Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
2. KONSTRUKCE Pˇr´ıklady Miroslav Huˇsek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2008
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodov´a mnoˇzina pr´avˇe kdyˇz |X | ≤ 1. 2 Ukaˇzte, zˇ e na dvoubodov´e mnoˇzinˇe existuj´ı pr´avˇe 4 topologie. Dvoubodov´y topologick´y prostor, kter´y nen´ı ani diskr´etn´ı ani indiskr´etn´ı, se nˇekdy naz´yv´a Sierpi´nsk´eho prostor. Ukaˇzte, zˇ e jsou pr´avˇe dva Sierpi´nsk´eho prostory na {0, 1} a zˇ e jsou homeomorfn´ı. 3 Ukaˇzte, zˇ e supremum obou prostor˚u Sierpi´nsk´eho je indiskr´etn´ı prostor a jejich infimum je diskr´etn´ı prostor. (Najdˇete dvˇe topologie i na mnoˇzinˇe R, jejichˇz supremum je indiskr´etn´ı topologie a jejich infimum je diskr´etn´ı topologie.) 4 Existuje nekonstantn´ı spojit´a funkce Sierpi´nsk´eho prostoru do R? 5 Ukaˇzte, zˇ e pro kaˇzdou otevˇrenou mnoˇzinu G v topologick´em prostoru X existuje spojit´e zobrazen´ı X do Sierpi´nsk´eho prostoru S takov´e, zˇ e G je vzor otevˇren´e mnoˇziny v S.
Ze dvou Sierpi´nsk´eho topologi´ı na dvoubodov´e mnoˇzinˇe {0, 1} vybereme tu, kter´a m´a za otevˇrenou mnoˇzinu bod 0. Tento prostor budeme znaˇcit symbolem S2 .
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodov´a mnoˇzina pr´avˇe kdyˇz |X | ≤ 1. 2 Ukaˇzte, zˇ e na dvoubodov´e mnoˇzinˇe existuj´ı pr´avˇe 4 topologie. Dvoubodov´y topologick´y prostor, kter´y nen´ı ani diskr´etn´ı ani indiskr´etn´ı, se nˇekdy naz´yv´a Sierpi´nsk´eho prostor. Ukaˇzte, zˇ e jsou pr´avˇe dva Sierpi´nsk´eho prostory na {0, 1} a zˇ e jsou homeomorfn´ı. 3 Ukaˇzte, zˇ e supremum obou prostor˚u Sierpi´nsk´eho je indiskr´etn´ı prostor a jejich infimum je diskr´etn´ı prostor. (Najdˇete dvˇe topologie i na mnoˇzinˇe R, jejichˇz supremum je indiskr´etn´ı topologie a jejich infimum je diskr´etn´ı topologie.) 4 Existuje nekonstantn´ı spojit´a funkce Sierpi´nsk´eho prostoru do R? 5 Ukaˇzte, zˇ e pro kaˇzdou otevˇrenou mnoˇzinu G v topologick´em prostoru X existuje spojit´e zobrazen´ı X do Sierpi´nsk´eho prostoru S takov´e, zˇ e G je vzor otevˇren´e mnoˇziny v S.
Ze dvou Sierpi´nsk´eho topologi´ı na dvoubodov´e mnoˇzinˇe {0, 1} vybereme tu, kter´a m´a za otevˇrenou mnoˇzinu bod 0. Tento prostor budeme znaˇcit symbolem S2 .
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodov´a mnoˇzina pr´avˇe kdyˇz |X | ≤ 1. 2 Ukaˇzte, zˇ e na dvoubodov´e mnoˇzinˇe existuj´ı pr´avˇe 4 topologie. Dvoubodov´y topologick´y prostor, kter´y nen´ı ani diskr´etn´ı ani indiskr´etn´ı, se nˇekdy naz´yv´a Sierpi´nsk´eho prostor. Ukaˇzte, zˇ e jsou pr´avˇe dva Sierpi´nsk´eho prostory na {0, 1} a zˇ e jsou homeomorfn´ı. 3 Ukaˇzte, zˇ e supremum obou prostor˚u Sierpi´nsk´eho je indiskr´etn´ı prostor a jejich infimum je diskr´etn´ı prostor. (Najdˇete dvˇe topologie i na mnoˇzinˇe R, jejichˇz supremum je indiskr´etn´ı topologie a jejich infimum je diskr´etn´ı topologie.) 4 Existuje nekonstantn´ı spojit´a funkce Sierpi´nsk´eho prostoru do R? 5 Ukaˇzte, zˇ e pro kaˇzdou otevˇrenou mnoˇzinu G v topologick´em prostoru X existuje spojit´e zobrazen´ı X do Sierpi´nsk´eho prostoru S takov´e, zˇ e G je vzor otevˇren´e mnoˇziny v S.
Ze dvou Sierpi´nsk´eho topologi´ı na dvoubodov´e mnoˇzinˇe {0, 1} vybereme tu, kter´a m´a za otevˇrenou mnoˇzinu bod 0. Tento prostor budeme znaˇcit symbolem S2 .
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodov´a mnoˇzina pr´avˇe kdyˇz |X | ≤ 1. 2 Ukaˇzte, zˇ e na dvoubodov´e mnoˇzinˇe existuj´ı pr´avˇe 4 topologie. Dvoubodov´y topologick´y prostor, kter´y nen´ı ani diskr´etn´ı ani indiskr´etn´ı, se nˇekdy naz´yv´a Sierpi´nsk´eho prostor. Ukaˇzte, zˇ e jsou pr´avˇe dva Sierpi´nsk´eho prostory na {0, 1} a zˇ e jsou homeomorfn´ı. 3 Ukaˇzte, zˇ e supremum obou prostor˚u Sierpi´nsk´eho je indiskr´etn´ı prostor a jejich infimum je diskr´etn´ı prostor. (Najdˇete dvˇe topologie i na mnoˇzinˇe R, jejichˇz supremum je indiskr´etn´ı topologie a jejich infimum je diskr´etn´ı topologie.) 4 Existuje nekonstantn´ı spojit´a funkce Sierpi´nsk´eho prostoru do R? 5 Ukaˇzte, zˇ e pro kaˇzdou otevˇrenou mnoˇzinu G v topologick´em prostoru X existuje spojit´e zobrazen´ı X do Sierpi´nsk´eho prostoru S takov´e, zˇ e G je vzor otevˇren´e mnoˇziny v S.
Ze dvou Sierpi´nsk´eho topologi´ı na dvoubodov´e mnoˇzinˇe {0, 1} vybereme tu, kter´a m´a za otevˇrenou mnoˇzinu bod 0. Tento prostor budeme znaˇcit symbolem S2 .
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodov´a mnoˇzina pr´avˇe kdyˇz |X | ≤ 1. 2 Ukaˇzte, zˇ e na dvoubodov´e mnoˇzinˇe existuj´ı pr´avˇe 4 topologie. Dvoubodov´y topologick´y prostor, kter´y nen´ı ani diskr´etn´ı ani indiskr´etn´ı, se nˇekdy naz´yv´a Sierpi´nsk´eho prostor. Ukaˇzte, zˇ e jsou pr´avˇe dva Sierpi´nsk´eho prostory na {0, 1} a zˇ e jsou homeomorfn´ı. 3 Ukaˇzte, zˇ e supremum obou prostor˚u Sierpi´nsk´eho je indiskr´etn´ı prostor a jejich infimum je diskr´etn´ı prostor. (Najdˇete dvˇe topologie i na mnoˇzinˇe R, jejichˇz supremum je indiskr´etn´ı topologie a jejich infimum je diskr´etn´ı topologie.) 4 Existuje nekonstantn´ı spojit´a funkce Sierpi´nsk´eho prostoru do R? 5 Ukaˇzte, zˇ e pro kaˇzdou otevˇrenou mnoˇzinu G v topologick´em prostoru X existuje spojit´e zobrazen´ı X do Sierpi´nsk´eho prostoru S takov´e, zˇ e G je vzor otevˇren´e mnoˇziny v S.
Ze dvou Sierpi´nsk´eho topologi´ı na dvoubodov´e mnoˇzinˇe {0, 1} vybereme tu, kter´a m´a za otevˇrenou mnoˇzinu bod 0. Tento prostor budeme znaˇcit symbolem S2 .
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodov´a mnoˇzina pr´avˇe kdyˇz |X | ≤ 1. 2 Ukaˇzte, zˇ e na dvoubodov´e mnoˇzinˇe existuj´ı pr´avˇe 4 topologie. Dvoubodov´y topologick´y prostor, kter´y nen´ı ani diskr´etn´ı ani indiskr´etn´ı, se nˇekdy naz´yv´a Sierpi´nsk´eho prostor. Ukaˇzte, zˇ e jsou pr´avˇe dva Sierpi´nsk´eho prostory na {0, 1} a zˇ e jsou homeomorfn´ı. 3 Ukaˇzte, zˇ e supremum obou prostor˚u Sierpi´nsk´eho je indiskr´etn´ı prostor a jejich infimum je diskr´etn´ı prostor. (Najdˇete dvˇe topologie i na mnoˇzinˇe R, jejichˇz supremum je indiskr´etn´ı topologie a jejich infimum je diskr´etn´ı topologie.) 4 Existuje nekonstantn´ı spojit´a funkce Sierpi´nsk´eho prostoru do R? 5 Ukaˇzte, zˇ e pro kaˇzdou otevˇrenou mnoˇzinu G v topologick´em prostoru X existuje spojit´e zobrazen´ı X do Sierpi´nsk´eho prostoru S takov´e, zˇ e G je vzor otevˇren´e mnoˇziny v S.
Ze dvou Sierpi´nsk´eho topologi´ı na dvoubodov´e mnoˇzinˇe {0, 1} vybereme tu, kter´a m´a za otevˇrenou mnoˇzinu bod 0. Tento prostor budeme znaˇcit symbolem S2 .
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Sorgenfrey line) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny intervaly tvaru [a, b) se naz´yv´a Sorgenfreyova pˇr´ımka. Sorgenfrey line Oznaˇcme Sorgenfreyovu pˇr´ımku pro tuto cˇ a´ st symbolem S. (Stejn´y n´azev se pouˇz´ıv´a, berou-li se vˇsechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude ˇreˇceno jinak, bude Sorgenfreyova pˇr´ımka m´ıt topologii urˇcenou intervaly otevˇren´ymi nahoru.) 1 S je separabiln´ı, ale nem´a spoˇcetnou otevˇrenou b´azi, takˇze nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y. 2 Kaˇzd´y bod S m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. 3 S je 0-dimenzion´aln´ı. 4 V S plat´ı Baireova vˇeta (pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hust´ych otevˇren´ych mnoˇzin je nepr´azdn´y). ˇ 5 Popiˇste spojit´e re´aln´e funkce na S. Casto se tyto funkce naz´yvaj´ı shora (nebo zprava) polospojit´e. 6 Souˇcin S × S m´a nespoˇcetn´y uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor {(−x, x); x ∈ S} (takov´y podprostor nem˚uzˇ e existovat v S).
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Sorgenfrey line) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny intervaly tvaru [a, b) se naz´yv´a Sorgenfreyova pˇr´ımka. Sorgenfrey line Oznaˇcme Sorgenfreyovu pˇr´ımku pro tuto cˇ a´ st symbolem S. (Stejn´y n´azev se pouˇz´ıv´a, berou-li se vˇsechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude ˇreˇceno jinak, bude Sorgenfreyova pˇr´ımka m´ıt topologii urˇcenou intervaly otevˇren´ymi nahoru.) 1 S je separabiln´ı, ale nem´a spoˇcetnou otevˇrenou b´azi, takˇze nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y. 2 Kaˇzd´y bod S m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. 3 S je 0-dimenzion´aln´ı. 4 V S plat´ı Baireova vˇeta (pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hust´ych otevˇren´ych mnoˇzin je nepr´azdn´y). ˇ 5 Popiˇste spojit´e re´aln´e funkce na S. Casto se tyto funkce naz´yvaj´ı shora (nebo zprava) polospojit´e. 6 Souˇcin S × S m´a nespoˇcetn´y uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor {(−x, x); x ∈ S} (takov´y podprostor nem˚uzˇ e existovat v S).
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Sorgenfrey line) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny intervaly tvaru [a, b) se naz´yv´a Sorgenfreyova pˇr´ımka. Sorgenfrey line Oznaˇcme Sorgenfreyovu pˇr´ımku pro tuto cˇ a´ st symbolem S. (Stejn´y n´azev se pouˇz´ıv´a, berou-li se vˇsechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude ˇreˇceno jinak, bude Sorgenfreyova pˇr´ımka m´ıt topologii urˇcenou intervaly otevˇren´ymi nahoru.) 1 S je separabiln´ı, ale nem´a spoˇcetnou otevˇrenou b´azi, takˇze nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y. 2 Kaˇzd´y bod S m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. 3 S je 0-dimenzion´aln´ı. 4 V S plat´ı Baireova vˇeta (pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hust´ych otevˇren´ych mnoˇzin je nepr´azdn´y). ˇ 5 Popiˇste spojit´e re´aln´e funkce na S. Casto se tyto funkce naz´yvaj´ı shora (nebo zprava) polospojit´e. 6 Souˇcin S × S m´a nespoˇcetn´y uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor {(−x, x); x ∈ S} (takov´y podprostor nem˚uzˇ e existovat v S).
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Sorgenfrey line) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny intervaly tvaru [a, b) se naz´yv´a Sorgenfreyova pˇr´ımka. Sorgenfrey line Oznaˇcme Sorgenfreyovu pˇr´ımku pro tuto cˇ a´ st symbolem S. (Stejn´y n´azev se pouˇz´ıv´a, berou-li se vˇsechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude ˇreˇceno jinak, bude Sorgenfreyova pˇr´ımka m´ıt topologii urˇcenou intervaly otevˇren´ymi nahoru.) 1 S je separabiln´ı, ale nem´a spoˇcetnou otevˇrenou b´azi, takˇze nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y. 2 Kaˇzd´y bod S m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. 3 S je 0-dimenzion´aln´ı. 4 V S plat´ı Baireova vˇeta (pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hust´ych otevˇren´ych mnoˇzin je nepr´azdn´y). ˇ 5 Popiˇste spojit´e re´aln´e funkce na S. Casto se tyto funkce naz´yvaj´ı shora (nebo zprava) polospojit´e. 6 Souˇcin S × S m´a nespoˇcetn´y uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor {(−x, x); x ∈ S} (takov´y podprostor nem˚uzˇ e existovat v S).
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Sorgenfrey line) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny intervaly tvaru [a, b) se naz´yv´a Sorgenfreyova pˇr´ımka. Sorgenfrey line Oznaˇcme Sorgenfreyovu pˇr´ımku pro tuto cˇ a´ st symbolem S. (Stejn´y n´azev se pouˇz´ıv´a, berou-li se vˇsechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude ˇreˇceno jinak, bude Sorgenfreyova pˇr´ımka m´ıt topologii urˇcenou intervaly otevˇren´ymi nahoru.) 1 S je separabiln´ı, ale nem´a spoˇcetnou otevˇrenou b´azi, takˇze nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y. 2 Kaˇzd´y bod S m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. 3 S je 0-dimenzion´aln´ı. 4 V S plat´ı Baireova vˇeta (pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hust´ych otevˇren´ych mnoˇzin je nepr´azdn´y). ˇ 5 Popiˇste spojit´e re´aln´e funkce na S. Casto se tyto funkce naz´yvaj´ı shora (nebo zprava) polospojit´e. 6 Souˇcin S × S m´a nespoˇcetn´y uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor {(−x, x); x ∈ S} (takov´y podprostor nem˚uzˇ e existovat v S).
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Sorgenfrey line) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny intervaly tvaru [a, b) se naz´yv´a Sorgenfreyova pˇr´ımka. Sorgenfrey line Oznaˇcme Sorgenfreyovu pˇr´ımku pro tuto cˇ a´ st symbolem S. (Stejn´y n´azev se pouˇz´ıv´a, berou-li se vˇsechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude ˇreˇceno jinak, bude Sorgenfreyova pˇr´ımka m´ıt topologii urˇcenou intervaly otevˇren´ymi nahoru.) 1 S je separabiln´ı, ale nem´a spoˇcetnou otevˇrenou b´azi, takˇze nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y. 2 Kaˇzd´y bod S m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. 3 S je 0-dimenzion´aln´ı. 4 V S plat´ı Baireova vˇeta (pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hust´ych otevˇren´ych mnoˇzin je nepr´azdn´y). ˇ 5 Popiˇste spojit´e re´aln´e funkce na S. Casto se tyto funkce naz´yvaj´ı shora (nebo zprava) polospojit´e. 6 Souˇcin S × S m´a nespoˇcetn´y uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor {(−x, x); x ∈ S} (takov´y podprostor nem˚uzˇ e existovat v S).
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Sorgenfrey line) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny intervaly tvaru [a, b) se naz´yv´a Sorgenfreyova pˇr´ımka. Sorgenfrey line Oznaˇcme Sorgenfreyovu pˇr´ımku pro tuto cˇ a´ st symbolem S. (Stejn´y n´azev se pouˇz´ıv´a, berou-li se vˇsechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude ˇreˇceno jinak, bude Sorgenfreyova pˇr´ımka m´ıt topologii urˇcenou intervaly otevˇren´ymi nahoru.) 1 S je separabiln´ı, ale nem´a spoˇcetnou otevˇrenou b´azi, takˇze nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y. 2 Kaˇzd´y bod S m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. 3 S je 0-dimenzion´aln´ı. 4 V S plat´ı Baireova vˇeta (pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hust´ych otevˇren´ych mnoˇzin je nepr´azdn´y). ˇ 5 Popiˇste spojit´e re´aln´e funkce na S. Casto se tyto funkce naz´yvaj´ı shora (nebo zprava) polospojit´e. 6 Souˇcin S × S m´a nespoˇcetn´y uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor {(−x, x); x ∈ S} (takov´y podprostor nem˚uzˇ e existovat v S).
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny otevˇren´e intervaly a nav´ıc jednobodov´e mnoˇziny iracion´aln´ıch cˇ´ısel se naz´yv´a Michaelova pˇr´ımka. Michael line Oznaˇc´ıme pro tuto chv´ıli Michaelovu pˇr´ımku symbolem M. M nen´ı separabiln´ı, nem´a tedy spoˇcetnou otevˇrenou b´azi. Kaˇzd´y bod M m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. M je 0-dimenzion´aln´ı. M nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny otevˇren´e intervaly a nav´ıc jednobodov´e mnoˇziny iracion´aln´ıch cˇ´ısel se naz´yv´a Michaelova pˇr´ımka. Michael line Oznaˇc´ıme pro tuto chv´ıli Michaelovu pˇr´ımku symbolem M. M nen´ı separabiln´ı, nem´a tedy spoˇcetnou otevˇrenou b´azi. Kaˇzd´y bod M m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. M je 0-dimenzion´aln´ı. M nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny otevˇren´e intervaly a nav´ıc jednobodov´e mnoˇziny iracion´aln´ıch cˇ´ısel se naz´yv´a Michaelova pˇr´ımka. Michael line Oznaˇc´ıme pro tuto chv´ıli Michaelovu pˇr´ımku symbolem M. M nen´ı separabiln´ı, nem´a tedy spoˇcetnou otevˇrenou b´azi. Kaˇzd´y bod M m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. M je 0-dimenzion´aln´ı. M nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny otevˇren´e intervaly a nav´ıc jednobodov´e mnoˇziny iracion´aln´ıch cˇ´ısel se naz´yv´a Michaelova pˇr´ımka. Michael line Oznaˇc´ıme pro tuto chv´ıli Michaelovu pˇr´ımku symbolem M. M nen´ı separabiln´ı, nem´a tedy spoˇcetnou otevˇrenou b´azi. Kaˇzd´y bod M m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. M je 0-dimenzion´aln´ı. M nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Prostor Sierpińského Sorgenfrey line Michael line
DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na mnoˇzinˇe re´aln´ych cˇ´ısel maj´ıc´ı za otevˇrenou b´azi vˇsechny otevˇren´e intervaly a nav´ıc jednobodov´e mnoˇziny iracion´aln´ıch cˇ´ısel se naz´yv´a Michaelova pˇr´ımka. Michael line Oznaˇc´ıme pro tuto chv´ıli Michaelovu pˇr´ımku symbolem M. M nen´ı separabiln´ı, nem´a tedy spoˇcetnou otevˇrenou b´azi. Kaˇzd´y bod M m´a spoˇcetnou b´azi okol´ı. M je 0-dimenzion´aln´ı. M nen´ı metrizovateln´y ani uspoˇra´ dateln´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Diskrétní podprostory 1 Najdˇete spoˇcetn´y diskr´etn´ı uzavˇren´y podprostor R. Lze naj´ıt diskr´etn´ı nespoˇcetn´y podprostor R? Jak´e jsou otevˇren´e diskr´etn´ı podprostory R? 2 Vˇej´ıˇr a jeˇzek maj´ı uzavˇren´e spoˇcetn´e diskr´etn´ı podprostory. 3 Kaˇzd´y prostor X vytvoˇren´y ultrafiltrem m´a uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor mohutnosti |X |. Najdˇete na kaˇzd´e mnoˇzinˇe filtr s pr´azdn´ym pr˚unikem tak, zˇ e v j´ım urˇcen´em prostoru je kaˇzd´y uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor koneˇcn´y. Obsahuje takov´y prostor nekoneˇcn´y diskr´etn´ı podprostor? 4 Kaˇzd´y diskr´etn´ı podprostor nekoneˇcn´eho hrub´eho T1 -prostoru je koneˇcn´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Diskrétní podprostory 1 Najdˇete spoˇcetn´y diskr´etn´ı uzavˇren´y podprostor R. Lze naj´ıt diskr´etn´ı nespoˇcetn´y podprostor R? Jak´e jsou otevˇren´e diskr´etn´ı podprostory R? 2 Vˇej´ıˇr a jeˇzek maj´ı uzavˇren´e spoˇcetn´e diskr´etn´ı podprostory. 3 Kaˇzd´y prostor X vytvoˇren´y ultrafiltrem m´a uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor mohutnosti |X |. Najdˇete na kaˇzd´e mnoˇzinˇe filtr s pr´azdn´ym pr˚unikem tak, zˇ e v j´ım urˇcen´em prostoru je kaˇzd´y uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor koneˇcn´y. Obsahuje takov´y prostor nekoneˇcn´y diskr´etn´ı podprostor? 4 Kaˇzd´y diskr´etn´ı podprostor nekoneˇcn´eho hrub´eho T1 -prostoru je koneˇcn´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Diskrétní podprostory 1 Najdˇete spoˇcetn´y diskr´etn´ı uzavˇren´y podprostor R. Lze naj´ıt diskr´etn´ı nespoˇcetn´y podprostor R? Jak´e jsou otevˇren´e diskr´etn´ı podprostory R? 2 Vˇej´ıˇr a jeˇzek maj´ı uzavˇren´e spoˇcetn´e diskr´etn´ı podprostory. 3 Kaˇzd´y prostor X vytvoˇren´y ultrafiltrem m´a uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor mohutnosti |X |. Najdˇete na kaˇzd´e mnoˇzinˇe filtr s pr´azdn´ym pr˚unikem tak, zˇ e v j´ım urˇcen´em prostoru je kaˇzd´y uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor koneˇcn´y. Obsahuje takov´y prostor nekoneˇcn´y diskr´etn´ı podprostor? 4 Kaˇzd´y diskr´etn´ı podprostor nekoneˇcn´eho hrub´eho T1 -prostoru je koneˇcn´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Diskrétní podprostory 1 Najdˇete spoˇcetn´y diskr´etn´ı uzavˇren´y podprostor R. Lze naj´ıt diskr´etn´ı nespoˇcetn´y podprostor R? Jak´e jsou otevˇren´e diskr´etn´ı podprostory R? 2 Vˇej´ıˇr a jeˇzek maj´ı uzavˇren´e spoˇcetn´e diskr´etn´ı podprostory. 3 Kaˇzd´y prostor X vytvoˇren´y ultrafiltrem m´a uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor mohutnosti |X |. Najdˇete na kaˇzd´e mnoˇzinˇe filtr s pr´azdn´ym pr˚unikem tak, zˇ e v j´ım urˇcen´em prostoru je kaˇzd´y uzavˇren´y diskr´etn´ı prostor koneˇcn´y. Obsahuje takov´y prostor nekoneˇcn´y diskr´etn´ı podprostor? 4 Kaˇzd´y diskr´etn´ı podprostor nekoneˇcn´eho hrub´eho T1 -prostoru je koneˇcn´y.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Příklady součinů 1 Ukaˇzte, zˇ e n-dimenzion´aln´ı euklidovsk´y prostor je homeomorfn´ı s Rn . 2 Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru posloupnost´ı pˇrirozen´ych cˇ´ısel s Baireovou metrikou (tj. vzd´alenost dvou r˚uzn´ych posloupnost´ı je 1/n, kde n je prvn´ı index, ve kter´em se hodnoty posloupnost´ı liˇs´ı). Zobecnˇete na spoˇcetnou mocninu libovoln´eho diskr´etn´ıho prostoru. Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru iracion´aln´ıch cˇ´ısel? 3 Necht’ ξ, η jsou dva r˚uzn´e voln´e ultrafiltry na N. Ukaˇzte, zˇ e diagon´ala {(n, n); n ∈ N} je uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor v souˇcinu Nξ × Nη . 4 Najdˇete vˇsechny otevˇren´e mnoˇziny v souˇcinu dvou prostor˚u Sierpi´nsk´eho. 5 Pouˇzijeme-li znaˇcen´ı z ordin´aln´ıch cˇ´ısel, je cˇ´ıslo n diskr´etn´ı prostor o n bodech {0, 1, ..., n − 1}. Ukaˇzte, zˇ e prostory 2ω a 3ω jsou homeomorfn´ı (obecnˇeji, 2ω a nω , n ∈ N, jsou homeomorfn´ı). Mohou tyto prostory b´yt homeomorfn´ı i s Nω ?
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Příklady součinů 1 Ukaˇzte, zˇ e n-dimenzion´aln´ı euklidovsk´y prostor je homeomorfn´ı s Rn . 2 Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru posloupnost´ı pˇrirozen´ych cˇ´ısel s Baireovou metrikou (tj. vzd´alenost dvou r˚uzn´ych posloupnost´ı je 1/n, kde n je prvn´ı index, ve kter´em se hodnoty posloupnost´ı liˇs´ı). Zobecnˇete na spoˇcetnou mocninu libovoln´eho diskr´etn´ıho prostoru. Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru iracion´aln´ıch cˇ´ısel? 3 Necht’ ξ, η jsou dva r˚uzn´e voln´e ultrafiltry na N. Ukaˇzte, zˇ e diagon´ala {(n, n); n ∈ N} je uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor v souˇcinu Nξ × Nη . 4 Najdˇete vˇsechny otevˇren´e mnoˇziny v souˇcinu dvou prostor˚u Sierpi´nsk´eho. 5 Pouˇzijeme-li znaˇcen´ı z ordin´aln´ıch cˇ´ısel, je cˇ´ıslo n diskr´etn´ı prostor o n bodech {0, 1, ..., n − 1}. Ukaˇzte, zˇ e prostory 2ω a 3ω jsou homeomorfn´ı (obecnˇeji, 2ω a nω , n ∈ N, jsou homeomorfn´ı). Mohou tyto prostory b´yt homeomorfn´ı i s Nω ?
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Příklady součinů 1 Ukaˇzte, zˇ e n-dimenzion´aln´ı euklidovsk´y prostor je homeomorfn´ı s Rn . 2 Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru posloupnost´ı pˇrirozen´ych cˇ´ısel s Baireovou metrikou (tj. vzd´alenost dvou r˚uzn´ych posloupnost´ı je 1/n, kde n je prvn´ı index, ve kter´em se hodnoty posloupnost´ı liˇs´ı). Zobecnˇete na spoˇcetnou mocninu libovoln´eho diskr´etn´ıho prostoru. Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru iracion´aln´ıch cˇ´ısel? 3 Necht’ ξ, η jsou dva r˚uzn´e voln´e ultrafiltry na N. Ukaˇzte, zˇ e diagon´ala {(n, n); n ∈ N} je uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor v souˇcinu Nξ × Nη . 4 Najdˇete vˇsechny otevˇren´e mnoˇziny v souˇcinu dvou prostor˚u Sierpi´nsk´eho. 5 Pouˇzijeme-li znaˇcen´ı z ordin´aln´ıch cˇ´ısel, je cˇ´ıslo n diskr´etn´ı prostor o n bodech {0, 1, ..., n − 1}. Ukaˇzte, zˇ e prostory 2ω a 3ω jsou homeomorfn´ı (obecnˇeji, 2ω a nω , n ∈ N, jsou homeomorfn´ı). Mohou tyto prostory b´yt homeomorfn´ı i s Nω ?
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Příklady součinů 1 Ukaˇzte, zˇ e n-dimenzion´aln´ı euklidovsk´y prostor je homeomorfn´ı s Rn . 2 Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru posloupnost´ı pˇrirozen´ych cˇ´ısel s Baireovou metrikou (tj. vzd´alenost dvou r˚uzn´ych posloupnost´ı je 1/n, kde n je prvn´ı index, ve kter´em se hodnoty posloupnost´ı liˇs´ı). Zobecnˇete na spoˇcetnou mocninu libovoln´eho diskr´etn´ıho prostoru. Ukaˇzte, zˇ e NN je homeomorfn´ı prostoru iracion´aln´ıch cˇ´ısel? 3 Necht’ ξ, η jsou dva r˚uzn´e voln´e ultrafiltry na N. Ukaˇzte, zˇ e diagon´ala {(n, n); n ∈ N} je uzavˇren´y diskr´etn´ı podprostor v souˇcinu Nξ × Nη . 4 Najdˇete vˇsechny otevˇren´e mnoˇziny v souˇcinu dvou prostor˚u Sierpi´nsk´eho. 5 Pouˇzijeme-li znaˇcen´ı z ordin´aln´ıch cˇ´ısel, je cˇ´ıslo n diskr´etn´ı prostor o n bodech {0, 1, ..., n − 1}. Ukaˇzte, zˇ e prostory 2ω a 3ω jsou homeomorfn´ı (obecnˇeji, 2ω a nω , n ∈ N, jsou homeomorfn´ı). Mohou tyto prostory b´yt homeomorfn´ı i s Nω ?
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Vnoření do mocniny 1 Kaˇzd´y topologick´y prostor X je slabˇe vytvoˇren mnoˇzinou C (X , S2 ), kde S2 je Sierpi´nsk´eho prostor. e × S κ , kde X e je indiskr´etn´ı prostor na nosn´e mnoˇzinˇe X a To znamen´a, zˇ e X lze vnoˇrit do souˇcinu X 2 κ = |C (X , S2 )| (lze br´at jen cˇ a´ st ta zobrazen´ı z C (X , S2 ), kter´a rozliˇsuj´ı body a uzavˇren´e mnoˇziny v e. X ). Pokud C (X , S2 ) rozliˇsuje body X , lze vynechat indiskr´etn´ı prostor X 2 Kaˇzd´y 0-dimenzion´aln´ı prostor X je slabˇe vytvoˇren mnoˇzinou C (X , 2), kde 2 je dvoubodov´y diskr´etn´ı e × 2κ , kde X e je indiskr´etn´ı prostor na nosn´e prostor. To znamen´a, zˇ e X lze vnoˇrit do souˇcinu X mnoˇzinˇe X a κ = |C (X , 2)| (lze br´at jen cˇ a´ st ta zobrazen´ı z C (X , 2), kter´a rozliˇsuj´ı body a uzavˇren´e e. mnoˇziny v X ). Pokud C (X , 2) rozliˇsuje body X , lze vynechat indiskr´etn´ı prostor X 3 Jak´e prostory budou slabˇe vytvoˇreny zobrazen´ımi do N?
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Vnoření do mocniny 1 Kaˇzd´y topologick´y prostor X je slabˇe vytvoˇren mnoˇzinou C (X , S2 ), kde S2 je Sierpi´nsk´eho prostor. e × S κ , kde X e je indiskr´etn´ı prostor na nosn´e mnoˇzinˇe X a To znamen´a, zˇ e X lze vnoˇrit do souˇcinu X 2 κ = |C (X , S2 )| (lze br´at jen cˇ a´ st ta zobrazen´ı z C (X , S2 ), kter´a rozliˇsuj´ı body a uzavˇren´e mnoˇziny v e. X ). Pokud C (X , S2 ) rozliˇsuje body X , lze vynechat indiskr´etn´ı prostor X 2 Kaˇzd´y 0-dimenzion´aln´ı prostor X je slabˇe vytvoˇren mnoˇzinou C (X , 2), kde 2 je dvoubodov´y diskr´etn´ı e × 2κ , kde X e je indiskr´etn´ı prostor na nosn´e prostor. To znamen´a, zˇ e X lze vnoˇrit do souˇcinu X mnoˇzinˇe X a κ = |C (X , 2)| (lze br´at jen cˇ a´ st ta zobrazen´ı z C (X , 2), kter´a rozliˇsuj´ı body a uzavˇren´e e. mnoˇziny v X ). Pokud C (X , 2) rozliˇsuje body X , lze vynechat indiskr´etn´ı prostor X 3 Jak´e prostory budou slabˇe vytvoˇreny zobrazen´ımi do N?
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
Vnoření do mocniny 1 Kaˇzd´y topologick´y prostor X je slabˇe vytvoˇren mnoˇzinou C (X , S2 ), kde S2 je Sierpi´nsk´eho prostor. e × S κ , kde X e je indiskr´etn´ı prostor na nosn´e mnoˇzinˇe X a To znamen´a, zˇ e X lze vnoˇrit do souˇcinu X 2 κ = |C (X , S2 )| (lze br´at jen cˇ a´ st ta zobrazen´ı z C (X , S2 ), kter´a rozliˇsuj´ı body a uzavˇren´e mnoˇziny v e. X ). Pokud C (X , S2 ) rozliˇsuje body X , lze vynechat indiskr´etn´ı prostor X 2 Kaˇzd´y 0-dimenzion´aln´ı prostor X je slabˇe vytvoˇren mnoˇzinou C (X , 2), kde 2 je dvoubodov´y diskr´etn´ı e × 2κ , kde X e je indiskr´etn´ı prostor na nosn´e prostor. To znamen´a, zˇ e X lze vnoˇrit do souˇcinu X mnoˇzinˇe X a κ = |C (X , 2)| (lze br´at jen cˇ a´ st ta zobrazen´ı z C (X , 2), kter´a rozliˇsuj´ı body a uzavˇren´e e. mnoˇziny v X ). Pokud C (X , 2) rozliˇsuje body X , lze vynechat indiskr´etn´ı prostor X 3 Jak´e prostory budou slabˇe vytvoˇreny zobrazen´ımi do N?
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
e j´ım urˇcen´y metrick´y prostor, je zobrazen´ı {x e , d) 1 Je-li (X , d) pseudometrick´y prostor a (X slabˇe, tak silnˇe vytv´aˇrej´ıc´ı (a tedy je kvocientov´e. Toto zobrazen´ı je otevˇren´e i uzavˇren´e.
[x]} jak
2 Kaˇzd´a projekce nepr´azdn´eho souˇcinu prostor˚u na souˇradnicov´y podprostor je otevˇren´e zobrazen´ı (a tedy kvocientov´e). Projekce roviny na pˇr´ımku nen´ı uzavˇren´e zobrazen´ı. 3 Projekce cˇ tverce [0, 1] × [0, 1] na interval [0, 1] je uzavˇren´e i otevˇren´e zobrazen´ı. 4 Retrakce R na [0, 1], kter´a zobraz´ı body vˇetˇs´ı neˇz 1 na bod 1 a body menˇs´ı neˇz 0 na bod 0, je uzavˇren´e, ale nikoli otevˇren´e zobrazen´ı. 5 Spojit´a funkce f : [−1, →) → [−1, 1], kter´a je identita na [−1, 1] a je rovna |x − 2k| na intervalu [2k − 1, 2k + 1], k ∈ N, je retrakc´ı [−1, →) na [−1, 1], kter´a nen´ı ani uzavˇren´a ani otevˇren´a.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
e j´ım urˇcen´y metrick´y prostor, je zobrazen´ı {x e , d) 1 Je-li (X , d) pseudometrick´y prostor a (X slabˇe, tak silnˇe vytv´aˇrej´ıc´ı (a tedy je kvocientov´e. Toto zobrazen´ı je otevˇren´e i uzavˇren´e.
[x]} jak
2 Kaˇzd´a projekce nepr´azdn´eho souˇcinu prostor˚u na souˇradnicov´y podprostor je otevˇren´e zobrazen´ı (a tedy kvocientov´e). Projekce roviny na pˇr´ımku nen´ı uzavˇren´e zobrazen´ı. 3 Projekce cˇ tverce [0, 1] × [0, 1] na interval [0, 1] je uzavˇren´e i otevˇren´e zobrazen´ı. 4 Retrakce R na [0, 1], kter´a zobraz´ı body vˇetˇs´ı neˇz 1 na bod 1 a body menˇs´ı neˇz 0 na bod 0, je uzavˇren´e, ale nikoli otevˇren´e zobrazen´ı. 5 Spojit´a funkce f : [−1, →) → [−1, 1], kter´a je identita na [−1, 1] a je rovna |x − 2k| na intervalu [2k − 1, 2k + 1], k ∈ N, je retrakc´ı [−1, →) na [−1, 1], kter´a nen´ı ani uzavˇren´a ani otevˇren´a.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
e j´ım urˇcen´y metrick´y prostor, je zobrazen´ı {x e , d) 1 Je-li (X , d) pseudometrick´y prostor a (X slabˇe, tak silnˇe vytv´aˇrej´ıc´ı (a tedy je kvocientov´e. Toto zobrazen´ı je otevˇren´e i uzavˇren´e.
[x]} jak
2 Kaˇzd´a projekce nepr´azdn´eho souˇcinu prostor˚u na souˇradnicov´y podprostor je otevˇren´e zobrazen´ı (a tedy kvocientov´e). Projekce roviny na pˇr´ımku nen´ı uzavˇren´e zobrazen´ı. 3 Projekce cˇ tverce [0, 1] × [0, 1] na interval [0, 1] je uzavˇren´e i otevˇren´e zobrazen´ı. 4 Retrakce R na [0, 1], kter´a zobraz´ı body vˇetˇs´ı neˇz 1 na bod 1 a body menˇs´ı neˇz 0 na bod 0, je uzavˇren´e, ale nikoli otevˇren´e zobrazen´ı. 5 Spojit´a funkce f : [−1, →) → [−1, 1], kter´a je identita na [−1, 1] a je rovna |x − 2k| na intervalu [2k − 1, 2k + 1], k ∈ N, je retrakc´ı [−1, →) na [−1, 1], kter´a nen´ı ani uzavˇren´a ani otevˇren´a.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
e j´ım urˇcen´y metrick´y prostor, je zobrazen´ı {x e , d) 1 Je-li (X , d) pseudometrick´y prostor a (X slabˇe, tak silnˇe vytv´aˇrej´ıc´ı (a tedy je kvocientov´e. Toto zobrazen´ı je otevˇren´e i uzavˇren´e.
[x]} jak
2 Kaˇzd´a projekce nepr´azdn´eho souˇcinu prostor˚u na souˇradnicov´y podprostor je otevˇren´e zobrazen´ı (a tedy kvocientov´e). Projekce roviny na pˇr´ımku nen´ı uzavˇren´e zobrazen´ı. 3 Projekce cˇ tverce [0, 1] × [0, 1] na interval [0, 1] je uzavˇren´e i otevˇren´e zobrazen´ı. 4 Retrakce R na [0, 1], kter´a zobraz´ı body vˇetˇs´ı neˇz 1 na bod 1 a body menˇs´ı neˇz 0 na bod 0, je uzavˇren´e, ale nikoli otevˇren´e zobrazen´ı. 5 Spojit´a funkce f : [−1, →) → [−1, 1], kter´a je identita na [−1, 1] a je rovna |x − 2k| na intervalu [2k − 1, 2k + 1], k ∈ N, je retrakc´ı [−1, →) na [−1, 1], kter´a nen´ı ani uzavˇren´a ani otevˇren´a.
2. Příklady
Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů
Podprostory Součiny Vnoření do mocniny Kvocienty
e j´ım urˇcen´y metrick´y prostor, je zobrazen´ı {x e , d) 1 Je-li (X , d) pseudometrick´y prostor a (X slabˇe, tak silnˇe vytv´aˇrej´ıc´ı (a tedy je kvocientov´e. Toto zobrazen´ı je otevˇren´e i uzavˇren´e.
[x]} jak
2 Kaˇzd´a projekce nepr´azdn´eho souˇcinu prostor˚u na souˇradnicov´y podprostor je otevˇren´e zobrazen´ı (a tedy kvocientov´e). Projekce roviny na pˇr´ımku nen´ı uzavˇren´e zobrazen´ı. 3 Projekce cˇ tverce [0, 1] × [0, 1] na interval [0, 1] je uzavˇren´e i otevˇren´e zobrazen´ı. 4 Retrakce R na [0, 1], kter´a zobraz´ı body vˇetˇs´ı neˇz 1 na bod 1 a body menˇs´ı neˇz 0 na bod 0, je uzavˇren´e, ale nikoli otevˇren´e zobrazen´ı. 5 Spojit´a funkce f : [−1, →) → [−1, 1], kter´a je identita na [−1, 1] a je rovna |x − 2k| na intervalu [2k − 1, 2k + 1], k ∈ N, je retrakc´ı [−1, →) na [−1, 1], kter´a nen´ı ani uzavˇren´a ani otevˇren´a.
2. Příklady
