SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH MATEMATIKA

SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH

MATEMATIKA

MATEMATIKA


Obsah 1.

ýíselné obory ................................................................................................................. 3

2.

Algebraické výrazy ......................................................................................................... 9

3.

Rovnice a nerovnice ......................................................................................................13

4.

Funkce ..........................................................................................................................19

5.

Posloupnosti a finanþní matematika ..............................................................................25

6.

Planimetrie ....................................................................................................................30

7.

Stereometrie..................................................................................................................39

8.

Analytická geometrie .....................................................................................................46

9.

Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika ................................................................52

Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

Ϯ 2

MATEMATIKA


1.

ýíselné obory

1

Vyznaþte na þíselné ose obrazy þísel

ͳ ͷ a . ʹ ͸

ʹ ͵

0

Na þíselné ose vyznaþte interval ‫ ʹۃ‬െ ݊Ǣ ݊ െ ͵‫ ۄ‬pro ݊ ൌ ͷ.

2

0

1

NajdČte nejmenší pĜirozené þíslo ݊, pro které existuje interval ‫ ʹۃ‬െ ݊Ǣ ݊ െ ͵‫ۄ‬, a tento interval vyznaþte na þíselné ose.

3

0

1

VypoþtČte, kolikrát vČtší je þíslo ͳͲଵ଻ než souþet þísel ͵ǡʹ ή ͳͲଵହ a ͺ ή ͳͲଵସ .

4

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 U mapy je grafický pĜevod vzdáleností na mapČ a ve skuteþnosti. 1 cm

0

7,5 km

MČĜítko mapy se vyjadĜuje ve tvaru ͳǣ ‫ݔ‬, tedy ͳ cm na mapČ pĜedstavuje ‫ ݔ‬cm ve skuteþnosti. (CERMAT)

5

Uvećte mČĜítko mapy.

6

VypoþtČte: ሾͳͲସ െ ሺͺ ή ͳͲସ െ ͹͵ ή ͳͲଷ ሻሿଶ ൌ ϯ


3

MATEMATIKA

7


VypoþtČte, kolik korun je 5 setin procenta ze 2 miliard korun.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Auto vyjíždČlo na cestu s polovinou nádrže. Po 100 kilometrech jízdy zbývala ještČ tĜetina nádrže a pĜi pĜíjezdu do cíle jen pČtina nádrže. Množství spotĜebovaného paliva v nádrži je pĜímo úmČrné ujeté vzdálenosti. (CERMAT)

8

VypoþtČte, kolik kilometrĤ auto ujelo.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Podle jízdního Ĝádu má být vlak za 10 minut ve stanici. K nádraží mu zbývá 32 km jízdy. Vlak za každé 2 minuty ujede 3 kilometry kromČ posledního dvoukilometrového úseku, který mu trvá 5 minut. (CERMAT)

9

Jaké pĜedpokládané zpoždČní se objeví na nádražní informaþní tabuli? A)

žádné zpoždČní

B)

5 minut

C)

10 minut

D)

15 minut

E)

jiné zpoždČní

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Firma si úþtuje za vybavení kanceláĜe žaluziemi celkem 2 650 Kþ. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 Kþ dražší než jejich instalace. (CERMAT)

10

Kolik procent z úþtované þástky tvoĜí instalace žaluzií? A)

42 %

B)

37,5 %

C)

36 %

D)

32 %

E)

26,5 %

ϰ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

4

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Eva má hotovost 450 000 Kþ a penČžní ústav jí nabízí roþní termínový vklad s 3% roþní úrokovou mírou. PĜed vyzvednutím þástky se z úroku odpoþítá státem stanovená daĖ ve výši 15 %. (CERMAT)

11

Kolik korun bude z tohoto roþního termínovaného vkladu odvedeno na daních? A)

13 500 korun

B)

2 250 korun

C)

2 025 korun

D)

1 000 korun

E)

jiná suma

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 Podle daĖového sazebníku platného pro rok 2010 stál výrobek vþetnČ 20% danČ 6 000 korun. (CERMAT)

12

Kolik korun by stál, pokud by byl zatížen pouze 10% daní? (Výsledek je zaokrouhlen na celé koruny.) A)

5 280 korun

B)

5 400 korun

C)

5 500 korun

D)

5 700 korun

E)

5 980 korun

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 Na trh se zavádí nový výrobek. V prvním týdnu se prodává za sníženou zavádČcí cenu. PČt výrobkĤ poĜízených za zavádČcí cenu stojí tolik jako tĜi výrobky koupené za bČžnou cenu. Porovnávají se ceny pĜepoþítané na jeden výrobek. (CERMAT)

13

O kolik procent je zavádČcí cena za jeden výrobek nižší než bČžná cena za jeden výrobek? A)

více než o 30 %

B)

o 30 %

C)

o 20 %

D)

ménČ než o 20 %

E)

Bez uvedené ceny nelze požadovaný údaj urþit. ϱ


5

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Pan Novák si za veþer vydČlal o þtvrtinu víc než pan Dung. Pan Dung za veþeĜi utratil 20 % svého výdČlku, pan Novák utratil stejnou þástku. (CERMAT)

14

Kolik procent svého veþerního výdČlku utratil pan Novák? A)

16 %

B)

18 %

C)

20 %

D)

25 %

E)

jiné Ĝešení

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 15 Celkem 960 obyvatel mČsta odpovČdČlo v referendu na otázku, má-li radnice i nadále podporovat provoz kina a divadla. Jejich odpovČdi jsou zaznamenány v následující tabulce. podporovat divadlo

nepodporovat divadlo

podporovat kino

200

540

nepodporovat kino

170

50

(CERMAT)

15

RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (15.1ʹ15.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE).

15.1

Celkem 50 úþastníkĤ referenda odmítá jak podporu kina, tak i divadla.

15.2

Podpora provozu kina má dvakrát více pĜíznivcĤ než podpora provozu divadla.

15.3

Necelých 18 % úþastníkĤ referenda nechce podporovat provoz kina.

15.4

Asi 74 % úþastníkĤ referenda by rádo podpoĜilo pouze jeden z obou provozĤ.

A

N

ϲ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

6

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 Ve fitcentru si vedou mČsíþní statistiky. DvČ pČtiny návštČvníkĤ chodí do fitcentra alespoĖ dvakrát týdnČ, osmina z nich dokonce dennČ. ýtvrtina návštČvníkĤ chodí jedenkrát týdnČ. Každá dvacátá osoba se po první návštČvČ fitcentra víckrát nevrátí. Zbytek návštČvníkĤ chodí nČkolikrát do mČsíce, ale nepravidelnČ. (CERMAT)

16

PĜiĜaćte ke každé otázce (16.1–16.4) odpovídající výsledek (A–F):

16.1

Kolik procent návštČvníkĤ chodí do fitcentra alespoĖ dvakrát týdnČ?

_____

16.2

Kolik procent návštČvníkĤ chodí do fitcentra dennČ?

_____

16.3

Kolik procent návštČvníkĤ chodí do fitcentra pravidelnČ?

_____

16.4

Kolik procent návštČvníkĤ chodí nČkolikrát do mČsíce, ale nepravidelnČ?

_____

A)

5%

B)

25 %

C)

30 %

D)

40 %

E)

65 %

F)

jiná hodnota

17

PĜiĜaćte ke každému zápisu s absolutní hodnotou (17.1–17.3) takové þíslo ܽ (A–E), aby po dosazení platila rovnost:

17.1

ȁܽ െ ͵Ͳȁ ൌ Ͳ

_____

17.2

ȁܽ െ ͵Ͳȁ ൌ ܽ

_____

17.3

ܽ ൅ ͵Ͳ ൌ ȁܽȁ

_____

A)

ܽ ൌ െ͵Ͳ

B)

ܽ ൌ െͳͷ

C)

ܽ ൌ ͳͷ

D)

ܽ ൌ ͵Ͳ

E)

jiné þíslo ܽ

ϳ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

7

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – ýíselné obory

1

0

ʹ ͵

ͳ ʹ

2

–3

0

1

0

1

ͷ ͸

2

݊ ൌ ͵ 3

–1

4

25krát

5

1 : 50 000

6

9 000 000

7

1 000 000

8

180 km

9

D

10

D

11

C

12

C

13

A

14

A

15

ANO, ANO, NE, ANO

16

D, A, E, C

17

D, C, B

ϴ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

8

MATEMATIKA

2. 1


Algebraické výrazy VytknČte a rozložte na souþin: ͵‫ ݕ‬ଶ െ ͳʹ ൌ

2

Provećte: ሺ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳʹሻଶ ൌ

3

Provećte:

3.1

ʹܽ െ ସ ܽ െ ଼ ܽ ൌ

3.2

͸ܾ ή ଶ ܾ ൌ

3.3

ሺܿ ଷ െ ܿሻ ‫ ׷‬ሺܿ െ ͳሻ ൌ pro ܿ ് ͳ

4

Pro ‫̳܀ א ݔ‬ሼെͲǡͷሽ je dán výraz:

ଶ

଻

ଵ

ͳെ

‫ݔ‬െͳ ʹ‫ ݔ‬൅ ͳ ଵ

4.1

VypoþtČte hodnotu výrazu pro ‫ ݔ‬ൌ

4.2

VypoþtČte, pro kterou hodnotu promČnné ‫ ݔ‬je výraz roven nule.

5

Pro ‫ ܀ א ݔ‬urþete podmínky, pro nČž má smysl výraz: ͳ൅

6

.

ଶ

‫ݔ‬െ͵ ‫ݔ‬ൌ ͵െʹ

Pro ܿ ് Ͳ a ܿ ് ͳ provećte a upravte na co nejjednodušší tvar: ͵ ͵ െ ଶ ൌ ܿെͳ ܿ െܿ

ϵ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

9

MATEMATIKA

7

Pro ݊ ‫ ۼ א‬zjednodušte: ቀͳ െ

8

ͳ ݊ ቁ ൬݊ െ ൰ ൌ ݊ ݊൅ͳ

Pro ‫̳܀ א ݔ‬ሼͳሽ provećte: ʹ൅

9


‫ݔ‬െͳ ൌ ͳെ‫ݔ‬

Pro ܽ ൐ Ͳ provećte a zjednodušte: ܽଷ ʹ ିଷ െ ൬ ൰ ൌ ʹଶ ܽ

10

Pro݀ ൒ Ͳ zjednodušte: ඥʹ݀ଷ ή ξͳͺ݀ ൌ

11

VyjádĜete jako jedinou mocninu se základem 2: ʹଶ଴଴ ή ʹଵ଴଴ ൅ ͺଵ଴଴ ൌ

12

Pro ݉ ‫ ܈ א‬zjednodušte: Ͷ௠ ሺͶ௠ାଵ െ ͵ ή Ͷ௠ ሻ ൌ

13

Jsou dány dva výrazy

௫ ௫ାଵ

Ǣ

ିଵ ௫ మ ା௫

s promČnnou ‫܀ א ݔ‬.

RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (13.1ʹ13.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE). A 13.1

Pro ‫ ݔ‬ൌ െͳ má první z obou výrazĤ smysl.

13.2

Pro ‫ ݔ‬ൌ ͳ má druhý z obou výrazĤ smysl.

13.3

Spoleþný jmenovatel obou výrazĤ mĤže být ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬.

13.4

Pro kladné hodnoty promČnné ‫ ݔ‬je souþet obou výrazĤ roven

N

௫ିଵ ௫

.

ϭϬ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

10

MATEMATIKA

14

15


Za jakých podmínek pro ܿ ‫ ܀ א‬má výraz A)

ܿ ് േʹ

B)

ܿ ് ͲǢ ܿ ് േʹ

C)

ܿ ് ͲǢ ܿ ് ʹ;

D)

ܿ ് ͲǢ ܿ ് െʹ

E)

za jiných podmínek

Jaká je hodnota výrazu A)

ͷ ൅ ξ͵

B)

െͲǡͷ െ ξ͵

C)

െʹ

D)

െʹǡʹ

E)

െ͵

௫ మ ௫ିଵ

ܿ ଶ െ Ͷ ܿ ଶ ൅ ʹܿ

ή

ܿ ܿ ଶ ൅ Ͷ

smysl?

pro ‫ ݔ‬ൌ ξ͵ െ ͳ?

16

ଶ Pro které reálné hodnoty promČnné ‫ ݔ‬není definován výraz మ ? ௫ ି௫ାଶ

A)

pro ‫ ݔ‬ൌ Ͳ

B)

pro ‫ ݔ‬ൌ ͳ a pro ‫ ݔ‬ൌ െʹ

C)

pro ‫ ݔ‬ൌ െͳ a pro ‫ ݔ‬ൌ ʹ

D)

pro jiné dvČ hodnoty

E)

Výraz je definován pro všechna reálná þísla.

ϭϭ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

11

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Algebraické výrazy

1

͵ሺ‫ ݕ‬൅ ʹሻሺ‫ ݕ‬െ ʹሻ

2

ͻ‫ ݔ‬ସ െ ͹ʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͶͶ

3

ͷ ͵Ǥͳ ܽǢ ͵Ǥʹ͵ܾ ଶ Ǣ ͵Ǥ͵ܿ ή ሺܿ ൅ ͳሻ ൌ ܿ ଶ ൅ ܿ ͺ

4

ͷ ͶǤͳ Ǣ ͶǤʹ‫ ݔ‬ൌ െʹ Ͷ

5

‫ ് ݔ‬͸Ǣ Ǥ ‫ ך ܀ א ݔ‬ሼ͸ሽ

6

͵ ܿ

7

݊െͳ ݊

8

ͳ

9

ܽଷ ͺ

10

͸݀ଶ

11

ʹଷ଴ଵ

12

Ͷଶ௠

13

NE, ANO, ANO, ANO

14

D

15

C

16

E

ϭϮ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

12

MATEMATIKA

3.

Rovnice a nerovnice

1

V oboru ‫ ܀‬Ĝešte:

1.1

ͳͶ ‫ ܾ ׷‬ൌ ͹ ͷ

1.2

ͳ ͵ ͵ െ ൌ ܿ ʹܿ Ͷ


ěešení rovnic zapište ve tvaru zlomku v základním tvaru.

2

Z každého z následujících vztahĤ vyjádĜete promČnnou ‫ݐ‬.

2.1

‫ ݏ‬ൌ Ͳǡͷሺ‫ ݐ‬൅ ‫ݑ‬ሻ

2.2

‫ି ݐ‬ଵ ൅ ‫ ݖ‬ൌ ʹ

3

V oboru ‫ ܀‬Ĝešte nerovnice a výsledek zapište intervalem.

3.1

‫ݔ‬െͷ ൑ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷ ʹ

3.2

ʹ‫ ݔ‬െ ͳ ൏ െ͵

4

V oboru ‫ ܀‬Ĝešte soustavu nerovnic a výsledek zapište intervalem. ʹ‫ ݔ‬െ ͳ ൏ െ͵ ͵‫ ݔ‬൅ ͳͲ ൐ ͳ

5

Pro ‫܀ א ݔ‬Ǣ ‫ ך ܀ א ݕ‬ሼͲሽ je dána soustava rovnic: ௫ ௬

ൌͶ

ʹ‫ ݔ‬െ ͷ‫ ݕ‬ൌ െ͵ 5.1

VypoþtČte hodnotu neznámé ‫ݔ‬.

5.2

VypoþtČte hodnotu neznámé ‫ݕ‬.

6


6.1

ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ ൌ ͵‫ݔ‬

6.2

ܽଶ െ ʹܽ ൅ ͸ ൌ ͷሺʹ െ ܽሻ

6.3

‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬െ ʹሻ ൅ ሺ‫ ݔ‬െ ʹሻሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻ ൌ Ͳ

ϭϯ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

13

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Neznámé þíslo nejprve zmenšíme o tĜetinu své hodnoty, poté ještČ o 40. Po vynásobení výsledku dvČma získáme pĤvodní neznámé þíslo. (CERMAT)

7

Urþete neznámé þíslo.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pan Vlk má dvČ zamČstnání. V prvním zamČstnání vydČlává 400 Kþ za hodinu, ve druhém 300 Kþ za hodinu. V prvním zamČstnání stráví týdnČ o 10 hodin více než ve druhém a vydČlá si tam za týden dvakrát více. (CERMAT)

8

VypoþtČte, kolik hodin týdnČ stráví pan Vlk v prvním zamČstnání.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Za nákup 2,5 kg merunČk a 1,5 kg broskví se zaplatilo celkem 85 korun. Kilo broskví je o 2 koruny levnČjší než kilo merunČk. CERMAT)

9

Užitím rovnic vypoþtČte, kolik korun se zaplatilo za meruĖky.

Uvećte celý postup Ĝešení.

10

Pro ‫ Ͳ ് ݔ‬a ݊ ‫ ۼ א‬je dáno: ݊ൌ

݊ െ͵ ‫ݔ‬

Které z následujících tvrzení platí? A)

‫ ݔ‬ൌ െʹ

B)

‫ ݔ‬ൌ ͳ െ ͵݊

C)

‫ݔ‬ൌ

D)

‫ݔ‬ൌ

E)

͵െ݊ ͵

݊൅͵ ݊ ݊ ‫ݔ‬ൌ ݊൅͵

ϭϰ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

14

MATEMATIKA

11


Neznámá ‫ ܀ א ݔ‬splĖuje podmínky: ‫ ݔ‬൏ ͸ ൑ െʹ‫ ݔ‬൅ Ͷ Který zápis je ekvivalentní daným podmínkám?

12

13

A)

‫ א ݔ‬ሺെλǢെ͸ሻ

B)

‫ א ݔ‬ሺെλǢെͳ‫ۄ‬

C)

‫ א ݔ‬ሺെʹǢ ͸ሻ

D)

‫ۃ א ݔ‬െͳǢ͸ሻ

E)

žádný z uvedených

Jaké je Ĝešení nerovnice A)

‫׎‬

B)

൫ͷǢ ൅ λ൯

C)

ሺെλǢ ͷሻ

D)

ሺെλǢ ͷሻ ‫ ׫‬൫ͷǢ ൅ λ൯

E)

ሺെλǢ Ͳሻ ‫ ׫‬ሺͷǢ ൅λሻ

െͷ‫ݔ‬ ൏ Ͳ v oboru ‫?܀‬ ‫ݔ‬െͷ

Jaké je Ĝešení nerovnice ‫ ݔ‬ή ሺ͵ െ ʹ‫ݔ‬ሻ ൏ Ͳ v oboru ‫?܀‬ ଷ

A)

ቀെλǢ ଶቁ

B)

ሺͲǢ ൅λሻ

C)

ሺെλǢ Ͳሻ ‫ ׫‬ቀ Ǣ ൅λቁ

D)

ቀͲǢ ଶቁ

E)

‫ ך ܀‬ቄͲǢ ଶቅ

ଷ ଶ

ଷ

ଷ

ϭϱ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

15

MATEMATIKA

14


PĜiĜaćte ke každé rovnici s neznámou ‫( ܀ א ݔ‬14.1− −14.4) interval (A–F), do nČhož patĜí Ĝešení dané rovnice, pokud Ĝešení existuje.

14.1

ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ ൌͲ ͵

_____

14.2

‫ ݔ‬െ ͵ ൌ െ͵ ‫ݔ‬

_____

14.3

‫ ݔ‬െ ʹ ͳ ൌ ʹ‫ݔ‬ ʹ

_____

14.4

͵ െ ʹ‫ͳ ݔ‬ ൌ ͸ ʹ

_____

A)

ሺെλǢെͳሻ

B)

‫ۃ‬െͳǢͲሻ

C)

൫െͲǡ ͷǢ Ͳǡ ͷ൯

D)

ሺͲǢͳ‫ۄ‬

E)

ሺͳǢ൅λሻ

F)

rovnice nemá Ĝešení

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 15 Pravoúhelník o rozloze 2 000 m2 byl rozdČlen rovnou hranicí na dva obdélníky. Oba obdélníky se liší v délce jedné strany o 10 m. Obsahy obdélníkĤ jsou v pomČru ͵ǣ ʹ. (CERMAT)

15

V jakém pomČru jsou délky stran vČtšího z obou obdélníkĤ? A)

ͷ‫׷‬͸

B)

Ͷ ‫ ׷‬ͷ

C)

͵ ‫ ׷‬Ͷ

D)

ʹ ‫͵ ׷‬

E)

ͳ ‫ʹ ׷‬

ϭϲ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

16

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 Martin byl s cestovní agenturou na nČkolikadenním prázdninovém putování na kolech. Za rok si úplnČ stejnou cestu zopakoval soukromČ s Terezkou. Cestování si však rozvrhli jinak než s agenturou. Pro každý den si naplánovali stejnČ dlouhý úsek, a to v prĤmČru o desetinu kratší, než byla prĤmČrná denní trasa s agenturou. Proto jejich cyklistické putování trvalo o dva dny déle než s agenturou. (CERMAT)

16

Kolik dní trvalo cyklistické putování s cestovní agenturou? A)

14

B)

16

C)

18

D)

20

E)

jiný poþet dní

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 17 Anežka nasbírá kbelík borĤvek za dvČ hodiny. Pepa za každou hodinu naplní jednu tĜetinu kbelíku. Oba pracují rovnomČrným tempem. CERMAT)

17

Za jak dlouho by spoleþnČ naplnili až po okraj jeden kbelík? A)

ͳ za ͳ hodiny ͸

B)

ͳ za ͳ hodiny ͷ

C)

ͳ za ͳ hodiny Ͷ

D)

ͳ za ͳ hodiny ͵

E)

za delší dobu

ϭϳ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

17

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Rovnice a nerovnice

1

2

ʹ ʹ ͳǤͳܾ ൌ Ǣ ͳǤʹܿ ൌ െ ͷ ͵ ʹǤͳ‫ ݐ‬ൌ ʹ‫ ݏ‬െ ‫ݑ‬Ǣ ʹǤʹ‫ ݐ‬ൌ

ͳ ʹെ‫ݖ‬

3

͵Ǥͳ ൌ ‫ۃ‬െͷǢ λሻǢ ͵Ǥʹ ൌ ሺെλǢ െͳሻ

4

ൌ ሺെ͵Ǣ െͳሻ

5

ͷǤͳ‫ ݔ‬ൌ െͶǢ ͷǤʹ‫ ݕ‬ൌ െͳ

6

͸Ǥͳ ൌ ሼെͲǡͷǢ ʹሽǢ ͸Ǥʹ ൌ ሼെͶǢ ͳሽǢ ͸Ǥ͵ ൌ ሼെͳǢ ʹሽ

7

240

8

30 hodin

9

Cena za 1 kg merunČk … ‫ ݔ‬Kþ Cena za 1 kg broskví … ‫ ݕ‬Kþ ʹǡͷ‫ ݔ‬൅ ͳǡͷ‫ ݕ‬ൌ ͺͷ ‫ݔ‬െʹൌ‫ݕ‬ ʹǡͷ‫ ݔ‬൅ ͳǡͷሺ‫ ݔ‬െ ʹሻ ൌ ͺͷ ʹǡͷ‫ ݔ‬൅ ͳǡͷ‫ ݔ‬െ ͵ ൌ ͺͷ Ͷ‫ ݔ‬ൌ ͺͺ ‫ ݔ‬ൌ ʹʹ Kþ ʹǡͷ ή ʹʹ Kþ ൌ ͷͷ Kþ Za meruĖky se zaplatilo 55 Kþ.

10

E

11

B

12

E

13

C

14

A, D, F, C

15

C

16

C

17

B

ϭϴ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

18

MATEMATIKA

4.


Funkce

VÝCHOZÍ TEXT, TABULKA A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Funkce ݂ je dána pĜedpisem ‫ ݕ‬ൌ ‫ݔ‬

1

ʹ , kde ‫܀ א ݔ‬. ‫ݔ‬

2

‫ݕ‬ y

1 O

1

x

(CERMAT)

1 1.1

V tabulce doplĖte chybČjící hodnoty funkce.

1.2

Sestrojte graf funkce ݂ pro ‫ ݔ‬൐ Ͳ.

1.3

Urþete, pro kterou hodnotu promČnné ‫ ݔ‬je ‫ ݕ‬ൌ ͳ. ʹ

2

VypoþtČte obČ souĜadnice bodu ܲ, v nČmž se protínají grafy funkcí ݂ a ݃:

2.1

݂ǣʹ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ Ͷ ൌ Ͳ ݃ǣʹ‫ ݔ‬൅ ͵‫ ݕ‬െ Ͷ ൌ Ͳ

2.2

݂ǣ ‫ ݕ‬ൌ ʹ‫ ݔ‬െ ͻ ݃ǣ ‫ ݕ‬ൌ ͵ െ ʹ‫ݔ‬

ϭϵ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

19

MATEMATIKA


Funkce ݂ a ݃ jsou urþeny pĜedpisy:

3

݂ǣ‫ ݕ‬ൌ Ͳǡͷ‫ ݔ‬ଶ ݃ǣ ‫ ݕ‬ൌ ʹ െ Ͳǡͷ‫ݔ‬ Na kterém z obrázkĤ A – E jsou správnČ sestrojeny grafy obou funkcí? A)

B) y

y

1 1

1 x

O

O

C)

1

x

D) Ǉ

Ǉ

1 1 O

ǆ

1 O

x

1

E) y

1 O

1

x

ϮϬ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

20

MATEMATIKA

4


PĜiĜaćte ke každému grafu funkce (4.1–4.3) odpovídající pĜedpis funkce (A–E).

4.1

y

1 1 x

O

4.2

y

1 1 x

O

4.3

y 1 O

A)

‫ݕ‬ൌ

B)

‫ݕ‬ൌ

C)

‫ݕ‬ൌ

D)

‫ݕ‬ൌ

E)

‫ݕ‬ൌ

௫ ଶ ଵ ଶ

ሺͶ െ ‫ݔ‬ሻ ሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺ‫ ݔ‬െ ͵ሻ

௫మ ଶ ௫మ ଶ ଵ ଶ

x

1

െ‫ ݔ‬൅

ଷ

4.1 _____

ଶ

െ ʹ‫ݔ‬

4.2 _____

ሺ‫ ݔ‬ଶ െ Ͷሻ

4.3 _____

Ϯϭ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

21

MATEMATIKA

5


Grafem kvadratické funkce ݂ǣ ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ െ ͸‫ ݔ‬je parabola s vrcholem ܸሾ݉Ǣ ݊ሿ. Jakou hodnotu má druhá souĜadnice ݊ vrcholu ܸ? A)

݊ ൌ െͻ

B)

݊ ൌ െ͸

C)

݊ ൌ െ͵

D)

݊ൌͲ

E)

݊ൌ͸

6


6.1

ቀ ቁ ൌ Ͷ ή Ͷ௫

6.2

ͷଷ ή ͷଽ ൌ ሺͷ௫ ሻଷ

6.3

ͷଷ୷ ൌ ͷ ή ͷ୷

7

Pro ܽ ൐ Ͳ vypoþtČte:

ଵ ௫ ଶ

Ͷ െ ͶͲͲ ൅ ܽ ൌ ܽ

8

V oboru Ĝešte:

8.1

ʹ െ ‫ ݔ‬ൌ ͳ

8.2

ଷ ‫ ݔ‬൅ ଷ ʹ͹ ൌ ͳ

8.3

Ͳǡͳ ൅ ሺʹ‫ݔ‬ሻ ൌ ͳ

8.4

ଶ ʹ‫ ݔ‬െ ଶ ͺ ൌ ͳ

8.5

ͳͲͲͲ ൅ ‫ ݔ‬ൌ Ͷ

ϮϮ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

22

MATEMATIKA


9

PĜiĜaćte ke každému pĜedpisu funkce (9.1–9.4) odpovídající graf funkce (A–F).

9.1

‫ ݕ‬ൌ Ͷ௫

______

9.2

‫ ݕ‬ൌ

Ͷ ‫ݔ‬

______

9.3

‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ Ͷ

______

9.4

‫ ݕ‬ൌ ସ ‫ݔ‬

______

y B)

A)

y 1

1 O

x

O 1

x

1

y C)

D) y 1 O 1

x 1 O 1

E)

y

x

F) y 1 O 1

x

1 O 1

x Ϯϯ


23

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Funkce

1.1

‫ݔ‬

1

2

‫ݕ‬

2

1

y 1.2

1

1 O

‫ݔ‬ൌͶ

1.3

x

1

2

ʹǤͳܲሾെͳǢ ʹሿǢ ʹǤʹ ܲሾ͵Ǣ െ͵ሿ

3

E

4

E, A, B

5

A

6

ʹ ͸Ǥͳ‫ ݔ‬ൌ െ Ǣ ͸Ǥʹ ‫ ݔ‬ൌ ͶǢ ͸Ǥ͵‫ ݔ‬ൌ Ͳǡͷ ͵

7

െʹ

8

ͳ ͺǤͳ‫ ݔ‬ൌ ͲǡʹǢ ͺǤʹ‫ ݔ‬ൌ Ǣ ͺǤ͵‫ ݔ‬ൌ ͷͲǢ ͺǤͶ‫ ݔ‬ൌ ͺǢ ͺǤͷ‫ ݔ‬ൌ ͳͲ ͻ

9

D, A, B, F

Ϯϰ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

24

MATEMATIKA

5.


Posloupnosti a finanþní matematika

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 1–2 Vzorec pro ݊-tý þlen posloupnosti je: ܽ௡ ൌ ͷ݊ െ ͵, kde ݊ ‫ۼ א‬ (CERMAT)

1

VypoþtČte rozdíl: ܽ௡ାଵ െ ܽ௡ ൌ

2

Urþete, kolikátý þlen posloupnosti je jedenáctkrát vČtší než druhý þlen, tj. ܽ௡ ൌ ͳͳܽଶ .

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 3–5 Aritmetická posloupnost obsahuje ͷͲ þlenĤ, z nichž první tĜi jsou െͳͶͲǢെͳ͵ʹǢെͳʹͶ a poslední tĜi ʹ͵͸Ǣ ʹͶͶǢ ʹͷʹ. (CERMAT)

3

VypoþtČte dvacátý þlen posloupnosti.

4

VypoþtČte souþet všech 50 þlenĤ posloupnosti: െͳͶͲ ൅ ሺെͳ͵ʹሻ ൅ ሺെͳʹͶሻ ൅ ‫ ڮ‬൅ ʹ͵͸ ൅ ʹͶͶ ൅ ʹͷʹ ൌ

5

Urþete, kolikátým þlenem posloupnosti je þíslo ͳͲͲ.

Ϯϱ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

25

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ OBRÁZEK A TEXT K ÚLOHÁM 6–7 Ͷ͘ ʹ͘

ͳǤ s

V zámecké dlažbČ byla vytvoĜena spirála, jejíž þást je znázornČna na obrázku. Spirála je složena z 15 navazujících pĤlkružnic. Délka první pĤlkružnice je ܽଵ ൌ 22 dm a každá následující pĤlkružnice je o 22 dm delší.

͵͘

(CERMAT)

6

VypoþtČte délku ܽଷ tĜetí pĤlkružnice.

7

Uvećte v metrech délku ‫ ݏ‬celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze þást spirály.)

8

RozhodnČte o každé následující þtveĜici þísel (8.1–8.4), tvoĜí-li geometrickou posloupnost (ANO), þi nikoli (NE):

8.1

ሺͶǢ ʹǢ െʹǢ െͶሻ

8.2

ሺͳǢ ͶǢ ͳ͸Ǣ ͸Ͷሻ

8.3

ሺͺǢെͶǢ ʹǢെͳሻ

8.4

ሺͲǢ ͶǢ ͺǢ ͳʹሻ

A

N

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Posloupnost tvoĜí sedmnáct po sobČ jdoucích pĜirozených lichých þísel seĜazených vzestupnČ od nejmenšího k nejvČtšímu. ProstĜední þlen ܽଽ je þíslo 23. (CERMAT) 9

RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (9.1–9.4), je-li pravdivé (ANO), þi nikoli (NE). A

9.1

Rozdíl dvou sousedních þlenĤ je 1.

9.2

ܽଵଶ ൌ 29

9.3

Všechny þleny jsou vČtší než 5.

9.4

Souþet þtyĜ nejmenších þlenĤ je 40.

N

Ϯϲ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

26

MATEMATIKA

10


TĜicátý þlen aritmetické posloupnosti je ܽଷ଴ ൌ100 a diference ݀ ൌ3. Kolikátým þlenem posloupnosti je þíslo 280? A)

60. þlenem

B)

90. þlenem

C)

120. þlenem

D)

180. þlenem

E)

þlenem s jiným poĜadím

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Poþítaþ byl poĜízen za 10 000 Kþ. Každým následujícím rokem se z ceny poþítaþe odepisuje vždy stejné procento ceny z pĜedchozího roku. Po þtyĜech letech se hodnota poþítaþe sníží pĜibližnČ na 1 300 Kþ. (CERMAT)

11

Kolik procent (s pĜesností na 1 %) se každým rokem odepisuje z ceny poþítaþe? A)

ménČ než 22 %

B)

22 %

C)

34 %

D)

40 %

E)

více než 40 %

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 ZdenČk si potĜebuje pĤjþit þástku 15 000 Kþ. Dohodne se s vČĜitelem, že mu dluh splatí bČhem roku v pČti pravidelných splátkách po 3 000 Kþ. Ke každé splátce má navíc pĜiplatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy pĜi první splátce je to 5 % z 15 000 Kþ, pĜi poslední už jen 5 % ze 3 000 Kþ.) (CERMAT)

12

Kolik korun celkem pĜiplatí ZdenČk k dlužné þástce? A)

2070 Kþ

B)

2250 Kþ

C)

2750 Kþ

D)

3750 Kþ

E)

jinou þástku

Ϯϳ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

27

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 V KocourkovČ se pĜíjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti pĜíjmĤm z pĜedchozího roku. BČhem každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. (CERMAT)

13

Jak se zmČní hodnota pĜíjmĤ po uplynutí 10 let? (Výsledek zaokrouhlete na procenta.) A)

Zvýší se více než o 200 %.

B)

Zvýší se o 80 %.

C)

NezmČní se.

D)

Sníží se o 69 %.

E)

Sníží se o 94 %.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 ýtveĜice ܽଵ ǡ ܽଶ ǡ ܽଷ ǡ ܽସ , kde ܽଶ ൌ െʹͲǡ ܽଷ ൌ ͳͲ, pĜedstavuje þtyĜi po sobČ jdoucí þleny aritmetické posloupnosti, þtveĜice ݃ଵ ǡ ݃ଶ ǡ ݃ଷ ǡ ݃ସ , kde ݃ଶ ൌ െͳͲǡ ݃ଷ ൌ ʹͲ, þtyĜi po sobČ jdoucí þleny geometrické posloupnosti. (CERMAT)

14

PĜiĜaćte ke každému þlenu (14.1–14.4) odpovídající hodnotu (A–F).

14.1

ܽଵ

_____

14.2

ܽସ

_____

14.3

݃ଵ

_____

14.4

݃ସ

_____

A)

െͷͲ

B)

െͶͲ

C)

െͳͲ

D)

ͷ

E)

ͶͲ

F)

ͷͲ

Ϯϴ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

28

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Posloupnosti a finanþní matematika

1

ͷ

2

ͳ͸

3

ܽଶ଴ ൌ ͳʹ

4

‫ݏ‬ହ଴ ൌ ʹͺͲͲ

5

݊ ൌ ͵ͳ

6

ܽଷ ൌ ͸͸

7

ܵ ൌ ʹ͸Ͷ

8

NE, ANO, ANO, NE

9

NE, ANO, ANO, ANO

10

B

11

D

12

B

13

B

14

A, E, D, B

Ϯϵ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

29

MATEMATIKA

6.


Planimetrie

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Úsek, který se ve skuteþnosti ujde deseti kroky, je na plánu znázornČn úseþkou délky 1 cm. Kruh na plánu má polomČr 2,5 cm. (CERMAT)

1

VypoþtČte, kolika kroky se obejde po obvodu skuteþný kruh.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁCH 2–3 Ve þtvercové síti je umístČn rovnobČžník ‫ܦܥܤܣ‬. D

A

B

C

1 cm

(CERMAT)

2

VypoþtČte obsah rovnobČžníku ‫ ܦܥܤܣ‬a výsledek uvećte v cm2.

3

V rovnobČžníku ‫ ܦܥܤܣ‬urþete pomČr velikostí obou výšek. (Výsledek uvećte v základním tvaru.)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Vzor na dlaždici tvoĜí þtyĜi shodné obdélníky a þtverec uprostĜed. Obvod každého z obdélníkĤ je ͵Ͳ cm.

(CERMAT)

4 4.1

VypoþtČte obvod celé dlaždice (‫݋‬ሻ.

4.2

VypoþtČte obsah dlaždice (ܵ). ϯϬ


30

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Do kružnice se stĜedem S a polomČrem ‫ ݎ‬ൌ 3cm je vepsán šedý obrazec ‫ܦܥܤܵܣ‬. C D

S B A (CERMAT)

5

VypoþtČte v cm2 obsah šedého obrazce ‫ܦܥܤܵܣ‬.

6

Délky základen lichobČžníku jsou ܽ ൌ Ͷǡʹ ή ͳͲ଼ metrĤ, ܿ ൌ ͺ ή ͳͲ଻ metrĤ, výška ‫ ݒ‬má velikost Ͷǡͺ ή ͳͲହ metrĤ. VypoþtČte obsah plochy lichobČžníku.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 7–8 Pozemek tvaru obdélníku je doþasnČ pĜerušen stavebním záborem (šedá plocha). RovnobČžné hranice záboru na obvodu pozemku jsou dlouhé 15 m a 25 m. Jedna šikmá strana záboru, která je oplocena, má délku 236 m. Nyní se pokraþuje v oplocování 190 m dlouhé strany pozemku. 25

190

236 d

15 RozmČry v obrázku jsou uvedeny v metrech. (CERMAT)

7

VypoþtČte obsah plochy stavebního záboru.

8

S pĜesností na celé metry vypoþtČte šíĜku pozemku (݀).

ϯϭ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

31

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Okrasná þást zahrady má tvar obdélníku, jehož rozmČry se liší o jediný metr. Po úhlopĜíþce dlouhé 29 metrĤ vede pČšinka. (CERMAT)

9

Urþete délku a šíĜku okrasné zahrady. (ŠíĜka pČšinky se pĜi výpoþtu zanedbává.)

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 ýtvercový travnatý pozemek se obchází po dvou stranách jeho obvodu celkem tĜemi sty kroky. NeukáznČný chodec dostal pokutu za to, že pozemek pĜešel po úhlopĜíþce. (CERMAT)

10

VypoþtČte, kolik krokĤ neukáznČný chodec ušetĜil a výsledek zaokrouhlete na desítky.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 V trojúhelníku ‫ ܮܭܬ‬platí:

L

ξͷ ߮ ൌ ͵

ξͷ ߮

2

J K (CERMAT)

11

Urþete hodnotu ߮.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 12–13 V pravoúhlém trojúhelníku ‫ ܥܤܣ‬je pravý úhel pĜi vrcholu ‫ܥ‬, úhel ‫ ܤܣܥ‬má velikost ߙ ൌ ͸Ͳι a strana ‫ ܥܣ‬má délku ܾ ൌ ͸ξ͵. B

Ă ǀ

α C

ď

A

(CERMAT)

12

VypoþtČte délku strany ‫ܥܤ‬.

13

VypoþtČte velikost výšky ‫ ݒ‬na pĜeponu ‫ܤܣ‬. ϯϮ


32

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14 Na plánu jsou vyznaþeny údaje poĜízené pĜi zamČĜování vrtné vČže ܸ ze dvou stanovišĢ ‫ܣ‬a ‫ܤ‬Ǥ A 45ι 1,5 km 100ι B

V

(CERMAT)

14 14.1

Urþete nejmenší úhel, pod kterým je možné od vČže ܸ sledovat souþasnČ obČ stanovištČ ‫ ܣ‬a ‫ܤ‬.

14.2

Urþete s pĜesností na celé metry pĜímou vzdálenost stanovištČ ‫ ܤ‬od vrtné vČže ܸ.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 Pozemek tvaru pĤlkruhu je tĜeba oplotit. Na rovnou þást plotu se použije 28 metrĤ pletiva.

28 m (CERMAT)

15

Kolik celých po oblouku? A)

44 metrĤ

B)

48 metrĤ

C)

52 metrĤ

D)

56 metrĤ

E)

jiný poþet

metrĤ

pletiva

bude

nejménČ

potĜeba

na

zbytek

plotu

ϯϯ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

33

MATEMATIKA

16


Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm vČtší. Jaká je délka nejdelší strany podobného trojúhelníku? A)

20 cm

B)

19,5 cm

C)

19 cm

D)

18 cm

E)

jiná délka

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 17 VnitĜní úhel trojúhelníku ‫ ܥܤܣ‬má velikost ߙ ൌ 40°. Pro délky stran platí vztah ܽଶ ൅ ܾ ଶ ൌ ܿ ଶ . (CERMAT)

17

RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (17.1–17.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE).

17.1

Nejdelší strana je ܿ.

17.2

NejvČtší úhel má velikost 100°.

17.3

Trojúhelník je rovnoramenný.

17.4

Osa strany ܾ je rovnobČžná se stranou ܽ.

A

N

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 18 SvČtelné paprsky svírají s vodorovnou podložkou úhel 50°. Tyþ postavená kolmo k podložce je vysoká 180 cm. (CERMAT)

18

Jak dlouhý stín (v cm) vrhá tyþ na položku? A) B) C) D) E)

ଵ଼଴ ୱ୧୬ ହ଴ι

ͳͺͲ ή ͷͲι ଵ଼଴ ୡ୭ୱ ହ଴ι

ͳͺͲ ή ͷͲι ଵ଼଴ ୲୥ ହ଴ι

ϯϰ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

34

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19 V rovnoramenném trojúhelníku ‫ ܥܤܣ‬se základnou ‫ ܤܣ‬platí: ȁ‫ܥܣ‬ȁ ൌ ȁ‫ܥܤ‬ȁ ൌ 10; ߙ ൌ ȁ‫ܤܣܥף‬ȁ ൌ 75° C

10

75° c

A

B

(CERMAT)

19

Jakou délku má základna ܿ ൌ ȁ‫ܤܣ‬ȁ? (Výsledky jsou zaokrouhleny na desetiny.)

20

A)

4,9

B)

5,2

C)

5,5

D)

5,8

E)

jinou délku

Trojúhelník ‫ ܥܤܣ‬má délky stran ܽ ൌ 3 cm, ܾ ൌ 5 cm a ܿ ൌ 7 cm. Jaký je souþet velikostí dvou nejmenších vnitĜních úhlĤ trojúhelníku ‫?ܥܤܣ‬ A)

22°

B)

38°

C)

60°

D)

105°

E)

jiný

ϯϱ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

35

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 21 C D

70°

30° A

B

7 cm

(CERMAT)

Jaká je délka úhlopĜíþky ‫ ܥܣ‬vypoþtená s pĜesností na desetiny centimetru?

21

A)

menší než 6,1 cm

B)

6,1 cm

C)

6,7 cm

D)

7,0 cm

E)

vČtší než 7,0 cm

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22 Pozemek zakreslený v plánku má být rozdČlen rovnou hranicí ܵܶna dvČ þásti.

T 75° 2 km 60°

S

R (CERMAT)

22

Jaká je délka hranice ܵܶ vypoþtená s pĜesností na desítky metrĤ? A)

ȁܵܶȁ ൌ 2 230 m

B)


C)


D)


E)

ȁܵܶȁ ൌ 3 010 m ϯϲ


36

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 23 c f 10 e 40° 40°

a (CERMAT)

23

PĜiĜaćte ke každé úseþce (23.1–23.3) její délku (A–E):

23.1

strana ܽ

_____

23.2

strana ܿ

_____

23.3

úhlopĜíþka ݂

_____

A) B) C) D) E)

ͳͲ ή ͶͲι ଵ଴ ୱ୧୬ ସ଴ι ଵ଴ ୡ୭ୱ ସ଴ι

ͳͲ ή ͶͲι ଵ଴ ୲୥ ସ଴ι

ϯϳ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

37

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Planimetrie

1

157 kroky

2

8 cm2

3

5 : 2, resp. 2 : 5

4

ͶǤͳ‫ ݋‬ൌ ͸ͲǢ ͶǤʹܵ ൌ ʹʹͷଶ

5

ܵ ൌ ͳ͵ǡͷ ଶ

6

ܵ ൌ ͳǡʹ ή ͳͲଵସ ଶ

7

ܵ ൌ ͵ͺͲͲଶ

8

݀ ؐ ͳ͸ͷ

9

ʹͲ ൈ ʹͳ

10

͵ͲͲ െ ͳͷͲξʹ ൌሶ ͻͲ ߮ ൌ

11

ʹ ͵

12

ȁ‫ܥܤ‬ȁ ൌ ܽ ൌ ͳͺ

13

‫ݒ‬ൌͻ

14

ͳͶǤͳ͵ͷιǢ ͳͶǤʹ ͳͺͶͻ

15

A

16

B

17

ANO, NE, NE, ANO

18

E

19

B

20

C

21

C

22

B

23

E, D, C

ϯϴ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

38

MATEMATIKA

7.


Stereometrie

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 1–2 DrátČný model pravidelného šestibokého hranolu s podstavnou hranou délky ܽ ൌ 8 cm má výšku ‫ ݒ‬ൌ 12 cm. TČleso se pĜelepí papírem, podstavy tmavým a plášĢ bílým.

v

v

a

a (CERMAT)

1

VypoþtČte v cm nejvČtší možnou pĜímou vzdálenost dvou vrcholĤ drátČného hranolu. (TloušĢku drátu zanedbáváme.)

2

VypoþtČte v cm2 obsah bílého papírového pláštČ hranolu.

3

VypoþtČte, kolik centimetrĤ mČĜí polomČr koule, jejíž objem je ૚ litr. (Údaj zaokrouhlete na desetiny centimetru.)

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 4

2,0 m 1,6 m

2,0 m

2,4 m 2,4 m (CERMAT)

4

VypoþtČte v litrech objem vzduchu ve stanu. ϯϵ


39

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Nádobu tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm2 naplní tĜi þtvrtlitrové hrnky vody až po okraj.

(CERMAT)

5

6

Jaká je výška nádoby? A)

37,5 cm

B)

17 cm

C)

15 cm

D)

11,5 cm

E)

jiný výsledek

Koule má polomČr 0,3 m. Kolikrát vČtší je objem koule s dvojnásobným polomČrem? A)

devČtkrát

B)

osmkrát

C)

šestkrát

D)

tĜikrát

E)

ménČ než tĜikrát

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V uzavĜeném sklenČném kvádru s hranami délek 30 cm, 60cm a 80 cm je obarvená kapalina. Postavíme-li kvádr na stČnu s rozmČry 30 cm ൈ 60 cm, dosáhne kapalina do výšky 40 cm. (CERMAT)

7

V jaké výšce bude hladina kapaliny, postavíme-li kvádr na stČnu s rozmČry ૜૙ cm ൈ ૡ૙ cm? (TloušĢku stČn kvádru zanedbáváme.) A)

20 cm

B)

25 cm

C)

30 cm

D)

35 cm

E)

v jiné výšce ϰϬ


40

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 8–9 Z rotaþního válce se vyrábí herní figura. Polovina válce je opracována na rotaþní kužel, který tvoĜí klobouk figury.

(CERMAT)

8

Jakou þást objemu neopracovaného válce tvoĜí vyrobená figura? A) B) C) D) E)

9

଻ ଼ ହ ଺ ଷ ସ ଶ ଷ ହ ଼

Obvod podstavy válce je 30 cm a strana klobouku má délku 12 cm. Jaký je povrch klobouku? A)

1,2 dm2

B)

1,4 dm2

C)

1,5 dm2

D)

1,8 dm2

E)

jiný povrch

ϰϭ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

41

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Váleþek se kutálí po podložce. Po jedné celé otoþce se posune o 25 cm. (CERMAT)

10

Jaký je polomČr podstavy váleþku? (Výsledek je zaokrouhlen na desetiny centimetru.) A) 4,0 cm B) 4,1 cm C) 4,2 cm D) 4,3 cm E) jiný polomČr

11

PĜiĜaćte ke každé úloze (11.1–11.4) její Ĝešení (A–F).

11.1

Kolik stČn má krychle?

_____

11.2

Kolik hran má osmiboký jehlan?

_____

11.3

Kolik vrcholĤ má dvanáctiboký hranol?

_____

11.4

Kolik stČn vþetnČ podstav má hranol, který má 24 hran?

_____

A)

6

B)

10

C)

12

D)

20

E)

24

F)

jiný výsledek

ϰϮ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

42

MATEMATIKA

12


PĜiĜaćte ke každé zakreslené síti tČlesa (12.1–12.4) odpovídající název tČlesa (A–F).

12.1

12.2

12.3

12.4

A)

pravidelný trojboký jehlan

B)

pravidelný þtyĜboký jehlan

C)

pravidelný šestiboký jehlan

D)

pravidelný trojboký hranol

E)

pravidelný šestiboký hranol

F)

Nelze, útvar není sítí žádného tČlesa.

12.1

_____

12.2

_____

12.3

_____

12.4

_____

ϰϯ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

43

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13 Ve þtvercové síti je zobrazena síĢ kvádru. Jednotkou délky je 1 díl, jednotkou obsahu je 1 þtverec a jednotkou objemu je 1 krychliþka.

ϭĚşů

ϭŬƌǇĐŚůŝēŬĂ

ϭĚşů

ϭĚşů

ϭēƚǀĞƌĞĐ

(CERMAT)

13

RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (13.1–13.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE):

13.1

Nejmenší stČna kvádru má obsah 10 þtvercĤ.

13.2

NejvČtší stČna kvádru má obsah 15 þtvercĤ.

13.3

Objem kvádru je 30 krychliþek.

13.4

Ve složeném kvádru jsou þtyĜi hrany s délkou 3 díly.

A

N

ϰϰ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

44

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Stereometrie

1

ʹͲ

2

ܵ ൌ ͷ͹͸ଶ

3

‫ ؐ ݎ‬͸ǡʹ

4

4 608 litrĤ

5

C

6

B

7

C

8

D

9

D

10

A

11

A, F, E, B

12

B, C, A, D

13

NE, ANO, ANO, ANO

ϰϱ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

45

MATEMATIKA

8.


Analytická geometrie

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V rovinČ je umístČn vektor ሬሬሬሬሬԦ ‫ ܤܣ‬ൌ ሺͶǢെ͵ሻ. Ǉ

A 1 O

ǆ

1 B

(CERMAT)

1 1.1

Urþete velikost vektoru ሬሬሬሬሬԦ ‫ܤܣ‬.

1.2

DoplĖte souĜadnice libovolného vektoru ݊ሬԦ ൌ ሺ݊ଵ ǡ ݊ଶ ሻ, který je k vektoru ሬሬሬሬሬԦ ‫ ܤܣ‬kolmý a má dvojnásobnou velikost.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 V rovinČ je umístČn bod ‫ܣ‬. Dále platí ሬሬሬሬሬԦ ‫ ܤܣ‬ൌ ‫ݒ‬Ԧ ൌ ሺെ͵ǡ Ͷሻ. y

1 1 O

A

x

(CERMAT)

2 2.1

Zakreslete vektor ‫ݒ‬Ԧ.

2.2

Popište souĜadnicemi koncový bod ‫ܤ‬ሾ‫ݔ‬Ǣ ‫ݕ‬ሿ orientované úseþky ሬሬሬሬሬԦ ‫ܤܣ‬ ϰϲ


46

MATEMATIKA

3


Body ‫ܣ‬ሾെͷǢ ʹሿ a ‫ܤ‬ሾͲǢെͷሿ jsou sousedními vrcholy þtverce ‫ܦܥܤܣ‬. VypoþtČte obsah þtverce ‫ܦܥܤܣ‬.

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Ǉ

‫ݑ‬ ሬԦ

1 1 O

A

ǆ

(CERMAT)

4

PĜímka ‫ ݌‬je urþena bodem ‫ ܣ‬a smČrovým vektorem ‫ݑ‬ ሬԦ.

4.1

V kartézské soustavČ souĜadnic ܱ‫ ݕݔ‬sestrojte pĜímku ‫݌‬.

4.2

Napište souĜadnice prĤseþíku ܲሾ‫ݔ‬Ǣ ‫ݕ‬ሿ pĜímky ‫ ݌‬se souĜadnicovou osou ‫ݕ‬.

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 5 y Ɖ

1 ǆ O

1

(CERMAT)

5

Urþete rovnici pĜímky ‫( ݌‬smČrnicový nebo obecný tvar) umístČné v kartézské soustavČ souĜadnic ܱ‫ݕݔ‬.

ϰϳ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

47

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 PĜímka ‫ ݌‬je urþena bodem ‫ܣ‬ൣെʹǢ െ ͳ൧ a normálovým vektorem ݊ሬԦ ൌ ൫ͳǢ ʹ൯. y

1 O

x

1

(CERMAT)

6 6.1

Zapište obecnou rovnici pĜímky ‫݌‬.

6.2

V kartézské soustavČ souĜadnic ܱ‫ ݕݔ‬narýsujte pĜímku ‫݌‬.

7

Orientovaná úseþka s poþáteþním bodem ܲሾͶǢെͳሿ je umístČním vektoru ‫ݒ‬Ԧ ൌ ሺʹǢെ͹ሻ. Který z uvedených bodĤ je koncovým bodem této orientované úseþky?

8

A)

‫ܣ‬ሾെʹǢെ͸ሿ

B)

‫ܤ‬ሾെʹǢ െͺሿ

C)

‫ܥ‬ሾʹǢ ͸ሿ

D)

‫ܦ‬ሾ͸Ǣെͺሿ

E)

‫ܧ‬ሾ͸Ǣെ͸ሿ

PĜímka ‫ ݌‬procházející bodem ‫ܣ‬ሾͲǢ ʹሿ má smČrový vektor ‫ݑ‬ ሬԦ ൌ ሺͳǢെͳሻ. Která rovnice urþuje pĜímku ‫?݌‬ A)

‫ݔ‬െ‫ݕ‬െʹ ൌ Ͳ

B)

‫ݕ‬െʹൌͲ

C)

ʹ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ

D)

‫ݔ‬൅‫ݕ‬െʹ ൌ Ͳ

E)

‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅ʹ ൌ Ͳ

ϰϴ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

48

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 V kartézské soustavČ souĜadnic ܱ‫ ݕݔ‬je umístČna pĜímka ‫݌‬. y p

1 O

1

x

(CERMAT)

9

Která rovnice urþuje pĜímku ‫?݌‬ A)

ʹ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ ʹ ൌ Ͳ

B)

‫ ݔ‬െ ʹ‫ ݕ‬൅ Ͷ ൌ Ͳ

C)

‫ ݔ‬െ Ͷ‫ ݕ‬െ ʹ ൌ Ͳ

D)

‫ ݔ‬൅ ʹ‫ ݕ‬െ Ͷ ൌ Ͳ

E)

ʹ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ʹ ൌ Ͳ

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 V kartézské soustavČ souĜadnic ܱ‫ ݕݔ‬je sestrojena pĜímka ‫݌‬. y p

1 O1

x

(CERMAT)

10

Která z uvedených pĜímek ܽǡ ܾǡ ܿǡ ݀ǡ ݁ je kolmá k pĜímce ‫?݌‬ A)

ܽǣ ʹ‫ ݔ‬െ ͵‫ ݕ‬൅ ͹ ൌ Ͳ

B)

ܾǣ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵‫ ݕ‬െ ͹ ൌ Ͳ

C)

ܿǣ ʹ‫ ݔ‬െ ͵‫ ݕ‬െ ͹ ൌ Ͳ

D)

݀ǣ ͵‫ ݔ‬െ ʹ‫ ݕ‬െ ͹ ൌ Ͳ

E)

݁ǣ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ‫ ݕ‬൅ ͹ ൌ Ͳ ϰϵ


49

MATEMATIKA

11


Trojúhelník ‫ ܥܤܣ‬má vrcholy ‫ܣ‬ሾͲǡ ͳሿǡ ‫ܤ‬ሾ͵ǡ െʹሿǡ ‫ܥ‬ሾʹǡ ͶሿǤ Na které pĜímce leží výška ‫ݒ‬௖ trojúhelníku ‫?ܥܤܣ‬ A)

‫݌‬ǣ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ ʹ ൌ Ͳ

B)

‫݌‬ǣ͵‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬െ ʹ ൌ Ͳ

C)

‫݌‬ǣ͵‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ͳͲ ൌ Ͳ

D)

‫݌‬ǣ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ͸ ൌ Ͳ

E)

‫݌‬ǣʹ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ

ϱϬ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

50

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Analytická geometrie ݊ሬԦ ൌ ሺ͸Ǣ ͺሻ݊ሬԦ ൌ ሺെ͸Ǣ െͺሻ

1 2.1

y

11

2

A

O

ǆ

ܲሾെʹǢ ͵ሿ

2.2

ܵ஺஻஼஽ ൌ ͹Ͷ

3

Ǉ

4.1

ሬԦ ‫ݑ‬ 1 O

4

ǆ

1 Ɖ

ܲሾͲǢ ͵ሿ

4.2

‫݌‬ǣ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵‫ ݕ‬െ ͸ ൌ Ͳ

5 6.1

‫݌‬ǣ ‫ ݔ‬൅ ʹ‫ ݕ‬൅ Ͷ ൌ Ͳ

6.2

y 1

6 O

x

1

7

D

8

D

9

D

10

E

11

A

p

ϱϭ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

51

MATEMATIKA

9.


Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 V kódu je na prvním místČ jedno z písmen A, B, C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné þíslo od 11 do 45. (Existují napĜ. kódy B22, A45 apod.) (CERMAT)

1

Urþete poþet všech takto vytvoĜených kódĤ.

2

Urþete neznámé þíslo ݇, jestliže platí: ͳͲͲǨ ൌ ݇ ή ͻͺǨ

3

Urþete neznámé þíslo ݉, jestliže platí: ݉Ǩ ή ʹ଼ ൌ ʹ ή Ͷ ή ͸ ή ͺ ή ͳͲ ή ͳʹ ή ͳͶ ή ͳ͸

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Cesta prochází nČkolika kĜižovatkami. Na každé kĜižovatce je možné zahnout doleva (L), doprava (P), nebo pokraþovat v pĜímém smČru (S). PrĤjezd dvČma kĜižovatkami je možné zapsat dvojicí znakĤ, napĜ. PP. (CERMAT)

4

Kolika možnými zpĤsoby lze projet dvČma kĜižovatkami? A)

9

B)

8

C)

6

D)

5

E)

4

ϱϮ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

52

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznaþena hlavní a vedlejší diagonála.

(CERMAT)

5

Kolika zpĤsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tĜi stejné figury tak, aby byly všechny tĜi buć jen na hlavní, nebo jen na vedlejší diagonále? A)

16

B)

20

C)

30

D)

32

E)

33

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Frontu na lístky tvoĜí þtyĜi dívky a šest chlapcĤ. (CERMAT)

6

Kolika rĤznými zpĤsoby se mohou osoby ve frontČ seĜadit? A)

ͳͲǨ

B)

ͶǨ ൅ ͸Ǩ

C)

Ͷή͸

D)

ͶǨ ή ͸Ǩ

E)

ሺͶ ή ͸ሻǨ

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 PĜi zkoušce se zadávají tĜi otázky. První otázka se vybírá ze skupiny 10 otázek. Další dvČ otázky se vybírají z jiné skupiny 20 otázek. (CERMAT)

7

Kolik rĤzných trojic otázek lze pĜi zkoušce zadat? A)

4 600

B)

4 000

C)

3 800

D)

1 900

E)

jiný poþet ϱϯ


53

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 DČtské soutČže se pravidelnČ úþastní malí i velcí chlapci a malá i velká dČvþata. PravdČpodobnost, že zvítČzí dívka, je 0,6. PravdČpodobnost, že zvítČzí malá dívka, je 0,4. Malý chlapec zvítČzí s pravdČpodobností 0,3. Jen obþas zvítČzí velký chlapec. (CERMAT)

8

PĜiĜaćte ke každé otázce (8.1–8.4) správnou odpovČć (A–F).

8.1

Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí chlapec (malý nebo velký)?

_____

8.2

Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí velká dívka?

_____

8.3

Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí malé dítČ (chlapec nebo dívka)?

_____

8.4

Jaká je pravdČpodobnost, že nezvítČzí malá dívka?

_____

A) 0,2

B) 0,3

C) 0,4

D) 0,5

E) 0,6

F) 0,7

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V osudí jsou 2 bílé a 3 þerné koule. Koule se vytahují po jedné a do osudí se nevracejí. (CERMAT)

9

PĜiĜaćte ke každému jevu (9.1–9.3) pravdČpodobnost (A–E), s níž mĤže nastat.

9.1

První tažená koule bude bílá.

_____

9.2

První dvČ tažené koule budou þerné.

_____

9.3

V první tažené dvojici koulí budou zastoupeny obČ barvy.

_____

A) B) C) D) E)

ଶ ଷ ଶ ହ ଽ ଶହ ଷ ହ ଷ ଵ଴

ϱϰ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

54

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Souþet dvaceti položek je 6 000 korun. Po odebrání dvou položek v celkové hodnotČ 960 korun se prĤmČrná hodnota položky zmČní. (CERMAT)

10

VypoþtČte, o kolik korun se zmČní prĤmČrná hodnota.

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 11 V obchodním centru zákaznice testovaly tĜi druhy parfémĤ A, B, C. SvĤj hlas mohly dát pouze jednomu z parfémĤ. NČkteré zákaznice se nedokázaly rozhodnout. Preference zákaznic jsou zaznamenány v tabulce. A ýetnost

B

C

nerozhodnuté

Celkem

20

200

40

Relativní þetnost

20 %

(CERMAT)

11

VypoþtČte, kolik zákaznic preferovalo vítČzný parfém.

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOHÁM 12–13 Celkem 20 studentĤ psalo dva závČreþné testy A a B. V tabulce jsou uvedeny výsledky testĤ, chybí pouze poþet jedniþek a dvojek v testu B. Známky 1

2

3

4

Poþet žákĤ

ýetnost známek Test A Test B

3

8

9

0

20

9

2

20

PrĤmČr

Medián

Modus

(CERMAT)

12

Urþete medián a modus známek z testu A.

13

V obou testech bylo dosaženo stejné prĤmČrné známky. VypoþtČte prĤmČrnou známku z testu A a poþet jedniþek v testu B.

ϱϱ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

55

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Divadlo nabízí pro každé pĜedstavení celkem 220 vstupenek po 300 korunách a 80 vstupenek po 500 korunách. BČhem deseti pĜedstavení bylo šestkrát zcela vyprodáno a þtyĜikrát se neprodala právČ polovina dražších lístkĤ. (CERMAT)

14

Jaká je prĤmČrná tržba na jedno z deseti pĜedstavení? A)

98 000 Kþ

B)

97 000 Kþ

C)

96 000 Kþ

D)

95 000 Kþ

E)

jiná tržba

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 15

110

55

100

50

90

45

80

40

70

35

60

30

50

25

40

20

30

15

20

10

10

5

0 1988

mil. divákĤ

Kþ

V grafu jsou uvedeny prĤmČrné poþty filmových divákĤ v milionech (sledujte na ose vpravo) a prĤmČrná výše vstupného do kina v dobČ od r. 1988 do r. 2004 (sledujte na ose vlevo). NávštČvnost klesala, ale vstupné se prĤbČžnČ zvyšovalo.

0 1990

1992

1994

1996

prĤmČrné vstupné

1998

2000

2002

2004

poþet divákĤ

(CERMAT)

15

PrĤmČrná roþní tržba za vstupné do kina se od roku 1990 do roku 2000: A)

v podstatČ nezmČnila.

B)

zvýšila jen velmi mírnČ, nejvýše o 20 %.

C)

zhruba zdvojnásobila.

D)

zvýšila témČĜ pČtkrát.

E)

zvedla více než o 500 %. ϱϲ


56

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A DIAGRAM K ÚLOZE 16 Na druhý stupeĖ základní školy v PostrkovČ chodí místní pČšky, ale všech 56 žákĤ, kteĜí jsou z okolních obcí, dojíždí. V diagramu je uvedeno rozložení poþtu žákĤ podle místa bydlištČ.

WŽēƚǇǎĄŬƽǌũĞĚŶŽƚůŝǀǉĐŚŽďĐşǀƉƌŽĐĞŶƚĞĐŚ ŚǀĂůĚƵďǇ ϭϬ й

sĞƐƚĞĐ ϭϱ й <ĚŽƵůĞ ϮϬ й

WŽƐƚƌŬŽǀ ϯϬ й

EĞŵĂŶşŶ Ϯϱ й

(CERMAT)

16

Kolik žákĤ dojíždí z Nemanína? A)

14 žákĤ

B)

18 žákĤ

C)

20 žákĤ

D)

24 žákĤ

E)

jiný poþet žákĤ

ϱϳ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

57

MATEMATIKA


VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 17

V tabulce jsou hráþi rozdČleni podle úspČšnosti v obou stĜeleckých disciplínách. (NapĜíklad þtyĜem hráþĤm se podaĜilo promČnit jeden trestný hod a dva hody po otoþce.)

WƌŽŵĢŶĢŶĠƚƌĞƐƚŶĠ ŚŽĚǇ ϯ Ϯ ϭ Ϭ

WŽēĞƚ ƷēĂƐƚŶşŬƽ

WƌŽŵĢŶĢŶĠŚŽĚǇ ƉŽŽƚŽēĐĞ

Každý z 20 hráþĤ provádČl tĜi trestné hody na koš a tĜikrát stĜílel po otoþce.

ϯ

Ϯ

ϯ

Ϯ

ϭ

ϰ

ϭ

ϭ

Ϯ

ϭ

ϱ

Ϭ

ϭ

(CERMAT)

17

PĜiĜaćte ke každé otázce (17.1–17.4) odpovídající výsledek (A–F):

17.1

Kolik hráþĤ dalo stejný poþet košĤ v obou disciplínách?

_____

17.2

Kolik hráþĤ dalo celkem 4 koše?

_____

17.3

Kolik hráþĤ udČlalo alespoĖ 4 chyby?

_____

17.4

Kolik hráþĤ bylo lepších pĜi trestných hodech než ve stĜelbČ po otoþce?

_____

A)

4

B)

5

C)

6

D)

7

E)

8

F)

9

ϱϴ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

58

MATEMATIKA


VÝSLEDKY ÚLOH – Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika

1

Ͷ ή ͵ͷ ൌ ͳͶͲ

2

݇ ൌ ͻͻͲͲ

3

݉ ൌ ͺ

4

A

5

B

6

A

7

D

8

C, A, F, E

9

B, E, D

10

klesne o 20 korun

11

100

12

medián 2; modus 3

13

prĤmČrná známka 2,3; poþet jedniþek 7

14

A

15

C

16

C

17

E, C, D, A

ϱϵ Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT Jankovcova 933/63, 170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz © CERMAT, 2013

59

SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH MATEMATIKA

Recommend Documents