• September 2008 •
• Statistiek in twee variabelen lineaire regressie (p2-7) statistische oefening een uitgewerkt met het wetenschappelijk
rekentoestel FX 92 Collège 2D en met het grafisch rekentoestel Graph 35+
• Ontdekkingsaanbod (p8)
Statistiek in twee variabelen lineaire regressie
A an de kust worden regelmatig jobstudenten gevraagd als ijsventer. Een van de studenten vermoedt dat het ijs dat op een dag verkocht wordt afhangt van de temperatuur. Daarom verzamelt hij de volgende gegevens:
Temperatuur (in °C)
21,3
28,8
24,6
22,4
29,1
25,8
27,9
23,0
Verkocht ijs (in liter) 57,8
74,7
64,8
59,9
75,1
68,3
71,2
59,9
1) Voer de gegevens in en behoud daarbij de relatie die bestaat tussen de gegevens van beide lijsten. 2) Stel de gegevens grafisch voor en leid daaruit af dat een rechte het beste model zal zijn om de puntenwolk te beschrijven. 3) Bepaal de vergelijking van de rechte van Mayer als volgt: a ) Verdeel het puntendiagram in twee gelijke groepen. b ) Bereken van de twee bekomen puntendiagrammen de coördinaten van de gemiddelde punten G1 en G2.
c ) Bepaal de vergelijking van de rechte bepaald door de gemiddelden. Deze rechte is de rechte van Mayer. d ) Teken de rechte door de punten G1 en G2. e ) Bereken de hoeveelheid ijs die volgens het model van Mayer verkocht zal worden bij de opgegeven temperaturen. 4) Bepaal de vergelijking van de regressierechte en interpreteer de correlatiecoëfficient. 5) Toon grafisch en numeriek aan dat zowel de rechte van Mayer als de regressierechte goed aansluiten bij het puntendiagram van de gegevens. 6) De regressierechte wordt bepaald met de kleinste kwadratenmethode. Hierbij wordt de som van de kwadraten van de vertikale afwijkingen van elk punt tot de rechte geminimaliseerd. Ga na dat de regressierechte een betere benadering is dan de rechte van Mayer door de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen te vergelijken. Extra: Als de temperatuur van 21,3° tot 22,4° stijgt, verkoopt de ijsventer 2,1l ijs meer. Op basis hiervan schat hij dat elke temperatuursstijging van 1° leidt tot een extra verkoop van 2l ijs. Verbeter deze schatting met behulp van de vergelijking van de regressierechte. Vul volgende tabel tijdens het uitwerken van de oefening aan. Gebruik ook hierbij je rekentoestel indien nodig ! Temperatuur, gerangschikt in stijgende volgorde (in °C)
Bijhorende hoeveelheid verkocht ijs (in liter)
xi
yi
Vergelijking met het model van Mayer
Vergelijking met het regressiemodel
Residus met het model van Mayer
Residus met het regressiemodel
Kwadraten van de residus met het model van Mayer
Kwadraten van de residus met het regressiemodel
(yM)i
(yR)i
yi - (yM)i
yi - (yR)i
[yi - (yM)i ]²
[yi - (yR)i ]²
Som =
Som =
1 2 3 4 5 6 7 8 Coördinaat van G1 = Coördinaat van G2 = Vergelijking van de rechte van Mayer: Vergelijking van de regressierechte:
Dit werkblad is terug te vinden op www.cas-bel.com
Hoeveelheid verkocht ijs (in liter)
Hoeveelheid verkocht ijs in functie van de temperatuur
Temperatuur (in °C)
Opdracht 1: Voer de gegevens in FX 92 Collège 2D Kies in de modus STAT de instelling voor statistiek in twee variabelen. Eerst moet je zelf de gegevens ordenen volgens stijgende temperatuur en daarbij de relatie die bestaat tussen de gegevens van beide lijsten bewaren. w 2: STAT 2: AX+B Voer de geordende temperaturen in de X-kolom in en de bijhorende hoeveelheden ijs in de Y-kolom. 21.3 l Druk en daarna om de bijhorende Y-waarde in te voeren. 57.8 l Druk om de volgende X-waarde in te voeren. Druk 22.4 l … Opmerking: Je kan ook eerst alle x-waarden in stijgende volgorde invoeren. Druk en om de cursor opnieuw op de eerste lijn te plaatsen. Voer dan alle bijhorende y-waarden in.
Graph 35 + Kies het menu Ren voer de gegevens in. Voer de temperaturen in List 1 in, de bijhorende hoeveelheden ijs in List 2. Orden List 1 van klein naar groot. De bijhorende waarden in List 2 worden automatisch verplaatst. Kiesq (SRT-A) Het rekentoestel vraagt hoeveel lijsten moeten herschikt worden. «How Many Lists?(H)» Druk 2 l Het rekentoestel vraagt welke lijst de basislijst is. Dit is de lijst die van klein naar groot geordend moet worden. «Select Base List(B)» Druk 1 l Het rekentoestel vraagt welke lijst de afhankelijke lijst is. Dit is de lijst die de bijhorende waarden bevat. «Select Second List(L)» Druk 2 l
Opdracht 2 (GRAPH 35+): Puntenwolk Kies menu w Druk Lp(SET UP) en markeer “Stat Wind” Kies q om het kijkvenster automatisch in te stellen Druk d Kies q (GRPH) Kies u (SET) om het grafiektype in te stellen Markeer “Graph Type” en kies q (Scat) Markeer “XList” en kies q (List 1) Markeer “YList” en kies w (List 2) Druk d Kies q (GPH1) om de puntenwolk voor te stellen
De grafische voorstelling van de puntenwolk verantwoordt het gebruik van een lineair model om de relatie tussen de gegevens voor te stellen.
Opdracht 3: Bepaal de vergelijking van de rechte van Mayer FX 92 Collège 2D Toon opnieuw de tabel met de statistische gegevens L1: statistiek-menu 2: Data Verwijder de laatste vier puntenkoppels. Markeer het vijfde getal in de X-kolom en druk vier keer op P. Bereken het gemiddelde van de X-waarden en bewaar dit gemiddelde in het geheugen A. Bereken het gemiddelde van de Y-waarden en bewaar dit in het geheugen B. C: statistiek-scherm L1: statistiek-menu 5: Var 2: l LJ (STO) z (A) L1: statistiek-menu 5: Var 5: l LJ (STO) X (B)
Voer de gegevens van de laatste vier koppels in door de vorige gegevens te overschrijven. L1: statistiek-menu 2: Data Voer de vier X-waarden in de eerste kolom in: 25.8 l 27.9 l … Voer de vier bijhorende Y-waarden in de Y-kolom in: 68.3 l 71.2 l … Bereken het gemiddelde van de X-waarden en bewaar dit gemiddelde in het geheugen C. Bereken het gemiddelde van de Y-waarden en bewaar dit in het geheugen D. C: statistiek-scherm L1: statistiek-menu 5: Var 2: l LJ (STO) a (C) L1: statistiek-menu 5: Var 5: l LJ (STO) j (D)
Graph 35 + Verdeel de 8 puntenkoppels in twee gelijke groepen van 4. Kies het menu R. Kopieer de x-waarden van List 1 naar List 3 en de y-waarden van List 2 naar List 4. Markeer « List 3 » Druk i Kies q (LIST) Kies q (List) 1 l Markeer « List 4 » Druk i Kies q (LIST) Kies q (List) 2 l Druk dd om het deelmenu OPTN te verlaten. Verwijder de laatste 4 puntenkoppels. Markeer het 5de getal in de derde kolom en kies e (DEL) vier keer om de laatste 4 gegevens in lijst 3 te verwijderen. Markeer het 5de getal in de vierde kolom en kies e (DEL) vier keer om de laatste 4 gegevens in lijst 4 te verwijderen. Kopieer de x-waarden van List 1 naar List 5; kopieer de y-waarden van List 2 naar List 6 en verwijder de eerste 4 puntenkoppels zoals hierboven aangegeven.
Bereken en bewaar de gemiddelden van de x en de y waarden van beide puntenwolken in de geheugens A, B, C en D. Kies het menu Q Druk i Kies q (LIST) Kies u ( ) Kies e (Mean) Kies u ( )u ( ) Kies q (List) Druk 3)b a f (A) l om het gemiddelde van list 3 in geheugen A op te slaan. Kies O Kies u ( ) Kies e (Mean) Kies u ( )u ( ) Kies q (List) Druk 4)b a g (B) l Herhaal deze werkwijze voor het opslaan van de gemiddelde waarden C en D van de tweede puntenwolk.
De rechte van Mayer bevat de punten (A,B) = (22,825;60,6) en (C; D) = (27,9;72,325).
Bepaling van de rechte van Mayer – eerste methode De vergelijking van de rechte van Mayer is: Bereken de richtingscoëfficient van de rechte van Mayer en bewaar dit getal in het geheugen E . Bereken ook de constante term van deze rechte en bewaar dit getal in het geheugen F. FX 92 Collège 2D
Graph 35 +
C (Qj(D)QX(B)) M(Q a(C)-Qz(A)) l LJ (STO) k (E)
O
C QX(B) Qk(E)Qz(A) l LJ (STO) l (F)
ag(B) -
(ah(D) ag(B)) M (aG (C) af (A)) b aj(E) l
aj(E) af (A) b ak (F) l
Bepaling van de rechte van Mayer – tweede methode De vergelijking van de rechte van Mayer is y = mx + q. De richtingscoëfficient (m) en de constante term (q) worden bepaald door het stelsel FX 92 Collège 2D Kies de modus EQN:
w 3: EQN 1: anX+bnY=cn om een
Graph 35 + Kies het menu a Kies q (SIML) Kies q (2) om het aantal onbekenden in te stellen.
stelsel met twee onbekenden in te voeren. Voer de coëfficienten in: Q z (A) l
1l Q X (B) l Q a (C) l 1l Q j (D) l l Lees de waarde van de richtingscoëfficient van de rechte van Mayer af. X=
n geeft de decimale schrijfwijze 2,31034 van de richtingscoëfficient weer. l Lees de waarde van de constante term af. Y=
n 7,8664
De vergelijking van de rechte van Mayer is:
Voer de coëfficienten in: Voor a1:af (A)l Voor b1: 1 l Voor c1:a g(B)l Voor a2:aG (C)l Voor b2: 1 l Voor c2:a h(D)l Kies q (SOLV) en lees de waarden van m en q af: m = 2,31034 q = 7,8664
Bereken de hoeveelheid ijs die volgens het model van Mayer verkocht zal worden bij de opgegeven temperaturen: Voer de vergelijking y = Ex + F in en bereken de functiewaarden van de opgegeven temperaturen. FX 92 Collège 2D w 1 : COMP UpQk(E)I+ Ql (F) r l om de waarde van E op te roepen. 21.3l om de eerste temperatuur in te geven (X). l om de waarde van F op te roepen De bijhorende Y-waarde wordt getoond. n om van de breukvorm naar de decimale schrijfwijze over te stappen. r om een volgende temperatuur in te voeren …
Graph 35 + Kies het menu i Lp(SET UP) Markeer: «Variable»…” w om de lijst met de x-waarden te kiezen q (List1) om de lijst met de temperaturen aan te duiden d Voer de vergelijking van de rechte van Mayer in Y1=… in. aj(E) f + ak (F) l u (TABL) om de tabel met de bijhorende waarden te tonen Druk
om in de tabel te scrollen
Opdracht 4: Bepaal de vergelijking van de regressierechte en interpreteer de correlatiecoëfficient Opmerking: Het rekentoestel gebruikt hiervoor de kleinste kwadratenmethode. Door deze methode wordt de som van de kwadraten van de residus -dit is de verticale afwijking tussen elk punt en de regressierechte- geminimaliseerd. FX 92 Collège 2D
Graph 35 +
Kies de modus Stat en voer de geordende gegevens in. w2 : STAT 2: AX+B Voer eerst alle X-waarden in: 21.3 l … Druk C en daarna om de bijhorende Y-waarden in te voeren.
Kies menu w Kies q (GRPH) Kies u (SET) « Graph Type : … » Kies q (Scat). Voer in « XList : … » q (List 1) en in « YList : … » w (List 2) in. Druk d Kies q (GPH1)
Bepaal de vergelijking van de regressierechte y = Ax + B
Druk iq (PICT)q (STO) Kies q (Pic1) om het beeld van de puntenwolk op te slaan
L1: menu STAT 7: Reg 1: A l L1: menu STAT 7: Reg 2: B l L1: menu STAT 7: Reg 3: r l
De vergelijking van de regressierechte is
Kies q (X) Lees de richtingscoëfficient, de contante term en de correlatiecoëfficient af : a = 2,26795 et b = 8,9415 (*) Behoud dit scherm voor opdracht 5.
.
De correlatiecoëfficient r =0,9943 (≈1) geeft een zeer sterk verband aan tussen de temperatuur en de verkochte hoeveelheid ijs. De regressierechte sluit bijgevolg heel nauw aan bij de punten van de puntenwolk.
Opdracht 5 (GRAPH 35+): Toon grafisch en numeriek aan dat zowel de rechte van Mayer als de regressierechte goed aansluiten bij het puntendiagram van de gegevens (*) Ga verder met het vorige scherm :
Kies y (COPY) en markeer Y2 Druk l om de vergelijking van de regressierechte te kopiëren in Y2 in het menu y Kies het menu y Kies u (DRAW) . De beide rechten worden getekend. iq (PICT) w (RCL) q (Pic1) om de puntenwolk ook op het scherm te tonen
Kies het menu i Kies u (TABL) om de tabel met de bijhorende waarden te tonen Druk
om in de tabel te scrollen
Beide grafische voorstellingen zijn een goede benadering!
Opdracht 6 (GRAPH 35+): Ga na dat de regressierechte een betere benadering is dan de rechte van Mayer door de som van de kwadraten van de residus te vergelijken Kies het menu w Druk Lp(SET UP) Druk N en markeer “Resid List: …” Kies w (LIST)e (List3) om de residulijst in list 3 op te slaan Druk d Om de regressierechte te tekenen: Kies q (GRPH) Kies q (GPH1) Kies q (X) Kies u(DRAW) Druk d Lees de residuwaarden af in List 3 Kies het menu i Markeer “Y2=“ Kies q (SEL) om Y2 uit te schakelen Druk Lp(SET UP) Markeer “Variable”:w (LIST)q (List1) Druk d Kies u (TABL) en plaats de cursor in kolom Y2 Druk i Kies q (LIST) Kies w (LMEM) Kies r (List4) Kies het menu w Markeer “List5” Druk i Kies q (LIST) en druk q (List) 2- q (List)4 l om de verticale afwijkingen tov de rechte van Mayer te berekenen. Bereken de som van de kwadraten van de residus voor de regressierechte in menu Q: Druk i Kies q (LIST) Kies u( )u( ) Kies q (Sum) u( ) q (List) 3 s Druk l Bereken de som van de kwadraten van de residus voor de rechte van Mayer in menu Q: Druk i Kies q (LIST) Kies u( )u( ) Kies q (Sum) u( ) q (List) 5 s Druk l
De regressierechte is een betere lineaire benadering dan de rechte van Mayer omdat de som van de kwadraten van de residus voor de regressierechte het kleinst is.
Ontdekkingsaanbod Dit aanbod is uitsluitend bestemd voor leerkrachten wiskunde of wetenschappelijke vakken. Bestel op één, twee, drie CASIO-materiaal aan een uitzonderlijke prijs. 1. Vul deze bladzijde in en stuur ze terug per post of per fax op nr: 02 333 73 34. 2. Betaal via een overschrijving op rekeningnummer 001-4970825-39 Fortis Bank van Dexxon Belgium. Om een vlugge levering te garanderen, vermeld daarbij ook uw naam en het (de) gekozen model(len). 3. Bij ontvangst van uw betaling verzendt Dexxon Belgium onmiddellijk uw CASIO-materiaal naar uw school.
Kies uw rekentoestel en/of uw didactisch materiaal: FX Junior FX 92 Collège 2D Super FX Graph 25+ Graph 35+ Graph 65 USB (Interface PC inb.) Graph 85 SD (Interface PC inb.) Graph 100+USB ClassPad 300 Plus en/of FX-Interface Wetenschappelijke sonde EA 200 Projectieset RM 7000/9000 Projectieset RM CP300
Totaal:
Prijs Leerkrachten 7,20 ? 11,50 ? 20,00 ? 30,50 ? 55,50 ? 85,00 ? 97,50 ? 110,00 ? 149,00 ?
Prijs Publiek 9,99 ? 18,99 ? 29,99 ? 45,99 ? 75,99 ? 109,99 ? 129,99 ? 149,99 ? 199,99 ?
35,00 ? 165,00 ? 320,00 ? 350,00 ?
45,00 ? 199,00 ? 399,00 ? 429,00 ?
. . . . . . .
?
Tarief geldig tot 31 december 2008
In deze prijzen zijn alle taksen inbegrepen. Maximum één rekentoestel per model per leerkracht.
Uw gegevens (IN DRUKLETTERS AUB): Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voornaam: Bankrekeningnummer:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Naam van de houder van deze rekening: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adres: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Postcode: . Fax:
. . . . . . . . . . . .
Plaats: .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leerkracht:
Wiskunde
Telefoon: .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e-mail: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wetenschappen
Andere wetenschappelijke vakken:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Naam en adres van de school: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verdeler: DEXXON BELGIUM, Pegasuslaan 5, B-1831, Diegem Tel.: + 32 2 333 73 33 - Fax: + 32 2 333 73 34 - e-mail:
[email protected] - Internet: www.cas-bel.com
