Simulasi Investasi dengan Hukum Pangkat Zipf Analisis Zipf (m,2) dalam Teks Data Indeks Keuangan
Hokky Situngkir (
[email protected]) Dept. Computational Sociology Bandung Fe Institute
Yohanes Surya (
[email protected]) Surya Research Intl.
Abstrak Analisis Zipf-(m,k) yang diperluas diterapkan dalam simulasi investasi yang dilakukan atas beberapa jenis data keuangan (indeks dan kurs valuta asing) untuk memprediksi naik dan turunnya fluktuasi data keuangan dengan k=2. Gagasannya diperoleh dengan pola pemecahan data pada analisis R/S untuk memperoleh eksponen Hurst dan metode DFA yang telah diperkenalkan sebelumnya pada data keuangan. Data-data ditransformasikan ke dalam bentuk teks yang mengandung abjad representasi naik-turunnya indeks harga dan melakukan analisis dengan Zipf plot dalam kerangka optimisasi keputusan investasi. Dari sini diperoleh bahwa metode ini membuka peluang analisis korelasi yang sama sekali baru sekaligus pola investasi yang cukup optimum. Kata Kunci: eksponen Zipf, analisis R/S, eksponen Hurst, DFA, investasi, hukum pangkat.
0. Latar Belakang Keberadaan hukum pangkat senantiasa hadir di mana-mana dalam tiap aspek kehidupan kita sehari-hari, mulai dari transisi fasa zat-zat [8], jaring-jaring sosial [17], urutan penggunaan kata dalam berbagai teks [18], deretan kota-kota berdasarkan populasinya [9], hingga hasil perolehan suara dalam pemilihan umum dari segi sifat statistikanya [11]. Sifat hukum pangkat (power-law) merupakan wujud yang sangat penting dalam memahami sistem kompleks yang memiliki sifat-sifat pengaturan diri sendiri pada kondisi kritikal (self-organized criticallity). Hal ini pula yang membuat kita insyaf bahwa sistem di alam memang tak pernah berhenti untuk berkembang (baca: ber-evolusi) di
semua tataran skala baik di tataran sel, perilaku, hingga berbagai ekses dari perilaku tersebut. Sifat ini pada akhirnya menahbiskan pendekatan formal yang dikenal dengan pendekatan invariansi-skala diskrit (discrete scale-invariance) – tidak peduli skalanya bagaimana, sifat hukum pangkat senantiasa membrojol dari sistem [12, 13]. Langsung atau tidak langsung, disadari atau tidak, pemahaman kita akan sifat hukum pangkat tentu membuka berbagai pintu peluang untuk lebih baik lagi dalam bertindak dan mengambil keputusan dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya adalah apa yang ingin diketengahkan dalam makalah ini, yakni bagaimana pemahaman kita akan sifat hukum pangkat (dalam hal ini hukum Zipf) memberikan perangkat bantu intuitif dalam berinvestasi pada pasar keuangan, misalnya pasar stok, pasar berjangka indeks, termasuk pasar mata uang (valuta asing). Gagasan utamanya adalah membuat perangkat prediksi yang dapat menganalisis seberapa besar kemungkinan harga akan naik atau turun pada masing-masing interval waktu perdagangan. Apakah di kemudian waktu harga akan naik atau turun tentu merupakan permasalahan yang penting dalam investasi, baik jangka panjang maupun jangka menengah. George Kingsley Zipf, linguis kenamaan Amerika Serikat, menunjukkan bahwa kata-kata yang digunakan dalam setiap teks (bahasa natural), jika diurutkan berdasarkan frekuensi penggunaannya akan mengikuti hukum pangkat [18]. Penggambaran statistika linguistik ini sekarang dikenal dengan sebutan teknik Zipf-plot, yang menggambarkan frekuensi penggunaan kata terhadap ranking dari kata yang bersangkutan dalam diagram log-log. Hasilnya adalah bahwa hubungan antara kata dan frekuensi penggunaannya ini senantiasa dapat dicari nilai kemiringan liniernya yang menunjukkan hubungan pangkat antara ranking kata yang bersangkutan dengan frekuensi penggunaannya. Zipf plot ini pada dasarnya menunjukkan bentuk hubungan matematis antara frekuensi kejadian kumulatif P dengan rankingnya (R) oleh pangkat s yang tak lain adalah kemiringan pada Zipf-plot. Secara sederhana ditulis: P(> R ) ≈ R − s . Yang menarik adalah universalitas sifat ini, tak hanya pada bidang linguistik, namun juga pada banyak domain kehidupan lain. Berbicara pada statistika domain lain, tentunya yang dilihat adalah hubungan antara kejadian-kejadian (events) yang diranking berdasarkan frekuensi kejadian bersangkutan. Dalam analisis keuangan telah dikenal sifat skala [10] dalam sistem keuangan yang menunjukkan sifat multifraktal yang diberikan oleh eksponen Hurst [6] dan menghasilkan gagasan atas metode Detrended Fluctuation Analysis (DFA) dalam hal menganalisis sejauh mana satu data berkorelasi dengan data yang lain dalam deret waktu [7].
2
Ini menjadi diskusi kita pada makalah ini, yakni bagaimana pemahaman kita akan metode peramalan DFA yang dilandasi oleh tren data yang diamati melalui eksponen Hurst membantu kita dalam melihat kapan harga akan naik atau turun dengan hukum Zipf.
1. Dari Sifat Multifraktal ke Hukum Zipf 1.1. Analisis R/S Analisis R/S [6, 10] dan teknik DFA telah menunjukkan pada kita bahwa data deret waktu keuangan memiliki sifat kesamaan pada diri. Sifat ini menunjukkan bahwa bagian dari data memiliki pola yang sama dengan pola keseluruhan atau bagian lain dari data [14]. Di sisi lain, berbagai literatur juga telah menunjukkan bahwa data deret waktu keuangan dapat diperlakukan sebagaimana halnya deretan bilangan acak dalam batasbatas tertentu [2]. Namun harus diakui bahwa kedua metode ini tidak menunjukkan teknik prediksi yang eksplisit dalam fungsi implementatifnya [1]. Analisis R/S merupakan metode yang dikenal dalam statistika R/S sebagai bentuk analisis dengan penskalaan selang (rescaled range analysis) untuk menghasilkan eksponen Hurst [4, 5]. Dalam analisis R/S, kita memecah data deret waktu Y1 , Y2 ,...YN atas selang yang sama menjadi y1 , y 2 ,... y n kemudian menghitung (R) nilai deviasi kumulatifnya terhadap nilai rata-rata pada selang tersebut yang dinormalisasi atas standar deviasi sampelnya (S). Secara singkat dapat ditulis: R ( n) 1 ⎡ ⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞⎤ max y y min = − − ⎜ ⎟ ⎜ ∑ y i − y n ⎟⎥ , ∑ ⎢ i n S ( n) S ( n) ⎣ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎦
(1)
di mana standar deviasi dinyatakan sebagai
S 2 ( n) =
(
1 n ∑ yi − y n i =1
n
).
(2)
Hal ini dilakukan untuk ukuran selang (s) yang berubah-ubah sehingga terdapat hubungan yang menunjukkan ada/tidaknya selang skala dalam hubungan hukum pangkat:
3
R ( n) ≈ sH S ( n)
(3)
di mana nilai H akan selalu berada pada interval [0,1]. Nilai H yang berbeda-beda menunjukkan sifat data deret waktu terhadap tren yang diikutinya, sebagai: (i) 0 ≤ H < 0.5 menunjukkan persistensi atas tren. (ii) H = 0.5 menunjukkan sifatnya sebagai gerak Brown biasa. (iii) 0.5 < H ≤ 1 menunjukkan antipersistensi atas tren. Metode ini memberikan inspirasi pada metode DFA untuk melihat apakah satu data memiliki korelasi atau anti-korelasi dengan data lainnya [4]. 1. 2. Hukum Pangkat Zipf Hukum pangkat Zipf telah sedemikian dikenal dalam berbagai pendekatan di berbagai domain sistem [8], yang mengurutkan deretan kejadian yang digunakan sebagai urutan (ranking) frekuensi kemunculannya dalam plot Zipf. Jika kemiringan dari plot frekuensi terjadinya berbagai kejadian tersebut dinyatakan sebagai β , maka nilai harapan E ( X r ) dengan ranking ke-r pada variabel Xr dinyatakan sebagai
E ( X r ) ~ C1 × r − β
(4)
di mana C1 sebagai konstanta normalisasi. Artinya adalah bahwa terdapat r variabel dengan nilai harapan lebih besar atau sama dengan C1 × r − β dengan peluang
P ( X ≥ C1 × r − β ) = C 2 × r
(5)
atau secara sederhana ditulis:
P( X ≥ y ) ~ y
−
1
β
(6)
Dari sini kita dapati fungsi probabilitas distribusinya sebagai
P( X = y) ~ y
⎛ 1 −⎜⎜ 1+ ⎝ β
⎞ ⎟⎟ ⎠
= y −a
(7)
4
dengan variabel a = 1 +
1
β
.
Hal inilah yang kita terapkan dalam analisis kita untuk mencari tahu kemungkinan terbesar apakah nilai indeks akan naik atau turun dari nilai sebelumnya dengan melakukan transformasi data keuangan tersebut menjadi semacam teks. Harapannya, pola ranking yang dihasilkan juga mengikuti hukum pangkat Zipf. Dari sini kita dapat menyusun strategi investasi yang akan dilakukan dengan mengambil inspirasi dari metode DFA dan analisis R/S.
2. Transformasi Data Keuangan Menjadi Teks Pendekatan kontemporer yang dilakukan oleh Ph. Bronlet dan M. Ausloos [1,3] memperkenalkan pendekatan hukum Zipf-(m,k) yang mentransformasikan deret data waktu keuangan atas “kata” yang tersusun atas m huruf dan k abjad. Dalam makalah ini kita akan menunjukkan penggunaan dua abjad (k=2) yang mewakili naik-turunnya harga yaitu abjad “n” dan “t”, masing-masing mewakili naik dan turun. Naik dan turunnya harga ini misalnya dapat dihitung sebagai pengurangan data penutupan dan pembukaan pasar. Secara sederhana, jika harga pembukaan lebih besar dari harga penutupan, maka fluktuasi kita simbolkan sebagai huruf “t” dan huruf “n” jika sebaliknya. Penggunaan abjad lain dapat disesuaikan dengan menggunakan parameterisasi nilai naik atau turunnya nilai indeks, misalnya untuk naik sebesar nilai tertentu disimbolkan dengan abjad “c” dan turun dengan nilai yang sama menjadi abjad “d”, dan seterusnya. Hal ini menjadi arahan praktis pengembangan lanjut dari makalah ini. Dari sini, dengan menggunakan dua abjad tersebut, maka kita telah memiliki beberapa kata yang mungkin dibentuk. Sebagai contoh, misalnya kita menggunakan kata yang terdiri dari 2 huruf saja, maka jumlah kata yang mungkin di dalam data deret waktu adalah sebesar 2m = 22 buah kata, yaitu “nn”, “tt”, “nt”, dan “tn”. Hal ini dilakukan hingga beberapa jumlah kata yang mungkin. Dalam makalah ini, dilaporkan penggunaan kata dengan panjang hingga 8 abjad dan 10 abjad untuk beberapa indeks tertentu sesuai dengan keperluan dan pertimbangan atas indeks yang hendak kita analisis. Dengan mengurutkan sesuai frekuensi (f) terjadinya kata tersebut sepanjang data kita, maka kita dapat menggambarkan plot Zipf-nya, dengan ranking mulai dari R=1 untuk kata yang paling sering muncul. Berdasarkan hukum Zipf, maka akan diikuti pola hukum pangkat dengan hubungan:
5
f ~ R −a
(8)
Dalam hubungannya dengan analisis R/S, telah ditunjukkan oleh Bronlet, et. al. bahwa terdapat konjektur relasi: a = 2H − 1
(9)
Harus kita catat di sini bahwa peluang terjadinya naik (n) dan turun (t) harga peluangnya seringkali tidak sama untuk setiap data deret waktu. Di sini terdapat bias, sebagai:
ε = p(n) − p(t )
(10)
di mana p(n) dan p(t) masing-masing adalah peluang naik dan turun dalam data deret waktu. Dalam hal ini, sebagaimana diterangkan oleh Vanderwalle, et.al. kita perlu memperhitungkan frekuensi harapan f’ yang merepresentasikan situasi acak (tidak terkorelasi). Dalam hal ini, dalam perhitungan kita menggunakan f’ sebagai ganti dari bentuk asli dari metode Zipf (f) dengan koefisien pangkat a’. Hal ini secara matematis jelas mencegah terjadinya pangkat a=0 yang mungkin terjadi karena bias tersebut [16]. Nilai f’ ini dihitung sebagai:
f ' = p m − n (n). p n (t )
(11)
Dalam tabel 1 ditunjukkan perbedaan nilai H dan a untuk beberapa data keuangan yaitu data harian indeks NASDAQ1, DOWJONES2, NIKEII2253, HANGSENG4, IHSG5, dan kurs Yen-Dolar6 serta Poundsterling-Dolar7. Fluktuasi dari 1
Data harian NASDAQ tanggal 3 Januari 2000 - 14 Februari 2005 sesuai dengan pencatatan di http://finance.yahoo.com 2
Data harian DOWJONES tanggal 3 Januari 2000 - 14 Februari 2005 sesuai dengan pencatatan di http://finance.yahoo.com 3
Data per sesi perdagangan NIKEII225 tanggal 6 Maret 2003 - 18 Februari 2005
4
Data per sesi perdagangan HANGSENG tanggal 6 Maret 2003 - 18 Februari 2005
5
Data IHSG tanggal 4 Januari 2000 - 2 November 2004
6
data-data ini (pada harga penutupan) ditunjukkan dalam gambar 1. dan transformasinya dalam plot Zipf pada gambar 2.
Gambar 1 Data keuangan yang digunakan dalam analisis dan simulasi dengan hukum Zipf 6
Data kurs harian Yen/USD tanggal 3 Januari 2000 - 14 Desember 2004
7
Khusus untuk data GBP/USD, kita menggunakan dua jenis data, yaitu data harian tanggal 4 Januari 1999 - 13 Desember 2004 dan data per jam pada interval pukul 22:00 30 September 2004 – pukul 12:00 24 Januari 2005.
7
Gambar 2 Plot Zipf untuk masing-masing indeks dengan panjang kata yang berbeda-beda untuk tiap data keuangan.
8
Pada gambar 2 ditunjukkan gambaran dari plot Zipf untuk masing-masing indeks setelah kita mentransformasikannya menjadi kata dengan berbagai panjang huruf yang berbeda untuk masing-masing fluktuasi indeks.
3. Hukum Zipf-(m,2) Pada Berbagai Data Keuangan Nilai numerik dari penggambaran data keuangan dengan metode plot Zipf ini digambarkan pada tabel 1 yang menunjukkan variasi dari eksponen Hurst (H), bias ( ε ), serta fraksi peluang naik dan turun untuk data-data yang kita hendak simulasikan. Terlihat bahwa terdapat beberapa data dengan nilai eksponen Hurst yang berada di bawah 0.5 (yang cenderung persisten terhadap tren tertentu) dan sebagian lain di atas 0.5 (cenderung anti persisten terhadap tren). Hal ini menjadi menarik jika kita bandingkan dengan tabel 2 yang menunjukkan variasi eksponen Zipf yang ditemukan untuk besar jumlah abjad yang digunakan (m). Tabel 1 Parameter-parameter yang diperoleh dari masing-masing data deret waktu yang digunakan dalam simulasi.
IHSG Kurs Yen/USD Kurs GBP/USD perhari Kurs GBP/USD perjam Indeks Dowjones Indeks NASDAQ Indeks Hang Seng Indeks NIKEII225
H 0.49583 0.62202 0.53056 0.63109 0.64417 0.61346 0.52107 0.59167
ε
p(n)
0.0268
0.5268 0.4923
-0.007 0.0177 -0.005
0.0093 0.00078 0.0348 0.0132
0.5177 0.495 0.5093 0.5008 0.5348 0.4868
p(t) 0.4732
0.5077 0.4823 0.505 0.4907 0.4992 0.4652 0.5132
Pada tabel 2 tersebut terlihat bahwa nilai a memang cenderung lebih kecil untuk m yang kecil dibanding dengan nilai a ketika m relatif besar. Hal ini tentu dapat dimaklumi dengan mengetahui bahwa terdapat kesukaran tertentu menentukan fit eksponen a ketika banyak variasi kejadian (events) yang juga kecil (misalnya untuk kata dengan m=2 hanya terdapat 22=4 variasi kejadian). Diketahui bahwa nilai pangkat yang semakin mendekati nol akan semakin menunjukkan rendahnya kemampuan prediktif kita. Sebagaimana terlihat pada tabel, hal ini tentu berbeda ketika kita melibatkan jumlah abjad yang semakin besar dalam tiap variasi katanya. Kita juga mengetahui bahwa perlu terdapat beberapa pertimbangan nilai m dari masing-masing kalkulasi yang kita perhitungkan disesuaikan dengan kondisi terbentuknya data yang hendak kita analisis. Sebagai contoh, jika kita menggunakan nilai m=2 untuk data harian, maka kita memperhitungkan variasi
9
naik/turunnya data dalam selang 2 hari, untuk m=3 dalam selang 3 hari dan seterusnya. Untuk data sesional NIKEII225 dan HANGSENG, kita menggunakan variasi dari m=2 hingga m=10 dengan pertimbangan bahwa data sesional terjadi dua kali dalam satu hari, maka kita memperhitungkan terdapat 10 data selama 5 hari atau 1 minggu perdagangan. Hal-hal semacam ini tentu dapat menjadi pertimbangan dalam aplikasi implementatif dari model ini. Tabel 2 Nilai eksponen Zipf (a) untuk berbagai data dengan nilai m yang bervariasi m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 m=8 m=9 m = 10
IHSG
Yen/USD
GBP/USD (hari)
GBP/USD (jam)
DJIA
NASDAQ
HANG SENG
NII225
-0.1968 -0.1999 -0.2018 -0.2235 -0.2506 -0.2686 -0.2966 N/A N/A
-0.05782 -0.1138 -0.1323 -0.1513 -0.1827 -0.216 -0.2832 N/A N/A
-0.1328 -0.1507 -0.1573 -0.1847 -0.2027 -0.2394 -0.2768 N/A N/A
-0.02267 -0.03204 -0.08594 -0.1073 -0.1303 -0.1685 -0.2257 N/A N/A
-0.1173 -0.1262 -0.1477 -0.1566 -0.1849 -0.2164 -0.2566 N/A N/A
-0.04878 -0.05369 -0.1048 -0.1336 -0.1802 -0.2168 -0.2545 N/A N/A
-0.1872 -0.1937 -0.1984 -0.2149 -0.24 -0.2689 -0.3111 -0.3648 -0.4045
-0.09486 -0.1456 -0.1598 -0.1873 -0.2355 -0.2754 -0.3347 -0.3731 -0.4253
4. Simulasi Investasi Dengan pemahaman tersebut kita akan memulai melakukan simulasi investasi dengan data-data yang berbeda-beda tersebut. Hal ini bertujuan agar kita memiliki dasar prediksi berdasarkan karakter skala (scaling) dari tiap data keuangan dalam hal berinvestasi. Dalam proses ini, kita mengambil inspirasi dari metode DFA yang hendak mencari apakah data yang akan datang memiliki korelasi atau anti-korelasi dengan data-data historis sebelumnya – bedanya adalah sekarang kita memiliki perangkat prediksi untuk meramalkan apakah harga akan naik atau turun pada interval transaksi perdagangan berikutnya dan bahwa kita menggunakan jendela analitis pada sejumlah kata yang digunakan sebagai terminologi kata. Secara teknis, pertanyaan kita adalah apa yang akan terjadi ketika kita memiliki sekuen kata dengan deretan abjad sepanjang (m-1)? Jika kita memiliki sekuen kata {c(t-m+1),…,c(t-1),c(t))}, seberapa besar kemungkinan c(t) bernilai “naik” atau “turun”, dengan c(t) menunjukkan huruf pada waktu t? Dari sini kita akan menghitung berdasarkan kata yang telah kita ranking dalam plot Zipf untuk mencari seberapa besar peluang naik (pnaik(t)) yaitu terjadinya deretan {c(tm+1),…,c(t-1),”n”)}, dan peluang turun (pturun(t)) atau terjadinya deretan {c(t-m+1),…,c(t10
1),”t”)}. Dianjurkan [1] untuk memperhitungkan variabel kekuatan parameter, yaitu sejauh mana kita mempercayai sebuah hasil perhitungan yaitu melalui kemungkinan relatif yang ditunjukkan oleh:
D (t ) =
p naik (t ) − p turun (t ) p naik (t ) + pturun (t )
(12)
Parameter D(t) ini menunjukkan seberapa besar peluang terjadi hasil prediksinya yang nilainya berada pada selang [0..1]. Dalam simulasi pada makalah ini, kita menggunakan parameter D(t) sebagai bentuk fraksi seberapa besar kita “membeli” atau “menjual” atas nilai indeks tersebut. Sebagaimana kita ketahui bahwa kita akan mengambil posisi “membeli” ketika p naik (t ) > pturun (t ) dan “menjual” untuk kondisi sebaliknya. Simulasi kita lakukan untuk berbagai penggunaan panjang kata (m) pada berbagai data yang tersedia dengan membuat kalkulasi bahwa kita melakukan inevstasi untuk selang waktu sepanjang τ . Nilai τ ini dapat bernilai 1 tahun perdagangan (sekitar 250 entri data harian dan 500 entri data sesional) atau bernilai 1 minggu (sekitar 168 entri data perjam untuk pasar mata uang) tergantung keperluan dan karakteristik data kita. Dari sini, kita memperhitungkan berapa share poin yang kita terima (tebakan benar) setelah sekian lama berinvestasi dengan menggunakan nilai m tertentu untuk masing-masing data deret waktu yang spesifik. Perlu kita catat sekali lagi bahwa perolehan ini diperhitungkan dengan mempertimbangkan variabel kekuatan parameter D(t) untuk setiap hasil prediksi
p naik (t ) dan pturun (t ) . Dalam simulasi yang kita lakukan, kita bergerak di sepanjang data deret waktu yang ada dan pada setiap iterasi kita meng-update data yang diperoleh bersama dengan
keuntungan/kerugian yang diperoleh pada selang interval τ tersebut. Perolehan yang kita dapatkan dari simulasi ditunjukkan pada tabel 3 dan secara spesifik per waktu iterasi pada gambar 3. Pada gambar ditunjukkan bahwa terdapat penggunaan m tertentu yang kurang sesuai atau membawa kerugian (poin perolehan negatif di akhir simulasi) namun terdapat pula yang menghasilkan poin perolehan yang relatif besar. Hal ini menunjukkan bahwa tidak ada metode prediksi yang umum untuk setiap data keuangan. Kita senantiasa harus mengkalkulasikan karakter data deret waktu tertentu sebelum menerapkan metodologi peramalan yang akan digunakan dalam investasi.
11
Gambar 3 Perolehan poin pada selang investasi tertentu untuk nilai m yang berbeda-beda pada tiap data keuangan yang disimulasikan
12
Tabel 3 Hasil perolehan poin (dalam persen) keuntungan atau kerugian yang diperoleh dalam simulasi investasi yang dilakukan dalam selang beberapa waktu untuk tiap nilai m yang berbeda-beda m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 m=8 m=9 m = 10
IHSG
Yen/USD
GBP/USD (hari)
GBP/USD (jam)
DJIA
NASDAQ
HANG SENG
NII225
41.26 29.95 30.82 47.4 92.3 52.11 -62.15 N/A N/A
0.6534 2.4178 0.5082 -1.4687 -3.0997 -6.6551 4.7349 N/A N/A
0.05 0.04 0.07 0.06 0.06 0.17 0.1 N/A N/A
2.85 -4.05 71.7 63.07 88.2 147.37 429.57 N/A N/A
778.84 665.72 889.3 339.06 -322.46 -782.49 -13787 N/A N/A
-7.43 134.98 70.01 282.15 237.53 218.92 -1320 N/A N/A
116.99 420.87 444.51 233.04 73.6 -277.93 -660.12 -361.12 29.03
10257.76 424.79 268.27 -16.8 -208.89 -890.33 1307 -212.29 2397.3
5. Diskusi Pada tabel 1 kita dapat melihat perolehan poin yang didapat dengan menggunakan analisis Zipf ini. Secara umum terlihat bahwa perolehan yang didapat sangat berbeda pada pasar indeks dan pasar kurs. Pada pasar mata uang, perolehan poin yang didapat untuk orde hari relatif kecil karena fluktuasi harga pada pasar kurs memang relatif stabil – hal ini kita tunjukkan dengan analisis terhadap data GBP/USD per jam yang memiliki fluktuasi relatif lebih besar sehingga perolehan poin dapat menjadi lebih besar pula. Di sisi lain untuk indeks yang memiliki ekponen Hurst-nya relatif lebih besar daripada 0.5, perolehannya secara umum cukup baik untuk m<7. Hal ini bisa dimaklumi oleh karena nilai m=5 adalah waktu perdagangan yang persis selama 1 minggu perdagangan. Artinya, terdapat korelasi yang kuat antar data-data dalam satu minggu relatif dari pada interval yang lebih besar daripada itu. Di sisi lain, penggunaan data sesional pada NIKEII225 menunjukkan hasil yang relatif lebih baik untuk m=10 dikarenakan 2 entri data yang kita gunakan merepresentasikan waktu 1 hari perdagangan. Jadi 10 entri data pada indeks NIKEII225 adalah sama dengan 1 minggu bursa. Kecenderungan yang sama terlihat juga pada indeks HangSeng. Beda yang mencolok adalah pada penggunaan m<5 yang menunjukkan pola perdagangan yang optimal untuk indeks HangSeng sesional. Hal ini dapat disebabkan nilai eksponen Hurst HangSeng yang relatif lebih kecil dan mendekati 0.5 yang menunjukkan pola gerak Brown murni. Secara umum, dari data-data simulasi tersebut kta dapat melihat bahwa untuk data-data dengan intensitas fluktuasi yang cukup tinggi pada orde pendek penggunaan 13
koefisien m yang relatif kecil cenderung lebih optimal. Sebagai contoh adalah data indeks DOWJONES yang bukannya optimum pada m=5 seperti halnya NASDAQ, ia justru optimum pada saat m=4. Demikian pula halnya dengan data harian kurs Yen/USD dan GBP/USD. Hal yang unik untuk kurs adalah bahwa penggunaan koefisien m yang besar (>5) justru semakin meningkatkan kemampuan prediksi untuk data ber-orde jam. Secara umum, dengan data-data dengan eksponen Hurst yang besar, strategi investasi ini cenderung relatif baik dan menghasilkan perolehan poin yang besar. Untuk data-data dengan eksponen Hurst yang relatif kecil dan dekat dengan pola gerak Brown, masih diperoleh perolehan positif namun relatif rendah. Hal ini ditunjukkan pada simulasi untuk IHSG. Dalam hal ini, fluktuasi yang rendah dari IHSG juga mungkin memberikan pengaruh yang signifikan pada simulasi kita.
6. Kesimpulan Dalam makalah ini, ditunjukkan tahapan-tahapan untuk transformasi data deret waktu keuangan menjadi semacam teks yang ternyata juga mengikuti hukum pangkat Zipf yang pertama kali justru ditemukan pada teks dengan bahasa natural. Hal ini mendorong pengembangan analisis R/S yang menginspirasi metode DFA dalam rangka menelaah korelasi antar data-data keuangan dalam deret waktu. Dari sini kita melakukan simulasi investasi untuk kurun waktu yang spesifik pada data keuangan yang spesifik pula untuk melihat sejauh mana pendekatan dengan hukum pangkat Zipf ini menjadi tool yang baik dalam investasi. Dari hasil umum simulasi ditunjukkan bahwa memang tidak terdapat metode prediksi yang universal untuk tiap data deret waktu keuangan. Diperlukan berbagai kalkulasi untuk melihat sejauh mana hukum pangkat Zipf dipenuhi oleh masing-masing data deret waktu, meliputi nilai ekponen Hurst-nya, eksponen Zipf, dan bias data atas fluktuasi Brownian. Namun dari simulasi dan pendekatan ini kita dapat melihat suatu pendekatan statistika kontemporer yang dengan cara lain dan secara menarik menunjukkan pola korelasi antar data pada data deret waktu keuangan. Pola ini justru diperoleh dari perluasan metode Zipf-(m,k). Pada praktiknya, tentu pengembangan metode ini memberikan perangkat intuitif yang berguna bagi investasi di sektor pasar keuangan.Pengembangan lanjut seperti misalnya diversifikasi variabel n yang berbeda-beda atau pola perhitungan yang dimodifikasi untuk perhitungan frekuensi (f dan f’) agar diperoleh eksponen Zipf yang
14
lebih merepresentasikan data deret waktu tentu dapat dilakukan di kemudian hari. Ini merupakan beban dan tantangan dari kerja-kerja penelitian berikutnya.
Pengakuan Penulis mengucapkan terima kasih kepada Jackson Wesley S. atas bantuan pengolahan dan suplai data sesional NIKEII225 dan HANGSENG serta uraian tentang bursa indeks berjangka yang memunculkan gagasan yang diutarakan dalam makalah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih pada Profesor Marcell Ausloos atas dorongan serta penyediaan beberapa referensi. Juga kepada Yohanis atas suplai data IHSG, serta rekanrekan BFI atas diskusinya pada draft awal makalah ini. Kesalahan sepenuhnya menjadi tanggung jawab penulis.
Referensi [1]
Ausloos, M. & Bronlet, Ph. (2002). “Strategy for Investment from Zipf Law(s)”. Physica A 324:30-7.
[2]
Baxter, M., & Andrew, R. (1997). Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing. Cambridge UP.
[3]
Bronlet, Ph. & Ausloos, M. (2004). Generalized (m,k)-Zipf Law for Fractional Brownian motion-like Time Series with or without Effect of an additional linear trend. Preprint arxiv:cond-mat/0209306.
[4]
Carbon, A., Castelli, G. & Stanley, H. E. (2004). “Time Dependent Hurst Exponent in Financiail Time Series”. Physica A 344:267-271.
[5]
Gammel, B. M. (1998). "Hurst’s rescaled range statistical analysis for pseudorandom number generators used in physical simulations". Physical Review E 58(2):2586-97.
[6]
Hariadi, Y. & Surya, Y. (2003). “Multifraktal: Telkom, Indosat, HMSP”. Working Paper WPT2003. Bandung Fe Institute.
[7]
Hariadi, Y. & Surya, Y. (2004). “DFA pada Saham”. Working Paper WPB2003. Bandung Fe Institute.
[8]
Situngkir, H. & Surya, Y. (2003). “Dari Transisi Fasa ke Sistem Keuangan: Distribusi Statistika pada Sistem Kompleks”. Working Paper WPQ2003. Bandung Fe Institute.
[9]
Mulianta, I., Situngkir, H., Surya, Y. (2004). “Power law Signatures in Indonesian Population”. Working Paper WPT2004. Bandung Fe Institute.
15
[10] Situngkir, H. & Surya. Y. (2003). “Sifat Statistika Data Deret Waktu Keuangan: Studi Empirik Beberapa Indeks Saham Indonesia”. Working Paper WPU2003. Bandung Fe Institute. [11] Situngkir, H. & Surya, Y. (2004). “Power law Signature in Indonesian Legislative Election 1999-2004”. Working Paper WPK2004. Bandung Fe Institute. [12] Situngkir, H. & Surya, Y. (2004). “Mungkinkah muncul anti-lonjakan Harga Minyak Dunia?: Analisis Log-periodik Lonjakan Harga September-Oktober 2004”. Working Paper WPU2004. Bandung Fe Institute. [13] Sornette, D. (1998). "Discrete Scale Invariance and Complex Dimension". Physics Report 297:239-70. [14] Surya, Y., Situngkir, H., Hariadi, Y., & Suroso, R. (2004). Aplikasi Fisika dalam Analisis Keuangan: Mekanika Statistika Interaksi Agen. Sumber Daya MIPA. [15] Ausloos, M. & Ivanova, K. (1999). "Precise (m,k)-Zipf diagram analysis of mathematical and financial time series when m = 6, k= 2". Physica A 270:526542. [16] Vanderwalle, N., Brisbois, F., & Lefebvre, P.H. (2000). “Managing Both Sign and Size of Fluctuations within the n-Zipf Framework”. International Journal of Theoretical and Applied Finance 3(3):409-414. [17] Watts, D. (2002). Six Degrees: The Science of A Connected Age. W. W. Norton & Co. [18] Zipf, G. K. (1949). Human Behavior and the Principle of Least Effort. AddisonWesley.
16
