Stereometrie – metrické vlastnosti Odchylka dvou přímek Odchylka dvou různoběžek je velikost každého z ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají. Odchylka rovnoběžek je 0°. Odchylka mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. Příklad 1 Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek a) AB a EG, b) AH a CF, c) AH a BE, d) AD a BSFG. Příklad 2) Je dán pravidelný trojboký hranol ABCA´B´C´; AB = 4 cm, AA´ = 5 cm. Určete odchylku přímek BC a AC´. Příklad 3) Je dána krychle o hraně a. Určete odchylku a) dvou stěnových úhlopříček, b) dvou tělesových úhlopříček.
Kolmost přímek a rovin Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jejich odchylka je 90°. Platí to i pro mimoběžky. Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke všem přímkám roviny. Kritérium kolmosti přímky a roviny: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám dané roviny, pak je k dané rovině kolmá. Věty: Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu. Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna obsahuje přímku kolmou na druhou rovinu.
Příklad 4) Body K,L,M,N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle ABCDEFGH. Ověřte kolmost přímek a rovin: a) HM, FE b) MN, BH c) AL, BFK d) FH, ACG e) BCE, DGH f) AL, BK g) ACK, BDH h) ALK, BDH Odchylka dvou rovin Odchylka rovin ρ a σ je odchylka jejich průsečnic p, q s rovinou τ, která je k oběma rovinám kolmá. Jsou-li roviny rovnoběžné, je odchylka rovna 0°. Jsou-li kolmé, je odchylka rovna 90°. p
τ
ρ
q
σ Příklad 5) Určete odchylku rovin ABC a ACD´ v krychli ABCDA´B´C´D´. Příklad 6) V krychli ABCDEFGH určete odchylku rovin: a) ABC, BDH b) ABE, ABH
c) ABC, BEG
d) ACG, BCH*
Odchylka přímky p a roviny τ Je to nejmenší z odchylek této přímky a přímek roviny τ. Pěkné, že? Tak jinak. Je to odchylka přímky p a průsečnice q roviny τ s rovinou, která obsahuje přímku p a je na rovinu τ kolmá. Lepší, ne?
Příklad 7) Určete odchylku přímky AC´ od roviny podstavy ABCD a) v krychli ABCDA´B´C´D´, b) v kvádru ABCDA´B´C´D´ o stranách |AB| = 4, |BC| = 3, |CC´| = 5. Příklad 8) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, jehož podstavná hrana i výška jsou rovny a, vypočítejte a) odchylku roviny podstavy od boční hrany, b) odchylku roviny podstavy od boční stěny, c) odchylku dvou protějších stěn, d) *odchylku dvou sousedních bočních stěn. Příklad 9) Vypočítejte odchylku stěn pravidelného čtyřstěnu.
Řešení 6d)
Roviny ACG a BCH jsou na obrázku vyznačeny modře respektive červeně. Přímka EC je jejich průsečnice. Přímka AT leží v rovině ACG a je kolmá na průsečnici EC, přímka HT leží v rovině BCH a je také kolmá na průsečnici EC (šedě vyznačené úhly na obrázku vlevo jsou pravé). Rovina ATH (na obrázcích vyznačena jako rovnoramenný trojúhelník) je tedy podle kritéria kolmosti přímky a roviny kolmá na průsečnici EC, což znamená, že je kolmá na obě roviny ACG, BCH (užitím stejného kritéria). Úhel φ (resp. úhel k němu vedlejší) lze tedy považovat za odchylku rovin ACG a BCH. Zbývá jej dopočítat, k čemuž poslouží např. modrý obdélník ABGE (řez krychle rovinou ACG) vpravo nahoře.
Zvolíme délku hrany krychle rovnu a. Pak velikost stěnových úhlopříček je a 2 , velikost tělesových úhlopříček a 3 . Dále vyjdeme z pravoúhlých trojúhelníků AET a ATB. Podle Pythagorovy věty platí: a2 x2 y2
a 2
2
(trojúhelník AET)
x2 a 3 y
2
(trojúhelník ATB)
Danou soustavu vyřešíme srovnávací metodou, maje na paměti, že číslo a je konstanta. x2 a2 y2
x 2 2a 2 a 3 y
3a
2
a 2 y 2 2a 2 a 3 y a 2 y 2 2a 2 2
2
2
2
Srovnáme pravé strany rovnic.
2
2ay 3 y 2
2
a y 2a 3a 2ay 3 y 2a 2 2ay 3
Rovnici vydělíme výrazem 2a (bez obav, nemůže být nulový!)
ay 3 y a2 x2
a2 3
2
a
Dosadíme do první rovnice a vypočítáme x.
3
xa
2 3
Nyní přejdeme k rovnoramennému trojúhelníku AHT. Pro výpočet úhlu φ použijeme funkci sinus. a 2 2 3 sin 2 2 2 2 2 2 a 3 3 60 120 2 Vedlejší úhel k úhlu 120 je úhel 60° (na obrázku není vyznačen, ale stačí pomyslně protáhnout úsečku AT za bod T a je na světě), což je hledaná odchylka rovin ACG a BCH. Řešení 8d) Podle definice musíme nejprve najít rovinu kolmou na obě sousední boční stěny (vybral jsem stěny BCV a DCV). Je to rovina DBX (na obrázku níže vyznačena modře), bod X je pata kolmice spuštěné z bodu B (resp. D) na přímku CV. Hledaná odchylka je odchylka průsečnic roviny DBX s bočními stěnami (na obrázku vyznačena jako ω). Tuto odchylku (respektive její polovinu) vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku SBX, ještě předtím však musíme určit délku úsečky BX (označíme ji x).
Délku úsečky BX (ozn. x) vypočítáme z trojúhelníku BXC na obrázku vpravo. Trojúhelník 3 BCV je rovnoramenný se základnou BC, |BC| = a, |CV| = |BV| = a (vypočteno přes 2 a 2 Pythagorovu větu z pravoúhlého trojúhelníku SBV, |SV| = a, |SB| = , strana BV je 2 přepona).
a 2
1 1 V trojúhelníku SBCCV platí: sin 2 3 3 6 a 2 2 1 Úhel γ je tedy roven 90 arcsin = cca 65°54´. 6
arcsin
1 6
= cca 24°6´.
V pravoúhlém trojúhelníku BCX platí: sin
BX BC
x a
x a sin
Nyní přejdeme do pravoúhlého trojúhelníku SBX.
2 a SB a 2 a 2 2 sin 2 2 BX x 2x 2a sin 2 sin 2 2 2 2 arcsin 2 arcsin arcsin = 101°32´ 2 sin 2 2 sin 1 2 sin 90 arcsin 6
Příklady k procvičení: Příklad 10) Body M, N jsou po řadě středy hran BC, CD krychle ABCDEFGH. Určete odchylku roviny ABC od roviny MNG. Příklad 11) Je dána krychle ABCDEFGH. Body P, Q jsou po řadě středy hran BF, DH. Porovnejte odchylky α a β, je-li α odchylka rovin ACF a ACH, β odchylka rovin ACP, ACQ. Příklad 12) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV dokažte kolmost přímek AC a BV. Příklad 13) Je dán kvádr ABCDEFGH, |AB| = 5 cm, |BC| = 3 cm, |AE| = 6 cm. Vypočítej odchylku přímky BG od roviny BCE.
Řešení 4h) Jak dokázat, že roviny ALK a BDH na sebe nejsou kolmé? On totiž fakt, že se mi nepodaří najít žádnou přímku z jedné roviny kolmou na druhou rovinu, nestačí. Úloha 4h) je typickým příkladem úlohy, kdy je velice výhodné využít poznatků analytické geometrie. Tak pojďme na to. Nejprve je třeba krychličku umístit do souřadnicového systému. Např. takto:
Nyní určíme zaměření roviny ALK. To je tvořeno libovolnými dvěma LN (různoběžnými) vektory této roviny. a = LA = A – L = (2; –1; 0) b = KA = A – K = (1; 0; –2) Normálový vektor roviny ALK u vypočítáme vektorovým součinem a b (2; 4; 1). Stejně to uděláme s rovinou BDH. c = DB = B – D= (2; 2; 0) d = BF = F – B = (0; 0; 2) Normálový vektor roviny BDH v = c d (4; –4; 0) (1; –1; 0). Jsou-li roviny na sebe kolmé, pak musejí být na sebe kolmé i jejich normálové vektory. A dva vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když se jejich skalární součin rovná nule, tj. platí-li u v 0 .
u v 2 1 4 1 1 0 2 0 Vektory u, v na sebe nejsou kolmé, tedy ani roviny ALK a BDH.
Vzdálenost bodu od přímky a od roviny Vzdálenost dvou bodů A, B je délka úsečky AB; značíme ji |AB|. Vzdálenost bodu A od přímky p určíme stejně jako vzdálenost bodu od přímky v rovině, neboť bod a přímka určují v prostoru rovinu (pokud bod neleží na přímce). Značíme |Ap|. Vzdálenost bodu A od roviny ρ je vzdálenost bodu A od jeho pravoúhlého průmětu A´ do roviny ρ. Je to nejmenší ze všech vzdáleností bodu A od jednotlivých bodů roviny ρ. Značíme |Aρ|. Příklad 14) Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´; |AB| = a = 4 cm, |AA´| = v = 5,5 cm. Vypočti vzdálenost bodu B od přímky a) AD, b) AC, c) C´D´ d) A´C´ e) AC´ Příklad 15) Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 5 cm. Urči vzdálenost bodu E od roviny AFH.
