Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta A13 – vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. • Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. xi yi
-2 6,5
-1 5,2
0 3,1
1 0,9
2 -1,0
3 -2,7
Řešení: 8
Normální soustava rovnic:
6
4
6c0 + 3c1 = 12 3c1 + 19c1 = −27,4
⇒
c0 = 2,954 c1 = −1,909
Rovnice přímky je y = 2,954 − 1,909x.
2
0
−2
−4 −3
−2
−1
0
1
2
3
4
b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f (a) a f (b) mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f (x) = 0 v intervalu ha, bi, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není. Řešení: Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je někde přetržený“, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a ” druhý pod osou x. 2. a) Je dána počáteční úloha y 0 = x2 − 2y,
y(2) = 1.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 2,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifikovanou Eulerovou metodou yi+1 = yi +
h (k1 + k2 ), kde k1 = f (xi , yi ), k2 = f (xi + h, yi + hk1 ). 2
• Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 14 (1−2x+2x2 −e−2x+4 ). Řešení: f (x, y) = x2 − 2y První krok: x0 = 2, y0 = 1 Druhý krok: x1 = 2,2, y1 = 1,404 k1 = f (2; 1) = 22 − 2 · 1 = 2 k1 = f (2,2; 1,404) = 2,032 k2 = f (2 + 0,2; 1 + 0,2 · 2) = k2 = f (2,4; 1,8104) = 2,1392 = f (2,2; 1,4) = 2,22 − 2 · 1,4 = 2,04 0,2 y 2 = 1,404 + 2 (2,032 + 2,1392) = 1,82112 (2 + 2,04) = 1,404 y1 = 1 + 0,2 2 Přibližná hodnota řešení v bodě x = 2,4 je y2 = 1,82112. . Přesná hodnota je y(2,4) = 14 (1 − 2 · 2,4 + 2 · 2,42 − e−2·2,4+4 ) = 1,818, chyba je přibližně −3 −3 · 10 . R1 b) Vypočtěte (přesně) −1 (1 + x2 ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběžníkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. R1 3 Řešení: −1 (1 + x2 ) dx = [x + x3 ]1−1 = 83 . L3 by vyšlo větší – nejsnáze lze ukázat pomocí obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) – druhá derivace integrované funkce je kladná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou větší než přesná hodnota.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí ( 2 1 − e−x /4 pro x > 0, F (x) = 0 pro x ≤ 0. • Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až 3 stovky hodin? • Jakou dobu životnosti překročí 90% součástek? • Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! Řešení: 2 2 . • P (1 < X < 3) = F (3) − F (1) = 1 − e−3 /4 − (1 − e−1 /4 ) = e−1/4 − e−9/4 = 0,673. • Hledáme x, pro které je P (X > x) = 0,9: P (X > x) = 0,9 ⇒ 1 − F√(x) = 0,9 ⇒ F (x) = 0,1 2 . 1 − e−x /4 = 0,1 ⇒ x = −4 ln 0,9 = 0,649, tj. přibližně 65 hodin. R∞ • EX = −∞ xf (x) dx. Známe F , hustotu f vypočteme jako f (x) = F 0 (x): 2
2
2
x −x /4 ; pro x ≤ 0 je f (x) = 0. Pro x > 0 je f (x) = (1 − e−x /4 )0 = −e−x /4 · (− 2x 4 )= 2 ·e R R∞ 2 2 ∞ 2 EX = 0 x · x2 · e−x /4 dx = 0 x2 · e−x /4 dx ( Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí √ ” elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek π.)
b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 5. Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 5 hovorů za hodinu. Obecně: X. . . počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky). 4. a) Anežka hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,8. • Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje třikrát až čtyřikrát? • Hraje 50-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 50 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. • Jaká je pravděpodobnost, že v 50 hrách vyhraje nanejvýš 35-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. Řešení: • P (vyhraje 3x až 4x) = P (vyhraje 3x) + P (vyhraje 4x) = 53 0,83 · 0,22 + 54 0,84 · 0,2 = 0,6144. • X ∼ Bi(n = 50; p = 0,8), tedy střední hodnota je EX = n · p = 50 · 0,8 = 40 a rozptyl DX = n · p · (1 − p) = 50 · 0,8 · 0,2 = 8. • Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 40 a rozptyl σ 2 = DX = 8 vypočtené v předchozí části. √ X ∼ Bi(50; 0,8) ⇒ přibližně X ∼ N o(µ = 40; σ 2 = 8), U = X−40 8 . . 35,5−40 = P (U < −1,59) = Φ(−1,59) = P (X ≤ 35) = P (X < 35,5) = P U < √8 . = 1 − Φ(1,59) = 1 − 0,944 = 0,056. b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F (2) > F (3)? Jestliže ano, uveďte příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže. Řešení: Nerovnost F (2) > F (3) platit nemůže, protože F (2) = P (X < 2) a F (3) = P (X < 3). Hodnota F (3) udává pravděpodobnost většího“ jevu než F (2), a tedy F (3) rozhodně ” nemůže být menší než F (2). Přesněji: F (3) = P (X < 3) = P (X < 2) + P (2 ≤ X < 3) = F (2) + P (2 ≤ X < 3) ≥ F (2), | {z } ≥0 a tedy nemůže být F (2) > F (3).
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta B13 – vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. • Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. xi yi
-3 -3,2
-2 -0,8
-1 0,7
0 2,9
1 5,4
Řešení: 8
Normální soustava rovnic:
6
4
5c0 − 5c1 = 5 −5c1 + 15c1 = 15,9
⇒
c0 = 3,09 c1 = 2,09
2
0
−2
Rovnice přímky je y = 3,09 + 2,09x.
−4
−6 −3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f (x) = 0 volíme počáteční aproximaci x0 tak, aby f (x0 ) a f 00 (x0 ) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem). Řešení: Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení. 2. a) Je dána počáteční úloha y 0 = 2x2 − y,
y(1) = 3.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifikovanou Eulerovou metodou yi+1 = yi + hk2 , kde k1 = f (xi , yi ), k2 = f (xi +
h h , yi + k1 ). 2 2
• Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 4 − 4x + 2x2 + e−x+1 . Řešení: f (x, y) = 2x2 − y První krok: x0 = 1, y0 = 3 Druhý krok: x1 = 1,2, y1 = 2,904 k1 = f (1; 3) = 2 · 12 − 3 = −1 k1 = f (1,2; 2,904) = −0,024 k2 = f (1 + 0,2 2 ; 3 + 0,1 · (−1)) = k 2 = f (1,3; 2,9016) = 0,4784 = f (1,1; 2,9) = 2 · 1,12 − 2,9 = −0,48 y2 = 2,904 + 0,2 · 0,4784 = 2,99968 y1 = 3 + 0,2 · (−0,48) = 2,904 Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1,4 je y2 = 2,99968. . Přesná hodnota je y(1,4) = 4−4·1,4+2·1,42 −e−1,4+1 = 2,990, chyba je přibližně −9·10−3 . R1 b) Vypočtěte (přesně) −1 (1 − x2 ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběžníkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. R1 3 Řešení: −1 (1 − x2 ) dx = [x − x3 ]1−1 = 34 . L3 by vyšlo menší – nejsnáze lze ukázat pomocí obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) – druhá derivace integrované funkce je záporná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou menší než přesná hodnota.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí ( 2 1 − e−x /9 pro x > 0, F (x) = 0 pro x ≤ 0. • Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 2 až 4 stovky hodin? • Do jaké doby selže 95% součástek? • Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! Řešení: 2 2 . • P (2 < X < 4) = F (4) − F (2) = 1 − e−4 /9 − (1 − e−2 /9 ) = e−4/9 − e−16/9 = 0,472. • Hledáme x, pro které je P (X < x) = 0,95: P (X < x) = 0,95 ⇒ F (x)√= 0,95 2 . 1 − e−x /9 = 0,95 ⇒ x = −9 ln 0,05 = 5,192, tj. přibližně 519 hodin. R∞ • EX = −∞ xf (x) dx. Známe F , hustotu f vypočteme jako f (x) = F 0 (x): 2
2
2
2x −x /9 ; pro x ≤ 0 je f (x) = 0. Pro x > 0 je f (x) = (1 − e−x /9 )0 = −e−x /9 · (− 2x 9 )= 9 ·e R R∞ 2 2 2 ∞ 2x −x /9 dx = −x /9 dx EX = 0 x · 2x 9 ·e 9 ·e 0 ( Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí √ ” elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 3 π/2.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 10. Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 10 hovorů za hodinu. Obecně: X. . . počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).
4. a) Barbora hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,75. • Jaká je pravděpodobnost, že ve 4 hrách vyhraje dvakrát až třikrát? • Hraje 80-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 80 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. • Jaká je pravděpodobnost, že v 80 hrách vyhraje alespoň 55-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. Řešení: . • P (vyhraje 2x až 3x) = P (vyhraje 2x)+P (vyhraje 3x) = 42 0,752 ·0,252 + 43 0,753 ·0,25 = 0,633. • X ∼ Bi(n = 80; p = 0,75), tedy střední hodnota je EX = n · p = 80 · 0,75 = 60 a rozptyl DX = n · p · (1 − p) = 80 · 0,75 · 0,25 = 15. • Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 60 a rozptyl σ 2 = DX = 15 vypočtené v předchozí části. √ X ∼ Bi(80; 0,75) ⇒ přibližně X ∼ N o(µ = 60; σ 2 = 15), U = X−60 15 . . 54,5−60 P (X ≥ 55) = P (X > 54,5) = P U > √15 = P (U > −1,42) = 1 − Φ(−1,42) = . = 1 − (1 − Φ(1,42)) = Φ(1,42) = 0,922. b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P (X > 3) = 1 − F (3)? Nebo to platí jen pro některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte. Řešení: P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − (P (X < 3) + P (X = 3)) = 1 − F (3) − P (X = 3) Rovnost P (X > 3) = 1 − F (3) platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou náhodnou veličinu je P (X = 3) = 0. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a nemusí, záleží na tom, zda je P (X = 3) = p(3) nenulová. (Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F (x) = P (X ≤ x), pak rovnost P (X > 3) = 1 − F (3) platí vždy.)
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta C13 – vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. • Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. xi yi
-1 -3,3
0 -2,2
1 -0,5
2 0,8
3 2,2
Řešení: 3
Normální soustava rovnic:
2 1
5c0 + 5c1 = −3 5c1 + 15c1 = 11
⇒
c0 = −2 c1 = 1,4
0 −1 −2 −3
Rovnice přímky je y = −2 + 1,4x.
−4 −5 −1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f (a) a f (b) mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f (x) = 0 v intervalu ha, bi, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není. Řešení: Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je někde přetržený“, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a ” druhý pod osou x. 2. a) Je dána počáteční úloha y 0 = x2 − 3y,
y(2) = 1.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 2,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifikovanou Eulerovou metodou yi+1 = yi +
h (k1 + k2 ), kde k1 = f (xi , yi ), k2 = f (xi + h, yi + hk1 ). 2
1 • Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 27 (2−6x+9x2 +e−3x+6 ). Řešení: f (x, y) = x2 − 3y První krok: x0 = 2, y0 = 1 Druhý krok: x1 = 2,2, y1 = 1,224 k1 = f (2; 1) = 22 − 3 · 1 = 1 k1 = f (2,2; 1,224) = 1,168 k2 = f (2 + 0,2; 1 + 0,2 · 1) = k2 = f (2,4; 1,4576) = 1,3872 = f (2,2; 1,2) = 2,22 − 3 · 1,2 = 1,24 y2 = 1,224 + 0,2 0,2 2 (1,168 + 1,3872) = 1,47952 y1 = 1 + 2 (1 + 1,24) = 1,224
Přibližná hodnota řešení v bodě x = 2,4 je y2 = 1,47952. . 1 Přesná hodnota je y(2,4) = 27 (2 − 6 · 2,4 + 9 · 2,42 + e−3·2,4+6 ) = 1,472, chyba je přibližně −8 · 10−3 . R1 b) Vypočtěte (přesně) −1 (1 + x2 ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simpsonovou metodou pro n = 4, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. R1 3 Řešení: −1 (1+x2 ) dx = [x+ x3 ]1−1 = 83 . S4 by vyšlo stejně – při použití Simpsonovy metody nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem 2. stupně neboli parabolou. Protože integrovaná funkce je polynom 2. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný výsledek.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí ( 3 1 − e−x /8 pro x > 0, F (x) = 0 pro x ≤ 0. • Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až 4 stovky hodin? • Do jaké doby selže 99% součástek? • Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! Řešení: 3 3 . • P (1 < X < 4) = F (4) − F (1) = 1 − e−4 /8 − (1 − e−1 /8 ) = e−1/8 − e−8 = 0,882. • Hledáme x, pro které je P (X < x) = 0,99: P (X < x) = 0,99 ⇒ F (x)√= 0,99 3 . 1 − e−x /8 = 0,99 ⇒ x = 3 −8 ln 0,01 = 3,327, tj. přibližně 333 hodin. R∞ • EX = −∞ xf (x) dx. Známe F , hustotu f vypočteme jako f (x) = F 0 (x): 3
3
2
2
3
Pro x > 0 je f (x) = (1 − e−x /8 )0 = −e−x /8 · (− 3x8 ) = 3x8 · e−x /8 ; pro x ≤ 0 je f (x) = 0. R∞ R∞ 3 2 3 3 EX = 0 x · 3x8 · e−x /8 dx = 0 3x8 · e−x /8 dx ( Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí √ ” . elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 4π 3/(9Γ(2/3)) = 1,786.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 15. Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 15 hovorů za hodinu. Obecně: X. . . počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky). 4. a) Cyril hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,25. • Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje jednou až dvakrát? • Hraje 60-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 60 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. • Jaká je pravděpodobnost, že v 60 hrách vyhraje alespoň 20-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. Řešení: . • P (vyhraje 1x až 2x) = P (vyhraje 1x) + P (vyhraje 2x) = 5 · 0,25 · 0,754 + 52 0,252 · 0,753 = 0,659. • X ∼ Bi(n = 60; p = 0,25), tedy střední hodnota je EX = n · p = 60 · 0,25 = 15 a rozptyl DX = n · p · (1 − p) = 60 · 0,25 · 0,75 = 11,25. • Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 15 a rozptyl σ 2 = DX = 11,25 vypočtené v předchozí části. X ∼ Bi(60; 0,25) ⇒ přibližně X ∼ N o(µ = 15; σ 2 = 11,25), U = √X−15 11,25 . . . 19,5−15 P (X ≥ 20) = P (X > 19,5) = P U > √11,25 = P (U > 1,34) = 1 − Φ(1,34) = . = 1 − 0,910 = 0,090. b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F (1) > F (2)? Jestliže ano, uveďte příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže. Řešení: Nerovnost F (1) > F (2) platit nemůže, protože F (1) = P (X < 1) a F (2) = P (X < 2). Hodnota F (2) udává pravděpodobnost většího“ jevu než F (1), a tedy F (2) rozhodně ” nemůže být menší než F (1). Přesněji: F (2) = P (X < 2) = P (X < 1) + P (1 ≤ X < 2) = F (1) + P (1 ≤ X < 2) ≥ F (1), | {z } ≥0 a tedy nemůže být F (1) > F (2).
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.2009 - varianta D13 – vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 14 body a část b) 4 body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) • Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. • Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. xi yi
-3 -2,3
-2 -1,3
-1 0,6
0 2,2
1 3,3
2 5,5
Řešení: 6 5
Normální soustava rovnic:
4 3
6c0 − 3c1 = 8 −3c1 + 19c1 = 23,2
⇒
c0 = 2,110 c1 = 1,554
2 1 0 −1 −2
Rovnice přímky je y = 2,110 + 1,554x.
−3 −4 −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f (x) = 0 volíme počáteční aproximaci x0 tak, aby f (x0 ) a f 00 (x0 ) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem). Řešení: Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení. 2. a) Je dána počáteční úloha y 0 = 3x2 − y,
y(1) = 2.
• Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1,4 – řešte s krokem h = 0,2 modifikovanou Eulerovou metodou yi+1 = yi + hk2 , kde k1 = f (xi , yi ), k2 = f (xi +
h h , yi + k1 ). 2 2
• Výsledek pak porovnejte s přesným řešením – přesné řešení je y = 6 − 6x + 3x2 − e−x+1 . Řešení: f (x, y) = 3x2 − y První krok: x0 = 1, y0 = 2 Druhý krok: x1 = 1,2, y1 = 2,306 k1 = f (1; 2) = 3 · 12 − 2 = 1 k1 = f (1,2; 2,306) = 2,014 0,2 k2 = f (1 + 2 ; 2 + 0,1 · 1) = k2 = f (1,3; 2,5074) = 2,5626 = f (1,1; 2,1) = 3 · 1,12 − 2,1 = 1,53 y2 = 2,306 + 0,2 · 2,5626 = 2,81852 y1 = 2 + 0,2 · 1,53 = 2,306 Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1,4 je y2 = 2,81852. . Přesná hodnota je y(1,4) = 6−6·1,4+3·1,42 −e−1,4+1 = 2,810, chyba je přibližně −9·10−3 . R1 b) Vypočtěte (přesně) −1 (1 − x2 ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simpsonovou metodou pro n = 4, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. R1 3 Řešení: −1 (1−x2 ) dx = [x− x3 ]1−1 = 43 . S4 by vyšlo stejně – při použití Simpsonovy metody nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem 2. stupně neboli parabolou. Protože integrovaná funkce je polynom 2. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný výsledek.
3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí ( 3 1 − e−x /27 pro x > 0, F (x) = 0 pro x ≤ 0. • Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 2 až 3 stovky hodin? • Jakou dobu životnosti překročí 95% součástek? • Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! Řešení: 3 3 . • P (2 < X < 3) = F (3) − F (2) = 1 − e−3 /27 − (1 − e−2 /27 ) = e−8/27 − e−1 = 0,376. • Hledáme x, pro které je P (X > x) = 0,95: P (X > x) = 0,95 ⇒ 1 − F√ (x) = 0,95 ⇒ F (x) = 0,05 3 /27 . −x 1−e = 0,05 ⇒ x = 3 −27 ln 0,95 = 1,115, tj. přibližně 112 hodin. R∞ • EX = −∞ xf (x) dx. Známe F , hustotu f vypočteme jako f (x) = F 0 (x): 3
3
2
2
3
x −x /27 ; pro x ≤ 0 je f (x) = 0. Pro x > 0 je f (x) = (1 − e−x /27 )0 = −e−x /27 · (− 3x 27 ) = 9 · e R R∞ 2 3 3 3 ∞ EX = 0 x · x9 · e−x /27 dx = 0 x9 · e−x /27 dx ( Ručně“ by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí √ ” . elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 2π 3/(3Γ(2/3)) = 2,679.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 20. Řešení: Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 20 hovorů za hodinu. Obecně: X. . . počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).
4. a) Daniel hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře 0,2. • Jaká je pravděpodobnost, že ve 4 hrách vyhraje jednou až dvakrát? • Hraje 100-krát. Náhodná veličina X udává počet výher ve 100 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. • Jaká je pravděpodobnost, že ve 100 hrách vyhraje nanejvýš 19-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. Řešení: • P (vyhraje 1x až 2x) = P (vyhraje 1x) + P (vyhraje 2x) = 4 · 0,2 · 0,83 + 42 0,22 · 0,82 = 0,5632. • X ∼ Bi(n = 100; p = 0,2), tedy střední hodnota je EX = n · p = 100 · 0,2 = 20 a rozptyl DX = n · p · (1 − p) = 100 · 0,2 · 0,8 = 16. • Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 20 a rozptyl σ 2 = DX = 16 vypočtené v předchozí části. √ X ∼ Bi(100; 0,2) ⇒ přibližně X ∼ N o(µ = 20; σ 2 = 16), U = X−20 16 . . 19,5−20 P (X ≤ 19) = P (X < 19,5) = P U < = P (U < −0,12) = Φ(−0,12) = 4 . = 1 − Φ(0,12) = 1 − 0,548 = 0,452. b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P (X > 4) = 1 − F (4)? Nebo to platí jen pro některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte. Řešení: P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − (P (X < 4) + P (X = 4)) = 1 − F (4) − P (X = 4) Rovnost P (X > 4) = 1 − F (4) platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou náhodnou veličinu je P (X = 4) = 0. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a nemusí, záleží na tom, zda je P (X = 4) = p(4) nenulová. (Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F (x) = P (X ≤ x), pak rovnost P (X > 4) = 1 − F (4) platí vždy.)
