SENDVIČOVÉ KONSTRUKCE Zdeněk Padovec
Sendviče
ohybově namáhané konstrukce – úspora hmotnosti potahy (skiny) namáhané na ohyb, jádro (core) namáhané smykem analogie k I profilu
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
2
Sendviče
potahy – kov, kompozit (tkanina, rohož,…) jádro – pěna, voština (honeycomb), balzové dřevo, korek…
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
3
Sendviče klasická laminátová teorie neuvažujeme smykové deformace
klasická laminátová teorie s uvažováním příčné smykové deformace jádro přenáší jak smyk, tak i ohyb a nahlížíme na něj, jako na jednu z vrstev, uvažováno jako izotropní =
sendvičová teorie jádro přenáší pouze smyk a je uvažováno jako izotropní =
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
4
Klasická laminátová teorie vrstvené lamináty
každá lamina ortotropní a kvazihomogenní tloušťka << šířka, délka rovinná napjatost posunutí jednotlivých bodů jsou velmi malá dokonalý, nekonečně tenký spoj mezi laminami – spojité posuvy, posunutí se mění v příčném směru lineárně Kirchhoffova hypotéza, přetvoření v příčném směru ≅ 0 lineární závislost mezi napětí a deformací
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
5
Klasická laminátová teorie síly a momenty působící na laminu
,
= = 20.4.2015
,
= =
,
= ,
=
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
6
Klasická laminátová teorie za σ dosadíme z Hookeova zákona =
=
( !
)* (
! "
)*
+ +! + = " , ,! ,"
"
+ !+ ", +!! +! ,! +"! +"" ," , !, ",!! ,!" -! ,"! ,"" -"
!
!!
!"
!
"
"! !! "!
, !, " ,!! ,!" ,"! ,"" - !- " -!! -!" -"! -""
# # %
"
""
# # %
!" ""
# # % ' ' '
$
$
$ $
$
$
+
! "
+
"
$
$
$
.
+./ = ,./ = -./ =
20.4.2015
!
1 2
1 3
!
!!
!"
!
"
"! !! "!
( )* ( )* ( )*
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
"
"" !" ""
' ' '
' ' '
!
./ )
ℎ) − ℎ)2
./ )
ℎ) ! − ℎ)2
!
./ )
ℎ) 6 − ℎ)2
6
7
Klasická laminátová teorie A…matice tahové tuhosti B...matice vazbové tuhosti D…matice ohybové tuhosti
= 7 = 7
20.4.2015
7 7
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
8
Laminátová teorie s uvažováním příčné smykové deformace kolmice na střední rovinu NEZŮSTANE kolmicí po deformaci – NEPLATÍ Kirchhoffova hypotéza
= výslednice vnějších sil působících kolmo na desku a způsobujících smykové deformace (index s – celý sendvič) jsou zkosy vzniklé vlivem smyku 20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
9
Laminátová teorie s uvažováním příčné smykové deformace 899 = 8:9
8./ =
)*
ℎ) − ℎ)2
89: γ < $ 8:: γ< $
=./
´
)
, @, A = 4, 5.
jádro přenáší jak smyk, tak i ohyb a nahlížíme na něj, jako na jednu z vrstev, uvažováno jako izotropní
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
10
Sendvičová teorie lineární závislost mezi napětí a deformací tloušťka jádra mnohem větší než tloušťka potahů posunutí jádra u a v ve směru x a y se mění po tloušťce lineárně posunutí potahů u a v jsou konstantní po celé jejich tloušťce příčné posunutí w je nezávislé na souřadnici z - #<< = 0 jádro přenáší JEN příčná smyková napětí malá tloušťka potahů - příčná smyková napětí a normálové ve směru z = 0 = 20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
11
Sendvičová teorie index 1 – horní potah, index 2 – dolní potah +./ = +./ + +./ ! , ,./ =
!
+./ ! − +./ , =./ = =./ + =./ ! , -./ = +./ = +./ ! = =./ =
=./ ! = 8./ =
1 2
1 2
(
)* (F )* ( )* (F
)* ℎ=./ ´G
./ )
ℎ) − ℎ)2
./ )
ℎ) − ℎ)2
./ )
ℎ) ! − ℎ)2
!
./ )
ℎ) ! − ℎ)2
!
!
=./ ! − =./
nesymetrická sendvičová deska, anizotropní jádro 20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
12
Sendvičová teorie index 1 – horní potah, index 2 – dolní potah +./ = 2+./ , ,./ = 0, =./ = 0, -./ = ℎ=./ ! IJK L = NJK L
1 = 2
(
)* ℎO./ G ,
(
)*
./ ) ./ )
ℎ) − ℎ)2
ℎ) ! − ℎ)2
8./ = 899 = 8:: = ℎOG , 89: = 0
!
= IJK M = = − NJK M
(F )*
1 = 2
(F )*
./ )
ℎ) − ℎ)2
./ )
ℎ) ! − ℎ)2
!
symetrická sendvičová deska, izotropní jádro vymizí vazba mezi výslednými silami N a modifikovanými křivostmi k a zároveň mezi momenty M a deformací stř. roviny #H $ 20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
13
Sendvičová teorie symetrická sendvičová deska, izotropní jádro vymizí vazba mezi výslednými silami N a modifikovanými křivostmi k a zároveň mezi momenty M a deformací stř. roviny #H $ N A 0 0 εW $ M = 0 D 0 k QG 0 0 F γG
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
14
Příklad F = 100 N, l = 400 mm, b= 40 mm, h1 = h2 = 3 mm, skiny jsou symetrické vůči střední rovině, 7 vrstev každý potah [0|±30|90|-+30|0], hk≅0,428 mm, C vlákna, epoxidová matrice, EL=1,299·105 MPa, ET=0,1399·105 MPa, GLT=0,045·105 MPa, GTT´=0,03·105 MPa, νLT=0,28. Tloušťka jádra h = 10 mm, izotropní materiál EC=75 MPa, νC=0,34. Průhyb pod silou = ? a) pomocí sendvičové teorie HORNÍ SKIN b) pomocí laminátové teorie h1 F
JÁDRO l/2
l/2 DOLNÍ SKIN
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
h h2 15
Příklad a) SENDVIČOVÁ TEORIE jádro jen smyk, skiny jen ohyb dá se odvodit YZ =
Z[ \ 9]^ ∗
∗
1+
Z`` ∗ 12 ∗ F a [
nutno vyšetřit prvky - a 8:: ∗ symetrický sendvič – B = 0 (F ! ! -./ = ℎ=./ ! , =./ ! = ∑)* ℎ − ℎ ./ ) ) )2 ! platí D*= D-1 ./ ) …matice mimoosové tuhosti pro každou vrstvu laminátového skinu - ∗ = 6,67984056 ∙ 102: N 2 m2 20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
16
Příklad a) SENDVIČOVÁ TEORIE jádro jen smyk, skiny jen ohyb dá se odvodit YZ =
Z[ \ 9]^ ∗
∗
1+
Z`` ∗ 12 ∗ F a [
nutno vyšetřit prvky - a 8:: ∗ symetrický sendvič – B = 0 matice smykové tuhosti F závisí na parametrech ij jádra - = 2 1 + lG → OG = 27,985 Mpa kj
899 = 8:: = ℎOG = 2,7985N 2 m, 89: = 0 Zpp ∗ = 3,573 ∙ 102" m2 N, r8…determinant F 8:: = qZ
20.4.2015
YZ = 1,12 mm
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
17
Příklad a) SENDVIČOVÁ TEORIE Jádro NULOVÁ SMYKOVÁ TUHOST, skiny jen ohyb dá -
20.4.2015
Z[ \ se odvodit YZ = - ∗ 9]^ ∗ = 6,67984056 ∙ 102: N 2
YZ = 0,22 mm
m2
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
18
Příklad b) LAMINÁTOVÁ TEORIE jádro je jedna z vrstev laminátu a má ohybovou a smykovou tuhost symetrický laminát – B = 0 = dá se odvodit
Z[ \ YZ = - ∗ 1+ 9]^ 6 6 ℎ − ℎ ./ ) ) )2
Z`` ∗ 12 ∗ F a [
-./ = ∑()* 6 platí D*= D-1 ∗ - = 5,015552603 ∙ 102: N 2 m2 20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
19
Příklad b) LAMINÁTOVÁ TEORIE = dá se odvodit YZ =
Z[ \ 9]^
∗
1+
Z`` ∗ 12 ∗ F a [
8./ = ∑)* ℎ) − ℎ)2 =./ ´ , @, A = 4, 5 ) 899 = 2,085127931 ∙ 10s N 2 m, 8:: = 2,470842217 ∙ 10s N 2 m, 89: = 0 Zpp ∗ 8:: = = 4,047203 ∙ 102] m2 N, qZ r8…determinant F YZ = 0,18 mm
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
20
Příklad b) LAMINÁTOVÁ TEORIE jádro je jedna z vrstev laminátu a má ohybovou tuhost, příčné smykové síly NEUVAŽUJEME symetrický laminát – B = 0 = dá se odvodit
Z[ \ - ∗ YZ = 9]^ 6 6 ℎ − ℎ ./ ) ) )2
-./ = ∑()* 6 platí D*= D-1 ∗ - = 5,015552603 ∙ 102: N 2 m2 20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
21
Příklad b) LAMINÁTOVÁ TEORIE jádro je jedna z vrstev laminátu a má ohybovou tuhost, příčné smykové síly NEUVAŽUJEME symetrický laminát – B = 0 YZ = 0,17 mm
20.4.2015
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
22
Shrnutí průhyb sendvičového nosníku
20.4.2015
s uvažováním smyku [mm]
bez smyku [mm]
Sendvičová teorie
1,12
0,22
Laminátová teorie
0,18
0,17
Experiment
0,51
FEM (solid)
0,71
MECHANIKA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ
23
