Studentská tvůrčí činnost
O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek
Vedoucí práce : Prof. Ing. Pavel Šafařík, CSc
O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek Abstrakt Práce se zabývá pozorováním a popisem letu volejbalového míče při podání. Je zde použit jak rozboru letu z videozáznamu, tak numerický výpočet několika různých modelů (let bez odporu prostředí, konstantní odpor, proměnný odpor CD = f(Re), vliv rotace – vztlaku). Klíčová slova Aerodynamika míče Balistická křivka Mechanika tekutin Odpor prostředí Trajektorie volejbalového míče Reynoldsovo číslo Volejbalový míč
1 Úvod 1.1
Volejbal - charakteristika hry
Volejbal je sportovní hra. Je hrána dvěma družstvy o šesti hráčích na hřišti rozděleném sítí. Smyslem hry je dostat míč přes síť na zem do soupeřova pole, případně zabránit soupeři ve snaze o totéž. Každé družstvo má při jedné výměně právo na tři doteky míče (a to i po doteku bloku). Hra je vždy zahájena podáním, neboli úderem do míče z vymezené zóny přes síť do pole soupeře. Jedna rozehra pokračuje až do té doby, než se míč dotkne hrací plochy, nebo je „aut“, případně když jedno družstvo zahraje míč nedovoleným způsobem. Tým, který vyhraje rozehru získává bod a jeho hráči se pootočí o jedno postavení ve směru pohybu hodinových ručiček. Volejbalová utkání se hrají na 3 vítězné sety do 25 bodů.
1.2
Volejbalové hřiště
Dle pravidel volejbalu je hrací plocha složena z hřiště a z volné zóny. Důležitá data pro zmapování letu volejbalového míče při podání jsou především rozměry hřiště a výška sítě.
Hřiště je obdélník o rozměrech 18 x 9 m, síť rozděluje hřiště na dva čtverce 9 x 9 m Výška sítě pro muže je 2,43 m a výška sítě pro ženskou kategorii je 2,24 m. Zóna na podání je nyní po celé šíři zadní čáry, tedy 9 m.
1.3
Volejbalový míč
Práce se zabývá pouze oficiálními míči schválenými mezinárodní volejbalovou asociací FIVB. Konkrétně značkami GALA a MIKASA. Pravidla volejbalu určují pouze základní technické parametry volejbalového míče :
V první řadě míč musí být kulového tvaru. Obvod míče je 650 – 670 mm. Hmotnost míče je v rozmezí 260 – 280 g. Vnitřní tlak je 0,300 – 0,325 kg / cm2
Tyto hodnoty byly konzultovány i s výrobci míčů (GALA a.s.). Aerodynamické charakteristiky budou přiblíženy v dalším textu. 1.4
Varianty podání
Pro formulaci úlohy je důležité rozdělit a definovat základní varianty podání. Volejbalové podání se dá rozdělovat podle pozice podávajícího, samotného letu míče nebo také podle toho, zda je míč uveden do pohybu ve výskoku hráče nebo pozice bez výskoku, tedy stojícího hráče. V této práci je nejdůležitější právě let volejbalového míče. Z tohoto důvodu je zde rozděleno podání z hlediska letu míče na dva způsoby podání - na plachtící a na rotované. 1.4.1
Plachtící podání
Slovy volejbalisty: „Při plachtícím podání je míč uváděn do pohybu „tupým“, přímým úderem otevřené dlaně přesně na střed míče, kdy zápěstní kloub je zpevněný (nepohyblivý), aby míči nebyla udělena žádná vertikální ani horizontální rotace. Míč pak plachtí a pro příjmajícího je velice těžké odhadnout jeho dráhu. Dnes je tento servis používán hlavně v ženském volejbale případně na nižších úrovních volejbalu mužského.“ Dle [1] je let takového míče označován anglickým pojmem „knuckling effect“. Tento druh letu míče ještě nebyl vědecky popsán a ve zdrojích je uváděno, že let takového podání má nepředvídatelnou a nevypočitatelnou dráhu. Někteří vědci se domnívají, že míč zde letí na hranici kritického Reynoldsova čísla a proto, dochází k nerovnoměrnému odtrhávání mezní vrstvy vyvolávající různé silové účinky a následný neočekávaný let. 1.4.2
Rotované podání
Slovy volejbalisty : „Při rotovaném podání uvádíme míč do pohybu úderem se současným zrychleným pohybem zápěstí ze zadu do předu, tím je míči udělena rotace kolem horizontální osy. Míč tak můžeme uvést do hry větší silou, může tedy letět rychleji a stejně dopadne do hřiště. Dnes je tento typ servisu nejužívanější v kombinaci s výskokem a rovněž s rotovaným nadhozem do oblasti nad hrací plochou. Hráči světové špičky tak zasahují míč přibližně ve výšce asi 3,3m a ve vzdálenosti sedm a půl metru od sítě. Míč tak vůbec po úderu nemusí stoupat, ale rovnou klesá.“
Tento typ podání je pro vědu daleko menším oříškem k řešení. Jev, kdy se sčítá účinek rotace míče s pohybem dopředu, je znám jako Magnusův jev. Ten vytváří přídavnou sílu, která táhne míč směrem dolů. Tato síla je v balistických rovnicích řešena pomocí záporné hodnoty součinitele vztlaku CL. 1.5
Definice počátečních podmínek
Práce se zabývá letem volejbalového míče při podání. Z důvodů podrobného výpočtu a uvažování smysluplné teorie je třeba nadefinovat přesné počáteční podmínky. 1.5.1
Souřadný systém
Pro názornost si modelujeme let míče vždy v rovině, proto byl nadefinován souřadný systém podle Obr. 1.
y
SÍŤ
0 x
Obr. 1 – Souřadný systém 1.5.2
Počáteční podmínky v0
α0
Obr.2 – Schéma počátečních podmínek x0 – vzdálenost na ose x od počátku souřadného systému v čase t = 0 s
[m]
y0 – vzdálenost na ose y od počátku souřadného systému v čase t = 0 s v0 – rychlost udělená míči hráčem v čase t = 0 s α0 – úhel míče od osy x v čase t = 0 s
[m] [m/s] [°]
Počáteční podmínky jsou funkcí variant podání a v praxi nejsou z pochopitelných důvodů vždy stejné. Z těchto důvodů je nutné konkrétní definici počátečních podmínek rozdělit dle variant podáni. 1.5.3 Plachtící podání bez výskoku Nebude-li uvedeno jinak, pracujeme s těmito počátečními podmínkami: x0 = - 1 m y0 = 2,3 m v0 = 19 m/s α0 je vždy z definovaného intervalu, většinou 1°-10° 1.5.4 Smečované podání s výskokem Nebude-li uvedeno jinak, pracujeme s těmito počátečními podmínkami: x0 = 1,5 m y0 = 3,3 m v0 = 30 m/s α0 je vždy z definovaného intervalu, ze se však pohybuje v nižších hodnotách 0°- 5°
2
Výpočet
Během výpočtu byly sledovány zejména dvě podmínky: 1. míč musí přeletět síť Míč je zde sledován na souřadnici xs a sledována je souřadnice ys. xs = 9 m ys = 2,56 m 2. míč musí dopadnout do soupeřova pole Má-li být podání úspěšné, bezpodmínečně musí dopadnout do soupeřova pole. Na koncové čáře xk = 18 m musí mít souřadnici yk ≤ 0. 2.1
Šikmý vrh – bez odporu prostředí
Prvním výpočtovým krokem při popisu letu volejbalového míče při podání byl pokus modelování tohoto jevu dle teorie šikmého vrhu ve vakuu, jinými slovy: bez odporu okolního prostředí CD = 0. Trajektorie je při takovýchto podmínkách parabolou druhého stupně. Výpočet byl veden jednoduchou kvadratickou rovnicí v tomto tvaru :
y = ax 2 + bx + c
(1)
kde:
−g 8 ⋅ v ⋅ cos 2 (α ) 1 b= 2 ⋅ tan(α ) a=
(2)
2 0
(3)
c je počáteční výška y0 . Potom trajektorie při takovýchto počátečních podmínkách: α0 = 3° v0 = 30m/s vypadá dle Obr. 3. Trajektorie letu mice bez odporu 3 2,5 Y metry
2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0
10
20
30
40
50
60
70
-1 X metry
Obr. 3 – Trajektorie letu míče bez odporu Při počátečním úhlu α0 = 3° a v0 = 30 m/s je vidět, že míč nepřeletí síť ani nedopadne na zem v požadované vzdálenosti. Je tedy nutné prověřit výpočtem jiné varianty úhlů α0 a rychlostí v0 Výpočet byl proveden s následujícími počátečními podmínkami :
Počáteční rychlost v0 = 30 m/s, x0 = 0, y0 je z intervalu 1,9 m – 2,2 m v závislosti na počátečním úhlu α0, počáteční úhel α0 je proměnný (sledováno od 1° až do 10°). Různými variantami α0 byl sledován dopad a samotná trajektorie míče při podání, jak můžeme vidět na Obr. 4.
Trajektorie letu mice bez odporu 1
6
2
5
3
Y metry
4
4
3
5
2
5,5
1
6 6,5
0 -1 0
20
40
60
80
100
7
120
8
-2
9
X metry
10
Obr. 4 – Let míče bez odporu - varianty úhlů Pro rychlost v0 = 30 m/s není možné, aby míč přeletěl síť a zároveň dopadl do hřiště. Provedeme výpočet i pro nižší rychlosti a různé varianty úhlů. Trajektorie letu mice bez odporu pro V0 = 20 m/s
1 2
Y metry
3 4
4
3
5
2
5,5
1
6 6,5
0 -1 0
10
20
30
40
50
60
7 8
-2 X metry
9 10
Obr. 5 – Let míče bez odporu - v0 = 20 m/s Podobným způsobem bylo prověřeno pro různé rychlosti.
Závěr: Výpočet ukázal, že při rychlosti v0 = 20 - 30m/s není možné splnit zároveň obě nutné podmínky platného podání (přelet sítě a dopad do hřiště). Tento model je natolik velkým zjednodušením oproti realitě, že ho nemůžeme použít pro žádné reálné či něco řešící výpočty. Proto je nutné se zabývat složitějšími modely reality. Jako další krok byl zvolen výpočet balistické křivky pro model hladké koule s konstantním koeficientem odporu CD.
2.2
Balistika – koule s konstantním odporem
Tento výpočtový model je velice podobný realitě. Pracuje se v něm se soustavou dvou diferenciálních rovnic druhého řádu, dle [1] v tomto tvaru:
ρS
(
)
(4)
(
)
(5)
y& x&
(6)
x& 2 + y& 2 (C D cos α ) 2m ρS 2 ÿ=− x& + y& 2 (CD sin α ) − g 2m
&x& = −
a podmínkou :
α = tan −1 ( ) …argument vektoru rychlosti kde
x,y…vzdálenosti v horizontálním a vertikálním směru x&, y& …rychlosti v horizontálním a vertikálním směru m…hmotnost míče S…plocha míče kolmá na proudnice vzduchu, v tomto případě tedy kruh ρ…je hustota prostředí (vzduchu) Cd…je koeficient odporu prostředí
Zjednodušením je model hladké koule s konstantním odporem prostředí CD = 0,5 , které je volejbalový míč velice podobný. Další zdrojem chyby může být zvolení CL = 0, které tak popírá rotaci míče. Jelikož je v první části práce spíše kladen důraz na řešení podání tzv. plachtícího (tedy bez významnější rotace) není toto zanedbání zásadní. Počáteční podmínky jsou uvažované stejně jako v předchozím výpočtu. Výchozí poloha pro podání je dána x0 a y0. Je pozorována trajektorie v závislosti na úhlu α0 a na počáteční rychlosti v0. Dráha, kterou letí míč, je zobrazena na Obr. 9 a je nazývána balistickou křivkou. Vypočtená balistická křivka míče pro: v0 = 30 m/s α0 = 5° je znázorněna na Obr. 6. S odporem Cd=0,5
3
síť
2
vyska Y [m]
1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -2 -3 -4 poloha X [m]
Obr. 6 – Balistická křivka CD = 0,5 Z grafu je vidět, že i tvar této trajektorie připomíná parabolu, dokonce je některými autory i takto označována, viz.[2].
Tvar se však od paraboly, která byla popsána výše (let míče bez odporu prostředí), velice liší. To je způsobeno vlivem koeficientu odporu, který je zde poměrně významný, jak ukazuje Obr. 7. Porovnáni trajektorie s odporem (CD = 0,5) a bez odporu (CD = 0) pro stejné počáteční podmínky v0 = 30 m/s a α = 5° ukazuje Obr. 7. Porovnani trajektorie s odporem a bez odporu S odporem Cd=0,5
Bez odporu
síť
4
vyska Y [m]
3 2 1 0 -1 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -3 -4 poloha X [m]
Obr. 7 – Porovnání trajektorie letu míče bez odporu a s konstantním odporem Z Obr. 7 je vidět, že při rychlosti v0 = 30 m/s není možné se s podáním dostat do hřiště a zároveň přeletět uvažovanou síť, a to pro jakékoli α0. Postupnou iterací bylo vypočteno, že reálně je možné dostat se do hřiště při kombinaci takovýchto počátečních podmínek: v0 = 19 m/s α0 = 12° Potom má balistická křivka tvar dle Obr.8.
3,5 S odporem Cd=0,5
3 2,5
síť
vyska Y [m]
2 1,5 1 0,5 0 -0,5
0
5
10
15
20
-1 -1,5 -2 poloha X [m]
Obr. 8 – Balistická křivka s konstantním odporem
25
Závěr: V tomto výpočtovém modelu bylo dosaženo kladného výsledku – míč padá do pole soupeře, když předtím úspěšně přeletěl síť. Bylo však nutné opustit předpoklad dle [4] o počáteční rychlosti v0 = 30 m/s. Veškeré výpočty byly provedeny metodou Rungeovou – Kuttaovou, což je metoda čtvrtého řádu vhodná pro řešení soustav diferenciálních rovnic druhého řádu. Tato metoda je velmi dobře popsána v [3], proto zde nebude dále přiblížena. Přestože byl v tomto modelu výpočet úspěšný, je třeba dále postoupit v přibližování modelu realitě. V následném kroku je vhodné aplikovat výsledky výzkumu autora [1] a [2] o závislosti odporu volejbalového míče v reálném prostředí na rychlosti, přesněji řečeno na Reynoldsově čísle Re.
2.3
Balistika – proměnný odpor CD = f(Re)
Výpočtový model s proměnným odporem prostředí pracuje se stejnou soustavou dvou diferenciálních rovnic jako balistický model s konstantním odporem (viz rovnice (4) (5)). Funkce, která řídí hodnotu CD a která je ukázána na Obr. 9 byla získána ze studie [2].
0,5 Numerická aproximace
0,45 0,4
Experimentální výsledky
0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 Cd 0,05 0 0 Re
100000
200000
300000
400000
500000
600000
Obr. 9 – Závislost CD na Re Závislost CD = f(Re) byla zakomponována do numerického výpočtu. Výpočet byl proveden metodou Rungeovou – Kuttaovou při stejných počátečních podmínkách jako v předchozích případech, tedy : x0 = - 1 m y0 = 2,3 m v0 a α0 je dosazováno podle potřeb výpočtu, dle zvolené optimalizační metody Trajektorie míče při podání s proměnným odporem se velice podobná trajektorii s konstantním odporem, jde tedy shodně o balistickou křivku, její tvar pro tyto počáteční podmínky: v0 = 18 m/s α0 = 13° je vidět na Obr. 10.
3,5 3 2,5 2 y[m] 1,5 1 0,5 0 -0,5 0
5
10
15
20
25
-1 -1,5 x[m]
Obr. 10 – Balistická křivka s proměnným odporem Závěr : Ve výpočtu s proměnným odporem CD = f(Re) bylo dosaženo zatím nejreálnějších výsledků. Tento model ukázal, že je nutné zabývat se skokovou změnou CD, která přichází přibližně při v = 17 m/s, což je z hlediska praxe reálně dosahovaná rychlost. Tento model je nejdokonalejší možný pro tzv. plachtící podání.
2.4
Balistika s rotací – proměnný odpor CD = f(Re), CL = konst.
Model je téměř totožný s tím předešlým, pouze byl do rovnic přidán koeficient vztlaku CL. Rovnice mají takovýto tvar :
&x& = − ÿ=
ρS 2m
ρS
(x&
(x& 2m
2
2
)
+ y& 2 (CD cos α + CL sin α )
(7)
)
+ y& 2 (CL cos α − CD sin α ) − g
(8)
Prozatím je zde tento koeficient modelován jako konstanta. Zdrojem chyby v této teorii je tedy právě toto zjednodušení. Důvodem zavedení koeficientu CL byla potřeba řešit druhou variantu podání a sice podání rotované (blíže bylo přiblíženo v úvodu). Vliv rotace je vidět na Obr. 11. Vliv rotace 3,0000 2,5000
y[m]
2,0000 1,5000
bez rotace 1,0000
s rotaci
0,5000 0,0000 -0,5000 -1,0000 0,0000
2,0000
4,0000
6,0000
8,0000
10,0000
12,0000
14,0000
16,0000
18,0000
20,0000
x[m]
Obr. 11 – Balistická křivka - vliv rotace
Závěr : Vliv rotace promítnutý do záporné hodnoty součinitele vztlaku CL je vyobrazený na Obr. 11. Podrobněji s tímto modelem bude pracováno v navazující bakalářské práci.
3
Trajektorie z videa Předlohou pro zpracování trajektorie letu volejbalového míče bez rotace se stalo podání z finále mistrovství světa žen 2006 konaném v Japonsku, kde proti sobě nastoupila družstva Ruska a Brazílie. Filmový záznam byl nejprve sestříhán pomocí počítačového softwaru TopazMoment. Touto metodou byla získána série fotografických snímků, které jsou na Obr. 12.
Obr. 12 – Série snímků z videozáznamu Následně byly tyto snímky díky lineární perspektivě dány do jednoho „snímku“, na kterém je přesně vidět dráha letícího míče, viz Obr. 13.
Obr. 13 – Snímek kompletní trajektorie Závěr: Podařilo se zobrazit let volejbalového míče při podání v jednom snímku (viz Obr. 13). Dalším krokem bude výpočet konkrétních hodnot rychlosti míče v průběhu letu. V konečné fázi budou data získaná ze záznamu porovnána s modelovým výpočtem.
4 Závěr V úvodu zprávy jsou shrnuty důležité údaje o volejbalovém hřišti a volejbalovém míči, které vycházejí buď z pravidel volejbalu [5], nebo z údajů výrobců volejbalových míčů (v průběhu práce bylo komunikováno s firmou GALA). Ve výpočtu bylo nejprve pracováno s teorií vrhu ve vakuu. Tento model se ukázal jako značně nedostatečný. Nebyly nalezeny žádné reálně možné počáteční podmínky pro které by bylo pravdivé tvrzení : „Podání přeletělo přes síť a zároveň dopadlo do soupeřova pole.“. Bylo tedy nutné do výpočtu zařadit odpor prostředí. Výpočet balistických křivek zde vedl na soustavu dvou diferenciálních rovnic druhého řádu, které byly numericky řešeny metodou Rungeovou-Kuttaovou. Při tomto výpočtu byl zahrnut odpor prostředí do jediného koeficientu, který vystupuje v rovnicích balistiky (4) a (5) jako CD. Pro jednoduchost byl tento koeficient zvolen CD = 0,5, na základě podobnosti s hladkou koulí. Ukázalo se, že s takovýmto odporem je možné provést podání tak, aby míč přeletěl přes síť a dopadl do hřiště. Bylo však nutné změnit počáteční rychlost z původních v0 = 30 m/s na v0 = 19 m/s. V kombinaci s touto rychlostí byl nalezen jako ideální argument vektoru rychlosti α0 = 12°. Posledním teoretickým modelem plachtícího podání byl výpočet zabývající se proměnným CD. Zde odkryl problém s téměř skokovou změnou CD s měnícím se Re. Tento fakt se zdá být velice důležitý do navazující práce, mohl by totiž vysvětlit knuckling effect. Tím je také určeno další směřování této práce. V poslední fázi výpočtu byl řešen vliv rotace, který je modelován jako záporný vztlakový koeficient. Vliv rotace je nutno uvažovat při řešení druhého typu podání – rotovaného z výskoku, ve kterém je dosahováno až v0 = 35 m/s (jak ukazuje praxe). Díky vlivu rotace je možné provést podání i s takovouto vysokou rychlostí. Práce se také zabývala rozborem posloupnosti snímků z videa, respektive zmapováním reálné trajektorie míče zachycené na videozáznamu, jedná se o podání plachtící. Z následného výpočtu, bylo zjištěno, že míč letí průměrnou rychlostí kolem v = 16 m/s a že jeho rychlost je
po délce letu nerovnoměrná (na míč působí odporové a vztlakové síly). To však bude detailně prozkoumáno v následné bakalářské práci. Video záznam odhalil mimo jiné ten fakt, že hráčka příjmající míč je v pozoruhodné pozici. Tato pozice je natolik nepřirozená, že nás vede na úvahu nečekané změny letu míče. Je zde jisté podezření, které poukazuje na možnost náhlého vybočení míče z letové dráhy v důsledku veliké, až skokové změny Re. Toto podezření by bylo vhodné prozkoumat v navazující bakalářské práci.
Seznam označení Veličina x y xs ys D CD CL α v S ρ m g
Popis vzdálenost k ose y vzdálenost k ose x souřadnice středu míče k ose y souřadnice středu míče k ose x průměr míče koeficient odporu prostředí koeficient vztlakových sil argument vektoru rychlosti rychlost míče plocha průmětu míče do roviny svislé hustota hmotnost míče gravitační zrychlení
Jednotka m m m m m ° m/s m2 kg/m3 kg m/s2
Použitá literatura [1] Mehta, R.D.: Aerodynamics of sport balls, Annual Rewiew of Fluid Mechanics, str. 151-189 In: M. van Dyke, aj.: Annual Rewiews, Palo Alto, Vol. 17, 1985 [2] Mehta, R.D.: Sports balls aerodynamics: Effects. of Velocity, Spin and surface roughness, str.1 – 13 In : Materials and Science in Sports, Konference, Coronado, 2001 [3] Miczán, M.: Bakalářská práce ČVUT FS: Aerodynamický odpor při obtékání golfového míčku, Praha, červen 2007 [4] http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S010247442004000400003&scirpt=arttext&tlng=en [5] http://www.cvf.cz/soubory/418/pravidla_2005_CZ.pdf [6] Dumek, J.: Příprava podkladů pro řešení údajů o letu volejbalového míče při podání, Bakalářský projekt, interní zpráva, Fakulta strojní ČVUT, Praha 2009
