Stručný přehled učiva

TU1M2 – Matematika 2 pro LP17, LP18 Seminář 4: Aplikace diferenciálního počtu RNDr. Ludmila Brichtová

Stručný přehled učiva

4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci , pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném bodě . Platí tedy, že tg . Je-li derivace v bodě nevlastní, pak směrový úhel tečny grafu v bodě je roven a tečna je tedy rovnoběžná s osou . Kromě tečny určujeme ke grafu funkce také normálu, což je přímka kolmá k tečně.

rovnice tečny:

;

rovnice normály:

4.2 L´Hospitalovo pravidlo L´Hospitalovo pravidlo je jednoduchým a účinným pravidlem pro výpočet limit, které vedou k neurčitým výrazům typu a , přitom využívá diferenciálního počtu. Pokud jsou splněny následující podmínky: 1.

nebo

2. existuje limita Pak existuje také limita

a platí:


Poznámka: Je potřeba si uvědomit, že použití L´Hospitalova pravidla nederivujeme podíl dvou funkcí, ale derivujeme čitatele zvlášť a jmenovatele zvlášť.

Příklad: Vypočtěte limitu funkce l´ H

Řešení:

L´Hospitalova pravidla můžeme použít i k výpočtu takových limit funkcí, které nejsou typu a , ale dají se na něj upravit.

Neurčitý výraz typu Je to výraz, který získáme při výpočtu limity upravíme takto:

. Součin

pak

nebo Tímto způsobem je neurčitý výraz typu

převeden na neurčitý výraz typu

nebo .

Příklad: Vypočtěte limitu l´ H

Řešení:

Neurčitý výraz typu Je to výraz, který získáme při výpočtu limity upravit takto:

. Rozdíl

je možné

nebo

Tímto způsobem převedeme neurčitý výraz typu

na neurčitý výraz typu

Příklad: Vypočtěte limitu Řešení:

l´ H

nebo .


Neurčité výrazy typu Jsou to výrazy, které získáme při výpočtu limity takto:

, kde

, takže

. Mocninu upravíme

,

kde exponentem je neurčitý výraz typu

, který vypočteme podle předchozích postupů.

Příklad: Vypočtěte limitu Řešení:

l´ H

l´ H

Tedy

4.3 Monotónnost funkce Je-li funkce rostoucí, resp. klesající, na otevřeném intervalu, je zřejmě rostoucí, resp. klesající v každém bodě tohoto intervalu. Má-li funkce první derivaci, pak monotónnost této funkce v bodě a na otevřeném intervalu pomohou určit následující věty:

Věta (o ryzí monotónnosti funkce v bodě): Nechť funkce

má první derivaci v bodě v bodě rostoucí, resp. klesající.

resp. , pak je funkce (věta obrácená však neplatí)

. Je-li

Věta (o ryzí monotónnosti na otevřeném intervalu): Nechť funkce f má první derivaci na intervalu . Jestliže pro všechny body resp. klesající na intervalu .

je

resp.

, pak je funkce rostoucí,

(věta obrácená opět neplatí)

Příklad: Zjistěte, ve kterých intervalech je funkce

rostoucí, ve kterých klesající.


Řešení:

je vždy

, proto je funkce

na celém definičním oboru rostoucí

4.4 Extrémy funkce Má-li funkce nule

v bodě

lokální extrém, pak buď derivace

neexistuje, nebo je rovna

.

!Věta obrácená neplatí, tedy rovnost extrému funkce.

není postačující podmínkou pro existenci lokálního

Bod se nazývá stacionárním bodem (bodem „podezřelým z extrému“) funkce existuje derivace a je-li . Je-li Je-li

, jestliže

stacionárním bodem funkce a funkce má 2. derivaci v bodě , pak platí: , má funkce ostrý lokální extrém v bodě , a to ostré lokální maximum pro a ostré lokální minimum pro .

Příklad: Najděte lokální extrémy funkce

.

Řešení:

Body podezřelé z extrému:

v bodě v bodě

nastane lokální maximum nastane lokální minimum

K posouzení, zda má nebo nemá funkce ve svém stacionárním bodě lokální extrém nám někdy postačí znalost znaménka první derivace funkce. Mění-li derivace v bodě znaménko ze záporného na kladné, resp. z kladného na záporné, pak má funkce v bodě lokální minimum, resp. lokální maximum. Nemění-li v bodě derivace své znaménko, pak funkce v tomto bodě extrém nemá.

TU1M2 – Matematika 2 pro LP17, LP18 Seminář 4: Aplikace diferenciálního počtu RNDr. Ludmila Brichtová 4.5 Konvexnost a konkávnost funkce Konvexnost a konkávnost funkce charakterizují typ „prohnutí“ jejího grafu. Geometricky lze konvexnost charakterizovat tak, že všechny body grafu funkce leží nad tečnou sestrojenou ke grafu funkce v bodě , v němž je konvexnost vyšetřována (resp. pod tečnou sestrojenou ke grafu funkce pro konkávnost). Má-li funkce v bodě 2. derivaci, pak platí: je-li v bodě ryze konvexní , resp. ryze konkávní . Přitom funkce je ryze konvexní a ryze konkávní na intervalu konkávní v každém bodě tohoto intervalu.

resp.

je funkce

, je-li ryze konvexní, resp.

Inflexní bod funkce je takový, v němž funkce mění tvar z konvexního na konkávní a naopak. Má-li funkce inflexi v bodě a existuje-li druhá derivace , pak . Má-li funkce v bodě .

druhou derivaci v bodě

a

, pak jestliže

, má funkce inflexi

Příklad: Určete intervaly, na nichž je zadaná funkce konvexní, resp. konkávní a určete inflexní body této funkce: Řešení:

Funkce je konvexní na Inflexní body funkce

a konkávní na jsou:

.

TU1M2 – Matematika 2 pro LP17, LP18 Seminář 4: Aplikace diferenciálního počtu RNDr. Ludmila Brichtová 8.4 Optimalizační úlohy Často se setkáváme s úlohami spočívajícími v nalezení minimální nebo maximální hodnoty. Pomocí diferenciálního počtu lze všechny tyto úlohy převést na problematiku hledání extrémů funkce na dané množině. Při řešení praktických úloh postupujeme tak, že nejdříve nalezneme příslušnou funkci (nalezení funkce z konkrétního zadání reálné úlohy je obvykle největším problémem) a množinu, na které je definována, popř. na které má smysl hledat její extrém. Následovně určíme první derivaci této funkce, položíme ji rovnu nule a z této podmínky určíme její minimum, popř. maximum.

Příklad: Plakát o ploše má mít okraj 6cm nahoře a 4cm na každé straně a dole. Jaké největší rozměry může mít potištěná plocha? Řešení:

výška plakátu …

výška tištěné plochy

šířka plakátu …

šířka tištěné plochy

obsah tištěné plochy

, přitom ze zadání úlohy platí, že

a pokusíme se nyní najít maximum této funkce položíme první derivaci rovnu nule

a, b jsou délkové rozměry, má tedy smysl pouze kladné řešení Celkové rozměry plakátu tedy budou

a potištěná plocha bude mít rozměry

Příklady k procvičení 1. Určete rovnice tečny, normály v daném tečném bodě a úhel, který svírají s osou : a) b)

f) g)

c)

h)

.

TU1M2 – Matematika 2 pro LP17, LP18 Seminář 4: Aplikace diferenciálního počtu RNDr. Ludmila Brichtová d)

i)

e)

j)

Řešení: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. S využitím l´Hospitalova pravidla určete hodnotu následujících limit: a) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

Řešení: a)

b)

; c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

3. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce

j)

k)

l)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

c) d) e)

n)

o)

:

a)

Řešení: a) b)

m)

;


f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 4. Najděte lokální extrémy funkce

:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Řešení: a)

b) e) i)

c) f)

5. Stanovte intervaly, ve kterých je funkce funkce:

d) ; g)

h)

konvexní, ve kterých je konkávní a určete inflexní body

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Řešení: a)

;

b) c) e) h)

; ; d)

; f)

g)

i) ; j)

k)

;

l) 6. Jaké jsou rozměry otevřeného bazénu o objemu se čtvercovým dnem, požadujeme-li, aby jeho vyzdění vyžadovalo minimální spotřebu materiálu?

Řešení:

TU1M2 – Matematika 2 pro LP17, LP18 Seminář 4: Aplikace diferenciálního počtu RNDr. Ludmila Brichtová 7. Při jakých rozměrech válcové konzervy o objemu výrobu?

se spotřebuje nejméně plechu na její

Řešení:

8. Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl nejmenší.

Řešení:

9. Číslo 28 rozložte na dva sčítance, aby jejich součin byl největší.

Řešení:

10. Drátěným pletivem délky 120m je třeba ohradit obdélníkový pozemek ze tří stran (na čtvrté straně je dům) tak, aby měl největší obsah. Určete rozměry tohoto pozemku.

Řešení:

11. Jaké rozměry by musela mít podstava krabice na mléko, kdyby se mléko vyrábělo ve dvoulitrových krabicích, aby spotřeba papíru na výrobu krabice byla minimální? Krabici považujte za pravidelný čtyřboký hranol, odpad papíru na lepení neuvažujte.

Řešení:

Stručný přehled učiva

Recommend Documents