Szilárd anyagok mechanikája Karádi Kristóf Fogorvosi biofizika Biofizikai Intézet, PTE ÁOK 2016. 10. 15.
Fogak-mechanikai terhelés Fogak esetén a legközvetlenebb terhelés típus mindig mechanikai: az élelmet mechanikai módon szedi darabokra a fogunk, de az ugyanúgy mechanikailag (nyomás, nyírás, vagy ragacsos élelmek esetén húzás) hat a fogainkra, terhelést róva rá. Vagy, hogy egy másik példával éljünk, a fogszabályzó is mechanikai terheléssel forgatja helyre a fogakat.
Terhelési diagram Kulcsszavak: terhelésalakváltozás Befolyásoló tényezők:
-anyagminőség (rugalmas anyagok hosszabb rugalmas tartománnyal rendelkeznek...stb) -terhelt test geometriája (vastagabb pálca nehezebben törik) -terhelés ideje (pillanatszerű hirtelen vagy folyamatos) -hőmérséklet (hevített fém alakítható, kihűlve viszont rideg, törékeny)
visszaalakulás= erőleadási görbe
Deformáció típusok
Húzás, Hook-törvénye Test keresztmetszetére merőleges erőkifejtés relatív megnyúlás: 𝜀 =
∆𝑙 𝑙0
(hosszabb test jobban nyúlik) 𝐹
mechanikai (húzó) feszültség: 𝜎 = 𝐴 (vastagabb test nehezebben 0
nyúlik) (m.egys: Pa) terhelési diagram arányossági tartománya: 𝜎~𝜀
azaz: 𝜎 = 𝐸𝜀 (Hook törvény)
𝐸 ∶ rugalmassági Young modulus, m. egys: Pa E nagyobb: merevebb test terhelési diagram: 𝐸 =
∆𝜎 ∆𝜀
Hook+test geometria 𝜎 = 𝐸𝜀 𝐹 𝜎= 𝐴0
∆𝑙 𝜀= 𝑙0
𝐹 ∆𝑙 =𝐸 𝐴0 𝑙0 𝐹=
legyen 𝐷 =
𝐴0 𝐸 ∆𝑙 𝑙0
𝐴0 𝐸 𝑙0
(rugó)merevség
𝐹 = 𝐷∆𝑙
Haránt-összehúzódás
∆𝑑 ∆𝑙 = −𝜇 𝑑0 𝑙0 𝜇: Poisson szám (arányossági arány szám)
kivétel, érdekesség: auxetikus anyagok: nyúlás + haránt növekvés együtt, negatív μ jövőbeni lehetséges alkalmazás: húzásra fogközt kitöltő fogselyem
Nyírás: Nyomás húzás ellentettje
nyírási modulus Hook: 𝜎𝑛𝑦í𝑟ó = 𝐺𝛾 nyíró feszültség (F/A)
elnyíródás szöge
Csavarás: (mint a nyírás, cask forgatónyomatékkal)
forgatónyomaték elcsavarodás szöge 𝑟4𝜋 𝑀=𝐺 φ 2𝑙
nyírási modulus
Hajlítás: nyomás+húzás kombója
másodrendű nyomaték (test geometriát jellemez)
𝐹 = 3𝐸
𝜃 𝑠 𝑙3 lehajlítás mértéke
Terhelési diagram részletezése σ: fezsültség
ha σ nagyobb: az anyag
ε: relatív alakváltozás
Munka
szakadás, törés
σsz: *szilárdság
erősebb
εsz
fajlagos törési munka (szívósság)
rugalmasság határa
σr: rugalmassági határ
rugalmasabb
εr: visszarugózó képesség
fajlagos elasztikus deformációs munka
0,1% irreverzibilis változás
σf: folyási határ
*szakító vagy nyomó
εf
𝜎 (σsz, εsz)
(σsz-σf ) ha nagyobb: képlékenyebb anyag
(σf, εf) (σr, εr)
ha is σsz és σf is kicsi: törékeny anyag
𝜀
Keménység két különféle anyag mechanikai kölcsönhatásakor, a puhább könnyebben deformálódik Keménység tesztek
fog≈
fogorvosi fúró
Mohs-skála
𝐹
keménység(hardness): 𝐻(𝐵 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑉 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝐾) = 𝐴 mértékegység: N/m2 de ez nem a szokásos nyomás! (nyomóerő nem minding merőleges itt a nyomott felületre)
Törés fogak és a fogpótló anyagok törésmentességét biztosítanunk kell 𝜎𝑠𝑧 -t elérő σ: törés befolyásoló tényezők: feszültség, gyakorisága, környezeti hatások
képlékeny, szívós törés: a képlékeny anyag még alkalmazkodna a törés előtt rideg, “tiszta” törés: a rideg anyag egyből törik
START: repedés!
Azonban bármely törés típusról van szó a kiinduló pont szinte mindig egy repedés, ezért kell a fogakat, és a fogpótló anyagokat repedés mentesen eldolgozni, lehetőleg a repedések kiindulásának jobban ellenálló gömbölyű alakokat használni.
Fáradás, fáradásos törés: 𝜎𝑠𝑧 sokszori terhelés után csökken, és rideg törés lesz egyéb fáradás típusok: -termikus fáradás -korróziós fáradás (mechanikai+kémiai) (pl.: pH változás)
fáradási görbe
Fajlagos ütőmunka A korábbiak csak fokozatosan növekvő, egyensúlyi terhelésre igazak de lehet még hirtelen erős terhelés: nem egyensúlyi terhelés
𝜎𝑠𝑧 itt lehet pontatlan ütővizsgálat kell
fajlagos ütőmunka: =
𝑚𝑔ℎ0 −𝑚𝑔ℎ 𝐴
mértékegys.:J/m2
törési keresztmetszet
Charpy-féle ütővizsgálat
A hőmérséklet befolyásolja (Liberty-osztályú hajók (hideg-rideg), II.VH)
Viszkoelaszticitás viszkozitás: folyásnak ellenállás
elaszticitás: rugalmas alakíthatóság
Látható, hogy megnyúlás hatására viszkózus anyagban pillanatszerűen van végtelen feszültség, utána viszont egyből el is tűnik. Ellenben elasztikus anyagban addig van feszültség amíg a megnyúlás tart. Viszkoelasztikus anyagban pedig egy feszültség relaxációt figyelhetünk meg, melyet a következő egyenlet ír le: 𝜎 = 𝜎0 𝑒
−
𝑡 𝜏
𝜏, relaxációs idő: σ e − ad részére csökken 𝜏 = 0 viszkózus 𝜏 = ∞ elasztikus 0 < 𝜏 < ∞ viszkoelasztikus
Minden anyag viselkedhet bármelyik módon 𝑡 ≫ 𝜏 viszkózus viselkedés 𝑡 ≪ 𝜏 elasztikus viselkedés
rips=szakad silly putty, gyurmalin: ha gyors hatásnak tesszük ki: pl elhajítjuk, akkor rugalmasan viselkedik (pattan, vagy legrosszabb esetben eltörik), míg ha lassú hatásnak tesszük ki folyik stretches=nyúlik
tojásfehérje: ha gyorsan megbökjük akkor rugalmasan visszaalakul, ellenben ha lassan öntjük, akkor szétfolyik
Pongyolán összefoglalva: minél lassabb egy hatás, az anyag annál könnyebben reagál rá, ez azonban anyagonként különböző. A relaxációs időt egyébként így is meghatározhatjuk: 𝜏=
𝜂 𝐺
viszkozitás nyírási modulus
Viszkoelasztikus jelenségek: Kúszás: primer: gyors szekunder: egyenletes tercier: gyors törés: bár lehet 𝜎𝑠𝑧 alatt lenne még
nagyobb terhelés, hőmérséklet: gyorsabb folyamat
Amalgám kúszása: más fémekkel ellentétben a száj hőmérsékletén is (mivel alacsony olvadáspontú fémötvözet) számottevő kúszása van. Az amalgámról bővebben (forrás wikipedia): higany más fémekkel való ötvözete. Különleges tulajdonságai abból fakadnak, hogy a higany szobahőmérsékleten is folyik. A megszilárdulás az ötvözés után következik be, így könnyen készíthető a fogorvosi helyszínen is tömés. A tömésből kijutó anyagok, (higany!) ugyan mérgezőek, de olyan kis mennyiségben jutnak ki, hogy nem jelentenek veszélyt. Ennek ellenére manapság biztonsági okokból kezdik felváltani más anyagokkal egyes országokban.
Ón
Ezüst
Réz
Cink
Higany
Alak relaxáció:
A kúszás folyamatát a relaxáció szakasza követi (tegyük fel még a törés előtt megszüntettük a feszültséget) Relaxáció esetén az anyag megpróbál visszaállni a feszültség előtti alakjába (ez nem biztos, hogy teljesen sikerül).
Feszültség relaxáció:
Egy másik jelenség a feszültség relaxáció (ernyedés), mely során a nyújtva tartott anyagban csökken a jelenlevő feszültség („megadja magát”)
Hiszterézis:
Hiszterézis görbe: önmagába más úton visszatérő görbe. (energetikai jelentőség) A különféle utak abból adódnak, hogy az anyag mindig lassabban reagál az őt érő hatásra: megnyújtó erő hatására késve nyúlik, visszaalakuláskor, pedig késve megy össze, egy darabig inkább nyújtva van. Korább szó volt róla, hogy a görbe alatti terület megadja a folyamatba befektetett/abból kapott energiát. Látható, hogy hiszterézis görbe esetén nem kapjuk vissza a nyújtásba befektetett összes energiát. (ezt használják ki a lengés csillapítók, a futócipő is így csökkenti rugalmasan az őt érő ütőerőt, valamint a periodontális ligamentum így rögzíti rugalmasan a fogat a csontban)
Feladatok 1.) Egy meglehetősen képlékeny (mindössze 100 000 Pa a Young modulusa) 5 cm oldalhosszúságú kockát, mennyivel tudunk megnyújtani, ha 100 N erővel nyújtjuk? (a haránt összehúzódástól eltekinthetünk most)
2.) Egy 2 cm átmérőjű 100 000 Pa Young modulussal rendelkező egyik végén rögzített 5 cm hosszú hengerrúd szabad végét mennyire tudjuk meghajlítani, ha 1 N erővel hatunk rá? 3.) Egy anyagban a kezdeti feszültség 100 Pa, majd ez 15 sec alatt felére csökken. Mennyi az anyag relaxációs ideje?
Néhány képlet (pár segít, pár bezavar)
𝜃=
∆𝑑 ∆𝑙 = −𝜇 𝑑0 𝑙0
𝜋 4 𝑟2 − 𝑟14 4 𝜃 𝐹 = 3𝐸 3 𝑠 𝑙
𝐹 ∆𝑙 =𝐸 𝐴0 𝑙0 𝜎=
𝑡 −𝜏 𝜎0 𝑒
𝐹
𝐻=𝐴
𝜋 4 𝜃= 𝑟 4
Feladat minta:
Ezen alapszik Adatok (átváltva SI-be ha nehezen átláthatók)
Ismert egyenletek
Megoldás
1.) Egy meglehetősen képlékeny (mindössze 100 000 Pa a Young modulusa) 5 cm oldalhosszúságú kockát, mennyivel tudunk megnyújtani, ha 100 N erővel nyújtjuk? (a haránt összehúzódástól eltekinthetünk most)
“kifejtett” geometriai Hook
𝐹 ∆𝑙 =𝐸 𝐴0 𝑙0
𝐸 = 100 000 𝑃𝑎 𝐹 ∆𝑙 = 𝐸 𝑙0 𝑙02
𝑙0 = 5𝑐𝑚 = 0.05 𝑚 𝐹 = 100 𝑁
∆𝑙 = 𝐹 ∆𝑙 =𝐸 𝐴0 𝑙0
𝐴0 = 𝑙02
𝐹 100𝑁 = = 0.02𝑚 = 2𝑐𝑚 𝑙0 𝐸 0.05 ∗ 100 000𝑃𝑎
2.) Egy 2 cm átmérőjű 100 000 Pa Young modulussal rendelkező egyik végén rögzített 5 cm hosszú hengerrúd szabad végét mennyire tudjuk meghajlítani, ha 1 N erővel hatunk rá?
Hajlítás
𝜃 𝐹 = 3𝐸 3 𝑠 𝑙
𝑑 = 2 𝑐𝑚 → 𝑟 = 1 𝑐𝑚 = 0.01 𝑚 𝐸 = 100 000 𝑃𝑎
𝑙3 𝐹 𝑠= 3𝐸𝜃
𝑙 = 5 𝑐𝑚 = 0.05 𝑚 𝑙3 𝐹 4𝑙 3 𝐹 𝑠= 𝜋 4 = 3𝐸𝜋𝑟 4 = 3𝐸 4 𝑟
𝐹 =1𝑁
𝜃 𝐹 = 3𝐸 3 𝑠 𝑙
𝜋 4 𝜃= 𝑟 4
4 ∗ 0.053 𝑚3 ∗ 1𝑁 = ≈ 0.053𝑚 = 5.3𝑐𝑚 3 ∗ 100 000 𝑃𝑎 3.14 ∗ 0.014 𝑚4
3.) Egy anyagban a kezdeti feszültség 100 Pa, majd ez 15 sec alatt felére csökken. Mennyi az anyag relaxációs ideje? feszültség relaxáció 𝜎=
𝜎0 = 100 𝑃𝑎 𝑡 = 15 𝑠 𝜎 = 50 𝑃𝑎
𝑡 −𝜏 𝜎0 𝑒
𝑡 𝜎 −𝜏 =𝑒 𝜎0
𝜎 −𝑡 𝑙𝑛 = 𝜎0 𝜏 𝜎=
𝑡 −𝜏 𝜎0 𝑒
𝜏=
−𝑡 −15𝑠 = = 21.64 𝑠 𝜎 50𝑃𝑎 𝑙𝑛 𝜎 𝑙𝑛 100𝑃𝑎 0
Egy kis játék 2)
1)
a) 2xb)
4)
𝜎=
𝑡 − 𝜏 𝜎0 𝑒
c)
𝐸
d)
𝜎 = 𝐸𝜀
3)
5)
𝜎𝑠𝑧
Megoldás 1)
4)
5)
2xb)
𝜎=
𝑡 − 𝜎0 𝑒 𝜏
𝜎 = 𝐸𝜀
d) 3) 2) a)
𝜎𝑠𝑧
c)
𝐸
