PEMANFAATAN SIMULASI MONTE CARLO PADA OPSI KEUANGAN

Bab IV Pemanfaatan Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Keuangan

BAB IV

PEMANFAATAN

SIMULASI

MONTE

CARLO PADA OPSI KEUANGAN

4.1 Program GUI Simulasi Monte Carlo untuk Menilai Opsi Keuangan. Berikut adalah tampilan dari program GUI Simulasi Monte Carlo untuk Menilai Opsi Keuangan yang telah dibuat berdasarkan Tugas Akhir ini:

Gambar 4. 1

tampilan GUI Matlab Penentuan Harga Opsi dengan simulasi Monte Carlo

Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo

31


Pada kotak Input terdapat kolom-kolom untuk memasukkan inputan dari Opsi keuangan. Inputan pertama adalah Style. Pada inputan Style ini terdapat 4 macam inputan yang harus diisi, yaitu: inputan jenis opsi Eropa atau Amerika, inputan jenis opsi call atau put, inputan jenis opsi standar atau exotic (Asia, Barrier, atau Lookback), dan inputan jenis untuk masing-masing opsi exotic. Opsi Asia terdiri dari : aritmatik average asset, aritmatik average strike, geometrik average asset, dan geometrik average strike. Opsi Barrier terdiri dari : down and in, down and out, up and in, dan up and out. Opsi Lookback terdiri dari : fixed strike dan floating strike. Kolom-kolom inputan lain yaitu : Price, strike, interest rate, volatility, simulation, barrier (optional hanya untuk opsi barrier), dan kotak expiration. Pada kotak expiration ini terdapat 4 macam inputan yang akan saling mempengaruhi yaitu : starting date, expiration date, life, dan maturity.

Kotak Real Data adalah kotak pilihan untuk menentukan apakah kita akan menggunakan data saham real atau tidak. Jika check box di depan tulisan Historical volatility diaktifkan, maka kita diberi fasilitas untuk memasukkan data histori yang dapat di download langsung dari www.financial.yahoo.com. Hasil download dari situs tersebut disimpan dalam satu folder dengan program ini dan secara otomatis program akan mendeteksi nama dari saham yang telah didownload tersebut beserta data saham, data tanggal awal dan akhir pengambilan data. Untuk program ini, penulis mengatur program untuk mendeteksi harga saham hanya saat penutupan saja, tetapi untuk keperluan-keperluan tertentu program dapat diubah untuk mendeteksi harga saham yang lain. Jika check box diaktifkan maka secara otomatis kotak inputan volatility tidak dapat diedit, dan secara otomatis kotak ini akan berisi historical volatility dari data harga saham yang diminta.

Pada kotak output, terdapat kotak option price dan confidence interval, yang akan memberikan hasil penghitungan jika tombol calculate di tekan. Disamping itu


32


terdapat jg pilihan selang kepercayaan yang diinginkan yaitu : 80, 90, 95, 99 persen.

4.2 Simulasi Harga Opsi Eropa dan Amerika Misalkan diberikan data-data sebagai berikut :

1. Harga saham awal adalah 36$ 2. Strike price-nya adalah 40$ 3. Suku bunga tahunan tanpa resikonya adalah 6% −

jadi nilai diskontonya adalah 0.941765

4. Volatilitas pergerakan harga saham 20%

Hasil simulasi dapat dilihat pada lampiran I. Berikut adalah plot dari simulasi yang telah dilakukan. 1. Periode harga saham N = 50 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 50 4.7 B-S Eropa Binomial LSM biasa

4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

1000

2000

Gambar 4. 2

5000 10000 Jumlah Sampel

20000

100000

LSM tanpa Reduksi Variansi


33


Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 50 4.7 B-S Eropa Binomial LSM AV

4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

1000

Gambar 4. 3

2000


20000

100000

LSM dengan Reduksi Variansi antithetic variate

Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 50 5 B-S Eropa Binomial LSM CV

4.8

Opsi Put

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0

Gambar 4. 4

1000

2000


20000

100000

LSM dengan Reduksi Variansi control variate


34


2. Periode harga saham N = 100 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 100

5

B-S Eropa Binomial LSM biasa

4.8

Opsi Put

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0

1000

2000

Gambar 4. 5


20000

100000



4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

1000

Gambar 4. 6

2000


20000

100000



35


Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 100 4.7 B-S Eropa Binomial LSM CV

4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

1000

2000


20000

100000


Gambar 4. 7

3. Periode harga saham N = 200 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 200

5

B-S Eropa Binomial LSM biasa

4.8

Opsi Put

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0

1000

2000

Gambar 4. 8


20000

50000



36



4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

1000

2000


20000

50000


Gambar 4. 9

Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 200 4.7 B-S Eropa Binomial LSM CV

4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

1000

Gambar 4. 10

2000


20000

50000



37


4. Periode harga saham N = 500

Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 500 5 B-S Eropa Binomial LSM biasa

4.8

Opsi Put

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0

1000

2000

Gambar 4. 11


15000

20000



4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

Gambar 4. 12

1000

2000


15000

20000



38



4.8

Opsi Put

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0

1000

Gambar 4. 13

2000


15000

20000


5. Periode harga saham N = 1000 Least-Squares Monte Carlo, selang kepercayaan 95%, N = 1000 5 B-S Eropa Binomial LSM biasa

4.8

Opsi Put

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0

1000

2000

Gambar 4. 14


7500

10000



39



4.6 4.5

Opsi Put

4.4 4.3 4.2 4.1 4 3.9 3.8 0

1000

Gambar 4. 15

2000


7500

10000



4.8

Opsi Put

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0

1000

Gambar 4. 16

2000


7500

10000



40


Dari grafik-grafik di atas dapat dilihat bahwa metode Kuadrat Terkecil Monte Carlo memberikan hasil yang konvergen mendekati taksiran nilai Opsi Binomial seiring bertambahnya jumlah simulasi yang dipakai ( M ) .

Metode reduksi variansi dapat memperkecil kesalahan baku dari Metode Monte Carlo atau dengan kata lain dapat mempercepat kekonvergenan. Variansi reduksi antithetic variate memberikan hasil yang lebih baik yaitu dapat memperkecil kesalahan baku dari Metode Monte Carlo standar dengan rasio ≈ 2.8 . Sedangkan variansi reduksi antithetic variate memperkecil kesalahan baku Metode Monte Carlo standar dengan rasio ≈ 1.2 .

4.3 Metode Monte Carlo untuk opsi exotic Opsi Asia

Telah dilakukan simulasi penghitungan nilai opsi exotic dengan menggunakan metode Binomial dan penghitungan secara analitik oleh saudara Riswan Harapan dalam tugas akhirnya yang berjudul “PENENTUAN HARGA OPSI ASIA”. Pada kesempatan ini, akan dilakukan simulasi Monte Carlo untuk opsi asia dengan input seperti pada simulasi yang dilakukan oleh saudara Riswan Harapan, yaitu sebagai berikut: r = 0.09, σ = 0.2, saham awal = 100,

Time to maturity = 1/3, strike price = 95 (untuk tipe average value). Hasil dari simulasi Binomial dengan N=50 untuk Average strike call options eropa sebesar 3.51 dengan nilai eksaknya 3.51, sedangkan untuk harga opsi Put eropa sebesar 1.91. [1]


41


Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut:

M 10 100 1000 10000

C 3.94103 3.70135 3.37462 3.51784

Tabel 4. 1

Conf Int [2.10406,5.778] [3.18279,4.21991] [3.23763,3.51161] [3.47257,3.56311]

Asian Geometrik Average Strike Call Option

6 5.5

Call option

5

4.5

4 3.5

3

2.5

2

0

Gambar 4. 17

10

M 10 100 1000 10000 Tabel 4. 2

100

1000

10000

Simulation Asian Geometrik Average Strike Call Option

P Conf Int 2.19083 [0.946207,3.43545] 1.97254 [1.61211,2.33298] 1.78356 [1.68139,1.88573] 1.89333 [1.86003,1.92663] Asian Geometrik Average Strike Put Option


42


3.5

3

Put option

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Gambar 4. 18

10

100

1000

10000

Simulation Asian Geometrik Average Strike Put Option

Sedangkan untuk Average value call options eropa adalah sebesar 6.7543 dan untuk put adalah 0.5468.

Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M 10 100 1000 10000 Tabel 4. 3

C Conf Int 6.71666 [6.00867,7.43465] 6.90564 [6.63506,7.17623] 6.74924 [6.66672,6.83176] 6.7729 [6.74595,6.79985] Asian Geometrik Average Value Call Option


43


7.6 7.4 7.2

Call Option

7 6.8 6.6 6.4 6.2 6

0

Gambar 4. 19

M 10 100 1000 10000 Tabel 4. 4

10

100

1000

10000

Simulation Asian Geometrik Average Value Call Option

P Conf Int 0.469843 [-0.0992289,1.03891] 0.633185 [0.419115,0.847256] 0.52227 [0.457619,0.58692] 0.541223 [0.520156,0.562291] Asian Geometrik Average Value Put Option

1.2

1

Put option

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

Gambar 4. 20

10

100

1000

10000

Simulation Asian Geometrik Average Value Put Option


44


Opsi Barrier

Berdasarkan penghitungan yang telah dilakukan oleh saudara Aditya Rachman dalam buku Tugas akhirnya yang berjudul “PENENTUAN NILAI BARRIER OPTION TIPE EROPA DAN AMERIKA” adalah sebagai berikut:

Diberikan masukan: Masukan Harga saham saat t0 Maturity time Volatilitas Non-risk interest rate Nilai barrier (bawah)

Simbol S0

Nilai 95

T

r Blow

1 0.25 0.1 90

Strike price

K

100

Tabel 4. 5

σ

Input Down and Out Barrier Call Option

Dihitung down and out Call option (nilai barrier tetap) didapatkan nilai akurat analitik 5.9968. [7]

Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut:

M 10 100 1000 10000 Tabel 4. 6

C Conf Int 5.79023 [0.996843,10.5836] 7.22553 [5.45573,8.99532] 5.9079 [5.40914,6.40667] 6.07351 [5.91728,6.22975] Down and Out Barrier Call Option


45


12

Call option

10

8

6

4

2

0

10

0

Gambar 4. 21

100

1000

10000

Simulation Down and Out Barrier Call Option

Kemudian dengan masukan sebagai berikut : Masukan Harga saham saat t0 Maturity time Volatilitas Non-risk interest rate Nilai barrier (atas)

Simbol S0

Nilai 95

T

r Bup

1 0.25 0.1 125

Strike price

K

100

Tabel 4. 7

σ

Input Up and Out Barrier Put Option

Dihitung Up and Out Put Option dengan nilai barrier konstan didapatkan nilai akurat analitik 6.9859

Dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo didapatkan hasil sebagai berikut: M 10 100 1000 10000 Tabel 4. 8

P Conf Int 6.73949 [3.64297,9.83602] 7.54621 [6.60882,8.4836] 6.78318 [6.49028,7.07607] 6.94439 [6.8516,7.03916] Up and Out Barrier Put Options


46


10

9

Put option

8

7

6

5

4

3

0

10

Gambar 4. 22

100

1000

10000

Simulation Up and Out Barrier Put Options

4.4 Penggunaan data nyata pada Opsi Sekarang kita akan memakai program simulasi Monte Carlo untuk menghitung harga opsi di dunia nyata. Kita akan menggunakan data saham yang tersedia di internet, menghitung nilai historical volatility-nya, kemudian membandingkan hasil estimasi yang diperoleh dengan harga opsi yang terdapat di internet untuk beberapa strike price K dan berbagai waktu jatuh tempo T. Alamat website yang akan kita pakai adalah www.finance.yahoo.com dan www.cboe.com, dimana telah tersedia informasi-informasi harga opsi yang kita butuhkan.

Berikut adalah contoh penggunaan program simulasi Monte Carlo untuk menghitung harga opsi Yahoo! Inc. (YHOO) tanpa dividen. Sebelumnya, akan kita

lakukan

pengambilan

database

data

saham

dari

alamat

website

www.finance.yahoo.com. Kita ambil data saham harian Yahoo! Inc. Dari tanggal 18 Maret 2007 sampai dengan 14 September 2007, dimana pada selang waktu tersebut terdapat 125 hari perdagangan saham. Dari data ini, dapat dihitung


47


historical volatility-nya yaitu sebesar 0.3387. Kemudian, masih dari alamat website yang sama, kita dapat mengetahui informasi harga saham saat ini. Suku bunga yang dipakai adalah 4.75% sesuai dengan suku bunga di Amerika Serikat yang dapat dilihat pada alamat website www.tradingeconomics.com seperti tampilan berikut.

Gambar 4. 23

website interest rate


48


Pada saat pengambilan data saham awal ini, yaitu pada tanggal 19 September 2007 harga saham Yahoo! Inc. Adalah $25.06. Kita juga akan mendapatkan informasi waktu jatuh tempo, yaitu tanggal 21 September 2007, 19 Oktober 2007, 18 Januari 2008, 18 April 2008, 16 Januari 2009, dan 15 Januari 2010.

Opsi saham yahoo di atas merupakan Opsi Amerika, oleh karena itu simulasi dan perhitungan harga opsi dengan metode Monte Carlo berikut juga memakai aturan Opsi Amerika.


49


Jatuh tempo 21 September 2007

Pada alamat website akan didapatkan tampilan sebagai berikut :

Gambar 4. 24

Harga opsi jatuh tempo 21 September 2007


50


Sedangkan dengan simulasi monte carlo sebanyak 10000 simulasi harga saham

dengan

informasi-informasi

tersebut

diperoleh

hasil

sebagai

berikut: Opsi Call Strike

Harga Opsi

10.00

14.7

15.0598

[15.0476, 15.072]

12.50

12.20

12.5606

[12.5484, 12.5728]

15.00

8.70

8.7614

[8.7492, 8.7737]

17.50

7.00

7.56225

[7.55002, 7.57449]

20.00

5.00

5.00307

[4.99084, 5.01531]

22.50

2.50

2.5039

[2.49166, 2.51613]

25.00

0.33

0.330764

27.50

0.04

0

[0, 0]

30.00

0.05

0

[0, 0]

32.50

0.05

0

[0, 0]

35.00

0.05

0

[0, 0]

37.50

0.05

0

[0, 0]

Tabel 4. 9

Mean MC

Selang kepercayaan 95%

[0.323089, 0.338439]

Abs. Rel. error 0.024476 0.029557 0.007057 0.080321 0.000614 0.00156 0.002315 1 1 1 1 1

perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 21 September 2007

Opsi Put Strike

Harga Opsi


17.5

0.01

0

[0, 0]

20.00

0.01

0

[0, 0]

22.50

0.03

0

[0, 0]

25.00

0.30

0.278535

[0.256372, 0.300698]

27.50

2.60

2.58227

[2.54888, 2.61567]

30.00

5.40

4.96911

[4.93648, 5.00174]

Tabel 4. 10

Abs. Rel. error 1 1 1 0.07155 0.006819

0.079794 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 21 September 2007

Dapat kita lihat pada tabel hasil simulasi di atas bahwa simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 10, US$

12.5,dan US$ 17.5 untuk opsi call

sedangkan untuk opsi put gagal pada strike price US$ 30.00. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 17.5 yaitu sebesar 0.080321 pada call dan strike price US$ 30.00 sebesar 0.079794 pada put.


51


Jatuh tempo 18 Januari 2008

Gambar 4. 25

Harga opsi dengan jatuh tempo 18 Januari 2008


52


Berikut adalah hasil simulasi dengan Metode Monte Carlo untuk opsi yahoo di atas:

Opsi Call

Strike

Harga Opsi

Mean MC


10.00

14.30

15.2242

[15.1282, 15.3201]

12.50

14.67

12.7734

[12.6775, 12.8693]

15.00

10.10

10.3265

[10.2307, 10.4222]

17.50

7.90

7.91406

[7.81965, 8.00846]

20.00

5.70

5.63992

[5.55033, 5.72951]

22.50

3.90

3.86733

[3.79747, 3.9472]

25.00

2.45

2.4692

[2.40344, 2.53495]

27.50

1.35

1.37567

[1.32543, 1.42592]

30.00

0.75

0.7809

[0.744667, 0.817132]

32.50

0.3

0.282032

[0.256988, 0.307067]

35.00

0.15

0.130715

[0.11399, 0.14744]

40.00

0.10

0.0228294

[0.0157619, 0.0298969]

42.50

0.05

0.0101449

[0.0056, 0.01467]

45.00

0.05

0.0041

[0.0014, 0.00697]

50.00

0.05

0.000496

[-0.00041, 0.00141]

55.00

0.05

0

[0, 0]

60.00

0

0

[0, 0]

-

65.00

0

0

[0, 0]

-

Tabel 4. 11

Abs Rel. Error 0.064629 0.129284 0.022426 0.00178 0.01054 0.008377 0.007837 0.019015 0.0412 0.059893 0.128567 0.771706 0.797102 0.918 0.99008 1

perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 18 Januari 2008


53


Opsi Put

Strike

Harga Opsi

Mean MC


10.00

0.03

0

[0, 0]

12.50

0.05

0

[0, 0]

15.00

0.10

0

[0, 0]

17.50

0.2

0

[0, 0]

20.00

0.54

0

[0, 0]

22.50

1.05

0

[0, 0]

25.00

1.95

1.71772

[1.59155, 1.8439]

27.50

3.50

3.41923

[3.26921, 3.56925]

30.00

5.40

5.4152

[5.24587, 5.58453]

32.50

7.80

7.68478

[7.49304, 7.87652]

35.00

10.30

10.1557

[9.95598, 10.3554]

40.00

15.30

15.235

[15.0759, 15.3942]

45.00

20.00

19.9884

[19.8239, 20.153]

50.00

26.70

24.9626

[24.8886, 25.0365]

36.70

36.7078

[36.644, 36.7776]

60.00

Tabel 4. 12

Abs Rel. Error 1 1 1 1 1 1 0.119118 0.023077 0.002815 0.014772 0.023718 0.023856 0.00058 0.065071

0.048834 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 18 Januari 2008

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 10, US$ 12.5, US$ 15, dan US$ 35 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put gagal pada strike price US$ 25.00 dan US$ 50. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 12.5 yaitu sebesar 0.129284 pada call dan strike price US$ 25.00 sebesar 0.119118 pada put.


54


•

Jatuh tempo 18 April 2008

Gambar 4. 26

Harga Opsi dengan jatuh tempo 18 April 2008


55


Opsi Call Strike

Harga Opsi

10.00

20.15

12.50

16.65

15.00

15.00

17.50

12.75

20.00

10.05

22.50

8.00

25.00

5.60

30.00

2.22

32.50

0.87

35.00

0.36

37.50

0.08

40.00

0.07

Tabel 4. 13

Mean MC


Abs Rel. Error

20.0193

[19.9459, 20.0926]

0.006486

16.7329

[16.6595, 16.8063]

0.004979

15.0499

[14.9747, 15.1252]

0.003327

12.7824

[12.7013, 12.8634]

0.002541

10.07175

[9.97652, 10.16698]

0.002164

8.02496

[7.90703, 8.1429]

0.00312

5.6259

[5.48185, 5.76995]

0.004625

2.45925

[2.2922, 2.6263]

0.10777

0.9413

[0.79069, 1.09191]

0.081954

0.41692

[0.290173, 0.54367]

0.158111

0.082452

[-0.02049, 0.185392]

0.03065

0.095456

[0.013308, 0.177603]

0.363657

perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 18 April 2008

Opsi Put Strike

Harga Opsi

10.00

0.02

12.50

0.04

15.00

0.05

17.50

0.13

20.00

0.25

22.50

0.48

25.00

0.84

30.00

2.26

32.50

3.70

35.00

5.55

37.50

8.55

40.00

10.20

Tabel 4. 14

Mean MC


Abs Rel. Error

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

2.23997

[2.04894, 2.431]

0.008863

3.72043

[3.49833, 3.94252]

0.005522

5.58727

[5.34407, 5.83048]

0.006715

8.41306

[8.15045, 8.67568]

0.016016

10.4557

[10.1703, 10.7411]

0.025069

perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 18 April 2008


56


Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo gagal pada strike price US$ 10 dan US$ 30 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 10 yaitu sebesar 0.006486 pada call dan strike price US$ 40.00 sebesar 0.025069 pada put.


57


•

jatuh tempo 16 Januari 2009

Gambar 4. 27

Harga Opsi dengan jatuh tempo 16 Januari 2009


58


Opsi Call

Strike

Harga Opsi

10.00

19.50

12.50

16.75

15.00

14.80

17.50

12.65

20.00

10.20

22.50

7.95

25.00

6.30

30.00

3.21

32.50

2.01

35.00

1.16

37.50

0.58

40.00

0.30

45.00

0.15

Tabel 4. 15

Mean MC


Abs Rel. Error

19.9033

[19.5076, 20.299]

0.020682

16.7972

[16.3841, 17.2103]

0.002818

14.8472

[14.411, 15.2834]

0.003189

12.6579

[12.1972, 13.1186]

0.000625

10.2327

[9.7492, 10.7162]

0.003206

8.0021

[7.50069, 8.5036]

0.006553

6.58646

[6.07513, 7.0978]

0.04547

3.29656

[2.79236, 3.80075]

0.026966

2.40908

[1.91963, 2.89853]

0.198547

1.45159

[0.98048, 1.9227]

0.251371

0.7093

[0.25884, 1.15977]

0.222931

0.45601

[0.02709, 0.88493]

0.520033

0.24939 [-0.1368, 0.63559] 0.6626 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 16 Januari 2009

Opsi Put

Strike

Harga Opsi

10.00

0.06

12.50

0.23

15.00

0.30

17.50

0.50

20.00

0.85

22.50

1.21

25.00

1.83

30.00

3.66

32.50

5.00

Mean MC


Abs Rel. Error

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

1.83048

[1.5606, 2.10037]

0.000262

3.60601

[3.25156, 3.96047]

0.014751

5.18015

[4.78786, 5.57243]

0.03603


59


35.00

6.70

37.50

8.80

40.00

11.05

45.00

15.40

Tabel 4. 16

6.71625

[6.29899, 7.1335]

0.002425

8.7455

[8.2917, 9.1994]

0.006193

[10.6461, 11.6146]

0.007267

11.1303

15.5999 [15.0799, 16.1198] 0.012981 perhitungan Monte Carlo pada opsi put dengan jatuh tempo 18 Januari 2009

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo hanya mengalami gagal pada strike price US$ 10 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike price US$ 25 yaitu sebesar 0.04547 pada call dan strike price US$ 32.50 sebesar 0.03603 pada put.


60


•

jatuh tempo 15 Januari 2010

Gambar 4. 28

Harga Opsi dengan jatuh tempo 15 Januari 2010


61


Opsi Call

Strike

Harga Opsi

10.00

19.30

12.50

16.40

15.00

14.50

17.50

11.90

20.00

10.80

25.00

7.05

30.00

4.00

35.00

1.35

40.00

0.75

Tabel 4. 17

Mean MC


Abs Rel. Error

20.3183

[19.4706, 21.166]

0.052762

18.3693

[17.4996, 19.239]

0.120079

16.5706

[15.6804, 17.4608]

0.1428

11.9391

[11.0322, 12.8459]

0.003286

10.9777

[10.0593, 11.8961]

0.016454

7.0358

[6.1137, 7.9578]

0.002014

4.10393

[3.19957, 5.0083]

0.025983

1.59527

[0.72135, 2.4692]

0.181681

1.38962 [0.55173, 2.22751] 0.852827 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 15 Januari 2010

Opsi Put

Strike

Harga Opsi

10.00

0.31

12.50

0.35

15.00

0.69

17.50

0.93

20.00

1.30

25.00

2.58

30.00

4.50

35.00

7.20

40.00

11.25

Tabel 4. 18

Mean MC


Abs Rel. Error

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

0

[0, 0]

1

2.33627

[1.98963, 2.6829]

0.094469

4.32586

[3.90345, 4.74836]

0.038698

[6.974, 7.996]

0.039583

7.485

11.2525 [10.6824, 11.8227] 0.000222 perhitungan Monte Carlo pada opsi call dengan jatuh tempo 15 Januari 2010

Pada hasil simulasi di atas simulasi Monte Carlo mengalami gagal pada strike price US$ 10, US$ 12.5, dan US$15 untuk opsi call sedangkan untuk opsi put selalu berhasil. Sedangkan absolute relatif error terbesar diberikan oleh strike


62


price US$ 12.5 yaitu sebesar 0.120079 pada call dan strike price US$ 25.00 sebesar 0.094469 pada put.

Pada simulasi di atas disertakan pula perhitungan absolute relatif error dengan rumus [(Mean MC - Harga Opsi) / Harga Opsi]. Mean MC adalah nilai mean dari simulasi Monte Carlo sedangkan Harga Opsi adalah harga opsi ”yahoo” yang tertera pada website http://finance.yahoo.com.

Pada simulasi opsi call, nilai absolute relatif error terkecil adalah 0.00178 dan error terbesar adalah 0.212133. Pada opsi call, untuk strike price di bawah harga saham sekarang, absolute relatif error naik secara tajam karena dimungkinkan penentuan harga opsi pada website tersebut sudah tidak lagi mengikuti metode yang dipakai pada harga strike price yang lain.

Pada simulasi opsi put, absolute relatif error terkecil adalah 0.00058 dan absolute relatif error terbesar adalah 0.119118. Sedangkan pada strike price di bawah harga sekarang, absolute relatif error memberikan angka 1 dikarenakan Mean MC memberikan nilai 0. Hal ini dikarenakan karena pada program yang dibuat oleh penulis untuk Put Amerika hanya memperhitungkan opsi-opsi yang In The Money saja.

Secara keseluruhan, dilihat berdasarkan pertambahan jatuh tempo, simulasi Monte Carlo memberikan hasil penaksiran yang makin baik sampai dengan batas maksimal jatuh tempo 1 tahun dari hari sekarang. Sedangkan untuk jatuh tempo di atas itu simulasi Monte Carlo memberikan hasil taksiran yang mulai menurun.

Dari simulasi di atas dapat disimpulkan bahwa metode Monte Carlo sudah cukup bagus untuk menaksir harga Opsi Amerika dengan orde kesalahan sebesar 10−2 . Metode yang digunakan oleh sumber yahoo finance tentu saja mengikuti metode kompleks yang sudah dimodifikasi sedangkan Metode Monte Carlo hanya mengikuti perumusan yang sederhana.


63

PEMANFAATAN SIMULASI MONTE CARLO PADA OPSI KEUANGAN

Recommend Documents