Blb
Ste^^^siteitvanAmsterd 01 2749 8368
am
EERSTE BEGINSELEN D E R
FLUXIE-RE KENING, BEHELZENDE DE
EENE
GRONDEN
TENSCHAP, £N
DUIDELYKE
DEEZER
BENEVENS
GEBRUIK
VERKLAARING
VOORTREF FELYKE HAARE
VAN
WEE-
TOEPASSING
IN ONDERSCHEIDENE
DEE-
LEN DER
W I S K U N D E . D O O K
ARNOLDUS BASTIAAN STRABBE, Mathematicus en Wynroeijer te Amfterdam, M E T
Te BV
P L A A T E W .
AMSTERDA J:
B:
E
M
t
L
W
E,
Eoekvcrkooper op de Pypemarkt by den DaiïU M
D C C X C I
X,
V O O R R E D E N . V a n alle de Mathematifche Weetenfchappen i s , buiten alle tegenfpraak, de Leerwyze der Fluxïën de uitgebreidfte en verhevenfte. Z y is eigenlyk een nieuw gedeelte der W i s k u n d e , in zich fluitende eene Analyfis, welke zich onyergelykelyk verder dan die der Ouden uitftrekt. Veele zwaarigheden, welke door alle andere bekende Leerwyzen byna onöverkomelyk zyn , worden langs deezen weg met eene ongemeene vaardigheid, fierlykheid en klaarheid opgelost. N a hetgeen ik in het Oeffenfchool der Mathematifche Weetenjchappen, by wyze van eene inleidende Verhandeling, over dit onderwerp heb medegedeeld, en waarover veele hoogfchatters der W i s kunde my hun genoegen betuigd hebben, bleef my eeniglyk den wensch over, om t'eenigen tyde eene volkomener en meer uitgewerkte Verhandeling over dat keurig onderwerp het licht te doen zien. D e moeijelykheid om zodanige W e r k e n , waar toe veel kosten verëischt worden, en w e l k e , wel verre van in den algemeenen finaak te vallen, flegts aan weinigen behaagen, aan den man te helpen, verydelde eenige achterëenvolgende Jaaren het ontwerp , 't welk ik my had voorgefchreeven , om naamlyk eene volkomene Verhandeling over de eerfte beginfelen der Fluxie-Rekening onzen land» genooten mede te deelen; en zekerlyk zouden alle myne poogingen , om eenmaal mynen wensch te vervullen, tot hier toe vruchteloos gebleeven z y n , zo niet het Genootfchap der Mathematifche Weetenfchappen, onder de Spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven, waar van ik de eer heb , fints deszelfs oprichting in den Jaare 1 7 7 8 , L i d en * a Se*
iv
V O O R R E D E N .
Secretaris te zyn, my hier in de behulpzaame hand hadt geboden, door op eene edelmoedige wyze alle de kosten der uitvoering op zich te neemen, waar voor ik hetzelve by deezen openlyk huide doe. Om nu ook iets van de famenitellinG; van dit Werk te zeggen, zal ik konelyk deszelfs inhoud voordragen. Hetzelve bevat zestien Afdeelingen. In de eerde Afdeeling wordt de natuur en den oorfprong der Fluxiën verklaard , en het onderfefceid tusfehen ifandvastige en veranderlyke Grootbeden ten duidelykften aangewezen. In de tweede Afdeeling worden de Fluxiën der Grootheden in 't afgetrokkene Qn abftra£loy of zo als dezelve door algemeene Algebraïfche karakters uitgedrukt worden, befchouwd; en de daar uit vloeijende praclicaale Regelen door toe» pasfelyke voorbeelden verklaard. In de derde Afdeeling wordt van tweede, derde, vierde en andere Fluxiën gehandeld, en daar by aangetoond, dat tweede, derde, vierde en hoo» gere Fluxiën, met uitzondering van haaren rang en betekenis , eene voltïrekte overeenkomst nut eerde Fluxiën hebben , cn to; de Grootheden, waar van zy onmiddeiy* afgeleid worden, in eene geiyke betrekking liaan. JJe vierde .Afiecling bevat de Leerwyze, om de Fluxiën der Logarühmsn en Exponentiaale Grootheden te vinden Om hier toe te geraaken, zoeke ik eene Séries, welke den Hyperbulifchen Logarithmus der Grootheid i - i - . r uitdrukt ; van welke Séries de Fluxie , volgens de gegeèvene Regelen, bepaald zynde^ verandere ik die Fluxie- in eene eindige Grootheid, welke alsdan aantoont, dat de Fluxie vin eenen Hyper bolt„ (eken Logarithmusfteedsuitgedrukt wordt, door v ^ y
V O O R R E D E N .
v
, , de Fluxie van het overeenkomstig getal, gedeeld door dat zelfde getal." In de vyfde Afdeeling wordt de omgekeerde Leerwyze der Fluxiën voorgedragen, om naamlyk van voorgeftelde Fluxiën tot de vloeijende Grootheden o f de Fluenten , waar van zy de Fluxiën z y n , te rug te gaan, o f wel om uit de Fluxiën de Fluenten te vinden, wanneer de laatften naauwkeurig in Algebraïfche Termen voorgefteld kunnen worden. In de zesde, zevende, agtfte, negende en tiende Afdeelingen worden de voorgedragene grondbeginfelen tot de Oplosfing van Voordellen, welke in de Wiskunde van een veelvuldig en onöntbeerlyk gebruik zyn , toepasfelyk gemaakt, als: het bepaalen der Maxima en Minima van Grootheden ; het trekken van Raaklynen tot K r o m m e n ; het vinden der buigpunten en kromteftraalen van kromme L y n e n , en laatftelyk de nafpooring van de natuur der ontwondene Kromme {Evoluta) van eene gegeevene opgewondene Kromme (Jnvoluta). N a deeze toepasfingen, met de meest mogelyke duidelykheid, gemaikt te hebben , kome ik tot de Leerwyze der Fluenten te r u g , van welke my nog overig was die gevallen te befchouwen, waar in het volllrekt noodzaakelyk is de Fluxiën in onëindige convergeerende Reekfen te kunnen herleiden , om vervolgens van eiken byzonderen Term de Fluent, naar den R e g e l , te bepaalen. T o t dat einde vindt men in de elfde Afdeeling de handelw y z e , om Breuken of irrationaale Groothe ien in onëindige Séries o f Reekfen te brengen, en in de twaalfde Afdeeling de bepaaling der Fluenten van gegeevene Fluxiën, door middel van onëindige convergeerende Reekfen. * 3 Eüi!
VÏ
V O O R R E D E N ,
Eindelyk worde ia de dertiende, veertiende, vyftiende en zestiende Afdeelingen het gebruik der Fluxiën , of wel de Leerwyze der Fluenten, verklaard: i . In het rectificeeren van kromme Lynen; s ' . in het vinden der Inhouden van krom ynige Ruimtens; 3 . in het vinden der bultige Oppervlaktens van Lighaamen; en 4 . in het vinden der Inhouden van Lighaamen. Om uit deeze Verhandeling eenig nut te trekken, wordt hoofdzaakelyk verëischt, dat de Leezer genoegzaam bedreeven zy in de Rekenkunst, Meetkunde, Algebra, Driehoeksmeeting, Kegelfneeden, en de natuur der Logariihmen ; terwyl hy tevens de gronden van eiken tak van Weetenfehap , op welken hy de Fluxiën zou willen toepasfen, behoort te verliaan. Ik heb voorts hier niets anders by te voegen dan de onbewimpelde erkentenis,dat ik,onder bet famenftellen deezer Verhandeling, gebruik gemaakt heb van hetgeen de beroemdile Engel fthe WisQ
0
0
kundigen, N E W T O N , M A C L A U R I N , H A Y E S , D I T T O N , R O W E , S A U N D E R S O N , SIMP*
S O N en E M E R S O N over deeze ftoffe gefchreeven hebben; nogthans kan ik voor my zeiven niet ontveinzen, dat veele der voorgedragene Leerwyzen, zo wel als veele der hier en daar ingelaschte ophelderingen , myn wettig eigendom zyn. Zo 'er desniettegenftaande de zulken gevonden mogten worden, welke my de onderwerpen, die my op eene uitfluitende wyze in eigendom toebehooren, zouden willen betwisten , gun ik hun de vryheid hier in naar welgevallen te handelen , als zy my flegts de eere laaten van met een goed oogmerk mynen Landgenooten nuttig te zyn geweest, I N -
I N H O U D .
I. AFDEELING. Van de Natuur der Fluxiën. . . . . . Bladz. i IJ.
Van de Fluxiën der Grootheden in abn ftra&o befchouwd, of zo als dezelve door algemeene Algebraïfche karakters uitgedrukt worden*
III.
Van tweede , derde, vierde en andere Fluxiën. . . • 7
IV.
Van de Fluxiën der Logarithmen en Exponentiaale Grootheden, • • . 34
. . . . .
i° A
V . — — Van de omgekeerde Leerwyze, of de bepaaling der Fluenten van gegeevene Fluxiën. 46 VI. * •» Van de toepasfing der Fluxiën in de Oplosfing van Voorftellen, waarin geëischt wordt de Maxima en Minima van Grootheden te iepaaien, . • • 9% VII. — — Van de toepasfing der Fluxiën in de Oplosfing van Voorstellen, waar in geëischt wordt Ruaklynen tot Krommen te trekken. . 187 VIII.
Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Voorftellen, waar in begeerd wurdt de buigpunten van kromme Lynen te vinden. 305
IX. — — Van het gebruik der Fluxiën in de Oplotfing van Voorftellen, waar in begeerd wordt de kromtefiraalen van kromme Lynen te vinden. 217 X . • — Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos» fing van Voorftellen, waar in begeerd wordt de natuur der ontwondene Kromme (Evoluta) van eene gegevene opgewondene Kromme (Involuta) te vinden. . . . 23J XI.
vin
I N H O U D .
X i . A F D E E L I N G . Van de handelwyze om Breuken of irraMonaale Grootheden in oneindige Series of Reekfen te brengen. . Bladz. 245 XII. — — Van de bepaaling der Fluenten van ge. geevenc Fluxiën, doet middel van onëindige convergeerende Reekfen, . . 277 XIII. — — Van het gebruik der Fluxiën in de Op. losfing van Voorftellen , waar in begeerd wordt kromme Lynen te reÜificeeren, of haare Lengtens te vinden, . . . 283 X I V . — — Van het gehruik der F/uxien in de Gphsfing van Voorftellen , waar in begeerd wordt de Inhouden van kromlynige Ruimtens te vinden. " • 33 r
X V . ' • • Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Voorftellen, waar in begeerd wordt de bultige Oppervlaktens van Lighaamen te vin. den» . . . . 322 X V I . — — Van het gebruik der Fluxiën in de Op. losfing van Vwrftellen, waar in begeerd wordt de Inhouden van Lighaamen te vinden, 327
E E R -
Ë E R S T È
B E G I N S E L E N D E R
FLUXIE-REKENING.
E E R S T E
AFDEELING.
Van de Natuur der Fluxiën.
O
m van de Naiuur der Fluxiën een juist en gepast aenkbeeJd te verkrygeu , i het vooral Boodzaakelyk den Leezer onder het OOK te brengen hoedanig hy den Oorfprong en de Jeeïing van Wiskundige Grootheden behoort te befchouwen. In .e gemeene Meetkunde is men veelal gewoon de Grootheden als eene verzameling of opëenltapeling van zeer kleine deelen aan te merken; eri deeze befchoüwing is ten dien opzichte piet alleen niet afte keuren, maar ook in veele gevallen, waar in zy onöntbeerlyk is , van de grootire nuttigheid, gelyk allen , die zich in de beginfelen der Meetkunde éenigzins geöcffend hebben, niet onbekend kan zyu. s
t. Doch de Leerwyze, waar over ik nu zal handelen, is van eene gehee) andere natuur, in dezelve worden de Grootheden niet aangemerkt als eene Verzameling van zeer kleine deeltjes ; maar als Grootheden , die door eene geduurige on'dfgebrokene beweegiug befchreeven worden. Dezelve laat met toe, dat men zich de Grootheden verbeelde als de Aggregaten of totaale fommen van een oneindig geA tal
*
E E R S T E
B E G I N S E L E N
DER
tal faamenftellende deeltjes (elementa); — neen, men moet dezelve befchouwen als het gevolg of gewrocht eener regelmaatige vloeijing, die, van'teerfte oogenblik van haar begin tot dat van volkomens rust, onöphoudelyk voortgaat. Maar Iaat ik my nader verklaaren. Alle Grootheden worden aangemerkt als geteeld zynde door de geduurige beweeging van eenige haarer einden of uitenten; als een L y n door de beweeging van een P u n t ; een Vlak door de beweeging van een L y n ; een Lighaam door de beweeging van een Vlak% en een Hoek door de beweeging van een zycer Beenen om een vast Punt, dat men hec Hoekpunt noemt. i. De Grootheden, welke aldus door eene geduurige beweegi'.g van eenige haarer einden of uiterften geteeld worden , noemt men Fluênten of vloeijende Grootheden: en de hoeveelheid, welke eenige vloei, jende Grootheid, met de teelende Snelheid in eenen gegeevenen Hand of tydltip f zo dezelve van daar af (leed ; onveranderlyk blyft), regelmaatig aangroeit, is de Fluxie van die'Gr ootneid in dien ftand, o f in dat tydltip. 1
3» Om dit nader op te helderen, zo laat begreepen worden dat een Punt b, 't zy met eene f enpaa^ rige of verfnelJi} ' lende bewee^ ging , van A voortloopt, en daar door eene rechte L y n Ab teelt: laat wyders onderfteld worden, dat de fnelheid van dat Punt in etrev voorgettelden ftand zodanig z y , dat (wanneer dezelve van dien ftand af onveranderlyk bleef) dezelve genoegzaam zou zyn , o m , in den gegeevenea tyd votr de Fluxie bepaald! den afftand S J te befchryven, of g>'iykmaatif> oyer te loopen : dan zaj de gemelde afitand ï i de begeerde Fluxie de vloei. 1
1
1
1
r
F L U X I E - R E K E N I N G .
3
vloeijende L y n hb, in dien ftand, behoorlyk uitdrukken. Dus i s , by voorbeeld, de beweeging eens Rogels, door her. vermogen zyner eigene Zwaartekrachc ne. derdaalende , geduurig verfneilende 5 doch om de Fluxie van de doorgevallene ruimte, in eenen gegeeveren ftand desKogels, te verkrygen, moeien wy vinden hoe ver de K o g e l , met eene gelykmaat'ge beweeging, van dat Punt of dien ftmd af in eenen gegeevenen tyd zou daa'en, wanneer de Zwaartekracht, of de Aantrekking der Aarde , van daar af ha are werking ftaakte. Dus zal men door dat middel een zo klaar denkbeeld van de Fluxie en de juiüe Maat der fnelheid van den Kogel, in een gegeeven Punt, verkrygen, als in die Gevallen, waar in de beweeging werkelyb gelykmaatig is. 4. Alhoewel, ter verkryging eener juifte en dufdelyke bevartïng van de Natuur en de Hoegrootheid eener Fluxie , de befchouwing van T y d , waar op zelfs onze denkbeelden van fnelheid fteunen, volftrekt noodzaakelyk i s , moet men echter niet denken, dat 'er altoos eene gemeene Maat van tyd (als een Secunde , een M i n u u t , een U u r , er,z.) vereischt wordt, om de voortbrenging van deF/uxiën der Grootheden , die onder onze befchouwing vallen, te bepaalen. Een L y D , door de gelykmaatige of eenpaange beweeging van een Punt geteeld, zo als boven ( § . 3.) aangemerkt i s , kan als eene eigenlyke uitdrukking of maat van den tyd gt nomen worden : en die tydruimte, welke die ook z y , waar in de aldus geteelde Lyn met eenige lengte of bepaalde Fluxie vermeerderd wordt, kan voor den tyd, in de b.pailing bedoeld, genomen worden; zo als in 't vervolg van dit Werk duidelyk zal blyken. 5. Uit het geen ik in §. 3. gezegd heb, is na openbaar, dat, wanreer de teelende beweegint-; gelykmaatig is , de Fluxie *en het Increment of aangroeijend deel, dat daadelyk in den gegeevenen tyd A s be-
4
EERSTE
BEGINSELEN
DXK
befchreeveD wordt, ééne en de zelfde zaak z y n : doch zo de fnelheid gedüurig aangroeit, of afneemt, moet alsdan de Fluxie of kleiner of grooter dan het gemelde Increment , of de daadelyk befchreevene ruimte, z y n : vermits eene aangroeijing der fnelheid noodzaakelyk eene aangroeijing in den overgeloopen afltand moet te weeg brengen , en zo ook in tegendeel. 6. Daar benevens is het klaarblyklyk uit het voorengezegde , dat Grootheden, welke vloeijen, of te gelyk aangroeijen, zulks dat dezelve fteeds in eene flandvastige Reden blyven , insgelyks haare Fluxiën in dezelfde flandvastige Reden hebben. Om dit met een byzonder voorbeeld op te helderen , zo onderftelle men , dat twee. Lynen A b en Bc , door de gelykmaatige beweeging van twee P u n ten b en c, zodanig geteeld worden, dat de laatfte van dezelven geduurig, of in alle overëenkomftjge g ftanden, Ai 1 i 1 gelykaan a
S B f
h e t
d a b
-
beid van da eerfte
+•
T
•
i
z a l
z
y
n :
~t neemende alsdan S , T ; en j , t als gelyktydige ftanden van de gemelde teelende Punten, z a l , door de OnderftelÜng, B T het dubbeld van A S , en B r het dubbeld van A i z y n ; dienvolgens moet ook Tt, de Fluxie van B T , het dubbeld van S r , de Fluxie van A S , z y n . Aan den anderen kant is het mede klaarblyklyk, dat, wanneer de Reden der Fluenten kb, B c vc-randerlyk i s , die van de Fluxiën insgelvks veranderen moet. Indien dus, terwyl het Punt b zich gelykmaatig blyft bevveegen, naar reden van een Duim, V o e t , Roede, enz. in een Secundetyds, de beweeging van het ander Punt e zodanig gericht wordt, dat het getal Duimen , Voeten, Roeden, enz. i n de vloei-
F L U X I E - R E K E N I N G .
9
vloeijende L y n Bc, daardoor geteeld, geduurig ge» Jyk zy aan het Vierkant van 't getal der Duimen, Voeten, Roeden, enz. in Ab, door het voorgemelde Punt b befchreeven; dan is het in dit Geval openbaar, dat de Reden der Fluenten Ah, Bc eene veranderlyke Reden is ,• en dat de lieden der Fluxiën insgelyks veranderlyk i s , aangezien de aftanden 1, 4, 9, i*5 , 2 5 , enz., door het Punt c in 1, 2, 3,4,5, enz. Secunden tyds befchreeven , in Evenredigheid veH fneller aangroeijen, dan 1 , 2 , 3 , 4, enz., de overeenkom(tige afflanden , die door de eenpaarige beweeging van het ander Punt b overgeloopen worden. 7. De Fluxiën van Vlakken en Lighaamen worden op de zelfde wyze befchouwd , en men kan zich van dezelven even zo gemaklyk een denkbeeld maaken, als van de Fluxie 'eener rechte L y n . Men ver» beelde zich, dat eene gegeauene rechte L y n bc zich, met eene gelykmaatige beweeging, van den (land AB af ev.nwydig aan zich zelve beweegt, en daar door den vloeijenden Rechthoek AbcB teelt; laac iDsT> T -f fl gelyksdeaf•P. • • 3 f «and Sx O 3-) de uitdrukking , der Fluxie 1 0) , van de L y n A S ^ "' ' P A ^ z y n , en de Rechthoek S r ï T voltooid woraen. Dewyl dan deeze Rechthoek de ruimte is, die door de teelende L y n b c, met eene gelykmaatige beweeging, befchreeven wordt, in den tyd dat A b op gelyke wyze de lengte S f aangroeit, zal ook die zelfde Rechthoek S j ' r T de waare Fluxie vao den vloeijenden Rechthoek Ac indien ftand z y n , volgens de bepaaling ( § . 2 ) . 5 8. Een Punt kan begreepen worden zich te verplaatfen met eene tweevoudige foort van beweeging; . •. A 3 na*-
6
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
naamelyk, of met eene eenvoudige beweegmg, of met eene beweeging , die uit twee anderen is faamengefteld. Men verbeelde zich , dat de Punten A en B zich rechtftreeks van A naar L , en van B s\ rs r naar K beweeA
L>—JJ_^ Ju geni dan zullen i = dezelve door ^ fë-vM' beweeging —-K\ <^ l^v^T derechteLyrjen y ^ ' ^ T \ / ALenBKbeV> ^V^^ ^ ^ L l ^ f fchryven. InZf. K . / A > r ; dien de gehee* V , leLynABzich I 1 —L . g naar K B R G H K beweegt,endat het punt A in het zelfde tydltip zich van A naar B begint te-beweegen, zal het punt A , met deeze beide beweeeirgen verplaatst wordende, of eene rechte Lyn,or eene Kromme befchryven, na dat deszelfsfnelheden in elke richtftreek tot elkander gefchikt, en geëvenredigd z y n , of zich tot elkander verhouden. Z o dezelve tot elkander in zodanige Keden waren, dat de. ruimt e r s , welke inden zelfden tyd door hetPunc A in de richtftreek A B , en het Punt B in de richtftreek B K , befchreeven worden, geduurig de zelfde Reden tot elkander hadden, zou het fpoor der beweeging van het punt A eene rechte L y n zyn. Stel, by voorbeeld , dat, terwyl het Punt B zich van B naar G beweegt, het Punt A zich van A naar s beweegt, en dat, terwyl het Punt B de L y n B H befchryft, het Punt A de L y n A t zal befchryven; of w e l , dat, als B in G o f H i s , het Punt A inde Lynen . D G en E H , celyk en evenwydig aan A B zynde , in k of l zal zyn. Indien dan deeze ruimtens tot elkander evenredig z y n , of wel , zo men deeze Evenredigheid heeft Uk : El :: B G : B H , welke, uit hoofde der parallsle L y n e n , overeenkomt met deeze : As A t : : s* : tl\ dan zyn de Punten k en l in eene rechte L y n ; en zo deeze Evenredigheid Overal en in alle ftanden plaats heeft, zal ook de Lya fv^-^
d i e
L
v a n
F L U X I E . R E K E N I N G .
7
Lyn A-klK, het fpoor dor faamengeftelde beweeging van het punt A , eene rechte L y n zyn. 9. Indien de ruimtens, door de beide bewecgende Punten in den zelfden tyd befchreeven, niet aldus tot elkander evenredig zyn > dan is het fpoor van het Punt A eene kromme L y n , die naar de L y n A B uitgebogen is , als de Kromme AdfK, of ten opzichte dier zelfde L y n A B ingebogen i s , als de Kromme ApbK. In het laatlte geval worden de L y nen f b en t n, door de beweeging van B naar K , in den zelfden tyd befchreeven» waar in de Lynen As en A t , door de bëweeging van A naar B , befchreeven worden : en de L y n , door de faamengeftelde beweeging van het Punt A befchreeven, is de Kromme ApbK., die ten opzichte der L y n A B ingebogen is. In het eerfte geval worden de Lynen sd en tf, door de beweeging van B naar K , in den zelfden tyd befebreeven, waar irt de Lynen A f cn At, door de beweeging van A naar B , befchreeven worden; en de L y n , door de faamengeftelde beweeging van het Punt A befchreeven, is de Kromme A d / K , die naar de L y n A B uitgebogen is. •10. Z o nu de Kromme ApbK door het Punt A ïn deszelfs faamengeftelde bëweeging befchreeven was, zouden de ruimtens, door de beweeging in A B befchreeven, eene kleinere Reden to*: elkander heb. ben, dan de ruimtens, welke door de bëweeging in B K befchreeven worden: en zo de Kromme A d / K opgelyke wyze befchreeven was. zouden de ruimtens, door de beweeging in A B befchreeven, eene grootere Reden tot elkander hebben, dan de ruimtens, welke door de beweeging in B K befchreeven worden. Om zulks aan te toon en, zo trekke men dePeefen Ab en A i , fnydende de L y n tn, of derzelver verlengde, in de Punten C en e.. Dan heeft men wegens de geljkvormigheid der Driehoeken Asb, AtC, de volgende Evenredigheid : As : At :: sb : tC. A 4
Der-
Q
EERSTE BEGINSELEN DER
As sh Derhalvgn — - = — . Dewyl nu t C > tn i s , At tC ' ' sb sb sb As zo is ook — > — ; dat is — > . Waartra tC t n At uit blykt, dat de ruimtens, door de beweeging i n de richtftreek A B befchreeven , eene kleinere Reden tot elkander hebben , dan de ruimtens, welke refpeétivelyk in dezelfde tyden, dojr de beweeging in de richtirreek B K , befchreeven zyn. Aan deq anderen kant heeft men ten aanzien van de Kromme A d / K , door de gelykvormigheid der Driehoeken Asd, A f e, deeze Evenredigheid: A s : A t : : sd : te» Ax si Derhal ven — S — . Dewyl nu te < tf i s , At t e. sd s d sd As zo is ook - — < — - j dat is — - < - — . Dientf te tf At volgens hebben dc ruimtens, door de bëweeging in de richtftr -ek A B befchreeven , eqne grooteVe R e den tot elkander, dan de ruimtens, welke refpedti» velyk in de zelfde tyden, door de peweeging in de richtftreek B K , befchreeven zyn. r t . De Fluxie eener Driehoekige of Kromlynig^ ruimte A S T wordt op de zelfde wyze verklaard, als die yan eenen Rechthoek. Want, laat de Krom» lynige ruimte Abc geteeld TT^^/ worden door de geduurige en j/fy--{y evenwydjge beweeging der /c ! veranderlyke Lyn bc, en laat / i S i de Fluxie van den Bafir / i j óf Abjcisfe Ab zyn ( § . A / . " : dan zal ook in dit geval de £ ^ R ^ h t e k S x t T de
F L U X I E - R E K E N I N G ,
Ö
der geteelde ruimte Abc z y n . D e reden hier van |s klaar, uit hoofde d a u wanneer de lengte en fnelheid der teelende L y n bc van den ftand S T af onveranderlyk bleeven, de Rechthoek SstT alsdan geJykmaatjg geteeld zou worden met de zelfde fnelheid » waar mede dezelve in den aanvang geteeld wordt, of waar mede de ruimte Abc in dien ftand is aangegroeid. 12. Deeze waarheid zal nog duidelyker b l y k e n , door te bewyzen, dat de begeerde Fluxie noch grooter, noch kleiner, dan de gemelde Rechthoek SstT fcan zyn. Onderftellende dus, dat de rr> j^"^ L y n bc, terwyl dezelve zich _sf<3r'--f gelykmaatig naar s t beweegr, *r ^c^-in lengte aangroeit, dan zal f I de daar door geteelde Inhoud f \ S k T klaarblyklyk grooter; A ó / o " ' z y n , dan de Inhoud, welke, met de gegeevene lengte in den eerften ftand S T , inden zelfden tyd gelykmaatig zou voortkomen} uit hoofde dat, wanneer de teelende L y n geduurig langer wordt, de niéuwe deelen , welke in elk achtervolgend oogenblikontftaan, fteeds hoe langer hoe grooter worden. Wederom, onderftellende, dat de L y n bc, de Fluxie teelende, van den gegeevenen Itand S T af geduurig in lengte vermindert, dan is het insgelyks Klaarblyklyk , dat de geteelde ruimte Sb cT kleiner zal zyn dan de gelyktydige ruimte, die, met de gegeevene lengte in den eerften ftand S T , gelykmaatig zou voortkomen Aangezien dan de Fluxie, of de ruimte, die uit de teelende fnelheid in den voorgeftelden ftand gelyki maatig zou voortkomen , kleiner is dan eenige ruimte , die in den gegeevenen tyd befchreeven kan worden, wanneer de L y n bc aangroeit, en grooter daa A 5 eeni1
ö
0
lo
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
eenige ruimte , die ie den zelfden tyd befchreeven kan w o n e n , wanneer de gemelde Lyn afneemt; moer. derelve by gevolg gelyk zyn aan die ruimde, welke ontitaan z a l , als men ondcrftelt, dat delengte der ge.-nelde L y n , van den gegeevenen ftand af, noch i a n g r ö e i t j noch afneemt; dat is, wanneer de geteelde- ruimte SbcT een Rechthoek is. z
o
M . Uit hetgeen dus verre gezegd is b l y k t , dat de Muuen vau Grootheden geduurig als de fnelheden zyn , door welke de Grootheden zeiven aan. groenen. Weshalven het geenszins moeijelyk is zich een denkbeefi ie maaken van de Fluxiën van Grootheden , welke niet door eene evenwydige beweeging, maar door de Omwenteling van Lynen of Vlakken geteeld worden. In 't vervolg van dit 'Werk zal hierover in 't breede gehandeld worden. 14. Alie Grootheden die geduurig de zelfde waarde behouden, en dus aan geen vloeijing onderhevig z y n , worde- gegeevene,ftandvastige,of onver ander, lyke Grootheden genaamd, ü u s is in eenen Cirkel de Diameter eene ftandvastige Grootheid , terwyl de Sinus verjus en de overëenkomttige Sinus veranderlyke Grootncden zyn. Op gelyke wyze is in een Farabool de Parameter of het Latus redum eene Itendvestige Groo>heid, terwyl de Abfcisfe en overeenkomltige Ordinaat veracderlyke Grootheden z y n . T W E E D E
A F D E E L I N G .
Van de Fluxiën der Grootheden in abftrafto hefchouwd, of zo als dezelve door algemeene Algehraïfche karakters uitgedrukt worden. i f . Gelyk men in de Algebra gewoon is de eerfte letteren van bet A B C voor bekende of gegeevene Grooi»
F L U X I E - R E K E M I N G .
n
Grootheden, en de laatfte letteren voor onbekcn le of gezochte Grootheden te ftellen, wordt ten aanzien der Fluxiën eene genoegzaam overëenkomfb'ge bandelwyze gevolgd. Naamelyk, men Hele in 't algemeen de eerfle letteren a, b, c, d, enz. voor ltandvastige, en de laatften u, x, y, z , er.z. voor veranderlyke of vloeijende Grootheden. Dus km de Diameter van een gegeeven Cirkel door a , en de Sinus eens Boogs van trien C i r k e l , als vcanJerlvk befchouwd zynde, door x uitgedrukt wordcr. 16. De Fluxie eener Grootheid, die in eene enkele letter b e ü a a t , wordt gewoonlyk. uitgedrukt door de zelfde letter meteen punt daar boven Wanneer dus * o f y voor eene Fluënt of veranderlyke C r rotheid gefield wordt, zal de zelfde letter met een punt daar boven, als x , y, de Fluxie van x ofy refpectivelyk aanduiden. Voorts, dewyl de ff and va-tige Grootheden geen vloeijing onderhevig z y n , zo is de Fluxie van a of b gelyk o. 17. De Fluxie eener Grootheid, welke, in plaats van aan te groeijen, afneemt, moet ah negaiif b ; febouwd worden; en de Fluxiën van alle Grootheden, welke eenige betrekking tot elkander hebben , worden fteeds als gelyktydig genomen, of als zodanig, dat z e , met haare refpeftive fnelheden, in een en denzelfden tyd te gelyk geteeld kunnen worden. 18. De Fluxiën der Grootheden , die in eene enkele letter beltaan , nu eens vooral bepaald zyn. e (§• 16) » worden de Fluxiën van alle andere Grootheden, hoe genaamd, gemaklyk gevonden. Ik heb my voorgefteid hier toe eenen zodanigen weg in ie flsan , die ik oordeele de gefchiktfte te z y n , om zodanige Leezers, welke niet zeer gewoon zyn in 'c afgetmkkene te denken, op eene gemaklyke wvze de Fluxiën van alle Grootheden, welke die ook z y n , teileeren viuden. T o t dat einde zal ik eci>c de Fluxie
12
EERSTE
B E G I N S E L E N DES
Fluxie van eenen Rechthoek, of het Produtï van twee veranderlyke Grootheden x en y, bepaaleu, en vervolgens, door bondige fluitredenen, de F/uxièn van alle andere Grootheden daar uit afleiden. Om nu de Fluxie van eenen Rechttfoek , o f het Frodutt van twee veranderlyke Grootheden x en y te bepaalen, zo verbeelde men zich, dat twee rechte Lynen D E en F G , perpendiculair tot elkander, A -n zich van twee ^•f andere rechte Lynen AB en A B C , geduuC T -g ^ rig evenwyj/ . . dig tot elkan' ~ jGrderzynde.be« j weegen, en y / ^ ^ . : daar door den <£-1 x \ ^ veranderly-
B
X % ken Recht, i ' , •. . hoek D F t e e ien; iaat het fpoor haarer doorfnyding, of de Plaats ( Loei) van den hoek S , de L y n B S zyn , welke den geteelden Rechthoek D F in twee deelen B D S , en B S F deelt. Laat wvders Od (x) en Ff (y~) A a ff ^ y O ) en B F f-y) z y n ; onderftellende, dat «f, en ƒ r refpecftivelyk: eveawy* dig en gelyk aan D S en F S getrokken zyn. Aangezien dan de Fluxie van de ruimte of Inhoud nuü naauwkeung uitgedrukt wordt door den Rechtu
0
z
d e n
B
D
hoek D x ( =
* -- l at
v
e
r
m
i
t
s
r
C^xy)
f « . 12.1.
gelvke Grootheden ook ge-
lykel'luxien hebben, de F/imV van den voorgeftelden Rechthoek, o f het Product van twee verander, lyne Lrroothcden * en y, zynde a 7 = B D S - f B S F , behoorlyk uitgedrukt wordt door y x + x y. Dus is
F L U X I E . R E K E N I N G .
13
is ook in db/iraiïo de Fluxie van x y ± s y x + x j . 19. D e Fluxie eener veranderlyke Algebraïfche Grootheid nu gegeeven zynde, wordt de Fluxie des Vierkants van die Grootheid zeer gemaklyk uit de Fluxie eens Rechthoeks van twee veranderlyke Grootheden afgeleid. W a n t , laat x* het Vierkant der gegeevene veranderlyke Grootheid z y n ; dan zal men, in aanmerking neemende, dat x ZZ x X x is, en voorts xxx met xy of xxy vergelykende, *zz y hebben, 1
en dus ook x z: y.
Maar de Fluxie van x y is ~
y x + x y (§. 18).
Stellende derhalven x in plaats
van y , en x in plaats van y, zal men voor deF/an's van xxx
of * verkrygen * a
x'£ »
S' •* i *
20. De Fluxie van een Rechthoek eens bepaald zynde ( § . 1 8 ) , heeft men een open w e g , om de Fluxie van het geduurig Prodnft van drie, vier, vyf, of meer Vloeijende Grootheden daar uit af te leidenOm dus de Fluxie van xyz, waar van het getal der FaEtores 3 is, te vindeu , zo ftelle men xyzz v ; dan is de gegeevene uitdrukking xyzzzvz, en de Fluxie van vz zz z v -f- vz ( § . 18). Maar yzzzzxy zynde, volgens de onderlïelling, zo is derhalven ook y - j ï B y gevolg n =zxyx
+ n
+ xy ( § . 18).
(de Fluxie van v z o f xysj)
+ xy ~+xy x '2 zz y z 'x+ a;zy+jcj *. Z
a i Wederom , wanneer men de Fluxie van wxyz, waar van het getal der FaStores 4 i s , begeert te vinden, zo ftelle men x y z zi v; dan is de gegeevene uitdrukking w x y z zz v w» en de Fluxie van vw zz w v + viv ( § . 18).
Masr
14
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
Maar v ~ xyz zynde, volgens de onderlïelling, zo is derhalven ook v z r y z a . ' + a c z ' y - j - ï ' y g Dienvolgens w v + ^xvz) =
vw
(de Fluxie van vw o f
w x y z a - f - a z y -+- xyz +xyz
x w =
wyz x + wjczy-r-WiC^yz +xyz w. Op gelyke wyze zal blyken, dat de Fluxie van u w x y z zal z y n w xy z u
-j- u x yzw + uwy
z x
-huwxzy + uwxyz* en zo ook met andere Producten van vloeijende Grootheden. 22. r i t de Fluxie eens Rechthoeks, boven bepaald ( § . 18), kan nu ook de Fluxie eens Breuks zeer gemaklyk afgekid worden. x Laat tot dat einde — de voorgeftelde Breuk z y n . y x Stel dan — ZZZZZ z; dan is ook x ZZZZ y z , en der«
*
*
•
halven x ZZZZ z y + y z (§. 1 8 ) , o f y z :—z y.
•
x—
Deeze laatfte Vergelykinge door y deelende, x
zy
y
y
bekomt men z zzzz y z x —•
'x , o f 2 r~~: — -— y
x
Maar zzz — , volgens de onderlïelling: derhal-
F L U X I E . R E K E N I N G . ^
.
ar
X
y
x
xy
yx
y
y
y
y
y*
y*
iS xy
yx — xy zzzz — — — — , de waare Fluxie van den voorgeftel-
r den Breuk. 23. Uit de nu bepaalde Fluxiën worden ook de Fluxiën van al'e Magten eener veranderlyke Groot* heid , wier Exponenten geheele en pofitue getallen zyn, met weinig omflags gevonden. M e n eefthier by de gegeevene Magt flegts als een ProduEt re befchouwen , dat uit verfcheide onderling gelyke FatJo. res beliaat. Daar nu de Fluxie van x yz~
^zx-h
» z y + *-?L U ( § . cio), zo is het klaar , dat ftcllends y cn z ieder ZZ x, alsdan ook J e n j ieder er x zullen z y n , en derhalven de Flutnt of de voorgtftelde Grootheid zal worden x*, en derzelver Fluxie xx» -j- x x #4.
xxxzz^x'x.
24. O p gelyke wyze zal men bevinden, dat de Fluxie van
die
** zal syn
qx x,
. . . . .
?Ï*X.
van
die van x
6
3
6x x, s
die van x ', . . . . yx 'x 7
6
t
En
36
EERSTE BEGINSELEN D E *
E n ia '£ algemeen zal dé Fluxie van x m—i worden door m » x.
uitgedruk»
05. In de Dedutlie der voorgaande Fluxie van x heeft men de Waarde van m als een geheel en pofitif getal befcboawd; doch 'lellende dat de Waarde van m een Breuk of negative Grootheid z y , zal evenwel het izelfde befluit doorgaae. Om zulks te doen blyken, zo laat s
in de eerfte plaats voorgefteld worden de Grootheid x (. y/ # ) , ten einde derzelver Fluxie te bepaalen. Stellende derhalven | in plaats van m in de algemee3
771-1
ne Fluxie mx
.
|
x, zalmen voor de Fluxie van x
vinden 1 x
'x.
Om nu te bewyzen dat deeze de waare Fluxie ïs« 1 tö laat de gegeevene Grootheid x z= y zyn ; zo men alsdan dc beide leden deezer Vergelykinge tot de tweede magt verheft, zal men hebben x zzy dat is in Fluxiën 3 * ' x E ayy ( § . 2 4 ) . Stellendenu A
x
t
3 -
s
Voor ? haare Waarde a; in deeze Vergelykinge, zal 3 , dezelve worden 2 * y — 3** en deelende door a * « z a l men eindelyk bekomen y'zz lx * x de 3
waare Fluxie der Grootheid * worden.
t
, die gevonden moest
26. Z o
if
FLÜXIÈ-REKENING*
ö6. Z o echter iemand mogt dénken , dat het voorgaande Bewys niet toereikende i s , om daar uit een algemeen befluit te maaken , zo zie hier een alge. m meen Bewys. Laat x (waar in m en n geheelegetallen Verbeelden ) de Grootheid z y n , waar van de m «
Fluxie gevonden moet worden. Stel y ZZZZ x ; dan zal m e n , door de beide leden deezer Vergelykinge de B m tot de B Magt te verheffen, bekomen y zz x 5 B — ï
«J-* I
.
dat is in Fluxiën n y
y zzmx TM—I
m x By gevolg y ZZZZ — x
.
#(§>34)«
.
x
•
B - ï
«
y w-i ï _
yx
TB
x
n
n
y m
y X
x
n
±
sa
m n . m
*
m—\ .
x
x
n
m X
B
Deê.
iS
EERSTE
BEGINSELEN DER
Deelende na den Teller en Noemer des Jaatftcn m# —i Breuks beide door x
. zal men hebben m
n
x
'
m . m n en eindelyk 31 ZZZ — xx x, zynde de zelfde • n Fluxie, die gevonden wordt, als men in de alge. m-J
meene Fluxie mx m in plaats fielt.
.
m
x ( §. 24.) de waarde — voor «
0.7. De Fluxiën der Magten met negative Exponenten worden insgelyks zeer gemaklyk uit de algemeem ne Fluxie van x ( § . 24.) afgeleid. Om zulks te doen blyken, zo laat wederom voorgefleld worden de Grootheid *
—— - ^
Fluxie te bepaalen.
Stellende derhalven —— 3 i n
9
ten einde derzelvfer
plaats vau m m de algemeene Fluxie van x zal men voor dc Fluxie van x —4 . — $x x.
ö
(§.24).,
verkrygen
Om
F L U X I E - R E K E N I N G .
ÏJJ
Om te bewyzen, dat deeze de waare Fluxie van *
-3.
i s , zo laat y _
i
, de waarde der gegeeve-
""3 ne Magt x , zyn * zo men alsdan de beide leden deezer Vergelykinge met a» vermeenigvuldigt, zal men hebben x*y zz i; en (lellende x zz V , dan s
is vy zz i ; dat is in Fluxiën y v
vyzzo;
(§. 16
• — y & 1 8 . ) ; derhalven v y z. — y y , en j "* j! y
Aangezien nu , door de Onderlïelling, y — * i%, }
zo is ook v =
3 *• * ( §. 23 ).
By gevolg 31 —
—— x* - I •
tzzz — y x 3 * -3 -*
X3»
*• *-i . x.
É n eindelyk heeft men yzz-^x * * . de waars —3 Fluxie der «rgaïive Magt * , die gevonden moest worden. 4
a8. Een algemeen Bewys Zal toereikende z y n , om dit betoogde meer klem by te zetten, en iten» . —n « r aan te dringen. Laat * de Grootheid zyn* waar vaD men de Fluxie begeert te vinden. Stel B 2 we»
-20
EERSTE
BEGINSELEN
wederom j C-* *0 =
— ;
DER
wanneer dan
n
x de beide Leden van deeze Vergelykinge met x ver. n meenigvuldigd worden, zal men hebben x yzzzzi ; n Hellende nu x
— y , dan is wederom v y zz i , en
in Fluxiën y v -h v y zzzz o ( § . i<5 en 18.). W a a i —yy door men verkrygt y zz > . v Dewyl nu wederom , door de Onderlïelling, v zz x
n
,
« — i
i s , zo is ook vzz nx
m
w ( § . 24).
n— i . —yxn* * gevolg y ZZ — • s Sr
- I 2
—yx»K
. *
-»
-1 . r: —* xnx x -7J- I . en eindelyk y r: — n x x, zynde de zelfde Fluxie, die gevonden wordt, als men in de algemeey
TM—I
ne Fluxie m x £» ia plaats Helt,
.
x ( § . 24,) de waarde—» voor
ap. Is
J L U X I E - R E K E N I N G .
2t
f
ag. Als de Exponent der gegeevene Magt niet a l . ken ntgatif, maar ook eene gebrokene Grootheid i s , wordt derzelver Fluxie even gcmaklyk gevon-
r den. B y voorbeeld , wanneer x s de gegeevene Magt is", heeft men in de algemeene Fluxie, §. 28. r gevonden, flegts — in plaats van n te flellen; waar s r
uit danzalblyken,dat
van *
r s
r s
~~ 7 . * i de waare Fluxie
is.
30. Misfchien heb ik fommigen myner Leezeren verveeld, en hun geduld te veel gevergd, met deeze ftoffe zo naauw uit te pluizen. Ik beken gaerne, dat ik met minder woorden het zelfde had kunnen zeggen ; doch zulks doende had ik geenszins den zetregel gevolgd, die tot hier f>e den grondflag van alle myne uit gegeevene Werken geweest is. leder,' die gewoon is anderen in Weetenfchappen te onderwyzeu, ondervindt van tyd tot t y d , dat de waare vatbaarheid niet aan alle menfchen, maar flegts aan zeer weinige, eigen i s ; dat men, om zo te fprecken, den eenen eene zaak met zeer weinig woorden aan 't verftand kan brengen , terwyl men vuor eenen anderen eene zeer groote omfchryving en uitbreiding noodig heeft. De zucht, die my altoos bezield heeft, om myne geringe talenten ook anderen deelachtig te maaken,'ten welken einde ik my gerustelyk op het getuigenis myner Vrienden, welken ik daarvan blyken getoond heb, durf beroepen, is de eenige beweegreden die my daar toe genoopt heeft. Als men verders in aanmerking neemt , dar, dit Werk de eerste Verhandeling is-(een klein, B 3 doch
42
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
doch niet voltooid Fragment, door my in vroeger tyd in 'c Oeffenfchool der Mathematifche Weetenjchap. pen geplaatsr , uitgezonderd) die in de JNederduix-, iche Taal over de Fluxie-Rekening het licht ' e t , zal myne gemaakte uitbreiding, zo ik my durf vleij e n , loor alle myne Leezeren , wie zy ook z y n , volkomen goedgekeurd worden. Z
3 K U i t het geen ik dus verre in deeze A F D E E L T i v C voorgedragen h e b , worden de volgende' pratlicaale Regeleo, om de Fluxiën der Algehraïfhe Gaotheden te bepaalen , tot een vaardig behulp afgeleid. Orn den Leezer geleger.heid te gee* ven'_, zich in het nu voorgedragene te oeffenen, zal ik by die Regelen nog eenige toepasfelyke Voorbeelden voegen. I . Om de Fluxie eener gegeevene Magt van eene veriinderlyie Grootheid te vinden. Vermeenigvuldigt de Fluxie des Wortels met den Exponent der M.igt , en het Produit mee die Magt; van' den zelfden W o r t e l , welkers Exponent de Eenheid minder is dan de gegeeven Expment. De grond van deezen Regel is boven ( § . 1 9 . ) aangetoond. Dezelve is in de daad niets anders,. r»~l . m dan m x x, de Fiuxie van * C§- i 0 , i a woorden uitgedrukt, 2
I I . Om de Fluxie des Producls van verfcheide veranderlyke Grootheden, te faamen vermeenigvuldtgd, te vinden. Vermeenigvuldigt de Fluxie van elke Grootheid met het Producï der overige Grootheden; dan zal de fom der Predutten , welke op die wyze ontftaan , de gezochte Fluxie z y n . De
F L ü X I E-R E K E N I N G. De reden hier van is klaarblyklyk uit in §. 20. getoond is.
23
hetgeen
l i l . Om de Fluxie eens Breuks, uit de Deeling eener veranderlyke Grootheid door eene andere ontjtuan. de, te vinden.
Vermeenigvuldigt de Fluxie van den Teller mee den Noemer, als mede de Fluxie van den Noemer met den Telier; trek vervolgens het laatile'Produlï van het eerlte af, en deel het Overblyf'lèl door het Vierkant ues Noemers. De grond van deezen Regel is boven ( § . aa.) aangeweezen, T O E ' P A S S E I . Y K E
V O O R B E E L D E N
op de drie voorgaande Regelen. 1. ) De Fluxie van x
s
is 5 x* x.
2. ) De Fluxie van a + x\
is 10. a - h * ! * . 9
3. ) De Fluxie van a x? is 3 a x* x. n 4. ) De Fluxie van abx
n—i is abnx
a
x.
5. ) De Fluxie van y aa — xx is —
,
y aa—xx 6. ) De Fluxie van yx + y y is * x-+ i y ^
B 4
X
+
y
y' x f
»
of
14
EERSTE BEGINSELEN O E * i y
x -h % y
Of
—— t 3
.
]/ x y -+ y 7.) De Fluxie van \/ax + y a a - * * i s , , . „ a \/aax xx . x - x x zy axx
9. ) He Fluxie v&ax'y iszxys
+ iy4.y
5
x
sx
10.)
De FJime van
tl.)
j tGh 1. q n m mx x De Fluxie van (/a -+* is •
&$ ;)i* 3
I I i * t y ? 5 2 , ) De Fluxie van * y z is - * 7.x '
(
T
i
»
1 3
f
a
?
I
%
,
is b x Csx*y' *
f
S
e
F L U X I E - R E K E N I N G . 13.) De Fluxie van x x [/ay+xx 1
-
1* ay-ïxx\
-\
2$
is 2 x x
'.
*
m
a x x y + 2 X3 x >——
2. a y+ r.x\*
neb naai "ie shs , üi sWWseri^ijr? >
jssi&ir;.-*!
x
y x. — x y
Ï 4 0 De fYiafc van ——>• is —
15,) De Fluxie yarj
. is ————
'«
,6.)De J f e * v a n f Z is O
Mi
.
_
17.) De Fluxie van
a: 4- a I*
j
s
.
tt
m n
x+aXxi—2ax*
f
nt
18O DeJYaxze van i / y V E y
.
m—»
\
tl
m
J is — y
t
j
m SI -•-
—
—
»
m—11 my
m
A A N M E R K I N G . Waarfchynlyk zal het fommige Leezers vreemd B j voor-
'%6
EERSTE
BEGINSELEN m n
DER
H
m
1
voorkomen, dat y y~y zou zyn. Dcch elk, wien de natuur der Logarithmen bekend is , weet, m dat het trekken des Wortels van de — de Magt uit n y juisc het zelfde is , als of men den Logarithmus m van y door
deelt.
N u is het gemak'yk te bewy-
zen, dat het deelen eener grootheid door — even n
bet
zelfde is ,
als o f men
die grootheid
—, het omgekeerde des voorigen Breuks , Log. y rjigvuldigt: d e r h a l v e n — E Log. yx » m O
«
met
vermee. n — , en *
n_ m
dus ook V y =y . Indien dus mZZ i, en nzz 1 is, z;.l p y ~y* z y n ; want de Logarithmus vany door * te deelen is klaarblyklyk het zelfde, als of men dezelve met 2 vermeenigvuldigt:. r ~t
m lo.)De Fluxie vxa — y x n
P_ q
+y
l_ c;
is
Zzl q .
p — x
. . . .
«
zi
h
h c . x-\— y y
Q
C
-
,
»
p. br-t ~q~ ~7 J0_ y x + y r
.
ao.)
F L U X I E - R E K E N I N G .
a?
n m n p 20.) D e Fluxie v a n z \/x y - { - z is . . . . , ut
*
»
y
x— i .
z
ti
>»
z+x
z
n — 1.
y
m
«
y+—y
z
%
i«—1
»
x
*+«
ft
v
p - f - « * ö-4-B-j. -
- - - z
r
D E R D E
Van
,,
,.v.
z,alles gedeeld door ^
;» x
«
y
tZ
jhj.»
+ *~
,
z
A F D E E L I N G .
tweede, derde, vierde en andere
Fluxiën.
32. A l s eene b ë w e e g i n g g e d u u r i g verfnellende ó f v e w a a g e n d e is , k a n men haare fnelheid zelye als eene veranderlyke o f vloeijende G r o o t h e i d befchouw e n , en dezelve met eene L y n v e r b e e l d e n , a i e g e d u u r i g aangroeit o f afneemt. W a n n e e r eene f n e l heid geduurig a a n g r o e t , z o dat dezelve in g e l y k e ty ',su g e l y k e lncre?nenten o f aangroeijingen v e i k r y g c dan wordt haare Fluxie bepaald d o o r het Increment, dat i n eenen gegeevenen t y d w o r d t voortgebragt. I a dit geval wordr. de frelheid verbeeld met eene L y n , die met qene gelykmaatige beweeging befchreeven ï s ; en haare Fluxie met de ftandvastige fnelheid v a n h ê t P u n t , 't welk die L y n b e f c h r y f t , o f mee de r u i m t e , die door dat P u n t i n eenen gegeevenen y d befchreeven w o r d t . W a n n e e r eene fnelheid geenen gelykmaatigen loop h o u d t , maar i a gelyke t y d e n zodanige Increnienten v e r k r y g t , welke g e d u u r i g aan^ groeijen o f afr.eemen, dan wordt baflre"T.F/zme i n elk t y d l b p niet bepaald d o o r het Jncrenient dat z y w e r f
ke«
*8
EERSTE
BEGINSELEN
DER
kclyk verkrygt, maar door het Increment dat zy verkreegeü zou hebben, indien haare verfnelling van d a i r a f , geduurende eenen gegeevenen t y d , gelykmaatig gebleeven was. En wederom, wanneer eene beweeging geduurig vertraagt.zal de hoeveelheid, welke dezelve m eenen gegeevenen tyd verminderd zou z y n , als haare vertraaging van dat tydftip af gelykmaatig gebleeven was , haare Fluxie in dat tydftip bepaalen. Dus komt deeze befchouwing der Fluxiën. van hoogere rangen in allé opzichten overeen met net geen § 3. van de Fluxiën van byzondere Grootheden gezegd is. 3?. Laat d u s , by voorbeeld, de Lyn A B eene veranderlyke Grootheid verbeelden, welke door de beweeging van.het Punt B geteeld wordt, cn laat derzelvet eerfte . B Fluxie, of de ruim. ' " " te, die metdefnel-Q heid van het Punt C l ~ B , in eenen gegeevenen t y d , gelyk-p ,JP maatïg befchreeven zou worden, fteeds ~ I-T worden uitgedrukt "' d o o r den afftand des Punts D van een geFeeven of vast Punt C : indien dan de fnelheid van het Punt B niet overal de zelfde is , zo moet ook de afftand C D , welke de maat van die fnelheid uitdrukt , veranderlyk zyn , door de beweeging van het Punt D van of naar het Punt C , naar dat de fnelheid van het Punt B aangroeijende of afneemende is : en de Fluxie der aldus veranderende L y n C D , of de ruimte E F , die met de fnelheid van het "tint D , in den voorgemelden gegeevenen t y d , gelykmaatig re^hreeveu zou worden,. is de tweede Fluxie van A B . Wederom , indien de bëweeging van 1
1
1
,
1
I F L U X I E - R E K E N I N G .
29
van het Punt B zodanig i s , dat noch dezelve, tsöch die van het Punt D , welke daar van af hangt, gelykmaatig i s , dan zal E F , welke de fnelheid van het Punt Ü uitdrukt, insgelyks haare Fluxie G H hebben; welke de derde Fluxie van A B , en de tweede Fluxie van C D is. Dus moeten de Fluxiën van alle andere rangen befchouwd worden , ah de Maaten der fnelheden, door welken haare rejpetlive vloeijende Grootheden, de Fluxiën van den voorgaanden rang, geteeld worden CS- 2 . ) . 34. Hier uit is openbaar, dat een tweede Fluxie niets anders is dan de Maat van den aanwas, of van de vermindering der eerfte Fluxie , als mede dat derde, vierde en hoogere Fluxiën, als men liaaren rang en betekenis uitzondert, eene volftrekte overeenkomst met eerfte Fluxiën hebben , vermits dezelve tot de Grootheden, waar van zy onmiddelyk afgeleid worden, in eene gelyke betrekking ftaan. Derhalven kunnen de Fluxiën van hoogere rangen door dezelfde algemeeue Regelen, welke boven ($» 3 i ' 1 y voorgedraagen , bepaald worden. z
n
De eerfte Fluxie van x* is dus 4 x* x
( §. 24. ) ,
Onderftellende nu x ftandvastig te zyn , dat is te zeggen , dat de Wortel x mei eene gelykmaatige fnelheid geteeld wordt, dan zal de Fluxie van 4 a x 3
t
of 4 * x x*, door den eerften Regel ( § . 31.) op nieuw genomen zynde, 4 * x 3 x* x of 12 x* x* zyn ; en dit gevondene is dan de tweede Fluxie van *+. Op
30
EERSTE BEGINSELEN DER
Op gelyke wyze zal men voor
de Fluxie van
ia* ** vinden 24*a; , zynde de derde Fluxie van x*. 8
8
Eindelyk zal men voor de Fluxie van 24 xx ,
of de
s
vierde Fluxie van x* vinden 44 x*; en verdere F/uxiën kunnen in die geval niec gevonden worden 4
vermits hier de laatfte Fluxie 24 a; eene ftandvascige Grootheid is. 4
35. Om dit op een algeméén Geval toepasfelyk te m maaken, zo laat x de voorgemelde Magt zyn , waar th — 1 . van mx
x de eerfte Fluxie is ( § . 24. ) i
neer men dan * als ftandvastig aanmerkt, 771— 1 .
voor de Fluxie van 772*
Wan»
zal meri
.
771—1
ar, of m * x 1
*
hebben mxx m— 1 . * * , of m . m — 1 . f/Z-2. . m X . x* zynde de tweede Fluxie van x . Op de zelfde wyze voortgaande, zal meh voor de m volgende rangen der Fluxiën van x vinden: 5
Derde Fluxie m . m — 1 . m^—2.x Vierde Fluxie m.m+-i»
^,x .
m—a . 771-3 • *
3
Vi*.
Vyfde
F L U X I E . R E K E N I N G .
31
Vyfde Fluxie m.m— 1 . J M - 2 . 7» - 3 . »j — 4 . . f w-5 .
E B in 't algemeen heeft men voor'de n van*
Fluxie
. WJ-2fcfV.tot TB— B - I
.*
36. Wanneer nu in de voorgaande algeméene uitdrukking mzzzzn i s , zal dezelve Worden m . m—i. m-i ofm . m - i . w -
&c. tot m- m-i.x° a
8 V . tot 1 x *
.*
•
Wnar uit bjykt , dat, wanneer « een geheel en pe/ifƒ getal is, men ten laatflen tot eene Itanrivastige Grootheid zal komen, die geen Fluxie onderhevig i s ; en dat van elke veranderlyke Magt zo veel rangen van Fluxiën gevonden kunnen worden, als de Exponent dier Magt aanduidt. Dat is te zeggen, m dat de Magt x , m rangen van Fluxiën heeft. 37. T o t dus verre heb ik onderfteld, dat de Wortel x met eene gelykmaatige fnelheid geteeld is 5 doch wanneer de fnelheid aangroeijende of afneemende i s , zal ar, als derzelver Maat uitdrukkende, veranderlyk, en dus ook eene Fluxie onderhevig z y n , welke gewoonlyk aangeweezen wordt door x :
op gelyke
wyze wordt de Fluxie van * uitgedrukt door x die yan x door * , en z o vervolgens. 38. De
&
EERSTE B E G I N S E L E N
fiER
38. D e volgende Voorbeelden # waar in de Wör» tel * ( of y) onderfteld wordt met eene veranderlyke fnelheid geteeld te z y n , kunnen tot opheldering van dit gefielde dienen. Daar de eerfte Fluxie van x+, zo als boven ( §.24.) getoond is* uitgedrukt wordt door 4*' 'x, moet thans zo wel x als x veranderlyk onderfteld worden, uit hoofde dat * als met eene veranderlyke fnelheid geteeld zynde wordt aangemerkt. N u kan men 4 * x als eenen Rechthoek, of als het Produel van twee veranderlyke Grootheden 4 » ' e n » befchouwen; dan is van 4 x* de Fluxie 12 x 'x ( § . 2 3 . ) ; en dewyl van * de Fluxie x is, zal de Fluxie des Rechthoeks 4 x* x x , of de tweede Fluxie van £ * , in ge-> volge §. 18., zyn s
1
* X 12 ar* 'x -+ 4 x
x »"
3
2= 12 x' at* -+ 4 x x " . 3
30. De derde Fluxie van x* wordt n u , met behulfj der laaefte uitdrukking, even gemaklyk gevonden*
Want 12 i ' i ' s - ^ ï ' i '
=
iss'xa; H- 4 4* x * , 1
en d e i ^ m e van 12 a; r= 24 a-x, die van x' z ix %\ s
(§• S'O, derhalven is de Fluxie van 12 a: X 2
^xx x a r ' - i - i a (&. 18.;.
a-^xaiïc == 24
*» + «4>* * We-
F L U X I E - R E K E N I R Ö .
Wederom is de Fluxie van 4 X =
33
I2x*x ($ 3 1 ) ,
3
en die van * = * ( § 3 7 ) , derhalven is de Fluxie van 4 a; x x 5
-1-4 *
3
r—:
I 2 J C ' * X ^ + 4 ^ ' X * ZZZZ. IÏX'X
X
a; ( § 1 8 ) .
Dewyl dan de Fluxie van 1 2 * * Ï ' is
. . . . . . .
S4XX*+24»* * x «n die van 4 x
s
x . ZZZT".
12 x x x + 4
zal de FZu*/« van 1 2 fluxie van
ar , 4
zyn
x,
a
4 * x , of de derde 3
24 x *
3
-f- 3 6 x* » x -1- 4 a;
3
x.
Voorts worden de hoogere Fluxiën van x* op gelyke wyze uit de voorgaande afgeleid. JM-I .
4 0 . In 't algemeen , wanneer y = mx •
f»—1
zal y (of de Fluxie van mx x x m-2.
.x
..
x* + « x
zal 2 z z =
„
) .
x zyn j en x = x y a
+
x is,
zynde,
zyn * en in zo alle andere
Gevallen.
VIER'
34
EERSTE V I E R D E
BEGINSELEN
DBR
A F D E E L I N G .
Van de Fluxiën der Logarithmen en Exponentiaale Grootheden» "* Schoon ik reeds eenigzins breedvoerig over bet vinden der Fluxiën van vloeijende Grootheden gehandeld h e b , is zulks echter op verre na niet toereikende, om in alle voorkomende Gevallen de Fluxiën te bepaalen. Ik heb in de tot hier toe verhandelde M a g ten van Grootheden (leeds onderfteld, dat haare Exponenten ftandvastig zyn ; doch dit is altoos het geval niet. De Exponenten kunnen even als de Wortelen vera!nderlyk z y n ; en dus is het gemaklyk na te gaan, dat de Regelen, welke in het eene Geval van dienst zyn , te vergeefs op het ander toegepast zouden worden. De Hyperbolifche Logarithmen, of de zulke wier Modulus i is , zyn tot het laatfle volflrekt onontbeerlyk, waarom het noodzaakelyk is de Fluxiën van zodanige Logarithmen te kunnen vinden, en de betrekking te kennen,die tusfchen eiken Logarithmus en deszelfs abfoluut Getal plaats heeft. Hier toe zal de Oplosfing van het volgend Problema mv den weg baanen. 41. P R O B L E M A . Eene Séries te vinden, welke de Hyperbolifche Logarithmus der Grootheid 1 +x uitdrukt. Laat de Log. van 1 + x 7~~z A x -h B x* +Cx* ~Dx + & c . zyn. 4
Dan is door de eigenfchap der Logarithmen Log. i + x\ + &c. Maari-hjc|
~ a A K + 2Bi + «Ci +2Djf+ J
3
zzzzz 1 + ( a * + * * ) : Stel
-j-
FLUXIE-REKENING. t)
» I •» I
B
( » I
»
I
33
H
<
^
«
I 4M$*f*l !,| u)
.
P A
w
JLi — z £
*i ? !' ! !' I i i
!! ? •
Ü
•
11
T
H
*
*
*
»
+ +
•
*
+ +
+ -f
"
:
»
:
s
T
"t + >-> » a »
•
*
x
-
*
*,
+
+s« »
"
H
n
•
«
«
X
CU 1
0
S
. I
<3
. + J ;
*
2
^
•
a o«
-
^
4-
M
1
ft
'
«
o
§
r
+
pj
I
«« x x x x > + 1 w o ó » 11
ra
,
* {* 4. 4.
+
2
+d«t
w
? £
+
t
& & & O o P
X » ? x
5
5
I
o 13 R
C
«
*jj
G> * £ S P P P
• * »
g ? S?
1 Dien-
3ö~
EEJRSTE B E G I N S E L E N D E R
Dienvolgens heeft men, door deopzichtelykeCoëfficiënten met elkander te vergelyken, 2 A ZZZZ 2 A , a B irrr A + 4 B, 2 C = 4 B -I- 8 C , 2 D S= B 4- 12C + 16 D a E = 6 C -!- 32 D + 32 E .
5
enz.
enz.
Waar uit men afleidt A
^
F
B
=
-
2
A
6 C =
—4
S
B
C = —.
HH 14 D
=
-
B + I S C | Q * |
30 E — — ö C
32 D I
ifjs.
=
'.
E
J
enz,
A D
*
A
•
=
L
5
e»z.
^KZ.
Stellende nu deeze Waarden van B , C , D , enz. in de aangenomene uitdrukking voor den Logarithmus van 1 +a*> zalmen hebben: A
Log. i+x-Ax
A
A
A
x + —* *+—x — 2 3 * 5 &c. , eens SVriw waar in A het Modulus van den Ls. a
3
4
s
F L U X I E . R E K E N I N G . Logarithmus uitdrukt. Dewyl nu Hyperbelifche Logarithmus, wiens doeld wordt, zo laat A ZZ I geïlêld heeft men voor den Hyperbolifchen 1 -f- x x*
x*
x*
x
2
3
4
5
37
in dit Geval de Modulus 1 i s . beword?n ; dan Logarithmus van
s
°"
Dat te vinden was.
é.2. Om nu de Fluxie van den Hyperbolifihen Loga. rithmut der Grootheid ar -f-1 te vinden , heeft ncn niets anders te d o e n , dan,
gelen ( § . 3 ' 0 >
d
volgens de gegeevene Re-
e Fluxie van de laatstgcvondcne
Séries te b e p a a l e n , en v e r v o l g e n s te ODder?oeken, o f
de bekomene Fluxie, die klaarblyklyk eene Séries zal zyn , met in eene eindige Grootheid v u ü n d e i d k a n worden. *
a
43. N u is van de Reeks x
x
s
1 —
3
2
x* 4
1
x« 1 5
— &c. de Fluxie x-x x + x .x -x*x -r x*x- & c . ; t
o f w e l ï x f i - ï - l - ï ' - ï S -j- ** — & c O : maar 1
+ x*-
&c. x ï + i n ; derh«hen 1 -x
f
1
+
«Sec. = r X
.
van Log. i-l-xzzxX
;
'i*
, en dus de Fluxie
-{- l
I
*
— — i? . By gevolg wordt x - f 1 x+ 1 > 3
r
de
S
8
EERSTE
BEGINSELEN DER
de Fluxie van eenen Hyperbolifchen Logarithmus ftee uitgedrukt door de Fluxie van het ovexëenkomjtig getal, gedeeld door dat zelfde getal. 44. Hier door kunnen nu de Fluxiën der Logarithmen van alle foorten van Magten , als mede de Fluxiën der JVtagten van Logarithmen gemaklyk gevonden worden. Om dus de Fluxie van Log. xx + yy te vinden, zo heeft men eerfixlyk voor de Fluxie van xx+yy de uitdrukking axx + ayy ( § . 31.); vervolgens voor de Fluxie van Log. xx+yy,
volgens den gevopde-
2 xx -|- 2 yy een Regel ( § . 43.), — — . xx + yy Op gelyke wyze is de Fluxie van Log. ax + x*zz 1
2 a xx -{- 3 x x 2 a ar + 3 x x m—1 . — — r— •.. - ; en zo ook ax + x ax+x* in andere Gevallen, waartoe het niet coodig is eene meenigte Voorbeelden by te brengen. Het volgend algemeen Geval kan voor alle andere dienen. Laat begeerd worden de Fluxie van den Logarithmus der 2
i
m n\P Grootheid x + y \ te vinden; dan is i ° . de Fluxie m n m— 1 n—i, van x + y == m x x+ny y ( § . 24.)j f
m n'f r rs-l &7, de Fluxie van * + y \ zz \ pmx
. x +
pn y
n-i
F L U X I E - R E K E N I N G . M-I
pny
A m n\P~ yjx x +y 1 j en eindelyk de Fluxiè l
m van den Logarithmus der Grootheid x
f \pmx '
39
m-\.
n-ï\
x-\-pny yjxx — — m n\P x + y |
m
wj^"" +y |
nf -;- y \ zz 1
( § . 43.)»
45. D e Magten der Logarithmen van Grootheden n n worden aldus uitgedrukt: l x, l .a-'-x, dat i s , de Logaiithmus van x , verheven tot de Magt welkers Exponent n is, eu de Logarithmus van a+x, tot de zeifde Magt verheven; en zo ook met andere. O m nu de Fluxiën der Magten van Logarithmen te vinden , heeft men niets anders te doen als den algemeenen Regel voor de Fluxiën der Magten van vloeijende Grootheden , welke hier vooren ( § . 3 1 . ) gegeeven is , ffiptelyk op te volgen ; gedachtig zynde dat de gevondene Regel voor de Fluxiën van Hyperholifche Logarithmen ( § • 4 > ) ook alleen op zodanige Grootheden toegepast kan worden. 46. Laat gefield worden , dat men de Fluxie van m l .«-r n begeert te vinden. D e w y l dan de vloeijende Grootheid, die zich hier ter befchouwingopdoet, de ïrade Magt van den Logarithmus van a + x i s , zo moet men, volgens den algemeenen Regel ($.31 ) , d e vloeijende Grootheid tot eene Magt brengen, welkers Exponent deEenheid minder is dan de Exponent dergegevene C 4 Magt
4o
EERSTE
BEGINSELEN
DER
m-1 M a g t , naamelyk tot l . a + x, vervolgens deeze aldus verlaagd- Magt met den Exponent dei gegeevene Magt , zynde m , vermeenigvuidigen , waar m— i door men bekent ml ,a+x. De Wortel m der Magt l . a+x is eindclyk l a + x, en deszelfs 3
x Fluxie — — (5. 4 3 . ) , welke vermeenigvuldigdzyna+x m~ 1 d" met ml . a + x. zal men voor de Fluxie der rode Magt van den Logarithmus van a + x bekomeu «i-I
ml
. a + xx
x a+ x
.
m n 47» Dus zal ook de Fluxie van l . a + x\ , o f de Fluxie der mde Magt van den Logarithmus der n iti — i . Grootneid a + x\ , zyn zzzzz ml . a + xl X m „ . Want de vloeijende Grootheid isl . + i a+ x " » n
n
x
a
T
r
1
of de mie Magt van den Logarithmus van a + x "' de> ze derhal en tut eéne tvlagi gebragt zynde, vel' ker;- Exponent .'e Eenheid min .'er is dan de Exponent der gegeevene Magt* en met de Exponent m vermeem- 1 n mgvuUigd , zal 'er komen tv l . a+xl : maar n ee W o i t t l der voorgemelde Grootheid is I, a+xl , en
F L U X I E - R E K E N I N G.
en deszelfs Fluxie
. nxxa
+ x\
«- 1 ...
41
n x
..
.
— . a+ x
n
a + x\
m _ » Dus is het het klaar, dat de Fluxie van l . a + xl m-i
11
zal zyn ml
. a+ x
1
11 x x
48. Op gelyke wyze zal de Fluxie der — « d e Magt ra —m-i van den Logarithmus van a + x I zyn ~ — m l . »
72
—m
X
a+ x
772
l
- 1 r
.
a+x\
72 x
» m
Indien men, in plaats der Fluxie van l m
fl
+ x
ra . x + a\
t
n
die van l
. x + a hadt willen vinden, zou de uitf?j— 1 drukking der Fluxie in dat geval zyn geweest m l n x+ a X
x ~ ; want in deeze ocderlteiling be-
x+a hoort de Exponent n niet tot de peheele tweeledige Grootheid a + x, maar alleenlyk tot de Grootheid a. 4Q« T e vergeefs zou ik meerder Voorbeelden te berde breng-n , om te toonen hoe men de Fluxiën van zodanige Uitdrukkingen zal vinden, waarin ue Magten van Logarithmen mer andere g nie^ne vloei, jende Grootheden vermeenigvuldigd zyn- Elk die in (laat is om uoor de pe neene Regelen ( § . 31.) de Fluxiën van alle trodutlen van vloejeude Gr^omcden C j te
4»
EERSTE
BEGINSELEN
DER
te vinden , en voorts grondig begreepen heeft hetgeen dus verre van de Fluxiën der Magten van Logarithmen gezegd is, is buiten twvfl'e! ook bekwaam om de Fluxiën van zodanige Produden, als boven gezegd is , te vioden. Derhalven zal ik cu nog onderzoeken , welke Gevolgen uit den R e g e l , §. 42. gevonden, afgeleid kunnen worden. 50. In de eerfte plaats z a l , na een naauwkeurig onderzoek , blyken, dat de Fluxiën der Logarithmen van willekeurige Magten eener zelfde Grootheid tot elkander in reden zyn, als de Exponenten van die Magten, B y voorbeeld: Fluxie l. 1 -rx : Fluxie l. i+x\ Fluxit l. 1 -h * ~
:: t : n.
Want
en Fluxie l. 1
-i- x M - l
.
n nxx =
i+x\
i+*T
nx =
(§• 430-
B
x nx N u is het openbaar, dat ..... • : — — : : 1 : » , I -+- x I-\-x welke refpeclivelyk de Exponenten der Magten zyn. Dus is dan de Fiuxie van den Logarithmus des W o r tels ï der Fluxie van den Logarithmus des Vierkants, | der Fluxie van den Ltgarithmus des Teerlings, en zo vervolgens. 51. Wederom is hieruit openbaar, dat de Fluxiën der Logarithmen van willekeurige Magten eener zelfde Grootheid tot elkander in reden z y n , als die Logarithmen zei ven. Want de Logarithmen der Magten zyn tot elkander in reden als haare Exponenten. Maar deeze Exponenten zyn tot elkander in reden als de Fluxiën der Magten zeiven, en dus zyn ook de Loga-
F L U X I E - R E KENING. gar'ühmen Fluxiën,
43
der M a g t e n tot elkander i n reden als hunne
j 2 - H e t geen i k dus verre gezegd heb w e l b e g r e e pen z y n d e , z a l het niet zeer m o e i j e l y k z y n d e F Z r m e j i van Exponeniiaale G r o o t h e d e n , n a a m l y k van d e z u l k e n w i e r Exponenten onbepaald o f vloeijende z y n , te vinden. D e e z e foorten van G r o o t h e d e n z y n v a n v e r f c h ' i d e Raugen o f T r a p p e n ; want wanneer de Exponent eene enkele onbepaalde G r o o t h e i d i s , n o e m t men d e z e l v e eene Exponentiaale G r o o t h e i d v a n d e n eerften o f laagften R a n g ; wanneer de Exponent z e l v e eene Exponentiaale G r o o t h e i d van den eerften R a n g j s , noemt men de G r o o t h e i d , w e l k e dien Exponentls toegedaan , eene Exponentiaale G r o o t h e i d v a n den tweeden Rang ; en z o de Exponent eene Exponentiaale G r o o t h e i d van den tweeden R a n g w a s , z o u de G r o o t h e i d , v e r h i e v e n tot eene M a g t , d o o r dien Exponent u i t g e d r u k t wordende , eene Exponentiaale G r o o t h e i d van den derden R a n g z y n ; en z o v e r v o l g e n s . Dus y i s , b y v o o r b e e l d , de U i t d r u k k i n g z eene Exponentiaale G r o o t h e i d v a n den eerften R a n g , vermits de Exponent eene enkelde vloeijende g r o o t h e i d i s ; o o k X
y is z
eene Exponentiaale G r o o t h e i d v a n den tweeden x R a n g , o m dat de Exponene y eene Exponentiaale G r o o t h e i d van den eerlten R a n g i s ; voorts is o p gex
x
l y k e w y z e de Exponentiaale G r o o t h e i d 2^
v a n den x
derden R a n g , u i t hoofde dat de Exponent y van den tweeden R * n g i s . D e volgende drie V o o r b e e l d e n z u l l e n g e n o e g z a a m z y n , o m deeze foort van Eluxien t e verklaaren. x
53.
44
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
53^ Laat begeerd worden de Fluxie der Uitdrükkinge a , waar in a eene ftandvastige Grootheid is, x te vim'en. Stei a zzy, dan zal y gelyk aan de Fluxie & x van a zyn. Vermits nu = j is, is door de eia
z
o
gerfch p der Logarithmen l. a ZZ l. y, of x l — l y bier van de FtuMXn neeinende, is de Fluxie van~ l a a
ZZxl.a+xx
Fluxie La(§.
i8.),
e
n dievanZ.y-
D' *" ( § - 4 3 - ) •
Maar a eene ftandvastige Grootheid
zynde, is Fluxie l.a zz o ( §. 16.), en derhalven 11, a
y
zz — , y
of 31 x x y l. a.
Stellende nu voor y haare
x • . x Waa-de a , zal men hebben yzz xx a l.a voor de x Fhixie van a . 54. Om de Fluxie der Uitóukkingc x te vinden y y ' zo ftel x = %; dan is wederom l. zz l. z : hier x
van de Fluxiën reemeode, is de Fluxie van l. / de Fluxie van y l. x, zz y L x +
die van l. z = - (§. 43.). z
,
(§. jg.^
Derhalven - zz z
0
f
e
vl.x J
n
F L U X I E - R E K E N I N G .
-1
yx
. , of z ZZ y x z l. x -i
yzx
X
45
Stellende
X
y nu voor z haare Waarde x , zal men hebben z = y y
y x^ x y y— L x + — — zzyxxl. x + yx x y voor de Fluxie van x . x°y 55. Om de Fluxie van u te vinden , fielt x$ y u zz z, waar door men heeft x l. u zz Uz.
xx
I.
x
men
Hier y van de Fluxiën noemende , is de Fluxie van x ZZ y • y - i 1 I. Ï X J + * ? X * CS- 5 4 0 » u z L u zz —, en die van Z. z r : — ; dus zal de FZ«xz'« u z y y y-i van * l. u zzl. z zyn * Z. * Z. a j + 1 9 . y u z . 1 . K Ï + Ï x — — —• Derhalven z zz z X u z d i e
v
a
n
.
C
\ x
y, • yZ. a Z. u ? + x
1
, y Z.
M
ftellende voor z haare Waarde u
• y « N x + x x — ),
of,
, zal men hebben
x^ y . x^ y - 1 . x' z — u x Z. x /. » y -h a x [
X »
y .
VYF-
4<5
EERSTE
V Y F D E Van
BEGINSELEN
UER
A F D E E L I N G .
de omgekeerde Leerwyze,
f
0
de bepaaling der
Fluenten van gegeevene Fluxiën,
56. T o t hier toe heb ik my tot niets anders verledigd , als tot de dtreêle Leerwyze der Fluxiën, d priori befchouwd, naamelyk om van eenige gegeevene vloeijende Grootheden derzei ver Fluxiën teleeren vinden ,• thans zal het noodig zyn hier neg by te vuegen de omgekeerde Leerwyze der Fluxiën , apofierio* ri befchouwd , naamelykom van vooraf ftelrie Fluxiën tot de vloeijende Grootheden, of de Fluenten, waar van zy de Fluxiën z y n , te rug te gaan, dat is uit de Fluxiën de Fluenten te leeren vinden, Deeze Leerw y z e , in haare gantlche uitgeftrektheid befchouwd, is buiten twyffel veel moeijelyker , dan de directe Leerwyze, waar van in de voorige Afdeelingen gehandeld i s ; want 'er is geen algemeene Regel re vin-, den , om in alle voorkomende gevallen uir de gegeevene Fluxiën de Fluenten te vinden , zo als uit ^e gegeevene Fluenten, welke die ook z y n , de F'luxün gevonden kunnen worden. De redenen van dteze zwaarigheid zyn beter door Voorbeelden , als door blnote woorden uittedrukken. Om echter deeze z w a a r h e i d door een paar Voorbeelden duidelyk voor te fteiien , zo laat beseerd worden van de Fluxiën 1 x x en y % de Fluenten te vinden. W a t nu de eerfte van die Fluxiën, rmmelyk zxx, belangt, het is bekend dat derzei ver Fiuent x* is , vermits hier vooren ( § . I Q . ) gevonden i s , dat ixx de Fluxie van x' i s : maa>- de Flu-
F L U X I E . R E K E N I N G ;
47
Fluent van 313c is o n b e k e n d , alzo 'er n o g geene U i t d r u k k i n g ontdekt i s , w e l k e yx v o o r d e r z e i ver Fluxie voortbrengt. 57. In 't algemeen is het z e k e r , dat men, om de vloeijende G r o o t h e i d van eene Fluxionaa/e U i t d r u k k i n g te vinden , het tegendeel van die b e w e r k i n g moec d o e n , welke men gevolgd heeft o m de Fluxie z e l v e te v i n d e n . Z o dat de vermenigvuldiging, het verlangen der Magten van vloeijende Grootheden, en het plaatJen van Fluxionaale Letteren m de direSle L e e r w y z e , i n dit geval eene tegengeltelde bewerking v e r ë i r c h e n ; dat is te z e g g e n , dat men voor ieder b y z o n d e r gev a l , i n de directe L e e r w y z e voorkomende , i n plaats van te vermeenigvuldigen moet deelen , i n plaats van de Magten te verlaagen tot zodanige Magten moet verheffen, en in plaats van Fluxionaale Letteren in te voeren , dezelve moet verwerpen : w e l verftaande , dat in z o verre de vermeenigvuldiging en het verlaagen van Magten i n het eene geval plaats h e b b e n , oolc even z o , en niet verder , de Deeling en het verhoogen der Magten i n het tegengeltelde geval plaats moeten hebben, 58. D o c h w e l verre van dat deeze R e g e l algemeen zou d o o r g a a n , doet z i c h aanftonds i n veele g e v a l l e n eene zwaarigheid o p , d i e in 't eerst o n ö v e r k o m e l y k f c h y n t te z y o , en niet als mee een grondig d o o r z i c h t o v e r w o n n e n kan w o r d e n . M e n heeft i n het vooiverhandelde kunnen z i e n , dat de vloeijende G r o o t h e i d eener voorgemelde Fluxie niet alcoos eene u i t d r u k k i n g i s , die enkel in vloeijende G r o o t h e d e n bertaat; maar dat dezelve ook d i k w y l s faamengefteld is uit v!oeijen> de G r o o t h e d e n , welke door de T e k e n s -f- o f — mee andere ftandvastige G r o o t h e d e n verbonden z y n ; e n men heeft tevens kunnen o p m e r k e n , dat i n beide' g e v a l l e n , hoe mecnigvuldig o f hoe onderfcheiden de ftand V3S'
48
EERSTE
BEGINSELEN
DER
Vastige Grootheden ook zyn , de zelfde Fluxie voortkomt. N u weet men , dat in de voortbrenging eener Fluxie alle zuiver ftandvastige Grootheden verdwyren, en als niets gerekend werden, vermits haare Fluxten gelyk aan nul zyn (§. 16), Dewyl zy derhalven aldus verdwyneo, zonder e< nig teken of voetnoot achter zich D de Fluxie na te laaten, waar door het mogelyk is te weeten,dat zv wee/enlyk inde uitdruk&iog van de Fluent waren , zo moet tot herftelling van dat verlies, dat ten minden mogelyk i s , in de uitdrukking d-r Fluent eenige voorziening gedaan worden. Want fcheon men in byzondere gevallen, fomtyds door zekere gedaane on'derdellingen, ten fterkIten overreed kan zyn , dat 'er in zodanig geval geen enveranderlyke c f ftandvastige grootheden by hetveranderlyk deel der Fluent b-hoeven gevoegd te worden , is het echter , als mea z'-danig geval in 't algemeen en op zich zelf befchouwt, "zonder oo centge onderftellingen te letten, ten hoogden noodzaake5yk eenige voorziening te doen in het geen zelfs mogelyk kan z y n , ten einde de uitdrukkingen , die men gebruikt, zodanig in te richten, dat ze voor alle gevallen gefchikt bevonden worden. N u is het zeker, dat dn uitdrukkingen niet algemeen , noch aan eene zodanige fchikking onderhevig zouden zyn , zo 'cr niet eenige onveranderlyke Grootheden met dezelve verbonden waren: want in dat geval zouden zy flegts vloeijende Grootheden kunnen verbeelden, die enkel en alleen zodanig waren; cn geenszins zulke, welke door de Tekens --!-- en — , met ftandvastige Grootheden verbonden zyn. Daar nu eene voorgeftelde Fluxie zo wel uit de eene als uit de andere van deeze twee foorten van Uitdrukkingen kan voortgebragt worden, moet ook in de Uitdrukking der Fluent daar op behoorlyk acht geflagen worden. 59. O m dit nader optehelderen, zo onderftelle men de Fluxionaale Uitdrukking a s-j dan zegt men ,
dat de
L U X I E - R E K E N 1 N G.
4$
de Fluent van deeze Uitdrukking ax is , en het is ook eene onbetwistbare waarheid dat zy het is j, of ten minf.ten kan zyn ; doch dan is hst ook ten Uiterften zeker, dat 'er daar benevens nog een oneindig getal uitdrukkingen gevonden worden , van welken iedere uitdrukking de Fluent van de zeilde Fluxie kan zyn. De Grootheid ax kan onmogdyk iets anders voor haare Fluxie hebben, dan de Uitdrukking ax; doch de Uitdrukking ax kan, behalven ax, nog eene andere Grootheid toe Fluent hebben : want als meu b, c, d, e, f, enz, als ftandvastige Grootheden befchouwt, zal de Fluent van de Uitdrukkinga'x een der volgende üitdrukkin ;en kunnen z y n , nadrnelvk: ax~ÏLb
t
ax^lc,
ax'Sd.
axltb'tc^d,
enz., of
met één woord ax^L eene onëindige verfcheidenheid van andere Itandvastige Grootheden. D i t n u z o z y r d e , ishetnoodzaaklyk,dat deF/wenïopzulkeene aigemeene wyze uitgedrukt worde, dat dezeive zonder onderfcheid kan verbeelden eene van aile deeze oneerfcheidene vloeijende Grootheden, waaruit dezelfde Fluxie ax weder voortgebragt kan worden en welke of grooter of kleiner dan de Grootheid ax kan z y n . O m 5
deeze redtn wordt de Fluent van ax niet uitgedrukt door ax, maar door a x — q; waar in qbeukent eene ftandvastige Grootheid, van geen bepaalde waarde, doch naar welgevallen genomen, en i d y k:n zyn aan eenige
50
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
ven te verbinden zyn , en gevolglyk' 'er.geen zodanige vervulling noodig is. 60. Dewyl nu de Regel voor het vinden der Fluxiën van Magten, ( § . 31 ter neder gefield, en uit ? as en 24 afgeleid ) , als de Hoofd-Regel der directei'Lecrwyze kan aangemerkt worden, zo moet ook de algemeenfte regel, welke in deomgekeerdc Leerwyze gegeeven kan worden, uit het omgekeerde van dieoHoofdRegel voortvloeijen. Laat tot dat einde voorgelteld worm— 1 . den de Fluxie mx * ; dan is het zeker, dat de Fluent m daar van zal zyn * CS. 24)• Want gelyk men tot m— 1 . deeze Uitdrukking mx komt, door de Fluxie x
des Wortels x met m den Exponent der Magt te ver. meenigvuldigen, en het Product ros; met die Magt van den zelfden W o r t e l , welkers Exponent de Eenheid minder is dan de gegeeven Exponent , naamelyk «2-1 ( § . 31 ) ? zo komt men ook weder tot x te r u g , als men de voorgemelde Fluxie door de Fluxie m
x
male Letter x deelt, vervolgens by den Exponent der m-1 Magt x de Eenheid optelt, en het geheel door den Exponent m deelt.
• 61. Zo dat de Ret^el voor de Fluenten van alle Fluxionaale Uitdrukkingen , welke eenige Magt van eene vloeijende Grootheid influiten , deeze i s : Deel door de Fluxionaale Letter, vergaar de Eenheid ly den Exponent der vloeijende Grootheid inde Uitdrukking;,, en deel vervolgens door den aldus met de Eenhei vergrooten Exponent, m<-i . Want , deelende de Fluxie mx x door de m— 1 Fluxionaale Letter x, bekomt men mx , en ver.-, gaarende 1 by ?*-1 (den Exponent van x in de gegeevene
F L U X I E - R E K E N I N G .
51
m Vene Uitdrukking ) , heeft men mx ; dit laatfte nu door m (,den met 1 vergrooten Exponent) deelende, m is het Omtient x de begeerde Fluent. Of zo de ~»z-i . ™ Fluxie x x gegeeven was, zou men x door m moeten deelen , en dus zou de Fluent alsdan zyn . , 1 m —x . _ m Deeze Regel is aan eene uitzondering onderhevig in het geval als-de Exponent — 1 is. Want volgens denzelven zou de Fluent van x x~~
-1 . a; x, of — zyn x
*° 1 - — :— — — ; eene uitdrukking waar uit - i + l o o geene berekening der Fluent kan afgeleid worden, en by gevolg blyft dit Geval van den Regel uitgezonderd; terwyl ten anderen uit hetvoorengeleerde(§43) 1
1
X
—
blykt , dat de Fluent van — , of * x = l. x is, x In 't vervolg van dit Werk zal over deeze foort van Fluenten nader gehandeld worden. ToEPASSELYKE VOORBEELDEN op deezen Regel. 1. ) De Fluent van 3 * * is x . 5* 2. ) De Fluent van j * * is •
D
2
8
30
52
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
3.) De Fluent van 3* x is
— 5
4 0 De Fluent van ix~~* x is J O De Fluent van | x* 'x is Ö-) De Fluent van | ^ a - is | 7 0 De r/aenf van *
m. x ' ar js .. m+i
wr
—T
8.) De Fluent van y y n
-—-—•
is ~
I
=
ÜZ
.
» J72—»
S>0 De JPVaenï van — 7 ra
WJ
-v is y
1 0 O De Fluent van — «3/
.
£ is y " .
T
•
n . ) De F t a » van
1 — ra
, ofa*"*;, is-Ü n i - n
x
a+*2T
M
+
1
IQO De i^/a«»ï van a + z ^ x z is — — m+ L j-n i3JDeFluentvanx
n
x «'is ra* ", 1
140
FLUXIE-RE KENING. l-n 14O De Ftutnt van — x n
53
1 x is x . m>i — i
n • x x
1
15.O De F/»w van
f
0
p
—
m
i,
x *
m»-!-r» — 1
\
m mx 1 is . mnp -\rmp —p x /pxx'x,ofp»x* x*»xx, 2«-f- I
4
irj.) De Fluent van
n
1
I Jof/ xx
fl
]
f C
• . X Ï , is
P X »
—„. 2 n-j- 3 Ik zoude meer zodanige Voorbeelden hebben kun» neo byorengen; doch deeze wel begreepen zvnde, zyn alle andere, hoe ingewikkeld ook , als z fiegts tot deeze ftort behooren, gemaklyk op te los'fen. 3
a
V
62. Door dea zelfden Regel worden ook de Fluenten van ïaamerigeftelde Uitdrukkingen gevonden, wier Termen beftaan in Magten van vloeijende Grootheden, vermeemgvuldigd met haare refpeftive Fluxiën. D e Fluent derUkdrukkinge$*xx* y >y~tcz*zzal derhalven zyn ia* x*±\by*±*cz , en zo ook van andere foortgelyke Uitdrukkingen. Want men heeft in d t geval niets meer te doen, dan de Fluenten der ver/chetdene Termen met haare eigene Tekenen te vertinden, ° 3 63. s
D
51
E E R S T E
B E G I N S E L E N
DES
^ 3 . W a n n e e r Fluxionaale U i t d r u k k i n g e n voorgefteld, w o r d e n , welke een K o p p e l t e k e n z y n toegedaan, dac is te z e g g e n , dat eene f a m e n g e f l e l d e / « r ^ / c / j e G r o o t heid o f M a g t met eene Fiuxie vermeenigvuldigd i s , mnpf men in overweeging n e è o i e n j o f de Fluxh,
i/ax-aa.
W a n t als men 1 o f § by
w d k e de Exponent van i/ax-aa is . o p t e l t , b e k o m t m e n f- voor den Exponent der nieuwe M a g t ; v e r v o l ger,: ax — >t a door % deelerde , z a l het Quotiënt de bovengen o . . uitdrukking z y n . 1
e
6 4 . A n d e r e foortgclyke V o o r b e e l d e n z y n de vol« gende: 1.) D e Fluent van xx-hax \/x--a, c f v a n x + a! , a x x -1- | a x -f- s a a
5
dat is van x xx,
is
?a-i-x\*~
2.)
F L U X I E . R E K E N I N G . «
55 m+n
—
711
2. ) De Fluent van a- x\ xx
is
m
r
Xa+x\
" .
3. ) De Fluent van zxxtf xx-\- aa datis vaaxx + aa]*3
,
2xx-{-aaa
3
X i « , is | x x + aal'ZZ
4. ) Dc Fluent mn px -7— ' | n + i +• o 1 .
»—— \/x% + aa 3
t
* x ^ r « ^
is ;
J
X
n+ i
1
En zo ook met andere Voorbeelden, waar in de Fluxionaale Uitdrukkingen van zodanige natuur z y n , dat zy onder 't bereik van deezen Kegel vallen. 65. Om DU nog duidelyker te toonen, hoe a'Ie foortgelyke Voorbeelden ooor den algemeenen R e gel voor Magten ( § . öo ) opgelost kunnen worden, heeft men llegts de furdifcha Uitdrukkingen , door eene eenvoudige en gemaklyke fubftirutie, rationaal te maaken , en vervolgens van de aldus rationaal gemaakte Fluxie de Fluent te zoeken ; welke dan door eene nieuwe fubfHtutie de gezochte Fluent vaaxtbrengt. L a a t , by voorbeeld, de Uitdrukking axx\/ xx + aa gegeeven zyn. Stel dan tf xx+aq xx-Vaa =
z, 1
~
z , dan is
en ix.x = 222 ( §- 31 )•
Derhal-
ven is door fubllitutie ixx i/xx + aa ( " 2 2 2 x 2 ) " — 2 z 2 , waar van de Fluent is _| z CS- <5o): maar 2
1
z ZZZZ V x x -\- aa zzzzz x x - h a a l ' ; z zzzzz xx+aa\l
dienvolgens
en f z zzzz § xx + aal* ZZT* 3
%
D 4
2
56
EERSTE
BEGINSELEN
DEa
2xx + 2aa ~—~—'— 1/xx + aa, zo als in het voorgaande der» de Voorbeeld gevonden is. <5ö Om dit door een algemeen Voorbeeld te toop—i 1« nen, zo laat de Uitdrukking px V \ a
x
gegeeven zyn. r
t ,
Q
Stel x + « ? |
P~ • l
2 S enp
x
+
a
ZZZZ z; i —n
p
72
^ + ^ =
x
I
dan is .
xzzzz-z " z(§3i}. n p— l ' Ij} Derhalven is door fubllitutie px i / ?| x
x
(
I-B
1
=
- z
n
^ z x zy =
+
a
K
1
- % z , waar van de n n
»-rr I
|?2
«
1
Jtet j
.
~n~-
(5- 6 o ) : maar x + a^l p
s
z
I
=
z , en
=
z
w
zynde, zal o o k x P +
? f l
|
i
X *U
(
r=z
C=
xP+a*\
n
+
I
) =
n -I- i \ '
rt
. / zyn; dienvolgens — — z n -h i
z x z"
n +1 n
~
——. B + I
67. Wanneer de Fluxionaale Uitdrukking buiten het Koppelteken riet de Fiuxie is der Grootheid onder het Koppelteken vervat, doch in eene gegeevene Re-
B
F L U X I E .
R E K E N I N G .
57
Reden {Ratio') tot dez. K-eis,kan desnietfegendaande de l/itd u u i n g der Fluent in bepaalde Termen gevonden worden. Indien dus d^ Uitdrukking xx i/xx-ï-aa
gegce-
ven was, waar van xx, de Fluxi* buiten het K o p pelteken , ftaat tot de Fluxie der Grootheid onder hetzelve vervat (naamlyk 2.xx), als 1 tot 2, del dan, alsvooren, \/xx-\-,aa =
z ; dan is a r r a
en axx =
zz.
x
— », z
Derhah-en
is door l u b d i t u t i e K ï ( / 3 c x + a d ( ~ z " z x z . ) ZZz'z, , , , , xx-i-aa en gevolglyk de Fluent = f z':= ^ .rx+o7.
3 68. Laat m i , tot een algemeen Voorbeeld, ™ x x
+
|
gegeevtn z y n , waar van x
x
l
'
x
de
Fluxie buiten het Koppelteken, ftaat tot de F/zm'e deiGrootheid onder hetzelve vervat Cnaamlyk m x
*0
als 1 tot m
S eï
dan x +
f
dat eene gegeevene Reden is.
a^ ZZZZ z; dan is x
m
m
x +
^z:
.1» ? |
W
a
_
z
t
*
e
n
; dus heeft men voor de m-1. Fluxie van de eerde deezerVergelykingen nmx xx ' Z.\ ~ t. 71-1 . , «_r x +d?\ = z z(S. 0:maar* +,«| n - i m-1 . 72-1 »-r. = z ; derhalvennm« *xz =nz z, m
z
n
m
w
3
72—1
en deelende door nz z of — = m
tn-i. x x.
WJ—I.
, heeft men mx Gevolglyk is D 5
door
xZZz, fubfiitutis s
58
X
E E R S T E
je X *
BEGINSELEN DER
-}-flU
f
'z
n\
\
«
/
waar van de Fluent is •
zz n
m
( § . 6 0 ) : maar z zz
mXn+i K - { - 0 ^ zynde, is z
~
W
Z
halven
^
# -t-tf l w
I
———• — ——-——
,ender-
?
jB +
x x
m
I
-\- aV
tfo. Uit het geen b o v e n C § . 58&feg.) wegens het verbeteren der Fluenten van gegeevene Fluxiën gezegd js, blykt, datalieen het veiander.'yk deel Fluens door de gemeene Leerwyze bepaald kan worden, en het dus in veele gevallen noodzaakelvk is het ilandvastig d e e l » dat men door het Teken + o f — met het gemelde ve^Snderlyk deel moet verbinden, uit de byzofidere natuur van het Voordel af te leiden. O m ^tflks te verrichten , moet men uit het voorgemelde dat tot de berekening aanleiding gegeeven heeft, opmrtaken, welke de betrekking is , die tusfehen de veranderlyke Grootheden plaats heeft; dat is te zeggen , men moet onderzoeken hoe veel het eerstgevonden veranderlyk deel der Fluent van de waare Fluent verfchilt, en wel in die byzocdere omftandigheid , als de begeerde Grootheid, welke de geheele Fluent behoort uit te drukken, gelyk nul is. D e volgende Regel , welke men in uitgeval moet volgen, kan verder tot opheldering van het boven gezegde dienen.
R E -
F L U X I E - R E
K E N I N G .
59
R E G E L , Stel in plaats der veranderlyke Grootheid in de eerst gevonden Fluent die byzoniere waarde , welke zy bevonden wordt te hebben , wanneer de geheele Fluent onderfield wordt gelyk nul te zyn; indien alsdan de komende Grootheid poficif is , zo trek dezelve van de eentgevonden Fluent af; doch nrgatif zynde , zo tel dezelve daar by : dan zal de Fluent der voorgefielde Fluxie behoorlyk verbeterd zyn- — Indien de geheeh Uitdrukking verdwy nen mogt, heeft de Fluent geen verbetering noodig. Dus is in de Fluxionaale Uitdrukkinga-1-.yl + x y de eerstgevonden Fluent
"™~, Laat nu gefield wor-
den , dat wanneer de geheele Fluent, we'ke deeze behoort uit te drukken, gelyk nul is, y insgelyksgea+y\s lyk nul zal zyn; dan zal
a
s
worden H
: hier 5 5 a+y\ door zal het verfchil , dat — — — grooter dan de 5 as geheele Fluent is, — zyn. Dit verfchil derhalven van s
de geheele Fluent afgetrokken zynde, blyft 'erover a+
y\ -a ——• voor de verbeterde Fluent. s
s
Wantftel.
, 5 lende de geheele Fluent s a z , dan behoort deeze Vera+ y1
5
gelyking z~
in alle de gelyktydige waarden 5 van
6o
FERSTE
BEGINSELEN
DER
van z en y ftand te houden. Maar het is blvkbaar. dat wanneer % = o is , en y insgelyks "geiteld wordt, de Uitdrukking voor de Fluent, ia plaats van =
0
te verdwynen, gelyk blyft aan
deeze Grootheid 5 _ a + 71 moet derhalven klaarblyklyk of van afgetrok. 5
ken, of by z opgeteld worden , om de gelykheid te behouden. Waar door de zekerheid des Kegels van zelfs in 't oog loopt. 7°- Tot nadere verklaaring van deezen Regel zal ik hier eenige weinige Voorbeelden byvoegen ; in welken de veraodeilyke Grootheden, door x en y uit. gedrukt, veronderfteld worden ce gelyk haaren oor. fprong te peemen , of op den zelfden tyd geteeld t» worden. I. Laat y ZZZZZ a x x zyn ; dan zal men voor de 2
M
s
eerstgevonden Fluent hebben y -—•
X*
;
e
n nee-
mende - y r o , dan is ook * - o ; waar door dan -1-1. verdwynt: derhalven heeft de begeerde Fluent indic Geval geen verbetering noodig. II. Laatjr^a-t-x-pxizyn: dan heeft men eerftejyk yzz< worden -
; wanneer nu yzzo is, zal
—
(vermits dan x, als met y te gelyk haaren r
oor-
F L U X I E - R E K E N I N G .
ör
oorfprong neemende, mede — o is). Derhalven zal c + x\* a* — — — geduurig — grooter dan y z y n ; en dus zal * 4 de behoorlyk verbeterde F/uen! zyn y ZZ
— 4
r = a x -b
-f- * -> . 2 4 Deeze zelfde Fluent kan nog op eene andere wyze gevonden worden , zonder dat zy eenige de micfte verbetering noodig heeft. Want als meu, in de gegeevene Vergelykinge y=a + x\ xx\ a+*daadelyk tot de derde Magt verheft, zal dezelve veranderen in yza'x + sa^xx+^ax^'x + x'x, a r van 3
3
a
3
w a
de FJumt is yzza* x H
+ < ? * H — , de zelfde ,
Uitdrukking die boven met verbetering gevonden is, III. Laat yzza*—x*\> xx'x z y n ; dan vinden wy eerltelyk, volgens de handelwyze in §. 65 voorgedra' a'-x'\* gen, y — — — ; wanneer nu 3» = o i s , zal • 3 ' — worden — j derhalven 3 3 3 z a l , volgens den Regel §. 6 9 , de verbeterde F/wnt
3
3
<5i
EERSTE &
B E G I N S E L E N DER
A N M
E R. K I N
O.
Daar het fommige Leezers vreemd mogt fchyneo
s
a
3
dat de gevondene verbetering
in de verbeterde 3 Fluent pofitif wordt, niettegenftaande de eerstgevonden Fluent negatif blyft, z;l het niet ondienftig zyn deeze zich opdoende zwaarheid door eene korte opheldering, welke geen twyffel meer overlaat, uit den weg te ruimen. Laat tot dat einde de verbetering, die by de eerstgevondene Fluent gevoegd moet worden, V zyn, dan heeft men ~ö*~—~#7[\ 3 Wanneer nu y verdwynt, of m : o wordt, verflwynt ook te gelyk x en dan zal de voorgaande Vergelykinge worden 3
o =
«
3
+ V.
3 a
3
By gevolg V zz —, eene fejitive Grootheid , dat 3 getoond moest worden. ~
\
n
W-
T .
IV. Laat y ZZ a - r x I x x x ?yn; dan Vinden wy, op voorgaande wyze, eerUelyk M
h
fi.
y
; F L U X I E - R E a y ZZ
K E N I N G .
-f- x
63
| —.
mx n+ 1 Stellende n u ^ r o , dan is ook , en derhalven ~ l a + i mn-Vm a I >? de verbetering 1: — — « — — Dethal* mx«+i «ixn+i ven zal de behoorlyk verbeterde Fluent z y n a~m~7~m~\ +x I
n+
y zz
l
—a
m
n
+
m
~—«
V . Laat eindelyk y zz a -;- b x
m
.
+
x\ n
c
P
x
nï-1 . « — I. m&s x-!-rjfx * z y n ; dan heeft men. op voorgaande w y z e , in de eerile plaats a T y zz —
*
x
4.
! P-hl
cx i
m
Stellende nu 31 zz 0 , dan is ook x zz o , en dienvolp+ i gfns de verbetering zz . p+ i Derhalven zal, volgens den R e g e l ^ . 6 9 , de verbeterde hlueni zyn
€4
EERSTE
BEGINSELEN
m rP + ' • a + b x -f- cx " i y . p-r l.
DF.&
P+ —a
l
.
7 ï . In alle deeze Voorbeelden heeft men onderfleld, dat de veranderlyke Grootheden , door x en y ui gecrukt, te gelyk haaren oorfpro g neemen, en dus gelykcydig z y n ; zo dat de eere verdwynende, of gelyk rul wurdenJe, ook de andere in deo ?elfden tyd zal verdwynen, of gelyk nui wcr.en: coch dit is altoos het geval niet; de natuur van een Voordel Kan hier in eene merkelyke verandering te weeg brengen, By voorbeeld : alhoewel de Sinus en Tangens eens Boogs beide verdwynen, of gelyk oul worden,wanneer de Boog zelf verdvty-t, of >lyk nul wordt, zal evenwel de Secans niet verdwynen, maar opdei draal {Radius) vallen, en dus gelyk aan den ftra I zyn. indien cerbalven bekendis, dat, de geheele Fluent onderdeid zypde geiyk nu! te zyn , oe veranderlyke Leaer, caar iu voorkomende, voï-zens denaruurvan het \ oorftel eere zekere waarde zal hebben, zal echter de verbetering op de zelfde wyze gevonden worden. DL-S zal in de Flux maak Uitdrukking a 4 - y\ x 'y 4
(§
fi)
a + y\s de te-stgevonden Fluent zyn • . Laat
nugtfteld worde:., dat v,arceer de geheeleFluentgeJyk
ul i s , yZZu zal zy'rj; dan is
de gezoch5 en i< r'.al ven zal de verbeterde Fluent
te verbe" rirg a-ry\
$
— a-t- b
s
S ra»
F L U X I E . R E K E N I N G .
65
" 72. Dewvl DU dit laatffe geval ( § . 71.) in het gebruik der Fluxiën van zeer veel belang is, zal her. niet ordienltig zyn hetzelve door de oplosfingen van eenige Voorbeelden, (waar in y — o zynde, dc waar. de van x üeeds sza zal zyn,) nader te verklaaren. I. Laat y r= * ' x zyn ; dan heeft men voor dea x* eerstgevonden Fluent y = — ; wanneer nu y=o is, 3 g3
X*
zal — , volgens de Onderftelling, =r — zva. 3 3
Der»
* -a* ——, 3 3
halven is de verbeterde Fluent y —
•
.
x
II. Laat 9 = - Ï * J zyn; dan is 31 =
fi +
— • 72 +
n+i
x Stellende nu y =so, zal — —
i
1
n+I
. a worden — —; 7»+i
«+ i
n+ 1
72
4-1
derhalven is de verbeterde Fluent yzz->
. »•+ 1
HL Laat eindelyk 'yZ2c* +bx*\' xxx J
zyn; dan
jc* + **» I* is eerftelyk 3 -
; en wanneer y—0, en 3 i E
«
66
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
c - r bx 1 3
2
c -!- £ a | *
s
s
ar r a i s , zal
a
worden
. . Der-
3 *
36
nalven is de verbeterde i^/z/ent
-
3
0/ =
.
?* dcn .'llSf K ^ i ï ^ ^ Voorbeeïaen alle, bettekkelyk geweest co: z-daniee i*ïa*«» waar in fl,g eenej era.derlyke Grooti-eidm 3 L>d gevonden wordt , en welkers Fluenten ui £ omgekeerde van den eerften -kemeenen Regel ( afgeleid kunnen word.n ; doch K halven d e è z é / V n er nog andereP foorcen van F/zmes, welke geen Mae» de Groothed 5
2 y B
m
y
D
e
e
e
v
e
n
e
CS
°r
^ ™*
welke ui Produtlenzyt welke uit de vermeenigvuldiging van vloeiende Grootheden met F / a * « » o t I r a a £ , luiks dat van 'elke vloeijende Grootheid, en geene andere ir! de Uitdrukking gevonden wordt. V,.n deeze laa'tife foorc v«n huxien worden de Fluenten met behmp van h t omgekeerde des tweeden en derden algen eeneh Regels ( i . ) gemaklyk gevonden-
de&S
n
g
3
Dus wordt de Fluent van
uirgedrukt door
xy ( § • 1 8 . ) ; die vau yz'x + xz y + xy z door x ( § . 20. ) ; die van wyz'x + xzj+
door wxyz
($.
2
i.)
;
die van •
( § . a i . ) ; die van ax -(-
x
( § . i 8 . ) ; cn die van nxy ~* n
y
+
y z
wxyz+xyzw
W
~ * . door
-
7*
y
?
'
y x
d o o r
y+y ' ^ n
x
flJB
+
, j
na x ~~ n
l
'
x
F L Ü X I E - R E K E N I N G.
67
p +m P n ral 771 T n\ m mX-y x-a* \ X y ax I door — — t, p+ m deelende , in het laatfte G e v a l , de gegeevene U i t . n H drukkinge door de Fluxie van den Wortel y x—ax :
w a n
B-I.
( § . 6 1 , ) , welke ( volgens §. 31.) isra«31
y + P
ra. ra—Ï.
y x-nax x, zal h et Quotiënt zyn j i ^ - a x " | ; indien nu by den Exponent van deeze aldus gevondene uitdrukkinge de Eenheid wordt opgeteld, heeft 72
~
men y"* — ax \ n
m
+
8 1
1
; en deelende deeze laatfte
1
/
grootheid door den aldus vergrootten Exponent — + 1, m _
ra ral y x—ax aal men eindelyk bekomen . P X
*ZZZZj
x
r. • : .
l
1
m
+ r p -77-;
>%4f> 1 . »»
P+™ ral ?/J f» xynx — ax | • — — — j voor de waare Fluxie der ƒ> +wi voorgeitelde Grootheid. Doch daar het zelden gebeurt, dat deeze föort van Fluxiën, welke twee of meer verfchillende verE 2 aa-
68
.EERSTE
BEGINSELEN
DER
anderlyke Grootheden in eenen Term bevatten, ea nogthans voikornenc Fluenten roelaaten, indedaadelyke oefFening voorkoncn, zal ik my daarover niet verder uitbreiden ; als zynde myn voornaam doelwit alleen zo.ianige Voorbeelden by te brengen , welke tot myn onderwerp volflrekt noodzaakelyk, om niet te zeggen o n ö n t b e c r l y k , zyn. Om deeze reden zal ik nu vervo'gens my flegts tot zodanige Fluxiën bepaalen , waar in niet meer dan eene verani'-rlyke Grootheid gevonden w o r d t ; z o a l s dezelve, bv de oplosfing van Voorftellen, zich doorgaans opjoen, en van wtlke Fluxiën , na eene be> hoorlyke vevfchikking , in gevallen daar het noodig i s , de Fluenten door mynen reeds gegeeven Regel ( § . 61.) kunten gevonden worden. -
74. Laat gegeeven zyn de Fluxionaale Uitdrukking
~ n\ n-i. a + bx I x c x x, waarvan de Exponent (n-1) der veranderlyke Grootheid < x ) buiten het Koppelteken de eenheid minder is dan de Exponent (n) der zelfde Grootheid onder het Koppelteken , dan kan ook de Fluent derzelve door den meergemelden Regel ( § . 61.) gevonden worden. n W a n t , Iaat a+bx , de Grootheid onder het Kopn-1. . pelteken, = z zyn j danisookwia; a:~z(^.a4.), j tn 72 — 1, / " m en by gevolg a + bx ' Xcx x \ » x m
n
c z\ cz z — J -ZZZ «——•, waar van de Fluent is nl' nb
c z • . —— nbxm + i
-m+i cxa ( § . 6 1 . ) = :
+ bx \ —
n
n
als men a +
bx
nbxm + l in de plaats van % fielt.
75..
F L U X I E - R E K E N I N G .
69
' 75. Wanneer de Exponent der veranderlyke Grootheid buiten bet Koppelteken, meer de eenheid gelyk is aan cenig veelvouwd ( Multiplex ) van den Exponent onder "het Koppelteken , dan wordt ook c e Fluent als boven gevonden.
ra!
m
Om dus van de Fluxionaale Uitdrukking a-f- bx I in— 1. n Xcx x den Fluent te vinden, zo laat a-'rbx , de Grootheid onder het Koppelteken, :m z zyn ,
dan
ra z-a is x 5=
ra-i.
z x zz — b
, en nx
6
Derhalven nx
B-I
.
(5.
24-)-
Z
x zzzzz — Ü
n
z—a
*
b —.
verm.
zz — az x zzzzz —• b-
2B—1.
Komt nx n
•
1
ara-1.
1
1
zz — az
•c m— 1 . Dus cx
c
x =r
~ x
T
Z2-oz
nb* :m m Maar a + bx \ zzzz z als boven, n
E
3
%
70
EERSTE BEGINSELEN D E R
~rm in-1. c By gevolg a-:-Z>*| xcx x B±3 — 72 & w +
I .
z
I» .
Z - Ü Z
x 2
f
z , waar van de Fluent ia — — x Bi*
m
z
+
"V477
2
—
( § , 6 i , ) i welke Uitdrukking, 72
door a-hbx weder in plaats van z te ftellen, zal worden c
fa-'rbx \
axa-rbx \
n
»6*
\
772-1- I
( X a + Z>a- i
:l«-'ri fXo-r-iac I 72
\
n
IB-r 2
/ a-'rbx X (
a
»
/
/
a
>7/l + 2
\
= ..
\ "T / •
i
7/2+2 x m+i
waare -fYuewt van a+fc* l xcx Sr, 76. Op gelyke wyze wordt ook de Fluent der ~n\ 3»*I. Fluxionaale Uitdrukking« + t)s I x c x * ge. w
m
B
vonden. Want , laat wederom a-Vbx , de Groot, heid onder het Koppelteken, = z Z J D ; dan is, als voeren § . 7 5 0 » v
tt*
F L Ü X I E - R E K E N
nx
t N G .
71
n- 1 . z x zZZZZ —,
-
b
n
z-a
.... _
^
^
an
i
z-a'l*
,
b
z'-2az-f-a*
-
3«—I . . z^z-sazz+a* z
nlH ex
3ra- 1 . * = »
c —: : r TT x z ' z - j / i n + a ' z ; m
1(9
3
'n\ 3«-i. a-r-fc* = z ; dienvolgens a + &* | X " as c m + 2. *» 4- 3. «« . — — x z z - 2a z z -!- a z z , waar >' m-r-3 «4- 2 c xz 2az van de Fluent is — — X I ~ — . - — • —•— nb \ ffi-1-3 «z + 2 m+i a z \ + . • I ( § . 6 i . ) ; welke Uitdrukking»door m +1 ' m
2
w2
s
a
4 . 1 w e d e r o m in plaats van z te [tellen,zal worden n
a
x
(
"
' . m -i- 3
" ' m 4- 2
a + ia; I
2
m 4- 3 d'xs+h I \ -V-
J HZ +
'
ra -!- 2 e xa + i i I =
'
1
;
-
nb*
E 4
X
72
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
«4-3
«+2
cxa-hbx
ZZ
w
2 « + 2 afcac
ȏ
+b'x
s
nb*
BZ+2
m + i )
f d + 2flb* X f V +
nx
a
3
l
TO+I
'
^i» + 3
3
«4-3
* 2a B2 + 2
«4-3
» 2a6.r «4-2
«!«•+•1
cxa+bx \ n
n^j» n aat>* — — — — «4-3Xw4"2
f
aa
9
\
—.— « + 3X?» + 2Xwz4-1 , a« ü> a; \ 4— 1, zynde de Fluent der J
opgegeevene Uitdrukking.
Tt*
F L U X I E - R E K E N 1 N G .
73
77. Wanneer de Fluxie buiten het Koppelteken niet de Fluxie is der Grootheid , onder hetzelve vervat, noch eenige gegeeven Reden (Ratio ) tot dezelve heeft, kan men evenwel in veelerlei foorten van Uitdrukkingen , volgens zekers gemaakte onderftellingen, de Fluenten in eindige Termen vinden. Laat gegeeven zyn de Fluxionaale U i t d r u k k i n g . . . . 1 ' j~ m. m, . m a+x x x x , waarin x : 1 , en gevolglyk niet in eene gegeevene Reden, is. Indien de Exponent m een geheel getal i s , 't welk in byzondere Gevallen als gegeeven wordt aangemerkt!, dan kan de Fluent der Uitdrukkinge in eindige Termen gavonden worden ; doch dezelve zal in een grooter of kleiner getal Termen beftaan , naar dat m grooter of kleiner is.
Stel a-t-x = z ; d a n i s x ^ = z , xzzz—a, I 1 m \m ~ x = 2 — a l , en a + ï ' ZZ z • Derhalven 1
1
rj
HZ.
1-
|HZ.
a-'rx'"xx x = z x z - a ' z. N u is door het Theorema van den Ridder I S A A C N E W T O N , te vinden ia myne Inleiding tot de Mathematifche Weeten,wz m fchappen, II. D e e l , pag. 95, z - al zz z —..... jjl— I
in z
771.771-1 171-2
a-\
z
HZ.771— I.H1 — 3
a
....
1
1 . 2 . 3
1.2
Hl —3 % a + & c . , welke Séries eindigen zal met even zo veel Termen op den eerften te lasten volgen, als door een Getal gelyk aan m wordt uitgedrukt. 3
«17Z+1
n Dus is dan z
771 .
x z — a\
z~z E 5
~
.
z —— ma
74
EERSTE
B E G I N S E L E N OER
Bira-B + i ra
ra«.a»+i . m -?» az-\ z a
n
1
tnz
a*z — & c . ,
waar van de Fluent door den algemeenen Regel m n + n 4-1
,
7.
n
tnn
n
(§. 6t.)is
mn-hi
z
mn + n+i mn-\-jL n z
mn — n+i »!*« —win a-j
n
z
— <5cc.; Hl B — 2 B + 2 welke Uitdrukking , door a + jc wederom in plaa s van z te (tellen, zal worden mn+n+1 mn+\ J
a
2
re
• — a+x\ HlK-f-B-f-I
»
mn —
;
n
a-r-xl HlB-i-I
fHB-W-r-I m'n — mn fl-f — — a-fxi 2H2B- sre+a
n a* - &c.
78. Om te toonen, dat van deeze foort van/'"ÏBAVOnaale Uitdrukkingen de Fluenten in eindige Termen gevonden kunnen worden, wanneer de Exponent m der Grootheid buiten het Koppelteken een geheel getal i s , zo laat HI = 3 en 71 = 2 z y n ; dan is de gegeevene Fluxionaale Uirdrukking fl+ïl'xx'*, waar van Hellende a-'r xzzzzzz; dan is wederom — ^ xZZz—*, * r : z ' - 3 a z - r - 3 a 2 - ^ e n a 4 > x \ * z z s
J
2
3
J
l
FLUXIE-REKENING. 1
z\
x
.
75
1
Derhalven a + x I x x* x = z* x z - 3 a ~h a
1
30*3"^ a x z = z* 2— 3 « z * z + 3 a z z — a» 2 z , waar van de F'uent, door den Regel ( § . 0 bevon3
2
5
5
O I
2 i den wordt te zyn — z 9
6 7
az
ï
6 i; » -\— a%z —- ~~ 5 3
a* z ; en Hellende in deeze Uitdrukking a + x in 2 1 plaats van z , zal men hebben — a + x\ 9
6
a
1
Xa + x\ + ~a X a + J t f - 2 fl!x a - r T f , 3 'twelk insgelyks gevonden wordt, als men in de bekomene algemeene Uitdrukking ( § . 77.) 3 voor TB; en 2 voor n in plaats itelt ,- terwyl alle de overige Termen dier algemeene Uitdrukking, hoe ver men de Séries ook moge vervolgen, door die Subfiilutk nul zullen worden. 5
79. Alles als voor en ( § . 7 7 . ) geftcld zynde , behalven dat het vtrandcrlyk deel der Grootheid onder het Koppelteken tot eenige maet verheven z y ; dan kan ook in veele gevallen de Uitdrukking van den Fluent in eindige Termen gevonden worden. L a a t , by voorbeeld , de Fluxknaalè Uitdrukking
1
1 "n zyn a+x->
m
x *
' x, waar in het veranderlik deel
der Grootheid onder het Koppelteken eene magt i s , naamlyk
Stel a + x* ZZ z; dan is 2xxZZz
( § , 2 4 . ) , ac zz z — 0, en by gevolg xZt z - a l * ; a
der«
76
EERSTE BEGINSELEN
DER
m m derhalven* ; — ;
n
2
\
i
i
n , en a + jc» | m z
n
.
i
. z Dus is ook x ZZ ZH 2*
z n — — , en a-S- x*\ X .* 2xz-al 1
m
i
x
TB .
i ~ z
B
2
x
Z
-— . , . , .
ax z-al*
w
I —
—
I
T7Z-I
~z xz—>a\ z i B "üT . " —• '• zz - z x z —ai z. Indien n
1
X z r— öl
2
m- i nu de Exponent — — een geheel getal i s , het geen 2
plaats heeft, wanneer TB een oneven getal is, dan TB — I
z a l , de Grootheid z - a tot de magt ——— verheven 2
zynde , het komende in een eindig getal Termen beftaan, en dus de Uitdrukking van den Fluent mede in ^eindige Termen gevonden worden. Maar indien de m-l Exponent — - — een Breuk, o f , dat op het zelfde 2
uitkomt, TB een even getal is, kan de Fluent niet anders ais door eene onëindige Reeks uitgedrukt worden , hetgeen derhalven het laatfte hulpmiddel i s , tet hetwelk wy onzen toevlugt kunnen neemen. ,8o.
F L U X I E .
R E K E N I N G .
77
80. Indien het veranderlyk deel der Grootheid onder het Koppelteken tot eenige raagt verheven i s , en de Fluxionaale Uitdrukking buiten het Koppelteken geen magt van de vloeiende Grootheid in zich bevat, maar eeniglyk de Fluxie van den Wortel is,zal altoos de Uitdrukking van den Fluent eene oneindige Reeks zyn. Laat, by voorbseld, gegeeven zyn de Fluxionaale
Uitdrukking aa-' xx\ xx, waar van het veranderlyk of vloeijend deel onder het Koppelteken eene magt van x , e » de Fluxie buiten het Koppelteken flegts de Fluxie des Wortels van die magt is. Stel dan r
t
aa + xxzzz
t
en x=z
dan is zxxzzz Ï
— aa\
CS- 4-),xxzzz-aa, 2
z
; by gevolg x ~ 1
z
—
*
2X2-aal
,
r
I
n en derhalven aa + xx{
2x
n X.x-*z
z x
•zz»*'
1
n . »•-—•
, o f , dat het zelf Je i s ,
2 x z— a a l _ 1
~
1
1
2 n . ax 2-aa' x % z. Om nu van deeze Uitdruk, king den Fluent te vinden , kan in dit geval niets anders gedaan worden, dan de Grootheid z — aa tot de
78
EERSTE
BEGINSELENDER T
de magt, welkers Exponent
i s , te verheffen , £
't welk eene onëindige Reeks zal z y n , vervolgens el« i
ken Term van die Reeks met iz z te vermeenigvuldigen, en eindeiyk door den meergemelden algemeenen Regel ( § . 61. ) den Fluent van elk dier Termen te bepaalen ; dan zal de lom van alle die Fluenten de Uitdrukking van den gezochteu Fluent voortbrengen: doch deeze gezochte Fluent zal altoos meer of min gebreklyk zyn , naar dat men min of meer Termen van de onëindige Reeks genomen beeft. In 't vervolg van dit Werk zal ik ornftandiger over dit onderwerp handelen ; doch alvoorens de Fluxionaale Uitdrukkingen, in §§. 74, 75, 76, voorgedragen, in den algemeenlten zin befchouwen. n
81. Laat gegeeven zyn de Fluxionaale Uitdrukking a+bx \ x cx gevonden moet worden.
x. waar van de Fluent
» n n z-a Stel a + bx zzz; dan is bx ~ z — a , x zz — b
a
1
{
~
7 ri
en * = « I
bn
n
5 by gevolg — — x x
=
.....
F L U X I E - R E K E N I N G .
75
w—I z — a| n— 0
n
1
n n
Van de Uitdrukking a + bx zzzzz z de Fluxie ge» «
Ï .
nomen, krygt men « i *
i r r s ( §. 3 1 . ) , ea
» —1
(lellende voor x
de Waarde hier boven gevonn— i 2 — a| den , zal 'er komen » 6 x — — n a; = z; «— i b * n— ï
* derhalven n b x » — a | 72
b
71 — 1
. #= &
™ ., z , en x
=
—1
z 71— 1
, : » a t x z - «1 n 82. Boven ( § . 81.) is gevonden bx = z <— 01 deeze vergefyking tot de magt r verheven zynde, be-
So
EjERSTE
B E G I N S E L E N DER'
. , r rn bekomt men b x =
r rn z - al , waar door x zz
z —> a\ — — • zal z y n ; indien men derhalven deeze Iaatb i r
"
z
Re vergelyking door xzz
zal 'er komen'
*
rn-i
—
rn z - al
—
a\ i
m
«
( § . 81.) deelt,
i
71
, dit met e vermeenig-
rn-i
vuldigd, heeftimen r«-i rn-i
z-a|
n
xt
r «• i I
«"
"—'—\m' Dewyl nu^a+bx zzzgefield i s , z o is a-hbx \ ' m ZZZZ z ; waar door nu alle de faamenflellende deelen der gegeevene Fluxionaale Uitdrukking in Termen van z gevonden z y n : derhalven blyft er mets anders overig , dan alle die faamenflellende deelen in Termm van 2 te faamen te vermeenigvuldigen. Dus n
n
F L U X I E - R . E ~ n\ Dus is dan a + bxl
K E N I N G . rn—i
m
. ar
x«
z-al " —— rn-i b
:
»—I
T%— l
/ t» ƒ z x \
81
X er
b
X—
sr n-i
~Z-7\
nbx
n
n
V — ]
J
n
cz 'z m
nb
r
83. N u is door het Theorema vantfewton, waar r-1 Van boven ( § , 77.) gefproke* i s , z — a\ —— r-f r-2 r - 2 r-3
*
—f - 1x «
fl-r-r-ix
—— X z
a*
3
r-a r-3 r.4 — r - 1 X — x —— X z a 2 3
en der*
s
cz ha'.ven
C
z — x
rz
r-i
c
z - al fc
r
x » b
r
wj + r - i . «z-i-r-è. z z- r-ix«2 z + r —i x r—2 m + r—3 . _ r —2 r —3 — Xfl'z z — r —ix X - — x 2 * 3 Hi + r - 4 . *\ '«* £ 4- £fc. J » waar van de Fluent» F
vol*
82
EERSTE
BEGINSELEN DER
volgens den Regel ( §. 61.) i is —1— x nb
r
(
m
+
m+r-i
r
z
r-t
m+ r ——
r-i
—
. az m+ r-i
• . r- 2 . r - 3
JB+r-2
r - i . r-i . a*z — 2 . W-f-r —2 m + r- 3 . A z \ P
r
s
-+&C.
).
6 . w-f-r—3 Indien nu r een geheel pofitif getal is , zal de Fluent altoos in zo veel Termen beftaan , als door dat getal uitgedrukt worden, behalven in het geval als m+r insgelyks een geheel en pofitif getal, doch Kleiner dan r i s ; in welke omltandigheid, de DeeIers m+r, m + r - i , m + r - 2 , enz. eerder daa de Multiplicanten r - i , r - i x r - 2 , r — 1 x r —2x r - 3 , en«. gelyk nul wordende, de overeenkomfHge Termen der .Se'n'er oneindig zullen z y n , en alsdan is de Fluent onvindbaar, vermits niets van dezelve bepaald kan worden. 84. Neemende r r = 2 , dan is de Fluxionaale U i t . drukking de zelfde ais die van §. 7 5 , en men heeft dan m + rz=m+-2 ; (lellende dus m+2 in plaats van m+r in de algemeene Uitdrukking van deü Fluent ( § . 83.) zal dezelve worden TB-j-2 c s*z —77 X ( nb*
v
m+ 2
m+i az m+i
>. J ; zynde -
/
naauw*
F L U X I E .
R E K E N I N G .
83
naauwkeurig het zelfde, dat in §. 75 op eene verfchilien.de vvyae gevonden is. 85. O p de zelfde wyze wordt ook , door de algemeene Uitdrukking van den Fluent ( § . 8 3 . ) , de Fluent der Fluxionaale Uitdrukking van §. 76 gevonden , door in de geme'de algemeene Uitdrukking » + 3 in plaats van m + r te (lellen: maar wanneer r een Breuk of negatif getal is , zal de Séries voor den Fluent tot in 't onëindige voortloopen; v e r . mits alsdan geen der Multiplicanten r— 1 , r - 2 , r ~ 3 , r - 4 , enz. gelyk nul kan z y n . Het gebruik der voorgaande algemeene Uitdruk7~TJB
m - i
.
king voor den Fluent van a-'rbx l xcx x ( § . 83.) zal nog nader uit de volgende Voorbeelden biyken. 86. E E R S T e V O O R B E E L D . 1) 20
den den Fluent van
Laat begeerd war-
X
"5
•
, of a •+- x\
*
xbxx.
a + x\' Door de voorgeflelde Fluxionaale Uitdrukking met , m rn—1. a-i-bx \ xcx x te vergelyken, hebben w y a a, b—i, x = x , n—\, m \ , c — b, m - i , ör. orn dat n = i i s ) r— 1 ZZi; dus r = 3.
—
——
v
Derhalven 'is a + bx = z ( § . 81.') = a~Vx , en deeze waarden gefubllitueerd in de Uitdrukking van den Fluent, §. 83 gevonden , zal mea verkrygen n
X -
_ 3
k
*C~
7—/ = F a
*X
M
EERSTE
B E G I N S E L E N DER 3
• a-Vx\ • 3
*X^<
K aaxa + x l
fLlÜÜ 1 \ _
'
b
f
)ZZbxa+xl -<
«+~* '
•
[
V. 3 V de begeerde Fluent.
2*-
x
4
3
4
a
»
2wÏJ%°J ^ , Grootheid de waare fluent der voorgeftelde Fluxionaale Uitdrukking i». zal ik my , ten overvloede, van de handel wyze, in S'S- 74 > 7f ,16 voorgedragen , bedienen, ten ein«tir £ ? l ngevondene algemeene Fot. ™ CS- 83.) daar door te ftaaven. n
Z
t e
k
t ü 0 n
b e
d
n
d a t
d e r
d e e z e
bove
J
m
Laat a+ zzz
zyn ; dan is 'xzz'z, xzzz-a,
x
a + x\
zzzz z
fcz z - a i »
2
:
dienvolgens a + x~\
, waar van de * W ,
\bxx~zz
volgens den
algemeenen Regel CS- 6 x 0 , is *— —
2
3 of, Rellende a H - * i pJaats van -
' * *' +
D
3
, 0Xa.+ * |
i x
f ^
aa + 2x * —
en
2a J ~
, . . .
F L U X I E . R E K E N I N G . b . a + X] • • "
.
85
—43
2#
, het geen ook boven (§.8<5.)
1
3 gevonden is.
88. T W E E D E V O O R B E E L D . Laat de voorgefleU 0 n — 1. ax x .—j de Fluxie zyn — , of b -!- c x \. x n
b-rcx \* n
272— I .
ax x. Hier hetft men n u , door vergelyking der overeten» komftige Termen , a = 6 , i = * = . * , 72 = 71, «2 — — \i <•' — flj r 72— I — 2 7 1 - 1 ; dus m"271, of r—2. Dienvolgens is a + bx =z n
( § . 81.) '-
b-'rcx , en deeze waarden gefuMitueerd in de Uitdrukking van den Fluent ( §. 83.;, bekomt men n
a
fb + cx \*
b. b-hcx l
n
nc*
v.
j
3
XI nc'
n
'
)ZZZZ J
3
a -rf — X b + cx \ nc
i . b + cx ( — V. 3
n
r
n
x
a
TIC*
•
2bxb-hcx l
^
a . è-h cx'1 r—
* ^
n
^ ab ) •
=
c x — 4&
x«
>.
3
F 3
39.
28
E E R S T E BEGINSELEN DER
80. DERDE VOORBEELD.
Laat de gegeevene Fluxie
3 « — 1.
zyn
bx
3 B - Ï .
bx
x
—
, ofa+dx
-.— «
5
X
x.
Hier is nu aZZa,. b zzd, x-x,
nZZti,
mZZ—\,
cZZb, r~s, en dus m+rzzi; voorts is *+&x := z zz a+dx , en deeze Waarden gefubftitueerd inde Uitdrukking van den Fluent ( § . 83.) zal men verB
n
b
sa + dx V n
n~d*
k r y S e n
X
^
n
l b
^
5
^2.a-hdx V n
zz — x (
tid* >•
•
5
jjifs &xa+üx*f H sa'Xa-!-^ï I ) — — — — x
3
^•2 . a -f- d xn\
n
l
) 4axa + dx \' .
aa.a + dx '.
^
4 « • a + dx
11
N
^
t
D
3
x
3
b . a+
3
s
F L U X I E . R E K E N I N G . ^.a+dx \ (
^a.a+dx
n
n
„ — , i
Ï O g
8;
^ b.a + dx \ +«a'J = rrzrr n
*
de begeerde Fluent.
15 * «1™ 90. Om van de Fluxionaale Uitdrukking a + bx { x c a / " 'jé ( § . 81.) den Fitten* te vinden,kan men BOK eenen anderen weg inilaan , welke voor het gebruik gemaklyker is, dan die wyboven(§.83.&Seq.) gevolgd hebben. TV
M
+
1
Om dit te toonen, zo laat c x a t h 1 X / p p-v p-?v _ P-3V % ( A / + B / M-C* +DI + &C7 rwaar in p , v, A , B , C onbekende, doch bepaal, de Grootheden aanduiden,) voor den pezochten Fluent aangenomen worden; dan zal men,door van deeze aldus aangenomene Grootheid de Fluxie te neemen, verkrygen chnxm+
1 X
x
K-I . JJi* xxa + bx j X
p 'p~^v p—av Ax +Bx +Cx +Di Xa
f
.fn + + bx \ n
i
P—3
V
+&c.
T
P-I. XpA*
FA
x - h p - v X
D
8&
EERSTE BEGINSELEN a +
X
S
+
»
V
X
> *
3 3
*
g
x
+
«
f
3 t 4-
3 s«r X 3"
°
+
?
| 5.
*
: o
?
5*
, „
P
+
J
i
+
»
» H
x H
3
•«! 1+
•»
£
S —
v
S
*
3 S
a
?
I i> ! ™ ff % f
I
x
L*-vTSrf
3
co
,il * *
CR
t3
y
^*
f
tl
a
V
%
"
$•
-
{
o
o
tt
3
+ 1 I
5
« SS
I
„
°
f T
'
«
"y—H
II
»»_ • a
»
03
~
o "51', j' I £ * g l i
5 »
1%
a
,* *
1 ^ +
B *
„
j*
^
s
-
+
I +
7! +
•'
'
+ \ * |
°
| S
'
'
i
S
3
B
DER _
>o
%
8- B >
S
*
<
EL S
<5 ~ Cf^
CTQ
«
2.
2
O
2
°o o
s **( 5?
3
*
FLUXIE-REKENING.
o •
"
< O
1
ra
Kp
«8+
"
« "
N ~
a
+
I
9^
(R •
1 U
3, ~
« a
11
s
I
re|} S ^
3
«
o o
ai,
a
a S
r •%
|| M 0
S
2 §
H ^
g
»
*
1
X
C L _ .
a
*»
«
»
«' » I * - ?
?
& • ' -r - T •
a »*•
*
e'X
« cr.
k
N
I
H S-S ï
. . • ""^ o
2
a
do
re
a
?r —
+
i !
5 o:
»
**
T
+
sr
li II
S-
S ?,
.
a
£
a
> %
<
a
1
**
1 1
gS
|i
I l
•
D
2 2
g <* 03 o
-
go.
U <
a
a
i
£°
«
aa
+
3
n>
-
+
o II »*•
I
.
,
"
-1
0-3 D*S»
I
KA
B
«9
•
.
«
ra
F 5
II
e 11
1
^
r >
9o ^
EERSTE
BEGINSELEN
U
1
r-i.a
r-i.r-2.a
s.s-i.nb* r-I.r-2.r- 3.a
DER a
s.s-i.S'2.nb
3
3
D=
&c. x . i - i . f - 2 . J - s.nb*
Subftitueerende vervolgens deeze waarden van A, B , C , D , e n z . , benevens die van p en v ( § . 9 2 . ) , in den aangenomen -F/aent ( § . 9 0 . ) , zal dezelve worden rn-n TpM + l / *
snb
r»-an r-i.fltf •— <—— ff.
i r n —3» r—1 . r — 2 . a * *
\
s-i.nb* —«2+r c.a+bx\
— — &c. 1 = ~i..r~2.»&' * rfi-fl r n — 20 r-i . a x f
. X
n
. rn-3« r-l.r—2.a'x •i. j & c . , zynde de waare Fluent s— 1
— 2. £
«7
a
Wl
van a+bx x ca; die gevonden moest worden. De :ze Fluent zal , zo wel als de voorgevondéne ( § • 83'Ja > * Termsn beftaan, als 'ereenheden 1
u
£ 2
0
0
v e e
F L Ü X I E - R E K E N I N G .
91
den in r zyn , onder die bepaaling nogthans, dat r een geheel en po fuif getal zy , behalven in het geval als s een geheel en pofitif getal kleiner dan r is. Z o ook wanneer r een Breuk of negatif getal i s , z a l , zo als § . 8 5 . reeds is aangemerkt, de Séries voor den Fluent tot in 't onëindige voortloopen, en derhalven de Fluent flegts in eene oneindige Reeks benaderd kunnen worden» n\ " ' 94. O m den Fluent van a + bx \ Xcx x te bepaalen, heeft men nog eene andere handelwyze, door welke men in Raat is eene Formule te vinden , die in veele gevallen dienftigis, als de voorgaande onvindbaar wordt, of in eene onëindige Reeks voortloopt. M e n heeft gezien, dat de voorgaande Fluent (§, 93,) rïï ~ gevonden wordt door cx a + bx v x ». . .» p p— V p — 2V ~V m
r n
w
J
M
C
A x +üx +C* & c . y voor denzelven aan te neemen ( § . 9 0 . ) , en de tweegrootfte£;cp(mff«ten der daar uit voortkomende Vergelykinge onderling te vergelyken ( § . 92 ) , doch zo men in plaats p p —v p—2v vanAx 4-B* +Cx & c . eene afklimmenp p-j-V p + iV de Reeks verkiest, als A x -J-Bx +C* & c . (waar in de Exponenten van x geduurig aangroeij e n ) , en de twee klcinfre Exponenten van x in de daar uit voortkomende Vergelykinge op gelyke wyze onderling vergelykt, zal de zelfde Fluent onder eene verfchillende gedaante gevonden worden, welke het gebrek der voorige in veele gevallen verhelpt. 95. Wanneer nu in de laatfie Vergelykinge van § 90. in p'aats van p—v, />—2v, p—%v, enz. refpeftivelyk gefchreeven worden p - f v , p+iv, p - M v , enz,, zal men bekomen ^ ' bnx 6
oa
EERSTE BEGINSELEN
DER
O-V
i +,
f -' ;i
x
, ±
•*
•« + ff t i ?
+
2
X »
1
S
vi
»
x
1
T
t i
—-v——^
•
>
+1
I
^
+
CC
«Tl
C>
ly.
1
o. °
3
i '
T
| * I "*»
**
«
^
* i
t
i
s
3
T
^
X
+
I
?
•* _ <
«ff +1 ^ I
s
j^ -
>e
S £5 4
**
4.
|
?!
»
<* i
^
T
* \*-> 9?
X
+
<
a
II
§•
-r
?
&
i__
^
£.
T I I
a X = I *
%
**
S
tra
19
£
I | H x
E 3 "
g? ss +
+ +
•
3 af
o
-f
+
p
5
"»
H
,
II
*»
• . »J
F L U X I E - R E K E N I N G . I
c r o o"o~J Q
g + B
"
?
° £ 5
1
1
a
§•+
o
^ ?' a
5
»
*
X ~ °
> I O
T
e
_,
CO
X
o
r
s
o
<«
.
a
§M
»
3
1
t
£.
4.! -r
"
°
+
gjj -li*-
3*1
slU
— a fik
t
» a
g"^
*
,_,
a
.va
10
n
4
cr.
+8°
g
a
o ,
5 «
R>
ra" ^
P
1
£ 5 ^
^
«» 2 .
r (j
"
II
gfï?
"
5'
p
a
W
'
» < ft» t* 2 .
X
PO
Sao.
x
i H ' i - i a »
g-
,1
+
^ 1a I tl
CL O?
O
o
3
S
ï * » c o
5" Sa
+| { .
gt,
1
" S ?
*
3
%o s a
3
*
«S's ia
og
I * ,
B
a
X
X
"
n
«
S
93
£
3
g o p
o.
tl O P»
94
EERSTE
BEGINSELEN
I
J-rl.M
C =: — ~ - — ~ -
DEH f-l-I.£
, &c. &c
r.r-j- i . r + 2.«a
3
Subftitueerende eindelyk deeze waarden van A , B , C , e n z . , benevens die van p en v ( § . 96.) in den aangenomen Fluent c x a + b x « p -i-v p-i-2V "\
x
(
Ax -f- B x + C i " + & c y , zvnde de zelfde als die van §. 9 0 , behalven ddt de Exponenten p - v , p - 2 V , p - s v enz. in J? + v , p + 2 v , P + 3V enz. verwisfcld z y n , zal 'er komen rn rn+ra ~~~rm+1 /ar J 4-1.6*
c X o + £a; I
x (
—-
\rsa
— .
+
r.r+i.na*
r»4-a« J + I,I-, 2.Ï'J;
v
L
rzr.-^r:—) = • r. r + i . r + 2 . « a ' "MI" **" 1
<»+»« j _
1
R
R
/ /
A
iH__
x
\ 2
0
s
1 r+i
. a
\
— r + i.r+2 . a
k
n
S+ t.J-{-2 . b X —
7X7
f 1 -
r«;i "
;
•• • &c. i , welke Séries een be« 4
** piald
F L U X I E-R E K E N I N G.
95
paald getal Termen zal hebben, wanneer f j o f r + j n , een geheel negatif getal is, behalven in het byzonder geval, als r insgelyks een geheel negatif getal kleiner dan s is; want alsdan zal de Noemer van één der Termen nul worden, vóór dat de Séries ten einjie loopt. 98. Het gebruik deezer twee voorgaande algemee. ne Uitdrukkingen voor den Fluent van a»' bx \ x rn-i. * x x> welke voor de bewerking gemaklyker zyn, dan die van §. 83, en daar benevens eene grootere algemeenheid influiten , zal door de volgende Voorbeelden ailerduidelykst blyken. n
r
99.
VIERDE VOORBEELD. Laat de gegeevene Fluxie X X
—1 |
3
zyn — — — - ,
of a' — x J 3
x * ie. 3
a* -.x \*. . . z
1 rn
Vergelykende de gegeevene Fluxie met a-hbx l
x
n
rri— 1,
cx (§. 9 8 . ) , heeft men azza', b= — i n _ t , mZZ-ï, cizi,Tflwrr^r*; by gevolg r ~ 2 . en m + r = x r + ». Dewyl no j = + i geen geheel en getal is, kleiner dan het geheel en pofitif getal a~r , moet hier van de algemeene Uitdrukking des Fluents ( § • 930 gebruik gemaakt worden; en men zal bex
s
komen — — — X r * — . -3
- i
i^£+ a«
—
8
-3
"
voor den begeerden Fluent, iOo.
96
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
l o o . VYFDE VOORBEELD. Laat de gegeevene Fluxie d*-'rz*\*z-
,
_ 6 .
zyn — — ,ofd* + z*rx z z. z Door de gegeevene Fluxionaale Uitdrukking met n\ rn-i. a+bx^ xcx x ( §. 98.) te vergelyken, heeft men o _ d», b zz i , xzzz z, n zz '•», mZZU c=si, m - i _ - ó ; by g e v o l g r - - ! , en m+rzZsZZ~% Dewyl nu szz-2 een geheel en negatif getal i s , moet men hier van de algemeene Uicdrukking des Xluents ( § . 97-) gebruik maaken; en dan is s
m
l
rf'+z'|*
. z
5
- 5
/
-
\
_
*~3d*
I.J.»
•
— • * •
nz*
-
, o f , als men bei-
de Teller en Noemer met z
s
'
\
15 d* z
s
vermeenigvuldigt,
» 'de begeerde F/MM».
101 >
F L O X I E - R E K E N i N G .
97
¥ IOI. Z E S D E V O O R B E E L D . Laat eindelyk de g«geevene Fluxie zyn a —pz I X Ï 2. Dan is door vergelyking, als vooren, a — a, l — — p, x—z, w i - i , c ~ J , _ r n - i — — In— 1; by gevolg rZL-l, en ? « + » • _ * — . - 3 . Dewyl dan r = — 3 een geheel en negatif getal is , moet hier wederom van de algcmeer e Uitdrukking des Ftuents ( § . 9 7 . ) gebruik gemaakt worden;
i!
a —p z | x z en men zal bekomen — •— x — Ina / n 2 2n\ f -2X—pz - a x - i X p z \ n
i
\
—fa 7^pz~ \ n
-lnaz>
n
l
—ix — la' / X I
4Pz
n
I +
V
a—pz V n
5
8p z 2
-1
a
I 5 a
2 B
,
15a
\
)
=
'
30fl -f-a4apz' 4-i6p z * ,
;
/
a
s
_
3
7»AZ
a-pz l n
—-
a
x 30fl + 2 4 a p z - l - i 6 p » .. . a
B
3
a n
voor
ioSna*z* den begeerden Fluent.
n
i o i . Wanneer een Fiueni niet naauwkeurig in A l gebraïfche Termen voorgelie'd kan worden , drukt men hem uit door eene convergeerende Reeks , o f door eenen reeds bekenden Fluent, die eenvouwdiCï ger
98
EERSTE
BEGINSELEN
DER
ger is. In de Deeling der gemeene Algebra , ais ook in de tiendeelige Kekenkunde , is het Quotiënt veeltyds eene zodanige Reeks Doch om het geduld der Öeffenaars van deeze Theorie , door verdere afgetrokkene befchouwingen , niet te vermoéijen , haaste ik my, om de nuttigheid van het tot hier toe voorgedragene in praktikaale Gevallen te doen ziei>, met oogmerk om den draad van de Leerwyze der Fluenten in eene volgende Afdeeling te hervatten , en dezelve in alle haare uitgeftrektheid,zo kort eü duidelyk als mogelyk i s , te verklaaren. Z E S D E
A F D E E L I N G .
Van de toepasfing der Fluxiën in de Oplosjing van Foor/lellen, waar in geëischt Wordt de Maxima en Minima van Grootheden te bepaalen. 103. A l s eene Grootheid, door beweeging geteeld wordende, geduurende eenigen tyd aangroeit, en dan wederom afneemt , wordt dezelve in het tydftip, als de aangroeijing ophoudt, en de afneeming begint, een Maximus , ofGrootite, genoemd. Desgelyks wanneer dezelve , op gelyke wyze geteeld wordende, geduurende eeningen tyd,- of tot zekeren ftand, afneemt, en daar na wederom aangroeit, wordt dezelve in het tydftip, als de 'afneeming ophoudt . en de aangroeijing begint, een Minimus , of Kleinste , genoemd. 104. Om deeze Bepaaling eenigzins op te helder e n , zo laat gefield worden , dat een punt m zich eenpaarig in eene rechte L y n van A naar B beweegt, en dat een ander punt « zich achter hetzelve, met A D C B eene aangroeijende of 3f- 1 , 1 1 n n neemende fnelheid, zodanig beweegt, dat deszelfs fnelheid , in eenen zekeren ftand D , gelyk worde aan die
F L Ü X I E - R E K E N
I N G .
j>r;
die yan het voorige punt m, dat zich eenpaarig be. weegt. Dit voorüf gefield zynde , zo iaat de bëweeging van het punt n eerst als eene aangroeijcnde bëweeging befchouwd worden ; in welk geval de afftand van n achter m geduurig zal aangroeijen, tot dat de beide punten in de gelyktydige Handen C en D komen ; doch daar na wederom zal afneerüen ; want, aangezien de beweeging van het punt n' tot daar toe traager dan in D i s , zal dezelve, door de Onierftell i n g , insgelyks traager zyn', dan die van bet voorgaande punt m; maar daar na iheller dan die van m wordende, zal de afftand mn, zo als reeds geze4d i s , wedcom afoeemen. Derhalven is deeze afftand een Maximum of van alle gelykcydige afftanden de grootfte, wanneer de meineden der beide punten aan elkander gelyk zyn. Doch als het punt n met eene afneemende fnelheid jn D k o m t , zo dat deszelfs beweeging eerst fneller, en daar na .'angzaamer dan die van het punc 73» i s , »al de afftand mn eerst afneemen, en dan aan»roeijen, en is derhalven een Minimum, of de kleinste van allen , in de voorgemelde omftandigheid. 3
105. Dewyl dan de afftand mn, een Maximum of een Minimum i s , wanneer de fnelfièJen der punten m en » gelyk zyn , of' wanneer die afitand door de beweeging van het punt m zo fchielyk aangroeit, als dezelve door de bëweeging vau tiet punt n afneemt, is zyne Fluxie in dat tydftip klaarblyklyk gelyk aa i nul of' niets C §§- 2 en T ^ . j . Aangezien Jus de „bëweeging der punten «1 en « z o d a n i g begreepen"kan worden , dat hun afitand mn da man van eenige verardenlyke Grootheid uitdrukt, zo v r ! , ; , da; de Fluxie van eenige veranderlyke Grootheid , wanneer df zelve een Maximum of Minimum is , aan nul cf niets gelyk zal zyn. 106. Aangezien dan eenige Grootheid een Maximum of Minimum i s , wanneer derzei ver Fluxie nul i s , iu Ga d*
IOO
EERSTE
BEGINSELEN
OER
de onderlïelling, datflegtsééne veranderlyke Grootheid daar in gevonden wordt, en het zelfde waar is, wanneer eenige andere Grootheid alleen verönderfteld wordt veranderlyk te zyn, zo volgt, dat, wanneer in het Maximum of Minimum verfcheide veranderlyke Grootheden gevonden worden , de Fluxiën van die Grootheden ieder byzonder gelyk aan nul moeten zyn. Hier uit vloeit de volgende R E G E L . I. Stel de Jtandvastige Grootheid m 'voor het begeerde Maximum of Minimum; en zoekt eene Vergelyking voor m; verdryft vervolgens , met behulp van deeze en andere gegeevene Vergelykingen, zo veele van de veranderlyke Grootheden als u goeddunkt, indien 'er verfcheide zyn: Stel alsdan de overige Vergelykingen in Fluxiën , en verdryft voor iedere Vergelyking ééne Fluxie, tot dat gy nog Jlegts ééne Vergelyking hebt; maakt in deeze laatfte Vergelykinge , na dat alles aan eene zyde gt~ bragt is, de fom van alle de Termen, welke iedere byzondere Fluxie vermenigvuldigen, afzonderlyk=o en gy zult zo veele Vergelykingen bekomen, welke met de eerst gegeevene te faamen alle de onbekende Grootheden zullen bepaalen. y
II. Maar wanneer de Fluxie van eene enkele Grootheid = o gevonaen is , dan is die Grootheid zelve of een Maximum , of een Minimum, of eene ftandvastige Grootheid- Of zo 'er eene onmogelyke Vergelyking uit voortkomt, zal de Grootheid geen ander Maximum of Minimum, dan dat oneindig is, hebben. Meenigmaal zal de Vergelyking verfcheide Wortelen hebben, welke allen afzonderlek beproefd moeten worden, om te zien, welke van die Wortelen aan de conditiën van het Voor* jlel zal voldoen, en het begeerd Maximum of Minimum voortbrengt; en zulks wordt verricht, door de enkele veranderlyke Grootheid in . het Maximum of Minimum aan verfcheide achtervolgende Waardens, in getallen •iitgeirukt, gelyk te ftellen. III»
F L U X I E - R E
K E N I N G .
IOI
III. Wanneer men de natuur eener Kromme , alt E C D ( F i g . i . ) begeert te weeten, welkt eenig M a x i mum of Minimum zal bevatten; onderfieltdan twee punten der Kromme F en G gegeeven zyn ; dan moet men een punt C tusfchen beiden vinden, zodanig dat het deel tusfchen F en G , of tusfchen F H en G l , een Maximum of Minimum kan zyn. Want indien het punt C niet zo gelegen is, dat het deel tusfchen F r i en Gl een Maximum of Minimum zy, dan is het klaar, dat nog minder de geheele Kromme een Maximum of Minimum kan zyn. Derhalven trekt men twee Ordinaten F H , G 1 oneindig dicht by elkander , zodanig dat dezelve een oneindig klein gegeeven deel van het Maximum of Minimum befluiten, en dus ook van de gegeevene grootheid in het Voorfiel vermeld: om alsdan een tusfchen beiden gelegen punt C te vinden, trekt men den Ordinaat C L , zodanig dat dezelve een Arithmetisch Midden-evenredige tusfchen de twee andere F H , G l zy. Deeze Ordinaat deelt deeze oneindig kleine Grootheden in twee deelen; alsdan moet de Fluxie der Som van ieder zz o gefield worden, 't welk twee Vergelykingen voortbrengt, uit welken de Natuur der Kromme afgeleid zal werden. 107. Het komt 'er nu nog op aan te weeten, hoe veel Maxima en Minima eene Grootheid , ingevolge § . 103 & feqq. , kan toelaaten. Hier toe zal ik ge» bruik maaken van het Voorbeeld, dat ons de geleerde Wiskundige Thomas Simpfon tot dat einde aan de hand geeft, en my van de grootfte nuttigheid fchynt te z y u , om dit gewigtig Leerituk in het helderst daglicht te (tellen; Laat begeerd worden de verfchillende Waarden van x te bepaalen, wanneer die van 2 * — 28ax* - ( - 8 4 a * — 9 6 a ' x - h 48 b* een Maximum of Minimum wordt. D e Fluxie van deeze Grootheid is, volgens de Regelen in § . 31. voorgedragen , 12 x x — 4 8 a * * 4- 168 a'xx — 96 a * , X
2
%
1
2
welke gelyk aan nul gefield, G 3
3
en door 'x gedeeld zyn-
IC2
E E R S T E
Sfe^ n t J7
™**-8+a*' + i 6 8 a ' * . + M « * - 8 « - o : waar bLm.n f " * Algelra b e * o n u n x - a — o, * — a = : o , of z — a ~ o . D e r h a l v e n z y n de W o r t e l e n der V e r g e l y k i n g e T o f de drie w a r d e n van x, , aa, en a . v
™ 2 *: -
B E G I N S E L E N DER
n
b
r
d G
e
B ? ^
n
e
a
a
;
g e m e C
e
R e
3
e l e n
d
c
r
%
2
4
a
4
io8. U i t dit V o o r b e e l d blykc d e r h a l v e n , dat eene Grootheid zo l Maxima en Minima kan toelaas n , als er m o g e l y k e W o r t e l e n z y n i n de V e r g e Jykiiige , w e l k e v o o r t k o m t als men de Fluxie van die G r o o t h e i d aan n u l g e l v k fielt. O m nu te wee25,1 , W o r t e l e n een Maximum , en w t Re een Minimum aanduidc , moet men o n d e r ? . 0 U t n , o f de uaarde der gemelde Fluxie. k o r t v ó ó r dat d e z e l v e gelyk aan n i w o r d t , pofitif o f negatif JS\ z o d e z e l v e c q / i ï / / i s , dan geeft de eerstvolgende vv ortel eeb Maximum; d o c h »»gat«/zynde , een f " " ™ " ' e r | d é n hier van is zeer ligt te bev
w
e
,
k
e
v
a n
e
e
d i e
B
u
D
HÖt™ .^ ;
at;£
n, Z ' ë G r o o t h e i d aanb o t c , z a l haare Fluxie pofitif , d o c h , wanneer haare Fluxie negatif ( §. i . ) ï ö y . L a a t w e d e r o m t o t een voorbeeld genomen ZO
hG
a l s
e
e
n
z
a
f
u
e
e
m
t
e
y
u
3 8
7
tf* + 4 8 * ( § - 1 0 7 . ) , 4
waar v a n de Fluxie i n ver-
k o r t e uitdrukkingen is i s ^ x
x ^l'a +'^a 7^Sa^ J
T
1
x
= i
y
n
n
*V J.
z;c
WON
F L U X I E - R E K E N I N G .
103
Wortelen > de eerfte of derde, de kleinfte Waarde voortbrengt. Tot dat einde fubftitueert men die beide Wortelen, ieder afzonderlyk, in de gegeevene Grootheid, en men zal vinden 48 b*— 37a , en 4 8 è — 6 4 f l * . »ar van de laatfte uitdrukking de kkinfte is; dienvolgens is het ten vollen klaarblyklyk , dat de derde Worcel de mogelyk kleinfte Waarde oplevert, welke de voorstelde Grootheid j^an toelaaten. 110. Wanneer alle de Wortels onmogelyk worden, moet de voorgeftelde Grootheid, waarvan de Fluxie als dan nooit = 0 kan zyn, of geduurig aangroeijen, ofafneemen; en derhaiven kan dezelve nimmer eeu Maximum, noch een Minimum, toelaaten. Daar benevens kao het gebeuren , dat de W o r telen mogelyk zyn , de Fluxie = o , en dat nogthans de Grootheid zelve , in die omltandiyheid, noch een Maximum , noch een Minimum kan zyn. n i . Om dit te verkiaaren, zo laat nogmaals gefield worden, dat het punt n zich, als vooren gezegd is ( § . 104* )J achter het punt m beweegt, aliecnlyk met dit ooderfcheid, A D C B dat de fnelheid van het punt I 1 1 1 1 n r.iet langer aangroeit , dan n m tot-dat heczelve tn D komt;' en dat die fnelheid daar na weder afneemt: dan is het klaar, dat alhoewel de Fluxie van den afftand mn, in den ftand C D , nul is, nogt.hans de afftand zelf geen Maximum zai zyn; uit hoofde dat het punt « , dat naderhand, zu wel als te vooren , eene mindere fnelheid dan hst punt m heeft, fteeds by aanhoudendheid meer en meer achter uit zal blyven. Op de zelfde wyZe kan dit geval ten opzichte v.-.n een Minimum verklaard worden. Ook is het openbaar , dat deeze gevallen altoos zullen voorkomen, wanneer de Fluxie der gegeevene Grootheid , beide vóór en na dat dezelve gelyk aan nul wordt, in opzichte tot het pqfitive en negative, van de zelfde benaaming is; hetgeen, zo als de Regelen der gemeene Algebra ons leeren, G 4 dan 4
4
w
io
EERSTE
4
BEGINSELEN
DER
dan alleen gebeurt, wanneer de Vergelyking een even getal gelyke Wortelen toelaat. Wt volgend voorbeeld z a l , zo ik meen , toereikende zyn o m du ter neder gefteldo nader te verklaaren. 2
i Ja. Laat de voorgetelde Grootheid zyn a i a » * 30 «- »» + i6 ax' ~ <. * ^ . / j g 3X
w
a
a
r
V
M
d
2 4 a * - . 6oa *# + 4 8 a W - i 2 * ' # , 5
a
w e
lke C = o
kompï'» " , ° " g e d e e l d z y n d e , zal 'er qax •+• -x~- a a J Z I o , waar uit blvkt . dat d.» twee kleinfte Wortelen gèlyk (naamlyk i è d ), 6
a l f e s
d o
r
3
5a
e r
Toch MIT^
2 0
',
W
°
US
IS
ER
a
DOCH
noen Minimum ie vmden, wanneer # ~ a i s ; want zo mtn *iets kleiner of grooter dan a neemt, zal de Waarde der Fluxie evenwel altoos pofitif Naardien nogthans de grootte Wortel ( ) geen andere geiyke Wortel heeft , ftrekt zulks ten . w y z e , dat dezelve, zo als boven gezegd is (K, i c S . ) een Maximum aantoont. V>'CB.;, i i 3. Om het geen boven is aangemerkt nog duidelyker te doen blyken, laat de gegeevene U i t drukking a « * - oa> *• + i6ax> - V voorgeteld worden door den verandeilyken O r o W F Q .) der Kromme A Q . M M R , welkers Abfcisfs Al' i k , als naar gewoonte, * zal noemen. 2 f l
b e
z
2 4
3
0
3
a
Terwyl
1*7, r * X a
de F/axfr van den Ordinaat 12 i X
x
* W
blyft, o f zo lang tot dat dezelve zzazzAE wordt, zal de Ordinaat! zelf aangroeien. Maar in den ftand J3M werdt dezelve Itiittaar.de ; het zy my vergund deeze Uitdrukking te b é w g e n , vermits de Fluxie alsdan zzo is. Waar na, de FluxU wederom pofitif zynde , de Ordinaat andermaal zal aangroeijen , tot dat xzzza f z z A O wordt; wanneer de Fluxie ten tweedemaal n u l , en naderhand negatif wordt , zal C N een Maximum zyn; Kort daar na daalt de Kromme beneden haaren a s , e n b/yrt tot in 'c oneindige vandenzelveDafwyken. 114.
F L U X I E . R E
K E N I N G .
105
114. N o g iets anders is 'er , waar op men in de Oplosfing van deeze foort van Voorftellen byzonder acht moet geeven, naamlyk, of de Maxima of Minima, welke gevonden worden door de Fluxie zzo te ftellen, binnen de Limieten vallen , welke door de natuur van het Voorltel , o f van de F i g u u r , worden voorgefchreeven: dit nu wordt meenigmaal bepaald door Conditiën, welke in de Algebraïfche berekening geen plaats vinden. n y . Laat d u s , by voorbeeld , gefteld worden, dat men in een gegeeven Ellips A 8 H D (_Fig. 3 . ) , een zodanig punt F moet vinden , dat onder alle andere punten van het einde van den toegevoegdea As het verst afftaat. Trekkende dan F £ evenwydig aan den langen A s A H , en (tellende A H ~ a , ïiDzzb, en Bü — x; dan is DE:r2> — x, en dus het vermeenigvuldigde der Jbjcisfen B E x D U — bx—x'. N u is door de eigenfchap der Ellips ( Toepasfing der Algebra op de , a hooze Meetk. §. 8 7 . ) , E F ~—xbx—x', en door b' 1
her Pythagorisch Leerftuk is ËT ( r B Ë + Ê F ) x* 4
xbx — x , eene uitdrukking d i e , volgens b* den eisch van 't Voorltel, een Maximum moet zyn. a ~ " De Fluxie daar van is ixx-\ x bx—zxx, welft' 1
1
ke gelyk aan nul gefteld, en door K gedeeld zyna d e , zal voortbrengen a#-! xb — axzzo, of b' a ' — b Xx—la*b; waar uit wy bekomen G 5 x — a
1
-
106
EERSTE
BEGINSELEN' DER
... j\/[aar door de natuur der Kromme is a'--b~de grootfte Waarde , die #'fJ:rBE) met mogelykfteid kan hebben, b ( z : B D j ; indien derhalven de
;
...
betrekking van a en b zodanig is, dat
• grooa'-ft ter dan b z y , dan is deeze Oplosfins; klaarblyklyk onmogelyk. Om derhalven de Limiet te bepaalen, ia'b zo ftel —-—L_ j (j gevonden wordt, a*~b* 1
w
dat ib'-a
2
zal zyn.
a
a
r
U
t
an
Dus kan de voorgaande Op-
Josfing tlleenlyk plaats grypen , wanneer a B Ï T g e Ivk, of kleiner dan AH'is. 116.. Wyders moet nog in aanmerking genomen worden , of de Waarde van x , door de gemeene Leerwyze gevonden , eene kleinere Grootheid voor bet Maximum, en eene grootere vüor net Minimum voortbrengt, dan uit de uiterfte paaien zelve, door welke x gelimiteerd is , zal omftaan. Laat dus begeerd worden de groorfie en kleinfte Ordinaten te. bepaalen in eene Kromme APK (Fte 4.) weikers Vergelyking is y* ~ 6a* * — yax* -FAX** en welkers grootfte Abfcitft A D gelyk aan 2a gegeeven JS. Dewyl nu y alle de Ordinaten uitdrukt, van wel. ke men de grootften en kleinllen begeert te bepaalen, zo moet van 6 a x — gax + 4x* de Fluxie genomen ,^ en _ o gefteld worden ; waar door wy hebben 2x* — 3ax_~.a*, eene Vergelykinge waar uit men vindt x~}a , of xZZa. Als men nu deeze gevondene Waarden , benevens dis van de grootfte Abfcisfe, zynde 2a, in'de Vergelykinge der Kromme J
2
2
S
F L U X I E - R E K E N I N G .
107
roe .y* ZZ 6 a' x—9ax -hAX voor x in de plaats ftelt, zal men hebben : y ~ | a , of y'zza , of^s s 8 A ; waar uit afgeleid wordt y _ a | / | , of y~a, of 1
s
3
5
3
=
3
y~2a\ dat is de Oraïnaaï B P i z a j / f , de OrainaatC Q z u , en de Ordinaat D R , zynde de grootfte van allen, r a * Hetgeen dus tot het volgend befluit aanleiding geeft. 117. De eerfte BP der gevondene Ordinaten is geenszins de grootfte van allen, vermits de uiterfte D R zz 2 a grooter dan a Y § is ; ook is C Q even zo min de kleinfte, uit hoofde dat de Ordinaat aa» het ander einde A geheel verdwynt, ot eigeulyk nul is. •i.i>i« i ii J i t t ó ' A < • ... • 118. Somtyds zullen één of meer der punten Q , S, enz. ( Fig. 5.) welke de Maxima en Minima bepaalen , beneden den As A F vallen ; in welk, geval de overëenkomftige Waarde der algemeene Uttdrukkinge van den Ordinaat tiegatif zal zyn: doch in de punten b, c, d, enz. , waar in de Kromme den As doorfnydt , zal dezelve gelyk aan nul zyn. Ik zal daarom in 'f voorbyga<>n nog aanmerken, dat de reden klaarblyklyk is, waarom de Wortelen eener x
Vergelykinge, als x —ax ~' -{11
n
l
b* x ~ . . . . . n
2
+ q zzo, by Psaren onmogelyk zyn. Want, aangezien Ab, A c , Aa , A e , enz. de Wortelen van .die Vergelykinge, of de vQïfchillende Waarden van n
1
x,
zyn, wanneer de Ordinaat x -—ax n
b' x ~ n
2
n
1
4-
+ g ( M N ) gelyk aan nul wordt, fl
is het .klaar, dat zo P A , die de gegeeven Term g uitdrukt, tot Pa aangroeit, zulks dat A F , die alsdan op af valt, de Kromme in S raakt, de aanleggende n
ic8
EERSTE BEGINSELEN
DER
de "Wortelen A d en Ae alsdan gelyk zullen worden; n en dat, zo a nog verder aangroeit, zulks dat de As geheel beneden de Kromme valt, niet alleen deeze twee, maar ook alle de andere Wortelen, Ab en A f , onmogelyk zullen worden. •
119; In 't algameen heeft men. ten aanzien der Limieten van Vergelykingen, door deeze Maxima en Minima bepaald-, het volgende op te merken. Eene Uitdrukking, welke die ook zy, die, gelyk aan nul gefteld zynde, twee of meer gelyke Wortelen toe heeft, ten zeiven tyde , zo veel achtervolgende orde van Fluxiën gelyk aan nul, als door het getal van die Wortelen min één uitgedrukt wordt. Lus zal eene Vergelyking, die drie gelyke Wortelen heeft, beide haare eerfte en tweede Fluxiën gelyk aan nul hebben, wanneer de Fluent zelve gelyk aan nul is. 120. Hier door heeft meo , behalven den boven aangeweezen weg ( § . 111. ) , nog eenen anderen, om te weeten , of eene Grootheid haare Fluxie gelyk aao nul kan hebben, en desoiettegenftaande geen Maximum noch Minimum zal toelaaten : want vermits deeze oroftandigheid altoos plaats grypt , wanneer de Vergelyking, zo als reeds getoond is (§. n i j , een even getal gelyke Wortelen toelaat, moet het getal der ordens van Fluxiën, die gelyk aan nul zyo, tan zei ven tyde, met influiting der eerfte, insgelyks even zyn. Hier door heeft men insgelyks eene gemaklyke Leerwyze, om te ontdekken, wanneer fommige der Wortelen van eene Vergelykinge gelyk zyn ; en, in gevalle het zo is, wat zy zyn. 121. Laat dus *» — 3a# +4a — o voorgefteld J
s
worden, waar van de Fluxie 3x-'x—6axx gelyk "aan nul genomen zytde, ae Waarde van xzzza zal zyn;
ieo
F L U X I E - R E K E N I N G.
zyn; dus is dan 20 eeD Wortel van de gegrevene Vergelykinge, zo dezelve twee gelyke Wortelen toelaat. Om dit te beproeven, ïubüitueert men 2a voor x ia de gegeevene Vergelykinge, en men'bevindt alsdan dat dezelve, naar den eisc'h, — o wordt. 122. Laat wederom 8** — 28a'* -!- i8a x* 437a *—27a*—o zyn. Van deeze Vergelykinge is 3
a
3
de eerfte Fluxie 32^ ^-84aA' .r-f-3Sa ^.v-j-27a *-, 3
5
5
3
en de tweede Fluxie 96X x~- — 168axx' + 36a x' ; welke laatfte == o gefteld zynde,. zal men door herleiding bekomen 64 x* — nz a x — 24 a'; 7a , 25 a g"a a waar uit wy vinden x~—Z.V • — — , ' o f —. 8 64 3 4Zo nu de voorgeftelde Vergelyking drie gelyke W o r telen toelaat, zal één der gevondene Grootheden de 3« Waarde van elk derzei ven z y n : en wanneer men —« z tot dar einde beproeft, zal men bevinden, dat dezelve de uitdrukking van elk der gelyke Wortelen is; waar door dan ook , volgens de grondbeginfelen der ge28a 3a "— — X 8 a 2
2
2
(
j z - a ^
gegeeven is.
T23. De reden van deeze bewerkingen, zo wel als van hetgeen boven gefteld i s , kan op de volgende wyze beweezen worden. Laat r-xxr-x &c. X A 4- B * 4- C x &c. zz o eenige Vergelyking zyn , hebbende twee of meer gelyke ' V ortelen , welke ieder door r uitgedrukt worden: Hel y~r--x , en laat n het getal der gelyke Wor2
IIO
E E R S T E
B E G I N S E L E N
DER
W o r t e l e n z y n ; dan hebben w y door fubllitutie y
n
x
A - h B x r — y + Cxr — y\> &c. zzo; w e l k e V e r g e lykfn ', door de magten v a n r—y uit te d r u k k e n , en a - A + B r + C r f c f c , bzzB-haCr + sDr'tfc. te r
(lellen,
verders
a — by+cy
veranderd
zal
worden
in
y
n
x
— dy* GPc. — o : eene V e r g e l y k i n g waar
1
van de Fïuxie
nay ~~ n
y — n+i
.by 'y
l
n
+ n~+2 X
y
y & c . k l a a r b l y k l y k g e l y k aan n u l i s , wanneer — T — « nul i s , en dat o o k n grooter dan de eenheid z y . D e s g e l y k s is het k l a a r , dat de tweede Fluxie c
n . n - i .ay '~ y n
2,
1
— n + i. nby ~~ n
y'
l
-J- n~+~2 x
n + i\.cy y fcrV. i n de zelfde omftandigheid o o k gelyk aan nul zal z y n , wanneer « g r o o t e r dan 2 i s . H i e r uit kan men nu het algemeea befluit opmaak é n , d a t , h ó e groot o o k het getal n v a n gelyke W o r telen z y , dat der ordens van Fluxiën, w e l k e aan n u l g e l y k z y n , ten z r l v e n tyde uitgedrukt z u l l e n w o r d e n d o o r dat getal min é é n , z o als b o v e n g e t o o n d is n
t
D e volgende V o o r b e e l d e n zullen tot nadere bevest i g i n g en v e r k l a r i n g , v a n betgeen dus verre g e z e g d i s , kunnen dienen. 1 2 4 . V O O R B E E L D I. Een gegeeven rechte Lyn A B in twee deelen AC, B C te deelen, zodanig dat de Rechthoek, of het P r o d u c t , van die deelen de mogelyk grootfte zy. * '"" '"' " "•' V ' . ' C J„' ^ L a a t de gegeeven L y n A B r a A i r 1 iB
y a , en uei net aeel A C , dat oor de beweeging van het nunt A naar R «rptpeld w o r d t , en dus v e r a n d e r l y k i s , ~x\ dan is B C ~ a-A;. D e r h a l v e n i s , volgens den e i s c h van het V o o r ftel,
F L U X I E . R E K E N . L N . G .
ïtt
ile\, AC.xBQ~i.ax— x : waar van de Fluxie ax~» 3
axxzzo gefteld zynde ( § . 105. ) ,
zal men hebben
axxzla_x •', en by gevolg x zz ia. Derhalven-zyn A C en B C , in de begeerde ömitandigheid , aan elkander gelyk, zo als ook .nit.aaderr Grondbe^irtfelen bekendis. ( Zie Gronden der Meetkunst X L B O E K , TJieon 16.•)• •• • . ,: WW Ï 2 5 . V O O R B E E L D I I . Den mogelyk grootften Recht* hoek te bepaalen, welke in een gegeeven Cirkel kan befchreeven worden. Laat Q R S T ( Fig. 6.) den gezochten Rechthoek Zyny Z o men nu de Diameters A B , D E evei.w.dig aan de zydën van den Rechthoek trekt, is het klaar, dat daar door de Rechthoek in vier gelyke en j*elykvotmige Rechthoeken gedeeld zal worden , --arts CPQN. Dertnlven is het viervouwd van C P Q N de yioo?fte Rechthoek , welke in den Cirkel befchreeven kan worJen, en dus een Maximum. N u wordt C P Q N bepaald door het vermeenigvuttPgde van C P en P Q , welke de perpendiculaire Coördintt' ten des Cirkels zyn , de Oorfprong in het middel, punt C genomen zynde. Laat r de ftraal, x de Abfcisje C P zyn , dan zal de Ordinaat P Q 7—g ff r*—x' zyn {Toep. der Algebra op de hooge Meetk. § . 1 0 . ) . Dus is xy r"— K , het vermeenigvuldigde der Coördiflatón C P , P Q , dn Inhoud van den Rechthoek ^ J ^ N , en deszelfs viervouwd 4 % 1
Y r' — x* c/e"Inhoud van den Rechthoek Q R S T . Derhalven moet de Grootheid t\xy'r — x een Maximum zyn , of wel men Zoekt eene Waarde 2
1
voor x, die 4xyr — x'zzz, een Maximum maakt. Nu 2
Ti2
EERSTE BEGINSELEN
DE
Nu is van * | / r — x> de Fluxie ^x'xr — xH *— 2
2
4
4arf
welke £ = o gefteld, en alles
,
door 4ar gedeeld zynde, zal men bekomenr*— x \*— 2
x'xr*-x
2
\~'zzo. Deeze Vergelyking metr -*=i* 2
verrneenigvuldigd zynde , zal 'er* komen r" — x*l° x r — o f * — r ~ * , of 2x zzr , en A T ^ 2
2
2
J
2
1
1
f
Dus x~r\Y\.
Deeze Waarde in 4 * i / r ' — x :
2
2
gefubftitueerd zynde, zal men hebben A.TY \xV 2
STT 2 r r den Inhoud des Rechthoeks Q R S T . Waar uit blykt,datCP-PQ.is,en daaromisCPQN, en dus ook bet viervouwd daar vao,naamlykQR^T een gelykzydig rechthoekig Vierkant. Derhalven is het Quadraat de grootfte Rechthoek, die in een Cirkel befchreeven kan worden. 4
i a ö . Ik achte het niet ondienstig by deeze gelegenheid aan te merken, dat de Waarde eener Grootheid , wanneer dezelve een Maximum of Minimum is, meenigmaal gemaklyker, en met minder omflags, bepaald kan worden, door de Fluxie van eenig gegeeven deel, veelvouwd, of magt te neemen , dan uit de Fluxie der Grootheid zelve, >\lndtölï dus in het •voorgaande Voorbeeld, waar in Ufrblgemeene Uitdrukking van den Inhoud des begeerden Rechthoeks is 4 * i / r — x a
2 1
deftandvastigeMnltiplicant 4 ver.
worpen wordt, zullen wy hebben *-/>'—~ê», waar van de Fluxie x x r* — *' I» j» x' x x r*— * ' |
*
P L U
X I E - R E K E N
I N G .
u
3
~ o gefteld zynde , zal men bekomen ar — rY \ , zo als boven ( § . 125.) insgelyks gevonden is. De reden hier van is openbaar ; wanc wanneer de Grootheid zelve, van wat foort die ook z y , de mo« gelyk grootfte of kleinfte is , zal insgelyks eenig gegeeven d e e l , magt of veelvouwi derzelve de mogelyk grootfte of kleinfte z y n . 127. VOORBEELD III. Den mogelyk grootfien Rechthek te bepaalen, welke in een gegeeven Driehoek kan befchreeven worden. Laat de Softs A B (Fig. 7.) van den gegeeven Drie. hoek = ö , en deszelfs hoogte C D = a zyu ; ftel voorts de hoogte D l van den ingefchreeven Rechthoek E G , als veranderlyk befchouwd zynde, = * $ dan hebben w y , uit hoofde der parallele Lynen A B , F G , deeze Evenredigheid: C D : A B :: C l : F G . . Dat is a : b : : a-x : F G . ab—bx Derhalven F G — — , en dus de Inhoud dei a Rechthoeks E F G H , o f F G x D l —
a
h
~~ a
b
x x
abx—bx * ZZZ —•"• , waar van de Fluxie , zonder op a den Noemer desBreuks, als ftandvastlg zyndë, acht 3
te geeven , is ab'x— zbx'x , weike ==0 gefteld zynde, yal men vinden x = ja. Derhalven is de grootfte ingefchreeven Rechthoek die , welks hoog. te juist de helft der hoogte van den Driehoek is. "I28. VOORBEELD I V . Een gegeeven rechte Lyn A B in twee deelen A C , B C te deelen, zodanig dat het H Pa-
3i4
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
Parallelepipedum, dat onder het vierkant van het deel A C , en het ander deel BC begreepm kan worden, of wel AC x B C , het mogelyk grootfte zy. Laat de gegeevene Lyn Aüzza zyn, en ftel het deel AC = * dan is het C andere deel B C = S - Ï ; " i • iB en dus de Inhoud van het ;
A
i
Parallelepipedum A C x BC — x'xa—xzzax
— a;' =
1
een Maximum.
Hier van
is de Fluxie iaxx-* 3x'x, welke = o gefield zynde, vindt men xzz\a; dienvolgens a—x~la Derhalven zal, volgens de conditiën van 't Voorftll uit de deelen der gegeevene Lyn het groo;fte Parallelepipedum gevormd worden, als het eerfte deel het dubbeld van het laatfte is. (Zie ook Gronden der Meetkunst X I . B O E K , Theor. 19.). IOO. VooRnEEXD V . Op eene gegeevene rechte Lyn, als Hypothenufa, den mogelyk grootften rechthoekisen Driehoek te formeeren^ Laat de Hypothenufa AC (Fig. 8 . ) ~ a , dezyde A B _ x en bezzy zyn ; dan is, door het Pythagos
risch Leerfluk, x*+y' =za*, en dus y ZZ\/a~—x\ xy x ; P i e n v o i g e n s - z z - V a'-x' = den Inhoud des 3
Driehoeks.
2
Daar nu de Inhoud des Driehoeks een
Maximum moet zyn, zal ook deszelfs x* — een Maximum zyn ( § . i
Quadraat~ 4
2 ( 5
.).
Derhalven moet
F L U X I E . R E K E N I N G .
moet de Fluxie van deeze laatfte Grootheid — x'xzzo gefteld worden;
115
a' r i . 2
waar door w y vinden
xzzaj/ \ , en y ( - f / V - * ) ZZa\/*. Hieruit volgt dus , dat de gezochte grootfte rechthoekige Driehoek gelykbeenig moet zya. Indien men derhalven op A C , als Diameter, een halven-Cirkel befchryft, en uit het midden B van dien haiven Cirkel de Chorden B A , B G trekt, zal men den gezochten Driehoek hebben. 2
130. Op eene andere wyze wordt dit Voorftcl aldus opgelost: naardien * * y een Maximum, etl x'-r-y' — a is ( § . 1 2 9 . ) , zo laat van deeze beide Grootheden de Fluxiën genomen , en = o gefteld 2
worden , dan zal men hebben i * ; y + *:y* — o , en aïi + 2)ï=0'
Van welke Vergelykingen uit de
yx eerfte afgeleid wordt yzz - — , x
en uit de laatfte
xx yx xx yzz- — - • Derhalven zyn en — aan elkan. y y der gelyk, en by g e v o l g * T V , zoalsboven ( § . 129.) getoond is. x
Ijfï. VOOBBEELD V I . Fan alle rechthoekige Driehoeken , den zelfden gegeeven Inhoud bevattende, dien te vinden, waarvan de fom der beide Seenen de mogelyk kleinfte is. Laat de Inhoud van den Driehoek zz a, en het eene Been A B ( Fig. 8.) zzx z y n ; dan is het andeÜ 2 re
"6
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
za re Been — — ; en dus hebben w y voor de fom der * : .. . df» .(.; beide Beenen ( A B -f- B C ) x -f. — , waar van de
x . Fluxie is *
lax , welke ~ o gefteld zynde, zal
men vinden x~V ü a z z A B ; waar door B C Q~-^ mede ~V ia is. Derhalven zyn de beide Beenen mede aan elkander gelyk. 1 3 2 . V O O R B E K L D V I I . In een gegeeven halven** Cirkel den mogelyk grootfien Driehoek te befchryven. Laat de Diameter A C Z a , en bet eene Been A B (Fig. 8.) _ z y n : dewyl dan de hoek B , op den Diameter ftaande, recht is , is de Driehoek A B C x
rechthoekig, en dus B C Qzz Y A~C — A B Q
-—
Va
—x.
ABC
( z i A B x B C ) z z i x y a ^ , waar van de
1
2
Derhalven is de Inhoud des Driehoeks 7
Fluxie is \xxa — x \ — *x*x x o — x' welke z ; o gefteld zynde, zal men vinden zx'zza , o f 2
2
2
2
a
%~aV\\ dus B C QzzfT a - ^ j ' i ^ a ' - ^
=
a\V \. Derhalven zyn in dit geval, als vooren,de beide Beenen aan elkander gelyk.
J33-
F L U X l E - R E K E N I N G .
U7
1 3 3 . V O O R B E E L D V I I I . Door een gegeeven punt P,
linnen den rechten hoek A BC geplaatst , de mogelyk kortfte Lyn te trekken. ( F i g . y . ) . Trek P M parallel AB, en PNparallel C 8 . Dewyl dan het punt P gegeeven is , zal men H M en B N bekend hebben. Laat dus BMzza, BNzzb , én M C - i zyn;. dan zal men hebben P C = M Ü ' + P M = M C + B N = = : x* + V, en P C ~V x* + b'. Voorts naardien de Driehoeken C M P , en C B A gelykvormig z y n , hebben wy deeze Evenredigheid: C M : CP : : C B : C A . Dat is x : y x +~f T
:
: x+ a :CA.
x 4- a Dienvolgens C A = — — x V'« • ' x '•
2
-t-& zzzz een 2
ax Hier van is de Fluxie — j — x * + b [ 'i 8 x
Minimum.
3
2
2
1
-'rx + axx'-'rb'r^xx, welke zzo gefteld zynde, zal men vinden x*zzab , en x—tf ab\ Derhalven heeft men in dit geval E ers anders re doen, dan tusfchen b en a twee midden-evenredigen tevinden, waar van de eerfte —x is. Want fteilen"de, dat x en z de' beide midden-evenredigen z y n , zal men, hebben b : x :: x : z, en b : x : : z : . derhalven è x " " Z * , en xzzzab. Gevolglyk A - 3 = = s
!
a
2
3
a b z , of x*zzab , en y-ab , de uitdrukking welke gecongrueerd moet worden. 2
a
3
T34. Om dit te verrichten, zo laat om A P als As ( F i g . i o . ) met een Parameter zzb, den Parabool H 3 AMR s
UB
EERSTE
BEGINSELEN
DEk
A M R befchreeven worden (Toep. der Algebra op de b hooge Meetk. §. 2 0 9 . ) ; neem alsdan A D = • — ; trek vervolgens D C perpendiculair tot den As A P , en a = — : befchryf uit het punt C , met C M als Straal, 2
een, Cirkelboog A N M , welke den hal ven -Parabool A M R m een punt M zal fnyden ; waar door dan de Ordinaat PMzzx zal z y n . W a n t , volgens de Conjlruclie, is M F ( " P M - C D )
— . Maar
i
door
de
Czz P M )
natuur
-
ZZ $* , b
of A P 5
— ; derhalven b
.
E n om dat C F = : P D i s ,
zal men hebben CM* ( n M F V c F ^ **| T —™ ->
a'
,
b 1
x* 1
ax
2
4
J» 1—.
b*
C A , en C A ( - Z : A Ö + C D ' 3 = 3
PD
x*
( = AD—AP) c
b
2
van den Parabool is A P x &
=#,--1
-f.
Voorts is C M -
r
4 ~ 4
+
derhal4
fc* a» a* x* b ~ v* ven — + — - — ax + — + — 4- — , of — = 4 4 4 & 4 i* x
a
F LO
X
I
E - R E K
*'
t
x
zza, x'zzab . ' b* ~~
E N
Derhalven
1
1N
1:9
G.
l
i
-
P M l ^ i / a i ' .
13*. VOORBEELD I X . Het punt jÓj in den grooten As eener Fllips A O N gegeeven zynde, te vinden Q M den mopehk kortften afftand tot de Krouma (Fig 1 t A Laat AC = fl, C D = b , A Q ~ p , - Q N , en QJ>-x z v n ; dan is A P ~ p -+- A ,
pq+qx-px^-lT',
eü Q M * ( " T P M + Q P J -
pq + qx—px — x'-\-x*zz een ilfaranum.
— X
—X
Hier van
b* qx~~b* px — 2b xxis de F/azie •—— + a 2
welke
1
b*xp-q gefteld zynde, zal men vinden * ZZ • zz i.a -b~* 1
b* p-q 6 •i * x — ZZ. x CQ. e»-"?* a a'-b* 1
Hier by is nog aan te
1
a'-b* merken, dat wanneer C Q grooter dan
:
- 3
is, x
t
a
b* of Q P , ook grooter dan — , en dus ook grooter
\. _
t
., _
.
v
;
J
-
;..
dan Q N zal z y n , hetgeen de natuur van het Voordel met toelaat. H 4
136.
120
EERSTE BEGINSELEN
DES
gegeeven Cirkel befchreeven kan Vord \ _ Laar den afftand Bü r to> 10 i J
°
W
en
'
y u
'
I I i a i e a
opengetrokken wordr,
BQ : 0 Q ^
j
a
z u ] l e n
w
;
:
y
h e b b e Q
ffi^
w?1e?«
vorang zyn, hebben
Vat is y
« Q OQperpendiculair ^
BDI
DC.
DC.
a
Derhalven DC , de . h a l v e v a n beenigcn Driehoek, =
23^
den gelyk.
en by gevoIg d e
Vx'+a' Inhoud des Driehoeks ABC (zz BD x D C ; a x x -f- a 1
"oni^a
3
;
w
e
l
k
e
e e
* ^ ' « - r o zynde, moet des.
zelfs Vierkant, en by gevolg
& 3
™
x — a 2
2
x-'-al
s
'
3
JCsgelyks een Minimum zyn; maara*, als
*yndeeene ftandvastige Grootheid, kan verworpen^ wor.
'
W
F L U X I E - R E K E N I N G .
121
worden ( § . 126.) > dus blyft 'er nog overig, dat x + al —— - — • een Minimum moet z y n . x —a 1
Fluxie
^xxx
+ al^xx-a •'
Hier van is de
— * x *+al * - m , welke zzo
x— aI * xxx + al' gefield , en alles door —4 gedeeld zynde, x — a\
%
zal men verkrygen 3 x x-a — x+a — o , en by ge.volg A - z a a . Derhalven is B O ~ 2 O Q , en vermits de Driehoeken B O Q en B D C gelykvormig z y n , is het klaarblyklyk, dat ook B C z 2 D C ~ A C is. G e volglyk is de Driehoek A B C , o m de mogelyk kleinfte te z y u , gelykzydig. 137. VOORBEELD X I . Den grootflen Cylinder te bepaalen , welke in een gegeeven Conus of Kegeï kan befchreeven worden. Laat a z B D (Fig. 1 3 . ) de hoogte van den Kegel zyn; bZZAC de Diameter van deszelfs Bajis; xzz efof dg de Diameter van den Cylinder, als veianderlyk befchouwd zynde; s~ den Inhoud des Cirkels, wiens Diameter de Eenheid is. Dewyl dan de Inhouden van Cirkelen tot elkander in reden z y n , als de Vierkanten van hunne Diameters, hebben wy , 1* : x : s : sx , de Inhoud van den Cirkel et fs. Daar benevens hebben w y , door de H 5 go 2
2
:
iaa
EERSTE
BEGINSELEN D E *
geiykvormigheid der Driehoeken A B D en Ade, dee2e Evenredigheid: A D : B D : : A d : de. ab-ax Dat is ib : a : : ib—lx i de zz • —. .
u.
' '" •
•
7
+
Derhalven is de Inhoud van den Cylinder (zz Cirk. ab- ax sabx*—sax erfs x de) zzsx*x — — zz
3
b
—
b
een
Maximum, waar van de Fluxie, zonder den Noemer desBreuks, als ftandvastig zynde, in aanmerking te Deernen, is asakxx—^sax'x,
welke — o gefteld,
en alles door saxx gedeeld zyrde, zal men bekomen ixzzo, en by gevolg xzzib. Derhalven de ZZ ab — ax\ -s — J zz$a: waar uit blykt, dat de ingefchree-
b
*
ven Cylinder de mogelyk grootfte zal z y n , als des. 7elfs hoogte juist f der hoogte van den geheelen K e gel is.
138. VOORBEELD X I I . Den Kegel, of Conus, te bepaalen, welke, onder eene gegeevene bultige Oppe ylakte-enüaüsZZp, den mogelyk grootjlen lighaamlyken Inhoud bevat. Laat de halve Diameter van den Bafis, A D (Fig. 14,) ZZx, en de lengte van de (chuine zyde A B —y z y n . Laat ook c _ den omtrek des Cirkels z y n , wiens Diameter de Eerheid is. Dan hebben w y voor den Omtrek van den Bajis en voor den Inhoud van den Bafis ex , en vermee. 2
F L U X I E . R E K E N I N G .
123
meenigvuldigende den Omtrek van den Bajis des Kegels met de halve fchuine zyde A B , zal men voor de bultige Oppervlakte des Kegels hebben cxy. Derhalven is de geheele Oppervlakte des Kegels z e *- + a
p cxyzzp, en dus 31— ...... r ' • .'
x. Maar de hoogte B D
e x
.
zp —; C* X c van den Inhoud van
—r
C-^AB -AD ) 1
1
p*
-yy-x*zzY
1
deeze vermeenigvuldigd met
1
Cx* ex* p* 2p den Bajis zz ——> zal 'er komen V —— — 3 3 ** c voor den lighaamlyken Inhoud des Kegels ; welke p\x* een Maximum zynde, moet deszelfs Vierkant — — c
x
ipex* 9 . o f , alles met — vermeenigvuldigende , 9 . P px — 2.ex* insgelyks een Maximum zyn. Hiervan is 1
de Fluxie zpxic — 8ex>x, welke = 0 gefteld, en alles door 2 x'xdeelende, zal men verkrygen p - 4 c x
3
p • /• P = 0, en by gevolg xzzy/—: waar door y i zz—4c cx p—cx* ncx^-c-x' 3 C A ? xz. ZZ ~ ZZ3* ) insgelyks be> CX cx cx keod 1
/
134
EERSTE
B E G I N S E L E N DER.
kend zal zyn. Waar uit dan openbaar is , dat de grootfte Kegel onder eene gegeevene Oppervlakte, -of een gegeeven Kegel onder de kleinfte Oppervlakte, een °danigezal z y n , waar van de lengte der fchuine zyde ftaat tot den halven-Dia/werer van den ^ / j r in de Reden van 3 tot 1, o f . dat op het zelfde uitkomt, •wanneer het Vierkant der hoogte ftaat tot het> Vierkant van den geheelen Diameier, ih de Reden van atot 1. z
139. V O O R B E E L D X I I I . De afmeetingen van een . Cylindnsch Fat, dat boven ópen is, te bepaalen, zoda nig dat hetzelve, onder de mogelyk kleinfte inwe Oppervlakte, eene gegeevene hoeveelheid Waters vatten. Laat den Diameier A B (Fig. 15. ) : en de hoogte Ai) zzy ?yn ;, laat voorts c den Omtrek.des Cirkels zyq , wiens Diameter de Eenheid i s , en ftel de gegeevene hoeveelheid Waters , welke het Cylindrisch Vat kan bevatten , — a . Dan hebben wy 1 : c \: x : cx den Omtrek van den Bajis; welke, met de hoogte y vermeenigvuldigd zynde , voortbrengt exyzz de holronde Oppervlakte des Cylinders, O p gelyke wyze, de zelfde uitdrukking met \ van den Diameter x vermeenigvuldigende, vinden wy den l n i
cx'
houd van den Bajis zz —•; :
'
'"4
deeze met de hoogte y
cx y . vermeenigvuldigd, heeft men — voor den lighaam' ~* '^i™* * » t " ^ f » i » •- c.2 -cos M3 r. 2
i:
a
lyken.Inhoud des Cylinders ; deeze ZZ a gefteld zyn| * ' d e , is cx'yzzia,
en cxy zz — zz de holronde O p .
pervlakte des Cylinder^ by gevolg is de geheele O p . per-
F L U X I E . R E K E N I N G . 4
pervlakte r—*:
a
cx'
i
ï
2
5
ZZZZ een Minimum. Hier
vKs'ff ^ At .| ZM% ;Mqf- vd tt* ,ozzit-% jxu*.„r v
van is de Fluxie
~±ax
cxx
i
2
X
2
, welke
" gefield
zynde, zal men bekomen — Za + cx* ZZO , en der3
halven xzzzy
*
Voorts, naardien cx ~8a,
en
s
c
c x yzz^a i s , zo v o l g t , dat* — 2 y i s ; waardoor dan y insgelyks bekend is. Dus is hier door klaarblyklyk , dat de Diameter van den Bajis juist het dubbeld van de hoogte moet zyn. 2
140. VOORBEELD X I V . De Jlelling eener rechte Lyn D E te bepaalen, welke, door een gegeeven punt T gaande, twee rechte Lynen AP en AO_, welke in Jlelling gegeeven zyn, zodanig zal fnyden , dat de fom der deelen A D en A E , daar uit ontjlaande, de mogelyk kleinfte. zy ( F i g . 16 ) . Laat T B , parallel aan A Q , ~a, en T C , parallel aan A P , ~b z y u , en flel B D r * : dan hebben w y , uit hoofde der parallele L y n e n , deeze Evenredigheid: BD : T B :: T C : C E . Dat is
x : a
::
b
: CE —
ab —.
Derhalven A D - I - A E ( ~ B A - r - B D - 1 - A C + C E ) ab ZZZ b-\-x-\—, X
ab # waar van de Fluxie is * —. — — , X
1
wel-
u6
EERSTE
BEGINSELEN
DER
welke, in de begeerdeomftandigheid _ o zynde, voortbrengt / - a & n o , en by gevolg x~ y/ab. Waar uit blykt, dat B D O ) een midden-evenredige tus« fchen T B (o), en T C O ) zal zyn. Laat derhalven, in A P , B R = T B genomen, ea OD A R , als Diameter, den halven-Cirkel A S R befchreeven worden ; trek uit B den Perpendiculair BS ftcotende-oen Omtrek des halven- Cirkels iu S- 'dan is BSzzV ab. Neem alsdan, fri B P , B D _ B S , en trek uit D , door het gegeeven punt T , de rech;e D E ; deeze zal de begeerde L y n zyn. 14T. D i t zelfde Voordel k a n , buiten Fluxiën, nog op eene andere wyze opgelost worden, als men hetzelve op eene algemeene wyze befchouwt, door de Helling der L y n D E "te vinden, wanneer defom der deelen A D en A E , in plaats van een Minimum te z y n , aan eene gegeevene Grootheid gelyk moet zyn. In dit geval hebben wy de volgende Meetkundige Conftruttie. „,«/-,• T r e k , als vooren, T B (F?g. 17.) parallel A Q , en T C parallel A P ; neem , in het verlengde van P A , A c ZZ A C , en maak c F gelvk aan de gegeevene fom der beide deelen A D , A E . Befchryf op B e e n B F , als Diameters, twee halve-Cirkelen , en trek uit A perpendiculair op B c , de rechte A G , ftootende den Omtrek van den eerften halven-Cirkel in G-, trek insgeivks G H parallel aan F c , fnyd è r d e den Omtrek des ïaarften halven-Cirkels in Ij trek 1D perpendiculair tot F r . en uit D door T de rechte D E , welke aan den eisch van het Voorltel zal voldoen* 2 . Want vermits AB x AczzAG ZzDl'p B D x D F i s , hebben wy B D : A B :-• Ac ( r A C ) : D F ; ook hebben w v , üit hóófde der parallele Lynen T B , T C ' B D : A B - i : A C : C E ; en daarom A C : Db : : A C : C E ; by gevolg D F z: C E , en dus A D + AE U
F L ü X I E - R E K E N I N G.
12 7
A E ( n A D - f A C + C E ) r c F de gegeeven fornder beide deelen ( § . 141.) Dat betoogd moest worden. 143. Om nu te toonen, in hoe verre deeze Oplos, fing tot het onderwerp, waar over ik handele, toepasfelyk gemaakt kan worden , zal ik den Leezer vooraf doen^opmerken, dat de Oplosfing, volgens de voorgaande Conjtruclie §. 141, onmogelyk zal zyn , wanneer de rechte L y n G H , in plaats van den halven-Cirkel BIF te inyden , o f t e raaken, geheel beneden dien halven-Cirkel valt; by gevolg zal men de mogelyk kleinfte Waarde van B F , en dus ook van c F l A D - f AE , hebben, wanneer de gemelde rechte L y n G H den halven-Cirkel BIF raakt; dat i s , wanneer B D — D l ~ A G ~
V A B X A C is. 144. W y kunnen nog tot het zelfde befluit
4 0
. ) , de Waarde
x van A D + A E , zizr s zyn ; dan hebben wy * » - . • _ s-a-b.x_—ab, — ab).
(s~a-T\ — S.V \ - — 2 \ 4
%
endusarz
Deeze gevondene Waarde nu zal niet lan-
ger mogelyk zyn , dan tot dat
— a b zz 0 4
is, als wanneer x zz * 2 i é £ * zz V a b zal z y n , zo 2 als
128
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
als boven §. 140 gevonden i s , voor het geval waar in de fom der deelen AD, AE een Minimum zal zyn. 145. Om tejoonen dac, volgens de laatfte belohouwing, x _ V ab is , zo z y nog , als vooren ab (S.144.), b + x + a-{ -f, dan is f — a — bzzx x ab , V -1—, en dus j ~ a — i j — * + 2a& + — . . a
2
2
#»
*
evol
~ ~'~^ a
By
2
4
4
2
4A-
J
of * - 2 a 6 A + a * ' - o ; waar uit den Vierkants. 4
2
2
1
Wortel trekkende, heeft men * — a 6 - o , en dus x~V~ ab, als boven. 2
• 146. Op gelyke wyze kunnen de Maxima en Mi. nima in andere gevallen , buiten Fluxiën , bepaald worden; als men, in de ondeiftellim-- dat de gezoch. te Grootheid gegeeven is , de ftelliog of omftan. digheid navorscht, waar in het algemeen Voorltel onmogelyk begint te worden. Dan nes niettegenftaande is de bewerking door Fluxiën , in meest alle voorkomende gevallen , veel korter en gemak, lyker te verrichten. TZ Ï K L D X V . Alles als in het voorgaande Voorbeeld ( §. 140.) gegeeven zyvde , begeert men de /telling aer Lyn D E ( F i g 16.) te bepaalen, wanneer die Lyn D L zelve de mogelyk kleinjie is. 4
V
0 0
B E E
J
Trek
F L U X I E - R E K E N I N G . .Trek uit het gegeeven punt T N perpendiculair op A P . neem, als vooren ( § . 140.) en BD=x; dan is , volgens
W
(Flg. itf.) de rechte Laat B N ~ c z y n , en , T B = a , T C = &, de eerde beginfelen
der Meetkunde, D T ^ r D B + B T — 2 B N x D B ) = x +a —icx. N u hebben w y , door de gelyk* vonnigheid der Driehoeken D B T , D A E , deezs Evenredigheid: 2
2
BD
3
:
DX" :: Aü' •
Dat is 9* : x*+a -acx
DË.
:: b~+7\
2
: DË'.
i h+x\ xx + a -2cx Derhalven D E z~ —« -.—,.,„• „ — b+x\' x x 2
2
1
2
a H
ie
1
— — , waar van de Fluxie is 2 # x & 4 - # x x x 2
a 1+
J
2
T—•~ + *
,
acx
za x 2
b+*l X •*
, welke
X
*
2
= «
X
3
gefield, en alles door &xxb + x gedeeld zynde, zaj 1 ,
a
~
ac
2
nien bekomen H
U
c
Ff+V)
—ox x X x * derhalven x*~2cz + a x + b^xcir—a zz:o ofdoor herleiding, x*-c x* + bcx-a b = o , eene Vergelyking, door welke op te losfen de üeiha» der: L y n D E bepaald wordt. 14S. V 0 0 R B R n L v X V I . VU een gegeeven Dunt Tu van dm As eens' Parabools, de mogehk kartfte'Lw L M tot ate Kromme te trekken ( F i g . 18,). I Laai 1
2
2
1
2
2
2
2
ISO
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
Laat A L = A , A P = . ? , en P M = 7 zvn ; dan is PL — a-x. N u hebben w y , door het Pythagorisch Leerftuk, L M * ( = P L * + P M * ) Z*4^*YWt dat een Minimum moet zyn 126.)? hier van , als mede van de Vergelyking des Parabools y z r z : px (Toep. der Algebra op de hooge Meetk. § . 2 1 . ) , de 1
Fluxie neemende , zal men bekomen —
2.ax+2xx
+ 2 ; y y : r o , en 2yy — px ; deeze laatfte voor 2yy
Waarde
in ds eerfte Vergelykinge fubftitueeren-
d e , zal men hebben —zax-i-2xx-i-px=-o. halven xzza
P 2
Der.
P , en a—xzz — , de Formule voor 2
een Subnormaal des Parabools ( Toep. cVr Algebra op de hooge Meetk. §. 3 5 O » waar uit v o l g t , dat de mogelyk kortftë L y n L M een Normaal is. 149. V O O R B E E L D X V I I . Vaneen Driehoek A B C , waar va» gegeeven is de Bafis A C , en de hoogte B D , begeert men den tophoek ABC zodanig te bepaalen, dat dezelve de mogelyk grootfie zy ( Fig. i y . ). Deel den J3a/ïr AC in twee gelyke deelen in E ; n laat de hoogte B D - a , A E ~ E C ~ f c , E D = x
e
zyn: dan is DCzzb-x,
en bC\z=BD'+DC
=
}
_ » _ l _ & s . - 2 6 . r + # ; derhalven B C z r t / a - j - A — I
l
a
a
0 6 * + ? " . N u hebben w y , door de grondbeginfelen der platte Driehoeksmeeting , deeze Evenredigheid. BC
: Rad. D : : B D : Sin. L C . Dat
F L Ü X l E - R E K Ë N l N G .
131
Dat is \/a + b*-zbx + x' : : : 0 : Sin. L.C, men de Radius r noemt»
als
2
r
at Dienvolgens Sin. Z. C =
. l/a' +
Wederom A B : Sin. LC Dat is faï
+ b + xï
bt-zbx-i-x
1
:: A C : Sin* A A B C »
:
: : 2fc : o»«. X/a' + b-^I*
Z.ABC. zab t
2
Dus is Si». £ A B C = f/a*-hb + x\ x v'a* een By
Maximum.
gevolg moet ook het Ojiaaraai van die SU 4a & r • • ••2
«af,
naamlyk
s
x
o* + b + x\
I
^ een
aM-Z- — *!
Maximum zyn ( § . T 2 6 . ) . Stel deeze s=m ( § . 106. R E G . I. j , dan hebben wy
Maximum
; ; zzm, en der1 o* 4-1 a b + o + a a # — 2 5 x* -Jhalven a 4- 2 a £ + £ 4- 2a A-= — a È ' * + zzzzz 4 a' 6 r « . Hier van is de Fluxie 4 a x'x-Ah xx JU m I ft 4*'.v^:o, 2
1
4
5
4
a
2
2
2
4
2
1
J
2
2
J3*
EERSTE BEGINSELEN DER
4x*xZZo , van welke alles door e,xx gedeeld zynde, zal men hebben a*-b + x*zzo, of i b'—a , welke Vergelyking onmogelyk worde, wanneer a grooter dan b is; maar a~b zynde, is xzzoy en dus valt alsdan het punt D in het punt E . 2
2
150.
VOORBEELD
XVIII.
Een
Trapezoïde
ABCL) (zynde een vierhoekige Figuur , die alleenlyk twee overjiaande zyden parallel heeft) van eenen g geevenen Inhoud a , zodanig te bepaalen, dat de fom der twee onè'venwydige zyden met den Bafis (naaralyk AD + AB-'rBC) de mogelyk kleinfte zy ( Fig. 20.). Trek uit A en B , perpendiculair op D C ae rechten A E , BF. Laat ABzzx, A D - 3 / , B C ~ z , en A E —BFlTw zyn. Dan is D E ( = i / A D - A E ) = !/7 —w% en F C (-yVC-W*) -yz -u\ Derhalven hebben wy x -f- 51 + z zz m (§. 106. K E G . I . ) , 2
en uyy
2
2
— u +uyz —u 2
2
2
+ 2ux=2a ; of, door
« d e e l e n d e , t/y ^ü
+ yz' — u + zxzzzzz—, u Van deeze Vergelykingen de Fluxiën neemende, 2
2
2
. ,, . . . nebben wy x+y+zzzc,
en
yy-uu y/y — u
zz—uu h•
2
— zau -}- a s zzzzz . u
2
x/z —^ 2
Volgens de eerfte Vergelykinge
2
is nu xzz—y — z, en daarom a ^ z r - a j - a z ; fubfiitueerende nu deeze laatfte Waarde voor ax in de twee»
F L U X I E . R E K E N
I N G .
tweede Vergelykinge, zal dezelve worden zz—uu
-]
\/z
2
—
133 yy — uw •
, , —zau 2y—2ZZI . Onderftellende nu
u*
•
u
u ftandvastig te z y n , dan is a z o ( § . 1 6 . ) , en dan yy
wordt de laatfte Vergelyking
yy -u 2
. . 2 3 1 - 2 Z Z 0 ; waar uit wy afleiden
zz
-,
\/z~--u*
2
yy •
-27Z0,
•y~y* — u* zz
en
22Z0.
B y gevolg 3y'zz^u'
en
9
Y z — u* 2
^zz^u ; 1
derhalven s ^ ^ z ' , en yzzz.
151. Indien wy nu in de gevondene Uitdrukking yy—uu
zz-u'u
f ; y — tt"
^z»—«»
a
.
.
—20» "*
y en z ftandvastig onderftellen , zullen y en z ieder = 0 zyn ; en wy zullen dan voor de gemelde U i t .
. . .
—UU
drukking hekomen
UU
— Yy -u'
yz~-üï
2
I 3
—2dU
—^
~ *
u
g
ö
i 4
EERSTE
3
B E G I N S E L E N DER Ui*
U
S
en door herleiding • | ZZza. K a Vt—u* Ifz'—u* —uu is 31=2 ( § . 150.)» en derhalven
uu
«. y~y*—u*
Zz
Vf- — u
%
«>
— vau
, of
ra.
Maar 3 31*;: 411* (§. 150.),
en by gevolg u'-isrr^'xs; »—ijVJ» « ~ 3
c 5 ^ 3 i dus hebben wy door fubllitutie ———zz\ 1$ 3
o, of — — z : a : derhalven 31' ZZ , y^zz 2*ü iy 3V3 - — , en ^ = 2 ^ — r s f f r 3 « * : r s . 27 27 152. Wederom is Vy — u- + 1fz <— ur> + 2^=3 1
2
sa . — ( § . 150.)» en derhalven u iVz —M ——~Vy'~— 2
A
M
« ' *=—•iffyt-mu*u
==|^3a«;
uZZ^ 3
u
Dienvolgens is D E r F C QzzYy — M ) Z f f ^ a » en daarom A D i s D E i 2 F C ; AD zz AB z BC. Waar uit, volgens de Beginfelen der Meetkunde, opeq2
1
F L U X I E - R E
K E N I N G .
i 5 3
openbaar is, dat de Figuur ABCD in eenen hal ven Cirkel, wiens Diameter D C i s , befchreeven ra-eC kunnen worden. i « . L E M M A . Onderftellende dat een Lighaam of i W n (Fig. at.) zich in eene rechte Lyn AS beweegt, dan zal deszelfs volftrekte jnelheid , in de Richtftreek van die Lyn, in reden zyn tot de betrekkelyke fnelheid , waar door het na of van een gegeeven punt C , ergens buiten de Lyn, poogt te gaan , als de afftand Cn ftaat tot den afftand Dn, begreepen tusfchen o en den Perpendiculair C D ; of, als_KaüiUs tot de Coünus van den hoek van helling D n C Want, laat CDzifl , Dnzzx , en Cnzzy zyn. Dan hebben wy ^
\
~ C D D » ) z:a + 2
z:;f,
waar van de Fluxie is
y
x.
Dat is x : y : : C n : D n. Maar, volgens de Grondbeginfelen der platte Driehoeksmeeting , hebben wy in den Driehoek C D » deeze Evenredigheid: C n : D n : : Radius : Cofin. By gevolg Radius : Cofin. LDnC
LDnC.
: : x : y.
Aangezien nu de Fluxiën van Grootheden geduurig als de Snelheden zyn , door welke de Grootheden zeiven aangroeijen ( § . 13.), is de waarheid van het Lemma door dit betoogde openbaar. 154. Hier uit volgt, dat de betrekkelyke Snelheden, in twee verfchillende Richtlheeken « E e n n C , rechtftreeks tot elkander zyn , als de Cofinusfen der I 4 over-
«<J
EERSTE BEGINSELEN
DEK
overBeokomflfge hoeken D n E en D » C . Wanneer derhalven n li perpendiculair op C o , en dus de hoek D » L gelyk aan den hoek C is, zal de Snelheid in de Kicbtitreek »& tot de fnelheid in de Richtftreek nC zyn, als de Sinus van den hoek D » C tot desze fs C ^ i s Waar uit blykt, dat de Snelheden " £
C f t S °
\ , * - > Perpendiculair op C n ltaande , tot elkander in reden zvu, als Cn D n , en C D refpeftivelyk. * ' "» D n
C B
eD
Ew
155. V O O R B E E L D X I X . De Jlelling van een Punt te bepaalen . waar uit drie rechte Lyienltevenll veel gegejne Punten A , B , C getrlkkcn %™"2 Laat DPE den Omtrek eens Cirkels zyn , die uit i'r f ' «Mt eenigen afftand A D , als flaowr, befchreeven is; en laat het Punt P begreepen worden zich in dien omtrek te beweegen me eene eenpaange Snelheid, van D naar E . De* wy dan de betrekkelykc Snelheid van dat Punt in de verengde I ichtftreek C P , ftaat tot deszelfs oetrek. kehke_ Snelheidm de verlengde Richtftreek BP, als e n t r u m
noefc tt^D ( § . 154.) ; en naardien, het geval 'al« de Som yan CP en BP een Minimum is, deeze sief heden gelyk moeten zyn ( § § . a en oVjti ii X openbaar, dat de gemelde Hoeken Ci'ïi en. BPf» gelyk mede hunne Cofmusjin, in die omftandfeheid aan elkander gelyk worden; en dat by gevolJfacit de hoek APC gelyk aan den hoek APBzallya. w blykt, dat, hoe groot of klein de Radius AD ook genomen worde, de Som der drie Lynen AP B° en CP de mogelyk kleinfte niet kan zyn , wanneer de* hoeken APB en APC engdyk z y n / Ook zal doo? eene gelyke redeneering blyken, dat de gemelde fom n
ke^ATB^PPr^f/, °' ™-™**h*. e ï 5 • § y »-yn» derhalven zal rif Som der dne Lynen A P , BP en CP de moTelvk k l w f e zyn, als aüe de drie hoeken om h e X t P 3 0
P
C
0 D
e l
Z
y
k
aas
F L U X I E . R E K E N I N G .
13?-
aan elkander gelyk z y n ; by g e v o l g is ieder van die hoeken A P B z A P C z r B P C v a n 4 rechte hoeken Z 1 2 0 . Indien echter het g e v a l geen zodanige gel y k h e i d der hoeken t o e l a a t , o f w e l , als de D r i e h o e k A B C , ftomphuekig z y n d e , den Hompen hoek g e l y k o f grooter dan 1 2 0 " h e e f t , z a l het punt P i n d e n R o m p e n hoek v a l l e n , en dus het voorgeftdde o n m o g e l y k w o r d e n . D e r h a l v e n w o r d t het V o o r d e l op de volgende w y z e geconjtrueerd. 0
156. B e f c h r y f o p B C het Segment eens C i r k e l s , dat een hoek van 1 2 0 ° k a n b e v a t t e n , en voltrek den geheelen C i r k e l B C F ; trek uit A tot het midden F des Boogs B F C de rechte A F , fnydende den O m t r e k des C i r k e l s in P ; ' t w e l k het begeerde P u n t zal z v n . W a n t , vermits de hoeken B P F en C P F op de g e l y k e «n°n
g e n
A^
e
n
C
F
Ü
a
a
n
'
z
v
n
h
u
n
n
e
Complementen
A P B , A P C , z o we) als de h o e k e n z c l v e n , aan e l kander g e l y k ; en o m d a t , v o l g e n s de Conjlruclie, de hoek B P C _ i 2 o ° i s , zal o o k ieder der gemelde hoek e n A P B , A P C aan 1 2 c g e l y k z y n , 0
T57. O p de zelfde w y z e z?.l b l y k e n , dat de S o m van alle de L y n e n A P , B P , C P , e n z . (Fig. 2 3 . ) , uic eemg getal van gegeeven Punten A , B , C , e n z . tot een ander Punt g e t r o k k e n , de m o g e l y k kleinfte z a l z y n , warneer de Cofinusfen der hoeken N P A , N P B , N P C , e n z , , w e l k e de gemelde L y n e n met eemge andere L y n JN'M m a a k e n , die door het Punc van f a m e n k o m s t g a a t , elkander v e r n i e t i g e n ; hetgeen plaats z a l hebben , wanneer alle de hoeken A P B , B P C , C P D , e n z . g e l y k z y n , en we! in alle zodanige gevallen , waar in de ftellins der gegeevene P u n ten z u l k eene gelykheid z a l toelaaten. D o c h w a n neer de gegeevene Ponten v i e r in getal z y n , zal het begeerde Punt z i c h bevinden i n de d o o r f n y d i n g v a n twee rechte L y n e n , w e l k e de tegen over elkander A1 4DP n v o e g e n . W a n t , onderftellende dat A I C en B P D geduurige rechte L y n e n z y n , z a l d e UJinus van den hoek N P A g e l y k aan de Co/mus I 5 van n
t
e
n
l a r n e
i 8 3
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
van den boek N P C , en de Cojinus van den boek N P B gelyk aan de Cojinus van den hoek N P D , en ia tegendeel, zyn. 1 5 8 . V O O R B E E L D X X . Als twee Reizigers op den zelfden tyd uit wee gegeevene Plaatfen A en B ver' trekken , en van daar in gegeevene Richtftreeken AP en B Q gelykmaatig voortgaan, met Snelheden welke in eene gegeevene Reden zyn , begeert men hunnen Jtand te vinden, en hoe ver elk van' hun gegaan heeft, wanneer zy op het mogelyk naast by elkander zyn (Fig. 24. U
Laat M en 1M de gelyk;ydige Standen der Reizigers z y n , wanneer zy zich het naast by elkander bevinden ; trek M N , en laat op A P de Perpendiculairs N E en B D vallen; laat ook Q B verlengd worden, tot dat dezelve A P in C ontmoet. Laat voorts de Reden, der gegeevene Snelheid in B Q . tot die in A P , die van n tot m z y n , en neem A C ~ a , B C — 6 , C D — c , als ook de veranderlyke afftand C N ~ x. Dan zullen w y , uit hoofde der parallele Lynen N E , B D , deeze Evenredigheid hebben BC : C N :: C D : C E . Dat is b : x : : c : C E . Dei halven CE~
cx
— ; en vermits ook de afftanden b
B N en A M , welke in den zelfden tyd gegaan worden, als de Snelheden z y n , hebben wy desgelyks B N : A M : : n : m. Dat is x-b
: A M : : n : m. mx—mb
Derhalven A M ZZ
n
— ,
en by gevolg C M ( = AC
F L U X I E - R E K E N I N G ; mb ( Z A C — A M ) zza-\
139
mx
n
n
mb mx —ZZ d, CMzzd — — . n n
; o f , Rellendea+
Maar volgens de eerfte
Beginfelen der Meetkunde is M N Z C M ' + C N " , C M x 2 C E , en derhalven M N zzd mx
2c
r. amcx* 4- • .
nmdx
b
n
mx | J +x —. n I 2
m" x*
icdx
n'
b
Dewyl nu M N de mogelyk kleinfte
nb moet zyn , moet ook M N de mogelyk kleinfte zyn amdx ( § . 126. )> en daarom d
2
m" x 1- _ _ _ _ + n 2
n zcdx 2 mcx + —— ZZ een Minimum, Hier van is de b nb zmdx 2 m xx , acdx Fluxie •— 1 \- ixx— {...... n n b 2
2
1
2
%mcxx — — , welke ZZZH2 o gefteld , en alles met bn' nb gemultipliceerd, als ook door 2 * gedeeld zynde, zul.
140
EERSTE
BEGINSELEN
DHR
zullen wy bekomen -mnbd + m* bx + n*bx-n' ci . f-zmncx
, mnbd+n*cd _ _ _ o; by gevolg xzz« m"-b+n"- 6+
ndxmb + nc ""*"" ; waar door B N , A M bxm~- + n> -'rimnc en M N insgelyks gegeeven zyn.
W C/fe-
in de richtlbeek d ^ I y n ' M N ^ r ï ï
fpeöivelyk uitgedrukt worden door Cofin. N £ a
^
x
Radius
~R~a^iuT *
n
'
'>
CS
1 5 3 0
e n
^
v e r m i t s
i S t e l e l ^ f r ? ^
S e Ï Ï ^ S r ^ « : » : : Co/?«. N : Ccfin. M . Maar
teiM : Secans N : : Co/». N : Cofin. M (Driehoeksmeting §. 35.) '
B y gevolg «
w
:
„ j.
&
f
f
l
w
M
.
S
e
c
a
m
v
^
Hier uit volgt deeze
Co
KJ
P L Ü X I E - R E K E N I N G .
i^t
C O N S T R U C T I E . Neem C H tot C B (Tig. 25.) in de gegeevene Reden van m tot n, en trek H B ; verleng U B , 2,0 het noodig is , en trek uit A op dezelve den Per. pendiculair A R ; trek voorts R N parallel A H , welke de begeerde ftand zal zyn. Want van de Driehoeken B K N , B C H , is £ R B N = C B H , eri L R N B zzzzz B C H ; derhalven z y n deeze Driehoeken gelykvormig, en daarom R N : B N : : C H : C B : : JM : n. Dewyl n u , wegens de parallele Lynen , R N rrr: , AM i s , zal de Evenredigheid worden A M : B N : : C H : C B : ; m] : n. Waar uit blykt , dat M en N gelyktydiee Starji den zyn ; en vermits de hoek N K R ( — A R K ) een rechte hoek i s , z a l , wanneer men N K tot Radius neemt , R N de Secans van den hoek K N R , of C M N , en B N de Secans van den hoek K N B o f C N M zyn. By gevolg R N ( n A M ) : B N : : Sic, LCMN z Sec. Z . C N M : : in : « , zo als boven reeds getoond is. I60. Men kan echter het Voörftel eeniglyk vol» gens de Beginfelen der Meetkunde, zonder het behulp van Fluxiën, oplosfen. Want aangezien 7»en n twee gelyktydige Standen naar welgevallen uitdrukken, en C H tot C B in reden i s , als de Snelheid in A P tot de Snelheid in C Q , zo laat «r (tig. 25.) parallel aan A P getrokken worden, ontmoetende de verlengde D B in r , en voeg de punten A en r te iliamen. Dan hebben wy , wegers de gelykvormigheid der Driehoeken B C H , Bnr, CB
24»
EERSTE
BEGINSELEN
ÜER.
C B : C H : : B n i nr; maat, door de oudefftelling is : C H : : B n : Am;
CB
derhalven nr ZZ Am; en vermits nr parallel Am i s , zal ook A r gelyk en parallel mn zyn. Dewyl nu A r de mogelyk kleinfte i s , wanneer dezelve perpen' óiculair op H R ftaat j zo volgt, dat M N , parallel A R , den begeerden, mogelyk kortften, afftand zal zyn. i6r. V O O R B E E L D X X I . Een Lighaam M zich
elykmaatig van A naar Q beweegende, met de Snel' f eid m , terwyl een ander Lighaam N in den zelfden
tyd, van B met de Snelheid n voortgaat, begeert men den Richtftreek B D van het laat (ie zodanig te bepaalen , dat, als het laatfte in den Weg of Richtftreek AO_ van het eerfte komt , de afftand M N der beide Lighaamen de mogelyk grootfte zy ( Fig. 2 6 . ) . Trek B C perpendiculair op A Q ; laat voorts A C t=a, BCzzh, en B N ~ A - z y n . Dewyl dan de ftand M gelyktydig met N onderfteld wordt, zullen wy hebben n : m :: B N : A M . Dat is n : m : :
x
: AM.
mx Derhalven A M l — , en C M ( A M — A C ) c = : n mx — a. Maar , volgens het Pythagorisch Leer. 0
ftuk is C N ° ( z : B N — B C * ) -x-—b'-, 2
en dus C N
ZZZZV x —h\ 2
By
F L U X Ï E - R E K E N 1 N G . By gevolg M N ( z C N - C M ) mx n
hal
xx ———•
een Maximum. mx
=
143
^~-TF —
Hier van is de Fluxie
, welke Z o gefteld , en alles door
f x- — b* x
m — — —'»
x gedeeld zynde, zal 'er komen •
ylF^b*
n
mb derhalven .?Z» •
— — , en C N (zzf/x — b') til 2
Y tn —n' 1
nb Y>'mï—n* mb nB Derhalven E N : C N : : - — — - : — — — : 3 Yu^-n* Y '—n" m : n. m
Maar B N : C N : : Radius : Cofinus N • volgens de Beginfelen der Driehoeksmeeting, en daarom m : n : : Radius : Cofinus N . 162. Men kon nog op eene andere wyze toe het zelfde befluit geraaken door de volgende befchou» vving. Laat gefteld worden, dat de rechte L y n B D (Fig. Q6.) om het Punt B , als Centrum, draait, met eene beweeging , die zodanig is ingericht, dat het Deel B N van die L y n , tusfchen het Punt B en de rechte Lyn
144
E E R S T E
B E G I N S E L E N DER
L y n A Q b e g r e e p e n , m e t d é gelykmaatige S n e l h e i d & aangroeit: d e w y l dan de S n e l ü e i d met w e l k e C N is
aangegroeid ±zz
n x Radius — * i s ft. 153.), Cofinus N
z
o
moeC
b y g e v o l g deeze U i t d r u k k i n g , wanneer M N e e n Maximum i s , g e l y k z y o aau m, de S n e l h e i d van het ander L i g h a a m M f $. 104. ) . D e r h a l v e n hebben wy, als v o o r e n , m : n :: Radius : Cofinus N . 1 6 3 . V O O R B E E L D X X I I . Laat gefield worden, dal een Schip van eene gegeevene Plaats A , in eene ge* geevene Richtftreek A Q , onder zeiLgaat, en dat op den zelfden tyd, van eene andere gegeevene Plaats li, een Boot vertrekt, met oogmerk om , ware het mogelyk, het Schip te achterhaalen; zo nu de Snelheid van het Schip tot die van de Boot in reden is, als m tot n , vraagt men in welke Richtftreek de Boot moet zeilen, om, zo dezdve het Schip niet mogt kunnen achterhaalen , nogthans zo naby hetzelve te komen als mogelyk is, ( F ï g . 2 7 ) . M e n verbeelde z i c h D e n F als de Plaatfen d e r b e i d e V a a r t u i g e n , wanneer z y het n;:ast b y elkander zyn» en d a t , u i t 15, als Centrum , d o o r F d e n O m . t r e k eens C i r k e l s befchreeven z y . A a n g e z i e n d a n de afftand D F , V o l g e n s d e bepaaling van het V o o r d e l , de m o g e l y k kleinfte is , moet het Punt F z y n i n de r e c h t e L y n D B , w e l k e h e t P u n t D e n h e t Centrum B faam e n v o e g t ; v e r m i t s , volgens de Beginfelen d e r M e e t * k u n d e , geen ander P u n t i n d e n geheelen O m t r e k , waar i n de B o o t in d e n zelfden t y d uit B k a n k o m e n zo d i c h t b y D i s , als dat waar i n d e L y n D B den gemelden O m t r e k fnydt O m n u , i n Mgebraïjche Termen,eene U i t d r u k k i n g v o o r D F te b e k o m e n , t r e k t men BC perpendiculair o p A Q , en m e n ftelle alsdan A C z i a , öCzzb, en C D ZZx;
dan i s B D ' ( r i B C ^ - f C D ) z~b- - F x~-; en dus
WzzVFWFi
Maar
F L U X I E ' R E K Ë N I N G i
t £ 4
Maar volgens het Voordel is m : n : i A D : BF. Dat is ia i n 11 a+x : BF. na-\-nx Derhalven BF zz
» en by gevolg D F m na-hnx • £ = 3 een m
C = = D B - B F ) = Yb -r-x 2
ilffm'ffjwm.
2
Hier van is de F/tm'e
*-*» — yb -\-x 2
1
2
n x ' — , welke ± = 0 gefteld , en alles door x gedeeld m ü n zynde, zullen wy hebben *—-— — — zrz: O, 7——: m 'b + x 2
2
v
ea by gevolg * ZZ •
nb
— ;
. waar uit blykbaar is» mb
dat BD,den Richtftreek van de Boot, ~ — Y
m -n 2
x
en dus bekeodj zal zyn» Subftituerrende nu de gevondene Waarde van x in die van D F , boven gevonden, zullen wy hebben by m —n — na DF ~ — ; waar uit dus de ftand van F m bekend is. Dewyl nu D F eene weunhke, pofitivt K Groet2
2
146
EERSTE
BEGINSELEN DHR
Grootheid, volgens het Vborftel, meet zyn , zo is het klaar, dat, in geva'le de BOQt het Schip niet achterhaalen, maar ectues zo na rnógëlyk by hetzelve komen kan , m groorer dan-n , en dus ook hi/w -n grooter dan na zal z y n ; .vermits iu aJJe andere gevallen de Boot het "Schip zaf kunnen achterhaalen. z
2
• 164. Om nog op eciïe arrdere wyze tot het begeerde te k o m e n , zo laat'de Radius des Cirkels ^ E F H begreepen worden gelykmaatig aan te groeij e n , met de fnelheid n , terwyl het Punt D z i c h , niet de fnelheid m , gelykimati;; langs A Q beweegt. Dewyl dan de fnelheid in f) , in de Rfchtftreèk der m x Cojinus D verlengde B D , = is CS- 153O» $ 1 » 1 ' Radius '"' de betrekkelyke fnelheid , met welke het Punt D van den Orotrek dts gemelden verarderlvken Cirkels afwykr,. algemeen uitgedrukt _ worden door . . . . m X Cojinus D « , w e l k e — o z y n d e , als D F een Radius Minimum i?, hebben wy in dat Geval mx Cofinus D ' r m w x Radius , en by gevolg m : n : : Radius : Cojinus D . Hier uit vloeit de volgende C O N S T R U C T I E .
Maakt in C een rechthoekigen Driehoek. Cbd, wiens Bajis Cdt=n, en Bypthcnufa db = m is. Trekt voorts BD pamliel bd, deeze zal de begierde Richtftreek zyn. Eindelyk neemt in B D de vierdeEvenredige B F tot m, n en A D , dan is F de begeerde ftand van de Boot. - 1 6 5 . V O C U B Ë K L D X X I I I . Aan eenen horizentaafeu talk A B is in A een i<wv vastgemaakt, hebbende aan
F L LI X ï E * R E K È !\ t N G .
! t$?
T
Ba» /«$ end'een katrol C l , iirt b*i» ï-Y'P 7oo/tf , aa/z
ü
u
dan is DBrzc — *,
D ruiven CÏ) V 5 AC - A p ' )
= s - . t ' , en ' B C " ( - C D + ï ) ü ) !
J
by gevolg C D — f a
^ i c ^ i ^ .
a
P^TTo^;
, en E C - ^
3
Derhalven DCP ( ~ C D + C P ) = r f r - j / ^ p ' T T ^ -j- j / a — s — een Maximum. Hier van is de Fluxie 3
3
CX
XX
— ~ — • ya -f-c -—2c# 3
ÏLtTS:! j / a — a-
3
3
w
d
en alles door j gedeeld zynde ,
:
. . . * '
ya
2
"
° $ fte!d>
=
e
zal men hebben
y a- — x
isïTvxu -t
2
' 'j.
c
— — — ——«
11
l/a + c — ze x 2
e
".', '. • - O , of door verplaat»
+c* — 2cx
fing • .
k
3
2
_
' ' V *
. Zo wy nu de beide
i/a"—x
2
Leden van deeze Vergelyking tot het Vierkant ver. I • C . heffen; hebben wy ' . a'-r-c — 2cx K 2 3
2
x* ~ a — x'
5
e a
2
dosr
Ï43
"EERSTE BEGINSELEN
DER
door herleiding a' x'+c'x"- — icx*~a c — c x*,(£ s « ' - " a c * ' - f l r - | - a c = o. Welke Vergelykinge, om het Geval, waar in A D ~ A B is, uit te fluiten, door x—c deelende, zal 'er komen zcx ^2
1
i
J
%
2
J
2
a +^a +8c a
a'x—a-czzzo,
en by gevolg
T
T
4
166. VOORBEELD XXIV. Een Reiziger uit de Plaats A vertrekkende , om tiaar de Plaats E te gam, moe zynen weg door twee Velden neemen, welke door d vier B D van elkander gefcheiden zyn. Aan deeze tyd der Rivier kan hy m Mylen 'sdaags, en aan de andere zyde n Mylen 's daags afteggen. Men vraagt op wat plaats hy de Rivier moet overvaaren, om in den moge lyk hrtjten tyd van A in E te komen ? Trek AB en E D beide perpendiculair op B D ; laat A B r a , EDzzb, BD~d, en BCzzx zyn. Dan is
CDzzd-x,
AC C = ^ A B +BcO=|/a»+*«,
CE C = PËp +CD~0-V^-Y-d^xT.
N
is door het Voorftel,
m Mylen : iDag
Ya* + x :
———--
%
772
'
Dagen, en r, • • ' /b +d~'x\' ::yb +d-x\ n • Dagen, 1
l
* Mylen : i Dag
2
Der-
8
149
F L U X I E - R E K E N I N G .
ya'j-'rx' yb'-Y-d — x \ Derhalven — ; , o f , alles m n met m » , eene ftandvastige Grootheid, vermeenig2
vuldigende, n Va -\-x + mf b* + d — x\ = 2
nx x Hier van is de Fluxie • -f* ffa* +x*
Minimum,
—•
een
2
xx—dx
x m , welke ~ O gefteld , en alles nx ——
door x gedeeld zynde , zal 'er komen
+
1/'a~- +x* mx—md
nx
yb*+d-x\
mx—mi
Va'-hx*
yv- + d-x\
Als wy nu de beide Leden deezer Vergelykinge tot het Vierkant verhellen, ten einde de Worteltekens te doen verdwynen, en voorts de noodige herleiding doen, zullen wy ten laatften bekomen n — m'.x* — 2
nn'd— nn d . x - n" b + n d — m d ~m a ,x* + a dx—m a d ~ b , eene Vergelykinge, waar van cén der Wortelen de gezochte Waarde Voor A E cp'.eevert. 2
1
2
2
2
2
2
2
2
r
2
2
!>
s
167. VooRnEELD X X V . Een Lyn te vinden, welke met twee gegeevene Lynen den mogelyk grootfien Inhoud zal bejluiten, K 3 Laa t
ijü-
EERSTE
BEGINSELEN
DEK
Laat de gogeewwe Lynen A B ( F J > . 3 0 . ) — a , P-C — b , cn de te virdcq [.yn \Czz~x .zyn. T r : k B D perpendiculair o> A C , en [te! A D ^ - y ; dan is (
B r>: Cs? 1/ A B — A D O 3B ^
,
2
C
n derhal-
ven A C x B D z : den dubbelden Inhoud des Driehoeks ZZzzz xya- — y- r r z : een Maximum; waar van de .ry y
F/zak
rrr o
xVa —y-. 2
is CS. 1 0 5 . ) ,
Vóü&emm i.-;, volgens Meetkunilige Beginfelen, l\c'. + AB'-BC -2ACxA0 dat is . r = + a ' — è= = 2A?y. LJier van de i'ïttjcte neemende , hebben wy a
;
sxx~''.yx
f 2.TJ? , o f , door 2 gedeeld, xx—yx-r xy
...
xy ;
feta!ven
x= —*«, x y
Subrtitueeren.de nu dee-
ze Waarde van x in de bovengaande Vergelykinge, xyy
xy
zul ea wy hebben
Va*-y*
"
I
,
=ro,ea -y
alles door xy deelende,—.ycf—y*
V a — 31» 3
*—•• o , of ...
- — —
Evenredigheid voortvloeit;
y -
' ; waar uit deeze
F L
ü X I E - R E K E N I N G.
151
~y t/a*—y* : : V<^-f '• 1D a t is D . C i BD :: B D : AD. B y g e v o l g is de Perpendiculair B D een M i d d e n evenredige tusfcbcn dc D e e l e n A i ) , D G v a n den Bafis A C 4 en vermits dit , volgens de Béjfiflffëteö der $êeÜÓ3nH8, eeae eigenfehnp van der, r c c h . n o c k i g e f i . D ' i e h o e k i s , z o moeten de gegeevene L y n è l t KB, B C perpendiculair t o t elkander / y n ; waar d o o r dan gezochte L y n v a n z e l f s .bepaald i s . x
:
1 6 » . H i e r u i t v o l g t . , hoe m e n den g r o o t ï t e n I n h o u d , begr'eepen onder een w i l l e k e u r i g getal rechte? L y n e n . en eene andere onbekende L ^ n , k a n v i n d e n . W a n t A B C D E ( Fig. 3 1 . ) ' den mogelyk grootib-n I n h o u d moet b e v a t t e n , m o e t A A B £ -+• Trap. B C D I i een Maximum z y n . W a n t het is k l a a r , d a t , h o e veel z y d e n de Fisjwur o o k moge h e b b e n , A B E een D r i e h o e k z a l z y n , d i e rechthoekig in B i s . W e d e r o m , naardien A B C - i - C D E -!- A C E een Maximen z o is het k l a a r b l y k l y k , d a t , hoedanig A B C en C D E o o k z y n , A C l i een D r i e h o e k z a l z v n , die rechthoekig in C i s . D e s g e t y t o * naardien A . B C D 4 - A D f v e e n Maximum i s , is"het o p e n b a a r , d a t , hoedanig de F i g u u r A Q C l > f o k z y , A D E een D r i e h o e k moet z y n , d » feebe* hoekig iu D i s ; en z o v e r v o l g e n s , al hatit de F i g u u r r o g z o veel z v d e n . D e r h a l v e n moeten afle de hoek e n A B F , A C E , A D E , w e l k e o p Ml ( l a a n , r c h te hoeken z y n . B y g e v o l g is de gebette t i s i u u r in eenen hal v e n - C i r k e l b e f c h r e e v e n , wiens Diameter i A F . i s , en b u i t e n deeze bepaaling k a n d e z e l v e geen 'Maximum z y n . h
e
t
V
l
a
k
7
v n d ü
c
w
e
U
J
109.
VOORBEELD
X X V I .
Den
grootften Inhoud te
bepaalen, •welk'; onder vier gegeevene rechts Lynen begreepen kun wer-den. U i l het b o v e n b e w e e z e n e ( § . l ó & J l . en de G r o n . den der gemeene M e e t k u n d e , v o l g - , dat de I n K 4 houd
152
EERSTE
BEGINSELEN
DER
houd de grootfte zal z y n , als het Trapezium , door de gegeevene Lynen gevormd, in eenen Cirkel befchreeven kan worden. Doch ik verkies deeze waarheid als onbekend aan te merken, en de eigenfchappen van zodanig Trapezium uit de Theorie der Fluxiën af te leiden. Trek den Diagonaal A C , en laat op C B en A D de Perpendiculairs A E en C F vallen. Men ftelle (Fig. 32O A B - a , B C - A , C D ~ c , D A n a " , B E ~x, en D F n y ; dan is A E r r j V a * ™ ^ , en C F rr V~c — y\
Derhalven Driehoek A B C ( i B C x A E )
2
-\b\/a
2
—%,
en Driehoek A C D ( é A D x C F )
— y'.
Dienvolgens is de Inhoud van het
2
ZZ\dyc
2
Trapezium A B C D - i /} f
«* — x +*dy^ïr5*
J=5
2
—^ bxx een Maximum. Hier van is de Fluxie —< ya — x* 2
•
idy'y
,„
_
• = o ( § . 1 0 5 . ) , en derhalven
fc^y
~dyy '
.
yT ~^}y
2
2
bxx Va ^-~x ~ T
2
170. Voorts is volgens de grondbeginfelen deï Meetkunde b
b
BC*+AB'+ aBCxBEzrAC*; lis ook D T i ' + C D ' - . a D A x D F - A C , 1
Der-
F L U X I E . R E K E N I N G .
153
Derhalven B C + AB + a B C x B E z D A - r - C D - 2 D A x D F . 5
Dat is b + a + 2 i xzzd + c — 2dy ; hier van 2
2
2
2
de F/wiie neemende, hebben w y 2bx~ — 2dy, of <— dyzzbx'y dit voor —dj/ in de voorgaande Vergelykinge ( § . 169.) gefteld, zal dezelve worden b xy bxx y •—rz » , en daarom — l/c — y y —x ifc —y* 2
2
2
2
;—;
2
a
x -•• tfa -x 2
; waar uit vloeit deeze evenredigheid: 2
V '—y' • y c
Dat is C F : D F : :
Va —x 2
AE
2
: x. : BE.
171. Hier uit blykc, dat de Driehoeken D C F ea A B E gelykvormig z y n , en dat deihalven Z * A B E r r r ; / . D is. Hier by A . A B C = £ . A B C opgeteld. Komt / L . A B E + Z . A B C - / L A B C + Z . D Maar L A B E 4 - L A B C - 2 rechte hoeken. By gevolg Z . A R C + / . D — 2 rechte hoeken. Waar uit blykt, dat de Vierhoek, om de mogelyk grootfte te zyn , in eenen Cirkel moet kunnen befchreeven worden. K 5 "7*
f54
EERSTE
BEGINSELEN
n*R
7
172. Om nu eene uitdrukking in bekende Termen voor 'JüO-.Inh.rird.des Vierhoeks ABC.D te vn-den, h- hh?n wy door de gelykvoTtnigbeiü der Driehoeken fr&F en A B E , C O : D F : : AB : B E . • ' Dat is
e :
y
::
a
*v .
cx • • Derhalven yzz—. Deeze waarde gefubftitueerd zzzzz. - •• ~nfos.v, r : , ••• — — ~ - '— . in de voor geyqndene Uitdrukking b~-.-'ra-.-r2bxzz d~- -f-c — i£y (§. 17c), zal 'ër komen 1
;
•
fc'+fl'
~..
• -
. .
- r 2 i ^ —d + c J
s
'..
a
of a&#+
• i . "j
zedx • • zz d'-\-c'— b — a* a 2
2.ab+2cd»x > - . b i M ^ o 08iT:v..~-DOA A v_«
A-
E n derhalven — czz:
a
TJ»1H
d + c —b — a' >- • • • s,ab + 2cd 2
2
2
173. Nu is de Inhoud van den Vieihoek A B C D , . . of S B C x A E + J A D x C F , ZZ}bi/a ~x -\ 2
cd
2
2a Va*—x
2
F L U X I E - R £ K E N I N G.
,
i_
2
2
fa —a-
155
Cx r' , als men — voor y fubftitueert, a
,
1
~ T
ab + cd Va -—x\
Derhalven is het Vierkant van
2
ab -;- c d\ ab + c d\ dien Inhoud zz 1 x a —x~ zz — — 40 4a 2
2
' Xa + ï X a - ï -
1
a£ + cdI X H 4
•x X I a
x . a
x d~ -F c- -b' — a 174. Naardien n u — ~ — is (§, 172.), « zab + icd x d c -b -a hebben wy H — 1+ —— __. zz . •, , a 2ab+zcd 2
2
2
2ab + scd+d* + c -6 -a 2
'
**—;
2 ab x
2
2
d-'-cf —•
2
——•
2c d
2ab-'ricd-d'-c
2
a
2
•
•
af
^»
2 ab -F a e d + b + a* 2
2ab-'r2cd
fr+a\ — d — cT ———— . Dienvolgens is het vierkant van 2 a £ -F 2 c d afc + ca"! d+cl* — è ^ a l " den Inhoud — •x • • x . i 4 a a i - F 2 cd 1
b + a\ -d-c\ a * ' F 2 cd
d-bc\ -~b-a\ xb + a\ -d-~c\
16 of,
1
356
EERSTE
BEGINSELEN DER
o f , om dat het verfchil der Vierkanten van twee Grootbeden gélyk is. aan het vermeeni'gvuldigde van haar Som met haar Verfchil, wordt hec vierkant van den Inhoud uitgedrukt door d+c + b-axd+c-b + axb+a + d-cxb+a-~d+c 4 • d 4- c-r b + a
d+c+b+a __ b . 2
flx
H. |; .
x
d + c+b-\-a cx 2
d-\-c-\-b + a . — 1 — d. Hier uit b l y k t , dat, als men ' tl »* K *TJ & "i'V-' '' '; • -^fr-tit' tmïnwW 4V [ ï
1
van de halve -fóm der vier zyden iedere zyde byzonder aftrekt, het geduurig Product der overblyffelen het vierkant des Inhouds zal zyu. 175. De algemeene Regel om van een Driehoek, wiens drie zyden bekend z y n , den Inhoud te vinden , kan nu als een gevolg uit de voorgaande Formule ( § . 174.) 'afgeleid worden. Want Hellende a — o, dan wordt hec Trapezium veranderd in een Driehoek , en de voorgaande Formule zal dan zyn d+c + b d + c-i-b 2
2
d+ c+ b 2
d+c + b a
Deeze Formule wordt nu woordelyk aldus uitgedrukt: Trek elke zyde byzonder van de halve-Som der zyden; vermeenigvuldigt de drie Overblyffelen te famen, en het ProduSt neg met de halve-Som der zyden ; dan zal het laatfte ProduSt het vierkant van den Inhoud des DriehoeAs zyn. Hoe dit l atfte Theorema buiten Fluxie - Rekening gevonden wordt, heb ik in myne Toepasfing der Alge-
F L U X I E -
R E K E N I N G.
157.
gebra op de Meetkunde , L D E E L . Pag. 62 en.63, §• 85. getoond. 176. VOORBEELD X X V I I . Van alle Driehoeken, welke den zelfden gegeevenen Perimeter hebben, en in den zelfden gegeevenen Cirkel befchreeven zyn , den mogelyk grootflen te bepaalen. Laat de Bafis BC (Fig. 33.) des begeerden Driehoeks A B C , door den Diameter D E in twee gelyke deelen gefneeden , en E A , E B , BD getrokken worden. Trek wyders HF perpendiculair op B A , en G A parallel B C , ontmoetende E D in G. Laat de Dia. meter DE ZZ a, de gegeevene Perimeter des Driehoeks ZZfb,
en D H ~ A - zyn;
dan is
E H r a - i .
Nu is volgens de eigenl'chap van den Cirkel. B H = D H x E H r : * x a — x. By gevolg BH = Yax—x>. 177. Alvoorens verder te gaan, ftaat ons te be. wyzen, dat AF de halve-Sorn der BeenenAB,AC, en dus A F + B H de halve-Perimeter des Driehoeks is. Laat tot dat einde E ƒ perpendiculair op de verlengde AC getrokken, en E , Cftunengevoegdwor. den. Dewyl dan in de Driehoeken B A E , ÈAC BE = CE A E zzzzz A E gemeen en Z-BAÈ zzzr i_ ÈAC is, Zo is ook AB
Af.
Dewyl dan de rechthoekige Driehoeken A E F , A E / d e zyde'A S gemeen, en Z . E A F (of £_ BAE ) ZZLEAf fof Z L K A C ; hebben, is A F ~ A / , en dus ook B F z i C / . By
ijg
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
By gevolg AB + AC ( ~ A F - | - A / ) r a A F . AB-+ AC Derhalven —•zzzzz AF BC a — — AB + A C + BC
verg,
1
= AF + B H . 2 Daarom A F - F B H = b BH = V~aJ-~x* •
• afgetf. AF . . . . — b — -ff ax— jr . 2
178. Nu is volgens de Beginfelen der Meetkunde Drieb. DBFI : Drieh. DOE : : Ï5Ï3': D l T . En Drieh. DBH : Drieh. DBE : : DH : DE Derhalven B D ' : DIT:: DH : D E . Maar BD*: B F : : A F : A F / By gevolg D H : DE - A F : AË' Dat is x - 0 : : b-Vax-x*\
; AE* Dus
F L ü X I E - R E K E N I N G. a Dus A E ZZ — x
159
!— —zr~~| b-fax-x*] ;
3
3
179. Wederom is D E : A E : : A E : EG. of A Ê ~ D E x E G . 2
Dat is — x b-Yax^VA
~ a x EG.
x
Derhalven E G z: b-ffax — x \ 2
a
,
\ § .?' '... * «*(MO«r M E H ~ a —* *~
—
1
1
1
ö3,
gevolg is de Inhoud
. ( B H x H G ) ZZ yax-x
fe* WHA
' • • - afgetr. H
— 2 Jfr'a*- —
HG — By
*
9
•
des Driehoeks A B C b — zbi/ax—x 2
2
2
X
~
b /ax — x ' *- zaiï + abx zz een Aiaximum. Hier 2
1
iab x 2
van is de Fluxie 2bx —
.,
w e
|ke
—o
xyax-x* gefteld, en alles door b'x gedeeld z y n d e . zal men oekonaen 2—
ï6o
E E R S T E B E G I N S E L E N DER ïab
3.
1
~
O
s]/ ax—x*
of 2X[/ax—x
zz
1
\ab V/
' l6ax — l6x* zz a*b*
4
3
of i6x*—i6ax + a~b ZZo, eens VefgelyKing* door welke op te losfen de zyden van den begeerden Driehoek bepaald worden. %
2
i ü o . V O O R E E L D X X V I I I . Den grootften Paraboot te bepaalen , welke door de fnyding van een gegeeven Kegel gevormd kan worden* Laat B T C (Fig. 3 * 0 ^en Kegel', A D , parallel T B , den As , en n N den Bafis of dubbelden Or* dinaat des Kegels z y n . Stel B C — a , B T - £ , en C D - Ï . Dan hebben w y , uit hoofde der parallels Lynen T B , A D , deeze Evenredigheid: BC ï B T :: CD : A D . Dat is a :
b
::
x
: AD.
Derhalven A D zz—* a Wyders hebben wy doör de eigenichap van den Cirkel ÜD*
FLÜXIE-RËKËNING.
iet
™ D N ° ~ AD x B D .
fiü
Dat is D N — xxa — xZzax — x , 2
By gevolg D N =: y~ax~— ~x*~, en 2 D N zz
nNzzïylix—~x
2
181. Nu is, volgens myne Toepasfing der Algebra op dehooge Meetkunde, § . 6 4 , ieder Parabool de f van een Paralellogram van gelyke Bafis en hoogte. Der, , . , nalven is de fnhoud van den Parabool = 4bx
s.yax-x zz 2
bx f x
x a
yax~x zz 2
een*Maximum. Maar
4b * - is eene ftandvastige Grootheid, dus hebben wy 3a flegts xVax-x , of het Vierkant dier Grootheid, zynde ax*—x*, in Fluxie te ftellen, waar door wy bekomen 2
| . 3a* x—4X* # = 0 1
3a — 4 * = o of /\x — 3 a 3 — =r C D . 4 bx <$b Derhalven — = — = A D . s 4 L a
cn * =
Dien*
162
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
Dienvolgens is CD ZZ\x
B C , en A D ZZ | X B T . 3 3* 30* Voorts » N (ZZ zVax—x' ) — 2 1 / — zz \/ — 16
4
z=zay~IZZBCXV I ; en dus is de Inhoud van den grootten Parabool, die uit deu Kegel gefneeden kan worden ( = J x A D x n N ) zzi X J x BT x BC x 1/3
| / = B T x BCx — . 4 3
182. VOORBEELD X X I X . Den grootften Ellips te btpaalen, welke door de fnyding van een gegeeven Keg gevormd kan worden. Laat AB (Fig. 3 5 ) de groote, en w N de kleine As van den Ellips ANBn zyn, en laat de Ellips als veianderlyk befchouwd worden, door de beweepring van het einde A van den grooten As langs de lyn T C . Laat wyders A H parallel met T D den As des Kegels z y n , ontmoetende den Diameter BC van het Grondvlak in H , en laat gefteld worden , dat de Diameters A l i en QF parallel met BC z y n , en dat de laatfte GF door O , het middelpunt van de Ellips, gaat. Stel nu TD zz a, DC zzb, en ÜH x; dan is B H z i + .r, en C H — 6 — x. Voorts hebben w y , uit hoofde der parallele L y n e n , 'J.D, A H , DC : T D : : C H : A H . Dat is b : a : : b-x : AIL axb-x Derhalven AH zz • b By gevolg A B ( Z B H V A Ê T ; Ï - H * | ' + . . . o' x~b—~x\' b'xb+x\' + a'xf—x\ . =± • , en dus i' b* 2
AB =
F k U X i E - R E K E N I N G\f
ify
Aangezién r u de Driehoeken A O G , A B C , als ook de Driehoeken B O F , B A E gelyichöekig Z y n , en A O C ZZ B ü ) — i AB i s , heb oen wy desgelyks O ü - i tCZZb, en O F ZZ \ A E = B H ZZ * j en by gevolg O G X O F " O N ("door tie eigenfchaö van den C i r k e l ) derhalven Mn ZZ i y bi, eü daarom
Yb x b-(- #1 -f a x £ — A ' l x 4** 1
ABx N « —
2
J
2
j
~~- ffl"
«
..
"*
'
r
184. Nu is dê Inhoud van eene Éllips in eene ftandvastige Rede tot den Rechthoek der beide Asfen* Zie Toepasfing der Algebra op de hèoge Meetkunde, 1. D E E L . 9 4 , 95. Zal derhalven de Inhoud dé mogelyk grootfte zyn , moet de laatfte algemeene Uitdrukking insgelyks een Maximum zyn. De-wvl nu de Noemer van die Uitdrukking eene ftandvastige Grootheid is, blyft 'er niets anders over , dan dat de Teller, of liever detzell's Quadraat ( § . iz6) . b .vxb-\-x\' -]r a' xxb — x\ xb, 2
of wel b xx
2
...
2
b+x\' +a' XX & — ar1 ( ZZb*x 4. 2Ü» x* 4- b'x* a b x — 2 a b x - F a . r ' ) een Maximum moet xym 2
2
2
2
2
1
2
Hier van is de Ftaai'é fc # -F 4& *.y -F 3&'# A- -F 4
3
2
a è AT—4a*bxx + %a*x x, welke ~ o gefield, e& 2
2
2
alles door x gedeeld zynde, zal men bekomen, I, 2
I*
J
F
*Ó4
EERSTE BEGINSELEN DER
b* + 4b'x + il>'x +a b 1
ofsa'+zb
2
— 4a' bx+ia
2
.x — a' — b .
1
1
1
;—-
3a"-+ i'
3
3
x 2bj
2
4a*-ia~h X4~b~x T
3a -h b 2
~
2
5
a — b .4bx 2
2
b xzb\ 2
h
'
3 a ' + 3ft* 4
a
3a' + 3ft*|
—
b X2b
Derhalven xzz
4
a
-thffa*-
2
a +3^ 2
3
•
3 « ' + 3^" I
Wxa — i 4 a ' £ + , ê
1/
b'
-
a —
2
x' —
2
b'
2
a'-b
2
4bxzz-a~ ~+b~xb
2
a -b*.dbx
Dat is x' —
x —o
2
14a b' + b* 2
3a + ft*
J
1
3
a* — b'x^b'ï.bya*
— i4a b 2
3fl' + 3&' waar uit nu voorts de Ellips bekend is.
2
+ b . • '
185. Wanneer echter a —I4a*ft*4-ft eene ne~ gative Grootheid is, wordt deeze Oplosfing onmogeï y k , vermits de Vierkants - Wortel uit eene negative Groot4
4
F L U X I E . R E K E N I N G .
165
Grootheid getrokken rr.oet worden. Om derhalven den Limiet te hepaalen, zo ftel a — 14 a b + b*zz o ; dan hebben wy 4
1
2
a — i 4 f l & * r z r r — b* 4
i
49 b
4
zzzzz: 49 b*
a*—140Tb* + 49 b* ZZ \%b*
V a* — Tb ZZZZZ4 2
Dus V
tt r=:li x7 ,
I
b'1/3
+ 4i/3 •
azzzzzb x 2 + 1/3
Derhalven hebben wy deeze evenredigheid: a : b : : 2 - h f 3 : 1.
Indien dus de Rede van T D tot D C niet grooter i s , dan die van 2 + 1 / 3 tot 1; o f , dat op het zelfde uitkomt, indien de Hoek C T D niet kleiner dan 15 Graaden i s , kan de Fluxie van de Ellips nimmer ge» lyk aan nul worden ; maar de Ellips zelve zal van den Top des Kegels af geduurig grooter worden , tot dat zy op den Bafis des Kegels valt , en dus ten Cirkel wordt ; derhalven is de Ellips op den Bafis grooter, dan in eenigen anderen ftand. 186. M aar dit Voorftel is nog tusfchen naauwere Limieten befloten. Want de Ellips zat of van den Top des Kegels tot deszelfs Bafis geduurig grooter worden, dat plaats heeft in het geval, ais oe Hoek C l D grooter dan i j Graaden i s ; of wel zy zal geduurig grooter worden , tot dat hec punt S in eeuen zekeren ftand A k o m t , vervolgens kleiner worden tot eenen anderen zekeren ftand a , en einL 3 de-
ï66
EERSTE
BEGINSELEN
DER
delvk wederom grooter worden , tot dat zy cp den Bafis des Kegels valt. Want zo dra het runt S onder den Perpendiculair B P komt , zullen de beide Asfen van de Ellips ia den zelfden tyd grooter worden. 187. Het zelfde blykt insgelyks uit de voorgaande Vergelykinge ( § . jÖ4. ) , e« — b"- x ,? zz
2
bï b \/ a - 14 a' b* +T« ••—H—1——; welkers bei4
de Wanrden de twee Wortelen van** fof D H >, in de tyden van het Maximum'm A ,en hec daar op volgend Mi-, nmum in a , uitdrukken. Waar uit open Daar i s , dat de Ellips tusfchen den T o p des Kegels en den Perpendiculair BP een Maximum, kan toelaaten, en nogthans dat Maximum kleiner zy dan de Bafis des Kegels, ten zy de voorgemelde Hoek C i D zoveel klei oer zy dan 15 Graaden, als de aangroeijing van a rot C minder i s , dan de afneemb-g van A tot a. tim Cus tien naauwkeuiigen Limiet te bepaalen, zo leut de voorgemelde aangroeijing en afneeming aan elkander gelyk gefield worden, of, dat in de daad het zelfJe i s , laat de EiUps B i \ S » B z : den Cirktl B f C « , of BS X N « ~ BC zyn , dat is Y b'xb-rx\ -\-a 1
1
xb-xr
,
X*
bx
~~~~b~
~
f' b xb-'rxl - -h a" x b-x\* x 4 %
4
fc
3
4- x\* -h a" X b-x\ x 4 bxZZ 16 b' 1
b*X
F L U X I E - R E K E N I N G .
j,»
j+Ti' + a X & — A-I X * - 4 & 2
x
a
Of &'*+2Z>'#' -r-J'lf' + a'AfX Derh. a**X 6 ^ * 1
5
4^
* *i» -^*-
l z z b
167
7
2 f c
**
4£ -£»\*-2&A- -tf* _ * b—x\ l
en a S £ — X * 1
t
2
b Ab + %ix + x — X ' • x b— x 2
Dat is a* =
2
2
188. Wyders hébben wy , volgens §• 1&4, de volgende Vergelykinge: fc* -f- 4 & x-f 3 è x •+• a' £ — 2
3
of - a b 2
2
+
2
1
a £ *+3 a # = o 2
4
2
2
ta*bx-3a'x'-b'xb'-tr
2
b xb
-f-4ftA--t-3A? ' ~ ' -b + *bx-2x
2
Derh. & = 2
2
2
2
2
b—xX ax—b L 4
I«p.
i68
EERSTE BEGINSELEN
DER
189. Vergeïykende nu deeze Waarde van a* met d i e , welke boven ( § . 187.) gevonden is , zuilen wy hebben ~
* + 4**+ *« 3
3
ff
A-
of
—A* ,
"~
:
r — ATX3A-Z»
a
+ 4ffA-+ 3**"""
ff
^ " ~ ^
4
7
3
+
*' _ ^
ï
3 x —- ft
"
— — 3x° + 8b > + »b x-4ff z=ff»* 2
herl, +
3
x
4 * A - +
A -
3
3
of \bx + 8b"-x zrzr 4b 2
46—
3
i x' + ibx
. ZZZZ b
2
x -t abx + b*
2
2
x + ft irrr:ftj / 2 Derhalven
A-r=ftj/2«-/>.
190. W y hebben boven b'
( § , 187.)
4b + $bx+x 2
b ,4b'
2
a'zz — x
2
gevonden
+ 3bx+~x*
of a ~
•
3
x a
2
b— x 4b~- + »É
bx — x
2
+
x
*
x
derhalven — ~
.
b bx—x' ( § . m.y, of x zzh -nbx,
Voorts is x H» 2
2
nbx-b
2
2
2
enfubflitu-
eerer.de deeze Waarde voor x in de naastvoorgaande Vergelykinge, zal dezelve worden 2
a
2
F L U X I E . R E K E N I N G . a
2
b
2
yb'+bx
56* -Vbx
bx — x
$h-> x r
%bx—b
2
169
3x — b
2
56 + 61/2 — 0
464-61/2
4 + 1/2
3&Va-30-5
361/2-4-5
31/2-4
4 + 1/2 . 4+31/2
22+!6l/2
~4+Tj/2 . 4 + 3l/a
^
2
Hier door hebben wy deeze evenredigheid; 1 : 1.1 + %V 2 : : b : a \ 2
By gevolg 1 : | / I I + S ^ 2 : : 6 : a : : D C : T D . N u is \Y 11 + 8 1 / 2 na genoeg —4.72374 , zynde de Tangens van 78 Graaden 3 M i n . , de Radius 1 Maar in den Driehoek C T D hebben w y , volgens de Grondbeginfelen der Driehoeksmeeting, DC : T D
Rad. : Tang.
LTCD.
By gevolg i L T C D — 7 8 Graad. 3 M i n . , en dus is deszelfs Complement L D l C ~ 11 Graad. 57 M i n . de mogelyk kleinfte Limiet. indien derhalven de Hoek, welke de fchuine zyde met den As des Kegels maakt, nie.t kleiner dan 11 Graad. 57 M i n . is , zal de grootfte Ellips kleir.er dan de Bafis des Kegels zyn. 191. VOORBEELD X X X . Men begeert x en y zodanig te bepaalen, dat de Fundie x*—x y -ray een Minimum zy. 2
2
3
De Fluxie van de gegeeven Funclie is 4x x — 2y*x* ,
zx'yy + 2ay yz=zo. 2
Z o w y nu eerftelyk y als L s ftand*
i o
E E R S T E
7
B E G I N S E L E N
DER
ftandvastig befchouwen ,. dat is zzo ftellen , hebben wy . 4# *-— 2y° xxzzo 3
9 xx •
2x' — y* — o of ax*=y' 19a. Wederom * als ftandvastig aanmerkende, en = 0 Hellende, hebben w y . .
-zx^y-hsay'yzzo - i x ' + saj ~ o of ax zz %ay Maar a# ZZ y* ( § . 191.) x
s
Derhalven
zz %ay,
y y z: 3 a , en dus * — 3 « i / | . 103. VOORBEELD X X X I .
Wat getal is het,
dat
ioor&ynen Logarithmus gedeeld zynde, een Minimum tot Quotiënt geeft? Laat x het gezochte getal z y n , dan moet, v o l x gens de bepaaling, een Minimum, en by geLeg.x Log.x volg ——— een Maximum z y n . De Fluxie van x
_
*
Leg. * is — ( § . 4 3 . ) , en derhalven is die van x Log. x
F
L ü
Log. x x m r X
X
x
Log. x ( § . 31.).
X
2
ï7*
I E - R E K li N I N G .
Deeze
~o
ge-
X
2
fteld , alles met * ' v e r m e e n i g v u l d i g d , en door * gedeeld z y n d e , z u l l e n w y hebben i - Z . o g . A - ~ o , en derhalven L o g - A ~ i . l e w y l n u hier de fhperbolifche Logarithmus bedoeld w o r d t , z o is x n a g e noeg " 2 . 7 1 8 . VOORBEELD X X X I I . Gegeeven zynde de fnelheid eens Kogels, die uit een Kanon gefchoten wordt, den hoek van verheffing te vinden, waar door dezelve op het horizontaal Vlak den grootften afftand zal doorkopen. Laat A B C (Fig. 36. ) de richtftreek d r s K o g e l s z y n , en laat de gegeeven kr-icht i n A z o d a n i g z y n , dat d e z e l v e alleen den K o g e l van A tot B gebragt z o u hebben , t e r w y l dezelve d o o r z y n e z w a a r t e kracht alleen van A eene bekende r u i m t e als s g e daald z o u z y n ; dan z u l l e n A B en s ftandvastige G r o o t h e d e n z y n , w y l de fnelheid des K o g e l s i n A benevens de zwaarrekracht v e r ö n d e r d e l d worden de z e l f d e te z y n , hoedanig o o k de richtftreek A B C zy. Laat de horizontaale L y n A D d e g r o o t ft" d o o r te loopen afftand des K gels z y n , c n trek D C e n B E perpendiculair o p A D . T r e k wyders A F parallel D C , é n D F parallel A C , ontmoetende m a l k a n der i n F . D a n is het k l a a r b l y k l y k , dat de K o g e l , t e r w y l h y de k i o m m e L y n A G f 3 befchryfe , door z y n e v o o r t w e r p e n d e k r a c h t alleen van A tot C , e r s door z y n e z w a a r t e k r a c h t alleen v a n A tot F gebragt zoude w o r d e n , i n gevalle é ó n der beide k r a c h ten z y n e w e r k i n g ftaakte. W a n t de z w a a r t e k r a c h t , die i n eene met C D c v e n w y d i g e r i c h t i n g w e r k t , zal de b ë w e e g i n g des K o g e l s naar de L y n C D noch bevoidei'en , n o c h verhinderen ; CD het zelfde kan ten a a n z F n der voortwerpende kracht en de L y n D F i n s g e l y k s gezegd w o r d e n waar uit v o l g t , dac d K e g e l , t e r w y l by door "zyne v o o r t w e r p e n d e kracht :.I'een de ruimte A C d o o r g e l o p e n z o u z y n , d o o r ;
zy-
W
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
zyne zwaartekracht alleen door de ruimte AF of C D gedaald zou z y n : en de ruimtens welke h u naardien n r , e n va!doori T
v74^efr
?
e
lim^lfdl
lyden
°^ ss *
*
zyn
AB*: A C * : : /
20
hebbeQ
w
d£eze
: CD.
M u r A V : A C : : Wz A L > \ volgens de Gronden — der Meetkunde. , Derh. A i i * : A D * : :CD t
s
AD B y gevolg C D zz s x
. AË*
C
^
^
,
\
C
D
[
d
e
^ykvortnigheid der
AE : A D :: BE : C D AD Derhalven C D z B E x
AE'
D Waar uit volgt, dat B E x — ± XTT
A
.
A
E
s
x
AD _ _ ,AE* ' s
AD Dus is B E - x x •
.
AE o f A E X B E = J X A D ~~
„.
,
AITRË
D.envolgens A D =
" tea Maximum.
s Maar
F L U X I E - R E K E N I N G .
i
7
3
Maar s is eene ftandvastige Grootheid; derhalven zal de Verheid A D de mogelyk grootfte z y n , wanneer A E x B E een Maximum wordt. 196. Laat A B r r ,
BEir#,
AEry
z y n ; dan
hebben wy in dit Geval A E x B E ^ A ^ r ; een Maximum, en derhalven y'x + xyzzo.
N u is volgens hec
Pythagorisch Leerftuk B E ' + A E ^ A B J y* zz r \
dat is x -t%
Hier van is de Fluxie ix'x + iyyzzo ; der-
halven yzz
xx
. , en xyzz
y
X'X
; waar by yx opy
tellende, zal men bekomen x*'x \-y*-° y .
y
—x*x-\- y'xzzo of x* x ~ y' x X 1 1
%*zzy
%
V xzzy Dus is de rechthoekige Driehoek A B E gelykbee. n i g , en dnarom Z L A B E z r Z . B A E . Waar uit b l y k t , dat, om den Kogel den grootften afftand te doen overlopen, het (tuk eenen hoek van 45 Graaden met het horizontaal Vlak moet maaken. 197.
174
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
i g . Indien het Stuk tot eenen hoek van meer dart 45 Graaden verheven werdt, zou de doorgelopen ruimte des Kogels de zelfde z y n , als of het Stuk tot even zo veel minder dan 45 Graaden verheven was; verA E . BE mits de Grootheid in beide Gevallen de f zelfde zal zyn. 7
198. VOORBEELD X X X I I I . De grootfteWaatdt vdiï y in de Vergelykinge a*x*zzx' +y'\* te vinden. Stellende de geheele Vergelyking in Fluxiën. zul* leu wy heboen 2fl xx ZZ2 x x + 2 y y X 3 X x -f-y 1 4
2
Laat nu y onveranderlyk z y n , wy zullen alsdan hebben aa **—6xx
2
1
dan is yzzo. en'
Xx - -y l
4
2
2
t
r
1,
ITT
a+zzsxx' + y']*
Dus x* + y 1 2
1
a* 'ts — 3
V a t +
x
a
2
ipa. Dewyl nu x'+y zz— 2
is, zal ook . , ,
+
s
F L U X I E . R E K E N I N G .
1
al'
a
'
i
7 5
1»
3f 3 a by gevolg a * * - , derhalven x*zz , en 3^3 3^3 2
4
* -
a
i ^ ~ — 3*^3
a
a
2
2a
9
1
% gevolg y V/
3
3^3
3^3
a «1 dus yzzaV
-. 3^3
200. Men kan dit Voorftel nog anders oplosfen op deeze wyze: e
Naardien x + y \ 1
~a*x* gegeeven is, hebben
2
wy x'+y'ZZax
x. , en derhalven y*zza x
x zzzzz een Maximum.
Hier van is de Fluxie
1
Ja XAT
j
* - 2 » J , welke —ógefteld,en alles door
*• gedeeld zynde, zullen wy hebben
I
-i
#a x*
—*x~o * —1
of 2*z:ïfl x* ^ 8*'-jf a x * ~ 4
Ö K "
1
,
x*zz , j a
I
, 4
«f
176
EERSTE
BEGINSELEN o
of *
DEI*
4
4
9x3
V
a* x-zz
3^3
1 , en derhalven xzzaf —
3^3
j5o als te vooren ( § . 199.) insgelyks gevonden is.
2or. V O O R B E E L D X X X I V . Vind drie zodanige Waarden van x , y en z, welke de Waarde van J - . i X J t ï - z x ï ] l - 3 dé mogelyk grootfte [zal maaken. Laat eerftelyk y als veranderlyk, en het overige als 3
s
i
s
!
ftandvastig befchouwd worden, dan hebben wy xy — ayy—o ( § • 105.); derhalven y~ix, en xy-y — lx'. Wanneer z veranderlyk, en het overige ftand. 1
vastig i s , hebben wy x*z — 32* z i o ; derhalven * 2 .v zZZ , en*"z—z zz . Subftitueerende nu 3
3
3^5
V 3
deeze Waarden van xy— y* en x*z—z in de ge. geevene Uitdrukkinge, zal tiezeive worcen 3
x 0.x Z> x — x — x x b —x zz Dewyl nu 4 3/3 <5/ §V 3 eene ftandvastige Grootheid i s , zo blyft nog overig, dat b x' — x' een Maximum moet zyn. D e %
3
3
}
3
8
1
3
3
Fluxie hier van is yb x*x—8x'x 3
t
welke = 0 ge-
fteld, en alles door x+x gedeeld zynde, zullen w y hebben
FLUXtE-REKENlNG»
!??
563—8*'-=-o
of 8A-»zzyb
1
8
*
/
—
—
2* 2
—
zz b y
i xZZ\b\T
eh z (=
\
^
V
5
— 9
5
~èft^if.
3 /
202. V O O R B E E L D X X X V . Gegeeven zynde de ftand 'van een horizontaal Vlak B D i, F i g . 3 7 . ) , «n dien van het verticaal Vluk B A begeert men door een gegeeven punt ü het Plak D M te trekken, langs welk een Lighaam M , van het verticaal Vlak B A , tot het gegeeven punt D in den mogelyk kortjlen tyd kan komen. Het is k l a a r b l y k l y k , dat da t y d der afdaalirjg van de door te l o o p e n r u i m t e ' e n d e fnelheid van h e t bew e e g e n d L i g h a a m afhangt. Z o de ruimte D N k l e i ner i s , z a l ook de fnelheid kleiner z y n ; z o het V l a k D A l a n g é r i s , z a l de f n e l h ' i d , en tevens o o k d e r u i m t e , grooter z y n . H e t is derhalven o p e n b a a r , dat 'er tusfchen beiden een V l a k D M i s , langs welk de t y d de m o g e l y k kleinfte moet z y n . Laat £ D ~ o , ;
B M — a- z y n ; dan is D M zzy/a -FA- ,, N U wordt, Volgens de G r o n d b e g i n F l e n der Mechanica, de door het L i g h a a m v e r k r è e g e n e frielheid, als het van M i n D k o m t , uitgedrukt door den V i e r k a n t s - W o r t e l uit de hoogte B M v a h het V l a k D M , dat i s , door \/x, en deeze fnelheid zou genoegzaam z y n , o m het L i g haam M , m e t eene gelykmaatige b e w e e g i n g , eend dubbelde ruimte van M D i n den belteeden t y d ter doorlooping van M D te doen b e f c h r y v e n ; voorts z y n de r u i m t e n s , w e l k e mee eene gelykmaatige beweeging 1
M
2
door-
i?8
EERSTE B E G I N S E L E N DER
doorgeloopen worden, als bet vermeenigvuldigdcder fnelheid met den t y d : derhalven wordt de tyd uitgedrukt door het Quotiënt, dat voortkomt, als men°de ruimte door de fnelheid deelt. Weshalven de t y d , welke befieed wordt om D M door te loopen, zal 2 f/a* zyn
. Dewyl na deeze tyd een Minimum 4 a •+- 4 x 5
2
moet z y n , zal ook zyn Vierkant —
een
Minimum z y n . . 4a -l-4* N u is van * ï
welke = o
—4a x + 4x'x
T
3
de Fluxie x'
gefteld, alles m e t * » vermeenigvuldigd,
en door 4*gedeeld zynde, zullen wy hebben — a* + x = o of x a' V x = a , of B M = 1
2
BD.
Derhalven is de rechthoekige Driehoek M D B gelykbeenig, en by eevolg moet het Vlak M D met het horizontaal Vlak B D eenen boek van Graaden maaken. 4 S
203. Maar by aldien de vraag was, om het Vlak M D zodanig te trekken , dat langs het zelve een Lighaam, uit het gegeeven punt M , in den mogelyk konften tyd tot het horizontaal Vlak B D zal kunnen komen , zo ftelle men B M zza, en B D - * , dan 2j/a + * — zyn. Va 2
zal de gezochte tyd =
1
Deeze nu een
F L U X I E . R E K E N I N G .
179
4a° + 4*» een Minimum zynde, zal ook het Vierkant
, a of wel 4 a 4-4 # , een Minimum moeten zyn. De 5
J
Fluxie hier van is 8**, welke = 0 gefteld zynde, zullen wy hebben 8xx = o, of *=_BD = o; derhalven zal het punt D op het punt B vallen, en dus zal een Lighaam langs een verticaal Vlak in den kortften tyd nederdaalen ; hetgeen reeds uit and re grondbeginielen klaarblyklyk is. 204. Hier mede zal ik de toepasfing der Fluxiën op de bepaaling der Maxima en Minima van Giootheden eindigen, als oordeelende, dac de bygebragte Vo:-rbeelden toereikende zullen zyn , om de Oeffenaars van deeze Leerwyze in ftaat te ftellen, alle mogelyke Gevallen hier toe betreklyk op telosfen. Om echter den Oeffenaar gelegenheid te geeven, zyne eigene krachten te kunnen beproeven , heb ik goed gedacht de volgende onopgeloste Voorftellen , uit verfcheide Autheuren byöen verzameld hier nog by te voegen. I. Een Breuk te vinden, welks CubiC van zyn Fierkant afgetrokken zynde, het overbirffel een Maximum zy. II. Een gegeeven getal in twee deelen te deelen, zodanig, dat één der deelen met den Teerling van het andere deel vermeenigvuldigd zynde , het Product een
Maximum zy.
III. Men begeert het mogelyk kleinfte Getal te vinden , zodanig dat als men hetzelve in drie deelen verdeelt Waar van de beide eerften tot elkander in redenftaan* als r tot s, de fom der Producten van die deelen, twee aan twee genomen, gekk zy aan een gegeeven Getal a
Gegeeven zynde r ~ 2 , s~3, a=475, dan is 38 net begeerde Getal; en de deelen zyn J O , 15 en 1 0 . IV. Een gegeeven Gstal a in drie deelen te deelen, vaar van de beide eerften tot elkander in reden ftaan
M 2
t
/
fl
T
i8o
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
als r tot s , en de fom der Producten van die deelen, twee aan twee genomen, de mogelyk grootfte zy. Gegeeven zynde r—3, szz§, fl~49 5 dan zyn de deelen 12, 00 en 17. V . Men begeert het mogelyk grootfle Getal te vinden, zodanig dat als men hetzelve in drie deelen verdeelt, waar van de beide eerften tot elkander inreden flaan, als r tot s , de Jom der Cmadraaten van die deelen gelyk zy aan een gegeeven Getal a. Gegeeven zynde rzzi, szzz, a ~ 14, dan is 14 het G e r i l , en de deelen zyn 3, 6 en 5. V I . Een gegeeven Getal a in drie deelen te deelen, waar van de beide eerften tot elkander in reden ftaan, als r tot s, en de Jom der Quadraaten van die deelen de mogelyk kleinfte zy. Gegeeven zynde rZZ 2, f~$ a - 7 0 2 ; dan zyn de deelen 116, 315 en 261. VII. De Inhoud van eenen reclithoekigen Driehoek gegeeven zwde , de zyden te vinden, wanneer de Perimeter of Jom der zyden de mogelyk kleinfte is. VIII. Twee on/ielyke, pofitive, rationaalc en geheele Getallen te vinden , weliïers fom in de fom van kunne Quadraaten gedeeld zynde , het Quot:ent het kleinfte geheel Getal zy. I X . De Waarde van x te vinden, als a> — a x + x* de mogelyk kleinjle is, X . Van eenen gelykbeenigen Driehoek de Beenen gegeeven zynde, begeert men den Bafis te vinden, zodanig dat de Inhoud de mogelyk grootfte zy. t
a
X I . Als j7-t- z . x — x x y r ; een Maximum is, en x + y - h z _ a , vraagt men naar de Waarden van x, y en z ? Gegeeven zynde a z : i 2 ; dan is xzzó, en z~y. XIT Eene rechte Lyn A B , en twee punten C en D , buiten de<elve, in Jlelling gegeeven zynde, een punt P ir, de i,yn AB te vinden, zodanig dat C P - s - D P de v.oielyk kieinfte zy. X U 1 . Binnen den gegeeven hoek A C B een gegeeven Inhoud met.de mogelyk kortjle Lyn af te fnyden.: XIV.
F L U X I E -
R E K E N I N G .
181
X I V . Men begeert hei Getal 8 (a) in twee deelente deelen, zodanig, dat als men het kleinfte tot de derde magt verheft, en het grootfte quadrateert, de fom der Producten de mogelyk kleinfte zy. Antw. de deelen zyn 2 en 6. X V . Men begeert het Getal ?88 zodanig in vyf dtelén te deelen, dat de twee eerften tot elkander in reden ftaan ais 3 tot 8 , en de twee volgende als j tot t$; en 'dataok de fom der 'leerlingen van de vyf deelen de mogelyk kleinfte zy Welke z\n die deelen? Antvv. 39 , 104, 4 9 , 105, 91. X V I . Een gegeeven Grootheid a zodanig in drie deelen te verdeelen, dat het Prouucl der deelen een Maximum zy. i X V I I . Gegeeven zynde x» + y ' — axyZZZ\zo. Men vraagt naar de waarde van y , als zy een Maximum is) X V I I I . Gegeeven zynde x — a x + a x y — y ~ o , vraagt men naar de waarde van x , indien dezelve een Maximum is. XIX. Als n en m bekende Grootheden, en n grooter dan m is, begeert men eene ftellige waarde voor x te 3
vinden; wanneer x
m
— x
n
J
3
de mogelyk grootfte is.
X X . Te vinden de Waarde van x , wanneer x een Minimum is, X X I . Men begeert het mogelyk kleinfte Getal te vinden, zodanig dat als men hetzelve in vier deelen verdeelt , waar van de drie eerften tot elkander in reden ftaan, als 1, 2 , 3 , de fom der Produdten van die deelen, drie aan drie genomen, gehk zy aan een gegeeven Getal 39930. Welke zyn die deelen? Ancvv. 11 , , 2 2 , 3 3 , 24. X X I I . Het Getal 315 in vier deelen te verdeelen, waar van de drie eerften tot elkander in reden zyn, als 2 , 3, 4 , zodanig dat de fom der Producten a b c , b e d , c d a , d a b , ( a , b , c . d de deelen uitdrukkende ), van die deelen, de mogelyk grootfte zy. Welke zyn die deelen? Antw. 3 2 , 104, 81. X X I I I . Het Getal 1262 in vier deelen te verdeelen, waar van de beide eerften tot elkander in reden zyn, als M 3 2 tot x
i82
E E R S T E BEGIN S.ELEN D E R
2 tot 3 , en de beide laatften, als g tot 4, zodanig dat de jom der zes Producten van die deelen, twee am twee genomen, de mogelyk grootfte zy. Welke zyn die deeton? Antw. o , 375. ƒ 7 3 , 364. X X I V . Ken Getal zodanig m zes deelen A , B , C , D , E , F te verdeelen, dat A en 13 tot elkander in reden zyn als 1 tot 2, C «ol D a/r 2 /e* 3 , en E tot F als 3 *
l
X
V
be
K
J
i
eer
F
G
z o d a n i
e
X X X I . Een gegeeven Getal a in drie deelen te deelen, zodanig dat het Product der beide uiterfte deelen, vergaard by het Quadraat van 't middeljte deel, een M i nimum zy. XXXII.
F L U X I E . R E K E N I N G .
183
X X X I I . Drie Getallen te vinden, waar van de twee eerften tot elkander in reden zyn als 1 tot 3 . en dat hun fom 12 meer zy dan liet derde Getal. Wanneer men echter van de fom der Quadraaten van de twee eerfte Getallen het Quadraat des derden aftrekt, dat alsdan de rest een M a x i m u m zy. A n t w . D e Getallen z y n 1 0 , 15» 13X X X U I . Het Getal 36 in drie deelen te deelen, waar van de beide eerften tot elkander in reden zyn als 1 tot 2; zodanig dat als men het Q u a d r a a t des eerften vermeenigvuldigt met het P r o d u c t der beide anderen, het Q u a d i a a t des tweeden met liet P r o d u c t des eerften en derden, en het Quadraat des derden met het P r o d u c t der beide eerften , de fom van deeze drie P r o d u c t e n de mogelyk grootfte zy. A n t w . D e deelen z y n 8 , 1 6 , 1 2 . X X X i V . Het Getal 75 in vyf deelen te deelen, waar van a , b , c , d tot elkander in reden zyn, a l n , t , 3 , 4 , - zodanig dat de fom der vyf P r o d u c t e n a b c , b e d , e d e , d e a , e a b de mogelyk grootfte zy. A n t w . D e deelen z y n 6 , 12, 1 8 , 24, 1 5 . X X X V . Bet mogelyk kleinfte geheel Getal te vinden, zodanig dat als men het zelve in vyf deelen verdeelt, waar van de vier eerfte deelen tot elkander in reden zyn als 2 » 3 > 4» 5 » de fom der vyf Producten a b c d , b e d e , c d e a , d e a b , e a b c d e mogelyk grootfte zy. Antw. H e t G e t a l is 4072, en de deelen z y n 4 6 2 , 6 9 3 , 9 2 4 , J155, 838. X X X V I . Een gegeeven Getal a in vier deelen te deelen , waar van de d> ie eerften tot elkander in reden zyn, als 1, 2 , 3 , en zodanig dat de fom van hunne C u b e n de mogelyk kleinfte zy. G e g e e v e n z y n d e « " 3 0 ; dan z y n de deelen 6 - « / 6 i a _ 0 V 6 , 1* — 3 ^ 6 , en — 6-t-6f6. X X X V I I . In den Foor gevel van een Huis is een Glasraam gemaakt, waar door men het uitzicht op de Straat heeft; de wydte der Glaskozynen van C tot D is 10 Voeten, en van D tot den hoek van het Huis B is een afftand van 8 Voeten. Nu begeert men omtrent E aan den wand een ftoel te zetten, van waar men het Glasraam op 't breedfte kan zien. Men vraagt, hoe ver M 4 men
Ï84
E E R S T E
B E G I N S E L E N DER
men het oog des Zieners, die op den floel zit , van den hoek D zou moeten fielten , zonder in aanmerking te veemen, of de hoek b recht, fcherp of (lomp u ? Ai tw. l a Voeten. ' r
X X X V I I I . Te vinden den grootten Ordinaat eener Kromme A N a , welkers Ordinaten C N ~ z middenevenredig zyn tusfchen de Ordinaten C m z y , en de vvv" 9 den halven-Cirkel A m a. i i J ' ^evenpunt op den As eens Parabools , de mogelyk kortfte Lyn tot die Kromme te trekken. liL, Uit een gegeeven punt op den grcoien As eener Jidips, de mogelyk kortfte Lyn' tot die Kromme te trekken. ^ X i . I . Uit een gegeeven punt op den eerften As eens yrerboois, de mogelyk kortfte Lyn tot die Kromme te trekken. XI.II. Aan een Huis is een Luifel gemaakt, welke 4 Voeten, rechthoekig van den muur af, Ireed, en m f Voeten boven den grond hoog is. Men vraagt waar er. geus boven de Luifel een Venfltr R in deezen muur moet gemaakt worden, om met den kortften Ladder tot aan hetzelve te ranken ? X L 111. Aan de fchutting van een Tuin, hebbende de gedaante van eene Ellips , waar vaii de beidé Asfsn tot elkander m reden ftaan als mot 2, is een PedeSal, 50 r oeten hoog , zodanig geplaatst , dat een Beeld van Hercules,
I X
x
U
i
t
e
v
a
n
m
X L ! V . In een Sphvra fcjchryven.
of Kloot eenen Cylinder te
zodanig dut de bultige oppervlakte van dien
lïylli der de mogelyk groolfie
zy.
j X L V . Eene rechte Lyn A B in twee deelen in C zodanig te deelen, dat het vermeenigvuldigde CS
n
ha taogslyk grootfte
van A C
m
mes
zy.
X L VI,
F L U X I E - R E K E N I N G .
185.
X L V I . Eene rechte Lyn in drie deelen A , 13 , C zodamg te deelen, dat het vermeenigvuldigde der Mag" ten A , B , ( ƒ het mogelyk grootfte zy. XLVII. yils de fom der drie zyden vaneenen onge. lykzydigen Driehoek 1158, en het verfchil van de eerfte en tweede zyde 04 chet , vraagt men naar iedere zyde byzonder, w :nneer de Inhoud van eenen zodanigen Driehoek de mogelyk grootfte zal zyn? Antw. de zyden zyn. 34 , 4£k, 302. X L V III Gegeeven zynde de reden der deelen van den Bafis eens Driehoeks, welke door eenen Perpendiculair, uit den tophoek vallende, afgejneeilen worden, als 5 tot 3, en het Itngfte der Beenen zz 10., den Driehoek te bepaalen , als deszelfs Inhoud de mogelyk grootfte is. X L I X . Gegeeven zynde een halve-Parabool A M . en een punt Q in den ds, een Otdina-it P M zodanig te trekken, dat QP + P M de mogelyk grootfte zy. L . Het zelfde te vernchten, als de Kromme eene E l lips of een Hyperbool is. LI Van alle Driehoeken, wolke den zelfden Perimeter hebben, cn op den zelfden Bafis ftaan, den mogelyk grootften te bepaalen. L i l . Een Parallepipedum te vinden, waar van één der zyden zza , en de Inhoud zzb* is, zodanig dat des> zelfs Oppen/lakte de mogelyk kleirfte zy. LIfi; Een Parallepipedum te vinden, welks Inhoud _ b is, zodanig dat deszelfs Oppervlakte de mosehk kleinfte zy. L I V . In een gegeeven Cirkel den mogelyk grootften Driehoek te befchryven. L V . Om een gegeeven Cirkel den mogelyk kleinfien Driehoek te befchryven. . L V 1 . /Mes gegeeven zynde als in VOORSTAL X L I X en L , begeert men den 'rdmaat P M zodanig te trekken, dat QP x P vl de mogelyk grootfte zy. L V i i , Een gegeevene rechte Lyn in drie deelen te verdeelen, waar van het eerfte tot het tweede in reden is als r tot s, en dat ook het derde deel zodanig zy, dat als men van de gemelde drie deelen eenen Driehoek famenftelt, deszelfs Inhoud de mogelyk grootfte is. 0
n
3
ö
M
5
LVIIL
186
EERSTE
BEGINSELEN
DER
L V I I 1 . Van een Driehoek A B C , hebbende een hoek A 60 Graaden, is de zydeM> — io, en de fom der Quadraaten van de drie zyden de mogelyk kleinfte. Men vraagt naar de beide overige zyden AC en BC? Antw. A C - 5 , en BC = 5 f 13. LIX. Van eenen anderen Driehoek A B C , hebbende een-hoek A _ Graaden, isdefomderQa^ate^van de drie zyden =140. Zo nu de Bafis AB de mogelyk grootfte is, vraagt men naar de drie zyden des Driehoeks? Antw A B - / y , A C n f xo, en BC = 5 v" Gevallen te vinden , waar in de Functie * - . 8 x + 2 2 f ~ 4x + 12 een Maximum o/ een Minimum wordt. L X I . De Gevallen te bepaalen, vaar in de FunEtie x — x * + 5 X + i een Maximum of een Minimum wordt. LXTf. In welke Gevallen wordt yrriox* 12 x + 15X — 20x 4- 20 een Maximum of een Minimum? x LXIII. De Gevallen te vinden, waar in yzz • 1H" x x een Maximum of een Minimum wordt. 4
5
4 t
m
a
s
3
5
5
4
s
LX1V. In welke Gevallen wordt y = een Maximum of een Minimum?
. 2 -f~3X-r-xx
L X V . In welke Gevallen wordt y=aT+xx"i* een Maximum of een Minimum? L X VI. De Gevallen te bepaalen , waar in y
x *
f a a + abx + r n x x - n x een Maximum of een Minimum wordt. LXVII. Gegeeven zynde de Vergelyking x* — ay + by — — — x x ^ a y - f - x x z o , begeert men de Waarden a+ y 1
3
van x < » y zodanig te bepaalen, dat die van y de mogelyk grootfte zy. ' LX VII. s
F L U X I E - R E K E N I N G .
187
LXVIII. Een Cirkel AEB en twee punten C , F buiten dien Cirkel in Helling gegeeven zynde, op deszelfs omtrek het punt E te vinden, zodanig dat de fom der rechte Lynen, uit de punten C , F tot E getrokken, de mogelyk kleinfte zy. ru
?', SS toog AB in twee deelen A C , te deelen, zo dat het Product van eenige gegeevene
X l
E
e
n
e
eeven
Magten A P B Q hunner Sinusfen AP en BQ het mogelyk grootfte zy. ' Rn % ^ 8S °S AD in drie deelen A B , > deelen, zo dat het Product van eenige gegeevene Magten BE™ x C l " X D Ö / „ „ Sinuslcn B E , C l , en DO Aet woge^/fe grool/ïe zy. n
m
x
x
e
BL
c
u
eeveH
Bo
u
r
2 M
Z E V E N D E
e r
A F D E E L I N G .
Kan de toepasfing der Fluxiën in de Oplosfing van Voorftellen , waar in geëischt wordt Raaklynen tot Krommen te trekken. 205. Laat A M B (Fig. 5?.) eenige Kromme, én de rechte 1 MC een Raaklyn tot dezelve, in eenig punt M , z y n , ontmoetende den As A D , verlengd zyode, zo het noodig i s , in T : ftelwyders dat een punt m zich langs de Kromme, van A naar B , beweegt, en laat de volftrekte fnelheid van hetzelve in M , in de Richtftreek van de Kaaklvn M C , of de Fluxie van de aldus geteelde L y n A m ' ( § § . 2 , 6 . ) , uitgedrukt worden door MS, eenig ded van de gemelde Raaklyn: inden men dan A F , Pm en pS perpendiculair op den As A D , en Emn parallel mee A D trekt, zullen de betrekkelyke abelheden van dat punt, "!_de Richtftreeken M n en PM , waar door Ent ( —AP) en Pm in dien ftand aangroeijen, behoorJyk uitgedrukt worden door M » en nS ( § . 1 5 3 . ) : maar de fnelheden, waar door de Grootheden aangroeijen, zyn als de Fluxiën van die Grootheden. Naar3
i88
EERSTE BEGINSELEN DER
k 7 v!f de'Sè^ A A
r
n
d e r h a l V e ! M
AP
l^
S
Ó e F l u x i e
kromme Am o^komdige / ^
d e
D
d p r
I
e
n
v a n
^a«L, T P ^ V e e ^^.e r l MgSS^ÏS S g S | ^B de w l
§ » , de Ataxie van de J t f ^ ,
v a n
e n
d
de
0
u
den
ac6.,Stellende dus de /ft/cix/è A P r * , enden
J><Ja«aï
P M - , ; dan is Mnzz'x, en S « - ^ . Dus tóen" , ^ y ^ W e i d de'r DrienoeKen M » S , T P M , deeze evenredigheid: d
£
Sn : M » : : P M : T P . Dat isy
:
'
x
y
: :
:
jp.
Dienvolgens T P :—-
Dus kunnen wy, met behulp van deeze aliremeo.
* ? ^«^ S e Ver
K
e
trek£ 1n ?ien trekking ^ tusfchen * en y uitdrukt , de Reden der r
k
e n
Fluxiën x n y , e
e n
daar uit de lengte van de Sub.
39.) te trekken, die een geweven CirM A M »
g j j dan
h e b b e
„ „y d ^ E ^ f e
PM ' =
-i
™ * J
AP x BP. Dat
g
"
F L U X I E . R E K E N I N G , Dat is y
=
s
x
of y zzz:
189
x a~^x ax—x
2
2
Neetnende nu hier van de Fluxie ( § . 31. J ,
ten
einde de Reden van x en y te bepaalen , hebben zyy — ax—axx • By gevolg x =
%yy a—
y —
* '
" yx
ix
——
•
!iy
y
• —• .,.
j
y
•
, y verm.
3
ia-x
Hier uit vloeit deeze evenredigheid: yx ia—x
: y
Dat is C P :
P M
::
,
:
:: P M : T P .
208. VOORBEELD II. Eene rechte Lyn T M (Fig. 4 0 . ; te trekken, die een gegeeven Parabool A M B in een gegeeven punt M raakt. Laat
ioo
EERSTE BEGINSELEN
DER
Laat dc Parameter der Kromme , als naar gewoonre, door p, de Ordinaat P M door y, en zyne overëenkomftige Abfcisfe AP door * uitgedrukt worden ; dewyl dan de bekende Vergelyking y*-px in deeze Kromme de betrekking van * en y te kennen geeft, zullen wy, door de Fluxie daar van te Deernen , hebben
= px
zy'y
'x ay By gevolg — = — y
p
' y verm. yx
i_ y
a.px
2y* =
_L P
=
_
=
2
* = TP.
P
Derhalven is de Subtangens T P naauwkeurig gelyk aan het dubbeld van haare overeenkomstige Abfcisfe A P , zo als in myne Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde , § 38 , uit andere gronden betoogd wordt. 2 C Q . Indien men de Subtangens voor eene andere foort van Parabool op eene Analytische wyze begeert uit te drukken , neemt men van de Vergelykinge a # " = d e algemeene uitdrukkinge van alle foorten van Parabolen, de Fluxie, waar door wy hebben m
Der-
F L U X I E . R E K E N I N G .
Derhalven — r ~
9 I
—
*
rn ra—i
y
na x '
"
yx
m
' y
+ „
X
l u i , y
m
+
verm.
n
m n—i na x
Stellende nu in plaats van y rn n , O x , zal men verkrygen
y
i
na x m
n
m
+
zyne
n
»
1
waarde
'
m+ n o
X * =r de gezochte Waarde van de
f
Subtangens. Derhalven ftaat de Subtangent tot de -fl/hf/* in de ftandvastige Reden van m + n tot « . aio. VOORBEELD III.
Tot een gegeeven punt M
Indien P M een Ordinaat tot den eerft»n A s A B TM-' AS 8 ° e » gefteld w o r d t . Ac"lf T*» M ' e d e of kleine Kmr^l / T c ? y eigenfchap der <
a I
a a r
e w o
2
d
a
U , l e
n
3
w
kiïSt &A
der
n t
e
d
n
o
d e
o
r
t w e
d e
& -
Jlsebra
op de lm
a' : b' :: A P x B P
: PM'.
Dat is > a
:
: :
* *3*ï x
Mtet
:
Derhalven ••y^.xiif-f' Hier
ipa
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
Hier van de Fluxie neemende, hebben wy 2 a*yyzzb xzax — 2xx 2
x en — zz y
sa y —— J
b* xia
— zx , y
yx
sa'j'
a'y*
y
£*X2a-2*
b'xa-~x
En (lellende voor a^y* zyne waarde zal de voorgaande uitdrukking worden yx
b'xiax
—x
b x^ax-x 1
7 1
aax — v*
2
'y bïXfi-x ~ king van de Subtangens T P , die in myne Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde §. u i uit andere gronden is afgeleid. a
X
211. Indien men in eene andere foort van Ellips eene uitdrukking voor de Subtangens wil vinden, o m-tn neemt men van de Vergelykinge — x y ra P x x a — x \ , de algemeene uitdrukking van alle foorten van ElUpfen, de Fluxie; dan hebben wy a ! m-\-n — i. m — i. n — xm+nxy yzzmx *x»-#l —nx m
n
P__ X a — x\ ~~ n
t
x x; m
en derhalven x «
•
7
P L Ü X I E . R E K E N I N O , a
4
193
m-r-B— 1
-Xm+nxy
Z-
p
5 —
* ~ xa^\ -nxa~^\ -Wx — y a m-r-n m
l
n
n
m
m
»
- X f » + » X 3 >
p
y
mx '' xa~x\ - xa~^x\ - xx m
1
n
n
1
m
n
a m+ n m E n Hellende voor — xy zyne Waarde* x ? «T—
zullen w y hebben
yx n
.
m + nxx -
...
.
.
xd—-*l .
.
...
tB+«x*xa —# — — — , als men den Breuk door mxa-x — nx
—
:
a '~ xa>-x\ "~' m
.
I
n
1
verkleint.
Derhalven is de be*
m+nxxxa—x geerde Subtangent P T = r • TB x
a—x — n x
212. VOOREEELD I V . Tot een gegeeven punt M (Fig. 4?"), i n e«n gegeeven Hyperbool A M B , «?» Raaklyn M T te tr«Me». IS
AI2
IP4
EERSTE
BEGINSELEN DER
Als a en b de halve-Asfen van den Hyperbool uitdrukken , zal de Vergelyking' der Kromme zyn b x 1
aax-r x'— a' y'. hcbüea wy
Hier van de iluxie neemende,
b*x 2a.ï + 2 xxzzza'y y x Derhalven — zz y
a'y
•
b'xa + x
•"
- y verat.
Stellende nu in plaats van a* y* zyne
Waarde
i X 2 ax+x , zal de voorgaande uitdrukking worden, a
1
yx y
b* xzax-t l=xaT"x
x*
zax-l-x* a
''
r X
Dienvolgens is A T ( ~ T P - A P ) = — insgea+x lyks bekend ; en derhalven, het punt T gegeeven zynde, kan de Raaklyn M ' t ' getrokken worden. Deeze uitdrukking • v n de Sub'angens wordt in myne Toe a,Jïng der Algebra op de hooge Meetkunde %. 173 uit. andere gronden argdeid. 213. De wyze om tot alle foorten van Hyperbo* ltn in 't algemeen, Riakiynen ie trekken , is de zelf» t
F L U X l E ' R Ë I E N ING.
ios
ieelfde als die van de Ellips; vermits de Vergely. kingen der twee foorten van Krommen in niets anders, als in "haare tekens, veifchilien. 274. VOORBEELD V . Tot een gegeeven punt M fJFig. 43) in de Cisfoïde van Diocl , waar van de Vergelyking is ay — x y ZZx', een Rzaklyn M ï te trekken. Van de gegeevene Vergelykinge de Fluxie neemende, hebben wy 1
4
aayy — zxyy — y* xzz%x* x of 3 x' x -+- y x zz 2 ay y — 2jty y> — — •—— 5
r
* a a j — 2xy ayxa — x Derhalven — zz —— — * •»
3^+y
yx *
2*' + y*
1
—
'••
y verin.
ay*xa—x sx'-l-y'
$15. Nu is de Vergelyking der Kromme ay — x xy' zzx* ( § . 214) , en derhalven y'zz—en a—x ax* zy'zz; Hellende dus deezè Waarden van y' a—x en 2 31' in de boven gevondene uitdrukking van den Subtangens, zal men hebben 8
s
y'x
Na
-r
ÏQ6
EERSTE ; yx
4
B E G I N S E J L E N DER
ax* — X a—x a—x
ax*
*?
2x'-ï->
*
l
3jr H J
a—*
*
a—x
2a—2x
3+ a—x ax Dienvolgens A T 3
; waar door d a n , het 3a—2* punt T gegeeven z y n d e , de Raaklyn M T getrokken kan worden. 916. Voo3B5Er.o V I . Een Raaklyn M T ("Fig. 44) tot een gegeeven punt M in de Conchoïde van N i comedes te trekken, welke van zodanige natuur is dat, trekkende uit een vast punt P , als Pool, eeniee rechte Lynen P A , P M , P M , enz. de deelen van die Lynen F A , e M , E M , enz. tusfchen de Kromme en ha iren As F T begreepen, alle aan malkander gelyk zyn. Onde'ftellende A F cn M Q perpendiculair op , en M N parallel aan de fiirettrix F T te zyn. Laat P F = a , M e — A F ) —b, VQ — x, en M Q — j z y n ; dan hebben wy door de gelykvormigheid deF Driehoeken P M N , M e Q , PA : M N : : M Q : Q * . Dat is y+a : x :: y : Q * . *y Derhalven Q e =
.
y+a ai7«
F L ü X I E - R E K -E N I N G .
197
217» Wederom is door het Pythagorisch Leerftuk
Qe'zzTÜ' — M Q * , dat is Q^e'zz b'—y', of Q e zzi/V^f. xy Derhalven ••• — Y y+ a
D%
—T
of xyzzy+ay b*—y*
~ ^
Dus is x* y — y -ha\ xi' — y de algemeene Vergelyking der Kromme. s
s
1
2iR» Van de voorgaande Vergelykinge der Krom* me nu de Fluxie neemende, hebben wy ax* yy •{- 2y* xxzzzy Xy+axb
— y' — 2 y y x y + a l *
2
— zyxy+axb* - 3 1 * — y x y + « —ayxy+axb* — a y — 2 y \ Derhalven zy'xxzzzyxy+axb' — ay-2y* -2x yy ay'x m -—. >-—~ .... . %
X
y Xy+dX b' — ay~ •>, y' — x' yy ZZ »• '• xy 1
x en dus —
zz
y+axb'-ay-zy'
<
yx y+axyxb*~ay-2y* By gevolg — ~ ——
N 3
— x'y
••
— x*y' — •
919»
io8
E E R S T E B E G I N S E L E N DEB
219. Aangezien nu x*y' — y"+a\* x ÏTZÏZ* CS- 217) 3 zo bebben w y , door uit de beide L e , den deezer Vergelykinge den Viejkants. Wortel 'te trekken, *yzzy+aXfV- ';
derhalven
7
yxxy
pyxy-\raxYl>'-y>. Stellende nu deeze waarde in plaats van deu Noemer des Breuks die gelyk is 4
y'x aan - - ( § , 318), zullen wy bekomen .
y
1
' J
y + axyxl> --ay-2~y* — x'y*
x
3
y
RrS T d
yxy+axVb~ ^y* r
Teller deezes laatflen Bieuks de waarde van x' y ( §, fleliende Tal de laatfte uitdrukking worden v o o r
i n
d e n
a
j
I
7 J 7 J
u e J l e D d e j
z a l
yxy-haxV'P^y
yxi/b^y ^_*-y — ab* 3
yi/b'—y'
yt-hab* y^T^-^yï
RnSlvn 'in''' ^ negatif is, zal de KaaKiyn , ten inzien van den top der Kromme aan de andere *yde van den Ordinaat vallen j en dus zal 1
026
u i t d ? u R k
F L ü X I E • R E K E N I N G.
199
y -\-ab* zsl men, door het teken te veranderen, — _ _ — . 3
yy/b'-y* voor de Subtqngens in dit geval hebben. 2ao. VOOKBEELD V I I . Tot een gegeeven punt M ( F i g . 4 5 ) der Cycloïde een Raaklyn M i te trekken. Laat de Kromme B M D een Cycloïde z y n , welkers Abfcisfe hier, volgens onderftelhng, de halve-Cirkel D F C is, en trek tot dien halven-Cirkel de Raaklyn F H ( § . 20/). Laat voorts w i M T een Raaklyn tft de Cycloïde, in het overeenkomstig punt M , et. G M p parallel aan H F y zyn. Stellende ru den B o o g , of. de Abjcisfe , ü F z r z , zynen Ordinaat F M = y , CB=LI> , eh D F C = c ; dan zullen w y , door de eigenfchap der Kromme, hebben D F C : C13 : : Boog D F : F M . Dat is c : b : : z : y Derhalven y —
- •'
bz —, C'
. .. , b'z en y = — ~ mp.
-" • c' "• '
; "
N u is door de gelykvormigheid der Driehoeken Mro^, T M F , mp : M p Dat is y : - .
** • of :
C=
F«) " FM * FT.
z
y b
*
:;
*• F T .
z
-
c
: FT.
Ito
Dienvolgens hebben wy F T = : z . N
4
-
FA
soa
EERSTE
BEGINSELEN
DER
Indien derbalyen in de rechte L y n F H een deel Ln h ï i1 genomen wordt , zal S fr Cycloïde r w - w moet, gaan. » al
ka 3 H
e
UnC
geg
T
D
b
e
k
o
m
eV
e
F
n
w a a r
4
waran
6
)
d o o r
d e
Ra
i n
de Vergelykinge « a ~ y , ftellende G C = s , x
B^rlJn'/S.
3
g
y k
S e g f S v e n e
grootheid, die
Y de Hyperbohfche Logarithmus van dan is door de natuur der Logarithmen x Azz Y ; e n in A a i e n y
*
»
y
;
*
* A =: Y .
Maar Y = — (%. 43) j derhalven — , y Ay y' y 1 en daarom - -~ - . Waar uit bjykt, dat de Ay A :
x
r
y
$ubtangen r eene1 onveranderlyke grootheid i s ; der4&2t GD £ Kromme, welker* S
A
aas. Tot hier toe hebbea wy van geen andere Krommen gefproken, als van de zodanige, welkers Ordinaten aan elkander parallel zyn ; thans zullen w y toonen , welken weg men moet inflaan , om Raaklynen te trekken tot Spiralen of zodanige Krommen, welkers Ordinaten uk één en het zelfde va"t punt getrokken worden : waar by men wel in aanmerking behoort te neemen , dat de Ordinaat en huttangens artoos perpendiculair tot elkander zyn. 223.e De ÖOyolgende befchouwing zal hetgeen wy l zullen voordragen,
TI i tiJ I H ? Krommen m een helder daglicht Hellen. 3
Laat de onbepaalde rechte Lyn C R (Fig, 17-) «ls de ft-aal eens Cirkels, met eene gelykmaatigo ba.
F L U X I E - R E K E N I N G .
sol
beweeging om het vast punt of Centrum C draaijen ; en in den zelfden tyd een ander punt zich langs die zelfde L y n C R met eenen zodanigen trap van fnelheid be weegen , dat door de beide famenge voegde beweegingen de Kromme C M S geteeld wordt, waar van T D een Raaklyn in het punt M i s ; laat desgelyks M p een Raaklyn zyn tot den Cirkelboog A M q, die met den Ordinaat C M als ftraal befchreeven wordt. Wanneer nu het punt, dat de Kromme C M S teelt, in M komt, zou het, met eene gelykmaatige beweeging, en den zelfden trap van fnelheid, waar mede het daar toe komt, langs de verlengde Raaklyn T M , of de rechte L y n M D , voortgaan ; welke rechte L y n jlteeds als de Fluxie des Spiraal; m het punt M zou zyn. Op gelyke wyze onderftellende, dat een punt zich van M , in de zelfde richtftreek, en met de zelfde gelykmaatige bewee. ging, beweegt, dan zou het punt, dat den Cirkelboog A M q teelt, in M gekomen zynde, zich langs de Raaklyn of rechte L y n M p , perpendiculair tot den Ordinaat of ftraal C M , beweegeu; welke rechre L y n fteeds als de Fluxie van den gemelden Boog in het punt M zou zyn. En naardien de richiftreek van het punt, dat zich van C naar R beweegt, fteeds perpendiculair is op de richtftreek van hec puDt, dat den Cirkelboog A M a teelt, zal derhalven, wanneer het punt, dat zich van M naar D beweegt, in D komt, D p parallel aan R C zynde, het punt, dat zich langs M p beweegt, in p gekomen z y n ; en derhalven zal D p als de Fluxie des Qrdinants in het punt M zyn. Dewyl nu de Driehoeken DpM[ en M C T gelykvormig z y n , hebben wtf deeze evenredigheid : Dp : M p : : M C : C T . Dat i s , de Fluxie van den Ordinaat C M ftaat tot de fluxie van den Boog A M , als de Ordinaat C M *Ct de Subtangens C T . N 5
Of
soa
F E R S T E BEGINSELEN DER.
Of, fte'Ien 'e den Boog A M r * , eu den Ordinaat CM—yj dan hebben wy: . y* y : x :: y : — zz C T , zynde de. zelfde y algemeene uitdrukking voor de Subtangens, the wy boven ('§. 9có ) gevonden hebben voor Krommen, welke tot eenen As bepaald zyn. «•14. VOORB'-ELD I X , Tot een gegeeven punt M (Fig. 4 8 } in de Spiraal van Archiruedes een Raaklyn te trekken. Stel den omtrek des ceelenden Cirkels AEBA=:a, en deszelfs ftraal C A ~ è ; den Ordinaat CM—'y,den Boog A E B ~ 2 ; en laat met de Ordinaat C M , als ftraal , den Cirkelboog M n befchreeven worden, welke ftel zzx. Nu is doordeeigerfclM.pi'er Kromme C M : CA : : Boog AEB : Omtr. AEBA. Dat is y : b : : z : a. In Fluxiën y : b ::
Derhalven 2
z
: a.
ay —. b
Voorts is het klaarblyklyk, dat de fnelheid var het punt, 't welk den Cirkel teelt, ftaat tot de fnelheid met welke het punt M den Eoog Mn teelt, als CB ftaat tot CM$ dac is z : x :: b : yi derhalven z = b'x Hier door hebben wy y b'x
T
F L U X I E - R E K E N I N G. bx
2
ay
y
b |
• b*
2v
i by verm. b* x =
ayy —— yy —. b'-
a
Dus x =
Deeze Waarde voor *
yx in de algemeene uitdrukking van den Subtangens —• y ( § • a*3.) gefubftitueerd, heeft men den Subtangens ay* C T s= — , en om d a t , door de eigenfchap der b* Kromme, y : b : : z : a , o f ayzzbz i s , zal de byz yz eigenjyke waarde der Subtangens C T zyn — = — . b' b 225. M e n befchryve dus met den Ordinaat C M , als Straal, den Cirkelboog M D , en trekke de rechte L y n C T perpendiculair op de Straal C B , en gelyk aan den Boog D M ; dan zal T liet punt z y n , waar uit de Raaklyn tot het punt M getrokken moet worden. Want de SeGtors C B E A e n C M D zyn gelykvormig; en dienvolgens CB : AEB : : C M : D M . Dat is b : z :: y : D M ~ C T . yz By gevolg C T = s — , z o als boven gevonden 226.
cc*
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
326. VOORBEELD X . Tot een gegeeven punt M ( g « 49 ) in de Logarithmifche Spiraal een Raaklyn te trekken. Stel de Kromme C i M r z , en haaren overeenkomsteen Ordinaat C M r y . Laat de hoeken eCM en M C rn oneindig klein en gelyk z y n , en befchryf met den Ordinaat u ,s !ge C M s , als Straal, den• Cirkelboog eigenfchap der Kromme C e : Cm : : L M C « . Indien wy derhalven de kleine deelen der Kromme e M en M m als oneindig kleine rechte Lynen aanmerken, zullen de Driehoeken C e M en C M m gel vkvormig, of de hoek, door de Kromme en den Ordinaat gemaakt, altoos de zelfde zyn. By gevolg zyn de Incrementen van den Ordinaat en de Kromme fteeds in eene onveranderlyke reden tot elkander, of als twee vaste groot» heden a en b; dat is nm : Mm :: a : b. OnderKeilende, nu M n eene kleine rechte L y n te z y n , °' perpendiculair op Cm ftaat, zal, nmzza zynde, Mm__b e n , volgens het Pythagorisch Leerftuk, F ,
Jv„ ^? 2,
d
e
:
e
9
M n - i ' - a ' i ? z y n . Derhalven. nm : M n : : a : ^ ' - a * | * . Stellende nu M n - * , en nmzzi, nebben
zullen wy '
y : x :: a : b' — a*|^ _ . . b — a |^ Derhalven xzzy x . l
J
a Deeze waarde van * in de algemeene uitdrukking van
yx den Subtangens — ( § . 2 2 3 )
5
gefubftitueerd, be-
F L U X I E - R E K E N I N G .
205
bekomt men den gezochten Subtangens C T = y x
a «27. Men kan hier by nog aanmerken, dat, de. wyl, volgens het Pythagorisch Leerftuk ÏM' sè - — i —, b — a* b'y* M C - r - C T zzy + xy'zz is, de Raak2
k
b lyn T M z r y x - zal zyn. By gevolg zyn de Raaka lyn en de Suhtangens tot elkander in reden, als b tot b'— a ' i * .
Wederom, naardien nm : M m : :
a : £ is, dat is 'y : z : : b. zo is ook 31 : z : : a : b; dat is te zijtpen, dar de Ordinaat en de Kromme fteeds m eereftandvastigereden tot elkander zyn; b en derhalven zzzyx —. Zo dat de Tangent T M en a de Kromme C d M gelyk zyn ; en Simt L. M T C : Aadfer :: a : b, of ««ax 2 L M T C z : a , en Radius (of Antu- L M C Ï ' J r i . :
A G T S T E
a
A F D E E L I N G .
Vm het. gebrw'A der Fluxiën in de Oplosfing van Foorftelbn, waar in begeerd wordt de huigpunten van kromme Lynen te vinden. 228. Wanneer eene Kromme , welkers holrond deel naar den A? gekeerd is, ten aanzien v a n denzeiven uitgebogen wordt; of van uitgebogen holrond
ioS
EERSTE
BEGINSELEN
DER
rond w o r d t , geeft men aan het punt, waar in de verandering gefchiedt, o f 't welk het holronde van t uitgebogen deel affcheidt, den naam van buigpunt; zo dat een Raaklyn, die tot het buigpunt getrokken wordt, de Kromme zal fnyden. Indien dus, in Fig. 5 0 , A R het holrond, en R S het uitgebogen deel der Kromme i s , o f , in Fig. 51 A R uitgebogen, en RS holrond ten aanzien van den As A D is; dan is R het buigpunt, waar in de Raaklyn T R C de Kromme fnydt. 220. N u is het klaarblyklyk, dat, om in eenige Kromme te bepaalen of de Abfcisfe of de Ordinaat met eene vermelde o f vertraagde bëweeging vloeit, of om de waarde der tweede Fluxie daar van te v i n . den, het ncodzaakelyk i s , dat één van beiden ,, met eene gegeevene of eenpaarige beweeging, aangroeijende o f afneemende gemaakt worde , waar mede dan de fnelheid o f de vermindering van de andere altoos vergeleeken kan worden. Laat derhalven gefteld worden, dat de Abfcisfe als zynde zulks bet natuurlykfte , fteeds gelykelyk vloeit, of dat gelyke deelen van dezelve in gelyke tyden befchreeven worden; dewyl dan de Richtftreek der Kromme van A naar R (Fig. 5 0 . } , o f van R Baar S (Fig.51.) geduurig nader tot eenen evenwydigen ftand met den As k o m t , zo is het klaarb i y k l y k , dat de Ordinaat tusfchen deeze punten met eene geduurig vertraagde beweeging moet vloeijen: en naardien de Richtftreek der Kromme van R naar S (Fig. 5 0 . ) , of van A naar R (Fig. J I . ) geduurig nader tot eenen Perpendiculair op den A s komt; moet derhalven, tusfchen deeze punten, de Ordinaat, met eene geduurig verfnelde beweeging , ylocijen o f toeneemen. B y gevolg zal de Ordinaat in het buigpunt noch met eene verfcelde, noch met eere vertraagde , maar met eene gelykmaatige beweeging vloeijen: derhalven zullen in het buigpunt R de tweede Fluxiën van de Abfcisfe en Cea Ordinaat = 0 zyn, 4
230.
F L U X I E -
R E K E N I N G .
•se?
aqo. Om dit nog anders te bevvyzerï, zo Iaat R s eene ge ecvene rechte Lyn parallel aan den Bafis ., R m een haaklyn tot de Kromme, er- nm een rechte Lyn eveiwydig aan den Ordinaat zyn.' Dan is hec kliar, dat, alvooi'cns de Ordinaat \a het ,buigp:jnt komt , de rechte Lyn nm, in Fig j o , geduurig verminderende, en aaar na geduurig vermeerderende zal zvn; of, m Fig. J I , geduurig vermeerderende cn di arnageduurig verminderende zal zyn: derhalven BM dezelve in hei bui^piinr noch vermeerderende, noch verminderende, maar in Fig 50 een Minimum ot in Fig, 51 een Maximum zyc ; en dici,voli,e:;s zal° in iedei geval, derzeKer Flu .ie zz o zyn. jVT.-ar de rechte Lynen R » nm , en R « z n als de Fluxiën van de Abfiisfe, dén Ordinaat en de Kromme refpective yk f J O f j ; derrWvea VóTgl hier uit, dat de tweede Fluxiën van de en den- Ordinaal, in r
v
het buigpunt, ~ o zyn, zo ah boven ( § . 2 2 0 ) reeds getoond is. 031. Om dus het buigpunt R te vinden , zo ftel de Vergelykinge eer Kromme , waar in de sibfeisje A B r * , of a~ïx, en de Ordinaat BR —y i s , in Fluxiën, en zoek daar door, of door andere eigenfchappen der Kromme, de waarde van'xof y; neem van deeze x of y en derzelver waarde wederom de Fluxiën, Hellende beide i ' en V = o ; dan zal men door het overige der Fluxionaale grootheden te ver' dryver, *• ofy, in hec gezoente buigpunt, behoor, lyk bepaald hebben. *J!? °o - f- Laat de 'iatuur der Kromme bepaald worden door de Vergekkvnge a s - r* v - f e y V
p B E P I
0
2
2
a **
a y x'x+ * *'y-f- a y. 5
Vso
oog
EERSTE
BEGINSELEN
DER
Van deeze Vergelykinge wederöm de tweede Fluxiën neemende, zal 'er komen ( § . 34); 2a* ZZZZZiyx* ~\-2x'xy+ axxy 1
of 2a* HZZZ ayx*—\-^x
'xy
3
033. Dewyl nu zaxx — ayxx-h
x'y-\-a'y
it
([§• 3 .)> zo is ook x*y + a*'y—aax~x— ayxi; en , 2ax— 2yx derhalven y zz x Deeze waarde van y x* + a* in de laatst gevondene Vergelyking fubititueeren* d e , zal dezelve worden . . . zax-ayx 2ax*zzzyx*+4xxx x* x' -h a* 3
2
g""
. . .
IU
.
.
t . aa*-o.yx ax'zzyx* -{-sxxx x* x -ha» £34. Daar nu de Vergelyking der Kromme is ax' ZZx'y+a'y ( § . 23a), zo hebben wy door herlei. ax ding yzz . Deeze waarde in de naast voor. x* +a* gaande Vergelykinge ( $ . 233) fubftitueerende. z u l . ien wy hebben 1
1
ax'
.
ax* _ •
iax-ayx af»4. TX
x' + a*
1
1
X*
a —
ax* *'+a
xx»
2
x'-i-a
5
1
aax—'iyx f- 2.x x — • * +a* J
ax* -f-
F L U X I E - R E K Ë N I N G ,
209
ax* + a zz ax* - 4 - 4ax* — 4yx* 3
ax
2
of a' — 4fljc* — 4* x • x* + a* 1
a
»
—
1.
—
— -
>
a' = 4 x — 4 *« 5
x-
de*
x* +a*
n'x' -ha*zt
a
a
s
!
4
= a* —— == |a*
» 'ars a j / | .
Waar door yzz—, en dus ook de plaats Van het 4 punt R (Fig. 50 of 51) gegeeven Is» 035» VooRBEtLo I I . Laat de natuur der Kromme bepaald worden door de Fiergelykinge ayzzza^x^-j-xx. De Vergelyking der Krómme in Fluxiën gefteld zynde, hebben wy ay-^a '
-f- 2 xx*.
2
Kier van wederom de tweede Fluxiën Deertiende. hebben wy ( § . 3 4 ) : ,
—+a * s
5
* + 2* =io ,
,
—ia*x"~* + O
a =
zo of
aio
EERSTE
BEGINSELEN
of ^ a * * " " =
DE»
1
—
3 _ i 3
a-x
s
1/
a
%
=
'—
a
8
2
,
—
=
J 8x
SS
ax
x*
2
I a
4
I 2
f a nr~: 4 * Dus * r z : |a. Derhalven y \ =
1 = ,g
a
, waar door
dan de plaats van 't punt R gegeeven i s . 336. V O O R B E E L Ü IIT. Laat de natuur der Kromme bepaald worden door de Vergelykinge ay*-a*x-x* ~o.
Wanneer wy van de Vergelykinge der Kromme de Fluxie neemen, zal 'er komen: nayy—a'
x-—$x'
xzzo.
Hier van is de tweede Fluxie ( § . aay* + a a y y —
38),
óxx'zzo.
Stellende y ~ o , dan wordt de voorgaande Vergelykinge zay* — 6xx* zzo
of a a y =rr 6xx* a
a f l
.
a
237. De-
F L U X I E - R E K E N ING.
«n
237- Dewyl nu 2syj—a**—3*'*—0 is, 80 is ook 2ay'y ~ a * ' f - 3 * * , s
3
of y r
* say
.
Derhalven
.
Maar
. ( § . 236). 3 •
By gevolg
3*** a
£
s
0 "
J
ïa'y*
i* —— '"
•
a* -r-3* l
X*
1
—.
4a*y* »
• 4a'5*
Derhalven i2B*-y* r: a +3* j* a
a
238. Daar nu wyders ay' — Wx-^-x* zzz 0 is ( § . ^3<5)» zo is ook üy>— a'x + x ' 12 * en l a a j r y ' - i a a ' a f ' + ia** 3
Maar 120*5» — B ^ 3*'T 1
Dienvolgens i a x -fJ
2
1
i3* ra^+3"**T 4
O a
Dat
ma
EERSTE BEGINSELEN DER Dat is laa'x' + mx*—a* + 6a x' + ijx* 2
of 2x* + 6a'x
— a*
2
3
3 ^ * 1 ° rrpa* 9x*-l- 18a x + 3a'\ — na* 2
V
•
2
2
3x' + 3a'-a |/ia 3 ——— ——— jr'+a'-aVI 2
of * » - a »
(f/f-i)
V
— —
x~a W\-i 339. . Men kan anders het Werk ook op deeze wyze inrichten. Naardien a y ' - a ' s - f . * » i s , zo hebben wy yzz a* * + x
3
e
y—
n
a $a x + £x x X 2
a x+x' i* —. l/a 2
»
Derhalven -y ' — J
a x-i-x \~^
2
2
3
I/a Van deeze laatfte uitdrukking de Flutie genomen, en " O gefteld zynde, zullen wy hebben 3 * x » x a x+x' 2
2
+ïa +~[x 2
2
x
. . . . .
—ia'i'—|x'j
J
x a *"?**!""* = 0 ;
3*xa'* + *'|~
2
-Ha'+ Jx'x-ia -*x'x
a x + x'l"* 2
—o.
3
of
3
Deeze laatfte Vergelykinge _ver-
F L ü X I E-R E K E N I N G.
213
vermeenigvuldigd met a'x + x*\* > zal 'er komen 3 jr-t-ia* + |5» x - T « — 1 * X * * + * 1 " * = ° ' Deeze Vergelyking wederom met a ' i + J vermeenigvuldigende, zullen wy hebben 1
1
a
1
5
$xxa*x+x
-'ria' + è*' X - ^ - a ' — lx ZZo. .... - • «3
3
1
... Cxxa'x+xi
+ a' + sx'x-Tra-
1
— lx
ZZo
1
of óa'x +6x* — ±a+—-3a *' — I * - o • — — ••- a ï a a ' x ' + iax*—a — 6a'x*— 9 * ~ o 1
1
4
4
••
+
DerhalveD 3 * — { - ó a ' . t ' zza*. Zynde de zelfde Vergelyking, die wy boven ( § . 238} op eene andere wyze gevonden nebben. 4
240. V O O R B E E L D I V . Laat de vcorgojielde Krom.' me de Conchoïde van Nicomedes zyn, waar van de Vergelyking is x'y* zz y + a l * x b'-y'
( § . 217;,
y + ö i X b* - y* • 1
of x'zz
r y+al'xb'-y* Neemende van de Vergelykinge * ' — y' :
de Fluxie,
zullen wy hebben
* * = . . . . .
yxy+a x b'-y'-yy xa+y 1 * x y -yy x y + a i * x ft'-y* 2
—
y
j-r-axaè'+y y*
.
1
'
-a*b* y
3
O 3
ab
1
y
a
Van
ei4
EERSTE BEGINSELEN D E R
Van deeze laatfte uitdrukking de tweede Fluxia neemende (§. beeft men:
38),
y onveranderlyk blyvende,
3 a ' ii +
aai
1
=
1
}
-
y
y*
x j'.
1
3
Dewyl nu xzzo is ( § . 3 1 9 ) , zo is de voorgaande uitdrukking: • _ ** 3a2
y
2 f l f t
4
'
•
y
Wb'+iab
y*
3
241. Aangezien nu
y-y*
1
+——ixy'= —
y+axab* y
xy. J
+ y* - x y is
-
3
y+ a x a i ' + y »
( § . 240), zo is ook xzz
x y ; en *y dus hebben wy, door de beide leden deezer laatfte Vergelykinge tot de tweede magt te verheffen, s
y + aT X a f t ' + y | ' • x y' xy 3 a i - f 2 a £ y—y* Maar x*zz xy* C§. 240). y T
*' =
2
2
s
6
2
4
3a*b* + oab*y-y* Derh. — — y* By
y+a\ xa£ 2
+ y»|
2
a
.
*y 2
6
gevolgia*b*+2ab y-y*xx y*~y+al xaT +yï\* 2
2
2
2
342. Daar
F L U X I E - R E K E N I N G .
215
24a. Daar n u , door de Vergelykinge der Kromme, x y ~y+a\ x b* -y' is ( § . 2 4 0 ) , hebben v?y deeze waarde van x*y flegts in de laatstgevondene uitdrukkinge ( §. 241) te fubftitueeren , waar door dezelve zal worden: 2
2
2
2
2a b + 2ab y-y*x.y+a\ xb -y —y 2
2
2
2
2
+ a\ x
2
2
ab^ + y^W Deelende nu deeze Vergelykinge door y 4- a! , zullen wy verkrygen: 5
3
a b^-\-
2
3
r
of 2
4
—
2
2
2
3
6
Door herl. b y +4ab y + $a b-y --
4
2
3
2
2
2
4
3
2
2
2
2
243. De laatstgevondene Vergelyking wordt r u deelbaar bevonden door 31 + a; welke deeling werkelyk verricht zynde, zal 'er komen y -\-%ay — 2ab zio, eene Vergelyking waar door de waarde vau y bepaalt; kan worden, 3
2
2
044. Wanneer in de laatfte Vereelykinge b~a ge. nomen wordt, dan hebben wy y'- -t-^ay* - 2 a ~o, eene Vergelykinge, die wederom door y + a deelbaar is, Derhalven hebben wy na verrichte deeling y -h iay — s a ' z o , en by gevolg 31 zza 1/3 — a. 3
1
245. VOORBEELD V . Laar de natuur der Kromme bepaald worden door de Vergelykinge a y ~ i 8 ; a x ' — n o a * + 3oax —3 x . De gegeevene Vergelyking in Fluxiën gefteld zynde, hebben wy O 4 a*y~ +
2
3
4
s
3
ai6
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
« y-36ofl»**-33oa jr jr-r-iaoajr jr-.i5jr *. Vün deeze Vergelykinge wederom de tweed© l'luxien neemende, zal 'er komen ( § . 3 4 ) : 4
,
3
,
4
a y zz 360 a - 660 a * r + 360a * * - 6 Q * i . £ j a ° P « ' - 6 6 0 a x + r.cax' - 6Q*' zz o ( § . 229J 4
3
2
D e r
2
2
2
2
a
2
3
6a» — n a * - ; - 6ax' — *>-o. Dewyl nu deeze Vergelyking deelbaar is door a-x, 2 a - * , of Sa^x, zo heeft dezelve drie Wortelen, naamlyk a, aa en 3 a; dienvolgens heeft de K r o m . m e , wier natuur door de gegeevene Vergelykinge bepaald wordt, even zo veel buigpunten. 4
246. O m nu te weeten, o f een deel der Kromme tusfchen twee nabuunge punten gelegen, welke op yoonge wyze gevonden z y n , naar den As uit- of ingebogen i s , onderzoekt men of de waarde der U i t drukking voor de tweede Fluxie des Ordinaals, tusfchen de twee overëenkomüige Wortelen, pofitif o f negatif z y . Is dezelve pofitif dan is dé Kromme uitgebogen, en negatif zynde, ingebogen, mits dat de geheele Kromme aan de zelfde zyde van den As ligt. * v u
247. Wanneer men nu in dat opzicht het voorhanden zynde Voorltel nagaat, is het zeer gemaklyfe te z i e n , in welke gevallen de Kromme, ten opzichte van den A s , uit- of ingebogen is. Dewyl dan 'y, de tweede Fluxie van den Ordinaat, geduurig als. 6a«--11 a"x + 6ax>-x* (zz'aVrxl~a^xx ra^r) i s , zien w y , dat, Hellende x kleiner dan de eerde YV ortel a , de waarde van deeze uitdrukking pofitif zal z y n ; derhalven zal de Kromme in 'teerst uitgebogen tot haaren As z y n . Vervolgens * grootër dan a hellende, wordt de waarde der gemelde uitdrukking negatif, en de Kromme zal alsdan tot den A s ingebogen zyn, en zodanige kromte behouden, toe dat
F L U X I E - R E K E N I N G .
217
dat x gelyk aan den tweeden Wortel za i s ; waar na de Fluxie wederom pofitif wordt ; dienvolgens zal de Kromme andermaal uitgebogen zyn , tot dat * _ 3 a z y , en deeze Wortel de uiterfte Limiet zynde, zal de Kromte voortaan fteeds naar dea zelfden weg ftrekken. 048. Hier by behoort nog in aanmerking genomen te worden , dat 'er gevallen kunnen voorkomen, waar in de tweede Fluxie des Ordinaats gelyk aan nul wordt, zonder dat nogthans haare waarde van pofitif in negatif , of van negatif in pofitif, verandert. Deeze gevallen hebben altoos plaats, wanneer de Vergelyking een even getal gelyke Wortelen toelaat ; want alsdan is het punt, dat als boven gevonden wordt, geen buigpunt, dewyl alsdan de kromte aan ieder zyde van hetzelve naar den zelfden weg ftrekt, N E G E N D E
A F D E E L I N G .
Vun het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Vuorltetlen , waar in begeert wordt de kromteftraalen van kromme Lynen te vindsn. 049. Nairdien de kromte, of uitgebogenheid van alle kromme L y n e n , behalven die van Cirkelen, in ieder punt verandert , heeft men flegts Cirkelen te befehryven, welke met eene gegeevene Kromme in eenig getal punten overeenkomen ; dewyl dan de ftraalen van deeze Cirkelen , zo als gemaklyk te zien is , niet alle even groot kunnen zyn , en dezelve nogthans den trap van kromte bepaalen, zal de vinding van die ftraalen het onderwerp van deeze Afdeeling z y n . 550. En naardien alle kromme L y n e n , behalven Cirkelen, gevormd of geteeld worden, of begreepen kunnen worden gevormd of geteeld te zyn , door de ontvouwing (evolutio), of afwinding. van eenige O 5 a«-
«8
ï?
EERSTE BEGINSELEN
DER
rC
?
/ J?° ?
k om d e r
L
y ° « zuBen derhalven de middel > e l k e famenloopen of Telvkê e n
r k e , e n
w
, l ^ ^°PSewondene ° " e \lnvolute) °™d «f
RCtSd te zvn genoemd. * ' - ° W
g r
P e n W
rde
ev
r d e n
P
S
ói^OntZ.lï
?r ^^ommc zyn, uie eene untwondece (Evoluta) genoemd wordtmen verbeelde j h rondom dezelve een dra^d t (
z
S
c
vaï^^de K r o m m f n ^ ' V i? é e z e draad den Lik, dn^ i ? , i a f w o n d e n woroen, zulks dat dezelve, van de Kromme a f ^ a n r i » geduurigP Uin zyne geheele lengte uitgeSt• ff- d L ' Dt of hS h °Pg wonde?e K r S e A B Y ' t'eelen of befchryven; en de rechte Lynen A D BR v t C
F
A
d e
Zy
e
l 0 S 8 e m a a k
l a a t
d
o f
e
^
K r o m t e L a , e
^ndepunten
2J2. Hier uit vloeijen deeze Gevolgen-
as* s £tesirDi w°« aa
d
^y* k u n d e ^ ^ n " ' ,1 Beginfelen der MeetRaaklvn ?' Perpendiculair op de nunt ft ,iJ ' ° ' ° Kromteftraal in eeniz p u « B akoos perpendiculair op een Raaklyn in J f z a l
ïiJ™ Z
"
P
V 0 , g e n s
e e C S S
d e
r k d s
o k
d e
a
H L De ftraal B E , die perpendiculair op de opge.
won»
A
F L U X I E . R E K E N I N G .
a<9
wondene Kromme io het punt B ftaat, is een RaakJyn tot de Ontwondene in het punt E . 2
C § . 25a)
JLEBn=LEBn
gemeen afgetr.
• Z.«B6 =
Z.CBH
Voorts dewyl LBbm een rechte hoek is , zo volgt hier uit de.gelykvormigheid der Driehoeken mnb en Bnb. 254. Derhalven hebben wy , door de Beginfelen der Meetkunde, deeze evenredigheid: B n : nb : : B C : C H . Dat is * ' : y' ::
y
B y gevolg C H =
: CH. yy' —• x'
Wederom i s , volgens de eigenfchap rechthoekigen Driehoek,
m'zz
1ÏC ~ h
van den
CH* Dat
«o
EERSTE BEGINSELEN D E » Dat-is B H * - y* +
zV 'l *' ' y
a
Derhalven B H = « » +
~,——
y
11
'±'x+~.
en desgelyks A H ( - A C + C H )
*'* "55. Wederom hebben wy deeze evenredigheid: Dat i
S
Bn : bn ' ; y' X
% gevolg «m —
bn : nm. y . „ ^
L.
*' '
Bn = —
Derhalven Bm~x'+
*' verg. 2_.
K^t ^*?°-f*'Wj
of fte* van'
a a
beid dei Fluxie m « .„«n— u nfneemen; f l ever her 7^1 Ö ' ° 1
V
0
^
aangroei^
o t e i t
d
e
f
', «
n
e
l -
e d u u
"'g
^ / 3 \ ^ ^ H £
F L U X I E . R E K E N I N G . yy' y'* ™•* yy** g + — zzx' + zyn.
*'
e*i
N u is het voorts
*'
klaarblyklyk, dat de Driehoeken E B m en E H A gelykvormig z y n ; derhalven zullen wy hebben B m : Bh : : B E : H E . Dividendo. B m — H A : Bm : : B E - H E : B E . O f , om dat BE — H E ~ B H i s , B m - H / j : Bm :: BH : BE. y' y ' "* yy " Dewyl nu Bmzzx'-i , en ühzzx'-^ « x' x' a
2
y y
i s , zo is ook B m — H h =
.
Derhalven is de
*' evenredigheid deeze: yy" , y" y A — i x'-i :: — x *' + y' l : B E . 2
Dienvolgens B E =
a
»
x'y" O f , vermits de Incrementen als de Fluxiën zyn ( § • $ ) » heeft men * + y | ~ 3
BE —
2
2
iy 957. Deeae waarde van B E wordt nog anders op de volgende wyze gevon.len. Befchryf met E B ( F t g . 53.) als ftraal den Cirkelboog B K ; welke Boog derhalven den zelfden graad van kromte mee de opgewondene Kromme AB in hec punt B zal hebben. Trek de ftraal E K parallel aan dea
222
E E R S T E B E G I N S E L E N DKK
A N ^afafei BL.™* ' ' ° » Stel de ^ft/cfcfc A C = r , den Ordinaat C B ~ v Jaac de ftraa EB of EK — r , K N — a , en NA~ i zyn; dan » L E = : r - a - » . Indien wy nu onderftll* len dat de Abfcisfe x gelykmaatig aangroeit °en Bm 0nft nfla
B
t 0 t
L
e n
t r e k
aan BC e n B« JSUT / l * *° Stn . II n R ««rokken worden, dan zullen Bn , nm en mB ref.KÖivelvk als de F/uxien van de Abfcisfe^ OrdinL en!d? Kromme zynJ d ^ i s ^ B ^ z a l zyn als * , nm zUy\ en om dat y
B
D
p a f f l i W
a a n
laat
A
X
l 1 ? [ ° e k e n B«m en B L E gelvkvormig; derhalven hebben wy deeze evenredigheid s y
vorS;. H N
d e
r
eh
B« : nm : : B L ; L E . Dat is *
:
y
:
:
y
Derhalven rx—ai
+
b
.
r
_ _ . a
#
—xxzzy'y + b'y.
ï n ï n H o "* ,°"veranderlyk befchouwd wordt» a n
e r
aIs
n de o n d e r l ï e l l i n g dat de richtftreek der Kromme A B C As H JFÏ ,B Ï W v a n V d i g h e i d met haaren y
tkrZ 5l ïv - 5*
m
r
C
e
n
e
e v e n w
* «Wtif zyade ; dan i | de f/**» der voorgaande Vergelykinge ~**=y -yy-*y. a
By gevolg x' • + / r i + j x y. 259. Wederom hebben wy deeze evenredigheids LB : BE : : Bn : Bm. Dat ia b+y :
r
x :
x'+y*^. Der»
F L U X I E .
R E KE N I N G . TX
DerhalveD b+y zz
at%
.
2*1
2
Stellende nu deeze Waarde voor b+y in deeze boven gevondene uitdrukking ( § . 258) zullen wy hebben rxy
x' + y'zz
x* - ! - y
7-
- u
Derhalven * + j x * ' + j ' ' ,
. a |
,
of Ü+yty+ss
= rx y
r'x 'y
x +y\ 2
en daarom r =
- B E , als vooren.
xy 260. AANMERKING. Wanneer de Abfcisfe x met eene gelykmaatige bëweeging v l o e i t , zo volgt C § - 229), dat de Ordinaat y met eene verraagdebeweeging v l o e i t , wanneer hy aangroeit , en de Kromme ingebogen is ten aanzien van den A s , o f wanneer hy afneemt, en de Kromme als vooren uitgebogen is. Wanneer nu y met eene verfnelde be. weeging aangroeit, o f haare tweede Fluxie Heilig i s , zal de algemeene uitdrukking voor de Kromteftraal
;—ril
=
x* -:-y*l
z y n ; waar in het negative teken haa> — xy re ftelling aanwysc. 261.
m
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
a<5?. Om de bewerking minrJer lastig te maakeii. kan men voor eene onverSnderlyke Fluxie de eenheid , of i , in plaats Hellen, ten einde daaf doof de andere Fluxiën met i te kunnen vergelyken. Stellende derhalven dan zal de algemeene uitdrukking voor de Kromteftraal zyn
Uli—, 9
wanneer y met eene vertraagde beweeging aangroeit, " T i l I -+- •y i of haare tweede Fluxie negatif i s ; en zz 1
wanneer y met eene verfnelde beweeging of haare tweede Fluxie ftellig is. Het plaats wanneer de Kromme naar den As en het laatfte wanneer dezelve ten dien uitgebogen is,
,
--'5 aangroeit, eerfte heeft holrond opzicht' *
262. Indien wy derhalven de Vergelyking der ge3ff7? r ™ » de betrekking tusfchen de Abjcisfe x en den Ordinaat y uitdrukt, in Fluxiën n
e
K r o m
e
w e l k e
ftellen, neemende xzz t; of uit de natuur der Kromme de waarde, van izzi in Termen van r j e n j vinden, en alsdan deeze Fluxionaale Vergelyking wederom m Fluxiën ftellen , 1'ubftitueerende fteeds 1 voor x, en maakende de Fluxie van y negatif, wanneer de Kromme naar den As holrond , en pofitif. wanneer zy ten dien opzichte uitgebogen i s ; dan zullen daar uit de Waardens van de tweede, en het " vierkant van de eerfte Fluxiën van y bepaald kunnen warden: welke voor dezelve gefubftitueerd zynde m ééne van deeze twee algemeene uitdrukkingen, naamlyk in de eerfte wanneer de Fluxie van y negatif
F L U X I E - R E K E N I N G.
225
gatif is , en in de laatfte wanneer dezelve pofvif is , zullen wy eene bepaalde uitdrukkirg , of eene zodanige die vm Fluxiën vry i s , voor B E , de begeerue Kromteltraal verkrygen. 263. VooaisiiEtn I. Ve Kromteftraal in eenig punt B ( F ' g - 54) van den gemeenen Farabool A ï , te vinden. _ L a a c de Parameter zza zyn. Stel de Abfcisfe Ac —x, en den Ordinaat C l ï z i y . Dan is door de eigenfchap der Kromme axzzy", waar van de Fluxie neemende, zullen wy hebben a'x—iy'y, of, ftelJen-
. ._
.
de
fl
, a _ 2 y y , en by gevolg y~—-.
Maar
2 31
y ' r r a * zynde, is ook y ~ a * F ,
en derhalven y—
a * — j - j - — V a n deeze Vergelyking is wederom de' 2 x a#l^ Fluxie -y. om dat y=±
by gevolg
'y'zz
4 X « P a
erj
4X0*7^ z
a
— - — i s , zo is Ook y
2
=
; =s
fl —. 4 *
Subftitueerende nu voor yy en y
2
hasre waar-
den in de algemeene uitdrukking voor de Kromte.'
ftraal
— 3
( § . 261}, zullen wy hebben . . .
P
BE=?
226
EERSTE BEGINSELEN
H Eg-
X 4Xaxl* 4
*
J
'
aa*
Subftitueerende
in yy ( § .
2 6 3
s
__4a^ + a i =
1
a
264.
DER
'
voor y haare Waarde
) , hebben wy -
—
of £ 3 — A D den 2
Wfï/caa/^ afffand. Uk
zeifde ÓeDeeze Ditdrukki
of SntT/™
waarheid kan ook
"g ™°r de « X
or btraal Bh ; want , wanneer de g, melde Straal deriverticaalen afftand wordt , dat i wanneer he punt B m het punt A valt , dan verdwynt * , en dus valt 4.ax uit de gevondene Uitdrukking ($. 363} s
weg,
en wy hebben alsdan
- £ a , als vooren. 2fl
2
}ïK g' Xrmteflraal in eenig punt B ( F i g . 55 rfe Cycloïde A B D vinden Laat de Straal O F of O D . de ^ / m / , ACzr^r de. Ordinaat C B ~ y , de Boog F G - , en deszelfs tonus 1 G _ j z y n ; dan i s , volgens de Grondbegin0 R B E ! ? t Ü
v a R
=
a
Z
felen der Meetkunde, K T - D l x I F ,
Dl x SF|s, dat is s- - TaJ^p^, .
3'~ ~') 7
a
,
van
of I G welJte
= Vef>
l
gelyking de F / a r ó is s zz —-—•
.
2 j—y»|* f l
266. Maar door de natuur der Cycloïde ( Toepasfing der Algebra cp de Hooge Meetkunde , 11 Deel §• 55;
F L ü X I E - R E K E N I N G .
s.17
K. 55) is Boog D G r r G B , en derhalven Boog F O r : G I 4 - A C , of A C = Boog F G - G I , dat i s * - - j . Stellende nu voor x haare Waarde, hier boven gevonden ( 165 ) , zu'len wy hebben * = z — • t • a ay — 31* 1 . Hier van de Fluxie noemende, en xzzi Hellende, zal 'er komen z
2
. yy — ay 1= 2+ ——
.
ay — y*\~2
a
267. Voorts z — i 4-
ï
voor s haare Waarde als boven ( § . 2 6 5 } , zal de Vergelykiug worden ay-y'y\
. \ +y \
z=z
2
y — y
2
1
2a
ay Of Z —
—.'
zay—y \* 2
Deeze Waarde gefuhftkueerd v o o r z i n de boven gevondene Vergelyking ( § . 2 6 6 ) , zal men hebben
»=
ay
yy — ay
_',__-+ aay—y l*
2031—y [^
2
dat is 1 =
2
yy
——. aay — y ^ 2
P a
Dsr-
EERSTE
m
BEGINSELEN
Derhalven y = S
d
e
.
v a n
w
e
]
DEK
k
e
V
ergely-
y Fluxie is ( d e Fluxie van y negatif zynde), ayy—y y
. —y- aay-y"-[2
2
A
1
-y = ,
lay-yA*
f« " of — y ~ r
~" y — -.. y. aay— y \ a
2
Subftitueerende nu in
1
deeze Vergelykinge voory haare Waarde y hier boven gevonden , zullen wy hebben — y =r .. a — — ; dat is y zz—. a
r
y*
268. N u is de algemeene uitdrukking voor de y\ 2
i -+-
Kromteftraal
y
2
($.
z
6
1
hier in voor y haare Waarde
l
)
;
Subftitueerende
aay—y
3
1
( § . 267).
y*
a en voor y haare Waarde — , zullen wy hebben
5
F L U X I E . R E K E N I N G .
rfg
i+y't
1+
207 —
_
y\ 2
y
l
229
£
1
x f
a
y +
2ay—JI J
5
2
S
a 12 0 3> | — | XJ' 3 I
3
iay\
1
«ayt =
u
X y*
3
x 31=
zayl* ZZ
B E , de beay geerde Kromteftraal.
ay
3
2^9. VOORBEELD I I L De Kromteftraal in eenig •punt Ü ( F i g . j 6 ) der LogarithrnifcbeKromme, waar van de Subtangens C T eene ftandvastige grootheid, gelyk aan eene gegeevene Lyn ais, te vinden. yx Laat G C zz x , en C B — y zyn ; dan is — — a y (.§• 2 0 6 ) ; dat i s , wanneer x~ 1 gefte$ wordt, — y y ~a-\ derhalven yzz~,
.
y*
en y"-~—, P 3
en naardien y met
230
EERSTE
BEGINSELEN
DER
met eene velheide bewepging vloeit, of dat haare tweede Fluxie eene Heilige grootheid is, hebben wy y iy % y ~ — ; en fubftitueerende voor 31 haare Waarde - . y
zal deeze uitdrukking veranderen in y = ~ . 270. Subftitueerende nu ip de uitdrukking voor I
de Kromteftraal
+ y'i
-y haare Waardens, hebben wy
261) voor y* en y
y i* 2
x+
—j x a
. a' -hyl*" ' " = — — , de gezochte —y -ay Kromteftraal; waar in het negatif teken alleenlyk aantoont, dit de Ontwondene en Kromteftraal , ten aanzien vm x en y ,• aan de andere zyde van de Kromme liggen. 3
ai 2
2 7 E V O O Ï I B K E C D I V . r>e Kromteftraal in eenig punt B \ 5. 51) der Kromme A D te vinden, welkers Raaklyn B T overal gelyk is aan eene gegeevene Lyn a. r
Laat G C ~ a ; en C B ~ y zyn, dan is, volgens het
Pythagorisch Leerftuk, TB*— B c ' ^ r ; C l " ; dat is 1 yx a'-y'l^ - C T - — ( § . 2c6; ; of Hellende x y ZZ l.
231.
F L ü X I E-R E K E N I N G. «
.
rr^-n^-i
y
derhalven y-^ZTIT^
'y
Ê n
d U S
*-*l*
a
* - _JÜ . V o o r t s , naardien de Fluxie van y ftela — y* lig i s , hebben wy s
3
.
ï'J
T
31X a — y l 1
2
-r • a —y l
3
3
•• _
a
a — y*
s
- ,
dat i s , lubfti-
3
tueerende voor y haare boven gevondene Waarde, y
3
y+ fl — 3
272.
y*
a'y
Wanneer wy nu in de uitdrukking voor de
Kromteftraal Ü ^ L L § . 261) voor y* en C
haare
-y
Waardens fchryven, zullen wy hebben . 3
r ,
t
- y 3
• t
fl l* x a — 7 ' l a
xa'-rl*
»
1 -i-yM —
*
—
+
2
1
'
s
a
—
1 x a - ; f l voorde begeer. P4 de 3
2
832
EERSTE
B E G I N S E L E N DBR
de Kromteftraal: in welke Uitdrukking het negatif téken de Helling der Kromteftraal aanwyst. «73. De algemeene Uitdrukking voor de Kromteftraal, die wy §. 206 gevonden hebben, is alleen bctreklyk tot zodanige Krommen, waar in de Ordinaten onderling parallel zyn ; doch wanneer de Ordi. naten zich allen tot één en het zeifde centraal Punt b. paaien, zal men een ander Theorema noodig hebb e n , dar op de volgende wyze gevonden wordt. 274. Laat C B Y (Fig. 58) de Kromme z y n , C net centraal punt, waar uit alle de Ordinaten voortkomen, en BË de Kromteftraal in het punt B ; dat i s , laat hec punt E o^derfreld worden in de ontwondene Kromme te z v n : men verbeelde zich Cb en Kb oneindig dicht by C B en E B te zyn ; dat is laat gefteld worden, dat de punten B en b onbepaald dicht by elkander i voorts C F perpendiculair op E B , tn Cf perpendiculair op z y n : dan zullen de punren F en r ten naas-e by op eikander vallen • en dienvolgens kan 8 r = B F , en C r ~ C F genomen worden. Befchryvende nu met den Ordinaat CB als ft-aal, den kleinen Cirkelboog B » , en befchouwende dit Boogje als een kleine rechte I,yn perpendiculair op Cb; voorts onderftellende dat het Increment Bb met een Haaklyn in het punt B iamenloopti dan hebben wy z
y
o
;
a a t
LCBnzz/LEBb LEBn LEBn " — afgetr. LCBFzzLnBb en L F — Ln zz recht zynde, is Z . B C F zz
LBbnT
Derhalven is bet klein rechthoekig Driehoekje Bnb gelykvormiq; aan deu recht hoe lugen Driehoek B b C , en daarom bB
F L U X I E - R
E K
E N I N G.
333
bB : Bn : : C B : B F . 275. Stellende nu den Ordinaat CB — y, Bnzzx' en nhzzy'; dan z a l , volgens het Pythagorisch Leer3
ftuk, Bbzzx" + y" {* z y n , en daarom : * ' ; : y : B F ( § . 274). *-y
Derhalven B F of B r "
a;6. Wederom is Bb : bn :: BC 1 C F . Dat is y M - y Ï Ï "
2
: y' : : y : C F .
Derhalven C F of C r zz
.
Onderftellende nu x' eene onveranderlyke Grootheid te z y n , dan is het Increment rf — . . . . 1
yy'xyy'
*' y » + y ' * - r - y . * ' y " a
J
J
* " -+ y ' | a
5
2*7. Voorts is door de gelykvormigheid der Driehoeken EBi> en E r f Bb : rf : : B E : r E . Dividendo Bb — rf : Bb :: B S — r E : B E . pat is x" +y" 1
, 2
*'* y + y ' + y *É y" « «11 •—; :*f +y' 1 :; + y'»l* P 5 BE /a
4
2
2
234
EERSTE BEGINSELEN DER BE — r E ( = r B ) : BE.
~
*'y
• : BF,
*
*—yxy"
yxx'+y-l^ * — > x* + xy' ~yx y
zynde eene agtmeene Uitdruk-
king voor de Kromteftraal van alle kromme Lynen welke tot een vast of centraal-Punt bepaald zyn' wanneer x'of x onveranderlyk is. 278. Hier door zal, ftellende i n , de algemeene yX
1 -t-y* I
Uitdrukking voor de Kromteftraal
zyn.
i+r— yy Indien wy derhalven de Vergelyking van de gegeevene Spiraal m Fluxiën ftellen , (neemende x'zzi), vervolgen? deeze Fluxionaale Vergelyking wederom in Fluxiën brengen ; en daar uit, of uit de natuur der Kromme, de Waarden van 'y' en y vinden : indien w\ dan eindelyk voory en y deeze haare Waarden in de bövenftaande algemeene Uitdrukking fubftitueeren, zullen wy de begeerde Kromteftraal B E bekomen, als in de volgende Voorbeelden te zien is. 279. 2
F L U X I E . R E K E N I N G ,
235
270. VOORBEELD L De Kromteftraal in eenig punt B ( F t e . 59) der Spiraal van Archimedes L U <&c. te vinden. ~ Laat de Omtrek van den teelenden Cirkel A b &c. ZZa, deszelfs Straal C A = fc, de Ordinaat CU - - , en de Boog A F = *zyo. Laat C ƒ verönderfteli worden onbepaald dichc by C F te zyn , dat i< , laat de L F C ƒ onbepaald klein veröuderfteld worder.; befchryf voorts met den Ordinaat C B , als Straal, de kleine Cirkelboog B n , en ftel denze'ven = * , als mede F / r z ' ; dan is door de natuur der Kromme y : b : : z : a ( Toepasfing der Algebra op de Hooge ay Meetkunde, II. DEEL § . 1 2 7 ) , of zzz--, waar b . "y van de Fluxie is zZZ2—* b Voorts hebben wy door de gelykvormigheid der Settors CBra en C F / , j'i ffi Ttt'i derhalven bx' . bx z'zz — , of zzz—• y y
ay bx B y gevolg — — — ; y
datis,
b
Rellende 'xzzi , — zz-; uit welke Vergelyking b y b* . V wy hebben y r — ; derhalven y>zz , en y _ ay a ? 1
1
^ab* y . b* , ; dewyl nu yzz— i s , hebben wy door fuba*y' ay -b* ftitutie yzz—. Stellende nu deeze Waarden van a'y'
i'
•tf
E E R S T E
B E G I N S E L E N
^Mtif^L
™
*
DER
Kromteftraal
yx n
.11
i f ) ^ W
, i+
; ^ +
1 4
T
a*y*
4
a*y + 2ab*~~
a y' 3
B E , de gezochte Kromteftraal. B
T^
KELa
L
^mte/lraal in eenig punt (hig. 6o) va» de Luganchmifrbe S n i r a a i r w te vinden; waar van d>.• Vereelt™ ïïïJnïli *Y Ordinaat C B , Z r , ^ ^ ? ^ a en b voor t w » gegeevene Grootheden) is " ~ ty. D e 2 t e van de Vergelyking der Kromme is az De
ü
=
Y
d e
z
-b'y ; derhalven
Laat de hoek BCh als a onbepaald klein genomen, en met den Ordinaat CR als S t r a a l , het klein Cirkelboogje B s S Ï Ï worden. Indien wy nu b « als een kleine rechte Lyn perpendiculair op C B , befchouwen, en B eer kleine rechte L y n , die met een Kartlyn in het punt Bfamenloopt; dan hebben wy door het P h£ yt
gorisch Leerftuk, B £ - B V + « T I * , lende Bnzzx',
nb~y\
dat i s , ad-
en B J = z ' , a ' - ^ + y T p ^ '
of door de Fluxie voor het Increment in plaats te ftellen,
zzz'x'+y\
\
d a t
i s
; a \lende'x~ i, z e
=
—7Ï*
F L U X I E - ' R E K E N I N G .
1
'y Hier door — — 1 +y*i a
237
b
— ~ f l
I + y ' . J
; quadratmen*
de nu de beide leden vaD deeze Vergelykinge, zullen b 'y' wy hebben — zz 1 +y', of b* y* zza* + a*y , en a a . a y — . Derhalven yzz » en om dat %
2
2
2
deeze Waarde van 'y eene ftandvastige Grootheid i s , zo is y zz o. 281- Wanneer wy nu de Waarden van 31* en y ( § . 2 8 0 ; in de Uitdrukking van de Kromteftraal CS* 7 * ü ftellen, zal dezelve worden 8
- -|! a
—ril 31 X I + y
yx +-z—I l
1
1+y — yy
b
—« •
1
J
+
0
b —a 2
yx
— yx
1
zz B E , de begeerde
Kromteftraal.
TIEN-
m
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
T I E N D E
A F D E E L I N G .
Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing foorftellen, waar in begeert wordt de natuur der ontwondene Kromme ( E v o l u t a J van eene gegeevene opgemndene Kromme ( I n v o l u t a ; te vinden. v a n
Naardien het den Leezer volffrekt noodza?, l„£ » met het verhandelde in de vocrige j f d e e H n * ^ bekend te z y n , eer en alvoorens hy tot di X. werp overgaa, zullen wy thans niet weder herrl™ len wat men door Evoluta en Involuta te verftaVn hebbe , alzo het daar ter plaatfe • §. 250 ) S zaam verklaard is. ^ ' s SlfP
on
ö
e n o e
ê: )d Straal van Ontwin, ding of kromte zyn in eenig punt B van de Se" wondene Kromme• ( Involuta > A B , welle.s Abfcïsrè fns*S °^inaat C B ~ y . Trek l ' N parallel H A ; ve,!eng B C tut L ; e., rrek i e n top der ontwondene D E , de rechte D N gelik S B
E
(
F
i
6
l
e
Z y
A
e n
d c n
u i t
B HC?n ^i V
d l
e n
B
E
a D
L
?t ^ gelykvormig
Z U z y n
" j
t n e
Drietek 2 n derhalven d
e
BH : HC :: BE : E L .
Dat is .
CS 2 J 4 )
l
:
x
CS-
01 .. t±t}l x
x
xy
256) : E L . Derhalven E L r y x
x' + J
8
.
'xy
We-
F L U X I E - R E K E N I N G .
^
Wederom H C : CB : : E L : L B . yy x + y* Dat is — : y :: y x ! LB. 2
i
*
*y x'+y'
Derhalven L B r :
y
.
Deeze nu zyn algemeene Uitdrukkingen voor E L en L B , wanneer x als onveranderlyk , en de Fluxie van y als negatif befchouwd wordt. 283. Wanneer xzz t, en de Fluxie van y negatif is, i
+ y*
zal de algemeene Uitdrukking voor BLzz
*m zyn, J
. i+y* en deeze vermeenigvuldigd met y, is yx » — de y algemeene Uitdrukking voor L E . Wanneer wy nu, met behulp der Vergelykinge van de gegeevene op. gewondene Kromme, y, y' en y, als in de voorgaande Afdeeling, uit deeze Uitdrukkingen verdryven, en door §. 263 den afftand van den top A D vinden j vervolgens de Abfcisfe van de ontwondene D f t — « , en haaren Ordinaat NEzzv ftellen, kunnen wy, met behulp van deeze twee Vergelykingen, « ~ B L — B C , en v — A C — A D - h L E , de natuur der begeerde outwondeue Kromme D E vinden. 384*
*4«
EERSTE
BEGINSELEN
DE*
284. AANMERKING. Wanneer de asscevenp r,™* jondene Kromme ( A v a f a i O tenÏS^K As uitgebogen » , en *en y te famen aangroeijen" ° i. l * y beide ftellie zvn • dan zullen de aigemeene Uitdrukkingen v o o r ^ T e n L E f
d a t
1
e
v a n
+y'
e n
. 1 en y x
zyn
+y
refpeüivelyk.
Waar in
-y 5fn W ï i ? » dat de punten L en E t rel ? °Pg Wond e Kromm rdac is , ten aandien van * 7, aan de andere zyde derzelve genomen moeten worden* t G k e
a a n t o o n t
Z y d e
d C r
e
P
eC
e
c n
085. VOORBEELD ft' D
welkers entwinding den Parabool A B f F i g /chreeven wordt, te vinden. ' Laat A C i z * , C B ~ y ; als ook B N z a , N E r z v v
zyn.
N u is CS. 263;
a
'yzz—~,
yzz—,
ZXaxl*
%
—•
& , K } l
4
u e
en yzz
X
Subftitueerende nu deeze Waarden van
y> *" en y in de algemeene Uitdrukking voor
BL,
i+y aaamlyk ~ _
( § . 2 8 3 ) , zal men bekomen
V a , -
2
'
+
y
y
t-\ _^
4
. X4.«*l
è
4x+a
X
*
a
x
~a
axl-
'
Ook-
F L U X I E-R E K E N i N G.
341
Ook zal de Uitdrukking voor L E , naamlyk y X: •
= y x BL , door fubllitutie worden . . « . y
a
4#+aX axl*
•
X
zzz2x + -ka. Hier doot
2Xax\
s
a
4* + a x a # l
hebben wy B ( = B L — E C ) r
2
-y,
•a 4*+axa*l^ 0
f
, 4xxa~x\* 2 —rt#| — ,
a
a
4xxax\
u
Derhalven
— u
a
"
a 4xxaxl
~ au
s
1/
16a* tH a'u* 3
16 a a u
1
~
Wit*.
^086. Wederom hebben wy N E r A C — AD + L E *-x~ia-}rax-i-ia-2x-v
* , en *• 3
' * '
*
;
at** Hier dóór hebben wy —
. 7
•:
fl
.
derhalven 27 a:'==
F£
Q
16
J \
£, «7
Ht
[EERSTE B E G I N S E L E N DER
~~i7" fSTn^rfA T'H Skin*
V S
;
"
Z y
d e
d
e
V e r
S
e I v k i D
S
v
a n de
^ , S trnkhen de Abdm ^ ^ naardien de Vergelykmg van den Halven - Cubifchen Parabool, wiens
Parameter - ~
j ,
d
u
b e t
,
t
d
r
r e k k i n
u
k
even de zelfde i s ,
s
z
h dien-
o
rtaive-Lubtfche Parabool, welks top D is. ^p
? f ? 7
'.
AÏ Ï'U ^ 6
X°r ï . 1 '
0RB E Ln l h inden door
te
D
e
m
l
Laat A C r * , C B - y ,
kromme A E P omwinding de Cycloï-
n a t u u r k
e
r
s
de AHO befchreeven wordt.
d e r
Boog F G ~ , 2
Ut*— a zyn ; dan is 7—
}
en O D of
~» —
•'
y y-
en
I
+ y"
r
a — ( § • «TT. derhalven C§. 283) y"2331-31»
n
>•
J
'
BL
=
en L E — j
x
, > x;y
—— _ •* a y - - „. vay—y' 1
— 2
y,
5
BL ~
r
-x a-y = a . a a y — y » l . s
v
Stellende
. -
J< •'• derhalven de Abfcisfe A N — w , en den Ordinaat tiEzzv , zuilen wy hebben: » r ( B L — C B = J 231—31 = 3', en v = ( A C + L E - ) * - + • . . . . a.aay—y l=. J
Maar f " ï - 2 a ; j f - y
a
1' ($. 266); der-
F L U X I E - R E K E N I N G . derhalven
hebben
wy
door fubllitutie
a
243 v _ 2 -r*
2«31— y ~ | ^ . N u is boven gevonden « r y , _ d e r h a l . ven hebben w y , door v o o r y haare waarde u i n plaats te H e l l e n , vzzt-h 2 au— u ^. W a a r uit b l y k t , dat de o n t w o n a e n e K r o m m e A f i P eene Cycloïde i s , g e l y k aan de gegeevene Cycloïde A B D . 2
2 8 8 . W a n t , laat A S r z S V z r c z y n ; dan hebben wy, ANzz F l z y n d e , A T ~ F G r s , e n M T '== aaw — Ü M
1
= I G ; derhalven
A T+ T N =
z
+
2 a i i — « M * , dat is A T + T N n N E , z y n d e de e l genfchap der Cycloïde ( Toepasfing der Algebra op de Hooge Meetkunde , 'II. D B F L „ 5. 5 6 ) : d i e n v o l g e n s is de Eyo/uta A E P eene C\ctóó!e; en naardien A V r F D i s , z o volgt dat d c Cycloïden A K P e n A B D aan e l kander g e l y k z y n . 989. V O O R B E E L D HIJ De natuur der Ontwondent ( E v o l u t a ) van de Kromme A D ( F i g . 6 3 ) te vinden, welkers Raaklyn B T overal gelyk is aan eene gegewne Lyn a. Laac B E d ê K r o m t e f t r a a l j het punt B z y n ; i n dien dan uit het p u n t . T ( §.' 2 ö y ) een Perpendiculair getrokken w o r d t , z a l dezelve door het punt E g a a n } wanneer derhalven het punt T o p het punt F v a l t , dat is wanneer de R a a k l y n en Ordinaat aan elkander geryk worden , o f de punten B e n O op elkander v a l l e n , z a l het p u n t E desgelyks o p het punt D val* l e n : b y g e v o l g .valt d e ' t o p van de ontwondene o p dien van de opgewondene. n
Laat G F = £ ,
,
N E - y
G C— * ,
CBrry,
D N zz « ,
_
en
« y ' % z y n ; dan i s y zz —"~"> y* p - - ' ». ~ \ * '-y* a
a
r
344
EERSTE BEGINSELEN DER ••
~y
a
ZWZZZ7
C n
y=:
a -j>*j*
^S' a ö p ^ : derhalven ( § . 284)
2
en L E - ^ x B L r - _ i :
r
i - _
x
a
~ ^ .
en naardien het wgati/teken alleenlyk aantoont, dat de punten L en E aan de holle zyde der opgewondene Kromme DA moeten genomen worden , zo ia a* — y' BLz: , en L E r a - y » | = . Hierdoor hebJ
y
ben wy u zz (LB •+- BC— D F ~ ) — L
+
_
y
a
of « y ^ a ' - y ' - r - y ' - a y ; dat is « y - r - a y - a ' , en 3= '
:
a+ a
• Derhalven y
zzzz —
tt+al
ff ( G F — G C -f- C T zz) b-x . * ~ 1 K
+ a*-yHÏ,
e
n
yy
derhalven v zz — x — 0 8
j zo ook *
—. Maar C T *—•
' .« -y l a
a
B
— =: 5^-*5-'"l*j of i r - x a " ^ - " F l = ; by gevolg heb.
i
F L U X I E - R E K E N I N G .
hebben wy door fubllitutie vzz — - x n y yy
r:
a'—y-i^
-a*y
—y P — 3
, dat i s , Hellende in plaats
yxa'-y !* 3
a'
van j en y haare waarden U+
vzz
J
245
au
a
, en
a*u
,
«TaV
, welke eene Vergelyking is voor
u' 4- 2 au]' ' de Ontwondene (Evaluta) D E , en dus ook eene Vergelyking van de Ketcinglyn (Catenaria). Derhalven is de Evoluta D E de Kettinglyn , zynde eene Kromme, welke gevormd wordt door eene buigzaa» me Lyn of Ketting, welke aan twee punten , het zy dezelve horizontaal zyn of niet, wordt opgehangen» 5
E L F D E
A F D E E L I N G .
Fan de handelwyze om .Breuken of irrationaale Groot' heden in oneindige Séries of Reekfen te brengen. Thans, daar wy den afgebroken draad van de Leerwyze der Fluenten weder zullen hervatten, cn daar t o e , ten mitiften voor fommige geheel en al onhandelbaare Grootheden , volftrekt noodzaakelyk is zodanige Grootheden in onëindige convergeerende Reekfen te kunnen herleiden, zullen wy dit onderwerp met de noodige uitgebreidheid, en zo duidelyk als mogelyk i s , afhandelen, fchoon het anders niet eigenlyk tot de Leerwyze der Fluxiën behoort. —— Zie hjer daar van eenige Voorbeelden. Q 3 290.
24&"
EERSTE
20c.
B E G I N S E L E N
VOORBEELD L
De Breuk
b a+ x
DER in eene on-
eindige Reeks of Séries te herleiden. Plaarstden Noemer a+x als Deeler, en den T e l . Ier b als Deeltal; verricht vervolgens de Deeling als naar gewoonte, tot dat gy 4 , 5,' 6 of meer Termen in het Quotiënt bekomen hebt; waar na gy zo veel Termen, als gy tot uw oogmerk noodig hebt , kund vinden , door flegts den voortgarg der Progresfie van de reeds gevondene Termen in acht te neemen. Hebbende dus, zo als in de hier na volgende Bewerking . . , . b bx te zien i s , de vier eerfte Termen, naamlyk -f a Q bx' bx* " gevonden , zo is ook de wet van voorta a* gang van de Deeling o f van de Séries openbaar; want ieder volgende Term wordt klaarblyklyk voortge, x bragt, wanneer men den voorgaanden met vera meenigvuldigt , en dienvolgens zal de i-yfde Term bx* bx* 4 , de zesde Term & c . zyn. Zie hier a a de Bewerking, 2
3
5
6
i
a+ x b '
O
< C
bx
bx
2
bx*
a»
a*
i a
a
2
(- öcc.
bx b+ — a bx a
F L U X I E - R E K E N I N G .
247
bx a bx
bx*
a
a bx* a
+— +
a* bx* a'
'
bx' o*
bx' a' bx'
bx*
a
«•
1
bx* H
a &c. 20T. Wanneer in den Noemer des bovenilaanden Breuks x vóór a geiteld, of wel de Deeler aldus geichreeven wordt, x + a, in plaats van a + x, zal b ba ba' ba het Quotiënt of de Séries zyn " ~ ^7 -f- g V . Waar uit dan de W e t van voortgang als boven ( § . 390) afgeleid kan worden. 4
1
+
292. In 't algemeen, om eene waare of convergeerende Reeks te bekomen; dat is eene zodanige Reefes, waar in de Termen geduurig verminderen of kleiner Q 4 wor-
248
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
worden, moet de grootfte Term vooraan geplaatst worden. Indien dus in het voorgaande Voorbeeld a grooter dan * i s ; dan moet a de eerfte Term van den b bx bx' bx Deeler z y n , en + + &C is als* a a' a a* dan de waare Séries: ook is de andere Séries, welke gevonden wordt door x in den Deeler voorga n te plaarfen, alsdan eene divergeerende Reeks, waar in de Termen geduurig grooter worden , en derhalven zal men, hoe verder de Séries voortgezet wordt, geduurig meer en meer van ae waarheid afwykcn. s
9
293. Schoon het in alle gevallen onmogelyk i s , eenig getal Termen in de Séries te neemen , waar door de waarde der gegeevene Grootheid naauwkeurig uitgedrukt worde; zal echter in 'talgemeen een klein getal enkele Termen genoegzaam zyn , om dq •.Vaarde des Breuks na genoeg voor te ftellen. 2 9 1 . VOORBEELD II. De Breuk -1— in eene QO.
a—x
eindige Reeks of Séries te herleiden. B E W E R K I N G .
*~x/a»
. . . .
+
& C t
ax—x* + ?'
x*
+x' , ••««macn 10 ftót *'%a33 mo ,
^ 3 » * , , * - »• «1
*»
F L U X I E - R E K E N 1 N G .
24J>
**
+— a *s
x*
+—r + — a' *•
x
a
a
5
2
3
+ — a» &c. Waar uit de W e t vau voortgang openbaar i s , dewyl ieder volgende Term gevonden wordt, door den x naastvoorgaanden met - te vermeeoigvuldigen. a a 2 9 5 . V O O R B E E L D III. De Breuk
a + x
1
in
nax+x
2
eene oneindige Reeks te herleiden. B E W E R K I N G .
C s * 3 * 4**
P + zax+x
1
T
fa* / ö + 2a*+af ,
Q,5
3
a
,
~
z
a
*
45<S
EERSTE
BEGINSELEN DE*
— 2a*— 4 * , 1
a + 3** + — a 6x> s*+ + 3**+— + — a a' 4*
3
a
3*
4
a*
4*'
8*
fl
a'
4
4*5
a' 4*
a
a
a
s
3
&e. Nu is uit deeze vier Temen der gemaklvk te zien , hoe en op wat wyze de overige Termen gevonden kunnen worden , zonder de De'eling verder voort te zetten; want de Tellers zyn de M a c ten van x. en hunne Exponenten zyn i minder dan het getal Termen, waar toe zy refpeöivelyk behooren , vermeenigvuldigd met de gemelde getallen. Voorts zyn de Noemers de Magten v a , welkers Exponenten met die van x in de Tellers overéénkomen, en de tekens der Termen wisfelen beurtelings af in -|- en Dus is de vyfde Term a n
5«f' 6x' -1—--, de zesde Term — . — ; en zo vervolgens.
996.
F L U X I E . R E K E N I N G .
596. VOORBEELD I V . I -(-*'— 2 *
De gegeevene Grootheid . . . .
4
,
ajt
in eene onëindige Reeks te herleiden, i — x — x* B E W E R K I N G .
I-
I
+ * ~ 2 * ^i+*+3* +4* +5** + a
4
4
3
&
c
'
1 _ x-x' + i
*+2X»
+X — X'-X' -+-3X 4 - * ' —
2X
1
- f 4x + * 3
4
4
-r-4x ~4X -4X 3
4
5
-t-5 a - 5 * - 5 * * 4
5
-r-9* + 5 * 5
s
In deeze uitkomst, of Séries , i + * + 3 i ' + &c. is nu de Wet , om dezelve verder voort te zetten, openbaar ; vermits de Coëfficiënt van eiken naastvolgenden Ter?» fteeds aan de lom der Coëfficiënten van de twee onmiddelyk voorgaande Termen gelyk is. Ook is de Exponent van x, de eerfte Term welke 1 is , niet in aanmerking neemende , fteeds gelyk aan het getal der Termen aan die plaats. S197. VOORBEELD V .
De
Radicaale
Grootheid
Va.* + 4at' in eene onëindige Reeks te herleiden* BE-
*ja
E E R S T E B E G I N S E L E N DER B E W E R K I N G . *)" 2** « + 4*'
2 X*
AX
6
+
s
a
2
<0
-I-4*
a*
&
C
t
a*
,
1
4 a;
4
+
AX" -|
4*"\ aa + — ) a /
4** A4* a
a
a
+
4**
4* \ ) <* a J
8a'
4
a
l
6
6
A
8a;
4
s
a
AX
S
1_
+
%
4**
4
4
^ 8 a : ^ ÏO"*S 6
a
4
a
if5 io x
B
zox
10*
a
a
s
6
l 6 a
a
6
8
,
I E
I Q a
i6*
1 0
a
+
1 2
1 Q
ÖV. Want, trekkende den Vierkants-Wortel uit a* komt 'er a voor den eerften Term der Séries: vervolgens na denzelven gequadrateerd te hebben , trek het komende a* + x*, dan is bet overblyffel + 4x>: deel dit overblyffel door s a , het dubbeld van den eerften T i m , dan zal het Quotiënt zyn v a n
4
+ -r
F L U X I E - R E K E N I N G .
33-3
2 ar* •+• — voor den tweeden Term der Séries, welke gea voegd zynde by aa , het dubbeld van den eerften. IX*
Term, en alles met — a
4* brengen 4 * M
4
, en dit afgetrokken van 4a;
A
a
vermeenigvuldigd, voort z a r
2
2
4*4
blyft 'er over 2aH
4 *' a
a is a
2
, hetwelk gedeeld zynde door 1 jfl I
, het dubbeld der beide eerfte Termen van
de &Wer ,
— voor den derden Term der Séries a
3
zal voortbrengen , welke gevoegd zynde by 2 a -+• 4* «JJ ——, het dubbeld der beide eerfte Termen, eh alles a 2 a; met - — vermeenigvuldigende , zal het Produtï a 2
:
4
3
Z
yn —
4* a
2
4
8# a
4
6
AX"<
AX*
1
a
; dit Produft van — 6
„ afgetrokken , zal het overblyffel zyn —|
4* •
8x a
a' 6
—
4
3
, 't welk gedeeld door het . dubbeld der drie
reeds gevondene Termen van de Séries,
naamlyk door
V4
E E R S T E
door aa-|
4**
—
B E G I N S E L E N
4*
4
DER
4x , voortbrengt 4 - — — , voor
fl
6
fl'
0
5
den vierden Term der Ser/Vj. Op de zelfde wvze voortgaande , kan men van de Séries zo veel Termen vinden als men,begeert; 7.0 ook, wanneer men de wet van voortgang der Séries ontdekt heeft, kan men , zonder de Bewerking verder voort te zetten , van de Séries zo veel Termen vinden . als men begeert. * 298. VOORBEELD V I . Men begeert de Radicaale Uitdrukking ! - * - x»f* in eene mëindige veranderen.
Reeks te
B E W E R K I N C .
L
2
8
16
1
2)
— x — x' • pp. -*+— 4
s
35 a^stf-K)') Jlsrfc
,
5
X%
4
4
4 /
8 *
8
64
„ 64
EL 5ff S
F L U X fE.REKENING. 5*«
5*
8
4
ai*
16
64
4*a
25«
4
64 j
i
Derhalven
fL a ö .
s =
. Rf
r f ) A
5i* ' 256 55«
s
64 5»'
255 2
6
256 5*
3
•
1
3
5
.
2. aB «. 16 . , ,
099. Naardien de Wet om Séries , uït radicaals Grootheden voortkomende, door middel vau eenige op voorgaande wyze gevondene Termen te vervol, gen , niet zeer gemaklyk te ontdekken is , zal ik hier nog eene andere handelwyze byvoegen, door middel van welke het begeerde in zo veel Termen als men verkiest met weinig omflags gevonden wordt. Men ftelle naamlyk de waarde der voorgemelde radicaale Grootheid gelyk aan eene Séries met on* bik nde Coëfficiënten; en deeze aldus aangenorjiene Séries verOc en zynde toe de twee ie , derde, vierde magt enx. , haar dat d:.- vVe.'tel , die uit de Grootheid getrokken moet wor !en, van dë tweede , derde , vierde roag't , enz. is , zal men eene Vergelyking, van Surden ontheven, bekomen, waar u i t , door verge'ykin^ der overéenkotuftige Termen» de aangenomens Coëfficiënten, en dienvolgens de gezochte Séries, bepaald zullen worden; zo als nu vervolgens getoond zal worden. an anl^ 300. V O O R B E E L D V I I . De Grootheid a -!-x | in eene onëindige Reeks te herleiden. Laat A + B * ° - + C * * + D / + E / - r - &c. de beeeer-ie Séries zyn. Deeze tot de tweede magt verheffende, hebben wy n
w
n
B
A + a
&56
EERSTE BEGINSELEN DER
A + 2AB* 2
2 w
+ AC*
4 B
3
+ 2 A D * " + 2Affl x
+
.
6
ere
»
B * " + 2BC/ +2BD}'4 a
4
B
a
K en by gevolg A' + aAB*
_
f l
*«
+2AC*
2 W
«
;, V
+
B ^
B
. .
a
n
+
2AD*
+
2BCx
aBDx
Derhalven hebben wy , Coëfficiënten, A«-a
4
4 S
= o ; of A — a 1
a A B — 1 = 0 ; of B ~
2 w
door , en
6 w
-h"
6 n
+yl
^c.
S w
j '
ve.gclyking
der
A- "; a
(f— - r / j _ L
;
2a n s A C + B ' - o ; of 2a X C-!
0AD + 2 B C - 0 ;
0
i
=o,enC-
n f 2a x D + 2 X
r ;
i x . . . . aa"
•AA
-1
n 1 «9
.
,
«2
'i '
— —— — 0; dat
F L U X I E-R E K E N I N G .
dat is a x D + - l
_ J _ -
n
en D
x
—
«
a
x
257
D
—=0,
;
a A E + 2 B D + C = o ; of 2 0 X E + 2 X — x n 2a 3
1 16a " 5
1 1- , 6 «
6
o;
=
£fc. = a
B /
W e l k e Séries
f
l
+ C ï
y
8a3"
Hellende n z i
1
tf 5
B
+ D i
6 w
6
5
f
- h E i
l
8
'
f
I O f l
5«
l
2
g
a
7«
z a l w o r d e n a -f- •-— 2 a zynde
c
16a
4
1 2a"
8a»
6 a
.
-i
w
~oj
n
4
5
Dienvolgens A +
—
5
f aa x EH
0
W
4
en E -
+
B
h e (
.
z e l f d
d
128a?
gevonden w o r d t ,
als men de radicaale
Grootheid
a M - * ! ^ , naar de eerst voorgedragene . i n eene Séries herleidt.
Leerwyze
2
3 0 1 . V O O R B E E L D V I I I . De Grootheid a - h b x ! ' l» eene onëindige Reeks te veranderen. 0
R
Laat
1
28
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
5
zyn. Dan hebben w y , door deeze Vergelyking tot de derde magt te verheffen , A + 3A'Bx +3A C* ,
w
ï
+ 3 A B' *
+ 3 A D ; 3 « £ v p . " | \\
c t n
2
a
2 n
+
(r
+ 6 A B C * " + £?c. \ 3
+B»*
t
+ efc.J r
3 B
en by gevolg A * 4- 3 A B * 3
n
+ 3A'C *
a n
+ 3 A-D x
+&c.l
3
n
—^"-|-3AB'x -r-6ABC* + ^ . j.JJ 2ö
3n
fl
Derhalven hebben w y , Coëfficiënten,
door
vergelyking
A — a z : o ; of A ~ a , en A r a ; b ïA'B-bzzo; 3A B~&;ofBz: ( 3
3
1
/
a
3A C+3AB r:oiof AC=-B»; a
der
2
\
b — ;
)
C r f - — = J
— —— j 5
9a*
C
6ABC + B —-zz 3A' 3
8ia
^ )
8 3
Dien-
F L U X I E . R E K E N I N G .
25!?
Dienvolgens A + B x + C * " -t- D x + &c. - a% n
hx
n
3a
5
+ 3
6 *
3 B
81 a
3
3
9a
5
302. Stellende
n
+
£fc.
in de boven gevondene Séries
(§-3oO» <»— •> bzzi , « — 3 ; dan zal dezelve 1
x*
x
6
5*
worden H
9
1
SV« z y u " 3 9 81 de Uitdrukking, welke gevonden w o r d t , als men, volgens de eerst opgegeevene Leerwyze ( § . 297 )> uit i — ** den Cabic- Wortel trekt. Deeze zelfde handelwyze kan ook toepasfelyk gemaakt worden op zodanige Radicaale Grootheden , welke negative Exponenten hebben, zo als in hec volgende Voorbeeld te zien is. 1 303. V O O R B E E L D I X . Dé Grootheid ——, in eene a-x oneindige Reeks te herleiden. 1 Laat A + B x - r - C * + D * - f . E * * & C . de a-x begeerde Séries zyn. Deeze Vergelyking met a — x vermeenigvuldigd, beeft men I - a A + a B * + a C * -h A D a : - r - a E è?c — Ax — Bx — Cx — Dx* ÊfV. Weshalven de overëenkomllige magten van x te famen vergelykerde , zullen wy hebben a A ~ i , a b - A r o , a C - B r o , aD—C30, aE—D~o l * A ^. i £ f c Dienvolgens A ~ ~ , Bzz ( ) — , CzZ a >• a ad e
a
2
d e
z e l f
s
s
1
3
%
y
R a
v
a
y
s6o
v
EERSTE
a ^ a »
B E G I N S E L E N DER
^a - a ^a - a i x .** x x* Derhalven — - +—|—-)—4 j. a-x a a» a* a /
4
/
i
5
3
3
s
a
504. Alle foorten van gebroken en Surdifche Grootheden kunnen in onëindige Reekfen herleid wordeD, door het beroemd Binotnisch Theorema van den Ridder I z A A K N E W T O N , en wel ten aanzien der verheffing tot Magten, of de uittrekking van Wortelen, op eene veel gemaklyker en vaardiger wvze , dan door eenige andere Leerwyze. Ik heb elders (*) getoond, hoe dit Theorema uit de Beginfelen der A l gebra kan afgeleid worden ; thans vergischt myn te* genwoordig onderwerp, dat ik doe zien, hoe men door de grondbeginfelen der Fluxiën tot het zelfde befluit geraakt. 305. Laat i + y een Binomium z y n , welks eerde Term de eenheid , en tweede Term eenige vooreeftelde Grootheid j> z y , en laat de Grootheid, welke ontwikkeld, of in eene Séries herleid moet worden, i + y\ zyn; van welke uitdrukking de Exponent v verönderfteld wordt eenig getal hoe genaamd, het zy geheel of gebroken, pofitif of negatif, aan te duiden. N u is het klaarblyklyk , dat de eerfte Term der begeerde Séries de eenheid moet zyn ; om reden dat, wanneer j n z o i s , alle de andere Termen vet' v
dwynen; e n , in ditgeyal, 1 -\-y") gelyk aan de eenv
heid is.
Laat derhalven 1 + A y - f B y -I- Cy -h m
n
p
Dy? (*) Meidinge tot de Mathem. Weetenfch. II. DEEL, Eladz. 94.
F L U X I E . R E K E N I N G .
*6i
8c begreepen worden de waare Waarde dér gemelde Séries uit te drukken, o f , dat het ze.rde i s , laat T+y\ zz i + Ay + By -h c / + D y - r &c, z y n , waarin A , B , C , D , 8c ra, 3» 8c. onbekende, maar bepaalde Grootheden uHdrOKken. Indien wy alsdan , y veranderlyk onderftellende, de geheele Vergelyking in Fluxiën brengen,zullen wy hebben v'yx 1 +y\ ~ — «131 Ay" * "1" 5 *3 ~ +PjCy ~ + qyDy*- -Y8c V
m
n
V
n
I
p
?
l
1
l
m
1
306. Wanneer wy nu de laatstgevondene Vergelykinge met de Vergelykinge 1 + -hDyl+tfc.
zzT+y\
Ay -r-By -i-Cy m
gen, en tevens door yxi+y\ ~~ komen V
+ yAy
+
m
v
n
deelen, zal 'er
l
vBy - rvCy -\-vDy -'r8c.l
,
P
q
7Ï^XtnAy '~ +nBy - -hpCy ~ + m
l
n
l
P
ï • •
I
gDy " 1
Dat is v+vAy
+ vBy -}-vCy
m
mA y ~ m
n
+
p
+ n Vy " + p C y ~
1
n
1
p
Ay -r-nBy -t-pCy m
n
p
(%. 3 0 5 ) vermeenigvuldi-
v
vDy +&c.zz q
4- q D j * " 8 c +
l
1
-+qDy
p
&c.
q
m
&c
1
Derhalven hebben wy door herleiding mhy m
1
+nBy ' +pCy n l
p
+ mAy
m
— v
—vAy — m
+ qVy4~
1
l
+ nBy
n
+pCy
vBy —vCy
p
n
R 3
p
&
8e. 8c
C
' \ lp J 3°7-
26*
E E R S T E
B E G I N S E L E N DER
307- Nademaal het ons nu v r y ftaat de Exponenten van y, naar welgevallen , z o d a n i g te n c e m e n , dat dezelve aan de C o n d i t i ë n der Vergelykinge vol' doen o f w e , dat alle de hier ter nede%eftelde Termen tegen elkander v e r d w y n e n ; zo Iaat dezelve z o dan.g genomen worden, dat de Termen z e l v e van g e l y k e f o o r t z y n ; dat i s , l a a t m - 1 - 0 , - i B
0
0 > H - 1 = .) 4 , e n z . ' 2 — Stellende nu deeze W a a r d e n in de boven g e v o n dene Vergelykinge ($> 3 ° 6 ) , z a l dezelve wofdeT T
;
J
A—^ By—f- Cy=—f- D3i3+ 2
3
— T - A
v
4
~ i - 2 B ^ — h
— - v — J - A J ; — vBy Derhalven Coëfficiënten, A - y - o ,
hebben
wy,
door
2
;
/
a
3
V
D +
C x v - 3 \ '
3
_
3
C - r C - o ,
4
=
0
.
fcfV.J
vergelyking of B
der (zz
2
x
3 C + 2 B - y B - o , '
^
X a
o f D C = —22
v— 1
J — ">>X
Volgens.
L
—
v x 7-7 ) -
2
4
3
of A - v ; 2 B + A - v A z : 0 ,
* A - A ^ A x v - i \
— ;
c / +
3
vCy
-
v —3 X
1
3
, en z o ver4
vJüh ^ ^ « " r e n d e n u de gevondene W a a r d e n v o o r A , l i , t , ü , e n z . benevens die van » « , » ,
F L U X
I E - R E K E N I N G .
p , q, enz. i + Ay + B , m
S63
307) in de eeFst genomene Séries B
+ C /
+ D y &c ( §. 3 0 5 ) , nulq
len wy eindelyk vinden T+y\
zz i+vy+
V
. . .
——*v»a —-• —
X V - I
V
X
V
j» - i - •
V
—\ X
4- .
V—2
y
- y*+
• • • •
8c
3 • 4
1 . 3 .
roQ. OU deeze aldus voortgebragte Séries kan eeniee Maat of Wortel van eene andere famengeitelde Grootheid, het zy dezelve in twee, d r i e , of meer leden beftaat, gemaklvit afgeleid worden. Want, Ss men onderdek , dat P den eerften Term van eene zodanige Grootheid, en Q het & « o t « « der overige Termen, gedeeld door den eerften, verbeeldt, zal . S Grootheid zelve uitgedrukt worden door P + P Q , of P X 1 + Q »
e n
derzelver v . magt door P X d e
7 + Q l , welke derhalven gelyk is aan P X . « » y
vx^Ti I
. u
v
Q
vxv'TTixv-a Q. +
+
_ _ I • •*
1 . 2
" ' ~ V"-**-* * v
rit
: |
— •
Q
J
p ' ; • in gevolge hetgeen
1 . 3 . 3 . 4 wy boven ( § . 3 « 3 ) getoond hebben. i o . Doch wanneer v een Breuk is , zo als in dit geva\ by de Worteltrekking p;aats heeft, kan dit TheoreJa, voor de daadelyke oefiening f " f " ™ * * ? gemaklyk gemaakt worden, door ui plaats van v een 3
1
E E R S T E B E G I N S E L E N DER B
'fc reu. , a/s
m
n
,
£ e
fubftitueeren; waar door dan het
Theorema in hec volgende zal veranderen: m P
n
tn
v Ï T L K i " — r,«
m
m
»
7 1
3»
2 7 1
m—n
ra
ra
2«
a»
n
3
Q + «2rV. Het gebruik van deeze Theoremata 4
zal uit de volgende Voorbeelden blyken. 3 H . , VOORBEELD X . De Grootheid ? + x ^ eene oneindige Reeks uit te drukken. Naardien de Grootheid o +~l^
_—— ~J>\i
r
2
+~j
I S
»
z u
,«
x
' l e n w y , door deeze la3tfte Uitdruk-
king met het algemeene Theorema ( § . 310) te ver. gelyken, hebben P ~ a % Q = L , a'
m
- , ,
e n
-
B
2
Stellende derhalven deeze Waarden in de laatfte algeueene Vergelykinge, zal men bekomen
a~ +x i^ 2
T
= «x i + i x ^ + £ x - i x - + * x - * x - J x a-
a +
- + a
6
F L ü X 1 E - RE K E N I N G ; X^
X
8
a° x*
a x"
x
6
5*
8a
ÖV.
i6a
3
8
a
+
aa
265
128a
s
7
Wanneer men de handelwyze van §. 297 gevolgd hadt, zou men, fchoon door een grooteren omweg, tot het zelfde befluit gekomen z y n . 312. VOORBEELD X I . De Grootheid a — x ! 3 in eene onëindige Reeks te herleiden. Daar in dit geval de gegeevene Grootheid uitge. 3
—ï drukt kan worden door a |
3
**|*
, zal m e n , a | door vergelyking van deeze Uitdrukking met het m m 3
x 1
3
3
algemeene Theorema P x 1 - r - Q j ( § . 310), hebx» ben, P n a ' , Q r , mtZi, en « - 3 . Derhal. a» ven verkrygen wy door Subftitutie B
,x">
a
f
3_jfS|3 ^ - J X I
7
T
a'
a?
-j J = a x i
6
— + f X - •§ X - f X -
r a
| x -
'
+
f x -
x
H| X — I X— I X
9
r-|X a
9
TI
X — + &e. a R S t a
- °
265
r=a—
E E R S T E
B E G I N S E L E N
ac
5
x
5*
3a
1
9a
6
io* '
9
81a
5
DHR
1
243a
8
ësV. 11
i 313. VOORBEELD X I I . De Grootheid
*
a -~yV 2
dat is a — y i " " , in eene oneindigs Reeks te herleiden. 3
J
2
L'
Hier is a — y'\
-t_x
*zza'\
2
2
?r*
x i
1 a l
; der-
2
y' halven P=a% Q~
i mzz — i, en n r 2; dus a'
1
hebben wy door Subftitutie a' — y'\~
z
r
( =
v
1
- x
1
a
3*
— |x
a
^
a'
-è x
'f
a
3>
1
3'
a
a
2a
* x - £ x - | 6
3J*
53>
8a
16a
«. | X — -HfifC = - + — + — H 353»
•
a
) = - X I - Ï X
| x —i x - | x
8
•
~7 r- \
4
8
x
1
a'\
«
1
3
5
3
7
h
8
12% a
9
1
314. VoosiiEELD XIII. De Grootheid
—,
dat is a -'r£*'""^, in eene onëindige Reeks te herleiden. Hier a
F L U X I E - R E K E N I N G . 1
Q67
x i"~^ z
j
Hier is a* + x*\~~è-a*r* X 1 + — I= - X fl'l a H — ' , derhalvenPrra*, Q - — » « — — I » en a'l a' « n a ; en fubftituëerende deeze Waarden in het algemeene Theorema ( § . 310), zullen wy hebben , /
1
~~
a'l
V a
-.^x-lx
x* a
6 > <
+
*
8
a *"ff 128a
8
8
3 5
9
*• )r-xi*-£x — / a a* 1
a'+^r^ ( = - x H —
x
6
ix-4x—lx
a
+
1 a
ix—ix-
6
«r
2
3*
4
2a
3
8a
s
5*
6
16 a
7
c. a
315. VOORBEELD XIV. De Grootheid • 1 1 dat is a x — — — — , of a x ax —x'i"" in eent ax— x ' l oneindige üee^f ïe herleiden» 5
2
- _ Naardien a * — J T ! "
— p*l
— aa;!"*"* x 1 —-1 is» «I zo hebben wy voor de gegeevene Grootheid a x 2
2
ï7r*
?68
EERSTE
BEGINSELEN DER
—-„x ax\
*
x
j
; of
o*l •
\_
f
o
m
d a t
a
x
a
, - i
x
,i
ui'
ji
al x\'i Vergelykende nu i
,"+Q|»
FFLET
<S. 3 i o ) , zullen wy hebben Q = - - ,
n~ 2. m
Derhal ven i — f j
4
m r - i , en
^ _ ~ ^ T Q j»
m— n
m
a *
X
a Dienvolgens — , 2
x
I
+
T
X
7
X
7
/ 1 =
T
X
—
/iï - x
==
F L U X I E . R E K E N I N G . x
3X
2
5r
2a
ba
1
35*4
3
+—
1
i6a'
1
X
128a*
1
3
S
2
1
\
l
+ &C ) = —
+
, * 3* 5* 35* + — +— + •+ f
'
269
*.
1 a
1
&c. =
7
2a? 8a 16a 128a* de voorgeftelde Grootheid.
** .
ï
a*—* 1*
»
2
316. Wanneer men de voorgaande Voorbeelden met een opmerkzaam oog gade flaat, zal men zien, dat , wanneer de beide Termen der voorgefte'de Grootheid pofitif zyn , en haare Exponent mede pofitif en kleiner dan de eenheid i s , de twee eerlle Termen der Séries, welke aan de voorgeltelde Grootheid gelyk i s , pofitif, als ook de overige Termen beurtelings negatif en pofitif zullen zyn ( § . 311) ; maar dat, wanneer flegts de eerfte Term oer tweeledige Grootheid pofitif is, alle de Termen der Séries , na den eerHen, negatif zullen zyn ( §, i ) . Voorts zal men onrdenicen, dat, wanneer de Exponent van de voorgeftelde Grootheid negatif i s , en de beide Termm pofitif zyn, de tekens beurtelings zullen verwisfelen, (§• doch dat, wanneer flegts de eerlle Term der tweeledige Grootheid pofitif i s , aï!e de Termen der Séries, welke aan de voorgeftelde Grootheid gelyk is, pofitif zullen zyn (5/313,). S
317. V O O R B E E L D X V . De
2
Grootheid 4 + x | J ia
eene oneindige Reeks te herleiden. Hier is
-ï* X
;derhalvenPrrfl, al
Q
=
—t •» - 5> en nzz 3,
Derhalven a-f-*!* =2 X
•270
EERSTE BEGINSELEN DER
l
a
X
— I
X
2
X
3
x i + lx— + | x | x — + | x § x — x — + a a 9 a
3
J
3
- 1 - 4 x* f x §x— X— X 1- fcfc. = 0 12 a+ 5*»
5**
1 3
1
5
J
5**
, gfe
1-
9a
ga * a + - — -f3
4 3
7 3
81a
«
243a
r 318. VOORBEELD X V I . De Grootheid
,
arx-x"|* dat is arx—x»!"' ', in eene oneindige Reeks te herleiden. 2
Aangezien 2 rx — x \"^ (
2 rx\~~
2
I
»|—*\ 2 r
l
) zz
'
1
, x
len wy, door 1
X I — —I
27*1*
r
1 ar |
is»
zul-
(§.
310)
|
m
1 )*
te vergelyken, hebben Q
nzz2.
2
X««.
2
~
met i + Q I x =
x p Derhalven 1 — — j
2f
, B " * i , en
/ y =
i +Q l
n
=
m 3 + »
F L U X I E - R E K E N I N G .
m
m—«
m
>.
1 + —Q + —X x
n —* 2r
1
n 2n —1 —3 *' h • — x — x — 2 4 4f
—1
)
8c
f
-1
=
1 +
—3
+— x — X a
4
— 1 —3 —5 —7 ** {- — x — x — x — x —
-x
3
Br
a
3
ar _
+
Q +
a
x
!
271
4
3X +
4r
15 *
1
_
3S4»' i
2
32r
+
3
319. VOORBEELD
!
8c =:
4
e>c.
+
6i44 ~ \ ~
x 1
15*
6
105**
3
1
3*
I6r
+ — —
32r"
+
8
3
+
Dienvolgens
*" 1+— AT
6
— 2 —5
3
384»"* XVII.
*
2r
+
105* 6144
De
1
=
i
x
4
+
8c.
Grootheid a + x
x
a — x 1 in eene oneindige Reeks te herleiden. 3
.
i
~~~ \* x
Vergelykende nu a — * | , of a'xi-—1 4
met
«I
m
m
X ï+QI ( § . 3io>, zullen wy hebben P - f l , x . "• Q ~ , m — 1, en « ~ 4. Derhalven a— ; 0 n
272 /
( =
EERSTE
B E G I N S E L E N DEH
-«
\
8
~ i f X
H
I
,
;
)=a xi-K>c 3
+
' —3
*'
8'
a'
X
—3—7
+ lX
—ii
x
8
i
X
r^"*»
2
Li v*
3
X
X 8
.
4
a
4
34
128 a
6144 a'
3
x
_o
4
a
* _ X — + &e. ZZZZ l- — ia 16 a m 4*a 73c 231**
—7
i
a
3
t
i * ' ?2 a u
3
Verm. met a+x Komt *
4
J
4
1 • ; 32a 128a * 3* , , 4a 33 a " 4
y-j + a*
2
4
3
4
-53 a *
II**
4
4
4
IQ,.
Dus a + 4
32a+ « +* X a
-Ti7
3
128a
4
-& ' 6144a + * -6fc. ia8a' c
4
7
3
507,4
_
Hl
6144a
3
de voorgemelde Grootheid.
f' 320. VOORBEELD XVIII. De Grootheid y-1ïl^, *•
^«rffce i t w ^ t , Aer&iVfca.
*'
' Hier
+ X
1
4
F L U X I E - R E K E N I N G .
Hier is V
- — zz & x a^+x'C a +x~'\'
*73
K
Verge-
a
_
__
s
J
a
m met P
1
X i +—
3
m x 7+~Q|
n
3
«4~*
a
lykende nu a + * l " " , ©f a ! "
71
(% 310), zullen wy hebben
x • • -P z z a * , Q r — , m —— 2, en « = 3. a*
» Derhalven .
1
a'~+x~ 1 2
^ z a * ! " * X 1+.—
3
- 2 •x X 3 a
-2
11
IH
K
-5 X
** a*
Jê —2 ' —« —b — + — X X X a 3 6 9
—ii
. ó^|"
40
"2X
a
5ï
1
X 1
3
4
a
X
12
6
= t
8
8
+ 243a
ö
X 9
\r
a
nu*
Ria
- 8 X
! ga*
a
X 3
+ 3
2
—5
1
6
6
r=a i"'ï><
-a
X
3
2
^
8c.
8
Vermeenigvuldigende nu deeze laatfte Vergelyking met a ! " ( ~ a ) , Zullen wy hebben: 1
_
3
?
9X*~
T
••l"
3
X I
SX*
- + " 3a 9a 2
4.OX
IlOX*
6
81a
4
32!. VOORBEELD X I X .
r 6
243a*
H
8c
De drieledige Grootheid
x -j-2x +3X )* in eene oneindige Reeks te herleiden. 3
4
5
S
Aan-
274
EERSTE
Aangezien
*
z u , t e n
w
BEGINSELEN
D
E
R
^Jr+JT^ZZZM*i*xiT^qT»I*
y»
door deeze laatfte Uitdrukking [e m
m
Yergelyken met P - x T + Q l " Fzzx', q=aM+ x», 3
- ,
W
>
( 5 >
e
a
3
1
0
,
)
b e b b e
3
^T7*~ P | l , , |x^+3>+1 Z! 3
-
=
x
„
« r . Derhalven x
+
6
2* + 3 * ' r + i x ~6x - —9x a T T j r » ! + x
x
3
J
^2
^5
—8
.
1
3
T
.
T T * 17 * * ^ x
xa
7 " * **t 1
12*
4
V =
* +
X
9*
5
+3
' + f *x 2T+3TI 3
s
3
40**
+
8l
4 f a r
3
6o*5 +
— +
9
B
—+
a
9 l
T • •' 1T V 3
xv
—
6
o
^
s
77 ^&
C
243
322. Wanneer de voorgeftelde Uitdrukking ia twee of meer famengeftelde irrationaak Grootheden beltaat, welke met herteken van vermeenigvuidrgme te iamen gekoppeld z y n , moet men iedere Grootheid atzonderlyk in eene Séries herleiden, en dezelve alsdan iamen vermeenigvuldigen: mits geduurig • in acht neemende, dat mm alle zodanige Termen vertvaarloost, waar van de Exponenten die van den laat-
ften
F L U X Ï E * R E K E N Ï N G .
fi?5
ften of hoogden Term,tot Welken men voorneemens is de gezochte Séries te vervolgen, te boven zouden gaan. Het volgende Voorbeeld kan tot opheldering hier van dienen. 323.
VOORBEELD X X . De Grootheid
^ a ^ ^ x ^ ï ^ x b "—xM""^s ia ce«e onëindige Reeks te herleiden. _ De eerfte te herleiden Séries is a — a; .* . • ^ i 3
3
=
a
»l?xi—-j
J =
1
a x i — .
Wanneer
i1 m ar^p , wy nu 1 — —-1 met 1 + Q l " (§• 3 i o ) aM ken,
zullen w y hebben Q r : ,
Derhalven 1 se* _ a*
+
i
X
1 = a'l -1 —3 — X — X 4 6
i
8V. ï«8a»
a
, m~l, e n « _ 2 . . . —
*» -1 1- K X - — + i X — X a 4 x° —1 —3 + * x — x - X a 4 6
' — x — + &e, s i 8 » a
o
vergely.
2
6
aa
8
8a*
—,"'» 16a 6
*7«
EERSTE
~
B E G I N S E L E N OER *»
.
Dienvolgens « x i 5*' ia8a
1 —a a'l
2
*
X
6
x
-
a
8a»
ióa
, s
&c.
7
304. De tweede te herleiden Séries is b'—x'\~^
r
T>\ )
B
x
~ i
i
x° I—'"è Vergelykende n u , als vooren, 1 m j-f-Q!" (§.
3
I
),
O
z u
— — I , en « r a .
m
e n
w
H
Z.
3
"7*
2
e t
hebben Q - — —
y
Derhalven 1 >
li
~ x — 2 »;
ii
m
ZZ\-h IV1 1
1 4
x
—l"
—3
T
7
7*
+
x
x
-*« - i - 3 - 5 _ ,8 " T - x — + — X — x — X — x — +ÖV.
- 5
7
*
6
— "« x
3
6
~ H
4
6
1 16b
6
I,-,-.'
Fj* )xi
* 5* ~~—- + 6
35*
8
1
H
b*
&c. Dien volgen» 128b*
i
3**
1 = --f- — -fb
3^3
j8
i
,
8
&c. S25«
F L ü X I E-R E K E N I N G.
277
325. Wanneer wy nu de beide gevondene Séries (§§» .323, 3 4 ) , te famen vermeenigvuldigen, zullen wy hebben a a i 3a - + X *' + b 1b lab 86 3
16b
i6ab
s
5 32a6
ióa i'
i6a 6
s
8a *
3
35 a 128*» 5
$aa b* 5
X ** +
s
5
ï
64a è 3
4«6
ï
3
3 7
1
1
3 7
I s
i28a è 7
X *
öfc.
8
voor de vyf eerfte Termen der gezochte Séries. T W A A L F D E
A F D E E L I N G .
Van ie bepaaling der Fluenten van gegeevene Fluxiën, door middel van oneindige convergeerende Reek/en. 396. W y hebben n u , zo wy vertrouwen, in de voorgaande Afdeeling door een genoegzaam aantal Voorbeelden verklaard , hoe en op wat wyze alle Breuken of irrationaale Grootheden in onëindige convergeerende Reekfen herleid kunnen worden; thans zullen wy daar van geb'uik maaken, om van eene ftuneogcfte'de Fluxionaale Uitdrukking de Fluent te vinden, door middel van den volgenden REGEL. Verandert of herleidt de Fluxionaale Uitdrukking in tene oneindige Reeks; zoekt vervolgens, naar den Regel ( § . 6 1 j de Fluent van ie eren Term byzonder, en vif^ alle die Termen met haare refpeclive tekens aan elkander } dan is de komende Uitdrukking de begeerde Biuent. S 3
3*7»
s?3
E E R S T E
327. VOORBEELD vinden. _ b De Breuk . a + a: b leid zynde, is ~ a Dit
B E G I N S E L E N
I.
DER
De Fluent van —^— x u a+ x
, in eene oneindige Reeks herbx a
1
2
bx*
bx* —+ a*
a*
vermeenigvuldigd met
£^.($.290).
komt
* —• a-'rx
bx bxx bx 'x b x* x ' — -i —- — + ; en de Fluent o a' a a* van deeze Uitdrukking i s , volgens den Regel ( $ . d i ) , bx bxbx bx* 5= + + ÖV. a aa' sa* 4a 2
1
3
3
4
328. O f , naardien de Fluxie van den HyperboliJchen Logarithmus eener Grootheid, gelyk is aan de Fluxie van die Grootheid, gedeeld door de Groot. . , b . heid zelve ( § . 4 3 ) , zo is ook de Fluent van * a+x
C
=
bx
^ = : a -!- x-s
b x Hyp. Log. van a+x*
W a n t de Fluxie van a + * i s * , zynde door a + #, bekomt men
't welk gedeeld x
—. a-hx
.
axx 329, VOORBEELD II, De Fluent des Breuks . U vinden. a—x Naar-
F L U X I E . R E K E N I N G . axx
Naardien
ax
~
. x * i s , zal de Breuk
a-x a-x in eene Sérits herleid z y n d e , X
X*
a
door x-\
1
&
279 ax
, a—x uitgedrukt worden
X*
a'
1
a
1- 8c
( § . 294).
D i t met
s
* vermeenigvuldigd zynde, zullen wy hebben . . • x'x ** -i
x'x
x*x
1
j
a
a*
V&c,
waar van de Fluent
9
a' x' * *• is: — ^ 1 J2 3a 4a* 3
volgens den Regel (§.6i)
t
x
5
'r &c
5«'
330. V O O R B E E L D Til. De Fluent van k x a + x ir. eene onëindige Reeks te bepaalen. .1 ** * * x Naardien a + x'\' = a -{ -| aa 8a' lóa a
J
1^
6
2
s
. 5*
5
.
8
• 128 a
\-8c
is ( § . 3 1 0 , zo is ook
xxa'+x-\^
7
x'x
x*x
Z— ax-\
xx
5x x
6
8
1
h 8c,
waar
2a 8a» 16a 128e van de Fluent, volgens den Regel ( § • 6 1 ) , is = 5 * * x sx ax H 1 + 8c 6a 40a 112a 1152a 5
3
5
7
3
7
9
5
7
• 331. V O O R B E E L D I V . De Fluent van X X a « — x » l ^ t» eene oneindige Reeks te benaderen, S 4 De
28o
E E R S T E BEGINSELEN DHR
De Uitdrukking a » — * * \ \ j
n
eene Séries herleid
zynde, i s r r a
g> , c
30* ( § . 312).
Qa
3
9
X
. ~ a*
3
x 'x
xx
3a
9a
3
6
— 2
5
12
waar van , als boven
243a"
8
(§.60»
d e
Fluent is a *
_ 12a
10*
11
10X X
— Qfc., 81a
243a
8
D i t vermeenigvuldigd zynde met x, zal
. 'er komen * x a» — * | 5 X
8ia
5
1
63a
162a
5
8
1 3
&C,
a
3
—
x»l^
332. VOORBEELD V . De ^/«s»; va»
x
* * in eene onëindige Reeks te benaderen. VV y hebben boven ( § . 325) gezien, dat de Waarn
a^T !^ 2
de van —
• , in eene Séries uitgedrukt, is
V — x*\* a
a
1
3a
b
26»
nab
8b
5ffl x* + ~~ ïób 7
1
3"
1
A.ab*
s
~
8a * 3
l~ .
i6ab
s
16a»*
X
3
x
i6a b 5
35« 1286»
+
F L U X I E . R E K E N I N G . 35 «
5
3
i~~
28c 5
x x* ïzib 32a/; 64a» b 32a * I28fl ^ ÖV. Deeze Uitdrukking vermeenigvuldigd met x x, en van het komende Product , volgens den K.egel ( § . 6 1 ) , de Fluent opgemaakt, zullen wy hebben 9
7
s
5
3
7
n
+
n ax
a
l
—;—
.
r
26»
ï~"~
* "
8a'fr
2ab
+
S
*"
jéa £ 1
»+3
128^» *
i6a*b
5
s
~3~
g
32aè
ö4a £
7
3
s
9
w +
X
r- fcfc
I28a £
5
4oè»
5
7~
ï&ai
7
——
+7
5
32a ^'
8£ 3
I6ó
«+ 7
5
7-
~7a
»+5
r
£ + 3
n-r-9
7
n P+Q 1 333. VOORBEELD V I . De Fluent van x + a x ^ + K
~ P + ^ l- -cx + Ére/ x x oneindige Reeks te benaderen. <
b
p +
x
3
q
Wanneer men de Uitdrukking P+2Q
i>x
m
_
I
r
+
t> + 'iQ- . &
cx
i
|
c
j
0
0
x
r
i« «nf
x + ax "^ + p
t
x
p
P i f
e n
Term, deelt, zal dezelve veranderen in .
Hellende ax + bx * + cx q
q
3q
S s
+ fifc. — y ,
q
eerften .
• •
zullen wy
48*
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
wy hebben x
pn
x ï+y\ .
Maar ï+ ~y\
n
n.n-i
•—-
n
n.n-i .n-2
i+ny +
y+ :y + £rV. C$.3<>8): 1•2 1.2.3 derhalven x x T+y\ zz x x 3
pn
».»-i
n
pn
».fa-i.«-2
,
n.n-i
.n~i.n^i _
+
*•
I.a.3
a
1.2.3.4.
n.n-i 334. Stel nu, kortheidshalve,nzA, — — - ~ B 1.2 * B.«-I.S—2
n . » - i , n — 2. n-3
~ — " =C, D - 2 . 1.2.3.4 dan zal,naSubftitutie van a* + £ * ^ + c x + £rV in plaats van de gevondene Uitdrukking (§. 333) x
3
?
worden x -hAax pn
pn
+
^ -*--TP?r X g
3 9
+ «-+-AT+ B a » x * " « ?
^^aB^ÏTCa^ x ^
y
2
+
3
ï
+ 2
+
+ AT+ "B~a7 + 2
x +44 + A T + T B a i T pn
2 B 6c + 3 C o * 7 + ~ 3 ^ a l ^ ~ 4 ^ a T - M Ë ^ 3
x
335» Er blyft dus niets anders overig , dan de laatstgevondene Oitdrukkinn C$.334,), met x ~ ' te vermeenigvu'digen, en van hei komend ProduEt. volgens den Regel ( M O , de Fluent op te maaken, n
l
x
F L ü X I E - R E K E N I N Gi
083
pn+m
x
k e n , waar door wy zullen hebben — + .. i pn + m
pn+m+q
AT+~^bTc^Xx
pn + m-iriq
^
pn+m+
Aax
H
rf,
pn+m-\-$q
Ad + 2 B T C T B ^ + S C ^ H T D I * x ? + +4 2 N
NI
JE
- r cjfr» voor de Fluent, hadt te vinden.
die men zich voorgefleld
D E R T I E N D E
A F D E E L I N G .
Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosjing van Voorftellen, waar in hegeerd wordt kromme Lynen te rêclificeeren, of haare Lengtens te vinden. O m dit Onderwerp in [eene geregelde orde af te handelen, moeten w y twee ondericheideneGevallen in aanmerking neemen. Deeze z y n : L Als alle de Ordinaten der Kromme, van welke foort die ook zy» onderling evenwydig zyn, en perpendiculair op den As ftaan. II. Ais alle de Ordinaten van eene voorgeftelde Kromme zich tot een vast of centraal punt uitftrekken, en daar in famenkomen. W y zullen, alëer w y tot Voorbeelden overgaan, ieder deezer Gevallen onder een algemeen gezichtpunt befchouwen, en daar toe gebruik maaken van de wyze van voordragt, door den beroemden W i s kunstenaar T H O M A S S I M P S O N , in zyne uitmuntende Verhandeling, ten tytel voerende: The Doe* trine and application of Fluxions, gebeezigd.
336V
t8
EERSTE B E G I N S E L E N D E R
4
r v 5f f u uitgedrukt worden door C c , of door Bn, ge/yk en evenwydie aan C r ™ « S , gelyk en-evenw'ydig aan B^r aangezien wor^ den , als verbeeldende de overéén fcnmEm™ • yan den Ordinaat CB \ dan Sf d n S n J % ? taakende de Kromme in B f ï ,^ i r T , ' welke het teelend punt p xoïde^iVhrfven! h f f f i S
2 C
^ d e n ' T f SS?. " w ^ T g
^'SatigwaS
B
fcevvoruen (.5. 205_) : wesiialven ook dpp?? I »n volgens de Bepaabng ( 9 . ) , dooV geloopene ruimte A B behoorlyk zal Sdrukken. 2
d e
337- Hicrötn, ftellende ACzzx,
1
CB-y,
e n
de
Kromme A B zz z , zal ook C c (zz Bn) — #, B r {zzSn)zz-y,
en BS r é
zy . D
Derhalven BS " - Bn'-f- sS*. Of
Z ' ZZ X'
+ y'
f
en dus x zz y'x' + En dit is algemeene uitdrukking voor de Lengte van iedere kromme L y n , welke die ook z y . ' N u kunnen w y , met behuip der Vergelvkinee van de gegeevene Kromme, welkers Lengtl begeerd w o r d t , de waarde van *» j Termen van y* of van i in Termen van 'x', vinden ; en vervolgens zal m e n , door de Fluent van de komende Vergelvkinee te bepaalen, de waarde van z, of de Lengte der begeerde Kromme, vinden. n
n
u
e e n t
t
s
8
r,n V ^. d e Geval ftelle men de Raaklyn R P f f t g 65)perpendiculair op C P ftaande, = ». den Boog B N eens Cirkels , uit C ais Radius be* fchreeven, — x, de Radius C N , o f C B , zz a C R ^y, en den Boog AR zzz; dan hebben w y ' 3
8
In
h e t
t w e e
z :'y :: C R ; R P £§,
I
S
3
)
F L U X I E . R E K E N I N G . y '
285
t.
yy By gevolg z = — . Waar uit dus de Waarde van z gevonden zal wor« den, wanreer de betrekking-van yen t gegeeven is. In andere gevallen echter zal het beter zyn de y*x' ' Vergelyking z = t/y -+- —— tot den grondflag 2
der bewerkinge aan te neemen; waarörri wy nu zullen aantoonen, hoe en op wat wyze .die Vergelykinge gevonden wordt. 339. Men verbeelde zich, dat de rechte Lyn CR rondöu het Centrum C bewogen wordt; naardien dan 1de Tnelheid" van het-tellend punt R , in eene Richtftreek!perpendiculair tot C R , in reden ftaat tot * , de fnelheid' van het punt N , als CR Qy) tot CN ( a ) , zal deeze fnejheid naar waarheid - • r
yx uitgedrukt worden door — .
Maar de fnelheid van het teelend punt R ftaat tot y, de fnelheid in de richtftreek van C R , verlengd zynde als CP (,) tot RP ( O (§. i > Derhilven hebben wy 5 3
y'* . — : y a
::
11 ».
y' x* By gevolg — - : y* : : r* ; j«. °* C«m*
48<S
E E R S T E B E G I N S E L E N DEB
Componen t) -— + y* : y' a
* + *• : **> a
2
Nu i s , volgens het Pythagorisch Leerftuk, Cp + R P - CR*, of s*-bt*—y*. a
Derhalvea
1
y* ** 1- y'
y' -
y* :
Waar door wy hebben
jy ** 3
E n by gevolg V
yy
+y>~-zzz a' * dat getoond moest worden,
,
C§- 33^)5
-1AO Aangezien het zelfde befluit of eene gemaklyker wyze uit de Incrementen , of onëindig kleine Deeltjes , der vloeijende Grootheden opgemaakt kan worden, zal het hier de rechte plaats z y n , om den Leerling het onderfcheid tusfchen Fluxiën en Incrementen te tonnen, en hem van de laatfte een juist en gepast denkbeeld te verfchaffen, W y hebben reeds in de I . AFDEELING van dit Werk f S § 2, O gezegd dat de Fluxiën van Grootheden Reeds bepaald worden door de hoeveelheden, met welke dezelve m een gegeeven tyd gelykmaatig zouden vermeerderen of aangroeijen Indien derhalven twee Grootfa ïde of L y n e n , A B en C D ( F i g . 66) te gelyk geteeld worden, door de gelykmaatige bëweeging van twee Munten B en D , zo volgt, dat de beide tuimtens Bï> en üd, welke in den zelfden tyd van die Punten B en D doorgeloopen worden, en daar door
F L U X I E » R E K E N ING.
287
A B en C D vergrooten, de Fluxiën van de geteelde Lynen A B en C D behoorlyk zullen uitdrukken. Waar uit .! envolgens onwederfpreeklyk blykt, dat de Incrementen , of de ruimtens, welke van die punten werkelyk doorgeloopen zyn , als mede de Fluxiën, in dit ( ï e v a l , waar in de teelende meilieden gelyk. maatig z y n , de zelfde zaaken uitdrukken. Doch z o , in tegendeel, de meineden der beide Punten, teelende de Incremenien Ml/ en N d , onderfteïd worden aan te g-oeijea, of af te neemen, z u l len klaarblyklyk de aldus geteelde Lynen of lncrementen 1 iet langer de Fluxiën vau A B en C D uitdrukk e n ; als zynde grooter of kleiner dan de ruimtens, welke in dcD zelfden t y d , met de ftelheden in M en N , gelykmaatig befchreeven zouden worden ( § . j ) . In de daad, by aldien deeze Incrementen, benevens de tyd van hunne befchryving, zo ukermaaten klein geDoiien w o r d e n , dat de beweeging der Punten, geduurende dien tyd, als gelykmaatig befchouwd kan worden , zal alsdan de Ratio van de gemelde Incrementen die van de Fluxiën uitdrukken, of oneindig naby als de fnelheid in M tot die in N z y n ; fchoon dezelve niet ten ftriktften als zodanig begreepen kan worden j ten zy misfchien in zekere bvzondere Bevallen. 3
b
341. Hier uit is nu duidelyk te z i e n , dat de Differentiaal-Rekening, welke met deeze oneindig kleine Incrementen, daadelyk geteeld , even zo te werk gaat, als wy doen met de Fluxiën, of de ruimtens, welke gelykmaatig geteeld mogren worden, weinig of niets van de Leerwyze der Fluxiën ver(chilt,ten zy alleen in de wyze van bevatting, en in het ftuk van naauwkeurigheid, waar in dezelve blykbaar gebreklyk is. Desniettegenftaande is het zeer zeker, dat de befluiten, welke langs dien weg opgemaakt worden, Wiskundige waarheden z y n ; en de reden, Waarom dezelve die befchapenheid hebben, is zeer gemakiyk te verklasren. W a n t , fchoon door het aenkbeeld en de eerlte bepaaling van de L e e r w y z e , the in dit Werk verhandeld wordt, werkelyk ver.
ftaan
288
EERSTE
BEGINSELEN
DE»
ftaan wordt het geheel volkomen Increment, word r o ' t h a n s , in deOplosling van Voorftel'en, denaauwkeurige Maat van hetzelve niet genomen, maar eeniglyk dat Deel v m hetzelve, 't welk uit eene gelykmaatige aangroeijing, overëenkomftig de bepaaling van eene Fluxie ( § . a ) , zoude ontftaa% en waarvan een (triKt bewys gegeeven kan worden. Doch, alh-s w l ingezien zynde, heeft de Differentiaal-Rekening één voorde;l boven de Leerwyze der Fluxiën ; hier in beftantde, dat wy in dezelve niet verplicht zyn de eigenfehappen der beweegree in te voeren: rademail -wy in de Differentiaal-Rekening over de Incrementen zelve redeueeren , en niet over de wyze op welue zy getetld*kunnen worden. 342. W y hebben hier boven gezegd ( § . 3 4 1 ) , dar, alhoewel de Incrementen van Grootheden, m .oen ftriktften z i n , niet als de Fluxiën z y n , de Ratio de) Furiën nogthans uit dczelven-afgeleid kan worden; en het is klaarblyklyk, dat hoe kleiner deeze Incrementen genomen worden, hoe nader hunne Ratio :by die van de Fluxiën z \ komen. Indien wy dernalv e n , d o j r ' t één ot ander middel , d^ flati') kunnen •vinden , volgens welke de gemelde Incrementen . door zich ezelven hoe langer hoe kleiner te verbidden, geduurig nader by elkander komen, cn waar toe z y , alyoorens te verdwynen , nader dan eenie bepaald verich.1, kunnen geraaken; dan zal deeze Ratio, welke die van de Incrementen bepaalt, in den ltriKtften zin die van de Fluxiën z y n .
343. Het nu voorgedragene zal nog meer byzon. der blykeu uit de volgende voorbeelden; waar in de bandelwyze, om de Ratio der Fluxiën uit die der Incrementen afte leiden, wordt voorgedragen. i . Laat voorgefteld worden de Ratio dtr Fluxim van x en x te bepaalen. Indien men nu ouderftelt,dat * vermeerderd wordt 9
2
met eenige kleine Grootheid * , zulks dat dezelve wordt
F L U X I E . R E K E N I N G *
289
wordt x + x; dan zal het Vierkant van x vermeerderd Ai worden tot * + *|
• ' =X'+zxx
" + xx;
derhalven
zal het Incrcment van x zyn 1 x x -f x x;
t welfe
2
derhalven tot x, het ïncremeni van * , ftaat, als tx + xtot u Hos kleiner derhalven x genomen wordt i hoe nader deeze Ratio by die van ax tot I , welke haare Limiet is, zal komen , en derhalven zal de Ratio der Fiuxien uitgedrukt worden door die van 2* tot i , of, dat het zelfde is, door die van zxx tot x ( § . 19). 2 . Laat de Ratio der Fluxiën van x en SE worden.
begeerd
0
Indien dan x vermeerderd wordt tot x-bx, zal * n-i
s
' * +
vermeerderd worden tot x-\-x\ _*<-!-»* _
, '1,2 (§• 3°2).
B
- v
+
*" x tyc... i.a-3 Derhalven zullen de Incrementen van # 3
2
én # tot elkander in reden zyn, als 1 tot nx ~ n
n
a
1.3
" -
2
;
*
+
a
3
1
-F
**G?f.Hcd
1 • 2 ,'3
kleiner derhalven * genomen wordt, hoe nader de Rofio by die van 1 tot nx ~ , welke, zo als bïykr$ haare Limiet i s , zal komen. Derhalven is deeze' T laa.a 1i
1
aoo
EERSTE BEGINSELEN DER
laatfte Ratio, of die van x tot nx " der begeerde Fluxiën ( § . 24 ). n
1
'x,
de Ratio
344. 5°. Laat voorgejteld worden de Reden der Fluxiën van de zyden AC en BC (Fig. 67}, eens rechthoekigen platten Driehoeks A B C , te bepaalen; in de onderjtelling, dat de Perpendiculair AB onver anderiyk bhft. Onderftellende dat Cd eenig Increment van B C , en Drf het overësnkomstig Increment van AD (zz A C ) verbeeldt, dan hebben wy, volgens myne Grondbeginfelen der Driehoeksmeeting ( § . 96), in den klei•en Driehoek C D d deeze evenredg-heid: C d : Dd :: Sin.LCDd
:
Sin.LDCd,
Ey gevolg zal de Ratio der Incrementen van BC en A C in 't algemeen uitgedrukt worden door die van de Sinus des hoeks CDd tot de Sinus des hoeks DCd. Hoe kleiner nu de Incrementen verönderfteld worden te zyn, hoe nader de hoek C D d gelyk zal worden aan eenen rechten hoek , of aan den hoek B , welke deszelfs Limiet is, en hoe nader ook, ter zeiver tyd, de hoek D C d gelyk zal worden aan den hoek B A C Derhalven is hier de Ratio, welke toe een Limiet van die der Incrementen verftrekt, die van de Sinus des hoeks B (of Radius} tot de Sinus van den hoek B A C . Welke Ratio desgelyks die vaa de begeerde Fluxiën uitdrukt ( § . 153). 345. Op de zelfde wyze kan de reden der Fluxiën van andere foorten van Algebraïfche en Meetkundige Groorheden nagefpoord worden; doch het zou ver» gceffthe moeite zyn ons by dit onderwerp langer op te houden. Ik zal dus alleen hier nog eene aanmerking by voegen , betrek kelyk tot de waarden van eenen Algebraïfchen Breuk , in die byzondere omHandigheid, waar in beide deszelfs Teller en Noemer gelyk aan nul worden, of ter zelfder tyd verdwynen» Welks Waarde, zo als uit het boven geleer-
F L U X I E . R E K E N
I N G .
291
leerde volgt, gevonden zal worden, als men de Fluxie van den" Teller door die van den Noemer deelt. W a n t , nademaal de Waarde eens Breuks, in die omftandigheid , befchouwd moet worden a!s de limiteerende Ratio , tot welke deszelfs twee Leden, Teller en Noemer, alvoorens te verdwynen , moeten famenloopen: en aangezien de Fluxiën fteeds door die Ratio uitgedrukt worden , is de waarheid van den R e g e l , of ftelling , hier door openbaar. — W y zullen dit door een Voorbeeld nader ophelderen. x -a 2
346. Laat derhalven de Breuk
2
x—a
voorgefteld
worden, ten einde deszelfs Waarde te vinden, wanneer xzza i s , en dus de Breuk in g verandert. Indien wy den Teller door den Noemer deelen, is het Quotiënt x + a; en Hellende xzza, zo is de Waarde des Breuks ZZ 2 a. De Fluxie van den Teller is — 2 x x , en die van den Noemer ~ * ;
derhalven is de Fluxie des Breuks
2 xx — —
zz zxzzza,
als vooren»
x 347. Daar het fommigen een Wonderfpreuk moge fchynen, dat § gelyk aan eene eindige Grootheid i s , zal het, onzes bedunkens, niet ongepast z y n , hier de onderfcheidene eigenfehappen van o (niets) en van het oneindige te verklaaren. Het is klaar, dat nul of niets by eene Grootheid opgeteld, of daar van afgetrokken zynde, dezelve noch grooter, Doch kleiner maakt. Desgelyks, wanneer eene Grootheid met o vermeenigvuldigd, dat is nul maaien,genomen w o r d t , zal het Product nul of niets z y n , T a
L
a a t
292
EERSTE
BEGINSELEN
DKK
b Laat —zzq z y n ; dat i s , Iaat het Quotiënt a
, of b
gedeeld door fl, gelyk aan q zyn. Indien dan b onveriinderlyk het zelfde blyf'c uitdrukken, zo is her. k b a r , d3t hoe kleiner a h, hoe grooter het Quotiënt q zal zyn. Laat a oneindig klein bHren alle raaien z y n , dan zai q oneindig groot buiten alle paaien zyn. Wanneer derhalven a niets is , zal het Quotiënt q oneindig zyn. Waar uit volgt , dat, b naardien - ZZ oneindig is , derhalven b zz nul x o •" 3 ' >w oneindig zal zyn.
3:8. Men ftelle zich voor eene Reeks van Geometrisch evenredige Grootheden, a i s * , x , x , x*, x , £fff. Indien dan deeze Reeks naar de linkerhand 1 1 wordt voortgezet, zullen wy hebben x 1, - , — 2
s
5
t
ar
x"
&c\ dat i s , X , * ° , se"" , x~ &c. , in welke Magten de Exponenten geduurig met 1 verminderen; en dus is hec klaar dar x°zzi is, hoedanig ouk. x genomen worde. Derhalven o ° ~ J . 1
1
2
349. Laat x eene oneindig kleine Grootheid z y n , buiten alle verbeelding, dan zal in dè Keeks*, ar , * , **, x iedere Term onbepaald grooter z y n , dan de volgende» En wanneer xzzo i s , dan is in de Reeks | , o ° , o , o , £fc. ? eene oiiëind.ge Grootheid , en o is niets , zo ais boven (§• 346) getoond is. Derhalven is o eene eindige Grootheid. Stel o°zzb, dan is § : b : : b : o , en by gevolg I x o 1x0 zzb*, dat is J ~ zz 1 ; waar uit wederöm ten o klaarften blykt, dat b of o ° zz 1 is. 349» 1
s
5
1
=
a
a
F L U X I E - R E K E N I N G . a 350. Laat
293
a ,
o f de Breuk
, die daar
1—1 aan gelyk i s , eeue o n ë i n d i g e Grootheid z y n , dan zuilen w y , door de deeling daadelyk te venichten, a hebben,
a — a-Y-a-ba
H
I—I
1 —1 a —-fl — a — a -i
. -1 + 1
a , en
zz -1+1
a » Deihalven — — -f- a 4 1 —1
a a + a zz
a — a— a
, waar uit volgt,
1 — 1 dat eene o n ë i n d i g e Grootheid door eindige Groot* heden Dimmer vermeerderd, noen verminderd wordt. 351. Uit ^ het nu voorgedragene , wegens de cïgenichapperi van o o f niets, worden natuurlyk deeze onloochenbare Gevolgen afge'eid. I. Als o met eene eindige Grootheid vermeenigvuldigd wordt, zul het Proauè o zyn II. Als o met eene oneindige Groothid vermeenigvuldigd wordt, zal het Product eene eindige Grootheid zyn. Of eene eindige Grootheid is een midden - evenredige IUSJchen nul en oneindig Want c x oneindig ~ £ ( § . 347). U i Ah eene eindige Grootheid door • gedeeld' wordt, zal het Quotiënt eene oneindige Grootheid zyn. Want
h
•
- zz oneindig ( § . 3 4 7 ) . o I V . Als O door o gedeeld wordt, zal het Quotiënt eene eindige Grootheid van eenige foort zyn. vVant, door G E V O L G I . , is i x o r o , eu derhalven °zzb, eene eindige G r o o t h e i d , of niets. V . Daarom ook o ° ~ i , of de oneindig kleine Magt van eene oneindig kleine Grootheid, is oneindig naby 1. V I . Als men eindige Grootheden, welke die ook zyn, T 3 by
294
E E R S T E
B E G I N S E L E N DER
by eene oneindige Grootheid optelt, of daar van af , maakt zulks geen verandering. V i l . Wanneer dus in eenige Vergelykinge, waar in fommige Grootheden voorkomen, welke oneindig kleiner dan andere zyn, kunnen dezelve uit de Vergelykinge verworpen worden. V l i l . Eene oneindige Grootheid kan tweezins befchouwd werden, naamlyk als pofitif, of als negatif.
b Want
b , of
+ o
zz oneindig. —O
3 5 2 . M e n k a n niet ontkennen , dat i n de L e e r a der oneindigen en nieten, zaaken voorkomen , w e l k e buitengemeen f p i t s v i u d i g en moeijelyk te bevatten zyn. S c h o o n echter de v o o r w e r p e n zeiven b o v e n onze b e v a t t i n g z y n , is het e v e n w e l buiten onze magc de k r a c h t v a n b e t o o g i n g , belangende hunne M a g t e n , eigenfchappen en gewrochten , te w e d e r ftaan; w e l k e eigenfchappen w y , z o w y durven vert r o u w e n , n u naar b e h o o r e n , en o p eene v o l d o e n d e w y z e , verklaard hebben. Metaphyfifche denkbeeld e n , w e l k e buiten deeze W i s k u n d i g e b e w e r k i n g e n g a a n , b e h o o r e n niet t o t d e n k r i n g , b i n n e n welken een W i s k u n d i g e z y n e navorfchingen beperkt. G e n o e g z y het ons te z e g g e n , d a t o , i n eenen W i s k u n d i g e n zin , n i m m e r een volftrekt niets betekent ; doch e v e n w e l altoos niets i n betrekking tot het v o o r w e r p , dat men voor heeft t e befchouwen. O m dit o p te h e l d e r e n , z o laat onderfteld w o r d e n ' , dat w y d e n I n h o u d b e f c h o u w e n , w e l k e tusfchen d e n Bafis v a n een Parallelogram en een L y n , e v e n w y d i g aan d e n Bafis getrokken , befloten i s . Immers is het k l a a r , dat h o e nader deeze L y n by den Bafis g e t r o k k e n w o r d t , hoe meer de I n h o u d z a l v e r m i n d e r e n ; t o t dat t e n laatften, wanneer die L y n o p den Bafis v a l t , de Inhoud niets wordt, D u s verandert hier door d e I n b o n d i n eene L y n , w e l k e n i e t s , o f geen deel v a n den I n h o u d , i s . M a a r d e z e l v e blyft fteeds een L y n ,
cn
F L U X I E - R Ë K E N I N G .
295
en kan met andere L y n e n , d o c h geenszins met Vlakken, vergeleeken worden. 353. O m deeze Leerwyze nog in een klaarder daglicht te ftellen, zullen wy trachten eenige tegenwerpingen, welke daar tegen ingebragt kunnen worden, met klem van boncl'ge fluitredenen, die alle ervarene Wiskundigen, wy houden ons des verzekerd, uier hunne roeftemming zullen begunstigen, u*t den weg te ruimen. Vooreerst zou men kunnen zeggen , dat, wanneer men, in plaats van den Inhoud eens Vlaks te befchouwen, de lengte van eene Lyn in aanmerking neemt, alsdan natuurlyk zal volgen, dat, wanneer haare lengte verdwynt , dezelve een Wiskundig J'unt, of wel niets, zal worden. Doch z y , die zulke tegenwerpingen mogten d o e n , weecen zekerlyk niet wac zy zeggen; alzo hunne eigene fluitredenen genoegzaam zyn , om hen te wederleggen. Want wanneer de lengte van de L y n verdweenen i s , dan wordt dezelve een Wiskundig Punt, of niets; dat i s , dezelve wordt niets, wanneer zy met eene L y n vergeleeken wordt. W i l men nu zeggen, dst een Meetkundig Punt volftrekt niets is , dan beweeren w y , dat het voor Meetkundigen onmogelyk zou z y n , vaa een Punt, als eene Meetkundige uitdrukking, eene bepaaiing te geeven , naardien een volftrekt niets geene wyze van beflaan heeft, en in geene Weetenfchap eene bepaaling kan zyn. Ik z e g , dat eene L y n niets i s , wanneer dezelve met een Vlak vergeleeken wordt, fchoon zy in zich zelve iets is. E n om de zelfde reden, is een Punt niets, wanneer het met eene L y n verge'eeken w o r d i , fchoon het een ding i s , dat op zich zelf beftaat, en geenszins volftrekt niets is. 354. De tweede tegenwerping komt hier op neder, dat wy geen Wiskundige Punten te famen kunnen vergelyken , uit hoofde dat zy feenemaal van deelen beroofd zyn; en dat 'er buiten deelen geene vergelyking kan plaats hebben. M e n zou niisfchien kunnen denT 4 ken,
256
EERSTE
BEGINSELEN DER
ben , rlac dingen qp de gemaklykfte w y z e te famen v e r g e l e e k e n kunnen w o r d e n , wanneer z y onder gel y k e piKltandigheden , en v a n de zelfde foort z y n . W a n t pnnten moeten o f o n d e r l i n g g e l y k , o f o n g e l y k z y n ; en z a l ' e r eene vergelyking plaats h e b b e n , moet 'er o o k eene g e l y k h e i d z y n . M a a r indien é é n der dingen v a n deelen o n t b l o o t is , en het andere deelen heeft, k a n tusfchen d e z e l v e , als onderfcheidene fcorten van dingen z y n d e , geene v e r g e l y k i n g gemaakt w o r d e n . Intusfchen is het gemis van deelen geenszins de reden , w a a r o m dinaeo niet te fam e n vergeleeken k u n n e n w o r d e n . B y v o o r b e e l d , gefield z y n . e , dat iemand mogt b e p r o e v e n eene L y n met een V l a k te v e r g e l y k e n , en tot reden g a f , dat z y niet te famen vergeleeken k u n n e n w o r d e n , o m dat z y b:-iden van deelen o n t b l o o t z y n , z o u m e n z e k e r l y k o m z y n e dwaaze en o n z i n n i g e reden e e r i r g moeten lachen , naardien d e waare reden i s , d a t z y v a u o n d e r l c h e i i e n e foorten z y n , e n ' e r o m die reden geene v e r g e l y k i n g gemaakt kan w o r d e n . E e n e derde tegenwerping is deeze , dat de Nul jlegts de Limiet of fcheidspaal tusfchen negative en pojitive Grootheden is, of wel het punt, van waar zy beide beginnen, en wa'ir door zy moeten gaan, ten einde haare benaaming te veranderen. D i t te o n d e r l t e l l e n , verraadt men z y n e onkunde , wegens het g r o o t e n m e e n i g v u l d i g gebruik van de n u l "in alle Arithme'Afche b e w e r k i n g e n . O o k z o u uien i n de O p l o s l i n g van Voorftellen w e i n i g bedreeven moeten z y n , o m niet te weeten , 't geen nogthans d i k w e r f g e b e u r t , dat o é é n der W o r t e l e n van eene V e r g e l y k i n g k a n z y n ; en alsdan heeft o eene z o w e z ^ n l y k e , v e r fraanbaare en bepaalde W a a r d e , als 1, a , 3, 4 , e n z . , en dit i3 i n de daad iets m e e r , d n de bloo* te fcheidspaal tusfchen negative en pojitive G r o o t heden te z y n ; eene zaak waar mede de A l g e b r a ï s t z y n hoofd niet breekt, t e r w y l h y alleen acht Haat p p het w e z e n l y k gebruik v a n dién W o r t e l , wanneer hem d e z e l v e v o o r k o m t .
\
F L U X 1 E - R E K E N I N G .
297
356. Thans zullen wy den draad der redeneerirg, dien wy voor eene zeer gewichtige befchouwing hebben laaten vallen, weder opvatten, om naamlyk
te toonen, hoe de Vergelyking z ~ \Y
a-
+ y*
(§. uit de Incrementen der vloeijende Grootheden afgeleid kan worden. Gefteld zynde, dat Km, rm, e n N n (Fig. 6 j ) eenige zeer kleine overëenkomftige Incrementen van AR,
C R . , en E N verbeelden; dan is
rm^'y, en K » = i . ze evenredigheid.:
Km=z
t
Derhalven hebben wy dee-
C N : C R : : de Boog N « : den gelykvormigen Boog R r . Dat is a : y : : x : den Boog R r . t
By gevolg is de Boog R r = — . a Indien nu de Driehoek R r m , w e l k e , terwyl het Punt m naar R te rug keert , lleeds meer en meer gelykvormig aan den Driehoek C R P w o r d t , als rechtlynig befchouwd wordt, zullen wy hebben t
-—3 — • —, , y'x' , Rm ~ R r + rm ; dat is z zz h y** Indien a
wy derhalven , in gevolge §. 343 £f feqq., z, x en y voor z, 'x en y in plaats ftellen , zal 'er koT 5 men
298
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
men z ~ — ^ - r - y , e n daarom ook Z~1/ Yy * a* a zynde de zelfde Uitdrukking, die boven ( § . 339) gevonden i s . 2
a
2
2
357. V O O R S P E L D I . De Lengte van de Kromme A B ( T i g . 68) zzz te vinden, welkers Vergelykinge (Jlelïende de gegeevene Lyn A G ~ | a , G C ~ x , e n C B — y , ) U 2 x a + x * | ^ = $ct y. a
2
De Fluxie van deeze Vergelykinge is 3 x a + 3? t ^ X 1
. nxxzzza'y',
. zxx , derhalven y zz x 3 x a + x \ * zz 3a 2
2
2
nxx . 4a;'* —— x a + * | % en y = x a'-hx' zzzzz a a 4a*x* x -\-AX*X* ——— ' • . Subftitueerende nu deeze Waar. a* 2
t
2
J
2
2
3
2
de ven y
in de Uitdrukkinge van i=si-+j-j^
2
( § • 337) > zullen w y hebben , z = • • x •
.
.12
.
a*x + 4 0 ' x' + 4 * * x | 2
.
.
.
.
.
a x-\-2x x
a
2
2
a* a Fluxie van de Kromme A B , welkers Fluent is z zz a*x + %x* ax • CS» 61) zz x-i — de Lengte van a a* de begeerde Kromme A B . 358. 2
3
2
3
F L U X I E - R E K E N I N G .
299
358. VOORBEELD II. De Lengte van eenen Parahooi te vinden. Laat de Parameter ~p zyn Stel de Abfcisfe A C (Fig. 69) zz x, den Ordinaat C B — y, en d- Kromme A B r : z. De Vergelyking van d?n Parahool is y'—px ( Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde §. 21). De Fluxie hiervan is 2 y y ~px. B y gevolg x zz
, en derhalven x' zz
p
.
p»
Sub-
ftitueerende nu deeze Waarde van ** in de Uit• « ~\i drukkinge van z zzx* -'ry \
( § . 3 3 7 ) » zal 'er ko-
a
. 4y*y
2
men,z=:
x
. h y
2
=
1
?
• y - x p -b43H P 2
a
.
Wanneer wy nu de Magt p + 4 j | * in eene Séries ay' 2y* herleiden , zullen w y hebben : p H — H P f 4^ " • y A — —- ÖV. Derhalven z ( = - x p + 4y*(* ) P V p / a
s
3
6
t
2
s
y ay' = - x p+ — P p ay'y
ay*
ty
6
r- —
P
—
. . 8 V . , dat is z ~ y
P
3
5
ay*y
^ySy -I- ' r — — • — S V . E n de F/«enf p p* p 2ji ny 4jy van deeze Séries is s z r j - j + &c» 3P' 5P* 7P 1
3
6
s
5
7
6
359»
goo
E E R S T E B E G I N S E L E N DER
359 Vor>KbEELD III. De Lengte mn den HalvenCubifchen Parabool, welks Vergelykinge is p x ZZy te vinden D e Vergelykinge px'zzy* herleid z y n d e , is 1
_
_
°
y
^
— — > en i _ — ,
x
My
. 9y'y' Dienvolgens x* zz 4P
2
. A/>*
** + y
waar van de Fluxie is x —
( § • 33?; =
l
, en z
. , ,
2
by'zz
. jf X 4p + Derhalven hebben wy z —
.
yyj
2
.
2p^ 360. Om van de laatstgevondene Fluxie (§. 359) de JïaeBt te vinden, zo ftelle men, naar aanleiding van §. 65, 4/> +93/1- — v ; dan is 4p + 9yzz v , en 2
. . <j/y— avv ( $ . 31): derhalven y± ,
volgt, dat y x 4P + 9y\
2
2 v» Fiuewï hier van is —— 27
4 ? + 9 3 ' l ; dus v* 2
2 VV
ZZ — 9
avv • 9
Waar uit
2VV
x v—
is. De 9
§. 61): maar v '
4^+971^
Daaröm — 27
. . . =r
F L U X I E . R E K E N I N G .
301
2X4? + 9 ^ . ~ , de Fluent van y x 4P + 9 . y l . By 27 2
. / yx gevolg is de Fluent van % I — .... * *x4p+9y\* = 1
ap^
4p+9y\* — . ,
4P+9y\*\ ,1 — /
Om deeze Fluent te
_i
27X2p 27p verbeteren , zo ftel dezelve — o ; dan is ook yzzo 2
2
4p-\-Qy\*
CS- 6 9 ) ;
waar door w y hebben
•
..
•
27 p"" 2
8p
5
a 7
8p — •— .
pi
Derhalven is de verhc terw!e Fluem
7" V
3 6 r . VOORREELD I V . De Lengte eens Bosgs vak een Cirkel te vinden. Laat de Radius Oh f Fig. 7 0 ) n a .zyn. Stel de Abfcisfe A C = x , den Ordinaat C B — y, cn den Boog A B ~ z ; dan is C O z r a — * . N u i s , volgens de gronden der Meetkunst, A C X C D = CD••* Dat is x x 2a —x of 2ax—x' =
— y* y
3
Van
Soa
EERSTE
B E G I N S E L E N DER
Van deeze laatfte VergelykiDge de Fluxie
nee-
mende, zullen wy hebben, a a * — a**— 2yy;
dat
•V
•
is alc—s'x—yy
t
•
yy
en * —
. a —*
363. Wederom i s , i n gevolge het Pythagorisch Leerftuk, C Ö ' - r - CB ' = O Ë \ Dat is a—*!*-+• 31* = of a — x\ Dus a — x
a\
z^: o -
j'
1
.———___ •a —
y \v.
a
i
Subftitueerende nu de laatstgevondene Waarde van a—* in de Fluxie van * , §. 301 gevonden, yy
zullen wy hebben * zz y'y* a~—y*
.
j derhalven x-
Deeze laatfte Waarde van 'x- gefubftitu.
eerd in de Uitdrukkinge van zzz'x'+y*I^(§, . zal dezelve worden, z = '
=
=
y*y* — - — j
. 1 t ay x~a*—y*i , s
, | s
|
337), Z
=
. «,;
de algemeene Uitdruk-
F L Ü X I E - R E K E N I N G . drukking Kromme.
voor
de Fluxie
5
o
3
van de Lengte der 8
U C I
363. Wanneer men na a - ï | " ^ r s , 56a') in eene onëindige Reeks herleidt ( § . 314;, zal 'er !
. i komen: — | a 231j
+
y
h
2a
3J* 8a
3
429J
ia
1024a
Sy
35J
6
1
f.
5
16a
+
&Cm
2048a
H
x a
2a
1 3
231 y *
H
! 8a
2
256a
9
iöa
11
+ &c
y + -Z 2a a
128a
ö
ZZZZZ
15
H£!i
+
4
6
^ j I 0
ajón
8
•sij«»j 1024a
1 0
13
E n de Fluent van deeze
1 4
( § . 61) is 2=j H
H
6a 23IJ *
a
^r
g ) ---
128a
7
+ {jfc. 2048a
13
2£lL +
2048 a
3
1 16a
5
-r-
8a
(§,
1
+ +
11
429 j "
1
1024a
2,56a
9
15
By gevolg z zz ay x a' ay
.4.
128 a
7
6^j?°
8
14
+
13
J
1
1
+ 40a 112a I43J 4
+ 0
1152a
1
15
1 f- 8c. == 2ói6a*° 13312a 10240a * de Lengte van den Boog A B .
"7
1
11
1
304
EERSTE
BEGINSELEN
DER
3641 Om dit Voorbeeld eenigermaate op getallen toe te pasfen, als het beste en p;ef'chiktfte middel* om de Proportie van den Divmeter to: den Omtrek eens Cirkels , zo na als m?n begeert , te vinden, zo ftelle men de Radius O A zz a ( § . 361} zz ï * en den Boog Graaden. Dewyl dan de Sinus eens Boogs gelyk aan de halve-Pees van den dubbelden Boog, en de Pees van 60Graaden g !yk aan de Radius is (zie myne Grondbeginfelen der Drie' hoeksmeeting §. 14 >, zal de Sinus of Ordinaat C B —J ( §• 3 ° ' ) — i y » derhalven zullen de Termen van de boven gevonden Fluent, in Decimadle Breuken herleid, en ouder malkander geplaatsl z y n d e , aldus ftaan: P
z
, , , , ,
n
e n
500000000 £rVrf 020833333 002343750 000348772 000059339
a 0O0OIO923 ,
0O0OO2I18
,
OOOOOO426 &C.
Hier van is dt Som , 5235987 &c. zz de Lengte van den Boog AB» Naardien nu de Boog van 30 Graaderf , welke w y boven tot een maatftaf aangenomen hebben, het twaalfde-deel van den Omtrek eens Cirkels i s , zo vermeenigvuldige men de nu gevondene Lengte van den Boog A B , naamlyk ,52350$? ÖV., met 1 2 ; dan zal 'er komen 6,2^31^5 £rV» voor den Omtrek eens Cirkels, wiens Radius 1 is. Derhalven 3,141592 êfc. zz den Omtrek eens Cirkels. wiens Diameter 1 is. 3Ö5.
F L Ü X I E - R Ë K E N I N G .
305
365. De nuttigheid, welke in dit V O O R L E E L D ligt opgeiloten , en waar door de flaaffche arbeid van onzen met recht verdienstelyken Landgenoot L u JDOLF VÜN K E U L E N , in zyn Boek over den Cirkel, ten toon gefpreid, in eene zeer eenvouiige en gernaklyke berekening veranderd wordt, noopt ons deeze ftofte m g verder te vervolgen , en in een algemeener daglicht te (lillen. W y zullen daar toe den gronten Engellchen Wiskunstenaar T H O M A S S I M P S O N op het voetfpoor volgen, o m , naam]yk, de Sinus, Sinus Ver jus, Tangens , of Secans van eenen Cirkelboog als bekend aan te met ken, ten einde daar uit de Lengte van den Boog zeiven, ia Termen daarvan, te vinden. 366. Stel de Sinus Ver pus A C (Fig. 70) — * , de Sinus C B , als vooren ( § . $61 y zzy, de Tangens A T r t , de Secans OTzzs, den Boog Aözzz, en de Radius OA , of O B , zza ( § . 361). U>at desgelyks Bfizzx, nbzzy, en Bbzzz zyn. Nad.-maal dac de hoek bn& (zzeenen rechten hoet) r O C 3 , en bBn (zz eenen rechten hoek — £ » B O ) = £ . O B C i s , zyn dienvolgens de Driehoeken bBn en OfcSC gelykhoekig, en daa öui ook gelykvormig. Derhalven hebben w y , r
CB : O B : : B » : Bb* Dat
is y
:
a
::
'x
: z.
ax Derhalven z ±=
y
Dewyl nu aa*—x*zzy* U
C§» 3 6 O 1 zo ïs ook 2 a * — ï * | * zzy, en daarom, . door Subttitutie, z zz
ax
.
s a * — *"
V
307.
3
oó
EERSTE
BEGINSELEN
DER
367. Wedetötn hebben wy deeze evenredigheid, O G : O B : : nb : B&. Dat is a — j ! * : a a
:: y :
2
z.
ay Derhalven s r
, de zelfde Uitdrukking,
a— j ' l 1
die boven ( § . 3 6 2 ) , gevonden is» 368.
2
langs eenen anderen weg,
D e nu gevondene twee Waarden z
ax
. ( § • 3 Ö 6 ) , en zzz
~—;
ay
; ( § . 367) 2a*-* |* a — vertoonen de F/tme van den Boog in Termen van de Sinas Verjus en Sinwr refpeöivelyk. Doch om de zelfde Waarden in Termen van de Tangens en Secatis te verkrygen , hebben w y , door gelykvormige Driehoeken: t
2
2
O T : C A :: OB : O C . Dat is * ~
: a
::
a
* B y gevolg O C — — — •
: OC. a'
.
a +i'\
s
T
i
a a Hier door is A C zza — — ZZZZZ, a — — %
1
a^+T'i*
f
Derhalven heeft men voor de Fluxie der laatstgo a's vondene Uitdrukking ( § . 3 1 )
a'tt ——
**
•••» a'+t'l* 369*
.
FLüXIE.REKENING.
~o? 3
369. De gelykvormigjieicj der Driehoeken bB% en G A T verl'chaft ons wyders de volgende evenredigheid : A T : O T i'. Bn : Bb. Dat is s'—a'l^-t
: fra
+ t l * : : — s s 1*1
a
2
*•*
a*ti
—:
%.
aM-7'1* . By gevolg z =
370.
(I* s — — ——
fl
a
=
£ •
Uit éécé der vier nu gevondene
naamlyk
a ar •" J ( § - 3 ö ö ^ , sax-K ]-
Fluxim
y
> • ( § . 307), a — y*\*
1
1
a*i
o't ,
( § . 369)* "I
d e
Waarde
a- + t' -—Ui van den Boog zeiven, door de Fluent jw eene oneindige Reeks te benaderen , desgelyks bekend worden. Doch de derde van deeze Fluxiën, in Termen van de Tangens uitgedrukt, waar in geeo radicaale «jrootheid gevonden wordt, is de gemaklykile voor't gebruik; niettegenftaande de eerfte van deeze Ftuxiën het fpoedigst afloopt. 371. Indien derhalven
a' i a + ï» 1
in eene onëindige
3°8
EERSTEi BEGINSELEN
DER
Reefes veranderd wordt, zullen wy hebben z ZZZZ
.
t*t a
tn
ti
t*i
a*
a
a
a
6
6
v°t
%
t
Wt "ö^*" ~~
+
o
a
1- 6rV., en by gevolg z ~ (
t
t*
7
7a 9« 11 a den Boog A B . 6
t
t"
8
13
1 0
+
i 3a*
ja*
1 3 a » ~ 15a * 1
+
&
t
'
=
372. Wanneer nu wederom, als boven r s . i & o A B voor een Boog van 30 Graaden genomen en OA 1 gefield wordt, zullen wy deeze evenredigheid hebben: * OC : C B : OA : A T .
Dat is it/s-.t (•} ;,: 1 : u By gevolg t (=
-L) =
V
\ = ,5773502,
Derhalven t (zztxt*zztxl)
zz ,1924500
3
* C=t*Xt zz~^\ zz ,0641500 3 5
y
(*) Naardien, in dit geval, OC de Sinus van 60 Graa-
den, en CB haare Cofinus verbeeldt, zo is, volgens de Grondbeginfelen der Diiehoeksmeetkunde. de Straal = 1 zynde, de Sinus van 6 o « z i | / 3 , en de Co/mm. of wel ae Sinus van 30*, ZZ.1.
F L U X I E - R E K E N I N G .
309
^frrx^rri^z,0213833 t fzzt xt*-—} zz ,0071277 9
*" ( r r ^ X ï ' r - ) =
,0023759
t
( zzt" t'zz~) zz ,0007919 3 *
*
(zzt xt*zz—) zz, C002639 3 < 8c
13
x
15
13
Dus AB = , 5773502
-f-
,0213833 ^ , 0071a77
3 , 0033759
7 9 ,0002639 • ,0000879
,0000293
'5
~
17
^
5
5 ,OOO7
9 T 0
~7~~ 3
,0000097
17
4
19
,0000032 — — »5235987 : dit met 12 vermeenigvul-
ttV-M
m e
°W l e ' ®? Z ) j a<* K e Sfo r 6 2
ï8
Pr„L^ ', ^. ' ^ rkei8
3
voor den Omtrek ? derhalven is de
i s
S2ES: T ^ ottT ?59rèc? n
a
ke,s t u t d e s z e , f s
4
v
3
Laat
3
io
EERSTE BEGINSELEN
DER
Laat de Radius OA (Fig. 7 1 ) van den teelenden Halven-Cirkel zza zyn.. Stel de Abfcisfe A C zzx ^ den Ordinaat CB zzy, en den Boog A ö z ; z ; dan is C F r z a — x. Nu i s , volgens de gronden der Meetkunst, AC X CF =
CG , 3
Dat is xx*a — x = C G * . Derhalven C G zzzzz aax — x \*. Hier van de Fluxie neemende, heeft men Fluxie 2
ax — xx CG zz
•. _ . l/zax— x*
374. Door de natuur der Kromme is C B n C G - r Boog A G ; en dus ook Fluxie C B zz Fluxie C G + Fluxie Boog A G . Dewyl nu Fluxie Boog A G =3 ax
C§. 3 6 6 ) , en Fluxie C G zz
l/nax-x CS- 373.) 2
i s
. » zullen wy hebben? ax — xx
Fluxie CB
ax
zax—xx 1/2ÜX — X'
x
_.
]/2ax—x
l
Of Fluxie C B zz
;
i/zaz-^x'
+
\/2ax—x
ax—xx
z
ïx;a—x
zz
• zz
x x2a— x[* a
,
—T X aa—-*)*•, zynde de waare Fluxie van den Ordinaat C B der Cycloïde»
375.
F L U X I E - R E K E N I N G .
311
375. Hier door is dan nu zzzf^x'+y
( § . 337)
2
= y x* -\
**X2a — *
.
2fl
ïi
_j: .
= x\/— r i « | x x !
c
*;
X
X
en by gevolg zullen w y , door dc Fluent van deeze 1 uitdrukking te neemen, verkrygen zzzzaY - x 1
(§. 6i ) = zi/aaxzz
den Boog A B der CyrijfJe.
376. Waar uit volgt, dat, als men in de laatstgevondene uitdrukking QS, na vcot * i i i plaats ftet, de lengte der Halve-Cycloïde A D |ielyk zal zyn a3n tweemaal den Diameter A F van hsarén teelenden Cirkel. 377. VooaBEFxn VI. De lengte eens Boogs van de Spiraal van Archimedes te vinden, Laat C A ( F i g . 72), de Radius van den teelenden C i r k e l , — b, en A R , deszelfs Omtrek, zza z y n . . Stel den Ordinaat C B r j t , de lengte van den begeerden Boog C P B r r z , en een Cirkelboog met den Ordinaat C B , als Radius, befchreeven ZZ x ; dan is, zo als wy boven ( § . 224) gevonden hebben, . x
ayy —
.
a*y'y*
de van x
, en derhalven x' zz 2
.
Deeze waar-
gefubftitueerd in de algemeene uitdruk-
king der Fluxie van de Kromme % zz V *° + y* (§• 337)» zullen wy hebben
V 4
. a'y'y* zzz—
.{ \ry [ 2
== • •
312
,
EERSTE
Z.
~
x
BEGINSELEN
b~l\i
s
—Z
b°xa*y'
-fb~A*
3
= —~
t
b*y"-\
, + •• •
b'Xa'y*-bb*y*\*
i
lb*y
'
+ b*
y y + ib*yy
4
h*Xa*y*-h
yxa y' z
b
a'y y + b yy
DER
i
; == - x ^ j ^ M y l " » x . .
b'xa'y' +b*\* * 1 7 * a y y+ 3* jj' + — x b
r
,
ay
a
3
.
4
)
378. Volgens de hier boven gelegde groridea vindt men , voor de Fluent des eerften Terms van de bovengevondene uitdrukking voor z ,
^_
— x 2 l
"
a'y*+b*y I "» en voor die des tweeden Terms b* \ — X Hyp. Log. van ay -b a'y +b*\ - ; derhal2
2
l
i
ven z zz
—x
£è
s
a'y*
+
12
b' + _ aa
x
H j p . Log,
van ay + a y* + Jï'i\ Wanneer nu het punt B op het punt C valt, waar door de Boog C P B en de^Ordinaat C B beide verdwynen, en mis zen y—o z y n , zal deeze Vergelykinge worden o = b •— X Hyp. Log. van b'. za l
%
:
Dien-
F L U X I E . R E K E N I N G .
2
i
3
Dienvolgens zal , door de verbetering der Fluent, de eigenlyke waarde van z gelyk zyn aan — x ab'
^TiÉ*7l* + — ZZZTZZ~l aj-j-a'^ + i ! 4
x
hyp. Log. van
. . . .
aa , b> x Hyp. Log. van b\ Daar
2
2a
n u , volgens de natuur der Logarithmen , het verfchil der Logarithmen van twee getallen welke die ook z y n , gelyk is aan de Logarithmus van hun Quotiënt, kan de laatfte uitdrukking ook in deezer voegen gefchreeven
worden: -1. ab'
a>f>~f> 7' I *
x
b*
ay + a*y + b*\* , • • 2a b* de de lengte van den begeerden Boog C P B . Stellende derhalven de Radius b voor den OroY. naat y in plaats, zal de lengte van den geheelen . , b' Spiraal CPBA zz £ x a* +b> 1 + — #
+ — x Hy/). Log. van
1
x
0 ?
2a
a-r-a +F{s J
van
.—
» zyn.
V E E R T I E N D E
A F D E E L I N G .
Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Voorjtellen, waar in begeerd wordt de Inhouden van kromlynige Ruimtens te vinden. Even als in de voorgaande Afdeeling, komen V 5 hier
3i4
EEfcSTE
BEGINSELEN
DER
hier weder twee onderfcheidene Gevallen in aanmerking , welke in alle opzichten de zelfde z y n , waarvan wy op Bladz. 283 reeds melding gedaan henben. Om dus alle onnoodige aanhaalingen te vermyden, zullen wy aanitonds, in die zelfde orde, tot ons tegenwoordig onderwerp overgaan. 379. A B G (Fig. 64) zy eene Kromme, welkers Ordinaten loodrecht op den As A Q ftaan. M e n verbeelde zich eene rechte L y n C B r , perpendiculair op A Q , welke evenwydig met zich zelve van A naar 0 bewogen wordt; laat voorts teaare fnelheid, of de T / a i i e van de Abfcisfe A C , in eenigen voorgeftelden ftand van die L y n , door C c aan];»weezen •wordeD. Dan is het blykbaar, dat de Rechthoek Cn, onder C c en den Ordinaat C B begreepen, de overeenkomstige Fluxie des,tee!enden Inhouds A C B zal uitdrukken ( § . 1 1 ) . Stelleude nu de Abfcisfe AC—x, en den Ordinaat CBzzy ; dan zal de bo. vengemelde Fluxie zzyx z y n . 380. Hier uit volgt, dat door fubftitutie voor y of x, naar dat de Vergelyking der Kromme zulks medebrengt, en verders de Fluent te neemen, ds Inhoud zelf bekend zal worden. 38r. Wanneer alle de Ordinaten in een vast of centraal punt famenkomen , zo laat bC (Fig. 73) begreepen worden oneindig dicht by den Ordinaat B C te z y n ; men onderftelle wyders, dat het klein Cirkelboogje Bn, welks Radius CB i s , eene kleine rechte Lyn , perpendiculair op b C , z y : naardien alsdan bn eene oneindig kleine reden tot nC heeft, kan ook BC n befchouwd worden, als gelyk te zyn aan BCb, het Moment, of Increment van de krom» lynige Ruimte B P C B ; indien wy derhalven C B r y , en B B — X' ftellen, zal het Moment of Increment der Ruimie C P B C ZZ iyx', of derzelver Fluxie ZZiyx
zyn.
382.
F L U . X
I E - R E K E N I N G .
315
382. O f w e l , laat de kromrynige Ruimte C P I C 'geteeld worden door de veranderlyke rechte L y n C F , die rondöm het Centrum C draait-; en laat in den zelfden' tyd de Seftor C D G C door den Straal C D befchreeven worden; dan is het klaar, dat vóór en alëer de L y n C F in: den frand C B komt , de Spiraal-Ruimte langzaamer aansroeijen , of met eenen minderen trap van fnelhcd vloeijen z a l , dan de Cirkelvormige Ruimte of Seftor C D G C ; eti naderhand fpoediger , of met eenen grooteren trap van fnelheid. Z y zullen derhalven aan den eindpaal C B met eenen gelyken trap van fnelheid aanw isfen of vloeij'n. N u is het klaarblyklyk , dat de fnelh e i d , met welke de Settor vergroot, gelyk is aan zyne halve Radius, vermeenigvuldigd met de fnelh e i d , waar mede zyn Boog befchreeven wordt; derhalven is de fnelheid, waar mede de kromlynige Ruimte C P B C vergroot wordt, aan den eindpaal C B , gelyk aan § C B vermeenigvuldigd.met de fnelheid van het punt D of B , dat zich langs den. Boog D G tot in het punt B beweegt; dat i s , de Fluxie der gemelde kromlynige Kuimte is gelyk aan | C B , vermeenigvuldigd met de Fluxie d»s Cirkelboogs D B . O f , Hellende den Ordinaat CBzzy, en den Boog D B i z x ; dan is de F.axie vin de krern)lynige Ruimte C P B C n é y * , zo ais boven ( § . 380) reeds gevonden is. 383. Hier uit volgt, dat, in Ordinaten der Kromme in een famenloopen, de Inhoud der paald zal worden, als men ,
het geval als alle de vast of centraal punt begeerde Ruimte beuit de eigenfchappen
der gegeevene Kromme, de Waarde van x in Termen van 'y vindt , vervolgens de Waarde van x met \ y vermeenigvuldigt, en van het komende de Fluent neemt. 384. VOORBEELD I, vinden.
Den Inhoud eens Driehoeks te Laat
Si6
EERSTE
la^fü-f L -r lid_x, var au_b, afi
A
B E G I N S E L E N DE»
Jen 'ac,>evenwvdiï ï P'rpendicu. aan A P
(F
±a
g 74
d e
Dan hebben wy , ' door de^g VkvormS heid der Driehoeken A B C , aBc gasvormig. ,
e
t
Dat is
B D : A C : : Bd : ac. b : :: • « a
x
Derhalven j —
•.
B y gevolg j » , de F/ime van den Inhoud (JI 379), a
x
x
= * xy —. 2
=
, , a** ^ a* * ^ ; en dus de Fluent zz — f — . v 1 2b
\r
0
?
J
8
Wanneer nu ac op A C valt, dan is xzzb,
en yzza. xy^
Derhalven is de Inhoud des Driehoeks _ ab
^ - —J
- —•
r
Dat i s , de Inhoud A B C zal ge-
ACxBD lyk zyn aan
, l s mede uit de eerfte s beginfelen der Meetkunde blykbaar is. z
» |£ A Y L " " ^ Ao V : , . 5
1
ig
,
9
0
1 U
J
t e
Ati een Parabool is.
o
a
°u
e
n
Inh
La.( de Abfcisfo A C = * , de Ordinaat C B , en de Parameter zzp zyn. Dan is , door de natuur der = : y
Kromme, pxzzy,
of p x?z:y.
Derhalven is y'x,
l
de Fluxie van den Inhoud ( § .
3
7
9
)
>
- p è , ^
e
a
dus
F L U X I E . R E K E N I N G . dus de Fluent
rfp**» (rfpMx*) =f*y,
317 door
y , in plaats van p-x* te ftellen, z=fx ACx CB, den begeerden Inhoud. 386. De Inhoud, die hier in Termen van x gevonden is , kan in fommige gevallen , om radicaale Grootheden te vermyden, gemaklyker in Termen van y bepaald worden. Dit op ons tegenwoordig
jï
geval toepasfende, hebben wy pxzzy', en xzz— • P
. yy Derhalven * zz , en by gevolg de Fluxie van P . J * y den Inhoud (zzyx) zz ; waar van de Fluent P ay f ay y ^ zy 2
2
3
2
is — ( - — - X —
— X JZfxACxCB,
3P 3 3 de zelfde Uitdrukking , die wy boven ( vonden hebben. V
385 ) ge.
587. Hier uit volgt, dat de Inhoud van eenige Parabolifche Ruimte gelyk is aan twee-derde-deelen van deszelfs omgefchreeven Parallelogram. 588. V O O R B E E L D III. Den Inhoud der Ruimte A B C G ( F i g . 75) ie vinden, -wanneer de eigenfchap der Kromme A" zodawz is, dat haare Subtangens of Onderraaklyn C V onverander lyk is ^ of wel, in alk gevallen, de zelfde waarde heeft. Laat de gegeeven Subtangens CTzza, GAr*, yx G C - * , en CBzry zyn j dat» is az: — (§. 2 0 6 ) , y
ea
318
EERSTE
. ay en derhalven x zz — .
BEGINSELEN
DE»
By gevolg de Fluxie van den
Inhoud (zzyx) zz ay, waar van de Fluent is ay» Doch wanneer de Innoud der Ruimte zzo, of yzzb is, chn wordt deeze uitdrukking voor de Fluent zz ab; derhalven is de verbeterde Fluent ay — ab (§.69) zz y — b x azz den Inhoud Ruimte A B C G .
der begeerde
389. VOORBEELD I V . Den Inhoud der Kromme A D B ( F i g . 76), waar van de Vergelyking is x — a x + a y zzo, te vinden. De gegeevene Vergelyking der Kromme herleid zynde , heeft men a'y* zza'x* — x*, o f / i ' y ' r T " 4
a
1
4
J
J'-I XÏ'.
Derhalven ay zz a* — x*\* x x , en
!
a -x'\^xx
. a -* |2 » Dienvolgens y x ZZ ; a a waarvan de Fluent f volgens den Regel ( § . 6 j ) , is I a*— x \ M — — — — . . Om deeze Fluent te verbeteren, zo 3 laat de inhoud der Kromme zz o zyn ; dan is ooft xzzo. Derhalven hebben wy ^oor de verbetering a' HF-x* \} — — . Deeze afgetrokken van — » zal 3 3« 2
J
2
K
y zz
z
a
a* o* — x*\^ men bekomen — — voor de verbeter» 3 3 de Fluent, of de waarde van den Inhoud A D B , a
390.
F L U
X I E . R E K E N I N G .
390. Wanneer y,
3
i
9
of de Ordinaat C D . . , .
)
gelyk aan nul wordt, en dus
het punt C in B v a l t , zal * - « r . A B worden; en derhalven zal alsdan de Inhoud der geheele Kromme a —, A D B eenvoudig zz — zz § A B z y n . 3 1
39T. VOORBEEID V . Den Inhoud der Hyperbolifche Kromme, waarvan de Vergelyking is x te vinden.
m
y ' z a ~'~ r
m
De Vergelyking herleid zynde, hebben w
n
*
y =3 n
y
m+n a .
m+ n
~~n~ ™+ -*» a — , en derhalven y zz - r a x * n
n
x
m
m
By gevolg is de Fluxie van den Inhoud m+n =
a
n
m+n
•~" ~
( r j ï )
—m X*
n
* , waar van de Fluent is ( § . 6 1 )
n—m
x*
m+n
=
n—m n
n-m
na~~x»~
n
«--
1
•
n-m
, welke Fluent
t
n grooter dan m z y n d e , en xzzo ftellende, mede - o zal z y n ; waar uit dus blykt ( § . 6 9 ) , dar de be.
330
EERSTE
BEGINSELEN
DER
begeerde Fluent in dit Jgeval gesne verbetering ver. eischt; uit hoofde dat de inhoud A P k B (Fig. 77, tusfchen de Afymptote A P en den Ordinaat BR befloten, door de boven gevondene uitdrukking . . . JB + n n—m na -
n
xx —" • n-m
n " behoorlyk bepaald wordt.
392. Indien nogthans n kleiner dan m i s , z a l , wanneer * _ o gefteld w o i d t , de Fluent oneindig zyn. Want het is uit de eerfte beginielen der ^Igen-m tra blykbaa:, dat, de Exponent negatif zyn» n d e , ml een Deeler van na wordt; gevolglyk zal de Inhoud APR.B desgelyks onë:ndig zyn. 71
393. Daarëntegen is de Inhoud B R Q , tusfchen den Ordinaat, de Kromme, en het deel B Q vau de andere Afymptote begreepen, eindig, en wordt be. m+n \
n-m
, n a ~ xx~~ ~ hoorlyk uitgedrukt door — , zynde ffi-n de boven ( § . 391) gevondene Uitdrukking, met verandering van tekens. Want aangezien de Fluxie m+ n -m n
van het deel A P R B zz a xx * * is ( § . 3 9 1 ) , zal by gevolg de Fluxie van B R Q , deszelfs Supn
m+n 'i
piment, zyn - a
n
—m X*
B
*»
Hier van is de Fluènt
F L Ü X I Ê . R E K E N I N Ö . m+ n
324
n—m
Mutnt ($. 61.) —
,
-£g
k
ê
#
#
n—m
» m+n -»a "
ft
n—m x* "
m-fn na — ———
n
n-m x
n
m
n—m
X
•
m—n
T
——i voof
den Inhöud B R Q , welken om boveD gemelde reden CS§«.3°i en 392) mede aan geene verbetering onderhevig is* B e
é
/°.
0 R B E
E o
*;
D
0
y<3 ƒ>*« ^ < w i
LPii ö« Logamhmrfche
«V
/caraifl
Spiraal is.
Stel den Ordinaa; C B ~ y , de lengte Van de Krom^ • 7^' " o o g , welks fladiaris de Vrainaat C B , en laat twee gë#èevetie grootleden , a en 6, tot elkander in reden als « t o t g iyn. Dan hebben w y , zoals te vooren ( § . 2 2 6 } t é a
C i r k e l
gevonden » , x~y x Vermeenigvuldigd
a rhet | ' ƒ ,
-. Deeze uitdrukking zullen
wy hebbeö
. _W^a~*\* ( § • 3 8 0 , i jx _ yy' voot de Jfaxfe van A r i P^-~a'\? « n Inhoud, waar Van de F/wnt is > y* -> 4d den Inhoud der Ruimte C P B C , die gevonden moese worden. L
x
m»
332
EERSTE
BEGINSELEN DER
395. V O O R B E E L D V I . Den Inhoud der Ruimte CPBC ( * ) vinden ; wanneer de Kromme C P B A de Spiraal van Archimedes is,. L a a t de omcrek van den teelenden C i r k e l ARArra, en deszelfs Radius^CAzzb z y n . Stel desgelyks den Ordinaat C B ~ y . Dan hebben w y , door het te 2
t e
oyy
vooren gevondene ( § . 324), rneenigvuldigd met | y , der Ruimte bekomen éyx 0 y* y . &b
. Dit verb' zullen w y voor de Fluxie
.
yy ( § . 381)— -—— x \y zz b' a
De Fluent hier van is, volgens den Regel
z
aj ( § . ö i } , — — zz den Inhoud der begeerde Ruim6b' te CPBC. 3
396. W a n n e e r b voor y in plaats gefield wordt, z a l de I n h o u d der geheele Spiraal-Ruimte CPBAC ZZ\\ab z y n . H i e r by in aanmerkrng neemende, dat de I n h o u d eens C i r k e l s gelvk is aan het vermeenigv u l d i g d e van den omtrek met de halve-Radius; dat is — iab, zo v o l s t , dat de geheele Spiraal - Kuimte naauwkeu-ia g e l y k is aan één-derde van aen Inhoud des leelenden C i r k e l s . V Y F T I E N D E
A F D E E L I N G .
Van het gehrwk der Fluxiën in de Oplorfing van Voorftellen, wair in begeerd wordt de buwge Oppervlaktens van Lighaamen- te vinden. - .• Laat het Lighaam A l V (Fig. 79) begreepen worden
F L Ü X I E . R Ë
K E N I N G .
3
a
3
den geteeld te zyn door eenen vergrootenden of onverMnderlyken C i r k e l , welks aanwssiende ltraal de veranderlyke Ordinaat der Kromme A I is , en welke Cirkel zich met eene evenwydige beweeging langs den As van A naar E beweegt: dan zal de fnelheid, waar mede zyne bultige oppervlakte vloeit , gelyk zyn aan den omtrek van den teelenden C i r k e l , vermeenigvuldigd met de fnelheid , met welke dezelve langs de Kromme A I beweegt ; dat is , dë Fluxie der gemelde Oppervlakte, op eenigen eind* paal H B , zal gelyk z y n aan den omtrek eens C i r kels, hebbende tot Braai den Ordinaat C B , vermeetiigvuldigd met de Fluxie der Kromme in het punt B . Dit belluit is niets anders dan een gevolg van §• 37° 5 wanneer rnen de bultige oppervlakte befchouwt als fteeds gelyk zynde aan den Inhoud van eene kromlynige Figuur , welkers Abfcisfe gelyk is aan de Kromme A H , als mede de Ordinaat gelyk aan den omtrek des teelenden Cirkels, welks ltraal C B is. 397» Stellende dethalven de Abfcisfe hCzix, den Ordinaat C B = j > , de Kromme A B = z , en c=s 6,283^ &c. ss den omtrek eens Cirkels , welks ftraal 1 i s ; dewyl dan cyzz den omtrek eens Cirkels, welks ftraal de Ordinaat C B i s , en'%~ x +y I* is f § ' 337^ ' de algemeens uitdrukking vcot de Fluxie der bultige Oppervlakte van het Lighaam 2
2
z a
A B H zyn ~cyz of cy X x* +y'' % v.-ue'iit, mee behulp der Vergelykinge van de gegeevene Kromme A B , « of y^i &c. verdreeVen kunnen w o r d n ; en alsdan zal de Fluent van de daar uit voortkomende uitdrukking de begeerde bultige Oppervlakte aantooben, zo als uit de volgende Voorbeelden nog nadec zal blyken. s
398» VOORBEELD I.
a
De Oppervlakte eens Klocts, X a
334
EERSTE
BEGINSELEN
DEK
of de bultige Oppervlakte van eenig Segment demiven te vinden Laat de Straal E A of 1
CB
Dat is y
: E B :: B B :
: a t:
By gevolg
x :
Bb. z.
zzz—. y
Deeze waarde van z' gefubftitueerd in de algemeene Uitdrukking voor de Fluxie der bultige Oppervlakte, naamlyk cyz ( § . 3 9 7 ) » ax — ZZ cax.
z a l
dezelve worden cy X
Hier van is de Fluent cax zz de bultige
Oppervlakte van het Segment des Kloots A B H . Stellende nu ? a , in plaats van * , in dee?e gevon» dene uitdrukking, zulten wy hebben 2ca', voor de bultige Oppervlakte van den geheelen Kloot, 309. Hier uit wordt, by gevolgtrekking,afgeleid: 1.3 Dat de bultige Oppervlakte van eenig Segment des Kloots fieiyk is aan den omtrek eens grooten Cirkels van dien, Kloor, vermeenigvuldigd met de hoogte van het Seg» ment a.) Dat de geheele Oppervlakte eens Kloots gelyk is aan den omtrek van zvnen grootften Cirkel, v< rmeenievuldigd met zynen Dia.' meter, of gelyk aan de bultige Oppervlakte vaa deszelfs omgefcureeven"Cylinder. 400.
P L U X I E - R E K E N I N G .
325
400, VOORBEELD II De bultige Oppervlakte van eenen rechten Kegel te vinden.
Laat Af£ (Fig. 8 1 ) - a, I V - f t , A C = » , en C B zzy zyn ; dan is door de gelykvormigheid der Driehoeken A E I en A C B , A E : EI : : A C : CB a
: lb ::
Derhalven
*
:
y.
bx zzz iay aay
cn x =
.
b Hier van is de Fluxie x ZZ
aay
, en by gevolg
b x zz
.
1
b*
Deeze waarde van gefubftitueerd in de alge.; meene uitdrukking voor de Fluxie der bultige O p . pervlakte, naamlyk cy x 'x -f- f
I " (§. 397) , z a l
a
* 4a*y
2
dezelve worden cy x
1 ï
.
1
\- y \
,i
- x . • . b
2
'
c
=
2
b •
c
4a - h 6 1 yy.
Hier van is de Fluent — X • • •
<
cy
3
3
2
ab
4a' + H
,i 2
2
y* ZZ—
.
x a'+^'i*,
b
40t. Volgens het Fythagorisch Leerftuk hebben wy nu: _ , X 3 AI
S5Ó
EERSTE
BEGINSELEN
DER
Al'zz AÊ-" + ËT. Dat is Al'zz a Derhalven AI r
1
+
a 4-^^*1^. J
Waar door dan de uitdrukking der bultige oppervlakte van het Segment des Kegels A B H ( § . 400) cy* gal worden — • x A L E n {tellende l b in plaata b van y, 'zal men voor de bultige oppervlakte dés Kegels A 1 V bekomen \cbx A I . 402. Hier uit wordt als een onloochenbaar afgeleid , dat rle bultige oppervlakte eens Kegels gelyk is aan den halven-omtrek van Bafis, vermeenigvuldigd met zyne fchuinfche
gevolg rechten deszelfs hoogte.
403. VOORBEELD III. De bultige oppervlakte van de Parabolilche Ccnoïde A B H ( F i g . 82) te vinden. Laat den Parameter van den Parabool _ p z y n . Stel A C " * , en QMzzy. Dan i s , door de natuur der Kromme, pxZZy-, zyy
t
en derhalven xzz
D e Fluxie hier van is pxzz zyy
.
B y gevolg x ZZZZ 1
P Qy^y* ». ?*
. Deeze waarde van x gefubftitueerd 1
in de
algemeene uitdrukking voor de Fluxie der bultige "
" l *
Oppervlakte, naamlyk cy x * 4- y* s
1
( § • 397) » Z.üJ.
F L
U X I E - R E K E N I N G .
4y'j . zu'len wy hebben cy x — — + y l p> a
2
W+p'\*
yy.
2
327
c =s — x' p
Hier van is de Fluent ( § . 6 7 )
— X w+p'l*. Naardien nu in den top A , 12p alwaar y verdwynt, of ~ o wordt, deeze Fluenti' c cp* 3 aak uitdru king r — x p" 1 ~ — zal zyn , zo iap 12 e is derhalven de verbeterde Fluent ( § . 6 9 ) zz — x lip , cp4>" -tp't* — — , voor de begeerde bultige op2
12
pervlakte van het Lighaam A B H . Z E S T I E N D E
A F D E E L I N G .
Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos/ing van Foor(tellen, waar in begeerd wordt de Inhouden van Lighaamen te vinden. Laat de Cylinder L G QFig. 8 3 ) eetcld worden door de evenwydige beweeging van Hen Cirkel L D langs de Lyn L N . Laat in den zelfden cyd het L i g haam A I V geteeld worden door de e euwydige beweeging van den gelykmiddelDjntigen en verander» lyken Cirkel Z F , welke verö ider(tel wordt in den top A onbepaald klein te zyn . en zich, in zyne bëweeging langs de Kromme A I , geduurig uit te breiden. Dan is he~ klaar, dat het Lighaam' A I V langzaamer aangroeijen, of met eenen minderen graad van fnelheid vloeijenzal, dan de Cylinder L G , vóór X 4 en r
1
ja8
E E R S T E
B E G I N S E L E N
naa
en aleer de teelende Cirkelen tot den eindpaal HB korritn 5 en naderhand fchielyker, of met eenen imeerderen graad van fnelheid : derhalven zullen de beide teelende Cirkelen, aan den genjelden eindpaal, (alwaar Y gelyk worden , of hunne omtrekken op elkander vallen, met den zelfden of eenen gelyken trap van fnelheid aacgroeijen, of vloeijen. Dau het ïs klaarblyklyk, dat de fnelheid, met welke de Cylinder vloeit, gelyk is aan den Inhoud van zynen teelenden C i r k e l , vermeenigvuldigd met de fnelheid, waar mede dezelve zich langs de L y n L N .beweegt; dat i s , de Fluxie van den Cylinder i s , aan den eindpaal H B , gelyk aan den Inhoud eens C i r kels, welks Straal C B i s , vermeenigvuldigd met de Fluxie van de L y n L H of A C . Derhalven is de F-'uxie van het Lighaam A I V , aan den eindpaal B H , gelyk aan den Inhoud ee.cs Cirkels , welks Straal de Ordinaat C B i s , vermeenigvuldigd met de Fluxie van de Abfcisfe A C . Z
4°4« Stellende derhalven de Abfcisfe hCzzx, den Ordinaat CBzzy, en CZI'3.14159 &e. zz den halvenOmtrek eens Cirkels , welks Straal de eenheid i s , dan zal de algemeene uitdrukking voor de Fluxie) des lighaamlyken inhouds ey xzy\\i uit welke uitdrukking, met behulp vau de Vergelykinge der gegeevene Kromme, x of y vernreeven kan worden; en alsdan zullen w y , door de Fluent van de daar uit voortkomende Fluxionaale uitdrukking te vinden, dan begeerden Inhoud van het Lighaam A B H hebben, a
2
405. VOORBEELD Ï . Den Inhoud van eenen Kloot, i>f eenig Segment deszelven , te vinden. Laat de Diameter AD (Fig. « 4 ) zza zyn. Stel ACzzx, CB-y; dan is C O z z a — x . N u is, volgens Meetkuustige Grondbeginfelen, ax—x'ZZy ; e n , (tellende ax—,x*, in plaats van y , in de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den ligbaam3
2
jjfcen. Inhoud, msamlyk y x ( § , 4 0 4 ) zal dezelve 2
C
WOIs.
F L ü X 1 E-R E K E N I N G.
329
worden cxxax—*»
— caxx—cx'x. Hier van is cax" cx vcax' — zcx de Fluent ( § . 61) z: —~ — — ~ 2 3 6 den Inhoud van het Segment A B H . Stellende nu a in plaats van x, zal de voorgaan3ca» — a c a de uitdrukking veranderen in — —— ~ Jca ZZ 3
3
9
3
6
den Inhoud van den geheelen Kloot A B D H . 406. Nademaal viermaal den Inhoud eens grooten Cirkels van den Kloot ZZca , en de Inhoud eens Cylinders, om den Kloot befchreeven, z r ^ c a * i s , zo v o l g t , dat de Inhoud eens Kloots gelyk is aan viermaal den Inhoud van zynen grootften Cirkel vermeenigvuldigd met {de deel van zynen As , o f gelyk aan twee-derde-deelen van zynen omge. lchreeven Cylinder» 2
407. VOORBEELD II. Den Inhoud te vinden van de Parabolifche Conoïde A B H ( F i g . 8 2 ; voortkomende uit de omwenteling der Parabo/ifche ruimte A B C rondom den As A C . Laat den Parameter zzp z y n . Stel A C r * , en C B _ y . Dan i s , door de natuur der Kromme, px _ ï V Subftitueerende nu px voor y in de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den ligchaamly2
ken Inhoud,
naamlyk cy'x
( § , 4 0 4 ) , zullen wy
hebben caxx. H i e r van is de Fluent ( § . 6 1 ) a s j cax*, o f , door y voor ax in plaats te ftellen , zzicxy — den begeerden Inhoud der Parabolifche Conoïde A B H . 2
2
408. Men kan nog op eene andere wyze in deezer Voegen te werk gaan. De Fluxie van de Vergelykinge der Kromme, naamlyk van pxzzy*, is px *
X5
sjj*
330
EERSTE
zyy'i derhalven
BEGINSELEN
'xzz—
DER
Subftitueerende nu deeze
waarde vau * in de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den lighaamlyken Inhoud, naamlyk cy*'x ayy ( § o , ) , zullen wy hebben c y * x 4
icy^y = — — ó nier
van is de Fluent ( § . 6 1 ) — » > P* ap in plaats te ftellen, = den lighaamlyken Inh o u d , als boven. of
d
o
o
r
v
o
o
r
y
AOO Om dit Voorftel in dè volftrektfte algemeenheid te befchouwen, zullen wy het gedacht van den teelenden Parabool als zodanig aanmerken , en ten dien einde onderltellen, dat deszelfs Vergelykinge, m —n « _ in. in algemeene uitdrukkingen, m—n dan hebben wy yzzp •2«J-2»
zy p
Xx .
m
*
- y »
n m
Derhalven
=
2«
x * • Subftitueerende nu deeze waarMe van r in de algemeene uirdrukking voor de Fluxie vau den lighaamlyken Inhoud , naamlyk 2!»—2» W
cy*x
( § • 404)»
z u , l e n
w
y
m
hebben cp
X
2f«-2»
£>n s
m
, *.
Hier van is de Fluent ( § . 6 1 ) cp
—• X
F L U X I E * R E K E N I N G . '
x
I- I
* a
n
1-
m
sni-sn
tp
m
=
3M-HB
—— +
m
cp
331 I
mx
—
x
2«-r-T»
I sn
m
xxx
mx
zz cy' X —
mx
=
den Inhoud van het Lighaam; dat derhalven tot den Inhoud des omgefchreeven Cylinders ia reden ftaat, als m tot 2«-f m. Waar uit dan ook tevens b l y k t , dat het Lighaam door den Conifchen Parabool geteeld C§« 4 ° 7 ) f waar in mzzz, en nzzi i s , naauwkeurig gelyk is aan de helfc van deszelfs omgefchreeven Cylinder. 410. V O O R B E E L D III. Den Inhoud eens Kegels A I V ( F i g . 8 1 ) , wiens Bafis een Cirkel is, te vinden. Lfat de gegeevene hoogte A E — a , en de Diameter V I z y n . Laat H B evenwydig aan V I z y n ; ftel vervolgens A C r * , en £ - . 7 8 5 3 9 & . zz den Inhoud eens Cirkels , wiens Diameter de eenheid is. Dan hebben w y , door de gelykvormigheid der Driehoeken A V I en A H B , A E : VI :: A C : H B . Dat is a : b : : * : H B . c
B y gevolg H B zz
bx —, a
Derhalven i s , volgens de beginfelen der Meet*
17\' kunde , de Inhoud van den Cirkel H B - —
fl I
x
33a
EERSTE BEGINSELEN
DER
cb*x'
e=
——. a*
Deeze vermeenigvuldigd met x, de cb*x x %
Fluxie van A C , zal 'er komen — — — — de Fluxie a'
van den Inhoud des Kegels aan den eindpaal C B . ' eb' x
s
Hier van is de Fluent — — — den Inhoud des K e 3a gels A H B . Stellende ui) a in plaats van x, zal de voorgaande 2
cb a !l
1
uitdrukking veranderen in
— \ cb*a ZZSZ den
begeerden Inhoud des Kegels A V I . 411. Alles als vooren gefield zynde , kan men dit Voorftel 1 og op eene andere, niet minder kunstmaa. tige, wyze befchouwen, mits men flegts in de eerfte beginfelen der Meetkunde eenigermaate bedreeven z y . Men hebbe zich alleenlyk te herinneren, dat alle gelykvormige vlakke Figuuren tot elkander in reden ltaan, als de Vierkanten van haare overëenkomftige zyden , om daadelyk uit de aangeweezene bepaalingen (dato) deezs evenredigheid op te maaken: A E : A C : : Cirk. V I : Cirk. H B . Dat is a : x' : : Cirk. V I : Cirk. H B . a
Dewyl nu als bekend i Inhoud nude om B zullen
\
de Diameter van den Cirkel V I reeds aangenomen ( %. 4 1 0 ) , zo is deszelfs eene bekende grootheid, die wy daarnoemen, en dan hebben wy
a' : x* : : B : Cirk. H B . B x Derhalven Citk. H B zz . x
;
a'
Deeze
F L U X I E - R E K E N I N G ;
333
Deeze uitdrukking vermeenigvuldigd met x
s
de
i
Bx' x Fluxie van A C , zullen, wy hebben • =r= de *• ' a « a a * van den Kegel AHB, Hier van is de Fluent Bx — - - den Inhoud des gemelden Kegels ; en wan3^ 1
3
neer vervolgens a in plaats van * gefield wordt, de Inhoud des geheelen Kegels AIV - | a B zyn.
z a
l "
412. Aangezien nu B (§„ ) ls den Inhoud van den Bafis eener Piramide, hoedani» dezelve ook zy, belchouwd kan worden, kunnen wv uit hetgeen wy dus verre van den Kegel Analytisch be* toogd heot.en , dit onloochenbaar gevolg sfl idendat de lighaamlyke Inhoud van eenen Kegel of Piramide, gelyk is ain één-derde van zynen Bafis vermeenigw ddigd met zyne perpendiculaire hoog.e; of wel, dat dezelve ge.'vk is aan één-derde-deel hoogde" " > * > van gdyke Bafis en 4
C y K
d e r
Y2 ^ 0[l
o f
E L D IV
I
r
a
P , i m
*
A£1 A ™* eener Spheroïde ACBD (Fig. 85 ) te vinden. Laat de As Arf, rondöm welken het Lighaam geteeld wordt, zza, en de andere As C D van den teelende,, Ellips zzb zyn. Stel de Abfcisfe AE x, den Ordinaat G ï ^ y ; dan is BE zza-~x. Dan hehben wy d^or de ei-enfchap der Ellips (Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde § . 8 0 ; : 2
D
e
n
Inh
=
G E : A E x E B : : cT: AF*. 2
~ . Dat is j
* a
: xxa-x
**
—
4
4 Of
334
EERSTE BEGINSELEN Of y
: xxa-x
DE*
:: b* : a . 2
b Derhalven y — — x ax—x*. a 2
2
2
Subftitueerende nu deeze waarde van y* in dè algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den lighaamlyken Inhoud, naamlyk cy* x ( § . 4°4)> zullen cb* . — : 7 wy hebben — X axx — x x. Hier van is de ' a 2
2
cb* 4 ' , — x i ax — § * = het Segment A G H . a Stellende voorts, in deeze nu gevondene uitdrukking, cb 3 in plaats van * , zal dezelve worden — x a \a? — | a = 1 f a 4' = den Inhoud der geheele Spheroïde.
fl t
2
3
uen
2
2
2
3
414. Nademaal de Inhoud van den Cirkel C D cb* uitgedrukt wordt door — , zal derhalven de Inhoud 4
van den Cylinder, waar van C D de Diameter, en cb' a AB de hoogte is, zyn. Waar uit dus klaar* 4
blyklyk volgt, dat de Inhoud der Spheroïde gelyk is aan twee - derde - deelen van haaren omgefchreeven Cylinder. , 4 1 5 . VOORBEFLD V . Den Inhoud vanhet Lighaam tt vinden, dat door de omwenteling der Cisfofde van Diocles, rondom haaren As, geteeld wordt. Naar*
F L U X I E . R E K E N - I N G ,
2 3
tf
Naardien de Vergelyking der Kromme is y == X
3
'
- ( § • 2 1 5 ) . zullen w y , door Oibftitutie deezer
rïl
Van
\ ' , g n e uitdrukking v-or de Fluxie van den lighaamlyken Inhoud , naamlyk y
m
d e
a ,
e m e e
. • n'x
CX X
— cx x
3
(§-404),
3
hebben
=
_
=
a—x ca *
x—a !
3
tx'x
—
caxx
—
ca' x —
-
—
— cx*'x -M
x—a
— i caxx — ca*x — ca
*'
*. a— x __ de Fluxie der Hyperbolifche Logarithmus van a - x is 4 3 J Ï zal de der voorige uitdrukkicg cx cax' 3
x
Dewyl nu '
;
a
g
3
ZYN
-~
T ~ '~ ** * CAI
CA
^s.;
van a — x. 4 1 6 . Stellende nu xz% dan zal de laatsrgevondeue Fluent veranderen la - a » x Hyp. Log. van 0. Derhalven is ue verbeterde Fluent ( § . 69 | == C*
3
Cflï
"~ 7
2
~
**
ca
-
™
3
X Hyp. Log,
v a n
Log. van a Dewyl nu het Verfchil der Logarithmen van twee gewlTn, welke Zy ' \ Logarithmus v het r OBOÏIM» dat voortkomt, als men het eene in 't anuere deelt, kan de laatotgevondene uitdrukking ook /u7 ~/ \
fl_
l
a x
nJÏ ï>
8 e
y
i S
a a o
d e n
aldus gefchreeven worden: - — - — . 3 a
aTi
_ ca2X
3 3
6
E E R S T E B E G I N S E L E N , EKzv s
•f
-f- ca?
x
Hyp. Log. van - — — «-*
6
den begeerden Inhoud van het voorgeftelde Lighaam* 417. Indien xzz\a of wel de Abfcisfe zz aan den halven-As is, zal de Inhoud van het Lighaam t
zyn = ca' x ^^MP\J^3?u*
•ƒ *
0.026180* &Fc. Want üe Hyperboltfche Logarithmus van a is 0.6931472, en f - aan den tiendeebgen Breuk 0.6665666 a i inf, By gevolg f ï » . Lo£. van a — | — 0.0264805 ö'c. EINDE.
FLUXIE-REKEN IN
G
.
/
V
7
.
FLUXIE-REKENING
PI
//.
F E
U X I E - H E K E
N
O
G . PI H l .
y L TJX IE "11 EK % N I N G, i
.
—
lM.iv. :
-n 1
FLUXIE
"REKENING.
Pl.y.
