Sz´ ekelyhidi L´ aszl´ o
Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ´es matematikai statisztika
***************
Budapest, 1998
El˝osz´o Ez a jegyzet a val´osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´asnak ´es a matematikai statisztik´anak azokat a fejezeteit t´argyalja, amelyek a matematikatan´ar szakos hallgat´ok k´epz´es´eben szerepet j´atszanak, figyelembe v´eve a tan´ark´epz˝o int´ezm´enyek tanterveit ´es a felhaszn´alhat´o alapismereteket. Mivel a val´osz´ın˝ us´egelm´elet t´argyal´asa ezen a szinten nem lehets´eges a Lebesgue-f´ele m´ert´ekelm´elet alapj´an, ´ıgy a jegyzetben az u ´gynevezett naiv fel´ep´ıt´est k¨ovetj¨ uk. Mindazon´altal igyeksz¨ unk azokat a legfontosabb fogalmakat ´es t´eteleket bemutatni (ut´obbiakat esetenk´ent bizony´ıt´as n´elk¨ ul), amelyek kell˝o m´ert´ekben reprezent´alj´ak a modern val´osz´ın˝ us´egelm´elet ´es a matematikai statisztika gyakorlati alkalmazhat´os´ag´at, m´odszereit. A val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´assal kapcsolatos fejezetek meg´ır´asa sor´an els˝osorban az [5] ´es [10] munk´akra t´amaszkodtunk, azok terminol´ogi´aj´at, jel¨ol´esrendszer´et haszn´altuk. A statisztik´ar´ol sz´ol´o fejezetek forr´asmunk´aja f˝oleg [2] ´es [9] volt. A feladatok ¨ossze´all´ıt´ asa sor´an els˝osorban a [7], [9], [10] munk´ak feladatanyag´at haszn´altuk fel. Az egyes fejezetekhez feladatok csatlakoznak, melyek a gyakorl´as mellett az anyag m´elyebb elsaj´at´ıt´as´at hivatottak el˝oseg´ıteni. A jegyzet ´ır´ asakor er˝osen t´amaszkodtunk az irodalomjegyz´ekben felsorolt m˝ uvekre, ezekb˝ol sz´amos feladatot ´atvett¨ unk, esetenk´ent az adatok, illetve a fogalmaz´as kisebb m´odos´ıt´as´aval.
TARTALOM
1. Bevezet´es 1.1. V´eletlen t¨omegjelens´egek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. K´ıs´erletek, esem´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. A kombinatorika elemei 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Permut´aci´ok . Kombin´aci´ok Vari´aci´ok . . Feladatok . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 5 7 9
3. Esem´enyalgebra 3.1. Esem´enyt´er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. M˝ uveletek esem´enyekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 13 17
4. A val´osz´ın˝ us´eg matematikai fogalma 4.1. Gyakoris´ag, relat´ıv gyakoris´ag . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Val´osz´ın˝ us´egi mez˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 21 24
5. A klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
V´eletlen h´ uz´as . . . . . . . T¨obb kocka egyidej˝ u feldob´asa Egy mintav´eteli probl´ema . . Feladatok . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
26 26 27 29
Geometriai val´osz´ın˝ us´egek ´ertelmez´ese H´aromsz¨og szerkeszthet˝os´ege . . . . Tal´alkoz´asi probl´ema . . . . . . . . A Bertrand-f´ele paradoxon . . . . . A Buffon-f´ele t˝ uprobl´ema . . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
32 33 33 34 35 36
6. Geometriai val´osz´ın˝ us´egek 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.
7. A val´osz´ın˝ us´eg alapvet˝o ¨osszef¨ ugg´esei 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.
Elemi tulajdons´agok . . . . . . Az additivit´as ´es a szubadditivit´as A val´osz´ın˝ us´eg folytonoss´aga . . . Feladatok . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
37 38 40 42
8. Felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg ´es f¨ uggetlens´eg 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.
A felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg ´ertelmez´ese . A felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg tulajdons´agai A teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etele . . . . . A Bayes-t´etel . . . . . . . . . . . F¨ uggetlens´eg . . . . . . . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
43 44 46 47 48 51
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
54 55 57 61
Val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggv´enyeinek eloszl´asa Egy¨ uttes eloszl´as . . . . . . . . . . . . . Val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlens´ege . . . . . Eloszl´asok kompoz´ıci´oja . . . . . . . . . . Felt´eteles eloszl´as . . . . . . . . . . . . . V´eletlen bolyong´as . . . . . . . . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
65 66 68 69 70 72 74
A v´arhat´o ´ert´ek ´ertelmez´ese . . . . . . . . . . A v´arhat´o ´ert´ek tulajdons´agai . . . . . . . . . Val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggv´enyeinek v´arhat´ot´ert´eke A felt´eteles v´arhat´o ´ert´ek . . . . . . . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
76 78 82 83 85
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
87 89 90 92
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
9. Val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.
A val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´ertelmez´ese Eloszl´asf¨ uggv´eny . . . . . . . . Diszkr´et ´es folytonos eloszl´asok . Feladatok . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
10. Eloszl´asok 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7.
11. A v´arhat´o ´ert´ek 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5.
12. A sz´or´as ´es a korrel´aci´os egy¨ utthat´o 12.1. 12.2. 12.3. 12.4.
A sz´or´as ´ertelmez´ese . . . . A sz´or´as tulajdons´agai . . . A kovariancia ´es a korrel´aci´os Feladatok . . . . . . . .
. . . . . . . . . . egy¨ utthat´o . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
13. Nevezetes val´osz´ın˝ us´egeloszl´asok 13.1. A binomi´alis eloszl´as
13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9.
A hipergeometrikus eloszl´as A Poisson-eloszl´as . . . . . A negat´ıv binomi´alis eloszl´as A geometriai eloszl´as . . . Az egyenletes eloszl´as . . . Az exponenci´alis eloszl´as . . A norm´alis eloszl´as . . . . Feladatok . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
94 96 98 99 100 101 102 105
14. Gener´atorf¨ uggv´enyek 14.1. A gener´atorf¨ uggv´eny ´ertelmez´ese . . . . . . . . . . . . . . 109 14.2. A gener´atorf¨ uggv´eny alkalmaz´asai . . . . . . . . . . . . . . 110 14.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15. Nevezetes egyenl˝otlens´egek ´es alkalmaz´asaik 15.1. 15.2. 15.3. 15.4.
A Markov- ´es a Csebisev-egyenl˝otlens´eg A nagy sz´amok t¨orv´enye . . . . . . . A Moivre-Laplace-t´etel . . . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
114 116 117 119
16. A matematikai statisztika elemei 16.1. Statisztikai mez˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 16.2. Gyakran haszn´alt statisztik´ak . . . . . . . . . . . . . . . . 121 16.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
17. Statisztikai becsl´esek 17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5. 17.6. 17.7.
A statisztikai becsl´es fogalma Torz´ıtatlan becsl´esek . . . Hat´asos becsl´esek . . . . . Konzisztens becsl´esek . . . A maximumlikelihood-becsl´es Konfidenciaintervallumok . Feladatok . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
125 126 126 127 128 129 133
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
135 135 137 138 139 141
18. Hipot´ezisvizsg´alat, statisztikai pr´ ob´ak 18.1. 18.2. 18.3. 18.4. 18.5. 18.6.
Statisztikai hipot´ezisvizsg´alat Statisztikai pr´ob´ak . . . . Az u-pr´oba . . . . . . . . A t-pr´oba . . . . . . . . A χ2 -pr´oba . . . . . . . . Feladatok . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
19. Regresszi´ok 19.1. K´etv´altoz´os regresszi´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
19.2. 19.3. 19.4. 19.5.
Line´aris regresszi´o . . . . . . . . Regresszi´o norm´alis eloszl´as eset´en Lineariz´alhat´o regresszi´o . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . .
20. Irodalomjegyz´ek
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
143 144 145 146
