STATISTIKA
Penulis Dra. Th. Widyantini, M.Si.
Layouter: Titik Sutanti, S.Pd.Si., M.Ed.
PUSAT PENGEMBANGAN DAN PENBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN 2015
Daftar Isi PENDAHULUAN .......................................................................................................................... 3 A. Latar Belakang ..................................................................................................................... 3 B. Tujuan Pembelajaran ........................................................................................................... 3 C. Ruang Lingkup..................................................................................................................... 3 STATISTIKA ................................................................................................................................. 4 A. Pengertian Statistika............................................................................................................. 4 B. Kegunaan Statistika ............................................................................................................. 5 C. Pengumpulan Data ............................................................................................................... 6 D. Membaca dan Menyajikan Data dalam Bentuk Tabel, Diagram Batang, Diagram Garis, Diagram Lingkaran dan Ogif serta Penafsirannya ...................................................................... 6 1. Membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel ............................................................ 7 2. Membaca dan menyajikan data dalam bentuk diagram Batang........................................... 8 3. Membaca dan menyajikan data dalam bentuk diagram garis .............................................. 9 4. Membaca dan menyajikan data dalam bentuk diagram lingkaran ..................................... 11 5. Ogif .................................................................................................................................... 12 E. Menghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak dan Ukuran Penyebaran Data serta Penafsirannya ............................................................................................................................ 19 1. Ukuran pemusatan ............................................................................................................. 19 2. Ukuran letak ....................................................................................................................... 29 3. Ukuran penyebaran ............................................................................................................ 33 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 37
PENDAHULUAN A.
Latar Belakang
Menurut Peraturan Menteri Pendidikan Nasional (Permendiknas) RI Nomor 16 Tahun 2007 tentang standar kualifikasi akademik dan kompetensi guru maka untuk kompetensi guru mata pelajaran matematika untuk SMP/MTs, SMA/MA, SMK/MAK terkait dengan pembelajaran statistika
adalah guru mampu menggunakan konsep-konsep statistika.
Khusus dalam materi ini dibahas adalah membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive, menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya
serta menghitung ukuran
pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya. Materi ini dimaksudkan untuk mengembangkan kemampuan guru dalam menggunakan konsepkonsep statistika dalam pemecahan masalah.
B.
Tujuan Pembelajaran
Meningkatkan wawasan dan kemampuan guru untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam menggunakan konsep statistika deskriptif.
C.
Ruang Lingkup
Ruang lingkup dari materi yang disusun adalah: a. Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, dan ogif b. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, dan ogif serta penafsirannya c. Ukuran pemusatan d. Ukuran letak e. Ukuran penyebaran
STATISTIKA A.
Pengertian Statistika
Dalam kamus bahasa Inggris, akan dijumpai kata ”statistics” dan kata ”statistic”. Kedua kata itu mempunyai arti yang berbeda. Kata ”statistics” artinya ilmu statistik, sedangkan kata ”statistic” diartikan sebagai ukuran yang diperoleh dari sampel. Menurut Anas Sudijono dalam statistik pendidikan, dari segi terminologi (ilmu mengenai batasan atau definisi istilah), kata statistik dapat mengandung berbagai macam pengertian. a. Pertama kata statistik mengandung pengertian sebagai data statistik yaitu kumpulan bahan keterangan yang berupa angka atau bilangan b. Kedua kata statistik mengandung pengertian sebagai kegiatan statistik yang meliputi pengumpulan data, penyajian data dan penganalisaan data. c. Ketiga kata statistik mengandung pengertian sebagai metode statistik yaitu cara-cara tertentu yang perlu ditempuh dalam dalam rangka mengumpulkan, menyusun, menyajikan, menganalisa dan memberikan interpretasi terhadap sekumpulan bahan keterangan yang berupa angka d. Keempat kata statistik mengandung pengertian ilmu statistik yaitu ilmu pengetahuan yang membahas dan mengembangkan prinsip-prinsip, metode dan prosedur yang perlu ditempuh dalam rangka pengumpulan data angka, penyusunan data angka, penyajian data angka, penganalisaan data angka, penarikan kesimpulan, pembuatan prakiraan (estimasi), penyusunan ramalan(prediksi) atas dasar kumpulan angka tersebut. Dalam kamus besar bahasa Indonesia pengertian statistika adalah mempelajari
tentang
cara
mengumpulkan,
menabulasi,
suatu ilmu yang
menggolong-golongkan,
menganalisis, dan mencari keterangan yang berarti dari data yg berupa angka atau dengan bahasa yang lebih sederhana dan mudah dimengerti statistika adalah ilmu yang mempelajari dan mengusahakan agar data mempunyai makna. Sedangkan statistik adalah data yang berupa angka yang dikumpulkan, ditabulasi, digolong-golongkan sehingga dapat memberi informasi yang berarti mengenai suatu masalah.
B.
Kegunaan Statistika
Dalam kehidupan sehari-hari tanpa kita sadari selalu berhubungan dengan statistika. Contoh kegunaan statistika yang sebenarnya banyak dijumpai. a. Di masyarakat misalkan ibu Ketua PKK RT ingin mengetahui mengapa beberapa warganya banyak terkena penyakit demam berdarah dengan cara mengumpulkan data tentang adanya jentik-jentik nyamuk dalam bak mandi dari warga RT setiap satu minggu sekali selama beberapa bulan. Maka diperoleh data apakah ada atau tidak jentik-jentik nyamuk dalam bak mandi sehingga dari pemerolehan data tersebut dilakukan suatu tindakan yang mengupayakan agar wabah penyakit demam berdarah tidak menyebar ke RT yang lain. b. Di rumah tangga, misalkan seorang ibu rumah tangga sedang memasak sayur di sebuah panci(tempat untuk memasak sayur), agar sayur tersebut mempunyai rasa yang enak, maka perlu untuk dirasakan. Yaitu dengan mencicipi sayur dengan menggunakan satu sendok kecil. Pengambilan sayur satu sendok kecil dari satu panci sayur merupakan contoh pengambilan sampel dari suatu populasi. Yang dalam hal ini satu panci sayur merupakan suatu populasi. Sedangkan satu sendok kecil merupakan sampel. Tentunya agar mewakili satu panci sebelum dicicipi sayur harus diaduk dulu. c.
Di bidang penelitian, misalkan peneliti di laboratorium, statistika merupakan alat sebagai perencanaan eksperimen dan evaluasi hasil eksperimen.
Batasan statistika a.
Statistika hanya dipergunakan untuk data yang bersifat kuantitatif. Metode statistika hanya dapat dipergunakan untuk analisa data kuantitatif, sedangkan data kualitatif tidak menjadi obyek pengamatan statistika, beberapa data kualitatif yang dapat dikonversikan ke dalam bentuk kuantitatif dapat dianalisa dengan menggunakan metode statistika
b. Statistika tidak membahas data individual. c.
Statistika tidak dapat dipergunakan untuk membuktikan sesuatu.
Dalam kenyataan, statistika hanya memberi gambaran terhadap gejala-gejala masyarakat yang dapat dikuantifisir, mengelompok-kelompokkan dalam berbagai bagian, membuat
ringkasan data yang menunjukkan adanya hubungan dan mempersiapkan data sebagai dasar untuk mengambil kesimpulan. Statistika tidak akan dapat memberikan kesimpulan yang pasti. Interpretasi dari data akan sangat bergantung pada pertimbangan pengambilan keputusan yang kadang-kadang sangat dipengaruhi oleh berbagai faktor baik yang bersifat sosial, ekonomi maupun politis.
C.
Pengumpulan Data
Salah satu kegiatan statistika adalah pengumpulan data. Data dapat dikumpulkan dengan mempergunakan berbagai cara tergantung pada bentuk, jenis dan sifat dari data. Pengumpulan data dapat diperoleh dengan cara pengamatan, wawancara, angket (kuesioner) dan penelusuran literatur. Berdasarkan data yang diambil ada dua macam cara yaitu sensus dan sampling. Selanjutnya setelah data terkumpul agar mendapat gambaran tentang apa yang diteliti dilakukan penataan dan pengolahan data diantaranya adalah menyajikan data dalam bentuk diagram atau tabel.
D.
Membaca dan Menyajikan Data dalam Bentuk Tabel, Diagram Batang, Diagram Garis, Diagram Lingkaran dan Ogif serta Penafsirannya
Ketika Anda membaca surat kabar atau majalah, sering dijumpai tabel atau diagram dalam bentuk batang, garis, atau lingkaran yang menyajikan informasi tertentu. Cara membaca tabel, diagram batang, diagram garis dan diagram lingkaran akan dibahas berikut ini.
1.
Membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel Contoh Tabel Banyak Peserta Didik di Daerah B Pada Tahun 2011 Tingkat Pendidikan
Jumlah Peserta Didik
SD
5.000
SMP
4.500
SMA
4.000
PT
2.000
Jumlah
15.500
Dari tabel di atas jika kita baca menunjukan informasi banyak peserta didik di daerah B, pada tahun 2011. Untuk tingkat pendidikan SD di daerah B pada tahun 2011, jumlah peserta didik ada 5000 orang sedangkan untuk tingkat pendidikan perguruan tinggi (PT) ada 2.000 orang. Contoh Tabel Volume Penjualan Daihatsu pada 2008 (Unit) Merek
Januari
Februari
Maret
Total
Xenia
2.258
2.848
2.562
7.668
Terios
980
1.885
884
3.049
Sirion M
194
135
127
456
-
-
10
10
Gran Max
1.362
958
1.514
3.844
Total
4.794
5.136
5.197
15.027
Zebra pick up
Sumber Data: Matematika untuk SMA kelas XI, semester I, Sartono Wirodikromo, penerbit Erlangga, 2007
Tabel di atas jika kita baca menunjukan informasi volume atau banyak penjualan mobil produksi Daihatsu di tahun 2008 pada bulan Januari, Februari dan Maret. Sebagai contoh, di tahun 2008, pada bulan Januari mobil merek Terios laku terjual 980 unit, pada bulan Februari laku terjual 1.885 unit dan bulan Maret laku terjual 884 unit . Total penjualan tiga bulan pertama untuk merek Terios adalah 3.049 unit.
Contoh Tabel Distribusi Frekuensi Tinggi Badan Siswa Kelas IX SMP Tinggi Badan (cm) Frekuensi (f) 140 - 145
2
146 - 151
4
152 - 157
8
158 - 163
9
164 - 169
6
170 - 175
1
Jumlah
30
Tabel di atas jika kita baca menunjukan informasi tinggi badan 30 siswa kelas IX SMP, sebagai contoh untuk terdapat 8 orang siswa yang tinggi badannya dari 152 cm sampai dengan 157 cm. Penyajian data dalam bentuk tabel (daftar) akan lebih mudah dibaca dari pada data yang disajikan dalam bentuk naskah. 2.
Membaca dan menyajikan data dalam bentuk diagram Batang Jumlah Siswa di SMP Sarimulyo
Jumlah 250
Pria
200 150 100 50
20042005
20052006
20062007
Tahun Pelajaran
20072008
20082009
Wanita
Diagram batang di atas menunjukkan informasi mengenai jumlah siswa di SMP SARIMULYO. Sebagai contoh pada tahun 2008 – 2009 jumlah siswa di SMP SARIMULYO untuk siswa pria ada 250 siswa dan siswa wanita ada 200 siswa. Jadi jumlah seluruh siswa di SMP tersebut pada tahun 2008 -2009 adalah 450 siswa. Diagram batang pada umumnya digunakan untuk menyajikan informasi nilai-nilai suatu obyek pengamatan yang sejenis dengan berbagai kategori. Kegunaannya untuk membandingkan nilai-nilai dari suatu obyek pengamatan. Penyajian data menggunakan gambar berbentuk batang dilengkapi dengan skala, sehingga nilai dapat dibaca. Langkah-langkah dasar dalam pembuatan diagram batang adalah sebagai berikut. a. Untuk menggambar diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak yang saling tegak lurus. b. Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama, demikian pula sumbu tegaknya: Skala pada sumbu mendatar dengan skala pada sumbu tegak tidak perlu sama. c. Jika diagram batang dibuat tegak, maka sumbu mendatar menyatakan keterangan atau fakta mengenai kejadian (peristiwa). Sumbu tegak menyatakan frekuensi keterangan. d. Jika diagram batang dibuat secara horizontal, maka sumbu tegak menyatakan keterangan atau fakta mengenai peristiwa. Sumbu mendatar menyatakan frekuensi keterangan. e. Tunjukkan 1 batang untuk mewakili frekuensi data tertentu. f. Arsir atau warnai batang yang memenuhi frekuensi data. g. Beri judul diagram batang. h. Variasi diagram batang, dapat dibuat sesuai keinginan siswa.
3.
Membaca dan menyajikan data dalam bentuk diagram garis
Berikut ini contoh permasalahan yang digambarkan dalam bentuk diagram garis untuk menunjukkan fluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008.
Sumber data: Nugroho S dan Maryanto.. 2008. Matematika untuk SMA dan MA kelas XI Program IPA,Jakarta: Pusat Perbukuan,Depdiknas.
Diagram garis di atas menunjukkan informasi mengenai fluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008, artinya informasi mengenai perubahan turun naik nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008. Sebagai contoh cara membacanya perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar untuk kurs beli dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008, dari Rp. 9.091,00 menjadi Rp. 9.093,00 sedangkan untuk kurs jual dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008 dari Rp. 9.181,00 menjadi Rp. 9.185,00. Sedangkan untuk menafsirkannya terjadi kenaikan nilai tukar rupiah baik beli maupun jual dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008.
Penyajian data dengan menggunakan gambar berbentuk garis dinamakan diagram garis. Diagram
garis
biasanya
digunakan
untuk
menyajikan
suatu
informasi
yang
menggambarkan perkembangan pengamatan dari waktu ke waktu secara terus menerus. Melalui diagram garis kita dapat menafsirkan kecenderungan dari data serta dapat memperkirakan suatu nilai yang belum diketahui. Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus. Langkah-langkah dalam membuat diagram garis adalah sebagai berikut : a. Untuk menggambar diagram garis yang diperlukan sumbu mendatar (sumbu X) dan sumbu tegak (sumbu Y) yang saling tegak lurus. b. Sumbu mendatar menyatakan waktu pengamatan, sedang sumbu tegak menyatakan nilai data pengamatan. c. Gambar titik sesuai waktu dan nilai data pengamatan. d. Hubungkan titik-titik yang ada sehingga diperoleh suatu garis lurus. 4.
Membaca dan menyajikan data dalam bentuk diagram lingkaran
Berikut ini diagram lingkaran jenis ekstrakurikuler di suatu SMP yang diikuti oleh 500 siswa.
Dari diagram lingkaran di atas menunjukkan informasi mengenai jenis ekstrakurikuler di suatu SMP. Banyak siswa yang memilih ekstrakurikuler olahraga ada 25 % dari 500 siswa SMP. Jadi terdapat 125 siswa yang memilih ekstrakurikuler olahraga di SMP tersebut.
Penyajian data dengan menggunakan gambar berbentuk daerah lingkaran dinamakan diagram lingkaran. Dalam membuat diagram lingkaran didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring sesuai dengan data yang ada.
Luas juring-juring
sebanding dengan sudut pusat lingkaran dan banyak data yang ada. Diagram lingkaran lebih cocok untuk menyatakan perbandingan jika data itu terdiri dari beberapa kategori. Langkah-langkah dalam membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut: a. Buat lingkaran dengan menggunakan jangka. b. Tentukan juring dari masing-masing data yang ada dengan rumus: Juring data x
frekuensi data x 360ο frekuensi seluruh data.
c. Tentukan persentase dari masing-masing data yang ada dengan rumus: Persen data x
frekuensi data x 100% frekuensi seluruh data.
d. Gambar beberapa juring data sesuai perhitungan di atas. e. Masing-masing juring diberi keterangan sesuai data yang ada. f. Alternatif untuk memudahkan membuat tabel seperti berikut: Kategori data
5.
Frekuensi
Derajat
Persen
Ogif
Ogif adalah grafik distribusi frekuensi kumulatif. Grafik distribusi frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif sedangkan grafik distribusi frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif. Sebelum membahas tentang ogif, terlebih dulu dibahas tabel distribusi frekuensi. Untuk data yang relatif banyak tentu tidak mungkin untuk menulis semua nilai berjajar, oleh karena itu dibuat yang lebih ringkas yang disebut tabel frekuensi
Berikut ini adalah data mengenai nilai ulangan bahasa Indonesia dari 50 siswa kelas X di suatu SMA: 31
31
50
50
60
60
60
60
60
65
65
65
65
70
70
70
70
70
70
75
75
75
75
75
75
75
75
75
75
75
75
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
85
85
85
95
95
95
95
95
98
Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi tunggal dengan dua kolom yaitu kolom x = nilai ulangan bahasa Indonesia dan kolom f adalah kolom frekuensi sebagai berikut. Tabel distribusi Frekuensi Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Nilai Ulangan Bahasa Indonesia
Frekuensi (f)
(x) 31
2
50
2
60
5
65
4
70
6
75
12
80
10
85
3
95
5
100
1
Jumlah
50
Selanjutnya data tersebut dibuat dalam tabel distribusi frekuensi kelompok. Untuk membuat tabel distribusi frekuensi kelompok, dibuat kelas-kelas dengan panjang interval tertentu. Kemudian ditentukan frekuensi untuk masing-masing kelas. Untuk membuatnya dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
a. Menentukan jangkauan data (J) J = nilai tertinggi – nilai terendah = 100 – 31 = 69 b. Menentukan banyak kelas (k) Pada umumnya banyak kelas ditentukan dengan menggunakan aturan Sturges yaitu banyak kelas = 1 + 3,3 log n, dengan n adalah banyak data dan hasil akhirnya dibulatkan. Diperoleh: k = 1 +3,3 log 50 = 6,61 7 c. Menentukan panjang interval kelas (p) dengan rumus
p
J k
dengan p = panjang interval kelas, k= banyak kelas diperoleh: p= = 9,9 10 (Diambil pembulatan p dapat diambil p = 9 atau p = 10) d. Menentukan batas bawah kelas pertama Batas bawah kelas pertama adalah nilai minimum dari data (tetapi tidak harus, dapat juga digunakan bilangan lain). Tabel frekuensi kelompok seperti berikut ini. Nilai Ulangan Bahasa Indonesia
Turus (Tally)
Frekuensi (f)
31 - 40
Ll
2
41 - 50
Ll
2
51 - 60
Llll
5
61 -70
llll llll
10
71 - 80
llll llll llll llll ll
22
81 - 90
Lll
3
91 - 100
llll l
6
Jumlah
50
e. Beberapa istilah yang berhubungan dengan tabel frekuensi kelompok adalah: 1) Batas bawah kelas dan batas atas kelas Misal untuk kelas pertama yaitu kelas 31 – 40, batas bawah kleas adalah 31 dan batas atas kelas adalah 40.
2) Tepi bawah kelas dan tepi atas kelas Untuk kelas 31 – 40, tepi bawah kelas adalah 30,5 dan tepi atas kelas adalah 40,5. Tepi bawah diperoleh dari batas bawah kelas dikurangi setengah satuan pengukuran terkecil. Sedangkan tepi atas kelas diperoleh dari batas atas kelas ditambah setengah satuan pengukuran terkecil. 3) Panjang interval kelas Untuk kelas 31 – 40, panjang interval kelas adalah (40 31) + 1 = 10 4) Titik tengah kelas Untuk kelas 31 – 40, titik tengah kelas adalah
= 35,5
5) Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan tabel distribusi frekuensi kelompok ini adalah: a) Hindari kelas interval yang tidak menampung nilai data b) Semua data harus tertampung dalam tabel distribusi frekuensi Selanjutnya untuk membuat ogif perlu dibahas tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Tabel ini menyatakan jumlah frekuensi semua nilai yang kurang dari atau sana dengan tepi atas tiap kelas dan diberi lambang dengan ”fk ”. Dari data di atas dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari seperti berikut. Nilai ulangan Bahasa
Frekuensi kumulatif (fk )
Indonesia 40,5
2
50,5
4
60,5
9
70,5
19
80,5
41
90,5
44
100,5
50
Berikutnya dibahas tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Tabel ini menyatakan jumlah frekuensi semua nilai yang lebih dari atau sama dengan tepi bawah tiap kelas dan diberi lambang dengan ”fk ”. Dari data di atas dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari seperti berikut.
Nilai ulangan Bahasa
Frekuensi kumulatif (fk ≥)
Indonesia 30,5
50
40,5
48
50,5
46
60.5
41
70,5
31
80,5
9
90,5
6
Dari data tentang nilai ulangan bahasa Indonesia 50 siswa tersebut di atas akan dibuat histogram dan poligon frekuensi serta ogif kurang dari dan ogif lebih dari. Histogram adalah grafik distribusi frekuensi yang digunakan untuk menunjukkan sebaran atau distribusi frekuensi suatu data. Bentuk histogram mirip dengan diagram batang tetapi dalam histogram tidak terdapat ruang diantara batang-batangnya atau batang-batangnya berhimpitan.
Batang berbentuk persegi panjang dengan panjang batang menyatakan
frekuensi sedangkan lebar batang menyatakan panjang interval. Histogram digambarkan dalam sebuah bidang yang memiliki dua sumbu yaitu sumbu tegak untuk menyatakan frekuensi sedangkan sumbu mendatar untuk menyatakan kelas interval. Masing-masing sumbu dibuat skala. Untuk menggambar histogram, nilai yang digunakan adalah nilai tepi kelas. Untuk memudahkan dibuat tabel penolong berikut ini: Nilai Ulangan Bahasa Indonesia 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah
Frekuensi (f)
Tepi bawah kelas
Tepi atas kelas
Titik tengah kelas
2 2 5 10 22 3 6 50
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5
40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
Jika titik tengah setiap sisi atas persegi panjang histogram dihubungkan akan diperoleh grafik yang disebut poligon frekuensi. Untuk menggambar poligon frekuensi diperlukan titik tengah masing-masing kelas. Dari tabel distribusi frekuensi kelompok ini dicari titik tengah kelas interval dengan rumus: titik tengah kelas interval
batas bawah kelas batas atas kelas 2
Ogif positif dari data di atas seperti berikut
Ogif negatif dari data di atas seperti berikut
E.
Menghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak dan Ukuran Penyebaran Data serta Penafsirannya
1.
Ukuran pemusatan
Ukuran pemusatan dari data adalah suatu nilai yang dapat mewakili data tersebut. Suatu data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada nilai pemusatan ini. Ukuran statistik yang menjadi pusat dari data dan dapat memberikan gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan data terdiri dari mean, median dan modus.
a. Mean n
x x2 ... xn Mean = 1 atau n
_
x
x i 1
n
i
n
, dengan
x i 1
i
= jumlah nilai data, n = banyak
data, xi = data ke-i
Contoh1 Dalam waktu satu minggu sebuah toko dapat menjual indomie goreng
(dalam
bungkus) 7
10
9
8
6
4
5
Berapa rata-rata indomie goreng terjual perharinya ? Penyelesaian: rata-rata =
7 10 9 8 6 4 5 49 = = 7 7 7
Contoh2: Tentukan rata-rata penghasilan (per bulan) dari 9 orang yang disajikan dalam tabel berikut. Penghasilan (xi)
Frekuensi
fixi
(fi) 2.000.000
5
10.000.000
1.500.000
3
4.500.000
3.500.000
1
3.500.000
3
fi = 9 i 1
3
f x i 1
i i
= 18.000.000
3 f i xi _ 18.000.000 i 1 x 2.000.000 3 9 f i1 i Rata-rata penghasilan mereka adalah Rp 2.000.000,00
Contoh 3: Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok dapat dicari dengan menggunakan cara langsung atau dengan menggunakan rata-rata sementara 1) menggunakan cara langsung n
_
Rumus mean = x
f x i 1 n
i i
f i 1
, dengan fi adalah frekuensi untuk nilai xi dan xi adalah titik
i
tengah interval kelas ke-i. Tentukan mean dari nilai matematika 30 siswa kelas X dalam tabel berikut. Nilai Matematika
Frekuensi
Titik tengah
(fi)
interval kelas (xi)
40 – 49
4
44,5
178
50 – 59
6
54,5
327
60 – 69
10
64,5
645
70 – 79
4
74,5
298
80 – 89
4
84,5
338
90 – 99
2
94,5
189
6
fi.xi
6
f i =30
f x
i 1
i 1
i i
=1975
n
fi xi
_ Mean =
x i 1 n
fi
1975 30
65,8
i 1
2) Dengan menggunakan rata-rata sementara Menentukan mean dengan menggunakan rata-rata sementara digunakan rumus: Mean
f s f
i i
= T +
i
i
i
n
Dengan, T adalah rata-rata sementara,
f x i 1
i i
adalah jumlah frekuensi simpangan.
Langkah mencari mean dengan rata-rata sementara adalah sebagai berikut: 1) Tentukan rata-rata sementara misal T 2) Tentukan simpangan si dari rata-rata sementara
f s f
i i
3) Tentukan mean yaitu T +
i
i
i
Dari data
nilai matematika 30 siswa kelas X dalam tabel di atas, akan dicari mean
dengan menggunakan rata-rata sementara sesuai langkah-langkah yang telah dijelaskan di atas. Pilih rata-rata sementara sembarang, salah stu dari nilai Xi misal T = 64,5 dan buat tabel dengan tambahan kolom titik tengah (xi), simpangan (si), dan kolom fi .si Nilai
Frekuensi
Titik Tengah (xi)
(fi)
Simpangan (si = xi
fi.si
T)
40 – 49
4
44,5
20
80
50 – 59
6
54,5
10
60
60 – 69
10
64,5 = T
0
0
70 – 79
4
74,5
10
40
80 – 89
4
84,5
20
80
90 – 99
2
94,5
30
60
Jumlah
∑fi si=40
∑fi= 30
f s Mean = T + f
i i
i
i
= 64,5 +
40 = 65,8 30
i
b. Median Median adalah suatu nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median dilambangkan dengan Me. Untuk menentukan median dari data tunggal dilakukan dengan cara:
1. Urutkan data dari kecil ke besar, kemudian dicari nilai tengahnya 2. Jika banyak data besar, setelah diurutkan digunakan rumus a)
Untuk n ganjil Me = x 1 2
( n 1)
xn xn b)
Untuk n genap Me =
2
2
1
2
Contoh1: Dari data di bawah ini, akan ditentukan mediannya: 78
56
66
94
48
82
80
70
76
Langkah-langkah: Urutkan data dari kecil ke besar No. urut
:1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nilai
: 48
56
66
70
76
78
80
82
84
Median
Mediannya adalah 76 Contoh 2: Tentukan median dari data yang terdapat dalam tabel berikut Nilai
2
3
4
5
6
7
8
9
Frekuensi
4
4
6
8
12
6
7
3
Penyelesaian:
Banyaknya data n = 50 (genap), dan karena data dalam tabel sudah urut untuk mencari
xn xn median digunakan rumus: Me =
2
2
2
1
Sehingga diperoleh:
x25 x26 6 6 = =6 2 2
Contoh3: Frekuensi
Kelas Median
I
II
IV V
III L
A
VI
VII Nilai
Median untuk data yang sudah dikelompokkan. Perhatikan gambar histogram berikut. Untuk menentukan rumus median dari data yang disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok, perlu diperhatikan persegi panjang IV dan persegi panjang V. R
QP
IV V L
A LS = i
S
Perbandingan luas persegi panjang RQAL dengan luas persegi panjang RPSL adalah =
. Perbandingan inilah yang mendasari rumus median.
Selanjutnya untuk mendapatkan rumus mediannya perhatikan gambar histogram di atas. Misalkan A adalah median dan L adalah tepi bawah kelas median. Jumlah luas persegi panjang yang diarsir yaitu persegi panjang I, II dan III diberi simbol fk yang mewakili jumlah frekuensi sebelum kelas median. Jika fk dijumlah dengan luas persegi panjang IV (luas RQAL) akan menghasilkan
1 n yaitu setengah dari jumlah 2
frekuensi. Jadi luas persegi panjang IV (luas RQAL) =
1 n fk 2
Dengan demikian Med = L + LA Kelas median mempunyai frekuensi fmed dan panjang interval kelas i. Jadi dengan menggunakan perbandingan di atas yaitu
1 n fk LA 2 i f med 1 n fk 2 LA = ( ).i f med Jadi rumus median adalah:
1 n fk Med = L ( 2 ).i f med L = tepi bawah kelas median n = jumlah frekuensi fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median fmed = frekuensi kelas median i = panjang interval kelas
=
diperoleh bahwa
Tentukan median dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut. Nilai
Frekuensi
Matematika
(fi)
40 – 49
4
50 – 59
6
60 – 69
10
70 – 79
4
80 – 89
4
90 – 99
2 6
f i 1
i
=30
Penyelesaian Setengah dari seluruh data (30) = 15. Jadi median akan terletak di kelas 60 – 69. Oleh karena itu kelas median adalah kelas 60- 69. Untuk tabel soal di atas L = tepi bawah kelas median = 59,5 n = jumlah frekuensi= 30 fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median = 4 + 6 = 10 fmed = frekuensi kelas median = 10 i
= panjang interval kelas= (69 – 60) + 1 = 10
1 n fk 15 10 2 Med = L ( ).i = 59,5 + ( ).10 = 59,5 + 5 = 64,5 10 f med c. Modus Modus adalah nilai dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi.
Modus
dilambangkan dengan Mo. Jika suatu data mempunyai satu modus disebut unimodus
dan bila memiliki dua modus disebut bimodus, sedangkan jika memiliki lebih dari dua modus disebut multimodus. Contoh1 Berikut ini adalah data nilai ulangan Bahasa Inggris dari 30 siswa kelas X: Nilai Ulangan Bahasa Inggris 4
Frekuensi 4
5
10
6
14
7
6
8
6
9
6
Berdasarkan tabel di atas, nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi adalah nilai 6. Jadi modusnya adalah 6. Frekuensi
B
C F G D
E
A x Nilai
L
Mo
Modus dari data yang sudah dikelompokkan Untuk mendapatkan rumus modus dari data yang disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok, maka perhatikan histogram diatas. Tinggi persegi panjang merupakan frekuensi (f) dan lebarnya menyatakan panjang interval kelas (i). Persegi panjang yang paling tinggi merupakan kelas modus karena frekuensinya tertinggi (terbesar). Kelas ini mempunyai tepi bawah kelas L. Misalkan Mo adalah
modus data, yang digambarkan pada sumbu horisontal tersebut merupakan proyeksi dari titik F yang merupakan perpotongan BD dan AC. Diambil proyeksi dari titik F dengan alasan bahwa titik modus lebih mendekati kelas yang berfrekuensi lebih tinggi dari pada kelas dengan frekuensi yang lebih rendah sehingga diperoleh bahwa Mo = L + x = L + EF.
Untuk mecari nilai EF perhatikan dua segitiga sebangun ABF dan DCF. AB = frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sebelum kelas modus = d1 CD = frekuensi kelas modus - frekuensi kelas setelah kelas modus = d2 EF + FG = i
EF FG = AB CD
EF (i EF ) = d1 d2
d2 EF = d1(i – EF)
(d1+d2) EF = d1 i
EF = (
d1 ).i d1 d 2
Sehingga diperoleh,Mo = L + x = L + EF =L+ (
d1 ).i d1 d 2
dengan, Mo = modus L = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i = panjang interval kelas
Contoh2: Tentukan modus dari 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut. Nilai Matematika
Frekuensi (fi)
40 – 49
4
50 – 59
6
60 – 69
10
70 – 79
4
80 – 89
4
90 – 99
2 6
f i 1
i
=30
Penyelesaian: Kelas modus adalah kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi, yaitu kelas 60 – 69 L = tepi bawah kelas modus = 59,5 d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya= 10 – 6 = 4 d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = 10 -4 = 6 i = panjang interval kelas = (69 – 60) + 1 Modus = L + (
2.
d1 4 ).i = 59,5 + ( ).10 = 59,5 + 4 = 63,5 46 d1 d 2
Ukuran letak
Ukuran letak digunakan untuk menggambarkan letak data terhadap keseluruhan data. Ukuran letak diantaranya adalah kuartil (Q), desil (D) dan presentil (P). a. Kuartil (Q) Misalkan
adalah data ke-i. Kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama
banyak, setelah data diurutkan dari kecil ke besar. Jadi terdapat tiga nilai yang menjadi batas masing-masing bagian. Ketiga nilai itu disebut kuartil 1 (Q1) disebut kuartil
bawah, kuartil 2 (Q2) disebut kuartil tengah atau median, kuartil 3 (Q3) disebut kuartil atas 1. Kuartil data tunggal Cara pertama: a) Tentukan median dulu atau Q2, setelah data diurutkan b) Tentukan datum yang membagi dua data sebelah kiri median. Datum ini adalah Q1. Selanjutnya tentukan datum yang membagi dua data sebelah kanan median Datum ini adalah Q3.
Cara kedua dengan menggunakan rumus urutan: a) Menggunakan rumus urutan kuartil alternatif 1 (
{
(
(
{
{
untuk ganjil
) )
untuk genap
)
(
untuk ganjil ) untuk genap
(
)
b) Menggunakan rumus urutan kuartil alternatif 2 Qi = X i ( n1) 4
Qi = kuartil ke – i n = banyak data
Q1 = kuartil ke-1 disebut kuartil bawah Q2 = kuartil ke-2 disebut kuartil tengah atau median Q3 = kuartil ke-3 disebut dengan kuartil atas
2. Kuartil dari data yang dikelompokkan Rumus dari kuartil data yang dikelompokkan sebagai berikut.
kn fk Qk = Lk + ( 4 ).i f Qk Qk = kuartil ke-k dengan k=1,2,3 Lk = tepi bawah kelas kuartil ke-k n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-k
f Qk
= frekuensi kelas kuartil ke-k
i = panjang interval kelas Q1 = kuartil ke-1 disebut kuartil bawah Q2 = kuartil ke-2 disebut kuartil tengah atau median Q3 = kuartil ke-3 disebut dengan kuartil atas b. Desil Desil membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar, setelah data diurutkan. 1. Desil data tunggal Di = X i ( n1) 10
Di = Desil ke – i, i = 1,2,...9
n = banyak data 2. Desil untuk data yang sudah dikelompokkan Rumus:
kn fk Dk = Lk + ( 10 ).i f Dk Dk = desil ke-k dengan k = 1,2,3, ... 9 Lk = tepi bawah kelas desil ke-k n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-k
f Dk = frekuensi kelas desil ke-k i = panjang interval kelas c. Presentil Presentil membagi data menjadi 100 bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan. 1. Presentil data tunggal Dengan menggunakan rumus urutan: Pi = X i ( n1) 100
Pi = Presentil ke – i, i = 1,2,...99 n = banyak data P1 = presentil ke –1 adalah data yang terletak pada urutan ke -
1(n 1) 100
dan
seterusnya sampai dengan P9 = presentil ke –9 adalah data yang terletak pada urutan ke 2.
9(n 1) . 100
Presentil dari data yang telah dikelompokkan
Nilai presentil ke- k (Pk) dari data yang dikelompokkan dirumuskan
kn fk 10 Pk = Lk + ( ).i f Dk Pk = presentil ke-k dengan k =1,2,3, ... 99 Lk = tepi bawah kelas presentil n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas presentil ke-k
f Pk = frekuensi kelas presentil ke-k i = panjang interval kelas
3.
Ukuran penyebaran
Ukuran penyebaran memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik pemusatan. Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range),
simpangan baku(deviasi
standar), ragam(variansi) dan simpangan kuartil. a. Jangkauan (range) 1. Jangkauan (range) data tunggal J = selisih data terbesar dengan data terkecil Contoh: Tentukan range dari data berikut: 6,7,3,4,8,7,6,10,15,20 J = 20 3 = 17 2. Jangkauan (range) dari data yang dikelompokkan Untuk data yang dikelompokkan jangkauan (range) adalah selisih dari titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah Contoh:
Tentukan jangkauan (range) dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut Nilai Matematika
Frekuensi (fi)
40 – 49
4
50 – 59
6
60 – 69
10
70 – 79
4
80 – 89
4
90 – 99
2
Penyelesaian: Titik tengah kelas terendah = 45,5 Titik tengah kelas tertinggi = 95,5 J = 95,5 45,5 = 50 b. Jangkauan antarkuartil/Rentang antarkuartil/Hamparan Definisi: Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga( Q3) dengan kuartil pertama (Q1), ditulis dengan notasi ”H” H = Q3 - Q1 c. Simpangan kuartil/Rentang semi antarkuartil Definisi: Simpangan kuartil/Rentang semi antarkuartil adalah setengah kali panjang satu hamparan, ditulis dengan notasi Qd. Qd = H = (Q3 - Q1) d. Langkah Definisi: Langkah adalah satu setengah kali panjang satu hamparan, ditulis dengan notasi L L = 1 H =1 (Q3 - Q1)
e. Pagar dalam Definisi: Pagar dalam adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil pertama (Q1). Pagar dalam = Q1 - L f. Pagar Luar Definisi: Pagar Luar adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil ketiga (Q3) Pagar Luar = Q3 + L Pagar dalam dan pagar luar digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya nilai data. g. Data Pencilan atau data ekstrim Data yang tidak normal disebut data pencilan artinya suatu data yang tidak konsisten dalam kelompoknya. Beberapa kemungkinan penyebab timbul data pencilan adalah terjadinya kesalahan dalam mencatat nilai suatu data, terjadinya kesalahan dalam menggunakan alat ukur, data yang memang menyimpang. Untuk menentukan nilai suatu data normal atau tidak dengan menggunakan cara berikut ini: 1) Untuk setiap nilai data xi yang terletak di antara batas-batas pagar dalam dan pagar luar disebut data normal ditulis dengan ( Q1 – L ≤ xi ≤ Q3 + L ) 2) Untuk setiap nilai data xi yang kurang dari pagar dalam ( xi Q1 – L) atau lebih dari pagar luar (xi Q3 + L ) disebut data tak normal.
h. Simpangan baku(deviasi standar) Simpangan baku (deviasi standar) dilambangkan dengan s
1. Simpangan baku data tunggal dirumuskan: n
s
n
_
( xi x) 2
atau s
i 1
n
n _
n( xi2 ) ( x) 2 i 1
i 1
n2
dengan xi = data ke-i 2. Simpangan baku dari data yang dikelompokkan dirumuskan n
s
(x i 1
n
_
i
x) 2 atau s
n
n _
n( xi2 ) ( x) 2 i 1
i 1
n2
dengan xi = titik tengah interval kelas i
i. Ragam atau variansi Ragam atau variansi dilambangkan dengan s2 1. Ragam atau variansi data tunggal, dirumuskan: n
s2
n
n( xi2 ) ( xi ) 2 i 1
i 1
n
2
n
atau s 2
_
( xi x) 2 i 1
n
dengan xi = data ke-i 2. Ragam atau variansi dari data yang sudah dikelompokkan, dirumuskan n
s2
n
n( xi2 ) ( xi ) 2 i 1
i 1
n2
dengan xi = titik tengah interval kelas i
n
atau s 2
_
( xi x) 2 i 1
n
DAFTAR PUSTAKA Algifari. 1994. Statistika Ekonomi. Yogyakarta: STIE YKPN Ismail. 2003. Pelatihan Terintegrasi Berbasis Kompetensi Mata Pelajaran Matematika. Statistika. Jakarta: Direktorat Lanjutan Pertama Husein Tampomas. 2008 Seribupena Matematika SMA Kelas XI. Jakart:. Erlangga Nar Herrhyanto dan H.M. Akib Hamid. 1993/1994. Statistika Dasar. Jakarta: Dikdasmen Nugroho Budiyuwono, 1990, Pelajaran Statistik untuk SMEA dan Sederajat, Yogyakarta Nurbaya dkk.2000. Matematika SMK 3. Jakarta: Yudhistira Nugroho Soedyarto dan Maryanto.2008. Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI Proram IPA, Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Puji Iryanti. 2012. Statistika. Bahan Ajar Diklat Guru Pengembang Matematika/Diklat Guru Inti MGMP Matematika SMA Tahap I Angkatan ke-23. Yogyakarta: PPPPTK Matematika Sujana. 1986. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito Sartono Wirodikromo. 2002. Matematika untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1. Jakarta: Erlangga
