SZAKDOLGOZAT Krenedits Sándor BKÁE KTI pénzügy szak 2001

SZAKDOLGOZAT

Krenedits Sándor BKÁE KTI pénzügy szak 2001

Tőkeköltségbecslés

Krenedits Sándor BKÁE KTI pénzügy szak 1999 – 2001 2001. március

1

Bevezetés Új projektek elindítása előtt a vállalatok alapos elemzést végeznek: milyen hasznot hoz a megvalósítás a különböző időszakokban, azaz mennyi az adózás utáni évenkénti pénzáramlás, és annak mennyi a jelenértéke, illetve a projekt nettó jelenértéke; érdemes-e a projektet megvalósítani. Két fő kérdést kell tisztázni: milyen tényezőkből tevődik össze a pénzáramlás, és milyen hozamot várnak el a projekttől. A dolgozat csak ez utóbbival foglalkozik. A projekttől elvárt hozam megbecsülésénél régi alapelv, hogy nagyobb kockázatú beruházást csak nagyobb elvárt hozam mellett valósítanak meg. A modern elméletek az elvárt hozamot a kockázat függvényében írják le. Az egyes projekteket a saját kockázatuknak megfelelő elvárt hozammal: tőkeköltséggel kell figyelembe venni. A dolgozatban a pénzáramlások diszkontálásához szükséges tőkeköltségbecslési módszerekkel foglalkozom. Olyan projektekre, melyekre ez a módszer a

pénzáramlás bizonytalansága miatt, vagy opciók jelenléte miatt nem

alkalmazható, részletesen nem térek ki. Az

első

fejezetben

ismertetem

a

súlyozott

átlagos

tőkeköltség

meghatározásának alapelveit. A második fejezetben a tőkeköltség alapvető becslési módszereit mutatom be, a harmadik fejezet összetettebb gazdasági környezetben használható eljárásokról szól. A negyedik fejezet a gyakorlati alkalmazások lehetőségét ismerteti, a módosított eljárásokat fejlődő piacokon, magyarországi adatokra alkalmazva. Az ötödik fejezetben a becslési módszerek érzékenységéről van szó, melynek keretében egy módszert dolgoztam ki a változó pénzáramlások érzékenységének becslésére, a 2000/C változó kamatozású magyar államkötvény példáján keresztül bemutatva.

2

1. fejezet A tőke súlyozott átlagköltsége Egy adott projektet különböző forrásokból finanszírozhatunk. Ha a piac tökéletes, akkor nincs jelentősége, hogy ezeket a forrásokat hogy választjuk meg, egy forrástulajdonos sem juthat pozitív nettó jelenértékhez. A valóságban azonban a különböző forrásbevonásoknak eltérő finanszírozási hatásai is vannak. A projekt értékét a forrásoldalról megközelítve, a bevont források költségével adhatjuk meg. Finanszírozhatunk egy külön projektet, de általánosan egy vállalatot vagy egy egyedi eszközt is. A költségbecslési módszerek hasonlók, ezért váltakozva használjuk a projekt, vállalat, eszköz tőkeköltsége kifejezéseket. A vállalati tőkeköltség egyik lehetséges (és szokásos) becslése, hogy a különböző típusú befektetők által elvárt hozamok súlyozott átlagát számoljuk ki. Ha N különböző forrásból finanszírozzuk a projektet, és a j-edik forrás költsége rj, piaci értéke Mj, akkor a súlya: Mj

wj =

,

N

∑M i =1

(1.1)

i

így a súlyozott átlagköltség: N

rc = ∑ w j r j .

(1.2)

j =1

Ügyelni kell arra, hogy Mj becslésénél a piaci értéket vegyük figyelembe (szemben a könyvszerinti értékkel), és a vállalat jelenlegi állapota helyett a megcélzott projekt megvalósítása során kialakuló tőkeszerkezet arányait használjuk. Egy

egyszerűsített,

örökjáradék

típusú

modellben

a

következőket

feltételezzük : − A cég és a projekt örökké tart. − A cég pénzáramlása (CFF) és a projekt pénzáramlása (CFP) minden időszakban konstans.

3

− A cég fix arányban finanszírozott részvényből és hitelből, a projekt finanszírozása ugyanilyen szerkezetű. − A cég a hitel (D) után i kamatot fizet, a hitelállomány állandó, a projekt ugyanilyen kamatú hitellel finanszírozott. − A vállalati adókulcs τ. − Az osztalékpolitika nem befolyásolja a vállalat értékét, vagy minden tiszta bevételt megkapnak a részvényesek. − A projekt és a vállalat azonos kockázatú. Fenti feltételek mellett a vállalat értéke forrás oldalról a részvények és a hitel értékéből tevődik össze, pénzáramlása örökjáradék jellegű, így értéke:

V =E+D=

CFF , innen rc rc =

CFF . E+D

(1.3)

A saját tőke költségével (rE) és a finanszírozási hatással módosított pénzáramlással, ami időszakonként (1-τ)iD adómegtakarítást jelent, felírható a részvények értéke: E =

CFF − (1 − τ )iD , átrendezve rE

CFF = rE E + (1 − τ )iD .

(1.4)

 E   D  rc =  rE +  (1 − τ )i = wE rE + wD rD .  E + D E + D

(1.5)

(1.3) és (1.4)-ből:

A vállalat tőkeköltségét megkaptuk a részvények és a hitel költségének súlyozott átlagaként, ha a hitel rD költségét (1-τ)i-nek definiáljuk. A súlyokat tehát a piaci értéknek megfelelően választottuk, rD értéke az adómegtakarítást is kifejező módosított érték. Ha a vállalat egy, az örökjáradék jellegű modellben említett projektjét vizsgáljuk, akkor a projekt tőkeköltségét a vállalatéval helyettesíthetjük. Ha a kapott nettó jelenérték pozitív, akkor elfogadjuk a projektet.

4

Nem örökjáradék jellegű modellekben a súlyozott átlagköltség modell érvényes marad. Vizsgáljunk egy véges, T periódusból álló projektet. Ennek értéke: T

V0 = ∑ t =1

CFt . (1 + rc ) t

(1.6)

Legyen a hitel kamatlába minden periódusban i, a hitel összege B, melyet a projekt végén egy összegben törlesztenek. A részvények értéke a finanszírozási hatás figyelembevételével:

CFt − (1 − τ )iB B − t (1 + rE ) (1 + rE ) T t =1 . T

E0 = ∑

(1.7)

Ha a hitel költsége megegyezik a fizetendő kamattal, akkor értéke B: T

D0 = B = ∑ t =1

T rD B iB B B + = + . ∑ t T t (1 + i ) (1 + i ) (1 + rD ) T t =1 (1 + rD )

(1.8)

Az adómegtakarítás finanszírozó hatását figyelembe véve rD-t választhatjuk rD=(1-τ)i-nek, hiszen az egyenlőség minden rD értékre fennáll. A projekt piaci értéke most is a részvények és a hitel piaci értékéből tevődik össze: V0=E0+D0. Reilly és Wecker1 bebizonyította, hogy általában nincs olyan 0 és 1 közötti szám, melyre rC=wrE+(1-w)rD, vagyis rC nem írható fel rE és rD egyszerű lineáris kombinációjaként. Linke és Kim2 megmutatta, hogy ez abból adódik, hogy a tőkeszerkezet időről-időre változik. Ha a tőkeszerkezet nem változik az idők során, akkor a tőkeköltség véges projektnél is felírható súlyozott átlagként. A tőkeszerkezet állandósága nem irreális feltételezés, mert a vállalatok általában egy ésszerű adósság-sajáttőke arányt, azaz meghatározott mértékű tőkeáttételt tartanak fenn. A tőkeköltség meghatározásához kiindulhatunk a hitelek és a saját tőke adózás előtti értékéből is. Jelölje EBIT az adózás és kamatfizetés előtti bevételt. Ha feltesszük, hogy a pénzáramlás azonos a működési bevétellel, akkor az 1

Jelen dolgozat első három fejezete lényegében az irodalomjegyzékben szereplő [5] mű feldolgozásából született. A lábjegyzetben szereplő hivatkozásokat abból vettem át.

Reilly, R.R., and W.E. Wecker., C.M. “On the weighted Average Cost of Capital.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 8(1) (1973): 123–126.

5

adózás utáni bevétel: CFF=EBIT(1-τ). Örökjáradék jellegű pénzáramlást feltételezve a projekt, illetve a saját tőke értéke: V = E=

EBIT (1 − τ ) , rc

EBIT (1 − τ ) − (1 − τ )iD ( EBIT − iD)(1 − τ ) = . rE rE

(1.9)

Arditti3 a vállalat értékét a különböző pénzáramlások összegeként értelmezi. Ez az összeg: CFF* a részvényesek pénzáramlásából (EBIT-iD)(1-τ), és a hitelezők pénzáramlásából (iD) áll össze. CFF* = ( EBIT − iD)(1 − τ ) + iD = EBIT (1 − τ ) + iDτ

(1.10)

Ebből a vállalat értéke, ha a tőke költsége rc* : V =

( EBIT − iD)(1 − τ ) + iD EBIT (1 − τ ) + iDτ = . rc* rc*

(1.11)

Arditti a saját tőke költségétét, rE* -t az adózás előtti bevétel és a kamatfizetés különbségével adja meg: rE* =

EBIT − iD . Ezt figyelembe véve E

(1.11)-et átalakítva kapjuk:  E   D  * rc* = rE* (1 − τ )  + i  = rE (1 − τ ) wE + iwD . E + D E+ D Mivel

az

rc* = rE wE + iwD

adózás

utáni

sajáttőke-költség,

rE = rE* (1 − τ ) ,

(1.12) ezért

súlyozott átlaggal kapjuk meg a tőkeköltséget. Ezzel

diszkontálva a pénzáramlásokat (a hitelezőkét is) ugyanazt az eredményt kapjuk, mint az eredeti (1.5) módszerrel.

2

Linke, C.M., and M.K. Kim. “More on the Weighted Average Cost of Capital: A Comment and Analysis.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 9(6) (1974): 1069–1080. 3 Arditti, F.D., and H. Levy. “The weighted Avarage Cost of Capital: Some Questions on its Definition, Interpretation, and Use.” Journal of Finance 28(4) (1973): 1001–1007.

6

2. fejezet A súlyozott átlagköltség becslése A súlyozott átlagköltség meghatározásánál az első feladat a tőkeszerkezet különböző komponenseinek költségbecslése, majd az egyes komponensek súlyarányának a számítása. A tőkeszerkezet fő összetevői: a közönséges részvény, osztalékelsőbbségi részvény és a hitel.

2.A. A kölcsöntőke költségének becslése A kölcsöntőke költségbecslésénél egyszerűbb dolgunk van, mint a saját tőke esetében. Három lényeges szempontot kell figyelembe venni. A meglévő hitelek átlag kamatfizetéseit használjuk, vagy az adott pillanatban felvehető hitelek kamatát? A ma felvehető hitelek kamatlába általában nem egyezik a meglévő hitelek kamatlábátlagával. Mivel egy induló projekthez becsüljük a tőkeköltséget, az új, projektünkkel azonos lejáratú, vállalatunkéhoz hasonló kockázatú hitelek kamatlábát célszerű használni. Ha különböző lejáratú hitelekkel finanszírozzuk a projektet, azok költségét külön kell meghatározni. Adózás előtti vagy utáni értéket használjunk? Ha hagyományosan adózás utáni pénzáramlásokat veszünk figyelembe, akkor adózás utáni tőkeköltséget kell figyelembe venni, azaz rD = (1 − τ )i , ahol τ a vállalat adókulcsa, i az adózás előtti kamat. Igazítsuk-e a költséget a csőd várható költségéhez? Általában a minősített hitelek, befektetésre ajánlott kötvények esetében az ígért hozam tartalmazza a kockázatot, így ezt érdemes költségként figyelembe venni. A nagy kockázatú, „bóvli” kötvények kamatlába viszont nem tükrözi költségüket, nagyobb, mint elvárt hozamuk.

7

2.B. A saját tőke költségének becslése Az osztalékelsőbbségi részvények költsége egyszerűbben becsülhető, mint a közönséges részvényeké, mivel az osztalék összege rögzített, örökjáradék jellegű. Ha az osztalék DP, a részvény jelenlegi piaci ára P0, akkor a költsége:

rP =

DP . P0

A részvényektől elvárt hozam becslésének két fő módszere az osztalékjelenérték modell és a tőkepiaci árfolyamok modellje (CAPM).

2.B.1. Osztalék-jelenérték modellek Az osztalék-jelenérték modell alapelve, hogy a részvény értéke a jövőbeni osztalékok jelenértéke. Ha P0 a részvény ára, Dt a t időpontban fizetett osztalék, ∞

rE a részvény költsége, akkor P0 = ∑ t =1

Dt . Ha feltesszük, hogy az osztalék (1 + rE ) t

minden alkalommal állandó g arányban nő, akkor Dt = D0 (1 + g ) t . Ennek felhasználásával P0 egy végtelen mértani sor összegeként áll elő:

P0 = D0 innen

D1 1+ g = , rE − g rE − g

rE =

D1 +g. P0

(2.1)

(2.2)

Az elvárt hozam meghatározásához tehát a g növekedési ütemet kell megbecsülni. Ennek egyik módja a várható gazdasági események előrejelzése, fundamentális elemzése; a másik a múltbeli adatok statisztikai feldolgozása, technikai elemzése. A tapasztalatok szerint a növekedési ütemre jobb becslések születnek fundamentális elemzéssel, mint a csupán történeti adatokon alapuló módszerekkel. Ha nem áll rendelkezésre fundamentális elemzés, akkor az előző évek növekedési ütemének átlagából, vagy az újrabefektetési ráta és a sajáttőkearányos nyereség átlagainak szorzatából becsülhetjük g-t.

8

Sokszor nem feltételezhető, hogy az osztalék állandó arányban növekszik, bár a befektetők bizalmát növelheti a kiegyensúlyozott osztalékpolitika. A vállalatok különböző életszakaszában más-más növekedési ütem jellemző. A többszintű osztalék-jelenérték modellek különböző időszakokon más-más osztalékfizetéssel számolnak, és csak a távoli időszakra feltételeznek egyenletes osztaléknövekedést, mely időszak kifizetései a diszkontálás miatt már kisebb súllyal szerepelnek a jelenértékben. Ha feltételezzük, hogy az első n évre megbecsültük az osztalékot, a további időszakra g osztaléknövekedési ütemet 1+ g Dt rE − g feltételezünk, akkor a részvény ára: P0 = ∑ + , melyből t (1 + rE ) n t =1 (1 + rE ) Dn

n

rE iterációval számolható. Eddigi vizsgálódásaink során feltételeztük, hogy a hozamot az első periódus kezdetén (év elején) vizsgáljuk, és az osztalékfizetések a periódusok végén (évenként) történnek. Az USA-ban szokásos negyedévenkénti osztalékfizetéshez alkalmazkodva több finomított módszert kidolgoztak. Siegel4 az állandó növekedési ütemű modell alapesetét fejlesztette tovább: legyen D * az utoljára fizetett negyedéves osztalék, és N a negyedévek száma, mióta a vállalat 1 4

megváltoztatta az osztalékot, g = (1 + g ) − 1 a negyedéves osztaléknövekedés *

aránya. Ekkor a módosított osztalék:

[

]

D0* = D * 1 + g * ( N − 1,5) Ezt

(2.3)

(2.1)-ben D0 helyére helyettesítve, valamint g helyett g * -ot írva

megkapjuk a negyedéves költséget. Link és Zumwalt5 az osztalékfizetés éven belüli ciklikusságát veszi figyelembe, az i-dik negyedév osztalékát az előző év azonos negyedévéből származtatja. 4

Módszerük

szerint

az

éves

sajáttőke-költség:

Siegel, J.J. “The Application of the DCF Methodology for Determining the Cost of Equity Capital.” Financial Management 14(1) (1985): 46–53. 5 Linke, C.M., and J.K. Zumwalt. “Estimation Biases in Discounted Cash Flow Analyses of Equity Capital Cost in Rate Regulation.” Financial Management 13(3) (1984): 15–21.

9

4

rE =

∑ D (1 + r ) i =1

1,Qi

E

4 −i 4

+g

P0

D 1 , Qi = D

0 , Qi

egyenletből

adódik,

ahol

( 1 + g ) az i-dik negyedévre várt osztalék, D0,Qi pedig az i-

dik negyedévben utoljára fizetett osztalék. Siegel a másik problémára is ad megoldást, mikor a költséget nem egy periódus kezdetén becsüljük. Legyen p az utolsó osztalékfizetéstől eltelt idő és a két osztalékfizetés közötti idő aránya, Pp a jelenlegi árfolyam, D1* a (2.3) szerint számított következő negyedéves osztalék, akkor (2.1)-ben

P0

helyett

P0* = ( Pp − pD1* )(1 − g * p) helyettesítéssel kapjuk a negyedéves költséget.

2.B.2. A CAPM modell A másik megközelítés, a CAPM modell konkrét kapcsolatot határoz meg az elvárt hozam és az eszköz szisztematikus kockázata között. Az i-dik eszköz

[

]

elvárt hozama: E [Ri ] = R f + β i (E Rm − R f ) , ahol R f a kockázatmentes hozam,

[

Rm a piaci hozam, E Rm − R f

]

a piaci kockázati prémium várható értéke, β i

pedig az eszköz szisztematikus kockázatát méri, azt mutatja meg, hogy a piaci hozam egységnyi elmozdulására az eszköz hozama mennyivel mozdul el. Az elvárt hozam becsléséhez az összetevőket külön kell meghatározni. A béta meghatározásnak számos módja van. Az egyes vállalatokra, ágazatokra bétakönyveket állítanak össze, melyből egy miénkhez hasonló vállalat bétáját megbecsülhetjük. Ha nem áll rendelkezésre bétakönyv, akkor saját számítás alapján határozhatjuk meg vállalatunk bétáját, a legegyszerűbb, ha lineáris regressziót számolunk a piaci hozam és vállalatunk hozama között, a regressziós egyenes meredeksége lesz a béta: β =

cov( Ri , Rm )

σ m2

, vagyis a piaci

hozam és vállalatunk hozama közötti kovarianciát osztjuk a piac varianciájával [7]. A piac hozamát általában egy tőzsdeindexszel helyettesíthetjük, melytől elvárható, hogy jól reprezentálja a piaci portfoliót. Ennek feltételei:

10

(1) minél több részvény szerepeljen az indexben, (2) vegye figyelembe az osztalékfizetéseket, (3) az egyes értékpapírok piaci súlyukkal szerepeljenek az indexben. Vizsgálatok szerint a (2) feltétel nem befolyásolja jelentősen a kapott eredményt. A másik kérdés, hogy milyen időtávon mérjük a hozamot. Célszerű az időtávot úgy megválasztani, hogy arra az időszakra megbízható kockázatmentes hozam álljon rendelkezésre, vagyis egy elemi államkötvény futamidejét vehetjük alapul. Ekkor a regressziós egyenlet: ( Rit − R ft ) = ai + bi ( Rmt − R ft ) + ε it ,

(2.4)

ahol t a kockázatmentes eszköz futamideje, Rft a hozama, Rit a vállalat hozama,

Rmt a piac hozama a t idő alatt, εit a hibatag, ai a regressziós egyenes ordinátametszete, bi a meredeksége, vagyis vállalatunk bétájának becslése. Ha a vizsgált időszakot egy napnak választjuk, akkor nehéz kockázatmentes hozamot megállapítani. Ekkor a regressziós egyenlet:

Rit = a i + bi Rmt + ε it ,

(2.5)

vagyis a kockázatmentes hozamot elhagytuk. A vizsgálatok szerint a napi kockázatmentes hozam gyengén korrelál a piaci hozammal, ezért ez az egyszerűsítés kis eltérést okoz. A

következő

probléma,

hogy

milyen

időintervallumban,

milyen

gyakorisággal figyeljük meg a hozamokat. Minél sűrűbben veszünk mintát egy időszakon belül, annál megbízhatóbb becslést, szűkebb konfidenciaintervallumot kapunk a becsült béta körül. Hosszabb időszakok bétája viszont kevésbé változékony, mint rövideké. Hosszú megfigyelési időszak alatt a vállalat bétája is változhat. Daves, Ehrhardt és Kunkel6 vizsgálatai szerint a két-három éves időszak napi hozamainak figyelembevétele az optimális. Különösen nem likvid papíroknál fordul elő, hogy kereskedelmük hullámzó. Ilyenkor az indexben szereplő súlyuk is torzított, ami más papírok bétabecslését

6

Daves, P.R., M.C. Ehrhardt, and R.A. Kunkel. “Estimating Systematic Risk: The Choice of Return Interval and the Number of Observations.” Working Paper,University of Tennessee, 1992.

11

is elrontja. Dimson7, valamint Scholes és Williams8 egyszerű korrekciós módszert dolgoztak ki. Napi hozamvizsgálatot feltételezve, a megelőző és következő két-két nap hozamát is figyelembe veszik a modellben:

Rit = ai +

2

∑b j = −2

i, j

Rm,t + j + ε it . ∧

A módosított béta az együtthatók összege: β i =

(2.6) 2

∑b j = −2

i ,t + j

.

A kockázatmentes hozam általában egy állampapír hozama. A CAPM modell egy periódusra becsli a hozamot, mely periódust célszerű az állampapír futamidejének választani. Hogy milyen hosszú legyen ez az időszak, arra nincs egyértelmű válasz. Végül szükség van a piaci prémium becslésére. Ennek legelterjedtebb módszere a múltbeli adatok átlagolása. Eldöntendő, hogy milyen időszakra átlagolunk, és számtani vagy mértani átlagot számoljunk. Általában érdemes nagy

elemszámú

mintát

átlagolni,

a

korábbi

események,

befektetők

kockázatvállalása reprezentatív mintának tekinthető a jövőre nézve. Az átlagolás módja a befektetési stratégiától függ. Ha a vállalat részvényeseire a részvények tartása jellemző, akkor mértani közepet célszerű alkalmazni, ha a nyereségveszteség időszakonkénti realizálása a jellemző, akkor számtani közepet. A piaci prémium becslésének másik módszere, hogy valamelyik osztalékjelenérték módszert alkalmazva megbecsüljük a piacot reprezentáló cégek növekedési rátáját, majd ezek átlagából meghatározzuk a piaci hozamot. A módszer előnye, hogy kombinálja a piaci adatokat és a befektetői elvárásokat, és így a piaci körülmények változásával a költség becslése is változik.

7

Dimson, E. “Risk Measurement When Shares Are Subject to Infrequent Trading.” Journal of Financial Economics 7 (1979): 197–226. 8 Scholes, M., and J. Williams. “Estimating Betas From Nonsynchronous Data.” Journal of Financial Economics 5 (1977): 309–327.

12

2.B.3. Az E/P modell A fent leírt, két legelterjedtebb modell mellett más módszereket is kidolgoztak a részvények elvárt hozamának becslésére. Az E/P modell (earnings/price) részvény költségét az rE , E / P =

EPS 0 P0

a

alakban határozza meg, ahol EPS0 a

jelenlegi egy részvényre jutó nyereség, P0 a részvény jelenlegi árfolyama. Ezt az értéket kapitalizációs aránynak is nevezik, mivel az eredményt viszonyítja a vállalat értékéhez. A módszer formailag egyszerű, de több hátránya van. A kimutatott eredmény nem azonos a pénzáramlásokkal, például eltérő könyvelési szabályok ugyanarra a pénzáramlásra más-más eredményt mutatnak ki. Másrészt a módszer jelentősen eltérő eredményt adhat, mint a osztalékjelenérték modell. Legyen az osztalékfizetési ráta b, az osztaléknövekedési ütem g, ekkor rE , E / P =

EPS 0 =

D1 . (2.1)-ből D1-et kifejezve és behelyettesítve: (1 + g )b

rE − g , ami rE-től jelentősen eltérhet. (1 + g )b

2.B.4. Opcióárazásos költségbecslés A módszer Black és Scholes9 opcióárazási modelljén alapul, ugyanis egy vállalat részvénye azonos egy call opcióval. Ha a vállalat egy összegben, egy adott időpontban fizetendő, elemi kötvény jellegű adóssággal rendelkezik, akkor a vállalat részvénye azonos egy opcióval a vállalat eszközeinek vételére. Az opció lejárati ideje azonos a hitelével, kötési árfolyama a hitel névértékével. Legyen V a vállalat jelenlegi értéke, E a sajáttőke jelenlegi értéke, D a hitel névértéke, rc a vállalat költsége, T a hitel lejáratáig hátralévő idő, σ a vállalat eszközértékének szórása. Copeland és Weston10 megmutatta, hogy a saját tőke költsége:

9

Black, F., and M. Scholes. “The Pricing of Options and Corporate Liabilities.” Journal of Political Economy 81 (May/June 1973): 637–654. 10 Copeland, T.E., and J.F. Weston. Financial Theory and Corporate Policy 3d ed. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1988.

13

rE = R f + N (d1 )(rc − R f ) ahol

d1 =

ln(V / D) + R f T

σ T

V , E

(2.7)

1 + σ T. 2

(2.8)

és N(d1) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye a d1 helyen. A módszer rávilágít a tőkeáttétel és a tőkeköltség változékonysága közötti kapcsolatra, de a költség becslésére bonyolultsága, elvont feltételezései miatt nehezen alkalmazható. Hsia11 javasol egy közelítő módszert (2.7) egyenlet becslésére. Jelölje A az éves kamatfizetés összegét, B a hitel jelenlegi értékét. Ha a tőkeszerkezet állandó egy időszakban, akkor a hitelt lejáratakor megújítják. Ezért a jelenlegi hitel becsülhető egy B jelenértékű, évente A összeget fizető örökjáradékkal. Hsia ezt az örökjáradékot egy vele azonos átlagos futamidejű elemi

kötvénnyel

helyettesíti

―

melynek

átlagos

futamideje

azonos

futamidejével ―, és megmutatja, hogy ez a futamidő B/A-val egyenlő. (2.8) egyenletben T-t ezzel becsülhetjük. Ha az elemi kötvény jelenlegi értéke B, akkor lejáratkori értéke a hitel hozamával számolva, folytonos kamatszámítással Be

B A * A B

= Be , amivel D-t helyettesíthetjük. A σ szórás

például múltbeli

adatokból számítható. Átalakítás után (2.7) és (2.8) így alakul:

A rE = R f +  − R f B

 B  N (d1 )    ,  E  N ( − d1 ) 

(2.9)

ahol

d1 =

ln(1 + E / B) + (1 / A)( R f B − A)

σ B/ A

1 + σ B/ A. 2

(2.10)

2.B.5. Többváltozós modellek A CAPM modell a várható hozamot a piaci hozam, mint magyarázó változó függvényében írja le, és az összefüggést megadó bétát lineáris regresszióval határozza meg. Főleg kockázatos befektetések hozamait más tényezők is

11

Hsia, C. “Estimating a Firm’s Cost of Capital: An Option Pricing Approach.“ Journal of Business Finance and Accounting 18(2) (1991): 281–287.

14

jelentősen befolyásolják, ezért a hozamot több magyarázó változóval felírt regresszióval becsülhetjük. A Ross12 által kidolgozott Arbitrált árfolyamok modellje azt feltételezi, hogy a hozam makroökonomiai változóktól, faktoroktól függ, másrészt olyan zajtényezőktől, amelyek csak az adott projektre vannak hatással. Tegyük fel, hogy a projekt hozama K változótól függ. Jelölje δkt a k-dik változó megváltozását t időszakban, bik az i-dik projekt, vállalat érzékenységét ennek megváltozására, εit pedig a projektre jellemző hibatagot, akkor az i-dik projekt t időszakra vonatkozó hozamának teljes hibája (a hozam és várható értékének K

különbsége): Rit − E [Rit ] = ∑ bik δ kt + ε it . k =1

Ross

megmutatja,

hogy

az

elvárt

hozam

felírható

a

vállalatok

K

érzékenységének

függvényében:

E [Rit ] = λ 0t + ∑ λ kt bik ,

ahol

λ0t

a

k =1

kockázatmentes hozam t időszakban, λkt pedig

a k-dik faktor kockázati

prémiuma t időszakban. Ha adott érzékenységekhez ettől eltérő hozamot biztosító projektünk van, akkor arbitrázs lehetősége áll fenn [2]. Ha a vállalatok hozamáról múltbeli adatokkal rendelkezünk, akkor Fama és MacBeth13 módszerével, faktoranalízissel határozhatjuk meg a vállalatra ható kockázati tényezőkre vonatkozó bik érzékenységeket. A mintából egy adott τ időszakra a vállalati hozamok felhasználásával keresztmetszeti regresszióval határozzuk meg a vállalat kockázati prémiumát: K

Riτ − R fτ = a 0 + ∑ a kτ bik + wiτ ,

(2.11)

k =1

ahol a-k a regressziós együtthatók, melyek a λkτ kockázati prémiumok becslései. Ha a minta minden időszakára kiszámoljuk a kockázati prémiumokat, akkor ezek

12

Ross, S.A. “Return, Risk and Arbitrage.” In Risk and Return in Finance. Irwin Friend and James Bicksler, eds. New York: Heath Lexington, 1974. 13 Fama, E.F., and J. MacBeth. “Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests.” Journal of Political Economy 81 (May–June 1973): 607–636.

15

átlagával becsülhetjük az egyes faktorok λ k kockázati prémiumait. A költség K

becslése ezek után: rE = λ 0 + ∑ bik λ k . k =1

A módszer előnye, hogy a több magyarázó változó használatával megbízhatóbb értéket ad a költségre, de számítása bonyolult, és a szisztematikus kockázatot befolyásoló faktorok kiválasztása általában önkényes, azok kapcsolata a mérhető makroökonomiai változókkal nehezen meghatározható. Ennek a problémának elkerülésére a priori modelleket dolgoztak ki, melyek a vállalat jellegét figyelmen kívül hagyva választják meg a faktorokat. Chen, Roll és Ross14 általános makroökonomiai mutatókat használnak: ipari termelés (IP), nem várt infláció (UI), a várt infláció változása (DEI), a hosszú lejáratú állampapírok és a nagy kockázatú vállalati kötvények közötti kockázati prémium (UTS). Vállalatunk hozamának múltbeli idősorából ezen fakorok érzékenysége meghatározható a következő regresszióval: Ri = a + bIP IP + bUI UI + bDEI DEI + bUPRUPR + bUTS UTS + ε .

(2.12)

Ebből az elvárt hozam: rE = R f + bIP λ IP + bUI λUI + bDEI λ DEI + bUPR λUPR + bUTS λUTS ,

(2.13)

ahol λ-k a kockázati prémiumok, Rf a kockázatmentes hozam. Innen az eljárás azonos az előzővel, (2.11) szerinti regresszióval meghatározzuk a különböző időszakok kockázati prémiumait, majd ezek átlagaiból számoljuk az elvárt hozamot. Más a priori módszerek szerint a faktorok helyett az érzékenységeket (bik) becsüljük. Fama és French15 szerint a vállalat mérete (bS) és könyvszerinti érték/piaci érték aránya (bB/M) meghatározóan befolyásolja a hozamot. Mivel ezek a mutatók közvetlenül meghatározhatók, nincs szükség idősoros regresszióra: rE = R f + bS λ S + bB / M λ B / M , ahol a kockázati prémiumok ( λ -k) az előzőekhez hasonlóan számíthatók.

14

Chen, N., R. Roll, and S.A. Ross. “Economic Forces and the Stock Market.” Journal of Business (July 1986): 383–403 15 Fama, E.F. and K.R. French. “The Cross–Section of Expected Stock Returns.“ Journal of Finance 47(2) (1992): 427–466.

16

Számos más típusú többváltozós modellt dolgoztak ki. Az ipari index modellek ágazati (RI) és piaci indexeket (RM) használva írják fel a regressziós modellt: Ri = b0 + bM RM + bI RI + ε .

(2.14)

A kamatlábmódszerek a különböző lejáratokra és kockázatokra érvényes kamatlábakból állítanak fel regressziós modelleket.

17

3. fejezet A költségbecslés összetettebb gazdasági körülmények között Eddigi vizsgálódásaink során egyszerű piaci helyzettel foglalkoztunk, az ismertetett módszerek lényegében nyilvánosan forgalmazott részvénnyel rendelkező vállalatokra alkalmazhatók. Valós gazdasági körülmények között számos módosító tényezőt kell figyelembe venni. Problémát okoz, ha a vállalatéhoz hasonló tevékenységhez nem találunk piaci adatokat, vagy egy projekt jellege, vagy vállalatrész tevékenysége eltér a vállalat profiljától. Ugyancsak figyelembe kell venni a tevékenység során felmerülő

tranzakciós

költségeket,

a

hosszú

lejáratú,

többperiódusú

pénzáramlást jelentő projektek eltérő jellegét. Felmerülhet költségvetési korlát, és egyes vállalatoknak működésük során bizonyos szabályozó tényezőkhöz kell alkalmazkodniuk, tevékenységüket nem igazíthatják teljesen a piachoz. A globalizáció

következtében

a

vállalatok

tevékenysége

több

országra

kiterjeszthető, ahol eltérő feltételekkel működhetnek. Végül, az opciót tartalmazó projektek általában nem árazhatók a pénzáramlások diszkontálásának módszerével.

3.A. A vállalat profiljától eltérő projektek Mint már korábban elemeztük, az egyes projekteket a kockázatuknak megfelelő költséggel kell figyelembe venni. Hogyan becsüljük ezt az értéket, ha nem áll rendelkezésre a projektet jellemző részvény piaci ára? Ez akkor fordulhat elő, ha a vállalat nem rendelkezik nyilvánosan forgalmazott részvényekkel, vagy egy vállalatnak olyan alegysége van, vagy olyan projektet indít, ami eltér profiljától; vagy a projekt finanszírozási szerkezete eltér a vállalatétól. Ekkor ugyanis a vállalat részvényének piaci ára torzul tükrözi a projekt, alegység kockázatát. Ha a vállalat

tőkeköltségével

diszkontálnánk

egy

kockázatosabb

projekt

pénzáramlásait, akkor valódi nettó jelenértékénél nagyobb értéket kapnánk, így

18

lehet, hogy elfogadnánk egy veszteséges projektet. Ugyanez fordítva igaz a kisebb kockázatú projektekre.

3.A.1. Ágazati eltérés Ha a vállalat profilt vált, és egy üzemét az addigitól eltérő ágazatra állítja át, vagy egy nem teljesen profiljába illeszkedő projektbe kezd, az problémát okoz a tőkeköltség becslésében. Lényeges kérdés, hogy az új projekt mennyire illik a vállalat tevékenységébe; Prahalad és Hamel16 vizsgálatai igazolták, hogy a vállalat profiljától nagyon eltérő projektek általában nem sikeresek. Ha megbecsültük a piaci árral nem rendelkező eszköz kockázatát, akkor a CAPM modellel meghatározhatjuk a költségét. A kockázat meghatározásához feltételezzük, hogy az adott üzletágak szisztematikus kockázata azonos minden, az adott üzletágban versenyző vállalatra, függetlenül attól, hogy az adott ágazat mellett mással is foglalkozik. Fuller és Kerr17 vizsgálata igazolta ennek a feltevésnek a tarthatóságát. Ennek alapján, ha találunk egy nyilvános vállalatot, amely csak az adott üzletágban tevékenykedik, akkor annak tőkeköltsége használható projektünk számára. A „tiszta játék”, Pure-Play módszerek ezen az elven

működnek:

a

projektünkkel,

alegységünkkel

azonos

ágazatban

tevékenykedő, hasonló nagyságú bevétellel rendelkező, esetleg hasonló földrajzi elhelyezkedésű,

más

tevékenységet

nem

folytató

vállalatok

bétáját

meghatározzák. Ezek átlaga vagy mediánja lesz a keresett béta. A több tevékenységet folytató vállalatok bétája az egyes ágazatok bétájának súlyozott N

összege lesz: β M = ∑ ws β s , ahol βM a többágazatú vállalat teljes bétája. Fuller s =1

és Kerr a ws súlyokat az egyes ágazatokban történt eladások arányában állapította meg. Az így súlyozott, Pure-Play módszerrel számolt βs-ek nagyon jól közelítették a többágazatú vállalatok piaci bétáját.

16

Prahalad, C. K., and G. Hamel. “The Core Competence of the Corporation.” Harvard Business Review (May–June 1990): 79–91. 17 Fuller, R., and H. Kerr. “Estimating the Divisional Cost of Capital: An Analysis of the Pure– Play Technique.” Journal of Finance (December 1981): 997–1009.

19

Bonyolultabb a helyzet, ha nem találunk tisztán az ágazatban tevékenykedő nyilvános vállalatot. Ekkor többváltozós regressziós módszert alkalmazhatunk. Tegyük fel, hogy M elemű, olyan többágazatú vállalatból álló minta áll rendelkezésre, melyekkel vállalatunknak van közös ágazata. Ezeknek a teljes bétáját kell megbecsülni. M nagyobb kell hogy legyen, mint N, a vállalatokban lévő ágazatok száma. Ha wjs az s-dik ágazat piaci súlya a j-dik vállalatban, akkor N

a bétákat megadó regresszió: β Mj = ∑ w js β s + ε j . A β-k a függő változók, w-k a s =1

magyarázó változók. Az így megkapott bétákat alkalmazhatjuk vállalatunk ágazataira.

3.A.2. Finanszírozási különbség Egy projekt, alvállalat nemcsak ágazatát tekintve különbözhet a vállalattól, hanem finanszírozási szerkezetében is, ami szintén befolyásolja a tőkeköltséget. Tegyük fel, hogy a tőkeszerkezet elemei, amelyek a vállalat értékére hatnak: a hitel, az adómegtakarítás finanszírozási hatása és a csőd lehetőségének költsége. Jelölje VL a részben hitelből finanszírozott vállalat értékét, VU egy hasonló vállalat értékét, amelyet hitel nélkül finanszíroznak, és D a hitel értékét. Ekkor a vállalat értéke: V L = VU + G ⋅ D ,

(3.1)

ahol G az adószabályok és D függvénye. Ha nincs adó és csődkockázat, akkor G=0, és (3.1) egyenlet Modigliani-Miller18 I. tételét fejezi ki, miszerint tökéletes piacon a finanszírozási szerkezet nem befolyásolja a tőke költségét. Ha a vállalati adókulcs τC, és feltesszük, hogy G= τC akkor Modigliani-Miller19 II. tételét kapjuk. Ha a személyi jövedelemadókat is figyelembe vesszük, és a részvényekből adódó személyi jövedelem adókulcsa τE, a kamatjövdelemé τD, akkor Miller20 eredménye szerint: 18

Modigliani, F. and Miller, M.H. “The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment.” American Economic Review (June 1958): 261–297. 19 Modigliani, F. and Miller, M.H. “Taxes and the Cost of Capital: A Correction.” American Economic Review (June 1963): 433–443. 20 Miller, M.H.” Debt and Taxes.” Journal of Finance (May 1977): 261–275.

20

G = 1−

(1 − τ C )(1 − τ E ) . (1 − τ D )

(3.2)

A tőkeszerkezet a vállalat szisztematikus kockázatára is hatással van, az eladósodás növeli a csőd kockázatát. Vizsgáljunk egy tőkeáttétellel működő vállalatot, melynek saját tőkéje E, idegen tőkéje D piaci értékű, bétája βL. Legyen βU egy hasonló vállalat bétája, amely tőkeáttétel nélkül működik. Ekkor:  

β L = β U 1 + (1 − G )

D . E 

(3.3)

Tehát a tőkeáttétel növeli a vállalat bétáját. Ezt tapasztalati úton is igazolta Hamada21, Mandelker és Rhee22, Hill és Stone23. A tőkeáttételi hatásnak számos módosító modellje készült. A legelterjedtebben használt becslés βL-re a G=τC helyettesítéssel adódik, mikor csak a vállalati adót vesszük figyelembe. Ekkor a tőkeáttétel nélküli vállalat rU és a tőkeáttételes vállalat rL elvárt hozamára (3.3)ból a CAPM alapján adódó összefüggés, ha rf a kockázatmentes hozam: rL = rU + (rU − r f )(1 − τ C )

D . E

(3.4)

Egy másik eljárást dolgozott ki a tőkeköltség módosítására Bower és Jenks24. Egy olyan arányt definiáltak, amellyel az adózás utáni pénzáramlásokat diszkontálják, kivéve a hitelek utáni kamatfizetéseket. Ez a diszkontráta:

[

[

]]

 D rC = rf + βU (E rm − rf ) 1 −  . Ha ebben a kifejezésben βU  VL 

a (3.3)

kifejezésből adódó, ahol G= τC, valamint a kockázatmentes hozam: rf egyenlő az adózás előtti hitel értékével, akkor a tőke súlyozott átlagköltségének (1.5) kifejezését kapjuk. Bower és Jenks olyan feltételrendszert ad meg, amiből a kockázatmentes hozam és a hitel tőkeköltségének egyenlősége következik. 21

Hamada, R. “The Effect of the Firm’s Capital Structure on the Systematic Risk of Common Stocks.” Journal of Finance (May 1972): 435–452. 22 Mandelker, G.N., and S.G. Rhee. “The Impact of the Degrees of Operating and Financial Leverage on Systematic Risk of Common Stock.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 19(1) (1984): 45–57. 23 Hill, N., and B. Stone. “Accounting Betas, Systematic Operating Risk, and Financial Leverage: A Risk-Composition Approach to the Determinants of Systematic Risk.” Journal of Financial and Quantitative Analysis (September 1980): 595–637 24 Bower, R., and J. Jenks. “Divisional Screening Rates.” Financial Management (Autumn 1975): 11–18.

21

Ha egy alvállalat tőkeáttétele eltér a vállalatétól, és szisztematikus kockázatát a Pure-Play vagy a regressziós módszerrel becsüljük egy mintából, a tőkeáttétel figyelembevételére két megközelítés lehetséges. Az első megközelítés szerint a minta minden elemét először „megtisztítjuk” a tőkeáttételtől, vagyis (3.3)-ből kifejezzük βU-t, és ezeket felhasználva határozzuk meg az alvállalat tőkeáttétel nélküli bétáját. Ezt (3.3)-ba helyettesítve kapjuk a tőkeáttételt figyelembe vevő bétát. A helyettesítésnél természetesen az alvállalatra jellemző G-t és D/E arányt kell alkalmazni. A másik megközelítés szerint azt feltételezzük, hogy egy ágazat hitelfelvevő képessége mindig azonos minden vállalatra, alvállalatra, így a vizsgált alvállalat tőkeáttétele azonos az ágazatára jellemzővel. Ekkor az ágazati kockázat becslése előtt a minta elemeit nem tisztítjuk meg a tőkeáttételi hatástól, így a kapott béta is tartalmazza az ágazatra jellemző tőkeáttételi hatást. Ha alvállalatunk tőkeáttétele azonos az ágazatra jellemzővel, akkor a kapott bétát elfogadjuk, ha nem, akkor előszőr megtisztítjuk a tőkeáttétel hatásától, majd (3.3)-ba a saját tőkeáttételt helyettesítjük. Bower és Jenks, valamint Bradley, Jarell és Kim25 vizsgálódásai igazolják, hogy az egyes ágazatokra jellemző a tőkeáttétel, ezért általában a második megközelítés alkalmazható, a finanszírozási hatásokat nem kell figyelembe venni, csak ha valamilyen körülmény miatt alvállalatunk tőkeáttétele, adómegtakarító képessége eltér az ágazati átlagtól.

3.A.3. Egyéb eltérések A tőkeáttételen és az adók finanszírozási hatásán kívül számos más tényező is befolyásolja a szisztematikus kockázatot. A lízing a kölcsönvételt helyettesíti, valamint speciális adószabályok vonatkoznak rá, így szintén megváltoztatja a kockázatot. Long26 a következőképpen írja le a kapcsolatot egy lízingelő és nem lízingelő hasonló vállalat között: 25

Bradley, M., G.A. Jarrell, and E.H. Kim. “On the Existence of an Optimal Capital Structure: Theory and Evidence.” Journal of Finance 39(3) (July 1984): 857–880. 26 Long, M.S. “Leasing and the Cost of Capital.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 12(4) (1977): 579–586.

22

 rU − i  L  r U − i  DEP  + τ C  E  rE = rEU + (1 − τ C ) E ,  i E  i  E

(3.5)

ahol rEU a lízing nélküli vállalat költsége, i a hitel kamata, L a fizetendő lízingdíj, DEP az értékcsökkenés. A módszer alkalmazható, ha alvállalatunk az átlagtól eltérő lízingszerkezetű, illetve ha a vállalat lízingszerkezete megváltozik: ekkor rEU a vállalat korábbi tőkeköltségével helyettesíthető. Ugyancsak hatással vannak a tőkeköltségre a függőben lévő nyugdíjfizetési kötelezettségek, melyek adósságként kezelhetők, valamint a könyvelési szabályok változása, a likviditás változása, csökkenti a kockázatot a tőzsdei bevezetés. Ezekre a hatásokra nincsenek jól használható analitikus modellek.

3.B. Tranzakciós költségek Ha a vállalat tőkét von be egy vállalkozásba, nettó növekedése kisebb, mint a befektetők befizetése. A különbség jutalékokból, különböző díjakból adódik, melyeket figyelembe kell venni a tőkeköltség számításánál. Hitelfelvétel esetén a tranzakciós költség a felvételkor jelentkezik, amit pénzáramlásként figyelembe kell venni. Ha az adótörvények szerint a tranzakciós költség amortizálható, akkor ezt a kamatfizetésekből le kell vonni. A hitel költsége a pénzáramlások belső megtérülési rátája lesz. Hasonló a helyzet csökkenő csökkenő

alapú,

osztalékelsőbbségi

alapú

részvény

osztalékelsőbbségi

pénzáramlásának költsége: rP =

költségszámításánál.

részvény

örökjáradék

Nem jellegű

D D = , ahol P0 a részvény bruttó, PN a PN P0 (1 − F )

nettó ára, F a tranzakciós költség és P0 aránya, D az elsőbbségi osztalék. Részvények

hozambecslésénél

kis

változtatással

alkalmazhatók

a

tranzakciós költséget figyelmen kívül hagyó módszerek. Az állandó növekedési ütemű

rE =

modellban

a

bruttó

ár

helyébe

a

nettót

helyettesítve:

r D1 D + g = NG + g , ahol rNG = 1 az állandó D1 osztalékot fizető P0 (1 − F ) 1− F P0

részvény költsége tranzakciós költség nélkül. Tehát a módosított költség előáll az

23

osztaléknövekedés nélküli részvény módosított költsége és a növekedési ütem összegeként. Ezt az alapelvet alkalmazhatjuk a CAPM modellben is: ha meghatároztuk a tranzakciós költség nélküli bruttó rEb költséget a CAPM modellből, és ismerjük a g növekedési ütemet, akkor rE =

rEb − g . (1 − F )

(3.6)

A diszkontráták módosításának egy alternatívája a módosított nettó jelenérték módszer. Ekkor nem a tőkeköltségeket módosítjuk a tranzakciós költségeknek megfelelően, hanem a pénzáramlásokat. Ezt a módszert általában akkor használják, ha a projekt megvalósítása után a teljes tőke visszakerül a befektetőkhöz. Mivel a vállalatokra az újrabefektetés jellemző, a módszert ritkán alkalmazzák.

3.C. Hosszú távú projektek A tőkeköltség becslésének legelterjedtebb módszere a CAPM modell. A módszer azonban egy periódusban előforduló pénzáramlások diszkontálásához ad helyes diszkontrátát,

egy

befektetési

periódus

hasznosságát

maximalizálja.

Használatához a kockázatmentes hozamot, piaci kockázati prémiumot és a bétát kell megbecsülni. Ha a piaci körülmények nem változnak az idők folyamán, akkor a modell hosszú távon alkalmazható (eltekintve a vállalat bétájának esetleges elmozdulásától). A különböző időtávokra azonban a kockázatmentes hozamok sem állandók (a hozamgörbe általában nem vízszintes). A CAPM módosítására készült módszerek bonyolultak, ezért a gyakorlatban általában hosszú távra is a CAPM-et használják. Ekkor célszerű a CAPM elemeit módosítani. A különböző időszaki pénzáramlásokhoz a megfelelő kockázatmentes hozamot célszerű használni. Ez a kockázatmentes hozamgörbéből nyerhető, amely a kockázatmentes hozamot fejezi ki az idő függvényében. Az ismert értékekből (elemi állampapírok hozamából) illesztési, interpolációs eljárásokkal határozható meg a görbe, végezhető el a közbülső időpontok kockázatmentes

24

hozamának becslése [8], [10]. Egyszerűbb módszer a projekt futamidejével közel azonos futamidejű, illetve hosszú futamidejű államkötvények hozamával becsülni a kockázatmentes hozamot, mert ez a hozam több időszak kockázatmentes hozamának súlyozott átlaga. A kockázati prémium becslése múltbeli adatok átlagolásából történhet. A vizsgált időszakot közrefogó két időpontot tekintjük, amire rendelkezésre áll kockázatmentes hozam idősora. A két időpont között interpolációval határozzuk meg a kockázatmentes hozamot, ezt kivonjuk a piaci hozam idősorából kapott átlagból. Hosszú távú projektek esetén az infláció is gondot okozhat. Ha minden pénzáramlást ugyanúgy nominálisan, vagy reál értéken veszünk figyelembe, akkor ugyanazt az eredményt kapjuk, a becslési módszereken nem kell változtatni, amennyiben elfogadjuk az inflációs várakozásokat. Arra az esetre, ha nem fogadjuk el az inflációs elvárást, és a nem várt infláció kockázatnövelő faktor, bonyolult becslési eljárások születtek, melyek felhasználják az infláció kovarianciáját a piaci indexszel, a kockázatmentes hozammal, a vállalat hozamával. Mérsékelt infláció mellett ezek a módszerek a hagyományos módszerekhez közeli eredményt adnak, ezért használatuk csak extrém infláció mellett célszerű. Szükség van-e a hosszú távú projektek hitelének és elsőbbségi részvényeinek költségmódosítására? Mivel a hitel pénzáramlása rögzített, értéke a jelenlegi hozamgörbéből adódó hozamokat tükrözi, azt az értéket, amin jelenleg hasonló hitelt tudnánk felvenni, ezért általában nincs szükség kiigazításra. Ha vállalatunk eltérő ágazathoz tartozó projektekkel rendelkezik, mely ágazatokra eltérő tőkeszerkezet, eltérő futamidejű hitel jellemző, akkor szükség lehet kiigazításra. Ha a projektek pénzáramlásai nem teljesen pozitívan korreláltak, akkor a diverzifikáló hatás miatt a vállalat hitelképessége javulhat, így ha a vállalat a projekteket egy hitelfelvételből finanszírozza, egyes projektek pénzáramlása időszakonként negatív lehet, míg a teljes vállalaté pozitív. A projekt hitelének költségét módosítani kellene azzal az értékkel, amennyivel

25

hozzájárul a vállalat hitelfelvevő képességéhez, erre azonban nincs általánosan elfogadott módszer. Az

egyes

projektek

finanszírozása

optimális

esetben

a

projekt

pénzáramlásához igazodó hitelszerkezettel történik, a hitel futamidejét a projekt átlagos futamidejéhez kell közelíteni. A valóságban azonban a legtöbb vállalat sok különböző projektet egyetlen hitelfelvételből finanszíroz. Összességében elmondhatjuk, hogy a hitelek tőkeköltségének a futamidőre vonatkozó kiigazítására általában nincs szükség.

3.D. Költségvetési korlát Ha a vállalatnak költségvetési korlátokat kell figyelembe vennie, azaz az egyes időszakokban limitált tőkebevonásra képes, az szintén hatással van a tőkeköltségre. Ez az eset áll fenn, ha a vállalat nem akar tovább növekedni, jelenlegi eszközeit akarja optimálisan kihasználni, de akkor is, ha nincs kapacitása minden pozitív NPV-jű projektet megvalósítani. Ennek oka a tőkebevonás korlátozottságán kívül más kapacitás szűk keresztmetszete is lehet. Ekkor a lehetséges projektek közül kell összeválogatni az optimális arányt, azt aminek NPV-je maximális. A probléma lineáris programozási feladatként fogható fel [11]. Legyen bt a t-dik évben rendelkezésre álló tőke, a figyelembe vehető projektek maximális futamideje T, cit az i-dik projektbe történő egységnyi befektetés pénzáramlása a t-dik évben. A tőkeköltség minden projektre rC. Ekkor az i-dik projektbe történő T

befektetés nettó jelenértéke: NPVi = ∑ t =0

cit . Tegyük fel, hogy N projekt (1 + rC ) t

közül választhatok, és legyen a i-dik projektbe fektetett tőke xi. Ekkor a célfüggvény: N

Max∑ NPVi xi .

(3.7)

i =1

Egy időszakban a rendelkezésre álló tőke és a pénzáramlások összege nem lehet negatív, a projektekbe fektetett összeg szintén nem. Ezért a korlátozó feltételek:

26

N

bi + ∑ cit xi ≥ 0

t=0,T

xi ≥ 0

i=1,N

(3.8)

i =1

A fenti primál lineáris programozási feladat xi megoldásai adják a projektek optimális arányát. Vizsgáljuk meg a fenti lilneáris programozási feladat duális párját. A duális feladat egy másik lineáris programozási feladat, melynek akkor és csak akkor van megoldása, mikor a primálnak. Legyen a t időpontra a diszkontráta:

dt =

1 . Ekkor a duál feladat a következő: (1 + rC ) t T

Min∑ bt Lt t =0

T

T

t =0

t =1

∑ − cit Lt ≥ ∑ d t Lt Lt ≥ 0

i=1,N

(3.9)

t=0,T

A duál feladat változói Lt-k. Az Lt értékek azt adják meg, hogy a primál korlátozó feltételeket megadó egyenlőtlenségek bal oldalának változása hatására a primál feladat célfüggvénye mennyivel változik. Jelen esetben Lt az az összeg, amennyivel a célfüggvényt megadó nettó jelenérték változik, ha a t-dik időszakban befektethető összeg egy egységgel nő. Tehát Lt–nek meg kell egyeznie a diszkontfaktorral, dt-vel. Ezért elvárható, hogy dt = Lt. Burton és Damon27 azonban megmutatta, hogy az egyenlőség a dt = Lt =0 triviális eset kivételével nem állhat fenn. Költségvetési korlát esetén tehát a tőke költsége nem értelmezhető egy olyan arányként, ami egy egységnyi jövőbeli pénz mai értékét adja meg. Ez megkérdőjelezi költségvetési korlát esetén a tőkeköltség jelentését; ha a korlát miatt semmilyen hozamon nem lehet többlet tőkét bevonni, akkor a plusz tőke költsége nem értelmezhető. Ha a tőkeköltség valóban a befektetők igényét fejezi ki, akkor jól működő tőkepiacon mindig képesnek

kell

lenni

tőkét

bevonni

pozitív

nettó

jelenértékű

projekt

megvalósításához. A befektetők igénye úgy fogalmazható meg, hogy az elvárt

27

hozam olyan nagyságú, hogy a nagyság ellenére pozitív nettó jelenértékű projektekbe mindig be akarnak fektetni, így a vállalat nem ütközhet költségvetési korlátba. A

valóságban

azonban

a

vállalatvezetés

általában

korlátozott

a

tőkebevonásban, az elméletet nehéz a gyakorlatban alkalmazni. Ha a vállalat rendszeresen elutasít pozitív NPV-jű projekteket, akkor érdemes a tőkeköltséget, finanszírozási politikát felülvizsgálni.

3.E. Korlátozott piaci körülmények között működő vállalatok Eddig feltételeztük, hogy a vállalat piaci versenyben működik, az árakat ez határozza meg; szabadon megválaszthatja, hogy milyen terméket állít elő, vagy milyen szolgáltatást nyújt. Egyes vállalatoknak azonban egyéb szabályzókat figyelembe véve kell működniük. Ezek közül a legjelentősebb két kategória: a közműszolgáltatók és a pénzintézetek.

3.E.1. Közművek Általában a közműszolgáltatók nem versenyhelyzetben működnek, egy adott területen a legjobb megoldás egyetlen szolgáltató jelenléte, több közműhálózat kiépítése nem célszerű egy területen. Csak egy vállalat kap állami engedélyt a közműszolgáltatásra, és hogy az állam kompenzálja a piaci szabályozás hatását, limitálja a szolgáltatás árát. Kérdés, hogy állapíthatjuk meg az optimális árat, ami elfogadható a fogyasztóknak, és a szolgáltatónak ésszerű hozamot biztosít. Ennek az aránynak a meghatározása bonyolult feladat, a fogyasztók igényeinek, a szolgáltatás árának előrejelzésén és a tőkeköltség becslésén alapuló módszereket használnak.

27

Burton, R.M., and W.W. Damon. “On The Existence of a Cost of Capital Under Pure Capital Rationing.” Journal of Finance 29(4) (1974): 1165–1173.

28

A közműszolgáltatók csak előzetes hatósági engedély után emelhetik áraikat. A hatóság ármegállapításának első lépése egy arányosítási bázis meghatározása. Ezt általában a saját tőke és az idegen tőke könyvszerinti értékének (EB, illetve DB) összegeként állapítják meg. Ezután a megengedett tőkeköltséget határozzák meg, az (1.5) összefüggésbe a könyvszerinti értékeket helyettesítve:

 EB rAC =   E B + DB

  DB rAE +    E B + DB

 (1 − τ )i H , 

(3.10)

ahol iH a hitel adózás előtti költsége, melyet általában múltbeli adatokból becsülnek, rAE a saját tőke megengedett költsége. A bázis és a megengedett tőkeköltség szorzata az adózás utáni megengedett bevétel. Ezt kiigazítva az adókkal és egyéb költségekkel, majd elosztva a szolgáltatás várhatóan igényelt mennyiségével, megkapjuk a megengedett árat. A megengedett tőkeköltség eltér a piacitól, mert a piaci értékek helyett a könyvszerinti értékekkel súlyoztunk. A hitelek könyvszerinti és piaci értéke általában közeli, ha a kamatlábak nem változnak jelentősen. Közmű vállalatok esetén gyakran a saját tőke könyvszerinti és piaci értéke is közeli érték. Ennek okát többféleképp magyarázzák. Egyrészt az árszabályozó hatóság arra törekszik, hogy a saját tőke megengedett költsége a piacihoz hasonló legyen. Gordon28 szerint ilyen törekvésre nincs szükség, mert a szabályozó eljárás önmagában befolyásolja a piacot; ha a megengedett ár eltér a piacitól, akkor a piac számít a hatósági beavatkozásra, és a könyvszerinti érték felé mozdítja a piaci árat. A megengedett és piaci tőkeköltség eltér az i hitelkamat múltbeli adatokból történő becslése miatt is. Ha ez eltér a piacitól, akkor téves döntéseket hozhatunk egy projekt elfogadásával vagy elvetésével. A következő hatósági árkiigazításnál ezt az eltérő kamatlábat már figyelembe veszik, mint a múltbeli idősor elemét, de a korrekciót visszamenőleg nem végzik el. A késlekedés a piaci ár változása és a hatósági kiigazítás között befolyásolja a befektetők hozamát.

28

Gordon M.J. “The Cost of Capital to a Public Utility.” East Lansing, Mich.: MSU Public Utilities Studies, 1974.

29

A megengedett sajáttőke költségének meghatározása okozza a legnagyobb problémát. Megoszlanak a vélemények, hogy a CAPM modell alkalmazható-e a közművállalatok tőkeköltségbecslésére. Az osztalék-jelenérték modell általában alkalmazható, mert ezekre a vállalatokra a viszonylag nagy és stabil osztalék a jellemző. Több speciális becslési módszer is készült. A CAPM módszer azon a feltételezésen alapul, hogy a hozamok normális eloszlást követnek. A szabályozás azonban felső korlátot szab a befektetési lehetőségeknek, ami ferdeséget okoz az elvárt részvényhozam eloszlásában. Ennek leírására a Kraus- Litzenberger29 féle hárommomentumos árazási modell alkalmas,

ami

a

ferdeség

segítségével

írja

le

az

elvárt

hozamot:

rE = r f + b1 β + b2γ , ahol β és γ a kockázati tényezők, b1 és b2 a kockázati

prémium a két kockázatforrásra. A β ugyanaz, mint a CAPM modellben, a vállalati és a piaci hozam közötti kovarianciának és a piaci hozam

Cov(Ri , Rm ) . Legyen Rit és Rmt a vállalat, σ 2 ( Rm )

szórásnégyzetének hányadosa: β =

illetve a piac hozama a t időpontban. Ha T elemből álló idősorral rendelkezünk ezekből a hozamokból, akkor T

β=

∑ (R

− Ri )( Rmt − Rm )

it

t =1

,

T

∑ (R t =1

mt

− Rm )

(3.11)

2

ahol Ri az Rit-k átlaga, Rm az Rmt-k átlaga. A gamma a ferdeség által okozott kockázat mértéke: T

γ =

∑ (R t =1

it

.

T

∑ (R t =1

29

− Ri )( Rmt − Rm ) 2 mt

− Rm )

(3.12)

3

Kraus, A., and R. Litzenberger. “Skewness Preference and the Valuation of Risky Assets.” Journal of Finance (May 1976): 1085–1100.

30

Conine és Tamarkin30 a fenti módszert a befektetők egy speciális hasznossági függvényét feltételezve alkalmazta, amelynek figyelembevételével megbecsülték b1 és b2 értékét. Bower, Bower és Logue31 az arbitrált árfolyamok modelljét alkalmazta. Nem közmű vállalatok tőzsdei árfolyamának négy különböző idősorát választotta faktornak, majd meghatározta ezek kockázati prémiumait. A közművállalatokra kapott tőkeköltség jelentősen eltér a CAPM-mel kapott értéktől. A további vizsgálatok igazolták, hogy az APT módszer magyarázó ereje sokkal nagyobb fokú, mint a CAPM-é. Végül a saját tőke költségbecslésénél figyelembe kell venni a közüzemi vállalat szervezeti felépítését. Ha holdingként működik, el kell dönteni, hogy a teljes saját tőke költségét becsüljük, vagy külön a leányvállalatokét. Ekkor az ismertetett, ágazatokra vonatkozó eljárásokat kell alkalmazni a közművekre vonatkozó módosításokkal. Hogyan hat a tőkeáttétel változása a szabályozott vállalatok tőkeköltségére? Gordon32 szerint, mivel a szabályozó hatóságok állandó adózás utáni, kamatfizetés előtti bevételarányt tartanak fenn, ezért a vállalati adót nem kell figyelembe venni, τ=0, így (3.4)-ből a tőkeköltség: rE = rU + (rU − i )

D , ahol rU E

az áttétel nélküli vállalat tőkeköltsége, i a hitelek után fizetett kamat, ami most megegyezik a kockázatmentes hozammal, D az idegen, E a saját tőke.

3.E.2. Pénzintézetek A pénzintézeteknek működésük során szintén szabályozó előírásoknak kell eleget tenniük, ami hatással van tőkeköltségükre. Hozamuk különösen nagy mértékben függ a piaci kamatlábaktól. Ez az érzékenység azt sugallja, hogy az

30

Conine, T.E., Jr., and M. Tamarkin. “Implications of Skewness in Returns For Utilities’ Cost of Capital.” Financial Management 14(4) (1985): 66-71. 31 Bower, D., R. Bower, and D. Logue. “Arbitrage Pricing Theory and Utility Stock Returns.” Journal of Finance 27(5) (September 1984): 1041–1054 32 Gordon, M.J. “Some Estimates of the Cost of Capital to the electric Utility Industry”, 1954–57: Comment. American Economic Review (December 1967): 1267–1278.

31

egyfaktoros CAPM modellt ki kell egészíteni, a piaci kamatlábakat magyarázó változóként figyelembe kell venni. Flannery és James33 módszere a pénzintézet elvárt hozamának becslésére: Rit = ai + β i Rmt + bi R jIt + ε it ,

(3.13)

ahol Rit az i-dik vállalat hozama, Rmt a piaci hozam, RjIt a j-dik kamatindex a t időszakban, εit a hibatag, ai, βi, bi a regressziós együtthatók. szisztematikus

piaci

kockázatát,

bi

a

kamatkockázatát

βi a vállalat méri.

RjIt

meghatározásához Flannery és James három különböző indexet használ. R1It -t jelzáloghitelek hozamából határozza meg. Mivel a kamatláb instrumentumok erősen autokorreláltak, ennek kiiszűrésére harmedrendű autoregressziós modellt 3

használnak:

RGNMA,t = c0 + ∑ c k RGNMA,t − k + ω t , ahol RGNMA,t a jelzáloghitel k =1

hozama a t időszakban, ck-k regressziós együtthatók, ωt hibatag. A hibatag nem korrelál a jelzáloghitel-index késleltetett hozamával, ezért R1It-t ezzel helyettesítik: R1It=ωt. Ez az érték csak a nem várt hozamváltozást tartalmazza. Ezt az értéket használva minden pénzintézetre meghatározzák (3.13) alapján βi-t és bi-t.

Ezután elvégzik ugyanezt az eljárást két másik kamatindexre is, az egyéves kincstárjegyekre, ennek becslése R2It, és a hétéves államkötvényekre, R3It. Azt találják, hogy mindhárom hozamindex szignifikáns a (3.13) egyenletben, vagyis a kamatlábak a pénzintézet hozamérzékenységének lényeges magyarázó elemei. Ennek alapján a pénzintézet tőkeköltsége: rE = r f + β i RPm + bi RPI , ahol RPm a piaci kockázati prémium, RPI a kamatláb kockázati prémiuma. A

kockázati prémiumok meghatározásához a közművekre alkalmazott APT eljárás alkalmazható a Fama-MacBeth-féle keresztmetszeti regressziós módszerrel.

33

Flannery, J.M., and C.M. James. “The Effect of Interest Rate Changes on the Common Stock Returns of Financial Institutions.” Journal of Finance 39(4) (September 1984): 1141–1153.

32

A pénzintézetek és egyéb vállalatok közötti jelentős különbség a betétbiztosítás intézménye. Osterberg és Thomson34 vizsgálta a kapcsolatot a tőke költsége és a betétbiztosítási garanciák, fizetési kötelezettség alóli felmentés között. Azt találták, hogy ha nincs betétbiztosítás, akkor a hitel költsége a kockázatmentes hozam, a pénzáramlások szisztematikus kockázatának és a csőd valószínűségének (ami a tőkeáttételből adódik) a függvénye. A saját tőke költségét

ezen

tényezők mellett a hitel-visszafizetési kötelezettség is

befolyásolja. Ha a betétbiztosítást helyesen árazzuk, akkor nincs különbség a biztosított

és

nem

biztosított

intézetek

sajáttőke-költsége

között.

A

betétbiztosítás alulárazása lényegében az állami támogatással azonos. Ez a támogatás a hitel értékét növeli, költségét csökkenti, így megváltoztatja az pénzintézet tőkeköltségét. A félreárazás általában akkor történik, mikor a tőkeszerkezeten változtatnak, és az új költséget múltbeli adatokból számolják, melyek nem jellemzőek az új helyzetre.

3.F. A tőke költsége nemzetközi gazdasági környezetben Az üzleti élet globalizációja következtében szinte minden vállalat függ a nemzetközi gazdasági környezettől. A nyersanyagbeszerzés, késztermékértékesítés

nemzetközi

piacokon

folyik,

a

multinacionális

vállalatok

leányvállalatokat hoznak létre különböző országokban, a tőkebevonás is nemzetközivé vált. A hazai vállalatok tevékenységére is hatással van a külföldi vállalatok konkurenciája. Egyes országok tőkepiacainak hozamai gyengén korrelálnak, így egy nemzetközi portfólió jobban diverzifikálható, egy országra jellemző kockázati tényező eliminálható. Ha a CAPM modellt használjuk a nemzetközi portfolió költségbecslésére, hogy becsülhetjük a modell egyes komponenseit? Ha a hazai pénzpiac erősen integrálódott a nemzetközi pénzpiacba, akkor a hazai CAPM

34

Ostberger, W.P., and J.B. Thomson. “Deposit Insurance and the Cost of Capital.” Research in Finance 8 (1990): 255–270.

33

alkalmazása megfelelő eredményt adhat. Ez általában nem áll fenn, ezért kétindexes modellt célszerű használni, a Rit = a 0 + β iD RDt + β iW RWt + eit

(3.14)

regresszió alkalmazható, ahol RDt a hazai, RWt a világpiaci index. Előfordulhat azonban, hogy a nemzetközi piac csak a hazain keresztül, áttételesen hat a vállalatra, így az egyfaktoros modell megfelelne. Ennek eldöntésére a legegyszerűbb módszer a szignifikanciavizsgálat, t-próbával mehatározhatjuk annak valószínűségét, hogy βiW=0. Ha azonban a hazai és a világpiaci index között erős a korreláció, a t-próba félrevezető adatot ad a multikollinearitás miatt. A multikollinearitást két lépcsőben, ortogonalizációval mutathatjuk ki. Felírjuk a hazai piaci kockázattal az eredeti CAPM modellre a regressziót, ennek uit hibatagját helyettesítjük a kétfaktoros modellbe: Rit = a 0 + β iD RDt + β iW u it + eit .

(3.15)

Ha ehhez a regresszióhoz alkalmazzuk a t-próbát, és βiW nem tér el jelentősen nullától, akkor a nemzetközi kockázati forrás a hazai piaci hozamon keresztül fejti ki hatását, ezért a hagyományos CAPM modell használható. Nemzetközi projektek elemzésekor nem szükséges az export-importban rejlő kockázati prémiumot figyelembe venni, mert ezek általában kevésbé kockázatosak a tisztán hazai projekteknél. Ez abból adódik, hogy az exportimport tevékenységek pénzáramlása gyengén korrelált a hazai piaccal. Kisebb a szisztematikus kockázatuk, ezért kisebb a tőkeköltségük is, annak ellenére, hogy nemzetközi kockázati tényezőknek vannak kitéve. Ha a hazai piac tökéletesen integrálódott a nemzetközibe, akkor egy nemzetközi projektnek az NPV-je ugyanakkora, mint egy hasonló hazainak. A valóságban azonban eltérés van egy leányvállalatnál realizált pénzáramlás és az anyavállalatnál realizált között, például a hazatranszferált jövedelmeket plusz adók terhelik, és egyéb korlátozó tényezők is vonatkozhatnak rájuk. Politikai befolyásoló tényezői is lehetnek a jövedelem repatriálásának, a termelt jövedelem helyben történő befektetése a külföldi kormányzati beavatkozás, a kisajátítás kockázatát csökkenti. Mivel a vállalat működésének célja a részvényesek

jólétének

maximalizálása,

a

projekteket

az

anyavállalat

34

szempontjából kell vizsgálni, az ő pénzáramlásait kell figyelembe venni, optimalizálni. A nemzetközi projektek jellemző kockázati tényezője az árfolyamkockázat. A projektek NPV-jét az anyaország valutájában kell megállapítani. Ennek egyik módja, hogy a pénzáramlásokat átváltjuk az anyaország valutájára, és azokat diszkontáljuk. Mivel a pénzáramlások a jövőben történnek, nehéz a megfelelő átváltási árfolyamokat megbecsülni. Ang és Lai35 módszerében a jövőbeni pénzáramlásokat a saját valutájukban diszkontálja, az ottani piacon érvényes tőkeköltséggel, mint diszkontrátával, majd ezt váltja át hazai valutába a jelenlegi árfolyamon. Ha ez az érték pozitív, akkor elfogadják a projektet Shapiro36 egy explicit módszert dolgozott ki a nemzetközi projektek tőkeköltségbecslésére. A leányvállalatot három forrásból finanszírozhatjuk. Az első forrás az anyavállalat, ennek rC tőkeköltségének becslése a hagyományos módszerekkel történhet. A másik forrás a leányvállalat által termelt eredmény visszaforgatása. Ezt a forrást τI növekedési adó terheli. Sharpio kimutatja, hogy ha a helyi hasonló projektek tőkeköltsége rE, akkor a leányvállalatba visszaforgatott eredmény

költsége: rRE=(1- τI)rE. A harmadik forrás a

leányvállalat hitelfelvétele helyi forrásból. Legyen iFD a helyi hitel költsége, τF a külföldiekre vonatkozó vállalati adó, d a helyi valuta leértékelődése az anyaország valutájához képest, akkor a hitel értéke: rFD = iFD(1-d)(1- τF)-d.

(3.16)

Jelölje rCF a súlyozott átlag tőkeköltséget, amivel az anyavállalat külföldi projektből keletkező pénzáramlásait diszkontálni kell. Ha a vállalat célja a tőkeáttétel állandó szinten tartása, akkor a külföldi hitelfelvétel ezt megváltoztathatja, ezért rCF számolásánál korrekcióra van szükség. Legyen wRE a projekt finanszírozásában a leányvállalat visszaforgatott eredményének részaránya, wRD a helyi hitel aránya, rE az anyavállalat sajáttőke-költsége, rD az anyavállalat hitelköltsége. Ekkor a Shapiro által ajánlott formula a súlyozott átlag tőkeköltségre, mely nem változtatja meg a tőkeáttételt: 35

Ang, J.S., and T. Lai. “A simple Rule for Multinational Capital Budgeting.” The Global Finance Journal 1(1) (1989): 75–88.

35

rCF = rC − (rE − rRE ) wRE − (rD − rFD ) wFD .

(3.17)

Mint eddig is láttuk, a projektek értékelésénél sok olyan finanszírozási hatást kell figyelembe venni, ami közvetlenül nem jelentkezik a működés során. Ezek kezelésére a súlyozott átlag tőkeköltség

módszerének alternatívája a

módosított nettó jelenérték (ANPV) megközelítés. Ekkor a tökéletes piacon számított NPV-hez hozzáadjuk vagy levonjuk a finanszírozási hatások NPV-jét. A módszer előnye, hogy a pénzáramlás különböző összetevőit külön kezeli, így mindegyik tételhez saját diszkontráta használható. A nemzetközi projektek különösen sok költségmódosító hatásnak vannak kitéve, ezeket Holland37 foglalta össze. Szerinte a

finanszírozási hatások:

leányvállalat repatriált eredménye, amortizációból eredő adómegtakarítás, financiális támogatások, a projekt hozzájárulása a vállalat hitelképességének növeléséhez, egyéb adómegtakarítások, extra átutalások, a cég- eszköz maradványértéke.

3.G. A diszkontált pénzáramlás módszerének korlátai, opciók a projektben A diszkontált pénzáramlások módszere széles körben használható a projekt értékének meghatározására. Feltétele a jövőbeni pénzáramlások és a diszkontráta meghatározása. Bizonyos esetekben azonban a megfelelő diszkontráta nem határozható meg. Ez akkor fordulhat elő, amikor a projekt további kimenetele, így pénzáramlásai is egy jövőbeli döntéstől függenek. Ekkor a projekt opciót tartalmaz, a döntést hozó opciós joggal rendelkezik a további kimenetel meghatározására. A projekt finanszírozását túlnyomó részt a közönséges részvények, osztalékelsőbbségi részvények, fix kamatozású kötvények biztosítják, melyek értéke

a

diszkontált

pénzáramlások

módszerével

meghatározható.

A

finanszírozásnak és kockázatfedezésnek azonban számos bonyolult eszköze is 36

Shapiro, A.C. “Capital Budgetint for the Multinational Corporation.” Financial Management (Spring 1983): 7–16. 37 Holland, J. “Capital Budgeting for International Business: A Framework for Analysis.” Managerial Finance (November 1990): 1–6.

36

van, melyek többnyire opciót tartalmaznak. Az opciók értékkel rendelkeznek. Például egy átváltható elsőbbségi részvény akkor is értékesebb lehet, mint egy hasonló nem átváltható, ha kisebb osztalékot fizet. Az eltérést az átválthatóság lehetősége, az opció értéke okozza, ezért a pénzáramlások diszkontálásával történő hagyományos költségbecslés hibás eredményre vezet. Opcióval állunk szemben új technológia bevezetése esetén. Ha a hagyományos projektelemzéssel negatív NPV-t kapunk egy rövid távú projekt értékére, de a technológiai fejlődés változékony, így a technológiai áttörés valószínűsége nagy, elfogadhatjuk a projektet. Ha az áttörés bekövetkezik, akkor tovább folytatjuk a projektet, és az nagy hasznot hoz, ha nem, akkor abbahagyjuk és elkönyveljük a veszteséget. A projekt értéke a rövid távú, negatív NPV-jű részprojektből és az opció jelenértékéből áll össze, a technológiai áttörés valószínűségétől függ. Hasonló helyzettel állunk szemben új termék bevezetése esetén, gyártási jog megszerzésekor, mikor a gyártás csak később lesz nyereséges. Ha a vállalat nem él ezekkel a lehetőségekkel, piaci hátrányba kerülhet. Opciók esetén bizonytalan pénzáramlásokkal állunk szemben. Ha E [CFt ] a t időpontban történő pénzáramlás várható értéke, rUF az ehhez tartozó diszkontráta, akkor egy bizonytalan pénzáramlás jelenértéke: T

PV = ∑ t =1

E[CFt ] . (1 + rUF ) t

(3.18)

Hogy határozható meg rUF értéke? Ha a pénzáramlások teljesen véletlenszerűek, akkor a kockázatot egy nagy, jól diverzifikált portfólióval tudom csökkenteni. Ez jellemző a biztosítótársaságokra, mikor a biztosított esemény bekövetkezése nem előrejelezhető. Mivel a piac nem honorálja a diverzifikálható kockázatot, ezért a diszkontráta a kockázatmentes hozam. Ha a bizonytalan pénzáramlások normális eloszlásúak, vagy a befektetők kvadratikus

hasznosságfüggvénnyel

rendelkeznek,

akkor

a

CAPM

alkalmazható a tőkeköltség várható értékének becslésére. Opciók várható pénzáramlása

azonban

hasznosságfüggvényére

nem

normális

vonatkozó

eloszlású,

speciális

és

korlátozás

a

befektetők

többnyire

nem

37

feltételezhető. Ezért a diszkontált pénzáramlások módszere opciókra általában nem alkalmazható. Az opciók árazásában az áttörés 1973-ban, Black és Scholes módszerének kidolgozásával következett be, melyet korábban, a

tőkeköltség becslési

módszereinek ismertetésekor már említettünk. Nincs átfogó módszer az összes opciófajta értékelésére, néhányra nincs is elfogadható eljárás. A szerteágazó módszerek ismertetése nem tárgya e munkának.

38

4. fejezet A becslési módszerek alkalmazása a gyakorlatban, fejlődő piacokon A klasszikus „tankönyvi formula”, miszerint a tőke költsége a saját és az idegen tőke költségének súlyozott összege, csupán egy elméleti keretet ad a gyakorlati alkalmazáshoz, a valóságban csak kompromisszumok árán alkalmazható. Különösen igaz ez kevésbé hatékony piacokon, az úgynevezett feltörekvő országok körében is, ahová Magyarország tartozik. A tiszta modellek a gazdasági sajátosságok miatt nem alkalmazhatók hatékonyan. A kis ország kitettsége a világgazdasági folyamatoknak, spekulációnak, a privatizáció folyamata, instabil tulajdonosi szerkezet, likviditás hiánya, a történeti adatok rövid időtávja, hosszú távú pénzpiaci eszközök hiánya stb. korlátozzák a módszerek alkalmazhatóságát: torzítják a módszerek alkalmazásánal feltételezett normális eloszlást, gyengítitk a nagy számok törvényének érvényesülését. A CAPM elemeinek becslésére módosított eljárások készültek a kevésbé hatékony piacokra. A Budapesti Értéktőzsde (BÉT) BUX indexéről és a részvények záró áraiból 1997 októberétől rendelkezésre álló adatsorra próbáltam bétabecsléseket végezni. Az időszak tőkepiaci folyamatairól az MNB éves jelentéseiből [9], illetve a 2000-01 évekre a BÉT havi jelentéseiből [1] kaphatunk képet.

4.A. Az utóbbi évek magyar tőkepiaci folyamatai 1997 őszén a délkelet-ázsiai válság súlyosan éreztette hatását, a hongkongi tőzsde összeomlása utána BÉT történetének legsúlyosabb zuhanását szenvedte el, és a későbbiekben is érzékenyen reagált az Ázsiából és a nagy nyugati tőkepiacokról érkező hírekre. A budapesti vállalatok közvetlen kitettsége e kelet-ázsiai piacoknak minimális. Amennyiben az ázsiai válság nem okoz jelentős recessziót a világgazdaságban, e magyar vállalati kör forint pénzáramlását az ázsiai krízis nem befolyásolja. Ugyanakkor az ázsiai válság jól megfigyelhető változásokat

39

okozott a befektetői preferenciákban. Az ázsiai krízis ugrásszerűen megnövelte a feltörekvő piacokon megkövetelt kockázati prémiumot. A krachot december folyamán egy erőteljes növekedés követte, melynek végén a BUX visszanyerte a veszteség túlnyomó részét. Mivel a vállalatokról időközben érkező hírek különösebb meglepetéseket nem tartalmaztak, ez leginkább azzal magyarázható, hogy a közvetlen pánik után a befektetők realizálták,

hogy

a

leértékelési

és

kockázatnövekedési

várakozások

Magyarország esetében nem igazolhatók. 1988-ban a BÉT-en hektikus ingadozások történtek. A BÉT a leglikvidebb tőkepiac volt Közép-Európában, s e tekintetben nem maradt le érdemben a legfejlettebb angolszász piacoktól sem. Mivel 1998-ban nagyságrendileg kevesebb új bevezetés történt, mint 1997-ben, a kapitalizáció igen jól együtt mozgott a tőzsdei árakkal, s ugyanez mondható el a forintban mért napi forgalomról is, hiszen a likviditás egy viszonylag stabil szint körül ingadozott az első félév során. Az orosz krízissel egyidőben a likviditás megugrott, az augusztus-szeptemberi krachok igen jelentős forgalom mellett mentek végbe. Sajnálatos módon azonban nem rendelkezünk megfelelő adatokkal annak megítélésére, hogy e forgalomnövekedés mekkora hányada tudható be a brókercégek saját számlás napon belüli kereskedésének, illetve a releváns befektető csoportok magatartásában beállott változásoknak. Az év első hónapjaiban a befektetők passzív magatartást tanúsítottak, amely az árak és a forgalom alakulásán is tükröződött. Márciustól jelentős tőkebeáramlás volt megfigyelhető az állampapírpiac mellett a tőzsdére is, s a befektetői várakozások is kedvezően alakultak. Az igen optimista belföldi és nemzetközi pénzügyi környezet hatására a BUX 1997 augusztusi csúcsa fölé emelkedett, április közepére meghaladta a 9000 pontot. Május-június folyamán a választásokkal kapcsolatos belpolitikai bizonytalanság ingadozásokat generált az országspecifikus kockázati prémiumban. Ez előbb egy hirtelen esésben, majd a bizonytalanság elültével jelentős emelkedésben öltött testet. Statisztikailag szignifikáns különbséget nem lehet kimutatni a hazai kis- és külföldi nagybefektetőknek a választásokra adott reakcióját illetően. A harmadik negyedévben az oroszországi krízissel összefüggésben jelentősen romlott a hazai részvénypiac számára releváns nemzetközi környezet,

40

41

amelyet a továbbra is egészséges képet mutató vállalati eredmények sem tudtak kompenzálni. Ez tükröződött a feltörekvő piacok kockázati prémiumában is. A nyár második felétől kezdve – minden bizonnyal az oroszországi problémákkal összefüggésben – növekedett a feltörekvő piacok kockázati prémiuma, a mexikói válság óta nem látott szintre emelkedett, s októbertől egy viszonylag magas szinten stabilizálódott. Noha az orosz krízis egyes szektorokat és cégeket érzékenyen érintett, kétségtelen, hogy a krach okai jelentős részben a befektetői gondolkodásmódban és az intézményi sajátosságokban kereshetők. A fertőzés pszichológiai csatornájára vonatkozóan két általánosan elfogadott magyarázat létezik: A külföldi befektetők azonosan ítélik meg Oroszországot az átmenet jóval előrehaladottabb

fázisában

lévő

közép-európai

országokkal.

Emiatt

az

oroszországi krízis megnövelte Magyarország kockázati prémiumát. Moszkvában a krízis során gyakorlatilag megszűnt a tőzsdei forgalom, a BÉT viszont igen likvid maradt, a magyar tőzsdén volt lehetőségük a KözépKelet-Európából

kivonulni

kívánó

befektetőknek

arra,

hogy

komoly

részvényeladásokat eszközöljenek. A rendelkezésre álló információk nem elégségesek e két hatás pontos szétválasztására. Az első magyarázat ellen szól, hogy az igen likvid lengyel Brady kötvénypiacról nyerhető információk alapján megállapítható, hogy a lengyel kockázati prémium a válság során a feltörekvő piaci átlagnál kisebb mértékben emelkedett. Ez azt jelenti, hogy a tőkepiacok Lengyelország prudens gazdaságpolitikáját és jó makrofundamentumait pozitív diszkriminációval jutalmazták, s noha a megfelelően összehasonlítható adatok a magyar kötvényekre nem állnak rendelkezésre, nincs okunk feltételezni, hogy ez Magyarország esetében másként lenne. Ugyanakkor a kényszerlikvidálásokkal kapcsolatos második magyarázat ellen szól, hogy amennyiben ez lett volna a fertőzés fő csatornája, akkor jelentős tőkekivonásra kellett volna hogy sor kerüljön a tőzsdén keresztül, hiszen aligha valószínűsíthető, hogy a külföldi intézményi befektetők kényszereladásai forinteszközökben Magyarországon maradtak volna. A fizetésimérleg-adatokból és a potenciális vásárlóként szóba jöhető rezidens befektetői csoportok magatartásának elemzéséből kitűnik, hogy a külföldiek nettó részvényeladása

42

minimális volt a krach során, nem haladhatta meg az 50-70 millió dollárt. Ez azt jelenti, hogy az orosz krízis idején a BÉT-en lévő krach előtti árszinten mintegy 4-5 milliárd dollárnyi külföldi portfolióbefektető időhorizontja lényegesen hosszabb, mint azt gyakran feltételezik. Az említett két hatás nemcsak közvetlenül, hanem a forintárfolyamvárakozásokon keresztül is hatott a tőzsdére. Amíg általános volt az a várakozás, hogy a forint tartósan a sáv erős szélén mozog majd, a sávon belüli leértékelődés veszélye nem jelentett érdemi kockázatnövekedést. Az orosz válság során azonban a forint a sáv gyenge szélére tapadt. Amennyiben a befektetők nem teljesen kockázatsemlegesek, a sávon belüli ingadozás ténye még akkor is kockázati

prémiumot

indokol

(azaz

csökkenti

az

egyensúlyi

részvényárfolyamot), ha magának a sávnak a hitelessége nem kérdőjeleződik meg. Az elemzők túlnyomó részének az MNB által is osztott véleménye szerint 1996/97 tőzsdei fellendülése nem buborék volt, azt a vállalati eredmények és a makrogazdasági környezet javulása indokolta. Emiatt várható volt, hogy a szeptember második felében a piaci szereplők túlreagálásával kialakult nyomott tőzsdei árszint nem lehet tartós. Októberre nyilvánvalóvá vált, hogy az orosz krízisnek valóban vannak nemkívánatos hatásai a növekedési kilátásokra, de ezek a problémák prudens konzervatív költségvetés és körültekintő monetáris politika esetén kezelhetőek. A hangulat megnyugvását az év utolsó két hónapjában a tőzsde tekintélyes pozitív korrekciója is jelezte. A részvénypiaci folyamatokat alapvetően a nemzetközi pénzügyi környezet, illetve

Magyarország

relatív

kockázatiprémium-ingadozások

megítélésének

változása

által

befolyásolták

1999-ben

is.

mozgatott Ez

közös

jellegzetesség valamennyi feltörekvő ország tőkepiacán. A kockázati prémium volatilitása

jóval

meghaladta

a

vállalati

profitvárakozások,

illetve

a

kockázatmentes kamatláb ingadozásait. Ezért az árfolyamok a feltörekvő tőkepiacokon, így a Budapesti Értéktőzsdén is az árfolyamok alakulása jelentősen volatilisebb, mint a fejlett tőkepiacokon, s azt domináns mértékben az országspecifikus prémium mozgatja. A magyar vállalati szféra modernizációjában a működőtőke-beáramlással finanszírozott külföldi tulajdonban lévő stratégiai vállalatok kulcsfontosságú

43

szerepet játszanak. Emiatt a BÉT egy torz és tökéletlen leképeződése a magyar vállalati szektornak, azaz az országspecifikus prémium ingadozásai jelentős mértékben

elszakadhatnak

a

jegyzett

vállalatok

profitjára

vonatkozó

várakozásoktól. A BÉT-nek igen magas a belföldi diverzifikációval már nem csökkenthető piacspecifikus kockázata, az egyes cégekre vonatkozó hírek, gyorsjelentések vagy elemzői profitvárakozások gyakran csak minimális információtartalmat hordoznak az árfolyamok alakulására vonatkozóan. A fizetési mérleggel kapcsolatos tőkepiaci aggodalmak 1999 elején rányomták bélyegüket a BÉT-re. Az árak a tavasz során fokozatosan lemorzsolódtak, s a csökkenő forgalom lanyha befektetői érdeklődést jelentett. A nyár elejére nyilvánvalóvá vált, hogy a külső egyensúly, illetve a költségvetés alakulásával kapcsolatos aggodalmak megalapozatlanok voltak. A hazai makrogazdasági helyzet megítélése javulásának hatására – a feltörekvő piacok kockázati prémiumának emelkedése ellenére is – jelentős külföldi tőkebeáramlás volt megfigyelhető, amelyet az index jelentős emelkedése kísért. Szeptember folyamán főleg a jegybankot ért politikai támadások következtében a feltörekvő piacok kedvezőbb nemzetközi megítélése ellenére növekedett

Magyarország

országspecifikus

kockázati

prémiuma,

amely

portfolió-kiáramlásban és a tőzsdei árak jelentős csökkenésében öltött testet. A kedvező makrogazdasági helyzetnek és a nemzetközi tőkepiacok optimista attitűdjének köszönhetően a 2000. évi dátumváltással kapcsolatos aggodalmak ellenére 1999 utolsó hónapjaiban jelentős emelkedésre került sor, amely során a BÉT elérte az orosz válság előtti árszintet. 2000 januárjában csökkent a forgalom, de a BÉT teljes kapitalizációja az árfolyam-emelkedések

következtében

emelkedett.

A

nemzetközi

piacok

zuhanását követve lefelé indultak az árfolyamok, majd folytatódott a decemberben megindult vágta. Az index a hónap folyamán többször is átlépte a 10 000 pontos határt, ám a kereskedés végére az USA-ból érkező hírek hatására a befektetők rendre elbizonytalanodtak. Február első hetében a BUX stagnált, ami az amerikai kamatemelési várakozásokkal és a makroadatok megjelenése előtti kivárással volt magyarázható. Az elemzői várakozásoknál kedvezőbb kiszivárogtatott januári inflációs adat hatására a BUX záró ára is áttörte a

44

tízezres lélektani határt, a hosszt azonban megtörte az újabb amerikai kamatemelési félelem. Márciusban a kisebb papírok mozgatták a BUX-ot felfelé, majd a telekommunikációval kapcsolatba hozható cégek árfolyamának csökkenése húzta lefelé a mutatót. Áprilisban 48%-kal visszaesett a forgalom, a hónap elején az amerikai tőkepiaccal kapcsolatos aggodalmakat tükrözve esett az index, majd kisebb korrekció után ismét lefelé mozdultak az árfolyamok. Májusban a nyugati piacok bizonytalansága és a befektetők szerény érdeklődése érzékenyen érintette a budapesti tőzsdét. A vártnál kedvezőbb közzétett negyedéves jelentések sem mozdították felfelé az indexet, a hónap végére azonban a kedvező kül- és belföldi makroadatok hatására ismét 9000 pont fölé emelkedett. Júniusban a kedvező magyar GDP-növekedési adat és a nemzetközi tőzsdei folyamatok hatására emelkedő trend alakult ki, majd a MOL, illetve a gyógyszergyári társaságok áremelései körül kialakult politikai huzavona miatt lemorzsolódott az index. Júliusban kisebb korrekciótól eltekintve végig lefelé mozgott az index, amit a befektetők főképpen a politikai kockázat növekedésével, illetve kivárással indokoltak. Augusztus elején a féléves vállalati eredmények nyilvánosságra kerülése határozta meg az index trendjét, majd a hónap közepén fellendülés következett. Szeptemberben az index alakulását alapvetően a MOL, Borsodchem, TVK körüli események határozták meg, mely részvények kereskedését négy napra fel is függesztették.

Október elején a gyengülő euró és a kitartóan emelkedő

olajárak határozták meg a nemzetközi hangulatot, ettől a trendtől a BUX eltért kismértékű emelkedésével, melyben a MOL, OTP, TVK drágulásának volt jelentős szerepe, majd az index mozgása illeszkedett az amerikai piacokéhoz, bár a hazai vegyipari cégek körüli események továbbra is befolyásolták az ingadozást. Novemberben

49%-os

forgalomcsökkenés

következett,

a

vártnál

kedvezőtlenebb harmadik negyedéves jelentésekre reagált negatívan a piac. Az amerikai elnökválasztás körüli huzavona, a kedvezőtlen makrogazdasági adatok és az egyöntetűen lefelé tartó világpiaci trendhez igazodva, azt túlreagálva csökkent az index. Decemberben a forgalom fellendült, a hónap elején az

45

amerikai

technológiai

(Nasdaq)

piac

zuhanásának

köszönhetően

éves

minimumszintre esett, majd folyamatosan emelkedett. 2001 januárjában a forgalom ismét csökkent, de az index emelkedett. A hónap elején az amerikai központi bank, a Fed kamatcsökkentésének hatására indultak felfelé az árfolyamok. Január második felében a Borsodchem közgyűlésére figyeltek a befektetők. A papírt egy napra fel is függesztették. Miután a Gasprom mintegy kétharmados szavazati többséget szerzett a cégben, a Borsodchem árfolyama nyolc százalékot esett.

4.B. A kockázatmentes hozam és a piaci kockázati prémium becslése Magyarországon A kevésbé hatékony piacokon, így Magyarországon is kockázatmentes hozamot és a piaci kockázati prémiumot többnyire származtatva határozzák meg.38 Általában annak a pénzügyi eszköznek a hozamát tekintik kockázatmentes hozamot biztosító eszköznek, amely kielégíti azt a két feltételt, hogy 1. nincs nem teljesítési kockázata, 2. nincs újrabefektetési kockázata. Az első kritériumnak általában a gazdasági tevékenységet kezében tartó állam által kibocsátott kötvények tesznek eleget, a második elvárás elemi kötvényt feltételez. Ha a hozamgörbe vízszinteshez közeli, enyhén emelkedő, akkor kis eltérést okoz, hogy eltekintünk a 2. feltételtől és a hosszú lejáratú államkötvények hozamát vesszük kockázatmentesnek. A fejlődő országokban problémát okoz, hogy egyrészt a hozamgörbe nem kiegyensúlyozott, másrészt nincsenek hosszú lejáratú államkötvények vagy nem likvid a piacuk. Magyarországon a hozamgörbe erősen csökkenő, a tízéves államkötvény piaca nem likvid. Az elfogadható időtáv az öt év, amire hozam becsülhető [4]. A hozamgörbe további szakaszát feltételezések alapján becsülik, általában vízszintesnek tételezik fel. Mivel a hozamgörbe változó, durva becslést ad, ha minden pénzáramlást ugyanazzal az értékkel diszkontálunk, ezért minden évre az egyéves forward

38

Az ebben az alfejezetben bemutatott módszereket Martin Hajdú György 2000 márciusában és 2001 márciusában a BKÁE-n tartott előadásain ismertette.

46

hozamgörbe értékét használják, tehát egy T év múlva esedékes CF pénzáramlás jelenértéke: NP =

∏ i =1

ahol

i-1ri

,,

CF T

(4.1)

r

i −1 i

az i-1 és i év közötti forward kamatláb. Ha így számoljuk a

kockázatmentes hozamot, akkor általában a kockázati prémiumot is minden évre más-más értékkel becsüljük. Hosszú lejáratú, likvid állampapír hiányában kiindulhatunk abból, hogy a legjobb teljesítményű vállalatok mekkora spreadet fizetnek a hitelekért, vagy az USA stabil piacából származtatjuk az rf kockázatmentes hozamot: r f = rUSD + (1 + rC )(1 + i )(1 + rr ) − 1 ,

(4.2)

ahol i az inflációs ráta, rr a reál kamatláb, rC az országkockázati felár, rUSD az USA kockázatmentes hozama. A módszer azon alapul, hogy ha érvényesül a vásárlóerő-paritás, akkor a kamatlábak az inflációs különbséget fejezik ki, melyek a pénzáramlásokban is tükröződnek. A piaci kockázati prémium becslésének klasszikus módja, hogy a múltbeli adatokból következtetünk a jövőre, a piacot egy tőzsdeindexszel reprezentáljuk. A múltbeli adatok azonban nem mindig érvényesek a jövőben. Különösen gyenge likviditás esetén nehéz a következtetés, ilyenkor a tőzsdeindex sem reprezentálja a jól diverzifikált portfoliót. A megoldás most is az USA piaci prémiumából történő származtatás módszere lehet. Azonban az USA piaci prémiuma sem egyértelműen meghatározható. A történeti adatokból (1926-97) mértani átlagolással nyert érték 6,1%, míg az osztalékjelenérték modellből kapott érték 4% körüli (a kockázatmentes hozam a harmincéves államkötvény hozama: 5,36%, az átlagos osztalék 1,3%, a növekedési ütem 8%). Újabb módszerek az opciós piacról nyert adatokból becsülik

a

prémiumot:

részvényopciók

implikált

volatilitása

alapján

részvényhozamgörbét határoznak meg. A származtatott kockázati prémium számításának több módszere van. A módosított kockázati díj számítása azon alapul, hogy az elvárt hozam a szórással arányos.

A módosított kockázati díj az USA alapkockázati díja és az

országkockázati díj összege (minden komponensét dollárban kifejezve).

47

rm − r f = rm / USA + SP

σE , σB

(4.3)

ahol rm-rf a vizsgált ország módosított kockázati díja, rm/USA az USA piaci kockázati díja, SP az országra jellemző spread, σE a vizsgált ország részvénypiacának

szórása,

σB

pedig

az

államkötvénypiac

szórása.

Magyarországra alkalmazva: a spread az MNB külföldön kibocsátott kötvényeinek kamatprémiumából számítható, ez kb. 1,1%. A dollárban kifejezett kötvénypiac szórása szintén a külföldön kibocsátott MNB-kötvények szórásával adható meg, ha ez a likviditás hiánya miatt nem mérhető, akkor a MAX indexszel helyettesíthető: ez kb. 8%. A részvénypiac szórása az elmúlt időszakra 28% volt. Ha az USA kockázatmentes prémiumát 6,1%-nak vesszük, akkor Magyarország dollárra vonatkoztatott piaci kockázati prémiuma 10,5%. A teljes piaci tőkeköltséget becslő módszer a kockázati felárral a kockázatmentes hozamot korrigálja, és kiszűri az állampapírpiac és a részvénypiac együttmozgását, korrelációját.

rm = (r f / USA + SP) + rm / USA

σE

σ E / USA

[1 − corr ( B, E )] ,

(4.4)

ahol rf/USA az USA kockázatmentes hozama, σE/USA az USA részvénypiac szórása (pl. a S&P500 index szórása), corr(B,E) a vizsgált ország államkötvény- és részvénypiacának korrelációja. Magyarországon a korreláció kb. 0,05, az S&P500 szórása 20%. Ezek felhasználásával (a BUX szórását figyelembe véve) a magyar piaci hozam 14,57%. A Goldman-Sachs megközelítés hasonló:

rm = (r f / USA + SP) + rm / USA

σE

σ E / USA

.

(4.5)

Nem veszi figyelembe az állampapír- és a részvénypiac korrelációját, az SP spreadet pedig az ország kockázati besorolásával fejezi ki: Magyarország besorolása BBB, az ehhez tartozó spread 1,3%. Így a magyar piaci hozam becslésére 15,2% adódik, amely természetesen csak egy lehetséges becslés.

48

4.C. Béták becslései Ha nem hatékony a piac, akkor a bétákat is származtathatjuk a nemzetközi ágazati béták felhasználásával, a 3.A.1. részben leírt módszerekkel. A magyar tőzsdei részvényekre mégis megpróbáltam a történeti adatok felhasználásával, regressziós módszerrel kiszámítani a bétákat. A jellemzett időszakra rendelkezésre álló tőzsdei záró árfolyamokból többféleképpen próbáltam a részvények bétáját meghatározni. A piaci hozamot a BUX változásával mértem: a BUX mindhárom kritériumnak megfelel, amit a CAPM-ben alkalmazott tőzsdeindexszekkel szemben támasztanak: piaci súllyal veszi figyelembe a rézvényeket, átfogó mintát tartalmaz, az osztalékfizetést újra befektetve figyelembe veszi. Az időszak hossza: a kb. három év, napi hozamokkal számolva az irodalom által javasolt intervallum, mikor a béták még jelentősen nem mozdulnak el. Csak azokat a papírokat vettem figyelembe, amelyekre minden félévben állnak rendelkezésre adatok. A hiányzó adatokat az időben előtte utolsó záró árral helyettesítettem. A hiány oka általában az, hogy az adott napon nem történt üzletkötés, de valószínű, hogy nincs meg mindegyik záró ár. Az első módszernél a napi hozamváltozásokat vettem figyelembe, a (2.5) képlet alapján, mikor a kockázatmentes hozamot figyelmen kívül hagyjuk, azt feltételezve, hogy a napi kockázatmentes hozam gyengén korrelál a piaci hozammal. Ez az (a) módszer. A többi módszernél a 4.1. táblázat szerinti osztalékokat az adott részvénybe újra befektetve figyelembe vettem. A (b) módszer szintén a (2.5) képlet alapján számol. Az (a) és (b) által kapott eredmények között nincs jelentős különbség, a magyar részvények osztalékfizetése nem jelentős. Ezt a MOL esetére a 4.1 ábra is mutatja. A (c) módszernél a (2.6) képlet alapján, a kis forgalmú kereskedés esetére kidolgozott Dimson-eljárással figyelembe vettem a megelőző és következő két nap hozamait, ekkor az ötváltozós regresszió együtthatóinak összegeként áll elő béta. Végül, mivel az ÁKK referenciahozamok rendelkezésre álltak a vizsgált időszakra,

a (d) módszernél a (2.4) képlet szerint három hónapos egymást

követő időszakokra vonatkozó hozamokhoz számoltam a bétát, a három hónapos

49

diszkont kincstárjegy hozamát kockázatmentes hozamnak véve. Így csak 13 időszakból áll a vizsgált minta. (Átfedő időszakok vizsgálata az autokorreláció miatt nem járható út.)

Részvény

Utolsó szelvényes kereskedés

Osztalék

Utolsó szelvényes kereskedés

Osztalék

Utolsó szelvényes kereskedés

Osztalék

Címlet

2DEVFACT

4/22/98

ARANYPOK

6/1/98

9.000%

6/1/99

10.000%

5/31/00

11.000%

10000

BCHEM*

5/3/98

13.663%

8/2/99

15.350%

8/1/00

17.000%

1010

CSOPAK

5/8/98

8.000%

5/12/99

8.000%

5/18/00

10.000%

1000

5/15/00

3.700%

1000

50.000%

10000

DANUBIUS EGIS

5/25/98

8.000%

5/14/99

8.000%

5/29/00

12.000%

1000

ERAVIS

5/22/98

12.000%

5/17/99

10.000%

5/7/00

10.000%

10000

FOTEX

5/4/98

8.000%

GLOBUS

6/1/98

13.000%

8/17/99

15.000%

6/19/00

15.000%

1000

IEB

5/11/98

10.000%

5/14/99

6.000%

MOL

5/18/98

8.000%

5/21/99

9.000%

5/18/00

5.500%

1000

OTP

6/1/98

14.000%

5/31/99

16.000%

5/29/00

18.000%

1000

PICK

5/19/98

20.000%

5/25/99

23.000%

PPLAST

4/27/98 110.000%

5/17/99

130.000%

PRIMAGAZ

5/14/98

5/10/99

24.000%

PVALTO

5/13/99

12.000%

5/15/00

12.000%

1000

RABA

5/12/99

8.000%

5/31/00

45.000%

1000

6/1/99

23.000%

5/31/00

24.000%

1000 1000

RICHTER

20.000%

100 1000

1000 5/30/00 130.000% 5/16/00

12.500%

6/1/98

27.000%

STYL

5/19/98

10.000%

5/17/99

7.000%

5/22/00

4.000%

TVK*

5/12/98

8.000%

5/11/99

24.000%

5/16/00

17.500%

6/8/98

12.000%

5/11/98

16.000%

ZKERAMIA ZWACK

100 1000

1010 1000

5/14/99

60.000%

5/22/00

75.000%

1000

* A TVK és Borsodchem 1998-as osztalékát még 1000-es címletre fizette.

4.1 táblázat. Osztalékfizetések

Az egyváltozós módszerek közül 5%-os szignifikancia szinten az (a) és (b) módszernél 26, a (d) módszernél 20 becslés volt szignifikáns. Mind a négy módszerhez meghatároztam a korrigált bétát, ami a Bayesstatisztika [13] alapján a béta értékét 1-hez közelíti: a számolt „nyers” béta kétharmadához egyharmadot ad, ami pontosabb előrejelzést ad. A kapott eredmények elég eltérőek. Az indexet nagyban befolyásoló Matávról csak 1999 szeptemberétől van adat, erre az időszakra bétája az (a) módszerrel 1-hez közeli: 0,9855. A nem likvid papírok bétája a várakozásnak megfelelően nullához közeli. A számított bétákat a 4.2 táblázat tartalmazza.

50

51

Az

egyes

részvények

bétáinál

kisebb

hibával

állapíthatók

meg

részvényportfoliók, ágazatok bétái, (a portfoió együttes szórásában az egyes papírok szórása csak súlyának négyzetgyökével arányosan szerepel) [3]. A vegyiparnak különös jelentősége van a magyar gazdaságban. Bár a magyar vegyipar nem energiaigényesebb, mint a nyugati versenytársaké, de a hazai feldolgozóiparban a vegyipar részaránya magasabb, ezért az olajár változása nagyobb árindexváltozást okoz. A három nagy vegyipari cég, a MOL, TVK, Borsodchem tulajdonosváltásai, egymás részvényeinek felvásárlása is különös kölcsönhatást jelent, érdemes együttes bétájukat meghatározni (bár a MOL-nak hivatalosan más az ágazati besorolása, mint a másik két részvénynek). A három papírt alaptőkéjének tőzsdére bevezetett értékével súlyozva vettem figyelembe. A kapott eredményt a 4.3 táblázat tartalmlazza. A béta 1-hez közeli, az 1 érték beleesik a szűk konfidenciaintervallumba. Az alfa 0-hoz közeli érték, ami azt jelenti, hogy ha a piac stagnál, akkor a három papír együttes hozama is nulla. Béta

0,97738

Konfidencia intervallum 5% szignifikanciaszinten

0,94343

1,011329

Alfa

0,00038

4.3 táblázat. A vegyipari részvények együttes bétaszámításának eredménye A MOL árfolyamának 1999. augusztusi megtörését a gázárképlet körüli huzavona okozta (4.1 ábra). A gáz árának állami szabályozása ferdeséget okoz az elvárt részvényhozam eloszlásában, ezért érdemes a Kraus-Litzenberger féle hárommomentumos árazási modell (3.11) és (3.12) kockázati tényezőit megvizsgálni. A (b) módszerrel számított 0,93497 béta érték mellé a ferdeséget kifejező gamma hasonló nagyságrendű: 0,8766

52

5. fejezet Érzékenységvizsgálat 5.A. Általános alapelvek Az eddig ismertetett módszerekkel becslést kapunk vállalatunk, projektünk elvárt hozamára, mellyel a tervezett pénzáramlásokat diszkontálva eldönthetjük, hogy belevágunk-e a projektbe, vállalatunk megtermeli-e az elvárt nyereséget. Mivel azonban jövőbeni eseményeket próbálunk meghatározni, bizonytalansági tényező mindig marad a döntésünkben: a tőkeköltségnek csak a várható értékét becsülhetjük, amelyben a kockázatot mérő szórásnak van alapvető szerepe. Nem mindegy tehát, hogy ez a szórás mekkora, a számított érték mennyire változik meg, ha az elvárt körülmények változnak. Ha lehetőség van rá, érdemes több módszert kipróbálni, és ha a kapott eredmények

nagyon eltérőek, összetettebb modell alkalmazására, több

magyarázó változó bevonására van szükség. A történeti adatokból nyert információkat célszerű az egyéb, fundamentális elemzésen alapuló adatokkal kombinálni. Az idősorokból nyert, tőkeköltséget befolyásoló magyarázó változók becsléséhez célszerű konfidencia intervallumokat meghatározni, megvizsgálni, hogy ha ezen belüli különböző értékeket vesz fel a változó, mennyire változik a tőkeköltség. Mi a különbség, ha az adatok átlagát vagy mediánját tekintjük, érdemes-e elhagyni extrém értékeket. Bizonyos idősorok nem egymástól független adatokból állnak, ezekből felhasználásuk előtt ki kell szűrni az autokorrelációt. A vizsgálat másik módja, ha megnézzük, hogy egy változó kis elmozdulására a tőkeköltség mennyire változik. Ehhez felírjuk a tőkeköltséget a változó függvényében, és e szerinti deriváltját vizsgáljuk. Például az osztalékjelenérték modellben a tőkeköltség a g növekedési ütem lineáris függvénye: (2.2)-ből r ( g ) =

D0 (1 + g ) D + g . Ennek deriváltja: r ' ( g ) = 0 + 1 , ahol P0 a P0 P0

jelenlegi részvényár, D0 a mostani osztalék. Ez az érték nagyobb, mint 1, mivel

53

D0 > 0 . Ez azt jelenti, hogy a g egységnyi megváltozása az r több mint 1 P0 egységnyi megváltozását okozza, tehát r elég érzékeny g félrebecslésére. Ha eltekintünk az r hozamot meghatározó komponensektől, és csak azt vizsgáljuk, hogy ha valamilyen okból r megváltozik, az eszköz, a projekt értéke mennyire változik, akkor ezt az értéket, vagyis a pénzáramlások jelenértékének összegét r függvényében írjuk fel. Ha PVi(r) az i-dik pénzáramlás jelenértéke, T

T

i =1

i =1

akkor a jelenértékek összege: PV (r ) = ∑ PVi (r ) = ∑ időpont

múlva T

PV ' (r ) = ∑ i =1

történő

pénzáramlás.

Ennek

r

Ci , ahol Ci a ti (1 + r ) ti szerinti

deriváltja:

− ti Ci , a hozam változásának hatására bekövetkező jelenérték(1 + r ) ti +1

változás. Ez kifejezhető az átlagos futamidővel: PV ' (r ) = − PV (r )

D [12]. A 1+ r

kifejezésben szereplő D átlagos futamidő az egyes kifizetésekig hátralévő időtartamok súlyozott számtani átlaga. A wi súlyokat az összjelenértéken belül az T

egyes kifizetések jelenértékeinek relatív súlyai adják: D = ∑ t i wi , ahol i =1

wi =

PVi (r ) . PV (r )

Hogy egységnyi hozamváltozás hány egységnyi változást okoz a jelenértékben, azt az S érzékenység mutatja meg: S= A−

PV ' (r ) D =− . PV (r ) 1+ r

(5.1)

D kifejezést módosított átlagidőnek is nevezik. 1+ r Előfordulhat, hogy két eszköz, projekt között kell döntenünk. Például, ha

tőkekorlátra kell figyelemmel lennünk, nem tudunk minden pozitív nettó jelenértékű projektet megvalósítani, vagy finanszírozási döntést kell hoznunk és két hitelkonstrukció között kell választanunk. Ekkor az azonos NPV-jűek közül a kisebb érzékenységűt érdemes választani. Ha módosított átlagidejük is azonos, akkor a görbületüket vizsgálhatjuk, hogy az érintő meredeksége hogy változik. Ha a pénzáramlások mindegyike pozitív, akkor a PV(r) függvény alulról konvex

54

és monoton csökkenő. Ekkor a nagyobb görbületűt érdemes választani, mert ennél nagyobb hozamra kisebb jelenértékesés, kisebb hozamra nagyobb jelenérték-emelkedés következik be. A görbület meghatározásához szükség van a T

második deriváltra: PV ' ' (r ) = ∑ i =1

t i (t i + 1)C i . A Cx görbület a hozam szerinti (1 + r ) ti + 2

második derivált és az ár hányadosa lesz:

Cx =

T t i (t i + 1) PVi (r ) PV ' ' (r ) 1 = . ∑ PV (r ) PV (r ) i =1 (1 + r ) 2

(5.2)

5.B. Változó pénzáramlások érzékenysége Eddigi vizsgálódásaink során egy projekt pénzáramlásait adottnak tételeztük fel. A várható pénzáramlások meghatározásának összetett problémájával most sem foglalkozunk átfogóan, csupán feltételezzük, hogy függvénykapcsolat áll fenn a hozam és a pénzáramlások között. Most is arra vagyunk kíváncsiak, hogy a hozam változására a pénzáramlások jelenértéke mennyire érzékeny. A módosított átlagos futamidő és a görbület számítását általában kötvényekre szokták elvégezni. A kötvényt kockázatának csökkentésére változó kamatozással bocsáthatják ki, vagyis nem határozzák meg előre a fizetendő kamatokat, azok a gazdasági helyzet változásától függnek. Általában valamilyen pénzpiaci, illetve makroökonomiai mutatóhoz, indexhez kötik, pl. diszkont kincstárjegyek hozama, fogyasztói árindex, BUBOR index stb. A kötvény kamatát úgy számolják, hogy a mutató egy időszakra vett átlagához hozzáadnak egy p fix értéket, a prémiumot. Ezzel, bár a kamat nominális értéke bizonytalan, de a reálhozam kockázatát csökkentik. A fizetett kamat összefügg a kötvény hozamával. Ha nagyobbak az indexmutatók, akkor a kötvény hozama is, de az egyéb piaci instrumentumok hozamai is emelkednek; köztük erősen pozitív korreláció áll fenn. A kötvény fizetendő kamatait tehát felírhatjuk a hozam függvényében: Ci(r). A jelenérték: T

PV (r ) = ∑ i =1

Ci (r ) . (1 + r ) ti

Az érzékenység számításakor a módosított átlagos futamidőből a Ci(r)-ek nem konstans volta miatt egy összeg levonódik:

55

S =−

T C i ' (r ) PV ' (r ) D 1 = − . ∑ PV (r ) 1 + r PV (r ) i =1 (1 + r ) ti

(5.3)

Az érzékenység tehát csökken, ha C’i(r) pozitív, azaz Ci-k az r monoton növekvő függvényei. A görbület:

Cx =

T T t i Ci ' (r ) Ci ' ' (r ) 1  T t i (t i + 1) PVi (r )  ∑ 2 − + ∑ ∑ 2 t i +1 ti PV (r )  i =1 (1 + r ) i =1 (1 + r ) i =1 (1 + r )

  . 

(5.4)

Ha a Ci lineáris függvénye r-nek: C i (r ) = bi ∗ r + a i , akkor Ci’(r)=bi, Ci’’(r)=0. Ha bi>0, akkor a görbület kisebb, mint a fix kamatozású esetben. Tételezzünk fel lineáris kapcsolatot a jövőben meghatározandó indexátlagok és a kötvény mai hozama között! Meg kell határozni az ai és bi paramétereket. Ha egyéb információnk nincs, a jövőbeni ismeretlen pénzáramlások átlagának várható értékét becsüljük, vagyis mindegyiket azonosnak tételezzük fel, és egy átlagos a-t és b-t keresünk. Ha a kamatot meghatározó index jövőbeni alakulására egyéb információnk van, akkor ezzel javíthatjuk a jövőbeni kamatok becslését, köztük valamilyen arány megadásával, hogy ismeretlen paraméter csak a és b maradjon. Ha rendelkezésre állnak történeti adatok, akkor regressziót alkalmazhatunk a és b becslésére. Ennek hiányában más megfontolások alapján járhatunk el. Az a konstanst a nulla helyen felvett érték közgazdasági értelmezésével határozhatjuk meg. Ha a meghatározó piaci indexek nullák, akkor az indexet meghatározó instrumentumok a felhalmozással azonosak, forgatásuknak nincs jelentősége. Ha egy hasonló vagy kisebb kockázatú eszköz piaci hozama pozitív, akkor a többi eszköz árát is el kell mozdítania a nulláról, különben kiszorítja őket a piacról. Tehát ha a kamatot meghatározó index 0, akkor a kötvény hozama is 0, ígya a a prémiummal lesz egyenlő: a=p. A b meghatározása maradt a feladat. Ha ismerünk a kötvényre egy P piaci árat (vagyis a pénzáramlások jelenértékét) és egy elvárt hozamot (R), akkor úgy határozzuk meg a hátralévő változó kamatok átlagértékét, hogy a hozam és az ár is a megadott legyen. Ezt a műveletet iterációval végezhetjük el. A kapott értékből meghatározzuk a hozam és a C kamatátlag közötti lineáris kapcsolatot: C= bR+p, az ebből kapott b értéket használjuk az érzékenységi számításban:

56

b=

C−p R

(5.5)

Az R egy, a kötvény kockázatának megfelelő hozamgörbéből nyerhető. Nevezzük

az

ismertetett

eljárást

az

érzékenységvizsgálat

„A”

típusú

módszerének. A módszer tovább javítható, ha figyelembe vesszük a kamatmegállapítás módját.

Lényegében

két

kamatfizetés

közötti

időszakon

megállapított

indexátlagból határozzák meg a következő kamatot. Az időszak folyamán az indexátlag

időarányos

része

meghatározódik,

csak

a

hátralévő

idő

bizonytalansága marad meg. Ezért t1 és t2 kamatfizetési időpontok közötti t időpontban már ismert a következő, t3 időpontban fizetendő kamatot meghatározó indexátlag értékének egy része, legyen ez It, a bizonytalanság csak a [t;t2] időszakon áll fenn. A következő kamatot ekkor így írhatjuk fel: C = It +

t2 − t bR + p . t2 − t1

(5.6)

Ennek deriváltja: b(T2-t)/(T2-T1), ami 0-hoz tart, ha t közeledik t2-höz. A kamatmegállapítás időpontjára a következő kamat teljesen meghatározott lesz, nem egyszerre válik ismertté az információ. Nevezzük ezt a mórdszert „B” típusúnak.

5.C. A 2000/C változó kamatozású államkötvény vizsgálata A változó kamatozású kötvényekre ismertetett módszer vizsgálatához olyan államkötvényt kerestem, mely már lejárt, vagy meghatározták már minden kamatfizetését. A jelenleg forgalomban lévő kötvények között nincs olyan, ami változó volt, és már meghatározott az utolsó kamata is. Az utoljára lejárt változó kamatozású államkötvény a 2000/C, melynek kamata a kamatfizetés előtti év fogyasztói árindexe plusz 3,5% volt. A papír kamatfizetéseit az 5.1 táblázat tartalmazza.

57

1996. augusztus 25.

34,5%

1997.augusztus 25.

26,5%

1998 augusztus 25

21,6%

Tőketörlesztés lejáratkor

1999.augusztus 25.

17,6%

egy összegben,

2000. augusztus 25.

13,6%

2000. augusztus 25-én.

5.1 táblázat: a 2000/C magyar államkötvény kamatfizetései

Sajnos a változó kamatozású kötvények piaca nem likvid, így rájuk vonatkozó piaci adatokat nehéz találni. Az árjegyzők a 2000/C papírra csak vételi árfolyamot jegyeztek, ami 1997. október 2-tól áll rendelkezésre, néhány napos kihagyással, de a nettó árfolyam 1999. augusztus 10-ig 102% volt. Az utolsó kamat megállapítása után hirtelen süllyedt az árfolyam 99,5%-ra. Tehát a kamatmegállapítás várakozását sem tartalmazzák az árak. A hasonló kockázatú értékpapírokra nem áll rendelkezésre hozamgörbe, ezért

az

ÁKK-referenciahozamokból

egyszerű

lineáris

interpolációval

határoztam meg a kötvény lejáratára vonatkozó hozamot (nem zéró kupon hozamgörbéből, de ennek az adatok nem piaci volta miatt nem is lett volna értelme). Ezt a továbbiakban nevezzük (1) típusú hozamnak. A második esetben a már megismert kamatfizetéseket behelyettesítve, mint fix kamatozású kötvényre számoltam ki a megadott (jegyzett vételi) árfolyamhoz a kötvény hozamát, ez a (2) típusú hozam. A vizsgálódást az 1997. október 2. és 1999. augusztus 25 közötti időszakra végeztem, mert utána a kötvény fix kamatozásúvá vált. A gyakorlatban a változó kamatozású kötvény átlagos futamidejének a következő, már megállapított kamatfizetésig hátralévő időt szokták tekinteni, nevezzük ezt hagyományos módszernek. Ez természetesen torz becslés, hiszen még a lejáratkori tőketörlesztést sem veszi figyelembe. Ha egy portfolió átlagos futamidejét akarjuk meghatározni, a benne szereplő változó kamatozású kötvények ilyen figyelembevétele hamis eredményt ad, ehelyett célszerű a nem ismert kamatokat egy becsült értékkel figyelembe venni az átlagidő-számításhoz.

58

Az 1. ábra az (1) típusú hozamokra ábrázolja a különböző módszerekkel számolt átlagos futamidőt: a már megismert kamatokkal, mint fix kamatozású kötvényt vizsgálva; a hagyományos változó kamatozásúakra alkalmazott módszert; az „A” és „B” típusú módszereket, melyeknél az ismeretlen kamatfizetések becsült átlagát figyelembe vesszük.

A 2. ábra ugyanezt mutatja (2) típusú hozamokra. A változó kamatozású esetek becsült átlagos futamiadejei alig térnek el a fix kamatozásúétól.

Az érzékenységszámításnál jobban indokolható a hagyományos módszer, vagyis a következő kamatfizetésig hátralévő idő használata, mint a D átlagos futamidő. Ekkor a módosított átlagos futamidőt a fix kamatozású kötvényekre használt (5.1) kifejezéssel számolják, ezt tekintik az S érzékenységnek. Abból a feltételezésből indulnak ki, hogy a már megállapított kamatfizetés utáni

59

időszakon a kötvény kockázatmentes, mivel a mindenkori kamatokat az adott gazdasági helyzetnek megfelelően állapítják meg, így csak a megállapított kamatfizetésig van hozamváltozási kockázat. Nyilván ez sem igaz, a további futamidő hozamkockázata nem nulla. A 3. és 4. ábrák a módosított átlagos futamidőket ábrázolják a két különböző hozamsorra. A „B” módszernél, mivel nem álltak rendelkezésre a kamatot meghatározó, két kamatfizetés közötti inflációalakulás adatai, egy adott időpontra az utólag megismert kamatértékből levontam a 3,5% prémiumot, a különbség az éves indexátlag. Ennek időarányos részét vettem, mint a kamat már ismertté vált It részét az (5.6) kifejezésben.

60

Megállapítható, hogy az „A” és „B” módszerrel számított érték a hagyományosan számított és a fix kamatozásúra vonatkozó érték között van. Ez azt jelenti, hogy a kockázat kisebb, mint a fix kamatozásúé, de a bizonytalan időszakra vonatkozó kockázat nem nulla. A „B” módszerrel kapott kockázat jóval egyenletesebb érték, mert a következő kamatfizetés értéke fokozatosan válik ismertté. A szakadás a kifizetés időpontjában a fix kamatozásúéval hasonló nagyságrendű. A (4.) ábra kiegyensúlyozottsága abból adódik, hogy a jegyzett nettó árfolyam szinte végig azonos volt, a vizsgált időszak végén történő változás látszik az ábrán.

61

Az 5. és 6. ábrák a görbületeket ábrázolják. A „B” módszerrel kapott görbületek szintén a fix kamatozású és az „A” módszerrel kapott értékek között lesznek. Tehát a változó kamatozású kötvény hozamérzékenysége, de görbülete is kisebb, mint a fix kamatozásúé. A b értékére kapott becslések jellemzőit az 5.2 táblázat tartalmazza. „A” módszer

Átlag Szórás

„B” módszer

Fix kamat

(1) típusú (2) típusú (1) típusú (2) típusú (1) típusú hozam hozam hozam hozam hozam 0,8701 0,7733 1,199 0,7467 0,6690 0,0586

0,0428

0,5627

0,0423

0,0522

(2) típusú hozam 0,7686 0,0423

5.2 táblázat. A b lineáris együttható statisztikai jellemzői a különböző módszereknél Fix kamat esetén az első időszakban a két vizsgált periódusra meghatározott árindexek átlagát vettem, a második időszakban az utolsó időszakra érvényeset. A b értékének alakulása a 7. ábrán látható.

Megállapítható, hogy a b együttható becslése viszonylag egyenletes, kivéve a „B” módszer (1) típusú hozam alkalmazásának esetét, mikor a hozamot az

62

ÁKK referenciahozamokból állapítottuk meg. Az utolsó kamatmegállapítás előtt a b értéke érzékeny a hibás árfolyam-hozam megadásra, mivel csak a hátralévő idővel súlyozva szerepel a fizetendő kamat becslésében, annak nagy része már meghatározott. Figyelemre méltó, hogy a legjobb eredményt is a „B” módszer adta, a (2) típusú hozammal, mikor a már ismert, fix kamatfizetésekből határoztuk meg az adott árfolyamhoz a hozamot. A b együttható „elszállása” tehát a félreárazás figyelmeztető jele lehet. A kamatfizetések átlagának használata a módszerben túlzott általánosításnak tűnhet, de lényegében a hozam is egy átlaggal becsült: a különböző időpontok pénzáramlásait ugyanazzal az értékkel diszkontáljuk. A kamatot meghatározó indexek is egy időszak átlagaként állnak elő, tehát a pénzáramlások átlagolása ugyanolyan típusú hibát okoz, mint a többi tényező. A módszer finomítása, ha a különböző időpontokhoz tartozó diszkontrátákat egy hozamgörbéből nyerjük. Ha a szóba jöhető hozamgörbék egy analitikusan jól kezelhető függvénytér elemei, melyen NPi-k differenciálhatók, akkor az érzékenységi számítások kidolgozhatók ezen a függvénytéren: a hozamgörbe elmozdulására mennyire változik a jelenérték. Erre alkalmasak lehetnek a hozamgörbe takarékos becslési módszerei közül a simító spline eljárások, melyek a vizsgált időszakon értelmezet függvények L2 terének egy tág részhalmazából választják ki a hozamgörbét [8].

63

64

65