Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě

Maturitní témata

1.

Typy důkazů, dělitelnost čísel

2.

Výroky a množiny

3.

Definice a vlastnosti fcí, graf funkce, inverzní funkce

4.

Lineární a kvadratická funkce

5.

Mocnina s reálným exponentem, lineární lomená funkce

6.

Lineární rovnice a nerovnice, soustavy, slovní úlohy

7.

Kvadratická rovnice a nerovnice, soustavy, slovní úlohy

8.

Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice

9.

Goniometrické funkce

10.

Goniometrické rovnice a nerovnice

11.

Trigonometrie

12.

Planimetrie

13.

Zobrazení v rovině

14.

Stereometrie

15.

Vektory, analytická geometrie lineárních útvarů

16.

Uzavřené kuželosečky - kružnice, elipsa

17.

Otevřené kuželosečky - parabola, hyperbola

18.

Kombinační číslo, faktoriál, binomická věta

19.

Kombinatorika a pravděpodobnost

20.

Komplexní čísla

21.

Posloupnosti

22.

Řady, finanční matematika

23.

Limita funkce

24. Derivace funkce 25. Integrál

1


Úpravy výrazů Podmínky existence matematických výrazů a jejich úpravy. Definice mocniny a odmocniny, pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami, mocnina se zápornými a racionálními exponenty – odvození úpravy. Ve všech výrazech určete podmínky pro jejich existenci a upravte nebo vypočítejte:  1 1 1 1 1  2   2       1. 2  2 3  x  y   x y  x  y   x y 

x y  x y     1     1 y x  y x  3.  4 4 x y   2  2  : x 2  y 2 x  y

a a b b  2 b 2.   ab  : a  b   a b a b  

a 4.

2

 b2

a  b

  a  b

4

1

2

 a  b 

5



2

1

3

6

  a2  b2 : 1 2   a  b   a  b  



1



3

 1 1  1 2  1 1  a  b 5.  2  2   2      : 3 2 3 b  a  2ab  b a  b  a b  a  b 3  a

6. Rozložte na součin činitelů co nejnižšího stupně: a) a 6  a 4  2a 3  2a 2 7. x 5  3x 4  3x 3  7 x 2  11x  3 : x 2  3x  1



b) m 5  m 3  m 2  1



8. x 6  4 x 4  5x 3 10 x 2

 : x  2x



2

c) x 3  x 2  42 x

1 2 x 9. 1  x  x 1 x 1 x x

12

1 1   a 3 b 2 :  1   12 a 3  b 3 2

 a 2 3 b 1   12. 2  b 1 a 3  3 2

14.

3 2



3 2

a 5  6 b 5  b 1

 a

10.

3

 3 b  3 a2

   

1  13.  a   b 

a 2  4 2 3  6a   2 2 38 5

a

16. 18.

x  y 2a 1  u  v 2a 1  x  y 2a  2 ; a  R u  v 2a 1 x 2  y 2 2a 1 u  v 2 1

  a x  a x    y y  b b

2

2

23 4 24 8

1   b   a 

15. x  3 x 2  4  3 x 2  x  2 x  3

4

 a x  a x 19.  y y b b

11.

  a 2x  1    2 y    b  1

17.

2

p3  r 2 r  2p

1

:3

 a 2x  1  ; x, y  Z :  2 y  b  1 2

p r

3



3

1     ab   ab  

1

 3x 

x r 3

p

2

1 3

x


1. Typy důkazů, dělitelnost čísel Typy důkazů – přímý, nepřímý, důkaz sporem, obecný popis postupu při důkazu pomocí matematické indukce, charakteristika typu úloh dokazovaných matematickou indukcí. Prvočíselný rozklad – užití např. při odmocňování, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, jejich vzájemný vztah (důkaz), Eukleidův algoritmus. 1) Dokažte:



a) n N : 3n  6 n 2  n



b) n N : Je-li n sudé číslo, pak n 2 je také sudé číslo 2) Dokažte:

a) n N : (2 n 3 )  (4n) b) n N : (3 n 2  2 )  (3n)

3) Dokažte:

a) n N : 3(n-1) 9( n 2  4n  5 b) n N : 5(n+2) 25 n 2  n  6









4) a) Dokažte, že součet třetích mocnin tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný třemi. b) Dokažte: n N :3 n 3  2n





5) a) Dokažte, že pro každé liché přirozené číslo x je výraz V  x 3  3x 2  x  3 dělitelný číslem 48. b) Dokažte: n N :30 5n 3  15n 2  10n





6) Dokažte: Je-li přirozené číslo zakončené cifrou 5, potom jeho druhá mocnina je zakončena dvojčíslím 25. 7) Přední kolo vozu má obvod 24 dm, zadní kolo 3,2m. Po kolika otáčkách předního kola zaujmou obě kola totéž vzájemné postavení? 8) a) Rozložte daná čísla na součin mocnin prvočísel:24, 3675, 252, 572, 156 b) Najděte nejmenší společný násobek čísel: (15,25), (8,40), (63,162), (81,234), (363,88) c) Najděte největší společný dělitel čísel: (96,264), (65,338), (900,50), (504,24), (15,500) 9) Dokažte, že počet úhlopříček v konvexním n-úhelníku je roven Pn  

nn  3 . (Přímý důkaz a důkaz 2

pomocí mat.indukce).



10) Dokažte: a) n N : 5 3 4 n 3  2





b) n N : 6 n 3  11n



11) Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí: Počet všech podmnožin libovolné n-prvkové množiny je 2 n n

12) Dokažte:

a) n N :  i 1

b) n N :

n

2 1 1   ii  1i  2 2 n  1n  2

1

1

 ii  1  1  n  1 i 1

3


2. Výroky, množiny Definice výroku a výrokové formy, příklady, pravdivostní hodnota – značení, operace s výroky – značení operátorů, jejich význam a pravdivostní hodnota, tautologie, výroky s kvantifikátory a jejich negace, Vennovy diagramy, průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk množiny – definice a značení. 1) Pro provozní dobu 3 benzínových stanic A, B, C platí: Vždy je v provozu stanice A nebo stanice B. Stanice C je mimo provoz právě tehdy, když je otevřena stanice A. Má-li prodejní dobu stanice C pak je v činnosti i stanice B. Určete všechny možnosti provozu těchto 3 stanic. 2) V dílně jsou 3 stroje, které pracují podle těchto podmínek: Pracuje-li 1.stroj, pracuje i 2.stroj. Vždy pracuje 2. nebo 3. stroj. Nepracuje-li 1.stroj, nepracuje ani 3.stroj. Jaké jsou možnosti pro práci těchto tří strojů? 3) Utvořte negace následujících výroků: a) DNES JE SOBOTA b) 53 c) x  M : x  Q d) VŠICHNI ŽIJÍCÍ LIDÉ JSOU MENŠÍ NEŽ 280 CM. e) x  R : x  1 f) x  N : x  10 20 g) x  N : x 2  0  1 1 h) x  Q : x   ;  i) x  C : x 2  5x  4  0  99 98  j) x  R : x 2  20 x  120  0 4) Zakreslete Vennův diagram pro množiny M , M 1 , M 2 , M 3 a všechny jejich prvky, platí-li:

M  n  N : n  16

M 1 = { n M : n je dělitelné 3} M 2 = { n M : n je dělitelné 5} M 3 = { n M : n je sudé} 5) K implikaci „JESTLIŽE FCE F MÁ V KAŽDÉM BODĚ INTERVALU (A;B) KLADNOU DERIVACI, PAK FCE F JE ROSTOUCÍ“ utvořte negaci, obměněnou a obrácenou implikaci a stanovte jejich pravdivostní hodnoty. 6) Nechť A je množina čísel. Utvořte negace výroků: a) Všechna čísla množiny A jsou sudá nebo alespoň jedno z nich je záporné. b) Jsou-li všechna čísla množiny A kladná, pak množina A je konečná. 7) Rozhodněte, zda platí pro libovolné podmnožiny A, B, C dané základní množiny Z:  A  B  C'   A  B'C    A'B  C    A  B   A  C   B  C    A  B  C '

4


3. Definice funkce, definiční obor a obor hodnot, definice vlastností funkce: rostoucí, klesající, omezená shora, zdola, omezená, sudá, lichá, ostré a neostré maximum a minimum funkce na definičním oboru, na množině. Definice prosté funkce, její graf, definice funkce inverzní k funkci f – nutné podmínky pro její existenci, definiční obory a obory hodnot funkcí f , f 1 - jejich vzájemný vztah, vztah monotónností fcí f , f 1 . x 1) Je dána funkce f: y  2 . Určete její definiční obor a rozhodněte, zda platí: 1  H  f ,50  H  f  . x  3x  2 x2 1 x  2) Určete definiční obor funkce: y  x2 1 x 3) Určete definiční obory a obory hodnot funkcí: f : y  x  x 4) Určete, zda funkce f : y  c) je omezená na <1;2> 5) U funkce f : y 

h : y  3  x2

g : y  1 x

x2  x a) je lichá nebo sudá b) má maximum a minimum na D(f) x d) je omezená na (-3;-2) e) intervaly monotónnosti f) načrtněte graf

x  x2

určete: 2x c) D(f), min a max na D(f)

a) sudá, lichá?

b) intervaly monotónnosti

d) načrtněte graf

6) U funkce f : y   x  2 určete: d) omezenost na D(f)

a) definiční obor e) načrtněte graf

7) Určete D(f) a načrtněte graf funkce: f : y 

b) sudá, lichá?

x 1  x 1 x 1  x 1

8) Rozhodněte, zda jsou si rovny funkce f1 , f 2 : x a) f1 : y  1 f2 : y  x

c) monotónnost

 x2 1

b) f1 : y  x 2

f2 : y  x4

x3 x3 x3 9) K dané funkci určete funkci inverzní, najděte její definiční obor a obor hodnot a nakreslete graf: c) f1 : y  x

a) y  2 x  3

f2 : y  x2

b) y  3x  4

c) y  x 3

d) f1 : y 

d) y  x 2  1

x3

f2 : y 

e) y  x

f) y  x 2  1

10) K funkci f určete funkci inverzní, najděte její definiční obor a obor hodnot: y  2 x 2  1 11) Ve kterých intervalech proměnné x lze sestrojit inverzní funkci k funkci f: a) y  x 2  2 x  3 b) y  x 2  4 x  3 12) Určete definiční obor a obor hodnot dané funkce, vyjádřete funkci k ní inverzní a načrtněte grafy obou funkcí: f : y  x  1 13) Určete co největší interval, ve kterém je funkce f : y  x 2  2 prostá, napište funkci k ní inverzní a její D(f) a H(f). Načrtněte grafy obou funkcí. 14) K dané funkci určete funkci inverzní, najděte její definiční obor a obor hodnot a nakreslete oba grafy: a) y  log 2 x  2 b) y  log x 15) Určete D)f), H(f) a grafy u funkcí tangens, kotangens a funkcí k nim inverzních. 5


4. Lineární funkce y=ax+b, její průběh a vlastnosti v závislosti na hodnotách koeficientů a,b, přímka jako graf lineární funkce – její směrnice, průsečíky se souřadnými osami, zvláštní poloha přímky, grafická metoda řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, graf lineární funkce s absolutní hodnotou. Definice kvadratické funkce, její vlastnosti, úprava funkčního předpisu pro určení vrcholu grafu funkce, grafické řešení kvadratické rovnice. 1) Sestrojte graf funkce a) y  x  2  2 x  x  1 b) y  x  1  x  1

a2 1 x  a , kde a  R . Určete pro jaké hodnoty parametru a ohraničuje graf a5 funkce spolu se souřadnými osami rovnoramenný trojúhelník a pak určete jeho obsah.

2) Je dána lineární funkce y 

3) Dokažte, že funkce f je rostoucí, resp. Klesající v celém D(f): a) y = 3x + 2 b) y = 2x - 1 c) y = - 2x + 3

d) y = - 0,5x + 3

4) Délka trati mezi stanicemi A, B je 125 km. Vlak jede ze stanice A do stanice B rychlostí 50 km/h. Najděte lineární funkci, která vyjadřuje závislost zbývajícího úseku trati na čase, počítaného od okamžiku výjezdu ze stanice A. Udejte definiční obor funkce, načrtněte graf. 5) Napište funkci pro převod Celsiových stupňů na stupně Fahrenheita (0 C =32 F;100 C= 212 F) a načrtněte graf . 6) Měsíční nájem za elektroměr je 130 Kč, 1 kWh stojí 3,20 Kč. Vyjádřete závislost poplatku na počtu spotřebovaných kWh v měsíci. Zakreslete graf. 7) Na počátku měsíce je na skladě 10000 m látky, každý den se posílá do prodejny 400 m látky. Napište funkci, která vyjadřuje zbývající zásobu z jako funkci počtu dní d, určete definiční obor a obor hodnot funkce, zakreslete graf. 8) Rovnice následujících přímek mohou být grafy lineárních funkcí. Určete, které z nich jsou funkce, které grafy jsou rovnoběžné, popřípadě splývají, zdůvodněte. Určete které přímky procházejí počátkem soustavy souřadnic: 2 a) 2x+3y=0 b) 0,5x+0,5y=0 c) x+1,5y=0 c). x  y  4 3 e) 3x+4y=16 f) y-2x=3 g) 3y+8=2x h) 3x=12 9) Sestrojte grafy následujících funkcí, určete intervaly monotónnosti a omezenost: a) y   x 2  4 x  3 b) y  x 2  4 x c) y  x 2  2 x  1 d) y  x 2  4 x 10) Řešte graficky rovnici:

a) x 2  3x  2  0

b) x 2  x  6  0

11) Načrtněte graf funkce y  ax 2 pro různé hodnoty parametru a, proveďte diskusi vzhledem k parametru.

x2 menší než hodnota funkce g : y  2 x ? 2 13) Od půlnoci do 7 hodiny ranní se teplota ve C měnila tak, že byla kvadratickou funkcí času v hodinách. Určete rovnici této funkce, byla-li o půlnoci naměřena teplota 2,5C, ve 4 hodiny 1,5C a v 7 hodin 6C. 12) Pro které hodnoty proměnné x je hodnota funkce f : y 

14) Určete předpis kvadratické funkce, jejíž graf prochází body A[0;-3.5], B[2;-7.5], C[5;16.5]. 15) Určete souřadnice vrcholu a načrtněte graf funkce f:. Určete průsečíky grafu funkce se souřadnými osami: a) f : y   x 2  2 x  3 b) f : y   x 2  4 x  3 16) Sestrojte grafy zadaných funkcí, určete monotónnost a omezenost funkce: 6


a) y  x x  2

b) y  x 2  2 x

c) y  x 2  x  6

17) V obdélníku platí vztah e : a = 3 : 2 (e je délka úhlopříčky). Určete funkci, která vyjadřuje závislost obsahu obdélníka na délce strany a, její D(f), H(f) a načrtněte graf. 18) Určete všechna x  R , pro která platí: b)

x

2



 2x  3

2





  x 2  2x  3

7

a)

x  32

c)

x

2

 x3



 2x  3

2

 x 2  2x  3


5. Mocnina s reálným exponentem, lineární lomená funkce 1) Je dána funkce f: y = x4 .Určete: D(f), H(f), extrémy funkce, intervaly monotónnosti. 2) Porovnejte daná čísla podle velikosti, zdůvodněte pomocí grafů funkcí: 6

6

6

9

6

9

8

8

 1 1  1 1  1 1 1 1 a)    ;   b)   ;   c)    ;   d)    ;    6 4  3  4  3  4  3  4 3) Uvažujte množinu všech kvádrů, pro jejichž velikost hran platí: a : b : c = 4 : 6 : 9. Určete funkci, která vyjadřuje závislost objemu kvádru na velikosti hrany b, její D(f), H(f) a načrtněte graf.

a) y  x  13  2

4) Načrtněte graf funkce:

b) y  x  24

5) Uspořádejte sestupně podle velikosti následující čísla: 2 2 ;  2 ; 2 ; 2 ;2 3 ; 2 4 ;  2 2

2

4

3

6) Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce y  x n ; n  Z , určete monotónnost a omezenost funkce: a) n > 0 b) n < 0 7) Sestrojte graf funkce: a) y 

1 x

b) y 

2x  3 x 1

c) y 

x 1 x2

d) y 

x 1 x 1

8) Čtverec o obsahu 2,25 m2 má být přeměněn na obdélník o stejném obsahu. Vyjádřete jednu stranu obdélníka jako funkci druhé strany, určete D(f), H(F) a načrtněte graf. 9) Řešte graficky nerovnice: a)

2x  3 2 x2

b)

x2 0 x 1

10) Znázorněte graficky závislost výšky va trojúhelníka o obsahu S na délce strany a. 11) Kolo o průměru d se otočilo na dráze 40 m celkem n krát. Určete funkci, vyjadřující závislost počtu otáček n na průměru d, načrtněte graf. 12) Určete definiční obor funkce, průsečíky grafu funkce se souřadnými osami a načrtněte graf:  2x  2 2x  4 a) y  b) y  x3 x2  4x  7 13) Určete D(f), H(f), intervaly monotónnosti, omezenost a načrtněte graf funkce: y  3x  6 14) Na základě grafu proveďte v R diskusi řešitelnosti rovnice vzhledem k parametru m:

8

x  m. 1 x


6. Lineární rovnice a nerovnice, soustavy– počet , zápis řešení, ekvivalentní a důsledkové úpravy rovnic – ověřování správnosti řešení při použití důsledkových úprav, význam definičního oboru a zkoušky. Graf rovnice o dvou neznámých, graf nerovnice o dvou neznámých. Metody řešení soustav rovnic o více neznámých – sčítací, dosazovací, grafické řešení. Definice absolutní hodnoty reálného čísla, geometrický význam absolutní hodnoty čísla, absolutní hodnoty rozdílu dvou čísel, nulové body. Význam parametru (systém rovnic), diskuse řešení rovnice s parametrem. Matematizace slovní úlohy, význam zkoušky ve slovních úlohách. 1)

Vodní nádrž se naplní za 24 hodin, přitéká-li voda 3 potrubími. Neotevře-li se vůbec uzávěr 3.potrubí, naplní se nádrž za 36 hodin, bez přítoku z 2.potrubí se naplní za 48 hodin. Za kolik hodin by se naplnila nádrž jednotlivými potrubími.

2)

Zedníci A, B, C stavěli zeď. Budou-li pracovat A a B, postaví zeď za 10 hodin, B a C by ji postavili za 12 hodin, A a C za 15 hodin. Jak dlouho by ji stavěli všichni dohromady?

3)

Racionální číslo je zapsáno zlomkem, jehož čitatel je o 10 větší než jmenovatel. Zmenšíme-li čitatele i jmenovatele zlomku o 3, bude nový zlomek vyjadřovat číslo 6. Určete původní zlomek.

4)

Vlak projíždí tunelem dlouhým 220 m. Od okamžiku, kdy vjede do tunelu lokomotiva až do okamžiku, kdy poslední vagón opustí tunel, uplyne 19 sekund. Od tohoto okamžiku uplyne dalších 42 sekund, než lokomotiva dojede k návěští, které je 1 km od tunelu. Vlak jede stálou rychlostí. Určete tuto rychlost a délku vlaku.

V R řešte graficky následující soustavy: 5) 2x+y=2 x-2y=1

6) x-2y=-4 3x+y=2

7) x+y=2 2x-y1

9) 2y-x2 y+2x2 y-2x4

10) x+y x-y>0 x2

11) x-2y-4 2x-y4 x+y2

8) x+y=3 y1

Řešte výpočtem v R (resp. v Rn): 12)

15)

19)

1 1   5; x y 1 1  1 x y 2 3  2 xz x y 4 3   1 x y yz 3 1  3 xz yz

x2 2 1 x

13)

x  1 y  16  x  16 y  2 x3 y 4  x y 1

14)

16) 6 x  y  2 z  4

20)

17)

1 1   0,1 x  y  2 1 x  y 1 1   0,3 x  y  2 x  y 1

4  7x 2 6x

x  10 y  2 z  7

______________________________________

5x  2 y  z  5

18)

3  5x 0 2x  1

2x  4 1 x2

21)

x 1 x  2  x x 1

9


22)

x2  x2 0

23)

x 2  4 x  4  x 2  10 x  25  10

24) 3x  2  1  2 x  3

25) x  5  2 x  3

26) 2 x  3  3x  2

27) 2 x  3  3 x  2

28) 3x  2  5  x  1

29) 2 x  1  3  x  x

30)

1  2x 0 x 1

31)

1 5 2x  3

32) 2 x  7  x  2  3

Řešte v R rovnice s proměnnou x a parametry a, b  R : 33)

xa xa  2a 2a

34) 1 

36)

2a 2  a x 1

37)

a2 1 a x

xb xb  1 b 1 b

35)

38) 2 

39) V R2 řešte soustavu rovnic s parametry a, b  R : 3x  2ay  1 x  b  1 y  1 a) b) 3a  1x  ay  1 b  1x  3 y  1 40) Určete, pro které hodnoty parametrů m a a má rovnice kladné řešení: m 4 2 2x  1 a) b)  1  ax  1 x mx m a

10

b 2 x  1 2 bx  2 a x 5 x  5 a


7. Definice kvadratické rovnice, popis jejích členů, úplná – neúplná kvadratická rovnice, podmínky řešitelnosti úplné kvadratické rovnice, normovaný tvar úplné kvadratické rovnice, vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Kvadratická nerovnice, grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice. Matematizace slovní úlohy, význam zkoušky ve slovních úlohách. x  3 x 1  4 x3 x5

x x2 4   x2 x x x  2

1)

Řešte v R:

2)

Určete, pro které hodnoty parametru m má kvadratická rovnice m  1x 2  m  2x  2m  1  0 v množině reálných čísel a) 1řešení b) 2řešení c) 0 řešení

3)

Sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou: a) x1  3 3; x 2  2 3

4)

Dokažte, že kořeny rovnice ax 2  bx  c  0 jsou převrácená čísla ke kořenům rovnice cx 2  bx  a  0 .

5)

Řešte v R rovnici s parametrem a: a  x 

6)

Proveďte diskusi řešitelnosti rovnice vzhledem k parametru a:

7)

V R řešte:

8)

Pro které hodnoty parametru t má daná rovnice o neznámé xR různé reálné kořeny a jaké? x 2  tx  2 x  5  t  0

9)

Jeden rozměr obdélníkové zahrady je o 20m větší než druhý rozměr. Oddělí-li se od ní při rozšiřování cesty 6m široký pruh podél kratší strany, zmenší se její výměra o 7,5%. Jaké byly původní rozměry zahrady?

10)

Turista vykonal cestu dlouhou 45 km svižnou rychlostí. Kdyby urazil za hodinu o půl kilometru méně, došel by do cíle o hodinu později. Jakou rychlostí a jak dlouho šel původně.

11)

Dvě auta vyjela současně týmž směrem z bodu A.První jelo rychlostí 50km  h 1 , druhé rychlostí 40km  h 1 . O půl hodiny později vyjel z bodu A třetí automobil, který předjel první auto o půldruhé hodiny později než druhé auto. Určete rychlost třetího auta.

12)

Po dvojím snížení cen o stejné procento klesla cena výrobku z 300 na 192 Kč. O kolik procent byla cena snižována?

a)

b)

b) x1  0,5; x 2  3 .

1 1  a x

a) x 2  ax  a  0 b) ax 2  a  2  0

5  25  x 2  x

V R řešte graficky následující soustavy: 13) x2-y+1<0

14) y=-x2+4x+5

x+y3

2x+3y6

15) yx2–x-6 y<x+1 11


y3

y<x

16)

1 1 1 x 1 x2

17)

19)

x2 0 x  5x  6

5  x 1  4x  1 2x  2 2x  2

18)

x 2  3x  4 0 x 1

2

Řešte v R: 20)

x  5  x  3  2x  4

21)

3 1  5  10   x x

23)

4 x 2  8x  5  2 x  1

24)

x  3  6  54 x  3

25)

x 2  49  3 4 x 2  49  10

26)

x x x 2

28)

x2 x6





1 10  x

22)





4

15

1 x x x

x 1 x4

2



3 2

27)

x5 x4 56 x2    x2 x3 x2 x3

29) 6 x 2  5x  6

12

1 x  4  x 1


8. Definice exponenciální a logaritmické funkce, jejich vzájemný vztah, definiční obory a obory hodnot, vlastnosti fce, graf fce v závislosti na základu a. Pravidla pro počítání s logaritmy, dekadický a přirozený logaritmus, charakteristika a mantisa logaritmu. Základní metody řešení exponenciálních a logaritmických rovnic, jejich užití v konkrétních příkladech.  2a  1  1) Určete, pro která reálná čísla a je funkce f : y     3   a  1 2) Určete, pro která reálná čísla a je funkce f : y     a  1  x  3 3) Určete inverzní funkci k funkci f : y  log 3  .  x  5

X

rostoucí.

X

klesající.

 4  4) Určete všechna reálná čísla x, pro které funkce f : y  log a   nabývá nezáporných hodnot 0  a  1 .  x  3 2X 5) Určete inverzní funkci k funkci f, oba definiční obory a obory hodnot: f : y  . 1 2X r s r s  3  3 4 4 6) Rozhodněte, jaký je vztah mezi čísly r,s platí-li: a)      b)       3  3 4 4 r

r

s

4 4  3  3 c)      d)       3  3  3  3 7) Načrtněte grafy funkcí: a) y  2 log2 x

s

b) y  log x log x x  1 b) y   log 2 x  4 2 2x  1 b) y  log 1 2 x  2

8) Načrtněte grafy funkcí: a) y  1  2 3 x 6 9) Určete definiční obory funkcí:

a) y  log 3

x3 x5

    4

10) Určete hodnotu výrazu: a) log 2 log log 1010 1 11) Určete, pro který základ z platí: a) log z 3 27 12) Řešte rovnici: a) log 2 x  4 13) Porovnejte podle velikosti čísla A, B:

14) Načrtněte graf funkce

b)

1  3 64 b) log 6 x  1





log x 2  7 2 log x  7 

 8   43

c) log x  1

b) A  log 1 5; B  log 1 7

c) A  log 5 7; B  log 7 5

d) A  3; B  log 2 1

4

y  log 2 x  4

a) A  log 2 4  log 2

c) log z

a) A  log 4 5; B  log 4 7

 4   log 3

2

a) y  log 2 x

4

9

b) y  log 2 x  2

 1 1  log 2  3   4

17) V R řešte rovnice: a) logx  1  logx  1  logx  2  log 8 3 b) log x   4 f) 2 X  33 X  4 X 1 log x c)

log 1  2 log100 1 log 27log3 1 4 3

b) log z

15) Načrtněte do jedné soustavy souřadnic grafy funkcí: c) y  log 2 x  2  3 16) Vypočítejte:

2

e) log x  1  log x  1  2  log 2 g) 5log x  5log x1  3log x1  3log x1

h) 4 x  3 x 3  4 x 3  3 x  2

i) 32 x  2  3 x  3 13

 4 j)    25 

x 3

 125     8 

4 x 1



5 2


log x  1 d)

41  log x  1 2

k)

2 x 3  3 x  4 9 x 1  3 6 7  x  8 x 1

l) 4 x  3

14

x 1

2

3

x 1

2

 2 2 x 1


9. Goniometrické funkce Jednotková kružnice, oblouková a stupňová míra, převody, definice funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens, jejich definiční obory, obory hodnot, vlastnosti na jednotlivých částech definičního oboru, na celém definičním oboru, definice periodické funkce, grafy funkcí sin, cos, tg, cotg a funkcí z nich odvozených, funkce polovičního a dvojnásobného argumentu. 1.

Načrtněte graf funkce:

3.





d) y  cos 2 x  2

e) y  sin x  

g) y  tgx

h) y  cot gx

i) y  tg x  

j) y  tg 2 x

k) y  2  tgx

l) y  2  tg x   2 3 x  o) y  3  cos  2 2 4







2



6

c) y  2  sin x   2 4 f) y  sin x   2





n) y  1  3  sin x   3 3



 

4



 

Určete hodnoty goniometrických funkcí k  Z : a) sin 150; sin 1020; cos 11 4; cosk 

b) sin3 2; cos 1215; sink ; cos5 4

c) tg1350; tg 1020; cot g 11 4; cot g k 

d) tg 37 6; cot g 1350; tg k ; cot g 5 4

Určete všechny velikosti úhlu , platí-li: a) sin   1 b) cos   2 2 2 g) tg  1

f) cot g  3

4.



b) y  2  cos x  

m) y  1  cot g 3x   2 2

2.



a) y  sin 2 x   

e) sin    3

c) sin   1

d) cos   0

h) cot g  0

i) tg není definován

Graficky sestrojte úhel, pro jehož velikost  platí: a) sin   0,8  cos   0

b) cos   1  sin   0 4

c) sin   k  k  1;1 

d) tg  2  sin   0

e) cot g   1  sin   0 2

f) tg  k  k  Z

5.

Určete, jaké podmínky musí platit pro a  R , aby rovnice sin x  a  2 3 o neznámé x a parametru a měla neprázdnou množinu řešení.

6.

Určete vlastnosti funkcí (D(f), H(f), omezenost, monotónnost, periodicitu, inverzní funkci):

a) y  tgx

b) y  cot gx

7. Určete definiční obory funkcí:

d) y  ln cot g 0,7  x 

c) y  tgx a) y  tg x 2

b) y  sin 3x  cos 3x 15

c) y  ln sin x 

2


10. Goniometrické rovnice a nerovnice Vztah mezi hodnotami jednotlivých goniometrických funkcí při stejném argumentu, hodnoty funkcí pro dvojnásobný, poloviční úhel, užití součtových vzorců, určení hodnot goniometrických funkcí pro nejpoužívanější velikosti úhlů, grafické určení hodnoty funkce libovolného úhlu. Metody řešení základních goniometrických rovnic – efektivní zápis množiny všech řešení, užití substituce při řešení složitějších goniometrických rovnic. 1) Určete hodnoty ostatních goniometrických funkcí úhlu o velikosti x, aniž zjišťujete velikost úhlu: a) cos x  12 13 ; 3  x  2 b) sin x   3 5;   x  3 2 2 c) sin x   3 5; x  270;360 d) cos x  0,3; x  90;180 e) tgx  5 7 ; x  0;90 f) cot gx  4; x  180;270 2) Určete bez kalkulačky hodnoty:

a) tg π/8;

b) cos π /24; c) sin 75˚;



3) Zjednodušte výraz:

a)

1 1  2 1  tg  1  cot g 2

b) sin x  1  tgx  tg x

4) Dokažte, že platí:

a)

sin 2 x cos x   tg x 2 1  cos 2 x 1  cos x

b)

d) cos 105˚

2



tg 2  tg  sin 2 tg 2  tg

5) Vypočítejte bez kalkulačky: a) sin 330  cos 210  tg150  0,5 cot g 45 b) sin 660  cos 585  0,5tg 780  cot g 495 c) sin 600  cos 1410  tg  540  cot g  405 d) sin 2 5  tg   cos 5  cot g 17 3 3 6 4

 

6) Zjednodušte:

a) sin30  x   sin30  x 

b) cos45  x   cos45  x 

7) Vypočtěte V  cosx  y   cosx  y  ; platí-li:

cos y  3 ; sin x   2 ; x  1350;1440 4 3

8) V množině R řešte rovnice: a) 2 cos x  sin x  1 2

b) cos 2 x  cos x 2



c) sin 3x   2

e) tg 2 x  1  2tgx

f) tgx  cot gx 

h) cos 3x  sin x

i) 2 sin 2 x  3  sin x

k) 3  tg 2 x  2tgx  3  0

l) 2 cos x     3 3 6



3

0



16

4

 1





3 tg x     2 2 d) 3

g) tgx  1  tgx  5  12 j) sin 2 x  cos 2 x  tgx  1



m) cot g 3x  

6

1


11. Trigonometrie Věty o podobnosti trojúhelníků, Eukleidovy věty, užití v konstrukčních úlohách. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku, sinová, kosinová věta. Výpočty objemů a povrchů těles, resp. jejich rozměrů, pomocí Pythagorovy věty a goniometrických funkcí. 1.) V jaké výšce je mrak, který vidíme ve výškovém úhlu =2610 , jestliže slunce má výšku  = 29°15 a stín mraku je od nás vzdálen a= 92m. ( Mrak považujeme za bod, stejně jako stín, sluneční paprsky jako rovnoběžné. ) 2.) 15 m vysoká budova je vzdálena 30 m od břehu řeky. Z vodorovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem 15°. Jak široká je řeka? 3.) Určete ostatní prvky v trojúhelníku ABC: a) r=9cm ( poloměr kružnice opsané ), a=15cm,=23° b) S=481,5 cm2, =36°12, =113° 18 c) b=14,12m , =32°37, S=543,9m2 d) c=59cm, =4030, S=1067 cm 2 4.) Do kruhu o poloměru r vepište trojúhelník s danými úhly ,,. Řešte obecně, pak pro =32, =75, spočtěte velikosti stran a obsah tohoto trojúhelníka. 5.) Z vrcholu věže jsou viditelná dvě místa A, B, která leží v jedné rovině s patou věže v hloubkových úhlech =10°30,=1230. Určete vzdálenost míst A, B, je-li velikost úhlu AVB 9620 a výška věže v=45m. (V je vrchol věže.) 6.) Je dána kružnice k se středem O a poloměrem r=4cm. Bodem M ( MO=5cm ) je vedena přímka, která protíná kružnici v bodech A,B tak, že MA:MB=1:2. Určete odchylku přímek MO a MB. 7.) V lichoběžníku ABCD je dáno a=30cm, b=13cm, c=16cm, d=15cm. Určete velikost úhlů a obsah lichoběžníka. 8.) Výška kulového vrchlíku je rovna čtvrtině poloměru koule. V jakém poměru je obsah vrchlíku a kulové plochy? 9.) Obsahy tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem, dávají součet 124cm. Poměry stran kvádru jsou 2:3:5. Vypočtěte objem kvádru. 10.) Plášť rotačního válce je k obsahu podstavy válce v poměru 5:3. Určete jeho objem, má-li úhlopříčka osového řezu délku 39cm. 11.) V parním kotli tvaru válce s vodorovnou osou délky v a průměrem podstavy d má voda největší hloubku d/4. Určete: a) velikost zatopených ploch b) množství vody v kotli 12.) Dva rotační válce mají shodné podstavy o poloměru r. Obsah pláště jednoho z nich se rovná povrchu druhého válce. O jakou délku se liší jejich výšky? 13.) Ze tří kovových koulí o poloměrech 3cm, 4cm, 5cm byla vyrobena jediná koule. Jaký je její poloměr?

17


12. Planimetrie Charakteristiky základních množin bodů s danou vlastností a jejich užití v konstrukčních úlohách, kružnice opsaná, vepsaná, připsaná trojúhelníku. Středový a obvodový úhel v kružnici - jejich vzájemný vztah (důkaz), tětivový čtyřúhelník. 1. Jsou dány přímky a b a bod M. Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímek a, b a prochází bodem M. Proveďte diskusi. 2. Je dána přímka p, bod Ap a úsečka délky r. Sestrojte kružnici k o poloměru r tak, aby procházela bodem A a dotýkala se p. 3. Je dána úsečka AB, AB= 4cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, které mají t c = 3cm, r = 2,5cm (r je poloměr kružnice opsané). 4. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: r, vc , t c . Proveďte diskusi o počtu řešení. 5. Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: ABCD, v (výška), BC , BD . 6. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a, b,  ,  , BD . 7. Je dána úsečka AC, AC =5cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dáno vb = 4cm,  =60 0 . 8. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) c, vc ,  b) a, t a , 9. Sestrojte množinu všech bodů v rovině, z nichž vidíme danou úsečku AB v zorném úhlu větším než 60 0 a menším než 75 0 . 10. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: BD =5cm,  ACD  = 75 0 , BC =4cm. 11. Sestrojte pravidelný pětiúhelník o velikosti strany a. Postup zdůvodněte. 12. Dokažte, že v tětivovém čtyřúhelníku je součet protějších vnitřních úhlů roven 180 0 . 13. Dokažte, že přímky spojující na ciferníku hodin čísla 1, 6 a 2,11 jsou na sebe kolmé. 14. Do kružnice k je vepsán trojúhelník ABC tak, že jeho vrcholy dělí kružnici na tři oblouky, jejichž délky jsou v poměru 2 : 3 : 7. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka. 15. Je dán pravidelný pětiúhelník ABCDE. Vypočtěte: a) velikost vnitřních úhlů trojúhelníka ACD b) velikost úhlů ABD, CAB. 16. Z kruhu o poloměru r vystřihněte jemu vepsaný trojúhelník s danými úhly  =32 0 ,  =75 0 . Určete jeho obsah a obvod.

18


13. Zobrazení v rovině Osová, středová souměrnost, posunutí, otáčení – definice a zápis zobrazení, vlastnosti jednotlivých zobrazení, jejich skládání a užití. Definice a zápis stejnolehlosti, vlastnosti, koeficient stejnolehlosti, středy stejnolehlosti 2 kružnic, užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách. Skládání stejnolehlosti a shodnosti. 1) Jsou dány kružnice k1 S1 ; r1  a k 2 S 2 ; r2  tak, že r1  r2 , S1 S 2  a, a  r1  r2 . Vyjádřete vzdálenost středů stejnolehlosti obou kružnic. 2) Dvě rovné silnice se protínají v pravém úhlu. Na jedné z nich ve vzdálenosti 400m od křižovatky vychází přímá pěšina k druhé silnici. Nejkratší vzdušná vzdálenost pěšiny od křižovatky je 350m. Určete místo, kde navazuje pěšina na druhou silnici a jak je dlouhá. 3) Kosmonaut vzlétl do výše 302 km nad zemský povrch. Určete výšku kulového vrchlíku Země, který viděl. (r = 6378 km). 4) Do rovnostranného trojúhelníka ABC je vepsán čtverec. Vypočítejte délku strany čtverce, je-li délka strany trojúhelníka a. 5) Jsou dány body A, B a mimo ně přímka p. Sestrojte kružnici, která prochází body A,B a přímka p je její tečnou. 6) Vypočtěte velikost stran a,b trojúhelníka ABC, je-li strana a o 4m větší než strana b, v a  6m; vb  9m . 7) Rozhodněte, zda trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A’B’C’ : AB  8; BC  50; AC  32; A' B'  2; B' C '  5; A' C '  4 a) b)

trojúhelník ABC má vnitřní úhly 42 a 84 , trojúhelník A’B’C’ má vnitřní úhly 54 a 84

8) Sestrojte úsečku o velikosti 13 užitím:

a) Pythagorovy věty c) Eukleidovy věty o odvěsně d) Eukleidovy věty o výšce

9) Je dána přímka p a body A,B ležící v téže polorovině vyťaté přímkou p. Na přímce p sestrojte bod C tak, aby lomená čára ABC měla co nejkratší délku. 10) Jsou dány 2 protínající se kružnice o různých poloměrech. Jedním jejich průsečíkem veďte přímku tak, aby na kružnicích vytínala stejně dlouhé tětivy. 11) Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník PQR tak, aby vrchol P ležel uvnitř strany AB a aby platilo AP  3 BP . 12) Jsou dány 2 různoběžky a,b a úsečka MN. Sestrojte čtverec XYZU tak, aby XY  MN, X  a; Y  b . 13) Je dána úsečka BS, BS  t b  5cm . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí: a  7cm;  60 . 14) Je dán bod A a dvě soustředné kružnice k(S;2cm] a l(S;3cm). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B  k ; C  l .

19


15) Je dána přímka p a 2 kružnice k(S;r), l(Q;), kde S  Q , r > . Sestrojte všechny přímky rovnoběžné s danou přímkou p, na nichž kružnice k,l vytínají stejně dlouhé tětivy. 16) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) a+b=12cm, c=10cm,   30 b) a-b>0, c,   90 17) Je dána přímka p, kružnice k a bod A. Sestrojte všechny úsečky XY, pro které platí: X  p; Y  k ; A  XY ; AY  3 AX . 18) Je dána kružnice k, přímka p, k  p  , A p . Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají kružnice k a přímky p v bodě A. 19) Je dán konvexní úhel AVB a jeho vnitřní bod M. Sestrojte kružnici procházející bodem M a dotýkající se ramen úhlu AVB. 20) Jsou dány 2 různoběžky a,b, a  b  P a kružnice k tak, že P náleží vnitřní oblasti kružnice k. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímek a,b a kružnice k. 21) Do daného ostroúhlého trojúhelníka ABC vepište čtverec tak, aby jeho dva sousední vrcholy ležely na straně AB a zbývající dva na stranách AC a BC. 22) Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno:

a) a : b = 4 : 5, = 60 , vc  5cm b) a : b = 3 : 5, = 60 , v a  3cm

23) Je dána kružnice k(S;r) a bod M, který leží uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu XY kružnice k tak, aby platilo: XM  2 YM . 24) Je dána kružnice k(S;r) a bod M, který leží vně kružnice k. Bodem M veďte sečnu kružnice k tak, aby pro její průsečíky X, Y s kružnicí k platilo: XM  2 YM . 25) Do půlkruhu s průměrem AB vepište čtverec KLMN tak, aby strana KL ležela na úsečce AB a další dva vrcholy na dané půlkružnici. 26) Je dána kružnice k(S;2cm), bod M  k a přímka p, která je vnější přímkou dané kružnice. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají kružnice k v bodě M a zároveň se dotýkají přímky p.

20


14. Stereometrie Vzájemná poloha 2 přímek, dvou rovin, tří rovin a jejich průsečnic, vzájemná poloha přímky a roviny, kriteria rovnoběžnosti dvou rovin, přímky a roviny, kriteria kolmosti přímky a roviny, vlastnosti přímky kolmé k rovině, kriterium kolmosti dvou rovin, řezy rovnoběžnostěnů a pravidelných jehlanů, průnik přímky s tělesem. Skutečná velikost úsečky, vzdálenost bodu od roviny, odchylka dvou přímek, dvou rovin, přímky a roviny – grafické vyjádření, numerické výpočty bez použití metod analytické geometrie. Výpočty objemů a povrchů těles, resp. Jejich rozměrů, pomocí Pythagorovy věty a goniometrických funkcí. 1) Je dána krychle ABCDEFGH . Zobrazte řez krychle rovinou: a) AHL, L je střed hrany BF b) PQR, P je střed FH, Q je střed AE, B je střed CR c) PQR, E je střed PA, Q je střed GH, R je střed BC d) KLM, K je střed AE, L je střed EF, M je střed BC e) KLM, K je střed AB, L je střed BC, M je střed CG ; určete obsah tohoto řezu, je-li hrana krychle a 2) Je dána krychle ABCDEFGH . Zobrazte její průsečíky s přímkou PQ, je-li dáno: a) P je střed BF, H je střed QD b) P je střed krychle, Q  BA , QB = 1,5 AB 3) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV . Sestrojte jeho řez rovinou KLM: K je střed AB, L je střed DV, M   VB , VM  1,5VB . 4) Je dána krychle ABCDEFGH, bod K je střed hrany DH. Určete odchylku přímky DF od roviny ACK. 5) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV je dáno: Určete : a) odchylku roviny ABC a boční stěny b) odchylku boční hrany CV od roviny ABC c) odchylku dvou sousedních bočních stěn 6) Je dána krychle ABCDEFGH . Určete odchylku rovin ACF a ACH. 7) V krychli ABCDEFGH určete vzdálenost středu S stěny ABFE od roviny BDF , je-li hrana krychle a . 8) Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD o délce hrany a . Určete: a) jeho tělesovou výšku b) odchylku bočních hran od roviny podstavy c) odchylku bočních stěn od roviny podstavy 9) Bod M je střed hrany AV a bod S je střed podstavy pravidelného šestibokého jehlanu ABCEFV, v němž AB  a  2cm, VS  v  6cm. Určete odchylku přímky BM od roviny podstavy. 10) V pravidelném šestibokém jehlanu ABCDEV je dáno : Vzdálenost bodu M od přímky DV .

AB  a, AV  2a , bod M je střed AV. Vypočtěte

11) Je dána krychle ABCDEFGH a rovina , která prochází bodem K a je kolmá na přímku DG. Bod K leží na polopřímce AB, AK  1,5  AB . Vypočtěte obsah řezu krychle rovinou , jestliže AB  a . 12) Určete objem komolého rotačního kužele, jehož 1 podstava má poloměr r=35cm, odchylka strany od roviny podstavy je 60 a druhá podstava má poloměr rovný délce strany. 21


15. Vektory Operace s vektory v rovině a jejich vlastnosti, lineární závislost a nezávislost vektorů – geometrický význam, vektorový, skalární, součin vektorů, jejich užití. Parametrické a obecné vyjádření přímek vzájemná poloha dvou přímek v rovině, parametrická rovnice úsečky, polopřímky, Vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou rovnoběžných přímek, odchylka dvou přímek. 1)

  K jednotkovému vektoru a (0,5; a 2 ), a 2  0 určete kolmý vektor b o velikosti 3.

2)

Určete vektory, kterými jsou vyjádřeny strany a těžnice trojúhelníka ABC a vypočítejte jeho obsah: A[1;5], B[7;2], C[-2;2].

3)

Jsou dány vrcholy A,B čtverce ABCD. Určete souřadnice vrcholů C,D a obsah tohoto čtverce: A[4;5], B[-1;3].

4)

Vypočítejte délky stran a obsah trojúhelníka ABC: A[-1;3], B[5;-3]; C[2;7].

5)

Napište obecnou i parametrickou rovnici přímky a, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem A[1;4]: a) p: 2x + y – 1 = 0 b) p: x = 1 – t; y = 2 + t

6)

Napište obecnou i parametrickou rovnici přímky a, která je kolmá k přímce p a prochází bodem A[3;-2]: a) p: x - 3y + 5 = 0 b) p: x = 2 – 3t; y = 4t

7)

Jsou dány body A[2;-1], B[3;5]. Napište obecnou, parametrickou i směrnicovou rovnici přímky AB.

8)

Napište obecnou rovnici přímky, jejíž parametrický tvar je p: x = 1+t; y = 2 – 3t

9)

Napište parametrickou rovnici přímky, která má obecnou rovnici p: 2x + y –7 = 0

10)

Určete vzájemnou polohu přímek p, q, případně jejich průsečík, odchylku nebo vzdálenost: a) b) c) d) e) f)

p: 3x + y – 4 = 0 p: x = -1 + 7t; y = -2 + 2t p: x = 3t; y = 2 – t; p: x – 2y + 1 = 0 p: 2x + y – 6 = 0 p: x = 1 – 3t; y = 2 + t

q: 2x + 3y – 5 = 0 q: 2x – 7y + 4 = 0 q: x = 2 + 5s; y = 1 – 2s q: -2x + 4y – 6 = 0 q: x = t; y = 2 – 2t q: x = 4 + 3t; y = 3 – t

11)

Určete velikost výšky va v trojúhelníku ABC: A[1;5], B[5;-5], C[-1;-3]

12)

Určete rovnici přímky, která prochází bodem P[-2;5] a má od bodu Q[3;5] vzdálenost v = 3.

13)

Určete rovnici přímky, která prochází bodem M[-3;1] a s přímkou p: 4x – 2y – 1 = 0 svírá úhel 45.

Operace s vektory v prostoru a jejich vlastnosti, lineární závislost a nezávislost vektorů – geometrický význam, vektorový, skalární, smíšený součin vektorů, jejich užití. Parametrické a obecné vyjádření přímek a rovin, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha přímky a roviny, dvou rovin, parametrická rovnice úsečky, polopřímky, poloroviny. Vzdálenost bodu od přímky, roviny, vzdálenost dvou rovnoběžných přímek, rovin, vzdálenost přímky od roviny, odchylka dvou přímek, dvou rovin, přímky a roviny. 1)

   Určete, zda zadané vektory jsou lineárně závislé: a (2;3;5), b (1;1;2), c (3;2;1) . 22


2)

Určete, zda body A[-1;2;0], B[0;4;-3], C[-4;-4;9] jsou kolineární (leží na jedné přímce).

3)

Určete, zda body A[-1;2;0], B[0;4;-3], C[-4;-4;9], D[2;-1;3] jsou komplanární (leží v jedné rovině).

4)

Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD: A[3;1;-2], B[-1;1;-2], C[1;6;10], D[3;4;2].

5)

Určete vzájemnou polohu rovin ,, případně jejich průsečnici, odchylku, vzdálenost: a)  : x  2  r  3s; y  1  2r  4s; z  1  4r  2s  : x  3  2k  m; y  1  k; z  3  3k  2m b) : x = -1 + k –2s; y = 2 – k; z = 2k; k,sR; c) : 9x + 2y + 2z – 11 = 0

: -x +2y + z –3 = 0 : 6x – y + 6z + 8 – 0

6)

Určete rovnici přímky p, která prochází bodem A[4;-12;0], je různoběžná s přímkou q: x = 1 + 2k; y = - 4 - k; z = 2 – 2k; kR a |p, q| = 90°.

7)

Určete rovnici přímky p, která prochází bodem A{-1;3;1] a je kolmá na rovinu : x=2-r+2s; y=2r+s; z=-1-s; r,sR.

8)

Určete vzájemnou polohu přímek p, q, případně jejich průsečík, odchylku nebo vzdálenost: a) p: x=-1+7s; y=-2+2s; z=7-11s; q: x=4+t; y=-12+6t; z=-2t; s,tR b) p: x=-2+t; y=3+2t; z=1-t; q: x=1-3k; y=2k; z=-2+k; k,tR

9)

Určete rovinu, která prochází bodem A[3;-1;-4] a je kolmá na přímku p: x=-1+k; y=2-k; z=2k; kR.

10)

Určete rovinu, která prochází body A[1;0;-2], B[2;-1;3] a je kolmá na rovinu : 2x + 2y – z – 4 = 0.

11)

Určete rovnici roviny, která je rovnoběžná s přímkou p: x=2-t; y=1-2t; z=-1+t; tR a obsahuje body A[1;-1;2], B[-1;3;1].

12)

Určete obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná s rovinou : x=-1+k+2s; y=2-k-s; z=1+2k; k,sR a obsahuje bod A[-1;1;3].

13)

Určete vzájemnou polohu přímky p: x=1-s; y=2-s; z=-3; sR a roviny : 2x+4y+z-5=0.

14)

Napište obecnou i parametrickou rovnici roviny, která je určena: a) bodem A[-3;-6;3] a přímkou p: x=1+t; y=-1-t; z=t; tR b) body A[-1;2;0], B[4;1;3], C[0;-2;-1]

15)

Vypočtěte výšku trojbokého jehlanu ABCV z vrcholu V k podstavě ABC: A[-1;2;1], B[-1;10;-4], C[2;-2;5], V[1;5;5].

16)

Vypočítejte vzdálenost bodu Q[5;-6;-6] od: a) Přímky AB, A[-2;-5;4], B[4;1;4] b) Roviny : x + 10y + 7z – 1 = 0

17)

Vypočítejte vzdálenost rovin : x=-1+k+2t; y=2-k-s; z=1+2k; k,sR

18)

Vypočítejte vzdálenost přímky AB od roviny : 2x+y-3z=0; A[1;4;2], B[-1;2;0]

19)

Vypočítejte vzdálenost přímek p=AB, q=CD: A[1;1;0], B[2;-1;3], C[0;0;4], D[-2;4;-2] 23

a

:2x+4y+z-5=0


20)

Určete vzájemnou polohu přímek p=AB, q=CD: a) A[2;1;3], B[2;-1;3], C[0;1;4], D[-2;4;-2] b) A[1;1;4], B[2;-1;1], C[0;0;1], D[-2;4;7]

21)

Určete odchylku rovin: x+y+z-3=0 a

22)

Určete odchylku přímky p: x=1+t;y=2-t;z=t;tR od roviny : x=5-r-3s; y=16+r-3s; z=3+4r; r,sR

23)

Určete vzájemnou polohu rovin ,: a) : 2y+2z-1=0 b) : x-y-z+10=0 c) : x=-1+2t-2s; y=2+3t+4s; z=1+t+s; t,sR

: x=1-2k-s; y-1+4k+2s; z=-2-k-s; k,sR

24

: z-3=0 : x=2+t-s; y=1-t; z=3+2t-s, : x+4y-14z+7=0

t,sR


16. a)Uzavřené kuželosečky - kružnice Obecné vyjádření kružnice, kruhu, plochy vně kruhu, úprava na středový tvar, středová a obecná rovnice kulové plochy, analytické vyjádření koule, vzájemná poloha přímky a kružnice, rovnice tečny kružnice, tečné roviny kulové plochy. 1. Určete rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC, A[2;1], B[1;4], C[6;9]. Určete souřadnice středu a poloměr. 2. Napište rovnici kružnice k, která má střed S[5;4] a na přímce p: x + 2y - 3 = 0 vytíná tětivu délky d = 8. 3. Najděte rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: x + 3y - 18 = 0, má poloměr 5 a prochází bodem A[6;9]. 4. a)Napište rovnici kružnice, která prochází body A[3;5], B[2;6] a její střed leží na přímce p: 2x + 3y - 4 = 0. b)Určete rovnici kružnice, procházející body A[5;4], B[7;0], která má střed na ose x. 5. Najděte rovnici kružnice, která prochází body A[5;2], B[7;4] a dotýká se osy x. 6. a) Je dána kulová plocha o rovnici x  3   y  2  z  1  9 . Najděte průnik kulové plochy s osou x. 2 2 2 b) Je dána koule s analytickým vyjádřením x  3   y  2  z  1  9 . Určete její průnik s osou x. 2

2

2

7. Najděte střed a poloměr kružnice o dané rovnici a načrtněte ji: a) x 2  y 2  10 x  4 y  20  0 b) x 2  y 2  2 x  6 y  6  0 8. Napište rovnici kružnice k, která prochází bodem A[4;4] a průsečíky přímky p: x + y = 0 s kružnicí l: x 2  y 2  4x  4 y  0 . 9. Vypočtěte velikost tětivy, kterou přímka p o rovnici p: x - y = 0 vytne na kružnici o středu S[-3;-3] a poloměru r = 5 a rovnici tečny této kružnice, která je s touto přímkou rovnoběžná. 10. Napište rovnice tečen, vedených bodem P ke kuželosečce o dané rovnici: x 2  y 2  10 x  4 y  25  0 ; P[0;0].

25


16. b)Uzavřené kuželosečky - Elipsa Definice elipsy jako množiny bodů, obecná a středová rovnice elipsy. Tečna, sečna, nesečna elipsy, její rovnice bez použití diferenciálního počtu. 1) Určete souřadnice středu, vrcholů a ohnisek elipsy a načrtněte a) 16x2 + 9y2 – 40x + 6y + 25 = 0 b) 25x2 + 16y2 – 50x +64y –311 = 0 c) 9x2 – 36x + 25y2 + 50y – 164 = 0 2) Elipse o rovnici x2 + 4y2 = 4 je vepsán rovnostranný trojúhelník, jehož jeden vrchol splývá s hlavním vrcholem elipsy. Určete souřadnice zbývajících vrcholů trojúhelníka. 3) Napište rovnici elipsy, která má osy v osách x, y, ohnisko na ose x, excentricitu e = 6 a prochází bodem M [-4, 21 ]. 4) Je dána elipsa o rovnici 4x2 + 9y2 +8x –90y + 193 = 0. Určete, zda bod M je vnitřní nebo vnější: a) M [1;2] , b) M [-2;4]. 5) Napište rovnici elipsy se středem S [0;0], která prochází body A [8;3], B [6;4]. 6) Určete rovnici elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic a hlavní poloosou a =12 ležící na ose x, je-li trojúhelník MNP rovnostranný (M,N,P jsou vrcholy elipsy). 7) Je dána elipsa 9x2 + 16y2 = 144. Určete obsah čtverce vepsaného do elipsy. 8) Je dána elipsa o rovnici x2 + 4y2 – 16 = 0. Určete hodnoty reálného parametru c tak, aby přímka p: 2x – 3y + c = 0 byla a) sečnou elipsy b) tečnou elipsy c) neměla s elipsou žádný společný bod. 9)

Napište rovnici tečny elipsy o rovnici 9 x 2  16 y 2  144  0 , která je kolmá k přímce o rovnici p:x  y  7 0.

10)

Napište rovnice tečen, vedených bodem P ke kuželosečce o dané rovnici: a) 5x 2  9 y 2  45  0; P[0;3]

11)

Na elipse o rovnici 4 x 2  9 y 2  24 x  36 y  36  0 najděte bod nejbližší a nejvzdálenější přímce p: 5x – y +5 = 0. Určete tyto vzdálenosti.

26


17. a)Otevřené kuželosečky - Parabola Definice paraboly jako množiny bodů, obecná a vrcholová rovnice paraboly. Parabola jako graf kvadratické funkce. Tečna, sečna, nesečna paraboly, její rovnice bez použití diferenciálního počtu, jednobodové sečny paraboly – jejich rovnice a význam. 1)

Určete souřadnice vrcholu, ohniska a rovnici řídící přímky paraboly o dané rovnici a načrtněte ji: a) 4 y 2  24 x  20 y  47  0 b) x 2  6 x  4 y  17  0 c) y 2  6 x  2 y  23  0 d) y 2  6 x  4 y  4  0

2)

Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A[0;6], B[3;3], C[5;4].

3)

Jak vysoké jsou jednotlivé pilíře parabolického mostního oblouku, jestliže jeho rozpětí je 16m, výška 2m a vzdálenosti mezi jednotlivými pilíři jsou 2m?

4)

Určete rovnici paraboly, procházející bodem A[-5;4], jestliže její vrcholová tečna má rovnici a: y – 3 = 0 a osa paraboly má rovnici o: x + 7 = 0

5)

Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M[0;-1] a mají s parabolou o rovnici x 2  2 y  4 x  13  0 společný právě jeden bod?

6)

Napište rovnici paraboly s vrcholem V[3;-7], jejíž řídící přímka má rovnici x = 5.

7)

Vrchol rovnostranného trojúhelníka leží ve vrcholu paraboly o rovnici . y 2  2 x . Určete souřadnice ostatních vrcholů trojúhelníka, leží-li na dané parabole.

8)

Parabola, která má osu rovnoběžnou s osou y prochází body A[0;0], B[-1;-3], C[-2;-4]. a) Napište rovnici této paraboly a určete její vrchol b) Určete rovnici kružnice, jejímž průměrem je tětiva, vyťatá danou parabolou na ose x.

9)

Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M[-8;-8] a mají s parabolou o rovnici y 2  3x  4 y  8  0 společný právě jeden bod.

10)

Napište rovnici tečny k parabole x 2  6 x  4 y  17  0 , která je rovnoběžná s přímkou p: 3x + y +1 = 0.

11) Najděte rovnici tečny a normály paraboly o rovnici y 2  7 x v jejím bodě T[7/4;y>0].

27


17. b) Otevřené kuželosečky - Hyperbola Definice hyperboly jako množiny bodů, obecná a středová rovnice. Rovnice hyperboly s osami rovnoběžnými s osami soustavy souřadnic, rovnoosá hyperbola, hyperbola jako graf funkce nepřímá úměrnost, význam a rovnice asymptot hyperboly. Tečna, sečna, nesečna hyperboly, její rovnice bez použití diferenciálního počtu, jednobodové sečny hyperboly – jejich rovnice a význam. 1) Napište rovnici hyperboly, která má střed v počátku soustavy souřadnic, prochází bodem M [5;2] a má asymptotu o rovnici 2x + 3y =0. Určete velikosti poloos. 2)

Určete střed, vrcholy, ohniska a rovnice asymptot hyperboly a načrtněte ji, je-li její obecná rovnice a) 9x2 + 18x – 4y2 – 16y – 43 = 0 b) 2x2 – 3y2 – 8x + 6y – 25 = 0 c) 4x2 – 25y2 + 16x + 50y + 91 = 0

3)

Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejíž asymptoty jsou souřadné osy a která prochází bodem M [-3;2].

4)

Je dána hyperbola o délkách poloos a, b: a) Určete vzdálenost ohniska hyperboly od její asymptoty. b) Vypočtěte délku tětivy hyperboly, která prochází jejím ohniskem a je kolmá na hlavní osu hyperboly

5)

Určete polohu bodu M vzhledem k hyperbole 4x2 – 25y2 + 16x + 50y +91 = 0: a) M [3;1] , b) M [-3;5]

6)

Bod M [x0; 1] leží na hyperbole o rovnici x2 – 4y2 = 16. Určete jeho vzdálenost od ohnisek.

7)

Je dána hyperbola o rovnici x2 – 9y2 – 9 = 0 a bod M [5;0]. Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M a mají s hyperbolou společný právě 1 bod.

8)

Určete rovnici tětivy hyperboly o rovnici 4 x 2  y 2  4  0 , která je půlena bodem A[2;2].

9)

Napište rovnice tečen, vedených bodem P ke kuželosečce o dané rovnici: x 2  y 2  1  0; P[0;1]

10)

Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M[-5;-5/3] a mají s hyperbolou o rovnici x 2  y 2  25  0 právě jeden společný bod.

28


18. Kombinační číslo, faktoriál, binomická věta Definice a značení faktoriálu, 0!, kombinační číslo – výpočet, základní význam hodnoty kombinačního čísla, operace s kombinačními čísly a faktoriály, Pascalův trojúhelník, binomická věta. 1) V množině N řešte rovnici:  x  1  x  2       4 a)  x  2  x  4 2) Zjednodušte výraz: n2  9 6 1 a)   n  3! n  2! n  1!

 n  1  n  2        9  2   n  4

b)

b)

1 1 1   n  1! n! n  1!

c)

 n n!    n  2!  2 

3) V množině R řešte rovnici o neznámé x a parametru n N : n  1!2n  1!3n  1!........  nn  1!  n  1! n! n! 4x n!   ...... 2 4 4) Dokažte, že pro všechna přirozená čísla k platí:  3k  1  4k  2   5k  2           2   2   2  6

Pro všechny přípustné hodnoty n upravte: n  1!  n!  n  2! n!   n  3! n  1! n  2! n  3!

8

V množině N řešte rovnice: n  6!  n 2  16n  28 a) n  4!

b)

5) V N řešte rovnici:  7  x  2   5  x  1  x         10     1  x   3  x  1 0 7) Je-li n přirozené číslo včetně 0, upravte: n  2!  2 n  1!  n! V n  1! n  2! n!

n  1!   n  2   4 n  2!  2 

 n  1   n  8 c)   n  3 10

 1 1 9 Určete, pro které číslo x  R je pátý člen binomického rozvoje při výpočtu    roven číslu 105. 2 x 2 10

1  10 Určete, který člen binomického rozvoje výrazu  3x 2   obsahuje x 8 . 2  6

3  11 Určete hodnotu absolutního členu rozvoje výrazu  2 x 2   podle binomické věty. x 



12 Určete ten člen, který v mnohočlenu, vzniklém výpočtem 1  x 4

  1  x  obsahuje x 3

2 4

13 Pomocí binomické věty určete hodnotu 1.02 . 5

 x 3  14 Určete desátý člen rozvoje následujícího výrazu podle binomické věty:   x  x   15 Dokažte, že pro každé přirozené číslo n je výraz V n  6 2n  1 dělitelný 35. 16 V rozvoji 1  x  je třetí člen 84 a čtvrtý člen 280. Určete x, n. n

29

20

10

.


19. Kombinatorika a pravděpodobnost Variace bez opakování, s opakováním, permutace, kombinace bez opakování, s opakováním – vysvětlení pojmu, zápis, výpočet. Základní způsob výpočtu pravděpodobnosti náhodného jevu, jev jistý, jev nemožný, vlastnosti pravděpodobnosti – pravděpodobnost doplňkového jevu, slučitelné, neslučitelné, závislé, nezávislé jevy – jejich sjednocení a průnik, Bernoulliho schéma. 1. V kolika bodech se protíná 10 přímek, ležících v jedné rovině, jestliže žádné tři z nich neprocházejí týmž bodem a žádné dvě nejsou rovnoběžné? Určete počet průsečíků, jsou-li čtyři přímky navzájem rovnoběžné. 2. Kolik trojciferných přirozených čísel s různými ciframi lze vytvořit z číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7? Určete počet sudých čísel s uvedenými vlastnostmi. Určete počet takto vytvořených čísel, která jsou větší než 130. 3. Aranžér má ve výkladu umístit vedle sebe čtyři stejné znaky, z nichž jsou dva bílé, jeden černý a jeden zelený. Kolika různými způsoby to může učinit? 4. Je dáno deset různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Zjistěte, kolik rovin tyto body určují, platí-li : a) Žádné čtyři body neleží v jedné rovině. b) Právě šest bodů leží v téže rovině. Určete kolik přímek tyto body určují, jestliže čtyři body leží na jedné přímce, jiné tři body leží v druhé přímce. 5. Ze šesti mužů a čtyř žen se má vybrat sedmičlenná skupina. a) Kolika různými způsoby je to možné? b) Kolika způsoby je to možné, mají-li být ve skupině právě dvě ženy? 6. V akvaristice mají v dostatečném množství celkem čtyři různé druhy akvarijních rybek. Kolika různými způsoby si můžeme vybrat? a) Šest rybek. b) Šest rybek při nákupu po párech? 7. 36 žáků bylo na brigádě namátkou rozděleno do 9 místností po 4 žácích. a) Kolika různými způsoby mohou být určitému žáku přiděleni jeho spolubydlící? b) Kolika různými způsoby je možné žáky rozdělit, neuvažujeme-li rozdílnost místností? 8. Kolika různými způsoby je možné na čtvercové šachovnici se 64 poli, vybrat 3 pole tak, aby neležela všechna tři v jednom sloupci? 9. V rodině je 6 dětí. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má: a) 6 synů b) 4 syny a 2 dcery c) 3 syny a 3 dcery d) Aspoň 2 syny je-li pravděpodobnost narození syna a dcery stejná? 10. V dílně v níž pracovalo 9 mužů a 6 žen došlo k nehodě, při níž byly zraněny 4 osoby. Jaká je pravděpodobnost, že to byli jen muži? 11. Pravděpodobnost, že žárovka vydrží svítit 1000 hodin je 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že ze 3 paralelně zapojených žárovek vydrží svítit aspoň jedna? 12. Jaká je pravděpodobnost, že při vrhu 6 kostkami padne na 3 z nich šestka a na třech nepadne šestka? 13. Mezi 50 výrobky je 8 zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru 5 výrobků budou: a) Aspoň 3 zmetky. b) Nejvýše 3 zmetky c) Právě 4 zmetky. 30


14. Tři střelci střílejí do terče s následující úspěšností: 1. střelec 0,9; 2. střelec 0,85; 3. střelec 0,81. Jaká je pravděpodobnost že se do terče netrefí žádný, střílejí-li každý jedenkrát? 15. Ve třídě je 30 žáků z toho 20 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že ze 7 náhodně vybraných bude: a) 5 dívek a 2 chlapci. a) Aspoň 3 dívky. b) Nejvýše 2 chlapci. 16. Ve 100 nově postavených bytech nepřiléhají okna u 15 bytů a dveře u 20 bytů. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně přiděleném bytě: a) Není ani jedna z těchto závad. b) Je aspoň 1 z těchto závad. c) Jsou obě uvedené závady?

31


20. Komplexní čísla. Množina komplexních čísel, její značení, vztah k množině R, zobrazení do roviny. Imaginární jednotka, algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, číslo ryze imaginární, čísla komplexně sdružená, operace s komplexními čísly, absolutní hodnota komplexního čísla, Moivreova věta. Řešení kvadratických a binomických rovnic v množině komplexních čísel. 1) Vypočtěte:

3  2i    1  3i 2  26  13i 2  3i

2) Určete absolutní hodnotu komplexního čísla:  2  3i 1  3i 1  3i a) z  b) z   3  2i 2i 2i 3) Převeďte na goniometrický tvar: 1 3 a) z  1  3  i b) z   i 2 2

i10  1 d) z  5 i 1

c) z   2  2  i

4) Určete v rovině obrazy oborů pravdivosti následujících rovnic: a) z  2  2 b) z  1  z  1 c) z  2  i  z  1  2i 5) Určete v rovině obrazy oborů pravdivosti následujících nerovnic: a) z  2  3 b) z  2  z  2i c) 1  z  3  i  2 d)

z 2i 1 z  2i

e) z  2  3i   2

f)

6) Určete v algebraickém i goniometrickém tvaru čísla: 7) V C řešte:

a) z  z  2

z 1 1 z 1

a) z  1  i 

6

 1 3  b) z     i  2 2  

4

1 i  c) z    1 i 

b) z 2  z  z

8) Je dán pravidelný pětiúhelník se středem v počátku soustavy souřadnic, jeden jeho vrchol je obrazem komplexního čísla –3i. Určete komplexní čísla, jejichž obrazy jsou zbývající vrcholy pětiúhelníka. 9) V C řešte rovnice: a) x2  2ix  1  0

b) x2  ix  2  0

c) x2  2 x  3  0

d) x2  4 x  5

e) x 4  1

f) x4  1  i

g) x4  2  2i  0

h) x3  27  0

j) x6  19 x3  216  0

j) x8  x4  20  0

k) x  3  x  1  4 2

2

10) Napište kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, je-li jeden její kořen: 4i 2 a) x1  3  6i b) x1  c) x1  1  i   2  i  1 i

32

i) x5  1  0

l) x4  x3  x2  x  1  0

8


21. Posloupnosti Definice posloupnosti, vzorec pro n-tý člen, rekurentní zadání, definice monotónní a omezené posloupnosti konečná, nekonečná posloupnost, limita posloupnosti. Definice aritmetické, geometrické posloupnosti, jejich vlastnosti v závislosti na diferenci, resp. prvním členu a kvocientu, součet prvních n členů těchto posloupností. Definice limity posloupnosti – grafické znázornění, konvergence divergence libovolné posloupnosti, geometrické, aritmetické posloupnosti, způsob výpočtu limity posloupnosti racionálního lomeného výrazu. 1) Posloupnost an n 1 je dána vzorcem an  n  2n , posloupnost bn n 1 rekurentním vzorcem : b1  2 ; 2n  1 bn 1   bn . Určete, zda jsou tyto posloupnosti totožné. n 2) Určete, zda jsou následující posloupnosti rostoucí nebo klesající: 





 2n  1  b)    n  2 n 1

a) n  50  n

 n 1



  1 c)    n  n  1n 1

d) n2  10n  1n 1 

n  1  a . 1 3) Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen posloupnost, zadanou rekurentně: a1  ; an 1  n 2 nn  2 2

4) Posloupnost log 2n n 1 vyjádřete rekurentně a určete její vlastnosti. 



 nx  5) Určete, pro které hodnoty x je daná posloupnost rostoucí:   .  n  1n 1 6) U daných posloupností určete jejich omezenost: 

 1   a) 3n  5 b)  c) 2  3nn 1   2  3n n 1 7) Určete 10.člen aritmetické posloupnosti, ve které platí: a2  a3  9 ;  n 1

a2  a3  14 .

8) Určete součet prvních 20 členů aritmetické posloupnosti, ve které platí. a1  a2  26 ;

a2  a5  30 .

9) Mezi čísla 4 a 37 vložte 3 taková čísla, abys danými čísly tvořila geometrickou posloupnost, určete součet. 10) Určete první člen geometrické posloupnosti an n 1 , platí-li: a5  121 ; q=3. 

11) V geometrické posloupnosti an n 1 platí: a1  

1 ; q=2. Určete, pro které n platí: an  an 3  2304 . 16

12) Délky stran kvádru tvoří 3 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete velikosti stran, je-li objem kvádru 312 cm3 a součet délek všech hran kvádru je 96 cm. 13) Kolikrát uhodí palička hodinového stroje v časovém intervalu od 0 do 12 hodin, tluče-li ve čtvrt jedním, v půl dvěma, ve třičtvrtě třemi údery a v celou hodinu čtyřmi údery plus počtem úderů, označujícím hodinu? 14) V prodejně jsou sestaveny konzervy do deseti řad nad sebou tak, že počty konzerv v řadách tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Ve třetí řadě od shora jsou 4 konzervy, v šesté od shora 10 konzerv. a) a) Určete počet všech konzerv. b) Kolik konzerv je třeba dát do spodní řady, chceme-li 117 konzerv uspořádat do 9 řad nad sebou tak, aby v každé následující řadě bylo vždy o jednu konzervu méně? 33


15) Původní cena stroje byla 40 000 Kč. Jakou cenu bude mít stroj za 10 let, odepisuje-li se ročně na amortizaci 20% ceny předchozího roku? 16) Jaký vklad vzroste za 10 let při 6,5% úroku na 130 000 Kč? 17) O kolik procent ročně je třeba zvyšovat výrobu aby se při konstantním procentuálním přírůstku za 10 let zdvojnásobila? 1 n  n

18) Určete hodnoty limity a dokažte ji podle definice:

n 4 1 n   n 3  5n  3 n

1  1 h) lim   i) lim    n  2 n     3  1  3  5        2n  1 n  k) lim    n  n 1 3 



b) lim

a) lim

d) lim



2n n  n  1

b) lim

n 2  3n  1 n   2n 2  n 3  2n 2 f) lim n  n  1

2n  1 n   1  5n n 4 1 e) lim 2 n  n  2

19) Určete následující limity:

 n 2  n3 m) lim  n   3n  2  1  n 2 

a) lim

n

an  b n   cn  d

c) lim

g) lim  2

1 2  3    n n  j) lim    n  n2 2   n  33n  1   l) lim  2 n   3n  1 

  

n) lim n2  n  n n 

34

n

n 


22. Řady, finanční matematika Definice nekonečné řady, sumační zápis, nekonečná geometrická řada – její součet jako limita posloupnosti částečných součtů, podmínky konvergence. Reálné číslo jako součet konvergentní nekonečné řady, převod racionálního čísla daného periodickým rozvojem do zlomku Aplikace součtu konvergentní geometrické řady ve finančních výpočtech, jednoduché a složené úročení. 

1) Určete, pro které hodnoty proměnné x je následující řada konvergentní:  2  sin x n . n 1

2) Vyjádřete následující číslo s nekonečným periodickým rozvojem pomocí zlomku, uveďte do souvislosti s nekonečnou geometrickou řadou: a) 0, 32 b) 4, 2 c) 1,156 3) Vyjádřete součet:



1

  2 n 1

n



1  3n 

4) Vyjádřete součin: x  x3  4 x3  8 x3  16 x3      5) V R řešte rovnice:





a)  x  1  1

b)  2nx  1

n

n 1

n 1

c) log x  log x  log x  log x        2 2 d) x  3x 2  x3  3x 4  x5  3x6        3 2 4 8 16 4x  3 e) 1   2  3  4        x x x x 3x  4 x2 x x 1 f) 2  3  135  2  3  3  3x  2  3x 3       8

4





6) Určete délku nekonečné rovinné spirály, složené z půlkružnic, má-li každá polokružnice poloměr roven 0,75 poloměru předchozí kružnice a poloměr největší kružnice je 5cm. 7) Nad výškou rovnostranného trojúhelníka o délce strany a je sestrojen nový rovnostranný trojúhelník, nad jeho výškou opět další atd. Určete součet obsahů všech těchto trojúhelníků. 8) Původní cena stroje byla 40 000 Kč. Jakou cenu bude mít stroj za 10 let, odepisuje-li se ročně na amortizaci 20% ceny předchozího roku? 9) Jaký vklad vzroste za 10 let při 6,5% úroku na 130 000 Kč? 10) O kolik procent ročně je třeba zvyšovat výrobu aby se při konstantním procentuálním přírůstku za 10 let zdvojnásobila? 11) Podnikatel potřebuje získat úvěr ve výši 3 mil. Kč na jeden rok. První banka nabízí úvěr s úrokovou mírou 13,5%: vyplatí podnikateli celou požadovanou částku a po roce bude požadovat navíc úrok ve výši 13,5% z půjčené částky. Druhá banka nabízí úvěr s diskontní mírou 13,5%: odečte ihned při poskytnutí úvěru z požadované částky 13,5% podnikatel poté splatí 3 mil. Kč. a) Kolik Kč by zaplatil po roce celkem 1. bance ? [ 3 405 000 Kč] b) Kolik Kč by vyplatila podnikateli 2. banka, kdyby požádal o 3 miliony Kč? [2 595 000 Kč] 35


c) O jak vysoký úvěr by musel požádat v druhé bance, aby získal 3 mil. Kč? d) Která z obou bank poskytuje výhodnější úvěr?

[ o 3 468 209 Kč] [výhodnější je 1. banka]

12) Jak vysokou úrokovou míru by nám musela nabídnout banka, aby se náš kapitál 10 000Kč zvýšil za dva roky na 15 000Kč. Předpokládáme vklad na termínovaný účet na dva roky s měsíčním úročením, jde o složené úročení. [24, 06%] 13) Banka nabízí úvěr s úrokovou mírou 12,4%; úrokovací období je čtvrt roku, úročí se na konci každého kalendářního čtvrtletí, jde o složené úročení. Banka poskytuje úvěr v celých desetitisícikorunách. Podnikatel by si chtěl půjčit na začátku kalendářního roku na jeden rok, předpokládá, že bude mít na splacení dluhu 4 miliony korun. Kolik korun si může maximálně půjčit? [3, 540 mil. Kč]

36


23. Limita funkce Definice limity funkce-grafické znázornění, jednostranná, oboustranná limita, pravidla pro počítání s limitami, vlastní, nevlastní limita, limita ve vlastním, nevlastním bodě.L¨hospitalovo pravidlo. Definice spojitosti funkce. Vypočítejte následující limity:

1) lim  sin 3x  sin x  x 3x  X 0 

13) lim x  23x X 2 8  x 2

2) lim tgx  3sin x sin x X 0 x 3) lim tgx  sin 3 cos x X 

4) lim sin 2 x 3x X 0 5) lim 1  cos x tgx X 0 6) lim cos x  sin x 1  tgx X  4 7) lim X 1

x3  2 x 2  x  2 x2  1

8) lim X 5

x 2  x  25 x3  3x 2  9 x  5

9) lim x X  2

3

 2 x2  x  2 x 2  3x  2

10) lim 3x X 2

2

 10 x  4 4  x2

11) lim X  2

x2  4 x2

12) lim X 2

x3  8 x 4  16 37


14) lim X 5

x2  4x  5 x 2  7 x  10

15) lim x2  2 x  3 X 1 x  5 x  4 2

16) lim 3x 2  2 x  5 X  4 x  3x  7 2

17) lim 53x  x 2  3 X   x  6 x  4 3

18) lim X 0 19) lim x X 1 20) lim X 2

2

x 9 3 x 1 1 2

 x x 1

x2 x2 2

38


24. Derivace funkce Definice derivace, její geometrický význam, derivace elementárních funkcí, pravidla pro výpočet derivace součtu, součinu, podílu dvou funkcí, derivace složené funkce, druhá derivace funkce – její geometrický význam. Vztah derivace a monotónnosti funkce, lokální, globální extrémy – v bodech, kde existuje i neexistuje derivace, v krajních bodech intervalu, vztah druhé derivace a extrémů funkce, inflexní body, průběh funkce, slovní úlohy. 1) Určete definiční obor a derivaci funkce f v každém bodě D(f). f : y  ln

1  sin x 1  sin x

2) Určete rovnice tečen vedených ke grafu funkce f : y  x 3  x 2  2 x v bodech, kde graf protíná osu x. 3) Určete, ve kterém bodě má parabola o rovnici y  2 x 2  3x  1 tečnu a) se směrovým úhlem 45 b) rovnoběžnou s přímkou 5x  y  3  0 c) kolmou na přímku x  3 y  2  0 4) Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f: y  e x  cos 2 x v bodě T[0;?]. 5) Určete definiční obor a derivaci funkce f v libovolném vnitřním bodě D(f) 2 x cos x  1 a) y  b) y  c) y  x  2 x 2  3x  5 sin x 1 x 1 d) y  e) y  3 x 2  1 f) y  sin x 2 1 x 1 ; podle _ x g) y  x 1  x 2 h) y  x  x i) y  2 a  x2 x3  1 2 j) y  sin x  1 k) y   ln x   3  3





6) Určete rovnici tečny ke grafu funkce f : y 

sin x  cos x   v bodě grafu T  ; ? . sin x  cos x 4 

7) Na válcovou konzervu má být spotřebováno 5 dm2 plechu. Jaké má mít konzerva rozměry, aby přitom měla co největší objem? 8) Nádrž na vodu má čtvercové dno a objem 256 m3. Určete rozměry nádrže tak, aby spotřeba materiálu na vyzdění dna a stěn byla co nejmenší. 9) 60 metrů dlouhým pletivem má být obehnán obdélníkový výběh pro slepice, jednou stranou přiléhající ke zdi stavení. Jaké rozměry musí mít, aby jeho plocha byla co největší? 10) Do půlkruhu o poloměru r je vepsán obdélník maximálního obsahu. Určete rozměry obdélníka. 11) Půdorys divadelního jeviště je sjednocením obdélníka a půlkruhu. Obvod půdorysu je 40 m. Určete rozměry půdorysu tak, aby jeho obsah byl co největší. 12) Z tuhého papíru délky 20 cm a šířky 10 cm má být vyrobena krabička bez víčka vystřižením čtverců v rozích papíru a následným slepením. Určete rozměry krabičky tak, aby měla co největší objem. 39


13) Těleso A je umístěno v bodě A[0;8], těleso B v bodě B[7;0] pravoúhlé soustavy souřadnic s jednotkou 1cm. V témže okamžiku se dají obě tělesa do pohybu po souřadných osách směrem k počátku soustavy souřadnic: těleso A rychlostí 1cm/s, těleso B rychlostí 2cm/s. Po kolika sekundách bude vzdálenost těles nejmenší? 14) Pořizovací náklady elektrického vedení jsou závislé na průřezu vodiče S a na ztrátách el. proudu ve vedení k vztahem y  k1  S  2 kde k1 , k 2 jsou kladné konstanty. Určete průřez S v závislosti na S konstantách k1 , k 2 .tak, aby pořizovací náklady byly co nejmenší. 15) Určete lokální extrémy funkce f:

a) y  x 5  5x 4  5x 3  1

16) Určete intervaly monotónnosti funkce f : y  x 

b) y  x 4  2 x 3  1

1 x

17) Určete intervaly, ve kterých je funkce f konvexní, resp. konkávní: f : y 

x 1 x 2

18) Vyšetřete průběh funkce a načrtněte její graf: a) f : y  x 3  3x 2  9 x d) f : y 

1 x 2 1 x 2



b) f : y  ln 1  x 2



e) f : y  x 2  1

c) f : y  f) f : y 

40

1 1 x 2 x 1 x


25. Integrál Definice primitivní funkce k funkci f, způsoby jejího určování, neurčitý integrálu elementárních funkcí, metoda per-partes, substituční metoda. Definice určitého integrálu, jeho výpočet. Výpočet obsahu plochy ohraničené grafem funkce. Výpočet objemu rotačního tělesa, odvození vzorců pro objem těles (rotační válec, kužel koule). 1) Určete následující neurčité integrály: a)  x 2 sin x dx p)  sin 3xdx b)

 ln xdx

c)

 cos3x  1dx

d)



e)

 3x  2 dx

f)

 4x

g)

 sin

h)



i)

 1  cos 2 x dx

j)

q)



1 dx 5  2x

1  3x dx

1

3

 6 x dx

2

xdx



cos 2 x dx 2 1



x2 dx x x  3x 2  x cos x dx x

k)



l)



3 5  dx x 3 x2

m)



x2  x  e x dx x

n)

 cos

o)

 2x sinx

sin x dx 3 x 2



 1 dx 41


2) Určete rovnici křivky, která prochází bodem A[-2;1] a jejíž tečna v libovolném bodě [x;y] má směrnici (2x+5). 3) Vypočítejte integrály:



8

x 1 dx b)  x 8

4

2 1 a)   dx x 3 x 1

c)

3

1

  sin 4

2

x

dx

4) Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích: 1 2x  3 y  3  0 a) y  x 2 ; 3 x2 b) y  y=0; x=0; x=5.  3x  4 ; 2 c) y  x  x 2 x ; y=0. x x d) y  e ; x=1. ye ; e)y=cos x; y=0; x=0; x=2. f)Parabolou o rovnici y   x2  4 x  3 ; jejími tečnami v bodech T10;3 a T2 3;0 . 5) Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce, omezeného křivkami o rovnicích y 2  6 x ; x=3 kolem osy x. 6) Určete objem rotačního elipsoidu,který vznikne rotací elipsy o poloosách a=3, b=2 kolem vedlejší osy. 7) Vypočtěte objem rotačního paraboloidu o poloměru podstavy r=3 a výšce v=6. 8) Určete objem rotačního hyperboloidu, vytvořeného rotací hyperboly o rovnici 4 x2  9 y 2  36  0 kolem osy x a omezeného rovinami o rovnicích x=3 a x=6. 9) Určete objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích y=2; y=-2 kolem osy y. x2  y 2  4 ; 10) *Vypočtěte objem anuloidu, který vznikne rotací kruhu o poloměru r a středu S[a;0]; 0
42

a) Koule o poloměru r.

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata

Recommend Documents