Vlastnosti a modelov´ an´ı aditivn´ıho b´ıl´ eho ˇsumu s norm´ aln´ım rozdˇ elen´ım
[email protected] verze: 20090913
1 B´ıl´ y ˇsum s norm´ aln´ım rozdˇ elen´ım V t´eto kapitole se budeme zab´yvat re´ aln´ym gaussovsk´ym ˇsumem n(t), pˇripomeneme jeho vlastnosti a pop´ıˇseme zp˚ usob, jak ho lze modelovat v numerick´ych simulac´ıch. Komplexn´ı reprezentac´ı (komplexn´ı ob´ alkou) n ˜ (t) ˇsumu n(t) se budeme zab´yvat v kap. 3. B´ıl´ y ˇsum (ˇsum s b´ıl´ ym spektrem) je ˇcasto pouˇz´ıvan´a aproximace ˇsirokop´asmov´eho ˇsumu, kter´ y m´a konstantn´ı spektr´ aln´ı v´ ykonovou hustotu v uvaˇzovan´e ˇs´ıˇrce zpracov´an´ı sign´alu. Pˇripomeˇ nme, ˇze bˇelost“ ˇsumu n(t) neimplikuje ˇz´adn´e rozloˇzen´ı hustoty pravdˇepodob” nosti, tj. b´ıl´ y ˇsum nemus´ı m´ıt nutnˇe norm´aln´ı (gaussovsk´e) rozloˇzen´ı. Pˇredpokl´ adejme, ˇze spektr´ aln´ı v´ ykonov´a hustota b´ıl´eho ˇsumu n(t) nab´ yv´a pro vˇsechny (´ uhlov´e) kmitoˇcty hodnoty N0 /2, tedy Cn(t) (ω) =
N0 . 2
(1)
To odpov´ıd´ a korelaˇcn´ı funkci Rn(t) (τ ) = FT−1{Cn(t) (ω)} =
N0 δ(τ ). 2
(2)
Uveden´a vlastnost ˇr´ık´ a, ˇze hodnoty n(t1 ) a n(t2 ) jsou nekorelovan´e pro libovolnˇe mal´ y interval τ = t2 − t1 . Re´ alnˇe sign´ al s takov´ ymi vlastnostmi nem˚ uˇze existovat, nebot’ pro libovoln´ a n´ ahodn´a veliˇcina n(t1 ) nekoneˇcn´ y rozptyl: var{n(t1 )} = y fixn´ı ˇcas t1 m´ Rn(t) (τ ) → ∞. D´ ale, v´ ykon sign´alu se spektr´aln´ı v´ ykonovou hustotou dle (1) je τ =0 R∞ 1 nekoneˇcn´ y nebot’ plat´ı: P = 2π −∞ Cn(t) (ω)dω → ∞.
P´ asmovˇ e omezen´ y b´ıl´ y ˇsum P´asmovˇe omezen´ y b´ıl´ y ˇsum – p´ asmovˇe omezen´ y na (jednostrannou) ˇs´ıˇrku p´asma B – pˇredstavuje re´ alnˇe interpretovatelnou aproximaci ˇsirokop´asmov´eho ˇsumu. Spektr´aln´ı a korelaˇcn´ı vlastnosti jsou ( N0 pro ω ∈ (−2πB, 2πB), Cn(t) (ω) = 2 (3) 0 jinde,
1
N0 2
Cn(t) (ω)
−ωsa −2π
Cn[k] (Ω) fsa
ωsa − ω2sa
0
−π
ωsa 2
ω 2π
π
Ω
Obr. 1: Spektr´ aln´ı v´ ykonov´ a hustota p´asmovˇe omezen´eho ˇsumu a spektr´aln´ı v´ ykonov´a hustota jeho vzork˚ u. Rn(t) (τ ) = BN0 Sa(2πBτ ) .
(4)
V´ ykon (rozptyl) takov´eho sign´ alu pak je P = var{n(t)} = N0 B.
(5)
Nastaven´ı rozptylu ˇsumov´ eho gener´ atoru Pˇri u ´loze simulace algoritm˚ u zpracov´an´ı sign´alu stoj´ıme pˇred probl´emem, jak nastavit hodnotu rozptylu ˇsumov´eho gener´atoru σ 2 , aby generovan´ y n´ahodn´ y sign´al spr´avnˇe representoval chov´ an´ı syst´emu za pˇr´ıtomnosti aditivn´ıho b´ıl´eho ˇsumu s poˇzadovanou oboustrannou spektr´ aln´ı v´ ykonovou hustotou Cn(t) (ω) = N20 . Simulaci syst´emu prov´ad´ıme zpravidla v diskr´etn´ım ˇcase se vzorkovac´ım (´ uhlov´ ym) kmitoˇctem ωsa . Pˇredpokl´ad´ame tedy, ˇze spektra vˇsech uvaˇzovan´ ych sign´al˚ u lze zanedbat (jsou nulov´e) pro |ω| > ωsa /2. Stejn´ a podm´ınka mus´ı platit i pro ˇsumov´ y sign´al n(t). Pokud budeme b´ıl´ y ˇsum aproximovat p´ asmovˇe omezen´ ym ˇsumem s konstantn´ı spektr´aln´ı hustotou N20 na intervalu |ω| < ωsa /2, chov´ an´ı syst´emu se z pohledu zpracov´an´ı sign´alu nezmˇen´ı. P´asmov´ ym omezen´ım b´ıl´eho ˇsumu z´ısk´ame fyzik´alnˇe existuj´ıc´ı sign´al (s koneˇcn´ ym v´ ykonem), kter´ y lze vzorkovat s ωsa . P´asmovˇe omezen´ y ˇsum n(t) m´a autokorelaˇcn´ı funkci N0 ωsa τ sa N0 Rn (τ ) = ω2π Sa = f Sa(πf τ ). Vzorkov´ an´ım ˇsumu n(t) na n´asobc´ıch sa 2 sa 2 2 1 1/fsa , z´ısk´ ame nekorelovan´e vzorky ˇsumu n[k] = n(k fsa ), autokorelaˇcn´ı funkce vzorku n[k] je Rn[k] [m] = fsa N20 δ[m]. Rozptyl vzork˚ u ˇsumu je var{n[k]} = R[0] = fsa N20 (a to je z´aroveˇ n i v´ ykon diskr´etn´ıho sign´alu n[k]). Tuto hodnotu je pak potˇreba pouˇz´ıt pˇri nastaven´ı rozptylu ˇsumov´eho gener´atoru. Plat´ı, ˇze v´ ykon spojit´eho sign´ alu je ˇc´ıselnˇe roven v´ ykonu jeho vzork˚ u (za pˇredpokladu dodrˇzen´ı vzorkovac´ı podm´ınky). Proto i v´ ykon p´asmovˇe omezen´eho ˇsumu na intervalu sa N0 |ω| < ωsa /2 je roven v´ ykonu vzork˚ u n[k] generovan´ ych s rozptylem σ 2 = ω2π 2 = N0 aln´ı hustota p´ asmovˇe omezen´eho ˇsumu a spektr´aln´ı hustota jeho vzork˚ u je fsa 2 . Spektr´ zn´azornˇena na obr. 1.
2
Implementace v programu MATLAB Funkce randn(m,n) generuje matici rozmˇeru m×n. Prvky matice jsou n´ahodn´e nekorelovan´e hodnoty s norm´ aln´ım rozdˇelen´ım s µ = 0 a σ 2 = 1. Pro generov´an´ı vzork˚ u p´asmovˇe omezen´eho b´ıl´eho gaussovsk´eho ˇsumu se zadanou spektr´aln´ı v´ ykonovou hustotou N0 /2 N0 sa N0 je potˇreba ale zajistit rozptyl s poˇzadovanou hodnotou σ 2 = ω2π 2 = fsa 2 . 2 = 1, pak n´ Pokud m´ a n´ ahodn´ a veliˇcina X stˇredn´ı hodnotu µX = 0 a rozptyl σX ahodn´a 2 veliˇcina Y s µY a σY se z´ısk´ a transformac´ı
Y = σ Y X + µY .
(6)
Konkr´etnˇe: 100 vzork˚ u b´ıl´eho gaussovsk´eho ˇsumu s rozptylem (a tedy i v´ ykonem) 10 se z´ısk´a: noise=sqrt(10)*randn(1,100);
2 Komplexn´ı ob´ alka V t´eto ˇc´ asti pˇripomeneme z´ akladn´ı vztahy mezi re´ aln´ym p´ asmov´ym sign´ alem (BP – band pass) a jeho komplexn´ı reprezentac´ı (komplexn´ı ob´ alkou, CE – complex envelope). Zde uveden´ a definice komplexn´ı ob´ alky a zp˚ usob znaˇcen´ı vych´ az´ı ze [1].1 ˜ Spektrum komplexn´ı ob´ alky S(ω) se ze spektra p´asmov´eho sign´alu S(ω) z´ısk´a jako ˜ S(ω) = 2 Us(ω − ω0 )S(ω − ω0 ).
(7)
ˇ Casov´ y pr˚ ubˇeh komplexn´ı ob´ alky s˜(t) lze pak filtraˇcn´ı metodou z p´asmov´eho sign´alu s(t) z´ıskat dle vztahu s˜(t) = [2s(t) exp(−jω0 t)]DP . (8) Komplexn´ı ob´ alka lze rovnˇeˇz zapsat pomoc´ı dvojice re´aln´ ych n´ızkofrekvenˇcn´ıch sign´al˚ u, a to bud’ pomoc´ı souf´ azov´e sI (t) a kvadraturn´ı sQ (t) sloˇzky nebo pomoc´ı ob´alky |˜ s(t)| a f´aze arg{˜ s(t)} s˜(t) = sI (t) + jsQ (t) = |˜ s(t)| exp(j arg{˜ s(t)}) (9) P´asmov´ y sign´ al s(t) lze z komplexn´ı ob´alky z´ıskat vztahem s(t) = Re{˜ s(t) exp(jω0 t)}. 1
(10)
V literatuˇre se pouˇz´ıvaj´ı i jin´e definiˇcn´ı vztahy (navz´ ajem se liˇs´ı n´ asobnou konstantou). Pozor rovnˇeˇz na znaˇcen´ı. Explicitn´ı oznaˇcen´ı komplexn´ı ob´ alky vlnovkou nad symbolem sign´ alu ˇci spektra nen´ı v literatuˇre jednotnˇe dodrˇzov´ an. Nˇekdy se vlnovkou oznaˇcuje p´ asmov´ y sign´ al a komplexn´ı ob´ alka se explicitnˇe neoznaˇcuje. Volba je na autorovi textu: obvykle, pokud vˇetˇsina vzorc˚ u a odvozen´ı v textu je naps´ ana pro komplexn´ı ob´ alku, bylo by jej´ı explicitn´ı znaˇcen´ı vlnovkou z pohledu psan´ı textu pracn´e a proto je vhodnˇejˇs´ı v tomto pˇr´ıpadˇe oznaˇcit vlnovkou p´ asmov´ y sign´ al.
3
Uved’me d´ ale, ˇze v´ ykon komplexn´ı ob´alky je ˇc´ıselnˇe 2×vˇetˇs´ı neˇz v´ ykon p´asmov´eho sign´alu, tedy 2Ps = Ps˜. Pro komplexn´ı ob´ alku s˜(t) obecn´eho stacion´arn´ıho sign´alu (v ˇsirˇs´ım smyslu) s(t) (nemus´ı se nutnˇe jednat o p´ asmov´ y sign´al) lze odvodit n´asleduj´ıc´ı souvislosti mezi PSD jednotliv´ ych sign´ al˚ u, viz napˇr. [2] Cs˜(ω) = 4Cs (ω + ω0 ) Us(ω + ω0 ),
(11)
CsI (ω) = CsQ (ω) = Cs (ω + ω0 ) Us(ω + ω0 ) + Cs (ω − ω0 ) Us(−(ω − ω0 )), CsI sQ (ω) = j Cs ω + ω0 Us ω + ω0 − Cs ω − ω0 Us − (ω − ω0 ) .
(12) (13)
3 Komplexn´ı ob´ alka AWGN V t´eto kapitole jsou shrnuty vlastnosti re´ aln´eho p´ asmovˇe omezen´eho gaussovsk´eho ˇsumu n(t) a jemu odpov´ıdaj´ıc´ı komplexn´ı reprezentace (komplexn´ı ob´ alky) n ˜ (t). Definiˇcn´ı vztah komplexn´ı ob´ alky odpov´ıd´ a popisu z kap. 2. P´asmovˇe omezen´ y b´ıl´ y gaussovsk´ y ˇsum okolo nosn´eho kmitoˇctu ω0 oznaˇc´ıme n(t), jeho spektr´aln´ı v´ ykonovou hustotu Cn (ω), viz obr. 2 a). Pro charakteristiky n(t) plat´ı (protoˇze sign´al n(t) je striktnˇe ergodick´y, jsou uveden´e pravdˇepodobnostn´ı charakteristiky shodn´e s charakteristikami ˇcasov´ ymi) E{n(t)} = 0, (14) Rn (τ ) = E{n(t) n(t + τ )} = BIF N0 cos(ω0 τ ) Sa(πBIF τ ).
(15)
Speci´alnˇe pro v´ ykon (rozptyl) n(t) plat´ı Pn = var{n(t)} = Rn (0) = σn2 = BIF N0 .
(16)
Komplexn´ı ob´ alku n ˜ (t) p´ asmovˇe omezen´eho ˇsumu n(t) lze vyj´adˇrit pomoc´ı souf´azov´e a kvadraturn´ı sloˇzky n ˜ (t) = nI (t) + jnQ (t). (17) Sign´aly nI (t) a nQ (t) jsou striktnˇe ergodick´e vz´ajemnˇe nez´avisl´e (d˚ usledek vztahu 13) s norm´aln´ım rozdˇelen´ım a se spektr´aln´ı v´ ykonovou hustotou dle obr. 2 b) (vych´az´ı ze vztahu 12). Pro charakteristiky souf´azov´e a kvadraturn´ı sloˇzky plat´ı E{nI (t)} = E{nQ (t)} = 0, E{nI (t) nQ (t + τ )} = 0
pro ∀τ,
(18) (19)
RnI (τ ) = RnQ (τ ) = E{nI (t) nI (t + τ )} = BIF N0 Sa(πBIF τ ) ,
(20)
PnI = PnQ = var{nI (t)} = var{nQ (t)} = BIF N0 ,
(21)
Pn˜ = PnI + PnQ = 2BIF N0 .
(22)
4
CnI (t) (ω) = = CnQ (t) (ω) N0
Cn (ω) N0 2
−ω0
0
2πBIF
ω0
ω
2πBIF
a)
0 2πBIF
ω
b)
Obr. 2: PSD p´ asmovˇe omezen´eho b´ıl´eho ˇsumu n(t) a jeho reprezentace komplexn´ı ob´alkou n ˜ (t) = nI (t) + jnQ (t). ( N0 pro |ω| < 2π B2IF , CnI (ω) = CnQ (ω) = 0 jinde, ( 2N0 pro |ω| < 2π B2IF , Cn˜ (ω) = 0 jinde.
(23) (24)
P´asmovˇe omezen´ y b´ıl´ y ˇsum n(t) na nosn´em kmitoˇctu ω0 lze pouˇzit´ım vztahu (10) alternativnˇe zapsat ve tvaru n(t) = nI (t) cos(ω0 t) − nQ (t) sin(ω0 t) .
(25)
Pˇr´ıklad: Sign´al dig. modulace necht’ m´ a v´ ykon C = 2.0 W. Vygenerujte vzorky komplexn´ı ob´alky AWGN tak, aby v´ ysledn´ y sign´ al mˇel pomˇer C/N0 = 53 dB-Hz (pozor, jedn´a se o pomˇer v´ ykonu uˇziteˇcn´eho sign´ alu C ku spektr´aln´ı v´ ykonov´e hustotˇe ˇsumu N0 ). Uvaˇzujte fsa = 66.7 kHz. V´ ypoˇ cet: . , z toho: NC0 = 10[C/N0 ]dB /10 = 1053/10 = 200 kHz. Pro PSD ykon souf´azov´e a ˇsumu dostaneme N0 = C/ NC0 = 2.0/200 000 = 0.01 10−3 W/Hz. V´ [C/N0 ]dB = 10 log10
C N0
kvadraturn´ı sloˇzky ˇsumu je N0 fsa = 0.001 10−3 × 66.7 103 = 0.667 W. Tato hodnota je z´aroveˇ n i rozptylem tˇechto sloˇzek a pouˇzijeme ji pro nastaven´ı ˇsumov´eho gener´atoru.
5
Implementace v MATLABu: N=1000; % delka signalu C=2.0; % vykon [W] C_No_dB = 53; % [dB-Hz] fsa=66.7; % [Hz] %-----------------------------------------------------------C_No=10^(C_No_dB/10); No=C/C_No; PnI=No*fsa; % vykon/rozptyl soufazove (relane) casti AWGN nI=sqrt(PnI)*randn(1,N); % realna cast AWGN nQ=sqrt(PnI)*randn(1,N); % imaginarni cast AWGN nCE=nI+1j*nQ; % komplexni obalka AWGN
Literatura ˇ [1] Hrdina, Z.; Vejraˇ zka, F.: Sign´ aly a soustavy. [Skriptum]. CVUT, Praha 1998. ˇ ´ kora, J.: Digit´ [2] Sy aln´ı r´ adiov´ a komunikace II. [Skriptum]. CVUT, Praha 1998.
6
