Sesam, open U! Edward Omey KU Leuven @ campus Brussel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, 1000 Brussel, België
[email protected]
1
Inleiding
Bij uurwerken zijn we het gewoon om om 8 uur ’s morgens naar school te vertrekken om 8 uur later om 4 uur in de namiddag terug te komen. Of we gaan slapen om 11 uur ’s avonds en staan 8 uur later om 7 uur ’s morgens op. Behalve in de stations en luchthavens staan we er meestal niet bij stil dat "8 + 8 = 16" vervangen wordt door "8 + 8 = 4". Dit tijdsgebonden rekenen modulo 12 vinden we zo vanzelfsprekend! In dit artikel bespreken we eerst modulo rekenen. We geven de de…nities en formuleren enkele eigenschappen bij het rekenen met getallen en met matrices. Vervolgens komen twee toepassingen aan bod waarbij modulo rekenen uiterst nuttig blijkt. We bekijken een toepassing i.v.m. de IBAN-rekeningnummers die nu gebruikt worden en we openen de grot van Ali Baba met een cijferslotprobleem. Er zijn nog veel meer toepassingen gerelateerd aan modulo-rekenen. We vermelden hier - toepassingen in cryptogra…e (RSA), zie Rivest et al. (1978); - constructie vand pseudo-toevalsgeneratoren, zie Chou (1995) of EichenauerHerrmannn (1991); - permutaties en het schudden van kaarten, zie Omey (2002); - het gebruik van modulo-rekenen bij ISBN-nummers, zie website ISBN; - kunstwerken en modulo-rekenen, zie J. Britton (z.d.); - het zoeken van de laatste cijfers van bijvoorbeeld 389754621 , zie Omey en Vangulck (2014). enzovoort.
2
Modulo rekenen
2.1
De…nitie
Stel dat n > 0 een natuurlijk getal is. Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo n indien het verschil a b een geheel veelvoud is van n. Notatie: a b mod(n). Het getal n wordt de modulus genoemd. Uiteraard geldt a b mod(n) indien er een geheel getal k bestaat waarvoor a = b + k n. Voorbeelden 9
3 mod(6) omdat 9
3 = 6 een geheel veelvoud is van 6;
1
10 25
2 mod(6) omdat
10
1 mod(6) omdat 25
4
2 mod(6) omdat
2=
12 een geheel veelvoud is van 6;
1 = 24 een geheel veelvoud is van 6 4
2=
6 een geheel veelvoud is van 6.
Bij het rekenen modulo 6, vinden we dat alle gehele getallen a kunnen geschreven worden als a b mod(6), waarbij b 2 R6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g. Het symbool R6 is afkomstig van "rest bij het delen door 6". Opmerking Wanneer r > 0 een reëel getal is, dan zijn de reële getallen x en y congruent modulo r indien x y een geheel veelvoud is van r. Notatie x y mod(r). In goniometrie rekenen we veelal mod(2 ).
2.2
Optellen en vermenigvuldigen
Bij het modulo rekenen kunnen we sommen nemen, verschillen nemen, vermenigvuldigen, machten berekenen, enzovoort. 2.2.1
Voorbeeld 1
Omdat 8
2 mod(6) en 10
4 mod(6) vinden we
8 mod(6) + 10 mod(6) 8 mod(6) 10 mod(6) 8 mod(6) 10 mod(6) (8 (4 mod(6))) mod(6) 83 mod(6)
2 mod(6) + 4 mod(6) 6 mod(6) 2 mod(6) + 2 mod(6) 4 mod(6); 2 mod(6) 4 mod(6) 8 mod(6) (8 4) mod(6) 2 mod(6) 23 mod(6) 2 mod(6).
0 mod(6); 2 mod(6);
Het voorbeeld illustreert de volgende eigenschap. Eigenschap 1 Er geldt (1) a mod(m) + b mod(m) (a + b) mod(m) (2) (a mod(m) b) mod(m) = a mod(m) b mod(m) = (a 2.2.2
b) mod(m)
Voorbeeld 2
We bekijken in detail de mogelijkheden bij het berekenen van sommen en vermenigvuldigingen modulo 7. Voor de som vinden we de tabel links, voor het product de tabel rechts: + 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1
In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) + 5 mod(7) 9 mod(7) 2 mod(7) of kortweg "4 + 5 2". Voor de vermenigvuldiging vinden we de tabel rechts. In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) 5 mod(7) 20 mod(7) 6 mod(7) of kortweg "4 5 6". Bij het rekenen mod(7) zien we dat de bewerkingen "+" en " " steeds leiden tot een resultaat in de verzameling R7 = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g. Dit betekent dat "+" en " " inwendig zijn en overal gede…nieerd zijn. Bij "+" merken we dat 0 een neutraal element is: voor a 2 R7 vinden we inderdaad dat a + 0 0 + a a. De bewerking "+" is tevens commutatief en associatief. Ten slotte vinden we voor elke a 2 R7 steeds een b 2 R7 waarvoor a + b b + a 0. Bij " " merken we dat het getal 1 een neutraal element is en dat de bewerking commutatief is en associatief. Tevens vinden we voor elke a 2 R7 ; a 6= 0, steeds een b 2 R7 waarvoor a b b a 1. Dit betekent in dit geval dat alle elementen van R7 n f0g inverteerbaar zijn m.b.t. " ". 2.2.3
Voorbeeld 3
We bepalen de tabellen voor "+" en " " bij mod(6). + 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Bij het vermenigvuldigen zien we terug dat 1 een neutraal element is. Tevens merken we dat het voor a 2 R6 ; a 6= 0 niét steeds mogelijk is om b 2 R6 te vinden zodat a b b a 1. De verzameling van inverteerbare getallen in R6 is gelijk aan f1; 5g. De verzameling van niet-inverteerbare elementen is gelijk aan f0; 2; 3; 4g. Bemerk dat GGD(2; 6) 6= 1; GGD(3; 6) 6= 1 en GGD(4; 6) 6= 1. De volgende eigenschap veralgemeent wat we vaststelden in deze voorbeelden. Eigenschap 2. Bij de bewerking " " in Rm heeft a 6= 0 een invers element enkel en alleen als GGD(a; m) = 1. 2.2.4
Oefeningen.
1. In R10 is verzameling van inverteerbare getallen is gelijk aan f1; 3; 7; 9g. 2. In R5 zijn alle getallen a 6= 0 inverteerbaar. 3. Welke zijn de inverteerbale elementen van R97 ? 4. Hoeveel inverteerbare elementen heeft R10 ? En R100 ? 3
2.3
a mod(m) voor grote getallen a
Om 74954 mod(13) te berekenen kunnen we een rekentoestel gebruiken en we vinden 74954 = 5765 13 + 9 en dus 74954 mod(13) = 9. Er kan ook een andere werkwijze gevolgd worden die tevens kan gebruikt worden bij grote getallen. Deze alternatieve werkwijze bestaat er in het ’groot’ getal te splitsen in ’kleinere’, doenbare eenheden. 2.3.1
Voorbeeld 1
In ons voorbeeld isoleren we de eerste 2 cijfers en we vinden: 74954 = 74000 + 954 Nu is het eenvoudig om te zien dat 74 = 9 mod(13) en dus dat 74954 = k
13 + 9000 + 954 = k
13 + 9954.
We vinden dat 74954 mod(13) = 9954 mod(13). Het nieuw te onderzoeken getal is nu 9954. We isoleren terug 2 cijfers 99 en we vinden 99 = 8 mod(13). Dit leidt vervolgens tot 74954 mod(13) = 9954 mod(13) = 854 mod(13). Omdat 85 = 7 mod(13) vinden we 854 mod(13) = 74 mod(13) = 9. We besluiten dat 74954 mod(13) = 9. 2.3.2
Voorbeeld 2
We berekenen 12345678987654321 mod(77) en we isoleren telkens een groepje van 5 cijfers: - start getal:12345678987654321 ! 12345 = 25 mod(77) - nieuw getal: 25678987654321 ! 25678 = 37 mod(77) - nieuw getal: 37987654321 ! 37987 = 26 mod(77) - nieuw getal: 26654321 ! 26654 = 12 mod(77) - nieuw getal: 12321 ! 12321 = 1 mod(77) We besluiten dat 12345678987654321 mod(77) = 1 2.3.3
Oefeningen
1. Bereken: 999999999999 mod(17) (gebruik groepjes van 5 cijfers). 2. Bereken: 12345678987654321 mod(31) (gebruik groepjes van 6 cijfers). 3. Bereken: 1040 mod(9) (gebruik groepjes van 7 cijfers).
4
2.4
Matrices
We kunnen ook matrices bestuderen in Rm . De berekeningen gebeuren zoals gebruikelijk, maar we rekenen hier mod(m). 2.4.1
Bewerkingen + en
We kunnen eenvoudigweg matrices optellen en vermenigvuldigen. In R6 bekijken we bijvoorbeeld de matrices 0 1 0 1 0 1 2 5 4 A = @ 5 4 3 A; B = @ 0 3 A. 2 1 4 1 2 We vinden hier
0
0 A+A=@ 5 2
en A en
0
0 B=@ 5 2
1 2 3 A 4
1 4 1
1 0 2 0 3 A+@ 5 4 2 0 0
5 @ 0 1
9 A = @ 26 13
A2 = A
2.4.2
1 4 1
1 1 2 4 3 A 1 4
1 0 4 2 3 A = @ 28 2 14 1 11 34 A 23
6 24 10
0
0
1 4 0 A; 2
0 2 @ 4 2 4 2 1 7 38 A 19
3 @ 2 1
0
2 @ 4 2
1 0 5 0 4 A. 4 5
1 1 2 A; 1
Determinant en inverse matrix
Voor vierkante matrices kunnen we de determinant bepalen en de cofactorenmatrix. Voor de matrix A uit het vorige voorbeeld vinden we via de eerste rij de determinant van A:
det(A)
0 5 2
= =
0
1 4 1
2 3 4
=0
13
1
14 + 2
4 3 1 4 ( 3) =
Voor de cofactorenmatrix van A vinden we 0 1 13 14 3 4 2 A Cof (A) = @ 2 5 10 5 5
5 2
1 20
0
3 4
+2
4 mod(6).
1 @ 4 1
4 2 4
1 3 2 A 1
5 2
4 1
De adjunct van de matrix A : T
Adj(A) = (Cof (A)) In ons voorbeeld geldt dat: 0 0 1 A Adj(A) = @ 5 4 2 1 0 4 0 @ 0 4 0 0
1 2 3 A 4 1 0 0 A 4
0
1 4 @ 4 2 3 2
1 1 4 A 1
0
1 0 1 4 1 10 @ 4 2 4 A = @ 30 3 2 1 18 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 A. 0 0 1
6 34 18
1 6 24 A 10
Deze eigenschap geldt zoals in de gewone matrixleer altijd: A
Adj(A)
Adj(A)
A
det(A)Im .
waarbij Im de m m - eenheidsmatrix is. Indien det(A) 6= 0 een inverse b heeft in Rm , dan volgt uit de vorige formule dat b A Adj(A) b Adj(A) A Im , en dus ook dat de matrix A inverteerbaar is in Rm . In het voorbeeld vonden we dat A Adj(A) = 4 I3 en rekenden we in R6 . Volgens Eigenschap 2 heeft 4 geen inverse in R6 omdat GGD(4; 6) = 2 6= 1. In ons voorbeeld is A dus niet inverteerbaar in R6 . Eigenschap 3. Bij de bewerking " " in Rm heeft de vierkante matrix A een inverse matrix enkel en alleen als det(A) een inverse heeft in Rm of indien GGD(det(A); m) = 1. Bewijs. Dit volgt uit de algemene eigenschap van matrices A Adj(A) Adj(A) A det(A)Im en eigenschap 2. 2.4.3
Oefeningen
Bepaal de determinant en indien mogelijk de inverse van de matrix A en van de matrix B, waarbij 0 1 0 1 1 3 3 1 5 6 A = @ 3 2 1 A, B = @ 0 5 1 A, 4 4 2 1 3 2 a) in R6 b) in R7 c) in R10
6
3 3.1
Toepassingen IBAN
Sedert enkele jaren hebben alle bankrekeningen in België en in Europa een IBAN nummer. IBAN is de afkorting van "International Bank Account Number". Een typisch IBAN-nummer in België ziet er uit als volgt: BE46 9730 0383 1736. In andere landen zijn er andere, maar vaste en vergelijkbare afspraken. Veel informatie is beschikbaar op de website van ECBS (European Committee for Banking Standards): www.ecbs.org..org. Bemerk dat voor een gegeven land (hier BE) en een code (hier 46) er 1012 = 1000 miljard mogelijke rekeningnummers zijn! Uiteraard worden niet alle nummers toegekend. 3.1.1
Beveiliging
Er zijn in IBAN verschillende beveiligingsmechanismen ingebouwd. Zo is de vorm van het nummer steeds gelijk aan landcode + controle nummer + 12 cijfers (in België). Een ander mechanisme is het volgende. We vertrekken van het rekeningnummer BE46 9730 0383 1736. We veranderen de letters BE in getallen als volgt: A = 10, B = 11, C = 12, ... en we vinden in het voorbeeld: 111446 9730 0383 1736. Nu worden de eerste 6 cijfers verplaatst van vooraan naar achteraan: a = 973003831736111446. Het nieuwe getal bestaat uit 18 cijfers. Van dit getal moet gelden dat a = 1 mod(97). Indien deze voorwaarde niet vervuld is, dan gaat het om een …ctief bankrekeningnummer. Voor de meeste rekentoestellen is dit getal echter te groot om onmiddellijk en in één stap te berekenen hoeveel a mod(97) is en daarom wordt een procedure gevolgd zoals in de vorige paragraaf. We isoleren nu telkens 9 cijfers en kunnen alle berekeningen maken met (bijvoorbeeld) Excel. In ons voorbeeld vinden we: - getal: 973003831736111446 ! 973003831 = 32 mod(97) - nieuw getal: 32736111446 ! 327361114 = 82 mod(97) - nieuw getal: 8246 ! 8246 = 1 mod(97) We vinden als eindcijfer het getal 1 en dit bevestigt dat het om een echt IBAN-nummer gaat.
7
3.1.2
Het controlegetal
In het rekeningnummer BE46 9730 0383 1736 is het getal 46 een soort controlegetal. De oorsprong van het getal is als volgt. We vertrekken van het nummer BE46 9730 0383 1736 en vervangen "BE46" door "BE00". We vervangen nu de letters A; B; C; ::: door getallen als volgt: A = 10; B = 11; :::. We vinden 111400 9730 0383 1736. We verplaatsen nu de eerste 6 cijfers naar achter en we vinden een getal a0 dat bestaat uit 18 cijfers: a0 = 973003831736111400 Van dit getal berekenen we nu de rest na deling door 97. We vinden (groepjes van 8): - getal: 973003831736111400 ! 97300383 = 71 mod(97) - nieuw getal: 711736111400 ! 71173611 = 55 mod(97) - nieuw getal: 551400 ! 551400 = 52 mod(97) en we vinden a0 mod(97) = 52. Zoek nu zelf de oplossing van de vergelijking 52+x = 1 mod(97) en controleer dat x = 46, het controlegetal! Opmerking. Indien alles correct is verlopen vinden we natuurlijk dat a a0 = 46 of a0 = a 46. Omdat a 1 mod(97), vinden we dat a0 mod(97) (1 46) mod(97) 45 mod(97) 52 mod(97). 3.1.3
Oefeningen
1. Bekijk het volgend rekeningnummer: BE controlegetal.
9799 9462 8002. Zoek het
2. Ga na of de volgend nummers echte IBAN rekeningnummers zijn! a) een nummer uit Saudi-Arabië: SA03 8000 0000 6080 1016 7519 b) een nummer uit Groot-Britannië: GB82 WEST 1234 5698 7654 32 c) een nummer uit België: BE92 4682 0383 1736.
3.2
Sesam, Open U
"Sesam, Open U" is het magische wachtwoord dat Ali Baba gebruikte om de ingang van de grot te openen in het sprookje van Ali Baba en de veertig rovers. In deze toepassing bestuderen we het volgende slotenvraagstuk! 3.2.1
Vraagstuk 1
Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die vooruit kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden 0; 1; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan 0 1 4 . De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde 9 hebben: 9 9 9 .
8
De sloten kunnen eindeloos gedraaid worden en wanneer er 8 maal gedraaid wordt aan bijvoorbeeld slot 3 komen we terecht bij 4 + 8 = 12 = 2 mod(10). Bij het verdraaien van de sloten rekenen we dus in R10 . De sloten van deze kluis zijn echter speciaal en wanneer het eerste slot van stand 0 naar een andere stand gaat, dan heeft dat een invloed op de andere sloten. In dit voorbeeld gaan we er van uit dat bij een toename van 1 eenheid bij slot 1, ook slot 2 toeneemt met 1 eenheid en slot 3 toeneemt met 2 eenheden. We vinden dan de volgende situatie bij de sloten: 0
1 4
S1+1
!
1
2
6
.
Wanneer we het 2de slot met 1 eenheid verhogen, dan verandert ook slot 1 met 2 eenheden en verandert slot 3 niet. We vinden dus 1
2 6
S2+1
!
3
3
6
.
Wanneer we het 3de slot verhogen met 1 eenheid, dan veranderen sloten 1 en 2 met 1 eenheid. Dit is 3
3 6
S3+1
!
4
4
7
.
Het probleem is nu om te zien hoe en of we bij de eindstand 9 9 9 kunnen geraken. Om dit probleem op te lossen kunnen we gewoon alle mogelijkheden (er zijn er 10 10 10 = 1000) uitproberen en zien welke mogelijkheden leiden tot de schat! Dit is niet alleen een groot werk, maar we weten vooraf zelfs niet of het probleem wel een oplossing bezit! Zie voorbeeld 3 verderop. In dit artikel volgen we de werkwijze die werd voorgesteld door Hulsizer (2014). We maken een tabel die de gevolgen weergeeft bij het opschuiven van 1 eenheid op één slot op de andere sloten. De tabel in dit voorbeeld is de volgende (de sloten zijn S1, S2 en S3): invloed op #: S1 S2 S3
S1 1 1 2
S2 2 1 0
S3 1 1 1
Stel nu dat de startpositie gelijk is aan 0 1 4 en dat we slot 1 met x eenheden, slot 2 met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. Dan is de eindstand van de drie sloten gelijk aan slot 1 : slot 2 : slot 3 :
0 + x + 2y + z 1+x+y+z 4 + 2x + z
Bij slot 1 gebeuren x stappen omwille van slot 1, 2y stappen omwille van slot 2 en z stappen omwille van slot 3. Voor de andere sloten is de redenering gelijkaardig. 9
9
We willen dat de eindstand gelijk is aan eisen dat: slot 1 : slot 2 : slot 3 :
9 9 . Dit betekent dat we
0 + x + 2y + z = 9 1+x+y+z =9 4 + 2x + z = 9
(1)
x + 2y + z = 9 x+y+z =8 2x + z = 5
(2)
of dat slot 1 : slot 2 : slot 3 :
of
De stelsels (1), (2) kunnen we m.b.v. matrixnotatie herschrijven als volgt: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 x 9 @ 1 A+@ 1 1 1 A @ y A @ 9 A 4 2 0 1 z 9 0
1 2 @ 1 1 2 0
1 1 1 A 1
0
1 x @ y A z
0
1 9 @ 8 A 5
Voor de matrix vinden we dat de determinant gelijk is aan det(A) =
1 1 2
2 1 0
Omdat 1 inverteerbaar is in R10 heeft de in R10 . We vinden (in R10 ) dat 0 1 A 1 @ 1 8 en bijgevolg 0 1 x @ y A z
0
1 8 @ 1 9 8 4
1 1 0 A 9
0
1 1 1
1.
matrix A van het stelsel een inverse 1 8 1 9 0 A 4 9
1 0 1 9 78 @ 8 A = @ 81 A 5 149
0
1 8 @ 1 A mod(10) 9
Als oplossing kunnen we dus de kluis openen bij de keuze (x; y; z) = (8; 1; 9). Opmerking. We kunnen de kluis ook openen bij de keuze (x; y; z) = (8; 1; 9)+ k (10; 10; 10), met k = 0; 1; 2; :::
10
3.2.2
Vraagstuk 2
Een kluis heeft 4 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden 0; 1; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan 8 8 4 5 . De kluis kan enkel geopend worden indien de sloten de volgende getalwaarden hebben: 2 7 4 6 . Zoals in Voorbeeld 1, beinvloeden de sloten elkaar. Hier gaan we uit van de volgende beïnvloedingstabel: invloed op # S1 S2 S3 S4
S1 1 1 0 0
S2 1 1 1 0
S3 0 1 1 1
S4 0 0 1 1
Om het probleem op te lossen moeten we het volgend stelsel oplossen in R10 : S1 : 8 + x + y = 2 S2 : 8 + x + y + z = 7 S3 : 4 + y + z + w = 4 S4 : 5 + z + w = 6 of, in matrixnotatie 0 8 B 8 B @ 4 5 of
0
1 B 1 B @ 0 0
1 1 1 0
1
0
1 C B 1 C+B A @ 0 0
0 1 1 1
1 0 0 C C 1 A 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 C C 1 A 1
1 0 2 x B y C B 7 C B B @ z A=@ 4 6 w 0
1 0 6 x B y C B 1 C B B @ z A=@ 0 1 w 0
1 C C A
1 C C A
1 4 B 9 C B C mod(10) @ 0 A 1 0
De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan det(A) = 1 9 mod(10). Omdat 9 inverteerbaar is in R10 bestaat de inverse matrix en we vinden (via excel of een ander rekentoestel): 0 1 1 0 9 1 B 0 0 1 9 C C A 1 B @ 9 1 0 0 A mod(10) 1 9 0 1 Hieruit volgt dat 1 0 0 x B y C B C B B @ z A=@ w
1 0 9 1
0 0 1 9
9 1 0 0
1 1 9 C C 0 A 1 11
1 4 B 9 C B C @ 0 A 1 0
0
1 5 B 9 C B C mod(10). @ 5 A 6
3.2.3
Vraagstuk 3
Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden 0; 1; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan 2 3 4 . De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de volgende getalwaarde hebben: 5 6 7 . De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S1 S2 S3
S1 1 1 0
S2 2 1 1
S3 0 1 1
Stel nu dat we slot 1 met x eenheden, slot 1 met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. We vinden nu het volgend stelsel: slot 1 : slot 2 : slot 3 :
2 + x + 2y = 5 3+x+y+z =6 4+y+z =7
In matrix notatie vinden we 0
1 @ 1 0
1 2 0 1 1 A 1 1
0
1 0 1 x 3 @ y A=@ 3 A z 3
De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan 1 1 0
2 0 1 1 1 1
=
2
8 mod(10).
Nu is 8 niet inverteerbaar in R10 . Vraagstuk 3 heeft dus géén oplossing. 3.2.4
Oefening
Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden 0; 1; 2; 3; 4 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan 1 3 2 . De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde 1 hebben: 1 1 1 . Bemerk dat we nu moeten rekenen in R5 ! De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S1 S2 S3
S1 1 1 0
S2 1 1 1
S3 0 1 1
Ga na dat (x; y; z) = (4; 1; 3) een oplossing is van dit vraagstuk.
12
4
Bronnen 1. J. Britton, Modular art. http://britton.disted.camosun.bc.ca/modart/jbmodart.htm 2. W.S. Chou,On inversive Maximal Period Polynomials over Finite Fields, Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, No. 4/5, 1995, pp. 245-250. 3. ECBS (European Committee for Banking Standards): IBAN - International Bank Account Number. ECBS, Brussels 2003. Website: www.ecbs.org. 4. J. Eichenauer-Herrmannn. Inversive congruential pseudorandom numbers avoid the planes, Math.Comp., Vol. 56,1991, pp. 297-301. 5. H. Hulsizer (2014). A ’Mod’ern Mathematical Adventure in "Call of Duty Balck Ops". Math Horizons, Mathematical Association of America, February 2014, pp. 12-15. 6. ISBN: https://www.isbn-international.org/ 7. E. Omey (2003). Spelen met kaarten. Wiskunde en Onderwijs nr. 116, 309 - 327. 8. E. Omey, S. Van Gulck (2014). What are the last digits of ... ?. To appear in the International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 9. Rivest, R.; A. Shamir; L. Adleman (1978). "A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems". Communications of the ACM 21 (2): 120–126.
10. http://en.wikipedia.org/wiki/International_Bank_Account_Number
13
