SOAL DAN SOLUSI PENYISIHAN KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 (90 menit) 9
1. Misalkan f ( x ) 9 1995
a.
b.
2
x
x
. Maka nilai dari f 3
1995
c.
3
1
f
1996
1995
d.
4
2
...
f
1996 1996
...
1996
e.
3
1995
1996 4
Solusi : 9
f ( x) 9 f (1
x
x
3 9
x) 9
f ( x) f
1 x
f 1 1
x f
1996 f
1 1996
1 x
3 3 1
2
3
9
...
x
f
1996 f
2 1996
1995 1996
...
f
1995 1996
1
f
f
1996 1 . 997
1995
...
f
1996 f
1 2
997 1996
3
997 3
f
999 1996
1995 3
2
Jawaban : A
2. 5 ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Maka hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola adalah ... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 Solusi : 5 ekor ~ 5 lapangan bola dalam 5 hari 1 ekor ~ 1 lapangan bola dalam 5 hari Jadi , 3 ekor kambing dapat menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola dalam 5 hari. Jawaban : D
f
998 1996
3. Pada kubus ABCD.EFGH , P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika Ѳ adalah sudut antara bidang ABGH dan bidang ABPQ , maka tan Ѳ adalah ... a. b. c. d. e.
Solusi : Q
P F Ѳ
Misalkan AB = 2 , maka BP = dan BG = 2 Aturan kosinus (PG)2 = (PB)2 + (BG)2 – 2.PB.BG. cosѲ 1 = 5 + 8 - 2 . 2 cos Ѳ 1 = 13 - 4 cos Ѳ Cos Ѳ = 1
Ѳ 3 Jadi , tan Ѳ = Jawaban : C
4. Jika x a. -10
111 2
1
5 , maka nilai (2 x
b.10
2x
4
c.0
53 x
3
57 x
54)
d.-1
2004
adalah ... e.1
Solusi : 111
x
1
2x
111 1 2 x
1
2 (2 x
1)
2
111 ( Kuadratkan kedua ruas)
111
4x
2
4x
1
4x
2
4x
110
2x
2
2x
55
111 0 0 ...(1)
Kalikan (1) dengan x 3 ……. 2 x 5 2 x 4 55 x 3 0 …(2) Kalikan (1) dengan x ……… 2 x 3 2 x 2 55 x 0 …(3) Kalikan (1) dengan 1 …….. 2 x 2 2 x 55 0 …(4) Jumlahkan (2)(3)(4), maka diperoleh: 2x
5
(2 x
2x 5
4
2x
53 x 4
3
53 x
57 x 3
57 x
55
54)
0 2004
= (2 x
5
2x
4
53 x
3
57 x
55 1)
2004
(0
1)
( 1)
2004
1
Jawaban : E 5. Tentukan jumlah semua angka hasil penjabaran : 777.777.777.777.7772 – 222.222.222.222.2232 a. 148
b. 84
c. 74
d. 69
Solusi : 2 prinsip: ( a
2
b )
(a
777 . 777 . 777 . 777 . 777
b )( a 2
b)
222 . 222 . 222 . 222 . 223
2
(1 . 000 . 000 . 000 . 000 . 000 )( 555 . 555 . 555 . 555 . 554 ) 555 . 555 . 555 . 555 . 554 . 000 . 000 . 000 . 000 . 000
Maka, jumlah semua angkanya adalah (5x14)+(4x1) = 74 Jawaban : C
e. 79
2004
6. Segitiga ABC siku-siku di C. Garis bagi dalam sudut BAC dan ABC memotong sisi BC dan CA berturut-turut di titik P dan Q. Titik M dan N masing-masing terletak pada sisi AB sehingga PM dan QN tegak lurus AB. Tentukan besar ∠MCN. a. 150 b.300 c.450 d.600 e.750
Solusi : Dibuat CL dengan L terletak pada AB sehingga CL tegak lurus AB. Segitiga-segitiga ΔACB, ΔANQ, ΔALC, ΔCLB dan ΔPMB semuanya sebangun. Misalkan ∠MCL = x Karena PM sejajar CL maka ∠MCL = ∠PMC = x Pada ΔAPC dan APM, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta AP merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔAPM dan ΔAPC kongruen (sama dan sebangun). �PC = PM Karena PC = PM maka ΔCPM sama kaki. �∠PCM = ∠PMC = ∠MCL = x Misalkan ∠NCL = y Karena QN sejajar CL maka ∠NCL = ∠QNC = y Pada ΔBQC dan BQN, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta BQ merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔBQN dan ΔBQC kongruen (sama dan sebangun). �QC = QN Karena QC = QN maka ΔCQN sama kaki. �∠QCN = ∠QNC = ∠NCL = y ∠MCN = ∠MCL + ∠NCL ∠MCN = ½ (∠BCL + ∠ACL) ∠MCN = ½ ∠ACB o
∠MCN = 45 Jawaban : C
7. B-1 adalah invers matriks B . Jika B = ( A adalah …. a. 1 Solusi :
b. 8
c. 27
) dan AB-1 = ( d.32
). Determinan matriks e. 64
|B| = 1 3 -1 1 3 2 1 02 1 1 0 2 1 0 = ( 2 + 0 + 0 ) – ( -1 + 0 (2)) = -9 |AB-1| = 2 -1 1 2 -1 -1 1 0 -1 1 0 1 -2 0 1 = (-4 + 0 -1 ) – ( 0 + 0 – 2 ) = -3 |AB-1| = |A| |B-1| |AB-1| = |A| . maka |A| = |AB-1| . |B| = (-3) x (-9) = 27 Jawaban : C 8. Tentukan nilai minimum dari 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 dengan tiap – tiap “0” artinya “+” atau “kali” . a. 36 b. 40 c. 44 d. 45 e. 84 Solusi : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 1 x 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 Maka nilai minimum yang didapat 44 Jawaban : C 9. Suatu segitiga sisi-sisinya 4, 6, a. b. Solusi : S = (a+b+c) = (4+6+4 L= = = = = Jawaban : B
)=5+
. Luas segitiga itu adalah.. c. d.
e.
10. Jika diketahui f(x)=2x+1 dan g(f(x))=x2+3x+1, berapakah g(3)? a. 71 b. 19 c. 11 d. 5 Solusi : g(f(x)) = x2+3x+1 g(2x+1) = x2+3x+1 g(3) = 12 + 3 . 1 + 1 = 5 Jawaban : D 11. ( 1- ) ( 1- ) ( 1- ) … ( 1a.
)=…
b.
Solusi : . . … Jawaban : C
c.
.
d.
e.
=
12. Jika S = 1! + 2! + 3! + … + 99!, maka angka satuan dari S adalah … a. 9 b. 8 c. 5 d. 3 Solusi : 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 .1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Maka angka satuan dari S adalah 1 + 2 + 6 + 4 = 13 Jawaban : D 13.
e. 0
e. 0
=… a. 1 Solusi :
b. 2
c. 3 .
=
d. 4 =
e. 5 =1
Jawaban : A 14. Jika 3log4 = a dan 3log5 = b, maka 8log20 = … a. b. c. Solusi : 8 log20 = (3log20) / (3log8) = (3log4 + 3log5) / (3log2 + 3log4) = = Jawaban : E
=
d.
e.
15. Uang Pecahan 1000-an sebanyak 500 lembar dibagi ke lima orang sebanyak a1, a2, a3, a4, a5, dimana a1 > a2 > a3 > a4 > a5. (2a2 – a1)(2a3 – a2)(2a4 – a3)(2a5 – a4)(2a5 – a1) adalah prima. Sisa uangnya ditabung. Ternyata, sisa uangnya yang ditabung juga prima. Berapakah banyak uangnya yang ditabung? a. Rp 127.000,00
c.Rp 373.000,00
b.Rp 187.000,00
d. Rp 137.000,00
e.Rp 311.000,00
Solusi : Misal :
Maka
a1 = X
32X – 30 – X = prima
Maka
31X – 30 = prima
a2 = 2X - 1
X ≠ 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
a3 = 4X – 3
X terkecil = 7
a4 = 8X – 7
Tapi 31X – 30 = 187 = 11 x 17
a5 = 16X – 15
X selanjutnya = 11
karena 2a5 – a1 = prima (diketahui)
341 – 30 = 311 prima Namun sisanya 189 bukan prima X selanjutnya = 13 403 – 30 = 373 prima Sisanya = 127 prima Jadi, yang ditabung : Rp 127.000,00 Jawaban : A
16. Berdasarkan deret bilangan berikut, tentukan urutan selanjutnya! 3, 1, 1, 9, 31, 73, … a. 121
c.141
b. 131
d.151
e.161
Solusi : 3
1
1
9
31
73
(-1)3
(0)3
13
23
33
43
-1
0
1
8
27
(-2)2
(-1)2
02
12
22
32
4
1
0
1
4
3
1
1
9
31
n3 + (n – 1)2 Jawaban : C
17. Jika
lim X4
aX + b – X1/2 = X–4
3 4
Nilai a + b sama dengan … a. 3
c. 1
b. 2
d. 0
e. -1
Solusi : (1).
aX + b - X1/2 bernilai 0 untuk X = 4.
Jadi : 4a + b – 2 = 0 b = 2 – 4a (2).
lim aX + b – X1/2 = X4 X–4
3 4
lim aX- 4a + 2 – X1/2 = X4 X–4 lim X4
a(X – 4) X–4
a = ¼ + ¾ maka a = 1 b = 2 – 4.1 = -2 Jadi, a + b =1 + (-2) = -1 Jawaban : E
3 4
(X1/2 – 2) (X – 2) (X1/2 + 2) 1/2
=
3 4
64 125 9
16 +
73 141
18. Hitunglah nilai x jika : X= a. 14 atau 24
c. 0 atau 14
b. 0 atau 24
d. 14 atau 34
e. 0 atau 34
Solusi : +
= = = .
= =2 =2
(2
)2 + 4(3x + 4) = 4 (3x - 4) + 4 ( 3x + 4 ) = 4 (6x) = 24 x X
=
X2
= 24 x
Jadi x = 24 atau x = 0 Jawaban = B
19. Nilai cos 22.50 – sin 22.50 cot 11.250 sama dengan ….. a. √2 + 1 Jawaban = E
b. √2 - 1
c. 0
d. 1
e. -1
Solusi : cos 22.50 – sin 22.50 cot 11.250 = 22.50 – sin 22.50 cos 11.250 sin 11.250
= sin 11.250 cos 22.50 – cos 11.250 sin 22.250 sin 11.250
= sin (11.250 – 22.50) = - sin11.250 = -1 Sin 11.250
sin 11.250
20. Matriks B adalah invers matriks A, matriks D adalah invers matriks C dan A . B . C = D, maka yang merupakan matriks identitas adalah… a. A2 b. B2 c. C2 d. D2 e. A . C2 Solusi : B = A-1 maka AB = I D = C-1 maka CD = I ABCD = I. Karena ABC =D, maka (ABC) D = I D2 = I Jawaban : D
21. Daftar distribusi frekuensi di bawah ini menunjukkan hasil tes matematika pada 30 siswa. Yang berhasil adalah siswa yang memperoleh nilai kebih dari 52,5 maka banyaknya siswa yang berhasil ….. Nilai 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90
Frekuensi 1 1 3 10 8 5 2
a. 20 orang b. 21 orang c. 23 orang d. 24 orang e. 25 orang
Solusi : Langkah 1 : Xk = 52,5 terletak pada kelas 51-60 Dengan demikian : Tb – 51 – 0,5 = 50,5 ; ∑fs = 1 + 1 + 3 = 5 f(Xk) = 10 ; dan C = (60 – 51) + 1 = 10 Langkah 2 : Xk = Tb + k - ∑fs . C f(Xk) 52,5 = 50,5 + k – 5 . 10 10 52,5 = 50,5 + k – 5 maka k = 7 Kesimpulan : Yang mendapat nilai < 52,5 sebanyak 7 orang (tidak lulus). Berarti yang lulus sebanyak (30 – 7) = 23 orang. Jawaban : C
22. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi Berapakah m2 + n2 ? a. 100 b. 200 c. 300 d. 400 Solusi :
Didapat m = 2, n = 14 jadi m2 + n2 = 22 + 142 = 4 + 196 = 200 Jawaban : B
e. 500
23.
. a. 0
=… c. 2
b. 1
e. x2
d. x
Solusi : .
. .
= .
= =
= =1 Jawaban : B
24. Jika a = 0,111111.… dan b = 0,333333.… ,maka nilai dari (a log b) adalah… a. b. c. 1 d. 2 e. 3 Solusi : a = 0,111111…. = = 3-2 b = 0,333333…. = = 3-1 a
log b =
Jawaban : B
= ½
25. Persegi panjang ABCD, AB = 4 dan BC = 6. Persegi panjang tersebut dilipat sepanjang diagonal BD. Titik P pada AD di mana AD dan lipatan BC berpotongan (lihat gambar di bawah), maka tentukan luas ΔBPD !!
A
P
a.
D
b. c. d. e.
B
C
Solusi : β = tan-1 ( ) = 56,31o P γ γ
A
θ
θ
β
D
α
θ = β – α = 56,31o - 33,69o = 22,62o γ = 180o – 90o – θ = 180o – 90o – 22,62o = 67,38o
α
β B
α = tan-1 ( ) = 33,69o
Menggunakan Aturan Sin : C γ P
θ D
Maka, luas ΔBPD = luas ΔBAD – luas ΔBAP =
X = 1,6667 = 1
Maka luas ΔBPD = luas ΔBAD – luas ΔBAP = Jawaban : B
=
26.
-
=3
+
=1
Tentukan penyelesaian dari persamaan diatas: a. x=2, y=1
b. x=-2, y=1
c. x=2, y=-1
d.x=-1, y=-2
e. x=1, y=2
Solusi : mis :
a= b=
52a – 4b = 3 4a + 2b = 1
a=
2x-3y+5 = 12 3x+2y-1 = 1
x = 2, y = -1
,b=
Jawaban : C
21 27.
+
x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke -… a. 9
b. 10
c.
11
d.
12
e. 13
Solusi : 21 +
21 =
.
+
.
Andaikan x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke k + 1, maka : 21 - k k .
.
.
=
.
.
.
=
.
Pangkat x = Pangkat y = 63 = 7k Maka, k = 9 Jadi, k + 1 = 9 + 1 = 10 Jawaban : B
28. Sisa 31990 jika dibagi 41 adalah …. b. 31 31990
b. 32
c.
21
d.
22
d.
11
34 x 497 + 2 mod (41) (34)497 x 32 mod (41) (2 x 41 – 1)497 x 9 mod (41) (-1)497 x 9 mod (41) -9 mod (41) (41 – 9) mod (41) 32 mod (41)
Jadi, sisa 31990 jika dibagi 41 adalah 32. Jawaban : B
29. Sebuah bola tennis dijatuhkan dari ketinggian 7,5 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula.Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola yang terjadi adalah …. a. 45 m
b. 47,5 m
c. 67,5 m
d. 75 m
e. 55 m
Solusi : S
= 7,5 + 2 6 + 24/5 + 96/25 + … = 7,5 + 2
6 = 7,5 + 2 . 30 = 67,5 m 4 1 – /5
Jawaban : C
30. Suatu bilangan X terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, didapat bilangan yang terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika diantara angka puluhan dan satuan disisipkan angka 0 maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 2/3 kali nilai bilangan X . Bilangan X itu adalah …. a. 16
b. 27
c. 38
d. 75
e. 55
Solusi : Misalkan bilangan itu ab, maka : a0b = 7 2/3 x ab
ab + 45 = ba
10a + b + 45 = 10b + a 100a + b = 23/3 (10a + b) a = b -5
300a + 3b = 230a + 23b 70a = 20b 7a = 2b 7 (b-5) = 2b 7b – 35 = 2b, maka b = 7 a=2 jadi bilangan X itu adalah 27
Jawaban : B
31. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah kran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran pertama dan kedua saja, tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit ; jika yang dibuka keran pertama dan keran ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 84 menit ; jika yang dibuka keran kedua dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Jika ketiga keran dibuka secara bersamaan, tong dapat dikosongkan dalam waktu ….menit a. 45
b. 50
c. 55
d. 60
e. 65
Solusi : v1 + v2 = x/70 v1 + v3 = x/84 v2 + v3 = x/140 + 2 (v1 + v2 +v3) = x/70 + x/84 + x/140 2 (v1 + v2 +v3) = 6x/420 + 5x/420 + 3x/420 = 14x/420 = x/30 v1 + v2 +v3 = x/60 jadi jika ketiga keran itu dibuka bersama, maka tong dapat dikosongkan dalam waktu 60 menit. Jawaban : D 32. Suatu garis dengan kedua titik ujungnya pada ellips disebut tali busur ellips. Salah satu tali busur ellips 25x2 + 4y2 = 100 mempunyai titik tengah (1,-4). Persamaan tali busur tersebut adalah …. a. 3x - 2y -11
=0
b. 5x - 4y - 21
=0
c. 8x - 5y - 28
=0
d. 25x - 4y - 41 = 0 e. 25x - 16y - 89 = 0
Solusi : 25x2 + 4y2 = 100 50x + 8y y’ = 0 50. 1 + 8 . -4 . y’ = 0 maka m = y’ = 25/16 Persamaan tali busur : y –y1 = m (x – x1) y + 4 = 25/16 (x - 1) 16y + 64 = 25x – 25 25x – 16y -89 = 0 Jawaban : E
33. Diketahui segitiga ABC dengan sin A : sin B : sin C = 7 : 8 : 9, maka tentukanlah nilai dari cos A : cos B : cos C !! a. 7:8:9
b. 9:8:7
c. 14:11:6
d. 6:11:14
e. 18:16:14
Solusi : Karena
=
=
cos A =
= 14
cos B =
= 11
cos C =
=6
, maka sin A : sin B : sin C = a : b : c a=7, b=8, c=9
cos A : cos B : cos C = 14 : 11 : 6 Jawaban : C
34. Jika tan 15o = p. Nilai dari
=…
a. b. c. d. e. Solusi : =
=
=
Jawaban : E 35. Nilai (sin
. sin
. sin
. sin
) sama dengan..
a. b. c. d. e. Solusi : , maka sin
. sin
. sin
. sin
= =
sin .
. sin . sin
=
.
=
.
. sin
= = Jawaban : B 36. Ingkaran dari ”Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang tidak suka belajar Matematika” adalah… a. Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang suka belajar Matematika b. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika c. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 tidak suka belajar Matematika d. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika e. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 tidak suka belajar Matematika Solusi : Ingkaran dari ada semua Ingkaran dari tidak suka suka Jadi, Ingkaran dari ”Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang tidak suka belajar Matematika” adalah : Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika Jawaban : B
37. Batasan nilai h agar titik R (h, -1) yang terletak di luar lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 adalah… f.
-1 < h < 5
g. -5 < h < 1 h. h < -5 atau h>1 i.
h < -1 atau h > 5
j.
h < -1 atau h < 5
Solusi : Persamaan Lingkaran x2 + y2 - 4x + 2y – 4 = 0 Titik R (h, -1) terletak di luar lingkaran h2 + (-1)2 – 4(h) + 2(-1) – 4 > 0 h2 + 1 – 4h – 2 – 4 > 0 h2 – 4h – 5 > 0 (h – 5)(h + 1) > 0
-1
5
h < -1 atau h > 5 Jadi, batasan nilai h adalah h < -1 atau h > 5 Jawaban : D
38. Berapakah koordinat titik pada garis penghubung A(2, 0, 6) dan B(2, 4, 6) di dalam dengan perbandingan 3 : 1 ? a. (2, 6, 3)
b. (6, 2, 3)
c. (3, 6, 2)
d. (2, 3, 6)
e. (3, 2, 6)
Solusi : Misalkan titik tersebut adalah C, maka AC : CB = 3 : 1 Koordinat titik C adalah 2 2 4
3
+1
6
C=
0 6
3+1
2 =
3 6
Jadi, koordinat titik C = (2, 3, 6) Jawaban : D
39. Jika y = | cos x | maka dy/dx = …. a. - | sin x | b. – sin x Solusi : y = | cos x | maka y2 = cos2 x 2y y’ = 2 cos x . (-sin x) y’ =
=
Jawaban : D
c.
d.
e. |sin x |
40. x dan y bilangan nyata, x > 1999 dan y > 2000. Jika 1999
+
= ½ (x2 + y2), maka nilai x + y = ….
2000 a. 3999 b. 3999 c. 7998 d. 7998 e. 3999 Solusi : 1999
+ 2000
2. 1999
+ 2.2000
Misalkan x2 – 19992 = a2 dan y2 – 20002 = b2 Maka 2.1999a + 2.2000b = a2 + 19992 + b2 + 20002 a2 - 2.1999a + 19992 + b2 - 2.2000b + 20002 = 0 (a - 19992) + (b - 20002) = 0, haruslah : a = 1999 dan b = 2000 x2 – 19992 = 19992 maka x = 1999 y2 – 20002 = 20002 maka y = 2000 jadi, x + y = 1999 Jawaban : A
+ 2000
= 3999
= ½ (x2 + y2) = (x2 + y2)
