≈ 17,584 cm 2 d) dm, K ≈ 4,19 dm e) 0,17 m! K ≈ 1,0676 m 3 4. Számítsd ki a kör sugarát, ha kerülete b) 30 cm, a ≈ 4,7 cm c) 100 mm, a ≈ 15,9 mm a) 25,12 cm, a ≈ 4 cm 1 1 d) 8π cm, a ≈ 4 cm e) π dm! a ≈ dm 6 3 5. 20 m átmérőjű kör alakú medence fala mentén egy körben hány métert úszhat egy aranyhal? K = 62,8 m

6. Egy gépkocsi kerekének sugara 28,25 cm. Hány km utat tesz meg a jármű 500 fordulat alatt? 1 fordulat alatt 177,4 cm út. 500 fordulat után 88 705 cm út ≈ 887 m ≈ 0,9 km utat tesz meg a gépkocsi.

7. Egy kerékpár kerekének átmérője 68,6 cm (27

-os). Mekkora utat tesz meg 1 fordulattal? út ≈ 215,404 cm ≈ 2,15 m 8. Egy csörlő átmérője 50 cm. Hússzor körbetekerve milyen magasra emelhető fel vele a teher? 1 tekeréssel 50 · π = 157 cm, 20 tekeréssel 3140 cm ≈ 31 m (tízszintes épület magassága).

9. a) Számítsd ki egy 3 cm sugarú félkör kerületét! K = 3 + 3 + 3 · π = 6 + 3 · π ≈ 15,42 cm

b) Számítsd ki egy 3 cm sugarú negyedkör kerületét! 3 3 K = 3 + 3 + π = 6 + π ≈ 10,71 cm 2 2

70

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 68. és 70. oldal 10. A Föld átmérője körülbelül 12 756 km. Hány km az Egyenlítő hossza? 40 053,84 km ≈ 40 054 km 11. Két kör kerülete között 1 dm a különbség. Mekkora a sugaraik különbsége, ha 2 · (R − r) · π = 1 dm

a) b) c) d)

a a a a

kisebb kör sugara 2 kisebb kör sugara 1 nagyobb kör sugara nagyobb kör sugara

dm, ≈ 2,16 cm m, ≈ 10,16 dm 2 dm, ≈ 1,84 dm 1 m? ≈ 9,84 dm

A kör területe Tk.: 70. oldalon 1–8. feladatok Fgy.: 499–510. A kör területének meghatározásakor sokszögek területével közelítünk, milliméterpapíron mérünk. Eszközök: körző, vonalzó, zsebszámológép, milliméterpapír. Feladatok 1. Rajzolj 1 cm, 2 cm, 3 cm sugarú kört milliméterpapírra! Körülbelül hány cm2 , illetve hány mm2 a körök területe? ≈ 3 cm2 ≈ 300 mm2 , ≈ 12,6 cm2 ≈ 1260 cm2 , ≈ 28,26 cm2 ≈ 2826 mm2

2. Számítsd ki a kör területét, ha sugara a) 4 cm, T ≈ 50,24 cm2 b) 6 mm, T ≈ 113,04 mm2 2 d) dm, T ≈ 1,4 dm2 e) 0,17 m! T ≈ 0,091 m2 3 3. Számítsd ki a kör sugarát, ha területe a) 3,14 cm2 , r ≈ 1 cm b) 78,5 dm2 , r ≈ 5 dm d) 16π cm2 , r = 4 cm e) 0,01π dm2 ! r ≈ 0,1 dm

c) 2,8 cm, T ≈ 24,7 cm2

c) 0,785 m2 , r ≈ 0,5 dm

4. Mekkora egy 3 cm sugarú félkör, negyedkör, hatodkör területe? ≈ 14,13 cm2 ,

≈ 7,07 cm2 ,

≈ 4,71 cm2

5. Hányszorosa a nagyobb kör kerülete a kisebbének? Hányszorosa a nagyobb kör területe a kisebbének?

a) b) c)

K háromszoros 2,5-szeres 9 -szoros 8

T kilencszeres 6,25-szoros 81 -szeres 64

K:k=R:r

T : t = R2 : r 2

71

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 70–71. oldal 6. Számítsd ki a körgyűrűt határoló körök kerületét és a körgyűrű területét! a) k ≈ 12,56 cm b) K ≈ 62,8 cm

K ≈ 37,68 cm k ≈ 37,68 m

T = 100,48 cm2 T = 200,96 cm2

7. Számítsd ki a színessel jelölt részek területét! a) b)

T ≈ 28,5 cm2

c)

T ≈ 21,5 cm2

d)

T ≈ 19,63 cm2

T ≈ 14,72 cm2

8. Számítsd ki a 4 cm oldalú négyzetbe rajzolt, színessel jelölt alakzatok területét!

4π

4π − 8

8π − 16

16π − 4

4−π

8

2π − 4

8π − 16

16 − 3π

kék: 2π − 4 sárga: 2π − 4 zöld: 4

14. óra TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ – megoldás 1. Számítsd ki a következő sokszögek belső szögeinek nagyságát! a) A tükrös háromszög egyik magassága 34◦ -os szöget zár be az alappal. 56◦ , 56◦, 68◦ b) A háromszög egyik belső szöge 28◦ , a másik belső szöge fele akkora, mint a mellette levő külső szög. 28◦ , 60◦ , 92◦ c) A paralelogramma egyik belső szöge 130◦ . 50◦, 130◦, 50◦ , 130◦ d) A trapéz két belső szöge 63◦ és 100◦ . 63◦ , 80◦ , 117◦ , 100◦

72

C M Y K


A sokszgek s a kr Tk.: 71. oldal 2. a) Szerkessz olyan trapézt, amelynek az egyik alapja 9 cm, a másik alapja 4 cm, az egyik átlója 8 cm, a magassága 5 cm hosszú! Két megoldás van. Oldalaik hossza: 9 cm; 5,7 cm; 4 cm; 5,5 cm; vagy 9 cm; 16 cm; 4 cm; 11,4 cm

b) Számítsd ki az előbbi adatokból a trapéz területét! T = 32,5 cm2

K1 = 24,2 cm

K2 = 40,4 cm

3. Egy szabályos sokszög egyik csúcsából 12 átló húzható. a) Mekkora a sokszög egy-egy belső szöge? b) c)

Tizenöt oldalú szabályos sokszög, amelynek egy belső szöge 156◦ . Hány fok a belső szögeinek összege? 2340◦ Hány átlója van összesen a sokszögnek? 90 átló

4. Számold ki, melyik nagyobb! a) Egy 5 cm sugarú háromnegyed kör területe vagy egy 6 cm sugarú félkör területe? T1 =

3 2 1 · 5 · π ≈ 58,875 cm2 > T2 = · 62 · π ≈ 56,52 cm2 4 2

b) Egy 5 cm sugarú háromnegyed kör kerülete vagy egy 6 cm sugarú félkör kerülete? K1 = 5 + 5 +

3 1 · 2 · 5 · π ≈ 33,55 cm > K2 = 6 + 6 + · 2 · 6 · π ≈ 30,84 cm 4 2

5. Döntsd el, hogy igaz vagy hamis az állítás! Válaszodat indokold! A: Van olyan téglalap, amely húrtrapéz. Igaz, mert minden téglalap húrtrapéz.

B: Ha egy paralelogramma átlói egyenlők, akkor az négyzet. Hamis, mert a négyszög biztosan téglalap, de nem mindig négyzet.

73

C M Y K


A sokszgek s a kr ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ A csoport 1. Pótold a hiányzó számkártyákat úgy, hogy a kapott számok oszthatók legyenek a táblázatban szereplő értékekkel! 4-gyel 9-cel 45-tel 346 27 0 2. Egy szám prímtényezős felbontása: 34 · 5 · 172 . Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A szám osztható 9-cel. b) A szám páros. c) Van olyan prímszám, amellyel az adott számot megszorozva négyzetszámot kapunk. d) 289-cel osztva 0 maradékot ad a szám. 3. Határozd meg a, b, c számértékét, a d-t egyszerűsítsd! 161 92 4. Egy háromszög két oldala 6 cm és 8 cm, a 6 cm-es oldalához tartozó magassága 4 cm. a) Szerkeszd meg a háromszöget! Hány megoldás van? b) Számítsd ki a háromszög kerületét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! c) Számítsd ki a háromszög területét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! a = (92; 161)

b = [92; 161]

(92; c)

d=

5. Számítsd ki a négyszögek belső szögeinek nagyságát! a) A trapéz két szöge 58◦ és 107◦ . b) A paralelogramma egyik belső szöge ötször akkora, mint a hozzá tartozó külső szög. 6. Egy trapéz alapjai 8 cm és 5 cm hosszúak, és 7 cm-es átlója 45◦ -os szöget zár be az alappal. a) Szerkeszd meg a trapézt! b) Számítsd ki a trapéz területét! 7. Egy szabályos sokszög egy csúcsból induló összes átlóját meghúztuk. Ezek az átlók hat háromszögre bontják a sokszöget. a) Hány oldalú a sokszög? b) Hány átlója van összesen ennek a sokszögnek? c) Hány fokos ennek a szabályos sokszögnek egy-egy belső szöge? 8.

Számítsd ki külön-külön a három félkör és a vonalkázott rész területét!

74

C M Y K


A sokszgek s a kr ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ – megoldás A csoport 1. Pótold a hiányzó számkártyákat úgy, hogy a kapott számok oszthatók legyenek a táblázatban szereplő értékekkel! 4-gyel 9-cel 45-tel 0, 4, 8 5 5 346 27 0 0, 2, 4, 6, 8 0, 9 0, 9 6 × 2 = 12 pont

2. Egy szám prímtényezős felbontása: 34 · 5 · 172 . Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A szám osztható 9-cel. Igaz. b) A szám páros. Hamis. c) Van olyan prímszám, amellyel az adott számot megszorozva négyzetszámot kapunk. Igaz, p = 5.

d) 289-cel osztva 0 maradékot ad a szám. Igaz. 4 × 2 = 8 pont

3. Határozd meg a, b, c számértékét, a d-t egyszerűsítsd! a = (92; 161) a = 23 (92; c) c = 23 · n, ahol n páratlan egész szám

b = [92; 161] b = 644 161 7 d= d= 4 92 4 × 3 = 12 pont

4. Egy háromszög két oldala 6 cm és 8 cm, a 6 cm-es oldalához tartozó magassága 4 cm. a) Szerkeszd meg a háromszöget! Hány megoldás van? Két megoldás van. b) Számítsd ki a háromszög kerületét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! K1 ≈ 18,1 cm, K2 ≈ 27,5 cm

c) Számítsd ki a háromszög területét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! T1 = T2 = 12 cm2 8 + 7 (mérés 4, számítás 3) + 3 = 18 pont

5. Számítsd ki a négyszögek belső szögeinek nagyságát! a) A trapéz két szöge 58◦ és 107◦ . 58◦ , 73◦ , 107◦ , 122◦ , illetve 58◦ , 107◦ , 73◦ , 122◦ .

b) A paralelogramma egyik belső szöge ötször akkora, mint a hozzá tartozó külső szög. 150◦ , 30◦ , 150◦ , 30◦ . 6 + 4 = 10 pont

6. Egy trapéz alapjai 8 cm és 5 cm hosszúak, és 7 cm-es átlója 45◦ -os szöget zár be az alappal. a) Szerkeszd meg a trapézt! b) Számítsd ki a trapéz területét! m ≈ 4,9 cm; T ≈ 31,85 cm2 10 + 7 = 17 pont

75

C M Y K


A sokszgek s a kr 7. Egy szabályos sokszög egy csúcsból induló összes átlóját meghúztuk. Ezek az átlók hat háromszögre bontják a sokszöget. a) Hány oldalú a sokszög? Nyolcszög a sokszög.

b) Hány átlója van összesen ennek a sokszögnek? 20 átlója van.

c) Hány fokos ennek a szabályos sokszögnek egy-egy belső szöge? 135◦ a belső szöge. 2 + 3 + 5 = 10 pont

8.

Számítsd ki külön-külön a három félkör és a vonalkázott rész területét! 2π, 8π, 18π, 8π

3 × 3 + 4 = 13 pont

Összesen: 100 pont

76

C M Y K


A sokszgek s a kr ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ B csoport 1. Pótold a hiányzó számkártyákat úgy, hogy a kapott számok oszthatók legyenek a táblázatban szereplő értékekkel! 4-gyel 3-mal 6-tal 574 19 4 2. Egy szám prímtényezős felbontása: 24 · 7 · 192 . Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A szám osztható 8-cal. b) A szám páratlan. c) Van olyan prímszám, amellyel az adott számot megszorozva négyzetszámot kapunk. d) 361-gyel osztva 0 maradékot ad a szám. 3. Határozd meg a, b, c számértékét, a d-t egyszerűsítsd! 273 78 4. Egy háromszög két oldala 7 cm és 9 cm, a 9 cm-es oldalához tartozó magassága 5 cm. a) Szerkeszd meg a háromszöget! Hány megoldás van? b) Számítsd ki a háromszög kerületét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! c) Számítsd ki a háromszög területét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! a = (78; 273)

b = [78; 273]

(78; c)

d=

5. Számítsd ki a négyszögek belső szögeinek nagyságát! a) A trapéz két külső szöge 39◦ és 114◦ . b) A paralelogramma egyik belső szöge 40◦ -kal kisebb a hozzá tartozó külső szögnél. 6. Egy paralelogramma átlói 10 cm és 14 cm hosszúak, és egyik oldala 8 cm. a) Szerkeszd meg a paralelogrammát! b) Számítsd ki a paralelogramma területét! 7. Egy szabályos sokszög egy csúcsból induló összes átlóját meghúztuk. Ezek az átlók hét háromszögre bontják a sokszöget. a) Hány oldalú a sokszög? b) Hány átlója van összesen ennek a sokszögnek? c) Hány fokos ennek a szabályos sokszögnek egy-egy belső szöge? 8.

Számítsd ki külön-külön a negyedkör, a két félkör és a vonalkázott rész területét!

77

C M Y K


A sokszgek s a kr ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ – megoldás B csoport 1. Pótold a hiányzó számkártyákat úgy, hogy a kapott számok oszthatók legyenek a táblázatban szereplő értékekkel! 4-gyel 3-mal 6-tal 574 0, 4, 8 2, 5, 8 2, 8 19 4 0, 2, 4, 6, 8 1, 4, 7 1, 4, 7 6 × 2 = 12 pont

2. Egy szám prímtényezős felbontása: 24 · 7 · 192 . Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A szám osztható 8-cal. Igaz. b) A szám páratlan. Hamis. c) Van olyan prímszám, amellyel az adott számot megszorozva négyzetszámot kapunk. Igaz, p = 7.

c) 361-gyel osztva 0 maradékot ad a szám. Igaz. 4 × 2 = 8 pont

3. Határozd meg a, b, c számértékét, a d-t egyszerűsítsd! a = (78; 273) a = 39 (78; c) c = 13 · n, ahol n páratlan 3-mal nem osztható egész szám.

b = [78; 273] b = 546 273 7 d= d= 2 78 4 × 3 = 12 pont

4. Egy háromszög két oldala 7 cm és 9 cm, a 9 cm-es oldalához tartozó magassága 5 cm. a) Szerkeszd meg a háromszöget! Hány megoldás van? Két megoldás van. b) Számítsd ki a háromszög kerületét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! K1 ≈ 22,5 cm, K2 ≈ 30,8 cm

c) Számítsd ki a háromszög területét! A számításhoz szükséges adatokat mérd meg! T1 = T2 = 22,5 cm2 8 + 7 (mérés 4, számítás 3) + 3 = 18 pont

5. Számítsd ki a négyszögek belső szögeinek nagyságát! a) A trapéz két külső szöge 39◦ és 114◦ . b)

66◦ , 114◦ , 141◦ , 39◦ , illetve 66◦ , 114◦ , 39◦ , 141◦ A paralelogramma egyik belső szöge 40◦ -kal ◦

◦

◦

70 , 110 , 70 , 110

kisebb a hozzá tartozó külső szögnél.

◦

6 + 4 = 10 pont

6. Egy paralelogramma átlói 10 cm és 14 cm hosszúak, és egyik oldala 8 cm. a) Szerkeszd meg a paralelogrammát! b) Számítsd ki a paralelogramma területét! m ≈ 8,7 cm, T ≈ 69,6 cm2 10 + 7 = 17 pont

78

C M Y K


A sokszgek s a kr 7. Egy szabályos sokszög egy csúcsból induló összes átlóját meghúztuk. Ezek az átlók hét háromszögre bontják a sokszöget. a) Hány oldalú a sokszög? Kilencszög a sokszög. b) Hány átlója van összesen ennek a sokszögnek? 27 átlója van. c) Hány fokos ennek a szabályos sokszögnek egy-egy belső szöge? 140◦ a belső szöge. 2 + 3 + 5 = 10 pont

8.

Számítsd ki külön-külön a negyedkör, a két félkör és a vonalkázott rész területét! 2π, 8π, 16π, 6π

3 × 3 + 4 = 13 pont

Összesen: 100 pont

79

C M Y K


Algebra ALGEBRA Mottó: „A konkrét és az absztrakt ne legyen elválasztva!” (Varga Tamás) 1. óra: 2. óra: 3–4. óra: 5–14. óra: 15. óra:

A valóság megragadása a matematika nyelvén, képletek A műveletek kapcsolatai, azonosságok Algebrai kifejezések sokféle alakban, összevonás, helyettesítési érték kiszámítása Egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges feladatok megoldása Tájékozódó felmérő

Mire építünk? 6. osztály Nyitott mondatokról tanultak: alaphalmaz, igazsághalmaz, azonosság, azonos egyenlőtlenség, lebontogatás, mérlegelv, szöveges feladatok megoldása egyenlettel vagy anélkül. 7. osztály – Racionális számokkal végzett műveletekben való gyakorlottság, műveleti tulajdonságok, azonosságok tudatosítása; algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámítása; műveleti tulajdonságok megfogalmazása az algebra nyelvén, egyszerű nyitott mondatok megoldása a műveletek tulajdonságai alapján, a hatványozás azonosságainak megfogalmazása az algebra nyelvén. – Transzformációk szabályainak megfogalmazása az algebra nyelvén; szabályos sokszögekkel kapcsolatos összefüggések megfogalmazása az algebra nyelvén, képletek alkotása. – A függvények tárgyalása során előkerülnek az algebrai kifejezések és azok helyettesítési értékének kiszámítása. A lineáris függvényeket leíró algebrai kifejezések jellemzői: együttható, állandó. Hétköznapi példák lineáris és nem lineáris változásokra, számolás képletekkel. Algebrai kifejezések használata a számtani sorozat tárgyalása során.

Meddig jutunk el? – Az algebrai egész kifejezés fogalma. – Egynemű kifejezések fogalma. – Az algebrai egész kifejezések átalakítása, összevonása, helyettesítési értékének kiszámítása. – Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel, mérlegelvvel. – Szöveges feladatok megoldása. Célok, feladatok – A fizikában tanult képletek alkalmazása. – A mindennapi élet problémáinak, összefüggéseinek leírása a matematika nyelvén. – Mérlegelv alkalmazása.

Hogyan tovább? Képletek alkotása és használata a sokszögek és testek összefüggéseinek megragadása során.

80

C M Y K


Algebra Tk.: 74. oldal

Minimumkövetelmény – Elsőfokú egyenletek megoldása. – Egyszerű szöveges feladatok megoldása.

Mi lesz a folytatás 8. osztályban? Műveleti tulajdonságok rendszerező áttekintése. Algebrai kifejezések, képletek átalakításai. Szorzattá alakítás kiemeléssel. Algebrai egész kifejezések szorzása, osztása. Oszthatóság fogalma az algebrai egész kifejezések körében. Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok, grafikus megoldás. Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer. (Az algebrai törtkifejezés tárgyalása a kerettanterv szerint nem szerepel az általános iskolai tananyagban.)

1. óra A valóság megragadása a matematika nyelvén, képletek Tk.: 74–75. oldalon 1–6. feladatok Fgy.: 511–516. Az óra célja: – Sokféle területről vett képletekkel megmutatni, hogy az életünk szinte minden területén felbukkannak az algebrai kifejezések (bank, bányászat, autózás, kerítés készítése, természettudományok . . . ). – Rámutatni, hogy a matematika alkalmazott tudomány is: egyrészt használjuk a mások által kitalált képleteket, összefüggéseket, másrészt mi is kitalálhatunk ilyeneket. – A már tanult képletek átismétlése a ráismerés szintjén. Ennek kapcsán is érdemes rávilágítani arra, hogy a betűk használata az összefüggés leírásának tömörségét segíti. Feladatok 1. Melyik rajzhoz melyik képlet tartozik?

K =4·a négyzet rombusz

T = a2 négyzet

A = 6 · a2 kocka

T = 2 · a2 —

V = 2 · a3

A = 10 · a 2

négyzetes

négyzetes

hasáb

hasáb

81

C M Y K


Algebra Tk.: 74. oldal 2. a) Írd fel képlettel az oszlopok és a lécek közötti összefüggést! l = (o − 1) · 3 b) Hány léc kell egy kerítéshez, ha 15 oszlop van? 42 léc kell a kerítéshez.

c) Hány oszlop van, ha 60 lécet használtak fel egy kerítés elkészítéséhez? o =

60 + 1 = 21, 21 oszlop van. 3

3. Egy tornaverseny megnyitóján a résztvevők ilyen szabályos alakzatokat alkotva vonultak fel. Az egyes csoportok más-más színű zászlót tartottak a kezükben.

2

6

12

20

A 4. tömböt 20 sportoló alkotja. A tömböket alkotó sportolók száma a továbbiakban is két egymást követő természetes szám szorzata. Hány sportoló lesz az 5., 6., 7.,. . . , n. tömbben? Tömbök száma Sportolók száma

5 30

6 42

7 56

...

n n · (n + 1)

Lesz-e olyan tömb, amelyben 120 sportoló lesz? Nem lesz, mert két egymást követő természetes szám szorzata nem lehet 120.

4.

d = 35 − m : 10

A 72. oldali kocsihoz tartozó képlettel dolgozz! a) Mekkora a d távolság, ha a tetőcsomagtartón még egy 100 kg-os elemes bútort is szállítanak? d = 35 − 18,3 = 16,7 (cm)

b) Hány kg-os a vezető fia, ha a csomag levétele után ő ült egyedül a kocsiban, és a kocsi alja 29 cm-re volt az úttest fölött? m = (35 − 29) · 10 = 60, 60 kg-os a vezető. 5. A Föld középpontja felé haladva egyre mad gasabb lesz a hőmérséklet. A T = 15 + 100 képlettel azt tudjuk kiszámítani, hogy egy adott mélységben mekkora a hőmérséklet. A képletben T jelöli a hőmérsékletet ◦ C-ban mérve; d jelöli a felszíntől mért távolságot méterben mérve. a) Milyen magas a hőmérséklet egy 150 m mély szénbányában? T = 15 +

150 = 16,5 [◦ C] 100

b) Milyen magas a hőmérséklet Kaliforniában, a 600 m mélyen a föld alatt lévő kristálybarlangban? T = 15 +

600 = 21 [◦ C] 100

c) Milyen mélyen van az a bánya, ahol a hőmérséklet 20,5 ◦ C? d = (20,5 − 15) · 100 = 550 [m] d) Tudod-e, hogy a Föld középpontja felé haladva miért lesz egyre magasabb a hőmérséklet? Egyre közelebb kerülünk a kéreg alatti izzó lávához.

82

C M Y K


Algebra Tk.: 75. oldal 6. Papírcsíkot hajtogatunk félbe a rajzon látható módon. Azt vizsgáljuk, ha kihajtjuk a lapot, a hajtásélek homorúak vagy domborúak lesznek-e.

Írd le képlettel! a) Milyen összefüggés van a hajtások száma és a hajtásélek száma között? e = 2h − 1 b) Milyen összefüggés van a homorú és domború hajtásélek száma között? A homorú élek száma mindig 1-gyel több. h = hajtások száma e = hajtásélek száma h

1

2

3

4

...

h

e

1

3

7

15

2h − 1

Homorú élek száma

1

2

4

8

2h−1

Domború élek száma

0

1

3

7

2h−1 − 1

2. óra A műveletek kapcsolatai, azonosságok Tk.: 79–81. oldalon 1–11. feladatok Fgy.: 517–526. Az óra célja: – A műveletekről szerzett tapasztalatokat rendszerezzük algebrai kifejezések használatával. Megbeszéljük, hogy milyen alaphalmazon értelmezhetőek az egyes műveletek. – Felhívjuk a gyermekek figyelmét arra, hogy szorzásjelek mikor hagyhatók el, és mikor nem. A törtvonalnak mint „láthatatlan zárójelnek” a szerepére is újra felhívjuk a gyerekek figyelmét. – Itt megbeszélhetjük azt is, hogy az azonosság olyan egyenlet, amely a változók minden értékére igaz.

83

C M Y K


Algebra Tk.: 79. oldal Feladatok 1. Az üresen hagyott helyre írj egy konkrét példát, fogalmazd meg szavakkal az összefüggést, illetve írd le algebrai kifejezésekkel a megfogalmazottakat! A konkrét példa 1·5=5

9 9 4· +3 = 4· +4·3 4 4

Szavakkal megfogalmazva Az 1-gyel való szorzás nem változtatja meg az eredményt

Algebrai kifejezésekkel leírva

Összeget tagonként is szorozhatunk

a · (b + c) = a · b + a · c

5 5 :8= 3 3·8

Törtet úgy is oszthatunk, hogy a nevezőjét megszorozzuk az osztóval 5 · 4 : 2 · 3 = 5 · (4 : 2 · 3) = Ha egy csupa szorzást és osztást = 5 · (4 : 2) · 3 tartalmazó műveletsorba zárójelet teszünk a „·” jel mögé, akkor bárhol bezárva a zárójelet, a kifejezés értéke nem változik Például:

1·a =a

a a :c= b b·c b, c 0 a · b : c · d = a · (b : c · d) = = a · (b : c) · d

2. Írd fel a téglalapok területét szorzat, majd összeg alakban! a) 1 b) c) x

x y

x x

y

3

1

y

(1 + x) · y = y + xy

x(y + 1) = xy + x

x(3 + y) = 3x + xy

g)

f) x

x

1

x y

e)

d)

(1 + 2x) · y = y + 2xy

1 x

x

x y

1

y

y

x y

2x(y + 1) = 2xy + 2x

2y · 2x = 4xy

y

y

(1 + 2x) · 3y = 3y + 6xy

3. Végezd el a kijelölt szorzásokat! a) 3(x + 4) = 3x + 12 b) 2(x − 4) = 2x − 8 c) 5(4 − x) = 20 − 5x d) (−4 + x) · 2 = −8 + 2x e) 3(2x + 1) = 6x + 3 f) 2(2x − 1) = 4x − 2 g) 3(1 − 2x) = 3 − 6x h) (−3 + 4x) · 3 = −9 + 12x 4. Melyik egyenlet melyik halmazba tartozik? A = {A betű minden értékére igaz a nyitott mondat.} a, d B = {Van olyan szám, amely igazzá teszi, van olyan, amely nem teszi igazzá a nyitott mondatot.} b, f

C = {Nincs olyan szám, amely igazzá teszi a nyitott mondatot.} c, e a) 8x − 3x = −3x + 8x b) 4(5 + x) = 20 − 4x c) (5 − x) · 4 = 5 − 4x d) 8 + (3x − 2) = 8 + 3x − 2 e) 8 − (3x − 2) = 8 − 3x − 2 f) 2x · 3x = 5x 2

84

C M Y K


Algebra Tk.: 79–80. oldal 5. Válaszd ki az azonosságokat! a), b), c), e), g) 3 3x a 1 b) x = c) b + b + b = b · 3 d) y · y · y = 3 · y e) c · c = c2 a) = a 5 5 4 4 x x x2 x 3 4x f) · = g) : = h) (x · 3)2 = x 2 · 6 i) 380 000 = 3,8 · 105 3 3 3 5 4 15 6. Pótold az egyenletek hiányzó jobb oldalát úgy, hogy azonosságot kapj, de zárójelet ne használj! b) a + (b − c) = a + b − c c) a − (b + c) = a − b − c a) a + (b + c) = a + b + c d) a − (b − c) = a − b + c e) a · (b + c) = ab + ac f) a · (b − c) = ab − ac g) a · (b · c · d) = a · b · c · d h) a : (b · c · d) = a : b : c : d i) a · (b : c : d) = a · b : c : d 7. a) Keresd a párját! Melyik képlettel mit lehet kiszámítani? I.–B, II.–D, III.–A, IV.–D, V.–E b) A képletekben milyen műveletet kell utoljára elvégezni? Melyik képlet nem szorzat? E c) Helyettesítsd be a képletekbe az a = 10 értéket! A) 60 B) 600 C) 35 D) 36 E) 7

8. Döntsd el, hogy az alábbi kifejezések közül melyik összeg, melyik szorzat, melyik hatvány! d) 2 · 3 · (6 − 2) e) 18 − 2 · 3 a) 5 · 4 + 3 · 2 b) (5 − 4) · (3 + 1) c) (2 · 8 − 16)2 f) (5 + 2) · 3 · 8 g) 7 : 2 − 5 · 4 h) a · b · (c − d) i) a − cd j) (a + b) · c · d

k) a · b − c · d

l) (x · 8 − 32)

2

összeg: a), e), g), i), k), m)

m) 5 · x + 25 : x

szorzat: b), d), f), h), j), n)

3

n) x · x 2

3

o)

x5 x

2

hatvány: c), l), o)

9. Válaszolj algebrai kifejezésekkel a kérdésekre! a) Másfél órát utaztunk kisvasúttal, a órát utaztunk hajóval. Hány órát voltunk úton? 1,5 + a b) Egyik zsebemben b Ft van, a másikban 600 Ft-tal több. Hány Ft van a két zsebemben összesen? 2b + 600 c) Egy apa 28 évvel idősebb a fiánál. Az apa c éves. Hány évesek együtt? 2c − 28 d) Melyik az a szám, amelyik 500-zal nagyobb, mint d 3-szorosa? 3d + 500 e) Két szám különbsége 7,2. A kisebbik szám e. Melyik a másik szám? 7,2 + e f) Két testvér együtt 83 kg. Az egyik tömege f kg-mal több a másikénál. Hány kg a másik testvér? 41,5 −

f 2

g) A természetes számok sorában három egymást követő szám közül a legkisebb g. Mennyi a három szám összege? 3g + 3

85

C M Y K


Algebra Tk.: 81. oldal h) A természetes számok sorában három egymást követő szám közül a legnagyobb h. Mennyi a három szám összege? Milyen értékeket vehet fel h? 3h − 3, h = 2 i) Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 17. A tízesek helyén i áll. Mi áll az egyesek helyén? Milyen értékeket vehet fel i? 17 − i, i = 8, 9 10. Írd le algebrai kifejezéssel a mondatokat! a) Egy tojás t gramm. Mekkora a tömege d doboz tojásnak, ha egy dobozban 10 tojás van, és egy doboz tömege s gramm? 10d · t + d · s b) Egy moziban 45 db x Ft-os és 114 db y Ft-os jegy kelt el. Hány Ft volt a mozi bevétele? 45x + 114y

c) Egy téglalap alakú szoba alapterülete 58 m2 . Az egyik oldala c méter. Hány méter a másik? 58 : c

d) Egy könyv 600 lapos. Minden könyvlapon e sor van, minden sorban f darab betű. Hány betű van az egész könyvben? 600 · e · f e) Egy téglalap alapú úszómedence egyik oldala d méter. A másik ennek 4-szeresénél 8 mrel több. Mekkora a másik oldala? Mekkora a kerülete és a területe? d · 4 + 8, k = 10d + 16, t = 4d 2 + 8d

11. A pozitív számok körében értelmezzük a ∗ műveletet úgy, hogy a∗b = Ekkor mennyi lesz a 4 ∗ (4 ∗ 4) értéke?

a·b a+b 4 3

4·4 =2 4+4 4·2 8 4 4∗2 = = = 4+2 6 3 4∗4 =

3–4. óra Algebrai kifejezések sokféle alakban, egynemű algebrai kifejezések, helyettesítési értékek kiszámítása Tk.: 83–86. oldalon 1–20. feladatok Fgy.: 527–541. Az órák célja: – Megmutatjuk a számkifejezések és a betűkifejezések közötti kapcsolatokat, felhívjuk a figyelmet arra, hogy a változók értékeit szabadon lehet változtatni, arra azonban ügyelni kell, hogy a kijelölt műveletek elvégezhetőek legyenek. A betűkifejezés értelmezési tartománya az összes olyan szám, amelyeket a változók helyére beírva, az abban szereplő műveletek elvégezhetők. A betűkifejezés értékkészlete, a kifejezés összes lehetséges értékéből álló számhalmaz.

86

C M Y K



– Ugyanazt az algebrai kifejezést sokféle alakban írjuk fel (szorzat, összeg, hatvány)! Bevezetjük az egytagú algebrai kifejezés, az együttható és az egynemű algebrai kifejezések fogalmát. Megállapítjuk, hogy az ilyen kifejezések legfeljebb az együtthatójukban különböznek egymástól. Az összevonhatóságot úgy értelmezzük, hogy azok az algebrai kifejezések összevonhatóak, amelyek egytagú kifejezésként írhatók fel. – Példákon keresztül megmutatjuk, hogy az összevonás általában egyszerűbbé teszi a helyettesítési érték kiszámítását. Feladatok 1. a) Tegyél ki műveleti jeleket és zárójeleket úgy, hogy igaz legyen az egyenlőség! 1 = (5 + 5) : (5 + 5 ) = 5 : 5 · 5 : 5 2 = 5:5+5:5 0 = 5·5−5·5 = 5−5+5−5 3 = (5 + 5 + 5) : 5 10 = (5 + 5) · 5 : 5 5 = (5 − 5) : 5 + 5 b) 4 · a = a + a + a + a 0 = a −a +a −a a4 = a · a · a · a a2 + 2 · a = a · a + a + a a2 = a : a · a · a a 0 1 = a:a·a:a , a 0 a2 = a · a + a − a

2. A gyerekek Kürschák József híres magyar matematikus születési évszámának jegyeivel játszottak. Melyik felírás hibás? c), f) a) −15 = 1 − 8 · (6 − 4) b) 0,5 = 1 − (8 − 6) : 4 c) 3 = 1 · 8 : 6 · 4

d)

16 =1·8:6·4 3

1 =1:8·6·4 f) 3 = 1 : (8 · 6 · 4) 3 3. a) A kifejezéseket leírtuk számok nélkül, csak betűkkel. Ha a második oszlopból jól választod ki a párokat, és azok betűjelét egymás mellé írod, egy III. századi görög matematikus nevét kapod meg. e)

6·x x4 x2 · y 5 · x2 (x · y)2 3·x ·y (x − y)2 −4 · x (2 · x)3 3 · (x + y) −3 · x · y 2

D I O P H A N T O S Z

P N O H S I A T Z O D

Kürschák József (1864–1933)

x ·x +x ·x +x ·x +x·x +x ·x (x − y) · (x − y) x·x·y x·y·x·y x+y+x+y+x+y x·x·x·x x ·y +x ·y +x ·y (−x) + (−x) + (−x) + (−x) −x · y · y − x · y · y − x · y · y (x + x) · (x + x) · (x + x) x+x+x+x+x+x

b) Az első oszlop kifejezései közül melyik nem szorzat? x 4 , (xy)2, (x − y)2 , (2x)3 c) Add meg a szorzatok együtthatóit! 6, 1, 5, 3, −4, 3, −3

87

C M Y K


Algebra Tk.: 83–84. oldal 4. A lányok ilyen gyöngyökből fűznek karkötőt és nyakláncot. (A hosszúságok mértékegysége cm.) c b 2·c a) Milyen hosszúak az ékszerek? Írd fel algebrai kifejezéssel! a

h = 8(a + c)

h = 11b + 17c

h = 18,4 cm

h = 16,1 cm h < 12a + 3b + 19c

b) Milyen hosszúak az ékszerek, ha a = 2 cm, b = 1 cm, c = 0,3 cm?

h < 32,7 cm

5. Keresd meg mindegyik kifejezésben az ismeretlenek együtthatóját! 1 5a 5 −2a 2 0,2a 2 1 1 ab − a3 1 −a 2 −1 vagy 3a 2 3 2 7 35 2 3 3 7 7 70 6. Gyűjts a megadott algebrai kifejezésekkel egynemű algebrai kifejezéseket! 1 2 y , ab2 , x3, 3x 2 , y2 5y, 2b, xy, x 2, 2 7. Válaszd ki az egyneműeket! a) 2x,

5x,

b) 5a,

2ab,

b,

c) 41,

−7x,

2x 2 y ,

d)

x , 5

8x,

xy,

−6x 2 ,

3 4

3xy,

,

−8ab, x,

0,4x 2 ,

ab2 ,

a 2 b;

xy 2 ,

3xyz;

−3x,

−4 ,

8x 2 y ,

x2 , 2

4ab2 ,

8xy,

a , 5

ab 5

7b ,

−x 2 y , x,

x 2y ,

5x 2 y ,

2

6xy 2 ,

8

2x 3

8. Az egynemű tagok összevonásával írd fel egyszerűbb alakban a kifejezéseket! a) 8a + 4a − 7a + 5a = 10a

b) 9b − 4b − 3b + 6b − 8b = 0

c) 9c + 3c − 4c − 6c − 8c = −6c

d) −5d + d − 3d + 9d − d = d

9. Az egynemű tagok összevonásával írd át egyszerűbb alakba! a) 2x + 5x − 8 + 9 − 3x + 8 − 7x = 9 − 3x

b) 8 − 2y − 3y − 5 + 8y = 3y + 3

c) 16z + 8 − 2z − 4 + 4z − 2 + 6z = 24z + 2

d) −3 − 5k + 6 − k + 3 = −6k + 6

88

C M Y K


Algebra Tk.: 84–85. oldal 10. Végezd el az összevonásokat! Az összevonás helyességét vizsgáld meg egy konkrét esetben az eredeti és az új kifejezés helyettesítési értékének kiszámításával! a) 8x − (3 + 2x + 12) − 4x + 6 = 2x − 9, x = 0 −9 b) (5x − 2) + (7 + 11x) − (3x + 2) = 13x + 3, x = −1 −10 c) (4x − 12) + (6x + 3y) − (9 + 10y) = 10x − 7y − 21, x = 2, y = −2 13 2 d) (2x + 5y) − (3xy + 2y) + (2xy − 5x) = −3x + 3y − xy, x = 0,1, y = − −0,88 10 5 1 5 e) (3x 2 y − xy 2 ) + (x 2 y 2 + xy 2 ) − (2x 2 y + x 2 y 2 ) = x 2 y, x= , y= 6 5 36 11. Végezd el a kijelölt műveleteket! Írd az így kapott kifejezést egyszerűbb alakba! a) 3(a − 2) + 2 = 3a − 4 b) 8 + 2(b + 5) = 18 + 2b c) 5(3 − c) + 6 = 21 − 5c d) 4(d − 3) − 2 = 4d − 14 e) 2(e − 1) − (1 − e) = 3e − 3 f) 5(f − 2) + 3(f − 2) = 8f − 16 g) 4(g + 3) − 2(g − 1) = 2g + 14 12. Válaszd ki az azonosságokat! b) a) 7a + 5a − 10a = 9a c) 17x − 10x − 8x = x

b) 17x − 10x − 8x = −x d) 10a + 11a − 8a − 5a = 9a

13. Jelöld a számokat a és b betűkkel! Írd le képlettel! a) Két szám összegének 4-szerese. (a + b) · 4 b) Két szám 4-szeresének az összege. 4a + 4b c) Két szám 5-szörösének a különbsége. 5a − 5b d) Két szám különbségének az 5-szöröse. (a − b) · 5 e) Két szám összegének a négyzete. (a + b)2 f) Két szám négyzetének az összege. a 2 + b2 14. Írd le szavakkal az algebrai kifejezések jelentését! a) x 2 − y 2

Két szám négyzetének különbsége.

b) (x − y)2

Két szám különbségének négyzete.

c) (x − y)(x + y) x−y d) 2 x y e) − 3 3 f) (x · y)2

Két szám különbségének és összegének a szorzata.

2 2

Két szám különbségének a fele. Két szám harmadának a különbsége. Két szám szorzatának a négyzete.

g) x y

Két szám négyzetének a szorzata.

h) |x − y|

Két szám különbségének az abszolút értéke.

i) |x| − |y|

Két szám abszolút értékének a különbsége.

j) (2 · x) · (3 · y)

Egy szám kétszeresének és egy másik szám háromszorosának a szorzata.

k) |x − y | x−y l) (x, y 0) x+y

Két szám négyzete különbségének az abszolút értéke.

2

2

Két szám különbségének és összegének a hányadosa.

89

C M Y K


Algebra Tk.: 85–86. oldal 15. A bűvös csillag minden egyenese mentén egyenlő a számok, illetve az algebrai kifejezések összege. Mi a bűvös szám az a) esetben? Mi a bűvös algebrai kifejezés a b) esetben? a) A bűvös szám: 26 b) A bűvös kifejezés: 10a + 6b

c) Mennyi a bűvös szám, ha a = −2, b = 7? 22 d) Milyen számok, illetve algebrai kifejezések kerülnek az üres helyekre? A = 2a + b, B = 2a, C = 3a + 2b, D = 3a + 3b

16. Írd fel a síkidomok területét többféleképpen algebrai kifejezésekkel! Számítsd ki a területüket a megadott méretekkel!

4x 2 − x 2 = 3x 2 = 75

4x · 2x = 4x 2 = 1 2

(3x)2 − x 2 = 8x 2 = 4,5

(3x)2 ·

3 9x 2 = · 3 = 52,92 4 4

17. Írd fel a síkidomok területét többféleképpen! Számítsd ki a területüket a megadott méretekkel!

(3 + x) · y = 3y + xy = 35

x(4 + y) = 4x + xy = 40,5

xy +

90

C M Y K


3y = xy + 1,5y = 43 2

Algebra Tk.: 86. oldal 18. Írd fel a színezett síkidomok területét algebrai kifejezésekkel! Számítsd ki a színezett területeket a megadott méretekkel!

x2 = 45,125 2

x 2 − 5y 2 = 9500

x 2 = 51,84

19. Az a oldalú négyzet csúcsainál levágtunk 4 db 1×1-es négyzetet. A lapból a szaggatott vonalak mentén felhajtva, felül nyitott dobozt készítettünk. Fejezd ki a doboz űrtartalmát az a segítségével! V = (a − 2)2 Mekkora a doboz űrtartalma, ha a = 8 cm, és ha a = 16 cm? V1 = 36 cm3 , V2 = 196 cm3 .

20. Ezeket az egyenlő élű testeket kockákból kaptuk. A

B

C

a) Számold össze a csúcsaikat, a lapjaikat és az éleiket! Élek száma Csúcsok száma Lapok száma

A 84 56 30

B 36 24 14

C 36 24 14

b) Írd fel képlettel, milyen összefüggés írható fel az élek, a csúcsok és a lapok száma között! é+2=l+c

91

C M Y K


Algebra Tk.: 90–91. oldal

5–14. óra Egyenletek megoldása Tk.: 90–93. oldalon 1–21. feladatok Fgy.: 542–563. Az órák célja: – A tavalyihoz képest közelítünk az egyenlet pontosabb definíciójához. Egyenletet kapunk, ha két algebrai kifejezés közé egyenlőségjelet írunk. (Erre szolgál például a „Fogócska” játék.) Ha a betűk helyére megengedett számokat írunk, vagy azonos számokat kapunk a két oldalra, vagy nem. Az egyenlet megoldása azt jelenti, hogy össze kell szednünk az összes olyan számot, amelyre a két oldal egyenlő lesz. Ezen számok halmaza a megoldáshalmaz vagy igazsághalmaz. – Újra felelevenítjük, hogy az olyan egyenlet, amely a változó minden behelyettesíthető számra igaz, azonosság. – Az eddig tanult egyenletek megoldásában juttatjuk biztonságérzethez a gyerekeket. – Tudatosítjuk, hogy az egyenlet megoldása során alkalmazott ekvivalens átalakítások között vannak olyanok, amelyek azonos átalakítások (ugyanaz az algebrai kifejezés, csak más alakban), és vannak olyanok, amelyek nem (ez utóbbi esetben is egyenlő marad a két oldal értéke, de más ez a szám, mint az előző lépésben volt). A hiba keresésében is fontos, hogy megértsék ezt a gyerekek. Feladatok 1. A mérlegekre mérőtömegeket (amelyeket a köznyelv helytelenül súlynak nevez) és csomagokat helyeztünk. A mérőtömegek mértékegysége kg. Az egy-egy mérlegen lévő csomagok tömege megegyező. Írj a mérlegekről egyenleteket, és oldd is meg azokat!

6x = 15, x = 2,5

5x + 3 = 3x + 5, x = 1

5x = 2x + 18, x = 6

8x + 5 = 6x + 6, x =

92

C M Y K


1 2

Algebra Tk.: 91. oldal 2. Lehetőleg fejben oldd meg az egyenleteket, majd ellenőrizz! a) a + 7 = 45 a = 38 b) 621 + b = 314 b = −307 d) 45 − d = −12 d = 57

e) e − 1,1 = 0 e = 1,1

g) −411 − g = −111 g = −300 h) −40h = 0 h = 0 3 1 1 5 11 3 j) + j = − j = − k) k + = k = − 4 8 2 4 2 8 3. Oldd meg az egyenleteket, majd ellenőrizz! x a) −6x = 12,18 x = −2,03 b) = 1,2 x = 7,2 6 x 17 d) = −0,4 x = −3,2 e) 583x = 187 x = 53 8 7 9 g) 0,001x = 10 x = 10 000 h) 6 x = 1 x = 61 9 2 5 3 9 j) x = 18 x = 27 k) − x = − x = 5 3 6 2

c) c − 15,2 = 36 c = 51,2 2 2 f) + f = 0 f = − 3 3 i) −1 + i = −42 i = −41 l) −5,52 + l = 4,05 l = 9,57 1 x = −1.875 2 1 f) 8,65x = 69 x = 8 5 −x i) = 12,1 x = −133,1 11

c) −4x = 7

l) 8,4 = 0,21x x = 40

4. Írd fel egyenlettel, oldd meg, majd ellenőrizz! a) Mihez kell 5-öt adni, hogy −12-t kapjunk? x + 5 = −12; x = −17 b) Két szám összege 1, az egyik szám 6, mi a másik? x + 6 = 1; x = −5 c) Mennyit kell hozzáadni (−6)-hoz, hogy 11 legyen az összeg? −6 + x = 11; x = 17 d) Mennyit kell hozzáadni (−3)-hoz, hogy (−9)-et kapjunk? −3 + x = −9; x = −6 e) Melyik szám 9,5-szerese −19? x · 9,5 = −19; x = −2 2 2 2 f) Melyik szám 3-szorosa ? x · 3 = ; x = 5 15 5 2 2 6 g) Melyik szám harmada ? x : 3 = ; x = 5 5 5 2 2 15 h) Melyik szám -e a 3? x · = 3; x = 5 2 5 5. Mi a szabály? Milyen számok kerülnek az üres helyekre? 8 − 3 · 100 = −292

−1

−292

9 −7

20

242 9x − 1 179

80

0

9x − 1 = 242 x = 27

−10

x = −1 −1

4x − 2 −5

−1

100

0

1

8 − 3x

11

27

8 − 3x = 11

3

4x − 2 = −14 x = −3 −3

−2 8 − 3x = −7 x = −5

−14

−2

3 4 4x − 2 = 1

3 4 A kör jobb felén álló számot a kör közepén lévő algebrai kifejezésbe behelyettesítve kapjuk meg a bal oldali, ugyanolyan színű mezőn álló számot.

9 · 20 − 1 = 179

x=

93

C M Y K


Algebra Tk.: 92. oldal 6. Oldd meg az egyenleteket, majd ellenőrizz! 2,5x 1 a) 3x + 1,5 = 2,4 x = 0,3 b) c) 8 − 4x = 22,5 x = −3,5 = 3,75 x = 150 100 2 x − 1 14 1 d) = 2 x = 31,25 e) 0,3x + 1,2 = 11,7 x = 35 f) −10x − 5,5 = 5,5 x = −1,1 12 2 7. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 10,5-et, majd az összeg 7-szeresét vettem, így 108,5-et kaptam. Melyik számra gondoltam? (x + 10,5) · 7 = 108,5, x = 5 8. Egy szám és az 1,28 különbségének ötöde 2,25. Melyik ez a szám? (x − 1,28) : 5 = 2,25, x = 12,53 9. Gondoltam egy számot, elvettem belőle 60-at, az eredményt megkétszereztem, újra elvettem belőle 60-at, az eredményt újra megkétszereztem, újból elvettem belőle 60-at. Az eredmény 0 lett. Milyen számot gondoltam? [(x − 60) · 2 − 60] · 2 − 60 = 0, x = 105 10. Oldd meg az egyenleteket, majd ellenőrizz! 7x 6x + 3 2x − 5 = 8 x = 71,5 b) − 4,9 = 4,9 x = 7 c) =9 x=7 a) 11 5 5 4x − 18 41x − 51,95 62x − 52,9 d) = 10 x = 17 e) = 2,25 x = 2,2 f) − 2 = 3,9 x = 1,9 5 17 11 x 5 2 x x x g) + x = 148 x = 111 h) x + − 2 = 119 x = 165 i) − + 3 = 141 x = 1656 2 6 5 3 3 4 x 5 4x j) x + x = 22 x = 12 k) 0,4x + 1,3x − 2 = 18,4 x = 12 l) − = 28 x = 40 6 5 10 x x x x x 3x 3x x 2x m) + − = 14 x = 24 n) + − = 42 x = 70 o) + − = 26 x = 18 2 3 4 5 7 35 2 6 9 11. Oldd meg az egyenleteket, majd ellenőrizz! a) 5x − 4x + 9 − 14 + 9x = 0 x = 0,5 b) 5x − 5 + 4x + 2x − 6x = 11 x = 3,2 c) 30 + 4x − 60 + 10x + 60 − 14x + 2x = 30 x = 0 d) 6x + (4x + 8) = 6 x = −0,2 e) 6x − (4x + 8) = 6 x = 7 f) 6x − (4x − 8) = 6 x = −1 g) 4x + 4(x + 1) = 40 x = 4,5 h) 5x + 6(x − 5) = 14 x = 4 i) 4x − 4(x + 1) = 40 nincs ilyen x j) 5x − 6(x − 5) = 14 x = 16 k) 3x − 5(x − 1) = −5 x = 5

l) 7x − 2(2x − 1) = 7 x =

5 3

12. Oldd meg az egyenleteket, majd ellenőrizz! b) 2 · x + 6 = x x = −6 e) −x − 8 = 3x x = −2

a) x + 16 = 9x x = 2 d) 2x − 5 = 4x x = −2,5

c) 10 + x = 3x x = 5 f) −3x − 11 = −x x = −5,5

13. Oldd meg a természetes számok halmazán az egyenleteket! a) 4x + 12 = x + 15 x = 1 b) 6x − 4 = 4x + 14 x = 9 c) 5x + 8 = 8x + 5 x = 1 d) −14 + 14x = 16 − 16x x = 1 e) 2 − 10x = 14 − 7x x = −4

f) 7x − 9 = 3 − 4x x =

Az e) és f) egyenlet gyökei nem természetes számok.

94

C M Y K


12 11

Algebra Tk.: 92–93. oldal 14. Oldd meg az egyenleteket! a) −x + 4 − 2x = 2 − 4x x = −2 c) 6 + 4x − 9 = −7 + 5x + 12 x = −8

b) 2x − 4 + 1 = 2x − 2 + x x = −1 d) 4x + 36 − 10x = 3 − 2x x = 8,25

15. Oldd meg az egész számok halmazán! 22 13 3x + (x + 1) = 4 · (x + 1) nincs ilyen x 3 5 − (x − 4) = 3(x + 2) x = 4 8(2x − 1) − 3(2x − 1) = x + 4 x = 1

a) 4(x − 1) = 2x + 16 x = 10

b) 16x − 16 = 3(2 + x) x =

c) 5(3 − x) = −2(x − 3) x = 3

d)

5 e) 4(3 + x) − 3 = 2(2 − x) x = − 6 g) 4 − 3x = 5x − 2(3 − x) x = 1 A b), e) és f) egyenletek gyökei nem egész számok.

f) h)

16. Oldd meg az egyenleteket! 2 x−3= 3 1 1 d) a + = 4 8

a) 5,6x − 48,2 = 2,4x − 16,2 x = 10

b)

1 x − 5 x = −12 2 1 3 a− a=2 2 8

1 3 1 x+ − 8 = · x + 4 x = −234 5 10 4 17. Oldd meg az egyenleteket! 8 − 3x x − 2 5 + 4x 5x + 3 18 + =6 x=5 b) −4= x= a) 13 3 5 2 4 5−y 1 − 3y c) y + 1 = y=1 d) 2 + y = y = −1 2 4 18. Egy szám 12-vel nagyobb a másiknál. Az egyiket elosztjuk 3-mal, a másikat pedig 6-tal; az így kapott első hányados a másodiknál 2-vel nagyobb. Melyek ezek a számok? 24, 36 c)

19. Két szám összege 112. Ha a kisebbiket elosztjuk 4-gyel, a nagyobbikat pedig 12-vel, a hányadosok összege 16 lesz. Melyik ez a két szám? 40, 72 20. Milyen számokat írjunk a betűk helyére, hogy igazak legyenek az egyenlőségek? a)

b

+

+ d

+

+ +

+ c

a

a

d

= 13

+

b

= 15

d

a

·

d

= 24

a

b

·

· ·

·

+ +

b)

·

+

+ +

a

a

d

·

c

= 100

· ·

d

=

=

=

=

=

=

20

17

15

40

60

250

a = 5, b = 3, c = 10, d = 7

= 30

·

· ·

c

= 200

a = 2, b = 3, c = 5, d = 10

21. Mennyi az x − 1; x − 2; x − 3; . . . ; x − 99; x − 100 algebrai kifejezések a) szorzata; nulla b) összege; −50 ha x = 50?

95

C M Y K



Egyenlőtlenségek megoldása Tk.: 95–96. oldalon 1–7. feladatok Fgy.: 564–573. Az óra célja: – A tavaly tanult eljárások további gyakorlása. – Az egyenlőtlenség negatív számmal való szorzása számpéldákon, majd a tapasztaltak alkalmazása az egyenlőtlenségek megoldása során. – Az azonos egyenlőtlenségek fogalmának ismétlése. Feladatok 1. A mérlegekre mérőtömegeket és csomagokat helyeztünk. A mérőtömegek mértékegysége kg. Az egy-egy mérlegen lévő csomagok tömege megegyező. Írj a mérlegekről egyenlőtlenségeket, és oldd is meg azokat!

2x + 8 < 28, x < 10

3x + 7 < 30 + x, x < 11,5

6 + 5x < 2x + 42, x < 12

20 + 2x > 2x + 2, azonos egyenlőtlenség

2. I. A páros egyjegyű természetes számok közül melyek teszik igazzá az egyenlőtlenségeket? b) 4x < 6 x = 0 c) 5x > 3,5 x = 2, 4, 6, 8 a) 3x < 9 x = 0, 2 x x d) = 5 nincs ilyen x e) 5 20 x = 0, 2, 4, 6, 8 f) −x < 0 x = 2, 4, 6, 8 3 5 x x g) −2x = 0 x = 0 h) < 4 x = 0, 2, 4, 6 i) − = 0 x = 0 2 5 1 x j) −3x > −6 x = 0 k) − x < −4 nincs ilyen x l) 5 1 x = 0, 2, 4, 6, 8 4 −2 II. Írd az egyenlőtlenségek betűjelét a megfelelő halmazba! A

B

C

e) l)

a) b) c) f) g) h) i) j)

d) k)

A = {Az alaphalmaz minden eleme igazzá teszi.} B = {Van olyan eleme az alaphalmaznak, amely igazzá teszi, és van olyan is, amely nem.} C = {Nincs olyan eleme az alaphalmaznak, amely igazzá teszi.} Az e) és az l) egyenlőtlenségek ezen az alaphalmazon azonosan igaz egyenlőtlenségek.

96

C M Y K


Algebra Tk.: 96. oldal 3. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! Ábrázold számegyenesen a megoldást! a) 6x + 4 5 1 x 5 − −1

d) 2 − 5x

−

b) 5x − 2 = 3 x = 1

1 2

1 2

0

0

= 0 x 5 0,4 0 0,4

c) 3x − 12 > 0 x > 4

1

0

f) −x + 40 5 90 x = −50

e) 21 − 3x < −3 x > 8

1

0

4

−50

8

0

4. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! a) −2x + 1 5 x − 2 x = 1 d) 4x − 2 5 −10x + 8 x 5 f) 3x − 5 > 3(x − 5)

c) 3x + 6 5 −6x x 5 −

b) −2x + 1 > x − 2 x < 1

5 e) 8 · (x − 4) − 3(x 7 azonos egyenlőtlenség

2 3

− 4) 5 5(x − 4) azonos egyenlőtlenség

5. Egy szám 2-szereséhez 4-et adva kisebb számot kapunk a szám 3-szorosánál. Nagyobb-e a szám 3-nál? Legkevesebb mennyi lehet ez a szám? x · 2 + 4 < 3x, x > 4 Nagyobb a szám 3-nál. Nincs legkisebb érték.

6. Egy szám 8-szorosából a szám 3-szorosánál 1-gyel kevesebbet elvéve, kisebb számot kapunk, mint a szám 4-szerese. Lehet pozitív ez a szám? Ábrázold számegyenesen a megoldást! 8x − (3x − 1) < 4x. Nem lehet pozitív. x < −1

−1

0

x

7. Írd be a hiányzó (<, =, >) jelet! a) Ha x > 8, akkor (x + 3) > 10, b) Ha x > y, akkor (y + 2) < (x + 5), c) Ha 60x = 50y, akkor x < y, d) Ha x > y, akkor 60 − x < 70 − y, e) Ha 5x > 10, és y > x, akkor y > 2, f) Ha y < 5, akkor 3y < 17.

Szöveges feladatok megoldása Tk.: 99–102. oldalon 1–24. feladatok Fgy.: 574–615. Az óra célja: – Gyakorlottság a szöveg lefordításában a matematika nyelvére, a megoldási terv készítésében és az eredmény ellenőrzésében. – Annak a nehéz gondolatnak elmélyítése, hogy az összeg, különbség, hányados alakban felírt algebrai kifejezéseket a változó(k) értékétől függően egy számnak kell tekinteni.

97

C M Y K


Algebra Tk.: 99–100. oldal Feladatok 1. Gondoltam egy kétjegyű számra. A tízszeresét vettem, a kapott számhoz 8-at adtam. A kapott szám első és utolsó jegyét felcseréltem, majd ennek vettem a felét. Így 421-et kaptam. Melyik számra gondoltam? ab

·10

+8 ab0

csere ab8

:2 8ba

421

A gondolt szám a 24.

2. Gondoltam egy kétjegyű számra. Felcseréltem a számjegyeit, a kapott számhoz 4-et adtam, majd ennek tizedét vettem. A kapott számhoz 4,3-et adtam, így 10-et kaptam. Melyik számra gondoltam? csere ab

+4 ba

ba + 4

: 10

(ba + 4) : 10

+4.3

10

A gondolt szám a 35.

3. Egy kosárból kivettünk három darab almát, azután a maradék harmadrészét, majd újból három almát, és ekkor az almáknak már csak a fele maradt a kosárban. Hány alma volt eredetileg a 2 3

x 2

kosárban? Jelölje x a kosárban lévő almák számát! (x − 3) − 3 = , x = 30. Harminc alma volt eredetileg a kosárban. A szövegnek megfelel a kapott eredmény.

4. Ady Endre 17 évvel volt idősebb Boncza Bertánál (Csinszka). Házasságkötésük évében életkoruk összege 59 év volt. Hány évesen kötöttek házasságot egymással? Jelölje x Ady életkorát! x + x − 17 = 59; x = 38. Ady 38 éves volt, Csinszka 21.

5. Egy XVI. századi hadihajónak összesen 80 ágyúja volt. Az alsó fedélzeten 4-gyel több ágyú volt, mint a középsőn. A legfelső szinten 8-cal kevesebb, mint a középsőn. Hány ágyú volt a három fedélzeten külön-külön? legfelső: k − 8 k − 8 + k + k + 4 = 80 középső: k k = 28 alsó: k+4 A legalsón 32, a középsőn 28, a legfelsőn 20 ágyú volt. Ellenőrzés: 32 + 28 + 20 = 80

6. Egy étterem átépítése során az egyik téglalap alakú helyiség rövidebbik oldalát 3 m-rel meghosszabbították. Így abból egy négyzet alakú termet kaptak, amelynek a területe 24 m2 -rel lett nagyobb, mint az eredeti teremé volt. Mekkorák voltak az eredeti méretek?

24 = 3a

a

a=8 t = 24 m

b

a

a

Készítsünk rajzot!

2

3m

b=a−3=5

Az eredeti méretek 8 m, illetve 5 m.

7. Egy iskolában összesen 1398 tanuló van. Minden évfolyamon 5-tel kevesebben vannak, mint az eggyel alacsonyabb évfolyamon, így a legkisebb létszámúak a 12. osztályosok. Hány tanuló van az iskola egyes évfolyamain? Jelölje x a 12. osztályosok létszámát!

98

C M Y K


Algebra Tk.: 100. oldal x + (x + 5) + (x + 10) + (x + 15) + (x + 20) + (x + 25) + (x + 30) + (x + 35) + (x + 40) + (x + 45) + +(x + 50) + (x + 55) = = 12x + 66 · 5 = 1398 x = 89 Az egyes évfolyamok tanulói létszáma: 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119, 124, 129, 134, 139, 144. Ellenőrzés: (89 + 144) · 6 = 233 · 6 = 1398

8. Egy húrtrapéz egyik szöge a másik 4-szeresénél 5◦ -kal nagyobb. Hány fokosak a húrtrapéz szögei? β = α · 4 + 5◦ bc

β

β

α

α + β = 180◦

b α

a

α + α · 4 + 45◦ = 180◦ α = 35◦ , β = 145◦

9. Egy téglalap alakú karám szélességének 5-szöröse 4 m-rel rövidebb, mint a hosszúsága. A bekerítéshez 58 m kerítés kellett. Mekkora területen élnek itt az állatok?

A húrtrapéz szögei: 35◦ , 145◦ .

2sz + 10 · sz + 8 = 58 25 1 m=4 m 6 6 149 5 h= m = 24 m 6 6 17 2 25 149 3725 2 · = m = 103 m t = h · sz = 6 6 35 36

sz =

Az állatok 129,25 m2 -es területen élnek.

10. Cook (kuk) kapitány (1772) négy híres hajója közül az Adventure (edvencsör) és a Discovery (diszkaveri) teherbírása összesen 630 t volt. Az Adventure teherbírása 1,1-szerese volt a Discovery-ének. Mennyi volt külön-külön a két hajó teherbírása? A Discovery teherbírása 300 t, az Adventure teherbírása 330 t.

D + 1,1D = 630 2,1D = 630 D = 300

A világ legnagyobb vitorláshajójának, a Preusennek a teherbírása 8000 t volt. 1902-ben építették a németek. Összesen 47 vitorla repítette, a kötélzet összhosszúsága 42 km volt. 11. Egy vonószenekarban az elsőhegedűsök, a másodhegedűsök, a mélyhegedűsök, a csellisták és a bőgősök számának aránya 10 : 6 : 5 : 4 : 3 a megadott sorrendben. Összesen 56 vonós játszik. Hányan játszanak az egyes hangszereken? 56 : (10 + 6 + 5 + 4 + 3) = 2 Elsőhegedűs 20, másodhegedűs 12, mélyhegedűs 10, csellista 8, bőgős 6 van a zenekarban.

12. Téglalap alakú kamránk oldalainak aránya 2 : 5. A területe mindössze 14,4 m2 . Mekkora annak a polcnak a hossza, amely körbefutja a kamra kerületét? t = 2x · 5x = 10x 2

5x = 6 m 2x = 2,4 m

10x 2 = 14,4 x = 1,2

A kamra oldalai 6, illetve 2,4 m-esek. A polc hossza 16,8 m.

13. Kétfajta díszhalból összesen 20-at vásároltunk. Hányat vettünk az egyes fajtákból, ha az algaevők darabja 120 Ft, a neonhalaké 240 Ft, és 3240 Ft-ot fizettünk értük? algaevők száma = 20 − neonhalak száma n · 240 + (20 − n) · 120 = 3240 n · 240 + 2400 − 120n = 3240 n = 7, a = 13 Neonhalból 7-et, algaevőből 13-at vettünk. Ellenőrzés: 7 · 240 + 13 · 120 = 1680 + 1560 = 3240

99

C M Y K


Algebra Tk.: 100–101. oldal 14. Egy járműbontó műhelyben autókat és motorkerékpárokat szerelnek szét. A műhelyben 8-cal több motorkormányt számoltunk meg, mint autókormányt. Összesen 64 kereke volt a szétszerelt járműveknek. Hány autó és hány motor volt a műhelyben?

m=a+8 (a + 8) · 2 + a · 4 = 64 a = 8, m = 16

8 autó és 16 motor volt a műhelyben. Ellenőrzés: 8 · 4 + 16 · 2 = 32 + 32 = 64

15. Louis Blériot (lui blerjo) 1909-ben átrepülte a La Manche (la mans) csatornát, 28 perc alatt, 85 km/h sebességgel. Egy Concorde repülőgép mennyi idő alatt tette volna meg ugyanezt az utat, ha a sebessége 2300 km/h volt? Kihasználhatjuk, hogy a sebesség és a menetidő között fordított arányosság áll fenn, ha az út állandó, azaz v1 · t1 = v2 · t2 . Ebből megkaphatjuk, hogy a Concorde körülbelül 1 perc (62 s) alatt tette volna meg ugyanezt az utat.

16. A róka előtt 240 m távolságra felugrott egy nyúl, és menekült az őt üldöző róka elől. Eközben a nyúl percenként 940 m-t, a róka pedig 1300 m-t tett meg. Hány perc múlva érhette utol a róka a nyulat? Hány métert futott ezalatt a róka? 1 perc alatt 360 m hátrányt tud behozni a róka. 240 m hátrányt

240 2 perc = perc alatt tud behozni. 360 3

A postakocsi 16 km/h sebességgel haladt az úton. A banditák 15 perc múlva indultak utána az állomásról. Negyedóra elteltével a banditák még több mint 2 km-rel voltak a postakocsi mögött. Legfeljebb mekkora sebességgel haladtak? (Feltételezzük, hogy a sebességük állandó.)

17.

Az óránkénti sebességük 24 km1 nél kisebb volt, mert a banditák óra alatt 4 6 km-nél kevesebb utat tettek meg.

18. Kovácsék egyhavi költségvetését így ábrázolhatjuk: lakbér 1 rész 16

élelem 7 rész 16

gáz, villany, telefon, egyéb fűtés, tv, rádió kiadás 1 1 rész rész 5 10

Mennyi a Kovács család havi jövedelme? 72 000 Ft Jövedelmük mekkora részét tették takarékba?

1 részét 5

Hány forintot költöttek lakbérre? 4500 Ft-ot

100

C M Y K


takarék 14 400 Ft

Algebra Tk.: 101–102. oldal Mennyit költöttek élelemre? 31 500 Ft-ot Ellenőrzés: 4500 + 31 500 + 14 400 + 7200 + 14 400 = 72 000 Megjegyzés: a fentiek 2000-es adatok. 2009-ben a 14 400 helyett 43 200 Ft lenne reális. Akkor a havi jövedelemre 216 000 Ft, lakbérre 13 500 Ft, élelemre 94 500 Ft adódna.

1 -e 10 jutott tovább a megyei versenyre. A megyei fordulóból 3 a csapatok -e esett ki, a többi csapat az országos for4 dulón mérhette össze erejét. Hány csapat indult a városi fordulóban, ha mindössze 15 csapat jutott be az országos fordulóba?

19. A kosárlabdaverseny városi fordulójából a csapatok

a városi forduló résztvevői

1 rész. 40 A városi forduló résztvevőinek

1 rész. 10

1 része vett részt az országos fordulóban. 40

A városi forduló résztvevői: 40 · 15 = 600 csapat.

20. Egy hátizsák, egy pár edzőcipő és egy mobiltelefon összesen 43 000 Ft-ba került. Az edzőcipő 2000 Ft híján 2-szer annyiba került, mint a hátizsák. A telefon a cipő árának 2,5-szerese. Mennyibe került külön-külön a cipő, a hátizsák és a telefon? hátizsák = h cipő = h · 2 − 2000 mobiltelefon = 2,5 · (h · 2 − 2000) = 5h − 5000 h + h · 2 − 2000 + 5h − 5000 = 43 000 A hátizsák 6250 Ft, a telefon 26 250 Ft, az edzőcipő 10 500 Ft volt.

21. A mesebeli róka a következő egyezséget kötötte egy legénnyel: ahányszor átmegy a hídon, a róka mindannyiszor megkétszerezi a pénzét, és ebből a megkétszerezett pénzből kell a legénynek 24 krajcár vámot fizetnie. Amikor harmadszor ment át a hídon a legény, miután kifizette a vámot, a legnagyobb meglepetésére, egy krajcárja sem maradt. Mennyi lehetett a legény pénze, amikor megkötötte az egyezséget a rókával? A feladatot visszafelé göngyölgetve is meg lehet oldani.

0

+24

24

:2

12

+24

36

:2

18

+24

42

:2

21

21 krajcárja volt a legénynek, amikor megkötötte az egyezséget a rókával.

101

C M Y K



22. A nagypapa kétszer olyan idős, mint Béla nevű fia. Béla 2 évvel idősebb, mint Cirill nevű testvére. Cirill 4 évvel idősebb Dánielnél, az öccsénél. Béla ötször olyan idős, mint Elek nevű fia. Cirill éveinek száma kétszer annyi, mint Flóriáné. Dániel 12-szer annyi idős, mint Gergely. A hét ember életkora összesen 164 év. Mennyi idősek külön-külön? nagypapa = B · 2 C =B −2 D =B −6 E=B:5 C B = −1 2 2 B 1 G = D : 12 = − 12 2 B B B − 0,5 = 164 B·2+B +B −2+B −6+ + −1+ 5 2 12 347 B = 173,5 60 B = 30 Nagypapa 60, Béla 30, Cirill 28, Dániel 24, Elek 6, Flórián 14, Gergő 2 éves. Ellenőrzés: A családtagok életkora összesen valóban 164 év. F =

23. Egy 130 m hosszú tehervonat óránként átlagosan 42 km-t tesz meg. Hány perc telik el, amíg egy 220 m hosszú alagúton áthalad a teljes vonat? Összesen 350 m-es utat kell megtennie 700 m/perc 350 sebességgel. A menetidő perc. 700 Fél perc telik el.

24. A tájékozódó felmérő megírása után megbeszélte az osztály a megoldásokat. Tíz gyereknek nagy volt az öröme, mert teljesen hibátlan felmérőt írt. Az osztály negyedének csak kisebb 1 2 hibája volt. Az osztály -e 2–3 feladatot rontott el. A gyerekek -e egyetlen feladatot sem 7 14 tudott hibátlanul megoldani. Hány tanuló lehetett az osztályban, illetve hányan írták meg a felmérőt? Az osztály létszáma 28 többszöröse. Az 56 sok, a 28 reális érték. 27 gyerek írta meg a felmérőt, 1 gyerek nem írt felmérőt.

TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ – megoldás 1. Milyen hosszú lesz a gyertya, ha az égési idő 3 1 a) 15 perc, 29 cm b) óra, 27 cm c) 40 perc, 27 cm d) 1,4 óra? 24,4 cm 3 4 Ezzel a képlettel számolj! h = 30 − 4t , ahol h a gyertya magassága cm-ben mérve, t az égés ideje órában mérve.

102

C M Y K


Algebra Tk.: 102–103. oldal 2. Melyek összegek? Melyek szorzatok? Melyik hatvány? a) x − 3y b) (3 − x) · 5 c) 4x − (x − 5) 1 g) − xy 2 e) a · b · c + 4 f) (x + 1)2 2 összeg: a), c), d), e)

szorzat: b), g), h)

d) ax + by −3a 2 h) 5

hatvány: f)

3. Írd fel algebrai kifejezésekkel a mondatokat! a) Egy négyzet kerülete x cm. Mekkora egy oldala? x : 4 [cm] b) A fiamnak összesen 154 ezer Ft-ja van. Ebből y Ft készpénzben, a többi a bankban. Hány forintja van a bankban? 154 000 Ft − y Ft c) Zolinak b Ft-ja van a bankkártyáján, ennek 3-szorosát készpénzben tartja az otthoni íróasztal fiókjában. Hány forintja van Zolinak? 4b Ft d) Egy téglalap kerülete 78 cm. Az egyik oldala a cm. Mekkora a másik? (39 − a) cm e) Egy háromszög egyik szöge 72◦ , a másik α fok. Hány fokos a harmadik szög? 108◦ − α 4. Az egynemű tagok összevonásával írd egyszerűbb alakba az algebrai kifejezéseket! Az ismeretlenek megadott értékére számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét! 2 2 a) a + 2a + b − 2b = 3a − b = 3 · − (−1) = 3, a = , b = −1 3 3 3 x = −1, y = 10 b) 2x + y + 1,3x − 0,25y = 3,3x + 0,5y = −3,3 + 5 = 1,7, 4 1 1 c) 2xy − x − 0,5xy + 2x 2 − 1,5xy + 0,25x + 3x 2 = 5x 2 = 80, x = 4, y = − 4 2 5. Melyik nem adja ugyanakkora részét az x-nek, mint a? e, h, i 3 -szerese 4

a

x-nek a

b

d

x − 0,25x

e

x:

h

x 75

i

x − 0,25

3 4

x-nek a 75%-a 3x 4

f

j

x ·3 4

c

g

1,5 x 2

0,75x

6. Oldd meg az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket! Ellenőrizz! a) 2x − 30 = 4x − 90 b) 10 − (10x − 14) = 2(10 − x) x = 30-ra mindkét oldal 30-at ad.

c)

x 2 +4= x−1 4 3

x=

1 -re mindkét oldal 19-et ad. 2

d) −3x + 2 = −4

x = 12-re mindkét oldal 7-et ad.

x

5 2-re teljesül az egyenlőtlenség.

103

C M Y K


Algebra Tk.: 103. oldal 7. Oldd meg a szöveges feladatokat! Ellenőrizz! a) Egy táska, egy pár cipő és egy karóra összesen 24 000 Ft-ba került. A táska 1200 Ft-tal volt drágább, mint a cipő, és feleannyiba került, mint az óra. Mennyibe került külön-külön a táska, a cipő és az óra? cipő = c táska = c + 1200 karóra = 2c + 2400 c + c + 1200 + 2c + 2400 = 24 000 c = 5100 A cipő 5100 Ft, a táska 6300 Ft, a karóra 12 600 Ft volt. Ellenőrzés: 5100 Ft + 6300 Ft + 12 600 Ft = 24 000 Ft

b) Egy ketrecben nyulak és fácánok vannak. Összesen 100 lábuk és 36 fejük van. Hány nyúl és hány fácán van a ketrecben? nyulak száma = 36 − fácánok száma (36 − f ) · 4 + f · 2 = 100 144 − 4f + 2f = 100 f = 22 22 fácán és 14 nyúl van a ketrecben. Ellenőrzés: 22 · 2 + 14 · 4 = 44 + 56 = 100

c) Melyik az a szám, amelynek a Jelölje a számot x.

3 2 része 1,6-del nagyobb, mint a része? 4 3 2 3 − 1,6 = · x 4 3 8 9 x − x = 1,6 12 12 1 x = 1,6 12 x = 19,2 x·

A keresett szám 19,2.

Ellenőrzés: 19,2 ·

3 = 14,4 4

> 1,6

19,2 ·

2 = 12,8 3

104

C M Y K


Hasbok, hengerek HASÁBOK, HENGEREK 1–2. 3–5. 6–7. 8. 9–10.

óra: óra: óra: óra: óra:

A hasábok jellemzése A hasábok felszíne és térfogata A hengerek jellemzése, felszíne és térfogata Vegyes gyakorló feladatok Felmérő és értékelése

Mire építünk? Az alsó tagozatos tanulmányokat felhasználva ötödik osztályban megismerkedtünk a testek geometriai tulajdonságaival. Részletesen vizsgáltuk a kocka, a téglatest, a négyzetes oszlop előállítását, vizsgáltuk lapjaik, éleik, csúcsaik számát, számoltuk felszínüket, térfogatukat. Megtanultuk a térfogat mértékegységeit, összehasonlítottuk azokat az űrmértékekkel, a felszín mértékegységeit pedig a területmértékekkel. Építettünk testeket, számtalan manipulatív tevékenység szolgálta a tanulók térszemléletének kialakítását.

Meddig jutunk el? A hasábok és hengerek geometriai jellemzőit, különféle tulajdonságait tanuljuk. Megismerjük az élhossz, a lapátlók, a testátlók, a testmagasság stb. fogalmát. Építünk testeket szívószálból, egységkockákból, átlátszó fóliából, kartonpapírból. Hasábok esetén vizsgáljuk a lapok, élek és csúcsok közötti összefüggést. Előállítjuk a testek néhány síkmetszetét. Különféle életszerű és matematikai jellegű feladatok megoldásával elmélyítjük a térfogat és a felszín fogalmát. Megtanuljuk az egyenes és a ferde hasáb, valamint az egyenes körhenger felszínének és térfogatának kiszámítási módját.

Hogyan folytatjuk? Nyolcadik osztályban, hasonló koncepcióval megismerkedünk a gúlák, a kúpok és a gömb tulajdonságaival. Építünk testeket egységkockákból, készítünk síkmetszeteket. Különböző gyakorlati feladatok megoldásával, manipulációs tevékenységekkel tovább alakítjuk, fejlesztjük a tanulók térszemléletét.

1–2. óra A hasábok jellemzése Tk.: 107–109. oldalon 1–12. feladatok Fgy.: 616–620. Módszertani megjegyzések Alapvető igény ebben a fejezetben a tanulók térszemléletének fejlesztése. A mindennapi életünk tárgyait különböző geometriai testekként elemezzük. Például: háztető, lépcső, csillag alakú gyertya stb. Készítsük el szívószálból vagy drótból, legalább tanári példányként néhány hasáb modelljét, és ezeken mutassuk be az éleket, a csúcsokat, a testátlókat, a lapátlókat! Ha van az iskolában babilon építő, akkor a gyerekek is építsenek testeket.

105

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 107. oldal

A bevezető órák valamelyikében, az alapvető tulajdonságok megismerése után az alábbi játékot játszhatjuk! Játék: páros szóbridzs Ketten játsszák. Először jó, ha az egyik játékos maga a tanár, és egy vállalkozó tanuló a válaszadó. A játék nyilvános. A kezdő játékos (a tanár) gondol valamilyen mértani testre, és arról minden lépésben közöl egy-egy információt. A másik játékos (a diák) mindegyik információ után azt válaszolja, ami arról az neki eszébe jut. Az osztály tanulói közül több játékost is választhatunk. A játékban az nyeri a legtöbb pontot, aki a legkevesebb információból kitalálta, hogy a kezdő játékos milyen testre gondolt. Például, ha a kezdő játékos konkáv ötszög alapú egyenes hasábra gondol. Kezdő játékos mértani test oldallapjai téglalapok 10 csúcsa van „el lehet benne bújni”

Válaszadó játékos kocka téglatest ötszög alapú egyenes hasáb konkáv ötszög alapú egyenes hasáb

Eszközök: szívószál, hurkapálcika, olló, cérna vagy damil, babilon építő, sokféle demonstrációs méretű test.

Feladatok 1. Keress környezetedben olyan tárgyakat, amelyek a) hasábok, b) nem hasábok! A gyűjtött tárgyaktól függ.

2. Végpontjaik segítségével sorold fel az ábrán látható testek összes lapátlóját és testátlóját! a) b) c) d)

a) Lapátlók: AC, BD. Testátló nincs. b) Lapátlók: AE, BD, BF , CE AF , CD. Testátló nincs. c) Lapátlók az alaplapokon: AC, BD, EG, F H . Lapátlók az oldallapokon: AF , BF , BG, CF , CH , DG, DE, AH . Testátlók: AG, BH , CE, DF . d) Lapátlók az alaplapokon: AD, AC, BD, BE, CE, F I , F H , GI , GJ , H J . Lapátlók az oldallapokon: AG, BF , BM, GC, CI , H D, I E, J D, AJ , EF . Testátlók: AH , AI , BI , BJ , CJ , CF , DF , DG, EG, EH . Megjegyzés: A megoldások számának helyességét könnyen ellenőrizhetjük. Ha a csúcsok száma c, az élek száma é, akkor az összes átló száma: á c(c − 1) á= −é 2

106

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 108. oldal 3. Színes golyókból és pálcikákból megépítjük az ábrán lévő „tornyot”. a) Hány golyót és hány pálcikát kell felhasználnunk? 13 db golyó, 24 db pálcika b) Színezd át a pálcikákat úgy, hogy ugyanannyi piros színű legyen belőlük, mint kék! 12 piros és 12 kék pálcika kell c) Lehet-e háromféle színnel úgy színezni a pálcikákat, hogy mindegyikből ugyanannyi legyen? Lehet, minden színből 8 db kell. d) Színezd át a pálcikákat úgy, hogy háromszor annyi kék legyen közöttük, mint piros! A 24-et 3 : 1 arányban kell felosztani, eszerint: 18 db kék, 6 db piros kell.

4. Műanyag elemekből építettük az ábrán látható testeket. Hány elemet használtunk? Hány háromszöget és hány négyzetet használtunk? Hány élük, lapjuk, csúcsuk van a testeknek?

Elemek

Élek

10 5 18

12 9 18

Lapok

Csúcsok

6 5 8

8 6 12

száma a) b) c)

5. Válaszd ki az alábbi testek közül a hasábokat!

Hasábok: b), c), d), e), f), g), h), i), j). (Az a) kivételével mindegyik hasáb.) Megjegyzés: Minden esetben állapítsuk meg, hogy mi lehet a hasáb alapja!

6. Hány lapja, éle és csúcsa van egy konvex a) ötszög alapú, b) nyolcszög alapú, c) tízszög alapú hasábnak? Hogyan változik az a), b), c) válasz, ha mindhárom hasáb konkáv? Ha az alaplap konkáv sokszög, akkor konkáv testet kapunk. A lapok, élek és csúcsok száma minden esetben ugyanannyi, mint a konvex esetekben.

Lapok a) b) c)

7 10 12

Élek száma 15 24 30

Csúcsok 10 16 20

107

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 108–109. oldal 7. Legyen a hasáb alapja: paralelogramma, trapéz, deltoid vagy egy tetszőleges konvex négyszög. Mindegyik esetben állapítsd meg a lapok, a csúcsok és az élek számát! Az eredményeket hasonlítsd össze a kockánál megismert lap-, csúcs- és élszámmal! Hány átlója van összesen egy-egy testnek? Ezek közül hány a testátló és hány a lapátló? Bármilyen négyszög alapú hasábnak ugyanannyi lapja, csúcsa és éle van, mint a kockának, ez az átlók esetén is így van. Lap

Csúcs

Él

Lapátló

Testátló

Összes átló

6

8

12

12

4

16

8. Olyan szabályos sokszög alapú, egyenes hasábok élvázas modelljeit készítjük el, amelyeknek a magasságuk is és alapélük is 4 cm. Hány cm drót szükséges a hasábhoz, ha alaplapja a) háromszög, b) ötszög, c) hatszög?

9 egyenlő él, ez 9 · 4 cm = 36 cm



9. Egy kocka élvázának hossza 12 cm. Hányszorosára változik a kocka éle, ha kétszer ilyen hosszú drótból készítjük el az élvázát? Igaz-e, hogy az élváz hossza és a kocka éle között egyenes arányosság van? A kockának 12 éle van, ezért egy éle 1 cm. Ha a drót hossza l = 12a, innen

l = 12, tehát az élváz hossza és a kocka éle között egyenes arányosság van. a

10. Párhuzamos síklapokkal „feldaraboljuk a kanapét”. A vágások kis kockákat nem metszhetnek el. Minimum hány vágással tehetjük meg ezt úgy, hogy a vágások után kapott testek mindegyike hasáb legyen? Hány kis kockából állnak ezek a hasábok? Egységkockákból építs te is hasonló alakzatokat! Két síkkal elvágva három hasábot kapunk. I. (hátul) és III. (elöl) 6 kockából álló konkáv nyolcszög alapú hasábot. II. (középen) 15 kockából álló konkáv hatszög alapú hasábot. Természetesen más megoldás is létezik. Megjegyzés: A feladat nagyban segíti a térszemlélet fejlődését. Segít olyan síkbeli vázlatrajz, ahol az alapsokszöget felrajzoljuk, majd mindegyikbe beleírjuk, hogy hány kiskocka van fölötte. Például I. és III. hasáboknál Segédeszközül használhatjuk a mokkacukrokat. Ezek segítségével egyéb alakzatokat is építhetünk.

1 1 1 1 1 1

6 · 1 db = 6 db kocka

a II-esnél 3 3 3 3 3

108

C M Y K


5 · 3 db = 15 db kocka

Hasbok, hengerek Tk.: 109. oldal 11. Melyik az a hasáb, amelynek a) kétszer annyi éle van, mint lapja, e = 3n

l =n+2

e = 2l 3n = 2(n + 2) 3n = 2n + 4 n=4

A négyszög alapú hasáb ilyen.

b) 3-mal kevesebb lapja van, mint csúcsa, l = n + 2

c = 2n

l+3=c n + 2 + 3 = 2n n=5

Ötszög alapú hasáb.

c) 1,5-szer annyi éle van, mint csúcsa, e = 3n

c = 2n

e = 1,5c 3n = 1,5 · 2n 3n = 3n

Minden hasáb ilyen.

d) háromszor annyi éle van, mint lapja? e = 3n

l = n+2

e = 3l

3n = 3(n + 2) Nincs olyan szám, amelynek háromszorosa megegyezik a számnál 2-vel nagyobb számnak a háromszorosával. Ilyen hasáb nincs.

12. Építs hasábokat egybevágó kiskockákból úgy, hogy a kockákat egy-egy teljes lapjukkal illeszd egymásra! Hányféle különböző hasábot kapsz a) 2 db, b) 3 db, c) 4 db kiskockából? a)

1-féle hasáb építhető.

b)

2-féle hasáb építhető.

c)

5-féle különböző hasábot kapunk.

109

C M Y K



3. óra A hasábok felszíne Tk.: 112–114. oldalon 1–18. feladatok Fgy.: 621–627., 629., 630., 633., 635., 637. Módszertani megjegyzések Készítsük el a mellékletben lévő testhálóból az ékszeres dobozt, majd vágjuk ki azt négyzethálós papírból is és közelítő értékkel rácsegységben is! Adjuk meg a szükséges papír területét! A fehér kartonból elkészült dobozt otthon mindenki ízlése szerint kiszínezheti. A tankönyv 113. oldal 9-es és a feladatgyűjtemény 621., 627. feladatait rakjuk ki a táblán vagy az írásvetítőn, és mutassunk meg többféle megoldást! A 628. c) feladatot a mellékletben lévő háló segítségével oldjuk meg! Az egységkockákból kirakott testeknél nagy szerepe van a sokféle variációs lehetőségnek. Vizsgáljuk meg azt, hogy hogyan változik az ugyanannyi egységkockából összerakott testek felszíne, ha azokból különféle testeket készítünk! Eszközök: Sokféle demonstrációs méretű hasáb, lehetőleg átlátszó műanyagból. Karton, négyzethálós papír, olló, cellux, testek hálójának kirakásához síklapok, melyeket írásvetítőn, vagy gyurmaragasztó segítségével a táblán teszünk mindenki számára láthatóvá. Egységkockák a tanárnak és a tanulóknak egyaránt. Feladatok 1. Számítsd ki a kocka felszínét, ha éle a) 6 cm, A = 216 cm2 b) 3,2 dm, A = 61,44 dm2

c) 0,7 m! 2,94 m2

2. Számítsd ki a négyzet alapú egyenes hasáb felszínét, ha a) alapéle: 8 cm, magassága 12,5 cm, A = 528 cm2 b) alapéle 5,1 cm, magassága 0,6 dm! 0,6 dm = 6 cm A = 174,42 cm2 3. Számítsd ki a téglatest felszínét, ha a) alapélei: 32 cm, 14,6 cm, magassága 25 cm A = 3264,4 cm2 b) alapélei: 20,2 cm, 4,1 dm, magassága 105 mm! 4,1 dm = 41 cm 105 mm = 10,5 cm

A = 2941,6 cm2

4. Számítsd ki az ábrán megadott adatokkal

(a + c) · d = 7,5 cm2 2 Az oldallapok területe: To = K · m = 48 cm2 A = 2Ta + To = 63 cm2

a) a derékszögű trapéz alapú egyenes hasáb felszínét; Alapterület: Ta = Két alapterület: 2Ta = 15 cm2

b) a rombusz alapú ferde hasáb felszínét, ha annak minden lapja egybevágó! Hat db egybevágó rombusz területe: A = 6 · Ta = 6 · 6 cm · 4,2 cm = 151,2 cm2

110

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 112–113. oldal

5. Számítsd ki az 1 literes téglatest alakú tartós tej dobozának felszínét úgy, hogy a szükséges méreteket a vonalzóddal leméred! A teljes doboz méretei: a = 9,5 cm b = 6 cm c = 16,5 cm A ≈ 625,5 cm2

6. Hány m2 ? a) 1,08 cm2 0,000 108 m2

b) 0,6 km2 600 000 m2

5 dm2 2,5 dm2 = 0,025 m2 2 g) 0,01 ha 100 m2

e) 1014 mm2 0,001 014 m2

d)

13 ha 3,25 ha = 32 500 m2 4 1 f) 8 dm2 8,2 dm2 = 0,082 m2 5

c)

h) 0,01 km2 10 000 m2

7. Hány cm2 ? a) 11,3 m2 113 000 cm2

b) 314,2 mm2 3,142 cm2

c)

5 dm2 125 cm2 4

8. Az alábbi mennyiségek közül melyik egyenlő 245,6 dm2 -rel? b) 24,56 m2 a) 24 560 cm2 d) 0,2456 ha e) 245 600 mm2 g) 0,000 2456 ha h) 2 456 000 mm2

d)

9 mm2 0,018 cm2 5

c) 2,456 m2 f) 2456 cm2 i) 0,024 56 ha

245,6 dm2 -rel egyenlő: a), c), g), h).

Egészítsd ki a hatodik négyzettel a hálózatokat úgy, hogy a) azokból kockát lehessen építeni;

9.

Pl.:

b) azokból ne lehessen kockát építeni! Pl.:

Megjegyzés: Többféle megoldás lehetséges, az a)-ban jó lenne megtalálni mindet. Összesen 11 különböző kockaháló létezik. Célszerű ezeket papírból kivágni, és tapasztalat alapján elvégeztetni az építést.

111

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 113. oldal 10. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan derékszögű háromszög, amelynek rövidebb befogója 5 cm, hosszabb befogó13 ja 2,4-szerese, átfogója pedig -e a rövidebb befogónak. 5 A test magassága a hosszabb befogó 125%-a. Szerkeszd meg a hasáb hálózatát! Mekkora a hasáb felszíne? A hasáb hálója például ilyen: A rövidebb befogó: a = 5 cm A hosszabb befogó: b = 5 cm · 2,4 = 12 cm 13 · 5 cm = 13 cm Az átfogó: c = 5 A test magassága: m = 12 cm · 1,25 = 15 cm 2Ta = 2 · (5 · 12) : 2 = 60 [cm2 ] To = Ka · m = 30 · 15 = 450 [cm2 ] A = 2Ta + To = 510 [cm2 ]

11. Egy kocka felszíne 486 cm2 . Hány mm a kocka éle? A = 6a 2 = 486 [cm2 ] a 2 = 81 [cm2 ], innen a = 9 cm = 90 mm

12. A teraszt tartó, 3 db négyzetes oszlop alakú gerenda magassága 2,5 m, alapéle ennek 4%-a. Hány m2 felületet kell a három oszlopon a festés előtt simára gyalulni? Az oszlop alapéle (2,5 · 0,04) m = 0,1 m Az oszlopoknak csak az oldallapjait kell lecsiszolni. Ezek együttes felülete a három oszlopon: A = (3 · 4 · 0,1 · 2,5) m2 = 3 m2

André Kertész-emlékház (Szigetbecse)

Egy egyenes hasáb alaplapja az ábrán látható négyszög. Az oldalak hossza rendre: 33 mm; 56 mm; 5,2 cm és 3,9 cm. A test magassága 75%-a az 56 mm-es oldalnak. Rajzold le a hasáb hálóját, és számítsd ki a felszínét!

13.

Az alapterület: Ta = t1 + t2 Ta = (3,3 cm · 5,6 cm) : 2 + (5,2 cm · 3,9 cm) : 2 Ta = 19,38 cm2 2Ta = 38,76 cm2 A test magassága: 5,6 cm · 0,75 = 4,2 cm Az oldallapok területe: To = Ka · m To = (3,3 + 5,6 + 5,2 + 3,9) cm · 4,2 cm = 75,6 cm2 A = 2Ta + To = 114,36 cm2

112

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 113–114. oldal Az ábrán látható süteménysütő forma egy húrtrapéz alapú egyenes hasáb. A trapéz alapélei 8 cm és 1,2 dm, szárai 5 cm hosszúak. A trapéz magasságát 4,6 cm-nek mértük. A hasáb testmagassága (esetünkben ez a sütőforma hossza) 3,5 dm. Mekkora területű lemezt használtak el a készítésekor?

14.

A sütőforma felülről nyitott, ezért a leghosszabb alapélhez tartozó oldallap nem szerepel a felületben: A = 2Ta + 2tb + tc A két trapéz területe egy a + c = 20 cm oldalú és 4,6 cm magasságú paralelogramma területével egyenlő: 2Ta = 20 cm · 4,6 cm = 92 cm2 2tb = 2 · 5 cm · 35 cm = 350 cm2 tc = 8 cm · 35 cm = 280 cm2 A = 722 cm2 területű lemezből készült a sütőforma.

Számítsd ki az ábrán látható „kövér T betű” felszínét, ha azt 5 db egységkockából építettük fel!

15.

Az 5 db különálló kocka teljes felszíne 5 · 6 · 1 cm2 = 30 cm2 . A négy összeragasztásnál 8 négyzetlap eltűnik, a felszín 8 · 1 cm2 -rel kevesebb lesz. A = 22 cm2 .

16. Négyzet alakú kartonpapírból egy felül nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a papír minden sarkánál egy-egy 3 cm oldalú kis négyzetet kivágunk, majd a négy oldalt felhajtogatjuk. Az így elkészült doboz alaplapjának területe 100 cm2 . Hány cm2 papírt használunk el a dobozhoz? Hány százalék a hulladék? a 2 = 100 cm2 a = 10 cm A nagy négyzet oldala: 16 cm A négyzetlap területe: 256 cm2 A hulladék területe: 4 · 32 cm2 = 36 cm2 Ez 14%.

17.

Egy nyolcágú térbeli csillag alakú karácsonyfadíszt készítünk, amelynek vastagsága megegyezik a csillag egy oldalának hosszával. (A csillag olyan egyenes hasáb, amelynek alapja egy egyenlő oldalú konkáv tizenhatszög, vastagsága pedig a hasáb magassága.) Legalább hány cm2 papírt használunk el, ha az 2 alapsokszög területe 54,6 cm , kerülete pedig 32 cm? A = 2Ta + Ka · m Az alapsokszög mind a 16 oldala egyenlő hosszú, kerülete pedig 32 cm, ezért egy oldal 2 cm hosszú, ami a hasáb magasságával egyenlő. A = 2 · 54,6 cm2 + 32 cm · 2 cm = 173,2 cm2 .

113

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 114. oldal Megjegyzés: Az alapsokszög egy éle 2 cm. Ebből a területe kiszámítható. √ √ 2·2 cm2 = (24 + 16 · 2 + 8) cm ≈ 54,6 cm2 Ta = tn + 4 · t = (4 + 2 · 2)2 + 4 · 2 Hívjuk fel a jobb képességű tanulók figyelmét arra, hogy a négyzet egy oldalán keletkező három rész nem egyenlő hosszúságú! A középső rész egy egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója.

18. Egy a élű kockát minden lapjára tükrözünk. Az így kapott „térbeli kereszt” felszíne hányszorosa az eredeti kocka felszínének? A kapott test, az ún. „térbeli kereszt” olyan test, amelynek minden határoló lapja négyzet. Összesen 7 db, az eredeti kockával egybevágó kockából áll. A test felülete 6 db kockának öt-öt lapjából áll. A teljes felszín: Akereszt = 6 · 5a 2 = 30a 2 területegység. Tehát a kereszt felszíne 5-szöröse az eredeti kocka felszínének.

4–5. óra A hasábok térfogata Tk.: 118–121. oldalon 1–20. feladatok Fgy.: 626–628., 631., 633., 634., 636., 637. Módszertani megjegyzések Az egységkockákból sokféle testet készítsünk azért, hogy a tanulók mindegyike megértse: ezzel a test térfogatát töltjük ki, és az egységkockák száma pedig a test térfogatának mérőszámát adja! A T, az U, az L betűk mind konkáv alapsokszögű egyenes hasábok. Adjunk meg sokféle, különböző, egységnégyzetekből álló „alaprajzokat”, ahol a négyzetekbe írt számok azt jelentik, hogy a fölé a négyzet fölé hány egységkockát helyezzünk! A táblára rajzolt „alaprajzok” segítségével a tanulók építsék meg a testeket, és állapítsák meg, mennyi a kapott testek térfogata! Például: 3 2 2 1 3 1 1 2 1

A rajzon egy 16 egységkockából álló „építmény” alaprajzát adtuk meg. Ebből az is következik, hogy az ennek alapján felépített test térfogata 16 e3 .

Érdekes, és jóval nehezebb feladat a felépített test felszínének meghatározása. Jobb csoportokban ezzel is próbálkozhatunk. Ehhez meg kell adni az összeillesztések számát. Mivel minden összeillesztésnél két négyzet területe vész el, így megtudjuk, hogy a különálló 16 egységkocka összfelületénél hány e2 -tel csökken a felszín az összeillesztés után. A 16 különálló egységkocka felszíne 16 · 6 · 1 e2 = 96 e2 . Az összeillesztéseket célszerű az építés közben rétegenként megszámolni. A 22 összeillesztés miatt ez a felszín 22 · 2 · 1 e2 = 42 e2 -tel kevesebb, tehát 54 e2 . Építhetünk egység szélességű egy, kettő, három. . . fokú lépcsőket is a kis kockákból. Ezek sorozatában igen érdekes összefüggéseket fedezhetünk fel.

114

C M Y K



Ha a lépcsőket az „oldalukra” fordítjuk, akkor az így kapott test egy konkáv alapsokszögű egyenes hasáb, melynek magassága 1 e, alapterülete pedig annyi egységnégyzetből tevődik össze, ahány kockából építettük a lépcsőt, és mivel a test egy rétegből áll, az ebben szereplő kockák száma a test térfogata. 2 lépcső

3 lépcső

4 lépcső

5 lépcső

konkáv Az alapsokszög oldalszáma

hatszög

nyolcszög

tízszög

tizenkétszög

Az alapsokszög kerülete

8e

12e

16e

20e

Az alapsokszög területe

3e

2

2

2

15e2

A test térfogata

3e3

10e3

15e3

6e

6e3

10e

Ez a játékos építés segíti a testek térfogatának meghatározására leírt tankönyvi gondolatmenet, és azok szemléltetésére szolgáló ábrák megértését. A térfogat mértékegységeit ne csak számolással gyakoroljuk, hanem gyűjtsünk tapasztalatokat a környezetünkben lévő tárgyakról! Például hány ml, illetve cm3 víz fér egy mokkás-, egy kávés-, vagy egy evőkanálba? (stb.) Eszközök: 1 dm élű kocka, egy réteg kirakva 1 cm élű egységkockákkal. 1 literes üveg, vágható anyagból készült téglatest (szivacs, hungarocell, sajt stb.). Egységkockák a tanárnak és a tanulóknak egyaránt (tanulónként legalább 27 db). Erre a célra használható mokkacukor, vagy a színesrúd-készletből az egységkocka. Feladatok 1. Egy 7 cm alapélű, 3,8 dm magasságú négyzet alapú egyenes hasáb alakú vázába hány liter vizet tudunk önteni? 3,8 dm = 38 cm

V = (72 · 38) cm3 = 1862 cm3 ≈ 1,86 l

2. Számítsd ki a téglalap alapú egyenes hasábok térfogatát! Állapítsd meg, hogy melyik lehet közülük egy úszómedence és melyik egy osztályterem, majd határozd meg, hogy az úszómedencébe hány liter víz, az osztályterembe hány liter levegő fér! a) a = 50 m b = 18 m c=4m Va = 50 m · 18 m · 4 m = 3600 m3 b) a = 9,5 m b = 52 dm c = 270 cm Vb = 9,5 m · 5,2 m · 2,7 m = 133,38 m3 a) úszómedence b) osztályterem Va = 3600 m3 = 3 600 000 dm3 = 3 600 000 l víz fér az úszómedencébe. Vb = 133,38 m3 = 133 380 dm3 = 133 380 l levegő van az osztályteremben.

3. Az otthoni fürdőkád térfogatát egy hozzá méretekben közel álló téglatest térfogatával közelítjük. Mérd meg a fürdőkádad hosszát, szélességét és mélységét! Így, egy képzeletbeli téglatesttel közelítve határozd meg a fürdőkád térfogatát! Majd mérd meg egy esti fürdővized körülbelüli magasságát, és számítsd ki, hány hektoliter vizet használsz el egy esti fürdéskor! A feladat megoldása a tanulók által mért adatoktól függ.

115

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 118–119. oldal Megjegyzés: A feladatban szereplő méréseket érdemes megcsináltatni a tanulókkal, hiszen annak nevelési értéke mellett növeli a gyakorlati érzéküket, és segíti a becsült értékekkel való számolást.

Az ábrán lévő „kövér U betűt” egységkockákból raktuk ki. Igaz-e, hogy ez a test hasáb? Ha igen, akkor milyen sokszög az alapja? Mekkora a test térfogata és felszíne?

4.

Ez egy konkáv nyolcszög alapú egyenes hasáb. A 7 db különálló egységkocka felszíne 7 · 6 · 1 cm2 = 42 cm2 , ha az egységet 1 cm-nek választjuk. A hat összeillesztésnél két-két lapot; 12 lapot veszítünk el. A hasáb felszíne: A = (42 − 12) cm2 = 30 cm2 . A hasáb térfogata a 7 db egységkocka együttes térfogatával egyenlő: V = 7 · 1 cm3 = 7 cm3

5. Négy ugyanolyan egységkockából készítettük el az ábrán látható testeket. a) Közülük melyek hasábok? b) Melyek közülük konvex és melyek konkáv testek? c) Mennyi a testek felszíne és térfogata? 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Hasábok: 1., 2., 3., 4., 5. Mind a hét test térfogata V = 4 · 1e3 = 4e3 . Az 1. kivételével mindegyik esetben a három összeillesztésnél 3 · 2 · 1e2 -tel kevesebb lesz a felszín, mint a 4 különálló kocka összfelszíne, azaz A = 4 · 6 · 1e2 − 3 · 2 · 1e2 = 18e2 Az 1. és 2. konvex testek. A 3., 4., 5., 6. és 7. konkáv testek.

6. Hány egységkockából építhetünk nagyobb méretű kockákat? Keresd meg az összes lehetőséget, ha legfeljebb 100 db kis kockánk van! 23 = 8

33 = 27

43 = 64

8, 27, 64 db kis kockából.

7. Hány dm3 a kocka térfogata, ha egy lapjának területe a) 25 m2 , a = 5 m V = 125 m3 = 125 000 dm3 b) 64 cm2 , a = 8 cm V = 512 cm3 = 0,512 dm3 81 9 729 c) dm2 ? a = dm V = 5,832 dm3 = dm3 5 125 25 8. Egy 40 cm, 25 cm és 15 cm élű téglatest alakú dobozt hézagtalanul meg kell tölteni 5 cm élű kockákkal. Hány ilyen kis kockára van szükségünk? Meg lehet-e tölteni ezt a dobozt ugyanígy 10 cm élű kis kockákkal? Válaszodat indokold! V0 = 53 cm3 = 125 cm3 V1 = 103 cm3 = 1000 cm3 V = (40 · 25 · 15) cm3 = 15 000 cm3 15 000 : 125 = 120 és mivel a téglatest minden éle 5 cm egész számú többszöröse, ezért 5 cm élű kockákkal meg tudjuk tölteni úgy, hogy összesen 120 db ilyen kis kockát használunk. 15 000 : 1000 = 15, de 25 és 15 nem osztható 10-zel, ezért ezt nem lehet megcsinálni.

9. Hány dm3 ? a) 3,1 cm3 = 0,0031 dm3 b) 0,01 m3 = 10 dm3 c) 12 l = 12 dm3 d) 5,3 dl = 0,53 dm3 e) 13,7 mm3 = 0,000 013 7 dm3 f) 14 cl = 0,14 dm3 g) 9,63 hl = 963 dm3 h) 3150 ml = 3,15 dm3

116

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 119. oldal 10. Keress otthon olyan edényeket vagy egyéb használati tárgyakat, amelyek a) 1 ml, b) 1 dl, c) 1 l, d) 10 hl térfogatúak! Például: a) 1 mokkáskanál 1 ml = 0,001 dm3

b) borospohár 1 dl = 0,1 dm3

c) dobozos tej 1 l = 1 dm3

d) 100 literes villanybojler 10 hl = 1000 dm3 3

Minden esetben add meg a térfogatokat dm -ben is! 11. Egységkockákból egy „lyukas falat” építünk, majd szintén egységkockákból elkészítjük az építményeket. Válaszd ki, hogy melyik építmények férnek át a „lyukon”! Az építmények tetszés szerint forgathatók. A résen a b) és a d) építmény fér át. a)

b)

c)

d)

Megjegyzés: Az alakzatokat érdemes megépíteni egységkockákból, és azok elforgatásával megtalálni a falon lévő lyukkal egybevágó merőleges vetületet.

12. Egységkockákból egyrétegű „lyukas falat” építünk, majd szintén egységkockákból elkészítjük az építményeket. Válaszd ki, hogy melyik építmények férnek át a „lyukon”! Az építmények tetszés szerint forgathatók. A résen az a), b), c) és e) építmények férnek át. a)

b)

c)

d) e)

Megjegyzés: Az alakzatokat érdemes megépíteni egységkockákból, és azok elforgatásával megtalálni a falon lévő lyukkal egybevágó merőleges vetületet.

3 része egy átlagos 2 férfi vitálkapacitásának. Hány m3 , illetve hány cm3 egy sportoló és egy átlagember tüdejének vitálkapacitása? Vitálkapacitás: egy erőltetett belégzés után erőltetett kilégzéssel kifújt levegő térfogata.

13. Egy rendszeresen sportoló fiatalember tüdejének vitálkapacitása 7,2 l. Ez

Sportoló vitálkapacitása Átlagos ember vitálkapacitása

Literben 7,2 4,8

m3 -ben 0,0072 0,0048

cm3 -ben 7200 4800

14. Egy hűtőszekrény 5,5 dm hosszú, 55 cm széles és 1,15 m magas. Mekkora a „külső” térfogata? Hány literes ez a készülék a külső méretei alapján? Mérd meg a saját hűtőszekrényetek külső méreteit, és határozd meg dm3 -ben, hogy mekkora a térfogata! (Egy hűtőszekrény műszaki leírásánál a belső térfogatot adják meg literben.)

117

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 119–120. oldal 55 cm = 5,5 dm és 1,15 m = 11,5 dm V = (5,5 · 5,5 · 11,5) dm3 = 347,875 dm3 ≈ 347,9 l a külső méretek alapján.

15. Egy 10 cm élű kocka tetejére az ábra szerint ráragasztunk egy 5 cm élű kockát. Számítsd ki összeragasztás előtt külön-külön a két kocka felszínét és térfogatát, majd a belőlük összeragasztott test felszínét és térfogatát! Mit tapasztalsz, hogyan változik a felszín és a térfogat? Az összeragasztás előtt: V1 = 125 cm3 V2 = 1000 cm3 Az összeragasztás után: V = V1 + V2 = 1125 cm3 Az összeragasztás előtt: A1 = 6 · 52 cm2 = 150 cm2 A2 = 6 · 102 cm2 = 600 cm2 Az összeragasztás után az 5 cm oldalú négyzet területének kétszeresével csökken az együttes felszín. Tehát A = (A1 + A2 − 2 · 52 ) cm2 = 700 cm2 .

Egyenlő magasságú, négyzet alapú hasábokból készült az ábrán látható „lépcsős piramis” modellje. Egy „lépcső” magassága 0,3 m. A négy oldalon minden szint fél-fél méterrel beljebb épült, mint az alatta lévő. Mekkora az építmény térfogata, ha a legalsó alaplap oldala 8 m hosszú?

16.

Dzsószer-piramis (Egyiptomi Óbirodalom)

Gyűjts adatokat arról, hogy mekkorák a Dzsószer-piramis méretei! Az 5 db hasáb mindegyikének 0,3 m a magassága. Az alapnégyzetek oldalai minden lépcsőnél 1 m-rel csökkennek, ezért az alapterületek összege: (82 + 72 + 62 + 52 + 42 ) m2 = 190 m2 . Az építmény térfogata: V = 190 m2 · 0,3 m = 57 m3 .

17. Egy fából készült, négyzet alapú tömör hasáb alapéle 6 cm, magassága 8 cm. Az ábrán láthatóan ezt a hasábot négyféleképpen is elmetszettük egy-egy síkkal.

Mind a négy esetben állapítsd meg, hogy az elvágás után a) milyen új testeket kaptunk,

b) milyen síkidomok az új határoló lapok?

118

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 120–121. oldal I. a) két négyzetes oszlop

II. két téglatest

b) alaplapok: négyzetek, oldallapok: kisebb téglalapok

alaplapok: kisebb téglalapok, oldallapok: két új téglalap

III. két háromszög alapú hasáb alaplapok: háromszögek, oldallapok: két nagyobb téglalap

IV. két háromszög alapú hasáb alaplapok: háromszögek, oldallapok: két nagyobb téglalap

18. Igazak-e az alábbi állítások? Válaszaidat indokold! a) Egy hasáb minden határoló lapja paralelogramma. Hamis, pl. a háromszög alapú hasábnak van két háromszög határoló lapja.

b) Egy hasábnak mindig több csúcsa van mint lapja. Igaz, mert 2n > n + 2 minden n > 2 esetben igaz. c) Nincs olyan kocka, amely térfogatának és felszínének mérőszáma egyenlő. Hamis, pl. ha a = = 6 cm, akkor 6a 2 = a 3 .

d) Ha egy testnek minden határoló lapja négyzet, akkor az kocka. Hamis, ha egy kockát minden lapjára kifelé tükrözünk, akkor olyan „térbeli keresztet” kapunk, amelynek minden oldallapja négyzet.

19. Az ábrán látható vörös keresztet a mellette látható hálózatból készítettük. Az így kapott konkáv tizenkétszög alapú egyenes hasáb minden éle 4 cm. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! A vörös kereszt egy konkáv tizenkétszög alapú egyenes hasáb. Alaplapjai 5 db 4 cm-es négyzetből állnak, oldallapjait pedig 12 db ugyanilyen négyzet alkotja. A felszíne tehát: A = 10 · 42 cm2 + 12 · 42 cm2 = 352 cm2 . Térfogata pedig: V = (5 · 42 · 4) cm3 = 320 cm3 .

20. Olyan hatszög alakú gyertyát készítünk, amelynek minden éle egyenlő. Mennyi viaszra lesz szükségünk? Az elkészült gyertyák teljes felületét aranyfestékkel is befestjük. Mennyi festéket használunk el, ha 1 cm2 befestéséhez kb. 0,5 mg festék kell?

alaplap:

Alapterület: T + 3t Megmérjük a kis háromszög magasságát: m = 0,9 cm 3 · 2,6 1 · 0,9 Ta = cm2 + 3 · cm2 = 5,25 cm2 2 2 A = 2Ta + Ka · m = 2 · 5,25 cm2 + 12 cm · 1 cm = 22,5 cm2 Ha 1 cm2 befestéséhez 0,5 mg festék kell, akkor 22,5 cm2 befestéséhez 0,5 · 22,5 mg = 11,25 mg. V = Ta · m = 5,25 cm2 · 1 cm = 5,25 cm3 A gyertya elkészítéséhez legalább 5,25 cm3 viaszra van szükség.

119

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 125–126. oldal

6–7. óra A hengerek jellemzése, felszíne és térfogata Tk.: 125–127. oldalon 1–20. feladatok Fgy.: 638–654. Módszertani megjegyzések Téglalap alakú írólapból készítsük el a henger palástját! A feladatok között található hirdetőoszlopra, illetve a bögrére írandó szöveget is így készítsük el! A ferde körhenger palástját pedig a ferde hengerre rásimított megfelelő méretű írólap körülvágásával mutassuk meg! Ez természetesen kiegészítő anyag, de a tapasztalatok gyűjtése miatt feltétlenül végezzük el, mert a tanulók többsége azt gondolja, hogy a ferde henger palástja paralelogramma. A henger síkmetszeteit együtt állítsuk elő a bevitt, vágható anyagból készült hengereken! Eszközök: henger alakú tárgyak, vágható anyagból is (pl.: sajt, torta, párizsi, műanyag szivacs stb.), demonstrációs méretű egyenes és ferde körhenger, írólap, olló, vastagon író toll.

Feladatok 1. Keress a környezetedben henger alakú tárgyakat! Válassz ki közülük egyet, mérd meg a szükséges adatokat, és számítsd ki a felszínét! (Az ábra segít a választásban.) A megoldás a tanulók által választott testektől függ.

2. Egy egyenes henger alakú párizsi rúd (a végeket leszámítva) 40 cm hosszú. Kör alakú keresztmetszetének átmérője 7 cm. Mekkora a rajta lévő bőr területe? A bőr felülete kb. a henger palástja. P = 2rπ · m = (7 · π · 40) cm2 = 879,6 cm2

3. Mérd meg a henger alakú bögréd alapkörének átmérőjét és magasságát, és számítsd ki a térfogatát! Hány dl kakaó fér bele? A tanulók által mért adatoktól függ a feladat megoldása.

4. Kata huzatot varr testvére körhenger alakú dobjára. A dob alapkörének kerülete: 94,24 cm, a magassága 3,5 dm. Minimálisan hány m2 anyagra van szüksége? K = 2rπ = 94,24 innen r ≈ 15 cm m = 3,5 dm = 35 cm 2 Ahenger = 2 · Talap + Tpalást = 2 · r π + 2rπ · m = 2 · 15 · π(14 + 35) ≈ 4710 cm2 ≈ 0,5 m2 anyagra van szüksége.

120

C M Y K


Legalább 0,5 m2

Hasbok, hengerek Tk.: 126. oldal 5. Pisti felül nyitott henger alakú papírdobozt készít a ceruzáinak. Az alapkör sugara 4,6 cm, magassága 11 cm. Legalább hány dm2 papírra lesz szüksége? A felületet a palást és az alapkör területének összege adja: A = (4,62 · π) cm2 + (2 · 4,6 · π · 11) cm2 = 384,4 cm2 A ≈ 3,84 dm2 Megjegyzés: Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy az előző két példában kiszámított anyagmennyiség biztosan nem elég a probléma valóságos megoldásához, mert az összeillesztésnél szükségesek az átfedések, és jelentős mennyiségű hulladékra is számítani kell!

Mekkora területű a hirdetési felület egy 10 dm átmérőjű, 3,2 m magasságú, henger alakú hirdetőoszlopon? Egyenletesen elosztva hány nagybetű fér el egy vízszintes sorban ezen az oszlopon, ha egy betűnek a jobb oldali szóközzel együtt 9 cm hely kell? 10 dm = 1 m

6.

A hirdető felületet a henger palástja adja: Tp = 2rπ · m = (1 · π · 3,2) m2 ≈ 10,05 m2 A betűk helyét az alapkör kerülete adja: K = (1 · π) m ≈ 3,14 m = 314 m Egy teljes vízszintes körbe 314 : 9 = 34,8 miatt 34 vagy 35 betű írható. A 35 db betűhöz kevesebb „igazítás” kell. Megjegyzés: Egész értéket nem kaphatunk a hányadosra, mert a kör kerülete irracionális szám, amit ha egész számokkal osztunk, ismét irracionális számot kapunk. Mi itt közelítő értékekkel dolgozunk. A valóságban a hirdetőoszlopok plakátjait számítógépes programmal készítik.

7. Józsi bácsi a kert locsolásához henger alakú hordóban gyűjti az esővizet. A hordó átmérője 0,6 m, magassága 120 cm. Legfeljebb hány liter esővizet tud összegyűjteni Józsi bácsi ebben a hordóban? r = 3 dm

m = 12 dm

V = (32 · π · 12) dm3 ≈ 339,3 dm3 = 339,3 l víz

8. Nyári napon álló gumicsőben gyorsan felmelegszik a víz. Hány liter forró víz van egy 2,5 cm átmérőjű, 15 m hosszú csőben? r = 1,25 cm

m = 1500 cm

V = (1,252 · π · 1500) cm3 ≈ 7363,1 cm3 = 7,3631 dm3

V ≈ 7,36 l

9. Milyen magas az a henger alakú lábas, amelynek födője 18 cm átmérőjű, és amelybe 4,5 l víz fér? r = 0,9 dm

V = 4,5 dm3

m=

V = r 2π

4,5 0,92 · π

dm ≈ 1,77 dm = 17,7 cm

10. A vitamintabletták henger alakú dobozának térfogata 98,96 cm3 , alapkörének átmérője 3 cm. Hány db 0,6 cm magasságú tabletta fér bele, ha a henger magasságából a dugó 2 cm-t elfoglal? r = 1,5 cm 98,96 m= cm ≈ 13,99 cm ≈ 14 cm 1,52 · π A tablettáknak a 2 cm-es dugó miatt 12 cm magasságú helyük van. 12 : 0,6 = 20 db tabletta fér a dobozba.

121

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 126–127. oldal 11. Huba 18 literes, henger alakú zárt edényben tartja ugróegereit. Hány cm3 levegőjük van az állatoknak? Mekkora alapterületen szaladgálhatnak az egerek, ha a terrárium 30 cm magas?

18 l = 18 dm

3

30 cm = 3 dm

T ·m= V

T =

18 3

dm2 = 6 dm2 az alapterület.

12. Egy henger alakú, 0,55 m magas elektromos vízmelegítő tartály (villanybojler) alapkörének átmérője 44 cm (külső méretek). Körülbelül hány literes ez a villanybojler? Mérd meg az otthoni vízmelegítő méreteit, és annak is számítsd ki a térfogatát! 0,55 m = 5,5 dm 44 cm = 4,4 dm r = 2,2 dm V = (2,22 · π · 5,5) dm3 ≈ 83,63 dm3 = 83,63 l

13. Egy henger alakú egész sajt alapkörének kerülete 44 cm, magassága 6 cm. Mekkora a sajt térfogata? Hány cm2 annak a piros műanyag fóliának a területe, amellyel be van borítva? 2rπ = 44 cm innen r ≈ 7 cm V = (72 · π · 6) cm3 ≈ 923,63 cm3 A = 2 · 153,94 + (44 · 6) cm2 = 571,88 cm2

14. Egy henger alakú ételtermosz külső méretei: alapkörének átmérője 1,5 dm, magassága 21 cm. Mekkora a használható térfogata, ha belső falát alaplapjain is és a palástján is egyenletesen 1,5 cm-es hőszigetelő réteg burkolja? Körülbelül hány literes ez a termosz? A belső méretek: d = 15 cm − 3 cm = 12 cm r = 6 cm m = 21 cm − 3 cm = 18 cm V = (62 · π · 18) cm3 ≈ 2035,75 cm3 ≈ 2,036 dm2 A termosz kb. 2 literes.

15. A „félhenger” alakú süteménysütő forma teteje egy 33 cm hosszú és 10 cm széles téglalap. Mekkora térfogatú sütemény fér bele? r = 5 cm m = 33 cm 2 5 ·π Vfél = · 33 cm3 ≈ 1295,9 cm3 ≈ 1,3 dm3 2

16. Egy téglalap oldalai: a = 6 cm, b = 4 cm. Rajzold meg annak a hengernek a hálóját, amelyet a téglalap a) a oldalegyenese, b) b oldalegyenese körüli megforgatásával látunk! Mekkora ezeknek a hengereknek a térfogata és felszíne? a)

A = (2 · 42 · π + 2 · 4 · π · 6) cm2 ≈ 251,33 cm2 V = (42 · π · 6) cm3 ≈ 301,6 cm3

122

C M Y K


Hasbok, hengerek Tk.: 127. oldal b)

A = (2 · 62 · π + 2 · 6 · π · 4) cm2 ≈ 376,99 cm2 ≈ 377 cm2 V = (62 · π · 4) cm3 ≈ 452,4 cm3

17. Gyurmából 216 cm3 térfogatú kockát készítünk. Ugyanennyi gyurmából a következő hengereket akarjuk elkészíteni: Vk = 216 cm3 a) alapterülete 36 cm2 , Vh = r 2 π · m = 36 · m = 216, m = 6 cm, r 2 π = 36, innen r ≈ 3,38 cm. b) tengelymetszete négyzet, Ha a tengelymetszet négyzet, akkor m = 2r Vh = r 2 π · 2r = 2r 3 π = 216,

r 3 ≈ 34,37, r ≈ 3,25 cm, m ≈ 6,5 cm. egyenlő. Vh = r 2 π · r = r 3 π = 216, r 3 ≈ 68,75 cm,

c) sugara és magassága Mekkora ezeknek a hengereknek a sugara és a magassága?

m = r ≈ 4,09 cm.

Megjegyzés: a b) és a c) feladatokban zsebszámológép segítségével (próbálgatással) olyan számot keresünk, amelynek a harmadik hatványa az adott szám. Nem kell a köbgyökvonást emlegetni, inkább meg kell becsülni, hogy kb. milyen számot várunk.

18. Egy 1,8 m magas, 32 cm alapkör átmérőjű, egyenes henger alakú farönkből 1,8 m magas maximális méretű egyenes hasáb alakú oszlopot készítünk. Hányszor több hulladék keletkezik egy szabályos háromszög alapú oszlop esetén, mint egy szabályos hatszög alapúnál? A henger átmérője: d = 32 cm, sugara: r = 16 cm = 1,6 dm, magassága: mh = 1,8 m = 18 dm A henger térfogata: Vhenger = (1,62 · π · 18) dm3 ≈ 144,76 dm3 . A szabályos hatszög alapú hasáb magassága ugyanakkora, mint a hengeré, mh = 18 dm. Alaplapja 6 db olyan szabályos háromszögből áll, amelynek minden oldala a kör sugarával: 1,6 dm-rel egyenlő. Ennek magasságát megmérve: m ≈ 1,4 dm-t kapunk. 1,6 · 1,4 tháromszög = dm2 ≈ 1,12 dm2 2 A szabályos hatszög területe: Thatszög = 6 · tháromszög = 6,72 dm2 A hatszög alapú hasáb térfogata: Vhatszöghasáb = (6,72 · 18) dm3 ≈ 120,96 dm3 Vhatszögmaradék = 144,76 dm3 − 120,96 dm3 = 23,8 dm3 A szabályos háromszög és a szabályos hatszög tengelyes szimmetriája miatt a háromszög területe fele a hatszög Thatszög 6,72 dm2 területének. Tehát Tháromszög = = = 3,36 dm2 2 2

123

C M Y K



A szabályos háromszög alapú hasáb térfogata: Vháromszöghasáb = (3,36 · 18) dm3 = 60,48 dm3 Vháromszögmaradék = 144,76 cm3 − 60,48 dm3 = 84,28 dm3 Tehát:

Vháromszögmaradék 84,28 dm3 = ≈ 3,5 Vhatszögmaradék 23,8 dm3

19. Egy egyenes körhenger felszíne 132 · π területegység, palástjának felszíne pedig 96 · π területegység. Mekkora a henger térfogata?

A = 132π területegység, Ta = 2rπ · m = 96π területegység, 132π = Ta + Tp = Ta + 96π, Ta = 36π, r 2 π = 36π, r = 6 és Tp = 96π = 2 · 6 · π · m, innen 8 = m, így a térfogat: V = 62 · π · 8 ≈ 904,78 térfogategység.

20. Hogyan lehet egy ferde hengert egyetlen síkkal elvágni és a keletkezett részeket áthelyezni úgy, hogy a ferde hengerből egyenes hengert kapjunk? Elvégezhető ugyanez a ferde hasábnál is? Ha a hengert az alkotójára merőleges síkkal elmetsszük, és alaplapját a fedőlapra illesztjük. Ferde hasábbal is ugyanígy elvégezhető.

8. óra Vegyes gyakorlófeladatok Eszközök: Az összefoglalásnak megfelelően a korábbi eszközökből bármire szükség lehet. A tervezett játékhoz dominókat készítünk, melyeket a táblára gyurmaragasztóval rögzíthetünk. A dominók olyan méretűek legyenek, hogy azokat az osztályterem utolsó padjából is el lehessen olvasni! Játék: dominók közös kirakása A dominóról a hetedikes tankönyvünk bevezető fejezetében hallottunk már. A dominó játékban a dupla elemeken kívül annyi darab elem van, ahányféleképpen a szereplő figurákat a sorrend figyelembe vétele nélkül párba tudjuk állítani. Ezért az osztály létszámához alkalmazkodva 5·4 4·3 készíthetünk 4 figurából + 4 = 10, 5 figurából + 5 = 15, 6 figurából 2 2 6·5 + 6 = 21 . . . elemű készletet. A dominókra most nem figura kerül, hanem a testekről tanult 2 tulajdonságok valamelyike szöveggel felírva. Szögezzük le, hogy a dominókon csak hengerekről vagy hasábokról lehet szó.

124

C M Y K


Hasbok, hengerek A dupla dominókon pedig ugyanarról a testről fogalmazunk meg jellemző tulajdonságot. A dominókat kiosztjuk. Az a tanuló kezdheti a játékot, aki a dominóján található szöveg alapján kitalálja, hogy milyen testről van szó. Ezeket a testeket a kitalálás után rajzoljuk fel a táblára is! A játékot a dominó szabályai szerint folytatjuk úgy, hogy azokat az elemeket illesztjük egymáshoz, amelyeknek egyik felén a már lerakott dominóval azonos szöveg áll, vagy ugyanazt a testet jellemzi a rajta olvasható tulajdonság. A tanulók egymás után jöhetnek a táblához akkor, ha a saját dominójukon lévő szöveg alapján az éppen a valamelyik lefektetett dominóhoz illeszthető. Mi most egy 21 elemű dominókészlet elemeit készítjük el a következő testekkel. A: egyenes körhenger B: négyszög alapú hasáb D: „vörös kereszt” E: hatszög alapú hasáb A dupla dominók a következők: A alaplapja kör

B

nincs éle

C

6 lapja van

12 éle van

D egyenlő élű hasáb

C: ötszög alapú hasáb F: háromszög alapú hasáb

10 csúcsa van

E 5 egységkockából épült

18 éle van

7 lapja van

F 6 oldallapja van

5 lapja van

6 csúcsa van

A többi 15 dominóra a fenti A, B, C, D, E, F dominókon lévő tulajdonság kerül. 6·5 Ezekből ugyanis = 15 féle párt lehet készíteni. 2 AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF A „vegyes” dominókra a duplákon lévő szöveg helyett a megfelelő test más tulajdonsága is felkerülhet. Például AB lehet: alaplapja kör

4 testátlója van

Ebben a játékban mindenki nyertes lehet. Csak az nem, akinek a játék végén kezében marad a dominó, mert egyszer sem tudta azt letenni, vagy mert a leírt tulajdonság alapján nem ismerte fel a testet. Ezzel a játékkal kiválóan összefoglalhatjuk a hasábról és a hengerről tanultakat.

125

C M Y K



TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ – megoldás 1. Hány átlója van összesen egy négyszög alapú konvex hasábnak? Hány ezek közül testátló és hány lapátló? Készíts rajzot, és a végpontokkal sorold fel az összes átlót! Alaplapon: AC, BD Fedőlapon: EG, F H Oldallapokon: AF , BE, BG, F C, CH , GD, AH , DE Összesen 12 db lapátlója van. A testátlók: AG, BH , CE, DF , ez 4 db. Összesen 16 db átlója van a hasábnak.

2. Négy egységkockából építettük a testet. Milyen hasábot kaptunk? Hány csúcsa, éle és lapja van? Nevezd meg az alaplapjait, az oldallapjait és rajzold le azokat! Konkáv hatszög alapú egyenes hasábot kaptunk. 12 csúcsa, 8 lapja, 18 éle van. Az alapok konkáv hatszögek, az oldallapok téglalapok.

Az ábrán egy 10 cm magas egyenes hasáb alaplapját rajzoltuk fel. A berajzolt átlón áthaladva, az alaplapra merőleges síkkal két részre vágjuk a hasábot. Rajzold le, milyen lapok határolják a vágás után keletkezett két testet!

3.

Számítsd ki az eredeti, és a két új hasáb térfogatát! Veredeti = Talap · m = Ttrapéz · m =

(8 + 4) · 4 · 10 = 240 cm3 2

4·4 · 10 = 80 cm3 2 8·4 = Talap · m = T · m = · 10 = 160 cm3 2

Vúj1 = Talap · m = T · m = Vúj2

126

C M Y K



4. Egy 9 cm alapátmérőjű és 15 cm magas, henger alakú papírpoharat készítünk, majd kékre festjük azt. Rajzold le a pohár készítéséhez szükséges testhálót, és számítsd ki hány dm2 a befestendő felület! A = r 2 π + 2rπ · m A = 4,52 · π + 9π · 15 A = (63,6 + 424,1) cm2 A = 487,7 cm2 ≈ 4,9 dm2

5. Hat darab négyzet alapú, egyenes hasáb alakú gerendából a lehető legnagyobb henger alakú tartóoszlopokat készítjük el. Hány m3 a hulladék, ha a hasáb alapéle 30 cm, magassága pedig 2,8 m? a = 30 cm m = 2,8 m = 280 cm

A henger magassága 2,8 m, alaplapja pedig a négyzetbe írt kör. Vhasáb = 302 · 280 = 252 000 [cm3 ] Vhenger = 152 · π · 280 ≈ 197 920,34 [cm3 ] Vhulladék = Vhasáb − Vhenger = 54 079,7 [cm3 ] ≈ 0,05 m3

a = 2r = 30 cm r = 15 cm

127

C M Y K


Hasbok, hengerek ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ A csoport 1. Az egynemű tagok összevonásával írd egyszerűbb alakba az algebrai kifejezéseket! Az ismeretlenek megadott értékére számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét! 2 2 a) x + 4y + 2x − y x=− ;y=1 b) 2x + y − 0,6x − 1,2y x = 10; y = −5 3 5 2. Oldd meg az egyenleteket! Ellenőrizz! 3 x a) 7 − (2 + x) = 2(x − 5) b) x − 4 = + 18 4 5 3. Három testvér közül a legidősebb kétszer annyi idős, mint a legfiatalabb, a középső 3 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Hat év múlva együttes életkoruk 40 év lesz. Hány évesek most a testvérek? 4. Rajzoljuk meg egy kocka három lapátlóját úgy, hogy azok háromszöget alkossanak! Milyen tulajdonságú ez a háromszög? 5. Olyan egyenes körhenger alakú, felül nyitott ceruzatartót készítünk, amelynek magassága 1,6 dm, alapkörének átmérője pedig ennek a 45%-a. Elég lesz-e 600 cm2 kartonpapír? Rajzolj egy olyan 600 cm2 területű téglalapot, amelyre a ceruzatartó hálója ráférne, és szerkeszd meg rá a ceruzatartó hálóját!

128

C M Y K


Hasbok, hengerek ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ – megoldás A csoport 1. Az egynemű tagok összevonásával írd egyszerűbb alakba az algebrai kifejezéseket! Az ismeretlenek megadott értékére számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét! 2 a) x + 4y + 2x − y x=− ;y=1 3 2 2 2 2 2 x + 4y + 2x − y = 3x + 3y = 3 (x + y) = 3 · − 23 + 1 = 3 ·

2 b) 2x + y − 0,6x − 1,2y 5

1 3

2 = 1

12 pont

x = 10; y = −5

2 2 2 2 2 2 2 2x + y −0,6x −1,2y = 2x + 0,4y − 0,6x −1,2y = 1,4x − 0,8y = 1,4 · 10 − 0,8 · (−5) = 14 + 4 = 18 5

12 pont

2. Oldd meg az egyenleteket! Ellenőrizz! a) 7 − (2 + x) = 2(x − 5) 7 − 2 − x = 2x − 10

2

5 − x = 2x − 10

2

5 = 3x − 10

2

15 = 3x

2

x=5

2

Ellenőrzés: 7 − (2 + 5) = 7 − 7 = 0 2 · (5 − 5) = 2 · 0 = 0 0=0

2 2 2 14 pont

b)

x 3 x − 4 = + 18 4 5

15 4 x−4= x + 18 20 20 11 x − 4 = 18 20 11 x = 22 20 20 x = 22 · 11 x = 40 3 Ellenőrzés: · 50 − 4 = 30 − 4 = 26 4 40 + 18 = 8 + 18 = 26 5 26 = 26

4 2 2 2 2 2 2 16 pont

129

C M Y K


Hasbok, hengerek 3. Három testvér közül a legidősebb kétszer annyi idős, mint a legfiatalabb, a középső 3 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Hat év múlva együttes életkoruk 40 év lesz. Hány évesek most a testvérek? most

hat év múlva

legfiatalabb

x éves

(x + 6) éves

2

legidősebb

2x éves

(2x + 6) éves

2

(2x − 3) éves

(2x − 3 + 6) = 2x + 3 éves

középső

x + 6 + 2x + 6 + 2x + 3 = 40

2 2

5x + 15 = 40

2

5x = 25

1

x=5 2 2 A legfiatalabb most 5 éves, a középső 7 éves, a legidősebb 10 éves. Ellenőrzés: Hat év múlva (11 + 13 + 16) = 40 évesek lesznek együtt.

1

2 16 pont

Rajzoljuk meg egy kocka három lapátlóját úgy, hogy azok háromszöget alkossanak! Milyen tulajdonságú ez a háromszög?

4.

A három lapátló egyenlő hosszú, mert mindegyik egy-egy egyenlő szárú, derékszögű háromszög átfogója. Ezért ez a három szakasz szabályos háromszöget alkot. (KLM) 14 pont

5. Olyan egyenes körhenger alakú, felül nyitott ceruzatartót készítünk, amelynek magassága 1,6 dm, alapkörének átmérője pedig ennek a 45%-a. Elég lesz-e 600 cm2 kartonpapír? Rajzolj egy olyan 600 cm2 területű téglalapot, amelyre a ceruzatartó hálója ráférne, és szerkeszd meg rá a ceruzatartó hálóját! m = 16 cm d = 16 · 0,45 = 7,2 (cm) Az alapkör kerülete = 22,62 cm. A magasság és az átmérő összege: 23,2. Ha a 600 cm2 -es lap 24 × 25-ös méretű, akkor el tudjuk készíteni belőle a ceruzatartót.

Tehát elég a 600 cm2 -es papír. 16 pont

Összesen: 100 pont

130

C M Y K


Hasbok, hengerek ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ B csoport 1. Az egynemű tagok összevonásával írd egyszerűbb alakba az algebrai kifejezéseket! Az ismeretlenek megadott értékére számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét! 3 6 a) 5x + y = x + 3y x=− ;y=1 b) x + 0,8y − 0,4x − 2,5y x = −5; y = 10 4 5 2. Oldd meg az egyenleteket! Ellenőrizz! x 7 a) 8 − (3 + x) = 3(x − 5) b) x − 3 = + 19 6 4 3. Három testvér közül a legidősebb háromszor annyi idős, mint a legfiatalabb, a középső 2 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Öt év múlva az együttes életkoruk 69 év lesz. Hány évesek most a testvérek? 4. Rajzoljuk meg egy négyzet alapú egyenes hasáb három lapátlóját úgy, hogy azok háromszöget alkossanak! Milyen tulajdonságú ez a háromszög? 5. Olyan egyenes körhenger alakú, felül nyitott ceruzatartót készítünk, amelynek magassága 1,5 dm, alapkörének átmérője pedig ennek a 60%-a. Elég lesz-e 720 cm2 kartonpapír? Rajzolj egy olyan 720 cm2 területű téglalapot, amelyre a ceruzatartó hálója ráférne, és szerkeszd meg rá a ceruzatartó hálóját!

131

C M Y K


Hasbok, hengerek ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ – megoldás B csoport 1. Az egynemű tagok összevonásával írd egyszerűbb alakba az algebrai kifejezéseket! Az ismeretlenek megadott értékére számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét! 3 a) 5x + y = x + 3y x=− ;y=1 4 2 2 2 2 2 5x + y − x + 3y = 4x + 4y = 4(x + y) = 4 · − 34 + 1 = 4 ·

b)

6 x + 0,8y − 0,4x − 2,5y 5

1 4

2 = 1

12 pont

x = −5; y = 10

2 2 2 2 2 2 6 x + 0,8y − 0,4x − 2,5y = 1,2x + 0,8y − 0,4x − 2,5y = 0,8x − 1,7y = −4 − 17 = −21 5

12 pont

2. Oldd meg az egyenleteket! Ellenőrizz! a) 8 − (3 + x) = 3(x − 5) 8 − 3 − x = 3x − 15

2

5 − x = 3x − 15

2

20 − x = 3x

2

20 = 4x

2

x=5 Ellenőrzés: 8 − (3 + 5) = 0

2 2

3 · (5 − 5) = 0

2

0=0

2 14 pont

b)

7 x x − 3 = + 19 6 4 14 3 x−3= x + 19 12 12 11 x − 3 = 19 12 11 = 22 12 12 x = 22 · 11 x = 24 7 Ellenőrzés: · 24 − 3 = 28 − 3 = 25 6 24 + 19 = 6 + 19 = 25 4 25 = 25

132

C M Y K


4 2 2 2 2 2 2 16 pont

Hasbok, hengerek 3. Három testvér közül a legidősebb háromszor annyi idős, mint a legfiatalabb, a középső 2 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Öt év múlva az együttes életkoruk 69 év lesz. Hány évesek most a testvérek? most

öt év múlva

legfiatalabb

x éves

(x + 5) éves

2

legidősebb

3x éves

(3x + 5) éves

2

(3x − 2) éves

(3x − 2 + 5) = 3x + 3 éves

középső

x + 5 + 3x + 5 + 3x + 3 = 69

2 2

7x + 13 = 69

2

7x = 56

1

x=8

1

1 1 A legfiatalabb most 8 éves, a középső 22 éves, a legidősebb 24 éves. Ellenőrzés: Hat év múlva (13 + 27 + 29) = 69.

2 16 pont

Rajzoljuk meg egy négyzet alapú egyenes hasáb három lapátlóját úgy, hogy azok háromszöget alkossanak! Milyen tulajdonságú ez a háromszög?

4.

A KLM egyenlő szárú háromszög, mert KM = KL, két egybevágó derékszögű háromszög egy-egy átfogója. 14 pont

5. Olyan egyenes körhenger alakú, felül nyitott ceruzatartót készítünk, amelynek magassága 1,5 dm, alapkörének átmérője pedig ennek a 60%-a. Elég lesz-e 720 cm2 kartonpapír? Rajzolj egy olyan 720 cm2 területű téglalapot, amelyre a ceruzatartó hálója ráférne, és szerkeszd meg rá a ceruzatartó hálóját! m = 15 cm d = 15 · 0,6 = 9 cm Az alapkör kerülete: 28,27 cm Ha a papír 24×30-as téglalap, akkor el tudjuk készíteni belőle a ceruzatartót.

Tehát elég a 720 cm2 területű papír. 16 pont

Összesen: 100 pont

133

C M Y K


Feladatgyűjtemény

Szmelmlet SZÁMELMÉLET Oszthatóság 260. Egy halkereskedő az ivadékhalakat külön akváriumban tartja, nehogy a kifejlett példányok megegyék a kicsiket. A nevelő akváriumban 23 algaevő, 32 törpeharcsa, 148 vitorláshal és 152 aranyhal van. Mikor a halak „felcseperednek”, öt új akváriumba akarja szétrakni azokat. Lehetséges-e, hogy mindegyik akváriumba ugyanannyi hal kerüljön? Minden akváriumba 71 hal kerül.

261. Jelöld pirossal a számegyenesen azokat a számokat, amelyek 3-mal oszthatóak, kékkel azokat, amelyek 3-mal osztva 1-et adnak maradékul. Milyen tulajdonságú számok maradtak színezetlenül? Színezetlenek a 3k + 2 alakú számok. P K

P K

P K

P K

P K

P K

P K

P K

P K

P K

P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

262. Írd be a táblázat megfelelő helyére a kártyákon levő betűket! A 2 · 5 · 11 B 11 + 11 + 11 C (2 + 4 + 6) · 11 E 10 · 11 · 12

F 5·9+3·4

G 2 + 5 + 11

D 6 · 11 + 3 H 10 + 11 + 12

Páros Osztható 10-zel 11-nek többszöröse Többszöröse a 3-nak 3-as maradéka 1 Igaz

A, C,

A,

E

A,

B,

C,

E

B, C, D, E, F, G, H

D,

F,

G,

H

A

E, G

Hamis B, D, B, C, D, F, G, H F, H

A, B, C, D, E, F,

G,

H

263. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, és melyik hamis! Válaszodat indokold! a) Minden 6-tal osztható szám osztható 3-mal is. Igaz. b) Nincs olyan 3-mal osztható szám, amely 6-tal is osztható lenne. Hamis, pl.: 12. c) Két 3-mal osztható szám összege osztható 6-tal. Hamis, pl.: 3 + 6 = 9 nem osztható 6-tal. d) Ha egy szám 3-mal osztva 1 maradékot ad, akkor 6-tal osztva is 1 a maradék. Hamis, pl.: 4. e) Ha egy szám 6-tal osztva 1 maradékot ad, akkor 3-mal osztva is 1 a maradék. Igaz. 264. Két természetes szám összege osztható 7-tel. Melyik állítás biztosan igaz, melyik lehetséges, és melyik lehetetlen? a) Mindkét szám osztható 7-tel. Lehetséges. b) Csak az egyik szám osztható 7-tel. Lehetetlen. c) A két szám különbsége is osztható 7-tel. Lehet, de csak akkor, ha mindkét szám osztható 7-tel. d) Ha az egyik szám 7k +1 alakú, akkor a másik 7-tel osztva 6-ot ad maradékul (k pozitív egész számot jelöl). Igaz, mert az összeg csak így osztható 7-tel. 265. Jelöld a számegyenesen azokat a számokat, amelyek 3-as maradéka 1! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

a) A 16 , 108, 151 , 612, 986, fenti halmazba tartoznak!

1360 számok közül karikázd be azokat, amelyek a

136

C M Y K

TEX 2014. június 3. –18:50 (1. lap/136. old.) ∗ Matematika 8. ∗ (K7-F6)

Szmelmlet b) Melyik a századik megjelölt szám? A 298, mert ezek a számok 3k + 1 alakúak és k a 0-tól indul. c) A megjelölt számok közül hányadik a 22, a 460 és a 2002? 8; 154; 668, mert pl.: 2002 = 3k + 1 egyenletből k = 667, s mivel 0-tól indul a számolás, ezért a szám 1-gyel nagyobb.

266. Helyezd el a 7, 18, 34, 57, 111, 211, 328, 357, 413, 497, 542, 899 számokat a megfelelő halmazba! Adj össze, illetve szorozz össze két-két azonos halmazba tartozó számot! Mit tapasztalsz a 3-mal való oszthatóság szempontjából? 18

3k

3k + 1

7

57

3k + 2 413

34

111

497

211

357

542

328

899

A 3k alakú számok összege és szorzata is 3k alakú lesz. A (3k + 1) alakú számok összege már 3l + 2 alakú, hiszen összeadódnak a maradékok, de két ilyen szám szorzata továbbra is 3k + 1 alakú marad. A 3k + 2 alakú számok összege és szorzata is 3l + 1 alakú lesz, mert a két maradék összege és szorzata is 4.

267. Töltsd ki az 5-tel való osztási maradékokra vonatkozó összeadási, illetve szorzási táblázatot! +

0

1

2

3

4

·

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

0

1

0

1

2

3

4

2

2

3

4

0

1

2

0

2

4

1

3

3

3

4

0

1

2

3

0

3

1

4

2

4

4

0

1

2

3

4

0

4

3

2

1

Érdemes egy kicsit nézegetni a táblázatokat! Mindkettő szimmetrikus a főátlójára. Az összegző táblázatban a számok minden sorban rendre követik egymást: 0, 1, 2, 3, 4; csak az első oszlop kezdő eleme is mindig eggyel nő. A szorzási táblánál már nincs ilyen szép „végtelenített szalag” tulajdonsága a sorozatoknak. Itt megjegyzésre méltó, hogy az első sor és az első oszlop csak 0-t tartalmazhat.

268. A 6 , 22 , 7 , Melyik kettő lehet az, ha

13 ,

0

számkártyákból becsukott szemmel kettőt kihúztunk.

Célszerű felírni az adott számok 5-ös maradékait. 6 → 1 22 → 2 7 → 2 13 → 3; 0 → 0

a) 22 + 13 5-tel osztható, vagy 7 + 13

b) 22 − 7 5-tel osztható,

c) 0 · Bármelyik szám 5-tel osztható,

d) 0 : Bármelyik szám 5-tel osztható?

269. Hány olyan kétjegyű természetes szám van, amely 5-tel osztva 2-t ad maradékul? 18. Ezek a számok számtani sorozatot alkotnak 5-ös differenciával. A legkisebb ilyen kétjegyű szám a 12, a legnagyobb a 97.

270. Egy k szám 5-ös maradéka 3, egy l szám 5-ös maradéka pedig 2. Mekkora az 5-ös maradéka a) (k + l)-nek, 0 b) (k − l)-nek, 1 c) (k · l)-nek, 1 d) (3k − 2l)-nek? 0 Elég a maradékokkal számolni, jobb csoportokban érdemes a számok általános alakjával indokolni is (k = 5n + 3 és l = 5m + 2).

271. Egy m szám 8-as maradéka 6, egy n szám 8-as maradéka pedig 2. Mekkora a 8-as, illetve a 4-es maradéka a a) (m + n)-nek, 0; 0 b) (m − n)-nek, 4; 0 c) (m · n)-nek, 4; 0 d) (3m − 2n)-nek? 6; 2

137

C M Y K


Szmelmlet 272.

1155 = ? Minden számnak sok neve van. Párosítsd össze a szám neveit a szám tulajdonságaival! a) 3 · 5 · 7 · 11

b) 55 · 21

c) 9 · 128 + 3

d) 13 · 88 + 11

B) Az 55 éppen 21-szer van meg benne

A) Nem osztható 9-cel

D) 100-zal osztva 55 a maradéka

E) A 13-as maradéka 11

e) 1100 + 55 C) Páratlan szám

F) Osztható 7-tel

Az egyes tulajdonságokat a szám többféle felírásából is kiolvashatjuk. Pl.: a − A; a − B; a − C; a − F ; b − B; c − A; c − C; d − C; d − E; e − C; e − D

273. Egy szám osztható 2-vel, 3-mal és 5-tel. Írjál még olyan számokat, amelyekkel biztosan osztható még! Kombinatorikai feladat: 1; 2 · 3; 2 · 5; 3 · 5; 2 · 3 · 5 274. A a) d) f)

3 · 13 · 23 számnak keresd meg minél több osztóját! Igaz-e, hogy ez a szám páratlan, igaz b) osztható 13-mal, igaz c) a 23 éppen 3 · 13-szor van meg benne, igaz a 3-as maradéka 1, hamis, mert osztható 3-mal e) nem osztható 9-cel, igaz az 5-ös maradéka 2? igaz

Összesen 8 osztója van a számnak: 1; 3; 13; 23; 3 · 13; 3 · 23; 13 · 23; 3 · 13 · 23

275. Írj egy-egy pozitív egész számot a hiányzó helyekre, hogy a kapott szám a) 4-nek, b) 6-nak többszöröse legyen! 2·

· 3 · 11

5·

·

·7

12 · 5 +

(1 + 2 + 3 + 4 + 5) ·

A feladatnak végtelen sok megoldása van. Az általunk megadott számok minden többszöröse is eleget tesz a feladat követelményének. 2· a)

· 3 · 11 =2

b)

=1

5·

· =

·7 =2

=1

=4

=2

=3

=1

=6

12 · 5 +

(1 + 2 + 3 + 4 + 5) ·

=4

=4

=6

=2

276. Keresd meg azokat a számokat, amelyek Az egyik szám x, a másik 12x. a) összege 1664, és az egyik szám 12-szerese a másiknak, x + 12x = 1664; a számok 128 és 1536. b) különbsége 7007, és az egyik szám 12-szerese a másiknak, 12x − x = 7007; a számok 7644; 637. c) szorzata 108, és az egyik szám 12-szerese a másiknak! 12 · x · x = 108, innen 12 · x 2 = 108, így x 2 = 9. A számok 3 és 36 vagy (−3) és (−36).

277. Egy szám nyolcszorosának és négyszeresének összege 4836. Mennyi a két szám különbsége? 8x + 4x = 4836, innen x = 403. A számok 3224 és 1612. Különbségük 1612.

278. Vegyél három egymást követő pozitív egész számot! Vedd a számok a) összegét, b) szorzatát! Vizsgáld meg a kapott eredményeket 3-mal való oszthatóság szempontjából! Sejtésedet próbáld igazolni is!

138

C M Y K


Szmelmlet A számok: n, n + 1, n + 2. Összegük 3n + 3, azaz mindig osztható 3-mal. A három egymást követő szám valamelyike többszöröse a 3-nak, ezért a szorzatuk is. A gyerekek próbálkozás után rá szoktak jönni a megoldásra, de az igazolást szeretik elbliccelni, hiszen az nem könnyű.

279. Van-e olyan n pozitív egész szám, amelyre az

n+1 n+8 és az tört kifejezés is egész értékű? 6 15

Nincs. Egy tört egész értékű, ha a nevező osztója a számlálónak. Így 6 osztója az (n + 1)-nek, ezért a 3 is osztója az (n + 1)-nek. Hasonlóan, a 15 osztója az (n + 8)-nak, innen a 3 osztója az (n + 8)-nak. Ha a 3 mindkét számlálónak osztója, akkor a különbségüknek is, ami 7. Ez nem igaz, tehát a két törtkifejezés azonos n-re nem lehet egész értékű.

280. Két pozitív egész szám közül a nagyobbat elosztva a kisebbel a hányados is és a maradék is 3. Összeadva a két számot, a hányadost és a maradékot, 137-et kapunk. Melyik két számmal végeztük az osztást? Ha két szám osztásakor maradék keletkezik, akkor az osztandót a maradékkal csökkentve a hányados már egész 17 (17 − 1) szám lesz. Pl.: = 2 és marad 1, azaz = 2. Ez a gondolat a feladat megoldásának a kulcsa. 8 8 Jelöljük a nagyobb számot n-nel, a kisebbiket k-val: n − 3 = 3 · k, azaz n = 3k + 3. Összegük: n + k + 3 + 3 = 137, felhasználva a nagyobb számra kapott összefüggést: 3k + 3 + k + 3 + 3 = 137. Innen k = 32 és n = 99.

Tehát a két szám: 99 és 32.

Ellenőrzés: 99 : 32 = 3. 3

99 + 32 + 3 + 3 = 137.

281. Egy 13 × 31-es táblázat minden egyes mezőjébe számokat írunk úgy, hogy a számok összege bármelyik sorban és bármelyik oszlopban ugyanaz a szám. Melyik lehet ez a szám? (Varga Tamás-verseny, 1994)

A kapott összeget jelöljük s-sel. Így a sakktáblán levő összes szám összegét ha soronként számoljuk, akkor 13·s-et, míg ha oszloponként számoljuk, akkor 31 · s-et kapunk. A két összeg egyenlő: 13 · s = 31 · s, innen s = 0.

Összetett oszthatósági szabályok 282. Pótold a hiányzó számjegyeket úgy, hogy a kapott számok oszthatók legyenek a) 2-vel, b) 5-tel, c) 4-gyel, d) 20-szal, e) 8-cal, 384 9 28 5 3 7

384

f) 125-tel! 4

2-vel

5-tel

4-gyel

20-szal

8-cal

125-tel

0, 2, 4, 6, 8

0, 5

0, 4, 8

0

0, 8

Nincs megoldás

9

28

0, 1, . . . , 9

Nincs

0, 1, . . . , 9

megoldás 5

3 Nincs megoldás

Nincs megoldás

7

4

Nincs

1, 3, 5, 7, 9

megoldás Nincs megoldás

Nincs

Nincs megoldás

Nincs megoldás

megoldás

Nincs megoldás

= 0, 1, . . . , 9 Nincs

= 0, 1, . . . , 9 Nincs

= 0, 1, . . . , 9 Nincs

= 0, 1, . . . , 9 megoldás

= 0, 2, 4, 6, 8 megoldás

= 0, 4, 8

megoldás

139

C M Y K


Szmelmlet 283. A számoknak csak néhány számjegyét ismered. Melyikről tudod eldönteni, hogy osztható-e a kérdéses számmal? Töltsd ki a táblázatot (igen, nem, lehet beírásával)! Osztható

2-vel

4-gyel

8-cal

5-tel

10-zel

20-szal

25-tel

125-tel

40

Igen

Igen

Lehet

Igen

Igen

Igen

Nem

Nem

50

Igen

Nem

Nem

Igen

Igen

Nem

Igen

Lehet

Nem

Nem

Nem

Igen

Nem

Nem

Igen

Nem

Igen

Nem

Nem

Nem

Nem

Nem

Nem

Nem

675 14

284. Mennyi a felsorolt számok 4-es, 25-ös és 8-as maradéka? 8625, 1, 0, 1 73 452, 0, 2, 4 1624, 0, 24, 0

95 675 3, 0, 3

5, 6. 285. Ezek a számkártyáid vannak: 4 , Háromjegyű számok Hány háromjegyű számot tudsz készíteni belőlük? 6 N a) Hány lesz közülük 5-tel osztható? (Ö) 2 456 b) Hány lesz közülük 4-gyel osztható? (N) 2 c) Hány lesz közülük 10-zel osztható? 0 564 d) Hány lesz közülük 20-szal osztható? 0 Írd be a számokat a halmazábra megfelelő részébe! Milyen tulajdonságú számok kerülnek a két hal546 654 maz metszetébe?

Ö 465 645

20-szal oszthatók kerülnének ide, de most nincs ilyen szám.

286. Ezek a számkártyáid vannak: 0 , 4 , 5 , 6 . Hány háromjegyű számot tudsz készíteni belőlük? 18 a) Hány lesz közülük 5-tel osztható? (Ö) 10 b) Hány lesz közülük 4-gyel osztható? (N) 8 c) Hány lesz közülük 10-zel osztható? 6 d) Hány lesz közülük 20-szal osztható? 4 Írd be a számokat a halmazábra megfelelő részébe! Milyen tulajdonságú számok kerülnek a két halmaz metszetébe?

Háromjegyű számok

406

N

506

Ö

456

460 540 560 640

504 604 564

654

450 405 465 645 605 650

546

A 20-szal osztható számok.

287. Készíts olyan halmazábrát, amelyen az 5-tel, illetve a 10-zel osztható számokat ábrázolod! Helyezd el az ábrán a következő számokat! 95, 59, 225, 1225, 1000, 803, 308, 380, 103 , 3 · 105

Számok

59 95

1225

Ö T

1000 3 · 105

803 225 3

10 380

288. Hány olyan kétjegyű szám van, amelyik 5-tel osztva 2-t ad maradékul? Ezek a számok: 12, 17, 22, . . . , 97 számtani sorozat elemei, ahol a1 = 12, d = 5 és 18 ilyen szám van.

Mit tudsz mondani az 5-tel való oszthatóság szempontjából két ilyen szám a) összegéről, 4 A számok 5k + 2 alakúak. 2

5 k 5 19

b) különbségéről, 0

c) szorzatáról? 4

140

C M Y K


308

Szmelmlet 289. Mi a valószínűsége annak, hogy a 345 a) páros, Közülük 5 páros, ezért a valószínűség

szám Összesen 10 szám képezhető. 5 1 = . 10 2

2 1 = . 10 5 1 Csak az 50 végződésű szám jó, a valószínűség . 10

b) 4-gyel, Az 52 és az 56 osztható 4-gyel, a valószínűség c) 25-tel,

d) 8-cal osztható? A 456 végződésű szám osztható 8-cal, a valószínűség

1 . 10

290. Mennyi a felsorolt számok 9-es, illetve 3-as maradéka? 676, 1, 1 8452, 1, 1 9745, 7, 1 835 + 247, 7 + 4 = 11 → 2, 1 + 1 = 2 6312 − 1001, 3 − 2 = 1, 0 − 2 → 1 612 · 1953 0 · 0 = 0, 0 · 0 = 0 Helyezd el a következő számokat a halmazábra megfelelő részébe! Van-e olyan rész, ahová nem kerülhet szám? H = {hárommal oszthatók} K = {kilenccel oszthatók} Nincs olyan szám, ami

291. Számok H 34 251 555 555

801 234 000 6336 10 008 80 001 53 712

K

kilenccel osztható, de hárommal nem.

801, 34 251, 1000, 6336, 5 555 55, 104 , 80 001, 53 712

1000 104

292. Egészítsd ki a hiányzó számjegyeket, hogy 42

,

5

a) 3-mal,

4, 4

3 3

b) 9-cel osztható számot kapjál!

91,

91

234 000, 10 008,

5

5

8

42

5

8

3-mal

0, 3, 6, 9

0, 3, 6, 9

2, 5, 8

+

= 2, 5, 8, 11, 14, 17, ez 33 szám

9-cel

3

0, 9

5

+

= 5, 14, ez 11 szám

293. Mennyi a legkisebb és a legnagyobb 3-mal osztható háromjegyű szám összege? 102 + 999 = 1101 294. Hány háromjegyű számot lehet kirakni a

2,

3,


Hat háromjegyű szám készíthető.

A számok közül hány lesz osztható a) 2-vel, 4 b) 3-mal, 6 c) 4-gyel, 2

d) 5-tel, 0

e) 9-cel? 6

295. A számok egy-egy számjegyét nem ismerjük. Döntsd el, melyik állítás igaz! a)

2 4 6

b) 5

6 0

Ez a szám osztható 2-vel, de nem osztható 4-gyel. Igaz. Ez a szám osztható 4-gyel és 8-cal. Lehet, de nem biztos.

c) 1 2 3

Ez a szám nem osztható 25-tel. Igaz.

d) 3 2 3

Ez a szám lehet, hogy osztható 125-tel. Hamis.

141

C M Y K


Szmelmlet 296. Számok

830

7654

H 333 333

4006

N 504

63 412 103

234 000

10

4

6004

Helyezd el a következő számokat a halmazábra megfelelő részébe! Van-e olyan rész, ahová nem kerülhet szám? H = {hárommal oszthatók} N = {néggyel oszthatók} 830, 504, 63 412, 234 000, 7654, 333 333, 103 , 104 , 6004, 4006

Minden részbe kerülhet szám. A két halmaz közös részében a 12-vel osztható számok vannak.

297. Helyezd el a következő számokat a halmazábra megfelelő részébe! Van-e olyan rész, ahová nem kerülhet szám? H = {hárommal oszthatók} Ha = {hattal oszthatók} K = {kilenccel oszthatók} 286, 5120, 2450, 3654, 333, 4 3333, 30 303, 1948, 10 , 3 2 · 5 · 13 50 004, 3 · 10 , Ha egy szám osztható 6-tal, illetve 9-cel, akkor 3-mal is. Ezért van üres rész a halmazban.

Számok Ha

H 3 · 103

3333 333 30 303

50 004 3654

286

1948

5120

10

K

2450

298. Hány különböző háromjegyű számot tudsz kirakni a

4,

2,

0,

4

2 · 5 · 13


18 háromjegyű szám készíthető, mert a százasok helyén csak a 4, 3, 2 állhat, a tizesek helyére ismét 3 számjegy kerülhet, míg az egyesek helyére a maradék két kártya közül választhatunk.

Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen választott ilyen szám osztható lesz a) 3-mal, Hárommal osztható a szám, ha a 0 , 2 , 4 , illetve a 2 , 3 , 4 számkártyákat használjuk, ez 4 + 6 = 10 10 5 = . 18 9 2-vel, A gyerekek le szokták írni a számokat, és kikeresik a feladat szövegének megfelelőt: 14 szám. A versenyzők miatt érdemes a kombinatorikai úton történő megoldásokat is megbeszélni: 1. Mivel egyetlen páratlan számkártyánk van, az összes számból elvesszük a páratlan számok számát: az egyesek helyén 3-as áll a százasok helyén csak 2 vagy 4 állhat: 2 eset a tízesek helyén a maradék 2 számkártya lehet (0–2 vagy 0–4): 2 eset 14 7 Páratlan szám 2 · 2 = 4 van, ezért páros 18 − 4 = 14. A valószínűség = . 18 9 2. A szám páros, ha I. 0-ra végződik, ekkor a százasok helyén 3-féle, a tízesek helyén 2-féle számkártya lehet: 3 · 2 = 6 szám. II. 2-re vagy 4-re végződik, ekkor a százasok helyére nem írhatunk 0-t, így csak 2-féle számkártyát tehetünk (2–3 vagy 4–3), a tízesek helyére a maradék 2 kártya közül választhatunk: 2 · 2 · 2 = 8 szám. Összesen 6 + 8 = 14 2-vel osztható szám lesz. 14 7 = . A valószínűség: 18 9 6-tal, A hárommal oszthatóak közül a páros számok a megoldások: 0 , 2 , 3 esetén mind a 4 szám páros. 4 8 = . A 4 , 2 , 3 esetén is 4 páros szám van, így 8 a megoldás. A valószínűség: 18 9 számot ad. A valószínűség

b)

c)

142

C M Y K


Szmelmlet d) 9-cel? 2 , 3 , 4 számkártyákból 6 szám rakható ki. A valószínűség:

1 6 = . 18 3

299. Egyszerűsítsd a törteket! 513 171 , 471 157

621 69 , 801 89 300. A 4986 c) 5-ös,

3256 814 , 5316 1329

625 25 , 350 14

7250 145 , 550 11

705 47 585 39

ötjegyű szám végén olyan számkártya van, hogy a szám a) 3-as, b) 4-es, d) 9-es maradéka megegyezik a 4986 megfelelő maradékával. Mi áll a kártyán?

Célszerű a számok maradékaival számolni. 4986 maradéka

3-as 0

4-es 2

5-ös 1

9-es 0

0, 3, 6, 9

2, 6

1, 6

0, 9

301. Milyen számjegyet írhatsz a 492 végére, hogy 15-tel osztható számot kapj? Egy szám akkor osztható 15-tel, ha 3-mal és 5-tel is osztható. Az 5-tel való oszthatóság miatt a szám utolsó számjegye 0 vagy 5 lehet. A hárommal való oszthatósághoz elég a számjegyek összegét vizsgálni: 4 + 9 + 2 + 0 osztható 3-mal, míg 4 + 9 + 2 + 5 nem. Tehát a keresett számjegy csak a 0 lehet.

302. Igaz-e, hogy ha egy szám számjegyeinek összege osztható 27-tel, akkor a szám is osztható 27tel? Nem. Elég egy ellenpéldát mondani. Ez a szám vagy 999, ami a 27 többszöröse, vagy minimum 4 számjegyű. A legkisebb négyjegyű ilyen szám az 1899 már nem osztható 27-tel. Ez a feladat azért fontos, mert a gyerekek a 3-mal és 9-cel való oszthatósági szabályt szeretnék kiterjeszteni a 27-re is.

303. Három pozitív egész szám szorzata 30, összegük pedig a 4 többszöröse. Melyik az a három szám? a · b · c = 30 és a + b + c osztható 4-gyel. Felírjuk a szorzatra vonatkozó lehetőségeket és az összeggel ellenőrizünk. a · b · c = 30 a+b+c

1 · 1 · 30 32

1 · 2 · 15 18

1 · 3 · 10 14

1·5·6 12

2·3·5 10

Két számhármas van: 1, 1, 30 és az 1, 5, 6.

304. Melyik az a legkisebb szám, amely csak 0-s és 6-os számjegyekből áll, és osztható 45-tel? Van-e legnagyobb ilyen szám? Egy szám akkor osztható 45-tel, ha 5-tel és 9-cel is osztható. Mivel csak 0 és 6-os számjegyeink vannak, így az 5-tel való oszthatóság miatt a szám 0-ra végződik. A számjegyek összegének 9 többszörösének kell lennie, ezért minimum 3 darab 6-os számjegy kell. A keresett szám 6660, ami valóban többszöröse a 45-nek: 6660 = 45 · 148. Legnagyobb szám nincs, mert a 3 darab 6-os akárhányszor még hozzáírható a legkisebb szám 0-ja elé és akárhány 0-t közbeiktathatunk.

Törzsszámok (prímszámok), összetett számok 305. Használd a tankönyv 13. oldalán levő prímtáblázatot! Keresd ki a táblázatból a) a 28-adik és a 12-edik, 107 + 37 = 144 b) a 138-adik és a 125ödik 787 + 691 = 1478 prímszámot! Képezd ezek összegét! Milyen számot kaptál oszthatósági szempontból? Mindkét összeg páros, mert két páratlan szám összege.

143

C M Y K


Szmelmlet 306. Hányadik prímszám? a) 37 12 b) 373 74 c) 829 145 d) 1217 199 Melyik a legkisebb prímszám? Mit gondolsz, van-e legnagyobb prímszám? A legkisebb prímszám a 2, és nincs legnagyobb prím, amit a középiskolában igazolni is fognak.

307. A következő prímek közül melyik lehet az egyik tagja egy ikerprím párnak? Válaszodat karikázd be! a) 17 17–19 e) 599 599–601

b) 23 f) 829 827–829

c) 43 41–43 g) 1019 1019–1021

d) 89 h) 1109

308. Építsd fel szorzással az adott prímtéglákból a lehető legnagyobb számot! Keresd meg a szám összes osztóját! a)

5

7

2

b)

5

7

a) 2 · 5 · 7

Osztói: 1, 2, 5, 7, 2 · 5, 2 · 7, 5 · 7, 2 · 5 · 7

b) 5 · 72

Osztói: 1, 5, 7, 5 · 7, 72 , 5 · 72

7

c)

3

7

11

13

c) 3 · 7 · 11 · 13 Osztói: 1, 3, 7, 11, 13, 3 · 7, 3 · 11, 3 · 13, 7 · 11, 7 · 13, 11 · 13, 3 · 7 · 11, 3 · 7 · 13, 7 · 11 · 13, 3 · 11 · 13, 3 · 7 · 11 · 13

309. Építsd fel szorzással az adott prímtéglákból a lehető legnagyobb számot! Ezután ugyanezekből a prímtéglákból építs kisebb számokat! Osztói-e az így kapott számok az eredetinek, és ha igen, akkor hányszor vannak meg benne? a)

5

7

2

b)

5

7

7

c)

3

7

11

13

A legnagyobb számot akkor kapjuk, ha az összes prímtényezőt összeszorozzuk. A kisebb szám éppen annyiszor van meg az eredeti számban, ahány prímtényezőt kihagytunk a szorzásnál. A megoldás a 308. feladat megoldásából következik, ezért együtt érdemes feladni őket.

310. Egy szám prímtényezős felbontása A = 22 · 3 · 5 · 7, egy másiké pedig B = 2 · 32 · 5 · 11. A szorzások elvégzése nélkül válaszolj! a) Melyik szám osztható 6-tal? A és B b) Melyik szám osztható 7-tel? A c) Melyik számban van meg a 15 éppen 2 · 3 · 11-szer? B d) Melyik szám többszöröse a 12-nek? A A 2·7 14 e) Mennyi az tört legegyszerűbb alakja? = 3 · 11 33 B 33 f) Mennyi az előző tört reciproka? 14

311. A 2 · 7 · szám egyik prímtégláját letakartuk. Melyik állítás igaz biztosan, melyik lehetséges és melyik lehetetlen? A szám a) páros, Biztos. b) a 14 legalább 2-szer megvan benne, Biztos. c) 0-ra végződik, Lehet. d) négyzetszám, Lehetetlen. e) pontosan 8 osztója van, Lehet, ha a hiányzó prím 2-től és 7-től különböző. f) legfeljebb 8 osztója van, Biztos. g) legfeljebb 1000. Lehet.

144

C M Y K


Szmelmlet 312. Add meg a számok prímtényezős felbontását! a) 24 = 23 · 3 b) 32 = 25 d) 113 = 113 e) 2700 = 22 · 33 · 52 313. Keresd a párját! Függvényt határoz-e meg a megfeleltetés? Függvényt határoz-e meg a megfeleltetés megfordítása? Minden számhoz egyértelműen hozzárendelhető osztóinak száma, ezért ez a megfeleltetés függvény, míg a megfordítása nem. Érdemes elkészíteni ennek a függvénynek a grafikonját az első néhány n-re: 8 7 6 5 4 3 2 1

c) 132 = 22 · 3 · 11 f) 3468 = 22 · 3 · 172

Számok Osztók száma

227

1

1 36 433

11 · 172 · 19

6 5

22 · 5 · 7 124

2 12

9

75

osztók száma

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 számok

Az 1-et csak az 1-nél veszi fel a függvény. Végtelen sokszor veszi fel a 2-t, hiszen minden prímszámnak két osztója van. Minden pozitív egész értéket felvesz a függvény, mert pα−1 -nek éppen α osztója van. A grafikon természetesen csak különálló pontokból áll.

314. Melyik az a szám, amelynek valódi osztói: a) 2, 5, 10 b) 2, 4, 5, 10, 20 c) 2, 4, 13, 26, 52 d) 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140? 280 315. Hány osztója van az 1365-nek, és hány a kétszeresének? Célszerű a prímtényezős alakkal dolgozni: 1365 = 3 · 5 · 7 · 13. Mindegyik prímszámnak 2 osztója van, ezért a számnak 2 · 2 · 2 · 2 = 16 osztója van. A szám kétszeresének 16 · 2 = 32 osztója van, hiszen minden eddigi osztót vagy megszorzunk 2-vel vagy nem.

316. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek 18-szorosa egy pozitív egész szám A prímtényezős felbontáson alapszik a feladat megoldása.

a) négyzete, a · 18 = a · 2 · 32 négyzetszám, ha a = 2 (természetesen az a = 2 · k 2 miatt végtelen sok megoldás van).

b) harmadik hatványa? b · 18 = b · 2 · 32 köbszám, ha b = 22 · 3 = 12 (b = 12 · l 3 is jó megoldása a feladatnak). 317. Töltsd ki a táblázatot! Milyen n-re kapsz prímszámot? n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n(n − 1) + 17 17 19 23 29 37 47 59 73 89 107 127 149 173 199 227 257 289 323 359 397 Az első 16 pozitív egész számra a kifejezés helyettesítési értéke prímszám, de a képlet nem alkalmas a prímszámok megkeresésére, hiszen végtelen sokszor (n − 1 = 17 · k vagy n = 17 · l) összetett számot ad. Hívjuk fel a gyerekek figyelmét, hogy néhány esetből nem lehet általános következtetést levonni!

145

C M Y K


Szmelmlet 318. Az 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 számkártyákból rakd ki azt a hatjegyű számot, amelynek első két számjegyéből álló kétjegyű szám osztható 2-vel, az első három számjegyből álló háromjegyű szám osztható 3-mal, és így tovább; maga a hatjegyű szám pedig osztható 6-tal! Érdemes lerajzolni a keresett hatjegyű számot: a b c d e f Mivel a számkártyákon levő számok összege osztható 3-mal, és van páros szám, ezért elképzelhető, hogy megoldható a feladat. Az e = 5, mert csak így lesz 5-tel osztható az ötjegyű szám. b, d, f párosak, mert a

b

osztható 2-vel, a b c d osztható 4-gyel és a hatjegyű szám osztható 6-tal. Így a és c páratlanok. Legyen a = 1, ekkor b = 2, 4, 6 lehet 1 2 c d 5 f

c = 3, mert 1 2 3 osztható csak 3-mal.

1 2 3 d 5 f

d = 2, 6, mert a 32 és a 36 többszöröse a 4-nek, így a keresett szám: 1 2 3 6 5 4, ami megfelel a feladatnak.

Legyen a = 1 és b = 4 c = 1, 4, 7 esetén kapunk 3-mal osztható számot, ami nem lehetséges.

1 4 c Legyen a = 1 és b = 6

c = 2, 5, 8 esetén lenne a szám 3 többszöröse, de c páratlan és az e = 5 miatt ez az eset se lehetséges.

1 6 c

Legyen a = 3, ekkor b = 2, 4, 6 lehetne. 3 2 c

c = 1, 4, 7 esetén osztható a szám 3-mal, ebből c = 1 jó.

3 2 1 d

d = 2, 6 lehet a néggyel való oszthatóság miatt, így d = 6.

A második jó megoldás: 3 2 1 6 5 4. Ha a = 3, akkor b = 4 esetén 3 4 c

A hárommal való oszthatóság miatt c = 2, 5, 8 lehetne, de c páratlan és az 5 az e helyén van, ezért nincs megoldás.

Ha a = 3 és b = 6 3 6 c

c = 0, 3, 6, 9 lehetne, ebből c páratlansága miatt egyik szám se jó.

Tehát két megoldást kaptunk: 1 2 3 6 5 4 és 3 2 1 6 5 4. Több megoldás nincs, mert az első helyre nem kerülhet más páratlan szám.

319. Mennyi a 310 + 512 szám legkisebb prím osztója? 2, mert mindkét összeadandó páratlan, így összegük páros.

n+7 n+8 és az törtek egyetlen n pozitív egész értékre sem lehetnek 15 24 egyidejűleg egész számok!

320. Mutasd meg, hogy az

Egy tört alakú szám akkor egész szám, ha számlálója többszöröse a nevezőjének. Így (n + 8) többszöröse 15-nek, ezért többszöröse 3-nak is. Hasonlóan n + 7 többszöröse a 24-nek, ezért annak osztójának, a 3-nak is. n + 7 és n + 8 szomszédos számok, így közülük legfeljebb az egyik lehet 3 többszöröse.

321. Írj a 423 után három számjegyet úgy, hogy a 423 5-tel, 6-tal és 7-tel is!

hatjegyű szám osztható legyen

Első ötlet: Ha a keresett szám osztható 5-tel, 6-tal, 7-tel is, akkor osztható 5 · 6 · 7 = 210-zel. Olyan számokat kell keresnünk, melyekre 423 000 < 210 · k < 423 999. Innen: 2014 < k < 2019, azaz öt szám lesz a megoldás. 2015 · 210 = 423 150 a legkisebb és 210-zel nagyobbak a többiek, amíg el nem érik a legnagyobb (423 999) 423

-mal kezdődő számot. A keresett számok 423 150, 423 360, 423 570, 423 780, 423 990.

146

C M Y K


Szmelmlet 423 000 ≈ 2014,2. Innen 210 a legkisebb keresett szám 210 · 2015 = 423 150. A számok 210-zel növekszenek 423 999-ig: 423 150, 423 360, 423 570, 423 780, 423 990. Második ötlet: Mivel a keresett szám többszöröse a 210-nek, ezért megnézzük, hogy

A legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös 322. Keresd meg a következő számpárok közös osztóit, és add meg a törtek legegyszerűbb alakját! Csak a legnagyobb közös osztót írtuk le.

a) 24 és 88 8 b) 16 és 128 16 c) 34 és 99 1 d) 165 és 792 33 24 128 34 34 165 3 5 A) = B) =8 C) = D) = 88 11 16 99 99 792 24 323. Határozd meg a három szám legnagyobb közös osztóját! a) (2; 12; 15) = 1

b) (14; 35; 55) = 1

e) 564 és 611 47 611 13 E) = 564 12

c) (34; 153; 425) = 17 d) (99; 369; 657) = 9

324. Keresd a legnagyobb közös osztójukat a prímtényezős felbontással megadott számoknak, és húzd alá a relatív prímeket!

a) 22 · 32 ; 2 · 32 = 2 · 32

c) 32 · 41 · 432 ; 41 · 43 · 472 = 41 · 43

e) 32 · 5 · 11; 52 · 11 · 372 = 5 · 11

b) (2 · 3 · 5; 3 · 5 · 7) = 3 · 5 d)

72 · 11; 13 · 17 = 1

f) 833 · 892 · 97; 83 · 892 · 973 = 83 · 892 · 97

325. Nagyi vegyes befőttet tett el télire. Nagyon ügyelt arra, hogy minden üvegbe ugyanannyi szem szilvát és sárgabarackot tegyen. Legfeljebb hány üveget tölthetett meg, ha a gyümölcsök mosásakor megszámolta, hogy 180 szem szilva és 105 szem sárgabarack van? Maximum (180; 105) = 3 · 5 = 15 üveget tölthetett meg. Mindegyikbe 12 szem szilva és 7 szem sárgabarack került.

326. Számítsd ki a következő számpárok legkisebb közös többszörösét, és végezd el a kijelölt műveleteket! a) 16 és 20 80 b) 24 és 84 168 5 7 53 13 5 81 27 A) + = B) − = = 16 20 80 24 84 168 56 c) 185 és 333 1665 d) 187 és 209 3553 12 8 89 5 148 1606 146 4 C) + = = D) − = = 1665 45 185 333 187 209 3553 323 327. Keresd meg a prímtényezős felbontásban megadott számok legkisebb közös többszörösét!

a) 22 · 3; 2 · 32 = 22 · 32

b) [2 · 3 · 5; 3 · 5 · 7] = 2 · 3 · 5 · 7

c) 72 · 112 · 13; 112 = 72 · 112 · 13

d) [43 · 131; 29 · 173] = 29 · 43 · 131 · 173

e) 52 · 7; 72 · 11; 112 · 13 = 52 · 72 · 112 · 13

f) 23 · 33 · 53 ; 22 · 32 · 52 = 23 · 33 · 53

147

C M Y K


Szmelmlet 328. Töltsd ki a táblázatot! A harmadik sorban a törtek tovább nem egyszerűsíthető alakját írd le! (12; 28) = 4

(18; 45) = 9

[12; 28] = 84

[18; 45] = 90

12 3 = 7 28 5 3 44 11 + = = 84 21 12 28

45 5 = 2 18 31 5 37 − = 90 45 18

52 · 7; 7 · 11 = 7

52 · 7; 7 · 11 = 52 · 7 · 11

52 · 7 52 = 11 7 · 11 3 4 19 133 = 2 + = 2 2 5 · 7 · 11 5 · 11 5 · 7 7 · 11

329. Töltsd ki a táblázatot! Mit vettél észre? Észrevételedet indokold! (20; 25) = 5

(74; 111) = 37

[20; 25] = 22 · 52 = 100

[74; 111] = 2 · 3 · 37 = 222

20 · 25 = 500

74 · 111 = 8214

(20; 25) · [20; 25] = 500 (74; 111) · [74; 111] = 8214

33 · 5; 3 · 52 = 3 · 5

33 · 5; 3 · 52 = 33 · 52

33 · 5 · 3 · 52 = 34 · 53

33 · 5; 3 · 52 · 33 · 5; 3 · 52 = 34 · 53

330. Két relatív prím legkisebb közös többszöröse 36. Mi lehet a két szám, és mennyi a legnagyobb közös osztójuk? lnko = 1, mert relatív prímek. (1; 36) és (22 ; 32 ).

331. A cirkuszi bicikli első kerekének átmérője 1,6 m, míg a hátsó keréké 25 cm. Ha megjelöljük induláskor a kerekek talajjal érintkező pontjait, hány fordulat után lesznek a megjelölt pontok egyszerre a földön? [160; 25] = 800 fordulat. 332. Kati, Zsuzsi és Julcsi barátnők. Julcsi egy évre külföldre ment tanulni, és a lányok e-mailen tartják a kapcsolatot egymással. Kati minden vasárnap ír Julcsinak, míg Zsuzsi csak 12 naponként. Ha Zsuzsi is a Julcsi elutazását követő első vasárnapon írta meg az első levelét, akkor hány naponként kap Julcsi egyszerre két levelet? [7; 12] = 84 naponként. 333. Keresd meg a hiányzó betűk számértékét! A feladat megoldásához tartozó magyarázat a tankönyv 23. oldal 20. feladatánál megtalálható. a) (12; a) = 4 a = 22 ; 22 · 5; 22 · 7; . . .; 22 · a, ahol a nem osztható 3-mal b) 32 · 53 · 7; b = 53 b = 53 ; 53 · 2; 53 · 4; . . ., 53 · b, ahol b nem osztható se 3-mal, se 7-tel

c) [24; c] = 24 c = {1; 2; 3; 6; 8; 12; 24}

d) 22 · 33 · 5; d = 23 · 33 · 52 d =

⎧ ⎨ ⎩

23 · 52 ; 23 · 52 · 3; 23 · 52 · 32 ; 23 · 52 · 33

⎫ ⎬ ⎭

148

C M Y K


Szmelmlet 334. Melyik az a két szám, amelyek legnagyobb közös osztója 30, a legkisebb közös többszöröse pedig 840? (a; b) = 30 = 2 · 3 · 5 miatt mindkét szám prímtényezői között a 2-nek, a 3-nak és az 5-nek szerepelni kell és más közös prímtényező nem lehet. [a; b] = 840 = 23 · 3 · 5 · 7 miatt maximum ezek a prímtényezők fordulhatnak elő mindkét számban, de legalább az egyik számban elő is kell, hogy forduljanak.

a b

23 · 3 · 5 · 7 = 840 2 · 3 · 5 = 30

23 · 3 · 5 = 120 2 · 3 · 5 · 7 = 210

335. Az osztály kirándulni ment néhány napra. A szállásért naponta minden gyerek után 700 Ft-ot fizettek, összesen 126 000 Ft-ot. Sajnos, végül 6 gyerek otthon maradt. Mennyivel hosszabb ideig tarthatott a kirándulás, ha ugyanannyit fizettek?

(Bergengóc példatár)

Eredetileg x gyerek ment volna n napra kirándulni: 126 000 = 700 · x · n. A valóságban (x − 6) gyerek ment el m napra, így 126 000 = 700 · (x − 6) · m Innen 180 = x · n és 180 = (x − 6) · m. Vagyis a 180-nak olyan osztói adják a feladat megoldását, melyeknek a különbsége 6. Felírjuk a 180 osztóit (osztópárokban írva egyszerűbb, mivel 18 osztó lesz). 1

2

3

4

5

6

9

10

12

180

90

60

45

36

30

20

18

15

A lehetőségek: 10 gyerek ment volna 18 napra, de csak 4 gyerek ment el 45 napra. 18 gyerek ment volna 10 napra, de csak 12 gyerek ment el 15 napra. 36 gyerek ment volna 5 napra, de csak 30 gyerek ment el 6 napra. Mivel a feladat néhány napos kirándulásról szólt, ezért az utolsó válasz a legvalószínűbb, és a kirándulás 1 nappal lett hosszabb.

336. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyet ha 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, illetve 7-tel osztunk, rendre az 1, 2, 3, 4, 5, illetve 6 maradékot kapjuk? Ha a keresett legkisebb szám osztható lenne 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal és 7-tel is, akkor a számok legkisebb közös többszöröse, a 420 lenne a megoldás: 420 − 1 = 419. Érdemes ellenőrizni a megoldást!

337. Melyik az a szám, amellyel a 45 215-öt elosztva 43-at kapunk maradékul, ha pedig a 28 848-at osztjuk el vele, 52 lesz a maradék? A keresett szám osztója a 45 215 − 43 = 45 172 = 22 · 23 · 491-nek és a 28 848 − 52 = 28 796 = 22 · 23 · 313-nak is. Mivel maradékul 43-at és 52-t kapunk, így a keresett osztó nagyobb 52-nél. Az adott számok közös osztói közül csak a 22 · 23 = 92 felel meg a feladat feltételeinek. Ellenőrzés: 45 215 = 92 · 491 + 443 és 28 848 = 92 · 313 + 52.

338. Melyik az a két szám, amelynek legnagyobb közös osztója 21, a legkisebb közös többszöröse pedig 3696? (a; b) = 21 = 3 · 7; és [a; b] = 3696 = 24 · 3 · 7 · 11 A legnagyobb közös osztó miatt a 3 és a 7 mindkét szám prímtényezői között szerepel. A 24 · 11 valahol meg kell, hogy jelenjen, és más prímtényezőt a legkisebb közös többszörös miatt nem tartalmazhatnak a számok. a

3 · 7 · 24 · 11 = 3696

3 · 7 · 24 = 336

b

3 · 7 = 21

3 · 7 · 11 = 231

149

C M Y K


Szmelmlet 339. Jelöld a totón a helyes választ! 1 2 1. Ha egy szám 7-tel osztva 6-ot ad maradékul, és egy másik szám hamis igaz 3 7-es maradéka 1, akkor a két szám összege a 7 többszöröse 2. Ha egy szám 7-tel osztva 6-ot ad maradékul, és egy másik szám igaz hamis 7-es maradéka 1, akkor a két szám különbsége osztható 5-tel 3. A 3 · 5 · 17 szám többszöröse a 19-nek a a 85-nek 3 többszöröse 4. Egy természetes szám 5-tel osztva 4-et ad maradékul. Ennek a 4n + 5 5n + 4 3 számnak az általános alakja, ha n természetes szám: 5. Ha egy ötjegyű szám utolsó lehet, hogy a biztos, hogy a számjegye 8, akkor szám osztható szám osztható 4-gyel 3 4-gyel 6. Ha egy szám 9-cel osztva 3-at ad nem dönthető a szám 3 maradékul, akkor el, hogy a szám többszöröse3 osztható-e 3-mal 7. Egy szám osztható 6-tal és 18-cal mindig igaz lehetetlen is. Ekkor a szám osztható 27-tel 8. A 31-et fel lehet írni két prímszám hamis összegeként igaz 3 9. A 31-et fel lehet írni két prímszám különbségeként 10. Ha az egyik szám 2 · 3 · 5, és a másik szám 22 · 33 · 5, akkor 3

11.

12.

13. 13+1.

2

igaz

hamis 3 az első számnak több osztója van

x lehet, de nem biztos

lehet, de nem biztos 3 páros szám nincs általános alakja a számnak a szám nem lehet 4-gyel osztható csak minden harmadik ilyenfajta szám osztható 3-mal lehet, de nem biztos 3 minden páratlan számra igaz minden páratlan számra igaz

a második a két számnak számnak több ugyanannyi osztója van osztója van3 Egy szám négyzetszám, ha van olyan legalább 2 minden prímszám prímtényezős felbontásában: prímszám, páros kitevőjű kitevője páros3 amelynek a prímszám van kitevője páros szám Két szám legnagyobb közös csak akkor igaz, igaz osztója mindig nagyobb mindkét ha a számok hamis 3 számnál relatív prímek Két különböző prímszám legnalehet soha nem megegyezhet a kisebb prímmel gyobb közös osztója: prímszám prím 3 Két szám legnagyobb közös csak hamis osztójának és legkisebb közös prímszámokra igaz 3 többszörösének szorzata megegyeigaz zik a számok szorzatával

150

C M Y K


Szmelmlet Megjegyzések a totóhoz: 2. A szám 7-es maradéka valóban 5, ezért a gyerekek elég nagy eséllyel rosszul válaszolnak. Tisztázzuk a két probléma közötti különbséget! 6. Írjuk fel a szám általános alakját: 9k + 3, így világos lesz a 3-mal való oszthatóság. 7. Mivel a 6 osztója a 18-nak, így a 6-tal való oszthatóság nem ad új információt – érdemes megbeszélni. Igaz az állítás pl.: az 54-re, de hamis a 36-ra. 8. 31 = 2 + 29 9. A 31 páratlan szám, ezért a kivonandónak 2-nek kell lenni, de 33 − 2 = 31 esetében a 33 összetett szám. 10. Az első számnak 4 · 3 · 2 = 24, a másodiknak is 3 · 4 · 2 = 24 osztója van, hiszen az osztók száma csak a prímtényezős felbontásban a prímek kitevőjétől függ. (pα -nak (α + 1) osztója van.) 12. Ez csak játék a szavakkal, hiszen a legnagyobb közös osztó maximum megegyezhet az egyik számmal, ha a számok relatív prímek, egyébként kisebb a számoknál. A gyerekek hajlamosak összetéveszteni a legkisebb közös többszörössel. 13. (p1 ; p2 ) = 1, ami nem prím. Sok rossz válaszra számíthatunk.

151

C M Y K


A sokszgek s a kr A SOKSZÖGEK ÉS A KÖR A háromszögszerkesztések egyértelműsége A következő hat feladatban szerkessz háromszöget a megadott oldalak, szögek és nevezetes vonalak ismeretében! Hányféle háromszög szerkeszthető? Jelölések: az a oldallal szemben van az α szög, az A csúcsból indul az ma magasságvonal, az sa súlyvonal, ugyanígy tartozik össze b, β, mb , sb , illetve c, γ , mc , sc . A szerkesztéseket a vázlaton használt jelöléseknek megfelelően végezd! 340. a) a = 2 cm,

b = 4 cm,

c = 5 cm

A α ma sa B

C

Fa

b) a = 32 mm,

b = 41 mm,

c = 6 cm

A háromszög oldalai adottak – egyértelmű a szerkesztés. A megadott három szakaszra mind az öt esetben teljesül a háromszög-oldalegyenlőtlenség, ezért egy megoldás van. Az a), b) tompaszögű, a c), d), e) hegyesszögű háromszög.

341. a) a = 3,8 cm,

c = 4,6 cm,

β = 45◦

b) b = 0,6 dm,

c = 20 mm,

α = 105◦

A háromszög két oldala és azok közrezárt szöge adott – egy megoldás van mind az öt esetben. A b), d) tompaszögű, az a), c), e) hegyesszögű háromszög.

342. a) a = 4 cm,

c = 5 cm,

γ = 67,5◦

b) b = 5 cm,

c = 3,5 cm, β = 127,5◦

a), b) A háromszögek két oldala és a hosszabbik oldallal szemközti szög adott – egy megoldás van. Az a) hegyesszögű, a b) tompaszögű háromszög. c), d), e) A háromszögek két oldala és a rövidebbik oldallal szemközti szög adott – nem egyértelmű a szerkesztés. A c), d) esetben két megoldás van, az e) esetben nincs megoldás.

152

C M Y K


A sokszgek s a kr 343. a) b = 4,5 cm,

β = 45◦ ,

γ = 60◦

b) c = 7 cm,

α = 15◦ ,

β = 22,5◦

A háromszögek egyik oldala és két szöge adott – egyértelmű a szerkesztés. Az a) hegyesszögű, a b), c) tompaszögű, a d), e) derékszögű háromszög.

344. a) a = 3 cm,

b = 6 cm,

mb = 2 cm

b) a = 6 cm,

b = 5 cm,

mc = 3,5 cm

Két megoldás van az a), b), c), e) esetben, egy megoldás van a d) esetben.

345. a) a = 8 cm,

c = 6 cm,

sc = 7 cm

b) b = 5 cm,

mb = 3 cm,

sb = 4 cm

Egy megoldás van minden esetben.

346. Megszerkeszthető-e egyértelműen a derékszögű háromszög, ha adott a) az egyik befogója és a legnagyobb szögének szögfelezője, b) az egyik befogója és a hozzá tartozó súlyvonala? Egyértelmű a szerkesztés, egy megoldás van mindkét esetben.

153

C M Y K


A sokszgek s a kr 347. Megszerkeszthető-e egyértelműen a tükrös háromszög, ha adott a) az alapja és az alaphoz tartozó magassága, b) az alapja és az egyik szárához tartozó magassága, c) a szárszöge és az egyik oldala, d) a szára és a szárszög szögfelezője? Egy megoldás van az a), b), d) esetben, kétféle háromszög lehet a c) esetben.

348. Két háromszögben a megjelölt szögek és szakaszok egyenlők. Egybevágó-e a két háromszög? a)

b)

c)

a), b) Igen.

c) Nem. Például:

349. Két paralelogrammában a megjelölt szögek és szakaszok egyenlők. Egybevágó-e a két paralelogramma? a)

Igen. A jelölt háromszög egyértelműen szerkeszthető, mert két oldala és azok közbezárt szöge egyenlő.

b)

c)

d)

Igen.

Nem. Például:

Igen. A jelölt háromszög egyértelműen szerkeszthető.

154

C M Y K


A sokszgek s a kr 350. Hány olyan háromszög van, amelynek csúcsai egy adott kocka csúcsai? Hányféle nem egybevágó háromszög van közöttük? A háromszögek egyik csúcsát a kocka 8 csúcsa közül választhatjuk, a másodikat a maradék 7, a harmadikat a megmaradt 6 kockacsúcs közül. A háromszögek csúcsainak sorrendjét nem különböztetjük meg, 8·7·6 ezért összesen = 56 háromszöget hatá3·2·1 roznak meg egy kocka csúcsai. A kocka 8 csúcsa három különböző háromszöget határoz meg:

a) Hányféle háromszögnek lesz az egyik oldala a kocka egyik éle? 2 b) Hányféle háromszögnek lesz az egyik oldala a kocka egyik lapátlója? 3 c) Hányféle háromszögnek lesz az egyik oldala a kocka egyik testátlója? 1 351. Hányféle háromszöget határoz meg egy négyzetes oszlop valamelyik három csúcsa? Ha a négyzetes oszlop kocka, akkor csúcsai háromféle háromszöget határoznak meg (ld. 350. feladat). Ha a négyzetes oszlop nem kocka, akkor csúcsai ötféle háromszöget határoznak meg:

352. A szabályos sokszög minden oldalán ugyanolyan arányú osztópontokat bejelölve ismét szabályos sokszög csúcsai adódnak. Igazold ezt az állítást a következő esetekben! Keress egybevágó háromszögeket az ábrán!

A satírozott háromszögek egybevágók, mert két oldaluk és az általuk közrezárt szög páronként egyenlő. Ezért a kék szakaszok egyenlők. A sokszög belső szögei egyenlők: ϕ = 180◦ − ( + ). Tehát a sokszög szabályos.

A háromszögek szögei és oldalai 353. a) Egy háromszög két oldalának hossza 3 cm és 7 cm. Mekkora lehet a harmadik oldal? Ábrázold számegyenesen a lehetséges oldalhosszakat! b) Egy háromszög két oldalának hossza a és b, a < b. Mekkora lehet a harmadik oldal? Ábrázold számegyenesen a lehetséges oldalhosszakat! a)

b)

155

C M Y K


A sokszgek s a kr 354. Mekkorák az oldalai egy 48 cm kerületű háromszögnek, ha azok aránya a) 1 : 2 : 3, Nincs ilyen háromszög, mert 8 cm, 16 cm, 24 cm nem lehet egy háromszög oldala. (1 + 2 > 3) b) 3 : 4 : 5, 12 cm, 16 cm, 20 cm. c) 7 : 3 : 2, Nincs ilyen háromszög, mert 28 cm, 12 cm, 8 cm nem lehet egy háromszög három oldala. (2 + 3 > 7)

d) 14 : 11 : 7, 21 cm, 16,5 cm, 10,5 cm. 48k 48l 48m e) k : l : m? cm, cm, cm, ha k + l > m k + m > l k+l+m

k+l+m

k+l+m

l + mk.

355. Keress az ábrán párhuzamos szárú szögeket! Mekkorák a betűvel jelölt szögek? a) α = β = 120◦ γ = δ = 60◦

b) β = 80◦ α = γ = 100◦

c) α = 50◦

d) β = 98◦ α = 82◦

356. Számítsd ki a betűvel jelölt szög nagyságát, ha a szögszárak által metszett egyenesek párhuzamosak! Segédvonal lehet a szög csúcsán át a párhuzamosokkal párhuzamosan húzott egyenes. a) ϕ = 25◦ + 45◦ = 70◦ b) ε = 106◦ + 30◦ = 136◦

357. Keress az ábrán egyállású szögeket, fordított állású szögeket, egymást 180◦ -ra kiegészítő szögeket, ha a megfelelő szakaszok párhuzamosak! Az egyenlő szögek megjelölése után az ábrákról leolvashatók a háromszög belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések. (Emlékeztető: a sík parkettázása egybevágó háromszögekkel.)

a)

b)

c)

358. Számítsd ki a tükrös háromszög belső szögeinek nagyságát! a) 40◦ , 40◦, 100◦ b) 97,4◦ , 41,3◦ , 41,3◦ c) 70◦ , 70◦ , 40◦

156

C M Y K


d) 42◦ , 69◦ , 69◦

A sokszgek s a kr e) 48◦ , 48◦, 84◦

f) 42◦ , 42◦ , 96◦ 66◦

ε ε 359. Számítsd ki a vázlatrajz alapján a háromszög belső szögeit! b) 28◦ , 118◦ , 34◦ a) 50◦ , 72◦, 58◦

d) 30◦ , 140◦, 10◦

e) 20,8◦, 110,8◦, 48,4◦

c) 60◦ , 64◦ , 56◦

f) 76◦ , 58◦ , 46◦

360. Mekkorák a háromszög belső szögei, ha azok aránya a) 1 : 2 : 3, 30◦ , 60◦ , 90◦

b) 1 : 4 : 5, 45◦ , 60◦ , 75◦

d) 3 : 5 : 1, 60◦ , 100◦ , 20◦

e) p : q : r?

c) 7 : 3 : 2, 105◦, 45◦ , 30◦ ◦ 180 · p 180 · q ◦ 180 · r ◦ , , p+q +r p+q +r p+q +r

361. Az ABC háromszög AB oldalának meghosszabbítására mérd fel A-ból az AC szakaszt, B-ből a BC szakaszt! Mekkorák a BCD, illetve az ECD háromszög belső szögei? A b) feladatban az ABC háromszög két szögfelezőjét rajzoltuk meg.

BCD háromszög szögei: 33◦ , 82◦ , 65◦

BCD háromszög szögei: 46◦ , 101◦ , 33◦

ECD háromszög szögei: 16,5◦ , 98,5◦ , 65◦

ECD háromszög szögei: 23◦ , 124◦ , 33◦

362. Lehet-e egy háromszög a) egyik külső szöge 60◦ , és egyik belső szöge 80◦ , Nem, mert két belső szögének összege 200◦ lenne.

b) két oldalának hossza 11 cm és 13 cm, a harmadik oldal ezek számtani közepe, Igen, mert 11 cm, 12 cm, 13 cm lehet egy háromszög három oldala.

c) két oldalának különbsége 4 cm-nél kisebb, ha a harmadik oldala 4 cm? Igen, például 6 cm, 5 cm, 4 cm.

157

C M Y K


A sokszgek s a kr 363. Az ABC háromszögben a B csúcsnál levő szöget a BD és a BE szakaszok három egyenlő részre bontják. Hasonlóan a C csúcsnál levő szöget a CD és a CE szakaszok három egyenlő részre bontják. Az E pont a BC oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és az EDC szögek egyenlők! (Kalmár László-verseny, 1982)

BCD háromszög BE és CE belső szögfelezőjének metszéspontja E, amin átmegy a DE egyenes is. Ezért DE is a BCD háromszög belső szögfelezője. Tehát BDE ^ = CDE ^.

364. Egy egyenlő szárú háromszöget az egyik szögének szögfelezője két egyenlő szárú háromszögre bontja. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei? 45◦ , 45◦ , 90◦

vagy

72◦ , 72◦ , 36◦ lehet a három belső szög.

365. Egy háromszög legnagyobb oldalának hossza kétszerese a legkisebb oldal hosszának. A legnagyobb oldallal szemközti szög háromszorosa a legkisebb oldallal szemközti szögnek. Hány fokos a háromszög legkisebb szöge? (Zrínyi Ilona Matematikaverseny, 1994)

A feladat feltételei szerint DAB ^ = DBA^ és CBD^ = = CDB ^. Ezért ADB és CDB háromszög is egyenlő szárú: AD = BD és CD = CB = a Mivel CD = a, ezért AD = a, vagyis CD = DB = DA. D pont az ABC háromszög köré írt kör középpontja, tehát ABC háromszög derékszögű. 3α = 90◦ A háromszög szögei 30◦ , 60◦ , 90◦ .

A háromszögek nevezetes vonalai 366. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott két oldala és az egyikkel szemközti szög! A háromszögek két oldala és a hosszabbikkal szemközti szög adott, ezért egy megoldás van mindhárom esetben. a) a = 4 cm, b = 5 cm, β = 45◦ Tompaszögű háromszög: ma ≈ 4,9 cm, mb ≈ 3,9 cm, mc ≈ 2,8 cm. b) a = 6 cm, b = 4 cm, α = 120◦ Tompaszögű háromszög: ma ≈ 1,7 cm, mb ≈ 2,5 cm, mc ≈ 3,5 cm. c) a = 7 cm, c = 9 cm, γ = 90◦ Derékszögű háromszög: ma = 5,7 cm, mb = 7 cm, mc ≈ 4,4 cm.

Szerkeszd meg a háromszög magasságait! Mérd meg a csúcsok és a szemközti oldalegyenesek távolságát!

158

C M Y K


A sokszgek s a kr 367. Mérd meg a csúcsok távolságát a súlyvonal egyenesétől!

0, 1 cm, 1 cm

0, 5 mm, 5 mm

0, 17 mm, 17mm

368. Mérd meg a csúcsok távolságát a középvonal egyenesétől!

1 cm, 1 cm, 1 cm

1 cm, 1 cm, 1 cm

17 mm, 17 mm, 17 mm

369. Az ábrákon a háromszög középvonalai által alkotott háromszögek szerepelnek. Írd be a táblázatba a megfelelő arányokat, ha minden lépésben az előzőleg felrajzolt háromszög oldalfelező pontjai határozzák meg a legbelső háromszöget!

Az eredeti háromszög oldala Az eredeti háromszög kerülete A legbelső háromszög kerülete Az eredeti háromszög területe A legbelső háromszög területe

:

:

:

:

:

A legbelső háromszög oldala A legbelső háromszög kerülete Az eredeti háromszög kerülete A legbelső háromszög területe Az eredeti háromszög területe

32 : 1

. . . 1024 : 1 2n : 1

2:1

4:1

16 : 1

32 : 1

. . . 1024 : 1 2n : 1

1:2

1 : 4 1 : 8 1 : 16

1 : 32

. . . 1 : 1024 1 : 2n

Az n. lépés után

2 : 1 4 : 1 8 : 1 16 : 1

A tizedik lépés után

Az ötödik lépés után

A negyedik lépés után

Az első lépés után A második lépés után A harmadik lépés után

...

8:1

4 : 1 16 : 1 64 : 1 256 : 1 1024 : 1

. . . 10242 : 1 22n : 1

1 : 4 1 : 16 1 : 64 1 : 256 1024 : 1

. . . 1 : 10242 1 : 22n

159

C M Y K


A sokszgek s a kr 370. Szerkeszd meg a háromszög magasságait, ha adott az egyik oldala, az oldalon levő szöge és a szög szögfelezőjének hossza! a) a = 7 cm, β = 60◦ , fβ = 5 cm Hegyesszögű háromszög: ma ≈ 5,7 cm, mb ≈ 4,15 cm, mc ≈ 6,1 cm. b) b = 6 cm, γ = 90◦ , fγ = 3 cm Derékszögű háromszög: ma = 6 cm, mb ≈ 3,3 cm, mc ≈ 2,9 cm. 371. Szerkeszd meg a háromszög súlyvonalait, ha adott a háromszög egyik oldala, az oldalon levő egyik szöge és az oldallal szemközti szöge! a) b = 5 cm, β = 60◦ , γ = 75◦ sa ≈ 4,9 cm, sb ≈ 4,2 cm, sc ≈ 3,6 cm. b) a = 4 cm, α = 105◦ , β = 45◦ sa ≈ 1,6 cm, sb ≈ 3,3 cm, sc ≈ 3,4 cm. 372. Szerkeszd meg a háromszög középvonalait, ha adott a háromszög két oldala és az egyik oldalhoz tartozó magasság! a) a = 6 cm, b = 5 cm, ma = 4 cm Kétféle háromszög lehet, az egyik tompaszögű, a másik egyenlő b)

szárú és hegyesszögű: ka = 3 cm, kb = 2,5 cm, kc ≈ 4,9 cm vagy ka = 3 cm, kb = 2,5 cm, kc = 2,5 cm. a = 6 cm, b = 8 cm, mb = 6 cm ka = 3 cm, kb = 4 cm, kc = 5 cm, a háromszög derékszögű.

373. Mekkora szöget zár be a két magasságvonal?

a) ϕ = 60◦

b) ϕ = 80◦

c) ϕ = 80◦

374. Függessz fel kartonlapból kivágott háromszöget az egyik csúcsánál, jelöld meg a függőleges irányt a lapon! Melyik nevezetes vonalat jelölte ki a függőleges? Jelöld ki kísérlettel a háromszög súlypontját! Súlypont kijelölése kísérlettel. A test tömegközéppontja jelöli ki.

375. Mekkora szöget zár be a két megadott belső szögfelező?

a) ϕ = 72◦

b) ϕ = 75◦

c) ϕ = 80◦

d) Derékszögű a háromszög, ϕ = 67,5◦

160

C M Y K


A sokszgek s a kr 376. a) Folytasd a súlyvonalak bejelölését azonos körüljárás szerint!

b) Hányadik lépésben lesz a berajzolt súlyvonal párhuzamos a legelső súlyvonallal? Írd fel e két súlyvonal arányát! A második súlyvonal a háromszög középvonala. Az ötödik súlyvonal párhuzamos az elsővel és az ADE háromszög középvonalának fele. A két súlyvonal hosszának aránya 1 : 4.

c) Írd fel sorban az újabb és újabb súlyvonalak hosszát a, b, c, s szakasszal mérve! s,

c a b s c a b , , , , , , ... 2 4 4 4 8 16 16

377. Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek két magassága 5 cm és 6 cm! Hány megoldás van? Két megoldás van:

5

5 6

6

378. Az ABC egyenlő szárú hegyesszögű háromszög szárai AB és BC, a háromszög magasságpontja M. Mekkorák a háromszög szögei, ha MB = AC? MB = AC

ACG^ = MBG^ = 90◦ − α

AGC ^ = BGM ^ = 90◦

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

ACG egybevágó BGM-gel, mert egy oldaluk és a megfelelő szögeik egyenlők.

Ezért a két háromszög megfelelő oldalai egyenlők, BG = GC. Tehát BGC egyenlő szárú derékszögű háromszög, hegyesszögei 45◦ -osak. Így GBC ^ = ABC ^ = 45◦ . Az ABC háromszög szögei 45◦ , 67,5◦ , 67,5◦ .

379. Rajzold meg egy háromszög ugyanazon oldalához tartozó súlyvonalát és középvonalát! Milyen négyszöget határoznak meg a végpontjaik? A háromszög csúcsa és három oldalfelező pontja paralelogrammát határoz meg.

A háromszögek nevezetes körei 380. Két pont távolsága 4 cm. a) Szerkessz olyan kört, amely mindkét ponton átmegy! Végtelen sok megoldás van.

b) Szerkessz a két ponton átmenő 3 cm sugarú kört! Hány megoldás van? Két megoldás van, középpontok: K, L.

c) Hol lehetnek a két ponton átmenő körök középpontjai? Mekkora a legkisebb megfelelő kör sugara? A szakaszfelező merőleges bármely pontja lehet középpont. A legkisebb sugár 2 cm.

161

C M Y K


A sokszgek s a kr 381. Rajzolj egy 45◦ -os szöget! a) Szerkessz a szögtartományban olyan kört, amely érinti a két szögszárat! Végtelen sok megoldás van. b) Szerkessz a szögtartományban mindkét szárat érintő 2 cm sugarú kört! Egy megoldás van, középpont: K. c) Hol lehetnek a mindkét szögszárat érintő körök középpontjai? A szögfelező belső pontjai a középpontok.

382. Két metsző egyenes 60◦ -os szöget zár be. a) Szerkessz olyan köröket, amelyek érintik a két egyenest! Végtelen sok megoldás van. b) Szerkessz a két egyenest érintő 3 cm sugarú köröket! Hány megoldás van? Négy megoldás van, középpontok: K, L, M, N.

c) Hol lehetnek a két egyenest érintő körök középpontjai? A két szögfelező pontjai a középpontok, kivéve a metszéspontjukat.

383. Szerkeszd meg a háromszög oldalfelező merőlegeseit, ha oldalainak hossza a) 3 cm, 5 cm, 7 cm, Tompaszögű háromszög. b) 4 cm, 7,5 cm, 8,5 cm, Derékszögű háromszög. c) 3,5 cm, 5 cm, 5,5 cm! Hegyesszögű háromszög. 384. Szerkeszd meg a háromszög csúcsain átmenő kört, ha adott a háromszög két oldala és a két oldal által közrezárt szög! a)

b)

c)

A háromszög két oldala és a közrezárt szögük adott, az a), b), c) esetben egy megoldás van. A kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja.

385. Szerkeszd meg a háromszög belső szögfelezőit, ha oldalainak hossza a) 3 cm, 5 cm, 7 cm, Tompaszögű háromszög. b) 4 cm, 7,5 cm, 8,5 cm, Derékszögű háromszög. c) 7 cm, 10 cm, 11 cm! Hegyesszögű háromszög.

162

C M Y K


A sokszgek s a kr 386. Szerkeszd meg a háromszög oldalait érintő kört, ha adott a háromszög egyik oldala és az azon fekvő két szög! a)

b)

c)

A háromszög egyik oldala és az azon levő két szöge adott, az a), b), c) esetben egy megoldás van. A kör középpontja a belső szögfelezők metszéspontja.

387. Szerkessz olyan köröket, amelyek érintik egy adott háromszög mindhárom oldalegyenesét! Négy megoldás van, a beírt és a három hozzáírt kör.

388. A ház falának támasztott függőleges rúd közepén megtelepedett egy csiga. Milyen pályán mozog a csiga a rúddal együtt, ha a rúd lecsúszik a vízszintes helyzetig? A rúd F felezőpontjának és a fal Q sarkának távolsága minden helyzetben egyenlő a rúd hosszának felével. Ezért a csiga egy Q középpontú negyed köríven mozog.

Trapéz szerkesztése háromszögszerkesztés alkalmazásával Vázlatok a 389–396. szerkesztési feladatokhoz:

389. Szerkessz rombuszt a következő adatokból! a) b) c) d) e) a)

d)

b)

a = 4 cm, m = 2 cm, a = 5 cm, e = 6 cm, f = 8 cm,

e = 3 cm f = 5 cm m = 3,5 cm α = 75◦ α = 52,5◦ c)

e)

163

C M Y K


A sokszgek s a kr 390. Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból! a) a = 6 cm, b = 3 cm, β = 105◦ b) a = 4 cm, ma = 2 cm, e = 6 cm c) b = 5 cm, β = 82,5◦ , e = 7 cm d) a = 4 cm, e = 7 cm, mb = 3 cm e) ma = 2,5 cm, mb = 4 cm, β = 120◦

a)

c)

b) Kétféle paralelogramma a megoldás.

d) Két megoldása van.

e)

391. Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból!

164

C M Y K


A sokszgek s a kr a)

b) Nincs megoldás.

c) Két megoldás van.

d) Nincs megoldás.

392. Szerkessz húrtrapézt a következő adatokból! a) a = 8 cm, e = 6,8 cm, m = 4,5 cm b) a = 6 cm, b = c = 4 cm c) α = 75◦ , m = 4 cm, c = 6 cm d) α = 37,5◦ , m = 3,5 cm, e = 7 cm a)

b)

c)

d)

393. Szerkessz derékszögű trapézt a következő adatokból!

165

C M Y K



b)

c)

394. Szerkessz trapézt a következő adatokból!

d) Két megoldás van.

a) a = 4 cm, m = 2,5 cm, α = 60◦ , β = 75◦ b) a = 5 cm, c = 2 cm, α = 135◦ , d = 4 cm c) a = 8 cm, b = 6 cm, c = 2 cm, d = 4 cm d) c = 3 cm, e = 5 cm, f = 7 cm, m = 4 cm e) a = 6 cm, α = 67,5◦ , c = 4 cm, b = 5 cm

a)

b)

d)

c)

e)

395. Szerkessz trapézt a következő adatokból!

166

C M Y K



b)

c) Két megoldás!

d) Két megoldás!

e)

f)

g)

h) Nincs ilyen trapéz.

167

C M Y K


A sokszgek s a kr 396. Szerkeszd meg a paralelogrammát, ha adott a két szomszédos oldalának összege, az egyik átlója és az egyik szöge!

A sokszögek szögei 397. Számítsd ki a trapéz belső szögeit! a) b)

90◦ , 90◦ , 45◦ , 135◦

e)

c)

60◦ , 120◦ , 110◦ , 70◦

115◦ , 50◦ , 130◦ , 65◦

f)

128◦ , 52◦ , 120◦ , 60◦

d)

g)

84◦ , 70◦ , 110◦ , 96◦

108◦ , 72◦ , 58◦ , 122◦

h)

120◦ , 60◦ , 120◦ , 60◦

90◦ , 90◦ , 50◦ , 130◦

398. Számítsd ki a négyszögek belső szögeit! a)

b)

◦

100

30◦

c) 60◦

80◦

60◦

100◦ , 70◦ , 60◦ , 130◦

25◦

2α

60◦ 100◦

d)

20◦

40◦

80◦ , 60◦ , 140◦ , 80◦

3α

2α

25◦ α

135◦ , 90◦ , 45◦ , 90◦

25◦ , 270◦ , 10◦ , 55◦

399. Egy paralelogramma belső szögeinek aránya 6 : 9 : 6 : 9. Számítsd ki a szögeit! Ellenőrizd, hogy paralelogramma-e a négyszög! 72◦ , 108◦ , 72◦ , 108◦ , paralelogramma.

10◦

400. Egy trapéz belső szögeinek aránya 1 : 4 : 2 : 3. Számítsd ki a szögeit! Ellenőrizd, hogy trapéz-e a négyszög! 36◦ , 144◦ , 72◦ , 108◦ , trapéz. 401. Egy négyszög belső szögeinek aránya 2 : 5 : 6 : 5. Számítsd ki a szögeit! Milyen négyszögről van szó? 40◦ , 100◦, 120◦, 100◦. Lehet deltoid is, másféle négyszög is. 402. Egy négyszög belső szögeinek aránya 1 : 2 : 1 : 8. Számítsd ki a szögeit! Milyen négyszögről van szó? 30◦ , 60◦ , 30◦ , 240◦ . A négyszög konkáv, lehet konkáv deltoid is. 403. Döntsd el, hogy konvex vagy konkáv-e az a négyszög, amelyben a belső szögek aránya a) 2 : 13 : 2 : 19, 20◦ , 130◦ , 20◦ , 190◦ , konkáv. b) 5 : 7 : 1 : 5, 100◦ , 140◦ , 20◦ , 100◦ , konvex. c) 1 : 15 : 1 : 1, 20◦, 300◦, 20◦ , 20◦ , konkáv. d) 12 : 7 : 9 : 8! 120◦ , 70◦ , 90◦ , 80◦ , konvex. Számítással ellenőrizd a válaszodat!

168

C M Y K


A sokszgek s a kr 404. a) Számítsd ki a rajzon látható hatszög belső szögeit és azok összegét! 151◦ + 99◦ + 120◦ + 103◦ + 107◦ + 140◦ = 720◦ b) Számítsd ki a külső szögek nagyságát és azok összegét! 29◦ + 81◦ + 60◦ + 77◦ + 73◦ + 40◦ = 360◦

405. Hány fok a belső szögek összege a) kilencszög, b) tízszög, 1260

◦

1440

c) tizenkétszög esetén?

◦

1800◦

406. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a belső szögek összege a) 1080◦ , 8 b) 1800◦ , 12 c) 1620◦ , 11 d) 2340◦ , 15

e) 4140◦ ? 25

407. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a belső szögek összegének és az oldalak számának aránya: a) 108 : 1, 5 b) 120 : 1, 6 c) 140 : 1, 9 d) 144 : 1, 10 e) 150 : 1, 12 f) 1980 : 13, 13 g) 315 : 2? 8 408. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben a belső szögek összege háromszor akkora, mint a külső szögek összege? Nyolcoldalú sokszög. 409. Igazold, hogy konvex nyolcszögnek legfeljebb három hegyesszöge lehet! Ha négy hegyesszög lenne, akkor a belső szögek összege kisebb lenne, mint 4 · 180◦ + 4 · 90◦ = 1080◦ , holott a belső szögek összege 6 · 180◦ = 1080◦ .

410. A szabályos ötszöget az egy csúcsból induló két átlója három háromszögre bontja. Számítsd ki a háromszögek szögeit! 411. A szabályos hatszöget az egyik csúcsból induló három átlója 4 háromszögre bontja. Számítsd ki a háromszögek szögeit! Megjegyzés: Az egy csúcsból induló átlók bármely szabályos sokszögben egyenlő szögekre bontják a belső szöget.

412. Töltsd ki a táblázatot! A szabályos sokszög oldalainak száma Középponti szöge A felépítő tükrös háromszög alapon fekvő szöge A szabályos sokszög egy belső szöge A szabályos sokszög egy külső szöge A szabályos sokszög belső szögeinek összege A szabályos sokszög átlóinak száma

11

7

◦

15 ◦

360 360 7 11 ◦ 450 810 ◦ 7 11 900 ◦ 1620 ◦ 7 11 360 ◦ 360 ◦ 7 11

24

45

18

24◦

15

78◦

82,5◦

86◦

80◦

156◦

16,5◦

172◦

160◦

24◦

15◦

8◦

20◦

◦

8

◦

20

◦

35

360 ◦ 35 2970 ◦ 35 5940 ◦ 25 360 ◦ 5

900◦

1620◦

2340◦

3960◦

7740◦

2880◦

5940◦

14

44

90

252

945

135

560

169

C M Y K


A sokszgek s a kr 413. A rombusz két magassága felezi a két oldalt. Számítsd ki a rombusz szögeit!

Ezt a rombuszt a rövidebb átlója két szabályos háromszögre bontja, ezért belső szögei: 60◦ , 120◦ , 60◦ , 120◦ .

414. Számítsd ki az egy vonallal megrajzolható tízszög betűvel jelölt szögeinek összegét!

QP D^ = α + γ , mert BP E háromszög külső szöge, P QD^ = β + ε, mert ACQ háromszög külső szöge. DP Q háromszög belső szögeinek összege 180◦ . α + β + γ + δ + ε = 180◦ minden hurokötszögben.

415. Egy húrtrapézt az egyik átlója két egyenlő szárú háromszögre bont. Mekkorák a trapéz szögei? (Kalmár László-verseny, 1982)

Kétféle húrtrapéz a megoldás. I.

Egy száron: α + 2β = 180◦ α + 2β = 3α + β ⇒ β = 2α Egy alapon: α + β = 180◦ − 2α α + 2β = α + 4α = 5α = 180◦ ⇒ α = 36◦ A húrtrapéz szögei: 72◦ , 72◦ , 108◦ , 108◦ .

II.

α + β = 180◦ − 2β

⇒α=β α + β = 180◦ − 2α α + α = 180◦ − 2α ⇒ 4α = 180◦ ⇒ α = 45◦ A húrtrapéz szögei: 90◦ , 90◦ , 90◦ , 90◦ és átlója szögfelező, vagyis a négyszög négyzet.

416. Egy kockának és egy síknak a közös része lehet-e a) téglalap, b) tükrös háromszög, c) szabályos háromszög, d) rombusz, e) paralelogramma, f) derékszögű trapéz, g) húrtrapéz, h) ötszög, i) hatszög, j) nyolcszög? a)

b)

c)

170

C M Y K


A sokszgek s a kr d)

e)

f) A derékszögű trapéz síkmetszete csak téglalap lehet.

g)

h)

i)

j) A síkmetszet nem lehet nyolcszög (hét- vagy többoldalú sokszög nem lehet a kocka síkmetszete).

A sokszögek nevezetes vonalai 417. Vágd szét a négyzetet négy egybevágó részre az ábra szerint! a) Rakj ki a négy részből húrtrapézt, rajzold le négyzethálós lapra a megoldást! b) Rakj ki a négy részből paralelogrammát, rajzold le négyzethálós lapra a megoldást! Az eredeti négyzet is megoldás.

418. Melyik csoportba tartoznak a következő tulajdonsággal rendelkező négyszögek? A: trapézok a) Van két párhuzamos oldalpárjuk. B: téglalapok b) Tengelyesen szimmetrikusak. C: paralelogrammák c) Két szemközti szögük 180◦ -ra egészíti ki egymást. d) Minden szögük egyenlő. D: rombuszok e) Van két egyenlő oldaluk. E: deltoidok F : négyzetek f) Két szomszédos szögük egyenlő. G: húrtrapézok g) Átlóik felezik egymást. h) Két szomszédos szögük 180◦ -ra egészítik ki egymást. i) Középpontosan szimmetrikusak. j) Két szemközti szögük egyenlő. k) Van olyan kör, amely átmegy mind a négy csúcsukon.

171

C M Y K


A sokszgek s a kr a ∈ A és C b ∈ E vagy G d∈B g∈C h∈A i∈C c, k

e, f , j

Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldalpárja, akkor a négyszög paralelogramma és trapéz is. Ha egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, akkor vagy deltoid vagy húrtrapéz. Ha egy négyszög szögei egyenlők, akkor téglalap. Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög két szomszédos szögének összege 180◦ , akkor van két párhuzamos oldala, vagyis a négyszög trapéz. A középpontosan szimmetrikus négyszög paralelogramma. Ha egy négyszög szemközti szögei 180◦ -ra egészítik ki egymást, vagy van olyan kör, amely átmegy minden csúcsán, akkor a négyszög húrnégyszög. Nem feltétlenül tartozik az A–F csoport valamelyikébe. Pl.: Ha egy négyszögnek van két egyenlő oldala vagy két egyenlő szomszédos vagy két egyenlő szemközti szöge, akkor nem feltétlenül tartozik az A–F csoport valamelyikébe. Pl.:

A feltétel és a következmény szerepét felcserélve is felírhatunk igaz állításokat. A: h) Ha egy négyszög trapéz, akkor van két egymást 180◦ -ra kiegészítő szomszédos szöge. B: a), b), c), d), e), f), g), h), i), j), k)

C: a), e), g), h), i), j)

D: a), b), e), g), h), i), j)

E: b), e), j)

F: a), b), c), d), e), f), g), h), i), j), k)

G: b), c), e), f), h), k)

419. Rajzold le négyzethálós lapra a trapézt, rajzold meg a középvonalát! Darabold át a trapézt egy vágással paralelogrammává!

172

C M Y K


A sokszgek s a kr 420. Rajzold le négyzethálós lapra a trapézt! Darabold át egyetlen vágással háromszöggé a trapézt!

421. Szerkeszd meg a trapézt! Darabold át téglalappá! A trapéz a) alapja 7 cm, alapon fekvő szögei 45◦ és 120◦ , magassága 4 cm. b) alapja 6 cm, alapon fekvő szögei 30◦ és 90◦ , magassága 3 cm. c) alapja 6 cm, szárai 4 cm és 5 cm, magassága 3 cm.

422. Rajzold meg egy paralelogramma és egy nem szimmetrikus trapéz oldalfelező merőlegeseit! Hány pontban metszik egymást az oldalfelező merőlegesek? Paralelogramma oldalfelező merőlegesei:

Nem szimmetrikus trapéz oldalfelező merőlegesei:

4 vagy 1 metszéspont lehet.

5 metszéspont lehet.

423. a) Rajzold meg egy húrtrapéz, egy paralelogramma és egy rombusz szögfelezőit! A húrtrapéz szögfelezői az alapok oldalfelező merőlegesén egy pontban metszik egymást. A nem egyenlő oldalú paralelogramma szögfelezőinek metszéspontjai egy téglalap csúcsai. Az egyenlő oldalú paralelogramma rombusz. A rombusz szögfelezői a négyszög átlói.

b) Van-e olyan húrtrapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást? Minden húrtrapéz szögfelezői egy pontban metszik egymást.

c) Van-e olyan nem szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást? Ha egy trapéz szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor a négyszög húrtrapéz. A húrtrapéz tengelyesen szimmetrikus. Tehát nincs olyan nem szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást.

173

C M Y K


A sokszgek s a kr 424. Rajzolj olyan trapézt, amelynek egyik átlója szögfelező is!

425. Rajzolj olyan trapézt, amelynek valamelyik oldalfelező merőlegese átmegy a trapéz valamelyik csúcsán! 426. Rajzolj olyan trapézt, amelynek középvonala egyenlő valamelyik alapjával! Minden paralelogramma megoldás. 427. Lehet-e húrnégyszög a) egy téglalap, Igen. Minden téglalap húrnégyszög. b) egy konkáv deltoid, Nem. Konkáv sokszög nem lehet húrsokszög. c) egy konvex deltoid, Igen. Ha a deltoidnak van két szemközti derékszöge, akkor húrnégyszög. d) egy nem derékszögű rombusz, Nem. A nem derékszögű rombusz nem lehet húrnégyszög. e) egy paralelogramma? Igen. Az egyenlő szögű paralelogramma, vagyis a téglalap húrnégyszög. 428. Lehet-e érintőnégyszög a) egy téglalap, Igen. Az egyenlő oldalú téglalap, vagyis a négyzet érintőnégyszög. b) egy konkáv deltoid, Nem. Konkáv sokszög nem lehet érintőnégyszög. c) egy konvex deltoid, Igen. Minden konvex deltoid érintőnégyszög. d) egy nem derékszögű rombusz, Igen. Minden rombusz érintőnégyszög. e) egy paralelogramma? Igen. Az egyenlő oldalú paralelogramma, vagyis a rombusz érintőnégyszög. 429. Igazold a következő állítást! Ha egy trapéznak három oldala egyenlő, akkor a trapéz szimmetrikus. Legyen AD = DC. A harmadik oldal kétféleképp lehet egyenlő az előzőkkel. Vagy AD B1 C, ekkor az AB1 CD trapéz egyenlő oldalú paralelogramma, vagyis rombusz, ami középpontosan is, tengelyesen is szimmetrikus. Vagy AD B2 C, ekkor az AB2 CD négyszög húrtrapéz, ami tengelyesen szimmetrikus.

430. Hány átlója van egy konvex a) ötszögnek, 5

b) tizenegyszögnek, 44

c) tizenötszögnek? 90

431. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben az átlók és az oldalak számának az aránya a) 1 : 1, 5 b) 3 : 1, 9 c) 5 : 2, 8 d) 17 : 2, 20 n(n − 3) e) k : 1, n = 2k + 3, mert k : 1 = : n → k : 1 = (n − 3) : 2 → 2k = n − 3 f) l : 2?

2 n(n − 3) n = l + 3, mert l : 2 = : n → l : 2 = (n − 3) : 2 → l = n − 3 2

432. Próbáld ki padtársaddal a következő játékot! Téglalap alakú lapra rakjatok felváltva egyforma korongokat úgy, hogy a korongok nem fedhetik egymást, és nem is lóghatnak le a lapról. Az veszít, aki nem tud újabb korongot rakni a szabályoknak megfelelően. Hogyan nyerhet a kezdő játékos? A kezdő az első korong középpontjával lefedi a szimmetriacentrumot. A továbbiakban a másik játékos bárhova teszi le a korongját, a kezdő ennek középpontos tükörképét rakja le.

174

C M Y K


A sokszgek s a kr 433. Hányféle olyan trapézt adhatsz meg, amely nem téglalap, ha egy kocka éleinek felezőpontjai és csúcsai közül négyet kiválasztasz?

434. Próbáld ki a padtársaddal a következő játékot! Egy szabályos tizenkétszögbe felváltva húzzatok be egy-egy átlót úgy, hogy azok a sokszög belsejében nem metszhetik egymást. Az veszít, aki nem tud a szabálynak megfelelő újabb átlót behúzni. Hogyan nyerhet a kezdő játékos? Próbáld ki más szabályos sokszögekkel is a nyerő stratégiát! A kezdő egy szimmetriaátlót húz be az első lépésben. A továbbiakban bármely átlót húzza be a másik játékos, a kezdő ennek az első átlóra vonatkozó tengelyes tükörképét rajzolja meg. Ez a stratégia páros oldalszámú sokszögek esetén.

435. Az ABCD paralelogramma AB oldalának meghosszabbítására mérd fel B pontból a BC szakaszt, és az új végpontot jelöld E-vel! Számítsd ki az így kapott AECD trapéz szögeit, ha a paralelogramma A csúcsnál levő szöge 48◦ !

BE = BC CBE ^ = DAB ^ = 48◦ BEC ^ = ECB ^ = (180◦ − 48◦ ) : 2 = 66◦ Az AECD trapéz szögei: 48◦ , 66◦ , 114◦ , 132◦ .

175

C M Y K


A sokszgek s a kr A paralelogramma területe 436. a) Szerkessz olyan téglalapot, amelynek 24 cm a kerülete! A téglalap szomszédos oldalainak összege 12 cm. Végtelen sok megoldás van.

b) Hány olyan különböző 24 cm kerületű téglalap szerkeszthető, amely pontosan lefedhető 1 cm oldalú négyzetekkel? Hat téglalap szerkeszthető. Az oldalak (1, 11) (2, 10) (3, 9) (4, 8) (5, 7) (6, 6) cm hosszúak.

c) Milyen értékek között mozoghat a 24 cm kerületű téglalap egy-egy oldala? 0 cm < a, b < 12 cm d) Milyen értékek között lehet a téglalap területe, ha oldalainak mérőszámai egész számok? 0 cm2 < T < 36 cm2

437. a) Szerkessz olyan téglalapot, amelynek 24 cm2 a területe! A téglalap szomszédos oldalainak szorzata 24 cm2 . Végtelen sok megoldás van.

b) Hány olyan különböző 24 cm2 területű téglalap szerkeszthető, amelynek a kerülete centiméterekben mérve egész szám? Négy téglalap szerkeszthető. Az oldalak hossza: (1, 24) (2, 12) (3, 8) (4, 6) cm.

c) Legalább mekkora a 24 cm2 területű téglalap kerülete, ha az oldalak mérőszámai egészek? √ Ha az oldalak mérőszámai egészek, akkor a kerület legalább 20 cm. (Egyébként K

=8

6 ≈ 19,6 cm).

438. Számítsd ki a paralelogrammák területét! Egy rácsnégyzet területe a területegység.

A: 10

B: 20

C: 21

D: 8

E: 5

F : 16

439. Rajzolj négyzethálós lapra olyan paralelogrammákat, amelyeknek a területe 24 rácsnégyzet területével egyenlő! Legyen a paralelogrammák között téglalap és rombusz is!

440. Melyik négyszög rajzolható le egy elég hosszú 4 cm széles papírcsíkra? Készíts vázlatrajzokat! a) 14 cm kerületű négyzet b) 29 cm kerületű rombusz c) 100 cm kerületű paralelogramma d) 16 cm2 területű nem derékszögű rombusz e) 24 cm kerületű, 32 cm2 területű paralelogramma f) 48 cm kerületű, 32 cm2 területű paralelogramma

176

C M Y K


A sokszgek s a kr

Szerkessz 5 cm oldalú, 4 cm magasságú rombuszt! a) Foglald a rombuszt téglalapba a két ábra szerint! b) A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a befoglaló téglalap, majd a rombusz területét!

441.

1. ábra alapján: Ttéglalap = 40 cm2 Trombusz = 20 cm2 2. ábra alapján: Ttéglalap = 32 cm2 Trombusz = 20 cm2

442. Számítsd ki a paralelogramma területét! Oldalait a, b, megfelelő magasságait ma , mb jelöli. 3 a) a = 7 cm b) a = 5 cm c) a = 2 dm d) b = 8 cm e) b = 3,78 dm 4 ma = 3 cm ma = 18 mm ma = 12 cm mb = 0,5 cm mb = 2,06 cm T = 21 cm2

T = 9 cm2

T = 330 cm2

T = 4 cm2

T = 77,868 cm2

443. Számítsd ki a paralelogramma 8 cm-es oldalainak távolságát, ha a paralelogramma területe b) 2,4 dm2 , 3 dm c) 5600 mm2 , 7 cm a) 40 cm2 , 5 cm 8 1 d) cm2 , cm e) 8,56 cm2 ! 1,07 cm 3 3 444. Egy paralelogramma területe 36 cm2 . Töltsd ki a táblázatot, majd készíts grafikont az összetartozó értékekről! A paralelogramma oldala centiméterben

9

12

72

2

1,8

6

1

x

Az oldalhoz tartozó magasság centiméterben

4

3

1 2

18

20

6

36

36 x

177

C M Y K


A sokszgek s a kr 445. Mekkora a középvonallal levágott, színessel jelölt rész területe? a) T = 10,5 cm2 b) T = 5 cm2

446. A két paralelogramma egybevágó. Bizonyítsd be, hogy a következő két ábrán színessel jelölt alakzatok területe egyenlő, ha egy-egy szemközti oldalpáron a felezőpontokat rajzoltuk meg!

1 1 T = 2· T = T 8 4

c) T = 2 cm2

T = 4·

1 1 T = T 16 4

447. Szerkeszd meg a paralelogrammát! A szükséges adatokat mérd meg, és számítsd ki a paralelogramma területét! A paralelogramma a) oldalai 6 cm és 9 cm, a hosszabbik magassága 3 cm, A 3 cm-es magasság a 6 cm-es oldalhoz tartozik. T = 8 cm2

b) oldalai 4 cm és 6,5 cm, átlója 8 cm, T ≈ 25,8 cm2 c) átlói 8 cm és 11 cm, az átlók által bezárt szög 45◦ , T ≈ 31,1 cm2 d) oldalai 5 cm hosszúak, egyik szöge 120◦ . T ≈ 21,7 cm2 448. Igazold a következő állításokat! a) A középvonal felezi a paralelogramma rá merőleges magasságát. b) A középvonal felezi a paralelogramma átlóit. c) A középvonal felezi a paralelogramma területét. a), b), c) A középvonal átmegy a paralelogramma szimmetriacentrumán, ezért egybevágó paralelogrammákra bontja az eredeti négyszöget, egyenlő részekre osztja a középponton átmenő átlókat és a középponton átmenő magasságot. 3 7 15 2n+1 − 1 T2 = T3 = . . . Tn = ... 2 4 8 2n hatszög területe? T < 2

449. a) Számítsd ki a hatszögek területét! T0 = 1 T1 = b) Folytatva a sort, legfeljebb mekkora lehet a

450. a) Mekkora a 10 cm átlójú négyzetben színessel jelölt terület, ha a rombusz egyik átlója 5 cm? Tnégyzet = 50 cm2 , Trombusz = 25 cm2 , Tszínes = 25 cm2 b) Mekkora a 10 cm átlójú négyzetben a rombusz átlója, ha a színessel jelölt rész területe a négyzet területének 60%-a? Tnégyzet = 50 cm2 → 60%-a 30 cm2 , Tszínes = 30 cm2 → Trombusz = 20 cm2 A rombusz átlói 10 cm és 4 cm.

178

C M Y K


A sokszgek s a kr A trapéz területe 451. a) b) c) d)

Rajzolj négyzethálós lapra a megadott trapézzal egyenlő területű téglalapot! Rajzolj a megadott trapézzal egyenlő területű paralelogrammát! Foglald téglalapba a megadott trapézt! Számítsd ki a trapéz területét, ha a területegység egy rácsnégyzet területe!

A: 18

B: 10

C: 24

D: 24

E: 10,5

F : 22,5

452. Rajzolj négyzethálós lapra 60 egység területű trapézokat! a) Legyen köztük téglalap! b) Legyen köztük rombusz! c) Legyen köztük húrtrapéz! d) Legyen köztük 34 egység kerületű! e) Legyen köztük olyan, amelyiknek 15 egység a középvonala!

453. Számítsd ki a trapéz területét, ha alapjait a, c, magasságát m, középvonalát k jelöli! 2 a) a = 2 cm b) a = 2,3 dm c) a = m d) k = 9 dm e) k = 5,603 mm 3 3 c = 8 cm c = 17 cm c= m m = 3 dm m = 0,12 mm 2 m = 5 cm m = 4 cm m = 12 m T = 27 dm2 T = 0,67236 mm2 T = 25 cm2

T = 80 cm2

T = 13 m2

454. Számítsd ki a trapéz területét! A szükséges adatokat mérd meg!

179

C M Y K


A sokszgek s a kr (42 + 19) · 41 = 1250,5 mm2 ≈ 12,5 cm2 2 (63 + 28) · 22 b) T ≈ = 1001 mm2 ≈ 10 cm2 2 (27 + 14) · 45 c) T ≈ 922,5 mm2 ≈ 9 cm2 2 a) T ≈

455. Számítsd ki a trapéz területét a vázlatrajzon megadott méretek segítségével!

T =

(7 + 3) · 4 = 20 cm2 2

T =

(9 + 3) · 3 = 18 mm2 2

T =

10 · 5 = 25 cm2 2

456. Egy trapéz területe 12 cm2 . Töltsd ki a táblázatot, majd készíts grafikont az összetartozó értékekről! A trapéz középvonala centiméterben mérve A trapéz magassága centiméterben mérve

12

4

1 2

6

2,4

1 3

x

1

3

24

2

5

36

12 x

457. Töltsd ki a táblázatot! A trapéz egyik alapja

8 dm

2,8 cm

A trapéz másik alapja

3 dm

7,2 cm

2 dm

6,3 cm

A trapéz magassága A trapéz területe

1100 cm2 31,5 cm2

5 m 7 4 m 5 1 m 2

a

a

2t −a m

c

m

2t a+c

53 2 m 140

t

t

180

C M Y K


A sokszgek s a kr 458. Szerkeszd meg a trapézt! A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a trapéz kerületét és területét! A trapéz a) oldalai rendre 6 cm, 4,5 cm, 5 cm, 3,5 cm, Nincs ilyen trapéz. (Nem alkot háromszöget a 6−5 = 1 cm, 4,5 cm, 3,5 cm.)

b) két alapja 8 cm és 3 cm, az alapon fekvő szögei 60◦ és 45◦ . m ≈ 1,8 cm, T ≈

(8 + 3) · 1,8 = 2

= 9,9 cm2

459. Számítsd ki a sokszögek területét!

(9 + 8) · 3 (9 + 6) · 2 + = 40,5 m2 2 2 (7 + 5) · 2 (9 + 7) · 1 b) T = +2·7+ = 34 cm2 2 2 (5 + 8) · 1 (8 + 6) · 1 (6 + 5) · 1 (5 + 3) · 2 c) T = +5·2+ + + = 37 dm2 2 2 2 2 a) T =

A háromszög területe 460. a) Rajzolj négyzethálós lapra a megadott háromszögekkel egyenlő területű téglalapot, vagy foglald téglalapba a megadott háromszöget! b) Számítsd ki a háromszög területét! A területegység egy rácsnégyzet területe. A: 5

B: 6

C: 7,5

D: 15

E: 10

F : 24

461. Rajzold le derékszögű koordináta-rendszerben a következő háromszögeket! Számítsd ki a területüket, ha a területegység egy rácsnégyzet területe! a) A(−1, − 1) b) D(4, − 1) c) G(−11, − 1) d) J (−6, − 1) B(3, − 1) E(8, − 1) H (−7, − 1) K(−2, − 1) C(3, 4) F (11, 4) I (−9, 4) L(−3, 4)

181

C M Y K


A sokszgek s a kr

462. Derékszögű koordináta-rendszerben adott az ABC háromszög három csúcsa: A(2; 4), B(2; −2), C(−2; 0). Rajzolj az ABC háromszöggel egyenlő területű ABD csúcsú a) derékszögű háromszöget, b) tükrös háromszöget, c) tetszőleges háromszöget! Hány megoldás van? a) 4 megoldás van. Az ábrán Da -val jelöltük. b) 10 megoldás van, Db -vel jelöltük. c) Végtelen sok megoldás van, a pirossal jelölt egyenesek bármely pontja lehet a harmadik csúcs.

463. Rajzolj négyzethálós lapra olyan háromszögeket, amelyeknek 8 egység hosszúságú oldala rácsvonalra illeszkedik, területe 12 területegység! Lehet-e a háromszögek között tükrös háromszög? Lehet-e a háromszögek között 16 egység kerületű? Tükrös háromszögek pl.:

16 egység kerületű nem lehet a háromszög, mert b + c = a lehetetlen.

182

C M Y K


A sokszgek s a kr 464. Keress az ábrán egyenlő területű háromszögeket, ha AD BC és AB CD.

TABC = TCDA

TABE = TCDE = TBCE = TDAE

TABC = TCDA = TBCE

TABC = TABD = TCDA = TCDB

TEAB = TEAC

465. Keress az ábrán egyenlő területű háromszögeket! a) AD CB

b) AD CB

c)

D, E felezőpontok

TDAB = TDAC

TDAB = TDAC

TCAD = TCAE

TBCA = TBCD

TBCA = TBCD

TDEA = TDEC = TEDB

466. Szerkeszd meg a háromszöget! A szükséges adatokat mérd meg, és számítsd ki a háromszög területét! A háromszög a) oldalai 7 cm, 9 cm, 8 cm, Hegyesszögű a háromszög, legrövidebb magassága ≈ 6 cm. T ≈ 27 cm2 . b) oldalai 7 cm, 4 cm, 5 cm, Tompaszögű a háromszög, legrövidebb magassága ≈ 2,8 cm. T ≈ 9,8 cm2 . c) oldalai 12 cm, 5 cm, 13 cm, Derékszögű a háromszög. T = 30 cm2 . d) egyik oldala 8 cm, az azon levő két szög 30◦ és 75◦ , A háromszög hegyesszögű, egyenlő szárú. A szárhoz tartozó magassága 4 cm. T = 16 cm2 .

e) két oldala 6 cm, az általuk közrezárt szög 45◦ , A háromszög egyenlő szárú, hegyesszögű. A szárhoz tartozó magassága ≈ 4,2 cm. T ≈ 12,7 cm2 .

f) két oldala 6 cm és 8 cm, az általuk közrezárt szög 120◦ , A 8 cm-es oldalhoz tartozó magasság ≈ 5,2 cm. T ≈ 20,8 cm2 .

g) két oldala 5 cm és 9 cm, az utóbbival szemközti szög 105◦ . A 9 cm-es oldalhoz tartozó magasság ≈ 3,3 cm. T ≈ 15 cm2 .

467. Számítsd ki a háromszög területét! Az oldalakat a, b, c, a hozzájuk tartozó magasságot ma , mb , mc jelöli. 3 4 a) a = 9 cm b) b = 2,5 dm c) c = m d) a = 1 dm e) b = 2,73 cm 2 5 4 5 ma = 4 cm mb = 8 dm mc = m ma = dm mb = 0,92 cm 3 6 T = 18 cm2

T = 10 dm2

T = 1 m2

T =

3 dm2 4

T = 1,2558 cm2

183

C M Y K


A sokszgek s a kr 468. Számítsd ki a háromszög 7 cm-es oldalához tartozó magasságát, ha a területe a) 7 cm2 , 2 cm

b) 28 cm2 , 8 cm

c) 1960 cm2 , 560 cm

d) 1 cm2 ,

2 cm 7

e) 4

2 4 cm2 ! cm 3 3

469. Töltsd ki a táblázatot, majd készíts grafikont az összetartozó értékekről! a) A háromszög egyik oldala 4 cm. A háromszög 4 cm-es oldalához tartozó ma- 8 cm gassága 16 cm2

A háromszög területe

4 cm

2 cm

1 cm

1 cm

3 cm

5 cm

1 cm 2

8 cm2 4 cm2 2 cm2 2 cm2 6 cm2 10 cm2 1 cm2

m

2m

b) A háromszög területe 15 cm2 . A háromszög egyik ol15 cm 2 cm dala A fenti oldalhoz tartozó magasság

2 cm

6 cm

10 cm 2,5 cm 4 cm

20 cm

a

15 cm 5 cm 10 cm 3 cm 12 cm 7,5 cm

3 cm 2

30 a

3 cm

470. Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek magasságai a) egyenlők, Nincs

b) 2 cm, 2 cm, 3 cm hosszúak? Nincs

471. Van-e olyan háromszög, amelynek magasságai a) 2 cm, 2 cm, 4 cm, a : b : c = 2 : 2 : 1 c) 1 cm, 2 cm, 3 cm hosszúak? Nincs ilyen. Általánosan: a : b : c =

b) 3 cm, 4 cm, 5 cm, a : b : c = 20 : 15 : 12

1 1 1 : : ma mb mc

472. a) Szerkessz olyan háromszöget, amelynek középvonalai 4 cm, 4 cm és 5 cm hosszúak! A háromszög oldalai: 8 cm, 8 cm, 10 cm.

b) A szükséges adatok megszerkesztése és megmérése után számítsd ki a háromszög kerületét, illetve területét! K = 8 + 8 + 10 = 26 cm, T ≈ 31 cm2 473. Egy háromszög középvonalai 7 cm2 területű háromszöget határolnak. Hány cm2 az eredeti háromszög területe? Teredeti = 4 · Tközépvonal = 28 cm2 474. a) Szerkessz olyan háromszöget, amelynek két oldala 6 cm és 4 cm, és a 6 cm-es oldalához tartozó súlyvonal hossza is 6 cm! b) A szükséges adatok megszerkesztése és megmérése után számítsd ki a háromszög területét! T ≈ 10,6 cm2 , kétszerese egy 3 cm, 4 cm, 6 cm oldalú háromszög területének.

475. Az ABC háromszög egy-egy oldalfelező pontja E és F . Töltsd ki a táblázatot az ábrának megfelelően! A háromszög csúcsai ABC CF E AEF BEF ABF ABE A háromszög területe 6 cm2 1,5 cm2 1,5 cm2 1,5 cm2 3 cm2

3 cm2

184

C M Y K


A sokszgek s a kr 476. Szerkeszd meg az ABC háromszöget és a beírt körének középpontját! A középpontot jelölje K! Töltsd ki a táblázatot a megszerkesztett háromszög alapján! I. háromszög Az ABC háromszög AB = 3 cm oldalai BC = 6 cm AC = 6 cm 8,7 cm2 Az ABC területe Az ABK területe 1,7 cm2 A BCK területe 3,5 cm2 Az ACK területe 3,5 cm2

II. háromszög AB = 10 cm BC = 8 cm AC = 6 cm

III. háromszög AB = 8 cm BC = 5 cm AC = 5 cm

IV. háromszög AB = 4 cm BC = 6 cm AC = 8 cm

24 cm2

12 cm2

11,6 cm2

10 cm2

5,3 cm2

2,6 cm2

8 cm2

3,3 cm2

3,9 cm2

6 cm2

3,3 cm2

5,2 cm2

477. Egy háromszög beírt körének középpontját a csúcsokkal összekötve három háromszög adódik. Igazold, hogy a három háromszög területének aránya egyenlő az eredeti háromszög oldalainak arányával! TABK : TBCK : TACK =

a· b· c· : : = a : b : c ( a beírt kör sugara) 2 2 2

478. Egy egyenlő szárú háromszög egyik súlyvonalának hossza egyenlő valamelyik középvonalának hosszával. a) Mekkora lehet a háromszög legnagyobb szöge?

b) Szerkeszd meg a háromszöget, ha az egyik súlyvonal és az egyik középvonal hossza 6 cm! Hány megoldás van? Két megoldás van. 479. Az ABC háromszög oldalait mindkét irányban az oldal meghosszabbítására felmérve D, G, illetve E, H és F , I pontok adódnak. a) Keress az ábrán az ABC háromszöggel egyenlő területű háromszögeket! Pl.: TABC = TACI = TBCG = TBCH = . . . b) Mekkora az ábrán látható trapézok és az ABC háromszög területének aránya? Pl.: TF I DE : TABC = 8 : 1 c) Hány paralelogramma van az ábrán? 15 paralelogramma.

A sokszögek területének kiszámítása 480. Rajzolj a négyszöggel egyenlő területű háromszöget!

185

C M Y K


A sokszgek s a kr Módszer az átdaraboláshoz: a), b), c) esetben

d) esetben e DB AB és e metszéspontja E, AD és e metszéspontja F , AED, illetve ABF megoldás.

481. Egy 4 cm magasságú trapézt az egyik átlója egy 12 cm2 és egy 4 cm2 területű háromszögre bont. a) Hány cm2 a trapéz területe? b) Hány cm a trapéz alapjainak hossza? c) Lehet-e ez a trapéz húrtrapéz? d) Lehet-e ez a négyszög derékszögű trapéz? a) Ttrapéz = 4 + 12 = 16 cm2 2 · 12 = 6 cm b) a = 4 2·4 c= = 2 cm 4 c), d) Egyaránt lehetséges.

482. Hányadrésze az egyenlő oldalú sokszög területének a színessel jelölt részek együttes területe, ha a csúcsokon kívül csak oldalfelező pontokat jelöltünk? 1 2

a)

483. a)

4 7

b)

b)

Számítsd ki a három négyzet területének arányát! 2 : 5 : 10

3 4

c)

d)

c)

Számítsd ki a három háromszög területének arányát! 4 : 13 : 28

Számítsd ki az EQF P négyszög és a paralelogramma területének arányát, ha E és F oldalfelező pont! TEF D = TEF A , TF EQ = TF EB , TEQF P : TABCD = 1 : 2

186

C M Y K

3 8


A sokszgek s a kr 484. Számítsd ki a sokszög területét!

(8 + 6) · 3 (10 + 6) · 2 + = 37 cm2 2 2 5 · 1 7,5 · 3 4,5 · 6 6 · 2 b) T = + + + = 33,25 m2 2 2 2 2 2 · 6 (6 + 8) · 5 (8 + 4) · 3 (4 + 6) · 6 (6 + 1) · 2 3 · 6 (6 + 3) · 3 (8 + 4) · 5 c) T = + + + + + + +8·7+ = 176,5 m2 2 2 2 2 2 2 2 2 a) T =

485. Szerkessz szabályos nyolcszöget egy 5 cm sugarú körbe, csúcsait jelölje sorban A, B, C, D, E, F , G, H ! a) Számítsd ki az ACEG négyszög területét! ACEG négyszög négyzet, átlói 10 cm hosszúak. TACEG = 50 cm2

b)

A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a CDF G négyszög területét! CDF G négyszög húrtrapéz. (10 + 7) · 3,5 T ≈ = 29,75 cm2 2

c) Számítsd ki az ABEH deltoid területét! TABEH =

e·f ≈ 35 cm2 2

d) Számítsd ki a CDF G trapéz kerületét! KCDF G ≈ 24,6 cm

486. Adott körbe szerkessz szabályos tizenötszöget, ha a körbe írt szabályos ötszög és szabályos háromszög csúcsai ismertek az ábrán látható módon! Az ötszög csúcsai ABCDE, a háromszög csúcsai AP Q, P Q CD, K a kör középpontja. AKE ^ = 72◦ , EKQ^ = 120◦ − 72◦ = 48◦ , OKD^ = 72◦ − 48◦ = 24◦ . QD a szabályos tizenötszög oldala.

187

C M Y K


A sokszgek s a kr 487. Szerkessz szabályos sokszögeket a táblázat adatai szerint! Ha szükséges, szögmérőt is használhatsz. Mérd meg a hiányzó adatokat, és töltsd ki a táblázatot! A sokszög olda3 3 lainak száma A sokszög köré 2,5 cm 5 cm írt kör sugara A sokszög olda4,3 cm 8,6 cm lának hossza A sokszög kerü12,9 cm 25,8 cm lete A sokszöget felépítő tükrös há1,3 cm 2,6 cm romszögek magassága A sokszög terü8,385 cm2 33,54 cm2 lete

5

5

6

6

8

8

2,5 cm

5 cm

2,5 cm

5 cm

2,5 cm

5 cm

2,9 cm

5,8 cm

2,5 cm

5 cm

1,9 cm

3,8 cm

14,5 cm

29 cm

15 cm

30 cm

15,2 cm

30,4 cm

2 cm

4 cm

2,2 cm

4,4 cm

2,3 cm

4,6 cm

14,5 cm2

58 cm2

16,5 cm2

66 cm2

17,48 cm2 69,92 cm2

488. Szerkessz szabályos sokszögeket a táblázat adatai szerint! Szögmérőt is használhatsz. Mérd meg a hiányzó adatokat, és töltsd ki a táblázatot! A sokszög olda3 3 5 lainak száma A sokszög beírt 3 cm 6 cm 3 cm körének sugara A sokszög olda10,4 cm 20,8 cm 4,4 cm lának hossza A sokszög kerü31,2 cm 62,4 cm 22 cm lete A sokszöget felépítő tükrös há3 cm 6 cm 3 cm romszögek magassága A sokszög terü46,8 cm2 187,2 cm2 33 cm2 lete

5

6

6

8

8

6 cm

3 cm

6 cm

3 cm

6 cm

8,8 cm

3,5 cm

7 cm

2,5 cm

5 cm

44 cm

21 cm

42 cm

20 cm

40 cm

6 cm

3 cm

6 cm

3 cm

6 cm

132 cm2

31,5 cm2

126 cm2

30 cm2

120 cm2

489. a) Számítsd ki a rácsparalelogrammák területét! (A rácsparalelogramma csúcsai a négyzetháló rácspontjai.) (4 · 3 − 2 ·

1 1 · 3 · 1 − 2 · · 2 · 1 − 2 · 1) 2 2

b) Keress összefüggést a paralelogramma belsejében levő rácspontok száma és a paralelogramma területe között!

A: 1

B: 3

C: 1

D: 1

Ha egy rácsparalelogramma területe n területegység, akkor a belső rácspontok száma n − 1.

188

C M Y K


E: 5

A sokszgek s a kr A kör kerülete 490. a) Vedd körbe fonallal egy gyűrű, egy pohár, egy virágcserép és egy fazék peremét! A fonal hosszát mérd meg, és add meg a körök kerületét centiméter egységben! Például egy 15 mm átmérőjű gyűrű esetén K ≈ 47 mm.

b) Rajzold körül milliméterpapíron a gyűrűt és a poharat, négyzethálós lapon pedig a cserepet és a fazekat! Számold össze, hogy körülbelül hány egységnégyzet területével egyenlő a körök területe! Például egy 15 mm átmérőjű gyűrű esetén T ≈ 177 mm2 c) Töltsd ki a táblázatot, más körök kerületét és területét is határozd meg! Gyűrű A kör kerülete

47 mm

A kör átmérője

15 mm

A kerület és az átmérő hányadosa

Pohár Cserép Fazék

3,1 177 mm2

A kör területe

491. Számítsd ki a kör kerületét, ha sugara a) 7 cm, K ≈ 43,96 cm b) 9 mm, K ≈ 56,52 mm c) 10,2 dm, K ≈ 64,056 dm 6 d) cm, K ≈ 5,38 cm e) 0,92 m! K ≈ 5,7776 m 7 492. Számítsd ki a kör sugarát, ha kerülete b) 50 cm, r ≈ 7,96 cm c) 144,44 mm, r ≈ 23 mm a) 31,4 dm, r ≈ 5 dm 2 1 d) 10 · π cm, r = 5 cm e) π dm! r = dm 5 5 493. Milyen hosszúságú ívekre bontják a 8 cm sugarú kört a körbe írt szabályos sokszög csúcsai A kör kerülete ≈ 50,24 cm. Az ívek hossza

a) háromszög, ≈ 16,75 cm d) hatszög, ≈ 8,4 cm

b) négyszög, ≈ 12,6 dm e) hétszög esetén? ≈ 7,2 cm

c) ötszög, ≈ 10 cm

494. Az új kis kategóriájú autó kerekeinek átmérője 15 col (1 col = 1 ≈ 2,54 cm). Hány centiméter a kerék kerülete? r = 7,5 ≈ 19,05 cm K ≈ 119,6 cm

495. A budapesti Nagykörút hossza 6,5 km. Ha a Nagykörút pontosan félkörív alakú lenne, akkor hány km lenne a sugara? A Nagykörút sugara körülbelül 2 km lenne.

189

C M Y K


A sokszgek s a kr 496. Hasonlítsd össze a színessel jelölt félkörívek és a legnagyobb, 6 cm sugarú félkörív hosszát! Folytasd a sort!

(2 · 3 · 3,14) : (6 · 3,14) = 6 : 6 (4 · 1,5 · 3,14) : (6 · 3,14) = 6 : 6 A színes félkörök hosszának összege egyenlő a 6 cm sugarú félkör hosszával.

497. Számítsd ki a következő síkbeli alakzatok kerületét!

8 + 3 + 3 + 4 · π ≈ 26,56 cm

4 + 4 + 2 · 2 · π ≈ 20,56 cm 2 · 4,24 + 3 · π ≈ 17,9 cm (A négyzet oldalát méréssel adhatjuk meg.)

498. Egy autó kanyarodás közben negyedkört tesz meg, ekkor két-két kereke különböző sugarú köríven halad. a) Mekkora a kerekek által megtett utak különbsége a következő esetekben? b) Hány százaléka a rövidebb útnak a megtett utak különbsége?

A belső ív sugara

I.

II.

III.

IV.

V.

10 m

100 m

500 m

10 m

100 m

A külső ív sugara

11,2 m 101,2 m 501,2 m 11,6 m 101,6 m

A belső kerék által megtett út

15,7 m

157 m

785 m

15,7 m

157 mm

A külső kerék által megtett út

17,584 m 158,884 m 786,884 m 18,212 m 159,512 m

Az utak különbsége

1,884 m

1,884 m

1,884 m

2,512 m

2,512 m

12%

1,2%

0,24%

16%

1,6%

Hány százaléka az eltérés a belső útnak

c) Milyen okok miatt csúszhat meg egy autó kanyarodás közben? Kicsi a súrlódás a kerék és a talaj között; túl nagy a sebesség; kanyarodás közben fékez a vezető.

A gyakorlatban az egyenes útszakaszokat és a köríveket átmeneti ívek kötik össze, amelyek nem körív alakúak.

190

C M Y K


A sokszgek s a kr A kör területe 499. Számítsd ki a kör területét, ha sugara a) 7 cm, T ≈ 153,86 cm2 b) 9 mm, T ≈ 254,34 mm2 c) 10,2 dm, T ≈ 326,6856 dm2 6 d) cm, T ≈ 2,307 cm2 e) 0,92 m! T ≈ 2,658 m2 7 500. Mekkora a 7 cm sugarú körben levő körcikk területe, ha középponti szöge A kör területe ≈ ≈ 153,86 cm2 . T a) 120◦ , ≈ 51,3 cm2 3 T d) 60◦ , ≈ 25,64 cm2 6

b) 90◦ , e)

T ≈ 38,5 cm2 4 T 30◦ ? ≈ 12,8 cm2 12

c) 72◦ ,

T ≈ 30,8 cm2 5

501. Mekkora felületen párolog a talaj 12 cm, 16 cm és 20 cm átmérőjű virágcserép esetén? ≈ 113,04 cm2 , ≈ 201 cm2 , ≈ 314 cm2

502. Számítsd ki az alakzatok területét! A b) és a c) esetben a kerületet is határozd meg!

(8 + 4) · 3 2 · 2 · π − ≈ 11,72 dm2 2 2 b) T = 12 · 12 − (4 · 4 · π + 2 · 2 · 2 · π) ≈ 68,64 m2

K = 2 · 4 · π + 2 · 2 · 2 · π ≈ 50,24 cm

c) T = 12 · 12 − 3 · 3 · 3 · π ≈ 59,22 cm2

K = 3 · 2 · 3 · π ≈ 56,52 cm

a) T =

503. Melyik mennyiség nagyobb? a) Két 3 cm sugarú kör kerületének összege vagy egy 6 cm sugarú kör kerülete? 2·3·π +2·3·π =2·6·π

b) Két 3 cm sugarú kör területének összege vagy egy 6 cm sugarú kör területe? 3·3·π +3·3·π <6·6·π

504. Számítsd ki a színessel jelölt alakzatok területét!

T ≈ 226,08 cm2

T ≈ 100,48 dm2

T ≈ 43,2 cm2

T ≈ 37,68 cm2

191

C M Y K


A sokszgek s a kr 505. Számítsd ki a színessel jelölt alakzatok területét!

T ≈ 39,25 cm2

T ≈ 3,14 cm2

T ≈ 3,14 cm2

T ≈ 25,12 cm2

506. Számítsd ki a beszínezett alakzat és a színessel határolt alakzat területét! Számítsd ki a területek arányát! a)

b)

c)

d)

2

2

14 cm · 54 cm = 4 : 9

(50π) : (200π) = 1 : 4

(100π) : (225π) = =4:9

1 · 16π 6

1 : · 64π = 6

=1:4

507. Hány centiméter annak a körnek a sugara, amelynek kerülete ugyanannyi cm, mint ahány cm2 a területe? 2 · r · π = r · r · π r = 2 cm 508. Számítsd ki a kör sugarát, ha területe a) 62,8 cm2 , r ≈ 4,5 cm

b) 75 dm2 , r ≈ 4,9 dm c) 0,603 mm2 , r ≈ 0,4 mm 49 7 d) 25π cm2 , r = 5 cm e) · π dm2 ! r = dm 9 81 509. a) Számítsd ki, mekkora utat tesz meg egy test, ha 10 m sugarú kör mentén 120◦ -os szöggel 1 · 2 · 10 · π ≈ 20,9 m út; ≈ 17,3 m távolság. 3 sugarú kör mentén 150◦ -kal elfordul?

elfordul! Milyen távolságra lesz a kiindulás helyétől? b) Mekkora utat tesz meg egy test, mialatt egy 50 m Milyen távolságra lesz a kiindulás helyétől?

5 · 2 · 50 · π ≈ 130,8 m az út; ≈ 96,6 m a távolság. 12

510. Az ábrán olyan háromszögek láthatók, amelyeknek az a oldala rögzített, egyik végpontja éppen a kör középpontja. A c oldalának hossza adott, éppen sugárnyi, és c oldal egyik végpontja is a kör középpontja. a) Hogyan változik a háromszögek kerülete az a és c oldal által bezárt szögtől függően? Nagyobb szög esetén nagyobb a kerület. A szög és a kerület nem egyenesen arányos. c − a < b < c + a ⇒ 2c < k < < 2a + 2c

b) Hogyan változik a háromszögek területe az a és c oldal által bezárt szögtől függően? A terület 90◦ -os szög esetén a legnagyobb, 0◦ , illetve 180◦ felé közeledve csökken.

192

C M Y K


Algebra ALGEBRA A valóság megragadása a matematika nyelvén, képletek 511. Az egyik edényben olvadó jég, a másikban forrásban lévő víz van. Két hőmérő áll mindkettőben: egy Kelvin-hőmérő és egy Celsiushőmérő. A Kelvin-hőmérő 273 fokkal többet mutat. Ez minden esetben így van. Például, ha a Celsius-hőmérő 5 ◦ C-ot, a Kelvin-hőmérő 278 fokot mutat. a) Ha a Celsius-hőmérő n fokot mutat, hány fokot mutat a Kelvin-hőmérő? n + 273 [K] b) A bolygók neve alatti számok a nappali oldalukon mért felszíni hőmérsékletüket mutatják. Hasonlítsd össze a bolygók hőmérsékletét Kelvin-fokban és Celsius-fokban is; minden bolygótól húzz nyilat a nagyobb hőmérsékletűek felé! Vénusz 333 K 60 ◦ C Merkúr 690 K 417 ◦ C

Uránusz 92 K −180 ◦ C V N Me

Me N V Me

J

Sz F

N Ma Jupiter 133 K −140 ◦ C

N Ma

V Me F

V

Me N Föld 287 K 14 ◦ C

F

Neptunusz 780 K 507 ◦ C N V

Me N

F Ma

Mars 275 K 2 ◦C

J Szaturnusz 113 K −160 ◦ C

512. A gyerekek kieséses pingpongbajnokságot játszanak. Először párba sorolják a versenyzőket. Az első fordulónak akkor van vége, ha minden párnál eldőlt, ki a győztes. Döntetlen játszma nincs. A második fordulóban újra párokat sorsolnak, ha valakinek nem jut pár, akkor játék nélkül jut a következő fordulóba. a) Hány játékos esetén lehetséges, hogy minden fordulóban továbbjut valaki játék nélkül? 2n + 1 b) Hogyan függ a fordulók (f ) száma a résztvevők (r) számától? Ha 2n < r 5 2n+1 , akkor f = n + 1 c) Hogyan függ a játszmák (j ) száma a résztvevők (r) számától? j = r − 1 Folytasd a táblázat kitöltését! Résztvevők (r) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . Fordulók (f ) 1 2 2 3 3 3 3 4 4 Játszmák (j ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r−1

193

C M Y K


Algebra 513. Keresd a párját! Melyik rajzhoz melyik képlet tartozik? Válaszodat indokold! (1)–C)

(2)–A)

(3)–D)

B)

A) 2 · a 2 + 4 · a · b felszín

(4)–B

3 ·a·b 2

C) 2 · a + b

D) 2 · b + a

kerület

kerület

terület

514. Írd fel az összefüggést képlettel! Egy kockát a lapjával párhuzamos vágásokkal négyzetes hasábokra fűrészelünk szét. Hogyan függ a vágások számától a kapott testek együttes felszíne?

Töltsd ki a táblázatot! A vágások száma

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A kapott tes- 6 · a 2 8 · a 2 10a 2 12a 2 14a 2 16a 2 18a 2 22a 2 24a 2 26a 2 tek együttes felszíne

...

v 6a 2 + 2a 2 v

515. A matematikusok évszázadok óta próbálnak kitalálni egy olyan általános szabályt, amely csak prímszámokat ad meg. Erőfeszítéseiket ezideig nem koronázta siker. Legendre (ejtsd: lözsandr) például a következő képletet ajánlotta: 2x 2 + 29. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyet x helyére behelyettesítve nem kapunk prímszámot? x = 29 516. Egy mosodában ki kell cseréltetni a csapok tömítéseit. Két szerelő árajánlata a következő: Áron mesteré: 800 Ft kiszállási díj + csaponként 250 Ft; 10 csap 100 csap Bódog mesteré: 2000 Ft kiszállási díj + csaponként 200 Ft. Áron 3300 Ft 25 800 Ft Melyik mester ajánlatát gazdaságosabb elfogadni, ha 10 csapot kell Bódog 4000 Ft 22 000 Ft megszereltetni, és melyiket, ha 100-at? 10 csap esetén Áron mester, 100 csap esetén Bódog mester ajánlata gazdaságosabb számunkra.

194

C M Y K


Algebra A műveletek kapcsolatai, azonosságok 517. Színezd pirossal a számegyenesnek azokat a pontjait, amelyekre a megadott kifejezés értéke pozitív; kékkel azokat, amelyekre negatív; feketével azokat, amelyekre 0; és zölddel azokat, amelyekre a kifejezések nem értelmezhetők! 1 a) a 2 b) c) x + 5 d) −x e) 3x − 1 x p

f p 0

k z p 0

f) |x − 2| p

k

g) (x + 1) · x

f p 2

h)

p

f p −5

x−5 5−x

p fkf p −1 0

i)

x x

b) 3(b − 2) = 3b − 6 e) (2e − 3) · 4 = 8e − 6 1 g) (8 + 4c) · (−2) = −16 − 8c h) (5 − 4h) = 2,5 − 2h 2 519. Add meg a szakaszok hosszát összeg és szorzat alakban is! x

x

1

x

x

b)

1 1

y y

1

1 3

j) x 3 k z p 0

k z k 5

2x + 2 = 2 · (x + 1)

p

k

2

518. Végezd el a kijelölt szorzást! a) 4(a + 1) = 4a + 4 d) 2(5 − 2d) = 10 − 4d

a)

f k 0

k

f

p

0

c) 4(1 − c) = 4 − 4c f) (5 − 4f ) · 3 = 15 − 12f

y

2 y

y

2 y

2

2 2

2

3y + 6 = 3(y + 2)

520. A műveletek tulajdonságait és kapcsolatait vizsgáltuk. Írtunk konkrét példákat, a törvényszerűségeket megfogalmaztuk szavakkal is, és felírtuk algebrai kifejezésekkel is. Melyik cédula hová illik? Melyik cédula nem illik egyik helyre sem? Az összefüggés A konkrét példa szavakkal megfogalmazva algebrai kifejezéssel leírva 18 : 3 : 2 = 18 : (3 · 2)

A

B

C

A szorzatnak csak az egyik tényezőjét kell elosztani az osztóval.

D

E

F

(a + b) : c = a : c + b : c c 0

18 = 18 : (3 : 2) 3:2

G

H

195

C M Y K


Algebra a · x + b · x = (a + b)· x

A törtvonal zárójelet is helyettesíthet.

Nem illik sehova.

Ha az osztásjel mögé zárójelet teszünk, akkor a zárójelben lévő osztásjelet szorzójellé kell változtatni. A

a·b a b = ·b =a· c c c

a = a : (b : c) b:c

36 · 15 36 15 = ·15 = 36· 3 3 3

0

C

b, c

D

G

H

a : b : c = a : (b · c)

Az összeget tagonként is lehet osztani.

(8,4 + 0,12) : 4 = 8,4 : 4 + 0,12 : 4

b, c 0 B

F

E

521. Melyek összegek, melyek szorzatok, melyek hatványok? a) x − 5y b) (5 − x)y c) 4x − 6y 1 f) 3x 2 − 1 g) (5xy)2 h) 2 · y 2 + 52 x összeg: a), c), d), f), h)

szorzat: b), e)

d) 3xy + 1 3x i) 2

e) xy(5 + z) 3x j) −4 2

hatvány: h)

522. Válaszd ki az azonosságokat! Azonosság: c), d), e) 10x + 5 a) (x + 4) · 2 + 3 = 2x + 7 b) = 5x + 5 c) x − (5 + x) = −5 2 x x 5x 40x d) = 4x e) + = f) (x + 4x) · x = 5x 5·2 2 3 6 523. Pótold az egyenletek hiányzó jobb oldalát úgy, hogy azonosságot kapj, de zárójeleket ne használj! a+b ab a:b a5 b a b a a b 0 , a) = + , c 0 b) = · b = a · c 0 c) = d) 3 = a 2 , a 0 c c c c b·c c 0 c c c a 524. Keresd a párját! A rajzokról leolvasható szabály szerint továbbépíthetjük ezeket az építményeket. Az építmények valamilyen mennyiségéről írtunk algebrai kifejezéseket. Melyik kifejezés tartozik az egyes építményekhez, és mit lehet azokkal kiszámítani, ha n-nel jelöljük a legalsó sorban lévő kockák számát? A −b

B −c

a = 1 + 22 + 32 + . . . + n2

C −a

b = (1 + 2 + 3 + . . . + n) · 3

c = 1 + 23 + 33 + . . . + n3

196

C M Y K


Algebra 525. Fejezd ki az x segítségével a kérdezett mennyiségeket! a) Egy futó tömege edzés előtt 68 kg volt. Az edzés alatt x kg-ot fogyott. Mennyi lett a tömege edzés után? 68 − x (kg) b) Bolyai Farkas 27 évvel volt idősebb fiánál, a világhírű matematikus Jánosnál. Hány éves volt Bolyai János, amikor édesapja x éves volt? x − 27 (éves) c) A Zala folyó közepes vízhozama x m3 másodpercenként. Az árvízi hozam ennek 20-szorosa. Mennyi az árvízi hozam? 20x (m3 ) d) Az Aggtelektől Jósvafőig tartó hosszú túra x km-rel hosszabb, mint a rövid túra. A két túra együttes hossza 8 km. Milyen hosszú a rövid túra?

8−x (km) 2

Bolyai Farkas (1775–1856)

e) Egy tyúkudvarban tyúkok és kakasok vannak. A kakasok száma x, a tyúkoké 7-szer ennyi. Hány tyúk van? 7x f) Egy kocka élvázának hossza x m. Mennyi a felszíne?

x 2 · 6 (m2 ) 12

g) Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge x fok. Hány fokos a másik hegyesszöge? 90◦ − x h) Egy téglatest egyik éle x cm, a másik kettő 4, illetve 5 cm. Mekkora a felszíne? Mekkora a térfogata? A = (4x + 5x + 20) · 2 = (18x + 40) cm2 ; V = 20x (cm3 ) i) A Balatont átúszó versenyen idén x úszó indult. Az indulók huszada feladta, nem tudott úszva átjutni a túlpartra. Hányan győzték le a távolságot, hányan nem?

19 1 x; x 20 20

526. Fejezd ki x segítségével a kérdezett mennyiségeket! 1 2 -e kockás; a maradék -a 4 3 vonalas; az ezután maradó füzetek fele sima, és a többi mind hangjegyfüzet. Melyik füzetből

a) Egy papírkereskedésben x db iskolai füzet van raktáron, ennek: hány van a raktárban? kockás:

1 1 1 1 ; vonalas: x; sima: x; hangjegyfüzet: x 4x 2 8 8

b) Egy 54 cm kerületű egyenlő szárú háromszög egyik oldala 3 cm-rel hosszabb, mint egy másik. Mekkorák a háromszög oldalai? 17 cm, 17 cm, 20 cm; 19 cm, 19 cm, 16 cm c) Öt egymást követő páratlan szám összege x. Melyik a legkisebb az öt szám közül? (x − 8) : 5 d) Egy „kutyástalálkozón” csak a kutyák és a gazdáik gyűltek össze. Az állatok és az emberek száma így 300 volt. Hány lábuk volt a résztvevőknek összesen, ha x kutya volt? (300 − x) · 2 + x · 4 = 600 + 2x

Algebrai kifejezések sokféle alakban, egynemű algebrai kifejezések, helyettesítési értékek kiszámítása 527. Bolyai János (1802–1860) születési dátumával játszottak a gyerekek. Melyik felírás hibás? 1·8·0·2=0 1+8·0:2=1 1·8:0+2=2 1+8·0+2=3 (1 · 8 + 0) : 2 = 4 1 + (8 + 0) : 2 = 5 Folytasd, amíg tudod! A bekarikázott felírás hibás, mert a 0-val való osztást nem értelmezzük. 528. Írd fel egyszerűbb alakban! a) a + a + a + a + a = 5a d) −d − d − d − d = −4d g) f · f + g · g · g = f 2 + g3

b) a + a + a + b + b = 3a + 2b c) c + b + b + c + c = 2b + 3c e) −d − d − e − e − e = −2d − 3e f) f · f · f · f · f = f 5 h) g · g · g · h · h = g3 · h2 i) i · h · i · h = (i · h)2

197

C M Y K


Algebra 529. Írd fel egyszerűbb alakban! a a a a) + + = a 3 3 3

b)

a + a + a + a 4a = 3b b+b+b

c)

c c b b b + − − − =c−b 2 2 3 3 3

530. a) Írd fel algebrai kifejezéssel az A, a B és a C edényekben lévő folyadék térfogatát, ha az első edény űrtartalma x; aztán úgy, hogy a második edényben lévő folyadék mennyisége y! b) Írd le algebrai kifejezéssel a következőket, ha x az első edény térfogata! Az első edény űrtartalma: x A második edény űrtartalma: y

A 2 x 5 4y

B 1 x 2 5y

C 4 x 5 8y

2 5

1 4 5 9 x+ x= x 2 10 10 10 3 4 3 C 3 folyadék negyedét kiöntjük. C − = C = · x = x 4 4 4 5 5 2 1 4 edényben levő folyadékot összeöntjük. A + B + C = x + x + x = 5 2 5

– Az A és a B edényben lévő folyadékot összeöntjük. A + B = x + x = – A C edényben lévő – Az A, a B és a C =

1 17 6 x+ x= x 5 2 10

– Az A és a C edényben lévő folyadékot összeöntjük, majd ennek a negyedét vesszük. A+C 6 3 = x:4= x 4 5 10

c) A második edényben lévő folyadék mennyisége legyen y! Milyen változtatásokat írnak le ezek az algebrai kifejezések? 4y + 8y A+C

531. a) Hány papucs b) Hány cipő ér

5y 2

5y − 4y

5y + 8y 2

B+C 2 ér egy csizmát? 3 papucs ér egy csizmát. egy csizmát? Másfél cipő ér egy csizmát. B:2

B −A

4y 8y + 4 4 A C + 4 4

198

C M Y K


Algebra 532. a) Melyek összegek, melyek szorzatok, melyek hatványok? b) Írd le a következő kifejezéseket számok nélkül, csak betűkkel! Például: 3 · x = x + x + x, 3xy = xy + xy + xy a) 4a = a + a + a + a b) −2b = −b − b c) 4bc = bc + bc + bc + bc d) 3c + 2d = c + c + c + d + d e) 3(d + e) = (d + e) + (d + e) + (d + e) f) 2(e + f ) − 3(e + f ) = −e − f 5h h + h + h + h + h g) 2h + 3(f + h) = h + h + (f + h) + (f + h) + (f + h) h) = i+i 2i 2 i) 3ij = ij + ij + ij j) (5k) = (k + k + k + k + k) · (k + k + k + k + k) k) (−l)3 = −l · (−l) · (−l) l) 3m2 − 2m3 = m · m + m · m + m · m − m · m · m − m · m · m összeg: d), f), g), l)

szorzat: a), b), c), e), h), i)

hatvány: j), k)

533. Keresd meg mindegyik kifejezésben az ismeretlenek együtthatóját! 3 4x 4 −2x 2 2 1 3 1 x2, 1 xy, , ,− y3, 1 −x 2 , −1 − x, − 4 5 2 4 3 3 5 2 534. a) Mely kifejezésekben egyeznek meg b) Mely kifejezésekben egyeznek meg

−0,4x 2 y −0,4

2 3 ab a , −a 2 b; az együtthatók? 3a 2 ; 3 , 5ab; 5b3; 0,2 −1 b 2 2 ab 2 a 2 a b a változók? 3a ; , 5ab; 0,2ab; , −a b; −1 0,2 5

a2 ab a2b 1 −1 5 −1 0,2 5 5 2 2 c) Válaszd ki az a -tel, az ab-vel,illetve az a b-vel egynemű kifejezéseket! 3a 2 3

a 2 ; 3a 2 ;

0,2ab 0,2

a2 , −1

5b3 − a 2 b 5; −1

ab ab; 0,2ab; , 0,2

a 2 b; −a 2 b;

3 3 b3

a2b 5

535. Gyűjts 3-3, a megadottakkal egynemű algebrai kifejezést! 5x,

2y,

3xy,

(xy)2 ,

x2 2

536. Írd egyszerűbb alakba a kifejezéseket az egynemű tagok összevonásával! a) 5x + 7x − 5 − 3x − 12 = 9x − 17

b) 32x − 10xy − 5x + 6xy = 27x − 4xy

c) −3x − 4 − 6x − 16 + 5x = −4x − 20

d) −6xy − xy + 7xy + 3y = 3y

e) 2x 2 − 3y + 2y − y 2 + 6y + y 2 − 2x 2 = 5y

f) 0,4x − 3,2x + 0,8x = −2x

g) 537.

a e g j

1 9 7 5

3 1 1 h) 1,5y − x + 3 − x − 5,5 = x − 2,5 4 4 2 Vízszintes: c b d 8 9 4 a) Kőnig Gyula matematikus f 7 7 9 születési évszáma h i e) (x + 1) · 11, x = 8 7 5 6 f) 10x + x, x=7 9 0 0 3 g) x + 13, x=4 i) x(x + 1), x=7 x j) 5,9 · 10 , x=3

3 2 1 x − y + x = 1,1y − 1,25x 2 5 4 Függőleges: a) 4x − 1, x=5 b) (x + 1) · 9 + 8, x=8 2 c) x − 2, x=7 2 d) (x − 1) − 2x, x = 12 2 h) (x − 3) − (2x − 5), x = 13 i) 2x − 2(x + 1), x=6

199

C M Y K


Algebra 538. Végezd el az összevonásokat! Az összevonás helyességét vizsgáld meg egy konkrét esetben az eredeti és az új kifejezés helyettesítési értékének kiszámításával! x = 0, y = 1 a) 20 + (x − 11) = 9 + x = 9 b) (5x + 3) − (2x − 4) = 3x + 7 = 7 c) 3x − (2x − 5) = x + 5 = 5 1 1 1 = 2,5x + 0,75 = 0,75 d) (4 − 2y) + (5 − 3y) = 9 − 5y = 4 e) x+ − −2x − 2 4 2 f) (2x + 4y) − (4x − 2y) = −2x + 6y = 6

g) (3x 2 − 5xy) − (xy − x 2 ) 4x 2 − 6xy = 0

539. Végezd el a kijelölt műveleteket! Írd a kifejezést egyszerűbb alakba! a) 4(a + 5) + 7 = 4a + 27 b) 9 + 3(b + 2) = 3b + 15 c) 5(7 − c) + 3c = 35 − 2c d) (3 − d) · 2 − d = 6 − 3d e) 3(e + 2) + 4(e + 2) = 7e + 14 f) 7 · (−1) − 2(f + 2) = −2f − 11 540. Írd fel a színezett síkidomok területét többféleképpen algebrai kifejezésekkel! Számítsd ki a területeket a megadott méretekkel!

x=3

x = 0,8

x=

5 2

x = 16

a) (2x)2 − 2x 2 − x 2 = 4x 2 − 3x 2 = x 2 t = 9 egység x2 b) 4x 2 − 2x 2 − = 4x 2 − 2,5x 2 = 1,5x 2 t = 0,96 egység 2 3 5 125 c) 4x 2 − 2x 2 − x 2 = x 2 t = egység 4 4 16 3 d) 4x 2 − x 2 = 2 · x 2 = 1,5x 2 t = 384 egység 4

541. a) A kockát az ábrán látható módon átfúrtuk. Írd fel algebrai kifejezéssel az átfúrt test felszínét és térfogatát, ha x jelöli az eredeti kocka élét! Számítsd ki a felszínt és a térfogatot x = 6-ra! 2 12 10 1 A = 6x 2 − x 2 + x 2 = 6x 2 + x 2 = 7 x 2 9 9 9 9 A = 256 egység x3 8 3 V = x3 − = x 9 9 V = 192 térfogategység

b) Egy téglatestből az ábrán látható módon kivágtunk két egybevágó hasábot. Írd fel az így kapott test felszínét és térfogatát képlettel! Az x = 2 m érték behelyettesítésével ellenőrizz! A hasáb felszíne 248 m2 . A felszín kiszámítását nagyon egyszerűvé teszi, ha a gyerekek átlátják azt, hogy ennek a testnek a felszíne ugyanakkora, mint a „beugró” részek „kifordításával” kapható konvex hasábé:

x+8 m

2x 2x + x = 3x

200

C M Y K


Algebra A = [(x + 8) · 2x + 3x · 2x + (x + 8) · 3x] · 2 = 11x 2 + 40x · 2 = 22x 2 + 80x = 88 + 160 = 248 [m2 ] Célszerű a hasáb éleinek kiszámítása után is meghatározni a felszínt:

10 m

2

A = (10 · 4 + 6 · 4 + 10 · 6) · 2 = (40 + 24 + 60) · 2 = 124 · 2 = 248 [m ] A hasáb térfogata 240 m3 − 2 · 16 m3 = 208 m3 .

4m 6m

Sokféle felosztás lehetséges, az egyik lehetőség, hogy a konvex hasáb térfogatából kivonjuk a két egybevágó hasáb térfogatát: V = (x + 8) · 2x · (2x + x) − 2 · 2x 2 = 6x 3 + 44x 2 = 224 [m3 ] Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a hasáb éleinek kiszámítása után számítjuk ki a térfogatát: V = 10 · 4 · 6 − 2 · (4 · 2 · 2) = 240 − 32 = 208 [m3 ]

Egyenletek megoldása 542. Mely számok teszik igazzá a következő nyitott mondatokat az egyes alaphalmazokon? Alaphalmaz Nyitott mondat

A 60 osztói

Természetes számok

36 + x · 4 = 80

−

11

−

11

x · 3 − 6,7 = −10

−

−

−

1,1

2, 3, 4, 5, . . .

2

x − 0,5 = 1

Páros prímek

Racionális számok

2, 3, 4, 5, 6, 10,

1 2

12, 15, 20, 30, 60

a 2-nél nem kisebb számok

543. Találj ki olyan feladatot, amelynek megoldásához ezek a rajzok készülhettek! Írj egyenleteket a rajzokról, oldd is meg azokat! 3 x = 330; x = 550 5

720 + 9x = 9000; x = 920

a)

9000

b)

x x x x x x x x x

720

x

330

544. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 6-ot, az összeget megszoroztam 2-vel, az eredményből elvettem 8-at, a kapott számot elosztottam 6-tal, eredményül 2-t kaptam. Melyik számra gondoltam? (g + 6) · 2 − 8 : 6 = 2; a gondolt szám a 4. 545. Írd le egyenlettel, és oldd meg! a) Gondoltam egy számot, megszoroztam g·

2 -del, és 3-at kaptam. Melyik számra gondoltam? 7

2 = 3, g = 10,5 7

b) Egy számhoz hozzáadtam a szám felével nagyobb számot, és 10-et kaptam eredményül. 3 2

Melyik szám ez? x + x = 10, x = 4 c) Egy szám és az annál x = −0,07

1 1 -del nagyobb szám összege 0,36. Melyik ez a szám? 2x + = 0,36, 2 2

201

C M Y K


Algebra d) Egy számnál a 25%-ával nagyobb számhoz 25-öt adva 400-at kapunk. Melyik ez a szám? 1,25x + 25 = 400, x = 300

e) Egy szám és a nála 1-gyel nagyobb szám összege −17. Melyik ez a szám? x + x + 1 = −17, x = −9

f) Egy szám és a nála 1-gyel nagyobb szám szorzata 3,75. Melyik ez a szám? x · (x + 1) = 3,75, x = 1,5

Próbálkozással jutunk el a megoldáshoz.

546. Egy háromszög b oldala 5 cm-rel rövidebb, mint a c oldala, az a oldala 2 cm-rel hosszabb, mint c. Mekkora a kerülete? Fejezd ki az a oldallal, a b oldallal, a c oldallal! Mekkorák az oldalak, ha a kerület 30 cm? a =c+2 b =c−5 k = (c + 2) + (c − 5) + c = 3c − 3 k = b + (b + 7) + b = 3b + 12 k = a + (a − 7) + (a − 2) = 3a − 9 a = 11 cm, b = 6 cm, c = 13 cm

c

b a

547. Oldd meg az egyenleteket, lehetőleg fejben! a) x : 12 = 8 x = 96

b) 2x + 4 = 13 x = 4,5

1 = 8 x = 24 3 2 16 x: =8x= 3 3 x·

c) 6x +

3 3 1 = x= 8 4 2

5x + 1 = 13 x = 2,4

10x + 0,4 = 0,5 x = 0,01

2x − 4 = 13 x = 8,5

100x − 0,8 =

x : 1,02 = 6 x = 6,12

5x + 0,01 = 0,99 x = 0,196

1000x −

x · 0,01 = 6 x = 600

3x + 0,6 =

3 x = 0,3 2 12x − 0,4 = 3,2 x = 0,3 5 25x − = 2,5 x = 0,2 2

20x − 0,04 = 0,1 x = 0,007

x : 0,01 = 6 x = 0,06 2 x · = 6 x = 21 7

4 x = 0,016 5

3 = 4,6 x = 0,00535 4

0,1x + 8 = 25 x = 170 3 x − 6 = 9 x = 10 2

548. Összevonás után oldd meg az egyenleteket! a) x + 3 + x + 3 + x + 3 = 27 x = 6

b) 2 − x + 2 − x + 2 − x + 2 − x = 24 x = −4

1 1 1 1 1 + x − + x − + x − + x − = 10 x = 2,5 d) 4 + 2x − 8 + 3x + 13 + x = 9 x = 0 2 2 2 2 2 549. Válaszd ki a szövegnek megfelelő egyenleteket! Oldd is meg azokat! a) Gondoltam egy számot. A gondolt számnál 10-zel nagyobb számot adtam hozzá. Az összeg felét vettem, így 8-at kaptam eredményül. Melyik ez a szám? x = 3 x + x + 10 A) x + (x + 10) : 2 = 8 B) =8 C) x + 5 = 8 2 b) Gondoltam egy számot. Hozzáadtam 4-et. Az összeg 2-szeresét vettem. Ebből elvettem 8-at, ebből kivontam a gondolt számot. Eredményül −1-et kaptam. Melyik ez a szám? x = −1 c) x −

A) (x + 4) · 2 − 8 − x = −1

B) 2x + 8 − 8 − x = −1

C) x + 4 · 2 − 8 − x = −1

202

C M Y K


Algebra c) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 2-t. A különbséget megszoroztam 5-tel, ehhez 10-et adtam. Az összegből kivontam a gondolt szám 3-szorosát. Eredményül 1-et kaptam. Melyik számra gondoltam? x = 0,5 A) x − 2 · 5 + 10 − 3x = 1

C) (x − 2) · 5 + 10 − 3x = 1

B) 2x = 1

550. Oldd meg az egyenleteket! Ellenőrizz! a) 5x − 2 = 20 x = 4,4 b) 5(x − 2) = 20 x = 6 d) 5(x − 2) − 8 = 20 x = 7,6

e)

c) 5(x − 2) − 5x = −10 azonosság

x − 4 = 20 x = 48 2

x−4 x−4 + 5 = 20 x = 34 h) − 5 = 20 x = 54 2 2 551. Oldd meg az egyenleteket! Ellenőrizz!

i) 3(x − 6) − 3x = 4 Nincs ilyen szám.

g)

a)

x−4 = 20 x = 44 2

f)

8x − 1 2,5x − 4 + 1 = 10 x = 8 b) − 2 = −4 x = −4,8 c) 7 8

3 −x ·2 4 − 0,5 = 1,5 x = −2,25 3

552. Írj a rajzokhoz szöveges feladatot! Írj a rajzokhoz egyenleteket, olddis meg azokat! a)

2 rész 5

b)

1 rész 3

4 km

30 perc

5 rész 8

1 rész 5

1 rész 3

100 km

c)

2 1 1 + + 5 3 5

x = 60 km;

·x +4= x 1 része 12 km. 5

5 1 x + 30 + x = x 8 3 1 x = 720 perc; része 240 perc. 3 0,75x + 100 = 0,85x x = 1000 km; 85%-a 850 km.

2 8 rész

85%

553. Oldd meg az egyenleteket az egész számok halmazán! Ellenőrizz! x x 7 x x x a) + = x=1 b) + + = 14 x = 16 4 3 12 2 4 8 x x x x x c) − = 70 x = 1225 d) + − = 1,5 x = 10 5 7 10 4 5 8 3 6 64 e) x − x = − x = f) x + 2x − 6 = −26 x = −6,25 25 8 5 5 3x 2x 2 18 g) − +3=0 x=− h) 1,5x − x − 12 = 8 x = 24 5 2 3 3 x − 2 5 + 4x 5x + 3 5x − 8 6 i) + =6 x=5 j) + =4x= 5 3 5 2 4 Az e), f), g) és j) egyenleteknek nem egész a gyöke.

554. Oldd meg az egyenleteket a természetes számok halmazán! Ellenőrizz! a) 5x + 3x − 10 = 14 x = 3 b) 7x + 2x + 4 = 40 x = 4 c) 5x + 7 − 8x + 6x = 13 x = 2 d) −3x − 5x + 20 + 2x = 5 x = 2,5

e) 3(x − 2) + 4 = 6 x =

8 3

f) 5 + (x + 1) · 5 = 8 x = −

2 5

203

C M Y K


Algebra g) 3x + 4(x + 2) = −15 x = −

23 7

3 5 j) 2x − x − x = 57 x = 106,4 4 7

h) 3x − (2x + 1) = −1 x = 0

i) 5x − 3(x + 1) = 6 x = 4,5

k) (5x − 28) − (3x + 2) + (x − 30) = 120 x = 60

Az a), b), c), h) és k) egyenletek gyöke természetes szám.

555. Írj a mérlegekről egyenleteket, és oldd is meg azokat! a) b)

5x = 7, x =

7 5

5x = 2x + 7, x =

c)

7 3

d)

7x + 2 = 3x + 5, x =

3 4

5x + 4 = 4x + 7, x = 3

556. Oldd meg az egyenleteket! a) 1 + 3x = 9 + x x = 4

b) 4x = 6x + 2 x = −1

1 8 d) −2x − 2 = − x + 2 x = − 3 2

e)

3 x + 2 = −4 + 3x x = 4 2

c) 5x = −3x + 4 x = f)

1 2

2x = x + 1 x = −3 3

−x + 3 1 1 x 4x − 2 azonosság = − x + 1,5 azonosság h) x + 4 = − 2 nincs ilyen x i) 2x − 1 = 2 2 3 3 2 557. Oldd meg az egyenleteket! g)

2 3

a) 13x + 44 − 4x = 102 − 9x − 22 x = 2

b) 11x + 7 + 11x = 3x + 5 + 22x x =

c) 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x x = 4

d) 15 − (x + 18) = 2(x + 1) + 3(x − 1) x = −

1 3

558. Oldd meg az egyenleteket! a) 25 − 10(3x − 5) = 60 − 15x x = 1

b)

3 − x 2x − 5 + = 1 x = 13 4 6

2x − 5 x + 17 3x − 7 = −x − 1 x = 0,4 d) 2 + = x = 13 3 5 4 559. Melyik egyenlet igaz a benne szereplő betűk minden számértékére, azaz melyik azonosság? a) 7a + 4a − 5a = 6a azonosság b) 2y + 6 = (y + 3) · 2 azonosság 6x + 12 c) − 3 = 3(x + 1) x = 0 d) 3ab + 8ab − 5a = 11ab − 5a azonosság 2 5x 2 e) 10x − (2x + 3) = 8x − 3 azonosság f) = 2,5x 2 azonosság 8 c)

204

C M Y K


Algebra 560. A következő egyenlőségek mindegyike azonosság. Pótold a -gel jelölt betűket! a) 7 ·

+ 3 · ab = 10ab

= ab

b)

5+z 2

= 2,5 +

-tel jelölt számokat, illetve a

2

=z

4x + −6 d) 5 · ( + 3 ) = 5a + 15 =a = 45 x − 1,2 5 561. Az egyenletek mindegyikének megoldását a −2-nél nagyobb és 4-nél kisebb egész számok halmazában keresd! c)

a) 2x + 6x 2 = 2 · (x + 3x 2 ) azonosság

b)

6x + 10 = −2x − 5 x = −2, az adott 2 alaphalmazon nincs gyöke

c) 4x + 2 = 4(x + 1) nincs ilyen x d) −4x − 10 = x − 5 x = −1 Melyik egyenletnek nincs megoldása, melyiknek van csak egy megoldása, melyik azonosság? 562. Oldd meg az alábbi egyenleteket! a)

5 − a 18 − 5a − =0 a=3 8 12

563. Mennyi

b) 5 · (x − 3) · (x + 3) · (x − 1) = 0 x1 = 3, x2 = −3, x3 = 1

1 1 − pontos értéke, ha annyit tudunk x-ről és y-ról, hogy x − y = 10, és xy = 20? x y

y − x −(x − y) −10 1 = = =− xy xy 20 2

Egyenlőtlenségek megoldása 564. Mekkora lehet egy-egy csomag tömege? Írj a mérlegek állásáról egyenlőtlenségeket, oldd is meg azokat! a) b)

x + 5 < 30, x < 25

2x > 80, x > 40

c)

d)

2x + 8 < x + 23, x < 15

3x + 20 < 2x + 80, x < 60

205

C M Y K


Algebra 565. Mely mérlegeken lehetnek ugyanazok a csomagok? A csomagok kinézetre megkülönböztethetetlenek, de a különböző mérlegeken lévők tömege különbözhet egymástól. a) x < 20 b) x > 15

c) x < 20

d) azonos egyenlőtlenség

566. Két mérést végeztünk. Először így állt be a mérleg, x >

4 3

másodszor pedig így: x < 4

Milyen határok között változhat egy csomag tömege? 0

14 3

2

3

4

5

6

7

4 <x<4 3

8 a csomag tömege

567. Az alábbi egyenlőtlenségek mindkét oldalához adjuk hozzá a zárójelben megadott számot! Igaz marad-e az egyenlőtlenség? a) 7,3 > 2,5 (1,7) i b) 2,8 > −0,3 (−0,6) i 5 7 1 14 11 7 c) > − i d) − < − i 4 8 2 15 15 5 568. Az alábbi egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg a zárójelben megadott pozitív számmal! Igaz marad-e az egyenlőtlenség? 1 a) −2 > −8 (3) i b) −4 > −12 i 2 11 2 3 1 2 7 > c) i d) − < i 9 3 4 2 3 6 569. Az alábbi egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg a zárójelben lévő negatív számmal! Igaz marad-e az egyenlőtlenség? 3 7 (−2) h a) 5 < 9 (−1) h b) < 7 3 c) −1,8 > −3,5 (−0,1) h d) −0,08 < −0,0008 (−1000) h

206

C M Y K


Algebra 570. Az alábbi egyenlőtlenségek mindkét oldalát osszuk el a zárójelben megadott számmal! Mely esetben kell megfordítani az egyenlőtlenség jelét? b) és c) esetben, ahol negatív számmal osztunk. 15 20 a) 6 5 8 (2) b) < (−5) c) 3,6 > −1,2 (−1,2) 4 3 7 4 3 15 3 d) − < (2) e) −10 > −1000 (1000) f) − > − 2 3 2 2 2 571. Oldd meg az egyenlőtlenségeket, és a kapott eredményeket jelöld a számegyenesen! a) x − 2 < 0 x < 2 b) 2x + 3 = 23 x = 10 c) 3(x + 2) 5 4 + 5x x = 1 d) 16(1 + x) < 3(x − 4) x < −

28 13

e) 16 − 3(2x − 5) < 3 − 16x x < −2,8

572. Állapítsd meg, hogy x milyen értékeire nem negatívak a következő kifejezések! a) 6x − 30 x = 5

d) 3x − (x − 2) x = −1 3 2 7 g) + 2 x − x< 24 4 3

b) 36 − 12x x 5 3

e) 3x − 5(x − 2) x 5 5 7 h) − 4(x − 0,125) x 5 1 2

573. Oldd meg az egyenlőtlenségeket az egész számok körében! a) 11x + 10 < 17 + 9x b) −6(x + 20) 5 −60 x < 3,5, x = 3, 2, 1, . . .

d) −x − x

5 6

= −10, x = −10, −9, . . . 8 −6x − 10 5 −4x − 3 x

5 − 23 x

e)

= − 52 , x = −2, −1, 0, . . .

x>−

11 , x = −3, −2, −1, . . . 3

c) (x + 1) · 4 − 3 x = −

1 4

f) 2,4 − 1,5(x − 0,1) x 5 1,7

c) 3x − 2 > 4x − 5 x < 3, x = 2, 1, 0, . . .

f) 2x − x

x x + 1 = 3x − 6 + 3 6

5 143 , x = 4, 3, 2, . . .

Szöveges feladatok megoldása 574. A sorban összesen 37-en állunk, 3-szor annyian állnak előttem, mint mögöttem. Hányadik vagyok a sorban? A 28. vagyok a sorban. A mögöttem állók száma: x, ekkor 3x + 1 + x = 37, x = 9, 27 + 1 + 9 = 37

575. 525 Ft-ot egyenlő számú 5 és 10 Ft-ossal fizettünk ki. Hány darab pénzzel fizettünk? Hetven. 15x = 525, x = 35

576. Egy háromszög oldalainak mérőszámai cm-ben mérve egymás utáni természetes számok. A háromszög kerülete 42 cm. Hány cm-es a leghosszabb oldala? 15 cm-es. (a − 1) + a + (a + 1) = 42, a = 14

577. Egy négyzet alakú papírt a két szemközti oldalának felezőpontjain keresztül félbevágva az egyik keletkezett téglalap kerülete 12 cm. Hány cm volt a négyzet kerülete? 16 cm-es. 2 · (a + 0,5a) = 12, a = 4

578. Egy fogkrém és egy fogkefe összesen 1350 Ft-ba került. A fogkefe kétszer drágább, mint a fogkrém. Hány Ft-ba került a fogkrém, és mennyibe a fogkefe? 450 Ft, 900 Ft. 2x + x = 1350, x = 450

207

C M Y K


Algebra 579. Egy téglalap egyik oldala 3 m-rel hosszabb, mint a másik. Ha mindegyik oldalát 2 m-rel megnöveljük, a területe 26 m2 -rel lesz nagyobb. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 4 m, 7 m. 2a + (2a + 6) + 4 = 26

a=4

b = (a + 3) a

2a 2a + 6

2

b =a+3=7

2

4

580. Két szám összege 100. A nagyobbikat a kisebbikkel elosztva a hányados 2, a maradék 1. Melyek ezek a számok? 67, 33. 2 · (100 − x) + 1 = x, x = 67 581. Három testvér életkorának összege 45 év. A legidősebb 6 évvel idősebb a legfiatalabbnál. Mennyi idősek a testvérek, ha egyenlő időközönként születtek? 12, 15, illetve 18 évesek. (x − 3) + x + (x + 3) = 45, x = 15

582. Mekkorák a háromszög szögei, ha a legnagyobb szög 8◦ -kal nagyobb a legkisebbnél, és 7◦ -kal a középsőnél? 65◦ , 58◦ , 57◦ . (x − 1) + x + (x + 7) = 180◦ , x = 58◦ 583. Egy könyvből három nap alatt 52 oldalt olvastam el. Az első nap 2 oldallal többet, mint a második nap, a második napon pedig harmadannyit, mint a harmadik napon. Melyik nap hány oldalt olvastam? 12, 10, illetve 30. (x + 2) + x + 3x = 52, x = 10 584. Három könyvespolcon összesen 58 könyv van. Melyik polcon hány könyv található, ha a legfelső polcon 6-tal több könyv van, mint a középsőn, a középső polcon pedig feleannyi, mint a legalsón? 19, 13, illetve 26. 2x + x + x + 6 = 58, x = 13 585. Zita 5 kg-mal nehezebb, mint Tímea. Tímea 8 kg-mal könnyebb, mint Luca. Piroska 40 kg, Ági pedig 41 kg. Legfeljebb hány kg lehet Zita, ha mind az öten beszállhatnak abba a csónakba, amelynek maximális terhelhetősége 186 kg? 2 kg lehet Zita. 3 z + (z − 5) + (z + 3) + 40 + 41 Legfeljebb 35

5 186.

586. Egy ötjegyű számnak először az elejére, másodszor a végére írtunk egy 1-est. Így két hatjegyű számot kaptunk. A két számot egymással elosztva éppen 3-at kaptunk. Mi lehetett az ötjegyű szám? 42 857 az ötjegyű szám. (100 000 + a) · 3 = 10a + 1, a = 42 857. 587. Mekkora volt a raktárkészlet, ha

1 1 -ének, majd a maradék -ának és még 20 tonnának az 4 3

elszállítása után 10 tonna maradt? 60 tonna. x −

1 1 x + x + 20 · 3 = 10, x = 60. 4 4

588. Melyik kifejezés adja meg az x-nél 12-vel kisebb szám a)

3 x − 12 4

b) (x − 12) : 3 · 4

3 részét? d), f) 4 c) x − 12 ·

3 4

3 3 3 e) (x − 12) · 0,25 f) x · − 12 · 4 4 4 589. Egy húrtrapéz egyik szárán fekvő két szög egyikéből a másik úgy kapható meg, hogy az annál 3 40◦ -kal nagyobb szög -ét vesszük. Hány fokosak a húrtrapéz szögei? 5 d) (x − 12) ·

97,5◦ , 82,5◦ .

3 · x + 40◦ + x = 180◦ , x = 97,5◦ 5

208

C M Y K


Algebra 590. A vízszint magasságát a vízbe ütött karóval mérjük. A karó hossza a talajban van. Az 5

1 része a folyó medre alatt, 8

1 része kilátszik a vízből. A folyó mélysége 3,6 m. Milyen hosszú a karó? 5

1 1 1 16 m. x + x + 3,6 = x, x = 3 8 5 3

591. Két kosárban összesen 126 alma volt. Az egyikben pirosak, a másikban sárgák. A piros almákhoz hozzászedtek harmadannyit, mint amennyi a kosárban volt. A sárgák kosarából pedig 1 megették az almák -át. Így a két kosárban ugyanannyi alma lett. Hány piros alma volt 3 2 4 eredetileg a kosárban? 42 piros alma volt. s = (126 − s) ; s = 84 3

3

126 − s = p = 42.

3 592. Az Eiffel-torony a budai János-hegy magasságának -énél 70 m-rel alacsonyabb. Ha az Eiffel4 torony a János-hegy tetején épült volna, akkor a torony tetején 855,75 m magasságban lennénk. Milyen magas az Eiffel-torony, illetve a János-hegy? Eiffel-torony 326,7 m, János-hegy 529 m. 593. A mai kosárlabdaedzésen az idő ötödében bemelegítettünk, a maradék idő nyolcadában kosárra dobtunk, a hátralévő 56 percben meccset játszottunk. Hány perces volt az edzés? 80 perces.

x x + + 56 = x, x = 80. 5 10

594. Egy tükrös háromszög egyik külső szöge 130◦ . Hány fokos a szárszög, ha a háromszög alapja rövidebb, mint a szára? 50◦ -os. 595. Egy családban 4 gyerek van. Kata a legidősebb, Jutka és Erika ikrek, akik a megtévesztésig hasonlítanak egymásra. Bori a legkisebb. A játszótéren a libikókán kétféleképpen szoktak ülni, mert így van éppen egyensúlyban a hinta. K +B =2·I

B+I =K

Hányszor nehezebb Kata Borinál? Háromszor nehezebb. (B + I ) + B = 2I , 2B = I , B + 2B = 3B = K. 596. Az istállóban háromlábú székeken ülve fejik a teheneket az asszonyok. Minden asszonyra öt tehén jut. A gazda kisfia a magáéval együtt 127 lábat számolt meg. Hány asszony feji a teheneket? Öt asszony, a · 25 + 2 = 127, a = 5. 1 tört számlálójához, és a nevezőjéhez ugyanazt a 3 számot adva a kapott tört az eredeti tört kétszerese lett.

597. Az

Melyik ez a szám? 3.

1+x 2 = , x = 3. 3+x 3

209

C M Y K


Algebra 598. Az „Ezeregyéjszaka meséi” közül a 458. mesében ezt olvashatjuk: A galambcsapat egy része a fára száll, a többi pedig a fa alá. A fán ülő galambok egyike így turbékol a fa alatt levőkhöz: Ha közületek egy felrepül ide a fára, akkor egyharmad annyian maradtok a fa alatt, mint ahányan összesen vagyunk. De ha közülünk egy lerepül hozzátok, akkor ugyannyi galamb lesz a fán, ahány a fa alatt. Hány galamb szállt a fára, és mennyi alá? 7 száll a fára, 5 galamb alá. 2-vel több galamb van a fán, mint alatta: (x + 2) + x = (x − 1) · 3, x = 5.

599. Panka mamája 24 éves volt, amikor Panka született. 6 év múlva Panka mamája háromszor annyi idős lenne, mint Panka. Hány éves lehet most Panka, és hány éves a mamája? Panka 6, a mamája 30 éves. 24 + x + 6 = 3(x + 6), x = 6.

2 1 1 része 14,8-del nagyobb, mint az része? 44,4. x = 14,8, x = 44,4. 3 3 3 3 2 3 2 601. Melyik az a szám, amelynek a része 5,2-del nagyobb, mint a része? 62,4. x − x = 5,2. 4 3 4 3 602. Az osztály létszáma 35. A fiúk számának fele ugyanannyi, mint a lányok számának harmada. 600. Melyik az a szám, amelynek

Hány fiú és hány lány jár az osztályba? 14 fiú, 21 leány.

35 − f f = , f = 14, l = 21. 3 2

603. Egy udvarban kacsák, libák, nyulak vannak, összesen 192. A libák és kacsák aránya 7 : 15, a kacsáké és a nyulaké 3 : 2. Mennyi van az egyes állatokból? 42 liba, 90 kacsa, 60 nyúl. l : k : ny = 7 : 15 : 10; l = 6 · 7; k = 6 · 15; ny = 6 · 10.

192 : (7 + 15 + 10) = 6;

604. A vizsgán egy tanuló az első 20 kérdésből 15-re helyesen válaszolt. A további kérdéseknél a 1 válaszok -a volt a helyes. Végeredményül 50%-os teljesítményt ért el. Hány kérdés volt? 50 3 20

x

2 1 15 + x = 5 + x, x = 30, x + 20 = 50. 3 3

605. Egy anya és gyermeke életkorának aránya idén 5 : 2. Hét év múlva ez az arány 2 : 1 lesz. Hány éve született a gyerek? 14 évvel ezelőtt. 5x + 7 = 2, x = 7, a gyerek most 14 éves, az anya 35. Hét év múlva a gyerek 21, az anya 42 éves lesz. 2x + 7

606. Hány éves korában halt meg Diophantosz, a híres alexandriai matematikus, ha a sírkövén a következő felirat állt? 84 éves korában halt meg. Itt nyugszik Diophantosz. Mily csoda! Sírköve is még Nagy tudományával hirdeti élte korát, Egyhatodát gyermekkornak rendelte az isten. Orcájára pehelyt tett feleannyi év után. Eltelt egyheted és fáklyát gyújtott lakodalmán, Múlik öt év, s fiúval áldja meg ekkor e nászt. Jaj, későn született, jaj, vézna fiú! Feleannyit éltél, mint apád, s máris a máglya emészt. Négy évig gyászát tudománnyal csillapította. S élete hosszát ím: – látod e bölcs sorokon.

1 1 1 x x+ x+ x+5+ +4=x 6 12 7 2 75 x+9=x 84 9 x=9 84 x = 84

210

C M Y K


Algebra 607. Két rakétát indítanak el egymás felé. A kilövőhelyek távolsága 1310 km. A rakéták sebessége km km , illetve 21 000 . Mekkora távolságra vannak a rakéták egymástól összeütközésük 9000 h h előtt 1 perccel? A rakéták 500 km-re lesznek egymástól. A sebességek: 150

km km , 350 . Egy perc alatt együtt 500 km-t tudnak megtenni. Az 1310 km fölösleges adat. perc perc

2 608. Egy szilveszteri mulatságban a nők száma a férfiakénak -a. Miután 6 házaspár elment, a férfiak 3 száma 3-szorosa lett a nőkének. Hány férfi és hány nő lehetett a társaságban eredetileg? 12 férfi és 8 nő. 2 2 3 · f · − 6 = f − 6, f = 12, n = 12 · = 8. 3 3

609. Egy fiatal orvos kerékpárral jár a munkahelyére, egy hegytetőn lévő szanatóriumba. A hegyre fel 7 km-es óránkénti sebességgel tud haladni. Ugyanezen az úton lefelé 21 km-t tesz meg óránként. Felfelé 36 perccel tovább tart az útja. Milyen messze lakik a szanatóriumtól? 6,3 km-re lakik. x 36 x x = teljes út, = + , x = 63. 7 21 60

610. Gondolatolvasó trükk Dobj 3 kockával, írd fel a három számot! Az első kockán dobott számot szorozd meg 2-vel, és adj hozzá 5-öt! A kapott összeget szorozd meg 5-tel, és az eredményhez adj 10-et! Az így kapott összeghez add hozzá a második kockán dobott számot! Az összeget szorozd meg 10-zel, és add hozzá a harmadik kockán dobott számot! Ha megmondod az összeget, én kitalálom a dobott számokat. Hogyan? Az összegből ki kell vonni 350-et, és az így kapott szám jegyei adják a három számot. {[(e · 2 + 5) · 5 + 10] + m} · 10 + h = 100e + 10m + h + 350

611. Egy kétemeletes házban a második emeleten lakók alatt 67 személy, a földszinten lakók felett 53 személy él, és az első emeleten annyian laknak, mint alattuk és fölöttük együttvéve. Hányan laknak a házban? A 2. emeleten 13, az 1. emeleten 40, a földszinten 27 lakó él. 612. Egy apa 78 300 tallér értékű vagyonáról a következőképpen rendelkezett: a legidősebb gyerek 100 tallérral kapjon kevesebbet, mint a második gyermek részének a kétszerese, a második gyermek része 200 tallérral legyen kevesebb, mint a harmadik gyermek részének háromszorosa, a harmadik gyermek része pedig 300 tallérral legyen kevesebb, mint a negyedik gyermek részének négyszerese. Hány tallért örököltek külön-külön? 2000 tallér, 7700 tallér, 22 900 tallér, 45 700 tallér. Egyenlettel felírva, ahol x jelöli a negyedik fiú örökségét:

211

C M Y K


Algebra első fiú: 2[3(4x − 300) − 200] − 100 = 12x − 1100 második fiú: 3(4x − 300) − 200 = 12x − 1100 harmadik fiú: 4x − 300 negyedik fiú: x 24x − 2300 + 12x − 1100 + 4x − 300 + x = 78 300 41x − 3700 = 82 000 x = 2000 [tallér] Ellenőrzés: 2000 + 7700 + 22 900 + 45 700 = 78 300 [tallér]

613. Egy törtről a következőket tudjuk: 2 a) értéke , b) számlálójának és nevezőjének összege kétjegyű szám, 5 c) ez a kétjegyű szám egy természetes szám négyzete. Melyik ez a tört? A keresett tört

14 . 15

2 2x = , ahol x 0, és a feltételek szerint 2x + 5x = 7x egy kétjegyű szám, amely egy természetes szám négyzete. 5 5x Ha x = 7, akkor minden feltétel teljesül. Más megoldása nincs a feladatnak. A 7x egy természetes szám négyzete, így x a 7-nek egy négyzetszámmal való 14 2 szorzata. Az x csak 1 lehet, mert 4-re a számláló és a nevező összege már háromjegyű. Ezért a keresett tört = . 35 5 Ha a számláló és nevező helyére tört számokat is megengedünk, akkor még ezeket a megoldásokat kaphatjuk: Számláló Nevező

32 7 80 7

50 7 125 7

72 7 180 7

14 35

128 7 320 7

162 7 405 7

614. Valaki 4,6 kg narancsot vásárolt, kilogrammonként 250 Ft-ért. A narancs meghámozása után 3 azt tapasztaljuk, hogy a narancshéj tömege a hámozott narancs tömegének része. Mennyibe 20 kerül a hámozott narancs 1 kg-ja? 287 Ft 50 fillért fizettünk. 20 3 rész, a narancshéj ekkor rész. 20 20 23 A hámozatlan narancs tömege így része a hámozott narancsénak. 20 23 Ha része 4,6 kg, 20 1 akkor rész 0,2 kg 20 20 rész 4 kg. 20 Ha 4,6 kg hámozott narancsért 250 Ft · 4,6 = 1150 Ft-ot fizettünk, akkor 1 kg-ért 287,5 Ft-ot. A hámozott narancs tömege legyen

615. Egy számban a tizedesvesszőt két hellyel balra vittük, majd az így kapott számhoz hozzáadtuk 3 az eredeti szám részét. Ekkor eredményül 34 989,6-et kaptunk. Mi volt az eredeti szám? 5 Az eredeti szám: 57 360. A tizedesvessző elmozdításával a szám századrészét kapjuk. A szám

3 60 része a részével egyenlő. Így a 34 989,6 5 100

az eredeti szám 0,61 része. Ezért a szám 34 989,6 : 0,61 = 57 360.

212

C M Y K


Hasbok, hengerek HASÁBOK, HENGEREK 616. Milyen testeket látsz az ábrán? Van-e köztük olyan, amely közelítőleg hasáb vagy henger? A kávéscsészék, a vizeskancsó közelítőleg hengerek. A kenyérpirító közelítőleg hasáb stb.

Tervezz olyan templomot, várat vagy lakóépületet, amelyben az általad ismert mértani testeket használod! A mellékelt ábrán például a budapesti Wekerle-telep egyik lakóházának részletét láthatod. A megoldás a gyerekek fantáziájától

617.

és rajzkészségétől függ.

618. Az ábrán látható alakzatokat színes golyókból és pálcikákból raktuk össze. Hány pálcika és hány golyó kellett külön-külön az egyes testek megépítéséhez? Hasábok-e a kialakult testek? Ha igen, akkor milyenek? a) 10 golyót, 17 pálcikát használtunk.

b) 16 golyót, 28 pálcikát használtunk.

Mindkettő hasáb. Az a) ötszög alapú, a b) négyzet alapú egyenes hasáb.

619. Egy kocka élvázának elkészítéséhez 480 mm drótra van szükségünk. Hány cm a kocka éle? Hány cm egy olyan kocka éle, amelynek élvázához harmadannyi drót kell, mint az előzőhöz? 480 mm = 48 cm. A kocka éle: 48 cm : 12 = 4 cm. Harmadannyi drótból készült kocka éle

4 cm. 3

620. Piros és kék színű szívószálakból elkészítettük egy olyan négyzetes hasáb élvázát, amelynek magassága háromszorosa az alapélnek. Egy él egyféle színű. Elérhető-e, hogy a kék színű élek hosszának összege a) háromszor annyi, b) kétszer annyi legyen, mint a pirosoké?

213

C M Y K


Hasbok, hengerek

Az élváz hossza: S = 8a + 4b = 8a + 12a = 20a a) Lehet úgy, hogy 15a hosszúságú kék színű és 5a hosszúságú piros színű él van. Csak azokat a hasábokat tekintjük különbözőnek, amelyeknek más a piros és a kék élek száma. b) A 20a hosszúságú él nem osztható egész számok segítségével 2 : 1 arányban, mert a 20 nem osztható 3-mal.

621. Rajzold le, hogyan lehet egy téglalapból „hulladék nélkül” kivágni egy téglatest lapjait! Lehetséges megoldások például: 1. megoldás:

2. megoldás:

622. Rajzold le, hogyan lehet egy négyzetből „hulladék nélkül” kivágni egy négyzet alapú egyenes hasáb lapjait! A négyzetes oszlop felszíne: A = 2a 2 + 4a · m = 2a(a + 2m). Ha ezt egy négyzetből kell kivágni, akkor 2a = a + 2m egyenlőségnek kell teljesülni. Ekkor a = 2m. Egy lehetséges elrendezés: A feltételnek egy ilyen hasáb felel meg.

214

C M Y K


Hasbok, hengerek 623. Egy téglatest alakú szoba különböző élei 5 m; 5,4 m és 2,8 m hosszúságúak. A szoba két oldalfalán egy-egy 0,8 m széles és 2,1 m magas ajtó, harmadik oldalfalon pedig egy 2 m széles és 1,5 m magas ablak van. Mennyi festékre van szükség a szoba kifestéséhez, ha 1 liter festék kb. 6 m2 falfelületre elég?

A szoba mennyezetének és oldalfalainak területe: T = 5,4 · 5 + 2 · (5 · 2,8) + 2 · (5,4 · 2,8) = 85,24 [m2 ] A két ajtó területe: 2 · tajtó = (0,8 · 2,1) · 2 = 3,36 [m2 ] Az ablak területe: tablak = 2 · 1,5 = 3 [m2 ] A befestendő felület: T − 2tajtó − tablak = 78,88 [m2 ] Ha 1 liter festék 6 m2 -re elég, akkor 78,88 m2 -re 78,88 : 6 = 13,146 l kell. Ezért kb. 13,2 l festékre van szükségünk.

624. Egy egyenes hasáb alakú szoba alaplapja egy olyan téglalap, amelynek oldalai 4 m és 5 m hosszúak. Készítsd el az alaprajzát, és rajzold le a szoba berendezésének felülnézeti tervét a felsorolt bútorokkal! A méreteket arányosan kicsinyítsd! A tervrajzon jelöld be azt is, hogy a szoba egyik falán egy 0,8 m × 2,1 m-es ajtó, a szemben lévő falon két ugyanilyen ajtó, a harmadik falon pedig egy 2 m × 1,5 m-es ablak van. A szoba bútorzata: egy 0,5 m × 2,5 m-es szekrénysor, Egy lehetséges elrendezés: egy 0,5 m × 1,5 m-es polc a televízió, a videó, a hifitorony számára, egy 2 m × 1,1 m-es kétszemélyes összecsukott kanapé, egy 0,9 m × 1 m-es asztal, két 0,7 m × 0,9 m-es fotel, egy 0,25 m × 1,6 m-es könyvespolc, egy 0,6 m × 1,1 m-es íróasztal.

215

C M Y K


Hasbok, hengerek 625. Egy bútorkatalógus elemes bútoraiból állíts össze egy számodra kedvező szekrénysort, és rajzold le, hogyan helyeznéd azt el a szobádban! A berendezés a gyerek szobájának méreteitől és a gyerek lehetőségeitől függ.

626. 6 db egységkockából különböző konvex hasábokat építünk úgy, hogy a kis kockákat egy-egy teljes lapjukkal egymáshoz ragasztjuk. Mekkora az így kapott testek felszíne és térfogata? (Te is megépítheted ezeket otthon mokkacukrokból.) 1.

2.

A1 = 26e2

A2 = 22e2

V1 = 6e3

V2 = 6e3

627. 5 db egységkockából építsd meg az alábbi testeket! Ezek közül melyiknek legkisebb, illetve melyiknek legnagyobb a felszíne? Mekkora a testek térfogata?

a)

b)

c)

Legnagyobb felszínű nincs, mert Aa = Ab > Ac . Legkisebb felszíne a c) testnek van. Aa = 22e2

Ab = 22e2

Ac = 20e2

628. 180 cm3 térfogatú, 4,5 cm magas, téglalap alapú egyenes hasábot 1 cm3 -es egységkockákkal rakunk ki. Hány kis kockát kell „félbevágni”? Egy lehetséges megoldás: A 180 cm3 = 180 db 1 cm élű kocka. V = 180 = a · b · c, legyen c = 4,5 cm, akkor a · b a hasáb alapterülete. Ta = a · b =

180 = 40. 4,5

Egy rétegbe 40 db kockát tehetünk. Négy rétegbe 4 · 40 db = 160 db kockát tehetünk. Ekkor a 4,5 cm magasságból megmaradt még 0,5 cm, a térfogathoz pedig még 20 db kocka kell. Ezért az utolsó réteget „fél” kis kockákkal rakjuk ki, mégpedig úgy, hogy a 20 db kocka felezésével 40 db „fél” kockát készítünk. Ezek éppen beterítik a 40 cm2 -es területet, és kitöltik a 0,5 cm magas réteget. Tehát 20 db egységkockát kell „félbevágni”.

216

C M Y K


Hasbok, hengerek 629. Hányféleképpen egészítheted ki az ábrán látható téglalapokból álló hálókat úgy, hogy azokból a) kockát, a)

b) téglatestet,

c) négyzetes oszlopot lehessen készíteni? b)

c)

a)

I., IV., illetve II., III. egymással középpontosan tükrösek. b)

c)

1, 2, 3, 4 közül valamelyik helyre.

630. Egészítsd ki a hatodik téglalappal a hálózatokat úgy, hogy azokból a) lehessen,

b) ne lehessen téglatestet hajtogatni!

217

C M Y K


Hasbok, hengerek Egy lehetséges kiegészítés: a)

b)

631. Az ábrán háromszög, trapéz, rombusz és konkáv deltoid alapú hasábokat rajzoltunk. A testek térfogata alapján állítsd azokat növekvő sorrendbe! a) A négy test alapterülete egyenlő, magasságuk: mt = 1,2 dm, mr = 93 mm, md = 0,09 m mh = 9 cm,

A magasságok: mh = 9 cm, mt = 12 cm, mr = 9,3 cm, md = 9 cm. Mivel az alapterületek egyenlők, a térfogatok nagyság szerinti sorrendjét a magasságok mérete dönti el. Vh = Vd < Vr < Vt

b) A négy test magassága egyenlő, alapterületük: Th = 18 cm2 , Tt = 0,3 dm2 , Tr = 2100 mm2 ,

Td = 0,25 dm2

Az alapterületek: Th = 18 cm2 , Tt = 30 cm2 , Tr = 21 cm2 , Td = 25 cm2 . Mivel a testek megassága egyenlő, az alapterületek nagysága dönti el a térfogat szerinti sorrendet. Vh < Vr < Vd < Vt

218

C M Y K


Hasbok, hengerek c) Th = 18 cm2 , mh = 9 cm,

Tt = 0,18 dm2 , mt = 0,9 dm,

Tr = 1800 mm2 , mr = 90 mm,

Td = 0,0018 m2 md = 0,09 m

Az alapterületek: Th = 18 cm2 , Tt = 18 cm2 , Tr = 18 cm2 , Td = 18 cm2 mh = 9 cm, mt = 9 cm, mr = 9 cm, md = 9 cm Mind a négy test esetében egyenlők az alapterületek és a magasságok, tehát a testek térfogata is egyenlő. Vh = Vt = Vr = Vd

632. Szabályos hatszög alapú egyenes hasáb oldallapjaira betűnként ráírtuk ZOLTÁN nevét. A kiterített lapokra mindhárom esetben írd rá a hiányzó betűket úgy, hogy ha a hasábot összeragasztjuk, olvasható legyen a név!

633. Egy rombusz alapú egyenes hasáb minden éle 50 mm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata, ha az alaplap magassága az alapél 80%-a? m = 50 mm · 0,8 = 40 mm = 4 cm a = mt = 50 mm = 5 m A = 2 · 5 cm · 4 cm + 4 · 52 cm2 = 140 cm2 V = 5 cm · 4 cm · 5 cm = 100 cm3

634. Egy paralelogramma alapú egyenes hasáb térfogata 480 cm3 . Hány mm a test magassága, ha alapterülete 0,3 dm2 ? V = 480 cm3 = Ta · mt Ta = 0,3 dm2 = 30 cm2 mt = 480 cm3 : 30 cm2 = 16 cm = 160 mm

635. Egy téglatest alakú ágybetét különböző éleinek hossza 200 cm, 80 cm és 10 cm. Legalább mekkora területű bútorvászonra van szükségünk, ha erre huzatot akarunk készíteni? A = 37 600 cm2 = 3,76 m2 . Legalább 3,76 m2 bútorvászon kell.

219

C M Y K


Hasbok, hengerek 636. Egy konkáv deltoid alapú egyenes hasáb alaplapjának szimmetriaátlója 7 cm, másik átlója pedig 5 cm. Ez utóbbi egyenlő a deltoid rövidebb oldalával és a test magasságával. Mekkora a test térfogata? f = 7 cm

e = 5 cm a = mt = e = 5 cm (5 cm · 7 cm) V = Ta · mt = · 5 cm = 87,5 cm3 2

637. Egy téglalap alapú egyenes hasáb alapélei 4 dm és 5 dm hosszúak, magassága 6 dm. A hasábot az alaplap síkjára merőleges vágásokkal két „lépcsős” részre vágjuk szét. Az alaplapon keletkezett vágásokat az ábrán lerajzoltuk. Mekkora a két új hasáb térfogata és felszíne? Megállapítjuk, hogy a két új hasáb alapterülete egybevágó, konkáv tízszög, a hasábok magassága egyezik az eredeti hasáb magasságával, ezért egy-egy hasáb térfogata éppen a fele a nagy hasáb térfogatának. Vnagy = (4 · 5 · 6) dm3 = 120 dm3 120 dm3 = 60 dm3 2 A kettévágás közben keletkezett új síklapok területének összegével növekedik az eredeti felszín. A „lépcsős” törött vonal 7 db 1 dm-es szakaszból áll. A vágások mentén, mind a 7 helyen két új, 1 dm · 6 dm = 6 dm2 területű téglalap keletkezik. Az új felület összesen 7 · 2 · 6 dm2 = 84 dm2 . Aeredeti = 2(4 · 5 + 4 · 6 + 5 · 6) dm2 = 148 dm2 Vúj =

Aúj = 148 dm2 + 84 dm2 = 232 dm2 A két új „lépcsős” hasáb felszíne egyenlő, ezért egy-egy hasáb felszíne 116 dm2 .

638. Az ananászkonzerv henger alakú dobozának alapkörátmérője 9 cm, magassága 1,3 dm. A henger oldalának bevonásához hány cm2 területű papír szükséges? d = 2r = 9 cm m = 1,3 dm = 13 cm Tp = 2rπ · m = 9π · 13 cm2 ≈ 367,56 cm2

639. A májkrémkonzerv alapkörének sugara 27 mm, magassága 38 mm. Mennyi anyag szükséges a doboz elkészítéséhez? r = 27 mm m = 38 mm 2 A = 2r π + 2rπ · m = 2 · 272 · π mm2 + 2 · 27 · π · 38 mm2 ≈ 11 026,99 mm2 ≈ 110,3 cm2

640. Egy henger alakú pohár alapkörének sugara 3,2 cm, magassága 9,1 cm. Mekkora a térfogata? Hány dl víz fér bele? r = 3,2 cm m = 9,1 cm V = r 2 π · m = 3,22 · π · 9,1 cm3 ≈ 292,75 cm3 ≈ ≈ 0,3 dm3 = 0,3 l = 3 dl

641. Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője 18 mm, magassága 8,5 cm. Szerkeszd meg a hálóját! A háló egy 18 · π mm és 85 mm oldalú téglalapból és két 9 mm sugarú körből áll.

220

C M Y K


Hasbok, hengerek

A 12 cm hosszú és 2 cm alapátmérőjű henger alakú maxi túró rudakat gyártó gép elromlott. Helyette ugyanolyan átmérőjű, de harmadakkora hosszúságú túró rudakat gyártó gépet állítottak be. A 100 db maxi túró rúdhoz szükséges túrótölteléket mind felhasználják a mini rudakhoz. Hány mini rúd készül így, és mennyivel változik a csokival bevont felület?

642.

Az adott mennyiségű töltelékkel harmadakkora hosszúságú túró rúdból 300 db-ot tudnak készíteni. A harmadakkora túró rudaknál minden esetben kétszer két új véget is be kell vonni csokival. Ez egy rúdnál: 4 · 12 · π cm2 ≈ 12,6 cm2 100 rúdnál: 1260 cm2 . új végek Ezért 1260 cm2 -rel nagyobb a csokival bevonandó felület. Megjegyzés: A felszín változását 3 db WC-papír gurigával is lehet szemléltetni.

643. Bogi henger alakú reggeliző bögréjének alapköre 4 cm sugarú, a bögre magassága 10 cm. Hány dl kakaó fér bele? Névnapjára testvére szeretné ráírni a bögre oldalára vízszintesen körbe a „BOGI BÖGRÉJE” szöveget. Mekkora helyet foglalhat el egy betű és mekkora lehet a betűköz, hogy a szöveg egyenletesen elosztva éppen körbeérjen? V = r 2 π · m = 42 · π · 10 cm3 = 502,6 cm3 ≈ 0,5 dm3 = 0,5 l = 5 dl. 5 dl kakaó fér a bögrébe. Az alap kerülete adja a betűk helyét: Ka = 2rπ = 8 cm · π ≈ 25,1 cm. Mivel a szöveget körbe írjuk a henger egy alapkörrel párhuzamos sávján, ezért 11 betűt és 11 szóközt használunk. „Kiterítve” így képzeljük el:

BOGIBÖGRÉJE

25,1 cm ≈ 2,28 cm lehet. Egy betű egy szóközzel együtt 11 Ezen belül a betű és a szóköz méretének arányát a „festő” döntheti el.

644. Egy fél literes, henger alakú dobozos üdítő alapkörének átmérője 7,2 cm. Milyen magas ez a doboz? V = 0,5 l = 0,5 dm3 = 500 cm3 d = 7,2 cm, r = 3,6 cm, V = 3,62 · π · m = 500,

m ≈ 12,3 cm. Az üdítős doboz kb. 12,3 cm magas.

Megjegyzés: Feltételezzük, hogy a fél literes üdítő doboza henger alakú, ahogyan azt a kereskedelemben megszoktuk.

221

C M Y K


Hasbok, hengerek Esti fogmosásnál Zoltán 6 cm hosszú „fogkrémhurkát” nyomott ki a tubusból. Hány cm3 fogkrémet pazarolt el, ha egy rendes fogmosáshoz elég lenne 1,5 cm hosszú fogkrém, és a tubus szájának átmérője 5 mm?

645.

A fölösleges fogkrém mennyisége: Vfogkrém = (2,52 · π · 45) mm3 ≈ 883,6 mm3 ≈ 0,9 cm3 . Kb.: 0,9 cm3 térfogatú a fölöslegesen kinyomott fogkrém.

646. A lakás központi fűtésének szerelésénél 20 m hosszú, 35 mm átmérőjű henger alakú vízvezető csövet használnak fel. Hány liter fehér olajfesték kell a cső befestéséhez, ha 1 liter festék kb. 10 m2 felületre elég? Tp = 2rπ · m = (35π · 20 000) mm2 = 2 199 114,9 mm2 ≈ 2,2 m2 2,2 Ha 1 l festék 10 m2 -re elég, akkor 2,2 m2 -re = 0,22. 10 Erre kb. 0,22 l = 2,2 dl festék kell.

647. A kerékpárpumpa kör alakú keresztmetszetének átmérője 2,2 cm, belső üregének magassága 25 cm. Mekkora térfogatú levegőt tudunk egy nyomással a kerékbe juttatni? d = 2,2 cm r = 1,1 cm m = 25 cm V = 1,12 · π · 25 cm3 ≈ 95,03 cm3 ≈ 95 cm3 3 1 nyomással kb. 95 cm levegőt juttatunk a kerékbe.

648. a)

b)

Mekkora annak a hengernek a térfogata és a felszíne, amelynek tengelymetszete a) 3,4 cm és 4,7 cm oldalú téglalap, Két eset lehetséges: I. Az ábra szerinti henger esetében: 2r = 3,4 cm, m = 4,7 cm. A1 = 2 · 1,72 · π cm2 + 3,4 · π · 4,7 cm2

r = 1,7 cm,

A1 = 18,16 cm2 + 50,2 cm2 ≈ 68,36 cm2 V1 = 1,72 π · 4,7 cm3 ≈ 42,67 cm3 II. Ha 4,7 cm az alapkör átmérője, akkor 2r = 4,7 cm r = 2,35 cm m = 3,4 cm A2 = 2 · 2,352 · π cm2 + 4,7 · π · 3,4 cm2 ≈ 34,7 cm2 + 50,2 cm2 ≈ 84,9 cm2 V2 = 2,352 · π · 3,4 cm3 ≈ 58,9 cm3 Megjegyzés: Érdemes megfigyelni, hogy a palást területe mindkét esetben ugyanannyi: 50,2 cm2 . Készítsük el mindkettőt egy-egy papírlapból!

b) 3,6 cm oldalú négyzet? 2r = 3,6 cm r = 1,8 cm m = 3,6 cm A = 2 · r 2 π + 2rπ · m = 2 · 1,82 · π cm2 + 3,6 · π · 3,6 cm2 ≈ 20,36 cm2 + 40,72 cm2 = 61,08 cm2 V = r 2 π · m = 1,82 · π · 3,6 cm3 ≈ 36,64 cm3

Mindkét esetben szerkeszd meg a henger hálóját is! (A tengelymetszet az a téglalap, amelyet akkor látunk, ha a hengert egy, a forgástengelyre illeszkedő síkkal elmetsszük.) 649. Az ábrán egy szobai díszóra dobozát láthatod. A megjelölt adatok segítségével számítsd ki a doboz felszínét és térfogatát! A díszdoboz egy téglatestből és egy félhengerből áll. A henger átmérője 2r = 60 cm − 2 · 18 cm = 24 cm, sugara: r = 12 cm. V =

(122 π · 20) cm3 + (60 · 20 · 18) cm3 ≈ 4523,9 cm3 + 21 600 cm3 = 26 123,9 cm3 ≈ 26,12 dm3 2

222

C M Y K


Hasbok, hengerek A felszín egy oldalán nyitott téglatest lapjainak területéből (Tt ), két 18 cm és 20 cm oldalú téglalapból (tt ), két félkörből (tk ) és egy fél hengerpalástból (tp ) áll. Tt = (60 · 20) cm2 + (2 · 20 · 18) cm2 + (2 · 60 · 18) cm2 = 1200 cm2 + 720 cm2 + 2160 cm2 = 4080 cm2 tt = (2 · 18 · 20) cm2 = 720 cm2 (2 · 122 · π) cm2 ≈ 452,4 cm2 2 24 · π tp = · 20 cm2 ≈ 753,9 cm2 2 tk =

A = 4080 cm2 + 720 cm2 + 452,4 cm2 + 753,9 cm2 = 6006,3 cm2 ≈ 60 dm2

650. Számítsd ki az ábrán látható cukorkás doboz felszínét és térfogatát!

A test két 1 cm körátmérőjű, 5 cm magasságú félhengerből és egy olyan téglatestből áll, melynek élei: 1 cm, 5 cm és (4 cm − 1 cm =) 3 cm. V = Vh + Vt = (0,52 · π · 5) cm3 + (1 · 5 · 3) cm3 ≈ 3,93 cm3 + 15 cm3 ≈ 18,93 cm3 A = (2 · 0,52 · π) cm2 + (2 · 0,5 · π · 5) cm2 + (2 · 1 · 3) cm2 + (2 · 5 · 3) cm2 A ≈ 1,57 cm2 + 15,7 cm2 + 6 cm2 + 30 cm2 = 53,27 cm2

651. Egy téglalap oldalai 5 cm és 8 cm. Forgassuk meg ezt a) a hosszabbik középvonalának, b) a rövidebbik középvonalának egyenese körül! A forgatás közben látható hengerek közül melyiknek nagyobb a térfogata? a)

b)

Va = 2,52 · π · 8 cm3 ≈ 157,1 cm3

Vb = 42 · π · 5 cm3 ≈ 251,3 cm3 Vb > Va

223

C M Y K


Hasbok, hengerek 652. Hány dm2 területű kartonpapír kell az ábrán látható henger elkészítéséhez? Add meg annak a legkisebb négyzetes oszlop alakú doboznak a méreteit, amelybe a henger éppen belefér! Hányféleképpen helyezhető el a henger egy, számára legkisebb négyzetes oszlop alakú dobozban? Hány cm2 papír kell a különböző dobozokhoz? A henger elkészítéséhez szükséges papír mennyiségét a henger felszíne adja: Ah = 2 · 2,52 · π cm2 + (2 · 2,5 · π · 4) cm2 Ah = 102,1 cm2 a) A henger elhelyezhető „állva” a dobozban: Ekkor a doboz méretei: a doboz magassága md = mh = 4 cm, a doboz alapjai olyan négyzetek, amelyeknek oldala a henger alapkörének átmérőjével egyenlő: ad = 2r = 5 cm Ehhez a négyzetes oszlop alakú dobozhoz akkora területű papír kell, amennyi a hasáb felszíne. Ad = 2 · ad2 + 4ad · md = 2 · 52 cm2 + (4 · 5 · 4) cm2 = 130 cm2 b) A henger elhelyezhető „fekve” a dobozban: Ebben az esetben is ugyanezt a dobozt kell elkészíteni, mivel az 5 cm átmérőjű kör az 5 × 4-es téglalapba nem helyezhető el, csakis az 5 × 5ös négyzetbe. Így a négyzetes oszlop is „fekvő” helyzetbe kerül. Ezért ehhez a dobozhoz is 130 cm2 területű papír kell legalább. Tehát a henger kétféleképpen helyezhető el ugyanabban a dobozban, az első esetben a hasáb alakú doboz egyik alaplapja, a másik esetben egyik oldallapja lesz a doboz „teteje”.

653.

Hány cm2 területű kartonpapír kell a henger alakú doboz elkészítéséhez? Számítsd ki annak a legnagyobb négyzetes hasábnak az alapterületét, amely ebben a dobozban éppen elfér úgy, hogy a hasáb alaplapja a henger alapkörére essen! Hány cm2 -rel kevesebb papír kell a négyzetes oszlophoz? A henger alakú doboz elkészítéséhez legalább akkora területű papír kell, mint annak a felszíne: Ad = 2 · 22 · π cm2 + (2 · 2 · π · 4) cm2 Ad = 75,4 cm2 A négyzet alakú hasáb alaplapja a körbe írt négyzet, melynek átlója éppen a kör átmérője: e = 4 cm e2 = 8 cm2 tnégyzet = 2 A négyzetet megszerkesztve átlójával és lemérve annak oldalát kb.: a = 2,8 cm adódik. A hasáb felszíne: Ah = (2 · 8) cm2 + (4 · 2,8 · 4) cm2 ≈ 60,8 cm2 Ad − Ah = 75,4 cm2 − 60,8 cm2 = 14,6 cm2 14,6 cm2 -tel kevesebb papír kell a hasábhoz, mint a hengerhez.

224

C M Y K


Hasbok, hengerek 654. Egy henger tengelymetszete olyan 63 cm2 területű téglalap, amely oldalainak aránya 4 : 5. Mekkora a henger térfogata és felszíne? Két megoldás van: I.

m = 4x 2r = 5x T = 5x · 4x = 20x 2 = 80 cm2

a tengelymetszet területe

x 2 = 4 cm2 x = 2 cm

innen

m = 8 cm 2r = 10 cm r = 5 cm V = 52 · π · 8 cm3 ≈ 628,3 cm3 A = 2 · 52 · π cm2 + (10 · π · 8) cm2 = 130π cm2 ≈ 408,4 cm2 II.

m = 5x 2r = 4x I-hez hasonlóan x = 2 cm, innenm = 10 cm, 2r = 8 cm, r = 4 cm 2 V = 4 · π · 10 cm3 ≈ 502,6 cm3 A = 2 · 42 · π cm2 + (8 · π · 10) cm2 = 112π cm2 ≈ 351,8 cm2 Megjegyzés: Hívjuk fel a tanulók figyelmét, hogy a két különböző henger palástjának ugyanakkora: (10π · 8) cm2 = (8 · π · 10) cm2 , de felszínük mégis különböző.

225

C M Y K


C M Y K

Óraszám

12

1–2.

3.

SZÁMOK ÉS MŰVELETEK

Hatványozás

Normálalak

GONDOLKODÁST 0 FEJLESZTŐ FELADATOK

Téma, tananyag

Kompetenciák (készségek, képességek)

Javasolt taneszközök és feladatok

226


Memóriajáték, dominók az egyenlő hatványértékek felismeréséhez

Csoportmunkában számkártyákkal, feladatlapok kitöltésével a műveletek gyakorlása

A valóság mennyiségeinek érzékeltetése

Fogalmak alkotása specializálással, definíciók megfogalmazási igényének felkeltése

Fizikai, kémiai, ill. egyéb műszaki adatok normálalakban 16–18/1–14 Fgy. 22–26.

Melléklet hatványtáblázata 12–15/1–15 Fgy. 1–21.

A tanév folyamán folyama- Szövegesfeladat-megoldás, Dominó, dobótestek, tosan fejlesztendő problémamegoldás, meszínes gyöngyök takogníció, rendszerezés, 4–9/1–31. kombinativitás

Ajánlott tevékenységformák, módszertani javaslatok

Heti 3 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 111 óra áll rendelkezésre. A tanmenetben beosztott órák száma 97

Poszterek készítése a nagyon nagy és a nagyon kicsi számokkal jellemezhető objektumokról

Az egyszerű azonosságok felfedezése számolási feladatok és geometriai ábrák segítségével

Egyéb javaslatok a témakörhöz (projekt, játék, kutatómunka)

HETEDIKES KOMPETENCIAALAPÚ TANMENET AZ APÁCZAI KIADÓ MATEMATIKA-TANKÖNYVÉHEZ

Kerettanterv

C M Y K

9.

10–11. Csoportmunka dominóval, triminóval

Racionális számok szorzása és osztása

Műveletek sorrendje, zárójelfelbontás

Műveleti rokonságok, 12. gyakorlás

Önellenőrzésre alkalmas feladatlapok kitöltése

8.

Racionális számok összeadása és kivonása Önellenőrzésre alkalmas feladatlapok kitöltése

Különböző számok elhelyezése halmazábrában, páros munkában

A racionális számkör 6–7.

Biztos műveletvégzés a különböző számkörökben

Valós életből vett problémák megfogalmazása, szöveges feladatok megoldása, ellenőrzés Biztos műveletvégzés a különböző számkörökben

A számkörök közötti összefüggések megvilágítása matematikatörténeti háttérrel, kitekintés a valós számok felé

Mérések elvégzése csoport- Eredmény becslése és kömunkában, osztályteremzelítő értékek kiszámítása ben, folyosón, terepen

A hosszúság, a terület 4–5. és a térfogat mértékegységei

53/1–10

48–51/1–15 Fgy. 81–88.

43–46/1–16 Fgy. 59–80.

37–39/1–12 Fgy. 48–58.

Számkártyák, mágnestábla Számkártyák, mozgatható számegyenes 28–29/1–6 Fgy. 37–38.

Mérőeszközök, terület kirakása egységnégyzetekkel, írásvetítő Egységkockák 23–27/1–13 Fgy. 27–36.

Poszterkészítés

Számlabirintus, számkeresztrejtvény

Láncszámolás

Régi mértékegységek kutatása, régi mérőeszközök bemutatása

Kerettanterv

227


C M Y K Transzformációk végrehajtása a sík mozgatásával

14.

15.

Mozgások

Transzformációk tulajdonságai

A középpontos tükrö- 18. zés tulajdonságai

A lényeges és a lényegtelen Szerkesztőeszközök adatok megkülönböztetése. 69–72/1–16 Esztétikai nevelés Fgy. 101–117.

Euklideszi szerkesztőprogram 61–62/1–3 65–66/1–7 Fgy. 97–100.

Másolópapír 58–59/1–4 Fgy. 99–96.

55–57/1–9 Fgy. 89–90.

A természetben előforduló A matematika kapcsolata a 74–75/1–4 szimmetrikus tárgyak vizs- természettel és a művészeti Fgy. 118–121. gálata manipulációval alkotásokkal

A középpontos tükrö- 16–17. A szerkesztés lépéseinek zés, szerkesztés vizsgálata, vázlatkészítés

Tapasztalatszerzés a transz- A vitakészség fejlesztése, formációk tulajdonságairól igaz és hamis állítások megfogalmazása

A térszemlélet fejlesztése térbeli analógiák keresésével

Az eddig megismert transz- A hozzárendelés fogalmáformációk ismétlése, rend- nak alkalmazása. szerezése Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése

Geometriai transzfor- 13. mációk

KÖZÉPPONTOS 12 TÜKRÖZÉS A fejezet végén 2 óra I. felmérő

Poszterkészítés a természetben és a művészetekben előforduló szimmetriákról

Kerettanterv

228


C M Y K

23.

24.

A szabályos sokszögek

Gyakorlás

Szabályos sokszögek építése egyenlő szárú háromszögekből

A szerkesztés lépéseinek vizsgálata, vázlatkészítés

22.

A paralelogramma szerkesztése

Különböző szélességű papírcsíkok 85–87/1–11 Fgy. 133–146.

Szerkesztőeszközök 79–82/1–9 Fgy. 124–132.

76–78/1–8 Fgy. 122–123.

Esztétikai nevelés

Síkgeometriai modellezőkészlet 94–95/1–14

A lényeges és a lényegtelen Szerkesztőeszközök adatok megkülönböztetése 90–91/1–14 a szerkesztésnél Fgy. 147–152.

Igaz és hamis állítások megfogalmazása, a vitakészség fejlesztése

Nyitott állítások kiegészítése, megfordítása

21.

Relációk felismerése

A paralelogramma

Minták vizsgálata

Szimmetrikus síkidomok és Esztétikai érzék fejlesztése testek keresése

19.

Középpontosan szim- 20. metrikus alakzatok

Párhuzamos szárú szögek

Minták készítése, szimmetria szerinti színezése

Négyszögek Venndiagramjának elkészítése

Fotók készítése párhuzamos szárú szögeket tartalmazó objektumokról

Kerettanterv

229


25–26.

C M Y K Fogalomépítés, szöveges feladatokból az egyenes arányos mennyiségek kiválasztása

28.

29.

30.

31.

32–33. Feladatok megoldása csoportmunkában

Az arány fogalma, aránypár

Egyenes arányosság

Fordított arányosság

Gyakorlás

Az arányosság alkalmazásai

Feladatok megoldása csoportmunkában

A mindennapi élet problémáinak, összefüggéseinek leírása a matematika nyelvén. Különböző megoldási módszerek keresése

Együtt változó mennyiségek összetartozó adatpárjainak lejegyzése: tapasztalati grafikonok készítése a változások leírására

Grafikonok gyakorlati 27. alkalmazása

ÖSSZEFÜGGÉSEK 7 ARÁNY

I. felmérő

112–113/1–9 Fgy. 182–186.

108/8–12 Fgy. 177–181.

Modellek, makettek, térképek 107–109/1–7, 13–17 Fgy. 161–176.

Milliméterpapír 99–102/1–10 Fgy. 153–160.

230


Becslési készség fejlesztése 116–118/1–20 Fgy. 193–208.

A következtetési készség 113–114/1–6 fejlesztése összetettebb fel- Fgy. 187–192. adatokban

Kérdés tartalmának megértése a megfogalmazott problémában. Adatok felfogása, lényegtelenek elhagyása, lényegesek kiemelése, rögzítése, kapcsolatuk feltárása, szerepük értése

Fogalmak alkotása, módosulása újabb tapasztalatok, ismeretek szerint; egy-egy fogalom újabb fogalommá bővítése

Esztétikai nevelés. A grafikonok tengelyeinek helyes megválasztása és elhelyezése

Arányok a természetben, ppt. bemutatók készítése

Poharas sütemény elkészítése

Mérési feladatok elvégzése, az adatok értékelése, grafikonkészítés

Kerettanterv

C M Y K

41.

42.

Gyakorlás

A számtani sorozat

Számolás gyakorlása, műveleti tulajdonságok megfigyelése szabályjátékokkal való foglalkozás során, sorozatok elemeinek kiszámítása

Módszeres próbálgatás a függvényábrázolásnál

37–39. Megfigyelés: az egyik mennyiség változása milyen változást hoz létre a hozzárendelt értékeknél

A függvény grafi40. konja és a sík pontjai

A lineáris függvény

Matematikai modell keresése változások leírására Számolási készség fejlesztése a racionális számkörben

Összefüggések felismerése

Döntési képesség fejlesztése

147–153/1–23 Fgy. 239–259

Demonstrációs négyzetháló 141/18–22 Fgy. 237–238.

Függvényábrázoló számítógépes program 138–140/1–17 Fgy. 224–236.

Milliméterpapír 130/8–12 Fgy. 215–217.

Érdekességek gyűjtése Gauss életéből

A koordinátarendszer története

Poszterkészítés és annak bemutatása


Grafikonok és a függ- 36. vény

Táblázatok, grafikonok, statisztikai adatok vizsgálata csoportmunkában

Halmazábrák készítése

Halmazok elemei kö- 34–35. A gyakorlati életben talált Rendezettség, következe126–130/1–7 zötti hozzárendelések, hozzárendelések körében a tesség készségének fejlesz- Fgy. 209–214. függvény matematikai összefüggések tése keresése

HOZZÁRENDE12 LÉS, FÜGGVÉNY A fejezet végén 2 óra II. felmérő

Kerettanterv

231


C M Y K Számolási készség fejlesztése a maradékos osztásnál

Prímszámok, összetett számok

11–12/7, 16–30 Fgy. 295–304.

Számkártyák, feltekert számegyenes 9–10/1–15 Fgy. 282–294.

4–6/1–24 Fgy. 260–281.

A jelenségek világában Prímtéglák megfigyelhető ritmikusság, 17–18/1–23 periodikusság matematikai Fgy. 305–321. átfogalmazása

Prímtéglákkal oszthatósági Az eddig tanult szabályok feladatok kirakása csoport- együttes alkalmazása, munkában a metakogníció fejlesztése

52–53. Szám építése prímtéglákból (prímek szorzataként), osztók előállítása a prímtéglákból

Összetett oszthatósági 51. szabályok

49–50. Természetes számok csoSzabályok felfedezésénél portosítása, halmazokba az indukciós gondolkodás sorolása oszthatósági szem- fejlesztése pontok szerint

Játékok a maradékok megállapítására, számlálás – BUMM-játék

Oszthatósági szabályok az utolsó számjegyekből

9

SZÁMELMÉLET

48.

46–47.

II. felmérő

Maradékos osztás, oszthatóság fogalma

44–45.

43.

Összefüggések a számtani sorozat elemei között Gyakorlófeladatok

Eratoszthenészi szita

Bolyai életútja, kutatás

Kerettanterv

232


C M Y K

A háromszögek neve- 60. zetes vonalai

Szólánc a tulajdonságok felsorolására

Definíció és tulajdonság Szerkesztőeszközök közötti különbség tételének 35–36/1–12 fokozatos alapozása Fgy. 366–379.

Állítások kártyákon Háromszög szögeinek összegéről szóló tétel meg- 31–33/1–13 sejtése, intuitív készség fej- Fgy. 353–365. lesztése

Kártyákra írt állítások párjának megkeresése

A háromszögek szögei és oldalai

59.

Több megoldás keresése Szerkesztőeszközök szerkesztési feladatok meg- 28–29/1–10 oldásánál, diszkussziós Fgy. 340–352. igény felkeltése

Legnagyobb közös osztó Prímtéglák felhasználása közös mérték 22–23/1–21 keresésére. Fgy. 322–339. Szövegértés fejlesztése

A háromszögek szer- 57–58. A szerkesztés lépéseinek kesztése önálló végrehajtása (adatok kikeresése a szövegből, vázlatkészítés, a szerkesztés menetének megtervezése és végrehajtása)

A SOKSZÖGEK ÉS 14 A KÖR A fejezet végén 2 óra III. felmérő

Az összetett számok 54–55. Közös osztók, legnagyobb prímtényezős felbonközös osztó, közös többtásának alkalmazása szörösök, legkisebb közös többszörös előállítása a prímtéglákból, pármunkában Gyakorlás 56. Totó kitöltése

Matematikatörténeti érdekességek feldolgozása

Kerettanterv

233


C M Y K

65.

66.

A paralelogramma területe

A trapéz területe

63–65/1–13 Fgy. 480–489.

68.

A sokszögek területe

57–58/1–16 Fgy. 451–459.

53–55/1–17 Fgy. 436–450.

60–62/1–15 Fgy. 460–479.

Tapasztalatokon alapuló általánosítás és a bizonyítási igény fejlesztése, induktív, illetve deduktív következtetés

A háromszög területe 67.

Papírhajtogatás, átdarabolás, területszámolás négyzethálón

Egybevágó sokszögek parkettázáshoz 46–47/1–13 50–51/1–18 Fgy. 397–416. Fgy. 417–435.

64.

A sokszögek szögei, nevezetes vonalai

A szögösszegek felfedezése Számolási készség fejleszparkettázással, hajtogatás- tése a sokszögek külső, ilsal, tépegetéssel letve belső szögeinél

Több megoldás keresése Szerkesztőeszközök szerkesztési feladatok meg- 42–43/1–10 oldásánál, diszkussziós Fgy. 389–396. igény felkeltése

62–63. A szerkesztés lépéseinek önálló végrehajtása (adatok kikeresése a szövegből, vázlatkészítés, a szerkesztés menetének megtervezése és végrehajtása)

Trapéz szerkesztése

38–39/1–12 Fgy. 380–388.


A sokszögek neveze- 61. tes körei

Kerettanterv

234


C M Y K

70.

71–72.

15

73.

Gyakorlás

III. felmérő

ALGEBRA

A valóság matematikai leírása, képletek

Algebrai kifejezések

Önellenőrzésre alkalmas feladatlapok kitöltése

Az egyszerű azonosságok felfedezése számolási feladatok és geometriai ábrák segítségével

67–68/1–11 70/1–8 Fgy. 490–498. Fgy. 499–510.

A valóság tárgyaira jellemző összefüggések keresése

Az ábrákhoz tartozó képletekből poszterek készítése

Kártyák algebrai kife- Kürschák József, jezésekkel életútja, kutatás 83–86/1–20 Fgy. 527–541.

Számolási készség fejlesz- Metrikusan jellemeztése a helyettesítési értékek hető geometriai obkiszámolásánál jektumok 79–81/1–11 Fgy. 517–526.

Általánosítási képesség fej- Memóriajáték, domilesztése a képlet megalko- nók tásakor 74–75/1–6 Fgy. 511–516.

A kerület és az átmérő Sejtés megfogalmazása hosszának mérése, arányuk megállapítása

75–76. Triminó az egynemű kifejezések párba állítására

A műveletek kapcso- 74. latai, azonosságok

69.

A kör területe és kerülete

Kerettanterv

235


C M Y K

83–86. A mindennapi élet problémáinak, összefüggéseinek leírása a matematika nyelvén. Csoportmunkában szöveges egyenletek értelmezése, különböző megoldási módszerek keresése, a megoldás szövegszerű ellenőrzése

87.

Gyakorlás

Kétkarú mérleg 95–96/1–7 Fgy. 564–573.

Kétkarú mérleg 90–93/1–21 Fgy. 542–563.

Kérdés tartalmának meg99–102/1–24 értése a megfogalmazott Fgy. 574–615. problémában. Adatok felfogása, lényegtelenek elhagyása, lényegesek kiemelése, rögzítése, kapcsolatuk feltárása, szerepük értése; adatokra és összefüggéseikre vonatkozó jelölések használata. A következtetési készség fejlesztése összetettebb feladatokban

Pontos munkavégzésre nevelés. Algoritmusok helyes alkalmazása. Az egyenlő, nem egyenlő 81–82. Próbálgatás az alaphalmaz fogalmának elmélyítése. elemeivel az egyenlőtlensé- Számolási készség fejleszgek megoldásánál tése

77–80. Feladatlapok megoldása páros, illetve csoportmunkával

Szöveges feladatok

Egyenlőtlenségek megoldása

Egyenletek megoldása

Kerettanterv

236


C M Y K

95.

96–97.

Gyakorlás

IV. felmérő

Készítette: Csatár Katalin és Széplaki Györgyné 2009 szeptemberében

93–94.

A hengerek

A hasábok jellemzése 88–89. Makettek, modellek, testhá- Térszemlélet fejlesztése. lók készítése csoportmun- A valóság tárgyainak mokában dellezése. Együttműködésre, önállóságra, önellenőrzésre nevelés A hasáb felszíne és 90–92. térfogata

HASÁBOK, HEN8 GEREK A fejezet végén 2 óra IV. felmérő

Hengerszerű testek 125–127/1–20 Fgy. 638–654.

Mértani testek, egységkockák, polydron építőkészlet 112–114/1–18 118–121/1–20 Fgy. 620–637.

Mértani testek, egységkockák, polydron építőkészlet 107–109/1–12 Fgy. 616–623.

Projektmunkával fotóalbum készítése, melyben olyan épületek fényképei vannak, amikről ebben a témakörben tanultak. Mértani testek készítése

Kerettanterv

237


C M Y K


Tartalomjegyzék TK. FGY. KERETTANTERV 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 SZÁMELMÉLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . 136 Oszthatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . 136 Oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Összetett oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . 139 Törzsszámok (prímszámok), összetett számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . 143 A legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 . . . . . . . . . 147 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 A SOKSZÖGEK ÉS A KÖR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . 152 A háromszögszerkesztések egyértelműsége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . 152 A háromszögek szögei és oldalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . 155 A háromszögek nevezetes vonalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . 158 A háromszögek nevezetes körei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . 161 Trapéz szerkesztése háromszögszerkesztés alkalmazásával . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . 163 A sokszögek szögei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . 168 A sokszögek nevezetes vonalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 . . . . . . . . . 171 A paralelogramma területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 . . . . . . . . . 176 A trapéz területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . . . . . . . . . 179 A háromszög területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 . . . . . . . . . 181 A sokszögek területének kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 . . . . . . . . . 185 A kör kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 . . . . . . . . . 189 A kör területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . . . . . . . . . 191 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . . . . . . . . . 193 A valóság megragadása a matematika nyelvén, képletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 . . . . . . . . . 193 A műveletek kapcsolatai, azonosságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . . . . . . . . . 195 Algebrai kifejezések sokféle alakban, egynemű algebrai kifejezések, helyettesítési értékek kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . 197 Egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 . . . . . . . . . 201 Egyenlőtlenségek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . 205 Szöveges feladatok megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 . . . . . . . . . 207 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 . . . . . . . . . 207 HASÁBOK, HENGEREK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . 213 A hasábok jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A hasábok felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 A hasábok térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A hengerek jellemzése, felszíne és térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Vegyes gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 TÁJÉKOZÓDÓ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ÉRTÉKELŐ FELMÉRŐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 TANMENETJAVASLAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

239

C M Y K


C M Y K


TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Recommend Documents