Sistem Komunikasi II (Digital Communication Systems) Lecture #1: Stochastic Random Process Topik: 1.1 Pengenalan Sistem Komunikasi Digital. 1.2 Pendahuluan Stochastic Random Process. 1.3 Random Variable & parameter statistiknya. 1.4. Random Process & parameter statistiknya. 1.5. Bentuk Auto-Korelasi dan PSD untuk beberapa Sinyal Dasar. 1.6 Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier.
1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital Block Diagram dari Sistem Komunikasi Digital: Transmitter 100101…
10101…
Encoder > Kompresi > Enkripsi > Error Coding
100101…
1011…
Decoder Error Decoding < Dekripsi < Dekompresi <
RF Modulator
Modulator > Mapping > Pulse Shaping
Baseband > Bandpass
Kanal
Demodulator & Detector Filtering < Mapping < Deteksi <
Receiver
RF Demodulator Sinkronisasi < Bandpass – Baseband <
1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital – cont. Gangguan dalam Sistem Komunikasi Digital: Transmitter 100101…
10101…
Encoder
Modulator
RF Modulator
ÁAtenuasi Thermal Noise
Kanal ÁDistorsi ÁInterferensi
100101…
1011…
Decoder
Demodulator & Detector Receiver
RF Demodulator
1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital – cont. Model Sistem Komunikasi Digital + Noise: Transmitter 100101…
10101…
Encoder
Modulator
RF Modulator Model Kanal Random Noise
100101…
1011…
Decoder
Demodulator & Detector Receiver
RF Demodulator
1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital – cont. Model Sistem Komunikasi Digital + Noise: Transmitter 100101…
10101…
Encoder > Kompresi > Enkripsi > Error Coding
100101…
1011…
Decoder Error Decoding < Dekripsi < Dekompresi <
RF Modulator
Modulator > Mapping > Pulse Shaping
Baseband > Bandpass
Random Noise
Demodulator & Detector Filtering < Mapping < Deteksi <
Receiver
RF Demodulator Sinkronisasi < Bandpass – Baseband <
1.2. Pendahuluan Stochastic Random Process. Deterministic
Model Matematis Stochastic
•Deterministic Model – model yg digunakan utk menggambarkan suatu proses dimana selalu ada ‘kepastian’ mengenai suatu variabel yg bergantung pada waktu (sinyal). Contoh: Sinyal sinusoid:
x(t ) = A cos(ω o ⋅ t + θ )
x(t) dapat di karakteristikan sepenuhnya (deterministic) dari informasi: - Amplitudo - A - Frekwensi fundamental – wo - Fase - theta
1.2. Pendahuluan Stochastic Random Process – cont.
Stochastic Model – model yg digunakan utk menggambarkan suatu proses dimana tdk ada ‘kepastian’ mengenai suatu variabel yg bergantung pada waktu (sinyal). Contoh: Sinyal sinusoid + noise:
x(t ) = A cos(ω o ⋅ t + θ ) + noise(t )
x(t) dapat tidak dapat di karakteristikan sepenuhnya dari informasi A, wo, dan theta karena adanya random noise noise(t).
1.2. Pendahuluan Stochastic Random Process – cont.
• •
Dalam proses alami noise selalu eksis. Sumber-sumber noise dlm sistem komunikasi: - ‘thermal noise’ dari komponen elektronika. - Interferensi dari perangkat radio di sekitar receiver. - Interferensi dari pengguna saluran telekomunikasi yg lain.
Æ Sinyal sistem komunikasi bersifat random (acak). Æ Bagaimana kita bisa menjelaskan sesuatu yang bersifat random? Answer: Statistical (Stochastic) Modelling Stochastic Model memungkinkan kita menggambarkan suatu proses random dalam ‘bahasa’ statistik sehingga proses tersebut dapat di karakterisasi, dianalisa, dan diolah.
1.3. Random Variable Definisi: Sebuah Random Variable X adalah sebuah bilangan nyata yang merupakan hasil pemetaan outcome dari sebuah random experiment. random variable Conceptual block diagram:
Random Number Generator (RNG) Outcome Random Experiment
X = x ,x∈\ bilangan nyata
1.3. Random Variable – cont. Contoh: Random experiment: “melempar sebuah dadu & melihat sisi yg muncul” Random Variable ~ X = f(s) : jumlah dot pada sisi yang muncul
X = f(s)
1.3. Random Variable – cont. Parameter-parameter Statistik dari Random Variable X (1). Distribution Function Definisi: Distribution Function dari sebuah random variable X adalah probabilitas X bernilai lebih kecil atau sama dengan x.
FX ( x) = P( X ≤ x) Sifat-sifatnya:
1. 0 ≤ FX ( x) ≤ 1 2. FX ( x1 ) ≤ FX ( x2 ) bila x1 ≤ x2 3. FX (−∞) = 0 4. FX (+∞) = 1
1.3. Random Variable – cont. Parameter-parameter Statistik dari Random Variable X – cont. (2). Probability Distribution Function (PDF) Definisi: Probability Distribution Function dari sebuah random variable X adalah:
Sifat-sifatnya:
1.
dFX ( x) p X ( x) = dx
p X ( x) ≥ 0 ∞
2.
∫p
X
( x) ⋅ dx = 1
−∞
Interpretasi: PDF menggambarkan frekwensi munculnya nilai x di dalam random variable X.
1.3. Random Variable – cont. Parameter-parameter Statistik dari Random Variable X – cont. (3). Average (Mean) ~
µ X ( x)
Definisi: Average / Mean dari sebuah random variable X adalah nilai rata- rata dari X:
∞
E[ X ] =
∫ x⋅ p
X
( x) dx
−∞
• Average / Mean bisa di-interpretasikan sebagai lokasi ‘pusat gravitasi’ dari sebuah PDF. • Average / Mean bisa juga berarti nilai x yg mempunyai probabilitas terbesar. E{ } = expectation operator
Mean = 0
Mean = 2
1.3. Random Variable – cont. Parameter-parameter Statistik dari Random Variable X – cont. (4). Variance ~
σ X2 ( x)
Definisi: Variance dari sebuah random variable X adalah rata-rata (perbedaan antara X dan averagenya)^2 :
E[( X − µ X ) 2 ] =
∞
2 ( x − µ ) ⋅ p X ( x) dx X ∫
−∞
Variance dapat di-interpretasikan sebagai ‘penyebaran’ nilai dari sebuah random variable. ‘penyebaran’ proposional dengan lebarnya PDF.
σ X2 ( x) = 1
σ X2 ( x) = 2
1.3. Random Variable – cont.
Definisi: Gaussian random variabel Z adalah suatu random variable yang di-karakterisasikan oleh Gaussian PDF sebagai berikut:
1
pZ ( z ) =
2πσ
2
e
− 1 ( z −µ 2 σ2
Z )
2
µ Z = mean of Z σ 2 = variance of Z Z
Gaussian adalah random variable yg terpenting untuk dipelajari dalam sistem komunikasi digital.
1.4. Random Process. Definisi: Random process adalah suatu set (ensemble) fungsi dari waktu yang merupakan hasil pemetaan outcome dari suatu random experiment.
O ut co m
e
Random process X(t)
Random Experiment
RNG - 1 RNG - 2
X1(t) X2(t)
realisasi-1 realisasi-2 realisasi-3
RNG - 3 tc Ou
X3(t)
om e
RNG - n RNG = Random Number Generator
realisasi-n Xn(t)
1.4. Random Process – cont. Contoh: Random experiment: “pengukuran temperatur dalam sebuah ruangan, pada jam 9 pagi selama 1 jam” x1(t) – pengukuran hari ke-1
realisasi ke-1
x2(t) – pengukuran hari ke-2 realisasi ke-2
xn(t) – pengukuran hari ke-n realisasi ke-n
1
t (jam)
Konsep Praktis: Random process adalah suatu fungsi dari waktu yang amplitudonya bersifat random & parameter statistiknya bersifat konstan (tidak berubah dengan waktu).
1.4. Random Process – cont. Parameter-parameter Statistik dari Random Process X(t) (1). Mean (Average) Definisi: Mean (Average) dari sebuah random process X(t) adalah nilai rata-rata dari sebuah random process tersebut. T 2
1 µ X = E [ X (t )]] = lim X (t ) dt T →∞ T ∫ −T 2
Contoh: Random Binary sequence: Pr(X(t) = -1) = 1/2 Pr(X(t) = +1) = 1/2
µX = 0
1.3. Random Process – cont. Parameter-parameter Statistik dari Random Process X(t) – cont. (2). Auto-Korelasi Definisi: Auto-Korelasi dari sebuah random process X(t) adalah nilai ‘kemiripan’ antara X (t ) dan X (t − τ ) .
RX (τ ) = E [ X (t ) ⋅ X (t − τ ) ] T 2
1 = lim X (t ) ⋅ X (t − τ ) dt ∫ T →∞ T −T 2 Sifat-sifatnya:
1. RX (τ ) = RX (−τ ) ~ simetris 2. RX (0) = Total Average Power of X (t )
1.3. Random Process – cont. Parameter-parameter Statistik dari Random Process X(t) – cont. (3). Power Spectral Density (PSD) Definisi: Power Spectral Density dari sebuah random process X(t) adalah Fourier transform dari ∞
GX ( f ) =
∫
RX (τ ) .
RX (t ) ⋅ e − j 2π ft dt
−∞
Sifat-sifatnya:
1. GX ( f ) ≥ 0 2. GX ( f ) = GX (− f ) ~ simetris ; bila X (t ) ∈ \ ∞
3.
∫G
−∞
X
( f ) df = Total Average power of X (t )
1.5. Bentuk Auto-Korelasi & PSD untuk beberapa Sinyal Dasar (1). Random Binary Sequence P ( X = 1) =
X (t )
1 2
P( X = −1) =
t
1 2
τ 1− T RX (τ ) = 0
T
0 ;τ ≤T ;τ >T
sin(π ft ) GX ( f ) = T ft π
2
1.5. Bentuk Auto-Korelasi & PSD utk beberapa Sinyal Dasar – cont.
N (t )
(2). White Gaussian Noise Karakteristik: 1. Tidak ber-korelasi. 2. PSD nya flat untuk semua frekwensi (white).
RN (τ )
GN ( f )
N0 2
N0 2
0
τ
0
f
1.5. Bentuk Auto-Korelasi & PSD utk beberapa Sinyal Dasar – cont.
Dalam sistem komunikasi digital, White Gaussian Noise (WGN) adalah tipe random process yang paling relevan karena 3 alasan berikut: 1. Thermal noise dapat dikarakterisasikan sebagai WGN. 2. WGN mempunyai bentuk Auto-korelasi dan PSD yang sederhana sehingga memudahkan analisa. 3. Gabungan dari banyak random process dengan berbagai tipe distribusinya mempunyai kecenderungan untuk menjadi Gaussian random process (Central Limit Theorem).
1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier. Respon Sistem Linier (terhadap sinyal deterministik). Sistem Linier
Input
x(t)
*
X(f)
Output
h(t)
= y(t)
H(f)
= Y(f)
Domain Waktu Domain Frekwensi
Fourier Transform: Konvolusi:
∞
Y ( f ) = ∫ y (t ) ⋅ e − j 2π ft dt 0
∞
1 j 2π ft y (t ) = Y ( f ) ⋅ e df ∫ 2π ∞
y (t ) = h(t ) ∗ x(t ) ∞
y (t ) = ∫ h(τ ) ⋅ x(t − τ ) dτ 0
1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont.
Fungsi Transfer:
Y( f ) = H( f )⋅ X( f ) Y( f ) H( f ) = X(f )
~ Fungsi Transfer
H ( f ) = | H ( f ) | ⋅e j∠H ( f ) Magnitudo
If
Sudut
X ( f ) = | X ( f ) | ⋅e j∠X ( f ) ,
Then, Y ( f ) = | H ( f ) | ⋅ | X ( f ) | e j (∠H ( f ) + ∠X ( f ))
1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont. H ideal ( f )
Lowpass Filter Ideal:
1 H ideal ( f ) = 0 ∞
hideal (t ) =
∫
; | f |≤ f c ; | f |> f c
H ideal ( f ) ⋅ e j 2π ft df
−∞
=
=
fc
hideal (t )
df
− fc
=
− fc
f
2 fc
fc
j 2π ft e ∫
1
1 j 2π f ct e − e− j 2π f ct j 2π t sin(2π f c t ) πt
1 2 fc
3 2 fc
t 3 2 fc
1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont. Respon Sistem Linier (terhadap random process). Sistem Linier
Input (random process)
X(t) GX(f)
Output (random process)
h(t)
= Y(t)
Domain Waktu
|H(f)|2
= GY(f)
Domain Frekwensi
*
GX ( f ) = PSD of X(t). GY ( f ) = PSD of Y(t).
1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont. Respon Sistem (terhadap random process) – cont. Contoh: Ideal Lowpass Filtered White Noise
Ideal LPF
n(t) (white noise)
GN ( f )
Y(t)
GY ( f )
H ideal ( f ) 1
N0/2
N0/2
0
f
− fc
fc
f
− fc
fc
f
1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont. Respon Sistem (terhadap random process) – cont. Contoh: Ideal Lowpass Filtered White Noise – cont.
RY (τ )
N0 ⋅ fc
RY (τ ) =
N 0 sin(2π f cτ ) ⋅ πτ 2
1 2 fc
3 5 2 fc 2 fc
τ 2 2 fc
