SYLABUS PŘEDNÁŠKY 8 Z GEODÉZIE 1 (Souřadnicové výpočty 2)
1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc.
listopad 2015
1
Geodézie 1 – přednáška č.8 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO BODU TRANSFORMACÍ Ve skriptech Geodézie 1, autora Ing. Jana Ratiborského, CSc., jsou úlohy pro výpočet rovinných pravoúhlých souřadnic jednoho bodu řešeny pomocí transformačních rovnic. Z měřených hodnot jsou nejprve vypočteny souřadnice v souřadnicové soustavě vložené do daných bodů (staničení s a kolmice k) a poté jsou transformačními rovnicemi počítány souřadnice určovaného bodu v souřadnicovém systému S-JTSK. Princip řešení je uveden v následujících obrázcích a odvozeních. VÝPOČET SOUŘADNIC BODU RAJÓNEM Z pravoúhlého trojúhelníka P1, 3´, P3 jsou pomocí měřených veličin (ω1 a d13) vypočteny pravoúhlé souřadnice s13 , k13 (staničení a kolmice na spojnici P1, P2): , . shodnostní transformace jsou vypočteny souřadnice určovaného bodu P3 : Rovnicemi
(přednáška č.7)
a
.
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM VPŘED Z ÚHLŮ Princip řešení spočívá v dvojím výpočtu kolmice k13 , s využitím měřených veličin (vodorovné úhly ω1 a ω2), a to jednak z pravoúhlého trojúhelníka P1, 3´, P3 a dále z pravoúhlého trojúhelníka P2, 3´, P3, kde jednou neznámou hodnotou je délka kolmice k13 a druhou neznámou délka staničení s13. V trojúhelníku P2, 3´, P3 se nahradí neznámá délka s23´ = s12 - s13. Obě neznámé veličiny se určí řešením dvou rovnic : , ( ) , √ kde . Dosazením první rovnice do druhé se získá: (
)
.
Odtud: a
.
Dále je výpočet prostřednictvím transformačních rovnic stejný jako v předchozím případě s tím, že je možno jej obdobně vztáhnout i k bodu P 2. 2
VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM Z DÉLEK Hodnota staničení s13, resp. délka kolmice k13 se vypočte z měřené délky d13 a vrcholového úhlu ω1, který lze vypočítat z kosinové věty nebo podobně jako v předchozím případě dvojím výpočtem kolmice k13 :
(
,
) .
Odtud: √
a
.
Dále je výpočet prostřednictvím transformačních rovnic stejný jako při výpočtu rajónu s tím, že je možno jej obdobně vztáhnout i k bodu P2. VÝPOČET SOUŘADNIC BODU PROTÍNÁNÍM ZPĚT Ve skriptech Geodézie 1 je podrobně popsáno určení souřadnic bodu P4 protínáním zpět, pomocí řešení Cassiniho. Jeho princip spočívá v převedení výpočtu na protínání vpřed z úhlů, které vychází z Thaletovy poučky o obvodových úhlech nad průměrem kružnice, které jsou pravé (obr.4). Kružnice jsou proloženy vždy 2 body danými (P1, P2, resp. P2, P3) a bodem určovaným (P4). Pomocné body T a U, které jsou průsečíkem přímky proložené bodem P2, a středem Si s odpovídající kružnicí pak musí ležet na přímce společně s určovaným bodem P4, který je zároveň patou kolmice spuštěné z bodu P2. Vodorovné úhly ω1, ω2, měřené na určovaném bodě P4, leží nad tětivou P1, P2, kružnice k1, resp. P2, P3 kružnice k2 a vyskytují se tedy nad stejnými tětivami u pomocných bodů T a U (obr.4). Souřadnice pomocných bodů se vypočtou protínáním vpřed z úhlů (100 gon, 100 - ω1, resp. 100 gon, 100 – ω2), a to z bodů P1, P2, resp. P2, P3 (viz odstavec „Výpočet souřadnic bodu protínáním vpřed“, str.2 a 3, této přednášky). Z jejich souřadnic se vypočítá směrník σT,U a dále směrník σ4,2 = σT,U – 100 gon. Dále se určí vzdálenost paty kolmice (bod P4) od jednoho z pomocných bodů, např. od bodu U. Vyjde se přitom z rovnic shodnostní transformace pro bod na kolmici (str.2, této přednášky) , analogicky upravených pro značení v obr.4:
, . Byly získány dvě rovnice o dvou neznámých, jejichž řešením se určí vzdálenost paty kolmice (bodu P4) od bodu U, tedy sU,4. Na levé straně rovnic se vytvoří souřadnicové rozdíly Δx2,U a Δy2,U a první rovnice se násobí cosσU,T, druhá rovnice sinσU,T: ,
3
a obě rovnice se sečtou: ( Odtud:
)
. .
Rajónem z bodu U (směrník σU,T a délka sU,4) se vypočtou souřadnice určovaného bodu P4 (str.2, této přednášky). Pro kontrolu se souřadnice bodu P4 vypočítají také z bodu T (směrník σT,U a délka sT,4).
POLYGONOVÉ POŘADY Jednou z metod umožňujících současné určení souřadnic více bodů podrobného bodového pole jsou polygonové pořady. Vycházejí a končí na bodech, jejichž souřadnice jsou známy a určují souřadnice mezibodů prostřednictvím měřených vodorovných úhlů a délek (obr.5). Vrcholové úhly na daných i určovaných bodech se měří levostranné (ve směru postupu měření) a s ohledem na požadovanou přesnost v určení souřadnic se často používá trojpodstavcové soupravy (trojice stativů s trojnožkami, dopředu zcentrovanými na polygonových bodech, do kterých se postupně vkládá přístroj a terče s hranoly) k eliminaci chyby z centrace přístroje i cílů (nucená centrace v trojnožce).
Rozdělení polygonových pořadů o Z hlediska délky stran se polygonové pořady dělí na pořady s dlouhými stranami (200 až 1500 m) a s krátkými stranami (50 až 200 m). o Z hlediska připojení na dané body se dělí polygonové pořady na oboustranně připojené a orientované (tedy na začátku i na konci – obr.5), neorientované (vetknuté mezi dva pevné body – obr.6), jednostranně připojené a orientované (volné pořady, připojené a orientované pouze na začátku pořadu (obr.7) a uzavřené pořady s orientací (obr.8) nebo bez orientace (pořady vycházející a končící na stejném bodě – obr.9). o Z hlediska účelu, kterému polygonové pořady slouží je možno je dělit na: polygonové pořady pro určení zhušťovacího bodu, které se připojují výhradně na body ZPBP, polygonové pořady pro určení ostatních bodů PPBP, které se mohou připojovat na body ZPBP, na zhušťovací body i na body PPBP.
4
Geometrické parametry a kritéria polygonových pořadů Podle „Návodu pro obnovu katastrálního operátu a převod, ve znění dodatku č.1 a 2“, vydaného ČÚZK v roce 2009 platí pro zaměřování bodů PPBP polygonovými pořady následující požadavky: o body PPBP se zaměřují polygonovými pořady oboustranně připojenými a oboustranně orientovanými, o polygonové pořady kratší než 1,5 km mohou být jednostranně orientované, popř. neorientované (vetknuté), o neorientované pořady mohou mít nejvýše 4 strany a je-li to možné, alespoň na jednom z jeho vrcholů se zaměří orientační úhel, vypočte se jeho hodnota ze souřadnic a rozdíl se porovná s mezní odchylkou v úhlu, která je dána hodnotou 0,0100 gon pro úhel mezi bodem ZPBP nebo ZhB a bodem PPBP, respektive 0,0300 gon pro úhel mezi body PPBP, o vodorovné úhly se měří ve skupinách (nejméně v jedné) teodolitem, zajišťujícím přesnost měřených směrů 0,0006 gon, při délkách do 500 m je možné použít teodolit s přesností 0,002 gon. Mezní odchylka v uzávěru skupiny (v opakovaném prvním směru osnovy) a mezní rozdíl mezi skupinami je 0,003 gon,
5
o délky se měří dvakrát, dálkoměrem s přesností na 0,01 m a obousměrně, není-li to vyloučeno, a vždy s využitím optických odrazných systémů na cílových bodech. Krátké délky lze měřit pásmem (zpravidla na jeden klad). Použijí se kalibrované dálkoměry a pásma. Naměřené délky se opravují o fyzikální redukce (z teploty a tlaku vzduchu), o matematické redukce (do vodorovné roviny, z nadmořské výšky) a o redukce do zobrazovací roviny SJTSK. Mezní rozdíl dvojice měřených délek je 0,02 m u délek kratších než 500 m, 0,04 m u délek od 500 m, o centrační prvky se nezavádějí při excentricitě e < 0,01 m. V polygonových pořadech a v plošných sítích se zásadně používá trojpodstavcová souprava, o geometrické parametry a kritéria přesnosti polygonových pořadů jsou uvedeny v následující tabulce č.1: Tab.1 Připojovací body ZPBP, ZhB ZPBP, ZhB PPBP,ZPBP, ZhB
kde
Mezní délka strany [m] 200 – 1500 50 – 400 50 - 400
Mezní délka Mezní odchylka v uzávěru pořadu pořadu d [m] úhlová [cc] polohová [m] 1/2 25.n 0,0025.(Σd)1/2 5000 1/2 50.n 0,004.(Σd)1/2 3000 1/2 100.n 0,006.(Σd)1/2 1500
n je počet bodů pořadu včetně bodů připojovacích, Σd je součet délek stran pořadu; pořad má nejvýše 15 nových bodů, mezní poměr délek sousedních stran v polygonovém pořadu je 1:3.
Poznámka: Ve výše uvedených skriptech Geodézie 1 a Geodézie 1,2 – Návody ke cvičení jsou citována kritéria z již neplatných předpisů, které byly nahrazeny „Návodem“ z roku 2007.
Jsou-li určovány polygonovými pořady souřadnice bodů vytyčovacích sítí (primárního systému pro vytyčování staveb v Inženýrské geodézii), musí jejich přesnost vyhovovat požadavkům kladeným na přesnost vytyčení hodnot geometrických veličin (tvary a rozměry objektů či liniových staveb – ČSN 73 0420-1 a 2 „Přesnost vytyčování staveb“). Pro tyto účely tedy platí zpravidla přísnější kritéria přesnosti polygonových pořadů a přísnější požadavky na přesnost měřených veličin, zvláště délek (měří se na 0,001 m).
Polygonový pořad oboustranně připojený a orientovaný Tento typ polygonového pořadu vychází z bodu P (yP, xP) s orientací na bod A (yA, xA) a končí na bodě K (yK, xK) s orientací na bod B (yB, xB). Rovinné souřadnice těchto bodů jsou známy. Měří se vrcholové levostranné vodorovné úhly ωi a vodorovné délky stran di,i+1 (obr.10), pomocí nichž se počítají souřadnice mezilehlých polygonových bodů (yi, xi). Vzhledem k tomu, že jsou v tomto případě měřeny tři nadbytečné veličiny (dva vrcholové úhly a jedna délka), musí dojít při výpočtu souřadnic k vyrovnání, aby souřadnice byly určeny jednoznačně. Nadbytečná měření slouží jednak ke kontrole měřených veličin a výpočtu a dále zpřesňují výsledné souřadnice. Vyrovnání lze provést některým z přibližných postupů nebo exaktně např. metodou nejmenších čtverců (ve vyšších ročnících po absolvování předmětu „Teorie chyb a vyrovnávací počet“) . Při použití přibližného postupu se vyrovnání rozdělí na dvě části, a to na vyrovnání úhlové a vyrovnání souřadnicové.
6
o Postup výpočtu Nejprve se vypočtou ze souřadnic směrníky (jižníky) orientačních stran σP,A a σK,B (obr.10). (Postup výpočtu viz přednáška č.7).
Dále se provede úhlové vyrovnání (viz skripta Geodézie1, str.205). Nejprve se vypočte úhlový uzávěr: ∑ ( ) [ ]. Ten se porovná s mezním uzávěrem ΔMω . Při splnění nerovnosti | | se úhlový uzávěr rozdělí rovnoměrně na počet vrcholů k (v obr.10 k = 5) a o tuto hodnotu se opraví jednotlivé vrcholové úhly. Znaménko oprav δω určuje znaménko úhlového uzávěru oω (správná – naměřená). Opravy se zaokrouhlují na 0,1 mgon a jejich součet musí souhlasit s úhlovým uzávěrem (mohou se tedy vzájemně lišit o 0,1 mgon). Bude-li úhlový uzávěr např. oω = 4,8 mgon a počet vrcholů 5, jednotlivé opravy budou mít hodnotu např. 1,0 mgon, 0,9 mgon, 1,0 mgon, 0,9 mgon a 1,0 mgon. Součet potom musí být 4,8 mgon. Z opravených úhlů se vypočtou směrníky jednotlivých polygonových stran: ( ) . Kontrolou správnosti výpočtu je souhlas směrníku σK,B, vypočteného ze souřadnic a směrníku αK,B vypočteného z opravených vrcholových úhlů a směrníku orientační strany na začátku pořadu: ∑ ( ) . Dalším krokem je výpočet přibližných souřadnicových rozdílů z vyrovnaných směrníků a délek stran (postupný výpočet rajónů – obr.11): ̅ , ̅ .
7
Po výpočtu přibližných souřadnicových rozdílů se vypočtou souřadnicové uzávěry ox, oy, a to odečtením souřadnicových rozdílů počátečního a koncového bodu pořadu, získaných z daných souřadnic a součtu přibližných souřadnicových rozdílů: ∑ , ∑ . Pro hodnocení dosažené přesnosti měření se vypočte polohový uzávěr op : √ a porovná s mezní hodnotou polohového uzávěru pro mezní délky stran, uvedenou v tabulce č.1 na str.6: .
Je-li splněna výše uvedená nerovnost, souřadnicové uzávěry ox, oy se rozdělí, nejčastěji úměrně absolutním hodnotám souřadnicových rozdílů: | ̅ | | ̅ |, ∑| ̅ | ∑| ̅
|
| ̅
|
| ̅
|.
O znaménku oprav δxi,i+1 resp. δyi,i+1 rozhoduje znaménko ox, resp. oy. Výpočet vyrovnaných souřadnic: ̅ , ̅ . Kontrola správnosti výpočtu souřadnicového vyrovnání (pro obr.11): ̅ , ̅ .
Polygonový pořad neorientovaný vetknutý Vetknutý polygonový pořad vychází a končí na připojovacích bodech P a K, jejichž souřadnice jsou dány. Na koncových bodech není možné zaměřit orientace na jiné dané body. Měří se vrcholové vodorovné úhly i a vodorovné délky di,i+1 a určují se souřadnice mezilehlých polygonových bodů (obr.13).
8
o Postup výpočtu Nejprve se vypočtou souřadnice polygonových bodů v pomocném souřadnicovém systému s osami 2y, 2x s počátkem vloženým do bodu P a kladnou poloosou +2x vloženou do polygonové strany P,1 (obr.13). Výpočet směrníků v pomocné soustavě Směrník strany P,1, ležící v kladné poloose 2x, tj. 2P,1 = 0. Další směrníky se počítají z měřených vrcholových úhlů ze vztahu: . Výpočet souřadnicových rozdílů v pomocné soustavě Pomocí směrníků a délek se vypočtou souřadnicové rozdíly Δ2yi,i+1, Δ2xi,i+1 v pomocné soustavě (obr.13, zeleně, resp. červeně): , . Součty souřadnicových rozdílů ΣΔ2yi,i+1, ΣΔ2xi,i+1 udávají souřadnicové rozdíly Δ2yP,K, Δ2xP,K, v pomocné soustavě (obr.13): ∑ , ∑ .
Výpočet úhlu stočení Z daných souřadnic bodů P a K (v S-JTSK) se vypočte směrník (jižník) jejich spojnice σP,K (v obr.13 oranžově). Obdobně se vypočte směrník 2 P,K spojnice P,K v pomocné souřadnicové soustavě (v obr.13 modře). Úhel stočení , který je dán jejich rozdílem (obr.13), je zároveň směrníkem (jižníkem) první polygonové strany P,1 v souřadnicovém systému S-JTSK: . Další směrníky i,i+1 se již vypočtou známým způsobem: , nebo se směrníky v pomocné soustavě 2i,i+1 opraví o úhel stočení .
Souřadnicové vyrovnání Ze směrníků (jižníků) i,i+1 a vodorovných délek polygonových stran di,i+1 se vypočtou přibližné souřadnicové rozdíly v S-JTSK: ̅ , ̅ a vypočtou jejich součty: ̅ ̅
∑ ∑
, .
Poté se vypočítají souřadnicové uzávěry oy, ox, z následujících vztahů: ( ) ∑ , ( ) ∑ . Vypočte se polohový uzávěr op ze vztahu: √ 9
,
který se hodnotí porovnáním s mezním polohovým uzávěrem ΔMp, získaným z tabulky č.1 (str.6). Splní-li polohový uzávěr op nerovnost op ≤ ΔMp, provede se souřadnicové vyrovnání (rozdělení souřadnicových uzávěrů na jednotlivé souřadnicové rozdíly) stejným postupem jako v polygonovém pořadu oboustranně připojeném a orientovaném (předchozí odst.,str.8, skripta Geodézie1, str.207).
Polygonový pořad jednostranně připojený a orientovaný (volný) Volný polygonový pořad vychází z bodu P s orientací na bod A, jejichž souřadnice jsou dány. Souřadnice dalších bodů, tvořících vrcholy polygonového pořadu (obr.14), jsou určeny pomocí měřených vrcholových úhlů i a vodorovných délek di,i+1, avšak bez možnosti vyrovnání (pouze nezbytný počet měřených veličin).
o Postup výpočtu Po výpočtu směrníku (jižníku) σP,A ze souřadnic, se vypočtou směrníky i,i+1 dalších polygonových stran pomocí vrcholových úhlů (obr.14): . Dále se vypočítají souřadnicové rozdíly Δyi,i+1, Δxi,i+1 : , a z nich souřadnice jednotlivých polygonových bodů: , . K úhlovému ani souřadnicovému vyrovnání nedochází.
Polygonový pořad uzavřený Uzavřené polygonové pořady vycházejí a končí na stejném bodě, který může mít známé souřadnice. V tom případě je obvykle z tohoto bodu měřena orientace na další bod s danými souřadnicemi. Potom se jedná o uzavřený polygonový pořad připojený a orientovaný (obr.15). Pokud onen výchozí bod nemá známé souřadnice v S-JTSK, jedná se o uzavřený polygonový pořad nepřipojený a neorientovaný, který je řešen ve vlastní souřadnicové soustavě (obr.16).
10
o Postup výpočtu u polygonového pořadu připojeného a orientovaného Jsou měřeny levostranné vrcholové úhly i a vodorovné délky di,i+1. Jsou-li očíslovány polygonové body proti směru otáčení hodinových ručiček, jedná se o úhly vnitřní. Výpočet úhlového uzávěru ( ) Součet vnitřních úhlů v n-úhelníku: ∑ , kde k je počet vrcholů n-úhelníka. Při číslování polygonových bodů v opačném směru by levostranné ( ) vrcholové úhly byly vnější a jejich součet by byl: ∑ . Úhlový uzávěr oω se vypočte ze vztahu: ( ) ∑ , ( ) ∑ . popř. Úhlové vyrovnání Vyhovuje-li úhlový uzávěr mezní hodnotě úhlového uzávěru, rozdělí se rovnoměrně na jednotlivé vrcholové úhly. Oprava vodorovného úhlu a o tuto hodnotu se opraví vrcholové úhly. Výpočet směrníků Nejprve se vypočte směrník σP,A ze souřadnic daných bodů. Dále se vypočtou směrníky i,i+1 polygonových stran pomocí opravených vrcholových úhlů (obr.15). Výpočet souřadnicových rozdílů Dále se počítají z vodorovných délek di,i+1 a směrníků i,i+1 přibližné ̅ souřadnicové rozdíly ̅ . Souřadnicové vyrovnání Protože u uzavřeného polygonového pořadu platí, že bod P = K, musí být součet souřadnicových rozdílů roven 0: ∑ . Vlivem náhodných odchylek měřených veličin (úhlů a délek) vzniknou odchylky v souřadnicových uzávěrech oy, ox,: ∑ , ∑ . Ze souřadnicových uzávěrů se vypočte Pythagorovou větou polohový uzávěr op a porovná s mezním uzávěrem ΔMp, získaným z tabulky č.1 (str.6). V případě splnění nerovnosti op ≤ ΔMp, se provede souřadnicové vyrovnání (rozdělení souřadnicových uzávěrů na jednotlivé souřadnicové rozdíly) stejným postupem jako v polygonovém pořadu oboustranně připojeném a orientovaném (str.8, skripta Geodézie1, str.207). Z opravených souřadnicových rozdílů se vypočtou souřadnice polygonových bodů. o Postup výpočtu u polygonového pořadu nepřipojeného a neorientovaného. Při výpočtu tohoto typu polygonového pořadu se nejprve zvolí souřadnicová soustava. V uvedeném příkladu (obr.16) je počátek vložen do polygonového bodu č.1 a kladná větev osy x do spojnice bodů 1,2. 11
Opět jsou měřeny levostranné (vnitřní) vrcholové úhly i a vodorovné délky di,i+1.
▪
Výpočet úhlového uzávěru Součet vnitřních úhlů v n-úhelníku: ∑
(
)
,
kde k je počet vrcholů n-úhelníka. Úhlový uzávěr oω se vypočte ze vztahu: ( ) ∑ . Úhlové vyrovnání Úhlový uzávěr se stejně jako v předchozím případě rozdělí rovnoměrně na jednotlivé vrcholové úhly. Oprava vodorovného úhlu . Výpočet směrníků ve vlastní souřadnicové soustavě Směrník α12 = 0 , neboť kladná poloosa +x byla vložena do polygonové strany 1,2 (obr.16). Dále se vypočtou směrníky i,i+1 polygonových stran pomocí vrcholových úhlů. Výpočet souřadnicových rozdílů Přibližné souřadnicové rozdíly ̅ délek di,i+1 a směrníků i,i+1 .
̅
se počítají z vodorovných
Souřadnicové vyrovnání Protože u uzavřeného polygonového pořadu platí, že výchozí a koncový bod pořadu jsou stejné, musí být součet souřadnicových rozdílů roven 0: ∑
,.
Vlivem náhodných odchylek měřených veličin (úhlů a délek) vzniknou odchylky v souřadnicových uzávěrech oy, ox,: ∑
,
∑
.
Ze souřadnicových uzávěrů se vypočte Pythagorovou větou polohový uzávěr op a porovná s mezním uzávěrem ΔMp, získaným z tabulky č.1 (str.6). V případě splnění nerovnosti op ≤ ΔMp, se provede souřadnicové vyrovnání (rozdělení souřadnicových uzávěrů na jednotlivé souřadnicové rozdíly) stejným postupem jako v polygonovém pořadu oboustranně připojeném a orientovaném (str.8, skripta Geodézie1, str.207). Z opravených souřadnicových rozdílů se vypočtou souřadnice polygonových bodů ve vlastní souřadnicové soustavě.
12
