Soudobý návrh regulátoru pro teleskop VLT pomocí optimalizace H

Soudobý návrh regulátoru pro teleskop VLT pomocí optimalizace H∞

Zdeněk Hurák, Michael Šebek

Pro návrh regulátoru polohy obřího teleskopu VLT, který provozuje mezinárodní organizace ESO na hoře Cerro Paranal v chilské poušti Atacama, byly použity moderní výpočetní metody robustního a optimálního řízení. Tyto metody jsou založeny na minimalizaci normy H∞ přenosu systému, což je úloha lehce řešitelná běžnými sadami programů pro návrh řízení. Klíčová slova: robustní řízení, norma H∞, frekvenční charakteristika, řízení astronomického teleskopu, polohování.

1. Úvod V článku je načrtnut technický popis obřího teleskopu VLT (Very Large Telescope), čtenář je uveden do běžně používaných metod pro návrh řízení polohy teleskopu okolo azimutální i elevační osy a jsou zde shrnuty požadavky, které jsou na řízení kladeny zadavateli. Potom si čtenář může přečíst stručný popis systematických procedur pro redukci řádu lineárního modelu pohybu teleskopu okolo elevační osy, prostudovat analýzu dosažitelné šířky pásma a návrh zpětnovazebního regulátoru pomocí metod minimalizace vážené normy H∞ modelu uzavřené regulační smyčky. Článek je uzavřen některými simulačními výsledky. Metoda dosud experimentálně ověřena nebyla. Na prestižní mezinárodní konferenci SPIE Conference on Astronomical Telescopes ve skotském Glasgowě v červnu 2004 zaznělo z úst představitele ESO, který se na řešení systému regulace polohy podílel: „... Předvedli jsme, že soudobými metodami návrhu dokážeme zlepšit dynamické vlastnosti uzavřené regulační smyčky pro polohování teleskopu, především tlumení poruchového krouticího momentu způsobeného poryvy větru. ... Otázka ale je, zda to naši šéfové uznají za dostatečný důvod pro krátké, leč drahé přerušení provozu teleskopu.“ V současné době (podzim 2004) konají odborníci na Cerro Paranal přípravy k experimentálnímu ověření nového regulátoru.

2. Řízení polohy teleskopů Protože astronomickým dalekohledem (teleskopem) je nutné sledovat objekty na obloze v co největším možném rozsahu, a nikoliv jen v předem určeném směru, musí být umístěn na montáži, která mu takový pohyb v různých směrech umožní. Druhů montáží je velký počet; je možné se s nimi seznámit např. v knihách [1] a [9]. Pro dalekohled s tak velkým a těžkým primárním zrcadlem, jaké

14

má VLT, připadá v úvahu jedině tzv. montáž alt-az: pro jednoznačné určení polohy je nutné zadat azimut (natočení v horizontální rovině) a elevační úhel (naklonění). Tato montáž, jakkoliv intuitivní a výhodná z konstrukčního hlediska (primární zrcadlo je celou dobu provozu deformováno svou vlastní tíhou zhruba rovnoměrně), je poměrně náročná z hlediska řízení. Nestačí zde totiž sesouhlasit jednu osu dalekohledu s osou Země a spustit hodinový strojek jako u sto let staré ekvatoriální montáže. Pro zajištění plynulého sledování objektů na obloze je třeba řídit pohyb celého obřího teleskopu okolo dvou os. Při navrhování řízení se naštěstí ukazuje, že vazby mezi dynamikou pohybu teleskopu okolo obou os lze při běžném provozu zanedbat, a tak se otázka návrhu řízení redukuje na dvě běžné úlohy návrhu řízení úhlového natočení elektromechanického systému. Jako akční členy jsou u VLT použity přímé momentové motory. To jsou synchronní motory s permanentním magnetem na rotoru. Jejich výhodou je absence převodů, odtud anglické označení direct drives. Důsledkem absence převodů je velká přesnost i při malých otáčkách. Není problém uřídit takové motory tak, aby natočily hřídel do požadované polohy s přesností v řádu úhlových vteřin. Co však je při řízení teleskopů velkým problémem, je parazitní krouticí moment, způsobený poryvy větru. Při pozorování totiž musí být kopule VLT odkryta, a i to málo plochy, které je vystaveno větru, stačí, aby vytvořilo nezanedbatelný krouticí moment okolo osy otáčení. Jako citlivější na poryvy větru se přitom v praxi ukazuje elevační osa. Standardní přístup návrhu řízení pro každou osu spočívá v ladění dvou kaskádně zapojených PI regulačních smyček – rychlost-

ní a polohovací – a v dodatečném připojení úzkopásmových zádrží kompenzujících přítomnost několika málo nejnižších rezonančních frekvencí podpůrné konstrukce. Jelikož inženýři ESO nebyli spokojeni s tlumením poruch od poryvů větru, pokusili jsme se využít jiné zapojení, které umožní využít výhody moderních metod optimálního řízení. V této konfiguraci jsme hledali pouze jediný regulátor, který převezme funkci dvou PI regulátorů i hřebenového filtru z klasické konfigurace.

3. Požadavky na řízení polohy Úloha návrhu řízení polohy teleskopu je sice obvyklou úlohou z hlediska principu, nikoliv však z hlediska parametrů. Požadované přesnosti sledování referenční trajektorie jsou pod 0,1 úhlové vteřiny, a jen ceny snímačů, které dokážou měřit polohu s takovou přesností, se pohybují okolo stovek tisíc korun. Hlavní úlohou pro nový návrh řízení však nebylo ani tak vylepšovat již dostatečně přesné a rychlé polohování, ale spíše zvětšit tlumení poruchových krouticích momentů způsobených poryvy větru. O těchto poryvech je známo (např. [4]), že jejich frekvenční složky jsou výrazné do přibližně 1 Hz. Zároveň se kolem 8 Hz začínají projevovat první málo tlumené módy konstrukce. Tato dvě základní omezení musí návrh respektovat.

4. Lineární model, redukce řádu modelu

Už i díky použité technice je možné celý systém polohování teleskopu přesně popsat lineárním modelem, vlivy tření a vůle se zde totiž téměř neuplatní. Řídicí napětí na motoru a úhlová rychlost celé konstrukce jsou svázány lineární diferenciální rovnicí. Modelováním metodou konečných prvků a experimen9 tální identifikací byl pro pohyb 8 okolo elevační osy získán line7 ární model řádu 60 v podobě diskrétní přenosové funkce. V něm 6 ale dominantní roli hraje mód 5 odpovídající setrvačnosti hmo4 ty primárního zrcadla. Zbýva3 jící módy odpovídají málo tlumeným uzlům konstrukce. To je 2 patrné na grafu Hankelových sin1 gulárních čísel modelu na obr. 1, 0 které vyjadřují energetický pří0 10 20 30 40 50 60 70 spěvek jednotlivých módů do g číslo módu vstupního a výstupního chování modelu. Volně řečeno, čím větší Obr. 1. Hankelova singulární čísla pro lineární model je tato hodnota, tím méně energie dynamiky teleskopu okolo elevační osy g Hankelovo singulární číslo

moderní metody řízení

téma

AUTOMA 1/2005

g zesílení (dB)

téma tomu tak pro snazší dostupnost teoretických i softwarových nástrojů. Ekvivalentní spojitý model v Matlabu lze získat pomocí funkce d2c, která nabízí různé metody, např. tvarovače nultého a prvního řádu či Tustinovu aproximaci.

1,8

či regulátoru. Toto je tedy ten nejméně omezující případ. Proč vůbec tvrdíme, že je omezující? Vždyť přece pro vykompenzování „příjemného“ frekvenčního intervalu, kde je citlivostní funkce malá (pod 0 dB), je pro kompenzaci kladnou „plochou“ v Bodeho integrálu k dispozici celý zbytek frekvenční osy! To však není pravda, jak je pěkně vysvětleno v [8]. Pro návrh řízení totiž nejsou k dispozici neomezeně vysoké frekvence, neboť od první rezonanční frekvence 8 Hz již nelze na sestavený matematický model spoléhat. Je totiž dobře možné, že při experimentální identifikaci nebyly vybuzeny všechny módy nebo při konstrukci modelu metodou konečných prvků (FEM, Finite Elements Method) nebyly brány v úvahu skutečně všechny fyzikální souvislosti, a model se tak rovnice 1 liší od reality. Bodeho ideální � vztah je tak u soustavy s málo tluln S � j� � � 0 menými (konstrukčními) módy 0 začínajícími na 8 Hz rozumnější uvažovat v „realistické podobě“ rovnice 2

1,6

� ln S � j� � � 0 � �

30 20 10 0 –10 –20

5. Analýza dosažitelné šířky pásma

–30 původní model řádu 60 redukovaný model řádu 24

–40 –50 –60

10 -4

10 -3

10 -2

10 -1

Hlavní motivací pro použití moderních metod návrhu regulace bylo rozšíření frekvenčního pásma uzavřené regulační smyčky z důvodů uvedených v kapitole 3. Cílem

10 0 101 102 g frekvence (Hz)

stačí k řízení (utlumení, zrychlení) daného módu, nebo se chování daného módu tím výrazněji projevuje v měřených signálech. Pro návrh řízení je ale takový model zbytečně přesný, a z numerických důvodů je výhodné pracovat s modelem nižšího řádu. Ten však musí dostatečně přesně aproximovat dynamiku systému na nižších a středních frekvencích. Vyšší frekvence již není důležitá, protože dosažitelná šířka pásma je omezená, a přenos uzavřené smyčky tak bude na vysokých frekvencích malý. Pro redukci řádu modelu se dnes nabízí množství metod, pro přehled poslouží např. učenice robustního řízení [10]. Mnoho z nich je implementováno v komerčních i volně dostupných softwarových produktech jako Matlab, Slicot, Scilab či Octave. Jedna takováto metoda je založena na „useknutí“ módů s nejmenšími Hankelovými singulárními čísly, a tedy s nejmenším (energetickým) příspěvkem do vstupního a výstupního chování. Například použitím funkcí balreal a modred1) z nástroje Control System Toolbox (Matlab) se získá model řádu 24. Frekvenční charakteristiky obou diskrétních modelů jsou srovnány na obr. 2. Řízení však bude příště analyzováno i navrhováno již s ekvivaletními spojitými modely. Je

g nejmenší dosažitelná špička citlivostní funkce

Obr. 2. Frekvenční charakteristiky modelu elevačního pohybu teleskopu

�

2,0

2 ��

(2)

0

g |(S(jω )|

kde rovnice 3 frekvence, δ je mezní f1 ln �2 �m �� f1 � � f 2 � f1 �ln �m � ε emalý člen. k� 1,2 To už jef 2zřetelné omezení � f3 tvaru citlivostní funkce. Část požadavků 1,0 rovnice 4 na řízení lze formu10 -2 10 -1 10 0 lovat pomocí šablony citlivost1 g šířka pásma f 2 (Hz) ní 3). Tato šablona S �sfunkce � � (obr. � �s � parametry: 1 � G s � Cpěti je plně popsána Obr. 4. Dosažitelné rezonanční převýšení citlivostní funkce zlomovými frekvencemi f1, f2, f3 5 frekvence není důje tedy pásmo rozšířit nad 1 Hz. Je to vůbec a zesíleními rovnice m a k. První možné? A za jakou cenu? Přibližnou odpověď ležitá, jde jen o to, aby funk�byla s � C �citlivostní s� �s � � Gfrekvence; dává Bodeho integrální věta, dobře vysvětlece nulová proTnulové 1 � G �s � C �s � záměrem je ná např. v učebnici [2], dostupné ke stažení na hodnotu druhé zlomové frekvence návrhem internetu. Tato věta přináší analytické omezeco nejvíce zvýšit a rozšířit tak pásmo frekrovnice 6 ní charakteristiky označované jako citlivostní vencí, kde zpětná vazba účinkuje; hodnota S �s � � T �s � � 1 funkce. Připomeňme, že citlivostní funkce je třetí zlomové frekvence je pevně dána neurpřenos poruchového signálu působícího na výčitostí modelu (je to oněch 8 Hz). Zesílení m rovnice stupu ze systému na chybu regulace (formálně určuje, jak moc bude7regulátor tlumit poru2 je definována v kapitole 6). Podle této věty je chy (tedy čím menší, tím �slepší). � 2� 1Spokojme � c � s � �sec rovnice 1 W1 �s � � � plocha citlivostní funkce pod hladis 1% odchylkou způsobenou 2 poruchami, tedy �s � 2� 2� c � s � � c � nou 0 dB vykompenzována plochou m = 0,01, a zkoumejme, jak se při rozšiřování 101 ln S � j� � � 0 nad 0 dB. Matematicky zapsáno pásma vyvíjí parametr k, který popisuje, jak rovnice 1 0 8 moc kmitavárovnice bude odezva výsledného systé� s 2 mez rezonančního mu. Doporučovaná horní 10 0 W3 �s � � ln S � j� � � 0 (1) rovnice převýšení2 citlivostní je 1,5 dB. Více kfunkce 3 2 �� 0 doporučení pro praxi lze najít např. ve veli� � 0 � � [5]. Při tvaru obálky citS � j� kde ce ln čtivé monografii 10 -1 rovnice 9 rovnice 2 0 S je citlivostní funkce, livostní funkce jako na obr. 5 je tato závislost G �s � 2 �� j imaginární jednotka, popsána vztahem D�s � � � � ln S j � � 0 � � -2 G 1 � �s � C �s � rovnice 3 10 ω úhlová frekvence. f1 ln �2 �m �� f1 � � f 2 � f1 �ln �m � 0 Tato dokonalá rovnováha však e (3) k� platí pouze pro přísně kauzální staf 2 � f3 rovnice 3 10 -3 bilní systémy se stabilními regulátom �� f1 � � f 2 � f1 �ln �m � 10 -2 10 -1 10 0 101 102 ry; obecně na pravé straně nenuloZ obr. 4, na kterém je závislost rezonanče f1 ln �2 �je 4 kvá�konstanta závisející na nestabil- rovnice g frekvence (Hz) ního převýšení citlivostní funkce na požaf 2 � f3 1 ních nulách a pólech modelu systému dované S �s � � šířce pásma, je zřejmé, že 1 Hz je Obr. 3. Šablona tvaru citlivostní funkce S(s) 1 � G �s � C �s � rovnice 4 1 1) Funkce balreal převede stavový model do tvaru, ve kterém podle5toho, jak jsou řiditelné a pozorovarovnice S �s �jsou � všechny módy seřazeny sestupně �s �módy, které jsou nejméně řiditelné G �s � C ty telné z měřeného výstupu. Funkce modred jednoduše vynechá 1z �modelu G �s � C �as �pozorovatelné. T �s � � 1 � G �s � C �s � rovnice 5 15 AUTOMA 1/2005 G �s � C �s � rovnice 6 T �s � � 1 � G �s � C �s � S �s � � T �s � � 1 1,4

�

�

�

�

rovnice 6 S �s � � T �s � � 1

rovnice 7 W1 �s � � �

�s 2 � 2� 1� c � s � � c 2

0 rovnice 5 G �s � C �s � T �s � � 2 rovnice G �s � C �s � 1 � 2 ��

ln S � j� � � 0 � � rovnice 6 0 S �s � � T �s � � 1 rovnice 3 �2 �m �� f1 � � f 2 � f1 �ln �m � rovnice e f1 ln 7 k� �s 2 � 2� � � s � � c (7) W1 �s � � � f22 f 3 1 c �s � 2� 2� c � s � � c rovnice 4 kde významy jednotlivých koeficientů a jerovnice 8 1 počáteční hodnoty pro itejich „rozumné“ S �s � � 1 � s � C �s � s 2G �jsou rační návrh W3 �s � �3 β = 10 k3 stejnosměrné zesílení filtru, rovnice α = 0,1 5 zesílení filtru na vysokých frekG �s �vencích, C �s � rovnice T �s=� �2,89 zlomová frekvence filtru, ω c 1 � GG�s��sC � �s � ζD1�, sζ�2�= 0,7 koeficienty relativního tlumení s� C 1 � G �ve �s � zlomových frekvencích. rovnice 6 Pro tvarování frekvenční charakteristiky S �s � � T �s � � 1 na vyšších frekvencích postačí ještě jednodušší tvarovací filtr – obyčejný či dvojnásobrovnice 7 člen. Jeho frekvenční charaktený derivační 2 ristika totiž�sna roste 20 �vysokých 2� 1� c �frekvencích s � �c �s � dB � � na dekádu. W či140 lze frek2 �s � 2� 2�Sc jeho � s �pomocí �c venční charakteristice uzavřené smyčky vnutit nejméně stejně rychlé klesání. Tedy rovnice 8 s2 W3 �s � � (8) k3

téma

funkce T(s) malá na vyšších frekvencích i pro zajištění robustní stability, protože model na těchto frekvencích již neodpovídá dostatečně přesně realitě. Více o těchto základních souvislostech najdou zájemci v [2]. Ke splnění požadavků na tvar citlivostních funkcí lze použít dostupné numerické nástroje pro řešení standardní úlohy minimalizace normy H∞, např. funkci hinf či z1 W1(s) hinfopt z Matlabu, které využíτ vají algoritmy postavené na ře� z3 yG u 1 uG šení dvou maticových algebraic– W3(s) G(s) s kých Ricattiho rovnic [7]. y Jak souvisí minimalizace normy s tvarováním frekvenční charakteristiky? Velmi zajímavě. C(s) Optimální přenos totiž nejen má rovnice 1 rovnice 1 zajištěnu stabilitu a minimální � � normu“, ale také, v důObr. � j�Zapojení � � 0 pro minimalizaci normy smíšené citlivost- „jakousi ln S5. ln S � j� � � 0 sledku vlastnosti označované ní funkce 0 v anglické literatuře jako self0 -equalizing, je optimální přenos uzavřené re6. Minimalizace normy H smíšené ∞ rovnice 2 gulační smyčky na všech frekvencích stejný. rovnice 2 funkce 2 �� citlivostní 2 �� To není příliš využitelné v praxi, ale lze poukde k3 je koeficient derivačního filtru. rovnice 9 ln S � j� � � 0 � � Vyjádřit na řízení v podobě Po několika iteracích (zkouln S � j� � �požadavky 0�� G �s � 0 omezení pro frekvenční charakteristiky uzašení různých koeficientů) s tva� � D s � 0 gamma-škálovaný tvarovací filtr W11 � G �s � C �s � vřené regulační smyčky, to je základní inžerovacími filtry byl nalezen stabitvarovací filtr 1/W3 rovnice 3 200 nýrská dovednost. Právě proto se frekvenční lizující regulátor, který vytvaruje doplňková citlivostní funkce T rovnice 3 f1 ln �2 �m �� f1 � � f 2 � f1 �ln �m � citlivostní funkce S e f1 ln �návrhu metody citlivostní a doplňkovou citlif 2 � f1 �ln �m � těší takové obli2 �m �� f1 � �regulátorů 150 k�e T pro kaskádní PI regulátor bě. jsou citlivostní funkvostní funkci jako na obr. 6. k � Základními f 2 �nástroji f3 S pro kaskádní PI regulátor 100 f 2 � f 3 citlivostní funkce T, defice S a doplňková Výsledek návrhu se zdá být rovnice 1 nované jako báječný. Citlivostní funkce je 50 � rovnice 4 rovnice 4 na nižších frekvencích dokon0 ln S � j� � � 01 ce ještě trochu více potlačena S �s � � 1 S0 �s � � 1 � G �s � C �s � (4) -50 a na vyšších frekvencích byly 1 � G �s � C �s � pominuty rezonanční špičky, -100 rovnice 5 2 rovnice které se (alespoň v matematic2 �� rovnice 5 -150 kém modelu) objevují při doG �s � C �s � T �sln� � G� s��0C��s�� (5) S � j� savadním řízení pomocí kas-200 T �s � � 1 � G �s � C �s � 0 1 � G �s � C �s � 10 -2 10 0 102 10 4 10 6 kádních regulátorů a naladěg frekvence (Hz) kde ných hřebenových filtrů, jež rovnice 6 rovnice 3 regulované soustavy, G je přenos mají odfiltrovat několik prvrovnice 6 Obr. 6. Srovnání citlivostních funkcí pro návrh pomocí H∞ S �s � �f1Tln��s2 ��m��1f1 �� f 2 � f1 �ln �m � C ních rezonančních módů konS �s �epřenos � T �s � �regulátoru, 1 a návrh kaskádní PI regulace; vykresleny jsou i charaktek� s Laplaceův strukce. f 2 � operátor. f3 ristiky tvarovacích filtrů rovnice 7 Citlivostní funkce S(s) má být co nejmenší, rovnice 7 2 protože vyjadřuje, � uzavřená � s � � czpětnovazební žít malý trik: K modelu se připos � 2�jak rovnice 4� W1 �s � � �zesiluje �s 2 � 2� 11� cc �působící s � �c smyčka jí (pomyslně) tzv. tvarovací filtry W1 �s � � � �s 221 � 2poruchy � 2� c � s � � c na výstupu -140 hinf-optimální regulátor �s � 2na � 2nulové � c � sfrekvenci � �c systému; pro zajišW1(s) a W3(s)2), které vyjadřují S �s � � nulová kaskádní PI regulátor 1 � G �s �prvního C �s � řádu z důvodu statické tění astatismu požadavky na nízkých a vysorovnice 8 -160 nevyváženosti samotné nosné konstrukce. Dokých frekvencích, a hledá se rerovnice 82 rovnice plňková s5citlivostní funkce má být rovněž co gulátor, který bude tento pomoc2 W3 �s � � s -180 nejmenší, ný systém stabilizovat a zaručí � W3 �s � � kG3protože s � C �s �vyjadřuje zesílení šumů suT �s � � k3 perponovaných na měřený signál. Že je při dominimální normu H . Zapojení ∞ 1 � G �s � C �s � sahování 9těchto požadavků nutné přistupovat ke tvarovacích filtrů je na obr. 5. Na -200 rovnice rovnice 9 kompromisům, je zřejmé ze skutečnosti, že něm lze vidět i rozšíření modelu � � G s rovnice 6 systému o integrátor k zajištění D�s � � G �s � -220 SD��ss��T1��s �G��1s � C �s � (6) astatismu prvního řádu. Tvaro1 � G �s � C �s � Citlivostní funkce S(s) je tedy požadována vací filtry jsou v tuto chvíli „larovnice 7 -240 malá alespoň na frekvencích, kde je výrazný dicími knoflíky“ regulátoru. Vý10 -2 10 0 102 10 4 10 6 2 poruchový�krouticí moment, zatímco doplňhodný, protože poměrně univers � 2� 1� c � s � � c g frekvence (Hz) � � 2 funkce je vyžadována malá W1 �s � citlivostní ková zální tvar filtru W1(s), který má �s � 2� 2� c � s � � c na vyšších frekvencích, kde je výrazný šum popisovat požadavky na regulaci Obr. 7. Poruchová citlivostní funkce pro návrh pomocí měření. Navíc musí být doplňková citlivostní na nízkých frekvencích, je minimalizace normy smíšené citlivostní funkce rovnice 8 s2 WIndex 2) 3 �s � � 2 byl úmyslně vynechán podle zvyklostí v literatuře. Filtr W se používá na jiném místě v systému pro penalizaci velikosti akčního zásahu. 2 k3 skutečně fyzikálně možná maximální šířka pásma uzavřené zpětnovazební regulační smyčky. Na této frekvenci se totiž rezonanční špička blíží 2 dB. Taková rezonanční špička se již v časové oblasti projeví výraznými překmity.

��

��

g amplitudová frekvenční charakteristika (dB)

�

�



�

rovnice 9 16

D�s � �

G �s � 1 � G �s � C �s �

AUTOMA 1/2005

S �s � �

1 1 � G �s � C �s �

rovnice 5 G �s � C �s � T �s � � 1 � G �s � C �s �


rovnice 6 a doplňková citlivostS �sBohužel, � � T �s � � citlivostní 1 ní funkce nevyjadřují úplně přesně požadavky, které7 jsou kladeny na řízení teleskopu. rovnice Je tomu tak 2především proto, že porucho�s � 2� 1�způsobený c � s � � c poryvy větru vý1 �krouticí W s � � � moment 2 � cvýstupu � s � �(modelu) s � 2� 2na nepůsobí � aditivně sysc tému, nýbrž na jeho vstupu, a přičítá se tak ke krouticímu momentu generovanému morovnice 8 torem. Jeho přenosová funkce, pojmenujme 2 ji 3poruchová W �s � � s citlivostní funkce, svazuje poruk3 na vstupu systému a regulační chu působící odchylku a je definována jako rovnice 9 G �s � (9) D�s � � 1 � G �s � C �s �

téma né smyčky velice strmě tlumen. Regulátor tedy není vůbec citlivý na to, zda jsou rezonanční špičky skutečně přesně na oněch frekvencích, které spočítali inženýři analyzující řízení teleskopu metodou konečných prvků. Daní za tuto strmost je vysoký řád regulátoru (přibližně stejný jako řád redukovaného modelu).

-150 -160 -170 -180 -190 -200 -210 -220

W1, W2, W3

-230

2 PI

9. Závěr

-240 -250

-2

-1

0

1

2

3

Pokusili jsme se naznačit, v čem spočívá dnes tak módní návrh robustního regulátoObr. 9. Poruchová citlivostní funkce dosažená při minimalizaci normy rozšířeného systému Její graf je na obr. 7. Je patrné, že přenos ru pomocí minimalizace normy poruchy na nižších frekvencích, tedy pod H∞ systému. Poměrně podrobně 1 Hz, je menší u kaskádního PI regulátoru. zřejmé, a tak jsou potvrzeny závěry získané jsme také ukázali, jakým přínosem by mohl A přitom hlavní motivací celého tohoto „dobz analýzy dosažitelné šířky pásma. být pro jednu konkrétní aplikaci řízení porodružství“ bylo pokusit se zlepšit právě tuto lohy obřího teleskopu VLT. Výsledky byly charakteristiku. Protože se to zjevně nepodaprezentovány před mezinárodní komunitou 8. Tvarování referenčního signálu řilo, je nutné do modelu systému zavést nový specialistů v oblasti řízení obřích teleskopů poruchový vstup. Popsanou optimalizací však byla sledována a setkaly se s velkým ohlasem, protože sice stále jen odezva uzavřené zpětmírně, ale prokazatelně zlepšují charakteristinovazební smyčky na poruchový ky uzavřené zpětnovazební smyčky. Zároveň signál. Zajímavé však je i to, jak jsou použité návrhové metody velmi účelné z1 W1(s) teleskop reaguje na referenční a s využitím softwarových nástrojů, v nichž signál neboli na povel ke změně jsou tyto metody implementovány, i pohodlné d W4(s) elevačního úhlu. O tom ale poz3 psané řešení nic neříká, podobr(t) y(t) G(s) W3(s) τ ně jako to nedokážou známé opF(s) G(s) � y u timální regulace lineárně kvadratického gaussovského typu LQG (Linear Quadratic Guassian) ve C(s) své základní podobě. Není však C(s) nejmenší problém přidat předfiltr F(s) (přímovazební filtr, tvaroObr. 10. Zapojení zpětnovazebního reguláObr. 8. Konfigurace pro minimalizaci normy smíšené vač referenčního signálu) jako na toru a předfiltru citlivostní funkce s dodatečným poruchovým vstupem obr. 10. Ten zaručí, že i odezva systému na referenční signál bude přijatelná. pro pokračování v iteračním procesu návrhu Opět postačí jednoduchá dolní propust. a dalšího zlepšování. Pro konkrétní aplikaci 7. Minimalizace normy H∞ rozšířené Zlomová frekvence byla volena tak, aby řízení VLT však již velké zlepšení očekávat citlivostní funkce odpovídala požadované šířce pásma, tedy řánelze, neboť současná kvalita řízení se již blíZavedením nového vstupu do systému, viz dově jednotky radiánů. Simulace odezvy sysží k mezím fyzikálních možností. obr. 8, se ale rozšiřuje sada „ladicích knoflítému na požadavek změny elevačního úhlu ků“ pro návrh regulátoru. Jako rozumný poo jednu úhlovou vteřinu je na obr. 11. Poděkování: Práce výzkumníků FEL čáteční tvarovací filtr pro poruchu vstupující Ze simulace je patrné, že i v časové obČVUT byla finančně podporována projekna vstup se jeví jednoduchá dolní propust. To lasti jsou odezvy obou návrhů přibližně stejtem MŠMT pod označením LN00B096. je potvrzeno teoretickými i experimentálními ně rychlé a s přibližně stejným studiemi frekvenčních charakteristik větrných překmitem, avšak v případě kas6 poryvů, jako např. v [4]. Zároveň je možné kádní PI regulace byl zaznamepožadavek na úplnou kompenzaci konstantnán velmi málo tlumený mód, 5 ních parazitních krouticích momentů zakomzřejmě v důsledku špatně na4 ponovat již do tohoto filtru, a není třeba rozšiladěné pásmové zádrže nebo řovat dynamiku systému o integrátor (ovšem v důsledku nesouladu mezi re3 někdy může být zahrnutí integrátoru v modeálným teleskopem a jeho mate2 lu systému rozumné z numerických důvodů). matickým modelem. U reguláPoruchová citlivostní funkce dosažená optitoru navrženého metodou mi1 malizací normy tohoto rozšířeného systému nimalizace normy H∞ systému W1, W3, W4 a předfiltr potom vypadá jako na obr. 9. Řád regulátoru, rozšířeného o tvarovací filtry by 0 kaskádní PI regulátor se kterým toho bylo dosaženo, je 29. se takové chování nemělo obje-1 Z obr. 9 je patrné, že se sice podařilo zúžit vit, protože doposud nebyl usku0 1 2 3 4 5 zesílení na části frekvenčního intervalu, ale tečněn pokus rezonanční špičky g čas (min) zato se toto zesílení „přelilo jako vodní poselektivně odfiltrovat, nýbrž postel“ do jiné oblasti (tomuto jevu se skuteččínaje první rezonanční frekven- Obr. 11. Simulace odezvy při požadavku na změnu ně říká waterbed effect). Fyzikální meze jsou cí na 8 Hz byl přenos uzavře- elevačního úhlu o jednu úhlovou vteřinu 10

10

10 10 10 g frekvence (Hz)

g skutečný úhel (10 –6 rad)

10

AUTOMA 1/2005

17


téma Literatura: [1] BELLY, P. – BELLY, P. Y.: The design and construction of large optical telescopes. Springer Verlag, 2003. ISBN 0387955127. [2] DOYLE, J. C. – FRANCIS, B. A. – TANNENBAUM, A. R.: Feedback control. Macmillan, New York, 1992. Dostupné na http:// www.control.utoronto.ca/people/profs/ francis/dft.html [zhlédnuto 11. 1. 2005]. ASIN 0023300116. [3] ERM, T. – HURÁK, Z. – BAUVIR, B.: Time to go H-infinity? In: SPIE Conference on Astronomical Telescopes. Glasgow, 21. až 25. června 2004. [4] GAWRONSKI, W.: Three models of windgust disturbances for the analysis of antenna pointing accuracy. Technical report. Jet Propulsion Laboratory. Pasadena, Kalifornia, 2002. [5] HELTON, J. W. – MERINO, O.: Classical control using H∞ methods: theory, optimization, and design. SIAM, 1998. ISBN 0898714192. [6] –: Robust Control Toolbox for Use with Matlab. 2nd ed. Firemní literatura The Mathworks, 2001. [7] SAFONOV, M. G. – LIMEBEER, D. J. N. – CHIANG, R. Y.: Simplifying the H1 theory

via loop shifting, matrix pencil and descriptor concepts. International Journal of Control, 1989, vol. 50, no. 6, s. 2467–2488. [8] STEIN, G.: Respect the unstable. IEEE Control Systems Magazine, 2003, vol. 23, no. 4, s. 12–25. [9] TRUEBLOOD, M. – GENNET, R.: Telescope control. Willman-Bell, 1997. ISBN 0943396530. [10] ZHOU, K. – DOYLE, J. C. – GLOVER, K.: Robust and optimal control. 1. vyd. Upper Saddle River (New Jersey), Prentice-Hall, 1996. ISBN 0134565673.

Obří teleskop v Chile a katedra řídicí techniky FEL ČVUT

Primární zrcadlo každého z nich má průměr 8,2 m, tloušťku 18 cm a hmotnost 29 t. Kromě toho je systém doplněn čtyřmi pomocnými teleskopy, každý se zrcadlem o průměru 1,8 m. Každý VLT, které jsou pojmenovány v jazyce původních obyvatel jižního Chile, kmene Mapučů, jako Antu (Slunce), Kueyen (Měsíc), Melipal (Severní kříž) a Yepun (Venuše), může pracovat samostatně nebo pomocí obrovského interferometru umístěného v podzemí jako jeden dalekohled s ekvivalentním zrcadlem o průměru 16 m. S jedním dalekohledem je tak možné na obloze pozorovat objekty s magnitudou 30, tedy s asi čtyřmiliardkrát menší svítivostí, než dokáže na obloze uvidět prosté lidské oko. To

Poušť Atacama v jižním Chile je nepochybně jedním z nejodlehlejších a nejpustších míst na naší planetě. Právě proto je zde na hoře Cerro Paranal (2 635 m; obr. 1), asi 120 km jižně od města Antofagasty, umístěna Evropská jižní observatoř (European Southern Observatory – ESO) s unikátními obřími teleskopy, která je „vlajkovou lodí“ evropské astronomie. Zařízení vyvinuté a vyrobené v Evropě a provozované teprve několik let je jedním z moderních technických divů světa. Observatoř disponuje čtyřmi obřími teleskopy (VLT – Very Large Telescop; obr. 2).

Ing. Zdeněk Hurák, Ph.D., prof. Ing. Michael Šebek, DrSc., Centrum aplikované kybernetiky, katedra řídicí techniky, FEL ČVUT v Praze Lektoroval: prof. Ing. Roman Prokop, CSc., Institut informačních technologií, FT UTB ve Zlíně

Ing. Zdeněk Hurák, Ph.D. (*1974), je výzkumný pracovník Centra aplikované kybernetiky při Fakultě elektrotechnické ČVUT v Praze. V roce 1998 byl držitelem stipendia „Boeing Fellow“ a strávil tři měsíce na Iowa State University v Amesu, USA. Věnuje se teorii optimálního a robustního řízení. Kromě teoretického výzkumu se podílí na aplikačních projektech, a to jak formou konzultací pro průmysl, tak formou vlastních projektů, jako jsou např. řízení astronomických teleskopů, řízení solárních kolektorů, mikropolohování pro elektronové mikroskopy nebo funkční elektrická stimulace pro pacienty postižené parézou peroneálního svalu. Je členem IEEE a administrátorem IEEE CSS Action Group on Polynomial Methods (http://ar.c-a-k.cz/polynomial). Prof. Ing. Michael Šebek, DrSc. (*1954), je vedoucí katedry řídicí techniky na Fakultě elektrotechnické ČVUT v Praze. V současné době přednáší o robustním řízení a numerických metodách pro řízení. Specializuje se na numerické algoritmy pro polynomiální matice. Během své kariéry dlouhodobě přednášel na předních evropských univerzitách (Padova, Twente, ETH Curich, Glasgow). Je autorem či spoluautorem asi dvou stovek vědeckých publikací v mezinárodních časopisech a na konferencích; index SCI zmiňuje 200 citací jeho prací. Je členem IEEE a SIAM.

Obr. 2. Nosná struktura teleskopu Kueyen s primárním zrcadlem 8,2 m (použito se svolením ESO)

Obr. 1. Cerro Paranal s astronomickou observatoří na „useknutém“ vrcholu (použito se svolením ESO)

18

jsou i pro laického příznivce astronomie neuvěřitelná čísla. Inženýři ESO se nedávno obrátili na katedru řídicí techniky na Fakultě elektrotechnické ČVUT v Praze s žádostí o spolupráci při vylepšování řídicích systémů pro obří teleskopy. Naším úkolem tedy bylo aplikovat současné metody návrhu regulátorů. Katedra a ESO spolupracovaly formou odborných konzultací, protože Česká republika bohužel dodnes není oficiálním členem ESO. To je nepochybně škoda, a tak snad i tento náš článek přispěje k rozšíření všeobecného povědomí o tom, jak zajímavé příležitosti a výzvy čekají na technické specialisty v království obřích teleskopů, mimo jiné i v oblasti modelování a návrhu řízení.

AUTOMA 1/2005

Soudobý návrh regulátoru pro teleskop VLT pomocí optimalizace H

Recommend Documents