Spojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika
Spojitý popis plazmatu • V mnoha případech nepotřebujeme znát detailně popis plazmatu, dalším možným popisem plazmatu je tzv. spojitý (fluidní), tj. makroskopický popis • V tomto případě nahlížíme na plazma jako na vodivou tekutinu a důležité jsou pro nás makroskopické fyzikální veličiny (tlak, hustota, střední hodnota rychlosti,…) • Takový popis nám tedy nepřináší příliš detailní informace o studovaném systému, ale s výhodou se použije např. při počítačovém modelování (řeší se velmi malý počet rovnic oproti částicovému přístupu)
Rovnice ideální MHD
Rovnice kontinuity
Pohybová (Eulerova) rovnice
Indukční rovnice – rovnice pro magnetické pole
Rovnice pro energii (tlak)
Rovnováha a stabilita plazmatu • V ustáleném stavu, kdy se plazma nepohybuje, musí být pravá strana pohybové rovnice nulová
• Pokud navíc zanedbáme gravitační pole, dostáváme pro rovnovážný (ustálený) stav následující podmínku
Numerické řešení rovnic MHD • Pro numerické řešení rovnic MHD je vhodné je převést do konzervativního tvaru:
• Pro řešení MHD rovnic v konzervativním tvaru existuje mnoho numerických algoritmů, existují i sofistikované profesionální numerické kódy, např. Athena, Pluto, FLASH
Hyperbolické rovnice • Základní rovnice (transportní rovnice), která nás bude zajímat, má následující tvar:
• Pro jednoduchost budeme předpokládat pouze skalární hyperbolickou rovnici
• Analytické řešení:
• Jak ale takový typ rovnice vyřešit numericky?
Taylorův rozvoj a Eulerova metoda • Taylorův rozvoj „vpřed“ a „vzad“
• „Dopředná“ a „zpětná“ Eulerova metoda
• „Centrovaná“ Eulerova metoda
Eulerova metoda
Diskretizace
Numerické schéma pro transportní rovnici • Použijeme-li
• A dosadíme do transportní rovnice
• Dostaneme následující schéma
• Jediným, ale dost podstatným problémem tohoto schématu je, že je pro numerické výpočty nepoužitelné ☺, je tzv. nepodmíněně nestabilní
Godunovova metoda • Použijeme-li
• A dosadíme do transportní rovnice
• Dostaneme tzv. (upwind) schéma
Godunovovo
• S podmínkou stability
neboli
Lax-Friedrichsův a Lax Wendroffův algoritmus • Lax-Friedrichs
• Lax-Wendroff
Lax-Friedrichs, Lax Wendroff, 2D • Velmi často používaný je dvoukrokový Lax-Wendroffův algoritmus
• „Artificial smoothing“:
• Lax-Friedrichs
MacCormackovo schéma 1D • Toto schéma je založeno na metodě prediktor-korektor – Krok vytvořený prediktorem
– Krok vytvořený korektorem
– Výsledný krok
Adaptive Mesh Refinement • Jedná se o metodu zjemňování mříže v oblastech, kde dochází k velkým skokům ve fyzikálních veličinách (teplota, hustota, atd.) a kde by vznikala velká numerická chyba
Numerické kódy • http://v-fedun.staff.shef.ac.uk/VF/uselin.html
Dodatek – simulace v nízkoteplotním plazmatu Spojité modelování Studium fyzikálních procesů na makroskopické úrovni Výhoda – rychlý výpočet, v modelu se řeší malý počet rovnic ~ 10 Nevýhoda – malá přesnost díky makroskopickému přístupu, o polohách a rychlostech částic nevíme nic
Dodatek – simulace v nízkoteplotním plazmatu • Studium fyzikálních procesů na makroskopické úrovni – teplota, tlak, koncentrace, rychlost proudění, … • Popis jevu odpovídá úrovni experimentální fyziky • Rovnice spojitého modelování – parciální diferenciální rovnice • Jednoduché srovnání výsledků výpočtů s výsledky z experimentu • Malý počet rovnic – rovnice jsou ale složitější a obtížné na naprogramování
Jednoduchý spojitý model ρ ∂ ne + ∇ ⋅ Je = 0 ∂t e
(ni − ne )
ρ ∂ ni + ∇ ⋅ Ji = 0 ∂t
∆U = −
ρ ρ J e = µ e ne E − De ⋅ ∇ne ρ ρ J i = µ i ni E − Di ⋅ ∇ni
ρ E = − grad U
ε
Řešení spojitých rovnic • „Klasická“ metoda – metoda sítí • Jednou z poměrně silných metod je metoda konečných prvků – FME • FME pro numerické řešení diferenciálních rovnic je moderní variantou klasických variačních metod • Obtížný matematický aparát
Metoda konečných prvků • metoda používaná od poloviny padesátých let dvacátého století • zakladatelem R. Courant (1943) • původně užívána výhradně inženýry => zejména fyzika materiálů • nyní se užívá i k řešení soustav diferenciálních rovnic n-tého řádu • v současnosti prudký rozvoj
Metoda konečných prvků • numerická metoda s exaktním matematickým vycházejícím z teorie funkcionální analýzy
základem
• základní myšlenka: aproximovat hledanou spojitou funkci po částech spojitou funkcí • převést úlohu vyřešit diferenciální rovnici s neznámou spojitou funkcí na úlohu hledat minimum funkcionálu z po částech spojité funkce, kterou lze převést na úlohu vyřešit soustavu algebraických rovnic
Algoritmus FME Generování uzlů
Řešení soustavy alg. rovnic
Transformace funkcionálu na soustavu alg. rovnic
Delaunayův algoritmus
Výsledek
Generování konečných prvků
Zavedení bázových funkcí
Definice vhodného skalárního součinu
Generování sítě – planární sonda
Generování sítě – válcová sonda
Typy konečných prvků
Hybridní modelování v plazmatu kombinace spojitého a částicového přístupu snaha o využití předností obou předchozích přístupů rychlost ze spojitého modelování přesnost z částicového modelování výsledkem je kompromis – v přesnosti i rychlosti výpočtu
Hybridní modelování ve fyzice plazmatu • Kombinace částicového a spojitého modelování, s cílem využít předností obou metod
„rychlostní“ hybridní model • Hybridní model „prostorový“ hybridní model
Hybridní model – „rychlostní“ • Výpočet různými technikami pro různé typy částic • V modelu mohou existovat „rychlé“ elektrony, „pomalé“ elektrony, ionty, …. • Každý typ částic se tedy pohybuje různě rychle => různé techniky modelování
Hybridní model – „rychlostní“ • Část Monte Carlo • Spojitá část • Kombinace Monte Carlo a spojité části
A. Bogaerts, R. Gijbels, W. J. Goedheer: Hybrid Monte Carlo – fluid model of a direct current glow discharge, J. Appl. Phys. 78 (4) A. Bogaerts, R. Gijbels, W. J. Goedheer: Two-Dimensional Model of a Direct Current Glow Discharge: Description of the Electrons, Argon Ions, and Fast Argon Atoms, Analytical Chemistry, Vol. 68, No. 14 Jelínek, P., Hrach, R., Bartoš, P., Techniques for computational study of plasma-solid interaction at higher pressures, Vacuum 82, 240-243, 2007.
Spojitá část • Výpočet pro ionty a „rychlé“ elektrony ∂ne ∂je + = re ∂t ∂x
∂ni ∂ji + = ri ∂t ∂x
∂ 2V e + (ni − ne − ne , fast ) = 0 ∂x 2 ε 0
je = µ e ne
∂n ∂V − De e ∂x ∂x
ji = − µi ni
∂n ∂V − Di i ∂x ∂x
Hybridní model – „prostorový“ • Základní myšlenka je modelovat odlišné části v pracovní oblasti různými technikami • V našem případě je možno rozdělit pracovní oblast na tzv. „sheath“ a „presheath“ • Použití částicových technik v oblasti tzv. „sheathu“, kde je maxwellovské rozdělení porušeno • V oblasti tzv. „presheathu“, kde je rozdělení maxwellovské, je možno používat spojité techniky počítačového modelování
Modely plazmatu v okolí sond různých typů •
Šimek, J., Hrach, R., Jelínek, P., Computational Study of Negative Ions Influence on Plasma Sheath Formation, Comp. Phys. Commun. 177 (1-2), 137, 2007.
•
Jelínek, P., Hrach, R., Bartoš, P., Techniques for computational study of plasma-solid interaction at higher pressures, Vacuum 82, 240-243, 2007.
•
Bartoš, P., Hrach, R., Jelínek, P., Multidimensional fluid-particle modelling technique in low-temperature argon plasma at low pressure, Vacuum 82, 220-223, 2007.
•
Jelínek, P., Virostko, P., Hubička, Z., Bartoš, P., Modelling of RF discharge in argon plasma, Computation in Modern Science and Engineering 2, 1240-1243, 2007.
•
Bartoš, P., Hrach, R., Jelínek, P., Computer simulations of probe measurements in argon plasma: Effects of finite dimensions of the probe, Contrib. Plasma Phys. 48, No. 5-7, 406-411, 2008.
•
P. Bartoš, J. Blažek, P. Jelínek, P. Špatenka, Hybrid Computer Simulations: Electrical Charging of Dust Particles in Low-Temperature Plasma, Eur. Phys. J. D 54, 319-323, 2009.
