STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Statické a dynamické vlastnosti patří k základním vlastnostem regulovaných soustav, měřicích přístrojů, měřicích řetězců či jejich částí. Zatímco statické vlastnosti se projevují v ustálených stavech, dynamické vlastnosti se projevují při přechodu mezi ustálenými stavy nebo v případech, kdy se měřená veličina rychle mění a kdy máme zjišťovat její okamžité hodnoty. Obě vlastnosti úzce souvisí s matematickým popisem příslušného zařízení a s jeho vyjádřením pomocí blokového schématu.
1. Dynamické vlastnosti v časové oblasti Předpokládejme, že vstupní veličina zařízení (např. prvku měřicího řetězce) je x, výstupní veličina je y. Diferenciální rovnice 1 (DR) popisující dané zařízení obecně vyjadřuje funkční vztah mezi vstupní a výstupní veličinou a jejich derivacemi: f(y, y', y'', ..., x, x', ...) = 0
(1)
DR odvozujeme z bilance extenzívní veličiny, pro kterou platí zákon o zachování, a která je charakteristická pro daný fyzikální děj: přítok - odtok = změna akumulace 2 .
(2)
Za předpokladu lineárního vztahu nebo linearizovaného nelineárního vztahu (předpokládá se vyjádření v odchylkovém tvaru 3 ) můžeme vztah (1) vyjádřit v lineární formě: an·y(n) + an-1·y(n-1) + ... +a2·y'' + a1·y' + a0·y = x + b1·x' + b2·x'' + ... + bm·x(m)
(3)
Pro reálné systémy musí platit n ≥ m, což plyne ze vztahu příčina - následek a jejich časové souvislosti. V měřicí technice se jedná o jednodušší systémy, kdy koeficienty u derivací vstupní veličiny jsou většinou nulové, bi = 0 pro i ∈ {1, 2, ...m}, tedy DR bude: ... + a2·y" + a1·y' + a0·y = x
(4)
DR je obecným popisem statických i dynamických vlastností, platí pro jakékoliv počáteční podmínky a pro jakoukoliv změnu vstupní veličiny. Pravidelně se jedná o obyčejné diferenciální rovnice (jen s derivacemi podle jedné proměnné - času), nehomogenní (kromě výstupní veličiny y a jejich derivací obsahuje také vstupní veličinu x), s konstantními koeficienty (ai není funkcí času) a lineární (neznámé a jejich derivace jsou jen v první mocnině a není jejich součin). Vznikla-li rovnice linearizací, pak platí jen v okolí bodu linearizace a pro malé změny veličin.
1
Obyčejná diferenciální rovnice popisuje systémy se soustředěnými parametry (např. míchanou průtočnou nádrž - zde jsou derivace jen podle jedné proměnné, podle času), systém s rozloženými parametry pak popisují parciální diferenciální rovnice (např. trubkový výměník tepla - zde jsou derivace podle dvou proměnných, podle času podle délky výměníku). 2 Změna akumulace je derivace akumulované (hromaděné) extenzívní veličiny v zařízení podle času. Přítok zahrnuje také zdroj akumulované veličiny. 3 Je-li jedna z veličin teplota t(°C), pak tuto veličinu můžeme vyjádřit v bezrozměrném odchylkovém tvaru, např. y = (t - t0)/t0, kde t0 je určitá konkrétní hodnoty teploty (pro linearizované DR je to bod linearizace) a y je bezrozměrná teplota v odchylkovém tvaru. Tento způsob se využívá při řešení regulačních obvodů.
Je-li v rovnici (4) a0 ≠ 0, pak dané zařízení se nazývá statické, tj. existuje jednoznačný vztah mezi vstupem a výstupem, zařízení má statickou charakteristiku 4 . Při změně vstupní veličiny se i výstupní veličina ustálí. Platí-li však a0 = 0, pak dané zařízení se nazývá astatické (matematický popis je shodný s popisem integračního členu), není jednoznačný vztah mezi vstupem a výstupem a zařízení nemá statickou charakteristiku. Při změně vstupní veličiny se výstupní veličina stále mění až po krajní hodnotu danou konstrukcí 5 . Pro dané počáteční podmínky a daný průběh vstupní veličiny můžeme řešit DR (4) a získáme přechodovou funkci (5), (6). DR můžeme řešit buď klasicky nebo pomocí Laplaceovy transformace (LT). Klasické řešení předpokládá, že se nejprve řeší příslušná homogenní DR, např. rovnice 1. řádu separací proměnných, potom příslušná nehomogenní DR pak metodou variace konstanty. Získáme tak obecné řešení. Konkrétní řešení získáme z obecného řešení vypočtením hodnot integrační konstanty z počátečních podmínek. Řešení metodou LT vyžaduje nulové počáteční podmínky. Nejsou-li splněny, pak je uměle vytvoříme transformací posunutím nebo vyjádřením v odchylkovém tvaru, viz poznámka 3. Metoda LT vytváří již od počátku konkrétní řešení rovnice. Přechodová funkce má obecný tvar: y = f(x, t)
(5)
pro vstupní funkci jednotkového skoku ji můžeme zapsat ve tvaru:
⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞ y = A + B ⋅ Exp⎜ − ⎟ + C ⋅ Exp⎜ − ⎟ + .... ⎜ T1 ⎟ ⎜ T2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(6)
kde počet exponenciál odpovídá řádu DR (4), T1, T2, ... jsou příslušné časové konstanty, přičemž platí:
1 T i = − α , kde i ∈ {1, 2, ..., n}
(7)
i
kde αi jsou kořeny charakteristické rovnice odpovídající DR (4). Vztah (6) platí, pokud kořeny nejsou násobné. Grafické zobrazení přechodové funkce (6) pro vstupní signál jednotkový skok je uvedeno na obr. 1 a nazývá se přechodová charakteristika 6 . V užším slova smyslu je přechodová charakteristika odezvou na vzruch jednotkového skoku, v širším slova smyslu je to odezva na jakýkoliv skok, neboť vhodnou transformací souřadnic lze jakýkoliv skok převést na jednotkový skok. Pro jednotkový skok lze závislost vstupní veličiny x na čase t vynechat. Průběh přechodové charakteristiky podle obr. 1 je aperiodický neboli přetlumený. Tento průběh nastává, pokud kořeny charakteristické rovnice jsou reálné záporné. U mechanických měřicích přístrojů se někdy stává, že nejsou dostatečně tlumeny a pak přechodová charakteristika má průběh periodický, podle obr. 2. Tento případ nastává, má-li
4
Např. pec se vstupem elektrickým příkonem a výstupem je teplota. Např. nádrž s konstantním přítokem a odtokem. Nejsou-li tyto toky stejné, pak se nádrž buď vyprázdní nebo přeteče. V měřicí technice je to také magnetoelektrický měřicí systém bez pružiny, prstencový tlakoměr bez závaží a lineární motorek bez zpětné vazby v některých ukazovacích přístrojích. 6 Tato závislost se také nazývala skoková odezva podle ČSN IEC 902 nebo časová odezva podle ČSN IEC 60050-351. 5
charakteristická rovnice kořeny komplexně sdružené 7 . Vyznačená odchylka se nazývá překmitnutí a vyjadřuje se v procentech z celkové změny. Vyskytuje-li se u měřicího přístroje necitlivost nebo chyby reverzibility, pak se periodický průběh velmi rychle tlumí, obvykle jen jednou překmitne. Optimální průběh přechodové charakteristiky měřicího přístroje je na mezi aperiodicity, má-li charakteristická rovnice násobný kořen. Toho se dosahuje vhodnou justací tlumení přístroje.
x
y
1
A
0
t
Tu
t
Tn Tp
Obr. 1 Přechodová charakteristika 2. nebo vyššího řádu, aperiodický průběh
y
t Obr. 2 Přechodová charakteristika periodického průběhu
Tvar přechodové charakteristiky podle obr. 1 platí pro zařízení popisované DR druhého nebo vyššího řádu. Příslušné úseky na časové ose, vymezené tečnou v inflexním bodě na počáteční a konečné hodnotě, se nazývají doba průtahu 8 Tu, doba náběhu 9 Tn a doba přechodu Tp. Do doby průtahu se případně zahrnuje i dopravní zpoždění. Ze změny vstupního a výstupního signálu v ustáleném stavu je možno určit zesílení. Pro zařízení popsané DR prvního řádu je možno z rovnice (4) odvodit rovnici:
T ⋅ y'+ y = k ⋅x
7
(8)
Toto lze vysvětlit existencí Eulerova vzorce: Exp ( − a + i ⋅ b) = Exp ( − a ) ⋅ (cos b + i ⋅ sin b) . Tato doba se také nazývá ekvivalentní mrtvá doba podle ČSN IEC 60050-351. 9 Tato doba se podle ČSN IEC 60050-351 také nazývá ekvivalentní časová konstanta. Pojem doba náběhu má podle této normy poněkud jiný význam. 8
kde je: T (s) k (1)
časová konstanta, zesílení (zisk) příslušného zařízení.
Obecně platí, že T = R·C, časová konstanta je součinem odporu a kapacity. Podle fyzikální podstaty děje, probíhajícího v zařízení, přisuzujeme odporu a kapacitě příslušný fyzikální význam. Např. při měření teploty se jedná o proces sdílení tepla, kapacita je zde tepelná kapacita měřicího zařízení a odpor je "odpor" proti přestupu tepla, tj. převrácená hodnota součinu tepelné vodivosti (nebo koeficientu přestupu tepla) a přestupné plochy. Příslušná přechodová funkce, řešení rovnice (8), pro nenulové počáteční podmínky je:
(
)
⎛ ⎛ t ⎞⎞ y = y p + x k − x p ⋅ k ⋅ ⎜⎜1 − Exp⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎝ T ⎠⎠ ⎝
(9)
a jí odpovídající přechodová charakteristika (obr. 3) pro skokovou změnu vstupní veličiny z xp na xk. Platí také:
(
)
y k = y p + xk − xp ⋅ k
(10)
Z přechodové charakteristiky na obr. 3 můžeme určit časovou konstantu z kteréhokoliv bodu jejího průběhu (bez ohledu na počátek) buď pomocí tečny nebo pro 63,2 % ze změny od tohoto bodu do ustáleného stavu. Zesílení je možno určit ze vztahu (10) nebo pro jednotkový skok a nulové počáteční podmínky je zesílení rovno přímo yk. x
y T yk xk yp
xp t
63,2 %
100 %
t
Obr. 3 Přechodová charakteristika členu 1. řádu
V zařízeních, kde se signál šíří konečnou rychlostí se projevuje dopravní zpoždění 10 τD. Typickým příkladem je odběrové zařízení analyzátoru, kde plynný či kapalný vzorek proudí rychlostí v trubicí o průřezu F a délce L do analyzátoru. Za předpokladu pístového toku přejde koncentrační změna vzorku od počátku odběrového zařízení do analyzátoru za dobu dopravního zpoždění τD, které můžeme vypočítat podle vztahu:
τD =
F ⋅L v
(11)
Dopravní zpoždění nemění tvar diferenciální rovnice (3), (4) a (8), pouze pravá část rovnice platí pro čas t - τD, levá část rovnice platí pro čas t. Dopravní zpoždění se projeví v počátečních podmínkách, které se stanovují pro čas t = τD místo obvyklého t = 0. Přechodové funkce proto změní svůj tvar, ve vztazích (5), (6) nebo (9) bude v exponenciále místo t výraz (t - τD). Podobně se změní i přechodové charakteristiky, kde se křivka posunuje 10
Podle normy ČSN IEC 902 se tento čas nazývá mrtvá doba.
o hodnotu τD doprava. Např. přechodová charakteristika na obr. 3, bude-li obsahovat dopravní zpoždění je uvedena na obr. (4). Přechodové charakteristiky je možno zjišťovat experimentálně pomocí vzruchu skokovým signálem a tím se zpětně dopracovat až k popisu dynamických vlastností zařízení diferenciální rovnicí.
y yk
yp
τD
t
T
Obr. 4 Přechodová charakteristika členu 1. řádu s dopravním zpožděním
2. Laplaceova transformace Je to matematická disciplína, spadající do operátorového počtu, umožňující řešit diferenciální rovnice a vyjadřovat dynamické vlastnosti pomocí přenosů. Transformace je předpis, podle kterého jedné funkci (z jedné množiny funkcí) přiřazujeme jinou funkci (v jiné množině funkcí) 11 . Využívá se zde vlastností funkcí komplexní proměnné. Z původní funkce času, originálu f(t), vzniká transformací obraz F(p), funkce komplexního parametru p. Definice LT je dána integrálem: ∞
F ( p ) = ∫ f (t ) ⋅ Exp(− p ⋅ t ) ⋅ dt ,
(12)
0
kde p je komplexní parametr, který může nabývat jakékoliv hodnoty komplexního čísla. Zpětný převod od obrazu k originálu se nazývá zpětná transformace. Transformace má gramatiku, což jsou příslušná algebraická pravidla a slovník, tedy tabulku sobě odpovídajících originálů a obrazů. Transformovaná funkce musí splňovat určité podmínky. Z vlastností definičního integrálu je možno odvodit gramatická pravidla: f(t) → F(p) = L[f(t)] k·f(t) → k·F(p)
(13) násobení konstantou
f(t) + g(t) → F(p) + G(p) f '(t) → p·F(p)
součet funkcí
2
∫ f (t ) ⋅ dt
(15)
za předpokladu nulových počátečních podmínek (16)
f ''(t) → p ·F(p) za předp. nulových počátečních podmínek t
(14)
→ p ⋅ F ( p) −1
(17) (18)
0
11
Naproti tomu funkce je předpis, který přiřazuje jednomu číslu (z množiny čísel) jiné číslo (z jiné množiny čísel).
I slovník lze odvodit z definičního integrálu, výsledky jsou v následující tabulce:
f (t ) F ( p ) = L[ f (t )] f (t ) = 0 pro t < 0 1 f (t ) = 1 pro t ≥ 0 p 1 − a⋅t e p+a 1 − a⋅t t⋅ e ( p + a )2 f (t − τ D )
e
τ ⋅F p ( )
− p⋅
D
Při řešení diferenciální rovnice se transformací vytvoří operátorová rovnice, řeší se příslušná algebraická rovnice, pro rozvoj na jednotlivé zlomky se řeší systém lineárních rovnic, načež se provede zpětná transformace.
3. Dynamické vlastnosti ve frekvenční oblasti Obrazový přenos F(p) je definován jako poměr Laplacova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny. Např. pro rovnici (4) je tento poměr:
F ( p) =
Y ( p ) L[ y ] 1 = = 2 X ( p ) L[x ] ... + a ⋅ p + a ⋅ p + a 2 1 0
(19)
Přenos je z matematického hlediska komplexní funkce komplexní proměnné. Přenos upravujeme do tvaru podílu dvou polynomů. Levá strana DR určuje tvar jmenovatele přenosu, pravá strana (vstupní veličiny) určuje tvar čitatele. Tento obrazový přenos platí pro nulové počáteční podmínky a pro jakýkoliv tvar vstupního signálu, protože p je obecně komplexní číslo. Budeme-li uvažovat vstupní harmonický signál o konstantní amplitudě, pak parametr p nabývá ryze imaginární hodnoty, místo p dosadíme jω , kde j je imaginární jω t
vyjadřuje harmonickou funkci o konstantní jednotka 12 a ω úhlová frekvence. Výraz e amplitudě. Frekvenční přenos F(jω) vždy upravujeme do tvaru:
F ( jω ) = f 1 (ω ) + j ⋅ f 2 (ω ) kde je: f1 (ω) f2 (ω)
(20)
reálná funkce vyjadřující reálnou složku frekvenčního přenosu, reálná funkce vyjadřující imaginární složku frekvenčního přenosu.
Dělení komplexním číslem se provádí násobením číslem komplexně sdruženým. Frekvenční přenos je z matematického hlediska komplexní funkce reálné proměnné ω (úhlový kmitočet). Frekvenční přenos umožňuje vypočítat pro daný kmitočet f (ω = 2 π f) bod frekvenční charakteristiky, tedy reálnou a imaginární část nebo po převodu do polárních souřadnic absolutní hodnotu a úhel. Množina bodů pro ω ∈ <0, ∝) je zobrazením frekvenčního přenosu v komplexní rovině a nazývá se frekvenční charakteristika. Např. pro zařízení popsané DR 12
Zde i v dalším je imaginární jednota označena j, tak jak je to běžné v elektrotechnické a regulační praxi na rozdíl od poznámky 7 a matematických zvyklostí.
1. řádu podle rovnice (8) je frekvenční charakteristika na obr. 5. Frekvenční charakteristiku je možno zjišťovat experimentálně pomocí vzruchu harmonickou funkcí. Poměr A2/A1 je poměr amplitud výstupního signálu k amplitudě vstupního signálu a úhel ϕ je fázové posunutí vstupního signálu pro úhlovou frekvenci ω 1.
j
k ω→∝
ϕ
ω=0
1 A2 A1
ω=
ω1 1 T
Obr. 5 Frekvenční charakteristika členu 1. řádu
4. Statické vlastnosti U měřicích přístrojů jsou v některých případech statické vlastnosti důležitější než vlastnosti dynamické, zejména při měření pomalých dějů. Ze statických vlastností jsou důležité statická charakteristika, konstanta měřicího přístroje, citlivost, měřicí rozsah, přesnost apod. Tyto pojmy jsou vysvětleny v části o základních pojmech. Statická charakteristika je graficky znázorněná závislost výstupní veličiny na vstupní y veličině v ustáleném stavu. Z diferenciálních rovnic (1), (3), (4) a (8) odvodíme její matematický vztah položením všech derivací podle času za nulové. Nejběžnější případ je lineární statická charakteristika podle rovnice (4), která má výsadní postavení a je 1 znázorněna na obr. 6. tg α = V praxi často vznikají odchylky od tohoto a0 ideálního průběhu, jak je znázorněno na obr. 7 až 12. α Odchylky většinou souvisí s chybami měřidla. Změna citlivosti měřidla se projevuje změnou x směrnice charakteristiky podle obr. 6. Posun nuly Obr. 6 Statická charakteristika měřidla se projevuje podle obr. 7. Stejně se může lineárního členu projevovat i časová změna (drift) měřidla, kde posunutí je funkcí času. Pro přístroje s nelinearitou se určuje chyba linearity. Je to maximální rozdíl skutečné statické charakteristiky od lineární závislosti. Na obr. 11 je vyznačena chyba linearity jako odchylka od přímky, procházející dvěma pevnými body. Takto je definována chyba pro přístroje, vyrobené v ZPA. Naproti tomu na obr. 12 je chyba linearity vyjádřená jako odchylka od optimální přímky. Jedná se o minimalizaci maximální chyby. U závislosti se dvěma průsečíky je maximální chyba minimální, pokud všechny tři odchylky jsou stejně velké. Podobně je tomu i v případech, kdy přímka protíná křivku ve třech bodech. Třetí možný způsob vyjádření chyby linearity je na obr. 8, kde linearizační přímka prochází jedním pevným bodem (počátkem) a dalším průsečíkem tak, aby obě maximální odchylky byly co nejmenší, to je v případě, že jsou stejné.
y
y
x Obr. 7 Statická charakteristika přístroje s potlačeným rozsahem
y
x Obr. 8 Statická charakteristika přístroje s nelinearitou
y
x Obr. 9 Statická charakteristika přístroje s počáteční necitlivostí
x Obr. 10 Statická charakteristika přístroje s reverzibilitou
y
y
x Obr. 11 Nelinearita podle přímky procházející dvěma pevnými body
x Obr. 12 Nelinearita při minimalizaci maximální chyby
4. Dynamické chyby Vznikají při rychlých dějích nebo u přístrojů pomalu reagujících. Jejich hodnota závisí na dynamických vlastnostech měřicího přístroje a na časovém průběhu měřené veličiny. Jsou vždy funkcemi času. Pro zařízení popsané DR prvního řádu (viz rovnice 8) jsou uvedeny dynamické chyby na následujících obrázcích. Na obr. 13 je zobrazen průběh dynamické chyby pro skokovou změnu. Řešením lze odvodit, že její hodnota je:
⎛ t⎞ ⎟ ⎝ T⎠
ε d = - k ⋅ x1 ⋅ Exp⎜ −
(21)
Podobně lze zobrazit průběh dynamické chyby pro změnu vstupní veličiny konstantní rychlostí na obr. 14. Řešením lze odvodit její hodnotu:
⎛
⎛ t ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎝ T ⎠⎠
ε d = - k ⋅ T ⋅ w ⋅ ⎜⎜1 − Exp⎜ − ⎝
(22)
x
x1 t y εd k x1
t Obr. 13 Dynamická chyba pro skokovou změnu
x
y
x=w·t
εd
t
t
Obr. 14 Dynamická chyba pro změnu konstantní rychlosti
5. Odstraňování dynamických chyb Zde se budeme zabývat pouze numerickým postupem odstraňování dynamických chyb. Vyjdeme-li ze znalosti dynamického chování zařízení, známe tedy diferenciální rovnici, např. rovnici (8):
T ⋅ y'+ y = k ⋅x
(8)
Známe tedy hodnoty T a k, známe i časový průběh indikace y v n bodech. Úkolem je vypočítat časový průběh měřené veličiny x. Pro výpočet je nutná znalost průběhu derivace y', kterou můžeme vypočítat z ekvidistantní řady hodnot yi, např. pomocí tříbodových vzorců: y'1 = (-3y1 + 4y2 - y3)/(2·Δt)
pro první bod
(23)
y'i = (-y1 + y3)/(2·Δt)
pro střední body
(24)
y'n = (yn-2 - 4yn-1 +3yn)/(2·Δt)
pro poslední bod
(25)
kde Δt je časový úsek mezi sousedními body.
