Stereometrie. Marie Chodorová

ˇ AV ´ AN ´ ´I INVESTICE DO ROZVOJE VZDEL Rozsˇ´ırˇenı´ akreditace ucˇitelstvı´ matematiky a ucˇitelstvı´ deskriptivnı´ geometrie na PrˇF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/18.0013

Stereometrie

Marie Chodorova´

Obsah ´ vod U 1

2

3

Stereometrie - polohove´ vlastnosti 1.1 Za´kladnı´ vztahy mezi body, prˇ´ımkami a rovinami 1.2 Axio´my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Za´kladnı´ veˇty stereometrie . . . . . . . . . . . . 1.4 Vza´jemna´ poloha dvou prˇ´ımek . . . . . . . . . . 1.5 Vza´jemna´ poloha prˇ´ımky a roviny . . . . . . . . 1.6 Vza´jemna´ poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . 1.7 Rovnobeˇzˇnost prˇ´ımek a rovin . . . . . . . . . . . 1.8 Vza´jemna´ poloha trˇ´ı rovin . . . . . . . . . . . . ˇ esˇenı´ polohovy´ch konstrukcˇnı´ch u´loh . . . . . . 1.9 R 1.10 Metricke´ vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Kolmost prˇ´ımek a rovin . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Odchylka prˇ´ımek a rovin . . . . . . . . . . . . . 1.13 Vzda´lenost bodu od prˇ´ımky a od roviny . . . . . 1.14 Vzda´lenost prˇ´ımek a rovin . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

6 6 8 9 10 12 14 17 20 22 26 27 31 32 34

Volne´ rovnobeˇzˇne´ promı´ta´nı´ ˇ ezy na teˇlesech . . . . 2.1 R 2.2 Pru˚nik prˇ´ımky s teˇlelsem 2.3 Osova´ afinita . . . . . . 2.4 Dalsˇ´ı prˇ´ıklady . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

36 36 39 39 40

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

´ vod U

3

Seznam ikon uzˇ´ıvany´ch v textu Da´le jsou uvedeny ikony oznacˇujı´cı´ prvky podporujı´cı´ studenta prˇi studiu, tj. odkazy, ota´zky, u´koly, korespondencˇnı´ u´koly apod. s vysveˇtlivkami:

Cı´le Na zacˇa´tku kazˇde´ kapitoly naleznete konkre´tneˇ formulovane´ cı´le. Jejich prostrˇednictvı´m zı´ska´te prˇehled o tom, co budete po nastudova´nı´ prˇ´ıslusˇne´ho te´maticke´ho celku umeˇt, zna´t, co budete schopni deˇlat.

Motivace Odstavec, v neˇmzˇ by meˇlo by´t vysveˇtleno, procˇ se danou problematikou vu˚bec hodla´me zaby´vat. Motivujte studenty k tomu, aby studovali pra´veˇ tuto pasa´zˇ.

Pru˚vodce studiem Pasa´zˇ, v nı´zˇ „zbavı´me studenta strachu z nove´ho ucˇiva“, pouka´zˇeme na propojenost ucˇiva s prˇedchozı´ kapitolou, uvedeme, co jizˇ student zna´ z prˇedmeˇtu v prˇedchozı´m rocˇnı´ku, ze SSˇ, s cˇ´ım se setkal v praxi. . .

Ota´zka k zamysˇlenı´ Meˇla by va´s podneˇcovat k prˇemy´sˇlenı´, k u´vaha´m, k hleda´nı´ vlastnı´ho rˇesˇenı´. Je to prostor, ktery´ va´m nabı´zı´m k vyja´drˇenı´ osobnı´ho na´zoru, postoje k studovane´ problematice. Odpoveˇdi na tyto ota´zky si formulujete sami, by´vajı´ prˇedmeˇtem diskusı´ na prezencˇnı´ch setka´nı´ch, jsou soucˇa´stı´ zkousˇky (cˇasto je pokla´dajı´ examina´torˇi).

Pasa´zˇ pro za´jemce Tato cˇa´st textu je urcˇena teˇm z va´s, kterˇ´ı ma´te za´jem o hlubsˇ´ı studium problematiky, nebo se chcete dozveˇdeˇt i neˇjake´ zajı´mave´ podrobnosti vztahujı´cı´ se k te´matu. Vsˇe, co najdete v te´to pasa´zˇi, je nepovinne´, tudı´zˇ zcela dobrovolne´. Zmı´neˇne´ informace po va´s nebudou vyzˇadova´ny u zkousˇky. ´ kol U Jeho prostrˇednictvı´m va´s vybı´dnu k tomu, abyste na za´kladeˇ studia urcˇite´ te´matiky neˇco vytvorˇili, zpracovali, konkre´tneˇ uvedli za prˇedpokladu, zˇe uzˇ ma´te jiste´ znalosti. Ma´ prˇeva´zˇneˇ aplikacˇnı´ charakter. Spra´vne´ (mozˇne´) rˇesˇenı´ najdete k neˇktery´m u´kolu˚m (dle obsahu, zameˇrˇenı´) v klı´cˇi.

Doporucˇenı´ Dobra´ rada, doporucˇenı´, neˇco, co studentu˚m „usnadnı´“ pra´ci, dovede je rychleji k cı´li, pomu˚zˇe vyhnout se chyba´m apod. 4

Upozorneˇnı´ Slouzˇ´ı pro upozorneˇnı´ na neˇjakou chybu, ktere´ se studenti cˇasto (a u´plneˇ zbytecˇneˇ) zejme´na pro nepozornost dopousˇteˇjı´.

Odkazy na on-line zdroje Slouzˇ´ı jako mı´sto pro odkazy na dalsˇ´ı zdroje, ktere´ lze nale´zt na internetu.

Shrnutı´ kapitoly Tato pasa´zˇ postihuje ve strucˇne´ podobeˇ to nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı, o cˇem konkre´tnı´ kapitola pojedna´va´. Ma´ vy´znam pro opakova´nı´, aby se va´m informace a klı´cˇove´ body probı´rane´ la´tky le´pe vybavily. Pokud zjistı´te, zˇe neˇktere´mu u´seku nerozumı´te, nebo jste jej dostatecˇneˇ neprostudovali, vrat’te se k prˇ´ıslusˇne´ pasa´zˇi v textu.

Pojmy k zapamatova´nı´ Na konci kazˇde´ kapitoly najdete klı´cˇove´ pojmy, ktere´ byste meˇli by´t schopni vysveˇtlit. Jde o du˚lezˇity´ terminologicky´ apara´t a jme´na, jezˇ je nezbytne´ zna´t. Po prvnı´m prostudova´nı´ kapitoly si je zkuste sami pro sebe objasnit, vracejte se k nim i prˇi dalsˇ´ım cˇtenı´ a opakova´nı´ dokud si je dostatecˇneˇ nezafixujete v pameˇti.

Kontrolnı´ ota´zky Proveˇrˇujı´, do jake´ mı´ry jste ucˇivo pochopili, zapamatovali si podstatne´ informace a zda je umı´te aplikovat. Najdete je na konci kazˇde´ kapitoly. Jejich prostrˇednictvı´m zjistı´te, jestli jste splnili formulovane´ cı´le. Jsou velmi du˚lezˇite´, veˇnujte jim proto na´lezˇitou pozornost. Odpoveˇdi na neˇ mu˚zˇete najı´t ve vı´ce cˇi me´neˇ skryte´ formeˇ prˇ´ımo v textu. ´ lohy k procvicˇenı´ U Tyto pasa´zˇe majı´ za u´kol ucˇivo procvicˇit, zopakovat, upevnit. Poma´hajı´ va´m fixovat poznatky.

Klı´cˇ Obsahuje patrˇicˇne´ odpoveˇdi a mozˇna´ rˇesˇenı´ k u´kolu˚m. Mu˚zˇete si zkontrolovat spra´vnost sve´ odpoveˇdi na konkre´tnı´ (ale ne na kazˇdy´) u´kol.

Literatura V te´to cˇa´sti najdete prˇehled vsˇech zdroju˚ a literatury, ze ktere´ jsem cˇerpala prˇi zpracova´va´nı´ textu. Tento seznam slouzˇ´ı take´ jako zdroj informacı´ pro za´jemce o dalsˇ´ı podrobneˇjsˇ´ı studium a doplneˇnı´ poznatku˚. 5

1

Stereometrie - polohove´ vlastnosti

Nejprve uvedeme za´kladnı´ vztahy mezi jednotlivy´mi objekty v geometrii. Da´le budeme formulovat neˇkolik jednoduchy´ch veˇt, tzv. axiomu˚, o ktere´ se opı´rajı´ vsˇechny dalsˇ´ı stereometricke´ veˇty, ktere´ rozdeˇlı´me do trˇ´ı skupin. Prvnı´ skupinou budou za´kladnı´ veˇty stereometrie, v nich se mluvı´ o vza´jemne´ poloze bodu˚, prˇ´ımek a rovin. Do dalsˇ´ı skupiny zahrneme veˇty o rovnobeˇzˇnosti a na jejich za´kladeˇ se budeme zaby´vat polohovy´mi vlastnostmi dany´ch geometricky´ch objektu˚. Trˇetı´ skupinu tvorˇ´ı veˇty o vza´jemne´ kolmosti prˇ´ımek a rovin, do nichzˇ prˇipojı´me take´ veˇty o vzda´lenosti, souhrnneˇ tuto skupinu nazy´va´me metricke´ vlastnosti.

1.1

Za´kladnı´ vztahy mezi body, prˇ´ımkami a rovinami

Za´kladnı´ prvky ve stereometrii jsou bod, prˇ´ımka a rovina. Uvazˇujeme-li dvojici bod-prˇ´ımka (bod-rovina), pak bod lezˇ´ı na prˇ´ımce (v rovineˇ), resp. nelezˇ´ı. Rˇ´ıka´me take´, zˇe prˇ´ımka (rovina) procha´zı´, resp. neprocha´zı´ bodem Obdobneˇ uvazˇujeme-li dvojici prˇ´ımka-rovina, pak prˇ´ımka lezˇ´ı, resp. nelezˇ´ı v rovineˇ, tedy rovina procha´zı´ bodem, resp. neprocha´zı´ Pro vyja´drˇenı´ teˇchto vztahu˚ pouzˇ´ıva´me spolecˇny´ termı´n tzv. incidence (bod je incidentnı´ s prˇ´ımkou, prˇ´ımka nenı´ incidentnı´ s rovinou. . . ) Pro symbolicky´ za´pis pouzˇ´ıva´me na´sledujı´cı´ znacˇky: ∈ je prvkem ∈ / nenı´ prvkem ⊂ je podmnozˇinou Body znacˇ´ıme velky´mi tiskacı´mi pı´smeny (A, B, P, Q, . . . ), prˇ´ımky maly´mi pı´smeny (a, b, p, q, . . . ) a roviny maly´mi rˇecky´mi pı´smeny (α, β, γ, . . . ).

→ ˇ ´ıka´me, zˇe prˇ´ımka je urcˇena dveˇma body, zapisujeme p = ← R AB a nazy´va´me prˇ´ımka AB. ←−→ Rovina je urcˇena dany´mi body cˇi prˇ´ımkami, zapisujeme ρ = ABC (dana´ trˇemi body), resp. ← → → (dana´ dveˇma prˇ´ımkami) a nazy´va´me rovina ρ = Ap(dana´ prˇ´ımkou a bodem), resp. ρ = ← pq ABC, resp. rovina Ap, resp. rovina pq.

6

Pozn.: Rovnobeˇzˇnostı´ a ru˚znobeˇzˇnostı´ prˇ´ımek se budeme vı´ce zaby´vat pozdeˇji. Veˇta 1.1.1 Libovolna´ rovina rozdeˇluje prostor na dva navza´jem opacˇne´ poloprostory a je jejich spolecˇnou hranicˇnı´ rovinou. Hranicˇnı´ rovina patrˇ´ı do obou poloprostoru˚. Kazˇdy´ bod prostoru, ktery´ nelezˇ´ı v hranicˇnı´ rovineˇ, je vnitrˇnı´m bodem jednoho z poloprostoru˚. Poloprostor s hranicˇnı´ rovinou ρ a vnitrˇnı´m bodem M znacˇ´ıme → ρM . Obdobneˇ jako v planimetrii, i ve stereometrii zavedeme pojem konvexnı´ho u´tvaru. Veˇta 1.1.2 Geometricky´ u´tvar se nazy´va´ konvexnı´, jestlizˇe u´secˇka spojujı´cı´ libovolne´ dva body tohoto u´tvaru je cela´ jeho cˇa´stı´.

Prˇ´ıklad 1.1.1 Je da´na krychle ABCDEF GH. Urcˇete cˇtyrˇmi ru˚zny´mi zpu˚soby rovinu hornı´ steˇnu krychle. Urcˇete, zda v te´to rovineˇ lezˇ´ı prˇ´ımky F G, EG, BG. Rˇesˇenı´:

Rovinu hornı´ podstavy mu˚zˇeme urcˇit: a) trˇemi body, naprˇ. E, F, G; F, G, H; G, H, E; E, F, H atd. ←→ ←→ b) prˇ´ımkou a bodem, naprˇ. F G, H; F G,E atd. ←→ ←→ ←→ ←→ c) dveˇma rovnobeˇzˇny´mi prˇ´ımkami, naprˇ. F G, EH; EF , GH atd. d) dveˇma ru˚znobeˇzˇkami. Prˇ´ımky F G i EG lezˇ´ı v hornı´ podstaveˇ roviny, tudı´zˇ lezˇ´ı v dane´ rovineˇ. Bod B nelezˇ´ı v hornı´ podstaveˇ, proto ani prˇ´ımka BG nelezˇ´ı v zadane´ rovineˇ.

7

Prˇ´ıklad 1.1.2 Je da´na krychle ABCDEF GH. Kolik ru˚zny´ch prˇ´ımek urcˇujı´ vrcholy B, E, F, G? Lezˇ´ı tyto body v jedne´ rovineˇ?

Prˇ´ıklad 1.1.3 Je da´na krychle ABCDEF GH. Urcˇete, zda v rovineˇ BHE lezˇ´ı a) body G, C, F, Q (strˇed strany BC). b) prˇ´ımky CE, AB, BC, DH

Prˇ´ıklad 1.1.4 Jake´ u´tvary mohou mı´t spolecˇne´ poloprostor a a) prˇ´ımka b) poloprˇ´ımka c) rovina d) polorovina?

1.2

Axio´my

Axio´my jsou tvrzenı´, ktera´ prˇedkla´da´me bez du˚kazu a z nich logickou cestou odvozujeme tzv. veˇty. 1. Axio´m: Dveˇma ru˚zny´mi body A, B procha´zı´ pra´veˇ jedna prˇ´ımka p. 2. Axio´m: Prˇ´ımkou p a bodem A, ktery´ na prˇ´ımce p nelezˇ´ı, procha´zı´ pra´veˇ jedna rovina ρ. 3. Axio´m: Jestlizˇe bod A lezˇ´ı na prˇ´ımce p a prˇ´ımka p lezˇ´ı v rovineˇ ρ pak i bod A lezˇ´ı v rovineˇ ρ. 4. Axio´m: Majı´-li dveˇ ru˚zne´ roviny ρ a σ spolecˇny´ bod A, pak majı´ spolecˇnou pra´veˇ jednu prˇ´ımku. 5. Axio´m: Ke kazˇde´ prˇ´ımce p lze bodem A, ktery´ na nı´ nelezˇ´ı, ve´st pra´veˇ jednu rovnobeˇzˇku s prˇ´ımou p.

8

1.3

Za´kladnı´ veˇty stereometrie

Veˇta 1.3.1 Majı´-li dveˇ prˇ´ımky spolecˇne´ dva ru˚zne´ body, pak jsou totozˇne´.

Veˇta 1.3.2 Majı´-li dveˇ roviny spolecˇnou prˇ´ımku a bod, ktery´ na te´to prˇ´ımce nelezˇ´ı, pak jsou totozˇne´.

Veˇta 1.3.3 Majı´-li prˇ´ımka a rovina spolecˇne´ dva ru˚zne´ body, pak prˇ´ımka lezˇ´ı v rovineˇ.

Veˇta 1.3.4 Jestlizˇe v rovineˇ ρ lezˇ´ı dva ru˚zne´ body A, B, pak take´ prˇ´ımka p, ktera´ teˇmito body procha´zı´, lezˇ´ı v rovineˇ ρ.

9

1.4

Vza´jemna´ poloha dvou prˇ´ımek

Stejneˇ jako v planimetrii mohou by´t dveˇ prˇ´ımky v prostoru bud’ • rovnobeˇzˇne´ (ru˚zne´) – tyto nemajı´ zˇa´dny´ spolecˇna´ bod a lezˇ´ı v jedne´ rovineˇ, znacˇ´ıme pkq • totozˇne´ – majı´ vsˇechny body spolecˇne´, znacˇ´ıme p = q • ru˚znobeˇzˇne´ – majı´ jeden spolecˇny´ bod (pru˚secˇ´ık) a lezˇ´ı v jedne´ rovineˇ, znacˇ´ıme P ∈ p ∩ q nebo P ∈ p ∩ q nebo P = p ∩ q. ˇ ´ıka´me, zˇe prˇ´ımky jsou V prostoru ale mu˚zˇe nastat jesˇteˇ cˇtvrty´ prˇ´ıpad. R • mimobeˇzˇne´ – nemajı´ zˇa´dny´ spolecˇny´ bod a nelezˇ´ı v jedne´ rovineˇ.

Prˇ´ıklad 1.4.1 Na pravidelne´m cˇtyrˇboke´m jehlanu ABCDV urcˇete vzˇdy alesponˇ dveˇ dvojice prˇ´ımek rovnobeˇzˇny´ch, ru˚znobeˇzˇny´ch mimobeˇzˇny´ch. Rˇesˇenı´:

• rovnobeˇzˇne´ prˇ´ımky: AB, CD; BC, AD 10

• ru˚znobeˇzˇne´ prˇ´ımky: AB, BC; AB, BV ; BD, AC . . . • mimobeˇzˇne´ prˇ´ımky: BD, CV ; AB, DV ; AC, DV . . .

Prˇ´ıklad 1.4.2 Na krychli vypisˇte vzˇdy alesponˇ trˇi dvojice prˇ´ımek rovnobeˇzˇny´ch, ru˚znobeˇzˇny´ch a mimobeˇzˇny´ch. Urcˇete alesponˇ dveˇ trojice prˇ´ımek rovnobeˇzˇny´ch, ru˚znobeˇzˇny´ch a mimobeˇzˇny´ch.

Prˇ´ıklad 1.4.3 Zobrazte pravidelny´ osmisteˇn a urcˇete na neˇm dvojice prˇ´ımek rovnobeˇzˇny´ch, ru˚znobeˇzˇny´ch a mimobeˇzˇny´ch.

Prˇ´ıklad 1.4.4 Je da´na krychle ABCDEF GH. Body K, L, M , jsou po rˇadeˇ strˇedy hran BF, AB, BC. Urcˇete vza´jemnou polohu prˇ´ımek a) KL, AM b) AD, LM c) KM, AD.

Prˇ´ıklad 1.4.5 Je da´na krychle ABCDEF GH. Vypisˇte vsˇechny prˇ´ımky, ktere´ procha´zejı´ vrcholem G a neˇktery´m dalsˇ´ım vrcholem krychle a jsou s prˇ´ımkou AB a) rovnobeˇzˇne´ b) ru˚znobeˇzˇne´ c) mimobeˇzˇne´.

11

1.5

Vza´jemna´ poloha prˇ´ımky a roviny

Je-li v prostoru da´na prˇ´ımka a rovina, mohou nastat trˇi prˇ´ıpady: • prˇ´ımka nema´ s rovinou spolecˇny´ zˇa´dny´ bod, rˇ´ıka´me, zˇe prˇ´ımka je s rovinou rovnobeˇzˇna´ ru˚zna´, znacˇ´ıme pkρ • prˇ´ımka a rovina majı´ pra´veˇ jeden spolecˇny´ bod, jsou tedy ru˚znobeˇzˇne´, znacˇ´ıme p ∩ ρ = P nebo P ∈ p ∩ q • prˇ´ımka ma´ s rovinou spolecˇne´ 2 body, tudı´zˇ vsˇechny, prˇ´ımka a rovina jsou rovnobeˇzˇne´, prˇicˇemzˇ prˇ´ımka lezˇ´ı v rovineˇ (je jejı´ cˇa´stı´), znacˇ´ıme p ⊂ ρ.

Prˇ´ıklad 1.5.1 Je da´na krychle ABCDEF GH. Urcˇete vsˇechny prˇ´ımky, ktere´ procha´zejı´ vrcholem F a neˇktery´m dalsˇ´ım vrcholem krychle a jsou s rovinou ABC a) rovnobeˇzˇne´ b) ru˚znobeˇzˇne´. Rˇesˇenı´:

a) bod F lezˇ´ı mimo rovinu ABC (dolnı´ podstava). Budeme tedy hledat prˇ´ımky, ktere´ s dolnı´ podstavou nemajı´ zˇa´dny´ spolecˇny´ bod. Tyto prˇ´ımky jsou: F E, F G, F H b) bod F lezˇ´ı mimo rovinu ABC, tedy bod lezˇ´ıcı´ v te´to rovineˇ urcˇ´ı s bodem F prˇ´ımku ru˚znobeˇzˇnou s danou rovinou. Tyto prˇ´ımky jsou: F A, F B, F C, F D. 12

Prˇ´ıklad 1.5.2 Je da´na krychle ABCDEF GH. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ procha´zejı´ bodem G a dalsˇ´ımi dveˇma vrcholy krychle a jsou s prˇ´ımkou AD a) rovnobeˇzˇne´ b) ru˚znobeˇzˇne´.

Prˇ´ıklad 1.5.3 Je da´na krychle ABCDEF GH. Sestrojte prˇ´ımku rovnobeˇzˇnou s rovinami BCG a EF H, procha´zejı´cı´ bodem A a dalsˇ´ım vrcholem krychle.

Prˇ´ıklad 1.5.4 Je da´na krychle ABCDEF GH. Sestrojte prˇ´ımku procha´zejı´cı´ bodem B a dalsˇ´ım vrcholem krychle, ktera´ je ru˚znobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou F G a rovnobeˇzˇna´ s rovinou ADH.

Prˇ´ıklad 1.5.5 Je da´na krychle ABCDEF GH. Body P, Q, R, S jsou po rˇadeˇ strˇedy stran ABCD, BCF G, EF GH, ADHE. Jaka´ je vza´jemna´ poloha a) prˇ´ımky QR a roviny BCE b) prˇ´ımky QS a roviny ABG c) prˇ´ımky P S a roviny EF G?

13

1.6

Vza´jemna´ poloha dvou rovin

Pro dveˇ roviny v prostoru mu˚zˇe nastat pra´veˇ jedna ze trˇ´ı mozˇnostı´: • roviny jsou ru˚znobeˇzˇne´, pra´veˇ kdyzˇ majı´ spolecˇnou prˇ´ımku, zapisujeme ρ∩σ = p, prˇ´ımka p se nazy´va´ pru˚secˇnice rovin • roviny jsou rovnobeˇzˇne´ ru˚zne´, pra´veˇ kdyzˇ nemajı´ zˇa´dny´ spolecˇny´ bod, pı´sˇeme ρkσ • roviny jsou rovnobeˇzˇne´ totozˇne´, majı´-li vsˇechny body spolecˇne´, pı´sˇeme ρ = σ. Veˇta 1.6.1 Majı´-li dveˇ roviny spolecˇny´ bod, pak majı´ spolecˇnou prˇ´ımku, ktera´ tı´mto bodem procha´zı´. Kromeˇ te´to prˇ´ımky nemajı´ zˇa´dny´ dalsˇ´ı spolecˇny´ bod.

Jsou-li roviny ρ q σ dveˇ rovnobeˇzˇne´ roviny, bod A je bod roviny σ, bod B je bod roviny ρ, pak pru˚nik poloprostoru˚ ρA a σB se nazy´va´ vrstva. Roviny ρ a σ jsou hranicˇnı´ roviny, jejich vzda´lenost v je tlousˇt’ka (sˇ´ırˇka) vrstvy. Jsou-li roviny ρ q σ dveˇ ru˚znobeˇzˇne´ roviny, bod A je bod roviny σ, bod B je bod roviny ρ, jejich pru˚secˇnice je prˇ´ımka h, pak pru˚nik poloprostoru˚ ρA a σB se nazy´va´ klı´n. Prˇ´ımka h je hrana klı´nu, poloroviny hA, hB jsou steˇny klı´nu.

14

Prˇ´ıklad 1.6.1 Je da´n komoly´ jehlan ABCDEF GH. Rozhodneˇte o vza´jemne´ poloze rovin b) ABC, BCD c) ADH, BCE Rˇesˇenı´:

a) ABC, EF H

a) roviny nemajı´ zˇa´dny´ spolecˇny´ bod, jsou tedy rovnobeˇzˇne´ ru˚zne´ b) roviny majı´ spolecˇne´ vsˇechny body, jsou tedy rovnobeˇzˇne´ totozˇne´ c) roviny majı´ spolecˇne´ body E, H, tedy majı´ spolecˇnou celou prˇ´ımku p a jsou ru˚znobeˇzˇne´

Prˇ´ıklad 1.6.2 V krychli ABCDEF GH urcˇete pru˚secˇnici rovin a) AEG a HDB b) ACG a AF H c) ACF a BGE d) BCH a AEO (O je strˇed steˇny BCGF ).

Prˇ´ıklad 1.6.3 Jaka´ je vza´jemna´ poloha dvou rovin, jestlizˇe majı´ spolecˇne´ a) dva ru˚zne´ body b) trˇi ru˚zne´ body nelezˇ´ıcı´ v prˇ´ımce c) prˇ´ımku a bod d) dveˇ rovnobeˇzˇky?

Prˇ´ıklad 1.6.4

15

Je da´na krychle ABCDEF GH. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ procha´zejı´ bodem E a dalsˇ´ımi dveˇma vrcholy krychle a jsou s rovinou BCG a) rovnobeˇzˇne´ b) ru˚znobeˇzˇne´.

Prˇ´ıklad 1.6.5 Jsou da´ny roviny ρ a σ, ktere´ jsou a) rovnobeˇzˇne´ b) ru˚znobeˇzˇne´. V rovineˇ ρ lezˇ´ı prˇ´ımka r, v rovineˇ σ lezˇ´ı prˇ´ımka s. Jakou vza´jemnou polohu mohou mı´t prˇ´ımky r a s?

Prˇ´ıklad 1.6.6 Ve cˇtyrˇsteˇnu ABCD sestrojte pru˚secˇnici rovin AKD a CLD, kde K je strˇed hrany BC a L je strˇed hrany AB.

16

1.7

Rovnobeˇzˇnost prˇ´ımek a rovin

Veˇta 1.7.1 Prˇ´ımka je rovnobeˇzˇna´ s rovinou tehdy a jen tehdy, je-li rovnobeˇzˇna´ alesponˇ s jednou jejı´ prˇ´ımkou. Veˇta 1.7.2 Prˇ´ımka je rovnobeˇzˇna´ se dveˇma ru˚znobeˇzˇny´mi rovinami tehdy a jen tehdy, jestlizˇe je rovnobeˇzˇna´ s jejich pru˚secˇnicı´. Veˇta 1.7.3 Jsou-li da´ny dveˇ rovnobeˇzˇne´ roviny, pak kazˇda´ prˇ´ımka jedne´ roviny je rovnobeˇzˇna´ s druhou rovinou. Veˇta 1.7.4 Dveˇ roviny jsou rovnobeˇzˇne´ tehdy a jen tehdy, jestlizˇe jedna z nich obsahuje dveˇ ru˚znobeˇzˇky rovnobeˇzˇne´ s druhou rovinou.

Pro rovnobeˇzˇnost vı´ce prˇ´ımek a rovin platı´ du˚lezˇita´ skupina cˇtyrˇ veˇt o tranzitivnosti: Veˇta 1.7.5 Je-li prˇ´ımka a rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou b a prˇ´ımka b rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou c, pak prˇ´ımka a je rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou c. Veˇta 1.7.6 Je-li prˇ´ımka a rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou b a prˇ´ımka b rovnobeˇzˇna´ s rovinou γ, pak prˇ´ımka a je rovnobeˇzˇna´ s rovinou γ. Veˇta 1.7.7 Je-li prˇ´ımka a rovnobeˇzˇna´ s rovinou β a rovina β rovnobeˇzˇna´ s rovinou γ, pak prˇ´ımka a je rovnobeˇzˇna´ s rovinou γ. Veˇta 1.7.8 Je-li rovina α rovnobeˇzˇna´ s rovinou β a rovina β rovnobeˇzˇna´ s rovinou γ, pak rovina α je rovnobeˇzˇna´ s rovinou γ.

Prˇ´ıklad 1.7.1 Je da´n cˇtyrˇsteˇn ABCD. Body K, L, M jsou po rˇadeˇ strˇedy hran AD, BD, CD. Dokazˇte, zˇe rovina KLM je rovnobeˇzˇna´ s rovinou ABC. 17

Rˇesˇenı´:

Prˇ´ımka KL je strˇednı´ prˇ´ıcˇkou v troju´helnı´ku ABD. Platı´ tedy, zˇe ABkKL a tedy KLkABC. Obdobneˇ platı´, zˇe LM kBC (tedy LM kABC) a take´ KM kAC (tedy KM kABC). Nasˇli jsme tedy v rovineˇ KLM dveˇ (dokonce trˇi) ru˚znobeˇzˇne´ prˇ´ımky rovnobeˇzˇne´ s rovinou ABC a tedy roviny KLM a ABC jsou rovnobeˇzˇne´.

Prˇ´ıklad 1.7.2 V krychli ABCDEF GH ved’te bodem H rovinu rovnobeˇzˇnou s rovinou BEG. Rˇesˇenı´:

Z obra´zku vidı´me, zˇe dany´m rˇesˇenı´m je rovina ACH. Prˇ´ımka AH je rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou BG a proto take´ AHkBEG. Prˇ´ımka AC je rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou EG a proto take´ ACkBEG. Prˇ´ımka CH je rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou BE a proto take´ CHkBEG. Opeˇt jsme nalezli trˇi ru˚znobeˇzˇne´ prˇ´ımky, vsˇechny rovnobeˇzˇne´ s rovinou BEG.

Prˇ´ıklad 1.7.3 18

Je da´n pravidelny´ cˇtyrˇboky´ jehlan ABCDV . Bod M je strˇedem hrany AV . Dokazˇte, zˇe prˇ´ımka CV je rovnobeˇzˇna´ s rovinou BDV .

Prˇ´ıklad 1.7.4 Jsou da´ny dveˇ mimobeˇzˇky p a q. Rozhodneˇte, zda existuje rovina rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou q obsahujı´cı´ prˇ´ımku p. Oveˇrˇte na krychli.

Prˇ´ıklad 1.7.5 Je da´na krychle ABCDEF GH a bod M jako strˇed hrany BF . Ved’te bodem B rovinu rovnobeˇzˇnou s rovinou a) ADH b) ABC c) ACH d) BDG.

19

1.8

Vza´jemna´ poloha trˇ´ı rovin

Pro trˇi ru˚zne´ roviny v prostoru nastane pra´veˇ jedna z peˇti mozˇnostı´: • Kazˇde´ dveˇ roviny jsou rovnobeˇzˇne´ • Dveˇ roviny jsou rovnobeˇzˇne´, trˇetı´ s nimi ru˚znobeˇzˇna´, protı´najı´cı´ je ve dvou rovnobeˇzˇny´ch prˇ´ımka´ch. • Kazˇde´ dveˇ roviny jsou ru˚znobeˇzˇne´, prˇicˇemzˇ pru˚secˇnice kazˇdy´ch dvou rovin jsou rovnobeˇzˇne´ ru˚zne´. • Kazˇde´ dveˇ roviny jsou ru˚znobeˇzˇne´, vsˇechny trˇi pru˚secˇnice splynou v jednu prˇ´ımku • Kazˇde´ dveˇ roviny jsou ru˚znobeˇzˇne´, kdy vsˇechny trˇi pru˚secˇnice procha´zejı´ jednı´m bodem (jediny´ spolecˇny´ bod vsˇech trˇ´ı rovin).

20

Prˇ´ıklad 1.8.1 Je da´n cˇtyrˇsteˇn ABCD. Body K, L, M jsou po rˇadeˇ strˇedy hran AD, BD, CD. Zjisteˇte vza´jemnou polohu trˇ´ı rovin a) ABD, KLM, BCD b) ABC, BKM, ACD c) ABC, ABD, ABM d) ABC, KLM, BCD

21

1.9

ˇ esˇenı´ polohovy´ch konstrukcˇnı´ch u´loh R

Prˇi rˇesˇenı´ polohovy´ch u´loh na´s zajı´ma´ pouze vza´jemna´ poloha bodu˚, prˇ´ımek a rovin, ne metricke´ ´ lohy budeme rˇesˇit ve volne´m rovnobeˇzˇne´m promı´ta´nı´. vztahy jako jsou velikosti u´secˇek cˇi u´hlu˚. U Dane´ prvky urcˇ´ıme obvykle na jednoduchy´ch teˇlesech, nejcˇasteˇji na hranolech a jehlanech. Stacˇ´ı na´m tedy zna´t pouze tvar teˇlesa, nikoli jeho rozmeˇry. Mezi jednoduche´ prˇ´ıklady, s ktery´mi jsme se jizˇ setkali, patrˇ´ı: • sestrojenı´ pru˚secˇnice dvou rovin • sestrojenı´ roviny rovnobeˇzˇne´ s danou rovinou procha´zejı´cı´ dany´m bodem • sestrojenı´ prˇ´ımky, ktera´ procha´zı´ dany´m bodem a je rovnobeˇzˇna´ s dveˇma dany´mi ru˚znobeˇzˇny´mi rovinami Dalsˇ´ım prˇ´ıkladem je sestrojenı´ pru˚secˇ´ıku prˇ´ımky s rovinou. Je-li prˇ´ımka p ru˚znobeˇzˇna´ s rovinou ρ, pak jejich pru˚secˇ´ık zı´ska´me na´sledovneˇ: 1. Prˇ´ımkou p prolozˇ´ıme vhodnou rovinu σ, ktera´ je s rovinou ρ ru˚znobeˇzˇna´. 2. Urcˇ´ıme pru˚secˇnici r rovin ρ a σ. 3. Pru˚secˇ´ık P prˇ´ımek p a r je hledany´ pru˚secˇ´ık prˇ´ımky p s rovinou ρ. Prˇ´ıcˇka dvou mimobeˇzˇek je prˇ´ımka, ktera´ obeˇ prˇ´ımky protı´na´. Neˇkdy prˇ´ıcˇkou rozumı´me pouze u´secˇku, jejı´zˇ krajnı´ body jsou na dany´ch mimobeˇzˇka´ch. Jelikozˇ existuje nekonecˇneˇ mnoho prˇ´ıcˇek dvou dany´ch mimobeˇzˇek, je trˇeba prˇipojit dalsˇ´ı podmı´nky.

Prˇ´ıklad 1.9.1 Je da´na krychle ABCDEF GH. Sestrojte pru˚secˇ´ık prˇ´ımky BH s rovinou ACF . Rˇesˇenı´:

22

Jako rovinu σ zvolı´me rovinu BDH. Pru˚secˇnice r rovin AC a BDF H je prˇ´ımka F S, kde S je pru˚secˇ´ık prˇ´ımek AC a BD (strˇed dolnı´ podstavy). Pru˚secˇ´ık P prˇ´ımky BH s rovinou ACF je pru˚secˇ´ık prˇ´ımek F S a BH.

Prˇ´ıklad 1.9.2 Je da´na krychle ABCDEF GH a bod S jako strˇed hrany BC. Prˇ´ımka ES urcˇuje smeˇr slunecˇnı´ch paprsku˚ (tzv. rovnobeˇzˇne´ sveˇtlenı´). Sestrojte stı´n u´secˇky F G do roviny dolnı´ podstavy. Rˇesˇenı´:

K urcˇenı´ stı´nu u´secˇky F G na´m stacˇ´ı najı´t stı´ny jejı´ch krajnı´ch bodu˚. Prˇi hleda´nı´ stı´nu bodu F do roviny ABCD hleda´me vlastneˇ pru˚secˇ´ık prˇ´ımky procha´zejı´cı´ bodem F , rovnobeˇzˇne´ se smeˇrem osveˇtlenı´ (neboli s prˇ´ımkou ES = s) a roviny ABCD. Za rovinu σ zvolı´me rovinu kolmou k dolnı´ podstaveˇ, tedy rovinu ASE. V bodeˇ F sestrojı´me rovinu s nı´ rovnobeˇzˇnou, k tomu na´m stacˇ´ı sestrojit dveˇ ru˚znobeˇzˇne´ prˇ´ımky. Prvnı´ bude jizˇ zminˇovana´ rovnobeˇzˇka s s a druha´ bude prˇ´ımka v rovineˇ ABCD, tedy prˇ´ımka procha´zejı´cı´ bodem B rovnobeˇzˇna´ s AS. Pru˚nik teˇchto dvou prˇ´ımek je bod F ∗ - stı´n bodu F do roviny ABCD. Analogicky pro bod G. Pozna´mka 1.9.1 Kromeˇ rovnobeˇzˇne´ho osveˇtlenı´ existuje jesˇteˇ strˇedove´ osveˇtlenı´, kde zdrojem sveˇtla je jeden bod S. Potom nesestrojujeme prˇ´ımky rovnobeˇzˇne´, ale prˇi hleda´nı´ stı´nu bodu X hleda´me pru˚secˇ´ı prˇ´ımky SX s danou rovinou.

Prˇ´ıklad 1.9.3 V krychli ABCDEF GH sestrojte prˇ´ıcˇku mimobeˇzˇek F C, AH, ktera´ procha´zı´ dveˇma vrcholy krychle. Rˇesˇenı´:

23

Existujı´ pra´veˇ cˇtyrˇi prˇ´ıcˇky zadany´ch mimobeˇzˇek urcˇene´ vrcholy krychle, a to F A, F H, CA, CH.

Prˇ´ıklad 1.9.4 Sestrojte stı´n, ktery´ vrhne krychle ABCDEF GH do roviny sve´ spodnı´ podstavy prˇi rovnobeˇzˇne´m osveˇtlenı´. Smeˇr osveˇtlenı´ uda´va´ prˇ´ımka ES, kde S je strˇed hrany BC. Prˇ´ıklad 1.9.5 Sestrojte stı´n, ktery´ vrhne krychle ABCDEF GH do roviny sve´ spodnı´ podstavy prˇi strˇedove´m osveˇtlenı´. Zdroj sveˇtla je bod S lezˇ´ıcı´ na poloprˇ´ımce AE, prˇicˇemzˇ platı´ |ES| = |AE|.

Prˇ´ıklad 1.9.6 V krychli ABCDEF GH sestrojte prˇ´ıcˇku mimobeˇzˇek EF, AC tak, aby a) procha´zela dveˇma vrcholy rychle b) lezˇela v rovineˇ BDF .

Prˇ´ıklad 1.9.7 V pravidelne´m sˇestiboke´m jehlanu ABCDEF V urcˇete pru˚nik prˇ´ımky BM s rovinou ACV . Bod M je strˇed hrany EV . Prˇ´ıklad 1.9.8 Ve cˇtyrˇsteˇnu ABCD je bod M strˇedem hrany CD, bod P strˇedem hrany BD a bod N je vnitrˇnı´m bodem steˇny ABC. Sestrojte pru˚secˇ´ık prˇ´ımky DN s rovinou a) ABM , b) α, ktera´ je rovnobeˇzˇna´ s rovinou ABC a procha´zı´ bodem P .

Prˇ´ıklad 1.9.9 24

Je da´n pravidelny´ sˇestiboky´ hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 . Sestrojte prˇ´ıcˇku mimobeˇzˇek BC a A0 F 0 tak, aby byla rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou a) AA0 , b) DE, c) BE 0 , d) B 0 C.

25

1.10

Metricke´ vlastnosti

Veˇta 1.10.1 Odchylka dvou ru˚znobeˇzˇny´ch prˇ´ımek je velikost kazˇde´ho z ostry´ch nebo pravy´ch u´hlu˚, ktere´ spolu tyto prˇ´ımky svı´rajı´. (obr. 1) Veˇta 1.10.2 Odchylka dvou rovnobeˇzˇny´ch prˇ´ımek je 0◦ . Veˇta 1.10.3 Odchylka dvou mimobeˇzˇny´ch prˇ´ımek je odchylka ru˚znobeˇzˇny´ch prˇ´ımek vedeny´ch libovolny´m bodem prostoru rovnobeˇzˇneˇ s dany´mi mimobeˇzˇkami. (obr. 2) Znacˇenı´: Je-li ϕ odchylka dvou prˇ´ımek p, q, pı´sˇeme ϕ = |∠pq|.

Prˇ´ıklad 1.10.1 Je da´na krychle ABCDEF GH. Urcˇete odchylku prˇ´ımek AH, BE. Rˇesˇenı´:

26

Bodem B vedeme rovnobeˇzˇku s prˇ´ımkou AH. Odchylka ru˚znobeˇzˇny´ch prˇ´ımek BE a BG je stejna´ jako odchylka mimobeˇzˇny´ch prˇ´ımek BE a AH. Jelikozˇ troju´helnı´k BGE je rovnostranny´ je odchylka φ rovna 60◦ .

Prˇ´ıklad 1.10.2 Je da´n pravidelny´ cˇtyrˇboky´ jehlan ABCDV , jehozˇ steˇny jsou rovnostranne´ troju´helnı´ky. Urcˇete odchylku prˇ´ımek AD, CV . Rˇesˇenı´:

Bodem C vedeme rovnobeˇzˇku s prˇ´ımkou AD. Tı´m dostaneme ru˚znobeˇzˇne´ prˇ´ımky BC a CV , ktere´ majı´ stejnou odchylku jako zadane´ mimobeˇzˇky. Jelikozˇ steˇny jehlanu jsou rovnostranne´ troju´helnı´ky je odchylka φ rovna 60◦ .

1.11

Kolmost prˇ´ımek a rovin

Veˇta 1.11.1 Dveˇ prˇ´ımky jsou k sobeˇ kolme´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jejich odchylka je 90◦ . Znacˇ´ıme p⊥q. Definice 1.11.1 Prˇ´ımka a rovina jsou k sobeˇ kolme´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je prˇ´ımka kolma´ ke vsˇem prˇ´ımka´m roviny. Znacˇ´ıme p⊥ρ. Veˇta 1.11.2 Krite´rium kolmosti prˇ´ımky a roviny: Je-li prˇ´ımka kolma´ ke dveˇma ru˚znobeˇzˇka´m roviny, pak je k rovineˇ kolma´. (obr.3)

27

Veˇta 1.11.3 Dveˇ roviny jsou k sobeˇ kolme´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jedna z nich obsahuje prˇ´ımku kolmou k druhe´ rovineˇ. Znacˇ´ıme ⊥σ.

Veˇta 1.11.4 Rovina je kolma´ ke dveˇma ru˚znobeˇzˇny´m rovina´m pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je kolma´ k jejich pru˚secˇnici. Veˇta 1.11.5 Prˇ´ımkou, ktera´ je kolma´ k rovineˇ procha´zı´ nekonecˇneˇ mnoho rovin kolmy´ch k dane´ rovineˇ; tvorˇ´ı svazek rovin, jehozˇ osou je dana´ prˇ´ımka. Veˇta 1.11.6 Dany´m bodem prostoru lze ve´st k dane´ rovineˇ pra´veˇ jednu kolmici. Pru˚secˇ´ık te´to prˇ´ımky s rovinou nazy´va´me pravou´hly´ pru˚meˇt bodu A do roviny. (obr. 4) Veˇta 1.11.7 Dany´m bodem prostoru lze ve´st k dane´ prˇ´ımce pra´veˇ jednu kolmou rovinu. Veˇta 1.11.8 Danou prˇ´ımkou, ktera´ nenı´ k rovineˇ kolma´, procha´zı´ pra´veˇ jedna rovina, ktera´ je k rovineˇ ρ kolma´. Pru˚secˇnici rovin ρ a σ nazy´va´me pravou´hly´ pru˚meˇt prˇ´ımky p do roviny ρ.

28

Veˇta 1.11.9 Prˇ´ımkou lze prolozˇit rovinu kolmou k druhe´ prˇ´ımce pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jsou obeˇ prˇ´ımky k sobeˇ kolme´. Pro libovolne´ prˇ´ımky p, q a libovolne´ roviny ρ, σ platı´: a) jestlizˇe p⊥ρ a q⊥ρ, pak pkq, b) jestlizˇe p⊥ρ a pkq, pak q⊥ρ, c) jestlizˇe p⊥ρ a p⊥σ, pak ρkσ, d) jestlizˇe p⊥ρ a ρkσ, pak p⊥σ.

Prˇ´ıklad 1.11.1 Vrcholem E krychle ABCDEF GH ved’te prˇ´ımku kolmou k rovineˇ AF H Rˇesˇenı´:

Hledanou prˇ´ımku urcˇ´ıme jako pru˚secˇnici dvou rovin, ktere´ jsou kolme´ k rovineˇ AF H. Rovina ACE, resp. CDE je kolma´ k rovineˇ AF H, jelikozˇ rovina AF H obsahuje prˇ´ımku F H, resp. AH, ktera´ je k te´to rovineˇ kolma´. Pru˚secˇnice rovin ACE a CDE, tedy prˇ´ımka CE, je hledanou kolmicı´.

Prˇ´ıklad 1.11.2 Je da´n pravidelny´ cˇtyrˇboky´ jehlan ABCDV , bod S je strˇedem podstavy. Oveˇrˇte kolmost prˇ´ımek AC a BV . Rˇesˇenı´: K oveˇrˇenı´ kolmosti dvou prˇ´ımek uzˇijeme kolmosti prˇ´ımky a roviny. Prˇ´ımka BV lezˇ´ı v rovineˇ BV D a v te´to rovineˇ lezˇ´ı prˇ´ımky BD a V S, ktere´ jsou kolme´ k prˇ´ımce AC. Dle krite´ria kolmosti prˇ´ımky a roviny je prˇ´ımka AC kolma´ k rovineˇ BV D. Je tudı´zˇ kolma´ ke vsˇem prˇ´ımka´m te´to roviny, tedy i k prˇ´ımce BV . 29

30

1.12

Odchylka prˇ´ımek a rovin

Odchylka prˇ´ımky (p⊥ρ) a roviny je rovna odchylce prˇ´ımky od jejı´ho pravou´hle´ho pru˚meˇtu do te´to roviny. Je-li prˇ´ımka kolma´ k rovineˇ je odchylka rovna 90◦ . (obr. 6) Pro libovolne´ prˇ´ımky p, q a libovolne´ roviny ρ, σ platı´: a) jestlizˇe ρkσ, pak |∠pρ| = |∠pσ| b) jestlizˇe pkq, pak |∠pρ| = |∠qρ| c) jestlizˇe ρkσ a pkq, pak |∠pρ| = |∠pσ| = |∠qρ| = |∠qσ| Odchylka dvou rovin je odchylka jejich pru˚secˇnic s rovinou, ktera´ je k obeˇma rovina´m kolma´. (obr. 5) Platı´: jsou-li roviny ρ a ρ0 a take´ σ a σ 0 rovnobeˇzˇne´, pak |∠ρ0 σ 0 | = |∠ρσ|. OBRAZEK

Prˇ´ıklad 1.12.1 Je da´na krychle ABCDEF GH. Urcˇete odchylku rovin ABC a BCH. Rˇesˇenı´:

Odchylku rovin ABC a BCH urcˇ´ıme pomocı´ odchylky prˇ´ımek, ktere´ jsou pru˚secˇnicemi teˇchto rovin s rovinou k nim kolmou. Takovou rovinou je naprˇ´ıklad rovina ABF , ktera´ protı´na´ zadane´ roviny v prˇ´ımka´ch AB a BE. Odchylka rovin ABC a BCH je tedy rovna odchylce prˇ´ımek AB a BE, ktera´ je rovna 45◦ . Prˇ´ıklad 1.12.2 Je da´n pravidelny´ cˇtyrˇboky´ jehlan ABCDV s vy´sˇkou de´lky 6 cm a hranou podstavy de´lky 4 cm. Bod S je strˇedem podstavy. Urcˇete odchylku podstavy a steˇny jehlanu. 31

Rˇesˇenı´: Urcˇ´ıme naprˇ´ıklad odchylku podstavy a steˇny BCV . Rovina EV S, kde bod E je strˇed u´secˇky BC, je k obeˇma rovina´m kolma´, urcˇ´ıme tedy pru˚secˇnice s touto rovinou a urcˇ´ıme jejich odchylku. V pravou´hle´m troju´helnı´ku EV S zna´me de´lky dvou stran, |SE| = 2, |V S| = 6 a pomocı´ funkce tangens vypocˇ´ıta´me hledanou odchylku. tan ϕ =

6 = 3, tedyϕ=71 ˙ ◦ 340 . 2

OBRAZEK

1.13

Vzda´lenost bodu od prˇ´ımky a od roviny

Vzda´lenost bodu A od prˇ´ımky p (A ∈ / p) je rovna vzda´lenosti bodu A od prˇ´ımky p v rovineˇ Ap. Lezˇ´ı-li bod na prˇ´ımce je vzda´lenost rovna 0. Vzda´lenost znacˇ´ıme |Ap| .(obr.7)

Vzda´lenost bodu A od roviny ρ je vzda´lenost dobu A a jeho pravou´hle´ho pru˚meˇtu A0 do roviny ρ. Znacˇ´ıme |Aρ| .

Prˇ´ıklad 1.13.1 Je da´na krychle ABCDEF GH s hranou de´lky 4. Vypocˇ´ıtejte vzda´lenost bodu B od prˇ´ımky EH. Rˇesˇenı´: Bod B a prˇ´ımka EH urcˇujı´ rovinu AEH. V te´to rovineˇ sestrojı´me kolmici z bodu B na prˇ´ımku EH. Pru˚secˇ´ık te´to kolmice a prˇ´ımky EH je bod E, a tedy hledana´ vzda´lenost √ je rovna ´ de´lce u´secˇky BE. Usecˇka BE je steˇnovou u´hloprˇ´ıcˇkou a jejı´ de´lka je tudı´zˇ rovna 2.

32

Prˇ´ıklad 1.13.2 Je da´n pravidelny´ cˇtyrˇboky´ jehlan ABCDV s vy´sˇkou de´lky 4 a podstavnou hranou de´lky 6. Vypocˇ´ıtejte vzda´lenost strˇedu podstavy S od steˇny BCV . Rˇesˇenı´: Bodem S prolozˇ´ıme rovinu EV S, kde bod E je strˇed u´secˇky BC. Tato rovina je kolma´ k rovineˇ BCV a protı´na´ tuto rovinu v prˇ´ımce EV . Vzda´lenost bodu S od roviny BCV je rovna vzda´lenosti bodu S od prˇ´ımky EV . Tuto vzda´lenost vypocˇteme z pravou´hle´ho troju´helnı´ku EV S. Nejprve pomocı´ Pythagorovy veˇty vypocˇ´ıta´me de´lku strany EV, |EV | = 5, a pote´ ze dvou vzorcu˚ na obsah pravou´hle´ho troju´helnı´ka, |EV | · v |SE| · |V S| = , 2 2 vypocˇ´ıta´me hledanou vzda´lenost v = 2, 4. S=

OBRAZEK

33

1.14

Vzda´lenost prˇ´ımek a rovin

Vzda´lenost dvou rovnobeˇzˇny´ch prˇ´ımek p, q je vzda´lenost libovolne´ho bodu jedne´ prˇ´ımky od druhe´ prˇ´ımky. Znacˇ´ıme |pq|. Vzda´lenost dvou mimobeˇzˇny´ch prˇ´ımek p, q je de´lka u´secˇky P Q, kde body P, Q jsou po rˇadeˇ pru˚secˇ´ıky mimobeˇzˇek p, q s osou teˇchto mimobeˇzˇek. (obr. 8)

Osa mimobeˇzˇek - je prˇ´ıcˇka teˇchto mimobeˇzˇek, ktera´ je k obeˇma mimobeˇzˇka´m kolma´. Konstrukce osy mimobeˇzˇek - Libovolny´m bodem prostoru vedeme rovnobeˇzˇky s dany´mi prˇ´ımkami. Tyto ru˚znobeˇzˇky urcˇujı´ rovinu rovnobeˇzˇnou s obeˇma mimobeˇzˇkami. Urcˇ´ıme smeˇr kolmy´ k te´to rovineˇ a tı´m dostaneme smeˇr hledane´ osy dany´ch mimobeˇzˇek. Libovolny´m bodem jedne´ z dany´ch mimobeˇzˇek vedeme rovnobeˇzˇku s tı´mto smeˇrem, urcˇ´ıme tak rovinu, ve ktere´ lezˇ´ı hledana´ osa. Pru˚secˇ´ık te´to roviny s druhou mimobeˇzˇkou je bodem hledane´ osy, stacˇ´ı tedy tı´mto bodem ve´st rovnobeˇzˇku se smeˇrem osy a dostaneme hledanou osu mimobeˇzˇek. Vzda´lenost dvou mimobeˇzˇny´ch prˇ´ımek lze take´ urcˇit jako vzda´lenost dvou rovnobeˇzˇny´ch rovin, ktere´ tyto mimobeˇzˇky obsahujı´. Vzda´lenost dvou rovnobeˇzˇny´ch rovin je vzda´lenost libovolne´ho bodu jedne´ roviny od druhe´ roviny. Znacˇ´ıme |ρσ|. Vzda´lenost prˇ´ımky od roviny s nı´ rovnobeˇzˇne´ je vzda´lenost libovolne´ho bodu prˇ´ımky od te´to roviny. Znacˇ´ıme |pρ|.

Prˇ´ıklad 1.14.1 Krychle ABCDEF GH ma´ hranu de´lky 5, bod M je strˇed hrany EH. Urcˇete vzda´lenost prˇ´ımek F M a AC. 34

Rˇesˇenı´: OBRAZEK V rovineˇ EF G lezˇ´ı jak prˇ´ımka M F , tak i prˇ´ımka EG, ktera´ je rovnobeˇzˇna´ s prˇ´ımkou AC. Rovina EF G je tedy rovnobeˇzˇna´ s obeˇma zadany´mi mimobeˇzˇkami a tudı´zˇ libovolna´ kolmice urcˇuje smeˇr hledane´ osy mimobeˇzˇek. Rovina ACG je urcˇena prˇ´ımkou AC a prˇ´ımkou AE, ktera´ patrˇ´ı smeˇru osy. Tato rovina protı´na´ prˇ´ımku F M v bodeˇ Q, ktery´m tedy procha´zı´ osa mimobeˇzˇek AC a F M . Bod P je pru˚secˇ´ık te´to osy a prˇ´ımky AC. Vzda´lenost dany´ch mimobeˇzˇek je tedy rovna velikosti u´secˇky P Q, ktera´ je vsˇak rovna de´lce hrany dane´ krychle, tedy |AC, F M | = 5.

Prˇ´ıklad 1.14.2 Je da´n pravidelny´ cˇtyrˇboky´ jehlan ABCDV s vy´sˇkou de´lky 6. Body K a L jsou po rˇadeˇ strˇedy hran AV a BV . Urcˇete vzda´lenost prˇ´ımek KL a BC. Rˇesˇenı´: OBRAZEK Vzda´lenost mimobeˇzˇek KL a BC je rovna vzda´lenosti dvou rovnobeˇzˇny´ch rovin, ktere´ tyto prˇ´ımky obsahujı´. Prˇ´ımka BC lezˇ´ı v rovineˇ podstavy ABC a prˇ´ımka KL lezˇ´ı v rovineˇ KLM , kde bod M je strˇed hrany CV . Vzda´lenost rovina ABC a KLM je zrˇejmeˇ rovna polovineˇ vy´sˇky jehlanu, tedy rovna 3.

35

2

Volne´ rovnobeˇzˇne´ promı´ta´nı´

2.1

ˇ ezy na teˇlesech R

Rˇez teˇlesa rovinou je pru˚nik teˇlesa a roviny. Je to rovinny´ u´tvar, jehozˇ hranice je pru˚nik hranice teˇlesa a roviny rˇezu. Hranice rˇezu hranolu, poprˇ. jehlanu se skla´da´ z pru˚niku˚ roviny rˇezu se steˇnami hranolu, poprˇ. jehlanu. Sestrojit rˇez rovinou tedy znamena´ sestrojit pru˚secˇnice jednotlivy´ch stran teˇlesa s danou rovinou. Prˇi konstrukci rˇezu˚ jsou du˚lezˇite´ trˇi veˇty: Veˇta 2.1.1 Lezˇ´ı-li dva ru˚zne´ body v rovineˇ, pak prˇ´ımka jimi urcˇena´ lezˇ´ı take´ v te´to rovineˇ. Veˇta 2.1.2 Dveˇ rovnobeˇzˇne´ roviny protı´na´ trˇetı´ rovina ve dvou rovnobeˇzˇny´ch prˇ´ımka´ch. Veˇta 2.1.3 Jsou-li kazˇde´ dveˇ ze trˇ´ı rovin ru˚znobeˇzˇne´ a majı´-li tyto trˇi roviny jediny´ spolecˇny´ bod, procha´zejı´ tı´mto bodem vsˇechny trˇi pru˚secˇnice. Z teˇchto veˇt vyply´vajı´ trˇi du˚sledky: •Spojnice dvou ru˚zny´ch bodu˚ v jedne´ rovineˇ prˇ´ımka, ktera´ je jednou stranou rˇezu. • Jsou-li roviny dvou steˇn rovnobeˇzˇne´ a prˇitom ru˚znobeˇzˇne´ s rovinou rˇezu, jsou pru˚secˇnice roviny rˇezu s rovinami teˇchto steˇn rovnobeˇzˇne´. • Pru˚secˇnice rovin dvou sousednı´ch steˇn s rovinou rˇezu a prˇ´ımka v nı´zˇ lezˇ´ı spolecˇna´ hrana, se protı´najı´ v jednom bodeˇ.

Prˇ´ıklad 2.1.1 Sestrojte rˇez krychle ABCDEF GH rovinou ABH.

36

Prˇ´ıklad 2.1.2 Sestrojte rˇez krychle ABCDEF GH rovinou BEV . Bod V lezˇ´ı ve strˇedu strany CG.

Prˇ´ıklad 2.1.3 Sestrojte rˇez krychle ABCDEF GH rovinou XY Z. X lezˇ´ı ve strˇedu strany AB, Y ve strˇedu strany AE a Z lezˇ´ı ve strˇedu strany F G.

37

Prˇ´ıklad 2.1.4 Sestrojte rˇez krychle ABCDEF GH rovinou OM N .

Prˇ´ıklad 2.1.5 Sestrojte rˇez krychle ABCDEF GH rovinou P QO.

Prˇ´ıklad 2.1.6 Sestrojte rˇez pravidelne´ho cˇtyrˇboke´ho jehlanu ABCDV rovinou XY Z.

38

2.2

Pru˚nik prˇ´ımky s teˇlelsem

Pru˚nik prˇ´ımky s teˇlesem rˇesˇ´ıme obdobneˇ jako pru˚secˇ´ık prˇ´ımky s rovinou. Prˇ´ımkou prolozˇ´ıme libovolnou rovinu, urcˇ´ıme rˇez teˇlesa s touto rovinou a potom je pru˚nik prˇ´ımky s rˇezem teˇlesa za´rovenˇ pru˚nik prˇ´ımky s teˇlesem.

Prˇ´ıklad 2.2.1 Sestrojte pru˚nik prˇ´ımky p = (P Q) a krychlı´ ABCDEF GH.

Prˇ´ıklad 2.2.2 Sestrojte pru˚nik prˇ´ımky p = (M N ) a trojboke´ho hranolu ABCV .

2.3

Osova´ afinita

Meˇmje da´ny roviny α a β a smeˇr s, prˇicˇemzˇ roviny α i β nejsou rovnobeˇzˇne´ se smeˇrem s. Osova´ afinita mezi ru˚znobeˇzˇny´mi rovinami α a β je rovnobeˇzˇne´ promı´ta´nı´ bodu˚ roviny α do roviny β smeˇrem s. Pru˚secˇnice rovin α a β se nazy´va´ osa afinity. Osova´ afinita mezi rovinami α a β je urcˇena osou afinity o a usporˇa´danou dvojicı´ ru˚zny´ch bodu˚ AA0 , kde A je libovolny´ bod roviny α nelezˇ´ıcı´ na ose afinity a A0 je jeho obraz v rovineˇ β. Usporˇa´dana´ dvojice bodu˚ AA0 se nazy´va´ smeˇr osove´ afinity. Osovou afinitu budeme vyuzˇ´ıvat ke konstrukci rˇezu˚ hranolu˚, kde rovina β je rovina rˇezu, rovina α je rovina steˇny (nejcˇasteˇji podstavy) a s je smeˇr bocˇnı´ch steˇn. 39

Prˇ´ıklad 2.3.1 Ma´me da´nu krychli ABCDEF GH a osovou afinitu mezi rovinami α a β urcˇenou body XX 0 . Najdeˇte obraz bodu Y roviny α v rovineˇ β. α = (CDG) a β = (ADE).

Prˇ´ıklad 2.3.2 Sestrojte rˇez krychle ABCDEF GH rovinou M N O

2.4

Dalsˇ´ı prˇ´ıklady

Sestroj rˇez hranolu ABCDEF GH rovinou XY Z.

40

Prˇ´ıklad 2.4.1 Sestroj rˇez jehlanu ABCDEV rovinou XY Z.

41

\Zdroje{ \bibitem[Pr ˇF 2011]{op1-1} \href{Modernı ´_opory_skripta.ppt} {Jak psa ´t modernı ´ e-learningove ´ studijnı ´ opory a skripta}, [Prezentace: Modernı ´\_opory\_skripta.ppt]. }

Reference [PrˇF 2011] Jak psa´t modernı´ e-learningove´ studijnı´ opory a skripta, [Prezentace: Modernı´ opory skripta.ppt].

42