SENTIA 2012 POLINEMA MALANG KALIBRASI KAMERA TUNGGAL MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LINIER (DLT)

SENTIA 2012 – POLINEMA MALANG

KALIBRASI KAMERA TUNGGAL MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LINIER (DLT) Giri Wahyu Wiriasto1, Heru Arwoko2, Eko Mulyanto3, Andi Kusuma Indrawan4 1 Jurusan Teknik Elektro Universitas Mataram, 2Universitas Surabaya 3 Teknik Elektro Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 4Politeknik Negeri Malang 1

[email protected] , [email protected]

Abstrak Paper ini menyajikan solusi dalam pencarian parameter kalibrasi kamera. Proses kalibrasi dilakukan untuk mencari nilai parameter intrinsik (focal lenght) dan parameter ekstrinsik (Rotasi, translasi) dari citra-2D suatu objek kalibrasi dan dinyatakan dalam sistem koordinat citra, kemudian dikorespondensikan dengan koordinat dunia dari objek nyata (3D) dari citra-2D tadi. Korespondensi ini merupakan transformasi antar sistem koordinat. Objek yang digunakan untuk mencari korespendensi berupa kotak papan catur hitam-putih (tsai grid) berukuran 80x80(cm), diantara kotak papan catur tersebut terdapat 49 titik inisial dimana masing-masing titik menghubungkan 4 kotak papan catur. Objek terpasang pada ruang kalibrasi yang di desain dengan ukuran spesifik. Pada perhitungan pencarian parameter intrinsik, dilakukan transformasi antara sistem koordinat kamera (Xs,Ys,Zs) dengan sistem koordinat citra (Xi, Yi), dalam hal ini koordinat kamera berhimpit dengan koordinat dunia (Zhang dkk, 2001). Pada perhitungan pencarian parameter ekstrinsik, dilakukan transformasi antara sistem koordinat kamera dengan koordinat dunia. Proses perhitungan parameter tersebut dilakukan dengan metode Direct Line Transform (DLT). Metode ini menjadi solusi untuk permasalahan tranformasi linier (Abdel-Aziz & Karara, 1971). Transformasi dilakukan disetiap titik inisial. Nilai hasil perhitungan dengan metode DLT ini digunakan pada proses rekonstruksi objek 3D. Diperoleh. focal length 884.2088. Kata kunci: kalibrasi kamera, transformasi linear(DLT), parameter intrinsik, parameter ekstrinsik

1. Pendahuluan Kalibrasi kamera merupakan tahap awal yang dikerjakan dalam aplikasi bidang komputer visi, fotogrametri, robotika, dan proses rekonstruksi objek 3D (Zhang dkk, 2001). Posisi dan Jarak tersebut memberikan informasi penting antara objek 2D(citra) dengan objek nyatanya. Objek tersebut diukur dalam ukuran sebenarnya dengan menentukan sebuah sistem koordinat dunia.

Gambar 1. Perancangan ruang kalibrasi-sebagai sistem koordinat dunia (tampak samping) Tabel 1. Spesifikasi Ruang kalibrasi dan peralatan Jenis Ukuran ruang kalibrasi Kamera Resolusi

Keterangan 3m x 2,8m x 2,5m Webcam HD (960 x 720) pix

Video Frame Rate Tinggi posisi Kamera dari lantai Tinggi meja peletak objek Jumlah kamera

15 fps 200 cm 42 cm 8 bh

Untuk mencari parameter internal, letak posisi kamera berada di posisi 150x125(cm). Jarak lensa webcam ke bidang objek papancatur, 250 cm. Ukuran bidang objek papancatur adalah 10x10(cm). Untuk mencari parameter eksternal, posisi kamera terletak di setiap sisi dan sudut atas bidang ruang kalibrasi. Sebuah obyek dalam citra dinyatakan dalam koordinat piksel atau disebut sistem koordinat citra. Dengan hanya mengetahui jarak antar piksel dalam citra, tidak otomatis dapat diketahui jaraknya sesungguhnya dalam dunia nyata. Oleh karena itu, perlu suatu persamaan yang bisa mengkorespondensikan sistem koordinat dunia dan sistem koordinat citra, sehingga dapat dicari korespondensi antara titik koordinat dunia dan titik koordinat piksel pada citra. Namun perlu diperhatikan bahwa tidak dapat secara langsung mengkorespondensikan antara keduanya. Untuk mengkorespondensikan kita perlu sebuah sistem koordinat lain yaitu sistem koordinat kamera.


3m Ys

Koordinat Citra (Xi, Yi, f)

y

Pusat Proyeksi

Koordinat Dunia (Xs, Ys, Zs)

x (0,0,0)

z

C f 2.5 m

f = focal lenght

Xs

gambar 5. korespondensi sistem koordinat

Xi = fx (titik inisial) Titik AQ (-30,-30,0)

(titik inisial) Titik G (30,30,0)

Gambar 2. Bidang objek dalam koordinat dunia 960 pix

pxl Yi

(0,0)

Xi 720 pix

Titik inisial (A-AW)

Gambar 3. Bidang objek dalam koordinat citra Ypix

x s

Yi

z s

Titik pusat

Uo

C

Vo

Xs Ys ; Yi = fx Zs Zs

(1)

Koordinat citra direpresentasikan dalam bentuk matriks vector homogeneous, pusat proyeksi merupakan transformasi linier.  f x 0 0 0   Xc  u  v  =  0 f   Yc  (2) 0 0 y       Zc  0 0 1 0     w 1 Xi = u / w, Yi = v/w

Xc X .Z ;fx = i c Zc Xc Yc Y .Z Yi = f y ;fy = i c . Zc Xc Xi = f x

f : focal length (pix) Xi : Xcitra (titik koordinat X citra) (pix) Yi : Ycitra (titik koordinat Y citra) (pix) Xc : Xkamera (berhimpit dengan koordinat dunia, panjang kotak Xs) (cm) Yc : Ykamera (berhimpit dengan koordinat dunia, panjang kotak Ys) (cm) Zc = w’ : jarak antara titik pusat objek ke titik pusat kamera (cm)

Xi

y s

Xpix

Gambar 4. Penentuan titik pusat dalam koordinat kamera

2. Parameter Kamera 2.1. Parameter intrinsik Parameter intrinsik merupakan paramater yang menyatakan karakteristik dari kamera dan hubungan antara koordinat piksel pada sistem koordinat citra dengan sistem koordinat kamera. Parameter tersebuat antara lain : Focal lengh (f), menyatakan jarak antara titik pusat kamera dengan bidang citra ; titik pusat (Uo,Vo), menyatakan lokasi titik pusat citra dalam koordinat piksel.

1.2. Parameter ekstrinsik Kamera yang digunakan merupakan jenis pinhole. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa parameter ekstrinsik merupakan parameter yang menjelaskan tentang korespondensi ruang antara sistem koordinat dunia dengan sistem koordinat kamera. Korespondensi ruang merupakan pola hubungan yang renggang atau tidak terdapat keterikatan erat antara dua buah model ruang. Parameter-parameter tersebut antara lain matriks rotasi dan vektor translasi.


Transformasi diatas berhubungan dengan sudut rotasi kamera [Rx] dan posisi titik objek pada koordinat dunia akan berbeda nilainya pada koordinat citra, sehingga tampak terjadi pergeseran nilai, dalam hal ini Translasi [T].

y C

x Image plane

Z Image point (xi,yi,f)

R ij

z Y ( xs,ys,zs ) M

( Xs, Ys, Zs)

Oa

X

pada matriks R merupakan fungsi dari sudut

kamera (pan angle)  , kemiringan sudut (tilt angle / transformasi sumbu x thd sb. z)  dan sudut ayunan/putar (swing angle)  mengikuti sbb ; R 11 = cos

Gambar 6. Korespondensi koordinat kamera terhadap koordinat dunia

 cos 

R 12 = sin  sin

 cos 

R 13 = -cos  sin R 21 =-cos

 cos 

 sin 

+ cos  sin  + sin  sin 

R 22 = -sin  sin  sin  + sin  cos  Ys

R 23 = cos  sin

Xs

R 31 = sin

 sin 

+ sin  cos 



R 32 =-sin  cos 

O

R 33 = cos  cos 

Adapun rotasi dalam koordinat 3D kamera (x,y,z) adalah sebagai berikut ;

Gambar 7. Posisi objek kalibrasi terhadap sistem koordinat dunia Xs,Ys,Zs (tampak sudut atas)

- rotasi terhadap sumbu x 1.2.1. Transformasi geometris 1.2.1.1.Translasi adalah pergeseran titik-titik yang dinotasikan dalam suatu matriks Translasi sejauh (Tx, Ty, Tz) 1 0  0  0

0 0 Tx  1 0 T y  0 1 Tz   0 0 1

(3)

1.2.1.2. Rotasi adalah perputaran suatu bangun geometri terhadap titik tertentu.  cos( )  sin( )     sin( ) cos( )  untuk objek yang dirotasikan sejauh [0,θ] dalam koordinat 2D. Rotasi kamera ditulis berdasarkan persamaan berikut;

 R11 R = R  21  R31  Xc   R11  Yc     =  R21  Zc   R31    1  0

R12 R22 R32 R12 R22 R32 0

R13  R23  , T = R33 

t x  t   y t z 

R13 Tx   Xs    R23 Ty   Ys  R33 Zs  Zs     0 1 1

0 0 1 0 cos( )  sin( )  0 sin( ) cos( )  0 0 0

0 0 0  1

- rotasi terhadap sumbu y  cos( ) 0 sin( ) 0  0 1 0 0   sin( ) 0 cos( ) 0   0 0 1  0

- rotasi terhadap sumbu z cos( )  sin( ) 0 0  sin( ) cos( ) 0 0     

0 0

0 0

1 0  0 1

3. Transformasi linier (DLT) 3.1. Perhitungan parameter instrinsik (kamera-1) 3.1.1. Transformasi di Titik inisial-A gambar 3. Data : (4)

TITIK A (kiri atas)

X i (piksel)

Y i (piksel)

-107.368

104.8421


Dari persamaan (1) diatas. f x = - 107.368 * 250 = 894.7334 piksel

Parameter intrinstik (focal lenght) yang diperoleh 873.6842 piksel terhadap sumbu x dan y.

- 30 104.8421 * 250 = -873.6842 piksel fy= - 30

 fx 0 0 f y   0 0

0 0 1

0  894.7334 0 =  0 873.6842  0 0   0 0

Transformasi dari panjang ke piksel , pers.(5) ;

0 0

0 0

1

0

   

u’ = Xi * w’ = 104.8421* 250 = 26210.525 piksel

Transformasi dari panjang ke piksel u '  v '  =    w'

 x 0   0

0

y

Xo Yo

0

1

0   Xc    0   Yc  0   Zc 

(5)

1

[ u’, v’, w’ ] = merupakan koordinat homogen citra. Homogen dimaksudkan karena nilai data untuk masing-masing [u’,v’,w’] dikorespondensikan terhadap nilai dalam pikselnya seperti perhitungan berikut ini. u’ = Xi * w’ = -107.368 * 250 = -26842 piksel v’ = Yi * w’ = 104.8421 * 250 = 26211 piksel  26842  fk x 26211  =  0    250   0

v’ = Yi * w’ = -104.8421 * 250 = -26210.525 piksel 26210.525   fk x - 26210.525 =  0    250   0

26210.525  - 26210.525 =   250 

0

Xo

fk y

Yo

0

1

0  0  0 

 30   30    250     1 

 30 fk x  250 Xo  ...........................1AW  30 fk  250Yo  y   ............................2 AW   250

3.1.3.Perhitungan transformasi matriks antara Titik inisial-A dengan Titik inisial-AW

0

Xo

fk y

Yo

0

1

0  0  0 

 30  30     250     1 

  26842  =  30 250  fk x  ......................1A 26210.525  30 250  Xo  ......................1AW      

 30 fk x  250 Xo  ...........................1A  26842 26211  =  30 fk  250Yo  ............................2 A y       250  250

Data : w’ = Zs = 250 (cm) Xs = 30 (cm) TITIK Xi (piksel) AW 104.8421

 fk x  =  30 250 1   26842   Xo         30 250 26210.525  fk x  =  0.0167 0.0167  Xo   0.0020 0.0020    

  26842  26210.525  

 fk x  = 884.2088 …..(hasil)  Xo    1.2630       26211  =  30 250  fk y  ......................2 A  26211  30 250  Yo  ......................2 AW     

3.1.2. Transformasi di Titik inisial-AW

Yi (piksel) -104.8421

f x = 104.8421 * 250 = 873.6842 piksel

 fk y   30 250 1 26211   Yo  =        30 250  26211

f y = 104.8421 * 250 = 873.6842 piksel - 30

 fk y  - 873.6921  Yo  =   ……..(hasil)    0.0010 

- 30

 fx 0 0 f y   0 0

Data koordinat kamera: w’ = Zs = 250 (cm) Xs = 30 (cm) Ys = -30 (cm)

0 0 1

0 873.6842 0 =   873.6842 0  0  0 0 0 

0 0

0 0

1

0

   

 fk x 0 Xo  0 fk Yo y   0 0 1

0   884.2088 0  1.2630 =  0 - 873.6921 0.0010  0 0   0 0 1

0 0 0

   


Dengan menggunakan model kamera pinhole, koefisien distorsi kx dan ky  1 . Proses perhitungan parameter intrinsik dilakukan terhadap semua data titik inisial. 3.2.Perhitungan parameter ekstrinsik kamera-1 3.2.1. Transformasi dititik AQ, bidang objek gambar-7

2 = 42.43

2

Xc = arah kamera tidak tegak lurus terhadap objek Zc = OAQ * sin 45° + 125 Sin 45° =

OAW = OAW 60 AQ. AW

OAW = 60 * Sin 45° = 60 * 1 2 = 42.43 2

Xs = -30 Ys = 30 Zs = 0 Pada koordinat kamera, dalam perhitungan berdasarkan hasil perngukuran ruang kalibrasi diperoleh data koordinat kamera (dalam cm). Xc = 0 Yc= 200 Zc =125 Dari persamaan (4) diatas ; R13 Tx   30 R23 T y   30   R32 R33 Z s   0     0 0 1  1   R11 X s  R12Ys  R13Z s  Tx  R X  R Y  R Z  T  22 s 23 s y  21 s  R31 X s  R32Ys  R33Z s  Tz    1      30.R11  30.R12  Tx .........1AQ  0   200 =      30.R21  30.R22  T y  .........2 AQ 125   30.R31  30.R32  Tz  .........3 AQ  

 0  200  = 125     1  X c  Y   c = Zc    1 

= 60 * 1

 R11 R  21  R31   0

R12 R22

Zc = 42.43 + 125 = 167.43 Zc = jarak antara titik AQ  R11 R12 R13  42.43   200  =  R  21 R22 R23    R31 R32 R33 167.43    0 0 1  0  

dengan pusat kamera Tx   30    T y   30 Zs   0     1  1   30.R11  30.R12  Tx   42.43  ............1AW  200  =  30.R  30.R  T   21 22 y  .............2 AW   30.R  30.R  T  .............3 AW 167.43 31 32 z  

3.2.3. Transformasi dititik inisial-G Data : Koordinat dunia berhimpit dengan koordinat objek papan catur (dalam cm) Xs = 30 Ys = -30 Zs = 0 Koordinat kamera (dalam cm) Data : Xc = 30 Yc = 30 Zc = 0

3.2.2. Transformasi dititik inisial-AW Data : Koordinat dunia berhimpit dengan koordinat objek papan catur (dalam cm) Xs = -30 Ys = -30 Zs = 0 Koordinat kamera (dalam cm) O

xs

AW 45°

AQ .AW Cos 45° ys = AQ

Cos 45° = OAW = xs 60 AQ. AW Yc = 200 Xc = AQ.AW cos 45°

4 5 °

AQ

AQG

2

= AQAW

G

2

AW

+ AWG

2

AQAW 2  AWG 2

AQG

=

AQG

= 60 2  60 2 = 7200 = 84.85

Yc = 200 Xc = 0 Xc = arah pusat kamera tegak lurus terhadap objek Zc = AC + 125 = 84.85 + 125 = 209.85 Zc = jarak antara titik AQ dengan pusat kamera  0   200  =   209.85    1 

 R11 R  21  R31   0

R12 R22 R32 0

R13 Tx  R23 T y  R33 Z s   0 1

30 30   0   1


 0   30.R11  30.R12  Tx  200  =   30.R21  30.R22  T y   30.R  30.R  T 209.85 31 32 z 

R13 Tx   30  R23 T y   30   R32 R33 Z s   0     0 0 1  1   30.R11  30.R12  Tx  .............1AW 161.68     1.26  =   30.R21  30.R22  T y  .............2 AW   30.R  30.R  T  .............3 AW 849.07  31 32 z  

161.68    1.26  =   849.07     1 

 R11 R  21  R31   0

 ...........1G   ............2G  ............3G 

R12 R22

3.3. Perhitungan transformasi untuk 3 titik inisial 3.3.1. Operasi transformasi linier di Titik AQ ,Titik AW dan Titik G transformasi baris I  159.16  3.69     161.68 

=

...........1A  30 30 1  R11   30  30 1  R  ..............1AQ 12      30 30 1  Tx  ..............1AW

1  R11   30 30 1 R  =    12   30  30 1  Tx   30 30 1  R11   0.7072  R  =    12   0.7072  Tx   0 

 159.16  111.16    161.68 

Transformasi baris II

200  30  30 1  R21  ............2 AQ 200 =  30  30 1  R       22  ..............2 AW 200  30 30 1  T y  ...........2G 1  R21   30  30 1   =    R22   30  30 1  Ty   30 30 1    R21   0    =    R22   0   Ty   200  

200 200   200

transformasi baris III

 125   30  30 1  R31  ...........3 AQ 167.43  =  30  30 1  R  .............3 AW      32  209.85  30 30 1  Tz  ..........3G 1  R31   30  30 1  125  R  =   167.43   32    30  30 1   Tz  30 1 209.85  30

 R31   0.7072  R  =    32   0.7070   Tz  167.425 4.Hasil eksperimen Tabel 2. Hasil perhitungan pencarian parameter intrinsik untuk 49 titik inisial kamera 1 Image Point

Focal lenght

Titik inisial

Xi

Yi

fx

fy

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL AM AN AO AP AQ AR AS AT AU AV AW

-107.368 -72 -36.6316 1.2632 34.1053 69.4737 104.8421 -107.368 -72 -36.6316 1.2632 34.1053 69.4737 104.8421 -106.105 -72 -36.6316 1.2632 34.1053 69.4737 104.8421 -106.105 -72 -36.6316 0 34.1053 69.4737 104.8421 -106.105 -72 -36.6316 0 34.1053 69.4737 104.8421 -106.105 -72 -36.6316 0 34.1053 69.4737 104.8421 -106.105 -72 -36.6316 0 34.1053 69.4737 104.8421

-104.842 -104.842 -104.842 104.842 104.842 104.842 104.842 -70.7368 -70.7368 -69.4737 69.4737 69.4737 69.4737 69.4737 -35.3684 -35.3684 -36.6316 36.6316 36.6316 36.6316 36.6316 0 0 0 0 0 0 0 -35.3684 -35.3684 -35.3684 -35.3684 -35.3684 -35.3684 -35.3684 -69.4737 -69.4737 -69.4737 -69.4737 -69.4737 -69.4737 -70.7369 -104.8421 -104.8421 -104.8421 -104.8421 -104.8421 -104.8421 -104.8421

894.73 900 915.79 0 852.63 868.42 873.68 894.73 900 915.79 0 852.63 868.42 873.68 884.21 900 915.79 0 852.63 868.42 873.68 884.21 900 915.79 0 852.63 868.42 873.68 884.21 900 915.79 0 852.63 868.42 873.68 884.21 900 915.79 0 852.63 868.42 873.68 884.21 900 915.79 0 852.63 868.42 873.68

873.68 873.68 873.68 873.68 873.68 873.68 873.68 884.21 884.21 868.42 868.42 868.42 868.42 868.42 884.21 884.21 915.79 915.79 915.79 915.79 915.79 0 0 0 0 0 0 0 884.21 884.21 884.21 884.21 884.21 884.21 884.21 868.42 868.42 868.42 868.42 868.42 868.42 884.21 873.68 873.68 873.68 873.68 873.68 873.68 873.68

rerata    f /(titikinisi al  0) Hasil perhitungan pencarian parameter ekstrinsik untuk 3 titik inisial, kamera-1


Matriks Homogen Parameter Ekstrinsik

 RT O  3

T = 1 

0.7072 - 0.7072  0 0  0.7072 0.7070  0  0

0   200  0 167.425  0 1  0 0

Hasil diatas diperoleh berdasarkan perhitungan dari posisi 49 titik inisial. Dari operasi tranformasi untuk 3 titik initial point, pada kamera-1 diperoleh nilai parameter ekstrinsik, rotasi(R T ) dan translasi (T). Tabel 3. Koordinat titik inisial kamera-1 terhadap objek kalibrasi sebagai acuan pencarian parameter ekstrinisik selanjutnya Camera 1 Titik inisial A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL AM AN AO AP

Xpix

Ypix

-159.16 -130.11 -102.32 -74.53 -49.26 -24.00 -1.26 -138.95 -107.37 -78.32 -51.79 -25.26 -1.26 24.00 -111.16 -80.84 -53.05 -26.53 0.00 24.00 48.00 -85.89 -55.58 -26.53 0.00 27.79 53.05 73.26 -59.37 -29.05 0.00 29.05 55.58 79.58 101.05 -27.79 1.26 30.32 56.84 83.37 108.63 131.37

0.00 15.16 30.32 44.21 56.84 70.74 82.11 -16.42 0.00 16.42 30.32 45.47 56.84 68.21 -32.84 -16.42 -1.26 13.89 30.32 42.95 56.84 -51.79 -32.84 -17.68 0.00 13.89 29.05 41.68 -70.74 -51.79 -32.84 -16.42 -2.53 13.89 29.05 -88.42 -70.74 -51.79 -34.11 -17.68 -2.53 13.89

AQ AR AS AT AU AV AW

3.79 32.84 60.63 88.42 112.42 137.68 161.68

-111.16 -92.21 -72.00 -50.53 -34.11 -17.68 -1.26

Tabel 4. Hasil perhitungan kalibrasi kamera-1 dan variabel parameternya Parameter Kamera

Kamera1 (target)

Uo (piksel) Vo (piksel) f (piksel) Sx (piksel/cm) Sy (piksel/cm) W (rad) Q (rad) K (rad) Tx (cm) Ty (cm) Tz (cm)

460 360 884.2088 280.35 280.35 1 0.5 1 0 0 168

5. Kesimpulan Dari tablel 2, diperoleh nilai parameter intrinsik focal length terhadap sumbu x dan sumbu y. rerata focal length fx = 882,956 dan fy = 880,324. dan pada parameter ekstrinsik diperoleh matriks Translasi ; Xtran=0, Ytrans=-200, Ztrans=167.425 ; dan Matriks Rotasi ; R11=0.7072, R12 = -0.7072, R13 = 0 ; R21=0, R22=0, R23=0; R31=0.7072, R32=0.7070, R33=0. dari tabel 4, diperoleh nilai parameter keseluruhan kamera-1, focal lenght 884,2088, Tx=0, Ty=0, Tz=168 dan W=1, Q=0.5, K=1. Daftar Pustaka: Abdel-Aziz, Y.I., & Karara, H.M., "Direct Linear Transformation from comparator coordinates into object space coordinates in close-range photogrammetry", 1971. Roger.Y.Tsai , “A Versatile Camera Calibration Techniaue for High-Accuracy 3D Machine Vision Metrology Using Off-the-shelf TV Cameras and Lenses”, IEEE JOURNAL OF ROBOTICS AND AUTOMATION, VOL. RA3, NO. 4, AUGUST 1987. Zhang,Yongmian & Ji,Qiang, “Camera Calibration With Genetic Algorithm,” IEEE Transaction On Systems,Man, and Cybernetics-Part A: System and Humans, Vol.31.No.2. March 2001.

SENTIA 2012 POLINEMA MALANG KALIBRASI KAMERA TUNGGAL MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LINIER (DLT)

Recommend Documents