Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012 PLOT FUNGSI

Sas Wahid H.

Bogor, 07 Agustus 2012

PLOT FUNGSI A. PEMAHAMAN FUNGSI Suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai suatu aturan yang membuat korespondensi antara dua himpunan bilangan sehingga hubungan dari dua himpunan bilangan tersebut menjadi tidak ambigu. Pada umumnya suatu fungsi dinotasikan dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh jika ada fungsi 𝑦 = 𝑥 2 maka 𝑦 merupakan variable dependen, sedangkan 𝑥 adalah variable independent. Kita bisa mengatakan bahwa 𝑦 bergantung pada 𝑥 karena 𝑥 adalah variable bebas yang bisa kita ganti dengan nilai berapapun. Fungsi dengan sebuah variable independen biasanya akan menghasilkan garis tunggal atau kurva ketika digambar pada koordinat kartesian, sedangkan fungsi dengan dua variable independen atau lebih akan menghasilkan suatu permukaan (surface) ketika digambar. Himpunan bilangan atau titik dimana suatu fungsi didefinisikan disebut sebagai domain fungsi. Sebagai contoh, fungsi 𝑦 = 𝑥 3 terdefinisi untuk semua bilangan real karena kita bisa mengganti 𝑥 dengan nilai berapapun, lalu menhitung pangkat tiga nya. Himpunan bilangan yang dihasilkan oleh suatu fungsi disebut sebagai range yang merupakan bagian dari codomain. Dengan kata lain, domain adalah bilangan – bilangan yang bisa kita inputkan ke dalam fungsi, sedangkan range adalah bilangan – bilangan hasil keluaran suatu fungsi. Lebih jelasnya lihat gambar berikut : 𝑥

𝑦 = 2𝑥 + 1

1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 ∶ 1, 2, 3, 4 𝐶𝑜 − 𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 ∶ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 ∶ 3, 5, 7, 9

1

Sas Wahid H.


B. FUNGSI PADA KOORDINAT KARTESIAN Secara tradisional, system koordinat kartesian dibangun dari dua sumbu atau tiga sumbu yang saling tegak lurus satu sama lain, yang umumnya sumbu – sumbu tersebut disimbolkan sebagai sumbu 𝑥, sumbu 𝑦, dan apabila dalam bentuk tiga dimensi, maka akan terdapat sumbu 𝑧. Fungsi pada koordinat kartesian tiga dimensi bisa memuat dua variable independen, dengan bentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧) atau 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦). Untuk koordinat kartesian kita tidak perlu membahasnya lebih panjang karena sudah sangat familiar.

C. FUNGSI PADA KOORDINAT POLAR Dalam matematika, system koordinat polar adalah system koordinat dua dimensi dimana suatu titik dalam bidang ditentukan oleh jarak titik tersebut ke titik pusat, dan sudut yang dibentuk dengan garis acuan (lazimnya adalah searah dengan garis sumbu 𝑥 +). Untuk lebih jelasnya lihat gambar sebagai berikut :

Gambar pertama menunjukkan titik dalam koordinat polar dengan titik pusat 0 dan sumbu polar 𝐿. Titik dengan garis hijau memiliki koordinat radial sebesar 3, dan koordinat angular sebesar 60° (3, 60°), sedangkan titik dengan garis biru menunjukkan (4, 210°). Ingatlah bahwa besaran sudut tidak selalu ditulis dalam satuan derajat, namun juga radian. Gambar kedua menunjukkakn acuan besaran sudut pada koordinat polar, dan gambar ketiga menunjukkan hubungan antara koordinat kartesian dan koordinat polar. Untuk mengkonversi dari koordinat kartesian ke koordinat polar, digunakan persamaan – persamaan sebagai berikut :  𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑘𝑒 𝐾𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛 ∶

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ,

 𝐾𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛 𝑘𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 ∶

𝑟=

𝑥2 + 𝑦2 ,

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 𝑦

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑥

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :  Konversikan posisi titik (2, 2) ke koordinat polar Jawab : 𝑟 = 22 + 22 = 2 2 2 𝜋 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan = = 45° 2 4 𝜋

= (2 2, 4 ) 2

Sas Wahid H.

Bogor, 07 Agustus 2012 𝜋

 Konversikan posisi titik (6, 3 ) ke koordinat kartesian 𝜋

Jawab : 𝑥 = 6 cos 3 = 3 𝑦 = 6 sin

𝜋 =3 3 3

= (3, 3 3)

D. MENGGAMBAR PLOT FUNGSI DENGAN MATLAB Secara mendasar, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu.  Plot Garis 2D Koordinat Kartesian Untuk melakukan plot 2D dari suatu fungsi, kita tuliskan perintah sebagai berikut : ≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) Contoh kita akan melakukan plotting untuk fungsi 𝑦 = 𝑥 2 dengan domain −4 ≤ 𝑥 ≤ 4, maka kita tuliskan perintah sebagai berikut : ≫ 𝑥 = −4 ∶ 4

↲

≫ 𝑦 = 𝑥. ^2

↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦)

↲

Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

3

Sas Wahid H.


Jika kita lihat sekilas, grafik diatas tidaklah smooth, dikarenakan MATLAB menggambar dengan korespondensi sebagai berikut ≫ 𝑥 = −4 − 3 − 2 − 1 0 1

2

3

≫ 𝑦 = 16

4

9 16

9

4

1 0 1

4

Posisi titik – titik diatas lalu dihubungkan dengan garis lurus sehingga menghasilkan plot yang kurang smooth dikarenakan peningkatan nilai = 1 . Untuk mengatasi hal ini maka peningkatan nilai 𝑥 haruslah sangat kecil, taruhlah peningkatan nilai 𝑥 = 0.001 sehingga kita perlu mengubah syntax sebagai berikut : ≫ 𝑥 = −4 ∶ 0.001 ∶ 4 ≫ 𝑦 = 𝑥. ^2

↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦)

↲

↲

Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

Untuk memberikan label pada sumbu 𝑥, sumbu 𝑦, maupun judul grafik, kita tambahkan perintah sebagai berikut : ≫ 𝑥𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙(′𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 ′ )

↲

≫ 𝑦𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙(′𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦 ′ )

↲

≫ 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒(′𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑦 = 𝑥^2′)

↲

4

Sas Wahid H.


Untuk mengganti properties pada kurva/garis kita dapat melengkapi syntax 𝑝𝑙𝑜𝑡 menjadi ≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛, 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒, ′𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎__𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑒__𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑖𝑛𝑔__𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠′) Dengan keterangan sebagai berikut: Hal

Warna

Nilai Inputan

Arti (warna)

„c‟

Cyan

„m‟

Magenta

„y‟

Kuning

„r‟

Merah

„g‟

Hijau

„b‟

Biru

„w‟

Putih

„k‟

Hitam

5

Sas Wahid H.


Hal

Nilai Inputan

Arti (tipe)

„-‟

Garis solid

„- -‟

Garis strip

„:‟

Garis berupa titik – titik

„-.‟

Garis strip dan titik

„no‟

Tanpa garis

„huruf‟

Huruf

Tipe

Hal

Marking

Nilai Inputan

Arti (marking)

„+‟

Tanda tambah

„o‟

Lingkaran berlubang

„*‟

Asterisk

„x‟

Huruf x

„s‟

Persegi berisi

„d‟

Diamond berisi

„^‟

Segitiga atas berisi

„v‟

Segitiga bawah berisi

„>‟

Segitiga kanan berisi

„<‟

Segitiga kiri berisi

„p‟

Pentagram (segi lima) berisi

„h‟

Hexagram (segi enam) berisi

„no‟

Tanpa marking

„huruf‟

Huruf

Kita akan coba membuat plot untuk fungsi kuadrat diatas dengan menggunakan properties yang telah dijelaskan diatas, berikut syntaxnya ≫ 𝑥 = −4 ∶ 4

↲

≫ 𝑦 = 𝑥. ^2

↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦, ′𝑟 − −𝑠′)

↲

6

Sas Wahid H.


Untuk membuat beberapa kurva dalam bidang yang sama, maka kita gunakan perintah 𝑕𝑜𝑙𝑑 𝑜𝑛 dengan diteruskan membuat fungsi dan plot yang baru. Misalnya kita akan membuat plot dari tiga fungsi kuadrat yaitu 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 2 + 2, dan 𝑦 = 𝑥 2 + 4 sekaligus dalam satu bidang. ≫ 𝑥 = −4 ∶ 4

↲

≫ 𝑦1 = 𝑥. ^2

↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦) ≫ 𝑕𝑜𝑙𝑑 𝑜𝑛

↲ ↲

≫ 𝑦2 = 𝑥. ^2 + 2

↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦2, ′𝑟 − −𝑠′) ≫ 𝑕𝑜𝑙𝑑 𝑜𝑛

↲

↲

≫ 𝑦 = 𝑥. ^2 + 4

↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦3, ′𝑘 − 𝑣′)

↲

7

Sas Wahid H.


Jika kita ingin menggambar plot suatu grafik, namun kita bingung untuk menentukan domain dari fungsi yang akan kita gambar, maka kita gunakan perintah 𝑒𝑧𝑝𝑙𝑜𝑡 untuk menggambar fungsi yang bersangkutan dengan memperkenalkan variable terlebih dahulu dengan perintah 𝑠𝑦𝑚𝑠, contohnya kita akan menggambar plot untuk 𝑦 = 𝑥 2 − 9 :

8

Sas Wahid H.


 Plot Garis 2D Koordinat Polar Seperti halnya pada koordinat kartesian, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu. Dalam hal ini kita akan mencoba menggambar fungsi polar rose dan fungsi spiral Archimedean.  Fungsi polar rose Fungsi polar rose jika digambar mirip seperti kelopak bunga, salah satu persamaan polar rose yang akan kita gambar adalah 𝑟 𝜃 = 2 sin 4𝜃 Dengan domain 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, dengan kenaikan 𝜃 sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini 𝜃 akan kita ganti sebagai 𝑡 untuk mempemudah ≫ 𝑡 = 0 ∶ 0.01: 2 ∗ 𝑝𝑖; ≫ 𝑟 = 2 ∗ sin 4 ∗ 𝑡 ; ≫ 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟(𝑡, 𝑟)

↲ ↲

↲

≫ 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒(′𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 𝐵𝑢𝑛𝑔𝑎′ )

↲

9

Sas Wahid H.


 Fungsi Spiral Archimedean Seperti namanya fungsi ini berbentuk spiral, mungkin bisa dianalogikan dengan rumah keong. Fungsi yang akan kita gambar adalah 𝑟 𝜃 =

𝜃 2𝜋

Dengan domain 0 ≤ 𝜃 ≤ 6𝜋, dengan kenaikan 𝜃 sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini 𝜃 akan kita ganti sebagai 𝑡 untuk mempemudah ≫ 𝑡 = 0 ∶ 0.01: 6 ∗ 𝑝𝑖; ≫ 𝑟 = 𝑡/(2 ∗ 𝑝𝑖); ≫ 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟(𝑡, 𝑟)

↲

↲

↲

≫ 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒(′𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑆𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 𝐴𝑟𝑐𝑕𝑖𝑚𝑒𝑑𝑒𝑎𝑛′)

↲

10

Sas Wahid H.


 Plot Kontur/Permukaan/3D Seperti pada yang telah diterangkan sebelumnya, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu. Pada fungsi kartesian dengan bentuk umum 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) maka kita perlu mendefinisikan domain fungsi pada sumbu 𝑥 dan pada sumbu 𝑦. Hal tersebut dapat kita lakukan dengan perintah 𝑚𝑒𝑠𝑕𝑔𝑟𝑖𝑑 dengan format sebagai berikut : ≫ 𝑥, 𝑦 = 𝑚𝑒𝑠𝑕𝑔𝑟𝑖𝑑(𝑥1: 𝑑𝑥: 𝑥2; 𝑦1, 𝑑𝑦, 𝑦2) Dimana :

𝑥1 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎𝑕 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑥 ∶ 𝑝𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑥 (𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑎𝑖𝑙) 𝑥2 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑦1 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎𝑕 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑦 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑦 ∶ 𝑝𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑦 (𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑎𝑖𝑙) 𝑦2 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑦 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛

Sedangkan untuk menggambar dalam koordinat tiga dimensi, ada beberapa perintah yang bisa kita gunakan, yaitu : ≫ 𝑠𝑢𝑟𝑓 (𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑋, 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑌, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) : untuk menggambar permukaan ≫ 𝑚𝑒𝑠𝑕 (𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑋, 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑌, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) : untuk menggambar rangka dari fungsi ≫ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟 (𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑋, 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑌, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) : untuk menggambar kontur, yaitu garis – garis/ kurva – kurva pada bidang datar yang menunjukkan ketinggian Apabila kita ingin menggambar suatu fungsi namun bingung dengan penentuan domain, kita bisa menggunakan perintah – perintah sebagai berikut : ≫ 𝑒𝑧𝑠𝑢𝑟𝑓 ( 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) ≫ 𝑒𝑧𝑚𝑒𝑠𝑕 ( 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) ≫ 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟 (𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) dengan memperkenalkan terlebih dahulu variable – variable dengan perintah 𝑠𝑦𝑚𝑠 Untuk lebih jelasnya akan dicontohkan kita akan menggambar beberapa fungsi tiga dimensi sebagai berikut :  Fungsi Paraboloid (menggunakan 𝑠𝑢𝑟𝑓) Fungsi paraboloid merupakan hasil perputaran 360° fungsi parabola terhadap sumbu simetrinya. Fungsi yang akan kita gambar adalah 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, dengan domain −5 ≤ 𝑥 ≤ 5, dan −5 ≤ 𝑦 ≤ 5, dengan peningkatan nilai domain sebesar 0.5. Kita ketikkan perintah sebagai berikut : ≫ 𝑥, 𝑦 = 𝑚𝑒𝑠𝑕𝑔𝑟𝑖𝑑(−5: 0.5: −5, −5: 0.5: 5); ≫ 𝑧 = 𝑥. ^2 + 𝑦. ^2; ≫ 𝑠𝑢𝑟𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

↲

↲ 11

↲

Sas Wahid H.


 Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan 𝑒𝑧𝑚𝑒𝑠𝑕) Fungsi hyperbolic-paraboloid merupakan hasil perpaduan 2 fungsi hyperbolic, dan sebuah fungsi parabolic. Dua fungsi hyperbola tegak lurus terhadap bidang 𝑥𝑦 sedangkan sebuah fungsi hiperbola sejajar dengan bidang 𝑧𝑦. Fungsi ini jika dilihat seperti sebuah pelana kuda. Fungsi yang akan kita gambar adalah 𝑧 = 𝑦2 − 𝑥2 Kita ketikkan perintah sebagai berikut : ≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥;

↲

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑦; ↲ ≫ 𝑧 = 𝑦^2 − 𝑥^2; ≫ 𝑒𝑧𝑚𝑒𝑠𝑕(𝑧)

↲

↲

12

Sas Wahid H.


 Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟) Kita akan coba menggambar kontur dari fungsi hyperbolic-paraboloid pelana kuda diatas. Yang perlu kita ketahui, output pada fungsi kontur adalah beberapa garis yang memiliki berbagai macam warna. Warna – warna yang ada bisa kita deretkan seperti aturan spectrum warna. Semakin kearah warna merah menunjukkan permukaan yang tinggi, sedangkan semakin kearah warna biru menunjukkan permukaan yang rendah. Kita ketikkan perintah sebagai berikut : ≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥;

↲

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑦; ≫ 𝑧 = 𝑦^2 − 𝑥^2; ≫ 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟(𝑧)

↲ ↲

13

Sas Wahid H.


REFERENSI Stewart, James. 2008. Calculus, 6th Edition. California : Thomson Brooks/Cole Varberg, D.E, Purcell, E.J., Rigdon, S.E.

2006. Calculus, 9th Edition. New Jersey :

Pearson Prentice Hall Thomas, G.B., Weir, D.B., Hass, J. Giordano, F.R. 2004. Calculus, 11th Edition. Massachussets : Addison Wesley Perez, E. 2008. The Golden E-Book of Graphs of Mathematical Functions : A Selection of Some Beautiful Mathematical Surfaces from The Domain of The Real and Transcomplex Numbers System. Tanpa Kota : Tanpa Penerbit The MathWorks, Inc. 2012. MATLAB Primer. Massachussets : The MathWorks Inc

REFERENSI ONLINE : Pierce, Rod. (27 May 2011). "Domain, Range and Codomain". Math Is Fun. Tersedia pada situs : http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html

“Graphing

Quadratic Functions : Introduction”. (diakses pada 16 Juli 2012) Stapel, Elizabeth. "Graphing Quadratic Functions." Purplemath. Tersedia pada situs : http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm (diakses pada 15 July 2012) “Polar Coordinate System”. http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system (diakses tanggal 15 Juni 2012)

14

Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012 PLOT FUNGSI

Recommend Documents