Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2013

Studentská tvůrčí a odborná činnost

STOČ 2013

METODY KOMPENZACE PORUCHY V PREDIKTIVNÍM ŘÍZENÍ S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM

Stanislav TALAŠ

UTB ve Zlíně, FAI Nad Stráněmi 4511

25. dubna 2013 FAI UTB ve Zlíně

STOČ 2013 - Studentská tvůrčí a odborná činnost 25. dubna 2013, FAI UTB ve Zlíně

Klíčová slova: Prediktivní řízení, dopravní zpoždění, kompenzace poruchy, kvadratické kritérium, Matlab. Anotace: Cílem této práce bylo porovnat vlastnosti dvou z nejpoužívanějších prediktivních řídicích algoritmů GPC (Generalized Predictive Control) a DMC (Dynamic Matrix Control) pro řízení procesů s dopravním zpožděním a eliminovat vliv měřitelné poruchové veličiny. Jednotlivé řídicí algoritmy byly naprogramovány v prostředí MATLAB/SIMULINK a simulačně ověřeny. Řídicí algoritmy byly porovnány na několika systémech s různou dynamikou a s dopravním zpožděním. Kvalita regulace jednotlivých regulačních obvodů byla posouzena kvadratickým kritériem odchylek regulované veličiny a její žádané hodnoty.

2


Obsah 1. Prediktivní řízení .................................................................................................... 4 2. Řízení dynamickou maticí ..................................................................................... 4 2.1 Kompenzace poruchy metodou DMC ................................................................... 5 3. Obecné prediktivní řízení ....................................................................................... 6 3.1 Kompenzace poruchy metodou GPC ..................................................................... 7 4. Simulační porovnání metod ................................................................................... 7 4.1 Stabilní systém ....................................................................................................... 8 4.2 Kmitavý systém ..................................................................................................... 8 4.3 Neminimálně fázový systém .................................................................................. 9 4.4 Vyhodnocení kvality ............................................................................................ 10 5. Závěr .................................................................................................................... 10 Literatura ......................................................................................................................... 10

3


1.

Prediktivní řízení

Termín prediktivní řízení neurčuje konkrétní strategii řízení ale širokou škálu řídicích metod, které využívají model procesu pro minimalizaci účelové funkce a následné určení akčního zásahu. Hlavními myšlenkami prediktivního řízení jsou predikce budoucích výstupů procesu, řízení prostřednictvím minimalizace účelové funkce a pohyblivý horizont posouvaný každý krok po aplikaci prvního akčního zásahu z posloupnosti. Rozdíly mezi různými metodami jsou především v modelu použitém pro popis řízeného procesu, případném modelu měřitelných poruchových veličin a váhové funkci při minimalizaci kritéria. V algoritmu prediktivního řízení se používají tři časové intervaly (horizonty). N1 je minimální, N2 maximální a Nu řídící horizont. V každém kroku predikce jsou s využitím modelu procesu vypočítány budoucí výstupy systému až do určeného maximálního horizontu N2. Tyto predikce výstupů yˆ (k  i) pro i  1, ... N 2 závisí na známých hodnotách vstupů a výstupů až do kroku k a na budoucích hodnotách akčních zásahů u (k  i) pro i  0, ... N u  1 . Budoucí řídicí zásahy jsou vypočítány optimalizací kritéria daného tak, aby výstupní hodnota procesu byla co nejblíže žádané trajektorii w(k  i) . Akční zásah v aktuálním kroku je použit pro ovlivnění chování systému a další hodnoty budoucích akčních zásahů jsou zanedbány, protože v dalším kroku bude známá hodnota y(k  1) , ze které se opět určí budoucí výstupy systému. Na základě nových informací se vypočítají nové predikce a aplikuje akční zásah u (k  1) . Tento postup je známý jako strategie pohyblivého horizontu. Charakteristickým prvkem většiny metod prediktivního řízení je rozdělení řady predikovaných výstupních hodnot na dvě části. Jednou z nich je volná odezva, která reprezentuje predikce výstupu v případě, že akční zásah se nezmění a jeho hodnota zůstane stejná jako předchozí krok. Druhou je nucená odezva odpovídající budoucím výstupům systému po aplikaci predikované posloupnosti akčních zásahů. Součtem volné a nucené odezvy systému získáme predikci budoucího výstupu. Hodnoty horizontů N1 a N2 ohraničují oblast, ve které má výstupní hodnota sledovat žádanou. Použití vyšší hodnoty N1 zanedbává odchylky v prvních N1 - 1 krocích. V procesech s dopravním zpožděním a neminimálně fázových procesech se hodnota N1 nastavuje vyšší než počet kroků zpoždění či podkmitu způsobeného neminimální fází [1], [2], [3]. 2.

Řízení dynamickou maticí

Metoda DMC (Dynamic Matrix Control) [4] byla vyvinuta na konci sedmdesátých let a široce aplikována v průmyslu, mimo jiné z důvodu celkové optimalizace procesů. Jako model procesu pro výpočet predikce je použita odezva systému na jednotkový skok, zatímco porucha je považována za konstantní po celé délce horizontu. Predikované hodnoty podél horizontu jsou dány rovnicí 

yˆ (k  i)   g j u (k  i  j )  nˆ (k  i)

(1)

j 1

Poruchy jsou považovány za konstantní podél horizontu a rovny rozdílu mezi výstupy procesu a modelu 4


nˆ(k  i)  nˆ (k )  y(k )  yˆ (k )

(2)

Využitím výrazů (1), (2) a oddělením akčních zásahů do kroku k + i dostaneme i

yˆ (k  i )   g j u (k  i  j )  j 1





j i 1

j 1

 g j u(k  i  j )  y(k )   g j u(k  j ) 

i

  g j u (k  i  j )  f (k  i ) ,

(3)

j 1

kde f (k  i) je volná odezva systému. Protože dopravní zpoždění není odděleno od zbytku modelu, pak se vyskytne několik hodnot gj = 0. První výstupní hodnota použitá v optimalizaci je y(k  d  1) a vzhledem k tomu, že se v systému vyskytuje dopravní zpoždění g1  g 2  ...  g d  0 lze napsat (4) yˆ (k  d )  y(k )  ( g d 1  g1 )u(k  1)  ...  ( g Nud  g Nu )u(k  N u ) Substitucí tohoto výrazu dostaneme yˆ  Gu  Hu 1  Sy1 ,

(5)

kde

yˆ T   yˆ (k  d  1) ... yˆ (k  d  N ),

u T  u (k ) u (k  1) ... u (k  N  1),

u1T  u (k  1) u (k  2) ... u (k  N ), y1  yˆ (k  d ).

(6)

V rovnici (5) je S jednotkový vektor o velikosti Nu × 1 a G, H jsou konstantní matice o rozměrech Nu × Nu. Prvním nenulovým prvkem matice G je gd + 1 a jeho hodnota je stejná jako u prvního koeficientu odezvy na skok systému bez dopravního zpoždění se stejnou dynamikou. Predikce výstupu systému je vypočítána pomocí volné odezvy systému dané jako f  Hu 1  Sy1 a nucené odezvy. (7) yˆ  G u  f Konečný tvar řídicího zákona s maticí zesílení K je u  (G T  Q λ ) 1 G T (f  w)  K(f  w)

(8)

Ze získaného vektoru se použije jen první člen jako Δu(k). 2.1 Kompenzace poruchy metodou DMC Vzhledem k tomu, že měřitelná porucha se chová jako vstup do systému, lze pro výpočet predikované poruchy použít vztah yˆ d  D d , (9) kde yˆ d je příspěvek měřitelné poruchy do výstupu systému, D je matice podobná matici G obsahující koeficienty systémové odezvy na poruchu a d je vektor přírůstků poruchy. Tato složka je potom součástí volné odezvy systému. 5


3.

Obecné prediktivní řízení

Účelová funkce GPC (Generalized Predictive Control) je funkcionál kvadrátů odchylek od žádané hodnoty a akční veličiny pro současný i několik budoucích kroků a dá se zapsat jako [2], [5], [6], [7].

J

N2

Nu

i  N1

i 1

2 2   (i)yˆ (k  i)  w(k  i)    (i)u(k  i  1)

(10)

kde yˆ (k  i) je výstup i kroků do budoucnosti predikovaných vzhledem k informacím dostupným do kroku k, w(k  i) je posloupnost žádané veličiny a u(k  i  1) je posloupnost budoucích přírůstků řízení, které mají být vypočítány. Pro zjednodušení analýzy jsou jednotlivé horizonty dány s ohledem na dopravní zpoždění jako N1  d  1 a N 2  N u  d . K výpočtu predikcí v GPC je použit model CARIMA, základní algoritmus používá zjednodušenou reprezentaci šumu C ( z 1 )  1 . ~ (11) A( z 1 ) y(k )  z  d B( z 1 )u(k  1)  e(k ) , kde ~ A( z 1 )  (1  z 1 ) A( z 1 )  1  a~1 z 1   a~na1 z  na1  (12)  1  (1  a1 ) z 1  (a1  a 2 ) z 2   a na1 z na1 . Podle tohoto modelu je odhadovaná hodnota yˆ (k  1) dána výrazem yˆ (k  1) 

na1

nb1

 a~ y(k  1  i)   b i 1

i

i 1

i 1

u (k  d  i  1)

(13)

Tento vztah se dá použít k rekurzivnímu výpočtu všech předpovědí yˆ (k  i) na žádaném horizontu. Protože se jedná o proces s dopravním zpožděním, je první uvažovanou predikcí na časovém horizontu použitou k výpočtu akčního zásahu yˆ (k  d  1) [2], [7]. Pravá část rovnice (13) se skládá z parametrů minulých akčních zásahů, budoucích akčních zásahů a výstupů z modelu před uplynutím dopravního zpoždění. Pokud tuto predikční rovnici použijeme rekurzivně pro i = 1, 2, ..., Nu získáme u (k )  yˆ (k  d  1)     u (k  1)   yˆ (k  d )   yˆ (k  d  2)   u (k  1)   u (k  2)   ˆ   G  H    S  y (k  d  1)  , (14)                      yˆ (k  d  N u ) u (k  N u  1) u (k  nb )  yˆ (k  d  na ) kde G, H a S jsou konstantní matice o rozměrech Nu × Nu, Nu × nb a Nu × na + 1. Rovnice (14) se dá zkráceně zapsat následujícím způsobem yˆ  G u  H u1  S y 1 .

(15)

Sloučením hodnot neovlivnitelných následujícím akčním zásahem je získán vztah (16) f  H u1  S y 1 reprezentující volnou odezvu systému. 6


Po minimalizaci funkcionálu J (10) vzhledem k u a získáme Mu  P0 y1  P1u1  P2 w ,

(17)

kde M  G Q δ G  Q  a P2  G Q mají rozměry Nu × Nu, P0  G Q S rozměry Nu × T

T

T

(na + 1) a P1  G T Q H rozměry Nu × nb. V algoritmu s pohyblivým horizontem je vypočítána jen hodnota Δu(k), pokud zavedeme vektor m jako první řádek matice M-1, pak je Δu(k) dáno jako (18) u(k )  mP0 y1  mP1u1  mP2 w1 , kde w1 je vektor budoucích žádaných hodnot [2], [5], [6]. 3.1 Kompenzace poruchy metodou GPC Po kompenzaci měřitelné poruchové veličiny dopředným zásahem vyjdeme z modifikovaného modelu (19) A( z 1 ) y(k )  z  d B( z 1 )u(k  1)  z  dv Bv ( z 1 )v(k ) , kde dv je dopravní zpoždění měřitelné poruchy v(k). Potom vztah pro predikce výstupů systému jsou vyjádřitelné jako yˆ  G u  f  H v v 1 , kde nový prvek Hv v1 reprezentuje budoucí hodnoty měřitelných poruch

 v(k  1)   v(k  2)  . v1        v(k  N u )

(20)

(21)

S touto formulací lze provést optimalizační proces stejným způsobem jako v případě bez měřitelných poruch, pokud rozšíříme vyjádření volné odezvy (22) f   f  H v v1 . Na základě tohoto vztahu můžeme rozšířit rovnici (18) a určit přímo změnu akčního zásahu u(k )  mP0 y1  mP1u1  mP2 w1  mP3 v1 ,

(23)

kde P3  G Q H v má rozměry Nu × nbv [2], [7]. T

4.

Simulační porovnání metod

V blokovém schématu prostředí SIMULINK byl vytvořen systém pro přenos a zobrazení dat provázaný s algoritmy predktivních regulátorů napsanými v oddělených souborech (viz příloha 1). Pro zjednodušené ovládání byl sestaven soubor obsahující nastavení základních parametrů regulace jako regulovaný systém a dopravní zpoždění. Pro každý systém byla zvolena skoková měřitelná porucha se stejnou dynamikou jako systém a stejným zpožděním. Kritérium vyhodnocující kvalitu regulace je začleněno přímo do simulačního schématu. Zpoždění každého systému bylo nastaveno na 4 kroky, perioda vzorkování je u všech systémů 2 sekundy, zpoždění je tedy 8 sekund. 7


4.1 Stabilní systém G( s) 

2 4 s  5s  1 2

Obr.1: Regulační průběh stabilního systému se zpožděním

Obr.2: Akční zásahy regulátorů stabilního systému se zpožděním 4.2 Kmitavý systém G( s) 

2 4s  2s  1 2

Obr.3: Regulační průběh kmitavého systému se zpožděním 8


Obr.4: Akční zásahy regulátorů kmitavého systému se zpožděním 4.3 Neminimálně fázový systém G( s) 

 10s  2 4 s 2  5s  1

Obr.5: Regulační průběh neminimálně fázového systému se zpožděním

Obr.6: Akční zásahy regulátorů neminimálně fázového systému se zpožděním

9


V případě neminimálně fázových systémů s dopravním zpožděním došlo u obou regulátorů v době dopravního zpoždění od detekce poruchy k dodatečnému akčnímu zásahu. Tento jev byl způsoben povahou dynamiky regulovaného systému. 4.4

Vyhodnocení kvality

Pro určení kvality regulace byl zvolena kvadratickým kritériem odchylek regulované veličiny a její žádané hodnoty. Kromě samotné regulace byla hodnocena oddělená oblast kompenzace poruchy. Kritérium kvality Systém Metoda Regulace Porucha DMC 92,19 7,538 Stabilní GPC 84,48 9,811 DMC 100,4 6,174 Oscilační GPC 88,47 8,262 DMC 202,4 123,7 Neminimálně fázový GPC 212,6 134,3 Tab.1: Srovnání kvality regulace obou metod pro jednotlivé systémy Ze srovnávací tabulky vyplývá, že s výjimkou neminimálně fázového systému má v celkové regulaci lepší výsledky metoda GPC. Nicméně v oblasti s měřitelnými poruchami byla vyšší kvalita zaznamenána s DMC metodou. 5.

Závěr

V této práci byly vyhodnoceny schopnosti dvou z nejpoužívanějších prediktivních řídicích algoritmů GPC a DMC pro řízení procesů s dopravním zpožděním s možností eliminovat vliv měřitelné poruchové veličiny. Při simulaci regulačního pochodu se skokovou změnou žádané hodnoty a poruchou bylo ve většině případů dosaženo poměrně lepších výsledků s metodou GPC. V oddělené simulaci pouze s kompenzací poruchy byla efektivnější metoda DMC. Literatura [1] Camacho, E. F., Bordons, C.: Model Predictive Control. Springer-Verlag, London, 2004. [2] Normey-Rico, J. E., Camacho, E. F.: Control of Dead-time Processes. Springer-Verlag, London, 2007. [3] Bobál, V. Adaptivní a prediktivní řízení. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Akademické centrum, 2008. [4] Cutler, C. R., Ramaker, B. L.: Dynamic Matrix Control. In: Proc. Joint Automatic Control Conference, volume 1, San Francisco, CA. Paper No. WP5-B, 19. [5] Clarke, D. W., Mohtadi, C., Tuffs, P. S.: Generalized predictive control, part I: the basic algorithm, Automatica, 23, (1987), 137-148. [6] Clarke, D. W., Mohtadi, C., Tuffs, P. S.: Generalized predictive control, part II: extensions and interpretations, Automatica, 23, (1987), 149-160. [7] Haber, R., Bars, R., Schmitz, U.: Predictive control in Process Engineering: From the basics to the applications. Weinhaim: Willey-VCH Verlag, 2011. 10


Příloha - Simulinkové schéma porovnání DMC a GPC algoritmů

11

Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2013

Recommend Documents