SOLUSI OPTIMAL MODEL STOKASTIK SISTEM PERSEDIAAN DENGAN PERMINTAAN YANG BERGANTUNG PADA STOK MENGGUNAKAN PENDEKATAN SIMULASI MONTE CARLO Liem Chin; Agus Sukmana Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan Jl. Ciumbuleuit 94 Bandung 40141
[email protected];
[email protected]
ABSTRACT Inventory management is one important component of a supply chain system. Economic Order Quantity (EOQ) model is often used to describe an inventory management system where customer demand is deterministic with a fixed amount every time. However, many cases that can not be handled by the EOQ model, for instance is a case where customer demand is stochastic. This study focused on the inventory model in which the demand for goods (items) are not constant but has a non-linear form that is dependent on available stock. Benkherouf et al. (2001) have provided a closed-form of the optimal solution for inventory replenishment model with stochastic demand. However, the model is quite difficult to calculate. Therefore, in this study we provide another alternative by Monte Carlo simulation to find the optimal solution. Keywords: inventory control, Monte Carlo simulation, stochastic model
ABSTRAK Pengelolaan persediaan adalah salah satu komponen penting dari suatu sistem rantai pasok. Model EOQ digunakan untuk mendeskripsikan suatu sistem pengelolaan persediaan di mana permintaan pelanggan bersifat deterministik dengan jumlahnya tetap setiap saat. Namun, banyak kasus yang tidak dapat ditangani oleh model EOQ, antara lain kasus di mana permintaan pelanggan bersifat stokastik. Penelitian ini difokuskan pada model persediaan di mana pemintaan barang (items) tidak konstan tetapi memiliki bentuk non-linear yaitu bergantung pada stok yang tersedia. Benkherouf et al. (2001) telah memberikan closed-form mengenai solusi optimal dalam penambahan persediaan kembali untuk model persediaan dengan permintaan yang bersifat stokastik. Ternyata untuk mencari solusi model tersebut cukup sulit. Oleh karena itu, dalam penelitian ini kami memberikan cara alternatif untuk mencari solusi optimal model yaitu menggunakan simulasi Monte Carlo. Kata kunci: pengelolaan persediaan, simulasi Monte Carlo, model stokastik
38
Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 38-45
PENDAHULUAN Pengelolaan persediaan merupakan salah satu komponen penting dari suatu sistem rantai pasok (supply-chain). Pengelolaan persediaan bertujuan memberikan jaminan kecukupan pasokan sesuai dengan permintaan pelanggan dengan biaya pengelolaan minimum. Model persediaan dapat digunakan untuk memperoleh gambaran mengenai sistem persediaan yang dikelola. Beberapa model dasar sistem persediaan yang banyak dibahas dalam literatur antara lain: Economic Order Quantity (EOQ), Newsboy, periodic review. Model EOQ digunakan untuk mendeskripsikan suatu sistem pengelolaan persediaan di mana permintaan pelanggan bersifat deterministik dengan jumlahnya tetap setiap saat. Model ini populer digunakan oleh para praktisi karena mudah dipahami untuk tujuan ingin memperoleh gambaran global dari suatu sistem pengelolaan persediaan. Namun demikian banyak kasus yang tidak dapat ditangani oleh model EOQ seperti misalnya permintaan pelanggan bersifat stokastik. Sehingga kemudian dikembangkan model dasar persediaan untuk berbagai jenis permintaanyang lebih mendekati situasi nyata. Penelitian ini difokuskan pada model persediaan stokastik di mana pemintaan barang memiliki bentuk non-linear, yaitu bergantung pada stok yang tersedia. Sebagai ilustrasi keadaan nyata, misalkan pada toko buku ada situasi di mana permintaan pelanggan untuk buku tertentu bergantung pada berapa banyak jumlah jilid buku yang dipajang (display) di toko buku tersebut. Artikel yang membahas fenomena ini antara lain Benkherouf, Boumenir, & Aggoun (2001). Beberapa penelitian tentang model persediaan untuk permintaan yang memiliki karakteristik tersebut antara lain: (1) Sana & Chaudhuri (2003, 2004) yang membahas model dengan permintaan bergantung pada stok dan memuat sebagian barang dengan kondisi rusak; (2) Pal, Bhunia, & Mukherjee (2005) juga membahas model dengan permintaan bergantung pada stok yang mereka uraikan pengaruhnya pada tiga komponen biaya; (3) Soni & Shah (2008) mengaitkan permintaan bergantung stok dengan cara pembayaran berbunga progresif. Ketiga artikel tersebut mengasumsikan permintaan bersifat deterministik sehingga kita dapat mengetahui dengan tepat berapa besar permintaan setiap saatnya. Chung (2003) membahas algoritma dan aspek-aspek komputasi dari model persediaan jenis tersebut. Sedangkan untuk jenis permintaan yang bersifat stokastik antara lain dibahas oleh Benkherouf et al. (2001). Benkherouf et al. (2001) telah memberikan closed-form mengenai solusi optimal dalam penambahan persediaan kembali untuk model persediaan dengan permintaan yang bersifat stokastik. Namun untuk mencari solusi model tersebut tidaklah mudah. Oleh karena itu, pada penelitian ini kami memberikan suatu alternatif untuk mencari solusi optimal tersebut, yaitu dengan simulasi Monte Carlo yang diharapkan lebih mudah untuk diperoleh. Pertanyaan penelitian yang ingin dijawab adalah: (1) apakah pendekatan simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk mencari solusi model Benkherouf et al. (2001)?; (2) bagaimana kinerja prosedur pencarian solusi model melalui pendekatan simulasi Monte Carlo?
METODE Persediaan Stokastik Model persediaan stokastik yang bergantung pada stok, secara matematis dituliskan sebagai berikut (Benkherouf et al., 2001: 318):
Solusi Optimal Model …... (Liem Chin; Agus Sukmana)
39
(1) di mana:: (a) xt menyatakkan tingkat persediaan p baarang (jumlah h barang yanng tersisa padda saat t), (b) I(.) adalah variabel v indiikator bernilaai 0 atau 1, (c) δ adalah funngsi delta diirac, (d) g > 0 adalahh konstanta yang y menyattakan laju peenurunan perrsediaan, (e) σ > 0 adalaah volatilitas,, (f) adalah parameter p berrnilai , (g) {wt} adalah gerak Brown baku, (h) b peemesanan/peengadaan yan ng dilakukann pada saat . adalah banyaknya IInterpretasi umum u dari model m (1) addalah perubaahan persediiaan bergantuung pada ko omponen: laju perm mintaan g koonstan, laju permintaan p b bergantung stok , dan fluktuasi permintaaan dengan variabilitas takkonstaan. Nilai x(t (t) bernilai poositif bila ad da barang yanng tersisa di gudang, x(t) t) bernilai nol bila barang habiis, dan x(t) bernilai b negaatif bila perm mintaan mellebihi stok bbarang dan nilai n |x(t)| menyataakan kekuranngan perminttaan barang yang tidak dapat d dipenuuhi. Model bbergantung pula p pada kebijakaan untuk meenangani kekkurangan, appakah kebijaakan back-order atau llost-sales. Kebijakan K back-ordder bila pelaanggan berseedia menungggu dan bilaa barang baru ru telah tiba,, permintaan n tersebut akan diddahulukan untuk u dipenuuhi. Sedangkkan bila meenggunakan kebijakan llost-sales, pelanggan p diasumsiikan tidak bersedia menunggu m seehingga kek kurangan peermintaan m merupakan hilangnya h kesempaatan memperroleh keuntunngan. Pada persamaan p (1), laju perubbahan tingkatt persediaan pada p saat t (dituliss dxt ) akibaat dari adannya permintaaan pelanggaan dan sejumlah barangg baru masu uk dalam gudang. Nilai dxt berrgantung padda laju permiintaan , di m mana I(.) meenyatakan variabel indikator. Bila a = 0, keadaan ini menunjukkan bahwa laaju permintaaan konstan sebesar s g yang meerupakan kondisi sesuai asumsi moddel EOQ. Bila a > 0 daan , menyataakan laju permintaaan bergantuung pada sttok. Varibeel indikator I(.) untuk membatasi ekspresi maatematika tersebut hanya berlaaku bila tingkkat persediaaan bernilai positif. p Perm mintaan berjeenis stokastiik artinya jumlah permintaan p s setiap saat bervariasi b dann bersifat accak. Variasi permintaan tersebut dap pat tetap , daapat diinterp atau berrubah-ubah. Sedangkan bila dan pretasikan sebagai laju perminntaan. Selaain itu moddel (1) men nyatakan seccara implisitt bahwa kek kurangan ) tidak berpengaaruh terhadaap permintaaan. Sebagai gambaran mengenai m persediaaan (saat perilaku model persedian terseebut, lihat Gambar G 1 yang y merupaakan hasil ssimulasi darri tingkat , persediaaan dengan parameter-parrameter sebaagai berikut: g = 20, a = 20, , dan perioode waktu yaang disimulaasikan selama setahun.
40
Jurn nal Mat Stat, Vol. V 12 No. 1 Januari 2012: 38-45
Gambbar 1. Contoh tingkat persed diaan hasil sim mulasi.
Selanjutnnya, untuk sttruktur biayaa (cost) pada model perseediaan, diasuumsikan sebaagai berikut: (a). Faaktor diskon adalah , dengan d . (b). Biiaya penyimppanan adalahh:
dan (c). (d).
.
Biiaya setup (ssetup cost) addalah k, denggan Biiaya per unitt item adalahh c, dengan
. .
Berdasarrkan pemodeelan persediaaan dan struuktur biaya di d atas, dapaat diperoleh solusi optim mal untuk penambaahan perseddiaan yang direduksi menjadi m massalah mencaari barisan V* yang memenuhi m (Benkheerouf, et al., 2001:318): 2
(2) dengan
Untuk mencari m solussi yang memenuhi (2) tenntu saja tidak k mudah. Olleh karena ituu, pada peneelitian ini, solusi terrsebut akan dicari d melaluui pendekatann simulasi Monte M Carlo.
Solusi Optimal Op Mode el …... (Liem Chin; Agus Sukmana) S
41
Misalkann peubah accak X dengann dan yanng tidak dikketahui. Berrdasarkan hukum bilangan b besar (law of laarge numberr), rata-rata sampel s meruupakan hamppiran yang baaik untuk mean (raataan), yaitu jika merrupakan peub bah acak yanng berdistribuusi identik dan d saling bebas deengan X, makka (3) adalah hampiran h yanng baik untuuk a. bias untuuk b adalah
addalah penakssir tak bias untuk u a. Seddangkan pen naksir tak
(4) Karena menggunakaan simulasi Monte Carllo, maka infimum dapaat diganti deengan minim mum dan m an metode traapesium. dihituung dengan menggunaka
integral
Simulassi Monte Carlo C P Penelitian inni diawali deengan mengeembangkan prosedur p sim mulasi Monte Carlo untuk k mencari solusi opptimal dari model yang telah diajukkan sebelum mnya oleh Beenkherouf ddkk. (2001). Prosedur tersebut kemudian di-coding agar dapatt dieksekusii dengan menggunaka m an program Matlab. Selanjutnnya dilakukaan eksperimeen sederhanaa untuk melih hat kinerja prosedur penccarian solusi tersebut. Berdasarrkan analisiss terhadap keluaran k darri program Matlab yanng telah diulang 200 kaali, kami mengkajji kualitas prrosedur tersebbut dalam menemukan m solusi s optimaal model. Berikut adalah prosedur yang diuusulkan untukk mencari soolusi persamaaan (2) meng ggunakan peendekatan sim mulasi Monte Carlo: (1) masuukkan param meter-parameeter berikut inni. (a). Biaya B kekuraangan (b). Biaya B penyim mpanan . (c). Faktor F diskoon . . (d). Biaya B setup (e). Biaya B per unnit item . (f). Parameter P dan . (g). Waktu W pengaamatan T (daalam tahun). (h). M: M waktu peemesanan kem mbali. M yaang digunakaan adalah: 1, 2, 3, 4, 6, daan 12 bulan. (i). N: N banyaknyya selang wakktu selama periode p pemeesanan kembali. (j). sim: s banyaknnya simulasi. (2) set suku1 s = 0, suuku2 = 0, maatriks x berukkuran (3) Banggkitkan bilanngan acak beerdistribusi normal n baku sebanyak s (4) untuuk , lakukan: , hitung (a) jika j
. bbuah. dan
. (b) jjika (i) (ii)
42
, hitung: . .
Jurn nal Mat Stat, Vol. V 12 No. 1 Januari 2012: 38-45
((iii) ( (iv) (c) jjika (i)
dan dan
.
, hitung: .
(ii) ( (iii) ( (iv)
(d) Hitung H suku1, yaitu (5) (6) (7) (8) (9)
.
. dan dan
. .
dengan menggunakan m n metode trappesium.
s hasillnya dalam variabel v ytem mp. hitunng jumlah daari suku1 dann suku2 dan simpan ulanngi langkah 2 hingga langgkah 5 sebanyyak sim kali (yaitu banyaaknya simulaasi). hitunng mean darii ytemp. ulanngi langkah 2 hingga langgkah 7 untuk sebanyak niilai q yang diibutuhkan. ulanngi langkah 2 hingga lanngkah 8 untuuk waktu peemesanan yaang berbeda (pada penellitian ini, wakttu pemesanaan kembali diigunakan: 1, 2, 3, 4, 6, daan 12 bulan sekali). s
Simulasi di atas dilakuukan dengann bantuan program p Maatlab 2007. Adapun haasil yang ditampilkan dari sim mulasi tersebuut adalah graafik biaya to otal per tahunn (y) terhadaap tingkat peemesanan kembali (Q) dengann waktu pem mesanan kem mbali bervariasi antara saatu bulan, duua bulan, tig ga bulan, empat buulan, enam bulan, b dan 122 bulan. Sellain itu, ditam mpilkan pulaa biaya minim mum per tah hun untuk periode pemesenan p y yang bervariaasi tersebut.
H HASIL DA AN PEMB BAHASAN N Solusi Optimal (a) (b) (c) (d)
Pada bagian ini diberikann contoh num P merik hasil siimulasi denggan parameteer sebagai beerikut: g = $ 100.000, a = $ 20, p = $ 5, q = $ 2, , k = $ 100, c = $ 20; wakktu pengamaatan: T = 10 tahun t (dibataasi karena tid dak mungkin diambil T taak hingga); wakktu pemesanaan kembali: 1, 2, 3, 4, 5,, 6 dan 12 bu ulan; bannyaknya simuulasi: 200.
Situasi pertaama yang akan diamati adalah a bagaim mana perbeddaan penggunnaan model stokastik dibandinngkan dengann model deterministik, di d mana peng garuh stok teerhadap perm mintaan dim munculkan namun dengan d efek yang sangaat kecil (β = 0,01). Darri hasil perbaandingan biaaya total pen ngelolaan persediaaan, dengan model m stokastik lebih reendah daripad da model deeterministik ttapi penghem matannya sangat kecil k , yaitu sekitar USD 1-4 dari ordee biaya total sekitar US$ 1,25 juta (lihat Tabel 1). Namun, dari hasiil ini juga dapat d dilihat bahwa wakttu antar pen ngadaan baraang selama 112 bulan (sattu tahun) sekali memberikan m b biaya yang paaling murah dibandingan n dengan yang lainnya.
Solusi Optimal Op Mode el …... (Liem Chin; Agus Sukmana) S
43
Tabel 1 Rangkuman Solusi Optimal untuk Skenario β = 0,01 ; σ = 0 atau 5
β = 0,01 σ = 5
β = 0,01 σ = 0
Waktu antar pengadaan (dalam bulan) 1
2
3
4
6
12
Q optimal
8.058 unit
15.609 unit
22.783 unit
29.451 unit
42.230 unit
75.015 unit
Biaya Total ($)
1.261.493
1.257.826
1.254.658
1.251.777
1.246.651
1.235.015
Q optimal
8.053 unit
15.611 unit
22.758 unit
29.526 unit
42.242 unit
75.028 unit
Biaya Total ($)
1.261.491
1.257.822
1.254.657
1.251.777
1.246.650
1.235.013
Berikutnya, situasi yang akan diamati adalah bagaimana perbedaan penggunaan model stokastik dibandingkan dengan model deterministik, di mana pengaruh stok terhadap permintaan dimunculkan tapi dengan efek sedang (β = 0,5). Strategi optimal (lihat Tabel 2) untuk situasi ini adalah melakukan pengadaan persediaan secara regular setiap enam bulanan dengan Qoptimal = 40.817 unit (deterministik) atau Qoptimal = 40.741 unit (stokastik). Berbeda dengan situasi sebelumnya, disini model stokastik tidak selalu memberikan biaya pengelolaan persediaan yang lebih rendah dibandingkan dengan model deterministik. Tabel 2 Rangkuman Solusi Optimal untuk Skenario β = 0,5 ; σ = 0 atau 5
β = 0,5 σ = 5
β = 0,5 σ = 0
Waktu antar pengadaan (dalam bulan) 1
2
3
4
6
12
Q optimal
7.948 unit
15.314 unit
22.191 unit
28.813 unit
40.817 unit
70.079 unit
Biaya Total ($)
1.263.620
1.261.098
1.258.849
1.256.766
1.253.009
1.320.289
Q optimal
7.936 unit
15.306 unit
22.190 unit
28.779 unit
40.741 unit
70.084 unit
Biaya Total
1.263.618
1.261.096
1.258.849
1.256.765
1.253.009
1.320.292
Terakhir, situasi yang akan diamati adalah bagaimana perbedaan penggunaan model stokastik dibandingkan dengan model deterministik, di mana pengaruh stok terhadap permintaan dimunculkan dengan efek besar (β = 0,95). Strategi optimal (lihat Tabel 3) untuk situasi ini adalah melakukan pengadaan persediaan secara regular setiap bulan dalam satu tahun periode perencanaan. Tabel 3 Rangkuman Solusi Optimal untuk Skenario β = 0,95 ; σ = 0 atau 5 1
2
3
4
6
12
β = 0,95 σ = 0
Q optimal
7.649 unit
13.760 unit
18.126 unit
28.779 unit
12.610 unit
5.869 unit
Biaya Total ($)
1.275.835
1.285.005
1.293.490
1.301.547
1.313.869
1.320.289
β = 0,95 σ = 5
Waktu antar pengadaan (dalam bulan)
Q optimal
7.635 unit
13.762 unit
18.132 unit
23.252 unit
12.616 unit
5.875 unit
Biaya Total ($)
1.275.833
1.285.003
1.293.488
1.301.548
1.313.867
1.320.292
44
Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 38-45
PENUTUP Dari hasil uji coba terhadap prosedur pencarian solusi melalui simulasi Monte Carlo yang kami lakukan, dapat disimpulkan bahwa bila diterapkan terhadap situasi stokastik dengan parameter volatilitas rendah, solusi untuk model stokastik hampir sama dengan solusi untuk model deterministik yang bergantung pada stok. Karena pada situasi ini parameter volatilitas permintaan tidak memberikan efek pada fluktuasi permintaan secara berarti. Kemudian bila diterapkan terhadap situasi stokastik dengan parameter volatilitas cukup tinggi, solusi untuk model stokastik berbeda dengan solusi untuk model deterministik yang bergantung pada stok. Pada situasi ini parameter volatilitas permintaan memberikan efek pada fluktuasi permintaan secara berarti. Terjadi penghematan bila digunakan model stokastik, namum penghematannya masih kurang berarti nilainya dibandingkan dengan biaya total pengelolaan persediaan. Selanjutnya solusi optimal sulit untuk diprediksi dicapai pada periode waktu antar pengadaan dengan panjang interval berapa bulan, karena sangat bergantung pada pemilihan parameter model. Solusi yang diperoleh pada umumnya “make sense”. Secara umum dapat disimpulkan bahwa prosedur simulasi Monte Carlo yang dirancang dapat membantu mencari solusi optimal model secara lebih mudah dan interpretasinya cukup “make sense” dibandingkan dengan solusi umum secara analitik dari (Benkherouf et al., 2001). Kami mengucapkan terimakasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Katolik Parahyangan yang telah mendanai penelitian ini.
DAFTAR PUSTAKA Benkherouf, L., Boumenir, A., & Aggoun, L. (2001). A Stochastic Inventory Model with Stock Dependent Demand Items. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 14(4), 317328. Chung, K.. (2003). An Algorithm for an Inventory Model with Inventory-Level-Dependent Demand Rate. Computers & Operations Research, 30, 1311-1317. Pal, A. K., Bhunia, A. K., & Mukherjee, R. N. (2005). A Marketing-Oriented Inventory Model with Three-Component Demand Rate Dependent on Displayed Stock Level (DSL). Journal of the Operational Research Society, 56(113-118). Sana, S., & Chaudhuri, K. S. 2003. On a Volume Flexible Stock-Dependent Inventory Model. Advanced Modeling and Optimization, 5(3), 197-210. Sana, S., & Chaudhuri, K. S. 2004. A Stock-Review Model with Stock-Dependent Demand, Quadratic Deterioration Rate. Advanced Modeling and Optimization, 6(2), 25-32 Soni, H., & Shah, N. H. (2008). Optimal Ordering Policy for Stock-Dependent under Progressive Payment Scheme. European Journal of Operational Research, 184, 91-100.
Solusi Optimal Model …... (Liem Chin; Agus Sukmana)
45
