Selamat Datang di Media Pembelajaran Berbasis Website
Pada Materi Barisan dan deret aritmatika
L O A D I N G ...
Created : Novialdi Bengkalis, 12 November 1993
A. Barisan Aritmaitka
Apa anda sudah mengetahui tentang Barisan Aritmatika?
gambar di atas adalah gambar sebuah ruangan gedung konser yang mempunyai 4 kursi pada barisan pertama, 6 kursi pada barisan kedua, 8 kursi pada barisan ke tiga , dan seterusnya. jika anda duduk pada kursi barisan 20. dapatkah kamu menentukan berapa banyak jumlah kursi pada barisan kamu duduk tanpa menghitung secara manual?
Ternyata 4, 6, 8,…,20. merupakan Barisan Aritmatika Dengan Beda 2.
jika anda perhatikan banyak kursi pada setiap barisan di ruangan gedung adalah 4, 6, 8,…,20. dari pernyataan tersebut, bahwa setiap suku barisan memliki beda(selisih) yang sama yaitu 2. yang berarti selisih antar 4 dan 6 adalah 2 , antara 6 dan 8 adalah 2. Nah. barisan yang memiliki beda yang sama ini disebut dengan Barisan Aritmatika.
sedangkan Barisan Bilangan adalah himpunan bilangan-bilangan terurut yang mengikuti pola tertentu.
Nah. Anda sudah mengetahui tentang barisan bilangan, barisan aritmatika.
setiap bilangan pada suatu barisan bilangan disebut suku barisan dan dilaambangkan dengan U.
Sekarang tuliskan pendapat Anda dibuku latihan tentang Definisi, dan maanfat bagi anda mempelari materi barisan aritmatika
Bentuk umum dari suau barisan bilangan adalah U1, U2, U3,..
Definisi Barisan Aritmatika.
Suatu barisan bilangan U1, U2, U3,.. un-1, Un disebut “Barisan Aritmatika” Jika berlaku Un-Un-1 = …= U3 – U2 = U2 – U1 Selisih antara dua suku yang berurutan disebut “Beda Barisan”, dilambangkan dengan “b” dan dirumuskan sebagai berikut : b = U2 – U1 = U3 – U2 …= Un-Un-1
UJI PEMAHAMAN
SILAKAN KLIK MULAI DIBAWAH INI
START
SOAL 1
Apakah dari barisan bilangan berikut : 10, 20, 30, 40, 50, … termasuk barisan aritmatika?
A. YA
B. TIDAK
SOAL 2
Berapakah suku dari barisan bilangan berikut : 10, 20, 30, 40, 50.
A. 5
B. 4
SOAL 3
Berapakah nilai beda dari barisan bilangan berikut : 10, 20, 30, 40, 50.
A. 5
B. 10
SOAL 4
Apakah sama nilai U3 – U2 = U2 – U1 dari barisan bilangan 10, 20, 30, 40, 50.
A. YA
B. TIDAK
SOAL 5
Barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda yang…
A. tetap
B. berbeda
SILAKAN KLIK TOMBOL DI BAWAH INI UNTUK MELIHAT SKOR ANDA
CEK NILAI
Sekarang kamu telah memahami apa itu barisan aritmatika. Sekarang bagaimana mencari suku ke-n yang disebut Un. Perhatikan penjelasan berikut
Jika suku pertama dari suatu barisan aritmaika adalah a, dan beda adalah b maka barisan aritmatika tersebut dinyatakan sebagai berikut 𝑎, 𝑈1
𝑎 + 𝑏, 𝑈2
𝑎 + 2𝑏, … , 𝑈3
𝑎+ 𝑛−1 𝑏 𝑈𝑛
berdasarkan uraian tersebut, suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 keterangan: a : suku pertama b : beda atau selisih Un : suku ke-n
Contoh Soal 1
Tentuan suku pertama, beda, rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari 3, 7, 11, 15.
Diketahui : barisan bilangan = 3, 7, 11, 15, …. Ditanya : suku pertama (U1), beda (b), rumus suku ke-n, 10(U10) Suku pertama = (U1) = 3 Beda = b = U3 – U2 = U2 – U1 = 4 Rumus suku ke-n : Un = a + (n-1)b = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n – 4 = 4n – 1 Suku ke -10 = Un = 4n – 1 = 4(10) – 1 = 39
suku ke
Untuk mencari suku ke 10 bisa juga menggunakan cara berikut : Un = a + (n-1)b U10 = 3 + (10 – 1)4 = 3 + 36 = 39
Contoh Soal 2
dari barisaan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah...
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑈50 = 𝑎 + (50 − 1)𝑏 𝑈50 = 𝑎 + 49𝑏 Langkah awal mencari nilai a dan b 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑈10 = 𝑎 + (10 − 1)𝑏 𝑈10 = 𝑎 + 9𝑏 = 41 ….(1) 𝑈5 = 𝑎 + (5 − 1)𝑏 𝑈5 = 𝑎 + (5 − 1)𝑏 𝑈5 = 𝑎 + 4𝑏 = 21 … (2)
Cara selanjutnya yaitu dengan menggunakan metode eliminasi dan subsitusi. Eliminasi persamaan 1 dan 2 𝑎 + 9𝑏 = 41 𝑎 + 4𝑏 = 21, 5𝑏 = 20 b=4 subsitusikan nilai b = 4 ke persamaan (1) atau persamaan (2) 𝑎 + 9𝑏 = 41 ….(1) 𝑎 + 9(4) = 41 𝑎 + 36 = 41 𝑎= 41 – 36 𝑎= 5 Karena nilai a dan b sudah didapatkan, maka kita sudah bisa mencari nilai 𝑈50 𝑈50 = 𝑎 + 49𝑏 𝑈50 = 5 + 49 4 𝑈50 = 5 + 196 𝑈50 = 201 Jadi, suku ke-50 dari barisan tersebut adalah 𝑼𝟓𝟎 = 𝟐𝟎𝟏
Contoh Soal 3
Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suke ke- n. jika 𝑈2 + 𝑈15 + 𝑈40 = 165, maka 𝑈19
𝑼𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 Langkah awal yaitu mencari nilai a dan b Maka 𝑈2 = 𝑎 + 2 − 1 𝑏 = 𝒂 + 𝒃 𝑈15 = 𝑎 + 15 − 1 𝑏 = 𝒂 + 𝟏𝟒𝒃 𝑈40 = 𝑎 + 40 − 1 𝑏 = 𝒂 + 𝟑𝟗𝒃 Substitusikan nilai 𝑈2 , 𝑈15 , 𝑈40 ke dalam soal 𝑈2 + 𝑈15 + 𝑈40 = 165 (𝑎 + 𝑏) + 𝑎 + 14𝑏 + (𝑎 + 39𝑏 ) = 165 3a + 54b = 165 a + 18b = 55 maka 𝑼𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 𝑼𝟏𝟗 = 𝒂 + 𝟏𝟗 − 𝟏 𝒃 𝑼𝟏𝟗 = 𝒂 + 𝟏𝟖𝒃 𝑼𝟏𝟗 = 𝟓𝟓 Jadi, 𝑼𝟏𝟗 = a + 18b = 55
Deret Aritmatika
kamu sudah mempelajari tentang barisan aritmatika. Selanjutnya kamu akan mempelajari tentang deret aritmatika, apa itu deret aritmatika? Dan apa hubungannya dengan barisan aritmaitka?
Perhatikan Ilustrasi Berikut Misalnya besarnya uang yang ditabung fika pada bulan pertama Rp10.000, bulan kedua Rp15.000, bulan ketiga Rp20.000, bulan keempat Rp25.000, dan bulan keenam Rp.30.000. dari ilustrasi tersebut dapat dituliskan dalam barisan aritmatika sebagai berikut : 10, 15, 20, 25, 30 Jumlah seluruh tabungan fika selama 10 bulan dapat dituliskan sebagai berikut : 10 + 15 + …+30 Penjumlahan tersebut dinamakan Deret Aritmatika
Misal 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , …, 𝑈𝑛−1, 𝑈𝑛 adalah “BARISAN ARITMATIKA”
DEFINISI ARITMATIKA
Penjumlahan setiap suku barisan tersebut, yaitu 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + …+ 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛 Disebut “DERET ARITMATIKA”
Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk berikut: 𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 + 𝑼𝟑 + …+ 𝑼𝒏−𝟏 + 𝑼𝒏 = 𝒂, 𝒂 + 𝒃 , 𝒂 + 𝟐𝒃 , … , 𝒂 + 𝒏 − 𝟐 𝒃 , 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 Jumlah n buah suku pertama dari barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk berikut : 𝑺𝒏 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃 + 𝒂 + 𝟐𝒃 + ⋯ + 𝒂 + 𝒏 − 𝟐 𝒃 + 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃
…(1)
Dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, persamaan (1) dapat juga dinyatakan sebagai berikut: 𝑺𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 + 𝒂 + 𝒏 − 𝟐 𝒃 + ⋯ + 𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒂 + 𝒃 + 𝒂
. . . (𝟐)
Jika persamaan (1) dan (2) dijumlahkan sebagai berikut: 𝑺𝒏 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃 + 𝒂 + 𝟐𝒃 + ⋯ + 𝒂 + 𝒏 − 𝟐 𝒃 + 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 𝑺𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 + 𝒂 + 𝒏 − 𝟐 𝒃 + ⋯ + 𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒂 + 𝒃 + 𝒂 + 𝟐𝑺𝒏 = 𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 + 𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 + ⋯ + 𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 𝟐𝑺𝒏 = 𝒏(𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃) 𝟏 𝑺𝒏 = 𝒏(𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃) 𝟐
Oleh karena suku ke-n barisan aritmatika dinyatakan sebagai 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 , rumus 𝑆𝑛 untuk barisan aritmatika dapat juga dinyatakan sebagai berikut: 𝟏 𝑺𝒏 = 𝒏(𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃) 𝟐 Atau 𝑺𝒏 =
𝟏 𝒏(𝒂 + 𝟐
𝑼𝒏 )
Dan untuk mencari 𝑈𝑛 dengan menggunakan 𝑆𝑛 adalah : 𝑼𝒏 = 𝑺𝒏 − 𝑺𝒏−𝟏 Keterangan A : suku pertama b : beda atau selisih 𝑈𝑛 : suku ke-n 𝑆𝑛 : jumlah n suku pertama dari suatu barisan
𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑼𝒏 = 𝑺𝒏 − 𝑺𝒏−𝟏 1 1 𝑆𝑛 = 2 𝑛(2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏) = 2 (2𝑎𝑛 + 𝑛2 𝑏 − 𝑛𝑏) 1 𝑆𝑛−1 = 𝑛 − 1 2𝑎 + 𝑛 − 1 − 1 𝑏) 2 1 = 𝑛 − 1 2𝑎 + 𝑛 − 2 𝑏 2 1 = 2𝑎𝑛 + 𝑛2 𝑏 − 𝑛𝑏 − 2𝑎 − 2𝑛𝑏 + 2𝑏 2 1 = 2𝑎𝑛 + 𝑛2 𝑏 − 3𝑛𝑏 − 2𝑎 + 2𝑏 2 1 1 = 2 2𝑎𝑛 + 𝑛2 𝑏 − 𝑛𝑏 - 2 2𝑎𝑛 + 𝑛2 𝑏 − 3𝑛𝑏 − 2𝑎 + 2𝑏 1
= 2 2𝑎𝑛 + 𝑛2 𝑏 − 𝑛𝑏 − 2𝑎𝑛 − 𝑛2 𝑏 + 3𝑛𝑏 + 2𝑎 − 2𝑏 1 = 2𝑎 + 2𝑛𝑏 − 2𝑏 2 = 𝑎 + 𝑛𝑏 − 𝑏 =𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 = 𝑼𝒏
Contoh Soal 1
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika berikut 2, 5, 8, 11, 14, ...
Deret aritmatika: 2, 5, 8, 11, 14. Langkah awal mencari nilia a dan b 𝑎 = 𝑈1 = 2 𝑏 = 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 3 Rumusan yang digunakan untuk mencari 𝑆𝑛 . 1 𝑆𝑛 = 𝑛(2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏) 2 10 𝑆10 = (2(2) + 10 − 1 3) 2 = 5 (4+27) = 155
Contoh Soal 2
Diketahui suku ke -3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17.jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah...
𝑈3 = 8 𝑈6 = 17 Langkah awal mencari nilai a dan b 𝑈𝑛 =𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑈3 =𝑎 + 2𝑏 = 8 … … … 1 𝑈6 =𝑎 + 5𝑏 = 17 … … … 2 Selanjutnya cara yang digunakan untuk mencari nilai a dan b dengan metode eliminasi-subsitusi Eliminasi pers(1) dan pers(2) 𝑎 + 2𝑏 = 8 𝑎 + 5𝑏 = 17 −3𝑏 = −9 𝑏=3
Cek pengerjaan dengan menggunakan 𝑛 𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) 2 Langkah awal mencari nilai 𝑈𝑛 𝑈𝑛 =𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑈10 =2 + 10 − 1 3 =2+ 9 3 = 2 + 27 = 29 𝑛 𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) 2 10 𝑆10 = (2 + 29) 2 = 5 31 = 155 Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut 𝑆10 = 155
Substitusi nilai b = 3 ke dalam pers(1) atau (2) 𝑎 + 2𝑏 = 8 𝑎 + 2(3) = 8 𝑎+6=8 𝑎=2 Selanjutnya mencari 𝑆𝑛 1 𝑆𝑛 = 𝑛(2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏) 2 𝑆8 =
8 (2(2) + 8 − 1 3) 2 = 4 4 + 21 = 100
Contoh Soal 2
seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. jika permen yang diperoleh anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah ...
Deret aritmatika: Langkah awal menentukan persamaannya. 𝑛=5 𝑈2 = 11 𝑈4 = 19 𝑈𝑛 =𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑈2 = 𝑎 + 𝑏 = 11 … … … 1 𝑈4 = 𝑎 + 3𝑏 = 19 … … … (2) Cara yang digunaka untuk mencari nilai a dan b dengan metode eliminasi Untuk mencari nilai b :
Cek Pengerjaan
Apakah ada cara lain dalam mencari Sn?
Ada, yaitu dengan menggunakan 𝑆𝑛 : 𝑛2(𝑎 + 𝑈𝑛 ) Karena ada cara lain maka tuliskan di buku tulismu penyelesaiannya. Kemudian cek kerjamu, apakah hasilnya sama, walaupun rumus yang digunakan berbeda
Jadi jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah 𝑆8 = 100
Untuk mencari nilai b : Eliminasi pers(1) dan pers(2) a+b=11 a+3b=19 – -2b= -8
b=4 Untuk mencari nilai a : Eliminasi pers(1) dan pers(2) 𝑎 + 𝑏 = 11 𝑎 + 3𝑏 = 19 –
x3 x3
3𝑎 + 3𝑏 = 33 𝑎 + 3𝑏 = 19 – 2𝑎 = 14 𝑎=7
Selanjutnya mencari 𝑆𝑛 𝑆𝑛 =
1 𝑛 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 2
Selanjutnya mencari 𝑆𝑛 𝑆5 =
5 2 7 + 5−1 4 2
𝑆5 =
5 (14 + 16) 2
5 𝑆5 = (30) 2 𝑆5 = 75 𝑏𝑢𝑎ℎ
Cek Pengerjaan
Apakah ada cara lain dalam mencari Sn?
Ada, yaitu dengan menggunakan 𝑆𝑛 = 𝑛2(𝑎 + 𝑈𝑛 )
Karena ada cara lain maka tuliskan di buku tulismu penyelesaiannya. Kemudian cek kerjamu, apakah hasilnya sama, walaupun rumus yang digunakan berbeda Jadi jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah 𝑆5 = 75 buah
RANGKUMAN Barisan AritmatikaSuatu barisan bilangan U1, U2, U3, …Un-1, Un disebut barisan aritmatika jika berlaku b = U2 – U1 = U3 – U2 …= Un-Un-1
Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1)b
2. Deret Aritmatika Jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah 𝑆𝑛 = 12𝑛 (2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏) Atau 𝑆𝑛 = 12𝑛 (𝑎 + 𝑈𝑛) Dan untuk mencari Un dengan menggunakan rumus Sn adalah Un = Sn – Sn-1
Keterangan a : suku pertama b : beda atau selisih Un : suku ke-n Sn : jumlah n suku pertama dari suatu barisan
NAH, SEKARANG KAMU SUDAH MEMPELAJARI BARISAN DAN DERET ARITMATIKA, SEKARANG KELUARKAN KERTAS LEMBAR KALIAN KERJAKAN SOAL LATIHAN BERIKUT.
SEBELUM MENGERJAKAN SOAL LATIHAN. PERHATIKAN HAL BERIKUT. 1. KERJAKAN SECARA SISTEMATIKA 2. KERJAKAN SESUAI DENGAN MATERI YANG DIPELAJARI. 3. KERJAKAN SECARA TELITI 4. TERAPKAN PELAJARAN YANG TELAH KALIAN PELAJARI
