Samenvatting - Wiskunde I

Samenvatting - Wiskunde I Calculus Early Transcendentals – James Stewart 6th edition Slides van A. Al-Dhahir Appendix A – Getallen, Verzamelingen, Ongelijkheden en Absolute Waarde N = {0,1,2,3,…}  Natuurlijke getallen Z = {…,-3 ,-2,-1,0,1,2,3,…}  Gehele getallen Q={

}  Rationale getallen

R = alle (on)eindig lange decimale ontwikkelingen Reële getallen C =  Complexe getallen (a,b)  Open interval [a,b]  Gesloten interval

Hoofdstuk 1 – Functies en Modellen 1.1 Functies, representaties Domein  onder wortel/deelstreep gelijkstellen aan 0 Bereik  heel groot/klein getal in functie invullen. Even functie  ( ) ( ) Oneven functie  ( ) ( ) 1.2 Verschillende typen functies Polynoom  p( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0 met ai  R

i  0,, n

a Machtsfunctie  f ( x)  x met a  R

Rationale functie  f ( x) 

P( x) met P(x) en Q(x) als polynomen Q( x)

Algebraïsche functie = een functie die uit polynomen geconstrueerd kan worden met behulp van algebraïsche bewerkingen Goniometrische functies f ( x)  sin x f ( x)  cos x sin x

f ( x)  tan x 

f ( x)  csc x  Exponentiële functie 

f-1(x) = arcsin(x)

1 sin x

f ( x)  sec x  f-1(x) = arccos(x)

f ( x)  a x met a  0 a=grondtal Logaritmische functie  f ( x)  log a x met a  0 en Domein = (0, )

Bereik=R

a 1

1 cos x

cos x 1 f ( x)  cot x  tan x f-1(x) = arctan(x)

1.3 Nieuwe functies uit oude functies Verticale en horizontale verschuivingen: (c>0) 

f ( x)  c  f(x) omhoog over een afstand c

 

f ( x)  c  f(x) omlaag over een afstand c f ( x  c)  f(x) naar links over een afstand c



f ( x  c)  f(x) naar rechts over een afstand c

Uitrekken en Samendrukken: (c>1) 

c  f (x)  rekt f(x) verticaal uit met factor c



f ( x)  drukt f(x) verticaal samen met factor c c f (c  x)  drukt f(x) horizontaal samen met factor c

 

 x f    rekt f(x) horizontaal uit met factor c c

Spiegelen: 

 f (x)  spiegelt f(x) in de x-as



f ( x)  spiegelt f(x) in de y-as

Samenstelling van functies   f  g (x)  f ( g ( x)) 1.5 Exponentiële functies

a x y  a x a y a x y 

ax ay

abx  a x b x

a 

x y

 a xy

1.6 Inverse functies en logaritmen Injectieve functie kan een horizontale lijn nooit meer dan één keer snijden. 1 Inverse  f-1  f ( x)  y  f ( y)  x  f(x) gespiegeld in de lijn x=y

Hoofdstuk 2 - Limieten en Afgeleiden 2.2 De limiet van een functie Limiet = als je x maar dicht genoeg bij a neemt, komt f(x) zo dicht bij L als je maar wilt.

lim f ( x)  L xa Linker-limiet  als je x maar dicht genoeg van de linkerkant laat naderen tot a, komt f(x) zo dicht bij L als je maar wilt.

lim f ( x)  L x  a Rechter-limiet  als je x maar dicht genoeg van de rechterkant laat naderen tot a, komt f(x) zo dicht bij L als je maar wilt.

lim f ( x)  L x  a 2.3 Limietberekening   



lim lim lim  f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x) xa xa xa lim lim c  f ( x)  c  c  R  f ( x) xa xa lim lim lim  f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x) xa xa xa lim f ( x) lim f ( x) x  a lim    mits  g ( x)  0  lim x  a g ( x) xa   g ( x) xa

Direct invullen stelling  als f een “mooie formule-functie” is waarin het limietpunt a “zonder probleem” kan worden ingevuld, dan mogen we het limiet berekenen door het invullen van dit limietpunt.

lim f ( x)  f (a) xa Limiet van een rationele functie =  ontbinden in factoren  voorbeeld:

lim x  2x  3 lim x  3 lim x 2  5 x  6   2 x  2 x  3x  10 x  2 x  2x  5 x  2 x  5 Worteltruc  de rationele functie vermenigvuldigen met het omgekeerde van de teller  voorbeeld: 

lim x7

x2 3 x2 3   x7 x2 3

Insluitstelling  voor alle x “in de buurt van a” geldt: f ( x)  g ( x)  h( x)

lim lim lim f ( x)  L en h( x)  L dan g ( x)  L xa xa xa 2.5 Continuïteit

lim f ( x)  f (a) xa lim f ( x)  f (a ) Links-continu in a  x  a Continu in a 

Rechts-continu in a 

lim f  g ( x)   xa

lim f ( x)  f (a ) x  a

 lim  f  g ( x)  x  a 

Tussenwaardestelling  Als f continu is op het gesloten interval [a,b] en f(a)≠f(b), dan bestaat er voor elk getal N tussen f(a) en f(b) een waarde c (a,b) zo dat: f(c)=N 2.6 Limieten op oneindig Met een rationele functie waarbij het limiet uitkomt op

moet je de functie delen door de hoogste

macht in de noemer, om toch op een limiet te komen. 2.7 Afgeleiden

f (a) 

lim f (a  h)  f (a) h0 h

f (a) 

lim f ( x)  f (a) xa xa

2.8 De afgeleide als functie Als f’(a) bestaat, heet f differentieerbaar in a. En is dan ook continu in a.

Hoofdstuk 3 – Het Berekenen van de Afgeleide 3.1 Afgeleiden van polynomen en exponentiële functies

 

d n x  nx n 1 dx

 

d x e  ex dx

3.2 Productregel en quotiëntregel

d  f ( x)  g ( x)   f ( x) d  g ( x)   g ( x) d  f ( x)  dx dx dx d d g ( x)  f ( x)   f ( x)  g ( x)  d  f ( x)  dx dx   Quotiëntregel = 2 dx  g ( x)   g ( x)  Productregel =

3.3 Afgeleiden van goniometrische functies

d d sin x   cos x cos x    sin x dx dx 2 2 d tan x   d  sin x   cos x  cos x  sin2x   sin x   cos x 2 sin x  12  sec 2 x dx dx  cos x  cos x cos x cos x 

d csc x   d  1   sin x  0  1  2cos x    cos2 x   1  cos x   csc x cot x dx dx  sin x  sin x sin x sin x sin x 

3.4 De kettingregel

d  f  g ( x)  f g ( x)  g ( x) dx Exponentiële functies 

 

d x a  a x ln a dx

3.6 Afgeleide van logaritmische functies

d ln x   1 dx x

d log a x   1 dx x ln a

3.10 Lineaire benaderingen en differentialen Lineaire benadering  f ( x)  f (a)  f (a)x  a 

Linearisatie van f rond a  L( x)  f (a)  f (a)x  a 

Hoofdstuk 11 – Oneindige Rijen en Reeksen 11.10 Taylor- en Maclaurin polynomen 1e graads Taylorpolynoom van f rond a  T1 ( x)  f (a)  f

(1)

(a)( x  a)

2e graads Taylorpolynoom van f rond a  T2 ( x)  f (a)  f

(1)

(a)( x  a) 

f ( 2 ) (a) x  a 2 2!

ne graads Taylorpolynoom van f rond a 

Tn ( x)  f (a)  f

(1)

f ( 2 ) (a) f ( 3) ( a ) f ( n ) (a) 2 3 x  a   x  a     x  a n (a)( x  a)  2! 3! n!

Maclaurin-polynoom = a=0 in een Taylor-Polynoom Ongelijkheid van Taylor = Rn ( x) 

M n 1 xa n  1 !

11.11 Binomiaal-polynomen

 k  k k  1k  p  1    p!  p

Maclaurin-polynoom van (

1  x k

 1  kx 

) =

k k  1 2 k k  1k  2 3 k k  1k  2    k  n  1 n x  x    x 2! 3! n!

Hoofdstuk 4 – Eigenschappen en Toepassingen van de Afgeleide 4.1 Maximale en minimale waarden absoluut (of globaal) maximum in cD als f(c)  f(x) voor alle xD absoluut (of globaal) minimum in cD als f(c)  f(x) voor alle xD locaal (of relatief) maximum in cD als f(c)  f(x) voor alle x “in de buurt van c” locaal (of relatief) minimum in cD als f(c)  f(x) voor alle x “in de buurt van c” Extreme Waarde Stelling = Een continue functie neemt op een gesloten interval een absoluut maximum en een absoluut minimum aan. Stelling (Fermat) = Als f een lokaal maximum of minimum heeft in c en f is differentieerbaar in c dan geld f’(c)=0 4.2 Middelwaarde-stelling Stelling (Rolle) als f:    

Continu is op [a,b] Differentieerbaar is op (a,b) f(a) = f(b) ( ) met f’(c)=0 Dan bestaat er een

Middelwaarde Stelling als f:  

Continu is op [a,b] Differentieerbaar is op (a,b)



Dan bestaat er een

(

) met f (c) 

f (b)  f (a) ba

4.3 Lokale extrema en buigpunten Als f ’(x) > 0 op een interval (a,b), dan stijgt f op (a,b). Als f ’(x) < 0 op een interval (a,b), dan daalt f op (a,b). Als op een interval (a,b) de raaklijnen aan de grafiek van f onder de grafiek liggen, heet f concaaf naar boven. Als op een interval (a,b) de raaklijnen aan de grafiek van f boven de grafiek liggen, heet f concaaf naar beneden. Als f continu is in c en de grafiek van f verandert in c van concaaf naar boven naar concaaf naar beneden (of andersom), dan heet c een buigpunt van f. 4.4 Regel van L’Hospital Als er bij een limietberekening een van het volgende uit komt moet je de Regel van L’Hospital toepassen: breuk differentiëren)

bij deze regel differentieer je de teller en noemer (LET OP: niet de

Hoofdstuk 5 – Integralen 5.1 Oppervlakten en afstanden Linker-eindpunt-methode = een benadering van de oppervlakte. We delen de x-as in stukjes en maken staafjes op de hoogte dat het linker-uit-punt van het staafje de grafiek raakt. En dan berekenen we de oppervlakte van alle staafjes samen. Rechter-eindpunt-methode = gelijk aan de linker-eindpunt-methode maar dan met het rechter punt van het staafje. Middelpunt-methode = g elijk aan de linker-eindpunt-methode maar dan met het middenpunt van het staafje. 5.2 De bepaalde integraal Partitie = het in gelijke stukken verdelen van een interval. Riemann-som = Oppervlakte 

n

 f t   x i 1

i

i

 xi 1 

b

Bepaalde integraal =

 f ( x)dx a

Integrand = f(x) Integratiegrenzen = a en b Continu functies zijn integreerbaar Oppervlakte is het gebied dat wordt ingesloten door:   

De grafiek van f De x-as De lijnen x=a en x=b

5.3 De hoofdstelling van Calculus Hoofdstelling van Calculus = Als f een continue functie is op het interval [a,b]. Dan is de functie g x

gedefinieerd door: g ( x) 

 f (t )dt . Continu op [a,b] en differentieerbaar op (a,b) g ( x)  f ( x) a

5.4 De onbepaalde integraal Onbepaalde integraal =

 f ( x)dx  F ( x) = een functie

Bepaalde integraal = getal Een functie heeft oneindig veel primitieven, dus bij de primitieve functie moet er nog +C achter Standaardprimitieven 

e



ax  a dx  ln a  C

 

x

dx e x  C

x

 cos x dx  sin x  C  sin x dx   cos x  C

1



 cos





   

2

x

dx  tan x  C

1

dx  sin 1 x  C

1 x 1 1  x 2  1 dx  tan x  C sin 2 x  cos 2 x  1 sin 2 x  2 sin x cos x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x 2

5.5 Substitutieregel b

Substitutieregel =



f g ( x)   g ( x)dx 

a

a



a

a

f ( x)dx  2 f ( x)dx 0

a

Oneven functie 

 f (u)du  dus met 3 veranderingen

g (a)

1. De integrand veranderd 2. De differentiaal dx verandert 3. De integratiegrenzen veranderen Even functie 

g (b )

 f ( x)dx = 0

a

Hoofdstuk 7 – Integratietechnieken 7.1 Partieel integreren Als f(x) en g(x) differentieerbaar zijn, dan geldt het partieel integreren:

 f x  g ( x)dx  f ( x) g ( x)   f x  g ( x)dx Voorbeeld:  x cos x dx  x sin x   sin x dx  x sin x  cos x  C  u  dv  uv   v  du 7.8 Oneigenlijke integralen Type 1 = integralen over een oneindig integratie-interval Als de limieten hiervan bestaan heten de integralen convergent Als de limieten niet bestaan of naar ±∞ gaan heten de integralen divergent Type 2 = integralen van functies die een discontinuïteit hebben op het integratie-interval b

Als f continu is op [a,b) maar discontinu in b, dan

 a

b

 a

b

f ( x)dx 

lim t f ( x)dx  f ( x)dx en t  b  a

lim f ( x)dx , de integraal heet dan convergent. t  a  t

Appendix G – Complexe Getallen Complexe getallen  x heet het reële deel y heet het imaginaire deel i2 = -1

( )

( )

Modulus (absolute waarde) van z  z 



x2  y2

2  4i  1  2i   1  2i  1  2i

Polaire vorm  z = |z|·(cos() + i·sin())

z  x2  y2  = argument van z  tan  

y x

Rekenregels:

z1 z 2  z1 z 2 cos1   2   i sin1   2  z1 z1 cos1   2   i sin 1   2   z2 z2

1 1 1  cos    i sin     cos   i sin   z z z z n  z cos n  i sin n  n

Formule van Euler  e

i

 cos   i sin   e i  1  0

Differentievergelijkingen Een differentievergelijking is een vergelijking waarin een relatie tussen opeenvolgende elementen van een rij vastgelegd wordt. De orde van een differentievergelijking is gelijk aan het aantal elementen van de rij waarin Xn uitgedrukt kan worden. De algemene oplossing van een diffvgl is de verzameling van alle rijen die aan de diffvgl voldoen.

 x n  2 x n 1  0 x0  5 

Een beginwaarde(n)probleem (BWP) is een diffvgl met beginvoorwaarde(n).  

2e orde differentievergelijking  xn  axn1  bxn2  f n (Als fn = 0 dan heet de dffvgl homogeen, anders inhomogeen) Karakteristieke vergelijking  2  a  b  0 Algemene reële oplossing  2    6  0  1  3 ; 2  2 

hn  c1 (3) n  c2 2 n

c1 , c2  C 