SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértani sorra visszavezethető sorok esetében az Sn n-edik részletösszeget és a sor S összegét! 1)
2
5k
n 1
2)
1
2 2 2 ... n ...; 5 25 5 1 1 1 1
1
1
1
3n 5n 3 5 32 52 ... 3n 5n ...; n 1
n 1 n 1 3 3 1 1 1 3 1 3 1 3 ... n1 ...; 3) n1 n 1 2 2 2 6 4 18 2 3n1 2 3 n 1 2 2 5 1 2 5 1 2 5 2 5 1 1 4) n n 1 n 2 2 3 2 3 4 ... n n 1 n 2 ...; 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 n 1 10
I. Megoldások n
1 11 1 , S ; 2 25 2 3 1 1 3 2) Sn , S ; n n 4 23 45 4
1) Sn
n 1
1 , S 51 ; 51 3 3) Sn n 1 8 2 8 8 3n 1 5 1 5 4) Sn 1 n , S ; 36 10 36
II. Határozza meg az alábbi numerikus sorok esetében az Sn n-edik részletösszeget és a sor S összegét a parciális törtekre bontás módszerével!
1)
1
1
1
1
n 2 n 3 3 4 4 5 ... n 2 n 3 ...; n 1
2)
1
1
1
1
1
1
3n 2 3n 1 1 4 4 7 ... 3n 2 3n 1 ...; n 1
3)
1
1
n n 1 n 2 1 2 3 2 3 4 ... n n 1 n 2 ...; n 1
4)
1
1
1
1
2n 1 2n 3 2n 5 3 5 7 5 7 9 ... 2n 1 2n 3 2n 5 ...; n 1
5)
1
16n2 8n 3 ; n 1
6)
1
25n2 5n 6 ; n 1
7)
1
n2 1 ;
n2
II. Megoldások 1 1 1 1) Sn , S ; 3 n3 3 1 1 1 2) Sn 1 , S ; 3 3n 1 3 11 1 1 3) Sn , S ; 2 2 n 1 n 2 4 1 1 1 1 4) Sn , S ; 4 15 2n 3 2n 5 60 1 1 1 5) Sn 1 , S ; 4 4n 1 4 11 1 1 6) Sn , S ; 5 3 5n 3 15 3 1 1 1 3 7) Sn , S ; 4 2 n 1 n 2 4
III. Határozza meg az alábbi numerikus sorok esetében az Sn n-edik részletösszeget és a sor S összegét! 1)
n2 n 1
4)
2n 1
n 1
2
;
2)
2n 1 2n 12 n 2n 1 ln n 1 2n 1; n 1 n 1
1
ln 1 n2 ;
5)
n2
n 2
;
III. Megoldások 1) Sn 1
1
n 1
2
, S 1;
1 1 1 , S ; 2) Sn 1 2 8 8 2n 1 1 3) Sn 1 2 , S 1 2; n 1 n 2 n 1 4) Sn ln , S ln 2; 2n 2n 1 5) Sn ln , S ln 2; n 1
3)
2 n 1
n n 1 n 1 ;
IV. A konvergencia szükséges feltételére történő hivatkozással igazolja, hogy az alábbi sorok divergensek!
1)
1
n
n 1
2n2 3n 4 ; 2n 2 1
3
2)
n 1
n
n2 n3 2n 4
;
3)
n 1 n 1 ; n 1
IV. Megoldás: Nem teljesül a lim an 0 szükséges feltétel. n
V. Az összehasonlító kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok konvergenciáját!
1 ; n 1 2n 3n 5
1)
2
n
12 11) ; n 1 n 5
12)
1
2n2 3n 5;
3)
n2
3n 4 2n2 3n 5; 6) n 1 2
5)
2)
ln n n; n 1
n 1 2n 1; n 1
7)
1
2n2 3n 5; n 1
ln n n3 ; 8) n 1
13)
4)
2n n; n 1
3n 4
2n2 3n 5; n 1
n
1 3 3n ; 9) ; 10) 2n 5n 2n 3n ; n 2 ln n n 1 n 1
14)
n 1
3
1 n n 1
;
15)
n
n 1 n 1
n
;
V. Megoldások 1) Konvergens; 2) Konvergens; 3) Konvergens; 4) Divergens; 5) Divergens; 6) Divergens; 7) Konvergens; 8) Divergens; 9) Konvergens; 10) Divergens; 11) Konvergens; 12) Divergens; 13) Divergens; 14) Divergens; 15) Konvergens;
VI. A gyök kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok konvergenciáját! n2
n
an 1) ; n 1 n 2 n2
n 1 4) 3 n ; n n 1 n
n 1 7) ; n 1 2n 1 2n1 10) n ; n 1 n
n2
n2 3) 3n 1 ; n3 n 1
n 2) 2n ; n 1 n 1 2n 1 5) n 1 2n 1 n 8) n 1 3n 1 11)
n2
1
ln n n
n
n n 1
;
2 n 1
;
2n
6n 1 2 5 3 6) ; n 1 5n 3 6 5n 9) n1 ; n 1 n n2
;
2n 3 12) ; n 1 2n 1
VI. Megoldások 1) Konvergens ha 0 < a < 1 és divergens ha 1 a; 2) Konvergens; 3) Divergens; 4) Konvergens; 5) Konvergens; 6) Konvergens; 7) Konvergens; 8) Konvergens; 9) Konvergens; 10) konvergens; 11) Konvergens; 12) Divergens;
VII. A hányados kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok konvergenciáját! 1)
2 5 8 ... 3n 1 1 6 11 ... 5n 4 ; n 1
2)
2n !; 2 n 2 n !
5)
4)
7)
n 1
10)
n 1
; n
n3
ln 3
3)
8)
2n 1!
3n 4 3n ;
6)
3n n !
2 5 8 ... 3n 1 1 5 9 ... 4n 3; n 1
9)
2 5 ... 3n 2 2n n 1!
n 1
n
3 11) n ; n 1 n
; n
1 3 5 ... 2n 1
n 1
n 1
2n 1
2
n !a n nn ; a e, a 0 n 1
n3
n 1 ln 2
n
;
;
;
n! ; n 1 2n !
12)
VII. Megoldások 1) Konvergens; 2) Konvergens ha a < e és divergens ha a > e; a = e esetén a kritérium nem alkalmazható. 3) Konvergens; 4) Divergens; 5) Divergens; 6) Divergens; 7) Konvergens; 8) Konvergens; 9) Divergens; 10) Konvergens; 11) Konvergens; 12) Konvergens;
VIII. Az integrál kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok konvergenciáját!
1) n 1
1 n
4
;
ln n
n2 ;
3)
n 1
1
en ;
5)
n
n2 1;
2)
n
en ;
6)
n 1
4)
n 1
n 1
1
n ln n ;
7)
n 1
1
n2 1;
8)
n2
n
n2
1
ln n 2
;
VIII. Megoldások 1) Divergens; 2) Divergens; 3) Konvergens; 4) Konvergens; 5) Konvergens; 6) Konvergens; 7) Divergens; 8) Konvergens;
IX. Különböző konvergencia kritériumok felhasználásával vizsgálja meg az alábbi pozitív tagú sorok konvergenciáját. 1)
n! 2n 1 ; n 1
5)
2n 1 3n 1 n 1
10)
n 1
13)
2) n2
; 6)
2n 1 n 1! ; n 1
2n1 nn ; n 1
1 n n 1 n 2
n2 2n 2 1 ; n 1
14)
; 11)
7)
n !2 ; 2n ! n 1
3)
1
n
n 1
2n 1
n 1 n 1 n 2
2
;
; 12)
n 1
15)
3n 3n 1 ; n 1
n2 1 1 ln n2 ; 9) n n 1 ; n 1 n 1
1 ln 1 n ; 8) n 1
n3 n 2
n
4)
1
;
n 12 1 1 3 5 ... 2n 1 ;
n 1
4 8 12 ... 4n
IX. Megoldások 1) Divergens (hányados krit.); 2) Konvergens (hányados krit.); 3) Konvergens (hányados krit.); 4) Divergens (gyök krit); 5) Konvergens (gyök krit.); 6) Konvergens (gyök krit.); 7) Divergens (Sn felírása zárt alakban, és határérték számítás); 8) Konvergens (Sn felírása zárt alakban, és határérték számítás) ; 9) Divergens (összehasonlító krit.); 10) Konvergens (összehasonlító krit.); 11) Konvergens (összehasonlító krit.); 12) Konvergens (összehasonlító vagy integrál krit.); 13) Divergens (összehasonlító krit.); 14) Konvergens (összehasonlító vagy integrál krit.); 15) Konvergens (hányados krit.);
X. Igazolja, hogy az alábbi váltakozó előjelű sorok abszolút konvergensek! 1)
1
n 1
n 1
ln 2 n ; 2n
n n ; 2n ! n 1
2)
3)
1 n 1
n
ln 2 n 1 n n 1
;
XI. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok konvergenciáját! 1)
1
n 1
n 1
1 ; 3 n 1
2)
1n1 ln n ; n
n 1
3)
n
1 n 2 4 n 1; n 1 n
4)
1n cos2 2n; n
n 1
XI. Megoldások 1) Konvergens; 2) Konvergens; 3) Konvergens; 4) Konvergens;
XII. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok konvergenciáját és abszolút konvergenciáját! 1) 1
n 1
n 1
5) 1 n 1
n
1 ; n
n ; 6) 2n
2) 1
n 1
n 1
n 1 1 n 1
2n 1 n 1 n ; 3) 1 ; n n 1 n 1 n 1 1 n 1
n 2 2n ; 3n 1
7)
1
n
n ln n 1; n 1
8)
1 n 1
n
4) 1 n 1
n
ln n ; n
1 ; n ln n 1 ln ln n 2
XII. Megoldások 1) Feltételesen konvergens; 2) Feltételesen konvergens; 3) Feltételesen konvergens; 4) Feltételesen konvergens; 5) Abszolút konvergens; 6) Abszolút konvergens; 7) Feltételesen konvergens; 8) Feltételesen konvergens;
XIII. Mutassa meg, hogy a következő váltakozó előjelű sorok esetében nem alkalmazható a Leibnizféle kritérium, és vizsgálja meg a sorok konvergenciáját. 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 ...; a2 k 1 , a2 k ; 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 k 1 1 k 1 1
1 1 1 1 1 1 1 2) 1 3 2 5 ...; a2 k 1 k 1 , a2 k 2 k 1 ; 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 3) 1 2 3 ...; a2 k 1 , a2 k k ; 3 3 3 5 3 2k 1 3 1 1 1 1 1 1 1 4) 1 ...; a2 k 1 , a2 k ; 3 7 5 11 9 4k 1 4k 3
XIII. Megoldások 1) Divergens; 2) Abszolút konvergens; 3) Divergens; 4) Feltételesen konvergens;
2. Függvénysorok, hatványsorok, Taylor-sorok XIV. A Weierstrass-kritérium segítségével bizonyítsa be, hogy a következő függvénysorok egyenletesen konvergensek a megadott halmazon.
xn 1) 2 , x 1,1 ; n 1 n
e
4)
nx
n 1
2)
1
n 1
, x 1, ;
5)
, x 0, ;
n x x 1n , 3n 1 3n n 1 2
3)
2n cos nx, n 1
x 1,3 ;
6)
x
4 n3 x 2 , n 1
x , ;
x 0, ;
XV. Határozza meg a következő hatványsorok konvergencia sugarát! n
n 1 n 1) x ; n 0 2n 3
2
4)
ln 2 n
x 3
n 1 n
3
n 1
10)
n2
n2 n 3) x ; n 1 n 5
n
n
;
n 1
7)
n 1 n 2) n 2 x 2 ; n 1 4 x 5) n ! ; n n 1
2
x5n ;
8)
n !
6)
n 1
2
2n ! x n ;
9)
n 1
nn n x ; n!
kn !
n! n 1!... n k 1! x n ; n 1
2 e 2 3 e ... 2 n e x n ; n 1
XV. Megoldások 1) R = 2; 2) R = 4; 3) R = e3; 4) R = 1; 5) R = e; 6) R = ; 7) R = 10) R = 1;
5
3 ; 8) R = 4; 9) R = k k ;
XVI. A következő hatványsorok esetében határozza meg a konvergencia halmazt, vizsgálja meg a hogy a konvergencia intervallum végpontjaiban a hatványsorsor konvergens-e illetve abszolút konvergens-e!
1)
1
n
n n x 1 ; n 1
n
1 x 1 4) 3 ; n 1 n 3
2n 1 2) n 1 3n 2
n
x 2
n
;
3)
1n x n ;
2n 1 n 1
5n 3 n 5) x ; n 1 n 1 n
n2
1 6) 1 x n ; n n 1
XVI. Megoldások 1) R = 1, KH = [0, 2]; A sor mindkét végpontban abszolút konvergens; 3 7 1 2) R , KH , ; A sor mindkét végpontban divergens. 2 2 2 3) R = 1, KH = ] –1, 1]; A sor a bal oldali végpontban divergens, a jobb oldaliban feltételesen konvergens;
4) R = 1, KH = [ –2, 4[; A sor a jobb oldali végpontban divergens, a bal oldaliban feltételesen konvergens; 1 1 1 5) R , KH , ; A sor a bal oldali végpontban feltételesen konvergens, a jobb oldali 5 5 5 végpontban divergens. 6) R = e, KH = ]–e, e[; A sor mindkét végpontban divergens;
XVII. Nevezetes Taylor-sorok felhasználásával határozza meg az alábbi függvények 0 pont körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor konvergencia sugarát! x2
1) f x
1 x
2) f x 1 x 2 ;
;
2
5) f x x 2 ln 4 x 2 ;
6) f x 3
3) f x e2 x 2e x ;
1 x ; 1 x
4) f x 1 x e x ;
7) f x 1 x 2 arctg x;
XVII. Megoldások 1)
n 1 n 1 x n2 ,
R 1;
2) 1
n 0
2 n 1 n 3) 2 1 x n , R ; n 0 n ! 5) x ln 4 2
1n1 x 2 n1 , n4
n 1
7) x
2 1
n 1
n
4) 1
1n1 n 1 x n ,
6)
R ;
n!
n2
R 2;
2
3 2n 1 x2n1,
R 1;
n 1
n 1
4n 2 1
2n 3!! x n 2 , R 1; x2 2 n 2 2n !!
x 2 n1 , R 1;
2n 3 !! 1 3 5 ... 2n 5 2n 3 jelölés : 2n !! 2 4 6 ... 2n 2 2n
XVIII. A parciális törtekre bontás módszerét alkalmazva határozza meg az alábbi függvények 0 pont körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor konvergencia sugarát!
1) f x 4) f x
5x 4 ; x2 x
1 ; x 2x 3 1 5) f x ; 5 4 x2 x4 2) f x
x 1 x 2 1
;
3) f x
2
6) f x
5 2x ; x 5x 6 1 2
1 x2
XVIII. Megoldások 1) 2
7 1
n 1
3)
2
n 0
n 1
2
n
n 1
x n , R 2;
n 1
3
2)
4 1 1
n 1
n 1 3 x n , R 1;
n 0
x , R 2; n
1 5 n1 x 2 n , R 1; 5) 6 n 0
4)
n 0
1n 2n 1 1 x n , 4
1 1 6) 1 n 1 4 n 0 5
n
R 1;
x 2 n , R 1;
x2 4
;
XIX. Határozza meg az alábbi integrálfüggvények 0 pont körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor konvergencia sugarát!
1 ch t 2) dt; t 0
x
1)
t
x
2
sh tdt;
0 x
4)
0
x
1 1 t4
dt;
5)
0
x
arctg t dt; t 0
3)
1
t 1 t4
dt;
3t
ln 3 t dt;
6)
x
XIX. Megoldások 1)
1
2 n 2 2n 1! x2n4 ,
R ;
2)
n 0
3)
5)
1n x 2n1 , R 1; 2 n 0 2n 1 n 1 2n 1 !! 4 n 2 x2 x , 2 n1 2n1 n ! 2n 1
1 1 x 2 n , R ; 2 n 1 n 2n !
2n 1!! x 4 n1, n 1 2n !! 4n 1
4) x
R 1;
2n 1 !! 1 3 5 ... 2n 3 2n 1 jelölés : 2n !! 2 4 6 ... 2n 2 2n
R 1;
1 x 2 n 2 , R 3; 2 n 1 n 0 n 1 2n 1 3
6) 10 ln 2 5ln 3 x ln 3
XX. Határozza meg az alábbi lineáris differenciálegyenletekre vonatkozó kezdeti érték problémák megoldását hatványsor alakjában, majd a sor összegzésével adja meg a megoldásfüggvényt! 1) y y 0, y 0 1;
2) 1 x 2 y 1 0, y 0 0; 3) y 2 y 0; y 0 0, y 0 ;
5) 1 x y 5 xy 4 y 0, y 0 1, y 0 0; 4) 1 x 2 y xy 0, y 0 0, y 0 1; 2
XX. Megoldások
xn 1) y ex ; n 0 n !
3) y 1 n 0
n
2 n1 2 n 1 x sin x; 2n 1!
22 n n ! 2 n 5) y x ; n 0 2n !
2
x 2 n1 2) y 1 arctg x; 2n 1 n 0
n
2n ! x 2 n1 arcsin x; 2 2n n 0 2 n ! 2n 1
4) y
XXI. A hatványsorok deriválására és integrálására vonatkozó tétel segítségével illetve nevezetes Taylor-sorokra történő visszavezetéssel összegezze az alábbi függvénysorokat! ln n x 1) ; n 0 n !
2)
nxn1;
5)
n n 2 xn ;
8)
4)
xn 3) ; n 1 n
2n n !
n 0
n 1
7)
1n ln n x ;
2n 1 xn ;
n 1
6)
n 0
n 1
n 1
n 1 n n 1 x n ;
x2n ; 2n 1
3n 1 3n x ; n 0 n !
9)
n 1
n 1 2
10)
2n n ! x n ;
n 0
XXI. Megoldások
1)
S x x, x 0;
4) S x 6) S x 8) S x
x2
1 x
2
2) S x
1 x
1 x
5) S x
, 1 x 1;
arctg x 1, 1 x 1; x 2x
1 3) S x ln , 1 x 1; 1 x
1 , x 0; x
7)
, 1 x 1;
1 x 2 x 3 x S x , 1 x 1; 1 x 3
9) S x 1 3x3 e x , x R;
, 1 x 1; 3
3
x x2 10) S x 1 e x 2 , x R; 2 4
XXII. Egy alkalmas Taylor-sorra történő visszavezetéssel határozza meg az alábbi numerikus sorok összegét!
n2 1) ; n 1 n !
2n n 1 2) ; n! n 0
3)
1 1 1 3 1 1 3 5 1 5) 1 ...; 2 3 24 5 246 7
1n n ; n 0 2n 1 !
4)
n2
3n ; n 1
1 1 3 1 3 5 6) 1 ...; 2 24 246
XXII. Megoldások: 1) S 2e; 2) S 3e2 ; 3) S
1 3 1 cos1 sin1 ; 4) S ; 5) S ; 6) S ; 2 2 2 2
XXIII. Egy alkalmas Taylor-sor felhasználásával határozza meg a következő függvényértékeket közelítőleg 10 – 4 pontossággal! 1) cos1;
2) sin10;
XXIII. Megoldások:
3)
3
130;
4) ln1, 2
1) 0,9998; 2) 0,1736; 3) 5,0658; 4) 0,1823;
XXIV. Az alábbi feladatokban alkalmazza a megfelelő Taylor-sort közelítő értékek meghatározására!
közelítő értékét három tizedes pontossággal az f x arcsin x függvény x0 = 0 6 pont körüli Taylor-sorának felhasználásával. 1) Határozza meg
2) Hány tagot kell figyelembe venni az f x cos x függvény Taylor-sorából, hogy a cos18° függvényértéket három tizedes pontossággal kapjuk? 3) Hány tagot kell figyelembe venni az f x sin x függvény Taylor-sorából, hogy a sin15° függvényértéket négy tizedes pontossággal kapjuk? 4) Hány tagot kell figyelembe venni az f x e x exponenciális függvény Taylor-sorából, hogy az e Euler-féle állandó értékét négy tizedes pontossággal kapjuk? 5) Hány tagot kell figyelembe venni az f x ln 1 x függvény Taylor-sorából, hogy az ln2 függvényértéket kettő illetve három tizedes pontossággal kapjuk? 6) Számítsa ki
3
7 közelítő értékét két tizedes pontossággal az f x 3 8 x függvény 0-körüli Taylor-
sorának felhasználásával. 7) Mutassa meg Taylor-sorfejtés alkalmazásával a ennek felhasználásával adja meg
a2 x a
x közelítő formula helyességét, majd 2a
23 közelítő értékét és számítson hibát!
8) Számítsa ki 4 19 közelítő értékét három tizedes pontossággal!
XXIV. Megoldások 3
5
1 1 1 1 1 3 1 1 1) 0,523 ; 6 2 2 3 2 24 5 2
helyettesítésével ; 2) Elég két tagot figyelembe venni; 18 10
helyettesítésével ; 3) Elég két tagot figyelembe venni; 15 12 7
1 ; n 1 n !
4) Nyolc tagot kell figyelembe venni: e 1
5) Rendre 99 db illetve 999 db tagot kell figyelembe venni az előírt pontossághoz. 6) 1,92; 7) 4,8; a hiba: R 0,005 ; 8) 2,087;
1
XXV. Az integrandus 0-körüli sorfejtésével számítsa ki az alábbi függvények
f x dx határozott 0
integrálját 10
–3
pontossággal!
1) f x cos x 2 ;
2) f x
XXV. Megoldások:
sh x ; x
3) f x
1 1 x4
;
1) 0,905; 2) 1,057; 3) 0,927;
XXVI. Számítsa ki a következő határozott integrálok értékét 10 – 3 pontossággal! 12
2
ex 1) dx; x 1
2)
0
XXVI. Megoldások:
arctg x dx; x
10 ln
3)
5
1 x dx; 2
x
2
12
4)
0
arcsin x dx; x
1) 3,057; 2) 0,488; 3) 0,384; 4) 0,507;
3. Fourier-sorok XXVII. Fejtse trigonometrikus Fourier-sorba az alábbi periodikus függvényeket! A megadott intervallum minden esetben a függvény egy periódusa.
1)
a, 0 x ; f x a, x 0;
3)
3x, 0 x ; f x 2 x, x 0;
4)
5)
f x x ; 1 x 1;
6)
7)
f x x sgn x; x ;
8)
9)
f x x3 ; x ;
11) f x e ; 13) f x x sin x;
A, 0 x l ; f x A / 2, x l ; a 0, 2l intervallumon 0; l x 2l ; bx, 0 x ; f x ax, x 0; f x 2 x 2 ; x ;
10) f x e ax ; (a 0)
x ;
12) f x sin ax; (a Z)
x ;
2x
f x x ; x ;
2)
x ; 2 2
14) f x x cos x;
x ;
x ;
XXVII. Megoldások 1) f x
4a sin 2n 1 x 2n 1 ; n 0
2) f x 2 1 n 1
5 n cos nx n sin nx 5 1 1 1 ; 2 4 n n n 1
4) f x
A 2A 1 2n 1 sin x; 2 n 1 2n 1 l
6) f x
b a
7) f x
2 1 1 1 sin nx; n 1 n
b a 1 1
n 1
12 22 9) f x 1 3 sin nx; n n 1 n
5) f x n
n
1 4 2 2
cos 2n 1 x
n 1
2n 12
;
cosnnx 1 a b sinnnx ; n
2
n 1
sin nx ; n
3) f x
4
n 1
8)
f x
n 1
1 22 4 3 n2 n 1
cos nx;
n 1 1 2 ; 10) f x sh a 2 a cos nx n sin nx 2a n 1 a n 2
2 e2 1 4 1 e 1 2 sin a n 11) f x cos nx ; 12) f x 1n1 2 2 sin nx; 2 2 n1 n 4 n 1 n a n
n 1
1 cos nx; cos x 13) f x 1 2 2 2 n2 n 1
14) f x
16 n 1n1 2 2 sin 2nx; n1 4n 1
XXVIII. Fejtse komplex Fourier-sorba az alábbi periodikus függvényeket! A megadott intervallum minden esetben a függvény egy periódusa. 1)
1, 0 x ; f x 1, x 0;
1, 0 x 1; 3) f x 0, 1 x 3;
5)
7)
L 1, 0 x 2 ; f x 1, L x 0; 2 1, 0 x T ; f x 0, T x 2;
2)
f x e x ; x ;
4)
cos x, 0 x 2 ; f x 0, x ; 2
6)
f x ch( x 1); x 0, 2 ;
8)
f x sin x; x 0, 2 ;
XXVIII. Megoldások
2i e 1) f x ; n 2n 1
sh 1 inx 2) f x e ; n 1 in
1 1 1 ei 2 n 3 i 2 nx 3 3) f x n e ; 3 2i n
1 2ni 1 2inx 4) f x e ; n 1 4n 2
i 2 n 1 x
n
n0
2
1 ein in L x f x e ; in n
5)
6) cn
n0
7)
n
sh 1 1 n 2 2
;
i e inT 1 1 inx f x T e ; 2 n n n0
8) cn
1 ein ein 1 1 eix eix 0 ha n 1; c , c ; azaz f x ; 1 1 2 n 2 1 2i 2i 2i
