Összefüggések egy csonkolt hasábra

Összefüggések egy csonkolt hasábra Az idők során már többször készítettünk hasonló dolgozatokat. Nem baj: az ismétlés sosem árt. Most tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra

Eszerint úgy is képzelhetjük, hogy egy téglalap alapú egyenes hasábot először az α0 és β0 hajlású síkokkal háromszög alapú hasábbá alakítunk, majd ezt csonkoljuk a δ hajlású síkkal. A feladat: néhány szög - és terület - összefüggés áttekintése. Szög - összefüggések Először határozzuk meg az   f1   ,   f 2   ,   f 3   kapcsolatokat! Az 1. ábra alapján a C0C1C derékszögű háromszögből:

cos =

m0 m  m    0 . m cos

(1)

Ezután:

tg 0  valamint

m0 , c1

(2)

2

tg 

m ; c1

(3)

most ( 1 ) , ( 2 ), ( 3 ) - mal:

tg 

m0 1 tg 0   , c1 cos cos

tehát:

tg 

tg 0 , cos

(4)

illetve

 tg 0      arctg   cos 

(5)

Hasonlóan eljárva:

m0 , c2 m tg  , c2 tg0 

(6)

(7)

majd ( 1 ), ( 6 ), ( 7 ) - tel:

tg 

m0 tg0  , c 2  cos cos

tehát:

tg 

tg0 , cos

(8)

illetve

 tg0   .    arctg   cos 

(9)

A harmadik szögre vonatkozó ismert összefüggés:

    180         .

( 10 )

3 Másodszor előállítjuk a többi szög függvényét is. Ismét az 1. ábra szerint:

tg A 

b0 ; m 0  tg

( 11 )

de

sin  0 

m0 , b0

( 12 )

így ( 11 ) és ( 12 ) - vel:

tg A 

1 . sin  0  tg

( 13 )

Bevezetve az 1. ábra mellékábrája szerint a

  90  

( 14 )

jelöléssel a csonkoló sík hajlásszögét, ( 13 ) és ( 14 ) - ből:

1 1 tg   , sin  0  tg 90   sin  0  ctg sin  0

tg A  tehát:

tg A 

tg . s in  0

( 15 )

Ezután az 1. ábra szerint:

tg A 

m0 ; d

( 16 )

de

d  c12  m 0  tg ; 2

( 17 )

ehhez

c1 

m0 , tg 0

( 18 )

így ( 14 ), ( 16 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal:

tg A 

tehát:

m0 m0 1 1    , 2 2 2 2 2 d  c   1   1  c1  m0  tg  1   tg 2      m   tg   tg  0 0

4

tg A 

1  1   tg

  1        tg  0 2

2

. ( 19 )

Ez átírható az elegánsabb

  ,   ctg A  ctg 2 0  ctg 2 ,   1   1 2 1       tg A  tg 0   tg  2

( 20 )

illetve a még könnyebben megjegyezhető

ctg 2 A  ctg 2 0  ctg 2

( 21 )

alakba. Végül ismét az 1. ábra szerint:

tg1A 

c1 ; m 0  tg

( 22 )

most ( 14 ), ( 18 ) és ( 22 ) - vel:

tg1A 

tg . tg 0

( 23 )

Megjegyezzük, hogy ~ a B csúcs körüli szög - összefüggések teljesen hasonlóan vezethetők le; ~ a ( 21 ) és ( 23 ) képletekkel leírt összefüggésekkel már korábbi dolgozatainkban is találkoztunk. Egy kis szemléltetés: α0 = β0 = 45° esetén ( 5 ) és ( 9 ) szerint

 1   .         arctg   cos  Ezt a függvényt ábrázolja a 2. ábra.

5 alfa = béta ( fok ) 100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

theta ( fok ) -20 f(x)=atan(1/cos(x))

-10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

-10

2. ábra Egy további kapcsolat:

tg 1 sin 2  0  cos 2  0 1 tgA   tg  tg   tg  1   sin  0 sin 2  0 sin 2  0 tg 2 0  tg  tg 2 2 2   tg 2  tg 2 1A ,  tg   2  tg     tg 0  tg  0 2

tehát:

tg A  tg 2   tg 21A ;

( 24 )

vagy ( 21 ) - hez hasonló alakban:

tg 2 A  tg 2 1A  tg 2 .

( 25 )

6 A levezetett képleteken kívül szükség lehet még az alábbiakra is. Az 1. ábra szerint:

c  c1  c 2 ;

( 26 )

 ,   m 0  c2  ; tg0 

c1 

m0 tg 0

( 27 )

most ( 26 ) és ( 27 ) - tel:

 1 m0 m0 1    , c   m0    tg 0 tg0  tg 0 tg0  innen:

m0 

c 1 1  tg 0 tg0

,

( 28 )

majd ( 27 ) és ( 28 ) - cal:

 ,     c c2  . tg0  1  tg 0  c1 

c tg 0 1 tg0

( 29 )

Terület - összefüggések Ismét az 1. ábra alapján:

1 TAC0C   b 0  m 0  tg ; 2

( 30 )

de

b0 

c1 , cos  0

így az ( 1 ), ( 14 ), ( 30 ) és ( 31 ) képletekkel:

( 31 )

7

1 1 c 1 c sin  TAC0 C   b 0  m 0  tg   1  m 0  tg   1  m 0   2 2 cos  0 2 cos  0 cos  m 1 c 1 cos  cos    1  0  sin    c1  m   TAC1C  , 2 cos  0 cos  2 cos  0 cos  0 tehát:

TAC0C  TAC1C 

cos  . cos  0

( 32 )

Innen leolvasható, hogy TAC0C  TAC1C , ha    0 . Hasonlóképpen:

1 TBC0C   a 0  m 0  tg ; 2 c2 a0  , cos 0

( 33 ) ( 34 )

így az ( 1 ), ( 14 ), ( 33 ) és ( 34 ) képletekkel:

m 1 1 c sin  1 c 2 TBC0C   a 0  m 0  tg   2  m 0     0  sin   2 2 cos 0 cos  2 cos 0 cos  1 cos  cos    c2  m   TBC1C  , 2 cos 0 cos 0 tehát:

TBC0 C  TBC1C 

cos  . cos  0

( 35 )

Innen leolvasható, hogy TBC0 C  TBC1C , ha    0 . Ismét az 1. ábra alapján:

TABC  TAC1C  TBC1C . Most ( 32 ) - ből:

( 36 )

8

TAC1C  TAC0C 

cos  0 , cos 

( 37 )

cos  0 , cos 

( 38 )

továbbá

TBC1C  TBC0C 

így ( 36 ), ( 37 ), ( 38 ) szerint:

TABC  TAC0C  

cos  0 cos 0  TBC0C   cos  cos 

1  TAC0C  cos  0  TBC0C  cos 0  ; cos 

( 39 )

de ( 30 ), ( 31 ) és ( 39 ) - cel:

1 1 TAC0C  cos  0   b0  m 0  tg cos  0    b0  cos  0   m 0  tg   2 2 1   c1   m0  tg   TAC1C2 , 2 tehát:

TAC0 C  cos  0  TAC1C2 ,

( 40 )

továbbá ( 33 ), ( 34 ) és ( 39 ) - cel:

1 1 TBC0C  cos 0   a 0  m 0  tg cos 0   a 0  cos 0  m0  tg   2 2 1   c 2  m 0  tg   TBC1C2 , 2 tehát:

TBC0 C  cos 0  TBC1C2 .

( 41 )

Most ( 39 ), ( 40 ) és ( 41 ) - gyel:

TABC 

TABC2 1 1  TAC0C  cos  0  TBC0C  cos 0    TAC1C2  TBC1C2   , cos  cos  cos 

tehát:

TABC 

TABC2 cos 

.

( 42 )

9 Egy másik összefüggés:

 1 1 m 1  1 1 TABC   c  m   c  0     c  m 0    TABC0 ,    2 2 cos  cos  2 cos  tehát:

TABC 

TABC0 cos 

.

( 43 )

Megjegyzések: M1. α0 = β0 = δ esetén ( 39 ) szerint az az érdekes fejlemény áll elő, hogy

TABC  TAC0C  TBC0 C ; ez azt jelenti, hogy egyenlő tetőhajlások esetén a kontytető - síkidom területe egyenlő a kontysík által a nyeregtetőből levágott síkidomok területének összegével. Ez szintén megkönnyítheti a tetőfelszín - számítási munka elvégzését – v. ö.: [ 1 ]! M2. A ( 42 ) és ( 43 ) képletek is azt a fontos összefüggést formulázzák meg háromszögek esetére, mely szerint:

A

Tvet , cos 

( 44 )

azaz egy S1 síkbeli síkidom területét megkapjuk, ha valamely S2 síkra vett merőleges vetületének területét elosztjuk a két sík által bezárt szög koszinuszával. Minthogy egy tetszőleges görbe vonalú síkidom sokszögekkel – azaz: beírt és körülírt sokszögekkel – közelíthető, a sokszögek pedig háromszögekre bonthatók, így látható, hogy a ( 44 ) for mula a síklapú testek felszínszámításának az egyik alapképlete. Mint ilyet, alkalmazzuk például a tetők felszínének számítása során is. Ennek egyik meglepő tapasztalata lehet a tanulók számára az a tény, hogy tetszőlegesen bonyolult alaprajzú, állandó hajlású tető felszínszámítása esetén is közvetlenül csak az alaprajzi síkidom területszámítását kell elvégezni, a térbeli tetősík - idomok területszámítása helyett. Ez óriási könnyebbség. Ehhez képest igencsak meglepő az a tény, hogy a ( 44 ) képlet nem szerepel pl. az ács szakmai tankönyvekben. Néhány magyar lelőhely, ahol találkoztunk ( 44 ) - gyel, illetve megfelelőjével: [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ]. M3. Figyelemre méltó az a körülmény is, hogy fentiek csak a középiskolai tananyag ismeretében is megérthetők, valamint a munka hasonló szellemben folytatható. A címbeli téma kidolgozásának folytatását most már az Olvasóra bízzuk. M4. A ( 44 ) képlet tetőfelszín számítására való alkalmazásának lehetőségét kínálja [ 2 ] is – egy kis sajtóhibától eltekintve. A ( 44 ) képletnek az ács szakmai munkába való bevonására Hajdu Endre hívta fel figyelmemet, még a kezdetekkor. A német nyelvű szakmai segédkönyvekben ( 44 ) megfelelőjével sűrűn találkozhatunk – ld. pl.: [ 5 ]!

10 Irodalom: [ 1 ] – Galgóczi Gyula : Diplomamunka Soproni Egyetem Tanárképző Intézet, Sopron, 1999. [ 2 ] – Szerk. Boldizsár Tibor : Bányászati Kézikönyv, I. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1956. [ 3 ] – Dezső Ágnes ~ Édes Zoltán ~ Sárkány Péter : Középiskolai matematikai lexikon Corvina Kiadó, Budapest, 1997. [ 4 ] – Hajdu Endre : Ábrázoló geometria I. Jegyzet, Erdészeti és Faipari Egyetem, Sopron, 1983. [ 5 ] – Johannes Karduck ~ Richard Stein : Dachgeometrie 3. Auflage, Verlagsgesellschaft Rudolf Müller GmbH, Köln - Braunsfeld, 1985.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. január 10.