Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách

Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta

Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách Jan Peřina ml.

Olomouc 2012

Oponenti: RNDr. Antonín Lukš, CSc. Mgr. Libor Nožka, Ph.D.

Publikace byla připravena v rámci projektu Investice do rozvoje vzdělávání Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

1. vydání © Jan Peřina ml., 2012 © Univerzita Palackého v Olomouci, 2012 Neoprávněné užití tohoto díla je porušením autorských práv a může zakládat občanskoprávní, správněprávní, popř. trestněprávní odpovědnost. ISBN 978-80-244-3117-8 NEPRODEJNÉ

Uˇ cebn´ı text

Vzdˇ el´ av´ an´ı v´ yzkumn´ ych pracovn´ık˚ u v Region´ aln´ım centru pokroˇ cil´ ych technologi´ı a materi´ al˚ u. CZ.1.07/2.3.00/09.0042

Projekt je spolufinancován Evropským sociáln´ım fondem a státn´ım ˇ e republiky. rozpoˇctem Cesk´

Abstrakt Práce je vˇenována spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverzi prob´ıhaj´ıc´ı v nelineárn´ıch vrstevnat´ ych strukturách. Je prezentován prostorov´ y vektorov´ y model zaloˇzen´ y na rozvoji interaguj´ıc´ıch vektorov´ ych pol´ı do rovinn´ ych monochromatick´ ych vln. Spektráln´ı dvoufotonová amplituda definovaná pro frekvence a smˇery ˇs´ıˇren´ı signálového a jalového fotonu slouˇz´ı k urˇcen´ı pˇr´ıˇcn´ ych profil˚ u emitovan´ ych pol´ı a také korelovan´ ych ploch. Jak intenzitn´ı profily, tak i korelované plochy silnˇe závis´ı na pozic´ıch transmisn´ıch vrchol˚ u vytvoˇren´ ych ve studovan´ ych strukturách s fotonick´ ymi pásy. Je navrˇzena metoda pro geometrickou optimalizaci vrstevnat´ ych struktur s ohledem na u ´ˇcinnost nelineárn´ıho procesu. Je také analyzováno nˇekolik struktur vyroben´ ych z GaN/AlN liˇs´ıc´ıch se sv´ ymi vlastnostmi. Tyto struktury jsou schopné generovat fotonové páry ve v´ıce smˇerech. Poˇcty emitovan´ ych pár˚ u rostou u tˇechto struktur rychleji neˇz s druhou mocninou poˇctu vrstev. Vybrané struktury také umoˇzn ˇuj´ı generovat fotonové páry vykazuj´ıc´ı antishlukován´ı a chovaj´ıc´ı se jako fermiony na dˇeliˇci optického svazku. U tˇechto struktur se objevuje rozˇstˇepen´ı korelovan´ ych ploch vznikaj´ıc´ı ze tˇr´ı rozd´ıln´ ych d˚ uvod˚ u. Prvn´ım d˚ uvodem je klikat´ y“ pohyb foton˚ u emitovan´ ych uvnitˇr ” struktury. Nutnost zachovat prostorovou symetrii u emitovan´ ych pol´ı pˇredstavuje dalˇs´ı d˚ uvod. Polarizaˇcnˇe závislé materiálové vlastnosti mohou b´ yt posledn´ı pˇr´ıˇcinou ˇstˇepen´ı korelované plochy. Toto ˇstˇepen´ı je také nezˇr´ıdka doprovázeno rozˇstˇepen´ım spekter signálového a jalového pole. Zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem jsou struktury tvoˇrené vrstvami s náhodnˇe zvolen´ ymi délkami. U tˇechto struktur docház´ı za vhodn´ ych podm´ınek k optické analogii Andersonovy lokalizace, která umoˇzn ˇuje generovat fotonové páry s mimoˇrádnˇe u ´zk´ ymi spektry. Tyto dvoufotonové stavy nav´ıc nevykazuj´ı kvantovou provázanost ve frekvenc´ıch a jsou tedy vhodné ke kvantovému zpracován´ı informace. Fotonové páry jsou také generovány ve zv´ yˇsené m´ıˇre na rozhran´ıch nelinearit d´ıky procesu povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze. Tento proces je popsán s vyuˇzit´ım zobecnˇen´ ych dvoufotonov´ ych amplitud. U vrstevnat´ ych struktur m˚ uˇze proces generovat fotonové páry v poˇctech srovnateln´ ych s poˇcty pár˚ u emitovan´ ych objemovou nelinearitou.

Obsah ´ 1 Uvod

7

2 Prostorov´ y kvantov´ y model spont´ ann´ı sestupn´ e frekvenˇ cn´ı konverze 12 3 Veliˇ ciny charakterizuj´ıc´ı fotonov´ y p´ ar

21

4 Metoda n´ avrhu u ´ˇ cinn´ e vrstevnat´ e struktury

27

5 Intenzitn´ı profily v pˇ r´ıˇ cn´ e rovinˇ e 5.1 Struktura s 11 vrstvami . . . . 5.2 Struktura s 51 vrstvami . . . . 5.3 Struktura se 101 vrstvou . . . .

31 32 35 36

a korelovan´ e plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Intenzitn´ı spektra a ˇ casov´ e charakteristiky

39

7 Fotonov´ e p´ ary antisymetrick´ e pˇ ri z´ amˇ enˇ e sign´ alov´ e a jalov´ e frekvence — antishlukov´ an´ı foton˚ u 49 8 N´ ahodn´ e vrstevnat´ e struktury

54

9 Povrchov´ a spont´ ann´ı sestupn´ a frekvenˇ cn´ı konverze 9.1 Operátor hybnosti a spojitost pol´ı na rozhran´ıch nelineárn´ıho krystalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Nelineárn´ı vrstevnaté struktury . . . . . . . . . . . . . 9.3 Veliˇciny charakterizuj´ıc´ı fotonov´ y pár . . . . . . . . . . 9.4 Vlastnosti povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

10 Z´ avˇ er

83

Reference

85

64 75 77 79

Jan Peˇrina ml.: Spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze

1

7

´ Uvod

Jiˇz v´ıce neˇz tˇricet let uplynulo od doby, kdy byly poprvé pozorovány ˇcasové korelace mezi signálov´ ym a jalov´ ym fotonem vznikaj´ıc´ımi v procesu spontánn´ı sestupné parametrické frekvenˇcn´ı konverze [1]. Tyto korelace maj´ı sv˚ uj p˚ uvod v kvantové provázanosti obou foton˚ u popsan´ ych spoleˇcn´ ym kvantov´ ym stavem a generovan´ ych spoleˇcnˇe v jedné kvantové události nelineárn´ıho procesu [2]. Následn´ y v´ yzkum vedl k hlubˇs´ımu pochopen´ı vlastnost´ı tˇechto fotonov´ ych pár˚ u. Po dlouho dobu byla pozornost vˇenována zejména kvantové provázanosti polarizaˇcn´ıch stav˚ u signálového a jalového fotonu maj´ıc´ı sv˚ uj p˚ uvod v tenzorovém charakteru nelineárn´ı interakce. D˚ uvodem byla relativn´ı jednoduchost tˇechto stav˚ u, které jsou v kvantové mechanice popsány v Hilbertov´ ych prostorech dimenze 2 × 2. Tyto stavy je také moˇzné jednoduˇse z´ıskat v laboratoˇri. Pˇrestoˇze maj´ı tyto stavy jednoduchou strukturu, umoˇznily experimentálnˇe ovˇeˇrit mnohé zásadn´ı rysy kvantové fyziky souvisej´ıc´ı s korelacemi mezi kvantov´ ymi podsystémy [3]. Jedná se napˇr. o poruˇsen´ı Bellov´ ych nerovnost´ı platn´ ych pro neoklasické teorie fyziky [4], demonstraci jevu kolapsu vlnové funkce [4] a ukázku teleportace kvantového stavu [5]. Protoˇze jsou oba fotony emitovány okamˇzitˇe po zániku ˇcerpac´ıho fotonu, nacházej´ı se vzájemnˇe ve velmi krátkém ˇcasovém intervalu [1]. Monochromatické sloˇzky signálového a jalového pole jsou kvantovˇe provázány v d˚ usledku platnosti zákona zachován´ı energie [2]. Spektráln´ı provázanost pak vede k tomu, ˇze oba fotony mohou b´ yt detekovány pouze ve velmi krátkém ˇcasovém oknˇe. Tuto ˇcasovou korelaci je moˇzné pozorovat bud’ pˇri mˇeˇren´ı v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru [1] nebo pomoc´ı mˇeˇren´ı v´ ysledného pole v procesu skládán´ı frekvenc´ı ˇ signálového a jalového fotonu [6, 7]. Casov´ e korelace byly pozorovány zejména pˇri generaci pomoc´ı pulzn´ıch ˇcerpac´ıch pol´ı [8, 9], které umoˇzn ˇuj´ı pˇresnou synchronizaci foton˚ u patˇr´ıc´ıch k r˚ uzn´ ym fotonov´ ym pár˚ um. Prostorové vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u byly podrobeny anal´ yze jako posledn´ı. Korelace foton˚ u v pˇr´ıˇcn´ ych rovinách optick´ ych svazk˚ u jsou spojeny s geometri´ı zdroje fotonov´ ych pár˚ u a pˇr´ıˇcn´ ym profilem ˇcerpac´ıho svazku. Prostorové korelace vznikaj´ı v d˚ usledku potˇreby prostorové fázové synchronizace interaguj´ıc´ıch optick´ ych pol´ı pro efektivn´ı nelineárn´ı interakci [2]. Napˇr. pro homogenn´ı nelineárn´ı krystal a kolimo-

8

´ Uvod

van´ y ˇcerpac´ı svazek plat´ı, ˇze souˇcet vlnov´ ych vektor˚ u signálového a jalového svazku mus´ı b´ yt zhruba roven vlnovému vektoru ˇcerpac´ıho svazku, aby doˇslo k u ´ˇcinné generaci fotonov´ ych pár˚ u. To vede k silné korelaci v emisn´ıch smˇerech signálového a jalového svazku [10—12]. Tyto korelace jsou natolik silné, ˇze mohou b´ yt vyuˇzity pro pˇrenesen´ı prostorov´ ych vlastnost´ı ˇcerpac´ıho svazku do prostorov´ ych korelac´ı signálového a jalového svazku [13, 14]. Zde existuje analogie mezi prostorov´ ymi a spektráln´ımi korelacemi foton˚ u v páru. Podobnˇe jako jsou spektráln´ı korelace ovlivnˇeny spektrem ˇcerpac´ıho svazku, jsou prostorové korelace modifikovány prostorov´ ym profilem ˇcerpac´ıho svazku. Nejen intenzitn´ı profily, ale i fázové zmˇeny signálového a jalového svazku v pˇr´ıˇcné rovinˇe jsou d˚ uleˇzit´ ymi parametry tˇechto pol´ı. Tyto vlastnosti mohou b´ yt kvantifikovány pomoc´ı vlastn´ıch stav˚ u operátoru orbitáln´ıho u ´hlového momentu [15]. Dokonce byla pozorována kvantová provázanost signálového a jalového pole v tˇechto stavech za urˇcit´ ych podm´ınek [16, 17]. K experimentáln´ımu pozorován´ı prostorov´ ych stav˚ u se ˇcasto vyuˇz´ıvá optického vlákna navázaného na detektor rozliˇsuj´ıc´ı jednotlivé fotony a systematicky se pohybuj´ıc´ıho v pˇr´ıˇcné rovinˇe [18]. Vyuˇzit´ı intenzifikované CCD kamery pˇri urˇcován´ı prostorov´ ych korelac´ı pˇredstavuje elegantnˇejˇs´ı ˇreˇsen´ı [19, 20]. Prostorové korelace foton˚ u v páru byly mnohokráte vyuˇzity pro demonstraci kvantového zobrazován´ı [21]. Vˇetˇsinou se prostorové korelace vyuˇz´ıvaj´ı v reˇzimu spontánn´ı emise fotonov´ ych pár˚ u, ovˇsem i fotonové páry vznikaj´ıc´ı stimulovanou emis´ı obsahuj´ı tyto korelace a tud´ıˇz mohou b´ yt analogicky vyuˇzity [22—24]. Kvantová provázanost v r˚ uzn´ ych formách se vyuˇz´ıvá jak v základn´ıch fyzikáln´ıch experimentech, tak i v r˚ uzn´ ych aplikac´ıch zahrnuj´ıc´ıch metrologii [25], kvantovou kryptografii [26] a zpracován´ı kvantové informace [3]. Vˇsechny formy kvantové provázanosti se mohou vyskytovat najednou v pˇr´ıpadˇe vhodného zdroje fotonov´ ych pár˚ u. Obvykle ale zdroj fotonov´ ych pár˚ u vytváˇr´ı kvantovou provázanost jen v jednom nebo dvou stupn´ıch volnosti (napˇr. polarizaci a frekvenci). Schopnost generovat fotonové páry kvantovˇe provázané v co nejvˇetˇs´ım poˇctu ortogonáln´ıch stav˚ u (a stupˇ n˚ u volnosti), modifikovat kvantovou provázanost podle poˇzadavk˚ u a dosahovat co nejvyˇsˇs´ıch kvantov´ ych u ´ˇcinnost´ı generace pár˚ u patˇr´ı k hlavn´ım motivac´ım pˇri studiu fotonov´ ych pár˚ u. P˚ uvodnˇe témˇeˇr v´ yhradnˇe pouˇz´ıvané nelineárn´ı homogenn´ı krystaly jsou stále ˇcastˇeji nahrazovány modern´ımi nelineárn´ı-


9

mi strukturami jako jsou pólované nelineárn´ı materiály [6,27—29], nelineárn´ı vlnovody [30—32] a nelineárn´ı fotonické struktury [33, 34]. Nelineárn´ı fotonické struktury jsou mimoˇrádnˇe zaj´ımavé d´ıky své schopnosti u ´ˇcinnˇe generovat fotonové páry pomoc´ı vysok´ ych hodnot amplitud elektrick´ ych pol´ı dosahovan´ ych ve strukturách s fotonickou pásovou strukturou [35, 36]. Nav´ıc umoˇzn ˇuj´ı i relativnˇe jednoduˇse mˇenit vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u [37—39]. Mezi tyto struktury m˚ uˇzeme zaˇradit i nelineárn´ı krystalové supermˇr´ıˇzky sloˇzené z nˇekolika kus˚ u homogenn´ıho nelineárn´ıho materiálu a chovaj´ıc´ı se jako jednoduché fotonické krystaly [40, 41]. Nelineárn´ı strukturovaná vlákna s procesem ˇctyˇrvlnového smˇeˇsován´ı pˇredstavuj´ı dalˇs´ı perspektivn´ı struktury [42—44]. Na tomto m´ıstˇe m˚ uˇzeme zm´ınit i vlnovody s Braggov´ ymi zrcadly [45, 46]. Také v´ yrazné zes´ılen´ı amplitud elektrick´ ych pol´ı v optick´ ych rezonátorech m˚ uˇze b´ yt vyuˇzito k v´ yraznému zv´ yˇsen´ı poˇctu emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u, jejichˇz ˇcasové korelace jsou pˇr´ımo u ´mˇerné dobˇe ˇzivota fotonu v rezonátoru [47]. Zde se budeme podrobnˇe vˇenovat systém˚ um paraleln´ıch tenk´ ych vrstev. V tˇechto vrstevnat´ ych strukturách m˚ uˇzeme za vhodn´ ych podm´ınek pozorovat v´ yrazné zes´ılen´ı amplitud elektrick´ ych pol´ı d´ıky zpˇetn´ ym odraz˚ um pol´ı na rozhran´ıch mezi jednotliv´ ymi vrstvami [48]. Nav´ıc mohou b´ yt v tˇechto strukturách v´ yraznˇe modifikovány prostorové vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u napˇr. zmˇenou poˇctu vrstev. Vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u v nelineárn´ıch vrstevnat´ ych strukturách byly studovány jak v rámci klasické optiky [38], tak i kvantové teorie [39, 49]. Zde prezentujeme obecn´ y prostorov´ y kvantov´ y model zahrnuj´ıc´ı vektorov´ y charakter interaguj´ıc´ıch optick´ ych pol´ı [49]. V rámci tohoto modelu studujeme pˇr´ıˇcné intenzitn´ı profily emitovan´ ych párov´ ych svazk˚ u i korelované plochy emitovan´ ych foton˚ u, a to na pˇr´ıkladu nˇekolika typick´ ych struktur vyroben´ ych z GaN/AlN. Zvláˇstn´ı pozornost vˇenujeme vrstevnat´ ym strukturám z GaN/AlN s náhodn´ ymi délkami vrstev, které poskytuj´ı fotonové páry s mimoˇrádnˇe u ´zk´ ymi spektry [50, 51]. Tyto struktury vyuˇz´ıvaj´ı optické analogie Andersonovy lokalizace, která umoˇzn ˇuje dosahovat vysok´ ych hodnot amplitud elektrick´ ych pol´ı pro velmi mal´ y interval frekvenc´ı optického pole. Nelineárn´ı struktury z GaN/AlN také umoˇzn ˇuj´ı emitovat stavy fotonov´ ych pár˚ u antisymetrické pˇri zámˇenˇe signálové a jalové frekvence. Fotonové páry v takov´ ych stavech vykazuj´ı antishlukován´ı a také se chovaj´ı jako fermiony pˇri interferenci na op-

10

´ Uvod

tickém dˇeliˇci svazku [52]. Srovnán´ı vlastnost´ı fotonov´ ych pár˚ u u studovan´ ych vrstevnat´ ych struktur s ostatn´ımi zdroji fotonov´ ych pár˚ u m˚ uˇze b´ yt provedeno s ohledem na pˇr´ıˇcné intenzitn´ı profily generovan´ ych svazk˚ u, tvary korelovan´ ych ploch a také u ´ˇcinnost generace fotonov´ ych pár˚ u. Vˇetˇsina zdroj˚ u fotonov´ ych pár˚ u nevyj´ımaje vlnovodné struktury a nelineárn´ı krystaly je konstruována tak, ˇze fotony jsou emitovány v pˇr´ıˇcné rovinˇe do kompaktn´ıch a vˇetˇsinou u ´zk´ ych oblast´ı. U nˇekter´ ych zdroj˚ u jako jsou vhodnˇe orientované nelineárn´ı krystaly docház´ı d´ıky prostorové symetrii k emisi fotonov´ ych pár˚ u do smˇer˚ u pokr´ yvaj´ıc´ıch cel´ y povrch kuˇzele [12]. V takovém pˇr´ıpadˇe jsou fotonové páry kvantovˇe provázány také ve vlnov´ ych vektorech signálového a jalového fotonu. Protoˇze Hilbertovy prostory popisuj´ıc´ı tento prostorov´ y stav obsahuj´ı vˇetˇs´ı poˇcet ortogonáln´ıch stav˚ u, kvantová provázanost foton˚ u v páru má vyˇsˇs´ı dimenzi. V pˇr´ıpadˇe vrstevnat´ ych struktur jsou signálové a jalové pole emitována do oblast´ı kolem nˇekolika soustˇredn´ ych kuˇzel˚ u v závislosti na sloˇzitosti struktury. To v´ yraznˇe zvyˇsuje poˇcet nezávisl´ ych stav˚ u foton˚ u v pˇr´ıˇcné rovinˇe, coˇz je potenciálnˇe d˚ uleˇzité pro paraleln´ı zpracován´ı kvantové informace. Vˇsechny obvyklé zdroje fotonov´ ych pár˚ u s kontinuáln´ım ˇcerpán´ım poskytuj´ı korelované plochy obecnˇe eliptického tvaru. U vrstevnat´ ych struktur naopak ˇcasto docház´ı k rozˇstˇepen´ı korelované plochy do nˇekolika ˇcást´ı. Pro toto ˇstˇepen´ı existuj´ı dokonce 3 d˚ uvody: klikat´ y“ pohyb foton˚ u uvnitˇr struktury, nutnost zacho” vat prostorovou symetrii a také pˇr´ıhodné polarizaˇcn´ı vlastnosti struktury. Poslednˇe zmiˇ nované 2 d˚ uvody se mohou vyskytovat i u dalˇs´ıch zdroj˚ u fotonov´ ych pár˚ u, ovˇsem v malém rozsahu. Zes´ılen´ı amplitud elektrick´ ych pol´ı u vrstevnat´ ych struktur totiˇz v´ yraznˇe zesiluje tyto efekty. Periodicky pólované krystaly pˇredstavuj´ı zdroje fotonov´ ych pár˚ u s nejvyˇsˇs´ımi toky fotonov´ ych pár˚ u. Na druhé stranˇe vlnovodné struktury, jako jsou planárn´ı vlnovody nebo strukturovaná vlákna, generuj´ı fotonové páry s nejvyˇsˇs´ı kvantovou u ´ˇcinnost´ı d´ıky pˇr´ıˇcnému omezen´ı a z toho vypl´ yvaj´ıc´ıho zes´ılen´ı amplitud elektrick´ ych pol´ı. Vlnovodné struktury ovˇsem neumoˇzn ˇuj´ı dosahovat velk´ ych tok˚ u fotonov´ ych pár˚ u kv˚ uli materiálov´ ym omezen´ım a také v´ yskytu soupeˇr´ıc´ıch nelineárn´ıch proces˚ u. Z pohledu u ´ˇcinnosti se vrstevnaté struktury nacházej´ı ve srovnán´ı uprostˇred. Na jedné stranˇe poskytuj´ı vˇetˇs´ı efektivn´ı nelineárn´ı koeficienty v d˚ usledku zes´ılen´ı amplitud elektrick´ ych pol´ı vlivem odraz˚ u


11

od rozhran´ı ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı svazk˚ u. Na druhé stranˇe se toto zes´ılen´ı objevuje pouze v jedné prostorové dimenzi, a tud´ıˇz je menˇs´ı ve srovnán´ı se zes´ılen´ımi u vlnovodn´ ych struktur omezuj´ıc´ıch optické pole ve dvou dimenz´ıch. Tuto nev´ yhodu je ovˇsem moˇzné kompenzovat vysok´ ymi intenzitami ˇcerpac´ıho svazku, srovnateln´ ymi s intenzitami pouˇz´ıvan´ ymi u homogenn´ıch krystal˚ u. Nelineárn´ı vrstevnaté struktury jsou perspektivn´ı i jako zdroje fotonov´ ych pár˚ u s chybˇej´ıc´ı kvantovou frekvenˇcn´ı provázanost´ı. Je totiˇz známo, ˇze kvantová frekvenˇcn´ı provázanost vede k degradaci mˇeˇren´ ych efekt˚ u u experiment˚ u vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch polarizaˇcn´ı provázanosti (napˇr. u polarizaˇcn´ı kvantové teleportace, viz [53]). V takov´ ych pˇr´ıpadech jsou fotonové páry s identick´ ymi frekvenˇcn´ımi profily s chybˇej´ıc´ı frekvenˇcn´ı provázanost´ı ideáln´ı [54, 55]. Vrstevnaté struktury s náhodn´ ymi délkami vrstev generuj´ı za vhodn´ ych podm´ınek právˇe tyto stavy. Aby doˇslo k u ´ˇcinné generaci fotonov´ ych pár˚ u v náhodné struktuˇre, mus´ı b´ yt fotony generovány v tˇesné bl´ızkosti transmisn´ıch vrchol˚ u, které se objevuj´ı pro frekvence splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky optické Andersonovy lokalizace. To vede k velmi u ´zk´ ym spektr˚ um, která lze v´ yhodnˇe vyuˇz´ıt napˇr. ve spektroskopii. Je moˇzná i synchronizace v´ıce foton˚ u tvoˇr´ıc´ıch nˇekolik fotonov´ ych pár˚ u. Sloˇzen´ım vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ı stav˚ u odpov´ıdaj´ıc´ıch tˇemto fotonov´ ym pár˚ um a liˇs´ıc´ıch se centráln´ımi frekvencemi m˚ uˇzeme dokonce vytváˇret dvoufotonové stavy se souhlasnˇe provázan´ ymi frekvencemi signálového a jalového pole [56—58]. Takové stavy mohou b´ yt z´ıskány i v nelineárn´ıch krystalech ˇcerpan´ ych prostorovˇe rozloˇzen´ ymi pulzn´ımi ˇcerpac´ımi svazky [59, 60, 18] nebo vlnovodn´ ych strukturách s protibˇeˇzn´ ymi signálov´ ym a jalov´ ym fotonem a ˇcerpac´ım svazkem kolm´ ym k ose struktury [61—68]. Vedle spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze v homogenn´ıch materiálech se ve strukturách objevuje i povrchová spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze v oblasti rozhran´ı nelinearit [69, 70]. Zat´ımco je tento jev zanedbateln´ y u homogenn´ıch nelineárn´ıch krystal˚ u, u nelineárn´ıch vrstevnat´ ych struktur m˚ uˇze tento jev vést k dodateˇcné generaci fotonov´ ych pár˚ u, jejichˇz poˇcet je srovnateln´ y s poˇctem pár˚ u emitovan´ ych uvnitˇr homogenn´ıch nelineárn´ıch vrstev. Jev povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze vycház´ı z Maxwellov´ ych rovnic za pˇredpokladu jejich vhodného kvantového zobecnˇen´ı. Prostorov´ y vektorov´ y model spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze

12

Prostorov´ y kvantov´ y model

je prezentován ve 2. kapitole. 3. kapitola je vˇenována veliˇcinám charakterizuj´ıc´ım fotonové páry. Systematická metoda návrhu u ´ˇcinn´ ych vrstevnat´ ych struktur je popsána ve 4. kapitole. V 5. kapitole jsou studovány intenzitn´ı profily generovan´ ych párov´ ych pol´ı a korelované ploˇ chy. Casové aspekty fotonov´ ych pár˚ u jsou diskutovány v 6. kapitole. V 7. kapitole jsou podrobnˇe analyzovány struktury s fotonov´ ymi páry antisymetrick´ ymi vzhledem k zámˇenˇe signálové a jalové frekvence. Fotonové páry generované ve strukturách s náhodn´ ymi délkami vrstev jsou studovány v 8. kapitole. 9. kapitola pˇrináˇs´ı model povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze zaloˇzen´ y na kvantován´ı fotonového toku. Koneˇcnˇe 10. kapitola obsahuje závˇer.

2

Prostorov´ y kvantov´ y model spont´ ann´ı sestupn´ e frekvenˇ cn´ı konverze

ˆ int popisuj´ıc´ı spontánn´ı sestupnou frekvenˇcn´ı Nelineárn´ı hamiltonián H konverzi v prostˇred´ı s objemem V a v ˇcase t m˚ uˇzeme napsat ve tvaru [2]: ˆ int (t) = ϵ0 H

∫

V

[

]

ˆ (−) ˆ (−) dr d(r) : E(+) p (r, t)Es (r, t)Ei (r, t) + h.c. .

(1)

V rovnici (1) pˇredstavuje d tenzor tˇret´ıho ˇrádu nelineárn´ıch konstant zat´ımco symbol : znamená krácen´ı tenzoru d vzhledem k jeho tˇrem index˚ um. Silné klasické ˇcerpac´ı pole je popsáno pozitivnˇe frekvenˇcn´ı ˇcást´ı E(+) e amplitudy svého elektrického pole. Signálop (r, t) vektorov´ vé [jalové] pole je charakterizováno na jednofotonové u ´rovni negativnˇe ˆ (−) (r, t) [E ˆ (−) (r, t)] operátorové vektorové amplitudy frekvenˇcn´ı ˇcást´ı E s s svého elektrického pole. Symbol ϵ0 oznaˇcuje permitivitu vakua a symbol h.c. nahrazuje hermitovsky sdruˇzen´ y ˇclen. (+) Pozitivnˇe frekvenˇcn´ı ˇcásti Em (r, t) amplitud interaguj´ıc´ıch pol´ı (m = p, s, i) mohou b´ yt obecnˇe rozloˇzeny do báze rovinn´ ych vln s vlnov´ ymi vektory km (km ∈ R) a amplitudami E(+) (k ): m m ∫ 1 √ d3 km E(+) E(+) (r, t) = m m (km ) exp(ikm r − iωm t); ( 2π)3

(2)

ωm oznaˇcuje frekvenci m-tého pole splˇ nuj´ıc´ı spoleˇcnˇe s vlnov´ ym vektorem km materiálov´ y disperzn´ı vztah.


13

Pˇredpokládáme, ˇze interaguj´ıc´ı ˇcerpac´ı pole je dostateˇcnˇe silné a m˚ uˇzeme ho popsat pomoc´ı ˇcasového spektra Ep (ωp ) a prostorového spektra Eptr (kp,x , kp,y ) definovaného v pˇr´ıˇcné rovinˇe svazku. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme zapsat rozklad amplitudy E(+) asp (r, t) v rovnici (2) n´ ledovnˇe: E(+) p (r, t)

∫ π/2 ∫ π/2 ∫ ∞ 1 = √ sin(ϑp )dϑp dψp ωp2 dωp Ep (ωp ) −π/2 0 ( 2πc)3 −π/2 × Eptr [kp,x (Ωp ), kp,y (Ωp )] exp [ikp,x (Ωp )x + ikp,y (Ωp )y] ∑

×

E(+) p,α (z, Ωp ) exp(−iωp t),

(3)

α=TE,TM

s vyuˇzit´ım vektoru Ωp ≡ (ωp , ϑp , ψp ) definuj´ıc´ıho sférické souˇradnice“ ” ωp , ϑp a ψp . Rychlost svˇetla ve vakuu oznaˇcujeme symbolem c. Pro jednoduchost budeme pˇredpokládat vzduch okolo struktury. Pak m˚ uˇzeme x-ovou a y-ovou sloˇzku vlnového vektoru kp pˇred strukturou urˇcit pomoc´ı jednoduch´ ych vztah˚ u: kp,x (Ωp ) = −

ωp sin(ψp ) sin(ϑp ) , c

kp,y (Ωp ) =

ωp cos(ψp ) sin(ϑp ) . (4) c

Rozklad amplitudy E(+) ˇcerpac´ıho svazku do TE a TM vln provep den´ y v rovnici (3) je vzhledem k rovinˇe dopadu vlny s vlnov´ ym vektorem kp ˇs´ıˇr´ıc´ı se vrstevnatou strukturou (schéma struktury je popsáno v obrázku 1). Poznamenáváme, ˇze pr˚ umˇety vlnov´ ych vektor˚ u k do (+) rovin rozhran´ı se nemˇen´ı v celé struktuˇre. Amplitudy Ep,α ˇcerpac´ıho svazku uvedené v rovnici (3) popisuj´ı v´ yvoj optického pole podél osy z, pˇri kterém docház´ı ke zpˇetn´ ym odraz˚ um na rozhran´ıch. Uvaˇzujme strukturu s N vrstvami a rozhran´ımi kolm´ ymi na osu z a um´ıstˇen´ ymi v bodech zn , n = 0, . . . , N . Amplituda E(+) cerpac´ıho p,α ˇ svazku je pro tuto strukturu vyjádˇrena v následuj´ıc´ım tvaru (detaily viz [39]): E(+) p,α (z, Ωp ) = rect−∞,z0 (z)

[

∑

]

(0) (0) A(0) pa ,α (Ωp )epa ,α (Ωp ) exp iKpa ,z (Ωp )(z − z0 )

a=F,B

+

N ∑ l=1

rectzl−1 ,zl (z)

∑ a=F,B

[

]

(l) (l) A(l) pa ,α (Ωp )epa ,α (Ωp ) exp iKpa ,z (Ωp )(z − zl−1 )

14


y

eTM -ψ

e TE

k θ

n(1) n(2) d(1) d(2)

z0

-x

z1

n(N) d(N)

z2

z zN

Obrázek 1: Schéma struktury a pouˇzitého systému souˇradnic. Rovinná vlna popsaná vlnov´ ym vektorem k se ˇs´ıˇr´ı ve smˇeru radiáln´ıho (ϑ) a azimutáln´ıho (ψ) emisn´ıho u ´hlu. Radiáln´ı emisn´ı u ´hel ϑ je mˇeˇren v rovinˇe dopadu a odeˇc´ıtán od osy +z. Azimutáln´ı emisn´ı u ´hel ψ udává otoˇcen´ı roviny dopadu v rovinˇe xy vzhledem k ose +y a s kladnou orientac´ı smˇerem k ose −x. Vektory eTE a eTM popisuj´ı smˇery polarizac´ı TE a TM vln definované vzhledem k rovinˇe dopadu ˇcerpac´ı vlny. Pozice rozhran´ı kolm´ ych na osu z jsou oznaˇceny symboly zi , i = 0, . . . , N . (l) Symboly n [d(l) ] popisuj´ı indexy lomu [tenzor nelineárn´ıch koeficient˚ u] v l-té vrstvˇe. + rectzN ,∞ (z)

[

∑

]

+1) Ap(Na ,α+1) (Ωp )ep(Na ,α+1) (Ωp ) exp iKp(N (Ωp )(z − zN ) , a ,z

a=F,B

α = TE, TM.

(5)

Funkce rectza ,zb (z) je rovna 1 pro za ≤ z < zb , jinak je rovna 0. Symboly (l) e(l) cuj´ı polarizaˇcn´ı vektory vln α pro dopˇrednˇe a zpˇetnˇe pF ,α a epB ,α oznaˇ se ˇs´ıˇr´ıc´ı pole (vzhledem k ose +z) v l-té vrstvˇe. Sloˇzku z vlnového vektoru Kp(l)a ,z (Ωp ) v l-té vrstvˇe vlny a s frekvenc´ı ωp ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru (ϑp , ψp ) pˇred strukturou m˚ uˇzeme vyjádˇrit ve tvaru: n(l) p (ωp )ωp cos(ϑ(l) (6) p ), c kde znaménko + (−) plat´ı pro dopˇrednˇe (zpˇetnˇe) se ˇs´ıˇr´ıc´ı vlnu. Index lomu ˇcerpac´ıho pole v l-té vrstvˇe je oznaˇcen jako n(l) ze p . Protoˇ (0) (N +1) pˇredpokládáme vzduch pˇred strukturou i za n´ı, plat´ı np = np = 1. (l) ´ y pro l-tou vrstvu je urˇcen ze Snellova zákona: Uhel ˇs´ıˇren´ı ϑp platn´ Kp(l)a ,z (Ωp ) = ±

(0) (l) (l) n(0) p sin(ϑp ) = np sin(ϑp ),

l = 1, . . . , N + 1,

(7)


15

ϑ(0) p ≡ ϑp . (l) Koeficienty A(l) e ve vztahu (5) urˇcuj´ı pF ,α (Ωp ) a ApB ,α (Ωp ) zaveden´ amplitudy vln α s frekvenc´ı ωp ˇs´ıˇr´ıc´ı se dopˇrednˇe a zpˇetnˇe ve smˇeru (N +1) (ϑp , ψp ) pˇred strukturou. Hodnoty koeficient˚ u A(0) pF ,α (Ωp ) a ApB ,α (Ωp ) pro α = TE, TM pak charakterizuj´ı ˇcerpac´ı pole dopadaj´ıc´ı na strukturu a pˇredstavuj´ı tak okrajové podm´ınky. Koeficienty jsou urˇceny pomoc´ı Fresnelov´ ych vztah˚ u na rozhran´ıch s vyuˇzit´ım formalismu pˇrenosov´ ych matic [48]. Tento formalismus byl rozpracován pro vrstevnatá prostˇred´ı v práci [39]. Formalismus vede k následuj´ıc´ım vztah˚ um mezi koeficienty dopˇrednˇe a zpˇetnˇe se ˇs´ıˇr´ıc´ıch pol´ı: (

(

A(1) pF ,α (Ωp ) (1) ApB ,α (Ωp ) A(l+1) pF ,α (Ωp ) (l+1) ApB ,α (Ωp )

)

(

= )

(0) Tp,α (Ωp )

)

A(0) pF ,α (Ωp ) , (0) ApB ,α (Ωp ) (

)

A(l) pF ,α (Ωp ) , = (l) ApB ,α (Ωp ) α = TE, TM, l = 1, . . . , N. (l) (Ωp )Pp(l) (Ωp ) Tp,α

(8)

(l) Poznamenáváme, ˇze koeficienty A(l) ı pF ,α a ApB ,α pro l = 1, . . . , N popisuj´ amplitudy odpov´ıdaj´ıc´ıch elektrick´ ych pol´ı na poˇcátku l-té vrstvy. (l) (l) Pˇrenosové matice rozhran´ı Tp,TE a Tp,TM uvedené v rovnici (8) maj´ı následuj´ıc´ı tvar [48]:

(

1 1 + fp(l) (Ωp )gp(l) (Ωp ) = 2 1 − fp(l) (Ωp )gp(l) (Ωp ) ( 1 fp(l) (Ωp ) + gp(l) (Ωp ) (l) Tp,TM (Ωp ) = 2 fp(l) (Ωp ) − gp(l) (Ωp ) l = 0, . . . , N ; (l) Tp,TE (Ωp )

)

1 − fp(l) (Ωp )gp(l) (Ωp ) , 1 + fp(l) (Ωp )gp(l) (Ωp ) )

fp(l) (Ωp ) − gp(l) (Ωp ) , fp(l) (Ωp ) + gp(l) (Ωp ) (9)

(l) (l−1) (l) fp(l) = cos(ϑ(l−1) )/ cos(ϑ(l) /n(l) p p ) a gp = n p p . Matice Pp (Ωp ) popisuj´ıc´ı volné ˇs´ıˇren´ı ˇcerpac´ıho pole v l-té vrstvˇe jsou zapsány takto:



Pp(l) (Ωp ) = 

[

exp iK(l) pF ,z (Ωp )Ll 0

l = 1, . . . , N.

]

[

0

exp iK(l) pB ,z (Ωp )Ll



],

(10)

Na druhé stranˇe je kvantová teorie potˇrebná pro popis signálového a jalového pole, která se nacházej´ı v procesu spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze na jednofotonové u ´rovni [2]. Operátorové amplitudy elektrick´ ych pol´ı tˇechto svazk˚ u ve vrstevnat´ ych prostˇred´ıch mohou b´ yt

16


rozloˇzeny do rovinn´ ych vln podle rovnice (1), podobnˇe jako ˇcerpac´ı (+) pole. V tomto rozkladu pak m˚ uˇzeme pozitivnˇe frekvenˇcn´ı ˇcásti Eˆm operátorov´ ych amplitud signálového a jalového pole napsat s vyuˇzit´ım sférick´ ych souˇradnic“ ωm , ϑm a ψm [Ωm = (ωm , ϑm , ψm )], m = s, i, ” takto: ∫ π/2 ∫ π/2 ∫ ∞ 2 ˆ (+) (r, t) = 1 E sin(ϑ )dϑ dψ ωm dωm m m m m 3 c −π/2 −π/2 0 × exp [ikm,x (Ωm )x + ikm,y (Ωm )y]

×

∑ α=TE,TM

√

h ¯ ωm ˆm,α (z, Ωm ) exp(−iωm t); (11) a 16π 3 ϵ0

ˆ (+)† ˆ (−) cena symbolem h ¯ . V´ yraz E √m = Em . Planckova konstanta je oznaˇ 3 h ¯ ωm /(16π ϵ0 ) v rovnici (11) udává amplitudu elektrického pole na jeden foton s energi´ı h ¯ ωm ˇs´ıˇr´ıc´ı se rychlost´ı c. Sloˇzky x a y vlnového vektoru km pˇr´ısluˇsej´ıc´ıho signálovému a jalovému poli (m = s, i) jsou definovány vnˇe struktury pˇredpisem: km,x (Ωm ) = −

ωm sin(ψm ) sin(ϑm ) ωm cos(ψm ) sin(ϑm ) , km,y (Ωm ) = . c c (12)

ˆm,α (z, Ωm ) zavedené v rovnici (11) mohou Operátorové amplitudy a b´ yt ve vrstevnaté struktuˇre vyjádˇreny ve tvaru: ˆm,α (z, Ωm ) = a

∑

rect−∞,z0 (z)

[

]

(0) (0) a ˆ(0) ma ,α (Ωm )ema ,α (Ωm ) exp iKma ,z (Ωm )(z − z0 )

a=F,B

+

N ∑

∑

rectzl−1 ,zl (z)

l=1

+ rectzN ,∞ (z)

[

(l) (l) a ˆ(l) ma ,α (Ωm )ema ,α (Ωm ) exp iKma ,z (Ωm )(z − zl−1 )

a=F,B

∑

[

]

]

(N +1) +1) (N +1) a ˆm (Ωm )e(N ma ,α (Ωm ) exp iKma ,z (Ωm )(z − zN ) , a ,α

a=F,B

m = s, i,

α = TE, TM.

(13)

(l) Symboly e(l) ı polarizaˇcn´ı vektory vlny α pole m mF ,α a emB ,α popisuj´ ˇs´ıˇr´ıc´ıho se dopˇrednˇe a zpˇetnˇe. Anihilaˇcn´ı operátory aˆ(l) ma ,α (Ωm ) jsou definovány na konci l-té vrstvy pro vlnu α o frekvenci ωm pole m


17

charakterizovaného u ´hly (ϑm , ψm ) ˇs´ıˇr´ıc´ı se bud’ dopˇrednˇe (a = F ) nebo zpˇetnˇe (a = B). (l) Sloˇzka z vlnového vektoru Km (Ωm ) v l-té vrstvˇe je urˇcena vztaa ,z hem: (l) Km (Ωm ) = ± a ,z

n(l) m (ωm )ωm cos(ϑ(l) m ), c

m = s, i,

a = F, B.

(14)

Znaménko + (−) plat´ı pro dopˇrednˇe (zpˇetnˇe) se ˇs´ıˇr´ıc´ı vlny. Index lomu ´ pole m v l-té vrstvˇe je oznaˇcen symbolem n(l) s´ıˇren´ı ϑ(l) e m . Uhly ˇ m v l-t´ vrstvˇe jsou dány Snellov´ ym zákonem: (l) (N +1) (N +1) n(l) (ωm ) sin(ϑm ), m (ωm ) sin(ϑm ) = nm

l = 0, . . . , N,

(15)

+1) ϑ(N ≡ ϑm . m Operátory a ˆ(l) e hodnoty m, α, ma ,α (Ωm ) pro l = 0, . . . , N + 1 a zvolen´ ωm , ϑm a ψm jsou spojeny unitárn´ımi transformacemi na rozhran´ıch (Fresnelovy vztahy) a transformacemi popisuj´ıc´ımi volné ˇs´ıˇren´ı optick´ ych pol´ı. Tud´ıˇz obvyklé bosonové komutaˇcn´ı relace plat´ıc´ı pro dopadaj´ıc´ı optická pole jsou transformovány“ i na pole uvnitˇr struktury. ” Jediné nenulové komutaˇcn´ı relace jsou tyto [71]:

c2 δ ′δ ′ 2 m,m a,a | sin(ϑm )|ωm ′ ′ ′ δα,α′ δl,l′ δ(ωm − ωm ′ )δ(ϑm − ϑm′ )δ(ψm − ψm′ ). (l′ )†

[ˆ a(l) ˆm′ a′ ,α′ (Ω′m′ )] = ma ,α (Ωm ), a

(16)

Mezi operátory a ˆ(l) ˆ(l) ı následuj´ıc´ı relace: mF ,α (ωm ) a a mB ,α (ωm ) tedy plat´ ( (

a ˆ(1) mF ,α (Ωm ) a ˆ(1) mB ,α (ωm )

)

(

= )

(0) Tm,α (Ωm )

)

a ˆ(0) mF ,α (Ωm ) , (0) a ˆmB ,α (Ωm ) (

)

a ˆ(l+1) a ˆ(l) mF ,α (Ωm ) mF ,α (Ωm ) (l) (l) = T (Ω )P (Ω ) , m m m,α m (l+1) (l) a ˆmB ,α (Ωm ) a ˆmB ,α (Ωm ) m = s, i, α = TE, TM, l = 1, . . . , N.

(17)

(l) (l) Pˇrenosové matice rozhran´ı Tm,α i matice popisuj´ıc´ı volné ˇs´ıˇren´ı pol´ı Pm jsou definovány analogicky jako u ˇcerpac´ıho pole v rovnic´ıch (9) a (10). Lineárn´ı vztahy platné mezi operátory aˆ(l) zn ˇuj´ı vyjádˇrit ma ,α (Ωm ) umoˇ (0) (N +1) ˆmB ,α (Ωm ) chatyto operátory pouze pomoc´ı operátor˚ u aˆmF ,α (Ωm ) a a rakterizuj´ıc´ıch vystupuj´ıc´ı optická pole [39].

18


Fotonov´ y pár generovan´ y v procesu spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı ˆ int dan´ konverze s hamiltoniánem H ym v rovnici (1) je popsán poruchov´ ym ˇreˇsen´ım Schrödingerovy rovnice v prvn´ım ˇrádu v ˇcase t → ∞ za pˇredpokladu vakuového stavu |vac⟩ v signálovém a jalovém poli out v ˇcase t → −∞. Odpov´ıdaj´ıc´ı kvantov´ y stav |ψs,i ⟩ je odvozen v následuj´ıc´ım tvaru: out |ψs,i ⟩

∫

N ∑ ∑ i ∑ = |vac⟩ − 8 2c l=1 a,b,g=F,B α,β,γ=TE,TM

∫

π/2

−π/2

sin(ϑm )dϑm

∫

π/2 −π/2

dψm

0

∞

]

2 dωm ωm

√

[

∏ m=p,s,i

ωs ωi Ep (ωp )Eptr (kp,x , kp,y )

× δ(ωp − ωs − ωi )δ [kp,x − ks,x − ki,x ] δ [kp,y − ks,y − ki,y ] [ ] i (l)∗ (l)∗ (l) (l) (l) × d : epa ,α (Ωm )esb ,β (Ωs )eig ,γ (Ωi ) exp ∆Kpa sb ig ,z (Ωp , Ωs , Ωi )Ll 2 ] [ 1 (l) (l)† (l)† × Ll sinc ∆Kpa sb ig ,z (Ωp , Ωs , Ωi )Ll A(l) asb ,β (Ωs )ˆ aig ,γ (Ωi )|vac⟩; pa ,α (Ωm )ˆ 2 (18) (l)

sinc(x) = sin(x)/x. Rozfázován´ı ∆Kpa sb ig ,z (Ωp , Ωs , Ωi ) = Kp(l)a ,z (Ωp ) − (l)

Ks(l) (Ωs ) − Kig ,z (Ωi ) charakterizuje l-tou vrstvu. Symbol Ll oznaˇcuje b ,z délku l-té vrstvy (Ll = zl −zl−1 ). Pr˚ umˇety vlnov´ ych vektor˚ u km,x (Ωm ) a km,y (Ωm ) do pˇr´ıˇcné roviny svazk˚ u jsou definovány v rovnic´ıch (4) a (12) pro pole vnˇe struktury. Poznamenáváme, ˇze zvolen´ y postup zaloˇzen´ y na ˇreˇsen´ı Schrödingerovy rovnice nepopisuje povrchovou spontánn´ı sestupnou frekvenˇcn´ı konverzi, která vede k dodateˇcn´ ym emitovan´ ym fotonov´ ym pár˚ um [69, 70]. Podm´ınky na sfázován´ı interaguj´ıc´ıch pol´ı v pˇr´ıˇcné rovinˇe xy jsou popsány dvˇema δ funkcemi v rovnici (18). Tyto δ funkce urˇcuj´ı emisn´ı smˇer (ϑi , ψi ) jalového fotonu na základˇe znalosti emisn´ıho smˇeru (ϑs , ψs ) signálového fotonu pro ˇcerpac´ı pole ve tvaru rovinné vlny ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru (ϑp , ψp ) pˇred strukturou. Jednoduché geometrické u ´vahy vedou k následuj´ıc´ım vztah˚ um: [

ψi ϑi

]

ωs sin(ϑs ) sin(ψp − ψs ) = ψp + arctan , ωp sin(ϑp ) − ωs sin(ϑs ) cos(ψp − ψs ) [ ] ωs cos(ψp − ψs ) ωp sin(ϑp ) = arcsin − sin(ϑs ) . (19) ωi cos(ψp − ψi ) ωi cos(ψp − ψi )


19

V pˇr´ıpadˇe fokusovaného ˇcerpac´ıho svazku nemohou b´ yt podm´ınky na sfázován´ı nelineárn´ı interakce popsány v jednoduché bodové“ formˇe ” rovnic (19) a m´ısto toho mus´ıme uvaˇzovat korelované plochy fotonov´ ych pár˚ u koneˇcn´ ych rozmˇer˚ u. Tyto plochy jsou popsány korelaˇcn´ımi funkcemi 4. ˇrádu [72]. ˇ sen´ı pro fotonov´ Reˇ y pár popsané v rovnici (18) obsahuje amplitudy (l)† (l) Apa ,α ˇcerpac´ıho pole a kreaˇcn´ı operátory signálového (ˆ asb ,β ) a jalového (l)† (ˆ aig ,γ ) pole v l-té vrstvˇe. Tyto kreaˇcn´ı operátory mohou b´ yt s pomoc´ı (N +1) lineárn´ıch vztah˚ u (17) nahrazeny kreaˇcn´ımi operátory aˆmF ,α a a ˆ(0) mB ,α popisuj´ıc´ımi emitované pole vnˇe struktury. Potˇrebné vztahy m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru: (

a ˆ(l) mF ,α (Ωm ) (l) a ˆmB ,α (Ωm )

)

= (

]

1 [ ∏

(j−1) (j) Pm (Ωm )Tm,α (Ωm )

j=l

)

1/[Sm,α (Ωm )]11 −[Sm,α (Ωm )]12 /[Sm,α (Ωm )]11 × 0 1 ( ) (N +1) a ˆmF ,α (Ωm ) × , m = s, i, α = TE, TM, a ˆ(0) mB ,α (Ωm ) l = 1, . . . , N. (20) Matice Sm,α vystupuj´ıc´ı ve vztahu (20) popisuje ˇs´ıˇren´ı vlny α pole m napˇr´ıˇc celou strukturou: Sm,α (Ωm ) =

(N ) Tm,α (Ωm )

1 [ ∏

]

(j) (j−1) Pm (Ωm )Tm,α (Ωm ) ,

j=N

m = s, i, α = TE, TM.

(21)

(l) Podobnˇe m˚ uˇzeme vyjádˇrit amplitudy A(l) cerpac´ıho pole pF ,α a ApB ,α ˇ (0) (N +1) vlny α v l-té vrstvˇe pomoc´ı amplitud ApF ,α a ApB ,α tohoto pole vstupuj´ıc´ıho do struktury:

(

A(l) pF ,α (Ωp ) (l) ApB ,α (Ωp ) (

)

=

1 [ ∏ j=l

]

(j−1) Pp(j) (Ωp )Tp,α (Ωp )

)

1 0 −[Sp,α (Ωp )]21 /[Sp,α (Ωp )]22 1/[Sp,α (Ωp )]22 ) ( A(0) pF ,α (Ωp ) , α = TE, TM, l = 1, . . . , N. (22) × +1) (Ωp ) Ap(NB ,α

×

20


Matice Sp,α popisuje, podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe signálového a jalového pole, ˇs´ıˇren´ı klasického ˇcerpac´ıho pole s polarizac´ı α pˇres celou strukturu: (N ) Sp,α (Ωp ) = Tp,α (Ωp )

1 [ ∏

]

(j−1) Pp(j) (Ωp )Tp,α (Ωp ) .

(23)

j=N

Operátory emitovan´ ych pol´ı vnˇe struktury mohou b´ yt nakonec transformovány do polarizaˇcn´ı báze odpov´ıdaj´ıc´ı polarizaˇcn´ım analyzátor˚ um pˇred detektory pomoc´ı vhodné unitárn´ı transformace. V teorii pˇredpokládáme, ˇze rovina detektoru je kolmá ke smˇeru ˇs´ıˇren´ı detekovaného pole popsaného u ´hly (ϑ, ψ) a jej´ı s-polarizace (oznaˇcená symbolem ⊥) je kolmá k horizontáln´ı rovinˇe xz. Smˇer p-polarizace (oznaˇcené symbolem ∥) je urˇcen z podm´ınek ortogonality. Odpov´ıdaj´ıc´ı unitárn´ı transformace (závislá na u ´hlech ϑm a ψm ) pro pole m (m = s, i) s frekvenc´ı ωm ˇs´ıˇr´ıc´ı se pod u ´hly ϑm a ψm je definována takto: [

(N +1)

]

]

][

[

a ˆmF ,TE (Ωm ) cos(ζm ) sin(ζm ) a ˆmF ,⊥ (Ωm ) = , (N +1) a ˆmF ,∥ (Ωm ) − sin(ζ ) cos(ζ ) m m a ˆmF ,TM (Ωm ) ] [ (0) [ ][ ] a ˆmB ,TE (Ωm ) cos(ζm ) sin(ζm ) a ˆmB ,⊥ (Ωm ) = , (0) − sin(ζm ) cos(ζm ) a ˆmB ,∥ (Ωm ) a ˆmB ,TM (Ωm ) 



cos(ψm )

 sign(ψm ), ζm (ϑm , ψm ) = arccos  √ 2 2 1 + sin (ψm ) tan (θm )

m = s, i.

(24)

Funkce sign udává znaménko svého argumentu. Novˇe zavedené operátory a ˆmb ,α (Ωm ), m = s, i, b = F, B, α = ∥, ⊥, popisuj´ı emitovaná pole v polarizaˇcn´ıch báz´ıch spojen´ ych s detektory. V´ yraz (18) popisuj´ıc´ı stav fotonového páru m˚ uˇze b´ yt formálnˇe vyjád(+) (−) ˇren v kompaktn´ım tvaru pomoc´ı funkc´ı Φ a Φ klasické elektromagnetické teorie vrstevnat´ ych prostˇred´ı (viz [38]). Tyto funkce popisuj´ı vlny ˇs´ıˇr´ıc´ı se zleva doprava a zprava doleva vzhledem k ose z. Pole emitovaná v bodˇe z = zN jsou popsána funkcemi Φ(+) (z), zat´ımco funkce Φ(−) (z) odpov´ıdaj´ı pol´ım vystupuj´ıc´ım ze struktury v bodˇe z = z0 . V klasické teorii m˚ uˇzeme v´ ysledn´ y vztah (18) interpretovat tak, ˇze fotonové páry jsou emitovány fiktivn´ımi dipóly popisuj´ıc´ımi individuáln´ı vrstvy [73] a celkové emitované dvoufotonové pole je vytvoˇreno sloˇzen´ım pˇr´ıspˇevk˚ u od vˇsech dipól˚ u.


21

out V´ ysledn´ y vztah pro dvoufotonov´ y stav |ψs,i ⟩ v rovnici (18) je sloˇzen z pˇr´ıspˇevk˚ u ˇctyˇr druh˚ u podle smˇer˚ u ˇs´ıˇren´ı signálového a jalového fotonu v páru vzhledem k ose +z (F F , F B, BF , BB). V kaˇzdé skupinˇe se nacházej´ı ˇctyˇri pˇr´ıspˇevky liˇs´ıc´ı se polarizacemi signálového a jalového fotonu (∥ ∥, ∥ ⊥, ⊥ ∥, ⊥ ⊥). Individuáln´ı pˇr´ıspˇevky maj´ı obecn´ y tvar:

(rs , ri , t)⟩ |ψsαβ a ,ib

=

∏ m=s,i

[∫

∫

π/2

−π/2

sin(ϑm )dϑm

∫

π/2

−π/2

dψm

0

∞

]

dωm

out out ϕαβ ab (Ωs , Ωi ) exp[−i(ksa rs + kib ri )] exp[i(ωs + ωi )t]

a†ib ,β (Ωi )|vac⟩, ×a ˆ†sa ,α (Ωs )ˆ

a, b = F, B,

α, β = ∥, ⊥ .

(25)

out Vlnové vektory kout ı v´ yvoj voln´ ych emitovan´ ych opticsa a kib popisuj´ k´ ych pol´ı po opuˇstˇen´ı struktury. Spektráln´ı dvoufotonová amplituda ϕαβ a v rovnici (25) charakterizuje v u ´plnosti emiab (Ωs , Ωi ) definovan´ tovan´ y fotonov´ y pár. Udává amplitudu pravdˇepodobnosti, ˇze se αpolarizovan´ y signálov´ y foton s frekvenc´ı ωs ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru (ϑs , ψs ) spoleˇcnˇe se sv´ ym β-polarizovan´ ym jalov´ ym fotonem s frekvenc´ı ωi ˇs´ıˇr´ıc´ım se ve smˇeru (ϑi , ψi ) nacházej´ı na v´ ystupu ab struktury.

3

Veliˇ ciny charakterizuj´ıc´ı fotonov´ y p´ ar

Intenzitn´ı prostorové a spektráln´ı vlastnosti foton˚ u v páru [39] mohou b´ yt v´ yhodnˇe odvozeny z hustoty nαβ stˇ r edn´ ıho poˇ ctu fotonov´ ych pár˚ u ab αβ αβ ve stavu |ψsa ,ib ⟩. Hustota nab je definována pˇredpisem: αβ nαβ nsa ,α (Ωs )ˆ nib ,β (Ωi )|ψsαβ ⟩. ab (Ωs , Ωi ) = ⟨ψsa ,ib |ˆ a ,ib

(26)

Operátor hustoty poˇctu foton˚ un ˆ ma ,α (Ωm ) pˇr´ısluˇsného módu je urˇcen vztahem: n ˆ ma ,α (Ωm ) = a ˆ†ma ,α (Ωm )ˆ ama ,α (Ωm ).

(27)

Tento vztah umoˇzn ˇuje pˇrepsat v´ yraz (26) pro hustotu nαβ sab do jednoduˇ ˇs´ıho tvaru: αβ 2 nαβ (28) ab (Ωs , Ωi ) = |ϕab (Ωs , Ωi )| . Hustota nαβ redn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u ve stavu |ψsαβ ⟩ s,ab (Ωs ) stˇ a ,ib αβ je pak jednoduˇse urˇcena pomoc´ı hustoty nab definované v rovnici (26)

22

Veliˇciny charakterizuj´ıc´ı fotonov´ y pár

a vztahu (28): nαβ s,ab (Ωs )

∫

=

∫

π/2

−π/2

sin(ϑi )dϑi

∫

π/2 −π/2

dψi

∞

0

2 dωi |ϕαβ ab (Ωs , Ωi )| .

(29)

Pro detektor bez spektráln´ıho rozliˇsen´ı m˚ uˇzeme v´ ysledky mˇeˇren´ı tr,αβ v pˇr´ıˇcné rovinˇe popsat pomoc´ı prostorové hustoty ns,ab (ϑs , ψs ) stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u emitovan´ ych ve smˇeru (ϑs , ψs ). Tato hustota je odvozena z hustoty nαβ stˇ r edn´ ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u s,ab uvedené ve vztahu (29) takto: ntr,αβ s,ab (ϑs , ψs ) =

∫

∞

0

dωs nαβ s,ab (Ωs ).

(30)

Popis jalového pole pomoc´ı hustot je analogick´ y jako u signálového pole. Korelace mezi signálov´ ym a jalov´ ym fotonem v pˇr´ıˇcn´ ych rovinách jsou popsány korelaˇcn´ımi funkcemi 4. ˇrádu ncor,αβ (ϑ , ψ , e s s ϑi , ψi ), kter´ ab udávaj´ı spoleˇcné hustoty poˇctu fotonov´ ych pár˚ u takov´ ych, ˇze se signálov´ y foton ˇs´ıˇr´ı ve smˇeru (ϑs , ψs ) a jalov´ y foton ve smˇeru (ϑi , ψi ): ncor,αβ (ϑs , ψs , ϑi , ψi ) ab

∫

∞

= 0

∫

dωs

∞ 0

dωi nαβ ab (Ωs , Ωi ).

(31)

Pokud udáme smˇer ˇs´ıˇren´ı signálového fotonu (ϑ0s , ψs0 ), pak spoleˇcná hustota ncor,αβ (ϑ0s , ψs0 , ϑi , ψi ) závis´ı na emisn´ıch u ´hlech ϑi a ψi jalového ab fotonu a jej´ı tvar popisuje korelovanou plochu. Korelovaná plocha tedy udává oblast v´ yskytu jalového fotonu v pˇr´ıˇcné rovinˇe, ve které detekujeme s vysokou pravdˇepodobnost´ı jalov´ y foton poté, co jeho doprovázej´ıc´ı signálov´ y foton byl zachycen ve smˇeru (ϑ0s , ψs0 ). αβ Koneˇcnˇe, celkov´ y poˇcet emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u Nab ve stavu αβ |ψsa ,ib ⟩ je urˇcen v´ yrazem αβ Nab

=

∏ m=s,i

[∫

∫

π/2

−π/2

sin(ϑm )dϑm

∫

π/2 −π/2

dψm

0

∞

]

dωm nαβ ab (Ωs , Ωi ). (32)

Podobnˇe jako ve spektráln´ı oblasti, i v ˇcasové oblasti definujeme ˇcasovou dvoufotonovou amplitudu A(τs , τi ) udávaj´ıc´ı amplitudu pravdˇepodobnosti detekce signálového fotonu v ˇcase τs spoleˇcnˇe s detekc´ı


23

jalového fotonu v ˇcase τi . Pokud se signálov´ y foton ˇs´ıˇr´ı ve smˇeru (ϑs , ψs ) a jalov´ y foton ve smˇeru (ϑi , ψi ), nap´ıˇseme odpov´ıdaj´ıc´ı ˇcasovou dvoufotonovou amplitudu A(τs , ϑs , ψs , τi , ϑi , ψi ) ve tvaru: ˆ α(+) Aαβ ab (τs , ϑs , ψs , τi , ϑi , ψi ) = ⟨vac|Esa (rs , t0 + τs , ϑs , ψs ) β(+) × Eîb (ri , t0 + τi , ϑi , ψi )|ψsαβ (rs , ri , t0 )⟩. a ,ib

(33)

Pozitivnˇe frekvenˇcn´ı ˇcásti Eˆ (+) operátorov´ ych amplitud v rovnici (33) popisuj´ı pole ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru (ϑ, ψ). Pro dvoufotonov´ y stav |ψsαβ ⟩ ve a ,ib tvaru popsaném rovnic´ı (25) nab´ yvá v´ yraz (33) pro ˇcasovou dvoufotonovou amplitudu Aαβ tvar: sa ,ib √

Aαβ ab (τs , ϑs , ψs , τi , ϑi , ψi ) =

h ¯ ωs0 ωi0 16π 3 ϵ0

ϕαβ ab (τs , ϑs , ψs , τi , ϑi , ψi ).

(34)

Fourierova transformace ϕαβ e funkce sa ,ib (τs , ϑs , ψs , τi , ϑi , ψi ) modifikovan´ αβ ϕsa ,ib (Ωs , Ωi ) je definována pˇredpisem: √

ϕαβ ab (τs , ϑs , ψs , τi , ϑi , ψi )

∫ ∞ ωs ωi αβ 1 ∫∞ = dωs dωi ϕ (Ωs , Ωi ) 2π 0 ωs0 ωi0 ab 0 × exp(−iωs τs ) exp(−iωi τi ). (35)

αβ Fotonov´ y tok Ns;ab (τs , ϑs , ψs ) signálového pole ve smˇeru (ϑs , ψs ) a ˇcase τs pˇr´ısluˇsej´ıc´ı stavu |ψsαβ ⟩ je dán takto: a ,ib αβ Ns;ab (τs , ϑs , ψs ) = 2π 2 ϵ0

∫

∫

π/2

−π/2

sin(ϑi )dϑi

π/2

−π/2

dψi ⟨ψsαβ (rs , ri , t0 )| a ,ib

Eˆsα(−) (rs , t0 + τs , ϑs , ψs )Eˆsα(+) (rs , t0 + τs , ϑs , ψs )|ψsαβ (rs , ri , t0 )⟩. (36) a ,ib a a αβ Fotonov´ y tok Ns;ab (τs , ϑs , ψs ) m˚ uˇze b´ yt také stanoven pomoc´ı spektrálαβ n´ı dvoufotonové amplitudy ϕab (Ωs , Ωi ): αβ Ns;ab (τs , ϑs , ψs ) =

∫ 0

∞

dωs′

√

ωs′

∫ 0

∫ π/2 ∫ ∞ √ h ¯ ∫ π/2 sin(ϑi )dϑi dψi dωs ωs 8π −π/2 −π/2 0

∞

αβ ′ ′ dωi ϕαβ∗ ab (Ωs , Ωi )ϕab (Ωs , Ωi ) exp[i(ωs − ωs )τs ];

(37)

24

Veliˇciny charakterizuj´ıc´ı fotonov´ y pár DB

M NLC ωp

ωi Z Z

Z

Z

ωs

Z Z

Z Z

DL Z Z

Z BS ZZ Z Z

Z

M

C

ZZ

DA

Obrázek 2: Schéma Hongova-Ouova-Mandelova interferometru. ˇ Cerpac´ ı foton o frekvenci ωp je v nelineárn´ım krystalu NLC konvertován na signálov´ y (frekvence ωs ) a jalov´ y (frekvence ωi ) foton. Po odrazu foton˚ u na zrcadlech M a ˇcasovém zpoˇzdˇen´ı jalového fotonu zp˚ usobeného zpoˇzd’ovac´ı linkou DL docház´ı k interferenci jalového a signálového fotonu na vyváˇzeném dˇeliˇci svazku BS. Je mˇeˇrena koincidenˇcn´ı detekce C dvou foton˚ u na detektorech DA a DB . Ω′s = (ωs′ , ϑs , ψs ). V pˇr´ıpadˇe u ´zkého spektra jalového svazku se alternativnˇe nab´ız´ı následuj´ıc´ı zjednoduˇsen´ y vztah: αβ Ns;ab (τs , ϑs , ψs )

∫ π/2 ∫ ∞ h ¯ ωs0 ∫ π/2 sin(ϑi )dϑi dψi dτi = 4 −π/2 −π/2 −∞ 2 |ϕαβ ab (τs , ϑs , ψs , τi , ϑi , ψi )| .

(38)

Kvantovou provázanost signálového a jalového fotonu v ˇcasové oblasti m˚ uˇzeme pozorovat pˇri mˇeˇren´ı poˇctu koincidenc´ı v Hongovˇe-OuovˇeMandelovˇe interferometru (viz obrázek 2). Abychom dosáhli interference mezi signálov´ ym a jalov´ ym fotonem, mus´ıme otoˇcit roviny polarizace obou foton˚ u do stejného smˇeru a zavést mezi oba fotony mˇenitelné relativn´ı ˇcasové zpoˇzdˇen´ı τl . Oba fotony v interferometru dopadaj´ı na vyváˇzen´ y dˇeliˇc svazku (50/50%) a následnˇe jsou detekovány na v´ ystupech tohoto dˇeliˇce svazku. Poˇcet detekovan´ ych koincidenc´ı Rc je urˇcen poˇctem simultánnˇe detekovan´ ych foton˚ u v daném ˇcasovém intervalu pomoc´ı dvou detektor˚ u DA a DB um´ıstˇen´ ych ve v´ ystupech dˇeliˇce svazku. Koincidenˇcn´ı detekce m˚ uˇze b´ yt zp˚ usobena dvˇema r˚ uzn´ ymi kvantov´ ymi drahami, které spolu interferuj´ı. Bud’to je signálov´ y foton detekován detektorem DA a jalov´ y foton detektorem DB , nebo


25

naopak. Normovan´ y poˇcet koincidenc´ı R zp˚ usoben´ y signálov´ ymi fotony ve smˇeru (ϑs , ψs ) a jalov´ ymi fotony ve smˇeru (ϑi , ψi ) je v tomto interferometru urˇcen v´ yrazem αβ Rab (τl , ϑs , ψs , ϑi , ψi ) = 1 − ραβ ab (τl , ϑs , ψs , ϑi , ψi ),

(39)

ve kterém jsou ραβ ab (τl , ϑs , ψs , ϑi , ψi ) [

∫ ∞ ∫ ∞ 1 dtA dtB = αβ −∞ (ϑs , ψs , ϑi , ψi ) −∞ 2R0,ab ]

αβ∗ Re Aαβ ab (tA , ϑs , ψs , tB − τl , ϑi , ψi )Aab (tB , ϑs , ψs , tA − τl , ϑi , ψi )

(40)

a

∫ ∞ 2 1∫ ∞ (41) dtB Aαβ (t , ϑ , ψ , t , ϑ , ψ ) dtA s s B i i . ab A 2 −∞ −∞ Symbol Re oznaˇcuje reálnou ˇcást argumentu. Pomoc´ı vztah˚ u (34) a (35) z´ıskáme vyjádˇren´ı pro veliˇciny ρ a R0 pomoc´ı spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕαβ ab : αβ R0,ab =

[

ραβ ab (τl , ϑs , ψs , ϑi , ψi )

h ¯ = √ 216π 3 ϵ0

]2

1 αβ R0,ab

[∫

Re 0

∞

∫

dωs

αβ∗ ϕαβ ab (Ωs , Ωi )ϕab (ωi , ϑs , ψs , ωs , ϑi , ψi ) exp[i(ωi

[

αβ R0,ab

h ¯ = √ 216π 3 ϵ0

]2 ∫

∞ 0

∫

dωs

∞ 0

∞

0

dωi ωs ωi ]

− ωs )τl ] ,

2 dωi ωs ωi |ϕαβ ab (Ωs , Ωi )| .

(42) (43)

Zes´ılen´ı amplitud elektrick´ ych pol´ı uvnitˇr vrstevnat´ ych struktur d´ıky konstruktivn´ı interferenci odráˇzej´ıc´ıch se vln pˇredstavuje nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnost tˇechto struktur, která vede za vhodn´ ych okolnost´ı k v´ yraznému zes´ılen´ı nelineárn´ı interakce. Vzr˚ ust efektivn´ı nelinearity v takové struktuˇre m˚ uˇze b´ yt s v´ yhodou kvantifikován vzhledem k referenˇcn´ı struktuˇre s definovan´ ymi vlastnostm´ı. Taková struktura vyuˇz´ıvá v maximáln´ı m´ıˇre nelinearitu materiálu, nezp˚ usobuje zpˇetné odrazy ˇs´ıˇr´ıc´ıch se pol´ı a tud´ıˇz v n´ı nedocház´ı ke konstruktivn´ımu skládán´ı odraˇzen´ ych vln. Prostorová orientace anizotropn´ıho materiálu a polarizace interaguj´ıc´ıch pol´ı jsou takové, aby byl vyuˇzit nejvˇetˇs´ı nelineárn´ı koeficient. Referenˇcn´ı struktura generuje fotonov´ y pár se signálov´ ym fotonem v libovolném smˇeru (ϑs , ψs ) pˇriˇcemˇz odpov´ıdaj´ıc´ı jalov´ y foton je generován v jednom odpov´ıdaj´ıc´ım smˇeru (ϑi , ψi ). Pokud pˇredpokládáme

26

Veliˇciny charakterizuj´ıc´ı fotonov´ y pár

signálov´ y foton emitovan´ y ve smˇerech ϑs a ψs , je cel´ y fotonov´ y pár ref popsan´ y stavem |ψs,i ⟩ [srovnej s rovnic´ı (18)], ref |ψs,i ⟩

∫ ∞ √ i ∫∞ 2 =− 8 ωs dωs ωi2 dωi ωs ωi (ωs + ωi )2 Ep (ωs + ωi ) 2c 0 0

×

N ∑

max(d(l) )Ll a ˆ†s (ωs )ˆ a†i (ωi )|vac⟩,

(44)

l=1

ve kterém operátory aˆ†s (ωs ) [ˆ a†i (ωi )] oznaˇcuj´ı kreaˇcn´ı operátory signálového a jalového pole vnˇe referenˇcn´ı struktury. Funkce max pouˇzitá v rovnici (44) udává maximáln´ı hodnotu z prvk˚ u tenzoru d(l) nelineárn´ıch koeficient˚ u. Vyuˇz´ıvaj´ıce definovanou referenˇcn´ı strukturu pˇr´ınos vrstevnaté struktury k intenzitˇe nelineárn´ı interakce m˚ uˇzeme zhodnotit pomoc´ı veliαβ ˇciny ηs,ab (Ωs ) udávaj´ıc´ı relativn´ı vzr˚ ust stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych αβ foton˚ u ve stavu |ψsa ,ib ⟩ s frekvenc´ı ωs ˇs´ıˇr´ıc´ıch se ve smˇeru (ϑs , ψs ): αβ ηs,ab (Ωs )

nαβ (Ωs ) = s,ab . ref ns (ωs )

(45)

Hustota nαβ redn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u je dána vzorcem (29). s,ab stˇ Hustota nref stˇ r edn´ ıho poˇ c tu sign´ a lov´ y ch foton˚ u charakterizuje stav s ref |ψs,i ⟩ referenˇcn´ı struktury popsan´ y rovnic´ı (44). Tato hustota nezávis´ı na u ´hlech ˇs´ıˇren´ı ϑs a ψs signálového svazku. Jak je patrné z v´ yˇse uveden´ ych vztah˚ u, jsou vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u ovlivnˇeny prostoroˇcasov´ ymi vlastnostmi ˇcerpac´ıho svazku. Ten m˚ uˇze b´ yt v uspokojivé aproximaci popsán jako svazek s gaussovsk´ ym ˇcerpovan´ ym spektrem a gaussovsk´ ym pˇr´ıˇcn´ ym profilem: (

)

τp2 Ep (ωp ) = ξp √ exp − (ωp − ωp0 )2 , 4(1 + ia ) p 2(1 + iap ) τp

[

Eptr (kx , ky )

]

r2 (k 2 + ky2 ) rp . = √ exp p x 4 2π

(46)

Symbol ξp udává amplitudu ˇcerpac´ıho svazku v bodˇe z = 0 ve tvaru pulzu s nosnou frekvenc´ı ωp0 , délkou trván´ı pulzu τp a parametrem ˇcerpu ˇıˇrka amplitudového profilu v pˇr´ıˇcné rovinˇe je popsána parametrem ap . S´

Jan Peˇrina ml.: Spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze ∫

27

∫

rp . Normován´ı funkce Eptr je dáno podm´ınkou dkx dky |Eptr (kx , ky )|2 = 1. Pro kontinuáln´ı ˇcerpán´ı se v´ yraz pro ˇcasové spektrum zjednoduˇsuje, 0 yraz˚ um Ep (ωp ) = ξp δ(ωp − ωp ). Tento vztah ovˇsem vede k formáln´ım v´ typu δ 2 (ω) ve v´ yˇse uveden´ ych vztaz´ıch. Pro z´ıskán´ı správn´ ych vztah˚ u v tomto pˇr´ıpadˇe mus´ıme takové v´ yrazy nahradit v´ yrazem 2T /(2π)δ(ω), kter´ y plat´ı pro pole definované v ˇcasovém intervalu (−T, T ). Odpov´ıdaj´ıc´ı fyzikáln´ı veliˇciny jsou pak vztaˇzeny na jednotkov´ y ˇcasov´ y interval a potˇrebné vzorce se z´ıskaj´ı v limitˇe T → ∞.

4

Metoda n´ avrhu u ´ˇ cinn´ e vrstevnat´ e struktury

Pˇredpokládáme, ˇze se navrhovaná struktura skládá z lichého poˇctu vrstev N , které vyuˇz´ıvaj´ı dva druhy materiál˚ u. Vrstvy materiálu b délky lb jsou obklopeny vrstvami materiálu a délky la . Dále pˇredpokládáme, ˇze struktura je ozáˇrena kontinuáln´ım ˇcerpac´ım svazkem s frekvenc´ı ωp0 dopadaj´ıc´ım kolmo na rozhran´ı. Nakonec jeˇstˇe uvaˇzujeme, ˇze emitovan´ y signálov´ y a jalov´ y foton maj´ı frekvence bl´ızké hodnotˇe ωp0 /2; fotony jsou tedy témˇeˇr frekvenˇcnˇe degenerované. Navrhovaná metoda obecnˇe optimalizuje efektivitu tˇr´ımódové nelineárn´ı interakce ve vrstevnat´ ych strukturách. Je zaloˇzena na následuj´ıc´ıch dvou faktech z´ıskan´ ych z praktické zkuˇsenosti: ´ cinn´ • Uˇ y nelineárn´ı proces je pozorován za pˇredpokladu, ˇze se vˇsechna tˇri interaguj´ıc´ı pole nacházej´ı ve sv´ ych lineárn´ıch transmisn´ıch maximech. Tento fakt vycház´ı z v´ ysledk˚ u teorie pásové struktury, která ukazuje, ˇze se vysoké hodnoty lineárn´ı transmisivity pro danou frekvenci objevuj´ı d´ıky mnohaˇcetn´ ym zpˇetn´ ym odraz˚ um uvnitˇr struktury a následnému konstruktivn´ımu skládán´ı tˇechto pˇr´ıspˇevk˚ u. To pˇrirozenˇe vede k vysok´ ym hodnotám amplitud elektrického pole na dané frekvenci uvnitˇr struktury. Nav´ıc plat´ı, ˇze ˇc´ım bl´ıˇze je transmisn´ı vrchol k okraji zakázaného pásu, t´ım silnˇejˇs´ı je konstruktivn´ı interference a t´ım vyˇsˇs´ı jsou hodnoty amplitud elektrického pole. • Numerické v´ ysledky ukazuj´ı, ˇze pˇrekryvové integrály amplitud interaguj´ıc´ıch pol´ı udávaj´ıc´ı efektivn´ı nelinearitu [viz vztah (1)]

28

Metoda návrhu u ´ˇcinné vrstevnaté struktury jsou nulové, pokud jsou prostorové pr˚ ubˇehy amplitud signálového a jalového pole identické. To znamená, ˇze frekvenˇcnˇe degenerované fotonové páry s fotony emitovan´ ymi v symetrick´ ych smˇerech a se stejn´ ymi polarizaˇcn´ımi vlastnostmi nemohou b´ yt ve struktuˇre generovány.

Tato fakta byla jiˇz dˇr´ıve vyuˇzita pˇri návrhu vrstevnat´ ych struktur vhodn´ ych pro generaci druhé harmonické frekvence [74]. V pˇr´ıpadˇe kolineárn´ı interakce jsou tyto poˇzadavky velmi silné kv˚ uli omezen´ı na jeden smˇer ˇs´ıˇren´ı interaguj´ıc´ıch pol´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe je dokonce nutné mˇenit index lomu jednoho typu vrstev, aby bylo dosaˇzeno vhodn´ ych podm´ınek pro nelineárn´ı proces [74]. V pˇr´ıpadˇe nekolineárn´ı generace druhé harmonické je k dispozici jeden voln´ y parametr (radiáln´ı emisn´ı u ´hel), jehoˇz vhodná volba vede k efektivn´ı nelineárn´ı interakci. Tato geometrie m˚ uˇze b´ yt optimalizována s vyuˇzit´ım prezentované metody. Uvaˇzované vrstevnaté struktury jsou tedy popsány tˇremi nezávisl´ ymi parametry: poˇctem vrstev N a délkami la a lb tˇechto vrstev. Anal´ yza ukázala, ˇze poˇcet vrstev N zásadnˇe ovlivˇ nuje poˇcty generovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u a také charakteristické rozmˇery emitovan´ ych fotonov´ ych ˇ pol´ı v pˇr´ıˇcn´ ych rovinách (viz obrázek 3 n´ıˇze). C´ım vˇetˇs´ı je poˇcet vrstev N , t´ım v´ıce fotonov´ ych pár˚ u je generováno a také t´ım menˇs´ı jsou oblasti emise fotonov´ ych pár˚ u v pˇr´ıˇcn´ ych rovinách. Poˇcet potˇrebn´ ych vrstev N m˚ uˇze tedy b´ yt zhruba urˇcen z poˇzadavk˚ u na tyto vlastnosti. Po zadán´ı poˇctu vrstev N z˚ ustávaj´ı dva volné parametry, a to délky vrstev la a lb . Tyto délky mus´ıme ovˇsem zvolit tak, aby ˇcerpac´ı pole se svoj´ı nosnou frekvenc´ı ωp0 leˇzelo v transmisn´ım vrcholu. Nejprve na chv´ıli zvolme pevné hodnoty délek vrstev la a lb (spoleˇcnˇe s poˇctem vrstev N ) a pod´ıvejme se na pr˚ ubˇeh spektráln´ı intenzitn´ı transmisivity T (ω) podél osy +z (ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı ˇcerpac´ıho svazku) pomoc´ı, napˇr. metody pˇrenosov´ ych matic [48]. S rostouc´ı frekvenc´ı ω nacház´ıme v profilu transmisivity T (ω) postupnˇe pásy zakázan´ ych frekvenc´ı. Rozd´ıl v centráln´ıch frekvenc´ıch sousedn´ıch zakázan´ ych pás˚ u je zhruba stejn´ y v souladu s teori´ı pásové struktury. D´ıky tomu m˚ uˇzeme navrhnout proces spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze v takové konfiguraci, ˇze ˇcerpac´ı pole leˇz´ı ve vrcholu bl´ızko druhého zakázaného pásu, zat´ımco signálové a jalové pole vyuˇz´ıvaj´ı transmisn´ı vrcholy v okol´ı prvn´ıho zakázaného pásu. Vˇsechna tˇri pole mohou vyuˇz´ıt transmisn´ı vrcholy bud’ nad zakázan´ ymi pásy nebo pod nimi. Tato volnost pomáhá


29

pˇri splnˇen´ı pomˇernˇe siln´ ych podm´ınek na u ´ˇcinnou tˇr´ımódovou nelineárn´ı interakci spoleˇcnˇe s vhodnou volbou signálového radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑs . Tyto podm´ınky lze ovˇsem naj´ıt pouze numerickou anal´ yzou. Nyn´ı budeme uvaˇzovat ˇcerpac´ı pole s danou nosnou frekvenc´ı ωp0 . Podle v´ ysledk˚ u pˇredeˇslého odstavce potˇrebujeme naj´ıt takové struktury, které maj´ı prvn´ı transmisn´ı vrchol at’ uˇz nad druh´ ym zakázan´ ym pásem nebo pod n´ım na poˇzadované frekvenci ωp0 . Detailn´ı anal´ yza struktur s r˚ uzn´ ymi hodnotami délek vrstev la a lb ukázala, ˇze v rovinˇe definované promˇenn´ ymi la a lb existuj´ı dvˇe kˇrivky s poˇzadovanou vlastnost´ı. Jedna kˇrivka parametrizuje struktury, u kter´ ych se prvn´ı transmisn´ı vrchol pod druh´ ym zakázan´ ym pásem nacház´ı na frekvenci ωp0 . Druhá kˇrivka pak udává struktury, u kter´ ych je prvn´ı transmisn´ı vrchol nad druh´ ym zakázan´ ym pásem naladˇen na frekvenci ωp0 . Tvar tˇechto kˇrivek m˚ uˇze b´ yt z´ıskán s vyuˇzit´ım ˇskálovac´ı vlastnosti jev˚ u lineárn´ı optiky. Uvaˇzujeme fiktivn´ı bezdisperzn´ı strukturu s indexem lomu dan´ ym 0 indexem lomu ˇcerpac´ıho pole na frekvenci ωp . Definujeme odpov´ıdaj´ıc´ı optické délky vrstev laopt a lbopt . Ukazuje se, ˇze vhodn´ ym parametrem pro popis hledan´ ych kˇrivek je pod´ıl L = lbopt /laopt optick´ ych délek vrstev. opt opt Vhodné optické délky la a lb pro zvolenou hodnotu pod´ılu L jsou urˇceny následuj´ıc´ım postupem. Zvol´ıme hodnotu optické délky laopt , napˇr. laopt,0 = λ0p /2 = πc/ωp0 . Tato hodnota m˚ uˇze b´ yt zvolena libovolnˇe a urˇcuje základn´ı jednotku pro popis difrakˇcn´ıch jev˚ u ve struktuˇre. Protoˇze je hodnota pod´ılu L dána, optická délka lbopt,0 je také urˇcena, lbopt,0 = Llaopt,0 . M˚ uˇzeme tud´ıˇz spoˇc´ıtat spektráln´ı intenzitn´ı transmisivitu T (ωp ) uvaˇzované struktury. V profilu transmisivity T (ωp ) identifikujeme frekvence ωpmax prvn´ıho transmisn´ıho vrcholu pod druh´ ym max zakázan´ ym pásem a nad n´ım. Transmisn´ı vrchol na frekvenci ωp mus´ıme posunout“ na frekvenci ωp0 s vyuˇzit´ım ˇskálovac´ı vlastnosti. ” To vede ke správn´ ym optick´ ym délkám struktury urˇcen´ ym pˇredpisem opt opt opt,0 0 max opt la = la ωp /ωp a lb = Lla . Takto z´ıskané délky vrstev se liˇs´ı pro vrcholy pod druh´ ym zakázan´ ym pásem a nad n´ım. V dalˇs´ım kroku se pohybujeme podél tˇechto kˇrivek (pro prvn´ı transmisn´ı vrcholy pod druh´ ym zakázan´ ym pásem a nad n´ım) parametrizo´ cinnost van´ ymi pod´ılem L a analyzujeme tyto struktury numericky. Uˇ nelineárn´ıho procesu m˚ uˇzeme sledovat pomoc´ı maxim ηsmax relativn´ıho 0 ych signálov´ ych foton˚ u vzr˚ ustu ηs (ωs , ϑs ψs ) stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ analyzovaného pro mˇen´ıc´ı se hodnoty signálové frekvence ωs a signálo-

30

Metoda návrhu u ´ˇcinné vrstevnaté struktury

vého radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑs , za pˇredpokladu daného signálového azimutáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ψs0 . Také polarizace signálového a jalového ˇ ım je hodnota maxima η max vyˇsˇs´ı, t´ım pole jsou povaˇzovány za dané. C´ s bl´ıˇze jsou transmisn´ı vrcholy signálového a jalového pole k okraj˚ um max prvn´ıho zakázaného pásu. Kˇrivka udávaj´ıc´ı závislost maxima ηs na pod´ılu L je tud´ıˇz dobr´ ym indikátorem pro v´ ybˇer vhodn´ ych délek struktury. Poznamenáváme, ˇze z´ıskané kˇrivky závisej´ı na polarizaˇcn´ıch vlastnostech signálového a jalového pole a také na volbˇe signálového azimutáln´ıho u ´hlu ψs0 . Pro v´ ybˇer vhodn´ ych parametr˚ u struktury se nab´ızej´ı i dalˇs´ı veliˇciny, napˇr. celkov´ y poˇcet emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u N urˇcen´ y vztahem (32). Také hustota stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u pro zvolen´ y azimutáln´ı u ´hel ψs0 urˇcená pˇredpisem ∫ π/2 0 tr a. −π/2 sin(ϑs )dϑs ns (ϑs , ψs ) a vztahem (30) je vhodn´ Jako pˇr´ıklad uvád´ıme v grafech na obrázku 3 závislosti maxim ⊥∥,max ηs na pod´ılu L pro stavy s obˇema fotony ˇs´ıˇr´ıc´ımi se podél osy +z pro naladˇen´ı ˇcerpac´ıho pole do prvn´ıho transmisn´ıho vrcholu pod druh´ ym zakázan´ ym pásem i nad n´ım pro dvˇe struktury s 11 a 101 vrstvou (detaily viz n´ıˇze). Kˇrivka v grafu na obrázku 3(a) charakterizuj´ıc´ı strukturu s 11 vrstvami je plochá. To znamená, ˇze obecnˇe pro malé poˇcty vrstev existuje celé kontinuum struktur poskytuj´ıc´ıch u ´ˇcinn´ y nelineárn´ı proces. Na druhé stranˇe u ´ˇcinn´ ych struktur se 101 vrstvou je jen omezen´ y poˇcet a tyto struktury se nacházej´ı v ostr´ ych maximech kˇrivky v grafu na obrázku 3(b). To je zp˚ usobeno sloˇzitou interferenc´ı odráˇzej´ıc´ıho se svˇetla ve strukturách s vˇetˇs´ım poˇctem vrstev. Poznamenáváme, ˇze pro zdaleka ne vˇsechny hodnoty pod´ılu L existuj´ı vhodné transmisn´ı vrcholy pro vˇsechna tˇri interaguj´ıc´ı pole. Nejvyˇsˇs´ı hodnoty maxim ηs⊥∥,max se také vyskytuj´ı v omezené dobˇre definované oblasti hodnot pod´ılu L. Jak ukazuje kˇrivka v grafu na obrázku 3(b), nejvˇetˇs´ıch hodnot maxim ηs⊥∥,max je dosaˇzeno v okol´ı L = 0.5. Kˇrivky v grafech na obrázku 3 ukazuj´ı slab´ y“ nár˚ ust hodnot maxim ” ηs⊥∥,max relativn´ıho vzr˚ ustu stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych ref foton˚ u s rostouc´ım poˇctem vrstev N . Protoˇze jsou hustoty ns stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u referenˇcn´ı struktury pˇr´ımo u ´mˇerné druhé mocninˇe celkové délky nelineárn´ıho materiálu uvnitˇr struktury, rostou hodnoty hustot ns stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u rychleji neˇz s N 2 . Pro srovnán´ı, stˇredn´ı poˇcty emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u rostou pomaleji neˇz s druhou mocninou délky nelineárn´ıho ma-


(a)

31

(b)

ustu stˇredn´ıho poˇctu emiObrázek 3: Maximum ηs⊥∥,max relativn´ıho vzr˚ tovan´ ych signálov´ ych foton˚ u v závislosti na pod´ılu L pro stavy s obˇema fotony ˇs´ıˇr´ıc´ımi se podél osy +z pro prvn´ı ˇcerpac´ı transmisn´ı vrchol (a) pod [(b) nad] druh´ ym zakázan´ ym pásem pro strukturu s N = 11 0 [N = 101] vrstvami [vrstvou]; ψs = 0 deg. teriálu v jin´ ych zdroj´ıch fotonov´ ych pár˚ u jako jsou homogenn´ı krystaly, periodicky pólované krystaly nebo vlnovodné struktury kv˚ uli podˇ m´ınkám na sfázován´ı nelineárn´ı interakce podél osy ˇs´ıˇren´ı z. Casto je experimentálnˇe pozorována témˇeˇr lineárn´ı závislost na délce nelineárn´ı struktury.

5

Intenzitn´ı profily v pˇ r´ıˇ cn´ e rovinˇ e a korelovan´ e plochy

Na pˇr´ıkladu tˇr´ı vrstevnat´ ych struktur vyroben´ ych z GaN/AlN demonstrujeme typické vlastnosti emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u. Materiálové charakteristiky GaN a AlN byly obsáhle shrnuty v prac´ıch [75, 76]. Tyto struktury se liˇs´ı polarizaˇcn´ımi vlastnostmi signálového a jalového fotonu. U kaˇzdé z uvaˇzovan´ ych struktur se projevuje odliˇsn´ y mechanismus rozˇstˇepen´ı korelované plochy. Pˇredpokládáme, ˇze ˇcerpac´ı pole s nosnou vlnovou délkou λ0p = 400 nm dopadá kolmo na struktury. Signálové a jalové pole jsou pak emitována na vlnov´ ych délkách bl´ızk´ ych degenerovan´ ym vlnov´ ym délkám λ0s = λ0i = 800 nm v nekolineárn´ı konfiguraci. Vrstvy z GaN a AlN jsou orientovány tak, ˇze

32

Intenzitn´ı profily v pˇr´ıˇcné rovinˇe a korelované plochy

jejich optické osy jsou kolmé na roviny rozhran´ı. Struktury se liˇs´ı poˇctem vrstev N (N = 11, 51 a 101), coˇz vede k r˚ uzn´ ym intenzitn´ım profil˚ um v pˇr´ıˇcn´ ych rovinách zobrazen´ ych v grafech na obrázku 4. Zat´ımco nejkratˇs´ı struktura s 11 vrstvami emituje signálové fotony pouze v jedné oblasti, u struktury se 101 vrstvou nacház´ıme jiˇz pˇet emisn´ıch kruh˚ u. Poznamenáváme, ˇze pˇr´ıˇcné profily emitovan´ ych svazk˚ u mohou b´ yt u ´spˇeˇsnˇe modifikovány zmˇenou pˇr´ıˇcného profilu ˇcerpac´ıho svazku [14]. Analyzované struktury maj´ı i spoleˇcné vlastnosti. Zejména ˇzádná z nich nem˚ uˇze generovat fotonové páry v témˇeˇr kolineárn´ıch geometri´ıch kv˚ uli symetrii minimalizuj´ıc´ı absolutn´ı hodnoty pˇrekryvov´ ych integrál˚ u. Spoleˇcné je i chován´ı korelovan´ ych ploch. Jejich azimutáln´ı (∆ψi ) i radiáln´ı (∆ϑi ) ˇs´ıˇrky závisej´ı na ˇs´ıˇrce rp pˇr´ıˇcného profilu ˇcerpac´ıho svazku; ˇc´ım menˇs´ı je ˇs´ıˇrka rp , t´ım vˇetˇs´ı jsou azimutáln´ı (∆ψi ) i radiáln´ı (∆ϑi ) ˇs´ıˇrky [18, 77]. Na druhé stranˇe, radiáln´ı ˇs´ıˇrky ∆ϑi korelovan´ ych ˇ ploch závisej´ı i na geometrii vrstevnaté struktury. C´ım vˇetˇs´ı je poˇcet vrstev N , t´ım menˇs´ı je korelovaná plocha v radiáln´ım smˇeru. V následuj´ıc´ım pop´ıˇseme chován´ı jednotliv´ ych struktur podrobnˇeji.

5.1

Struktura s 11 vrstvami

Struktura se skládá ze 6 nelineárn´ıch vrstev GaN 90,14 nm dlouh´ ych a 5 lineárn´ıch vrstev AlN dlouh´ ych 74,92 nm. I tento relativnˇe mal´ y poˇcet vrstev je dostateˇcn´ y k tomu, aby se vytvoˇrila pásová struktura, ’ byt dna jej´ıch zakázan´ ych pás˚ u u pr˚ ubˇeh˚ u intenzitn´ıch transmisivit dosahuj´ı hodnot okolo 0,3. V rovinˇe ψs = 0 deg se objevuje u ´ˇcinná spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze pro polarizace (TE,TM,TE) a (TE,TE,TM) pro (ˇcerpac´ı, signálové, jalové) pole d´ıky nenulovému koeficientu d(1, 1, 3). Pole jsou naladˇena do prvn´ıch transmisn´ıch vrchol˚ u pod prvn´ım a druh´ ym zakázan´ ym pásem. Proto je u ´ˇcinnost generace pár˚ u témˇeˇr optimáln´ı. Transmisn´ı signálov´ y a jalov´ y vrchol jsou spektrálnˇe ˇsiroké a proto pozorujeme emisi signálového fotonu v ˇsiroké oblasti v pˇr´ıˇcné rovinˇe mezi u ´hly ϑs = 20 deg a 60 deg [viz graf na obrázku 4(a)]. Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u zobrazen´ y v grafu na obrázku 5 ukazuje, ˇze emitované fotony maj´ı témˇeˇr degenerované frekvence a relativnˇe ˇsiroká spektra. Profil relativn´ıho vzr˚ ustu ηs ukázan´ y v grafu na obrázku 5 je dán r˚ uznou


4

10

n

tr s

-2

4

(deg )

10 0

80

n

tr s

33

-2

(deg )

80

0.2

0 0.2

0.4 0.6

(deg)

1.0 40

1.2

0.6 0.8 40

1.0

s

1.4

1.2

1.6

20

0.4

60

0.8

s

(deg)

60

20

1.8

1.4 1.6

2.0 2.2

0 0

20

40

s

60

80

1.8

0 0

2.4

(deg)

20

40

s

(a)

60

80

2.0

(deg)

(b) 4

10

n

tr s

-2

(deg ) 0

80

0.2 0.4 0.6 40

0.8

s

(deg)

60

1.0 20

1.2 1.4

0 0

20

40

s

60

80

1.6

(deg)

(c) Obrázek 4: Hustota ntr redn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u v závislosti s stˇ na signálovém radiáln´ım (ϑs ) a azimutáln´ım (ψs ) emisn´ım u ´hlu pro (a) N = 11, (b) N = 51 a (c) N = 101 vrstvu pro libovolné polarizace obou foton˚ u ˇs´ıˇr´ıc´ıch se podél osy +z. Emitovaná signálová pole jsou prom´ıtnuta na povrch polokoule, jej´ıˇz jeden kvadrant je zobrazen. Radiáln´ı emisn´ı u ´hel ϑs je dán vzdálenost´ı bodu od poˇcátku, zat´ımco azimutáln´ı emisn´ı u ´hel ψs je urˇcen pootoˇcen´ım odeˇc´ıtan´ ym tr od vertikáln´ıho smˇeru. Profil hustoty ns ve zbyl´ ych tˇrech kvadrantech je urˇcen ze symetrie. Hustota ntr je normov´ a na tak, aby platilo s ∫ π/2 ∫0 tr 2 sin(ϑs )dϑs −π/2 dψs ns (ϑs , ψs ) = (π/180) /4; rp → ∞. 0

34

Intenzitn´ı profily v pˇr´ıˇcné rovinˇe a korelované plochy 10

3 s

0 0.5

70

1.0

60

1.5

50

2.0

40

2.5

30

3.0

20

3.5

10

4.0

s

(deg)

80

4.5

0 0.91

0.94

0.97

1.00

2

/

s

1.03

1.06

1.09

0 p

Obrázek 5: Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u v závislosti na normované signálové frekvenci 2ωs /ωp0 a radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs pro strukturu s N = 11 vrstvami a libovoln´ ymi polarizacemi foton˚ u ˇs´ıˇr´ıc´ımi se podél osy +z; ψs = 0 deg, rp → ∞.

závislost´ı intenzitn´ıch transmisivit TTE a TTM na radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑ. Fotonové páry nemohou b´ yt generovány v oblasti ψs = ±90 deg z geometrick´ ych d˚ uvod˚ u (ˇs´ıˇren´ı signálového a jalového pole ve formˇe TM vln nen´ı nelinearitou podporováno). Struktura poskytuje cca dvakrát vˇetˇs´ı hodnoty relativn´ıho vzr˚ ustu ηs ve srovnán´ı s jednou vrstvou GaN dlouhou 6 × 90, 14 nm. Korelovaná plocha jalového fotonu je v pˇr´ıpadˇe kolimovaného ˇcerpac´ıho svazku sloˇzena z nˇekolika ostr˚ uvk˚ u“ situovan´ ych v oblastech ” s r˚ uzn´ ymi jalov´ ymi radiáln´ımi emisn´ımi u ´hly ϑi [viz graf na obrázku 6(a)]. Toto rozˇstˇepen´ı korelované plochy je zp˚ usobeno klikat´ ym“ po” hybem obou foton˚ u uvnitˇr struktury po jejich generaci v jedné vrstvˇe. Srovnán´ı korelovan´ ych ploch pro kolimované a fokusované ˇcerpac´ı svazky, napˇr. pomoc´ı graf˚ u na obrázc´ıch 6(a) a 6(b), ukazuje, ˇze rozˇs´ıˇren´ı korelované plochy v azimutáln´ım emisn´ım u ´hlu ψi silnˇe závis´ı na m´ıˇre fokusace ˇcerpac´ıho svazku. Na druhé stranˇe je tvar korelované plochy v radiáln´ım emisn´ım smˇeru ϑi rozmazán fokusac´ı ˇcerpac´ıho svazku, ovˇsem celková ˇs´ıˇrka korelované plochy v tomto smˇeru je zhruba zachována.

Jan Peˇrina ml.: Spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze n

cor

i

-2

(deg )

n

cor

i

0

0.03

-2

(deg )

0.6

1 2

0.02

35

0 0.02

0.4

0.04

5 0.00

6 7

-0.01

8 9

-0.02

10 11

-0.03 -4

-2

0 i

2

4

(deg)

4

0.2

0.06 0.08

0.0

0.10

i

0.01

i

(deg)

3

-0.2

0.12 0.14

-0.4

0.16 -0.6

12

(deg)

(a)

-4

-2

0 i

2

4

0.18

(deg)

(b)

Obrázek 6: Korelovaná plocha ncor eho fotonu pro (a) rp = i (ϑi , ψi ) jalov´ 1 mm a (b) rp = 30 µm pˇr´ısluˇsej´ıc´ı signálovému fotonu ˇs´ıˇr´ıc´ımu se ve smˇeru ϑ0s = 38 deg a ψs0 = 0 deg. Oba fotony libovoln´ ych polarizac´ı se ˇs´ıˇr´ı podél osy +z; ϑi = ϑ0i + δϑi , ϑ0i = −ϑ0s , ψi = ψi0 + δψi , ψi0 = ψs0 . Je ∫ π/2 ∫ π/2 2 pouˇzito normován´ı −π/2 dϑi −π/2 dψi ncor i (ϑi , ψi ) = (π/180) .

5.2

Struktura s 51 vrstvami

Druhá struktura je tvoˇrena 26 nelineárn´ımi vrstvami GaN dlouh´ ymi 106,87 nm a 25 lineárn´ımi vrstvami AlN o délkách 65,99 nm. V této ´ cinná sponstruktuˇre jiˇz pozorujeme dobˇre vytvoˇrené zakázané pásy. Uˇ tánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze se objevuje v pˇr´ıˇcné rovinˇe ve dvou soustˇredn´ ych kruz´ıch, jak je ukázáno v grafu na obrázku 4(b). Struktura je navrˇzena tak, aby docházelo k u ´ˇcinné nelineárn´ı interakci pro pole s polarizacemi (TM,TM,TM) v rovinˇe ψs = 0 deg d´ıky nelineárˇ n´ımu koeficientu d(2, 2, 3). Cerpac´ ı pole je um´ıstˇeno do prvn´ıho transmisn´ıho vrcholu nad druh´ ym zakázan´ ym pásem. Signálové a jalové pole naopak vyuˇz´ıvaj´ı prvn´ıho a druhého transmisn´ıho vrcholu pod prvn´ım zakázan´ ym pásem. Graf relativn´ıho vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u zobrazen´ y na obrázku 7 ukazuje, ˇze spektra signálového pole (a také jalového pole) jsou tvoˇrena dvˇema symetrick´ ymi vrcholy. Pro degenerované frekvence signálového a jalového pole nedocház´ı ke generaci pár˚ u d´ıky symetrii. Takto generované fotonové páry jsou popsány stavem antisymetrick´ ym vzhledem k zámˇenˇe signálové a jalové frekvence. Mezi v´ yznaˇcné rysy tˇechto stav˚ u patˇr´ı antishlukován´ı foton˚ u v páru a také fermionové“ chován´ı foton˚ u na dˇeliˇci svazku ”

36

Intenzitn´ı profily v pˇr´ıˇcné rovinˇe a korelované plochy 3

10

s

0

80

1 2

70

3 4 5

50

6 7

40

s

(deg)

60

8 30

9 10

20

11 12

10

0 0.97

0.98

0.99

1.00

2

s

/

1.01

1.02

1.03

0 p

Obrázek 7: Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u 0 v závislosti na normované signálové frekvenci 2ωs /ωp a radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs platn´ y pro strukturu s N = 51 vrstvami pro fotony libovoln´ ych polarizac´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se podél osy +z; ψs = 0 deg, rp → ∞. Hongova-Ouova-Mandelova interferometru [52]. Graf na obrázku 4(b) ukazuje, ˇze ke generaci fotonov´ ych pár˚ u docház´ı také pro azimutáln´ı emisn´ı u ´hly ψs okolo ±90 deg. V tomto pˇr´ıpadˇe má signálové pole TE polarizaci a jalové pole TM polarizaci, nebo naopak. U této struktury jsou dosahovány zhruba 50krát vyˇsˇs´ı hodnoty relativn´ıho vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u ve srovnán´ı s jednou vrstvou GaN dlouhou 26 × 106, 87 nm. Korelovaná plocha jalového fotonu je pˇrirozenˇe rozdˇelena do dvou ˇcást´ı v d˚ usledku dvouvrcholové struktury signálového a jalového spekter, coˇz je dokumentováno v grafu na obrázku 8(a). Korelovaná plocha má i symetrick´ y tvar. Ani fokusované ˇcerpac´ı pole nem˚ uˇze vést ke slit´ı dvou ˇcást´ı korelované plochy kv˚ uli nutnosti zachovat symetrii [viz graf na obrázku 8(b)].

5.3

Struktura se 101 vrstvou

Posledn´ı struktura je sloˇzena z 51 nelineárn´ıch vrstev GaN dlouh´ ych ˇ 106,42 nm a 50 lineárn´ıch vrstev AlN s délkami 65,71 nm. Cerpac´ ı svazek se nacház´ı v prvn´ım transmisn´ım vrcholu nad druh´ ym zakázan´ ym pásem. Detailn´ı srovnán´ı graf˚ u relativn´ıho vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u (viz graf na obrázku 9) a intenzitn´ıch trans-


n

cor

i

37

-2

(deg ) n

0

0.03

cor

i

2

-2

(deg ) 0

1.0

4

0.02

0.05

12

0.00

14

(deg)

10

0.10

0.5

0.15 0.20 0.0

0.25

i

8

0.01

i

(deg)

6

16

-0.01

18 20

-0.02

0.30 0.35

-0.5

0.40

22 -0.03 -1.5

24 -1.0

-0.5

0.0 i

0.5

(deg)

(a)

1.0

1.5

26

-1.0 -1.5

0.45 -1.0

-0.5

0.0 i

0.5

1.0

1.5

0.50

(deg)

(b)

Obrázek 8: Korelovaná plocha ncor eho fotonu pro (a) rp = i (ϑi , ψi ) jalov´ 1 mm a (b) rp = 30 µm za pˇredpokladu ˇs´ıˇren´ı signálového fotonu ve smˇeru ϑ0s = 29 deg a ψs0 = 0 deg; N = 51. Oba fotony s libovoln´ ymi 0 0 0 polarizacemi se ˇs´ıˇr´ı podél osy +z; ϑi = ϑi + δϑi , ϑi = −ϑs , ψi = ψi0 + δψi , ψi0 = ψs0 .

misn´ıch spekter TTE a TTM platn´ ych pro vlny TE a TM v rovinˇe ψ = ´ cinná spontánn´ı ses0 deg (viz grafy na obrázku 10) odkr´ yvá toto. Uˇ tupná frekvenˇcn´ı konverze se objevuje pˇri pˇrekryvu j-tého a (j + 1)-ho transmisn´ıho vrcholu nad prvn´ım zakázan´ ym pásem pro j = 2, . . . , 6. To vede k pˇeti soustˇredn´ ym kruh˚ um v grafu hustoty ntr redn´ıho poˇctu s stˇ signálov´ ych foton˚ u jasnˇe viditeln´ ych na obrázku 4(c). U této struktury navrˇzené pro polarizace (TE,TM,TE) a (TE,TE,TM) [(TM,TM,TM)] v okol´ı roviny ψs = 0 deg [ψs = ±90 deg] je vyuˇzit nelineárn´ı koeficient d(1, 1, 3). Graf relativn´ıho vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u ukazuje, ˇze signálová intenzitn´ı spektra v rovinˇe ψs = 0 deg jsou sloˇzena ze dvou vrchol˚ u s r˚ uzn´ ymi vahami. Jeden z vrchol˚ u vytváˇr´ı TE polarizovaná signálová vlna, druh´ y vrchol pak TM polarizovaná signálová vlna. Srovnán´ı s jednou vrstvou GaN dlouhou 51 × 106, 42 nm ukazuje, ˇze zes´ılen´ı optick´ ych pol´ı uvnitˇr struktury vede k hodnotám relativn´ıho vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u vyˇsˇs´ım cca 330krát. Spektra signálového a jalového pole sloˇzená ze dvou vrchol˚ u vedou k rozˇstˇepen´ı korelované plochy jalového fotonu na dvˇe ˇcásti, jak je patrné z grafu na obrázku 11(a) [78]. Tyto ˇcásti nejsou ovˇsem symetrické a

38

Intenzitn´ı profily v pˇr´ıˇcné rovinˇe a korelované plochy

10

3 s

0 1

80

2 70

3 4 5

50

6 7

40

8

s

(deg)

60

30

9 20

10 11

10

12

0 0.98

0.99

1.00

2

/

s

1.01

13

1.02

0 p

Obrázek 9: Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych fo0 ton˚ u závisej´ıc´ı na normované signálové frekvenci 2ωs /ωp a radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs . Je uvaˇzována struktura se N = 101 vrstvou a fotony libovoln´ ych polarizac´ı ˇs´ıˇr´ıc´ımi se podél osy +z; ψs = 0 deg, rp → ∞.

T

T

TE

0

80

0.1

70

40

0.5 0.6

30

0.7

20

0.8

10

0.9

0 0.94

1.0 0.97

1.00

2

/

1.03 0

1.06

(deg)

(deg)

0.4

0.1 0.2

60

0.3

50

0

70

0.2

60

0.3

50

0.4

40

0.5 0.6

30

0.7

20

0.8

10

0.9

0 0.94

1.0 0.97

1.00

2

p

(a)

TM

80

/

1.03

1.06

0 p

(b)

Obrázek 10: Intenzitn´ı transmisn´ı koeficienty (a) TTE pro vlnu TE a (b) TTM pro vlnu TM závisej´ıc´ı na normované frekvenci 2ω/ωp0 a radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑ v rovinˇe ψ = 0 deg pro strukturu se N = 101 vrstvou. V rovinˇe ψ = ±90 deg jsou grafy platné pro polarizace TE a TM vzájemnˇe zamˇenˇeny.

Jan Peˇrina ml.: Spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze n

cor

i

-2

n

(deg ) 0

0.04

35

i

40 45 -0.02

(deg)

0.00

0.10 0.20

0.5

0.25 0.30

0.0

0.35

i

30

0.05 0.15

20 25

0

1.0

15

0.02

-2

(deg )

1.5

5 10

(deg)

cor

i

39

0.40

-0.5

0.45

50 55

0.50

-1.0

0.55

60 -0.04 -1.0

65 -0.5

0.0 i

0.5

(deg)

(a)

1.0

70

-1.5 -1.0

0.60 -0.5

0.0 i

0.5

1.0

0.65

(deg)

(b)

Obrázek 11: Korelovaná plocha ncor eho fotonu pro (a) rp = i (ϑi , ψi ) jalov´ 1 mm a (b) rp = 30 µm pˇr´ısluˇsej´ıc´ı signálovému fotonu ˇs´ıˇr´ıc´ımu se ve smˇeru ϑ0s = 23 deg a ψs0 = 0 deg. Oba fotony s libovolnou polarizac´ı se ˇs´ıˇr´ı ve smˇeru osy +z; ϑi = ϑ0i + δϑi , ϑ0i = −ϑ0s , ψi = ψi0 + δψi , ψi0 = ψs0 . mohou se spojit v jeden celek pro dostateˇcnˇe fokusované ˇcerpac´ı pole [viz graf na obrázku 11(b)]. Vzdálenost mezi centry dvou ˇcást´ı korelované plochy v jalovém radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑi roste s rostouc´ımi hodnotami signálového radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑ0s . Zat´ımco je tato 0 vzdálenost rovna cca 0,6 deg pro ϑs = 23 deg (prvn´ı kruh), dosahuje jej´ı hodnota cca 4 deg pro ϑ0s = 66 deg (pát´ y kruh). Polarizace jalov´ ych foton˚ u v r˚ uzn´ ych oblastech korelované plochy jsou r˚ uzné.

6

Intenzitn´ı spektra a ˇ casov´ e charakteristiky

Uvaˇzujeme strukturu sloˇzenou z 11 vrstev a ˇcerpanou svazkem dopadaj´ıc´ım kolmo na jej´ı povrch. Pˇredpokládáme, ˇze ˇcerpac´ı svazek má polarizaci TE a polarizaˇcn´ı analyzátory pˇred detektory vyb´ıraj´ı TM (TE) polarizaci pro signálov´ y (jalov´ y) svazek. Nejprve uvaˇzujeme kontinuáln´ı ˇcerpán´ı na vlnové délce 400 nm. Ke generaci fotonov´ ych pár˚ u se zvolen´ ymi polarizacemi docház´ı v ˇsirokém rozmez´ı signálov´ ych radiáln´ıch emisn´ıch u ´hl˚ u ϑs , jak je patrné z grafu relativn´ıho vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho ˇ poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u na obrázku 12. Rezy ukazuj´ıc´ı relativn´ı vzr˚ ust ηs v závislosti na relativn´ı signálové frekvenci 2ωs /ωp0

40

Intenzitn´ı spektra a ˇcasové charakteristiky 10

3 s

0 0.5

70

1.0

60

1.5

50

2.0

40

2.5

30

3.0

20

3.5

10

4.0

s

(deg)

80

4.5

0 0.91

0.94

0.97

1.00

2

/

s

1.03

1.06

1.09

0 p

(a)

(b)

Obrázek 12: (a) Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u v závislosti na normované signálové frekvenci 2ωs /ωp0 a radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs pro strukturu s N = 11 vrstvami, polarizacemi (TE,TM,TE) foton˚ u a pro signálové a jalové fotony ˇs´ıˇr´ıc´ı ˇ se podél osy +z. Rezy pro ϑs = 35, 5 deg (spojitá kˇrivka bez oznaˇcen´ı) a ϑs = 55 deg (spojitá kˇrivka s ∗) jsou zobrazeny v (b); ψs = 0 deg, rp → ∞.

pro dva radiáln´ı emisn´ı u ´hly ϑs v grafu na obrázku 12(b) ukazuj´ı, ˇze signálová spektra vznikaj´ı komplikovanou interferenc´ı uvnitˇr struktury vedouc´ı ke spektráln´ım posun˚ um a také asymetrick´ ym spektráln´ım tr,a profil˚ um. Nejvyˇsˇs´ı hustoty ns stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u v rovinˇe ψs = 0 deg je dosaˇzeno pro signálov´ y radiáln´ı emisn´ı u ´hel ϑs = 35.5 deg (viz graf na obrázku 13). Nicménˇe, i pro emisn´ı u ´hly ϑs ≈ 10 deg a 70 deg generuje struktura fotonové páry s cca 20% intenzitou ve srovnán´ı s maximáln´ı intenzitou. S rostouc´ı hodnotou signálového radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑs docház´ı c k poklesu centráln´ı frekvence ωs signálového pole [viz graf na obrázku 14(a)]. V oblasti okolo ϑs = 40 deg, tedy v oblasti v´ yskytu maximáln´ıch tr,a hodnot hustot ns , jsou ve spektru silnˇe zastoupeny signálov´ y a jalov´ y 0 fotony s degenerovan´ ymi frekvencemi ωs , ωi ≈ ωp /2. Podobnˇe s rostouc´ımi hodnotami signálového radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑs klesá i ˇs´ıˇrka ∆λs intenzitn´ıho signálového spektra [∆λs = (2πc/ωsc2 )∆ωs ] [viz graf na obrázku 14(b)]. Pokles ˇs´ıˇrky ∆λs signálového spektra v oblasti u ´hl˚ u ϑs ∈ (0; 35, 5) deg souvis´ı s m´ırou konstruktivn´ı interference


41

Obrázek 13: Hustota ntr,a stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u s v závislosti na signálovém radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs v rovinˇe ψs = 0 deg pro strukturu definovanou v popisu obrázku 12. ˇ ım silnˇejˇs´ı je tato odráˇzej´ıc´ıch se signálov´ ych pol´ı uvnitˇr struktury. C´ interference, t´ım uˇzˇs´ı je oblast signálov´ ych frekvenc´ı podléhaj´ıc´ı konstruktivn´ı interferenci a t´ım vˇetˇs´ı je m´ıra zes´ılen´ı monochromatick´ ych pol´ı uvnitˇr této oblasti. Tento typ chován´ı je pˇrekryt v oblasti u ´hl˚ u ϑs ∈ (35, 5; 90) deg chován´ım vypl´ yvaj´ıc´ım z materiálov´ ych charakteristik struktury. Ty vedou k tomu, ˇze v této oblasti docház´ı k silné emisi frekvenˇcnˇe nedegenerovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u, která je charakterizována uˇzˇs´ımi signálov´ ymi spektry. Celkovˇe jsou emitovaná signálová (a také jalová) spektra ˇsiroká [∆λs ∈ (40, 100) nm] v d˚ usledku malého poˇctu vrstev tvoˇr´ıc´ıch strukturu. Fotonov´ y pár se signálov´ ym fotonem ˇs´ıˇr´ıc´ım se ve smˇeru (ϑs , ψs ) je zcela popsán svoj´ı dvoufotonovou amplitudou at’ jiˇz ve spektráln´ı [ϕαβ casové [Aαβ aln´ı dvoufotonová ab (ωs , ωi )], nebo ˇ ab (τs , τi )] oblasti. Spektr´ amplituda ϕαβ (ω , ω ) m´ a pro kontinu´ a ln´ ı ˇ c erp´ a n´ ı speci´ aln´ı tvar s(ωs ) s i ab 0 2 δ(ωp − ωs − ωi ), ve kterém je funkce |s(ωs )| pˇr´ımo u ´mˇerná relativn´ımu vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u [viz graf na obrázku 12(b)]. Tento tvar je d˚ usledkem stacionarity celého nelineárn´ıho procesu. Speciáln´ı stacionárn´ı tvar má i ˇcasová dvoufotonová amplituda Aαβ a závis´ı pouze na rozd´ılu τs − τi detekˇcn´ıch ˇcas˚ u signáab (τs , τi ), kter´ lového a jalového fotonu. Kvadrát jej´ıho modulu |A|2 je dán vztahem αβ 2 |Aαβ em funkce pαβ avá ab (τs , τi )| = Cpi,ab (τi − τs ), ve kter´ i,ab (τi − τs ) ud´ pravdˇepodobnost detekce jalového fotonu v ˇcase τi podm´ınˇenou detekc´ı signálového fotonu v ˇcase τs ; C je konstanta. Typická závislost

42

Intenzitn´ı spektra a ˇcasové charakteristiky

(a)

(b)

Obrázek 14: (a) Relativn´ı centráln´ı signálová frekvence ωsc /ωp0 a (b) ˇs´ıˇrka intenzitn´ıho signálového spektra ∆λs (FWHM, plná ˇs´ıˇrka v polovinˇe maxima) v závislosti na signálovém radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs pro strukturu definovanou v popisu obrázku 12. podm´ınˇené pravdˇepodobnosti pi zobrazená v grafu na obrázku 15 odráˇz´ı fakt, ˇze oba fotony jsou emitovány spoleˇcnˇe v jednom ˇcasovém okamˇziku na stejném m´ıstˇe ve struktuˇre a následnˇe se strukturou nezávisle ˇs´ıˇr´ı. Tento klikat´ y“ pohyb vede ke vzr˚ ustu relativn´ıho ˇcasového ” zpoˇzdˇen´ı dvou foton˚ u na v´ ystupu ze struktury v d˚ usledku mnohaˇcetn´ ych zpˇetn´ ych odraz˚ u, které vytváˇrej´ı velké mnoˇzstv´ı navzájem interferuj´ıc´ıch kvantov´ ych evoluˇcn´ıch drah. V d˚ usledku této interference vznikaj´ı typická lokáln´ı minima a maxima u závislosti podm´ınˇené pravdˇepodobnosti pi na rozd´ılu ˇcas˚ u τs −τi ukázané v grafu na obrázku ˇ ım vˇetˇs´ı je rozd´ıl detekˇcn´ıch ˇcas˚ 15. C´ u τs − τi , t´ım menˇs´ı jsou hodnoty podm´ınˇené pravdˇepodobnosti pi v d˚ usledku ménˇe pravdˇepodobn´ ych kvantov´ ych drah s mnohaˇcetn´ ymi odrazy. Fotony generované uvnitˇr struktury mohou opustit strukturu i v rovinˇe z = z0 . Emisn´ı spektra 4 r˚ uzn´ ych moˇznost´ı v´ ystupu dvou foton˚ u z jednoho páru ze struktury jsou podobná v profilech i velikostech. To je d˚ usledkem faktu, ˇze u ´ˇcinná generace fotonov´ ych pár˚ u nastává pro signálové a jalové pole rezonuj´ıc´ı“ se strukturou, coˇz znamená ” srovnatelné amplitudy elektrick´ ych pol´ı pro z = z0 a z = zN . ˇ Casová provázanost foton˚ u v páru se projevuje v Hongovˇe-OuovˇeMandelovˇe interferometru poskytuj´ıc´ım normované poˇcty koincidenc´ı R v závislosti na relativn´ım ˇcasovém zpoˇzdˇen´ı τl . Profil normovaného


43

Obrázek 15: Pravdˇepodobnost pi (τi −τs ) detekce jalového fotonu v ˇcase τi podm´ınˇená detekc´ı signálového fotonu v ˇcase τs = 0 s pro strukturu definovanou v popisu obrázku 12 a signálov´ y emisn´ı u ´hel ϑs = 35, 5 deg; je pouˇzita logaritmická osa pi .

poˇctu koincidenc´ı R je ve tvaru záˇrezu s vizibilitou aˇz jednotkovou a ˇs´ıˇrkou odráˇzej´ıc´ı typick´ y ˇcas kvantov´ ych korelac´ı. V pˇr´ıpadˇe nedegenerovan´ ych centráln´ıch frekvenc´ı ωsc a ωic signálového a jalového pole je tento záˇrez modulován oscilacemi s periodou u ´mˇernou 1/(ωsc − ωic ). Profily normovaného poˇctu koincidenc´ı R pro signálové emisn´ı u ´hly ϑs = 35, 5 deg a 55 deg jsou ukázány v grafu na obrázku 16. Oscilace na frekvenci 1/(ωsc − ωic ) jsou patrné pouze pro kˇrivku platnou pro emisn´ı u ´hel ϑs = 35, 5 deg. Pro emisn´ı u ´hel ϑs = 55 deg jsou tyto oscilace pˇr´ıliˇs rychlé a projevuj´ı se v niˇzˇs´ı vizibilitˇe koincidenˇcn´ıho profilu. Minima normovaného poˇctu koincidenc´ı R v grafu na obrázku 16 jsou posunuta k záporn´ ym hodnotám zpoˇzdˇen´ı τl . To znamená, ˇze se jalov´ y foton v pr˚ umˇeru pˇredb´ıhá pˇred signálov´ ym fotonem v d˚ usledku vlastnost´ı struktury. Vizibilita V normovaného poˇctu koincidenc´ı R(τl ) klesá s rostouc´ım signálov´ ym radiáln´ım emisn´ım u ´hlem ϑs , jak je patrno z grafu na obrázku 17(a). Hodnoty vizibility V kolem 0,8 se objevuj´ı v oblasti maxima hustoty generovan´ ych signálov´ ych foton˚ u. Pokles vizibility V pro vˇetˇs´ı hodnoty emisn´ıho u ´hlu ϑs je dán vˇetˇs´ımi hodnotami rozd´ılu frekvenc´ı ωs −ωi zastoupen´ ymi ve spektráln´ı dvoufotonové amplitudˇe a ˇıˇrka záˇrezu ∆τl naopak roste z toho vypl´ yvaj´ıc´ımi rychl´ ymi oscilacemi. S´ s rostouc´ımi hodnotami emisn´ıho u ´hlu ϑs v souladu s klesaj´ıc´ı ˇs´ıˇrkou signálového (a také jalového) intenzitn´ıho spektra [srovnej grafy na

44

Intenzitn´ı spektra a ˇcasové charakteristiky

Obrázek 16: Normovan´ y poˇcet koincidenc´ı R v závislosti na relativn´ım ˇcasovém zpoˇzdˇen´ı τl mezi signálov´ ym a jalov´ ym fotonem pro ϑs = 35, 5 deg (spojitá kˇrivka bez oznaˇcen´ı) a ϑs = 55 deg (spojitá kˇrivka s ∗) pro strukturu definovanou v popisu obrázku 12. obrázc´ıch 17(b) a 12]. Pro strukturu jsou typické ˇs´ıˇrky záˇrezu v rozmez´ı od 80 fs do 180 fs charakterizuj´ıc´ı stˇredn´ı ˇcasovou vzdálenost“ mezi ” signálov´ ym a jalov´ ym fotonem v páru. Nyn´ı uvaˇzujeme ˇcerpán´ı struktury pomoc´ı ultrakrátkého optického pulzu s gaussovsk´ ym profilem popsan´ ym vztahem (46), nosnou vlnovou délkou λ0p = 400 nm, dobou trván´ı τp = 100 fs a bez modulace spektráln´ı fáze (ap = 0). Kvadrát modulu spektráln´ı amplitudy |Ep |2 dopadaj´ıc´ıho ˇcerpac´ıho pole je zobrazen v grafu na obrázku 18 spoleˇcnˇe s intenzitn´ım transmisn´ım koeficientem Tp analyzované struktury. Graf na obrázku 18 ukazuje, ˇze se celé ˇcerpac´ı spektrum um´ıst´ı bez problému dovnitˇr transmisn´ıho vrcholu struktury a tud´ıˇz nedocház´ı k odfiltrován´ı“ krajn´ıch ˇcerpac´ıch frekvenc´ı strukturou. To je d˚ uleˇzité ” pro zachován´ı ultrarychlého charakteru nelineárn´ıho procesu a generován´ı signálového a jalového pole ve tvaru vlnov´ ych bal´ık˚ u trvaj´ıc´ıch ˇrádovˇe stovky fs. Struktura generuje pouze fotony s takov´ ymi frekvencemi ωs a ωi signálového a jalového pole, pro které leˇz´ı souˇcet frekvenc´ı ωs + ωi uvnitˇr ˇcerpac´ıho spektra. Moˇzné hodnoty dvojic frekvenc´ı ωs a ωi a také pravdˇepodobnosti jejich generace jsou dány kvadrátem modulu |ϕ(ωs , ωi )|2 spektráln´ı dvoufotonové amplitudy. Typick´ y eliptick´ y tvar pravdˇepodobnosti |ϕ(ωs , ωi )|2 generace signálového fotonu s frekvenc´ı ωs a jalového fotonu s frekvenc´ı ωi je zobrazen v grafu na obrázku 19.


(a)

45

(b)

Obrázek 17: (a) Vizibilita V a (b) ˇs´ıˇrka záˇrezu ∆τl (FWHM) normovaného poˇctu koincidenc´ı R(τl ) v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru v závislosti na signálovém radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs pro strukturu definovanou v popisu obrázku 12.

Obrázek 18: Intenzitn´ı transmisn´ı koeficient Tp (spojitá kˇrivka bez oznaˇcen´ı) a intenzitn´ı spektrum |Ep |2 (spojitá kˇrivka s ∗) dopadaj´ıc´ıho ˇcerpac´ıho svazku jako funkce normované ˇcerpac´ı frekvence ωp /ωp0 pro ϑp = 0 deg, τp = 100 fs, ap = 0 a strukturu definovanou v popisu obrázku 12.

46

Intenzitn´ı spektra a ˇcasové charakteristiky -3

10

2

| |

1.10 0 0.1 0.2

1.05

0

0.3

0.5 0.6

2

i

/

p

0.4 1.00

0.7 0.8

0.95

0.9 1.0 1.1

0.90 0.90

0.95

1.00

2

s

/

1.05

1.10

0 p

Obrázek 19: Kvadrát modulu |ϕ(ωs , ωi )|2 spektráln´ı dvoufotonové amplitudy pro fotonov´ y pár se signálov´ ym fotonem emitovan´ ym ve smˇeru ϑs = 35, 5 deg, ψs = 0 deg pro strukturu definovanou v popisu obrázku 12 a ˇcerpanou pulzem s τp = 100 fs, ap = 0. Funkce |ϕ|2 je normována ∫ ∫ podle vztahu 4 dωs dωi |ϕ(ωs , ωi )|2 /(ωp0 )2 = 1.

Profil pravdˇepodobnosti |ϕ(ωs , ωi )|2 v grafu na obrázku 19 m˚ uˇze b´ yt chápán jako sloˇzen´ y z profil˚ u definovan´ ych na pˇr´ımkách dan´ ych vztahem ωs + ωi = ωp = konst a pˇr´ımo u ´mˇern´ ych profil˚ um z´ıskan´ ym pro kontinuáln´ı ˇcerpán´ı s odpov´ıdaj´ıc´ı nosnou ˇcerpac´ı frekvenc´ı ωp . Typická délka elipsy v grafu na obrázku 19 ve smˇeru paraleln´ım s pˇr´ımkou ωs = ωi je tedy dána ˇs´ıˇrkou intenzitn´ıho ˇcerpac´ıho spektra. Na druhé stranˇe, délka elipsy ve smˇeru kolmém k pˇr´ımce ωs = ωi charakterizuje vlastnosti struktury a je srovnatelná jak pro kontinuáln´ı, tak i ultra-rychlé ˇcerpán´ı. V ˇcasové oblasti ukazuje kvadrát modulu |A(τs , τi )|2 ˇcasové dvoufotonové amplitudy zobrazen´ y v grafu na obrázku 20(a), ˇze se signálov´ y i jalov´ y foton nacházej´ı ve velmi krátkém ˇcasovém intervalu v d˚ usledku ˇ ˇcerpán´ı ultrarychl´ ym pulzem. Casové intervaly, ve kter´ ych je moˇzné detekovat signálov´ y nebo jalov´ y foton, jsou dány dobou trván´ı ˇcerpac´ıho pulzu a také disperzn´ımi vlastnostmi struktury rozˇsiˇruj´ıc´ımi tyto intervaly. Na druhé stranˇe je rozsah pravdˇepodobnosti |A(τs , τi )|2 ve smˇeru kolmém k pˇr´ımce τs = τi urˇcen dominantnˇe vlastnostmi struktury a charakterizován typick´ ym ˇcasem kvantov´ ych korelac´ı foton˚ u v páru. V tomto smˇeru je profil vytvoˇren sloˇzitou interferenc´ı foton˚ u pohybuj´ıc´ıch se klikatˇe“ uvnitˇr struktury. Tato interference vede k silnˇe de”

Jan Peˇrina ml.: Spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze 2

28

10 |A|

(10

47

-2

s )

10

0 0.3 5

0.6

(10

-14

s)

0.9 1.2

0

i

1.5 1.8 -5

2.1 2.4 2.7

-10 -10

-5

0

5 -14

s

(10

10

3.0

s)

(a)

(b)

Obrázek 20: (a) Kvadrát modulu |A(τs , τi )|2 ˇcasové dvoufotonové amplitudy a (b) pravdˇepodobnost pi detekce jalového fotonu v ˇcase τi podm´ınˇená detekc´ı signálového fotonu v ˇcase τs = 0 s pro fotonov´ y 2 pár a strukturu dan´ e v popisu obrázku 19. Funkce |A| je normována ∫ ∫ podle vztahu dτs dτi |A(τs , τi )|2 = 1.

struktivn´ımu skládán´ı amplitud r˚ uzn´ ych kvantov´ ych drah pro nˇekteré ˇcasové okamˇziky, jak je ukázáno v grafu na obrázku 20(b). Srovnán´ı graf˚ u v obrázc´ıch 15 a 20(b) ukazuje, ˇze ultrarychlé ˇcerpán´ı zmenˇsuje poˇcet lokáln´ıch minim se silnˇe destruktivn´ı interferenc´ı, ale nevede ku ´plnému potlaˇcen´ı tohoto jevu. Protoˇze se spektrum dopadaj´ıc´ıho ˇcerpac´ıho svazku dobˇre um´ıstilo dovnitˇr transmisn´ıho vrcholu studované struktury, nacházej´ı se také frekvence emitovaného signálového a jalového fotonu uvnitˇr sv´ ych transmisn´ıch vrchol˚ u. To znamená, ˇze intenzitn´ı spektra signálového a jalového pole jsou pouze m´ırnˇe rozˇs´ıˇrena oproti spektr˚ um platn´ ym pro kontinuáln´ı ˇcerpán´ı. Podobné je i chován´ı fotonov´ ych pár˚ u v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru ˇcerpaném ultrarychl´ ymi pulzy ve srovnán´ı s kontinuáln´ım pˇr´ıpadem. Pulzn´ı ˇcerpán´ı vede k malému poklesu vizibility V profilu normovaného poˇctu koincidenc´ı R(τl ). Signálové a jalové pole jsou emitována ve tvaru ultrarychl´ ych pulzn´ıch pol´ı v mnohamódov´ ych Fockov´ ych stavech. V grafu na obrázku 21 vid´ıme typick´ y ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh fotonového toku Ns signálového pole v jednom bodˇe prostoru. Fotonov´ y tok Ns je typicky posunut smˇerem ke kladn´ ym hodnotám ˇcasu τs kv˚ uli zdrˇzen´ı uvnitˇr struktury daném

48

Fotonové páry antisymetrické pˇri zámˇenˇe frekvenc´ı

Obrázek 21: Fotonov´ y tok Ns signálového svazku v závislosti na detekˇcn´ım ˇcase τs pro pole ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru ϑs = 35, 5 deg, ψs = 0 deg ˇ τs pro fotonov´ y pár a strukturu definované v popisu obrázku 19. Cas je synchronizován na stˇred ˇcerpac´ıho pulzu.

klikat´ ym“ pohybem. V grafu na obrázku 22(a) vid´ıme, ˇze toto ˇcasové ” zpoˇzdˇen´ı je zhruba 10 fs a s rostouc´ımi hodnotami signálového radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑs klesá. To souvis´ı se závislost´ı rozd´ılu grupov´ ych ˇ ım menˇs´ı rychlost´ı ˇcerpac´ıho a signálového pole na emisn´ım u ´hlu ϑs . C´ je tento rozd´ıl, t´ım menˇs´ı je posunut´ı maxima signálového fotonového toku Ns . Na druhé stranˇe ˇcasová ˇs´ıˇrka ∆τs signálového fotonového toku Ns závis´ı jen velmi málo na emisn´ım u ´hlu ϑs [viz graf na obrázku 22(b)]. To je dáno t´ım, ˇze 100-fs pulz je pro analyzovanou strukturu dlouh´ y a tedy dominantnˇe urˇcuje profil signálového fotonového toku Ns (τs ). Obecnˇe plat´ı, ˇze ˇc´ım silnˇejˇs´ı je interference pol´ı ve struktuˇre, t´ım uˇzˇs´ı jsou signálové a jalové spektrum, t´ım delˇs´ı jsou odpov´ıdaj´ıc´ı fotonové toky a t´ım vˇetˇs´ı je relativn´ı zpoˇzdˇen´ı signálového a jalového fotonu vzhledem k ˇcerpac´ımu svazku. Tyto v´ ysledky ukazuj´ı, ˇze fotonické nelineárn´ı struktury ˇcerpané ultrarychl´ ymi pulzn´ımi poli zachovávaj´ı ultrarychl´ y charakter nelineárn´ıho procesu a tud´ıˇz generuj´ı ultra-rychlá optická pole. Taková pole jsou nepostradatelná u experiment˚ u vyˇzaduj´ıc´ıch ˇcasovou synchronizaci foton˚ u nacházej´ıc´ıch se v r˚ uzn´ ych fotonov´ ych párech.


(a)

49

(b)

Obrázek 22: (a) Okamˇzik τsc dosaˇzen´ı maxima a (b) ˇcasová ˇs´ıˇrka ∆τs (FWHM) signálového fotonového toku Ns (τs ) jako funkce signálového radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑs pro strukturu definovanou v popisu obrázku 19.

7

Fotonov´ e p´ ary antisymetrick´ e pˇ ri z´ amˇ enˇ e sign´ alov´ e a jalov´ e frekvence — antishlukov´ an´ı foton˚ u

Jak jsme jiˇz vidˇeli, kvantová frekvenˇcn´ı provázanost souvis´ı se skuteˇcnost´ı, ˇze oba fotony v páru jsou generovány v jediném ˇcasovém okamˇziku a opouˇstˇej´ı sv˚ uj zdroj spoleˇcnˇe ve velmi krátkém ˇcasovém intervalu. Doba trván´ı tohoto intervalu se odráˇz´ı v ˇs´ıˇrce koincidenˇcn´ıho obrazce v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru [1, 2]. Tento interferometr je zaloˇzen na skuteˇcnosti, ˇze dva fotony se stejn´ ymi ˇcasov´ ymi profily dopadaj´ıc´ı na r˚ uzné vstupy dˇeliˇce svazku ve stejném ˇcasovém okamˇziku opouˇstˇej´ı tento dˇeliˇc spoleˇcnˇe jedn´ım z jeho v´ ystup˚ u. Podot´ ykáme, ˇze tyto fotony nemus´ı b´ yt obecnˇe kvantovˇe provázány, viz napˇr. ˇclánky [79, 80] referuj´ıc´ı o interferenci dvou nezávisl´ ych foton˚ u. Toto chován´ı je d˚ usledkem zcela destruktivn´ı interference dvou kvantov´ ych drah zanechávaj´ıc´ıch jeden foton v jednom v´ ystupu a druh´ y foton ve druhém v´ ystupu. Poznamenáváme, ˇze ve skuteˇcnosti pro toto chován´ı nen´ı d˚ uleˇzit´ y maximáln´ı pˇrekryv foton˚ u na dˇeliˇci svazku, ale v m´ıstˇe detektor˚ u zaznamenávaj´ıc´ıch koincidence [81]. Tvrzen´ı o pˇrekryvu foton˚ u na dˇeliˇci svazku je d˚ usledkem toho, ˇze ve valné vˇetˇsinˇe experi-

50


mentáln´ıch uspoˇrádán´ı znamená pˇrekryv foton˚ u na dˇeliˇci svazku automaticky pˇrekryv foton˚ u i v m´ıstech detektor˚ u. Toto chován´ı je v rozporu s pravidly klasické fyziky, která pˇredpov´ıdá nekorelované chován´ı dvou statisticky nezávisl´ ych foton˚ u vyb´ıraj´ıc´ıch si náhodnˇe sv˚ uj v´ ystup. Kaˇzd´ y z klasick´ ych foton˚ u“ má tedy 50% pravdˇepodobnost nalezen´ı ” ve zvoleném v´ ystupu dˇeliˇce svazku. V Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru je zavedeno promˇenné relativn´ı zpoˇzdˇen´ı dvou foton˚ u, které postupnˇe mˇen´ı m´ıru pˇrekryvu tˇechto foton˚ u na dˇeliˇci svazku a t´ım odkr´ yvá ˇcasové korelace foton˚ u v páru. Perfektn´ı vizibilitu je tedy moˇzné dosáhnout pouze tehdy, kdyˇz jsou dva interferuj´ıc´ı fotony identické (tedy perfektnˇe nerozliˇsitelné). To je také pˇr´ıˇcinou velkého u ´sil´ı vˇenovaného rozvoji metod umoˇzn ˇuj´ıc´ıch generovat páry s identick´ ym signálov´ ym a jalov´ ym fotonem [82, 83]. Mˇeˇren´ı bˇeˇzn´ ych frekvenˇcnˇe provázan´ ych stav˚ u v tomto interferometru ukazuj´ı, ˇze se jalov´ y foton vyskytuje v tˇesné bl´ızkosti signálového fotonu (v ˇcasovém intervalu dlouhém typicky nˇekolik set fs) a plat´ı, ˇze ˇc´ım je vzájemná ˇcasová vzdálenost dvou foton˚ u delˇs´ı, t´ım menˇs´ı je pravdˇepodobnost ˇcasové detekˇcn´ı koincidence. Chován´ı fotonového páru se dramaticky zmˇen´ı, pokud jsou dva fotony generovány ve stavech antisymetrick´ ych v nˇekteré promˇenné (frekvenci, polarizaci, vlnovém vektoru). Jako pˇr´ıklad uvedeme dvoufotonov´ y Bell˚ uv stav |ψ − ⟩ a jeho chován´ı v polarizaˇcn´ı variantˇe HongovaOuova-Mandelova interferometru. Pokud vstoup´ı dva identické fotony r˚ uzn´ ymi vstupy na dˇeliˇc svazku, pak odejdou r˚ uzn´ ymi v´ ystupy (viz napˇr. [82]). Pozorujeme tedy anti-korelaci dvou foton˚ u na dˇeliˇci svazku pˇripom´ınaj´ıc´ı chován´ı dvou fermion˚ u. Této vlastnosti vyuˇz´ıvaj´ı mnohá teleportaˇcn´ı schémata [84]. Antikorelaci dvou foton˚ u na dˇeliˇci svazku pozorujeme i u stav˚ u antisymetrick´ ych pˇri zámˇenˇe signálové a jalové frekvence [52]. Tyto stavy také vykazuj´ı ˇcasové antishlukován´ı dvou foton˚ u. Pokud detekujeme signálov´ y foton v daném ˇcase, jalov´ y foton nem˚ uˇze b´ yt v tomto ˇcase detekován, pˇrestoˇze se nacház´ı v tˇesné bl´ızkosti signálového fotonu. Frekvenˇcnˇe antisymetrické stavy [52] pˇredstavuj´ı ˇcasovou (spektráln´ı) analogii dvoufotonov´ ych stav˚ u vykazuj´ıc´ıch prostorové antishlukován´ı v d˚ usledku antisymetrie pˇri zámˇenˇe signálového a jalového vlnového vektoru. Bylo navrˇzeno a experimentálnˇe ovˇeˇreno nˇekolik metod pro generován´ı takov´ ych stav˚ u [85—88].


51

Signálové a jalové intenzitn´ı spektrum kvantovˇe provázaného stacionárn´ıho stavu antisymetrického vzhledem k zámˇenˇe signálové a jalové frekvence jsou ideálnˇe tvoˇrena dvˇema symetrick´ ymi vrcholy s t´ım, ˇze fotonov´ y pár nen´ı generován pro degenerovanou signálovou a jalovou frekvenci [52]. V této souvislosti poznamenáváme, ˇze byly navrˇzeny metody pro kontrolu korelac´ı mezi signálov´ ymi a jalov´ ymi frekvencemi [62, 59]. Spektráln´ı dvoufotonová amplituda ϕ obecného stacionárn´ıho frekvenˇcnˇe antisymetrického stavu je popsána následuj´ıc´ım jednoduch´ ym vzorcem (viz [82, 52]): ϕ(ωs , ωi ) =

[

]

f (ωs − ωs0 ) − f (−ωs + ωs0 ) δ(ωp0 − ωs − ωi ). (47)

Symbol ωp0 znaˇc´ı nosnou frekvenci ˇcerpán´ı a komplexn´ı funkce f popisuje zdroj pár˚ u. Tento obecn´ y tvar spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕ ’ zajiˇst uje, ˇze signálová a jalová spektra jsou sloˇzena ze dvou symetricky um´ıstˇen´ ych vrchol˚ u se stejn´ ymi amplitudami. V ˇcasové oblasti dostáváme s vyuˇzit´ım vztah˚ u (34) a (35) pro dvoufotonovou ˇcasovou amplitudu A [52] následuj´ıc´ı v´ yraz: √

A(τs , τi ) =

h ¯ ωs0 ωi0

exp(−iωs0 τs ) exp(−iωi0 τi ) 16π 3 ϵ0 [ ] × f˜(τs − τi ) − f˜(τi − τs ) .

(48)

Symbol f˜ ve vztahu (48) oznaˇcuje Fourierovu transformaci funkce f a ωs0 (ωi0 ) znamená centráln´ı frekvenci signálového (jalového) pole. Pro τs = τi je ˇcasová dvoufotonová amplituda A v rovnici (48) rovna nule. Protoˇze v´ yraz |A(τs , τi )|2 udává pravdˇepodobnost koincidenˇcn´ı detekce signálového fotonu v ˇcase τs a jalového fotonu v ˇcase τi , oba fotony nemohou b´ yt detekovány ve stejném ˇcasovém okamˇziku. Antikorelace foton˚ u na dˇeliˇci svazku se projevuje typick´ ym pr˚ ubˇehem normovaného poˇctu koincidenc´ı R [39] v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru. V pˇr´ıpadˇe spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕ dané vztahem (47) z´ıskáváme s vyuˇzit´ım vzorc˚ u (42) a (43) následuj´ıc´ı v´ yraz pro normovan´ y poˇcet koincidenc´ı R [52]: R(τl ) = 1 +

Re [exp[−i(ωs0 − ωi0 )τl ]g(τl )] , g(0)

(49)

52


ve kterém je

∫

g(τ ) =

∞

−∞

dω|f (ω) − f (−ω)|2 exp(−2iωτ ).

(50)

Pro nulové relativn´ı zpoˇzdˇen´ı τl dvou foton˚ u, tedy v pˇr´ıpadˇe perfektn´ıho pˇrekryvu signálového a jalového fotonu, dostáváme R(τl = 0) = 2. To znamená, ˇze oba fotony mus´ı opustit dˇeliˇc svazk˚ u r˚ uzn´ ymi v´ ystupy, abychom dostali dvojnásobn´ y poˇcet koincidenc´ı ve srovnán´ı s pˇr´ıpadem dvou nezávisl´ ych foton˚ u objevuj´ıc´ım se v limitˇe τl → ∞. Fotonické struktury vyrobené z GaN/AlN nab´ızej´ı dvˇe r˚ uzná schémata pro generován´ı tˇechto stav˚ u. Prvn´ı schéma je zaloˇzeno na vektorovém charakteru spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze a vyuˇz´ıvá destruktivn´ı interferenci mezi dvˇema emisn´ımi drahami s rozd´ıln´ ymi polarizaˇcn´ımi vlastnostmi. Druhé schéma vycház´ı z toho, ˇze k u ´ˇcinné generaci fotonového páru docház´ı tehdy, pokud frekvence obou foton˚ u leˇz´ı uvnitˇr transmisn´ıch vrchol˚ u struktury [39]. Vhodná struktura tedy vzniká, kdyˇz dojde k u ´ˇcinné generaci signálového (a také jalového) fotonu souˇcasnˇe do dvou sousedn´ıch transmisn´ıch vrchol˚ u. V prvn´ım schématu nedocház´ı ke generaci fotonového páru s degenerovanou signálovou a jalovou frekvenc´ı ωp0 /2 d´ıky kompletnˇe destruktivn´ı interferenci pozorované pro polarizace (TM,TM,TM). V této kon(2) figuraci jsou dva prvky nelineárn´ı susceptibility χ(2) , χ(2) y,y,z a χy,z,y , zodpovˇedné stejnou mˇerou za generaci fotonového páru. Jeden foton je generován s polarizac´ı podél osy y, zat´ımco druh´ y foton má polarizaci podél osy z. Stav fotonového páru se signálov´ ym fotonem s vlnov´ ym vektorem ks a jalov´ ym fotonem s vlnov´ ym vektorem ki (viz obrázek 23) je dán interferenc´ı dvou drah: bud’ se foton s polarizac´ı podél osy y stane signálov´ ym fotonem a potom se mus´ı foton s polarizaci podél osy z stát jalov´ ym fotonem (χ(2) y,y,z ), nebo naopak (2) (χy,z,y ). Amplitudy pravdˇepodobnost´ı tˇechto dvou drah maj´ı r˚ uzná znaménka d´ıky vektorovému charakteru nelineárn´ı interakce (komponenty z polarizaˇcn´ıch vektor˚ u signálového a jalového fotonu se liˇs´ı znaménkem), coˇz vede k potlaˇcen´ı emise fotonového páru na degenerovan´ ych frekvenc´ıch (ωs = ωi = ωp0 /2) kv˚ uli symetrii. Fotonové páry jsou tedy generovány symetricky kolem degenerované centráln´ı signálové a jalové frekvence. Poznamenáváme, ˇze generace tˇechto stav˚ u je moˇzná d´ıky vhodné orientaci materiálu GaN s wurtzitovou krystalovou strukturou. U materiál˚ u s kubickou krystalovou strukturou


53

Obrázek 23: Schéma pro generaci fotonového páru antisymetrického pˇri zámˇenˇe signálové a jalové frekvence. Signálov´ y (jalov´ y) foton s vlnov´ ym vektorem ks (ki ) a polarizac´ı TM [v rovinˇe yz] se ˇs´ıˇr´ı v radiáln´ım emisn´ım smˇeru ϑs (ϑi ) a je polarizován ve smˇeru es (ei ). nen´ı moˇzné dosáhnout takové interference. Dva fotony tvoˇr´ıc´ı tento kvantovˇe provázan´ y stav nemohou b´ yt detekovány ve stejném ˇcasovém okamˇziku, pˇrestoˇze se nacházej´ı ve velmi krátkém ˇcasovém intervalu (s typickou dobou trván´ı ve stovkách fs). To je vidˇet v grafu na obrázku 24 ukazuj´ıc´ım podm´ınˇenou pravdˇepodobnost pi (τi ) detekce jalového fotonu v ˇcase τi za pˇredpokladu detekce signálového fotonu v ˇcase τs pro v´ yˇse analyzovanou strukturu tvoˇrenou 51 vrstvami. Perfektn´ı antikorelace na dˇeliˇci svazku u dvou kvantovˇe provázan´ ych foton˚ u generovan´ ych ze struktury s 51 vrstvami je patrná ze závislosti normovaného poˇctu koincidenc´ı R v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru na relativn´ım zpoˇzdˇen´ı τl ukázané v grafu na obrázku 25. Zde je poˇcet koincidenc´ı R pro τl = 0 s dvojnásobn´ y ve srovnán´ı s poˇctem koincidenc´ı pro τl → ∞, kdy oba fotony jiˇz nemohou interferovat. Oscilace v poˇctu koincidenc´ı R v okol´ı hlavn´ıho maxima v grafu na obrázku 25 jsou dány rozd´ılem centráln´ıch frekvenc´ı dvou spektráln´ıch vrchol˚ u. U druhého schématu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho emise foton˚ u do dvou sousedn´ıch transmisn´ıch vrchol˚ u se objevuje problém r˚ uzn´ ych emisn´ıch u ´ˇcinnost´ı v tˇechto vrcholech. Ty jsou dány r˚ uznou hustotou mód˚ u v oblasti tˇechto vrchol˚ u, coˇz zapˇr´ıˇciˇ nuje r˚ uznou intenzitu nelineárn´ıho procesu. V d˚ usledku tedy nen´ı v tomto schématu moˇzné generovat perfektnˇe frekvenˇcnˇe antisymetrické stavy. Pˇresto jsou základn´ı vlastnosti frekvenˇcnˇe antisymetrick´ ych stav˚ u jasnˇe patrné na generovan´ ych stavech.

54

Náhodné vrstevnaté struktury

Obrázek 24: Pravdˇepodobnost pi (τi −τs ) detekce jalového fotonu v ˇcase τi podm´ınˇená detekc´ı signálového fotonu v ˇcase τs = 0 s pro kontinuálnˇe ˇcerpanou strukturu s 51 vrstvami, polarizacemi (TM,TM,TM) interaguj´ıc´ıch pol´ı a obˇema fotony ˇs´ıˇr´ıc´ımi se podél osy +z; ϑs = 29 deg, ψs = 0 deg. V´ yznaˇcné vlastnosti frekvenˇcnˇe antisymetrick´ ych fotonov´ ych pár˚ u jsou pro pulzn´ı ˇcerpán´ı nejen zachovány, dokonce jsou jist´ ym zp˚ usobem zv´ yraznˇeny. Jako pˇr´ıklad uvaˇzujeme strukturu s 51 vrstvami ˇcerpanou gaussovsk´ ym pulzem s dobou trván´ı τp = 100 fs. V grafu na obrázku 26(a) vid´ıme kvadrát modulu |ϕ|2 spektráln´ı dvoufotonové amplitudy zˇretelnˇe rozdˇelené do dvou spektráln´ıch oblast´ı. Na druhé stranˇe kvadrát modulu |A|2 ˇcasové dvoufotonové amplitudy zobrazen´ y v grafu na obrázku 26(b) ukazuje, ˇze ˇcasové antishlukován´ı je dokonce v pulzn´ım reˇzimu zv´ yraznˇeno. Poznamenáváme, ˇze signálové a jalové pole jsou generována ve tvaru pulz˚ u s typickou dobou trván´ı ve stovkách fs, jak je patrné z grafu na obrázku 26(b).

8

N´ ahodn´ e vrstevnat´ e struktury

Náhodné vrstevnaté struktury jsou tvoˇreny soustavou dvou druh˚ u alternuj´ıc´ıch tenk´ ych vrstev s náhodn´ ymi délkami. Pro vˇetˇsinu monochromatick´ ych pol´ı liˇs´ıc´ıch se frekvencemi docház´ı uvnitˇr struktury k silnˇe destruktivn´ı interferenci vlivem odraz˚ u pol´ı na náhodnˇe um´ıstˇen´ ych rozhran´ıch. Existuj´ı ovˇsem i monochromatická pole, která jsou v re” zonanci“ s danou náhodnou strukturou a jejich elektrické amplitudy


55

Obrázek 25: Normovan´ y poˇcet koincidenc´ı R v závislosti na relativn´ım ˇcasovém zpoˇzdˇen´ı τl v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru pro fotonov´ y pár generovan´ y za podm´ınek popsan´ ych v popisu obrázku 24. jsou silnˇe zes´ıleny [89]. Pro tato pole je typické, ˇze docház´ı k v´ yraznému zes´ılen´ı jejich elektrick´ ych amplitud jen uvnitˇr ˇcásti struktury a proto hovoˇr´ıme o prostorovˇe lokalizovan´ ych stavech. Jedná se o optickou analogii Andersonovy lokalizace známé ze studia elektronové vodivosti ve slitinách. Tyto lokalizované stavy maj´ı velmi u ´zké spektráln´ı vrcholy. Kdyˇz tyto spektráln´ı vrcholy vyuˇzijeme pro generaci signálového a jalového pole, dostáváme velmi u ´zké signálové a jalové spektrum. D˚ usledkem je pak praktická frekvenˇcn´ı nekorelovanost foton˚ u v páru. Jako pˇr´ıklad uvaˇzujeme náhodné struktury tvoˇrené GaN a AlN ˇcerpané svazkem kolm´ ym na rozhran´ı a maj´ıc´ım nosnou vlnovou délku v bl´ızkosti λ0p = 400 nm. Orientace vrstev je stejná jako u struktur studovan´ ych v 5. kapitole s t´ım, ˇze uvaˇzujeme polarizace (TE,TM,TE) interaguj´ıc´ıch pol´ı. Zároveˇ n pˇredpokládáme, ˇze docház´ı ke generaci fotonového páru s témˇeˇr stejn´ ymi nosn´ ymi frekvencemi ωs0 a ωi0 signálového a jalového pole. Náhodné struktury generujeme podle schématu: 1. Zvol´ıme poˇcet vrstev Nelem náhodné struktury sloˇzené ze dvou materiál˚ u GaN/AlN. Vrstvy z obou materiál˚ u maj´ı optickou tlouˇst’0 ku λp /8. Vrstvy ˇrad´ıme náhodnˇe za sebou. 2. Dodateˇcnˇe zavedeme náhodnost v pozic´ıch rozhran´ı tak, ˇze skuteˇcná pozice rozhran´ı je dána pozic´ı rozhran´ı urˇcenou v 1. kroku s dodateˇcn´ ym náhodn´ ym posuvem ˇr´ıd´ıc´ım se gaussovskou statis0 tikou s varianc´ı λp /80.

56

Náhodné vrstevnaté struktury -4

10

2

2

| |

30

0.5

-14

s)

0.4

p

1.00

1.0

15

i

2

0.6

(10

0

-2

s ) 0

0.2

1.01

/

(10

0

1.02

i

28

10 |A| 45

1.03

0.99

1.5

0.8

0

0.98

1.0

0.97

1.2 0.97

0.98

0.99

2

1.00

s

/

1.01

1.02

1.03

2.0 -15 -15

0

15

0 p

-14

s

(a)

(10

30

45

2.5

s)

(b)

Obrázek 26: (a) Kvadrát modulu |ϕ(ωs , ωi )|2 spektráln´ı dvoufotonové amplitudy a (b) kvadrát modulu |A(τs , τi )|2 ˇcasové dvoufotonové amplitudy pro fotonov´ y pár emitovan´ y za podm´ınek popsan´ ych v popisu obrázku 24.

Pro dosaˇzen´ı lokalizace optického pole a z n´ı vypl´ yvaj´ıc´ıch specifick´ ych vlastnost´ı fotonov´ ych pár˚ u je zásadn´ı náhodn´ y v´ ybˇer druhu materiálu. Náhodnost daná gaussovsk´ ym posunut´ım rozhran´ı je pouze dodateˇcná a nemˇen´ı zásadn´ım zp˚ usobem vlastnosti generovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u. Popisuje také nepˇresnosti vznikaj´ıc´ı pˇri neideáln´ı v´ yrobˇe struktury. Toto schéma generace náhodné struktury bylo také vyuˇzito pˇri studiu generace druhé harmonické frekvence v náhodn´ ych vrstevnat´ ych strukturách [90, 91]. Ku ´ˇcinnému procesu spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze docház´ı pˇri emisi signálového a jalového pole ve frekvenˇcn´ıch oblastech transmisn´ıch vrchol˚ u za pˇredpokladu, ˇze struktura je alespoˇ n ˇcásteˇcnˇe transparentn´ı pro ˇcerpac´ı pole [51]. To vede k urˇcitému omezen´ı optick´ ych délek struktury. Vhodné jsou struktury takov´ ych délek, které umoˇzn ˇuj´ı lokalizaci pouze signálového a jalového pole. Takové struktury m˚ uˇzeme naj´ıt d´ıky tomu, ˇze ˇc´ım kratˇs´ı je vlnová délka, t´ım delˇs´ı je lokalizaˇcn´ı délka dané struktury [89]. Pˇripom´ınáme, ˇze hledáme struktury s vlastnostmi vhodn´ ymi pro vlnové dálky λs ≈ λi ≈ 2λp . Numerická simulace ukázala, ˇze vhodné poˇcty Nelem elementárn´ıch vrstev leˇz´ı okolo 3000 pro zvolené materiály a vlnové délky. Obecnˇe plat´ı, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı je rozd´ıl index˚ u lomu dvou alternuj´ıc´ıch materiál˚ u,


57

t´ım menˇs´ı je potˇrebn´ y poˇcet elementárn´ıch vrstev. Z tohoto pohledu nejsou struktury zaloˇzené na GaN/AlN pˇr´ıliˇs vhodné kv˚ uli malému ˇ rozd´ılu index˚ u lomu. S´ıˇrky transmisn´ıch vrchol˚ u se mˇen´ı u tˇechto struktur v rozmez´ı nˇekolika ˇrád˚ u. Jako pˇr´ıklad uvád´ıme v grafu na obrázku 27 rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti P∆λ ˇs´ıˇrek transmisn´ıch vrchol˚ u optického pole s polarizac´ı TE a vlnov´ ymi délkami okolo 800 nm u souboru struktur s poˇctem elementárn´ıch vrstev Nelem = 3000 (optické délky jednotliv´ ych struktur leˇz´ı okolo 480 µm) pro ˇs´ıˇren´ı pole ve smˇeru ϑ = 20 deg. Podot´ ykáme, ˇze ˇc´ım delˇs´ı je struktura, t´ım uˇzˇs´ı transmisn´ı vrcholy lze oˇcekávat [51]. Pro srovnán´ı uvád´ıme, ˇze lokalizaˇcn´ı délka pole s vlnov´ ymi délkami okolo 800 nm pro ϑ = 20 deg a Nelem = 3000 je 180 µm [92, 90]. Pˇri numerické simulaci jsme analyzovali 2000 náhodnˇe generovan´ ych struktur v u ´zké spektráln´ı oblasti kolem 800 nm, ve které se nacházelo témeˇr 30 tis´ıc transmisn´ıch vrchol˚ u. Transmisn´ı vrcholy byly lehce odliˇseny od pozad´ı, u kterého byly transmisivity menˇs´ı neˇz jedno procento. Simulace ukázala, ˇze vˇetˇsina transmisn´ıch vrchol˚ u má malou intenzitn´ı transmisivitu. Objevuj´ı se ale i vrcholy, u kter´ ych transmisivita pˇresahuje 90%. Tyto vrcholy jsou pak vhodné pro generaci signálového a jalového fotonu d´ıky velk´ ym hodnotám amplitud elektrického pole uvnitˇr struktury. Fotony mohou b´ yt emitovány v r˚ uzn´ ych radiáln´ıch emisn´ıch u ´hlech ϑ, pˇriˇcemˇz plat´ı, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı je radiáln´ı emisn´ı u ´hel ϑ, t´ım uˇzˇs´ı transmisn´ı vrchol je moˇzné oˇcekávat (spoleˇcnˇe s klesaj´ıc´ı lokalizaˇcn´ı délkou, charakterizovanou svoj´ı projekc´ı na osu z). Pro srovnán´ı, lokalizaˇcn´ı délka 149 µm charakterizuje emisi pole s vlnovou délkou okolo 800 nm v u ´hlu ϑ = 40 deg u souboru náhodn´ ych struktur s Nelem = 3000. V´ yroba náhodné struktury je relativnˇe jednoduchá d´ıky velk´ ym v´ yrobn´ım toleranc´ım. Typick´ y vzorek má pro zvolenou frekvenci signálového pole nˇekolik transmisn´ıch vrchol˚ u v r˚ uzn´ ych radiáln´ıch emisn´ıch u ´hlech ϑs . V pˇr´ıpadˇe, ˇze polarizace signálového a jalového svazku jsou stejné, m˚ uˇzeme v´ yhodnˇe nastavit geometrii nelineárn´ı interakce tak, aby ˇcerpac´ı svazek dopadal kolmo na rozhran´ı vrstev a signálov´ y a jalov´ y svazek byly emitovány ve smˇerech zachovávaj´ıc´ıch podm´ınky sfázován´ı v pˇr´ıˇcné rovinˇe. V tomto pˇr´ıpadˇe vyuˇzij´ı signálov´ y i jalov´ y svazek stejn´ y transmisn´ı vrchol a budou m´ıt stejné frekvence. U uvaˇzované orientace vrstev GaN a AlN je situace sloˇzitˇejˇs´ı, protoˇze pˇredpoklad stejn´ ych polarizac´ı vede ke stav˚ um antisymetrick´ ym vzhledem k zá-

58


Obrázek 27: Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti P∆λ ˇs´ıˇrek intenzitn´ıch transmisn´ıch vrchol˚ u ∆λ (FWHM) TE polarizovan´ ych pol´ı v okol´ı vlnov´ ych délek λ = 800 nm a radiáln´ıch emisn´ıch u ´hl˚ u ϑ = 20 deg (spojitá kˇrivka bez oznaˇcen´ı) a ϑ = 40 deg (spojitá kˇrivka s ∗); Nelem = 3000, ψ = 0 deg. mˇenˇe signálové a jalové frekvence neobsahuj´ıc´ım frekvence v oblasti ωs ≈ ωi . Mus´ıme tedy uvaˇzovat rozd´ılné polarizace. Plat´ı ovˇsem, ˇze transmisn´ı vrcholy pro TE a TM polarizace se nacházej´ı na témˇeˇr stejn´ ych frekvenc´ıch a m˚ uˇzeme tedy pouˇz´ıt podobnou geometrii nelineárn´ı interakce. Potˇrebné vlnové délky signálového a jalového pole m˚ uˇzeme u daného transmisn´ıho vrcholu mˇenit do jisté m´ıry d´ıky tomu, ˇze s rostouc´ı hodnotou radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑ roste centráln´ı frek0 vence ω tohoto transmisn´ıho vrcholu. Dokonce je tato závislost prakticky lineárn´ı v ˇsirokém rozsahu u ´hl˚ u ϑ (viz graf na obrázku 28). Uvaˇzujeme tedy generaci TM polarizovaného signálového a TE polarizovaného jalového fotonu s témˇeˇr stejn´ ymi centráln´ımi frekvencemi (ωs0 ≈ ωi0 ) za podm´ınek ϑs ≈ −ϑi . Pulzn´ı ˇcerpac´ı pole dopadaj´ıc´ı kolmo na povrch má nosnou frekvenci ωs0 + ωi0 , TE polarizaci a dobu trván´ı ˇ 200 fs. Cerpac´ ı pole má relativnˇe ˇsiroké spektrum, coˇz umoˇzn ˇuje generaci signálového a jalového fotonu do urˇcité oblasti radiáln´ıch emisn´ıch u ´hl˚ u ϑ tak, aby vlnové vektory ˇcerpac´ıho, signálového i jalového svazku leˇzely v jedné rovinˇe (azimutáln´ı u ´hly ψs a ψi jsou stejné). Typická závislost emitovaného signálového spektra na radiáln´ım signálovém emisn´ım u ´hlu ϑs je zobrazena v grafu na obrázku 28 pro jednu strukˇıˇrky emitovan´ turu s Nelem = 3000 vrstvami. S´ ych signálov´ ych a jalov´ ych spekter jsou dány ˇs´ıˇrkami odpov´ıdaj´ıc´ıch transmisn´ıch vrchol˚ u, které


59

5

10

s

20.03 0 1 2

20.01

3 20.00

4

s

(deg)

20.02

5

19.99

6 19.98

7 8

19.97 -3

-2

-1 5

10

0

(2

s

1

/

0

2

3

-1)

p

Obrázek 28: Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u v závislosti na normované signálové frekvenci 2ωs /ωp0 a radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs pro jednu realizaci pulznˇe ˇcerpané náhodné struktury s Nelem = 3000 vrstvami a (TE,TM,TE) polarizacemi interaguj´ıc´ıch pol´ı. Oba fotony se ˇs´ıˇr´ı podél osy +z; ψs = 0 deg, λ0s = λ0i = 2λ0p = 802, 77 nm, τp = 200 fs, ap = 0, rp → ∞.

jsou velmi u ´zké (viz graf na obrázku 29). To je dáno podobn´ ymi podm´ınkami vˇsech monochromatick´ ych vln s frekvencemi uvnitˇr u ´zk´ ych transmisn´ıch vrchol˚ u v nelineárn´ım procesu. V grafu na obrázku 28 vid´ıme, ˇze proces generace pár˚ u zesiluje s rostouc´ımi hodnotami radiáln´ıho emisn´ıho u ´hlu ϑs , coˇz je zp˚ usobeno striktn´ımi podm´ınkami sfázován´ı v pˇr´ıˇcné rovinˇe pro ˇcerpac´ı svazek ve formˇe rovinné vlny. Jsou to tedy lineárn´ı vlastnosti fotonické struktury, které dominantnˇe urˇcuj´ı jak spektráln´ı, tak i prostorové vlastnosti emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u. Lokalizace signálového a jalového pole nav´ıc vede k v´ yraznému vzr˚ ustu hustoty poˇctu emitovan´ ych pár˚ u uvnitˇr tˇechto vrchol˚ u. Je ovˇsem nutno dodat, ˇze tento vzr˚ ust je zaplacen v´ yrazn´ ym z´ uˇzen´ım emisn´ıch spekter a celkov´ y poˇcet emitovan´ ych pár˚ u klesá s klesaj´ıc´ı ˇs´ıˇrkou emisn´ıch spekter. Poznamenáváme, ˇze fotonové páry s extrémnˇe u ´zk´ ymi spektry 87 je moˇzné z´ıskat emis´ı z par Rb atom˚ u [93]. Spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕ(ωs , ωi ) pro r˚ uzné radiáln´ı emisn´ı u ´hly ϑs a ϑi maj´ı podobn´ y tvar. Liˇs´ı se zejména centráln´ı signálovou a jalovou frekvenc´ı. Typick´ y tvar kvadrátu modulu spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕ(ωs , ωi ) pˇripom´ıná v ˇrezu kˇr´ıˇz [viz graf na obrázku 30(a)]. To je dáno t´ım, ˇze emitovan´ y fotonov´ y pár je témˇeˇr

60


Obrázek 29: Intenzitn´ı transmisn´ı signálov´ y (Ts , spojitá kˇrivka bez oznaˇcen´ı) a jalov´ y (Ti , spojitá kˇrivka s ∗) koeficient v závislosti na normované signálové (2ωs /ωp0 ) a jalové (2ωi /ωp0 ) frekvenci pro radiáln´ı emisn´ı u ´hly ϑs = ϑi = 20 deg pro strukturu definovanou v popisu obrázku 28. frekvenˇcnˇe separabiln´ı. M´ıru separability (kvantov´ ych korelac´ı) m˚ uˇzeme kvantifikovat pomoc´ı Schmidtova rozkladu spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕ do Schmidtovy duáln´ı báze fs,n a fi,n [94, 15, 68]: ϕ(ωs , ωi ) =

∞ ∑

λn fs,n (ωs )fi,n (ωi ).

(51)

n=1

Koeficienty λn ve vztahu (51) popisuj´ı rozklad. Vhodn´ ym kvantifikátorem kvantov´ ych korelac´ı je tzv. kooperativn´ı parametr K [15], 1 K = ∑∞

n=1

λ4n

,

(52)

udávaj´ıc´ı efektivn´ı poˇcet nezávisl´ ych funkc´ı (mód˚ u) v tomto rozkladu. U spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕ zobrazené v grafu na obrázku 30(a) dominuje prvn´ı ˇclen duáln´ı báze fs,1 a fi,1 a kooperativn´ı parametr je roven K = 1, 001. V grafu na obrázku 30(b) jsou zobrazeny charakteristické spektráln´ı pr˚ ubˇehy prvn´ıch (a nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch) ˇclen˚ u Schmidtovy duáln´ı báze. Funkce fs,n a fi,n maj´ı n − 1 nulov´ ych bod˚ u. ˇ Casov´ e dvoufotonové amplitudy A(τs , τi ) jsou bˇeˇznˇe roztaˇzeny pˇres des´ıtky aˇz stovky ps v d˚ usledku mnohaˇcetn´ ych zpˇetn´ ych odraz˚ u foton˚ u uvnitˇr struktury, které zpoˇzd’uj´ı emisi foton˚ u ze struktury. To je v souladu s u ´zk´ ym signálov´ ym a jalov´ ym spektrem.

Jan Peˇrina ml.: Spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze -9

10

2

| |

0

0

-1)

1.5

0.5

1.0

1.0 1.5

0.5

2.0 2.5

0.0

10

5

(2

i

/

p

61

3.0 -0.5

3.5 4.0

-1.0

4.5 -1.5

5.0 5.5 -1.5

-1.0

-0.5 5

10

(2

0.0

s

/

0.5 0 p

1.0

1.5

-1)

(a)

(b)

Obrázek 30: (a) Kvadrát modulu |ϕ(ωs , ωi )|2 spektráln´ı dvoufotonové amplitudy a (b) kvadrát modulu |fs,n (ωs )|2 prvn´ıch tˇr´ı signálov´ ych funkc´ı Schmidtovy báze (n = 1: ∗, n = 2: △, n = 3: ⋄) fotonového páru se signálov´ ym fotonem emitovan´ ym ve smˇeru ϑs = 20 deg, ψs = 0 deg ze struktury definovan´ e v popisu obrázku 28. Funkce |ϕ|2 je normována ∫ ∫ podle vztahu 4 dωs dωi |ϕ(ωs , ωi )|2 /(ωp0 )2 = 1. Funkce fs,n splˇ nuj´ı ∫ vztah 2 dωs |fs,n (ωs )|2 /ωp0 = 1.

Také korelované plochy jsou velmi u ´zké v d˚ usledku vlastnost´ı náhodn´ ych struktur. Jde zejména o ˇs´ıˇrku ∆ϑ korelované plochy v radiáln´ım emisn´ım smˇeru ϑ, pro kterou jsou hodnoty 10−1 aˇz 10−2 deg pro ˇcerpán´ı rovinnou vlnou typické. Fokusace ˇcerpac´ıho svazku tyto u ´hly rozˇsiˇruje [51] a také umoˇzn ˇuje modifikovat typické eliptické profily korelovan´ ych ploch. Témˇeˇr lineárn´ı závislost polohy vrcholu v signálovém (a také jalovém) intenzitn´ım spektru na radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs (viz graf na obrázku 28) umoˇzn ˇuje u ´ˇcinnˇe vytváˇret superpozice stav˚ u fotonov´ ych pár˚ u se signálov´ ym fotonem emitovan´ ym do r˚ uzn´ ych radiáln´ıch emisn´ıch u ´hl˚ u ϑs . To vede ke generaci fotonov´ ych pár˚ u se souhlasn´ ymi frekvenˇcn´ımi korelacemi. Superpozice stav˚ u liˇs´ıc´ıch se prostorov´ ymi módy i spektry se vytváˇr´ı metodami kombinován´ı optick´ ych svazk˚ u, vyuˇz´ıvaj´ıc´ımi disperzn´ı a difrakˇcn´ı optické elementy jako jsou optické mˇr´ıˇzky [95]. V oblasti fotonov´ ych pár˚ u byla tato metoda rozvinuta pˇri sestaven´ı zdroje fotonov´ ych pár˚ u vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho achromatické podm´ınky sfázován´ı a prostorov´ y rozklad pulzn´ıho ˇcerpac´ıho svazku [59, 60].

62

Náhodné vrstevnaté struktury -9

10

2

| |

0 0.5

3

1.0 1.5

1

/

p

0

-1)

5

2.5

10

5

(2

i

2.0 -1

3.0 -3

3.5 4.0

-5

4.5 -5

-3

-1 5

10

(2

1

s

/

3 0 p

5

-1)

(a)

(b)

Obrázek 31: (a) Kvadrát modulu |ϕ(ωs , ωi )|2 spektráln´ı dvoufotonové amplitudy a (b) kvadrát modulu |fs,n (ωs )|2 prvn´ıch tˇr´ı signálov´ ych funkc´ı Schmidtovy báze (n = 1: ∗, n = 2: △, n = 3: ⋄) fotonového páru se signálov´ ym fotonem emitovan´ ym ve smˇerech ϑs = 19, 98 deg a ϑs = 20, 02 deg, ψs = 0 deg ze struktury definované v popisu obrázku 28. Jako pˇr´ıklad fyzikálnˇe zaj´ımavé superpozice, vhodné napˇr. pro implementaci r˚ uzn´ ych kvantovˇe informaˇcn´ıch protokol˚ u, uvaˇzujeme stav vznikl´ y sloˇzen´ım fotonov´ ych pár˚ u se signálov´ ymi fotony emitovan´ ymi do M rovnomˇernˇe vzdálen´ ych radiáln´ıch emisn´ıch u ´hl˚ u ϑs . V´ ysledná spektráln´ı dvoufotonová amplituda ΦM (ωs , ωi ) se v tomto pˇr´ıpadˇe dá aproximovat v´ yrazem ΦM (ωs , ωi ) =

M −1 ∑

exp(iφn)ϕ(ωs + n∆ω, ωi + n∆ω),

(53)

n=0

ve kterém ∆ω oznaˇcuje rozd´ıl mezi signálov´ ymi centráln´ımi frekvencemi pol´ı ze dvou sousedn´ıch ˇstˇerbin definuj´ıc´ıch sloˇzené svazky. Fáze φ popisuje fázov´ y rozd´ıl u spektráln´ıch dvoufotonov´ ych amplitud pocházej´ıc´ıch ze sousedn´ıch ˇstˇerbin. Pole za prvn´ı ˇstˇerbinou je charakterizováno spektráln´ı dvoufotonovou amplitudou ϕ(ωs , ωi ). V pˇr´ıpadˇe dostateˇcnˇe vzdálen´ ych ˇstˇerbin ukazuje Schmidt˚ uv rozklad spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ΦM existenci témˇeˇr M nezávisl´ ych mód˚ u [urˇcen´ ych hodnotou kooperativn´ıho parametru K ve vztahu (51)]. Jde o kolektivn´ı módy maj´ıc´ı nenulové hodnoty ve frekvenˇcn´ıch oblastech vˇsech ˇstˇerbin (viz grafy na obrázku 31 popisuj´ıc´ı pole ze 2 ˇstˇerbin s K =


63

1, 82). Tyto stavy nav´ıc v ˇcasové oblasti vytváˇrej´ı interferenˇcn´ı obrazce v souˇctu ˇcas˚ u τs +τi udávaj´ıc´ıch okamˇziky detekce signálového a jalového fotonu. Toto chován´ı je d˚ usledkem pozitivn´ı korelace signálov´ ych a jalov´ ych frekvenc´ı [51]. Stavy se souhlasnˇe korelovan´ ymi signálov´ ymi a jalov´ ymi frekvencemi vznikaj´ıc´ımi pˇri sloˇzen´ı fotonov´ ych pol´ı emitovan´ ych do urˇcit´ ych odpov´ıdaj´ıc´ıch si interval˚ u signálov´ ych a jalov´ ych radiáln´ıch emisn´ıch u ´hl˚ u jsou dalˇs´ım pˇr´ıkladem fyzikálnˇe zaj´ımavé superpozice [51]. Spektráln´ı dvoufotonová amplituda Φ má v tomto pˇr´ıpadˇe doutn´ıkov´ y tvar soubˇeˇzn´ y s pˇr´ımkou ωs = ωi . Poˇcet nezávisl´ ych mód˚ u ve Schmidtovˇe rozˇ ım delˇs´ı je u kladu je dán délkou u ´hlového intervalu. C´ ´hlov´ y interval, t´ım v´ıce nezávisl´ ych mód˚ u charakterizuje generovan´ y fotonov´ y pár.

9

Povrchov´ a spont´ ann´ı sestupn´ a frekvenˇ cn´ı konverze

Pˇred v´ıce neˇz tˇriceti lety byla objevena generace pole druhé harmonické frekvence v oblasti rozhran´ı (diskontinuity) mezi dvˇema materiály liˇs´ıc´ımi se hodnotami nelineárn´ı susceptibility χ(2) [96, 97]. K tomuto objevu doˇslo pˇri studiu procesu generace druhé harmonické frekvence za podm´ınek silného rozfázován´ı. Pole povrchové druhé harmonické frekvence se zde pˇrirozenˇe objevuje z d˚ uvodu spojitosti teˇcn´ ych sloˇzek vektorov´ ych amplitud elektrick´ ych a magnetick´ ych pol´ı vypl´ yvaj´ıc´ı z Maxwellov´ ych rovnic. Fundamentáln´ı pole vytváˇr´ı v m´ıstˇe rozhran´ı nelineárn´ı polarizaci na druhé harmonické frekvenci. Tato polarizace generuje dvˇe pole povrchové druhé harmonické frekvence, jedno ve smˇeru osy +z, druhé podél osy −z. V nelineárn´ım prostˇred´ı se pak ˇs´ıˇr´ı podél osy +z dvˇe r˚ uzné vlny s frekvenc´ı druhé harmonické. Jedno pole vzniká na rozhran´ı a poté se volnˇe ˇs´ıˇr´ı krystalem. Druhé pole je generováno uvnitˇr krystalu ˇs´ıˇr´ıc´ım se fundamentáln´ım polem. Zat´ımco pole z rozhran´ı má vlnov´ y vektor odpov´ıdaj´ıc´ı své frekvenci a disperzn´ımu vztahu materiálu, pole vznikaj´ıc´ı uvnitˇr krystalu je charakterizováno vlnov´ ym vektorem dvojnásobn´ ym ve srovnán´ı s vlnov´ ym vektorem fundamentáln´ıho pole. R˚ uzné vlnové vektory vedou k prostorovému odliˇsen´ı obou pol´ı ve vhodné geometrii. Toto odliˇsen´ı bylo vyuˇzito pˇri experimentáln´ım ovˇeˇren´ı povrchového jevu [97]. Pozna-

64

Povrchová spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze

menáváme, ˇze povrchov´ y jev je zahrnut v Maxwellov´ ych rovnic´ıch, které se ˇcasto ˇreˇs´ı v tomto pˇr´ıpadˇe numericky [98]. Ukazuje se, ˇze analogick´ y jev existuje i v procesu spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze [69, 70]. Roli makroskopické nelineárn´ı polarizace na frekvenci 2ω v pˇr´ıpadˇe generace pole druhé harmonické frekvence pˇreb´ıraj´ı v procesu spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze kvantové nelineárn´ı polarizace se signálovou a jalovou frekvenc´ı. Ty generuj´ı fotonové páry v oblasti nelineárn´ıho rozhran´ı. Popis povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze vyˇzaduje odliˇsn´ y pˇr´ıstup oproti jednoduchému postupu zaloˇzenému na poruchovém ˇreˇsen´ı Schrödingerovy rovnice s vhodn´ ym hamiltoniánem. Je tˇreba ˇreˇsit pohybové rovnice pro operátory optick´ ych pol´ı interaguj´ıc´ıch podél osy z ˇs´ıˇren´ı svazk˚ u. Tˇr´ımódová nelineárn´ı interakce je v tomto pˇr´ıpadˇe popsána vhodn´ ym operátorem hybnosti z´ıskan´ ym pro kvantován´ı toku energie [99, 100, 71]. V tomto pˇr´ıstupu je nutné uvaˇzovat jak pole ˇs´ıˇr´ıc´ı se podél osy +z, tak i pole protibˇeˇzné ˇs´ıˇr´ıc´ı se podél osy −z. Vzhledem ke sloˇzitosti modelu budeme nejprve uvaˇzovat pouze nelineárn´ı krystal se dvˇema rozhran´ımi a ˇs´ıˇren´ım pol´ı podél osy z. Následnˇe model zobecn´ıme pro vrstevnatá prostˇred´ı. Nakonec pop´ıˇseme hlavn´ı rysy prostorového modelu ve formˇe prezentované v 1. kapitole.

9.1

Oper´ ator hybnosti a spojitost pol´ı na rozhran´ıch neline´ arn´ıho krystalu

Nejprve se budeme zab´ yvat jiˇz diskutovanou nelineárn´ı interakc´ı uvnitˇr homogenn´ıho krystalu. Poté analyzujeme podm´ınky spojitosti optick´ ych pol´ı na vstupn´ım rozhran´ı krystalu. Následnˇe rozebereme nelineárn´ı interakci na v´ ystupn´ım rozhran´ı krystalu. Nakonec budeme uvaˇzovat krystal jako celek a odvod´ıme hledané vztahy [70]. Popis nelineárn´ı interakce uvnitˇr krystalu Pro popis ˇcasoprostorového v´ yvoje spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı ˆ int [2, 99]: konverze je vhodn´ y následuj´ıc´ı operátor hybnosti G ˆ int (z) = 4ϵ0 S G

∫

dt

∑

[

]

(−) (z, t)Eˆs(−) (z, t)Eîb (z, t) + h.c. , dc,ab Ep(+) c a

a,b,c=F,B

(54)


65

ve kterém Ep(+) oznaˇcuje pozitivnˇe frekvenˇcn´ı ˇcást amplitudy (lineárnˇe c polarizovaného) ˇcerpac´ıho elektrického pole ˇs´ıˇr´ıc´ıho se ve smˇeru c (c = (−) F, B). Symbol Eˆs(−) [Eîb ] popisuje negativnˇe frekvenˇcn´ı ˇcást operátoa rové amplitudy signálového [jalového] (lineárnˇe polarizovaného) elektrického pole ve smˇeru a [b]. Efektivn´ı nelineárn´ı koeficienty odpov´ıdaj´ıc´ı zvolen´ ym polarizac´ım a smˇer˚ um ˇs´ıˇren´ı interaguj´ıc´ıch pol´ı jsou oznaˇceny symbolem dc,ab . Velikost plochy svazk˚ u v pˇr´ıˇcné rovinˇe je popsána symbolem S. Jak je patrné ze vztahu (54), pouˇzili jsme skalárn´ı aproximaci s ohledem na zjednoduˇsen´ı prezentace modelu. Zobecnˇen´ı na plnˇe vektorov´ y popis je pˇr´ımoˇcaré d´ıky n´ıˇze vyuˇzitému poruchovému ˇreˇsen´ı pohybov´ ych rovnic. Spektráln´ı rozklad amplitud interaguj´ıc´ıch pol´ı, 1 ∫ (+) (+) √ Em (z, t) = dωm Em (z, ωm ) exp(−iωm t), a a 2π a = F, B,

m = p, s, i, (55)

ˆ int ze vztahu (54): umoˇzn ˇuje pˇrepsat operátor hybnosti G ∫ ∫ ∑ 4ϵ0 S ∫ ˆ Gint (z) = √ dωp dωs dωi δ(ωp − ωs − ωi ) dc,ab 2π a,b,c=F,B [

]

(−) × Ep(+) (z, ωp )Eˆs(−) (z, ωs )Eîb (z, ωi ) + h.c. . c a

(56)

Zákon zachován´ı energie pro monochromatické vlny je ve vztahu (56) vyjádˇren δ funkc´ı. Operátorové amplitudy signálového a jalového elek(−) trického pole Eˆm jsou vyjádˇreny pomoc´ı kreaˇcn´ıch operátor˚ u aˆ†ma a takto: √

(−) Eˆm (z, ωm ) a

= −i

h ¯ ωm a ˆ†ma (z, ωm ), 2ϵ0 cSnm (ωm )

m = s, i, a = F, B. (57)

Symbol nm popisuje index lomu pole m. Kreaˇcn´ı operátory jsou definovány tak, aby veliˇcina aˆ†ma a ˆma udávala hustotu poˇctu foton˚ u v módu ma pro danou frekvenci. Prostorov´ y v´ yvoj optick´ ych pol´ı je urˇcen ˇreˇsen´ım Heisenbergov´ ych rovnic [72, 101] napsan´ ych pro operátory amplitud pol´ı oznaˇcen´ ych ˆ symbolem X: ] ˆ i [ˆ dX(z) ˆ = − G(z), X(z) , dz h ¯

(58)

66

Povrchová spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze ˆ ˆ 0 (z) + G ˆ int (z), G(z) =G ˆ 0 (z) = G

∑

∑

∫

h ¯

dωm kma (ωm )ˆ a†ma (z, ωm )ˆ ama (z, ωm ).

m=s,i a=F,B

(59) ˆ int je popsán rovnic´ı (56), opeZat´ımco interakˇcn´ı operátor hybnosti G ˆ 0 definovan´ rátor hybnosti G y vztahem (59) popisuje volné ˇs´ıˇren´ı pol´ı. Vlnov´ y vektor kma (ωm ) popisuj´ıc´ı pole ma s frekvenc´ı ωm je dán pˇredpisem kmF = km a kmB = −km (km > 0). Pro stanoven´ı operátorov´ ych amplitud elektrick´ ych pol´ı na v´ ystupu z nelineárn´ıho krystalu mus´ıme vyˇreˇsit Heisenbergovy rovnice (58) pro operátory aˆma (z, ωm ) (m = s, i, a = F, B): ∑ ∫ dˆ asa (z, ωs ) = iksa (ωs )ˆ asa (z, ωs ) + dωi gc,ab (ωs , ωi ) dz b,c=F,B

× Ep(+) (0, ωs + ωi ) exp[ikpc (ωs + ωi )z]ˆ a†ib (z, ωi ), a = F, B. (60) c Rovnice (60) jsou odvozeny za pˇredpokladu platnosti prostorov´ ych“ ” komutaˇcn´ıch relac´ı [101]. Poznamenáváme, ˇze pole ˇs´ıˇr´ıc´ı se podél osy ˆ 0 ve −z maj´ı záporné vlnové vektory v definici operátoru hybnosti G vztahu (59). Podrobnˇejˇs´ı formulaci v´ yvoje pol´ı ˇs´ıˇr´ıc´ıch se protibˇeˇznˇe lze nalézt v práci [101]. Vazebn´ı konstanty gc,ab objevuj´ıc´ı se ve vztahu (60) jsou dány následuj´ıc´ım pˇredpisem: 2idc,ab gc,ab (ωs , ωi ) = c

√

ωs ωi . 2πns (ωs )ni (ωi )

(61)

Rovnice pro operátory aîF a a îB jalov´ ych pol´ı doplˇ nuj´ıc´ı rovnice (60) jsou odvozeny z rovnic (60) pomoc´ı formáln´ı substituce s ↔ i. ˇ sen´ı rovnic (60) platné do prvn´ı mocniny vazebn´ıch konstant g Reˇ lze z´ıskat ve tvaru a ˆsa (z, ωs ) = exp[iksa (ωs )z] [ˆ asa (0, ωs ) +

∑

∫



dωi Bc,ab (z, ωs , ωi )ˆ a†ib (0, ωi ) ,

a = F, B,

(62)

b,c=F,B

ve kterém Bc,ab (z, ωs , ωi ) = gc,ab (ωs , ωi )Ep(+) (0, ωs + ωi ) exp[i∆kc,ab (ωs , ωi )z/2] c


67

×z sinc[∆kc,ab (ωs , ωi )z/2], ∆kc,ab (ωs , ωi ) = kpc (ωs + ωi ) − ksa (ωs ) − kib (ωi ), a, b, c = F, B.

(63) (64)

Omezen´ı platnosti ˇreˇsen´ı (62) do prvn´ı mocniny konstant g umoˇznilo pouˇz´ıt pˇribliˇzn´ y vztah aˆ†ma (z, ωm ) = exp[−ikma (ωm )z]ˆ a†ma (0, ωm ) ve ˇ sen´ı popsané v´ yrazu pro integrál pˇres frekvenci ωi ve vztahu (60). Reˇ v´ yrazem (62) popisuje spontánn´ı sestupnou frekvenˇcn´ı konverzi uvnitˇr homogenn´ıho nelineárn´ıho krystalu. Pozitivnˇe frekvenˇcn´ı ˇcásti operátorov´ ych amplitud elektrického (+) (+) ˆ ˆ [Esa ] a magnetického [Hsa ] pole jsou vyjádˇreny pomoc´ı ˇreˇsen´ı z´ıskaného pro anihilaˇcn´ı operátory aˆsa (z, ωs ) ve vztahu (62) takto: √

Eˆs(+) (z, ωs ) = i a [

h ¯ ωs exp[iksa (ωs )z] 2ϵ0 cSns (ωs )

× a ˆsa (0, ωs ) +

∑

∫

dωi Bc,ab (z, ωs , ωi )ˆ a†ib (0, ωi )

]

,

(65)

b,c=F,B

ˆ (+) (z, ωs ) = H ˆ (+)Fr (z, ωs ) + H ˆ (+)nFr (z, ωs ), H sa sa sa k (ω ) ˆ (+)Fr (z, ωs ) = sa s Eˆ (+) (z, ωs ), H sa ωs µ0 sa √ h ¯ ωs ns (ωs ) ∑ ∫ (+)nFr ˆ Hsa (z, ωs ) = dωi gc,ab (ωs , ωi ) 2µ0 cS b,c=F,B

(66) (67)

×Ep(+) (ωs + ωi ) exp[ikpc (ωs + ωi )z] exp[−ikib (ωi )z]ˆ a†ib (0, ωi ), c a = F, B. (68) ˆ sa (a = F, B) signálovéRovnice (66—68) pro operátorové amplitudy H ho magnetického pole jsou odvozeny za pˇredpokladu polarizace amplitud Eˆsa signálového elektrického pole podél osy +x a polarizace ampliˆ sa magnetického pole podél osy +y. Pro tuto orientaci poskytuj´ı tud H Maxwellovy rovnice vztah Hs(+) (z, ωs ) = −i/(ωs µ0 )∂Es(+) (z, ωs )/∂z, a a ve kterém µ0 oznaˇcuje permeabilitu vakua. Operátorové amplitudy ˆ (+) (z, ωs ) signálového magnetického pole jsou v rovnici (66) rozloˇzeny H sa ˆ s(+)Fr (z, ωs ) jsou pˇr´ımo u na dvˇe ˇcásti. Operátorové amplitudy H ´mˇerné a (+) ˆ operátorov´ ym amplitudám Esa (z, ωs ) elektrického pole, zat´ımco operáˆ (+)nFr (z, ωs ) maj´ı nelineárn´ı p˚ uvod. Operátorové torové amplitudy H sa

68


ˆ (+)nFr magnetického pole se neobjevuj´ı pˇri odvozen´ı Fresamplitudy H sa nelov´ ych vztah˚ u pˇredpokládaj´ıc´ıch lineárn´ı prostˇred´ı. Jejich uvaˇzován´ı v souvislosti s podm´ınkami spojitosti amplitud elektrick´ ych a magnetick´ ych pol´ı na rozhran´ıch vede k dodateˇcn´ ym pˇr´ıspˇevk˚ um v nelineárn´ım procesu. Vstupn´ı rozhran´ı krystalu Nyn´ı se bl´ıˇze pod´ıváme na problém spojitosti amplitud elektrického a magnetického pole na vstupn´ım rozhran´ı (z = 0). Uvaˇzujeme signálové pole s t´ım, ˇze pro jalové pole je situace obdobná. Na tomto rozhran´ı se objevuj´ı 4 rozd´ılné amplitudy elektrick´ ych a magnetick´ ych pol´ı: (0) (0) amplitudy EsF (0) a HsF (0) dopˇrednˇe se ˇs´ıˇr´ıc´ıho pole dopadaj´ıc´ıho na krystal zvenku, amplitudy Es(0) (0) a Hs(0) (0) pole opouˇstˇej´ıc´ıho neB B lineárn´ı krystal, amplitudy EsB (0) a HsB (0) pole dopadaj´ıc´ıho na vstupn´ı rozhran´ı zevnitˇr krystalu, a amplitudy EsF (0) a HsF (0) pole vzdaluj´ıc´ıho se od rozhran´ı uvnitˇr krystalu (viz obrázek 32). Protoˇze amplitudy HsF (0) a HsB (0) magnetick´ ych pol´ı definovan´ ych uvnitˇr krystalu nFr nFr maj´ı také nelineárn´ı pˇr´ıspˇevky HsF (0) a HsB (0) popsané vztahy (68), vyˇzaduje splnˇen´ı podm´ınek spojitosti pol´ı na rozhran´ı zaveden´ı dodateˇcn´ ych (povrchov´ ych) amplitudov´ ych korekc´ı δEsF (0) a δEs(0) (0) B elektrick´ ych pol´ı a s nimi spojen´ ych amplitudov´ ych korekc´ı δHsF (0) a δHs(0) (0) magnetick´ ych pol´ı. Povrchové amplitudové korekce jsou B pˇrirozenˇe uvaˇzovány pouze pro pole, která opouˇstˇej´ı oblast rozhran´ı. Tato vlastnost vypl´ yvaj´ıc´ı z ˇcasoprostorov´ ych u ´vah o ˇs´ıˇren´ı pol´ı je do jisté m´ıry ve studovaném jednorozmˇerném modelu skryta. Poˇzadavek na spojitost projekc´ı amplitud elektrick´ ych a magnetick´ ych pol´ı do roviny vstupn´ıho rozhran´ı krystalu vede k následuj´ıc´ım rovnic´ım: (0) = EsF (0) + δEsF (0) + EsB (0), (69) (0) + δEs(0) (0) + Es(0) Es(0) B B F (0) = HsFrF (0) + HsnFr (0) + δHsF (0) (0) + δHs(0) Hs(0) (0) + Hs(0) F B F B (0). +HsFrB (0) + HsnFr B

(70)

Odvozen´ı bˇeˇzn´ ych Fresnelov´ ych vztah˚ u (pro lineárn´ı materiály) [102] je zaloˇzeno na splnˇen´ı následuj´ıc´ıch rovnic: Es(0) (0) + Es(0) (0) = EsF (0) + EsB (0), F B

(71)

Hs(0) (0) + Hs(0) (0) = HsFrF (0) + HsFrB (0). F B

(72)


Es(0) (0) + δEs(0) (0) B B

EsB (0)

¾

+δEsB (0)

Es(0) (0) F

Es(1) (L) B

EsB (L) + δEsB (L)

¾

¾

EsF (0) + δEsF (0) -

EsF (L)

69

¾

+δEsF (L)

Es(1) (L) + δEs(1) (L) F F

-

-

z=0

-

z=L

Obrázek 32: Schéma amplitud E elektrick´ ych pol´ı a jejich povrchov´ ych amplitudov´ ych korekc´ı δE na vstupn´ım (z = 0) i v´ ystupn´ım (z = L) rozhran´ı nelineárn´ıho krystalu délky L. Horn´ı index (0) [(1)] oznaˇcuje amplitudy pol´ı pˇred [za] nelineárn´ım krystalem. Amplitudové korekce δEsB (0) a δEsF (L) napsané v rámeˇcc´ıch neexistuj´ı v reálném krystalu a pouze nahrazuj´ı p˚ usoben´ı reáln´ ych amplitudov´ ych korekc´ı δEsF (0), (1) δEs(0) (0), δE (L) a δE (L). sB sF B Srovnán´ı vztah˚ u (69) a (71) a vztah˚ u (70) a (72) vy´ ust’uje do dvou algebraick´ ych rovnic pro povrchové amplitudové korekce pol´ı opouˇstˇej´ıc´ıch rozhran´ı: (0) = δEsF (0), δEs(0) B (0) δHs(0) B

=

r (0) HsnF F

(73) + δHsF (0) +

(0). HsnFr B

(74)

Amplitudové korekce δEs(0) (0) a δHs(0) (0) pole vnˇe krystalu mohou B B b´ yt alternativnˇe a formálnˇe lépe zahrnuty do rovnic vedouc´ıch k Fresnelov´ ym vztah˚ um. To se provede zaveden´ım nov´ ych fiktivn´ıch amplitudov´ ych korekc´ı δEsB (0) a δHsB (0) pole dopadaj´ıc´ıho na rozhran´ı zevnitˇr nelineárn´ıho krystalu. Tyto amplitudové korekce dávaj´ı po transformaci pˇres rozhran´ı pomoc´ı Fresnelov´ ych vztah˚ u potˇrebné reálné (0) (0) amplitudové korekce δEsB (0) a δHsB (0) (viz obrázek 32). Tento postup vede ke vztah˚ um: ]

[

(0) + δEs(0) (0) Es(0) (0) + Es(0) B F B Hs(0) (0) F

+

[

Hs(0) (0) B

+

]

δHs(0) (0) B

= EsF (0) + [EsB (0) + δEsB (0)] , =

HsFrF (0)

+

[

(75) HsFrB (0)

]

+ δHsB (0) . (76)

70


Rovnice (69) a (70) jsou následnˇe splnˇeny, pokud povrchové amplitudové korekce pol´ı uvnitˇr krystalu splˇ nuj´ı následuj´ıc´ı dvˇe algebraické rovnice: 0 = δEsF (0) − δEsB (0), (0) + δHsF (0) + HsnFr (0) − δHsB (0). 0 = HsnFr F B

(77) (78)

Pozitivnˇe frekvenˇcn´ı ˇcásti operátorov´ ych amplitudov´ ych korekc´ı ˆ ˆ δ Ema a δ Hma jsou definovány analogicky jako odpov´ıdaj´ıc´ı operátorové ˆ ma ve vztaz´ıch (57) a (67) s vyuˇzit´ım operátorov´ amplitudy Eˆma a H ych korekc´ı δˆ ama k anihilaˇcn´ım operátor˚ um aˆma : √

h ¯ ωm δˆ ama (z, ωm ), 2ϵ0 cSnm (ωm ) ˆ (+) (z, ωm ) = kma (ωm ) δ Eˆ (+) (z, ωm ), δH ma ma ωm µ0 m = s, i, a = F, B. (+) δ Eˆm (z, ωm ) = i a

(79)

(80)

Substituce vztah˚ u (68), (79) a (80) do rovnic (77) a (78) vede ke dvˇema rovnic´ım pro operátorové korekce δˆ asF (0, ωs ) a δˆ asB (0, ωs ):

+

δˆ asF (0, ωs ) − δˆ asB (0, ωs ) = 0, iksF (ωs )δˆ asF (0, ωs ) − iksB (ωs )δˆ asB (0, ωs )

(81)

dωi gc,ab (ωs , ωi )Ep(+) (ωs + ωi )ˆ a†ib (0, ωi ) = 0. c

(82)

∫

∑

a,b,c=F,B

ˇ sen´ı rovnic (81) a (82) pak udává vztahy pro operátorové korekce Reˇ δˆ asF a δˆ asB objevuj´ıc´ı se na vstupn´ım rozhran´ı: δasF (0, ωs ) =

∑ ∫ i dωi gc,ab (ωs , ωi )Ep(+) (ωs + ωi )ˆ a†ib (0, ωi ), c 2ks (ωs ) a,b,c=F,B

δasB (0, ωs ) = δasF (0, ωs ).

(83) (84)

Výstupn´ı rozhran´ı krystalu Pole v oblasti v´ ystupn´ıho rozhran´ı nelineárn´ıho krystalu mohou b´ yt analyzována podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe vstupn´ıho rozhran´ı. Spojitost projekc´ı amplitud elektrick´ ych a magnetick´ ych pol´ı do roviny rozhran´ı


71

(z = L, L oznaˇcuje délku krystalu) vyˇzaduje splnˇen´ı dvou rovnic: EsF (L) + EsB (L) + δEsB (L) = Es(1) (L) + δEs(1) (L) + Es(1) (L), (85) F F B HsFrF (L) + HsnFr (L) + HsFrB (L) F + HsnFr (L) + δHsB (L) = Hs(1) (L) + δHs(1) (L) + Hs(1) (L).(86) B F F B Zat´ımco amplitudy Es(1) (L) a Hs(1) (L) popisuj´ı pole vnˇe nelineárn´ıho F F (1) (1) krystalu, amplitudy EsB (L) a HsB (L) charakterizuj´ı pole dopadaj´ıc´ı na v´ ystupn´ı rozhran´ı zvnˇejˇsku (viz obrázek 32). Amplitudové korekce (1) δEsF (L) a δHs(1) (L) vnˇe krystalu mohou b´ yt formálnˇe zahrnuty do F rovnic vyjadˇruj´ıc´ıch Fresnelovy vztahy po zaveden´ı fiktivn´ıch amplitudov´ ych korekc´ı δEsF (L) a δHsF (L). C´ılem je stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe vstupn´ıho rozhran´ı pracovat s amplitudov´ ymi korekcemi definovan´ ymi pouze uvnitˇr nelineárn´ıho krystalu. Tento postup vy´ ust’uje do následuj´ıc´ıch rovnic: [

]

[EsF (L) + δEsF (L)] + EsB (L) = Es(1) (L) + δEs(1) (L) + Es(1) (L), F F B [

[

]

]

(87)

(L). (L) + Hs(1) (L) + δHs(1) HsFrF (L) + δHsF (L) + HsFrB (L) = Hs(1) B F F (88)

Srovnán´ı vztah˚ u (87) a (88) se vztahy (85) a (86) vede ke dvˇema algebraick´ ym rovnic´ım pro povrchové amplitudové korekce uvnitˇr nelineárn´ıho krystalu: −δEsF (L) + δEsB (L) = 0, (L) + δHsB (L) = 0. (L) − δHsF (L) + HsnFr HsnFr B F

(89) (90)

Rovnice pro amplitudové korekce δˆ asF (L, ωs ) a δˆ asB (L, ωs ) jsou následnˇe odvozeny z rovnic (89) a (90) s vyuˇzit´ım vztah˚ u (68), (79) a (80): −δˆ asF (L, ωs ) + δˆ asB (L, ωs ) = 0, −iksF (ωs )δˆ asF (L, ωs ) + iksB (ωs )δˆ asB (L, ωs ) +

∑

(91)

∫

dωi gc,ab (ωs , ωi )Ep(+) (ωs + ωi ) c

a,b,c=F,B

a†ib (0, ωi ) = 0. × exp[ikpc (ωs + ωi )L] exp[−ikib (ωi )L]ˆ

(92)

72


V´ yrazy pro operátorové korekce δˆ asF (L, ωs ) a δˆ asB (L, ωs ) u v´ ystupn´ıho rozhran´ı jsou nakonec z´ıskány ˇreˇsen´ım rovnic (91) a (92) takto: ∑ ∫ −i δasF (L, ωs ) = dωi gc,ab (ωs , ωi )Ep(+) (ωs + ωi ) c 2ks (ωs ) a,b,c=F,B

× exp[ikpc (ωs + ωi )L] exp[−ikib (ωi )L]ˆ a†ib (0, ωi ), (93) δasB (L, ωs ) = δasF (L, ωs ). (94) Kompletn´ı nelineárn´ı interakce Celkové ˇreˇsen´ı pro operátory aˆsa (L, ωs ) na v´ ystupu z nelineárn´ıho krystalu uvaˇzované s pˇresnost´ı do prvn´ı mocniny nelineárn´ıch konstant g má tˇri aditivn´ı ˇcleny: prvn´ı ˇclen popisuje vstupn´ı rozhran´ı, druh´ y ˇclen pocház´ı od interakce uvnitˇr krystalu a tˇret´ı ˇclen má sv˚ uj p˚ uvod v oblasti v´ ystupn´ıho rozhran´ı. Souˇcet tˇechto ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme napsat ve tvaru: a ˆsa (L, ωs ) = a ˆfree sa (L, ωs ) +

∫

∑

s dωi Fc,ab (L, ωs , ωi )ˆ afree† ib (L, ωi ),

b,c=F,B

a = F, B.

(95)

Operátory aˆfree ıc´ı se v rovnic´ıch ma (L, ωm ) (m = s, i, a = F, B) objevuj´ (95) a (96) n´ıˇze a charakterizuj´ıc´ı pole na konci krystalu popisuj´ı ˇs´ıˇren´ı volného pole (bez nelineárn´ı interakce) uvnitˇr krystalu. Tyto operátory jsou urˇceny v´ yrazy a ˆfree afree ma (L, ωm ) = exp[ikma (ωm )L]ˆ ma (0, ωm ). Funkce s Fc,ab ve vztahu (95) jsou definovány ve vztaz´ıch (97—99) n´ıˇze. Nyn´ı se vrát´ıme k jalovému poli a vyuˇzijeme symetrie mezi signálov´ ym a jalov´ ym polem. Amplitudy jalového elektrického (magnetického) pole jsou orientovány ve smˇeru osy +y (−x). Poˇzadavek spojitosti amplitud elektrického a magnetického pole na vstupn´ım i v´ ystupn´ım rozhran´ı vede k následuj´ıc´ımu ˇreˇsen´ı pro operátory aîb (L, ωi ) jalového pole v analogii s v´ yrazem (95): a îb (L, ωi ) = a ˆfree ib (L, ωi ) +

∫

∑

i dωs Fc,ab (L, ωs , ωi )ˆ afree† sa (L, ωs ),

a,c=F,B

b = F, B.

(96)

Funkce F s a F i zavedené v rovnic´ıch (95) a (96) mohou b´ yt rozvol loˇzeny na ˇcásti charakterizuj´ıc´ı objemové (F ) a povrchové (F s,surf ,


73

F i,surf ) pˇr´ıspˇevky: m,surf m vol Fc,ab = Fc,ab + Fc,ab ,

(97)

vol Fc,ab (L, ωs , ωi ) = gc,ab (ωs , ωi )Ep(+) (ωs + ωi ) exp[ikpc (ωs + ωi )L] c × exp[−i∆kc,ab (ωs , ωi )L/2]L sinc[∆kc,ab (ωs , ωi )L/2], (98) i m,surf Fc,ab (L, ωs , ωi ) = gc,ab (ωs , ωi )Ep(+) (ωs + ωi ) c km (ωm ) × {exp[iksa (ωs )L] exp[ikib (ωi )L] − exp[ikpc (ωs + ωi )L]} , m = s, i, a, b, c = F, B. (99)

Pˇri odvozen´ı vztah˚ u (99) jsme pˇredpokládali platnost rovnost´ı gc,F b = gc,Bb a gc,aF = gc,aB . Funkce F m,surf popisuj´ıc´ı povrchovou nelinearitu jsou nulové v limitˇe L → 0, ve které povrchov´ y pˇr´ıspˇevek z v´ ystupn´ıho rozhran´ı zcela zkompenzuje pˇr´ıspˇevek od vstupn´ıho rozhran´ı. Srovnán´ı vztah˚ u (98) a (99) ukazuje na jednoduch´ y vztah mezi povrchov´ ym a objemov´ ym pˇr´ıspˇevkem: m,surf Fc,ab (L, ωs , ωi ) ∆kc,ab (ωs , ωi ) m = ≡ Vc,ab (ωs , ωi ), vol Fc,ab (L, ωs , ωi ) km (ωm ) m = s, i, a, b, c = F, B.

(100)

Struktura povrchového pˇr´ıspˇevku je vytvoˇrena interferenc´ı pol´ı generovan´ ych na vstupn´ım a v´ ystupn´ım rozhran´ı. Na jednotliv´ ych rozhran´ıch plat´ı pouze zákon zachován´ı energie, coˇz vede k bohaté spektráln´ı struktuˇre emitovaného fotonového páru nezat´ıˇzeného standardn´ımi podm´ınkami na sfázován´ı. Struktura povrchového pˇr´ıspˇevku podobná struktuˇre objemového pˇr´ıspˇevku je aˇz d˚ usledkem vzájemné interference pol´ı z obou rozhran´ı. U standardn´ıch homogenn´ıch krystal˚ u s typick´ ymi délkami v mm je zdaleka nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı interakce mezi dopˇrednˇe se ˇs´ıˇr´ıc´ım ˇcerpac´ım, signálov´ ym a jalov´ ym polem. Za tˇechto podm´ınek je moˇzné pouˇz´ıt standardn´ı formalizmus spektráln´ı dvoufotonové amplitudy ϕ(ωs , ωi ) popsan´ y ve 2. kapitole [8, 103, 104]. Povrchové pˇr´ıspˇevky mohou b´ yt do tohoto formalizmu zahrnuty pomoc´ı následuj´ıc´ı formáln´ı substituce: ϕ(ωs , ωi ) ←−

√

√

vol s i 1 + VF,F F (ωs , ωi ) 1 + VF,F F (ωs , ωi ) ϕ (ωs , ωi ). (101)

74


Spektráln´ı dvoufotonová amplituda ϕvol (ωs , ωi ) oznaˇcuje ve vztahu (101) standardn´ı objemov´ y pˇr´ıspˇevek. Za bˇeˇzn´ ych podm´ınek sfázován´ı ne0 0 −1 lineárn´ı interakce [∆kF,F F (ωs , ωi ) = 0 m ] pˇrisp´ıvaj´ı povrchové ˇcleny pouze na okraj´ıch emitovan´ ych signálov´ ych a jalov´ ych spekter a jsou zanedbatelné. Povrchové pˇr´ıspˇevky maj´ı typicky ˇsirˇs´ı spektra oproti spektr˚ um objemov´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u. To vede ke kratˇs´ım ˇcasov´ ym charakteristikám ˇcasov´ ych dvoufotonov´ ych amplitud A˜s,surf (τs , τi ) a A˜i,surf (τs , τi ) definovan´ ych v analogii se vztahem (34) s vyuˇzit´ım vzorce (115) uvedeného n´ıˇze. Povrchové ˇcasové dvoufotonové amplitudy A˜m,surf (m = s, i) nab´ yvaj´ı v´ yznamn´ ych hodnot pouze v oblasti vstupn´ıho a v´ ystupn´ıho rozhran´ı [70]. Naproti tomu má ˇcasová dvoufotonová amplituda A˜vol objemové interakce v´ yznamné (a srovnatelné) hodnoty uvnitˇr celého sfázovaného nelineárn´ıho krystalu. V pˇr´ıpadˇe silného rozfázován´ı nelineárn´ı interakce pˇripom´ıná sv´ ym tvarem ˇcasová dvoufotonová amplivol ˜ tuda A ˇcasovou amplitudu povrchové interakce. Tedy pouze fotonové páry vytvoˇrené bl´ızko rozhran´ı pˇrisp´ıvaj´ı ke generaci pár˚ u v´ yznamnˇe. V tomto pˇr´ıpadˇe brán´ı efektivn´ı generaci fotonov´ ych pár˚ u destruktivn´ı interference uvnitˇr krystalu. Toto chován´ı je analogické k chován´ı silnˇe rozfázovaného procesu generace druhé harmonické frekvence, u kterého se objevuj´ı v´ yznamné pˇr´ıspˇevky pouze z oblast´ı okolo rozhran´ı [105]. Charakteristiky ˇcasov´ ych dvoufotonov´ ych amplitud m˚ uˇzeme nepˇr´ımo urˇcovat pomoc´ı mˇeˇren´ı normovaného poˇctu koincidenc´ı R v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru. Pokud uvaˇzujeme fotonové páry emitované pouze povrchovou nelinearitou, je profil normovaného poˇctu koincidenc´ı R tvoˇren jedn´ım centráln´ım vrcholem a dvˇema boˇcn´ımi záˇrezy s redukovanou vizibilitou (≈ 0, 5) [70]. Takov´ y profil charakterizuje i silnˇe rozfázovanou nelineárn´ı interakci uvnitˇr krystalu. Poznamenáváme, ˇze tvar ˇcasové dvoufotonové amplitudy m˚ uˇze b´ yt experimentálnˇe charakterizován také pomoc´ı procesu generace souˇctové frekvence signálového a jalového pole [6, 106]. Profil intenzitn´ıho pole vznikaj´ıc´ıho pˇri generaci souˇctové frekvence a závisej´ıc´ıho na vzájemném zpoˇzdˇen´ı dvou foton˚ u by v tomto pˇr´ıpadˇe byl tvoˇren dvˇema oddˇelen´ ymi vrcholy pˇr´ısluˇsej´ıc´ımi r˚ uzn´ ym rozhran´ım.


9.2

75

Neline´ arn´ı vrstevnat´ e struktury

Nyn´ı model zobecn´ıme na vrstevnaté struktury, u kter´ ych je povrchov´ y pˇr´ıspˇevek d˚ uleˇzit´ y vzhledem k malosti objemového pˇr´ıspˇevku pocházej´ıc´ıho z jedné vrstvy. Zobecnˇen´ı modelu vyuˇz´ıvá skuteˇcnosti, ˇze popisujeme pouze jeden fotonov´ y pár generovan´ y v nˇekteré z vrstev a ˇs´ıˇr´ıc´ı se ven ze struktury. ˆ int popsan´ Nejprve zobecn´ıme operátor hybnosti G y vztahem (56) tak, aby zahrnoval nelineárn´ı interakci v N vrstvách: ∫ ∫ N ∑ ∑ 4ϵ0 S ∫ (l) ˆ Gint (z) = √ dωp dωs dωi δ(ωp − ωs − ωi ) dc,ab 2π l=1 a,b,c=F,B [

(−,l)

× Ep(+,l) (z, ωp )Eˆs(−,l) (z, ωs )Eîb c a

]

(z, ωi ) + h.c. .

(102)

(−,l) Operátorové amplitudy Eˆm jsou definovány v l-té vrstvˇe: a

v u u (−,l) ˆ Ema (z, ωm ) = −it

h ¯ ωm (l) 2ϵ0 cSnm (ωm )

m = s, i,

rectzl−1 ,zl (z)ˆ a(l)† ma (z, ωm ),

a = F, B.

(103)

Spektráln´ı amplituda Ep(+,l) (z, ωp ) (c = F, B) ˇcerpac´ıho pole je defic nována uvnitˇr l-té vrstvy podobnˇe jako operátorové amplitudy ve vzta(l) hu (103). Nelineárn´ı konstanty dc,ab a indexy lomu n(l) m (ωm ) charakterizuj´ı l-tou vrstvu rozkládaj´ıc´ı se od z = zl−1 do z = zl . Generace fotonového páru v l-té vrstvˇe je popsána pomoc´ı vztah˚ u odvozen´ ych v´ yˇse. Tyto vztahy udávaj´ı operátory aˆma (zl , ωm ) (m = s, i, a = F, B) na konci l-té vrstvy. Fresnelovy vztahy na rozhran´ıch poté transformuj´ı“ generovan´ y fotonov´ y pár vnˇe nelineárn´ı struktury. ” Fotonov´ y pár m˚ uˇze b´ yt generovan´ y v libovolné z N vrstev a vˇsechny tyto kvantové trajektorie mus´ıme v modelu zahrnout. To vede k v´ yrazu: a ôut ma (ωm )

=

N ∑ ∑ l=1 a′ =F,B

m,(l)

Haa′ (ωm )ˆ a(l) ma′ (zl , ωm ),

m = s, i, a = F, B. (104)

m,(l)

Koeficienty Haa′ objevuj´ıc´ı se ve vztahu (104) jsou odvozeny maticovou metodou popisu ˇs´ıˇren´ı s pomoc´ı Fresnelov´ ych vztah˚ u na rozhran´ıch [viz odvozen´ı vztahu (20)] [39, 48].

76


Vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u mˇeˇren´ ych v koincidenci jsou popsány ′ out ′ out korelaˇcn´ı funkc´ı 4. ˇrádu ⟨ˆ aout† (ω )ˆ a (ω aout† aib (ωi )⟩. Substituce s )ˆ ib′ (ωi )ˆ sa′ s sa vztahu (104) do definice této korelaˇcn´ı funkce spolu s ˇreˇsen´ım pro jednu nelineárn´ı vrstvu popsaném vztahy (95) a (96) vede k v´ yrazu: i,out ′ ′ out ⟨ˆ aout† aout aout† aib (ωi )⟩ = Fas,out∗ (ωs′ , ωi′ )Fab (ωs , ωi ), ′ b′ ib′ (ωi )ˆ sa′ (ωs )ˆ sa (ωs )ˆ

a, a′ , b, b′ = F, B.

(105)

o,out Spektráln´ı dvoufotonové amplitudy Fab (o = s, i) popisuj´ıc´ı fotonov´ y pár na v´ ystupu ze struktury s fotony ˇs´ıˇr´ıc´ımi se ve smˇerech popsan´ ych indexy a a b jsou vyjádˇreny pomoc´ı spektráln´ıch dvoufotonov´ ych ampo,(l) ych pro jednotlivé vrstvy: litud Fa′ b′ platn´ o,out Fab (ωs , ωi ) =

N ∑

∑

s,(l)

l=1 a′ ,b′ =F,B

i,(l)

o,(l)

Haa′ (ωs )Hbb′ (ωi )Fa′ b′ (ωs , ωi ),

o = s, i;

a, b = F, B.

(106)

V´ yrazy (97—100) mohou b´ yt pro l-tou vrstvu pˇrepsány do v´ yhodného tvaru: o,(l)

Fab (ωs , ωi ) =

∑

[

(l)

o,(l)

]

gc,ab (ωs , ωi ) 1 + Vc,ab (ωs , ωi ) Ep(+,l) (ωs + ωi ) c

c=F,B (l)

× exp[ikp(l)c (ωs + ωi )Ll ] exp[−i∆kc,ab (ωs , ωi )Ll /2] (l)

×Ll sinc[∆kc,ab (ωs , ωi )Ll /2], o = s, i, a, b = F, B,

(107)

ve kterém (l)

o,(l) Vc,ab (ωs , ωi )

=

∆kc,ab (ωs , ωi ) (l)

ko (ωo )

(108)

√ (l) (l) √ (l) (l) a gc,ab (ωs , ωi ) = 2idc,ab ωs ωi /[c 2πns (ωs )ni (ωi )]. Index (l) popisuje veliˇciny vztaˇzené k l-té vrstvˇe a Ll udává délku této vrstvy (Ll = zl − zl−1 ). Symbol Ep(+,l) objevuj´ıc´ı se ve vztahu (107) oznaˇcuje spektráln´ı c amplitudu ˇcerpac´ıho pole pc (c = F, B) na konci l-té vrstvy (v m´ıstˇe ych matic. Pˇri z = zl ), která je urˇcena pomoc´ı formalizmu pˇrenosov´ (l) (l) odvozen´ı vztahu (107) jsme pˇredpokládali, ˇze plat´ı gc,F b = gc,Bb a (l) (l) gc,aF = gc,aB .


77

Zobecnˇen´ı modelu pro pˇr´ıpad vektorov´ ych pol´ı ˇs´ıˇr´ıc´ıch se v obecném smˇeru je pˇr´ımoˇcaré s vyuˇzit´ım v´ ysledk˚ u z´ıskan´ ych ve 2. kapitole. Kl´ıˇcem k tomuto zobecnˇen´ı je to, ˇze potˇrebné amplitudové korekce zajiˇst’uj´ıc´ı spojitost amplitud elektrick´ ych a magnetick´ ych pol´ı na rozhran´ıch jsou definovány jen na jedné stranˇe rozhran´ı. Pouˇz´ıváme tedy nenulové operátorové korekce δˆ asF (0, ωs ) a δˆ asB (0, ωs ) [δˆ asF (L, ωs ) a δˆ asB (L, ωs )] pro levou [pravou] stranu nelineárn´ı struktury (vrstvy) pˇri popisu povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze. V pˇr´ıpadˇe svazk˚ u dopadaj´ıc´ıch pod nenulov´ ym u ´hlem dopadu je uˇziteˇcn´ y násle´ duj´ıc´ı argument. Uhel dopadu je roven (aˇz na znaménko) u ´hlu odrazu a tud´ıˇz jejich kosiny udávaj´ıc´ı multiplikativn´ı konstanty u projekc´ı vektorov´ ych amplitud elektrick´ ych a magnetick´ ych pol´ı leˇz´ıc´ıch v rovinˇe dopadu do roviny rozhran´ı jsou stejné. To znamená, ˇze rovnice (81), (82), (91) a (92) p˚ uvodnˇe napsané pro pole ˇs´ıˇr´ıc´ı se podél osy z z˚ ustávaj´ı v platnosti i pro obecn´ y smˇer ˇs´ıˇren´ı. Rovnice (107) a (108) mohou b´ yt téˇz pouˇzity za pˇredpokladu, ˇze v nich pouˇzijeme z-ové sloˇzky vlnov´ ych vektor˚ u kp , ks a ki m´ısto velikost´ı tˇechto vektor˚ u.

9.3

Veliˇ ciny charakterizuj´ıc´ı fotonov´ y p´ ar

Zahrnut´ı povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze vyˇzaduje urˇcité zobecnˇen´ı vztah˚ u pro veliˇciny charakterizuj´ıc´ı fotonové páry. Toto zobecnˇen´ı provedeme pro zjednoduˇsen´ y pˇr´ıpad pol´ı ˇs´ıˇr´ıc´ıch se podél osy z podrobnˇe studovan´ y v této kapitole. V obecném pˇr´ıpadˇe se pouˇzij´ı vztahy ze 3. kapitoly se zobecnˇen´ım, patrn´ ym z n´ıˇze odvozen´ ych rovnic. Hustota nab (ωs , ωi ) stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych pár˚ u se signálov´ ym fotonem s frekvencemi leˇz´ıc´ımi v jednotkovém intervalu okolo frekvence ωs ˇs´ıˇr´ıc´ım se ve smˇeru a a jalov´ ym fotonem s frekvencemi nacházej´ıc´ımi se v jednotkovém intervalu okolo frekvence ωi ˇs´ıˇr´ıc´ım se ve smˇeru b na v´ ystupu ze struktury je definována takto: nab (ωs , ωi ) =

⟨[

]⟩

a ôut† aout aout† aout ib (ωi )ˆ sa (ωs )ˆ sa (ωs )ˆ ib (ωi ) + h.c.

/2. (109)

Pˇripom´ınáme, ˇze symbol ⟨ ⟩ znamená kvantovˇe mechanickou stˇredn´ı hodnotu poˇc´ıtanou pˇres poˇcáteˇcn´ı signálov´ y a jalov´ y vakuov´ y stav. Substituce vztahu (105) do této definice poskytuje následuj´ıc´ı v´ yraz: s∗,out i,out nab (ωs , ωi ) = Re{Fab (ωs , ωi )Fab (ωs , ωi )}.

(110)

78


Hustota ns,ab (ωs ) stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u je jednoduˇse odvozena z hustoty nab definované vztahem (109): ∫

ns,ab (ωs ) = ∫

∞ 0

=

∞

0

dωi nab (ωs , ωi ) s∗,out i,out dωi Re{Fab (ωs , ωi )Fab (ωs , ωi )}.

(111)

Fotonov´ y tok Ns,ab (τs ) signálového pole pˇr´ısluˇsej´ıc´ı fotonovému páru ˇs´ıˇr´ıc´ımu se ve smˇerech a a b je popsán takto: ϵ0 S ∫ ∞ dωi 4 0 ⟨[ ]⟩ Eˆ (−),out (τs )Eˆ (+),out (τs )ˆ aiout† (ωi )ˆ aout (ωi ) + h.c. . (112)

Ns,ab (τs ) =

sa

sa

b

ib

V´ yraz ve vzorci (112) m˚ uˇze b´ yt upraven s pomoc´ı vztahu (105): √ ∫ ∞ ′√ ′ ∫ ∞ h ¯ ∫∞ Ns,ab (τs ) = dωs ωs dωi Re{exp[i(ωs − ωs′ )τs ] dωs ωs 8π 0 0 0 i∗,out s,out ′ × Fab (ωs , ωi )Fab (ωs , ωi )}. (113) V pˇr´ıpadˇe u ´zkého jalového spektra m˚ uˇzeme vztah (113) zjednoduˇsit: Ns,ab (τs ) =

∫

h ¯ ωs0

∞

−∞

i∗,out s,out dτi Re{Fab (τs , τi )Fab (τs , τi )}.

(114)

s,out i,out Funkce Fab a Fab vyskytuj´ıc´ı se ve vzorci (114) pˇredstavuj´ı Fourierovu transformaci sv´ ych spektráln´ıch protˇejˇsk˚ u definovan´ ych v´ yrazem (106):

√

m,out Fab (τs , τi )

∫ ∞ 1 ∫∞ ωs ωi m,out = dωs dωi F (ωs , ωi ) exp(−iωs τs ) 2π 0 ωs0 ωi0 ab 0 × exp(−iωi τi ), m = s, i. (115)

Normovan´ y poˇcet koincidenc´ı Rab v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru dan´ ych spoleˇcnou detekc´ı obou foton˚ u v páru je popsán vztahem Rab (τl ) = 1 − ρab (τl ), (116)


79

ve kterém

∫ ∞ [ 1 ∫∞ dtA dtB ⟨Eˆs(−),out (tA )Eˆs(+),out (tB ) ρab (τl ) = a a 4R0,ab −∞ −∞ ] (−),out (+),out ×Eî (tB − τl )Eî (tA − τl )⟩ + c.c. , (117) b

R0,ab

b

∫ ∞ [ 1∫ ∞ = dtA dtB ⟨Eˆs(−),out (tA )Eˆs(+),out (tA ) a a 4 −∞ −∞ ] (−),out (+),out ×Eî (tB )Eî (tB )⟩ + c.c. . b

b

(118)

Symbol τl oznaˇcuje vzájemné zpoˇzdˇen´ı foton˚ u v páru. Tyto vztahy je v´ yhodné upravit pomoci vzorce (115) do následuj´ıc´ıch tvar˚ u: ρab (τl ) =

∫ ∞ { h ¯2 1 ∫∞ s∗,out dω dω ω ω Re Fab (ωs , ωi ) s i s i 16ϵ20 c2 S 2 R0,ab 0 0 }

i,out × Fab (ωi , ωs ) exp[i(ωs − ωi )τl ] ,

R0,ab =

∫ ∞ ∫ ∞ { h ¯2 s∗,out dω ω ω Re Fab dω (ωs , ωi ) i s i s 16ϵ20 c2 S 2 0 0 }

i,out ×Fab (ωs , ωi ) .

9.4

(119)

(120)

Vlastnosti povrchov´ e spont´ ann´ı sestupn´ e frekvenˇ cn´ı konverze

Povrchová spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze m˚ uˇze ve vrstevnat´ ych strukturách v´ yznamnˇe zv´ yˇsit poˇcty emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u. Jako pˇr´ıklad uvedeme v´ yˇse popsanou strukturu s 11 vrstvami kontinuálnˇe ˇcerpanou na vlnové délce 400 nm a polarizacemi (TE,TM,TE) interaguj´ıc´ıch pol´ı. Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u vznikaj´ıc´ıch v objemové interakci v této struktuˇre je zobrazen v grafu na obrázku 12. Naproti tomu v grafu na obrázku 33(a) vid´ıme závislost relativn´ıho vzr˚ ustu ηs stˇredn´ıho poˇctu signálov´ ych foton˚ u emitovan´ ych v povrchové interakci. Srovnán´ı obou graf˚ u ukazuje, ˇze povrchová spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze je svoj´ı intenzitou srovnatelná s objemovou spontánn´ı sestupnou frekvenˇcn´ı konverz´ı. U analyzované struktury je povrchov´ y nelineárn´ı jev v nˇekter´ ych emisn´ıch smˇerech dokonce silnˇejˇs´ı neˇz objemov´ y nelineárn´ı jev. To vede k atypickému chován´ı, kdy se emisn´ı maxima objemového a povrchového pˇr´ıspˇevku objevuj´ı v r˚ uzn´ ych emisn´ıch smˇerech. Toto chován´ı

80

Povrchová spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze 10

surf

3

10

3

vol+surf s

s

0

0 80

80

2

1 70

70

4

60

6

50

8

40

10

30

12

20

14 16

2

4

40

5

30

6

20

(deg)

50

s

3

s

(deg)

60

10

7

10

0

8

0

0.91

0.94

0.97

1.00

2

/

s

1.03 0 p

(a)

1.06

1.09

18 0.91

0.94

0.97

1.00

2

/

s

1.03

1.06

1.09

0 p

(b)

Obrázek 33: Relativn´ı vzr˚ ust ηs stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u v závislosti na normované signálové frekvenci 2ωs /ωp0 a radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs (a) pro povrchovou nelineárn´ı interakci a (b) pro objemovou i povrchovou nelineárn´ı interakci pro strukturu s N = 11 vrstvami, (TE,TM,TE) polarizacemi pol´ı a pro signálov´ y a jalov´ y foton ˇs´ıˇr´ıc´ı se podél osy +z ; ψs = 0 deg, rp → ∞.

je dáno menˇs´ım poˇctem vrstev (a z toho vypl´ yvaj´ıc´ı ménˇe v´ yraznou interferenc´ı pol´ı uvnitˇr struktury) a také disperzn´ımi vlastnostmi materiál˚ u (viz závislost tvaru spektra na radiáln´ım emisn´ım u ´hlu ϑs v grafu na obrázku 12). Vzhledem k fázovému sladˇen´ı spektráln´ıch dvoufotonov´ ych amplitud pol´ı emitovan´ ych v povrchovém a objemovém nelineárn´ım jevu je povrchov´ y pˇr´ıspˇevek do celkového poˇctu emitovan´ ych pár˚ u v´ yznamn´ y. V grafu na obrázku 33(b) vid´ıme, ˇze povrchov´ y pˇr´ıspˇevek m˚ uˇze dokonce zmˇenit emisn´ı smˇer, ve kterém dosahuje hustota emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u maxima. U struktur s vˇetˇs´ım poˇctem vrstev jsou zpravidla signálová a jalová spektra objemové a povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze podobná a maximáln´ı hustoty emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u se objevuj´ı ve stejn´ ych emisn´ıch smˇerech. V tˇechto pˇr´ıpadech se pak povrchov´ y jev projevuje m´ırn´ ym rozˇs´ıˇren´ım signálov´ ych a jalov´ ych spekter a nár˚ ustem poˇctu generovan´ ych pár˚ u [69]. Za pozornost stoj´ı i kvantitativn´ı srovnán´ı vzr˚ ust˚ u ηs poˇctu signálov´ ych foton˚ u emitovan´ ych se zapoˇcten´ım povrchové interakce a bez jej´ıho zapoˇcten´ı. Z grafu na obrázku 34 vypl´ yvá, ˇze ˇc´ım horˇs´ı je kon-

Jan Peˇrina ml.: Spontánn´ı sestupná frekvenˇcn´ı konverze vol+surf s

/

vol s

81

1

80

3

70

5 7

50 40

9

s

(deg)

60

30

11

20

13

10 0 0.91

0.94

0.97

1.00

2 s/

0 p

1.03

1.06

1.09

15

Obrázek 34: Pod´ıl ηsvol+surf /ηsvol relativn´ıch vzr˚ ust˚ u stˇredn´ıho poˇctu emitovan´ ych signálov´ ych foton˚ u se zapoˇcten´ım a bez zapoˇcten´ı povrchové nelineárn´ı interakce v závislosti na normované signálové ´hlu ϑs pro strukturu definofrekvenci 2ωs /ωp0 a radiáln´ım emisn´ım u vanou v popisu obrázku 33. Hodnoty pod´ılu nejsou definovány v b´ılé oblasti vpravo nahoˇre z d˚ uvodu zanedbateln´ ych hodnot ηsvol .

struktivn´ı interference uvnitˇr vrstevnaté struktury, t´ım vˇetˇs´ı je relativn´ı pˇr´ıspˇevek od povrchového nelineárn´ıho jevu. Velké hodnoty relativn´ıho pˇr´ıspˇevku povrchového jevu se ovˇsem vyskytuj´ı v oblastech frekvenc´ı a smˇer˚ u, ve kter´ ych je emise fotonov´ ych pár˚ u zanedbatelnˇe malá. Vzr˚ ust poˇctu generovan´ ych pár˚ u je zp˚ usoben zejména procesy, které (ani pˇribliˇznˇe) nesplˇ nuj´ı podm´ınky sfázován´ı. Váhy jednotliv´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u u povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze mohou b´ yt m,(l) odhadnuty pomoc´ı hodnot parametru Vc,ab (m = s, i; a, b, c = F, B) definovaného ve vzorci (108). Následuj´ıc´ı hodnoty charakterizuj´ı strukturu s 11 vrstvami a emis´ı signálového fotonu pod u ´hlem ϑs = 59 deg, m m ve kterém je generace pár˚ u nejsilnˇejˇs´ı: VF,F = −VB,BB ≈ −0, 6, F m m m m m m VF,F B ≈ VF,BF ≈ −VB,F B ≈ −VB,BF ≈ 1, 9, VF,BB = −VB,F F ≈ 4, 5. Protoˇze silnˇe rozfázované nelineárn´ı procesy hraj´ı u povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze dominantn´ı roli, mus´ı b´ yt délky nelineárn´ıch vrstev menˇs´ı nebo srovnatelné s koherenˇcn´ı délkou nelineárn´ı interakce. V grafu na obrázku 35 zobrazuj´ıc´ım pod´ıl r poˇctu emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u v povrchové Nψsurf a objemové Nψvol spon-

82


Obrázek 35: Pod´ıl r = Nψsurf /Nψvol poˇct˚ u emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u v povrchové a objemové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverzi v závislosti na délce L jedné vrstvy GaN ˇcerpané kontinuálnˇe kolmo k povrchu na vlnové délce λp = 400 nm TE polarizovanou rovinnou vlnou. Jsou detekovány páry s frekvencemi v intervalu ∆Ω = (0, 45; 0, 55)ωp0 ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru osy +z: Nψ = [∫ ] ∫ ∏ π/2 ana vztaa=s,i −π/2 sin(ϑa )dϑa ∆Ω dωa n(Ωs , Ωi ) a hustota n je d´ hem (28); ψs = ψi = 0 deg.

tánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverzi v závislosti na délce L jedné vrstvy GaN vid´ıme, ˇze povrchové pˇr´ıspˇevky jsou d˚ uleˇzité pro délky vrstev do 1 µm. Obecnˇe zahrnut´ı povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze vede k rozˇs´ıˇren´ı spektráln´ıch dvoufotonov´ ych amplitud F s,out (ωs , ωi ) a F i,out (ωs , ωi ). To se projevuje v ˇsirˇs´ıch spektrech signálového a jalového pole. Na druhé stranˇe docház´ı v pulzn´ım reˇzimu ke zkracován´ı ˇcasov´ ych pr˚ ubˇeh˚ u fotonov´ ych tok˚ u signálového a jalového pole. Docház´ı také ke z´ uˇzen´ı záˇrezu v profilu poˇctu koincidenc´ı v Hongovˇe-Ouovˇe-Mandelovˇe interferometru. Povrchové jevy se objevuj´ı ve spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverzi obecnˇe na diskontinuitách χ(2) nelinearity. Mus´ı tedy b´ yt uváˇzeny i u periodicky pólovan´ ych nelineárn´ıch materiál˚ u, u kter´ ych nedocház´ı ke zpˇetn´ ym rozptyl˚ um ˇs´ıˇr´ıc´ıch se pol´ı (napˇr. LiNbO3 ) [107]. Povrchové efekty se také objevuj´ı u vlnovodn´ ych struktur vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch u ´plného odrazu svazk˚ u na rozhran´ıch (napˇr. fotonická vlákna). Studované povr-


83

chové jevy nejsou také omezeny na jednodimenzionáln´ı geometrii. Podobné jevy se objevuj´ı i u dvou- a tˇr´ıdimenzionáln´ıch nelineárn´ıch struktur.

10

Z´ avˇ er

Byl rozvinut kvantov´ y vektorov´ y model procesu spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze v nelineárn´ıch vrstevnat´ ych strukturách. Na základˇe modelu byla navrˇzena metoda návrhu u ´ˇcinn´ ych nelineárn´ıch vrstevnat´ ych struktur. Na pˇr´ıkladu tˇr´ı struktur byly ukázány hlavn´ı vlastnosti emitovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u, jejichˇz fotony mohou b´ yt kvantovˇe provázány ve frekvenc´ıch, polarizac´ıch a emisn´ıch smˇerech. Navrˇzená metoda umoˇzn ˇuje do jisté m´ıry definovanˇe modifikovat vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u zejména zmˇenou poˇctu vrstev. Jde pˇredevˇs´ım o vlastnosti fotonov´ ych pár˚ u v pˇr´ıˇcné rovinˇe svazk˚ u a kvantovou provázanost v emisn´ıch smˇerech. Intenzity signálového a jalového svazku typicky vytváˇrej´ı v pˇr´ıˇcné rovinˇe soustavu koncentrick´ ych kruh˚ u. ˇ ım vˇetˇs´ı je poˇcet vrstev ve struktuˇre, t´ım v´ıce kruh˚ C´ u je pozorováno. Korelované plochy signálov´ ych a jalov´ ych foton˚ u jsou ˇcasto rozloˇzeny do nˇekolika oblast´ı. Pro toto ˇstˇepen´ı korelovan´ ych ploch existuj´ı ve vrstevnat´ ych strukturách tˇri d˚ uvody: 1) klikaté“ ˇs´ıˇren´ı generovan´ ych ” foton˚ u uvnitˇr struktury, 2) interference pol´ı splˇ nuj´ıc´ıch geometrickou ˇ epen´ı kosymetrii a 3) polarizaˇcn´ı vlastnosti generovan´ ych pol´ı. Stˇ relovan´ ych ploch maj´ıc´ı sv˚ uj p˚ uvod v geometrii nelineárn´ı interakce pˇretrvává i pro silnˇe fokusované ˇcerpac´ı svazky. Poˇcty generovan´ ych fotonov´ ych pár˚ u rostou rychleji neˇz s druhou mocninou poˇctu vrstev d´ıky velkému vzr˚ ustu amplitud interaguj´ıc´ıch optick´ ych pol´ı zp˚ usobenému zpˇetn´ ymi odrazy na rozhran´ıch uvnitˇr struktury. I malé mnoˇzstv´ı nelineárn´ıho materiálu tedy umoˇzn ˇuje generovat relativnˇe intenzivn´ı dvoufotonová pole. Kvantová frekvenˇcn´ı provázanost vede i k siln´ ym ˇcasov´ ym korelac´ım mezi okamˇziky detekce ˇ signálového a jalového pole. Casové konstanty tˇechto korelac´ı jsou typicky v ˇrádech fs aˇz des´ıtek ps. To umoˇzn ˇuje vyuˇz´ıvat tyto korelace v ˇcasové metrologii. Nelineárn´ı vrstevnaté struktury také umoˇzn ˇuj´ı generovat fotonové páry s nestandardn´ımi vlastnostmi. Jedná se o fotonové páry se souhlasnˇe korelovan´ ymi signálov´ ymi a jalov´ ymi frekvencemi, které vykazuj´ı

84

Závˇer

ˇcasové antishlukován´ı signálového a jalového fotonu. Nav´ıc se signálov´ y a jalov´ y foton odpuzuj´ı“ na dˇeliˇci svazku podobnˇe jako fermiony. ” Fotonové páry s mimoˇrádnˇe u ´zk´ ymi signálov´ ymi a jalov´ ymi spektry jsou generovány ve strukturách s náhodn´ ymi délkami vrstev d´ıky optické analogii Andersonovy lokalizace, která v´ yraznˇe zesiluje amplitudy elektrick´ ych pol´ı uvnitˇr struktury. Tyto struktury jsou nav´ıc flexibiln´ı, pokud jde o generované frekvence a radiáln´ı emisn´ı u ´hly. To umoˇzn ˇuje vytváˇret nové dvoufotonové stavy skládán´ım dvoufotonov´ ych stav˚ u emitovan´ ych do r˚ uzn´ ych smˇer˚ u. Mohou tak b´ yt z´ıskány stavy se souhlasn´ ymi korelacemi v signálov´ ych a jalov´ ych frekvenc´ıch i stavy jejichˇz signálová a jalová spektra jsou tvoˇrena soustavou rovnomˇernˇe vzdálen´ ych vrchol˚ u. Fotonové páry jsou také emitovány v bl´ızkosti rozhran´ı nelineárn´ıch vrstev d´ıky procesu povrchové spontánn´ı sestupné frekvenˇcn´ı konverze. Ta vzniká v d˚ usledku spojitosti pr˚ umˇet˚ u amplitud elektrického a magnetického pole do roviny rozhran´ı platné i v nelineárn´ıch interakc´ıch. Tento jev je popsán ˇreˇsen´ım Heisenbergov´ ych rovnic a zobecnˇen´ ymi dvoufotonov´ ymi spektráln´ımi amplitudami. U vrstevnat´ ych struktur mohou b´ yt poˇcty fotonov´ ych pár˚ u generovan´ ych v bl´ızkosti povrch˚ u srovnatelné s poˇcty pár˚ u pocházej´ıc´ıch z objemu nelineárn´ıch vrstev. Nelineárn´ı vrstevnaté struktury tedy pˇredstavuj´ı zdroje kvantovˇe provázan´ ych fotonov´ ych pár˚ u s rozmanit´ ymi vlastnostmi. Tyto vlastnosti ˇcin´ı fotonové páry perspektivn´ımi jak v oblasti metrologie, tak i pro optické implementace mnoha kvantovˇe informaˇcn´ıch protokol˚ u. Vrstevnaté struktury jsou také perspektivn´ı pro optoelektroniku d´ıky sv´ ym mal´ ym rozmˇer˚ um.


85

Reference [1] C. K. Hong, Z. Y. Ou a L. Mandel. Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference. Phys. Rev. Lett., 59:2044—2046, 1987. [2] L. Mandel a E. Wolf. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. [3] V D. Bouwmeester, A. Ekert a A. Zeilinger, editoˇri. The Physics of Quantum Information. Springer, Berlin, 2000. [4] J. Peˇrina, Z. Hradil a B. Jurˇco. Quantum Optics and Fundamentals of Physics. Kluwer, Dordrecht, 1994. [5] D. Bouwmeester, J. W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter a A. Zeilinger. Experimental quantum teleportation. Nature, 390:575–579, 1997. [6] S. E. Harris. Chirp and compress: Toward single-cycle biphotons. Phys. Rev. Lett., 98:063602, 2007. [7] G. Brida, M. V. Chekhova, I. P. Degiovanni, M. Genovese, G. K. Kitaeva, A. Meda a O. A. Shumilkina. Chirped biphotons and their compression in optical fibers. Phys. Rev. Lett., 103:193602, 2009. [8] T. E. Keller a M. H. Rubin. Theory of two-photon entanglement for spontaneous parametric down-conversion driven by a narrow pump pulse. Phys. Rev. A, 56:1534—1541, 1997. [9] J. Peˇrina Jr., A. V. Sergienko, B. M. Jost, B. E. A. Saleh a M. C. Teich. Dispersion in femtosecond entangled two-photon interference. Phys. Rev. A, 59:2359—2368, 1999. [10] A. Joobeur, B. E. A. Saleh a M. C. Teich. Spatiotemporal coherence properties of entangled light beams generated by parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 50:3349—3361, 1994.

86

Reference

[11] A. Joobeur, B. E. A. Saleh, T. S. Larchuk a M. C. Teich. Coherence properties of entangled light beams generated by parametric down-conversion: Theory and experiment. Phys. Rev. A, 53:4360—4371, 1996. [12] G. Vallone, E. Pomarico, P. Mataloni, F. De Martini a V. Berardi. Realization and characterization of a two-photon four-qubit linear cluster state. Phys. Rev. Lett., 98:180502, 2007. [13] C. H. Monken, P. H. Souto Ribeiro a S. Padua. Transfer of angular spectrum and image formation in spontaneous parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 57:3123—3126, 1998. [14] S. P. Walborn, A. N. de Oliveira, R. S. Thebaldi a C. H. Monken. Entanglement and conservation of orbital angular momentum in spontaneous parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 69:023811, 2004. [15] C. K. Law a J. H. Eberly. Analysis and interpretation of high transverse entanglement in optical parametric down conversion. Phys. Rev. Lett., 92:127903, 2004. [16] A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs a A. Zeilinger. Entanglement of the orbital angular momentum states of photons. Nature, 412:313— 316, 2001. [17] S. S. R. Oemrawsingh, X. Ma, D. Voigt, A. Aiello, E. R. Eliel, G. W. ’t Hooft a J. P. Woerdman. Experimental demonstration of fractional orbital angular momentum entanglement of two photons. Phys. Rev. Lett., 95:240501, 2005. [18] G. Molina-Terriza, S. Minardi, Y. Deyanova, C. I. Osorio, M. Hendrych a J. P. Torres. Control of the shape of the spatial mode function of photons generated in noncollinear spontaneous parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 72:065802, 2005. [19] B. M. Jost, A. V. Sergienko, A. F. Abouraddy, B. E. A. Saleh a M. C. Teich. Spatial correlations of spontaneously downconverted photon pairs detected with a single-photon-sensitive CCD camera. Opt. Express, 3:81—88, 1998.


87

[20] O. Haderka, J. Peˇrina Jr. a M. Hamar. Simple direct measurement of nonclassical joint signal-idler photon-number statistics and correlation area of twin photon beams. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 7:S572—S576, 2005. [21] M. H. Rubin a Y. H. Shih. Resolution of ghost imaging for nondegenerate spontaneous parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 78:033836, 2008. [22] E. Brambilla, A. Gatti, M. Bache a L. A. Lugiato. Simultaneous near-field and far-field spatial quantum correlations in the high-gain regime of parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 69:023802, 2004. [23] O. Jedrkiewicz, Y. K. Jiang, E. Brambilla, A. Gatti, M. Bache, L. A. Lugiato a P. Di Trapani. Detection of sub-shot-noise spatial correlation in high-gain parametric down-conversion. Phys. Rev. Lett., 93:243601, 2004. [24] G. Brida, L. Caspani, A. Gatti, M. Genovese, A. Meda a I. R. Berchera. Measurement of sub-shot-noise spatial correlations without backround subtraction. Phys. Rev. Lett., 102:213602, 2009. [25] A. Migdall. Correlated-photon metrology without absolute standards. Physics Today, 52:41—46, 1999. [26] D. Bruß a N. L¨ utkenhaus. V Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, Vol. 10, s. 383. Springer, Berlin, 2000. [27] G. K. Kitaeva. Frequency conversion in aperiodic quasi-phasematched structures. Phys. Rev. A, 76:043841, 2007. [28] J. Svozil´ık a J. Peˇrina Jr. Properties of entangled photon pairs generated in periodically poled nonlinear crystals. Phys. Rev. A, 80:023819, 2009. [29] J. Svozil´ık a J. Peˇrina Jr. Intense ultra-broadband downconversion from randomly poled nonlinear crystals. Opt. Express, 18:27130—27135, 2010.

88

Reference

[30] A. B. U’Ren, C. Silberhorn, K. Banaszek a I. A. Walmsley. Efficient conditional preparation of high-fidelity single photon states for fiber-optic quantum networks. Phys. Rev. Lett., 93:093601, 2004. [31] S. M. Spillane, M. Fiorentino a R. G. Beausoleil. Spontaneous parametric down conversion in a nanophotonic waveguide. Opt. Express, 15:8770—8780, 2007. [32] J. Chen, A. J. Pearlman, A. Ling, J. Fan a A. Migdall. A versatile waveguide source of photon pairs for chip-scale quantum information processing. Opt. Express, 17:6727—6740, 2009. [33] V M. Bertolotti, C. M. Bowden a C. Sibilia, editoˇri. Nanoscale Linear and Nonlinear Optics, AIP Vol. 560. AIP, Melville, 2001. [34] M. J. A. de Dood, W. T. M. Irvine a D. Bouwmeester. Nonlinear photonic crystals as a source of entangled photons. Phys. Rev. Lett., 93:040504, 2004. [35] E. Yablonovitch. Inhibited spontaneous emission in solid-statephysics and electronics. Phys. Rev. Lett., 58:2059—2062, 1987. [36] S. John. Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices. Phys. Rev. Lett., 58:2486—2489, 1987. [37] A. N. Vamivakas, B.. E. A. Saleh, A. V. Sergienko a M. C. Teich. Theory of spontaneous parametric down-conversion from photonic crystals. Phys. Rev. A, 70:043810, 2004. [38] M. Centini, J. Peˇrina Jr., L. Sciscione, C. Sibilia, M. Scalora, M. J. Bloemer a M. Bertolotti. Entangled photon pair generation by spontaneous parametric down-conversion in finite-length onedimensional photonic crystals. Phys. Rev. A, 72:033806, 2005. [39] J. Peˇrina Jr., M. Centini, C. Sibilia, M. Bertolotti a M. Scalora. Properties of entangled photon pairs generated in onedimensional nonlinear photonic-band-gap structures. Phys. Rev. A, 73:033823, 2006.


89

[40] A. B. U’Ren, R. Erdmann a I. A. Walmsley. Synthesis of time-bin entangled states via tailored group velocity matching. J. Mod. Opt., 52:2197—-2205, 2005. [41] A. B. U’Ren, R. K. Erdmann, M. dela Cruz-Gutierre a I. A. Walmsley. Generation of two-photon states with an arbitrary degree of entanglement via nonlinear crystal superlattices. Phys. Rev. Lett., 97:223602, 2006. [42] X. Li, P. L. Voss, J. E. Sharping a P. Kumar. Optical-fiber source of polarization-entangled photons in the 1550 nm telecom band. Phys. Rev. Lett., 94:053601, 2005. [43] J. Fulconis, O. Alibart, W. Wadsworth, P. Russell a J. Rarity. High brightness single mode source of correlated photon pairs using a photonic crystal fiber. Opt. Express, 13:7572—7582, 2005. [44] J. Fan, A. Migdall a L. J. Wang. Efficient generation of correlated photon pairs in a microstructure fiber. Opt. Lett., 30:3368—3370, 2005. [45] P. Abolghasem, M. Hendrych, X. Shi, J. P. Torres a A. S. Helmy. Bandwidth control of paired photons generated in monolithic Bragg reflection waveguides. Opt. Lett., 34:2000—2002, 2009. [46] J. Svozil´ık, M. Hendrych, A. S. Helmy a J. P. Torres. Generation of paired photons in a quantum separable state in Bragg reflection waveguides. Opt. Express, 19:3115—3123, 2011. [47] M. Fiorentino, C. E. Kuklewicz a F. N. C. Wong. Source of polarization entanglement in a single periodically poled KTiOPO4 crystal with overlapping emission cones. Opt. Express, 13:127— 135, 2005. [48] P. Yeh. Optical Waves in Layered Media. Wiley, New York, 1988. [49] J. Peˇrina Jr. Spatial properties of entangled photon pairs generated in nonlinear layered structures. Phys. Rev. A, 84:053840, 2011.

90

Reference

[50] J. Peˇrina Jr., M. Centini, C. Sibilia a M. Bertolotti. Random nonlinear layered structures as sources of photon pairs for quantuminformation processing. J. Russ. Laser Res., 30:508—513, 2009. [51] J. Peˇrina Jr., M. Centini, C. Sibilia a M. Bertolotti. Photon-pair generation in random nonlinear layered structures. Phys. Rev. A, 80:033844, 2009. [52] J. Peˇrina Jr., M. Centini, C. Sibilia, M. Bertolotti a M. Scalora. Antisymmetric entangled two-photon states generated in nonlinear GaN/AlN photonic-band-gap structures. Phys. Rev. A, 75:013805, 2007. [53] T. S. Humble a W. P. Grice. Spectral effects in quantum teleportation. Phys. Rev. A, 75:022307, 2007. [54] A. B. U’Ren, K. Banaszek a I. A. Walmsley. Photon engineering for quantum information processing. Quantum Inf. Comp., 3:480—502, 2003. [55] A. B. U’Ren, C. Silberhorn, K. Banaszek, I. A. Walmsley, R. K. Erdmann, W. P. Grice a M. G. Raymer. Generation of pure-state single-photon wavepackets by conditional preparation based on spontaneous parametric downconversion. Laser Phys., 15:146— 161, 2005. [56] V. Giovannetti, L. Maccone, J. H. Shapiro a F. N. C. Wong. Generating entangled two-photon states with coincident frequencies. Phys. Rev. Lett., 88:183602, 2002. [57] V. Giovannetti, L. Maccone, J. H. Shapiro a F. N. C. Wong. Extended phase-matching conditions for improved entanglement generation. Phys. Rev. A, 66:043813, 2002. [58] O. Kuzucu, M. Fiorentino, M. A. Albota, F. N. C. Wong a F. X. Kaertner. Two-photon coincident-frequency entanglement via extended phase matching. Phys. Rev. Lett., 94:083601, 2005. [59] J. P. Torres, F. Macia, S. Carrasco a L. Torner. Engineering the frequency correlations of entangled two-photon states by achromatic phase matching. Opt. Lett., 30:314—316, 2005.


91

[60] J. P. Torres, M. W. Mitchell a M. Hendrych. Indistinguishability of entangled photons generated with achromatic phase matching. Phys. Rev. A, 71:022320, 2005. [61] A. De Rossi a V. Berger. Counterpropagating twin photons by parametric fluorescence. Phys. Rev. Lett., 88:043901, 2002. [62] M. Booth, M. Atature, G. Di Giuseppe, B. E. A. Saleh, A. V. Sergienko a M. C. Teich. Counterpropagating entangled photons from a waveguide with periodic nonlinearity. Phys. Rev. A, 66:023815, 2002. [63] Z. D. Walton, M. C. Booth, A. V. Sergienko, B. E. A. Saleh a M. C. Teich. Controllable frequency entanglement via autophase-matched spontaneous parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 67:053810, 2003. [64] M. Ravaro, Y. Seurin, S. Ducci, G. Leo, V. Berger, A. De Rossi a G. Assanto. Nonlinear AlGaAs waveguide for the generation of counterpropagating twin photons in the telecom range. J. Appl. Phys., 98:063103, 2005. [65] L. Lanco, S. Ducci, J.-P. Likforman, X. Marcadet, J. A. W. van Houwelingen, H. Zbinden, G. Leo a V. Berger. Semiconductor waveguide source of counterpropagating twin photons. Phys. Rev. Lett., 97:173901, 2006. [66] L. Sciscione, M. Centini, C. Sibilia, M. Bertolotti a M. Scalora. Entangled, guided photon generation in (1+1)-dimensional photonic crystals. Phys. Rev. A, 74:013815, 2006. [67] Z. D. Walton, A. V. Sergienko, B. E. A. Saleh a M. C. Teich. Generation of polarization-entangled photon pairs with arbitrary joint spectrum. Phys. Rev. A, 70:052317, 2004. [68] J. Peˇrina Jr. Quantum properties of counterpropagating twophoton states generated in a planar waveguide. Phys. Rev. A, 77:013803, 2008.

92

Reference

[69] J. Peˇrina Jr., A. Lukˇs, O. Haderka a M. Scalora. Surface spontaneous parametric down-conversion. Phys. Rev. Lett., 103:063902, 2009. [70] J. Peˇrina Jr., A. Lukˇs a O. Haderka. Emission of photon pairs at discontinuities of nonlinearity. Phys. Rev. A, 80:043837, 2009. [71] W. Vogel, D. G. Welsch a S. Walentowicz. Quantum Optics. Wiley-VCH, Weinheim, 2001. [72] J. Peˇrina. Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena. Kluwer, Dordrecht, 1991. [73] G. D’Aguanno, N. Mattiucci, M. Scalora, M. J. Bloemer a A. M. Zheltikov. Density of modes and tunneling times in finite onedimensional photonic crystals: a comprehensive analysis. Phys. Rev. E, 70:016612, 2004. [74] M. Scalora, M. J. Bloemer, A. S. Manka, J. P. Dowling, C. M. Bowden, R. Viswanathan a J. W. Haus. Pulsed second-harmonic generation in nonlinear, one-dimensional, periodic structures. Phys. Rev. A, 56:3166–3174, 1997. [75] N. A. Sanford, A. V. Davidov, D. V. Tsvetkov, A. V. Dmitriev, S. Keller, U. K. Mishra, S. P. DenBaars, S. S. Park, J. Y. Han a R. J. Molnar. Measurement of second order susceptibilities of GaN and AlGaN. J. Apl. Phys., 97:053512, 2005. [76] J. Miragliotta, D. K. Winckenden, T. J. Kistenmacher a W. A. Bryden. Linear- and nonlinear-optical properties of GaN thin film. J. Opt. Soc. Am. B, 10:1447—1456, 1993. [77] M. Hamar, J. Peˇrina Jr., O. Haderka a V. Michálek. Transverse coherence of photon pairs generated in spontaneous parametric downconversion. Phys. Rev. A, 81:043827, 2010. [78] J. Peˇrina Jr., M. Centini, C. Sibilia, M. Bertolotti a M. Scalora. Transverse properties of entangled two-photon states generated in nonlinear photonic-band-gap structures. V Conference on Coherence and Quantum Optics, s. CSuA6. Optical Society of America, 2007.


93

[79] J. G. Rarty a P. R. Tapster. Quantum interference: experiments and applications. Phis. Trans. R. Soc. Lond. A, 355:2267—2277, 1997. [80] C. Santori, D. Fattal, J. Vuckovic, G. S. Solomon a Y. Yamamoto. Indistinguishable photons from a single-photon device. Nature, 419:594—597, 2002. [81] T. B. Pittman, D. V. Strekalov, A. Migdall, M. H. Rubin, A. V. Sergienko a Y. H. Shih. Can two-photon interference be considered the interference of two photons? Phys. Rev. Lett., 77:1917— 1920, 1996. [82] D. Branning, W. P. Grice, R. Erdmann a I. A. Walmsley. Engineering the indistinguishability and entanglement of two photons. Phys. Rev. Lett., 83:955—958, 1999. [83] M. Atature, A. V. Sergienko, B. E. A. Saleh a M. C. Teich. Dispersion-independent high-visibility quantum interference in ultrafast parametric down-conversion. Phys. Rev. Lett., 84:618— 621, 2000. [84] S. Braunstein a A. Mann. Measurement of the Bell operator and quantum teleportation. Phys. Rev. A, 51:R1727—R1730, 1995. [85] W. A. T. Nogueira, S. P. Walborn, S. Padua a C. H. Monken. Experimental observation of spatial antibunching of photons. Phys. Rev. Lett., 86:4009—4012, 2001. [86] W. A. T. Nogueira, S. P. Walborn, S. Padua a C. H. Monken. Spatial antibunching of photons with parametric downconversion. Phys. Rev. A, 66:053810, 2002. [87] D. P. Caetano a P. H. Souto Ribeiro. Generation of spatial antibunching with free-propagating twin beams. Phys. Rev. A, 68:043806, 2003. [88] W. A. T. Nogueira, S. P. Walborn, S. Padua a C. H. Monken. Generation of a two-photon singlet beam. Phys. Rev. Lett., 92:043602, 2004.

94

Reference

[89] P. W. Anderson. Absence of diffusion in certain random lattices. Phys. Rev., 109:1492—1505, 1958. [90] M. Centini, D. Felbacq, D. S. Wiersma, C. Sibilia, M. Scalora a M. Bertolotti. Resonant second harmonic generation in random dielectric structures. J. Eur. Opt. Soc. Rapid Publ., 1:06021, 2006. [91] T. Ochiai a K. Sakoda. Scaling law of enhanced second-harmonic generation in finite Bragg stacks. Opt. Express, 13:9094—9114, 2005. [92] J. Bertolotti, S. Gottardo, D. S. Wiersma, M. Ghulinyan a L. Pavesi. Optical necklace states in Anderson localized 1D systems. Phys. Rev. Lett., 94:113903, 2005. [93] P. Kolchin, S. Du, Ch. Belthangady, G. Y. Yin a S. E. Harris. Generation of narrow-bandwidth paired photons: Use of a single driving laser. Phys. Rev. Lett., 97:113602, 2006. [94] C. K. Law, I. A. Walmsley a J. H. Eberly. Continuous frequency entanglement: Effective finite Hilbert space and entropy control. Phys. Rev. Lett., 84:5304—5307, 2000. [95] S. J. Augst, A. K. Goyal, R. L. Aggarwal, T. Y. Fan a A. Sanchez. Wavelength beam combining of ytterbium fiber lasers. Opt. Lett., 28:331—621, 2003. [96] N. Bloembergen a P. S. Pershan. Light waves at the boundary of nonlinear media. Phys. Rev., 128:606—622, 1962. [97] N. Bloembergen, H. J. Simon a C. H. Lee. Total reflection phenomena in second-harmonic generation of light. Phys. Rev., 181:1261—1271, 1969. [98] V. Roppo, M. Centini, C. Sibilia, M. Bertolotti, D. de Ceglia, M. Scalora, N. Akozbek, M. J. Bloemer, J. W. Haus, O. G. Kosareva a V. P. Kandidov. Role of phase matching in pulsed second-harmonic generation: Walk-off and phase-locked twin pulses in negative-index media. Phys. Rev. A, 76:033829, 2007.


95

[99] B. Huttner, S. Serulnik a Y. Ben-Aryeh. Quantum analysis of light propagation in a parametric amplifier. Phys. Rev. A, 42:5594—5600, 1990. [100] A. Lukˇs a V. Peˇrinová. Canonical quantum description of light propagation in dielectric media. V E. Wolf, editor, Progress in Optics, Vol. 43, s. 295—431. Elsevier, Amsterdam, 2002. [101] J. Peˇrina Jr. a J. Peˇrina. Quantum statistics of nonlinear optical couplers. V E. Wolf, editor, Progress in Optics, Vol. 41, s. 361— 419. Elsevier, Amsterdam, 2000. [102] M. Born a E. Wolf. Principles of Optics, 6. vydán´ı. Pergamon Press, Oxford, 1980. [103] W. P. Grice, R. Erdmann, I. A. Walmsley a D. Branning. Spectral distinguishability in ultrafast parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 57:R2289—R2292, 1998. [104] J. Peˇrina Jr. Properties of pulsed entangled two-photon fields. Eur. Phys. J. D, 7:235—242, 1999. [105] M. Centini, V. Roppo, E. Fazio, F. Pettazzi, C. Sibilia, J. W. Haus, J. V. Foreman, N. Akozbek, M. J. Bloemer a M. Scalora. Inhibition of linear absorption in opaque materials using phaselocked harmonic generation. Phys. Rev. Lett., 101:113905, 2008. [106] M. B. Nasr, S. Carrasco, B. E. A. Saleh, A. V. Sergienko, M. C. Teich, J. P. Torres, L. Torner, D. S. Hum, a M. M. Fejer. Ultrabroadband biphotons generated via chirped quasi-phasematched optical parametric down-conversion. Phys. Rev. Lett., 100:183601, 2008. [107] J. Peˇrina, J. Kˇrepelka, J. Peˇrina Jr., M. Bondani, A. Allevi a A. Andreoni. Correlations in photon-numbers and integrated intensities in parametric processes involving three optical fields. Eur. Phys. J. D, 53:373—382, 2009.

doc. RNDr. Jan Peřina ml., Ph.D.

Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách Výkonný redaktor: prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr. Odpovědná redaktorka: Vendula Drozdová Návrh a grafické zpracování obálky: Jiří K. Jurečka Vydala a vytiskla Univerzita Palackého v Olomouci Křížkovského 8, 771 47 Olomouc www.upol.cz/vup Olomouc 2012 1. vydání ISBN 978-80-244-3117-8 Neprodejné

Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách

Recommend Documents