SZAKDOLGOZAT
Betekintés a kvantum-információelméletbe
Bergmann Júlia
Témavezet®:
Dr. Tasnádi Tamás Egyetemi adjunktus BME Matematika Intézet, Analízis Tanszék
BME 2015
El®szó Quantum mechanics: Real Black Magic Calculus - Albert Einstein
A szakdolgozat célja a kvantummechanika f®ként matematikai ismertetése, érdekességeinek bemutatása.
Ezen túl néhány, a kvantum-információ-
elméletben meghatározó szerepet játszó fogalmat ismertetünk (összefonódottság, Bell-állapot, qubit...). A dolgozat végén kvantumkriptográ ai módszerekr®l ejtünk szót; megmutatjuk, hogyan lehet titkosításra (is) használni a kvantummechanika különös (klasszikustól eltér®) tulajdonságait. A témához alapvet® lineáris algebrai és funkcionálanalízis ismeretek szükségesek. Köszönettel tartozom témavezet®mnek, Tasnádi Tamásnak, akinek a segítségével betekintést nyerhettem a kvantummechanika leny¶göz® világába. Segítsége nélkül nem készült volna el ez a dolgozat, vagy ha mégis, akkor számtalan hibával lenne tele. Továbbá, köszönöm családomnak, hogy végtelen türelemmel és megértéssel viselték a szakdolgozat-írás folyamatát.
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés a kvantummechanikába
1
1.1.
A kvantummechanika axiómái . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.
Mérések
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1.
Projektív mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2.
Kvantumállapotok megkülönböztethet®sége . . . . . . .
8
1.2.3.
Pozitív operátor érték¶ mérés (POVM) . . . . . . . . .
9
A s¶r¶ségoperátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1.
Kvantumállapotok együttese . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2.
A s¶r¶ségoperátor általános tulajdonságai
. . . . . . .
12
1.3.3.
Redukált s¶r¶ségoperátor
. . . . . . . . . . . . . . . .
13
Kvantumállapotok tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.1.
Összefonódott állapot . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.2.
Heisenberg-féle határozatlansági elv . . . . . . . . . . .
16
1.4.3.
Bell-állapotok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4.4.
Bell-egyenl®tlenség
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.5.
EPR-paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4.6.
Schmidt-felbontás és puri káció
20
1.3.
1.4.
. . . . . . . . . . . . .
2. Kvantuminformáció és -kommunikáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.
Kvantumteleportáció
2.2.
Összefonódottság csere (swapping)
. . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.
Szupers¶r¶ kódolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3. Kvantumkriptográ a 3.1.
23
27
Kvantum-kulcselosztás (QKD) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
28
3.2.
3.1.1.
BB84-protokoll
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1.2.
B92-protokoll
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.3.
SARG04-protokoll
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Konjugált kódolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.1.
Kvantumpénz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.2.
Konjugált bázis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4. Fizikai megvalósítások
39
5. Összefoglaló
42
1. fejezet Bevezetés a kvantummechanikába A kvantum szó latin eredet¶, jelentése mennyiség. A kvantummechanikában bizonyos zikai mennyiségek értékeinek diszkrét utal, mint például egy atom nyugalmi energiája. Annak a felfedezése, hogy a részecskék hullámszer¶ tulajdonsággal is rendelkeznek, arra sarkallta a zikusokat, hogy atomi és szubatomi rendszereket vizsgáljanak; ezt nevezzük ma kvantummechanikának.
A kvantummechanika eredetileg azt a célt hivatott szolgálni, hogy
pontosabb leírást és értelmezést adjon az atomokról. A fény hullámtulajdonsága iránti tudományos érdekl®dés a 17-18.
szá-
zadban kezd®dött el, amikor tudósok kísérleti meg gyelésekre alapozva vetettek fel egy hullámelméletet. 1803-ban végezte Thomas Young a kétréses kísérletét, ami meghatározó szerepet játszott a fény hullámelméletének általános elfogadásában. 1838-ban Michael Faraday felfedezte a katód sugárzást, majd ezt követte Gustav Kirchho 1859-es beszámolója a feketetest-sugárzás problémájáról.
Ludwig Boltzmann 1877-ben tett javaslata szerint egy zi-
kai rendszer energiaállapota lehet diszkrét. Max Planck kvantumhipotézise (1900) kimondja, hogy a sugárzott és elnyelt energia kvantált. A kvantummechanika megmagyaráz olyan jelenségeket, melyeket a klasszikus zikából nem lehet levezetni. Ilyen jelenség például a hullám-részecske kett®sség, a bizonytalansági elv vagy az összefonódás.
1
1.1. A kvantummechanika axiómái A kvantum zikában (a klasszikus zikához hasonlóan) fontos szerepet játszanak az esemény, az állapot, és a zikai mennyiség fogalmak, de mivel más struktúrára épülnek, ezért újra kell ®ket de niálni a kvantumvilág tulajdonságainak megfelel®en. A klasszikus zikában akkor mondjuk, hogy egy esemény bekövetkezik, ha a rendszer állapota ekvivalens valamely el®re kitüntetett helyzettel. Elemi eseményeknek megfeleltethet®k a fázistér pontjai, eseményeknek pedig a fázistér részhalmazai.
0. Axióma.
A kvantummechanikában az események hálója egy szeparábilis
komplex Hilbert-tér zárt alterei (projektorai) által meghatározott nem disztributív Hilbert-háló. A rendszer állapotán az eseményhálón értelmezett valószín¶ségi mértéket
µ : L → [0, 1], ahol L az eseményháló. Mivel állapotok konvex kombinációja is állapot (µp1 ,p2 : E → p1 µ1 (E) + p2 µ2 (E)), ezért az állapotok értjük, azaz
konvex halmazt alkotnak.
Tiszta állapotoknak nevezzük a rendszer azon
állapotait, melyek nem írhatók fel más állapotok kombinációjaként, azaz a konvex halmaz extremális pontjait. [3] A kvantummechanika axiómái próbák és hibák hosszú folyamata után lettek lefektetve.
1. Axióma. szeparábilis
Minden izolált zikai rendszerhez hozzárendelhet® egy komplex,
H
Hilbert-tér, a rendszer tiszta állapotának pedig megfeleltethet®
a Hilbert-tér egy
|ψi = 6 0
vektora, amely nem nulla komplex szorzó erejéig
egyértelm¶. A vektornak a hossza és a fázisa nem lényeges, ezért általában egységvektorral dolgozunk. A Hilbert-teret állapottérnek, míg a vektort állapotvektornak nevezzük. Egy
|ψi
P projekcióval jellemzett hψ | P | ψi. A rendszer állapota a
állapotban a
következésének valószín¶sége
esemény bevégrehajtott
preparálások, más rendszerekkel való kölcsönhatás és id®fejl®dés eredménye.
2
Az egyik legegyszer¶bb, kétállapotú kvantummechanikai rendszer az úgynevezett kvantumbit, vagy qubit, melyre
H = C2 .
A qubit a klasszikus érte-
lemben vett bit kvantummechanikai megfelel®je. Tegyük fel, hogy és
|1i
|0i
|1i
és
ortonormált rendszert alkotnak
H-ban. |0i
alkotta bázist számítási bázis nak hívjuk. Ekkor a rendszer tetsz®leges
tiszta állapota a
|ψi = α |0i + β |1i alakban írható fel, ahol
α
(normálási feltétel ). Amikor
|0i , |1i
β komplex számok úgy, hogy |α|2 + |β|2 = 1 α 6= 0 és β 6= 0 azt mondjuk, hogy a rendszer a
és
bázisban szuperponált állapotban van.
2. Axióma.
Egy zárt kvantumrendszer fejl®dése unitér transzformációval ír-
ható le. Azaz ha t1 id®pontban a rendszer |ψi állapotban van, és t2 id®pontban 0 pedig |ψ i állapotban, akkor létezik egy csak t1 -t®l és t2 -t®l függ® U unitér operátor, amire
|ψ 0 i = U |ψi. Természetes kérdés, hogy mely unitér operátor írja le az adott rendszer fejl®dését, viszont erre nem ad választ az axióma.
Vegyük sorra néhány
(kvantuminformációban fontos szerepet játszó) unitér operátor hatását egy qubiten.
1. De níció.
Pauli-mátrixoknak nevezzük a következ®ket:
"
1 0 I≡ 0 1
#
"
#
0 1 X≡ 1 0 Az
X
és a
Z
"
0 −i Y ≡ i 0
#
"
# 1 0 Z≡ 0 −1
mátrixok által jelölt operátort szokás bit ip illetve fázis ip
X megcseréli a |0i és |1i értékeket, míg Z |0i-t − |1i-é változtatja.
operátornak hívni, ugyanis az helyben hagyja,
|1i-et
pedig
Számunkra fontos még az úgynevezett Hadamard-kapu, melyet a
" # 1 1 1 H=√ 2 1 −1 3
mátrix reprezentál. Könnyen belátható, hogy
|0i-ra
és
|1i-re
H
unitér mátrix. Ennek hatása
a következ®:
H |0i ≡
|0i + |1i √ , 2
H |1i ≡
|0i − |1i √ . 2
A 2. axióma zárt rendszerr®l szól, ami nem lép kölcsönhatásba más rendszerekkel. Természetesen a valóságban minden rendszerre valamilyen szinten hatással vannak más rendszerek (hacsak nem az egész Univerzumot vizsgáljuk). Mindemellett vannak olyan rendszerek, amik jó közelítéssel jellemezhet®k zártként egy unitér id®fejl®déssel.
Ráadásul minden nyílt rendszer
tekinthet® egy ®t tartalmazó zárt rendszer részeként. A 2. axióma leírja, hogy egy zárt kvantumrendszer állapotai milyen kapcsolatban állnak két különböz® id®pontban. Adható egy ki nomultabb formája ennek az axiómának, melyben az állapotfejl®dés folytonos id®ben értelmezett, méghozzá a következ® formában:
2. Axióma (*).
Egy zárt kvantumrendszer állapotának id®fejl®dését a Schrö-
dinger-egyenlet írja le:
d |ψi = H |ψi , dt jelöli, H pedig egy rögzített i~
ahol
~
a Planck-állandót
hermitikus operátor, a
rendszer Hamilton-operátora. Ha ismerjük egy rendszer Hamilton-operátorát, akkor a teljes dinamikáját megérthetjük, de ezt általában nehéz meghatározni.
Szerencsére, a
kvantum-információelmélet tárgyalásának túlnyomó részében nincs szükségünk
H
pontos ismeretére.
Mivel a Hamilton-operátor hermitikus, így a spektrálfelbontása:
H=
X
Ek |Ek i hEk |
k
|Ek i sajátvektorhoz tartozó állapotot a rendszer energia sajátállapotának (vagy stacionárius állapotának) nevezzük, az Ek sajátérték pedig az |Ek i állapot energiája. A legkisebb energiát szokás a rendszer alapállapoti A normált
4
energiájának hívni, a hozzá tartozó energia sajátállapotot pedig alapállapot-
H = ~ωX . √ Ekkor az energia sajátállapotok (|0i±|1i)/ 2 és a hozzájuk tartozó energiák √ ±~ω . Az állapoti energia −~ω , és az alapállapot (|0i − |1i)/ 2. nak. Például, tegyük fel, hogy a rendszerünk Hamilton-operátora
A Hamilton-operátor és az unitér operátor közötti kapcsolatot a Schrödingeregyenlet megoldásával kapjuk:
−iH d |ψi = |ψi dt ~ −iHt |ψt i = exp |ψ0 i ~ t1
és
t2
id®ben lév® állapotok kapcsolatát vizsgálva a következ® eredményre
jutunk:
Legyen
−iH(t2 − t1 ) |ψt2 i = exp |ψt1 i ~ −iH(t2 −t1 ) U (t1 , t2 ) ≡ exp . Belátjuk, hogy ez unitér ~
1. Tétel. U (t1 , t2 ) ≡ exp Bizonyítás. hermitikus.
−iH(t2 −t1 ) ~
operátor.
unitér operátor.
Célunk belátni, hogy
U U † = U †U = I .
Tudjuk, hogy
H
†
† = exp iH (t~2 −t1 ) . =⇒ U = exp ~ † exp −iH(t~2 −t1 ) exp iH (t~2 −t1 ) = exp i(t2~−t1 ) (H † − H) = exp[0] = I †
−iH(t2 −t1 )
3. Axióma.
{Mm } mérési operátorokkal írható le. Az operátorok az állapottéren hatnak. Az m index a kísérlet lehetséges kimeneteleire utal. Annak a valószín¶sége, hogy a |ψi állapotú rendszer mérésének eredmény m: † p(m) = hψ| Mm Mm |ψi , Egy kvantummérés az
5
és a rendszer mérés utáni állapota:
Mm |ψi q . † hψ| Mm Mm |ψi A mérési operátorok kielégítik a teljességi relációt, azaz
1=
X
p(m) =
m
X
∀ |ψi
esetén:
† hψ| Mm Mm |ψi,
m
tehát
X
† Mm Mm = I.
m Megjegyezzük, hogy ha csak a valószín¶ségekre vagyunk kíváncsiak (a mérés utáni állapotra nem), akkor nem kell meghatároznunk az torokat, elegend® az
† Mm Mm
Mm
operá-
pozitív operátorok ismerete.
Egy fontos példája a mérésnek az egy qubit mérése a számítási bázis-
ban. Ezen mérés operátorai az
M0 = |0i h0|
és az
M1 = |1i h1|
operátorok.
Könnyen belátható, hogy mindkét projektor hermitikus. Legyen a mérend® állapot
|ψi = α |0i + β |1i.
Ekkor:
p(0) = hψ| M0† M0 |ψi = hψ| M0 |ψi = |α|2 p(1) = hψ| M1† M1 |ψi = hψ| M1 |ψi = |β|2 A mérés utáni állapotok a következ®k:
α M0 |ψi = |0i |α| |α| M1 |ψi β = |1i |β| |β| A két szorzó (α/|α| és és
β/|β|)
elhagyható, így a mérés utáni állapotok
|0i
|1i. Most tegyük fel, hogy két (vagy több) különböz® rendszerb®l álló kvan-
tumrendszert szeretnénk vizsgálni. Az összetett rendszer vizsgálatára vonat-
6
kozik a következ® axióma.
4. Axióma.
Összetett zikai rendszer Hilbert-tere az részrendszerekhez tar-
tozó Hilbert-terek tenzorszorzata. Ha
|ψi i, |ψn i = |ψ1 ψ2 ...ψn i . preparált állapota
n
rendszerünk van, és az i-dik rendszer
akkor az összetett rendszer állapota
|ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ ... ⊗
1.2. Mérések A kvantummechanikai mérés er®sen eltér a klasszikus mérést®l, mivel a méréssel megzavarjuk a rendszert.
Kétféle mérést használunk a kvantum-
mechanikában: a projektív- vagy Neumann-mérést, illetve a pozitív operátor érték¶ mértéken alapuló, úgynevezett gyenge mérést.A projektív mérés rendelkezik a megismételhet®ségi tulajdonsággal, azaz kétszer egymás után ugyanazt a mérést végrehajtva ugyanazt az eredményt kapjuk. Ezzel szemben a gyenge mérés nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.
1.2.1. Projektív mérés 2. De níció.
Egy projektív mérést (Neumann-mérést) egy
M
hermitikus
operátor (obszervábilis) ír le. Az obszervábilis spektrálfelbontása:
M=
X
mPm ,
m∈σ(M )
ahol
Pm
az
M
operátor
m
sajátértékéhez tartozó sajátaltérre vetít® projektor.
A mérés lehetséges kimenetelei megfelelnek az mérésekor annak a valószín¶sége, hogy
m
m
sajátértékeknek.
értéket kapunk:
p(m) = hψ| Pm |ψi . A kvantumrendszer állapota a mérés után közvetlenül:
P |ψi pm , p(m) 7
|ψi
állapot
ebb®l következik a mérés megismételhet®sége. A projektív mérések a 3.
axióma speciális esetei.
Ha az ott szerepl®
mérési operátoroktól megköveteljük, hogy ortogonális projektorok legyenek (azaz
Mm -ek
legyenek hermitikusak és
∀m, m0 : Mm Mm0 = δm,m0 Mm ),
akkor
pontosan a fenti de níciót kapjuk. A projektív mérések egyik nagy el®nye, hogy könnyen ki lehet számolni a várható értéküket:
E(M )
P = mp(m) = Pm = m m hψ| Pm |ψi = P = hψ| mP |ψi = m m = hψ| M |ψi ≡ hM i.
M -b®l kapott meg gyelésekre vonatkozó szórásnégyzet [∆(M )]2 = − hM i2 .
Innen az
M
2
1.2.2. Kvantumállapotok megkülönböztethet®sége A kvantumállapotok megkülönböztethet®sége fontos következménye a 3.
axiómá nak. A klasszikus világban egy rendszer különböz® állapotai könnyen elkülöníthet®k.
Például, egy érme feldobása után mindig el tudjuk dönte-
ni, hogy fej vagy írás lett-e.
A kvantummechanikában ez a helyzet sokkal
bonyolultabb. A megkülönböztethet®ség megértésének megkönnyítésére képzeljük el a következ® szituációt: Aliz állapotok valamilyen rögzített halmazából választ egy
|ψi i
állapotot
(1 ≤ i ≤ n)
(az alaphalmaz elemei számára is és Bob
számára is ismertek). Elküldi ezt az állapotot Bobnak, akinek a feladata az,
i indexet (azaz megismerje az állapotot). Tegyük fel, hogy |ψi i ortonormált rendszert alkotnak. De niáljuk a következ® mérési operátort: Mi ≡ |ψi i hψi | minden lehetséges i indexre. Továbbá q P I − i6=0 |ψi i hψi | > 0. Ezen operátorok kielégítik a teljességi legyen M0 ≡ relációt, és ha |ψi i preparált, akkor P(eredmény = i) = p(i) = hψi | Mi |ψi i = 1, azaz i eredmény biztosan bekövetkezik. Tehát ortonormált |ψi i állapotok hogy meghatározza az
megkülönböztethet®k.
8
2. Tétel.
Nem ortogonális állapotok nem különböztethet®k meg megbízható-
an. Bizonyítás.
Legyenek
|ψ1 i
és
|ψ2 i
nem ortogonális állapotok.
Indirekt
tételezzük fel, hogy létezik olyan mérés, mellyel meg lehet ®ket bizonyosan különböztetni egymástól.
Jelölje
Mj
j
a
eredmény¶ mérési operátort,
pedig azt a szabályt, ami szerint döntünk (azaz
f (j) = 2, ha |ψ2 i). † i:f (j)=i Mj Mj . Ezekre:
állapotunk, és
Ei ≡
f (j) = 1,
ha
|ψ1 i
f (·)
a tippelt
De niáljuk a következ® operátorokat:
P
hψ1 | E1 |ψ1 i = 1;
hψ2 | E2 |ψ2 i = 1.
P Ei = I , így i hψ1 | Ei |ψ1 i = 1, azaz hψ1 | E2 |ψ1 i = 0, és ebb®l √ E2 |ψ1 i = 0. Írjuk fel |ψ2 i-t |ψ1 i és |ϕi bázisban, ahol |ϕi ortogonális |ψ1 i2 2 re: |ψ2 i = α |ψ1 i + β |ϕi. (|α| +|β| = 1.) Megjegyezzük, hogy |β| < 1, mivel |ψ1 i és |ψ2 i nem-ortogonálisak. √ √ E2 |ψ2 i = β E2 |ϕi, amib®l következik, hogy: Ekkor Mivel
P
i
hψ2 | E2 |ψ2 i = |β|2 hϕ| E2 |ϕi ≤ |β|2
X
hϕ| Ei |ϕi = |β|2 hϕ | ϕi = |β|2 < 1,
i ami ellentmond a feltételnek, miszerint
hψ2 | E2 |ψ2 i = 1.
1.2.3. Pozitív operátor érték¶ mérés (POVM) Mm mérésoperátorok által meghatározott mérést. Legyen P † Em = Mm Mm > 0. Ekkor m Em = I és a |ψi állapotú rendszer mérésekor az m eredmény valószín¶sége: p(m) = hψ | Em | ψi. A teljes {Em } halmazt Tekintsük az
pozitív operátor érték¶ mértéken alapuló mérés nek vagy gyenge mérés nek nevezzük, az
Em
operátorokat pedig a
P OV M elemeinek .
Tegyük fel, hogy Aliz a következ® állapotok egyikébe preparál egy qubitet:
√ |ψ1 i = |0i , |ψ2 i = (|0i + |1i)/ 2,
és elküldi Bobnak. A megkülönböz-
tethet®ség lehetetlen Bob számára, de lehetséges olyan mérés, mellyel néha megkülönböztethet®k, de a mérés sosem ad téves eredményt.
9
De niáljuk a következ® POVM mérési operátorokat:
√ 2 √ |1i h1| ; 1+ √ 2 (|0i−|1i)(h0|−h1|) 2 √ ; 2 1+ 2
E1 ≡ E2 ≡
E3 ≡ I − E1 − E2 . |ψ1 i = |0i állapotot kapja. eredményként, hiszen hψ1 | E1 | ψ1 i = 0.
Tekintsük el®ször azt a helyzetet, amikor Bob a Ekkor
0
valószín¶séggel kapja
E1 -et
Tehát ha egy mérésnél
E1 -et
|ψ2 i
Hasonlóan megállapítható, hogy ha
állapot van nála.
kap, akkor nem lehet nála
kap eredményül, akkor biztosan tudja, hogy
|ψ2 i.
Viszont amikor
E3 -t
E2
eredményt
eredményez a mérés,
akkor nem tud mondani semmit sem a nála lév® qubit állapotáról.
1.3. A s¶r¶ségoperátor Összetett rendszer részrendszerének vizsgálatakor általában nem lehetséges a részrendszer állapotvektorral való jellemzése. Ilyen esetben az állapotleírásra a s¶r¶ségoperátort használjuk. Ezzel az eszközzel szemléletesebb azt a jelenséget felírni, amikor az összetett rendszer tiszta állapotban van annak ellenére, hogy az alkotó részrendszerek lehetnek kevert állapotúak.
1.3.1. Kvantumállapotok együttese Vizsgáljuk azt a kvantumrendszert, melynek egyes állapotai lószín¶ségekkel. A
{pi , |ψi i}
|ψi i, pi
va-
párt hívjuk a tiszta állapotok együttesének. A
rendszer s¶r¶ségoperátorát a következ®képpen de niáljuk:
ρ≡
X
pi |ψi i hψi |.
i A kvantummechanika axiómái átfogalmazhatók a s¶r¶ségoperátor nyelvére, és némely esetben kényelmesebb ezzel számolni, mint az állapotvektorokkal. Tegyük fel, hogy egy zárt kvantumrendszer id®fejl®dését az rátor írja le. Ha a rendszer kezdetben
pi
10
valószín¶séggel
U
unitér ope-
|ψi i állapotban volt,
U |ψi i
akkor miután a fejl®dés megtörtént, az
állapotban lesz
pi
valószín¶-
séggel. Így a s¶r¶ségoperátor fejl®dése ezzel az egyenlettel írható le:
ρ≡
X
U X
pi |ψi i hψi | − →
i
pi U |ψi i hψi | U † = U ρU † .
i
A mérések is átfogalmazhatók a s¶r¶ségoperátor nyelvére. Végezzük azt a mérést, melyet az
Mm
operátorok írnak le. Ha a kezdeti állapot
akkor annak a valószín¶sége, hogy
m-et
|ψi i
volt,
kapjuk eredményként:
† † Mm |ψi i hψi |), Mm |ψi i = Tr(Mm p(m|i) = hψi | Mm
ahol
Tr(·)
az operátor nyomát jelöli.
annak a valószín¶sége, hogy
m-et
A teljes valószín¶ség tétele alapján
kapunk eredményként (tetsz®leges kezdeti
állapotból indulva):
p(m)
= =
X i X
p(m|i)pi
=
† pi Tr(Mm Mm |ψi i hψi |
=
i
=
† Tr(Mm Mm ρ)
Ha a rendszer kezd®állapota
|ψi i
volt, akkor az
m
eredmény¶ mérés vég-
rehajtása után az állapot a következ® lesz:
Mm |ψi i |ψim i = q . † hψi | Mm Mm |ψi i Következésképpen a megfelel® s¶r¶ségoperátor:
ρm =
X
p(i|m) |ψi i hψi | =
X
i
p(i|m)
i
A feltételes valószín¶ségr®l tudjuk, hogy
† Mm |ψi i hψi | Mm † hψi | Mm Mm |ψi i
p(i|m) = p(m, i)/p(m) = p(m|i)pi /p(m),
így ezt behelyettesítve az el®z®be, kapjuk, hogy:
ρm =
X i
pi
† Mm |ψi i hψi | Mm † Tr(Mm Mm ρ)
11
.
=
† Mm ρMm † Tr(Mm Mm ρ)
.
1.3.2. A s¶r¶ségoperátor általános tulajdonságai 3. Tétel (S¶r¶ségoperátorok jellemzése).
A
ρ operátor valamilyen {pi , |ψi i}
együtteshez tartozó sz¶r¶ségoperátor akkor és csakis akkor, ha: 1.
Tr(ρ) = 1;
2.
ρ
és
pozitív operátor.
Bizonyítás.
Tegyük fel, hogy
ρ =
P
i
pi |ψi i hψi |
egy s¶r¶ségoperátor.
Ekkor
Tr(ρ) =
X
X pi Tr(|ψi i ψi ) = pi = 1.
i Legyen
|ϕi
i
egy tetsz®leges vektora az állapottérnek. Ekkor
hϕ| ρ |ϕi
P pi hϕ | ψi i hψi | ϕi = 2 Pi ≥ i pi hϕ | ψi i 0,
= = ≥
tehát az egyik oldallal készen vagyunk. Visszafelé, tegyük fel, hogy
ρ
ρ
operátor kielégíti a fenti feltételeket. Mivel
pozitív így van spektrálfelbontása:
ρ=
X
λj |ji hj|,
j
|ji-k ortogonálisak, és λj ∈ R+ 0 sajátértékei ρ-nak. A trace-re vonatkozó P feltételb®l tudjuk, hogy j λj = 1. Így a |ji állapotú, λj valószín¶séggel rendelkez® rendszer s¶r¶ségoperátora ρ lesz. Tehát a {pi , |ψi i} együttes a ρ
ahol
s¶r¶ségoperátorhoz tartozó állapotegyüttes.
Fontos megjegyeznünk, hogy (szemben a klasszikus zikával) egy s¶r¶ségoperátor tiszta állapotok konvex kombinációjaként való el®állítása a kvantummechanikában nem mindig egyértelm¶. Most már át tudjuk fogalmazni a kvantummechanika axiómáit a s¶r¶ségoperátor nyelvére.
12
1. Axióma.
Minden izolált zikai rendszerhez meghatározható egy bels® szor-
zással ellátott Hilbert-tér, a rendszer állapottere. A rendszert teljesen leírja a s¶r¶ségoperátora, ami egy pozitív, egység nyomú, az állapottéren ható operátor. Ha a rendszer ségoperátor
P
2. Axióma.
i
ρi
állapotban
valószín¶séggel van, akkor a s¶r¶-
pi ρ i
Egy zárt kvantumrendszer id®fejl®dését egy unitér transzformá-
t1
ció írja le. Azaz, ha a rendszer
ρ2
pi
id®ben
ρ1
állapotban van, és
állapotú, akkor a kett® közötti kapcsolatot egy
csak
t1 -t®l
és
ρ
t2 -t®l
U
t2 -ben
pedig
unitér operátor adja, ami
függ:
ρ2 = U ρ1 U † .
3. Axióma.
A kvantummérések mérési operátorok egy
hatók le. Az operátorok az állapottéren hatnak. Az
m
{Mm }
index a kísérlet lehet-
séges kimeneteleire utal. Annak a valószín¶sége, hogy a mérésének eredmény
halmazával ír-
ρ
állapotú rendszer
m: † p(m) = Tr(Mm Mm ρ),
és a rendszer mérés utáni állapota: † Mm ρMm † Tr(Mm Mm ρ)
.
A mérési operátorok kielégítik a teljességi relációt, azaz:
X
† Mm Mm = I.
m
4. Axióma.
Összetett zikai rendszer Hilbert-tere az részrendszerekhez tar-
tozó Hilbert-terek tenzorszorzata. Ha preparált állapota
ρi ,
n
rendszerünk van, és az i-dik rendszer
akkor az összetett rendszer állapota
ρ1 ⊗ ρ2 ⊗ ... ⊗ ρn .
1.3.3. Redukált s¶r¶ségoperátor A s¶r¶ségoperátor egyik fontos alkalmazása az összetett rendszerek részrendszereinek leírása. Egy ilyen leírást tesz lehet®vé a redukált s¶r¶ségoperá-
13
tor.
3. De níció. és
Tekintsük az
|b1 i , |b2 i ∈ B
A
és
B
zikai rendszert. Legyen
tetsz®leges vektor. A
TrB
|a1 i , |a2 i ∈ A
parciális nyom elemi tenzorokon
úgy de niált, hogy:
TrB (|a1 i ha2 | ⊗ |b1 i hb2 |) ≡ |a1 i ha2 | Tr(|b1 i hb2 |) = |a1 i ha2 | hb2 | b1 i . Ennek lineáris kiterjesztése adja az általános de níciót.
4. De níció. tát a
ρAB
Tekintsük
A
és
B
zikai rendszereket, melyek együttes állapo-
s¶r¶ségoperátor írja le. Ekkor az
A
rendszerhez tartozó redukált
s¶r¶ségoperátor:
ρA ≡ TrB (ρAB ). Tekintsük a ahol
ρ
az
operátor. hogy
B
A
ρAB = ρ ⊗ σ
σ pedig a B rendszerhez tartozó s¶r¶ségρA = TrB (ρ ⊗ σ) = ρ Tr(σ) = ρ. Hasonlóan levezethet®,
rendszerhez tartozó,
Ekkor
ρ =σ
s¶r¶ségoperátor által leírt összetett rendszert,
teljesül, amely eredmény intuitívan elvárhattunk.
Most vizsgáljuk a
√ (|00i + |11i)/ 2
állapotú rendszert. Ennek a s¶r¶ség-
mátrixa:
ρ
= =
|00i+|11i h00|+h11| √ √ = 2 2 |00ih00|+|11ih00|+|00ih11|+|11ih11| . 2
Az els® qubit redukált s¶r¶ségoperátora:
ρ1
Mivel
= Tr2 (ρ) = 2 (|00ih11|) = Tr2 (|00ih00|)+Tr2 (|11ih00|)+Tr = 2 |0ih0|h0 | 0i+|1ih0|h0 | 1i+|0ih1|h1 | 0i+|1ih1|h1 | 1i = = 2 |0ih0|+|1ih1| = = 2 = I2 .
Tr((I/2)2 ) = 1/2 < 1,
így ez kevert állapot, annak ellenére, hogy
az összetett rendszer tiszta állapotú.
14
1.4. Kvantumállapotok tulajdonságai A következ®kben összefonódott állapotokkal és rájuk vonatkozó tételekkel, meg gyelésekkel fogunk foglalkozni. Ezek a tulajdonságok meghatározó szerepet játszanak a kvantum-információelmélet és a kvantumkriptográ a kialakulásában, fejl®désében.
1.4.1. Összefonódott állapot Az összetett kvantumrendszerek egyik legérdekesebb és legrejtélyesebb jelensége az állapot-összefonódás. Kevert állapotok esetén a rendszer összefonódott, ha nem szeparálható, azaz ha s¶r¶ségmátrixa nem írható le szorzatállapotok konvex kombinációjaként:
ρ=
X
pi ρi1 ⊗ ρi2 ,
i ahol
P
mátrix
pi = 1 és ∀k : pk ≥ 0, (j ∈ {1, 2}).
i
illetve
ρ ij
a
j -dik
rendszerhez tartozó s¶r¶ség-
Egy összetett rendszer tiszta állapotát összefonódott állapotnak hívjuk, ha nem írható fel az alkotó rendszerekb®l vett állapotok tenzorszorzataként.
√ állapotot. Ehhez nem léteznek |ai |ψi = |00i+|11i 2 és |bi állapotok, hogy |ψi = |abi. Tegyük fel indirekt, hogy léteznek ilyen állapotok: |ai = αa |0i + βa |1i és |bi = αb |0i + βb |1i. Például, tekintsük a
|abi
= αa βa |00i √1 |00i = 2
+αa βb |01i +αb βa |10i +αb βb |11i = + √12 |11i
Ekkor a következ® ellentmondás adódik:
αa βb = αb βa = 0 Tehát
|ψi
∧
1 αa βa = αb βb = √ . 2
összefonódott állapot.
Az összefonódott állapotok meghatározó szerepet játszanak a kvantuminfor-mációelméletben; a kés®bbiekben sokszor fogjuk használni a fogalmat.
15
1.4.2. Heisenberg-féle határozatlansági elv A és B hermitikus operátor, és |ψi egy kvantumállapot. Továbbá legyen hψ| AB |ψi = x + iy , ahol x, y ∈ R. Megjegyezzük, hogy hψ| [A, B] |ψi = 2iy és hψ| {A, B} |ψi = 2x, ahol [A, B] = AB − BA (kommutátor) és {A, B} = AB + BA (antikommutátor). Ebb®l következik, hogy: Legyenek
hψ| [A, B] |ψi 2 + hψ| {A, B} |ψi 2 = 4 hψ| AB |ψi 2 . A Cauchy-Schwarz egyenl®tlenség értelmében:
hψ| AB |ψi 2 ≤ hψ| A2 |ψi hψ| B 2 |ψi . Ezeket összerakva:
hψ| [A, B] |ψi 2 ≤ 4 hψ| A2 |ψi hψ| B 2 |ψi Helyettesítve
A = C − hCi-t
és
B = D − hDi-t
az utolsó egyenletbe,
megkapjuk a Heisenberg-féle határozatlansági elve általában használt alakját:
∆(C)∆(D) ≥
ψ [C, D] ψ 2
.
Azaz nincs olyan állapot, melyben konjugált értékek egyszerre mérhet®k.
1.4.3. Bell-állapotok Egy kétqubites rendszer számítási bázisállapotai:
|00i , |01i , |10i és |11i.Ezen
állapotokat transzformáljuk el®ször az Hadamard-kapu, majd a CNOT-kapu (controlled not) segítségével. Az Hadamard-kapu transzformátor mátrixa:
" # 1 1 1 H≡√ 2 1 −1 Azaz az
α|0i + β|1i
állapothoz az
√ √ α |0i+|1i + β |0i−|1i 2 2
16
állapotot rendeli.
A CNOT-kapu egy kétqubites kvantum logikai kapu. Két inputja a kontroll qubit és a cél qubit. Ha a kontroll qubit 0, akkor a cél marad az eredeti, ha a kontroll 1, akkor a cél qubit az ellentettjére változik, azaz:
|00i → |00i,
|01i → |01i,
|10i → |11i,
|11i → |10i.
A Bell-állapotok at (vagy EPR-párok at) a bázisállapotok el®ször Hadamard, majd a CNOT-kapu szerinti transzformáltjaként kapjuk.
√ |00i → ψ + ≡ |00i+|11i 2 + |01i+|10i √ |01i → φ ≡ 2 √ |10i → ψ − ≡ |00i−|11i 2 √ |11i → φ− ≡ |01i−|10i 2
Az EPR elnevezés Albert Einstein, Boris Podolsky és Nathan Rosen vezetéknevekb®l álló mozaikszó.
1.4.4. Bell-egyenl®tlenség Tegyük fel, hogy Aliznak és Bobnak küldünk egy-egy preparált részecskét.
Amikor Aliz megkapja a részecskéjét, akkor végez rajta egy mérést.
Kétféle mérésre képes: lasztani,
1/2
-
1/2
PQ
és
PR .
El®re nem tudja, melyik mérést fogja vá-
valószín¶séggel dönt valamelyik mellett (például feldob
egy szabályos érmét). Az egyszer¶ség kedvéért feltehet®, hogy az eredmény mindkét mérésfajta esetében pedig a
PR
+1
vagy
−1.
Legyen
mérésé. Induljunk ki abból, hogy
Q
és
Q a PQ mérés értéke, R R objektív tulajdonsága
Aliz részecskéjének, és a mérés csupán felfedi ezt. Hasonlóan, Bob is képes két tulajdonság mérésére, lehetséges értékekkel, melyek
+1-et
vagy
−1-et
PS
és
PT , S
és
T
vehetnek fel. Bob sem tudja
el®re, hogy melyik mérést végzi majd; amikor megkapja a részecskéjét, akkor dönt véletlenszer¶en.
Aliz és Bob a méréseiket egy id®ben hajtják végre,
így az egyik eredménye nem zavarja a másik mérés eredményét, mivel zikai hatás nem tud a fénynél gyorsabban terjedni.
17
Vizsgáljuk meg a következ® mennyiséget!
QS + RS + RT − QT = (Q + R)S + (R − Q)T R, Q = ±1, így vagy (Q + R)S = 0 vagy (R − Q)T = 0. Bármely eset is áll fenn, QS + RS + RT − QT = ±2 mindig igaz. Jelölje továbbá p(q, r, s, t) annak a valószín¶ségét, hogy a mérések el®tt a rendszer abban az állapotban van, amelyben q = Q, r = R, s = S és t = T . Ezen valószín¶ség
Mivel
azon múlik, hogy hogyan preparáljuk a részecskéket, illetve a kísérleti zajon. Legyen
E(·)
a mennyiség várható értéke:
E(QS + RS + RT − QT )
= ≤
P p(q, r, s, t)(qs + rs + rt + qt) ≤ Pqrst qrst p(q, r, s, t) · 2 = 2.
= + + + =
P p(q, r, s, t)qs + Pqrst p(q, r, s, t)rs + Pqrst p(q, r, s, t)rt − Pqrst = qrst p(q, r, s, t)qt E(QS) + E(RS) + E(RT ) − E(QT ).
Továbbá:
E(QS + RS + RT − QT )
Összetéve a két eredményt, megkapjuk a Bell-egyenl®tlenséget :
E(QS) + E(RS) + E(RT ) − E(QT ) ≤ 2. Ezt az eredmény CHSH-egyenl®tlenség nek is nevezik, John Clauser, Micheal Horne, Abner Shimony és Richard Holt után. Most tegyük fel, hogy a két qubitb®l álló kvantumrendszer állapota:
|ψi =
|01i − |10i √ . 2
Az els® qubitet Aliz, a másodikat Bob kapja. Legyenek a mér® operátorok:
Q = Z1 2 −X2 S = −Z√ 2
R = X1 2 T = Z2√−X . 2 18
Ekkor a várható értékek:
1 E(QS) = E(RS) = E(RT ) = −E(QT ) = √ 2 √ ⇒ E(QS) + E(RS) + E(RT ) − E(QT ) = 2 2 > 2. Ezek szerint az el®z® levezetésünk nem volt helyes.
Ez úgy lehetséges,
hogy voltak olyan feltevéseink, melyek nem teljesülnek a természetben. Két megkérd®jelezhet® feltevésünk volt: 1. Valószer¶ség feltételezése: határozott
Q, R, S, T
A
PQ , PR , PS , PT
zikai tulajdonságoknak
értékük van, és a meg gyelést®l függetlenül létez-
nek. 2. Lokalitás feltételezése:
Aliz mérése nem befolyásolja Bob mérésének
eredményét. Ez a két feltételezés együtt a lokális valószín¶ség feltételeként ismert. Mindennapi életünkbe beleillik a két feltételezés, kézenfekv®nek t¶nnek a világ m¶ködésének vizsgálatakor. Ennek ellenére, a Bell-egyenl®tlenség jóvoltából tudjuk, hogy legalább az egyik helytelen. Tehát a világ nem lokálisan valószer¶.
1.4.5. EPR-paradoxon A modern értelmezés szerint az EPR-paradoxon (1935) lényege az az állítás, hogy a kvantummechanika nem lehet egyszerre lokális realista (valószer¶) és teljes. A következ®kben a David Bohm által javasolt kísérletet fogjuk végiggondolni (1951). A kísérletben egy forrásból kilövünk egy összefonódott elektronpárt, melyek együttes spinje nulla. A két részecske elég távol van egymáshoz, hogy ne legyen köztük a fénysebességnél lassabb kölcsönhatás. Ha (a tetsz®legesen választott) z tengely mentén megmérjük a spinjüket, azt kapjuk, hogy ellentétes spin¶ek. Ugyanezt kapjuk akkor is, ha az x tengely mentén mérjük ®ket.
19
A Heisenberg-féle határozatlansági elv azt mondja ki, hogy két zikai mennyiséget egy id®ben, teljes pontossággal nem lehet megmérni.
Ennek
eredményeként egy részecske spinjét két, egymásra mer®leges irányban nem tudjuk egyszerre megmérni. Így, ha megmérjük az els® részecskén a z, majd a másodikon az x tengely menti spint, a második részecske x irányú spinje nem lehet ellentéte az els® részecske mérések el®tti spinjének, mert akkor az els® részecske mindkét iránybeli spinjét ismernénk. Így tehát az els® részecske z irányú mérésének valahogy el kell rontania a második részecske x irányú spinjét, éppúgy, ahogy a saját x irányú spinjét elrontja.
A két részecske
azonban ha a lokalitást elfogadjuk túl messze van ahhoz, hogy bármiféle kölcsönhatás felléphessen közöttük. Azaz 1. a spin egy olyan tulajdonsága a rendszernek, amit el®re meg tudunk jósolni, a rendszer megzavarása nélkül, és 2. az egymásra mer®leges spinek egyidej¶leg nem bírhatnak zikai realitással. Tehát a kvantummechanika nem teljes elmélet.
1.4.6. Schmidt-felbontás és puri káció 4. Tétel. az
A
és
B
Legyen
|ψi
egy tiszta állapota az
rendszerben léteznek
|iA i
|ψi =
|iB i
és
X
AB
összetett rendszernek. Ekkor
ortonormált állapotok úgy, hogy
λi |iA i |iB i,
i
ahol
λi ∈ R+ 0
olyanok, hogy
Bizonyítás. Legyenek illetve
B -ben.
Ekkor
|ψi
P
i
λ2i = 1,
úgynevezett Schmidt-együtthatók.
|ji és |ki tetsz®leges ortonormált rendszerek A-ban felírható
|ψi =
X
ajk |ji |ki
jk
20
ajk ∈ C számokból el®állított mátrix A. Ezen mátrix szinguláris érték felbontása: A = UDV, ahol D nem-negatív elem¶ diagonális, U, V alakban, ahol
pedig unitér mátrixok. Ekkor
|ψi =
X
uji dii vik |ji |ki.
ijk
|iA i ≡
Legyenek
P
j
uji |ji, |iB i ≡
P
k
vik |ki
és
λi ≡ dii .
Ezeket behelyette-
sítve kapjuk, hogy:
|ψi =
X
λi |iA i |iB i.
i Mivel
U
unitér, és
Hasonlóan
|iB i
|ji
ortonormált, így
|iA i
ortonormált rendszert alkot.
is ortonormált.
|iA i és |iB i bázisokat a A és B rendszerhez tartozó Schmidt-bázis nak nevezzük, λi nem-negatív együtthatók számát pedig a |ψi állapothoz tartozó Az
Schmidt-szám nak. szer¶síti az
A
és
B
Egy rendszer Schmidt-száma valamilyen módon számrendszerek közötti összefonódás mértékét.
A rendszer
pontosan akkor nincs összefonódott állapotban, ha a Schmidt-száma 1. Képzeljük el, hogy kapunk egy
ρA
állapotot az
A
kvantumrendszerb®l.
Ekkor lehet®ségünk van arra, hogy de niáljunk egy (másik)
rendszert, és
ρ = TrR (|ARi hAR|). Tehát a tiszta |ARi állapot redukált ρA -ra, amikor csak az A rendszert vizsgáljuk. Ezt a folyamatot nevezzük puri káció nak, R-et pedig referencia rendszernek mondjuk. Megjegyezzük, hogy R egy ktív rendszer, közvetlen zikai jelentés
egy tiszta
|ARi
R
A
állapotot úgy, hogy
nélkül.
5. Tétel.
A puri káció folyamata mindene állapoton végrehajtható.
Bizonyítás.
A bizonyításhoz azt mutatjuk meg, hogy miként kell meg-
R-et és a ρA -hoz tartozó |ARi-et. Tegyük fel, hogy ρA ortonormált P A A A felbontása ρ = i . Bevezetjük R rendszert, melynek állapottei pi i R re megegyezik A-éval, és i a hozzá tartozó ortonormált bázis állapotok.
alkotni
21
Ekkor
|ARi ≡
X √ E D pi iA iR i
az összetett rendszer egy tiszta állapotát adja. Most meghatározzuk az
A
rendszer
|ARi
állapotához tartozó redukált s¶r¶-
ségoperátort.
A A P √ Tr( iR j R ) = i TrR (|ARi hAR| = j p p i j Pij √ = pi pj iA j A δij = ij P A A = i = i pi i A = ρ Így
|ARi
egy puri kációja
ρA -nak.
22
2. fejezet Kvantuminformáció és -kommunikáció A szuperpozíció és az összefonódás jelenségét sokáig csupán lozo kus szemszögb®l vették gyelembe (tartották érdekesnek). Az utóbbi id®ben döbbentek rá a kutatók, hogy milyen értékes forrása a kvantumkommunikációnak és a kvantumszámításoknak. Ez abból adódik, hogy klasszikus módon nem lehet modellezni a kvantumfolyamatokat, így az drasztikus mérték¶ fejl®dést kínál a számítási teljesítményben. A következ®kben ismertetésre kerül a kvantumteleportáció, az összefonódottság csere és a szupers¶r¶ kódolás, illetve ezek alkalmazásai.
2.1. Kvantumteleportáció Kvantumteleportációnak nevezzük azt a folyamatot, amikor kvantuminformációt (például egy foton állapotát) továbbítunk klasszikus kommunikáció és kvantum összefonódás segítségével. A klasszikus kommunikáció alkalmazása miatt ez a folyamat nem használható klasszikus információ szuperluminális (fénynél gyorsabb) közvetítésére. 1993-ban Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crépeau, Richard Jozsa, Asher Peres, és William Wotters publikálták el®ször a folyamat ötletét, azóta különböz® zikai rendszereken valósították meg a teleportációt.
23
Az
eddig végzett kísérletek közül a legnagyobb távolság, amin sikeresen létrejött a folyamat, 143 km volt. [4] Tegyük fel, hogy Aliz szeretne elküldeni egy számára is ismeretlen
α |0i1 + β |1i1
2
qubit állapotot (|α|
|ψi1 =
2
+|β| = 1) Bobnak úgy, hogy csak klasszi-
kus csatornán keresztül kommunikálhatnak.
Aliz nem végezhet mérést a
részecskéjén, mert az tönkretenné azt anélkül, hogy elegend® információval szolgáltasson. A feladat megoldásához egy maximálisan összefonódott párra van szükség, melynek els® részecskéje Aliznál, második részecskéje pedig Bobnál van. Legyen ez a pár a
− ψ
23
=
√1 2
|0i2 |1i3 − |1i2 |0i3
állapotban.
Ekkor a
teljes rendszer állapota a következ®:
1 |ψi123 = |ψi1 ⊗ ψ − 23 = α |0i1 + β |1i1 ⊗ √ |0i2 |1i3 − |1i2 |0i3 . 2 Ebb®l egyel®re semmilyen méréssel nem tudunk meg információt
|ψi1
állapotról, de a Bell-állapotok segítségével átírva a következ® alakra hozható:
|ψi123 =
1 2
h
− ψ + 12 + ψ 12 + φ− 12 + φ+ 12
−α |0i3 − β |1i3 + −α |0i3 + β |1i3 + β |0i3 + α |1i3 +i −β |0i3 + α |1i3 .
Aliz Bell-bázisban Neumann-mérést hajt végre az 1-es és 2-es részecskén, így a saját részecskéit a Bell-állapotok egyikébe hozza, ezzel elérve azt, hogy Bob részecskéje az eredeti állapottal összefonódott állapotba kerüljön. Aliz átküldi a mérés eredményét Bobnak (klasszikus csatornán keresztül), és Bob a megfelel® unitér transzformációt alkalmazva megkapja a kiinduló állapotot: Bell-analízis eredménye
− ψ + 12 ψ − 12 φ + 12 φ 12
Megfelel® operátor
→ → → →
I Z X Y
24
Bob részecskéje
→ → → →
− |ψi3 − |ψi3 |ψi3 −i |ψi3
A teleportáció folyamata alatt
α
és
β
értékek ismeretlenek maradnak, a
küldött állapot Bobhoz kerül anélkül, hogy Aliz bármit is tudna róla. Megjegyezzük, hogy a klónozás lehetetlenségér®l szóló tételt sem sértjük meg, hiszen az Aliznál lév® bemeneti állapot megsz¶nik (a méréssel tönkre tesszük).
2.2. Összefonódottság csere (swapping) A következ®kben egy olyan jelenség kerül ismertetésre, amely során két kvantumrendszer között a kvantumteleportáció segítségével úgy jön létre az összefonódás, hogy a két rendszer nem lép kölcsönhatásba egymással. Tételezzük fel, hogy Aliz és Bob ismét megosztanak egy összefonódott állapotú kvantumpárt, illetve Bob Cecillel is megoszt egy ilyen párt.
Bob
(a fenti módszert alkalmazva) teleportálja Alizzal megosztott részecskéjét Cecilnek. Annak ellenére, hogy Aliz és Cecil részecskéje sosem találkoztak egymással, most összefonódottak lettek. A teljes rendszer állapota a következ®:
|ψi1234
= ψ − 14 ⊗ ψ − 23 = = √12 |0i1 |1i4 − |1i1 |0i4 ⊗ √12 |0i2 |1i3 − |1i2 |0i3 = h i = 21 ψ + 12 ψ + 34 − ψ − 12 ψ − 34 − φ+ 12 φ+ 34 + φ− 12 φ− 34 .
Bell-bázisban mérve az 1-es és 2-es részecskéket (Bobnál lév®kön), a 3-as és 4-es részecske a négy Bell-állapot egyikébe kerül.
2.3. Szupers¶r¶ kódolás A szupers¶r¶ kódolás egy egyszer¶, ám nagyszer¶ alkalmazása az elemi kvantummechanikának. Kézzelfogható, nem-triviális úton egyesíti az alapötleteket, éppen ezért ideális példa az olyan információfeldolgozási feladatokra, melyek tökéletesíthet®k a kvantummechanika alkalmazásával. Aliz és Bob szeretne klasszikus információt cserélni. a két szerepl®nk messze van egymástól.
Tegyük fel, hogy
Aliz feladata, hogy két klasszikus
bitnyi információt küldjön Bobnak, de csak egy qubiten keresztül.
25
A feladat a szupers¶r¶ kódolás segítségével valósítható meg. Méghozzá úgy, hogy Aliz és Bob egy összefonódott
|ψi
állapotú qubit párt oszt meg
egymás közt, ahol
+ + |11i φ = |ψi = |00i√ . 2 Aliznál az els®, míg Bobnál a második qubit van. (Egy harmadik személy el®re preparálja ezt a qubit párt, és szétosztja szerepl®ink között.) Aliz a következ® folyamat segítségével tud Bobnak kétbites információt
11. Ha 00-t szeretné küldeni, akkor nem tesz semmit a saját qubitjével. Ha 01-et, akkor Z -t, ha 10-et, akkor X -et, ha pedig 11-et, akkor iY -t alkalmazza. (X , Y és Z a korábban ismertetett Pauli-mátrixokkal jelölt operátorokat jelentik.)
küldeni.
A két bit négyféleképpen alakulhat:
00, 01, 10
vagy
Ekkor a qubitjének az állapota:
|00i + |11i √ ; 2 |00i − |11i √ 01 : Z |ψi ≡ ; 2 |01i + |10i √ ; 10 : X |ψi ≡ 2 |01i − |10i √ 11 : iY |ψi ≡ . 2 00 :
|ψi ≡
Mivel ezen állapotok ortonormált bázist alkotnak, így megfelel® méréssel megkülönböztethet®k.
Ha Aliz elküldi Bobnak a nála lév® qubitet, akkor
Bob (mivel már nála van a pár mindkét fele) a Bell-bázison mérést végrehajtva meghatározhatja Aliz által küldeni kívánt két bitnyi információt. Összefoglalva, Aliz képes két bit információ továbbítására egyetlen qubit segítségével. Klasszikus úton ez a feladat lehetetlen.
26
3. fejezet Kvantumkriptográ a A kriptográ a a biztonságos kommunikációval, rejtjelezéssel, kódolással foglalkozó tudomány. 1917-ben Gilbert Vernam kifejlesztette az úgynevezett egykulcsos módszert, az OTP-t (one-time-pad).
Ez egy egyszer¶nek t¶n®,
mégis feltörhetetlen klasszikus kódolás. A szabályai a következ®k: minden bet¶höz hozzárendelünk egy számot, például ha az angol ábécét vesszük alapul, akkor a következ®képpen: A
B
C
···
X
Y
Z
Szóköz
!
,
.
00
01
02
···
23
24
25
26
27
28
29
n hosszú. Véletlenszer¶en generálunk egy n hosszú {00, 01, · · · , 28} számokból; ez lesz a kulcs. Most minden
Legyen az üzenetünk számsorozatot a
karakterhez hozzáadjuk a megfelel® helyen lév® számot a kulcsból (modulo 30), és ezt a titkosított üzenetet küldjük el. Ha a címzett ismeri a kulcsot, akkor könnyen visszafejtheti az üzenetet. Egy példa: H
E
L
L
O
W
O
R
L
D
!
Üzenet
07
04
11
11
14
26
22
14
17
11
03
27
Kulcs
13
08
22
00
12
26
03
21
10
16
05
23
Kód
20
12
03
11
26
22
25
05
27
27
08
20
U
M
D
L
W
Z
F
!
!
I
U
Az algoritmus képlettel megadva a következ®:
Ek (M ) = M + k ≡ C 27
mod 30
Dk (C) = C − k ≡ M
mod 30
Vernam bebizonyította, hogy ha a kulcs valóban véletlenszer¶, ugyanolyan hosszú, mint az üzenet, és csak egyszer használjuk, akkor egyetlen kém sem képes a feltörésre még akkor sem, ha végtelen ideje és számítási forrása lenne. A módszer hibája az, hogy a kulcsot mindkét félnek ismernie kell, és ezt valamilyen biztonságos csatornán kell megbeszélniük. Erre a problémára keresnek (és adnak) megoldást a most ismertetésre kerül® kvantumkriptográ ai protokollok. A kvantumkriptográ át el®ször Stephen Wiesner javasolta az 1970-es évek elején a Columbia Egyetem hallgatójaként, viszont a munkáját csak 1983-ban publikálta a SIGACT News, melyben a konjugált kódolás fogalmát vezette be. Annak ellenére, hogy több mint egy évtizeden keresztül nem jelent meg az írása, elég széles körben mozgott a kézirata ahhoz, hogy ösztönözze a kvantuminformáció tudományának kialakulását a '80-'90-es években.
3.1. Kvantum-kulcselosztás (QKD) A kvantum kommunikáció az információ qubitekbe való kódolását foglalja magába. Általában ezen kvantumállapotok létrehozásához fotonokat használunk. A kvantumkulcs-elosztás (ezentúl: QKD) az ilyen állapotok tulajdonságait felhasználva garantál biztonságot. A QKD-nak többféle megközelítése is lehetséges, de szétválaszthatók aszerint, hogy a kvantumállapotok mely tulajdonságát használja ki: 1. Preparálásos és mérési protokollok A klasszikus zikával ellentétben, egy mérés hatása a kvantummechanika szerves része. Egy ismeretlen kvantumállapot mérése megváltoztatja az állapotot valamilyen módon. Ez kihasználható arra, hogy észrevegyük az esetleges kémeket, és hogy megbecsüljük a lehallgatott információ mennyiségét. 2. Összefonódáson alapuló protokollok
28
Mivel az összefonódott állapotú rendszerekben ha az egyik részecskén valamilyen mérést végzünk, az a másikra is hat, így egy kétszemélyes kommunikációban, ha egy harmadik személy bármit le akar hallgatni, az az egész rendszeren észlelhet® (s®t, az információ mennyisége is). A két megközelítés még tovább osztható a protokollok három családjába:
diszkrét változójú, folytonos változójú és megosztott fázisú referencia
kódolás. El®ször a diszkrét változós protokollokat találtál fel, és máig azok a legelterjedtebbek, mi is azokkal foglalkozunk.
3.1.1. BB84-protokoll A BB84 egy összefonódáson alapuló, diszkrét változójú titkosítás. Nevét Charles
Bennett és Gilles Brassard 1984-es publikációja után kapta.
Erede-
tileg fotonok polarizációs állapotát használva küldték az információt. [5] A küld® (Aliz) és a címzett (Bob) egy kvantum kommunikációs csatornán keresztül értekeznek, így lehet®ségük van kvantumállapotok továbbítására. Fotonok esetében ez a csatorna lehet optikai kábel vagy vákuum. Továbbá egy nyílt klasszikus csatornán keresztül is kommunikálnak egymással (rádió, internet stb.).
Egyik csatornának sem kell biztonságosnak lennie; a proto-
koll azzal a feltevéssel lett tervezve, hogy egy kém (Éva) bármilyen módon zavarhatja mindkett®t. A módszer biztonsága abból adódik, hogy az információt nem-ortogonális állapotokba kódoljuk. A határozatlanságból (és a nem-másolhatóság tételéb®l) adódóan ezek az állapotok általában nem mérhet®k az eredeti állapot megzavarása nélkül.
A BB84 két állapotpárt használ úgy, hogy a két pár
egymás konjugáltja, illetve mindegyik rendszerben a két állapot egymásra ortogonális. Ezt úgy célszer¶ elképzelni, hogy az egyik rendszerben a foton
◦ polarizációját a standard bázisban (0 és ◦ az Hadamard-bázisban (45 és
90◦ ) vizsgáljuk, a másik rendszerben
135◦ ): Bázis
0
1
+
→
↑
×
%
-
29
Aliz véletlenszer¶en választja ki a bázist és az állapotot is, majd ennek megfelel®en preparálja a fotonja polarizációját.
Ezután elküldi Bobnak a
fotont a kvantumcsatornán keresztül. Ezt körülbelül kétszer annyiszor ismétli meg, mint amilyen hosszú kulcsra van szükségük. A kvantummechanika törvényei miatt nem lehet olyan mérést végezni 4 páronként nem-ortogonális polarizációs állapoton, amellyel ezek bizonyosan elkülöníthet®ek lennének. Például, ha a foton a
0◦ -os
állapotban van, és a
+
× bázisban végezzük 45◦ vagy 135◦ eredmé-
bázisban mérünk, akkor jó eredményt kapunk, de ha a el a mérést, akkor nyeket.
1/2 - 1/2
valószín¶séggel kapjuk a
Ráadásul a mérés után a bázis valamely állapotába kerül a foton,
így el is veszhet a küldeni szánt információ. Mivel Bob sem tudja, hogy melyik bázisban kell mérnie, ezért a legjobb az, ha véletlenszer¶en választ egy bázist. Ezt minden kapott fotonnal megteszi, és feljegyzi a bázist is, és az eredményét is. Ezután Aliz és Bob egy klasszikus csatornán keresztül egyeztetik a bázisokat, de az eredményeket nem. Törlik azokat az eseményeket, amikor különböznek a bázisok, megtartják azokat, amikor megegyeznek. Mivel Bob várhatóan az estek felében rossz bázisban mért, így a megtartott állapotokból tudnak olyan hosszú
0 - 1 kulcsot alkotni,
amilyen hosszú kulcsra van szükségük. Például a következ®képpen alakulhat a folyamat: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Aliz véletlen bázisa:
+
+
×
+
×
×
×
+
Aliz véletlen állapota:
↑
→
-
→
%
-
-
↑
Bob véletlen bázisa:
×
+
×
×
+
×
+
+
Bob mérési eredményei:
%
→
-
%
→
-
↑
↑
1
0
Kulcs:
1
1
Ahhoz, hogy ellen®rizzék, jelen volt-e kém a folyamat alatt, kiválasztanak néhány bitet, és egyeztetik ®ket. Ha volt lehallgató, akkor az hibákat szül Bob eredményeiben. Ha
p-nél
több helyen különbözik a kulcs, akkor újrakezdik
az egészet, mivel a kulcs biztonságossága nem garantálható.
p-t
®k maguk
választják meg, tehát ha ennél kevesebb számú bitet ismer Éva, csökkentve a kulcs hosszát tetsz®legesen kicsire csökkenthetjük a kém ismereteit.
30
3.1.2. B92-protokoll 1992-ben Charles
Bennett publikálta ezt a protokollt. [6]
Aliz el®állít egy véletlenszer¶ klasszikus bitet (jelöljük
a-val),
és annak
fényében, hogy milyen eredményt kap, a következ® állapotot küldi el Bobnak:
|z i = |0i + |ψi = √ |x+ i = |0i+|1i 2 Ezen állapotok az
X
és a
Z
ha ha
Pauli-mátrix
a=0 a = 1.
+1
sajátértékéhez tartozó sa-
0 játállapotok. Bob is készít egy véletlenszer¶ klasszikus bitet (a ), és ennek
Z : |0i , |1i bázisban mér, ha a0 = 0, √ 0 és X : |±i = (|0i ± |1i)/ 2-ben, ha a = 1. A mérés eredményét jelölje b ∈ {−1, +1}, az X és Z −1 és +1 sajátértékeire utalva. Bob a b értékeit 0 nyilvánosan bejelenti, de a -t titokban tartja. Aliz és Bob megegyeznek, hogy 0 0 csak azokat az {a, a } párokat tartják meg, melyekre b = −1. (Ha a = a , akkor biztosan b = +1.) Ha Bob b = −1-et kap eredményül, akkor lesz a0 = 1 − a, és ez 1/2 valószín¶séggel következik be. A végleges kulcs Aliz 0 számára a, Bob számára pedig 1 − a .
megfelel®en választ mérési bázist:
a
1
0
1
1
0
0
1
0
|x+ i
|z+ i
|x+ i
|x+ i
|z+ i
|z+ i
|x+ i
|z+ i
1
1
0
0
0
1
0
1
Mérési bázis
X
X
Z
Z
Z
X
Z
X
b
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
0
1
0
1
Állapot
a
0
Kulcs
3.1.3. SARG04-protokoll Kutatók észrevették, hogy ha a BB84-es protokoll állapotait használva kicsit másképp kódoljuk az információt, akkor ez az új protokoll er®sebbnek bizonyul a legyengített lézerimpulzusokkal szemben, mint a korábbiak. SARG04 névadói Valerio
Gisin. [7]
A
Scarani, Antonio Acín, Grégoire Ribordy és Nicolas
Az eljárás hasonlóan indul, mint a BB84.
31
Aliz két véletlen
n
hosszú
klasszikus bitsorozat (a és
b)
szerint választja ki, hogy az
i-dik
qubit milyen
állapotban legyen. Azaz a rendszer állapota:
n O ψa b , |ψi = i i i=1 ahol és
ai
bi
értékek jelölik ki az
i-dik
qubit bázisát (számítási vagy Hadamard),
pedig az állapotát:
|ψ00 i = |0i; |ψ10 i = |1i; √ |ψ01 i = |0i+|1i ; 2 |ψ11 i = Aliz elküldi
|ψi-t
Bobnak.
|0i−|1i √ . 2
Bob véletlenszer¶en választja ki, hogy az
i-
0 dik qubitet melyik bázisban mér; jelölje a választását bi . Ekkor Aliz minden qubithez kiválaszt mindkét bázisból egy-egy elemet úgy, hogy az adott qubit állapota megegyezzék a választott bázisállapotok egyikével.
Mindkét álla-
potot nyilvánosan bejelenti. Ezután Bob végrehajtja a mérést a qubiteken: ha olyan eredményt kap, ami megegyezik valamely Aliz által bejelentett bázisállapottal, akkor nem tudhatja biztosan, hogy mi volt az eredeti állapot, viszont ha különböz® eredményt kap, akkor tudja.
a (állapot) b (bázis) ψa b i i
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
|0i+|1i √ 2
|0i
|0i−|1i √ 2
|1i
|0i−|1i √ 2
|0i+|1i √ 2
|1i
|ψ00 i |ψ01 i
|ψ00 i |ψ11 i
|ψ10 i |ψ11 i
|ψ10 i |ψ01 i
|ψ00 i |ψ11 i
|ψ00 i |ψ01 i
|ψ10 i |ψ11 i
0
1
0
0
0
0
1
Bob eredménye
|ψ10 i
|ψ11 i
|ψ00 i
|ψ10 i
|ψ00 i
|ψ10 i
|ψ11 i
Hol különbözik?
*
*
*
01
11
01
Bejelentett állapotok
b0
(Bob mérési bázisa)
Kulcs
32
Szimuláció a QKD-re (BB84) Aliz és Bob szeretnének kizárólag számukra ismert kulcsot generálni a kvantummechanika segítségével. Tekintsünk két egymásra nem ortogonális bázist: A és B. A folyamat a következő: - Aliz tudja, melyik bázisban és milyen irányú a foton polarizációja (A0, A1, B0 vagy B1) - Elküldi a fotont Bobnak, aki egy sugárelosztón átküldi, így 50-50% valószínűséggel küldi az A bázis illetve a B bázis mérőeszközébe - Ha Aliz és Bob bázisa egyezik, akkor ugyanannak az eredménynek kell kijönnie mérés után (ha különbözik, akkor csak 50-50% valószínűséggel egyeznek a mért adatok) - Klasszikus kommunikációs csatornán keresztül megbeszélik, hogy ki milyen bázisban mérte meg a foton állapotát, de az eredményeket nem! - A különböző bázisban mért eredményeket törlik, az azonosban mért eredményeket használják kulcsként. In[1]:=
CreateKey@n0_D := Module@ 8n = n0<, Key = 8<; ChoiceOfBasis = Table@RandomInteger@80, 1
In[2]:=
Key1 = CreateKey@1000D; Length@Key1D
Out[3]=
498
A fenti függvény (CreateKey[n]) egy körülbelül n/2 hosszú kulcsot ad nekünk. A következőkben illusztráljuk, hogy miként nézne ki egy konkrét szöveg titkosítása a BB84 és az OTP kombinálásával. In[4]:=
Out[6]=
abc = 8"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G", "H", "I", "J", "K", "L", "M", "N", "O", "P", "Q", "R", "S", "T", "U", "V", "W", "X", "Y", "Z", " ", "!", ",", ".", "?"< H∗azaz A=1, B=2, ... , Z=26,...∗L; MsgToSend = "HELLO WORLD!"; MsgInList = Characters@MsgToSendD 8H, E, L, L, O, , W, O, R, L, D, !<
2
BB84.nb
In[7]:=
Out[8]=
n = Length@MsgInListD; KeyLong = Table@CreateKey@10D, 8n
Azért generálunk körülbelül 6 hosszú kulcsot, mert az ábécénk 31 hosszú, ami kettes számrendszerben felírva: 111110, tehát 6 számjegyből áll. Ha valamelyik elem hosszabb, mint hat, akkor csak elhagyjuk a felesleges jegyeket. In[9]:=
Out[10]=
For@i = 1, i < n + 1, i ++, If@Length@KeyLong@@iDDD > 5, KeyLong@@iDD = Part@KeyLong@@iDD, 1 ;; 4D, 0 + 0DD; KeyNumbers = Table@FromDigits@KeyLong@@iDD, 2D, 8i, n
Most már “lefordíthatjuk” a szövegünket. In[11]:=
Out[11]=
In[12]:= Out[12]=
In[13]:= Out[13]=
MsgInNumber = Flatten@Table@Mod@Position@abc, MsgInList@@iDDD + KeyNumbers@@iDD, 30D , 8i, n
Most pedig dekódolás folyamata következik. In[14]:= Out[14]=
In[15]:=
Out[15]=
In[16]:= Out[16]=
In[17]:= Out[17]=
SecMsgInList = Characters@SecretMsgD 8L, K, U, Y, ,, I, B, O, V, T, H, !< SecMsgInNumbers = Flatten@ Table@Mod@Position@abc, SecMsgInList@@iDDD − KeyNumbers@@iDD, 30D, 8i, n
3.2. Konjugált kódolás A határozatlansági elv megszorításokat ró ki kommunikációs csatornák néhány típusának a kapacitására.
A következ®kben megmutatjuk, hogy a
kvantummechanika segítségével lehet®ségünk nyílik a kódolás egy újszer¶ formájára. El®ször ismertetünk egy eszközt két üzenet továbbítására, melyek közül nem mindkett® olvasható el. A két üzenetet tekintsük két bináris mondatként, melyeket polarizált fotonok formájában fogunk küldeni.
A közvetít®
készülék véletlenszer¶en választ az els® illetve a második üzenet közül (például egy érmedobással).
Ha az els®re esett a választás, akkor a küldend®
fotont függ®leges vagy vízszintes irányban polarizálja attól függ®en, hogy mi az els® üzenet els® számjegye. Ha a második üzenetet választjuk, akkor jobbvagy bal irányú cirkuláris polarizálást hajtunk végre:
1. ábra Az els® csomag polarizációja
[8]
A fogadónál van valamilyen eszköz, amivel külön tudja választani a fény ortogonálisan polarizált alkotóelemeit térbélileg szeparált sugarakká.
35
Ha a
foton lineáris polarizációját mérjük, akkor minden esély elveszik a cirkuláris polarizáció mérésére. Így, ha a fogadó arra készül, hogy az els® üzentet kapja, akkor semmit nem tud meg a második üzenetb®l. Fordítva, ha a másodikra készül, az els®ben lév® információk vesznek el. Ha a fogadó valamilyen elliptikus mérésre készül (a lineáris és a cirkuláris között félúton), mindkét üzenetb®l kevesebb információt tud kinyerni, mintha csak az egyikre készülne.
3.2.1. Kvantumpénz A következ® példában egy olyan pénzt készítünk, amit lehetetlen hamisítani. A kvantumpénz néhány izolált kétállapotú zikai rendszerb®l áll. Jelöl-
|ai és |bi a √ |αi = |ai+|bi 2 je
kétállapotú rendszerek egy ortonormált bázist, illetve legyenek
√ |βi = |ai−|bi . Tegyük fel, hogy a pénz húsz elkülönített 2 20 rendszerb®l áll: {Si }i=1 . A pénzkészít® forrás (bank) el®állít két 20 jegyb®l álló véletlenszer¶ bináris mondatot, jelölje ezeket Mi és Ni . Ekkor az i-dik és
rendszert a következ® ábrának megfelel®en preparáljuk.
2. ábra Az i-dik rendszer állapota 36
[8]
A pénznek adunk egy sorozatszámot is, amit a hagyományos módon rányomtatunk. Az állapotot leíró
M
és
N
mondatokat a forrásnál feljegyzik,
majd a kvantumpénzt forgalomba helyezik.
Amikor visszakerül a pénz a
bankhoz, ellen®rzik, hogy még mindig a kiinduló állapotban van-e. Most gondoljuk végig, mi történne, ha valaki megpróbálná hamisítani a kvantumpénzt. Nem képes megfejteni
Mi -t,
Ni
értékét, hiszen, mivel nem ismeri
Si rendszeren. Egy olyan |bi-t, elpusztít minden lehe-
nem tudja, milyen mérést hajtson végre az
mérés, ami megkülönbözteti egymástól t®séget
|αi
éa
|βi
|ai-t
és
megkülönböztetésére.
Tegyük fel, hogy egy pénzhamisító mégis megpróbálja, és valamilyen mérést végez az
Si
rendszeren. Ekkor
1/2
valószín¶séggel rossz mérést végez,
és ha ez történik, akkor a bank ellen®rzésekor hogy rossz az állapot. Tehát
1/4
1/2
valószín¶séggel derül ki,
annak a valószín¶sége, hogy egy jegyet a
bank rossznak érzékel, azaz a hamisító túlélési esélye a teljes vizsgálat során csupán
(3/4)20 < 0.00317.
3.2.2. Konjugált bázis Ha egy részecske momentuma ismert, akkor a pozíciójáról nem tudunk semmit sem mondani, ha pedig tudjuk a pozíciót, akkor a momentuma ismeretlen. Ugyanez a kapcsolat áll fenn minden konjugált változópár között, és innen adódik, hogy terjesszük ki a konjugáció fogalmát a bázisokra.
5. De níció. ziós
H
Legyenek
{a}N i=1
és
{b}N i=1
két ortonormált bázis az
Hilbert-térben. Pontosan akkor mondjuk, hogy
(másképp: párok 2 ai bj = N1 .
a
MUB, azaz mutually unbiased bases),
N
dimen-
b konjugált bázisha ∀i, j ∈ {1, ..., N } : és
Bázisok halmazára pontosan akkor mondjuk, hogy konjugált, ha a benne szerepl® összes bázispár konjugált.
6. De níció.
Konjugált kódolásnak nevezünk minden olyan kommunikációs
sémát, melyben a használt zikai rendszer állapotai megfeleltethet®k a rendszert leíró Hilbert-tér néhány konjugált bázisának elemeinek. 37
Például, a (i) (ii) (iii)
2 dimenziós Hilbert-térben a következ® bázishármas konjugált: ha | ai 2 = hb | bi 2 = 1 {|ai , |bi} √ √ { |ai+|bi , |ai−|bi } ha | bi = 0 2 2 √ √ , |ai−i|bi } { |ai+i|bi 2 2
Felmerülhet bennünk a kérdés, hogy legfeljebb milyen nagy bázishalma(N −1)!
2 2 dimenziós Hilberttéren létezik N darab páronként konjugált bázis (N ≥ 3). [8] nk n1 n2 Írjuk fel dim(H) = d prímtényez®s felbontását d = p1 p2 · · · pk , ahol pn1 1 < pn2 2 < · · · < pnk k . Ekkor, a Hilbert-téren megadott konjugált bázispárok számát M-mel jelölve, teljesül a következ® egyenl®tlenség: zok lehetnek konjugáltak.
Igazolható, hogy egy
pn1 1 + 1 ≤ M ≤ d + 1. Így ha száma
dim(H) = d d + 1.
prímhatvány, akkor a konjugált bázispárok maximális
Jelenleg tetsz®leges egészre
M
értéke nem ismert.
Például a legkisebb
nem prímhatványra, a 6-ra sem tudjuk, hogy mennyi ez a maximális szám. Eddig nem találtak 4 bázisból álló halmazt, így azt gondoljuk, hogy legfeljebb 3 elem¶ MUB adható meg. [9]
38
d = 6-ra
4. fejezet Fizikai megvalósítások A kvantumrendszerek zikai megvalósítása sokkal nehezebb, mint a különböz® protokollokat levezetni vagy megérteni. Az úgynevezett els® gene-
rációs megvalósítások (melyek 2000 el®tt készültek) csak rövid távolságon tudtak információt küldeni és meglehet®sen instabilnak bizonyultak. Az els® kvantumkriptográ ai eszközt 1989-ben a Montréali Egyetem és az IBM közösen építette meg. A rendszer körülbelül 30 cm távolságra tudott információt küldeni. A küld® zöld lézert, kvantumcsatornaként vákuumot használt.
3. ábra University of Montréal és az IBM készüléke, 1989.
39
A második generáció eszközei már sokkal stabilabbak voltak, s®t, nem csak laborban végezték a kísérleteket, hanem a szabadban is. Optikai kábel segítségével 67 km messzire sikerült információt küldeni (Gen Egyetem). Az egyik leghíresebb kísérletet a Bécsi Egyetem végezte 2007 márciusában Anton Zeilinger vezetésével.
A Kanári-szigetcsoport két szigete között, La
Palma és Tenerife, 144 km-es távolsággal a szabad ég alatt alakítottak ki BB84 protokollt használó kvantumkommunikációs csatornát.
4. ábra La Palma és Tenerife között végzett kísérlet
A Bécsi Egyetem kutatói 2008-ban építették ki az eddigi legnagyobb kvantumhálózatot.
A hálózat öt város között jött létre, összesen 204 km
hosszan. [10]
5. ábra Secure Communication based on Quantum Cryptography, 2008. 40
Az eddigi legnagyobb sikert a kvantumszámításban Haig Farris, Geordie Rose, Bob Wiens és Alexandre Zagoskin érték el, akik megalkották a világ els® kvantumszámítógépét, a D-Wave-et.
2011.
május 11-én mutatták be
az els® kereskedelemben kapható gépet, amelyben egy 128 qubites processzor fut. Diszkrét optimalizálásra lehet használni a hozzávet®legesen 10,000,000$os masinát. A második rendszert 2012-ben mutatták be.
A D-Wave Two már 512
qubitet használ. Ennek segítségével egy több mint 100 változós problémát fél másodperc alatt old meg, szemben a legjobb algoritmust használó hagyományos számítógéppel, aminek erre a folyamatra több, mint fél órára van szüksége.
6. ábra D-Wave kívülr®l és belülr®l
A D-Wave Three-t 2015-re ígérik a fejleszt®k, 1,152 qubittel. [11] A kvantumszámítógépek valószín¶leg sosem fogják teljesen leváltani a mostani logikára épül® számítógépeket, mert nem általánosan lesznek gyorsabbak, csak bizonyos típusú feladatok esetén, amelyek képesek kiaknázni a kvantummechanikai alapelveket és hasznosítani a kvantumszámítások lényegét adó párhuzamosságot.
A nagy áttörést nem az jelenti, hogy az egyes
m¶veletek gyorsabbak lesznek, hanem hogy exponenciálisan kevesebb m¶veletre lesz szükség a végeredmény eléréséhez.
41
5. fejezet Összefoglaló A kvantummechanika önmagában is érdekes és meglep® eredményeket szül, és a segítségével megalkotott kvantum-információelmélet sok új lehet®séget ad a kutatóknak. A kvantumszámítógépek segítségével sokkal gyorsabban tudunk megoldani bizonyos problémákat, lehetségesnek t¶nik a ma használt, prímfaktorizáláson alapuló titkosítás gyors feltörése is.
Az kvan-
tumkriptográ ai algoritmusok segítségével feltörhetetlen kulcsokat tudunk generálni, ami a jöv®ben alapjában módosíthatja az eddig használt titkosítási eljárásainkat. A szakdolgozatban el®ször áttekintettük a kvantummechanika axiómáit, majd bevezettünk mérési modelleket. Foglalkoztunk az állapot-összefonódás jelenségével, és annak tulajdonságaival. Ezeket felhasználva vázoltunk kvantumkommunikációs lehet®ségeket. Szót ejtettünk olyan titkosítási eljárásokról is, amelyek kihasználják a kvantumvilág el®nyeit. Végül megnéztük, hogy napjainkban hol tartanak a kutatók a kvantuminformáció adta lehet®ségek megvalósításában.
42
Irodalomjegyzék [1] Micheal A. Nielsen és Isaac Chuang (2003), Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 1 - 120. [2] Dr. Petz Dénes (2001), Lineáris analízis, M¶egyetemi Kiadó, 169 - 193. [3] Dr. Tasnádi Tamás (2004), Szimmetriaelvekre épül® kvantálás, 3 - 5. [4] Quantum
Telportation,
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum-
teleportation [5] Charles Bennett és Gilles Brassard (1984), Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing, Proceedings of IEEE International
Conference on Computers, Systems and Signal Processing, 175 - 179. [6] Charles Bennett (1992), Quantum Cryptography using any two Nonorthogonal States, Physical Review Letters. [7] Valerio Scarani, Antonio Acín, Grégoire Ribordy és Nicolas Gisin (2004), Quantum Cryptography Protocols against Photon Number Splitting Attacks for Weak Laser Pulse Implementations, Physical Review Letters. [8] Stephen J. Wiesner (1983), Conjugate Coding, SIGACT News, 78 - 88. [9] Ingemar Bengtsson (2006), Three Ways to look at Mutually Unbiased Bases. [10] Secure
Communication
based
on
Quantum
Cryptography,
http://www.secoqc.net/ [11] D-Wave Systems, http://en.wikipedia.org/wiki/D-Wave-Systems
43
