SYARAT – SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION
Azki Nuril Ilmiyah
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424
[email protected]
ABSTRAK
Nama Program Studi Judul
: Azki Nuril Ilmiyah : Matematika : Syarat-syarat Fungsi di Ruang Metrik agar Ruang Metriknya Memiliki Atsuji Completion
Suatu ruang metrik disebut sebagai ruang Atsuji jika untuk setiap fungsi kontinu dan bernilai real di ruang metrik tersebut akan kontinu seragam. Ruang metrik dikatakan memiliki Atsuji completion jika completion dari ruang metrik tersebut adalah ruang Atsuji. Dalam makalah ini, dipelajari syarat-syarat fungsi di ruang metrik agar completion ruang metrik tersebut merupakan ruang Atsuji berdasarkan karakteristik fungsi di ruang metrik. Fungsi yang ditinjau merupakan fungsi Cauchysequentially regular. Kata Kunci
: ruang Atsuji, ruang metrik, completion, fungsi Cauchy-sequentially regular
ABSTRACT
Name Study Program Title
: Azki Nuril Ilmiyah : Mathematics : Some Conditions of Function in Metric Space so that The Metric Space Has an Atsuji Completion
A metric space is called an Atsuji space if every real-valued continuos function on it is uniformly continuous. Metric space is called to have an Atsuji completion if its completion is an Atsuji space. In this paper, the conditions of metric space which makes its completion is an Atsuji will be studied based on characteristic of function in metric space. The function that will be considered is Cauchy-sequentially regular function. Keywords
1.
: Atsuji space, metric space, completion, Cauchy-sequentially regular function.
PENDAHULUAN
hasil abstraksi adalah ruang metrik. Ruang ini merupakan himpunan yang memiliki konsep jarak
Beberapa konsep yang ada di matematika
yang diabstraksi dari konsep jarak di himpunan
didapatkan dari perumuman konsep yang lain,
bilangan
misalnya adalah abstraksi suatu ruang. Contoh ruang
menggunakan fungsi metrik.
real.
Konsep
Syarat-Syarat Fungsi... Azki Nuril Ilmiyah, FMIPA UI, 2012
jarak
di
ruang
metrik
2 Sifat lengkap di himpunan bilangan real, yaitu
diberikan
beberapa
landasan
teori
yang
perlu
bahwa setiap barisan Cauchy-nya pasti konvergen
digunakan. Berikut beberapa definisi dan teorema
tidak selalu berlaku di ruang metrik. Namun setiap
dasar yang digunakan.
ruang metrik pasti memiliki pelengkap yang disebut
Definisi 3.1 Misalkan
dengan completion.
adalah
diagonal
adalah suatu himpunan dan uniformity.
Ruang
didefinisikan sebagai pasangan ( Selanjutnya diperkenalkan ruang Atsuji. Secara
seragam. Nagata di tahun 1950 menjadi orang pertama
).
(Williard, 1970, hal. 238)
definisi, ruang metrik dikatakan ruang Atsuji jika setiap fungsi bernilai real yang kontinu juga kontinu
seragam
Ruang metrik adalah ruang seragam. Oleh karena itu teori dalam ruang seragam juga berlaku di ruang metrik
yang mempelajari ruang Atsuji. Di tahun 1951 A.A Monteiro dan M.M Peixoto mengembangkan empat
Definisi 3.2 Net ( ) dari directed set
karakteristik ekuivalensi dari ruang tersebut. Namun,
seragam (
Gerald Beer adalah orang pertama yang menyebut
di
ke ruang
) disebut Cauchy net jika untuk setiap ada
sedemikian sehingga untuk
ruang tersebut dengan ruang Atsuji dan pada
setiap
tulisannya yang lain disebut sebagai ruang UC
(Williard, 1970, hal. 260)
berlaku (
)
(Uniformly Continuous). (Jain & Kundu, 2005) Dengan menggunakan directed set Ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji kemudian disebut memiliki Atsuji completion.
arah
dan
, maka Cauchy net disebut sebagai barisan
Cauchy.
Dalam makalah ini dibahas mengenai syarat-syarat fungsi di ruang metrik yang memiliki
Atsuji
completion.
2.
)
(
) adalah
fungsi antara dua ruang seragam
dan . Jika untuk
setiap Cauchy net ( ) di (
), ( ( )) adalah
Cauchy net di (
METODE PENELITIAN
(
Definisi 3.3 Misalkan
) maka
disebut Cauchy
regular.
Metode penelitian yang digunakan adalah studi
(Jain & Kundu, 2005, hal. 30)
literatur mengenai Analisis Fungsional, khususnya (
)
(
) adalah
dan
. Jika untuk
fungsi di uang metrik, kemudian ruang Atsuji, dan
Definisi 3.4 Misalkan
ruang seragam. Selanjutnya, pengetahuan tersebut
fungsi dari dua ruang seragam
digunakan untuk membuktikan beberapa pernyataan
setiap barisan Cauchy (
mengenai fungsi di rung metrik yang menyebabkan
adalah barisan Cauchy
ruang metrik tersebut memiliki Atsuji completion.
Cauchy-sequentially regular (CS-regular).
) di (
di (
), ( (
) maka
))
disebut
(Jain & Kundu, 2005)
3.
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Dasar Teori Sebelum
membahas
Teorema 3.5
Misalkan
ruang metrik . Misalkan pula yang padat. Jika
pernyataan
(
utama
mengenai syarat-syarat fungsi di ruang metrik agar ruang metrik tersebut memiliki Atsuji completion,
.
(Engelking, 1989, hal. 70)
Syarat-Syarat Fungsi... Azki Nuril Ilmiyah, FMIPA UI, 2012
) adalah
adalah subhimpunan fungsi kontinu dan
kontinu dengan ( )
terdapat , maka
) dan (
( )
3 Bukti. Pembuktian dilakukan melalui kontradiksi. Andaikan
, yaitu terdapat
sedemikian
sehingga ( )
( ). Karena
kontinu maka untuk
sebarang nilai
terdapat
sehingga jika
(
)
untuk
(
Dengan kata lain, jika ( ( ) ). Karena yang
sama
pula,
( ( ) )
(
( ( ) ( ( )
bahwa
) dan
.
) lingkungan-
( ( )
(
. Di sisi lain
)). Karena
( ( ( )
))
lingkungan
( ( ( )
))
( ( ( )
lingkungan dari
dari
))
( ( ( )
)),
,
))
))
( ( ( )
( )
pernyataan
( ).
kontinu
))
Teorema 3.7 Misalkan ruang metrik ( lengkap.
.
Akibatnya
) dan (
Jika
) adalah ruang metrik adalah
fungsi kontinu ̅
kontinu seragam dan unik, yaitu
yang
.
(Aliprantis & Burkinshaw, 1998, hal. 45) ̅
Bukti. Konstruksi ( )
(
dengan pendefinisian
) dimana (
yang konvergen ke
) adalah barisan di
Kemudian dibuktikan bahwa
baik, kontinu seragam, dan unik.
dijamin eksistensinya, terdefinisi dengan
Pertama-tama dibuktikan bahwa ̅
eksistensinya. Misalkan
)).
)
adalah subhimpunan dari
seragam, maka terdapat perluasan fungsi
( ( )
) dan
( ( )
)
(
haruslah
) konvergen, maka (
maka terdapat (
)
) adalah barisan Cauchy.
) barisan Cauchy di
dan
kontinu
seragam, berdasarkan Lema 3.6 maka ( (
)) barisan
Cauchy di . Kemudian karena lengkap dan ( ( ( (
( )
dijamin
yang konvergen ke . Lebih lanjut karena
Karena (
Sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada ( )
) (
dan
dan
) Hal tersebut kontradiksi dengan ( ( )
)
.
lingkungan
( ) ( )
bahwa
(
seragam, maka ( (
) adalah
)
fungsi
sama untuk setiap nilai di himpunan
( ( )
(
dan
Lebih lanjut berdasarkan hipotesis bahwa padatnya maka ( )
maka
, terdapat bilangan asli
sehingga
Kemudian karena
barisan di
nilai fungsi
)
Selanjutnya, karena (
barisan Cauchy di
sedemikian sehingga
))
sedemikian
(
jika
( ( ) ( ))
juga
. Karena
( ( ( )
, terdapat
sehingga
maka
. Selanjutnya
))
( ( ( )
yang
( ( ( )
dari
̅ mengakibatkan ( ( ( )
( ). Jelas
dari
)
dari
) adalah lingkungan dari
( ( ( )
kontinu seragam artinya terdapat
sedemikian
)
. Karena fungsi
( ( ) ( ))
) lingkungan)
(
jika
masing-masing terkandung dalam dan
( )
) maka
Pilih
Kemudian bentuk ( ( ) ( ) dan
.
kontinu kemudian dengan cara
didapat
maka ( )
( ( ) ( ))
maka
. Diberikan
fungsi
adalah ruang metrik
) ) adalah barisan Cauchy, maka
) ) dijamin ada. Kesimpulannya, eksistensi terjamin.
( ) Kedua, Lema 3.6 Misalkan (
) dan (
metrik. Misalkan pula kontinu seragam. Jika ( , maka ( (
) adalah ruang
( )
sedemikian
sehingga
( (
) (
) ( ) di
. Karena (
terdapat bilangan asli ))
fungsi maka
̅, maka terdapat
( ). Misalkan
barisan (
)) adalah barisan Cauchy di Y.
Bukti. Akan dibuktikan
bahwa
terdefinisi dengan baik, yaitu jika
adalah fungsi yang ) adalah barisan Cauchy di
dibuktikan
dengan
) ( ) barisan yang konvergen, maka
(
)( )
(
) ( ) barisan Cauchy di
barisan
Cauchy.
Selanjutnya
karena
dan
kontinu
seragam, maka menurut Lema 3.6 ( (
Syarat-Syarat Fungsi... Azki Nuril Ilmiyah, FMIPA UI, 2012
)) ( ( ) )
4 barisan Cauchy. ( ( Cauchy ( (
di
)) ( ( ) ) adalah barisan
ruang
metrik
lengkap,
Kemudian
(
)
dan (
tunjukkan
dan
artinya,
bilangan asli
sehingga
(
Barisan
,
artinya
(
)
sehingga
)
)
+ didapat bahwa
,
, maka
( ) dijamin ada dan lebih
lanjut, sebarang subbarisan dari ( ( )) konvergen ke ( )
hal yang sama Secara khusus, (
)
(
kata lain, jika (
)
)
(
)
) adalah ruang metrik
)
(
hanya jika
) adalah Cauchy-regular jika dan
CS-regular.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 31) (
Bukti. Bukti satu arahnya, misalkan (
)
) adalah Cauchy-regular, maka untuk setiap ( )
Cauchy-net di (
). Secara khusus, untuk setiap net dengan
directed set (
) mengakibatkan ( ( )) Cauchy-
dan arah
, juga berlaku untuk setiap
) barisan Cauchy di (
( (
)) barisan Cauchy di (
) mengakibatkan ). Dengan kata lain
adalah fungsi CS-regular.
Dengan
( )
, maka
.
) adalah ruang seragam. Sebuah fungsi
net di (
terdapat
Karena
menurut Lema 3.6
(
( )
.
. Kemudian
, yaitu untuk setiap sehingga (
terdapat
terdapat bilangan
*
dengan memilih
( )
bahwa
konvergen ke . Barisan
asli
Teorema 3.8 Misalkan (
ditunjukkan
Untuk itu konstruksi ( ) dengan kemudian
, maka berdasarkan Teorema 3.5
akibatnya
)) ( ( ) ) konvergen. Misalkan ( )
subhimpunan yang padat di ̅, dan ( )
Bukti
( )
arah
sebaliknya
kontradiksi. Andaikan
( )
dilakukan
dengan
adalah CS-regular namun
bukan Cauchy-regular, yaitu terdapat Cauchy net Ketiga,
ditunjukkan
kontinu
. Karena ( )
seragam. Untuk dan
bahwa
( )
sedemikian sehingga jika ( ( ( )
maka
( ))
̅ dengan
(
)
dan ( ) di
dengan
Kemudian
(
dipilih
)
dan
.
(
seragam,
(
Karena maka
(
maka ( (
) dan
kontinu
( (
) ( ))
.
(
( ))
) ( ))
(
)
(
)
(
)
Selanjutnya karena ( ( )) bukan Cauchy net di artinya,
terdapat
namun ( (
) (
sebagai berikut, untuk setiap adalah
dan yang
, yaitu
,
dari
(
) dari dan
yang memenuhi (
diperoleh
)
) dengan
) untuk
setiap
. Kemudian konstruksi ( ) dengan
sebagai
yang kontinu seragam. Misalkan
(
))
Selanjutnya konstruksi barisan (
)
.
terdapat perluasan fungsi seragam. Karena
(
( ))
Akhirnya, ditunjukkan keunikan dari perluasan fungsi
sedemikian
sehingga
̅ akan
dan
sedemikian sehingga jika ( ( )
untuk
)
Kesimpulannya, untuk setiap terdapat
net:
) sehingga dapat
sedemikian sehingga .
Cauchy Untuk
. Terdapat barisan (
)
adalah
adalah Cauchy net dan
entourage di ruang metrik, maka berdasarkan definisi
)
( ( ) ( ))
namun ( ( )) bukan Cauchy net di .
di
Karena ( )
kontinu seragam, maka untuk setiap
terdapat
( )
.
yang kontinu
adalah fungsi yang kontinu,
Syarat-Syarat Fungsi... Azki Nuril Ilmiyah, FMIPA UI, 2012
5 Kemudian tunjukkan bahwa ( )
(
)
(a)
Cauchy
adalah barisan Cauchy. Dengan Archimedian property terdapat
sedemikian sehingga
Kemudian dengan memlih bilangan asli didapatkan, jika
(c)
dengan ( )
terdapat
) didapatkan bahwa
kontinu
(
)
(
), setiap fungsi ) adalah kontinu
)
(
)
berikutnya,
. Dengan
dibuktikan
bahwa
Misalkan (
) dan (
) adalah
ruang metrik. Jika untuk setiap ruang seragam setiap fungsi Cauchy regular
. Dengan
) yang demikian, maka
terdapat
terdapat
mengakibatkan
(b) dalam Teorema
3.9. Teorema 3.9
)) bukan barisan Cauchy di
sehingga
Pembuktian syarat-syarat tersebut dilakukan
(a) mengakibatkan pernyataan
) adalah barisan Cauchy.
Tahap
) adalah kontinu seragam.
dengan cara membuktikan terlebih dahulu pernyataan
sedemikian sehingga jika
maka (
yang
kontinu (
seragam, maka setiap fungsi CS-regular (
,
)
) kontinu seragam.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 33)
sedemikian ( ( ) ( ))
sehingga ( (
)
Untuk setiap fungsi CS-regular bernilai real di (
didapatkan
Akibatnya untuk
konstruksi (
(
seragam. dan
bahwa
( (
)
Untuk setiap ruang metrik ( CS-regular
⌈ ⌉. Secara khusus, untuk
kata lain, (
(b)
maka
⌈ ⌉
(
(
regular
), setiap fungsi
seragam.
. tersebut
Untuk setiap ruang seragam (
) (
))
( (
) (
))
. Hal ini ekuivalen dengan
mengatakan bahwa barisan ( (
)) bukan barisan
Bukti. Mengacu ke Teorema 3.8 maka
merupakan
fungsi
Selanjutnya
Cauchy-sequentially
ruang metrik merupakan ruang seragam. Akibatnya adalah fungsi CS-regular dari ruang metrik ( ruang seragam (
Cauchy.
regular.
) ke
). Kemudian menurut premis,
kontinu seragam. Karena dengan ( (
terdapat
barisan Cauchy (
)
)) bukan barisan Cauchy, maka terjadi
kontradiksi dengan
adalah fungsi CS-regular.
Kesimpulannya, haruslah
Selanjutnya
diberikan
menghubungkan
pernyataan
Lema
3.10
(b)
yang
mengakibatkan
pernyataan (c).
Cauchy-regular. Lema 3.10 Misalkan (
) dan (
Jika setiap fungsi CS-regular
) ruang metrik. (
)
(
)
kontinu seragam, maka setiap fungsi CS-regular
3.2
Pembahasan
Syarat-syarat fungsi di ruang metrik (
bernilai real di ( )agar
) kontinu seragam.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 33)
memiliki Atsuji completion ( ̂ ̂ )adalah sebagai
Bukti. Dengan memperhatikan bawa (
berikut:
merupakan suatu ruang metrik, maka kesimpulan dari Lema 3.10 terpenuhi.
Syarat-Syarat Fungsi... Azki Nuril Ilmiyah, FMIPA UI, 2012
) juga
6 Selanjutnya
diberikan
Teorema
3.11
(
mengakibatkan (
yang
) ) barisan Cauchy di
,
menghubungkan pernyataan (c) ke kesimpulan bahwa
maka menurut definisi fungsi CS-regular dapat
(̂
disimpulkan bahwa fungsi
) adalah ruang Atsuji.
Teorema 3.11 Misalkan (
) adalah ruang metrik
regular dari
dan ( ̂ ̂ ) adalah completion-nya. Jika setiap fungsi (
CS-regular bernilai real
)
(
) kontinu
ke
.
Selanjutnya, (
( ( )
|
Bukti. Untuk membuktikan bahwa ( ̂
,
̂
̂
. Pertama-
kontinu, yaitu untuk setiap (
terdapat
( )
( )
( )|
Tahap bahwa
kontinu maka
kontinu seragam. Misalkan diberikan
setiap (
)
(
ruang yang
fungsi
( )
.
karena untuk setiap
̂ . Dengan pemilihan |
konstruksi
( )
kontinu di
( ) ( ) (
) |
|
( ( ))
Terbukti bahwa
(
)
(
)
)
(
( )
( )|
adalah fungsi yang kontinu
seragam. Lebih lanjut menurut Teorema 3.8, subruang dari ( ̂ ̂ ) dan (
)| (
)
) lengkap.
perluasan yang tunggal untuk fungsi
regular. Misalkan ( Karena (
̅
) adalah barisan Cauchy di
di
fungsi
), akan terdapat bilangan natural
( )
(
memiliki
sifat
. Karena
2.19 ( )
)
Perhatikan pula karena
pada, maka untuk setiap
terdapat
. Karena
serta menggunakan pernyataan ( (
yang
dan
adalah dua buah ( )
kontinu dan
( ) adalah
subruang yang padat dari ̂ , maka menurut Teorema
)
didapatkan (
yang kontinu seragam.
Perhatikan bahwa
.
sedemikian sehingga (
̂
, yaitu fungsi
adalah fungsi CS-
) barisan Cauchy, maka untuk
pernyataan (
adalah
adalah fungsi yang kontinu seragam, maka terdapat
Kemudian konstruksi fungsi dan tunjukkan
)|
,
yang sama berlaku
( )
(
( ( ))| |
dengan Fungsi
di atas, diperoleh bahwa untuk berlaku
isometrik dengan . selanjutnya
menunjukkan
adalah fungsi yang kontinu seragam.
Dengan memilih
)
adalah
maka terdapat
subruang yang padat dari ̂ dan
Langkah
.
berikutnya
. Selanjutnya perhatikan bahwa,
karena ̂ adalah completion dari
)
) ruang
Atsuji, menurut definisi ruang Atsuji haruslah
tama misalkan
)
adalah fungsi yang kontinu seragam, yaitu
(Jain & Kundu, 2005, hal. 33)
̂
(
karena
) adalah CS-regular, maka menurut premis
seragam, maka ( ̂ ̂ ) ruang Atsuji.
ditunjukkan untuk setiap
adalah fungsi CS-
pada,
) dan (
),
) ) adalah barisan Cauchy di
. Karena untuk sebarang (
( )
̂ . Dengan kata lain
Karena untuk sebarang berlaku
̂
. kontinu
kontinu seragam, maka ̂ adalah ruang
Atsuji.
) barisan Cauchy di
Syarat-Syarat Fungsi... Azki Nuril Ilmiyah, FMIPA UI, 2012
7 Dari
pembahasan,
mengakibatkan
pernyataan
pernyataan (b),
(a)
pernyataan
(b)
mengakibatkan pernyataan (c). Setelah Teorema 3.11 dibuktikan dan dengan sifat transitif, jika pernyataan (a), (b), atau (c) dipenuhi, maka dapat disimpulkan
Daftar Acuan Aliprantis, C. D., & Burkinshaw, O. (1998). Principles of Real Analysis. California: Academic Press. Engelking, R. (1989). General Topology. Berlin: Heldermann.
bahwa ( ̂ ̂ ) adalah ruang Atsuji. Jain, T., & Kundu, S. (2005). Atsuji Completion: Equivalent characterisations. Topology and its Application , 29-38.
4.
KESIMPULAN Jika ruang metrik memiliki setidaknya salah
Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis with Application. New York: John Wiley & Sons. Munkres, J. R. (1975). Topology (2 ed.). USA: Prentice Hall.
satu dari syarat-syarat barisan dan fungsi berikut: 1. Setiap ruang seragam dan setiap fungsi Cauchyregular dari ruang metrik tersebut ke ruang seragam
Williard, S. (1970). General Topology. Canada: Addison-Wesley Publishing Company.
akan kontinu seragam. 2. Setiap fungsi Cauchy-sequentially regular dari ruang metrik tersebut ke ruang metrik lain selalu kontinu seragam. maka completion dari ruang metrik tersebut adalah ruang Atsuji.
Ucapan Terima Kasih Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat Nya sehingga makalah ini dapat terselesaikan dengan baik. Tidak lupa sholawat dan salam
penulis
Muhammad
panjatkan
SAW
atas
kepada
Nabi
tuntunannya.
besar Penulis
menyadari bahwa tentunya banyak pihak membantu penyelesaian makalah. Sehingga penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada: 1.
Ibu Nora Hariadi dan ibu Suarsih Utama, selaku dosen pembimbing penyusunan skripsi.
2.
Bapak Arie wibowo, Bapak Hengki Tasman , Kak Ajat Adriansyah, atas masukan dan sarannya terhadap penulisan dan isi makalah.
Serta kepada semua pihak yang membantu dalam penyelesaian makalah ini.
Syarat-Syarat Fungsi... Azki Nuril Ilmiyah, FMIPA UI, 2012
