The oretisch bezien
SPRONGHOOGTE: meting en correlaties met lichaamslichaamsgewicht en -lengte Wie hoog springt, zal even diep vallen.
Chris Riezebos Koos Herrewijnen Herre Faber Chris Riezebos, Fysiotherapeut, Vakgoep Beweging & Analyse, Opleiding Bewegingstechnologie, Haagse Hogeschool. Koos Herrewijnen, Infotronics, Opleiding Bewegingstechnologie, Haagse Hogeschool. Herre Faber, Vakgroep Informatica, Opleiding Bewegingstechnologie, Haagse Hogeschool.
Inleiding
S
pringen grote mensen hoger dan kleine? Springen zware mensen lager dan lichte? Intuïtief wordt meestal aangenomen dat lange mensen hoger kunnen springen dan mensen met een geringere lichaamslengte. Volleyballers en basketballers zijn over het algemeen lang tot zeer lang en springen hoog boven het net uit c.q. kunnen met twee handen de bal hard van boven naar beneden door het basketbalnetje werpen ("dunken"). Eveneens intuïtief wordt vaak gedacht dat hoe zwaarder iemand is, des te meer "gewicht" deze persoon omhoog moet brengen, en des te lager hij/zij dus zal springen. (Toen een atleet met e,'e,'n been ooit tijdens de Paralympics een onwaarschijnlijke prestatie leverde bij het hoogspringen, zei iemand op de tribune: "kunst, hij is veel lichter dan iemand met twee benen"). Uit een door ons verricht onderzoek naar de spronghoogte van 250 HAVO-leerlingen bleek geen enkel (statistisch significant) verband te bestaan tussen spronghoogte en lichaamsgewicht. Tussen spronghoogte en lichaamslengte bestond bij de jongens eveneens geen enkel verband. Alleen bij de meisjes was er een (zeer licht) verband tussen lichaamslengte en spronghoogte. In dit artikel zullen we proberen op theoretische gronden aan te geven waarom er, in natuurkundige zin, geen verband bestaat tussen spronghoogte en lichaamsafmetingen. De spronghoogte werd in genoemd onderzoek bepaald door uitsluitend het meten van de "zweeftijd" (tijd tussen afzet en landing) van de sprong. Andere gegevens dan de zweeftijd zijn niet nodig. Deze manier om de spronghoogte te bepalen wordt, naast enkele andere, eveneens in dit artikel besproken. Allereerst behandelen we enkele basale begrippen en formules uit de mechanica.
Enige mechanische begrippen en formules Een voorwerp dat zich met een constante snelheid verplaatst, voert een zogenaamde "eenparige" beweging uit. Bijvoorbeeld een auto die constant 50 km/uur rijdt. Als de snelheid steeds met een constante hoeveelheid toeneemt (gelijkmatig optrekken van een auto) is er sprake van een eenparig versnelde beweging. Bij een constante afname van de snelheid is er een eenparig vertraagde beweging (gelijkmatig remmen van een auto). Snelheidsveranderingen (versnellingen c.q. vertragingen) worden uitgedrukt in meters per seconde per 2 seconde, ofwel in m/s .
Wanneer een voorwerp zich met een constante snelheid beweegt, werken er op dat voorwerp geen (resulterende) krachten: de som van alle krachten op dat voorwerp is nul. Wanneer het voorwerp versnelt of vertraagt, werken er wél (resulterende) krachten op. Niet alleen magneten trekken elkaar aan, alle voorwerpen doen dat. Twee biljartballen trekken elkaar aan, een bord en een lepel en een pen en papier. Zelfs twee mensen trekken elkaar, letterlijk, aan. De kracht die daarvoor zorgt is de "zwaartekracht" of "gravitatie". De algemene formule hiervoor luidt:
F=G
m1 m 2 2 r
waarin: F = kracht (N) 3 2 G = universele gravitatieconstante (m /kg.s ) m1, m2 = massa's (kg) r = afstand tussen de zwaartepunten van beide massa's (m). De constante G, de "universele gravitatieconstante", stelt de grootte van de aantrekkingskracht voor van twee massa's van 1 kg op een onderlinge afstand van 1 meter. De waarde van G werd experimenteel (3) bepaald door Henry Cavendish (18e eeuw) en later door Philipp von Jolly . De grootte van door de beide massa's op elkaar uitgeoefende aantrekkingskracht is zeer laag en bedraagt:
F=G
1x1 2
= 0.000000000667N
1
(Indien deze kracht wordt uitgedrukt als gewicht is dat dus minder dan een tienmiljardste gram). Van deze aantrekkingskracht tussen voorwerpen merken wij in het dagelijks leven niets. Dat komt doordat deze krachten zeer klein zijn (zoals blijkt uit de uiterst lage waarde van G). Hierop bestaat één uitzondering: de aantrekkingskracht van de aarde. Vergeleken met mensen en alledaagse voorwerpen is de massa van de aarde zeer groot. Met behulp van de constante G (en de grootte van de straal van de aarde) kan de massa van de aarde worden berekend op: 24 6 H 10 kg = 6 H miljoen H miljard H miljard kg. De straal (r) van de aarde bedraagt 6400 km. De doorsnede van de aarde (2r) bedraagt dus zo'n 13.000 2 2 km, de omtrek (2πr) ca. 40.000 km, de oppervlakte (4πr ) ongeveer 500.000.000 km en het volume 3 3 (1.3πr ) bij benadering 1000.000.000.000 (duizend miljard) km met een dichtheid (massa gedeeld door 3 volume ) van ca. 6000 kg/m . Omdat de massa van de aarde zo groot is, merken wij de invloed van de door haar uitgeoefende aantrekkingskracht terdege: wij hijgen bij het bestijgen van bergen en trappen; omhoog springen vinden we al gauw zo vermoeiend dat we dat overlaten aan sporters en we vertillen ons aan kratten bier en zware vakantiekoffers. Wij merken de invloed van een kracht aan de verandering van de bewegingssnelheid van een voorwerp. Onder invloed van krachten versnellen (of vertragen) massa's. Dat is in woorden de bekende wet van Newton F = m.a. De versnelling (c.q. vertraging) welke de zwaartekracht van de aarde veroorzaakt, wordt aangeduid met 2 2 het symbool g en bedraagt (afgerond) 10 m/s (9.8 m/s om precies te zijn). Dit betekent dat iedere seconde dat de zwaartekracht op een massa werkt de snelheid van die massa met 10 m/s toe- of afneemt. Omdat de toename van de snelheid in iedere seconde even groot is, spreekt men van een "eenparig versnelde" c.q. een "eenparig vertraagde" beweging. (Een snelheid van 10 m/s komt overeen met 36 km/uur. Dat is dezelfde (gemiddelde) snelheid die een sprinter bereikt wanneer hij de 100 meter in 10 seconden loopt). Het verband tussen snelheid, tijd en afgelegde weg bij eenparig versnelde bewegingen wordt beschreven met de volgende twee "basis"formules:
V t = V 0 + at waarin: Vt = snelheid op een bepaald tijdstip t (m/s) V0 = aanvangssnelheid (op tijdstip t = 0) (m/s) a = versnelling (m/s2) t = tijd (s) en
1 2 S t = V 0 t + at 2 waarin: St = afgelegde weg op tijdstip t (m) (overige grootheden en eenheden als hierboven) Wanneer de aanvangssnelheid nul is (dus er wordt bewogen vanuit stilstand) reduceren deze formules tot:
1 2 at 2 Wanneer de versnelling wordt veroorzaakt door de zwaartekracht, wordt in de formules a vervangen door g (9.8 m/s2). Indien er sprake is van een vertraging in plaats van een versnelling worden in de formules mintekens geplaatst. V t = at
en
St =
Meten van de spronghoogte Er bestaan verschillende manieren om de spronghoogte te meten c.q. te definiëen. De eerste twee methoden worden ook wel de "reach and jump" test genoemd. Op de vingers van de springer wordt een kleurstof aangebracht. In tenenstand wordt een opgehangen bord aangetikt. Daarna wordt zo hoog mogelijk gesprongen en opnieuw aangetikt (figuur 1). De spronghoogte wordt gedefinieerd als het verschil in afstand tussen beide afdrukken van de vingers.
Figuur 1. Spronghoogtemeting met op de vingers aangebrachte kleurkleurstof. a. “Reach”. b. “Jump” Het verschil tussen a en b is de sprongspronghoogte hoogte (S).
(7)
Een variant hierop, die geen vieze vingers geeft, is de "Yardstick" . Hierbij worden, in dezelfde volgorde als hierboven, draaibare, aan een statief bevestigde, lamellen "weggeslagen" (figuur 2).
Figuur 2. Wegtikken Wegtikken van aan een statief bevestigde draaibare lamellen (“Yardstick “). a. “Reach”. b. “Jump” Het verschil tussen a en b is de spronghoogte (S).
Een andere mogelijkheid is het bevestigen van een meetlint aan het middel van de springer. De "initiële lengte" wordt weer gemeten in tenenstand. Bij het omhoogspringen trekt de springer het lint door een geleider. Na de sprong kan dan opnieuw de lengte worden afgelezen en de spronghoogte wordt gegeven door het verschil tussen beide waarden (figuur 3).
Figuur 3. Spronghoogtemeting met behulp van een aan het middel bevestigd meetlint. a. Lengte in tenenstand. b. Lengte op het hoogste punt van de sprong. Het verschil tussen a en b is de spronghoogte (S).
We zien dat in het voorgaande steeds het verschil wordt genomen tussen de positie in tenenstand en die op het hoogste punt van de sprong. Het lijkt ook niet erg eerlijk om de absolute hoogte boven de grond te nemen als maat voor de spronghoogte. Een lang persoon begint immers al op een veel grotere hoogte dan een korter iemand. Zelfs al zou een lang iemand, ten opzichte van zijn eigen afzetpositie, lager springen (afgemeten aan de verplaatsing van bijvoorbeeld het lichaamszwaartepunt) dan een kort iemand, dan nog zou deze, absoluut gezien, hoger kunnen uitkomen (figuur 4).
Figuur 4. De lange springer kan over een hoger muurmuurtje springen dan de kleine en springt, absoluut gezien, dus hoger. Echter, ten opzichte van de eigen lichaamslengte, afge afgegemeten aan de verplaatsing van het lilichaamszwaartepunt, chaamszwaartepunt, levert de kleine springer springer een grotere prestatie.
Dat lijkt op zich triviaal, maar toch is deze "oneerlijkheid" inherent ingebakken bij het hoogspringen. Een lange hoogspringer behoeft, relatief gezien, veel minder hoog te springen dan een kortere mededinger, om over dezelfde lathoogte te komen. Het is dan ook verbazend dat niet alle hoogspringers net zo lang zijn als bijvoorbeeld basketballers. Dit komt (ten minste ten dele) doordat het bij hoogspringen niet gaat om een zuiver verticale sprong, doch om een sprong vanuit een aanloop. Hierbij moet een voorwaartse snelheid worden omgezet in een snelheid schuin omhoog en daarbij spelen andere factoren dan lengte eveneens een rol. Wij zullen ons in dit artikel echter uitsluitend bezighouden met verticaal omhoogspringen, zoals bij basketballers en (met name) bij volleybal plaatsvindt. Bij deze sporten zien we wel degelijk het Darwiniaanse "survival of the fittest, by means of natural selection" principe in volle werking. Omdat de basket, evenals het volleybalnet op een vast voorgeschreven hoogte hangen, zien we in de top van deze sporten vrijwel uitsluitend relatief lange (tot zeer lange) sporters. Ben je klein van stuk? Dan heb je geen schijn van kans. Aan de tot dusver genoemde mogelijkheden tot bepalen van de spronghoogte kleven een aantal bezwaren. Bij het aantikken met de vingers is de positie ten opzichte van het doel medebepalend voor de gemeten prestatie. Immers, wanneer iemand relatief ver van het doel opspringt, kan de arm niet maximaal worden geheven, omdat anders het doel niet wordt geraakt (figuur 5). In dat geval wordt dus een lagere sprong genoteerd dan (bij een in werkelijkheid even hoge) sprong dichter bij. bord ord (c.q. de Figuur 5. De horizontale afstand van de springer tot het b “Yardstick”) is van invloed op de gemeten spronghoogte. Beide springers (a en b) springen even hoog. De gemeten spronghoogte van b is echter hoger dan die van a.
Het meten via het meetlint heeft eveneens nadelen. Er is een zeer nauwkeurig, goedlopend geleidingssyteem voor het meetlint nodig: ongevoelig voor de op het lint uitgeoefende impuls en tegelijkertijd vrij van wrijving. Tevens kan er een belangrijke psychologische invloed uitgaan van het gevoel "vastgebonden" te zijn aan de bodem. Een meetmethode waarbij de genoemde nadelen geen rol spelen wordt gevonden in het bepalen van de hoogte van het lichaamszwaartepunt door het meten van de tijd dat iemand los is van de grond: de "zweeftijd". Dat is dus de tijd vanaf het moment van de afzet (net los van de grond) tot het moment van de landing (net weer contact met de onderlaag). Met behulp van de eerder besproken formules kan de hoogte die het lichaamszwaartepunt bereikt heeft vanaf het moment dat het lichaam los komt van de onderlaag eenvoudig en nauwkeurig worden berekend. Interessant hierbij is dat geen aanvullende informatie over de springende persoon nodig is. Voor het bepalen van de spronghoogte van iemand is het dus niet nodig bijvoorbeeld het lichaamsgewicht of de lichaamslengte te kennen. Evenmin is het nodig te weten waar het lichaamszwaartepunt van iemand is gesitueerd. Uitsluitend de tijd dat iemand in de lucht "zweeft" levert voldoende informatie. Als iemand verticaal omhoogspringt bezit deze op het moment van de afzet (dus op het moment van loskomen van de bodem) een zekere snelheid. Vanaf het moment dat de persoon los is van de grond werkt uitsluitend en alleen nog de zwaartekracht op het lichaam van de springer. Deze zorgt voor de eerder genoemde vertraging van de snelheid van de opstijgende springer en wel met ca.10 meter per seconde per seconde. Deze vertraging gaat door totdat de springer een snelheid nul heeft. Op dat moment is dus ook het hoogste punt van de sprong bereikt. Daarna versnelt de zwaartekracht het lichaam van de springer 2 naar beneden, eveneens met 10 m/s , totdat deze weer op de bodem is aangeland. De spronghoogte kan als volgt uit de gemeten zweeftijd worden afgeleid. Voor de stijgfase geldt:
V t = V 0 - gt 2
We kennen g (9.8 m/s ) en weten dat op het hoogste punt de snelheid nul is: Vt = 0. Invullen in bovenstaande formule levert op: 0 = V 0 - 9.8t ofwel V 0 = 9.8t De afgelegde weg (St) tot het hoogste punt wordt gegeven door:
St = V 0 t -
1 2 gt 2 2
Uit het vorige weten we: V0 = 9.8t en tevens geldt weer: g = 9.8 m/s . Invullen in de formule levert op:
1 2 2 S t = 9.8t.t - 9.8 t ofwel S t = 4.9 t 2 Het bepalen van de benodigde tijd voor de terugvalfase is eenvoudiger dan die voor de stijgfase. De afgelegde weg vanaf het hoogste punt tot dat de bodem weer is bereikt (St) wordt gegeven door:
St = V 0 t +
1 2 gt 2
Op het moment dat het lichaam aan zijn terugval begint, is de aanvangssnelheid (V0) gelijk aan 0. Tevens 2 geldt: g = 9.8 m/s . Invullen in de formule levert op:
1 2 2 S t = 0t + 9.8 t ofwel S t = 4.9 t 2 Hieruit blijkt dat de tijd voor het opstijgen precies even lang is als de tijd nodig voor het terugvallen. (Dat is ook logisch. Zowel tijdens stijgen als dalen werkt dezelfde aantrekkingkracht van de aarde en dus is de vertraging (=negatieve versnelling) tijdens het opstijgen even groot als de (positieve) versnelling tijdens het dalen).
We kunnen met behulp van een sprongmat (zie hieronder voor de werking hiervan) op relatief eenvoudige manier de tijd meten tussen het moment dat iemand de bodem verlaat tot het moment dat deze persoon weer landt. De gemeten tijd (T) bedraagt daarmee de stijgtijd (t) + de valtijd (t), ofwel:
T = 2t en dus:
t=
T 2
Invullen hiervan in: S t = 4.9 t
2
2
2
S t = 4.9 (
T ) → 2
4.9 T 4
levert:
→
1.225 T 2
In woorden:
Spronghoogte = 1.225 H Zweeftijd 2 Voorbeeld: Stel dat van iemand de gemeten tijd tussen afzet en landing een halve seconde bedraagt, dan is de spronghoogte dus: 2 1.225 H 0.5 = 31 cm (afgerond). Voor het meten van de zweeftijd kan gebruik gemaakt worden van twee systemen:
- video-opnamen; - sprongmat. Een dure (doch geavanceerde) oplossing is het gebruiken van een force-plate zoals bijvoorbeeld de (4) Quattro Jump van Kistler . We laten een bespreking hiervan verder achterwege.
Video-opnamen Een videocamera werkt met 25 beelden per seconde. Dat is niet erg veel en daardoor kan het gebeuren dat het precieze moment van de afzet en of van de landing tussen twee beeldjes in ligt. Er wordt dan een fout gemaakt van (maximaal) 2 beeldjes ofwel: 2 H 1/25 = 2 H 0.04 seconde = 0.08 seconden. In het slechtste geval meten we dus plus of min 2 beeldjes en dat heeft grote invloed op de gemeten spronghoogte. Een voorbeeld moge dit verduidelijken (figuur 6). Het precieze moment van afzet en landing van een proefpersoon is net niet op de video zichtbaar. Bij de afzet is op het ene beeld (a) de persoon nog duidelijk in contact met de onderlaag, in het volgende beeld (b) is deze al geheel los van de grond. De volgende 12 beelden (c) blijkt de proefpersoon in de lucht te hangen (alleen het frame waarop het hoogst punt wordt bereikt is weergegeven). Bij de landing doet zich hetzelfde probleem voor. Op het voorlaatste plaatje (d) hangt de persoon nog in de lucht, op het volgende (e) maakt hij al met een flink deel van de voet contact met de onderlaag. We kunnen in dit geval dus kiezen voor een sprongtijd van 12, 13 of 14 beelden. Dat levert berekende spronghoogten op van resp. (afgerond) 28, 33 en 38 cm op en dat is erg onnauwkeurig. (Bij gebruik van high-speed video met bijvoorbeeld 500 of 1000 beelden per seconde kan uiteraard veel nauwkeuriger gewerkt worden, doch dit is (nog) een dure oplossing).
Figuur 6. Verklaring in de tekst.
Sprongmat Aan de opleiding Bewegingstechnologie is een goedkoop te vervaardigen sprongmat ontwikkeld (K. Herrewijnen) met de daarbij behorende software (H. Faber). De specificaties, elektronische schakelingen en de bijbehorende software zijn te downloaden via de Versus-site: http://www.versus.nl. De meetopstelling wordt schematisch weergegeven in figuur 7.
Figuur 7. Schematische weergave van het meten van de spronghoogte door de bepaling van de zweeftijd. a. Tijdens de afzet is de schakelaar open. b. Tijdens de zweeffase is de schakelaar dicht en wordt de tijd geregistreerd. c. Op het moment van de landing gaat de schakelaar weer open en stopt de tijdregistratie. De computer berekent berekent daarna uit de gemeten tijd de spronghoogte. (1)
De mat is commercieel verkrijgbaar als "inbraakbeveiliging" . Door enige electronica te plaatsen tussen mat en computer werkt de opstelling als volgt. Zolang iemand op de mat staat is de schakelaar open. Wanneer de proefpersoon van de mat loskomt, sluit de schakelaar en wordt de klok van de computer aangezet. Zodra de proefpersoon weer landt, gaat de schakelaar weer open en wordt op dat moment de zweeftijd geregistreerd tussen afzet en landing. De spronghoogte kan dan, zoals in het voorgaande is afgeleid, bepaald worden volgens:
Spronghoogte = 1.225 H Zweeftijd 2
Als nadeel van de sprongmat wordt wel eens geopperd dat iemand "expres" tijdens het weer terugvallen nadat het hoogste punt is bereikt de knieën extra hoog op kan trekken. De geregistreerde tijd - en dus de spronghoogte - is dan hoger dan in werkelijkheid. In principe is dat juist. Echter, over het algemeen doet iemand dat maar e,'e,'n keer. De beschikbare remweg reduceert hierdoor namelijk zo veel dat men met een geweldige klap op de grond komt. Een veel eenvoudiger (en minder beschadigende) manier om het meetapparaat te foppen is het landen met de voeten aan weerszijden van de mat, even te wachten en vervolgens gauw op de mat gaan staan. Een aantal slimme HAVO-leerlingen had deze truc gauw door (en wij hen). Een geheel ander probleem is het volgende. Bij snel inveren wordt men even "gewichtloos". Men kan niet sneller omlaag bewegen dan de valsnelheid (veroorzaakt door de zwaartekracht van de aarde) tenzij de voeten aan de vloer zijn vastgemaakt. Indien men zich bij het inveren werkelijk vrijwel omlaag laat vallen,
oefent men even geen kracht uit op de onderlaag en sluit de schakelaar even. De mat "denkt" dan dat er al een afzet is geweest. De daaropvolgende (werkelijke) afzet, wordt dan door de mat "gezien" als de landing en er zou een onjuiste (zeer kleine) spronghoogte worden geregistreerd. Om dit problem op te lossen is er enige software geschreven (J. Herrewijnen) die detecteert of er sprake is van een reële sprong of van snel inveren. U kunt dit verminderen van de door het lichaam uitgeoefende kracht op de onderlaag gemakkelijk waarnemen op een weegschaal. Tijdens snel door de kniee,"n zakken wijst de weegschaal een veel lagere waarde aan dan het lichaamsgewicht. Tijdens het afzetten vanaf de weegschaal voor een sprong, registreert de weegschaal een veel hogere waarde dan het lichaamsgewicht.
Spronghoogte onderzoek In het kader van de "Wetenschaps- en Techniekweek" (october 2000) bezocht een groot aantal HAVOleerlingen de opleiding Bewegingstechnologie (Haagse Hogeschool). Een onderdeel van het aangeboden programma bestond uit het bepalen van de verticale spronghoogte door het meten van de zweeftijd met behulp van bovenbeschreven sprongmat. Iedere leerling voerde achter elkaar drie sprongen uit. De drie spronghoogten en het gemiddelde daarvan werden in de computer opgeslagen Daarna werden de volgende gegevens gevraagd c.q. gemeten: leeftijd, lichaamslengte en lichaamsgewicht en eveneens opgeslagen in een database. De deelnemers aan het onderzoek waren als volgt verdeeld naar leeftijd en geslacht (tabel 1). Man
Vrouw
Totaal
14 jaar
94
94
188
15 jaar
45
26
71
Totaal
139
120
259
Tabel 1. Aantallen proefpersonen naar leeftijd en geslacht.
Hierna worden steeds de mannen van 14 en 15 jaar en de vrouwen van 14 en 15 jaar ieder bij elkaar genomen als één groep.
Gemiddelde
Man
Lengte (cm)
175.1
170.0
7.5
6.3
Gewicht (kg)
61.4
56.6
Standaard deviatie (G)
11.1
6.7
Standaard deviatie (L)
Vrouw
Tabel 2: Lengte en gewicht.
Man
Vrouw
34
26
6.2
4.8
Laagste sprong (cm)
15
15
Hoogste sprong (cm)
50
39
Gemiddelde spronghoogte (cm) Standaard deviatie spronghoogte
Tabel 3: Spronghoogten.
Enkele conclusies zijn: 1.Mannen springen zo'n 30% hoger dan vrouwen.
2.Bij mannen springt 68% van de groep tussen de 28 cm en 40 cm hoog (het gemiddelde plus c.q. min één maal de standaarddeviatie). 3.Bij vrouwen springt 68% van de groep tussen de 21 cm en 31 cm hoog (het gemiddelde plus c.q. min één maal de standaarddeviatie). Interessant is het na te gaan of er enig verband bestaat tussen lichaamsgewicht en spronghoogte en/of tussen lichaamslengte en spronghoogte. Een maat voor een dergelijk verband is de correlatie-coëfficiënt (Pearson). Een correlatie van +1 betekent dat er een volledig verband bestaat tussen twee waarnemingen (metingen): als het ene verschijnsel optreedt, treedt het andere ook altijd op. Een waarde 0 betekent dat er geen enkel verband bestaat tussen twee verschijnselen. Een correlatie-coëfficiënt met een waarde -1 betekent dat er een omgekeerd verband bestaat: als het ene verschijnsel optreedt, treedt het andere nooit op. INTERMEZZO Let wel: een correlatie van +1 betekent niet per definitie dat er een oorzakelijk verband bestaat tussen twee waarne(2) mingen . Altijd bestaat de mogelijkheid dat er sprake is van een zogenaamde (onbekende) interveniërende variabele. Het feit dat wanneer de benzinemeter van de auto op nul staat, de motor afslaat, betekent niet dat er sprake is van een rechtstreekse oorzaak-gevolg relatie tussen de positie van de naald van de benzine meter en het al of niet lopen van de motor. Het leegraken van de tank (de intervenie,"rende variabele) veroorzaakt immers beide fenomenen. Daarom heeft het ook weinig zin om met de hand de naald van de bezinemeter weer op "full" te zetten: de tank zal er niet van volstromen; de motor zal er niet door aanslaan. Hetzelfde speelt ook binnen de pathologie. Als er een correlatie, een "verband" wordt gevonden tussen bijvoorbeeld roken en hart- en vaatziekten, wil dat op zichzelf nog niet zeggen dat er sprake is van een oorzakelijk verband. Stel dat er (over enige tijd) een gen in het DNA wordt gevonden dat twee gevolgen heeft voor degenen die zo'n gen bezitten: a. een grote vatbaarheid voor verslaving aan roken; b. een grote vatbaarheid voor cholesterolophoping in de vaatwand. In zo'n geval zou het opvolgen van het advies "stoppen met roken" net zoveel effect hebben als hierboven bij het voorbeeld van de benzinemeter het geval is. Een ander voorbeeld van een (onbekende) interveniërende variabele, wordt gevonden in de volgende anecdote. Iemand drinkt op een avond 6 grote glazen rum-cola en moet dat de andere morgen bekopen met een geweldige kater. Diezelfde avond neemt hij daarom 6 grote glazen cola-cognac, met hetzelfde resultaat. De derde avond besluit hij de serie met 6 glazen cola-tic (jenever) met opnieuw een uiterst onplezierige dag tot gevolg. Zijn conclusie? Nooit meer cola (de enige constante factor), want daar krijg je hoofdpijn van.
De Pearson correlatiecoëfficiënten voor spronghoogte en gewicht en spronghoogte en lengte worden gegeven in tabel 4. Correlatiecoëfficiënten
Man
Vrouw
Spronghoogte en Gewicht
0.0
0.0
Spronghoogte en Lengte
0.1
0.3
Tabel 4: Verband tussen spronghoogte en lichaamsgewicht c.q. -lengte (p<0.05).
Er bestaat dus geen enkel verband tussen spronghoogte en lichaamsgewicht, noch bij mannen, noch bij vrouwen. Tussen spronghoogte en lichaamslengte bestaat bij mannen eveneens géén en bij vrouwen slechts een (licht) verband. (De correlatie van 0.3 bij vrouwen is statistisch net significant). Er lijken (tenminste) twee factoren een rol te spelen bij de oplossing van de vraag waarom er geen (of slechts zeer weinig) verband bestaat tussen spronghoogte en lichaamsgewicht c.q. lichaamslengte? Deze twee factoren zijn: 1. alle voorwerpen vallen even snel; (6) 2. schalingswetten . We zullen deze beide factoren in de volgende twee hoofdstukken bespreken.
Alle voorwerpen vallen even snel Als sinds de dagen van Gallilei (1564-1642) weten wij dat (als we de luchtweerstand verwaarlozen) alle (5) voorwerpen even snel vallen . (In onze dagen is dit nog eens aangetoond door astronaut D.Scott die op (3) de maan demonstreerde dat in het luchtledige een veer en een hamer even snel vallen . Hoe is dit in te zien? In feite ligt de oplossing besloten in de 2e wet van Newton (1642-1727): F = m.a (Hierin staat F voor kracht, m voor massa en a voor de versnelling). Het begrip massa is hierin het lastigst. Massa is de hoeveelheid materie waaruit een voorwerp bestaat, maar het is tevens een maat voor de weerstand tegen een verandering van de bestaande bewegingssnelheid, die een voorwerp levert, indien geprobeerd wordt de bestaande bewegingssnelheid groter of kleiner te maken. Merkwaardigerwijze kost het dus evenveel kracht om op de aarde een loden bal van 100 kg over een horizontale wrijvingsloze onderlaag weg te duwen, als de hoeveelheid kracht die het zou kosten eenzelfde bal die gewichtloos in een ruimteschip zweeft even snel te verplaatsen. Deze weerstand tegen verandering van de bestaande snelheid heet "inertie" of "traagheid". Wij merken op aarde de invloed van de massa aan het gewicht van een voorwerp. Dat massa's een gewicht hebben, komt alleen doordat de aarde er aan trekt. Essentieel hierbij is dat de aarde aan voorwerpen met een grote massa harder trekt dan aan voorwerpen met een kleine massa. Dat is immers precies wat de eerder besproken universele gravitatiewet zegt:
F=G
m1 m 2 2 r
In figuur 8 worden twee bolvormige massa's (een rubber bal en een massieve bowlingbal) getoond van resp. 1 en 10 kg. Het begrip kg is verwarrend. De officiële betekenis ervan is: de hoeveelheid massa, materie van een voorwerp. In het spraakgebruik wordt het (op aarde) echter ook gebruikt als een maat voor het "gewicht" van een voorwerp en zelfs wel als maat voor de grootte van een uitgeoefende kracht. Dat komt vaak weliswaar ten goede aan het voorstellingsvermogen, doch is formeel onjuist. Op de maan is het lichaamsgewicht van een astronaut veel lager dan op aarde, doch zijn massa is in beide gevallen precies even groot. Gewichten en krachten dienen te worden uitgedrukt in Newtons. Omdat 2 de versnelling van de zwaartekracht van de aarde ongeveer 10 m/s bedraagt, komt 1 kg dus overeen met een kracht van 10 N.
Figuur 8. De bowlingbal (M2) is tien keer zo zwaar dan de rubber bal (M1). Toch bereiken beide ballen (als de luchtweerstand wordt verwaarloosd) verwaarloosd) tegelijkertijd de aarde.
De afstand van het zwaartepunt van beide bollen tot het zwaartepunt van de aarde is even groot. De constante G is in beide gevallen gelijk (daarom is het een constante). De kracht tussen de aarde (m0) en een bol met een massa van 1 kg bedraagt dan:
F=
Gx m0 r
2
x1
en tussen de aarde (m0) en een bol met een massa van 10 kg:
F=
Gx m0
x10 2 r en dus is de kracht die de aarde uitoefent op de bol van 10 kg tien keer zo groot dan die op de bol van 1 kg. Hoe groot de versnelling is van beide bollen (en dus de valsnelheid op elk moment) wordt bepaald door de grootte van de, deze versnelling veroorzakende, kracht op de bollen en door de weerstand die de bollen leveren tegen deze versnelling: de inertie. De mate van inertie wordt, zoals gezegd, bepaald door de grootte van de massa's. In het algemeen geldt dus dat de versnelling recht evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa:
a=
F m
Aangezien bij de bol van 10 kg zowel de erop uitgeoefende kracht als de massa beide tien keer zo groot zijn dan bij de bol van 1 kg is de versnelling a in beide gevallen even groot. Immers bij een bol van1 kg geldt:
a=
9.8 = 9.8m/ s 2 1
en bij een bol van 10 kg geldt:
a=
98 = 9.8m/ s 2 10
Alle voorwerpen vallen even snel (bij verwaarloosde luchtweerstand). Dit betekent echter eveneens dat de zwaartekracht alle voorwerpen die zich van het aardoppervlak af bewegen ook evenveel vertraagt. Een persoon van 50 kg wordt bij het omhoogspringen dus precies evenveel afgeremd door de aantrekkingskracht als een persoon van 90 kg. De spronghoogte wordt daarmee uitsluitend bepaald door de snelheid waarmee iemand van de grond loskomt. Dit maakt het, tenminste voor een deel, begrijpelijk dat lichaamsgewicht op zich geen rol speelt bij de spronghoogte. Schalingswetten We vergelijken twee springers, waarvan de één twee keer zo groot is als de ander (figuur 9). Alle lichaamsverhoudingen van deze twee springers zijn gelijk. De springers zijn dus volkomen gelijkvormig. Alle "lengten", "breedten" en "dikten" van de grote springer zijn twee keer zo groot als die van de kleine: beenlengte, armlengte, diameter van been en arm, lengte van de romp, breedte van de romp, "dikte" van 1 de romp etc. Alle lengten (L) schalen dus linair met L ("L tot de eerste macht").
Figuur 9. Springer a is precies twee keer zo groot als springer b. Alle verhou verhouhoudingen dingen zijn gelijk: beide springers zijn dus geheel geheel gelijkvormig.
Deze "lineaire" schaling geldt echter in het geheel niet wanneer we bijvoorbeeld het oppervlak van een dwarsdoorsnede door het bovenbeen of bijvoorbeeld het volume (c.q. de massa) van de romp van beide springers met elkaar vergelijken. Die verschillen zeker niet slechts een factor twee. Dat valt met behulp van het volgende in te zien. In figuur 10 worden twee rechthoeken getoond. De zijden van rechthoek b zijn twee keer zo groot als die van rechthoek a. Het oppervlak van rechthoek b is hierdoor echter niet twee keer, maar vier keer zo groot als die van rechthoek a (immers: oppervlak is lengte H breedte). Oppervlakten (rechthoeken, vierkanten, 2 cirkels enz.) schalen dus met het kwadraat van de lengten: L . 2
(Als rechthoek b 1.5 keer zo groot is als rechthoek a dan is het oppervlak van b 1.5 = 2.25 keer zo groot, enz).
Figuur 10. Oppervlakken schalen met het kwadraat van de lengte. De zijden (a en b) van de grote rechthoek zijn twee keer zo lang als die van de kleine, doch het het oppervlak (O) van de grote rechthoek is vier keer zo groot.
Dit is van groot belang wanneer bijvoorbeeld spieren worden vergeleken. De maximale kracht van een spier hangt, zoals bekend, af van diens "fysiologische doorsnede"; dat is het gezamenlijke oppervlak van de dwarsdoorsneden van alle spiervezels. Als we twee (parallevezelige) spieren vergelijken waarvan de één twee keer zo groot is als de ander, dan kan de twee keer zo grote spier, gezien het voorgaande, vier keer zoveel kracht leveren. Om twee keer zoveel kracht te leveren behoeft een spier door dit "kwadraateffect" dus "slechts" tot 140% (p2 H 100%) te hypertrofiëren en niet tot 200% (figuur 11).
Figuur 11. maximale imale kracht van spier b is Spier b is twee keer zo groot als spier a. De fysiologische doorsnede en dus de max echter vier keer zo groot als die van spier a. Spier c is slechts 40% groter dan spier a, doch daardoor twee keer zo sterk.
Het volume (de massa) van twee lichamen van verschillende grootte schaalt zelfs met de derde macht van 3 de lengte: L . De zijden van de grote kubus in figuur 12 zijn twee keer zo lang als die van de kleine. Het volume van de grote kubus is dan (lengte H breedte H diepte) acht keer zo groot als dat van de kleine kubus.
Figuur 12. Volume (massa) schaalt met de lengte tot de derde macht. De zijden (a,b en c) van de grote kubus zijn twee keer zo lang als die van de kleine, doch het volume (V) van de grote kubus is acht keer zo groot.
De snelheid waarmee iemand los komt van de grond moet worden bereikt door het lichaam tijdens de afzet te versnellen. Het traject waarover het lichaam versneld kan worden, schaalt, bij een gelijke mate van invering in heupen, kniee,"n en enkels, lineair met de lichaamslengten. Een half zo kleine springer heeft dus ook maar de helft van het afzettraject ter beschikking vergeleken met een twee maal zo groot iemand (figuur 13).
Figuur 13. Springer b is half zo groot als springer a en heeft daardaardoor maar de helft van het versnellingstraject (S) tot tot zijn beschikking.
Om even hoog te springen moeten beide echter, zoals eerder gezegd, precies dezelfde afzetsnelheid halen. Dit is hetzelfde principe als de lengte voor een aanloop die iemand ter beschikking heeft om over een sloot van twee meter breed te springen. Als de aanloop lang genoeg kan zijn, is er daardoor
voldoende tijd ter beschikking om zodanig te versnellen dat de vereiste afzetsnelheid voor de sprong bereikt wordt en landt de springer veilig aan de overzijde. Wanneer er echter maar een aanloop-afstand ter beschikking staat van een paar passen, dan houdt de springer het niet droog. Om dit nogmaals te verduidelijken beschouwen we de onderliggende mechanische principes met behulp van het omhoog gooien van een bal. De snelheid aan het begin van de werpbeweging is nul: V0 = 0 Combinatie van de eerder genoemde formules:
1 2 V t = at en S t = V 0 t + at 2
levert op:
t=2
St Vt
Stel dat iemand een bal omhoog wil gooien zoals aangegeven in figuur 14a. Het traject waarover de bal kan worden versneld, bedraagt hier (bijvoorbeeld ) een meter. Als deze persoon de bal vijf meter omhoog wil gooien, is een eindsnelheid (Vt) nodig van 10 m/s (36 km/uur). De beschikbare tijd (t) om over de afgelegde weg (St) de gewenste eindsnelheid (Vt) te bereiken bedraagt dan:
t=2
1 St _t = 2 = 0.2s 10 Vt
Er is hiervoor een (gemiddelde) versnelling nodig van: .
10 = 50m/ s 2 0.2
Wanneer iemand de arm al in een gebogen positie houdt (figuur 14b), is de weg waarover de bal versneld kan worden kleiner. Stel dat nu maar een halve meter ter beschikking staat (de helft van het vorige traject). Als de werper de bal toch even hoog op wil gooien (vijf meter), is de beschikbare tijd om (opnieuw) de hiervoor noodzakelijke eindsnelheid van 10 m/s te behalen slechts de helft van de vorige tijd beschikbaar, dus 0.1 sec. De versnelling moet dan eveneens dubbel zo groot zijn:
10 = 100m/ s 2 0.1
Figuur 14. F = kracht. S = versnellingstraject. a = versnelling. V = snelheid op het moment van loskomen. Verdere verklaring verklaring in de tekst.
Voor het versnellen van een voorwerp (een "massa") is kracht nodig. Dit wordt beschreven met de eerder genoemde wet van Newton: F = m.a.
Voor de hier besproken voorbeelden betekent dit dus dat de benodigde kracht om de bal vijf meter hoog te gooien in het tweede geval (het versnellingstraject is gehalveerd) twee keer zo groot moet zijn. Als we een bowlingbal omhoog werpen en deze bereikt op het moment dat we hem loslaten dezelfde snelheid als wanneer we een tennisballetje omhoog gooien, zullen beide ballen even hoog komen. Zelfs indien de versnellingtrajecten in beide gevallen gelijk zijn (figuur 15), kost het de werper veel meer kracht om de bowlingbal dezelfde ("afzet")snelheid te geven als de tennis bal. Ook dit is rechtstreeks in te zien met behulp van F = m.a. De vereiste versnellingen zijn gelijk, doch de massa van de bowlingbal is (veel) groter dan die van de tennisbal.
Figuur 15. F = kracht. S = versnellingstraject. a = versnelling. V = snelheid op het moment moment van loskomen. Verdere verklaring in de tekst.
We vergelijken nu de volgende situaties met elkaar. Iemand wil een bowlingbal en een tennisbal even hoog gooien. Voor het omhoog gooien van de tennisbal is echter een kleiner versnellingstraject beschikbaar dan voor de bowlingbal (figuur 16).
Figuur 16. F = kracht. S = versnellings traject a = versnelling. V = snelheid op het moment van loskomen. loskomen. Verdere verklaring verklaring in de tekst.
Wat kost nu de meeste kracht? Intuïtief voelen we wel aan dat wanneer er een bepaalde verhouding bestaat tussen het verschil in massa en het verschil in versnellingstraject, het denkbaar zou zijn dat er geen verschil meer bestaat tussen beide situaties. Beide kosten dan even veel kracht. In dit geval blijkt de intuïtie (voor de verandering) juist te zijn. Wanneer het versnellingstraject voor de tennisbal slechts een tiende zou zijn van dat voor de bowlingbal, doch de tennisbal heeft ook maar eentiende van de massa van de bowlingbal, is de benodigde kracht in beide gevallen hetzelfde. Precies hetzelfde principe als hiervoor beschreven geldt bij het vergelijken van gelijkvormige springers van verschillende grootten. De springer in figuur 17b is (opnieuw) half zo groot als die in figuur 17a. Het beschikbare afzettraject is daarmee eveneens half zo groot. De versnelling zal dan ook twee keer zo groot moeten zijn. De massa die versneld moet worden is van de kleine springer echter maar eenachtste van die van de grote. De kracht die de kleine springer nodig heeft is (volgens F = m.a) daarmee: eenachtste maal twee is eenvierde van die van de grote. De maximale spierkracht van de kleine springer is, zoals we gezien hebben, inderdaad eenvierde van die van de grote (kracht schaalt immers met oppervlak) en dus springt de kleine springer precies even hoog als de grote.
De spronghoogte is niet afhankelijk van lichaamslengte en gewicht, als alle andere omstandigheden hetzelfde zijn.
Figuur 17. doorsnede rsnede (oppervlakte) van de musculatuur. Verdere M = massa. S = versnellingstraject. O = fysiologische doo verklaring in de tekst.
Discussie Om uit te maken wat de invloed van een eigenschap (bijvoorbeeld lichaamsgewicht, of lichaamslengte) is op een prestatie - in dit artikel de spronghoogte - moeten we twee springers vergelijken die slechts in deze twee aspecten verschillen. Alle andere eigenschappen van deze mensen moeten gelijk zijn, anders is niet uit te maken wat de invloed is van de twee onderzochte parameters. De springers moeten beide volledig overeenstemmen in: coördinatieve vermogens; spring-ervaring (sport); trainings-uren; eet-/drink-/rook- en slaapgewoonten; dagelijkse werkzaamheden; prestatiedrang; verdeling van rode en witte spiervezels; lichaamsverhoudingen, enz.
Het zal duidelijk zijn dat zelfs ééneiige tweelingen niet in al deze (en nog talloze andere) eigenschappen volledig overeenstemmen. Maar dat hoeft ook niet. Om dit soort problemen op te lossen heeft de mensheid het krachtigste gereedschap uitgevonden dat er in de wereld te vinden is: het model. We hebben er in dit artikel dankbaar gebruik van gemaakt. De werkelijkheid gedraagt zich uiteraard niet geheel volgens geïdealiseerde modelparameters, maar ook zeker niet volstrekt anders. Stel nu dat we in het bovenbeschreven onderzoek, geheel in tegenstelling tot de verwachte en ook gevonden correlaties van ongeveer nul, toch een sterk verband hadden gevonden tussen bijvoorbeeld lichaamsgewicht en spronghoogte. Zou de natuurkunde dan "fout" zijn? Nee, "natuur"lijk niet. Als de feiten niet in overeenstemming zijn met een doorwrochte, gevalideerde algemene theorie, c.q. modelvorming, dan is dat jammer voor de feiten. Mocht zich zoiets voordoen dan verdient het aanbeveling te zoeken naar fouten in de wijze waarop de meting is uitgevoerd en/of naar interveniërende variabelen. In het hierboven gevonden onderzoek vonden we, geheel in overeenstemming met de verwachting (de voorspelling) geen enkel verband tussen lichaamsgewicht en spronghoogte. Hetzelfde gold voor de jongens voor de correlatie tussen lichaamslengte en spronghoogte: deze bedroeg eveneens 0. Alleen bij de meisjes (met name van 14 jaar zoals een nadere analyse van de data leerde) blijkt er een (heel licht) verband te bestaan tussen lichaamslengte en spronghoogte. Uit observaties tijdens het verrichten van de metingen menen wij te kunnen concluderen dat de motivatie (of beter: het gebrek daaraan) bij de meisjes een belangrijke intervenie,"rende variabele zou kunnen zijn. Omdat we niet een "motivatiemeting" hebben gedaan, blijft dit echter slechts een hypothese.
LITERATUUR 1.
Conrad Electronics. 1758--44, Alarmkontakt deurmat: afmeting: 730x380x2mm, bestelnr.: 75 1758 prijs Fl. 29.95.
2.
Elkhuizen J. Spurieuze correlaties. Versus, tijdschrift voor Fysiotherapie, (1994), (1994), no.6, pp.290 - 300.
3.
Hewitt P. Conceptual Physics. AddisonAddison-Wesley (1998) ISBN:0ISBN:0-321321-00970097-1
4.
Kistler Biomechanics. http://www.kistler.com/biomech/f_biomech_products_9290_text.htm
5.
Kort N. de Klassieke Mechanica. Stichting Teleac. Cambride University University Press (1989).
6.
Pennycuick C. Newton rules biology. Oxford University Press (1992).
7.
Swift Performance. http://www.spe.com.au/yardstic.htm
