Széchenyi istván egyetem Mûszaki Tudományi Kar Közlekedési és Gépészmérnöki Intézet Általános Gépészeti Tanszék
Dr. Író Béla - Dr. Zsenák Ferenc
MŰSZAKI HŐTAN (TERMODINAMIKA, HŐKÖZLÉS)
-1-
3.
MŰSZAKI HŐTAN.................................................................................................................................................. 4 3.1. BEVEZETÉS ......................................................................................................................................................... 4 3.2. GÁZOK TERMODINAMIKÁJA ................................................................................................................................. 4 3.2.1. Gázok állapotjellemzői................................................................................................................................ 4 3.2.1.2. 3.2.1.3. 3.2.1.4.
3.2.2. 3.2.2.1. 3.2.2.2. 3.2.2.3. 3.2.2.4. 3.2.2.5. 3.2.2.6.
3.2.3. 3.2.3.1. 3.2.3.2. 3.2.3.3. 3.2.3.4. 3.2.3.5. 3.2.3.6. 3.2.3.7.
3.2.4. 3.2.4.1. 3.2.4.2. 3.2.4.3. 3.2.4.4. 3.2.4.5.
3.2.5. 3.2.5.1. 3.2.5.2. 3.2.5.3. 3.2.5.4. 3.2.5.5.
3.2.6. 3.2.6.1. 3.2.6.2. 3.2.6.3. 3.2.6.4. 3.2.6.5.
3.2.7. 3.2.7.1. 3.2.7.2. 3.2.7.3.
3.2.8. 3.2.8.1. 3.2.8.2. 3.2.8.3.
3.2.9. 3.2.9.1. 3.2.9.2. 3.2.9.3. 3.2.9.4. 3.2.9.5. 3.2.9.6.
Fajtérfogat /v/ .......................................................................................................................................................... 4 A nyomás /p/ ........................................................................................................................................................... 5 A hőmérséklet /T/ .................................................................................................................................................... 6
Ideális gázok törvényei................................................................................................................................ 7 Boyle - Mariotte - törvény........................................................................................................................................ 7 Gay-Lussac Ι. törvénye............................................................................................................................................. 8 Gay-Lussac ΙΙ. törvénye ......................................................................................................................................... 10 Általános gáztörvény .............................................................................................................................................. 11 Avogadro törvénye ................................................................................................................................................. 14 Mengyelejev egyenlete........................................................................................................................................... 16
Gázkeverékek ............................................................................................................................................ 17 Dalton törvénye ...................................................................................................................................................... 17 A gázkeverék látszólagos moláris tömege :............................................................................................................ 20 A gázkeverék specifikus gázállandója :.................................................................................................................. 21 A gázkomponensek parciális nyomása a keverékben:............................................................................................ 22 A gázkomponensek parciális nyomása tömegaránnyal (s1) kifejezve: ................................................................... 22 A gázkomponens parciális nyomása térfogataránnyal (r1) kifejezve:..................................................................... 22 A gázkomponensek térfogat- és tömegaránya közötti átszámítás: ......................................................................... 23
Fajhő, fajlagos hőkapacitás:..................................................................................................................... 23 Gázok fajhője, fajlagos hőkapacitása: .................................................................................................................... 24 Gázok moláris fajhője: ........................................................................................................................................... 25 Gázok fajhői és ezek közötti összefüggések:.......................................................................................................... 26 Gázok valódi, átlagos és közepes fajhője: .............................................................................................................. 27 Gázkeverékek fajhője: ............................................................................................................................................ 28
A munka és a hő kapcsolata:..................................................................................................................... 30 A hőtan első főtétele:.............................................................................................................................................. 30 Az ideális gáz belső energiája: ............................................................................................................................... 31 A gáz térfogatváltozásának munkája / a külső munka /......................................................................................... 32 Az entalpia fogalma................................................................................................................................................ 33 A hőerőgépekben hasznosítható technikai munka .................................................................................................. 35
Ideális gázok egyszerű állapotváltozásai .................................................................................................. 37 Izochor állapotváltozás........................................................................................................................................... 38 Izobár állapotváltozás............................................................................................................................................. 39 Izotermikus állapotváltozás .................................................................................................................................... 42 Adiabatikus állapotváltozás.................................................................................................................................... 44 Politropikus állapotváltozás.................................................................................................................................... 49
Munkafolyamatok : ................................................................................................................................... 56 Munkafolyamatok és azok megfordíthatósága ....................................................................................................... 57 Megfordítható és meg nem fordítható folyamatok : ............................................................................................... 58 Carnot munkafolyamat : ......................................................................................................................................... 60
A hőtan második főtétele :......................................................................................................................... 63 Az entrópia, mint állapotjelző : .............................................................................................................................. 65 Entrópiadiagramok és ezzel kapcsolatos alapismeretek : ....................................................................................... 66 Az entrópia, mint a megfordíthatóság jelzője :....................................................................................................... 67
Állapotváltozások ábrázolása a T-s diagramban : ................................................................................... 68 Izochor állapotváltozás T-s diagramja :.................................................................................................................. 69 Izobár állapotváltozás T-s diagramja :.................................................................................................................... 70 Izotermikus állapotváltozás T-s diagramja :........................................................................................................... 71 3.2.9.4. Adiabatikus állapotváltozás T-s diagramja............................................................................................... 72 3.2.9.5. Politropikus állapotváltozás T-s diagramja :............................................................................................. 72 3.2.9.6. Carnot munkafolyamat ábrázolása a T-s diagramban............................................................................... 73
3.3. A GŐZÖK TERMODINAMIKÁJA ............................................................................................................................ 74 3.3.1. A gőzképződés folyamata, a gőzök tulajdonságai ..................................................................................... 74 3.3.2. Határgörbék .............................................................................................................................................. 75
-2-
3.3.3. 3.3.3.1. 3.3.3.2. 3.3.3.3. 3.3.3.4.
3.3.4. 3.3.4.1. 3.3.4.2.
3.3.5. 3.3.5.1. 3.3.5.2. 3.3.5.3. 3.3.5.4. 3.3.5.5.
Gőzök állapotjelzői ................................................................................................................................... 77 Az elgőzölés hőszükséglete .................................................................................................................................... 77 A folyadék és a gőz entalpiája:............................................................................................................................... 88 A folyadék és gőz belső energiája: ......................................................................................................................... 89 A folyadék és a gőz entrópiája: .............................................................................................................................. 90
Vízgőz- táblázatok és diagramok: ............................................................................................................. 91 Vízgőz-táblázatok:.................................................................................................................................................. 91 Vízgőz-diagramok: ................................................................................................................................................. 92
A vízgőz állapotváltozásai: ....................................................................................................................... 95 Izochor állapotváltozás (v=áll.): ............................................................................................................................. 95 Izobár állapotváltozás (p=áll.): ............................................................................................................................... 97 Izotermikus állapotváltozás: ................................................................................................................................... 99 Adiabatikus állapotváltozás (q=áll.): .................................................................................................................... 100 Fojtás: ................................................................................................................................................................... 102
3.4. A HŐKÖZLÉS MÓDJAI ....................................................................................................................................... 104 3.4.1. Hővezetés ................................................................................................................................................ 104 3.4.2. Homogén fal hővezetése.......................................................................................................................... 105 3.4.3. Réteges fal hővezetése ............................................................................................................................. 106 3.4.3.1. 3.4.3.2. 3.4.3.3. 3.4.3.4.
3.4.4. 3.4.5. 3.4.6. 3.4.7.
Hengeres fal hővezetése ....................................................................................... Hiba! A könyvjelző nem létezik. Homogén hengeres fal hővezetése........................................................................................................................ 110 Réteges hengeres fal hővezetése........................................................................................................................... 111 Gömb alakú fal hővezetése................................................................................................................................... 113
Hőátadás ................................................................................................................................................. 114 Hőátszármaztatás.................................................................................................................................... 115 Hőközlés sugárzás útján.......................................................................................................................... 117 Stefan - Boltzmann törvény ..................................................................................................................... 117
-3-
3. MŰSZAKI HŐTAN 3.1. Bevezetés Hőtannak nevezzük azt a tudományt, amely a hő más energiafajtákká való átalakulásának törvényeivel foglalkozik. E tudományágon belül a "MŰSZAKI HŐTAN" elsősorban azokat a törvényeket vizsgálja, amelyek szerint a hőerőgépekben a hő mechanikai energiává alakul át. A műszaki hőtan törvényeinek tudatában a hőerőgépek működési folyamatai megismerhetők, működési feltételeik meghatározhatók. A hőnek szüksége van közvetítő közegre, mely a hőt hordozza. A közeg lehet szilárd, folyékony, vagy gáz halmazállapotú. Kikötéseket csak akkor teszünk, ha azt a munka végzésére akarjuk felhasználni. Ez esetben a kikötés az, hogy a közeg térfogata változtatható legyen. Ezért van különös jelentősége a munkavégzésnél a gáznemű anyagok használatának. 3.2. Gázok termodinamikája Fizikai vizsgálat eredményei alapján a gázok szabadon repülő elemi részecskék halmazai, mely részecskék között az összetartó erő igen kicsi és az össztérfogat a gáz által betöltött térfogathoz képest is elenyésző. A jó áttekinthetőség kedvéért tételezzük fel, hogy létezik olyan gáz, melyben az elemi részecskéknek nincs térfogata, a részecskék egymásra tömegvonzást nem gyakorolnak, továbbá közöttük súrlódás nem ébred. Ezeket a feltételeket kielégítő gázokat ideális gázoknak nevezzük. A gázokra vonatkozó vizsgálatainkat ilyen ideális gázra végezzük el. Ezért eredményeink ideális gázra érvényesek, a valóságos gázokra csak megközelítő pontosságúak. A valóságos gázok viselkedése annál kevésbé tér el az ideális gázokétól, minél kisebb a gáznyomás. Az iparban általában kis gáznyomások fordulnak elő, ezért az ideális gázokra vonatkozó törvények használata pontos eredményeket ad. 3.2.1. Gázok állapotjellemzői A gázok termodinamikai állapotát a következő állapotjelzők határozzák meg: - fajtérfogat /v /, - hőmérséklet /T/ és - nyomás /p / . Ha az állapotjelzők egyikét megváltoztatjuk, megváltozik a másik kettő is. 3.2.1.2.
Fajtérfogat /v/
Gázok fajtérfogatán az egységnyi tömegű gázmennyiség térfogatát értjük.
-4-
v=
V m
Mértékegysége, a mértékegységekből kiindulva: V m3 v= = . m kg A fajtérfogat mérőszámának reciprok értéke a fajlagos tömeg, azaz a sűrűség: kg 1 m ρ= = v V m3 Tehát a gázok sűrűségén az egységnyi térfogatú gáz tömegét értjük. Mivel a gázok a nyomástól és a hőmérséklettől függően változtatják térfogatukat, ezért változik azok sűrűsége és fajtérfogatuk is. Amikor a gázok sűrűségéről és fajtérfogatáról beszélünk, meg kell adnunk azt a nyomást és hőmérsékletet, amelyen meghatározzuk őket. 3.2.1.3.
A nyomás /p/
A nyomást és annak mértékegységét, valamint az abszolút- és túlnyomás fogalmát már részleteztük. Az abszolút nyomás mértékét a légköri nyomáshoz viszonyítva a 3.01. ábra szemlélteti. A nyomás ajánlott decimális többszörösei: GPa, MPa, kPa, mPa, nPa. A különféle nyomásegységeket, valamint azok átszámítását a táblázat tartalmazza.
3.01.ábra A táblázat mértékegységeinek átszámítási kulcsszámai Mértékegység 1 Pa = 1 N/ m2 1 bar 1 at =1 kp/cm2 1 atm 1Torr =1 mm Hg
Pa 1 105 98100 101325 133
bar 10-5 1 0.981 1.013 0.0013 3
at 0.102*10-4 1.02 1 1.033 0.00136
Torr 0.0075 750 736 760 1
3.01.táblázat
-5-
3.2.1.4.
A hőmérséklet /T/
A hőmérséklet a testek, anyagok hőállapotának, vagyis a hőmozgást végző részecskék átlagos kinetikai energiájának jellemző számértéke. A hő mérésére a hőmérőket használjuk. Leginkább elterjedt hőmérőtípus a folyadékhőmérő, melynek a működése a folyadék térfogatváltozásán alapszik. A hőmérők skálázva vannak. A méréshez meg kell állapítani a skála állandó pontjait, az un. alappontokat. Az alsó alappontnak a légköri nyomáson olvadó tiszta jég hőmérsékletét, felső alappontnak pedig ugyanezen nyomáson forrásban lévő desztillált víz hőmérsékletét választjuk. A két alappont közötti távolságot alaptávolságnak nevezzük. A Celsius-skála esetében a jég 0.1013 MPa nyomáson mért olvadáspontját tekintjük 0 oC-nak, és a víz forráspontját 100 oC-nak, ezek a skála rögzített pontjai. A Celsiusskála esetében tehát az alaptávolság 100 részre van osztva. Ugyanezt a távot Fahrenheit 180, Réaumur 80 egyenlő részre osztotta fel. Az eddig említett hőmérők un. relatív hőmérsékletet mérnek, mert egy alappontról indulnak ki, és a hőmérsékletet ehhez viszonyítjuk. A hőtanban nagy jelentősége van az abszolút hőmérsékletnek, mely az abszolút nulla fokból indul ki. A skála beosztásánál csak pozitív értékek vannak. Az abszolút hőfokskála létrehozása Kelvin angol fizikus nevéhez fűződik, ezért az abszolút hőmérsékletet kelvinben /K/ számoljuk. Az abszolút hőfokskála kiindulási pontja már nem a víz fagyáspontja, hanem annak un. hármaspontja: ebben a pontban a jég, a víz és a gőz egyidejűleg fordulnak elő egyensúlyi állapotban. Ha ebből a pontból kiindulva egy ideális gázt 273.15 oC-szal hűtenek le, és / v = áll. / , akkor a gáz nyomása nullává válik. Ez a pont az abszolút nullapontnak nevezzük. Az abszolút nullaponttól számítjuk a Kelvin-hőmérsékletet. Tehát egy kelvin az abszolút nullapont és a víz hármaspontjának hőmérséklete közti különbség 273.15-öd része. A Celsius-fokban és kelvinben mért hőmérsékletek közötti összefüggés: t = T - 273.15 oC illetve T = t + 273.15 K A 3.02. ábrán tüntettük fel a Réaumur, Celsius, Fahrenheit és Kelvin által elkészített hőfokskálákat. Az ábrán az 1. vízszintes vonal az abszolút nullapontot , a 2. vonal a víz fagyási, a 3. vonal a víz forrási hőmérsékletét jelenti. Az alaptávolság valamennyi skálánál egyenlő hosszú.
-6-
Ebből következik, hogy 100 oC = 80 oR, vagy egyszerűsítve o o 5 C= 4 R ; illetve o 100 C beosztás = 180 oF beosztás , vagy egyszerűsítve o 5 C beosztás = 9 oF beosztás. 3.02.ábra Az SI mértékrendszer a hőmérsékletet kelvinben /K/ számítja és termodinamikai számításoknál is azzal számolunk. 3.2.2. Ideális gázok törvényei A gáz különböző fizikai tulajdonságait az állapotjelzők fejezik ki. Bármely két állapotjelző egyértelműen meghatározza a gáz állapotát, azaz valamennyi egyéb állapotjelzőjét. A gázok állapota külső hatások következtében megváltozik, és az új állapotot más állapotjelzők jellemzik. Azt a folyamatot, melynek során a gáz állapota valamilyen hatás következtében megváltozik, állapotváltozásnak nevezzük. A különböző hatások következtében végbemenő állapotváltozásokat leíró törvényszerűségeket gáztörvényeknek nevezzük. Ha egy ismert anyagjellemzőjű, ismert állapotú gázt valamely meghatározott hatásnak tesszük ki, akkor a gáztörvények alapján meg tudjuk állapítani a hatás eredményeként adódó új állapot valamennyi állapotjelzőjét. Az állapotváltozás során változhat: - mindhárom állapotjelző - de van olyan állapotváltozás is, melynek lefolyása alatt a három állapotjelző közül egy változatlan marad. Azokat a törvényeket ismertetjük, mely törvények szerint különböző állapotváltozások során az állapotjelzők változnak. 3.2.2.1.
Boyle - Mariotte - törvény
Ha a gázt állandó hőmérsékleten összenyomjuk, sűrítjük vagy kitágul, a gáz izotermikus állapotváltozáson megy keresztül. Állandó hőmérsékleten végbemenő változás során az " m " tömegű gáz különböző állapotokban elfoglalt Vi térfogatai pi nyomásaikkal fordítottan arányosak: V1 p2 = V2 p1
,
ahol:
-7-
V1 , V2 az " m " tömegű gáz térfogata két különböző, 1, ill. 2 indexszel jelzett állapotban, p1 , p2 a gáz abszolút nyomása az 1, ill. 2. állapotban. Az előző összefüggést átrendezve kapjuk: p1V1 = p2V2 = állandó A törvényszerűség szokásos írásmódja: pV = állandó Tehát a Boyle-Mariotte-törvény kimondja, hogy állandó hőmérsékleten történő állapotváltozás esetén a nyomás és térfogat szorzata állandó értéket ad. Mivel a gáz térfogatát (V) annak tömege (m) és fajtérfogatának (v) szorzatával is kifejezhetjük, ezért a már ismert törvényszerűséget az alábbi alakban is írhatjuk:
p1 ⋅ m ⋅ v1 = p 2 ⋅ m ⋅ v 2 = állandó. Egyszerűsítés után már az 1 kg tömegű gázra érvényes összefüggést kapjuk: p1 v1 = p 2 v 2
= állandó, illetve pv = állandó.
Ha az előző összefüggést a p-v diagramban ábrázoljuk, akkor a T= állandó vonalakra egyenlőszárú hiperbolákat kapunk (3.03. ábra). A Boyle-Mariotte törvényt - a fajtérfogatok helyett - felírhatjuk a sűrűségekkel is. Mivel p1 v1 = p2 v 2 illetve p1
1
ρ1
=
p2
1
ρ2
,
ezért
p1 ρ1 = p2 ρ 2
.
3.03 ábra Tehát megállapítható, hogy ennél az állapotváltozásnál a nyomások változása egyenesen arányos az állapotváltozás során bekövetkező sűrűségváltozással. 3.2.2.2.
Gay-Lussac Ι. törvénye
Ez a törvény a gázok hőmérséklet-változásakor bekövetkező térfogatváltozással foglalkozik, azt feltételezve, hogy a gáz nyomása az állapotváltozás alatt állandó marad.
-8-
A törvény eredeti megfogalmazásban a következőt mondja ki: ha valamely gázt állandó nyomáson melegítünk, akkor térfogata minden 1°C hőmérséklet-emelkedésnél 1 részével növekszik. a 0 °C hőmérsékleten elfoglalt térfogatának 273 Hőelvonás esetén természetesen térfogata hasonló arányban csökken. A törvény szerint, ha valamely gáz térfogata: 0 °C-on t 1 °C-on
V0 V1 ,
V1 = v 0 + V0
és akkor
1 t1 . 273
Közös nevezőre hozva írhatjuk: V1 =
273V0 + V0 t1 273
A V0-t kiemelve kapjuk:
V1 = v 0
273 + t1 , 273
illetve: V1 = V0
T1 . 273
A gáz térfogata ugyanazon p nyomáson, de T 2 hőmérsékleten az előzőek szerint: T V2 = V0 2 273 Az utóbbi egyenletet az előzővel elosztva kapjuk a törvény végleges alakját: V2 T2 = V1 T1 Ez azt fejezi ki, hogy állandó nyomáson a gázok térfogatai az abszolút hőmérséklettel arányosak. Ha a gáznak a kezdő (1) és végállapotához (2) tartozó térfogatát annak tömege (m) és fajtérfogatainak ( v1 , v2 ) szorzataként írjuk fel, akkor a fenti törvény a következő alakú:
-9-
mv 2 T2 = . mv1 T1
Egyszerűsítés után már az 1 kg tömegű gázra érvényes összefüggést kapjuk: v 2 T2 = v1 T1 A fajtérfogatok helyett a sűrűségek reciprokát az utóbbi egyenletbe behelyettesítve kapjuk: ρ 1 T2 . = ρ 2 T1 3.04. ábra A Gay-Lussac Ι. törvényének e formája azt fejezi ki, hogy állandó nyomáson a gázok sűrűsége az abszolút hőmérséklettel fordítva arányos. Ha a törvénynek az alábbi alakját átcsoportosítjuk: V2 = T2 V 1 T1 akkor V 1 = V 2 = állandó. T1 T 2 Szavakban: adott nyomású gáz térfogatának és abszolút hőmérsékletének hányadosa állandó. Ezt a megállapítást nevezik Gay-Lussac Ι. törvényének. A függvénygörbe matematikai értelmezéséből ered, hogy a p = állandó, a (p,v) koordináta-rendszerben egy vízszintes egyenessel ábrázolható. Így tehát az összefüggéssel leírható állapotváltozást a 3.04. ábrán látható vastag vonallal ábrázolhatjuk. 3.2.2.3.
Gay-Lussac ΙΙ. törvénye
Ez a törvény állandó térfogat mellett a gázok nyomása és hőmérséklete között állapít meg összefüggést. E törvény megállapításához vizsgáljuk meg egy edénybe zárt gáz - hőközlés mellett lezajló - állapotváltozását. A vizsgálat során azt tapasztaljuk, hogy a gáz hőmérsékletének a növekedésével egyidejűleg annak nyomása is növekszik, azonos arányban: T 2 = p2 . T 1 p1
- 10 -
Tehát a törvény szerint: állandó térfogaton a gázok abszolút nyomásai egyenesen arányosak az abszolút hőmérsékletekkel. A fenti összefüggést a következő alakba is átrendezhetjük: p1 p2 = állandó, = T1 T 2 illetve általánosított alakban: p = állandó . T 3.05. ábra Az állandó térfogaton lezajló állapotváltozást a (p,v) koordináta-rendszerben a 3.05.ábrán látható függőleges vonal ábrázolja, melynek vastagított szakasza a p1 p 2 állapotváltozásnak felel meg. = T1 T 2 3.2.2.4.
Általános gáztörvény
A Boyle-Mariotte és Gay-Lussac törvények olyan esetekre vonatkoznak, amelyekben a három állapotjelző közül az egyik állandó. A gyakorlatban azonban az esetek túlnyomó részében egyidejűleg mindhárom állapotjelző változik. Ahhoz, hogy megtaláljuk a kölcsönös függések törvényét, a következő módon járhatunk el (3.06. ábra): − első lépésben a hengerben lévő „m” tömegű gáz nyomását állandó hőmérséklet mellett csökkentjük, majd − második lépésben az „m” tömegű gáz hőmérsékletét növeljük állandó nyomás mellett.
a,
b,
3.06. ábra a) Tehát amikor a dugattyúról a súlyok egy részét levesszük, akkor a gáz nyomása és térfogata megváltozik, de hőmérséklete állandó marad. A gáz eme állapotát a
- 11 -
„B” pont jelzi, melynél annak térfogata VB, hőmérséklete T1és nyomása p2 lesz. Mivel a gáz hőmérséklete az 1 kezdeti és B közbülső állapotban azonos, ezért a gáznak ezekben a pontokban lévő nyomásai és térfogatai között a Boyle-Mariotte törvény érvényes: p1V 1 = p2 V B
.
Ebből a közbülső állapot térfogata: p
V = V 1 p1 . 2 b) Ha a súlyok egy részének levétele után a gázt melegítjük, akkor a gáz új állapotba
megy át, amelyet a p-v diagramon a 2. pont ábrázol. Ebben a pontban a gáz állapotjelzői p2 , V2 és T2 értéket veszik fel. Mivel a gáz nyomása a B közbülső és a 2 végállapotban azonos, ezért a gáznak ezekben a pontokban levő térfogatai és hőmérsékletei között a Gay-Lussac Ι. törvénye érvényes: V B T1 = . V2
T2
Ebből a közbülső állapot térfogata:
T1 . T2 A közbülső állapot térfogatára kapott két egyenlet jobb oldalait egymással egyenlővé téve írhatjuk: VB = V2
p1 T1 = V2 p2 T2
.
p1V 1 p2V 2 = T1 T2
,
V1
A fenti egyenletet átrendezve írhatjuk: vagy fajtérfogattal: p1v1 p 2 v 2 = állandó. = T1 T2
Ebből arra következtethetünk, hogy az összes p, v, T állapotjelzőkre a
pv = állandó T kifejezés érvényes marad. Ez az egyesített gáztörvény vagy más néven az ideális gázok állapotegyenlete. Eszerint valamely gáz nyomás - térfogat szorzatának és abszolút hőmérsékletének hányadosa állandó. Az egyenlet jobb oldalán lévő állandót R-rel jelöljük és a gázállandónak (Renault szám) nevezzük. Így az általános gáztörvény szokásos alakja 1 kg gázra: „m” kg gázra:
pv =R T
pV = mR T
- 12 -
Illetve
pv = RT
és
pV = mRT .
A gázállandó minden gázra nézve más értékű. Nagyságát kiszámíthatjuk az általános gáztörvényből , ha az összetartozó értékeket ismerjük. A gázállandó fizikai jelentésének megértése céljából tételezzük fel , hogy valamely v1 fajtérfogatú , 1 kg tömegű gázt súllyal terhelt dugattyúval hengerbe zárunk /3.07.ábra/. Ha ezt a gázt felmelegítjük, és közben nyomása nem változik, akkor fajtérfogata v1 - ről v2 - re nő, miközben az elmozduló dugattyú „s” utat tesz meg. Tehát a gáz terjeszkedése közben külső munkát végez, felemeli a dugattyút a ráhelyezett súlyokkal együtt. A végzett munka : W = F ⋅ s ,ahol F a dugattyúra ható erő /N/ Az F erőt a gáz nyomásának és a dugattyú keresztmetszetének szorzatával is kifejezhetjük. Így a gáz terjeszkedési munkája: W = pAs . Az A ⋅ s szorzat lényegileg a gáz térfogatváltozását adja meg, tehát: A ⋅ s = V2 − V1 = m( v 2 − v1 ) és így
W = m ⋅ p( v 2 − v1 ) .
3.07. ábra
A kijelölt műveletet elvégezve az 1 kg tömegű gáz terjeszkedési munkája: W w= = p ⋅ v 2 − p ⋅ v1 . m Mértékegysége, a mértékegység egyenletéből kiindulva: 3 N m N ⋅ m J w = p⋅v = 2 ⋅ = = . m kg kg kg
Az egyesített gáztörvényt bekapcsolva írhatjuk: p ⋅ v 2 = RT2 , illetve p ⋅ v1 = RT1 . Az utóbbi két egyenletet a terjeszkedési munka egyenletébe írva írhatjuk:
w = RT2 − RT1 , illetve
w = R(T2 − T1 ) .
ebből a keresett „R” gázállandó:
- 13 -
R=
w . T2 − T1
Mértékegysége, a mértékegység egyenletéből kiindulva: w J R= = . T kg ⋅ K Tehát a gázállandó az 1 kg gáz terjeszkedési munkája, amikor hőmérsékletét állandó nyomáson 1 K -nel növeljük. Néhány fontosabb gáz állandója :
J Rlevegő = 287 kg ⋅ K J RO2 = 259,8 kg ⋅ K J RN 2 = 296,8 kg ⋅ K 3.2.2.5.
Avogadro törvénye
Avogadro Olasz fizikus megállapította, hogy azonos hőmérsékletű és nyomású, egyenlő térfogatú gázokban a molekulák száma egyenlő. 3.08.ábra
gük:
Tegyük fel, hogy egyforma V térfogatú edényben (3.08. ábra) két tetszőleges gáz van, azonos hőmérsékleten és nyomáson. A molekulák számát mindkét esetben „n” -nel jelöljük. Ha a gázok moláris tömege M1 és M2 akkor töme-
m1 = M1 n
és
m2 = M 2 n .
A két egyenletet elosztva:
m1 Mn M = 1 = 1 . m2 M2n M2 Az egyenlet bal oldalának számlálóját és nevezőjét V gáztérfogattal osztva kapjuk:
de mint ismeretes:
m1 V = M1 , m2 M 2 V m1 m2 = ρ 1 , illetve = ρ2 . V V
- 14 -
A sűrűségek értékeit arányba állítva:
ρ 1 M1 = . ρ2 M2
A fenti arányból következik, hogy a gázok sűrűsége és moláris tömege egyenesen arányos : 1 Mivel ρ = , az előző egyenletet a következőképpen is lehet írni : v v2 M = 1 , v1 M2 ahonnan: M 1 ⋅ v1 = M 2 ⋅ v 2 = állandó. Általános alakban írva : M v = állandó. Általában mondhatjuk tehát, hogy az Mv szorzat minden gázra egyenlő . Értelmének megvilágítására vezessünk be egy új fogalmat, a kilogramm - molekula fogalmát, amellyel a hőtani számításokban gyakran találkozunk. A kilogramm molekula vagy kmol a gáznak oly mennyisége, melynek tömege kilogrammban kifejezve számszerűleg egyenlő a gáz moláris tömegével. Így például ismeretes, hogy az oxigén moláris tömege 32, tehát 1 kmol oxigén tömege 32 kg ; ugyanúgy 1 kmol nitrogén 28 kg , 1 kmol szén 12 kg és így tovább. Ennek a fogalomnak a bevezetésével az Mv szorzat határozott fizikai értelmet kap. Avogadro törvénye szerint minden gáz 1 kmol - nyi tömege ugyanazon a nyomáson és hőmérsékleten egyenlő térfogatot tölt be. Ezt a térfogatot moláris térfogatnak nevezzük és VM - mel jelöljük, azaz
VM
3 3 kg m m ⋅ = = M ⋅ v = állandó; mértékegysége: . kmol kg kmol
kg . ahol „M” az 1 kmol -nyi gáz tömege kmol A gázok moláris térfogatát általában normálállapotra vonatkoztatjuk. Normálállapotban van a gáz, ha a nyomása 101325 Pa és hőmérséklete 273 K (0 °C). A normálállapot fogalmának bevezetésével lehetővé vált, hogy bármely gáz normálállapotra vonatkoztatott fajtérfogatát az általános gáztörvény segítségével kiszámítsuk:
p N ⋅ v N = R ⋅ TN ebből
vN
T =R N pn
m3 , kg
ahol: TN a gáz hőmérséklete normálállapotban, pN a gáz nyomása normálállapotban.
- 15 -
Az általános gáztörvény segítségével számítsuk ki néhány fontosabb gáz fajtérfogatát a normálállapotra : m3 273 = 0 7733 - levegőre : v N = 287 ⋅ , 101,3 ⋅ 10 3 kg - oxigénre : v N = 259,8 ⋅
m3 273 = 0 , 7000 101,3 ⋅ 10 3 kg
m3 273 = 0 , 79969 . 101,3 ⋅ 10 3 kg Végezetül számítsuk ki az előző gázok molltérfogatát is a normálállapotra, a már ismert fajtérfogatokat behelyettesítve: m3 - levegőre : V M = M ⋅ v N = 28,964 ⋅ 0,7733 = 22,4 kmol - nitrogénre: v N = 296,8 ⋅
m3 - oxigénre : V M = M ⋅ v N = 32,00 ⋅ 0,7000 = 22,4 kmol m3 - nitrogénre : V M = M ⋅ v N = 28,016 ⋅ 0,79969 = 22,4 kmol 3 Tehát normálállapotban minden gáz mollnyi térfogata 22,4 m kmol
3.2.2.6.
Mengyelejev egyenlete
Ha az állapotegyenletnek mindkét oldalát szorozzuk a gáz moláris tömegével, akkor az 1 kmol gázra érvényes állapotegyenletet kapjuk: p ⋅ M ⋅ v = M ⋅ R ⋅T ahol " M ⋅ v" szorzatot moláris térfogatnak ( VM ) , és az
" M ⋅ R" szorzatot pedig moláris gázállandónak ( R M ) nevezzük.
Tehát az állapotegyenlet :
p ⋅V M = RM ⋅ T
alakba írható, mely első megfogalmazója után a „MENGYELEJEV EGYENLET” néven ismert. Ebben az egyenletben szereplő VM értéke minden gázra nézve egyenlő, következésképpen a moláris gázállandó is minden gázra egyenlő. Ezért is nevezik univerzális gázállandónak. Az előzőek igazolására számítsuk ki néhány fontosabb gáz adataival az univerzális gázállandót:
- 16 -
J - levegőre: R M = MR = 28,964 ⋅ 287 = 8314,37 kmolK J - oxigénre: R M = 32 ⋅ 259,8 = 8314,37 kmolK J - nitrogénre: R M = 28,016 ⋅ 296,8 = 8314,37 . kmolK Az univerzális gázállandót a normálállapotra felírt Mengyelejev egyenletből is meghatározhatjuk:
p N ⋅ V M = R M ⋅ TN ebből: p N ⋅ V M 101325 ⋅ 22,415 J = = 8314,37 . 273 TN kmolK Tehát az univerzális gázállandó minden gázra egyenlő. Az univerzális gázállandó viszont egyszerű számítási módot biztosít a specifikus gázállandók értékeinek meghatározására. Mivel J R M = M ⋅ R = 8314,37 , kmolK ebből 8314,37 J R= . M kgK Így például az oxigén specifikus gázállandója : RM =
RO2 =
8314,37 8314,37 = = 259,82 J/kg·K MO 2 32
Tehát a specifikus gázállandó egyenlő az univerzális gázállandó és a moláris tömeg hányadosával. 3.2.3. Gázkeverékek 3.2.3.1.
Dalton törvénye
A tüzelőanyagok égéstermékei az atmoszférikuslevegő és más, a hőerőgépek munkafolyamataiban résztvevő, vagy a gőzkazánok tűzterében képződő gázok nem egyneműek, hanem egymással kémiai kötésben nem levő gázok keverékei /gázkeverékek /. A gázkeverékekre vonatkozó törvényszerűségeket Dalton határozta meg. Gázkeverékekben az egyes alkotórészek állapotváltozásai úgy folynak le, mintha a többi gázrész nem lenne jelen, s így az alkotórészekre érvényesek a már ismertetett törvények.
- 17 -
A Dalton-féle törvény kimondja, hogy :
-
a gázkeverék minden gáza úgy tölti ki a keverék által elfoglalt egész teret, mintha a többi gáz nem is volna jelen az össznyomásban azonban csak anyagi részesedésének megfelelően vesz részt az egyes gázok parciális nyomásainak összege alkotja az össznyomást.
Ez az első látásra idegenszerű megállapítás érthetőbbé válik akkor, ha utalunk a kinetikus gázelmélet tanításaira, mely szerint a gáztérfogat nincs teljesen anyaggal kitöltve. Ellenkezőleg, a sűrűségtől függően a gázmolekulák egymástól kisebbnagyobb távolságban vannak és szabadon mozognak úgy, hogy ha a térben többféle gáz van jelen, akkor a komponensek ténylegesen az egész térben eloszolva repülnek ide-oda. A gázkinetikai értelmezés szerint pedig a nyomás nem egyéb, mint az edény falába ütköző molekulák impulzusváltozása, így minden gázféleség anyagi mennyiségeinek megfelelően részesedik a manometrikusan mért teljes nyomásból. Mielőtt a gázkeverékek állapotváltozásait vizsgálnánk, tisztázzuk a parciális nyomás fogalmát. A keverék egy komponense parciális nyomásának azt a nyomást nevezzük, amelyet a komponens felvenne, ha a keverék által elfoglalt teljesen és egyedül a kérdéses komponens töltené ki. Tehát minden egyes gázkomponensnek saját parciális nyomása van, ezek a parciális nyomások összegeződnek. Ezt a feltételezést azonban a 3.09.ábra szerinti kísérlettel lehet bizonyítani. Az 1 és 2 hengerben, amelynek térfogata V1=1m3 és V2=3m3 /mind a kettő nyomása p=100 kPa/, két különböző gáz van, gázállandójuk R1 és R2. A hengerekhez csatlakozik egy p0=0 kPa-ra evakuált tartály, amelynek térfogata Vk=4m 3. Ha kinyitjuk az 1 szelepet, akkor az 1 gáz átáramlik rajta, és teljesen kitölti a Vk teret. 3.09.ábra. Ha a hőmérséklet a folyamat előtt és utána ugyanaz, akkor az 1 gáz nyomása a térfogat-növekedés arányában a Boyle-Mariotte törvény szerint csökken, így: p · V 1 = p 1 · Vk ebből V 1 p1 = p 1 = 100 ⋅ = 25 kPa . 4 Vk Ezután - az előzővel azonos előkészület mellet - a 2 szelepet nyitjuk ki. A 2 gáz ugyancsak kitölti a teljes teret. Nyomása V 3 p 2 = p 2 = 100 ⋅ = 75 kPa -ra 4 Vk csökken.
- 18 -
A teljes nyomás pedig: p=p1+p2 = 25 kPa +75 kPa = 100 kPa
lesz.
A keveréket alkotó komponensek parciális nyomásának összege tehát egyenlő a keverék nyomásával, azaz : pK = p1+p2 + ... + pi
.
A Dalton-tételből következik még, hogy
-
a keverék minden komponensének a hőmérséklete egyenlő a keverék hőmérsékletével; a keverék rendelkezésére álló teret a komponensek parciális nyomás mellett külön-külön is teljesen kitöltik; a keverék tömegét az alkotó gázok tömegeinek összegezésével kapjuk; az állapotegyenlet minden komponensre külön-külön, és végül; a keverékre szintén érvényes az állapotegyenlet, de a keverék állapotegyenletében szereplő állandók értéke(az univerzális gázállandótól eltekintve) eltér a komponensek állapotegyenleteiben szereplõ állandók értékétõl.
Dalton törvényét matematikailag megfogalmazva, ha az egyes gázokat indexekkel jelöljük, a következõképpen írhatjuk fel : pK = p1 + p2 + ... + pi , TK = T1 = T2 = ... = Ti VK = V1 = V2 = ... = Vi mK = m1 = m2 = ... = mi . A feladat az, hogy ezeknek az összefüggéseknek a segítségével a keverék százalékos összetételéből a sűrűséget és a fajtérfogatot kiszámítsuk, úgyszintén a keveréknek a gázállandóját, valamint átlagos, ún. látszólagos moláris tömegét képezzük, hogy ezután a gázkeveréket éppen úgy kezelhessük, mint az egyszerű gázt.
3.10.ábra. A keverék egyes alkotóit, az egész keverék térfogat- vagy tömegarányban adjuk meg. A 3.10.ábra jelöléseit fel- használva, ha a gázkeverék teljes térfogata a pk nyomáson Vk, az alkotók azonos pk nyomásra vonatkoztatott térfogati V1, V2 ,Vi ; az egyes alkotórészek térfogat arányai:
- 19 -
r1 =
V1 V2
, r2 =
V2 Vk
, ... , ri =
Vi Vk
,
illetve
V1 + V2 +...+Vi Vk = = 1. Vk Vk Ha pedig az alkotókat a teljes gázkeverék „s” tömegarányaként fejezzük ki, akkor, ha a keverékben az alkotórészek tömegei m1, m2, ... mi, az egyes alkotórészek tömegarányai : m m m s1 = 1 , s2 = 2 , ... , si = i , mk mk mk illetve m + m2 +...+ mi mk s1 + s2 +...+ si = 1 = = 1. mk mk r1 + r2 +...+ ri =
3.2.3.2.
A gázkeverék látszólagos moláris tömege :
Avogadro tétele értelmében azonos nyomáson és hőmérsékleten különféle gázok mólnyi mennyiségű térfogatai egymással egyenlőek : M1 · v1 =M2 · v2 = ... = Mi · vi = VM . Ebből az alkotók sűrűségei : M 1 = 1 , v1 V M M 1 2= = 2 , v2 V M . . . . . . . . . 1 M i= = i . i VM 1=
Gázkeverék tömege a gázkomponensek tömegeivel kifejezve : mk = m1 + m2 + ... + mi . A tömegeket a térfogattal és sűrűséggel kifejezve írhatjuk : Vk · ρk = V1 · ρ1 + V2 ·
2
+ ... + Vi ·
i
.
Az utóbbi egyenlet mindkét oldalát Vk-val osztva, a gázkeverék sűrűségét kifejező összefüggést nyerjük : k=
illetve
V1 V V 1 + 2 2+...+ i Vk Vk Vk
i
,
ρk = r1 · ρ1 + r2 · ρ 2 + ... + ri · ρ i .
- 20 -
A sűrűségeket a moláris tömeg és moláris térfogat viszonyaként kifejezve kapjuk :
Mk M1 M2 Mi = r1 ⋅ + r2 ⋅ + ... + ri ⋅ VM VM VM VM Egyszerűsítés után a gázkeverék moláris tömege : Mk = r1 · M1 + r2 · M2 + ... +ri · Mi
kg/kmol
Tehát, a keverék moláris tömegét az egyes alkotók moláris tömegéből és térfogatarányából képzett szorzatok /ri · Mi/ összegezésével nyerjük. 3.2.3.3.
A gázkeverék specifikus gázállandója :
A gázkeveréket alkotó gázok állapotegyenleteiből kiindulva írhatjuk : p1 · Vk = m1 · R1 · Tk , p 2 · V k = m 2 · R2 · T k , . . . . . . p i · V k = m i · Ri · T k . A fenti egyenletek bal oldali és jobb oldali részeinek összeadása, azaz alkotók elegyítése után kapjuk : / p1 + p2 + ... + pi / ·Vk = / m1R1 + m2R2 + ... +miRi / · Tk . Figyelembe véve, hogy p1+ p2 + ... + pi = pk írható: pk · Vk = / m1R1 + m2R2 + ... + miRi / · Tk . Mint említettük, a gázkeverék ugyanúgy alá van rendelve az állapotegyenletnek, mint egy különálló gáz, ezért pk · Vk = mk · Rk · Tk . A gázkeverékre felírt két állapotegyenletet egybevetve kapjuk Ebből
mkRk = m1R1 + m2R2 + ... + miRi .
Rk =
m1 m m r1 + 2 R2 +...+ i Ri mk mk mk
,
illetve Rk = s1R1 + s2R2 + ... +siRi . Tehát a gázkeverékek specifikus gázállandóját az egyes alkotók gázállandójából és tömegarányából képzett szorzatok (si·Ri) összegzésével nyerjük.
- 21 -
Avogadro törvényéből
M k ⋅ v k = Vm kitűnik, hogy azonos nyomás és azonos hőmérséklet esetén az egyes gázalkotók és a gázkeverék moláris térfogata azonos, ezért a gázkeverékekre is érvényes, hogy az univerzális gázállandó Rm = M k ⋅ Rk = 8314,37
J/kg·K
Az univerzális gázállandó egyszerű számítási módot biztosít a keverék specifikus gázállandójának meghatározására a fenti összefüggés átrendezésével: 8314,37 Rk = J/kg·K . Mk Tehát a keverék specifikus gázállandóját úgy is kiszámíthatjuk, ha először a keverék látszólagos moláris tömegét (Mk) határozzuk meg, majd azzal osztjuk az univerzális gázállandót. 3.2.3.4.
A gázkomponensek parciális nyomása a keverékben:
A 3.09. ábrához adott magyarázat bizonyítja, hogy a keverékben a gézkomponens nyomásai eltérőek, ezek együttvéve adják a teljes nyomást. A parciális nyomásokat attól függően, hogy az egyes gázok mennyisége tömegarányokban vagy térfogatarányokban vannak adva - a következőképpen számíthatjuk: 3.2.3.5.
A gázkomponensek parciális nyomása tömegaránnyal (s1) kifejezve:
Induljunk ki a gázkomponensre és a gázkeverékre érvényes állapotegyenletből: p1 ⋅ Vk = m1 ⋅ R1 ⋅ Tk , illetve p k ⋅ Vk = mk ⋅ Rk ⋅ Tk . Az előző és az utóbbi összefüggést egymással elosztva, majd egyszerűsítve kapjuk: p1 ⋅ Vk m ⋅ R ⋅T = 1 1 k , p k ⋅ Vk mk ⋅ Rk ⋅ Tk illetve p1 m ⋅R R = 1 1 = s1 ⋅ 1 . p k mk ⋅ Rk Rk Ebből a gázkomponens parciális nyomása: R p1 = p k ⋅ s1 ⋅ 1 . Rk 3.2.3.6.
A gázkomponens parciális nyomása térfogataránnyal (r1) kifejezve:
Kiindulásként ismét írjuk fel a gázkomponensre érvényes állapotegyenletet az elegyítés előtt és a gázkeverékre az elegyítés után:
- 22 -
p k ⋅ V1 = m1 ⋅ R1 ⋅ Tk
,
illetve
p1 ⋅ Vk = p k ⋅ V1 . Ebből a gázkomponens parciális nyomása: V p1 = p k ⋅ 1 , Vk illetve p1 = r 1⋅ p k .
3.2.3.7.
A gázkomponensek térfogat- és tömegaránya közötti átszámítás:
Írjuk fel a gázkomponensek térfogatarányát (r1) tömeggel és fajtérfogattal kifejezve:
r1 =
V1 m ⋅v = 1 1 Vk mk ⋅ v k
.
Mivel
r1 =
VM Vk
vk =
VM Vk
VM M1 r1 = V mk ⋅ M Mk
.
és
így
m1 ⋅
Egyszerűsítés után írhatjuk:
r1 = s1 ⋅
Mk M1
.
Tehát a gázkomponensek térfogatarányát (r1), a tömegarány (s1) és a moláris tömegek arányának (Mk/M1) szorzata határozza meg. Az utóbbi összefüggésből a gázkomponens tömegaránya (s1) is kifejezhető: M s1 = r1 ⋅ 1 . Mk Vagyis a gázkomponensek (s1) tömegarányát kiszámíthatjuk a gázanalitikai úton meghatározott (r1) térfogatarány és a moláris tömegek arányának (M1/M2) szorzatával. 3.2.4. Fajhő, fajlagos hőkapacitás: Tudjuk, hogy ha egy közeget melegítünk, akkor annak hőmérséklete emelkedik. Arról azonban, hogy a közölt hőmennyiség milyen mértékben változtatja meg a közeg hőmérsékletét, még ezideig nem beszéltünk.
- 23 -
Elsődleges tapasztalat szerint azonos hőmennyiség különböző anyagok hőmérsékletét különböző mértékben változtatja meg. Egészen természetes amellett az, hogy a felmelegedés mértéke függ a melegítendő közeg mennyiségétől is. Megfigyelések alapján megállapították, hogy 1 kg tömegű anyag hőmérsékletének emelkedése arányos a bevezetett hőmennyiséggel. Az arányossági tényező természetesen anyagonként más és más. Ha tehát a vizsgált 1 kg tömegű anyagmennyiség hőmérséklete a vizsgálat elején T1 volt, majd miután az anyaggal q hőmennyiséget közöltünk, hőmérséklete T2-re növekedett, az arányosságot a
q = c ⋅ (T2 − T1 ) alakba írhatjuk. Ebből az anyagra jellemző arányossági tényező
c=
q T2 − T1
J/kg·K .
A „c” arányossági tényezőt az illető anyag fajhőjének nevezzük, ami azt a hőmennyiséget jelenti J-ban, amely szükséges ahhoz, hogy 1 kg tömegű anyag hőmérsékletét 1 K-nel növelje. 3.2.4.1.
Gázok fajhője, fajlagos hőkapacitása:
A szilárd testek és folyadékok fajhője a hőmérséklettől ugyan kismértékben függ, de ettől általában eltekintünk. Valamivel bonyolultabb a helyzet a gázok fajhőjével kapcsolatban. Egy gáznak ugyanis kétféle fajhője adható meg: - egyiket jelöljük „cv”-vel; ez arra az esetre érvényes, amikor a gáz térfogata melegítés közben állandó marad, - a másikat jelöljük „cp”-vel; ez arra az esetre vonatkozik, amikor melegítés közben a gáz nyomása marad állandó. A gáz kétféle fajhője között mindig a következő egyenlőtlenség áll fenn: cp > cv . Ha ugyanis a gázt állandó nyomáson melegítjük, akkor kiterjed, ezzel a külső nyomás ellen munkát végez és ezt a munkát is a gázzal közölt hőenergiának kell fedeznie. A hőenergiának egy része tehát, amely erre a munkavégzésre fogy el, nem idézhet elő hőmérsékletemelkedést. Ebből következik, hogy állandó nyomás melletti melegítés esetében a közeggel több hőt kell közölni, mint állandó térfogat melletti melegítés esetén. Jelöljük az 1 kg tömegű gáz ∆T hőmérsékletemelkedéséhez szükséges hőenergiát az állandó nyomás esetére q ( p ) -vel, az állandó térfogat esetére q ( v ) -vel, így: q( p) = c p ⋅ ∆T
és
- 24 -
q( v ) = c v ⋅ ∆T
.
Az az energiatöbblet, amely állandó nyomás esetén a gáz kiterjedésével járó „w” munka végzésére szükséges, éppen q ( p ) és q ( v ) különbsége: w = q( p) − q( v ) = c p ⋅ ∆T − c v ⋅ ∆T
illetve
(
)
w = c p − c v ⋅ ∆T
,
.
Ebből a két fajhő különbsége:
c p − cv =
w ∆T
.
A fenti egyenlet jobb oldalán az a munka áll, amelyet 1 kg gáz végez, miközben állandó nyomáson, 1 K-nel felmelegedve, kiterjed. Ez viszont a korábbiak szerint nem más, mint az „R” gázállandó, tehát c p − cv = R , vagyis az állandó nyomáson és az állandó térfogaton mért fajhő közötti különbség éppen az „R” gázállandó. Mivel az állandó térfogaton történő hőközlési folyamatot izochornak, az állandó nyomáson történő hőközlési folyamatot pedig izobárnak nevezzük, ezért találkozunk izochor- és izobár-fajhő elnevezéssel is. Az izobár (cp) és izochor fajhők (cv) közötti összefüggést Mayer egyenletének is nevezik. 3.2.4.2.
Gázok moláris fajhője:
A gázokkal kapcsolatos számításokban a fajhőt gyakran nem 1 kg, hanem 1 kmol gázra vonatkoztatjuk. Ilyenkor a fajhő helyett mólhőről beszélünk. Ezt C-vel jelöljük és mértékegysége
J
[C] = kmol ⋅ K
.
A mólhőt a fajhőből az 1 kmol mennyiségű gáz tömegével való szorzás útján kapjuk:
C p = M ⋅ c p és C v = M ⋅ c v . Itt természetesen szintén cp > cv és a kettő különbsége: c p − cv = M ⋅ c p − M ⋅ cv , illetve
c p − c v = M ⋅ R = 8314,37
J kmol ⋅ K
Tehát a kétféle mólhő különbsége az univerzális gázállandóval egyenlő. Ebből következik, hogy a kétféle mólhő különbsége független a gáz anyagi minőségétől és minden gázra:
c p − c v = 8314,37
J/kmol·K
.
- 25 -
A mólhőt újabban moláris hőkapacitásnak is nevezzük. 3.2.4.3.
Gázok fajhői és ezek közötti összefüggések:
A gázokat mólhőik szerint három csoportba sorolhatjuk: - egyatomos gázok (He, Ne, Ar, stb.); - kétatomos gázok (H2, O2, N2, levegő, stb.); - háromatomos gázok (CO2, H2O, CH4, stb. ). Az egyes csoportok mólhője: cp kJ/kmól·K egyatomos 20,9340 kétatomos 29,3076 háromatomos 37,6812
cv kJ/kmól·K 12,5604 20,9340 29,3076
3.02. táblázat A kétféle fajhő, illetve kétféle mólhő viszonyát, amely szintén az egyes csoportok jellemzője, ℵ -val jelöljük:
κ=
cp cv
=
Cp
.
Cv
Ennek számértéke: - egyatomos gázokra: - kétatomos gázokra: - háromatomos gázokra:
20,9340 = 1,67 12,5604 29,3076 κ= = 1,40 20,9340 37,6812 κ= = 1,29 . 29,3076
κ=
A két fajhő viszonyát, azaz ℵ -t még adiabatikus folyamat kitevőjének is nevezzük, amellyel később többször találkozunk. A Mayer-féle egyenlet izochor-fajhővel kifejezve: c p − cv = R , illetve Ebből:
κ ⋅ cv − cv = R . c v ⋅ (κ − 1) = R .
A Mayer-féle egyenlet izobár-fajhővel kifejezve: c p − cv = R , illetve
- 26 -
Cp − Ebből:
cp
3.2.4.4.
cp
κ
=R
.
κ −1 =R . κ
Gázok valódi, átlagos és közepes fajhője:
A gázok fajhője általában a hőmérséklettel változik. Ezzel kapcsolatban megkülönböztetünk meghatározott hőfokhoz tartozó ún. valódi fajhőt és meghatározott intervallumra vonatkozó, ill. közepes fajhőt. A meghatározott hőfok-intervallumra vonatkozó fajhőknél a következő elnevezések és jelölések használatosak: - a T1 és T2 hőfok-intervallumra vonatkozó fajhőt [cm ] T2 átlagos fajhőnek és T
1
- a 0°C és T1 hőfok-intervallumra vonatkozó fajhőt pedig [ cv ] 01°C közepes fajhőT
nek nevezzük. Pontosabb számítások esetén tehát nem vehetjük a fajhőt állandó értéknek, hanem figyelembe kell venni a c=c(T) függvényt is (3.11.ábra). A pontos összefüggés kezelése általában nehézkes, ezért szakaszonként megállapíthatjuk a közepes fajhő értékét. Közepes fajhőnek (ck) azt az értéket tekintjük, mely alatt lévő terület megegyezik a c=c(T) görbe alatti területtel.
3.11.ábra A valóságos gázok fajhői nem csak a hőmérsékletnek, hanem a nyomásnak is függvényei, de többnyire kielégítő, ha csak a hőmérsékletfüggőséget vesszük figyelembe (3.12.ábra). A cp és cv értékeket a 3.03. táblázat, cp hőmérséklettől függő értékeit pedig a 3.04. táblázat tartalmazza.
- 27 -
3.12.ábra 3.2.4.5.
Gázkeverékek fajhője:
Ha a gázkomponensek fajhőit tömegegységre vonatkoztatjuk, akkor ahhoz, hogy az egész keveréket 1 K-nel felmelegítsük, mk·ckev hőmennyiség szükséges. Ugyanakkor a keverékben levő minden egyes gáznak 1 K-nel való felmelegítéséhez szükséges hőmennyiségek: m1c1, m2c2, .... mici. Ezekből nyilvánvaló, hogy mk ⋅ c kev = m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 +...+ mi ⋅ c i . Az egyenlet mindkét oldalát „mk” -val osztva, a gázkeverék keresett ckev fajhője: m m m c kev = 1 ⋅ c1 + 2 ⋅ c 2 +...+ i ⋅ c i , mk mk mm illetve c kev = s1 ⋅ c1 + s2 ⋅ c 2 +...+ si ⋅ c i . A fenti összefüggés alapján: - a keverék izobár fajhője: c pkev = s1 ⋅ c p1 + s2 ⋅ c p 2 +...+ si ⋅ c pi
,
- keverék izochor fajhője: c pkev = s1 ⋅ c v1 + s2 ⋅ c v 2 +...+ si ⋅ c vi
.
Mindezek az egyenletek egyaránt érvényesek az állandó és változó (valóságos és közepes) fajhőkre. A keverék fajhőjének a kiszámítása csak abban az esetben célszerű, ha ezt a fajhőt a számítás folyamán többször felhasználjuk. A keverékkel közölt, vagy belőle elvont hőmennyiség kiszámítására vonatkozó sok feladatot meg lehet oldani a keverék fajhőjének meghatározása nélkül is, ha a keverék elemeinek hőmennyiségeit közvetlenül összegezzük.
- 28 -
Moláris Megnevezés
Vegyjel
Atomszám
Gázok fajhői 0 °C-on
tömeg
cp
cv
cp cv
kmol
kJ / kg · K
Acetilén
C2H2
4
26
1,511
1,214
1,26
Ammónia
NH3
4
17
2,055
1,566
1,31
Hidrogén
H2
2
2
14,38
10,111
1,4
Kéndioxid
SO2
3
64
0,607
0,477
1,27
Levegő
-
-
29
1,004
0,716
1,4
Metán
CH4
5
16
2,160
1,637
1,32
Nitrogén
N2
2
28
1,039
0,741
1,4
Oxigén
O2
2
32
0,917
0,657
1,4
Széndioxid
CO2
3
44
0,8205
0,628
1,3
Szénmonoxid
CO
2
28
1,039
0,745
1,4
3.03. táblázat Gázok állandó nyomáson vett fajhőjének változása a hőmérséklet függvényében Hőmérséklet
Levegő
Cp H2
Cp
N2
Cp
O2
Cp
CO
Cp
CO2
Cp
SO2
Cp
°C
KJ/Kg°K
KJ/Kg°K
KJ/Kg°K
KJ/Kg°K
KJ/Kg°K
KJ/Kg°K
KJ/Kg°K
0
1,004
14,38
1,039
0,9084
1,039
0,8205
0,607
100
1,007
14,40
1,041
0,9218
1,041
0,8689
0,637
200
1,013
14,42
1,044
0,9355
1,046
0,9122
0,663
300
1,020
14,45
1,049
0,9500
1,054
0,9410
0,687
400
1,029
14,48
1,057
0,9646
1,064
0,9852
0,707
600
1,050
14,55
1,076
0,9926
1,087
1,0430
0,740
800
1,072
14,64
1,098
1,0160
1,110
1,0890
0,765
1000
1,092
14,78
1,118
1,0350
1,131
1,1260
0,784
1200
1,109
14,94
1,137
1,0510
1,150
1,1570
0,798
1400
1,124
15,12
1,153
1,0650
1,166
1,1830
0,810
1600
1,138
15,30
1,168
1,0770
1,180
1,2060
0,820
1800
1,151
15,48
1,181
1,0890
1,193
1,2250
0,829
2000
1,162
15,65
1,192
1,0990
1,204
1,2410
0,837
2200
1,172
15,82
1,202
1,1090
1,214
1,2560
0,896
2500
1,850
16,07
1,215
1,1230
1,226
1,2750
0,899
3.04. táblázat
- 29 -
3.2.5. A munka és a hő kapcsolata: Energiából vagy más szóval munkavégző-képességből munka keletkezik. Erre példa a víz munkavégző képessége vízierőműveknél. A vizek helyzeti energiája van a tárolómedencében, ezt követően mozgási energiává alakul (a vízi erőmű felé irányított vezetékben), majd mechanikai, és ezt követően elektromos energiává alakul át. A szén, a kőolaj, a földgáz, a napsugárzás, az atomenergia, a hőenergia közvetítésével mechanikai, ill. további energiaformákká alakítható át. Ezen átalakítások során veszteségek keletkeznek. Ezért a technikának az a feladata, hogy olyan eljárásokat dolgozzon ki, és a már ismert eljárásokat oly módon fejlessze tovább, hogy az energiahordozókból lehetőség szerint minél több hasznosítható energiát nyerjünk. A hőenergiát - amelyet többek között tüzelőanyagból nyerhetünk- hőátadó gázok vagy gőzök és hőerőgépek segítségével mechanikai energiává, ezt követően elektromos gépek segítségével elektromos energiává alakítjuk át. 3.2.5.1.
A hőtan első főtétele:
A fizika egyik legalapvetőbb tétele az energia megmaradásának elve, mely szerint fizikai folyamatok során energia nem létesülhet és nem semmisülhet meg, az energia csak átalakulhat egyik megjelenési formájából a másikba. Ezt a tételt - a hőtani folyamatokra értelmezve - a hőtan első főtételének nevezzük. A különféle energiaformák tehát egyenértékűek az energiának, a munkának, a hőnek minthogy azonos jellegű fizikai mennyiségek -, azonos mértékegységük van, nevezetesen: 1 J = 1 N · m = 1 W · s. Tehát a termodinamika I. főtétele kimondja, hogy a hő és a mechanikai munka egyenértékűek és így bizonyos mennyiségű hőnek pontosan meghatározott mennyiségű mechanikai munka felel meg. Ha a mechanikai munkát kívánjuk hőenergiává alakítani, természetes folyamatot kapunk, mert ez önmagától is létrejöhet. A folyamat fordítottja, amikor hőenergiából mechanikai munkát kívánunk létrehozni, ez már önmagától nem megy végbe, ezért létrehozásához különleges berendezésekre, gépekre van szükség. A hőtan első főtétele nem csak a hőenergia és a mechanikai munka egyenlőségére és átalakíthatóságára mutat, hanem kifejezi azt is, hogy a mechanikai munka hőenergiává való átalakulása 100%-ban, míg fordítva, csakis egy meghatározott arányban történhet. Az eddig ismertetett egyszerű kifejezések általánosabb és pontosabb megfogalmazását Clausius alkotta meg. Az ő megfogalmazásával általánosságban kimondhatjuk, hogy a közeggel közölt hő növeli annak belső energiáját, egyidejűleg külső munkavégzésre, térfogat-változási munkára is készteti a közeget. A Clausius-féle megfogalmazásban a hőtan első főtételét az alábbi alakban írhatjuk „m” tömegű gázra: dQ = dU + dW , illetve 1 kg gázra: - 30 -
dq = du + dw
.
A fenti kifejezésekben a betűk jelentése: - Q, ill. q az „m” tömegű gázzal, ill. az 1 kg gázzal közölt hőmennyiség; - U, ill. u az „m” tömegű gáz, ill. az 1 kg tömegű gáz belső energiája; - W, ill. w az „m” tömegű gáz, ill. az 1 kg tömegű gáz térfogat-változási munkája. Az előző két kifejezést más formában is felírhatjuk, ha 1 és 2 határok között integráljuk az egyenleteket. A hőtan első főtétele „m” tömegű gázra: 2
Q1,2 = U 2 − U 1 + ∫ dW
,
1
vagy 1 kg gázra: 2
q1,2 = u2 − u1 + ∫ dw . 1
Az eddigiek során két újabb fogalomról tettünk említést, a belső energiáról és a térfogatváltozási munkáról. Feladatunk az, hogy a következőkben e két újabb fogalommal megismerkedjünk. 3.2.5.2.
Az ideális gáz belső energiája:
Melegítés közben a gáz hőmérséklete emelkedik és ez azt jelenti, hogy a molekulák mozgása meggyorsult, azaz a molekulák kinetikai energiája meg növekedett. Ezen kívül - a gáz terjeszkedése következtében - a molekulák egymástól mért közepes távolsága is megnőtt. A molekulák között vonzóerők működnek. Ha tehát a molekulák egymástól eltávolodnak, a molekulákat távolító erő a vonzás ellen munkát végez, mely munka a molekulákban potenciális (helyzeti) energia formájában halmozódik fel. A leírt folyamat alatt tehát a molekulák potenciális energiája is meg növekedett. A molekulák potenciális és kinetikai energiáját együtt a gáz belső energiájának nevezzük és u betűvel fogjuk jelölni. Képzeljünk el egy állapotváltozást az 1 és a 2 pontok között egyszer az „a”, másszor a „b” úton végbemenőnek. A 2 végállapot mindkét esetben ugyanaz (3.13.ábra), ezért nem csak a molekulák sűrűsége, hanem a molekulahalmaz mozgásképe is mindkét esetben azonos. A belső energiát pedig, mint a gázmolekulák kinetikus és potenciális energiájának összegét értelmezzük. Ez a két esetben egyezik, tehát független az úttól, amelyen az adott állapotba jutottunk, ezért a belső energia is állapotjelző. 3.13. ábra A belső energia-változás az ideális gázoknál a hőmérséklet-változással arányos: du = c v ⋅ dT , vagy pedig
- 31 -
u2
T2
u1
T1
∫ du = cv ∫ dT
,
illetve : u = u 2 - u1 = c v / T 2 - T 1 / .
Mértékegysége :
u = cv ⋅ T =
J J = . kg ⋅ K kg
A belső energia , mint állapotjelző kifejezhető másik két állapotjelzővel . Ezzel új egyenletek nyerhetők : u = f1 / p , v / ;
u = f2 / p , T / ;
u = f3 / v , T /
.
Az ilyen egyenleteket , mivel bennük a hőegység is megjelenik , szokás hő- , illetve kalorikus állapotegyenleteknek nevezni . 3.2.5.3.
A gáz térfogatváltozásának munkája / a külső munka /
A termodinamikában fontos jelentőségű a térfogatváltozás munkája , más szóval az a munka , amelyet a rendszer térfogatváltozásával kapcsolatban ráható külső nyomás ellen végez . Legyen egy " m " tömegű gáz térfogata " V " , állapotjelzői pedig " p " és " v ". Ha ez a térfogat a gáztömeg határoló felületének minden " dA " felületelemére egyformán ható " p " nyomás ellenében / V + d V / -re megnövekszik /3.14.ábra / , akkor minden felületelemen ható erő által kifelé végzett un. " külső " elemi munka :
dW = p ⋅ dA ⋅ ds . A teljes munka :
W = p ⋅ dA ⋅ ds ,
illetve
W=
V2
∫ p ⋅ dV
V1
3.14.ábra Az 1 kg tömegű gázra vonatkoztatva pedig
w=
V2
∫ p ⋅ dv
.
V1
Az integrálást azonban csak akkor lehet elvégezni , ha a fajtérfogatnak v1-től v2-re változása közben ismeretes a fajtérfogat és nyomás közötti p = f / v / összefüggés .
- 32 -
Megállapodás szerint a külső munka pozitív , ha a térfogat-növekedéssel kapcsolatos és negatív , ha térfogatcsökkenéssel jár együtt. A hő és a munka viszont nem állapotjelző , mert nem független az úttól , amelyen a közeget a kezdőállapotból a végállapotba vezetjük . Például a 3.13. ábrán a gáz 1 kezdőállapotból 1-a- 2 után jut a 2 végállapotba , a közeg által végzett munka a diagramm c-1-a-2d-c területével arányos. Ha viszont a gáz az 1-b-2, tehát más úton jut el az 1 kezdőállapotból a 2 végállapotba , a végzett munka a c-1-b-2-d-c területtel arányos , vagyis nem lesz azonos az előbbivel, és a közölt hő is eltér az előzőleg megadott értéktől. Következésképpen a munka nagysága nemcsak a munkaközeg kezdeti és végállapotától, hanem a folyamat vonalának alakjától, vagyis a munkaközeg minden közbenső állapotától is függ. 3.2.5.4.
Az entalpia fogalma
Csővezetéken az időegységben átáramló energia meghatározása fontos feladat ahhoz, hogy az első főtételt olyan esetekre is alkalmazni tudjuk, amelyeknél zárt térbe, illetve gépbe állandó nyomáson beáramló közeg energiát hoz be, és ugyancsak állandó, de az előbbitől különböző nyomáson kiáramolva energiát visz ki. Képzeljünk el egy - a környezettel való hőcsere ellen - jól elszigetelt hengeres csővezetéket, amelyen át (3.15. ábra) áramoljon valamilyen közeg állandó áramban. A feltételezés szerint az áramlás minden keresztmetszetén azonos mennyiségű gáz áramlik át. Kérdés, mekkora a keresztmetszeten időegységenként áthaladó energia. Feltételeink értelmében a cső minden keresztmetszetén ugyanannyi energia folyik át, minthogy a csőben sehol sem torlódik össze energia. Képzeljünk a csőbe egy dugattyút, amely abba súrlódásmentesen mozog. Ha a dugattyú ugyanazzal a sebességgel mozog, mint maga az áramló közeg, akkor ez a dugattyútól balra eső keresztmetszetekben pl. az 1 keresztmetszetben az áramlást nem változtatja. Egyszerűség kedvéért tegyük még fel, hogy a dugattyútól jobbra tökéletes vákuum van. 3.15.ábra Ha a cső, illetve a dugattyú keresztmetszete " A " és a felületegységre ható nyomás " p " , akkor ahhoz, hogy a dugattyú ne gyorsuljon, a dugattyúra a dugattyúrúd közvetítésével
F = p⋅ A erőt kell kifejteni. Az " A " keresztmetszeten egységnyi idő alatt átlépő közeg energiája megfelel a 2 és 2' keresztmetszet között tárolt energiának. Ez a belső energia és a sebességi energia összege. Az időegység alatt átáramló és így a 2 és 2' keresztmetszet között tárolt " m " tömegű közeg belső és sebességi energiájának összege . - 33 -
c2 & ⋅u + . m 2g Ezen kívül azonban az időegység alatt a dugattyú a F ⋅ c = p ⋅ A ⋅ c = pV& mechanikai munkát is átviszi . Így a keresett hőenergia összesen:
c2 & Q = m ⋅ u + + p ⋅ V& . 2g Mivel:
& ⋅v V& =& m
c2 Q = m⋅ u + + p ⋅ v . 2g .
A keresztmetszeten az időegység alatt átáramló energia tehát három részből tevődik öszsze. Ezek közül az első kettő a közeg belső energiája és kinetikai energiája. Mindkét fajta energia a közeghez van kötve és vele együtt áramlik a csőben. A harmadik tag az a mechanikai munka, amelyet a közeg "p" nyomás hatására visz át a csövön. Ezt a munkát nem az átáramló közeg energiájából kapjuk, ezt a közeg átáramlása csak átviszi hasonlóan ahhoz, ahogy egy szíjhajtás vagy egy tengely mechanikai munkát átvisz. Ez az áttolási munka. Az első és utolsó tag összegét, mivel az igen gyakran előfordul, külön fogalomként szokás kezelni és entalpiának / i / nevezik, így J i = u + p⋅v . kg Minthogy "u" csak az állapotjelzők függvénye, "p" és "v" pedig állapotjelzők, "i" is csak az állapotjelzőktől függ, tehát a gáz állapotával egyértelműen adott. Ezt a fogalmat régebben hőtartalomnak nevezték, mivel ezen elnevezés félreértésre adott okot, újabban inkább entalpiának nevezik. Így a keresztmetszeten az időegység alatt átlépő energia az entalpia használatával
c2 & & ⋅ Q=m + i , 2g azaz a csővezetéken az időegység alatt átáramló energia egyenlő a kinetikai energia és az entalpia összegével. Ha az áramló közeg sebessége kicsi / c = 40 m/s /, akkor az entalpiához képest a sebességi energia elhanyagolható, s így az energia
Q = m⋅ i = I . Az entalpia, mint azt az értelmezésből is látni lehet, kifejezhető állapotjelzőkkel, s így maga is állapotjelző. Páronként két-két állapotjelzővel kifejezve: - 34 -
i = f1 /p,v / ;
i = f2 /p,T / ;
i = f3 /T,v /
összefüggésekkel írhatók fel az ide vonatkozó hő / kalorikus / állapotegyenletek. Egységnyi tömegű gáz esetén a fajlagos entalpia;
i = u+ p⋅v illetve differenciálási alakban di = du + d Állandó nyomás esetén:
,
⋅ /pv/ .
di = du + p ⋅ dv , ami a közölt elemi hővel egyenlő di = dq = cv ⋅ dT + p ⋅ dv . Az általános gáztörvény értelmében írható: illetve
di = / cv + R / di = cp
⋅ dT
,
⋅ dT .
E szerint a gázok fajlagos entalpiáján azt a hőmennyiséget értjük, amelyet az egységnyi tömegű gázzal állandó nyomáson közölni kell ahhoz, hogy hőmérséklete 0 oC-ről t oC-ra emelkedjék, mivel az entalpia értékét - megállapodás szerint - 0 oC hőmérsékleten nullának tekintjük. Az entalpia abszolút mennyisége ebben az esetben sem lényeges, csupán a két gázállapot közötti entalpia-különbség a fontos. 3.2.5.5.
A hőerőgépekben hasznosítható technikai munka
A gáz egyszeri kiterjedésekor külső munkát végez. A gyakorlat számára ez még nem hasznosítható, mivel ott folyamatosan szolgáltatott munkára van szükségünk. A gyakorlatban hasznosítható un. technikai munka feltétele, hogy a munkavégzés megszakítás nélkül egymás után sokszor ismétlődjék, pl. belsőégésű motorok, gázturbinák, stb. a munkavégzéshez szükséges közeget minden ismétlődés előtt be kell tölteni a gép hengerébe, majd a folyamat végén abból el kell távolítani. A technikai munka fogalmának megértésére vizsgáljuk meg az alábbi 3.16. ábrán megadott gázturbina energia-mérlegét. A 3.16. ábrán megadott vázlatos elrendezés szerint a " p1 " nyomású gáz felül áramlik a hőerőgépbe, a munkát végzett "p2" nyomású gáz pedig alul ömlik ki a gépből. Az áramló gáz kinetikai energiáját elhanyagolhatjuk. A gáz mint energiahordozó közvetítőközeg szerepel, a környezet és közte hőkicserélődés nincs. A gép tengelyén levett munka az átáramló közvetítő-közeg 1kg tömegére vonatkoztatva " w " . Ez a gázmennyiség a beömlő csőben "s1", a kiömlő csőben " s2 " szakaszon foglal helyet / v1, v2 / . A beömlő csőben a közeg külső vagy térfogati munkája, amit a gépbe bevezetünk:
- 35 -
p1 ⋅ A1 ⋅ s1 = p1 ⋅ v1 . 3.16.ábra A kiömlő csőben a környezet nyomásával szemben végzett külső munkája, amit a gépből elvezetünk: p2 ⋅ A2 ⋅ s2 = p2 ⋅ v2 . Az egész gép, mint rendszer, energia-egyensúlyát kifejező egyenlete:
u1 + p1 ⋅ v1 − wtech − u2 − p2 ⋅ v2 = 0 , vagy illetve
wtech = (u1 + p1 ⋅ v1) −(u2 + p2 ⋅ v2 ) ,
wtech = i1 − i2 .
Tehát a technikai munka egyenlő a hőerőgépen átáramló közeg entalpia-változásával. A hőerőgépben végzett külső- vagy térfogat-változási munka végzése alatt a közeggel hőközlés nem történik, illetve a közegtől hőt nem vonunk el. Ez a megállapítás jellemző a hőerőgépekben lejátszódó munkafolyamatokra. Fontos megjegyezni, hogy a hőerőgépekben lejátszódó munkafolyamatokra kizárólag a bejutó közeg entalpiájának rovására mennek végbe. A végzett technikai munka - mint említettük - a bejutó közeg entalpiájának és a beömlő közeg entalpiájának különbségével egyenlő. Az 1kg tömegű közeg entalpiáját az előbbiek szerint az
i = u + p⋅ v összefüggés adja, mely magában foglalja a belső energiát és a térfogatváltozás munkáját. Ha az egyenletet differenciáljuk, akkor kapjuk, hogy
di = du + p⋅ dv + v ⋅ dp . Mivel azért írhatjuk, hogy
dq = du + p ⋅ dv ,
di = dq + v ⋅ dp .
- 36 -
Ebből
dq = di − v ⋅ dp .
Az általános energia-egyenlet mindkét alakját integrálva kapjuk: 2
q12 = u2 − u1 + ∫ p ⋅ dv , 1
2
q12 = i2 − i1 − ∫ v ⋅ dp . 1
Az első egyenletben nyugvó gázzal van dolgunk, amely a p ⋅ dv munkát a belső energiából fedezi. Ha hőközlés nincs, e munka a belső energiából fedeződik, tehát a gáz belső energiája csökken. A második esetben a munkavégzés a gyakorlati viszonyok mellett folyik le, amikor a közvetítő közeget egy gépbe bevezetjük és munkavégzés után abból elvezetjük. A keletkezett munka a közeg entalpiájának csökkenése révén jön létre. A két esetet úgy is lehet jellemezni, hogy külső munka esetére a térfogatváltozás, a technikai munkánál pedig a nyomásváltozás jellemző. Ez leolvasható az integráljel utáni kifejezésekből is. 3.2.6. Ideális gázok egyszerű állapotváltozásai Valamely gáz állapotát, amelyet a p, v és T állapotjelzők meghatároznak, megváltoztathatjuk a következő eszközökkel: - hőátadással vagy hőelvonással, illetve - mechanikai munka felhasználásával vagy nyerésével. A különböző, egyértelműen definiált állapotváltozások tárgyalása során a következő öszszefüggéseket értelmezzük: - a térfogat, a nyomás, a hőmérséklet változása, - az átadott, illetve elvont hőmennyiségek, - felhasznált, illetve nyert munka. Számításaik során: 1 2
- a kezdőállapotot, - a végállapotot jelenti.
Az átadott /közölt / hőt pozitív előjelűnek, a rendszerből elvont /leadott / hőt pedig negatív előjelűnek tekintjük. Az előzőekben már megismert gáztörvények lehetőséget adnak arra, hogy a gáz adott állapotváltozásának kezdő- és végállapotához tartozó állapotjelzőit meghatározhassuk. Nem adnak azonban utalást arra vonatkozóan, hogy állapotváltozás alatt a folyamatot végig követhessük. Tudomásul kell vennünk azt is, hogy a gáztörvények nem tesznek különbséget az érdekelt állapotváltozás irányát illetőleg. Ez azt jelenti, hogy gáztörvények az
- 37 -
állapotváltozás megfordíthatóságát feltételezik. E feltétel a gyakorlatban nem elégíthető ki, aminek indoklását a későbbiekben részletesen ismertetjük. Mivel a gyakorlati folyamatok nem megfordíthatók, ezért azok matematikai összefüggésekkel nem határozhatók meg. Ugyanakkor meg kell állapítanunk, hogy a műszaki gyakorlat igényli a folyamatok, vagy e folyamatokat megközelítő folyamatok matematikai követését. Ezért vizsgálatait a megfordítható folyamatokra végzi el matematikailag, s az így nyert eredményeket gyakorlati mérésekből megállapított tapasztalati tényezőkkel korrigálja. A tárgyalandó állapotváltozásokat az alábbiak szerint csoportosítjuk: - izochor állapotváltozás / V = állandó / , - izobár állapotváltozás / p = állandó / , - izotermikus állapotváltozás / T = állandó / , - adiabatikus állapotváltozás / dq = 0 / , - politropikus állapotváltozás. Az utóbbi állapotváltozás a legáltalánosabb, amely magában foglalja a többi állapotváltozást s azok matematikai összefüggéseit is. 3.2.6.1.
Izochor állapotváltozás
Izochor állapotváltozásnak a gáz állapotának olyan megváltozását nevezzük, amely esetben annak térfogata változatlan marad / V = áll. / . Ez az állapotváltozás csak állandó térfogatú, zárt térben hővezetés vagy hőelvonás közben mehet végbe. A v = állandó feltételből következik, hogy az izochor állapotváltozást / p-v / diagrammban egy függőleges egyenesen ábrázolja, mégpedig / 3.17. ábra / alulról fölfelé a hevítést / hőbevezetést / , felülről-lefelé pedig a lehűlést / hőelvonást /. Mivel a folyamat során térfogatváltozás, és így külső munkavégzés nincs, a bevezetett, illetve elvont hőmennyiség teljes egészében a belső energiát módosítja, azaz: dq = cv ⋅ dT + p ⋅ dv . Minthogy v = áll., így
dv = 0,
w = 0,.
dq = cv ⋅ dT
3.17.ábra Az egyenlet 1 és 2 határok között integrálva: q12 = c v ⋅ (T2 − T1 ) = u2 − u1
J kg
illetve
Q12 = m ⋅ c v ⋅ (T2 − T1 ) = U 2 − U1 J. A hőfok és a nyomás közötti összefüggést a gáz 1 kezdő- és 2 végállapotára vonatkozó állapotegyenletből lehet meghatározni és mint korábban láttuk kapjuk Gay-Lussac II. törvényét. - 38 -
p = á llandó T
Az egyenletből az következik, hogy izochor állapotváltozás esetén a gáz nyomásai és abszolút hőmérsékletei egyenesen arányosak. 3.2.6.2.
Izobár állapotváltozás
Izobár állapotváltozásnak a gáz állapotának olyan megváltozását nevezzük, amely esetben annak nyomása állandó marad / p = áll. / .Ezen állapotváltozás során a gáznak állandó nyomáson adunk hőt, illetve vonunk el tőle. Ez egy dugattyús gép hengerében játszódhat le olyan esetekben, amikor a dugattyú elmozdulása közben a gáz nyomása változatlan marad. Izobár állapotváltozás megy végbe a tüzelőanyag elégetésénél és gyakran olyan berendezésekben is, amelyekben hőközlés vagy hőelvonás folyamán a gáz p = állandó nyomással áramlik egy hőcserélőn keresztül. Az állandó nyomáson lezajló állapotváltozást a p-v diagrammon 1-2 vízszintes vonal jellemzi /3.18. ábra/ , amelynek - 1 kezdőpontjában az állapotjelzők: p , v1 , T1 ; - 2 végső pontjában pedig: p , v2 , T2 . A gázzal közölt elemi hőmennyiség az első főtétel szerint:
dq = cv ⋅ dT + p ⋅ dv . 3.18.ábra A második tagot, azaz a gáz elemi terjeszkedési munkáját az általános állapotegyenletek differenciáltjaiból is kifejezhetjük:
p⋅ v = R⋅T , illetve
p ⋅ dV + v ⋅ dp = R ⋅ dT .
Mivel p = áll.,
így dp = 0,
s ekkor
p ⋅ dv = R ⋅ dT .
- 39 -
Ezt az értéket a kiindulási egyenletbe behelyettesítve, majd a dT -t kiemelve írhatjuk:
dq = cv ⋅ dT + R⋅ dT ,
dq = (cv + R) ⋅ dT .
A Mayer-féle egyenlet szerint
cv + R = c p .
Így a kiindulási egyenletünk egyszerűbb alakja:
dq = c p ⋅ dT . A kapott összefüggést 1-2 határok között integrálva: T2
d12 = c p ⋅ ∫ dT . T1
q12 = c p ⋅ (T2 − T1 ) Q12 = m ⋅ c p ⋅ (T2 − T1 )
illetve
J , kg J ,
vagyis a hőközlés folytán a gáz hőfoka T1 -ről T2 -re növekszik, míg hőelvonás esetében a hőmérséklet csökken. Az izobár állapotváltozáskor a gáz a külső határoló közeg " p " nyomása ellen külső munkát végez, mert nyomása a hőközlés közben csak úgy maradhat állandó értéken, ha a térfogat v1 -ről v2 -re növekszik. A külső munka megállapítására ugyancsak az általános energia-egyenletből indulunk ki: dq = cv ⋅ dT + p ⋅ dv , amit a megfelelő határok között integrálva: T2
v2
T1
v1
q12 = cv ⋅ ∫ dT + p ⋅ ∫ dv , az integrálást elvégezve kapjuk, hogy
q12 = cv ⋅ (T2 − T1) + p⋅ ( v2 − v1) , illetve
q12 = u2 − u1 + p ⋅ ( v2 − v1) .
Tehát izobár állapotváltozáskor a közölt hő egy része növeli a gáz belső energiáját, másik része pedig külső munkát eredményez. Az utóbbi egyenletből a végzett külső munka: J w12 = p ⋅ ( v2 − v1 ) . kg
- 40 -
A kezdő- és a végállapot fajtérfogatát az általános állapotegyenletekből kifejezve kapjuk, hogy
v1 =
R ⋅ T1 , p
illetve
v2 =
R ⋅ T2 p
.
A fajtérfogatok helyettesítése után a végzett külső munka:
w12 = R ⋅ (T2 − T1 )
J . kg
A munkává alakult hő és a bevezetett hő w12 / q12 aránya az általános hőegyenletből számítható a következők szerint:
q12 = c v ⋅ (T2 − T1 ) + w12 , illetve
q12 = c p ⋅ (T2 − T1 ) .
A két összefüggést egymással egyenlővé tehetjük: c v ⋅ (T2 − T1 ) + w12 = c p ⋅ (T2 − T1 ) .
Ebből:
(
)
w12 = c p − cv ⋅ (T2 − T1 ) .
A munkává alakult és a bevezetett hő aránya:
(
)
w12 c p − cv ⋅ (T2 − T1 ) c p − cv c = = = 1− v q12 c p ⋅ (T2 − T1 ) cp cp Tehát ebből a levegőnél és a kétatomos gázoknál a hőnek
w12 14 . −1 = = 0.286 = 28.6 % -a 14 . q12 alakul át munkává, míg 71.4 %-a a belső energia növelésére fordítódik. A hőfok és a fajtérfogat közötti összefüggést a gáz 1 kezdő- és 2 végállapotára vonatkozó állapotegyenletből lehet meghatározni, azaz (Gay-Lussac I. törvénye):
V = á llandó . T
- 41 -
3.2.6.3.
Izotermikus állapotváltozás
Ha a gázzal hőt közlünk, vagy vonunk el úgy, hogy az állapotváltozás folyamán a hőmérséklet állandó marad, akkor a gáz belső energiája is változatlan marad. Az ilyen jellegű állapotváltozást izotermikus állapotváltozásnak nevezzük. Tehát ezen állapotváltozásnál a hőközlés esetén a bevezetett összes hő külső munkává alakul. Írjuk fel az általános gázenergia - egyenletet 1kg gázra:
dq = cv ⋅ dT + p ⋅ dv . Mivel T = állandó, úgy dT = 0 , így dq = pdv = dw . Az izotermikus állapotváltozás alatt, tehát a külső munkával egyenértékű hőmennyiséget kell közölni a gázzal. Magától értetődő, hogy ha izotermikusan munkát közlünk a gázzal, azaz a gázt komprimáljuk, úgy a kívülről közölt munkának megfelelő hőmennyiséget kell a gáztól elvonni, mivel csak így maradhat a hőmérséklet állandó. A külső munka nagyságának megállapításához induljunk ki az utóbb már felírt dw = pdw összefüggésből. Ahhoz, hogy a fenti egyenletet megoldhassuk, a p-t ki kell fejeznünk a v függvényében. Ezt legegyszerűbben az általános állapotegyenletből tudjuk kifejezni: R⋅T p ⋅ v = R ⋅ T ebből , p= v amit az előző összefüggésbe behelyettesítve
dw = R ⋅ T ⋅
dv v
összefüggést nyerjük. Ha az egyenlet két oldalát azonos határok között integráljuk, akkor v2 d ⋅v w12 = R ⋅ T ⋅ ∫ , v v1 tehát a fajlagos térfogati munka: w12 = R ⋅ T ⋅ ln⋅
v2 v1
J . kg
A külső munka pozitív, ha a térfogat-növekedéssel jár együtt / expanzió / és negatív akkor, ha az térfogatcsökkenés / kompresszió / eredményeként jelentkezik. Az általános állapotegyenlet
p1 ⋅ v1 = R ⋅ T
és a Boyle-Mariotte törvény - 42 -
v 2 p1 = v1 p 2
bekapcsolásával a fajlagos térfogati munka újabb két alakja írható még fel: w12 = p1 ⋅ v ⋅ ln
p1 p2
J , kg
illetve p1 J . kg p2 Ha az izotermikus állapotváltozást ábrázoljuk a p-v diagrammban, akkor a görbe, amit izotermának hívunk, egy egyenlőszárú hiperbola lesz / 3.19. ábra /. w12 = R ⋅ T ⋅ ln
a,
b, 3.19.ábra
A fajlagos térfogati munkát a p-v diagrammban az 1-2 függvényvonal alatti terület adja. Mivel a függvényvonal egyenlő szárú hiperbola / 3.19.a ábra / , ezért az 1-2 pontok által jellemzett görbének az abcissza tengellyel határolt 1 -2 -v2 -v1 -1 területe egyenlő a görbének az ordináta tengellyel határolt 1 - 2 - p2 -p1 -1 területével / 3.19.b ábra /. Ezek szerint izotermikus állapotváltozás esetén a külső munka / p ⋅ dv / egyenlő a technikai munkával / v ⋅ dp / . A gyakorlat számára folytonosan csak izotermikus állapotváltozással hasznosítható munkát nem kaphatunk, mivel a közeget a végállapotból vissza kell vinni a kiindulási állapotba, ezért amennyi munkát nyernénk az izotermikus expanzió révén, elméletileg ugyanennyi munkát kellene az izotermikus sűrítésre felhasználni.
- 43 -
3.2.6.4.
Adiabatikus állapotváltozás
Az adiabatikus állapotváltozást az jellemzi, hogy a gázzal hőt nem közlünk, illetőleg attól hőt nem vonunk el, vagyis az állapotváltozás hőcsere nélkül megy végbe.
a)
Az állapotjelzők közötti összefüggés
Vizsgáljuk meg az állapotváltozást az első főtétel általános energia-egyenletéből kiindulva:
dq = c v dT + pdv . Mivel az állapotváltozás hőcsere nélkül megy végbe q = állandó , így
tehát
dq = 0 ,
c v dT + pdv = 0.
Az általános állapotegyenletből és a Mayer-féle egyenlet bekapcsolásával írhatjuk
p=
R ⋅ T c v (κ − 1) ⋅ T = , v v
amivel
dvT =0 v A fenti egyenlet tovább alakítva az alábbi összefüggést eredményezi: c v dT + c v (κ − 1) ⋅
dv dT cv + (κ − 1) = 0 . v T A fenti kifejezésben cv ≠ 0, tehát csak a szögletes zárójelben lévő tag lehet egyenlő 0-val, azaz dT dv + (κ − 1) = 0. T v Az utóbbi kifejezést integrálva kapjuk
ln T + (κ − 1) ⋅ ln v = ln C A kapott összefüggést az alábbi alakba célszerű átírni: ln T + ln v κ −1 = ln C ,
illetve
ln T ⋅ v κ −1 = ln C , ahol C az integrális állandó, és ahonnan
Tv κ −1 = állandó ami adiabatikus állapotváltozás esetén a hőmérséklet és térfogat közötti összefüggést adja. - 44 -
A nyomás és a térfogat közötti összefüggés megállapításához kapcsoljuk be az általános állapotegyenletet:
p ⋅ v = RT , amiből
pv . R E hőmérsékleti értéket az előző összefüggésbe behelyettesítve kapjuk T=
p ⋅ v κ −1 ⋅v = állandó R Ezt rendezve
p ⋅ v κ = állandó ami adiabatikus állapotváltozás során a nyomás és térfogat közötti összefüggést adja. Hasonló meggondolásokkal ugyanilyen egyszerű módon levezethető a hőmérséklet és a nyomás közötti összefüggés is: 1−κ
T⋅p
κ
= állandó
A könnyebb áttekinthetőség kedvéért az állapotjelzők közötti három összefüggést megismételjük.
p ⋅ v κ = állandó T ⋅ v κ −1 = állandó 1−κ
T ⋅ p κ = állandó Ezeket az egyenleteket Poisson -egyenleteknek nevezzük.
b)
A külső munka meghatározása / w /
Az állapotváltozás alatt a külső munka meghatározásához ugyancsak az általános gázenergia egyenletéből indulunk ki, figyelembe véve az állapotváltozás alapfeltételét, dq = du + dw = 0. Ebből dw = − du. A belső energia behelyettesítésével dw = − c v dT . Mindkét oldalt integrálva w12 = − c v ⋅ (T2 − T1 ) illetve w12 = c v ⋅ (T1 − T2 ) = u1 − u2 .
- 45 -
Mint látható, itt a munkát a hőmérséklettel, mint állapotjelzővel fejeztük ki. A kapott kifejezésből megállapítható, hogy a munka pozitív, vagyis a gáz adiabatikusan terjed, és a hő foka csökken, továbbá a terjeszkedéskor végzett munkát teljes egészében a gáz belső energiájának változásából kapjuk. Az adiabatikus összenyomáskor a munka negatív, a gáz hőfoka melegszik, mert az öszszenyomásra fordított munka teljes egészében hővé alakulva marad a gázban, a belső energiája tehát növekszik. Mivel az adiabatikus állapotváltozásnál nem csak a hőmérséklet, hanem a nyomás is és a térfogat is változik, ezért a külső munkát e két állapotjelzővel is kifejezhetjük. A külső munka összefüggésében szereplő cv fajhőt a Mayer-egyenlet bevonásával az alábbi módon is kifejezhetjük: c p − c v = R, illetve
c v ⋅ (κ − 1) = R.
Ebből
1 ⋅ R. κ −1 Így a gáz adiabatikus terjeszkedésekor /expanziójakor / végzett külső munka 1 w12 = ⋅ R ⋅ (T1 − T2 ).. κ −1 Emeljük ki az alapegyenlet jobb oldalából a T1 -et: T 1 ⋅ R ⋅ T1 ⋅ 1 − 2 . w12 = κ −1 T1 Mivel az alsó és felső hőmérséklet arányát a Poisson -egyenletekből a fajtérfogatok és nyomások arányával is kifejezhetjük cv =
κ −1
κ −1
T2 v1 T2 p2 κ = illetve = T1 v 2 T1 p1 ezért a külső munkát az alábbi összefüggésekből is meghatározhatjuk: v κ −1 1 ⋅ R ⋅ T1 ⋅ 1 − 1 , w12 = κ −1 v 2 illetve κ −1 κ p 1 ⋅ R ⋅ T1 ⋅ 1 − 2 . w12 = κ −1 p1
Mivel az adiabatikus kompresszió munkája negatív, azért a kompressziónál mechanikai munkát az alábbi összefüggésből számítunk:
w12 =
κ −1 κ
p 1 ⋅ R ⋅ T1 ⋅ 2 κ −1 p1
− 1.
A kezdő állapotra felírt általános állapotegyenlet - 46 -
p1 ⋅ v1 = R ⋅ T1 alapján a gáz adiabatikus expanziójának és kompressziójának munkája, - expanzió munkája: κ −1 κ p J 1 , ⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ 1 − 2 w12 = kg κ −1 p1 - kompresszió munkája: w12
c)
κ −1 p2 κ 1 = ⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ − 1 κ −1 p 1
J . kg
Technikai munka meghatározása / wtech /
Az előzőek alapján a technikai munka az entalpia különbséggel írható fel: dwtech = di = v ⋅ dp, amit a megfelelő határok között integrálva 1
wtech = ∫ di = i1 − i2 , 2
illetve
wtech = i1 − i2 = c p ⋅ (T1 − T2 ).
Az utóbbi összefüggést R-rel szorozva és osztva írhatjuk cp wtech = ⋅ ( R ⋅ T1 − R ⋅ T2 ), R illetve cp wtech = ⋅ ( p1 ⋅ v1 − p2 ⋅ v 2 ). R Mayer-egyenletét figyelembe véve kapjuk
wtech =
κ
κ −1
⋅ ( p1 ⋅ v1 − p 2 ⋅ v 2 ),
illetve w12
κ −1 κ p = ⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ 1 − 2 κ −1 p1
κ
J . kg
Tehát a technikai munka κ - szorosa a külső munkának.
- 47 -
d ) Az adiabatikus expanzió és kompresszió lefolyásának vizsgálata p-v diagrammban
3.20.ábra Azonos kezdeti állapotnál és térfogat-változási határok / v1 ; v2 / esetében vizsgáljuk az izoterma és adiabata függvényvonalának lefolyását / 3.20.ábra / . - Adiabatikus állapotváltozáskor
p1 ⋅ v1κ = pad ⋅ v 2κ , ahonnan p1 = pad
v ⋅ 2 v1
κ
;
- Izotermikus állapotváltozáskor
p1 ⋅ v1 = piz ⋅ v 2, ahonnan
p1 = piz ⋅
v2 . v1
A p1 nyomásra kapott két összefüggést egymással egyenlővé téve írhatjuk κ
pad
v v ⋅ 2 = piz ⋅ 2 , v1 v1
ebből piz v 2 = pad v1
κ −1
〉1,
vagyis
piz 〉 pad .
- 48 -
Tehát a gáz expandálása közben /3.20.b ábra / izotermikus állapotváltozáskor a nyomás mindig nagyobb, mint adiabatikus állapotváltozáskor, ezért a gáz expanziós izotermája mindig az adiabata fölött van. Az expanzió végső hőfoka az adiabatikus folyamatnál kisebb, mint az izotermikus folyamatnál:
T2ad 〈T2iz , mert az adiabatikus állapotváltozásnál a munkavégzés a gáz belső energiájának rovására történik, míg az izotermikus folyamatnál a belső energia állandó. A gáz azonos kezdeti állapotból való kompressziója esetében a
v2 〈1 v1 tehát
piz 〈1, pad vagyis
pad 〉 piz . Ezek szerint az adiabatikus kompresszió függvényvonalának bármely pontjában a nyomás mindig nagyobb mint az izotermikus kompresszió megfelelő nyomása, tehát az adiabata a függvényábrában az izoterma felett van /3.20.a ábra / . Az adiabatikus kompressziónál a végső hőfok nagyobb, mint az izotermikusnál, azaz
T2ad 〉T2iz . A gáznak azonos térfogatra való összenyomásához szükséges munka adiabatikus kompressziónál nagyobb, mint izotermikus kompressziónál. Ez az oka, amiért a kompresszorokat hűtik, hogy megközelítsék az izotermikus kompressziót. 3.2.6.5.
Politropikus állapotváltozás
Az eddigi állapotváltozásokat úgy nyertük, hogy vagy a kívülről közölt hőmennyiségre, vagy az állapotjelzők valamelyikért vonatkozóan kikötéseket tettünk. Ha az állapotváltozás során, sem a hőközlésre, sem az állapotjelzők változásaira vonatkozólag megkötést nem teszünk, úgy a politropikus állapotváltozást nyerjük. A politropikus kifejezés úgyis értelmezhető, hogy az magában foglalja a már eddig megismert állapotváltozásokat. A politropikus állapotváltozásra a p ⋅ v n = állandó
egyenlet érvényes, ahol "n"-t a politropikus kitevőnek nevezzük.
- 49 -
A fenti összefüggés az eddig megismert állapotváltozásokat mind leírja, ha a hatványkitevő értékét megfelelően vesszük fel.
α ) Ha n = 1, akkor p ⋅ v = állandó alakú egyenletet kapjuk, amely az izoterma egyenlete.
β ) Ha
n = κ , akkor
p ⋅ v κ = állandó kifejezést nyerjük, amely az adiabata egyenletét adja meg.
χ ) Ha
n = 0, akkor
p ⋅ v 0 = p = állandó kifejezés az izobár állapotváltozást írja le.
δ ) Ha n → ∞ , akkor p ⋅ v n = állandó egyenlet mindkét oldalából n- edik gyököt vonva kapjuk: 1 pn
⋅ ν = állandó 1
Ha
1 → 0, és így p n → 1. n 0 p ⋅ v = v = állandó egyenletet nyerjük.
n → ∞ , akkor
Ekkor az alábbi
Tehát ha az "n " hatványkitevő értéke tart a végtelenhez, az általános kifejezés az izochor állapotváltozást írja le.
a)
A politropikus állapotváltozást követő hőcsere lehetséges esetei
A következőkben vizsgáljuk meg, hogy a különböző politropák milyen értelmű hőmennyiség hatására jönnek létre, illetőleg azok vonulása milyen hőmennyiséget igényel. Az állapotváltozás lehetséges esetei: - politropikus állapotváltozás adiabata felett, - politropikus állapotváltozás adiabata alatt. / Az adiabata feletti politropikus állapotváltozás a 3.21. ábrán követhetjük, ahol 1 jelű kezdőállapotból egy 3 pontig tartó kompressziót, illetőleg egy 4 ponthoz tartozó expanziót indítunk.
- 50 -
Az 1-3 politropa meredekebb, mint az adiabata, tehát n〉κ . Az 1-3 politropikus kompresszió létrehozható az 1-2 adiabatikus kompresszióból és a 2-3 izochor állapotváltozásból. Az adiabatikus állapotváltozás során hőcsere nincs, míg az izochor állapotváltozás hőbevezetés hatására jön létre. Mivel az 1-3 állapotváltozás az 1-2 és 2-3 összege, megállapíthatjuk, hogy n〉κ kitevőjű, politropikus kompresszió hőbevezetést igényel.
3.21.ábra Az 1-4 politropikus expanzió az ábrából láthatóan az 1-5 adiabatikus expanzió ás az 5-4 izochor állapotváltozás összegeként is előállítható. Itt is megállapíthatjuk, hogy az állapotváltozás hőközlés hatására jön létre. Mivel az 1-4 politropa laposabb mint az adiabata, tehát n〈κ esetén a politropikus 1-4 expanzió ugyancsak hőközlés hatására jöhet létre. Az adiabata alatti politropikus állapotváltozást a 3.22 ábrán követhetjük, ahol az 1 jelű kezdőállapotból egy 3 pontig tartó kompressziót, illetőleg egy 4 ponthoz tartozó expanziót indítunk. Az 1-3 politropa laposabb, mint az adiabata, tehát n〈κ , az előző megoldásokhoz hasonlóan megállapíthatjuk, hogy a politropikus kompresszió hőelvonást igényel. Az 1-4 politropameredekebb, mint az adiabata, tehát n〉κ , ami az előző meggondolások értelmében azt jelenti, hogy a politropikus expanzió is hőelvonást igényel. 3.22.ábra A grafikus úton nyert eredményünket összefoglalva leszögezhetjük: ha a politropa az adiabata felett jár, a politropikus folyamat hőbevezetést, - amennyiben pedig a politropa az adiabata alatt fut, a politropikus folyamat hőelvonást igényel. b)
Az állapotjelzők közötti összefüggések
A politropikus állapotváltozás alapegyenlete, melyből az állapotjelzők közötti összefüggések leszármaztathatók, a p ⋅ v n = állandó . Ez az összefüggés adiabata egyenletéből csak a kitevőben különbözik. Ez az eltérés a matematikai jelölések szempontjából nem jelent elvi különbséget, így az adiabatikus állapotváltozásra megállapított összefüggések a jelölések értelemszerű módosításával átvihetők. Tehát a politropikus állapotváltozásra is az adiabatikus állapotváltozás Poisson -
- 51 -
egyenleteihez hasonló összefüggések állapíthatók meg, amelyekben κ n" értékkel számolnak, vagyis
értéke helyett "
T ⋅ v n −1 = állandó ,
illetve
1− n T⋅p n =
állandó .
c ) A politropikus állapotváltozás folyamán közölt, illetve elvont hő meghatározása A politropikus állapotváltozás folyamán közölt hő meghatározása céljából írjuk fel az első főtételt:
q12 = u2 − u1 + w12 . A belső energia változása, ha a cv fajhőt állandónak tekintjük
u2 − u1 = c v ⋅ (T2 − T1 ). A külső munka meghatározásánál az adiabatikus állapotváltozásra felírt egyenletből indulunk ki, a κ helyére " n " -et írva
1 ⋅ ( p1 ⋅ v1 − p 2 ⋅ v 2 ), n −1
w12 = illetve
R ⋅ (T1 − T2 ). n −1 Helyettesítsük be a belső energiára és a külső munkára kapott összefüggéseket az első főtétel alapkifejezésébe : R q1,2 = c v ⋅ (T2 − T1 ) + ⋅ (T2 − T1 ) , n −1 illetve R q1,2 = c v ⋅ (T2 − T1 ) − ⋅ (T2 − T1 ) . n −1 w12 =
A hőfokkülönbséget kiemelve kapjuk : , ahol az első zárójeles tényezőt a politropikus állapotváltozás fajhőjének nevezzük és általában cn -nel jelöljük, azaz
cn = cv −
R . n −1
A Mayer-egyenletet figyelembe véve a fenti összefüggést az alábbi alakba is ír- hatjuk : - 52 -
cn = cv ⋅
n ⋅ (κ − 1) n −1
,
majd a kijelölt műveleteket elvégezve a politropikus fajhőnek a gyakorlatban használt kifejezését nyerjük :
cn = cv ⋅
n −κ n −1
J/kg·K , Tehát politropikus állapotváltozásnál 1 kg gázzal cn hőt kell közölni ahhoz, hogy a hőmérséklete 1 K-nel emelkedjék. A politropikus állapotváltozáskor a fajhő mindaddig állandó, amíg cv és ℵ értékei állandók. Az 1-2 állapotváltozás közben közölt hő értéke tehát
q1,2 = c v ⋅
n −κ ⋅ (T2 − T1 ) n −1
illetve
Q1,2 = m ⋅ c v ⋅
J/kg .
n −κ ⋅ (T2 − T1 ) n −1
g J.
A politropikus fajhő fenti kifejezése magában foglalja a másik négy állapotváltozás fajhőjére nyert eredményeket is. Állításunkat az alábbiakban bizonyítjuk : α , Izochor állapotváltozás fajhője : Mivel R R →0 , cn = cv − és n → ∞ , így n −1 n −1 ezért cn = cv − 0 = cv . β , Izobár állapotváltozás fajhője :
P =állandó;
cn = cv −
n=0
R R = cv − = cv + R = c p n −1 −1
.
γ , Izotermikus állapotváltozás fajhője :
T =állandó;
cn = cv −
n=0
R R = cv − = cn = cv − ∞ n −1 0
.
Izotermikus állapotváltozásnál tehát a fajhő fogalma nincs értelmezve. - 53 -
δ , Adiabatikus állapotváltozás fajhője :
q =állandó; n=κ
cn = cv −
c (κ − 1) R = cv − v n −1 κ −1
cn=0
Tehát a fajhő fogalma itt sincs értelmezve. Ez is logikus, hiszen adiabatikus állapotváltozás során a gáz hőmérséklete hőközlés (hőelvonás) nélkül is változik.
d ) A politropikus állapotváltozás munkája : Az adiabatikus állapotváltozás munkájánál abból indultunk ki, hogy a folyamat hőcsere nélkül jön létre. Ez a kikötés a politropikus állapotváltozásnál már nem igaz. A két folyamat affinitása következtében ez a különbség a végeredményekben már eltűnik, ezért az átjelölés módszerét itt is alkalmazhatjuk. Így az adiabatikus állapotváltozásnál megadott egyenletek használhatók, csupán a ℵ helyett n-nel kell számolni. - A politropikus kompresszió munkaszükséglete (külső munka) :
W1,2 komp
n −1 n p 1 2 − 1 = ⋅ p1 v1 ⋅ n −1 v2
J/kg .
- A politropikus expanziónál nyert munka (külső munka) :
W1,2 exp
n −1 n p 1 2 = ⋅ p1 v1 ⋅ 1 − n −1 p1
J/kg . Az expanziónál nyert munkát meghatározhatjuk oly módon is, hogy a közeghez bevezetett hőből kivonjuk a közeg belső energiájának növeléséhez szükséges hőmennyiséget :
W1,2 exp = q1,2 − c v ⋅ (T2 − T1 ) . A politropikus expanzió során a közeggel közlendő hő :
q1,2 = c v
n −κ ⋅ (T2 − T1 ) . n −1
Így a politropikus expanzió folyamán nyerhető külső munkára - a (T1-T2) hőfokkülönbséget kiemelve - írhatjuk :
- 54 -
W1,2 exp = ( c v
n −κ − c v ) ⋅ (T2 − T1 ) , n −1
illetve
W1,2 exp = c v
−κ + 1 ⋅ (T2 − T1 ) n −1
ebből:
W1,2 exp = c v
κ −1 n −1
,
⋅ (T1 − T2 )
J/kg .
-A politropikus kompresszió esetén egy munkamenet teljes munkája (technikai munka) : n −1 p2 n n J/kg . − 1 W1,2 komp.tech = p1 v1 ⋅ n −1 p1 -A politropikus expanzió esetén egy munkamenet teljes munkája (technikai munka) :
W1,2 exp.tech
p n = p1 v1 ⋅ 1 − 2 p1 n −1
n −1 n
J/kg .
A külső és a technikai munkára felírt összefüggésekből kitűnik, hogy a technikai munka és a külső munka viszonya :
Wtech = n , ahol W „n” a politropikus állapotváltozás kitevője. Ezek szerint a technikai munka a külső munka n-szerese.
e ) A politropikus állapotváltozás kitevője (n) : A politropikus görbe n kitevője általában egy és ℵ közé esik : 1
3.23.ábra Ha a p1v1 n = p2 v 2 n egyenlőség logaritmusát képezzük, akkor
ln p1 + n ⋅ ln V1 = ln p2 + n ⋅ ln V2 , amelyből az n kitevő már meghatározható :
n=
ln p1 − ln p2 ln V2 − ln V1
.
Ennek a módszernek a számítás egyszerűsége mellett még az is az előnye, hogy azonnal megállapíthatjuk belőle azt is, hogy az n kitevő változik-e a szóban forgó állapotváltozás folyamán. A logaritmikus diagram-papír használata az eljárást még egyszerűbbé teszi. 3.2.7. Munkafolyamatok : A külső munka tárgyalásánál láttuk, hogy a munkanyerés a hengerben levő gáz térfogatnövekedésével és valamilyen dugattyú egyirányú mozgásával függ össze. Ez a mozgás természetesen nem lehet végtelen, azaz kell legyen olyan pillanat, amikor a dugattyú szélső helyzetébe kerül és a gáz terjeszkedési folyamata befejeződik. A gáz ekkor végzett munkája a külső muna. Később láttuk azt is, hogy a külső munka a gyakorlati életben nem hasznosítható ebben a formájában. A hasznosítható, technikai munka feltétele az volt, hogy a gáz terjeszkedési folyamata periodikusan ismétlődjék, a gáz folyamatosan szolgáltasson munkát. Ehhez szükséges, hogy a dugattyú szélső helyzetéből valamilyen járulékos sűrítési folyamata elvégzése közben visszakerüljön kiindulási helyzetébe úgy, hogy a gáz is kezdeti állapotába jusson. A technikai munkát szolgáltató folyamatnak tehát - periodikusan ismétlődnie kell, és - a sűrítés lefolyása nem történhet ugyanazon úton, mint a terjeszkedés.
- 56 -
A munkafolyamat legáltalánosabb lefolyását a 3.24.ábra szemlélteti, mely szerint a munkafolyamat az állapotváltozások olyan sorozata, ahol a gáz (munkaközeg) a munkafolyamat elvégzése után kezdeti állapotába jut vissza. 3.2.7.1.
Munkafolyamatok és azok megfordíthatósága A munkafolyamatokat aszerint különböztetjük meg, hogy azokat a p-v diagramban ábrázolva, a sűrítés , illetve terjeszkedés vonalának milyen a kölcsönös helyzete. Ha a terjeszkedés vonala a sűrítés vonala felett halad, a munkafolyamat iránya megegyezik az óramutató járásával és ekkor egyenes vagy pozitív munkafolyamatról (3.24.ábra) beszélünk. Ilyen esetben a terjeszkedés munkáját A-m-f-e-A terület, a sűrítés munkáját pedig B-f-e-A-n-B terület adja.
3.24.ábra A tanultak alapján belátható, hogy a munkafolyamat végén hasznosítható munka áll rendelkezésre. Éppen ezért a pozitív munkafolyamatot munkatermelőnek is szokták nevezni. Ha a terjeszkedés vonala a sűrítés vonala alatt halad (3.25.ábra), akkor a munkafolyamat iránya az óramutató járásával ellentétes és ez esetben fordított vagy negatív munkafolyamatról beszélünk. A munkaterülettel kapcsolatos előbbi meggondolás alapján belátható, hogy a munkafolyamat végén negatív munka adódik, tehát annak fenntartása mechanikai munkát igényel. 3.25.ábra Minthogy a munkafolyamat állapotváltozások sorozata, szükséges, hogy egy részében hőt közöljünk a munkaközeggel, hogy belőle munkát nyerjünk, a másik részében pedig hőt kell belőle elvonnunk, hogy ezzel a közeget kiindulási állapotába vezessük vissza. Annak érdekében, hogy a körfolyamat e két részét egymástól elválaszthassuk, érintőlegesen húzunk a munkafolyamatot körülhatároló vonalhoz két adiabatát (3.24.ábra). Az érintési pontokban (n,m) a munkafolyamatot határoló görbe vonal hajlásszöge megegyezik az adiabatával, ezért ezeken a helyeken hőcsere nincs. A többi helyeken viszont mindenütt van hőcsere, aszerint, hogy az adiabatákhoz, illetve az m, n pontokhoz képest e szakasz hol helyezkedik el.
- 57 -
Az adiabaták és politropák kölcsönös helyzetét a hőcsere szempontjából az előzőekben megismertük és ennek alapján belátható, hogy az n-A-m szakaszon hőbevezetésnek (q1) és az m-B-n szakaszon hőelvonásnak (q2) kell történnie. Az adiabaták helyzetéből kiolvasható, hogy a q1 hő közlése nagyobb közepes hőmérsékleten (T1) és a q2 hő elvonása kisebb közepes hőmérsékleten (T2) kell hogy történjék. A hőtan első főtétele a munkafolyamatra is érvényes, mely szerint a munkafolyamatban részt vevő hőmennyiségek algebrai összege : q1 − q2 = u2 − u1 + w . Mivel a közeg a munkafolyamat végén a kezdeti állapotba kerül vissza, ezért u2 − u1 = 0 , Így az első főtétel a következőképpen írható fel : q1 − q2 = w . E kifejezés a hőtan első főtételének legnagyszerűbb eredménye, mert azt mondja, hogy a munkafolyamat egymás utáni megvalósulásával a hőből valóságban is nyerhetünk munkát gépek segítségével. Nem szorul magyarázatra, hogy ha a pozitív munkafolyamatban a hőnek minél nagyobb része alakul át munkává, és így minél kisebb része megy át a hűtőbe, annál előnyösebb lesz a munkafolyamat a hő hasznosítása szempontjából. A munkafolyamat gazdaságosságát a fenti elgondolás alapján a termikus hatásfok jellemzi, amely az összes bevezetett hőnek (q1) a nyert munkához való viszonyát fejezi ki.
A termikus hatásfok tehát :
η=
w q1 − q2 = q1 q1
,
illetve q2 . q1 A hatásfok értékéből megállapítható, hogy hőenergiából mechanikai munkát mindig csak két hőmennyiség különbözeteként nyerhetünk. Ezért a munkafolyamat megvalósításához mindenkor három közegre van szükségünk :
η = 1−
- hőenergiát tartalmazó vagy hordozó közegre (tüzelőanyag vagy hőtartály) - közvetítő- illetve munkaközegre, amelytől csak azt kívánjuk meg, hogy - expanzióképes legyen, és - természetes hűtőközegre, amelynek a folyamatból elvont hőt átadjuk. 3.2.7.2.
Megfordítható és meg nem fordítható folyamatok :
Az állapotváltozás folyamatainak ismertetése során eddig nem volt szó arról, hogy azok az előbbivel ellentétes irányban is lefolyhatnak. A termodinamikai folyamatok megfordíthatósága nem alkalmazható mindegyik folyamatra, ezért azokat két csoportra lehet osztani :
- 58 -
- megfordíthatókra és - meg nem fordíthatókra. a., Megfordítható folyamatnak nevezzük az olyan folyamatot, amely mindkét irányban lefolytatható anélkül, hogy a környezetben változást hozna létre. Ilyen folyamat az előzőekben tárgyalt összes állapotváltozás, ha az végtelenül lassan folyik le (tehát csak mint határeset tárgyalható) és közben a közeg mind önmagában, mind a környezettel termikus, mechanikai és vegyi egyensúlyban van. A megfordíthatóságot úgy tudnánk legegyszerűbb módon jellemezni, hogy a közeg 1-2 állapotba is, és fordítva, 2-1állapotba is önmagától eljuthat. Ez azt jelentené, hogy a közeg komprimálásához mechanikai munkát nem kellene végezni (3.26.ábra), vagyis a kompresszió önmagától menne végbe. A mechanikai folyamatok, amennyiben súrlódásmentesek és hőjelenségekkel nem kapcsolatosak, valamennyien megfordíthatók. Ebből kifolyólag a mechanikának nincs szüksége a második főtételre és e tekintetben alapvetően különbözik a hőtantól. b., Mint tudjuk, a valóságban olyan folyamatok nincsenek, amelyek alacsonyabb hőmérsékletről magasabb hőmérsékletre önmagában végbemennének. Ezért a természetben megfordítható folyamatról nem beszélhetünk. 3.26.ábra A mechanikai folyamat, amennyiben súrlódással párosul, már nem megfordítható folyamat, mert hőfejlődéssel van egybekötve. Ennek ellenkezője, vagyis az, hogy a hő munkára alakuljon vissza, természetellenes és önmagától létrejönni nem tud. A hőáramlás véges hőfokkülönbség mellett szintén nem megfordítható folyamat. A hő magasabb hőfokú helyről alacsonyabb hőfokúra önmagától ugyan átmegy, ahhoz azonban, hogy ezt az utat visszafelé is megtehesse, mechanikai munkára van szüksége. Mivel a természetben végbemenő folyamatok súrlódással vannak egybekötve és kisebbnagyobb hőfokkülönbségek mellett folynak le, ezért a valóságban szigorúan vett megfordítható folyamat nincs. Hogy ilyenekkel termodinamikai vizsgálataink során mégis dolgozhassunk, azokat egyfelől idealizáljuk, másfelől kizárunk belőlük minden olyan körülményt, amely azokat meg nem fordíthatókká tenné (súrlódást, fojtást, véges hőfokkülönbség melletti hőközlést, oldást, diffúziót stb.) Későbbiek során megfordítható és meg nem fordítható munkafolyamatokkal is lesz dolgunk. Ezért mindig élesen meg kell különböztetnünk, hogy állapotváltozási folyamatról vagy munkafolyamatról van-e szó. A megfordítható munkafolyamatoknak igen jelentős szerepe van a motorok vizsgálatánál, amikor is azok munkafolyamatát (körfolyamatát) idealizált munkafolyamattal helyettesítjük. Ha ezt nem tennénk, akkor a valóságos motorok munkafolyamatának vizsgálata igen nehéz lenne. A valóságban ugyanis ezek igen bonyolultak, annál is inkább, mivel az tulajdonképpen nem is körfolyamat, hiszen a munkaközeg a munkahengerben nem jut vissza - 59 -
eredeti állapotába, hanem kicserélődik. A körfolyamattal való helyettesítésnél úgy tekintjük, hogy a közvetítő közeg a légkörben visszakerül az eredeti állapotába. A megfordítható folyamatoknak és a belőlük összerakott megfordítható munkafolyamatoknak (körfolyamatoknak) jelentősége abban van, hogy segítségükkel a hőnek mechanikai munkává való átalakulása és megfordítva, a mechanikai munkának hővé való átalakulása számítással egyszerűen követhető. Hogy valamely folyamat megfordítható-e vagy sem, ezt a kérdést egyértelműen eldönti egy új állapotjelző alkalmazása, az entrópia, amely maga közvetlenül nem mérhető, de más közvetlenül mérhető állapotjelzők (pl. nyomás, fajtérfogat, hőmérséklet stb.) révén a közeg bármely állapotára vonatkozólag számszerűleg is meghatározható, és változásával minden egyes esetben jelzi is, hogy a vizsgált folyamat megfordítható-e vagy sem. Ennek azért van jelentősége, mert bennünket vizsgálataink során főleg az érdekel, hogy a termodinamikai folyamatokban a hőenergia átalakulása milyen mérvű veszteségekkel történik, illetve a hőerőgépekben a hőenergia átalakulása milyen hatásfokkal folyik le. Ezekre a kérdésekre éppen az entrópia állapotjelző ad választ. Az entrópia fogalmával, jelentőségével később részletesen foglalkozunk. 3.2.7.3.
Carnot munkafolyamat :
Az előzőekben ismertetett általános munkafolyamat nem alkalmas egyértelműen a hőenergia mechanikai munkává alakításához szükséges vizsgálatok elvégzésére. A vizsgálatot legegyszerűbben Carnot által elképzelt elméleti munkafolyamat segítségével végezhetjük. A Carnot munkafolyamat, vagy Carnot-ciklus két izotermából és két adiabatából áll. A hő bevezetése a felső izoterma mentén, míg a hő elvezetése az alsó izoterma mentén történik a 3.27.ábrán feltűntetett jelöléseknek megfelelően. Az 1-2 izotermikus expanzió, valamint a 2-3 adiabatikus expanzió alatt kifelé munkavégzés következik be. Ugyanakkor a 3-4 izotermikus kompresszió, illetőleg a 4-1 adiabatikus kompresszió csak kívülről befektetett munka hatására jöhet létre. A nyert munka abból a hőből származik, amely a munkafolyamat során átalakul, nevezetesen :
w = q1 − q2 , ahol q1 a felső izoterma mentén bevezetett hőmenynyiség, q2 az alsó izoterma mentén bevezetett hőmennyiség. 3.27.ábra Miután a hőközlés, illetve a hőelvonás izotermikusan történt, így az előbbi egyenletet az izotermikus állapotváltozásokra vonatkozó összefüggések segítségével is felírhatjuk :
w = R ⋅ T1 ⋅ ln
v2 v − R ⋅ T2 ⋅ ln 3 v1 v4
.
- 60 -
Az adiabatikus állapotváltozásoknál megismert összefüggések alkalmazásával a Carnot munkafolyamatban részt vevő közeg térfogatviszonyaira az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel : 1
v 2 T1 ℵ−1 , = v 3 T2 illetőleg 1
v1 T1 ℵ−1 = . v 4 T2 E két egyenletből felírható, hogy
v 2 v1 = v3 v 4
,
v 2 v3 = v1 v 4
.
majd átrendezve kapjuk
Az eddigiek figyelembevételével a nyert munka nagyságára végeredményben a következő kifejezést nyerjük :
w = R ⋅ T1 ⋅ ln
v v v2 − R ⋅ T2 ⋅ ln 2 = R ⋅ (T1 − T2 ) ⋅ ln 2 v1 v1 v1
.
A Carnot munkafolyamat termikus hatásfokán a munkává alakult és a munkafolyamatban bevezetett hőmennyiség viszonyát értjük :
η=
w q1
.
Az eddigi megállapításaink figyelembevételével, ha a nyert munka (w) és a bevezetett hő (q1) helyére a megfelelő kifejezéseket beírjuk, akkor az alábbi összefüggést nyerjük : v R ⋅ (T1 − T2 ) ⋅ ln 2 v1 T1 − T2 , η= = v2 T1 R ⋅ T1 ⋅ ln v1 illetve: T η = 1− 2 . T1 Az utóbbi összefüggésekből kiindulva a Carnot munkafolyamat termikus hatásfokára vonatkozóan a következő megállapításokat tehetjük :
- 61 -
a) A munkafolyamat hatásfoka kizárólag a hőbevezetés, illetve a hőelvonás abszolút hőfokskálán mért hőmérséklettől függ. Ez azt jelenti, hogy a hatásfok értéke annál nagyobb, minél nagyobb hőmérséklethatárok között tudjuk az expanziót végrehajtani. Itt az alsó határt a gyakorlatban a rendelkezésre álló hűtőközeg (hűtővíz, levegő) hőmérséklete határozza meg. Mivel ez az érték többé-kevésbé állandó, az expanzió alsó határa megszabottnak tekinthető. Ezek szerint, ha azonos mennyiségű hőből több munkát kívánunk nyerni, úgy az expanzió felső határát kell kitolnunk. A hő tehát munkanyerés szempontjából annál értékesebb, minél nagyobb hőmérsékleten áll rendelkezésünkre. b) Ha T1=T2, akkor a Carnot munkafolyamat termikus hatásfoka zérussal egyenlő. Hőből munkát csak akkor nyerhetünk, ha azt egy magasabb hőfokszintről alacsonyabb hőfokszintre süllyesztjük. A Carnot munkafolyamat termikus hatásfoka soha nem lehet egyenlő 1-gyel, vagyis a hő soha nem alakulhat át 100 %-ig munkává. Ehhez ugyanis vagy az expanziót kellene az abszolút nulla pontig (-273 ° C) kiterjeszteni, vagy pedig a hőbevezetést kellene végtelen magas hőmérsékleten végrehajtani. A gyakorlatban az egyik eset még elméletileg sem valósítható meg. A kezdeti hőmérséklet (T1) növekedésével a hatásfok 3.28. ábrán feltűntetett változását mutatja, amiből azt is láthatjuk, hogy a kezdeti hőmérséklet növekedésével először fokozatosan, majd mindig kisebb mértékben növekedik a hatásfok. a) Mivel a hatásfok kifejezésében semmiféle anyagjellemző nem szerepel, így az teljesen független a közvetítő közegtől.
3.28. ábra A Carnot munkafolyamatot differenciális hőmennyiségekre felírva, a felső hőmérséklethatáron bevezetett dq1 hőmennyisége felbontható : - kihasználható (munkává alakítható) és - kihasználhatatlan részre
dq1 dq1 (1 −
T2 ) T1
dq1
T2 T1
Már Carnot kutatásai közben kiderült, hogy a termodinamikát nem lehet csupán az energia-megmaradás törvényére alapozni. Az energiaátalakulásnak egy érdekes sajátossága
- 62 -
van, a bizonyos fokú megfordíthatatlanság, ezt a tulajdonságot az energiához tartozó entrópiával szokták jellemezni. 3.2.8. A hőtan második főtétele : A hőtan első főtételének tárgyalásánál láttuk, hogy a munka és a hőenergia között meghatározott arányú mennyiségi összefüggés van. Az első főtétel számszerűen mutatja meg, hogy a különféle állapotváltozásoknál milyen kapcsolat van a közölt hő belső energiaváltozásával és a végzett munkával. A hőtan második főtétele az állapotváltozások lefolyásának irányára mutat. A második főtétel szerint a természetben végbemenő folyamatok önként csak egy meghatározott irányban mehetnek végbe. A második főtétel egyben azt is kimondja, hogy a hőenergia teljes egészében nem alakítható át mechanikai munkává. A második főtétel klasszikus megfogalmazása Clausius-tól ered. Clausius kimondja, hogy magától a hő nem megy át hidegebb testről a melegebb testre. Boltzmann megfogalmazása szerint a természetben végbemenő folyamatok egy kevésbé valószínű állapotból a valószínűbb állapotba tartanak. E megfogalmazásból következik, hogy fordított irányú folyamatot csakis mechanikai munka végzésével valósíthatunk meg. Fordított folyamatnak tekintjük azt, amikor hidegebb testről melegebb testre kell hőt átvinni (pl. hűtőgépeknél). A folyamatos hűtés fenntartásához a hűtőgéppel mechanikai munkát kell végeztetni. 3.2.8.1.
Az entrópia:
Valamely gáz állapota - mint azt már az előzőekben kimutattuk - megváltoztatható : - egyrészt hőbevezetéssel vagy hőelvezetéssel, - másrészt munkafelhasználással vagy munkanyeréssel. Ezekben a folyamatokban a hő és a munka többnyire egyidejűleg hat. A munka - esetünkben ez térfogati munka - a p-v diagramban a területtel arányos. Ahhoz, hogy a bevezetett vagy elvezetett hőmennyiségeket is terület formájában ábrázolhassuk, megfelelő általános érvényességű módszert kell találni. Induljunk ki abból, hogy bármely munkafolyamatot vizsgálni tudjuk úgy is, hogy azt elemi Carnot munkafolyamatokra bontjuk fel. Tehát ezen elemi Carnot munkafolyamatok öszszessége szolgáltatja az általunk kijelölt tetszőleges munkafolyamatot (3.29.ábra).
- 63 -
A tetszőleges munkafolyamatot összegező elemi Carnot munkafolyamatokban az izotermikus állapotváltozásoknál van csak dq1 hőfelvétel illetve dq2 hőleadás. A tetszőleges munkafolyamatban a felvett összes hőmennyiség tehát az elemi Carnot munkafolyamathoz tartozó izotermikus expanziók során felvett elemi hőmennyiségek összege. Írjuk fel egy elemi hőmennyiségekkel megvalósított Carnot munkafolyamat hatásfokát :
η=
dq1 − dq 2 dq = 1− 2 dq1 dq1
,
vagy T2 T1 A termikus hatásfok két kifejezését egyenlővé téve kapjuk, hogy:
η = 1−
3.29.ábra
dq2 T2 = dq1 T1
.
Ezt rendezve : dq 2 dq1 dq = = = ds T2 T1 T
amiből
dq = T ⋅ ds
J/kg·K ,
.
Ebben a kifejezésben a ds jelölés entrópiaváltozást jelent, az s-et pedig entrópiának nevezzük. Az entrópia (s) új állapotjelző, mely közvetlenül nem mérhető és egy mesterségesen képzett fizikai mennyiséget fejez ki. Mint látjuk, az entrópiaváltozás fogalmának bevezetésével a hőenergia két mennyiség szorzatának felel meg, melyek közül az egyik az abszolút hőfok értéke, a másik pedig az entrópiaváltozás. Mint tudjuk, minden energia valójában két tényező, egy intenzitási és egy mennyiségi tényező szorzataként fogható fel. Az entrópia bevezetésével a hőenergiát is az egyéb energiákhoz hasonlóan fejezhetjük ki. Az entrópia lényegének tisztázása céljából vizsgáljunk meg néhány energiafajtát. Elsőként összehasonlítás céljából válasszuk a vízi energiát, melynél feltesszük, hogy H magasságban dG (N) vízsúly áll rendelkezésre. A hőenergiánál ezt az eddig még ismeretlen mennyiségi tényezőt jelöljük ds-sel, mely T (K)-en áll rendelkezésünkre. Tehát a vízi energia
a hőenergia
dW = H ⋅ dG
J,
dQ = T ⋅ ds
J.
- 64 -
A két energiafajta összehasonlításából az állapítható meg, hogy a geodetikus magasságnak a Kelvin-skálán mért hőmérséklet, és a vízsúlynak a ds mennyiség felel meg. Ha viszont a gáz által végzett mechanikai munkával hasonlítjuk össze a hőenergiát, akkor
dW = p ⋅ dV és
,
dQ = T ⋅ ds
összefüggések egybevetéséből azt látjuk, hogy a mechanikai munkánál szereplő térfogatváltozásnak (dV) a hőenergiánál a ds felel meg, és amint munkavégzés csak térfogatváltozással, úgy hőfelvétel is csak entópiaváltozással (ds) kapcsolatban lehetséges (3.30.ábra).
3.30.ábra 3.2.8.1.
Az entrópia, mint állapotjelző :
Az entrópia fogalmának megvilágítása mellett azt is tisztázni kell, vajon az entrópia állapotjelző-e, vagyis mutatja-e a közeg állapotváltozását. Erre a célra a
dq = T ⋅ ds = c v ⋅ dT + p ⋅ dv egyenletet használjuk, amelyet
ds = c v ⋅
dT dv + p⋅ T T
alakra hozva és a jobb oldal második tagjában p⋅v T= R helyettesítést alkalmazva kapjuk, hogy
ds = c v ⋅
dv dT + R⋅ v T
- 65 -
és ebből véges állapotváltozásokra
s2 − s1 = c v ⋅ ln
T2 v + R ⋅ ln 2 T1 v1
.
Az utóbbi összefüggésből kiolvasható, hogy a közeg bármilyen úton is jut az 1 állapotból a 2 állapotba, az entrópia ∆s = s2 − s1 változása az állapotváltozás menetétől független, ezért az entrópia szintén állapotjelző. Mivel azonban az az összefüggés , amelyből kiindultunk, csak megfordítható állapotváltozásokra érvényes, ezért az 1 és 2 állapot közötti változásoknak jelen esetben szintén megfordíthatónak kell lenniük. 3.2.8.2.
Entrópiadiagramok és ezzel kapcsolatos alapismeretek :
Az elemi hőmennyiség a T hőfoknak és a ds entrópia állapotjelzőnek a szorzata, azaz dq = T ⋅ ds összefüggés alapján hőmennyiséget jelent (3.31.ábra). Az állapotváltozást jelző 1-2 vonal alatti terület : 2
q1,2 = ∫ T ⋅ ds 1
azt a hőmennyiséget jelenti, melyet a közvetítő közegtől el kell vonni, hogy annak hőfoka T1-ről az előirt állapotváltozás során T2 értékre csökkenjen. Ez a hőmennyiség függ az 1-2 függvényvonal alakjától. 3.31.ábra A 3.32.ábra egy munkafolyamatot ábrázol; a jobbra dőlő vonalkázással jelzett terület a közvetítő közeggel közölt q1 hőmennyiséggel arányos, míg a balra dőlő vonalkázott terület a közegtől elvont q2 hővel arányos. A kétféle vonalkázású területek különbsége, vagyis a görbe által bezárt terület arányos a mechanikai munkává átalakult hőmennyiséggel.
3.32.ábra A T-s diagramban az izotermák az abszcisszatengellyel, az adiabaták az ordinátatengellyel párhuzamosak. Így a Carnot munkafolyamat a T-s koordinátarendszerben igen egyszerűen egy négyszöggel ábrázolható (3.33.ábra). Az ábrából látható, hogy azonos - 66 -
hőfokhatárok között bármely megfordítható munkafolyamat közül a Carnot munkafolyamat hatásfoka a legnagyobb (a négyszögbe csak kisebb terület rajzolható be).
3.33.ábra 3.2.8.3.
Az entrópia, mint a megfordíthatóság jelzője :
Legyen két közeg egymással olyan kapcsolatban, hogy az 1-gyel jelzett dq hőt ad át a 2vel jelzett közegnek (3.34.ábra). Ez csak úgy lehetséges, hogy a hőleadó közeg hőfoka (T1) nagyobb, mint a hőfelvevő közeg hőfoka (T2). Itt tehát meg nem fordítható folyamatról van szó. Irható, hogy a 2 jelű közegbe áramlott dq=T2·ds2 hőmennyiség (mivel hőfelvételről van szó, ezért pozitív) egyenlő az 1 jelű közegből távozott dq=-T1·ds1 (mivel hőleadásról van szó, ezért negatív) hőmennyiséggel, tehát 3.34.ábra illetve
dq = T2 ⋅ ds2 , dq = −T1 ⋅ ds1 .
Ebből az entrópiaváltozás - az 1-gyel jelzett közegre : dq ds1 = T1 - a 2-vel jelzett közegre : dq ds2 = . T2 Így a folyamat során létrejövő entrópiaváltozás :
ds = ds1 + ds2 =
dq dq − T2 T1
.
Mivel T1>T2, ezért dq dq ds = − > 0 T2 T1
illetve - 67 -
ds > 0 . Tehát kimondhatjuk, hogy a nem megfordítható folyamatoknál a folyamatban résztvevő közegek entrópiája nő. Ha a fenti esetben mind az 1 jelű, mind a 2 jelű közeg hőfoka egymással egyenlő (T1=T2), vagyis a hőáramlás hőfokkülönbség nélkül, tehát megfordíthatóan megy végbe, úgy : dq dq ds = − =0 , T2 T1 vagyis megfordítható folyamatoknál az entrópiaváltozás zérus. Mivel a Carnot munkafolyamat csak megfordítható állapotváltozásokból áll, ezért arra az esetre is érvényes az a megállapítás, hogy a munkafolyamat végén a közeg entrópiaváltozása zérus. Igazoljuk ezt a Carnot-munkafolyamat hatásfokából kiindulva : dq η = 1− 2 , dq1 vagy T η = 1− 2 . T1 A termikus hatásfok két összefüggését egybevetve írhatjuk :
dq2 T2 = dq1 T1
.
A kapott összefüggésből következik, hogy:
dq2 dq1 = T2 T1
,
vagy ds =
dq1 dq 2 − =0 T1 T2
ds = 0
.
Ez az eredmény azt mondja, hogy a zárt megfordítható munkafolyamatoknál az entrópiaváltozások összege zérus. 3.2.9. Állapotváltozások ábrázolása a T-s diagramban : Az eddigiekben vizsgált egyszerű állapotváltozásokat p-v diagramban ábrázoltuk. A p-v diagram alkalmas volt arra, hogy az állapotváltozás két határa között keletkező mechanikai munkát valódi nagyságban, a szakasz alatti területtel mérhettük.A megismert állapotváltozásokat ajánlatos a T-s diagramban is ábrázolni, mivel a T-s diagramban az állapotváltozást feltűntető görbe alatti terület az állapotváltozáshoz szükséges, vagy az állapotváltozás alatt felszabaduló hőenergia nagyságát mutatja az alábbi összefüggés alapján : dq = T ⋅ ds . - 68 -
Az 1-2 állapotváltozás (3.31.ábra) bármely közbenső hőmérsékletét T-vel, a T hőmérséklet környezetében bekövetkezett elemi entrópiaváltozást ds-sel jelölve, az így közölt vagy elvont elemi hőmennyiség a ds alapú és T magasságú téglalap területével egyenlő. Nyilvánvalóan az 1-2 között közölt vagy elvont teljes hőmennyiség : s1
q1,2 = ∫ T ⋅ ds
J/kg .
s2
Ezen téglalapok összege tehát az állapotváltozási görbe és az s tengely által bezárt terület. A különböző állapotváltozásoknál fellépő entrópiaváltozások számításánál a hőtan első és második főtételéből célszerű kiindulni, mivel a közölt vagy elvont elemi hő (dq) minkét tétel alapján már felírható : - az I. főtétel szerint : - a II. főtétel szerint :
dq = c v ⋅ dt + p ⋅ dv dq = T ⋅ ds .
,
A két egyenlet összevetéséből kapjuk :
T ⋅ ds = c v ⋅ dT + p ⋅ dv vagyis
ds = c v ⋅
,
dT p ⋅ dv + T T
J/kg·K .
Az elemi entrópiaváltozásra kapott fenti összefüggés alapján már módunkban áll az eddigiekben vizsgált állapotváltozások mindegyikénél a bekövetkezett teljes entrópiaváltozást is számolni. Ezek alapján nézzük meg, hogy folynak le az ideális gáz T-s diagramjában a korábban ismertetett egyszerű állapotváltozások. 3.2.9.1.
Izochor állapotváltozás T-s diagramja :
Mivel az állapotváltozás során a térfogat, illetve fajtérfogat nem változik, azaz : V=állandó;
dv=0 ,
így a közölt, illetve elvont elemi hő - az I. főtétel alapján : - a II. főtétel alapján :
dq = c v ⋅ dT , dq = T ⋅ ds .
A két egyenlet összevetéséből kapjuk :
T ⋅ ds = c v ⋅ dT
.
Ebből a keresett entrópiaváltozás, az 1 és 2 határok között integrálva : - 69 -
s2
T2
s1
T1
∫ ds = c v ∫
dT T
,
azaz
s2 − s1 = c v ⋅ ln T2 = T1 ⋅ e
T2 T1
J/kg·K .
s2 − s1 cv
Tehát az állandó térfogaton végbemenő állapotváltozásokat a T-s koordinátarendszerben exponenciális görbék ábrázolják (3.35.ábra). A 3.35.ábráról leolvasható, hogy állandó térfogatnál történő hőközlésnél vagy hőelvonásnál a hőmérséklet és az entrópia nő, illetve mindkettő csökken. A folyamatban közreműködő és a belső energiaváltozással egyenértékű q1,2 hőmennyiséget az ábrában az 1-2 függvényvonal alatti terület adja.
3.35.ábra 3.2.9.2.
Izobár állapotváltozás T-s diagramja :
Mivel az állapotváltozás során a nyomás nem változik, azaz p=állandó, így dp=0 . Így a közölt, illetve elvont elemi hő - az I. főtétel alapján :
dq = c p ⋅ dT
- a II. főtétel alapján :
dq = T ⋅ ds
, .
A két egyenletet összevetve kapjuk :
ds = c p ⋅
dT T
.
A fenti egyenletet az 1 és 2 határok között integrálva (3.36.ábra) :
- 70 -
s2
T2
s1
T1
∫ ds = c p ⋅ ∫
dT T
azaz
s2 − s1 = c p ⋅ ln
T2 T1
J/kg·K . T2 = T1 ⋅ e
s2 − s1 cp
3.36.ábra Az izobár állapotváltozás exponenciális görbéje már kevésbé meredek, mint a föléje szaggatott vonallal berajzolt, ugyanolyan hőmérséklethatárok közötti izochor függvényvonal. Az izobár állapotváltozásnál az entrópiaváltozás (s2-s1) nagyobb mint az izochor állapotváltozásnál, mivel az állandó nyomáshoz tartozó cp fajhő nagyobb, mint az állandó térfogat cv fajhője. 3.2.9.3.
Izotermikus állapotváltozás T-s diagramja :
Ha a gázzal hőt közlünk vagy vonunk el úgy, hogy az állapotváltozás folyamán a hőmérséklet állandó marad, akkor a gáz belső energiája is változatlan marad. Tehát hőközlés esetén a bevezetett összes hő munkává alakul. Így a közölt, illetve elvont hő - az I. főtétel alapján : - a II. főtétel alapján :
p1 p2 q 1, 2 = T ⋅ ( s2 − s1 ) q1,2 = R ⋅ T ⋅ ln
, .
A két egyenlet összevetéséből kapjuk :
T ⋅ ( s2 − s1 ) = R ⋅ T ⋅ ln
p1 v = R ⋅ T ⋅ ln 2 p2 v1
,
azaz
s2 − s1 = R ⋅ ln
p1 v = R ⋅ ln 2 p2 v1
.
Ezt az állapotváltozást a T-s diagramban - mivel a T értéke nem változik - vízszintes egyenes ábrázolja (3.37.ábra). A bevezetett vagy elvezetett hő mennyisége tehát az izoterm görbe alatti területtel egyenértékű.
- 71 -
3.2.9.4. 3.2.9.4. Adiabatikus állapotváltozás T-s diagramja Mivel az adiabatikus állapotváltozás hőcsere nélkül zajlik le, azaz q=állandó, akkor dq=0 , így dq=T·ds=0 . 3.37.ábra
Mivel T ≠ 0 , azért ds=0 ,
vagyis s2-s1=0 ,
illetve
s2=s1=állandó . Az adiabatikus állapotváltozásnál tehát az entrópia nem változik, ezért ezt izentropikus állapotváltozásnak is nevezik. Ezen állapotváltozást a T-s diagramban függőleges egyenes ábrázolja (3.38.ábra). Ennek megfelelően az adiabata függőleges vonala alatti terület zérus. 3.2.9.5. 3.2.9.5. Politropikus állapotváltozás T-s diagramja : A politropa általában az izoterma és az adiabata között helyezkedik el. Az állapotváltozás során hőhatásra hőcsere következik be : - komprimálás közben a gázt hűtjük, de nem olyan mértékben, hogy T=állandó maradjon, - expanzió közben pedig melegítjük a gázt. 3.38.ábra A bevezetett, illetve az elvezetett hő nagyságát a cn politropikus fajhővel számítjuk. Így a közölt, illetve elvont elemi hő - az I. főtétel alapján : - a II. főtétel alapján :
dq = c n ⋅ dT , dq = T ⋅ ds .
A két egyenlet összevetéséből kapjuk : T ⋅ ds = c n ⋅ dT
.
Ebből a keresett elemi entrópiaváltozás :
- 72 -
dT . T A fenti egyenlet az 1 és 2 határok között integrálva : ds = c n ⋅
s2
T2
∫ ds = c n ⋅ ∫
s1
T1
dT T
,
azaz T s2 − s1 = c n ⋅ ln 2 J/kg·K . T1 Az izochor és izobár állapotváltozásokhoz hasonlóan ezt a folyamatot is logaritmikus görbe jelképezi a T-s diagramban (3.39.ábra). Gyakorlatilag fontos esetekben, vagyis ha l < n < κ, akkor a görbe - expanziónál balról jobbra süllyed, - kompressziónál pedig jobbról balra emelkedik.
3.2.9.6. 3.2.9.6. Carnot munkafolyamat ábrázolása a T-s diagramban A Carnot munkafolyamat két izotermája és adiabatája rendkívül egyszerűen ábrázolható a T-s diagramban. Az izotermikus expanziónak vízszintes egyenes, az adiabatikus expanziónak a T1-től T2-ig tartó függőleges egyenes, az izotermikus kompressziónak ismét vízszintes egyenes, és végül az adiabatikus kompressziónak a T2-től T1-ig terjedő függőleges egyenes felel meg (3.40.ábra) 3.39.ábra A munkává alakult hőt az 1-2-3-4- terület ábrázolja. A munkafolyamat hatásfoka az ábra alapján :
η=
( s2 − s1 ) ⋅ (T1 − T2 ) (T1 − T2 ) = ( s2 − s1 ) ⋅ T1 T1
,
illetve T2 . T1 Tehát így is a már ismert összefüggést kapjuk.
η =1−
3.40.ábra Összefoglalásként leszögezhetjük, hogy a Hőtan II. főtétele és a Carnot munkafolyamat rávilágít arra, hol vannak a határai a hőnek munkává való átalakításakor. Tehát a Carnot munkafolyamatot mindig példaként és összehasonlító folyamatként alkalmazzák a tervezendő hőerőgépek valóságos munkafolyamatainak megítélésében.
- 73 -
3.3. A gőzök termodinamikája Az előző fejezetekben a gázok tulajdonságait, törvényeit, állapotváltozásait vizsgáltuk és ezek törvényszerűségeit állapítottuk meg. Az alábbiakban ugyanezeket a vizsgálatokat kívánjuk elvégezni a gőzökre is. E vizsgálatokat külön kell tárgyalnunk, mivel a gőzök tulajdonságait, törvényszerűségeit igen nagy mértékben eltérnek a gázoktól annak ellenére, hogy ezek is légnemű halmazállapotúak. A gőzök - s így közöttük a vízgőz - állapotváltozásai és munkafolyamatai abban különböznek a gázokétól, hogy a gőzök esetében a munkafolyamat vagy az állapotváltozás során létrejövő halmazállapot változásokat is figyelembe kell venni. A műszaki gyakorlatban - a vízgőz mellett - igen sok anyag ( ammóniák, freonok, kéndioxid, széndioxid, stb. ) gőzével találkozhatunk, különösen a hűtőiparban. Ez a tény azonban nem csökkenti a vízgőz általános elterjedtségét. Ezért a következőkben a gőzökkel kapcsolatos megállapításainkat a vízgőzre tesszük, de az alábbiak minden gőzre érvényesek, csupán az állandók értékeit és a számszerű összefüggéseket tartalmazó diagrammokat kell esetenként a szakirodalomból kikeresni. 3.3.1. A gőzképződés folyamata, a gőzök tulajdonságai Vizsgáljuk meg, hogyan játszódik le a gőzképződés állandó nyomáson. Helyezzünk el dugattyúval lezárható hengerbe 273K hőmérsékletű (0 oC) 1kg tömegű vizet. A hengerben állandó nyomást a dugattyúra helyezett súly biztosítja (3.41.ábra).
3.41.ábra Ha a hengerben lévő vizet hevíteni kezdjük , akkor annak hőmérséklete egy ideig emelkedni fog, majd egy - a hengerben uralkodó nyomástól függő - ponton megáll. Ezen a hőmérsékleten a víz forrásba jön, vagyis a belsejében élénk gőzképződés indul meg. A keletkezett gőz, melynek hőmérséklete megegyezik a vízével, de a fajtérfogata lényegesen nagyobb, összegyűlik a víz szintje fölött és a dugattyút felemeli (3.41.b ábra). Az ilyen gőzt, mely a folyadékkal érintkezik, telített gőznek nevezzük. A víz és gőz hőmérséklete mindaddig változatlan marad, amíg a folyadék teljes mennyisége gőzzé nem válik. Ezt az állandó értéken maradó hőmérsékletet az illető nyomáshoz tartozó forráspontnak, vagy mivel az így keletkező gőz telített, telítési hőmérsékletnek (Ts ) is nevezzük.
- 74 -
A telített gőzállapot nem stabil állapot, ugyanis a nyomás legkisebb emelkedése lecsapódást, míg csökkenése további gőzfejlődést okoz. A forrás jelenségének fordítottja a lecsapódás, illetve kondenzálódás. Állandó nyomás mellett a hőmérséklet is állandó marad a halmazállapot változás egész ideje alatt. A 3.41. ábra azt a pillanatot tünteti fel, amikor a forrás következtében az utolsó vízcsepp is gőzzé változott. Az ilyen telített gőzt, mely nedvességet nem tartalmaz, száraz telített gőznek nevezzük. Ha a száraz telített gőzt állandó nyomáson tovább hevítjük, akkor annak hőmérséklete a telítési hőmérséklet fölé emelkedik és fajtérfogata megnő (3.41.d ábra). Ekkor nyerjük az un .túlhevített gőzt. A nagyobb mértékben túlhevített gőzök úgy viselkednek, mint a gázok, tehát a gáztörvények rájuk is alkalmazhatók. A folyadékkal érintkező telített gőz viselkedése lényegesen eltér a gázokétól, ugyanis hőmérséklet változás nélkül tud hőt felvenni vagy leadni. Ez annak a következménye, hogy hőfelvételkor a vele érintkezésben levő folyadék egy része gőzállapotba megy át, hőleadásnál pedig a gőz egy része lecsapódik. Ezzel szemben a túlhevített gőznél a hőmérséklet mindkét esetben változik épp úgy, mint a gázoknál. 3.3.2. Határgörbék A gőzfejlődés folyamatát részleteiben vizsgálni a vízgőz ”pv” diagrammjában tudjuk. A vízgőz ”pv” diagrammjának megszerkesztése előtt készítsük el a vízgőz ”pv” diagrammjában egy izotermájának görbéjét (3.42. ábra).
3.42. ábra
Ha az ”A” állapotú túlhevített gőzt izotermikusan komprimáljuk, a kompresszió folyamán elérünk v = v” fajtérfogatig, ahol megkezdődik a gőz kondenzációja, mely ködképződés formájában kezdődik. A v” a száraz telített gőz fajtérfogata. Az izotermikus sűrítést tovább folytatva a gőz nyomása változatlan marad, ezzel szemben a gőzben képződött köd egyre sűrűbb lesz, és folyadékcseppek formájában lecsapódik. Ez a jelenség - állandó nyomáson - mindaddig tart, míg az egész gőzmennyiség nem kondenzálódik. A teljes mértékű lecsapódás után a fajtérfogatot jelöljük v’ - vel. Ezután a további kompresszió során a nyomás hirtelen emelkedik, mivel a folyadék csak kis mértékben nyomható
össze. Ha ezt a kísérletet különböző hőmérsékleten megismételjük és a v’, illetve v’ pontokat a diagrammban ábrázolva egymással összekötjük, a gőz ”pv” diagrammját nyerjük (3.43. ábra ).
- 75 -
A v’ illetve v” pontokat összekötő görbék a ”K”-val jelzett pontban találkoznak, melyet kritikus pontnak nevezünk. A kritikus ponttól balra eső ( v’-ket összekötő ) görbeszakaszt alsó határgörbének, a jobbra eső (v”-ket összekötő) görbeszakaszt pedig felső határgörbének nevezzük. Az alsó határgörbe a folyadék v’, a felső határgörbe pedig a száraz telített gőz v” fajtérfogatának a nyomás és a hőmérséklet függvényében történő változását ábrázolja.
3.43. ábra
A felső határgörbétől jobbra eső terület a túlhevítési mező, az alsó határgörbétől balra lévő terület a folyadékmező, míg a két határgörbe közötti terület a telítési vagy nedves mező.
A nedves mezővel kapcsolatban be kell vezetni a fajlagos gőztartalom fogalmát. Ha a telített gőz nedvességet is tartalmaz ( pl. egyenletesen eloszlott finom cseppek formájában ), akkor nedves gőz a neve. A fajlagos gőztartalom könnyebb megértése céljából a nedves gőzt száraz telített gőz és folyadék elegyének tekintjük. Így az 1kg nedves gőzből x kg száraz telített gőz és (1-x) kg a folyadék.
Az ”x ”-et fajlagos gőztartalomnak , az (1-x)-et pedig nedvességtartalomnak nevezzük. Az alsó határgörbén x =0, a felső határgörbén x =1, míg nedves mezőben az ”x” értéke 0.....1 között változik. Mint a 3.43.ábrából is látható, egy bizonyos Tk hőmérsékletnél az ehhez tartozó izoterma csak érinti a határgörbét ”K” kritikus pontban. Ezen a hőmérsékleten a gőznek folyadékállapotba való átmeneténél nem lehet ködképződést megfigyelni. A kritikus állapotban a gőz fajtérfogata azonos a folyadékéval, s azért nem is lehet azokat megkülönböztetni. Még magasabb hőmérsékleteken az izotermák mér nem is érintik a határgörbéket, ezért ezeken a hőmérsékleteken nem lehet megkülönböztetni a gőz- és folyadékállapotot egymástól. Minden anyag kritikus állapota más és más. Tekintve, hogy igen fontos anyagjellemző érték, ezért az ezt meghatározó állapotjelzőket ”k” indexszel szokták megjelölni. Van tehát kritikus hőmérséklet (Tk), kritikus nyomás (pk) és kritikus fajtérfogat (vk). A 3.04.táblázat néhány anyag kritikus állapotjellemzőit ismerteti Anyag
Tk K
pk MPa
vk m /kg
CO2 NH3 H2O O2 H2 Levegő
304,35 405,9 647,1 154,2 31 133
7,530 11,620 22,550 5,135 1,100 4,040
0,00216 0,00522 0,00301 0,00232 0,03220 0,00283
3
3.04.táblázat
- 76 -
A gázok cseppfolyósításánál különös jelentőségű a kritikus állapot ismerete, ugyanis bármely gáz cseppfolyósítása csak akkor lehetséges, ha azt előbb a kritikus hőmérséklet alá hűtöttük. Ha ez nem történik meg, akkor bármilyen nagy nyomás alá helyezzük a gázt, a cseppfolyósodás nem fog bekövetkezni. 3.3.3. Gőzök állapotjelzői A gázokhoz hasonlóan a gőzök állapotát is az állapotjelzők segítségével tudjuk megadni. Megállapodás szerint a telített folyadék állapotjelzőit egy vesszős jellel (’), a száraz telített gőzre vonatkozókat pedig két vesszővel (’’) szokás jelölni. Így az alsó határgörbe pontjaival meghatározott állapotokban v’, u’, i’ és s’, a felső határgörbén pedig v”, u”, i” és s” jelenti az állapotjelzőket. 3.3.3.1.
Az elgőzölés hőszükséglete
A vízgőz állapotjelzőit nem T=0K-től, hanem T=273K=0 oC-tól számítjuk, ugyanis az állapotjelzőket minden gőztáblázat és diagramm 0 oC-os víz értékével veszi figyelembe.ű Ahhoz, hogy 1kg T=273K = 0 oC hőmérsékletű vízből túlhevített gőzt állítsunk elő, az alábbi hőmennyiségekre van szükség: folyadékhőre (λ’’), párolgáshőre (r) és túlhevített hőre (qt)
Tehát a túlhevített gőz vízből való fejlesztésének három szakasza van: o az 1kg 0 C hőmérsékletű víz melegítése a forrási hőmérsékletig ( λ ’), a forrásban levő 1kg víz teljes elgőzölögtetése száraz telített gőzzé (r), és az 1kg száraz telített gőz túlhevítése (qt).
a) Folyadékhő(λ) Azt a hőmennyiséget, amely 1kg 0 oC-os víznek vagy általában valamilyen folyadéknak a ”p” nyomáson telített gőz Ts hőfokára történő felmelegítéshez szükséges folyadékhőnek nevezzük. A folyadékhő megállapításához induljunk ki az általános energiaegyenletből, mely szerint a közeggel közölt hőmennyiség részben annak belső energiáját növeli, részben a kifelé végzett munka fedezetére szolgál. Ezt kifejezve: dq = du + pdv . Mivel 0 oC hőmérsékletű vizet kívánunk állandó nyomáson felmelegíteni Ts = T1 hőmérsékletre, ezért a fenti egyenletet 0 és 1 határok között integráljuk: q1
u1
v1
q0
u0
v0
∫ dq = ∫ du + p ∫ dv.
Ha a határokat úgy értelmezzük,.hogy - 0 oC mellett: uo =0, - 77 -
qo =0, és vo , 0 oC hőmérsékletű víz fajtérfogata - Ts oC mellett: u1 =u’ q1 =q’ v1 =v’ , akkor az integrál értéke q' = u'− uo + p ⋅ ( v'− v o ). Ugyanekkor az entalpiaváltozás, mivel p =áll.
i'−io = u'−uo + p ⋅ ( v'− v o ). Tehát állandó nyomáson közölt folyadékhő az entalpiaváltozással azonos. A folyadékok tágulási együtthatója általában oly kicsi, hogy fajtérfogatuk konstansnak tekinthető, mivel annak változása, illetve növekedése csak a kritikus pont közelében válik észrevehetővé. Ugyanis a víz fajtérfogata: T =273...523 K között: v = 0,001 m3/kg Tk =647,2 K és pk =22,129 MPa kritikus értékeken is csak vk =0,00312 m3/kg, ezért a tágulási munka:
p ⋅ ( v'−v o ) ≈ 0.
A folyadék melegítéséhez szükséges hő tehát úgyszólván kizárólag a belső energiát növeli:
q' = u'−uo = u', illetve Mivel
i'−io = u'−uo = u'. io = uo + pv o = pv o ,
a T0 = 273 K=0 oC hőmérsékletű folyadék entalpiája (io) a nyomással egyenes arányban nő, de a kis fajtérfogat következtében annak értéke elhanyagolhatóan kicsi. Ezért az iparban alkalmazott nyomásokon jó közelítéssel írható q' ≅ i' = u' = q f azaz a telítési entalpia (i’) közel a folyadékhővel azonos. Tehát a folyadékhő (λ’) az a hőmennyiség, amely 1 kg 0 oC hőmérsékletű folyadéknak a ”p” nyomású telített gőz ”Ts” hőfokára történő felmelegítéséhez szükséges. Mivel illetve
λ' = u' = cv ⋅ (t s −t o ) = cv ⋅ t s , λ' = i' = c p ⋅ (t s − t o ) = c p ⋅ t s ,
továbbá - 78 -
cv ≈ c p , azaz a belső energia és az entalpia változása a folyadékállapotban független a nyomástól. Víznél a folyadékhő ( λ ' ) számértéke kb.200 oC hőmérsékletig igen jó megközelítéssel egyenlő a fajhő ( c ) és az adott ”p” nyomáshoz tartozó telítési hőmérséklet( ts ) szorzatával. Határozzuk meg számítás segítségével az alábbi adattal rendelkező víz folyadékhő ( λ ' ) nagyságát: a folyadék nyomása: p = 0,98066 MPa a folyadék forrási hőmérséklete: ts = 99,09 oC a folyadék fajhője: c = 4,186kJ/kg K Folyadékhő:
λ ' = c ⋅ t s = 4,186 ⋅ 99,09 = 415,289kJ / kgK b) A párolgási hő (r) Azt a hőt, amelyet a telítettségi hőmérsékletig már felmelegített 1 kg folyadékkal állandó nyomáson közölni kell, hogy száraz gőzzé váljon, párolgási hőnek nevezzük és ”r” -rel jelöljük. A párolgási hő nagyságának megállapításánál ugyancsak az általános energiaegyenletből indulunk ki. E szerint az 1 kg ts hőmérsékletű folyadékkal közölt elemi hőmennyiség ts hőmérsékletű gőz belső energiáját növeli, továbbá a kifelé végzett munkát fedezi, tehát:
dq = du + pdv. Az egyenletet integráljuk a folyadékra és száraz telített gőzre vonatkozó azonos határok között: 2
u"
v"
1
u'
v'
∫ dq = ∫ du + p ⋅ ∫ dv. Mivel az integrálással nyert q12 hőmennyiség a párolgási hő, így r = q12 = u”-u’+ p(v”-v’). Az alábbi jelölés bevezetésével u”-u’ = ρ, p⋅(v”-v’) = ψ, a párolgási hő:
r = ρ+ ψ .
- 79 -
Tehát a párolgási hő két részből tevődik össze. Az egyik része a halmazállapotváltozással járó térfogatnövekedést létesíti, ez a külső párolgási hő (ψ). Ezen munka eredményeképpen a folyadék térfogata v’-ről v”-re növekszik. A ρ belső párolgáshő az ’r’ párolgáshőnek az a része, amely a folyadékban a molekuláris erők legyőzésére szolgál, vagyis növeli a belső energiát. Az ’r’ párolgási hőnek nagyobb része a ρ belső párolgási hő, amint az a 3.44. ábrán látható. Ezen ábra szemléletesen mutatja, hogy a vízgőz vizsgálatakor miért nem szabad elhanyagolni a molekuláris erőket, mint a gázok vizsgálatakor.
3.44.ábra Minthogy az elgőzölögtetés közben a hőfok nem változik, az említett hőmennyiséget még rejtett hőnek (latens hőnek) is nevezik. A gőznek azonos ’p’ nyomáson való kondenzálódása alkalmával mind a külső, mind a belső párolgáshőt teljes egészében visszanyerjük, ugyanis ezt a hőt kondenzálódás közben a gőz leadja.
c) A száraz telített gőz hőszükséglete (λ”) A folyadékhő (λ’) és a párolgáshő (r) együtt a száraz telített gőz (λ”) teljes hőjét képezik. Ezt matematikailag a következő egyenlet fejezi ki:
λ”=λ’+r
kJ/kg.
A fentiekből következik, hogy a száraz telített gőz teljes hőjének azt a hőmennyiséget nevezzük, amelyet 1kg 0 oC-u folyadékkal állandó nyomáson közölni kell, hogy az száraz telített gőzzé váljon. Ha a folyadéknak gőzzéválási folyamata nem fejeződött be, vagyis ha ’x’ fajlagos gőztartalmú nedves gőzről van szó, akkor azt a hőmennyiséget, amelyet 1 kg 0 oC-u folyadékkal állandó nyomáson közölni kell, hogy az nedves gőzzé váljon, a nedves gőz λn teljes hőjének nevezzük. Ha a fajlagos gőztartalom ’x’, akkor
λ n = λ , + xr
kJ/kg.
- 80 -
d) A túlhevítés hőszükséglete (λt) Azt a hőmennyiséget, amelyet 1 kg száraz telített gőzzel közölni kell, hogy az állandó nyomáson túlhevített gőzzé váljon , túlhevítési hőnek nevezzük és qt -vel jelöljük. Ezt a hőmennyiséget a következő egyenletből lehet kiszámítani:
qt =
Tt
∫ c p dT ,
Ts
ahol
hője.
Tt a túlhevített gőz hőmérséklete Ts a telítettségi hőmérséklet cp a túlhevített gőznek az előbbi hőmérséklethatárok között vett közepes izobár faj-
A túlhevített vízgőz fajhője az ideális gázok fajhőjétől eltérően nemcsak a hőmérséklettől, hanem a gő nyomásától is függ. A fajhő értékét táblázatokban adjuk meg, ezek közül egyet a 3.05. táblázatban köztünk. Ez a táblázat megadja a cp értékeit 0,1-től 22 MPa nyomásig és a túlhevített gőz hőmérsékletének értékeit 140-től 600 oC -ig. A nyomás és a hőmérséklet közbenső értékeihez tartozó cp értékeket interpolálással határozhatjuk meg. A száraz telített gőz teljes hőjének és a túlhevítési hőjének az összege a túlhevített gőz teljes hőjét (λt) adja: λ i = λ ,, + q t kJ/kg. Így a túlhevített gőz teljes hőjének azt a hőmennyiséget nevezzük, amelyet 1kg 0 oC-u folyadékkal állandó nyomáson közölni kell, hogy az túlhevített gőzzé váljon.
- 81 -
3.05-1. Táblázat A túlhevített vízgőz cpköz közepes fajhője ( a telítettségi hőmérséklettől az adott hőmérsékletig számítva ) Nyomás p 0,1 MPa 0,5 MPa 1 MPa 2 MPa Hőmérséklet Közepes fajhő t T cpköz o C K kJ/kg 140 413,15 2,005 160 433,15 1,993 2,353 180 453,15 1,989 2,232 200 473,15 1,985 2,177 2,416 220 493,15 1,98 2,152 2,37 2,851 240 513,15 1,98 2,139 2,328 2,734 260 533,15 1,985 2,131 2,294 2,621 280 553,15 1,989 2,127 2,278 2,567 300 573,15 1,989 2,123 2,261 2,525 320 593,15 1,993 2,119 2,244 2,487 340 613,15 1,993 2,11 2,232 2,453 360 633,15 1,997 2,11 2,219 2,424 380 653,15 2,001 2,11 2,211 2,399 400 673,15 2,005 2,106 2,206 2,378 420 693,15 2,014 2,106 2,198 2,361 440 713,15 2,018 2,11 2,194 2,349 460 733,15 2,022 2,11 2,194 2,34 480 753,15 2,026 2,11 2,19 2,332 500 773,15 2,031 2,114 2,19 2,324 520 793,15 2,039 2,114 2,19 2,315 540 813,15 2,043 2,119 2,19 2,311 560 833,15 2,047 2,123 2,19 2,307 580 853,15 2,056 2,127 2,19 2,303 600 873,15 2,06 2,127 2,194 2,299
- 82 -
3.05-2. Táblázat A túlhevített vízgőz cpköz közepes fajhője ( a telítettségi hőmérséklettől az adott hőmérsékletig számítva ) Nyomás p 3 MPa 4 MPa 5 MPa 6 MPa Hőmérséklet Közepes fajhő t T cpköz o C K kJ/kg 240 513,15 3,123 260 533,15 2,968 3,483 280 553,15 2,876 3,262 3,68 4,107 300 573,15 2,801 3,136 3,467 3,848 320 593,15 2,734 3,027 3,299 3,655 340 613,15 2,68 2,931 3,186 3,509 360 633,15 2,633 2,851 3,09 3,345 380 653,15 2,596 2,793 3,002 3,228 400 673,15 2,562 2,742 2,931 3,128 420 693,15 2,533 2,7 2,872 3,048 440 713,15 2,508 2,663 2,818 2,981 460 733,15 2,487 2,663 2,776 2,927 480 753,15 2,466 2,604 2,738 2,876 500 773,15 2,453 2,579 2,705 2,834 520 793,15 2,441 2,558 2,68 2,801 540 813,15 2,428 2,541 2,654 2,767 560 833,15 2,416 2,525 2,633 2,738 580 853,15 2,407 2,512 2,613 2,713 600 873,15 2,399 2,5 2,596 2,692
- 83 -
3.05-3. Táblázat A túlhevített vízgőz cpköz közepes fajhője ( a telítettségi hőmérséklettől az adott hőmérsékletig számítva ) Nyomás p 7 MPa 8 MPa 9 MPa 10 MPa Hőmérséklet Közepes fajhő t T cpköz o C K kJ/kg 300 573,15 4,35 5,053 320 593,15 4,07 4,564 5,095 5,719 340 613,15 3,831 4,22 4,668 5,175 360 633,15 3,626 3,948 4,3 4,719 380 653,15 3,471 3,739 4,036 4,371 400 673,15 3,341 3,58 3,831 4,111 420 693,15 3,236 3,45 3,668 3,91 440 713,15 3,157 3,341 3,538 3,751 460 733,15 3,086 3,253 3,433 3,622 480 753,15 3,023 3,182 3,341 3,513 500 773,15 2,973 3,115 3,262 3,421 520 793,15 2,927 3,061 3,195 3,341 540 813,15 2,889 3,01 3,136 3,27 560 833,15 2,851 2,964 3,086 3,207 580 853,15 2,818 2,927 3,04 3,157 600 873,15 2,793 2,893 2,998 3,111
- 84 -
3.05-4. Táblázat A túlhevített vízgőz cpköz közepes fajhője ( a telítettségi hőmérséklettől az adott hőmérsékletig számítva ) Nyomás p 11 MPa 12 MPa 13 MPa 14 MPa Hőmérséklet Közepes fajhő t T cpköz o C K kJ/kg 320 593,15 6,49 340 613,15 5,795 6,636 7,825 9,466 360 633,15 5,171 5,694 6,368 7,193 380 653,15 4,756 5,171 5,673 6,247 400 673,15 4,434 4,773 5,175 5,594 420 693,15 4,183 4,472 4,802 5,158 440 713,15 3,986 4,237 4,518 4,819 460 733,15 3,831 4,049 4,291 4,547 480 753,15 3,701 3,894 4,107 4,333 500 773,15 3,588 3,764 3,961 4,162 520 793,15 3,496 3,655 3,831 4,015 540 813,15 3,416 3,563 3,772 3,89 560 833,15 3,354 3,479 3,636 3,781 580 853,15 3,282 3,408 3,546 3,689 600 873,15 3,228 3,345 3,471 3,605
- 85 -
3.05-5. Táblázat A túlhevített vízgőz cpköz közepes fajhője ( a telítettségi hőmérséklettől az adott hőmérsékletig számítva ) Nyomás p 15 MPa 16 MPa 17 MPa 18 MPa Hőmérséklet Közepes fajhő t T cpköz o C K kJ/kg 360 633,15 8,269 9,659 11,79 380 653,15 6,925 7,746 8,847 10,308 400 673,15 6,121 6,716 7,44 8,336 420 693,15 5,568 6,029 6,577 7,239 440 713,15 5,158 5,535 5,975 6,494 460 733,15 4,836 5,158 5,522 5,949 480 753,15 4,585 4,865 5,179 5,539 500 773,15 4,384 4,631 4,903 5,221 520 793,15 4,216 4,434 4,681 4,957 540 813,15 4,07 4,226 4,488 4,739 560 833,15 3,948 4,128 4,329 4,555 580 853,15 3,843 4,007 4,191 4,396 600 873,15 3,747 3,902 4,07 4,262
- 86 -
3.05-6. Táblázat A túlhevített vízgőz cpköz közepes fajhője ( a telítettségi hőmérséklettől az adott hőmérsékletig számítva ) Nyomás p 19 MPa 20 MPa 21 MPa 22 MPa Hőmérséklet Közepes fajhő t T cpköz o C K kJ/kg 380 653,15 12,414 15,508 400 673,15 9,479 11,007 13,297 17,212 420 693,15 7,976 9,048 10,475 12,803 440 713,15 7,113 7,871 8,914 10,555 460 733,15 6,452 7,063 7,88 9,14 480 753,15 5,962 6,473 7,147 8,168 500 773,15 5,581 6,016 6,586 7,453 520 793,15 5,275 5,652 6,155 6,9 540 813,15 5,024 5,359 5,799 4,456 560 833,15 4,811 5,112 5,506 6,092 580 853,15 4,631 4,907 5,263 5,79 600 873,15 4,476 4,727 5,053 5,535
- 87 -
3.3.3.2.
A folyadék és a gőz entalpiája:
Az általános energiaegyenletből kiindulva azt írhatjuk:
dq = du + p ⋅ dv Izobár változás esetén:
.
q12 = u2 − u1 + p ⋅ ( v 2 − v1 ) .
Az egyenlet jobb oldalát átcsoportosítva kapjuk, hogy
q12 = ( u2 + p ⋅ v 2 ) − ( u1 − p ⋅ v1 )
.
Az entalpia korábbi megfogalmazásából láthatjuk, hogy
i = u + p ⋅ dv aminek helyettesítésével a közölt hő
,
q12 = i2 − i1
kJ/kg.
Ez azt jelenti, hogy a közeggel közölt hőmennyiség az entalpia növekedését jelenti. Ezek után nézzük meg, mi az összefüggés az entalpiák és a folyadék (λ’), illetve gőz megfelelő (λ”,λn,λt) hői között. Tegyük fel, hogy 1 kg folyadék p állandó nyomáson 0°C kezdeti hőmérsékletről valamely t2 véghőmérsékletre hevül fel, mely lehet folyadék-, nedves- vagy túlhevített gőzhőmérséklet. Erre a folyamatra írjuk fel a már általános esetre levezetett összefüggést:
q12 = λ 12 = u2 − u1 + p ⋅ ( v 2 − v1 ) , ahol:
λ12 a folyamatban részt vevő folyadék (gőz) hője, u1 a folyadék belső energiája a folyamat kezdetén 0°C-on, u2 a folyadék vagy gőz belső energiája a hevítési folyamat végén t2 hőmérsékleten, v1 a folyadék fajtérfogata 0°C-on, v2 a folyadék vagy gőz fajtérfogata a hevítési folyamat végén t2 0°C-on. Mint ismeretes, a belső energiát 0°C-tól számítjuk, ezért u1=0, és ezen kívül v1=v0 . A fentieket figyelembe véve és a fenti egyenletben a zárójelet felbontva kapjuk, hogy
λ 2 = u2 + p ⋅ v 2 − p ⋅ v' 0 , illetve
λ 2 = i2 − p ⋅ v' 0 .
Mivel a p⋅v’0 értéke igen kicsi, gyakorlati számításainkban elhanyagolható, így már általánosan írható:
λ≅i .
- 88 -
Tehát a folyadék melegítésének sajátos eseteiben úgy veszik, hogy az entalpia: i' ≈ λ ' , i" ≈ λ " , in ≈ λ n , it ≈ λ t .
folyadékra száraz telitett gőzre nedves gőzre túlhevített gőzre 3.3.3.3.
A folyadék és gőz belső energiája:
a) A folyadék belső energiáját az entalpia összefüggéséből kiindulva határozhatjuk meg:
i' = u'+ p ⋅ v ' 0 . Mivel az előzőekben már megállapítottuk, hogy
p ⋅ v' 0 ≅ 0 , tehát azt kapjuk, hogy a folyadék belső energiája közelítőleg az entalpiával azonos:
u' = i' . b) A száraz telitett gőz belső energiáját a gőzben maradt belső párolgási hő (ρ) is növeli, ezért
u" = u'+ ρ . Mivel a külső párolgási hő (ψ) a gőznek v’ fajtérfogatról v” fajtérfogatra való terjeszkedésre fordítódik, vagyis mechanikai munkává alakul, ezért a gőz belső energiáját nem növeli. c) A nedves gőz belső energiája a teljes folyadék belső energiájából, továbbá a belső párolgási hőnek a gőztartalom (x) arányából vett értékéből áll, azaz:
un = u'+ x ⋅ ρ . Ebből az egyenletből következik, hogy minél nagyobb a nedves gőz belső energiája, annál nagyobb mennyiségű száraz gőzt tartalmaz, vagyis annál nagyobb az x fajlagos gőztartalom. Szélső esetben x=1, akkor un = u" . d) A túlhevített gőz belső energiáját az előzőekhez hasonlóan a száraz telitett gőz és a túlhevített gőz belső energiájának összegeként kapjuk: Tt
ut = u"+ ∫ c v dT , Ts vt
vagy
ut = it − ∫ pdv , v"
ahol: vt a túlhevített gőz fajtérfogata. - 89 -
A két összefüggés közül a második az egyszerűbb, mert a cv-t kísérletileg nehéz megállapítani, és a fajhőnek a cp-cv különbsége a gőzöknél nem állandó mennyiség, mint az ideális gázoknál, mert az entalpia és a belső energia nem függetlenek a térfogattól. Számításokban a gőz belső energiáját az entalpia segítségével határozzuk meg, tehát
u" = i"− p ⋅ v" , un = in − p ⋅ v n , ut = it − p ⋅ v .
száraz telitett gőzre nedves gőzre túlhevített gőzre
Az egyenletek jobb oldalán szereplő entalpiák, nyomások és fajtérfogatok értékeit vízgőztáblázatokból vagy diagramokból állapítjuk meg. 3.3.3.4.
A folyadék és a gőz entrópiája:
a) A folyadék entrópiáját (s’) a telítődési hőfokon dq ds = T kifejezés integrálása után nyerjük: s'
Ts
s0
T0
∫ ds = ∫
Mivel a folyadékra
dq . T
dq = c ⋅ dT ,
ezért az entrópiaváltozás: Ts
s'− s0 = c ⋅ ∫
T0
T dT = c ⋅ ln s . T T0
Mivel a megállapodás szerint T0=273 K=0°C hőmérsékleten s0=0, ezért írhatjuk, hogy s' = c ⋅ ln
Ts 273
kJ/kg⋅K .
A folyadék entrópiáján tehát 1 kg 0°C hőmérsékletű folyadék entrópianövekedését értjük, ha azt állandó nyomáson forrásig hevítjük. b) A száraz telitett gőz entrópiája a gőzképződés folyamata alatt s’-ről s”-re növekszik. Mivel a gőzképződés forrásban levő folyadékból állandó hőmérsékleten (Ts) megy végbe, ezért az entrópia növekedését ebben a folyamatban az alábbi összefüggésből lehet kiszámítani: q s"− s' = , Ts r illetve s"− s' = . Ts Ebből a száraz telitett gőz entrópiája: T r . s" = c ⋅ ln s + 273 Ts
- 90 -
A száraz telitett gőz entrópiája (s”) tehát 1kg 0°C-ú folyadék entrópianövekedése, ha az állandó nyomáson száraz telitett gőzzé alakul át. c) Mivel az x fajlagos gőztartalmú nedves gőzt a párolgási hő x-ed része hozza létre, így a nedves gőz entrópiája:
s n = s'+ x ⋅
r , Ts
vagy
s n = c ⋅ ln
Ts r + x⋅ Ts 273
.
d) A túlhevített gőz entrópiája (st) állandó nyomáson az elemi entrópiaváltozás
ds =
dq dT = cp ⋅ T T
egyenletéből határozható meg, amelyet integrálva kapjuk: st
Tt
s"
Ts
∫ ds = ∫ c p ⋅
dT , T
ahonnan
st = s"+ c p ⋅ ln
Tt , Ts
vagy
st = c ⋅ ln
Ts T r + + c p ⋅ ln t 273 Ts Ts
kJ/kg⋅K .
3.3.4. Vízgőz- táblázatok és diagramok: 3.3.4.1.
Vízgőz-táblázatok:
Az előzőekben látható, hogy a telitett gőzök tulajdonságai sokkal bonyolultabbak, mint az ideális gázoké, melyeknél a három állapotjelző (p,v,T) közül kettő a harmadikat egyértelműen meghatározza. A telitett gőz nyomásának és hőmérsékletének (p,Ts) ismerete még nem határozza meg a gőz állapotát, mert a fajtérfogat értéke v’ és v” között bármilyen értéket felvehet attól függően, hogy mekkora a gőz fajlagos gőztaratalma (x). A számítások egyszerűsítése és gyorsítása céljából különböző intézetek részletes gőztáblázatokat késztettek, melyek a gyakorlatban sűrűn előforduló hőmérséklet- és nyomáshatárok között tartalmazzák a p,Ts,v’,v”,i’,i”,r,s’ és s” értékeket, ugyancsak megtalálható a táblázatokban a túlhevített vízgőz vt,it és st értékei a különböző nyomások és hőmérsékletek mellett. A táblázatok különböző szakkönyvekben megtalálhatók.
- 91 -
3.3.4.2.
Vízgőz-diagramok:
A gőztáblázatokon kívül szintén a gyakorlati számítások megkönnyítését szolgálják a gőzdiagramok. Ezek közül a leggyakrabban használtak a következők:
− az (i-p) diagram − a (T-s) diagram − az (i-s) diagram
a) Az (i-p) diagram:
3.45.ábra Ez a diagram az i’ folyadék-entalpiának, az r párolgáshőnek és a qt túlhevítési hőnek a p nyomás függvényében történő változását ábrázolja. Az ábráról leolvasható, hogy a folyadék-entalpia annál nagyobb, a párolgáshő pedig annál kisebb részét teszi ki a túlhevített gőz it entalpiájának, minél nagyobb a gőz nyomása. A „K” kritikus pontban a párolgáshő zérussá válik, mert itt a folyadék és a gőzállapot közti különbség megszűnik. A túlhevítési hő százalékos mennyisége kb. 10 MPa nyomásig változatlan, ettől kezdve pedig növekszik - a párolgási hő rovására. A száraz telitett gőz i” entalpiája mintegy 2,5 MPa nyomásnál éri el a maximumot, tehát ettől kezdve a termeléshez szükséges hő csökken. b) A (T-s) diagram
- 92 -
(3.46.ábra): A hőmérséklet és az entrópia közötti összefüggést feltűntető görbének a kezdőpontja 0°C, ahol a folyékony halmazállapotú víz entrópiája a megállapodás szerint zérus. Ha a vizet a különböző nyomásokhoz tartozó forráspontig melegítjük, annak entrópiája (0-K) görbe szerint nő. Ez az alsó határgörbe. A Ts forráspontig felhevített vizet a hozzá tartozó p nyomáson tovább melegítve az gőzállapotba megy át, és a Ts hőmérséklet - ha p nem változik - egészen addig változatlan marad, míg a teljes folyadékmennyiség el nem párolgott. Ez akkor következik be, ha a Ts hőmérsékletű vizzel az r párolgáshőnek megfelelő mennyiségű hőt közlünk. Az x fajlagos gőztartalom az r párolgási hő bevezetett részével arányosan növekszik. A teljes elpárolgás során a víz entrópiája r/Ts értékkel növekedett. A felső határgörbét tehát úgy nyerjük, ha az alsó határgörbétől jobbra, a T=áll. Vonalak mentén felvisszük az r/Ts entrópiákat. Ezek végpontjai adják a felső határgörbét. Természetesen az alsó határgörbe itt is az x=0 folyadékállapotot, a felső határgörbe pedig az x=1 száraz telitett gőzállapotot jelzi. A két határgörbe találkozásánál van a „K” kritikus pont. A két határgörbe - ugyanúgy, mint a p-v diagramban - itt is három mezőre osztja az állapotváltozás területét:
− az alsó határgörbétől balra van a folyadék, − a két határgörbe között a nedves, és − a felső határgörbétől jobbra a túlhevítési mező. Ha a folyadékától elválasztott telitett gőzt állandó nyomáson tovább hevítjük, az állapotváltozást - amely most már túlhevítési mezőben játszódik le - az entrópia viszonylag kis mértékű növekedése miatt meredek logaritmikus görbék jelzik. A T-s diagram nagy előnye, hogy benne az egyes állapotváltozásokat jelző vonalak alatti területek az állapotváltozások létrehozásához szükséges hőmennyiségeket jelzik (q=Tds). Ahhoz azonban, hogy ezek a területek nagyság szerint helyesen adják meg a hőmennyiségeket, a T hőmérsékletet az abszolút zérus ponttól kezdve kell felrakni. Ebben a diagramban az x=áll. vonalakat az egyes Ts hőmérsékletekhez az
- 93 -
r Ts entrópianövekedésekből szerkeszthetjük meg. A p=áll. Vonalak a telítési mezőben a két határgörbe közötti vízszintes egyenesek, a túlhevítési mezőben logaritmikus görbék. A v=áll. Vonalak pontjait a nedves mezőben a p vízszinteseken azok az x vonalak metszik ki, melyeket a ∆s = x ⋅
v n = v '+ x ⋅ ( v"− v ' ) egyenletből határozunk meg. A túlhevítési mezőben a v görbék pontjait az összetartozó T és p vonalak metszései adják. Az i=áll. Vonalakat a telítési mezőben a p vízszinteseken azoknak az x vonalaknak a metszései szolgáltatják, amelyeket az i n = i' + x ⋅ r egyenletből határozunk meg. A túlhevítési mezőben viszont az i=áll. Vonalakat úgy kapjuk, hogy a p=áll. Vonalakon az egyes it entalpiáknak megfelelő hőmérsékleteket megjelöljük és az egyező jelzésű pontokat összekötjük. A mellékelt 3.46.b ábrán az 1 MPa nyomású, 400°C-ra túlhevített gőznek a 0°C-ú vízből való előállítását ábrázoltuk. A folyamat három részből tevődik össze:
− az első részben felmelegítjük a vizet 0°C-ról az 1 MPa-nak megfelelő forráspontra, Ts=179 0°C-ra. Ezt a részfolyamatot a diagramban az a-b vonal jelzi; − a következő részben az 1 MPa nyomású, Ts=179 0°C-os vízből 1 MPa nyomású, 179 0°C-os száraz telitett gőzt termelünk, miközben a hőmérséklet nem változik. A diagramban ezt az állapotváltozást a b-c vonal jelzi; − a folyamat utolsó szakaszában az 1 MPa nyomású száraz telitett gőzből ugyancsak 1 MPa nyomású, de 400 0°C-os túlhevített gőzt termelünk. Ez a részfolyamat a c-d vonal mentén megy végbe, melynek d végpontját a p=1 MPa nyomásvonalon a 400 0°C-hoz tartozó vízszintes metszi ki. Az egyes részfolyamatoknál felhasznált hőmennyiségeket a részfolyamatokat jelző vonaldarabok alatti területek szolgáltatják az abszolút zérus ponttól számítva. Az a-b-g-a terület tehát a folyadékhőt, a b-c-f-g-b terület a párolgáshőt és a c-d-e-f-c terület pedig a túlhevítéshez szükséges hőt jelzi.
- 94 -
c) Az i-s diagram Termodinamikai számításokhoz és méretezésekhez az i-s, vagy Mollier-diagramot használjuk, melynél az abszcisszatengelyre az s entrópiát, az ordinátatengelyre pedig az i entalpiát visszük fel. A két határgörbe közötti terület itt is nedves, a felső határgörbétől jobbra eső terület pedig a túlhevítési mezőt jelzi. A p=áll., T=áll., x=áll. Vonalak ebben a diagramban is megtalálhatók. Némelyik kiadás a v=áll. Vonalakat is feltűnteti. 3.47.ábra A t=áll. vonalak a nedves mezőben egybe esnek a p=áll. vonalakkal, míg a túlhevítési mezőben - a kritikushoz közel eső területet kivéve - majdnem vízszintesek. Az x=áll. vonalak meghatározása ugyanúgy történik, mint a T-s diagramnál. A p=áll. és v=áll. vonalak a túlhevítési mezőben közel logaritmikus görbék, melyek törés nélküli folytatásai a nedves mező vonalainak. A „K” kritikus pont itt nem a határgörbe legnagyobb pontján helyezkedik el, mint a T-s diagramban, mert a kritikusnál kisebb nyomású telitett gőz entalpiája a nyomás csökkenésével növekszik, amint előbb már említettük kb. 2,5 MPa nyomásig, ahol eléri a legnagyobb értékét, majd ismét csökken. A gyakorlat számára késztett diagram a teljes Mollier-diagramnak csak egy része, amelyet megfelelő nagyobb méretarányban hoznak forgalomba (3.47.ábra). 3.3.5. A vízgőz állapotváltozásai: A vízgőz állapotváltozásait legcélszerűbb a diagramokban megvizsgálni, mert a gőzöknél állapotegyenlet hiányában az állapotváltozásoknak számítás útján történő meghatározása nagyon bonyolult művelet lenne. A tárgyalandó állapotváltozások vizsgálatát 1 kg közegre és általában mind a három (p-v, T-s és i-s) diagramban fogjuk elvégezni. 3.3.5.1.
Izochor állapotváltozás (v=áll.):
Ha a zárt térben lévő nedves gőzzel hőt közlünk, a nyomása p1-ről p2-re, ezzel egyidejűleg a hőfoka T1-ről T2-re és a fajlagos gőztartalma x1-ről x2-re növekszik (3.48.ábra).
3.48.ábra. - 95 -
a) Ha x1 ismeretes, x2 értékét a következőképpen határozzuk meg:
− az 1 pontra érvényes, hogy − a 2 pontra érvényes, hogy
Minthogy
v1 = v '1 + x1 ⋅ ( v"1 − v '1 ) ,
v 2 = v ' 2 + x 2 ⋅ ( v "2 − v ' 2 ) .
v1=v2=állandó
és v’1≈v’2 ,
x1 ⋅ ( v"1 − v '1 ) = x 2 ⋅ ( v"2 − v ' 2 ) , ebből:
x 2 = x1 ⋅
v"1 − v '1 . v"2 − v ' 2
A gőzzel további hőt közölve a nedves gőz száraz telitett válik gőzzé (x=1). A p-v diagramban (3.48.ábra) ezt az állapotot a 3. pont jelzi. Ha a fajlagos gőztartalom olyan kicsi, hogy a nedves gőz fajtérfogata a kritikus fajtérfogatnál kisebb (1’), a hőközlés folyamán a fajlagos gőztartalom csökken (1’2’) függvényvonal és a 3’ pontban a közeg az alsó határgörbének megfelelő folyadékállapotba jut. b) A belső energia változását az általános egyenletből kiindulva határozhatjuk meg:
q12 = ( u2 − u1 ) + w12 . Mivel izochor állapotváltozás során külső munka nincs, Tehát a folyamatban részt vevő hőmennyiség egyenlő a belső energia változásával:
q12 = u2 − u1 , illetve
q12 = ( u' 2 + x 2 ⋅ ρ 2 ) − ( u'1 + x1 ⋅ ρ 1 ) .
Ezt a hőmennyiséget a T-s diagramban (3.48.b ábra) 1-2 (v=áll.) függvényvonal alatti terület adja. A belső energia változása a túlhevített mezőben pedig
q34 = u4 − u3 , amint azt a T-s diagram mutatja. c) Az entrópiaváltozás mértékét a vízgőz-táblázatból vett adatok alapján számítással is meghatározhatjuk, mivel r r s2 − s1 = ( s' 2 + x 2 ⋅ 2 ) − ( s'1 + x1 ⋅ 1 ) . T2 T1 A T-s diagram 1-2 izochorját megrajzolhatjuk, ha a p-v diagram izochorjának egyes p és x pontjaihoz tartozó T és x pontokat a T-s diagramba berajzoljuk és azokat folytonos vonallal összekötjük.
- 96 -
3.3.5.2.
Izobár állapotváltozás (p=áll.):
a) Izobár állapotváltozás a nedves mezőben: A nedves mezőben az állapotváltozás egyúttal izotermikus (T=áll.) állapotváltozás is a p=f(T) egyenértékű összefüggésből kifolyólag (3.49.ábra).
3.49.ábra.
α) A hőközlés során a fajlagos gőztartalom x1-ről x2-re növekszik. Ha x1 ismeretes, x2 értékét a következőképpen lehet meghatározni: − az 1 pontra érvényes :
v1 = v + x1 ⋅ ( v"− v ' ) ,
− a 2 pontra érvényes:
v 2 = v ' + x 2 ⋅ ( v '− v ' ) . A két egyenletet egymásból kivonva: v 2 − v1 = ( x 2 − x1 ) ⋅ ( v"− v ' ) , ahonnan v − v1 x 2 − x1 = 2 , v"− v ' ebből: v − v1 x 2 = x1 + 2 . v"− v ' β) ., A gőz p=állandó nyomáson végzett munkája: 2
W12 = ∫ pdv = p ⋅ ( v 2 − v1 ) , 1
illetve:
W12 = p ⋅ ( x 2 − x1 ) ⋅ ( v 2 − v1 ) ,
A külső munka tehát megegyezik a külső elgőzölögtetési hővel.
χ) ., A belső energia változása, a már ismert összefüggés alapján:
u2 − u1 = ( u'+ x 2 ⋅ ρ ) − ( u'+ x1 ⋅ ρ ) , illetve - 97 -
u2 − u1 = ρ ⋅ ( x 2 − x1 ) . δ) Az izobár állapotváltozást a T-s diagramban is vízszintes egyenes ábrázolja (1-2), mely a p=állandó nyomáshoz tartozó Ts telítési hőfokon az x1 fajlagos gőztartalomtól az x2 fajlagos gőztartalomig tart. Az entrópia változását - a T-s diagram szerint - az állapotváltozás során közölt hőmennyiség ismerete mellet az alábbi összefüggésből határozhatjuk meg:
s2 − s1 =
q12 . Ts
Mivel az 1 pontra érvényes, hogy s1 = s'+ x1 ⋅ ( s"− s' ) , a 2 pontra is érvényes, hogy s2 = s'+ x 2 ⋅ ( s"− s' ) , a két egyenletet egymásból kivonva az entrópia változása az alábbi összefüggés alapján is kiszámítható:
s2 − s1 = ( x 2 − x1 ) ⋅ ( s"− s' ) . ε) Ha x1 és x2 ismeretesek, akkor pl. a telitett gőz entalpia változását adott p nyomáson a következőképpen határozzuk meg. A p nyomással a száraz telitett gőz i” entalpiája és a folyadék i’ entalpiája a gőztáblázatból ismeretes. Ezekkel az értékekkel i1 = (1 − x1 ) ⋅ i'+ x1 ⋅ i" = i'+ x1 ⋅ ( i"−i' ) , i1 = i'+ x1 ⋅ r , illetve i2 = (1 − x 2 ) ⋅ i'+ x 2 ⋅ i" = i'+ x 2 ⋅ ( i"− i' ) , i2 = i'+ x 2 ⋅ r , ahonnan i2 − i1 = i'+ x 2 ⋅ r − ( i'+ x1 ⋅ r ) . Egyszerűsítés után a keresett entalpia változása: i2 − i1 = ( x 2 − x1 ) ⋅ r . A folyamatban közölt hő a termodinamika első főtétele alapján:
dq = du + dw , vagy az 1-2 véges folyamatra q12
∫
0
dq =
u2
w12
∫ du + ∫ dw
u1
,
0
ahonnan
q12 = u2 − u1 + w12 . A belső energia változásának és a külső munkának a már ismert összefüggését felhasználva írhatjuk: q12 = ρ ⋅ ( x 2 − x1 ) + p ⋅ ( x 2 − x1 ) ⋅ ( v"− v ' ) . Egyszerűsítés után kapjuk: q12 = ( x 2 − x1 ) ⋅ ( ρ + p ⋅ ( v"− v ' ) , - 98 -
illetve vagy
q12 = ( x 2 ⋅ x1 ) ⋅ r
,
q12 = i2 − i1 .
A közölt hő nagyságát entrópia változásával is kifejezhetjük:
q12 = Ts ⋅ ( s2 − s1 ) , illetve
q12 = T2 ⋅ ( x 2 − x1 ) ⋅ ( s"− s' ) .
b) Izobár állapotváltozás a túlhevített mezőben: A túlhevített mezőben a gőz úgy viselkedik, mint a gázok, vagyis a hőközlés során, ha a nyomás állandó, a hőfok mértékében növekszik. A p-v diagramban az izobár alatti terület a hőközlés során végzett w3,4 munkát, a T-s diagramban pedig a 3-4 vonal alatti vonalkázott terület a közölt hő nagyságát adja. 3.3.5.3.
Izotermikus állapotváltozás:
a) A nedves mezőben az izotermák és az izobárok, mint az előző pontban már említettük, egybeesnek, tehát az izobár állapotváltozásra megállapított összefüggések az izotermikus állapotváltozásra is érvényesek. b) A gőz túlhevítésekor (3.50.ábra) az izoterma mentén csökken a nyomás és nő a fajtérfogat. A T-s diagramban az állapotváltozást a 3-4 vízszintes függvényvonal ábrázolja. A 3 pontban az állapotjelzők p3 és v3, a 4 pontban pedig p4 és v4. Az izoterma (3-4 vonal) és az abszcissza-tengely által határolt terület a q3,4 hőmennyiséget adja. Az állapotváltozás során kapott vagy felhasznált külső munkát a legegyszerűbben úgy lehet meghatározni, hogy az állapotváltozást jelző függvényvonalat a p-v diagramba átmásoljuk és a függvényvonal alatti területet planimetráljuk.
3.50.ábra
- 99 -
3.51.ábra
3.3.5.4.
Adiabatikus állapotváltozás (q=áll.):
Ezt az állapotváltozást legcélszerűbb a T-s, vagy az i-s diagramban nyomon követni. Ugyanis az adiabatikus állapotváltozás jellemzője, hogy a gőz és a külső hőforrás között hőcsere nincs, tehát dq=0, és így
ds = vagyis az
dq =0 , T
s1 = s2 = á llandó .
Az adiabatikus állapotváltozás közben a fajlagos gőztartalom a legkülönbözőbb módon változhat, amelyre a hőerőgépekben különösen a terjeszkedési folyamatoknál kell ügyelni. A 3.51. ábrán adott p1 és p2 nyomáshatárok között különböző kiindulási állapotú expanzióvonalakat tűntettünk fel. A nagy fajlagos nedvességtartalmú gőz esetében (1-2) a fajlagos gőztartalom növekszik (x2>x1), tehát a gőz szárazabb lesz. Ha a felső határgörbe közelében nagy fajlagos gőztartalommal rendelkező gőz expandál (3-4), a fajlagos gőztartalom csökken (x4<x3). a) Az x2 fajlagos gőztartalmat, ha a tetszőleges 1 pont x1 kezdeti fajlagos gőztartalma ismeretes, az entrópia állandóságának felhasználásával az s1=s2,
(1 − x1 ) ⋅ s'1 + x1 ⋅ s"1 = (1 − x 2 ) ⋅ s' 2 + x 2 ⋅ s"2 összefüggésből határozzuk meg, amely szerint:
x 2 = x1 ⋅
s"1 − s'1 s'1 − s' 2 + s"2 − s' 2 s"2 − s' 2
.
b) A belső energia megváltozását pedig az alábbi összefüggésből számíthatjuk: - 100 -
u2 − u1 = ( u' 2 + x 2 ⋅ ρ 2 ) − ( u'1 + x1 ⋅ ρ 1 ) . c) Az adiabatikus állapotváltozáskor végzett munkát a p-v diagramból (3.51.a ábra) a v1,1,2,v2 terület planimetrálásával lehet meghatározni. Egyszerűbb a munkát meghatározni az első főtétel alapján, mivel az adiabatikus állapotváltozás esetében a külső munka megegyezik a belső energia változásával, vagyis
dq = du + dw = 0 , és ebből
dw = − du ,
tehát w12
∫
0
így
u2
dw = − ∫ du , u1
w12 = u1 − u2 .
Mivel
u1 = i1 − p1 ⋅ v1 ,
és
u2 = i2 − p 2 ⋅ v 2 , tehát a végzett munka:
w12 = i1 − i2 − ( p1 ⋅ v1 − p 2 ⋅ v 2 ) .
Az állapotváltozás folyamán nyert munka nagyságára a p-v diagram ad legegyszerűbben feleletet. A 3.51. ábrában egy tetszőleges adiabatát (s=áll.) rajzoltunk be, amelyen az állapotváltozás az 1 ponttól a 2-ig tart. A nyert munkát az adiabata alattivonalkázott terület jelzi. Ezt a munkát megközelítőleg számítással is meg lehet határozni, ugyanis az adiabatára a nedves területen is érvényesíthető a p ⋅ v = állandó összefüggés. A ℵ kitevő értéke, a 70% és 100% közötti fajlagos gőztartalom mellett és a 2,5 MPa nyomásnál nem nagyobb nyomások esetén Zeuner szerint:
α) a nedves mezőben, χ = 1,035 + 0,1 ⋅ x ,
α) a határgörbén (x=1), χ = 1135 , ,
α) a túlhevítési mezőben a felső határgörbéig érvényes: χ = 1,3 . Ezzel a ℵ kitevő értékének ismerete mellett a nyert munka már kiszámitható az alábbi összefüggés alapján:
- 101 -
χ −1 χ p 1 w12 = ⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ 1 − 2 χ −1 p1
.
A hőerőgépek munkafolyamatainak vizsgálatakor és méretezésekor gyakran találkozunk adiabatikus állapotváltozással, amelyet legegyszerűbb az i-s diagramban vizsgálni, mert a hőesés közvetlenül lemérhető (3.51.c ábra). 3.3.5.5.
Fojtás:
Fojtásnak nevezzük azt a folyamatot, amikor egy csővezetékben áramló gőz (vagy gáz) útjába leszűkített keresztmetszet kerül, melyen átáramolva, a közeg addigi p1 nyomása p2re csökken (3.52.ábra). A folyamat alatt technikai értelemben vett külső munkavégzés nem történik. Ha feltételezzük, hogy a környezettel hőkicserélődés nem állt elő, akkor a fojtást az adiabatikus expanzió egyik különleges eseteként tekinthetjük.
3.52.ábra: Az előbbi feltételezések értelmében a fojtótárcsa előtti I-I és a fojtótárcsa utáni II-II keresztmetszeten ugyanazon energiamennyiségnek kell átáramolni az egységnyi idő alatt. Az áramló gáz energiája az entalpiájának és a sebességi energiájának az összegével egyenlő, vagyis
u1 + p1 ⋅ v1 + Wc1 = u2 + p 2 ⋅ v 2 + Wc2 , illetve
i1 + Wc1 = i2 + Wc2 .
Ha a fojtótárcsa utáni csővezeték keresztmetszetét megfelelően választjuk meg, akkor a sebességi energia ( Wc1 illetve Wc2 ) változását elhanyagolhatjuk. Ettől eltekintve is, kb. c=40...60 m/s sebességértékig a kinetikai energia az entalpiához képest elhanyagolható. Ebben az esetben
i1 = i2 = állandó vagyis fojtás alatt a közeg entalpiája állandó. A fojtás a nem megfordítható folyamatok egyik jellegzetes esete, mivel a közegnek az ellenkező irányba való áramoltatása csak külső munka árán volna lehetséges. - 102 -
Minthogy fojtáskor a gőz entalpiája változatlan, ezért az állapotváltozás lefolyását az i-s diagramban célszerű vizsgálni, ahol a gőz kezdő- és végállapota az abszcisszatengellyel (entrópiatengellyel) párhuzamos egyenesen fekszik (3.53.ábra).
3.53.ábra: Fojtás révén a nedves gőz szárazzá, sőt még túlhevítetté is válhat, amint az az i-s diagramon látható. A diagramon az is látható, hogy a gőz hőmérséklete fojtáskor csökken. Fojtáskor a gőz szárazabb lesz, mert a nyomás csökkenésével folyadékhő szabadul fel, melynek egy része az alacsonyabb nyomáson megnövekvő párolgási hő fedezésére fordítódik, a másik része a folyadékhőnek a hőz szárítását, illetve túlhevítését végzi.
- 103 -
3.4. A hőközlés módjai A hő természetes úton, vagyis önmagától csak nagyobb hőmérsékletű közegből tud kisebb hőmérsékletű közegbe áramlani (termodinamika II. főtétele), emiatt a hőközlés folyamatában mindig hőfokkülönbségnek kell lenni,. Hő nagyobb hőmérsékletű közegből kisebb hőfokú közegbe három féle módon juthat: 1.hővezetéssel szilárd testekben, továbbá nyugalomban lévő folyadékokban és gázokban, 2. hőátadással, hőszállítással /konvekcióval / áramló folyadékok, gázok, szilárd testek kö zött, és 3. hősugárzással, amely esetben közvetítő közegre szükség nincsen. A hőközlés három fajtája a technikai gyakorlatban legtöbbször kapcsolódik egymáshoz. Pl. a gőzmozdony tüzelőberendezésében az égés folytán felszabaduló hőt a kazán vízterében kell juttatni; a hőközlés ezen esetben a következő módon történik: a tűzszekrény teréből a hő egyrészt sugárzás, másrészt az áramló füstgázokkal való érintkezés útján átadódik a kazán fűtőfelületének tűzoldalára, innen vezetés útján a falakon keresztül a fűtőfelület vízoldalára jut, ahonnan ismét érintkezés útján az áramlásban lévő kazán vízébe kerül. Mivel a hőkezelés egyes módozatai más-más törvényszerűséget követnek, ezért azokkal külön-külön fogunk foglalkozni. 3.4.1. Hővezetés Hővezetés keletkezik minden esetben, ha a test egyes részei között hőmérséklet különbség lép fel, vagy ha két különböző hőmérsékletű test egymással érintkezik. Ez a jelenség is, és általában a hővezető ténye azzal magyarázható, hogy a nagyobb hőmérsékletű, vagyis nagyobb, kinetikai energiával rendelkező molekulák energiájuk egy részét átadjuk a szomszédos, kisebb energiával rendelkező molekulának és ezáltal egyfelől azok hőmérséklete is növekszik, másfelől a hővezetés folyamata létrejön. A hővezetés egyensúlyi állapota akkor jön létre, ha a test hőmérséklete annak minden helyén az időben változatlan marad. / Stacionér hővezetés /. A Fourier-féle törvény alapján levezetjük a hővezetés számításának képleteit állandósult állapot esetén.
- 104 -
3.54. ábra 3.4.1.1. Homogén sík fal hővezetése Vegyünk tekintetbe egy δ vastagságú homogén falat. (3.54 ábra) Az anyag hővezetési tényezője állandó és egyenlő λ-val. A fal külső felületein a hőmérsékletet állandó értéken tartjuk (t1 és t2). A hőmérséklet csupán a fal síkjára merőleges x tengely irányában változik. A hőmérsékletmező tehát ebben az esetben egyméretű, az izotermikus felületek pedig sík felületek, és az x tengelyre merőlegesen helyezkednek el. Válasszunk ki a falon belül a fal felületétől x távolságra dx vastagságú réteget, amelyet két izotermikus felület határol. A Fourier-féle törvény alapján - (1) egyenlet - ennek a rétegnek az esetében írhatjuk, hogy
dt . dx
q = −λ
(a)
A változókat szétválasztva, nyerjük, hogy
dt = −
q
dx .
(b)
x + C.
(c)
λ
Ez utóbbi egyenletet integrálva:
t=−
q
λ
Az integrálás állandóját, C-t a határfeltételek alapján határozhatjuk meg, ugyanis ha x=0, t=t1. Ha ezt az értéket a (c) egyenletbe helyettesítjük, azt kapjuk, hogy: C=t1.
(d)
Ha x=δ, t=t2; ennek alapján
t2 = −
q
λ
δ + t1 .
(e)
Ez utóbbi egyenlet lehetővé teszi, hogy meghatározzuk az ismeretlen q hőáramot - 105 -
q=
λ λ (t1 − t 2 ) = ∆t δ δ
Watt/m2.
(4)
Ennek alapján a fal 1 m2-én időegység alatt közvetített hőmennyiség egyenesen arányos a hővezetési tényezővel (λ), valamint a fal külső felületeinek hőmérsékletkülönbségével, és fordítva arányos a fal vastagságával (δ). Ezen az alapon tehát meg kell jegyezni, hogy a hőáramot nem a hőmérsékletek abszolút értéke, hanem azok különbsége, ∆t=t1-t2 határozza meg. A (4) egyenlet a sík fal hővezetésének számítás útján nyert képlete. Ez a képlet négy mennyiséget (q, λ, δ és ∆t) hoz egymással kapcsolatba. Ha ezek közül bármelyik hármat ismerjük, a negyediket kiszámíthatjuk. Pl.:
λ= A
qδ qδ λ∆t , ∆t = ,δ= . λ q ∆t
(f)
λ δ törtet (Watt/m2K) a fal hővezetőképességének, reciprok értékét törtet pedig a fal δ λ
hőellenállásának nevezzük. Ez utóbbi azt a hőmérsékletesést határozza meg, amelynél a falon át egységnyi hőáram hatol keresztül. Ha a (4) képlet alapján meghatározzuk a hőáram mennyiségét, akkor könnyen kiszámíthatjuk az F m2 felületű sík falon τ óra alatt átáramló hőmennyiséget is:
Q = qFτ =
λ ∆tFτ δ
Joule
(5)
Ha a (c) egyenletbe behelyettesítjük (d) egyenletből a C állandó, valamint a (4) egyenletből q értékét, megkapjuk a hőmérsékleti görbe egyenletét:
t x = t1 −
t1 − t 2
δ
x.
(6)
Ez az egyenlet lineáris. Ennek következtében, ha a hővezetési tényező értéke állandó, a homogén fal hőmérséklete lineáris törvény szerint változik. Valójában azonban a hővezetési tényező a hőmérséklettől való függése miatt nem állandó és a fal hőmérséklete görbe vonalú törvényszerűség szerint változik (részletesebben lásd az 5.-ben). 3.4.1.2.
Réteges sík fal hővezetése
Az olyan falakat, amelyek különnemű rétegekből állnak, rétegesnek nevezzük. Ilyenek pl. a lakóházak falai, amelyekben az alapul szolgáló téglarétegen egyfelől a belső vakolat, másik oldalról pedig a külső burkolat foglal helyet. A kemencék, kazánok és egyéb hőberendezések fala rendszerint szintén több rétegből áll: a tűzálló bélés, a szokásos tégla és a hőszigetelő-anyag rétegéből. Vezessük le az ilyen réteges fal hővezetésének képletét. A fal álljon néhány, pl. három, különnemű, azonban egymással szorosan érintkező rétegből (3.55 ábra). Az első réteg vastagsága δ1, a másodiké δ2 és a harmadiké δ3. Ennek megfelelően a rétegek hővezetési tényezői λ1, λ2 és λ3. Ismeretesek ezenkívül a réteges fal külső felületeinek t1 és t4 hőmérsékletei.
- 106 -
3.55 ábra A rétegek közötti szoros érintkezés következtében az érintkező felületek hőmérséklete ugyanakkora, azonban ezeknek a hőmérsékleteknek az értékét nem ismerjük; jelöljük ezeket t2-vel és t3-mal. Állandósult állapot esetén a hőáramlás egyenlő és minden egyes rétegben ugyanakkora. Ezért a (4) képlet alapján minden egyes rétegre felírhatjuk: λ q = 1 (t1 − t 2 ), δ1 λ2 (a) q= (t 2 − t 3 ), δ2 λ3 q= (t 3 − t 4 ). δ3 Ezekből az egyenletekből könnyen meghatározhatjuk a hőmérséklet változását az egyes rétegekben:
δ1 , λ 1 δ t 2 − t 3 = q 2 , λ2 δ t3 − t 4 = q 3 . λ3 t1 − t 2 = q
Az egyes hőmérsékletkülönbségek összege adja a teljes hőmérsékletkülönbséget. Ha a (b) egyenletrendszer baloldalait és jobboldalait összeadjuk, kapjuk, hogy: δ δ δ t1 − t 4 = q 1 + 2 + 3 . λ1 λ 2 λ 3
Ebből az összefüggésből meghatározhatjuk a q hőáramlás értékét: - 107 -
q=
t1 − t 4
δ1 δ 2 δ 3 + + λ1 λ 2 λ 3
W/m2.
(7)
A hasonlóság alapján egyszerre felírhatjuk az n rétegből álló falra vonatkozó képletet:
q=
t1 − t n+1
δ ∑ λ1 i =1 1 n
W/m2.
(8)
Mivel a (7) egyenlet nevezőjének mindegyik tagja a réteg hőellenállását adja meg, ezért az egyenletből az következik, hogy egy réteges fal összes hőellenállása egyenlő az egyes hőellenállások összegével. Ha a hőáramlás értékét a (7) képletből behelyettesítjük a (b) egyenletekbe, megkapjuk az ismeretlen t2 és t3 hőmérsékletek értékét:
δ1 , λ
δ δ δ t 3 = t 2 − q 2 = t1 − q 1 + 2 λ2 λ1 λ 2 δ vagy _ _ t 3 = t 4 + q 3 . λ3 t 2 = t1 − q
(9)
Az egyes rétegeken belül a hőmérsékleti görbe lineáris törvényszerűségnek megfelelően változik, réteges fal esetében azonban egészben véve törtvonalat képez (3.55 ábra). Az ismeretlen t2 és t3 hőmérsékletek értékét grafikus úton is meg lehet határozni. A grafikon megszerkesztése a következőképpen történik. Az abszcissza-tengelyre (3.56 ábra) a rétegek elhelyezkedésének sorrendjében tetszőleges mértékegységgel felvisszük a rétegek hőellenállásának
δ1 δ 2 δ , és 3 értékeit és ezek végpontjaiba merőlegeseket λ1 λ2 λ3
állítunk. Ezek közül a két szélsőre szintén tetszőleges léptékben felvisszük a t1 és t4 külső hőmérsékletek értékeit. Valóban, ABC∆∼ADE∆. Ennek következtében: 3.56 ábra
BC AD. AB Ha ezeknek a szakaszoknak az értékét behelyettesítjük, azt kapjuk, hogy t1 − t 4 δ δ ⋅ 1 =q 1 , DE = δ 1 δ 2 δ 3 λ1 λ1 + + és DE =
λ1
λ2
λ3
vagy a (9) egyenletnek megfelelően
DE = q
δ1 = t −t . λ1 1 2
- 108 -
Hasonló módon bizonyítható, hogy δ δ MN = q 1 + 2 = t1 − t 3 . λ1 λ 2
Néha a rövidség kedvéért a réteges fal bélését mint ∆ vastagságú, egyrétegű (egynemű) falat számítják ki. Ebből a célból bevezetik az egyenértékű hővezetési tényezőt, amelynek értékét a következő összefüggésből határozzák meg:
q=
t1 − t
δ1 δ 2 δ 3 + + λ1 λ 2 λ 3
=
λe ∆
(t1 − t 4 ) .
Innen azt kapjuk, hogy
λe =
∆
δ1 δ 2 δ 3 + + λ1 λ 2 λ 3
W/mK
(10)
ahol n rétegből álló fal esetében a következő képletet kapjuk: n
λe =
∑δ i i=n n
δ ∑ λi i i1
W/mK
(11)
Ily módon az egyenértékű hővezetési tényező csupán a hőellenállások értékétől és a különböző rétegek vastagságától függ. A réteges fal képletének levezetésekor feltételezzük, hogy a rétegek szorosan illeszkednek egymáshoz és a szoros érintkezés következtében a különböző rétegek érintkező felületeinek a hőmérséklete azonos. Ha azonban a felületek érdesek, akkor szoros érintkezés lehetetlen és a rétegek között vékony levegőrétegek jönnek létre. Mivel a levegő hővezetési tényezője kicsiny (λ=0,02), még igen vékony rétegek is jelentősen csökkentik az egyenértékű hővezetési tényező értékét. Hasonló hatást gyakorol egy fémoxidréteg. Ezért réteges falak hővezetésének kiszámításánál, Különösen pedig mérésénél, igen nagy figyelmet kell fordítani a rétegek közötti érintkezés tökéletes voltára.
- 109 -
3.4.1.3.
Homogén hengeres fal hővezetése Tegyünk vizsgálat tárgyává egy olyan homogén hengeres falat (csövet), amelynek hossza l m, belső sugara r1, külső sugara pedig r2. Az anyag hővezetési tényezője állandó és egyenlő λ-val. A belső és külső felületeket t1 és t2 állandó hőmérsékleten tartjuk, úgyhogy t1>t2. A hőmérséklet csupán az x sugárirányban változik. Ennek következtében a hőmérsékletmező itt egyméretű lesz, az izotermikus (egyenlő hőmérsékletű) felületek pedig hengerfelületek, amelyeknek a hengeres csővel közös tengelyük van. Szemeljünk ki a falon belül egy gyűrű alakú réteget, amelynek sugara r, vastagsága dr és amelyet izotermikus felületek határolnak. Fourier törvénye szerint az a hőmennyiség, amely ezen a rétegen másodpercenként áthalad, a következő: 3.57 ábra
Q = − λF
dt dt = − λ ⋅ 2πrl W dr dr
(a)
A változók szétválasztásával kapjuk: Q dr dt = − ⋅ . 2πλl r
(b)
Ez utóbbi egyenletet integrálva kapjuk:
t=−
Q
2πλl
⋅ ln r + C .
(c)
Ha behelyettesítjük a változók értékeit a fal határain, mégpedig, ha r=r1, t=t1 és r=r2, t=t2, a következő két egyenletet kapjuk: Q (d) t1 = − ⋅ ln r1 + C 2πλl Q t2 = − ⋅ ln r2 + C (e) 2πλl Ha a (d) egyenletből kivonjuk az (e) egyenletet, azt kapjuk, hogy
t1 − t 2 =
Q
2πλl
(ln r2 − ln r1 ) =
Q
2πλl
ln
r2 r1
(f)
W
(12)
ahonnan meghatározhatjuk az ismeretlen Q értékét: Q=
2πλl 2πλl t1 − t 2 ) = ( (t − t ) r2 d2 1 2 ln ln r1 d1
Ennek következtében a cső falán másodpercenként átbocsátott hőmennyiség egyenesen arányos a λ hővezetési tényezővel, az l hosszúsággal, a ∆t=t1-t2 hőmérsékletkülönbség- 110 -
gel, és fordítottan arányos a cső külső (r2) és belső (r1) sugarai hányadosának természetes logaritmusával. A sugarak viszonya helyett vehetjük az átmérők viszonyát is. A (12) egyenlet a hengeres fal hővezetésének képlete. Ez a képlet abban az esetben is helyes marad, amikor t1
t1 − t 2 d x ln d2 d1 ln d1
°C.
(13)
Ez egy logaritmikus görbe egyenlete. Ennek következtében egy homogén hengeres falon belül a hővezetési tényező állandó értéke esetén a hőmérséklet a logaritmikus görbének megfelelően változik. (10. ábra) Azt a hőmennyiséget, amely a cső falán óránként áthalad, vagy a csővezeték hosszának folyóméteréhez vagy a belső, vagy pedig a külső felület egységéhez viszonyíthatjuk. Ennek megfelelően a képletek a következő alakúak lesznek: Q 2πλ∆t = ql = W/m, (14) d2 l ln d1 Q 2 λ ∆t W/m2, (15) = q1 = d πd1l 2 d1 ⋅ ln d1 Q 2 λ ∆t W/m2. (16) = q2 = d2 πd 2 l d 2 ⋅ ln d1 Mivel a cső külső és belső felületeinek nagysága különböző, a q1 és q2 hőáramlások értéke is különböző lesz. A (14), (15) és (16) képletekből könnyen megkaphatjuk a ql, q1 és q2 értékek összefüggését kifejező képletet,
ql=πd1q1=πd2q2 W/m 3.4.1.4.
(17)
Réteges hengeres fal hővezetése
A hengeres fal álljon néhány, pl. három különnemű rétegből. A szoros érintkezés következtében a különböző rétegek érintkező felületeinek a hőmérséklete közös. A különböző rétegek átmérőit és hővezetési tényezőit ismerjük, jelülésüket lásd a 3.58 ábrán. Ismerjük ezen kívül a réteges fal belső és külső felületének t1 és t4 hőmérsékletét. A rétegek érintkezési helyén a hőmérsékleteket nem ismerjük, ezeket t2-vel és t3-mal jelöljük. Állandósult állapotban az a hőmennyiség, amely az egyes rétegeken áthalad, ugyanakkora és állandó. Ezért a (14) képlet alapján írhatjuk, hogy:
- 111 -
2π (t1 − t 2 ) qi = , d2 1 ln λ 1 d1 2π (t 2 − t 3 ) (a) ql = , d 3 1 ln λ 2 d2 2π (t 3 − t 4 ) . ql = d4 1 ln λ 3 d 3 Ezekből az egyenletekből meghatározhatjuk a hőmérséklet változását az egyes rétegekben: q 1 d t1 − t 2 = l ⋅ ln 2 , 2π λ 1 d1 q d 1 t 2 − t3 = l ⋅ (b) ln 3 , 2π λ 2 d 2 q d 1 t3 − t 4 = l ⋅ ln 4 . 2π λ 3 d 3
Az egyes rétegekben való hőmérsékletváltozások összege megadja a teljes hőmérsékletkülönbséget. Ha a (b) egyenletrendszer bal- és jobboldalait összeadjuk, megkapjuk, hogy:
t1 − t 4 =
ql 1 d d d 1 1 ln 3 + ln 4 , ln 2 + 2π λ 1 d1 λ 2 d 2 λ 3 d 3
(c)
innen meghatározhatjuk a ql hőáramlás értékét: ql =
2π (t1 − t 4 ) W/m d2 d3 d4 1 1 1 + + ln ln ln λ 1 d1 λ 2 d 2 λ 3 d 3
(18)
Ehhez teljesen hasonló módon, levezetés nélkül felírhatjuk az n rétegű fal képletét:
ql =
2π (t1 − t n +1 ) n
d ∑ λ ln di+1 i i =1 i 1
=
π (t1 − t n +1 ) n
d ∑ 2λ ln di+1 i i i =1 1
W/m
(19)
Ha ql értékét a (18) képletből behelyettesítjük a (b) egyenletbe, akkor megkapjuk a rétegek érintkezési felületein az ismeretlen hőmérsékletek értékeit:
- 112 -
q d q 1 d d 1 1 (20) ln 3 = t1 − l ln 2 + ln 3 t3 = t 2 − l ⋅ 2π λ 2 d 2 2π λ 1 d1 λ 2 d 2 q d 1 ln 4 . vagy _ _ t 3 = t 4 + l ⋅ 2π λ 3 d 3 A (13) egyenlet szerint a hőmérséklet minden egyes rétegen belül a logaritmikus törvényszerűségnek megfelelően változik, azonban a réteges falra nézve a hőmérsékleti görbe egészben véve tört görbe vonalat ad (3.58 ábra). t 3 = t1 −
ql 1 d ⋅ ln 2 , 2π λ 1 d1
3.58 ábra 3.4.1.5.
Gömb alakú fal hővezetése
Vegyünk tekintetbe egy üres golyót. A golyó belső felületének sugara legyen r1, külső felületének sugara r2. A golyó fala egynemű anyagból áll, amelynek hővezetési tényezője állandó és egyenlő λ-val. A gömb belső és külső felületét t1 és t2 állandó hőmérsékleten tartjuk, úgyhogy t1>t2 . A hőmérséklet csupán a sugár irányában változik. Az izotermikus felületek koncentrikus gömbfelületeket alkotnak. Szemeljünk ki a falon belül egy dr vastagságú és r sugarú gömbréteget. Ennek a rétegnek a felülete izotermikus felület. Fourier törvénye szerint az a hőmennyiség, amely ezen a rétegen óránként áthalad: dt dt Q = − λF = − λ 4πr 2 W (a) dr dr A változókat szétválasztva kapjuk, hogy Q dr dt = − ⋅ . 4πλ r 2 (b) Ennek az egyenletnek az integrálása útján kapjuk, hogy: Q 1 t= ⋅ + C. (c) 4πλ r 3.59 ábra - 113 -
Ha a (c) egyenletbe behelyettesítjük a változóknak a fal határain való értékét, mégpedig ha r=r1, t=t2, és ha r=r2, t=t2, két egyenletet kapunk:
Q 1 ⋅ + C, 4πλ r1 Q 1 t2 = ⋅ + C. 4πλ r2 t1 =
(d) (e)
Ha a (d) egyenletből kivonjuk az (e) egyenletet, kapjuk, hogy t 2 − t1 =
Q 1 1 − , 4πλ r1 r2
(f)
ahonnan meghatározhatjuk a keresett Q értéket
Q=
4πλ (t1 − t 2 ) 2πλ ⋅ ∆t d ⋅d = = π ⋅ λ ⋅ ∆t 1 2 1 1 1 1 δ − − r2 r2 d1 d 2
W
(24)
d 2 − d1 . 2 Ezek az egyenletek a gömb alakú fal hővezetésének képletei. Ha a (c) egyenletbe behelyettesítjük a (d) egyenletből C és a (24) egyenletből Q értékét, megkapjuk a hőmérsékleti görbe egyenletét:
ahol δ a fal vastagsága, amelynek értéke
t x = t1 −
1 1 ⋅ − . 1 1 d1 d x − d1 d 2 t1 − t 2
(25)
Ez az egyenlet egy hiperbola egyenlete. Ennek következtében egy homogén gömb alakú falon belül a hőmérséklet hiperbolikus törvénynek megfelelően változik. 3.4.2. Hőátadás Áramlásban lévő folyadékok, gázok és az ezeket határoló fal felületek közötti hőközlési módot hőátadásnak nevezik. Pl. gőzkazánok fűtőfelülete és az áramlásban lévő kazánvíz közötti hőátadás. Valamely F m2 felületén az időegységben átadott hőmennyiség főként az áramló közeg sebességétől függ, mert annál gyorsabban cserélődnek ki a felülettel érintkezésbe kerülő közegrészecskék. Az azonos viszonyok között a szilárd falfelülettel közölt hő annál nagyobb minél gyorsabb ez a kicserélődés. A közeg részecskék áramlása vagy külső erők hatására jön létre, / pl. belsőégésű motor hűtővizének mesterséges keringtetése szivattyúval /, vagy a közegben keletkező fajsúly különbség folytán / termoszifon rendszerű vízhűtés /. Newton szerint a hőszállítás útján közölt melegmennyiség arányos a felülettel / F m2 /, a melegebb / t1 / és hidegebb / t2 / közeg hőfokkülönbségével és az idővel / i / vagyis: - 114 -
Q = α ⋅ F ⋅ / t1 − t 2 / ⋅i
[Joule],
vagy egy óra alatt:
Q = α ⋅ F ⋅ / t1 − t 2 /
[W]
ahol α a hőátadás tényezője, azt a hőmennyiséget jelenti, amely a hőáramlás irányára merőleges felület 1m2 -én keresztül egy fok hőfokkülönbségnél időegység alatt átáramlik. Az előző idővel is kibővített egyenletből kifejezve dimenziója:
α=
Q F ⋅ / t1 − t 2 / ⋅i
[W/m2K];
Az α értéke függ egyrészt a fal felülete fajhőjétől, hővezetési tényezőjétől, másrészt az áramlási viszonyoktól / lamináris, vagy turbulens / és az áramló közeg anyagi jellemzőitől. A hővezetési tényezőnek szerepe az áramló közeg határrétege és a fal között van, mert ezek között a hő vezetés útján adódik át, mivel a határréteg sebessége közel zérus. Az α értékét csak az áramlási viszonyok ismeretében lehet megválasztani. Erre vonatkozó adatok az áramlási viszonyok és szerkezetek feltüntetésével az irodalomban találhatók. m α értéke vízre, ha a víz sebessége v = 0 − 2 ; s α víz = 300 + 1800 ⋅ v [W/m2K]; m füstgázokra, ha v = 1 − 100 : s α fgá z = 2 + 10 ⋅ v [ W/m2K ]; 3.4.3. Hőátszármaztatás A hőkezelésnek a technikai gyakorlatban rendszerint egy olyan összetett esete valósul meg, amikor a hő az áramló nagyobb hőmérsékletű közegből az áramló kisebb hőmérsékletű közegbe, szilárd falon keresztül hőszállítással, hővezetéssel és ismét hőszállítással hatol át. A hőközlésnek ezt a módját hőátszármaztatásnak nevezik. A 3.60 ábra szerint az áramlásban lévő nagyobb t1 hőfokú közegből ugyancsak áramlásban lévő kisebb t2 hőfokú közegbe történik hőközlés. A falba belépéskor a hőátadási tényező α1 , a falban a hővezetési tényező λ , a falból, kilépéskor a hőátadási tényező α 2 és a fal kétoldali felületén a hőmérséklet τ1 és τ 2 . Az egyensúlyi állapotban óránként átáramló hőmennyiség :
- 115 -
3.60 ábra
Q = α 1 ⋅ F ⋅ / t1 − τ 1 / ,
τ −τ2 λ ⋅ F ⋅ / t1 − τ 2 / = F ⋅ 1 ; δ δ λ
Q=
Q = α 2 ⋅ F ⋅ /τ 2 − t 2 / ;
A három egyenletből a hőmérséklet különbségek:
Q 1 ⋅ , F α1
t1 − τ 1 =
τ1 −τ 2 =
Q δ ⋅ , F λ
τ 2 − t2 =
Q 1 ⋅ . F α2
Az egyenletek jobb és bal oldalait összeadva a hőmérsékletkülönbség:
t1 − t 2 =
1 Q 1 δ ⋅/ + + /, F α1 λ α 2
amiből Q értékét kifejezve:
Q = F ⋅ / t1 − t 2 ⋅
1 1
α1
+
1 δ + λ α2
,
[W];
A
k=
1 1 δ + + α1 λ α 2 1
, [W/m2K];
jelölést alkalmazva:
Q = k ⋅ F ⋅ / t1 − t 2 / , [W]; Az egyenletben a k [W/m2K] a hőátszármaztatási tényező. A gyakorlatban általában a t1 és t2 hőfokok ismeretek. A fal két felületének τ1 és τ 2 hőfokok az átszármaztatható Q meleg mennyiségre felírt egyenletekből állapítható meg. Írható, hogy: - 116 -
α1 ⋅ F ⋅ / t 1 − τ 1 / = k ⋅ F ⋅ / t 1 − t 2 /, amiből t − τ1 k = 1 , α 1 t1 − t 2 τ 1 = t1 −
k
α1
⋅ / t1 − t 2 / ,
[C ] ; °
Hasonlóképpen: k
α2
=
τ 2 − t2 t1 − t 2
τ 2 = t2 +
k
α2
,
amelyből
⋅ / t1 − t 2 / ,
[C ] . °
3.4.4. Hőközlés sugárzás útján A hőközlének eddig ismertetett módozatain kívül a hő sugárzás útján is közölhető. A megfigyelés szerint a felhevített test a környezetébe külünböző hosszúságú elektromágneses hullámokat bocsát ki. Mivel ezek a hullámok hőhatást fejtenek ki, ezért hősugárnak nevezik. A hősugárzás ezek szerint különböző hullámhosszúságú elektromágneses hullámok folyamata. Ezek a hullámok a test fizikai hőtartalmából kisugárzás (emisszió) útján keletkeznek, és ha más testet érnek, abban részben elnyelődnek, és ismét fizikai hővé alakulnak vissza. A környező testek a kisugárzott hőhullámokat tehát részben elnyelhetik, részben vissza verhetik, vagy egyrészüket esetleg átbocsáthatják. Ezek a hullámok, ellentétben a hanghullámokkal és a fizikai hővel nincsenek agyaghoz kötve, terjedési sebességük légüres térben 300 000kg/s , hullámhosszuk l=0,4-340 m. A visszavert energiamennyiség szerint megkülünböztethető: fehér felület, amelyről a ráeső összes sugárzás visszaverődik, szürke felület, amely valamennyi hullámhosszból azonos %-ot ver vissza, színes felület, amely csak egyes hullámokat ver vissza, fekete felület, amely a ráeső összes sugarat elnyeli és azokból semmit sem enged át. A fekete test kisugárzása a lehető legnagyobb és ezt fekete sugárzásnak nevezzük. Minden más test és közeg a fekete testnél kevesebbet sugároz. 3.4.5. Stefan - Boltzmann törvény Stefan - Boltzmann féle törvény a fekete test összes kisugárzott energia ( Qn ) és annak hőfoka között ad összefüggést: 4 T Qn = Cs W/m2 100 ahol Cs a fekete test sugárzási együtthatója, értéke Cs =5,77 W/m2K4, és T az abszolút hőfok ( K ).
- 117 -
Qn Qf
A fenti egyenletben megadott Qn hőmennyiséget a test a felületére merőlegesen sugározza ki. A normálissal f szöget képző sugárzó energia értéke: 3.61 ábra. Qϕ = Qn cosϕ W/m2 A sugárzó melegebb test és a sugárzásnak kitett hidegebb test egymással sugárzási kölcsönhatásban áll, mert a hidegebb test visszasugároz a melegebbre, vagyis a két felület sugárzásnak a különbsége érvénye sül. 4
3.61 ábra
T Ennek alapján Qn = Cs W/m2 képlet módosul: 100
T 4 T 4 Q = C s 1 − 2 W/m2 100 100 ahol (Q ) a nagyobb hőmérsékletű felületről a kisebb hőmérsékletű felületre sugárzás útján közölt hőmennyiség. A gyakorlatban a fekete sugárzás ritka, általában szürke sugárzással kell számolni. Erre az estre az előbbi képletben szereplő Cs sugárzási együttható ( C - re módosul, a két együttható közötti összefüggés C=e Cs . A C sugárzási együttható értékeit különböző anyagokra kísérletekkel állapították meg: acéllemez megmunkálatlan felület C= 2,0 ... 2,4 folytvas megmunkálatlan felület C= 3,7 ... 4,1 izzó szén darabos felület C= 3,4 ...3,45
900-1000 Co-on mérve, 900-1000 Co-on mérve, 900-1000 Co-on mérve.
A nem fémes felületek, valamint a fehér felületek sugárzási együtthatója 3,5 ... 4,5 között van. A sok fénysugárzást tartalmazó napsugárzásból azonban a fehér felületek lényegesen kevesebbet nyelnek el, és a fénysugarak nagyobb részét visszaverik. Emiatt a nap hősugárzása ellen védekezésül a felületeket fehér színre festik (hűtőkocsik stb. ). A Stefan - Boltzmann képlet a módosított sugárzási együtthatóval: T1 4 T2 4 T1 4 T2 4 2 Q = ε * C s − − = C W/m 100 100 100 100 Mivel a sugárzott hőmennyiség az abszolút hőfok negyedik hatványával arányos, ezért sugárzás tján igen nagy mennyiségű hőt kell közölni.
- 118 -
