SKRIPSI untuk memenuhi sebagian persyaratan. mencapai derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika

SIFAT-SIFAT 𝑷-GRUP DAN 𝑷-SUBGRUP SYLOW

SKRIPSI untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika

Diajukan oleh Lia Setyawati 08610036

Kepada

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2012

i

ii

iii

iv

KATA PENGANTAR Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan semesta alam atas limpahan rahmat serta hidayah-Nya. Atas ridho-Nya sehingga tulisan ini dapat terselesaikan. Sholawat serta salam tak lupa tercurahkan kepada nabi akhir zaman, nabi Muhammad SAW, yang telah menuntun umatnya menuju jalan yang terang. Skripsi ini disusun guna memperoleh gelar sarjana Sains (matematika). Isi dari skripsi ini membahas tentang sifat-sifat p-grup dan p-subgrup Sylow. Atas terselesaikannya skripsi ini penulis tidak bisa terlepas dari bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih setinggi-tingginya kepada: 1. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A., Ph.D selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 2. Ibu Dra. Hj. Khurul Wardati, M.Si selaku Pembantu Dekan I Fakultas Sains dan Teknologi, sekaligus pembimbing pertama, atas bimbingan, arahan, motivasi dan ilmu yang diberikan kepada penulis. 3. Bapak M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc selaku pembimbing kedua, atas waktu dan kesabaran dalam membimbing, mengarahkan serta tak segan-segan membagi ilmunya kepada penulis. 4. Bapak/Ibu Dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan Teknologi, khususnya Bapak M. Farhan Qudratullah, M. Si. selaku PA penulis, atas ilmu yang telah diberikan serta bantuan selama perkuliahan. 5. Mama, Bapa, Mega dan Kiki yang penulis sayangi atas motivasi, bantuan baik yang material maupun non material sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Segala apa yang telah kalian curahkan untuk

penulis, tiadalah cukup dan mampu penulis gambarkan itu semua dengan kata-kata. v

6. Sahabat-sahabatku di prodi matematika angkatan 2008 yang selalu membuat penulis merasa bersyukur dapat bertemu kalian. Khususnya untuk Okta, Rossi, Hani, Ranto, dan Tuty yang selalu bersedia membantu dan memotivasi penulis dalam pengerjaan skripsi ini. 7. Anak-anak kost pak Waliko (Syifa, mba’ Yuni, Nuy, Hana, Lia, Riri, Chili dan Ayu) atas hari-hari indah yang telah tertoreh bersama kalian untuk menjadi lembaran berarti dalam catatan hidup penulis. Semoga segala bantuan dan motivasi yang penulis terima dapat bermanfaat untuk melanjutkan ke jenjang selanjutnya. Semoga budi baik dari semua pihak yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang setimpal dari Allah SWT. Amin. Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik serta saran dari para pembaca demi sempurnanya skripsi ini. Walaupun masih banyaknya kekurangan yang ada, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada para pembaca terutama teman-teman di bidang matematika. Yogyakarta, 31 Juli 2012 Penulis

Lia Setyawati

vi

Skripsi ini penulis persembahkan kepada : Mama dan Bapakku tercinta yang telah membesarkan, mendidik, mendo’akan serta mencurahkan segala kasih sayangnya untukku Kedua adikku tersayang, Mega Rahmah Rukmana dan Rizqy Putra Ramadhan yang selalu menyemangatiku, serta Okta Arfiyanta yang selalu ada dan sabar menemaniku ^_^ Keluarga besar Bapak Solechan dan Ibu Sutini Pak Royo (Guru Matematika di SMAN 1 Binangun) yang telah membuatku lebih mencintai matematika Teman-teman Matematika UIN Sunan Kalijaga angkatan 2008 Teman-teman kos Bapak Waliko

vii

MOTTO “Dan (ingatlah juga), tatkala Tuhanmu memaklumkan; “Sesungguhnya jika kamu bersyukur, pasti Kami akan menambah (nikmat) kepadamu, dan jika kamu mengingkari (nikmat-Ku), Maka Sesungguhnya azab-Ku sangat pedih”. (Surat Ibrahim : 7)

“Tidak akan masuk surga orang yang dihatinya ada setitik kesombongan”. (H.R. Muslim)

“Orang yang berhenti belajar, akan menjadi pemilik masa lalu. Orang yang masih terus belajar, akan menjadi pemilik masa depan”. (Mario Teguh)

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..........................................................................................

i

SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ................................................................. ii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iii HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN ..................................................... iv KATA PENGANTAR .......................................................................................

v

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vii HALAMAN MOTTO ....................................................................................... viii DAFTAR ISI ...................................................................................................... ix ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN .......................................................... xi ABSTRAK ......................................................................................................... xiii BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................

1

1.1

Latar Belakang ....................................................................................

1

1.2

Batasan Masalah .................................................................................

6

1.3

Rumusan Masalah ...............................................................................

6

1.4

Tujuan Penelitian ................................................................................

6

1.5

Manfaat Penelitian ..............................................................................

6

1.6

Tinjauan Pustaka .................................................................................

7

BAB II LANDASAN TEORI ...........................................................................

9

2.1

Relasi ..................................................................................................

2.2

Bilangan Bulat ................................................................................... 14

2.3

Kongruensi ......................................................................................... 24

ix

9

2.4

Grup .................................................................................................. 26

2.5

Homomorfisma Grup ........................................................................ 57

2.6

Grup Aksi .......................................................................................... 60

BAB III METODE PENELITIAN ................................................................. 68 BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................ 71 4.1

Kelas Konjugasi ................................................................................. 71

4.2

Teorema Cauchy dan 𝑃-grup ............................................................ 100

4.3

Teorema Sylow dan 𝑃-subgrup Sylow ............................................. 111

4.4

Aplikasi Teorema Sylow pada Grup Sederhana ............................... 124

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 129 5.1

Kesimpulan ....................................................................................... 129

5.2

Saran ................................................................................................. 130

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 132

x

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

𝐴×𝐵

Perkalian kartesius dari 𝐴 dan 𝐵

(𝑥, 𝑦)

Pasangan berurutan dari 𝑥, 𝑦

𝑥𝑅𝑦

𝑥 berelasi 𝑅 dengan 𝑦

~

Ekuivalensi

[𝑥]

Kelas ekuivalensi yang memuat 𝑥

𝑚|𝑛

𝑚 membagi habis 𝑛

𝑚∤𝑛

𝑚 tidak membagi habis 𝑛

𝐹𝑃𝐵(𝑎, 𝑏)

Faktor persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏

𝑥 ≡ 𝑦(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

𝑥 kongruen 𝑦 modulo 𝑛

𝑥∈𝐴

𝑥 elemen dari 𝐴

𝑦∉𝐵

𝑦 bukan elemen dari 𝐵

ℤ

Himpunan semua bilangan bulat

ℤ+

Himpunan semua bilangan bulat positif

ℚ

Himpunan semua bilangan rasional

ℝ

Himpunan semua bilangan real

𝕂

Himpunan semua bilangan kompleks

ℤ𝑛

Himpunan semua kelas ekuivalensi modulo 𝑛

ℤ𝑛 0

Himpunan semua kelas ekuivalensi modulo 𝑛 tanpa 0

∀

Untuk setiap (kuantor universal)

∃

Terdapat (kuantor eksistensial)

|𝐺|

Order dari grup 𝐺

∘ (𝑥)

Order dari elemen 𝑥

∅

Himpunan kosong

∎

Akhir dari suatu pembuktian

𝐴∩𝐵

Irisan xi

𝐴∪𝐵

Gabungan

𝐴⊂𝐵

Himpunan bagian

𝐻≤𝐺

𝐻 subgrup dari 𝐺

𝐻⊴𝐺

𝐻 subgrup normal dari 𝐺

⇔

Biimplikasi atau jika dan hanya jika

⇒

“Berakibat” atau bukti implikasi ke arah kanan

⇐

Bukti implikasi ke arah kiri

<𝑎>

Subgrup yang dibangun oleh elemen 𝑎

𝐺 𝑁

Grup faktor 𝐺 modulo 𝑁

𝐻𝑔

Koset kanan dari 𝐻 dengan koset representatif 𝑔

𝑔𝐻

Koset kiri dari 𝐻 dengan koset representatif 𝑔

𝐻 ||𝐺|

Order grup H membagi habis order grup 𝐺

𝜑: 𝐺 → 𝐺′

𝜑 suatu pemetaan dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′

[𝐺: 𝐻]

Indeks dari 𝐻 dalam 𝐺

𝐺 ≅ 𝐺′

𝐺 isomorfis dengan 𝐺′

𝐶(𝑎)

Centralizer 𝑎

𝑍(𝐺)

Center dari 𝐺

𝑁𝐺 (𝐻)

Normalizer dari 𝐻 dalam 𝐺

𝐺𝑎

Stabilizer dari 𝑎

𝐶𝑙(𝑎)

Kelas konjugasi dari 𝑎

𝑆𝑛

Grup permutasi dari himpunan {1, … . 𝑛}

𝑎−1

Invers dari 𝑎

𝑎𝐻𝑎 −1

𝑎𝐻𝑎−1 = {𝑎𝑕𝑎−1 |𝑕 ∈ 𝐻}

𝐴\𝐵

𝐴\𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 tetapi 𝑥 ∉ 𝐵}

xii

SIFAT-SIFAT 𝑷-GRUP DAN 𝑷-SUBGRUP SYLOW Oleh : Lia Setyawati (08610036)

ABSTRAK

Diberikan suatu grup berhingga 𝐺. Jika setiap elemen 𝐺 berorder pangkat dari suatu bilangan prima 𝑝, maka 𝐺 dinamakan 𝑝-grup. Sifat-sifat 𝑝-grup pada skripsi ini yang pertama adalah 𝐺 merupakan 𝑝-grup jika dan hanya jika order 𝐺 merupakan pangkat dari suatu bilangan prima 𝑝. Sifat 𝑝-grup yang lain memiliki hubungan dengan konjugat dan center dari 𝑝-grupnya. Jika 𝐺 adalah 𝑝-grup dan 𝑎 ∈ 𝐺 maka 𝑎𝐺𝑎−1 merupakan konjugat dari 𝐺, sebarang konjugat dari 𝐺 adalah 𝑝-grup. Center dari 𝐺 adalah himpunan elemen 𝐺 yang komutatif dengan semua elemen 𝐺, jika 𝐺 adalah 𝑝-grup maka center dari 𝐺 pasti nontrivial. Jika ditemukan subgrup maksimal yang merupakan 𝑝-grup pada suatu grup berhingga, maka subgrup tersebut dinamakan 𝑝-subgrup Sylow. Misalkan 𝐻 grup yang berorder 𝑝𝑟 𝑚 untuk suatu 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+, 𝑝 bilangan prima serta 𝑝 dan 𝑚 relatif prima, maka 𝐻 memiliki subgrup yang berorder 𝑝𝑖 dimana 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, pernyataan tersebut lebih dikenal dengan istilah Teorema Sylow I. Sifat 𝑝-subgrup Sylow yang dapat diambil dari Teorema Sylow I adalah jika subgrup dari 𝐻 tepat memiliki order 𝑝𝑟 , maka subgrup tersebut merupakan 𝑝-subgrup Sylow. Sifat 𝑝subgrup Sylow yang lain memiliki kaitan dengan subgrup normal, yakni 𝑃 satusatunya 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐻 jika dan hanya jika 𝑃 subgrup normal dari 𝐻.

Kata kunci : bilangan prima, p-grup, p-subgrup Sylow, teorema Sylow.

xiii

1

BAB I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Pada umumnya orang beranggapan bahwa matematika hanya berkenaan

dengan perhitungan-perhitungan yang berkutat pada bilangan yang dilakukan berdasarkan rumus atau aturan-aturan tertentu. Anggapan seperti ini tidak sepenuhnya benar karena hampir semua cabang matematika, salah satunya aljabar yang memfokuskan pembahasannya tidak pada perhitungan, tetapi pada pengembangan

konsep

yang

menggunakan

penalaran

deduktif

yaitu

pengembangan konsep dasar untuk memperoleh prinsip-prinsip yang berupa teorema 1. Aljabar dalam matematika dapat dipilah menjadi beberapa kategori berikut ini: aljabar dasar, aljabar abstrak, aljabar linear, aljabar universal, dan aljabar komputer 2. Salah satu yang dipelajari oleh penulis dalam perkuliahan adalah aljabar abstrak. Aljabar abstrak sendiri merupakan bidang subjek matematika yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup, ring, lapangan (field), modul, ruang vektor, dan aljabar lapangan3. Salah satu yang dipelajari dalam aljabar abstrak adalah teori grup. Grup adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma grup. Materi teori grup yang telah

didapatkan

penulis selama menempuh perkuliahan adalah mengenai konsep grup, grup 1

Sukirman, Pengantar Aljabar Abstrak, (Malang : penerbit Universitas Negeri Malang, 2005, Edisi I), hal. ii 2 Wikipedia, Aljabar, diunduh dari http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar pada tanggal 3 Maret 2012, pukul 16.47 WIB 3 Wikipedia, Abstract algebra, diunduh http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra pada tanggal 3 Maret 2012, pukul 17.02 WIB

2

permutasi, grup siklik, subgrup, koset, teorema Lagrange, subgrup normal, grup faktor dan homomorfisma. Salah satu contoh grup yang menarik untuk dipelajari adalah grup berhingga. Misal 𝐺 grup dan 𝑎 ∈ 𝐺, banyaknya elemen dalam 𝐺 disebut order grup 𝐺 sedangkan order elemen 𝑎 (dinotasikan dengan ∘ 𝑎 ) adalah bilangan bulat positif terkecil katakan 𝑘, sedemikian sehingga 𝑎𝑘 = 𝑒, 𝑒 elemen identitas 𝐺. Jika suatu grup mempunyai order yang berhingga maka disebut grup berhingga. Salah satu contoh grup berhingga adalah grup yang berorder prima (grup yang memiliki elemen sebanyak suatu bilangan prima tertentu). Teorema Lagrange memiliki kaitan dengan order dalam grup berhingga. Teorema Lagrange adalah salah satu teorema fundamental dalam teori grup, yang menyatakan bahwa jika 𝐺 suatu grup berhingga dan 𝐻 subgrup dari 𝐺 maka order subgrup 𝐻 membagi habis order grup 𝐺. Berarti, banyaknya elemen 𝐻 membagi habis banyaknya elemen 𝐺. Teorema Lagrange sangat berguna untuk menganalisa suatu grup berhingga, yaitu untuk memberi gambaran tentang adanya subgrup dengan kemungkinan order subgrup dari suatu grup berhingga. Misalkan suatu grup memiliki order 30, maka subgrupnya tidak mungkin berorder 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 dan 29. Misalkan 𝑚 adalah suatu bilangan bulat positif yang membagi order grup 𝐺, apakah grup 𝐺 tentu memiliki subgrup yang berorder 𝑚? Apakah konvers teorema Lagrange berlaku untuk sebarang grup berhingga? Salah satu contoh grup yang menarik untuk dikaji adalah himpunan bilangan bulat modulo 𝑛 (ℤ𝑛 , +). Telah diketahui bahwa ℤ𝑛 adalah grup siklik. Contoh ℤ12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, ℤ12 memiliki order 12. Menurut

3

konvers dari teorema Lagrange, kemungkinan order subgrup-subgrup dari ℤ12 dapat dicari melalui faktor-faktor order ℤ12 . Faktor-faktor order ℤ12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. 

Subgrup ℤ12 yang berorder 1 = {0}



Subgrup ℤ12 yang berorder 2 = {0,6}



Subgrup ℤ12 yang berorder 3 = {0,4,8}



Subgrup ℤ12 yang berorder 4 = {0,3,6,9}



Subgrup ℤ12 yang berorder 6 = {0,2,4,6,8,10}



Subgrup ℤ12 yang berorder 12 = ℤ12

Dikarenakan terdapat subgrup yang berorder 1,2,3,4,6 dan 12 dari ℤ12 maka konvers dari teorema Lagrange berlaku pada ℤ12 . Ternyata konvers dari teorema Lagrange itu tidak selalu benar. Counter example, 𝐴4 (grup alternating berderajat 4) adalah subgrup dari 𝑆4 dimana elemen-elemennya dapat dibentuk ke dalam sebuah transposisi (sebuah cycle dengan panjang 2) dan banyaknya transposisi adalah genap. 𝑨𝟒 = { 𝟏 , 𝟏𝟐 𝟑𝟒 , 𝟏𝟑 𝟐𝟒 , 𝟏𝟒 𝟐𝟑 , 𝟏𝟐𝟑 , 𝟏𝟑𝟐 , 𝟏𝟑𝟒 , 𝟏𝟒𝟑 , 𝟐𝟑𝟒 , 𝟐𝟒𝟑 , 𝟏𝟐𝟒 , 𝟏𝟒𝟐 }

Grup 𝐴4 memiliki order 12. Kemungkinan 𝐴4 memiliki subgrup yang berorder 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Setelah diselidiki ternyata 𝐴4 hanya memiliki subgrup yang berorder 1, 2, 3, 4 dan 12 saja. 

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 1 adalah { 1 }



Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 2 adalah

1 , 12 34 , 1 , 13 24

4

dan 

1 , 14 23

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 3 adalah 143 }, 1 , 234 , 243



1 , 123 , 132 , { 1 , 134

dan { 1 , 124 , 142 }

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 4 adalah { 1 , 12 34 , (13)(24), (14)(23)}



Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 12 adalah 𝐴4

Berdasarkan uraian diatas, 𝐴4 tidak memiliki subgrup yang berorder 6, sementara 6|12 4. Konvers teorema Lagrange secara keseluruhan tidak berlaku dalam grup berhingga, namun dapat dipenuhi pada teorema Sylow. Teorema Sylow I menjelaskan, misalkan 𝐺 grup berhingga yang berorder 𝑝𝑟 𝑚 dimana 𝑝 suatu bilangan prima, 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+ dan 𝑝 & 𝑚 relatif prima, maka 𝐺 memiliki subgrup yang berorder 𝑝𝑘 , untuk semua 𝑘, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑟. Grup 𝐴4 memiliki order 12 sehingga 𝐴4 = 12 = 22 . 3 = 31 . 4. Dilihat dari bunyi teorema Sylow I, maka 𝐴4 memiliki subgrup yang berorder (ketika 𝑝 = 2) 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4 dan (ketika 𝑝 = 3) 30 = 1, 31 = 3. Dikarenakan 𝐴4 memiliki subgrup yang berorder 1,2,3 dan 4 maka konvers teorema Lagrange berlaku pada 𝐴4 dalam teorema Sylow I.

4

Wikipedia, Lagrange’s theorem (group theory), diunduh dari http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_theorem_(group_theory) pada tanggal 3 Maret 2012, pukul 22.22 WIB

5

Sebelum menjelaskan alasan penulis mengkaji 𝑝-subgrup Sylow, terlebih dahulu dijelaskan alasan mengkaji 𝑝-grup. Definisi 𝑝-grup adalah grup yang setiap elemennya memiliki order 𝑝𝑛 dengan 𝑝 suatu bilangan prima dan 𝑛 ∈ ℤ. Contoh, ℤ5 = 0,1,2,3,4 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo 5 dengan ∘ 0 = 1 = 50 ,∘ 1 = 5 = 51 ,∘ 2 = 5 = 51 ,∘ 3 = 5 = 51 ,∘ 4 = 5 = 51 , dikarenakan semua order elemen ℤ5 berbentuk 5𝑛 untuk suatu 𝑛 ∈ ℤ maka ℤ5 merupakan 5-grup. Order ℤ5 juga berbentuk 5𝑚 untuk suatu 𝑚 ∈ ℤ, yakni, ℤ5 = 5 = 51 , sehingga muncul pertanyaan apakah setiap order 𝑝-grup dan order setiap elemen 𝑝-grup memiliki kesamaan yaitu sama-sama merupakan pangkat suatu bilangan prima 𝑝. Hal ini yang melatarbelakangi penulis untuk mengkaji lebih dalam tentang 𝑝-grup beserta sifatnya. Definisi 𝑝-subgrup Sylow adalah subgrup maksimal (subgrup yang tidak termuat pada subgrup lain) dari suatu grup yang setiap elemennya memiliki order 𝑝𝑛 dengan 𝑝 suatu bilangan prima dan 𝑛 ∈ ℤ. Contoh 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐴4 adalah 𝐴′ =

1 , 12 34 , 13 24 , 14 23 , dikarenakan ∘

= 1 = 20 ,

13 (24) = 2 = 21 dan ∘

14 (23) = 2 = 21 sehingga

𝐴′ adalah 2-subgrup Sylow dari 𝐴4 dimana

𝐴′ = 4 = 22 . Dilihat dari

∘

12 (34) = 2 = 21 ,∘

1

𝐴4 = 22 . 3 dan 𝐴′ = 22 maka muncul suatu pertanyaan apakah setiap grup yang berorder 𝑝𝑟 𝑚 dimana 𝑝 suatu bilangan prima, 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+ dan 𝑝 & 𝑚 relatif prima, maka subgrup yang berorder 𝑝𝑟 merupakan 𝑝-subgrup Sylow dari grup tersebut. Hal ini yang melatarbelakangi penulis untuk mengkaji lebih dalam tentang 𝑝-grup Sylow beserta sifatnya.

6

1.2

Batasan Masalah Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangatlah penting, guna

menghindari kesimpangsiuran terhadap objek dari suatu penelitian dan untuk membantu penulis lebih fokus dan terarah sesuai dengan tema penelitian. Sesuai latar belakang masalah maka skripsi ini akan difokuskan pada pembuktian teorema Sylow, sifat-sifat 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow serta dikaji pula beberapa aplikasi teorema Sylow. 1.3

Rumusan Penelitian Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah diuraikan

diatas, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut: 1.

Bagaimanakah konsep dari 𝑝-grup?

2.

Bagaimanakah konsep dari 𝑝-subgrup Sylow?

3.

Bagaimanakah sifat-sifat yang dimiliki oleh 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow?

1.4

Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah:

1.

Mengkaji tentang konsep dari 𝑝-grup

2.

Mengkaji tentang konsep 𝑝-subgrup Sylow

3.

Mengkaji tentang sifat-sifat yang berlaku pada 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow.

1.5

Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain

sebagai berikut:

7

1.

Memberikan pengetahuan tentang konsep 𝑝-grup

2.

Memberikan pengetahuan tentang konsep 𝑝-subgrup Sylow

3.

Memberikan pengetahuan tentang sifat-sifat yang berlaku pada 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow

4.

Memberikan salah satu gambaran bahwa ternyata pengembangan konsep aljabar abstrak khususnya tentang grup masih sangat luas.

1.6

Tinjauan Pustaka Penelitian yang ditulis oleh saudari Rizky Susti Ningrum, mahasiswi IPB

yang berjudul “Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 33, 34 dan 35” telah menginspirasi penulis 5. Masalah yang dibahas di dalam penelitian tersebut adalah menganalisis faktorisasi grup abelian pada beberapa 3-grup dengan order 33, 34 dan 35 dan 3-grup sendiri merupakan contoh dari 𝑝-grup dengan 𝑝 = 3. Pada penelitian tersebut hanya dijelaskan definisi 𝑝-grup dan contoh-contohnya, dimana sifat-sifat yang ada kaitannya dengan 𝑝-grup belum dijelaskan, sehingga penulis terinspirasi untuk mengkaji 𝑝-grup beserta sifat-sifatnya lebih dalam. Penelitian lain yang ditulis oleh saudari Ratna Mei Hastuti, mahasiswi UGM yang berjudul “Penerapan Teorema Sylow pada Grup Solvable” pun memiliki andil dalam inspirasi yang didapat penulis. Penelitian tersebut membahas tentang aplikasi teorema Sylow pada grup solvable. Pembuktian teorema Sylow yang dijelaskan pada penelitian tersebut semuanya menggunakan

Skripsi yang berjudul Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 3 3, 34, dan 3 diunduh dari http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/48364 pada tanggal 22 Februari 2012, pukul 21.06 WIB 5

5

8

kelas konjugasi sedangkan penelitian yang dilakukan penulis untuk membuktikan teorema Sylow menggunakan 2 jalur, yaitu kelas konjugasi dan grup aksi. Pada penelitian penulis, teorema Sylow I dibuktikan dengan menggunakan kelas konjugasi sedangkan teorema Sylow II dan III dibuktikan dengan menggunakan grup aksi. Digunakan grup aksi karena untuk mempersempit batasan yang dibahas. Pada penelitian tersebut hanya menjelaskan definisi 𝑝-subgrup Sylow sehingga penulis terinspirasi untuk mengkaji 𝑝-subgrup Sylow beserta sifat-sifat yang dimiliki 𝑝-subgrup Sylow. Penulisan penelitian ini mengacu pada literatur utama yang bersumber dari buku yang ditulis oleh D. S. Malik, J. N. Mordeson dan S. K. Sen, buku tersebut membahas tentang kelas konjugasi, teorema Cauchy, 𝑝-grup, teorema Sylow yang sekaligus 𝑝-subgrup Sylow dan aplikasi teorema Sylow. Buku dari D. S. Dummit dan R. M. Foote, J. A. Gallian, I. N. Herstein ikut andil dalam memberikan penjelasan untuk landasan teori penelitian ini. Selain tinjauan pustaka yang telah digambarkan di atas masih ada referensi lain yang digunakan oleh penulis yang berupa buku-buku lain ataupun situs internet sebagai referensi pelengkap guna menunjang kelengkapan penelitian.

127

BAB V PENUTUP 5.1

Kesimpulan Berdasarkan hasil studi literatur yang telah penulis lakukan mengenai

𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : 1.

𝑝-grup adalah grup yang setiap order elemennya merupakan pangkat dari suatu bilangan prima 𝑝, sedangkan 𝑝-subgrup adalah suatu subgrup yang merupakan 𝑝-grup.

2.

𝑝-subgrup Sylow adalah 𝑝-subgrup dari suatu grup yang tidak termuat dalam 𝑝-subgrup lain dari grup tersebut. Jadi 𝑝-subgrup Sylow adalah 𝑝-subgrup maksimal dari suatu grup.

3.

3.1

Sifat-sifat 𝑝-grup :

3.1.1 𝐺 merupakan 𝑝-grup jika dan hanya jika 𝐺 = 𝑝𝑘 untuk suatu 𝑘 ∈ ℤ. 3.1.2 Center dari 𝑝-grup adalah nontrivial. 3.1.3 Jika 𝐺 grup yang berorder 𝑝2 maka 𝐺 abelian. 3.1.4 Jika 𝑃 merupakan 𝑝-grup maka sebarang konjugat dari 𝑃 merupakan 𝑝-grup. 3.1.5 Misalkan 𝐻 ⊴ 𝐺. Jika 𝐻 dan 𝐺 𝐻 kedua-duanya merupakan 𝑝-grup maka 𝐺 merupakan 𝑝-grup.

128

3.2

Sifat-sifat 𝑝-subgrup Sylow :

3.2.1 Untuk setiap 𝑝 bilangan prima, grup berhingga 𝐺 memiliki 𝑝-subgrup Sylow. 3.2.2 Misalkan 𝐺 grup yang berorder 𝑝𝑟 𝑚 dimana 𝑝 suatu bilangan prima, 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+, 𝑝 & 𝑚 relatif prima dan 𝐻 ≤ 𝐺, maka 𝐻 merupakan 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐺 jika dan hanya jika 𝐻 = 𝑝𝑟 . 3.2.3 Jika 𝑃 merupakan 𝑝-subgrup Sylow maka sebarang konjugat dari 𝑃 merupakan 𝑝-subgrup Sylow. 3.2.4 𝑃 satu-satunya 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐺 jika dan hanya jika 𝑃 ⊴ 𝐺. 5.2

Saran-saran Berdasarkan pada proses penelitian yang telah penulis lakukan, maka

dapat disampaikan beberapa saran berikut : 1.

Penelitian ini hanya dibatasi pada pembahasan mengenai sifat-sifat 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow, diharapkan ada penelitian lebih lanjut untuk mengaplikasikan sifat-sifat 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow yang telah ada.

2.

Penelitian ini juga hanya membahas gambaran kecil tentang aplikasi Teorema Sylow pada grup sederhana, sehingga dimungkinkan dilakukan penelitian lebih mendalam tentang aplikasi Teorema Sylow pada grup sederhana atau mengaplikasikan Teorema Sylow pada grup lain.

129

Demikian saran-saran yang dapat disampaikan oleh penulis. Semoga skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk mengembangkan lebih lanjut tentang sifat-sifat 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow khususnya, dan konsep aljabar abstrak pada umumnya.

130

DAFTAR PUSTAKA

Arifin, Ahmad. 2000. Aljabar. Bandung : Penerbit ITB. Bhattacharya, P. B.., S. K. Jain, dan S. R. Nagpaul. 1994. Basic Abstract Algebra. Second Edition. Cambridge : Cambridge University Press. Dummit, David S. dan Foote, Richard M. 2004. Abstract Algebra. Third Edition. USA : John Wiley & Sons, Inc. Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra. Seventh Edition. Addison Wesley. Gallian, Joseph A. 1990. Contemporary Abstract Algebra. Second Edition. Toronto : D. C. Heath Company. Gilbert, Jimmie dan Linda Gilbert. 2000. Elements of Modern Algebra. Fifth Edition. USA : Brook/Cole. Hastuti, Ratna Mei. 2009. Penerapan Teorema Sylow pada Grup Solvable. Skripsi S1. Yogyakarta : Jurusan Matematika FMIPA UGM. Herstein, I.N. 1996. Abstract Algebra. Third Edition. USA : Prentice – Hall, Inc. Malik, D. S., J. N. Mordeson, dan M. K. Sen.1997. Fundamental of Abstract Algebra. Singapore : The McGraw-Hill Companies. Ningrum, Rizky Susti. 2011. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 33, 34, dan 35. Skripsi S1. Bogor : Departemen Matematika FMIPA IPB. Raisinghania, M. D. dan R. S. Aggarwal. 1980. Modern Algebra. Second Edition. New Delhi : S. Chand & Company Ltd.

131

Sukirman. 2005. Pengantar Aljabar Abstrak. Cetakan Pertama. Malang : Universitas Negeri Malang. Wikipedia. Aljabar. http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar. 3 Maret 2012 pukul 16.47 WIB. Wikipedia. Abstract algebra. http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra. 3 Maret 2012 pukul 17.02 WIB. Wordpress. Dihedral Group. anrusmath.files.wordpress.com/2008/07/ dihedral_group.pdf . 18 Maret 2012 pukul 21.43 WIB. Wikipedia. Lagrange’s theorem (group theory). http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_theorem_(group_theory). 3 Maret 2012 pukul 22.22 WIB. http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/48364