Straatverlichting, wat kost dat?

Straatverlichting, wat kost dat?

een wiskundeproject

Colofon Dit is een uitgave van: Philips Human Resources Benelux / Jet-Net Gebouw VB-12 Postbus 80003 5600 JZ Eindhoven Uitgave: versie 2.0, september 2012

© Koninklijke Philips N.V. 2012, All rights reserved.

Straatverlichting … wat kost dat?

een wiskundeproject

Inhoud 1.

Straatverlichting? Allicht! ............................................. 2

1.1 1.2 2.

Een straat verlichten .................................................... 4

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.

Goed verlicht?.............................................................4 Licht verspreidt zich.....................................................4 Eén straatlantaarn .......................................................6 Een straatlantaarn staat nooit alleen ..............................7 Midden op de weg .......................................................8 Een weg heeft twee kanten ...........................................9

Het kostenplaatje ....................................................... 11

3.1 4.

Goed verlicht! .............................................................2 Een algemene probleemaanpak .....................................3

Knopen doorhakken ................................................... 11

HET SPEL .................................................................... 14

1


een wiskundeproject

1. Straatverlichting? Allicht! 1.1 Goed verlicht! Nog geen honderd jaar geleden was het ’s avonds op straat aardedonker. Een enkele gaslantaarn of een flakkerend olielampje – en verder niets dan inktzwarte duisternis. Tegenwoordig is dat wel anders. Paal na paal na paal zorgen felle straatlantaarns ervoor dat het wegdek redelijk gelijkmatig verlicht is. Als je ’s avonds over de Nederlandse wegen rijdt zou je bijna denken dat het niets kost. Maar niets is minder waar. Verlichting kost elektriciteit. En elektriciteit kost geld. Elke meter verlichte weg kost de Nederlandse staat daarom jaarlijks geld. Maar hoeveel eigenlijk? Liefst zo weinig mogelijk. Als er een nieuwe weg wordt aangelegd, bekijkt een ingenieur wat de goedkoopste manier is om de weg te verlichten. De goedkoopste manier is natuurlijk door helemaal geen straatlantaarns te plaatsen. Maar dat is geen goede oplossing. Een weg moet veilig zijn en dat betekent onder meer dat hij ’s avonds goed verlicht is.

De vraag die we gaan onderzoeken, is: Hoeveel geld is er minimaal nodig om een weg goed te verlichten?

2


een wiskundeproject

1.2 Een algemene probleemaanpak

Je hebt vast wel eens vaker een moeilijke vraag voorgeschoteld gekregen. Misschien ook wel bij wiskunde. Het probleem bij een moeilijke vraag is vaak dat je niet weet waar je moet beginnen. En daar willen we je nu bij helpen. Je zult zien dat er een bepaalde lijn zit in hoe je deze vraag gaat beantwoorden. In een kader, zoals hier, lichten we steeds de stappen toe die je maakt. Die stappen vormen samen een probleemaanpak. Deze probleemaanpak is heel algemeen en die kun je een volgende keer dus ook gebruiken om een heel andere vraag te beantwoorden. En dat kan nog wel eens van pas komen!

De eerste stap die je moet nemen, als je een moeilijke vraag krijgt, die je niet direct kunt oplossen, is nagaan of je de vraag wel snapt. Begrijp je wat er gevraagd wordt? Zijn alle termen duidelijk? Bij onze vraag zou je je bijvoorbeeld kunnen afvragen, wat goed verlicht nu eigenlijk betekent. Soms helpt het ook om enkele aannames te doen. Een aanname is een veronderstelling. Je gaat uit van iets, wat misschien niet eens altijd waar hoeft te zijn. Door een aanname wordt het probleem iets concreter en daardoor vaak iets makkelijker. Als je het probleem bij een bepaalde aanname hebt opgelost, kun je vervolgens kijken of je het ook bij andere aannames kunt oplossen. Dit klinkt misschien ingewikkeld, maar in de volgende tekst en opdrachten gaan we hierop verder in.

3


een wiskundeproject

2. Een straat verlichten 2.1 Goed verlicht? Veel verlichting kost veel geld. Bovendien kan te veel verlichting hinderlijk zijn. Een weg is goed verlicht als er overal een minimale lichtsterkte is. Minimale lichtsterkte is de minimale lichtenergie die nodig is om een vierkante meter weg goed te verlichten. In het vervolg gaan we ervan uit dat een weg goed verlicht is als de lichtsterkte overal tenminste 10 Watt per vierkante meter bedraagt. Als we nu nog weten hoeveel euro één kWh elektrische energie kost en hoeveel vierkante meter de oppervlakte van een weg is, zijn we misschien al een heel eind. Aanname 1: Een weg is goed verlicht als de lichtsterkte overal tenminste 10 Watt per vierkante meter bedraagt. Opdrachten 1. Lees de tekst op pagina 1 en 2 van deze handleiding opnieuw. Geef twee eisen waaraan goede wegverlichting moet voldoen. 2. Hoe kan een ingenieur de intensiteit van de wegverlichting variëren? Noem twee dingen. 3. Waarom is teveel verlichting hinderlijk? Noem twee redenen. 4. In het vervolg gaan we ervan uit dat 1 kWh elektriciteit € 0,15 kost. Reken uit hoeveel het minimaal per jaar kost om één kilometer weg van 8 meter breed te verlichten. Neem aan dat gemiddeld de lantaarns 8 uur per etmaal aan zijn en dat er geen licht naast de weg komt.

Aanname 2: Eén kWh elektriciteit kost € 0,15. 2.2 Licht verspreidt zich Helaas is het niet zo simpel. Je zult vast wel eens gemerkt hebben dat het vlak onder een straatlantaarn lichter is dan een eindje verderop. Dat komt omdat het licht uitgesmeerd wordt over een groter oppervlak. En dat gaat niet zo gelijkmatig als je misschien wel zou willen. Punten vlak bij een lichtbron ontvangen veel meer Watt per vierkante meter dan punten verder weg. Er zijn dus lichte en donkere plekken op de weg.

4


een wiskundeproject

B

A

Hierboven zie je een lichtbron, bijvoorbeeld een lamp. We kijken naar het licht dat de lamp door de vierkante ramen A en B straalt. De lichtbron is zo sterk dat er een vermogen van 10 Watt door het raam A gestraald wordt. Dat wil zeggen dat elke seconde 10 Joule aan energie door raam A gestraald wordt. Raam B staat precies twee keer zo ver van de lichtbron af. En de grootte van raam B is zo gekozen dat al het licht dat door raam A straalt ook door raam B straalt. Dus door raam B straalt ook 10 Watt. Opdrachten 5. Laat zien dat de oppervlakte van raam B vier keer zo groot is als de oppervlakte van raam A. Schrijf je uitleg op. 6. We vergelijken de lichtsterkte bij raam A en raam B. Hoeveel keer groter of kleiner is de lichtsterkte bij raam B dan bij raam A? Leg je antwoord uit. 7. Beschouw een lichtbron die een vermogen P uitstraalt door een oppervlak ter grootte van 1 m2 dat zich op 1 m van die lichtbron bevindt. Laat zien dat op een afstand d van die lichtbron de lichtsterkte S gegeven is door de formule S =

P d2

.

Hierbij is S de lichtsterkte in Watt/m2, P het vermogen in Watt en d de afstand in meter.

5


een wiskundeproject

2.3 Eén straatlantaarn De formule die we bij opdracht 7 gezien hebben, is heel belangrijk. De formule zegt ons dat de lichtsterkte van een lamp afhangt van de afstand. Hoe verder een lamp weg is, hoe zwakker de lichtsterkte. Dat lijkt heel logisch. Maar het betekent ook dat zelfs op willekeurig grote afstand nog een beetje licht over blijft. Zelfs op de planeet Mars valt nog een klein beetje licht van de straatlantaarns hier op aarde. En straatlantaarns een eindje verder op kunnen zelfs heel behoorlijk bijdragen aan de lichtsterkte hier vlakbij. Dat maakt het probleem wat ingewikkelder. Laten we daarom eerst gaan kijken naar het geval van één straatlantaarn.

Het probleem blijkt wat ingewikkelder te zijn dan we dachten. We nemen daarom een stapje terug, waardoor het probleem iets minder ingewikkeld wordt. Dat kun je op meerdere manieren doen. Wij kijken nu eerst naar het geval dat er maar één straatlantaarn is. Wat is er dan aan de hand? Ook maken we het probleem iets concreter. Daarvoor doen we bepaalde aannames. Zo stellen we in de tekst hieronder dat de hoogte van de straatlantaarn 5 meter is en het vermogen van de straatlantaarn 1000 Watt.

Opdrachten Stel je voor dat je vlak onder een straatlantaarn met een hoogte van 5 meter staat. Die straatlantaarn heeft een vermogen van 1000 Watt. Daarmee bedoelen we dat de straatlantaarn op één meter afstand een vermogensdichtheid heeft van 1000 Watt per m2. Aanname 3: De hoogte van een straatlantaarn is 5 meter. Aanname 4: De straatlantaarn heeft een vermogen van 1000 Watt. 8. Laat zien dat de lichtsterkte op de weg recht onder de straatlantaarn gelijk is aan 40 Watt/m2. Nu loop je een paar meter opzij, evenwijdig aan de stoeprand. Die paar meter noemen we x.

6


een wiskundeproject

9. Laat zien dat op de plaats waar je nu staat geldt: d = x2 + 25. Leg vervolgens uit dat de lichtsterkte op deze plaats gelijk is aan:

S=

1000 x 2 + 25

10. 10 Vul de tabel in die hieronder staat.

x

0

5

10

15

20

S Schets een grafiek met de afstand x en de lichtsterkte S. Zet horizontaal de afstand x uit en verticaal de lichtsterkte S. Laat de x-as lopen van 0 tot 75 meter en de y-as van 0 tot 50 Watt/m2. Zo teken je de iso-lichtsterktelijnen (dit zijn lijnen of krommen die punten met gelijke lichtsterkte met elkaar verbinden). 2.4 Een straatlantaarn staat nooit alleen Langs een weg staat nooit maar één straatlantaarn. Er staan er altijd meer. Daar gaan we nu naar kijken. Neem aan dat de afstand tussen twee straatlantaarns steeds 30 meter is. Aanname 5: De afstand tussen twee straatlantaarns is steeds 30 meter.

Nu we het probleem voor één straatlantaarn bekeken hebben, maken we het iets moeilijker. We nemen er steeds één straatlantaarn bij. En we doen weer een aanname. De afstand tussen de twee straatlantaarns is steeds 30 meter.

Opdrachten 11. Teken in de grafiek bij vraag 10 ook de lichtsterktes van de lantaarnpalen die 30 meter en 60 meter verderop staan (dus in de grafiek bij x=30 en x=60).

7


een wiskundeproject

Als je op een weg staat, straalt licht van alle straatlantaarns op je. De totale lichtsterkte in een bepaald punt, is de lichtsterktes van alle afzonderlijke straatlantaarns bij elkaar opgeteld. 12. Teken in de grafiek bij vraag 10 nu ook de totale lichtsterkte op een bepaalde plek. Gebruik voor de duidelijkheid voor deze grafiek een andere kleur. 2.5 Midden op de weg

Nu we de lichtsterkte kunnen berekenen als je recht onder de straatlantaarns loopt, kunnen we het probleem weer iets realistischer maken en dus moeilijker. Wat nu als je midden op de weg loopt? Dat gaan we nu bekijken. We gaan uit van maar één straatlantaarn. Het moet ook niet meteen te moeilijk worden!

Tot nu toe liepen we recht onder de straatlantaarns. Dan komt het licht van loodrecht boven je. Dat is natuurlijk niet altijd zo. Als je midden op straat staat en de straatlantaarns staan langs de kant van de weg, schijnt het licht van de straatlantaarns van schuin boven je neer. In het plaatje hieronder zie je een rijtje straatlantaarns staan. De afstand tussen de straatlantaarns is weer 30 meter en de hoogte van de straatlantaarns is 5 meter.

L

30

5

30

30 x x’ 2

8


een wiskundeproject

Je staat nu niet recht onder de straatlantaarn, maar 2 meter verder de weg op, zoals je in de tekening ziet. Opdrachten 13. Bereken de lichtsterkte van de straatlantaarn L op de plek waar je nu staat. Je loopt nu in de richting x’ evenwijdig aan de stoep. 14. Wat is de formule van de lichtsterkte van straatlantaarn L op plaats x’ ? Leg uit hoe je aan deze formule komt. (Hint: druk eerst d uit in x.) 15. 15 Wat zou het verschil zijn tussen de grafiek die je bij vraag 10 getekend hebt en de grafiek van de lichtsterkte op plaats x’ van straatlantaarn L.? Je hoeft deze grafiek niet te tekenen. 2.6 Een weg heeft twee kanten Inmiddels weten we al veel. We hebben berekend wat de totale lichtsterkte is, als je met meer straatlantaarns rekening houdt. Ook hebben we berekend wat het voor invloed heeft op de lichtsterkte als je een stuk de weg oploopt en niet recht onder de straatlantaarns staat. Maar we zijn er nog niet. Een weg heeft namelijk twee kanten. En aan de andere kant staan ook straatlantaarns. Die gaan we er nu ook bij betrekken. We gaan ervan uit dat de straatlantaarns recht tegenover elkaar staan. Voor de breedte van de weg nemen we 8 meter. Aanname 6: De straatlantaarns staan recht tegenover elkaar. Aanname 7: De breedte van de weg is 8 meter.

Nu gaan we alles met elkaar combineren. We bekijken meerdere straatlantaarns tegelijk en bekijken de hele weg, dus niet alleen de randen.

9


een wiskundeproject

Zoals je in de grafiek van vraag 12 gezien hebt, is het midden tussen twee lantaarnpalen vaak het donkerst. Hier gaan we voor de rest van deze opdracht van uit. In de onderstaande figuur zie je een bovenaanzicht van de weg. Op de stralende rondjes staan lantaarnpalen. Daar bevinden zich de lichtste plekken. De donkerste plekjes vind je op de plaatsen gemerkt met een zwart sterretje, in het midden van de weg en midden tussen twee straatlantaarns in.

Opdrachten In de grafiek die je bij vraag 12 getekend hebt, kun je zien dat de straatlantaarn M (die 30 meter verderop staat) nauwelijks bijdraagt aan de lichtsterkte onder straatlantaarn L. 16. Leg uit hoe je hieruit kunt afleiden dat ook straatlantaarn N nauwelijks iets bijdraagt aan de lichtsterkte vlak onder straatlantaarn L. 17. Laat zien dat de bijdrage van straatlantaarn O aan de lichtsterkte vlak onder straatlantaarn L gelijk is aan 11,2 Watt/m2. 18. Benader de maximale lichtsterkte op deze weg. 19. Benader ook de minimale lichtsterkte op deze weg. Het is wettelijk vastgelegd wat de lichtsterkte op een weg minimaal en maximaal mag zijn. Er geldt dat de minimale lichtsterkte 10 Watt/m2 is en de maximale lichtsterkte 320 Watt/m2. Hier gaan we in het vervolg van uit. Aanname 8: De maximale lichtsterkte is 320 Watt/m2.

10


een wiskundeproject

3. Het kostenplaatje We zijn al een stuk gevorderd, maar we hebben het nog nauwelijks over de kosten gehad. Met wat voor kosten krijgen we eigenlijk te maken? Elektriciteitskosten: Verlichting kost elektriciteit en elektriciteit kost geld. We hebben al eerder gezien dat elektriciteitskosten berekend worden aan de hand van kWh. Eén kWh kost € 0,15. Straatlantaarnkosten: Straatlantaarns en lampen moeten aangeschaft worden. Verder moeten ze eens in de zoveel tijd vervangen worden, omdat ze kapot zijn gegaan of verouderd. Dit noemen we kosten voor de afschrijving. Ook zijn er kosten voor het onderhoud. Straatlantaarns moeten schoongehouden worden en op tijd geschilderd. We gaan ervan uit dat elke straatlantaarn € 200,per jaar kost aan onderhoud en afschrijving. Materiaalkosten: Een lantaarnpaal bestaat uit staal. Ook hieraan zijn kosten verbonden voor onderhoud en afschrijving. We gaan ervan uit dat elke meter lantaarnpalenstaal € 50,- per jaar kost aan onderhoud en afschrijving. Aanname 9: Elke straatlantaarn kost € 200,- per jaar aan onderhoud en afschrijving. Aanname 10: Elke meter lantaarnpalenstaal kost € 50,- per jaar aan onderhoud en afschrijving. Opdracht 20. Hoeveel kosten de straatlantaarns langs 1 km weg aan onderhoud en afschrijving? 3.1 Knopen doorhakken Nu wordt het tijd dat we beslissingen gaan nemen. Hoever moeten de lantaarnpalen van elkaar staan zodat het in de donkerste plekken nog net licht genoeg is? En hoe dicht mogen ze bij elkaar staan zodat het in de lichtste plekken niet té licht is? Hoe hoog moeten ze zijn, en hoeveel vermogen moet elke lantaarnpaal hebben? Dit alles willen we weten om onze beginvraag te kunnen beantwoorden: Hoeveel geld is er minimaal nodig om een weg goed te verlichten?

11


een wiskundeproject

Zo’n probleem noemen ingenieurs een optimaliseringsprobleem. Je wilt zo goed mogelijke (optimale) keuzes maken voor de waardes van een aantal grootheden. In ons geval zijn die waardes: • de hoogte, h (in meters), van elke straatlantaarn; • het vermogen, P (in Watt), van elke lamp; • de afstand a (in meters), tussen twee opeenvolgende straatlantaarns. In de aannames 3, 4 en 5 hebben we vaste waarden voor deze grootheden genomen (voor de hoogte 5 meter, voor het vermogen 1000 Watt en voor de afstand tussen twee lantaarnpalen 30 meter). Deze vaste waarden hadden we nodig om inzicht in het probleem te krijgen. Nu gaan we deze waarden laten variëren, om te kijken bij welke waarden de kosten minimaal zijn.

Nu we het probleem van alle kanten bekeken hebben en er een goed idee van hebben, kunnen we weer enkele aannames loslaten. Zo houden we het probleem zo algemeen mogelijk.

Onze keuze is zo goed mogelijk als er twee dingen in orde zijn: 1. Er moet voldaan zijn aan zogenaamde randvoorwaarden: de maximale lichtsterkte mag niet groter zijn dan 320 Watt/m2, en de minimale lichtsterkte mag niet kleiner zijn dan 10 Watt/m2; 2. De kosten, per jaar en per (kilo)meter te verlichten weg, moeten zo laag mogelijk zijn. Zowel de grootte van h, P als a is van invloed op de kosten. Er zijn drie soorten kosten, elektriciteitskosten, straatlantaarnkosten en materiaalkosten.

12


een wiskundeproject

Opdrachten 21. Op welke kosten heeft de hoogte h van de straatlantaarn invloed? Beschrijf de invloed. 22. Op welke kosten heeft het vermogen P van de lamp invloed? Beschrijf de invloed. 23. Op welke kosten heeft de afstand a tussen twee straatlantaarns invloed? Beschrijf de invloed. Als we alles bij elkaar nemen, is de formule voor de totale kosten in euro per jaar per meter weg: K = (400 + 100h + 0,9P)/a, met h en a in meters en P in Watt 24. Bereken de kosten per jaar per meter weg als h = 5 m, a = 30 m en P = 1000 W. Ingenieurs die straatverlichting ontwerpen houden nog met veel meer dingen rekening. Niet alle lampen zijn even duur; als je veel elektriciteit afneemt van de elektriciteitsmaatschappij daalt de prijs per kWh; hoge masten kosten meer onderhoud dan lage masten; door spiegels en lenzen in de lampen in te bouwen kun je het licht veel gelijkmatiger proberen te verspreiden, en nog wel 100 andere factoren. Je moet daarom niet verbaasd zijn dat in het echt de hoogtes, de afstanden, en de vermogens van straatlantaarns kunnen afwijken van wat wij in deze opdracht als antwoord zullen vinden. Maar … je krijgt tenminste een beetje een idee hoe de beslissingen tot stand komen. En zelfs onze vereenvoudigde aanpak leert al een aantal belangrijke zaken over wegverlichting. Je hebt ook veel geleerd over hoe je een moeilijk probleem kunt aanpakken. Lees de tekst in de kaders nog eens door. 25. Schrijf op welke dingen je zou kunnen doen als je een moeilijk probleem krijgt voorgeschoteld.

13


een wiskundeproject

4. HET SPEL Nu we een beetje weten hoe het werkt, gaan we het ook eens uitproberen. We gaan net doen of we zelf de wegverlichting voor een stuk snelweg moeten ontwerpen. Daarvoor gebruiken we een computer en een speciaal daarvoor gemaakte computertoepassing, straatverlichting_wat_kost_dat. In het kader vind je een handleiding om deze computertoepassing te gebruiken.

HANDLEIDING straatverlichting_wat_kost_dat De toepassing straatverlichting_wat_kost_dat start je op door te dubbelklikken. Het is een zogenaamde EXCEL toepassing, dus je kunt hem ook opstarten vanuit het programma MS-EXCEL™. Vraag eventueel je leraar hulp als je nog helemaal geen ervaring hebt met EXCEL. Met straatverlichting_wat_kost_dat kun je keuzes voor de waardes van a, h, en P invoeren. Dat doe je door aan de drie schuifjes, links boven op het werkblad te trekken. Het lichtgroene schuifje bepaalt de afstand a; het lichtblauwe schuifje de hoogte h, en het gele schuifje het vermogen P. Je kunt ook getallen intypen, in plaats van de schuifjes te gebruiken. Als je een keuze voor a, h, en P hebt gemaakt, klik je op het grote vierkant, rechts van de schuifjes. Er staat nieuw plaatje op dit grote vierkant. Dan rekent het programma uit wat de lichtsterkte is op een heleboel plaatsen op het wegdek. Het verloop van de lichtsterkte wordt grafisch weergegeven, onder het kopje verloop van de lichtsterkte. Je ziet daarin 3 grafieken f De lichtgele grafiek is meestal (maar niet altijd!) de hoogste. Deze grafiek geeft de lichtsterkte aan vlak onder de lantaarnpalen. f De donkergele grafiek geeft het verloop van de lichtsterkte aan als je op een kwart van de breedte van de weg loopt (in de legenda staat lichtsterkte 0.25 breedte). De breedte van de weg hebben we op 8 meter gesteld, dus de donkergele grafiek geeft de lichtsterkte aan als je 2 meter van de rand van de weg afloopt. f De oranje grafiek, ten slotte, geeft de lichtsterkte aan op het midden van de weg (lichtsterkte op 0.50 breedte), in ons geval dus op 4 meter van de rand van de weg. Het programma gaat er vanuit dat aan weerszijden van de weg een rij lantaarnpalen staat en dat de lantaarnpalen recht tegenover elkaar staan. In elke grafiek wordt het lichtsterkteverloop tussen de plaatsen van twee opeenvolgende lantaarnpalen getekend. Dus de meest linkse waarden in de grafiek zijn de lichtsterktes op de plaats van een straatlantaarn en de meest rechtse waarden zijn de lichtsterktes op de plaats van de eerstvolgende straatlantaarn. 14


een wiskundeproject

Opdracht 26. Vul voor a, h en P de waardes in waar we mee hebben gewerkt (voor a 30 meter, voor h 5 meter en voor P 1000 Watt). Druk op het grote vierkant en bekijk de grafieken. Vergelijk de waarden van de minimale, maximale lichtsterkte die je hebt berekend in vraag 18/19 met de waarden in de grafiek. Wat is het verschil en probeer er eens een verklaring voor te bedenken.

Boven de grafieken zie je de waardes voor de wettelijk vereiste minimale en maximale lichtsterkte staan (10 en 320 Watt/m2). Als de drie grafieken eenmaal berekend zijn, is het gemakkelijk in te zien of de laagste lichtsterkte boven het wettelijk minimum blijft, en de hoogste lichtsterkte onder het wettelijk maximum. Daarvoor worden in dezelfde grafiek een donkergrijze lijn getekend op de hoogte van de minimale lichtsterke (10 Watt/m2), en een lichtgrijze op de hoogte van de maximale lichtsterkte (320 Watt/m2). Het programma straatverlichting_wat_kost_dat houdt zelf bij of de drie gele grafieken tussen het minimum en het maximum blijven. Als dat zo is komt er te staan ‘minimum akkoord’ (op een groene achtergrond) en ‘maximum akkoord’ (ook op een groene achtergrond). Als de lichtsterkte echter ergens te hoog wordt komt er ‘maximum te hoog’ op een rode achtergrond, en als de lichtsterkte ergens te laag wordt komt er ‘minimum te laag’ op een rode achtergrond. Zo’n oplossing is dus niet toegestaan. Je ziet dat de lichtsterktes op het wegdek bij de waardes waar wij mee gewerkt hebben, niet te hoog of te laag zijn, en dat het programma dus akkoord gaat met deze oplossing. De kosten staan in het gele hokje naast de grafiek. Als het goed is, komen deze kosten nu overeen met wat je in vraag 24 berekend hebt. Verderop in het werkblad staan allerlei waardes ingesteld, zoals de prijs van een kWh (€ 0,15). Deze waardes kun je veranderen, maar voorlopig is het wel zo makkelijk om alles te laten staan zoals het staat.

15


een wiskundeproject

Proberen maar… Met deze computertoepassing is het vinden van de beste oplossing een kwestie geworden van proberen. Je stelt waardes in op de schuifjes voor a, h en P; je klikt om de grafieken te laten berekenen en je kijkt of zowel het minimum als het maximum in orde zijn. De kunst is dat je op zo laag mogelijke totale kosten per jaar per meter weg uitkomt! Hoe lager de totale kosten, hoe goedkoper jouw oplossing is. Alleen oplossingen die akkoord zijn voor wat betreft de minimale en maximale lichtsterkte zijn toegestaan. Het programma geeft voortdurend informatie over de kosten. Zodra je een van de grootheden a, h of P een andere waarde geeft (bijvoorbeeld door aan de schuifjes te trekken) worden de totale kosten opnieuw berekend en weergegeven in het gele hokje. … maar denk wel na! Om het wat spannender te maken, hebben we daar een wedstrijd van gemaakt. Je speelt tegen elkaar en de bedoeling is een zo goedkoop mogelijk oplossing te vinden die akkoord is voor het minimum en het maximum. Je mag maar veertig keer klikken op de knop ‘nieuw plaatje’. Je moet dus heel goed nadenken en zeker op het laatst moet je niet zomaar in de wilde weg waarden voor a, h en P gokken. Probeer, nadat je een beetje geëxperimenteerd hebt met het effect van het verhogen en verlagen van a, h en P, te voorspellen wat er zal gebeuren als je een nieuwe waarde invoert. Probeer te begrijpen waarom dat de grafieken eruit zien zoals ze eruit zien – alleen dan kun je winnen! Het programma straatverlichting_wat_kost_dat laat steeds zien hoeveel pogingen je nog mag doen. Als er komt te staan ‘GAME OVER’ is het uit … Hoe goedkoop kun jij een weg verlichten…?

16

Straatverlichting, wat kost dat?

Recommend Documents